/
Автор: Хедер Г.
Теги: металлорежущие станки металлургия конструирование государственное научно-техническое издательство
Год: 1933
Текст
ГЕРМАН ХЕДЕР
^КОНСТРУИРОВАНИЕ
И
РАСЧЕТЫ
ЮСОБИЕ ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ, ТЕХНИКОВ,
КОНСТРУКТОРОВ и СТУДЕНТОВ
V\| ПЕРЕВОД с последнего немецкого издания
С\| под общей редакцией И. М. ХОЛМОГОРОВА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬ-
СТВО ПО МАШИНОСТРОЕНИЮ, МЕТАЛЛООБРАБОТКЕ
жИ ЧЕРНОЙ^ЕГДДДУЩЦС
ЛЕНИНГРАД МОСКВА
МО-10-5-5
KONSTRU1ERE N
' U N D RECHNEN
TOR STUD1UM UND PRAXIS
von H. HAEDER
BoeyynvJo г. почат» e аетрад 2® апре-
ля 1993 r«
♦ОрШат Фрита 73 X 1®>*
Ueawrnw печатжых xxJTes 19%.
Калач. аеч&та. зядеде а лаем 7434Q,
Jearopxat M 5в‘4.
Отвегстае*. рад. Холмогоро*.
ТвхяачесоК редактор Q е в > в е р.
Заде М 2517. Tape* 90*00 »кл
4*в ткп- ОНТЯ НДТП Дрдежы! Нечете ах*, Дрпюггред, Мгжд]щародвмв» 75а.
Герман Хедер является автором ряда книг по раз-
личным отраслям техники, главным образом по двигателям —
паровым и внутреннего горения. Составленный нм справоч-
ник „Конструирование и расчеты" выдержал в Германии
большое число изданий и переведен на несколько европей-
ских языков. Он предназначен для конструкторов по машино-
строению и благодаря крайней простоте изложения доступен
также и для практиков, мало знакомых с высшей математикой.
Отличительной особенностью является большое число практи-
ческих формул.
Справочник может быть полезен, как пособие для начн-
1 23Г4ЦИХ к°вструкторов, а также для студентов техникумов и
I CtyJoB при выполнении учебных проектов.
й
предисловие к первому изданию
Выпускаемая Государственным издательством работа Гер-
мана Хедера „Конструирование и расчеты* является одним из
капитальных труцов в области мировой литературы по маши-
ностроению. Она представляет собой пособие для инженеров,
техников, конструкторов, чертежников и студентов, работаю-
щих во все* областях машиностроения.
• Выбрана для перевода книга Хедера потому, что теорети-
ческая часть излагается в ней кратко, с практическим уклоном,
и снабжена большим количеством примеров и числовых рас-
четов из области машиностроения. Все расчеты и примеры
взяты из практики и предназначены главным образом для
практиков. В этом к заключается ценность труда Хедера, вы-
годно отличая его от других подобных справочников.
Настоящее издание пополнено как в теоретической, так
н в расчетной части применительно к нашим условиям н
кормам.
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящее издание являясь по техническим условиям
стереотипным повторением первого, отличается только тем,
4что в нем исправлены все замеченные опечатки.
За истекшее между изданиями время. Всесоюзным коми-
тетом по стандартизации издан рядОСТ, которыми устанавли-
ваются буквенные обозначения для величин геометрических,
математических, теоретической механики, сопротивления мате-
риалов, термодинамики и гидравлики (ОСТ—573, 2582, 2932,
-2890, 3342, 3610, 3611, 3612).
По указанной выше причине эти обозначения не могла
быть введены в текст. Ниже приводится список принятых
в различных отделах книги обозначений, которые не совпа-
дают с вновь установленными.
' 4 Приьлю ост
1. Ускорение.................... у я
2. Работа ...................... А УУ
3. Мощность..................... L,N N
4. Абсолютная продольная дефор-
мация при растяжении или
сжатии..................... л М
5. Угол закручивания вала .... 9 ф
6 Нормальное напряжение . . . . а
7. Временное сопротивление . . . • К
8. Предел упругости............ Т а,
9. Допускаемое напряжение на рас-
тяжение ....................,* . . ka
10. Допускаемое напряжен, на сжатие, k Нл
11* ,, ,, изгиб . kf, R^
12. „ „ „ сдвиг. к9 В9
13, Коэфициент безопасности .... — п
14. Скоростный напор............. A h9
15. Потерянный напор h hr
16. Ширина канала по низу . . . . Ьх Ъ
17. и ж ня уровне воды . Ъ В
18. Площадь живою сечения канала. F А
О всех замеченных неддстатках Издательство просит чита-
телей сообщать по адресу: Ленинград, Машметнздат. Госпи
талька я у* здание И-та Металлов.
ОГЛАВЛЕНИЕ.
J. Математика. стр
Основные данные для производства технических рас-
четов .............•......................... 13
§ 1. Простые задачи, решаемые непосредствен ио по
данным математических таблиц..................... . 14
§ 2. Задачи, не решаемые непосредственно по данным
математических таблиц .............................. 15
§ 3. Длина окружности круга...................... 18
§ 4. Площадь круга.............•................... 19
§ 5. Диаметр круга по его площади.............. —
§ б. Арифметика............................... 20
§ 7. Техника производства расчетов............ 24
§ 8. Сокращенные обозначения . . ........... *28
Задачи к §§ 1 — 6 .................................. 30
§ 9. Тригонометрия ........................... 3^
Задачи к § 9 • . . т................................ 43
§ 10. Логарифмы................................... 45
Задачи к § 10....................................... 51
§11. Счетная линейка............................... 52
§ 12. Употребительные в машиностроении кривые ли-
нии 4 . 1 . .................................. . . . 83 ’
4
11. Механика. ч
Обозначения и единицы измерения .................... 87
§ 13. Состояние равновесия.......................... 88
§ 14. Прямолинейное движение........................ 89
§ 15. Движение брошенного тела..................... 93
§ 16, Маятник................................... . 95
§ 17. Вращательное движение.......................... —
r 18. Шатунный механизм........................... 97
Задачи к §§ 13 — 18 . . . •>....................... 98
§ 19. Движение масс ................, .......... 106
> 7
сп*.
§ 20. -Прямолинейное движение масс 108
§ 21. Равномерное вращательное движение ........ 109
§ 22. Равномерно-ускоренное и равномерно-замедленное
вращение.........................................., . III
§ 23. Передача движения.......................... - • . 114
§ 24. Касательная сила......................... . . . 117
§ 25. Центробежная сила ............................... —
§ 26. Центростремительна.! сила . ;..........\ . 118*
§ 27. Поступательно-возвратное движение масс, соеди-
ненных с криво шипом.................................. —»
Задачи к §§ 19—27................’ . ......... . . ♦ 120
§ 28. Механическая работа. Мощность.................. 130
Задачи к § 28........................................ 134
§ 29. Теория ударов твердых тел.................... 137
§ 30. Случаи удара тверды* тел, встречающиеся на прак-
тике <... > ♦................................... . 140
§ 31. Косой удар упругих тел................... « • 147
§ 32. Скорость струи ..................'............. 148
§ 33. Работоспособность и скоростной напор —
§ 34. Величина удара жидких и газообразных дел . , . 149
Задачи к §§ 29 —34 .................................. 164
§ 35. Трение............. . ...................... 166
§ 36. Трение скольжения.............................. 167
§ 37. Трение в подпятниках........................ 168
§ 38. Трение на цапфах ............ . . 172
§ 39. Коэффициент трения скольжения 174
§ 40. Трение качения......................-.......... 175
§ 41. Повозка на горизонтальной плоскости ........... 176
§ 42. Торможение поезда.............................. 178
§ 43. Повозка на наклонной плоскости . . . ........... .
§ 44. Наклонная плоскость.......................... —
Задачи к §§ 35 — 44 ...................*............. 182
Ш. Сопротивление материалов.
% 45. Машиностроительные материалы........... • . - • 195
§ 46. Общие сведения о сопротивлении материалов . . • 201
$ 47, Виды деформаций.........................,. . . 202
§ 48. Основные понятия учения о сопротивлении ма-
териалов .........................................• 204
§ 49. Численные величины сопротивления материалов. 210
5 •
СТР.
§ 50. Моменты инерции ft моменты сопротивления . ♦ . 217
§ 51. Основные уравнения для определения прочных раз-
меров ...................................... . . . 221
§ 52. Определение прочных размеров деталей ...... 223
§ 53. Растяжение........... ........* ........... 224
§ 54. Сжатие..................................... 226
§ 55. Продольный изгиб...................... . . 227
§ 56, Кручение........,.......................... 229
§ 57. Сдвиг или срез ............................ 238
§ 58. Изгиб...................................... 239
§ 59. Реакции опор, моменты, стрелы прогиба..... 245
§ 60. Тела равного сопротивления изгибу.......... 249
§ 61. Особые случаи изгиба 253
Сложиыесопротивления ,
§ 62. Растяжение и изгиб........... ,............ 254
§ 63. Сжатие и изгиб............................ 255
§ 64. Эксцентричное растяжение или сжатие и изгиб
длинных стержней . .............................. 256
§ 65. Растяжение, сжатие и изгиб совместно с круче-
нием и сдвигом................................... 258
§ 66. Изгиб и кручение .......................... 260
§ 67. Другие виды сложных сопротивлений.......... 263
§ 68. Расчет кривых брусьев............. ..... 264
Задачи к §§ 45 — 68 ................. ;......... 268
Пружины
§ 69. Пружины, работающие на изгиб.....
70. Пружины, работающие на кручение . . ,
. Задачи к §§ €9 и 70 . , г...............
Рлсчет плит
71. Круглые плиты....................
^°§ 72. Прямоугольные и эллиптические плиты ,
'Расчет сосудов, подверженных д;
73. Сосуды с внутренним давлением .
74. Сосуды с внешним давлением .
§ 75. Толстостенные трубы и сосуды .
Задачи к §§ 73 - 75..........
Сосуды, резервуары, крышки
§ 76. Прямоугольные резервуары с внутД^
§ 77. .Круглые резервуары. . . .*.
§ 78. Крышки сосудов я резервуаров .
| 79 Болты для крышек ..........
297
ЗСО
305
310
ЗИ
313
315
316
нйем , 318
322
327
330
9
ГПР.
LX и л кадры
§ 80. Паровые цилиндры......................................... 331
§ 81. Цилиндры насосов......................................... 332
§ 82. Цилиндры прессов........................................ 3^5
Задачи к §§ 76 —82............................................. 336
IV. Графическая статика.
§ 83. Основные понятия........................................ 315
§ 84. Равновесие сил ......................................... 353
§ 85. Параллельные силы....................................... 355
§ 86. Применение графической статики к расчету корен-
ных валов........................................ 362
§ 87. Графический расчет вала с кривошипом.... 365
§ 88. Графический расчет одноколеачатого вала .... 369
§ 89. Графический расчет двухколенчатого вала. 373
§ 90. Ось зубчатой передачи........................ 379
§ 91. Графическое определение упругой линии............. 381
§ 92. Графическое определение центра тяжести плоских
фигур ............................................ 391
§ 93. Графическое определение статических моментов
площадей........................................ 392
§ 94. Графическое определение моментов инерции ... —
Плоские фермы
§ 95. Основные понятия....................................... 394
§ 96. Неизменяемость системы........., . . ................... 396
§ 97. Условие статической определимости неизменяемой-
фермы............................................. 397
§ 98. Графический способ...................................... 398
§ 99. Способ Ряттсра.......................’ • • • 409
V. Строительное дело.
§ 100. Консоли и цшренгельные системы......................... 413
Сгрояильные фермы
§ 101. Общие сведения........................................ 414
§ 102, Расчет стропильных ферм........: . ..................... 418
§ 103. Стены, окна и двери..................................... 422
$ 1<М. Валки и своды........................................... 424
§ 105. Подпорные стены......................................... 429
§ 106. Колонны................................... 433
§ 107. Консольные балки и кронштейны........................... 437
Задачи к §8 106 к 107.......................................... 442
10
VI, Гидравлика. Стр.
§ 108. Общие понятия. Гидравлический пресс. Аккуму-
лятор ........................................... 450
§ 109. Давление жидкости на стенки открытого сосуда 452
§ 110. Основные уравнения. для бокового давления и
точки его приложения............................. 456
§ 111. Подъемная сила жидкости. Поправок. Удельный
вес.............................................. 457
§ 112. Сообщающиеся сосуды....................... 462
§ НЗ. Сифон......................................... 463
§ 114. Гидравлический таран .......................... 464
§ 115. Коэффициент расхода р......................... 465
§ 116. Истечение жидкости через боковые отверстия » . 466
§ 117. Расход воды и диаметр трубы . ..............• 469
* § 118. Сопротивления в трубопроводах и клапанах ... —
§ 119. Ускорение и замедление водяных масс....... 473
§ 120. Всасывающее действие насосов.............. 474
§ 121. Удар воды в напорных трубопроводах........ 476
Реакция вытекающей воды
§ 122. Общие данные................................* 477
§ 123. Укрепление выходных участков трубопроводов . . 479
§ 124. Измерение скоростей в реках и каналах ......... 480
§ 125. Измерение расхода воды.................... 481
Работа воды
§ 126. Общие данные......................... .... 485
§ 127. Водяные колеса................................. —
§ 128. Турбины . . < ................................. 486
Газы
§ 129. Общие данные................................... 486
§ 130. Основные законы............................... 488
§ 131. Газы в трубопроводах........................... 489
Воздух
•’ § 132. Состав, влажность, вес, барометрическое давление 491
V § 133. Нагревание и расширение воздуха............. 492
л§ 134. Сжатый воэдух............................... 493
; § 135. Давление ветра........................... 495
§ 136. Ветряные двигатели.............,............... 497
Задачи к §§ 108 - 136 ................'............... 499
£ «1
VU. Теплотехника.
§ 137. Общие сведения......................... . .
§ 138. Измерение температуры.................. . .
§ 139. Линейнбе расширение . ................. .
§ 140. Объемное расширение . 1...................
§ 141. Усадочный масштаб . . ....................
§ 142. критическая температура............. . . . .
§ 143. Единица теплоты. Теплоемкость.............
§ 144. Парообразование я кипение.................
§ 145. Температура смеси.........................
§ 146. Плавление.................................
§ 147. Парообразование жидкостей.................
§ 148. Теплота и работа..........................
Основы термодинамики
§ 149. Общие обозначения. Энергия................
§ 150. Первый основной закон термодинамики.......
§ 15L Второй основной закон термодинамики.......
§ 152. Построение диаграмм . . . . ; ............
§ 153. Особые случаи изменения состояния.........
§ 154. Особые рабочие процессы...................
§ 155. Образование водяного пара..........•......
§ 156. Давление пара.............................
§ 157. Насыщенный водяной пар....................
§ 158. Перегретый пар . .........................
§ 159. Скорость истечения пара...................
§ 160. Потери давления в паропроводах............
§ 161. Потерн теплоты в паропроводах.............
Передача тепла через стенки сосуда
§ 162. Общие указания............................
§ 163. Расчеты теплопередачи.....................
Задачи к §§ 137 —163 .....................г......
1. МАТЕМАТИКА.
Основные данные для производства технических
расчетов.
Конструирование неразрывно связано с расчетами, ибо
последние являются основой для каждой тщательно разработан*
вой конструкции. Для крупных аггрёгатов и установок расчет
исполняется по предварительному (но в масштабе вычерчен-
ному) эскизному проекту.
Иногда приходится также проверять детали уже исполнен-
ных машин, чтобы убедиться, могут ли они выдержать более
значительную нагрузку, или, напр., годятся ли они для другого»
несколько отличающегося от первояачального^их назначения и т. п.
При конструировании деталей машин рекомендуется до
вычерчивания их производить предварительный расчет, поль-
зуясь эскизами, исполненными от руки, расчетами подобных
же конструкций, имеющимися в каждом техническом отделе,
также литературными пособиями. Такой подсобный материал
является для молодого конструктора достаточною опорою, а опыт-
ному конструктору дает сразу ясное представление о размерах
проектируемой детали.
Расчет всякой детали нужно вести под различными углами
зрения, иначе могут получиться нецелесообразные или просто
। неправильные конструкции. Поэтому конструктор должен иметь
вполне ясное представление о том, какое назначение имеет дан-
ная деталь.
При практических расчетах для определения площади xpyia,
корня, квадрата млн куба чисел, не применяют обычно аЛгебрап-
Ё ческих и геометрических формул, а пользуются вспомогательными
X таблицами, составленными с достаточной для практики точностью.
* Для умножения и деления пользуются счетной линейкой.
При решении технических вопросов приходится учитывать
£•/ столь миоСо разнообразных обстоятельств, что нс следует слиш-
k ком отвлекать внимание от главной цели в сторону вычислений.
В’ W
Техник должен хорошо усвоить применение математических
таблиц. Численные значения, приведенные в математических
таблицах, округлены согласно с практическими требованиями.
§ 1. Простые задачи, решаемые непосредственно по данным
математических таблиц.
Ряд изложенных ниже задач решается без всякого вычисле-
ния при пользовании математическими таблицами.
Образец математических таблиц1).
.,Й
р g| с
• _ mJ
„а /7Г >/л 2Ы
о?!
49,0,343,0 2.65 1.913 21,99
50,41з57,9 2,66 1,922 22,31
51,8 373,2'2,68 1,931 22,62
3; 53,3 389,0 2,70^1,940 22,93
4] 54,8 405,2 2,72.1,949/2.3,25
7,0
405.2 2,72.1,949/2.3.25
62.0 3844 238328
1 3856 239 48.3
38,485
39,592
40^715 . 2 3869 240 642
41,854 ------ -------
43,008
3 3881 241804
4 ЗШ 242971
7,37 З.Я58 1S4.3 301Я1
7,88 3,9601195,1 3028,8
7,89 3,962 • 195,4 3038,0
7,89 3,9641195,7 3048,4
7,90 3,966.196",0 3058,2
а) Квадраты и ну бы. Квадрат или куб (вторая или третья
степень) числа обозначается поставленной справа вверху циф
рой, показывающей, сколько раз должно повторить множителем
данное число (основание); так, например: 5* ==5-5, или 15э —
=t 15 • 15 • 15.
Пример: Найти квадрат числа 7,1.
В таблице находим квадрат числа 7,1, равный 50,4; сле-
довательно, 7,1 *==<50,4. Если нужно найти куб числа 62,2,
таблица дает 240642; следовательно» 62,2* = 240 642.
Ь) Квадратные н кубические корни. В математике упо-
требляется так называемый знак корня V , причем, на пр.,
1
/9 обозначает квадратный корень из числа 9, а /1230
обозначает кубический корень, или корень третьей степени *йэ
числа 1230.
__ я______
Примеры: Найти /7,4 и /62,3.
Из таблицы имеем:
9____
/7Л = 2,72; /62,3 = 3,964.
>) Для окружности и плотя ди круга л есть диаметр»
н
с) Длина окружности и площадь круга. Длина окруж-
ности и площадь круга определяются по их диаметру и по не-
которому числу, постоянному для любого круга. Это постоян-
ное число равняется с достаточной для практики точностью 3,14
и обозначается греческой буквой к (произносится »пив). Таким
образом, если п диаметр круга, то:
длина окружности — д • п, площадь круга — ~ • л’.
Значения длины окружности и площади кругА в математи-
ческих таблицах указаны для круга, у которого диаметр я.
Примеры: Длина окружности круга, которого диаметр 7,2.
равна 7,2 - я = 22,62/ Это значение мы находим в таблице в
столбце .Окружность*.
Площадь круга того же диаметра дается в последнем столбце;
она равна 40,715.
§ 2. Задачи, не решаемые непосредственно по данным
математических таблиц.
Решение следующих задач требует перестановки запятой.
а) Возведение в квадрат, Если требуется возвести в квад-
рат какую-либо десятичную дробь или число, ббльшее, чем 99,9.
то отыскивают в первом столбце таблицы заданное число, но
без запятой. Такое число без запятой мы назовем вспомогатель-
ным, При сравнении с заданным числом сразу видно, в каком
отношении оно находится к табличному числу.
В зависимости от того, больше ли это вспомогательное
число, чем заданное, или оно меньше его, переносят запятую
влево или внрзи i Вспомогат | Запитую ( 1 Вспомогат 1 Запятую т Примеры: Сколько будет. Берем вспомог. число о, а именно: . число в . , 1ереносят на . число в . . 1ереносят . . | 0,7* 7 10 | 100 2 ' 4- 10 ' 100 i 2| 4 | 0,4 4*3 1000 I 8 знак 1000 [ 6 знай 21» U = 1772 больше 1 влево с 0,1772 >аз больше :ов влево >аз меньше :ов вправо 2500» 25
Находим . . . . Вспомог, число в Следовательно, запятая пере- носится на, . Получаем . • ♦ 7» = 49 ТО раз больше 2 знака влево 0,7* = 0,49 42, Р = 100 раз 4 знаю 0,42 25* = 625 100 раз меньше 4 знака вправо 2500*=6250000
15
b) Возведение в куб. При возведении в куб, как при воз-
ведении в квадрат, отыскивают в первом столбце таблицы дан-
ioe число, нс обращая внимания на запятую. Смотря по тому,
будет ли вспомогательное число больше или меньше, чем дан-
ное, переносят запятую влево или вправо. Только число отде-
ляемых запятой знаков здес ь другое, чем при возвышении в
квадрат, а именно: ( Вспомогат. число в . ♦ 10 too 1000 раз больше
1 Запятая переносится на 3 6 9 знаков влево
J Вспомогат. число в . . 10 100 1000 раз меньше
( Запятая переносится на 3 6 9 знаков вправо
Примеры: Сколько будет 0,7’ 0,039* 112е
Берем вспомог, число .... Находим.... 7 7’ = 343 3,9 3,9*« 59,32 11,2 112s = 141X5
Вспом. число в 10 раз больше 100 раз больше 10 раз меньше
Следовательно, запятая пере- носится на . 3 знака влево 6 знаков влево .3 знака вправо •
По |учаем . . . 0,7* =0,343 0,039*=0,00005932 112s = 1405000
с) Квадратный корень. При извлечении корня из десятич-
ной дроби разделяют дробь, начиная с запятой, на грани по
2 знака .в каждой, пока не получится число, имеющееся в пер-
вом столбце математических таблиц. В зависимости от переноса
вапятой яа 2, 4 или б знаков вправо или влево, переставляют
в корне запятую на 1, 2 или 3 знака влево или вправо. А
именно:
{Запитая
перенесена
{Запятая
перенесена
во вспом. ^исле на
в корне на ... .
во вспом. числе на
е корне* на ... .
4 6 знаков вправо
2 3 знака влево
246 знаков влево
lj 2: 3 знака впоаво
2
1
•Примеры:
Сколько будет, ...... | 0Д23
Находим.............. |/ 623 = 7,89
Запятая во вспом. числе
перенесена на........| 2 знака вправо
и
|/1650
|/16Д = 4,06 •
2 знака м«во
Следовательно, запятая в I
корке переносится иа. I 1 знак влево
Получаем............| ^0623=0,789
1 знак вправо
И‘650 = 40,6
d) Приближенное вычисление. Если после разделения числа
на грани по две цифры в каждой получается число с несколь-
кими десятичными знаками, напр., любое трехзначное целое
число, которое не делится на 10, то сокращают десятичные знаки
до одного, потому что в математических таблицах дается только
один десятичный знак. Для этого сокращенного числа отыски-
вают в таблице корень, например:
Примеры:
Сколько будет. . | J/718
Берем....................I У ТД8
Находим................ • 7,2 = 2,68
Запятая во вспомогат. |
числе на.| 2 знака влево
Следовательно, запя-
тая в корне на . . . 1 знак вправо
Получаем \f/ 718 26,8
1/671034
ИР*
/133=»зд1
2 знака вправо
1 знак влево
)/0Д 034 — 0,321
е) Приближенное вычисление квадратного корня бо-
jee точное. Так как способ, указанный выше, дает слишком
неточные результаты, то поступают следующим образом:
Отыскивают данное число 718 (в предыдущем примере) или
ближайшее к нему ^сло в столбце п2. Этому квадрату соот-
ветствует в первом столбце №26,8» ибо |/г? = п; значит,
^718 = 26,8.
Если число, из которого требуется извлечь корень, больше
или меньше чисел в столбце я1,
этого числа также на грани по
пают затем согласно сказанному
Примеры:
Сколько будет. . г 643
Берем л’~&43
Получаем я ~ 25,4
Запятая во вспом.
числе на ... .
4знака вправо
2 г. хедер.
то разд
две
вы
,45
11,5
ые знаки
^^посту-
{рЕСПУБЛ ИКЛНС К
l/f.vtru/l TCVUJf'IL'fk
2 знака влево
1?
Следовательно в
корне на ... .
Поэтому полу-
чаем ..........
2 знака влево | 1 знак вправо
1/643^25,4 |/0,3894 ~ 0,624[)/ 13145 ~ 115
f) Кубический корень» При извлечении кубического корня
( ) поступают таким же образом, только десятичные знаки
разделяются на грани не по 2, а по 3 цифры в каждой, пока
не получится число, имеющееся в математических таблицах.
Тогда в корне занятая переносится на столько знаков, сколько
граней получилось в данном числе, но н противоположном на-
правлении.
По второму (более точному) способу отыскивают соответ-
ствующее или ближайшее число в столбце л’. Тогда число п
в первом столбце даст искомый кубический корень.
Примеры:
Сколько будет . . . . |
Берем.............
Получаем — .
Запятая во вспомог,
числе на ..........
Запятая в корне на .
Отсюда получаем . .
Д'0,2415
пг~ 241 809
п ~ 62,3
^617687
п’~ 617 687
п ~ 85,2
2 знака вправо
2 знака влево
f6£4i8~ 0,623
,‘/617 687^85,2
§ & Длина, окружности круга.
Так как вычисление длины окружности есть простое умно-
жение тс на л, то окружность для какого-нибудь промежуточного
значения п мы находим, перенося запятую до тех пор, пока не
получится число п, имеющееся в таблицах.
Затем находят значение длины окружности, соответствующее
этому найденному в таблице числу л, к переставляют запятую
ча столько же знаков, но в противоположном направлении.
Примеры:
Окружность для диаметра п = 3.25 0,623 703
Берем п = . . . 32,5 ' 62,3 70,3
к • п = 102,1 195,7 220,9
Запитая но вспо- мог, числе на Запятая в ре- зультате пе- реносится на Отсюда длина окружности . 1 | - 1 знак вправо ]2 знака вправо? 1 знак влево !
1 знак влево 2 знака влево 1 I | 10,21 | 1,957 । 1 знак вправо 2209
Площадь круга § 4. Площадь круга. растет пропорционально квадрату его
диаметра. Поэтому определение площади круга для такого диа-
метра п, которого нет в таблице, производится таким же обра-
зом, как возведение в квадрат (см. § 2).
Примеры:
Площадь круга для диаметра я = . . .3,45 1 1 0,785 622
Выбираем вспомог, число п — . . . 34,5 1 78,5 62,2
Получим площадь круга — j—= . 934,82 4839,8 3038,6
Белом, число в . . 10 раз больше L00 раз больше 10 раз меньше
Запятая на . < . . 2 знака влево 4 знака влево 2 знака вправо
Отсюда площадь . »= 9,3482 = 0,48398 — 303661
§ 5. Диаметр круга по его площади.
Если требуется по данной величине площади круга найти
диаметр, то отыскивают данное число в столбце ,площадь
круга* и поступают таким же образом, как и при извлечении
Квадратного корня*
Примеры: Найти диаметр по
площади круга Берем площадь круга - 3058 1 — 3058 | ! 0,392 ! ~ 89,2
Отсюда л в , . , . . • 62,4 . : 10,7
Запятая во вспомог, числе на! 2 знака вправо
Запятая в рез}гльтате на » . , .1 » 1 знак влево
Отсюда диаметр | 62,4 I 1,07
19
§ 6. Арифметика.
При решении уравнений часто в целя к упрощения требу*
ются преобразования тех или других величин. Преобразования
эти выполняются по следующим правилам.
а) Преобразование степеней.
1. (+Л)«=^-|-а«
2. {-ауп^+а**
= — л»*-*
4. {ат)п — атп~ (а*У*
5. ат ап^а^п
6, ат • Ьт = (а • by*
7. а771: ап — агп~п
8. ап: bm = (а : by11
9. ат = (\:а)т — а~гп
Ю. л*=1; 0^ = 0;
О* — неопределенность»
Ь) Преобразование квадратов и кубов»
1. а1- д3 — (а + Ь) • (fl— b)
2. (а li by = а11: паЬ -р Ь*
3. (а by = а* ± За2* + За*1 ± Ь*
4. a” I: b* = (a it b) • (а* Т а • b + Ь*).
с) Преобразование корней.
I. (|7 в) =а
2. l/^b
3. ^«" = (^а)" = а"
,4. \/a*b— у a^^fb
d) Ряды. Примем число членов ряда равным я.
Арифметической прогрессией называется такая последова-
тельность чисел, в которой разность между каждым числом
(членом ряда) и предыдущим числом одна и та же.
Первый член а; второй а + dt ибо (а + d) — а должно
быть равным d\ третий член а 4- 2d и т. д.
Значит прогрессия такова: at a-\-d, a + 2d и т. д. до
а + (л — 1) d. Последний член есть а + (л — I) d,
20
Су л ли всех членов прогрессии, если последний член /,
будет: 1
. s- а + (ц“+ ф + (а + 2tf) + ... + (I - d) +- П складыадем
+ , = I + (I ... d} + (/ - 2d) +... + (а + rf) + а! 1Кладыйаем
2s = (o + 0 + (и +'1) + (0 +1)4-.. п (а + о;
следовательно: -
s=-" (0 + 1)==Л[2а + (л-1М
отсюда первый член
5 .. d
а = — —(я—1) 9-
п Л
Геометрической прогрессией (геометрической потому, что
3 любых последовательных члена ее образуют непрерывную
геометрическую пропорцию) называется такой ряд, в котором
отношение двух последовательных членов остается постоянным
Значит:
я+ я’? + я,0'+ ♦•• + <*•
сумма
Приведем некоторые особенные ряды и их суммы, не оста-
навливаясь на выводе последних.
I. 14-2 + 34-4 4-54-6+... + (п-1)4- n =
2- />+(р+П + (?+2) + ... + (<?-!) + « =
_ (<t + p) • (? — />+ !)
'2
3. 2 +4 + 6 +8 + 10 +... + (2л —2) + 2л = /»(л +1).
4. 1 + 3 + 5+7+ 9 + ...+ (2л-3)+(2л-1) = л‘
5. 1»4-2’+3s+ 4’ + .. .+ (л—!)«+»’=(^±-^"±2)')
\ 1 • X • о /
6. 1»+2’+ 3’+4’ +... +(л - 1)’ + л’= [
7. 1+JT+№ + >•+...+у-1 = ~^*.
е) Вычисление процентов. Пусть обозначают: К начальный
капитал, /бд капитал через п лет, Р процентная такса, Z про-
центные деньги за roju
1 Вторая строка нцппсана и обрахном порядке для ioro, чтобы d при
сложнпгп строк исчезло.-
21
А. В случае непрерывного наращивания капитала процент-
ные деньги непрерывно прибавляются к капиталу.
Здесь имеем:
Ру л
Кп = К -е100,
где 2,7183 основание натуральных логарифмов.
Чаще всего встречаются следующие вычисления:
В. Простые го-
довые проценты;
к„=к+ КпР
С. Сложные годовые
проценты:
4-100\»
100 )
- log К
. P-M0D
,0g-Too-
к„-=к
100
100 • Кп 100
п~'КР Р
100L^_100
К-п п
n=log^
Р=100
(<Р±ЮЬ)\
\ 100 /
п
О. Сложные полугодовые
проценты:
„ /Л+зорУ'*
\ 200 )
_ log/Ся —log/С
«. Р + 200
210«Чк-
,aV]f
Р=200 1/ тг — 200
Г Л
|У-___________
/Р+200
I 200 )
0 Вычисление рент. Пусть: п число лет, Р процентная
такса, г ежегодная уплата (в конце года). Тогда через год
рубль обращается в
Я ~ ~4т)й^ <напР' "Р" 4’/’ ?=1<WK
IvU
22
Капитал при годовых сложных процентах будет через л
лет равняться
К,= г +г - g + r + г.^'*=г(^^.
Это геометрическая прогрессия (см. § 6 d).
g) Сделки. Чтобы определитьГкакую сумму К должно от-
дать в рост по сложным процентам, чтобы через п лет образо-
вался капитал, равный сумме п ежегодных уплат при тех же
сложных процентах, находим разность между конечным капита-
лом К • qn и суммой ежегодных уплат.
К- — o
Тогда сумма сделки
h) Простые проценты. Здесь применяется арифметическая
прогрессия.
i) Исчисление убытков. Формулы / и g применимы также,
если дело идет об убытках, напр. при повышении гарантиро-
ванного количества топлива, расходуемого двигателем. Тогда
принимают п лет как срок службы машины, вставляют вели-
чину п лет и г годовой убыток.
к) Амортизация. Амортизацией называется списывание
части стоимости, которую утрачивает дом, машина и т. л.^за
год вследствие износа. Чем больше изнашивается машина, тем
ббльший процент ее стоимости списывается.
В атом отношении можно руководствоваться следующей при-
мерной таблицей;
ТЛНЛИЦА АМОРТИЗАЦИИ.
Строения С
Паросиловой аггрегат *О <4
© 1 Ааводсш здания Дымовая труба, машин, зал i s IH Металлоб тываюшдп станки
27. 47. 5°/. 87. 77.
I’/.*/. з'/,7. 1 П 87. 57.
Оборудование для
Оборудование мельниц Гончарное, кирпичное, цементное производства Оборудование бумажных фабрик Пивоварение, обработка де- ревь Приводные ремни, канаты, тросы
87, 67. 13*/. 9% 1 87. 6% 1 ' 10е/. 77. 157. 117.
23
Верхние значения применимы для амортизации, отнесенной
к инвентарной стоимости данного года. .'
Нижние значения применяются для амортизации, отнесенной
к покупной стоимости.
При установлении процентной нормы погашения и при
оценке пожарных убытков берут часто f/3 значений последней
строки таблицы.
Большей частью ежегодные списывания погашения произво-
дятся с покупной стоимости, реже с инвентарной стоимости
данного года. В первом случае мы имеем, если К покупная
стоимость здания, машины и т. п., Кп инвентарная стоимость
через п лет, Р—погашение в процентах, Z ежегодная сумма
погашений,
т Л-Р. jz КпР, 100-Z,
х~“П)б’’ -----юо~’ А А“' I п
_ 100 100-к, . • ((1)
п Р КР~
' (2)
п' К-п ‘ I ''
§ 7. Техника производства расчетов,
а) Округление численных значений. -При всех расчетах
^Вложение вести следует коротко и ясно и избегать лишних
цифр. Так, например, в десятичных дробях принимается в рас-
чет лишь столько знаков, сколько действительно важно для
дайной задачи.
Как правило, все численные значения можно без всяких
опасений округлять на столько знаков, сколько можно отсчитать
на счетной линейке, т. е. примерно до 3 цифр.
Напр., вместо: 4587,56 см', 1,358 кг, 0,06487 кг, 897,78 ся'
Можно писать; 4588 9 , 1,35 . 0,0649 . 898 .
При точном вычислении длин, налр., при помощи тригоно-
метрических выкладок, округлять получаемые численные вели-
чины нельзя; напротив, при расчетах прочности, мощности
и т. д., округление вполне уместно.
Ь) Алгебраические выкладки. Весьма важно, чтобы кон-
структор, пользуясь в технических расчетах уравнениями, пол-
ностью уяснил себе влияние отдельных величин на конечный
результат, т. е. в какой мере отразится на результате измене/
вне какой-нибудь одной величины. Как раз это обстоятельстве
24
чрезвычайно важно, так как даже опытные вычислители в этом
отношении легко ошибаются.
В нижеследующих примерах на это обстоятельство обращено
особое внимание, причем многие задачи даны в Нескольких
вариантах. Из конечного результата видно, какое влияние имеет
изменение той или другой величины, чтд впрочем ясно уже
из самого уравнения; однзко необходимо постоянно обращать
внимание именно на смысл уравненйя,«
Желательно невозможности избегать р а с ч е- •
тов по готовым формулам.
Необходимо иметь совершенно ясное представление о ходе
каждой алгебраической выкладки.
Пример: Ременный шкив диаметром d — 2 м делает
= 85 оборотов в минуту. Как велика окружная скорость в
м/сек? х
Решение. Ход рассуждения следующий. При каждом обороте
шкива какая-нибудь точка. на его окружности проходит путь
л • d метров, значит в минуту л • d • я м, а в секунду в 60 раз
меньше, т. е.:
л • d • я 3,14 - 2 * 85 _ о_ _ _ .
— fift — 8,89 ~ 8,9 Mjcex.
Изложенное рассуждение однако не записывается а пи-
шутся только математические выражения и решение, т. е.
к • d • я тс»2-85 .
Vss—60----м/сек.
л Если конструктор сам составил подобное алгебраическое
выражение, то он сумеет, конечно, объяснить значение каждой
из входящих в это выражение величин. Для того, чтобы в этом
убедиться, конструктору предлагается ответить на соответствую-4
щие вопросы. —
Пример- Нужно определить мощность паровой машины.
Дано: Q = 3000 сл1, рот*=2 кг/см1, с = ЗД м/сек:, тогда мощ*
ность равна'
M = i•3000^2-3,1=248 л. с.
/О — —V"
1*й вопрос: Что обозначает заключенное в скобки _J?
Ответ: Килограммы.
2-й вопрос: Что такое ^”2^ ?
Ответ. Килограммометры в секунду.. _
3-й вопрос: Что означает все вместе?
Ответ: Индикаторные лошадиные силы
Такие вопросы всего больше выясняют суть дела. Суще-
ственно и важно не решение множества задач, а правильное
понимание решаемых задач. Конструктор должен приучаться
к совершенно правильному пониманию математических выра-
жений или уравнений.
На практике часто встречается необходимость самостоя-
тельного составления уравнений. Поэтому должно обращать
особенное внимание на то, чтобы при решении даже самых
простых задач параллельно с численными значениями проста-
влялись также и буквенные обозначения. Таким путем начи-
нающий приобретет навык в буквенных выкладках. Кряечно>
можно ставить какие угодно буквы, но лучше все-таки придер-
живаться по возможности общепринятых (как указано на стр. 29>
* с) Единицы мер при расчетах. Следует особое внимание
обращать на прав ильное употребление единиц мер. Для прак-
тики в этом вопросе ниже введены в задачах только общепри^
пятые в машиностроении миллиметры или метры, а занимаю-
щийся должен сам себе уяснить, где нужно поставить санти-
метры, а где другие единицы. ;
Также при вычислениях времени, скоростей и т. п. необхо-
димо иметь ясное представление, в каких единицах они выра- *
жены. Так, напр., в задаче № 60 (стр. 99) уравнение 3=^-/
нельзя писать
3^ 8 = 58 м,
а надо
, S — км
НАМ
5=зм^ооо_97в Л
Единица скорости v должна соответствовать единице вре-
мени t, также как и единица длины S должна соответствовать
единице скорости о.
Огромное количество ошибочных результатов получается
' вследствие неправильного употребления еДйниц мер. Такая
ошибка равносильна неумению справиться с задачей. z
d) Как записывать расчеты? Безусловно необходимо за-
носить все вычисления в особую тетрадь» чтобы можцо было
в любой момент просмотреть нужный расчет я найти не-
обходимую справку в ранее сделанных расчетах. Таким путем
каждому легко проверить свою работу. При этом расчеты надо
располагать так, чтобы любой другой конструктор мог в них
без затруднения разобраться. Если какие-нибудь численные зна-
чения взяты из книг, то это надо соответственным образом
отметить, чтобы иметь возможность проверить их без длительных
розысков. Это чрезвычайно важно.
Нередко делают расчет на самом чертеже; этого нужно
избегать, так как нет наглядности, а после окончания чертежа
расчет пропадает, и нет возможности сверить конструкцию с рас-
, четом.
Составление отдельных уравнений должно записывать по
- возможности короче; мелкие^спомогательные вычисления лучше
производить на отдельных листках. Результаты для большей
наглядности рекомендуется подчеркивать.
Для вычисления квадратов, кубов, а также для dn, -5- d1 еле-
4
дует пользоваться по возможности вспомогательными табли-
цами, так как при помощи их вычисления ведутся быстрее и
надежнее,
Чтобы показать, какая может быть разница в производстве
вычислений, приводим следующий пример.
Два техника, работающие в техническом отделе, получают
.от старшего инженера следующее задание:
У одноцилиндровой паровой машины без конденсации диа-
метр цилиндра 500 мм, ход поршня 900 мм, число оборотов в
минуту 82. Какова мощность машины при 7 атмосферах дявле* f
ния пара (при впуске)?
Оба техника через некоторое время представляют старшему
инженеру свои расчеты.
Nb 1 сделал расчет в таком виде:
0 = 500, /7=900, л = 82, р = 7 + 1 = 8 абс. атм.
<?= 0,98.4.50* = 1920 ел», с = 2' °1!-82 =2,46 м!«м
4 OU
1920-2,46. Рт
N‘---------75-------= w А* •
'Нормально рм*=зЗ; Nt'« 63 • 3 189- я. с
усиленно — N( — 63 • 3,8 = 239 я. с,
№ 2 представил расчет в следующем виде:
500 мм диам. цил.-, 900 мм ход поршня, 82 оборота в минуту,
7 атм.
0,9
Х2
1,8
X 82
0.57 X 8
144
1476
120
‘276
24О_
360
2,46 ♦ 1963,5
1230
738
1476
2214
246
4830,210
4,56
-Ъ5
3,06 X 4830,210
3060
•612
• 9180
2448'
1224
14780,44260:75= 197,07257
75
' 728
675
530
525
544
544
525
192
150
426
375
510
Сразу видно, что К 1 записал свой расчет немногими чае*
ла ми и притом наглядно, а кроме того отметил страницы
книги, из которой дн взял рп; между тем как в беспорядоч-
ных вычислениях у № 2 только с трудом можно проследить
ход расчета.
i Нижеследующие задачи и примеры расчетов приведены
с той целью, чтобы помочь начинающим выработать практи-
ческие приемы решения задач. Учащийся должен постоянно
обращать внимание на то, чтобы вычисления и результаты вы-
числений проводились и записывались на бумаге без лишних
чисел и притом в понятном для каждого товарища по про-
фессии виде. Только в этом случае он при вступлении в прах- ч
тическую жизнь не окажется беспомощным и сумеет сделать
расчеты так же искусно, «как техник с меньшим образованием,
* но с большим практическим стажем.
§ 8. Сокращенные обозначения.
В дальнейшем изложении
обозначения:
приняты следующие сокращенные
* Единицы длины.
Миллиметр . . *, . . . =2мм
Сантиметр.......• . = см
-
- Дециметр.......... • = дм
; Метр . . .........аале
I Километр (1000м} . ..==^
Единицы объема.
Кубич. миллиметр . , . ==жжя
, сантиметр , . . = см*
Литр ............. . = л
Гектолитр (100 л.) . . , = гл
Кубич. метр (1000 л.). . s= м*
Единицы площади.
Квадр. миллиметр . . ,*=л<лг
, сантиметр . . ,= см~
Квадр. дециметр ') . • * . = дм9
, метр................м*
„ километр . = ^л/-
Единацы леса.
Миллиграмм . . . = жг
Грамм.............=^г
Килограмм (1000 г) < . . = ^г
Тонна (1000 кг) . . • . . =₽ т
Кроме того часто употребляются:
Атмосфера = атм
Цельсий .........=; Ц
Число обор, в ми ну ту = п
Килограммометр нсек. =кгм1сек
Калория (единица
теплоты).............кал
Лош. сила в час , . = л. с./час
Буквенные обозначения, применяемые в целях простоты
при технических расчетах:
щ ?» ? углы
7 удельный вес твердых
н жидких тел
у вес 1 м3 газообразного
> тела
& толщина стенки
« знаменатель отношения
коэффициент гидравлн-
ческ. сопротивлений
ij коэффициент полезного
действия
К количество теплоты пара
в калориях
р коэффициент трения
тг=с= 3,14»отношение длины
окружности к диа-
метру
р радиус
а напряжение в кг] см*
2 сумма; например, 2с =
сумма отдельных
центробежных сил с
<р ускорение, замедление
в м/сек9
<е угловая скорость
В, b ширина
D, d диаметр
Е, f, Q поперечное сечение
G вес в кг
^ = 9,81 ускорение силы
тяжести в MjceK9
Н, h высота, хоД.
J момент инерции в см*
k напряжение в кг!см9
L, I длина
М момент,большей частью
в кгсм
Децмметров вообще следует в расчетах набегать и применять их
только при вычисленяях веса.
п число оборотов В ми- нуту / температура,также вре- мя в секундах
Ие число эффективных U. и окружная скорость, бол.
лот. сил ‘ частью в Mjcex
Nt число индикаторных и, с скорость в Mjcex
лош. сил IF момент сопротивления
Р, р давление и нагрузка, в сж*
р также давление в < меньше, чем .
атмосферах > больше, чем
Q количество воды, также равно или меньше, чем
П>УЗ равно или больше, чем
Д, г радиус ^ подобно, приблизительно
S путь в метрах равно
Т абсолютная температура оо бесконечность
в градусах Цельсия
I
Наклонная черта между двумя словами обозначает предлог
»в" или »на“, напр.: м)сек=^ метры в секунду, кг! см1 = кило-
граммы на квадратный сантиметр.
Эти обозначения, разумеется, не являются обязательными]
часто приходится вводить другие обозначения в зависимости
от условий задачи.
ЗАДАЧИ К §§ 1 — 6.
Упражнения в применении справочных таблиц.
Для решения нижеследующих задач 1 до 14 следует поль-
зоваться .Математическими таблицами* длЯ величин л’, п\
У~п, У п, п к, у л’. Начинающему рекомендуется про-
смотреть §§ 1 и 2 текста. Эти упражнения следует повторять
до тех пор, пока учащийся не научится делать их без ошибки.
Простые задачи, решаемые без вычислений прямо по
таблицам.
1. Возвести в квадрат Z Возвести в куб ~ 3. Извлечь корень . 4. Окружность . . , . 5, Площадь круга , . 94 3,4* 29,8’ ' 95* 11,4’ 32,6’ 78’ уй |/б^8 « . 5 г. • 13,2 « • 463 ^-16’ -2-25,6’ *-43,1»
г
Решен ши
1. Возвести в квадрат. . . . 2. Возвести в куб 11,6 1482 888 34646 9025 474552
3. Извлечь корень 4,24 7,92 3,56’+
4. Окружность 15J1+ 41,4’+ 145,4
5» Площадь круга ...... . . 201,06+ 522,79+ 1459
Примечание. Числа, обозначенные крестиком +, можно еще
свободно несколько округлить до 3 или 4 цифр, т, е. на-
столько, насколько можно их отсчитать на счетной линейке.
Если нужно только наскоро прикинуть результат вычислений,
то допускается еще и дальнейшее округление.
Задачи,, не решаемые непосредственно по таблицам, но
требующие перенесения запятой. 6. Возвести в квадрат*. . . 4 0,032* 3,45* *7. » куб 0,035* 3,86* 8» Извлечь корень |/0#157 j/0,035 Л >/108 V 569 10. . . /5698 >/8340 J 11 И 0,9872 |^0,П03125 IX Окружность к • 6,34 к • 0,035 ? IX Площадь круга . : • 7,35* • 0,067s 14. Диаметр круга, площадь коет пл ни а _ . , . ". . _ 77 R5 fi 0,107» 131» У1бб /0,3025 /“I.J55 ^6788 к-609 4-793* 4 7374 0,0114 2 248000 12.6 <(55 133 183 1913 493 900 96,9 к
? .. РЕШГННЕ. V 6. Возвести в квадрат. 0,001024 7. Возвести в куб, . . 0,0000428*+ • & Извлечь корень . . . 0,396 f. 9 10,4 10. , .... 75Л Г? »• . 0,9м* s . IX Окружность . . . . 19,9*+ ?• ’ IX Площадь круга . . . 42,4*+ V 14. Диаметр ....... 9,96 11,90 57,5”+ 0,187 23,9 91,3 0,51* 0,11 0,0035»’+ 0,913 iy выражения ^,0*; З‘:3^ 135 13‘*;
Ik Преобразования. Преобразовать к другое £5 15. Степени: (+8)'; я-} в*-6*; 10^ С ? \ ' 12’ ?.+J»* . (+ 4Л ™ «' • 8’; 3»;
XI
- 16. Степени (—2)*;-^-; 6» • (—6)'; (—4)‘ • 4‘;
16a, . (—3)'; (—4)* • —4’; 4*;(—4)4
17. Квадраты, кубы: 15*—10*; (7 — 4)*; (3 — 2c)*;
17 a. . . 7* — (3r — bi\ (3—lb)!; (1 + 3e)*
(l-W
18. Корни: ( 64)’; f/227’; ^8 a; Vх 46;
18a. . ( У 1б)’; j/Ж {/б7~^»; J 7 • y/'T\
19. , j/^T; У—4; j/—27; |Z—2 • j/8;
19 a. . /=81; = 44; 1% • / $; /=8 : / = 2;
РЕШЕНИЕ.
15. Степени: + 8‘; (- )*; 6»*»; 1; 0; 0; 3*-*;
,6. . _2._2=+2,^=(3)-=(.yi .
— 6’ • (—6)* • (-6)’ = - 6’; 4’-»;
17. Квадраты, кубы: (15 +10) • (15 —10); 7» — 2 • 7 • b + b*-,
3* — 3 • 3* • 2c + 3 • 3 (2c)* — (2c)*;
18. Корни: 64;( ^227)*= 227’; /Т- |/7; |/j/S.
19. . буквой i обозначается мнимое число р — 1.
так как i • / = — 1; |/— 1 • )/ I = i у 4.
|/ZZI. J/27 = /i/27; I j/TT
Ряды,
20. Что такое арифметическая прогрессии?
Ответ. Арифметической прогрессией на-
зывается такой ряд, в котором разность
между двумя последовательными членами
одна и та же.
21. Определить последний член прогрессии, если а — пер<
вый член, разность двух последовательных членов ил —
число членов. -
Решение. Первый at второй = «+ dt так как (a-j-d) — а
должно равняться rf; третий члея = а + 2^,
1 2 •' __3 _
Значит, имеем ряд; а; а + dt а + 2d и т. д7 до а + (я — l)rf.
Следовательно, последний член = а 4- (л — 1М.
32
21 a. To же — при 12;d—2;л = IL Определить послед-
ний член.
22. Сумма всех членов прогрессии. Определить сумму1 если
первый член = at число членов = л и последний член = г.
Решение. *) Очевидно:
S = a + (a + d) + (a + 2d} + . . . + (z-rf) + z | .
S = z+(z — d)±(z — 2d)+^ ,+'(a + </)4-g j .
2S=(a 4-г) 44л+ «) + («+ *) + ••• + (« + *)£(« + *)
ИЛИ
25 = n (a + z)\ следовательно, S = у (a 4- z).
22 a. To же — при a — 3; n = 16 и z =40. Определить сумму
всех членов прогрессии.
23. 'Как напишется формула суммы, если вместо z вставить
значение, найденное в задаче №21?
Решение. Сумма S = [2а + (п — l)d).
23а. Определить сумму, если а = 5; л =14; d=^2.
24. Вывести из формулы суммы (зад. № 23) значение для о.
S ( d
Решение. а = —— (л —1) • у.
24 а. Определить л, если 5 = 400; л =10 и d = 2.
25. Что такое геометрическая прогрессия?
Решение. Геометрическая прогрессия есть
такой ряд, в котором отношение двух после-*
довательных членов остается постоянным.
26. Чему равна сумма всех членов геометрической прогрес-
сии, если □ — первый член, л — число членов и £ —знаме-
натель.
а(Ъп _ 1)
Решение. Сумма = —.
и — 1
27. Арифметическая прогрессия. Заводскому мастеру в це-
лях поощрения обещали за каждую готовую машину премию,
увеличивающуюся для каждой следующей машины на 2 рубля,
т. е. за первую машину 2 рубля, за вторую 4 рубля, за третью
6 рублей и т. д. Каждый год расчет начинается снова. Изгото-
влено было: в первый год 24 машины, во второй 40 и в тре-
ч
1) Во второй строке ряд ялчьшекя с последнего члена для того, что€м
при сложении исключить d.
3 Г. Хед.р, 33
тий 76. Сколько должен получить мастер по истечении этих
трех лет1).
Решение. конце первого года мастер получает:
24-44-64-8. . .до 24-го члена. Это есть сумма прогрес-
сии, в которой первый член а = 2, разность d=»2 и число чле-
нов л=г24 (количество выпущенных машин)
. Суйма= ”[2а + (п- ijrf].
Следовательно мастер получает:
24
за первый год у • [2 » 2 4- (24 — 1) • 2] = 600 рублей
40 ''
. второй . у • [4 4- (40 — 1) • 2] = 1640 .
. третий » ^.[4 + (7б— 1) • 2] = 5852 ,
Итого за 3 года. ♦ 8092 рубля.
28. Пусть мастер получает за первую машину 2 рубля, за
вторую 3 рубля, з£ третью 4 рубля и т. д.
1) Какой вид будет тогда иметь ряд?
2) Сколько мастер получает за каждый год?
Рекомендуется обратить особое внимание на значительную
разницу между результатами задач №№ 27 и 28.
Решение. Решая эту задачу по образцу предыдущей, полу-
чаем: 4186 рублей.
29. Образование ряда для свободного падения. При помощи
ряда можно исследовать также движение свободно падающего
тела.
Пусть время падения / = 12 сек.
Определить:
1. Ускорение в м/сек*. х
2. Путь, пройденный в течение первой секунды, в метрах,
3. Образовать ряд для пути, пройденного'телам через
/ = 12 сек.
Решение. 1. Ускорение свободно падающего тела
♦ £ — 9,81 м/сек1.
•) Сиачхм образуем ряд дм первого годе, затем дав второго третьего*
Сложение »тмд 3 сумм и дзет ыдм суммарную премию ва 3 года.
34
2. В течение первой секунды тело проходит путь, равный
<>±£_.£_4о м
3. Тело проходит в первую секунду 4,9 м, во вторую се*
куяду 4,9 + 9,81, в третью 4,9 + 2 • 9,81 и т< д. до 12-й се*
кунды.
Отсюда можно составить прогрессию, у которой первым чле*
ном будет -|- = 4,9; разность 9,81 и число членов 12. Тогда со-
гласно предыдущей задаче сумма всех членов
H=yP-f
** у[2 <4,94-(12— 1) • 9,81] = 705,6-W.
30. Арифметическая прог&ссия. Какую начальную ско-
рость с нужно сообщить свободно падающему телу, если оно за
^=10 сек должно пройти путь И=501 м?
Здесь нужно обратить особое внимание на приращение ско-
рости, тогда составить ряд просто»
Решение. Подобно предыдущей задаче составляем про
грессию
e + 4 + (' + g) + (' + 2g) . . .[«+ (/-!)£] = Н
или: .
отсюда начальная скорость
77^4,9*/» 501 — 490 „ ,
< е =-------------------------= 1,1 м/сек.
30 а. То же —при /=20 сек. /7—3 000 м.
31. Процентные исчисления. Капитал в 500 рублей отдай
в рост 'чо 5% годовых.
Определить: 1. Годовые проценты.
2. Величину капитала через 15 лет при простых годовых
процентах.
3. То же — при годовых сложных процентах.
4» То же — при полугодовых сложных процентах.
5. Jo же — при непрерывном наращивании продето*.
Обратить особое внимание на разность результатов.
_ 5О0 * 5_лг *
Решений 1. Ежегодные проценты = —25 руб.
2. Через 15 лет => 500 + • 15 = 875 руб.
I Lrv
& . 15 . =500. (5--f0Q00) “ = 1039,75 руб. _ ,
к . 1< *"
'5. . 15 . =500 = 500 - 2,7180.73= 1055,50 р.
X W
81 а. Капитал 1430 руб., при 4x/i% годовых, через 22 года
32. Амортизация, Заводское здание с^оит 8100 руб., а на-
ходящееся в нем оборудование 17 200 руб.
1. Какой процент следует ежегодно списывать на аморти-
зацию? \
2. Какова будет инвентарная стоимость этих сооружений че
рез 9 лет?
Решение. I. Берем для строений 4°/> амортизации, для на*
шин 8°/о» следовательно списываем ежегодно* ,*
8100*4 х
яля строении z = —^5—* — 324 РУО-».
17200 *8 <
для машин х=—— = 1376 руб.
2. Инвентарная стоимость через 9 лет.
для здания /Сд = 8100 — • 9 = 5184 руб^4
дм оборудования Кя =* 17 200 — —~ • 3 = 4816 руб.
№ого 5184 + 4816 « 10 000 руб. у
82 а. Здание = 4100 руб^ машины = 2800 руб. через 27 лет.
В практике часто встречаются задачи, для коих самому при* j
ходится составлять арифметическую прогрессию, иапр., при вы-
числении ренты, ежегодных убытков иц. д.
33. Возмещение убытков. Паросиловая установка в 1000 л. е.
juxa при испытании расход пара на лощ. силу на 0,5 кг больше,
чем было обусловлено гарантийным договором* чт» ди потреби-
теля составляет ежегодный перерасход в размере
0^.1000. ю. зоо. 022дЗЗГОру8
1UV
Ежедневно 10 часов* 300 рабочих дней* стоимость 100 лм
пара = 0*22 руб. За этот убыток отвечает поставщик. Опреде-
лить общую сумму убытков за 20 лет. 1)
1» Без процентов. ,
2. Считая 4ф/е годовых.
3. Если поставщик должен покрыть убыток единовременным
взносом. Как велика эта сумма с начислением сложных. годе*
вых процентов. ✓
Решение, 1. Убытки через 20 лет составят 3300 «* 20 ж
= 66 000 руб.
2. Пусть ежегодный перерасход а.
3. Ежегодный прирост этого капитала d,
. р 3300 - 4 -
d~ в'100"— 100 “ 132 РУ6-
Тогда имеем прогрессию:
'e+(e+e^jj) + (в+^в]^) + - • • д0 2О‘ГО члева-
Сумма всех членов прогрессии согласно задаче М 27 букве
у [2а + (я - ОД =? <2 • ЗЗЬО + (20 -1) 132] -
= 91 080 руб.
4. Сначала определяем годовой оборот рубля
g.^P + 100^4 + l'0O n
9 100 100 1,v*.
вносим его в формулу исчисления суммы сделки <стр. 23)
где К—первоначальный капитал, л—годовые проценты, л —
число лет.
1) Большею частью в твккх елу^Их опр«дышет ythtnoi м 10 дет.
«7
Для того чтобы найти капитал, который, будучи отдан по
сложным процентам, через п лет обратился бы в капитал, рав-
ный сумме ежегодных уплат при таких же сложных процентах,
определяем из вышеуказанной формулы величину»,
3300* (1,04’0— 1)
- 1,^-(1,04^П~=г44870 РУ*
Эта сумма подлежит немедленной уплате.
ч 88 а. Ежегодный убыток 4300 руб., через 25 лет; при 3f/i%
годовых.
§ 9. Тригонометрия*
% Конструктор должен свободно обращаться с тригонометри-
ческими функциями—синусом, косинусом, тангенсом и котан-
генсом и уметь их отыскивать в тригонометрических таблицах.
. Тригонометрические функции угла зависят только от его
величины, но отнюдь не от размеров треугольника, в котором
находится угол.
ч а) Основные формулы тригонометрии.
Ь) Применение тригонометрических таблиц для опре-
деления тригонометрических функций. Углы от 0° до Ж.
Тригонометрические таблицы (см. приложение) составлены таким
образом, что углу в левом столбце соответствуют верхние
функции; углу же правого столбца—нижие функции, как видно
из следующего образца.
Образец тригонометрических таблиц.
Градусы | Синус
°', 10* 1 X- 30' | 4(У 50 | 60'
0 0,000 0,003 0,006 0,009 0,012 0,015 0,017 89
1 0,017 0,020 0.023 0,026 0,029 0,032 0,035 88
2 0,035 0,038 0,041 0,044 0,047 0,049 0,052 87
3 0,052 0,055 : 0,058 0,061 0,064 0,067 0,070 86
42 0,669 0,671 0,673 0,676 0,678 0,680 0,682 47
43 0,682 0,684 0,680 0,688 0,690 0,693 0,695 46
44 0,695 0,697 ‘ 0,699 0,701 0,703 0,705 0,707 4 45
W 50' 40’ 30, 20* 10' О' а Ь
Косия: у С J
Таблицы дают округленные значения, чего совершенно доста-
точно для всех встречающихся в машиностроении расчетов
напр., для определения составляющих и равнодействующих сил,
нагрузок под углом, давления в коренных подшипниках, относи-
тельного эксцентриситета, угла предварения эксцентрика и т. д.
Пример:
Синус 3*40':= 0,064 (число градусов в левом столбце)
Косинус 46в20'«ж0,690 ( » 9 . правом . )
с) Углы больше 90°. При углах больше 90е* необходимо
обращать внимание на знак функции.
Нижеследующий таблица показывает, как в зависимости от
величины угла изменяется знак каждой функции,
d) Знаки тригонометрических функций*
Градусы or 0* до 90е от 90е до 130° от 18О*ДР от. 270* до 3W
sin + ~ь / ——
COS — — +
tg 4- — + —•
cotg ’ + 1 + —.
33
Если инеем угол больше 36(Г, то нужно отнять от него 360**,
тогда знак тригонометрической функции первоначального угла
будет такой же, каИ знак угла, полученного
в результате вычитания, Напр., косинус угла
435° имеет такой же знак, как и косинус угла
435®—360Q=75*. Согласно таблице косинус
зтого угла имеет знак -Н
е) Знак функций углов больше 90°
можно себе уяснить при помощи показанных
Фкг. ь на фиг. 3 четвертей (квадрантов) круга.
Таблица значяний тригонометрических функций.
' j Предельные значекня Часто встречаюши«сн углы
Градусы V 9СР W 36СР ЗУ & 60*
81П = СО5=- <2 = cotg=s 7 0 +1 7 0 7 со +1 ± 0 ±00 ± 0 ±1 0 — I 4= 0 п 1+ Н Н 1 _ о 8 о 7 0 + 1 * 0 7 со V. 7.-КЗ гз Ч» • V 2 7»-/2 1 1 ’/»-^з 7» 7.-/5
Верхние знаки для убывающих углов; нижние — для воз-
растающих углов.
Примеры: сов 20° лежит между+ 1 и 0; величина tg 100*—
между со и 0.
f) Нахождение функций углов, больших 90?, затрудняется
не только определением знака, нб и тем обстоятельством, что
тригонометрические таблицы содержат функции только для углов
от 0° до 9Q\
Для углов, больших 90°, необходимо руководствоваться еле-
дующей таблицей: * :
ю , • л
Таблица для углов, вдльших 90е,
Для уГЛОВп от 90’ до 18СГ от 180^ до 270° ОТ 270е до 360е
УГОЛ т = i 180° — а 270°— a 360° —a
II II II II v> р и р s g ЬЛ ьл ' V) U О CJ + Sin a — COS a — tg* — Cotg a — COSB — sin a + cotg a + . tga' — sin a + COS a — tga —cotg a
Пример: sin 230° ~ — cos (270’ — 230’) = — cos 40° — 0,766
* /jX
Угол Т=з 1 90° 1 + ® ’*1 180* +a 270* +a %
2. r* g 52. ТО ТО » 3 d а и а II II II II + cos a — sin a — cotg a — tg<* — Sin a — cos a + tga +cotgВ — COS a + sin a — cotg a — tga
Пример:sin 230° = —sin (230° — 1809) = — sin 50° = — 0,76fr
g) Тригонометрические формулы»
При решении уравнений частц приходится преобразовывать
тригонометрические функции для упрощения вычислений.
Главнейшие преобразования показаны нижеследующими фор-
мулами:
1) Зависимости между функциями ойног) и того же угла.
1, Sin1 a + cos*a=: 1 2. tga=——
* COS a
* 41
3. COtg a = -L. 4- 1 + a= zrr"
* Siua tga ' b CQS3 4a
5. l + cotg’a^-Д- C
’ * sin’ a
6. gjna= 1/1— cos’ a *L = 1_____‘
V^+tg’a V'l + CDtg’a
7. COS a =5 j/1 —sin’a= 1 -ss — COtgtt, —.
J/1-Hg«a j/l + cotg’a
2) Зависимости между функциями двух утлба.
L sin (a ±: P) = sin a - cos p it cos a • sin fT
2. cos (a + P) s= cos a • cos 0 T sin a • sin ?.
3- tg (a z*z P) = (tga z*z tg P) r (1 =£tga • fgp).
4. COtg (a P) = (Cotg a • COtgP =b I) : (cotg p it coig a).
5. sina + sin 3 = 2 - sln'/ifa + P) ♦ cosl/i(a — p),
6. Sin a — sin 3 = 2 • COS ’/> (a 4- P) • Sin */i (a — p).
7. cos« + cosp = 2 • cos x/i(“ + P) • cos Vt(« — p).
8. cos a — cos p sb — 2 ♦ sin f/i (a + P) * sin */• (g — ?)•
9. tg«^tg₽==^(^.
* • ^cose-cosp
.л 1 . A O sin (pit er)
10. cotg a ± cotg p ч:..
6 sina-smP
11. sin’ a — sin13 = cos1? — cos’ a = sin (a + 3) • sin (a — £).
12. cos’ a — sin’ 3 = cos’ 3 — Sin1 a = cos (a + P) • cos (a — p).
13. sin a • sin 3 = 7t • cos (» — P) — Vi ‘ cos (a 4- p).
14. COS a • COS 3 =ss V, • COS (a — p) + ’/> • COS (a -J- P)
15. sin a • COS p = l/j * sin (« + ?) + ^/i • Sin (a — p).
3) Формулы для кратных углбв и для дробных углов.
'* 1. sin.2 ass 2 • sin a • cos a; sin a = 2 • Sin l/s a • cos ’/> a.
2. cos 2 a see cos’ a — sin’ a =ss 1 — 2 • sin’ a = 2 * cos* a — L
3. staV,a=l/i—• v 1 + ей»-1/». |/1 —sfci«
f *
4. - — Vi* V1 +sin«+l/i* V 1—
. . slna L — cos a /1 — cos a
a 1 -f- cos a Sin а r 1 4» cos a
42
.^1» 1 + COS a
6. cotg 7, a — -*----= —Ц--------s=
ь 1 — cos a Sin a
2 tga 2
Фиг. 4.
1 4~ сов а
1 — cose
7 tg2a = -*—>“ __________±.______• tei— ^'tg1/*8
1 —tgs« cotga —tga’ g 1— tg’*/»a
; 8. cotg2a =-Cg 1 = V* • cotga — 7,-tga;
ertga-^g*^..8-1
g 2-cotg 7. a
9.
i+tg’V v
1_ tg’V.a
10. cosa = --- ~т^-'* -
•< ____________________________
11. sin a ± cos « = ± |/1 ± Sin 2 a.
ЗАДАЧИ К § 9.
34, Как называются самые употребительные тригонометри-
ческие функции и. как они выражаются посредством сторон ,
4 прямоугольного треугольника (фиг. 4)?
х ‘ Ответ. Синус, косинус, тангенс, котангенс,
a b . а . b
SlHa = —, COS a== —, tga==-v-, Ctga== —,
;,* c c d । a
> Определение тригонометрических функций.
i Угол меньше 9tf\
U 35. Определить:
I? 1. sin 30°; 25°; 13°Ю'; 74*
& 2. cos 45* 36* 26°50'; 86°20';
Г 1 tg 70°; 67°; 85°3(У; IS^O*.
|Вешекие. Для этого пользуемся тригонометрическими табдм-
нами в конце книги:
Р 1. 0,5; 0,423; 0,Й8; 0,961; j
Г * 2. 0,707; 0,809; 0,892; 0,064;
К • 3. 2,747; 2,356; 12,71; 0,328.
к 36. Угол больше 9ф. Определить знак для:
К:; sin 195°; cos 234°; tg 320°; cotg 210*.
F Решение. •
g 1 знак sin 195е—; cos 234°—; ^320* —;
1 cotg 210е+
к; 4 36а. To же для:
К. sin 93°; сое 337*; tg 146°; cotg 344’.
триг. табл..
43
KL Чему равняется:
1. sin 175°30'; sin 255°10'; sin 265е; х
2. cosl!0°20'; cos220°5(T; cos310°30’;
3. tg 135°; tg 261°20'; tg 310*50'.
Решение. Даем решения только для 1-го столбца:
1. sin 175°30' = sin (180° — 4°30#) = sin 4°30'
2. cos 118°20' = cos (180° — 69o40f) = — cos 69*40'
3. tgl35°=tg(180’ —45с) = —tg45° = —1
Упражнения на часто встречающиеся значения.
38. Найти угол а, если:
1. sin а = 0,067; sin а ==0,944; sina=l;
2. со$-а = 0,961; cos а = 0,270; cosa = —1;
3. tga = —0,099; tga = 28,64; tga=co<
Решение,
1. sin а = 0,067 соотвегств. углу а = 3°50' |
2. cos а = 0,964 . . а=15°25' ) рИГ*
3. tga =—0,099 . л (180° — а) =
= (180° — 5с40')
39. Определить:
1. V, sin 32*; sin180°; (1 — sin 2О0)1; 2 — sin133°;
2. cos */• 48°; cos110°; (1 — cos 75°)’; 1 — cos’ 75*
3. 2 tg (85° 4- 12°); tg’50°; (l-tg30°)’; 2 —tg‘40*.
Решение.
1. 0,265; 0,970; 0,433; 1,703; \
X 0,914; 0,970; 0,549; 0,933; | триг. табл.
3.-16,288; 1,420; 0Д789; 1,2961; )
40. Преобразования. Ка^ можно иначе выразить;
1. tga;
2. cos (a ± ?);
3. sin a — sin?;
4. cos a cos ?.
Решение.
sina e
1. tga=-----;
cos a ’
2. cos (a ± ?) — cos a • cos ? sin a • sin?;
3. sina — sin? = 2cos sin4“T^’
4. cosa4-cos? = 2cos-~• cos^^-^. -
2 L ы L
44
§ 10. Логарифмы.
В случаях следующих вычислений нельзя обойтись без лога-
рифмов: 1) при возведении в степень, если показатель есть
дробь, и 2) при извлечении корня, если показатель есть дробь,
о0»3 М/Тп
например: 8 , у 10 и г. п.
а) Основные свойства логарифмов. Если не имеют в виду
определенной системы логарифмов, то логарифм обозначается
Log.'
Логарифм какого-нибудь числа с при основании а есть пода-
ватель степени т> в которую нужно возвести основание а,
чтобы получить число с.
Logac = /nJ если ал = е.
Значит, применяя логарифмы для формулы степени =
мы просто вводим иной вид записи.
Следовательно, при логарифмировании задается степень е
и основание а, показатель* же т является искомой величиной.
Примеры. Основная формула Log^ с = гп,£ибо am=sxc, с ле дет
<тельно, если основание
а = 2 н с = 64, то т = 6, ибо 2е = 64
' a= 4 и с = 64, , т=*3, . 43=;64
8 и с = б4, , л —2, . 82 = 64
а= 10 и с = 64, то « = 1,8062, ибо 1О1’8062 =64.
Ъ) Употребительные системы логарифмов. Система лога-
рифмов может быть построена по какому угодно основанию а
Общепринятыми являются бригговы и натуральные логарифмы.
1)Бригговы логарифмы. Основание этих логариф-
мов равно числу 10, которое, однако, ради упрощения никогда .
не пишется. Напр.: »
log 100=% т.е. 10* —10С
2) Натуральные логарифмы. У
основание обозначается буквою е, прича^юё^со)
=2,71828182$. ♦. Это основание также не гтрДткя; Тга^ЙЛьныЙ
логарифм в отличие от бригговых обозначайте^ 1л511од>.:
• эначит:
1п 100^ 4,6052; Vj
Л0062 — 2,718281828*tW62 *= Г
Общепринятые сокращенные обозначения
логарифма.
Log log In
для логарифма для бригговых лога- для натуральных ло-
вообще рифмов. гарифмов.
Основание^ 10 Осн. е=2,718281823..
log 100 = 2 In 100 = 4,65052
10’= 100 <4,6052 = 100
с) Общие свойства логарифмов. Нижеследующие фор-
мулы 1 — 7 применимы как к бригговым (log), так и натураль-
ным логарифмам (In).
(1) Log (а • b) = Log а + Log b,
(2) Logy =• Log а — Log b.
(3) Logam = « • Logo.
£
... . т/— т m 1 » Log а
(4) Log |/ a = Logo = — • Loga = -^—.
n
,_4 _ m,—- . л» n , n • Log а
' (5) Log |/а” = Log e =— Loga = ——
(6) Log yr = Log an~n t={m~n)- Log a.
am
(7) Logyr — m Logo — n Logi.
d) Вычисление с помощью бригсовых логарифмов.
Обозначения чисел:
ЯАЬоО.в показатель
MuZ «снование
* л» / показатель
осноеаняе 64620'8 I адынтела
чжслмтеяя ч
зшшенатель 0,07б - W {
Показа-
тель
корня
Корень
Степень
Дробь
Основные сведения, необходимые для решения
задач на логарифмы.
Пример. log с~т\ log 6462ж3,8104. При этом для числа
6462 будут: 3 — характеристика, 8104 — мантисса логарифма.
46
1) Табличное число (Numerus—читается: яумерус), Оно по
цифрам одинаково с тем числом (основанием *) степени), ддя
которого нужно подыскать логарифм; однако при этом место
запятой не имеет никакого влияния.
Пример'. 64,62 соответствует табличному числу 6462. Число
цифр табличного числа (N) не имеет значения, поэтому оно
произносится не как число, а как последовательность цифр,
т. е. каждая цифра отдельно: »шесть четыре шесть два-.
В различных! логарифмических таблицах табличное число (N)
бывает трехзначным, четырехзначным и т. д.
Для технических расчетов достаточны большей частью трех-
значные таблицы. Чтобы при помощи трехзначной таблицы
логарифмов найти мантиссу логарифма четырехзначного числа
(напр. 6462), поступают следующим образом: .
log 6462 = tog 646 + 0,2 (log 647 — log 646) =
= 8102 + 0,2 (8107 — 8102) = 8104.
2) Характеристика. Понятие о характеристике легче всего
уяснить себе» если рассматривать строки (2) и (4) таблицы (стр. 40).
Характеристика равна числу цифр целой части логарифми-
руемого числа, уменьшенному на единицу. Значит, если Z число
цифр в целой части числа, то характеристика равна Z—1;
[ср. строки (6) таблицы (стр. 49)J.
3) Мантисса, Мантиссу отыскивают в логарифмической таб-
лице (или на счетной линейке). Число цифр мантиссы безраз-
лично, как видно из Строхи (5) таблицы (стр. 49).
i 4) Логарифм состоит из характеристики и мантиссы, отде-
ляемых друг от друга запятой. По числу цифр целой части Z
логарифмируемого числа (напр., 6462 или 0,06462) определяется
характеристика (Z—1) и тут же записывается (напр. о
или 0,... — 2); а затем после запятой приписывается мантисса,
найденная из логарифмической таблицы (напр., 3,8104 или
0,8104 — 2).
Это и есть искомый логарифм.
Обратное действие производится, если нужно по логарифму
(напр., 3,8104 или 0,8104—2) найти соответствующее число.
Характеристика (напр., 3 или 0,... — 2) показывает число
цифр в целой части искомого числа (напр., 4 или 0,0). Мантисса
дает в логарифмической таблице соответствующее табличное
*) Здесь основание не надо смешивать с ©сиовапием 10 и е уча аа ними
выше обеих систем логарифмов.
число (V), напр., 6462 для обоих случаев, откуда и получаем
искомое число, уже принимая во внимание характеристику
(напр., 6462 или 0,06462).
е) Указания для пользования логарифмическими таблк-
нами. Образец четырехзначной таблицы логарифмов:
|~ 0 1 2 • 1 ‘ 1 6 7 8 9
640 8062 8062 8063 8064 8065 8055 8066 8067 8067 8068
641 8069 8069 8070 8071 8071 8072 8073 8073 8074 8075
642 8075 8076 8077 8077 8078 8079 8079 8080 8081 8081
643 8082 8083 8083 8084 8085 8085 8086 8087 8088 8088
644 8089 8090 8090 8091 8092 8092 8093 8094 8094 8095
645 8096 8096 8097 8098 8098 8099 8100 8100 8101 8102
646 8102 8103 8104 8104 8105 8106 8106 8107 8108 8108
647 8109 8110 8110 8111 8112 8112 8113 8114 8114 8115
648 8116 8116 8117 8118 8118 8119 8120 8120 81211 8122
64 8062 8069 8075 8082 8889 8096 8102 8109 8116 8122
Последняя строка внизу соответствует трехзначной логариф-
мической таблице; в левом столбце здесь числа имеют одной
цифрой меньше.
Пример. Найти логарифм числа 6462.
Приведенная выше четырехзначная таблица дает ман-
тиссу 8104.
Применяя трехзначную лог. таб-
лицу, можно не обращать внима-
ния на последнюю цифру (семерку);
для мантиссы находят промежуточ-
ное значение. (Точный подсчет ука-
мн в § 10,4 1).
Число 6462 имеет 4 знака, стало быть (согл. §1а4 4), харак-
теристика 4 — 1=3; следовательно, log 6462 =* 3,8104.
48
Основное число 6462
Вспомогательные числа:
6;60 6470
Мантисса
8102 8109
Промежуточное значение
8104
Таблица
НАХОЖДЕНИЯ ЛОГАР1ФМА ДЛЯ ЛЮБОГО ЯИСЛЛг
т (4) (3> (S> (в) (7)
Число, для которого оты’ сживается • логарифм Число 11Иф£ целой части Z Табличное число (Л0 по вто- рому столбцу Мантисса . по 4-знач- ной лог. таблице Характе- ристика по <4) столбцу Логарифм по (5j и (в! столб- цам
6426 4 f426 8079 3 3,8079
642,6 3 6426 8079 2 2,8079
64,26 2 6426 8079 1 1,8079
6,426 1 6426 8079 0 0,8079
0,6426 0 6426 8079 0,-1 0,8079—1
0,06426 — 1 6426 ' 8079 0,-2 0,8079 — 2
0,006126 — 2 6426 8079 0,-3 0,8079-3
f) Вычисление степеней и произведения чисел.
Вычисление степеней Произведение двух чисел
(V Найти 6462°,• 0.00761,4 6462X0.0076
(2) / Основное, или < логарифммруе- ( мое число 6462 0,0078 64412 0,0076
(3) Г Табличное 1 число (JV) 6462 7600 6462 7600
(О / Число цифр | целой части л логарифмируем { мого числа 4 — 2 4 -2
(б) f Мантиссе по 1 лотар. таблице 8104 8808 8104 3808
(6) Г Характеристика 1 Z— 1 (строка 4) 4 —1-3 2 — 1 — 0. — 3 4 — 1—3 0,-8
(7) [ Логарифм ( (строки 5 мб) 3,8104 * 0,8808 — 3 3,8104 0,8808-^
(8) { Показатель сте- 1 цени (строка 1) 0,8 1.3 Сумма логарифмов
4 Г. Xuip. 49
Вычисление стецеяей
Произведение
двух чисел
Нвйти 64620.4 0.0076Ц»
6462 X 0,0070
(9)
(10)
)
(11)
(1*)
Логарифм сте-
пеней 6462»,»
1 и 0,0076 1,»
| (показатель X
. лог. основания
Табличное
число, соответ-
ствующее лога-
рифму (стро-
ка и® лога-
рифм. га&ищы,
прыбли^.
Число цифр
к целой часты
(строка 9)4-1
Ив чисел, ука-
аакных в стро-
ках 10 в 11, по-
лучается иско-
мое число.
0.8-3,8104
— 3,048
1118
34-1^4
1118
1,5 - (0,8806 — 3)
~ 1,3212 - 4,5
/ -1.8212 — 5
= 0,8212-4
0,8808 —Л
3,8104
4ДО12 - 3
1,6912
«Я5
4911
0ДО5625
49,11
g) Вычисление дробей при помощи логарифмов. Вообще
а"»
log = log а — п * log*.
Сначала находят логарифм числителя и логарифм знаменателя
точно таким же образом, как в предыдущей таблице.
_ Из логарифма числителя вычитается логарифм знаменателя,
а^атем по результату отыскивают в логарифмической таблице
соответствующее табличное число.
Для примера возьмем те же числа, что и раньше; требуется
64620,8
Вычислить-------г--. Тогда логарифм числителя согл. строке 9
0,0076*’®
будет 3,048. Логарифм знаменателя согласно строке 9 будет г
0,8212 — 4. Логарифм дроби =» 3,048 — (0,8212 — 4) » 3,048 +
+ 4 —0,8212 » 6,2268.
Табличное число, соответствующее мантиссе 2268, будет 1686
(из логарифм, таблицы).
Число цифр целой части искомого числа + 1 дает 6+1 = 7. -
Искомое число следовательно будет 1686000.
Таким образом имеем следующие решения:
Мв2°’8 _ ПМ _ 1686000
0,0076ts- 0.0006625 ~168KW
6462 X 0,0076 = 49,11.
ЗАДАЧИ К § 10.
41, Характеристика, Определить характеристику логариф-
мов чисел: 100; 10000; 0,07;.7; 0,3.
Решение. 2; 4; —2; 0; — 1.
41 а. То же — для: 337; 47; 09; 0,003.
42. Найти логарифмы чисел: 732; 41; 0,01; 4.
Решение. Согласно таблице четырехзначных логарифмов
имеем: 2,8645; 1,6128; — 2; 0,6021.
42 а. То же для чисел 33; 0,3; 796; 83.
43. Вычислить: 437,3 0,002 ; 6,7 < 2,08; 47.0,4
Решение. Произведение: 0,8746; 13,94; 188,0.
43 а. Вычислить; 0,9 • 4,734; 96 • 0,3456; 0,023 • 0,048.
44. Вычислить: 3,36 : 0,748 ; 0,745:3,324; 975: 0,002.
Решение. Частное: 4,492; 0,22415; 487500 (округл.)
45. Выделить: 1,44: 0,02; 492:3,829; 0,7:0,004.
48. Вычислить: 2».9; 254 у'ТбЗ; v452.
Решение. Степень: 3,732; 5947.
Корень: 3,023; 1,654.
\ 47. Вычислить: 35,6°; 43.4; у'ЧТД ^4736.
4& Расход пара. Обыкновенно теоретич. величина расхода
> лара для двигателя вычисляется по формуле:
о 6,87 —0,9 ♦ logp0
i—~—г~~ на лош. силу в час.
log/> — logp0 3
On делить если р = 12 атм. абсол.
ро=О,15 атм. абсол.
Решение. Определяем log 0,15 = 0,1761 — 1 и log 12 = 1,0792
Тогда -
_6,87 — 0,9(0,1761 — 1) . . А
! S”~ 1,0792 —0,1761+Т — 4 кг на л. с в час
48 iu То же при р « 9 атм. абсол.
к р9 = 1,05 атм. абсол.
5)
I 11. Счетная линейка*
а) Логарифмическая шкала. Для производства различны!
вычислений с помощью счетной линейки пользуются ебшимм
свойствами логарифмов:
(1) log (ab) = log а + log К
(2) log j=log а — Jog К
(3)log(a") = n log а.
л?— 1 .
(4) log у a = ylogo.
(5) log(a • 10") = log а + й.
(6) tog tog— П.
Основанием счетной линейки является логарифмическая
шкала представляющая собою геометрическое изображение ло-
гарифмической таблицы в виде отрезков. Построение такой
шкалы выполняется с помощью обычного в номографии приема
с помощью так называемого уравнения шкалы.
Имеем логарифмическую функцию:
у— logx.
По этой зависимости составим уравнение шкали такэгя
вида:
\ y = plogx,
где — модуль шкалы— практически представляет масштаб
нашего построения. Возьмем, например, р = 250 мм\ тогда
для чисел первого десятка, пользуясь трехзначными логариф-
мами, получим с точностью до 0,1 мм величины отрезков, опре-
деляющих у в зависимости от х.
X 1 а 3 4 8 б 7 а 9 10
log* _yx=(*10gX (в ММ) 0 0,0 0,301 0,477 0,60210,699 753 119,3 150,5 174,7 0,778 0,845 0,903 0,954 1,000 194,5 211,3 225,8 238,6 250,0
Примечание, У чисел, являющихся приближенным значе.
нием с избытком, последняя цифра подчеркнута.
Темерь, пелмуясь числами иижнегэ рада таблицы, етложмм
62
на прямолинейной оси вправо от некоторой начальной точки
отрезки, графически изображающие значения у, гричем у кон-
цов отрезков отметим значения х, соответствуй шие этим от-
резкам (фиг. 5). Таким образом, на шкале вместе
9 дачений логарифмов даны значения соответству-
ющих им чисел. Благодаря этому, с помощью шкалы
при действиях с логарифмами мы сразу получаем
непосредственный результат в виде числа, чтб со-
ставляет исключительное преимущество шкалы по
сравнению с таблицами логарифмов.
При построении шкалы мы выбрали для модуля
значение р- — 250 жж. Для той же цели мы могли
бы взять любое другое число и построить шкалу
соответствующих размеров. В дальнейшем нам при-
дется встретиться со шкалами, у которых модуль
взят равным £ 5= 12.5 мм и ~ мм,
4 МО
Для вычислений особенно удобно пользоваться
парой шкал, устроенных таким образом, что одна
шкала может передвигаться вправо и влево вдоль
другой, неподвижной шкалы. Разберем на приме-
рах, каким образом с помощью таких соединен-
ных шкал производятся основные действия.
Пример L log (2 - 3) = Iog2 + log 3 = log б.
Устанавливаем единицу подвижной шкалы про-
тив двойки, взятой на неподвижной шкале. Тогда
против 3 на подвижной шкале мы найдем на пер-
вой шкале 6 (фиг. 6), По чертежу видно, что этот
прием приводит к геометрическому сложению двух
отрезков |>log2 и ^1og3, в сумме дающих отрезок
plog6. В виду того, что на шкале отмечены не ло-
гарифмы, а числа, мы непосредственно получаем
умножение с помощью шкал: 2-3=6.
Пример 2. log (yj »log 6 — log 3 = log 2.
6:3 = 2.
Устанавливаем против делимого (б), взятого на неподвижной
шкале, делитель (3) на подвижкой шкале. Тогда против 1 на
этой шкале мы находим частное (2) на неподвижной шкале.
На той же фиг. 6 видно, что в этом случае производится гео-
метрическое вычитание отрезков:
р log в — ^log 3=plog 2,
U
Пример Л 1:2 = 3: г.
Так как нахождение неизвестного члена *
. пропорции приводит к умножению х = 2 • 3,
то вычисление с помощью шкал осущест-
вляется также, как это было указано для
примера 1. Кроме того, на чертеже видно,
что равенству отношений:
L—2 1_ 4 _ JL
2 4 ’6 *3
соответствует такая установка шкал, при ко-
торой против 2 на неподвижной шкале уста-
навливается 1 подвижной шкалы. Тогда про-
тив Предыдущих членов даяцых отношений
2, 3, 4 и 5 на подвижной шкале мы найдем
на неподвижной шкале соответствующие им
последующие члены отношений 4, 6, 8 и 10.
На этом примере можно убедиться, что с
помощью шкал решение пропорций осуще-
ствляется весьма просто. Вообще, надо за-
метить, что различные вычисления, которые
могут быт^ сведены к Пропорции, очень
легко выполняются с помошью логарифми-
ческих шкал, подвижной и неподвижной.
В предыдущих примерах мы пользова-
лись двумя - логарифмическими шкалами с
одинаковым модулем. Разберем теперь слу-
чай применения двух логарифмических
шкал, у одной из которых модуль в два
раза меньше, чем у другой. Положим, мо-
дуль у одной шкалы равен 125 лм, а у
другой — 250 мм. Установим эти шкалы так,
чтобы их начала, отмеченные 1, совпадали
(фиг. 7). Тогда против 2 и 3, взятых яд одной
шкале, мы найдем на шкалб с половинным
модулем 4 и 9, т. е. 2* и 3s, или же обратно,
беря числа 4 и 9 на шкале с половинным
модулем, найдем на другой шкале числа
2 и 3, т. е. J/Z и 9. Таким образом, с
помощью этих шкал производится возве-
дение в квадрат и извлечение квадратного
корня.
двумя
неоди-
вреде-
Точно также, имея одну основную шкалу и шкалу с модулем
в три раза меньшим, мы можем производить возвышение в
третью степень и, равным образом, извлечение корня кубичного.
Переходя к общей характеристике лога-
рифмической шкалы, необходимо отметить,
что она представляет собою шкалу неравно-
мерную так как расстояния между
последовательным^ делениями шкалы
каковы (фиг. 5).
Если имеется шкала для чисел в
лах от 1 до 10, то эта же шкала может слу-
жить для представления любых чисел. Вся-
кое число можно представить в виде произве-
дения двух сомножителей, причем один из
них будет целой, положительной или отри-
цательной степенью десяти, а другой — целым
или дробным числам в пределах от 1 до ДО. На*
пример, 284,5 ±=2,845 • 10s; 0,0085=6,5- 10А
Очевидно, что лргарифмы каждой пары этих
чисел 284,5 и 2,845, а также 0,0085 и 8,5
отличаются только характеристиками при од-
ной и той же мантиссе (см. общие свойства
логарифмов). Отсюда мы можем вывести за-
ключение об определенной периодичности
логарифмической шкалы и ее делений. Во-
обще, имея основную шкалу от I до 10, можно
построить или мыслить построенными одна
за другой по обе ее стороны любое количе-
. ство точно таких же шкал.
Третьим, не менее важным, для вычис-
ления свойством ло₽арифмической шкалы
является та ее особенность, что относи-
тельная погрешность при отсчете на
ней в любом ее участке одинакова.
Ь) О писанке счетной линейки. Обыч-
ная счетная линейка состоит из следующих
частей:
- -о
L*
CV-
<0 -
-
<4-
1) корпуса, который называется просто .линейкой-;
2) движка, входящего в пазы линейки;
3) передвижного указателя, состоящего из алюминиевой
оправы со стеклом, снизу которого нанесена поперечная ви>
аирная черта, служащая для отсчета на шкалах.
65
Наиболее распр храненным типом счетных линеек имеется
так называемая обыкновенная линейка и линейка системы »Риц*,
обе с длиною шкал в 250 мм. Имеются
линейки как с укороченными, так и с более
длинными шкалами» Кроме того, имеются
линейки специальных типов, но мы ограни-
чиваемся рассмотрением только обыкновен-
ной линейки и линейки системы .Риц*, как
наиболее простых и, вместе С тем, вполне
пригодных для обычных технических рас-
четов.
Указанная выше конструкция счетной ли-
нейки дает возможность поместить на са-
мой линейке неподвижные шкалы, а вл
движке подвижные шкалы. Шкалы наносятся
с помощью делительной машины на целлу-
лоидных полосках, укрепленных на линейке
и на движке. %
Линейка обычного типа имеет четыре
шкалы, причем первая и последняя поме-
щаются на самой линейке, а вторая и треть»
на движке.""Для удобства эти шкалы обо^
значим буквами Л, В, С и D в порядке
сверху вниз (фиг. 8).
Фиг. 8 изображает линейку системы
.Рип*, отлн ающуюся от обыкновенной при-
сутствием-шкал К и L (см. стр. 5С).
Пользуясь этими обозначениями, напишем
уравнения шкал в таком виде;
На линейке На движке
> А ... х=125 В ... х=*125
£)...х=250 С...*=250
Сравнивая уравнения шкал, а также не-
посредственно их рассматривая, можем убе-
литься в том, что шкалы С и D, которые на-
зываются нижними шкалами, совершенно
одинаковы между собою. То же самое надо
сказать и о верхних шкалах Л к В.
Шкалы А и В состоят из двух совер-
шенно одинаковых подшкал. В большие-
стве случаев среднее деление, отделяющее обе подшкалы, обо-
значается I (вместо 10) и тогда дальнейшие деления на второй
(правой) под шкале отмечены как 2, 3,... 9, 1. С другой сто-
роны, некоторые фирмы выпускают линейки, на которых сред-
нее деление этих шкал имеет обозначение 10, а дальнейшие
деления второй подшкалЫ 20, 30 и т. д. до '100. В соответ-
ствии с указанным обозначением делений на шкалах А и В
мы имеем на шкалах С и D обозначение последнего деления 1
или 10.
Для правильного и уверенного расчета с помощью линейк»
необходимо уметь находить на шкалах любые числа, с другой
стороны также необходимо точно определять, какое число пред
ставляет собою то или иное место шкалы. Обычно для начи-
нающего некоторые затруднения представляет неодинаковость
подразделений на шкалах, имеющих деления трех различных
порядков.
Разберем эти деления и их цену для парных, нижних
шкал С и D. Прежде всего мы имеем десять делений пер-
вого порядка, помеченных цифрами I, 2, .... 9, 1 (или 10).
Эти деления как раз соответствуют тому построению лога-
рифмической шкалы, которое описано выше на стр. 53 и
представлено на фиг. 5. Каждое такое деление первого по-
рядка поделена на десять делений второго порядка, при
чем в промежутке между делениями 1 и 2 первого порядка
все деления второго порядка отмечены особо более мелкими
цифрами от 1 до 9. Каждое деление второго порядка в
свою очередь делится на деления третьего порядка, но
число этих делений по всей шкале неодинаково, как этс
видно из следующей таблицы:
В промежутках между деле- ниями Первого порядка на шкалах С к D Число делений третьего по- рядка, заключающихся в од- ном делении второго порядка
1—1 ф 10
2—4 5
4—1 (10) 2
При помощи такрго способа нанесения делений на шкалах
числа на них будут отсчитываться следующим образом. Возьмем
трехзначное число, скажем 172, и для ясности отметим цифры,
57
соответствующие на шкале делениях первого, второго и третьего
порядков: 1-7-2- Цифра 1 первого порядка показывает, что
число на шкале надо находить в промежутке между делениями
I и 2 первого порядка. Затем отыЛиваем на шкале в этом про-
межутке седьмое деление второго порядка, отмеченное более
мелкой цифрой 7 и, наконец, в промежутке между делениями
второго порядка 7 и 8 находим второе деление третьего порядка,
котороеАи соответствует на шкале числу 1-7-2. Следующие за
этим деления будут обозначать числа 1-7-3; 1-7-4 и т.д.
Таким образом, в промежутке от 1 до 2 деления ткал С и D
представляют ряд чисел от 1,0С до 2,00 или, если не будем обра-
щать внимания на запятую, натуральный ряд чисел от 100 до
200: т. е. 101, 102, 103, ... 198, 199, 200.
В промежутке между делениями первого порядка, отмечен-
ными цифрами 2 и 4, каждое деление второго порядке содержит
уже 5 делений третьего порядка. Следовательно, в этом про-
межутке числа идут в такой последовательности: 200, 202,
' 204, .. . 298, 300, 302, 304, ... 398, 400. Если взять два после-
довательных деления на шкале в этом промежутке, то они будут
соответствовать, например, числам 2 - 7 - 2 и 2 - 7 - 4. Чтобы найти
на шкале число 2-7-3, поступают таким образом. Черту ука-
зателя устанавливают на глаз посередине между делениями,
представляющими числа 2-7*42 и 2-7-4, и считают, что йоло-
жеиие черты указателя показывает место числа 2-7-3.
В промежутке между 4 и последним делением шкалы 1
(иди 10^ деления вторЬго порядка поделены только на два де-
ления третьего порядка, т. е. числа идут в последователыЛсти:
400, 405, 410, 415, ... 985, 990, 995, 1000.
Возьмем два последовательных деления в этом промежутке,
соответствующих, скажем, числам 5-6-5 и 5-7-0. Для оты-
скания на шкале места, занимаемого числом 5-6-7, дедя1
на глаз (это делается очень легко) промежуток между деле-
ниями 5-6-5 и 5-7-0 на пять равных частей, берут %
этого промежутка и в этом месте устанавливают черту ука-
зателя.
Верхние шкалы А и В, имеющие половинный модуль по
сравнению со шкалами С и Dt разделены нескорко иначе.4
Каждая подшкала шкал А и В содержит 10 делЛий первого
порядка, отмеченных соответствующими цифрами. Каждое де-
ление первого порядка поделено на 10 делений второго порядка."
Число делений третьего порядка в каждом делении второго по-
рядаа показано в следующей таблице;
м
В промежутке между деле- ниями первого порядка на Шкала* А и В Число делений третьего по- рядка. в од- ном делении второго порядкд
1 — 2 5
2 — 5 2
5-1 (10) ’ нет делений третьего порядка
Примечание. На линейках системы „Риц* сверху над шка-
лою А имеется еще одна отдельная шкала с модулем в три
раза меньшим, чем у основных шкал С и А содержащая три
одинаковых подшкалы 1 — 1 (10) — 1 (100) — 1|(1 ООО), так назы-
ваемая шкала кубов, которую мы будем обозначать буквою К.
Эта шкала имеет деления первого, второго и третьего порядков
точно такие же, как и шкалы А и В.
На шкалах А и В (а также на шкале К) те числа, для кото-
рых нет соответствующих делений, берутся с помощью уста-
новки на глаз черты указателя между двумя последовательными,
близлежащими числами по тому же принципу, какой был ука-
зан в случае шкал б>и ZZ
Умножение с помощью нижних шкал Си D.
Р X q=y.
С 1 или 10 другой сомножитель
D один сомножитель произведение
Схема показывает, что для умножения двух чисел надо над
первым сомножителем, взятым на шкале D, установить началь-
. ную или конечную р (10)] единицу шкалы С. Затем, не пере-
двигая больше движка, находят с помощью указателя на шкале С
?• Другой сомножитель и против него, на шкале D, отыскивают
(; произведение (фиг. 9). Так как на линейке, вообще говоря, де-
L лается приближенное умножение, то весьма важно точно опре-
| целить число знаков произведения или место запятой в случае
| умножения десятичных дробей. Условимся под числом знаков
К подразумевать характеристику, увеличенную на единицу; таким
В образом число может иметь отрицательное число знаков,
t 69
I
-......................................... 1-------------------
Число4 Характеристик* Число знаков
> Число4 Хлрйктеристнк* лсгвряфмл । ЧИСЛО 5Н1КОВ
75864 3210- 16,8 4,15 0,57 0,0123 0,0049 111 00 г- о •— СР 11
При умножении на линейке могут быть два случая: 1) дви-
жок устанавливается вправо; 2) движок устанавливается
влево.
В первом случае число знаков произведения
равно сумме чисел знаков сомножителей без
единицы.
Пусть р имеет т знаков и q имеет п знаков. Тогда произве-
дение будет иметь т п — 1 знак.
Во втором случае число знаков про изв ед ея и я
равно сумме чисел знаков сомножителей, т< е.
т 4- п. •
Примеры: I. Движок выдвинут вправо:
Пример Число лнлко* прои^жедекя* по формуле т Ц- л — 1
34.14 = 476 3.4 - 14 = 47,6 0,34. 14=4,76 .0,0034.14 = 0,0476 3,4.1,4 = 4,76 0,00034 • 0,0014 = 0,000000476 11 *^+++++ 1 1 и -11IIIIIIII (I - | 1 - е»
«О
П. Движок выдвинут влево:
Примеры Число знаков произведем» по формуле /n-f-rt
26 - 74 = 1924 2,6 • 74 = 192,4 0,26- 74 = 19,24 0,026 • 74 = 1,924 26-7,4=192,4 26 - 0,0074 = 0,1924 2,6-7,4=19,24 0,026 • 0,0074 = 0,0001924 1 - 1 кэ ►— о <—* ьз Т' + '7' + + + + + 1 н- 1 _ кэ к> ьэ ю II V II II II II II [| to II СО to СО 4*. 1 °*
Упражнения «Ч- л — 1
3,15X14,6 = 45,0 14-2-1=2
3,23 X 2,75 = 8,80 14-1 — 1=1
255 X 0,01475 = 3,76 3 4-(-1)-1 = 1
127 X 1,55 = 197 34-1 — 1 = 3
Упражнения ж 4- л
0,021 X 0,074 = 0,001555 (-!) + (-1) = —2
0,126 X 88,8 = 11,2 04-2 = 2
25,6 X 4,9=125,4 24-1 = 3
0,041 X 0,00561 = 0,000230 1-1)4-(-2)=-3
Деление с помощью нижних шкал Си D.
с 1 делитель 1 или 10
D 1 делимое частное
. Схема показывает, что для деления двух чйсел надо над
делимым, взятым на шкале D, установить делителя на шкале С
Тогда против начальной или конечной единицы на шкале С
находится частное на шкале D (фиг. 10). При этом могут
быть два случая:
I. Движок выдвинут вправо. Число знаков частного вы-
числяется по формуле т — я + 1, где т — число знаков дели-
мого и п — число знаков делителя.
П. Движок выдвинут влево. Число знаков частного вычис-
ляется по формуле т — я. ч
Примеры л»-л+1 1
9©:5 = 19/2 2-14-1 = 2
9,6:5=3 1,02 1-14-1 = 1
0,0096 -.5=0,00192 —2—14-1 = -2
0,00096:0,05 = 0,0192 -3-(-1)4-1 = -1
' 960:5000 = 0,192 3^-4 4-1=0
Примеры т — п «
4890:5 = 978 4 — 1=3
48,9:5 = 9,78 2—1 = 1
4,89:5 = 0,978 1 — 1 = 0
0,0489:5 = 0,00978 ' — 1 — 1 =—2
48,9:0,5 = 97,8 1 о II to
•48,9:0,005 = 9780 1 т S2 И
0,489:0,005 = 97,8 о —(—2)=2
Упражяеакя т — п 4-1
65:122 = 0,533 2-34-1=0
0,333:1,495 = 0,223 0-14-1 = 0
' 14:11=1,273 2-24-1 = 1
Упражнения ) m — л
162:22,5 = 7,20 II см 1 СО
11 :360 = 0,0305 2 —3 = -
3,16 : 7250 = 0,000436 ' 1 _ 4 = - 3
Нахождение квадрата числа с помощью шкал D и А,
Схема показывает, что, установив черту указателя на число а,
взятое на шкале D, мы над ним, на шкале А, найдем его
квадрат. При этом могут быть два случая:
I. Квадрат находится на первой (левой) подшкале шкалы Л,
Число знаков квадрата определяется формулой 2т— 1, где
/п —число знаков основания.
II. Квадрат находится на второй (правой) подшкале шкалы 4.
Число знаков квадрата определяется формулой 2т.
♦ 1. Примеры 2 m — 1
1,60’ = 2,56 2-1—1 = 1
30,5’ Rrf 930 2-2—1=3
0,244’ «rf 0,0595 2-0-1 = —1
-• 0,00193’0,00000372 2(— 2)— 1=— 5
63
П. Примеры
3 т
4,96’«3 24,6
33,4» «5 1120
450» «5 202 000
0,065» «5 0,00423
2-1=2
2» 2 = 4
2-3 = 6
2.(-1) = ^2
Извлечение корня квадратного с помощью
шкал А и D.
А подкоренное число
D корень квадратный
Схема показывает, что для извлечения корня квадратного
черта указателя устанавливается на подкоренном числе, взятом
на шкале А. Тогда под ним, на шкале D, находим корень
квадратный. Так как шкала А состоит из двух одинаковых лод-
'шкал, то для правильности вычисления необходимо определить,
на какой подшкале надо брать подкоренное число. Разбиваем
подкоренное число на двухцифровые грани» начиная с конца,
если это целое число или вправо и влево от запятой в случае<
если вто десятичная дробь. Если высшая грань подкоренного
числа содержит* одну значащую цифру, например )/1/Л8;
j/4/58; у 0,/64/90, то подкоренное число берется на первой (ле-
вой) по/шкале шкалы Л. Если же высшая грань содержит две
значащих цифры, например j/16/,8, V 88/36, |/ 0J00/96, то
подкоренное числ^ берется на второй (правой) подшкале. Пра-
вило для определения числа знаков корня следующее: есдя
подкоренное число больше 1, то число цифр в целой части
корня равно числу граней в целой части подкоренного числа;
геля же подкоренное число меньше 1 (правильная десятичная
дробь), то число нулей после запятой равно числу чисто нуле-
вых (состоящих из одних нулей) граней.
Практически удобнее для определения числа знаков корня
иольвомться следующем правилом: > 4
1. Подкоренное число берется на первой (левой) подпгеале
. __ . т 4-1
шкалы А. Число звяков корня вычисляется по формуле —,
где т — число знаков подкоренного количества.
П. Подкоренное число берется на второй (правой) подшкале.
Число знаков корня вычисляется по формуле
Примеры*,
I. Подход иное число берется на первой подшкале m 4~ 1
1,216 1/976?«3,1О )/4/58^21,4 |/0./04/90 ^0,221 /О,/00/00/03/35^0,00183 сч - - м ® 1 II II . II 1 II О О О *“* + ++ + + <2- । — к* -|еч ~|сч J, -1" -|е. 1 ‘:
П. Подкоренное число берется на второй подшкаде j/ity§£«4,10 |/88ДЗбЯУ9,4 j/65/43 ^81.0 |/0,/бб/96^0,098 J/6, /00/00/33/50 ЯП 0,00579 Г • Ч ' J 4* tol К? ьо| 4^ N0| КЗ ю| ю. *• l II ц у || -|з 1 1 - КЗ
б Г< Хел*р. М
Возвышение в куб с помощью шкал D, В и А.
о* = а* ’ а
Схема показывает» что для нахождения куба надо против
основания а» взятого на шкале D, установить с помощью черты
указателя начальную или конечную Щ00)] единицу шкалы В.
Тогда, против основания а, взятого на этот раз на шкале В,
найдем значение а* на шкале Л (фиг. И).
Число знаков куба определяется следующим образом:
Против основания а, взятого на шкале D, устанавливается Начальная единица движка Конечная единица движка
Куб находится на шкале А на первой (левой) подшкале на второй (правой) подшкале —
Число знаков куба определяется фор- мулой Зш—2 ' 3m—1 i 3 т
Здесь т обозначает число вдажов основания в.
66 i
Примеры*
а 3 т-2
2100 9260000000- 3.4 —2=10
2,1 9,26 3.1-2 = 1
0,0021 0,00000000926 Со 1 ьо г КЗ II 1 се
19,5 7400 II еч 1 сч СО
а а» 3 т —1
0,425 0,0768 f - 0 -3 — 1 = -1
3,33 37,0 Со 1 п* to
0,00375 0,0000000527 3-(—2)—1= —7
а а* г 3 т
595 211 000000 3-3 = 9
0,0925 0,000790 СО 1 JI еО
0,(6) 0,297 3.0=^0
Значительно удобнее вычислять кубы с помощью шкалы
кубов, имеющейся, например, на линейке системы ,Риц\ Эту
шкалу мы условились обозначать буквою X. Вычисление кубов
с помощью шкал А и К делается по такой схеме:
т, е. против основания а, взятого яа шкале Л. находят с по*
мощью черты указателя а* на шкале /С (фиг. 12). Так как шкш К
состоит из трех одинаковых подшкал, то правило знаков при
этом может быть представлено в следующем виде:
Куб нахо- дится пр шкале К; на первой (левой) подшкале на второй (средней) , под шкале на третьей (правой) под шкале
» Число % знаков куба: . 3 т^2 3 ж—1 3 т
где т — число знаков основания степени
Iff и 1,64*
фиг. IX
Навыкшие корня кубичного с помощью шкал А, В и D.
• Схема показывает, что для извлечения корня кубичного с
' помощью шкал Dt В и А движок передвигается вправо и влево
до тех лор, пока протия подкоренного числа а, взятого яд
шкале А, не окажется на шкале В числа х/ одинакового
с числом х на шкале D против начальной или конечной еди-
ницы шкалы В. Легко сообразить, что этот способ расчета пред-
W
ставлен схемой, как раз обратной той схеме, которая была дана
для вычисления куба с помощью шкал D, В и А
Для получения правильного результата при таком способе
вычисления существенно необходимо условиться, на какой из
двух подоткал шкалы А надо брать подкоренное число. Решаю-
щую роль при этом играет число значащих цифр высшей
грани подкрренного чийпа, которое с этой целью разбивается
на трехцифровые грани. Целые числа разбиваются на грани
влево от конца, в случае десятичных дробей первая грань про-
ходит, через запятую и влево и вправо от запятой отсчиты-
ваются по три цифры в каждой грани. *
По числу значащих цифр вЫсшая грань бывает:
Однозначная Двухзначная Трехзначная
|/Ъ/430 {/8/500 у/0,/008/5 , |/99,/500 j/85/ООб >/^/685 ! 850/000 .{/0,/850
) Условившись относительно высшей или, как ёе иногда назы-
вают, решающей грани, дадим для извлечения корня куби^
него с помощью шкал А, В и D такое правило:
Высшая грань подкоренного числа однознач- ная двухзнач- ная трехзнач- ная
Подкоренное число берется на шкале А на первой (левой) под шкале на второй (правой) Под шкале на первой (левой) подшкале
Корень указывается на шкале D началом движка концом движка
Для извлечения корня кубичного с помощью шкал А В и D
гораздо удобнее пользоваться перевернутым движком, причем
шкала В имеет обратное направление. Для этого движок
вынимается из пазов аиненки и скова вдвигается передней сто-
роной наружу так, чтобы шкалы на нем оказались* переверну-
тыми и шли в обратном направлении, т. е. справа налево.
Если нормальная последовательность шкал на линейке может
быть обозначена как А, В, С и D, то при перевернутом движке
последовательность будет А, Bi и D, где значок i при бук-
вах С и В обозначает обратное направление этих шкал по срав-
нению со шкалами А и £>.
Схема расчета представится в таком виде:
А а —
Bi паяльная или конечная/ единица X
D X
Удобство вычисления заключаете^ в том, что при перевер^
нутом движке шкала В/ идет как раз вдоль шкалы D и значение
С ня кубичного указывается двумя одинаковыми числами,
одяшимися друг под другом на шкалах Bt и D. При расчете
пользуются правилом, приведенным для извлечения корня ку-
бичного с помощью шкал А, В и D (см. стр. €8).
Для определения числа знаков корня можно пользоваться сле-
дующим общим при извлечении корня любой степени правилом:
I. а>1. Число цифр в целой части корня'равно числу гра-
ней в целой части подкоренного числа.
П. а < I (правильная десятичная дробь). Число нулей после
запятой равно числу чиСто-нулевых граней в подкоренном числе.
Примеры:
а
850/000 85/000 8/500 0,/000/850 0,/000/085 0,/000/008/500 94,7 43,9 20,4 0,0947 0,0439 0,0204
70
Извлечем* корм кубичною в помощью шкал К a D.
к а
D X
Схема показывает, что, установив черту указателя на под-
коренном числе, взятом на шкале кубов (шкала К), мы найдем
против него на шкале D значение корня. Приняв во внимание
высшую грань подкоренного числа, получим следующее пра-
вило расчета: *
Высшая грань под- коренного числа однознач- ная двухзнач- ная трехзнач- ная
Подкоренное число t берется на первой (левой) подшкале на второй (средней) подшкале на третьей (правой) под шкале
* Число знаков корня определяется указанным выше правилом.
Возвышение в четвертую степень с помощью шкал
D.CuA.
х (а • а)1 = а4.
А а4
С 1 или 1(0) а
Ь а \
Схема показывает, что для нахождения четвертой степени
против основания а, взятого на шкале D, устанавливается на-
>ч<лънде адм 'конечная единица шкалы С Затем с помощью
I •' л
черты указателя против числа а, взятого на шкале С, нахо-
дится а* ва шкале А (фиг. 13).
if а1 1
f J 1' !« _ 1
“Гт ’о |
U—4^47- ... ^дуо-
Фиг. is.
Четвертая степень на- ходится на на первой (левой) подшкале на второй (правой) подшкале на первой (левой) подшкале на второй (правой) подшкале
шкале А: началом движка концом движка
Число знаков а4 по фор- муле: 4 т — 3 4 т — 2 4 т— 1 4 т
Здесь т число знаков основания.
Примеры:
а Число 5МАКОЛ а*
12 1Й- to . 1 Go 11 Сл 20700
1,2 4- 1 — 3=1 ' 2,07
0.12 4*0 —3 = —3 0,000207
2 4- 1 — 2 = 2 16
0.2 40—2 = — 2 0,0016
0,02 4(- 1) — 2 = — 5 0,0000016
4 4« 1 — 1 = 3 256
0,4 4- 0— 1 = — 1 0,0256
6 4 • 1 = 4 1296
0,06 4 . (— 1) = —4 0,00001296
П
Извлечение ко о ня четвертой степени с помощью шкал
Д С a D.
А а
Ci 1* или 1(0) X
D X
Для извлечения корня четвертой степени также удобно поль*
зоваться перевернутым движком, как к при извлечении корня
кубичного» Схема показывает, что против подкоренного числа,
взятого на шкале А, устанавливается начальная или конечная
единица обратной шкалы С (С/), тогда значение корня четвертой
степени указывается двумя одинаковыми числами, находящи-
мися друг под другом на шкалах С/ и D.
При извлечении корня четвертой степени высшая значащая
грань (решающая) может быть однозначной, двухзначной, трех- .
значной и четырехзначной, так как подкоренное число делится
ia четырехциферные грани. Тогда правило, применяемое при
девлечении корня четвертой степени с обратно перевернутым
движком, может быть представлено в таком виде:
Высшая знача- щая (реша- ющая) грань однознач- ная двухзнач- ная трехзнач- ная четырех- значная
Подкоренное число орать на шкале А на первой (левой) подшкале на второй (правой) подшкале на первой (левой) под шкале на второй (правой) под шкале
Против подкорен- ного числа уста- навливать еди- ницу обратно- перевернутой шкалы С(О) начальную конечную
73
При определении числа внаков корпя надо пользоваться
общим правилом, указанным на стр. 68 для извлечения корня
кубичного.
Примеры:
j/2/,070Q?«l,20 j/20/,7000^2,!3
^207?«3,79 |/2070^6,80
Совместное умножение и деление.
Вычислить с помощью линейки выражение вида: *
а • b
-------------------------— х.
с
Для удобства вычисления и при одной только установке
движка действия располагают так, что сперва производят деле-
ние и полученное частное затем умножают на bt т. е.
а . *
— •
т. С
Так как:
log f_f?-j = log a — log c 4-log*,
то указанный порядок действий сводится на линейке сперва
к вычитанию, а затем к сложению отрезков, как это предста-
влено на фиг. 14.
Фиг. 14.
В общем случае, при многократном последовательном умно-
жении и делении действия располагаются в такой последова-
тельности, что сперва делается деление, а затем умножение.
Таким образом при вычислении выражений вида:
а * Ъ * с * d * е * f /
т* п * о > р
порядок действий будет следующий:
I—; П.— »; Ш.°—; IV. ~ -е;
т т т • n т- п .
V а • * • е •
' т • п- о*
-74
VL • d; VU. ~ ; VIII. a ’ * ‘ f ‘ d . e;
т-п-ОгР m-n-o-p
K.a*‘cd,<./. .
m » n • о • p /
При многократном совместном умножении и делении на ниж*
них шкалах счетной линейки число знаков окончательного ре-
зультата определяется по следующему правилу. Из суммы зна-
ков чисел, стоящих в числителе, вычитаем сумму знаков чисел,
стоящих в знаменателе. Из этой разности столько раз отнимаем
по единице, сколько раз при умножении мы находили произвел
дение вправо от первш-о из этих двух сомножителей (при вы-
двинутом вправо движке)» к столько раз прибавляем по единице,
сколько раз при делении мы находили частное влево от де-
лимого (при выдвинутом вправо движке).
Вычисления производят, не обращая внимания на запятые,
отмечая только, сколько раз в результате последовательных
действий деления и умножения прибавлялась и отнималась еди-
ница по правилам знаков для деления и умножения. Действия
производятся поочередно передвижением движка и установкой
черты указателя на результат этого действия, причем проме-
жуточный результат не отмечается, а служит только для даль-
нейших вычислений. 9
Пример.
25-6
16 • 5,4 - 14,5 • 106
= 0,00113.
• Составляем разность суммы знаков чисел, стоящих в числи-
теле, и суммы знаков чисел, стоящих в знаменателе:
(2+1)~ (2+ 1+24-3) = 3 — 8=—5. 4
В результате действий отмечаем:
/ от деления от умножения от деления от деления от деления ( • © Л6 • 5.4 • 14^)’106 Г.’ получим 4- 1 . -1 .4-1 . + 1 . +1 •+ 4»—1 = 4-3 75
Число знаков результата будет:
— 5 + 3 = —2
Вычисление площади круга по данному диаметру.
Для удобства вычисления формулу для площади круга (Пре-
образуем таким образом:
г.(р d* f d V (d\*
f=-4-=±=(p|) =W'
где 1 / 4
r v=1,128-
Л !d\*
Вычисление формулы —) на линейке производится
, по схеме:
А F
с с 1(0) или 1
D d
По схеме видно, что против диаметра круга d, взятого на
шкале D, устанавливается число с (отмеченное на шкале особой
меткой с =* 1,128), взятое на шкале С. Тогда против конечной
или начальной единицы шкалы С мы с помощью черты указа-
теля найдем значение площади круга Л Число знаков опреде-
ляется формулами:
Fнаходится на шкале А на второй (правой) подшкале на первой (левой) подшхале на второй (правой) подшкале
концом движка началом движка
Число знаков F по формуле 2/н —2 2/и — 1 2л?
- Здесь т —число знаков <4
76
Примеры9.
а Число знаков F
109 2 -3 — 2 = 4 9330
1,89 2 1 — 1 = 1 2,80
0,43 2 • 0 = 0 0,145
Вычисление ееса круглого железного стержня.
Вес определяется по формуле:
где
где у — удельный вес, а / — длина стержня^
Преобразуем формулу следующим образом:
Для
Для
железа 7 = 7,8 и k = 0,404.
чугуна 7 = 7,25 и k = 0,418.
Пример. Вычислить вес круглого железного стержня
метром 48,5 мм и длиною 5,1 м.
Р = . 510 (см) = 73400 г = 73,4 кг.
На нижних шкалах С и D производим Деление • Про
Л _. " / 4,85 V
тив начальной единицы находим на шкале А квадрат (q^I
/4,85? -1Л
и умножение *510 производим с помощью верхних
шкал А и В. '•
Пользуясь методом расчета на линейке площади круга, легко
можно вычислить целый ряд других формул.
Например, поверхность шара выражается формулой:
C = 4F, где F—площадь большого круга шара.
Зная диаметр шара, легко с помощью линейки вычислить
поверхность шара.
П
Объем шара вычисляется по формулам:
где d ж- диаметр шара, a F—площадь большого крута.
Также просто вычисляются объемы прямого цилиндра и ко-
нуса по формулам: *
V4 = F.h и VK = F-±
где F—площадь основания, а Л —высота.
Нахождение мантиссы логарифмов.
На обыкновенной линейке на обратной стороне движка, а
у линейки системы .Риц* вдоль нижнего края линейки нахо-
дится равномерная шкала, уравнение которой можно
представир в виде: \
х = ^/.
Обычно эта шкала обозначается буквой L. Она поделена на
500 одинаковых делений, каждое в 0,5 мм, Шкала содержит
десять отмеченных цифрами делений первого порядка. Каждое
такое деление поделено на десять делений второго порядка
и каждое деление второго порядка поделено на пять делений
третьего порядка.
Весьма важно обратить внимание на то, что по шкале L
находится только мантисса логарифма, характеристика же
определяется как обычно.
Нахождение мантиссы логарифма какого-либо числа делается
с, помощью шкал D и X на линейке системы .Риц* по такой
схеме (см. фиг. 12):
iga
Когда шкала L нанесена на задней стороне движка, то посту-
пают несколько иначе. Начальную единицу шкалы С совмещают
с числом а на шкале D:
М
Затем, перевернув всю линейку задней стороной к себе,
в таком положении находят на движке против черты правого
выреза линейки по шкале L мантиссу числа.
Обратная задача нахождения числа по данному его лога-
рифму делается таким образом, что по мантиссе, взятой на
шкале £, находится число по шкале D, характеристика же слу-
жит только для определения числа знаков.
Применение логарифмической линейки для вычисления
тригонометрических функций.
На оборотной стороне движка у обыкновенной линейки на-
ходятся три шкалы, имеющие такие уравнения:
S
L
Г
а у линеек системы
' S
S & Т
т
х log (100 sin а)
X = log (10 tg а),
,Рицж шкалы
x = plog(10sin а)
x = (1Iog(1008-!^±^)
log(10tgа).
Все эти шкалы, кроме шкалы Lt служат для тригонометри-
ческих вычислений, как это видно из их уравнений.
Для нахождения на линейке обычного типа натурального зна-
чения синуса углов в пределах от 34' до 90° служит зависимость
между шкалами S и А. Подсчет ведется по схеме:
А
Sin*
S
I
. Вставив движок в линейку задней сто^но^ нарюку, чИвЛ-
щают крайние деления шкал ЗиЛ ^гд^шювЬ дначекмй
f угла, взятого по шкале S, найдем на шййле А ||Руральное зна-’
чение синуса этого угла. При этом для знал^ки^синуса, нахо-
димых на первой подшкале шкалы Д, 4го чйсленнре ’эначдот^
; лежит р пределах от 0,01 до 0,1; для знатаи1г>же^ находим^
и на второй подшкале шкалы А, численное зюкдопде синуса лейит
к в пределах от 0,1 до L -*
к/ те
Так как для достаточно малых значений углов можно принять
в пределах точности трехзначных логарифмов tga = sina. то
для углов от 34' до 5°44' значения тангенса углов на обыкно-
венной линейке находятся с помощью шкал S и Д, при этом
численное значение тангенса находится в пределах от 0,01 до ОД.
Нахождение синуса углов от 5°44' до 90° на линейке системы
,Рмц- производится с помощью шкал S и D по схеме:
S а
D sine
Численное значение синуса лежит в пределах от 0,01 до ОД.
Так как на линейке системы »Риц* модуль шкалы S R два
раза больше, чем у шкалы S на линейках обычного типа, отсчет
на линейке вРиц* получается с бдльшей точностью.
Нахождение синуса и тангенса малых углов в пределах
от 34' до 5°44' на линейке снеге мы „Риц" делается с помощью
шкалы D и особой шкалы S & Т по схеме:
S& т а
D sina(tga)
Численное значение лежит между 0,01 и ОД.
Нахождение тангенса углов от 5°44' до 45° делается на обык-
новенной линейке и на линейке системы »Риц* с помощью шкал
Т и D по схеме:
Т а
D tge
Численное значение находится в пределах от ОД до L
Для нахождения тангенса углов, ббльших 43°, можно восполь-
зоваться формулой:
tga = cotg(90»-e) = tl^-,
Ж)
г. е. расчет сводится к нахождению величины, обратной тангенсу
дополнительного угла. Установив движок задней стороной на-
ружу в обратно перевернутом положении, получим возмож-
ность вычислять по следующей схеме:
Ti (90° — a)
'D tga
Значок i показывает, что шкала Т находится в обратном
положении. Численное значение тангенса лежит между 1 и 10.
Для тангенса углов, близких к 96°, для которых дополни-
тельный угол меньше 5°44', надо пользоваться таким способом
расчета:
Для обыкновенных линеек:
A ' tga
Si 90s — a
Для линеек системы .Риц":
S&7} 90°-a
D tga
Значки I показывают, что шкалы S и $ & Г находятся
кратном положении. Численное значение тангенса будет
мьше 10.
Для нахождения косинуса угла пользуются формулой:
COS a—Sin (90° — *).
Задача сводится к нахождению синуса дополнительного угла*
Котангенс находится по формуле:
L cotg« = j~.
Ев Г. • 3^
Для нахождения котангенса углов, мевъшн; 45°, воспольауемся,
перевернув шкалу Т в обратное положение, следующей схемой:
Ti а
D COtga
Так как по шкале D значения тангенса находятся в пределах
от 0,1 до 1, то значения котангенса будут находиться в преде-
лах от 10 до 1,
Исходя из того,, что
cotga = tg(90° —а), ,
нахождение котангенса углов, больших 45°, сведем к нахожде-
нию тангенса углов, меньших 45°.
Примеры.
sin 1* =0,01745 tg20°20* = 0,370
sin 3° = 0,0523 tg 44*30’ = 0,983
sin 15е =0,259 tg 3’50' = 0,067
cos 15* =0,966 cotg 25’ = 2,144
cos 33е =0,839 cotg 44*40’ = 1,012
cos 20’10'=0,938 cotg 73° = 0,3057
Упражнения на счетной линейке.
1. Умножение 1. 7,6 • 5,5; 2. 1,03 • 77,8; 3. 125 • 9,4.
2. Возвел, в квадрат 1. 15,9’; 2. 333,4»; 3. 0,078» • 83.
3. Возвел, в куб 1. 2,б3; 2. 63»; 3. 0,5» ♦ 623.
4. Площ. кругл: I. 4 • 5,5’; 2. • 0,98* 3. 4 • 22,7’.
4 4 4
5. Разное 1. • 13,9’ -6; 2. 4.8,75’ 5,75.
4 4
6. Тригон. функции 1. sin 25°; 2. tg30®. *
7. Углы. Найги угол а из выражений:
1. sin а =0,34; 2. tga = 0,90; 3. cos а = 0,64.
8. 1. sin а = 0,5; 2. tga = 0,5; 3. cos а = 0,24.
9. Вес. Определить вес бруска круглого железа
1. Длина = 1,5 м, диам. =2 см.
2. Длина = 11,3 м, диам. = 5 см.
10. Длина = 5,8 м, диам. = 2,8 См.
82
§12. Употребительные в машиностроении кривые линии.
I. Точка и прямая.
а) Общее обозначение и знак для координат точки: гори^
зонтальная ось X, вертикальная ось К Ординаты у над осью
Х-'ов и абсциссы х направо от оси У-ов счи-
Фнг. 15.
таются положительными, все
остальные абсциссы и ординаты
отрицательными (фиг. 15).
Ь) Общее уравнение пря-
мой. Общее уравнение прямой
QP (фиг. 16) имеет вид;
Фиг. 16.
y — k + x • tgx.
Задача. Пусть т^23°, х=115 мм, к^Ъ2мм. Опреде-
лить у.
II. Конические сечения.
Если прямой круговой конус, изображенный яа фиг. 17,
пересечен плоскостью SS, то линия пересечения будет: кру-
гом, если SS || XX; эллипсом, если ? > а; гипербо-
лой, если ?<а; параболой, если ? = а.
Фиг. 17. Фиг. 18. Фиг. 19. Фиг. 20.
с) Круг. 1. Общее уравнение (фиг. 18):
(х —*)’ + (>-
^Уравнение круга, если начало координат
в центре круга (фиг. 19):
д = 0, Ь — 0, =
Х=гГ • cos?, у —г • sin?.
(I) Эллипс. Условие: е < а.
1. Определение: PF\ + РГ=2а — постоянному числу
(фиг. 20).
Эксцентриситет:
2. Уравнение эллипса, если начало
ват а*центре симметрии эллипса:
к о о р д и-
3. Задача, Начертить эллипс с полуосями а — 92 мм, £ —
= 54 мм. Определить ординаты для двух точек с абсциссами
л=0,За и л = 0,8 а.
е) Гипербола. Условие: е>а. t
]. Определение: РРХ — РЕ=*2а — пост.
Эксцентриситет:
е = GF± OF, = К'й’ + б*.
2. Уравнение, если начало
координат в центре симмет-
рии гиперболы (фиг. 21);
Фиг. 21,
с полуосями а =
Фиг. 22.
Асимптоты ТТ и ГдЛ касаются ветвей гиперболы в точках,
бесконечно удаленных от начала координат. Равнобочная гипер-
бола получается при ? — 90° (кривая закона Бойля-Мариотта)-
3. Задача. Начертить гипербол
b — 54 мм. Построить точки с абс-
циссами х= 1,1 • а; х — 1,3 • а;
х = 1,8 • а.
f) Парабола (квадратная).
.1. Определение: Парабола
является геометрическим местом
всех точек Р> равноотстоящих от
постоянной точки Г (фокус) и пря-
мой D (директриса, фиг- 22). Зна-
чит, АР=РГ>
Параметр (ордината, проходящая через фокус) =/>.
2. Уравнение параболы, отнесенное к ее вер-
шине:
у* = 2 рх.
Если Р, другая точка параболы, то : х=(ук:у)\ т. е.
абсциссы пропорциональны квадратам соответствующих ординат. >
о ' *
Заштрихованная площадь /= .
'/ *
64
3. Задача. Пусть xt=ltf) мм, у1?=Ъ2мм.
Определить параметр р> разделить хк на 5 рапных частей,
Найти соответствующие точки и провести кривую ОР.
Ш. Циклические кривые.
. g) Циклоида. 1. О пр еде л е н и е: Циклоида представляет
собой кривую ОВ, описываемую любой точкой крута радиуса г, •
катящегося без скольжения по прямой G
(фиг, 23). Если ? угол поворота радиуса
круга в градусах, то путь, пройденный
центром' круга, г = ~ ? • г.
2. У р а в не ния. *
Л =• Г • — sin А у = г • (I —cost).
3. Задача. Круг радиуса г=20сик катится без скольжения
по прямой. Определить х и у для углов ^ = 0°, 45°, 90°, 135°
и 180°.
4. Как построить кривые?
h) Эпициклоида*
Определение: Эпициклоида представляет собой кри-
вую, описываемую любой точкой круга, катящегося без сколь-
жения по окружности другого круга, причем эти круги касаются
друг друга извне.
О Гипоциклоида.
Определение: Гипоциклоида представляет собой кри-
вую, описываемую любой точкой круга, катящегося без сколь-
Фкг. и.
жения по окружности другого круга
изнутри.
к) Эвольвента.
1. Определение: Эвольвента пред-
ставляет собой кривую, описываемую лю-
бой точкой прямой линии G, которая ка-
тится без скольжения по окружности круга
радиуса R (фиг. 24). .
2. Уравнения:
X = R . ( Sin? — ‘ . Corf V )
.у=Я • COS? +• ? • 8in?j
- . «5
3. Задача» Пусть прямая катится без скольжения по полу-
окружности круга R = 32 ем. Определить хну пая углов
V = 0°, 45°, 90°, 135° и 18(Г.
!) Трохоиды. Трохоиды суть кривые, подобные эпи- и
гипоциклоидам, но только с той разницей, что точка Q, описы-
вающая кривую, лежит де на окружности, а вне или внутри ее.
II. МЕХАНИКА.
Обозначения и единицы измерения.
Следует применять при расчетах однообразные и постоянно
одни и те же обозначения, так же, как и единицы измерения.
В нижеследующей таблице приведены основные обозначения
механики.
Таблица основных обозначений
Н а имtROliHи е Путь Время Начальная скорость .... Конечная скорость .... Ускорение, замедление - . Ускорение силы тяЖестн . Окружная скорость . . ‘ . Угловая скорость Угловое ускорение Момент инерции тела . . . Момент инерции пло- скости, или просто мо- мент инерции Момент силы Работа = сила X путь . . . Мощность» работа: время. Давление Вес Число оборотов в минуту. Вес газообразных тел . . . Обозначе- ния 1 Я t С V £ = 9,81 G Л •ч СО т J J м А L О п 7 Единицы измерения - _ , М сек. м/сек м/сек . м/сек* м/сек1 кгсек^м* м/сек Цсек 1/сек1 кгмсек1t см* кгм кгм кгм/сек атм кг об/мин. кг/м1 Примечание Для всех видов движения Для враща- тельного движения
Обращаем внимание на то, что все указанные в данной
книге температуры выражены в градусах Цельсия.
Часть механики, рассматривающая вопросы движения теЯ,
без отношения к силам, вызывающим это движение, называется
кинематикой
Фиг. 25.
(учением о движении).
Прежде чем перейти к кинематике, мы
должны себе уяснить случай пребывания тела
в состояний покоя или равновесия.
§ IX Состояние равновесия.
а) У показанной на фиг. 25 наклонной
плоскости составляющая» параллельная на-
клонной плоскости, равна дбйжуЩей силе:
Gsina =5 А
P^zG • sina
N = Q • cos a
Пр стейтие пример'\
Для со-
стояния
равнове-
сия
Движу-
щая
сила1)
Нормаль-
ное да-
вление')
tge
N^G:cosa
. b) Моментом силы называется произведение из сиды на
плечо.
М^Рг.
Перпендикуляр г, опущенный из центра вращения на на-
правление силы, назыв. плечом (фиг. 26). Принято считать
момент положительным, если сила вызывает враще-
ние по направлению часовой стрелки отрицатель-
ным, если вращение происходит в обратном напра- \
влении (против вращения часовой стрелки). Для
равновесия необходимо, чтобы алгебраическая сумма фиг
моментов всех сил относительно центра вращения
1) Влияние трения см. $ 35.
•) Нормальным давлением всегда считается давление перпендикулярно
плоскости соприкасания.
88
была равна нулю (0). Момент сил, действующих справа от центра
вращения (Мг}> должен быть равен моменту сил, прилож иных
слева от центра вращения (Л4/):
Mr = ML. (1)
Р.Ь — 6а==0
Pb = G>a
PR—G ‘ r=0 Р • /?—(/• sin а - Р • b — G • а—0
• г—0
P-R—Or PR—Osina • г P-b^G>a
Движущая сила Р также может быть грузом или какой-либо
другой силой сопротивления. Для состояния равновесия здесь
также действительно уравнение (1).
§ 14. Прямолинейное движение.
а) Равномерным называется движение, если движущаяся
точка проходит в равные времена равные пути.
Путь, пройденный в единицу времени, называется скоростью
S путь Скорость V = -7- = — r t время (2)
о . 5 путь r v скорость (3)
Путь s = vt. (4)
Пример.
Путь s 48 м> t — 4 сек.
s 48 м
Скорость v == = — = 12 —.
r t 4 сек
Единица измерения для скорости в машиностроении боль-
шей частью м!сек, для транспорта км! час, в учении о свете
и электричестве км!сек. "
89
Таблица средних скоростей.
Человек, животное:
Пешеход . . . . 1,5 м/сек.
Быстрый бег . . 9 „
Лошадь . .... до 15 ,
Голубь.......до 40 •
Вода, пар:
Река.......... 1,5 м/сек.
Вода в трубах
обычно .... 2 ,
Пар в трубах
. обычно .... 30 .'
Пар в соплах
турбины , . . 1200 v
Транспорт:
Канатные до-
роги ......... 1,5 м/сек.
Автомобиль (130
км/час.) ... до 36 ,
Скорый поезд
(90 км/час) . до 25 м/сек.
Корабль ..... до 12 •
Снаряды:
Пуля А. ♦ . . . до 700 м/сек.
Снаряд.......до 600 в
Прочие скорости: ,
Скорость- рас*
прострднения
звука в воз-
духе ......... 333 м/сек.
Скорость вра-
щения земли
у экватора . 462 9
Свет ‘......ЗОООООкл/селг.
Электрич. ток в
телеграфных
проводах ... 17 100 •
Ь) Переменным движением называется такое, в котором
движущаяся точка или тело в равные промежутки времени про-
ходит неравные расстояния, т. е. скорость меняется с течением
времени. В переменном движении различают скорость для дан-
ного момента времени и среднюю скорость.
Средняя скорость vc выражается отношением пройденного
расстояния к соответствующему промежутку времени:
S — Sx _ As
7^7Г“"д7
Если скорость тела в конце каждой секунды возрастает на
одинаковую величину, то движение называется равномерно*
ускоренным.
Приращение скорости в одну секунду называется ускорением.
Ускорение ? = = пР"Рашение_ скорости
r tt— tL приращение времени
Единица ускорения.
Если скорость тела • в конце каждой секунды убывает нд
одну и ту же величину, то движение называется равномерно*
замедленным.
90
Замедление (отрицательное ускорение) <? = -*——.
G — ч
Величина ? имеет отрицательное значение.
Если с — начальная скорость, то скорость в конце f-ой секунды
в равномерноускоренном движении (фиг. 27):
v = c + <tt. (S)
у—> ~Т Ускорение ? = —— - . (о)
* *
Фиг.,27. Путь a «а ct + • (7)
В равномеряс-замедленном движении (фиг. 28):
Фиг. 23.
Скорость v = v9— yt.
Ускорение <?=
Путь s«v,< —
(8)
О)
(10)
Из более часто встречающихся случаев мы рассмотрим
следующие три? случай равномерно-ускоренного-движения»
если начальная скорость равна нулю; случай равномерно-за мед-
ленного движения, если конечная скорость равна
нулю, и, наконец, случай свободного падения
тела.
1. Равномерно-ускоренное дви- 5
жение, если начальная скорость равна нулю Фаг. 29.
(фиг. 29).
Примера, Свободное падение; снаряд в дуле орудия; при-
ближенно: трогание поезда с места; пуск в ход машин, пру-
жинных и паровых молотов; бурильные молоты; челноки ткац-
ких станков и т. д.
.. 2 • 5 V V1 14 1
Ускорение <р = —«у (И)
Путь = (12)
Время | = ^в1Д1 (13)
V у у
Конечная скорость о = <?/ — -— = ^2?-л. (14)
Так назыв. высота, соответствующая скорости
Ускоре-
ние
постоян-
ное.
91
Сравни: Трогание с места поезда ? = 1,2 м/сек9, долото;
бурильного молота ? = 120 м/рек9, снаряд в дуле орудия <? =
^20000 м/сек9.
2. Равномерно-замедленное движение, если
с конечная скорость равна нулю (фиг. 30).
. Примеры. Тело, брошенное вертикально;
вверх; приближенно: торможение поезда;-
А остановка двигателя; челнок ткацкого станка^
Фиг. со.
и т. д.
_ 2 • s с с9
Замедление
' nyrbs = f.^|.^g.
(21
Замедле-
ние
постоян-
ное.
(16)
(17)
• s
(18)
(19)
Время .
Конечная скорость = 0.
Сравни: Остановка поезда ср =з 1,2; s = 300; оста-
новка с открытым тормозом ? = 3; 100.
3. Свободное падение (равномерно-уско-
ренное движение, фиг. 31). Сила земного притяжения
вызывает ускорение:
= g == 9,81 м/сек*. (20)
Мы применяем здесь обозначения и формулы равно-
мерно ускоренного движения.
Если пройденный путь s — высоте падения Л, начали
скорость равна 0, конечная скорость, досп/гиутая через t вре*\
меня, равна v, то:
ФИГ. 31.
конечная скорость v = g • t = Vi-g*h
. v1 )
высота падения h^=g • ^- = —-
* Ш
4 л. //2" h v
время падения —- = —-
Из этих уравнений получаем, например, следующие ряды-:
значений высоты падения, конечной скорости и времени падения,
Высота падения Л= I 5 10
Конечн. скорость t = 4,43 9,9 14
Время падения £—0,45 1 1,43
В действительности о будет меньше, так как уже приблизи-
тельно с 60 м увеличение ускорения, вследствие сопротивления
воздуха, прекращается.
#2
20 10(Ь 500 КИЮ м
31,3 44,3 99 140 м/сек
3,19 4,53 10 14,3 сек
Г § 15. Движение брошенного тела.
' * а) Тело, брошенное под углом к горизонтали (фиг. 32).
I; Примеры. Снаряды, метательные приборы и т. л.
: Без принятия
[ в расчет
[ сопротивления
! воздуха
Йгде
г с — начальная
f a — угол, под
[шено тело.
I Для достижения дальности полета w нужно,
чтобы:
дальность полета
высота полета
A=2isin*“
скорость в м/сек,
которым к горизонту бро-
(23)
(24)
Фиг. 32.
: Л я ♦ w , g • w
। sin 2a = , или с1 = , о-.
С3 Sin2 a
Для отдельных^точек траектории и в зависимости от рас-
стояния л:
(25)
2^ ♦ cos*a_
'8Л
— сек;
S
(26) '
(27)
w —
sin2a > е1
S ~
£
Конечная
гель ко:
У = Х • tga-
tga - w *
Л = -^—.— м\ i —
4
скорость теоретически равна начальной, еледова-
V —
£•
sin2a
Теоретические значения h и w, вычисленные на основа-
нии вышеприведенных уравнений*
(2В)-
Таблица высоты h и дальности полета w.
а Гори- зонт (У* tfr* 30е Максим. W 45в Be^niK.
Начальная * скорость в м/сек Sin1 Sin 2a = 0 'о 0,03 0,34 0,25 0,86 0,51 1 0,75 0,86 1 0
[ Тело, бро- 'шенное ру- ^кой, с = 20 II II * в 0 0 0/2 13,8 5,1 353 10,2 40,7 153 35,3 20,4 м 0 .
Г «
к .
а — Гори- зонт 0° 10° аг Мах* СИИ. w 45- 60° Вертик. ИГ
с = 100 Л = 0 15,4 127 254 383 510 м
0 350 883 1020 883 0 .
Снаряд h = 0 386 3180 6360 9500 12700м
w = 0 8700 22070 25500 22070 о :
с = 500 t= 0 17,8 51,5 71,5 88 103 сек
Приведенные а таблице значения в действительности будут
тем меньше,-чем больше неровностей на поверхности брошен-
ного тела и чем больше скорость.
Сопротивление воздуха вызывает уменьшение скорости.
6"-выЙ (152-миллиметровыЙ)' снаряд, вылетающий из дула
с навальной скоростью с = 400 м^сек, обладает после w = 1000 м
• еще скоростью в 330 и после а> = 2000ж еще ско-
.гц ростью в 300 м/сек, Наибольшая дальность полета равна
’ примерно 6200 м,
Ь) Тело, брошенное вертикально вверх со ско-
Росгью с» будет подниматься с постоянно убывающей
•*** скоростью, пока она не станет равноЛулю (см. фиг. 33)
Фиг. за. Скорость в конце Z-ой секунды
о = с — gt; (29)
высота, на которую поднимается тело в течение /секунд,
h^ct-^-м; - (30)
конечная скорость о = 0, поэтому из уравнения (29) время
подъема:
f — Л»
Z 9
высота подъема (из уравнения 30):
Достигнув этой высоты, тело начнет падать с начальной ско-
ростью = 0; оно упадет на землю через промежуток времени
Время падения равно времени подъема.
Скорость в конце падения равна скорости при начале”дви-
ження вверх.
§ 16. Маятник.
Физическим маятником называется твердое тело, которое под
действием силы тяжести может колебаться около горизонтальной
оси. На фиг. 34 точка О служит точкой подвеса,
а —центр тяжести маятника, г—его расстояние от Т|Т
точки подвеса, Z—длина математического маятника,- I ;
имеющего тот же период колебаний, что физический I • ।
маятник. А — центр качания физического маятника. 1
Продолжительность одного размаха физического *
маятника: ____
<=«-1/7/7» <31>
’г Фиг. 3$.
где J—момент инерции маятника относительно точки О, (/ — вес
маятника.
Длина I математического маятника, имеющего тот же период
колебаний, что физический, называется приведенной длиной.
тп ♦ г
где m — масса маятника.
Так как
G = mg, Ja=l.m-r,
(33)
а) Окружная
§ 17. Вращательное движение.1)
Вращение кольца вокруг своей
собственной оси.
Примеры. Турбины, трансмис-
сии, регуляторы, мельничные по-
ставь, центрофуги и т. д. (фиг. 35).
скорость, т. е. путь, проходимый точкой на
окружности в одну секунду, равняется:
_г 2 »7? • « • п /? • тг - л .
и-------й-----=—зг-*'*"-
(34)
1) Вращающиеся массы см. | 21.
м
Число оборотов
* „ 604/ • 304/ '
Л=2^ = ^°^“я’
где R— радиус в метрах, U—окружная скорость.
Примеры. Для Я = 3,2* и £7 =*21 мсек получим:
3(Ь21
Сравни окружные скорости к числа оборотов в минуту.
Ременн. шкива, маховика . . U до 30 м/сек] п до 300
Жернова..................U , 12 „ п . 150
Диски паровых турбин .*..£/, 300 . п , 30 000
Окр. ск. земли на экваторе £/=432 п , 0,0007
Фкг, 36»
Ь) Угловой скоростью называется скорость
точки на окружности с радиусом, равным 1 (длина
этой окружности равна 2к) (фиг. 36).
При равномерном вращении с п об/мин. угло-
вая скорость,
т.е. 2пп ъп . 1 ™
“ = “ЙГ = ЯП илн 7^7
(при равномерном вращении тело в 1, секунду поворачивается
на 1 радиан).
Название меры длины для угловой скорости не применяется,
так как Я = 1 может иметь любое название меры (м, см, мм).
Если U в м/сек есть окружная скорость согл. п. а, то угло-
вая скорость:
« сех~\ (37)
Пример, Для п = 85 имеем « = * • 85 : 30 = 8,9.
с) Ускоренное и замедленное вращательное движение,.
Здесь действительны те же правила, что и для прямолинейного
движения (§ 14). Вместо прямого пут* s берем длину дуги кругл,
служащую траекторией движущейся весомой точки, значит*
путь s = 2 » R • к • z м. (38)
' Число оборотов: _ .
‘=2^- (39) ~
Значит, z есть число оборотов, сделанное колесом во
время данного изменения скорости. Подробности см. § 22.
96
Угловое ускорение?
« 1
* t сек*'
(40)
d) Движение качения.
Примеры. Колесо телеги и т. п.
Для катящегося круга (см. фиг. 37) имеем следующие со
Отношения:
развертка =» путь $ = Z • 2 г • ж. (41)
О движении качения по наклонной плоскости см. также
В § 40.
§ Шатунный механизм.
Промеры. Шатунный механизм паровые и газовых машин,
рамных пил и т. д.
а) Скорость пальца кривошипа:
“* 2 * Г«Л* ” */<*** (*0
Ь) Скорость ползуна С для любой точки, если а —угол
отклонения мотыля от мертвой точки (приближенно) (см. фиг.
38 к 39):
ход вперед С == u « sin а саз Л м‘сек\ (45)
ход назад С=^ и - sina (1 — • cosa м/сек. (46)
Фжг. 38. Фиг. за.
>) Принггне в расчет масс см. I 27.
7 Г. Хедер.
97
с) Путь ползуна от мертвой точки, соответствующий лю-
бому углу а отклонения мотыля от мертвой точки:
Ход вперед
З = г(1—со$а)Н----2ТГ^* (47)
Ход назад
„ ч г1-sin1 а ,.о.
5 = Г(1— Соза)----2“Т^Ф
Последней член в этих уравнениях дает величину так на-
зываемого косвенного влияния конечной длины шатуна.
d) Ускорение ползуна. В то время как палец кривошипа
(при равномерном вращении вала) не испытывает ни ускоре-
ния, ни замедления, скорость ползуна изменяется от нуля до
максимума и обратно. » ‘
Обозначая: длина шатуна в ж, г—радиус ыотыля в ж,
и — окружная скорость оси пальца мотыля в м!сек, получим
для любого угла а ускорение:
I '
(49)
(50)
Лод вперед
?(= ~' (cosа +~*с<м2о).
Ход назад
Н* F
?> = “ (СОЗа—р • cos2а).
ЗАДАЧИ К §§ 13 — 18.
49. В чем состоит основной закон равновесия?
Ответ. Сумма моментов, вращающих влево, равна
моментов, вращающих вправо.
50. Пусть G == 120 кг. a =. (5 см, b = 30 см (фиг. 4Q).
Определить Р.
Решение. Уравнение моментов Q • а=Р - Ь\
отсюда
ф>г. «л 51. То же при G»31 кг, а = 9 см» Ь яш
= 620 см. А
SX Скорость и равномерное движение. Что та*
кое скорость? В каких едини.'ах выражается скорость, например:
1. Для железнодорожных поездов?
Электрического тока в телеграфных проводах/
QB ' .
3. Какие единицы скорости приняты в машиностроении?
Ответ. Скоростью называется путь, проходимый точкою
или телом в единицу времени.
1. Километры в час.
2. Километры в секунду.
3. Вообще: метры в секунду.
53. Что такое равномерное движение?
Ответ. Равномерным движением называется такое движе-
ние, при котором тело в равные промежутки времени проходит
равные расстояния.
54. Является ли свободное падение равномерным движе-
нием?
55. Является ли движение Земли вокруг Солнца равномер-
ным движением? ' _______ ______
56. Товарный поезд, идя ГТТл дГ & 1
полным ходом, проходит путь ... J
а = 8,4 км в <=13 минут Фмг. 41.
(фиг. 41).,
С какой скоростью в м/сек идет пое^д?
Во сколько времени пройдет поезд расстояние 5=15,3 км? '
Решение. Товарный поезд проходит в 13 минут на горизон-
тальном участке расстояние 5 = 8,4 км.
8 4 • 60
Определить: 1) скорость v в м/сек, v = —=38,7км/час.
2) Кахой промежуток времени t потребуется поезду для Прохо- ,
жделия расстояния 5, = 15,3 км? t = =23,7 мин.
57. Тоже —при 5=16,8 км; < = 6,5 мин.; 5 = 51 км.
58. Ускорение. }. Что называется ускорением?
2. В каких единицах оно выражается?
Ответ. Ускорением называется величина приращения скоро-
сти в течение одной секунды.
3. Метры на сек*~^-*,
59. Назовите примеры ускоренного движения,
60. Товарный поезд (см. задачу № 56). С момента трогания
с места на станции до приобретения полней скорости (38,7 км/час)
£ - поезду требуется i=3 мм-
1 ну1ы <*иг-42)-
A-irtt tnrtctetf , —.4 1. Какому пути это
’ Фиг» ах соответствует?
• «
2. Чему равняется ускорение?
3. Если поезду дня этого требуется 6 минут, то чему равны
путь и ускорение?
Решение. L Путь == • 3 = 0,97 км 970 м.
Ov * А
2 • 970
2, Ускорение f = =0»06л/«Л
। 3. Путь a. 1,94 км.
Ускорение ip = 0,03 м/сек\ . ,
61, Какое движение называется равномерно-замедленным?
Ответ. Равномерно-замедленным называется движение с по-
стоянным к равным уменьшением скорости в конце каждой по-
следующей единицы времени (секунды).
62. Назовите примеры равномерного замедления.
6Х Железнодорожный поезд в задачах 56 и 60 (со скоростью
в 38,7 км/час) должен остановиться пройдя путь, равный =
=з 1000 м (фиг. 43).
fclihco^
Фиг. 43.
1. Во сколько времени поезд пройдет путь ^?
X Чему равняется замедление?
3. Как велика скорость пота в середине пути, т. е. в
точке Л?
38700
Решение, 1. Средняя скорость (в расстоянии «»)— ^д7ббв
= 10,8 м/сек; отсюда время /д 2 ‘ 188 сяк,
* 10,0
2. Замедление f==4^-«0,058 м/сек*.
8. Скорость—5,4 м/сек,
нли 2
19,35 км/час.
6С Ответить на те же вопросы при условии 100 м,
Л Свободное падение. I. С каким ускорением движется"
свободно падающее тело?
2. Какое влияние имеет вес тела на ускорение его движения?
/ 3. Какое влшшхе имеет удельный вес тела ла ускорение?
tor
Решение. !. Ускорение £ = 9,81 м/сек1.
2. Вес на ускорение никакого влияния не имеет.
3. Удельный вес никакого влияния на ускорение не имеет.
Примечание:
В приведенные формулы свободного падения тел не входит выражения
объема или веса,—т, е. все тела, независимо от их объема и веса, подчи-
няются одним и тем же законам падения. Тах, это происходит в безвоздуш-
ном пространстве, как это было открыто итальянским физиком (Галилеем).
В действительности падение тел в воздухе вследствие его сопротивления
уклоняется от равномерно-ускоренного движения. Для тяжелых тел неболь-
ших размеров при небольших скоростях сопротивление воздуха незначи-
тельно и им можно пренебречь.
66. Пусть свободно- падающее тело падает с высоты Л ~
= 7,4 ж.
1. Чему равняется ускорение при весе тела G= 9 кг?
, 2. Чему равняется ускорение при весе тела G = 18 кг?
Решение. 1. Ускорение £ = 9,81 м/сек1.
2. Ускорение g = 9,81 м/сек1.
67, То же- при Л=14,4 ж; G = 9 кг.
68. Чугунный шар весом в 10 кг свободно падает вниз.
,1. В какой промежуток времени шар пройдет путь Л =14 ж
(сопротивление воздуха не принимается во внимание,
фиг. 44)?
2. Какова будет скорость шара, когда он коснется
земли?
3. Пусть шар деревянный и весит 1 кг\ через какой
промежуток времени шар коснется земли?
Решение. Если не принимать во внимание сопро-
тивление воздуха, то вес при свободном паленин никакого зна-
чения не имеет, поэтому:
1. Время падения t = Л/— = ~ 1,69 сек. '
V S У 9,81
2. Конечная скорость = ускорению х время, т» е. v=£ • /ш®
= 9,81 • 1,69 ~ 16,6 м/сек.
3. Как указано, вес роли не играет; поэтому здесь также
1,69 сек, ч 4
69. Измерение высоты. Определить* высоту башни посред-
ством измерения времени Падения тела с башни. Падение шара
(круглое тело, для уменьшения сопротивления воздуха) длится
/ = 2,4 сек. (Это время можно легко установить при помощи
карманного секундомера). Фиг. 45.
I, Как отсюда вычислить высоту Л? .
• Ж
Фиг. 44.
2. С какой скоростью шар коснется земли?
2 4’
Решение. 1, Высота Л = 9,81 —у- =28,3 м.
2. Конечная скорость v = 9.81 • 2,4 = 23,5 м.
70. То же при t = 4,8 сек.
71. Снаряд. Пусть стНол орудия направлен
под углом а = 30° к горизонту и пусть снаряд вы-
брасывается с начальной скоростью с = 400 м/сек
(фиг. 4Ь).
Определить: 1. Теоретическую дальность
2. Теоретическую высоту подъема сна-
ряда.
Решение. Теоретические результаты будут:
, „ 81пё0°.400«
I, Дальность полета --
и,О1
= 14130-*.
4001
2. Высота подъема h = п Q. sin1 30° = 2040 м.
L • У,о1
В действительности значения w и h, вследствие сопротивле-
ния воздуха, будут значительно меньше. (Сопротивление воздуха
возрастает пропорционально квадрату скорости; при больших
скоростях оно бывает значительным.) f
72. То же при а = 24°, с = 500 м/сек.
73. Теоретическую дальность полета для в = 30° и с =
Ito м/сек определить согласно § 15.
Решение. В таблице находим для а = 60° и с = 100:
дальность полета w = 883 м.
74. То же для а = 60° и с = 500 м/сек.
75. Угол подъема. Какой угол подъема нужно выбрать для
того, чтобы попасть снарядом в дом. находящийся • на расстоя-
нии 3000 метров от орудия, если снаряд может быть выирошен
с начальной скоростью в 300 м/сек/ (сопротивлением воздуха
пренебречь).
Решение. В данном случае:
f о 9.81.3000
sln2ai= 300» •
полета и о \
Фиг. 4U
0,327.
С помощью тригонометрических таблиц находим угол 2a = ?
19° 6', откуда угол подъема a = 9° 33'.
В действительности, учитывая сопротивление воздуха» необ-
ходимо поднять дуло орудия несколько выше,
• ка
76. То же — при w = 2000 м, с = 400 м/сек.
77. Метание в вертикальном направлении. Пусть тело
выбрасывается вертикально вверх, с начальной скоростью с =
— 20 м/сек. Определить: I. Высоту подъема. 2 Пр одолжит ель*
ность подъема. 3. Продолжительность падения. 4. Ко- %
нечную скорость падения, фиг. 47. Л
Решение. Если здесь также не принимать во вни- у
манке сопротивления воздуха, то теоретически полу- R
чается: игл *
20»
1. Высота подъема Л = 2 . —20,39 ж. фиг. 47<
20
2 и 3. Время подъема равно времен» падения, ^ = ^-^7 =
* У,о1
= 2,04 сек. •
4. Если пренебречь сопротивлением воздуха, то v = c=t
= 20 м/сек.
78. То же —при с = 40 м/сек.
79. Свободное падение и метание в горизонтальном на*
1 правлении. Доказать, пользуясь уже известными формулами,
что продолжительность свободного падения тела с высоты h
равна продолжительности паденйя с той же высоты горизон-
тально брошенного уела при любой начальной скорости.
Решение. Продолжительность свободного падения f =
1 /2й г к
= |/ — сек. Горизонтально брошенное тело затратит на
падение половину времени в сравнении с телом, брошенным под
1 , /8Л , /2Л
углом, т. е. тг • I/ —, т. е. опять-таки I/ — сек.
* 2 V g V g
80. Подобным же образом доказать для случая метания и
вертикальном направлении и под углом, что при одинаковой
высоте подъема получается одинаковая продолжительность
палета.
Решение. Полная продолжительность полета вертикаль-
но брошенного тела равна продолжительности подъема, увели-
м о
чеяной на продолжительной ь падения, т. е. 2*|/ у —
-Ш /8Л м
— сек. т.е. равна полной продолжительности полета под
углом при одинаковой высоте подъема.
31. Маятник. Чему равняется продолжительность одного ка-
чания маятника длиною 1=3 ж (фиг. 43)?
10»
а Решение. Для маятника длиною в 3 метра
продолжительность одного качания:
<=*]/ —|-= 1,737 «к.
Г У,О1
Фиг. 48. 82. То же — При /= 2 м.
83. Определить длину маятника, если продолжительность
одного качания 2 секунды.
Решение. Из уравнения 33 § 16 находим для длины
. S _ 2* - 9,81
' ^4*
84. То же — при t — 3 сеж.
85. Что называется окружной скоростью вращательного
движения? 1)
Ответ. Окружной скоростью называется^та
скорость, которою обладает точка на поверх-
ности вращающегося тела, фиг. 49.
88. В каких единицах выражается окружная ско*
рость? । Д-ХХД
Ответ. В машиностроении принято вы V
ражат^ окружную скорость в м/сек.
87. За какой промежуток времени дается обычно
число оборотов машин?
Ответ. В машиностроении расчет ведется почти исключи-
тельно с числом оборотов в минуту, даже если нет особых
на то указаний.
88. Назовите вращающиеся летали машин.
. 89. Палец кривошипа К описывает круг радиу-
Ух сом г=0,72 м со скоростью п = 85 оборотов в мин.
ГУ'у Определить окружную скорость, фиг. 50.
Решение. Путь, пройденный за один оборот,
Фии. ба равен 2 • 0,72 • ж, поэтому: '
г А5
Окружная скорость д=2 • 0,72 * 3,14 • ^ = 6,4 м/сек.
90. То же**при г= 1,46 м; л = 170.
91. Число оборотов. Пусть окружная скорость шкива tfw
•^3,6 м/сек, а радиус г=83 см. Определить число оборотом.
1) Здесь пренебрегаем массоЯ тела. - . ' j
«И • • 1
.. _ ' . ..... 3
Решении. Путь, пройденный в одну минуту = 60 • 3,6. Сле-
довательно, число оборотов
60 • 3,6 А
”~2 • 0,83 • 3,14~41,4 об'мин-
♦
02. То же — при и = 7,2 м/сек, г = 166 см,
93. При наматывании бумажной ленты на деревянную ка-
тушку диаметра </ = 32 см счетчик показывает
ротов, причем наружный диаметр намотан-
ной катушки £> = 98,5 см, фиг, 51-
1. Сколько погонных метров бумаги на-
мотано?
2. Сколько витков бумаги приходится на
каждый мм радиуса. 1
Решение. Мы должны исходить иэ среднего
диаметра; таким образом для Т=4130 витков:
1. Длина бумаги = п— • « * п = 846 200 см =» 8462 м.
4
2Т *
2. Число витков=------— = 12,4 на 1 мм.
(D-d)LG
Фиг. 62.
94. То же —при <f=16 см; Г=2065; £> = 49,3 см.
95. Что такое угловая скорость?
Ответ. Угловой скоростью называется скорость
точки на окружности радиуса = 1, фиг. 52.
Единица меры = =-^—.
96. Шкив радиуса Я = 1,2 м имеет окружную
скорость н^=8,3 м/сек. Чему равняется угловая скорость •»?
Решение. Угловая скорость есть*
Окружная скорость в м/сек, деленная на радиус в м, т. е.
угловая скорость ю = ~ =s. 6,92 сек-1.
97. То же — при /? = 2,4 м; {7= 16,6 м/сек.
98- Какова зависимость между ю и 17?
99. Движение качения. Для колеса радиуса г =1,8 м тре-
буется увеличить окружную скорость с 3,4
до 5.8 м через / = 4 сек, фиг. 53.
Определить: 1. Путь s, проходимый какой
либо точкой окружности в течение времени
приращения скорости.
Фаг. 53.
2. Число оборотов колеса в течение времени приращения
скорости.
Решение. 1. Путь а = пути, проходимому точкой на окруж-
ности колеса во время его катания, следовательно:
ЗЛ+ 5,8 А ,о>|
5 =--------------4= 18,4
Фнг. 64
Окружность колеса = 2 • 1,8 • к, следовательно:
18 4
2. Число оборотов Z= п , о ’ о 1Т= 1,63.
Z • 1,0 • 0,14
100. Колесо радиуса г = 1,8 м скатывается по наклонной плос-
кости с углом наклона а = 30' на й = 5ж по
вертикали. Какой путь $ пройден колесом
(фиг. 54)?
Решение. Здесь S -sin а, поэтому:
пройденный путь
$=-р-=Д«10ж.
81Л а 0,5
§ 19. Движение масс.
Масса и вес обозначаются следующим образом:
~ или М есть масса тела; G или М • g есть вес тела.
е
Обозначения для веса тела М < g (полученное из ~ • g) мы при-
менять не будем.
Понятия: живая сила, механическая работа, удар тре-
буют понятий веса и скорости.
а) Единица массы. За единицу массы принимается масса
такого тела, которое от действия силы в I кг получает ускоре-
ние Другими словами: 9,81 кг- массы получают от
1 кг - силы в I сек ускорения в 1 х. Согласно законам паде-
ния эта единица массы представляет собой массу тела весом
<7 = 9,81 кг, ибо —-i. •
g
Таким образом:
касса—г. е. — (51)
W®
b) Для большего выяснения различия между кг - массы и
кг - силы служат примеры I и II, иллюстрируемые фиг. 55 и 56.
Фиг. 56.
1, Сила без веса
G кг-массы A G
массам —
I S
Р кг -силы ] сила = Р
Достижимое ускорение без-
гранично, при <
0 = 0, f = oo
Если телу, обладающему
2. Сила, вызываемая весом
G 4- Q кг - массы 1 G + О
I масса—— 1
I g
Q кг-силы J сила =Q
Достижимое ускорение:
? = 9,81ж/сгк|
%
G
массою — и движущемуся со ско-
ростью ct нужно сообщить скорость V, то для этого необходимо
затратить работу:
V1— с1
~2~
кг я.
(52)
Если при этом тело находилось в покое, т. е. начальная ско-
Q v* ’
рость равна нулю, то работа равна — • -у. Эту работу тело
£ *
может снова отдать, если оно, произведя работу, придет опять
в состояние покоя.
В большинстве технических расчетов движущая сала ') счи-
тается невесомой. (Пар, взрывчатое вещество, бросание челове-
ческой рукой, метательные приспособления и т. п.)
Следовательно, мы имеем здесь дело с случаем I, для кото-
рого действительны
С) Основные правила. Для всех движений тела:
„ О
Сила — ускорение X масса — ? •
сила г. . *
Ускорение ф =------м сек*,
• * т масса 9
Сопротивление = замедление X масса = ? • — кг,
сопротивление .
Замедление ф =-------------я сег.
т масса 1
1) Сила пру к ины также рассматривается мм невесомая силе, как, нжяр.,
9ыт*дюш**м‘ сружнноа челнока ткацкою станка.
’ , ЮТ
§ 20. Прямолинейное движение масс.
а) Ускорение (прямолинейное), фиг. 57 и 58.
О — вес перемещаемого тела в кг. G * sin в — составляю!!
веса, параллельная наклонной плоскости в кг» Р — сила (рав
мерно действующая), которую необходимо приложить для со«
щения телу ускорения (в зависимости от направления двю
ния вес тела либо помогает этой силе Р, либо противод
ствует ей). р
Фнг. 67» Фиг. 68»
Уравнения для сил (при прямолинейном
движении):
[ Направление движения: Сила= - ® 3 вверх по накл. плоскости Р — 6 sin a (1) ч g S вниз по накл. плоскости P+Gsina (2) § | горизонтально Р (3) i g S. вертикально вверх Р—О (4) М вертикально вниз P+G (5) /И
<
Если действующая сила представляет собою давление па
сжатого воздуха, взрывчатого вещества или т. п., и если:
d — диаметр трубы в см, s — длина хода в
р —давление в атм. (манометр и ч.), а—угол i
клона к горизонтали:
то, имеем для движения вверх (фиг. 59):
Р= * d*. р = <?. — 4* G • sin a (,
4 g
и для движения вниз: 1
♦w-ы. • ' = О-sin о. (52
Для движения вверх требуется ббльшее усилие Р, так i
в атом случае приходится преодолевать сопротивление час
веса G • sin а, которая при движении вниз, наоборот/ споа
ствует силе Р.
108
При одинаковой силе Р получается, следовательно, дДя дви-
жения вниз несколько ббльшая скорость выпуска, чем для
движения вверх.
Для зависимости между величинами пути 5, времени tt уско-
рения и конечной скорости v (после прохождения пути s)
действительны уравнения, приведенные в § 14 (стр. 91), по-
скольку начальная скорость равна нулю и движущая сила на
всем протяжении пути л остается неизменной по величине (зна-
чит, £ = cons.). /
Из вышеприведенных уравнений (53) или (53Й) вычисляется
ускорение « по формуле равномерно-уско-
ренного движения (§ И, стр. 91); тогда t
____________________________ г X
скорость выпуска « Е2_______:
Эта скорость и есть начальная скорость
с движения брошенного тела (а = 0° до 90°), фиг
фиг. 60.
Ь) Живая сила, работоспособность или энергия тела!
движущегося со скоростью v и обладающего весом G, равняется
g
кг или т *
"2 *
(54)
§ 2L Равномерное вращательное движение.
Если мы желаем определить по формуле (54) живую силу,
которой обладает вращающееся тело (см. фиг. 61 и 62), то
нужно v заменить окружной скоро-
стью V — '3q‘ п м/сек (где Р
радиус окружности, описываемой
центром тяжести), и тогда получим:
К . G V*
живая сила L =— • -ж-хлс.
Эта формула однако действи-
тельна лишь в том случае, если
вся масса тела будет заключена в центре тяжести. А так
как в действительности этого никогда не бывает, то L может
быть на(1дено точно только из формулы
которую нетрудно вывести,
10В
Действительно для тела, движущегося прямолинейно и рав-
номерно, имеем на основании уравнения (53):
г *
живая сила L — т • -х- кг.
Если для равномерно вращающегося тела скорость v заме-
нить окружной скоростью
R •
30 3=3
г
%
то получаем живую силу (фиг. 63):
L = m • ~ — т • - а - = /я г1 •
\ z л* z
А так как т • г* = 2 (тж • г? + /п2« г,1 -Н..) — Л
то
L = J - ~ кгм. (55)
Для тела, имеющего сечение по фиг. 63 и 64, более про-
стые формулы (55а) к (55b) дают тот же результат, что и уравне-
ние (55):
3. Живая сила
» ч
L = 2 • ~ i 4?- кгм (55 а)
L = 1,25 — • кгм (55 Ъ)
£ *
Чем больше отношение радиуса R
к высоте обода Л, тем меньше коэффи-
циент перед буквенным выражением
(фиг. 65). Д.г~ отношения напр. R : h = 10, каковое обычно имеет
место у маховика, коэффициент равен 1,0025, Следовательно,
для маховиков, ременных
и канатных шкивов и
т. п. можно с большим
приближением принять
коэффициент 1;
G J*
6 ' 2
(55 с)
ПО
§ 22. Равномерно-ускоренное н равномерно-замедленное
Вращение.
а) Точное вычисление ведется следующим образом:
Пусть «>! = сек~1 наибольшая угловая скорость,
К .
и 1
«I = -5- сек~ наименьшая угловая скорость.
к
Тогда о>=ч>1 — селг1 — изменение угловой скорости,
w .
сек-**— соответствующее угловое уско-
рение.
Момент вращения
M=J *1 кгм. (56)
Живая сила ,
L==j.<=^L^,1 (57)
Мощность
44“ (»>
Пример: Пусть обод маховика с размерами /?=3,8 м и
ft = 0,4 м, имеет вес 6 = 31 000 кг.
Требуется уменьшить его окружную скорость 6=32 ж/сек
в течение / = 2,4 сек до и^=23 м/сек.
Имеем «>4 = = 8,42 сек^1, «> = ~ = 6,05 сек~\
По формуле (66) (стр. U5):
Момент инерции
J=<3>8* + */< ♦ <Ы‘) = 3160 • 14,44 = 45 750 кгмсех\
Живая сила ч
£ =45 750 » А42*"°-05* =810 000 кгм.
Мощность
w_ 1 810000 я е
. /» — * *24— 4эСЮ Л. с.
Ъ) Приближенное вычисление. Необходимость вычисления
момента инерции J по формулам (64—67) требует много вре-
мени. Поэтому в случае малой толщины обода h в сравнении
с радиусом R маховика вместо формул (56 — 58) применяют
* ’ 111
следующий приближенный способ расчета, дающий достаточно
точные результаты (сравни уравнение 55с). *)
Пусть U—ббльшая окружная скорость центра тяжести,
и — меньшая окружная скорость центра тяжести.
Тогда U — и есть изменение скорости вследствие ускорения
или замедления (фиг. 62) и
, а и*—и*
L=T—2~кгм
(59)
равна живой силе, сообщенной маховику в случае уско
или отданная им в случае замедления.
На практике часто требуется рассчитать в лош. силах мощ-
ность N, которую мо!кет отдать маховик при условии замедле-
ния в течение t сек на ср м/сек1 (прокатное производство и
транспортные сооружения), или мощность, которую нужно за-
тратить, чтобы получить ускорение вращения маховика на
? м/сек1, т. е., другими словами, аккумулировать в нем извест-
ное количество энергии.
Зависимость между отдельными величинами видна из
таблицы на стр. 113, причем
/ — время в секундах
з—путь, проходимый центром тяжести,
в метрах
Z —число оборотов
—затраченная или отданная в среднем
мощность в лош. силах
в течение
изменения
скорости
Фаг. $5.
Зависимость W от времени t графиче-
ски изображена на фиг. 66, причем кри-
вые вычерчены при условий £/=40 и
G==l. Чем меньше/, тем больше?/.
Здесь изменение скорости дано в
процентах; по вертикали отложены
лош. силы, по горизонтали изменение
скорости.
Кривые, вычерченные сплошной ли-
, нией, соответствуют изменениям скоро-
стей, встречающимся в прокатном про-
изводстве; кривые, вычерченные пунк-
тиром, суть только результаты расчета.
1) При атом способе расчета формула 55с в случае сплошного диска
(фиг. 63) имеет коэффициент 2, а в случае h — R (фиг. 64) — коэффициент 1,25»
В таком виде расчет согласно § 22 а 22 b дает одвнаковые результаты.
112 / *
§ a ш о \ ' Таблица формулы для расчета вращающихся масс.
Тример: Пу 1 000 кг, U формуле это Г. Х.хер Искомая «сличина Ускорение или замедление “ Данны# величины x Для » — O U IP 2s , „ T^^PMtce^
а t/» —U* 2 s t Ц-и t ?
”. II з £8- ь < я» Время t . , . . . = s */.«/+«) J/—и T 2s О л /2s г/-?-!/ ^ceK
х S.SJS Путь а = ’/.(^+д)-*| СЛ-а« 2? 2 2? —2 .
дек и и = Мощность N. . = * /п 2t ’ G_(U+u)v <3 & 2^75- g G _ U > ? G 2:. 75/ g ' 2 • 75 g *'e-
в пр 23 м/с Скорость U. . . =_ 7-* + a II ’М O-lcs 2s yS f • t = у = )/2<p • 3 м/сек
? S * Е S<§ . Скорость и . . . = -4» 1 iK>|-e • t=u— t м/сек нуль
- , тем примере, G = / = 2,4 сек; тогда , 113 Число оборотов Z= При ромощи бец применим глл! хови ком и регулят< Эти формул t мерно-замедленного J (7/ + И) • < _ 2Rr. 4 • /?п 120 этой таблицы можно быстро находить и зным образом для расчета равномерно эром. г л действительны как для равномерно- ’ вращения. ♦ Ut_nt 4Rn 120 :скомую реличину. Правый стол- 1сти вращения двигателей с ма- ускоренного, так й для равно-
Замедление
<==^-—=3,75 м/сек,
л отддаа&я мощность
32 + 23 31000 _ л г ;
’3,75 • адг 3 5 ' с
(По способу точного расчета § 22а (стр. Ш) мы получили бы
N=*4&X> 4. с.) ‘
§ 23. Передача движения,
а) Прямолинейное движение. Для прямолинейно дви-
жущегося тела действительно, согласно § 19с, следующее
уравнение:
Сила = массе х ускорение;
1 р=е
у &
(W)
Ь) Вращательное движение. Для вращающегося тела деЙ-
4 ствительно следующее уравнение:
Жмент ускоряющей силы =s моменту инерции тела X угло-
вое ускорение.
Ма=Р • r=J-K (61)
Выведем эту формулу.
Пус/ь:
mi — частица массы на расстоянии fi9 от реи вращения,
дц — частмиа массы на расстоянии г*
fnt — частила массы на расстоянии гл w т. д
t—угловое ускорение, сообщаемое частицам массы. Тогда
ускорение чц = rt • «, » rt • t, и т. д.
На основании закона:
„Момент силы ускорения « массе X ускорение X радиус1
ем сем уравнения;
• rx + mt •
= 2 (m. • G1 • ё + лц • г/.* < +...)
•!(/«!• г? + m1+<rt, + ...)
Afrf«i-Z (62) v
Представим себе теперь всю массу вращающегося тела ;
Q о
2 О»: + сосредоточенной на его окружндсги ;
LM . > j
1
радиуса /? и обозначим приведенную таким образом массу че-
рез т# Последняя под влиянием силы р, действующей на*
расстоянии R, испытывает касательное ускорение ?. Так как
то можно формулу (62) написать также в виде:
отсюда
А так как
р~ R ~~,R*
<?•
то приведенная масса
(вз)
тЯ ~ д»
с) Моменты инерция /в кгм!сек\ Обычные фор*
м^’Ды поперечного сечения вращающихся<круг*
I
Диск
«ЖЖ
h=R
7 = ^.2-Я* (64)
(65)
КольцЬ.круг-
вого сечения
, Маховики, ".
шкивы
О
g
'4
• Л’) (67)
2311^1
I. Ддя сплошного диска (вальцы)» фнг. 67» имеем по фор-
муле 61:
Момент вращения:
Мл =Р • J' • кгм»
где
В:
115
ииудя
. r^= ~ • 2R* • •= — • 2R • <p.
Отсюда /
’,7(68>
2. Для колеса (фиг. 68) также дей-
ствительна формула 61 для момента вра-
щения Afrf.
Однако согласно формуле 66 момент
инерции
А так как h в сравнении с R мало, а Л1 в сравнении с Я’
-г Л'
тем более незначительно, то величиною — можно пренебречь.
Следовательно
J~<L.R*. (69)
Л1<<=гр.г=^Л’.««=^Л(₽«) = у (70)
• Отсюда & * . g
'-ib-i- ’ <71>-
3. Если па валу находятся две
•t или более масс, то определяют
вращающие моменты каждой из них
в отдельности* (напр. фиг. 69):
г кгм, (72)
Л1,5= J, • « =pt • т кгм. .(73) Фаг. 6Х
Сида, необходимая для вращения:
F-Л+Л"^^*
Для фиг, 70 имеем:
Л и Л — моменты инерции
масс на валу л,
Л—момент инерции массы
«а валу п*
1И
п и п*— числа оборотов соответствующих валов.
м~р. r=J «=[л + (Л+Л) • (у)’] • •
(75)
(76)
сила вращения р = — кг.
§ 24. Касательная сила.
Касательная сила при изменении скорости направлена по
касательной к окружности, описываемой центром тяжести (см.
фиг. 71).
Касательная сила равна массе X ускорение.
Касательное сопротивление равно массе X замед- *
лемне. JiCPm
Мы имеем таким образом то же самое, что мы
до сих пор называли «силой* и «сопротивлением*.
Поэтому и в данном случае действительны те же Фиг, 71.
уравнения:
Касательная сила
Касательное сопротивление
»
а при и=0: *
_U—u О О
1
= 75.77.2.
3
и о
t в
= T.| = 75.w4«a.
При равномерно-ускоренном движении (у = пост) для Т полу-
чается всегда одна и та же ведичипх
§ 25. Центробежная сила.
О — вес тела в килограммах; R — расстояние центра тяжести
тела от оси вращения в метрах (фиг. 72):
•у есть скорость центра тяжести. *
Центробежная сила с каждой отдельной части»
цы массы тела направлена по радиусу от центра
Фжг. 71 ' наружу.
117
Сумца этих отдельных сад есть центробежная сила
« G М1
2г — —'-^кг. (77)
Сумма центробежных сил одной половили колъпа, спроекти-
рованная на одно из направлений радиуса, равна для фиг. 73:
(78)
g R к * g R
Сила С стремится разорвать кольцо
(фиг. 73) в двух противолежащих сечениях,
гак что:
t С
папряжепие^^-
г
Фяг. 73>
§ 26, Центростремительная сила. !
Центростремительная сила па фиг. 74 обо- **
впачена буквой^ и равна по величине центро- 4У
б&кноА силе (сравни § 25), ио противоположна • i
по направлению. Фкг. 74
* 4
§ 27. Посгупательно-возгврапгое движение масс,
соединенных с кривошипом.
окружная скорость пальца мотыля
В данном случае действи-
тельны формулы, указанные
в § 18, a — d (стр. 97).
G — вес поступательпо-
возврвтно движущихся масс
а, Ь, с и d в килограммах;
г—радиус мотыля в мет-
рах, \
п — число оборотов в ми-
нуту,
“ * Г 30 - м<сек' t79)
Тогда ди мертвых течет? (сК. фиг. 75):
задней ,
<?, (ускор, или замедл.)
<огл. § I8,d
Сила или со против л.
ускорения:
X масса =
передней
(ускор, или замедл.)
согл. § 18,rf
Сила или со п рот и в д.
ускорения;
A s?= с? х масса =
(80)
(81)
Направление вращения па величину ускорения или замедления
не влияет.
Пример. Радиус кривошипа г =0,45 м, вес G = 707 кг.
тогда
( УСКОр- | 4,46»/ 1 \ f
Согл. § 18, d или J ^ = y^(14--g-. 1 1 = 53 ж/tof»
’ замедл. ’ . * ' *
•( ускор. j
Согл. § 18,d | или . } ?t = 7T7? (1—г*1 ) = 35,4' м[сек?
f 1 v,*iO \ О / •
замедл.
тогда согласно уравнению (80) и (81) имеем:
А = 53 • = 3800 кг,
707
А =35,4- —=2550 кг.
v,oi
А —сила, которую нужно приложить для ускорения посту-
пательно-возвратно движущихся масс G, для того чтобы при-
вести их к скорости пальца кривошипа.
А — сопротивление, которое нужно приложить, чтобы эти
массы G привести 0пять в состояние покоя.
Ускорение достигает наибольшей величины в мерп^ых точках,
уменьшается к середине пути и переходит далее н замедление;
поэтому сила ускорения или сопротивления в каждом положении
поршня имеет другую величину.
НФ
ЗАДАЧИ К §§ 19-27.
101. Что называется массаД?
1. Выразить в словах. < '
2. Выразить формулой.
Решений. 1. Массой называется частное от деления веса
в кг на ускорение силы тяжести в Mjcerf.
- 2. Масса М = — кг —.
g *
Примечание: В средних широтах $—9,81 величина $
" JK
возрастает от экватора к Полюсу, на экваторе g = 9,781
на полюсе g = 9,831
102. Обладает ли атмосферный воздух также массой?
103. Имеется ли во вселенной место, где тела не обладают
массой? ' * "
104. Масса. Тело из лугу на с удельным весом 7,3 весит
20,4 кг. Чему равна его масса?»
Решения. ’ * ш
9,01
Уделыты^ вес па величину массы пе влияет.
105. То же —при удельном весе ==14,6;
6 = 40,8 кг.
4., ч
Прямолинейное движение масс.
106. Ткацкий станок. Челнок ткацкого станка (фиг. 76) весит
6=1,5«ги должен пробежать путь = 2,2 м в t = х/> сек.
Ход пружины я = 0,21 м.
г 1, Чему равняется средняя скорость чел-
"к пока в м/сек*.
2. Какое ускорение приобретет челнок S?
фкг Я Какая для awro требуется сила алтя
жепия пружины?
Решение. Здесь мы имеем дело с равномерно-ускоренным
движением.
120 Ч ' . ' ' •
•фиг. 77.
при л од пят под ^тлом
1. Средняя скорость челнока
1'==Т = 0Л=4'4л/"*- •
2. Вес G** 1,5 кг должен, пройдя путь $==0,21 м, приобрести
скорость в 4Д м]сех, для чего -уебуется ускорение
' и* 4 4’
’“й = Й2!
*й
3. Необходимая сида натяжения пружины
р“’7“*6.,'й=7"
107. То же —при Sj — 4,4 м; f = l сех; $=0,4 м.
108. Ствол орудия. Пусть снаряд весит
’ Gs=20 кг, длина ствола $ = 2Д ж; скорость,
с которой снаряд вылетает из дула с =600
я/гех. (фиг. 77). Определить: .
1. Необходимое ускорение.
2. Какую силу в кг нужно' приложить,
если ствол орудия
а = к горизонту?
3. То же — если ствол орудия опущен
под углом а = 3^° к горизонту.
4. Необходимое давление в атмосферах при диам. 4= 10 см
а) для направления ствола вверх а = 30°;
б) для направления ствола вниз а — 30°.
Решение. Здесь мы имеем дело с рашюмерно^ускоренным
движением согласно § 14.
• г1 * АПЛ1
1. Ускорение <? =х7й=-—=-<- = 85 714 м\се&.
* Z$ * х,1
2. Необходимая сида Р=у ♦ у + О sin а = 85 714 • +
+ 20 • ОД = 174866 кг. ‘ „
3. Р,= 7 — — Gsina = 85 714 • — 20 • ОД = 174 846 «».
S У,о I
4. а) Давление при направлении вверх под утлом 30° получим:
агм.
5-10» ।
174 846 *
6) Для направление ввиз подучим: р,= = 2227,2 атм.
’ 4 io*
121
Мы видим, стало быть, что разпипа между необходимым да-
влением в приподнятом стволе и давлением в опущенном стволе
чрезвычайно мала (менее 0,02%).
109. То же — при G = 40 кг; s = 3 м; с ==s 400 м/сек.
110. Орудие Пусть длина ствола s = ll,2 м, вес снаряда
О в 345 л?, диаметр снаряда d-=2% см, скорость снаряда в мо-
мент вылета из дула с =5=630 м/сек, угол наклона а = 45° кверху.
Определить:
Ускорение т в м/сек?.
5 2* Давление на снаряд в килограммах.
/il l | \ 3. Давление в пороховой камере в атмо-
, J сферах.
4. Дальность полета, принимай, что сна-
Фиг. 7в. ряд ВО время полета теряет 35% скорости.
5. Высоту полета Л.
6. В целях вычерчивания траектории определить ещеу^ иуа
для х! = % w и ж, = %» (Фиг- 78).
Решение (фиг. 77).
1. Ускорение 17800 ж/сеЛ
2. Давление Р=? • Gaine=17 800 + 345-0,707»
• g »,о1
=627250 ке. ,
. „ 627250-
3. Давление />=—----= 1010атм.
у. 28*
4. Средняя скорость *630 «о 520 ж/сеж.
Тогда дальность полета:
sln2a-c* 1-620» _,ВПЛ
W------------= -^-=27500*
5, Высота полета Л = • sin*« = • 0,797*=6900 м.
2g
6. Высота подъема ш расстояния ш = 6880 м.
0 Я1
Л = б880 . . 6880»=5i66м,
а для х, = *Д »=20 600 л.
Л=20600 • 1 — 20 600*=5200 л
122
В действительности траектория полета является искаженной
параболой, причем наибольшую высоту подъема снаряд дости-
гает При X = % W.
Ill* Пусть ствол направлен вертикально вверх. Ответьте
на те же 6 вопросов (из задачи 110), если G = 670 кг и с=
' =315 м! сек.
Живая сила.
112. Ж-д- поезд (1(У вагонов весом по 13 т каждый, паро-
воз весом 45 от). Скорость v = 38,7 км/час (см. фиг. 79)
Требуется остановить
поезд путем равномерного /—О -- ш
- Г“'”Т-поГХ:
Определить:
1. Скорость поезда в
м/сек.
2. Живую силу поезда при скорости в 38,7 к*/час
3. Величину работы, поглощенной торможением до остановив.
4. Черед, сколько времени поезд остановится.
РВШКНИЕ.
Фиг. то.
, „ -38700 ,
1. Скорость и ——10,7 м/сек.
ии • OU
10-13000 + 45000 10,7» .юлппп
сила =»-------g-sv------ • —5— = 1030000 кгм.
У,Ы Z
трения, поглощенная торможением, равна живой
2. Живая
3. Работа
силе, следовательно, поглощаемая работа
Е=1030000 кгм.
4. Время i = -jgy075 сек.
113, То же —при Si = 0,8 км; v = 77,4 км/час.
114, Велосипедист (фиг. 80), едет со скоро-
стью v=5,5 м/сек. Его вес вместе с велосипе-
дом пусть будет 0= 100 кг. Определить: жи-
вую £ и л у велосипеда с седоком.,
Решение, Живая сила = -^_• Ц2 кг.
Фяг. 80. . 2
При столкповепии велосипеда с каким-нибудь
препятствием, папр., со стеной, эта живая сила поглощается.
>:• UX То же —при G=75 кг; v = 8 м/сек.
123
Ив. Пароход водоизмещением в 16000 m идет со скорость»
и^40 км/час (фиг, 83). Определить;
I. Скорость парохода в м/сек, '
2. Живую силу парохода.
Решение. 1. Скорость парохода, пере-
считанная па м/сек, получится
40 000 .
Г~60 • 60**11,1 м1сек* '
2 Вес парохода равен весу вытесненной воды
w 16000-1000' ид1 1ЛЛПППЛЛ
Живая сила —-------------- —к—«?= 10 000 000 кгм
U,ol С
117. То же при P=s20 км; водкшзмсш, = 10 000 т.
i Вращающиеся массы, В задачах № 118 до 121 вес тела не
принимается во внимание.
118. Обод маховика (фиг. 82), весит 8100 *г. Окружная ско- '
росгь возросла в течение /=3 с а =10 м/сек до U=22 м/сек.
Определить:
1. Ускорение <р в м/сек?.
2. Число л. с., которые нужно затратить в те-
чение промежутка времени С
3. Путь а, проходимый в течение времени t какой-
либо точкой на окружности.
4. Число оборотов, которое сделает маховик в ФмГ 81
/течение времени t, если радиус R = 2,5 м.
Решение. Так как скорость увеличивается, то мы имеем здесь
дело с ускорением массы.
< 47 U — U' 22 — 10 Л , t
1. Ускорение у = —-— = —х—= 4 м/сек?.
* О \
2. Необходимая затрата л. с.
(U + »)? а . (22.+ 10).4 8100 / 7(и
" 2-75 g 2-75 ’ЯвТ-704'64
8. П*ьл = у(У+|0-/=48ж
4. Число оборотов S-S“g-2. Jtb"***
} 119. То же — при условии: вес G — 4500 кг; увеличение
скорости с 20 до 30 м/сек; /«4 сек; Я»2 м.
, ПЛ Маховик радиуса /?— 1,7 м, весоы Q г= 930 гг, требуется
привести из состояния покоя во вращательное движение с окруж-
U24 - * * , •
Фжг. 83.
ной скоростью 4,1 м/сек силой, приложенной к кривопппту
радиуса г = 0,3 м, и притом в течение промежутка времени
1 = 2,5 се* (см. фиг. 83).
Определить: 1. Необходимое ускорение
f в м/сек*.
2. Движущую силу в килограммах, отне-
сенную к радиусу /?. «
3. Основное уравнение для определения р.
4, Приводную силу р в килограммах.
5. Живую силу маховика, вращающегося
с окружной скоростью = 4,1 м/сек.
- Решения. Для этой задачи действительны те же законы, что
я для задач §§ 21, 22, если считать скорость и равной нулю,
U 41
- 1. Ускорение <р = — = = 1,64 м/сек9,
t ср
2. Движущая сила— р-
К
_ _ О к
а Основное уравнение ф - — = . р
• 4. Применяя основное уравнение, получим: * _
930 0,3 1
откуда:
930 0 3
Приводная сийа р = 1,64 • = 875 кг.
. 9,01 1,1
5. Обыкновенно применяется уравнение:
ж с О и'
/ Живая сила Е=—• тг-
£ 2
Значит, в данном случае:
Е=W * =800 '”*
0,01 х
Эта формула дает точные результаты только в том случае,
если сечение обода есть круг, фиг. 84.
121; То же — при /?=3,4 м; г = 0,6 м\ и = 8,2
м/сек', 1 = 5 сек.
122. Касательная сила. Махоецк.Х, Чему равно
касательное усилие Г маховика в задаче 120, если "
нужно поглотить окружную скорость £7 = 4,1 м/сек
до и сз нолю в течение / = 2^ сек.
X Чему равно з&медаенце (фиг. 85). *
Фиг. <И.
135
фиг. 85»
Решение» I. Касательная сила
т_и G 4,1 йо_1...
Т~~ t ' g — 2,5 ‘ 9,8Т~ 145,4 кг-
U 41
2. Замедление f=—=yas»l,64 ж/«№.
* *Л,и
Фиг. 86.
123. То же—"при £7=8,2 м)сек\ / = 5 сек,
124. Центробежная сила, 1. Что такое центробежная сила?
2. каково направление центробежной силы?
3. В каких единицах выражается центробежная сила?
4. Основное уравнение для определения вел’
чины центробежной силы?
б. Как представить себе центробежную силу:
а) у маятникового регулятора (фиг. 86),
6) у замкнутого кольца (фиг. 87).
Решение. 1. Центробежной силой называется сила, возни-
кающая при вращении тела и действующая по направлению от
центра вращения наружу.
2. Перпендикулярно к оси вращенид и ра- -с
диалько наружу (фиг. 88).
3. В килограммах.
4. Центробежная сила каждого шара в отдель-
ности, т. е. каждого отдельного тела опре-
деляется из основного уравнения:
5 а. Центробежная сила дей-
ствует перпендикулярно к осж
вращения каждого шара/
5Ь. Каждая частица массы
Фиг. 88.
Фаг. 87.
стремится в радиальном напра-
влении наружу. Сумма этих элементарных сил одной половины
маховика равна центробежной силе
Эта сумма центробежных сил (адементгрпых) одной поло*
вины маховика, спроектированная ’ на одно из направлений ра-
диуса, равна величине силы С, т. е.
7,0 а1 2 G
Ce g 'R‘*~ i IT*
126
125. Назови ге еще другие части машин» развивающие цент-
робежную силу.
126. Вращающийся маятник. Шар, весом (} = 0,5/та, под-
вешенный к нитке длиною R =t 1,5 м, вращается в вертикальной
плоскости со скоростью л = 72 оборота в минуту, фиг. 89.
Определить;
1. Окружную скорость шара в м)сек,
2. Натяжение нити в верхнем положении шара в кг.
3. Натяжение нити в нижнем положении шара в кг.
__ ж л 1,5 • it • 72
Решение. 1. Окружная скорость ц= ----«
Ои
Фнг. 89.
^Н^м/сек,
2. Натяжение нити есть совокупность действия веса и цент-
робежной силы. Для верхнего положения шара натяжение
Q а1 п 0.5-11,3* nt
шли = - . -О=^—-0,5=3,845кг.
G
3. Для нижнего положения шара натяжение нити = — • +
£ Я
+о=-ш^,+0’5в4’М5'*
127, То же, при м; 0 = 1 кг; л = 60.
123, Пусть один конец невесомой нити длиною Я = 0,45 л .
закреплен в центре горизонтального диска, а на другом ее
с конце прикреплен шар весом G = fy кг, ко-
торый вращается на диске. Определить
V?"4-----(фиг. 90): *
Уравнение центробежной силы.
* 2. Окружную .скорость, при которой нить
г; ф разорвется, если это произойдет при С=
1 •' Ф 90.
«7 / Фжг* w 3. Соответствующее число оборотов.
$•’ Решение. 1. Сила тяжести шаре в данном случае не имеет
значения, так как она поглощается диском. Значит, центробежная
£ п G М1
2. Из этого уравнения: aJ = C - R, что при С=40 кг
даст в’=40-^-0,45=35,5.
Отсюда . >
Г* л= уШ==5,9в л/см
к- •' 1в7
3. Соответствующее число оборотов
Фмг. ei.
Пс=— =-126 в минуту.
4,0
• * ♦
129. То же при Я = 0,75 лс; G = 3 кг «
130. Центробежный маятник. К вертикальной осн на про-
волоке длиною е=1,5л* прикреплен шар весом G = 75 кг,
вращающийся со скоростью л 100 оборотов в
минуту (фиг. 91). /
1. Какой угол а образует проволока отно-
сительно осн вращения?
2. Как велико натяжение проволоки о кг?
3. Чему равна высота h образующегося при
вращении конуса?
_ . Л * О
Решение. 1. Центробежная сила С =?= — • .
Из параллелограмма сил получаем:
• . C«G tg« (а)
' • j ' А так как ।
?> Raese tilla (Ь) ’
из ур-ний (а) и (Ь) получаем: '
/2 • fsina • * . ft\® 72* • fl\* ,
, г...............«° .....I гаг)
. Шяв g-tiiaa — g *
. sin а
Если вместо tga вставить , то
* 1 : COsa я ч
“••=тАг. ,
\ 30 ) * \ 30 ’ J
2. Из параллелограмм^ сия следует:
? „ G 75
натяжение проволоки «1250 кг. .
саза 0,06 ‘ • ч
г 3. Высота Л е ♦ созас» 1,5 • 0,96 = 0,09 9 см.
/ Этот же результат получается, если cos а заменить выраже-
-з кием* взятым ^ вышеуказанного уравнения, т. е.
i g g 9,81 лла‘
Аж='/г.«\» ~~/3,14 . 1000,08 *• ,
? . ' VST/ . V зо h , ' •
' J • /О-'1- \-г. --7
131. Начертите для указанного положения шара иарадле-
лограмм сил в масштабе 5 кг = 1 мм.
132. То же, при а = 0,75 м; л = 200.
133. Центробежный регулятор. Шары регулятора весят
каждый 6 = 8,7 кг и вращаются по окружности радиуса R =
= 24 см при л = 185 оборотах в минуту (фиг. 92).
.Определить:
1. Скорость и шаров в м/сек. ф
* 2. Центробежную силу С обоих шаров в кг.
3. Живую силу шаров при л =185.
4. Работу, которую нужно затратить, чтобы до- фвг- 92-
вести регулятор с нуля до 185 оборотов в мий.
Решение. 1. Окружная скорость и == ~~——* =4.65 м/сек.
пи л. 6,7 4,65* я 1СЛ
2. Центробежная сила С= g-gy * • 2 = 160 кг.
3. Живая сила £ = ^~ • • 2 = 19.2 кгм.
4. Работа = живой силе = 19,2 кг.
134. То же, при 6 = 17,4 кг; 7?=48 см, л = 93.
135. Обод маховика. Пусть радиус обода маховика R =» 1,9 м;
вес 6 = 3000 кг; окружная скорость и=29 м/сек (фиг. 93).
Обратите внимание на решение задачи 124.
1. Какая работа необходима для того, чтобы
довести маховик из состояния покоя до указанной
скорости?
2. Чему равна сумма отдельных радиально дей-
ствующих центробежных сил?
Фиг. 33.
w- 93 3. Как велика сила, стремящаяся разорвать ма-
ховик?
4. Какое разрывное усилие приходится на каждое из обоих
сечений обода?
Решение. 1. Работа Л = М^=^^<^- =
Z У, о 1 X
= 128 500 кгм.
2. Согласно объяснению в задаче № 124 центро-
бежные силы отдельных частиц массы тела стре-
мятся наружу. Сумма этих сил для одной поло-
вины маховика составляет (фиг. 94):
* Г. Хедер.
12»
3. Сумма, спроектированная на одно из направлений ра-
диуса, равна (см. зад. 12-1):
2 2
C=Sr- — = 68000 . -±- = 43000 кг.
z 3,14
4. На каждое сечение обода приходится :
0,5- С=«21 500 кг. j
136. То же, при /? = 3,8 м; 0 = 6000 кг; и = 20 м/сек.
, 137, Кривошип. Пусть ускорение в задней мертвой точке
(^ = 37,8 м/сек1,1) ускорение в передней мертвой точке
= 25 м/сек1. 7 G =
= 670 кг; ход поршня
2г = 0,8 м. Число оборо-
тов п = 85* (фиг. 95).
Определить;
1. Силу ускорения Л
и сопротивление для зад-
ней мертвой точки,
ление для передней мерт-
вой точки.
Решения. Здесь основное правило: сила ускорения в кг^=
= массе X ускорение. ,
Сопротивление в кг = массе х замедление.
Следовательно, для задней мертвой точки:
1. Сила ускорения Pt = «pi * — = 37,8 * =2560 кг. j
Сопротивление равно силе ускорения.
2. Для передней мертвой точки:
Сила ускорения Р, = у — 25 • ~ = 1700 кг.
Сопротивление равно силе ускорения- ;
§ 28. Механическая работа? Мощность, I
а> Работа (механическая) равна произведению из силы на
путь, пройденный точкой приложения силы по направлению ее
действия. Единицей работы (технической) является работа силы
в 1 кг на протяжении перемещения в 1 л и называется кило- i
граммометром (кгм). ~ ’ • <
Сила X путь = работе (82)
кг м кгм \
>) Подробности см. | 27.
130 ' . . ’ - . — '
. . * ‘ * . .' ‘ • 1-2
Простейшие примеры?
Фиг. 96.
Работа
Л = С • Л =
= Р- Л
Фиг. 98.
A = G • h = P • sin а.« / •
(ибо P~G • sin a)
Фиг. 97.
л^ол=р R • л
(ибо G * г~р • R)
Пример: Для подъема (7 = 78 кг на высоту h = 17 м
нужно затратить работу A— IS'- 17=1326 кгм.
Если направление действия силы Р составляет с направле-
нием движения угол а (фиг. 99) и точка (тело) прошла путь s
то работа А = Р з соза.
Работа равна силе (Р), умноженной на проекцию переме-
щения на направление силы (S • cosa), или работа равна пере-
мещению S, умноженному на проекцию сцлы
на направление перемещения (Р • cosa).
Мощность. Если принять, в расчет еще
.время•, то получим .мощность* (или эффект),
представляющую собой работу в единицу вре-
мени — секунду:
д=силахпуть> ,
За единицу мощности принимается работа в I кнкграммометр
в секунду (кипсек); для технических целей установлена дру-
кг х м
гая единица мощности, равная 75---; она наедена Джем-
сек
сом Ваттом, изобретателем паровой машины, J HP
или IPS, или л. с. Нужно строго различа «бота* и
.мощность*, которые мы будем обоэнача
А = работе в кгм.
. работе .
Л = —l—ткгм сек.
время в сек.
W —75л. с.
181
b) Сила P, скорость v н работа за 1 рабочий день.1)
Продолжительность рабочего дня / = 8 часов ^28300 сек.
Р на ко- роткое время Р Kt . г Mfcen А кгм л.
Человек без машины . • 30 15 ! 0,8 346 600 0,15'
. у рычага .... 25 5’) 1,1 158 400 0,07
• у кривошипа • 30 10’) 0,8 230 400 04 ,
. у ворота . . . 50 14 0,45 181 400 0,08
9 у привода . . . 30 । ! 12 0,6 207 300 0,09
9 тянущий за цепь 50 i I 30 0,4 —
. толкающий ва- гон плечом ....... . 70 । ! * * — — —
Лошадь без машины . . 200 : 60 1,0 1 860 000 0,8
. у привода . . . 150 45 0,9 1166 400 0,5
Вол без машины • 200 60 0,8 1382 400 0,6
, у привода j 150 45 i 0,6 1 123000 0,5
Проф. Ржига определяет среднюю продолжительность ра-
бочего дня в 127 400 килограммометров. Для различных видон
труда оя приводит следующие данные'о производительности в
кгм при 8-часовом рабочем дне: '
Тяга груза........ 110 000
КопанЛ земли.... 110500
Черпанье воды . . . 117 200
Верченье ко^са. . . 119 000
Носка тяжестей . . . 122000
Откидывание земли ... 126 000
Работа на станке .... 126000
Вращение рукоятки . . 136 400
Подъем тяжести ...» 140 000
Работа на рычаге. . , . 146 900
Для грузчиков-носаков при грузе в мешках, переносимом на
спине, О. А. Рнвош в своем исследовании .Производительность
грузчиков в связи с охраной труда“ (журн. .Предприятие*
1925 г. и жури. .Zentralblatt far Oem. Hygiene imd UnfaHverhil-
tung*, 1928 г.) приводит следующие данные:
Нормы об общем весе Q груза в тоннах, которые грузчик
|) Подробнее см. том второ#.
•) Не юор>г«ое рремя нежно у ворота и т. я. принять 15 до 25 кг. -
U2 ✓
может переносить без ущерба для здоровья на различные рас-
, стояния в метрах: _
Расстоя- ние „22* Груз />= 65 кг «Груз Р-53кг Груз р=43лт 1 Груз | Р— 33кг Гру» Р^21 кг
10 17,8 15,4 15,4 14,4 13,1
20 13,0 11,6 11,4 10,5 8,6
30 10,3 .9,3 9,1 8,3 5,9
40 8,5 7,7 7,5 6,8 4,4
50 7,2 6,6 6,4 5,4 3,5
60 6,2 5,8 5,6 4,6 2,7
70 ! 5,5 5,1 5,0 3,9 2,5
Работа животных на службе человека, — лошади, вола, мула,
осла — мало изучена.
Лучшие условия производительности: продолжительность
работы 8 часов, прилагаемая сила F»: для лошади 56 кг, для
вола 60 кг; скорости v0: для лошади 1,25 м/сек,, для вола 0,8 м/сек.
Чешский ученый Машек дает следующую формулу для опре-
деления силы F, при которой возможно при других значениях
V и t получить максимальное количество суточной работы:
величины:
Если
г
. радиус
R в м
с) Для передачи силы трансмиссиями, двигателями и т. п.
имеем следующие зависимости, которые могут быть выведены
согл. § 17, а.
При расчетах применяются следующие теоретические
Окружная скорость
,. 2 • /?тс • п 1 ~
6О~“ 30 л-’-я
Число оборотов
. 60(/ on U
П~ЯГР~®1Г^Ъ МИВ-
Мощность ЛГя* • Р • U л. с.
- п 75 W __л.
Окружи, усилие кг, (86)
133
Переведя эти формулы на см, получим:
Момент вращения =
N
Р . Я = 7>620^-(87)
• п
Окружное усилие Р=
~ кг (фиг. 100). (88)
ЗАДАЧИ К § 28.
Механическая работа, мощность.
138. Работа. 1. Что такое механическая работа?
- 2. В каких единицах она выражается?
Ответ. 1. Механической работой А называется произведение
из силы Р и пути Л, пройденного точкой приложения силы
по направлению ее действия, следовательно Л=Р-й.
2. В машиностроении принято за единицу работы считать
кгм (килограммометр).
139. Назовите пример механической работы. ‘ -
140. Мощность. 1. Что такое мощность?
2. В каких единицах она выражается?
3. Что называется лошадиной силой?
Ответ. 1. Мощностью называется работа, затраченная в те-
чение 1 секунды, т. е. L^=^-y—.
2. Единицею мощности является кгм! сек.
3. Мощность величиною в 75 кгм [сек есть лошадиная сила.
141. Назовите самые употребительные двига-
гели, производящие работу.
142. Работа и мощность. Пусть колодец имеет
глубину Л = 12 м. вес сосуда = 12 кг, вес воды
в сосуде = 20 кг, вместе Q = 32 кг (фиг. 101).
1. Какая работа в кгм затрачивается при подъеме
сосуда?
2. Какая требуется мощность, если нужно в
течение 1 часа доставить 1900 литров воды?
3. Может ли эту работу исполнить один ра-
бочий?
Решение. 1. Затрачивается работа А =32 • 12 =
= 384 кгм.
1900
2. Поднимать сосуд придется 95 раз в течение часа;
*-v .
134
при этом будет поднято 95x35 = 3040 кг груза; следова-
тельно, развиваемая мощность
. 3040 - 12 ,Л1 Л _ .
^ = “лл—лёГ— ЮЛ кгмсек — 0,13 л. с.
60 • оО
3. Один человек, работающий у кривошипа, может'развить
мощность примерно в 0,1 л. с. (см. таблицу). Вчливаяие воды
и опускание пустого сосуда тоже требует за-
траты времени. Следовательно, один рабочий
такой работы в течение 1 часа произвести не
может.
143, То же, при Л = 24 м; Q = 64 кг.
144. Ворот. Пусть на барабане диам. d =
= 100 мм висит груз (?= 15 кг. Какую силу
Р нужно приложить на рукоятке радиуса /?= фиг- 102-
= 400 мм. чтобы поднять груз (фиг. 102)?
Решение. Момент груза = моменту усилия, следовательно
• Q • = 15 • 50 = Р • 400,
отсюда
_ 15-50 , ..
усилие Р— dnn ~ 1,9 кг.
То же, при d = 200 мм; Q = 30 кг; Я = 250 мм.
146. Какой груз может поднять 1 рабочий при помощи во-
рота, указанно 1*0 в задаче 144? *
Решение. Один человек может приложить к рукоятке кри-
вошипа усилие Р=10 кг (при продолжительной работе); зна-
чит, оя может поднимать груз Q=10 -^-=80 кг.
иО
147. Скорость и мощность. Требуется под-
£нять груз Q=1000 кг в 1 минуту на высоту
h = 20 м (фиг. 103). * 20
1. С какой скоростью в м{сгк нужно груз
поднимать?
2. Какая требуется мощность?
3. Мотор, приводящий в движение канат,
развил мощность N=7j.c.;c какой скоростью
происходил, следовательно, подъем?
Фиг. юз. Решение. 1. Скорость выражается в м)сек;
20
значит, скорость v = ~ = 0,33 м(сек.
VV
185
п .. _ хруз в кг X скорость в м[сек
2. Мощность = ~——---------- ------—L— •
/о
Следовательно, мощность
,, Gv 1000 • 0,33 л Л
ЛГ=75 = —75—= 4’&ХЛ
3. Основное уравнение: 75 • JV=G • v, отсюда
_______________________________75 * 7__Л ,
скорость о = = 0,52 MjceK,
148. То же, при Q=1500 ю; Л = 30 м.
149* Требуется поднять по наклонной плос-
кости тележку весом G = 670 кг (фиг. 104).
Определить: 1. Работу в кгм, которую нужно
затратить, чтобы поднять тележку на высоту
Фиг. 104. h^3,2 м.
2. Работу, если угол а = 32°, а проходимый путь л =10 м.
Решение. 1. На это нужно затратить такую же работу, как
- и для подъема прямо по вертикали вверх. Стало быть, работа
Л = О-Л=67<> -3,2=2144 кгм.
2. Сначала определяем высоту h:
Л = sift а - «5 = 0,53 • 10=5,3 м,
тогда работа
Л = 670 - 5,3 = 3550 кгм,
150- То же, при 0 = 335 кг\ Л = 6,4 ж; а =16.
151. Окружное усилие. Чго такое окружное усилие?
Ответ. Окружным усилием называется сила, _ y ..
аействующая по касательной к окружности вра- /
щающегося диска.
152. UIkiu. По окружности шкива радиуса V
Я = 710 мм действует окружная сила К=2800 —
кг', число оборотов п = 105. Определить, сколько фщ. |Q6
при этом передается лошад. сил (фиг. 105).
_ * К R-n 2800 ♦ 0,71 • 105
Решение. ^= — 71^ — Ж55 ж с.
Расчет можно вести и так:
0,71 • те -105 ___
окружная скорость и =^ — -------= 7,75 м
и " • „ ЛГ'® 2800 • 7,75
*^-75" = 7 75 " = 291'55 ж с
168. То же, яри К =1400 м; Л=355 мм.
Ш . ' '
§ 29. Теория удара твердых тел
а) Количество движения и импульс. Если Р— сила,
действующая на массу в течение t секунд, то
количество движения = массе X скорость (М • v)
импульс силы = силе-х время (Р-0,
Скорость пгри
ударе tr —
Скорость при
отскакивании
Поглощенная
при ударе ра-
бота
Живая сила
после удара £—
биллиард-
ного шара
стального
шара
водяной
капли
Примерно для
Схема для удара
и П
вполне упругого упругою вполне неупругого
ТТ тт ТГ
< 11
Г i i irr V _
1 X
Л &.-
r/Z/'/zZjY4<^
р/2Г"Л |/2Т'Л ^/2^ g м/с. к
l/2g-h [/2g • Л, нуль
нуль О <4 <5 1 Г * Л- II G h=G • ^кгм g 2
S ’ 5
, G <*
G- Л O‘. = j'2 нуль
—— Л, = 0,7 - Л —
— ’ Л, = 0,3 Л .
— 1 Лд = нуль
187
Тогда:
Pt = ЛЬ v (89)
V импульс колпч. движ.
Эти понятия в машиностроении мало употребительны; по-
этому мы на них останавливаться не будем.
h) Величина удара равна потерянной при 5 даре работе и
измеряется следовательно также в к гм.
с) Характер удара. Уяснить себе разницу
у-0 между вполне упругим, упругим и вполне не-
ч: | упругим ударом можно лучше всего путем изуче-
ния свободно падающего тела.
Эти понятия необходимо твердо усвоить, и в
Фиг. 1U6. особенности относящуюся к случаю свободного
падения формулу (фиг. 106):
G-h = G~. • (90)
d) Вполне упругий удар, при котором потеря энергии
равна нулю и живая сила, стало быть, полностью сохраняется,
является только теоретическим понятием и практического значе-
ния не имеет.
е) Упругий удар. К этому роду удара, строго говоря, при-
надлежат все встречающиеся в практике
Зависимости между массами, ско-
ростями, изменением направления ло-
терей от удара и временем, весьма
разнообразны.
При двух телах равной массы мо-
гут встретиться уже 3 различных слу-
чая (см. фиг. 107).
В 1-м случае второе тело перед
ударом неподвижно, во 2-м случае сба
тела движутся в одном направлении,
в 3-м случае тела движутся навстречу.
f) Вполне неупругий удар полу-
удары.
1. Перед ударом.
Удар.
3. После удара,
1 2 3
оо
00
оо
Фиг. 107.
чается при встрече в одном направлении тел, если после удар*
они образуют одну общую массу.
Живая сила после удара меньше, чем до него, на величин)
потери живой силы при ударе:
о о
О о
о о
о о
138
X
Gr
($! 4- G*
живая сила до у дари
(9:
О'.
потеря живой силы
ж момент удара
' =(G1 + G,)^.
живая сила после
’ удара
Скорость К общей массы (после удара) равна:
. •_Gi • pj 4“ G-» * , * ’
1 -J T ~—- м сек.
Gi + Gt
Если оя направлено противоположно vb то в приведении
выше формулах должно брать с отрицательным знаком.
В уравнениях 91 и 92 означает:
Oj — вес в хг, — скорость первого тела в м/сек,
Gt—вес в кг, vt скорость второго тела в м/сек.
Если, для упрощения расчета, отнести величину удара
Gt
массе и скорости первого тела, т. е. к и vit и внести, в
избежание повторения, коэффициент г в живую силу удара, ран
иую
г • Ci • j- *г*
го из уравнений 91 и 92 получим следующие выражения:
L Оба тела имеют оавные массы, т. е.
(93
1 , Движение тел ж В ОДНОМ направлении В йдотивопил. направлении О"О «0
Vi• = 1 0.5 — 1 —0,5 нуль
" Общая скорость после удара ' V1 */.v, нуль 7i«i 7«»1
Коэффициент z~ нуль ч. 2 7. 7.
13
Отсюда видно, «по чем меньше скорость о* тем сильнее
удар. Наибольшая сила удара получится, когда vt = — frlt т. е
будет равна 2 Gt • .
’ S .
2» Масса второго тела бесконечно велика и
его скорость о, = 0. Тогда после удара:
Фиг. toe. общая скорость У—О
v.8
живая сила удара = О *гм (фиг. 108).
(94)
§ 30. Случаи, удара твердых тел, вс г ре чающиеся
* на практике.
а) Удар превращается в работу (сила х путь) '
Пример: забивание копром свай, утрамбовывание мостовых
ручной трамбовкой, забивание гвоздей и проч. (фиг. 109).
Копер. Пусть Gt — вес бабы в кг, О% — вес сваи в кг,
h— высота падения бабы в м, s—глубина погружения снан при
каждом ударе в м, сопротивление
грунта погружению сваи.
Мы имеем тогда
°'й = °'й(,~о7То,)+“''1
теорет. ра- потере работы при работе со-
бота бабы z ударе (бесполезная противле-
работа) ння грунта
(полезная
работа)
Из этой формулы можно определить
сопротивление грунта.
Коэффициент полезного действия копра;
Фиг. 109.
(Ts G
что дает, например, для:
Вес бвбы j 1 | «4
1 Потеря работы при ударе = Произведенная ра- бота = Коэффициент полез- । него действия — 0,5 О, • Л 0,5 б?, • А 0,5 0,2 G, й 0,8 Gt h 0,8 0,1 Gi • h 0,9 Gt -a 0,9
140
Таким образом, если вес сваи равен весу бабы, то ^—=0,5.
Чем тяжелее баба, тем вйше коэффициент полезного действия.
То же самое происходит при забивании гвоздей, скоб и т. п.
Ь) Действие удара совместно с действием пружины.
Пример: удар при столкновении жел.-дор. вагонов.
Обозначим здесь через /— осадку пружины в м, Р— силу
натяжения пружины буфера в кг, Z — число буферов (фиг. 111).
Для одного вагона Z=
=2; если же сталкиваются
друг с другом два вагона,
то Z=4.
При столкновении мо-
гут встретиться следую*
щие случаи.
Вагон ударяется ь
упор тупика (фиг. 112),
или два вагона одинако-
вого веса G с одинако-
вой, но противоположно
направленной скоростью v
шаются (фиг. ИЗ).
Здесь Ъ
Фиг. М2. Фиг. ИЗ.
ударяются друг о друга и р!зру-
— . Р • / • Z + действие удара
действие
буфера
= Р * / • Z — действие удара
жи>. сила
до удара
g 2
жив. сила
обоих ва-
гонов
О Согласно уравнению 91, 92 и 93. Чтобы расчет был вообще возмо-
жен, нужно считать самые вагоны меуиругамм (случай III, £ 29, Д
141
с) Действие удара переходит в действие пружины и
сообщает скорость.
Пример', маневрирование жел.-дор. па гомо в. Здесь могут
быть 3 случая (фиг. 114, 115 и 116):
3. 14 противопо-
ложно направлено;
/ поэтому в расчете
!• V, —О, 2* Vi и 14 о н г > отрицательная вели-
направления, чина.
Фиг. 114. Фиг. 11&. Фиг. 116.
Основное уравнение:
* Л Z‘) + УМр + ^~ • у <®8)
живая сила до удара действие буфера живая сила
" после удара _
И обозначает здесь 'скорость обоих вагонов после удара. Если
в последнем члене (уравнение 98) V—0, то мы имеем "снова
уравнение 97. -
d) Удар, при котором одна часть живой силы теряется.
Фиг. па
Примеры: снаряды, пробивающие стену, разрыв обода махо-
вика и проч. (фиг. 118).
1) Этот член уравнения имеет значение только тогда, если при ударе
разрушаются буфера; в противном случае действие буферов проявляется
опять в виде ускорения икс после удара; вначят, в последнем члене ура awe*
мия 98. ,
ш ' .
Основное уравнение: 1)
G t\s____G_ у? —t'? G vj
£ 2 “ g ’ 2+ g 2 '
энергия до потеря ж твой живая
удара силы при сила
(живая ударе после
сила) удара
(99>
е) Удар, при котором уничтожается вся живая сила.
Примеры', снаряды, падающие молоты (также паровые и воз-
душные), бурильные молоты, фиг. 119, 120, 12L
Фиг. И9.
Фиг. 1Ъ).
Для удара насосных клапанов время t точно определяется
в зависимости от основных размеров насоса и числа оборотов.
f) Падающие и паровые молоты. У так называемого .при-
водного молота* (фиг. 122) рабочий тянет за конец К ремня;
Фиг. 123,
СОЙИТгПОДОГИ бабы,
гсотылрабочий опту-
Фиг. 121. Фиг. 122.
вследствие трения ремня на шкиве
Как только баба подымется до треб||
скает ремень, и баба падает на обгя
Прекрасной темой для упражнение уЛар является сопо-
ставление уравнений для приводжогоу п^июЩеМ молот* и па-
рового молота, фиг. 122 и 123. V \ V \
------------- V 4 г ZV
*) Продолжение траектории рдссматримйтсд хак тртек-зд^ брошенного
тела, согласно § 16, а. • . / J
143
Рисунки см- стр. 143 - =- Давление Р — | ". Сила = ® о* о * g Ускорение ? = <и а- £ 2 х g Конечная ско- Д g рость v — (Время t — р.= ц 5 g Сила — т и й и 1 Ускорение (эа- § S 1 медлен.) <р,= в • м<5| Скорость в се- g ред.хода^ = (время/!. . ,яи Общая продолжит, одного удара1) = Число уДар. вм.п2)== Мощи, в Л Dili. сил.= Приводный падающий молот с ремнем. । „фиг. 122 пуль G G ' Паровой молоте верх* । tmv cc tnoKHUtt паром, фиг. 123 p P+ G
G: g е УЪГь - 2Л .о .Л Pi — О Pl^z=_Pi__ G-.g G-.g + k y/2<p • h 2h :v Pt~G
G'g O:g s ) 2<p • -0,5 Л 2 Л : v, - <r+9 0.7 07-^J- ’ /-Ml r ‘ v* n U '2g 60 -75 G:g G:g * у 2? • 0,5 h 2h : 0.7 0,7.-^- ‘ < + <. r v* n- U ’ 2g ’ 60 • 75
1) Коэффициент времени, т. е. необходимость затраты некоторого вре-
мени на качание бабы после удара» а также трение в направляющих,—все
это принято во внимание в предпоследних уравнениях я выражено коэффи-
циентом 0,7. %
*) Согласно случаю Ш, § 29, /.
Чтобы расчет был воооще возможем, нужно считать желез-
ные. стальные, свинцовые й т, д. тела иеупругими. *) Поэтому
берем:
О и'
удар = — • -у кгм.
5 L
g) У пневматического бурильного молота необходимо при-
нять во внимание угол, под которым долото наклонено к го- .
ризонтали.
Пусть р — манометрическое давление сжатого воздуха в атм
d* v — давлению поршня в кг
(ЮО)
Тогда •) (фиг. 124)
для направления вв?рх:
Р—Q sine кг; (101)
для горизонтального направления:
Р кг, (102)
зля направления вниз:
P+G sin а кг; (103)
Р^ (7 sine
ускорение: ? . (104)
Знак минус (—) для поднятого кверху молота, знак (+) для
опущенного книзу молота. Для горизонтального направления
второй член уравнения равен нулю.
Конечная скорость:
osx: |/2f- л м/сек. •" (105)
Продолжительность одного удара:
«=^с4. , (Юб)
Для обратного хода поршня давление меньше:
(107)
Поэтому мы получим меньшее ускорение ft (вставляя Pt в
уравнение (104) и большее время Если принять </4s= 0,5 d, а
также, что впуск воздуха прекращается после прохождения
1) Согласно случаю Ш, I Ю.
) Согласно ур1В1Инию • § 20, а^
k 10 Г. Кодер, 145
поршнем пути 0,7 з, то из уравнений (106) и (107) получим при*
ближепно’ время обратного хода:
(108)
На вибрацию молота после удара, а также на трепне поршня,
сальника и долота берем 10% потери; тогда число ударов
л — 0,9 у об. в мкН. (109)
* "Г Ч
И МОЩНОСТЬ О8 Л
L = G • y • 6О-775 л- с‘
У исполненных в практике «молей
тов имеем: 0 = 20 кг, ход=0,23 м,
ускорение ^=120 м>сек\ конечная
скорость я=8 м)сек,. п = 430.
h) Удар воды. (Удар водяной
массы о твердое тело или взаимный
удар двух масс воды.)
Если поршень или масса воды находятся в покое (фиг. 125 А),
то, согласно уравнению 94,
удар=<7. кгм.
Самый сильный удар происходит ври встречном движении
(фиг. 125, Б) масс. Тогда имеет место урашгелие /91), при-
чем скорость v, входит в формулу с отрица-
тельным знаком. Вес поршня G* в случае I Г
рис. 125 Б, принимается ранным оо, так так
он прочно соединен с приводом. ’)
0 Действие удара, преобразованное -С
в движение вертикально вверх. II
Пример -f силомер (фиг. 126).
Введем обозначения: я —конечная ско- s
рость молотка в м!сек, с —начальная ско- дд« --%
/ С1 \ IM ! 41 г,
рость грум») | теоретически Л = О,-
вес молотка в кг, О, — вес груза в кг: фиг m .
1) Поэтому V в уравнеюш 9J весьма мала, а удар весьма значителен
(уравиеше 91).
>) Расчет согласно 5 15, ж. *
Тогда
— п-r)^
g 2 l} g
G»-c'
g-Ч *
(И!)
энергия потеря от удара >кнлая
молотка силе
груза
Единица измерения всех трех членов уравнения — кгм.
Если считать рычаг невесомым, то может быть найдено
по § 27а.
§ 31. Косой удар упругих тел.
. Обозначим через;
а угол падения
3 угол отражения
Если упругое тело ударяется
стрелки 1 (фиг. 127), то • действие
считая их от вертикали.
о плоскость в направлении
у дара-выразится составляю-
щей Вследствие полной упругости тела (энергия не уничто-
всается) тело приобретает скорость ср равную vJt но проти*
во по лож но направленную. Скорости ct и горизонтальная
составляющая о, дают равнодействующую скорость с, с кото|М)й
тело отскакивает после удара от плоскости в направлении
стрелки If.
Если тело В (фиг. 128) находится в покое, а тело А дви-
жется со скоростью v по направлению стрелки 1, то действие
удара выразится составляющей щ. Если оба тела имеют равные
массы и вполне упруги, то тело Л после удара приобретает
скорость vt по направлению стрелки II, а тело скорость
по направлению стрелки Ш.
'4&ян ударяются два одинаковых Шара (фиг. )29), из коих
шйр^Яаийется по направлению стрелки 1 со скоростью а
шар В по шшравлащю стрелки JI со скоростью рв, то удар
выразится двумя составляющими и о, Ьсли тела ваднне
упруги и равней массы, то после удара произойдет взаимная
замена составляющих скоростей, а именно; тело А приобретет
боковую составляющую скорость и направится по стрелке Ш
со скоростью cj а тело В приобретет боковую составляющую
скорость Од и направится по стрелке IV со скоростью сР
Направление и величину этих скупостей можно определить
графически (см. фиг. 129).
5 32. Скорость струн.
Вопросы удара жидких и газообразных
тел играют весьма важную роль при расче-
таг водяных колес и турбин, центробеж-
ных насосов, паровых турбин, инжекторов,
таранов и т. д.
Для воды высоту соответствующая ско-
рости, равна действительному напору воды
(фиг. 130); следовательно:
скорость струя
»» y'2gh = ]/2Г- Юд *) <112)
где р давление воды в атм. у отверстия.
Фиг. 130. Во избежание потери при истечении
нужно, чтобы истечение происходило че-
рез сопло такой формы, которая не вызывала бы изменения се-
чения струи по выходе ее из сопла.
§ 33. Работоспособность и скоростной напор.
Обозначим (фиг. 130): w — скорость струи По выходе из
сопла (насадка) в м[сек, G — вес вытекающей жидкости в
w*
кг/сек. g = 9,81 — ускорение силы тяжести, — так на-
зываемый скоростной напор, >. е. высота напора, соответствую-
щего скорости v, -X- кгм)сея есть также работоспособность
® w tr1”"
одного килограмма жидкости в секунду, • G К1м[сея — ра-
ботоспособность струи, *)
1) Дли пара, сжатого воздуха и т. д., зависимость между р и ire так
прусп, гад дек гмообраздое тало при доходе их сопла одновременна Р*с-
tstrpdrrea, причем приобретения» при втом работа превращается в скорост-
ной шпор, т. «. «г увеличиваетС».
) Можно ве вводить специального термина .работеспособность*, сохра»
ивв мф«ж<изд .живав сила*. Пром, prf.
ш
Примечание: Для твердых тел выражение
v’
обоэна-
• G
чает живую сцлу движущегося тела в кгм.
§ 34. Величина удара жидких и газообразных тел.
Удар производится массой G : g, движущейся со скоростью
w и встречающей плоскость. Вес G можно заменить вели-
чиною:
g=f- w (из)
ftie Г—площадь сечения отверстия истечения в м\ w — ско-
рость, с которой струя ударяет о поверхность, в м^сек, 7 —
вес 1 м1 жидкости (при скорости w) в кг, Q=zF*w — коли-
чество вытекающей жидкости в м\'сек (расход).
Если обозначить еще: Р давление струи при ударе о по-
верхность, то получим следующие соотношения:
а) Поверхность, испытывающая удар, неподвижна.
Применение. (Насосные клапаны, плотины, щиты и
Проч.).
(1—cos b)w y
Нормальное да-
вление N =
(1 — cosi)-w
sin Ч < w —
g
'=*• J<3)
Давление вниз
8=
Р cotg Ъ
г > °
sin & • w —
g
sin 2& • w
2g
S = P (5)
Р
sin 5
G
g
. . (4)
149
Пример. Для схемы 111 3 = 30°, количество жидкости
= 108 кг! сек, скорость * выход а w = 3,3 м)сек. Давление по на-
правлению истечения исчисляется ,
Р=sin'30е - 33 • -^- = 9,08 кг. _
У,о 1
Влмше угла конусности (фиг. 131) поверхности вращения,
в которую ударяет струя, выражается уравнением:
fp = (l— cos«) • w • у жг.‘) , (114)
Это влияние лучше всего пояснить нижеследующей
\ схемой, причем давление струи заменено весо*мелв
вращения, давящим на струю* Величина заштрихо-
ванных сечений и указанные под ними значение для
Фяг. 131. р показывают, как с увеличением угла а.возрастает
давление струи.
Пример'. По трубе течет G = 97 кг жидкости в секунду со
скоростью « = 2>2 м{1ек\ тогда вес тела, давящего на струю,
будет:
пьн & =
, 07
P = 0t29'2,2d^?=6,5^
>) Скоресгъ егруи v п<ьур. 112, вес жадности а по уравнению 113.
159 ’ ’
при В =*=90°
07
р-2>2 '9,81-=21'5 кг'
Эти полученные, теоретическим подсчетом величины прибли-
зительно верны, ©ели клапан удален от выходного отверстия на
расстоянии I— 1,5 диаметра последнего и притом сам имеет
диаметр, по крайней мере, в два раза больший, чем диаметр
отверстия.
Ь) Поверхность, испытывающая удар, удаляется от вы-
ходного отверстия* Применение (водяные колеса и Тур-
бины, колеса Пельтона, паровые турбины и
Обозначаем через: .............. •'
Р — давление струи на поверхность в кг,
скорость удаления поверхности от —ЭД
выходного отверстия, в MfceKt М* Т Jj
w — и — полезную скорость вытекающей
жидкости в ж/сек, • .
А-^Р • я — теоретическую работу в ‘ *нг-
кзл/сек, (Н5)
¥|t — коэффициент полезного действия (варкирует, в зависи-
мости от конструкции, между 0,7 и 0,9). (116)
У водяных колес и подобных им устройств поверхность, о
•которую'* производится- удар, образуется непрерывным, -рядом
поверхностей (лопаток) (фиг, 182).
Вход и выход струи под углом. Обозначим через в угол
входа и выхода струи> тогда (фиг. 133 и 131): *
1— cos $ = 2 cos1 а, так как4 = 180° = 2а. (117)
Угол а здесь удобнее для расчета, чем 8.
Исследуем сначала струю до середины ударяемой поверх-
ности (вход), а затем, от середины до выхода. Сумма обоих ре-
зультатов дзет совокупность действия струи на всю поверх-
ность. Скорость w проектируется на горизонтальное направле-
ние давления; а так как w содержится также в,О, то в уравн.
(117 — 120) нужно подставить не cos а, а cos1 а (см. фиг. 133
> 134).
Основной вид уравнения:
Ps= (F • у • соэ а - w) • cos а - w\ G — F • у - tr. (118)
Ш
Удар струи при входе (фиг. 134):
• О
W ’ cos’ а -у* • Kf,
Реакция струн при выходе.
. G
w • cost а • —Ло *2-
(119)
(120)
Фиг. 133. / Фиг. 134.
Общее давление на всю поверхность:
_ Л _ G
Р =з 2 • w • cos’ а • — кг.
(121)*
Если ударяемая поверхность удаляется от отверстия
со скоростью и (см. фиг. 135), то в расчет принимается только
относительная скорость, и тогда давление:
Р=:2 • со»’а • (ш — и) т% кг, (122)
Фиг. 136.
Индикаторная мощность (фиг. 136):
Nl~' 75 Л'С'
(123)
<52
Наибольшая мощность получается при
««-у-соз’а • К]о. (124)
Для о = 0° 10° 20° 30° 45’ 90s
2-cos’a = 2 1,94 1,77 1,5 1 'О
Пример: Паровая турбина Лаваля, а=а20°, ^ = 0,8, w=^
— 1150 мсек; 6 — 2,3 кг пара/сех, и — 200 м]сек>
Давление на лопатку:
Р=1,77 (1’150 — 200)3^--0,8=315кг: •
У,о I
315 - 200
75
— 840 л. с.
Направление струи нормальное к середине поверх*
кости. 1. Для плоской л о верх кости (фиг. 137):
Р— (w — и) • • % кг. (125)
2. Для кривой поверхности (фиг. 138): да-
вление при отклонении струи на 90°, по уравне-
нию 116:
(•-и)у-1г (126)
, Реакция при выходе:
(w — и) cos1 а . (127)
Фиг, 137 и 133.
Следовательно, полное давление на всю поверхность (урав-
нения 125 и след.):
G
Р {w — и) • (1 + cos1 л) ~ (128)
Наибольшая мощность при 1
(129)
153
Пример: Колесо Пельтол*/ <7 — 38 л)сек» e = 28*, и =
= 22 MjceK, w = 35 м!сек, ije = 0,8.
Р = (35 — 22) • 1,77 • 0,» = 71 кг,
У |О 1
71 • 22
N/5=ii^ = 20,8 л. с.
/о
Изменение направления струи на 180°. Входит ли струя
поды сбоку, или она направлена в середину поверхности, всегда
з = 0. В обоих случаях (фиг. 139) мы имеем:
давление на лопатку:
Р=2 • (w — и) • ЧО кг; (130)
мощность:
—л. с. (131)
яЛг Наибольшая мощность при
Фиг. 139. й = -^-.т]д. (132)
\ z
ЗАДАЧИ К §§ 29—М
- 154, Удар. 1. Что такое удар двух тел?
2. Влкаких единицах удар выражается?
Ответ. 1. Ударом называется столкновение двух масс.
2. Работа удяра измеряется в кгм; величина ее равна потере
живой силы.
155. Назовите примеры удара.
158. НеупругиД удар при свободном падение Пусть тело
весом (}=30кг свободно падает с высоты Л = 5,3 .и (фиг 140).
1. С какой конечной скоростью тело достигнет
земли? х
2. Чему равна величина удара?
Ответ. 1. Конечная скорость о =>/2^9,81^5,Ъ=
= 10,2 MjceK.
2. Уничтоженная ударом работав G ► ft; вста-
вляя сюда А из вышеприведенного уравнения, получим:
Мы можем, таким* образом, измерить удар высотою падения
или конечной скоростью
154
Фиг. 140.
Фиг. 141»
157. То же лрй (7=<й> кг, й = 8ф м.
158. Упругий удар свободного падения. Тело О==Л5*г
надает с высоты Л = 6лс и лодпрыктет дояысагы Аг, = 2,1 м
Определить величину удара (фиг. 141).
Решение. Конечная скорость:
v = У 2 • 9,81 ^"6 = 10,5 м!сек.
Скорость подпрыгивания
с= j/2^8i~2J — 6,43 м!сек.
.. G Vs —с1 . 15 10,5s—6,43*
удар = _ ..___ =-------------------=
= 52,5 *глс
159. То же при О = 30 кг, й == 5 м, h^X
169. Вполне неупругий удар. Шар, весом 6\^=8кг, дви-
жется со скоростью ^ = 1,6^/^ и встречает шар(7ви=20кг,
находящийся в покое (фиг. 142).
_© © Чему равна величина ударе?
М.дптпФЙ 2. Какую скорость приобретают шары G\ и G,
Фиг. 142. после удара?
. Рхшюие 1. удар=Р^=^- .
2. Скорость после умр*
8-1,6 4-20.0 ,
—
161, То же при (71 = 4 кг, Gt —40 кг, vt=2 м]сек.
162. Шар 6, (в задаче 160) движется до
удара со скоростью Ц =» 0,8 м)сек (фиг. 143).
1. Чему равна величина удара?
2. Какую скорость приобретают шары Gt и Gt
После удара? t фиг> 14а-
Решение. 1. Если шары движутся, то:
(1,6 — 0,8)’ 8-20
-•8T2Q=°’l86'fWC ’
2. Скорость' после- удара:
163. Столкновение двух тел. Два шара одинакового-веса
155
М
V —
— Оъ — 3D ж сталкиваются со скоростью и< = Pt —12,5 м/сек
(фиг. 144).
1. Чему равна величина удара, если оба шара вполне не-
упруги?
2, В каком направлении будут двигаться шары после удара?
3. Чему равна величина удара, если шары
вполне упруги?
4’ каком направлении будут двигаться такие
шары после удара?
Фиг. 144. . Решение. 1. Для точного расчета можно вос-
пользоваться уравнением 93 § 29 f; для прибли-
женного расчета вставляем в уравнение 93 значение z = 2 из
12 5*
таблицы, тогда работа удара —2 • 30 • 3=8 кгм' *
2. Шары образуют одну общую массу и не двигаются.
3. Удар но.
4. Шары будут двигаться в противоположные стороны, с
прежней скоростью.
164. То же при G9 кг; 25 м/сек.
165. Удар. Пусть второй шар (в предыдущей
задаче) до удара находился в покое. Определить
(для неупругих ты) (фиг. 145):
1. Величину удара.
2. Скорость и направление явнжния шаров Фшг' t45‘
после удара.
Решение. Для ов = 0 коэффициент г = 0, поэтому:
1. Работа удара =— .,30 • 119/галс.
2. Общая скорость шаров после удара в данном случае
будете v — 1/1<Г1 в у, 12,5 = в,25 ж/мг.
Направление движения обоих шаров — вправо.
* 166. То же при (71 = (?,= 15 x?jVi=a20
Г Ц м/сек.
~Уд 1в7* СнаРя^ Ядро весом С = 38ка по-
rf ТТ^/Т падает со скоростью ©=110 м/сек в броню
корпуса корабля (фиг. 146). Определить:
'L4 1; Величину работы удара при v =
Фнг. Н6. ^UQM;ceK.
2. Величину работы удара при v =t 330 м/сек.
3. В какой зависимости находятся величины удара и скорости
между собой?
156
Решение. 1. Работа удара равна Живой силе ядра, что при
v = ПО м/сек и G =38 кг дает:
1102
удар= 38 • s—=23 500 кгм.
£ • 9,01
2. Для о = 330 м/сек имеем:
удар —. 23500 = 2Н 500 кгм,
т. е. 3’ = 9 раз больше. \
3. Удар возрастает пропорционально квадрату скорости.
168. То же при G = 7,6 кг; о = 900 м/сек.
169. Снаряд весом G = 14 кг попадает в
й
стену со скоростью пх = 350 м/сек, про- w g
с бывает ее и выходит из нее со скоростью
Фиг. 147.
р, = 110 м/сек (фиг. 147). Определить:
1. Живую силу*перед самой стеной
кгм.
2. То же сейчас же за стеной.
3. Величину работы удара в стену.
Рвшение. Перед самой стеной:
Живая сила = ~ = 87 000 кгм.
У,о1. £
За стеной:
и
В
14 ПО*
живая сила равна: = = 8050 кглс
Величина работы удара равняется разности жи-
вых сил, т. е. 87 000 8050 = 78 950 кгм.
• 170. То же при 1^ = 700 м/сек; о, = 220 м/сек;
б? = 30 кг.
171г Паровой молот с бабой весом (7 = 520 кг
работает под давлением на поршень Р=1250 кг.
Высота падения Л = 800ж/« (фиг. 148). Опреде-
лить; »
,e 1. Ускорение <р в м/сек?.
г- фиг. не. 2. Конечную скорость о в м/сек.
. 3. Вел ич инцу р аботы удара.
[ 4. Как можно вычислить величину работы удара более про*
р стым способом?
Решение. 1. Ускорение^
_ 19 SO
i- ’=5^+в’81=33’41л,/"**-
157
2.
3.
Конечная скорость
V— )/Г-33,41 < 0Л=;7,32 ,м/г/»< ,
Работа удара равна:
520 7,32s
§81 • = 1410 кгм.
Движущей силой является P-f- G; значит, работа удара —
4. j
= (Р + G) Л =« (1250 + 520) • 0,8 = 1410 кгмг
172. То же при 0 = 1040 кг\ Р=20Э0 кг, А = 1200 лл.
173. Железнодорожный вагон ударяется со скоростью о=2^5
м/сек в упорный брус туника. Вес вагона с грузом G = li 500 кг.
Средяеенатяжовиебуферныхиружин Р= 1000 кг
для каждого из обоих буферов; сжатие пружин ,
/= 10 см (фиг. 149).
Определить: 1. Живую силу вагона в кгм.
2. Живую силу, поглощаемую действием Фиг. 149.
буферов.
3. Величину удара в упорный брус.
4. Допустимую скорость вагона, если буфера должны воспри^
нять на себя всю силу удара.
Решение. 1, Живая сила
G v1
£= X . ~ = 3670 кгм •
S 2
2. Живая сила, поглощаемая действием вуферов. *)
Ef = 2 X натяжение пружин x сжа-
тие 2 X 1000 X ОД «200 кгм.
3. На упорный брус приходится только
разность
G,
Фиг. 150.
= Е—Е' =t 3470 кгм.
4. Тогда необходимо, чтобы
£=£.£==£'= 2М кгм.
g 2
отсюда v = 0,59 м/сек.
174, То же* пр Vi 0 = 5750 кг,
» 1620 кг, 20 см*
175. Копер. Вес бабъг &х ts^210 кг, вес сваи Ot = 60 кг. Глу-
бина осаживания сваи при каждом ударе $ = 0,08 м. Средняя
высота падения Л = 0,9 «и (фиг. 150).
Сравни ,Расч»т буферных пружин-, атфИ f*M.
158
Определить: 1. Теоретическую величину работы бабы в кгм
2. Потерю живой силы при ударе в кем.
3. Полезную работу в кгм.
4. Коэффициент полезного действия. \
б/Сопротивление сваи в кг. ~ .
Решение. 1. Теоретическая величина работы удара =
= 210.0,9=189 кгм.
2. Потеря живой силы при ударе:
210 • 0,9 (1 — 2)0 + бо) 42 *****
3. Полезная работа = разности между работой бабы и пи*
терей живой силы при ударе, т. е. полезная
189 — 42= 147 кгм.
4» Коэффициент полезного действия:
210 _ '
Т|~2Ю4-60-'0,7&‘ '
5. Сопротивление земли осаживанию сваи
лучаетс*' из уравнения 96:
176. То же. при Сг. =400 Ktt (/, = 100
8 = 0,04 м, h = 1,2 м.
177. Копер ручного действия. Пусть вес бабы (7 = 150 яг,
средняя высота падения h = 0,8 м (фиг. 151).
1. С какой силой один рабочий тянет в среднем за канат?
2. Сколько нужно рабочих?
3. Какую работу А должны затратить рабочие для того,
чтобы’в течение 1 минуты произвести Л =10 ударов?
Решвнив. 1. Каждый рабочий тянет за канат силою
р=14кг.
2. ’Необходимое число рабочих:
работа равна
Фйг/151
3. В 1 секунду затрачивается:
к д G • Л « я 150 • 0,8 • 10 ,
работа А = - • — = — --------------== 20 к г mi сек,
178а То же при (? = 390jrx, Л .= 0,9 ж, /1=15 ударов»
/ I»
179. Паровой копер. На прилагаемом рисунке показана
установка, при которой баба автоматически освобождается в
точке Е и падает (фиг. 152). Пусть вес бабы С = 400кг; сваи
требуется осадить нв I =* 1,8 м\ h —
4 м\ скорость, подъема бабы—
® 0,9 м сек. Определить:
1. Наименьшую и наибольшую
высоту падения бабы в м.
2. Величину ударов в кгм.
3. Время подъема бабы.
4. Эффективную мощность ло-
комобиля в л. с.
Фиг. 162.
Решение. 1 Наименьшая высота падения 2,2 М Наибольшая
2,2 +1Л== 4 м.
2. Наименьший удар А = Q (h — l) =,880 кгм.
Наибольший удар A = G h —1600 кгм.
4
3. Время наибольшего подъема Г = д^ = 4,4сек.
4. Мощность локомобиля:
гирька
Фмг. 163.
м 6,9-400 1600 , л
N==—75“ или 5 Л'с-
180. Измеритель силы удара. Пусть вес гирьки Gt»l,5«e;
вес молотка Qt =s 12 кг (фиг. 153).
L Какую начальную скорость должна приобрести
для того, чтобы подпрыгнуть на высоту ft —4^?
2. С какой скоростью и должен молоток
Gj ударить боек?
Решение. 1. Начальная скорость
с «= /2gS «= |/2^9,81 - 4 а= 8,85 м/сек.
2. Коэффициент полезного действия:
Р
Преобразуя уравнение, получив;
у Т-<1-‘Ч)7ТГ + +2-{
отсюда скорость молотка
9 ~~ V 12.0,89 ~ 3,32 м,еае’
МО '
I
181, Бурильный молот. Пусть d=90 мм9 ^ = 45.#*, ход
' поршня $ х== 230 мм, давление воздуха р —- 4 атм, вес G = 20 кг
Определить количество ударов в минуту при горизонтальном
положении (фиг. 124).
Вычислить: 1. Давление на поршень Р для хода вперед.
2. Ускорение ф для хода вперед.
3. Конечную скорость v для хода вперед.
4. Продолжительность хода вперед.
5. Давление на поршень для хода назад.
6. Ускорение для хода назад.
7. Конечную скорость Vj для хода назад,
8. Продолжительность хода назад.
9. Количество ударов в минуту.
Решение. 1. Давление на поршень при ходе вперед;
Р = ^9* • 4 = 254 кг,
4
а отсюда получается:
2. Ускорение
-' = 20-9,8!”‘W’
3. Конечная скорость
v =» У 2 • 124,6 • 0^3 Я» 7,57 м/сек.
4. Продолжительность хода
/ = 2^0^а 0,061 сек.
1,01
5. Для хода назад давление на поршень
Р, = j (9’ — 4,5*) • 4 = 190 кг.
6. Ускорение
7. Конечная скорость .
х V,®= У5 • 93,2 - 015=ДО ,
8. Продолжительность хода" х
6»55 \ *5» ; 4#
9 Число ударов: *. \ 1 • х*
50 ч ’ • -х . У
Я==0’9 • 0,061+0,07 ~ 410 • мияуту
11 Г. Х«*.р- 161
182, То же лри xf = 70 мм, tf, = 35 мм. t=190 мм\
р « 5 атм\ G 16 кг.
Удар жидких и газообразных тел. Скоростный напор.
Что такое скоростный напор?
Ответ. Скоростным напором называется измеренный в ме-
трах водяного столба напор, который, вследствие разности веса
столба и атмосферного давления, дал бы
скорость истечения жидкости w.
183, Пусть из отверстия выходит газ со
скоростью «1=3,8 м/сек (фиг.. 154).
1. Чему равен скоростный напор?
2. Какому давлению р в атм соответствует
этот напор у выходного отверстия?
Решение. L Скоростный напор
^=ГЖ = О-735'“-
2. Так как 10 м водяного столба — 1 атм,
-то давление t
*нг- 1И< /> = 0,735:10 = 0,0735 атм.
1 '
184. То же при м/сек,
185. Работоспособность. Что такое работоспособность га-
зообразных или жидких тел?
Ответ. Работоспособность есть та мощность в кгм/сек, ко-
торую может развить данное количество вещества.
186. Напишите уравнение работоспособности, edwc G—ко-
личество вещества в кг, вытекающее .в 1 сек. В каких едини-
цах меры оно выражается?
Решение. Работоспособность равна весу be- _________jJ
щества х скоростный напор, т. е. работослособ- ±
ность равна: тши ^1
р »* » , ’
' ф*г- 165-
Размерное ;ь кгм!сек.
187. Струн пара. Пар под давлением в 7 атм выходит на
воздух со скоростью w=z4QQ м/сек через отверстие диаметром
d — 20 мм (фиг. 155).
I. Чему равняется давление (или удар) струи да плоскости,
перпендикулярную к направлению струи?
Ч Жижи cjut Прим. рей.
162
£ Черев отверстие вытекает 500 кг пара в час. Как велико
давление на эту плоскость?
Решение. L- Для вычисления удара нам нужно знать коли-
чество вытекающего пара в кг] се к. 1 м1 пара в 7 атм давления
(абс.) весит 3,66 кг; следовательно, вес '
О=Ц-к:4) -0,02* <400 «3,66 7=0,154 *2,
удар струи
Р = 400-^=18,5 кг.
2. Вес вытекающего в 1 сек. пара равняется:
J°^ = 0,139 кг,
tjU • ои
получается скорость
w -----= 123 м/сек,
-j-• 0,02* • 3,66
4
следовательно удар
Р=* 123 *0,139 :9,81^ 1,74 кг.
‘ 188. То же при w=100 м/сек; ds=30 мм.
<189. Струя жидкости, вытекающая в количестве G^12kzb
со скоростью w=^ 4,3 м/сек, ударяется в
положенную под углом к направлению струи
(Лг. 156).
if Какой груз Q может это давление уравно-
весить:
1. Если ух;ол Ь— 35° и а~£?
2. Если угол 5 = 70° и а ==£?
Ршпгнив. 1. При одинаковых плечах ры-
та Q = P должно быть'
Q^P=^35° 4,3 =
2. Для * — 70° получается;
Q Р=^ sin* 70й * 4,3 • 12 : 9,81 = 4,6 кг.
190. То же при 5=45°; w = 5 м; G = 20 кг; а : b я» 2.
181. Клала*. Из отверстия, сечением F=x0l03^t, вытекает
шость со скоростью w^\fiM/ceK\ тсв800де/ж* (фиг. 157).
Определить: 1. вес вытекающего в 1 сек количества жид-
w в кг\
плоскость, рас-
Q
Фиг. 146.
168
вес
’ и имел: I
Фиг. 157-
Р клапана, если требуется, чтобы он плавал в струе
угол конусности — 45° и II угол конусности
Решение. 1,’Вес вытекающей жидкости
^G=F- w • 7 = 0,03 • 1,8 • 800 ~ 43 кг. .
2. I при 5 = 45° получим вес
P=(l —cos 45°) • 1,8 « 43:9,81=2,3**.
Ц при 3 = 90° выражение (1 — cdsty превра-
щается в единицу; следовательно вес:
Р= 1,8 * 43:9,81 =7,9 «г.
Из этого видно, какое громадное влияние оказывает угол
конусности клапана на нагрузку на клапан. I
192. Клапан. Какое влияние имеет угол конусности клапана
на необходимую нагрузку клапана (фиг. 158)?
1. Если клапан находится сравнительно далеко от гнезда.
Начертите схему для угла конусности = 0°, 3(Г, 45°, 60° и 90е.
: М
S.<f
I
JO*
Фиг. 168. \
Ш
во*
* * .
•о
2. Если клапан расположен совсем близко к
•г
отверстию
гнезда.
Решение.
должна быть
1. Чем меньше угол конусности
нагрузка на клапан. (Это, однако,
8,
только в том случае, если клапан удален от
отверстия гнезда не менее, чем на величину
дйаметра отверстия.) w
2. В этом случае угол конусности не
играет роли, так как тогда мы имеем дело
не с ударом, а только с гидравлическим
давлением.
193. Водяное колесо, Из сопла вытекает
в секунду С? = 24 кг жидкости со скоростью
тем меньше
действительно
е» 18 м/сек. Окружная скорость ломгок ж—4,5 лг'ггг (ф»г.
Определить:
1. Полезную скорость в м/сек.
1М
Г-
2. Полезное касательное давление Р, если коэффициент по-
лезного действия колеса т)0 = 0,7.
3. Мощность колеса в кгм! сек.
Примечание. В уравн. (115) теоретическое давление струи на
лопатки обозначено буквой Р, между тем как в уравнении 130
буквой Р обозначено полезное действие (принимая во внима-
ние коэффициент полезного действия tj0).
Решение. 1. Здесь нужно принять в расчет разность скоро-
сти струи и окружной скорости лопаток.
1. Полезная скорость равна:
18^4,5^=13,5лс/сем.
2. Теоретическое касательное давление
Р—— 13,5 • □ о, —33 хз,
•7,0 1
полезное давление
Р1==р.^ = 33.0,7 — 23,1 кг.
к
3. Теоретическая мощность на окружности:
А = Pt • {w — и) —23,1* 13,5 ~ 312 кгм/сек.
f. *. На валу мощность несколько меньше, а именно, на велн-
' чину трения в подшипниках вала и сопротивления воздуха.
194. То же при w = 30 м/сек; и —
'С *=8 м/сек.
1195. Давление струи. На вогну-
тую поверхность ударяет под углом
а=22° количество жидкости G = “----
— 32 кг в секунду, со скоростью w «« ИВ t >
*^24м/сек. Определить теорети
ческоедавление на поверхность Фвг* 16°*
(фиг. 160).
Решение, Давление зависит только от веса жидкости и от
скорости, которою она обладает в момент удара о поверхность.
> Если эта поверхность неподвижна, то:
" P—w • cos’ в • - = 24 • 0,427* • =07 кг.
S V,al
196. То же при asss45°; G —16 кг; ® = 35м/сек.
197. Давление струи и обратное давление. Поверхность
имеет двойной изгиб для того, чтобы угол выхода струи также
равнялся ае=22дэ (фиг. 161),
1М
Насколько увеличится вычисленное в пре-
дыдущем примере давление?
Решение, Для выхода струи принимается
в расчет обратное давление, а именно:
Обратное давление
w cos’а • — = 24 • 0,427’ . ^- = 67 кг.
Фш 161. g 9,81
Следовательно, давление входящей струн на лопатку равно
давлению выхоДящей струи, так что полное давление на по-
верхность лопатки ,
Р=67 + 67 = 134 «ъ
9 85. Трение*
При движении одного тела по поверхности другого (как бы
нм были гладки соприкасающиеся поверхности) возникает тре-
ние, препятствующее движению. Смазочные вещества могут
только уменьшить трекие, но не уничтожить его. ’
Различают трение (су^их и смазанных поверхностей. Трение
сухих поверхностей может быть: либо трением покоя, либо тре-
нием движения.
а) Трение сухи* поверхностей. Причиной трения сухих
поверхностей является неровность (шероховатость) соприкасаю-
щихся поверхностей. При скольжении одной поверхности по
другой движущаяся поверхность благодаря неровностям должна
приподниматься над неподвижной i поверхностью.
При этом выступы на поверхностях испытывают деформации
таким образом, что угол наклона в состоянии покоя рс (фиг. 162)
уменьшается до угла наклона в состоянии движения р (фиг. 163).
Фжг. 16L Пако*.
Фжг. 168. Джнжгкне.
Тогда сопротивление трению равняется tgp • • Р (трение
сухих поверхностей при движении).
Коэффициент трения для сухих, поверхностей зависит толысэ
от нормальной силы Р и состояния скользящих поверхностей м
1вв
г
ШШ
не зависит от удельного давление и от скорости скольжения
(закон Куломба).
Ь) Трение смазанных поверхностей. Трение жидкостей
получается, когда на обеих поверхностях имеется слой жидко-
сти такой толщины, что поверхности, переме-
щаясь одна относительно другой непосред-
ственно при движении друг друга не ка-
саются. При таком трении, когда поверхности
отделены друг от друга слоем смазочного
вещества, коэффициент трения зависит от
скорости» удельного давления (давления на
единицу йоверхности), от температуры и от
материала (фиг. 164).
Различают: 1) трение скольжения, 2) трение цапф» 3) тре-
ние катания.
§ 36. Трение скольжения.
Трение скольжения имеет место у обыкновенного криво-
шипа с шатуном, направляющих двигателя, рамной пилы, стро-
гального станка и проч.
а) Сопротивление трению. Пусть Р давление тела на
опору в кг, р коэффициент трения по табл. § 39 (см. ниже)
(фиг. 165), тогда сопротивление фению равно
Фиг. 164.
рода смазочного
Фиг. 16&. фиг. tea. Фиг. 167. Фиг. 1ЗД.
Форма и величина опоры (напр., полукруглая, как показано
на фиг. 166, или с выемкой по ширине, как показано на фиг. 167)
на коэффициент трения не влияют,
' Пример: При движении стального тела ве-
сом 30 кг по бронзе сопротивление трению ч
равно 30'0,16 = 4,8 кг, В случае давления
* пружины, равного 300 кг (фиг. 168), солро-
Фжг. 1S9. тивление трению составит (30 + 300) • 0» 16—
= 52,8 кг.
Ь) Работа» затрачиваемая на преодоление трения. Если
нужно переместить тело на з метров (фиг. 169), то затрачивае-
мая работа на преодоление трения быть равна
р • Р ♦ а кгм (134)
й-у ' . ,и
Пример: Если в предыдущее примере тело передвигается
без пружины на з = 3,4 м, то необходимо затратить работу,
равную 4,8 • 3,4 = 16,3 кгм,
с) Мощность, затрачиваемая нд преодоление трения.
Для определения величины мощности мы должны ввести в рас-
чет продолжительность движения / в секундах или среднюю
скорость о в м{сек. Тогда мощность будет равна '
•
1 . jb.p.s. — • |» • р -V л. с. (135)
Пример: Если в предыдущем примере требуется, чтобы тело
прошло путь з в сек, то необходимая мощность '
d) Трение при ускоренном движении* Если нужно приве-
сти тело из состояния покоя в состояние движения или сооб-
щить телу большую скорость, чем та, которою он в данный
момент обладает, то необходимая для этого движения сила Z
слагается из сиЛы на преодоление сопротивления трению и силы,
вызывающей ускорение.
+ »(13б)
Работа:
Z : з кгм.
Мощность:
^-Z-va.c. . (137)
Ускорение э определяется согласно § 19.
Если скорость тела убывает, то сила Z равняется соп|к>ти-
ыеяию трения минус сила, вызывающая замедление.
Относительно трения на наклонной плоскости см. § 44.
$ 87. Тренне в подпятниках. Г
/ *
Треше цапф, собореяно говоря, есть также трмме оюаь-
еяиа; одяако месь имеет значение радиус трения у, пк как
мв . ??
. j • ’ . ' . - . • - - .Л
скорость v =у ‘ 30 ’ ’ ‘ я> ГАе зб * * * л есть Угловая скорость.
Давление распределяется неравномерно по Поверхности тр<-
? ния, возрастая от окружности к центру; дня расчетов прини-
t мают среднее давление, приходящееся на 1 еж9 и называемое
’ удельным давлением.
Введем' обозначения: Р~— вертикальная нагрузка в кг, f—
площадь трения в см9 минус ОД этой площади на смазочные
. канавки (см. уравнение 138), у — радиус трения в метрах, q—
*ч удельное давление в кг/см9, q^ — давление в кг[см9 на на-
J ружной окружности, ?вн — давление в fczjcM1 на внутренней
окружности»
ц L Таблица давлений на поверхность, радиусоь
Г । трения, с кор осте й. '
ч
ч г=0 0,1 я
й №0,5 Я 0,55 Я
j ^h.=°°-7 5,5 q
W = ®’5? 0J55q
плою. /=2ДЯ^ 2,4В Я*
Ял
^>л^4800-у-1>Я
15.
Я-л
17
р0 q-v-R
0,25 Я (1) о^я
0,63 Я (2) 0.75Я
2,5 q (3) l^q
0,63 q Ю 0,75 q
2,35 Я’ <5) 1,88 Я’
(6)
Я’Л
13 ,
2400.^-в-Я
R • п
15
3&X)q-x>R(7)
ИО
За единицу допускаемой работы трения принимают работу
в кгм/сек., приходящуюся на 1 см* поверхностей трения, так
ках отвод тепла в окружающий воздух лучеиспусканием через
внешнюю поверхность подшипника возрастает почти прямо про-
порционально поверхности трения.
Йлощадь трения: /= (* • — п • г1) • 0,8 см* (138) /
Удельное давление на поверхность: P.f кг/см*. (139)
P-Lr
Радиус трения у = —J— м для сработавшихся цапф. (140)
it
Окружная скорость трения:
V = ggy . it • п м/сек, (141)
Момент тления: Af=p • q у кгм/см*, (142)
Работа г ренин: A = q < р v кгм/см* сек. (143)
Полное, количество тепла, развивающегося в каждую се-
Л •/
кунду:-££~ кал/сек, . (144)
Коэффициент теплопередачи:
Ь = ¥—^?£а=0,42А на 1 ел**, 4200 А на 1(145)
Л. Таблица
вспомогательных величин для расчета пят.
' Качество выполнения
Допусяяемые величины
Из 3 частей, лучшее
выполнение ..... 0,05
Хорошее выполнение. 0,07
Обыкновенное выпол-
нение ........... • ОД
20
12
7
кг/см*
150
100
60
кг/см'* на с*1
70 0,5
40 ' 0,35
на л»
(8000)
(8800)
(3000)
170
UL Таблица давления на поверхность, радиу-
сов трения и моментов трения для пит наиболее
употребительной формы (в приработавшемся состоянии).
s-
1
§
а
О
Э
6^ и»
S.S.8
#1= II
/? R Г В СМ Давление на поверх». q в кг/см* у, Я и г в м Примечание
Радиус трения У » * Момент х трения М в кгм
1 • почти со ПОЧТИ нуль почти нуль Применяется только для очень малых нагрузок
• р *-R* 7? ‘ 2 P R^ sin а ' 2 Невыгодно, так как при малом угле а момент очень велик
р /? + г
> и sin а 2
1 р т..р» 1 0,63-7? jip.0.637?
р n-R* 0.56-/? t Н-Р’0,56Я Часто употреб. для верти к. ва- лов, мельничных поставов, цен* трофуг и т/д.
| *•R* 1 R 2 txP.O^./?
р R±r R и г в м 1
R иг в ем 2 У> ‘
171
§ 3& Трение на цапфах.
Пусть Р—давление цапфы в кг, р— коэффициент трения
согласно таблицы § 3,9 тогда здесь также сопротивлевие тре-
нию равно ♦
Р'Ркг. (146)
Форма «4лф« Р1 Я, г в см Давление q кг/см* У' R, Г ьм
Радиус трения У в м _ Момент тредея М. в кгм
Цилиндрич. | р 2 R 1 1,27 • R ^.-P-X^J-R
Шаров. р 2-RI 1,27-/?*) р.*Р-1,27 • Я
г & X о 2Р (R+r)-l /?, ) в см 0,63 (/? + /) У. it._fL.o,63 (/?+ и r cose ' ' R, г в м
.1
а) Радиус трения у. Давление (нормальное к поверхности
вкладыша подшипника) распределяется не равномерно по ра-
диусам, а, как показано на фиг. 170, по отдельным элементам
1) Коэффициент трения k если цапфа работает по цилиндрической по
верхметн
»ц - 4 I*—,,я ► '
т
поверхности. Вследствие этого радиус трения больше, чем /?,
как видно ив предыдущей таблицы, а именно:
— • R = 1,27 R.
7Г
Ь) Момент трения. Для него существует за-
висимость: \
иом. трения = сопротивление X радиус трения.
Р • Р • у кгм.
•с) Работа трения прямо пропорциональна угловой ско-
кл
рости и .равна .
UV
А = |л • Р • у . кгм;сек, (148)
OU
где л —число оборотов цапфы в мин.
d) Давление на поверхность, радиус трейия и момент
трения для наиболее употребительных форм цапф (см. табл,
на стр. 172).
Пример: Пусть давление ва коренной подшипник паровой
машины />=5300 кг, диаметр цапфы 2/? = 0,21 м (цилиндрич.),
л —95 оборотов в мин.; тогда по табл. §39 берем р. = 0,05
(баббитовые подшипники);
I
согласно уравнению 146
* таблице § 39
, уравнению 147
в уравнению 148
следовательно:
сопротивление трению
= 0,05-5300 = 265 кг,
радиус трения
у =1,27.0,105 = 0,133 м,
момент трения
М = 265 • 0,133 = 35,5 кгм,
работа трения
А = 35,5= 355 jctMjotK
uU
N = —= 4 7 л с..
75
ITS
$ 89» Коэффициент трения скольжения.
(По Морену и др,).
/ Применение Материм н
Дви- жение Покой
Подшипники для двигате- 1 лей, точное выполнение ] Подшипники для вагонов 1 и т, п. абыкн, выполнение ) Подпятники Ползуны (крейцкопфы, по- 1 перечини) | Поршень паров, цилиндра Поршень водяных насосов Сальники , < Шлифовал, камни, крупно- 1 зерн. песочн. камень | Шлифовал, камни, мелко- 1 зерн. песочн. камень | Кирпичная кладка« . . « < На растительном грунте | Сталь по бронзе » . . баббиту . . чугуну „ , стали Чугун по чугуну Чугун по стали или баббиту Чугун по чугуну Сталь^ , , Кожа 9 Кожа по чугуну в грязи, виде Хлопчато-бум. или пеныс. набивка Металлич. набивка по чугуну • стали и железу . чугуну , стали и железу Камень по кирпичу Сухой и тверд, грунт Влажн. и глин, грунт по бетону (сухому) • *1 | | | «-‘ О О О о О О О О О О О О Q о о о 1 ги § Й ft a g** - g 8 8 2 ~8 К ~ 8 8 од од 0,15 0,1 0,12 ОД 0,3 0,35 0,85 0,65 030 0,75
1М
Коэффициенты трение для зубчатых колес.
Для зубчатых колес коэффициент скользящего трения
принимается обычно:
для чугуна по чугуну или бронзе легкая смазка р =0,15
с водой = 0,31
железо по железу . • ^^угуну или бронзе сухие поверх». • » = 0,44 = 0,18 .
бронза по чугуну » • = 0,21
. f железу легкая смазка = 0,16
> » бронзе сухие поверхн. = oj2i
Сани. Не обитые и несмазанные дерев; полозья ц = 0Д8
на глади, деревянн. J смазанные сухим мылом =0,15
или камеццые пути ( , салом = 0,07
Необитые деревянные полозья по снегу и льду = 0,035
• * 9 9 • « = 0,02
1
§ 40. Трение качения.
Пусть Р— давление на опору в кг, Z —сила тяги для дви-
•' ження в кг, о —скорость центра катящегося тела в м[сек>
; ‘ А « L • v кгм!сек — работа трения, /— коэффициент трения или
плечо трения в сж, г—радиус катящегося тела в см (фиг. 171
и 172).
Фиг. 171.
Фиг. т.
Фиг. ГКь.
Число роликов безразлично. Для колес Z увеличивается на ве-
личину трения цапф. Безразлично, где точка приложения силы
тяги: у Z или у Z\
Коэффициент трения качения.
Бакаут по бакауту /=п 0,046 см.
Вп по бакауту /««0,08 см.
Жележ/ по железу (сталь по стали) /«0,06 до 0,1 см.
17». •
§ 41. Повозка на горизонтальной плоскости.
Определить величину отдельных элементов трения, слагаю-
щегося из трения цапф в ступицах и трения качения по окруж-
ности колес, почти нет возможности, так как на нее влияет • j
конструкция повозок, род смазки, ширина колеса и проч,
(фиг. 173). Поэтому удовлетворяются обобщением обоих родов
трения и выражением их одним приблизительным коэффициент .
том 1*. - •
. Сопротивление трению = G * jx кг, (149)
где G—вес повозки с грузом, — общий коэффициент трения. ।
Общий коэффициент трения р..
Жел.-дор. колея (прямой участок).........р=«0,005
Колея городских жел. дор................. 0,015
М о с т о в ы ет4
Хорошая асфальтированная мостовая. .......... '0,010
Отличная булыжная мостовая и хорошая шосси-
рованная улица.................7,............ 0,015
Хорошая торцовая и булыжная мостовая......... 0,020
Шоссированная дорога в хорошем состоянии . . . 0,025
Плохая булыжная мостовая и плохо шоссирован-
ная улица ......................>............ 0,035
Очень плохо шоссированная улица и хорошая грун-
товая дорога................................. 0,050
Грунтовые дороги разные, полевые дороги и сы-
пучий песок.............................. . 0,1—0,3
Сила тяги одной лошади на равной дороге при одиночной
упряжке уменьшается:
для парной упряжки на............ , 2%
„ тройной , я . ................., 10%
» упряжки четвериком на . ♦.......20%
, „ пятериком , ..........25%
. . ! . шестериком...............30%
9 , восьмериком е . ».......40%
176
Скорость и сила тяги одной лошади на рой- »
ной дороге при 8—10-часовом рабочем дне:
Скорость движения 1 »= ! Трогание с не ста 0.1 0,36 Медленным шагом Быстрым ШАГОМ Рысью
0,26 0,9 0,5 1,8 0,75 .2,7 1 3,в 1.25 4.5 1.5 5.4 Л 7,2 2,5 ж/сен 9 км/час
Легкой, лошади, вес 200 кг... . 100 72 60 —г* 40 30 20 15 7 3 ме
Средней лошади, вес 300 жг... . 150 110 90 во 45 35 20 10
Ломовой лошади, вес 400*2. /•!. г ; 200 140 120 80 60 / 45 25 у /
При угле Подъема а сила тяги лошади уменьшается на
собственный вес лошади X tgo. (150)
. • ‘j Z / .
1. Пример: Ломовая лошадь может при скорости
, ' • ^.<*Жк1Д5 ЛГ/СМГ
развивать.силу в 45 на протяжении пути в
дг 10-часовой рабочий день; 4 Лошади дали бы не 4-кратную
мощность, а согласно таблице 35, е,
0,8-4.45^144 лх
... Пример: Для передвижения ломовой повозки весом'
3000 кг с грузом в 30 000 К9 по хорошей горизонтальной бу-
лыжной мостовой требуется 33000.0,02 = 660 кг. Ломовая ло-
шадь можетчюгласно таблице, при скорости 0,5 лг, тянуть 120 кэ.
Следовательно нужны 660:120 6 лошадей. Но по данным
на стр. 176, каждая лошадь при* упряжке шестериком дрнет
на ,Э07е меньше; поэтому требуется 660: (0,7 • 120) ««8 ло-
шадей. .(Затраченная мощность будет = • 660 • 0,5=» 4,4 л. с)
л r. xw ’ , \п
§ 42. Торможение поезда.
Здесь также основной формулой является уравнение (149).
Если требуется остановить при помощи тормоза движущийся
поезд , то можно величину общего коэффициента трения р, отне-
сенного к полному времени торможения, считать в среднем со-
гласно следующему:
Скор, в км/час ~ 10 20 30 40 50 00 70 80 90
Среда, зяачен. ^^0,2 0,16 0,14 0,13 0,12 0,11 ОД 0,1 О,6о
Пример: Поезд из 18 вагонов весом по 15000 ^2 должен
быть остановлен при скорости в 60 км/час. Согласно приведен-
ной таблице берем р=0,11; тогда среднее сопротивление тре-
шло = 18 -15000 • 0,11^28500 кг.
Затем определяем, согласно § 19, с, замедление >
28500-9,81 l nj '. < v .
v “ 18 • 16 000 в1,04 м/ce/fi,
а согласно § 14 скорость, путь и время торможения (случай
равномерно замедленного движения при конечной скорости —-0):
„ амо»'т /
Начальная скорость с =« 18,7 м/сек, 4
Путь торможения в =» 16,7*: (2/рХИ) = 134 м.
Время торможения t = (2 • 134)16,7«=* «б сек, /
f 43. Повозка на наклонной плоскости.
К сопротивлению трения, определяемому из" уравнения 149
» (см. фиг. 174), прибавляется еще влияние для преодоления силы
_ тяжести, так что
0^7 усилие, параллельное наклони?# плоско
’ стн, равно _
_ О • сов а • р. О • З1пкл (151)
фИг. pa. Для приблизительных и сравнительных
Р*14"0’ рекомендуется пользоваться таб-
жося. лицей § 41.
$ 44. Наклонная плоскость. ч
Ч L БеНЛ учета трения. ' •
Необходимо сначала выяснить два понятия: нормальное да,'
вленае и сила, параллельная наклонной плоскости. Обе силы
определяются графически и зависят от' веса G и угла наклона
а наклонной. плоскости к горизонтальной (фиг. 175)» В нижесле-
дующих примерах угол а выбран в двух вариантах: большой и
малый угол.
а) Нормальное давление,
т. е. давление, перпендикуляр-
ное к наклонной плоскости.
Ъ) Сила, параллельная на-
клонной плоскости, т. е. со-
ставляющая силы тяжести, дей-
ствующая по направлению, па-
раллельному наклонной плоско-,
сти (не принимая в расчет
трения).
< л большой ец « малый
Йорм. давл. г О • 5°^’* (I®2)
<С « большой *СС малый '
Сила, паралл, ваш. пл. = G • sin «. (168)
Если эту составляющую силы тяжести заменить
C&l1 равной по величине и протавополЬжно-напра-
елейной силой (Osina), то получится состояние
йрЧ ? „ равновесия, причем трение нами, пока не принн-
мается в расчет (фиг. 175). При таких условиях
тело должно скользить вниз уже при самом малом
Фиг. 17Б. увеличении наклЬиа. »
П. Влияние трения.
Если р — коэффициент треция, то для состояния равновесия
‘ имеем:
Z~G-cosp‘p4- О* sin а ' (154)
Сопротивл. Сопротивл. трению силе тяжести
♦«г. 176—177. Zo — О . сова • р— О sin а (155)
Пример: 0=810 кг, р=0,12
вверх по 154: Z= 810-0,97-0,12 + 810-0,26 = 304 кг.
•< ваиэ по 155: Z. = 810.0,97-0,12 — 810-0,26=^ 116
* / ,479
/
Для получается величина отрицательная; это обозначает,
что тело под влиянием составляющей силы тяжести само сколь*
зит вниз. . '
Нижеследующая таблица дает понятие об изменениях отдель-
ных величин в связи с изменением угла наклона а
Сила тяги Z, необходимая для G = 1 кг.
' 1 i. •
11 111 Г а ^Яре 4
Z* Угол наклона , ,вз= 0е 5’ 1(Р 30° 45е 1 60* 90°
Нормал, давл. G • cos а = 1 1 0,98 0,87 0,71 0,5 нуль
Сила, паралл. накл. плоек. G • sin «=: нуль 0,09 0,17 ОД 0,71 0,87- 1 1
II о 1R' т N II • 0,05 0,14 0,22 0,54 0,75 0,89 ‘ 1
р.-~0,10; р=ч 5’40'3 = 0,1 0,19 0,27 0,59 0,78 0,92 1
[*=0,15; р= 8°307= 0,15 0,24 0,32 0,63 0,81 0,04 1
t*t=0,20; p = lle20'Z= — 0,3 0.29 0,37 о,б7 0,85 0,97 I
Пример: = а=5°, р^0,15 получим согласно
таблице 2=0,24 * 780 =187
Ш. Угол трения.
Углом трения называется угол наклона плоскости к горизон-
тали, при котором тело^ лежащее на плоскости, еще находится
Фяг. 178. v ' Фиг. 174.
в покое, т. с. не скользит вниз (фиг. 178). Следовательно нужно,
чтобы;
откуда
Q • ato«=0 ♦ со® 9' р:
sing
сова
«50)
«57)
г
Значит, для каждого коэффициента трения р> существует опре-
деленный угол трения, который обозначают буквой р, т. е.
. tgP = F- О58)
На фиг. 179 показано несколько углов трения р с отметкой
соответствующего коэффициента трения р.
IV. Ускорение по наклонной плоскости.
В уравнениях (154) и (155), сила Z или Z, есть та сила, при
кбторой тело находится в равновесии. Если же телу, находяще-
муся в состоянии покоя, нужно сообщить ускорение, то для
этого требуется особбе усилие, а именно:
Необходимая движущая сила = ускроенке х масса
G
Таким образом полная сила тяги будет:
при движении вверх = Z 4- чр —,
Z
* Г G
при движении вниз =sZa + ^*y,/
где Z и Zo берутся из урайненкй (154) и (155).
(159)
(160)
(161)
Если угол а больше угла трения р, то. Zo получится со зна-
ком минус (фиг. 180). В остальном действительны все формулы
для <р, з, tt с и V, выведенные для прямоли-
нейного движения согласно §§ 14 и 19. 1
Пример: Берем задание предыдущего при- <
мера: G = 816 лгг, а = 15°, Z —304 кг,
= —116 яг» начальная скорость = 0, путь s — _ f
= 8,4 м, время /=3 сек. Тогда согласно § 14: '
<Р — ^4г^ =’.87 */««’•
3м 1 1 Фиг. 180.
Следовательно, полная сила тяги при:
движении вверх = 304 -f- 1,87 • 453 гг,
810
движении вниз 116 + ТдоГ — ЗЗ'Хг.
* У,о*
V. Качение по наклонной плоскости.
Качение происходит под влиянием нее той же составляю*
щей силы тяжести, параллельной наклонной плоскости и равной 4
•\ . - ’ Ш
G • sin а. Эта сила приводит массу тела во вращение и со-
общает ей ускорение. На скорость, с которой круглое тело
скатывается по наклонной плоскости, влияет главный образом
момент инерции тела. Обруч скатывается медленнее, чем шар,
так как массы первого удалены от оси вращения дальше, чем
второго.
Если не принимать в расчет трения, то получим :
Об^уч ..... Цил ин др - » Шар |’ *
1 —1,R"
Момент инерции Скорость » V = Ускорение ? = Окружное усилие = (G:g)-r* 0,7Г|/2-$-Л ‘/«-.g-Slna 7,‘G-sina 0,82)/2-g-h *lrg- sine ’/»-G-slna (<?:$)♦ 0.4 И 0,85|/2.^-Л l/r-g .sine 'Sint
Последняя величина есть окружное усилие, необходимое для
качения. Если она больше, чем сопротивление трению G cos а-/,
то происходят одновременно качение и скольжение.
Наибольший угол наклона в, при котором еще происхо-
дит чистое качение, получается из следующей зависимости;
tga<3 / для обруча, 3 / для цилиндра, 3,5/ для шара,
где /— коэффициент трения качения согласно § 40.
При большем угле а будет происходить одновременно и ка-
тание и Скольжение,
► ЗАДАЧИ К §§ 3&-44.
Общепринятый способ расчета на трение страдает еще не-
которыми пробелами, так как результаты расчета не всегда
совпадают с опытными данными. Но пока в этот вопрос не
будет внесена полная ясность, приходится придерживаться су-
ществующего способа расчета.
198. Трение, Различают трение трех родов. Каких именно?
Ответ. Скользящее трение, трение цапф, трение качения
(катания).
М2
... л
199. Работа трения. Куда девается работа, поглощаемая
трсиией?
Ответ. Работа превращается в теплоту, которая отдается
среде, окружающей телог как-то: воздуху, воде мт. п.
200. Коэффициент трения. Что такое коэффициент трения
н в каких единицах таковой измеряется?
Ответ. Коэффициентом трения называется то число, кото-
рое, будучи умножено на давление (на поверхность трения),
даст в результате величину сопротивления трению. Коэффи- -
циент трения качения (катания) выражается в сантиметрах.
201. Трение скольжения. Пусть ползун, весящий G= 130 кг,
скользит по гладкой смазанной, поверхности, чугун по чугуну
j (фиг. 181). Должны быть определены следую-
V аде величины: Ч
У ' Ь Коэффициент трения
2. Сила К в не, необходимая для движе. , .
VMT. Ю1. ния ползуна.
3. Затрачиваемая работа в кгм на перемещение ползуна от А
до В. путь .$=5,5 М.
4. Мощность в л. el, потребная для движения ползуна со
скоростью ti=^3,3 м/сек.
* Ре^вние. 1. Предположим, чтЛ ползун хорошо смазан/берем
поэтому коэффициент трения ц = 0»07.
2. Сила K=G • 130.0,07^9,1
3. rtrfora А = К ♦ 5= 9,1 * 5,5 = 50 кгм.
4. Для движения ползуна со скоростью 3,3 м/сек требуется
мощность * ♦
•№^^4.л.с.
/о
202. То же —при (7 = 260 5=11 м\ о = 6,6 м/сек.
208. Трение с ускорением масс. Пусть ползун в предыду-
щей задаче находится в покое и должен пройти путь 5 = 5,5 м
в / = 0,5 сек. Какую для этого нужно силу приложить к пол-
зуну. Определять?
1? Ускорение ? в м/сек?. ( <
2. Силу для перемещения ползуна в кг.
_ , 2- 5 £ * 5,5 .. , .
Реш к нив. I. Ускорение f = ~^~ = =44 м/сек\
2. Движущая сида сопротивлению трению + сила, сооб-
щающая ускорение * .
183
А так цк коэффициент трения в покое р-=0,1, то сила
К — 130 . 0,1 4-44‘ . J^ = 593 кг.
У,о1 ч
204. Цапфы, Что влияет на: 1) величину работы трения,
2) нагревание цапфы?
Решение. 1. Давление на подшипник, радиус'
трения и окружная скорость цапфы.
2. Величина трения на I см’ поверхности подшипника,
205. Радиус трения пяты. Что такое радиус трёния и чему
равен таковой для диаметра пяты в 11 см}
Решение, В радиусе трения принято во внимание влияние
распределения давления,. так что:
4 } j
радиус трения у = — • Я ® 1,27 /?;
значит, для d=ll см, у =1,27 • 5,5 = 7 см,
206. Окружная скорость цапфы. Чему равняется окруж-
ная скорость для диаметра цапфы в 21 см при п=95 оборо-
там в минуту?
Решение, Расчет показан в задаче № 213, пункт 3.
В паровой машинft встречается трение почти всех родов;
поэтому покажем здесь расчет всех видов сопротивлений тре-
нию в одноцилиндровой паровой маши не/Пусть: ход поршня
Н = 800 мм, давление на поршень в мертвом положении
12100 кг; число оборотов п = 96 в мин.; давление пара
р = 8 атм. аб^.; мощность Af<=120 иидцкаторньЬ: л. с.
В виде другого примера можно предположить /7=600 мм,
Р— 7400 кг, п = 125 об/мин, р = 8 атм., Ni = 70 л. с. . '•
207. Направляющие. Радиус криво*
' шипа л = 40 см; длина шатуна / = 200 см
(ЧУГУН по ЧУГУНУ» обильная смазка). Опре-
Делить (фиг. 182):*
1. Вес движущихся частей, которые
Фиг. 182. здесь должны быть приняты в расчет.
2. Среднее давление Рт шатуна.
X Давление Q для расчета трения.
4. Среднюю скорость крейцкопфа в м)сек.
5. Коэффициент трения р.
6. Работу трения А в кгм/сек,
7, Расход энергии в л. с.
8. Процент мощности, расходуемый машиной на перемеще-
ние крейцкопфа.
Pe lu и нив. 1. Здесь нужно принять, в расчет вех. крейц-
копфа 75 кг, пальца крейцкопфа 15 кг, половины шатуна 66 кг,
половины поршневого штока 34 кг.
Общий вес Q ~ 190 кг.
, 2. Для расчета давления шатуна нужно вычислить среднее
давление, зависящее от мощности машины и вызывающее со-
ответствующее давление на направляющие, а именно: \
_ к 75 • 30 • 120 _ ’ _
Рт ~ т ‘ 2 -0,4-96 “ 2750 •
3. Среднее давление
40
0 = 2750 • 190^740 кг.
ZW
4. Средняя скорость крейцкопфа
- 2-0,4-96 .
С=-----------= 2,55 м!сек.
oU
5. Коэффициент трения р. = 0,07.
6. Работа трения = Q * р- ♦ С=740 * 0,07 • 2,55 = 132 кгм1сек.
132 ''
7. Расход энергии Nr~ = 1,76 л. с.
о о ’ 1,76 • 100 • .А0/
8. Потеря мощности = — —— 1,46%.
4 208. То же —при г=30 см, /==156 см.
209. Поршень и шток. Поршневые кольца, шириною 6=52 мм
и диам. D = 40 см, снабжены радиально действующими спи-
ральными пружинами. Давление колец на pjfax
стенки цилиндра q = 0,15кг/см*. Диаметр
штока rf=rf1 = 78 мм, шток наира- *гт &
ваяется спереди и сзади в сальниках Опре- _Ш_: Д
делить (фиг. 183): Чбь 1
1. Давление Р поршневых колец на ЗСJaO
стенки цилиндра.
2. Трение поршня R в к& Фиг. 183.
3. Трение в сальниках в кг.х)
4. Силу К, потребную для перемещения поршня со штоком,
5. Расход анергии Nr в л. с.
1) d• it > р. >р, где d—дюметр опека, н- -*0,1 — кофффкцщгг тре-
вя, р ~ манометрпеское давление.
ч
185
Решение 1. Давление па'стенки цилиндра:
P=D- « • b • <7 = 40.3,14 • Ь,2 • 0,15 = 98 кг..
' * И 0,07,
поэтому трение поршня
- /^=98 0,07 = 6,9 кг.
3. Трение в сальниках
, /?!=2- 7,8 -«‘0,1 - 7~34 кг,
где ^ = 0,1 согласно §39. • *
4. Суммарное трение , ;
tf=/? + /?! = 6,9+ 34 =±40,9 кг.
5. Средняя скорость поршня
С=2Д) м^сек,
поэтому: расход энергии
40,9-2,55 '
N'~~75^ = М Л- С‘
210. То же —при £ = 4,5 см, /)=35 Ья, 4 = ^'= 6,2 см.,
*z . ‘ 2и.жорениой подшипник. Пусть диаметр
J=?l см, длина шейки / = 33 см, вес махо-
С Jjj— вика </ = 3400 кг (фиг,- 184>т Определить:
* 11 bffiQ. '' 1. Среднее рабочее давление /^считая, что
полезная пхЬщадь поршня ^=1560*^ и сред-
: ‘ 1 1м нее давление лара рт = 2,3 аУм. и
‘ 2. Расчетное давление4 Рхна подшипник в кг.
\. 3. Коэффициент трения щ ч ./
4. Работу трения А в кгм)еек< ' . ч
5. Расход энергии N, в л. с. ’ ,.
Рвшеннв. Для коренного подшипника следовало бы опре-
делять дан каждой точки окружности соответствующее дадае-
» ние м скорость. Принимаем здесь приблизительное ампириче-,
ское значение: . • 1
давление—1,2 Р+ 0,46Q.
1. P=Q>pm=:4560 - 2,3 = 3600 кг. 1
- 2. Pr = 1J2Р + 0,46 0=1,2 - 3600 + 0,46 - 3400 = 5880 кг.
3. н=0М * ; •
Л 4. Скорость на поверхности т^ния: / (/
f ’ л 21i 3,14-96 ' , . 7
V.. 7------- ' v=ioo' “^о’"^1,04 м/сек> .
I
Фвг, 185.
поэтому работа трения « ’ (
Л = 1,27 • 5880 • 1,04 • <$5 = 388 кгм]с.к.
5. Расход анергии
• Л 388 __
N'~75“ 75 —5,2 \ С‘
212. То же,—при d— 16 см, 1 = 25 см, (7 = 2000 кг.
213, Задний подшипник. Пусть диаметр d=21 см, длина J
вкладыша / = 33 см, вес маховика Q = 3400 кг. У
Определить (фиг. 185)f
1. Давление на подшипник в а?. -
2. коэффициент трения р.
3. Работу трения А в нгм/сек.
. 4. Расход энергии N, в л. с.
Решение? L Задний подшипник испытывает кроме вес\ ма-
ховика еще реакцию. давления поршня; принимаем приблизи-
тельную эмпирическую величину.
давление = 0,65 Х7 =» 0,65 • 3400 =р 2^00 кг.
2. р=0,05. \ .
3. Скорость на поверхности трения z
; 21.
' V ~ 100
поэтому работа трения
' Л = 1,27 2200 1,04 . 6,05 =». 14в\лм/с«.
€ Расход энергии.
" ^60 ЬМ
/О
214. То же —при rf=I6 см, / = 25 см, '
= 2000 кг. } /
215. А/шодшя. Пусть диаметр 11 см, длина • , j
шейки /«ш14,5сл«, среднее давление поршня Р= * /
= 3600к& Определить (фиг. 186):
Фиг. 1«. * • L Коэффициент трения р.
Z Работу трения А в кгм/сек.
3. Расход энергии Nr вл. с.
Решении. 1. ряс0,05. z
X Скорость ыа поверхности трения
\ UIk 3,14-96 лсс .
работа трения
4 =s 1,27 • 3600 • 0,06 • 0,55 = 126 кгм!сек.
3. Расход энергии ‘ ,
АГ 126 - _
' Nr= 75* = 1,68 л. с.
216. То же —при г/=8,5 см, /=11^ см, Р = 2200 мг.
217. Маховик. Чему равен расход энергии необходимый
для преодоления сопротивления воздуха вращению маховика
диаметра D==400 см? ' ’
Решение. Приблизительно можно взять Г
J М ЛГ« *
Уг~70<нхю Л: ’
’ где W — мощность машины в л. с., п — число оборотов в мин.;
значит: • .
Nr~ Too 000 “J*54 л’ с'
218. То же —при £)=320 см.
219. Распределительные клапаны. Пусть ход клапанов h =
= 25 леи, давление пружин Р=30жг. Определить: z
’ 1. Работу А*, затрачиваемую на подъем клапанов за 1 обо»
рот в кгм.
2. Работу А в одну минуту в кгм.
* 3. Расход энергии в л. с.
Решение, 1. Суммарный путь, проходимый 4-мя клапанами
при одной* обороте ш = 4 • 0,025=0,1 м; значит, работа А* аа
один оборот = давление пружин w = 30 * 0,1=3 кгм.
2. При 96 оборотах в минуту получим
А=96 • 3 = 288 кгм/мин,
3. Nr=^^0,Q7 л с.
220. То же — при h = 2Q мм, Р=23 кг. j
221. Внешние части распределительного механизма. Ка-
кая часть сопротивления трению падает на части распредели-
тельного механизма. (Можно принять 1,5% мощности машины.)
Решение. Расход энергии равняется, при N-120 л. с.
' 188
222. Сумма сопротивлений трению и эффективная мощ-
ность паровой машины, L Составьте таблицу всех найден-
ных сопротивлений трению (зад. №№ 207 до 221). Затем опре-
делите:
2. Соответствующий процент расхода энергии на трение от
общей мощности машины.
3. Эффективную мощность машины в л. с.
4. Сравните результат с таковым, получаемым по обще-
принятому Способу расчета.
Решение..
1. Согл. зад. № 207 Направляющие ...... 1,76 д. с,
. 9 № 208 Поршень и шток 1,4 .
, • № 209 Кор. подшипник... 5,2 . ,
» » № 210 Задн. подшипник.. 2 „ .
» , *№2П Кривошип........... . 1,68 . .
• \ . в № 212 Маховик........... 1,54 , .
, л № 213 Клапаны.......... 0,07 „
, , № 214 Распред, механизмы . . . 1,8 „ 9
Итого. .
2> Прц 120 л. с, это составляет:
15,45 л. с.
3. Эффективная мощность ^=^120 —15,45=104,6 л. с.
4. Обыкновенно считают для паровых машин коэффициент
полезного действия ,
т| = 0,88, т. е. эффективная мощность ЛГ, = АГ/• ч 105,6 л. с.
Из этого видно, что оба способа расчета дают приблизи-
тельно один м тот же результат.
223. То же — для машины с ходом поршня = 600 мм
224. Различие между скользящим.
трением качения и трением цапф. Для /г
уяснения различия между скользящим
трением, трением качения и трением цапф
решим следующую задачу (фиг. 187). Тре- фжг ш
буетси переместить ^ело, обладающее ве-
сой О, со скоростью v м/сек з горизонтальном направлении. Пусть
G = 532 кг, диаметр цапф 2 • г « 6Д см, диаметр ролика 2 • R =
32 ем, р = 0,1§, /«» 0,05.
Определить для трех случаев I, И и
1. Силу тяги К в
2. Работу трения А а кЬм!еек. t
‘ С . 1»
/"С л у я а Й L 1. Потребная сила тяги К == G • и —
= 5$2 • 0,16 = 85 дгг.
2. Работа трения A = /C*v.
Случай П. 1. К=-^ = -^~Д-=1,66 кг.
X Работа трения А == К • tr,
Случай Ш. 1. K=l,47-G-^.~+9-f.
К к
K^X.ZI > 532 - 0,15 -^ + ——^ = 21,3 яг; .
здесь р = 0Д5.
2, Работа трения А=К- и.
225, Пусть для случая Ш в предыдущей задаче гинули
Решение. При радиусе г = 0 улучай JII превращается я
случай П. , ,
226, Какое же следовательно влияние имеет диаметр цапф на
потребную силу тяги? 1
Решение. Ченг больше г, тем больше потребная сила тяги.
227, Обыкновенная повозка. Пусть коляска нагружена
6 = 5000 килограммами. Сколько'лошадей требуется для того,
чтобы везти эту повозку (скорость 4,5 км/час)? Определить:
1. «Сопротивление трению на хорошей мостовой в кг.
2. Силу тяги лошади (средней) в кг.
3, Потребное число лошадей.
Решение. 1. Коэффициент треккя у- = 0,02;
следовательно сопротивление трению:
5000 * 0.02 = 100 кг.
2. Сила тяги лошади (средней = 35 кг).
100
3. Потребное число лошадей = ^-/^3.
оО
228. Угол трения. Что такое угол трения и как его обо-
значают?
Ответ. Углом трения называется х такой максимальный
угол наклона плоскости к горизонту, пр^. котором предмет,
лежащий на плоскости, начинает скользить. Угол трения обо-
значается буквой р.
229. Как гласит основное уравнение для состояния равно-
весия?
f Решение. — Основное уравнение гласит:
• ' tgp —.
190
230. Наклонная плоско сть. Тело, обладающее весом <?==
= 150 кг, покоится '«а наклонной плоскости под углом а 32°
к горизонту (фиг. 188). Материал: деревянные полозья по де-
реву (без смазки). Определить:
I. Нормальное давление, перпендикулярное
к наклонной плоскости в кг.
'2. Составляющую веса параллельную на-
клонной плоскости в кг.
3. Коэффициент трения р. ,
4. Сопротивление трению в кг.
5. Составляющую (в кг), параллельную иаклояной плоскости,
которая стремится тянуть Тело вниз. :
6. Ускорение, приобретаемое телом, в м/сек*.
7. Зависимость между путем s, временем t и ускорением f.
8. Промежуток времени t в секундах, в который тело прой-
дет путь до точки А, если s= 15 м.
9. Максимальный угол наклона, при котором
тело еще не скользит.
Решение. 1. Нормальное давление
150 - cos 32° — 127,2 кг (фиг. 189), *
2. Сила, параллельная наклонной плоскости=
а» 150 * sin 32®=79,5 кг.
В вышеуказанных значениях для нормаль*
ногй и параллельного давления трение не при-
нято во внимание.
3. Коэффициент трения р^0,38.
4. Сопротивление трению
Z—150 cos 32®‘0,38 = 48,3
5. Сила Zo = 79,5—48,3 = 31,2 кг.
6. Ускорение
== стш 31^ _ 2 5 t
Y масса 160:9,81 ,
У 2
7. Путь время / — у ускорение «у —
8. Время [/ 2-1^ = 3 83
V Я> V 2,05
9. Согласно задаче № 229:
tgp = р.»=О,38,
191
следовательно, угол
р = 20*50'«
231. То же — при (7 = 300 кг, 4=64°, S— 30 м.
232. Американские горы. Требуется определить высоту h.
Пусть Н =15 м\ угол наклона а = 35°, вес тележки с людьми
(6 чел.), (7 = 650 кг\ диаметр колес (4 шт.) Z> = 2 • /?=32 см\
Фйг. 190.
4. Составляющую веса G,
диаметр осевых шеек d=2 • г —
= 6,2 см (фиг. 190). Определить
для сп/ска:
1. Нормальное давление от
веса G в кг.
2ч Трение качения колес
в кг.
3. Трение осевых шеек в кг.
параллельную наклонной плос-
кости, в кг.
5. Величину трения в кг.
6. Силу, действующую на тележку, в кг.
?. Ускорение, приобретаемое тележкой в Mjceic*.
. Длину пути s (длину спуска) в м.
9. Время /, потребное для прохождения пути s в сек.
• 10. Конечную скорость и в м)сек (т. е. скорость в конце
пути а).
11. Живую силу тележки в кгм.
Для подъема: , (
12. Замедление, испытываемое теДежкой при подъеме, в лс/сеЛ
1Ж Время t, потребное для подъема, в сек.
14. Высоту Л, до которой поднимется тележка в м.
15. Какое обстоятельство, нами пропу-
щенное, необходимо принять еще в расчет?
Решение. 1. Нормальное давление (фиг.
191).
'• N=650 • cos356 = 532 кг.
2. Коэффициент трения качения (для
железа по железу):
/=0,05 см;
следовательно, трение:
7= «^=1.66^
3. Коэффициент трения для цапф;
р = 0,15;
192
/
поэтому трение
Z. = 1,27 - 532 • 0,15 • = 19,8 кг
(сравни зад. № 224, случай III).
4. Составляющая, параллельная наклонной плоскости.
С' = 65О * sin 35° = 372 кг.
5. Суммарное трение:
К = Z + Z, = 1,66 + 19,8 = 21,4 кг.
6. На тележку действует сила:
Р= параллельная составляющая — К= 372 — 21,4 = 360,6 кг.
7. Ускорение:
сила 350,6 е о ,
<Р=—г—= noi— 5,3 м сек\
т масса 650:9,81 1
8. Длина пути:
S = 8hTS = бПГЗУ = 26,2 *'
9. Время: —
' = j/f = 1/^ = 3^ -
10. Конечная скорость:
р = 5,3 « 6,15 = 16,7 м1сек.
11. Живая сила тележки:
у,о l г
12. Замедление при подъеме: /
. сопротивление 372 4- 21,4 А- , е
* =-----iTacca----- “ 650:9^1 = 5195
13. Начальная скорость с = 16,7 м/сек, конечная v = 0, по-
этому время:
7— ^ — 5 95 — 2-8 сек.
14. Путь
s' = -J- - t = ~ • 2,8=23,4 м\
1» Г. Х»йср.
193
отсюда высота
Л = s'. sin а 23,4 • sin 35° =. 13,4 ЛГ.
15. Здесь не принято во внимание сопротивление воздуха
При начальной скорости х м)сек конечная скорость v = c-^x
л с + х
а наибольшая высота = Л • —— м.
с
232а. То же —при d — 2 - г«=»12,4 см,
2326. То же—яри /У = 2 3,1 см.
Ш« СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ.
§ 45. Машиностроительные материалы.
L'Общее замечание.
В машиностроении применяются главным образом два типа
заготовок, которым-придается определенная форма.посредством
литья или ковки.
1. Материалом для литья слу-
жат чугун, сталь, бронза, металл •
дельта и т, п.
Отдивкн.
2, Материалом Для ковки слу-
жат литое иля сварочное же-
лезо и сталь.
Поковки.
Отливкам можно придавать
любую форму, в зависимости от
формы моделей и шишек. Более
плотный чугун получается путем
- отливки с .прибылью* (рис. 4).
Прибыль К имеет целью увели-
чить давление жидкого чугуна,
и 8 дальнейшей обработке уда-
лить собирающиеся в прибыли
нечистоты.
При ковке требуемая фер-
ма детали получается только
приближенно. Так, напр., вме-
сто кривошипа коленчатого
вала отковывается прямо
угольный ьгассив, из которого
требуемая форма (показанная
пунктиром на рис. 12) полу-
чается уже на долбежном м
токарном станках.
Разделение железа на различные сорта может быть весьма
разнообразным; в дальнейшем будем пользоваться следующей
группировкой:
1 .-Чугунное литье: отливки из серого чугуна, ковкого
чугуна, отбеленного чугуна.
2 . Стальное литье: отливки из мартеновской стали и
из электрических печей.
3 . Сварочное железо,
4 Литое железо.
П . Различие между чугунными и стальными
\ отливками. ;
е а) Чугунные отлнвки,Для чугунных отливок употребляют чу- "
гуняые чушки, которые переплавляются в вагранках, надменных
печах и 'Иногда в тигельных горнах.
Непосредственная отливка из доменной печи невыгодна, так
* как содержание углерода и кремния в сыром чугуне подвер-
жено весьма сильным колебаниям, и, кроме того, чушки вслед-
ствие сильного дутья во время доменного процесса содержат^ 4
значительное количество газов. Вследствие этого в отливках
образуются раковины, значительно уменьшающие плотность rf '
прочность чугуна. Кроме серого чугуна с высоким содержанием
кремния, различают еще белый чугуя, в котором углерод со- < *
держится в связанном состоянии. Для отливок применяется пре-
имущественно серый чугун. •
. Серый чугун в чушках содержит от 2 до 4Д% углерода
• (большей частью 3—3,5%); температура плавяеннк 1150—1250°.
Жидкость чугуна в значительной степени зависит от содержа-
ния кремния, фосфора я серы. Слишком высокое содержание
фосфора и серы вызывает ломкость чугуна, причем фосфор
способствует вязкости, между тем как серн имеет обратное •
влияние.
Содержание кремния существенно влияет на твердость чу-
гуна. Так, при малом содержании кремния получается светлый
н^и белый, но зато более твердый чугун. Весьма полезным яв-
ляется свойство чугуна расширяться перед самым застыванием, <
благодаря чему получается отчетливая отливка.
Чугун прекрасно поддается любой мехаиичеикой обработке
(строчке, обточке и г, х) и отличается значительным сопроти-
влением сжатою. что очевидно и способствовало столь вдачн-
\ тельному распространению чу^ма. * -
: Г ’ , . .. J
Усадка чугуна» При остывании чугун сжимается равно-
мерно ио всем направлениям; это явление называется усадкой
чугуна. Та часть длины, на которую пр>г усадке происхо-
„ И 1 w \ а л
дит линейное сжатие 1^ —длины , называется линейной:
\Уо У/ /
она уменьшается с увеличением процента содержания углерода,
находящегося н свободном состоянии в сиде графита. Наоборот,
если чугун подвергается повторному перегреву до красного
цвета, то он испытывает остающеся расширение во всех напра-
влениях, примерно в 3—4%,
Ковкий чугун. Одним из видов чугунного литья являемся
ковкий чугун, заменяющий железо при изготовлении мелких
деталей, толщиною примерно до *25 м м. Чугунные части, от-
литые из .белого" или .половинчатого" чугуна, бедного крем-
нием, отжигаются в железных ящиках, наполненных красным
железняком, в течение 7—10 дней бри температуре 680 —
850°. При этом, благодаря присутствию кислорода красного Же-
лезняка, выгорает часть углерода, содержащегося в чугуне. Для
ускорения указанного процесса к чугуну присаживают в ваг-
ранке железный лом. f
Хорошо отожженный чугун можно ковать при температуре
красного \ каления, а также гнуть и разгонять в холодном со-
стоянии. Прочность ковкого чугуна выше обыкновенного се-
рого чугуна, но ниже литого или сварочного железа и стальной
отливки. Для деталей, подверженных большим напряжениям,
ковкий чугун не применим.
Содержание кремния:
для крупных отливок..................... 0,45%
для средних отливок....................^0,65%
для деталей сельско-хоз/ машин . . .0,8 до 1,25®/*-
Выше 1,25% содержание кремния обычно не допускают, так
как в этом случае прочность материала становится уже недо-
статочной.
Отбеленный чугун. Для отбеленных отливок пользуются
чугуном с белым изломом и свободным от графита. Отбелен-
ный чугун содержит очень мало кремния и марганца; остывает
в формах внезапно, образуя твердую корку, н отличается бе-
лым изломом.
Сопротивление растяжению несколько больше, чем у серого
чугуна; сопротивление сжатию обоих чугунов одинаково.
197
- Ь) Стальные отливки. На ряду с чугуном, в машиностроении
часто применяется стальное литье, главным образом там, где
требуется большая прочность отливки при сравнительно неболь-
шом весе. Стальное литье гораздо более вязко и прочно, чем
чугун.
Стальные отливки получаются из мартеновских печей, иду-
щих на основном процессе. Получаемая при этом сталь гораздо
чище, чем при кислом процессе; в последнее время пользуются
также электрическими печами. .
Упругость и прочность стальных отливок. Мартенов-
ская сталь отличается значительной упругостью, вязкостью и
прочностью, каковые качествтследует приписывать присутствию
сравнительно малого количества углерода и кремния (0,0бд/е).
Но наравне с преимуществами она имеет и ^недостатки, заклю-
чающиеся в том, что именно вследствие незначительного со-
держания углерода (С) и кремния (Si) температура плавления
еее должна быть яе меньше 1500°, чтобы получить достаточно
жидкий материал, заполняющий все углы формы и дающий от-
четливую отливку. . -
Усадка. С другой стороны, благодаря высокой темпера-
туре плавления, прн остывании имеет место значительная усадка
до 7®)’ 470 0 свою очеРедь вызывает сильные внутренние
напряжения в отливках, которые устраняются путем длительного
отжига. .При этом крупнозернистая структура металла перехо-
жт в мелкозернистую.
4 г3а последнее время в промышленности по стальному литью
достигнуты больщие успехи; производят отливки от самых мел-
нмх до самых крупных размеров.
- III. Различие между литым и сварочным
железом.1)
а) Сварочное железо. Сварочное железо получается пре-
имущественно в пудлинговых печах; *) оно содержит много при-
месей в виде шлаков, окислов и значительного процента окиси
железа. Эти загрязнения удаляются путем последовательной
ковки и прокатки. Рыночное железо содержит 96 — 97% метал-
1) Оба сорте и вам ва юте я просто железом.
•) Способ пудлингования Является* довольно трудным * для работа
весьма утомительным способом, вследствие чего сварочное железо дороже
лмтоге жыем и в кастовшм время производство «го отошло на второй
план. - _
198
лического железа и 3% шлака. При содержании углерода
меньше 0,1% оно закалки не принимает. Можно, стало быть,
такое железо нагреть до красного каления и быстро затем охла-
дить в воде, и все-таки после этого оно поддается обработке
напильником. При возрастании содержания углерода железо
начинает принимать закалку, и тогда оно называется сварочной
сталью.
Следовательно, в зависимости от степени закаляемости
можно говорить о сварочном железе, принимающем или не
принимающем закалку. Последнее в практике называется просто
железом; чем меньше в нем содержанке углерода, тем оно мягче.
(Химически чистое железо настолько мягко, что его можно ре-
зать ножом, как дерево или свинец. Причиной этого является
полное отсутствие в аем углерода.)
Различают три сорта сварочного металла: сварочное железо 1)
(с весьма незначительным процентным содержанием углерода»
0,1% и меньше); мелкозернистое железо (с несколько 66л ь-
шим процентным содержанием углерода, до 0,6%); сталь- (до
2/3% углерода) с трудом куется.
Поэтому можно всякий закаляющийся сварочный металл
считать сталью, а не закаляющийся — железом, либо мелкозер-
нистым, либо крупнозернистым.
Ь) Литое железо. Литое железо, в отличие от сварочного,
получается не в тестообразном, а в жидком состоянии и притом
. без примеси шлаков. Отсюда ясно, что этот металл в большин-
стве случаев может заменять сварочное железо. Причину, по- •
чему сварочное железо иногда предпочитают литому, следует
искать с одной стороны в неправильной переработке литого
железа на рыночный товар, а с другой стороны в некоторых
неудобствах самого производства литого железа. Последнее,
вследствие отсутствия шлаков, в холодном состоянии гораздо
более ломко, чем сварочное железо.
Так называемая температура синего каления находится
между 230 и 260°. При этой температуре нельзя обрабатывать
литого железа, так как иначе получаются мелкие трещины,
вследствие чего железо легко ломается (синеломкость).
Литое железо с содержанием углерода меньше */*, более
вязко я лучше поддается сварке, чем литая сталь» и закалки не
*) Производство собственно строчной стаяв все болев в бмвв «окра*
ищется.
- 1»
принимает. Но как только процент содержал ня углерода при-
ближается к верхнему пределу, сейчас же ясно обнаруживается
его способность закаливаться. Наибольшей твердостью обладает
железо примерно при 2®/0 углерода.
Если при испытании на разрыв временное сопротивление
окажется больше, чем 5000 кг/см1, то металл уже принимает
закалку и называется сталью. При меньшей сопротивляемости
разрыву он называется железом.
ТЛВЛИЦЛ МЕТАЛЛОВ.
Металл Обозна- чение Прини- мает ли «лк ал к у Допуск! е? ля ковку Удли- нение Сопротивление в кг/см*
На раз- рыв 1) Нв сжатие
Литое железо. Л. ж. нет да 224-12% 3800 3800
Сварочное же- ✓ очень 1
лезо Св. Ж. » хорошо 224-12% 3500 3500
Литая сталь. . Л. Ст. да да 204-10"/. 6000 7000
Стальное литье Ст. Л. нет нет 304-10*/. 5000 7000
Ковкий чугун . * о да 2,54-5% 3200
Отбеленный чу - нет 'О
, гун Об>4, 3500“ ГО
Серый чугун . с. ч. ж » 28003 7500
Медь м. 0 хол.сост. немного 45% 2200Х
Металл-дельта ч
катанный • . д 0 . да 5800
литой .... • 0 нет 22*/. 3500
кованный • . • а да. 22*/.
Твердый литой металл, принимающий закалку, содержит по
крайней мере 0,6 и максимально 2,3% углерода; обычно ста-
раются, чтобы содержание углерода не превышало 1,5%.
Прочность железа зависит еще главным образом от двух
элементов, — кремния я марганца; фосфор и сера в этом отно-
шении существенной роли не играют. Сера является вредной
1) Изменяется в вавмскмостя от температуры.
200 •
примесью в железе; она уменьшает прочность и способность
свариваться, и ее стараются по возможности из железа удалить,
что в настоящее время в достаточной степени удается.
Наименьшая прочность 3000 кг/см*, наибольшая* $000 кг'ем*
и больше для литой стали.
Из сравнения обоих сортов железа нужно вывести заклю-
чение, что литое железо значительно лучше сварочного, кото-
рое все более и более вытесняется. Для очень сложных по-
ковок и деталей, подверженных толчкам и ударам, предпочти-
тельнее все-таки сварочное железо. /
Сортовое железо, Если железо по всей своей длине
имеет одинаковое поперечное сечение, то его называют бруско-
вым или сортовым железом./Сюда относится профиль @ Б СП
(круглое, квадратное и полосовое железо) и LJT*L (угловое,
двутавровое, тавровое и зэтовое железо). Материалом для сор-
тового железа служит как литое, так и сварочное железо. Так
как сортовое железо выходит исключительно из прокатных
станов, то его называют еще прокатным железом.
В машиностроении употребляются главным образом следу-
ющие металлы (см. табл, на стр. 200).
Приведенное цифры являются только средними,, как видно
из^аблиды 1 § 49. г ' <
§ 46. Общие сведения о сопротивлении материалов.
Сопротивление материалов дает ^озможкосгь определять
форму и размеры частей машин таким образом, чтобы они при
допускаемой деформации (изменении формы) могли с доста-
точной прочностью оказывать сопротивление действующим на
4 них силам. ч
Кроме того, можно определить напряжение в материале или
изменение формы тела, если известна нагрузка или действую-
. щие на него внешние силы. Поэтому, если для изделия пред-
писываются определенные напряжения или изменение формы,
то можно определить допускаемую нагрузку»*)
Для проверки прочности всех сортов железа требуется, по-
мимо прочих (испытание на изгиб, испытание на удар), глав-
ным образом испытание на разрыв, между тем для чугуна с
этой целью пользуются испытанием на изгиб. Брусок обыкно-
венного машинного чугуна круглого сечения, диам. 30 мм и
длиною 650 мм (600 жж между опорами) должен дать при вре-
i) О допускаемых напряжениях см. | 49,
v i ’ ,301
менном сопротивлении — 49$ кг стрелу прогиба не менее 7 мм,
что соответствует напряжению в 2800 кг/см*. Для чугуна высокого
качества эти требования повышаются до 600 кг временного со-
противления и стрелы прогиба не менее 10 мм, что соответ-
ствует напряжению в 3400 KzfcM*.
тело в
личают
Фнг. 192.
§ 47. Виды деформаций.
(Подробности см. в 51 — 68;) .<
В зависимости от действия внешних сил, которые приводят
напряженное состояние и вызывают деформацию, раз-
резного рода сопротивления. Форма тела может быть
весьма разнообразна, но мы здесь рассмотрим, ради
простоты, призматический брус.
а) Сопротивление разрыву. Примеры: цепи,
канаты, ремни, тяги.
Тело испытывает растяжение, если внешняя
сила действует на него по направлению оси и
стремится его растянуть (фиг. 192, А). Вместе с
удлинением тела происходит одновременно умень-
шение поперечных размеров (поперечное сжатие).
, b) Сопротивление сжатию. Примеры: фун-
даменты, подушки, короткие подпорки и т. п.
Тело испытывает сжатие, если действующая
по направлению оси сила стремится его сжать
(фиг. 193), При этом, конечно, происходит одно,
временное увеличение размеров поперечного фяг'19Х
сечения тела (фиг. 193). Предполагается, что бокового выпучи-
вания тела (изгиба) не происходит, так как иначе мы имели бы
дело с случаем продольного изгиба, рассматриваемого в § 55.
с) Сопротивление из-
гибу. Примеры: 6мм, цап-
фы, оси.
Если прямой брус (фиг.
194) изгибается под дей-
ствием силы Р, то происхо-
дит сжатие волокон, распо-
ложенных у вогнутой поверхности, и растяжение волоког^
расположенных у выпуклой поверхности. Между этими двумя
слоями сжатых и растянутых волбкон лежит слой, волокна
которого ве изменяются, т. е. ни растягиваются, ни сжимаются;
этот слой называется нейтральным слоем,
Фжг. 1М.
d) Сопротивление продольному изгибу. Примеры: ко*
лонны, поршневые штоки, шатуны, укосины кранов.
Если длина тела очень велика в сравнении с размерами по*
перечного сечения и сила притом действует так же, как при
сжатии (см. выше), параллельно осн, то происходит боковое
выпучивание или продольный изгиб тела, фиг. 195. Для раз-
личных способов закрепления концов (§ 55) устано-
влено отношение „наименьшего сечения к длине*, яри
котором нужно расчитывать на продольный изгиб, а
не на сжатие.
Впрочем практически осуществить направление
нагрузки точно по оси вообще невозможно; кроме
того, вследствие неоднородности самого материала
геометрическое место центров тяжести никогда не бу-
дет совладать с прямой.
е) Сопротивление сдвигу и срезу. Примеры: фВГ,
заклепки, шпонки, болты, ножницы для металла.
Сдвиг или срез имеет место, когда две силы, действующие
в одной и той же плоскЪсти сечения, равные по величине, но
противоположные по направлению, стремятся отделить одну
часть тела от другой в указанной плоскости (сдвиг по напра-
влению действия ёил), как показано на фиг. 196 и 197.
f) Сопротивление кручению. Примеры:
длинные валы.
.Кручение имеет место, когда действую-
щие на тело силы лежат в плоскости, пер-
пендикулярной к его оси, и
стремятся скручивать его около
^го оси (фиг. 198). Нужно себе
представить при этом, будто
тело в каком-нибудь месте за-
креплено (заторможено). На
практике чистые напряжения на
Фяг. 196 Фиг. 197, СКруЧИВание бывают редко.
g) Сложное сопротивление. Если тело испытывает одно-
временно несколько из вышеизложенных простых сопротивле-
ний (деформаций), то мы имеем дело со сложным сопротивле-
нием. Большей частью имеют место:
h) Кручение и изгиб. Примеры: валы с насаженными ка
них шкивами, шестернями и т. п., затем валы двигателей с си-
дящими на них маховиками.
Сила Р стремится скручивать вал, а вес G-ero изгибать.
зов
I хр
Ж
Фнг. 19В.
Обе силы влияют на напряжение тела; обе стремятся его раз-
рушить, фиг. 199 и 200. е ।
i) Изгиб и продольный изгиб. Примеры: поршневый шток
с насаженным на него поршнем и т. п.
Фиг. 199. Фиг. 200. Фиг. 201.
. Сила Р стремится согнуть шток; вес G этому еще содей-
ствует фиг. 201.
§ 48. Основные понятия учения о сопротивления мате-
'• риалов.
Прежде чем перейти к более подробному изучению различ-
ного рода - деформаций, нам необходимо1'усвоить значение ни-
жеследующих понятий, так как они весьма часто будут встре-
чаться при расчетах (см. табл, на стр. 205).
Объяснение вышеуказанных'вел ичии. у
а) Коэффициент удлинения или сжатия. «= 1: Е пред-
ставляет собой величину, на которую увеличивается или умень-
шается стержень длиною в 1 ем я сечением 1 см* ио* влиянием
Фиг. 202. Фэт. 203.
действия силы в 1 кг, или другими словами: при растяжении
увеличение единицы длины, при 1 кг напряжения (фиг. 202) и
при сжатии: уменьшение единицы длины при 1 кг напряжений
(фиг. 203).
Пример: Стержень длиною /=42см и сечением 5,3 см*
под влиянием осевого растяжения Р= 10600 кг изменяет свою
длину на X = 0,041 см Чему равен коэффициент удлинения?
_ I _ 0,041 5,3 _ 0,2173 1 ..
“~я—10600’ 42 ”445200 ~2000000сл^^-
Наименование Общегтрннягое обоаначенж» Единице измерения Прямеад- ния.
Модель упругости при растяжении (модуль Юнга) 1: а, или Е 1 а, ИЛИ -F7 Е 1: 3, или G & или^ . Т 'р К ’ J \ х W Jp ' Mb Ma, кт P R. e k i кг/см1 см*/кг кг[см1 см*/кг кг/см* кг/сц* кг/см* см* см* см* см*'' кг см кг см кг/см* кг/cj^ С м о т р и § 49.
Коэффициент удлинения Модуль упругости при сдвиге . . . Коэффициент сдвига . . Предел упругости .... Предел пропорциональ' кости
Временное сопротивле- ние
Момент инерц. площади. Момент сопротивления площади • • .... . »
Полярный моменг инер- ции
Момент сопротивления кручению
Изгибающий момент . . Крутящий момент. • . . Напряжение, как резуль- тат расчета.......
Допускаемое напряже- ние
Усилие, приходящееся на 1 tur* площади поперечного сече-
ния бруса, назыв. напряжением. Если площадь, поперечного
сечения F сл? и растягиваемая сила Р кг (фиг. 204), то налря-
р
жекне (нормальное) 0= в кг/сЖ Внешняя нагрузка вызывает
напряжение в теле и производит его деформацию; деформации
тела оказывают сопротивление внутренние силы упругости.
Приращение длины бруса при растяжении к = /, — I назыв.
абсолютным удлинением (фиг. 2Q4), при сжатии брус укора-
чивается, уменьшение длины X. Мерой деформа»
“ Т Т ции служит относительное удлинение е, которое
►м 4 представляет отношение абсолютного удлине»
| Т ния X к первоначальной длине:
£
Фиг. 204. *
За меру пластичности металла принимают величину относитель-
ного удлинения разорванного образца, выраженную в процентах,
длина в момент разрыва минус первонач. длина
== * • ________'Л* “ *“ " * 100
г
Ip
в
о
ь
первоначальная длина
Ь) Модуль упругости, -у = £ представляет собой величину
обратную коэффициенту удлинения а. Если—=• и при этом
действует нормальное напряжение а, то
t • 1
1~л~ Е'
9 = Е • • *— закон Гука.
В формуле, выражающей закон Гука, * — величина отвле-
ченная, поэтому модуль упругости £ выражается в таких же
мерах, как напряжение, т. е. в
/а, см9 или кг/мм1.
с) При сдвиге сечении Аа
относительно сечения ВЪ про-
исходит (фиг. 205) одинаковое
смещение точек, находящихся в
сечении Аа, Величина отрезка
А s= ССи на которую сечение
Аа сдвинулось относительно дру-
гого, . весьма близкого сечения
Bbt называется абсолютным
СС
сдвигом. Отношение ; т.е. абсолютного сдвига к расстоя-
нию между площадками, называется относительным сдвигом.
. СС*
•3-
Фиг. ЗОБ.
и». -
так как при деформациях этот угол весьма мал, то т =
угол выражен отвлеченным (в радианах).
Мерой деформации служит угол у, на который перекаши-
ваются прямые углы ABb, COb.
Если площадь сечения Aa = F см* и сила Р кг, то напря-
жение — касательное или скалывающее
9= в кг/см*.
Коэффициентом сдвиги ? называется вели
чнн& сдвига при расстоянии между площадками
(Аа и ВЬ} в 1 см и при напряжении сдвига
(фиг. 206) «wl кг/сл?.
Единица измерения: см*)кг.
Фиг. 306.
Обратная величина-5- —G называется модулем сдвига, или
Р
коэффициентом поперечной упругости G; gag и Е, он изме-
ряется в KZjcM*.
Пример: Тело, длиною /—24 см и сечением /= 4,7 см*,
под действием силы Р=9200 кг испытывает сдвиг 0,06 см
(фиг. 207). Чему равен коэффициент сдвига?
Фиг. 307.
____Х-см*1кг
P“G“9200 24 220800 “78000
d) Предел упругости Т представляет
собой напряжение, при котором деформации
упруги; тело по устранении внешней на-
грузки принимает снова свою первоиачаль-
случае превышения предела упругости дефор-
ную форму. В
нация становится остающейся. Единица намерения: кг/см?.
Пример. Стержень сечением 3 см* может
быть нагружен максимально Р=2850 кг,
если требуется, чтобы он после устранения
действия силы приобрел снова свою перво-
начальную длину. Увеличение силы Р вызы-
вает остающееся увеличение длины, фиг. 208.
Предел упругости в данном случае будет:
Г« 2850:3=950/»/^.
е) Предел пропорциональности представляет собой напря-
жение, до которого имеет еще йесто закон Гука, т. е. прямая
Ж
/
пропорциональная зависимость между напряжением и относи-
тельным удлинением. Для сварочного железа, литого железа 41
стали коэффициент удлинения а, внутри определенных преде-
лов нагрузки, остается без изменения. Значит, пропорциональ-
* кость существует. Для чугуна, меди, цинковой отливки, сп.чааов ~
и т. д. пропорциональность отсутствует.
f) Временное сопротивление К предста-
вляет собой напряжение, при котором происходит
разрушение тела. Единица измерения: кг /см?.
Пример: Стержень сечением в 6,4 см* ра-
зорвался в момент действия осевой нагрузки,
равной 22 600 кг, при одновременном сужении
поперечного сечения с I до II (фиг. 209). Чему
равняется временное сопротивление?
относят к первоначальному сечению (значит I).
3150 кг/см\ -
Фиг. 209.
Победнее
Поэтому К=22Ю00:6,4
g) Под экваториальным (или осевым) моментом инер-
ции J площади подразумевают сумму произведений элемен-
тарных площадок df на квадраты их расстоя-
ний до оси, лежащей в той же плоскости.
Единица измерения: см* явствует из выше-
указанного объяснения (площадь X квадрат
расстояния), фиг. 210.
Момент инерции плошали фигуры отно-
сительно оси дг:
Фиг. 210.
то же оси v:
для круга Jx=J.,=^—dl.
х 04
Ь) Момент инерции. Экваториальный момент инерции, отне-
сенный к произвольной оси Z, равняется моменту инерции /4*
произведение площади на квадрат расстояния
gocefl (фиг. 211).
* =2d/y*+£aid/y +a'W,
4 j2 = J4-a’F. ' ----
♦иг. 211. Ось 22 может проходить также и вне пло-
щади (напр. ZiZt).
- j) Полярный момент инерции Jp площади равен сумме про-
изведений элементарных площадок на квадраты их расстояний
208
от центра тяжести площади, т. е. от оси, перпендикулярной f
плоскости названной площади (фиг. 212). >
Центробежным моментом инерции данной фигуры относи*
тельно осей ОХ и OY называется сумма произведений из эле*
ментарлых площадок и их координат
к) Свойства моментов инерции. 1. Сум*
ма моментов инерции относительно двух
взаимно перпендикулярных осей равна по-
лярному моменту инерции
Jp =» + Jy>
Иэ фиг. 212 следует: г* = х1-}-у1, поэтому
4 =/'/ r^dfix'+У) ^fdf * +fd/ • у
Для круга Л = поэтому 7д = 2/<=2 • —
2. Момент инерции относительно оси OXL (фиг. 213) парал-
лельной оси ОХ, проходящей через центр тяжести, .равен мо-
менту инерции относительно
централ ьной оси ОХ + про-
изведение иэ площади дан-
ной фигуры *на квадрат рас-
стояния между осями.
А,=4+Г-
* Jy^Jy+f.?.
Оси, относительно коте*
рых центробежный момент
' равен нулю, называются глав*
ными.г осями инерции, а
__ ромеиты инерции относи-
тельно этих осей называются уймными моментами инерции;
один из них имеет наибольшее значение, другой— наименьшее.
Всякая ось симметрии является главной
осью инерции.
1> Моменты сопротцелерця. Эк^тордельрцм иомснтрм со-
противления W называется отношение момента инерции / отно-
Г. x»w*h 20t
Фаг. 213.
сительяо главной центральной оси к расстоянию наиболее уда-
ленной точки фигуры от этой оси;
U7= —.
е
« . * л
Для круга J=^d, е=~2-
W= — di : ~ = ^<Р,
- 64 2 &
Полярный момент сопротивления для круга
U7 =5^ = — d* • —
' WP~* d 32 2 ТБ
z т
Для несимметричных фигур, как, лалример, для таврового
сечения (фиг. 214), момент сопротивления относительно оси х
имеет два значения, так как расстояния
Г. наиболее удаленных точек от этой оси
г различны.
ST wx I » I •
» *t *•
r । %; ____Ig tn) Изгибающий момент Afe или M
равен произведению силы на плечо в
[ ' . 0) Крутящий момент Md или Р • Р
^ят Я14. равен произведению килы X радиус в
кгсм.
о) Коэффициент безопасности ==
временное сопротивлении
действительное напряжение *
Однако из таблиц/3 и 4 § 49 видно, что это выражение
представляет собой в общем ненадежный масштаб.
§ 49. Численные величины сопротивления материалов
Для различного рода сопротивлений приходится часто поль-
зоваться данными таблиц, которые в целях наглядности приводим
уже здесь, тем более что одни и те же значения при различ-
ных способах расчета повторяются.
Временное сопротивление на растяжение и на сжатие в за-
висимости от качества материала и его назначения чрезвычайно
разнообразны, как вкЦко из таблицы 1<
110
Там. 1. Колебания првдхлл пропорциональности м врбманног* *
сопротивления В tajCM*.
Материал Предел про- порадонлль- ЫОСГЦ 9р Временам сопротивление
р.стшкшае *« сжатие К
Литое железо 2000-j- 2400 34004- 4500 34004- 4500
Сварочное железо ’). 1300 4- 1700 3300 4- 3800 3300 4- 3800
Сталь (литая) .< . . • 2500 4 5000 4500-7-11000 60004-10000
Пружинная сталь, не- закаленная 4000 4- 8000 7500-4-10000 30004-10000
Пружинная сталь, за* каленная 7500 4-10000 140004-17000 80004-12000
Стальное литье (фа- сонное) г ..... . 20004- 7000 37004-10500 37004-10000
Чугунное литье (се- рый чугун) не имеется (М00 4-М00)*) 70004- 9000
Ддя упражнений необходимо принимать определенные цифры
В нижеследующих таблицах (2 — 6) имеются средние вели-
чины, применимые для материалов среднего качества.
Литое или сварочное железо.
Какому железу отдать предпочтение, этот вопрос приходится
решать в каждом отдельном случае в зависимости от характера
• Поковок, а именно от их величины и условий их дальнейшей
работы. В нижеследующих примерах мы избрали именно этот
путь; в таблицах имеется особая строка, содержащая величины
для расчета поковок, являющиеся средними между величинами
для литого и сварочного железа. (Только для .кручения" раз-
ница между величинами сопротивления значительна, примерно
1:2, сравни таблицу 3.)
.1) Параллельно к вяпрдвлвлоо волоком.
*) Солрогшанме взгмву (с*. I 4ф.
Таблица 2. Величины Et О, Т и К.
Материал Же*лезо и сталь Литое же- лезо ...»•! Сварочное железо. . . Сталь для по- ковок1) . . Сталь . ♦ < . Никкелевая сталь . . . . Отливки Чугун . . . . Сталь .... Медь и сплавы меди Медные ли- сты Латунь . . Л Бронза • . . Пушечная бронза . • . Метал, дельта Цинк, сви- нец. алю- миний Цинк обыкн. Свинец мяг- кий Алюминий . Модуль упругости Предел упругости Т Временно* сопротивление К
Растяже- ние и сжатие Сдвиг
-~£ a 2150 000 2 000 000 2050000 2200 000 900 000 2150 000 1200000 900000 900 000 1 100 000 950000 150 000 50000 675 000 Т-° 830 000 770000 800000 850 000 3$0000 830000 480 000 360000 360000 440000 380000 260 000 « а 2 5 о. * 1500 1400 1450 зооо h 1500 1400 1450 3000 X 3 1000 1000 1000 1 500 н О- * 3800 3 500 3600 6 000 8 000 / Кь^ 5000 2100 1650 2000 3 000 5000 1Ж 125 1000 А - * £ W Р 3800 3 500 3600 7 000 28004 7 000 1000 i 2300 2000 2200 4 000 -3400 3000
1) См. текст предыдущей страницы-
212
Таблица 2. (Продолжение.)
Матерям Модуль упругости Предел упругости Т Временное сопротивление К
Растяже- ние и сжатие Сдвиг
н а. Я СЖА- ТИЙ Сдвиг ₽ = Р. м | Сжа- тие Сдвиг
Провело- к а, канаты, - •-
ремни
Жел.провол.,
светлотян. . 6 000
Жел.провол.
отожжен. • 2ДООООО 4000
Сталин, пров. светлотян. »z Сталин, пров. - 6500
отожжен, • 2150 000 5000
Манильский
канат . ♦ . 9000 700
Пеньков, ка-
нат 11000 1 500 700 350
Кож. ремень
Дерево
Дуб, паралл. 105000
волокну . , «000 270 200 965 340 70
Бук, паралл. 175000
волокну . . Тополь» пар. волокну . . Сосна, парад. 6200 160 200 1340 220 4 80
50 000
волокну . . Пихта, парад, 790 280 40
волокну . » 750 240 40
213
Тавлнна 2*а. Временной сопротивление на изгиб да я
чугунного литья.
Согласно ,Инструкциям для поставки чугуна, выработанным Германским
Союзом для испытания технических материалов, в городе Дармштадте 17/1Х
1908“. применительно к машинному литью, строительному литью, отливке
труб (для прочих родов отливок кормы не выработаны).
Тр ев у । т с I Пробный брусок ф 30 X 600 •**
Стрела прогиба / мм Временное сопротив. Ркг
I. Машинное литье: а) обыкновенное ...... 2800 3400 2600 2600 2600 3400 •ное даме тения. J l!V W IV WMV g о О> С» OiOS ~495 ~600 ' г-455 \ ю быть
Ь) высокого качества . . . II. Строительное литье . . . . Щ Литье труб, миним. сопрот.: а) газо- и водопровод . . . Ь) паропровод до 7 атм. и 165°Ц
с) паропровод свыше 7 атм.
При испытании труб проб на 10 атм. выше рабочего да!
Та вл к на 3. Допускаемые напряжения в кг) см* для металлов.
Материал Растяжение Сжатие А Одвмг kf Кручение *<* ) P"J«M |
а ъ с а а а ь с а ъ с
Литье г*е
лезо. . . . 1050 700 350 1050 700 840 560 280 720 480 240
Сварочное железо . . ООО 600 300 900 600 720 480 24d 360 240 120 <©
Сталь для
поковокJ) 970 650 320 970 650 780 520 260 В
Литая сталь 1360 900 450 1350 000 1080 720 360 1050 700 350
Чугунное литье . . . 300 200 100 900 60J 300 200 100 300 200 100 м и
Стальное 250 Z
литье . . . 750 500 1050 750 660 440 220 660 440 220
Медь .... 600 300
9 Если-есое de решено: литая или сварочная сталь. Для желе жмых ммь
етруишЯ. наир., жалезиых крыш, берут яо Ю00-г 1300 (случав d).
М4
Величины допускаемых напряжений даны (по Ваху) в столбце:
а — для спокойной нагрузки; Ь — для нагрузки (растяжения,
изгиба, кручения), изменяющейся в одном направлении от О
до некоторой максимальной величины —для нагрузки, изме-
няющейся от максимальной положительной до равной ей макси-
мальной отрицательной величины, т. е. для повторного изгиба,
растяжения и кручения в противоположные стороны.
Таблицей 3 пользуются при расчете деталей, для которых
не имеется практических данных; для деталей же, приведенных
во втором томе, всегда даются напряжения, соответствующие
выполненным на практике конструкциям.
Таблица 4. Допускаемые напряжения -в кг/см1 для дерева.
Род дерева Растяже- ние Aj Сжятф k Сдвиг Изгиб *ь
Ель ...... 60 - 50 — 50
Дуб, бук 100 80 20 80
Сосна 100 60 10 70
Ясень . . 110 60 20 60
Таблица 5. Допускаемые напряжения в кг/см* для строительных
материалов.
БОЙЛЬТ Гра- нит Из- вест- няк Пес- ча- ник Мра- мор Кирпичная кладка Строит, ^рунт
Обыхнов. на взвести Хорошая на цементе Хоро- ший Лучший
А=75 45 25 20 24 7 ks А^кг/см1 V
Допускаемое нал ряж edRft е з г и б.
Согласно данных берем:
•* (ц*
допускаемое напряженке • I »
(1«)
из .
♦иг. ,15.
в
где 6 — угол в градусах (фиг. 215), akb —
допускаемое напряжение для прямого
стержня (табл. 6).
Для чугунного и стального литья
величины напряжений в нижеследующей
таблице (как обычно принято) несколько
больше, чем на растяжение.
Таблица 6. Допускаемые напряжения при изгибе, в зависимости
от ФОРМЫ тела
Допускаемое йхпряжеяив для дерева, см. табл. 4 *4 V«7*7* И 1 Z ~/г* . ^90в К/3 ГГ\ ***
М ВТври ал Временное сопротямв’ аде1) Допускаемо! Врем, сопро- Допускаемое
а ъ с Р“” ч** а ь С
Железсг. .... Сталь Чугун, литье1) Стальное литье Пружин. сталь закаленная ♦ ♦ \3800 6000 2800 - 3400 - 6000 8500 070 1350 550 900 2500 650 900 430 600 1500 320 450 250 300 700 1000 2000 600 2000 3000 250 340 120 250 1000 150 230 80 150 600 80 120 40 100 300
Я) Этим цифрам временного еопротнвленяя не следует придавать боль.
И его ш^еюм, так как они маяекдестн от качества материала
дяотся в широких пределах (как видно ив табл. 1),
Влияние округленных углов см. | 61, ф
•> **''У*»’
2»
Допускаемое напряжение для пружин см. во втором томе.
Относительно рода нагрузки а, b и с см. таблицу 3.
<
*§ 50. Моменты инерции и моменты сопротивления.
а) Симметричные сечения (таблицы 1 и 2). рас-
стояние наиболее удаленного волокна от нейтральной оси.
Таблиц* 1. Формулы для J и W.
Поперечное сечение • СА* Изгиб
W ем* Направление • 1 силы
М - ' —rf* 32 Направление нагрузки не влияет
। .it D*-# J 32 -£>
Таблица 2. То же с учетом наптавлбвня нагрузки.
Поперечное ' сечение J см* 1 И » г и б
1Г см* ч Направление СИЛЫ
же 0,063 d1 . 0,128 d* d,ll d* J.K# Д. « ребру
&* 12 ^/th> -> 0.118Л» • ! к Ь _|_ к ребру г /
1 Ь • Л* “1У _J b • у Нагрузка J- * *. зелчнт II «Л
___
217
Таблица 2. (Продолжение.)
Поперечное сечение J см* Изгиб
W см* Направление силы
— . Ъ. Л« 64 — • b •h1 32 Нагрузка JL “ ь- значит II кА
ГЛ?
4^1 -в J В-Н* — b • hl В-Н* — b-h* Нагрузка 1.кД т.е. II ‘Я
12 '6-Я
^йШ^ BfP + bh* 12 В./У’ + ^.Л*
6Я
Изгиб. Для сечений, указанных в таблицах 1 и 2, нейтраль-
ная ось является одновременно осью симметрии; поэтому напря-
жения на растяжение и на сжатие в крайних волокнах имеют
одинаковую величину,
Продольный изгиб. Здесь принимается в расчет всегда наи-
меньший момент инерции J.
Стрела прогиба (см. § 59) вычисляется всегда в зависи-
мости от J, соответствующего данному направлению нагрузки
(см. таблицы 1 и 2).
Ь) Несимметричные сечения. Напряжения в крайних во-
локнах (сжатом и растянутом) неодинаковы, поэтому определяют
каждое напряжение отдельно (см. § 58).
Сначала исходят положение центра тяжести.
Для этого разбивают сечение на отдельные простые фигуры,
положение центра тяжести которых известно, и составляют урав-
нение статических моментов (фиг. 216 и 217).
Статический момент площади относительно данной оси
равен величине площади, умноженной на расстояние центра
тяжести площади до оси F - а.
21в •
Статический момент площади составной (сложной) фигуры
относительно данной оси равен сумме статических моментов
относительно той же оси отдельных площадей простых фигур,
на Которые данная сложная фигура была разбита.
Разбиваем фиг. 216 на два прямоугольника с площадями /,
и на основании вышеуказанного, уравнение статических мо-
ментов относительно оси, совпадающей с верхним основанием Ъ1%
представляется в следующем виде:
— (Д +/1) ^e/xXj 4“ fl • ЛГ|.
Для фиг. 217:
(Л +Л +Л)е, =/rx, +/rxt +/i • **
Из составленных уравнений можно определить ct— коорди-
нату центра тяжести.
Фжг. 216.
Центр тяжести лежит на оси симметрии, — поэтому его по-
ложение определяется одной координатой.
Получаются следующие уравнения статических моментов
площадей (относительно верхней кромки сечения).
Для фиг. 216 имеем:
Л-Хх+Л <аг.=«(/1 + А)/х- (163)
Для фиг. 217 имеем:
Л • *р+Л • х, +Л • х, « (Л +4+Л)*р (164)
Отсюда находят расстояние крайнего волокна от центра
тяжести и проводят линию —Q—.
После этого определяют: момент, инерции согласно пра*
виду, указанному в § 43 & подучаем величину момента ияер*
2W
пин фигуры относительно оси, проходящей через центр тя-
жести:
-Л*+/-»*, (165)
иля
или для фиг. 218: , .
^Л • V +Л •+^/. • V+/»• М (166)
Для фиг. 219: прибавляются еще
члены
Фиг, 219
Прямоугольное полое сече-
Фиг. 218. ни& по фИГ> 220 в данном случае
представляют себе, будто обе боковые стенки сдвинуты к сере-
дине; получается сечение, показанное на фиг. 221, для какового
и вычисляют момент инерции.
Обозначение е для расстояния* волокна от
оси, проходящей через центр тяжести.1)
1. В случае симметричного сечения (таблицы 1 и 2)
в расчете фигурирует только одно расстояние е.
2. В случае же несимметричного сечения: ч
а) если сопротивление растяжению и сжатию при*
близитедьно одинаково (как для литого и. сварочного
Фиг. 220. железа, стали, стального литья), то буквой е обозяа
чают всегда расстояние наиболее удаленного волокна;
Ь) если сопротивление сжатию больше сопротивления рас-
тяжения (напр. чугун), то для обыкновенных сечений буквой е
обозначают всегда расстояние наиболее удаленного
растянутого волокна.
Расстояние растянутого волокнают центра тяжести
обозначают е& а сжатого волокна — еа. Какое из этих
расстояний принимается в расчет, подробно объяснено
в § 58.
* В случае кручения мы имеем дело с полярными момен* ’
тами инерции и полярными моментами сопротивления.
Фиг. И1.
О Для кривых стержне# (см. 1 68) расстояние внутреннего волоюм
вяачехо буквой в, чтв явствует п рнеумков ггого параграф#.
«О
Таблица 8. Полярный момент инерции я момент сопротивления
при КРУЧЕНИИ.
Размеры 8 слс Поля рн. момент инерции Jp Момент сопроти- вления кручения Примечания
й 10 В случае симме- тричных сече- ний круга, коль- ца, шестиуголь- ника ит.д.^— поляра. моменту сопротивления Wo (объяснения см. § 48 k). i ш 9
•$ * л 16 D
1,04 • Ь* 0,92 •«*
^^4 ь* 46 — • Л1 ’ 20 Равносторонний треугольник
Ш 1 Л’ . Л1 3,6 . 6’Н-Л’ । t <> сч |<з> 1 -стах имеет ме- сто по середине длинных сторон ^min — ко рот, crop.
и Ь* • Л» 15 »»4-Л* н8*4
*тах ддлин, сТор. В углах «и=0.
§ 51, Основные уравнения для определения прочных
размеров.
L Растяжением сжатие. Лодробкоет» »М
F—площадь поперечного сечения стержня в см 1 Налряж. растяж» t Напряж. сжат. 4 еж=Р:Р *г1ем* t Допуск, нагрузка Допуск, нагрузка ' P^F-kKi 1 .53,54,55,56
211
IL Продольный изгиб. т — коэффициент безопасности J — момент инерции в см* Е—модуль упругости в кг/см* С — длина стержня в см Допускаемая нагрузка Р=х • «’ • д кг г * т Необходимый момент инерции . Р Р • m . У=— х * «*• Е Коэффициент Эйлера х от до 4 зависит от рода нагрузки к способа закрепления концов стержня Ш. Кручение (см. табл. 3, § 50). Jp — полярн. момент инерции в еж* е —расстояние наиболее удаленного волокна от нейтральной оси в ем у—момент сопротивления кручения вслс1 Ad — допуск, напряжение кручения в кг) см1 Действительное напряжение : Wa кг/см* Допуск, момент кручения Mj=Wd - kd кгсм Необход. момент сопротивления Wd за Md * kd CM* Для круглого сечения Wd часто обозначается Wp (полярн. момент сопротивления), так что I7d=l7 =х£>~0,2> Подробности • $9 55 55 50, табл. 3 56 50, табл. 3
222
IV. Сдвиг и с р е в. Р — сила, производящая сдвиг, в кг F— плот. поперечного сечения в см* Действит. напряжение сдвига • P:Fкг/см1 Допуск, нагрузка на сдвиг Р = Г- • х кг 4 Коэффициент хса-к- до 2 а зависимости от о формы сечения V. Изгиб (прямой стержень). J—мом. инерции в еле4 kT = J: е см* — момент сопротивления Необход. момент сопротивления W” ~ Af*: kb cxF Допуск, момент изгиба Мь = Р • /= IF • kb кгем Действ, напряжение , *ь = Мь: W кг!см* VI. Сложные сопротивления. См. подробно в §§ 62—67. Подробности • И
57 57 58 — 61
§ 52. Определение прочных размеров деталей.
Общее замечание о расчете» В общем, ход расчета сле-
дующий. Определяют напряжение по заданным, якобы
существующим, размерам. Этот способ можно рекомендовать,
как вырабатывающий у конструктора чувство действительных
размеров. При помощи одного только расчета конструировать
машины нельзя, даже если бы было найдено средство избегать
ошибки.
В исключительных случаях определяют необходимое попе-
речное сечение или допускаемую нагрузку при помощи допу-
скаемого напряжения,
В дальнейшем будем, по возможности, пользоваться следую-
щими обозначениями.
_ Величины Растя- жение Сжатие Сдвиг Круче- ние Изгиб
Вычислен, или действит. напряжение 9 S
Допускаемое напряжен.. *» k ^3 kd
Моменты — —. Md Мь
Времен, сопротивление . К
Предел упругости .... т
§ 53. Растяжение. *
(См. МП
Пусть Р—растягивающая сила в кг; F —площадь Попе-
речного сечения в см* (фиг. 222).
Тогда:
действит. напряжение кг/см*:
Это должно быть < kx (согл. § 49, табл.
3—5). . *
При расчете длинных частей, как-то: подъ-
емных канатов, цепей, шахтных штанг, необхо-
димо принимать во внимание их собственный
вес G (аналогично случаю, показанному^ на
фиг. 223); тогда в уравнение (167) нужно
вить взамен силы Р общее
лие, равное
в ста*
уси-
Фиг. 222.
(168)
X от
Напряжение в расстоянии
свободного конца от собственного
веса (фиг. 223).
(167)
Фиг. 22Х
где 7 — вес I см1 тела в
В случае действия внешней нцгрузки требуемая площадь
для опасного сечения ab
Я 69)
224*
Г
Q^=F. I • у; вставляя это значение в формулу (169), помучаем:
Ступенчатый брус. Площадь сечения и-го эвена при оди*
наковой длине звсньзв (фиг, 224);
F -- •
Пример. Пусть дубина колодца для
спуска в шахту /7=500м\ поднимаемый
груз, включая люльку и вагонетку, равен
1800 кг; вес одного погонного метра ка-
ната—1,2 кг; рабочее сечение
равно 3,5 см* (фиг. 225). Тогда
‘ него конца (а) имеем:
cz = 1800: 3,5 = 515 кг) см1,
а у верхнего конца ($):
1800 + 500’1,2 ЙПЛ
----23^--- ~б90кг/аМ
каната
у ниж-
Фиг. 225.
Значит, напряжение возрастает здесь с 515 др 690 кг/оЛ
Если исходить из допускаемого напряжения (см. § 49, таблица
3 — 4), то:
необходимое сечение
F=P:^; . (170)
допускаемая нагрузка
4 (171)
Пример. Пусть на конце железного прутика круглого сече*
яия висит груз Р= 8300 кг. Берем из табл. 3 § 49 допуска
емую нагрузку Л2=970 кг)см*. Тогда необхо-
димое сечение будет 8300 : 970 == 8,6 см1
* Удлинение растянутого стержня (фиг. 226) без
учета его собственного веса определяется по
формуле:
Г Р- L tg * L
X~"£.F~ Е см. 172).
где L первоначальная длина стержня в см; Е модул* упругости
материала согл. § 49, табл. 2
15 г., хе ж* р 225
Пример. Стальные, проволоки каната из предыдущего при-
мера удлинились на
* > 600.50 000,,-
* 2 000000 “ 'iCM>
где 600 средняя величина для вг
(SJS + SSO^ ,
Удлинение от собственного веса бруса
Полное удлинение при yueie собственного веса
22Г
§ 54. Сжатие.
-- * кСм. $ 47.)
Вопрос о том, подлежит ли ^ело расчету на продольный, из-
гиб или на сжатие, решается на основании указаний § 55.
В зависимости от рода нагрузки здесь может
также иметь влияние вес самого тела.
Для многих расчетов на сжатие, на пр., кир-
пичная кладка, фундаменты и т. п., сжатие зависит
вообще только от веса (фиг. 227).
< _ Если здесь также: Р — сжимающая
у сила в кг, F*—поперечное сечение в
г |1 см*, то действительное напряжение
Фиг. 228.
а = Р : Е кг/см*.. (173)
Фиг. 227.
Это 9 должно быть < k (см. § 49,
табл. 3 — 5). _
Пример. Пусть кирпичная дымовая труба весит О = 28 500 *г;
площадь кольцевого сечения у. цоколя F«=4800 см* (фиг. 228)»
Тогда согласно уравнению (173):
Величина напряжения сжатия:
а х= 28500; 4800 = 5,9 кг1см\
226
В случае давления ветра Р, на противоположной стороне
возникает напряжение сжатия (давление)
9b~~w к^см
(174)
(см. § 47 е).
Это давление прибавляется к силе сжатия; следоЪвтельно:
Общее напряжение равно з 4- cfr кг/см*. (175)
Расчет давления ветра—см. § 135. '
Допускаемое напряжение, включая таковое на изгиб до
10 кг/см\ если кладка на цементном растворе (§ 49, табл. 5).
Исходя из допускаемой нагрузки, получим необходимое се-
р
чение F= —------, допускаемая нагрузка,Р=р . А •
к •
Сокращение X длииц сжатого стержня определяется согласно
уравн. 172, причем вместо а, вставляется напряжение сжатия а.
§ 55. Продольный изгиб.
В некоторых случаях затруднительно решить вопрос,'как рас-
считывать стержень: на сжатие или на продольный изгиб?
Поэтому стержень рассчитывается на сжатие и на продольный
изгиб и принимается во внимание наибольшее из получающихся
значений. * z
В приводимой ниже таблице даны для различных случаев
закрепления концов стержня значения и ниже которых
/расчет ведется на сжатие. Предварительные данные указаны в
нижеследующей таблице, в которой обозначено:
Р допускаемая нагрузка в кг> I длина стержня в см* 7min наи-
меньший момент инерции a cjm4 согл. § 49, Е модуль упругости
(§ 49, табл. 2), т коэффициент безопасности (5- до 12-кратный—
см, том второй; см. табл, на стр. 228).
Если при круглом сечении отношение длины стержня к диа-
метру (ltd) или при прямоугольном сечении отношение длины
стержнЗ к более короткой стороне ^ме я ь ш е приведенных в
'вышеуказанной таблице, то расчет нужно вести на сжатие.
При установлении вышеозначенных пределов было принято.
. К из табл. 2 § 49 . I/VM.
- «жусж. капряж. сжатия = (д,_ -6эфф ^30пТ «/«*'Щв)
227
Таг>лица случаев ПРОДОЛЬНОГО ИЗГИБ?
I
n
Оба конца
шарнирно
закреплены
и не смеща-
ются. —Ос-
новном слу-
чай
IV
«У™*
Оба конца
закреплены
Один конец
закреплен,
—г:Л сво-
боден
Один конец за-
крелаем, дру-
гой шарнирно,
ко неподвижен
ll
о JE
2
р-ч)Г.-р-
W-J-E
т • I*
i 4Лб< !
/6
Железо
Чугун .
Дерево
tid
12
l.h
14
6
7
ltd
24
10
11
1th
28
12
13
ltd
33
14
16
l:h
35
16
19
ltd
48
22
23
66
23
27
5
6
В вышеуказанных формулах принято n’ Ю.
значит, одинаковая степень безопасности как для продольного
изгиба, так и для сжатия.
Подробности—см. том второй, а также соответствующие
«л дачи.
Пределы применимости формулы Эйлера для основного слу-
чая (см. таблицу) для железа, если — > 105, где г — наименьший
радиус инерции, м ? берутся брутто) (177)
для твердой стали................. — > 90
. чугуна...............\..........~> 80
дерева.........................-£ > 100
228
Расчет обычно производится по допускаемому напряжению
на продольный изгиб £';=<? • k, где
f — коэффициент уменьшения основного напряжения в за-
висимости от —— (см. стр. 230 — 232).
' 1) Поверка на прочность
2) Поверка на продольный изгиб (устойчивость)
u ’brutto
то поверка на прочность является излишней.
Если?<-^,
brcKto
§ 56. Кручение.
(См. | 47.)
При кручении происходит поворот поперечных сечений около
оси и таким образом имеет место сдвиг одного сечения по от-
ношению к другому. Поэтому мы здесь действительное напря-
жение будем также обозначать буквой ъ
Пусть:
Md = сила х плечо = момент кручения в тем.
W<r= момент сопротивления в см* согл. табл. 3 § 50.
Для прямоугольного сечения независимо от отношения сторон
у применяется формула
* - (Л>*> GW
ib*-h '
tmax — в середине длинных сторон.
В середине коротких сторон:
ИЯ
Тавлиця 1. Коэффициент уменьшения основного напряжения
_£ ". г ? л. г * т г f Л г
20 0,88 45 0,78 70 0,67 95 0,56
я 0,88 46 0,77 71 0,67 96 0,56
22 0,88 47 0,77 ; 72 0,66 97 0,56
23 0,87 48 0,76 73 0,66 98 0,55
24 0,87 49 “0.76 74 0,66 99 0Л5Х
25 0,86, 50 0,76 75 0,65 100 0,54
26 0,86 51 0,75 76 0,65 101 9,54
27 0,85 52 0,75 77 0,64 102 0,53
28 0,85 53 0,74 78 0,64 103 0,53
29 0<85 • 54 0,74 79 0,63 104 0,53
30 0,84 55 0,73 во: 0,63 103 0,52
31 034 . 5в^“ *0,73 81 0,62 106 0,52
82 -0,83 57 0,73 62 0,62 107 . "0Л1
33 0,83 58 0,72 83 0,62 ' 108 0,51
84 0,82 ' 59 0,72 84 0,61 109 '0,51
35 082 60 Ш- 85 0,61 ПО 0.50
Зв 0,82 61 0,71 86 0,60 111 0,49
37 0,81 62 0,71 87 0,60 ^112 0,48
38 0,81 63 0,70 88 0,59 113 0,48
39 0,80 64 0,70 89 ИГ- ^47
*\ 0,80 “ • 65 0,69 90 0,59 115. 0,46
41 0,79 66 0,69 91 0,58 ио 0,45
42 0,79 ' 67 0,68 92 0,58 117 0,44
43 0,79 68 0,68 93 0,57 118 0.44
44 0,78 69 0,68 М 0,57 119’ 0,43
жг ~ ... /. •* • ' t J . -
/ г т £ г т 4.1 t 2 г
120 0,42 145 0,29 170 0,21 195 0,16
121 0,41 146 0,29 17! 0,21 196 0,16
122 0,41 147 0,28 172 0,21 197 0,16
123- 0,40 148 0,28 173 0,20 198 0,16
124 0,40 149 0,27 174 0,20 199 0,15
125 0,39 150 0,27 175 0,20 200 0,15
126 0,38 151 0,27 176 0,20. 201 0,15
127 (£38 152 0,26 177 0,19 202 0,15
Г28 0,37 153 0,26 178 0,19 203 0,15
129 0,37 154 0,26 179 0,19 204 0,15 ►
130 0,36 155 . 0,25 180 0,19 2С5 М4
131 0Д5 ' 156 0,25 181 0,19 206 0,11
132 035 157, 0,25 182 0,18 207 0,11
133 0,34 158 0,24 183 0,18 ’ 208 0,14
134 034 159 0,24 184 С,18 209 0,14
135 0,33 100 0,24 185 0,18 210 ’0,14
136 0,33 161 0,23 186 0,18 211 0,14
137 0,32 162 0,23 187 0,17 212 ч 0,14
138 0,32 '163 0,23 188 0,17 213 0,13
139 0,31 - 164 * 0,23 189 Д17 214 ОДЗ
140 0,31 165 . 0,2? 190 0,17 21$ 0J3
141 0/31 166 0,22 191 0,17 216 0,13
142 0,30 167 0,22 192 о,1К 217 0,13
143 0,30 168 0,22 z 193 0,16 218 0,13
144 0,29 169 ' 0,21 194 0,16 219 ; 0,13
231
Таблица 2.
к—— г К-1 т * 1—— г
0 0,870 70 0,668 140 0,237
10 0,845 80 • 0,642 150 0,196
20 0,820 90 0,583 160 • 0,164
30 0,796 100 0;515 170 0,138
40 0,771 ПО 0,437 180 0,116
50 0,743 120 0,352 190 0,098
60 0,722 130 0,287 9 200 ' 0,083
Таблица 3.
£ г г т г ф 1 г 1 7/ -•? j 2 г f
5 1,000 30 0,839 55 0,664 80 0,493 105 0,321 155 0,146
-7,5 0,993 32,5 0,821 57,5 0,646 82Д 0,475 110 0,293 160 0,136
10 0,979 35 0,804 60 0,632 85 0,457 115 0,268 165 0,129
12,5 0,96* 37,5 0,787 62,5 0,614 87,5 । 0,439 120 0,246 170 0,121
15 0,943 40 0,771 65 0,596 90 0,421 125 0,225 175 0,114
17,5 0,925 42,5 0,754 67,5 0,578 92,5 0,405 130 0,207 180 0,107
20 0,907 45 0,736 70 0,561 95 0,387 135 0,193 185 0,104
22,5 0,889 47,5 0,718 72,5 0,543 97,5 0,371 140 0,179 190 0,096
25 0,871 50 , 0,700 75 0,525 100 0,353 145 0,168 195 0,093
27,5 0,857 52,5 0,682 i 77,5 0,511 . —- 150 0,157 200 0,089
232
*4
Сечения Момент сопротивления в Точки наибольших напряжений ма ** mix ~ Vd Момент инерции (условный) в см^
и и 1“я>’ V В середине длинных сто- рон 'd max ✓ х
) В середине ко- ротких сторон xd “ max
В вершинах углов Td”°
п — 1 1,5 2 3 4 б 8 10
5- 0,208 0.Я6 0.493 0,801 •• 1,150 1,789 г 2,456 3,123
7J — 0,1404 0,2936 0,4572 0,7599 1,1232 1,789 2.456 3.123
1.0 0,ВД35 0,7952 0,7533 0,7447 0,7426 0,7425 0,7425
1 1? • Л т” ">4 В точках длин- ных сторон А кроме вершим Xrfmax z*“ -|(Я-0,вЗ)М
г t7rf = |\-C.e3)J».= f !±- ~ ь L-— . .. . .., ;,. . В середине ко- pJTKMX сторон 0J425 Tdfliax
В вершинах утло» М-0
233
Сечения Момент сопротивления в CAti Точки , на н 6' и моих напряжений Td max — wd Момент инерции (условны 7) в с«м*
VPj~0,05M - М М _ В середине сторон Vraax Л* • Id — =^* 15^/3 Л4
7.5/3^ 12,99 ” 25,981 "
'“ О ж 2/j Т В вершинах т4с0 ЗМ М i 8Ср'Т 46,138 1
«'a~oj36rm.pa Fa « площадь В середине сторон > ld=m 0,520 rm* Fa
(
r-rf-q * В каждой /
точке наружной
окружности
4“ *‘4> В каждой точке /«-а 4,(1—‘)-
. г<*Ьн <»*»-«*> наружной окружности “zp
/ т *
234
1 Сечение Момент сопротивления В Точки наибольших напряжений *d mu”^ . S Момент инерции (условный) в см*
Л ' Т-">1 В конечных точках малой оси »d ~Л ИГц г 15 “ Й ' «Мм- л* 4-1 F— ** ip
* 1
В конечных точках больший оси х4та^ л
b I Ла ^1 . — П> 1 ьа *1 * */ */ .. -a—tra-'<x х г«Чг • ЛЛа>(1-««) В конечных точках малой оеи Tdmax \ В конечных точках большой оси Trfmax п г г Л< 4“ 1в л’ + 1 -»а*Х (»-•«)
, t 1 - \ —О,2О8а* В середине сторон *zrfmax 1а — 0.1404 а« \
235
В вершинах углов напряжение равно нулю.
I •1 Ма Ма 0.?-dt 16 0,2-d8 есть одновре- менно полярный мо- мент
п S ar , _ Md к £>* — </* 16 . D ЛЬ есть одновременно * полярный момент
ш С ш» =».. У*— |.е.л Для тела прямоуголь- ного сечения, испыты- вающего только кру- чение, должно быть: т тдх ^4 (kd согл. § 49 табл. 3) <min принимается в расчет только при сложном сопротивле- нии, напр., при рас- чете кривошипов
IV Md * mlo = -j— $’»•>
V Эллипс как для Ш и IV, но 2 х « вместо у ДОЛЖНО быть ЦТ
Пример. Пусть для кривошипа Ь*=73 мм, Ь=~400мм,
гг=400мм, а—110 мм, кас&плышя аиа 7"= 10900 мг (фиг.
229). Тогда '
236
Момент кручения Md=.T • а= 10900 • 11 = 120 000 кгсм.
|.7,5«.40
Напряжение в середине сторон Ъ (табл, на стр. 236).
120000 ,
ч » ^tnln—а * 45 кг/см.
•. |-40’.7Л х
К этому напряжению кручения 45 кг)см2 * прибавляется еще
напряжение изгиба (сравни § 4 и § 66. 2-й пример)..
Если исходить из допускаемого напряжения (§ 49, таб-
лицы З'— 4), то
необходимый UZ4 = Afrf: kd см1 (179)
допустимый Wa • к*см (130)
Для круглого и кольцеобразного сечения 117^= Wp, согласно
табл. 3, § 50. При прямоугольном или эллиптическом сече-
нии для Wd берут всегда наименьше зна-
чение. -
Пример, Пусть Д/ = 25 820 кгсм\ тогда
для стали (табл. 3, § 49) kd =а 1050 хг)см\
значит, необходим' ^ = 25 820: 1050 =
= 24,7 см1. Затем берут, в зависимости
от формы поперечного сечения, уравнение Фиг. аза
§ 50 по табл. 3. , 4 •
Вычисление угла кручения. Момент кручения стре-
мится сместить отдельные частиды массы тела относительно
друг друга. . , "~—
Угол кручения для стержня круглого сечения прямо про-
порционален крутящему моменту, длине стержня L, и об-
ратно пропорционален моменту Jp (полярному) и модулю
сдвига G (фиг 230).
Угол кручения в градусах
Ь=^-7^'3-1) («О
ТХ jp и
О Отиоснтельгай угол кручения, измеренный в едютвсде дутн в отнесен-
пЛ к длине, реввЛ 1‘сл, равен 6 *. Md : (J? • О), а отнесенный к длине в £ си
Md<L
—я1 едмнвш душ, где L-iamm в сл, А —полярвыж момент
JP ’ и ч \
При расчете валов наибольший допускаемый угол кручения
равен */iQ на 1 погонный метр. (181а)
Пример, Стальной вал (значит, G = 850 000, согл. табл. 2, § 49)
диаметром в 150 мм передает момент кручения в 175 000 кгем,
согл. табл. 3, § 50 —4, = 4970 см', а для длины вала в 1 м
(100 см):
1
. 180 175 000 100
к ‘ 4970 ’ 850 000“ '*
градуса.
§ 57. Сдвиг или срез.
(См. § 47.)
Обычный способ вычисления напряжения: Напряжение =а
площадь греза
Однако действительные
напряжения значительно отличаются
от вычисленных таким образом.
Поэтому необходимо принять в
расчет момент инерции площади;
тогда по Баху (фиг. 231):
Действительное напряжение * —
== х • Р: F кг{см*. (182)
Здесь Р =а= срезывающее усилие в кг,
F = площадь среза в см*.
Величина F зависит от количества сечений, испытывающих
деформацию сдвига.
Так, напр., каждая отдельная заклепка.испытывает напряже-
ние сдвига:
инерции в см* (§ 50, табл. 3), О - модуль сдвига в кг/см* ($ 49, табл. 2). Под
единицей дуги понимают длину Дуги круга с радиусом 1. охватываемую
сторонами данного угла, так что;,
угол В дуговых единицах_________угол н градусах_____
окружность круга рзд.~1 окружность круга в градусах
угол в дуговых единицах угол в градусах
2z-l — 360°
Угол в дуговых единицах= ^Хугол в градусах^
W
Угол в градусах — X У гол в дуговых единицах
Л
При склепывании в нахлестку в одном сечении (одиночное
срезывание) (фиг, 232).
При склепывании с накладкой в двух сечениях (двойное
перерезывание) (фиг. 233).
Пример. Для заклепочного соединения, показанного на фиг.
!34, с тремя заклепками ф 18 мм, сечение Г = 2 • 3 • -- • 1,8* =
= 15,2 ли*. Если срезывающее усили^=8000 кг, то:
действительное напряжение г = — • - - = 700 кг!см\
О 10,3
Фяг. 232.
Фиг. 133.
Фиг. 234.
Исходя из допускаемого напряжения ks (§ 49, табл. 3 — 4),
имеем:
НсобхсАимое сечение * Р: Ь3 (183)
Допускаемая нагрузка Р = (1: л) • F k5l (184)
где х берут согласии уравнению 182.
§ 58» Изгиб.
(Си, § 47.)
а) Изгибающий момент. Изгибающий момент = силе X
X плечо»
Плечом служит кратчайшее расстояние направления силы от
опасного сечения, фиг. 235 — 239.
Фиг. 238. Фиг. 239.
Фкг. 235. Фиг. 236. Фиг. 237.
Для этих случаев изгибающий момент Р • Z. (1,85)
Пример Пусть для балки (сот. фиг. 235) Pz^“150 кг, 1 =
=^200 см; Следовательно, изгибающий момент*^ 150 • 200 =
= 30 000 кгем.
239
В случае действия нескольких сил в разных направлениях
расчетный изгибающий момент равен алгебраической сумме мо-
ментов.
Таким образом на стержень (фиг. 240) действует.
Фиг. 24ft * - 9яг. 241, Ряг, 242.
Пример. Пусть (? = 180кг, / = 250еж, Р=50 кг, г = 100 см.
Тогда Изгибающий момент ==180 • 250 — 50 • 100 = 40 000 кгсм.
Если брус лежит на нескольких опорах, иапр., двух, и нагру-
жен в любом Месте (как на фиг. 241, или вне опор, как на
фиг. 242) силой Р, то для получения величины изгибающего
момента надо определить Сначала реакции опор,
Ъ) Реакции опор. Для равновесия сил, лежащих^в одной
плоскости, необходимо соблюдение трех условий равновесия:
2^=0; 2У=0, 2М = 0. • (187)
Для вертикальных сил: 1) сумма реакций равна сумме на-
грузок и 2) сумма моментов слева какого-либо сече-
Фиг. 243.
нив равна сумке моментов сил
справа сечения, но с обратным
знаком.
Для балки фиг. 243 получаем
из условия равновесия:
Лгх + Рг^=<?Л (188)
•ткудг решения tn ра -
q— р89)
' f ~ ' •
В дальнейшем будем обозначать реакции буквами А и В,
Изгибающий момент силы принято считать положительным,
если он изгибает балку выпуклостью вниз (фиг. 247) или стре-
мится повернуть левую часть балки по направлению часовой
стрелки, а правую против часовой стрелки. Изгибающий момент
будет отрицательным, если он изгибает балку выпуклостью вверх
(фиг. 248), т. е. стремится повернуть левый конец балки про*
тив часовой стрелки, а правый — по часовой стрелка.
Для фиг. 244 -имеем:
А==В=*~.
Момент изгиба равен
л /
*___ р-1
2 “ 4 ‘
(Сравяи § 59, случай 3.)
Фиг. 245.
Фиг. 244.
Для рис. 245 мы имеем.
А 1=^Р ♦*;
л=р1
В . l^P a;
В=Р
или
Изгиб, момент s= А • а = Р
= ВЬ^Р~?
(сравни §59, случай 4),
Г
Для балок с равномерно распределенной на*
грузкой Q расчет несколько сложнее^ /
Для фиг. 246 обе реакции
опор равны.
Реакции Л + = Q»
Рассмотрим сначала какое*
яибудь сечение в расстоянии г
от опоры В; здесь мы имеем
справа от сечения два действу юти* в противоположи» на*
правлениях момента, а именно:
От равнодействующей аагру> От реакции В.
кй на длине х ’ л
>/ Q-*
Момент г® —у—
W Г- Холер»
Фнг. 346.
Момент « + В • х
ИГ
О • д?
-у представляет собой часть нагрузки Q, приходящейся
на длине х, причем ее точка приложения лежит в середине втоЙ
длины (так как нагрузка равномерная).
Согласно уравнению (186):
Изгибающий момент равен В • X-----• у,
п О
а так как В = у, то:
Фпг.. 2<7. : Фиг- 243.
Изгибающий момент приобретает наибольшее значение для
х=2 (т. е. в середине), а именно:
М Z _<?U Q\l_Q-l
2 2 2 ' 4 ~ 4 8 ~ 8 ’
। Для различных встречающихся в практике случаев данные t
помещены в таблице § 59.
с) Определение напряжений при изгибе. Отдельные во-
локна изгибаемого тела испытывают либо растяжение, либо сжа-
тие. котооые необходимо определить (фиг. 247 и 248)
1 Фяг. 249.
На различных сечениях (фиг. 249) нужно себе представить
действие силы сверху вниз, как указано на фиг.<241.
Обозначим через: ez расстояние наиболее удаленного рас-
тянутого волокна в см(
2<3 ' ’ й
ed расстояние наиболее удаленного сжатого волокна в ем,
J момент инерции сечения в см* *, отнесенный к оси, праха*
дяшей через центр тяжести, Мь — изгибающий момент в кгсм.
Тогда: действительное напряжение
’« = — кг!ем*. (190)
j. е^ j
Действительное напряжение
«4 = 777- = ^ • *4 KtjCM*. (191)
Пример: Сравнение двух способов нагрузки (фиг. 250) для
тавровой балки нормального профиля h ~ b =з» 10 см, 178 см*
(согл. таблице).
При величине изгибающего момента = 24 860 кгсм имеем:
Фиг.
4,=2,8 et = 7flcM \
7 9
*ж =s 24 860 * 1010 кг!см'
Ъ m24 860 . = 390 кг/см'
Запас прочности.*) Для
3600
жеяеэд: Того ~3’6
(*Л = Л = 3 6(Х) кг/гл»)
п 1500 ...
Для чугуна: ^^1,5-
(&= 1500 кг/сл?).
ef—2,8 еа^7,Чел
о, =24 860 • = 390 нг/сл’
72
=*24860 .{£=1010 .
гт 3600
Для железа: /-^3,6.
п 1500
Для чугуна 4.
Эти результаты особенно примечательны, так как они пока-
зывают, что сжатые волокна для чугунного
бруса должны лежать дальше отоси, проходя-
щей через центр тяжести, чем растянутые во-
Ц Временное сопротивление е». % 4^, табл. 3
* 2Я
л о к н а, дабы напряжение растяжения было как
можно меньше. Следовательнб, сечения по фиг. 249 — 2,4,
6, 8 и 10 для чугуна более надежны.
d) Упрощенный способ расчета. Если 'материал имеет
приблизительно одинаковую прочность на растяжение и на
сжатие, как, напр., литое железо,
сварочное железо, сталь,—то рас-
чет ведется по моменту сопротивле-
ния W.
Наиболее опасным местом такого
поперечного сечения является наиболее
удаленное от центра тяжести волокно,
та** что момент сопротивления
(192)
где е есть расстояние волокна, наиболее удаленного от <си,
проходящей через центр тяжести (фиг. 251).
Действительное напряжение:
ч = Мь'.^
(193)
Это напряжение может быть только растяжением или сжа-
тием, как видно из предыдущего^
Приведенный способ расчета (ур. 192 и 193) пригоден для
всех тел с .имметричным сечением (фиг. 252), так как при этом:
^=озлили w~shcM"’ (W}
при этом растягивающее и сжимающее напряжения одинаковы:
действительное напряжение W кг!см*.
Фкг. 252.
{Нагрузка рерпеяднкулярна к горизонтальной оси.)
Пример: На двутавровую балку № 30 (фиг. 253) действует
Нагрузка Рз=500 кг при длине L =» 10 м.
?44 . . - ‘
Согласно таблице VT = 592 смЛ
Согл. уравн. 185 изг. мом. Мь=— 500-1000=—500 00и кгсм
» . 193 нэпряж. = 500 000: 592 ~ 844 кг/см\
Если исходить из допускаемого на-
пряжения Л* (§ 49, табл. 4 и 6), то:
необходимый момент сопротивления
lF=Afb: Ьь <195}
допускаемый изгибающий момент*'
(196)
Пример: Согл. § 49, табл. 6, допускаемое напряжение для
железа &ь=97О кг/см‘; значит, для вышеуказанной балки при
Ц7»= 592 см* допускаемый изгибающий момент •
= 592 ’ 970 = 574 240 /цсм.
§ 59. Реакции опор, моменты» стрелы прогиба.
Кривая, в которую обращается ось бруса при его изгибе,
называется упругой линией; ординаты этой линии дают про-
гибы для соответствующих точек балки; наибольший прогиб
называется стрелой прогиба, bfa практике необходимо бывает
внать стрелу прогиба; для этой цели в нижеследующей таблице
приведены значения ее для различных случаев. Для железных
балок гражданских сооружений допускают обычно у <л
I 500
до sU; ДЛЯ мостовых железных балок -7- от до -7X77 •
OUV I 1VUU IZOU
Леовые J2 случаев нагрузки на балку См. стр. 246 и 247.
ФКГ. 2М.
13. На балку с заделанными кон-
цами действует равномерно f распреде-
ленная нагрузка Q и сосредоточенная
сила Р, фиг. 254.
а<Ь.
Реакции опор:
(л+ЗД)-^ . Q
л в Г Ji-------г. у • U97)
' ож
Тлвлши РЕАКЦИЙ ОПОР, МОМЕНТОВ И СТРЕЛ ПРОГИБА.
ill Род И АГр уз КД Реакции опор в кт На и бок ыв: , кзгибающ. момент в дсгсм Стрела прогиба в см Опасное сечение Примечание
1 t— г э л—Р M^Pl < Р М зА-/ У л \ .
Г” < !»
* z -t—j, j X 1 to В Р/ 8 ла уА.ВлС
3 * —Т~~1л a Л~В’Т Р1. 4? Р - Z» &EJ В середине
4 г — -Он- С —-~ ^5р — 1 to х 1 1 to to ц u. Р *С» С1 1 Р « Сд» 3£/‘ 1 У а
5 1Г 1 1 Д_П/НР В- »Л.Р Гвр-1 p.7Z« IME'J ' У Л
3 - - 1 1 1 1 L””.' Р*т PU« 8£U М в середше
Ь. % размеры см» В сэгяааю габд. 1 § 49, J согласно табл. 1 | 5й
Опасное сечение у опрры В. \
if «•*’+01
Мь — Р - —h j2 •
Стрела прогиба
^- + Q-
з/*
aV »»\
24/ /
(199)
4
£00)
14. На балку с одним закрепленным
и другим свободно лежащим концом дей-
ствует такая же нагрузка, что и в при
мере 13, фиг. 255.
Реакции опор: ; ‘ фит
л,р<2?-4-^+.Ук£ + |0
' ' Р **-(За + 2Л) 3 Л
В~Р-----2?--+TQ’ ’
(201)
(202) •
Момент изгиба у А:
+ (203)
Момент изгиба у С; /
. мь= Р а -^,±2*) + Q . (204)
•. \
' ч А ‘ I
получается для х=-у—, если х<а и тогда:
' ^m«i‘e'gQ ’ *
Условия для х<а:
Р р ^—ЗЬ
7? <4д* * 8а4-2»
< другой стороны Mb(atl получается
\ _р ~ ; ’
для ~ч«4 если х>а («ли
< V .
и тогда: х . ч... .
МЬт^ = 25 l-Mi = Р • а 4-М^ • I.
Условие для х>а(ж, <^):
Р р(3ь — 5а)
i Q < 4а(2й»> 6а 6 4-3»*) ’
(205)
(206)
(207)
(208)
Расчет сечения производится по изгибающему моменту с
наибольшей абсолютной величиной (согл. уравн. 205 — 207)., -
ч Стрела прогиба а тоже приложевия сосредоточенной силы R
Р a^ b^a + 3b) х Q а -^’(3 а + Л)
E-J 12? *" Е • J ’ ’"."18/ ( )
15. На балку с свободно лежащими концами действует
такая же нагрузка, что и в предыдущих двух примерах, фиг. 256.
Реакции опор:
' Р Ь — а
Есм Q>~2T
/>•« , Q
I ^2
I ‘2
(210)
(211)
Момент изгиба
Для а = b — 0,57, реакция опор:
4 = 5 = 0,5 (P +Q). (215)
МЬша=^±-2-1. (216)
$ 60, Тела равного сопротивления изгибу.
а) Телами равного сопротивления изгибу называются та-
кие, у которых напряжение изгиба во всех сечениях одинаково.
В нижеследующей таблице приведено несколько употребитель-
ных форм таких тел. Тонкими линиями обозначена упро-
шднная форма балки. - ,
У ' •/ Г,; 24а
теХа равного сопротивления изгибу.
Форма балки Попереч- ное сече- ние Очертание продоли» ною про- филя Формулы ДЛЯ определения размеров се- чения
л*=
Прямая
ЛИНЯЯ
парабола
6Р
ио
Круги
диаметром
Груз Р пркпожен на липце балки
** S А Г*“ 3 ь Прямо- угольники одинаковый ширины b « перемен. Кон высоты У 1а. Верхнее очертание- прямая яж- нкя« ниж- нее—обык- новенная парабола U. Обыкно- венная па- рабола
ь
S
Прямо»
уюлъникя
одинаковой
высоты Л
и перемен-
кой шири-
ны Ъ
Подобные
прямо-
угольники
высотою
у и шири-
ною х\
Отношение
сторон
Кубическая
Кубическая
парабола
Прогиб у В:
' b-E^h>
ер
ер-t
Ь~
Прогиб у #
GP
~ГЁ.
Форма балки / Попереч- ное сече- кие Очертание продоль- ного про- филя Формулы ДЛЯ определения размеров се- чения
♦ Нагрузка Q равномерно распределена по балке ’
Прямо- угольники одинаковой ширины b и перемен- кой высоты У Прямая линия
" { kr—f— Д| у—ж 1/. .
у F bd-kb 1/I^j У b kb
1 1 % < <1 г^' Ujtt Прямо- угольники Одинаково/, высоты Л и перемен- ной шири- ны у » Обыкно- венна 1 па^иСола VT, 3Q У Al > 3QU & *i-A» П ;огиб у В: ,^29. (±V b^S VftJ
Ук 7 А ' ’ 5 [—X— ЙЭ SEA Тик Подобные прямо- угольники высотою у и шири- Пол у куби- ческая It - o* : 1 ’ 1 . M
П- - мою Z отношение сторон о* а парабола b-* • h Ф
в 8 1 . 1 1 1 >и<^ -а Круги * диаметром У Поду куби- ческая парабола y* — _ 16 Q x.
351
i
Форма балки Попереч- ное сече- ние Очертание продоль- ного про- филя Формулы для определения размеров се- чения
Груз А 9 Приложен i % Прямо- угольники одинаковой Ширины b и перемен- ной вы- соты > а точке. Верхнее очертание: две обыкно- венные параболы ,_6Р «-£)., ж ВР> р х
р— -I- h
А рПрв l/GP(/-p).p
Г b -1 - кь
Положение точив приложения С груза Р переменно
10 1—‘*“"1 [< 1 Прямо- угольники Верхнее очертание: влдипс
\3/ tt>.kb
одинаковой ширины б И пепсм^к»
1 КОЙ ВЫ- СОТЫ у
Груа Q равном 11 г—г—। а «кГУ*^ J юрко распре Прямо- угольники одинаково А ширины fr перемен н^м -ы- соты у делен по ба. «фархвеа о юртакиа: * аддмпс ш» ** 1 У* _ц
(IX* 1 3Q-1 1 h- 1/ 3 <? • f А” V 44-*, Прогиб в сере- дина 7 вс в. J 1 <? rzv "16 FT£\*/
b) Построение обыкновенной, кубической и полу куби-
ческой параболы (фиг. 257). Выбираем на линии XZ произвола
.; кую точку а. Проводим линию Ьас перпендикулярно к оси ХУ,
252 ' ’ < / s- ‘
1 линию aatat параллельно оси ЛУ. Точки at и at находятся
на линии Хс; лилия а^л перпендикулярна к оси XY,
Тогда:
ак есть одна из точек обыкновенной параболы
<*а • . » • кубической а
. полу кубической *
Таким образом можно найти любое число то^ек трех пара*
бол, причем выбор исходных точек на линии XZ может быть,
совершенно произвольным.
§ 61. Особые случаи изгиба.
Несколько лет тому назад выяснилось» что в наших позна-
ниях о сопротивлении изгибу имеются пробелы и чю« напр.»
временное сопротивление на изгиб, в за-
висимости от формы тела, колеблется
вокруг некоторого среднего значения 1:3.
В опытах Баха пробный образец (чу-
гунный), 6 = 90 мм» 6=з 195 мм, 1 =
*=Имм, J = 1015 см*, мм, сло-
мался при Р=21200лг (фиг. 258).
Соответствующее временное сопроти-
вление § 58, с:
21200 - 7,4 ССЛ . .
• 161& ‘4/2 ~ 650 кг1см:
»
Между тем пробные образцы из того
способе нагрузки по фиг. 259 ^НзгибцюшиЙ момент
давали временное сопротивление2450 яа/слА В данном слу-
Фмг. 269.
чае» следовательно, разрушение происходило при нагрузке 1
2450:650 ~3»'7 раза большей, чем по фиг. 258.
Поэтому, если мы хотим сохранить
общепринятый до сих пор способ расчета
(согл. § 58, с), то придется для каждой
формы тела выработать иное допускаемое
напряжение. Уравнение 191 и величины
из таблицы 6 § 49 служат для этой цели
лишь вспомогательным средством.
Закругления (галтели) всегда более благоприятны, чем острые
углы. Чтобы принять это обстоятельство во внимание, допустим,
что разрушение начинается в том месте, где дуга, соответствую-
щая углу в 45°, встречает закругление (фиг. 260)
Цля опасного сечения Ъ h берем:
Изгибающий момент ЛЬ = Р • I кгсм
*
действительное напряжение t • eg кг I см1,
1 J
где:
P -г приложенная сила в ха,
/•*-* плечо в см, ' 1 фиг-
У—момент инерции сечения h < b в см* (согл. § 50, табл. 1
и дальше),
^ — расстояние волокна, наиболее удаленного от оси, прохо-
дя щей через центр тяжести.
Кроме того, должно быть:
в § 49, табл. 6, фиг. 1 ’ (216)
исходить из допускаемого напряжения k (§ 49, табл. 6, ‘
то: ,
необходимый момент инерция J — г, в см4,
kb
j, ь'
допускаемая нагрузка Р»-----------2 в
Если
фиг. 2),
(217)
(218)
СЛОЖНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ.
§ 62. Растяжение и изгиб.
Если на стержень действует сила Р под углом, как указано
на фиг. 261, то сила может быть разложена на две составляю-
щие, из которых
Р • производит изгиб,
Р • соча производит растяжение.
254
Согласие указаниям в § 47— от действия силы Pain а во-
локна стержня, лежащие с правой стороны от нейтрального
слоя, испытывают растяжение; кроме того, сила Р • cos а тоже
растягивает эти волокна, так что оба эти напряжения сумми-
руются.
Если з±гем согласно §§ 53 и 58, с, F— сечение стерйсня в см9,
W—момент сопротивления в см*, то: \
Напряжение растяжения
и2 s= Р • cos а: F к* 1см*
Напряжение изгиба
*ь = (Я sin а . L): W кг!см\
Сложное напряжение (наибольшее)
Наименьшее
*min = <3г СЪ-
(219)
(220)
(221)
Кроме того, должно быть для прочности *max < kg фяг
(согл. § 49, табл. 3 — 4).
Пример: Пусть согласно фиг. 261 : £=36сж, в «45е,
= 380 V2, диаметр круглого стержня 3,8 см, значит, попереч-
ное сечение Е=11,4сл\ момент Сопротивления 1Р = (я:Зф-
. 3,8'~5,4 с.«' । '
Тогда: ч
^ — 380 • 0,707:11,4=23,5 кг! см9
аЛ=(380 • 0,707 36): 5,4 = 180 кг/см'.
Суммарное напряжение
«== 23,5 +180 = 203,5
§ 63. Сжатие и
\\ '
Аналогичный результат дает совоЛТя
Ний сжатия и изгиба. Под 1действием\д1
волокна стержня на вогнутой стороне ист^
того, сила Р • cos а тоже сжимает эти во.
напряжения, суммируется.
»е
вайга (ф'и£ 762)
от хжатие^ро4«е
так ч^Ути оба
г*
Таким образом имеем суммарное напряжение (наибольшее)
®п»дх = ~ Лш1д = ’d + *>
PSndl
Кроме того:
Фиг. 26Х
Pcosa P L - sin а
f W *
Pcos a , P • L • Sin a
amin
Зтах
Для материалов, одинаково сопротивляющихся .
растяжению и сжатию, необходимо: я < £.
5 64. Эксцентричное растяжение или сжатие и изгиб
W
Здесь обозначаем наибольшее напряжение со знаком плюс;
при этом для сечения В получается наибольшее равнодействую-
щее напряжение.
Угол ?
«V,
, / р
=» J/ ес1Ъ вспомогательна* величина (222)
в дуговых единицах; для перевода его в градусы (в целях вы-
числения необходимых тригонометрических функций), пишем:
180
вспом. угол &;= — • ф - I в градусах, (223)
хде / — длина стержня в сантиметрах '
При выборе допускаемого напряжения необходимо раз-
лнчать, какое напряжение (растяжение, сжатие или изгиб) при- *
к.-.-, нимает наибольшее участие. \ ' - . * - —
? 1хли необходимо, чтобы в сечении при эксцентричном сжа-
тми возникали напряжения- одного знака, например, одни ежи-
Й мающие напряжения в случае кладки из кирпича и камня, то
^сжимающая сила не должна исходить иЭ некоторой площади
внутри сечения. Часть сечения, ограниченная определенным
£ контуром, обладающая указанным свойством, Называется ядром
£ сечения. \ .,
Наибольшие расстояния р> крайних точек ядрЪ от центра тя-
| - жести сечения называются радиусами ядра.
р - 1) Для прямоугольного сечения (фиг; 263) Ядро сечения
/ h - Ь
ест> ромб со сторонами: h=’g ; z ‘
к Сжимающая сила должна действовать внутри средней трети
; сечения, чтобы в кладке не возникали^ недопустимые растяги-
веющие напряжения.
2) Для круглого сечения йдр? сечения круг радиуса (фиг. 264)
- 8) Для кольцевого сечения (фиг. 265)
р..л/ нНят
Г’ и г. х«в«9.
5 л * . »
Вели иа стержень- действует несколько сил (фиг. 266), то
суммарная нагрузка * ‘ ; • '• • _ *
среднее плечо а
' 7 V
Полученную таким образом величину для Р
затем в вышеуказаййое уравнение.
Для фиг. 267 имеем: ,-г
суммарное йаЬряжейие
вставляют
(224а)
Р s
Фяг, Ж *
(224)
§ 65» Растяжение, сжатие и изгиб совместно с кручением
’4 и сдвигом. ' '<
При совместном действии эти* усилий мримеем дело в
общем только., с двоякого рода напряжениями, а именно (пб
Баху): • / z ' . '
1) нормальным напряжением (от растяжения, сжатия и изгиба),
„ 2) касательным (скалывающим) напряжением (при круЯСнии и
-сдвиге)/ ‘ ;
Если имеют место оба рода напряжений, то для расчета при-
меняют приведенные напряжения. Пусть вообще:
_ действит. нормальное напряжение)
- т—действит. срезывающее напряжение \ .
Иогда по Баху: „ '
Приведенное напряжение:
. -’>="ёг • ’•+
. «пуск»., дм. ,.пр;ж. ' .
. *\т т> 1): т , t
' .-258- . .. ... . /..*. .•<:•
Если т = ^, ?о уравнения 225 и 226 получают следующий
~ о
вид: " ' '
Приведенное напряжение 0,35 а„ -J- 0,65 уЧ ,»+4(в,.т)«.-
Величины Коэффициента «<>
*г> Нал ряже- ние Случай нагрузки л ч Железо Литое же- лезо Стадьное лит|>е Чугунное литье
Плечо кривршиПа Изгиб Кручение j> ^-тС •1,0 2,0 14 Ь2 0,9
Вал с! или 2 кривоши- пами И 1 Изгиб Кручение Изгиб Кручение Ь-тС zz 1,0 2,0 1,2 % —L-
£ * | С f b -г с 0,7 ъз 0,8 —“Г —
шчатый вал _П_'_ _• х Изгиб Кручение Изгиб Кручение j b-^c | Ь~с 1,0 1,о 2,0 го 14 1,2 •J—
Изгиб Кручение и.( <> о 0,7 1Д 0,8 —•
Вал водян. s колеса о Дл»> рсех сечений Изгиб/ Кручение * w м ’1* Q г 0,4 0,8 0,5 6?4 0,5
Формула Сен-Венана с поправкой Баха:
привед. напряжение а/ = 0,35 ал 4- 0,65 + .4 ч1
(принято, что материал изотропен).
допуск, норм, напряяс ч
' * Ц Хдопуск. срезыв. напр. ‘ «
(227)
259
Здесь для допускаемого напряжения (нормального И срезы-
вающего) выбирают по табл. 3, § 49, значения в столбце'а, Ь
или с, в зависимоститого. являются ли в уравнении 225
нагрузки 9Я и т а) спокойными, или Ь) они колеблются между О
и максимумом, или же с) изменяются попеременно от минимума ‘
до максимума. . „
Коэффициент а* выбирается лучше всего по таблице на
стр. 259, в которой даны его общеупотребительные значения.
§66. Изгиб и кручейие, ч
. Промеры: Трансмиссионные валы, испытывающие нагрузку
от шкивов, зубчатых Колес и т.. п., валы двигателей с махови-
ками, кривошипами и т, д.
При вычислении приведенного напряжения можно исходить
из двух различных точек зрения. _
1. Сложение моментов, только для круглых сечений и
правильных многоугольников с четным числом сторон.
Если Мь изгибающий момент (согл. §59), Ма—момент кру-
чения (согл. § 56), то приведенный (фиктивный) момент раз-
(^=0,35 Мь + 0,65 /AV + tMW’ кгсм, (228)
где коэффициент берется по таблице на стр. 259.
Если далее W момент сопротивления согд; § 50 табл. 1, то:
приведенное напряжение -
^=(М^:^кг/ем\ (229)
Кроме того, должно быхь: * , *
(§ 49, табл, б), , (230)
если kf, — допускаемое наложение согласно табл. 6>z§ 49.
2. Сложение напряжений Вообще : W, т =
и согласно уравн. 227: приведенное напряжение '
" < 0,35 + 0,65р?+4<«е-тЛ 1 (231)
ец согласно § 65. .
Кроме того должно быть: а < kb согласно § 49, табл. 6. (231а)
Примечание: По третьей теории прочности, критерием ко-
торой служит наибольшее удлинение, при расчете валов поль-
зуются формулой Сен-Венаия с поправко0^Бах§: / * -<
0,35 Af» + 0,65 - (232)
260 ~
•v ч - 4 -
к” X, ’ •
Расчет производится на изгиб от фиктивного момента.
По 2-й теории прочности, критерием для которой служит
наибольшее касательное напряжение, применяется формула Геста
с поправкой Баха '
ka . W= (233) "
* где — коэффициент, введенный Бахом.
< Совокупное действие изгиба и кручения. Правильность
вычисления момента Mi по способу, указанному в § 66, в на-
j— стоящее время оспаривается. Мор предлагает вычислять макси-
< мяльное расчетное сопротивление сдвигу по нижеследующей
* формуле: ' . • ,
' _ 1 1/ж+м?
I - ’*Т ~W ’
где . > - ' . •
t • d*, или приближенно 0,1 Л (234)
г.’
*Для круглого сечения берут при этом допускаемую вели*
у чину т в 2 раза меньше, чем допускаемое при старом способе
вычисления значение а.
/• Наир., для мартеновской стали допускаемое
I х=-^з=400жг/сл’.
' л
Насколько эта формула пригодна, покажет будущее.
Сиенае К₽УГ
Напряжение изгиба . Напряж.. кручения 9ь=Мь:Ч»^
J _ I. Д л я круглых и квадратных сечений.
к Приведенное напряжение согласно уравн. 231.
Ки Пример: Шейка вала ф 21 см, давление шатуна «ИО 900 кг,
Г /»39,5 см, г = 40 см (фиг. 268). -
L. Согласно вышеприведенной таблица
К _ - 201
BbS*.
' \ /
Напряжение от изгиба
10900 • 39.5 ' п . J
at> = 0,1 . 21* "= 472 *2/с* '
Напряжение от кручения
10 900 - 40 .
0,2 ♦ 21* ^^Олл/сл.
Согласно таблице § 65 для стали
= Ь следовательно ~ согласно
. в . уравн. 231:
Фиг. 268. Приведенное напряжение
с, = 0,35 • 472 + 0<65 j/4721 + 4 • 24О> =‘ 600 кг/см\
П. Для прямоугольных и эллиптических
сече'ний, ,. /
Для прямоугольных и эллиптических сечений приведенные
напряжения должны появляться в одном и том же волокне ма-
териала.
** : l/g b' Л*
т . й«
Сечение
Напряж. изгиба
Налряж. кручей.
: 0.1 Л - Л«
* -2fd:0,2*.*t
Приведенное напряжение согласно ура'вн. 231.
Пример: Плечо кривошипа (фиг. 269) также испытывает
изгиб под действием момента Мь=Т • г кгсм и кручение под'
действием момента М^=Т-а
KZCM. -
Для * = 8Д Л = 38, а =11,
г = 40 см, Г— 10 900 кг.
Тогда по таблице на этой
^границе
10 900-40 . 1ч
°fr-' 7»-в»5-38, —2,8*г/<и< ’
10 900-11 ,
’"7»/,-8,5-38‘ —45*г/а''
263
а так как согласно таблице § 65 для стали -«,= !, то приведенное
напряжение . - -г ' . *-• ‘ - z
_' . а, = 0,35 • 218 + 0,65|/218* + 4 • 45* = 230 /сг/дм’.’ :
$ 67. Другие вйды сложный сопротивлений.
^“Растяжение и кручение.1) Согласно § 65 приведенное
напряжение j ' • - #
а^0,35 ст, 4- О,'65 j/е/т)8
«е по Таблице § 65 = .
Условие: - _ ‘ '
Суммарное напряжение (§ 49,табл. 3 — 4).
Ь) Сжатие и кручение.!) Согласно § 65 приведенное на-
пряжение •• '
0,35 а + 0,65 j/d 4 4(^
' k ~ < 4
по таблице^ 65=^з^. -
Условие: . •
Приведенное напряженней^ (§ 49,табл, 3^-4).
-с) Растяжение'я сдвиг.1) Согласно § 65 приведеннре на-
пряжение
ai= 0,35 «г 4- 0,65 |/а/"+ ^<4 • т?
«, по таблице § 65 r=s
Условие: ч
Суммарное напряжение < (§-49, табл. 3 — 4).
d) Сжатие и сдвиг?) Согласно § 65 приведенное напря-
жение ...
О; = 0,35 «4-0,65|/о» + 4(<ч • т)’
в, по таблице §65 =
Условие;
Приведенное напряжение < k (§ 49, табл. 3 — 5).
л Эти сложные сооро^вленая встречаются редко.
263
е) Изгиб и сдвиг ‘К Согласно § 65 суммарное напряжение
<4= 0,35 а6 + 0,65
kb 5
по таблице § 65 ае=-у-^—♦
Условие: j' -
Приведенное напряжение ci^kb (§ 49, табл. 5 — 6).
$ 68. Расчет кривых брусьев*
L Общие данные.
Общепринятая формула = Mb; W для определения напря-
жения при-изгибе пригодна только для прямых брусьев (§ 58, с)
и, будучи применена для приближенного расчета
кривых брусьев, дает преуменьшенные значения
напряжений.^ Дело в том, что волокна вогнутой
части испытывают большее напряжение, чем во-
локна выпуклой части.
Мы будем различать: Открытые стержни:
а) растягиваемые, Ь) сжимаемые. т
Замкнутый стержни: а) растягиваемые,
Ъ) сжимаемые.
Пусть: Р— растягивающая _ или сжимающая
сила в хг» Al^ — изгибающий момент в кгсм
(сравни § 58), F— поперечное сечение в см9» рас-
Фиг. 270-272. ^оянця центра тяжести £ е от внутреннего во-
локна в см (фиг. 270 —272), от наружного во-
локна в см» 7—экваториальный момент инерции J) в см9 со-
гласно § 50. —
Затем моменты сопротивления:
W для напряжений у внутреннего края (фиг. 271, около /) в см9,
для напряжений у наружного края (фирг'271, около а) в см9
(если е^е, то W\= W берется прямо из таблиц § 50),
—радиус кривизны в см» измеряемый от центра кривизны до
центра^ тяжести сечения (сравни фиг. 270 — 272).
Несколько кропотливый вывод формулы для сопротивлений
не дает наглядных уравнений. В нижеследующих случаях П и
Ш (с некоторым приближением) дано несколько удобных ургв-
>) Эти сложные сопротивление встречаются редхо.
। •) Графическое определение моментов шерили показано в отделе *ГрВ-
фостатика*. ' ' 4
264
нейий, пригодных для всякого рода кривых брусьев. Соответ-
ствующие примеры см. фиг. 270 — 272.
Для сечений, не много отличающихся от круглых, принимают
приближенный радиус кривизны г. Все размеры в сантиметрах.
. D. Открытые кривые брусья.
а) Растягиваемые кривые брусья.
Примеры: Крюки, серьги, ножницы, станины.
Дня внутреннего волокна W — J\e см1. _ (232)
Для наружного волокна = J: см\ (233)
внутр, волокна J -----Afr Р
растяжение / V Л ±') ?'г ?
наружи, волокна! __;Л^------- _ Р
сжатие j » (1 + —) F ’ Г F
Пренебрегая собственным весом, для фиг. 273 — 277 береь
? - В уравнениях 234 и 235 первые два члена представляют со*
? бой напряжения, вызванные чистым изгибом, и последний член —
' напряжения, вызванные растяжением. Опасные сечения нахо-
• ДЯТСЯ В Д “
Г Допускаемое напряжение согласно § 49, табл.* 3 и 6,
Моменты инерции J согласно § 50.
Уравнение 234jja£t здесь всегда наибольшее значение;
^/только если значительно больше, чем е, то может понадо-
биться еще проверка во уравнению 235.
}"=ТГ?(7^>“^ <'
Если /==Л как. напр-, для крюка (фиг. 274), то согласно
уравн. 234 имеем:
внутр, вол.
* . растяжение
согласно уравнению 4:>
каружн. вол. ] в_____Q -_Р__ , (237)
сжатие J 1 • (I+et) '
В задаче уравнения 236 и, 2J7 дают:
для внутр, волокна растяжение-» = 566 кг1см*.
для наружн. волокна сжатие at=473 кг} см*.
Значит, напряжение внутреннего волокна больше; следова-
тельно, по этому напряжению и ведется расчет.
Ь) £жнмаемые кривые брусья. .Примеры:
краны, консоли, захваты и пр. (фиг. 278 и 279).
Для U7 и Vj действительны
уравнения
Затем;
для внутр, волокна—уравн. 234Л
однако результат есть напряже-
’ ние сжатия, для наружн. во-
локна—уравн. 235, однако результат есть напряжение растя-
Фиг. 279.
пр. (фиг. 278 н 279).
232 и 233.
Фиг. 278,
жения.
Опасное сечение около х.
Допускаемое напряжение согласно § 49, табл. Зяб,
Моменты инерции согласно § 50.
Для железа и стали (напряжения растяжения и сжатия при-
мерно одинаковы) расчет ведется по уравнению 234. Для чу-
гуна же также и по уравнению 235, в особенности, если ек го-
раздо больше, чем е.
Эмпирическая формула:. У опасного сечения е4-е>=»
= 2- ]/М^ + 2Ммм. z ,
fil. Замкнутые кривые брусья '(кольца).
а) Растягиваемые кольца. Для нормальных звеньев цепи
нижеследующий расчет не пригоден, так как здесь внутреннее
закругление соответствует диаметру цели
266
’'На фиг. 280—282 показаны 3 растягиваемых кольца. Опасное
сечение ж. Максимальное напряжение и здесь имеет место во
внутреннем волокне. Для фиг. 282 нижеследующий.расчет
пригоден только б известным приближением.
При тех же обозначениях, что в пункте I, результат не-
сколько кропотливых вычислений получается для силы сжатия:
/F-r1
°mai — (F.r» + j).n 1 j.
Допускаемое напряжение со-
гласно § 49, табл. 3 и 6.
Для наружного волокна в урав-
нение 238 нужно вставить вме-
сто е, г + et вместо г — е и + 1
вместо— 1. (Для чугуна необходимо
принять во внимание дакже напря-
жение растягиваемого волокна.)
Для кольца (или петли) с круглым сечением получим согласно
уравнению 238:
esxJf.-ЯюыА- (239)
. Временное сопротивление:
Q = k • г1: X кг (Л согласно § 49, табл. 2).
-•** Таблица значений X.
• кг/см*. (238).,
Фиг. ж Фиг, 281. Фиг. 282.
X
2,0
5,7
2,1
6,5
2,2
8,0
2,4
10
2,6 2,8 3,0
12 13,5 /15
3,3
19
4,0 4,5 5,0
33 | 45 60
Пример: Имеется петля круглого сечения (фигЛв!) г = 5,5 см,
е=\,3см, нагрузка Р = 2000кг. Определить напряжение а.
Для г:е~5,5. 1,8=^3 по таблице Х=15, '
следовательно согласно уравн. 239:
it 2000 1ЛЛЛ , .
’ а= 15 • = 1000 кг/см\
O,V
Ь) Сжимаемые кольца. Сила Q стремится вы-
гнуть кольцо (фиг. 283) в обе стороны; благодаря
Фнг. 2S3. этому внутреннее волокно материала испытывает в
X растяжение.
. Опасное сечение в х, максимальное напряжение во внутрен-
нем волокне (растяжение).
267
Расчет тоже согласно уравн. 238.
Для круглого сечения (толщина железа = 2е) здесь также
пригодно уравв. 239, во в результате получается растяжение.
Допускаемое напряжение
согл. § 49, габд. 3.
[Временное сопротивление
согл. § 49, табл. 2.
Сжатое кольцо встречается
в опрокидывающих приспосо-
блениях (фиг. 284 и 285).
фиг. 284. Фиг. 285.
ЗАДАЧИ К §§ 45 — 68.
233. Какие металлы больше всего применяются в машино-
строении? * ,
Ответ. Серый чугун, стальная отливка, железо, сталь.
234. Чугун и стальная отливка. Укажите главное различие
в применении этих материалов.
Ответ. Стальная отливка прочнее, но зато в 2 или 3 раза
дороже чугуна.
235. Серый чугун. Укажите содержание углерода и кремния
в процентах; *
Ответ. Углерода 3 — 3,5%; кремния 1—3%.
236. Усадка. Брусок из чугууа в жидком состоянии имея,
например, длину = 4,3 м. Вычислить усадку после остывания.
Решение, При остывании чугун сжимается на 7М своей
длины, следовательно здесь усадка—4,3 •‘/и'''-'0.045 м.
Ковкий чугун. В каких случаях применяется ковкий
чугун и каково в нем содержание кремния?
Ответ. Ковкий чугун идет на изготовление мелких деталей
вместо железа. Содержание кремния 0,45 —1»25%.
238. Отбеленная отливка. Что характерно для отбелённой
отливки и для какой цели таковая применяется?
Ответ. Для нее характерна твердая корка; идет на изгото-
вление деталей, подверженных сильному изнашиванию.
239. Стальная отливка. Какое преимущество дает сталь-
ная отливка? - '
Ответ. Стальная отливка характеризуется ббльшей проч-
ностью и ббльшим удлинением, чем чугун.
240. При какой температуре плавится литая сталь?
Ответ. При 1800°.
241, Усадка для стальной отливка. Если в задаче 236
268 \
чугун заменить стальной отливкой, то насколько уменьшится
длина его после остывания?
-Решение. Усадка для стальной отливки = 1/7°/©; поэтому
4,3 • 0,017 = 0,073 м = 73 мм,
242. Сварочное железо, Как получается сварочное железо?
Ответ. Сварочное железо получается в кричных горнах и
пудлинговых печах. Примеси удаляются путем ковки и валь-
цовки. - ' .
243. Какие три сорта сварочного металла различают?. -
Ответ. Различают; сварочное железо, мелкозернистое железо
и сталь., . ' \
244. С&арочнря сталь. Принимает ли сварочная—сталь за-
калку? / ’ ' ,
Ответ. Сварочное железо с высоким процентом содержания
углерода называется „сварочной сталью*/ такая сталь прини-
мает закалку. 4 - *
245. Литое железо. Как получается литое железо?
Ответ. Литое железо получается в жидком состоянии, вслед-
ствие чего оно имеет меньше шлака, чем сварочное железо.
246v При каких условиях литой металл принимает закалку? '
Ответ. При содержании углерода от 0,6 — 2,3% литой металл
принимает закалку и называется тогда „литая сталь*.
24/. Сортовое железо. Что такое брусковое и црокатное же-
лезо? ~ • . / «
Ответ. Сортовое железо, имеющее по всей своей дди^е оди-
наковое поперечное сечение.
В приведенных ниже задачах большое место занимает при-
менение всякого фодд расчетов на прочность, имеющих в ма-
шиностроении огромное значение. Поэтому выбираем здесь лишь
несколько простых примеров для объяснения основных понятий,
тем более, что уже в тексте в §§ 45-»-68 имеется целый ряд
подобных примеров.
248. Какие рода прочности различают? (Прежде чем изучать
всякого рода сопротивления, необходимо усвоить себе общее
объяснение в § 47.)
Отвьт. Различают: сопротивление разрыву, сжатию, изгибу,
продольному изгибу, сдвигу, скручиванию и сложное сопроти-
вление.
249. Какие основные понятия нужно запомнить и какими
буквами они обозначаются в теории сопротивления материалов?
Ответ. Основные понятия подробно объяснены в § 48.
. ' ' к ’ 269 -
Запомнить нужно значение следующих букв: £, G, Т, К, J. Jp,
IF, Wpt Мь, Md иди P R, <7, fr, t. -
250. Сопротивление разрыву. На стержне из круглого же-
леза d=13 мм подвешен груз Q = 2000 кг (фиг. 286).
Определить:
1. Напряжение в стержне в кг/см1.
‘2. Удлинение стержня в см, при первоначальной его \
длине = 3,2 м.
3. При какой предельной нагрузке Q в кг прои-.
зошел бы разрыв стержня? х х
ь • и нагрузка в кг , '
< площ. попер, сеч.вслг
Фиг. 236.
Значит:
2000 2000 . „лл , -
Напряжение о =-----------=——=1500 кгсм\
_ < 1 о ЬЗЗ
4 1,3
л чл ч 1500-320 лпос
2. Удлинение = 0,235 см.
Модуль упругости £* = 2 050000 согласно § 49.
3. Временное сопротивление 7^ = 3600 кг{см
Q = -*<Р .ff,= 1,33 • 3600 = 4&0 кг.
#2Й. То же —при d=2,5 см, (?=10 000 кг/
252. Сопротивление сжатию. Пусть на чугунное изделие
кольцевого поперечного сечения D = 12 см, 4=10 см давит
груз Р кг (фиг. 287). Определить:
1. Временное сопротивление материала в кг!см*.
2. Груз Рв кг, при котором данное изделие
разрушается.
Решение. 1. Временное-сопротивление для чугуна
z Kd = 7500 кг/см\
2. Поперечное сечение/=-^ • 12* — • 10* = 35 см*; сле-
довательно разрушающий груз
Р= 7500 - 35 ~ 260000 кг = 260 т.
253. Сопротивление продольному изгибу. Пусть круглая
железная колонна имеет диам. d = 5,6cx и высоту 1=250'см
(фиг.288).Рассчитать допускаемую нагрузку колонны. Определить:
1. Момент иперции в слс4.
270 <
W7777/.
Фиг. 287.
Фиг. 283.
2. /Нодуль упругости кг/см*. . -г* .
3. Допускаемую нагрузку в кг при т = 5-кратной прочности.
4. При какоМ критическом грузе Р произойдет разрушение
колонны? . '
Решение. I. Момент инерции J—d* 0,05 • 5,6* = 50
2. Модуль удруг ,сти дяя железа
£ = 2 050 000 кг/см*.
3. Согласно случаю II § 55 имеем: 4
Р=">-« ^<И»=зг8е№
' О • ZOtr
4. Берем т = 1; тогда: '
Критическая нагрузка
1 • ZOv
254. То же —при d = 11,2 см, / = 500 еж-
255, Усилие стержня верхнего пояса фермы Р=—г 11193f/<z;
длина стержня 2,393 ж. • ч
Подобрать сечение, если допускаемое напряжение
£= 1000 кг/сж’. ’
I вариант. Сечение состоит 1 из 2 равнобоких уголков
(фиг. 289). i
Решение. Задаемся <pft=0,5 и' напряжением на продоль-
ный изгиб = 500 кг/см1 (0,5- 1000).
Площадь сечения
f=Tsr-=®-3“‘
р
'*з сортамента по ^=11,15 еж’
А
находим 2 уголка
75 X 75 X 9 мм.
Заклепки ставим диаметр а 2,0 см.
Я
фиг. 289.
Площадь сечения:
^^=12,8.2 = 25,6^-
^етто^25’6^2 • W • 0,9 — 22 еж*
4^ = 2’65,1 = 130,2^*
2/1
Радиус инерции:
Gain =
г=2,25 см
j/5,v9t
4-
2^_2зу,з_
''г ** 2,25 ~
106,3
коэффициент уменьшения основного напряжения — по таблице 1
§56 ,, ,г ’;•/ ;. <.- .. • ...
vi.‘ f v ,
Допускаемое напряжение: К '2 / . ..
k. ' ' V 0,52 л 7^^520 й/с>.
Действительное напряжение: ,,
,с» *^И>‘ ” W «/<?**<**
[5 пофориужеШегрц-РеЬкинг^Навьс):*
? в1 + сь(Йбо8 ’ (4) 0,5221’
-» Вее погонного метра g выбранного
сечения 2 « 10,65=20,1 кг.
.. . ' П'Варнант. Сечение кресгооб. *
г. 3» -., (фйг, 290). Задаемся уголками:
65 х 65 X 9 и диеметром' аакдеоки я/i=s 16 мм,
1,6.^«19ел»; •
= 2-65,7 =
j /65,7
v W~2,4Sft*
F 239.3 лип A7 7
7== Д45-04h ®7Л
Из таблицы 1 § £б находим коэффициент ? интерполирова-
нием ?= 0,533. *
Допускаемое напряжение
А'533 ка/оЛ
272
Напряжение материала:
11193
19
= 536 кг/см*.
Вес погонного метра: £ = 2 - 8,6= 17,2 кг.
III вариант. Сечение из 2 неравнобоких уголков (фиг. 291),
Принимаем 2 неравнобоких уголка:
90 X 60 X 8 мм.
Площадь сечения:
Гбругто=2- 11,45 = 22,9^;
Гкетто^22,9 —2 • 2 • 0,8^ 19,? см*
Л = 2 • 92,1 = 184,2 см4}
при толщине соединительного листа 8=»
= 10 мм.
Jv = 2(32,65 4- 11,45(1,48 + 0,5)4 = 154 см'.
Jy < Уд -»
г=\/ 22?9 =’2'57
> допускаемое напряжение
Г = <? • Л = 0,57 • 1000 = 570 к1[см\
Р.пг
Фиг. 292.
Напряжение материала:
11193
а = -L»y = 568 кг!см* < 570 кг/см*.
Вес g погонного метра сечения 2 • 8,99 =s
= 17,98 кг., I
Наиболее выгодно в экономическом отно
«пении сечение крестообразное.
256. Определить допускаемую нагрузку Р
для деревянной стойки (из сосны) (фиг. 292)
квадратного сечения, если длина 1 — 4 мг
сторона сечения а = 25 см и коэффициент
безопасности п = 10.
Приведенная длина р/=2« 400 = 800 см.*
18 Г. Хедер, 273
r L
Характеристика:
р/ _ 800
rmlt> ’ 7>2
-111,
в виду чего можно применить, формулу Эйлера (дли основного
случал необходим чтобы -у~ > 100).
Допускаемая нагрузка
/>=£г=£.:Л-<
л 4 • /• . п !
, ^ = ^=^ = 32552^
£=100000*?/сл»;
р_- 10-100 000 • 32 552_
4- 160000-10
= окр. 5080 га.
257. Рассчитать сечение полой чугунной колонны (фиг. 293)
дайною = 4,0 м, если центральная нагрузка Q = 50 т, допускае-
мое напряжение на сжатие Асж=750*г/сл*
л
и -g-=s=0,8. Нижций конец колонны зз-
1 '" | креплен, — принять верхний конец закре-
.» ; пленным шарнирно. •
1 | | * Задаемся ориентировочно <? = 0,6 и
напряжением
k' = 0,6 * 750 = 450 кг/см\
Требуемая площадь
£=^ = 50ОТО = 111>1сж».
✓
F=i(D* —d*)±=-^-(D’ —0,64 =>
= 0,09«D*;
0,09 kD* == П1,1, откуда D =с окр. 20,0 см я rf== 0,8 • 20 =* 16 CJt;
толщина стенки t = 2eM.
Л4 т • -- • • .
Поверка сечения.
J=£ (О’ — <F) = £ (20,0* — 16,0’) = 4637 см*
Ь4 04
F=^ (D* — d*) = -J (20,0’ — 16,0*) = 113 см*
\ l/T./W .. „
If Р~ V 113 ~6,4 ,
' \ ‘
Приведенная длина • / = 0,7 » 400 = 280 см.
' v ’ Н • / 280 d<a --
Характеристика ^-— = — = 43,75.
» о,*» z
л По формуле Шварц-Рен кина:
~ 1 + e^Jj‘ = 1 + 0,0003 -(43,75)* “ °’635’
. Допускаемое напряжение на продольный изгиб
р > *' = ?•* = 0,635 • 750 = 476 лгг/си1.
> Действительное напряжение
. Q 50 000 м
Г „ - в —— = —цу- = 442«/сл1<*/.
j 258. Момент инерции. Пусть брусок прямоугольного сече-
ния имеет размеры: h=5,8 см, 6 = 2,1 см (фиг. 294). Опреде-
> лить момент инерции, если брусок сопротивляется на
^продольный изгиб.
к Решение. При расчете на продольный изгиб нужно
f всегда брать наименьший момент инерции, т. е.
Ь меньшую сторону ’прямоугольника в 3-й степени.
* , Момент инерции ’ Фжг. м.
Г , й-61 5,8- 2,1‘ _ ?
7= ИГ “ —12— “ 415 ем •
В/ 259. То же при h = 11,6 CMt b = 1,05 см.
>4 260. Сопротивление скручиванию. Пусть на одном из кон-
U нов стальрсго вала длиною L ^2,4я имеется рукоятка радиуса
/? = 72 см, к которой приложена сила Р = 3100 кг. Диаметр
£ вала d= 190 мм (фиг. 295). Найдите напряжение и угол круче-
I «ия. Определить: '
г- 1. Крутящий момент в кгсм.
2. Полярный момент сопротивления в см\
3. Сопротивление кручению в tajcM9.
4. Полярный момент инерции.
„5. Модуль сдвига.
6. Угол кручения на Ь погонный метр.
' Решение, It Крутящий момент
\Wd=3100 • 72 = 223 000 кгсм.
2. Полярный момент сопротивления
• <*»~0,2 • 19» —1370 см*.
* 10
я.
Фнг. 295.
3. Напряжение:
,c=223 W0==162w/^ J
4, Полярный момент инерции
= ~ -d*~0,l • 19‘= 13000 см*.
r dZ
5. Модуль сдвига для стали = 850 000 ха/слЛ
6. Наибольший угол крученияХ^Л м):
180 223 000 240
' < 13 000' ‘ 850000 '4
следовательно на 1 рогоннуй метр длины
~ Ю*
/?=40 см, P=1200 кг, =
^2,4
26L То жс?пря 2=45лг,
= 21 см.
262» Горизонтальный
вал AF (фиг, 296) полу-
чает от двигателя посред-
ством шкива С 150 лош.
сид, из которых половина
передается посредством
койнчест&х колес верти-
кальному валу. Валы изго-
товлены из литого желева.
Определить диаметры dn „
dt м d" если горизонтальный вел АВ делает 50 оборЬтов в ми-
нуту и допускаемое напряжение
k =400 кг/см9
s ed*
«доем
откуда
/16. мкр
it- 400
Вал на длине до конической передачи передает 150 мои. сид.
' Скручивающий момент
F Mt = 71 620 -^= 71 620 - ^=214 860 кгсм.
v • Л оо
С , Вертикальный вал диаметром получает 75 лош. сил (по
условию, — ‘/1 • 150) и делает 100 оборотов (передача колес=1:2).
/ Скручивающий момент
М, = 71620 — = 71620 • Л: = 53 715 кгсм.
Л Iw
Момент, скручивающий горизонтальный вал диаметром d*:
М, = 71620-^ = 71620 = 107430 кгсм. . .
Вставляя в вышеприведенную формулу (а) соответствующие
?. величины моментов, получаем;
~ 14 см\ dt ~ 11 еле; dt ^8,8 см.
263, Требуется рассчитать полый чугунный вал для водяной
турбины, которая при л = 120 оборотах в минуту развивает
N = 24d лош. сил, если внутренний диаметр вала d=Q»SD;
к «допускаемое напрЪкеюте * ,
Vrf=100 кг/см1*,
Г ‘ < Л^«71620—= 71620-^=143240лгаг-Н. ;
Л • LZU
жд
Момент сопротивления кольцевого сечения
f ' и7 ^=02— * ',ч^
г по заданию d=0,8D
Г ; тГр=0,2 D<~-^8' ^ = 0,118 D*;
/ «ip=0,ll8Z>, = -^=^M; '
* D=23cm; 4
|/ .< • . - • ' т
внутренний диаметр rf=0,8 D st 0,8 • 23 = 18,4 см, толщина I
кольца s
t D — d 230—184
8 = —5“ =------2----= 23-*-*-
264. Сопротивление скручиванию в случае прямоугольного
сечения. Пусть брусок (зад. № 260) имеет прямоугольное сече’
яие с размерами ^ = 12 см, h^=2i см. Определить
напряжение ст„ в кг’см1 (фиг. 297).
Решение. Напряжение тта1 возникает в середине
длинных сторон. КруЫльный момент сопротивления:
^ = -1.12* • 24 = 770 си’, v
Фаг. W7.
напряжение -стах = 223 000: 770 в 290 кг)см\
265. То же при b « 7 см, h ss 14 см.
266. Сопротивление сдвигу и срезу. Пусть в показанном на
рисунке заклепочном соединении толщина листа а 1,5 см,
диам. заклёпок d = 2,2 см, число заклепок Z = 3 (фиг. 298)*
Найти разрывное усилие. Определить:
L Временное сопротивление на срез.
2. Поперечное сечение площади среза
В СМ1. ‘ '
3. Критическое усилие Р в кг, при ко-
тором произойдет разрыв.
Ркшыше. 1. Временное сопротивление на срез
К* = кг!см*. .
2. Площадь среза F —2 > 3 • 4" ‘ 2,2’ 23 oi1,
' 4
₽=('4У
* 4
заменив t через К' и приняв коэффициент х= ~ (см. § 57),
. и
получаем:
23 -2200 = 38 000 кг.
Вообще же для заклепочных соединений (напр. для паровых
котлов) главную роль играет сопротивление трению.
267. То же прц d = 1,8 сХ* Z = 6.
j » *
278
263. Болтовое соединение (фиг. 299). Размеры полого сталь-
ного болта D ^8 см, 4 = 5 см. При какой нагрузке Р произой-
дет поломка болта? Определить: /
1. Поперечное сечение площади среза в сж*. Г f 1
2. Коэффициент для кольцевого сечения. J I [
3. Временное сопротивление для стали в
кг\см1.
4. Разрывающее усилие в кг. ;
Если Ь > 1^5 D, то такие оси следует ^ассчи-
тывать также и на изгиб.
Решение, 1, Здесь работают 2 сечения, по- ifl
этому: ' ’
К Л Л ФЖГ. 299,
F = ~-(8f — 51) < 2 = 61 см\
2. Коэффициент х —2 (для кольцевого сечения).
3. Временное сопротивление для стали •
* К— 4000 кг/см9. '
4. Следовательно:
/ о <61-4000 1ОПЛЛА
разрывное усилие Р—-------000 кг.
Расчет этой оси на изгиб показан в задаче № ’304.
269. Какие основные понятия встречаются при расчетах
на изгиб?
Ответ. Главным образом изгибающий момент, перерезы-
вающая сила, момент сопротивления.
270. Момент. Что такое .момент* и в каких единицах та-
* новой выражается?
Ответ. Момент = сила х плечо.
Единицы меры: сила в кг, плечо в ем, момент в кгсм.
271. Плечо. Что такое плечо?
Ответ. Плечо представляет собою перпенди-
куляр, опущенный на направление силы из центра
тяжести опасного сечения (фиг. 300).
272. Изгибающие моменты. Начертить на
фиг. 301 силу Q и плечо J таким образом, чтобы
Фжг. эоо. всегда момент влево = (? • Z, как указано для при-
мера йа фиг. 300. !
Решение. Согласно правилам в задачах №№ 270 и 271 на
фиг. 300 момент изгиба всегда = Q • I. ' /
273. Пусть на фиг. 300 груз= 600кг, плечо 1=^210 см.
Чему равняется момент?
272 -
Решение. Момент Q • / = 600 • 210= 126000 ким.
274. То же7 при Q=1 200 кг, 1= 105 см.
. Фиг. 301.
л*
275. Как\ласит уравнение изгибающих моментов в случае
действия нескольких сил (например двух), и притом: t
• Г. В одинаковом направлении?
2. В противоположных направлениях?
Решение. 1. Если действует несколько си^в одном и том же
направлении, то равнодействующий момент изгибе ревем сумме
составляющих моментов (фиг. 303), т. е.
4^ = Q -Л -J- Р • г.
' 2. Если же силы действуют в прртивопо
ложных направлениях, то равнодействующий
момент изгиба равен разности составляющих
моментов, т. е.
M^Q-l — Р-r.
278. Момент справа, момент слева.
Что обозначают эти выражения?
Ответ. Момент справа: так называются обыкновенно
моменты, вызывающие вращение по часовой стрелке.
Момент слева: вызывает вращение против часовой стрелки.
277. Состояние равновесия. Как гласит уравнение равно-
весия для двух моментов относительно одного центра враще-
z ния, действующих в противоположных направлениях?
Ответ. Сумма моментов должна равняться нулю '
' ' Мп — /Ид = о.
Момент справа должен равняться моменту слева.
* 278. Реакция опор. Как определить реакции опор для белки,
ембодао лежащей на двух япсфах? '
МО v
, .. *'f " \. ./ : •. * . : . л.ч-. Л/..
Фиг. 304.
Ответ. Реакция опор определяется согласно указанному
в задаче № 2/7 правилу для состояния равновесия, причем
реакция действует всегда в направлении, обратном направлению
нагрузки. z
279. Для какой цели определяются реакции опор?
Ответ. Для нахождения изгибаю-
щих моментов и перерезывающей силы
от внешних сил, к каковым относятся
реакции.
280. Состояние равновесия. Для
усвоения указанных в задачах №№276—
278 осн. понятий предлагаем на фиг. 305
проставить буквы Q, I, Р и г таким образом, чтобы момент
слева равнялся Q • /, а момент справа Р - г (см. фиг. 304),
Фиг. 305.
Решение. Что касается направления силы и плеча, то здесь
действительны те же указания, которые были даны в задачах
I
а,
L
я
а
Pi
Фиг. эоа.
№№ 271 —276. Для состояния равновесия (сравни также задачу
№ 277) должно быть:
Л4д=Л1л'млы Q4=P-r,
281
Если три величины известны, то четвертая определяется
просто, sanpj
Qt
Буквы на фиг. 306 рекомендуется проставлять по
памяти.
281. Пусть плита на фиг. 307 весит Q = 300 кг, расстояние
центра тяжести от кромки качания /= 115 см, длина плеча при-
2 х лягаемой силы Р пусть будет г = 200 см. Чему i
равна сила Р? (Фиг. 307.)
х Решение. Уравнение моментов:
Фиг. 307. Q ‘ I = Р ' Г,
следовательно
Q./ = 30Q-115
-•к'- г 200
282. То >ке при Q = 6O0xa, 7 = 230 см, г=100ск.
283. Регулятор. Вращающийся центробежный регулятор на-
ходится в равновесии. Пусть вес шара (фиг. 308) р=12кг,
расстояния центра шара от вертикальной оси / = 20cjm, тоже,
до верхней точки вращения г= 22,4 см. Чему
равна центробежная сцла Р (фиг. 308)? «.
Решение. Q • 1=*Р значит:
х _ QI 12-20 1ЛТ
центробежная сила Р=^— 10,7 кг.
Фнг. зов.
284. То же при Q = 24 кг, I == 40 ем, г = 11,2 см.
285. Ворот. Пуст!> на фиг. 309 груз ф = 210хт, радиус
барабана / = 21,5 см, радиус кривошипа г=32 см. Определить
силу Р, потребную для подъема груза.
Решение. Q • I = Р • г (фиг. 309),
отсюда
=о^=™_^=131„.
F-
286. То же при Q = 420 кг,
= 43 см, г= 16 см.
Фиг. 310.
Фиг. 300.
287. Равновесие. Уравнение равновесия при действии не-
скольких сил (фиг. 310).
Решение. Сумма моментов слева равна сумме моментов
справа; значит:
Qi • *а + Qi • = *а. а
282
288. Лебедка. Напишите уравнение равновесия. t
1. Для оси I.
2. Для оси П.
Решение. Из уравнения: .*
Момент слева — м,о.мент справа имеем (фиг.311):
для оси 1: Q ♦ / = Pf -
для оси И: Ра • = Р - г.
289. Вал, Нагрузка: Pi*=5200 кг, Ра =
= 2300 кг;расстояния га = 180 см, га = 215 см;
между подшипниками / = 290 си/Определить
реакцию Q на правом подшипнике (фиг. 312).
фиг. 311.
Решение. Согласно объяснениям в задаче № 278 реакция Q
действует обратно направлению силы. 'Следовательно имеем
уравнение равновесия: z
* £ [?.£ отсюда реакция
~^90. То же при Ра=2б(Ю кг. Ра=^4600 кг,
Фиг. 312. fj =» 90 см, га= 150 еле.
291. Болты кронштейна. Пусть 3400 кг, /~86 см,
r1 = 41 сМ, г9^Ьсм. Число болтов 2 • 2 = 4 (фиг. 313). •
1. Напишите уравнение равновесия.
2. Определите силу растяжения Рд (в кг)
в одном болте верхнего ряда.
3. То же Ра для нижнего ряда.
Решение. 1. Уравнение равновесия
фиг. 313,
-1 - 3400 • 66=А • 41 + А • 6«гсл.
2 . Так как га в сравнении с А весьма мало, то можно им
пренебречь.
_ о 3400-86 „,Л
Тогда Р| ~ 2 .~4i 3STO кг>
Э .Р, = 3570 . £ = 540 кг.
41
292. То же при Q = 6800 кг, I — 43 ем, гд = 82 см, г, = 12 см.
293. Сопротивление изгибу. По какой общей формуле ве-
дется расчет на изгиб?
_ „ изгибающий момент Лй . • *
Решения. Напряжение = —кгсм*.
г 9 момент солрогивл. 17 1
4 ' 283
294. Момент сопротивления W (при изгибе). 12 "Что та-
кое момент сопротивления?
2. В каких единицах он выражается?
Ответ. 1. Момент сопротивления какой-либо площади ра-
вен моменту инерции этой площади, деленному на расстояние
наиболее удаленного волокна от нейтральной оси.
2. Единица меры: см\
295. Напишите уравнение для IF в случае круглого и пря- •
моугольного сечения.
296. В каких расчетах применяется момент сопротивления?
Ответ. При расчетах на изгиб.
297. На что нужно обра/йть особое внимание при определе-
' иии момента сопротивления? у'
Ответ. Ось, относительно которой берется
момент сопротивления, должна быть перпен-
дикулярна к плоскости изгиба.
298. Момент сопротивления и форма
поперечного сечения, Чтобы выяснить
влияние положения поперечного сечения
относительно направления действующей
силы (плоскость изгиба) на величину мо-
мента сопротивления, приведем нижесле-
дующие задачи.
Пусть 3 бруса из одного материала
(фиг.314; I,Пи III), заделанные в стену,
поперечного сечения (стало быть.
Фмг. 314.
U
шх
имеют одинаковую площадь
и одинаковый \ес), напри
Л=14<мс,
8 см»
I Ъ = 8,
П* = 14,
Ш *=12си.
4
Определить: 1. Какое сечение наиболее выгодно.
2. Отношение между допускаемыми нагрузками .для всех
трех случаев. •?
3. Начертите все 3 сечения в масштабе.
Решение. 1). Имеем:
I. Момент сопротивления — 260 см*.
о б
m b-h' 14-У 1<Л ,
W= —g— = —g— = 150-CJ41.
~ 0,1 • 12’/= 173 сж«.
п.
HL-
284
; - J * । • •- • " * -
r • . s *
Следовательно наиболее выгодным является поперечное се-
чение I. >
2) Допускаемые нагрузки относятся между собой как;
1:П:Ш = 1,5:0,87:1,
так как согласно уравнению ЛЬ = 1F • kb нагрузка пропорцио-
; нальна W.
. 299. То же при £ = 4 см, Л = 12 см. Определить диаметр и
L моменты сопротивления. '
309. Двутавровая балка. Пусть на свободный конец дву-,
[ тавровой балки (фиг. 315), заделанной другим концом, действует
груз Р = 2000 кг. Определить профиль,
если длина балки L =^3,2 м. Определить; '///'Д*
г 1. Изгибающий момент. 4 ***J
2. Допускаемое напряжение.
3. Момент сопротивлений. zz ч . '
4. Профиль. Фиг. 315.
Решений. 1. Изгиб, момент ЛЬ = 2000 ♦ 320 = 640 000 кгем.
2. Допускаемое напряжение (для железа) Л^ = 970 кг/см] (по
ё нашим данным можно принять 1000—1200 кг/см1; принимаем
kb~ 1000 кг/см'). •
j 3. Требуемый момент сопротивления
i 640000 а.Л .
£ \ ^ТГ’640^
t ’ 4. Чему соответствует профиль Л’ 30 (Р Н. С.), т. е. балка вы-
L, сотою 30 см,
>’ 301. То же'при Q= 10<Юхг, £=2ж.
- * Ц1 302. Чугунный кронштейн, фиг.316. Пусть
И Id’ А=15 см (не полый), 1=^22 см,
\ УД—Ьк—- $ = 120°. Определить^ допускаемую на- *
: 1 уИ грузку Р.
. ГГ 1. Момент сопротивления опасного сече-
Фиг 316 2- Допускаемое напряжение в кг/ем*.
J Ф ’ 3. ДоцусАгемую нагрузку Р.
Решение. 1. Момент сопротивления
Г=Ц5_«^!=ЗМ„>.
V О f
; 2. Берем
. ^=х300ка/с^
<: • ' 28В
r вставляем эту величину в уравнение (162); но должны пргч
нять во внимание угол В; тогда: |
допуск. напряж. = 300 • (jgg ,1 =300 • 0,45= 135 кг)см9.
3. Следовательно из уравнения Р-/= W • получим
/=3Ma-g =.№(>».
803. То же при Ъ = 16 см, Л = 30 см, / = 44 см, В = 175®.
304. Ось шарнира. Пусть D = 8 см,
//=5 см, 5 = 10 см, с = 5 см. Определить
разрушающее усилие от изгиба (фиг. 317).
1. Момент сопротивления поперечного се*
чения оси.
2. Временное сопротивление при изгибе
в кг) см1.
3. Разрывающее усилие в кг.
Решыщв I, Момент сопротивления
2. Временное сопротивление
Ха = 6000 кг/см9.
3. Из формулы , . \
получаем разрушающее усилие
„ 43.5 - 6000 ,.сппп
0,5 • 5 “ 105 °°°(^
.где ?
_ L 5 15 10 -
2 4^2 4 ^&см*
305. Вал (сварочное железо). Пусть по середине вала Дкам.
d =s5 см действует нагрузка Р=300 кг. Расстояние между под.
шинниками 1 = 2 м. Определив напряже-
нке и стрелу прогиба (фиг. 318).
1. Изгибающий момент ЛЬ в кгсм.
2. Моцент сопротивления W в см9.
3. Напряжение (нормальное)
кг/см9.
4. Модуль упругости Д
286
Фжг. 31ft.
5, Момент инерции Z : ,
6. Стрелу прогиба в середине.
Решышв. 1. Изгибающий момент
, м,_я»А»_15000«еж.
\ 4
2. Момент сопротивления
V=A.5t«=l%5e«*.
3. Напряжение
15 000 <ОЛА . .
’* = ~12<5-==1200*г/"Л
4. Модуль упругости
Е=2050 000 кг/см*. Z
5. Момент инерции **
J = ~ . 5* ~ 31 см*.
64
6. Стрела прогиба х
. 300 - 200 i '
/—48 • 2 050000 • 31 “ 0,195 СМ'
306. То же при d = 10 см, Р= 1500 кг, / = 2,8л.
307. Железная консольная балка таврового сечения № 9
(фиг. 319) длиною 7 = 1 м utw на свободном конце нагрузку
Фиг. 319.
Р=200 кг. Определить наибольшие напряжения — растягиваю*
Шее и сжимающее. Расстояние центра тяжести сечения ед =»/
2,47 см; Jx = 113cm'; h=0,0cM.
>ЦМ1=— Р-1=—200- 100=—20000 кгсм;
с, = 2,47 см; в, = 9,0—2,47 = 6,53 см;
2М
' наибольшее растягивающее напряжений
Л4-^ 20000 - 2,47 Jie . -
max tfpда . =-------OIC 418
J Но '
наибольшее сжимающее напряжение
M*et 20 000 -6,53 |1ЛС \ .
шах ~ --= ок, 1106 кг/см\.
Примечание. Наибольшее растягивающее напряжение зна-
чительно ниже допускаемого, материал в растянутой зоне недо-
статочно использован, поэтому для железа при одинаковом до-
пускаемом напряжении на растяжение и сжатие тавровое сече-
ние является неэкономичным.
Для железа выгодны симметричные сечения, когда ek^ev
> v 4«-ЧЦ -2 g
Фиг. 32&
308. Перекрытие помещения произведено кирпичными сво-
диками в ж/в кирпича по железным балкам (фиг. 820) при рас-
стоянии между их осячи еда2 ж.
Расчетный пролет балки /=6,4лс.
Определить номер профиля двутавровой балхн, если вес пе-
рекрытия со штукатуркой и деревянным полом ^даЭООкг/ж1,
временная нагрузка р = 4(Ю кг/м* и допускаемое напряжение
k —1200 кг]см\
Решение. Нагрузка, приходящаяся на 1 пог. м балкн:
1) от собственного веса перекрытия. . . = 300 • 2 = 600 кг
2)»от временной нагруаяш...........=400-2 = 800 .
3) от собственного веса балкм принимаем 60 .
g «1460—.
6 м
Наибольший изгибающий момент
Мта 1460 .&£, = окр. 7475 кгм = 747 500 кгсм.
и|“ о о
Требуемый момевт сопротивление
ЛС,„ л 747 ‘ 500
W — —— —k-s— — 623 см*.
- k 1200
288
г.
L
fz
г
к
и
Из сортамента наводим сотэветствумнций профиль балкц;
J № 32 1Гл=706 см*.
• ЗОЭ. Деревянная балка (из сосны) прямоугольного сечения
. пролетом Z —3»0 м (фиг. 321) лежит свободно на 2-х опорах и
несет сосредоточенную нагрузку Р=1500 кг л расстоянии
0=1,0^ от лево# опоры. Определить прочны* размеры балки,
если отношение вы-
соты балки h к щи-
рине b равно^—2 и
допускаемое напряже-
ние k =100 кг/ см1
(собственным весом
балки пренебречь).
Решение. Реамйия
' р,=^=2~ = 1ооо,г.
Фиг. 321.
Реакция
п Ра 1500-100 . .♦
Q»= —— =“ — - - ==*500 кг;
’ <?l + Q>=A
L Наибольший изгибающий момеат относительно сечения С
Г под грузом:
I Ъ Р- а- b 1500 • 100 • 200 , 1ПЛЛЛП
К ’ «а„ =---------j— ---------Jqo-----*=100000 хгсл.
Момент
Г
Требуемый момент сопротивления
; лс • loo ом
%—т1—"Гог-и»*
сотфвгинлениа прямоугольного сечения
поэтому
ТТ7 X '
Ursto-j. по задашю
1Г=^ = 1000. '
откуда
I. • ’
Й? 1# Р. Хел^р.
Л-с 2а см.
а310» Определить размеры эллиптического сечения спиц (фиг.
322) чугунного шкива диаметром О = 665жл по следующим
данным; число лошадиных сил, передаваемых шкивом, М = 3,
число оборотов в минуту — 120; ширина сечения b = 0,4 Л,
у =• 285 MMt допускаемое на-
пряжение £„ = 300 кг!см*\
принимают, что в передаче
силы участвует только третья
часть спиц .
Решение. Опасное сече-
ние у ступицы/ поэтому шах
Л4=Ру,
Окружное усилие
Л * ’ .
скорость
Фиг. 322. ‘ г
* к-D-n 3,14 • 0,665 120
. °=—60—=------------60------=^76 ж/^;
75 • 3
Р — ~ГПа ==* 0КР- 54 «•
л 4,1/0
max М = Р *' у =5s k • W
s в
(вместо у берут также радиус шкива); требуемый момент Со-
противления * .
/ W — j? ' = 51 сд?
тр 300 ’
'W- л
Число спиц, участвующих в сопротивлении -j-; для эллипса
' ДГ = 0,1 № = 6,1 • 0,4 Л • Л’ = 0,04 Л1;
так как в сопротивлении участвует у ручки, то
ф ♦ 0,04 Л’== 5,1.
О - .
откуда
/1 = 6кр. 4,6 де;
i жз 0,4 Л = 2 де,
290 / • ;
S1L Определить наибольшее давление Р на «фкунный-крон-
штейн (фиг. 323), если допускаемое напряжение на растяжение
k «ХООггс/елА .
Размеры на фиг. 323 даны в миллиметрах.
откуда
(
4 р_ • *
S“ I
Находим Р7 для опасного сечения тп (длЛ этого сечения
момент взят несколько больше). Положение нейтральной
определяется из уравнения статических моментов.
оси.
фвг.юа.
Обозначив х расстояние нейтральной оси 'МЫ от нижней
грани (фиг. 323), йолучаем: '
(2 -54-14 -2 + 3- 10) -* = 2- 5* 14-7 -2*25,5 + 7 -2 -5Л +
+ 3-10-30,5;
лг=»окр. 20 см.
Монт инерции сечения относителен
12
откуда
t
К
I'
<AochN—N
.9.4.7(24.7 + 134-
1СИ25
*12“
17
. искомое давлений
868,7* 100
I ~ 500 — 1'37*2.
312, Рассчитать ось из литого железа (фиг. 324), как брус
равного сопротивления, если нагрузка колеса р = 6000 кг, длина
между сережками цапф / = 2,4 ж и допускаемое напряжение
k = 500 де; де1.
Решение. Реакции:
Qt=6000 — 2000 = 4000 кг.
t ** \ ’ __
Обозначив через Dx диаметр сечение в раеггоямв х от
опоры А и приняв 1Г = 0Д • Dx*, имеем: р
wx o,t •/>/' ‘ .
откуда ,
т. е, что диаметр изменяется по закону аубическ^й параболы.
Для опасного сечения при х = а
f JL.a- (2)
* ОД - k ’ 1 ’
п ?/ 2000 • 1<?0 ... .
D~V 0,1-500 — °“Р- w*-*
Разделив выражение (1) на выражение (2), получаем:
। а /V згг зг-
Лж=П1/Д=£)у — <1/ Xi I
х F -а г а г
D ая=: 160<л; v
Dx=ie,6 0,t84^<7 = 3,4 ' (3)
По этой формуле можно определить значения диаметров для
части оси между. А и С. •
Аналогично указанному для части оси, лежащей направо от
точки С приложения сиЛы,
где ’
у = расстояние от точки В, Ь^ЪЪсм-
Dy = \tfi t 0,232 = 43 ^7. . ’
Для xt = 40 см (сечение I — I) Dt = 3,4 40 = 11,6 см;
х,= 00 9 (сечение II— II) />, = ЗД р^8б"—14,6 ,
х4 = 120 9 (сечение W — III) De = 3,4/^120= 16,7 .
40 . речение IV —IV) £>< = 4,3 j/~4CT = 14,7 *
Если определить'диаметры для других сечений и соединить
между собой точки отложенных от оси диаметров, то получатся
2 кубические параболы с вершинами в точках опор, как пока*
зано на фиг. 324 пунктиром.
Фиг. 324.
От врашения этих парабол вокруг оси АЙ получается пара-,
болоид, представляющий теоретическую форму оси, как тела
равного сопротивления.
В виду сложности изготовления, на практике упрощают по-
верхность оси; место, где насаживаются колеса, шкивы, назы-
ваемое головкой, делают цилиндрическим; вследствие ослабления
сечения шпонкой полученный расчетом диаметр D увеличивают
по крайней мере на глубину шпоночной канавки; длина головки
берется от (1,5 —22) Д частям осы от головки к цапфам при-
дается форма усеченных конусов (фиг. 324), по возможности ?
касательных к параболоиду.
313. Сложное сопротивление. Каковы формулы напряжений
сложных сопротивлений для:
1. Изгиба и растяжения?
2. Изгиба и кручения?
3. Кручения и растяжения? '
4. Срвза и растяжения?
5. Что обозначает в случаях 2, 4 « 4
величину Од. -
' 2»
Численные примеры
приведены ъ задачах
по деталям машин (ось»
вал и т. д.)
Реш мнив.
1. Сложное сопротивление ® = в кг)см1
2. «/ = 0,35 5* + 0,65 - + 4 • (а« * т? ;
а в/^ 0,35 ах + 0,65 • / о/+4 • (% • <)’;
4. «/ = 0,35 аЛ + 0,65 • /q/+4 - («в х)«;
5. сц — коэффициент, зависящий от материала согласно § 65.
. 314. Определить напряжения указанного в разрезе на
фиг. 325 сечения подвески 5, если вертикальное давление Р'
подшипника = 700 кг, размеры сече-
ния даны в мм.
Решение. Сила Л действует эксцен.
трично и вызывает в крайнем правом
волокне наибольшее растягивающее
напряжение от сиды Р и изгибающего
момента. * Г
Находим центр тяжести сечения:
(80 • 20 + 90 • 20)^ = (80 + 20)20 X
хИ+И-КИ-эдИ»
откуда
е,=33,5лм<.
Эксцентриситет
с=93 + 33,5=» 126.5 мм.
Фжг.' 32&
Напряжения
М=Р-е = 700- 12,65 = 8855 кгсм,
₽i е,
,,=-100 — 83,5 = 66,5мм; F= 10 • 2-f-2 • 7=34 ел*.
2.10* 7.2«
=-=—10.2 • 3,35* + !-£- —7 - 2 - 3,35»=окр. 303ем'
9 3 ♦
• 700 , 8855 • 3,35
niax о = — 4- —з^-==- = окр. +118 кгсм1.
315. Определить диаметр d железной пяты для поворотного
крана, представленного схематически на фиг. 326. Наибольший
поднимаемый груз Q = 8000 кг; вес крана G = 6500 кг прило-
жен в центре тяжести S. Допускаемое напряжение на изгиб
k = 500 кг)см1 и допу-
скаемое удельное давле-
ние q = 110 кг{см*\ длины
даны, на рисунке в мм.
’ ' Решение; Пята под-
вергается сжатию силой Pi
и изгибу силою Pt как
равнодействующей давле-
ний на стенки подпятника
. , и приложенной в сере-
дине длины пяты I.
Сила Z?i = Q + 6
8000 4-6500=14500 кг.
* ' Момент, изгибающий
пяту:
Pt определяем из урав-
нения моментов относи-
тельно точки А:
л
^4
Фиг.
откуда
Л‘ 600 — 8000.500 — 6500 • 135 = 0,
/
Рв = окр. 8000 кг.
Чтобы определить момент М, надо иметь размер Z.
Задаемся величиной Z=l,5rf и определяем d предварительно
из условия прочности на изгиб.
W.k=M; 0,ld».*=Pt-~
• 4*
откуда
£ / *
'1Л • 8000 1Л,
,0'6СЖ-
В виду того, что не учтено сжатие, принимаем*/ = 12,0 см
И /=1,54= 18 ел.. . ‘. * • • .
Поверяем пяту на изгиб и сжатие.
295
- Напряжение:'
‘ — — Р М-* <>
' вщи— > Л . 1F • , ’
Р-^^ПЗсЛ
W = 0,1 <f> = 0,1' • 12»—172,8 лк»;
М = Р, • 4- е= I800® • = 72 000 кгсм:
• 1450 72000' .' -,й_
°т.» =---ПУ----j—_=_ 11,1-416,6=-427,7 >a^M*<k.
Необходимый диаметр d на изнаиышайме:
«</* Q 14М0
, < \ д = Ид *
откуда г
4= 13 см.
316. ПоЛярный момент инерции.
1. Что такое полярный момент инерции?
2. В каких единицах меры таковой выражается?
Ответ. 1. Подробные объяснения даны в $ 48, <. ’• - * .
2. Единица меры: см*. Рекомендуется запомнить уравнение
для круглого сечения Jp = 0,l - d4.-
817* Коэффициент удлинения. Объясните это выражение.
Ответ. Коэффициент удлинения а =------------------в±_
уг ' модуль упругости
= приращению длины при нагрузке в 1 w, длине в 1 емп по
перечном сечении в 1 см\ .
318. Удлинение. Пусть железный брусок длиною Z = l м и
поперечного сечения —4,2 см* испытывает нагрузку —10 300 кг.
Как велнкб удлинение?
Решение. Модуль упругости для железа £= 2 050 000 кг! см1,
‘ 1 г
следовательно удлинение • 4,2 • 100 = 0,00025 см,
319. Предел упругости. Что такое предел упругости?
Ответ. Подробное объяснение дано в § 48, d.
320. Нагрузка др предела упругости. Пусть стальной бру-
сок имеет,поперечное сечение — 6,4 см*. Кцкая ейиа нужна для
нагрузки до предела упругости?
Решения. Предел упругости
ТввЗОООжв/^: *
ж :. -
• )
сжеяователыю аш
Р==М-«™=“=1ЭМ0жг,
321. Временное сопротивление, предел пропорционалъ*
ности.^Чю это такое?
Ответ. Подробное объяснение дано в $ 48,
Предел пропорциональности/ Подробное объяснение дано в
§ 48,*.
ЙРУЖИНЫ.
Для получения пружин хорошего тсачества требуются очень
высокие напряжения, а следовательно и лучшего качества на-
торкал. \ '
§ 69. Пружины, работающие на изгиб.
f I. Плоские пружины.
Р—нагрузка, действующая на оси пружины в кг,
f—стрела прогиба в см, . . '
/— диниа, А — толщина, $ — ширима лруммы в ем,
г— чи л > листов тгружииы,
^ — допускаемое напряжение'изгиба в кг/слР,
модуль упругости для стали в кг/рм*.
Фрг. 227. Фиг. ЗЖ
Прямоугольные пружины. Уравнение моментов
Стрела прогиба
3 . *“•
(240) Л
6 ’
12
имеем:
Вооб те:'
*2 *»'**•
Для kb — 5000, £=2200000, .
«41)
w“
адо-
«42)
Пружины с продольным профилем, очерченным кубиче-
ской параболой. В каждом сечении должно быть одинаковое
напряжение.
Из уравнения Р /—Я7 - kb получаем:
= у, отсюда Лжа= Л • у см. (243)
В середине hx = 0,7 h см, 4
, ' • .' ем- <244)
Вообще: Для AZ)=500C, £=2200000
и Х^ъ* П ^5 к Ef 1г h~44tifeM- (245)
h-R Р 1 *“6, V л* . л b^830-htC (246)
П. Треугольные пружины.
Здесь также во всех сечениях одинаковое напряжение изгиба
Стрела прогиба f} толщина Л, ширина b ^согласно уравнениям
245 и 256 (фиг. 329). ,
формулам 245 и 246, так как эти рессоры можно рассматривать
как треугольные шириною »л • b (фиг. 330).
Фиг. 331. Фиг. 332.
Следовательно
. Р = х^.^хг, (247)
о 7
z у- число листов. >
293 / -
Железнодорожные рессоры. Обычная конструкция, подве-
шенная на шарнирах (фил 331). 1
Угол ? в большинстве случаев = 45° (фиг. 332).
В уравнение 245 вставляем вместо /* значение е
+ ' (248)
11L Спиральные пружины.
?' Эти пружины подвергаются изгибу под влиянием момента
* Р • R. Наибольшим распространением пользуется пружина
*
(фиг. 333), известная под названием замковой пружины.
:• Нагрузка
i . Стрела прогиба
Р
гГ г е • J Л
к/ /—выпрямленная длина пружины в см. /
Отсюда толщина
< • ’ 'ft — 2
£ При — 5000 кг!см* и 2 200 000 имеем: *
- Ae“W7?ej,; ^”йо^с*' ,
Г • .PR1' '- '
I-’ <> = 830 h»C*
(249)
(250)
(251)
(2S2)
299
£ 70. Пружины, работающие на кручение.
Фжг. 396.
I. Ц и л и и л р и ч е с к и е винтовые пру-
ж и н.ы. /
j
kd— допускаемое напряжение кручения в кг/см*;
G — модуль сдвига В KljCM1',
г — число витков.
Для цилиндрической формы действительны ниже-
следующие уравнения (фиг. 336):
Вообще:
Допускаемое напряжение
Р=— • — • kd*
н 16 г
J • s G
Радиус
а *
г= Тб p’*4ftw:
Необходимое числе витков
Для kd = 4500. С7 = 750 000
Р=885~«г.
г
г г* ’ z
1ад*сж'
г = 885 ~ см.
V 885 **’
(253)
254)
(255)
(256)
«=133^/ ' (257)
•J *
Всякая пружина устанавливается с известным
сжатием /0 соответственно натяжению 7%. При ра-
боте пружина затем сжимается еще больше, при-
чем сила напряжения возрастает до некоторой
Лп« (фиг- 337). '
ТО1ДХ
Фиг. 337.
(258)
Р» _ Л
^аш Л + т
р„„=₽.(1>й)-
Обыкновенно берут:
Рт„=г1,3 ДО 1,5 P.w, ч (259)
Тогдд
/==4,35 т до 3 т. (260)
Для сжатой пружины расстояние между витками дЬлжво быть
а^ОЗя см . . (261)
1
300
J-0,2
0.25
см
0,3
кг см
0,35
0,4
кг см
‘0,45
кг см
0.5
кг см
0,55
кг см
0,6
0,65
кг см кг см
0.7
кг см
0,75'
кг см
о.в
кг см
0.85
кг см
0,9 см
кг см
см
2
1,0
1<2
1,5
м
7.1 3,8
5.9 5.5
4,7 «Л
14 3
И 4,3
9.2 6,8
7,7 9,8
24
20
16
13
2,5
3,6
5.7
38
32
25
21
2,257 1,9Ъ1
А '47 2,7 67
38
31
4,8
7
<2 54
6,/,45
/,7110 1,5.147 1,4
2/^ -----------
8,8
5,4
92
74
61
6.9 12
6,7
55
2,5
12
IV
10
12
12
18
1044
/<40
28
26
23
20
25
28
19
17
15
13
8,6
10
13
17
/<37
/7.35
#32
7,6-
9,3;
12,
14 \
1722
19
40 ______
38 8,1 50
32 -------
29
28
5,7
6s5
43
4Л
М
Ик_
16 46
/<42
22 39
<9 | 3,6 [ 4,3 | 5,0
6 .
7/2 67
9,3'59
1253
3,0
3,2
3,5
м
2.21123 2 159 1,8
3,4198 3,1 Ш 2,8
4,8 82 4,4\ 106 4,1
162 2,6
135 3,8
Ж 2,4
169 3,5
1,2
1,5
13
7.2
74
43
5,596
6,6 SJ
8,5 77
/0.68
1Г64
/4 60
/7 55
/9.50
2^48
42
7,0
5
6,1
152 4.3
187 4
121 4,6\________
... ИО 6,6,138 5.3 170 4,9
7,<98 7,2 122 6.7 150 6,3
9,9 97
Я/
108 8,4
133 7,8
2,0
Х2
2^
81
76
И
13
/?69
/864
20 61
#54
8.6
10
12
И
16
161 9,7
96 -
87
80
m
117
107
1/
13 .V(
/598
9152 8,5
10 141 9,6
/2130
/<119
9
11
13
156
143
//
12
М>
3,2
3,&
18
’23
0,3
76
68
61
93
83
17
21
#74
#113
20 101
#91
/5ч 36
7Р| 121
“Г 108
21
14161
19 143
129
22
13
17
21
5,0
10
10,8
К,5
12,2
12,9
см >)
0 Размер у'>=> наименьшая длина сжатой до отказа пружины с 10 вятками при нагрувке = А
w у длина пружины в свободном состоянии, обращенная в растягиваемую пружмну.
Для лучшего усвоения формул см. фиг. 347 пружины, при-
веденной в задаче'335. Большей частью задается максималь-
ная нагрузка Р (в нашей задаче Р—140 кг) и фактический
рабочий ход пружины т (в нашем примере /и *=36 мм). Пусть,
стало быть, пружина клапана паровой или’ газовой машины по-
стоянно сжимается и разжимается на величину т мм.
Прогиб /0 соответствует начальному сжатию от нуля до Р».
Предварительные размеры цилиндрических винтовых пру-
жин. Из уравнений 253 — 257 получаются значения, указанные
в таблице на стр. 30L
В каждом столбце обозначает: левое число (под кг)— силу
сжатия Р в кг, правое число (под сж) —допускаемый прогиб f
в см для 10 витков. >
Примеры к таблице цилиндрических винтовых пружин (сжи-
маемых). • < .
1) прогиб больше, чем указано в таблице. Для г = 2,5сл,
5 ss 0,5 см имеем: '
р —44/сг и /=9,3 см при 10 витках.
Если этой пружине дать прогиб /=14,2сж, то получим:
142
\ ' число витков z = ♦ 10 = 15; *
9,3 •
длина у = 7,2 • = 1 OJTcm;
2) прогиб меньше, чем указано & таблице. Если дать той же
пружине (пример 1) прогиб /=3 см, то это соответствовало бы
нагрузке
3
Р=-^ • 44 = 14,2 кг при 10 витках.
Пружин с числом витков меньше 10 применять не следует;
чем больше витков, тем равномернее Р.
Для промежуточных значений нужно пользоваться уравне-
ниями 252 до 260; тогда таблица служит только для приблизи-
тельных подсчетов и проверки результатов вычисления.
Рабочие пружины. Рабочими пружинами называются такие
пружины, которые периодически через короткие промежутки
времени сжимаются и снова разжимаются, напр., длй клапанов
паровых машин и газомоторов (меняется от 1 до 5 раз в се-
кунду). Здесь главным образом надо иметь в виду, что мате-
риал высшего качества, при высоком напряжении дает лучшую
работу
f
IL Кбййческие пружины хэ круглой стальвоЙ
проволоки.
О&эзначения согласно § 70, I (фиг. 338).
Нагрузка
„ « л* .
• р= 15'^
Прогиб
Выпрямленная длина
Z = (rt + г) т > х см.
Нагрузка (фиг. 339)
p=^y-kdKi. (265)
Прогиб
/= • kj см. (266)
<$
Выпрямленная длина
I = г • к ’ z см, (267)
Здесь модуль сдвига
=х= 750 000. •
(262)-
•' Допускаемое напряжение для пружинной стали
kd до 6700 K2jcM\
Ш. Конические п р у ж и яы«прямоугольного
сечения. •
Допускаемая нагрузка (фиг. 340)
/=0,4/ • см. (269)
Еыпрямлеадэя
/ —4-гг)лс. я см. (270)
IV* Рабата в кгсм, поглощаекая одной пружиной при
сжатии, равна:
, S А^Р./кЦем, (271) ,
так как для несжатой пружинц^имеем Р = 0.
ДгА Двойные пружины. Двойная пружина, со-
стоящая из двух, помещенных одна в другую, •
пружин, одинаковой высоты (рис. 341) и обла-
дающих силой Р, и дают в совокупности ♦
давление / s
фвг. 340. / p^pl + p^ (272)
Для равномерной нагрузки обеих пружин необходимо, чтобы
ГА. $t=rt. Sj и Zi • — s* (273)
Прнгнб /, вызываемый нагрузкой PD вычисляем по приве-
дешкй основной формуле, вводя величины rn zt и$р или г*
2t к «по дает одинаковые зна-
чения. ;
Двойная пружина, состоящая из
двух помешенных одна э другу»
пружин неодинаковой высоты
(фиг. 342). '
Здесь получается даухступев-
чатое давление пружины, ибо пру-
жина 1 должна скачала сжаться [ на
величину прежде чем начнет
действовать пружина 2.
На фиг. 342 согласно уравне-
нию (272) имеем Р=Р, + РЪ
Наибольший прогиб вычисляется
по уравнению (254) § 70/ если
прогиб малой пружины Л=i/,(
лл
Фиг. 341. Фнт. 342.
Фиг. 341. Двойная Пружина с
одинаковой строительной вы*
сотой обеих прдокм.
Фиг. 342. Двойная пружиня с
неодинаковой строительной вы-
сотой обелх оружии.
что дает равномерную на-
грузку/обеих пружин, а именно: максимальный прогиб /
' ч • /в4 я жг^-%- у 1 СИ4)
Если А не равно ~ fu то пружкны нагружены церашо-
керао, но все же •
ЭМ
ЗАДАЧИ К §§ 69 И 70.
Плоски пружины постоянного сечения.
_,822. Формулы для расчета (фиг. 343);
1) на прочность; #
2) на величину деформации.
3) Соедините оба уравнения и опре-
делите толщину h и ширину b пружцны..
Решение, 1, Уравнение моментов
Р-
, ' Р • /е
* 1 Прогиб /= н—к—г
о * С • J
а. т.« К.« ж Л‘-
* *6’ отсюда у см; • Ур см‘
323. Численный пример к задаче 322. Пустьллина / = 72 см,
прогйб /^4,5 с#. Определить:
1. Толщину пружины, при J^=5000 ка/см*, \
2. Ширину пружины при Р=530 кг.
Решение. • > /
„ . 2: 5000 * 72"
Толщина Л-т • 1.7 см,
. е 530 72 '
ширина »-6 • 5^ • .
324. То же —при J=)20 см, f=^ 3,3 см.
Пружины с продольным профилем, очерченным пр кубической
параболе (фиг. 344).
325. Формулы. Напишите формулу:
7 ' L Для любого сечения.
Какую толщину имеет пружина в
, середине ?
гласят общая формула для Нм М
Фиг. 344. Решение. Д. В каждом сечении должно
быть одинаковое напряжение.
Из Р • I = W ’ kb получается:
ft! а: 4 / к
ЗХ — -г или Ьл = у — • Л см.
a l e i
20 Г. Хедар. ' . 4 '.
2. В середине Лх=0,7Л см.
3, Здесь поступаем так же, как в задаче 322, и подучаем!
. . kb'? L С Р I
Е • f *Ъ h .
826, Численный пример к задаче 325. Каковы будут раз-
диры пружины при тех же условиях, Что и в задаче 323?
Решено. Согласно уравнению в задаче 325:
' . 5000 - 72* ч_ „
As=2200toO-4,5~2’6"‘‘
' . с 530 - 72 . _ - • .' .,
6 = 6 5000 • 2,6* — 4,3
Треугольные пружины (фиг. 345). ♦
327. Какие формулы для толщины и ширины применимы
в данном случае? , • •
Ответ. У этой пружины также во всех сечениях одина-
новое напряжение. Следовательно, здесь
применимы те же самые формулы, что
-и Аля параболической пружины (за*
1s дача 325).
828. Каковы будут размер пружины
** при тех? же условиях, что в задаче 323?
Ответ. Размеры будут те же, что и для параболической
пружины, т. е. Л =^=2,6 см} £^=4,3 сж (зад. 326).
Составные пружины (рессоры) (фиг. 330).
• 32а Формулы. Почему для составных пружин действительны
те же самые формулы, что для простых треугольных пружин
а именно: формулы 240 —242. '
Отввт. Потому, что эти пружины не что иное, как тре-
угольные пружины, составленные иУотдельных полос — простых
пружин, обшей шириною д * Ь. . •' . '
330. Двусторонние составные пружины (фиг. 33 Г£ Пусть
жел.-дор. вагон весом 16000 кг покоится на 4 рессорах раз-
мером-/ = 41 см, стреле прогиба /=*3 ем, число листов
1. Найти силу Р в кг. ( '
2. Толщину листа в см. '
3. Ширину листа в см.
„ 16000
Решения. 1. На каждую половину рессоры приходится -—s— =
о
=— 2000 кг 4- (75% на толчки)=2000 + 1500 ==* 3500 кг.
2. Толщина листа
j
41’
Л = 44ОТз = 1’3--
3. Ширина листа (суммарная)
_ к 3500 -41 1ЛЛ
* 830 • 1,3»100 СМ‘
отсюда 5= 100:11 9 см.
831. То же — при весе =« 10000 кг, числе рессор =» 4
Фиг. 346.
5.
332. Жел.-дор, рессоры. Обычная конструкция, подвешенная
на шарнирах. В большинстве случаев угол <р=45° (фиг. €32).
Решение. В уравнение 244 встав-
ляем ’вместо Z1 значение Iя +
+/• tgf ’ А ’гго при f = 45° дает
440/^440’ -
а для вышеуказанного примера
Л — 1,4 см, т. е. разница только
в 7,57*
883. Буферные пружины для
жел.-дор. вагонов (фиг. 346). Нор-
мальные пружины имеют следующие,
: размеры: Л = 14,5 см, а = 0,75 см,
L ^=2,5^ г = Ьсм> 5 оборотов.
Определить:
1. Допускаемую нагрузку Р в кг при напряжении 8500 кг/см1.
2. Развернутую длину пружицы в см,
3. Модуль сдвига для стали в кг /см1.
4< Стрелу прогиба.
5. Работу, воспринимаемую пружиной мкгм.
Решение. 1. Нагрузка, соответствующая напряжению =
' э= 8500 кг/см*, равна: •
Р—0,35 • -^*114,5 8500 ~3250 ю.
О
2. Развернутая длина пружины * .
* 1~ (8 + Х5)< -5«=165дж. , .
и
3. Модуль сдвига для стали О — 750 000...
4. /-0,4 -165 • (2>У+8,). <9»75,+ 14>5‘>. -852L-95 ем
.J и,» ют 8 0,75-14,5 750000 ’
5. Так как для свободной пружины Р=0, то воспринимаемая
работа (приблизит.).
. 1 D ,3250. 9,5 1С-
4=2^./— * их)—155 «гл.
834. Как начертить развертку этой пружины?
Прибавка на ыепружинящие концевые витки: \
Zte|.2r.^ |
Решение. Выпрямляем пружину согласно фиг. 346, причем
Н равно высоте свободной (не сжатой) пружины.
ЗЭб. Цилиндрическая
винтовая пружина для
выпускного клапана газо-
вого двигателя (фиг. 347),
Дано:
Р*МОкв
• 2r • к.
Фиг. 347.
Радиус пружины г=4,5 <мс, число витков j = 13, 'допускав
мое напряжение Ad= 4500 кг/сж* ход клапана m = 3,6ejw, на*
грузка сжатой пружины Р= 140 кг.
" Определить: L Толщину проволоки в см, *
2. Стрелу прогибд / в см.
3. Высоту У сжатий пружины Лв см, при открытом клапане.
4. То же при закрытом клапане.
5. То же в свободном состоянии.
6. Нагрузку Ре при закрытом клапане в кг.
Решение. 1. Для 140 кг и г = 4,5 см находим из таб-
лицы § 70, 1, толщину проволоки 5 = 0,9 си.
Уравнение 256 дает тот же самый результат.
2. Для такой толщины проволоки
• 14
/=17-^=22см.
808
Уравнение 254 дает тот же самый результат.
• 3. у=12,9-17 ск.
4. У 4- m = 17 4- 3,6 — 20,6 см.
5. Высота свободной пружины: ’ z
И==/+/= 17 + 22 = 39 см.
6. Нагрузка прямо пропорциональна стреле прогиба как
видно из фиг. 3<71 поэтому:
- P.= (l—.Р=(1—-§-).140<^117жг.
336. То же — при г=3,5 см/ /п=4,2 см, Р= 150 кг, г =±= 15.
337» Спиральная пружина (с прямо* /
угольным поперечным сечением), фиг. 348. Р
НЬ пишите уравнение для толщины листа Л, . о-""
стрелы прогиба f и ширины листа Ь, аяало- л(^SyL£
гично задаче 322. ©
1. Какого рода напряжение испытывает
пружина?
2. Напишите уравнения для h, f и Ъ.( фйг. Ж
Решение. 1. Пружина подвергается изгибу, .✓
2. Из уравнения 250 имеете
Л-2 сж,
kb— 5 000 кг/см*. •; 2 200000,
h ~ 220 -7 СМ’ 220А СМ' Ь=830 • Л7 е*
338. Спиральная пружина. Пусть R ~ 9 см, 2 = 94 см,
f— 8 см, Р= 90 кг.
Решение. Из вышеуказанных уравнений ролучрем:
h~$$cM, Ь = 4см.
Сжатая пружина может совершить работу:
. 90 8 х
2 *
339. Тоже — при Р=4,5ем, см, f^ktM, Р=45кг.
340. Витая пружина, работающая на изгиб (фиг. 349).
Пусть так же, как в задаче 339: / = 94, Р~90*г, /«=8 см,
R=^^cm. Определить b и Л (прямоугольное сечение).
309
Фиг. 3».
Ркшеник. Здесь также получается
Л = ОД см, b = 4 см.
Отсюда видно, что ни диаметр витков,
ни число таковых роли не играют; влияет
только выпрямленная длина пружины,
равная 2г • ж • л.
РАСЧЕТ ПЛИТ.
§ 71. Круглые плиты.
Фиг. 351.
Пусть d — диаметр плиты в см, 5 —толщина в см, р— (ма-
нок.) давление жидкости в Kt см* (фиг. 350).
Представим себе, что плита закреплена по диаметру (так
как по этому направлению располагается наибольшее напряже-
ние) (фиг. 351); тогда получаются сле-
дующие моменты.
Момент сил давления жидкости (на-
грузка на половину I
плиты, помноженная
на расстояние до цен- wl
гра тяжести) согласно фиг
§ 58 будет:
A4«-bit.d»:r .-g=il.d*.p/r«3C. • (275)
Момент сил реакции по' окружности (нагрузка на половину
плиты, помноженная на расстояние центра тяжести дуги круга):
-d* .j, кгсм, (276)
о it O'-
Так как силы реакции направлены обратно силам давления,
первый момент нужно вычесть из второго, и тогда равно-
ействующий момент будет:
М=М1 — М0 = аг. — = ркгсм. (277)
Вследствие возникающего сопротивления на изгиб имеем еще:
Мз* W « М • d • kb —d* • р кгсм. (278)
310
И если ввести еще коэффициент соответствующий роду
закрепления, то:
Напряжение на изгиб = р •
Толщина
. d I / Р
стенок
2 J
(!)’•
СМ.
£- кг!см*. (279)
4
. • - (280)
Величины коэффициента р С указанием, какой размер d принн*
МАЕТСЯ В РАСЧЕТ.
Г-^ Железо ^ = 0,8 . . Чугун р=1,2». 0,8 U М i ! 0,75 1/ 1 ол L0 0,5 0,8
Если расстояние от диаметра окружности болтов очень велико»
то р нужно брать больше.
Расчет крышек для днищ и сосудов см. § 73. Расчет котель*
' ных днищ см. том второй.
§ 72. Прямоугольные и эллиптические плиты.
Представим себе прямоугольную плиту» закрепленную по
диагонали (фиг. 352).
Пусть а—длина, б —ширина прямоугольника в см.
Аналогично § 71 здесь
(по Баху):
>4 1 l ' Л
= — а • Ь ’ р • кгсм.
z о
.. 1 л
M = yS'»'P • у «гсл.
Фвг. 3S1.
Отсюда равнодействующий момент:
1 а • Ь а • b
А так как М*= W. • »* • Л»,
то, соединяя оба уравнения, получим:
толщина стенки S = -^- b •
j/'fe «• <2S5)
Так как при вычислении по этой формуле весьма часто
имеют место арифметические ошибки, обозначим величину сред-
него корня буквою х; тогда;
1 / * \2
Напряжение аь = х* • -j- • (yj . р кг/см*. (286)
Толщина qchkh 8 = х -у • ^/' см.
(287)
Фиг. 353ч Фиг. 354.
Коэффициент х, завися-
щий от формы плиты и
от коэффициента р, берем х
из нижеследующей таблицы
(фиг. 353 и 354k
Отношение сторон b : a — 1 1 —г Для эллипса и прямоугольника Для квад- рата
0.2 0.4 0.6 | 0,8 1,0
Железо (р = 0,8). ,х= 1.3 1,2 1,1 1,0 0,9
Чугун (р=1,2). . х= 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1
Допускаемде напряжение зависит от рода примененного
материала. Для приближенных расчетов (Ь — меньшая сторона
прямоугольника):
Для Р = 2 6 12 50 I 1 100 атм. ।
Железо 0,036* 0,05* 0,07* 0,12* ; 0,2*
Чугун 5 = 0,06* 0,1* 0,14* 0,24* ' 0,4*
Временное сопротивление приблизительно равно 5 х р атм.
312
РАСЧЕТ СОСУДОВ, ПОДВЕРЖЕННЫХ ДАВЛЕНИЮ. ’
\
§ 73. Сосуды с внутренним давлением (тонкостенные),
а) Общие обозначения.
d —внутр, диаметр в см
5 —толщ, стенки в см
0g—действит. напряж. растя-
жения в кг/см*
I —длина в см
р — внутреннее манометрич
давление в кг/см1
кг — допускаемое напряже-
ние В KijCM*
Фиг. 355.
Ь) Продольные напряжения. Напряжение полого ци-
линдра. Если оба конца трубы закрыты (фиг. 355), то на днище
действует давление
^- ркг. Д288)
Сопротивление поперечного сечения цижшдра
d • * • $ • а* кг, (289)
а так как величины уравнений 288 и 289 должны быть одини
ковы, то
— df * /> = я *d » 6 •
или х
кг/см*- (29С)
При продольном сечении плоскостью, проходящей через ось,
напряжение будет в два раза больше, чем при'поперечном
Фиг. 356.
сечении (см. пример). В виду этого для по-
перечных Ьвов клепанных резервуаров и
труб берут меньше рядов заклепок, чем для
продольных. X
Определение толщины стенки. Расчет
толщины стенцк ведется по большом}' попе-
речному напряжению (при продольном сече-
нии). Если на радиальной силе р, действую-
щей на элемент площади /, построить па рал
лелограмм сил, то получим (фиг. 356):
{Л — -= Л кг/см*, (291)
к а для силы, стр мяшейся разорвать цилиндр, получим:
Р ==з 2/Ж • psstd • I • р кг.
(292;
313
Сопротивление стенок равно
2/ • г кг. <293)
Так как величины в уравнениях 292 и 293 должны быть
равны, то:
Р=d . / • р ssx 21 ♦ Ъ - 9g кг; d • р = 2& •
Поэтому действительное напряжение
вх=^кг/сж*. (294)
Исходя из допускаемых напряжений kZ9 получим:
толщина стенок
у=4'^с* (2ЭЗ)
допускаемое давление
p = &-Llc* кг/см>, <296)
Уравнение 29i> действительно только для тонких стенок, т. е.
для небольшого внутреннего давления.
Фиг. 367.
с) Шар с внутренним давлением (фиг. 357).
(Все размеры в см.) Здесь также Сила растяже-
ния находится по уравнен ию291.
Р—площадь сечения в см* х р атм. маком
давления, т. е.
P=^d<.pn. (297)
Сопротивление оболочки
d « . В . аж кг. (298)
Поэтому:
Действительное напряжение /
ъ=4 ’ Т кг!см*- 299*
Согласно § 49, табл. 3—«2 должно быть<Аг
Исходя из допускаемого напряжения kt имеем .
Толщина стенок: Допускаемое давление:
5 » см . (300) р = хг/сж’. (301)
z 4 - Kg \ а
814
§ 74. Сосуды с внешним давлением.
Здесь/зкже: Р= площадь сечения в см1 X р ?тм. малом,
давления, откуда для небольших давлений:
Фиг. 35S. • фаг. 353.
Толщина стенок цилиндра:
1=а-^ ^ + С'см (302)
Толщина стенок шзра:
« = 4+ Сем (303)
4 R
где da—наружи, дням, в см, р- наружи, маном. давление
в кг{см\ k — допуск, напряжение согласно § 49.
Чтобы избежать опасности вдавливания, в формулу введена ♦
постоянная. зависящая от рода материала, отназначения, а
при цилиндрической форме — еще и от длины трубы.
Эту постоянную С для жаровых труб (котельное железо)
берут = 0,2 см. Для цилиндра насоса: чугунного С=Ъ$см>
стального С=0,3 см.
Вышеуказанные формулы пригодны, одна-
ко, только для тонких стен.
§75 Толстостенные трубы и сосуды.
(Фиг. 360.)
pi — внутреннее давление в кг1см\*
ра — наружное давление , „
г/ — внутренний радиус трубы в см
га — наружный радиус трубы . ,
1) Если внешнее давление ра = 0 или по
отношению к внутреннему давлению может
быть принято равным нулю, то для трубы
r^ri у kt_ 13л<
Фиг. аво.
где допускаемое напряжение на растяжение в кг)см1.
315
Для 1,3 pi-k* Гд = со; из этого следует
Условие \
Pl<vr.
2} Если внутреннее давление pt = Q9 то для трубы
*_2Ах>
k — допускаемое напряжение на сжатие в кг[см\
k
ра должнр быть < -у .
Полый цилиндр: 1) внешнее -давление ра=0
r°=r,V kt-i^Pr
Для 1,3 р1 = кр га~<х>, поэтому необходимо условие 1
_ k, .
- ^<^3’
2) внутреннее давление ^/ = 0 z '
> re=r'Vr^w;-
Полый шар: 1) внешнее давление ра = 0
2) внутреннее давление /?/=0
_ 3/ k "
r»^r‘V *—1,05ра’
ЗАДАЧИ К.§§ 73—75. ,
341. Грувы с. внутренним давлением (фиг. 361 и 362.)
Какого рода напряжение испытывает та&я труба и в каком на-
правлении проявляется это напряжение?
Фиг. -361. Фиг. 362.
. Ответ. Сопротивление разрыву, а именно; .
1. В поперечном направлении.
2. В продольное направлении.
316.
’ 'т- ,гх < - V'’ •• ’•/•••• -/Г- •. ; Ч „
fc \ ” • • * •
342. Основные формулы. Как гласят основные формулы для
сопротивления цилиндрических сосудов:
1. В поперечном направлении (сила = сопротивлению).
; - 2. В продольном направлении (сила = сопротивлению). *
3. Какие из сопротивлений в к2[ем* является наиболее зна*
чительным?. л
Ответ. 1. В поперечном направлении:
*•/•/> =28-Го,.
2. В продольном направлении:
гг • d* • р di it • в • a,. '
►J 3. Сопротивление в поперечном направлении вдвое больше;
. с ним, стало быть, только и приходится считаться.
* 343. Сопротивление. Пусть d = 74 см, I = 120 см, вну* •
. треннее давление р = 8 атм., Ь=1 см. Чему равняется со**
противлению-разрыву в кг\см^ ' •
Ответ. Сопротивление разрыву
О, = ^^=^ = 296л-Й/(МЛ
344. Трубы высокого давления»Пригоден ли вышеу казан- -
;; z ный расчет также и для толстостенных труб?
. t Ответ. Нет, здесь сопротивление постепенно убывает по
направлению наружу. , •
345. Цилиндр пресса (чугун) (фиг. 363).
Пусть 4=16 'см, Ь =26 см.
; Давление р = 250 атм. \ 1 .
р 1. Определить сопротивление в кг!сл^. _
2. При кауом давлении в атм. произойдет
г. X разрыв цнлвйдра. “ ^жг’
Решение. L Пользуйся диаграммой (стр, 336) и находим
г • ‘ для 250 атм. при ^=1,62:
< _ 4^ = 600 кг/сл^. ,
2. Для чугуна временное сопротивление
Г- • Кх = 1500лсг.‘- '
'/ Из диаграммы получаем: т
/ / давление р=>600 атм.
345а, То же —при D«52 ел. .
346. Привинченная крышка (железная) (фиг. 364).
Пусть: d = 70 см; давление p = Z5 атм. Определить:
не-
обходимую толщину стенки в см.
Решение. Допускаемое напряжение
fy,ss650 кг!см1.
Необходимая толщина стенки '
70
2
346а. То же—при d —140 см, р = 1,3 атм.
347. Прессованное дно. Вместо привинченного дна в за-
даче 346 имеется прессованное дно (фиг. 365). Определить не-
обходимую толщину стенки в еж, если углы хо-
рошо закруглены. Ср. задачи на «сосуды*.
Решение. Для колебаний давления от 0 до
; некоторого максимума имеем для железа допу-
скаемое напряжение: ; • *
И*
*, = 600 KtiCM1. 8®-
И если радиус закругления углов т*=0,05 d, то необходимая
толщина стенок
8=0,32 .ЛЬ |/Ц~1,5 см.
К
СОСУДЫ. РЕЗЕРВУАРЫ, КРЫШКИ И ЦИЛИНДРЫ.
8 76. Прямоугольные резервуары с внутренним давлением,
а) Толщина стенок закрытых резервуаров. Согласно
способу расчета.по § 72 имеем:
Толщина стенок 8 =Х • х • i/Eсм. (304)
* Г *,
п
Напряжение • х* • кг/crf, (305)
где b более короткая сторона участка стены, находящегося между
двумя связями в см, а р манометрическое давление в атм.
Можно приняты
Коэффициент. х==1,3 1,2 1,1 1 0,9 1
для b: а. . . . = 0,2 0,4 0,6 0.8 1 / ’ к }
Ъ) Толщина стенок открытых сосудов. Для приблизи-
тельно квадратных участков (Ь = а до 0,7а) и = 1 000 кг) см*
котельного железа (фиг. 366): -
- **=^-Shxe*- (307)
618 . ' '
4 J
8t нужно принять hx = Л,
Фиг. 366. Вычерчено с двумя
рядами поперечны! связей. ,
из углового или плоского
— наибольшее расстояние данного участка от верхней кромки
в метрах; следовательно для расчета
Для мелких второстепенных ре-
зервуаров (для воды) толщина сте-
нок делается^ по возможности не
свыше 0,5 см, так как до этой тол-
щины заклепочные швы могут быть
еще уплотнены парусиновыми лен-
тами, пропитанными суриком. У
более толстых листов (свыше 6 мм)
швы зачеканнваются.
В больших резервуарах стенки
скрепляются целым рядом связей
железа.
с) Таблица толщин стенок по уравн. 307,
Высота = 1 Число связей 1 . . *=*. ...... наверху \х=0,3 . внизу 8 = 0,3 . . . 13 1 ОДЗЛ 03 0,35 * • 2 1 0,ЗЗЛ 0,4 о л 23 2 0,ЗЗЛ 0,4 0,65 3 2 0,ЗЗЛ 0,5 0,9 4м 3* 0,26Л 0,5 см 1.0
Опоры под дном должны быть так расположены, чтобы сво-
ббдные участки были величиною приблизительно = а • Ъ.
Толщина дна 3a=B + ftl см. ? _ (Зб8)Г \
d) Толщина связей (открытые резервуары). Для высоких
резервуаоов (Л >2,5 м) целесообразнее скреплять связи за-
ТО?
л
Фиг. 367. » Фиг. ЗЬа. Фиг. 389.
клепками, так как гораздо труднее добиться плотности болтовых
соединений, чем заклепочных (фиг. 367 — 369).
1 Число горизонтальных урядов свадеЛ.
319
Растягивающая сила одной''связи равна:
Р= а • b • ОД • hx кг,
(309)
где а и о в см, hx в ж.
Для первого ряда связей hx — hu для втор Си hx^h9 и т. д,
Требуемая площадь связей
/= Р: kz см*. ‘ (310)
Допускаемое напряжение для плоского железа
Л, = 1000 ю/лЛ (311)
Стяжные б скаты. Размеры в мм, Р в кг (фиг. 370).
d . тп' с К о . р
•/<" 100 20 25 10 1000
7." 115 23 28 12 1500
d" 130 25 32 13 2500
г*/," 145 , . К 38 14 3200
i‘/«" 160 32 42 > 16 4Gb0
17." 175 38 45 19 6000
е) Углы резервуаров образуются ТШбо загнутыми листами,
либ; приклепанными угольниками (фиг. 371).
Фкг.371. L Соединение граней рамой яз сваренных м^жду собою угол-
ков (дорого). 1L Присоединение днища наружными уголками соедине-
ние боковых стен между собой внутренними уголками. HL Присоеди-
нение днища наружными уголками, соединение боковых стен между
собой в нджлеегку. ?V. Присоединение днища внутренними уголкдмл,
соединение боковых стан между собой в нахлестку.
820
р f) Угловое железо
^олщ. листа
Ггловое железо
Циам. заклепок
Расстояние ме-
f жду заклепок
рдсстояние оси
Наклепок от
t края листа
8= 2
-19
~ 4
d= 8
и заклепки (фиг. 372),
3
40
5
9
7 8 9 10
55 60 65 70
4 5 6.
45 45 50 _
5679 10 11 12
10 12 14 16 16 18 18
Г= 28 33 35 50 50 55 55 59 59
е=16 17 17 18 19 21 21 23 23
П
75
13
20
64
25
12 мм.
80 р
14 .
20 ,
64
25
Фиг. 372.
К Последнее цифры даны для однорядного шва,
Ьторый для резервуаров является наиболее упо-
требительным.
g) Клепка, Для открытых резервуаров инезна-
штельных сил сопротивление заклепок сравнительно
кевелико; главным образом требуется плотность
Уединения. .
г При диаметре заклепок, меньшем или равном
I мм9 склепывание производится обычно вхолодную. Листы
тыне 0,5 см уже не поддаются чеканке, поэтому для уплотне-
вия швов между тонкими листами пользуются парусиновыми
ни картонными лентами, пропитанными суриком (см. также
176, Ъ).
К) Общепринятые размеры резер-
вуаров. В основание выбора размеров по-
ложены следующие пропорции (фиг. 373):
7?: £ = 0,5; Л:£^0Д
-Вт
Фиг.. 373.
Емкость <? = I 2,5 7,5 I 10 20 40 60 80 100 150 200 ж»
Длина 1. - 1,9 1,5 3,2 3.7 4 5,1 6,4 7,4 8,1 8,7 10 11 м
Высота ft — 0,55 0.75 0,95 1.1 1,2 1.5 1.9 2,2 2,4 2,6 а 3,3 ,
ЦДиркна В — 0.95 1.25 1.6 1.8 2 .2,6 3,2 3,7 4 4.4 5 5Д л
Вес О- 240 400 700 850 1000 2000 зосю 4000 5800 6500 9000 12000 кг
[ 0 Опоры под прямоугольные резервуары. Прямоуголь-
ные резервуары, в целях лучшего доступа к заклепочным швам
1) Подробности о заклепках см. тон втер ой.
21 Г. Хе хе Р
321
дншца, всегда устанавливаются на колоннах и двутавровых
балках (фиг. 374).
Фиг. 374.
Расчет фундамента, колонн и двутавровых балок см. §106.
§ 77. Круглые резервуары.
Применение. Напорные баки для водопроводов городских
и жел. дорог, керосиновые баки, резервуары для масла и т. п.
L Круглые резервуа-ры с внутренн. давлением.,
а) Толщина стенок закрытых резервуаров.х) Расчет ве-
дется так же, как и в § 73, b для труб с внутренним давлением р
в атм., диам. D в еж: ’
толщина стенок & = х + С см. (312)
* *
Постоянная С зависит от материала и от
назначения резервуара.
Ь) Толщина стенок открытых резер-
вуаров (фиг. 375). Принимая в расчет ослаб-
ление листов под влиянием ржавчины. 8
также во избежание внешних повреждений,
допускаемое напряжение выбирают сравни-
тельно небольшим, а именно:
4Ж = 500 кг/сж1. Тогда согласно уравнению 312 имеем:
толщина стенок * — + 0,4 см. (313)
Диаметр D в см, высота h в ж.
' * i
I) О расчете станом паровых «отлов см. там атороА.
Толщина стенок , в млг для круглых резервуаров.
Диаметр _ 1 2 3 4 5 б .7 в 1 9 10 м
Высота '2 м 4 4 4 5 5 5 5,5 5,5 6 .6
. 3 . — 4,5 5 — 5Л 6 6 6,5 7 7
, 4 . 4,5 — — 5Л 6 6,5 7 7 7Л 8
. з . — 5 •— 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9
. в . —* — 6 6,5 7 7,5 8 9 93 10
. 7 . — 5,5 7 7 7Д 8 9 9,5 10 11
. . 8 . 5 — — — 8 9 9,5 10 11 12
. 9 . — 6 7 7,5 8,5 Я5 10 11 12 13
, id , — — — 8 9 "1 11 12! 13 М
Пример: Резервуар диаметром в 7 ж, высотою в 8 м, пмее?
толщину стенок нижнего звена/ & — 9,5 мм.
Толщина стенок остальных звеньев получается из соответ-
ствующего значения Л* согласно уравнению 313 вли по выше*
указанной таблице.
П. Днище больших круглых резервуаров.
а) Простое выпуклое днище. Выпуклое днище рассчиты-
вается как сектор шара с внутренним давлением (фиг. 376Y
Толщина дна
(314а) ♦«- ив.
Напряжение
в«=4;С*г/с*’
р — давление жидкости в атм. Для воды р = ОДЛ, где Л в Петрах, <
R — радиус выпуклого днища в см
D). (315)
Лж =400 кг/слР—допускаемое напряжение для котельного железа.
Недостатки выпуклого днища: в опорном кольце резервуара
появляется горизонтальная сила, вследствие чего головки за-
клепок, прикрепляющих днище, работают на отрывание.
•
4
<23
b) Днище по системе Йнтце. Здесь диаметр опорного кольца
выбрав таким образом, чтобы разделяемые им части поверх-
ности днища были равны (фиг. 377, 378, 379 и 380):
т. c.rf~0,7D. (316)
Фмг. 4П.
Фнр. 378.
Фиг. 379.
Фиг. 380.
Благодаря этому появляющиеся в опорном кольце горизонталь-
ные усилия взаимно уничтожаются. • •
Ш. Опоры для круглых резервуаров.
а) Соединение опорного кольца с днищем (фиг. 381 и
382): L Опоры под выпуклые днища. 2) Опоры под днище сист,
Интце. '
Фиг. 381.
Фиг. 382.
0) Расчет опорного кольца. Пусть Q — вес резервуара
в кг. *)
Gt — все жидкости в кг. 4 —диаметр опорного кольца веж,
ширина кольца, k — допускаемое давление на фундамент
(для данного материала) в кг/см1.
>) На каждый кубический метр емкости считают приблизительно 60 к*
дм 1ЙСЯЧЯХ днищ. 60 кг дм опорных днищ и 80 кв дав кольцевых баков во
круг дымовых труб и т. ь I
Тогда: d • «• b • k = G Ц- Glf откуда требуемая ширина кольца*
b = 4T^keM- <3l7>
Для хорошей кладки на цементном растворе (сверху цемент)
Л = 10 — Мкг/см\ (№)
с) Толщина стойки S. '
. * Здесь имеем d • я * k.« 8 • G + (319)
отсюда:
см. (320)
d • к • k ', '
Допускаемое напряжение (для железа или чугуна) > 4
k = SWK2/cM\ . (321)
Для заклепок кольцевой железной стойки принимается ко-
эффициент сопротивления
Для этого коэффициента выбирают по таблице § 76 / тол-
щину стойки и тип заклепочного соединения,
d) Угловое железо. Ширину полки и толщину можно взяп
по §76/
Упражнении. Для упражнений по расчету круглых резер-
вуаров принимается: /
Диаметр D^h, так что D ~ 1,11/ Qm, (323)
где Q — объем жидкости в м\
Тогда для Q и D имеем два ряда соответствующих зна-
чений:
Q= 2 5 10 20 50 100 500 1000м1
Р=.Л = 1,4 2 2>5 3 * 4 5 8,5 11 м
Для звеньев применяются листы длиною в 3 — 5 м и шири-
ною в 1 — 2 м. -
Отсюда получается число звеньев.
Фиг. 383. Водонапорный бак (города РемшеЙд): емкостью
в 400 м* • D • /?—’ нагнетательный трубопровод, V • /? —слив-
ная труба.
315
Фиг. 383
Тогда:
толщина стенок
Резервуары с внешним деле-
нием. а) Прямоугольный резервуар.
Расчет согласно § 76^. Ь) Ци-
линдрически ir резервуар. Расчет
согласно § 74, уравнение 302.
с) Сферический резервуар. Расчет
соглдсио § 74, уравнение 303.
IV. Днища для круглых
сосудов.
а) Плоское днище (фиг. 384).
Пусть d — диаметр в свету в см»
р — давление в атм.
Фиг. 384.
напряжение
х ’ d • 1/ см*
Г *ь
d3
*ь==х" • р^кг!см\ )
(324)
(325)
допускаемое давление
Р=(|)* • а™' (326)
Для г : 4 = 0,0 0,05 0,1 0Д5 0,2
Железо х=0,43 0,32 0,27 0,25 0,22
Чугун х=0,50 0,45 0,40 0,36 0,32
Ь) Йыпуклоё днище (фиг. 385). Для /? = 0,54 до 1,5 d пркг
меняется уравнение сопротивления шара: f
Толщина стенок
„ ’ = -2 ' (327)
I) Опасное сечен не, в случае непоеданденного повышения давления, на*
хадитса у «
326
Напряжение
Af- . » «
Допускаемое давление:
/> = •£ • kz атм.
(329) фиг. 385.
R — радиус выпуклости в см, допускаемое напряжение Л^согл.
§49.
с) Усиление днищ посредством прилитых ребер»1) Наруж-
ные ребра (фиг. 386, I) нецелесообразны, так как наиболее уда-
ленные волокна испытывают ^растяжение
(ср. § 58,0- Внутренние ребра по фиг. 386,
II лучше; однако расчет толщины сте-
нок следует вести, не учитывая ребра.
d) Широкие плоские днища из ли-
стой ого железа укрепляются связями
или анкерами (фиг. 387).
Связи А или анке|Л В растягиваются силой (в кг\ вели-
чина которой равна произведению из давления в атм. на
площадь в см\ отмеченную пунк-
тиром. »
Расчет согласно § 76 с (см.также
т второй).
§ 7^, Крышки сосудов и резер-
вуаров.
Общепринятые формы крышек:
круглые, прямоугольные, овальные.
а) Круглые крышки. Плоские крышки (§ 71, &)> фиг.
Фиг. ж.
Толщина стенок
Напряжение
(330)
ч (331)
1) Опасное сечение, в случае непредвкденнога повышение давление, па-
годита* у &
327
Допускаемое давление
м
р = 4 - kb * TSi ГЛ*. 6332)
и*
Допускаемое напряжение &ь см. ниже.
(Действи-
(333)
(334)
(335)
Допускаемое напряжение kz согл. § 78/d; таблица помещается
в иже.
Ь) Прямоугольные и овальные крышки (ср. § 72), фиг. 390
и 391. Расчет такой же^ как для
боковых стенок плоских
сосу-
Толщина стенок: _
8 = 4 • х 'VЬ~см-
2 т
Напряжение:
А’ «^/1
О»=J • х* • кг/см*.
Допускаемое давление:
48* kb
(336)
(337)
(338)
Ъ Для R > 1,5 D см. уравнения 324 —326.
328
Величина коэффициента ж для чугуна.
Отношение b : а — 0,2 0,4 0,6 0,8 1 i
Коэффициент, х—1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 р339>
Допускаемое напряжение по приведенной ниже таблице.
с) Конструкция чугунных прямоугольных крышек. Сред-
ние и крупные коышки усиливаются так же, как дйиша, фиг.
392 - 395.
Фиг. aoz
Фиг. 39€ Фкг. 395.
1. Наружные ребра нецелесообразны, так как наиболее удаленные волокна
испытывают растяжение.
2. Внутренние ребра выгоднее (см. § 58, ф.
Выпуклые крышки выгоднее плоских. ,
Расчет толщины стенки как для цилиндра.
б) Допускаемое напряжение для сосудов и крышек. При
выборе допускаемого напряжения необходимо учитывать на-
значение данного резервуара и род нагрузки.
Приближенные значения (если нет определен-
ных опытных данных):
329
Столбец а применим для спокойной нагрузки. (Сосуды для
жидкостей, воздушные резервуары, аккумуляторы.)
Столбец b применим для повторной нагрузки, изменяющейся
от наибольшей положительной величины до некоторой вдвое
меньшей (или еще меньшей) («трицательной величины.
Столбец с применим для переменной нагрузки, изменяю-
щейся от наибольшей положительной величины до вдвое мень-
шей или равной ей отрицательной величины.
Для крышек цилиндров низкого давления паровой машины
с конденсацией следует пользоваться значениями столбца с\ то же
самое для крышек цилиндров насоса с большой высотой вса-
сывания и малой высотой нагнетания (<20 м).
§ 79. Болты для крышек.
Фиг. 898. Фкг. 897.
На основании данных в томе втором ход расчета должен
быть следующий (фиг. 396 и 397).
Пусть р — внутреннее давление
в атм. Dm,A и В в см.
Тогда давление на крышку
Р=^От'*ркг (340)
для круглых крышек и Р=Л • В < р
кг для прямоугольных.
Наибольшее растягивающее усилие Рт, испытываемое бол-
том, зависит не только от давления р на крышку, но и от рода
прокладок, от длины и материала болтов.
Приближенные значения:
Значит, сначала определяют Р*но уравнению I, а затем Рт.
330
ТдблМЦА ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫХ РАЗМЕРОВ ТОЛЩНВЫ БОЛТОВ.
(фиг. 398).
q — 20 24 28 32 35 40 45 мм ЩИ
*=10 12 15 18 21 25 30 .
rf= 16 20 23 26 30 33 40 „
/= 1,3 1,96 2,7 3,6 4,5 5,8 8,4 см*
*х = 300 350 400 440 470 500 540 кг!см*
Тогда
ЧИСЛО болтов е . Фрг. 396.
(341)
Относительно расположения болтов смотри также .Правила
конструирования* и таблицу числа и толщины болтов для вы-
соконапорн^х труб.
Ниже приведены практические примеры, которые показывают,
что расстояние х между осью болта и кромкой прокладки должно
быть по возможности меньше (фиг. 399); предпочтительнее
однако ставить прокладки во всю ширину
фланца (фиг. 400).
Для крышек, подлежащих частому откры-
ванию, рекомендуется применять болты с ушками
или бугеля (см. том второй).
Цилиндры. В машиностроении часто встре-
чаются детали цилиндрической формы,, подвер-
женные внутреннему давлению.
§ 801 Паровые цилиндры.
Вследствие крайне разнообразных форм, пра-
вила для конструирования паровых цилиндров
Фиг, 399 и 400. выделены и внесены в специальный отдел па-
ровых машин.
Общепринятые формы парового цилиндра с зо*
лотннковым парораспределением (фиг. 401 и 402).
в) Толщина стенок корпуса цилиндра, *) Теоретические
значения согл. § 73, £ здесь непригодны. Учитывая возможность
в дальнейшем расточки, берут толщину стенки
1) Расчет крышки болтов см, 9 78 Ж.
381
4
Фиг. 401. Фиг. 402.
401. Без паровой рубашки для простого золотникового парораспределения.
402. С паровой рубашкой для двойного золотникового парораспределения. ,
Ь) Толщина стенок золотниковой коробки. Расчет произ-J
водится на основании формул, указанных в § 72, значит: 3
толщина стенки j
. х . 1/^сж. (343)'
z Z Г "Л
Напряжение
= 0.25 • Ь* • х* • £ кг;см\ (344)
Фиг. 403.
Вообще говоря, толщина сте-
нок ^обычно не вычисляется, а
берется из практических таблиц,
на что нужно обязательно обра-
щать внимание. Величина х, ес-
ли Ъ есть меньшая сторона пря-
моугольника (фиг. 403):
<з = 0,4 0,6 0,8 1 1
x = U 1,2 1,1 l,0J (М5)
Допускаемое напряжение (для]
чугуна) 1
** = 300 кг{см\ (346)^
§ 81. Цилиндры насосов.
Форма этих цилиндров также чрезвычайно разнообразна
(фиг. 404).
Поломки корпуса k цилиндра происходят большей частью в
местах перехода (галтель) и вызываются внутренними напряже-
ниями в отливках и ударами воды.
Поэтому в опасных местах устраиваются утолщения, которые
вместе с стяжными болтами предназначаются для предотвраще-
ния поломки (см. фиг. 404 и 405 и п. е), в случае появления
382
имеется тогда возможность настолько стянуть трещины
I, что насос может продолжать работать.
Для высоких давлений корпус цилиндра снабжается про-
бными и поперечными ребрами, а также стяжными^ болтами.
• Толщ и нпстенок циливдровнасос а.
а) Корпус шарообразный (фиг. 406). Теоретическое напря-
жение: .
KijcM*. (347)
Толщина стенки (если р в атм):
«=4 • т-4-С (343)
4
Bi (^гласно § 78, а. '
Ь) Корпус цилиндрический (фиг. 407). Теоретическое на-
пряжение;
Толщина Ьекки: t *. #
1 8=4’i+Cf*’ (350>
8»=Y’.£ + Cw<’ (351) 1
" Ц согласно § 78,л . i
Для чугуна: допускаем. 200 кг/см9, С=0$см (352)
Для стальк. отливка: доп. Л, *=300 яг/лм* С=0,Зсл (353)
Нужны хи утолщения и стяжные болты или нет, ре-
шается на основании указаний, помешенных ниже. • / „
с) Переходы стецок цилиндра. Переходы с острыми уг-
лами* (фиг, 408),
Опорная площадь
Л 3= М см9 ' 354)
Площадь нагрузки:
{ f* = а • b — М еж1. (355)
Напряжение <
= - р кг\см?. А 1 d) Переходы с закруглениями (фиг. 409). (356)
Опорная площадь
, • ж G1 • л , /« = -Lr-- ’4 «А (357)
Площадь нагрузки ,
/, = а • Ь - см*. (358)
Напряжение
^=у-р^!см*. (359) Фнг. 410.
е) Стяжные болты (фиг. 410) применяют^, если:
ах > 200 кг*см\ ‘ (360)
Растягивающая сила
Р=Д-ркг (361)
{ft согл, уравн. 355 или 358).
Поперечное сечение стержня
/=£«А . . (362)
Допускаемое напряженке для железа дорош. . качества)
^=1000 ка/сл1. (363)
$ 82. Цилиндры прессов.
Для расчета толстостенных труб высокого давления, цилинд-
ров пресса и т. д., пользуются уравнениями § 75 (фиг. 411
и 412).
Заточки $ служат для кожаных манжет.
. Приближенные уравнения для толстых стенок, т. е. для вы-
соких давлений, гласят:
по Баху: , ._____
' £> /Ъ + 0>4р
г Л*—1,3 Р (364\
по ЛамС ____ * %
£в1/*1±ё
л V ь,—р
385 '
где D —наружный, 4—внутренний диаметр в см, р —вну-
треннее давление в KijcM* или атм.
Фиг. 411. Фиг. 412.
Допускаемое напряжение для:
Чугуна.................... Лд=» 300 кг)см1 1
Стального литья...... Л, = 1000 , ?. (365)
Стали................ Лх=з1500 в |
Диаграмма (Лиг. 413). Заменяющая уравнение 364
ЗАДАЧИ к §§ 76-92.
848. Прямоугольный резерву ар. Требуется быстро спроекти-
ровать прямоугольный резервуар для воды емкостью (? = 80л3
(фиг. 414).
1. Определить: высоту, ширину и длину резервуара.
2. Количество рядов связей.
3» Толщину стенки в верхней и в нижней части резер-
вуара в ели
336
/. 4. Толщину диища «ли. /
ч 5. Вертикальное расстояние между Связями.
6. Расстояние а между связями в-продольном наира влепил
4 7. Растягивающую силу одной связи в нижнем ряду в kt,
8. Толщину распорного болта в ат л . дюймах.
9. Размеры распорных болтов,' • ..
10. Способ соединения углов. ' . s
11. Размеры углового • железа. . '" ,
12. Заклепочное соединением *
Решение: 1. Для цмеем^ >. i.
Длйну £ = 8,1 м, ширину £—4 я, высоту h = 2,4 м
> 2. Для высоты 2,4 м берем 2 ряда связей.
•г 3. Толщина стенок вверху ^ = 0,4 см,
Толщина стенок внизу 4 «= 0,65 см,
4. Толщина днища &а =^635 + ОД = 0,75 ли. '
\ 5. При двух рядах связей:/ ? • • 4
z * Z “fr .l. О v > ’ ‘ »
6. Чтобы получить приблизительно квадратные участки, бе-.
. •! rYMr ' \ •
7. Растягивающая сила]
Р== 80 ♦ |00 <(Ц < (2,4у-=08)«1300 кг,
8. Для /•= 1300 к1 диаметр стяжного болта =7/^г.
9, Размеры надо, взять из таблицы/; '< • . л.
10, Берем соединение со1х*7&:л и притом тип И с угловым
железом.
11. Для Л«0,65 см получим: угловое'Железо 55 х 7.
,12. Диаметр вклепок d=f5 Ям, деление Г ==40 мм, рас- /•
стоянае до края ^=^20 мм,
848г. То же —при (?«к 160 л* < S’
?*' 349. Медный котел с внешним давлением, для сахарных
< заводов. *• -' ’ •
На фиг. 415 показан медный котел с вакуумом s= 72 см,
значит наружное давление р^\ атм.
< Под влиянием наружного давления 7-миллиметровые днища
оказались вЪвяеннымй у .ЛЛ', а 5-мшщиметровый корпус
у Найти путем расчета причину этого явления.
1. Определить: теоретическое напряжение материала дниш
’ в #г/лк\ ' • / ч
2. Tq же —кордуоя. .
п г. Хедер. - ' ... : ЗМ
3. Предполагаемое Напряжение материала днищ в *е/см*.
4. То же — корпуса.
Решение. 1. Согласно уравнению для шара с внешним да*
вл синем имеем:
Шкг1ем''
2. Для полого цилиндра с внешним давлением имеем:
Напряжение^ обоих случая^ невелико, так что при теоре-
тически правильной выпуклости вдавливания получиться не
должна
- Hd допустим, что вследствие неточной обработки, около АА
получилось более плоское мест^ с диаметром ок. 50 см; тогда
напряжение: ч- . i -
3. 5» = ‘/4 • 50* • Aj = 12Z5 кг!см\
< При таком напряжении происшедшее вдавливание уже лене
объяснимо.
4. Допуская для корпуса также плоское ме<^го шириною :=
Г» 20 слс, получим для -^ = 0,13; коэффициент Л = 1,2;
тогда ’ _
« 20* 1
™ « 1,2* ♦ ~580м*/слЛ
** 4 vtur
349 а. То же при /> = 0,5 атм. t
ч. 350. Резервуар. Требуется спроектировать резервуар емкостью
в 9=,225л| воды, имеющий квадратное днище и высоту 4лг.
333 * ' • -
Фиг. 416
Пусть резервуар разделяется перегородками на 4 равные
части, скрепленные между собой связями (фиг. 416 и 417).
Определить: 1. Длину и ширину резервуара в м.
2. Чцрло рядов связей (соответственно высоте h\
3. Вертикальное расстояние между
ними в м.
4. Число вертикальных рядов.
5. Расстояние а в ж.
6. Толщину стенки в нижней части
резервуара в см.
7. То же— в верхней части.
8. Толщину стенки днища в см.
9. Растягивающую силу в кг одной
* связи нижнего ряда.
10 Поперечное сечение плоского же-
леза.
11. Не лучше ли поставить стяже/ые х
болты и какого они получатся диаметра?
PtJtiEHUE. 1. Длинам ширина = 1/225 =
7,5 м.
2. Для Л = 4ж берем три ряда связей.
?. Равноыерн^ распределяя по высоте h, получим рас-
стояние ‘ • ’ *
^“3+1 ~ 1Ж‘ / ,
4. Если взять для каждой боковой стенки части резервуара
вертикальный ряд связей, то; •
' 75
5. Расстояние а = -5г —1.85 м. > -
4 - * i
Для b : а = I : 1,85 0,55 коэфф, х^ 1,1;
значит, толщина стенок
^.1,1
7. Толщина стенки
* 100 t , 8 9 *
),1 - 4 t .
Two 11
?;}бг=|«5“-
8. Толщина стенки днища
$Ц=1Д+0,1 = 1,2<^
9. Растягивающая сила одной связи
Р=100 .. 185-0,1 (4-1)=5500ю.
339. ,
10. Поперечное еечение плоского жехем
. Р 5500 __ ,
У~ 1000 ~ 1000
Соответствующий размер : 5,5 X 1 см.
. 11. Для высоких резервуаров, как в данном случае, выгодны
приклепанные связи_ из полосового железа, ибо при болтах
труднее обеспечить плотность соединения,
Для Р~ 5500 кг пришлось бы взят^ болты диаметром 1*/,".
(Такой резервуар построен для одного маслобойного завода,
причем тол щи наметен ки в нижней части резервуара 5= 10 мм,
в верхней &=5лг-и/ поперечное сечение связей 50 х 10 мм.)
350а» То же при Q ~ 100 м*, h = 3 м.
351. Резервуар. Для городского водопро-
вода требуется резервуар емкостью Q=
«=*400 м? (фиг. 418).
Определить: 1. Диаметр в м.
2. Высоту резервуара в м^
3., Число звеньев на высоту Л в м.
Фиг. 4t& 4. Толщину стенки отдельных
5. Радиус выпуклого днища в
6. Толщину стенки днища й см. '<
Тешение. Для Q==400 м1 имеем:
1. Диаметр D 1,1 * у/ 4об ф= 8 м,
i. Высота
.400
. Л **=---— = О Л.
. А-,.
<' ' . к
3. Принимаем высоту отдельного звена—»1,6.ч.
* 8 - * 1
" Тогда получим звеньев.
4. Толщина стенки при С=8л:
I. Звено: Л, = 1,6, 8 = 5,5 мм
II. , z Л, = 3,2, 8 = 6,5 .
\ HI. , ht =4,8, 8 = 8 ,
IV. , Л. = 6,4, 8 = 9 ,
V. . Л = 8, 8=10 .
5. Радиус днищд
/?=1,4-8~11 м.
3W
звеньеы
б.Тьлщнна стенки дниий: >
м ПОО ОД Я
--W
з= 1,1 СМ.
351а. То же —при 0 = 800 м\
352. Днище круглого резервуара. Требуется определить
толщину днища, если диаметр резервуара </ = 2^0 см, и внут-
реннее давление р=10атм. (спокойная на-
грузка} (фиг. 419$.
1) плоское днище с загнутыми краями (г =
«5 СМ)' •' >* * • фир 419
2) выпуклое Днище (/? = </}. .
Решение. 1. Плоское дни ui$~c загнутыми краями:
Для г: d сж 5 : 200 ==0,025 получим
толщ, стенки 0,3 • 200 1/етч ~ 6 см.
' г yw
2. Выпуклое днище:;
Для /?=^получим
200 10
'♦ толщ, стенки д^=1Д см.
Отсюда следует, что для котлов такой величины плоские
днища непригодны.
352а. То же — при d = 100 см, р = 20.
СЧ • 353. Крышка круглого сосуда. На саг
харном заводе установлен новый испари-
3 н ЭДП . тель (фиг. 420); при пуске его асбестовая
7 прокладка около а оказалась при нано-
метрическом давлении в yt атм. кедоста-
точно плотною. Для устранения этого недо
статка начали затягивать болты на фланце
Я - Ка* Т0льк0 повернули примерно на */• &б°-
I * рота одну гайку, произошел страшный взрыв,
г* и все здание наполнилось паром.
Фиг. 420. Оралось, что днище совершенно раз-
рушено и оторвалось по периферии около
фланца (см. фиг. 421). В чугуне однако не было заметно ни-
каких дефектов; структура металла была хорошей и толщина
стенки равномерной (фиг. 420). _
Решение. Если рассматривать выпуклую часть днища как
шаровой сектор, и рассчитать его по формуле шара с внутрей-
ним давлением считая, что диаметр шара 2/?ч*7200 мм, тоа-
шмна сТеяки временное солрогивление не разрыв
для чугуйа £г = 1200 кг/см*, то полупим напряжение:
4Ь-Лг 4.2,3-4200 1СО
P = ~^W~ =--------720—-15*3 аТ*
Стало-быть, толщина стенки достаточ/
мая; однако при затягивании болтов рче-
видно появились^ крышке напряжения,
не поддающиеся проверке, вследствие
чего разрыв произошел уже при давлс-
фиг чат яии в атм‘ 8° всяком случае фланец
’ * следовало бы сделать толще и переход
к выпуклой части котла более плавным. \
Лучше было бы также разместить болты ближе к цилиндру
и заложить прокладки во всю ширину фланца.
*354. Крышка золотниковой. коробка и т. д. (прямоугольн.),
фиг. 422; а==»£0 еле,18,5 см, давление р^1 атм.
- . Фиг. 422.
/з£=г.9е*
Определить толщину стенки крышки (чугун). ...
b 18 5 *
Решение. Орюшение ^*z= -^-==0,26; в данном случае коэф'
фициент 1,35. i ’ •
Допускаемое напряжение для чугуне 'нагрузка Ь) Ъ,=3(Юкг,
i ..
. 18>5Ч ,
толщина стрелок В = • .1,35 •
. И / Лл
ЭМии То же при а 100 см, 6 = 5^ см; р=10 атм. '
355, Пусть та же крыш kJ имеет выпуклую форму с радиусомх
r^b, фиг. 394 и 395. ч , —
Какая должна быть тогда толщина стенок?
Рвшввив. Для расчета толщины стезди пользуются уравне-
нием чугунных труб; тогда толщина стенки
> 1 7 X A ft 1 Q • *
* ‘ + 0,8 жх 1,3 см>.
355 а. То же. что н в задаче 354а
342
356. Корпус насоса. Нафиг, 423 показан чугунный корпус
насоса. Давленце воды /> = 43 Лтм. •
После трехнедельной работы у R образовалась трещина.
Доказать причину образования трещины расчетным путем.
Определить для перехода с 260 мм на 390 мм дням.:
1. Опасное сечение. '
2. Опорная площадь в см\
3. Площадь нагрузки^ в см\
4. Напряжение в. кг{см?.
! 'Решение. 1, Опасное1 сечение находится в боковом переходе,
т. е. у R. Рассмотрим показанный на фиг. 424 пунктирный '•
прямоугольник и получим по Ридлеру;
2. Опорная площадь ' ‘ .
Ъ Согласно фиг. 424 моем:
* ’ “ пел / ) ♦
• « = ^+60=190жж. . - .
- b+ 60 = 255**. _ • ;
£
Значит, площадь'Нагрузки: ’ -
/, =»де • 25,5 у у . 6‘= 457 е*’.
4. Сопротивление разрыву *
в, = — 930 кг]см\ f
- . 7 . ‘ 243
w
Для чугуна же допускается только 200 ке/сж1, так как
временное сопротивление равно 1200 кг/слЛд) .
357. Корпус насоса в предыдущем примере был заменен
новым, большего диаметра и из стального литья (фиг. 425),
После трехмесячной работы и у этого корпуса образовалась
трещина у R.
Определить 1. Опаснее
сечение»
- 2. Опорную площадь.
3, Площадь нагрузки
В СйА ч
4. Напряжение в
Решение. 1. Опасйое
чсечение находится в дан-
ном случае также у боко-
' вого патрубка, т. е. у /?.
Напряжение в месте пе-
рехода определяется так
же, как в предыдущей
задаче:
2. Опорная площадь
- /1 = |-8’-|-4,5« =
= 47,6-ел’.
3. На основании данных размеров имеем;
а = — + 90 =» 220 .зек
6QQ
' ' *z=^ + 90~435*jw.
ГЬатяму нлящад|> нагрузки:
/, = 22 • 43,5 — • 9*—895 »м\
4. Напряжение;
«2 = —810 кг/см*.
Однако здесь допускается только:
/ . ’ . z Azx=300 «а/елЛ
Фиг. 425
1) В данном случае к расчетному давлению 48 к*гм., очевидно, орнбавж-
дась еще особенное повышение давления от ударов воды или вслед ст в ивЧ
слишком узких хларанов, благодаря чему была'премоАдека аеличмна вое.
немного сопротивления материала. ч
Й4; . • ' ' / • < ' :
/
IV. ГРАФИЧЕСКАЯ СТАТИКА. <
§ 83. Основные понятии.
х Приводим несколько общепринятых обозначений, которые
Необходимо знать (фиг. 426):
Масштаб сил: за единицу принимается мм, как мера, более v
удобная для построения ординат эпюры моментов, чем см,
Пс^ссмралсгоя^ие
rw*t>
' Параллело1рам сил
II
УьЛеба*
гтМ
. Треугольник сил.
Дж*
Планам или
•** сил
44x44 м
Бере^о^ый нн<}и>иеоль^ tfae>p™a* площадь jktxot
' '{егртикальл wrpuxvfffa .
$
Плойку* крутщ.нон
.. ---... ., ,„7- Jktxof' цлрихъйге]
yStprmika*** turpuxpff/»^ f
Фиг. 42Х ' - t
Масштаб расстояний: в любом измерении, в завися мости
гг имеющегося в распоряжении листа бумаги.
Полюсное расстояние: за единицу измерения принимается *
см» так как лля определения моментов полюсное расстояние н
должно быть выражено в см.
Ординаты—вертикальные отрезки, отсекаемые сторонами
веревочного многоугвдьника в' площади моментов, — выражаю-
щиеся в мм^ налр., Ot и Ot фиг. V и VI. • .
Графическая статйка определяет графическим путем вели-
чину сил, а также и статических моментов. Сила и плечо из-
ображаются в виде прямой линии, длина которой выражает
345 *
величину силы в заданном масштабе сил, а направление и по-
ложение ее соответствует данным условиям.
а) Масштаб сил. Величина силы изображается прямой ли-
нией, содержащей в себе столько единиц длины, сколько самая
с ил а ^содержит единиц веса; -\иния эта гыражастся в заданном
‘ /масштабе сил, единица которого (обыкновенно 1 мм) соответ-
ствует определенному количеству кг.
Принято считать: ,
Сила в кг =? длине прямой линии в мм X масштаб сил.
Длина прямой линии в му — силе в кг: масштаб сил.
J-й пример. Если'принять, надр., 20 лас = 10 000 кг. тогда
(фиг, 427)*
J мм — "Л— = 500 кг. *мооо/гь " *' 25000fe ~
Масштаб сил 1 мм~500 кг. 4 - ф«гг. «7.
2й пример. В масштабе 1 х«=100 кг9 сила в 2500 кг
2500 ‘
будет представлена отрезком прямой в —^- = 25 мм.
Направление силы обозначается стрелкой. /
v b) Сложение н разложение сил. Сложение нескольких
сил производится путем замены всех сил одной равиолсГ?
ствующсй, т. е. такой одной силой, действие которой одинаково
, с сопохупным действием всех отдельных сил. И наоборот, при
замене одйой силы путем разложения на составляющие — сово-
купное действие последних эквивалентно действию разложен-,
ной силы. Полученная путем сложения сила носит название
равнодействующей. <
Если произвольное число сил расположено но одной прямей
к имеет одинаковое направление действия, то равнодействую-
щая равна их сум^е (фиг. 428).
' * *, р Т.7 р.Г л
Фиг. 423. | Фиг. 429.
Если же силы, ’расположенные по одной прямой, действуют
в противоположных направлениях, то силы с направлением дей-
ствия вправо принято считать положительными (+), влево от
рицательными (—) (фиг. 429).
В данном случае равнодействующая равна разности между
346
положительными и отрицательными силами и получает напра-
вление однозначной с ней силы. - • „ . '
Пример. Пусть по фиг. 429: Р> =« + 800, Рц= + 500, Р^
— + 200, Р4 = — 900, Р5 = — 1000 кг, тогда равно действую-
щая = + (800 4 500 + 200) — (900 + 1000) == — 400 кг.
с) Параллелограмм сил. Если две
силы Р: и Р* действуют в одной и той Ру
же плоскости и притом не в одном на- /
правлении, то по правилу параллело- а<**' р **
грамма — ц^личина у направление рав- 4
нодействующей их определяется ди а- фпг ' ,.
горалью R параллелограмма,, построен-
ного на отрезках,^представляющих собою данные силы (фиг. 430). •
Равнодействующая всегда расположена между обеими силами
и действие, ее направлено от узловой точки а составляющих
сил. Также и наоборот, можно равнодействующую разложить,
по правилу параллелограмма, на составляющие, е^ли даны из- 1
правления действия последних. , 4 9
Если требуётся равнодействующую ab (фиг. 431) разложить
на две составляющие, с направлением
у , Ь их действия ас и ad, то через крнеч-
ную точку b равно действ у K)iu£ii не-
обходимо провести прямые, парил,-
с( дельные направлениям составляющих
» сил, и тогда отрезки ас* и ad' опро
ФИЬ «и делят величину составляющих сил.-
d) Туя к а Приложения сил. Вели
сила приложена не к узловой -точке (фрг. 432 — 435), то необ-
ходимо точку приложения ее, до разложения силы на составля-
ющие, перенести в узловую точку.
Приводим простейшие случаи:
347
Из уравнения моментов Q — Р • / имеем?
' " Р=<?.укг. (366)
е) Разложение силы на составляющие. Для разложения
силы по правилу параллелограмма необходимо сперва устано-
вить направление составляющих. На прилагаемых рисунках
стержни, работающие на растяжение, обозначены простыми
^жирными линиями, а на сжатие — двойными линиями.
1. Простейшие случаи разложения аил (Фи\ 436 — 438).
Масштаб сил принят: 1 = 100 кг.
Фиг. 436. Фяг. 437.
Z
Фиг. 43В.
Сила />=-850 кг =8,5 мм.
Растяжений Z = 8,5 • 100 = 850 кг.
Сжатие Л ?= 12 100«= 1200 кг.
Р=800 кз = 8 мм. ч
Z =511л 100 = 1100 кг,
0 = 8 . 100=800 кг.
Р^650 дг=в,5 км.
Z = 6,5 100 = 650 кг.
0=6,5- 1О0 — 650 кг.
Дет же результат получаем аналитическим путем:
Z = P-</:/t) = p. tga. I Z = P* (/: Z|) = P: cos a,
П = (/:/,) = ₽: CCS a. | Z)=P. (/:/,) = P. tg a.
Z=P-(/:/x)k2
84В
2. Консоли (фиг. 439 и 440).
Масштаб сил поинят: 1 мм=20 кг.
' Ч— Нагрузка Р=230 кв = ~ = М ,5жм.
Растяжение Z = 13,5 • 20 =я 270 кг.
\ Сжатие 17,5 • 20 = 350 кг.
180 кг = яй 9 мм,
£\) .
тогда
Растяжение Z= 14« 20 = 280**.
г Сжатие D= 10 20 = 200 кг.
Аналогичные результаты получаем аналитическим путем:
Z^zP • (Zi/O^P- tg«. I Z = p. (/U1) = P: созакг.
D = P . (/UgJfzsePjcosa. j D = P •(/:/,) = P • tgarz.
S •* Для упражнения:
P— 100 до 3000 кг, /в* 0,5 до б м, /1 = 0,3^до 0,6/.
Фиг. 442.
сил следует принять с таким рас-
четы, чтобы подучить изображение примерно вдвое больше
прилагаемого рисуйха. 4
3. Шпренгеля простейшей формы (фиг. 441 и 442)..Мас-
штаб сил принят: 1 жж —500 кг. -
Нагрузка Р=4600 — ^^ = 9,2 мм.
СНЛ> в
/ растяжение Z = 7 • 500 =s 3500 кг.
Сжатие D = 2300 кг, 4600' кг.
Реи 4600 кг 3=^^- «s9,2 мм.
^Растяжение Z = 6000 кг.
Z1=3800/w.
Сжатее £>=3750 кг, 0^ = 4600 ке.
, • : Ъ4»
Аналогичный результат получаем аналитическим путей:
Z = 0,5 • (с: Л) кг.
' £>=^0,5 • Р(а: й), Dk = P кг.
Z = P.(cth\ Zt = P-(a.h) кг.
D=P>(a:h), Dt=P кг.
. Для упражнения:
Р=. 500 до 3000 а% a =s= 2 до 5 м, с=},3а до 1,0а.
f) Треугольник сил, заменяющий параллелограмм. Для
определения равнодействующей можно ограничиться построе-
нием половины параллелограмма, так называемого треугольника
. - сил (фиг. 443 и 441).
v- * R// Для этой Нели, остается пе-
/ -zr t /< ренесги отрезок ad, предста-'
J# ' ff ~ ваяющий по величине и напра-
влению силу Рв в be. Построение
Ф»г. ;44& Фиг. 444. треугоЛЬНИКЛ СИЛ ЯйСГС ВСТре
чается в графической стати кк Если требуется разложить силу
R на две составляющие Р\ и Р-»
с данным направлением их дей-
ствия, то величина составляющих
определяется тюстроеиием треуголы
ника сил, для чего через конечные
точки равнодействующей нужно
провести прямые, параллельные
данным направлениям составляю-
щнх. ,
g) Разложение силы на три
заданных направления. Решение
возможно, если направления’соста-
вляющих сил не пересекаются в
одной точке. Пусть дана сила Р9
которую требуется разложить на
три составляющие силы по напрд- ч
влекиям а, Ь, с (фиг. 445). Равно-
действующая составляющих, напра-
вленных no b и с, проходит через
их точку пересечения k. Продол- .
жаем направление а до пересечения в точке а с силой Р и соеди-
няем точки $ и* прямой sk. Силу Р разлагаем на две составляю-
щих: одну по направлению а и другую —по направлению
(фиг. 445); из треугольника сил mnd получаем составляющие
35Q
Ли/?; cwfy R переносим в точку k и разлагаем на две со*
ставЛяющих, как это показано па чертеже, путем построения
треугольника сил. . ' 4 ч
h) Сложение сил, действующих в плоскости и прило-
женных в одной точке. Многоугольник сил. Равнодейст^ую*
z щая какого угодно числа сил, сходящихся в одной точке, при- '.
ллжена в той же точке и равна замыкающей многоугольника,
' стороны которого равны и параллельны слагаемым силам.
Пример. ДанЫ по фиг. 446, Ь-силы 1\, Р* Р» Р*> при-
ложенные к точке а с разным направлением их действия.
' , Требуется найти: величину я управление равнодействую-
щей.
Порядок следования сил, при построении. Из произг.оль-
ной точки а (фиг. 446, II) откладываем последовательно одну за
другой силы Plf Pt и т. д., по величине И по направлению
равные заданным силам; тогда замыкающая of представит гели*
чину равнодействующей данных сил, точна приложения которой
будет в узловой точке а, а направление противоположно послед*
ней силе Ру‘ ' t
f Масштаб сил.
- 1 мм =20 кг
Л = 320 /« = 16 мл
t <Р, = 540 , -.=27 . ’
* ‘ _ Ра=»-130 . = 6,5 •
Л = 180 , := 9 /
Р| = 600 = 30 •
*“ 1 . ' .. \ JSV7
Далее мы имеем*. * ‘ z
/?1=ж отрезок ас^ равнодействующая сила Pj и Р,
/?2 — * ad я 4 и Pif Р9 -и Pt
Rs^ . . ae=i , » Рр Ръ Р9 и Pt
При 1 мм = 20 кг, равнодействующая (21,5 мм)=: 21.50 -20=-*
ss= 430 кг, ~
i) Разновеске сил, действующих в одной точке. Отло-
жим в точке а (фиг, 446,1) рдвнодеИствуютую R заданны*
сил. Если в точке а приложить силу /?а равную и прямопро-
тивоположяую этой равнодействующей, то система сил будет в
' равновесии; в многоугольнике сил (фит. 446, П) сила /?t будет
иметь направление, указанное двумя стрелками. Силы, действую-
щие ид одну точку, находятся в равновесии, если построенный
многоугольник сил, стороны которого равны по величине и на-
правлению отдельным (слагаемым) силам, являете?» сомкнутым
< (с течением сил в одну сторону).
к) Многоугольник сил и веревочный многоугольник.
Сложение сил, как угодно расположен ныл в плоскости,
« Если силы расположены как угодно в плоскости, то для иахо- '
ждения величины и направления их равнодействующей строят
многоугольник сил, а для определения положения равиолей-
352
«••wi-wirw».’wnr*--.-«••«•• - .-•*• *-.mw TT-f ••— ;i.r rr^»-.•.’•V"л у **. ••<XT* : л'*4
' .. ' • ' 'W;^
ствующей строят дополнительно веревочный мнбТоугольник, мак
это ниже показано на примере. * ;
Пример. Даны силы Ри Р* Р^ Р<, Рк (фиг. 447, I). Тре-
буется найти: величину, направление и положение равнодей-
ствующей.
1. Построение многоугольника сил. Задавшись (фиг. 447,
И) произвольной точкой а, проводят последовательно отрезки,
изображающие силы Pit Pt и Ра параллельно их направлению
(фиг. 447, I), и соединяют начальную точку а с конечной точ-
кой с, т. е. проводят замыкающую ас, которая определяет вели-
чину и направление равнодействующей.
Масштаб сил
1 жж== 10 кг
Рг 100 кг = 10 мм
! pt= 115 • —11,5 мм
( р^ 85 . = 8,5 .
р4= 90 . = 9 .
р|== 55 » =» 5,5 »
• . Равнодействующая /?а=43,5 • 10=s435 кг>
£ 2. Построение веревочного многоугольника, ।
Выбирают в стороне от сил произвольно точку О, назыме-
_ мую полюсом, и соединяют ее с началом и концом каждой силы,
как показано на фиг. 447, П, проведенные линии /, 2, 3 ...
| называют лучами.
Для построения веревочного многоугольника проводят, исходя
из произвольно выбранной точки S, прямые /, 2, 3, 4, 5t 6
(фиг. 447, 1), параллельные лучам /, 2, 3, 4, 5, 6 (фиг. 447, П);
' полученная ломаная линия SZ называется веревочным много-
угольником.
£ Продолжением крайних сторон 1 и 6 веревочного много-
угольника находят точку х, через которую проходит равнодей-
* ствующая Р, определенная уже по величине и направлению из
Г многоугольника сил. На фиг. 447, I через точку х проведена
i линия, параллельная ас^Р (фиг. 447, П).
£ §84. Равновесие сих 1
Силы, действующие на рваличные точки
р тела, находятся в равновесии, если миоге-
г угольник соответствующий ему верввеч-
?. иый многоугольник сами собою замыкаются.
| ?з Г. Хелчр. . W с
i
Если многоугольник сил замыкается, а ве-
ревочный многоугольник остается открытым,
та дянцая система сил приводится кпаресил.
Пусть даны силы Р/, Pf, Р, и Р4 (фиг. 448), для которых
многоугольник сил смыкается, а веревочный многоугольник, по-
Строенный с помощью
полюса О, остается от-
крытым (не смыкается).
Силы П (в веревоч-
ном многоугольнике)
действуют по одной
прямой, равны и прямо
противоположны, по-
этому уравновешива-
ются ; на том же осно-
вании уравновешива-
ются силы III и IV.
Оставшиеся силы I, I
Фиг. 44в.
параллельны друг другу (параллельны лучу I), равны и имеют
противоположное направление, — они образуют пару сил, мо-
мент которой М = I * Л.
Чтобы не было вращения от момента Л4, необходимо усло-
вие: Af=0, которое удовлетворяется значением h =0; силы
в этом случае будут лежать на одной прямой, и веревочный
многоугольник сомкнется.
Приложение: определение реакций опор для балки, лежа-
щей на двух опорах (фиг. 449).
Пусть на балку АВ действуют силы Рх и Pt. Построив много-
угольник сил, чертят веревочный мноуголъних, начиная с какой-
ам
яибудь точки а, лежащей на продолжении реакции Л; послед*
иий луч III продолжают до пересечения в точке b с направлен
яием реакции А Так как данные силы и Л уравновеши-
ваются с реакциями А и В опор, то веревочный многоугольник
должен быть сомкнутым; поэтому, соединяя прямой точки а и bt
находят замыкающую ab,
В многоугольнике сил проводят через полюс О линию S,
параллельную замыкающей о&»,до пересечения в точке В с пла-
ном сил. Отсекаемые отрезки АВ и ВС представляют искомые
величины реакций. Верхний отрезок АВ дает величину реак*
ции А, так как она находится в равновесии с силами I к S ₽е*
ревочного многоугольника.
§ 85. Параллельные силы.
I. Параллельные силы, направленные верти-
кально.
Пусть даны параллельные силы Plt Pit P9i Pv P9 с направле
нием их действия по вертикали кверху (фиг. 450,1). Требуется
найти: величину, напоавление и положение равнодействующей
а) Порядок следования сил при построении. Величина и
положение равнодействующей. Избрав точку а (фиг. 450, II),
откладываем силы Р» Р* Р* РЛ, тогда ас определяет вели-
чину равнодействующей. В данном случае многоугольник сил
называется планом сил.
Ь) Положение равнодействующей. Избрав полюс О, прово-
дят лучи для построения веревочного кногоуголь-
* ' ‘ , К5
анка (фиг. 450, П) проводят, исходя из произвольно выбранной
точки S прямые Д 2,3,4,5, б, параллельные полюсным лучам
1,2,3,4,5,б\ получается веревочный многоугольник SZ. Равно-
действующая, равная и параллельная отрезку ас, проходит че-
рез точку пересечения х продолжений крайни* сторон 1кб
веревочного многоугольника.
Масштаб сил: 1 мх= 100 кг
Рх= 600 кг. . • •= б мм
Pt= 800 ........= 8 ,
, Р|== 500 5 .
Л= 800 .........— 8 ,
Л- 1200 ........= 12 .
Равнодействующая == 39 лис
39 • 100 = 3900 кг.
II Параллельные силы, направленные частью
в разные стороны.
Даны силы Pt, Pt, Ptf Р4, Рь, параллельные с противополож-
ным направлением действия (фиг. 451,1).
а
Фиг. 461.
Требуется найти величину, направление а положение равао-
действующей.
356
а) Порядок следования сил при построении. Величии*
равнодействующей (многоугольник сил) (фиг. 451. II). Из произ-
вольно выбранной точки а откладываем последовательно дей-
ствующие в одном направлении силы Ри Pv и Ри а из ко-
нечной точки в обратном направлении силы Р9 и Р4 с противо-
положным направлением действия; тогда отрезок ad предста-
вляет равнодействующую, имеющую исходную точку в а и
противоположно направленную последней силе (Р4).
Ь) Положение равнодействующей. Задаемся полюсом О
(фш\ 451, 11) и проводим лучи 1, 2,3,4, 5,6,7. Для построения
веревочного многоугольника проводим из произвольно выбранной
точки S прямые 1,2,3,4, 5, 6, 7 параллельно соответствующим
полюсным лучам /, 2,3,4,5, 6,7, Необходимое условие, чтобы
линии веревочного многоугольника пересекали всегда ту силу
(фиг. 451, f), исходная точка которой (фиг. 451, II) соединена с
полюсом О, т. е. прямая 3 пересекает Р$ и Р* и т. д. Через точку
пересечения х продолжений крайних сторон 1 и 7 веревочного
многоугольника проходит равнодействующая, величина и на-
правление которой определяется отрезком ad (фиг. 451, II). Мас-
штаб сил 1 20 кг.
Р^+290/гг 14,5 мм Pt 160 8 мм А-+180 1 9 мм Р.--390 19,5 мм Р.-+590 29,5 мм 4-200 кг 10 мм
Равнодействующая получается 35,5 мм или 35,5 • 20=^710 кг.
III. Графический способ определения реакций
(для параллельных сил).
Для определения реакций балки, свободно лежащей на двух
опорах и подверженной действию параллельных сил, прибегают
также к построению веревочного многоугольника, как это вндпо
из следующего примера.
Опорные реакции. Дано: балка с параллельными силами
Рх, Р* Pi к Р< кг (фиг. 452). Требуется найти: опорные реак-
ции А и В.
Порядок построения, (Фиг. 452,1.) Изобразив схематически,
но в заданном масштабе, балку, наносят на ней в выбранном мас-
штабе сил сиды Pt до Р4 линиями соответствующей длины.
Яла» сил (фиг. 452, П). Избрав произвольную точку в, от-
кладывают силы в выбранном масштабе (параллельно направле-
ниям сил (фиг. 452, I) в последовательном порядке вертикально
вниз, тогда дтрезок ас будет равнодействующей заданных парал-
лельных сил.
Задаются полюсом О и проводят лучи 4 2,3,4,5.
Для построения веревочного многоугольника проводят из
произвольно выбранной точки S на вертикали, проходящей через
опору А, прямые /,2,3,4,5 (фиг. 452, I) параллельно соответ-
ствующим лучам 1,2,3,4,5 (фиг. 452, II), продолжают последнюю
сторону 5 до пересечения в точке Z с вертикалью, проходящей
через другую опору В, и, соединяя точки S и Z прямой, по-
лучают замыкающую линию б (фиг. 452, I).
В многоугольнике сил проводят из полюса О линию фт
(фиг. 452, П) параллельно замыкающей 6 (фиг. 452, III), кото-
рая пересекает план сил в точке т, лежащей на равнодей-
ствующей ас, и делит его на две части, представляющие вели-
чины опорных реакций.
Реакция А равна отрезку ат, и реакция В—отрезку тс.
Положение равнодействующей получается в точке х, в ко-
торой пересекаются продолжения линий / и 5 (фиг. 452, I).
Ее величина равна отрезку ас (фиг. 452, II).
Принято: масштаб сил 1 мм~ 100 кг.
Дано; Af=900, Р,= 1400, Р1=600, Р4=400 кг.
Тогда длина: 9 мм, 14жз<, 6 мм, 4 мм.
А измерено 18,5 мм, значит А »18,5 - 100» 1850 кг.
В . 14,5 , „ £===14,5.100» 1450 . /
Равнодействующая равна А + В = 3300 кг. \
IV. Соединение плана сил с веревочным
многоугольником.
Для экономии места часто соединяют план сил с веревочным
многоугольником так, чтобы один полюсный луч был вместе с
тем стороной веревочного многоугольника. При обыкновенной
нагрузке балки замыкающую линию веревочного многоугольника
принимают совпадающей с осью балки, строят сначала веревоч-
ный многоугольник и затем уже определяют полюсное расстояние.
Опорные реакции. Дано: расстояние точек опор Л и В и
сила Р кг (фиг. 453).
Требуется найти: опорные реакции А и В кг.
Порядок построения. Чертят схематически на чертеже балку
в заданном масштабе расстояний и откладывают в любом мае*
штабе сил Р вертикально
вниз (отрезки / и 4).
Длина отрезка 1 н 4
сила Р кг
равна —-----j—— мм.
масштаб сил
Проводят ломаную ли*
нию 2 и 3, а из конечной
точки отрезка 4— луч 5,
параллельно стороне 3, до
пересечения со стороной 2
веревочного многоуголь-
ника и находят полюс О;
отрезок 2 является одновременно полюсным лучом. Проведен*
ная из точки О прямая (б), параллельная линии АВ (замыкаю-
щей) дает: отрезок Л равен опорной реакции jia опоре А, отре-
зок В—опорной реакции на опоре В.
Параллельны: прямые 4 || 14 51| 3 и 6 [| АВ.
Принято: масштаб сил 1 мм = 200 кг.
Дано: Р— 3300 кг =* 3300 : 200 = 16,5 мм.
Результат: А = 8,5 мм — 8,5 • 200 = 1700 кг.
В 5= 8 мм =» 8200 = 1600 кг.
V. Определение статических моментов сил.
Статическим моментом силы относительно точки вращения
называется произведение из силы на расстояние (плечо) от точки
вращения до силы (фиг. 454). Статический момент М = р • /. (367)
Единицы измерения; если М в кгсм, то Р в кг» I о см.
Если сила проходит через точку (центр) вращения, то статиче-
ский момент равняется нулю (плечо / = 0).
359
При действии нескольких сил (фиг. 455) моменты будут по-
лгжмтельны или отрицательны, причем принято считать моменты
со знаком И-, если силы будут вращать плечо по часовой стрелке.
Фиг. 454 Фиг. 456.
Фиг. 456.
и «а знаком — в направлении противоположном. Если несколько
сил действуют в одной плоскости, то относительно произвольно
выбранной точки х (фиг. 456):
статический момент раекадей-
ствующей равен сумме моментов со-
ставляющих сил, т. е. момент
+ (368)
Статические моменты могут быть
определены также к графическим пу-
тем при помощи плана сил и веревоч-
ного многоугольника, как это видно из
следующего примера.
Пример. Пусть будет по фиг. 457 построен веревочный много-
угольник SZ для Р, и Р9; произвольно выбранная точка х при-
нята за центр вращения. Требуется определить момент равно-
действующей R относительно этой точки.
Момент равнодействующей. Через тачку х проводим па-
раллельную равнодействующей /? и продолжение^ крайних сто-
рон 1 и 3 веревочного многоугольника отсекаем на этой пря-
мой отрезок cd. Как это видно из многоугольника сил (фиг.
457), полученный треугольник cde подобен треугольнику abot
•ЭДО '
так как стороны их параллельны. Тогда имеем для отношения
сторон: cd\ab = iH, или, так как отрезок ab = Rt то момент
R • l = cd * Н, где cd сила, выраженная в кг, Н плечо — в см. 9
Аналогично определяются и моменты отдельных сил.
VI. Изгибающие моменты.
Построение изгибающих моментов для балки, свободно
лежащей на двух опорах. Изгибающим моментом для какого-
нибудь поперечного сечения балки называют момент всех сил,
лежащих по одну сторону сечения относительно его центра
тяжести.
Пусть на балку действуют силы Рг и Р». Силы уравновеши-
ваются реакциями, которые находим, как указано выше (см.
фиг, 449).
Пусть требуется определить моменты сия левее сечения а.
Строим многоугольник сил и веревочный многоугольник,
который замыкаем. Проводим через точку и линию, параллель-
ную силам; отрезок-у*, заключенный между сторонами I и 5
веревочного многоугольника, сходящимися у силы Л, измеряет
величину изгибающего момента.* •
Мх = Л *
Изгибающий момент для сечения ₽.
Левее сечения ? находятся силы А и Pt, для которых первой
и последней стороной веревочного многоугольника являются
Стороны S и //; отрезок yg, параллельный силам, заключенный
между указанными выше сторонами и умноженный на полюсное
расстояние, даст величину изгибающего момента:
М^А • С^Р^С^а^Н
Момент численно равен ординате, умноженной на полюсное
расстояние. ^Площадь, ограниченная веревочной ломакой м ее
замыкающей, называется площадью моментоа. При графическом
способе расчета необходимо иметь в виду мфштаб длин и
масштаб сил. Тогда уравнение дли определенна моментов
будет:
Момент (кгсм) ^ординате (мм) Хмасштаб сих
X полюсное расстояние (см) X масштаб рас-
стояний. , (Э69)
ЗС1
§ 96. Применение графической статики к расчету коренных
валов.
Вал сортировочного барабана.
У барабана (фиг. 458) часто ломались болты, скрепляющие
кожух, а также спицы звездочек S и Приглашенному для
осмотра эксперту было поручено рассчитать вал на прочность,
так как полагали, что причиной поломки является слишком
малый размер вала.
Дано:
вес наружного кожуха G|S==700k2, вес песка С?в=1300кг,
вес внутреннего кожуха Gt= 1100 кг, собственный вес
вала <74=900 кг.
фиг. 458.
От веса частей приходятся на вал следующие силы в сред-
ней плоскости ***
средних звездочек: р,= Р1==Р4= I 000 кг
крайних . = 500 кг
а) Порядок построения. >) 1. Вычертим вал в масштабе
1 :20 (1 :60) и отметим средние линии и точки приложения
нагрузок Р (фиг. 459).
2. Принимаем масштаб сил 1 дм/—20*2 (60 кг) и отклады-
ваем от произвольной точки а в данном масштабе силы Р^ Р*
PtfPi> Pt последовательно по вертикали вниз.
3 — 9. Выбираем полюсное расстояние Нs= 16 см (3,3 см)
и полюс О; проводим лучи /, 5,6,7,8.
1) Проставленные скобки Цифры относятся к каобрансекию а умею,-
шеялом масштабе (что сделано дл» удобствах
В оригинале — масштаб длим 1:20, масштаб сид 1 лиг за Хиг, яолюеное
расстояние Л» = 10 см.
Уменьшенный масштаб —масштаб алии 1:60, масштаб сел 1 жжхвОкг,
< падюсное расстояние fc0 = 3,3 см.
ФГ
10 — 1L Отроки веревочный мдегоугчшлшк, для чего про
водям прямые 10,11,12,13,14,15 параллельно полюсным лучам
4,5,6,7,8,9.
И ар аа дели:
11 Ц 3 13 8 Г 13 й 9
12 II < 14 II i Ji и 16
i
10. Точки пересечения а и b крайних сторон веревочного
многоугольника С направлениями опорных реакций соединяем
прямой — проводим замыкающую 16.
17. Продолжим крайние стороны веревочного многоугольника
10 и 15 до точки их пересечения х, тогда вертикаль, проведен-
ная через эту точку, определит положение равнодействующей.
18. Проводим через полюс О линию 18параллельную за-
мыкающей 16, тогда:
Отрезок А даст реакцию в опоре А
. В . , . . В
Ь) Определение моментов я напряжений. С помощью
плана сил и веревочного многоугольника можно определить
изгибающие моменты для любого сечения вала. Особенное вни-
мание необходимо обращать на масштаб длин, масштаб сил и
полюсное расстояние. Для определения моментов но площади
моментов существует следующая зависимость*.
Момент в кгсм = ордината в мм X масштаб сил X масштаб
длин X полюсное расстояние в см, согласно уравн. 369.
Тогда будет (согласно выноске на стр. 362) в действи-
тельности: момент = ордината в мм х 20 X 20 X 10 «= ордината
в мм X 4000 кгсм.
в уменьшенном масштабе: момент == ордината в мм X 60 X 6QX
X 3,3 = ордината в мм X 12 000 кгсм.
Ьоответствуюшие отрез Kt/ мы будем непосредственно отме-
рять. пользуясь рисунком, и тогда получим:
Таблица.
[Поаереч- 1 | ное сечение} Изгибающие моменты в кзсм Момент сопро- тивления «/=0.1-d1 л см* Напряжение ^**г/см*
I -12000сШ000 07=0.1.11» =132 >,=132000:132=1000
11 М =х>. 12000=24 .& nOCO=29SOOO W=O,1-13‘ =2» •,=296000:220=1340
Ш Мь=/|-12000=29 .12000=350000 W=0,l-14,5»=308 >, = 350000:305=1150
IV Afb=/V 12000=30 -12000=360000 tr=0,1.16,S«=«0 >,=360000:450= 800
V Mb=жв. 12000=32.5.12 000 -390000 ^=0,1 • 16,5*=450 >,=390000:450= 965
VI Mb-zr 12000=24 -12000=288000 № =0,1-14,5* =305 >,=288000:305= 945
VII 3f,=»,-12000=20 -12000=240000!1Г=0,1.13» =220 >,=2400»: 220=1080
VIII Л,=/,-12000= 6,5-12000= 78003|1Р=0,1.И» =132 >,= 78000:132= 580
Максимальное напряжение = 1340 кг/см* испытывает се-
чение П, хотя это необычайно высокое напряжение нельзя рас-
сматривать как непосредственную причину разрыва болтов и
спид.
Одной из главных причин раз-
рушения можно считать недобро-
качественное выполнение и недо-
статочно тщательнее крепление ко-
жухов, так как, во время работы
образовалась трещина в 3 — 12
(фиг. 460). Спицы круглые диаметром
только 55 мм (чугун).
При несоответствующем кожухе и при сильном напряжении
болтов $ диаметра —разрыв спиц объясняется просто.
§ 87. Графический расчет вала с кривошипом.
Задача 358. Дано: Диаметр парового цилиндра 700 мм, ход
поршня 1200 мм, давление пара (рабочее р = 1 атм. абс.), да-
вление шатуна на палец кривошипа в мертвом положении P=t
= 22300 кг> вес махорика G = 14800 кг.
Требуется определить изгибающие моменты и напряжения
нала. Необходимые для расчета размеры даны на фиг. 461.
а) Порядок следования сил
при построении. *) На фиг. 462
изображен вал в масштабе 1:10
(1 :50). 1. Проводим прямую 1
и проектируем соответствующие
центры (фиг. 462) в точки А, В,
С и D.
Фиг. 461. Ь) Действие сил. 2. Описы-
I ваем радиусом кривошипа круг
в масштабе 1:10 (1: 50), т. е. радиус Я = ^ = 60 мм (12 мм).
3. Пусть будет масштаб сил 1 мм = 200 кг (1 жж = 1000 кг);
отложим на этом масштабе давление шатуна Р, так что по за-
даче 1530 длина прямой 8=^^==Ш^жж (22,3 жж).
4ч В том же масштабе отложим вниз вес маховика G, тогда
Л . 14 800 .... ч
длина прямой 4 = 9Q = 74 жж (14,8 жж).
*) jtuwMUfl в скобках относятся К умвныпвкшзму мвепггебу,
Ж
с) Многоугольник сил. (Давление шатуна.) 5. Пусть про-
извольно взятое полюсное расстояние Н^1 см (1,4 см) и пуЛ>
оно будет больше /?.
6. Проводим прямую 6, представляющую силу Р, по »ерти-
алн вниз. Длина прямой 6 равна прямой S.
7. Проведем полюсный луч Z
фиг. 4С2»
d) Горизонтальная площадь изгибающих моментов от
давления шатуна. 8. Из точки А проводим прямую 8 парад*
дельно лучу 7 до пересечения в точке S с направлением реакции
левого подшипника В.
9. Соединяем точку S с направлением правого подшипника D,
тогда ASD Ьудеп: площадь моментов от нагрузки, вызванной да-
влением шатуна.
е) Многоугольник сил (вес маховика). 10. Отложим полюс-
ное расстояние Н на горизонтали 10.
•»
И. Вес маховика G откладываем от прямой /0по вертщсшг^
Длина прямой 11 равна прямой 4.
12. Проводим полюсный луч 12.
f) Вертикальная площадь изгибающих моментов (от веса
маховика). 13. Из точки пересечения С веса маховика с осью
вала проводим линию веревочного многоугольника 13 параллельно
лучу 12, до пересечения в точке Т с направлением реакции D.
14. Соединяем точку пересечения Т с осью подшипника В,
тогда треугольник ВСТ будет площадью моментов от нагрузку
вызванной весом маховика.
g) Нахождение равнодействующих изгибающих момен-
тов. Так как получаемые от действия сил Р к G моментные
площади взаимно перпендикулярны! то при равенстве полюсных
расстояний И для них равнодействующий момент Мр для какого-
либо сечения k получается из двух составляющих моментов Н • а
и Н « b геометрическим сложением, т. е, Мр = VtPa* 4- Н*Ь* =
= с.
Графическое определение С.
Из точки k опишем радиусом длиною b четверть окружности»
тогда отрезок с будет гипотенузой треугольника с катетами а и Ь,
и одновременно представляет ординату соединенных площадей
моментов. х
15. Построим прямую 15, как показано выше.
h) Определение площадей крутящего момента. Давление
шатуна Р, приложенное к радиусу кривошипа /?, вызывает кру-
тящий момент
От левого конца вала до середины маховика крутящий мо-
мент имеет постоянную величину, и его можно представить в
виде прямоугольника. Чтобы построить его в том же масштабе,
как изгибающие моменты, представляемого в виде И • у^где
у*= ордината, Н= полюсное расстояние, то же что и для изги-
бающих моментов. Крутящий момент М^ — Р • R = H' уь от-
куда %:yk~H.R.
16. Откладываем от полюса О (фиг. 462, Ш) радиус R и прово-
дим линию 16, параллельную Р; линия 16 дает величину орди-
наты ук.
17. Проводим прямую 17, длина равна прямой 16 (расстояние
х —расстояние от середины пальца кривошипа до торца вала).
18. Проводим линию 18, замыкающую площадь крутящего мо-
мента, до середины маховика.
«7
Поперечное сечение ИэгнбаянциА момент М* в кг [см Крутящий момент в кг/см Момент сопротивления си* по * 49 и 5 50.
Вал в середине i х .70 000—20.70000-1МОООО W — ОД-32* - 3280
подшипника & 1 Md~ у .70000 —19- 70000 1330000 1Гр—0,2-32« — 6560
В середине | л*“ Xt -70000—18 • 70000— 1260000 «Г -0,1-45» -9100
маховика С | ма~ у .70,000-19.70000-1330000 0,2.458 —18200
Плечо криво- | Mb“ у -70000—19 * 70000—1330000 W ^1/в-20-56’ -10000
шипа | Md~ jr70000— 7-70000- 490000 ^-«/••20-558-13400
Палец криво* 1 шипа | Mb- -70000—3,5 70000 - 24^000 W —0,1.17-58 635 '
I) Площади моментов для плеча кривошипа. Крутящий
момент вала будет изгибающим моментом для плеча кривошипа.
19. Опишем из точки Е радиусом у четверть круга до пере-
сечения в точке N.
20, Соединяем эту точку с серединой пальца F.
21. Для определения ординаты у, крутящего момента для
плеча кривошипа, откладываем от полюса О (фиг. 462, [II) рас-
стояние а и проводим вертикаль 2/.
22. Откладываем отрезок этой прямой из точки Е и про-
водим прямую 22 параллельно EF. Проектируя на основание EF,
получим:
прямую 20 — геометрическое место ординат изгибающих момен-
1 тов плеча кривошипа и
Р
прямую 22—то же для ординат крутящих моментов.
k) Определение моментов и напряжений. Следует обра*
тить особое внимание на принятые масштабы сил и длим и на
полюсное расстояние.
Согласно вышеизложенному имеем?
в подливном чертеже: масштаб длин 1:10, масштаб сил 1 мм **
ж 200 К1> полюсное расстояние см,
в уменьшенном масштабе: масштаб длин 1:50, масштаб сил
1 мм **1000 кг, полюсное расстояние ft*» 1,4 см.
568
9
1
Поперечное сечение Напряж. от нэгкба : VT кг/см* Напряж. кручения ч — вхг/см* Приведенное напряже- ние согл. | 66, сЛЛь > ЛГЛ/СлЛ
Вал в середине подшипника В мь~ Md- 9^ = 1400000 53280--425 т- 1330000:6560 = 204 | « а-533
В середине • маховика С | 1 ЛЬ“ 1 9^-1260000: 9100—138 г — 1330000:18200— 73 J ав-178
Длечо криво- I шила 1 мь~ 1 ма~ ^^1330000:10000—133 т — 490000:34 000— 37 •*-146
Палец криво- шипа । 1 »Ъ- <jft = 245000*. 538 = 455 е^455
Согласно уравнению 369 будет:
в подлинном чертеже: момент = ордината в мм х 7 • 10 • 200 =
=ордината в мм X 14 ОСЮ кг см,
в уменьшенном масштабе: момент=ордината мм X 1,4 «50 • 1000=
(U = ордината в мм X 70 000 кг см.
* Ординаты изгибающих моментов и крутящих моментов для
вала отмеряются по прямой, перпендикулярной к AD, а для плечи
кривошипа—по прямой, перпендикулярной к ЕР.
Ьг • *
§ 88. Графический расчет одноколенчатого вала для
вертикальной машины.
ч Задача 359. О дно коленчатый вал. Машина бел конден-
сации. «
; Диаметр парового цилиндра 300 мм, ход поршня 500 мм.
; Давление при впуске р = 8 атм. абс., давление шатуна Р^
£ = 5420 кг, вес маховика (/ = 850 кг (фиг. 463).
» а) Порядок построения. Сначала вычерчивают вал в мас-
| Штабе 1:5 (1:20)‘) и проводят через середины подшипников
I цапфы колена и маховика вертикальные прямые (фиг. 464).
В Ь) Схематическое изображение действия сил. 1. Пред-
I ставим схематический чертеж вала и обозначим стрелками на
I правление сил.
>) Цифры в скобках откосятся к мвображенх* в уменьшением масштабе, <
т. е. 1Д орипгнлльного чертежа.
24 Г. Х«ж*р. 369
2. Изобразим круг, описываемый цапфой кривот иля, в мас-
г 250 * •
штабе 1:5 (1:20), так что R —« 50 мм (12,5мм).
•м о
3. Принимаем масштаб сил 1 мм ^75 кг (I мм = 300 кг) и
о 5420
откладываем давление поршня Р; тогда прямая 3 = —^-=72мм
(2,85 мм) длиною.
(18 мм) длиною.
4. В том же масштабе откладываем
850
75 :
вес маховика. Прямая 4===
11,3 .«-и
Фиг 463. £f Построение многоугольника
сил. 5. Проводим ^вертикаль 5, изобра-
жающую давление поршня, длина равна прямой 3 (фиг. 464, VIII)-
6. Выбираем произвольное расстояние полюса ft0=8 см (2 см),
притом больше
7. От нижней точки прямой 5 откладываем наверх вес ма-
ховика G, равный прямой 4 (так как вес имеет направление,
противоположное действию силы Р).
8 — 10. Проводим лучи 8, 9 и 10.
d) Построение веревочного многоугольника. И —13. Для
построения веревочного многоугольника проводим прямую 13
параллельно 10, 12 параллельно 8 и II параллельно 9 (фиг.
464, IV).
14. Проводим замыкающую 14, определяющую площадь из-
гибающих моментов. •
15. Проводим из полюса О (фиг. 4*64, П1) луч 15 параллельно
замыкающей 14, который отсекает на плане сил отрезки, пред-
ставляющее опорные реакции.
*е) Площадь крутящих моментов. 16. Для определения кру-
тящих моментов откладываем от полюса О в заданном мяспггабе
радиус кривошипа R и проводим прямую 16=f (фиг. 464, Ш).
17. Откладываем вертикально вниз прямую 17—16 (фиг.
464, V)/ :
18. Для получения полной площади крутящих моментов про-
водим горизонталь 18 до линии, проходяп^й через центр маховика
f) Щеки колена. 19. Проводим среднюю линию плеча FH
(рис. 464, VI).
20. Проводим прямую веревочного многоугольника 13 до
линии 19. ч
21. Из точки Н вправо отсекаем радиусом, равным орди-
нате Л<, прямую HJ. I
370
22. Половину цапфы колена а откладываем от полюса О
(фиг, 464, Ш) и проводим вертикаль 2Z
Фиг. 464.
23. Радиусом, равным длине ^атой прямой ««f, отсекаем ш
точки J влево отревок * ив конечной точки еге проводим
прямую 23 <
* .371
24. Расстояние / в многоугольнике сил (фиг. 464, III) от-
кладываем от точки J до точки Л и соединяем ее с точкой Л
g) Шейка колена. Примем прямую OF за основную линию.
25. Откладываем ординату площади момснтоп h от точки Е
до точки Е\.
26 — 27. Таким же образом откладываем ординаты ftj от Д
or F и найденные точки соединяем с точкой Е\
28. Крутящий момент для цапфы колена будет A*R. Плечо
для всех моментов равно полюсному расстоянию Н; поэтому от-
носим А к полюсному расстоянию Н, тогда получим отрезок / *
в многоугольнике сил (фиг. 464, III).
29. Отрезок / отложим от основной линии DF и проводим
прямую 29, тогда расстояние прямых 26, 27 и '29 от основной
линии DF представят ординаты для определения соответствующих
моментов.
Л/ Определение моментов и напряжений. В подлинном чер-
теже: масштаб длин 1:5, масштаб сил 1 мм = 76 кг, полюсное
расстояние Ло = 8 ем,
в уменьшенном масштабе: масштаб длин 1:20, масштаб сил
1 мм = 300 кг, полюсное расстояние h0 = 2 см.
По уравнению 369 будем иметь:
в подлинном чертеже: момент = ординате мм X 5 • 75 • 8«г
= ординате мм X 3000 кг(см,
в уменьшенном масштабе: момент = ординате мм X л0-300-2 *
= ординате мм X 12 000 кг см.
i
ГНоаречвое сечение Нагибающий момент Мь в кг см Крутящий момент в кг см Момент сопротивления по $ 40 и < 50 в
Цапфа кодека ] / ( At — Щдж иомва I / I Л,— j Д. 12000-12 *12000—144000 /j .12000— Б -12000 - 60000 f. 12000— ll.fi .12000-133000 4 * 12000— 375'12000—106000 Лг 12000г- 2.Б -12000- 30000 f .12000—1М 12000-136000 W —0,1-««—775 гр-о,?-и —mo W -‘/,.10 .1Т«—4в —М V —0,1.й*—275 W'p—O.J-H»—МО
эта
§ 89. Графический расчет двухколенчатого вала.
, Задача 360. Двухколенчатый вал. Требуется определить
изгибающие и крутящие моменты, а также и напряжения для
вала горизонтальной компаунд-машины, главные размеры кото-
рого определены предварительным расчетом (фиг. 465).
Фиг. 16о.
56
Дано: диаметр цилиндра qw см, ход поршня 80 см, №110,
УО
.манометрическое давление пара /> = 11 атм. Присоединениеiк
центральной конденсации, вес маховика (ротора динамомашины)
20600я:г; давление поршня Рщах= 18 000 кг определено при
помощи диаграммы, колена смещены на 90°.
Принято в подлинном чертеже: масштаб длин 1:10, масштаб
сил 1 мм 5=200 кг,
в уменьшенном масштабе: (%) масштаб длин 1:40, масштаб
• сил 1 мм = 800 кг.
у) Поперечное сечение Напряж. прн нагибе e^—: W в ki/cm* Напряж. при кручения т — ‘ в ЛХ'ГЖ’ Суммарное мпрязммве по 4 €В» сталь: в<г/сИ
^Дапфа колена | ( < М<Г> 144000 : 275—525 ч — 60000:550^110 | е—655
t Мк — /Щека колена 1 ° •'. ( Мд- ( ЛС— Ь Ваяв* /И ^—133000:480—285 ' t —106 QOO ; 643—153 30000 : 275—110 - ^138000:550—250 | •—380 в—Зв8
1
♦яг. 46&.
а) Порядок построения. Изобразим схематически вал
в заданном масштабе длин и отметим все средние линии и
точки приложения сил (фиг. 466). Требуется согласно § 85, d,
и в отличие от решения задач 358 и 359, совместить чертеж
плана сил (слева и справа на фиг. 466, II) с веревочным много-
угольником.
План сил слева на фиг. 466, II построен для части вала ДО
и GN. План сил справа на фиг. 466, 11 — для части вала
Для облегчения проставлены в маленьких' кружках цифры,
определяющие порядок следования линий при построении.
Ъ) Площадь изгибающих моментов для части вала AN
(продолж.) *) с планом сил слева на фиг. 466,11.
1—2. Откладываем давление на поршень Ртах= 18 000 кг
. 18 000
в точках их приложения, так что отрезок cd = ef^—=
= 90 мм (22,5 леи). 0
3— 4. Соединяем А с d и d с О,
5 — 6. Также / с О и f с N.
7. Для определения полюсного расстояния (сравн. § 85, d)
проводим линию ab || cd и откладываем отрезок cd.
8. Проводим из точки b прямую, параллельную линии dG,
тогда:
9. Перпендикуляр, опущенный из точки О на линию ab, равен
полюсному расстоянию.
^=3,6с« (0,9 см). Далее отрезок ag^Rt—опорное да-
вление в A; gb — Rt—опорное давление в G (без участия ци-
линдра II). Тогда мы имеем:
Веревочный многоугольник AdGfN и план сил abo. Часть
вала NT с планом сил справа на фиг. 466,11. 10 — 11. Отклады-
ваем отрезок, представляющий вес маховика, тогда 5Л = Л/==
= мм (25,75 мм).
12 —13. Соединяем k с N и k с Т,
14. Проводим линию io' || kN, тогда:
15. Отрезок Л, = 5,6 см (1,4 см)— полюсное расстояние для
осевого плеча NT.
Мы имеем здесь веревочный многоугольник Nk Ти план сил Лю.
с) Крутящие моменты для цапф колен и вала. Шейка
400
СЕ колена 16. От А откладываем /? = -^=40 мм (10 мм)
I) Цифры в скобках откосятся к уменьшенному масштабу. /
375
w йроведим mm* (так как Md = Rt • Rt те /?t приведено к
полюсному расстоянию ht).
17. Проводим горизонталь 17.
Шейка PH вала. 18. Прямая </с'=полюсному расстоя-
нию Ар
Соединяем с и с* и продолжим ее до горизонтали d'c"z=R.
19. Продолжим tfc" до Н".
Та^им образ ом крутящий момент Р • R приведен к полюс-
ному расстоянию .
Шейка JL колена. 20. Приравнивая Gp = R, проводим
1 ««-«и Поперечное еечеине Изгиб, момент Mb Крутящ. момент Md к кг см । Момент сопротнме* нмя В СМ9 ПО 1 40 И 8 50 • см V _ __
Цапфа колена |Л- cd 28800 —22,5 • 28 800= €50000 W ~O.l 26» = 1 750 Я
СЕ 1*4- ВС1 • 28800=*» 8.5-28800= 245000 Vp—0,2.26»— 350Й1
Шайка FQ с‘<Г • 28800 — 10 - 28800 » 288000 V —0,1 • 26Г— 1750
1*4’ ГГ' ♦ 28 800 — 25-28 800 ^720000 1Гр-0,2.26»— 3500
Коренной под- |*й~
шипник в Q 1 1 ла~ FF" • 28800» 25-28800— 720000 W^-0,2 26«— 3500
Цапфа колана 1 fMb- «/ • 28800 — 22,5- 28800 — 650000 IT -0Д-26»- 1750
1*4- не . 28 800 — 34,5-28800—1000000 Wp-0,2- 26»— 3500
Шейка колона i 1МЬ“ •7 • 28800— 19 - 28800 — 460000 W —0,l<31«— 8950
в <' 1 *4- ММ" 28800— 35-28800 — 1000000 »p-0,2-31«— 5900
Коренной под- j *»- нуль •
шяпник в N ( *4“ NW - 28800^ 35-28800-1000,000 lFp —0,2-26»— 3500
Вы 5 ] 1 Mb~ SA • 44800- 35-44800 — 1160000 IT -0,1-40»— 6400
\Md“ 5« ) 44 800=, 22 - 44800 — 985000 0,2-40»- 12800
Щека колеЯж | \Mb- Cq - 28800- 8,5-28800 —< 246000 - 17-35S-3500
. св 1 1*4- Cq’ • 28 800— 16-28800 — 520000 17-35В-46Э0
Щека колена | I**- Fr . 28800- 25-28800— 720000 \F-»/a - 17- 35»-3 600
EF 1 1*4“ Fr’ • 28800—13,5-26800— 390000 W>->/9 П-35«-4 630
Щеке колена | **- IP* > 28 800 — 34.6 • 28890 —1000 000 Г-1/е - 17-35»-3 500
'« 1 *4“ Л . 28800- 14-28800— 400000 17-35» —4630
Щека колена | ,*»- Mt" • 28800— 35-28 800 — 1000000 19- 35» —3850
LM J *4“ ме - 28800— 18-28 000 — 520000 19-35»-5 200
1
1) Коэффициент 1,7 учитывает влияние прогиба адла.
376
через точку р вертикаль, тогда крутящий момент равен /?,»£ =
owp.p'-hp Кроме того цапфа испытывает напряжения, вы
званные действием крутящего момента Р. R левой цапфы ко-
лена. Так как возможность одновременного действия этих дву>
моментов исключена, то принято считать 0,7 Р * R вместо Р • Я.
Откладывая этот отрезок от р\ получим
21. Горизонталь 21,
Вал MN, 22. Согласно указаниям, данным в томе втором,
максимальный крутящий момент 1,4 Р- /?=;1,4 • НН" и равен
отрезку M"N', отложенному по горизонтали.
j- Поперечное Р* сечение e~Mb: W в «г/с*1 ч — Md: Wp в кг/слР Приведенное напрмюе- ние no 1 65 a, сталь *o-l к к О х
^Цапфа колена 1«»“ a^ = 650000: 1750^370 | а — 390 KlfcM^ ]
к СЕ 1*4- r — 245000: 3500* 70
a, — 288000: 1750*165
Е Шейка FQ k-l т - 720000 : 3500*205 | 9 — 345 м За
Коренной под» /*»- | о—и-ЖО^ЭобАсг/сл1 3
R шип ник u Q t"rf- r — 720000 : 3500 * 205 j изгиб .включая яадб.1)
Цапфа колене 9.— 650000: 1760*370 j 9 — 570 Ц
К Л» ( t —1000000: 3500 * 285
Шейка колена (*»- <j 460000; 2950 s 156 I 9—300 2а
К 1*4- t — 1000000: 5900*170 j зао
Ксореямой ПОД* И»- | *~.1,7.?85=4а5«/ь<«» 2
К шип ив к в 1V т *1000000: 3500*285 (изгиб, включая и ад б. <)
«.*1160000: 6400*180 | е—220 кг/см^
В , Вал в S x — 985 000:12800 * 77 5
КЩека колена a,— 245000 : 3500 * 70 Й
р св 1*4- т * 520000: 4630*112 | 9 —175
И Щек а колена 720000: 3500 * 205 Is
1 ер t*rf- т - Э90000: 4630* 84 | 9 — 246 .
колена —1000000: 3500*285 3а
>п t«4“ x — 400003: 4630— 86 | • *314 •
Ицш колена LM 1 1 о —1000000 : 3880-260 т * 520000: 5200*100 |в—ЗИ 2»
377
Л
23. Для части вала АТ полюсное расстояние принято рав-
ным Л» а потому откладываем от точЖн ЛГ отрезок, равный Д*
соединяем v с N, проводим отрезок, равный Ль перпендикулярно
к NN', а зятем параллель к AW'; тогда горизонталь 23> про-
ходящая через точку пересечения v', будет крутящим моментом
при полюсном расстоянии ht.
24. Учитывая] что крутящий момент воспринимается махо-
ликом, соединяем замыкающей линией точку а с конечной точ-
кой X ступицы. у
d) Моменты, для щек колен. Щека колена ВС (фиг. 466,
Ш). 25. Откладываем в точке В угол а — тао: тогда отрезок
Cq=^mm' сосцветствует изгибающим моментам для щеки
колена.
26. От точки В откладываем отрезок В& (фиг. 466, К), со-
ответствующий крутящему моменту для щеки.
е) Щека, колена ЕР (фиг. 466, IV). 27. Откладываем отре-
зок Fr=FF* (фиг. 466. Ill) и соединяем Е с г (изгиб).
28. Отрезок Fr'==sfV(кручение).
f) Щека колена HJ (фиг. 466, V), 29. Откладываем от точки Я <
отрезок 0,7 ЯЛГ (из фиг. 466, П), равный. Md для колена /
(сравни примечание к линии 20).
30. К этому прибавляется Mb для колена П, которое равно
отрезку S'S", полученному путем построения угля
31. Откладываем отрезок Js = HHt представляющий собою
крутящий момент.
' g) Плечо колена LM (фиг. 466, VI). 32. Откладываем от
точки М отрезок НН" из фиг. 466, П (изгибающий момент) = кру-
тящий момЬят для колена L
33. Откладывая отрезок М", равный максимальному крутя-
щему моменту ЛШ” (из фиг. 466, II), получим в данном слу-
чае изгибающий момент. * /
34. Откладываем отрезок /ИЛГ (из фнг. 466, К) or М и
проводим линию 34; получаем ординаты для крутящего мо-
мента.
Для определения моментов из чертежа воспользуемся, со-
гласно § 85, следующими уравнениями:
• 4 \
В подлинном чертеже: момент *= ординате в
мм х 10.200 * 3,6 аа ординате в мм X 7200 кг см.
В уменьшенном масштабе (1/4): момент орди- /
нате в мм х 40 X 800 х 0,9=ординате я мм х
X 28 800 кг см.
Часть вала
А — Н
и
цапфа колена
378
/
Часть валя
N—T
В подлинном чертеже: момент »ординате в мм х
X 10 X 200 X 5,б5=ординате в мм хЛ 1 200 кг см.
В уменьшенном масштабе (*/1): момент =s орди-
нате в мм X 40 х 800 X 1,4 ~ ординате в мм х
X 44 800 кг см.
ФИГ. 467.
Обозначения поперечных сечений на фиг. 467 относятся
к табл, на стр. 377.
§ 90. Ось зубчатой передачи.
На конце оси (фиг. 468) сидит зубчатое колесо; сила пере-
дается от К к Е.а потому напряжения на кручение вал не
испытывает.
Вес зубчатого колеса, включая нагрузку от давления зубцов,
0 = 5800 лгг. Размеры оси даны на
фиг. 469. Требуется найти изгибающие
моменты и напряжения для сечений I,
11 и III, если х = 25 см и у = 75 см.
Порядок построения*). 1. Помечен-
ные цифры на сторЬнах веревочного
многоугольника и на лучах много-
угольника сил одновременно опреде-
ляют порядок следования сил при
построении (фкг. 469). Вычерчиваем
ось в масштабе 1:10 (1:30) *) и проектируем вниз середины
подшипника и зубчатого колеса.
2. Принимаем масштаб сил 1 ** = 100*2 (1 **=300*г)1
и откладываем в этом масштабе нагрузку G от произвольно
выбранной точки а (фиг. 469) по вертикали вниз. Длина пря-
мой ас = » 58 мм (19,3 мм).
к ______________
х) Заключенные в Скобки вяачеямж относится к уменьшежму масштабу.
В подджином чертеже: масштаб длин 1:10; масштаб екл t амг —100 кг.
полюсное расстояние — 4Л см. i
В умемыленном млештабе: масштаб Алии 1:30, масштаб ска 1 жж —300 м.
полюсное расстоанпе —1,5 см.
ап ~
L <
3 — 4. Выбираем полюсное расстояние Н=1,Ьсм (1,5 еле)
и Доводим луЧи 3 и 4 на вертикали, проходящей через сере-
дину колеса.
5. Из начальной точки g (фиг. 469) проводим параллельную
к лучу 3. (Для получения горизонтального направления прямой
5 —, луч 3 принят тоже горизонтальным.)
Фиг. 4Ь9.
б. Из точки g проводим прямую, параллельную лучу 4, до
пересечения в точке h с вертикалью, проходящей чер^з сере-
дину подшипника.
7, Соединяем точки е и h замыкающей 7.
8. Параллельно замыкающей 7 проводим из полюса 0 ли-
нию 3. Тогда будет:
А =5= давление опорной реакции в А
, В
Определение изгибающих моментов и напря-
жений для поперечных сечений I, II к Ш,
Для определения моментов имеем (согласно примечанию):
в подлинном чертеже: Л^—ординате в мм X 1(ЬХ 100 X <5 =
= ординате в мм х 4500 кг см;
в уменьшенном чертеже: Af^j= ординате в мм X 30 X 300 X
X 15 = ординате в мм X 13 500 кг сх.
Поперечное сечение Г.
Нагибающие моменты Мв • 13 500 «21,5-13500^ 290000 тем.
Момент сопротивленца VF«*O»l • d> **0,1 • lS>-»336 сл*
Нииыженйе <# - М, : W~290000 : 336 -&В0 т/см*
380
Поперечное сечекнс И: *
Изгибающие моменты Ма — • 13600 — 11 • 13500 ~ 146000 к> см
Момент сопротивления VP—ОД .48 — 0,1.12®«»172 см*
Напряжение ae — Mt : IF— 145000:172 — 840 сг/см*
Поперечное сечение Ш:
Ушибающие моменты Мв — zs . 13 500 = 11 ♦ 13 500 146 000 Kt см
• Момент сопротивления VP—0,14* = 0,1 -128 = 172 см*
Напряжение ~МЙ : W— 145000:172 — 840 кг/см*
§ 91. Графическое определение упругой линии (способ
4 ' Мора).
Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки:
fz2=M <370)
Дифференциальное уравнение веревочной кривой:
= (380)
Упругую линию можно построить как веревочную кривую,
если вместо интенсивности нагрузки q взя/ь грузовую пло-
щадь, интенсивность которой представляется изгибающим мо-
ментом М, а_за полюсное расстояние вместо Н принять EL
Жесткость балки Е1 постоянна по длине балки.
Ординаты грузовой площади от заданной нагрузки (фиг. 470)
>—н-
Приняв грузовую площадь за фиктивную нагрузку и обо-
значив момент от нее для какого-либо сечения через ЛГф, полу-
чают соответствующий прогиб:
“ Ei~ Н '
общий прием указан на нижеследующем примере.
Пусть дана балка постоянного сечения на двух операх, под-
верженяая действию сил Pt — Р* (фиг. 470).
Принимают эпюру моментов (фиг, 470, с) за грузовую ли-
нмю, а ее площадь — за грузовую площадь; делят rrv площадь
381
на участки, показанные штрихами разных направлений,^, при-
нимая величины площадок Fp F, • • ♦ Ft за фиктивные силы,
приложенные в центрах тяжести площадок Slt St> • • • S* строят
для них многоугольник сил (фиг. 470, d), с полюсным расстоя-
нием того же измерения, что и площади F (сила на длину) к
затем соответствующий веревочный многоугольник (фиг. 470, е).
Так как на опорах прогиб равен нулю, то проводят замыка-
ющую S через точки, лежащие на вертикалях опор А и В;
Фиг. 470.
вписывая в веревочный многоугольник кривую, получают упру-
гую линию; прогибы отсчитываются по ординатам кривой от
замыкающей.
Не определяя самих центров тяжести, в которых приложены
фиктивные нагрузки F\ — Fe, можно определить их положение
по вертикалям, проходящим через центр тяжести площадок.
Для крайних треугольников эта вертикаль проходит в рас-
2
стоянии от опор, равном — оснований aL и Для трапам,
например т^тп^п, положение вертикали определяется следу-
ющим образом: делят основание тп на три равные части тон-
382
ками kk и k3t левую точку соединяют прямой с левой вер-
шиной mt, правую точку k9 — с правой вершиной лг4; прямые
и njz. продолжают до их взаимного пересечения в точке е>
через которую провоет вертикаль; по этой вертикали напра-
влена нагрузка Л-
Изгибающий момент под силой Pt равен И * у^ вели-
чина площадки
' Г, = 1.Н.У1.в1
изгибающий момент под силой Р* Afs = Н * yt\ величина пло-
щадки
_Лу,+^Л_ _М(Л+Л)Д
F* -----j----~ 2.. а*>
Если вместо Ftl Fi и других площадок взять величины в Н
раз меньшие, т. е. определять величины площадок по ордийатам
( />— — 2 Уг** — 2 «j и т. д*
то, чтобы не изменилась величина прогиба, надо вместо полюс-
£7
ного расстояния H^ — El взять £//==: — ’
Ei~ ЕГ
Н
Так как ординаты у получаются в л раз уменьшенными со-
ответственно принятому масштабу, для длины балки, то для
получения натуральной величины прогибов надо взять
Во многих случаях прогибы на чертеже получаются очень
малыми, поэтому для лучшего отсчета и получения более точ-
ного ответа увеличивают прогибы в т раз, для чего уменьшают
полюсное расстояние в т раз. Величин»^ в общем случае
El л
Ра»на —- о (см. пример). 1
383
Задача. 361. Вал горизонтальной турбины (фиг. 471).
Дано, требуемая мощность #=1000 л. с., обороты п = 300.
вес рабочего колеса 1000 tee, вес муфты Д’, 1000 ма.
Необходимые для расчета размеры указа я ы на фкг. 471, I.
384
Параллельные линя А:
К фиг. 471, Наш К фиг. 47t, Vh« VII
Ливия . . . 6 || 3 17^12 20Ц15
. ... 7И 181| 13 211| 14
. ... S||5 . ... Я7ЦР W|| 16
а) Порядок построения х). Фиг. 471, I. Вычертим сперва
вал в масштабе 1:10 (1:40) и изобразим вкладыши и ступицы*
Ь) Построение многоугольника сил. Пусть будет масштаб
сил 1 лм1 = 50 кг (1 мм =: 200 кг). к
1. Из произвольно выбранной точки л откладываем в дан-
ном масштабе силы Ki и Кь тогда:
/
^=—•=50 мм (12,5 мм} ,
/С,=^22_=20 мм (5 мм}.
'0U
2- Выбираем полюс oit на расстоянии й3 = 8 см (2 еж).
3—5. Проводим лучи 3, 4, 5.
с) Построение площади моментов. 6 — 8) Строим вере-
вочный многоугольник 6, 7, 8 (фиг. 471, Ш) параллельно лучам
< Я фиг. 471, IL
9. Проводим замыкающую 9.
10, Через полюс Oi (фиг. 471, П) проводим линию 10, парал-
лельную замыкающей Я тогда получаем реакции: А и В.
д) Определение моментов и напряжений. Уравнение дм
'определения моментов согласно уравнения 369, будет:
в подлинном чертеже: момент = ординате в мм X 10 • 50 8 =*
•ft ординате в мм X 4 000 кгсм,
в уменьшении: момент == ординате в мм X 40 X 200 X 2 —
ш ординате в мм X 16 000 кгсм.
1) Цяфрм в скобках tniocftcB к умвяьщешюму масштабу.
* Г» 4
- 1
Поперек- мое сечение Моменте кге* Моменты con ротный НН« ? СЛС* _ —.1
х — X У~У 1 Мь^т- 160^0^7,6’ 16 000 120000 ( • 71620 < (1000:3)0). Я 620—238733 1 Мь — о* 16000^5.16000-80000 ( 238733 ? *4* 4 и и g 1 р Я р р а а £ й ’ Г г г г Mii.
е) План сил. Площадь моментов разбиваем на несколько
частей, нагГример Гь F*, Г4 и определяем их площади. •
(В некоторых случаях, как в задаче 333, было бы рациоиатько
отдельные треугольники разбить еще “на несколько частей, при-
чем с таким расчетом, чтобы площади трапеций и треугольни-
ков были бы приблизительно равны.)
Определяем центры тяжести Si, St, Si, S4 этих площадей и
проводим через них вертикали. Пусть будет масштаб площадей
1 леи = 40 мм1 (10 мм'},
11. Иэ произвольной точки (фиг» 471, VI) последовательно
откладываем в заданном масштабе все площади, выраженные в леи*
причем следует обратить внимание на то, что площади, лежа-
щие ниже замыкающей линии ad, принято считать положитель-
ными, лежащие выше замыкающей линии—отрицательными. Про-
извольно назначим полюсное расстояние Н» но лучше всего
с таким расчетом, чтобы HQ было пропорционально моменту
инерции J, при постоянном в данном примере сечении вала —
для облегчения определения фактического прогиба. w
Для диаметра вала 4=20 ск по § 50, табл. 1;
Момент инерции Д • 20* ==7854 сж*,
а потому полюсное расстояние выбираем /7^=7,854 см <1,96 см).
12 —16. Проводим лучи 12, 13, 14, 15, 16.
f) Кривая изгиба (веревочная кривая),
17—21. Проводим линия 17, 18, 19, 20, 21 на фиг. 471, VII
параллельно лучам 12, 13, 16, 15, 1/ на фиг. 471, VL
22. Соединяя точку пересечения Si прямой 20 с середииой
левого подшипника получим замыкающую линию alti (фиг.
471, УП>
Ж
*
Поперечное сечение Напряжение в м?/гж» Приведенные напряже- ния по | 65с сталь я0 — 1 в Kt/CM*
Ж—X [ 120000:1060ИЗ | т — 238 733:2120-112 J а-203
У-У i 80000: 825 - 86 | t — 238 733:1850—130 | «-208
23. В виду того, что середины подшипников вала располо-
жены по одной горизонтали, было бы целесообразно построить
замыкающую линию тоже горизонтально и уже тогда* соответ-
ственно этому, ординаты откладывать дт новой замыкающей
линии aJt.
В стороны веревочного многоугольника от фиктивных на-
грузок (площадей Г) вписываем, как указано- на фиг. 471, VII
кривую, которая представляет упругую линию; ордината в лю-
бом месте дает прогиб для соответствующего сечения.
Для нахождения наибольшего прогиба проводят параллельно
замыкающей касательную к кривой в наиболее удаленной
ее точке; ордината расстояния от точки касания до замыкающей
дает величину наибольшего прогиба, а расстояние от точки ка-
сания до середины подшипника определяет абсциссу наиболь-
шего прогиба ваЛа
g) Нахождение действительного прогиба. Действитель-
ный прогиб определяется нижеследующим уравнением;
£• - • k - F -
/— ордината в мм • —--------------и* мм,
С * J
где обозначают: £ —масштаб длин чертежа (в целых числах),
Л, —полюсное расстояние в плане сил Н (см}, Л —масштаб сил,
F—масштаб площадей к плану сил VI, Яо — полюсное рас-
стояние в плане сил VI (еж), Е—модуль упругости кг/см* § 49,
табл. 2, J—момент инерции § 50t табл. I.
Для приводимого примера будем иметь (в основу приняты
уменьшенные масштабы):
х . w 40* X 2 X 200 X 10 X 1,96
прогиб ординате в мм X 2200 000 X 7854 '
m ординате в мм X 0,029 мм,
4 * 887
С помощью Циркуля отмеряем наибольшую ординату
=*11,5 мм; тогда максимальный прогиб будет:
/max = I1,5 X 0,029 = 0,33 мм.
Для трения подшипника самое важное значение имеет про-
гиб на краю подшипника. Из чертежа имеем;
ордината \ = 3,1 мм,
тогда прогиб на краю подшипника = 3,1 . 0,029 = 0,09 мм.
Задача 362, Кривошип паровой машины мощностью 3000
л. с. с якорем динамомашины. Зазоры между якорем и маг-
нитами статора динамомашины должны быть по возможности не-
значительными. А потому совершенно необходимым является
определение прогиба вала паровой машины, на который наса-
жен ротор динамомашины. В этих случаях предпочитают графи-
ческий метод расчета, так как вследствие переменных сечений
вала при учете собственного веса вала аналитический расчет
получается слишком сложным.
Дано (фиг. 472): мощность паровой машины #=3000 л с.
Число оборотов п^=83 в минуту. Вес ротора =
= 70 000 кг. Требуется определить прогиб вала.
а) Порядок построения. Фиг. 472, Ш. Чертим сначала вал в
масштабе 1:10 (1:40) и откладываем требуемые для расчета
размеры. Собственный вес вала между двумя серединами под-
шипников учитываем, деля вал на несколько (не слишком много)
частей, конечные площади которых совпали бы с плоскостями,
в которых вал меняет свое сечение. Определяются веса, а также
и центры тяжести этих частей вала, причем для сокращения
времени в конических частях положение центра тяжести опре-
деляется приблизительно.
bj План сил1). Принимаем масштаб сил 1 мм = 1000 *а
(1 мм = 4 000 кг) и соединяем последовательно в многоугольник
сил все действующие на вал силы в заданном масштабе из
произвольно выбранной точки а. Так как на вал действует сим-
метричная нагрузка и реакции будут равны, то делим равнодей-
ствующую al пополам и восстановляем к ней в середине т
перпендикуляр. Расстояние полюса О выбираем = $ см (2 см)
на этой же прямой.
(Замыкающая веревочного многоугольника al, фиг. 472, Ш,
будет горизонтальна, так как ее проводят параллельно лучу От)
*) Цифры в скобки относттск ж уменьшенному масштабу,
Ш -
Строим силовой и веревочный многоугольники и проводин за-
мыкающую al, как указано на фиг. 472, П). (Незначительное влия-
ние собственного веса легко усматривается уже из плана сил.)
с) Площади изгибающих моментов. Изгибающие моменты
определяются аналогично вышеприведенному при помощи орди-
нат, полюсного расстояния, масштаба £ил и масштаба длин,
d) План сил. Проведя через точки уступов вала В, Ct О
и £ и середины частей вала АВ, ВС, CD, DE вертикали, раз-
биваем, как это видно из фиг. 472, Ш, площадь моментов на
участки с площадями Ft, F„ Flf Е4, Ft до Flt. '
Определяем центры тяжести этих площадей S* до
SJt и проводим из них вертикали. Принимаем масштаб площа-
дей 1 мм = 200 мм1 (1 мм = 50 ммЪ и строим из произвольно
выбранной точки а, в заданном масштабе, план сил, рассматри-
вая вычисленные площади как фиктивные параллельные нагрузки.
Полюсные расстояния Нх, Н9 и Ht выбираем в любом мас-
штабе пропорционально моментам инерции соответствующих
поперечных сечений вала:
4=48 ^,^=0,05 «48* =260570,принятоНх=*2,6 слс(0,65зд)
4=57,2 . 4=0,05 •57,2*=525 666 » Н9=5,25 » (0,31 »)
//,— 66 . 4=0,05- 66* =9^1 420 » //,=9,31,(2,32»)
, Из полюса О, проводим лучи к конечным точкам сил со-
ответствующих поперечных сечений вала, —в данном случае
лучи 5, 6, 7, 8, ft Отложив от плана F/— Flt полюсное рас-
стояние и проведя линию, параллельную ахОи получаем
поаксл О, и О,.
Последние соединяем с конечными точками F1( F< и Ft> Fia
соответствующего поперечного сечения вала, т. е. проводим
лучи Я 4, 10 и 11, а также из полюсов Qt и О4 на расстоя-
нии Нх лучи 1, 2, 12, 13.
е) Кривая изгиба. Строим веревочный многоугольник для
фиктивных нагрузок F, — Fflf т. е. проводим прямые axbx, 4 clt
cxdx, dxex • • - параллельно лучам многоугольника сил и затем
проводим замыкающую Построенный веревочный много-
угольник преобразовываем я таковой с горизонтальной замыкаю-
щей линией o2ot, откладывая от нее соответствующие ординаты.
У) Действительный прогиб. По уравнению предыдущей
задачи имеем, принимая во внимание уменьшенный масштаб:
пр»™.
»= ординате (мм) X 0,02® мм.
«90
Отмеряем на чертеже наибольшую ординату ft =*28,5 жж.
Наибольший прогиб тогда будет:
/ mtx « ft • 0,029 = 28,5 • 0,029 = 0,83 жж.
Прогиб ва краю подшипника будет:
ftt 0,029 = 10Д - 0,029 = 0,31 мм.
| 92. Графическое определение центра тяжести плоских
' фигур.
Для сложных фигур графическое определение центра тя-
жести проще аналитического. Графическое определение осно-
вано яа свойстве веревочного многоугольника дающего при
продолжении крайних
сторон точку, через
которую проходит рав-
нодействующая.
Фигуру разбивают
нА части, центры тя-
жести которых легко
определяются; площади
частей заменяют фик-
тивными силами, для
которых строят вере-
вочный многоугольник.
На следующем при-
мере (фиг. 473) ука-
зано нахождение цен-
тра тяжести двутавро-
вого сечения. На оси
симметрии фигуры ле-
жит центр тяжести.
Фигура разбивается
на три прямоугольника. Параллельно
основанию прикладываем в центре тяжести каждого прямоуголь-
ника величины соответствующих площадей, рассматриваемые как
фиктивные силы.
Строим план сил, откладывая их по ad в горизонтальном
направлении пропорционально площадям, и веревочный много-
угольник; продолжая крайние его стороны 1 и 4, получают
точку п, через которую проводят линию ns, параллельную равно-
действующей ad (площади фигуры) до пересечения в точке s
С осью симметрии. Точка з представляет центр тяжести фигуры.
391
Если фигура пе имей оси симметрии, то нужно построить
два веревочных многоугольника и центр тяжести получается
пересечением двух равнодействующих: одной — горизонтальной
и другой — вертикальной, как
это представлено на фиг. 474, ’<
Фиг. 474. Фиг. 475.
6 «X Графическое определение статических моментов
площадей.
Для определения статических моментов площадей применяется
веревочный многоугольник. Данную фигуру разбиваем на части,
к центру тяжести которых (фиг. 475) прилагаются’ фиктивные
силы, численно равные площадям этих частей и параллельные оси,
относительно которых определяется момент. Строят план сил и
веревочный многоугольник. Продолжают крайние стороны вере-
вочного многоугольника до пересечения в точках а и d с
осью X '
Отсеченный отрезок ad, умноженный на полюсное расстоя-
ние //, дает величину искомого статического момента Sjt-
§ 94, Графическое определение моментов инерции.
При сложных поперечных сечениях графическое определе-
ние моментов инерций предпочитают аналитическому. (Ср.
§ 48.) Необходимо обратить внимание на то, какая из проходя-
щих через центр тяжести осей будет нейтральною осью: X или У
(фиг. 476.) Так, например, при изгибе силой Pt нейтраль-
ной осью будет ось X, проходящая через центр тяжести се-
чения. При изгибе силой Р> нейтральной осью будет ось К
При действии сжимающей силы принимается при расчете вд
и?
яродохъный изгиб меньший из двух главных моментов инерции,
в данном случае относительно оси К
В нижеследующем примере (фиг. 477) показан способ опре-
деления момента инерции относительно нейтральной оси X.
Разобьем площади поперечного сечения на ряд отдельных
полосок, площади которых имеют величины fit fit ft fx
(чы больше количество полосок, тем точнее результат). /lt /„
Л • • * fx й сж’ обозначают
площади отдельных поло*
сок, Fsss Л4-Л+Л +
+ ••/* в см9 обозна-
чают общую площадь ср*
чения.
а) Порядок построе-
ния плана сил.
Фиг, 477.
Фиг. 47®.
1 — 9. Вертикали, проходящие через центры тяжести площа-
1«ЛЛЛ-/*
Для кратного числа а =□ А: F выбираем более удобное число»
10. « • /о « • Л/ « г • “*А- Подсчет площадей и построение
Если принять 1 мм за 1 то а=0,1.
Л* да 0,5 . А — полюсное расстояние.
11 — 20. Проводим лучи,
21 — 30. Строим веревочный многоугольник, причем 2/ Ц //,
22 |Щ 27Ц/3--2?|| И 29{\19t 30Ц29.
S — точка пересечения продолженных крайних лучей 21 и 30.
31. Пусть через точку S будет прооедевд ось центра тяжести ХЗ.
Заштрихованная площадь Л фигуры, образованной веревоч-
ным многоугольником н продолженными крайними его сторонами,
выражается , в см\
Относительно оси XS: %
Момент инерции J~F. Ft см*.
Моменты сопротивления 1Г—У :е и 1Гх=У:е1 см*.
Полученные значения относятся к сечению, изображенному
в. натуральную величину. При изображении сечения в масштабе
1 :т следует вставить действительные значения:
т*е> т • eit т* • F, tn* i FIt т* • У, т* • W, т* •
Согласно изображению в подлинном чертеже (фиг. 477 дает
значения в масштабе 1:3) имеем:
Л=Л-6 см* и т. д., до /г» 35 см*; принято as±
= Л:Г=0,4; Л —а F=14 см, Л0 = О^Л = 7 см,
у • =» а • Д = 2,4 см и т. д. Площадь, огра-
г*, ниченная веревочным многоугольником и
'ТдоЕЙ-У крайними его сторонами /^ = 15,71 см*.
^*2?* У =35 • 15,71 = 550 см*, наибольшее
Л ‘ 1 * Х • 1--*^ расстояние, от оси X крайнего волокна
е=6,75 см. Наименьший момент сопро-
тивления W = 550 : 6,75 = 82 см*.
Относительно осей Xt или Yu параллельных осям, проходя-
щим через центр тяжести X и У (фиг. 478), момент инерции
будет Jt ±F • h* см*. ’
Этот момент инерции находит применение, кроме гидро-
статики (ср. § 13), еще при определении моментов сопроти-
вления сложных сечений, как, например, при расчете клепанных
балок.
Если h по сравнению с поперечным сечением очень велико,
то приближенно можно принять
h* см*.
ПЛОСКИЕ ФЕРМЫ.
$ 96. Основные понятия.
Фермой называется система стержней, соединенных между
собой по концам. Если оси стержней лежат в одной плоскости,
то ферма называется плоской.
Точки, в которых сходятся оси двух или нескольких стерж-
ней,*’ называются у злы ими точками, или узлами фермы»
Стержни и узды суть элементы фермы»
I '
Для упрощевмя расчетов принимают, что стержня- в узлах
соединены идеальными шарнирами — без трения; практически
при шарнирном соединении -не может не появиться трения лаже
при отсутствии временных нагрузок — вес стержней, соединен-
ных посредством шарнира, производит на их : ось ; давление,
вследствие чего появляется соответствующее трение.
Системы стержней, ограничивающих ферму сверху и снизу,
называются поясами. Стержни между поясами образуют соб-
ственно решетку; стержни, направленные вертикально^ носят
название вертикалей, murcmoefQесли они направлены коси —
диагоналей, или раскосов.
Внешние силы, действующие на ферму, предполагаются ле-
жащими в плоскости фермы и приложенными -в узловых точках.
Вследствие указанного устрой-
ства фермы tстержни подвергаются
действию осевых сил — или растя*
женою, или сжатию.
Выделим мысленно часть фер-
мы— какой-нибудь узел с пересе-
кающимися в нем стержнями и
внешней силой Р (фиг. 479). Для
того, чтобы этот узел был в равно-
4 йесми, необходимо приложить к
стержням те силы, которые про-
являли эти стержни до своего отсе-
чения. Эти силы направлены по
осям стержней и должны проходить
череэ узловую точку, в противном-случае они повернули бы
отрезки стержней около узловой точки и таким образом не
было .бы равновесия. Силы, действующие по осям. стержней и
заменяющие действие отдельной части, называются усилиями
стержней. Эти усилия— внутренние силы — по отношению к
выделенной части будут внешними.
В сплошных балках, подверженных и^бу от действия ввеш-
них сил, напряжение материала распределяется неравномерно.
; убывая от крайних волокон к нейтральной оси; материал» при-
легающий к нейтральному слою, мало участвует в сопротивле-
нии внешним силам и имеет тот недостаток, что бесполезно уве-
личнвает мертвую нагрузку — собственный вес балки.
В решетчатой балке — ферме, напротив» материал может быть
использован целесообразно, с наибольшей «выгодой. Как «мы вк-
'. дели выше, стержни — элементы > ффмы —- подвергаются * или
Фиг. 479.
растяжению иля сжатию, напряжение материала распреде-
ляется равномерно, каждая площадка поперечного сечения мо-
жет быть использована с одинаковой выгодой.
Стержни фермы подвергаются также изгибу от собственного
веса, но величина напряжения, вызываемого изгибом, вообще
незначительна по отношению к напряжению от осевого усилия;
поэтому ею пренебрегают.
Расчет фермы сводится к двум операциям: 1) нахождению
реакции опор и максимальных усилий стержней в зависимости
от внешних сил и 2) определению прочных размеров стержней
в зависимости от найденных максимальных усилий.
§ 96. Неизменяемость системы.
Одним из условий статической определимости фермы является
неизменяемость системы; узловые точки такой системы вслед-
। 4 /у ствие наличия достаточного коли-
д >к. чества стержней, их связывающих,
S' Vs*? ве М0ГУ7 изменить своего взаим-
\ V/ ного расположения—фигура фермы
у/й «е изменяется при неизменности
f 6 ~ / длины стержней.
фвГ1 од К такой геометрически неизме-
няемой системе, как подобию твер-
дого тела, некоторые частицы которого укреплены и расстоя-
ния между ними не изменяются, приложимы законы статики.
Такая неизменяемость фермы необходима для ее устойчивости.
Рассмотрим, сколько необходимо стержней, чтобы можно
было фермы рассматривать как неизменяемую жесткую систему.
Пусть даны сначала три узла на плоскости I, II, Ш (фиг. 480).
Соединяя между собой эти узлы стержнями /, 2 и 3, получаем
треугольник I — II— III— простейшую неизменяемую систему;
узлы ее, вследствие наличия стержней, не могут изменить сво-
его взаимного расположения. Для соединения IV — четвертого
узла с полученной системой неизменяемым образом необходимы
два стержня (4 и 5); таким образом образовалась новая неизме-
няемая система I —П — Ш —IV.
Длг нового узла V потребуются на том же основании два
стержня (б м ф.
Чтобы получилась жесткая неизменяемая система, необхо-
димо прикрепить каждый новый узел посредством двух стерж*
мдй, «а лежащих на одной прямой*
301 Z '
Пусть имеется п углов; для соединения трет иа них в нем*
меняемую систему необходимы 3 стержня; для остальных
(л — 3) точек необходимо и достаточно 2 {п — 3) стержней. Обо-
значив через т число всех стержней системы о л точках, имеем:
т = 3 + 2 (д—3)=s2n—З1).
$ 97. Условие статической определимости неизменяемой
фермы.
Так как вся система находится под действием внешних сил
в равновесии, то и каждый узел находится в равновесии под
влиянием приложенной к нему внешней силы и неизвестных
внутренних сил стержней, сходящихся в узле.
Для каждой узловой точки, в которой пересекаются силы,
имеются два условия равновесия:
Еу^О.
Для л узловых точек имеем потому 2 л уравнений, которыми
могут быть определены неизвестные усилия 2п стержней.
Для системы сил внешних, заданных и опорных реакций
имеются в случае равновесия 3 условия:
1) -£г=(\ 2) Цу=О, 3) £Л1=0.
Эти уравнения служат для определения опорных реакций
ферм, статически определимых в отношении опор.
Выделив из 2я уравнений эти три уравнения, получаем
2л — 3 независимых между собой уравнения, которыми может
быть определено такое число внутренних усилий стержней:
т = 2д — 3»
Выше было указано, что для геометрической нензменяемости
системы, не прикрепленной к земле, необходимое число стержней
' т = 2л —3.
Таким образом, геометрически неизменяемые
фермы с необходимым числом стержней яв-
ляются статически определимыми относи-
тельно усилий в стержнях.
О Чжсм стершие*, как кадки кв формулы, aewwoe; еелв чжсво стера»
М—чгпю*»** актеыа ваш fam на жестка, жди подважма.
§ 98. Графический способ.
Этот способ, основанный на условии равновесия узлов фермы,
прост и удобен. Рассмотрим его подробно. Пусть из нагружен-
ной фермы (фиг. 481) выделен узел с приложенной к иему
внешней силой Р; действия рассеченных стержней на узел
заменены соответственно силами, которые направлены по осям
стержней и сходятся в узловой точке — центре шарнира. В этом
случае для равновесия необходимо и достаточно, чтобы построен-
ный многоугольник сил сам собой сомкнулся. Если неизвестны
две силы, то построение этого многоугольника позволяет опре-
делить
вестны
♦иг. 481.
их. Если, например, в рассматриваемом случае иеиз-
силы Si и Dif то, отложив одну за другой известные силы
S* и Р с общим течением
в одном направлении, как по-
казано на рисунке, проводят
через одну концевую точку d
линию de, параллельную на-
правлению неизвестной силы
£>п и через другую концевую
точку Ь — линию Ьс, параллель-
ную направлению другой неиз-
вестной силы 51, до пересече-
ния в точке с с линией cd.
Из многоугольника сил deabcd
определяются неизвестные силы
5, и Dk по величине и напра-
влению; ' отрезок Ьс представ-
ляет в выбранном > масштабе
силу SP а отрезок de — силу
0цДак как многоугольник должен быть сомкнутым, то из кругового
обвода “(общего течения стрелок) определяется направление 5, и/>Р
применения указанного приема надо вачать построение
с узла, в котором сходятся два стержня. Возьмем для примера
ферму, представленную на фиг. 482, на которую действуют
силы Рк, Pf и Р»ферма — симметрична, силы Р, = Pf — Pt = Р,
Qi и Qi — реакции опор—^одинаковы и раввы Д,5 Р» Отрежем
сначала опорный узел щ при этом перерезываются два стержня:
J и % действие остальной части фермы , заменяем силами, на-
правленными по осям этих стержней. Так как этот узел под дей-
тнем трех сил-*, твествой реакции Qk я двух-нентаестных
сид 112-^ находится в равновесии, то эти силы должны обра-
«I * • •
Зевать сомкнутый треугольник^фиг. 482,1)- Отклвдймем силу Qt
и через ее концевые точюг т к /г проведай линии, параллель-
ные направлениям стержней } н 2 до пересеченюгиж в точке k.
Стороны треугольника 1 и 2 представляют величины' искомых
сил—направления их указаны стрелками (общее течение сторон)
Чтобы узнать, сжат ли стержень или* растянут, надо из тре-
• Фиг. 482.
угольника сил перенести направление сжим на узел (фип 482, VX
если сила направлена на узел, то стержень^вжам; если сила
направлена от узла, то стержень растянут: ^рассматривае-
мом случае стержень / — сжат; стержень 2—растянут.
Перейдем к другому узлу. К-узлу е перейти нельзя; та»сак
в нем сходятся 4 стержня; из них для одного —2*-найдено
выше усилие?для остальных трех усилий неиввестны и* их надо
‘ определить. Найда усилия стержня 8, ни можнО'будет опрсде-
* дать усилия стержней <5 и £
Перейдем м узду *; выделим его сечением, которое йерерв*
вывеет стержни /, 4 м $ силы, заменяющие действие остальной
части фермы и направленные по осям перерезанных стержней,
уравновешиваются внешней силой Рр Из этих сил найдена
выше сила 1, неизвестными являются силы 3 и 4. Растянутый
стержень старается сблизить соединяемые им узлы. Усилие рас-
тянутого стержня 2 для узла а, как видели, направлено от
этого узла; для другого узла с это усилие будет иметь обратное
направление, также от узла С. Сжатый стержень, оказывая со-
противление сжимающим силам, старается раздвинуть узлы.
Усилие сжатого стержня 1, как видели, для узла а направлено
на этот узел; для другого узла Ъ стержня усилие также должно
быть направлено на этот узел, и оно будет иметь прямо проти-
воположное направление. При построении многоугольника сил
(фиг. 482, П) для узла b отложены сначала определенное выше
усилие / с соответствующим направлением и известная внешняя
Сила Р, по тому же течению стрелок. Через концевые точки их
равнодействующей проведены: через точку в линии eg, парал-
лельная стержню 3, и через точку Л линия, параллельная стержню 4>
Получается сомкнутый многоугольник, стороны которого eg и gh
представляют величины искомых ущелий 3 и 4. Направление
>ткх усилий показано стрелками, течение которых в много-
угольнике непрерывное в одну сторону. Перенеся направление
стрелок на перерезанные стержни 3 и 4, видим, что усилие 4,
направленное на узел, сжимает стержень» усилие 3 направлено
также на узел и сжимает стержень.
Теперь переходим к узлу с. Сечением, выделяющим узел,
перерезываются 4 стержня — усилия двух из них (2 и 3) най-
дены, остаются неизвестными усилия стержней 5 и 6, которые
получатся по предыдущему из построенного' многоугольника
сил (фиг. 482» Ш).
Переходя последовательно от узла к узлу, для фермы с боль-
шим числом узлов можно было бы таким же образом опреде-
лить усилие стержней. Для этого пришлось бы построить ряд
многоугольников.
Рассматривая многоугольники сил а, Ь, с (фиг. 482), мы за-
мечаем, что они имеют по одной равной и параллельной стороне.
При нестроении многоугольника сил для нового узла прихо-
дится вновь откладывать одну или несколько сил, найденных кв
многоугольников раньше рассмотренных узлов; если ферма имеет
много умов, то придется вычертить много таких многоуголь-
ников, чтобы найти искомые усилия стержней. Возможно более
простое и компактное решение вопроса — построение одного
общего многоугольника сил или диаграммы Кремоны, чем
значительно сокращается время при получении большей точ-
ности построения.
Многоугольники сил можно расположить таким образом,
чтобы их .общие стороны — силы (/, 2, 5....) в диаграмме
совпадали; если вести построение в известной последователь-
ности, причерчивая к полученным многоугольникам новые, чтобы
не было повторяющихся сил, то получается компактная диа-
грамма усилий стержней.
Представим построение диаграммы усилий стержней для
той же фермы (фиг. 482, IV).
Строим сначала многоугольник — план всех внешних сил —
данных сил Р и реакций Q; в рассматриваемом случае план
сил Ри Pt и Р9 замыкается реакциями и Qt. Линия ab пред-
ставляет равнодействующую данных сил, отрезки ао и Ьо вы-
ражают величины реакций Qi и Qt. Силы считаем в следующем
порядке: Qx, Р* Р9 и Qr *
Внешние силы отложены одна за другой в таком порядке,
в котором их встречаем по контуру фермы от опорного узла а
к опорному узлу Ъ.
Рассмотрим условия равновесия опорного узла а.
Выделим его мысленно сечением, перерезывающим два
стержня. Узел находится в равновесии под действием прило-
женной к нему силы Qx и двух неизвестных I и 2 Для опре-
деления их строим сомкнутый треугольник aod (фиг. 482, IV),
через концевые точки отрезка ао (силы Qx) проводим линии, па-
раллельные стержням 1 и 2, до их пересечения в точке d. Сто-
рона ad представляет силу /, сторона od — силу 2
Перенося направление стрелок на перерезанные стержни,
находим, как указано выше, что стержень 1 сжат, стержень
2 растянут.
Переходим к узлу Ь. Отделяя этот узел сечением, видим,
что он находится в равновесии под действием внешней силы Р1г
найденного усилия 1 и двух неизвестных усилий 3 и 4. Эти
все сшря должны образовать сомкнутый многоугольник.
Усилие 1 для узла b имеет направление, противоположное
его направлению для узла а, т. е. усилие также направлено на
узел и показано на чертеже двойной стрелкой. Мы видим, что
усилие 1 и сила Рь действующие на узел, расположены одна
за другою с тем же течением стрелой**- нет надобности строить
многоугольник сил в стороне (фиг. 482» II), а строим его на
» Г. Хем». 401
том же чертеже (фиг. 482, IV), проведя через концевую точку
силы Pt линию, параллельную стержню < и через другую
концевую точку d усилия I линию, параллельную стержню 5.
Стороны de и ет представляют величины искомых усилий
3 и /. Перенося направление стрелок на перерезанные стержни,
мы видим, что оба усилия направлены на узел; таким образом
они сжимают стержни.
Переходим далее к узлу с. Отрезая его мысленно сечением,
мы видим, что около с уравновешиваются два найденных уси-
лия 2 и 4 с двумя неизвестными усилиями 5 и 6. Так как опре-
деленные усилия 2 и 3 оказываются расположенными одно за
другим с общим течением стрелок, *) то нет надобности строить
в стороне многоугольник сил (фиг. 482,111), как это сделали раньше.
Мы строим этот многоугольник на том же чертеже IV, проведя
через одну концевую точку о равнодействующей усилий 2 и 3
линию ont параллельную стержню 6, и через другую е— ли-
нию ел, параллельную 5 (2); отрезки on и еп дают величины
искомых усилий. Направление and сил берем из условия не-
прерывного течения стрелок в сомкнутом многоугольнике. Пё- ч
ренося эти направления на перерезанные стержни, замечаем,
что усилие 5 направлено от узла, т. е. стержень растянут;
усилие 6 тоже направлено от узла, стержень растянут.
Переходим к узлу d. Так как известные силы 5, 4 и ока-
зываются расположенными одна за другой с общим течением
стрелок, нет надобности строить многоугольник сил в стороне,
проведя через концевые точки п и А линии, параллельные стерж-
ням 7 и 8 до их пересечения в точке /, «имеем сомкнутый мно-
гоугольник ncmkfn, построенный на фиг. 482, IV. Перенося на- .
правление стрелок, мы находим, что стержень 8 сжат (—),
стержень 7—растянут (+). ’) Величины усилий 7 и 8 пред-
ставляются сторонами nf и fk многоугольника.
Переходим к узлу е, в котором усилия 6 и 7 известны, а
усилия 9 и /0 —неизвестны, и их надо определить. Силы б к 7
расположены одна аа другой с общим течением стрелок (двой-
ные стрелки). Проведя через концевые точки о и / ливни, па-
раллельные стержням 9 н IQ, до пересечения и/ в точке е, полу-
>) Для узла с направления усилий 2 в 3 поюзаны двумя стрелками.
») От узла с мы должны будем перейти к узлу d. Около этого уш урав-
взвешиваются: приложенная к нему сила найденные усилия 4 и б я ие-
вяаестные усилия 7 в 3. Для определения мх надо будет построить много-
уголышх, в котором иэвестиыд силы должны быть расположены одна за дру*
гой, а виду чего через точку Д/ общую с усилйем 4, проводим линию ек, ст-
ршальвую направлению усилий 5, а м лишио, параллельную стержню б-
*02 «
чаем сомкнутый многоугольник onfeo, входящий, как и другие
предыдущие в состав фиг. 432, IV. Сторона же, параллельная
стержню 9, определяет усилие 9; сторона ое представляет по
величине и направлений усилие М Усилие 9 направлено на
узел и сжимает стержень (—), усилие 10 направлено от
узла и оно растягивает стержень (+).
Неизвестным теперь осталось одно усилие стержня 11. Пе-
рейдем к узлу Ъ', в котором известны внешняя сила Pt и уси*
лия 8 и 9, неизвестно лишь усилие стержня 11. Так как этот
узел находится в равновесии, то это усилие равно по величине,
но прямог противоположно замыкающей (равнодействующей)
многоугольника, построенного на этих силах. Силы Я 8 и Р9 рас-
положены на чертеже одна за другой, с одним течением стре-
лок. Соединяя концевые точки с. и Ъ (замыкая многоугольник
сил), получаем усилие ci стержня И. Так как усилие 11 дейя
ствует по оси стержня, то сторона cd должна быть параллельна
стержню 11. Если эта сторона параллельна, то это указывает на
правильность и точность построения предыдущих многоуголь-
ников. Перенося направление стрелки (одиночной) на мысленно
отделенный стержень 11, замечаем: усилие направлено на узел,
потому стержень сжат.
Для узла а' это усилие также направлено на узел, т. е.
имеет противоположное направление, указанное двойной стрелкой.
Все усилия, вызываемые внешними силами в стержнях фермы,
определены из частных многоугольников, входящих в состав
одного общего многоугольника сил.
Цгш поверки правильности и точности построения рассмотрим
узел а'. В этом узде действует реакция и определенные уси-
10 и 11. Так как узел находится в равновесии, то эти силы
должны образовать сомкнутый треугольник с общим течением
стрелок, что следует из чертежа.
Общий многоугольник IV, который начерчен при обходе узлов«
начиная с одного опорного узла а и кончая другим опорным
узлом а\ называется диаграммой Кремоны.
Чтобы выделить в диаграмме, какие стержни сжаты и как^Ь
растянуты, прибегают к обозначениям; 1) вычерчивают усилия
линиями разного цвета, обыкновенно сжимающие усилия—крас-
ными, растягивающие •— синими, 2) в одноцветной диаграмме
вытягивающие усилия изображают тонкими линиями, сжимаю-
щие — толстыми, или 3) растягивающие усилия обозначают зна-
ком (плюс), сжатые знаком — (минус). Стрелок в диаграмме
. не указывают.
- 403
Сявбеяш диаграммы. Рассматривая чертеж фермы и диа-
грамму усилий (фиг. 482, IV) и сравнивая их, мы заключаем,
что ©бе фигуры находятся в определенном соотношении:
L Каждой линии фермы (фиг. 482, V) соответствует парал-
лельная ей линия на диаграмме.
2. Усилие каждого стержня начерчено на диаграмме один раз.
3. Число линий диаграммы равно числу линий фермы. '
4. Линиям, сходящимся в какой-либо узловой точке фермы,
соответствуют линии в диаграмме, им параллельные, образующие
ооыквутый многоугольник, считая и внешние силы, т. е. все
силы, пересекающиеся в одной узловой точке фермы, образуют
в диаграмме сомкнутый многоугольник и обратно.
5. Линиям —силам диаграммы, сходящимся в одной точке,
соответствуют линии фермы, образующие замкнутый много-
угольное. Например, в узловой точке b фермы сходятся внеш-
няя сила стержни lt 3, 4, а им в диаграмме соответствуют
усилия стержней /, 3, 4, им параллельные, и сила Р:, которые
образуют сомкнутый многоугольник adem. ’ f
Число сомкнутых многоугольников диаграммы равно поэтому
числу узлов фермы.
Треугольнику фермы, например 5 — 6—7, соответствует в
диаграмме точка л, в которой сходятся усилия (линии), соответ-
ственно параллельные этим сторонам.
Одна фигура взаимна другой.
Взаимность определяет ход построения диаграммы.
Двум каким-либо силам, приложенным к смежным узлам, и
стержню, соединяющему ми узлы, соответствует в диаграмме
общая .точка, в которой сходятся линии, им соответственно па-
раллельные. ; 4
Например, двум силам Qt и Рк и стержню 1 соответствует
в диаграмме точка а, в которой сходятся 'прямые, им парал-
лельные. Силы и Pt Ьмеют сдою общую точку, как и силы
Я и что возможно, когда сила РА находится между силами
Qi и На уцш основании сила находится между силами
Рх к Ра. Приходим к заключению, что внешние Силы
нужно откладывать одну задругой в том по-
рядке, в котором их встречаем, обходя контур
фермы.
Допустим, что сила Рх постепенно убывает; из диаграммы
можно видеть, что точка т отрезка тзт, изображающего эту
силу, будет приближаться постепенно к точке а — усилие 4 при
этом будет возрастать, приближаясь к усилию 19 а усилие 3 бу-
дет убывать. Когда Pt станет равным нулю, усилие 4 будет
равным усилию 1, а усилие 3 обратится в нуль.
Диаграмма дает условия равновесия не только для каждого
узла, но-и для целых частей, выделенных каким-нибудь сечением.
Проведем сечение I—I, которым ферма V (фиг. 482) равро-
зается на две части, и отделим правую часть; для того, чтйй
левая часть находилась в равновесии, необходимо замени» дей-
ствие отброшенной части силами 4, 5 и 6. Эти силы уравно-
вешиваются внешними силами Qj и Рд—им в диаграмме IV •
(фиг. 482) соответствует сомкнутый многоугольник оагмпо.
Способ обозначения Бау. В виду взаимности фигур фермы
и диаграммы американский инженер Бау применил яростей и
удобный способ обозначения усилий в диаграммах. Способ ев-
обозначают каждое отдельное пространство между стержнями
по их сторонам; так, например, на фиг. 483, пространства
по обеим сторонам стержня 0t обозначены цифрами 2 и 8,
и вместо обозначения О* стержень обозначается 2^8 по
этим цифрам, 3 — 9 обозначается следующий стержень пояса;
сила Рд, расположенная между пространствами 2 и 3, обозна-
чается 2—3, а обозначение Рх не надо; следующие силы чм->
таются 3 — 4, 4 — 3, 5—7, 1 — 2 На фиг. 484 вместо цифр по-
ставлены в соответствующих пространствах буквы, поэтому
стержни фермы: A—Dt Е—С, A—F, B—F, С—FtA~B, В—С,
силы: D — E, E—F, F—D.
Таким образом, стержни и силы обозначаются двумя цифрами \
ил буквами тех пространств, между которыми они заключаются.
Этими обозначениями пользуются при построении диаграммы.
Каждому пространству на эскизе фермы соответствует узел в
диаграмме; например, пространства 8, Л 11 (фиг. 483) имеют
соответствующие умы нд диаграмме. Каждому уму фермы
М»
соответствует на диаграмме сомкнутый многоугольник: напри-
мер, узлу при силе Pt (2 — 3) соответствует многоугольник
2—3—9—8, узлу 3—4—многоугольник 3—4—И —10—9.
Правило для построения диаграммы. Для построения
диаграммы необходимо сначала определить все внешние силы,
приложенные в узлах, затем — реакции. Для определения по- '
сл едких надо построить силовой многоугольник, причем внеш-
ние силы надо откладывать последовательно одну з> другой
в том порядке, как их встречаем, обходя кругом фермы. Обт
ходы обычно совершают по Часовой стрелке. Определив
Фмг. 484.
реакции, замыкающие
многоугольник сил,
приступают к вычер-
чиванию диаграммы,
начиная от узла, в ко-
тором сходится не £о-
лее дв?* стержней;
обычно таким узлом
является опорный узел.
Затем надо переходить
от узла ж узлу тек,
чтобы 8 каждом из них
не^ встретилось более
двух неизвестных уси-
лий, последовательно
пристраивая для узлов
многоугольники сил,
как это было показано
яд примере. Имея направление силы или одного из усилий, в
многоугольнике сил находят направления других усилий; по
этим направлениям определяют, растянут ли стержень или
сжат. * .
Невязка диаграммы. Когда ферма имеет много стержней
и следовательно получается много параллельных им линий в
диаграмме, то часто бывает, что диаграмма не смыкается, по-
лучается невязка. Для ее уменьшения начинают построение
диаграммы с двух концов фермы; кроме того, определяют для
контроля некоторые усилия по способу Риттера. *
Диаграммы Кремоны могут быть вычерчены указанным епо- /
собой для статически определимых ферм при двух следующих /
условиях: 1) должен быть хоть одни узел, в котором сходятся
только 2 стержня—наружных, принадлежащих «я цонтуру, а
2) не должно оыть треугольников, составляемых одними вну-
тренними стержня ми. ’
Если эти условия не соблюдены, то при вычерчивании диа-
грамм» встречаются затруднения и для их устранения приме-
няют один из следующих способов, которыми определяются
усилия некоторых стержней, поуе чего может быть диаграмма
вычерчена. Примеры таких расчетов ферм приведены ниже.
Примеры: 1) На фиг. 485
построена диаграмма усилий
стержней поворотного крана от
нагрузки Q, приложенной в
узле I. 1
Реакция А подшипника —
Фжг. *86.
Фиг. *85.
горизонтальна; для нахождения линии действия другой реак-
ции В подпятника продолжаем направление реакции Д до пе-
ресечения в точке С с направлением силы Q. Соединяя прямой
точку С с узлом III, поручаем линию действия реакции В. Раз-
лагая силу Q по направлениям реакций, получаем из сомкнутого
треугольника (фиг. 485, II) их величины и направления. Построе-
ние диаграммы усилий стержней можно начать с узла I или с
узла Ш. На фиг. 485, II вычерчена диаграмма; жирными^ ли-
ниями обозначены сжимающие усилия, тонкими линиями — рас-
тягивающие
2) На фиг. 486 представлена диаграмма усилий стержней от
вертикальной нагрузки для навесной фермы, поддерживаемой
«одкосом.
' «07
3) На фщ-. 487 представлена английская ферма, для которой
Построены диаграммы усилий стержней: 1) от вертикальной на-
грузки, 2) давления, ветра со стороны неподвижной опоры и
3) со стороны подвижной.
§ 99. Способ/Риттера.
Способ Риттера значительно упрощает решение вопроса; он
основан на применении условия равновесия 2М = 0, которое
составляется таким образом, чтобы в него входило одно только
неизвестное искомое уси-
лие одного стержня.
Для этой цели за точ-
ку, относительно которой
берется сумма моментов
всех сил, следует прини-
мать тбчду пересечения
тех двух перерезаниях
стержней (или их про-
должений), усилия кото-
рых не отыскиваются.
Момент усилий этих стер-,
жней относительно точки
их пересечения равен О
(плечо 0), #
Таким образом, в уравнение статических моментов войдет
момент одного лишь неизвестного усилия — получается уравне-
ние с одним неизвестным, которое решается просто.*
Способ Риттера применим, когда сечением перерезывается
не более трех стержней. Если сечением перерезывается число
стержней больше трех, то усилие одного стержня может бык
определено, если остальные стержни пересекаются в одной точке.
Если сечение отсекает два стержня, то для определения усилия
одного из них надо брать сумму моментов всех сил относи-
тельно точки, лежащей на направлении другого перерезанного
стержня.
Усилия стержней при составлении ЗЛ<х»0 предполагаются
сначала направленными в сторону отброшенной части, т. е. пред-
полагается, что все перерезанные стержни вытянуты.
Момент принимается Положительным, если сторона кажуще-
гося вращения совпадает с вращением часовой стрелки; в про-
тивном случае момент отрицателен. Пуст> для примера имеем
ферму (фиг. 488), которая сечением 1—I разделена на две ч£ягн;
правая часть отброшена; сечением перерезываются три стержня
(0,Д U); направление усилий ^предварительно принятое) по*
казано стрелками.
Определим усилие стержня 0.3а центр вращения надо при-
нять точку С—точку пересечения остальных стержней D и U.
* Перпендикуляры, опущенные из точки С на направление сил,
как видно на чертеже, равны а, /ь I* т*
Срставфем уравнение моментов:
Qk.a-Prlt-Pt. G+ О -
отсюда неизвестное усилие
г
Если a<Pi-/+А’ то О —положительно, момент
его относительно точки С также положителен, а потому заданное
вами стрелкой направление усилия верно, и стержень О
при этом растянут.
Пример: Определим усилия некоторых стержней бельгий-
ской фермы, (фиг. 439), стойки которой UL и Ut перпендику-
лярны к верхнему поясу.
Пролет фермы высота /г^Зм. J
' tga = -^-==~ = 0,5;
* о
угол ««26е 40' (с округлением).
„Узловые нагрузки Р,==« Р»=“Р,«=/\=840 кг.
Рещение. —
Реакции Л = в=^=ЗР== 3-840 = 2520 кг.
Усилие стержня Ог (фиг. 489, П). 1 1
Перерезываем сечением два стержня О, и Uy принимаем за
центр вращения ueWrp шарнира узла 111 и берем момент всех *
сил оставшейся левой части * фермы опюсятеяьно узла III; па
левую часть действуют три силы: реакций А и внутренние силы
стержней Oi и (7t. >
(л—j)(а+ *) + (),. Ot==0^ .
откуда искомое усилие
(л — £) (а 4-х) -£•
о„\ . -; «вЛ = | = 2з<.
410 >.
। >• x 4 * * • ’ &
Определим величины x и 0t,
Из треугольника II с Поимеем:
cos а = cos 26° 40' — 0,893,
&»=б5Й=1’118жг tga=0,5x.
(2520-420) (2+0Л)
(стержень сжат). ' э
Усилие стержня .
• . Взяв моменты сил относительно узла П, получаем:
(л —£ja —(Д-*te®» ‘ ' ,-i
откуда искомое усилие
1
(стержень растянут). >
Усилие стержня
Перерезываем сечением три стержня и берем моменты сил
относительно узла 1:
+ ₽»•«+И-01=0;
дя,ша о* = = 0^3 = 2'236 М’
Усилие в стержне О, (фиг. 459» III).
Берем моменты сид относительно узла III.
(а + х)-Р, • л + о, • V^o.
(&20 — 420) (2,0+ 0,5) — 840-05 + 0,- 1,118 =.0,
откуда
0<__2К».2Л-84._М = _^,ст
1,110
Из фиг. 489, IV можно определить усилия стержней и dt.
. V. СТРОИТЕЛЬНОЕ ДЕЛО.
Область строительных и железных конструкций,настолько >
обширна, что мы здесь приведем только наиболее простые и
часто встречающиеся в машиностроении конструкции.
§ 100. Консоли^ шпренгельные системы.
Наименьшее напряжение на продольный изгиб1 испытывает
стержень а "во втором типе консоли при h *=/0,5$ *
г~----------
1) Пре ревномерма ряспрАДвлшое >0 всаА шве про «ее 2/ вдгрумге Р
усилия уменьшаются нллоловину.
41Э
• СТРОПИЛЬНЫЕ ФЕРМЫ.
§ 101. Общие сведения.
По нормам УМГИ при проектировании кровель надлежит
давать им подъем для стока воды, каковой должен быть не менее:
для крытой железом..........;..........*/«
• • толем............................ , ‘ J/Jo
ш „ черепицей ................... ДД
ж . "гонтом или досч. ........... 7<
• 9 искусств, шифер..................7*
• гольцементных перекрытий . . ♦..... 7во
а) Нагрузки, Нагрузки слагаются из нагрузок постоянных
и временных. ,
Постоянная нагрузка. Величина ее определяется посте-
пенно, по мере расчета частей. *
Собственный вес—pi— железных строительных ферм. При
предварительном расчете пользуются эмпирической формулой:
Л«(1Л-2)А (370)
где pi— вес на 1 м1 горизонтальной проекции, I — пролет фермы
в метрах,
р,— собственный вес кровли, обрешетин и связей на 1 Jr1
горизонтальной проекции крыши (см. табл, на стр. 415).
Постоянная нагрузка р=®л + Л‘ j
Временная нагрузка. К временной нагрузке относятся да-
вление снега и давление ветра.
Ь) Действие одного снега. Действие снега принимается по
следующим нормам на 1 ж* горизонтальней проекции кровли:
* при угле наклона от 0э— 10^120 кг
. . 9 . 0°—15°.............ПО .
. . . 9 0°—20°............100 .
’ , . . . 0°—25*........ . . . 90 .
. . . . О’—30*............ 80 ,
, , . , О’—35*. :....... 60 ,
. . . . о°- 40° . . . . ’ . . . . 40 .
, , О*—45*............ 10 .
414 А
х. •. V •
Собственный вес кровли, обрешетин и связей (/>,) на кв. м го-
ризонтальной ПРОЕКЦИИ КРЫШИ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ УКЛОНАХ НЕ
в кг. ’)
Уклон крыши а ** 4S* арчг 26*34' 21’43' 1В°26' 16* 14*3' 12*32'
Системе кровли * • 1 Т 1 м 1 2 1 23 1 3 1 3,5' 1 4 U 1 7
в к л л о г Р А М м а ж/
1. Одиночная черепичная. 2. Двойная нли швед- ская чере- пичная . . . 144 180 122 152 114 142 157 129 —
3. Обыкновен- ная аспид- ная 108 91 85 82 -и- — -
4. Аспидная на железных . уголках. . • 64 54 50 48
5. Толевая. . . 42 36 34 32 32 31 31 31 30
6. Древесноце- ментная . . / Так как уклон такой крышки обыкновен- | ио = Vie» то на 1 кв, м горизонтальной ) проекции вес ее можно принимать равным ( ’ 164 кг.
7. Из цинко- вых и же- лезных ли- стов на де- ревянном на- стиле •• . . 58 49 '46 f. 44 43 42 42 42 42
z t) К постмшшм яа^руэкам отяолтса тап*в: мс потолков, люстр, нь
грузки от траясвлгсснп а др. подммвых приспособлю»*, КП от поддер*
жжвлютсе гтротмекммк фермия
Уклон крыпл д«— „ л Система кровли-у : к 45е Э0°41' 26*34' 21*48' 18* 2^ 16* 14*2* 12*32' 11*18'
1 1 1 1,5 в 1 2 к к 1 2,5 л о 1 3 г р 1 S3 а ы £ 4 И А 1 4.S . X h 5
8. Из цинко- вых листов на настиле или на же- лезных об- решетинах . 9. Из листово- го железа на железн. уголках. . . 10. Из волни- стого цинка на железн. уголках. . . 1L Из волни- стого желе- за на жел. уголках. . . 12. Стеклянная на железн. уголках или гррбылях. , 68 35 28 21 57 58 30 • 24 18. 48 54 28 23 х 17 45 52 27 22 16 43 51 26 21 16 50 г 26 21 16 49 26 21 15 49 26 21 15 49 26 20 15
с) Действие одного ветра. Направление действия ветра
принимается горизонтальное. Давление ветра на плоскость! нор-
мальную к воспринимающей ветер поверхности, считается про-
порциональным первой степени синуса угла, составляемого
поверхностью к горизонту.
' (371)
где IF, давление ветра нормально к поверхности в /я на кв. м,
а —угод наклона поверхности к горизонту,
W— давление ветра на вертикальную плоскость в ге на кв. м.
411
Значение величины ТГ принимается для гражданских соору-
жений:
а) в застроенных высокими строениями местно- 1
стях, в городе Москве в пределах Садового
кольца, а также в лесистых местах в губер-
нии ..................'.................... 80
Ь) в окраинной части города Москвы и в неболь-
ших Городах................................ 120 .
с) в особо открытых и возвышенных районах вне
v города Москвы................................150 #
Ниже приведены значения №0 (кг) для различных значений
U7 и а.
Углы наклона « * « io- 15« 20° 25е 30е 35- 40е 46" 50" 60е 70» 9(Г
a) 1F= 80 . . 14 21 27 34 40 46 51 57 61 69 75 80
b) 120 . . 21 31 41 51 60 69 77 85 92 104 ИЗ 120
с) W= 150 . . •26 39 51 63 75 86 96 106 115 130 141 150
Примечание: при двухскатных крышах считается, что ве*
тер действует лишь на один скат, а потому вертикальная со-
ставляющая на кв. мс'гр горизонтальной проекции крыши, опре-
деляемая из 'таблицы, будет только ддя того ската, которым
нагружен ветром.
Фермы открытых зданий рассчитываются к^Лме вышеуказан-
ного давления ветра еще на давление ветра, направленное
изнутри помещения наружу нормально к поверхности и рав-
ное 0,6 U70.
При расчетах нагрузка от действия снега и в^тра прини-
мается действующей порознь или вместе.
При совместном действии снега и ветмИИрЕЗанимать
лишь •/< нагрузки от полного давления НУрузки от
ветра. w f "•
d) Нагрузка от веса человека. Т4р^ расчете досок опа-
лубки и обрешетин Принимается сосредоточенный, груз в 100 кг,
представляющий вес человека с инструментам; в Этой нагрузке
учтено динамическое действие при ходьбе и работе. См. также
1 нормы Госплана. "
37 Г. Хедер. _ 417
§ 102, Расчет стропильных ферм.
I. Железные фермы.
а) Допускаемое напряжение для литого железа как пра-
вило 12и0 кг/см*.
Ь) Определение усилий стержней (аналитическое) для
некоторых ферм:
если / — прилет ферм в ju,
t— расстояние между двумя промежуточными фер-
мами вл, '
\ q — общая вертикальная" нагрузка K2)m* горизонтальной
проекции крыши. . j
Собственный вес — давление снега и давление ветра *), то вся
вертикальная нагрузка на ферму: , ,
(372)
В дальнейшем изложении условимся напряжения обозначать
большими буквами и считать
знак —(минус) сжатие
знак + (плюс) растяжение.
с) Стропильные фермы для пролетов до 8 м (фиг. 490
и 491).
Фиг, 490.
ri- и~
v- +pv
Р- U
2*h
п=.....
i(A + *>) ’
(Г_ I ‘ д ,
u~'^2(h + hl)>
у____PJh.
А + А,-
Фкг. 491
d) Простая ферма Полонсо. При равных панелях (расстоя-
нии между узлацр =усилия стержней от вертикальной на-
I) При одновременной действии снега к ветра принимается */< падкого
давления снегй и •/< полного дарения ветра.
L3.P-Z... Р-(Л-2/)
>--32Т7Г’ U*~+ 16-г ' У’в + 8-Л:
, Фиг. 4ЗД,
У L 8 • S
е) Сложная ферма По-
я он со. При равных панелях
(расстоянии между узлами
о
р
узловая натру зка-^. где Р—
о
вертикальная^ грузка на всю
ферму (фиг. 493К
Pl
Усилия стержней;
°‘ = -ТТ: °'4,-N,
О,= 0,+0.,0, + ^р); tZ.,7.^
Ь U-Q-N- и-Р‘(3 , + 2 /)- V-У- Р'1-
L 1 •’ 4----УГ7 • le^i’
,_^.(2-л + >-) , 3 • Р-Л .. _р. /.
г + 16 • г ' Ц*~» Ь’
V. — 2 • Vt.
Если ^«0, то: ' .
L <>. = 0.4-^;
! . o«^o. + fr?;
l м=А-+^4: £/»“7 •Ni> Ni; и,яа2’Nu
Г С/. = 4-М; И,= 2.|Ь.
f 1“ * я
f) Для представленной яа фиг. 494 фермы бельгийской си* '
. стемы усилия стержней предо являются следующими величинами:
12^'(8 z‘~6 ‘
v = . 3 P-*t •(/,-/,)
• "Г 2 ‘ п,(и, + ut 4- и,) ’
g) Для представленной на фйг. 495 английской фермы уси-
лия стержней:
о=-А р/>.
0=^1 рА.
°* 3 л, ’
3 Р-Л.
* 4 Лу ’ Фиг. 495,
Ut = + T2\^r1’ U* = + i'^
1й \ Л f О Ну
р. И-x1 (Л + М ^'А.
'12’ И»~ + Т--05-< ’
"-+п-%Г
И, = 0; И,=
w 2 P‘f. 1 Р-
^=-у-ъ;
П. Д ер е в я н н ы е стропила. л
Напряжение материала по § 49, табл. 4 и 5.
Определение напряжений ; — сжатие, + растяжение).
h) Висячие стропила. Пусть балка АВ (фиг. 496) иагру*
жена равномерно распределенной нагрузкой Q и в точках С> м D,
w ... >
передается посредством обр^нетин и прогонов, давление Pt нор-
мально к скату, то усилия определяются по формулам:
|j <хэ 4,5 т /***/ 0,5
Фиг. 496.
0 Стропила с затяжками. От действия вертикальной на*
грузки Q/ (фиг. 497), равномерно распределенной по скату, уси-
лия будут:
/?1== —Тб tg^ ’
/?= — • Qa' • sin2а; Н~ 4- • Q,' • cos’e;
10 а
- г-+в ^<3+ю',|"а’’- 4
к) Тройная подвесная стропильная ферма. Пусть равно-
мерно распределенная нагрузка Q действует на главные балки
и на каждый скат нагрузка Qf (фиг. 49&>*
4*1
Тогда напряжения будут:
i-y-Q;
Si= ' Q’ cose'+ 13 • Q);
“ Sg.TtaT(3S ’ ' cos e' +16 ’ ®:
I '
*•—SfrTt^(35 Qt 'соа * + 16 ' Q):
S-S, + S,= - -д 1 -(91 Qt • cos а' + <5С);
114 * ЬШ S
‘ Г-4-П2^(91<?э.СОЗа' + 45(?).
$ 103. Стены» окна н двери.
Рассмотрим здесь Несколько случаев, наиболее часто встре-
чающихся в практике машиностроения.
фш*. чао.
а) Каменная кладка стен для фабричных
зданий. Вес. Прежде всего определяют веса,
выражая все размеры в метрах. * ч
Вес стены будет (фиг. 499):
Q^H‘ a l^xz , - (373)
и вес фундамента
Q^h.b I ^kz. (374)
где т — вес 1 куб. м кладки по нижеследующей
таблице
Вес 1 куб. м ииц&м в кг.
t .
* Вес в кг!м\ Кирпичная кладка Извест- няк Песча- ник Гранят и мрамор Бетой
обыкно- венный кирпич пори- стый кирпич пусто- телый кирпич
1600 1100 "1300 2600 2400 - 2700 2000
Напряжения. Все линейные размеры приняты в см. Обозна- ,
р чая через Q в кг нагрузку, приходящуюся на длину I от выше-
f' лежащей кладки, балок и пр. находим напряжение в сечении Я:
••
9=0+£ кг/см*. (374)
>?. а • I
В сечении В имеем:
давление на грунт у= ---5* — кг*см\ (375)
. - —— о * I
Допускаемые напряжения по § 49 т^бл. 5,
Кирпич: обыкновенный кирпич нормального формата 6 X 3 X
S- ’ X Р/t вершка = 267 X 133 X 67.км. ’ j '
f -Употребительный способ укладки стен — английский
£ (один ряд тычком, другой ряд ложком или переменными рядами),
g ’ Преимущество дает способ голландский *
г (в каждом ряду тычок и ложок или сме-
| шанными рядами), фиг. 500 к 501.
Толщина шва обыкновенно приии-
t мается в 1 см» при кладке шамотного Фиг‘ ®х>. Фиг. 501. .
кирпича в точках 0,3 см. В зависимости
► от толщины хйвов, 1 куб. м кирпичной кладки содержит от 380
до 400 кирпичей нормального профиля.
z Ъ) Отверстия в стенах. Окно. Наименьшая ширина 0,3 м,
обыкновенно от 0,9 до 1,25 м.
к Двустворчатые окна в жишх зданиях 0,9 — 1,5 м шириною,
। трехстворчатые окна 1,5— 2,5 м. .
Высота двустворчатого-джна в 2 до 21/, раз больше ши-
риныили равна диагонали прямоугольника, стороны которого
равны одиночной и двойной ширине окна.
' ' ', Расстояние от верха окна до потолка в капитальных по-
стройках не менее 25 си и фахверковых 16 см.
Оконные парапеты или высота подоконника над полом 75
Г до 90 см» обыкновенно 7$ до 80 см.
, , • • 424
Двери, Ширина дана для отвевстия в свету каменной
кладки. j
Фабричные ворота.............. 3,2 — 5,0 м
Ворота в конюшнях............. lt25 — 2,0 ,
. для проезда . . ......... 2,5—3,5 .
Двери жилых помещений ..... 1,5 —2,25,
, для жилых ,комнат одно-
створчатые . . . ........... —г 1,25 ,
Двери для небольших жилых ком-,
нат ..... .-. ................ 0,9 —1,1 .
—о} Стены; подверженные боковому давлению. В фаб-
ричных зданиях с высоко расположенной тяжелой трансмиссией
стены усиливаются контрфорсами (фиг. £02).
Для каменной кладки растягивающие на пряже- .
ния не допускаются.
Определение устойчивости. Пусть G в кг —
вес столба стены заштрихованного поперечного
сечения высотою Н. S — центр тяжести этого
столба, h и / — размеры согласно фиг. 502. Q
в кг — горизонтальная нагрузка от действия
трансмиссий. х
-* Во избежание опрокидывания относительно
крайней onoj)bi А и пренебрегая грузом от ба-
лок и весом трансмиссий, должно быть?
G • l> Q - Л, значит О > Q ♦ - у кг. (376)
Для упражнения:
Н=3 до 5 м, Q = 150 до 500 кг
’ а = 40, ^2 см, /= 20 в 80 см.
5 104. Балки и своды.
а) Нагрузки, изгибающие моменты.
IlycTb (фиг. 503): I кем — длина пролета
балок, в см — расстояние между осями' ба-
лок, ? —нагрузка перекрытия в кг(м\ Q в
кг — равномерно распределенная нагрузка
балки. * Г
Нагрузка, приходящаяся на балку,
U7 • I
Го ооо 'q **
7 *
(3Z7)
424
Изгибающий момент
Мь = кгсм. (378)
о
Напряжение
vb^Mb;W кг/см9. (379)
^Момент сопротивления по §*50. *
Допускаемое напряжение по § 49. \
Нагрузка q потолков в фабричных зданиях.
Род нагрузки Пролеты в м Сечение я см Собств. вес в кг/м* Полезная нагрузка а кг/м* Обсцая нагрузка в кг/м*
Потолочн. пере- крытие с де- рев. балками. 1 16 22 2оа 600 800
Тоже в амбарах 0,9 $0/24 250 750 1000
ч Сводчат, пото- лок из обык- - нов. кирпича между жел. балками . . . 1—1,5 1,5—2 ’2—2,5 7а кирп. 450 4,Si 650 500 450 500 950 900 1150
Железобет. пе- рекрытие с армат, из, кр. железа rs . . —— 250 до 3000 —*
Тоже —с армат, из плоского железа .... — 100 2000 —
Железобетонн. монстр, систе- мы ~Мэллёр“. i _ — — —• до 20 000 — -
Ь) Расчет шпренгель-'
ных балок (аналитиче-
ский). Для ширен тельной
балки по фиг. 504 тре-
буется определить усилия
в стержнях аналитическим
путем. (Решение прибли-
женное.)
Дано: силы /7=2500 кг, Р| = 4500 кг и представленные
на фиг. 504 главные размеры.
Фиг. 504.
4»
Требуется найти нормальный профиль верхнего пояса, со-
стоящего из двух швеллеров,
1. Опорные давления и равнодействующая сила (фиг. 505).
Уравнение моментов:
Р» /, + ^/» = Л1£.
Уравнение моментов:
Р.-ЛЧ-^,-/4=Л,£.
Отсюда находим реак-
ции:
л ,25ОО>1ОЛ + 45ОО<4 9С^^
А- .2500 ;4>5 +Л^^И=4050^
/ _ Р
Равнодействующая:
/? = Рх + Pt « 2500 4- 4500 = 7000 кг.
Точка ее приложения в'расстоянии:
х,— (А : /?) • 4 «= (4050 : 7000) • 15 — 8,7 м.
а) Уравнение моментов относительно центра вращения С\:
Ai • — Pi • ajV=Zi * Z, • rf;
тогда (так как rx = ra == 1,5 м):
1,5
b) Уравнение моментов относительно центра вращения О9;
'фиг. 507). - . . ;
433 * '
К 41 * — ^ii ’ at " • rt — Z4 • r<;
£ '
тогда (так как rt = r4=s 1Дл<)
г. ’ zt^z1=4050'-^450^ — =ю5оо>и.
с) Нижний пояс (фиг. 508). Максимальный момент:
At >Xi — Pi . ав;
тогда растягивающие напряжения
будут:
Фиг. 508.
2950 - 8,7— 2500 * (8,7 — 4,5) ЛЛЛП
---------------г~в--- — — = 9400.
d) Сжатые стойки Dx и D, (фиг. 509 и 510).
на сжатие:
Фиг. 510.
D, = Z, • sine =;9015 • 0,305 =«2750ж».
D,= Z, • sin«== 10500 • 0,305=i
= 3200 кг.
В виду неравномерного распре-
деления нагрузки сжатые* стойки
испытывают усилие, слагающееся
из Z] и Z» или Zi и Z5<cm. фиг. 510). Следовательно в сжатых
етойках действует кроме сжимающего усилия еще усилие, вы-
L ’ / ' * . ' - * 427
аываемое нагибающим моментом (изгибающий момент =» равно-
действующей Zi и ZB X гв^к°тоРым однако здесь пренебрегаем.’)
, е) Верхний пояс. Усилие, сжимающее в ^верхнем поясе,
равно растягивающему усилию в нижнем поясе, т. е. ~~
£)а — Z, = 9400 кг. !
Модуль упругости £—2 000 000 кг!см*.
Пусть будет коэффициент безопасности, щ=*6,
тогда момент инерции; f '
р 9400 - в ♦ 1500-
* 10 -Е 10 - 2000000
Фаг. БИ.
Требуемое сечение два швеллера, ‘ .
Норм, профиль № 26 при расстоянии я=14,6сж.
с) Деревянные балки* Для получения из бревна балки пря-
моугольного сечения с наибольшим моментом
сопротивления, проводят, как это видно из
фиг. 511, диаметр d, делят его в точках /Ги/7
на 3 равные части и из точек деления про-
черчивают перпендикуляры до пересечения с
окружностью; соединяя точки А, В, С и D, полу-
чают искомой прямоугольник AD = BC~h.
н AB = DC±b.
Аналитически:
и
= 0,816 d
b = d
= 0,5774
т. е. отношение сторон д:А^5:7.
Допускаемые напряжения для дерева по табл. 4, § 49.
>) Ушяя <гт момента учитываются * том случае, если угол, образуемый
равнодействующей и сжатой стойкой, более 1(Г. «
•) Ср. i 66; формула Эйлера применима, так как —— > 10бг—
гпЯц
Употребительные размеры для деревянных валок.
Фиг. 511
И
d) Своды. П/сть (фиг. 512):
Q в кг — равномерно распределен-
ная нагрузка свода, включая собствен-
ный вес; Н в /га — горизонтальный
> распор; VF, Л? S и / в см — размеры
£ согласно прилагаемому чертежу.
\ ; Так как изгибающий Момент не
;> f допускается, то момент в пяте А равен:
. А
горизонтальный распор Н == Q • W: 8 h кг.
Тогда в середине свода напряжение на сжатие
o = H:(S- I) кг/см*.
Стрела подъема Л должна быть не менее 1,8 пролета VT.
Расчет по вышеприведенным формулам дает ма^о пригодные
’ Значения, вследствие ч$го пользуются практическими данными
/опасно таблице нагрузки потолков.
§ 105. Подпорные стены.
Расчет толщины подпорных стен должен производиться с осо-
бенной тщательностью. Данные для основных соотношений см.
в нижеследующей таблице (фиг/513).
Таблица данных для подпорных стен,
Свободно • стоящая стенд Вода, угод естественного ОТКОСА (Г Мокрая на- - сыпь. Мокрый глинистый грунт иля ра- стительная зем- ля, угол есте- ств.иного от- коса 22° Сухая насыпь. Глинистый грунт, расти- тельная земля. Угол естествен- ного отко- са 45е
Высота -Толщина стены Вы- Толщина стены м Вы- Толщина стены м Вы- Толщина стены в.
ступ ступ
А Ж на* на- вни- на- вни-
верху а т g V g верху • а 7 g" верху а 7 g г
2 0,25 0,4 0,5 2 0,5 1 — 0,4 0,7 •я
3 0,25 0,4 «МЫ 0,7 3 о II 0,7 1,5 — 0,5. 0,8 —
4 0,25 0,5 0,2 1 4 «4 Д8 2 — 0,5 1 —
5 0,25 0й5 0,2 1Л 5 пта 1 2,5 — 0,6 1,2 —
6 0,4 о,У 0,4 2 б е- U 3 0,5 0J 1,5 0,5
7 0,4 о,/ 0,4 2,5 7 S 13 3,5 0,5 0,8 1,7 0,5
8 0,4 0,8 0,4 3 8 сто 1,8 4 0,7 0,9 2 0,6
9 0,4 1 0,5 3,4 9 X я 2 4,5 0,8 1 3 0,7
10 0,4 U 0,5 4 10 м 2,2 5 , 1 L3 3,5 г •
15 — —- 4,5 13 к 2,5 7 2 1Л 4 1,5
20 —— —• — 5 15 о м 2,7 8 4 2,0 5 2
30 5,5 22 1 3 11 б 2,2 6 5
50 — — 6 40 3,5 20 8 2,4 9 7
Подпорными стенками называ-
:я свободно стоящие стены, с
юй стороны которых имеется
земля, песок, глина и т. п. Строго
говоря, следует вместо угла есте-
♦нг. 514. Фиг. би. ственного откоса ср (фиг. 514 и 515)
ч в расчет вводить ~у го л трения р
между сыпучей массой и стенкой. В зависимости от состояния
поверхности стены будет
рэ=0 до р*?,
430
УГОЛ ЕСТЕСТВЕННОГО ОТКОСА <? И ДАВЛЕНИЕ ЗЕМЛИ Я
- Вод. 3 а с ы п к ft
Очень мокрая Мокрая Сухая
0° 20“ 30“ 40“
7 = 1000 2000 1800 1600 >ег/м*
Фиг. 514 5= ОЛт-А* 0,25т 0,15т А’ ОДт-А* кг
Фиг. 515 £= — 0,4т А» 0,3т-А* «
Нижние значения для Е относятся к случаю, когда поверх-
ность засыпки образует угол у, вес 1 м* засыпки в кг, Л —
высота стенки в метрах. Точка приложения давления земли
(сила £) находится на высоте
(380)
Пример. Мокрая засыпка по фиг. 514, высота h = 1,3 м,
тогда по таблице угол естественного откоса <? = 30° и давление
земли 5=0,15 • 1800 • 1,3* =
= 470 кг.
По уравн. (380): точка
приложения S = l/t • 1,3 =
= 0,43 м.
е Построение плана сил.
Линии, соответственно по-
рядку их построения, после-
довательно пронумерованы.
.1 — 6) Возьмем ориенти-
ровочно стену толщиною 30 см
и разделим ее вертикаль-
ными плоскостями на не-
сколько узких полос (фиг.
516). Объем каждой полосы
при ширине в 1 м:
ц=/,=/,=о, 1 • 1,3 • 1-А/.
а вес ее будет: * а ' j •.
G1==G, = G,~0,13 у, = 0,13- 1600 = 210 м
431
7 — 9) Точки приложения ведов полосок находятся в сере-- -
дине ml х полос.
10— 11) Отложим ЛЛ4 = $ и проведем давление земЬи Е
под углом ? = 30°.
4 12— 19) Веса 6?i ——<7, и давление земли Е соединяем
в план сил, тогда сила Р представляет вертикальную составляю-
щую равнодействующей 18.
20-12) Проводим //||12, 20\\16t 21\\17 и 221| тогда
получим точку V, в которой направление общей
2? равнодействующей 18 встречает линию AU осно-
вания. *
If Вследствие того, что нагрузка при действии
С*ЛЫ ? эксцентрична, в расчет принимается
только площадь подошвы1 стены шириною Зо,
- . фНГ, ап, где а — расстояние точки приложения силы от
края стенки ^фиг. 517).
Часть подошвы, проведенная тонкой -линией, не испытывает
никаких напряжений. Сила Р кроме напряжения сжатия, вы-
зывает еще напряжения от изгибу согласно фиг. 517, Тогда (для
стены шириною в 100 см) имеем напряжение
в~3.100-л
Р^а 2Р , t
*/,(За>’ • 100 “ 300л кг/еМ •
Из. плана сил (фиг. 516) отмеряем Р= 1020 кг и а = 1,7 ем.
следовательно по уравнению (ЗЫ) напряжение
(381)
2-1020 я , t
300* 1,7 ~4 ’
* Допускаемое напряжение для очень хорошего
грунта 4,5 кг[см* по § 49, табл. 5,
Если бы мы получили слишком большое зна- фиг- 618—
чение для <т, то потребовалось бы увеличить тол-
щину стенки х, чтобы получить большее а и затем вновь
построить план сил. В виду нижеприведенных условий следо-
вало бы принять толщину'стенки в нижней ее трети 4Д см
(Р/> кирпича).
Вышеприведенный расчет соответствует фиг. 5!8. Фунда-
мент под стенку фиг. 514 и 515 Необходимо сделать несколько
'Шире принятой толщины стены
432
$ 106. Коломны.
L Определение давления на колонну,
а) Колонны для резервуаров. Пусть (фиг. 5 >9) Q — вес
содержимого + вес резервуара в кг, S —число рядоп\ колонн,
L—длина стороны резервуара над колоннами в м, Z — число
колонн в одном ряду, таким образом давление на одну колонну*.
Р^Л-кг. (382)
L • О
Расстояниек £=2 • а = -— м. (383)
Ь) Колонны для зданий (фиг, 520). Пусть: а и ^ — рас-
стояние между колоннами в м,
Фаг. 619. Фиг. 520.
Тогда давление на колонну:
Р = а - b • q кг. (384)
Колонна рассчитывается на продольный изгиб, принимая м
внимание давление Р. ч
И. Расчет колонн. х
а) Общий расчет. Берем случай II § 55 продольного из-
гиба; значит» допускаемая нагрузка
Рж~апг,п- . - (5М)
\ Необходимый момент инерции ,
. т - Р • Р л _
10 • £ СМ'
где £—модуль упругости в кг/см1, т —запас прочности,
/—длина колонны в см.
\ » Г. Хмер. <33
Момент
инерц. J—
Сечения.
£•(*-*)
64
12
“ . (387)
Для
Модуль упругости
Запас прочности т =
дерева
120 000
10
чугуна1)
1 000000
8 до 6*)
железа
2 000 000. (388)
6 (389)
Короткие колонны рассчитываются, кроме того, на сжатие
- согл. § 54, причем в расчет принимается наиболее неблаго-
приятная величина.
Ь) Полые чугунные колонны.
D см 8 см J см* Допуск, нагрузка в тоннах при длине 1 м
1 2 3 14 5 в 7 а
10 1 300 12 9 5 .3,5 2 1 0,8 0,6
12 1,2 . 600 22 14 9 7 4 3- 2 1,5
15 1,5 1500 30 25 15 12 8 6 4 3
17 1,7 1800 42 40 24 19 15 12 9 6
20 2 2800 56 52 45 38 26 20 15 12
22 2,2 7500 70 60 50 42 34 28 24 4 20
25 2,5 12000 88 80 70 60 50 42 34 28
27 2,7 17000 105 95 80 76 62 55 .48 40
30 3 24000 125 125 “ПГ НО 95 80 60 50
1) По нормам УМГИ давление м грунт не должно превышать 40*/в вре. .
ценного сопротшеяия той породы, на которую оожрается основание.
р.
Короткие колонны (Z:D < 10), для которых данные в таб-
лице значения помещены слева от жирной линии, кроме того,
рассчитываются на сжатие по формуле Р=Е:Ь, где F —
поперечное сечение колонны в см*, а допускаемое ft = 500 кг!см1
(для чугуна).
Ш. Основание, фундамент и капитель колони.
а) Фундамент (фиг. 521). Допускаемое давление для кирпич-
ной кладки на известковом растворе •
А = 7 кг{см\ (390) R ’
иа цементном растворе
k ж» 10 кг/см*. (391)
/ 1--А
Необходимая площадь опоры: Г
/« g = Р: k см9. (392) ‘
Ь) Грунт. Допускаемое давление зависит от качества грунта.
Значения А:
Особо твердый скалистый грунт. . ............до 40 кг/см1
Твердый скалистый грунт нз известняка или пе-
счаника .................................... до 30 .
Небольшой твердости скалистый грунт..........до 15 .
Глина, плотно слежавшаяся в слоях не менее 1,0 м
на скалистой подпочве.......................до 8 /
Крупный гравий, плотно слежавшийся в слоях не
менее 1,0 м..................... ....«... - Д° 6 .
Плотный глинисты# грунт н мергель, а также
плотно слежавшийся песок.................. . . до 4 ,
Плотно слежа шаяся глина с примесью песка. до 3
Сухой, чистый, слабо уплотненный пе,сок i .... до 2
Слабый глинистый грунт, сырой лесок........до 1 ,
Растительная земля н слабый, пропитанный водой
илистый грунт................................до 0,5 »
Необходимая площадь основания фундамента
h • i=P:k см9............... . (393)
с) База или основание чугунных колони. База состоит
из плиты, которая отливается или со стержнем колонны, или
отдельно. Во избежание появления вредных напряжений лучше
производить отливку отдельно от стержня (фиг. 522).
Нормальны! раэмтры bash:
Нагрузка Р — 2000 4000 ' «юо ( 16000 1 25 000 36000 кг
140 200 300 400 500 600 мм
О = 160 225 340 450 565 680 9
а — 12 15 20 26 32 38 „
А = 30 65 100 135 170 210 .
8 10 15 20 24 28 .
Число ребер ~ 4 4 в 6 8 8 .
Обычно устанавливают базу сво-
бодно на фундамент; только, в зда-
ниях, где от действия машин иди
по другим причинам происходят'
сотрясения, необходимо предохра-,
нить плиту от бокового сдвига.
Это достигается либо устройством
выступов на нижней поверхности
плиты, которые входят в соответ-
ствующие гнезда фундамента, либо
применением фундаментных болтов
и ершей.
также часто составляет общую от-
4 чивку с колонной (фиг. 523),
Соединение с балками и прогонами.
Фйг. 522.
М’Л КапятХь колонны
Фиг. 623.
Неразрезная балка Стыковое соеди* Параллельные балки
некие балок
А=1,2А; л = 0,8Л Z=1,8A; a = 0,8ft; а~А; 6~T,5A;
c*=Qt2D\ g~2D A=H,5A; c = 02D; c~0,2D;
где D —наружный диаметр колонны а см.
4»
** IV. Железные колонны.
•бщегринятые профили поперечного сечения колони, состав-
ленные из прокатного железа (фиг. 524).
фиг. 524.
Расчет железных колонн согласно § 106,11.
Моменты инерции J вычисляются согласно § 49, или бе-
рутся по таблицам. z
Для облегчения расчета ниже приведены графики для рас*
чета колонн. * '
Базы железных колонн изготовляются большей частью
из железа (фиг. 525), реже из чугуна. Относительно необхо-
димой величины площади осногаяня см. уравнения 390 — 393»
ФИГ. WD-
Фиг. 5Ж
кладки (реакция
§ 107. Консольные балки и кронштейны.
LОпорное давление консольных балок.
а) Консоли, заделанные о стену, рекомендуется опирать на
•собые плиты (фиг. 526).
Если х—расстояние между серединами
плит в см, то наибольшее опорное давление
A = p.Lh*Kt. (394)
Необходимое противодавление кирпичной
мери);
В — Р-4.
(395)
07
b) Балки (фиг. 527). Величину опорного давления в мвися-
мости от нагрузки, см- § 107,11. v
Фиг. 627.
Величина плиты (железо на песчанике)
определяется тогда из необходимой площади
опоры
f^A.kcM* (396)
где А — наибольшее опорное давление в кг.
Допускаемое давление на площадь k для кладки у— см. выше.
И. Изгибающие моменты.
Из указанных уже в § 59 случаев чаще всего встречаются
нижеследующие:
а) Консоли.
Р— сосредоточен- ный груз в Kt Q — равномерно распределен- ный груз 1ВД| 0^ m 0
Рб
X /
Изгиб, момент. Мь^Р-4 «4 (Р+ 2") Кг,еМ'
Ь) Балки.
• р Р —г — A to Зг
№г.мом.Л4д=з , Р'7 o-i P • m кг!cm i -
♦ (А = Опорное 1 Ч.’Р • р4 lh-Q P Xt
давление I 7.Р fft
т- p-i lh Q P Kt
Опасные сечения отмечены L
Ш. Напряжения и допускаемая нагрузка балок
а) Основные расчетные формулы на прочность4.
Напряжение ,
vb = Mbt W кг/см*. (397)
Необходимый момент сопротивления
W=Mb:kbCM>. (398)
Допускаемый момент изгиба
Mb — W• kb кгсм. <399)
Материал Чугун Железо Дерево llf - W" " й—k
Допускаемое ( иапряж. kb= \ — 1200 900 100 60
Верхние значения действительны для спокойной нагрузки,
нижние — для нагрузки с сотрясениями, напр.» при подвешива-
нии на талях и т. п.
Ь) Моменты сопротивления W в см* общеупотребитель-^
нйх поперечных сечений *).
1) Угнанные в таблице величины Vх даны здесь в виде комродьвых
цифр, тдк как при взятия W ив справочных таблиц происходят еамые не*
вероятные ошибки.
439
- Для промежуточных значений нужно пользоваться справоч-
ными таблицами-или же формулами согласно § 49.
Пример. Для J и см. сортамент ОСТ.
IV. Кронштейны.
а) Кронштейны из прокатного железа. Coinyroe полосо-
вое или квадратное железо. Размеры в см (фиг. 528 и 529).
В верхнем стержне растяжение
В нижнем , сжатие
Для растяжения необходимое
поперечное сечение
/=Z:*2 см\
ha продольный изгиб необходим момент инерции
т • D ♦ Л 4
J~ 10 • Е ем‘
Фиг. 630.
Допускаемое напряжение £2 = 900 кг!см\
Запас прочности ш = б.
Идя J берут наименьший момент инер-
ции, согласно § 50.
В кронштейнах выше-
указанной конструкции
верхняя часть а наиболее
обеспечивает выпучива-
ния, если =
= 0,71 L
Вышеприведенные
уравнения для /и/применимы также и для кронштейнов, показан-
ных на фиг. 530 и 531 и т. п.
Ь) Пустотелая и ребристая отливка. Кронштейны для
440
Фиг. 531.
и
Фиг. 532.
Г
подшипников и т. л. (расчет аналогично консолям), фиг, 332 '
и 533.
Изгибающий момент МЬ~Р*1 кгем.
Напряжение = Мь г W кг/см1. ‘ -
Необходимый момент
сопротивления
W = Mb'-kb сл1.
Допускаемое напряжен
нйе kb согл. § 49.
Момент сопротивле-
ния, согл. § 50.
Фиг. 533.
Г
с) Расчет болтов для кронштейна. Пусть:
‘ тов каждого горизонтального ряда (для-фиг. 534,
/₽2),
z — число болтов каждого вертикального ряда (для того же
=f рисунка я=5),
i—число бол-
ел едовагельно
г
а —расстояние между бол-
тами в см.
Верхний выступ V предо-
храняет болты от среза.
Болты верхнего горизонталь
ного ряда испытывают наиболь-
шее напряжение. Пусть р — на-
грузка в кг. которая приходится
на каждый болт.
Если нижний край кронштейна принять за центр вращения,
уравнение
I
г °
. / .X •«+/»
моментов имеет следующий вид:
~~ -(z~l)-a+p. -2La.(,-2)-a4-
А • и z • и
к + ...=1.р./,
г или ’)
Г- ' а 1
^откуда
> ра (ж+1) • (22-Н) 1
6 ~ i 1
(400)
(401)
(402)
г . *) Соответствующее оЛрвэомние ряд, си. J 6.
441
• •< •
Значит наибольшая нагрузка на болт:
6 • Р • I
^=^(Д1)-4+в^ <4оз>
Для фиг. 534 *
2, z = 5;
тогда
Неравномерное расстояние между болтами (фиг. 535).
Пусть р — нагрузка на один болт верх*
него ряда, pt — нагрузка на один' болт ниж-
него ряда. Уравнение моментов:
у-Р/—
Отсюда
Фяг. 535. Р • / = i • Р • * +1 • Ре у.
Так как> в сравнении с X весьма мало, то можно при-
нять у = 0. "
Тогда
/М=Ьр.х,
следовательно
р'^'Т^кг' (404>
Для фиг. 535 1=2, ибо в горизонтальном ряду имеется
2 болта. Все размеры в см. ч
7ЯО
' ЗАДАЧИ К §§ 106 и 107.
863. Железные колонны вертикальных машин. Насос е
тремя паровыми цилиндрами диаметром D = 57 см и ходом
поршня = 600 мм (фиг. 536) уста-
новлен с одной сторбиы на 4 ко-
лоннах указанных на ^иг. 537 раз-
меров. Давление пара (манометри-
ческое) 6 атм.
1 Определить: 1. Наибольшее дав- фнг
ление в кг в одном цилиндре.
2. Расчетную нагрузку на одну колонну в кг.
8. Момент инерции поперечного сечения колонны а см'.
• 4. Модуль упругости для железа.
442
5. Запас прочности.
6. Технически допустима ли установкаf
Решение. J. Наибольшее давление в цилиндре
Р0 = у * 57’ 6 = 15370 кг.
2, В данном случае имеем наибольшую нагрузку на колонну:
• 15370 — 7700 кг.
Z
3. Средний диаметр колонны
13,5 4-15
---------=^14.2 см.
Момент инерции
Фиг. 537.
14,24=2150 см*.
64
4» Модуль упругости для железа
’£="2 050 000 кг!см\
5. Запас прочности ‘ 1
_ 10 ‘2150 -2050000
- 7700 ‘340*
б. Установка допустима, так как для железа допускается
/и- 6.
363а. То же для D = 104 см.
ЪМьГИлые колонны для резервуаров. Нагрузка Q=55090 кг
распределена оавномерно. Резервуар подпирается двумя ря-
дами круглых чугунных колонн no Zj=4
в каждом, всего 8 колонн» Длина
(фиг. 538). ‘
Определить:
1. Расстояние Е в м.
2. Размер а в м.
3. Нагрузку каждой колонны в кг,
толщину стенки колонн, при длине их в 4 м.
Фиг. 538.
4. Диаметр и
Решение. 1. Каждая колонна должна испытывать одинаковую
нагрузку: поэтому расстояние
44»
2. Тогда:
Е 2 ,
Можно считать также:
‘ L 8
а~2-Z-2 4~1 *•
3. На каждый ряд колонн приходится груз -S-; следом-
!. 55 000
тёльно на каждую колонну приходится ~ 7000 кг.
4. Для Р=7000 кг и длины колонны 4 м диаметр будет
D=12 см и толщина стенок 6 = 1,2 см.
364а/ То же —при Q=11000 кг, S = 3, J = 8, £ = 16 м. -
Фиг. 539, Фиг. 540.
365, Чугунные колонны для помещения склада. Прогоны
деревянные. Пусть а = 3,5 ч Ь^Зм, равномерно распределен-
ная нагрузка q = SOOQ кг/м1 (фиг. 539). ••
Определить: —
1. Нагрузку на каждую колонну в кг.
2. Диаметр и толщину стенок колонны.
3. Необходимую площадь опоры чугунной капители в см9.
4 ► Длину капители, если ширина прогона 26 см.
Ре шение. 1. Для равномерно распределенной нагрузки имеем
(фиг. 540): давление на колонну
Р=а Ь • ? = 3,5 • 3 - 6000 = 63000кг.
2. Для Р=63 тонны и высоты 4 м имеем:
D^25cm, 6 = 2^сж.
3. Допускаемое напряжение (для сосны) ЬжЪЗкг/см9, сле-
довательно площадь опоры
Р 63000 1ЛСЛ 4
тгтг-Т
• «4 : ' . .. .
и
CM.
Фмг. М2.
4. При шнрике прогона ж» 28 ем мтл мжпители будет
Г050 , ,л
-2Г-4Ос-*-
365а. То же при а = 4м, 6 = 2,5 ж, <? = 12 000 кг*
366. Прогон. Прогон В подпирается столбом А (18 X 18 еж)
испытывает нагрузку Р — 10400 кг (фиг. 541).
Не произойдет ли вдавливание торца
столба в прогон^
Решение. Напряжение на сжатие»
w нагрузка в кг
попер, сеч. колонны в сж1
10 400 10 400' п .
’• е' 18 • 18 ~ 324 ~32 кг/см ‘
Такое напряжение* допустимо, так что “
вдавливания не произойдет (табл. 4, § 49).
366а. То же при сечении столба 24 х 24
367, База колонны и фундамент. Определить для колонны,
упомянутой в задаче 364 (значит, для Р» 7000 кг), размеры
плиты и фундамента (фиг. 542),
1. Допускаемое давление для кирпичной
кладки в кг! см1.
2. Необходимую площадь опоры в сж1.
3. Размер квадратной плиты (башмака).
4. Площадь фундамента в см1.
5. Длину c>wpoH квадрата.
Решение. 1. Допускаемое давление для кир-
пичной кладки на известковом растворе
k^=7 кг! см1.
2. Площадь опорной плиты
/.^^1^.= 1000 ас».
3. Для квадратного основания:
/= g 32 сж, толщина плиты 6—15 жж. '
4. Допускаемое давление на грунт
= 2,5кг/сж*.
Площадь основания фундамента '
h • 7-7 000 : 2,5'=- 2800 см\
ш
5. Сторона квадрата фундамента
* = /=]/2800 ~ 53 ли’.
367а. То же при Р=14 000 кг. ..
36& Двутавровая балка, заделанная одним концом, с рас-
четным вылетом / = 250 см, подвергается изгибу силой
Р= 1360/га. Расстояние опорных плит х — 25 сж (фиг. 543).
Определить: L Изгибающий момент Л4д
К В Ю/**'
2. Допускаемое напряжение кь в кг; см1.
vj4i 1 —f * 3. Момент сопротивления W в см1 >?нор-
ЙЙи мальный J профиль.
' Фиг 543 4' ВыС0ТУ требуемого двутаврового же-
г* л<за в см.
5. Реакцию опоры А в кг.
6. Величину подкладок.
Решение. 1. Если рассматривать I как длину свешивающегося
конца, то изгибающий момент Мъ = 1360 • 250 = 340000 кг) см.
2. Для переменной нагрузки (тали и т. д.) берем допускаемое
2
напряжение Л = у 1200 = 800 кг/см1.
3. Необходимый момент сопротивления
W=^~ = 425cm*.
qUU
4. Выбираем профиль № 28 с ИГж=491сж1, значит, высота
ft = 28ejH. ‘ •
5. А = 1360 • 2509^— <^13 500 кг. '
б. Допускаемое напряжение на давление для кирпичной
кладки на цементном растворе k=\Q кг/см*
Следовательно площадь опоры: /
Э69. Какие выводы можно сделать из предыдущей задачи
относительно *р аз мера х? % .
Решение. Размер х должен быть как можно больше; тогда
плиты будут меньше и необходимое давление
В^ср- —
X
будет также меньше. ч
870. Пусть на консоль а • предыдущей задаче (значит, при
/= 250 сл, Л = 28слО действует сосредоточенный на конце
груз Р = 900 кг 4- равномерно распределенная нагрузка
Q = 500*z.
Определить: 1. Изгибающий момент в кгсм.
2. Момент сопротивления балки № 28 в еле*.
3. Сопротивление изгибу в кг) см1.
• Решение. 1. Изгибающий момент
Мь = (э00 4- 250 = 290 000 кгсм.
2. Момент сопротивления
17=491 ыА
3. Сопротивление изгибу
290000 СЛП , ,
cb=—tqt- ~ 600 кг/см*.
370а. То же при /=150 см, Т № 30, Р=1800 кг, Q—
= 1000 кг.
371. Балка из швеллеров (коробчатое железо)
На балку из двух швеллеров № 20 *
действует сосредоточенный груз 4 s
•*900 кг (фиг. 544). ^ГстТ~Т"~Ул
Расстояние т = 250 см
п = ЗЫсм Ц
Определить напряжение швеллера х
я необходимую площадь опоры в кир- ФиГ
яичной кладке.
1. Реакция опоры А в кг.
2. Реакция опоры В в кг. ,
3. Изгибающий "момент в Kt/см.
4. Момент сопротивления швеллера в ем*.
5. Сопротивление изгибу в кгсм1.
6. Допустимо ли это? "
7. Допускаемое давление на кладку в кг/см?.
* 8. Необходимая площадь опоры подкладки.
Pfjiiehhr- 1. Реакция опоры
Л = 900 • .
= 525 кг.
350
1 •••••
1 Реакция опоры
s-to'3SW85-37S”
3. Изгибающий момент
Mb = A «=*525 • 250^130 000^^.
4. Момент сопротивления
TF=2 • 202 = 404 см1 (см. сортамент ОСТ).
5. Напряжение , <
* Мь 130000 000 .
’* = U7 = ~4О4 = 0К- 322 Кг еМ -
6. Допустимо. При спокойном действии нагрузки
^=1000 кг}см\
7. Допускаемое давление на кладку на цементном растворе
k = 10 кг! см9.
8. Необходимая площадь опоры
А 525 со .
«в’ТвТов=53с“*
371а. То же при Р= 1800 кг.
372. Прогон. Пролет I = 10 м, равномерно распределенная
нагрузка Q^=2700 кг> нагрузка от колонны 2700 кг. Дву-
тавровая балка № 30 (фиг. 545).
Определить напряжение и стрелу про-
Q |Р..... гиба.
Цфt Ход расчета. Определить:
/_Ь. 0~ 1. Изгибающий Мь в Тсгсм, если а =» Ъ.
^4——I •—2. Момент сопротивления в см*.
. 3. Напряжение в кгсм*.
ФЯГ. 545. 4, Допустимо ли оно?
, 5. Прогиб балки в см.
Решен не. 1. Изгиб, момент
„ Q-i.Pl 2700 • 1000 .
8 - 4 ” 8 +
+ -2700/ 1000 = 1000 000 кг1см.
2. Момент сотютшмення 502 сл^. ; -
448 * ф V
*** \ .. / . .Г,;. * •- Гк^1. Г.йЬг«
3. Сопротивление изгибу
Мь 1000000 lcnft . .
= = —592“* ~ 1690 •
4. Не допустимо. Для железа
= 1000*г/см\ t
5. Из сортамента: момент инерции J = 8881 см*.
Модуль упругости Е= 2 050000 кг/см*.
Для а = £ = 0,5 / имеем: 4 1
Стрелу прогиба
/= ( 2700 + -у- < 2700) • . gg81.2 050 000 = 4,8 см •
Т=около200- *
» Г. Хедер.
1
VI. ГИДРАВЛИКА.
§ 108. Общие понятия. Гидравлический пресс. Аккумулятор,
а) Жидкости сжимаются лишь весьма мало и в техни-
ческих расчетах считаются неупругими. Уменьшение объема
жидкости вследствие повышения давления на нее на 1 атм. -
называется коэффициентом сжатия' который для давления
до 500 атм. равен приблизительно:
45
для воды -^ = 0,000045; для ртути 0,000003;
для алкоголя 0,000008.
Чем выше давление, тем меньше коэффициент сжатия.
Пример. Большой паровой котел, емкостью в 18 це-
ликом наполнен водою. При испытании на 15 атм. давления
нужно было бы добавить еще 18 000 • 0,000045 • 15=12,2 лит-
ров воды. В действительности пришлось бы добавить гораздо I
больше, вследствие расширения стенок сосуда.
Ь) Давление на жидкость передается в ней равномерно
по всем направлениям (фиг. 546) (закон Паскаля). Давление,
. приходящееся на единицу поверхно-
। у сти, называется удельным дав-
I £ лениеми измеряется в атмосферах
А или в метрах водяного столба, причем
КШ_jHr~ Юл водяного столба соответствуют
1 атм,
г в с) Давление жидкости на воверх-
Фкг. Мб. Фиг. М7. - г .
кость стенок прямо пропорцио-
нально величине последних. Это легче всего уяснить себе на
примере с двумя поршнями различного сечения, производящими
давление на жидкость. Вообще имеем (фиг. 547): 1
(405)
450
Eam меньший шлроень (площадь /) apo из водит на жид-
кость дшснце $мг, то другой поршень поднимается с
снлоа
Q^q .(£;/)** (406)
Давление воды р -у = атм. (407)
и
Г и / площади в еж’; Q и q давления в кг.
Пример. Чтобы на площадь F== 210 см9 произвести давле-
ние в 12 000*2, необходимо усилие:
12 000 „
- ” =э атм.
Открытие этого закона привело к изобретению гидравли-
ческого пресса (в 1794 г.).
d) Гидравлический пресс (фиг. 548) применяется в тех
‘ случаях, когди нужно получить высокое давление, налр.: при
i прессовании хлопка, сева, угля; 1
L выжимании масла из семян расте-
> ний; подъеме грузов; испытании це-
£/пей и строительных материалов, а
Гтакже а других случаях.
Г Креме уравнений 406 — 407, мы
имеем также следующие задней-
f мости:
р для мадогц порщад (ручной на-
ГСОС)
d* • р • а
f
k • l=q • asaet-j-
ддмение на поршень пресса
/
(408)
Q— /»=*.— -^К1. (40»;
ч а сг
Все размеры в см. ,
Преее с аккумулятором см. ц. е. ч
Пример: k = 20, D:4 = б/одлу<1Эвтсг*
Q=20 -8 —
е) Аккумулятор служит для сохранения вады аод высоким
мыепем к применяется камшдлургяческмямяадиСВД а<м.
давлениях дая падравдмческих гкшъчмных кранов, для коярчйых
прессов, в маслобойном деле (200 атм.) и т. д. (фяп 540 и 550).
Фиг. 549. Фиг. 550.
Посредством насоса вода
нагнетается в цилиндр, на-
груженный кладкой или ме-
таллическим грузом, где она
сохраняется и по мере надоб-
ности расходуется.
** Вес необходимого груза
G = ~D' ркг (410)
(411)
Объем воды = -£- О1 х ход поршня, в а.
дм.
Пример: D = 500 мм, р — 80 атм. необходимо
0=4 -50*-80= 157 000 кг.
4
При высоте подъема поршня 2,1 м
объем воды да 5* • 21 = 412 л.
§ 109. Давление жидкости на стенки открытого сосуда*
Давление на отдельные части площади гори-
зонтального дна сосуда везде одинаково; да-
вление же на боковые стенки возпастает с уве-
личением глубины по-
гружения (фиг. 551 и 552).
Если вообразить себе все эти
параллельные силы давления со-
средоточенными в одну равно-
действующую, то точка прило-
жения таковой будет лежать
глубже центра тяжести поверх-
ности боковой стенки и назы-
вается центром давления;
Фвг. 551.
Горизонталь-
но* дно.
Фиг. 652.
Наклонно*
дно.
в этой точке необходимо боко-
вую стенку подпереть, если желательно таким способом поддер-
живать равновесие.
а) Дно сосуда. Давление на дно сосуда не аави-
снт от формы или угла наклона боковых сте-
нок сосуду
452
Давление на горизонтальное дно равно
Т • / • h кг, (412)
? где
f— площадь дна в м9, ;
‘| —высота* давления вл. - ;/
Призер: Площадь дна 1,8 .**, h 6,2 л/, удельный вес жид- ‘
кости 0,81, следовательно, у = 810 кг(м9. Давление на дно рав-
няется 810 • 6,2 • 1,8 = 9000 кг.
При наклонном дне центр давления лежит несколько ниже ‘
центра тяжести S площади дна (фиг. 552), так как давление £
жидкости на половину дна Sy больше, чем на полови^у^ж. £
В атом случае величина и, нормальное давление N, вертикальное •
давление V и горизонтальное давление Р
г вычисляются как для боковых стенок.
Ь) Боковые стенки сосуда. Центр
давления D лежит всегда^луб-
у же центра тяжести S поверх-
ности, испытывающей давление
(фиг. 553).
I Если /^момент инерции, отнесенный
к оси, проходящей в плоскости уровня воды, Jt момент и^4р-
[ ции относительно оси, проходящей через центр тяжести поверх-
ности, тогда:
Фиг. 563.
I
F-h F-h+n‘
Здесь также всегда давление на поверхность
Р=Т«/7-Л кг,
(41з;
(4U)
(41*)
где F поверхность в м9, испытывающая давление; Л высота
напора до центра тяжести з м, и высота уровня воды над
центром давления D в м.
с) Для наиболее часто встречающихся форм плоских
поверхностей имеем:
прямоугольник Р^аЬм9;
v=^.a = A+^).
2 ’ л + 12 ’
. 2в
при Л=> и= .
{41в:
453
(417)
(41«)
(41»)
Применение уравнений 412 — 415.
<0 Вертикальная прямоугольная стенка (фиг. 554).
Р=Т • а • b • Л кг. (00)
Л=‘/, а; « =»*/. а. ' (421)
Фиг. 554. Фиг, 555.
Опрокидывающий момент относительно Я;
Af=p. («-«) = ’/,. Р-л. (СВ)
Пример: а<^4,2м;Ь^=5,4м. Получаем Лев1/,-4,2 = 1,1 Ми
Р= 1000 • 4,2 • 5,4 • 2,1 = 47 600 кг.
Момент Л!=47 800 • ’/, • 4,2 = 66800 кг.
е) Отверстие в стенке (фиг. 555).
Р=1. в • Ъ • Л кг.
« = * + */« («»: Л).
(4Ц
(«Ф
454
Опрокидывающий момент относительно Р: ।
М=Р-(ft+ 1/, о- п); f’2>)
с увеличением h. величина и
приближается к h.
О Наклонные боковые
стенки. Для определения центра
давления и центра тяжести плос-
кости, испытывающей давление,
имеем здесь также (фиг. 556,557)
Фиг. 566.
Фнг. 557. •
* = */,«; в = */,с.
(426)
g) Горизонтальное давление на наклонную плоскость
равняется весу столба жидкости, с основанием, равным
проекции наклон-
ной плоскости на вер-
тикальную, и высо-
той, равной глубине4
погружения центра
тяжести наклонной
плоскости (фиг. 558, 559).
Для прямоугольной боко-
вой стенки:
Р=Т.С.'».Л иг.1) (427)
Пример: Ь^{3м, к = \$м. Для воды
1000 • 3,6 • 4,3 • 1,8 = 28 ОСО кг.
Ы Вертикальное давление на наклонную плоскость рав-
няется весу столба жидкости,
с основанием, равным
проекции наклонной
плоскости на гор и зон
таль и у ю, а высота рав-
на глубине погружения
центра тяжести наклон-
♦иг. а60. НОЙ ПЛОСКОСТИ (фиг. 560, Фиг. 561.
561). '
Для прямоугольной боковой стенки:
V—^^e^b^h. кг. (428)
Ц Нормальное давление (перпендикулярное к наклонной
1) Все равмеры в метрах; для воды у ГООО нг/м*.
455
Фиг» 562.
Фиг. 563.
плоскости равняется весу столба жидкости, с основанием,
равным площади наклонной плоскости, а высо-
та равна глубине погружения центра тяжести
последней ч(фиг. 562, 563).
Для ^прямоугольной боковой
стенки нормальное давление:
JV =» у • а • b • h кг. (429)
Пример: а • b = 17,2 м\Ъ. =
5,4 м\ для керосина с уд.
= 0,79, т = 790 кг]м\ N= *
790. 17,2.5,4 = 73 500 кг.
§ НО. Основные уравнения для бокового давления и
точки его приложения.
а) Боковое давление на плоскую вертикальную или на-
клонную стенку (фиг. 564).
F м* площадь вертикальной или наклонной стенки, испыты-
вающей давление;
ДЛ элементарная площадка, выделенная из площади Л
у м вертикальное расстояние площадки ДГ от поверхности
уровня;
7 кг!м\ вес 1 м1 жидкости (ддя
воды т = 1000).
Нормальное давление
N = 7-br>A/7=F-A T^, (430)
где ft в л вертикальное расстоя-
ние ‘ центра тяжести площади F
от уровня воды. '
Ь) Точка приложения нормального давления. Расстояние
до этой точки от горизонта воды:
' «-7?^=А,*4* <43,)
Фиг. 564.
где J9 я* момент инерции площади, испытывающей давление,
относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тя-
жести площади F.
Из уравнений 430 и 431 не трудно вывести формулы ддя
круглого сечения с диаметром d и для прямоугольного сече-
ния длиною а и шириною Д.
456
с) Величину отдельных сил можно выразить также посред-
ством угла наклона стенки сосуда к горизонтали (фиг. 565), а
именно:
Нормальное давление
V Р
(431а)
> cos a sin а '
Горизонтальное давление
( V • tga —/*/ • sin а кг. (431b)
Вертикальное давление
V=-^ = N. cosa ж». . (432)
rf) Подпирание стенок сосуда. Если для
уравновешен и я. нормально го давления W стенка
подпирается силой А, то имеем равенство мо-
ментов (фиг. 566)
ЛГ-л = А.ж. (433)
(Для прочности боковых стен желательно,
чтобы точки приложения сил У и Л совпадали,
т. е. чтобы х=п; тогда и k = N.)
§ 111. Подъемная сила жидкости. Поплавок. Удельный
вес.
а) Подъемнной силой жидкости называется сила, которая
стремится поднять погруженное в жидкость тело и равняется
весу вытесненной телом жидкости (фиг. 567).
И объем тела, погруженного в жидкость в
литрах,
у удельный вес жидкости,
тогда подъемная сила жидкости равна И*у, (434)
G (вес тела) производит давление вниз, для
состояния равновесия (полное погружение) пла-
вающего тела должно быть поэтому
V.t = G;V₽G:t; (435)
следовательно для плавающего тела:
V>O:y
для тонущего тела
Фиг. 567.
V<G;y.
457
Точка приложения подъемной силы лежит в центре тяжести
вытесненной жидкости.
Ь) Поплавок применяется как указатель высоты уровня
жидкости в сосудах (фиг. 568), а также в соединении с сигналь-
ными аппаратами или с клапанами (фиг. 569), напр. сток кон-
денсационной воды при ма-
шинах, работающих давле-
нием водяного столба (в
шахтах) и в прочих слу-
Фиг. S69.
Фиг. 668.
Здесь применимы уравнения 434 и 435, если Vобъем поплавка
в литрах и G его вес.
Если требуется, чтобы поплавок погружался только: на по-
ловину. то должно быть
У=1^л. _ (436)
Пример (фиг 570).
Деревянный цилиндр d == 8,8 см весит 0,9 кг.
Как глубоко погрузится тело в керосин удель-
ного веса 0,79?
Объем жидкости ч
7 О'- • е — G: т.
Глубина погружения
09
е =----------------—1— =1,9 дм = 19 ем.
0,79-4-0.88’
4
с) Удельный вес. Тело, погруженное в жидкость,
теряет в весе столько, сколько весит вытеснен-
ная им жидкость.1)
1) Заков Архимеда.
458
На этом основано определение удельного веса тела, т.~е.
числа, указывающего, во сколько раз тело тяжелее воды, взято?
в том же объеме:
_ вес тела G
удельный вес т —----------------я---— = т?» (437)
1 вес вытесненной воды V
Опыт. К чашке весов а (фиг, 571) подвешивается кусок же-
леза bt а на чашку с кладутся гири до тех пер, пока не на-
ступит равновесие (напр., 150 г). •’
Затем под висящий кусок железа
подставляют сосуд с водою таким обра s
зом, чтобы железо целиком погрузи feAi!.
лось в воду. Тогда сейчас же опу /Д
стится чашка с. Для восстановления
равноиовесия необходимо положить на J
чашку а некоторый груз (напр. 20 г).
Удельный вес железа получается
пу¥ем деления веса гирь на чашке с
на вес гирь, положенных на чашку а Фиг. S7L
(напр. 150: 20=7,5).
L Твердые тела1).
Асбест........................... 2,1-2,8
Алюминий химически чистый 2,6
Алюминиевая бронза................. 7,7
Асфальт............................ 1,3
Баббит............................. 7,1
Бетон.............г............. 1,8 — 2,45
Бронза с содержанием 8 — И*,0 словам 7,4 — 8,8
Гипс............................. 1—1,81
Гранит..........................2,5 — 3
Дерево: бук, ясень (свежие)..... 0,75 ‘
9 черное дерево сухое........ 1,25
. дуб сукой.................. 0,7—1
. пихта Сухая . ...........0,35 — 0,6
9 сосна, ель сухие.........0,3 —0,75
Железо литое..................... 7,85 ,
. кованое.................... 7,8
. строчное , ..........> . . . . 7,6—7,8
1) Числовые дате соответствуют весу в ы/дм*.
4Ы
Зол ото. .......... . , . . 19,3
Известь обожженная............ 2,8
» гашеная.................. 1*25
Кирпич........................ 1,4 —1,6
9 клинкер................. ij____2,0
Латунь........................ 8,6 *
Лед........................... о,9
Медь красная.................. gr$ 9
» желтая.................... 8,7
Никкель....................... 8,9 —9,2
Олово...........;............. 73
Пемза......................... 0,4 —0,9
Платина....................... 21 4
Свинец............ .........11,25—11,4
Серебро ......................
Сталь литая.....„......’. . . . 7 86
Сталь........... . . ....... /в5
Стальное литье. . . . т....... 7,8
Стекло. ... ,................. 2Л
Сурьма........................ 6,7
Цемент....................... 0,8—1,85
Цинк.......................... 6,9 —7,2
Чугун чушковый?............... 6,7 — 7,8
Чугунное литье................ 7Д
2. Жидкие тела.
Азотная кислота...................
Алкоголь .......................
Бензин ...........................
Бензол .........................
Вода (дестиллиров.).............
Деготь каменноугольный............
Керосин...................... .
Параффин..........................
Ртуть...........................
Серная кислота..................
Скипидар....................... . .
Соляная кислота . . . . ..........
Соляровое масло ..................
Цилиндровое масло.................
Эфир............................
460 * .
1,5
0,79
0,68 — ОД
0,9
1
1,2
0,79 — 0,82
0,9 —0,92
13,6
1,6 .
0,8в
1,2
0,83
0,92 — 0,94
0,74
15° Ц.
о°’ц.
4е Ц.
15е L?
(ГЦ.
15е Ц.
16’Ц.
15 Ц.
15° Ц.
(ГЦ.
3. Газы при О9 и 760мм давления ртутного
столбе, отнесенные к воздуху = 1.
Примечание. Указанные величины представляют собой
только относительные числовые данные. Для определения
действительного веса газа нужно эти числа помножить
*на вес атмосферного воздуха (1,293 кг/м* при О9 и 760 мм
давления ртутного столба).
Азот.*...............0,97
Аммиак...............0,59
Болотный газ........ . 0,56
Водород..............0,069
Воздух...............1
Доменный и генераторный
газ....................0,8
Кислород............1,11
Пары воды...........0,62
Светильный газ . . . .•. 0,4
Солянокислый газ... . 1,25
Углекислота.........1,53
Эфир, пары..........2,59
4. Веса сыпучих тел (кг'м^
Бетон...................................... 1800 — 2200
Буковые дрова.............................. 400
Бурый уголь, сухой.......................... 050 — 780
Дубовые дрова * . , ................. . 420
Известковый раствор........................ 1700 — 1800
Кирпич обыкновенный . *.................... 1400 — 1500
. клинкер............................ 1600—г 1800
Кокс ...................................... 360 — 530
Песок, глина, земля.................. 1700—1800
Сосновые дрова.......ф...................... 320 — 340
Торф, сухой............................. 320 — 410
. влажный.......................л . . . 550 — 650
Уголь................................... 650— 870
Формовочная земля....................... 1200—1650
5. 1 вагон емкостью 10000 кг содержит -м*.
Буковые дрова ............... 25
Бурый уголь сухой............. 13 —15,5
Дубовые дрова...................... 23
Еловые и сосновые дрова . . . 30,5
Кирпич...................... 55—
Кокс.*...................... 19 — 28
Пихта, дрова..................... 31,5
Торф, сухойг.................. . 15 —18
влажный.................. 24 — 31
Уголь............ ............ 11,5— 14,5
461
J
d) Ареометр. При помощи ареометра определяют удельный
вес кислотных» соленых растворов и т. п. и ^удмт о содержа-
нии в данном растворе соли, кислоты и т. д.
Ареометр представляет собою плавающее тело (фиг. 572)
большей частью стеклянное. Нижний шарик наполнен ртутью
или дробью.
Ареометр погружается в жидкость тем глубже, чем меньше
удельный вес последней. На верхней трубке имеются деления,
по которым непосредственно отсчитывается удельный
вес. 1
Если вместо делений для удельного веса имеются
деления для отсчитывания процентов содержания соли
н т. д„ то приходится делать пересчет.
Если л градусы ареометра, тх уд. вес жидкости
тяжелее воды, уд. вес жидкости, легче воды,
тогдак на ареометре:
по Бомэ (при 12,5° Ц.):
♦ИГ. St т* ~ 145,88 — л ; т‘~ 145.88 4-*’
по Беку (при 12,5° U):
170 170
т‘ = Г70^: Л=1ЖГТ;
по Бриксу (при 15,6° Ц):
400 . 400
7l = 400 — п‘ 4W+n’
§112. Сообщающиеся сосуды.
Применение: измерение скорости тяги в топках, для гзэов.
воздуха и т. п.
В сообщающихся сосудах
жидкости устанавливается
одинаковый уровень, вне за-
висимости от формы, поло-
жения и поперечного сече-
ния (фиг. 573,1).
Давлежие р атм. (манометрнч.
кг/см*) жаодмя из уровней заставляет
другой уровень подниматься на высоту
Л м, являющуюся, следовательно, изме-
при однородной
равновесие, т. е<
♦яг. •?«<
/ригелем давления. Если у в кг/дм* представляет удельный вес
жидкости, то для составления равновесия имеем:
Л-Т=10р;
(Ш)
разность высот
7
Л • у
(439)
Пример. Тягомер (фиг. 573, II) соединен с камерой давления
эксгаустера и показывает h =* 22 мм. Если жидкость^ служит
вода, то (т =:= 1 кг/дм1 *) в камере
Неоднородные жидкости. Если в сообщающихся сосуда*
имеются две разные жидкости» то для равновесии необходимо,
чтобы высоты их уровней, отсчитываемые от
плоскости соприкасания обеих жидкостей, были
обратно пропорциональны удельному весу *) этих
жидкостей, т. е. (фиг. 574).
л, • т, = л, • I»;
разность ВЫСОТ Л =гЛх — Л,. Фмт. 574.
Пример. ht — ^cM ртути (jt= 13,6), с одной стороны, и
вода (у> = 1), с другой стороны.
Высота уровня воды над плоскостью раздела:
fti = ht • - = 4 ' Ц- яа 54,4 см;
\ 71 1
Разность уровней4.
ft = 54,4 —4 = 50,4 сж.
(440)
§ 113. Сифон.
Сифон применяется для переливания жидкостей из сосудов
(фиг. 575), причем сначала из сифона высасывается ртом или
воздушным насосом воздух; далее он служит для доставки зна-
чительных количеств воды, в промышленном или городском водо-
снабжении. Если, напр., колодец дает слишком мало воды, то
1) Автором принято обозначение 7 как дла ух. веса, там а для леса
единицы объьмн. Пром. реО.
463
посредством сифона возможно устроить дополнительное питание
его из другого колодца млн из ближайшего пруддДфиг. 576).
Для пуска сифона в действие и для удаления скопляющегося
воздуха необходимо в высшей точке (£) предусмотреть возмож-
Фиг. 575.
Фиг. 576.
кость выкачивания воздуха (посредством всасывающего эжек-
тора), напр.» путем соединения с конденсационной камерой па-
ровой машины и т. п.
Чем меньше 5 высоту наивысшей точки сифона над уровнем
воды в пруде, тем ббльшую скорость воды V можно получить.
Обозначим: суммарное гидравлическое сопротивление в
сифоне в ж водяного столба, Н высота верхней точки сифона
над уровнем воды в колодце в м (фиг. 577). .
Если считать наибольший вакуум в £ -д
равным ОД атм. соответственно дарению i g
ВОДЯНОГО столба ВЫСОТОЮ В 1 Ж, TO CKO-
рость воды будет: Уч I М
VrS V2g(Hм/сек. (441)
Так как у входит в обе стороны урав- Фнг. 577.
нения, потому что также зависит от v1,
то нужно вести расчет сначала подбором, принимая предвари-
тельно v ж= 0,6 — 1 ж сек.х)
Тогда между сечением трубы в ж1 и расходом воды Q в
м1)мин. будет зависимость:
Поперечное сечение
. <«21
§ 114. Гидравлический таран.
Применение. В случае наличия падения у источника "водо-
снабжения и необходимости посредством сравнительно больших
О Сопротвмекве ем. | 113.
464
количеств воды и малого напора поднимать малые количества
воды на большую высоту (фиг. 578). <
Действие. Живая сила движущейся массы воды -у • v1
производит на клапан V давление (удар) и закрывает его. Вслед-
ствие этого йода в воздушном
колпаке U7 и в трубопроводе
поднимается. Как только ско-
рость воды опять уменьшится,
клапан V вследствие своего веса
опять открывается, и цикл начи-
нается сначала.
Обычные размеры: напор
/71 ^2 — 8 Mt высота подъема
=5—10 м, коэффициент полезного действия 0,5 — ОД ско-
рость воды в трубопроводе ~ 1 м/сек.
§ 115. Коэффициент расхода р. •
' Обозначим: а коэффициент сжатия струи, тогда поперечное
сечение струи будет а /;
Ф коэффициент скорости, тогда действительная скорость бу-
дет ф • ш;
р = а - ? коэффициент расхода.
Получаем действительный расход воды р- • / • w.
Из опытов для этих величин получены следующие значения:
J Гонкая стенка Длина насадки 4 Острие края 1 Зак ру гл. края 8 — 22 45"
Р «=5 0,61 < чз ю jl 1 и= м =Д88 « 0,81 0,96 -0,89 •0,82 0,76 0,76 0,71
/ /=1(М Fa = 0,77 0,85 0,69 0,69
/ Приближенные значения для Можно принять для круг-
лого отверстия в тонкой стенке р = 0,61; ддя круглых насадок»
М Г. Xei.p, / ' 4Ы
коротких j* = 0,95, длинных — 0,85; для прямоугольного отвер-
стия, щитовых pi = 0,65, в плотинах р- ~ 0,60.
§ 116. Истечение жидкости через боковые отверстия.
а) Вообще: Расход воды (фиг. 579).
Q = H ’ Щ/Zg * Л . bF) м'/сек,
где р коэффициент расхода.
Отсюда для прямоугольного сечения:
Ь) Свободное Истечение воды. (Необходимо заметить: что
при малых расходах воды, если они выражены в м*/сек, полу-
чаются числа со многими десятичными знаками, поэтому рас-
ходы выражаются обычно в .и’Дмдн 1), помноженном на 60).
Основные формулы (фиг. 580 н 581):
высота напора
’ и*8
(413)
Скорость истечения
w = у 2gH м/сек. (414)
Расход
' . Q = 60 • р. • / • w м*/мин; (445)
поперечное сечение
/=—?---------** (446'
7 60 • И . W '
Пример (фиг. 580): И— 13 м, /=0,04 м1, р = 0,65
Тогда _________ >
. w = j/2 • g .13 = 16,1 м сек.
Q = 60 • 0,65 • 0,04 . 16,1 =25,1 м'/мин.
9 При малых расходах применяются также выражения рясходя аады в
.л/слк. Прям. р*1.
486 ’
fc* В-действительности будет вытекать значительно меньше,
так как в уравнение 444 нужно вставить высоту Н — /Г(фиг. 589^
ГТ. е. '•
s? _________ _
Г w = j/2$ • (АЛ—Л), < (444а)
t где h высота напора, потерянного на сопроти-
> вления, причем h тем больше, чем длиннее трубо-
провод, чем мфьше диаметр и чем больше
‘ скорость w. *) фйг. 5а2.
Приближенные значения для вертикальных трубопроводов
• (фиг. 582).
Напор Я =• 1 10 5° | 100 200 500 ж
Теоретик, скор., w *= 4,4 14 21 44 «1 • 100 м/слх
Диаметр труболров. 1 Действительная скорость истечения
</ = 50 мм 3,8 6,1 6,Г “Г 6,7 6,7 6,7 м!сек
//=100 . 4 8 9,5 10. 10 10
</ = 200 . <3 10 13 14 14 14
</ — 500 . 4,4 . Ф- 11 17 19 20 20 .
t Пример. Для </=100 леи, 7/^50 м имеем по таблице
HbW9,5 м)сек (теорет. 31).
Сообщающиеся сосуды (фиг. 583). Переливание жил-
•н из одного
Фиг. 683.
сосуда в другой. F и одинаковые сечения
обоих сосудов, f сечение переходной трубки
в м\ И начальная высота напора в м, ко-
нечная высота напора равна нулю.
Так как наименьший напор равен нулю, то
средняя скорость воды wcp
Объем протекшей воды
nicety
1) Обыскеиие в $ 118^
467.
Время, необходимое для этого!
, - Q /~Н F - .
- t =----------= — • I/ п— *
Н • / • “ср.. > У % . /
F, Л и f в м*, Q в л*. <
d) Истечение при убывающем напоре. На фиг. 584,I и П
сосуда опоражниваются. На фиг. 585 сосуд наполняется.
<^г. 584. ч Фиг. 585.
Уровень воды понижается ял и поднимается равномерно-ммед-
ненно; поэтому средняя скорость воды
«’ср.=-^2— м/се1('
Объем воды
Q*=F- Н=? -f- wef • iM*. .
Время, необходимое для наполнения (фиг. 585),
р согласно
§115, ппимерво 0,7.
е) Истечение воды под Удаленном р &1см1
(абсол. давление). Здесь также применимы уравне-
ния 443 — 446. Однако, в этом случае (фиг. 586):
Н — 10 • (р— Pt) ж вод. столба, (447)
где Pi давление в пространстве, в которое выте-
кает вода. х ш
При свободном^ истечении (в атмосферу)
Н = 10/? — А м вод. столба (А согласно § 12С‘
На уровне моря, в среднем, А в» 10,33 мл ".
Пример.9Зал р=\1 абс. атм., при свободном истечении
на уровне миря:
w* j/ 2f (10 • 17 —ТОЗЗ) — W */"*. J .
f) Истечение веды под действием ревдефенши (Приме-
нение: инжекционная конденсация у паровых машин, ।высасы-
вание насосами). Давление наружного
воздуха на поверхность А сообщав!
воде скорость w (фиг. 587):
рл вакуум в абс. атм.
Н9 высота всасывания в м
я Л сопротивление трубопровода в мет-
,'~рах вод. ст.олба (§ 118).
Скорость истечения из трубопро-
вода _ •
• № = )/2^. (10 — Ht — Л— \0 -pjм!сек. (448)
/ Пример: Вакуум 0,15 абс. атм., tfp—5,3 м, Л — 0,5 м;
получается:
= j/ 10 — 5,3 — 0,5 — 10 • 0,15) = 7,3 м/сек.
§ 117. Расход'воды и диаметр трубы.
- ' К движение? воды в трубопроводах относятся следующие
основные уравнения:
Расход воды
Q = 60 • / • v м'/мин. 4 (449)
Сечение
•'-аг?*
Скорость воды
v^S/MiceK’ (45*^
Для любого сечения трубопровода />» const, следова-
тельно:
/i^i(452)
Пример. Диаметр трубы d= 100 мм, скорость v = Г,1 м/сек,
получаем: „ ’
Q = 60 ~ 0,19*. 1,4 = 1,87 м':ман.
§ 118. Сопротивление в трубопроводах и клапанах.
а) Определение потерь напора играет важную роль при
расчетах необходимой мощности и возможной высоты всасыва-
ния насосов-
Сопротивление на трение жидкости о стенки труб и между
, отдельными струями возрастают пропорционально
>. квадрату скорости.
/
4W
Общее выражение для потерь напора пишется так:
-V» ' . ' ~ •
С • я—, где коэффициент сопротивления С зависит от числа ко-
*
лен, от изменений сечения и ‘т. п.
Поэтому приведенные ниже величины коэффициентов нужно
рассматривать как приближенные/
Ь) Для прямых труб (по Вейсбаху), Потеря напора
До’ ' '
Л = Х • ~ • 7S— А вод. столба, (453)
«2^
где L длина трубы в м, d диаметр трубы вгл<, v скорость воды
в м/сек.
Для большинства практических случаев применима нижесле-
дующая таблица: " ,
(
Потеря напора вч<етрах водяного столба на 100 м длины трубы
Диаметр трубы в мм Скорость воды г в м/сек.
0Л 0,6 0,7- 0,8 0,9 1 V 1,4 1,6 1,3 2 3 4 5
30 до 39 0,85 1,3 1.6 1,9 2,3 3 4Д 5,2 7 8 и 24 50 75
40 . 69 0,7 1 1.3 1,6 2 2,4 3,4 4,4 5,6 6.7 8,6 19 39 54
60 . 89 0,5 0,65 0,85 1,1 1,3 1,6 2,4 3,2 4 4,8 5,7 12 21 36
90 . 120 0,35 ол 0,6 0,8 1 14 1,6 7,2 2,8 3.4 4,3 9,7 17 '27
130 . 170 0,24 0.32 0,43 0,54 0,67 Че 1,2 1Л 2 2,4 2,8 6.3 fl 17
180 . 220 0,18 0,24 .0,32 0.4 -0,5 0,6 04 1,2 1,5 1.3 2,1 4.7 8,5 13
770 0,14 0,19 0,26 0,33 0,4 03 ОД 0,9 м 1,4 1,7 3,8 6.8 11
360 0,12 0,16 0,21 0,27 0,34 0,4 04 0,8 1< 1,2 1.4 3.2 5.5 8,8
370 . 500 0,09 0,12 0,16 О.2 0,25 0,3 0,4 0,$ 0,6 0.8 1 2.3 4 0.3
Пример. Длина трубы 930 м, диаметр 100 мм, скорбеть *
1,8 м: \ *
Потеря напора -* *
. 3,4 ’ too-32 М'
с) Нормальные отводы *) (фиг. 588).
Потеря напора в м на каждые 100 шт. отводов.
<) Для отводов с углом, отличающимся от 90е, потеря капора равна
' . г о*
. - '°‘^9б 20’
где В угол поворота в градусах.
vo . . •- , • ;
/•V.- .< V. л.
При скорости воды: ’
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,2 1,4 1,6 1,8-2 3 4 5 М сек.
Потеря напора соответственно: v
0,3 0,4 0,6 0,7 0,9 1 1,5 2 2,5 3 4 9 16 25 л вод. ст.
Пример, Если в предыдущем примере трубопровод имеет
18 колен, ю сопротивление увеличивается на 3 • (18: lpO)*»
z=0,5iJf. .
Фиг. 6Й8.
d) Применения колен (фиг. 589) следует избегать, так как
потеря напора в каждом из hhx = C ’2q
20 30 40 50 60 70 80 90е
с = 0,03 0,07 0,14 0,23 0,36 0,52 0,75 F *
\ . . • ' ;
Пример, Насос с трубопроводом длиною 900 л, диаметром
0,15 м, с 20-ю нормальными отводами, о =^2,3 м1сек
900 20
Потеря напора = ц)д • 4 + * 5,5 —37 л вод. столба
е) Потеря напора для приемного клапана с сеткой (вса-
сывающей коробкой).
V
Скорость в отводе клапана . . . . v 0,8 1 1Д м Л,В М 2 м/сек
Приемн. клапан . , 0,04 0,06 ОАЭ 0,12 0,15 0,19 0,241
Сетка 0,01 0,02 0,02 0,03 0,03 0,04 0,05 ст.
Клапану сетка . . . ОД» 0> 0,1! 0,15 0,18 0,23 0,29 .
! '
ЧП
f) Потеря вклапанах (подробнее см. том второй), фиг. 5Й0
591. Приближенно можно приняты
. для 1 клапана потерн напора -х— м вод. столба, (454)
Фнп 690. Фаг. «и.
где г скорость при проходе через
отверстие при поднятом клапане.
Потеря напора, отнесенная к
скорости w перед клапаном:
w9
3~2^м вод. столба. ^455)
Сопротивление от всасывающего колпака до на'гнетального,
включая сопротивление клапанов, берется в 2,2 раза большим;
его можно принять равным 1 м вод. столба.
g) Выезапйое изменение сечения трубы. Встречающиеся
в водопроводах изменения сечений весьма разнообразны. Ни-
жЬеледующие численные значе-
ние имеют целью дать понятие ।
о различных случаях этих изме-
нений: -
Для фиг. 592 имеем
Фаг. ИЗ
фжг. ДО2.
Для фиг. 593 имеем,
При иезакруглениых кромках по Вейсбаху:-
для * •
F,: Fi = 0,01 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 1
{, = 0,5 0.5 0,42 0,33 0,25 0,15 0
а = 0,64 0,64 0,66 0,7 0,75 0,8^ 1
ес*и F, < 0,1 ' F, приченг а постоянно 0,62,
F,:F,=0,l 0,2 0,3 0,4 z 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
{,=23 2 4,7'1,4 1Д ’ 0,8 0,7 0,6 0,5
•сам
F,;F,=0,l 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0.8 0,9 I /
• = 062 0,63 0,6• 0,66 0,68 0,71 0,75 0,81 0,9 1 -
{,=2^6 1.91 1,6 1,24 0.94 0.65 0^9 0,19 0,03 0 '
- I • - '*
9 116. Ускорение я замедлеяяе водяных масс. - ‘
Вопрос этот чрезвычайно важен для расчета удара воды в
насосах и трубопроводах, а также вычисления возможной вы*
соты всасывания.
Воду можно рассматривать как твердое тело; поэтому можно
применять все формулы ускорения твердых тел. Вместо веса G
можно вводить в расчет также расход воды.
ч Аналогично твердым телам здесь также сида должна преодо-
леть составляющую силы тяжести О • sin а.
. Так как в жидкостях давление распространяется равяомерпо
во псех^направлейиях, то можно принять (фиг. 594):
I / о
к«. рде А сечение трубопровода в слР,
А/^ы<0Т1 трубопровода в м по
[•• вертикали.
(456)
Фиг. 594
Фиг. W
Если мы далее введем обозначения (фиг. Л5): — t
Г полезная площадь поршня в см\
L длина трубопровода в м,
G вес воды, находящейся а трубопроводе в /се.,
р давление (манометрическое) в действующее на пор-
шень Г, а
f ускорениё^ВОдянсй массы в m/c^l то здесь также:
Села := ускорен». X
7. W-F „ А • £
'^р ~аг= * * {о.*
Для, горнаонтшвых трубопроводов
Mh' * .
(469,
473
• 1 • А V
*' Пример.. Давление перши* F • / ^1860 «г, Л = 70 c.w’,
X ж® 180 м, Н= 22 м; тогд» при F=« 310 ел*.
5ЙЛЛ 22 - 310 , 70 - 180
•, 10 . т .. 10 • г ’
* — -I - • • *. - „ - ->
сила масса
.отсюда — 9,2 Л/сяг1.
Однако такое равномерйв ускоренное движение в условиях
работы насоса не имеет места, так как поршень в каждом по-
ложении обладает другой скоростью. Поэтому при расчёте уско-
рения объема воды нужно как во всасывающем, так и в нагне-
тающем трубопроводе принять во внимание изложенные дальше
правила. . ‘ 1
§120. Всасывающее действие насосов. /
Силой, сообщающей воде ускорение, является атмосферное
давление, так как над столбом воды образуется насосом.- про-
(460)
странство с разреженным давлением. Обозначив здесь также\
через Н высоту всасывания и через L Длину столба воды в
трубе, полудам из уравнения 458:
Силл 2= ускор^иие х мвсс>
(Л-а)-я Е_ ; ' Т7
Последний член уравнения 460, т. е. масса у насосов с воз-
душным колпаком (фиг. 597) гораздо меньше, чем у насосов
без кодпака (фиг. 596), так как £ меньше. В виду этого ? и воз-
можная высота всасывания Н гораздо^больше. 5
В первом члене уравнения 460 буквой А обозначено атмо с -
474 ' ’ • ' . .
I
фериое давление в м вод. столб*, согласно показаниям баро-
метра. В среднем берут:
Высота 0 100 200-3Q0 400 590 Ж' над ур. моря
Ср. показ, баром. = 760 751 741 732 723 714 жж ртутя. столба
А. Т . , .........= 10,33 10,2 10,08 9,97 9,83 9,7 ж вод. столба
а зависит от температуря воды t,
/ = 'О 10 15 20 25 30 40 50 60 70 80 90 100х
а = 0,06 0,12 0,17 0,24 0,32 0,43 0,75 1,3 2 3,2 4,8 7,1 10,33
Для обычных условий принимается в расчет давление йоз^
духа 745 мм ртутного столба и температура/ воды 10°, -т. с.
• А — о =10,12 — 0,12 =^10 ж. (461)
Это значение действительно для нормальных условий. Если
диаметр поршня равен диаметру всасывающей трубы, то F= и
тогда, согласно уравнению 460, получим теоретически:
Наибольшая высота всасывацря
22—10 — <f.~ м. (462)
Наибольшее ускорение воды •
м‘&к\ (483)
’ & / ч \
Ускорение поршня определяется в зависимости от скорости
•кривошипа.
Для обыкновенной длины шатуна (1:5) имеем приближенно:
и*
Ускорение поршня = • г, (464)
/о
где г радиус кривошипа в ж, л число оборотов насоса в ми-
нуту. , •
Во избежание отделения поршня от воды обязательно необ-
хЬдимо соблюдение важного условия: \
Ускорение воды > ускорение поршня* \ Т
Пример, Н=4,4м, л =±55, г = 0,4 ж. Тогда:
по уравнению 463 <? = 4йТо^1 “ 1
551
. . 464 уск. поршня = — - 0,4 = 16,2
, , 465 должно быть 11,2 > 16,2.
478
Это'у сломе, очевидно, не соблюдено, вдетому должно про-
изойти отделение воды от поршня и насое не будет работать.
Путем включения в сеть воздушного колпака можно получить
\ меньшее L, а следовательно большее ? или большее Н.
ft 121. Удар воды в напорных трубопроводах.
Атмосферное давление А у выходного отверстия, вмесге с
гидравлическими сопротивлениями Л, вызывает замедление ско-
рости воды. Когда поршенб догоняет воду или вода, вследствие
замедления, получает обратное движение, то при встрече водь'
с поршнем получается удар. <
* В этом случае применимо общее уравнение:
Сопротивление — замедлению X масса
Х 10 ,/ io g
(466)
где А = 10 м, Н высота нагнетания в м, Л Потеря напора в м,
♦иг. 599.
♦иг. 000
Фиг. Ю8.
С А
Тота
При устаяовкм, согласие
фиг Б9в и 699, депо может
случиться разрыв водяного
столба в точке > (следствием
чего является удар воды).
Для фиг. 598-000 замедление ? — ^‘^^9,81 ,(467)
ъ
По фиг. 598
10 ...
?=*-
По фиг. 599
По фиг. 500
Ф = 12+5». 9,81 (468)
По фиг. 598—600 т «=^-9,81 (т. к. Н^=0 н Дх=0 (469)
476*
I длина напорного труоопровода в м, — сечение напорного
трубопровода в сж1.
Для различных точек трубопровода получается согласно вы-
шесказанному *) (см. таблицу жа стр. 476)
Если F, не равняется F, то:
Ускорение воды, отнесенное к поршню F> Ускорение поршня
F п*
? • должно быть больше, чем й'> (470)
где м число оборотов в минуту, г радиус кривошипа в ж.
РЕАКЦИЯ ВЫТЕКАЮЩЕЙ ВОДЫ.
§ 122, Общие данные.
Сосуд, наполненный жидкостью, находится в равновесии, так
. s как давление на стенки распространяется равномерно по всем
направлениям (фиг. 601),
Представим себе» что в левой боковой стенке имеется отвер
> стие (фиг. 601). Тогда для этой части стенки давление отпадает
. Фиг. 601. Фиг. 602.
а сосуд будет отталкиваться вправо с силою R=f* h • у, Лли
/ сечение отверстия в м\ h высота жидкости в м н у вес 1 ж*
жидкости в кг (для воды т = 1000).
Скорость истечения, получающаяся под действием напора h
(для воды скорость равна J/fgftj’, может, следоваэеХыю,уравно-
вешивать давление столба жидкости высотою А, если укреплен-
ный с правой стороны сосуда поршень также имеет поперечное
сечение /, как показано на фиг. 602.
В действительности, однако, реакция струи вдвое брлаше.
К вышеуказанному гидростатическому давлению
/Априбавляется еще гидродинамическое давление,
вызываемое вытекающей из насадки / жидкостью благодаря ее
Потеря Л в срияймв с Я Нсмй мала, аогйшу мм tx> сршабраоин
. ’s • Я
инерционному действию, потому что каждую частицу жидкости
нужно вывести из состояния покоя и сообщить ей скоростью.
Эта величина также равняется /•£•?. Таким образом суммарное
давление равно 2 • / - Л • у, как показано на фиг. 603.
Еще нагляднее пример катящегося
сосуда. При этом безразлично» выте-
кает ли жидкость свободно (фиг. 604)
рли струя встречает препятствие'(фиг.
605). Во всяком случае и здесь выте-
кающая струя сечением / м* уравно-
вешивает столб жидкости высотою 2Л,
если нарисованный справа поршень
имеет также сечение / ж1. Отсюда
закон:
Правило. Реакция направлена всегда обратно
вытекаюшей струе и равна по величине весу >
фиг. аи. Фиг. 606.
столба жидкости с основанием» равным пло*
щади выходного отверстия, и высотою, равной
двойиойвысотенаОра, т. е. реакция
(471)
Ускоренное под влиянием напора Н истече-
ние жидкости вызывает при встрече с плоской
псверхиостью удар, который (фиг. 606) уравно-
вешивает столб жидкости, равный 2 Н м, если
этот столб жидкости имеет такое же сечение,
как и выходное отверстие.
_ Если, следовательно, понимать вышеуказан-
ное правило буквально, то выходит, что
реакция на поршень N (фиг. 607) должна быть такой же ве-
личины (согл. урави. 471); т. е. уравновешивать столб жидкости^
Фиг. в07.
>: равный 2//'к. В действительности однако это неопрае-
дыеается. Истинную величину давления на
поршень У, при современном состоянии гид-
* равлики, невозможно опреде лить, «аже
если выбрать наипростейшую форму трубы,
и если кривая линии тоуа S была бы точно
известна (фиг. 608).
Реакцию можно использовать также для .
получения работы/ если дать выходной ।
трубке возможность двигаться в прЪтивопо-
ложном направлении. На этом i
ковано так называемое Сегнерово колесо» —
На фиг. 609 показана модель Сегнерова
колеса для учебных целей. Садовый разбрыз-
гиватель (фиг. 610), с автоматически вра-
щающимися трубками, основан
принципе реакции струи.
принципе ос. 1
во колесо» 1—
также на
Фиг. 609.
- Фиг. ею.
Фиг. 606/
§ 123. Укрепление выходных участков трубопроводов.
• j е
tn
Вии чиха силы /? всегда вычисляется по формуле:
Реакция /? =/• ^ * у • р кг, ‘
(472)
где / выражено в м1, w в М'Сек> в кг/ж’ (для воды = 1000),
Р~1. / '
Разлагая силу Л, получим ее составляющие:1
ft1=/?«sin5; R^R - соя\ (473)
Фаг. в!х
ft
Для уравновешивания реакции
применяются опоры и крепления,
• показанные на фиг< 611. Анкерные
болты башмака (фиг. 611, /) испы-
тывают напряжениесреза. При
этом безразлично, происходит ли
истечение под влиянием естествен-
k його напора (фиг. 612) или механи-
ческого давления (фиг. 613).
Фиг. 013. Пример. Если диаметр трубы
_ 20 ем, » = 5,3 м(сек> то показан-
ные на фиг. 612 и 613 анкерные болты рассчитываются яа
срез (для воды 7»1000)* исходя из силы горизонтального
сдвига , • ,
- 0,2* •^-•1000=90».
Это, пррдд, величина не очень большая: одна-
ко, пренебрегая реакцией, можно получить иногда
печальные результаты. " • ч *z
Так, напр., если- на фиг< 614 не принять меры
дня уравновешивания, реакции </?, то труба в А
будет испытывать изгиб под влиянием изгибающего
момента R • Д. • 4 , •
Промер. В предыдущем примере (Л«9О/гг) длина трубы
Z. = 5jm; в такойслучае изгибающий момент
М = 90500^45 000 кгсм.
ф 1М, Измерение скоростей в реках л кайлах»
/а) Поплавок (фиг. 615). Наблюдают время i в сек» в течс-
две которого пущенный по поверхности воАм поплавок (иля
другое тело) проходит расстояние а. Поверхностная скорость
•* • . «жжу ; 1м[сек9
i
А \
ФИГ. в!€
л-
фиг. 615»
Фиг. 616.
Фиг. 617.
Средняя скорость течения
примерно 0,9 w.
Ь) Трубка Пито (фиг.616).
В вертикальном колене по-
груженной в воду изогнутой
трубки вода поднимается на
высоту h над уровнем реки. Следовательно, скорость течения
7 $ ж/сеж. (475)
Коэффициент у. больше единицы и выражает влияние капил-
лярности и трения воды в трубке л На усовершенствованной
трубке Дарси скорость отсчитывается непосредственно по шкале.
с)х Вертушка Вольтмана (фиг. 617).
На конце небольшого горизонтального ва-
лика w насажена вертушка с 3—5 крыльями,
которые течением воды приводятся во вра-
щение. ।
Число оборотов п валика отмечается
счетчиком л. * • * •
До употребления эти приборы должны
быть / тарированы, т. е. нужно определить
входящую в уравнение •
г
постоянную С,
щешш вала w.
1 § 125. Измерение расхода воды»
а) Формы сечения. Посредством полученной одним из выше-
* указанных способов сред-
ней скорости w вычисляется
расход протекающей воды
Q=F< wM'/сек, (477)
где F живое сечение потока
в Мя. Фиг. (ИЯ.
В случае простых форм -
селения с плоскими боковыми поверхностями площадь F опре-
деляется следующим образом (фиг. 618 и 619).
w = C + B-n (476)
выражающую скорость, необходимую для вра-
Фиг. 618.
(478)
+А
(479)
481
Сечения неправильной фор ми или сечения с неровными
боковыми поверхностями (фиг. 620) разделяются на ряд эле-
ментарных площадок. Затем определяют скорость для каждой
площадки и складывают отдельные расходы воды:
-w. + a^ ЬЛ > ..+ an-brt‘Wn. (480)
Такие вычисления однако весьма приблизительны и ненд-
Фнг. 620.
д е ж н ы, потому что при этом получа-
ются величины с ошибкою до 200% как
для скоростей, так и для расходов воды.
Ь) Более точные способы измере-
ния расходов воды и скоростей.1)
По пути водного потЛа устраивается
плотина (деревянная или иная) с пря-
моугольным вырезом. Тогда можно рас-
ход воды Q вычислить посредством вы-
соты напора Л, измеряемой во время наблюдений, как показано
на нижеследующих двух примерах.
1. Водослив Понселе является часто применяемым способом
Фиг. 621. Фиг. 622.
Скорость воды
' w s= |/2^ • */> • Л м/сек. (481)
Расход воды
Q =к р • b . h • w м*/сек. |482)
Если кромки отверстия заострены внутрь, то коэффициент,
сжатия р. = 0,65> b ширина водослива, Л высота слоя перели-
вающейся воды в д (Л измеряется выше понижения поверх-
ности воды и.нахо^тся большей частью на расстоянии £=*1 м
у *} Относительно сжатия сечехяя струя—см. f 115.
482
от гребня водослива; поэтому нужно измерять каждый раз два
размера, а именно. Лх и Л> чтобы получить Л « At Ajj,
Пример. «
Ь = 1,2 м, h = 1,1 м, At = 0,65 м,
следовательно, ;
h = 1,1 — 0,65 = 0,^5 м,
по уравнениям 481 и 482 расход
[, Q — 0,65-1.2 - 0,45 j/2 • 9,81 - 0,23 =
= 0,72 м'/сек..
2. Щит (фиг. 623) а высота
подъема щита устанавливается таким
Р' образом, чтобы высота верхнего уров-
ня воды оставалась, по возможности, постоянной. Тогда:
, скорость
i w — |/2 ~ Н м/сек. (483)
Расход 1
Q = p . а • b • w м1/сек. ' (484)
а и b в м (фиг. 623).
Кромки должны быть заострены внутрь, тогда р = 0,65.
Пример. Для Я = 0,6лс, а = 0,2 ж, b = 0,8 м получается,
по уравнению 483:
w — j/2 * 9,81 • 0,6 = 3,43 м/сек,
по уравнению 484:
Q = 0,65 <0,2-0,8-343 =
= 0,355 мР/сек.
3. Плотина (фиг. 624). Пр^
существующем водосливе считают:
скорость
Фиг. 624. г Л .
4 w = j/2g • 7t h м/сек. (485)
I Q = pi. b • A • wм'/сек. (486).
b и А в Mt p = 0,60. «
Пример. Для A= 12 м, Л|=0,9 м имеем, по уравнению 485:
V = |/2 « й,81 j0,4^ = 3 м/сек.
л Q = 0,6 • 12 • ОД • 3~ UW мЧж.
4
ш
с) Водомер „Вентури* (Сименс и Гальске). 1. Отличи-
тельные признаки (фиг. 625) трубки «Вентури*: сужение
трубопровода (ипуск £) и примыкающее к нему расширение
(выпуск А).
Сужение струи воды в шейке трубки «Вентури* вызывает
увеличение скорости воды с до и» благодаря чему получается
разность давлений, между впускным отверстием и шейкой,
равная; ,
Н s= Va --У* в м водян. столба,
где Vj в м/сек.— скорость впуска,
V, в м/сек. — скорость в шейке.
2. Указатель количества протекающей воды. Разность
давлений мЛкно измерять дифференциальным манометром. Тогда
количество протекающей<воды: *
/
где Fj — сечение впуска
F, в м9 — сечение шейки.
Обозначив все постоянные значения в совокупности через С,
получим: f *
Следовательно, практически можно непосредственно отсчиты-
вать величину Q.
3. Регистрирующий аппарат. Количество воды, протекаю-
щее в определенный промежуток времени, записывается осо-
бым регистрирующим аппаратом.
К? 4. Парциальный водомер. Непрерывное суммирование про-
В текающеро количества воды путем включения чувствительного
водомера в ответвление трубопровода, срединяющее обе камеры
Е давления D. Вследствие разности давления Я часть Q/ общего
| количества вгоняется в ответвление трубопровода, причем отно-
£ шенис Qt : Q при всяком Н одинаково.
I РАБОТА ЧОДЬЬ
г х § 126. Общие данные»
Вода может совершать работу: 1) слоей тяжестью, 2) своей
£ скоростью, 3) ударом струи, 4) реакцией истечения струи,
& ’ .5) одновременно несколькими и4 предыдущих четырех способов.
К- г Точное разделение этих способов не всегда возможно, так
как, напр.,, скорость воды является следствием напора, а удар
р результат скорости.
г Содержащаяся в воде работоспособность равна
[ 1000- Q • Н кг ж/ctfw. = X • 1000 Q Н л. с., (487)
ар / О 1
I а производимая водою работа равна
L X • 1000 • Q • И • 1 л. с., (488)
( где Q расход Вбды в м*/сек., Н высота напора в м, коэффи-
циент полезного действия водяного колеса или турбины.
. § 127. Водяные колеса.
р Применяемые конструкции:
и Л * Нижн ебой ное колесо / СреднебоЙ- ное колесо Верхвебой- ное колесо Колесо Пельтона (активная турбин^
ь:. £ Г Пф
Способ дей- ствия: / ударом весом весом и отча- сти ударом Изменен, напра- вления скорости
Соэфф. поя.У ‘ действия J 1'Г Ч = 0#3 до 0,4 1)^0, 6 до 0г85 ^=0,6 до 0/85 = 0,8 до 0,9
485
.. . - . I
Пример. Для средяебойного колеса при Q = 0,75 м*/сек.,
Н=3м, т| = 0Д получается согл. уравнению 487: ,
Работоспособность воды = X • 1000 • 0,75 3 = 30 л. с./согл.
75
уравнению 488.
Производимая работа = * 1000 • 0,75 • 3 ♦ 0,8 = 24 л. с>
§ 128. ТурбиньЛ
\ В зависимости от конструкции и расположения турбины
разделяются на:
реактивные турбины (работа получается в результате из-
скорости (реакции) струи);
активные турбины
(работа получается в
результате изменения
направления скорости).
Коэффициент по-
лезного действия тур-
бины доходит до
^ — 0,92.
Различные располо-
жения колеса турбины
показаны на фиг. 626.
менения направления и величины
Фиг. 626. I—IV.
Реактивные турбины могут вращаться, будучи полно-
стью погружены в воду, причем рабочее колесо и направляю-
щий аппарат могут быть установлены я любом месте шахты
(фиг. 626, I — IV). Нижний столб воды действует тогда в с а-'
сывающим образом и, конечно, не должен превышать теоре-
тическую высоту 10,33 ж.
Рабочие колеса активных турбин всегда должны иметь со-
общение с наружным воздухом; стекающая вода всасывание
не производит (фиг. $26, Ш). .
Пример, Для /7=20 м, Qa.0,3 м11сек, 0,92 имеем из
уравнения 488 мощность ,
• 1000 • 03 • 20 • 0,92 * 73 л. с.
ГАЗЫ.
§ 129» Общие данные.
В технике находят применение главным образом следующие
, газы: при добывании соды—аммиак; при фабрикации искусствен-
/
ноте льда углекислота» сернистая кислота, аммиак; для нагре-
вания и силовых установок— светильный газ, доменный газ, во-
дяной газ, генераторный газ; для освещения — светильный х газ.
ацетилен.
Газы, подчиняющиеся закону Гей-Люссака и Мариотта,
называются идеальными газами.
Характеристическое уравнение состояния идеальных газов
следующее: ч
10000 р(1 : Д== Я • Г; т= 1-°^°/ . (489)
10000 р- V~GR- Т, , (490)
где р— давление в атм. абс.\ 10 000 • р—давление в кг)м1;
7 — удельный вес в /гг/жа; 1 : т — объем 1 th газа в м1)кг\
И—объем в м' количества газк весом G кг; t— температура;
Т= t + 273 — абсолютная температура в градусах; R — газовая
постоянная в кгм)Т.
Газовая постоянная R обратно пропорциональна молекуляр-
ному весу газа. Принцдая для кислорода молекулярный вес
/и = 32 (по Оствальду), будем иметь:
/?=^: (491).
X Удельный вес
10000/» '
Т = ^/. .(492)
Газовая постоянная R и удельный вес у в кг)м\ отне-
сенные к 1 атм. абс.
Жирно напечатанные цифры таблицы на стр. 488 служат для
подсчетов при определении поперечного сечения газопроводов,
скорости и количества газа для светильного, генераторного, до-
менного и смешанного газа. Давления этих газов колеблются
обычно в пределах от ^ = 0.8 до 1,03 атм. абс.
I) При р—10333 кг/м*, t—CP иля 7*—273* и объеме килограмм^модмуды,
равном 22,4 м®, имеем:
10333.22,4 —л,-/?. 273,
откуда:
10338 • 22,4 848,5
Прим. рсЗ.
Газовая постоянная.
ГАЗ ы Све- тильный ' газ Доменный и генера- торный газ Водя- ной газ Сме- шанный газ Ацетилам
Газовая постоянная R — 67 30 54 36 за юм/т
для / = 0э • т — 0,56 1J22 0,68 1,05 1,11 кг/м9
Г=20° j 1 7 = 0,51 1,14 0,63 0,97 1,03 .
1,96 0,88 1,6 1№ 0,97 м^кг
• / = 50° • 7 = 0,46 1,04 0,57 0,89 0,94 KtjM*
/=100° 7=* — и 0,4 0,9 ' 0.5 0,77 0,81 .
§ 130, Основные законы.
При равных .температурах объемы газов
обратно пропорциональны давлениям в атм.
абс., в мм водяного столба или в мм ртутного
столба. *)
При одинаковых давлениях объемы газов
прямо пропорциональны абсолютные темпе-
ратурам. t \
Пример. 24 м1 газа" при давлении 0,92 атм. абс., будучи
сжаты до 1,3 атм. абс., имеют объем, равный:
24 - (0,92: 1,3) = 17 м*.
Если одновременно с этим газ будет нагрет с 8° до 35е, то
его объем будет равен:
. 17.™±35=187л‘
273 + 8 ’
1) Ддя намерения давления удобнее попиваться мм ртутного столба,
так как пря атом легко можно учесть показания барометра. Пересчет про-
изводится по следующему равенству:
10000 мм вод. ст. 736,6 лиг ртут, ст. 1 атм. абс..
то дает, например, следующие значения:
Атм. абс. мм вод. ст. мм рт. ст. 0,92 9X0 •77 ОДИ мой «1 озв 9вЮ о.эв 9800 721 1 10 000 736.6 1,01 10000 743 1Л2 10200 750 10000 758
§ 131. Газы в трубопроводах.
Обозначим через: w— скорость газов в м)сек, d**-диаметр
газопровода & еле, тогда:
количество газа
(? = 0,36 * (к : 4) d* • w m'/hoc, (493}
: поперечное сечение трубы
(к : 4) • cP = Q : (0,36 • w) см*. (494)
Пример.
d=200 мм, w s= 5,2 м!сек.
Q= 0,36 • 20* • 5,2 = 587 мг/чм.
Потеря давления, В газопроводах, передающих на дале-
кое расстояние светильный или доменный газ, мы имеем дело
большей частью с низким давлением, измеряемым в мм водя-
ного столба.
Скорость газов выбирается таким Образом, чтобы разность
давлений в начале и в конце газопровода оставалась в опреде-
ленных пределах.‘)
Обозначим далее через L — длину прямого трубопровода
в м, d —диаметр в свету трубопровода в лЛ и О = <? т-
количество газа в кг/час.
Тогда для воздуха, газа и пара потеря давления по Фрицше
будет:
/1 = 3 . у . w1 • мм вод. ст* ' (495)
где d0-027
р е= 2,526 -у .-а (опытное значение). (496)
/ Но так как d0,027 изменяется незначительно, то/при и и мая т?
среднем d ~ 100 мм» получим:
1) В городских газопроводах давление под коллмом газометра доходит,
до 50 — бОдик водяного столба для мелких установок и до 70 — 120 мм
яявогъ столбе для крупных. Для доменного гам берут 30 мм водяного столба;
для □птаннв газовых двигателе* да&ланве повышается при помощи цевтро-
бежвых венгаляторов до ЙЮ — 300 мм водяного столба. ,
489
ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ 3 ПО ФОРМУ ля 497.
G 3 а 3 О 3 а 3
10 2,03 100 1,45 1000 1,03 10000 0,73
15 1,92 150 1,36 1500 0,97 15000 0,69
25 1,78 250 1,26 2500 0,90 25000 0,64
4Q 1.66 400 1,18 4000 0,84 40 000 0,595
65 1,54 650 1,10 6 500 0,78 65000 0,555
100 1,45 1000 1,03 10000 0,73 100000 0,525
Для выводов с радиусом г = (2 -4- 4) d сопротивление учи-
тывается прибавлением к длине прямого трубопровода прямой
трубы длиною около 10 dt т. е. сопротивление отвода заменяют
сопротивлением эквивалентной длины прямой трубы.
Например, имея для отвода 4 = 200 мм, калине прямого
трубопровода прибавляется 10 X 200 = 2000 мм = 2 м длины.
Из уравнения 495 составлена следующая таблица:
Сопротивление в мм водян. столба на 1 погонный метр длины
трубопровода (при нормальной шероховатости внутренней по-
, верхностн).
Диаметр трубы в светуd = 25 * 50 100 200 300 500 мм
Светильный газ 1 * 7=0,51, ш=2}л~ 0,15 4 0,06 0,025 0,01 0,006 0,003мм вод, ст.
Доменный газ | . 7=1,14, щ=4|л — 1,09 0,45 0,18 0,074 0,043 0,025жжаоЭ. ст.
Пример. Имеется трубопровод для светильного газа 4==
300 MXr длиною 730 м прямых труб с 10 отводами, что экви-
валентно общей длине труб L = 730 + 10 • (10 • 0,3) =760 м.
। При у»0,51 и w=2 м/сек получим по таблице потерю давле-
ния: h = 760 я 0,006»» 4^6 мм водяного столба.
490
ВОЗДУХ
$132. Состав, влажность» вес» барометрическое давление.
Сухой атмосферный воздух
состоит из:
Кислорода............
Азота (+аргон, гелий и дру-
гие газы в небольших ко-
личествах) . . . ............
В провелах по весу В процентах по объаму
23,2 20,96 21
76,8 79,04- -г 79
100 100 100
Абсолютная влажность воздуха измеряется в граммах во-
дяного пара, содержащегося в 1 № воздуха. Единицей измере-
ния служит г/м*.
Пример, Если в 1 м1 воздуха содержится 10 г водяного
пара, то его абсолютная влажность равцд 10.
Относительной влажностью воздуха назы-
вается отношение количества водяного пара в
граммах, содержащегося# в 1л? воздуха, к коли-
честву пара, которое могло бы максимально
содержаться в 1ц? воздуха при той же темпе-
ратуре. 4
Стократная величина относительной влажности называется
степенью влажности воздуха. Приборы для измерения влаж-
ности воздуха называются гигрометрами. х
Пример. Если при' данной температуре максимально воз-
можное количество водяного пара равно 15 г в 1л? воздуха, а
в действительности вцздух содержит только 9 а» то относительная
влажность равна 9 ; 15 = 0,6. Следовательно степень Влажности
равна 100 • 0,6 = 60. !
Удельный вес 1 и? воздуха при температуре /° И и давле-
нии р атм. абс. равен:
1,252 - р
Г-Й/Хйбб• t кг'
(49в)
Сухой атмосферный воздух весит при 0® м 760 ртутного
столба 1,29 лга/л?. * (499)
Воздух нормальной влажности весит:
13 — 0,004 • f кг/м*. ’ (5001
Пример, 1 м* воздуха при /=30° Ц. весит согласно урав-
нению 500:
1,3 —0,004 • 30 = 1,18 кг.
Среднее барометрическое давление при температуре 0° Ц.
0 100 200 300 400 500 м над уровнем моря
760 751 741 732 723 714 м ртутн. столба.
§ 133. Нагревацие н расширение воздуха.
а) Коэффициентом расширения а газа называется прира-
щение единицы объема его при нагревании от 0° до 1°Ц., ко-
торое равно объема газа при 0°Ц. Следовательно:
0=^ = 0,00366. • (501)
Пример. Температура воздуха объема м1 повышается от
до tt. Тогда при одинаковом давлении получим:
И, = У,4-И,(/,-«.в м*. (502)
Здесь Ив определяется по формуле идеальных газов (§ 128),
вставляя для сухого воздуха при 0° и 760 мм рт. ст. постоянную:
R=* 29,27, <503)
или же Vt вычисляется по формуле 502.
Ь) При постоянном давлении объемы гада прямо про-
порциональны, а удельные веся обратно пропор-
циональны абсолютным температурам/
Эти зависимости являются следствиями закона Г ей-Л юс*
сака.
— + It
Ъ или Ti _ * + * ’ G _ « 273 + Д
или Vi-T,-1+e + ГЛ(504)
V\, Yt — объем и удельный вес при температуре газа t°, Vt.
у, —то же при
с) Обозначая через р давление в атм. абс., а абсолютную
температуру через
' Г-«'~-Ня.273-Н. (505)
42
f
по закону Мариотта и Гей-Люссака будем иметь: * - • ?
f . р,- K,_I + « -4_273 + G_ А - fSQfij
I Pi • V~ !+»•/. “273 + Г, Л ' ’
Следовательно при постоянном объеме давления
прямо пропорциональны абсолютным темпе-
ратурам. •* .
Пример, Определенный объем воздуха начального давления
рх = 2 атм. абс. нагревается от ^=х8° до ^=45°.
I Тогда давление в конце нагревания
I ' '
р>=2 * атм‘ абс'
f z/o-h о
Примечание. Удельный объем
V 1
. U Т 1 j
следовательно
V=v - Gm1.
§ 134. Сжатый воздух.
Сжатый воздух применяется в качестве рабочего тела, обла-
дающего определенным запасом энергии для приведения в дей-
ствие бурильных молотов (балде.), небольших машин в шахтах,
для передачи энергии на большие расстояния (например* па-
рижская сеть сжатого воздуха 6 атм.) для дутья в доменных
печах (ОД до 2 атм.), для пуска в ход двигателей внутреннего j
сгорания, для пневматических инструментов, для воздушной ч
♦ почты, для непосредственного выкачивания воды (насосы .Мам-
мут*), для всевозможных пневматических установок (*/« атм.)
(работы под водою}, для железнодорожных тормозов и т. Д.
При сжатии воздух нагревается тем выше, чем больше сжа-
тие. Если при этом теплота не подводится к воздуху и не от-
водится от него, то такое изменение состояния воздуха назы-
вается адиабатическим.
Конечная температура воздуха (по окончании сжатия) зави-
сит от его мачажыюй температуры м от величины давления в
лкнаяе и в конце сжатия.
V 4ДЗ
1
Для первоняч. со- стояния воздуха И. Pi it Л = 273 + 4
Для сжатого со- стояния воздуха V, Pi h Г,=273 + 4
Обозначает: объем в м1 давление в атм, абс. темпер, в градус. Ц. абсолютная температура
Отношение pf : pt называется степенью сжатия,
' Основные уравнения, применяемые при расчётах:
Уравнения:
1,41—1
г.1У.\хлх-'{Р.\ 131
ъ ~\ъ)
V, = 'l/ti = (1+«•*)•* = 273 + 4 t А _
Vi ' Р. (1 + а • 4) • р, 273 + 4 pt
£1
л Pl
(509)
Для всех изменений состояния:
т= 1 + 0,00366 •/ *г/ж’' . (510)
объемов воздуха, если в
Пример. Чему равно отношение
первоначальном состоянии при = 2(Г Ц. pv ss 1 атм. абс,, а в
конечном (после адиабатического сжатия) рх~5 атм, абс,? •
Согласно уравнению 508:
0,2908 '
| =Ц97.
I»
7\
откуда
Г,«1397 • (273 + 20) = 468*.
Из уравнения 509 получим (фиг. 627):
^,_293 5
И,“468’ I
= 3,12.
Bent на диаграмме ваггь V, = 100 мм, то получим, мп
три 5 алмс. Ц= 100 :3,12 мм. На диаграмме указан^
температуры / для давлений от 1 до 7 атм, абс., если в начала
ном состоянии Pi — 1 атм. абс,, а /1=20°Ц. *
Удельный вес сжатого воздуха определится согласно урав-
нению 510:
т __ 1*252 « 5_____3 55 кг/м9 6'
т*“ 1 Ц-0,00366 • 195л’^кг!м- 5-
Л-
В последнее время применяют ежа- J
тыЙ воздух для добывания жидкого'
воздуха и кислорода для паровозов, а
действующих сжатым воздухом, и т. п.
Для этих давлений двух ступеней не- Фиг. 627.
достаточно, поэтому доходят до 5 сту- '
пеней. При начальной температуре в 20° и конечной темпера-
туре в 12(Г, коэффициент сжатия Р,:Р1=&ЗД для показателя
k =1,33.
5 13& Давление ветра, *
Давление ветра необходимо принимать вож вщимдние при
расчетах разного рода построек, как-то: дымовых труб, мостов,
кранов и др.
Так как здесь величина давления также пропорциональна
квадрату скорости ветра и плотности воздуха, то формула для /
определения давления имеет тот Me вид, что и для газообраз-
ных тел. <
Пусть w скорость ветра в Mjcetc, т =» 1,29 удельный вес
воздуха (вес 1 м1 в кг), ъ коэффициент поверхности (т% зави-
сит также от формы поверхности): г’
г Форма повеохкостя 1 J
Отвошекм е сто- роя А хЪ * Ветряная мельница
Круг 1 3 4 Квадрат Прамоугол.
Коэффициент Поверхность 0,83 (<:♦)©• 0,86 bh 0,95 ьн ! 0,94 i bh 0,В6 • 91Л а А-А 0,93 Sin а ЬЛ
*5
Тогда давление, перпендикулярное к поверхности, будет
равно:
-у • Т *гМ‘. (511)
Нормальное давление:
N^q-Fxz. • (512)
Значение vj0 и Л
/ ТЕЛА г 1^1
Полый \ шар Шар Усеченный конус Усеченная пирамида 6-гранная Усеченная дирамкда 8-гранная
Коэффициент т]0— Поверхность F— Расстоян. цен-1 тра тяжести J 1 (к: 4) D* 0,5-V .0.33 (я:4)£)» 0,5.0 0.67 (г 4-Я) А А 2г4-Я 0,75 (г4;Я)А А 2г -}- Я 0,71 (r+R}h h 2r+R
3 г 4**Я 3 г+Я 3 г+Я
Шкдла силы ветра и значение — • । (давление в tajM*).
* w1
Умеренный* ветер . . а/ = 2Д м)сек, — • |=0,82
Свежий ветер • . . . w=»5 9 — «-7 = 3,3
иг*
Очень свежий ветер. w = 7 в — « 7 = 6,5
• Сильный ветер ... .w» 15 . • — • 7 = 30
Буря...............ш = 30 , т£-«7 = 118
'• * ffj*
Ураган........... . ,w = 40 , — ♦7^21О1)
>> Обычно ома аггра определяется в балдах по 12-бдлльной шкале Бо-
форта, по которой вет^р со скоростью 2—3 м/сек. оценивается в 0 баллов, *
4—6 м/сек. в1 балл, 8—1м/сек. 2 балла. 8—9 м/сек. — в 3 балла, и т. д.‘
Ветер в 24 — 38 лг/саж. (сильный шторм) соответствует 9 баллов, а 29 — 33 м/сек.
ОкастокмЙ шторм) —10 баллов к в 34 м выше (ураган) —12 баллов.
------ Прим, ред. ч
4М
При расчете устойчивости дымовых труб яркннмамт давление:
. ' * .
~ . 7=150^г/л\ *
। чему соответствует z .
w 34 м/сек. (513) е
Пример. Круглая дымовая труба
г=0Д Я =1,2 и А = 24 ж. ’* •.
Согласно таблице па стр. 496 * , • •
|> Ъ = 0,67; F =(0,6-{- 1,2) -24 = 43,2 ж’.
Расстояние центра тяжести
24 2-0,6+1,2 >
5 3 0,6 +' 1,2. ~10,65
Согласно уравнению 513 берем
/
~ . т = 150 кг/м\ \
Согласно уравнению 511 давление ,
<7 = 0,67 • 150= 100 кг/м*.
Согласно уравнению 512 нормальное давление
43,21- 100= 4320 Kt.
Отсрда опрокидывающий момент равен:
4320 • 10,65 = 46 000 кгм.
§ 136. Ветряные двигатели.
а) Ветряные мельницы. Пусть (фиг.-628 и 62$) г —числр
крыльев, b • Л — поверхность одного крыла в ж*.
Тогда полная поверхность крыльев:
F^z.bhM\ (S14)
Для нормального давления ЛГ действительны уравнения 511
и 512, где согласно таблицы для плоских поверхыестей имеем:4' /
Ъ»0,93 ’ sin а. / г (515)
Часть (Р) давления N вызывает вращение вала, причем
окружное усилие Р = ЛР • cosa. t
, аа Г. хваер. • * «7
Подставляя значения из уравнений 511 и 512, получим:
< Р=т^соаа^-• у • Л (516)
' Обозначив через и
окружную скорость, т. е.
скорость на окружности
Фиг. 628. ’ Фяг. 629.
в м!сек. (н^ окружности, описываемой центром тяжести п =
R • х ♦ п\ .. м
— —эд—1. Мощность двигателя в л. с. получим равной:
Вспомогательная таблица для расчетов.
Угол ♦ ...... . а== (Г 70* 75° 80° 85° 90°
Для уравнения 515: 0,93 • sin а = 0 0,87 0,9 0,91 0,92 0,93
Для уравнен. 516: cos а« 1 0,34 0,26 0,17 0,09 0
Нанвы годнейшая окруж- ная скорость . . . и = 0 0,6-w л 0,8 w 1,4-w 2>v 0
' Из уравнений 515—517 имеем: <
Мощность
N=75.‘ ^(cose-yT “• (518)
Для нормальных условий:
в = 80° и и = 1,4 w,
откуда
Х = 0,0004 w'F л. с. (519)
Для w = (умеренный ветер) получим:
JVs.0,0004 • 4* • F=« 0,025 . F л. с. . (520)
Последним выражением уравнения 520 можно пользоваться и
для приблизительных подсчетов.
Пример. Ветряный двигатель в 4 крыла длиной 10л и ши-
риной 2 ж.
Р=4 • 10 • 2 = 80 м*.
Мощность;
# = 0,025 • 80 = 2 л. с.
Ь) Ветряные колеса (ветродвига-
тель), фиг. 630. Для них можно считать
полную поверхность равной:
Фиг. азо.
(521)
Внутренний диаметр колеса D, где D в м.
В остальном действительны все приведенные выше урав-
нения.
ЗАДАЧИ К §§ 118—136.
373. Коэффициент сжатия. Что такое коэффициент сжатия?
Ответ. Коэффициентом сжатия называется уменьшение объема'
1 л жидкости при повышении давления на нее на 1 атм.
374. В сосуде объемом 1л’ вода сжимается с 1 атм. до
300 ми. Определить объем после сжатия.
Ответ. После сжатия объем воды равен; ч
1—0,00005 300 = 0,985м*.
с
375. Закон Паскаля. Как формулируется
закон Паскаля?
\ Ответ. Закон Паскаля гласит: давление,
производимое на жидкость, передается равно-
Фиг. 631, мерно во все точки жидкости,
376. Разность давлений. Какой высоты
должен быть столб (И м), чтобы производить на свое основа-
ние давление, равное 1 атм. (фиг. 631):
а) столб воды, Ь) с^олб ртути, с) столб бронзы, d) столб
чугуна? _
Решение, а) Юж водяного столба равны 1 атм., следова-
тельно//=10 ж.
Ь) Удельный вес ртути 13Д т. е. она в 13,6 раз тяжелее
воды: поэтому‘высота ртутного столба
Н = ~~0,735м. -
IJ, о
с} Удельный вес бронзы 8,7, высота столба
Н=£~\,\Ьм.
о,/
d) Удельный вес чугуна 7Д высота столба
Фиг. 632.
377\ Гидравлический пресс. Малый поршень
имеет сечение f— 42 см* и передает жидкости давление ^=710 кг
(фИг. 632).
Определить: 1. Удельное давление воды р в атм.
2. Давление Q на большой поршень, еслн £ = 310 см*.
j Решение. 1. Удельное давление в жидкости
q 710 17
Р = 7“ 42 ^Х1атм
2. Давление Q = 310 • 17 =
= 5250 кг.
377а. То же при /=84 см*;
р= 1420 кг.
378. Гид рае А и чессий ручной
пресс. Дано: а = 9 см, 1=80 см,
Л = 20 кг, d=5 см. Требуется
получить давление Q= 1000 кг.
Какой должен быть диаметр у большого поршнд (фиг. 633)?
♦ Решение. Давление на большой поршень;
Фиг. аза.
получается’
£>,/0^ /1000 -9 ‘
, d V k-l У 20 • 80 “
поэтому диаметр большого поршня:
£> = 2,37.5
600
Фнг. 635.
878а. То же я = 12 с*, /=150 см, Л = 20 кг, </ = 6 см,
Q = 2000 кг.
379. Аккумулятор. Матрица М (фиг. 634) должна на пуан-
сон Р производить давление Q™ 19 500 кг. Имеющееся в акку-
муляторе давление воды р — 52 атм.
Определить: 1. Сечение / и диаметр D
поршня k.
2. Мощность насоса, питающего аккумуля-
тор, если поршень насоса при ходе в 21 см
поднимается и опускается п = 12 раз в ми-
нуту и если насос должен подавать данный
объем воды в 2 раза быстрее.
3. Сколько лошадиных сил нужно затратить
на работу насоса?
Решение. 1. Т1Ьперечное сечение поршня
/=1^2 «375 ел*
отсюда
D = 22 еде.
2. Объем воды при каждом ходе поршня насоса: /х ход =
= 8000 см* = 8 л, следовательно производительность насоса
2 ’ 8 • 12 = 192 л в мин.
3. Теоретическая мощность насоса
1 192
1О'в22'-с-
379а. То же при Р=39 000 кг; /? = 104
атм., во втором пункте п = 24, ход = 42.
380. Аккумулятор, Аккумулятор, пред- •
назначенный для давления воды р = 62 атм.,
имеет емкость 1,2 м1 (фиг. 635). Как ве-
лика потребная мощность водяного насоса,
если необходимо наполнить аккумулятор в
3 минуты?
Решение. Необходимая мощность будет
равна работе, которую нужно затратить,
чтобы поднять 1200 кг воды на высоту 620 ж; получается
v 1200 10 - />
3 -60 -75
381.. Пбршень аккумулятора в предыдущей задаче имеет
% • 501
D —630 мм. Какой груз требуется для получения давления
воды р = 62л/пл.* '
Решение. Груз равен 63* - 62 — 193 400 кг,
382. Испытание котла. Котел, предназначенный для иор-
—, мального давления 7 атм., испыты-
г-—/-------------1 вается тр = 1 4-5 = \2атм.
'L Юш *Й~ Ручной насос (фиг. 636) имеет диа-
L метр d = 40 мА и плечи рычага / = 750,
* ~ ’ « а = 90 жж. X
♦иг. 636. 1- Какую силу р нужно приложить
к рычагу?
2. Может ли это усилие приложить один рабочий?
, Решение. Давление на поршень насоса
/>=-? • 4’ 12= 150кг;
4
к рычагу нужно приложить усилие *
р'-Г=150Й)=18*г-
Один рабочий может нажимать на рычаг с силою до 25 кг,
383. Давление жидкости. Как гласит основной закон .да-
вления жидкости* на стенки и дно сосуда?
Ответ. Давление жидкости на горизонтальное дно сосуда
во всех его точках одинаково. Давле-
ние жидкости на элементарные пло-
щадки боковых стенок возрастает с
глубиной погружения площадок.
Давление жидкости на дно не за-
висит ни от формы сосуда, ни от на-
клона боковых стенок.
384. Даелепае соды. На бетонную
стену давит масса воды высотою а = 2,4 Фиг. юг.
и шириною ^=г4,2л< (фиг. 637).
Определить: 1. Среднюю высоту давления Нм.
2. Давление на стену в кг.
3. Центр давления, считая от дна бассейна.
4. Опрокидывающий момент, на который толщина стены
должна быть рассчитана в килограммах.
Решение. 1. Средняя высота давления Л s*= 7i * 2,4 =1,2.
2. Давление на стену — 1000 • 2,4 • 4,2 • 1,2 = 12000 мг.
508 ’
f
Фиг. 63*
3. Центр давления всегда ниже средней высоты давления,
а именно: (считая снизу) = */« • 2,4 = 0,8 м, -
4. Так как момент = силе х плечо, то опрокидывающий мо-
мент равен 12 000.0,8 = 9600 кг.
384а. То же при а =1,15 ж, $ = 2,?ж.
385. Давление Жидкости. В боковой
стене сосуда (фиг. 638) имеется крышка:
а =0,52ж, b = 0,41 ж, Л = 3ж.
Определить: 1. Площадь крышки в ж*.
г 2. Давление на крышку в кг.
Решение. 1. Площадь крышки равна 0,52
2. Давление на крышку
/>= 1000 • 0,215 ♦ 3 = 645хг. '
Это усилие нужно принимать во внимание при расчете бол-
тов крышки. ' е .
385а. То же при а = 1,1м; 6 = 0,82 ж; Л =6 ж.
386. Дубовый щит (фиг. 639). С
1 = Ьсм; глубина L „ ,
. 0,41=0,215м'.
Фиг. 639;
‘“/"=1,3м, =2,3 ж, ^=? 2,4 ж, -
воды с = 0,85 ж* Удельный вес дуба 1,2.
Определить усилие, требующееся для подъ-
ема щита,
1. Величину площади давления воды в ж*.
2. Давление воды на щит в кг,
3. Вес щита Q в кг.
4. Подъемное усилие £ для подъема,^сли
принять коэффициент трения р. = 0,5.
Решение. Усилие, требующееся для подъема
щита, зависит от трения щита в пазах и от
его веса.
1. Площадь давления воды 0,85 • 2,3= 1,96 ж*?
2. Давление на щит
, р=1000- 1,96 -0,5 • 0,85 = 832кг.
3. Удельный вес сырого дуба 1Д следовательно вес щита
(7=13.24 -015 . 1,2 = 187 кг.
4. Трение
Я = 832 0,5 = 416 кг;
таким образом, подъемное усилие (
* = 416 + 187 =603 кг.
386а. То же при:
С—2,5* *; *=ЗД*;
> 3,3 м; 5 = 7 см; с —2 м
Относительно наклонного щита см. задачу 388; необходимо
обратить внимание на различие результатов.
\ 387. Давление на подпорки (фиг. 643).
2 ' Высота резервуара с — 1,3 м, ширина Ь —
z = 2,2 Mf материал — листовое железо. На-
клонную (под углом 45°) стенку требуется
Определить: 1. Горизонтальное давление
W*Hr. м
• Р в кг.
2. Нормальное давление W на стенку в кг»
3. Давление, на которое нужно рассчитать подпорки 8.
4. В каком месте будет рациональнее всего подпереть?
Решение. 1. Горизонтальное давление (фиг. 641):
Р=^с . Ь • 0,5 с • т= 1860 кг.
2. Нормальное давление:
' . NSB-^ = ^- = 2640«?
sin о 0,707
' 3. При двух подпорках на каждую при-
ходится по 1320 кг давления. % *
Фиг. 641.
' Фяг. 642.
4. В центре давления п=*/а • 1,3 = 0,87 м, считая сверху.
387а. То же при с = 0,65*; * = 1,1*.
388. Наклонный дубовый щит (фиг. 642). Щит задачи 386
наклонен к горизонту под углом а ±=70°. Определить усилие,
требующееся для подъема щита.
Определить: 1. Нормальное давление на
щит/в кг.
2. Сопротивление трению в кг при
р = 0,5. ' ’
3. Собственный вес щита, при удель-
ном весе =1,2.
4. Сопротивление собственного веса
в направлении усилия.
5. Подъемное усилие. . ? .
6 Сравнять результат с таковым в задаче 386. То же при
(1 = 80*.
I
Ркшедяе. При определении подъемного усилия k нужно
принять в расчет собственный вес и трение, вызываемое нор-
мальным давлением.
1. Из задачи 386 известна, что горизонтальное давление
Р=832*г, следовательно нормальное давление (фиг. 643)
J V* 832 оо_ / л.
Sin а 0,94 /
2. Трение : ffj
/? = 885 -0,5 ~ 443 *г. //^
3. Собственный вес *
G = (13 :0,94) • 24 • ОД • 1,2 ~ 200
4. Сопротивлений собственного веса:
Ог— G • sin а = 200 • sin 70° = 188 кг. Фиг. 643.
5. Подъемное усилие
К =Я+ 6 = 443 + 188 = 631 *2.
6. Таким образом, для подъема наклонного щита тре-
буется больше усилия, чем для вертикального щита.
389. Удельный вес. Что такое «удельный вес1 и как гласит
основное правило.
Ответ. Удельным весом называется вес одного кубического
дециметра данного вещества. Основное правило гласит: удель-
ный вес равен весу тела, деленному на вес воды одинакового с
этим телом объема.
Фиг. 644.
390. Как определить удельный вес какого-
нибудь тела?
Ответ. Удельный вес тела определяется
посредством деления веса тела в кг на его
объем в кубических дециметрах.
391. Определение удельного веса (фиг.
644). В сосуд, наполненный водою до слив-
ной трубки, погружается шар k весом G = 13,2. Вытесненная
шаром вода (в сосуд Ь) весит 6'= 3,1 кг.
Определить удельный вес шара,
гч „ - _ вес тела
. Решение. Удельный вес т =--------------=----
вес вытесненной воды
таким образом
3,1
391а. То же при 0 = 26,4 кг; О' =6,2 кг.
505
S92. Подъемная сала жидкости. 1. Что такое прдъеммая
сила?
2. Чеку равна подъемная сила? *.
Ответ. 1, Подъемной сцлой называется та сила, которая
стремится поднять погруженное в жидкость ^ело.
2. Объем в куб. дециметрах + удельный вес
жидкости.
393. Деревянный шар (фиг. 645) диаметром
d=12c* весит 0 = 0,4 кг и погружен в воду.
1. Чему равна подъемная сила воды?
2. С какой силой в кг тело поднимается
4>яг. 645. наверх?
3. Каков должен быть вес тела, чтобы оно осталось под
водой?
Решение. Объем шара
- И» 4-ЯГ* «0.9 Эл';
О
получается: 1. Подъемная сида V ^=0,9 кг.
2. Сила, с которой шар выпирается,
03—0,4 = 0,5x2.
3. Вес тела должен быть равным весу вытесненной им воды,
т. е. 0,9 кг.
953а. То же при (3 = 0,8 кг» d=24 см. 4
394, Поплавок (фиг. 646). Полый поплавок, показывающий
высоту уровня воды в сосуде,\имеет объем .
V =2- л. ' Л
1, Чему равна подъемная сила?
2. Чему должен равняться вес поплавка и Т™']Г Г
указательной штанги, чтобы поплавок всегда
был Головину погружен в воду? • г
Решение. 1. Подъемная сила И« у = 2 кг. фаг
2. Вес должен равняться весу вытеснен-
ной воды; если требуется, чтобы тело погрузилось наполовину, то
вытесанное количество воды равно-|-= 1 л и вес = 1 кг.
394а. То же при И=4 л.
395. Погружение тела в воду (фиг. 647). Какая сила Р в
кг требуется для того, чтобы тело весом 0 = 240 кг и объемом
0,11 jm1 удерживать под вооой?
506 ' ,
Определить: I. Подъемную силу воды в кг.
2. Силу Р в кг, *
Решение. 1. Объем выражается в литрах, сле-
довательно: сила давления воды равна НО • 1 =
= ПО кг.
2. Так как вес тела (240 кг) больше, чем
сила давления воды, то тело пойдет ко дну.
Если бы, например, тело весило только 60 кг, то
ния его под водою потребовалось бы приложить
Фиг. 647.
для удержа*
силу;
Р—110— 60 = 50 кг.
ЭМ*. То же при 6«₽Ю0 кг\ И=0,15 ж1.
396. Объем. Твердое тело весит П = 70кг, в воде же его
вес 6'=30кг (фиг. 648). ч
Фиг. 648.
Определить: 1. Подъемную силу в кг.
2. Объем те®.
Решение. В результате разности давле-
ний вода стремится поднять тело с силою
G — G'.
1. Эта подъемная сила 70—30 = 40 кг.
2. Так как подъемная сила равна весу вытесненной жидкости
то объем тела равен 40:1 = 40 л.
396а. То же при (7= 150 кг\ G' = 15 кг.
397. Баржа (фиг. 649) имеет следующие размеры: а =12 м9
Ь=5м, е = 1,8 м, s = 2,5 м, собственный вес G = 1300 кг.
Какой груз может баржа поднимать
при глубине погружения h = 1,3 ж?
Определить: 1. Величину погруженной
. площади в м*.
2. Вытесненную баржей воду в
3. Подъемную силу давления воды
в кг.
4. Грузоподъемность в кг.
Решение. 1. Погруженная площадь получается следующим
образов, L = а 4- 2л, а так как х: h = е : s, то
следовательно длина
4» 124-2 -0,94» 13,88л
607
и погруженная площадь равна
2. Вытесненная вода имеет объем
/ 16,82 ‘5 = 84,10 м*.
3. Для волы
т = 1; 1 ^=1000 л;
отсюда подъемная сила составляет
84,10 • 1000 - 1 = 84 100 кг,
4. Грузоподъемность равна силе давления минус собствен’
ный вес, т. е.
84 100 — 1300 = 82800 кг.
397а, То же при а = 20 м; £=8 м\ е = 2 м; $=3 м;
6=3000 кг. *
398. Конденсационный горшок для паропроводов. Для изо
Фиг? 650.
браженного на фиг. 650 конденсацион-
ного горшка требуется, чтобы кла-
пан V (внизу) открывался, когда верх-
ний полый шар наполовину погружен
в воду.
d=80 ллм, D=100*.
Определить: 1. Силу давления воды
на поплавок.
2. Вес полых шаров.
3. Толщину стенок полых шаров.
Решение. I. Сила давления воды
равна весу вытесненной жидкости, т. ё.
V. 7 = • 0.4» +4 • у • 0,5*) . 1 =~ 0,8 и
I \ О 4 О /
(объем шаров в дм? или л).
2. Вес шаров со шпинделем может быть только 0,8 кг.
3. При толщине стенок в 1,5 мм и диаметре шпинделя в
8 мм вес шаров и шпинделя ~ 0,8 кг.
399. Подъемная сила (фиг. 651). Деревянный цилиндр (}= 1.2),
диаметр ^=3,8 см, должен погрузиться на е» 9 см в 20*/гный
соляной раствор.
Чему должна равняться высота этого цилиндра?
508
Определить: 1. Удельный вес солямого ряствфа.
2. Вытесненный объем жидкости в литрах.
3. Высоту цилиндра в слс
Рвшвние. 1. Удельный вес соляного раствора у
2. Вес вытесненной жидкости выражает подъ-
емную силу:
-^0,38’ - а • ОД-1,155;
4
i
поэтому высота
—1,155.
0,1-1,155 0,1155 ЛО, Л о_
а =--------------= — = 0,87 дм =»• 8,7 см.
-£-0,38’• 1,2 °’11 *1'2
400. Тягомер (фиг. 652). При определении силы тяги в топке
котла тягомер показывает разность уровней воды h = 19 мм.
Чему равна сила тяги в топке?
Ответ. Сила тяги в топке вызывает в тягомере вакуум вы‘
ражается обыкновенно в миллиметрах водяного столба. Здесь
сила тяги =s 19 мм водяного столба (переведя их в
атмосферы, получим:
1— 2^2 = 0,9981 атм. абс.}.
Фаг. 6И.
400т То же при Л = 23 мм.
401. Сифон. Для одной мельницы колодец не давал доста-
точно воды для питания паровых котлов. Поэтому решено было
устроить сИфон, который из озера; находящегося на расстоянии
125 м от мельницы, доставлял бы воду в колодец в количестве
Q = ом11мин. (фиг. 653). Однако сифон этот не действовал.
Диаметр трубопровода был d = 90 мм
н длина /=125 м. Высшая точка си-
фона находилась на л —7,6 м выше
нормального уровня воды в озере (в L
имеется воздушный кран для образо-
вания вакуума в трубопроводе).
Определить: 1. Какая высота давления имеется в распоряже*
Фаг. «63.
ник для преодоления сопротивления трению.
- 2. Ско^сть воды в сифоне, соответствующую расходу воды
в 0,75 мМмин*
3. Сопротивление трению в трубопровода.
4. Почему сифон не действовал?
Фжг. 6М.
5. Какая высота s допустима, если сифон должен действо-
вать при скорости воды о = 2 м/сек.
Решение. 1. В нормальных условиях можно (см. g 113), при-
нимая во внимание температуру воды, считать давление наруж-
ного воздуха 10 м, а достижимый ва-
куум (посредством отсасывания инжекто-
ром через кран L, фиг. 654) примерно Я =
= 9 ж. Следовательно, высота давления,
имеющаяся в нашем распоряжении для
преодоления потерь напора, будет
9 —7,6=1,4 м.
2. Скорость воды
—----г^2м!сек.
4
3. Потеря напора
Л*=4’3-Ж=5-4*'
Скоростной напор f 1 г*
Л = 2^ = 0-2* '
4. Так как согл. п, 1, для Л* + Л имелось в распоряжении
только 1,4 м, то, конечно, сифон не мог действовать.
5. Теоретически возможная высота
5 = 9 —5,6=3,4 ж.
(В сяучае грязной воды нужно принять в расчет еще со-
противление всасывающей сетки от 0,1 до 0,2 ж.)
461 я. То же (?=® 1,5 м’/моя.; £=62 л;
4 = 180 мм; найти допустимое /7.
469. Таран (фиг. 655). Из озера Т тре-
буется поднять жщу в резервуар /?, нрм
Ях = 6м и //,=50л.
1. Прммешш ли в данном случае таран?
2. Из озера Т вытекает Q = 13,5 м1
воды в чае. Какого диаметра должен быть
z трубопровод?
1 3. Какое количество воды q в м!сак. будет доставляться в /?,
если считать коэффициент полезного действия
.4. Куда девается расход воды Q—??
5. Как вести расчет в случае большого расстояния £=200 м?
U0
Фиг. 665.
Решение. L Да* потому что таран применим при напорах до
8 л и при . высоте подъема до 80 м.
2. Полагая скорость воды в трубопроводе 1 м)сек, -получаем
селение трубы: ,
т ^ = ЙГ^ t = 0,0038 ж* = 38 см'
4 Dv • MJ ♦ 1
и диаметр трубы d = l см.
3. Освдвное уравнение в данном случае:
получается: \
> = 1 • Q ^=0,5 • 13,5 • Л = 0,81 м'/сек.
4. Расход(? — q используется для подъема количества воды?.
5. Нужно принимать в расчет потерю напора в трубопро-
водах, согласно §118.
402а. То же при //t = 12 м; Z/1=65 м.
403. Коэффициенты для истечения воды. 1. Что такое ко-
эффициент сжатия^струи а?
2. Что такое коэффициент скорости ??
3. Что такое коэффициент расхода р?
Ответ. I. Отношение сечения струи к сечению отверстия
истечения. ч
2. Отношение действительной скорости истечения к теоре-
тйческой.
3. Отношение действительного расхода вытекающей воды к
теоретическому. Следовательно: р = а •
404. Какие основные уравнения применяются на практике
при расчетах истечения (фиг. 656)?
. 1. Для высоты напора Я? 4
2. Для скорости истечения w?
3. Для расхода вытекающей воды Q?
4. Для сечения отверстия /?
Ответ. 1. Высота напора
= Нт. 660.
Скорость истечения
Mice**
3. Расход воды
IH
4. СгчеЛж деверем
Фмг. 657.
/зс_5_Л»
7 60рю
405. Скорость истечения (фиг. 657). Высота напора в со-
суде /7 = 9,4л.
С какой теоретической скоростью вытекает вода из отверстия?
Решение, w = )/ 2 g Н = 13,5 М/сек.
405а. То же при Н—18,8 м.
406. Высота напора. Требуется, чтобы из отвер-
стия (по схеме предыдущей задачи) вода вытекала
со скоростью w = 8,3 м/сек. Какой должен быть при
этом напор //?
Решение. Высота напора
Я=^«3.5ж.
Эта высота напора называется также скоростным напором.
406а. То же при 16,6 м/сек.
407. Скорость истечения (фиг. 658). Имеется вертикальный '
трубопровод диам. 100 мм при высоте напора Н~2№м.
Определить: 1. Теоретическую скорость истече-
ния.
2. Примерную действительную скорость йстече-
ния. . Цл-
Решение. 1. Теоретическая скорость истечения:
-------------' Фнг. 668.
ш«)/2*9,81 -200 = 63*/^,
2. Действительная скорость истечения:
( су =10 м/сек.
408. Гидравлическое давление (фиг. 659), Я=21 м, высота
напора над отверстием истечения.
фиг. 65Й.
Скорость
ш
Определить: 1. Гидравлическую высоту на-
пора для точки А, если Нх = 8 м и если отно-
шение поперечных сечений А : В = 1,5:1.
2. То же для точки В.
3. Давление в атмосферах на стенку А сосуда.
Тушение, 1. Скорость истечения t
w = У 2g Я 20,3 м/сек.
воды в сечении
1,5=13,5м/сек. -
Фиг. 661.
Гидравлическая высота капора для
Л ~ 8 ~ 2 • 9,81 ==~1’3 м'
2. Гидравлическая высота напора для .
. Фиг. 660^
Однако, это .справедливо лишь в том случае, когда линия
течения равномерна, как на фиг. 660. ч
X Давление в атмосферах на стенку А-хосуда равно тидро-
фатическому давлению 8 ^ = 0,8 атм. х
408а. То же при // = 42 =» 16 м.
409. Истечение под давлением. Поршень
производит на воду п цилиндре давление
0=г 90 атм. (фиг. 661).
Определить скорость истечения для сечения/.
Решение. Получается ли напор от столба .
воды или от давления на .воду — безразлично,
потому что всегда скорость истечения ?
w J/2~9'81"-’ l0 -90* 133 м/сек.
409а. То же при р = 60 атм.
• 410. Сообщающиеся сосуды (фиг. 662, I и II). Переход жид-
кости из одного с^осуда в другой.
Два _ сосуда имеют одинаковое сечение
Г=Гх и сечение перехода / в м9.
Н—начальная высота напора в м; ко-
нечная высота напора равна 0. Составить урав-
нения для:
1) средней скорости воды wcp в м/сек.;
2) объема воды ? в л’; ,
Фиг. 662.
3) времени t в ок., требующегося для
ния покоя (см. фиг. 662, 11).
Решение. Так как наименьшая высота
1. Средняя скорость Л
..,=^4
2. Объем воды
Ж
ч .
33 Г. Хеде*.
юстоя-
513
* . ч.-J- : ; -
3. Время
,=_$___
F • / ®ер. И И 2f /
4Н. Дано /=38сл‘, Я = 4,3л, F=F, = 3,8^’.
фв
Фиг. 663.
Определить w, Q и время t.
Решение.'Из вышеуказанных уравнений по-
лучается:
wq>. м/сек., Q = 8,2 м1, t = 470 сек-
412. Уменьшается высота напора. Сосуды
фиг. 663 опоражниваются.
Сосуд фиг. 664 наполняется.
Составить для обоих случаев:
1. Уравнение для средней скорости волы trcpe
2. Уравнение для расхода воды Q в лА
3. Уравнение для времени t в сек.
Решение. Опускание уровня воды рав-
номерно замедленное, поэтому: L Сред-
няя скорость
Фиг. 664.
2. Объем воды
Q = F. H = wcp 1м*.
3. Время
Q , i
i1 • j* '
2H F
— • -г сек.
ft , P, согласно § 115, можно взять ~0,7.
- 41 & Численный пример к задаче 412.
v Требуется опорожнить котел с одной жа-
' 1 • ровой трубой, находящейся под гидравличе-
Фмг. бвб, ским давлением (фиг. 665). Через сколько
времени вытечет вся вода, если D == 2,2 м,
£=5=9,2 44, диаметр жаровой трубы 0,9 м, сечение спускного
крапа /« 0,002 ж1. ' -
Определить: 1. Среднюю скорость истечения в м/сек.
2. Объем котла в м9.
- 3. Время /, если принять р ±2x0,7.
Решение. 1. Средняя скорость истечения
vc,. = 0,5 3^28 м!ик.
514 ; •
2/Объем котла, за вычетом объема жаровой трубы: '
Q = (2,2f — 0,9») • y • 9,2 = 29,2 аЛ
3. Время
'= 0,7-0,002-3,28 = 6362 С‘*,яв1' ЧаС ^МиН
413а. То же при D = 1,8 л; L = 11 м\ d = 40 мм, диаметр
жаровой трубы =0,7 м.
414. Затопление снарядного погреба воен- \
него корабля. Погреб А (фиг. 666) имеет
объем Q = 38,4 м*; постоянная высота напора
Я=с1,57 ж, диаметр впускной трубы ' d=
120 мм. В какой промежуток времени напол-
нится погреб водою?
Определить: 1. Среднюю скорость воды wcp в м/сек.
? 2. Сечение впускной трубы в м?>
3. Коэффициент истечения р. > .
4. Время /, необходимое для наполнения снарядного погреба.
Решений. Согласно задаче 412 имеем:
1. Средняя скорость ;
|/2 • 9,81 • 1,57 ,
®ср. e -Г----•----С_ ~ 2,8 м/сек.
2. Сечение трубы
А = 4-0,12‘ = 0,0113jA
3. Если принять во внимание течение воды при движении
корабля, то можно считать приблизительно р = 0,4.
4. Тогда время, необходимое для наполнения погреба, равно:
* ~ 0.4 • 0,0113 • 2,8 “ СеК' “ 50 MttM‘ 1
414а. То же при Q=20 ж1, Я=2,5 м.
415. На маневрах выяснилась необходимость
производить затопление погреба в более ко-
роткий промежуток времени, т. е. чтобы
мин., причем для этой цели используются еще
фиг. лат. пасосы и трубопровод II (фиг. 667), в котором
скорость воды «4=3,5 м/сек. х
Определить: требуемый диаметр трубы ГЕ
Решения. Из уравнения
I Труба J « Труба jl:
и • A • ^cp. • t + Л • • «== Q
получаем сечение трубы:
Q - (u- • /, • ®cp. t) 38,4 — ((£4 • 00113 - 2,8 15 - 60)
ft = 3 ~ is’-’eiT 3,5 ~
А /, = 0‘0082 m*;
диаметр трубы:
> = 0,105 * = Ю5 мм.
415а» To же при /=10 мни.
фиг. 668. 416. Истечение под действием раз-
^режсная (фиг. 668). В сосуде имеется
вакуум ро — О,3 атм. абс.; м; сечение трубы
/^20слЛ ‘
Определить: 1. Скоростной напор. .
2. Скорость истечения в Mjcen. ч -
Решение. Пользуемся уравнением:
1. Скоростной напор
®Лв(Д 10,Л,
причем А — а Считают обыкновенно 10 м водяного столбу
2. Из приведенного уравнения:
= j/2~ 9,81 • (10 — 4,3 - ТО • 0,3) = 7,3 м/сек.
В случае длинного * трубопровода необходимо
внимание сопротивление в трубопроводе h (срав-
ни уравнение 446, стр. 469).
416а. То же при ^=’0,7 атм, абс.; Н$ = Ъ м.
417. Струя воды (фиг. 669). На какую высоту
будет бить струя воды (теоретически), если по-
средством Поршня па воду действует давление
/> = 11 атм.
Решение. Если не принимать в расчет сопро-
принять' во
Фиг. 669.
тивление воздуха, то струя била бы на такую высоту, которая /
‘точно соответствует давлению водяного столба, в результате
которого получается данная скорость истечения; следова-
тельно, для p=fl кг/см\
Н — 10-11 = 110 л*.
516
Для р 12 кг/см1 абс. давления нужно взять: Ц = 10 -р — Л м
воды (Л согласно § 120). ; •
41Ja. То же при р = 5 атм. . .-.
418, Расход воды. В трубопроводе с d — 81 мм скорость
воды vs= 1,8 м/сек.
Определить протекающий расход воды. *
Решение. Сечение трубы
. /=х -1 • 8.4? = 55 см' = 0,0055 м
4 . ’ •
Расход воды
Q = 60 • 0,0055' . 1,8 ~ 0,6 м'/мин.
4!8а. То же при <1 = 300 мм; о=1 м/сек.
419. Скорость воды. , По трубе 4,8 см протекает Q =
= 6,8 м* воды в час.
Как велика скорость в м\сек.У
Решение. Сечение трубы
f=~ . 4,3=^ 14,5см* = 0,00145м3.
Скорость воды
v ~ ЙЬ 60'• 0,00145 = 1 М‘сек
419а. То же при <1 = 8,5 си, Q = 20
420. Диаметр трубопровода. По трубе протекает Q — 20 мй
воды в час со скоростью м/сек. Определить сеяние н
Диаметр трубы.
Решение. Сечение трубы
Z
диаметр трубы 7 см. • w -
420й. То же при (? = 15 мР/час; о = м/сек.
42L ГидравличСские сопротивления. Что, главным рбразом>
рлияет на величину сопротивлении в трубопроводе?
Решение. Гидравлические сопротивления зависят от диаметра
и длины трубопровода,, а также от скоросги течения воды.
422. Потеря напора. В прямом трубопроводе <1=100 м.3
и длиною £ = 420лс, вода 1ечет. со скорос1ьюг v =^2,6 м/сек.
Определить потерю напора.
Решение. л
й = 0U2 • *= 29 м
« n^U,UZ 01
водяногЪ столба. ‘ .
Фиг. 670.
422а. Тоже при d2= 200 Мм? Lcss300л, v = 1Л м/с*х.
4231 В трубопроводе предыдущей задачи имеется запорный
клапан d=\2ficM (фиг. 670). Определить приблизительно по- .
repib напора, если:
1) скорость перед клапаном w=2,2 лг/сех.
2) скорость в отверстии под клапаном п = 4,1
м)сек. • ♦
Решение; 1. Сопротивление клапана
3-2,2’ г . г
-—водяного столба.
Z * У,о '
Это значение действительна только для совершенно откры-
• того клапана. \ . -
2. Сопротивление клапана
Фиг. 871.
о * = 0,85 м водяного бтолба. ,
L • У,о 1
Таким образом, сопротивление клапана можно определить
двояким подсчетом. ,
428а. То же при 4 = 80 мм; м^сек.
' 424. Насос (фиг. 671) качает воду в резервуар В на высоту
/7=54^. Длина трубопровода Д = 270^к, диа-
метр = 95 хм. В трубопроводе имеется 6 нор-
мальных отводов (90°).
Определить: 1. Давление в атмосферах в
воздушном колпаке у Л во время остановки
насоса. .
2. Сопротивление в трубопроводе в хг, если
вода течет со скоростью о = 1,8 Mfcerc.
3. Давление у Л во время действия насоса.
* Решение, 1. Давление воды 54 м; 10 л=1 атм.; во время
остановки насоса давление в воздушном колпаке 5,4 атм.
2. Потеря напора в прямом трубопроводе
3,4 - ^=9,2 водяного столба.
, 1UU
S Потеря напора в 6 отводах 6 * 0,03 = 0,18 м водяного столба»
Суммарная потеря напора 9,38 м водяного столба.
3. Давление у А во время действия насоса
5,4 + ^~в.,84вл1«. ;
424а. То же ори v = 0,9 MjctK. • • . > •
Фиг. «72.
425. Ускорение водяных масс. Вода, находящаяся в гори- \
зонтальной трубе L =г 1,2 ж, сечением 120 еж*, должна быта
приведена • в движение посредством указанного на фиг. 672"
поршня и пройти в Г=к 0,5 сек. путь $ = 12 м.
Определить: 1. Требуемое ускорение
л/се^.
2. Вес водяной массы в кг.
3. Основное уравнение.
4. Требуемое давление поршня в кг.
Решение. 1. Требуемое ускорение
? = =» 96 м!сек\
<_ 2. Вес водяной массы
G=^ = 14,4X2.
3. Основное уравнение:
сила = t? X масса.
• 4 Давление поршня
р2=^.Р=== 140^3.
425а. Тоже при L = 2,4 м; /=240 см\1=Л сек.\
з=Мм. ' -
426. Труба, указанная в задаче 425, направлена
вертикально вверх (фиг. 673).
1. Какое требуется давление поршня в кг1
е •
m
Фиг, «73.
2. Насколько уменьшится давление поршня, если труба на-
правлена вниз, т. е. если поршень давит сверху? •
Решение. 1. К давлению поршня, вычисленному в задаче
425, прибавляется еще вес воды, следовательно требуемое да-
вление поршня Р= 140+14,4= -
= 154,4 *г.
2. Если труба на пра влена вниз,то щГ Щ
Р = 140 —14,4 =* 125,6 кг. й
426а. То же, при условии за-
дачи 425а. _
427. Всасывающее действие / фиг- €74<
0 ускорение (фиг. 674). Насос
имеет ход поршня 2 г = 700 жж, число оборотов- в минуту
д=92, поперечное сечение цилиндра насоса равно поперечному
селению трубы F= 126 см*. Воздушного колпака нет;
. / . ' 519
1 7-
Определить; 1. Наибольшее ускорение, которое нужно со*
<Лщитъ воде, чтобы получить непрерывный водяной столб.
2. Силу, имеющуюся в нашем распоряжений, если давление
воздуха 745 мм ртутного столба, температура воды 10°, // = 0.
* 3. Будет ли водяная масса следовать движению поршня,
сели £=13,2л(, Я = 6,3 м? < <
Решение. 1. Наибольшее ускорение
? = - = 40 м сек*.
2. Имеющееся в распоряжении давление воздуха
А — а = 10 м,
поэтому сила, сообщающая воде ускорение,
Р = —1П - X поп. сеч. трубы = 1 * 126= 126 кг.
" I 10 .
3. Можно определить вес водяных масс из уравнения:
сила
ускорение =------------------------ ,
масса
а так как (согл. § 119) сечение Е встречается как в силе, так’
и в массе, то берем просто наибольшее ускорение.
10 — 7/ _ 10—0,3 __ , .
L.g ~ 13.2' : 9,81 ~ 2,75 мсек^
Требуется же ускорение = 40 м/сек.*, поэтому вида в е будет
следовать движению поршня.
ч 427а, То же при п = 46 оборотах.
428. Ускорение водяных масс (фиг. 675). К насосу задачи
427, устанавливается воздушный колпак,' так что L —1,5 м
jt Будет ли при этом непрерывная
/V\ струя воды?
,г • ХТЧ Решение. Наибольшее уско-
'—pl ренис
|;l J. Z У 10—6,3 .
pj | ? ~~ 1,5 ; 9,81 ~ 24,“ Mlce^
А так как ускорение поршня
*’m* °'5' равно40 м/сек* (см. зад. 427), то
в данном случае также непрерывного движения воды не получится.
При л = 72 ускорения поршня
11*-г П| , .
у=—= 24 Mt сек.1 ' 1
/о
и получается непрерывная струя.
520 ' - ' \
428а. То же — при п = 191 оборотов в минуту.
429. Следовательно, для какой цели при меняется воздушный
колпак? (выразите словами)' , С?’
Ответ. Длина водяных масс, которым нужно сообщить
ускорение, уменьшается, вследствие чего представляется воз-
можность увеличить высоту всасывания Н.
430. Обратное давление или реакция. Что такое обратное
давление (или реакция) вытекающей струи и как гласит соот-
ветствующая основная формула (выразить СЛО- /,✓>/>/
вами). '
Ответ. Реакцией стр^и называется давле-
нис, которое производит вытекающая из сосуда Гг Г
струя воды на противоположную стенку сосуда. 5
Основная формула гласит (фиг. 676): х
Реакция струи имеет всегда противополож- ' ”
ное вытекающей жидкости Направление и рав- фиг 67б.
нястся по величину весу водяного столба, у ко-
торого основание равно площади выходного отвергла, а вы-
сота -двойной высоте напора, т. е. реакция
Я=2 h • 7 кг.*
431. Реакция (фнг. 676). У подвешенного сосуда внезапно
открывают отверстие S. Определить: давление Р в кг, Откло-
няющее сосуд в противоположном течению направлении, если
площадь сечения отверстия /= 13 сл/*, а высота напора
h = 1,9 м. '
Решение. Реакция состоит из?
гидростатического давления + гидродниамич. давл.,
.гидростатического давления =/• h • 7
гидроди нам ич. обратного удара =/♦ Л • 7
общая реакция =2 f • h • 7
подставляем
где , »
/ в лс5; h в .и* .7 пес 1 лЛ
431а. То же —при /=*22с.к\ h= 2,5 ж.
432, Реакция. В подвешенном сосуде уровень воды над
центром отверстия Л — 1,3 м (фиг. 677). •
Площадь выходного отверстия и поршня проходящего через
сальникуравно /=28 см1.
КакЖ величины водяной столб' (в м) может уравновесить -
реакцию вытекающей струи воды? -
Решение. В данном случае
нимы те же формулы» что и в
дущей задаче; следовательно,
х е.
♦кг. 677.
приме-
преды-
высота
= 2Л,
х^2-1,3= 2,6 м.
432а. То же при Л = 2,2 м; /=3б см\
433. Основное правим (фиг. 673). Какая зависимость суще-
ствует между средней скоростью воды w в MjceK.t пройденным
путем s в м и временем t в сек. '
Л _ пройденн. путь в м ,
Ответ. Скорость w = J в м/сек.
\ крсмм о
Средняя скорость воды меньше, чем эта скорость на по-
верхности (примерно */ж w).
434, Трубка Пито (фиг.
679). В погруженной' в вод-
пый поток трубке установился
уровень воды на высоте Л=
= 35 мм.
Определить теоретическую
скорость воды w.
Решение. Если принять коэффициент прибора |t=l,>o по-
дучается скорость воды
w = J/21 • 9,81 0,035 = 0,83 м/с?к.
435. Расход воды (фиг. 680). Раз-
меры канала:
а = 1,8 м, Ь = 2,4м> ^=йг0,9ж.
Определить: 1. Поперечное сече-
ние канала в м2.
2. Расход протекающей в 1 сек. воды в м\ если скорость
or = 0,9 ju/cex
Ркшение. 1. Сечение канала
1,8=3 д’.
Фиг. 678.
Фиг. 679.
•V9WFV1W
♦иг. 630.
2. Протекающая вода
у (2 = 3 : 0,9 = 2,7 м*/се*:,
если 0,9 м>сек. выражает
среднюю скорость.
435а. То же — при «=
= 0,8 м \ * = 1,2л; 5Х =
= 0,9 л; w = 1 м.
436. Расход воды
(фиг. 681). Для более точ-
ных измерений меняю-
щихся расходов воды при-
меняют, вместо указанного
в § 125 способа, следую-
щее приспособление:
Положение планки L
регулируется по желанию.
На рейке М отсчитывается
высота Л. -
Пример. При измере-
нии конденсированной во-
ды 1200-сильной паровой
машины было £ = 1 ж, а
средняя высота Л=155 мм.
Коэффициент расхода р =
= 0Д ;
Расход воды
Q = P • b • h w =
=, 0,6 I -0,155-1/2-9,81
. 2^ = 0,116 м*/свк.
Выражение >•
обозначают также бук-
вой Д (коэффициент рас-
хода через водослив, ко-
торый подставляют в формулу расхода воды); получается
Q^kb-Л-V^gh.
г • • 487. Живая силц. воды (фиг. 682). Через отверстие высо-
тою а=0,8м и шириною * = 1,4м протекает вода. Высота, х'
V ' * 633 . .
Л-.- - '. - • ' ’ к- •,
напора от середины отверстия до перхиега уровня воды //=
= 2,1 ж. г ’ . •
Определить: L Скорость истечения w в м/сек.
2. Коэффициент расхода р.
X > 3. Расход воды, протекающей в I с'**.
** Мощность протекающей поды п л. с.
5. Каким образом можно превратить живую
еиЛу поды в ра$0Ту>
Решение. !. Скорость воды
Фиг. 682.
ч а' — J • 2’- 9,81” • 2, 1= 6,4 м'евк.
2. Коэффициент расхода
р = 0,65.
3. Расход воды
Q — 0,65 • 0,8 *s 1,1 ♦ 6,1 = 4,66 АГ/сек.
4. Живая сила
=±0®;Q
/О
5. Путем направления закрытого потока воды на видшюе
колесо, турбину и т. и. таким образом, чтобы вода, после Израс-
ходования живой силы, приходила в состояние покоя.
437а. То же — при а =1,6 л/; й = 2,8,и; //=4,2 лс
438. Турбина (фиг. 683), установленная в середине напорной
трубы так, чтобы й1 = Л2=-0,5 - Н, имеет папрр //=12,3 ль
при расходе воды 0 = 8,4 м*/жин. .
1/ Определить теоретическую мощность.
2. Объяснить, почему высота под коле-
сом турбины принимается в расчет, как полезная
высота.
Решение. 1. Теоретическая мощность
N=L • 1<Ю0 • //=23 л. с.
л 7о oU
•I Фиг. 663.
2. Высота й8 производит на турбину всасывающее действие,
Поэтому в расчет принимается полная высота напора //.
439. Живая сила воды (фиг. 684). В данной установке Р на-
сос, который приводится в движение турбиной Г, причем насос
качает воду опять на ту же турбину.
Расход воды Q = 250 л!сек. \
524
Высота подъема полы насосом и одновременно высота на-
пора турбины, Н = 9 м.
Определить: 1. Скорость истечения, соответствующую ма-
нору 9 .и.
2. Мощность турбины в л. с.
3. Требующуюся мощность для насоса.
4. Разницу между мощностями пункта 2 и пункта 3 п л. С,
Решение. I. Скорость
с = ^9,81^9 = 13,4 м/сек.
2. Мощность
75 ~
250 • 13.4
75
= 41.5 л. С.
3. Мощность насоса
Q-_H
"75
250 • 9 ОЛ
- -- = 30 л. с.
/и
4. Следовательно избыток фи| - 684-
мощности 44,5 -30= 14,5 л. с.
Этот избыток мощности можно использовать от шкива S.
Таким образом получается как^будто перпетуум мобиле. В чем
же кроется ошибка*}
Мощность вытекающей воды вовсе не Q • с; спорость с во
время работы будет все уменьшаться до нуля; мощность же рлв-
п с* ,____
нястся — • у, а так как c=^y2gHt то получаем опять-таки
S &
мощность Q • Н.
Вследствие того, что насос должен давать такую же мощ-
ность, избыток мощности раве>У нулю.
439а. То же*- при Q = 5(X) л/сек.; Н= 18 м.
Газы.
440. Законы. Каким законам подчиняются идеальные
газы?
Ответ. Законам Мариотта и Гей-Люссака.
441. Уравнение состояния газов. Что выражает уравнение
состояния идеальных газов?
Ответ. Уравнение состояния газов подробно объяснено
в § 129.
442. Газовая постоянная. Что такое газовая постоянная?
' ' 525
Ответ. Газовая постоянная
848
- /?=>--------——------.
молекулярный вес
443. Определить постоянную и вес 1 м1 доменного газа при
/ = 50°.
Решение. Постоянная доменного газа 7? = 30, вес Гж* =
= 1,04 кг. »
443а. То же— при / = 20°.
444. Основные формулы. Что выражают основные формулы
для газов?'
Ответ. Основные формулы подробно объяснены в § 129.
445. Расширение (фиг. 685). Объем газа 1^=86 м* давле-
ния, pi = 1,3 атм. расширяется до давления ра = 0,95 атм. абс.
Определить: объем У* занимаемый газом в ж*
при 4том давлении.
Решение. Объем в конце расширения будет /г*1
равен:
И, = 1^.86 = 118 м'. -
Pt VA» , Фнг. 685.
445а. То же — при Vi = 60 ж’; рх =5 атм. абс., р>=1,2
атм. абс.
446. Охлаждение. Пусть тот же объем газа (как и в пре-
дыдущей задаче) одновременно охлаждается от = 70° до
/1 = 38°. Кзк тогда изменится объем?
Решение. Объемы прямо пропорциональны абсолютным тем-
пературам, следовательно;
tr__11 о 273 4~ 38_.
Vi—118 • 273 + 70 —107 Ж1.
446а. То же —при ^ = 150°; ta = 110е.
447. Скорость движения газов. Что надо иметь в виду при
выборе скорости газов в трубопроводе?
.Ответ. Разность давлений газа у
_________________ входного и выходного отверстий тру-
fl] Ича I '_______бопровода должна оставаться в допу-
стимых пределах. Расчет ведется со-
гласно § 131.
Фвг. «8в. 448. Диаметр газопровода (фиг.
686). Генераторный газ подводится к
двигателю насосом V по трубе длиною £= 520 ж, удельный вес
газа 7^— 1,14 кг/м*; диаметр трубы d 5» 380 жж; потеря даяле-
526
ния Л не должна превышать 30 мм. Определить Допускаемую
скорость газа. . •
Решение. Потеря давления
Л = 0,16 • j • (L :/)^о • №* = 30,
а так как
Z,:d=13,6O,
ло скорость . *
,/ 1 ,/ зй __ ,
W~ V 0,16 • г • 13,6 ~ V 0,16 • 1,14 13,6 ~ 3,5 м1еек'
448а. То же при L = 300 м; 7 = 0,9; d = 5O9*»‘ Л = 20 мм.
449. Давленое газа» В каких единицах выражается давле-
ние газа в газопроводах? <
Ответ. Единицей меры давления газа являются мм водя-
ного столба, хотя при измерении давления в мм ртутного столба
можно более просто учесть показания барометра.
450. Какие пределы давления газа встречаются в практиче-
ских установках:
1. Для светильного газа в колпаке газометра?
2. Для доменного газа в трубопроводе?
Ответ. 1. Для светильного газа в колпаке газометра от
50 до 60 мм вод. столба.
2, Для доменного газа до 20 мм вод. столба. При приме-
нении его для газовых двигателей давление посредством венти-
ляторов повышается до 200 — 300 мм вод. столба. ' х
450а. Почему газ для двигателей должен иметь более высо-
кое давление? /
451. Главные составные пасти воздуха» 4<аков состав воз-
духа и какое процентное содержание в нем его главных состав-
ных частей?
Ответ. Кислород 21% по объему. ’
*. ।
Азот ~ 797с по объему.
452. Влажный воздух» Что такое абсолютная влажность воз-
духа и в каких единицах она выражается?
Ответ. Абсолютной влажностью воздуха называется то ко-
личество водяного пара (в граммах), которое содержится в 1 м*
воздуха.
453. Определить абсолютную влажность воздуха, если 3 м9
его содержат 48 а водяного пара.
527 '
Решение. Абсолютная влажность равна:
- 453а, То дтри 130 г в 20 м* воздуха.
454. Что такое относительная влажность воздуха?
Ответ. Относительной влажностью воздуха называется от-
ношение веса водяного пара , (в граммах), содержащегося в
1 м9 воздуха, к весу водяного пара, который может максимально '
содержаться в 1 м* воздуха при той же температуре.
455. Что называется степенью влажности воздуха и ка-
кими измерительными приборами определяется она?
Ответ. Степенью влажности воздуха называется стократ-
ная величина относительной влажности. Прибор, применяемый
для измерения влажности воздуха, называется гигрометром.
456. Вес воздуха. Определить удельный вес (в кг/м*) су-
хого атмосферного воздуха и влажного воздуха при /—40* Ц.
Решение. Сухой атмосферный воздух веейт *1,29 кг/м2.
Влажный атмосферный воздух при t =2=40° Ц./весит
G !,3 — 0,004 -40 = 1,14 кг/м*.
456а. То же при /—150°.
457. Показания барометра. Какое среднее давление пока*
зывает барометр нашвысоте 0 и 500 м над уровнем моря?
Ответ. На высоте 0 м — 760 мм ртут. столба.
На высоте 500 м — 724 мм ртут. столба.
456. Коэффициент расширения. Что такое коэффициент
расширения воздуха и чему он равен при повышении темпе-
ратуры па Г?
Ответ. Коэффициент расширения а есть то число, кото-
рое. будучи .умножено на объем газад показывает приращение
объема при повышении температуры на ГЦ. и
'Ofr- Рав“о:
кгт~~1- = 0,00366.
V
Фиг. 687. 45& Охлаждение {фиг. 687). Некоторое количе-
ство воздуха = 120 м* охлаждается от G == 48° Ц. 1
до /|=j4qU. при постоянном давлении. Чему равен тогда
объем Vt в конце расширения?
528 ‘ ’ .. _ - .
фиг. ааа.
Решение. При постоянном давлении имеем:
у Ид _______________________122______=1оз л*.
1 .]+ (/1-/1)а'1+(48 — 4) • 0,00366 м
Расчет можно вести также согласно задаче 446 (с абсолют*
ной температурой).
439а, То же при И^ЗОл’; = 120°; ^ = 0°.
460. Закон Гей-Люссака. Как выражается закон Гей*Люс*
сака?
Ответ. При постоянном давлении объемы газов прямо
пропорциональны абсолютным температурам и обратно пропор-
циональны удельным‘весам.
461. Нагревание (фиг. 688). Некоторое коли-
чество воздуха весом (7=28 кг, нагревается от
/> = 4° до /1=48°. Сколько весит нагретый воз-
дух того же объема?
Решение. Так же, как в предыдущей задаче,
имеем при постоянном давлении:
Вес
G-О .1+U1-28 Ч-0»00366 - 4
14-е-/,—28 1 4-0,00366-48
461а. То же при Gt = 180 кг; /1 = 2°; ^ = 90*.
462. Закон Мариотта—Гей-Люссака. Как выражается этот
закон?
Ответ. При постоянном объеме давления прямо пропор-
циональны абсолютным температурам.
463. Охлаждение (фиг. 689). Некоторое количество воздуха
при давлении рх = 5 атм. абс. охлаждается от tL = 68° до G = 8°,
Чему равняется в конце охлаждения давление р>?
Решение. При постоянном объеме давление
I * P>=Pi • • 273 + 68 4,12 атМ' абС'
Фмпб89. 463а. То же при /^ = 10 атм. a6c.tt1=\l(Tt
G=150°.
464. Адиабата. Какое изменение состояния называется адиа*
батическим?
Изотерма. Какое изменение состояния называется изотер-
мическим?
Ответ. Адиабата. При сжатии воздуха тепло не подво-
дится к нему и не отводится от него.
М Г. Хедер.
№м
Изотерма. При сжатии отводится столько тепла, чтобы тем*
пература оставалась постоянной.
465. Сжата в (фиг. 690). Объем воздуха = 21 м* давле*
ния рк— 2,5 атм. сжимается до pt = 9,5 атм. Определить:
1. Степень сжатия. X
/?Г7;-‘ГП- Температуру tt после сжатия, если началь-
пая температура воздуха ^=5 31*
/%/Гу;~пч Решение. 1, Степень сжатия или отношение
давлений равно:
А_9.5_з8
р~ 2,5“ ЗД
Для адиабатического сжатия (см. зад. 464):
Отношение объемов
^=1'тУзЛ = 2^7.
ив г
2. Абсолютная температура '
Т*= г* й ‘ v,“(273 + 31) ‘3,8 ’ Х37=450’-'
или г, = 450 — 273 — 17/’ Ц.
465а. То же при = 1,2 м1; ^рк = 1,2 атм., ^^6 атм.
466. Воздух, находящийся в пространстве А Ч
(фиг. 691) сжимается до половины своего перво-
начального объема. Начальное давление pt » 5 атм. \
абс. Определить давление воздуха в конце сжатия
в атм. абс. К
1. Если во время сжатия из цилиндра отводится Фмг. eoi.
столько тепла, что температура остается постоян-
ной (изотермическое сжатие).
2. Если во время сжатия тепло не отводится и не подво-
дится (адиабатическое сжатие).
Решение. 1. При одинаковой температуре имеем давление: <
Pt —Pi * • 5 • = 10 атм. абс.
2. Если тепло не отводится, то давление;
\ /ИА Ml • Mi
Pt—Pi • 1^4 —5-2 13,3 атм. аба.
466 а. То же при сжатии воздуха до яачальвого объема.
5»\
. > . • —
467. Диаграмма (фиг., 692). Пусть давление воздуха А
s= 1 атм. абс., а температура G » 20° LL
Определить отношение объемов при Сжатии воздуха до
7 атм. абс. и начертить диаграмму при адиабатическом измене*
*нии состояния (ср. зад. 464).
Решение. Определим одну из
р = Ъатм. Имеем:
ь=(4Г-^
Откуда абсолютная температура
’ Л =« 1,597 • (273 + 20) = 468*,
^ = 468 — 273 = 195°.
Отношение объемов:
к диаграммы, а именно: для
Ъ Ъ * А^468 ’ 1 ~3'1Х
Масштаб диаграммы 1^ = 34 жж, следовательно для давле-
ния pt«5 атм. по оси абсцисс откладываем объем:
34 . \ '
и*~зд2~п
Так же точно находим и остальные точки кривой сжатия.
467а. То же при а = 3 атм., — 40°.
468. Плотность воздуха. Что такое плотность воздуха и
как велика плотность атмосферического воздуха?
Ответ. Плотнбстъю воздуха называется вес 1 ж* его в кг,
_ который равен т= 1,29 яг/дЛ
469. Скорость ветра. Чему равна скорость »
• умеренного ветра и урагана?
. fff Ютвет. Скорость умеренного ветра равна
2,5 м/сек.; скорость урагана равна 40 м/сек.
ф«г еоа. 47^ ^абление **тра (фиг. 693). Свежий ветер
встречает плоскую поверхность длиною h = 2 м
и шириною б==6ж, имеющую наклон а =±=30° к направлению
ветра. Определить силу давления V в кг нормальную к по-
верхности.
Решение. Коэффициент полезного действия
—. .. Ъ = 0.93 - sin ЗО" = 0,465,
' * 331
Поверхность
’ Г=2<6 = 12лЛ
Скорость ветра
w = 7 м‘сек.
Давление на плоскость
фнг. сям.
2. Коэффициент
- $ = 0,465 - (7я : 9,81) * 1,29 =3 кг)м\
Нормальное давление
7V=3« 12 = 36 кг.*
470а. То же при Л = 4 м; £ = 3 м* а = 45°.
471. Дымовая труба (фиг. 694). Высота круглой дымовой
трубы /7=35 м\ наименьший диаметр 2г=1,8ж;
наибольший диаметр 2/? = 2,8 м; скорость ветра
ш = 34 м!сек. Определить опрокидывающий момент,
Ч 1. Расстояние центра тяжести л в м.
2. Давление на поверхность $ в кг 1м1.
3. Нормальное давление N в Kt.
4. Опрокидывающий момент в кгм.
Решение. 1. Расстояние центра тяжести ч •
35 . 13+1.4, 1621<
3 0,9+1,4 10,2
Ч,«=0,67.
Давление на поверхность
q=Ч,. . т — о,67 • 150 = 100 «г/л».
3. Нормальное давление
tf = $./?=100 (0,9+1,4) « 35 = 8000*2.
4. Опрокидывающий момент
N-s = 8000- 16,2 =130000 кгм.
471а» То же при /7=70 м.
472. Давление jempa (фиг. 695). Длй дере-
вянной перегородки высотою h = 9 м и шириною
b = 4 м, требуется рассчитать тяги х. Определить:
1. Величину поверхности давления в м\
2. Давление на перегородку при буре в кг.
3. На и^ы годнейшую точку прикрепления тяг х.
4. Силу растяжения, действующую в каждой тяге в кг при
угле ? = 45°*
532 ' . ’
Г - • .
[ Рвшенц^. 1. Поверхность давления (фиг. 696):
£ F=b • Л = 4 . 9 = 36 м*.
[' 2. Для бури:
! ( 7 = 118 жг/л»,
а так как
4 = 2,25,
Г то:
т% 0,93,
откуда давление ветра
W = 0,93 • 118 • 36 = 3950 кг.
3. Точна прикрепления тяг в середине перегородки.
( 4. Сила.растяжения в каждой тяге:
П 7 *Ji ¥ tW* 9ЯЙП -
' Z~ соз? — 0,71 ~2780
Тяги должны быть предусмотрены с обеих сторон; в про-
I. тивном случае их нужно рассчитывать на продольный изгиб» так
v кек направление ветра меняется.
472а. То же при Л= 18 ж, ^ = 8л.
473. Ветряная мельница (фиг. 697). 4 крыла ветряной мель-
п ницы длиною h = 6 м и шириною b = 1,5 м
укреплены под углом а=60° по отношению к иаправ-
Г лению ветра. Определить осевое давлениеваопору D.
1. Общую поверхность крыльев в л1.
г 2. Скорость весьма свежего ветра в м/сек. <
3. Коэффициент полезного действия поверх-
ности и нормальное давление.
/ фмг* 4. Осевое давление на опору D в кг.
Решение. 1. Поверхность крыльев:
F=4 -6. 1,5 = 36м\
[ X Давление ветра:*
у -1=30 кг/м*.
3, Коэффициент полезного действия:
^ = 0,93- sin 60° = 0,80.
Нормальное давление:
JV= 0,80 • 30 • 36 = 865 кг.
4. Осевое давление:
D = N • sin а = 865 . slu60° = 750 кг.
473а, То же при а = 45*. Л=,5 м, 6 = 1,21 м. ,
533
г < .
VII. ТЕПЛОТЕХНИКА,
§ 137. Общие сведения.
Теплота есть особое состояние движения, проявляющееся
в виде ощущаемого повышения температуры» а также в виде
увеличения количества тепла. Чем интенсивнее это движение,
тем выше температура. Когда это движение принимает нулевое
значение, мы имеем состояние абсолютного омертвения, при
котором прекращаются всякие признаки движения, вследствие
чего становятся невозможными явления теплоты, света, электри-
чества, равно как и живой силы, работы, давления. При совре-
менном состоянии науки мы имеем возможность утверждать, что
«нулевое значение* движения, которое называется «абсолютным
нулем температуры*, поддается вычислению, в результате чего
считается, что газы представляют собою такие тела, объем ко-
торых с понижением температуры равномерно уменьшается
вплоть до своего нулевого значения. Измеряя отношение этрго
изменения объема при нормальной температуре, можно для
какой-либо единицы температуры и для некоторой, легко до-
ступной исходной точки температуры, определить путем вычис-
ления нулевую точку абсолютной температуры. Такой исходной
точкой служит температура замерзания воды при атмосферном
давлении. Абсолютная температура обозначается обыкновенно
буквою Т, а ее нулевая точка буквою Го. Лоренцом однако
было сделано практическое предложение—выбрать для обозна-
чения греческую букву 0 (тэта), если речь идет о той темпе-
ратуре, при которой жидкость переходит в насыщенный пар
(температура испарения), или наоборот, насыщенный пар в жид-
кость (температура сгущения). Если принять это предложение,
то последовательность требует, чтобы было выбрано обозначение
также и для температуры сгорания.
Температура Гф до сих пор еще никем не достигнута. Может
быть, юна практически вообще недостижима. Однако в послед-
нее время удалось получить такие температуры, которые весьма
мало отличаются от так называемого «абсолютного нуля*. •
Некоторые научные выкладки и технические расчеты вы-
полнимы только в том случае» если за основу взята абсолют-
ная температура.
Средние значения для твплотворной способности.
а) Твердое топливо. Калории на 1 кг.
Антрацит. ..................... .7 300—8 000
Бурый уголь, богемский .. . .......3 800—5900
. . германский . . .'........I 900—3000
Брикеты бурого угля........; . . . . .4 400—5200
Дерево................................. 3500
Кокс...............................5 500—7 200
Каменный уголь, рурский............6 100—8100
, . саарский. ........5 0Q0—7800
. , силезский..........5 200—7 200
Брикеты каменного угля.............6 200—7 600
Ь) Жидкое топливо. Калории на 1 кг.
Бензол................................. 10000
Нефть........................... . 11000
Нефтяные остатки.................. . 10 500
Мазут.............................. 10500
Нафталин ............................. '9 760
Алкоголь........... i . . . .......’ 5 600
Деготь, камеиноуг. ;...............8 200— 8 500
Дегтярное масло ....................... 9 000
с) Газообразное топливо. Калории на 1 м1. <
Даусоноцский газ.........'...... 1 100—1 400
* • Генераторный газ (воздушный). . . . l 900—1 200 < •
Доменный газ...................... 800— 900
Газ коксовальных печей........... .. 4 500
Газ для двигателей................ 1200
Светильный газ/........................ 5000
§ 188. Измерение температуры.
а) Единицы температуры. Температура измеряется граду-
сами (нормальную шкалу дает водородный термометр) Цельсия
(С), Реомюра (R) или Фаренгейта (F).
435
। ПЕРЕВОДНАЯ ТАБЛИЦА.
с — R- Г-
г» тс 3^+’/, с
4 (Г-32) -§(/=•-32) & + ЧЛ
Наиболее употребительной в технике является шкала Цель-
сия,
Сравнительная таблица.
- Абсолют- ный нуль Градусы кяке нуля Нуль Градусы выше нуля
Цельсий . — 273 -20 -10 0 50 100 150 200
Реомюр . . — 218 — 16—8 0 40 60 120 160
Фаренгейт. в — 458 — 4 14 32 122 212 302 392 i
Ь) Способы измерения и измерительные приборы.
Предел из- • мереная —39е до + 200° Ртутный термометр, -— 39° соответствуют точке замерзания, 4- 200° — точке кипения ртути. Источники ошибок при измерении см. ниже. Спиральная трубка, наполненная ртутью. При расширении и выпрямлении Спирали стрелка
до 4-550° показывает температуру. i Ртутный термометр, у которого над стол- биком ртути находится газ (углекислота или азот) под давлением в 20 атм.
до 4-800° Ртутный термометр из кварцевого стекла, выдерживающего более высокое давление (60
ниже —39^ - атм.\ Термометр со спиртом (применим также до 4-78°), толуолом, нефтяным эфиром или пен- таном.
536 *
от любого
градуса ниже
нуля и до
+ 1000°
4-200° до
+ 1600°
0° До
+ 1000°
4-300° до
+ 3200°
4-600* до
+ 2000°
Электрический термометр, у которого при
изменении температуры платиновой проволоки
изменяется электрическое сопротивление, обна-
руживаемое гальванометром, показывающим на
циферблате температуру в градусах. Требуется
источник, электрического тбка.
Термоэлектрический пирометр, у кото-
рого электродвижущая сила, возникающая при
повышении или понижении температур^ в
месте спайки двух различных металлов, изме-
ряется гальванометром. Предел измерения зави-
сит от металла, из которого сделаны термов ле-
* менты.
Графитовый пирометр. Измерение темпе-
ратуры производится по удлинению графитового
стержня. ; '
Оптический пирометр. Измерение темпе-
ратуры основано на сравнении силы света, из-
лучаемого телом, нагретым до определенной
(известной) температуры, с силой света, излу-
чаемой испытываемым телом. Система Холь-
' борн-Кур^ьбаум: оптическая трубка с лам-
почкой накаливания, питаемой от аккумуля-
тора; сила света лампочки регулируется до сов-
падения с силой света источника тепла. Вели-
чину необходимого для этого сопротивления
показывает гальванометр с температурной шка-
лой. Требуется источник электрического тока.,
Результат зависит от субъективных ощущений.
Пирометр сист. Ваннера.
Конуса Зегера. Усеченные трехгранные пи-
рамиды (материал — силикаты), высотою 6 см ,
59 различных точек плавления.
Температура, соответствующая номеру ко-
нуса, считается та, при которой вершина конуса
склонится па сторону.
Применяются в керамическом производстве
для определения температуры обжига, а также
в паровых котлах для определения температуры
газов в дымоходах.
537
с) Источники ошибок яри измерения температуры. Ртут-
ный столбик находится не. весь в той среде, температура коей
подвергается измерению; выступающая часть охлаждается тем-
пературой наружного воздуха. К величине Т (показание термо-
метра) нужно прибавить еще член:
' *
I 6300 •
где Г—показание термометра, л —длина выступающей части
термометра, выраженная в градусах, /—средняя температура
ртутного столбика (измеряемая вспомогательным термометром, •
приспособленным в\середине выступающей части, или в непо-
средственной близости у выступающего конца).
Для приблизительной оценки температуры пользуются цве~
том каления железа (см. таблицу ниже). Результаты в значи-
тельной мере субъективны. ч
Точки плавления и точки кипения разных тел (§ 143
и § 145) могут также служить мерой для определения темпера-
туры; если же они известны точно, то служат для калибровки
и проверки термометров и пирометров:
3. Цвет каления железа при нагревании.
Красно-калильный в темноте............... 500*
Темнокрасный . . . <..................... 700*
Темно-вишневокрасный......................800е
Вишневокрасный .......................... 900*
Светло-вишневокрасный • • . . .........1 000*3
Темно-оранжевый....................... 1 100е
^Светло-кйлилькыа.......................1 150?
Светлооранжевый........................I 200®
Бело-калильный.....................*. . . 1 ЗОСг \
Сильно-белокалмльный................. I 380°
Сварочно-жаровой...................г. . I 400®
Ослепительно-белый.......7.............1 500®
§ 139» Линейное расширение»
а) Расширение тел от нагревания следует особенно учиты-
вать при проектировании 'паровых трубопроводов тепловых
двигателей, железнодорожных рельсов, металлических сооруже-
ний и др.
Коэффициент линейного расширения а твер-
да о го тела представляет собой его относитель*
ное удлинение при нагревании аа 1°.
Коэффициент расширения д и модуль упругости Я
Сварочное железо а = 0,00001468 £=2 000000 а* £=29,4
Литое железо. . . 0,00001176 2150000 25,3
Чугун ....... 0,00001067* 1000000 10,7
Сталь (мягкая) . . 0,00001070 2200000 23,7
Медь (красная). . 0,00001643 1 150 000 18,9
Латунь 0,00001875 800000 15
Алюминий . . . . 0,00002300" — —
Свинец '. 0,00002848 500 000 1,4
Дерево (сосна) . . 0,00000800 1 200 000* 9,6
Если / — увеличение температуры в градусах, а 4—длина
тела в ж, то удлинение будет' равно:
• (522)
Удлинение X пРи /=100° и L = i м.
Свинец ..... Бронза Цемент • Чугун Сосна ...... Медь if if if if» if — О _>— — JO ¥> 5 * 00 S • • • ’ k Латунь ..... Ртуть Сорт, и листов, железо .... Сталь, стальное . литье 4 II II II II о О $0 ’„оо да О оо • • • £
Пример (фиг. 698). Чугунный стержень длиною 2,3 м при
28° нагревается до 58°. Следовательно t = 58 — 28 = 30°.
Откуда:
1 = 1,07-2,3 (30:100) = 0,74мм.
Ь) Сила растяжения при нагревании и сжа-
тия при охлаждении. Обозначим через: £ —
модуль упругости, отнесенный к 1 см, F—по-
перечное сечение стержня в сж1. Фиг. ей.
Тогда сила растяжения равна
Р = а-£ - ЬГ=(Х;Х) £ (520)
539
Пример. Стержень из сварочного железа длиною L ж 1,4 м
и поперечного сечения Г ==38^’ нагревается с 20° до 9(Г,
т. е. на /=70°.,
Для сварочного железа, согласно уравнению (522) и таб-
лице на стр. 539, имеем: '
Х = 0,00001468 * 70 - 1,4 = 0,00144 м.'
Откуда согласно уравнению 523:
Р=29,4 • 70 • 38 = 78 204 kZ
§ 140. Объемное расширение.
Фиг. 6».
этот газ занимает при
расширение это про-
при постоянном да-
Фиг. 700
ft) Коэффициент объемного расширения твердого,
жидкого йли газообразного тела представляет,
собой относительное уве-
личение его объема при на-
гревании на 1°; он в Зраза
больше величины коэффи-
циента линеЙ‘ного расшире-
ния1).
Расширение жидких тел менее
равномерно. Вода расширяется весьма
неравномерно (фиг. 699), а именно: ока
при + 4°. достигает своей максимальной плотности и расши-
ряется как при нагревании выше + 4°, так и при охлаждении
ниже этой температуры, в особенности же в момент замерзания’
Этим объясняются часто происходящие разрывы труб и со-
судов. которые зимой при морозе остаются 'наполненными
водой. ' ’ ,
Ь) Расширение газообразных тел равномерно н при
1
нагревании на1ф соответствует^ того объема,
который
0°, если
исходит
в л е и и и.
Пример
ни ем, равным 1 м1 и высотою в 1 м (зна-
чит объем его равен I ж1), наполнен га-
зом при температуре /j = if Ц, причем сосуд закрыт невесомым
О Коэффициент поверхностного расширения радей двойной величине ко-
эффициента линейного расширения.
540 ' '
(фиг. 700). Сосуд с основа-
поршнем. При пагревании на 10° объем его увеличится и будет
равен:
1 г 1 Ю — О _ 10 .
1 + 1 ’ 273 ~1273J^’
<
Так как площадь дна сосуда равна 1 ма, то поршень подни-
мется следовательно на:
1 273“ 1=223^ — 36,67^. .
§ 141. Усадочный масштаб.
Приг изготовлении моделей необходимо иметь в виду, что
отливаемое изделие после остывания сжимается и объем его
становится меньше объема модели.
Величина усадки некоторых металлов.
Свинец .... /. . Бронза Мелкозернистое железо Литая сталь . . . . Колокольный ме* । талл Стальная отливка . Висмут 1: 92 1: 63 1 : 72 1 : 64 1: 65 1: 50 1 :265 Чугун Пушечный металл. Латунь Пудлунговая сталь Прокатное железо. Цинк Олово 1: 96 1 : 134 1: 65 1: 72 1: 55 1 : 62 1: 128
Модельщики имеют особые масштабы с делениями, рассчи-
танными на усадку, так называемые .усадочные масштабы*.
Возьмем, например, чугун. Согласно таблице усадка чугуна
равна 1/и; следовательно длина отливки после остывания будет
составлять и/н длины модели. Если же нужно, чтобы чугунное
изделие имело длину в 1 л, То модель должна иметь длину,
96 1
равную -gg-* 1000^ 1010 мм. Следовательно, усадочный метр
имеет в действительности длину 1010 мм. Согласно таблице эта
длнЯВ изменяется и для других материалов.
§ 142. Критическая температура»
Для каждого тела существует определенная критическая
температура, при которой переход из жидкого состояния в
, - Ml
состояние насыщенного пара (и наоборот) является только ка-
жущимся и происходит без изменения объема. С .критической
температурой* связано определенное .критическое давление4
и определенный .критический удельный объем" (кг!м*).
§ 143. Единица теплоты, теплоемкость.
Единицей теплоты, или калорией1)» назы-
вается количество т е п л о т ы,, к о т о р о е необхо-
димо сообщить одному кил огр ам му во ды, что-
бы повысить его температуру-иа1®.
Пример, Чтобы 42 м* воды нагреть от 0? до 72°, необхо-
димо сообщить ей 4300 72 = 309 600 калорий.
Для нагревания различных тел, одинакового веса на одно и
то же число градусов требуется сообщит!» им разные количе-
ства теплоты, для чего нужно знать теплоемкости этих тел.
Теплоемкостью тела называется количество теплоты в ка-
лориях, которое нужно сообщить одному килограмму его для
повышения температуры иа Iе.
Если обозначить через:
О — вес тела в кг, * '
с — теплоемкость его,
t — повышение температуры в градусах, то необходимое
количество теплоты будет равно: ъ
G • с • / кал. (524)
Для газообразных тел различают '
теплоемкость cv при постоянном объеме
• ср , , давлении.
Теплоемкость С при ? и постоянном длвлении.
t — (Г 100е аю» 1000е
Углекислота. . . с = 0,189 0,216 озп 0,409
Водяной пар . . с = 0,423 0,459 0,603 0,783
Азот , .csss 0.243 0,247 0,263 о,2яз
Кислород. . . . 0,212 0,216 0,232 0,252 *—
*) Калория, отнесенная к кг, наэмаается также большой, нам килограмм-
шориеД, отджчке от применяемой также малой, ада граммкадорааЯ.
1 граммкалориа - 0,001 кклотрамцкадорюс
• • Техинмкостъ газе» мамсет ет температуры. *
|- /
Теплоемкость с твердых и жидких тел.
Вода Спирт Свинец Стекло Чугун Уголь Медь ........ Латунь Никкель Фосфор Ртуть........ Чугун между 0° и 200° 1,0 0,6 0,03 0,20 0,13 ' 0,24 4 0,093 0,092 0,11 0,20 0,033 0,13 Чугун между 0° и 1200° ..... Котельное железо Сера плавленная. , твердая . . . Серная кислота • . Серебро Сталь мягкая . . . , твердая . Кирпич Огнеупорн. кирпич Цинк Олово 0,16 0,114 0,20 0,18 0,33 0,056 0,116 у 0,117 0,189-0,24 0,21 0,094’ 0,056
Пример. Чтобы 600 кг свинца при 0е нагреть до точки
плавления (см. § 146), требуется (согласно уравнению 524)
600 • 0,03 • 330 = 5940 калорий, так как согласно § 146 темпера-
тура плавления свинца равна ЗЖ
Если, следовательно, имеем для этого топку с коэффициен-
том полезного действия 50*4 и уголь теплотворной способности
7000 кал., то потребуется 5940 : (7000 • 0,5) = 1,7 кг угля.
Если же нужно 600 кг воды при 0° превратить в лар да-
вления 8 атм. абс. (которого, согласно § 157, полная теплота
парообразования равна 660,7 кал.), то для этого требуется
600 • 660,7 = 396420 кал., что при вышеуказанных угле и коэф-
фициенте полезного действия топки соответствует расходу
396 420 ! (7000 ♦ 0,5) = 113 кг угля.
Теплоемкости газов и паров -в зависимости от температуры
колеблются в небольших пределах. Для умеренных температур
(до /=200°) вышеуказанная таблица дает вполне удовлетвори-
тельные значения.
Теплоемкости для водяного пара —см. ниже, в § 157.
При расчетах охлаждающей способности рефрижераторов
часто требуется знать удельный вес и теплоемкости соляных
растворов .
Теплоемкости газов и паров.
Вещество . *— Вес s кг/м* р—1 «ты Т Газо- вая по- стоян- ная Я Теплоемкость 1 (вода«1) Теплоемк. 1 ж* t—лт.м Коэ-фф. _ Ср X <«0 СР со
При по- стоян- ном да* вдеияи ср При по- стоян- ном объеме % При по- стоян- ном да- влении СР При ПО- СТОЯН- НОМ объеме
Аммиак . • . 0,700 49,6 0,53 0,44. 0,37 0,29 1,28
Атм. воздух. 1,188 29,26 О’,238 0,170 0,282 0,200 1,405
Окись угле- рода .... 1,148 30,25 0,242 0,172 0,279 0,197 1,410
Углекислота 1,804 19,25 0,21 0,16 0,37 0,29 1,28
Кислород . . 1,312 26,5 0,217 0,155 0,285 0,204 1,40
Сернистая кислота. • 2,627 13,2 0,15 0,12 0,39 0,31 1,25
Азот. . ♦ . . 1,151 30,2 0,247 0,176 0,281 0,20 1,408
Водород. . . 0,083 420 3,41 0,242 0,282 0,20 1,405
Теплоемкости соляных растворов. (Поваренная соль в воде.)
Содержание соли в процентах 24 20 14 10 6 3 2 0 (вола)
Удельный вес 7 — 1,187 1,155 1,103 1,072 1,044 1,023 1,012 1
Теплоемкость с = 0,791 0,824 0,863 1 0,895 0,931 0,962 0,978 1
В рефрижераторе холодильной установки содержится 20 ОООлит*
ров 20% соляного раствора. Температура понижается в течение
105 минут на 12’.
Сколько калорий при «том отнимается?
Вес рассола 0 = 20000 • 1,155 = 23100*2.
Теплоемкость (согласно таблице): с =0,824, следователь»)
согласно уравнению 524 отнимается:
.23100 • 0,824 • 12 = 228 412 ш. ''
или • «0 ~ 130 520 км/час.
[ § 144. Парообразование и кипение.
Парообразование жидкости происходит тогда, когда она
переходит в состояние насыщенного пара. Если этот переход
происходит только на поверхности жидкости и при сравнительно
низкой температуре, то говорят об испарении жидкости.
1. Испарение жидкости происходит тем скорее, чем больше
ее поверхность, чем значительней разница между давлением
поднимающегося из жидкости пара и давлением водяных па-
р ров, содержащихся в окружающей среде, и чем оживлен-
нее обмен частиц этой среды. Открытая вода испаряется при
прочих равных условиях тем быстрее, чем сильнее тяга воз-
духа.
2. Кипение. Если, благодаря непрерывному сообщению
теплоты, одновременно во всех местах жидкости образуются
быстро поднимающиеся на поверхность пузырьки пара, то та-
кое явление называется кипением. Для каждой жидкости суще-
ствует определенная температура, при которой она кипит: тем-
пература кипения, которая зависит от давления на жидкость.
Температура кипения при давлении 1 атм. абс.
и теплота испарения 1 кг.
Вода «•••«•• 100° 537 кал. Ртуть • 357° 62 кал.
Спирт 78° 210 9 Серн, кислота . 320° 122 ,»
Эфир 35° 90 . ।
1 Пример. Чтобы превратить 15 кг воды при 100* в пар, тре-
буется для этого количество теплоты, равное 15 • 537 = 8055 кал.
В горах давление воздуха меньше, чем на уровне моря, по-
этому там температура начала парообразования или кипения
ниже (например, на горе Монблан на высоте 4475 м давление
равно 417 мм ртутя, столба, вследствие чего вода кипит уже при
84°). Следовательно можно пользоваться термометром (измеряя
температуру кипения воды) также и для определения высоты
/места над уровнем моря.
Высота над уровнем моря 0 500 1000 2000 4000 6000 м
Температура кипения воды 100? 98* 97* 93° 86° 80°
35 Г. Хедер. 545
$ 145, Температура смеси
Обозначим через G, — веса двух тел в кг, t, — темпе-
ратуры их в градусах, c,ck— теплоемкости (согласно § 142).
Тогда температура смеси этих тел при весе равном G-f-Gt
будет равна:
(525)
Для воды (теплоемкость которой с= 1) уравнение это имеет
следующий вид:
4 * G Г5261
^--й + 01 • (526)
Пример. G = 20 кг воды при t = 35° смешиваются с G =
= 40 кг воды при /х = 70°. Тогда температура смеси ее согласно
уравнению 526, будет равна:
. 20-35 + 40.70 ' :
т 20 + 40
Если (G + Gt) кг воды образуется из кг воды при t° и
z из G кг сконденсировавшегося лара при С, то температура
смеси будет равна:
0.(606,5 + 0,3./) + ^. tx
-----------------------—
Выражение в скобках представляет собой полную теплоту
парообразования 1 кг пара (§ 157).
Пример. В смешивающем конденсаторе паровой машины
конденсируют 0 = 1000хг пара при 110° путем смешения с
Gt 25 000 кг воды при = 15°. Согласно уравнению 527 темпе-
ратура смеси будет равна: \
1000 - (606,5% 0,3 • 110) + 25 000 • 15 _
т=' 1000 + 25000
(527),
* § 146. Плавление.
а) Точка плавления. Твердые тела, нагретые до определен-
ной температуры, называемой точкой плавления, переходят в
жидкое соетоаяие.
Дальнейшее повышение температуры может иметь место
лишь тогда, когда тело уже перешло в жидкое состояние.
Температура, плавления до некоторой степени зависит от
давления, под которым находится тело.
546 ’ ” . ‘
Температура плавления7 различных тел.
Платива 2500° Стекло 1100°
Сварочное железо . . 1550е .Медь . .; 1095°
Никкель 1450° Золото 1037°
Литое железо 1400° Латунь 1015° ‘
Сталь 1350° Эмалевые краски . . 960°
Доменные шлаки . , . 1370° Металл-Дельта , ♦ . . 950°
Чугун 1150° Серебро 955°
Бронза . . . . 900° Висмут 260°
Алюминий ....... 650е Олово 230=
Аммоний . . . 420° Каучук 125°
Цинк 410° Сера . . 109е
Свинец 330° Натрий 96°
Ь) Теплота плавления (скрытая теплота). Когда темпера-
ратура плавления твердым телом достигнута, то для превраще-
ния его в жидкое состояние Необходимо сообщить ему еще не-
которое количество теплоты (скрытая теплота плавления). При
этом температура тела не повышается, а сообщаемое количество
теплоты расходуется на работу, необходимую для перехода тела
из твердого состояния в м^идкое. (Перевод молекул из состояния
твердого тела в жидкое).
Скрытой теплотою плавления твердого тела
называется количество тепла в калориях, к ото-
рое необходимо сообщить 1 кг тела, чтобы пе-
ревести его из твердого состояния в жидкое
без повышения его температуры.
Скрытая теплота плавления различных тел
В КАЛОРИЯХ. ' Фf
4
Свинец ....... 6 Серый чугун '. . . 23
Лед (вода) ..... . 80 Белый чугун.... 33
Доменный шлак. . 50 Сера ......... 9
^Никкель 4,6 Серебро 21
Платина .«•«««» , 27 Цинк 28
Ртуть 2.8 Олово 14
547
Пример. Требуется 80 кг льда при (Г превратить в воду
при 0°. Необходимое для этого количество теплоты равно
80-80 = 6400 кал. При замерзании воды такое же количество
теплоты освобождается.
с) Замерзание. Если от жидкого тела отнять определенное
количество теплоты, то оно затвердевает (замерзает). При этом
освобождается скрытая теплота плавления.
Следующая таблица дает значения (температуры замерзания)
некоторых тел:
Температура замерзания жидких тел.
Вода• . • 0° Ртуть — 40°'
Морская вода . . • — 2,5° Сернистая кислота — 76°
Сурепное масло. . — 3,5° Аммиак ....... — 77°
Скипидар — 10° Жидкая углекис-
Раствор поваренной лота — 79°
соли насыщенней — 18° Спирт чиётый . . . — 100°
Льняное масло. . . — 20° Эфир — 117°
§ 147. Парообразование жидкостей.
Теплосодержанием жидкости Г называется количество теп-
лоты в калориях, которое нужно сообщить 1 кг жидкости при 0°>
чтобы нагреть его до температуры начала парообразования,
соответствующей данному давлению.
Теплотой испарения г называется количество теплоты в
кал., которое нужно сообщить 1 кг жидкости (при постоянном
давлении наружной среды), чтобы превратить его в насыщен-
ныййтар при той же температуре. Наоборот, при переходе из
состояния насыщенного пара в жидкое, такое же количество
теплоты снова освобождается.
Теплота испарения зависит от температуры, при которой
парообразование происходит, а следовательно от соответствую-
щего давления. я
Еслй, например, воде, находящейся в открытом сосуде и имАо-
щей температуру 0°, сообщать теплоту, то погруженный в воду
термометр покажет подъем температуры до 100°. На этой точке
термометр остановится, даже если воде сообщать дальнейшее
количество теплоты до тех пор, пока вся вода не превратилась
в пар. Количество теплоты, израсходованное при этом '«вТй
• жидкости, называется теплотою парообразования. ?:$Я
Пример. Сколько калорий необходимо сообщить, чтобы /PS
10 кг спирта при 78° превратить в пар при наружном давлении
1 атм. абс.?
Согласно таблице § 144 теплота испарения равна 210 кало- '>
риям; следовательно необходимо подвести:
10-210 = 2100 кал.
Теплота испарения состоит из:
Внутренней скрытой теплоты испарения р в калориях
(§ 157), т. е. того количества теплоты, которое необходимо для
перехода из одного состояния (жидкого) в другое (парообраз-
ное). (Увеличение внутренней энергии путем парообразования.)
Внешней скрытой теплоты испарения ф в калориях,
которая эквивалентна работе, затрачиваемой для преодоления
внешнего давления, чтобы увеличить объем о' (в л1 * * * *) жидкости
до объема насыщенного пара Vй (в л?).
Следовательно теплота испарения г=р + Ф калорий. ч
Теплосодержание насыщенного пара Г' = Г + г калорий 1)
представляет то количество тепла, которое необходимо сооб-
щить жидкости при 0° Ц. и определенном давлении, чтобы по-
лучить 1 кг пара.
§ 148. Теплота и работа.
а) Преобразование теплоты в работу имеет место в дви-
гателях, например, в паровых машинах, двигателях внутреннего
сгорания, при расширении сжатых газов, причем последние
отдают часть своей теплоты.
• Преобразование работы в теплоту имеет место отчасти
в следующих случаях: .
1) при нагревании изделия или инструмента при механиче-
ской обработке (удары ручником, обточка, строжка и др.);
2) при сжатии газов (компрессоры), причем температура
сжимаемого газа или воздуха повышается.
Ь) Эквивалентность теплоты и работы. Теплота и работа
взаимно эквивалентны.
1) Значок * относится к жидкости. >9 к насыщенмому пару.
Общее обозначение (по Моллье):
♦ /" = F-Ьл = Г 4-ф + р.
Для водяного пара пришло:
X = ? + г = д + ф + р.
849
Опытным путем было найдено, что при преобразовании теп-
лоты в работу и наоборот:
1 кал. эквивалентна или равна 427 кгм, т. е. 1 кал. может
произвести работу, равную 427 кгм, или 1 кгм работы может
воспроизвести количество теплоты, равное ~ кдл. 1).
Следовательно термический эквивалент работы,
А = ^7 кал-/KZM- (528)
Таким образом, для получения работы 1 лош. силы в час
требуется (при коэффициенте полезного действия ч = 1) под-
вести:
75'60=—^==632 кал- <529)
Это число, называемое термическим эквивалентом работы
1 л. c./ч., не зависит от процесса преобразования теплоты в
работу, т. е. оно одинаково для всех двигателей.
ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
§ 149. Общие обозначения. Энергия.
а) Обозначения. Q — количество теплоты в кал.; £ — коли-
чество работы в кгм: А = кал. — термический эквивалент
работы (1 кгм» см. § 14В); Р—абсолютное давление жидкости
насыщенного, перегретого пара или газа пкг'м*\р—тоже —в
кг]см* (следовательно р = 0,0001 Р); G — вес тела в кг: V—
о0ъем тёлавл^*; v—то же — в м1!кг, т. е. удельный объем; Г=^=
=(273+0 в градусах Цельсия, абсолютная температура (§ 129);
t — температура в градусах Цельсия (§ 138); и — внутренняя
энергия 1 кг в кал./*г; S — энтропия (§ 150); I— тепло-
содержание в кал./xz при постоянном давлении; ср — теплоем-
кость при постоянном давлении в кал./кг; cv — теплоемкость
при постоянном объеме в кал./кг; ср:ср = х, ст — средняя
теплоемкость при "постоянном давлении меицрг 0° и 1°.
Ь) Энергия. Энергией тела называется его способность про-
изводить работу; энергия может изменяться только путем по-
глощения ее извне или отдачи наружу. В мире количество
энергии постоянно. При прохождении силою k пути I произво-
*) Прежнее число найденное Джоулем, оказалось веточным.
550
дится механическая работа, равная k • I. Масса т, движущаяся
со скоростью v, обладает лживой силой, равной —. Меха-
ническая работа может вызвать эквивалентную живую сиду,
, т • v*
следовательно можно принять k • 1 =—g—.
Механическую работу можно получить также за счет экви-
валентного количества теплоты, следовательно и живую силу
можно получить за счет теплоты.
Живая сила, как всякая форма энергии движения, называется
кинетической энергией, между тем как всякая аккумулирован-
ная энергия называется внутренней энергией. В особых слу-
чаях получения из аккумулированной энергии силы внутрен-
няя энергия называется потенциальной энергией.
Суммарная энергия Е какого-либо тела составляется, следо-
вательно, из внутренней (зависящей от внутреннего состояния
тела) энергии U, внешней кинетической энергии (£0) и иногда
из энергии силы тяжести (^0).
J
§ 150. Первый основной закон термодинамики.
а) Если телу, обладающему суммарной энергией EL кгм, сооб-
щается количество теплоты Q. и оно при этом производит внеш-
нюю работу L кгм и если в конечном состоянии тела суммар-
ная энергия его равна Et кгм, то между этими значениями
существует следующая зависимость:
(£,-£,) + А = 4 = 427<?- (530)
Одна часть сообщаемой телу теплоты, израсходованной на
внутреннюю работу, определяется разностью конечной и на-
чальной суммарной энергии £,— Ev Величина суммарной энер-
гии считается, исходя от абсолютного нуля температуры, т. е.
от состояния полного отсутствия движения, и поэтому не мо-
жет быть измерена.
Другая часть сообщаемой теплоты соответствует внешней
работе L, которая, в зависимости от процесса превращения из
начального состояния в конечное, может иметь различные зна-
чения.
Таким образом, математическим выражением первого основ- .
ного закона термодинамики будет следующее уравнение:
(? = Д(£|-£|) + Л£. (531)
551
Для жидких, парообразных и газообразных тел внешняя ра-
бота L расходуется всегда на преодоление внешнего давления,
которое противодействует увеличению объема. Это внешнее
давление в обратном процессе изменения состояния всегда равно
внутреннему давлению. Соответственным образом работа L
равна сумме произведений давления Р и приращения элементов
объема, а именно:
или, относя к I кг,
L = ZP^V
L = ZP*bv
(532)
где Дг1) обозначает бесконечно малый объем.
Если через др обозначить бесконечно малую часть сообщае-
мой теплоты, а через бесконечно малую часть внутренней
энергии, то получим:
, дф=л.р-ди+дс/,
или, относя к 1 кг,
&Q = A • Р - kv+ (533)
откуда
Q~A*(1P- W + .
или, относя к 1 кг
Q==4 .z (Р . д^) + (W1 «,). (534)
b) Энтропия. Энтропия представляет собой величину (фиг
701):
где AQ бесконечно малое к оличество теплоты
а 7 = 273 + t абсолютная температура ее.
С помощью энтропии можно любое
количество теплоты Q представить в ^виде
простой функции 27 • Д$ абсолютной темпе-
ратуры Т. *
Если отложить в прямоугольной системе координат по оси
абсцисс величины энтропий, а по оси ординат соответствующие
абсолютные температуры, то получится площадь, зависящая от Т
и выражающая графически количество теплоты (см. фиг. 701).
9 Д обозначает бесконечно малую частицу, Z — сумму, • Д,—сумму
всех бесконечно малых часпед Р • Д т.
В особом случаепсообщения или отнятия количества теплоты Q
когда температура Т остается постоянной, имеем
$=<?:?. , (536)
§ 151. Второй основной закон термодинамики.
Теплота не может сама по себе (без соответствующего рас-
хода или определенной компенсации) перейти от более холод-
ного тела к более теплому. Из данной системы тел, температура
которых во всех частях одинакова, нельзя получить механиче-
ской работы.
Поэтому для всех обратимых процессов изменения состояния,
т. е. таких, пои котовых равновесие не нарушается, имеем
или, относя к I кг /
^₽4s, (537)
откуда
Д(?== Г • Д5 = 4 • Р • ДИ+W (538)
или '
AQ= Д$ = Л . Р . Д^ +Да. (539) .
При обратимых процессах изменения состояния суммарная
величина энтропии остается постоянной; при необратимых же
процессах, сопровождаемых нарушением равновесия, суммарная
величина энтропии увеличивается.
а) Круговой процесс (цикл). Если тело, после ряда изме-
нений своего состояния, снова приходит в первоначальное со-
стояние, то, следовательно» в целом содержание его энергии
остается неизменным.1)
При, круговом процессе внешняя работа, произведенная ра-
бочим телом, должна быть эквивалентна количеству сообщенного
ему тепла
Q = ALJ (541)
При деизмеиной величине энтропии расходуемая энергия
дает полезную работу Lnf при увеличивающейся же величине
энтропии получается потеря работы.
. Круговые процессы, при которых происходят только обрати-
мые изменения состояния, называются обратными процес-
I) В^урввн/ Q А (£> — ft) 4- АЦ тогда член (ft — Е& —0. (МО)
553
i
сами, в отличие от необратимых процессов, при которых
происходят нарушения равновесия. В газах и парах, например,
эти нарушения выявляются в виде бурного движения.
Если рабочее тело в течение кругового процесса поглощает
количество теплоты Qlf а отдает количество теплоты то
A-L = Q^Qt. ' ’ (542)
Если Qi > Qu то А • L равно полученной работе, если же
1 Qi < Qv то А • L равно израсходованной работе.
Для кругового процесса 2 (Q: 77 = 0.
Ь) Теплосодержание при постоянном давлении, Моллье
* дает следующую формулу:
• i=u + A^Pv,
обозначающую теплосодержание при постоянном давлении.
Откуда получается:
&Q—T- bs=M — А • v- ДР,
так как
и = / — А • Р * v.
Если давление дано в xzjcM*, вместо кг)м%, то вместо Р
надо вставить 10000 • р,
Аггрегатное состояние. Состояние рабочего тела при ну-
левом значении абсолютной температуры Го нам неизвестно,
но можно предположить это состояние твердым. При повыше-
нии температуры состояние рабочего тела, вообще говоря, изме-
няется в следующем порядке: твердое, размягченное, плавя-
щееся, жидкое, испаряющееся, состояние влажного насыщенного
пара, сухого насыщенного пара, перегретого пара, сильно пе-
регретого пара или газообразное.
Можно считать, что между указанными основными и про-
межуточными состояниями существует непрерывная связь. .
• § 152. Построение диаграмм.
Диаграммы представляют собою неладное графическое изо-
бражение зависимостей между двумя из следующих величин (по
возможности выбирается прямолинейная система координат):
давление, температура, объем, энтропия, теплосодержание и
энергия.
а) Диаграмма Pv (фиг. 702) (диаграмма работы или инди- '
каторная). Объемы (V м* или v м'/кг) откладываются по оси
абсцисс. Давления (Ркг!м* или рю/м*) откла-
дываются по оси ординат. Заштрихованная пло-
щадь равна произведенной работе.
Следовательно:
L =зБР • ДИ kzm или ZP • До кгм/кг.
Ь) Диаграмма Tst фиг. 703 (тепловая диа-
грамма), при постоянном аггрегатном состоянии.
о кал. кал./кг
। Величины энтропии S у—, или s у .откладываются по
оси абсцисс, я абсолютные температуры (Т в
градусах) по оси ординат.
Заштрихованная площадь равна поглощен-
ному- или отданному количеству теплоты.
Следовательно:
Q = ZT - AS кал., иди 2Т • Д$ кал./кг.
Например, при изотерме, т. е. при процессе с постоян-
ной темиературой Г, поглощенное или отданное количество теп-
лоты равно (фиг. 7<М):
Фиг. 703.
Фиг. 703.
$ = Т - (S>—Si) кал., или
Т ($1 — St) кал./кг.
При адиабате, т. е. при процессе с постоянной энтропией s,
поглощенное или отданное количество теплоты равно 0.
с) Диаграмма 7s, фиг. 705 (тепловая диаграмма), при изме-
нении аггрегатного состояния и при постоянном давлении.
_ кал. кал./лгг. ,
Величины энтропии (S —у-, или —у—) откладываются по осн
абсцисс, а абсолютные температуры (Г в градусах) по осн ор-
динат.
Заштрихованная площадь равна теплосодержанию при по-
стоянном давлении.
Фиг. 706
Следовательно
7= XT* • IS кал. или XT * As кал./де z
Все вопросы, связанные с теплотой и работой, разрешаются
при помощи и этой диаграммы. '
d) Диаграмма Js фиг. 706 (диаграмма теплосодержания).
~, /с кал. кал./кг.
Энтропии (S -у-, или s ——) откладыва-
ются по оси абсцисс, а теплосодержания (7
кал., или I к а л./к г) по оси ординат.
Из это'й диаграммы непосредственно по-
лучаются следующие значения работы и теп-
лоты:
1) для различных удельных количеств пара,
2) для температуры насыщения (предел
насыщения SG),
3) для различных степеней перегрева t&.
Абсолютная температура T^~ = -L.
е) Диаграмма 7Р, фиг. 707 (диаграмма теплосодержания и
давления).
Давления (Ркг/м* или, ркг!см1) откла-
дываются по оси абсцисс, а теплосодержания
(7 кал., или I кал./яг) по оси ординат.
Из диаграммы можно получить: для раз-
личных давлений р и. температур Т (SG
предел насыщения) — соответствующие объ- ?
емы v в м1!кг и теплосодержания I в кал./^г. фиг. тот.
ч
§ 153. Особые случаи изменения состояния.
Необходимо различать:
а) Изменение состояния по нзоплере, т. е. при постоян-
ном объеме. Давления пропорциональны абсолютным темпера-
турам, следовательно: /
= (543)
Ь) Изменение состояния по изобаре* т. а. при постоян-
ном давлении. Объемы пропорциональны абсолютным темпе*
ратурам, следовательно*.
” (544)
556
У
с) Изотермическое изменение состояния* г» е. при по-
стоянной температуре» Давления обратно пропорциональны
объемам, следовательно:
А ^1 = ^:1/,. (545)
d) Адиабатическое изменение состояния, т. е, при по-
стоянной энтропии» При этом процессе:
= (546)
Для двухатомных газов показатель* можно принять равным
1,4 (воздух и т. д,),
е) Политропическое изменение состояния* т. е. при по-
стоянной теплоемкости. Здесь действительно уравнение 546, но
только вместо показателя х, надо поставить л. Следовательно
Pitp^Vf'-Vf^^", (547)
где показатель п колеблется от 1 до 1,4.
§ 154. Особые рабочие процессы.
1. Цикл Карно (фиг. 708) состоит из двух изотерм и двух
адиабат 1 — 2 адиабатическое сжатие. Температура повышается
с 7*1 до 7f. 1
2—3 изотермическое расширение при по-
стоянной температуре 7^. - 4
3—4 адиабатическое расширение. Темпера-
тура понижается с Г, до 7\.
4 — 1 изотермическое сжатие при постоянной
температуре 7\. При этом цикле производится
Фиг. тод.
работа при поглощении теплоты при и отдача теплоты
при Г,. . j
2. Обратимый процесс между двумя кривыми
постоянного давления (и
май адиабатами (газовые
зобарами) идвумя ади-
абатами (воздушные дви-
гатели), фиг. 709.
3. Круговой про-
цесс между двумя
кривыми постоянно-
го объема (2—3и 4 — /)
ндвумя политропами,
двигатели), фиг. 710»
557
§ 135. Образование водяного пара.
Водяной пар применяется как рабочее тело для получения
работы, а также для отопления, варки, сушки й пр.
Если сообщать воде, находящейся в котле К (фиг. 711), по-
средством топки F теплоту так, чтобы вода начала испаряться, *)
то образующийся при этом пар будет находиться над поверх-
ностью воды. Такой пар будет называться
Фиг. 711» Фиг. 712. Фиг. 713.
Если паровая машина М (фиг. 712) потребляет как рал
столько пара, сколько образуется в котле, то давление, тем-
пература пара и температура воды остаются постоянными.
Если же пару по пути от котла К ж машине М сообщить
еще некоторое количество теплоты, то тогда паровая машина
будет получать уже перегретый пар (фиг. 713).
§ 156. Давление пара.
Еднницейдавления пара слу ж итатмосфера
(атм.), причем:
1 атмосфера барометрическая равна давлению 1,033 кг
на 1 см\ Это так называемая физическая атмосфера.
/ атмосфера метрическая равна давлению 1 кг на 1 см1.
Это так называемая техническая атмосфера.
Следовательно, давление измеряется в атмосферах/или кг!см1.
Различают: абсолютные атмосферы (атм. абс.) и маномет-
рические атмосферы (атм. май.).
1) Температура начала испарения воды зависит от действующего на воду
давления. Согласно табл. Кноблауха в зависимости от давления парообразо-
вание происходит при следующих температурах:
! при р — 1 атм. абс. . ....... . t — 09,08° Ц.
. р~9..................... f— 189,59* Ц.
Если прекратится сообщение теплоты, то прекращается и парообразова-
ние. При уменьшении давления парообразование также возможно, которое
в этом случае протекает за счет освобождающейся -теплоты жидкости (явда-
мне, наблюдаемое при взрывах котлов).
658
Манометры показывают давление в манометрических атмо-
сферах. Манометры калибруются в кг!см3.
Давление манометрическое это давление, которое является
давлением сверх атмосферного.
При барометрическом давлении, равном 735,5 мм ртутного
столба, имеем давление, равное 1 кг’см*, или 1 атмосфере. Для
этого случая имеем следующие соотношения:
g УТ* । Атм. маном. ~ атм. абс. — 1
' Атм. абс.=атм. маном. + 1
Примеры. Манометр котла (фиг. 714), по-
•ряг. 714. называет р = 9 атм. На днище котла диа-
метра D = l,8 м действует давление, равное • 180я • 9 кг.
Если барометр показывает 730 мм ртут. столба, т. е.
то абсолютное давление пара, следовательно, равно:
9 + 0,992 = 9,992 атм. абс.
Если бы днище котла соприкасалось
с безвоздушным пространством (ра на фиг.
715), то давление на днище было бы
равно♦ 180я • 9,992 кг. Манометр, соеди-
ненный с паровой камерой р и находящийся сам в безвоздуш-
ном пространстве р0, показывал бы также давление 9,992 атм.
В теоретических исследова-
ниях всегда нужно пользоваться 4.
абсолютными атмосферами, по- >
этому на диаграммах никогда не £
наносят шкалу по фиг. 716, a
Фиг. 716.
всегда так, как показано на Фиг. 717.
фиг. 717. *)
§ 157* Насыщенный водяной пар.
Насыщенным водявымпаромаазываетсяпар,
имеющий при даннойтемпературенаибольшую
плотность и способный сгущаться в жидкость
при малейшем уменьшении его температуры
{частичная конденсация пара).
*) Т. е. давления откладывают, начиная не от 1 ггм., а от кулевой линии
Прям. pri.
Б59
L Теплота пар а, температура, вес, объем.
р —давление пара в атм. абс., или кг!см1;
Р*= 10000 • р кг/м* абс., т. е. давление на 1 м*;
t — температура кипения или парообразования, в
градусах Цельсия; q — теплота жидкости в кал/к г;
р — внутренняя скрытая теплота испарения в кал/кг;
ф = Л • Р • w кал/кг внешняя скрытая теплота ис-
парения ; А = jiy термический эквивалент работы,
согл. § 150; г = р + 4 • Р • w кал/яг теплота испа-
рения; X = q + г кал/кг полная теплота парообра-
зования насыщенного пара; v' —0,001 м*/кг удель-
ный объем воды; v — удельный объем сухого на-
сыщенного пара в м*/кг\ 7 = “^* W** удель-
ный вес cyxord насыщенного пара; w = о —v' м*/кг
увеличение объема при парообразовании; V— коли-
чество пара в м\
Для води по Реньо:
теплоемкость
с= 1 + 0,00004 • t + 0,0000009 • t\
или приближенно
см. § 136.
(548)
(549)
Отсюда теплота жидкости равна;
q=fc = t + 0,00002 • t* + 0,0000003 - Р км/кг (550)
или приближенно
1,0224 • t кал/яг. (551)
Теплоемкость води. Ниже приводим новейшую формулу
для теплоемкости воды, согласно Дитерици:
с~ 0,9983 — 0,005184 • ~ + 0,006912 ♦ L-* V калорий.
1VU \lvv/
с = ~ 1,0224.
*) Значки, введенные Моль« ("} для насыщенного пара, неудобны для
письма н печати; поэтому для водяного пара будем применять принятые до
сих пор обозначения 1, v, а, вместо обозначений по Молье: Г\ г", в*.
В нашей технике удельный объем сухого насыщенного пара принято
обозначать через уу, а влажного насыщенного через тх, Пр**- реб.
560
С
/ = 20° с —1,0010 4(Г 0,9973 60° 0,99/6 80° ' 0,9985 100е 1,0000
/=140° с = 1,0046 180е 1,0113 200* 1,0155 240° 1,0256 300° 1,0449
Для' водяного пара по Реньо: *): \
Моллье дает:
= 0,001 ж’/кг, значит u!~q (см. уравн. Рейьо 550 и 551),
Г = q + A -P‘V' мл/кг теплосодержание жидкости,
г = р + А Р • (г — vr) = p + f кал/кг теплота парообразования,
Гг=г+? игл/кг теплосодержание насыщенного пара.
Таблицы Моллье, Цейнер-Реньо, Флигнер, Шюле и Кнс>
блауха дают величины, несколько отличающиеся друг от друга.
Таблица Кноблауха, Райше и Гаузена см. стр. 565; таблицы
Моллье и Шюле см. стр. 562.
Внутренняя скрытая теплота испарения:
р = 575,4 - 0,791 • t км/кг. ' (552)
Внешняя скрытая теплота испарения:
+=Л -Р. w = 31,1+ 1,096- t — q км/кг. (553)
Теплота испарения:
r = p + А ’ Р • w кал/кг. (554)
эмпирически: i
г=606,5 — 0,695 • t — 0,00002 • t* — 0,0000003 • кал/кг. (555)
Количество теплоты, которое нужно сообщить одному кило-
грамму воды при 0°, чтобы превратить ее в сухой насыщенный
пар при Г, называется полная теплота парообразования:
К q + г кал/кг; (556)
Х = ^ + р + Д- р.ш кал/яг; -(557)
эмпирически:
К = 606,5 + 0,305 • t клл/кг ’). (558)
1) Величина теплоты испарения г при /'Tqi Г—Тд (критическая тем-
пература) рдяна нулю и изменяется между втимн двумя нулевыми значениями
по непрерывной кривой.
*) Для ладной теплоты парообразования считается более точной сдв-
дующая формула Шюле:
К-608-ОЛИ.
Пром.
М Г. Хвхар. Ml
v • «’
Если начальная температура воды то
। к — 606,5 4~ 0,305/ — /«, кал/лгг. (558а)
Удельный вес пара по Цейнеру:
7 = 0,5877 р 0,^393 KZjM\ (559)
приближенно:
7^ч/0,5р (559а)
Удельный объем является ।
обратной величиной 7
р = -~- .„’/«г. (560)
Величины qf р, л, Pf w, г, у и о могут быть получены не-
посредственно из таблиц для насыщенного лара.
Таблица для насыщенного пара по Моллье.
. Давление в атм. абс. Темпера- **• тура в гра- дусах ц Вес в ** кг/м* Полная У теплота и калориях . Давление в атм. ate. Темпера- тура в гра- дусах Ц *5 га т ill X
0,02х 17,3 0,01468 602,9 0,80 93,0 0,4713 636,8
0,04 28,8 0,02826 608,3 0,90 96,2 0,5262 638,1
0,06 36,0 0,04142 611,6Ч 1,0 99,1 0,5807 639,3
0,08 41,3 0,05432 614,1 1,1 101,8 0,6349 640,7
0,10 45,6 0,06703 616,0 1,2 104,2 0,6887 541,3
0,12 49,2 0,07956 617,7 1,4 108,7 0,7955 643,1
0,15 53,7 0,09814 619,7 1,6 112,7 0,9013 644,7
0,20 59,8 0,12858 622,4 1,8 116,3 1,0062 646,0
0,25 64,6 0,1586 624,6 2,0 119,6 1,1104 647,2
0,30 68,7 0,1881 626,4 2,5 126,7 1,3680 649,9
0,35 72,3 0,2174 628,0 3,0 132,8 1,6224 652,0
0,40 75,5 0,2463 629,4 ЗЛ 138/1 1,8743 653,8
0,50 80,9 0,3036 631,7 4,0 142,8 2,1239 655,4
0,60 85,5 0,3601 633,7 4,5 147,1 2,3716 656,8
0,70 * 89,5 0,4160 635,3 5,0 151,0 2,6177 658,1
Давление в атм. абс. Темпера- тура в гра- дусах Ц MH w Полни теплота в калориях ъ Давление в am. а5с, Темпера- тура в пл- Дусях Ц / _т Псуиая теплота в калориях
5Л 154,6 2,8624 659,2 10,0 178,9 5,018 666,1
6,0 157,9 3,1058 660,2 11,0 183,1 5,489 667Д
6,5 161,1 3,3481 661,1 12,0 186,9 5,960 668,1
7,0 164,0 3,5991 662,0 13,0 190,6 6,425 668,9
7,5 166,8 3,8294 662,8 14,0 194,0 6,889 669,7
8,0 169,5 -4,0683 663,5 15,0 197,2 7,352 670,5
8j5 172,0 4Д172 664,2 46,0 200,3 7,814 671,2
9,0 174,4 4,5448 664,9 18,0 206,1 8,734 672,4
. Я5 176,7 4,7819 665,5 20,0 211,3 9,648 673,4
По данным Ш ю л е.
20 211,5 9.662 673 25 223,0 12,063 676
21 213,9 10,152 673 26 225,1 12,516 676
22 216^3 10,612 674 27 227,1 12,970 677
23 218,6 11,099 674,5 28 229,1 13,441 677
24 220,8 11,574 675 29 231,0 13,908 678
* * 30 232,9 14,368 678
b) Влажный пар. Влажный насыщенный пар представляет
собой, смесь насыщенного пара с мелко распыленной водою. Если
в I кг влажного пара содержится х кг насыщенного пара» то
объем 1 кг влажного пара будет равен:
f ve=xt? ♦ х + v' • (1 —х) = —t/) • x + tF.
Но так как согласно фиг.. 716 и 717: то
w • ж + V* &1кг> 1 (561,
а его удельный вес:
=й А. ж»----1 j кг/м1. * (562) ч
Теплота жидкости — как для сухого пара.
Внутренняя скрытая теплота парообразования:
< р0 = х • р ¥ял1кг. (563)
Внешняя скрытая теплота парообразования:
А • Р • w • х кал/*?. (564)
Теплота испарения:
гв=г • х = х - (р + Л • Р< w) тл/кг. (565)
Полная теплота парообразования:
= <7 4- + л г кал/*?. (566)
Если 1 кг <^хого пара содержит gi кг воды, то имеем
(1 + £1) ** влажного пара, степень сухости которого равна:
х=1 :(!+&). , (566а)
Можно принять: для котлов с большим водяным простран-
ством: £1==0,03 или х = 0,97; для водотрубных котлов gt=0,06
или £ = 0,94 и для паровозных котлов при форсированной ра-
боте: £=0,2 или х = 0,80.
с) Таблица для насыщенного водяного пара. При по-
мощи таблицы на стр. 565 можно непосредственно, или же пу-
тем пересчета найти все необходимые величины для насыщен-
ного водяного пара.
Например, для пара давлением в 16 атмосфер имеем:
1) Удельный вес
атм. абс. . t
Т ~----§-----К^М ’ С567)
или
Т~у=>8*г/-М*.
Согласно таблице: у— 7,93 кг/л1.
2) Температура пара t
• абс.
для р = 1 до 25
ОД до 1
145 ) (568)
0,03 до ОД атм. абс. J
Следовательно: t ~ 100 j/^16 = 200° Ц.
Согласно таблице / = 200, 4е Ц.
6) Внутр, скрытая тепл, испарения: р согл. ур. (552)
Впешн. . » ' • ф г * (553)
Теплота испарения г » , (554)
Полная теплота парообразования А , . (558)
ЯМ ’ > / .
Таблица для* насыщенного пара до 60 атм.
по Кноблауху, Райше и Гаузену (1923 г.).
Давление ” в атм. абс. Темпера* ** тура в град. Ц Уд. вес -4 в кг/м* * Полная теплота парообр. в кал. Давление в атм. абс. 1 Темпера- ** тура в град. Ц м Уд. вес В Kt/M* Полная теплота парообр. в кал.
2,5 ^26,78 1,3661 649,3
3,0 132,87 1,6208 651,2
0,02 17,19 0,014642 604,1» 138,18 1,8735 652,8
0,04 28,63 0,028190 609,5» 4,0 142,91 2,1240 654,2 .
0,06 35,82 0,041322 612,9 4,5 147,19 2,3720 655,4
0,08 41,16 0,054186 615,3 5,0 151,10 2,6194 656,4
0,10 45,44 0,066852 617,2 5,5 154,71 2,8863 657,3
0,15 53,59 0,097874 620,7 6,0 158,07 3,1115 658,2
0,20 59,66 0,12823 623,3» 6,5 161,21 3,3562 658,9
0,25 64,56 0,15810 625,4 7,0 164,16 3,5997 659,5*
0,30 68,68 0,18758 627,2 7,5 166,96 3,8428 660,1
0,35 72,26 0,21674 628,7 8,0 169,59 4,0855 660,7
0,40 75,42 0,24565 630,0 8,5 172,12 4,3271 661,2
0,45 78,27 0,27429 631,2 9,0 174,52 4,5689 661,6»
0,5 80,87 0,30274 632,2» 9,5 176,82 4,8100 662,11
0,6 85,45 0,35911 634,1 10,0 179,03 5,0513 662,5
0,7 89,45 0,41486 635,7 10,5 181,16 5^913 662,8»
0,8 92,99 0,47009 637,1 11,0 183,20 5,5316 663,2
0,9 96,17 0,52490 638,3 11,5 185,18 5,7717 663,4
1,0 99,08 0,57928 639,4» 12,0 187,08 6,0114 663,7
1,2 104,24 0,68706 641,4 12,5 188,93 6,2512 664,0
1,4 108,73 0,79381 643,1 13,0 190,71 6,4910 664,2
1,6 112,72 0,89938 644,5 13,5 192,45 6,7313 664,4
1,8 116,33 1,0042 645,8 14,0 194,14 6,9720 664,6
2,0 119,61 1,1084 646,9 14,5 195,77 7,2108 664,8
565
i
. Давление в атм. абс. Темпера- - тура а град. Ц. Уд. вес В Kt/M* Полная _ теплота парообр. в км. 1 Давление Г3 атм. абс. Темпера- - тура в град. Ц. Уд. вес в кт/л* Полная теплота парообр. в кал.
15,0 197,37 7,4510 664,9, 30,0 232,77 14,730 666,8
16,0 200,44 7,9315 665,3 32,0 236,36 15,723 666,7
17,0 203,36 7,4097 665,6 34,0 239,78 16,722 666,7
18,0 206,15 8,8921 665,8 36,0 243,05 17,727 ‘ 666,6
19,0 208,82 9,3721 666,0 38,0 246,19 18,741 666,5
20,0 211,39 0,8522 666,2 40,0 249,20 19,767 666,4
21,0 213,85 10,336 666,3 42,0 252,09 20,794 666,3
22,0 216,24 10,821 666,4 44,0 254,89 21,829 666,1*
23,0 218,53 11,303 666Д, 46,0 257,58 22,873 666,0s
24,0 220,75 11,786 ААА А 000,0* 48,0 260,19 23,923 665,9
25,0 222,90 12,276 666,7 • 50,0 262,72 24,994 665,7*
,26,0 224,99 12,765 666,7 55,0 268,72 27,685 665,5
• 27,0 227,02 13;254 666,7* 60,0 274.32 30.441 665.2
28,0 228,99 13,742 666,8
29,0 230,90 14,237 666,8
d) Энтропия водяного пара. Объяснение энтропии — см.
ч§ 150,Ъ.
L Величина энтропии. Сохраняя обозначения § 157, Ь, имеем
для 1 кг воды
в жидком состоянии; энтропия -
5.-1,022.111^,
•ч. . . • * • •,
в виде сухого насыщенного пара: энтропия
• S,=S.+-£,
в виде перегретого пара: Энтропия
Г *
Sg = 4“ Ср • In -у- -
5вб ч
е
2. Энтропийная диаграмма в висе тепловой диаграммы.
На фиг. 718 ясно видно, что для определенных значений Т,
откладывались соответствующие значения SWt SSr Sa и р. Таким
образом получались кривые О В, PCt PD и О А,
ST (т. е. линия
относится к пере-
начинаюшемуся при
, или Т=273°.
Теплота жидкости q.
Внутр, тепл, испаре-
ния р.
Внеши. тепл, испаре-
ния А • Р- (а—а*).
Теплота перегрева
-А.
Фиг. 71$.
Фиг. 718.
3. Пример, Исследуем 1 кг пара давления р = 8 атм. при
^=350°.
Проведем_горизонтальную линию A7Z, затем кривую ie па-
раллельно РО, далее касательную КГ и через точку Г гори-
зонтальную линию. Тогда получим количества теплоты, разли-
чаемые по штриховке.
Если 1 кг пара расширяется без потерь до давления 0,2 атм.,
которому соответствует Z==60°, то площадь nfieykn мствын-
чину количества теплоты, преобразованного в работу, a kl:~nl
в кг — количество воды, получившееся при расширении пара.
В точке у пар превратился в сухой насыщенный пар, т. е. как
при t=:^ 100° ир=1 атм. абс.
W7
П. Расширение и сжатие н а с ы
а) Объяснение. Вообразим себе, напр
что за поршнем на расстоянии а от
дится пар под давлением б а*м. абс.
камере) и пусть поршень затем отодв
Тогда давление понизится до 3 атм., так
вдвое. Чем дальше отодвигается поршень]
вится давление.
Получаемая таким образом кривая, называемая кривой
расширения, вычерчена на фиг. 72J.
Наоборот, при уменьшении объема произойдет повышение
давления. Получаемая при этом кри-
вая называется кривой сжатия, ко-
торая вычерчена на фиг. 722.
Ь) Законы расширения и сжа-
тия. Расширение и сжатие пара про-
исходит адиабатически и по закону
р » —const.,
или Pl • Цж = />>» (569)
Фиг. 720. Фиг. 721. Кривая расширения.
Показатель х зависит от состояния пара и может быть при-
нят для сухого насыщенного пара
х=х 1,135 *)• (570)
Для приближенных расчетов с достаточной точностью можно
принять, что расширение и сжатие насыщенного пара происхо-
дят по закону Мариотта, который гласит: Л
При одинаковых температурах объемы об-
ратно пропорциональны давлениям, следова-
тельно х = I (уравнение гиперболы).
р • У = const, или pi • Ц • Va. (571)
С) Построение мариоттовой кривой. Кривая расширения
строится следующим образом:
4) ZU# влажного насыщенного жара х— 1,0354-0,1 • дг (х > 0,7); ди сухого
ашц^явого дара ж •• 1, откуда ж —1,136,
Пусть Я—длина диаграммы (обозначающая ход поршня);
Л—степень наполнения, отнесенная к Н= 1, а — величина
вредного пространства с одной стороны, отнесенная к пло-
щади поршня; р — начальное давление в атм. абс., Va — линия
абсолютного вакуума.
Из 'точки а проводим луч а* пересекающий линию lq в
точке е. Через точку е проводим линию, параллельную линии
вакуума и получаем точку т. Остальные точки найдем таким
же способом, как это ясно показано на фиг. 721.
Кривая сжатия стро-
ится таким же образом
(фиг. 722).
Пусть pQ — давление
впускаемого пара п атм.
абс.
Пусть С конечное
давление сжатия в атм. абс.
Проводим на расстоя-
нии р9 линию, парал-
лельную линии вакуума
Ид, затем луч Ои» про-
должение которого даст точку, л. На вертикальной линии, про-
ходящей через точку п, лежит точка г данной кривой, откуда
начинается сжатие. Следовательно ги — длина хода сжатия.
§ 158. Перегретый пар.
Образование перегретого пара объяснено в § 155.
При равных давлениях перегретый пар по сравнению с на
сыщенным паром отличается:
Более высокой температуррй Тй или
Большим удельным объемом vQt
МеньЬим удельным весом у.
Большим показателем расширения х.
а) Объем, вес, теплота, температура. Обозначим через;
р — давление пара в атм. абс., — объем I кг перегретого
пара в лс*, t —температуру насыщенного пара » градусах ври
р атм. абс., Согласно таблице на стр. 565, Д — температуру
перегрева при постоянном давлении, = О температуру
перегретого пара в градусах Ц.
Тл = 273 + (/ + Д) абсолютную температуру. (572)
«О
Тогда по Тумлирцу (приближенно):
Т
' vfl = 0,00467 • у — 0,0084 м'!кг, ( (573)
по Линде:
0,00471• Тй
« р - х=----------0,016, (573а) 4
а р
}а удельный вес 1 л* пара:
7e=l-va**- (574)
Диаграмма значений v4 по формуле 573.
р в атмосфере абс.
Пример, Давление р = 10 кг/см* абс., перегрев И == 170
темпеоатура перегретого пара /л= 178,9+170 — 348,9°.
Тл = 273 + 348,9 = 621, У.
По формуле 573: va = 0,282 м1)кг. Приближенные значения
для объема можно получить также из приведенной выше диа-
граммы.
Для точных расчетов вместо формулы 573 рекомендуется
применят)» формулу Моллье:
Тй
о ~ 0,0047 • — + 0,001 — Ю, (574 а)
Р
570
Сравни § 157,а.
Ь) Теплосодержание перегретого пара. О— количество
пара в кг, подвергаемое перегреву, ср — теплоемкость перегре-
того пара при постоянном давлении (согласно нижеприведенной
таблице), К—полная теплота парообразования насыщенного пара,
согласно таблице на стр. 565’
Тогда необходимое для перегрева количество теплоты будет
равно
ср • G • й кал. (575)
Для получения 1 кг перегретого пара из воды при 0° тре-
буется следующее количество теплоты:
k lFa = X + cp-Акал.’) (576)
Опыты Кноблауха и Винкхауза дали нижеследующие сред-
ние значения для теплоемкости ср:
Абсолютное давление лара р" 1 2 4 6 8 10 12 14 16 20 атм.
«г ( 0Т 100 130 150 160 170 190 190 200 210 220е. Ц *
хемперагура < 1 до 380 380 380 -380 380 380 380 380 380 380° „
Перегретый Г 07 0,49 0,80 0,52 0,55 0,57 0,59 0,83 0,85 0,66 0,71
МР' ср 1 до 0,49 0,49 0,80 0,80 0,81 0,51 0,51 0,62 0,53
Так как в настоящее время давления в пределах от 10 до
20 атм. являются наиболее часто применяемыми, то можно принять
ср ~ 0,60. \ (ЪТ1)
/ На основании исследований Кноблауха и Якоба оказывается,
что когда имеет место перегрев пара при постоянном давлении,
то теплоемкость ср по мере возрастания температуры, начиная
с момента насыщения, сначала уменьшается, но только до не-
которой определенной температуры перегрева, после которой
она снова возрастает. Относительно данных исследований для
давлений до 30 атм. см. ниже. I
1) Моллье д*ет для ЦРд следующее более точное уравнение
«Гд-5М,Т+0,477/д-.Гр 1
/_!^2(«.а„о,001) (етв>
437 '•4 ' * )
, 571
I' * -
Средние значения теплоемкости для пере *
гретого пара.
1. По Лоренцу теплоемкость
ср = 0,43 + 366 000 (273-^<д)>- . (570)
Пример. Для пара давления /?=2 атм. абс. и /Д=300°Ц
имеем согласно уравнению (579):
2
., = 0,43 + 366 000 (ЖГ4зй),-
-вЪв^=и+ся=1«
Нижеследующая таблица дает ср = 0,48, для р = 2 атм. и
/д = 300*Ц,
2. Развитие прежних опытов Кноблауха и Якоба ученымц
Кноблау^ и Райш подтверждают Найденную закономерность, что
ср при заданной температуре с увеличением давления возра-
стает, а при заданном давлении с увеличением температуры,
начиная от точки насыщения, убывает:
Таблица теплоемкости для перегретого пара
^Абсолютное давление F пара р * 1 2 4 б 8 10 12 14 атм.
При температуре насыщения ср = 0,486 0,499 0,525 0,551 0,578 0,605 0,633 0,633
При ^4=300° Ц. Ср = 0,473 0,480 0,495 0,510 0,524 0,539 0,555 0,570
При7а = 360вЦ, ср~ 0,474 0,481 0,494 0,506 * 0,510 0,529 0;540 0,552
Абсолютное давление пара р — 16 ' 18 20 22 24 26 28 30 атм.
При температуре насыщения ср = 0,694 0,726 0,759 0,794 0,829 0,865 0,902 0,94
При ta = 30074 ср = 0,585 0,603 0,619 0,638 0,656 0,675 0,695 0,714
При ^*=360° Ц, 0,565 0,576 0,588 0,600 0,612 0,624 0,635 0,648
572
Таблица для перегретого пара.
& р р Перегрев я *
а— 0е 10е яр 30° 50» 100» 200»
6 7 8 10 Л 1,565 1,627- 1,682. 1,778 1,821! Я 2 3 2 t 2 2 ? t 3 2 S 2 ? t i S ? ? t и II II II II II II II II II II II 1) II II II II II II II II II II II II 160 433 655 0,317 3,16 166 •439 656 0,273 3,66 172 445 658 0/242 4,14 181 4o4 661 0,196 5,11 . 186 459 662 0,179 5,59 170 113 660 0,318 3,16 176 449 661 0,273 3,66 182 455 662 0,243 4,15 191 666 0,196 5,12 196 469 667 0,179 5,59 180 453 665 0,323 3,1 186 459 665 0,28 3,57 192 465 667 0,247 4,05 201 474 671 0,2 5 206 479 672 0,184 5,43 190 463 669 0,331 3,02 196 469 670 0,287 3,48 202 475 672 0,253 3,95 211 484 675 0,205 4,88 216 489 676 0,188 5,33 210 483 679 0,348 2,87 216 489 680 0,301 3,32 222 495 682 0,266 3,76 231 504 685 0,215 4,65 236 509 686 0,197 5,08 > 260 533 703 0,389 2,57 266 539 704 0,335 2,98 272 545 706 0,296 3,38 281 554 709 0,24 4,17 286 559 710 0,220 4,54 360° 633° 751 кал. 0,471 мЧкг 2,12 кг/м* 366° 639’ 752 кал. 0,407м*/кг 2,46 кг/м* 372е 645° 754 кал. 0,358(л’/кг 2,79 кг/м* 381° 654е 757 кал. 0,289 м*/кг 3,46 кг/л’ 386° 659° 758 кал. 0,264 ж’/кг 3,79кг/л«
\ • 6П
*>.• . I
Ь: >
я £ р V р • г • р • • г Р е
0е 10» 20е ЭСТ 50° 100®
< + «= 190 200 210 220 240 290 ж
7а = 463 473 483 493 513 563 663°
12 1,8бЬ 1Гв = 663 668 673 677 687 711 759 кал.
0,165 0,165 0,169 0,174 0,182 0,202 0,243лг»/жг
Т« = 6,06 6,06 5,92 5,75 5,49 4,95 4,11 жг/л*
193 203 213 223 243 293 39У
Гя = 466 476 486 496 516 566 666е
13 1,899 №д = 665 670 675 67^ - 689 713 761 мл.
рд = 0,153 0,153 0,157 0,161 0,168 0,187 0,225ж’/«?
6,53 6,53 6,37 6,21 5,95. 5,35 4,44 кг/м*
Пример. Необходимо получить 132 кг пара давлением 8 атм.
абс. при перегреве на 50°. Тогда по вышеуказанной таблице
1 температура перегретого пара будет 222°. Необходимое же коли-
чество теплоты будет равно: 132 ♦ 682 = 90 024 кал. Точнее по
уравн. 575 и табл. § 158, Ь. Количество теплоты равно
(658 + 0,50.50) 132 = 90 156 кал.
Расширение перегретого пара. .
а) Закон расширения и сжатия, В уравнении расширения
пара: *
<589)
показатель для перегретого пара
х=1,33. (581)
Чем больше показатель х, тем быстрее понижается кривая
расширения, что видно из фиг. 723, на которой нанесены кри-
вые для пара* различной температуры. (При одинаковом удель-
ном весе объемы перегретого пара больше как это видно из
фиг. 723 и таблицы на стр. 573 перегретого пара.)
Точка, в которой кривая перегретого пара пересекает кри-
вую насыщенного пара, соответствует точке перехода пара из
перегретого состояния в насыщенное.
574
b) Построение кривой расти рения перегретого пара*
Это построение можно выполнить или путем вычисления от-
дельных точек кривой, или графическим построением.
Фиг. 723. На каждой кривой указаны соответ-
ствующие величины коэффициента ж.
1. Построение путем вычисления (фиг. 724). Согласно ура-
внения 580 имеем:
А-И1,’33=Л. И,1'33. (582)
Задаваясь К* получим:
А^ЛСИ,:^)1-33. (583)
Таким способом можно
найти любое число точек,
лежащих на кривой,
2. Графическое построение (по Броуеру), Ход построе-
ния (Лиг. 725 и 726). q
2. Линия 2 перпендикулярна к линии 1,
575
3. Угод а любой величины (например, 15°).
4. Угол 3 зависит от угла а и показателя расширения х, со-
гласно уравнению:
(l+tg?)«(l + tga)«
tg? = (l+tga)x-l. (584)
В уравнении 584 для перегретого пара х а» 1,33; следовательно,
для а = 15°, угол ? = 20°20'. (585)
5 и 6. Ц = h + s, Vt = H + s; большей частью берут И—
= 100.16*. Наполнением й обыкновенно задаются, или же оно
дано.
7. Проводим линию 7 соответственно давлению впуска р в
атм. абс. Масштаб не играет роли, можно взять, например,
10jkj* = 1 атм.
,8. Линия 7 пересекает линию 2 в точке 8.
9. Проводим из точки 8 линию 9 под углом в 45°.
10. Эта линия пересекает линию 4 в точке 10.
11. Проводим через точку 10 горизонтальную линию //.
12. Проводим из точки пересечения 12 линий 3 и 5.
13. Линию 13 под углом 45°, которая
14. пересекает линию 1 в точке 14.
15. Перпендикуляр, опущенный из точки 14t пересекает ли-
нию 11 в точке 16^
16. Точка /бибудетодной из точек искомой кривой расширения.
Продолжая таким же образом, находим остальные точки, а
соединив их, получим искомую линию /7.
I j-— » Одновременно определяем согласно
1 --г ——г п. Ъ вес количества rtapa, соответствую-
* J 1 ший наполнению, а затем соответствую-
X. щий ему объем насыщенного пара.
* 1 Исходя из этого объема, строим кри-
вую расширения для насыщенного
пара (в виде адиабаты с коэффици-
Фжг. 727. ентом х= 1,135), чтобы найти точку
перехода перегретого пара в насыщенный (п. а).
Пример, Пусть на диаграмме перегретого пара прир = 8 атм.
абс. к температуре пара 272° объем va = йд + а = 20 4- 8 =28*/^
Объем такого же количества насыщенного пара получится
(фиг. 727):
пф таблице на стр. 573 перегретого пара для
р = 8 и *4-0 = 272е,
= 0,296 ж*/** и
476
по таблице на стр. 565 иасыщенибгЬ пара для - t
% р=?3 и /=172°
v=i 0,242 л1/кг. /
Таким образам искомый объем насушенного пара будет: 4
2Я . №42 поп/
/ ^б^в^237’4 ?
Следовательно, при одинаковом весе пара получаем следую*
щие величины наполнения:
для перегретого пара наполнение
ftg=»28 — 8 = 20%; '
для насыщенного пара наполнение
Л = 23— 8 = 15%
Отсюда видно, что при вычислении объемов в процентах
раамеоы парового цилиндра не имеют значения. t
§ 159-Скорость истечения пара»
Скорость струи пара можно определить различными спосо-
бами, а именно: 1) из падения давления, 2) из объемной диа-
граммы и 3) из состояния пара до и Ъосле выпуска.
а) Определение скорости истечения из разности давле-
w*
ний. — высота, соответствующая скорости w в м (сравни объ-
яснение в § 33). У ‘
10000 • р давление впуска в кг/л1; т удельный вес пара при
давлении p*t v = 1:7 удельный объем пара в м* при давлениир;
^-степень расширения, т. е. отношение противодавления р^ в i
атм. абс. к давлению впуска р в атм. абс.; х показатель кривой
расширения; последний изменяется с температурой и состоя-
нмем^тара. * -
До двух состояний пара имеем:
I 1 *" -
г (586)
V г. Хадар. 1 ел
Основное уравнение скорости струи по Цейн^ру (если
v «= 1: т) будет: *
(я?)
На основании опытных данных берем:
для насыщенного пара ।
1? . х= 1,135,
откуда
Т~1=8Л < .
для перегретого пара
' ха 1,33, •
откуда
X Л Л.
----1 а= 4,04,
х— 1
— = 0,248.
Вставляя эти значения в уравн. 587, получим: дая насыщенного лара А (588)
w=1285j/^ у,
для перегретого пара 1
где w = 885|/у- • |/1 — ; °,248ж/се^ у по таблице на стр. 565, а тд по уравн. 574. (589)
Для наибольшей (max) скорости истечения (при ро = 0) из
формулы 587 имеем:
^ш«х=У 2г-^-у 10000 р-v. !
— Г X -J- 1 • р
Ь) Диаграмма скорости струм W» (Кривые а у числены по
ч вышеуказанным формулам.)
. 578
Пример. Пусть р — 10, тогда из диаграммы получим:
Для противодавления . . р„= 0,1 '0,2 ОД 0,5«а/ел*
. .. скорости струи . .. w = ,1183 1100 1055 97>ж/сак.
. * W;
»
Диаграмма 2.
Скорость СТРУИ ПЕРЕГРЕТОГО ПАРА ПРИ ПРОТИВОДАВЛЕНИИ
Ре = 0,15 атм. абс.
Диаграмма 3. '
Скорость струи перегретого пара при противодавлений
= 1 атм. абс.
r Г > л >
Г Пример. р=10 атм. абр., ^=0,15 пм, абс. Температура
£ пара 400®. Согласно диаграмме 2: W—1230 м/сек. Количества
У протекаеыого пара в секунду, согл. §33, имеем: G = 0,6/rc.
Р < Откуда энергия струи равна: х '•
1230’ 1
• 0,6=46 300 кгм[сек. t
i. с) Количество протекающего пара. Вычисленная указан-
г ным выше способом скорость истечения w однако больше, чем
< действительная скорость в устье сопла, так как пар после вы-
пуска расширяется, вследствие чего освобождается часть энер-
Г гии, которая могла бы быть использованной для увеличения
«скорости истечения пара. Величина поперечного сечения сопла,
у- j необходимого для протекания определенного количества пара О
i в сек., зависит от формы сопла, причем между Ot v, F и VF су-
ществует следующая зависимость:
G • v = F • W.
кг/се к. мъ/кг <м1- м/сек. i
§ 160» Потери давления в паропроводах. i
а) Обозначим через:
7 удельный^вес пара в кг/м1 — среднее значение 7 в начале
и в конце паропровода (таблица на стр. 565), L длину паропро-4 ,
вода в м, d диаметр в „ свету паропровода в я и W среднюю
скорость пара в м/сек. ' * '
« Тогда, по Эберле, для насыщенного и перегретого пара, дм
давлений от 3 до 10 атм. потеря давления будет равна:
I ; Z=^;Tt|w*aiM. (&0) ч
Ь) Потеря давления Z в атм. при длине L = 100 d или
L :d= 100 (насьшь пар) по уравм. 590 (см. таблицу аа стр. 582).
Для nepefperdro пара при одинаковом давлении потеря да-
u вления меньше, а именно:
v 7а = М) • 2, аАц (591)
где 7Л —удельный вес в кг/м* перегр. пара по таблице , на
стр. 572; 7 — удельный вес в кг/м* нАсыщ, пара по таблице на
стр. 565, а 2- потеря давления по таблице на стр. 582.
' с) Величина эквивалентной (Ъ смысле сопротивления^
длины прямого паропровода для клапанов и отводов» По
U «81
; а •* • -1 • . , ' .. ‘ .. : •
Эберле, сопротивление клапана равно сопротивлению прямой
трубы того же внутреннего диаметра длиною в 16,4 м. (592)
По Блэссу, сопротивление отвода равно сопротивлению прямой
трубы длиною в 10 4, где d внутренний диаметр в ж. (593),
Таблица потери давления Z.
Маком. Скорость пара w в м/сек
давление в атм. 10 15 20 25 30 Z 40 50 75 100
1 0,001 0,003 0,005 0,007 0,010 0,019 0,029 0,066 0,117
3 0,002 0,005 0(009 0,014 0,020 0,036 0,056 0,126 0,223
5 0,003 0,007 0,013 0,020 0,030 0,052 0,082 0,184 0,326
7/ 0,004 0,010 0,017 0,027 0,039 0,068 0,107 0,241 0,427
9 0,005 0,012 0,021 0,033 0,047 0,089 0,134 0,296 0,527
10 0,006 0,013 0,023 0,036 0,052 0,092 0,148 0,324 0,576
Пример для насыщенного пара. Открытый трубопровод
для насыщенного пара, длиною 35 м и внутреннего диаметра в
150мм, имеет 5 отводов, 2 клапана иЧ4 пар фланцев.
Давление лара р=10 атм. май., скорость пара w = 30 м/сек
температура пара 183°, температура воздуха *=13°.
d) Потеря давления. Условная длина трубопровода, учиты-
вая наличие отводов и клапанов (формулы 592 и 593), будет
равна: ч
L =35 + 5 (10 • 0,15) + 2 * 16,4 = 105,3~ 105 л.
Следовательно
£:d= 105 : 0,15 = 700. г
i
Для L : d = 100 пдтеря давлений Z (согл. таблице) равна
0,052 атм. значит, для £: d=700 потеря давления
Z = (700 :100) • 0,052 = ~ 0,364 атм.
Для скорости пара w = 75 м/сек потеря давления, согласно
таблице, была бы равной
Z=(700:100) • 0,324=~ 2,268 атм. 7
Пример — для перегретого пара. Для перегретого пара при
=а± 386 и р = 10 -J- 1 = 11 атм. абс., согласно таблице на стр. 573,
Тй » 3,79 кг/м*\ для насыщенного пара при р = 10 4- 1 = 11 атм.
абс., согласно § 157 т = 5,489 кг/м*.
Отку№ для нашего примера из зависимости для того же от-
ношения L ;dm700 имеем:
, при U7=30 м/сек; Z= (3,79 г 5,489)- 0,364 = 0,2513 атм.
е , • W = 75 м/сек; Z = (3,79 : 5,489) • '2,268 = 1,5659 атм,
§ 161. Потери теплоты в паропроводах.
v 4 ч
Потеря теплоты 9 трубе происходит путем передачи сопри-
Г. касанием и лучеиспусканием.
а) Открытый трубопровод. Потеря тепла:
Q = (*<< — *> кал./час, (594)
где F поверхность трубопровода в лс\ td средняя температура
пара в градусах Цельсия, t температура окружающего воздуха
в градусах Цельсия, k коэффициент теплопередачи в кал./м1 час,
'T. е. количество тепла, передаваемое 1 м* поверхности трубы
в 1 час на каждый градус Цельсия разности температур между
паром и окружающим воздухом.
На основании опытов Эберле имеем для диаметра труб
70 до 150 мм: ।
Насыщенный nap k ~ 12,3 Перегретый дар — 1 / 14,7 14,2 18,4 16 17,6 19,7 22,6
Эти величины k для перегретого пара действительны при
25 м/сек, причем k пропорционально W, например
при td— / = 260°, 10 м/сек, А =17,7
» td~/ = 280°, 30 м/сек, Л=18,5
I
К измеренной выпрямленной длине трубопровода приба-
вляемся на:
1 пару фланцев от */9 до 1 м данной трубы,
1 клапан (без фланцев) около 1 м данной трубы,
1 отвод (без фланцев) его выпрямленную длину.
. , ’ ‘ ’ ИЗ
ji: ' г ? : ' .
Ь) Изолированный трубопровод. Потеря теплоты: \
Q*=K-F (fa—f) кал/час, • (995) '
где К коэффициент теплопередачи в кал/ж’/час на каждый
1° Цельсия. ♦ ’ . Л [•
150 200 250 '300 360 400
Насыщенный пар Х~3,1 . . • • . 3,2 3,4 — — Открытые
Перегретый пар К ~ 2,95. Z. . . Насыщенный пар К~2,3 . . . . . 3,3 2,3 3,67 23 4,06 4,43 4,8 5,16 фланцы Изолиро-
Перегретый пар 2,35 2,60 2,82 3,10 3,31 3,58 ванные фланцы
Приведенная таблица применима при перегретом паре для
трубопроводов диаметра 70мм. При насыщенном паре: 'от-
крытые фланцы от 70 до 150 мм, изолированные фланцы для
70 мм, а для диаметра 150 мм на 20% меньше.
Таблица действительна для изоляции с ip=s0,75— 0,85; сравни/,
где даны также формулы с примерами для А и Kt коэффициента
полезного действия и для падения температуры.
с) Потери теплоты в трубопроводах. Величина потери
.« тепла зависит от разности температур между парой и возду-
хом (id — t) и от размеров наружной поверхности трубопро-
водов.
Различают: 1) голые трубы; 2) изолированные трубы с откры-
тыми. фланцами; 3) изолированные трубы с изолированными
фланцами.
Насыщенный пар: передача тепла между паром и стен-
кой трубы лучше, чем у перегретого пара. Температура стенки
трубы практически равна температуре лара.
Перегретый пар: разность температур между паром и
стенной трубы 4 — 6° для изолированных труб и 30 — 60° для
ГОЛЫХ труб. * ч • I
1. Голый трубопровод В формуле для потери тепла Q по
• . I » , ’Z • • ./ *
ур&вн. 554 коэффициент теплопроводности 1 м1 наружной поверх-
ности труб:
Л==-=— ------Д- «у-----j- кал/.#1 час на каждый Г Ц., (596) •
А -L _ _L In'
: О1 ‘ d^ а,-^ - d*
где «j в кал/м’час на 1°Ц.есть коэффициент теплопроводности
между паром и стенкой трубы, а,— коэффициент теплопроводно-
сти между голой стенкой трубы и окружающим воздухом,
161) *
X — коэффициент теплопроводности материала трубы
при 1 м толщины, da и di — диаметры трубопровода
в м, см. фиг. 728.’ *
При перегретом паре Л или Q возрастает при уве-
личении скорости пара; при насыщенном паре k от
скорости пара не зависит. Значения для k си. § 161а. фиг. 728.-
i "
Значения для коэффициентов теплопроводности ак
Спокойный воздух а1==4.
Дымовые газы, w = 4 — 5 м/сек, ах == 10—25.
Кипящая вода ^5=2 000 — 6 000.* *
Конденсирующийся водяной пар а, = 7000 — 12000.
Насыщенный пар (текущий) а1~2000.
Перегретый пар «д ~ 150х).
г ,'
Коэффициент А НА 1 Д1 ПОВЕРХНОСТИ, 1 М ТОЛЩИН^ МАТЕРИАЛА
И 1° РАЗНОСТИ ТЕМПЕРАТУР ОБЕИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ СТЕНКИ В ЧАС.
Железо.......... 49-50 Воздух........0,02 ,
Лист, железо . . 56 Накипь ...... 2
Красная медь . . 320 Машин, масло . ОД
Латунь.......... 50 — 60 Изоляционные материалы
* см. ниже. ,
>) Эберле нашел «j — 14,4 ждя насыщенного oipa.jty-*70 мм, fy—i —
-140 U *•
•) Эберле нашел для перегретого паре (если — температура стеихи
трубы):
**• б* (нзолир.)ф—20,8 м/сек. -260—180,
гч^34* (Голые) W—30 .
Чл, т- । • » z^z 46—б(Р (голые) шг—9—10*.
L?Z с увеличением давления скорости пара; его велячвма,
? < одша, ммо мняет м реаультат формул 5Эв в 687.
ь;.,л .
Фиг. 729.
2. Изолированные трубопроводы. В формуле. УеТтл о пере-
дачи Q, по уравнению 595 имеем:
/Г=8^———~кал/хх час на ГЦ., (597)
ai Яд ид аа
отнесенный к 1 л1 поверхности голого трубопровода,
• где а, — коэфф, теплопроводности, как и в
голом трубопроводе.
аи — коэфф, теплопроводности между на-
ружной поверхностью изоляции и
воздухом,
— коэфф, теплопроводности изоляции,
согласно таблице на стр. 587.
rf/, da> da в м, согласно фиг. 729.
В вышеуказанной формуле мы пренебрегли
потерей при проходе сквозь самую стенку
трубы. z ч .. ; .
Значения для К— см. таблицу § 161 которая действительна
для нижеуказанной изоляции, если труба находится в спокой-
ном воздухе:
труба обмотана узкой лентой инфузорной земли; все это
покрыто кожухом толщиною в 50 мм из жженой массы; щели
уплотнены инфузорной землей; наружный бандаж покрыт ас-
фальтовым лаком за 2 раза.
Коэффициент теплопроводности вц.
Труба находится в спокойном воздухе.
ta —/=100 «» = 5,7 125 5.7 150 5,8 175 5,9 200 6,2 225 6,4 250 6,6 275 6,9 300 7.1 325 7,3 350 7,5 375 7,8 400" 8,1
Труба находится в движущемся воздухе, напр., на дворе.
Г аи гораздо больше, в зависимости от скорости ветра. По
Нуссельту — при разности температур в 20° Ц. между поверх-
ностью трубы и воздухом: 14
Наружный диаметр трубы d„ = 100 300 700 мм [
Скорость ветра 5 м]сек 28 18 f 17
Скорость ветра 25 м!сек 80 60
Разность температур влияет в^вьше, чем величина диаметра
трубы.
коэффициент \а. Чем меньше кд, тем лучше действует
изоляция. Вышеописанная изоляция, для которой составлена
Таблица в § 1616, показывает, по Эберле, следующие коэффи-„
циеиты:
Коэффициент теплопроводности кд.
td — t 100 Насыщенный пар 0,088 Перегретый пар 0,089 150 0,095 / ОД 200 0,103 0,113 250 0,122 300 I — 0,136 350 0,146 400? Ц 0,158
Коэффициент теплопроводности k„z различных изоляционных
• МАТЕРИАЛОВ.
Температура изоляционной массы * 50’ ’ 100*» 150» Ц
f > - in U Пробковые опилки * — н Шерсть S Шелк И '< >» Инфузорная земля, рыхлая Е Инфузорная земля, жженая Изоляц. масса смеш. с водой 0,041 0,042 0,045 0,060 0,071 0,043 0,050 0,051 0,066 0,078 ' 0,070 0,085 0,100
Опыты Мюнхенской лаборатории для исследований изоля-
ционных материалов, (в 1922 г.) дали следующие результаты:
i н • 1 Средн, темп, изоляции = 5 s ч- 1 J « 5 2. < Соответственно Ь ~ ЫН 100е 180° 0,05 t 215° 410°» 0,06 330° Ц 640° 9 0,07
И. Болендер — эавод высококачественных изоляций для теплоты и хо-
лода а Висбадене. /
’ , •
Пробковые опилки, тереть, шелк и войлок для высоких
температур не пригодны, так как. эти материалы под влиянием
высокой температуры разрушаются.
3. Коэффициент полезного действия изоляции. На прак-
9 тике проще оперировать с коэффициентом полезного действия
, изоляции:
________________Q (голая) —- Q (изолир.)
Q (голая)
ГДЕ
Q 8= К • F • — 0 согл. уравнению 595.
Отсюда вычисляется потеря теЪлоты изолированного труб*
провода;
* Q (изолир,) ~(1—т|) • Q (гол.). (599)
Коэффициент полезного действия т] гарантируется обычно
* поставщиком.
100%, ' (598)
Коэффициент полезного действия изоляции среднего
качества.
Темпера- тура пара Насыщенный па( Перегретый пар .
фланцы открытые - V фланцы изолированные фланцы открытые i фланпы изолированные
100е 74,0 80,4 . 763 82,3 /
200° 78,6 85,4 77,2 83,3
$00“ —i 77,6 84,0
400“ — 78,0 84,7
<
Материал йжшцМр такой же, как в разделе 2.
Коэффициент полезного действия следовательно, возрастает
с увеличением разности температур, а также с увеличением диа-
метра труб. Он зависит, главным образом, от 'коэффициента
теплопроводности X* инфляционной массы
<М8 ’ '
Различнее'способы изоляции и коэффициенты полезного
действия?).
При толщине изоляции в 25 мм имеем по Ритчслю ц.
1. Для самых второстепенных целей и низких тем-*
ператур применяют солому с глиной............... .0% . *
2. Часто применяется окрашивание изоляционной
массой, разведенной в воде, очевидно вслед- •
ствие ее дешевизны и легкой приспособляе-
мости к самым разнообразным формам изол и- '
руемых предметов. Теплую трубу покрывают
возможно большим числом слоев изоляционной
массы, причем предыдущий слой должен пред- ч
варительно хорошо просохнуть. Для предохра- '
нения против сырости и против отслаивания
поверх изоляционной массы наматывают биятх
й покрывают его асфальтовым лаком или мас-
ляной краской................... ‘........ 60 — 80%
3. Асбестовые мешки, наполненные асбестовыми во-
локнами ....... ; 46%
4. Асбестовые мешки, наполненные инфузорной зем- ь
лей...................................................... 60%
5. Пробка................................:.
6. Инфузорная земля................... . . .
7. Холщевый мешок, наполненный шелком или
8. Шелковая обмотка с воздушным слоем........
9. Шелковая обмотка без воздушного слоя . . . .
10. Войлок .
11- .Оптима* — изоляция по способу Боланд
бопровод окрашивается слоем и
массы и окружается твердым кож
дерит), который благодаря особо
ванному способу создает вокруг тр
заполняемую рыхлым слоем выс
ного изоляционного вещества (Ti
«обладающего удельным весом
<м. ва предыдущей странице ... .
/ У
'. . I
70%
73%
78%
'80%
86%
Особым преимуществом последней из перечисленных изоля-
ций является, помимо высокого коэффициента полезного дей-
ствия, сопротивляемость даже сильным сотрясениям, какие встре-
чаются у паровых машин, трубопроводов от паровых насосов
и паровых турбин. Так, например, можно такие трубы, без
вреда для изоляции, снять и применить в другом месте. Прак-
тика доказала их долговечность и неизменность изоляционного
эффекта. Эта изоляция хорошо противостоит также действию
кислотных паров и атмосферическому влиянию.
4. Коэффициент полезного действия и толщина слоя
изоляции, ^возрастает с увеличением толщины изоляционного
слоя; однако, начиная с некоторой толщины, возрастание ста-
новится мало заметным.
Нормальная толщина изоляции,
г
Темпер, пара /^=150° 200° 250° 300° 35(Г 400° Ц
Толщ, изоляции 30 . . 40 50 60 70 80 леи
На фланцы надевают либо асбестовые мешки, наполненные
изоляционной массой, либо, что еще лучше, съемные изоляцион-
ные колпаки. В обоих случаях нужно приспособить капельную
трубку, дающую возможность обнаружить неплотность фланцев.
d) Потеря тепла для голых и изолированных паропро-
водов. Кроме указанных в § 161 обозначений, добавляем еще
следующие:
— теплоемкость пара, среднее значение между началом и
концом трубопровода, см. § 158, Ь.
? —в градусах Цельсия — потеря тепла между началом и кон-
цом трубопровода. '
?i— то же, на 1 погонный метр.
D в xa/uat—протекающее количество пара.
Потеря тепла Q в трубопроводе, согласий § 161, может быть
выражена также;
Q = • D • ? кал/час; (600)
откуда
• ? = „ в градусы Цельсия. Ср* и (*»)
’ Для определения ср нужно сначала задаться велк<и
яою 3.
Потеря тепла на 1 пог. метр трубопровода *)•
. Перегретый nip Голые Изолиро- ванные.
^4 = 350°, w =z 10 — 40 м!сек -г —4=125**..; По Гербергу 4 = 350** Другие дают для перегретого пара.... Опыты в Дармштадте дали для насыщен- ного и перегретого пара . 1° 1° 0,75 — 0,45° 0,30 — 0,10° 0,13°
Добавки к измеренной выпрямленной длине трубопровода.
• 1 отвод —его выпрямленная длина. 1 '»
1 голый вёнтиль без фланцев — 1 м голого или 5 м изоли-
рованного трубопровода при ^ = 0,8 (Эберле).
1 пара голых, фланцев — а/ж до 1 м голого трубопровода или
1 пара голых фланцев — 3 до 5 м изолированного трубопро-
вода.
(Меньшие значения действительны для малых диаметров
трубы.)
Для изолированных фланцев никаких добавок не требуется.
Примеры при условиях заданий в примерах § 161.
L Потеря тепла. Для определения F имеем выпрямлен*
ную длину Трубопровода 35 м.
К этому добавляется согласно § 161:
14 пар фланцев ~ 14 х 0,8 м 11 м
2 вентиля 2x1 л = .2 .
5 отводов 5 X 0,4 м «= 2 ,
Расчетная длина L — 50 .
При 4=150 имеем zfa=159 мм и поверхность трубопро-
вод F = dB-x *1 = 0,J59-3,14-50~25 *’
\ Птро тша черве гахыа флтцм можно счктгть в среднем 17.
Голый i Предварительно р, = . . . . Значит, для L = 5Q м ₽ = 50. ?,= Средняя темпер, пара td — . Падение температуры ta — t (темп. возд. /я=130)^ . * Среднее К~ * Потеря тепла Q=KF(td-t)= .... Изолированный тру во л Предварительно = .... Для L =я 50 имеем ?«50 Средн, темп, пара . . Падение темп. td — t = . . . По § 161Z> Потеря тепла Изолированный трубопрово Предварительно . ^ = .... Для L =s 50 м имеем 3 ~ -50 -Ь= я Средн, темп, пара . Падение темпер, td—/=. . По § 1615 /(= Потеря тепла Насыщенный пар ГРУБОПРрВОД. 1° 50е 483 —у =158° 158—13=145° 14,5 1 52500 \ РОВОД с ГОЛЫМИ 1 • \ У*’ 25’ 183 — у~171° 171 — 13=158° 3,23 , 11850 Д С ИЗОЛИРОВАН» »/.• ’ ^17° 183 — И^175» 175—13=162° V 9300 Перегретый пар V 1* 50° 386—у = 361’ 261 — 13 = 348° 22,5 196 000 кал/час ФЛАНЦАМИ. 386 —у ~ 374’ 374 — 13=361* <.9 г V 29 500 кал/час ШИ ФЛАНЦАМИ, . */.• ' . t ~ IT" 386-у^378° 378—13=365° V z 31000 кы/ча»
X Потеря тепла. Для условий нашего примера
(перегр. пар): колич. пара D ~ 7260 кг/час.
Голые Иаолиров.
Примерная потеря тепла ?= 60е 17®
Средняя температура пара Чг— 361° 378®
Теплоемкость согласно 0,50 0,51
Тогда: действительная потеря тепла в
гпялvcaт й — 0 , 54е 8.4’
cp.D
Тоже — на 1 пог. м г 9,~ 1° */.*
К
ПЕРЕДАЧА ТЕПЛА ЧЕРЕЗ СТЕНКИ СОСУДА.
§ 162. Общие указания.
На ату важную область в машиностроении следовало б
обратить особое внимание. Теплота представляет собою опре-
деленную ценность, поэтому возможно полное использование
ее приносит только выгоду. В литературе о теплоте в этом
отношении имеются нередко только слишком общие указания
и притом в большинстве случаев мало пригодные для непо-
средственного применения ni на практике. Ниже даны основы
для простых и быстрых расчетов.
а) Сущность нагревания. Если по обе сторона стенки,
ограниченной параллельными плоскостями, протекают две жид-
кости неодинаковой температуры, то более теплая жидкость
отдает теплоту более холодной.
Ь) Объяснение процесса нагревания. Пусть на фиг. 730,
I— у, А представляет жидкость, отдающую теплоту, а £ — жид-'
Фи£ 730г I. В огяом я том ьм направлении. П. В противоположные
апвимевяя. Ill. Движение с одной стороны. В а покое. А движется.
‘ IV. А в полое, Л|двмжетс1. V. Перпендикулярно А В движутся.
М Г. . we
кость, получающую теплоту. Движение обоих течений может
происходить как указано на фиг, 730.
с) Телами, отдающими или поглощающими теплоту, ьо-
гут быть: 1. Воздух. 2. Топочные газы с высокой начальной
температурой непосредственно в толке. 3. Газы в дымоходах
с низкой начальной температурой. 4. Вода. 5. Свежий пар.
6. Отработавший пар.
d) Основы для рарчета. И — поверхность в м1, передаю-
щая теплоту, 7\ — температура тела в градусах Цельсия, отдаю*
щего теплоту (до отдачи ее), — температура тела в градусах
Цельсия, поглощающего теплоту (до поглощения ее), Г,—тем:
пература тела, отдающего теплоту, после отдачи ее, ^ — темпе-
ратура тела, поглощающего теплоту, после поглощения ее, W—
количество теплоты в калориях, проходящее через поверхность
в час, и k— коэффициент теплопередачи, т. е. количество теп-
лоты в калориях, отдаваемое одним квадратным метром поверх-
ности в час при разности температур равной 1°Ц. Тогда по-
лучим следующую зависимость:
И • k(Tt — #,) кал. (602)
или приближенно:
W Qi Н • * j кал. (602*)
Поверхность нагрева
»
' При различных способах нагревания для величины поверх-
ности нагрева существуют следующие общие зависимости (число
2,303 — коэффициент преобразования натуральных логарифмов
в Бригговы логарифмы):
При протекании жидкости только с одной стороны
стенки (фиг. 730, Ш) имеем:
причем температура 7\ понижается до 7\.
При протекании обеих жидкостей в одну и^ту жеста*
рону или параллельными потоками (фиг. 730, I) имеем:
„ UZ 2,303 . Г1— в УЛЛС.
’ (Л-ту+в-О ’,og г,-г, м (605)
Формула 604 лаАсгвшллыи для случая, когда тепл аоо глодающая жид-
кость имеет постоянную температуру.
При пропикании двух жидкостей в противоположном
направлении (фиг. 730, И) имеем:
Н- к (Г,-Т,)-(/,-М*,og Tt-h *’
*
При протекая и и двух жидкостей в направлениях, пер-
пендикулярных одна к другой (фиг. 730, V) имеем;
W=H k{T^ G) кал. '
т 2,303 11
"=т—-
IcrL. 2,303 log
Л-г.
. (608)
В последних трех случаях температура Tt понижается до Т*
а температура /х повышается до
е) Коэффициент теплопередачи kt отнесенный к разности
температур в 1°, к 1 м* поверхности и k 1, часу.
L Теплопередача через металлические стенки,
Коэффициент теплопередачи k.
7 Талдоотдающее тел®' Теллопоглощдющм тело По Рек- нагелю По Фуксу По Гют- тагу
Дым или воздух Дым Пар Вода . Воздух..... Пар Пар Вода Воздух Пар Воздух Воздух. . .у . Вода . Вода (не кипя- щая) Вода (кипящая) Вода 54-7 10447 | ЬгИ 8004-1000 20004-3800 3004; 400 18,94-26,3 104-17
% 1) ДеАствятелъмо только ди йкороетеА < м/свк; дм больших скоростей
коэффициент тшодсршчк А определяется особо.
2. Передача тепла через чугун, медь, железо.
Коэффициент теплопередачи k.
Тепяоотдающее тело Теплопоглоша- юи&е тело Чугун Медь Железо ПО8
Дымовые газы Вода 7 12 10 25 13^54 25М1 Гепке 9 Рекнагелю *Фуксу Гюттиг;
Вода 250 400 300 Гепке
Пар 800 1000 900 8004-1000 Гепке Рекнагелю
7
Величина коэффициента теплопередачи k сильно колеблется.
Так, например, Фукс для разных мест котла дает значение его
от 12,56 до 54,5. Поэтому указанные значения этого коэффи-
циента нужно рассматривать как средние значения его.
f) Применение. Законы теплопередачи применимы при рао
четах: 1) паровых котлов, 2) пароподогревателей, 3) экономай- -
эеров* 4) перегревателей, 5) отопительных установок, 6) воздухо-^-
подогревателей.
§ 163. Расчеты теплопередача,
' L Общие обозначения для расчетов.
Для расчета а случах пагревания, указанных выше, введем
еще следующие обозначения: k— коэффициент теплопередачи,
согласно § 162, d и e, G — количество подлежащей нагреву,
испарению или перегреву воды или пара в кг[час, 7^ —темпе*
>) * находится в завясвмдетж от скорости V, например:
Вода 0,Q01 м/сек, вер 1 м/сек, ft— 170
( ' • «—8 » . ,v-60 „ ft—8000
* Коэффициенты, указанные в таблице, действительны ди теплой веды при
Че-0,2 м/сек, ди пара при де & м/сек, ди дымваых мэм яре А
1м/сек, - > .
к......
рагура газов (паров) перед прибором нагревания, — темпе»
ратура газов (паров) за прибором нагревания, —температура
воды, или пара при входе в прибор нагревания, ^ — темпера-
тура воды или пара при выходе из прибора нагревания в гра-
дусах Цельсия, tc— средняя разность между температурой -газов
(паров) с одной стороны и паров (воды) с другой.
1Г П аровые котлы.
*
Для котлов, работавших по припципу противотока, действи-
тельны: фиг. 730, II и уравнение 606.
а) Нагревание котла непосредственно или косвенно от
топки» В первом случае: использование теплоты, разви-
ваемой при сжигании твердых, жидких или газообразных го-
рючих. >
Во втором случае: использование теплоты отходящих
газов, например,, кричных, пудлинговых, нагревательных печей
И др.
Ь) Приближенней расчет. Пусть L — теоретическое коли-
чество воздуха в кг, необходимое для сжигания 1 кг топлива,
• — опытный коэффициент, зависящий от типа топки, b — опыт-
ный коэффициент, зависящий от вида топлива, а — количество
дымовых газов в кг, получаемое из 1 кг топлива, k — коли-
чество угля в кг, сжигаемое в 1 час, Q— количество дымовых
газов в кг, образуемое в 1 час, к — полная теплота парообра-
зования в кал. (согласно § 157), ЭД1— количество теплоты,
содержащееся'в дымовых газах в калориях, ЭДВ— то же при вы-
пуск^ газов, — ЭД,— располагаемое к использованию
количества теплоты в калориях, С «г 0,24 — теплоемкость дымо-
вых газов (согл. § 143), — количество воды, испаряемое с 1 ж’
поверхности нагрева /В кг) час.
, Средний значения для L, в, b и я.
Топливо | » L • _ в
Для газообразных горючих. . дров (воздушно-сухих). ж хорошего бурого угля. ь , каменн. , 0,8 кг 4,6 . 6,3 > 10,7 , 1 1,7 1,7 1,7 0.96 0,96 0.96 0,96 1,76 от 5,4 , И,7 . 19.1 . /•
«7
Количество теплоты, передаваемое котлу, равно:
V7=G-(K —**) кал. (609)
При вычислении поверхности нагрева необходимо различать
два случая: ~
If Когда G кг воды превращается в пар:
поверхность нагрева Н= (А • f0) лс’* (610)
2) Когда требуется использовать имеющуюся в распоряже-
нии'теплоту дымовых газов:
поверхность нагрева //t = 2B :(А • /0) жй. (6Ц)
В уравнениях 610 и 611 имеем приближенно:
< . Л + Л 6 + G
2 2 ’
(612)
с) Более точное определение поверхности нагрева про*
изводится по уравнению 606.
Средние значения (обозначения см. § 163): ч
при наличии топки:
Гх «= 1200°; Г, = 200. до 250°; А = 23 }
при отсутствии топки: , > (613)
Л = 600 до 800°; Г. = 180 до 200°; А = 12 до 15 J
Последние значения коэффициента А зависят от количества
осадков летучей золы.
Количество дымовых газов определится из следующего урав*
нения: „ ’ .
Q = K • а кг) час, (614)
Количество теплоты:
QD, = Q • Tt • с ==Q - Г, • 0,24 кал/час. ‘(615)
Количество теплоты:
Гя • с = Q • 7\ • 0,24 кал/час. (616)
Располагаемое количество теплоты равно:
ЙВ == — SB, = Q • 0,24 (ft — Г,) кал/час. (617) ..
Количество воды, превращенное в пар с 1 м* Поверхности ।
нагрева в 1 час, равно:
W • ®
или (в18)
где а — — действительная теплота парообразования для полу-
чения 1 кг пара из воды при Л
5W
Ш. Подогреватели
а) Назначение. Подогрев питательной воды мятым паром
паровых машин, работающих на выхлоп или с конденсацией; в
последнем случае подогреватель является одновременно и по-
верхностным ’ конденсатором.
Ь) Конструкция, или по фиг. 731, причем мятый пар
проходит через систему трубок, между тем как питательная
вода течет снаружи трубок, омывая их, или по фиг. 732, при-
чем вода течет по трубкам, а мятый пар омывает их снаружи.
Подогреватели должны работать всегда по принципу про-
тивотока.
с) Расчет. Пусть в дополнение к § 163,a: — поверх-
ность нагрева подогревателя в м*, t) — количество пара в яг/час,
1 — полная теплота парообразования пара, образовавшегося из
* питательной воды в кал/кг (согласно § 157), Х: — полная теп-
лота парообразования мятого пара в кал/кг, W—количество
Фиг. 731.
Пар в трубках.
Фиг. 732.
Воде в трубках.
теплоты в кал., сообщаемое воде в час, — часовое количество
теплоты в кал., содержащееся в мятой паре, АГ/— индикаторная
мощность паровой машины, S/ — количество пара, расходуемое
паровой машиной в кг на дош. силу в час, х — экономия угля
вызываемая подогревом питательной воды в °/о от общего рас-
хода угля.
Количество теплоты, которое необходимо сообщить питатель-
ной воде:
Г =(/(/> — А) кал/час. (619)
В мятом паре содержится количество теплоты.
=0,75 - Sr X = D • Xt кал/час. ‘) (620)
Из этого количества теплота сообщается питательной воде:
rjxsDtkj —Г,) кал/час. (621)
1) представляет то количество теплоты, которое преобразовы-
вается а работу, включая сюда потери между впуском паре в подогревателем.
Для нагрева Q кг воды в час с t* Ц. до t* И требуется
в час количество теплоты, равное:
G(G — 6) кал, (622)
включая сюда 10% на потерю от лучеиспускания прибора.
Необходимая поверхность нагрева равна:
м\ (623)
где
\ta.Zl+?>_k+A. (624).
Благодаря подогреву питательной воды, получаем вконом^ю
топлива (угля), равную*
* 100*/о.' . (625)
d) Расчетные величины. Для подогревателей, нагреваемых
мятым паром, принимаются в расчет обычно следующие вели-
чины дхя машин, работающих на выхлоп:
1\» 100° соответственно а°С‘1 (626)
\ ( Лд о«5/ кал. .
* ; . ^ = 75’0, (627)
ддя машин с конденсацией; >
Т| = 45° соответственно | а<5с’ 1 (628)
I к1 = 620 кал J '
/, = 35° U (629)
Коэффициент теплопередачи берется равным:
Л = 700 кал. (630)
Использование теплоты мятого пара ‘ в подогревателях ве-
дется обычно до такой степени, чтобы пар превращался в воду
с температурой Tt. Следовательно, в родогревателе от пара
отнимается столько теплоты, чтобы вся его теплота испарения
была использована. С этого момента телом, передающим тел-
лоту, является вода.
При точном расчете это обстоятельство необходимо учиты-
-вать, строго различая, какая часть поверхности нагрева омы-
вается паром, а какая часть водой. Будем однако различные
способы подогрева .учитывать соответствующим ^выбором вели-
чины коэффициента теплопередачи.
е) Правила для конструирования. Для расчета подогре-
вателей допускаются следующие условна;
МО
Г Яри подогревателях типа, представленного на фиг. 731,
Р вода должна оставаться в приборе примерно 12—15 мин., или
г • * = до V* часа. (631)
Общее сечение в свету всех трубок должно быть по край- .
? ней мере в 2 раза больше сечения трубы, подводящей мятый
пар, общая же поверхность всех трубок по меньшей мере в
0,8 раз больше поверхности-лагрева парового котла.
В подогревателях типа, представленного на фиг. 732, вода
должна оставаться в подогревателе около б минут, или
ж = 71в часа. (632)
Поверхность же трубок должна быть вдвое больше, чем у
подогревателей первого типа (фиг. 731). *
Пусть Н— поверхность нагрева парового котла в ж*, «—
парообразование в кг с каждого ж1 поверхности нагрева в час,
0,001Н*ш — количество питательной воды (
•»1. в ж*/час, da — внутренний диаметр трубо- ^-4—.
провода мятого пара, D — внутренний дна-
метр барабана подогревателя в м (фиг. в и-лГ
733), d—наружный диаметр трубок в ж, 0— ** I *>» —j—
внутренний диаметр трубок в м, L — длина J
трубок в ж, число трубок,
R s=s I. тс • d - L — общая поверхность всех
трубок В Ж1 1 ’ (633) Фиг. 733.
F=l. суммарное сечение в свету всех трубок в ж’ (634) •
Тогда будем иметь:
для подогревателей типа фиг. 731:
м\ (635)
/? ;&0,08- Н~ж*', (636) -
< дм подогревателей типа фиг. 732:
/? >0,16 Н м\ (637)
^дая обычной конструкции, представленной на фиг. 731, имеем:
^«р) = 0,00Ш ж, (638)
1 0,001 •//•«>• ж . , 1 _ч , ,йвЛ'
~4^D ~----------L----~ +1' М ’ С839)
Где ж—время пребывания воды в подогревателе в wax, со-
гласно Уравнению 631.
\ W1
о ,
i
Из вычисленного по уравнению 639 сечения получается не-
посредственно диаметр D барабана в м.
Для более редко применяемой конструкции, представленной
на фиг. 732, имеем: »
L . I • -U^ = 0,001W . . . ж;
4
_0,001Я-«- z
L 1
4
(640)
где z берется из уравнения 632,
IV. Экономайзер.
а) Назначение. Подогрев питательной воды посредством
• теплоты отходящих газов паровых котлов.
Фиг. 734.
П7=б7 =
Ь) Расчет. Пусть кроме
обозначений, указанных в § 163
(фиг. 734):
Q — количество воды в кг,
подлежащее подогреву, Q — ко-
личество дымовых газов в кг,
согласно с=0,24—теплоемкость
дымовых газов, согласно урав-
нению 608.
Сообщаемое количество теп-
лоты равно:
?-с- (П —Л) кал. (641)
Необходимая поверхность нагрева:
(642) '
где t9 — разность средних температур:
t L+h
2 ~~2~'
(643)
Из уравнения 641, путем преобразования, получим конечную
температуру дымовых газов:
Г»= Т, - в градусах Ц. (644)
Величину экономии в расходе угля:
*== * • 1(Ю*/> от общего расхода угля. (645)
602
с) Расчетные величины. При расчете экономайзера вбычно
приходится иметь дело со следующими величинами:
Л =350° IX Tj^kFU. (646)
>f1 = 80 до 100° Ц. А =10 до 15 кал. (647)
4=10 до 20° Ц. (647а)
V. Перегреватель.
а) Нагревание перегревателей производится или непосред-
ственно топочными газами, или же газами» подводимыми извне»
фиг. 735.
Ь) Расчет (см. также § 163). Пусть: G-- количество пара
в кг/час, подлежащее перегреву, 4 — температура насыщен-
ного пара в градусах Ц., 4 — температура перегретого пара в
градусах Ц., и Г, — температуры дымовых газов при входе
в перегреватель и выходе из него в граду
сах IX, IF—количество сообщаемой теплоты
в кал./час, 1Г*— количество теплоты вкал/час,
необходимое для испарения воды, увлекаемой
парс^, Qj — количество увлекаемой паром
воды в *г/час, X — полная теплота парообра-
зования насыщенного пара в кал/кг, 4 — раз-
ность средних температур между дымовыми газами с одной
рояы и паром, с другой, (^ = 0,48— теплоемкость пара
также § 142), Яд — необходимая поверхность нагрева перегре-
вателя в £ - экономия в расходе пара в % от общего рас-
ход^ пара, получаемая, благодацр перегреву, а = «^5— коэффи-
273
Фиг. 7&>.
СТО’
(см.
циент расширения дымовых газов, согласно § 139.
Расчет ведется следующим образом:
Общее количество теплоты:
• Q (4— 4) + кДл./час.
Согласно § 157 имеем:
44 = Gk (607 — 0,708 4) кал/час.
Ha=W: (k-t0)M\
л Л + 4 +/«
2 2 ’
(648)
(649)
(650)
Экономия в расходе пара вследствие перегрева его будет:
Е = 1 1 —‘ . юо »/г (651) '
\ Ч’тч) /
, «ОВ
с) Расчетные величины. При расчете перегревателей ебычнв
приходится иметь дело со следующими величинами:
При наличии собственной топки:
7\ = 800 до 1000, в среднем 900° А (652)
При обогреве газами, подводимыми извне:
7\=400 до 800, в среднем 600* Ц. (653)
Температура перегретого пара:
/1 = 230 до 250° Ц, для старых паровых машин. (654)
f1==300 до 350° Ц. для новых паровых машин. (655)
Коэффициент теплопередачи:
Л = 10 до 15, в среднем 12.1) (656)
Количество увлекаемой с паром воды:
G1==0,03 • G до 0,06 G кг/час. *) (657)
ЗАДАЧИ К §§ 137—163. #
• Теплота. ,
I' 474, Градусы. Какой единицей пользуются при расчетах для
измерения температуры?
Ответ. Всюду, кроме Англин и Америки, приняты градусы
, Цельсия. '• '
475, Температура. Термометр показывает 35* Реомюра; чему '
' это соответствует в градусах Цельсия?
Р Ответ. 35*R=35-’/4 = 437/U.
1) Приведенные значения Ь очень малы. Вообще коэффициент тепло*
передачи — величина переменная и аавнснт как от величины перегрева к
4 степени сухости (или влажности) пара, так и от нагрузки котда, скорости
протекания пара в перегревателе, количества топочных газов, температура
их и пр. Таким о бравом, для одного и того же перегревателя А может иметь >
различные значения. Насколько А зависит, например, от величины напряжем*
мости поверхности нагрева (Ь) котла, можно видеть из следующих данных:
При b 15 20 25 30 35 кг/м1 час
. А —1в 20 22 25-27
Правильнее А, в аавнсимости от нагрузки котла, принимать от 15 до 25,
а * среднем 20. П/шм. рсд.
1) Для котлов с большим объемом воды (цддиндрич/ские, аиглкАскае
м пр.) —2 —3«/е от О, для водотрубных же котлов О—4—<п Q.
Пром. ркд.
604 ' .
47$ Измерение температуры. Какие приборы применяются
для измерения температур? -
1. До — 40° ц. _ <
2. Ниже — 40° Ц, ' \
3. Выше + 300° Ц.
Ответ. 1. Ртутные термометры.
2. Спиртовые термометры.
3. Пирометры.
477. Определение температуры. Какую температуру имеет
железо, накаленное до темнокрасного цвета?
Ответ. Температура железа темнокрасного каления равна
700°Ц
478. Температура отходящих газов. Как определить тем-
пературу отходящих газов в котле без пирометра и другого
какого-либо измерительного прибора?
Ответ» В данном месте дымохода подвешивают кусочки
металла, например олова или цинка. Если олово или цинк пла-
вится, то температура лежит между 230° и 410° Ц.
Если плавится свинец, то температура во всяком случае
больше 330° и т. д. \
479. Расширение. Брусок из сварочного же- р—
леза (фиг. 736) длиною Z -1,8 м нагревается I ***
от 15° до 70°. Определить величину линейного г———п
расширения в мм.
Решение. Коэффициент расширения:
а == 0,00001468. ’ Фиг. 7».
Линейное расширение:
к «0,00001468 • (70 — 15) . 1,8 * 1000 = 0,15 мм.
479а. Тоже при 1=3,6 м, нагрев с 15 до 140°.
480. Расширение. 1. Что такое расширение тела?
. 2. Как выражается величина расширения' тела?
Ответ. 1. Приращение длины, вызванное теплотой.
2. В процентах длины данного
бруска; приращение же длины полу-
чается при умножении длины тела в
холодном состдянии на коэффициент
расширения и разность температур.
481. Напряжения» появляющиеся
вследствие расширения. Показанный
на фиг. 737 чугунный трубопровод длиною L =®^2 м в холодном
еоггоянин (т. е. при температуре t |5°), был тщательно собрал
Фит. 737.
и прикреплен к стене посредством скоб л. Когда пустили пар
давлением р = 8 атм», то через 10 минут труба лопнула в
месте R. \
Для объяснения этого’явления определить:
I. Температуру papa при 8 атм. абс. ’ ‘
2. Разность температур, принимаемую в расчет при опреде-
лении удлинения трубопровода.
3. Изгибающий момент, вызвавший поломку.
4. Что надо предпринимать для предохранения трубопровода
от поломки? •
Решение. 1. Температура пара: Г=^172°Ц.
2. Разность температур /= 172—15^=157° Ц.
j 3. Расширение X—а • t - L в м.
Линейное расширение вызывает изгиб трубы
ffrK. Ъ поэтому (фиг. 738);
л/ о О
0 ^вз ® KZCM,
ч>иг. 738. причем К в сдг, Е согласно § 49; J согласно
§ 50; Я длина вертикальной части трубы в
см, являющаяся в данном случае плечом изгибающего мо-
мента. 9
4. Для того, чтобы парализовать вредное действие линейного
расширения, в трубопровод вставляют эластичные части, так
называемые компенсаторы.
481а. То же при L — 185 м; р = 12 атм. абс.
482. Напряжения, появляющиеся вследствие сжатия
(фиг. 739). Брусок из сварочного железа (в задаче 479) имеет
поперечное сечение Г=24см\ Какая сила
появляется при охлаждении бруска от 70° i—£—Ч
до 15° Ц.? .
Решение. Сначала определим а • £ =* 29,4. * •
Сида сжатия
/>=Ш (70—15) • 24 = 39000 ло. 7М ' ,
483. Расширение. Что известно о расширении воды?
Ответ. Объяснения даны в § 137.
484. Как обстоит дело с расширением газообразных тел:
1. Равномерво ли оно?
2. Как велико?
Ответ. 1. Газы расширяются равномерно.
2. При повышении тейНературы на Г Ц, газ расширяется на
Vm своего объема при 0е, если расширение происходи? при
постоянном давлении,
485. Абсолютная температура, 1. Какая основная зависи-
мость между Гн/?
2. Где находится абсолютный нуль температуры?
Ответ. 1. Основная зависимость следующая:
Г=273 + /.
2. Абсолютный нуль температуры находится при—273° Ц.
486. Единице теплоты. Поясните значение .единица теп-
дотъГ словами.
Ответ. Единица теплоты, или калория, есть то коли*
чество теплоты, которое необходимо для того, чтобы повысить
температуру 1 кг воды на Г Ц.
487. Теплоемкость. Что такое теплоемкость?
Отйет. Теплоемкостью называется то количество теплоты
в калориях, которое требуется для того, чтобы повысить темпе-
ратуру 1кг какого-либо вещества на 1°Ц. ,
488. Нагрев. Для нагрева никкеля от 10° до 30° Ц израсхо-
довано 8000 калорий. Определить:
1. Теплоемкость никкеля.
2. Вес того количества никкеля, которое подвергалось нагре-
ванию.
OtbeV. 1. Теплоемкость никкеля: с = 0,11 кал/кг.
2» Разность температур: 30 —10 = 20° Ц., следовательно вес
никкеля равен:
489. Какое количество теплоты требуется для нагрева 800 кг
чугуна от 0° до 160° U ?
Ответ. Теплоемкость чугуна £ = 0,13 кйл/лге. '
Количество теплоты равно:
, 800 • 0,13 • 160=16600 кал.
400. Теплоемкость. Что сйбозначают cv и ср?
Ответ. — теплоемкость при постоянном объеме,
Ср —теплоемкость при постоянном давлении.
4W. Тонка кипения. При какой температуре кипит спирт,
также серная кислота.
Отт. Температура кипения спирта 78? Ц.
Температура кипения серной кислоты 320? Ц,
«Г
492. Термический вквивалент работы. Что такое термиче-
ский эквивалент работы?
Ответ. А ?= кал., т. е. 1 tкилограммометр работы экви-
валентен или равновелик количеству теплоты, равному кал.
Обратное значение называется механическим эквивалентом
теплоты. х
• 493. Теплота плавления. Что такое теплота плавления? '
Ответ. Объяснение Аано в §146.
494. Замерзание. При какой температуре замерзает ртуть?
Ответ. Ртуть замерзает при температуре — 40° Ц.
495. Теплота испарения. Что такое теплота испарения?
Ответ. Теплота испарения (г) есть то количество калорий,
которое требуется для того, чтобы 1 килограмм жидкости пре-
вратить в пар той же температуры.
496. Работоспособность пара. Котел дает 250 кг пара в
час; теплосодержание 1 кг пара равно 630 калорий. Определить
работоспособность пара.
Решение. 1. Общее теплосодержание пара равно: 250 • 630»
»158000 калорий.
Мощность в л. с., соответствующая этому количеству кало-
рий, равна: . •
158000 - 427 л г >
. 60 • 60 -75 ~
497. Пар. Какой бывает пар? •
Ответ. Различают насыщенный и перегретый пар.
498. Атмосфера. В каких единицах выражается барометри-
ческая и метрическая атмосфера?
Ответ. Барометрическая атмосфера равна 1,033 KtfcMP иди •
76 см рт. ст.
Метрическая атмосфера (атм.) равна 1 кг!,см^. ими 73,3 с* <
рт. ст/(Юж водяного столба).
• 499. вакуум. Как измеряется (теоретически) вакуум?
Ответ, Вакуум измеряется при помощи ртутного вакуу- -
метра, причём. необходимо принимать в расчет высоту над-
• уровнем моря. Пересчет согласно задаче 501.
500. Давление пара. 1. В чем состоит отличие манометриче-
ского давления от абсолютного да в лев ня в атм.?
2. Какое давление показывают манометры на даровых кот-
лах (фиг 740)? г
*» /
Ь 1 Какое давление показываю? вакууметры на конденсаторах)
Ответа 1. Число абсолютных атмосфер на х
/ «дивицу больше манометрических,
между
в атмо
* 2. Манометры показывают разность
абсолютным и атмосферным давлением
сферах. ' Л
3. Вакууметры показывают обычно
ртутного столбам см,
J 501. Вакууметр показывает 68 см рт. ст.; скольким атм. абс
соответствует это название, если барометр показывает 76 смй
Решение. 68 см рт. ст. соответствует:
(1-7ё) = Й~01105 а™ абс
ВЫСОТУ фит. 740.
501а. То же при 35 см рт. ст
502. Технические расчеты. Какими атмосферами следует
всегда пользоваться в технических расчетах?
Ответ. Пользуются всегда абсолютными атмосферами.
503. Теплота парообразования. Объясните выражения:
1. Полная теплота парообразования насыщенного пара (К)
2. Теплота жидкости
3. Теплота испарения
Отвит.
(?)
(г)
Полной теплотой парообразова-
вия (А) называется то количество теплоты, ко-
торое необходимо сообщить 1кг воды п р и 0° д л я
пре вра щени я ее в пар.
2. Теплотою жидкости называется то коли-
чество теплоты, которое затрачивается на по-
вышение температуры жидкости от (Удо точки
кипения. 1 .
ф 3. Теплотою испарения (г) называется та теп
расходуется на парообразова
при температуре кипения.
504. Количество теплоты
лования насыщенного пара,
котла А п В (фиг. 741) сд«
по Q — 2,3-и1 воды / = (У
ство теплоты нужно затратил
г‘ * всю воду Q превратить в
1. В котле А в пар давления pt = 1,5 атм. а
2. В котле В в пар давления 12 атм»
1.
лота, которая
вне жидкости
для
8. Чем объясняется мш малая разница в затрачиваемом
количестве тепла в обоих случаях?
Решение. 1. Полная теплота парообразования' при давлении
1,5 атм. абс.: к = 640 кал.
Следовательно на котел А нужно затратить!
2,3 • 1000 • 640= 1 372 000 кал.
2. То же — для 12 атм. абс.: X = 663 кал. —
Следовательно на котел В нужно затратить:
2,3- 1000 • 663 = 1 525 000 кал.
3. Полная теплота парообразования X для различных давлений
колеблется в весьма небольших пределах.
505, В чем, следовательно, преимущество пара высокого да-
вления?
Ответ. Без особых дополнительных затрат тепла на уве-
личение давления можно получить больший эффект.
505а. Пусть в задаче 504: (? = 4,6 ж’, р( = 3 атм. абс.,
pt = 6 атм. абс.
506. Вес пара. Определить вес:
1. 3 ж* насыщенного пара давления 6 атм. абс.
2» 3 м9 . . . 1,2 > .
3. 3 м9 атмосферного воздуха.
Решение. 1. Зл? пара при 6 атм. абс. весит: 3 *3,16 = 9,48 кг»
2. Зж’ пара при 1,2 атм. абс. весит: 3 * 0,7 = 2,1 кг,
3. 3 m1 атм. воздуха весят: 3 • 1,29 = 3,87 кг.
507. При каком давлении водяной пар весит стотько же,
сколько окружающий нас воздух?
Ответ. При давлении 2,3 атм. абс.
508. Закон расширения пара. Как выражается закон распти.
рения пара, если р — давление и К—уд. объем пара.
х Ответ, р • V* = const
С достаточной точностью можно для насыщенного пара при-
нять k = 1; в таком случае имеем р • V=const
509br Перегретый пар. Как получается перегретый пар?
Ответ. Перегретый пар получается путем сообщения насы-
щенному пару дальнейшего количества теплоты в отсутствии
воды.
Пример получения перегретого пара,
510» 1200 кг пара при 6 атм. мая. требуется перегреть в те-
чение 1 часа до 250е 11 Определить:
А Необходимое количество тепла для получения из на*
ею
еыщенного пара перегретого. 1. Какую температуру имеет На-
сыщенный пар при 7 атм. абс.?
2. На сколько градусов нужно повысить температуру для
перегрева его?
3. Сколько калорий требуется для перегрева 1 кг вара на 1® Ц.?
4. Сколько калорий тепла нужно для перегрева 1200*з/час?
II. Увеличение объема пара вследствие перегрева. 1. Объем
пара до перегрева?
2. Чему равна абсолютная температура перегретого пара?
3. Объем пара -после перегрева.?
4. Чему равно приращение объема пара после перегрева?
III. Вес перегретого пара. Сколько весит I м* перегретого'
пара при 6 атм. май. и. 250° Ц? \
ТУ. Расход угла, потребный для перегрева. Сколько кг
угля требуется затратить в 1 час на перегрев, если теплотвор-
ная способность угля равна 6500 кал./хг и коэффициент полез-
ного действия «котла равен 75*/а?
К Полная теплота парообразования насыщенного а
перегретого пара. 1. Полная теплота парообразования насыщен-
ного пара при 7 атм. абс.? •
2. Какое количество теплоты требуется для образования из
питательной воды при 0° Ц., 1 кг насыщенного пара при 7 атм.
абс. и перегретого до 250’Ц. 7
3. Чему равняется полная теплота парообразования
1200 *3 перегретого пара?
Решение. Решение этой задачи имеет чрезвычайно важное
значение.
I. Необходимое количество тепла в кал. 1. Температура
насыщенного пара при 7 атм. абс. равна:
/=166°Ц.
2. Перегрев равен: 250 — 166 = 84®.
3. Для перегрева 1 кг пара на Г Ц. требуется: с = 0,53 кал
(теплоемкость перегретого пара).
4. Для перегрева 1200 кг на 84е требуется следовательно:
0,53» 1200 - 84 = 53 800 кал.
//. Увеличение объема. L Удельный объем I кг пара при
7 атм. абс равен
- . . ^8**/*».
•11
СледоваТелъяс
9=^~330jA
о,DO
2. Абсолютная температура перегретого пара:
7^273 + 250 = 523°.
3. После перегрева удельный объем пара равен:
0.WM4
i t
Значит, для 1200 кг:
ve =» 1200-0,325 ~ 390 лЛ
. 4. Таким образом приращение объем? пара равно:
390-330 1ЛЛ ...
320 *1QQ~16'“ -
' III. Вес.
Удельный вес 1 ж* ~Д07 кг1м\
vW
IV. Расход угля: Так как затрачиваемое количество теплоты
равно 53800 кал. (см. п. I), то для перегрева требуется
53 800 - 100 „
"6500.7511 п УГ" в ’ас
V. Полная теплота парообразования. 1. Полная теплота
парообразования насыщенного пара при 7 атм. абс. равна:
Х = 656 кал,
2. Для образования 1 кг перегретого пара требуется количе-
ство теплоты:
—656 + 0,53 • 84 = 700 m
3. Дня 1200 кг пара теплота парообразования равна:
1200 - 700 = 840 000 кал.
511. Перегрев. Приблизительный расчет. Требуется пере-
греть насыщенный пар б атм. абс. до 260р Ц. Определит*
быстро:
1. Температуру насыщенного пара в градусах.
2. Перегрев в градусах.
1) По ЦЫЫеру; по Туюмрцу ж« —
W3
3. Удельный объем 1 кг перегретого пара в л1.
4. Абсолютную температуру. * .
Решение, L Температура насыщенного пара при 6 «ГМ. абс. ,
/ж=158°Ц (см, таблицу), и
2. Перегрев: 260 — 138 =
3. . Объем: va — ~ 0,41 м*!кг.
4. Абсолютная температура: Та = 273 + 260 = 533°.
। 512* Закон расширения перегретого пара. Как выражается
для данного случая уравнение расширения пара (сравни задачу
508)? •
•. Решение. Уравнение расширения перегретого пара:
А ’ Vf=Pi •
\ где показатель степени k = 1,33.
513. Кривая расширения перегретого пара. Каким спосо-
бом пользуются для построения кривой расширения?
Решение. Кривая расширения перегретого пара строится по
сноску Брауера. Подробные объяснения см. в § 157#
• ‘ Истечение пара.
• 514, Высота, соответствующая скорости. Пусть пар выте-
кает из сопла со скоростью 980 м}сек. Чему равняется высота,
. соответствующая этой скорости? , z
Решение. Высота, соответствующая этой скорости, равна:
j£-_ Л£т = 4«
£t • fy L* У, 01
515» Скорость истечения пара. Требуется пропустить пар
давления /> = 8 атм. абс. в пространство, находящееся под да-
влением рв=2 атм. абс. Определить скорость истечения парен
вой струи.
L Для перегретого пара при перегреве на 100°.
, 2. Для насыщенного пара.
Решение. 1. Сначала определяем удельный вес перегретого
пара:
Тд=3,38о/лЛ
Тогда* согласно уравнению 589 (стр. 578), имеем
®’=№ • т/1-®0,1""
I Здесь можцо было бы тоже применитьуравнение ЙМ; м
' ' ЛИ
Проше воспользоваться диаграммой § 159. Тогда получается для
насыщенного пара 47 = 700 MjceK.
516. Работоспособность пара. В задаче 514 из сопла вы-
текает 280 кг пара в час. Какова этом случае работоспо-
собность пара? *
Решение. Количество пара, протекающего в 1 сек., равно:
' 3600" = 0,078
откуда работоспособность пара в лош. силах равна:
0,078.48 500 сп
yg —50 л. с.
517. Падение давления в трубопроводах. Назовите при-
чины падения давления в трубопроводах!
Ответ. Причина: трение пара о стенки труб и внутреннее
трение.
518. Какие причины влияют на величину разности давления
(в атм.) между началом и концом трубопровода?
Ответ. Потеря давления прямо пропорциональна длине тру-
бопровода, обратно пропорциональна диаметру трубы и пропор-
циональна квадрату скорости истечения пара.
519. Длина трубопровода L = 150 Mt диаметр трубы d = 13 см»
скорость пара 47 = 30 м[сек. и давление- его р = 1 атм. Опре-
делить потерю давления в атм. в .прямом трубопроводе.
Решение. Здесь .
Л ___150 -_цел
d ~ 0,13~1150’
следовательно: на основании таблицы §160 потеря давления
Z= 0,056 • ~ ~ 0,65 атм.
ч IUU
Использование теплоты отходящих газов сварочной печи.
520. На крупном вагоностроительном заводе установлена
сварочная печь. Желательно использовать теплоту отходящих,
газов ее (фиг. 742).
В печи сжигается К =110 кг)час хорошего рурского угля;
температура отходящих газов при входе в первый дымоход
котла 7\ = 600° Ц.; а при выходе из котла Г, = 200° Ц.
Требуется произвести 2 расчета:
1) Использование теплоты отходящих газов в целях получе-
ния пара во вновь устанавливаемом котле (фиг. 742). Новый
котел должен занимать как можно меньше места.
Фиг. 74Z
£ Даны: температура питательной воды «= W Ц. и давление
пара 8 атм. ман.
И 2) Использование отходящих газов в целях перегрева пара,
питающего паровую машину в 250 лош. сил, работающую паром
f давления 8 атм. май. и расходующую S/ =
= 7,2 кг пара на л. с.-ч. Температура пита-
?. тельной воды 60°.
к 52L Паровой котел, отапливаемый от-
> ходящими газами, при условиях задачи
L 620.
i Имеем следовательно: •
Количество дымовых газов, выделяю-
.* щееся из /(=110 кг каменного угля,
rt=600Q, 7t=200°IX температуру пи-
тательной воды ^ = 60°, давление 8 атм,
” ман.
Выбрать систему котла; определить величину поверхности
нагрева и количество пара, которое может быть получено при
г Данном количестве дымовых газов.
Решение и ход расчета. •
/- Система котла. 1) Вследствие недостатка места было
• р шено установить водотрубный котел (фиг. 743). Дымовые
газьг могут отводиться прямо
в трубу, что очень важно при
ремонте котла или же через
котел, а затем в дымовую
трубу.
И. Имеющаяся «распоря-
жении теплота л кал./час.
2) При сжигании 1 кг хоро-
шего каменного угля выде-
ляется <1 = 19,1 кг дымовых
газов.
Откуда:
Q = - а= 110 - 19,1 =
= 2100 кг/ чае.
3) Количество теплоты, содержащееся в дымовых газах при
входа их в котел:
®i— Q * Тк = 0,24 пж 2100.600.0,24 = 302 400 кая./час.
• 4) Количество теплоты, содержащееся в газах при выходе их:
в» “ Q • Г, • 0,24 я 2100 • 20Q • Ц24 = 10Q .800 кал/час.
5) Имеющееся я распоряжении количество теплоты дымовых
газов:
<Ш = «= 302 400 — 100 800 = 201 600
илц '
. © = 2100 • 0,24 ♦ (600 — 200) = 201 600 кал./час.
///. Необходимая поверхность нагрева котла. 6) Темпера-
тура насыщенного пара при давлении 9 атм. абс. равна t, = 177е.
7) Разность средних температур дымовых газов и пара:
. , П+Г, (, + /, 600 + 200 60-Г177 ,Л1„
8) Коэффициент теплопередачи Л = 15.
9) Необходимая поверхность нагрева чкот ла:
^ = 29 :k . /в=201 600:15 • 281,5 = 47,5 >.
IV. Мощность котла. 10) Для пара 9 атм. абс. имеем:
Х = 660 KHJL
11) Питательная вода при 60° Ц. содержит количество теплотьй
равное кал., или 60 кал.
12) Теплота, необходимая для образования 1 кг пара при
8 атм. мая., равна: '
—^ = 660 —60=*600 кал.
13) Парсутроизйодительная способность котла в кг с 1 jm1 по-
верхности нагрева в час: . ’ *
z= 2В : (Л — G) . Н, = 201 600:600 • 47,5 = 7,07 кг.
14) Мощность котла:
. Hi = 70,7 ♦ 47,5= 336 кг пара в час.
15) Результат. Используя теплоту дымовых газов, вы-
деляемых из 110 кг каменного угля, можно получить 336 кг
пара в час давления 8 атм. ман.
522. Перегреватель. Указанную в задачах 520 и 521 теплоту
дымовых газов = 201 600 кал./час. (Г, =600^1, = 200°) тре-
буется использовать для перегрева пара (фиг. 744).
Заданы. Нормальная мощность паровой машины N9^
еж 250 д. лош. со расход пара S/ = 7,2 кг на ияд. лош. с.-чм
давление пара 8 атм. ман., длина трубопровода от перегре-
вателя до кашицы 50 м и температура питатедьной^воды 60° Ц,
«9
Определить величину поверхности нагрева перегревателя *
экономию в расходе пара, которую дает эта установка.
Решение и ход расчета.
/. Общий расход пара машины. 1) Механический коэффи-
циент полезного действия т] = 0,89.
2) Индикаторная мощность машины:
») = 250; 0,89 = 231 л. с. ‘
3) Берем индикаторную мощность несколько больше нор-
мальвой, а именно:. № = 300 л. с., тогда полный расход пара
. - будет о^вен: • “ 4 ’ ’ А
G = Si = 300 • 7,2 = 2160 кг/час.
От котла /j —177*.
К ларояой машквв
/j-SOtP,
От сварочкоА печэ
Г>-6О(Г.
Фиг. 744.
ZZ. Количество теплоты, необходимое для перегрева.
4) Количество воды, увлекаемое из котла:
. 0|=0,03-0 = 0,08 - 2160 = 65кг/чш:.
5) Температура увлекаемой воды при 9 атм’. абсл
, /, = 177°.
6) Количество теплоты, необходимое для испарения увлекае-
мой воды:
Wt = Qi • (607 —0,708/0=65(607— 0,708 • 177)=31310 кал/час.
7) Температура перегретого пара при впуске в машину
/ = 250°. '
8) Понижение температуры перегрева в трубопроводе, лям-
। ярю 50 М- счдтад на I м длины Iе, равна: 50 • 1 = 50°, сдедог
, w
вательно требуемая температура перегретого пара яри выходе
из перегревателя будет равна:
t^= * + 50 = 250 + 50 = 300° Ц.
0) Температура насыщенного пара (9 атм. абс.):
4 = 177*.
10) Теплоемкость пара с, =0,48.
11) Количество теплоты, необходимое для перегрева пара
при 9 атм. абс.:
1Г=с1.О.(4^4)+^
VT = 0,43 • 2160 • (300 - 177) + 31 310 = 158 836 кал./час.
12) Имеющееся в распоряжении количество теплоты равно
® = 201 600 кал./час. (см. задачу 521). '
Следовательно, количество располагаемого тепла достаточно для
перегрева пара, и кроме того остается еще около 43 000 кал./час,
неиспользованного тепла, т. е. газы покидают. перегреватель
при температуре несколько выше 2Ж Ц.
///. Необходимая, поверхность нагрева перегревателя,
13) Разность средних температур:
( _rx+rt 4 + 4_600 + 200 300 + 177
2 2 ^~2 2 в
14) Коэффициент теплопередачи А = 12.
15) Необходимая поверхность нагрева перегревателя:
Нл = W: k * 4= 158 836:12 • 162 = 82 л’.
IV, Полученная экономия в расходе пара. 16) Экономия
в расходе пара в процентах от количества насыщенного пара;
±|77) J + 1П>|)-
\ Ow • (273 + 300) /
17) Общая экономия пара:
Q • Е: 100 = 2160 • 15:100 = 324 кг/час.
Результат. Следовательно, при помощи дымовых газов
сварочной печи, потребляющей 110 кг угля в час, при темпе-
ратуре отходящих газов 600° Щ можно для паровой мощности
. в 250 лош. сил (при 8 атм. рабочего давления) пар перегретый ^7*
до 300е. Необходимая для этого поверхность нагрева церегрф»
Ш
вателя равна 82 л t Из получаемой экономии нужно вычесть
проценты на затраченный капитал, амортизацию и стоимость *
содержания перегревателя/
Использование теплоты отработавшего пара паровой
машины.
523. Подогреватель. На одном пивоваренном заводе нужно
было для получения горячей воды использовать отработавший
пар паровой машины, мощностью Afy.= 25 инд. л. с., работавшей
на выхлоп. Начальное давлений пара равно 6 атм. ман. (фиг. 745),
Даны: Расход пара S/=16,6 кг на инд.
лош. с./час, температура воды при входе в
подогреватель = 15° Ц., и температура при
выходе ее из подогревателя /,=±80°.
Использование мятого пара может быть
доведено до Г, ® 35*.
Требуется определить: 1. Количество воды,
которое может быть нагрето в час.
П. Необходимую поверхность нагрева по
догревателя, и
Ш. Экономию в расходе угля в •/* если
использовать эту воду для питания парового
котла.
Решение и ход расчета.
Д Количество воды в литр!час, фиг.
< 46. 1) Для пара при 7 атм. абс. полная теп-
лота паро&разования X == 656 кал./Аг.
2) Количество теплоты, содержащееся в
даре, подводимом в машину:
«74х=0г75 • Ni • Si - Х=0,75 • 25 > 16,6 *656 = 204 180 ш.
Температуру отработавшего пара примем
г»~ихг.
4) При этой температуре полная теллот^отработавшего пара:
К1 = 637 кал/кг.
5) Количество теплоты» отдаваемое отработавшим паром воде*
И = ^. (X, — Г.) = • (637 —35) =192 640 кы./час.
б) Количество теплоты, поглощаемое водою: .
\ W » Q • to — tj) кял./час. k
7) Учитывая лучеиспускание подогревателя, требуемое коли-
чество теплоты получим равным:
^===©=1,1.0.^ —у кал. z
8) Откуда вес подогреваемой воды будет равен:
192640 .
• °~~ 1,1 (Г, — О “ 1,1-(80—15) “2691 *г/чаС-
/Л Необходимая поверхность нагрева подогревателя в
9) Разность средних температур:
Г^Г, G + *i 100 + 35 30+15_ ,
«• = ~2------2~=—7--------—“г-------
10) Коэффициент теплопередачи
*=700кал./лА
11) Необходимая поверхность нагрева подогревателя:
:k • t.= 192640:700:20~ 14 лЛ
Ilk Экономия^пля в процентах. 12) Если вода 0 =
=2691 кг/иас применяется для питания котла, то экономия угля
будет равна: *
’=£—£. 100= • 100=10%.
Л —Г| ООО —’ 10
13) Результат. Используя теплоту мятого пара 25-сильноЙ
паровой машины, работающей на выхлоп, можно нагреть 2691 литр
воды в час с 15° до 80°,
w
НепЛьзоыяии теплоты млтогд пара питательного насоса.
524. Подогреватель (фиг. 747 и 748). В кочегарке нужно
было использовать мятый пар парового насоса для подогрева
питательной воды.
Даны: Давление пара в атм. май., количество питательной
воды G = 2800 кг/час, количество мятого пара, получаемое из *
насоса Р = 75ке/час.
Согласно § 163 берем.
Температуру мятого пара при входе в подогреватель
7\ = 102° Ц.
то же, для питательной воды =20° Ц. .
Использование мятого пара до-
водится до 7\=х50°. - . .
Определить:
• 1. До какой температуры на;
греется вода.
2. Необходимую поверхность на-
грева подогревателя.
3. Экономию в расходе угля.
Решение и ход расчета. ' *
/. Нагрев питательной воды, 1) Для температуры пар*
7|»« 102° имеем:
Полную теплоту парообразования: X = 637 кал./кт»
2) Количество теплоты, отдаваемое мятым паром:
Я0 = П (Xj—TJ =75 *(637 — 50)=44025 кал/час.
3) Количество теплоты, поглощаемое водой;
«а
4) Учитывая лучеиспускание подогревателя, необходима ш>
личество тепла будет:
Wi =г 1,1 Q . — i J кал./час/ '
5) Так как = 1,1 G - (/> — tt) ® =44 025 кал./час» то раз-
ность температур получится равной:,
t -t - ® - 44025 '
** —1Д .2800 ~”14>3*
6) Температура питательной воды:
^ = /4 +14,3 = 20 +14,3~34°LL
II. Необходимая поверхность нагрева подогревателя.
7) Разность средних температур:
. rt+T ^ + А_102 + 50 34 + 20
* — 2 —J— — 2 2 ’
8) Коэффициент теплопередачи k = 700 кал./м1,
9) Необходимая поверхаость нагрева перегревателя:
/^=17^^.^ = 44025: 700 - 49=1,3 м\ \
///. Экономия угля. 10) Для пара 7 атм. абс. имеем:
Полную теплоту парообразования: Х = 65б кал./ка.
11) Получаемая экономия угля:
*=^-‘0«=й^-1(Ю=2'2#/-
12) Результат. Для использования теплоты 75 *с/час мятого
пара питательного насоса требуется поверхность нагрева подо-
гревателя Я^=1,3лс#; при этом достигается подогрев воды с
20° до 34°, л экономия угля % = 2,2% от общего расхода угля
в паровом котле.
Определение размеров трубчатого подогревателя.
525. Подогреватель (фиг. 749). Для парового котла с дымо-
гарными трубками, снабжающего паром 25-сильную паровую*
машину, требуется установить подогреватель, при помощи
которого питательная вода нагревалась бы отработавшим паром
машины.
Даны: Поверхность нагрева котла Я=40л1; паропроизво-
дительная способность его ш=20/сг/л1 час. и диаметр грубо
провода отработавшего пара d* = 70 мм
«2 -
Определить размеры подогревателя.
L Когда через t?v6kh пропускается пар и
Патат. вода. Подогреватель.
Фиг. 74».
Ч. Когда через трубки пропускается вода, а пар омывает
трубки снаружи.
РЕШЕНИЕ И ХОД РАСЧЕТА.
I. Подогреватель согласно рис. 750 и 751. Отработавший
пар проходит через трубки. 1. Общая поверхность трубок;
/? = 0,08 • /7 = 0,08 ‘ 40 = 3,2 м*.
фиг. 750. фиг. 751.
2. Примем: внутренний диаметр трубок 8=я51жл/.
внешний , . 4 = 57 . и
число трубок 1= 12.
8. Тогда длина трубок будет равна:
, , R 3,2
L • d • я ” 12 • 0,057 • я ~ 1,5'М-
4. Общее сечение трубок в свету:
Fo.li. в». 1=1. к , одер . 12 =.0,0079м*.
4 4
4. Сечение трубопровода отработавшего пара будет:
1.« . de*~-l. « . 0,07*— 0,00386 л».
4»
Trent образом условие соблюдем*
/•’> 2-1 <•<,*.
6. При этой конструкции подогревателя вода должна осп-
1 -* •
геъся в нем ж —у ч^ся.
7. Сечение в свету барабана подогревателя:
1 га. Я%)*х 4 в \ J 40 20 I ,
4 КЮ0 £ + /*’4к’<Г— 1000 • 1Д* 5 +
+12 • 4-« • 0,057* = 0,136 м»
4 ’
откуда
•И
D = 0,415 ж 415 лыс
/J. Подогреватель имеет устройство согласно фиг. 752.
(Вода пропускается в трубках.) 1. Пусть: число трубок /*=20.
Внутренний диаметр трубок 6=51 лк
Внешний 9 .
2. Вода должна оставаться в подогре-
. 1
вателе: ж = часа, ,
3. Тогда длина трубок будет оавна:
D£ wA
ол
Фиг. 752.
, 0,001 я.« 0.001-40 - 20 1 ...
£, =------------г = ~Л---------------10 е 1,90 •*•
b4««’ 20 • 4к • 0,051*
4 v 4
4. Общая поверхность трубок:
R = l . . L =20-0,057л* 1,96 = 7 лс*
Условие R >0,16 - Я=0,16 • 40 — 6,3 м* следовательно со-
блюдено.
Из сопоставления обоих решений вытекает следующее:
$ л TpytajCf.. . • V.. . . .. , ОбщаяЯЦа'трубок..... ПоверАЛЙк^трубокЧ ♦ > . . Конструкция I Конструкция П
Ь2 шт. *Ч„ диаы. 1,5 • 12= 13л 3,2 л* 20 шт, «/ю диам. 1,96-2*=39,2л 7 м»