Андрей Богданов
Геометрические
головоломки
мцнмо
2019


УДК 379.8 + 51-8 ББК 77.056я92:22.1 Б73
Б73 Богданов А. И.
Геометрические головоломки. - М.: МЦНМО, 2019. - 160 с. ISBN 978-5-4439-1364-3
В этой книге приведены геометрические головоломки трёх разных типов: на размещение, разрезание и соединение. И делать это надо без ножниц и клея, а с помощью воображения и логики. Перед каждым видом головоломок идёт пошаговое объяснение способа решения, поэтому даже новички смогут быстро его освоить. Головоломки расположены в порядке возрастания сложности. В конце книги даны задания повышенной трудности и ответы.
Для широкого круга читателей.
ББК 77.056я92:22.1
Научно-популярное издание
Андрей Иванович Богданов
Геометрические головоломки
Подписано в печать 15.10.2018. Формат 70x100 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 10. Тираж 3000 экз. Заказ № ВЗК-01469-19.
Издательство Московского центра непрерывного математического образования 119002 Москва, Большой Власьевский пер., д. 11.Тел. 8(499) 241-08-04
Отпечатано с готового оригинал-макета в АО «Первая Образцовая типография», филиал «Дом печати - ВЯТКА». 610033, г. Киров, ул. Московская, 122 Тел. (8332) 53-53-80, info@gipp.kirov.ru
ISBN 978-5-4439-1364-3
© Богданов А.И., 2019. © МЦНМО, 2019.


ПРЕДИСЛОВИЕ
В этой книге приведены головоломки трех разных типов: на размещение, разрезание и соединение. Все эти головоломки объединяет геометрия. В большинстве случаев вполне достаточно простых логических рассуждений, но развитое пространственно-геометрическое мышление позволяет иногда просто «увидеть» решение без всяких логических рассуждений. Но не расстраивайтесь, если вам это не удалось, более того, не полагайтесь на интуицию - очень часто она подсказывает неверный ход решения головоломки, заводящий в тупик. Старайтесь каждый шаг в решении логически обосновывать.
В книге собраны задания разной сложности, обычно несколько первых заданий в каждой главе проще остальных, но и они могут представлять трудности. Рекомендуем начинать решения с более простых и по мере освоения принципов решения переходить к более сложным. Если какая-то задача не получается - не стоит расстраиваться. Можно пропустить её или просто отложить книжку и вернуться к ней спустя некоторое время - очень часто нужный ход легко находится при «свежем взгляде». При решении головоломок старайтесь пользоваться карандашом - это позволит легко исправить ошибки.
Каждый вид головоломок предварен подробным объяснением способа решения. При изложении способа решения используются некоторые общие соглашения - все буквы и цифры, вписанные на последнем шаге, отмечены более тёмным цветом. При необходимости указать на конкретную клетку поля используется шахматная нотация - столбцы отмечаются латинскими буквами слева направо, а строки - цифрами снизу вверх. Например, нижняя клетка второго слева столбца будет обозначена как Ь1.
В конце книги приведен ряд задач для самостоятельного решения без объяснений. Большинство из них являются разновидностями объясненных задач и требуют примерно тех же подходов к решению, хотя иногда могут возникнуть и новые соображения. Разбор некоторых задач можно найти в интернете на YouTube-канале «Клуб ценителей головоломок Диоген».
3


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
МОРСКОЙ БОЙ
Практически все дети умеют играть в «морской бой». В эту игру играют вдвоем и стараются как можно быстрее потопить корабли противника. В головоломке с таким же названием правила несколько иные, хотя поле для игры и выглядит очень похоже. Ваша задача - обнаружить корабли, спрятанные на поле, но не делая пробных выстрелов, а используя только логику. По всей видимости, эта головоломка одна из старейших в классе головоломок на размещение, но от этого она не становится менее интересной. Придумано множество разновидностей морского боя, но и самая старая вариация по-прежнему украшает практически все турниры по решению головоломок.
Итак, условие задачи:
Разместите приведенный комплект кораблей на поле так, чтобы клетки с кораблями не касались друг друга даже углом. Числа по сторонам сетки показывают количество клеток, занятых кораблями в соответствующей строке или столбце. В клетке с волной корабль находиться не может.
ZZZZZZZZZ2тишш
; 1
ZZZZZZZZZ5••••
1
1
3
1
305121422
В приведенной задаче требуется разместить стандартный комплект - один «четырехтрубный» корабль, два «трехтрубных», три «двухтрубных» и четыре «подводные лодки». В приведенных ниже задачах комплекты могут быть несколько иными.
В большинстве случаев решение задачи начинается с поиска подходящего места для самого большого корабля. Обычно подходящих для этого мест немного - можно попробовать их все, попутно пытаясь вместить корабли меньшего размера. Также надо не забыть сразу
4


МОРСКОЙ БОЙ
же вычеркнуть все клетки рядов, содержащих 0 клеток. Но не всегда стандартные приемы позволяют легко добиться успеха - приходится придумывать более хитроумные рассуждения. Наверное, за это головоломка и любима решателями.
В нашем случае есть 4 ряда для размещения четырехтрубного корабля - два вертикальных и два горизонтальных. Вариантов довольно много, и рассматривать их все - очень трудоемко. Но попытки разместить корабль в горизонтальном ряду быстро приводят нас к интересному наблюдению.
1
2
1
5
5
1
1
3
1
1 2 1 5 5 1 1 3 1
305121422
305121422
Если мы разместим какой-нибудь корабль (даже двухтрубный) горизонтально в одном из этих рядов, то в соседнем ряду сразу окажется вычеркнуто три клетки (ведь рядом с горизонтальным кораблем ничего находиться не может) - и разместить корабли не получится. Единственный вариант - разместить все корабли в этих двух рядах вертикально. Отметим занятые клетки.
Теперь поставим прочерки во всех клетках, окружающих корабли. Также заметим, что в первом и пятом справа столбцах по две занятых клетки уже отмечено - остальные можно вычеркнуть. Ну и не забудем вычеркнуть второй слева столбец.
5


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Ряд над двумя заполненными рядами содержит только одну занятую клетку. Значит, только один из двухклеточных блоков продолжается вверх. Точно так же только один из блоков продолжается вниз. А третий блок - двухтрубный корабль. Где же находится еще один из «больших кораблей»? Он может быть либо в нижней части третьего слева столбца, либо во второй снизу строке. Попробуем первый вариант: поставим под двухтрубным кораблем внизу трехтрубный.
305121422
Остальные клетки в первом и третьем снизу рядах вычеркнем. Четырехтрубный корабль может быть только в третьем справа столбце и продолжаться вверх. Но тогда остается только одна клетка, которая может быть занята кораблем во втором справа столбце, а должно быть две. Мы зашли в тупик, значит, надо выбрать другой вариант расположения трехтрубного корабля.
Во второй снизу строке только одно место для трехтрубного корабля - нарисуем его. Заодно вычеркнем все клетки вокруг, а также остальные клетки строки. Понятно, что теперь осталось только одно место для четырехтрубного корабля - третий слева столбец с продолжением вниз. Остальные клетки третьей и четвертой снизу строк свободны.
305121422
6


МОРСКОЙ БОЙ
1 Во втором и третьем справа столбцах
2 осталось найти по две занятых клетки.
I Рядом они стоять не могут, так как все
5 двухтрубные корабли уже обнаруже-
5 ны, а касания по диагонали запрещены.
1 Значит, одна из этих клеток дополняет
две клетки до трехтрубного корабля в 1 третьем столбце, а вторая - составляет
3 однотрубный корабль в верхней клетке
——J 1 второго столбца.
30512142 2
305121422
Во второй сверху строке надо разместить две клетки, и только две клетки остались невычеркнуты. Ставим в них маленькие корабли. Вычеркивая остальные клетки в столбцах, обнаруживаем и последний корабль - в нижней клетке третьего слева столбца.
Остается проверить, что отмеченные клетки действительно образуют требуемый комплект.
7


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 1.1
о тшш
2 ««
2 3 0 3 1 3
Задача 1.2
тшш
тшшш
•••
з тшш
1«« 2ШФШ
2 1 2 12 12 2
4 О 3 О 3 2 113 3
Задача 1.3
8


МОРСКОЙ БОЙ
Задача 1.4
4
1 шиш
2 «» 1 ••• 1 1 2 12 12 2
Задача 1.5
1 «» 3 ««
зффф
о
2
2
1 шив
3
•••
1 2 12 12 13
9
3 1 2 0 3 1
Задача 1.6


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
0 тишш
4 ЯШ
1 4 5 2 1 2 5 1 4
Задача 1.8
1 шиит
::::
4 4
5 5 5 5
Задача 1.7
10


МОРСКОЙ БОЙ
2 тшиш
3 HDfl
О
ЗММ
3 3 2 41052404
Задача 1.9
2 тшшш
:ИН
0
1 5 41410505
Задача 1.10
11


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 1.11
3
О
6
32411333
Задача 1.12
тшшш
ЗММ
з
2
3
3
2
3
4 1
12


МОРСКОЙ БОЙ
0 шиит
3
4 SSSS
1 1
о
2
1 тииш
::::
0 4 1 3 130334033
Задача 1.13
312141125
Задача 1.14
13


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ Задача 1.15
ZZZZZZZZZ1тишш
О
ZZZZZZZZZо2222  1
4
2  2 510232430
Задача 1.16
МММ “HHS тииш
2  2
6 2 0 7 2


МОРСКОЙ БОЙ
з шиит
1 ШИ
о
7ФМФ
0
1
2 2
3 1311070115
Задача 1.18
0 тииш
2
!••••
4
1 3 2 2
1331121413
15
Задача 1.17


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 1.19
2 5
Задача 1.20
0 4 5
1
1
• •••
3 4 3 2 4
16


«ОБЛАКА»
Головоломка «Облака» (иногда ее называют «Радары») тоже относится к классу задач на размещение. Но в ней надо разместить не фиксированный набор фигур, а произвольное количество прямоугольников. Несмотря на свою похожесть с головоломкой «Морской бой», она имеет несколько другие подходы к решению.
Условие таково:
Разместите в сетке несколько «облаков» - прямоугольников, каждая сторона которых имеет длину не менее двух клеток. Облака не могут касаться друг друга даже углом. Числа по сторонам клетки показывают количество клеток, занятых облаками в соответствующей строке или столбце.
5742773374
Начинать решение надо с попытки разбить имеющиеся задающие числа на слагаемые. Понятно, что все три клетки нижней строки принадлежат одному облаку (ведь облаков шириной 1 не бывает) и это облако продолжается вверх (ведь облаков высоты 1 тоже не бывает). А значит, пятерка во второй строке - это сумма двух облаков: ширины 3 (пришедшего из нижней строки) и ширины 2. Точно так же облако ширины 2 должно переходить в третью строку и т.д.
17


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Особое внимание стоит обратить на числа, которые равны сумме двух своих соседей. Например, 8 в четвертой сверху строке равна сумме 5 и 3. Значит, одно облако ширины три должно продолжаться вниз из строки с восьмеркой, а остальные - вверх. Заодно отметим, что в этой строке - «тесно»: три облака и два промежутка между ними как раз и составляют 10 клеток - полную ширину сетки.
Рассуждая дальше, мы сможем разбить на суммы большинство задающих чисел: 4 из верхней строки должно продолжаться вниз, семерка во втором справа столбце - сумма соседей и т.п. А для некоторых рядов становится понятным и объединение слагаемых в облака, что показано на рисунке овалами.
Кое-где разбиение на слагаемые осталось неясным - это не страшно, продолжать можно.
7 4 2 7 7 3
5
2 2 2 3
7 4
4 4
3 3
2 2
3 3
4
3
Мы обнаружили, что во
второй-четвертой сверху
строках должно быть облако размером 3x3. Где оно может находиться? В левой части сетки его быть не может. В крайнем правом столбце оно тоже находиться не может. Учтем также, что в четвертой строке должно быть занято 8 клеток - и получим, что положение для этого облака одно.
18


«ОБЛАКА»
В четвертой сверху строке есть еще два облака - одно ширины 3 продолжается вниз (и имеет высоту 2), облако ширины 2 - продолжается
вверх (его высота пока неизвестна). Также учтем, что в четвертом справа столбце требуемые три клетки найдены.
5
2 2 2
3 3
4
3
В верхней строке должно быть занято четыре клетки, но в левой части осталось три пустых клетки - значит, две клетки заняты слева и две справа. Продлим облако в первых двух справа столбцах вверх и вычеркнем остальные клетки в первом справа столбце.
2 2
3 3
4
3
В пятой снизу строке остались незачеркнуты четыре клетки - ровно столько нам и нужно. Отметим два облака. Высота левого пока неизвестна, а высота правого - 3, так как в этих столбцах нужно занять по три клетки.
19


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Теперь взглянем на четвертую снизу строку. 4 клетки уже найдены, еще две будут в левой части сетки и продолжатся вниз - следовательно, четверка в третьей строке будет
заполнена. А значит, облако в середине сетки вниз не продолжается. Тогда, чтобы обеспечить семь клеток в пятом- шестом столбцах, потребуется облако высоты 2 в нижних рядах. Его ширина - 3, так как в нижнем ряду только три занятых клетки.
4 В третьей снизу строке слева
7 нарисуем облако ширины 2. Высота
5 его - 3, чтобы во втором слева столбце
8 оказалось 7 клеток. Остается только
3 продлить верхнее облако второго
4 столбца вправо, и задача решена.
6
4
5 3
20


«ОБЛАКА»
Задача 2.1
4 4 0 4 4 2
Задача 2.2
5 5 0 5 5 5
Задача 2.3
55222553 Задача 2.4
3
6
3
2
6
6
Задача 2.5
35522464
Задача 2.6
57724444
Задача 2.7
6
8
5
5
2
3
8
8
44224253
4662647352
21


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 2.8
1 I I 1 I I I I 1 15
7
5
5
3
4
~ 7
7
4642363663 Задача 2.9
I I I I I I I I I |4
4
3
8
5
4
8
| ! | ' | |8 5724662255 Задача 2.10
1 I I I 1 I 1 I I |б
8
2
5
8
5
8
| 1 | 1 | 15
7726462355
22


«ОБЛАКА»
Задача 2.11
7708880594
Задача 2.12
8806883544
4
7
7
5
5
5
4
5
7
7
2
7
5
5
7
7
2
5
7
7
23


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 2.13
7708826642
Задача 2.14
2
4
8
6
4
5
5
2
7
7
2
4
6
6
2
4
8
4
7
7
24


«ОБЛАКА»
Задача 2.15
I I I I 1 I 1 1 I I 1 18
8
4
7
3
10
10
о
10
10
882866288464 Задача 2.16
I I I I I I I I I 1 1 18
8
2
8
8
3
6
3
8
8
486840594842
25


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 2.17
486299088855
Задача 2.18
6 10 4 10 65838522
2
2
9
7
9
4
3
9
9
О
9
9
4
4
9
9
5
4
4
4
7
5
7
7
26


«ОБЛАКА»
Задача 2.19
796495682 10 84
Задача 2.20
479288827722
27
6
8
8
8
2
7
5
5
8
5
8
8
2
8
8
5
8
3
4
7
5
2
8
6


ПЕНТАМИНО
Пентамино - это фигурки из пяти касающихся друг друга клеточек. Всего существует 12 различных элементов пентамино, и этот полный набор является одним из любимейших объектов для головоломщиков, - он достаточно велик и разнообразен, чтобы задачи были сложными. В этой главе в части заданий в целях упрощения будем оперировать неполным комплектом пентамино или фигурками из трёх (тримино) или четырёх (тетрамино) клеточек.
Естественно, наиболее стандартным вариантом задачи на размещение пентамино является вариант, аналогичный морскому бою, - цифры по сторонам сетки задают число занятых клеток. Сейчас же вашему вниманию предлагается несколько иной вариант, называемый «саперным», по аналогии с компьютерной игрой «Сапер».
Разместите приведенный комплект элементов в сетке так, чтобы они не касались друг друга даже углом. Числа в сетке показывают количество соседних (стороной или углом) клеток, занятых элементами. В клетках с числами элементы находиться не могут.
Фигурки можно поворачивать и отражать.
1
3
5
5
1
4
4
2
6
2
4
6
5
3
2
Обратите внимание, что все элементы пентамино имеют обозначение - латинскую букву, похожую по написанию на элемент. Мы будем активно использовать эти обозначения.


ПЕНТАМИНО
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
abcdefghijkl
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
abcdefghijkl
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
abcdefghi j kl
В первую очередь стоит обратить внимание на «большие числа». В нашем случае одним из больших чисел является четверка в клетке а2, - у нее только 4 соседних клетки, закрасим их. Чтобы обеспечить шестерку в Ь2, оба фрагмента потребуется продолжить горизонтально. Нижний ряд продлеваем еще дальше так, чтобы получилось пять клеток (и не допускаем касания с верхним рядом) - образовался элемент I. Соседние клетки можно вычеркнуть.
Для цифры 2 в ячейке а4 уже нашлось две занятых клетки. Остальных соседей вычеркнем. Блок из трех клеток в аЗ-сЗ может быть частью либо элемента Y, либо V (элемент I уже использован, а остальные попадают на вычеркнутые клетки или цифры). Но если разместить элемент Y, то вокруг шестерки на d4 вычеркнется 4 клетки, и шесть соседей не наберется. Значит, это - элемент V.
У тройки на gl два соседа уже вычеркнуты, - значит, остальные (hi, h2, g2) заняты. Теперь
у двойки на дЗ уже есть два соседа - остальные вычеркиваем. У шестерки на d4 тоже вычеркнуты два соседа, - отметим клетки еЗ, е4, е5. Получившийся блок из трех клеток может образовывать либо элемент Y, либо N (остальные разместить не удается), то есть клетка f5 будет занята, а д5, дб можно вычеркнуть.
29


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
abcdefghijkl
abcdefghi j kl
abcdefghi j kl
Теперь четыре вычеркнутых клетки оказалось у четверки на h5 - отметим остальные. Элементы, которым принадлежат клетки h2 и \4, касаться не должны - вычеркнем \Ъ. Три клетки (д2- hl) могут образовать только элементы Р и N, но размещение N не позволит набрать пятерку на j2. Нарисуем элемент Р.
Для пятерки на \2 надо отметить три недостающих клетки. Эти клетки образуют один из элементов L, N, Y, и в любом случае клетки k5, 15 будут свободны. Из клеток j5, j6, j7 занята только одна (так как фигура уже содержит 4 клетки), а значит, чтобы набрать четверку на кб, отметим клетки 16, 17, к7.
Теперь можно вычеркнуть клетки j6, j7 (фигуры касаться не должны), отметить j5 (образовав элемент F), вычеркнуть к4 и отметить 13, 14, образуя
элемент N. Тогда для элемента на еЗ-е5 остается только одна возможность - элемент Y. Не забываем вычеркивать соседние с элементами клетки, а также клетки вокруг единицы на е7 - для нее нужная уже найдена.
30


ПЕНТАМИНО
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
abcdefghi j kl
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
abcdefghijkl
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
abcdefghijkl
Из оставшихся шести фигур только элемент W можно поместить в клетки 16-17-к7. У клетки 112 нужно отметить все три соседа, и из оставшихся элементов на это годится только X. Теперь рядом с пятеркой на hll вычеркнуты три клетки, остальные заняты - получили элемент U.
В оставшемся свободном пространстве надо разместить три элемента L, Т, Z. Положений для L не так много, и можно легко рассмотреть их все и увидеть, что только в одном случае есть место для других элементов. Например, в случае, изображенном на рисунке, оставшиеся клетки распадаются на три группы, содержащие 3, 3 и 4 клетки. Вообще, размещение всех элементов в сетке довольно плотное, и надо всегда стараться размещать их, «экономя» пространство.
Единственное приемлемое расположение элемента L - в углу. Вычеркнув соседние клетки, мы легко обнаруживаем место для элемента Z рядом с пятеркой. Ну и рядом с единицей единственным образом втискивается элемент Т.
Задача решена.
31


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 3.1 (тримино)
3
1
2
Задача 3.2 (тримино)
Задача 3.3 (тетрамино)
1
2
3
4
3
0
5
5
Задача 3.4 (тетрамино)
1
6
2
5
2
32


ПЕНТАМИНО
Задача 3.5 (тетрамино)
1
4
2
1
6
3
Задача 3.6 (тетрамино)
3
0
1
0
5
Задача 3.7 (тетрамино)
2
1
3
3
1
4
3
33


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 3.8 (тетрамино)
4
6
6
4
1
3
Задача 3.9
2
3
5
1
4
5
3
3
1
3
6
1
Задача 3.10
1
3
2
3
1
0
2
5
3
4
34


ПЕНТАМИНО
Задача 3.11
1
6
6
4
2
6
0
5
3
Задача 3.12
3
5
1
1
6
3
2
2
4
Задача 3.13
2
4
5
2
4
5
2
5
5
5
5
0
35


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 3.14
4
2
4
4
5
2
5
0
5
5
0
Задача 3.15
6
5
3
4
4
4
4
3
4
3
4
1
5
1
5
6
0
3
36


ПЕНТАМИНО
Задача 3.16
3
1
5
5
5
3
4
2
3
5
1
3
6
1
5
6
3
4
Задача 3.17
3
2
4
4
3
5
3
3
4
1
3
2
3
6
2
3
5
3
3
3
37


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 3.18
3
3
6
3
2
1
5
4
6
6
5
6
2
5
5
3
5
0
4
Задача 3.19
3
5
4
1
4
3
2
4
6
6
5
4
5
3
6
5
3
3
38


ПЕНТАМИНО
Задача 3.20
3
6
6
4
5
4
2
0
3
3
0
3
2
4
6
3
3
1
39


«ЗМЕЯ»
В этой головоломке необходимо разместить в сетке не несколько объектов, а один - полоску из клеток определенной длины. Но эта полоска может довольно хитроумно извиваться.
Условие таково:
Отметьте некоторые клетки так, чтобы они образовывали «змею» - полоску шириной в одну клетку без пересечений. Полоска не может касаться себя даже углом. Числа по сторонам сетки показывают количество клеток, занятых змеей в соответствующих строке или столбце. Начало, конец и середина змеи уже отмечены.
Как обычно, в таких задачах особое внимание необходимо уделить рядам, в которых стоят большие и маленькие числа. Например, единица в третьей строке означает, что змея один раз проходит из верхней части рисунка в нижнюю и больше наверх не возвращается.
462663433
В верхней части заняты восемь клеток. Посмотрим как они могут быть расположены. Понятно, что справа от числа 37 они не поместятся, но если змея уйдет вправо, то налево она уже не вернется, так как не должна себя касаться. Значит, вся область справа от 37 - свободна. Отметим это, поставив прочерки.
462663433
40


«ЗМЕЯ»
В крайнем верхнем ряду стоит тройка. Это значит, что змея доходит до верхнего края, поворачивает направо и, пропустив одну клетку, выходит во второй ряд. Таким образом, проходя по краю, змея пропускает во втором ряду одну клетку. Всего во втором ряду занято 5 клеток, значит, последняя занятая клетка (ее номер 30, так как вверху занято всего восемь клеток) находится во втором слева столбце, после чего змея поворачивает вниз. Теперь в третьем ряду нашлась единственная занятая клетка - остальные свободны.
Теперь посмотрим на самую нижнюю строку. В ней занято 4 клетки. Но змея, дойдя до края, занимает на нем не менее трех клеток. Если же она подходит к краю два раза, то всего должно быть занято не менее шести. Значит, все четыре клетки в нижнем ряду идут подряд. Одна из них - 19, а следовательно, все клетки нижнего ряда - около середины змеи и касаться начала (клетки 1) не могут.
I з В третьем слева столбце всего две с занятых клетки. Одна из них - 20, вторая будет между 30 и 37. В остальных 1 можно поставить прочерк.
6 Во втором снизу ряду занято три
5 клетки. Одна из них - 1, еще одна бу-
3 дет между числами 1 и 19 и еще одна
7 между 21 и 28. Остальные - свободны. Значит, из единицы змея идет вверх.
И
462663433
41


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
3 В двух правых столбцах есть заня-
5 тые клетки. Значит, после двойки змея
^ не может повернуть налево, так как
тогда вправо она уже не сможет «протиснуться», не коснувшись себя. Поста- 5 вим слева от двойки прочерк. Теперь
3 в третьей снизу строке уже есть два
7 прочерка, значит, все остальные семь
3 клеток заняты.
4
462663433
- Теперь становится ясно, что после ячейки 4 змея поворачивает вверх 1 (в первом справа столбце располо-
6 жены ячейки 5 и 6), затем еще две
5 ячейки (7 и 8) расположены во вто-
3 ром столбце. 9-я находится в треть-
7 ем столбце. Теперь в этом столбце отмечено необходимое число ячеек.
3 Остальные вычеркиваем. А слева от
| 4 9 и 37 рисуем ячейки 10 и 36.
462663433
_ Дальнейшее уже просто. Для того чтобы в левом столбце набралось 1 4 ячейки, змея должна повернуть вле-
6 во после ячейки 28. Тогда во втором
5 слева столбце 6 ячеек уже занято, зна-
3 чит, 31-я находится справа от 30-й. Но
7 ив третьем столбце набралось нужное число ячеек - продолжаем змею еще
3 правее.
4
462663433
42


«ЗМЕЯ»
3 Осталось сделать очевидные шаги -
5 соединяем участки вверху, дорисовы- ^ ваем последнюю клетку (номер 11) в четвертой сверху строке и замыкаем участок между 10 и 19.
5 Надо еще проверить, во всех ли ря-
3 дах набралось нужное число клеток, и 7 задача решена.
3
] 4
462663433
43


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 4.1
I 3
3
1
3
3
1 3 3 3 3
Задача 4.2
1 1
4
2
3
4
3
3 3 1 4 2 4
Задача 4.3
I 3
5 1
4 3
5
Задача 4.4
_ . . . . ,
5
1
5
j 3
3
4 2 5 2 5 3
Задача 4.5
I4
3
5
2
3
3
5
6 5 1 3 3 3 4
Задача 4.6
4
3
4
3
4 2
5
4 5 3 2 5 3 3
44


«ЗМЕЯ»
Задача 4.7
3 5 3 5 Задача 4.8
4 2 4 5 Задача 4.9
45


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 4.10
335526546 Задача 4.11
273737411
46
8
2
6
4
5
3
4
3
4
7
4
1
4
3
5
1
6
4


«ЗМЕЯ»
Задача 4.12
5 3 5 5 2 7 5 2 3
Задача 4.13
3
4
3
4
4 2
5 3 7
663436232
I т I 1 I I | | I
"I I I
725324626
47


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 4.14
5246534529 Задача 4.15
4446354825
48
2
4
2
3
4
6
4
8
2
10
6
5
3
5
6
4
5
2
2
7


«ЗМЕЯ»
Задача 4.16
7435342728 Задача 4.17
4537354653
49
1
4
4
6
4
5
5
2
6
8
6
4
5
6
3
б
4
4
2
5


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 4.18
1 5
5 8 2
6 5 2 5 4
3
3562836363
Задача 4.19
7
5
4
5
3
3
5
4
5
4
50


«ЗМЕЯ»
6
2
3
2
5
2
8
5
7
3
8 2 7 2
7 2
4 2
8
5
6
46373735258
Задача 4.20
— 1 1 I I I I I I |
4
94664652425 Задача 4.21
51


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 4.22
' I I I I 1 I"" 1
34543548296 10
3
4
2
4
7
7
6
5
5
7
3
10
52


КАЖДОМУ ПО ЗВЕЗДОЧКЕ
Большая группа геометрических задач - задачи на разрезание. В них требуется разрезать данную фигуру на части, удовлетворяющие тем или иным условиям. В предлагаемой задаче разрезание ведется на части равной площади.
Итак, условие задачи:
Разделите приведенную фигуру по линиям сетки на части равной площади, но различной формы так, чтобы каждая часть содержала ровно одну звездочку. Части не должны совпадать друг с другом при любых поворотах и отражениях.
*
*
*
1
*
*
*
*
*
*
*
*
*
Легко посчитать, что общая площадь фигуры - 60 клеточек, а звездочек - 12 штук. Значит, каждая часть должна содержать ровно 5 клеточек. Таким образом, получается знакомый нам по третьей задаче комплект элементов пентамино.
Полезно иметь его перед глазами, чтобы вычеркивать уже найденные элементы:
53


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
*
* *
*
*
б
*
*
*
©
Посмотрим на клеточку, отмеченную буквой «а» на рисунке. До него может дотянуться только одна звездочка (она обведена в кружок). До клетки «б» могут дотянуться две звездочки, но если это будет звездочка, обведенная в треугольник (то есть элемент I), то до клетки «в» дотянуться будет некому. Значит, до клетки «б» дотягивается звездочка, обведенная в квадратик. Между элементами, покрывающими клетки «а» и «б», не должно быть пустого места - то есть это элементы L и V, нарисуем их. Теперь понятно, что рядом с элементом V находится элемент Z.
14
©
*
1
*
*
*
*
*
*
*
*
*
Посмотрим теперь на звездочку, обведенную в кружок, - она окружена другими звездочками, значит, часть, содержащая эту звездочку, продолжается вверх, потом влево и, обходя звездочку, обведенную в квадрат, образует элемент U. Точно так же часть, покрывающая звездочку, обведенную в квадрат, является элементом Т.
54


КАЖДОМУ ПО ЗВЕЗДОЧКЕ
*
*
*
6
*
*
*
*
*
Вернемся в нижнюю часть сетки. До клетки «а» может дотянуться только одна звездочка - это могут быть только элементы L, I, Y. Но часть в форме элемента L уже есть (а все части должны быть разными), если мы разместим элемент I, то до клетки «б» дотянуться будет некому. Значит, это элемент Y. Ну а слева от него располагается элемент Ы,так как звездочке, обведенной в кружок, деваться больше некуда.
Так как используются все элементы пентамино, то одна из частей должна иметь форму элемента I. Горизонтально в оставшемся фрагменте сетке этот элемент не поместится. Для вертикального положения есть несколько вариантов, но допустима только крайняя правая позиция, так как иначе элемент отсечет еще один длинный узкий коридор, который мы не сможем заполнить.
*
*
*
1
*
*
*
*
*
*
*
*
*
Элемент I может располагаться либо вплотную к верхней границе сетки, либо вплотную к элементу Z. Если он располагается вверху, то клетку под ним не удается корректно и без повторений уже использованных фигур привязать ни к одной из звездочек (на допустимом расстоянии находится только одна звездочка, а единственный из неиспользованных элементов, способный до нее дотянуться, F, отрежет от сетки одну клеточку, не входящую ни в одну из фигур. Значит, нарисуем элемент I ниже.
55


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
*
*
*
Клеточку над элементом I свяжем с ближайшей звездочкой, образовав единственный подходящий из
неиспользованных элементов - F.
Осталось три неиспользованных элемента - W, Р и X. Очевидно, что элемент X накрывает звездочку, обведенную в кружок, так как накрыть верхнюю звездочку он не может, а если его расположить правее, то останутся несвязанные со звездочками куски. Теперь оставшаяся часть сетки распадается на элементы W и Р.
Задача решена. Можно еще раз аккуратно проверить, что все элементы пентамино присутствуют в сетке.
56


КАЖДОМУ ПО ЗВЕЗДОЧКЕ
Задача 5.1
Задача 5.4
Задача 5.2
Задача 5.3
Задача 5.5
Задача 5.6
57


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 5.7
Задача 5.8
Задача 5.9
58


КАЖДОМУ ПО ЗВЕЗДОЧКЕ
Задача 5.10
Задача 5.11
59


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 5.12
Задача 5.13
60


КАЖДОМУ ПО ЗВЕЗДОЧКЕ
Задача 5.14
* *
Задача 5.15
61


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 5.16
Задача 5.17
62


КАЖДОМУ ПО ЗВЕЗДОЧКЕ
Задача 5.18
Задача 5.19
63


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 5.20
64


ПРЯМОУГОЛЬНИКИ
Фигурки пентамино достаточно разнообразны, и с непривычки оперировать ими довольно трудно. В следующей головоломке предлагается более простой объект - прямоугольники.
Разделите приведенную фигуру по линиям сетки на
прямоугольники так, чтобы каждый прямоугольник содержал ровно одно число и это число равнялось площади прямоугольника.
6
6
4
6
4
4
3
4
8
6
8
4
9
10
12
6
Приемы решения похожи на применявшиеся в предыдущей задаче. Один из них - найти клетки, до которых может «дотянуться» только один прямоугольник. Обычно сначала стоит рассматривать угловые клетки. В нашем случае для всех четырех углов существует по меньшей мере два варианта - придется искать другие пути.
10
6
9
6
4
6
8
4
7
4
3
6
4
8
6
5
4
8
4
9
3
10
2
12
6
1
а
b
с
d
е
f
g
h i j
Обратим внимание на девятку в клетке j4 - это может быть либо прямоугольник 3x3, либо 1x9, но четверка в h4 не позволит разместить прямоугольник 3x3. Прямоугольник 1x9 захватит как минимум и клетку j2, и тогда до клетки jl никакой другой прямоугольник не достанет, значит, jl также принадлежит этому прямоугольнику.
65


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
10
6
9
6
4
6
8
4
7
4
3
6
4
8
6
5
4
8
4
9
3
10
2
12
6
1
а
b
с
d
е
f
g
h i
j
Теперь и клетку jlO может накрыть только один прямоугольник - 6x1 с шестеркой на flO. После этого становится понятно, что клетку dlO накрывает прямоугольник 1x4 с четверкой на d9.
Клетка е9 не может принадлежать прямоугольнику с шестеркой на h9, значит, это квадрат 2x2 с четверкой на е8.
10
6
9
6
4
6
8
4
7
4
3
6
4
8
6
5
4
8
4
9
3
10
2
12
6
1
a
b
с
d
e
f
g
h i
j
Посмотрим теперь на десятку в клетке сЗ. Это может быть прямоугольник 2x5, расположенный вертикально или горизонтально. Попробуем разместить его вертикально в клетках cl-d5. В левой части (вертикали а, Ь, с) сетки осталось 4 числа, сумма которых 22, а накрыть эти прямоугольники должны 25.
Ясно, что разделить этот фрагмент на прямоугольники не удастся.
10
6
9
6
4
6
8
4
7
4
3
6
4
8
6
5
4
8
4
9
3
10
2
12
6
1
a
b
с
d
e
f
g
h i j
Попробуем поместить
прямоугольник 2x5 левее (с Ь1 до с5). Теперь слева от него узкую полосу занимает восьмерка 1x8, левый верхний угол - шестерка 3x2. Чуть ниже нее четверка 2x2, и еще ниже - четверка 4x1.
Но теперь и до клетки dl, и до клетки d5 может дотянуться лишь число 12, но тогда образуется прямоугольник со стороной 5, а 12 на 5 не делится.
66


ПРЯМОУГОЛЬНИКИ
10
6
9
6
4
6
8
4
7
4
3
6
4
8
6
5
4
8
4
9
3
10
2
12
6
1
а
b
с
d
е
f
9
h i
j
Значит, прямоугольник 5x2 расположен горизонтально. Он тянется по меньшей мере до вертикали f, ограничивая сверху число 12. Следовательно, 12 - это прямоугольник 6x2, расположенный горизонтально.
10
6
9
6
4
6
8
4
7
4
3
6
4
8
6
5
4
8
4
9
3
10
2
12
6
1
a
b
с
d
e
f
g
h i j
10
6
9
6
4
6
8
4
7
4
3
6
4
8
6
5
4
8
4
9
3
10
2
12
6
1
a
b
с
d
e
f
g
h i
j
Становится понятно, что восьмерка на f6 - это прямоугольник 4x2, расположенный горизонтально, так как вертикально он уже не помещается. Теперь тройка на е7 образует горизонтальный прямоугольник, он ограничивает снизу шестерку на h9 - образуется горизонтальный прямоугольник 3x2.
Дальнейшее уже просто - \1
принадлежит прямоугольнику 2x3, а ниже квадрат 2x2 и прямоугольник 3x2. Они ограничивают справа прямоугольники площадью 10 и 12 клеток - можно нарисовать и левые их границы.
67


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
10
6
9
6
4
6
8
4
7
4
3
6
4
8
6
5
4
8
4
9
3
10
2
12
6
1
а
b
с
d
е
f
g
h i
j
Клетка ЬЗ принадлежит
прямоугольнику 2x4, а клетка с5 - 1x4 с четверкой на сб. Ну а оставшаяся часть делится между квадратом 2x2 и прямоугольником 3x2. Решение завершено.
68


ПРЯМОУГОЛЬНИКИ
Задача 6.1
12
8
2
6
8
Задача 6.2
6
6
4
4
4
6
6
Задача 6.3
69


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 6.4
8
6
6
2
6
6
8
3
4
Задача 6.5
3
9
2
10
4
4
8
3
6
6
4
5
70


ПРЯМОУГОЛЬНИКИ
Задача 6.6
4
6
6
4
8
3
8
8
2
9
6
Задача 6.7
6
6
9
9
6
10
4
6
8
71


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 6.8
4
8
4
4
8
6
6
6
6
12
Задача 6.9
6
6
3
6
6
6
6
9
10
6
72


ПРЯМОУГОЛЬНИКИ
Задача 6.10
4
6
6
4
6
6
2
4
6
8
12
Задача 6.11
9
8
6
8
4
6
6
6
6
12
10
73


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 6.12
6
8
8
3
6
4
4
6
9
9
6
6
6
Задача 6.13
6
8
4
12
4
10
4
6
9
12
6
74


ПРЯМОУГОЛЬНИКИ
Задача 6.14
6
8
6
6
6
8
6
4
8
6
9
8
Задача 6.15
6
12
6
8
6
8
6
4
9
8
12
6
9
75


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 6.16
6
6
6
3
8
6
5
6
6
6
6
4
6
8
6
12
Задача 6.17
4
6
12
6
12
3
4
6
6
6
4
8
9
6
8
76


ПРЯМОУГОЛЬНИКИ
Задача 6.18
Задача 6.19
77


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 6.20
6
6
6
5
8
4
4
2
6
4
8
6
9
6
12
8
78


БУКВА «Г»
В этой задаче требуется разрезать приведенную сетку на совершенно одинаковые фигурки, напоминающие русскую букву «Г» (или английскую «L»). Эта задача довольно проста и решается с использованием одного основного правила. Вот условие задачи:
Разделите приведенную фигуру по линиям сетки на Г-образные области, состоящие из четырех клеток, так, чтобы каждая фигура содержала ровно два кружка. Части могут быть повернуты и отражены.
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
Для начала изобразим все возможные положения буквы «Г»:
79


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
8
о
о
о
7
О
о
о
о
о
6
о
о
о
5
О
о
о
О
4
О
о
о
О
3
о
о
о
о
2
О
о
о
о
о
О
1
О
о
о
а
ь
с
d
е
f
g
h
8
о
о
О
7
о
о
о
о
О
6
о
о
о
5
О
о
о
О
4
о
о
О
О
3
о
о
о
О
2
о
о
о
о
О
о
1
о
о
О
а
ь
с
d
е
f
g
h
Посмотрим, какое из положений позволяет накрыть клетку al. Если мы используем положение А, то внутри буквы окажутся три кружка. Попробовав все положения, обнаружим, что только F позволяет накрыть клетку с соблюдением правил. Отметим, что мы выбрали клетку al потому, что это, во-первых, угловая клетка, а во-вторых, в этом углу кружки расположены довольно тесно. Точно так же можно было бы использовать и угол, где кружков слишком мало.
Теперь можно посмотреть на клетку а2 и обнаружить, что ее можно накрыть двумя способами - выбрав положение А или Н. Но использование элемента Н приведет к тому, что клетка Ь2 окажется изолированной, значит, используем положение А. Ну а для клетки Ь2 теперь можно использовать только одно положение - Н.
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
abcdefgh
Далее действуем аналогично. Для клетки dl подходит только элемент Н. После чего клетку el можно накрыть, используя только F, а клетку hi - используя элемент Е.
80


БУКВА «Г»
8 7 6 5 4 3 2 1
abcdefgh
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
Для клетки f3 можно использовать два элемента - А и Е, но если мы используем А, то в клетках д4- h4-h5 образуется три соседних кружочка, которые можно накрыть только одной фигурой. Такого быть не должно, поэтому используем Е, а образовавшееся в клетках еЗ-е4 пространство закрываем элементом В.
8 7 6 5 4 3 2 1
abcdefgh
8 7 6 5 4 3 2 1
abcdefgh
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
Следующая клетка - д4 - может быть накрыта только элементом G, рядом с ним придется расположить Е, а еще выше - Н.
Остается финишный рывок. Для клетки f6 подойдет только элемент D, а над ним придется разместить В.
81


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
8
о
О!
о
7
О
о
о
о
о
6
о
о
о
5
О
о
у—
!
о
О
4
О
о
о
О
3
о
о
о
о
2
О
о
о
о
о
О
1
О
о
о
а
ь
с
d
е
f
g
h
Для клетки а8 теперь подойдет только Е, и остается место еще для двух элементов G. Задача решена.
82


БУКВА «Г»
Задача 7.1
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
Задача 7.2
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
Задача 7.3
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
83


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 7.4
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
Задача 7.5
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
Задача 7.6
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
84


БУКВА «Г»
Задача 7.7
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
Задача 7.8
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
Задача 7.9
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
85


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 7.10
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
Задача 7.11
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
86


БУКВА «Г»
Задача 7.12
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
Задача 7.13
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
О
о
о
87


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 7.14
о
о
о
о
о
о
о
о
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
Задача 7.15
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
88


БУКВА «Г»
Задача 7.16
о
о
о
о
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
Задача 7.17
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
89


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 7.18
о
о
о
о
о
о
о
о
о
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
Задача 7.19
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
90


БУКВА «Г»
Задача 7.20
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
91


КАЖДЫЙ ВТОРОЙ ПОВОРОТ
В задачах на соединение требуется провести одну или несколько ломаных, соединяя центры квадратиков сетки. В предложенной задаче ломаная должна образовывать замкнутый маршрут.
Нарисуйте замкнутую ломаную, проходящую через все клетки и состоящую из вертикальных и горизонтальных отрезков, соединяющих центры клеток. Ломаная не должна касаться и пересекать себя и должна проходить через каждую клетку ровно один раз. Каждый второй поворот ломаной отмечен кружком.
Самое очевидное наблюдение в этой задаче - ломаная должна пройти через все клетки, а значит, заглянуть и в углы. Но в углу ломаной придется сделать поворот. И если в углу нет кружка, то это означает, что следующий поворот ломаная должна сделать уже в кружке (ведь кружки отмечают повороты через один).
Итак, посмотрим на левый нижний угол (al) - ломаная делает в нем поворот и продолжается в стороны до ближайших кружков, то есть до клеток dl и аб, где опять делает повороты, поворачивая внутрь сетки.
abcdefgh
С
1
о
о
о
о
(В
►-
о
о
о
о
о
о
о
о
о
1
о
4>
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
92


КАЖДЫЙ ВТОРОЙ ПОВОРОТ
То же самое можно сказать и про противоположный угол, но не только. Отметим, что в клетке el теперь образовался «угол» - ломаная обязана повернуть в этой клетке, а так как кружка в ней нет, то после поворота она продолжается в обе стороны до кружков. Аналогичная ситуация и с клеткой а7.
abcdefgh
Продолжим разбираться с углами. Теперь углы образовались в клетках е8 и h6, а после соединения h6 с клеткой h5 (и поворота в h5) - еще и в клетке h4. Итак, весь периметр «обработан».
В клетке Ь7 нужно сделать поворот, но вверх повернуть нельзя, так как там уже проходит линия, значит, соединяем клетки Ь7 и Ь6. Линию в клетке д7 надо продолжить, но продолжить влево ее нельзя, так как тогда образуется замкнутый фрагмент, а должна быть одна замкнутая ломаная. Продолжаем линию вниз.
abcdefgh
abcdefgh
93


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
У нас образовалось еще несколько углов (клеток, где ломаная обязана повернуть) без кружков. Это клетки Ь5, с7, д2. Продолжаем ломаную из всех этих клеток до ближайших кружков, не забывая делать поворот в кружках.
Отрезок ломаной из клетки d2 не может продолжаться вверх, так как тогда два кружка окажутся соединены прямой линией, а между ними должен быть поворот. Значит, из d2 ломаная поворачивает влево. А в клетке сЗ образуется еще один угол.
Очередной угол образовался в клетке еЗ - соединяем ее с кружками в дЗ и е5. Ну а в кружке f4 придется сделать поворот вверх. Из клетки д5 ломаная должна продолжиться - соединяем д5 и f5.
abcdefgh
abcdefgh
abcdefgh
94


КАЖДЫЙ ВТОРОЙ ПОВОРОТ
abcdefgh
И опять появился угол - в клетке f6. Соединяем ее с f8 и сб. Ну и очевидный последний фрагмент - соединение d3 - d5 - е5.
Остается убедиться, что
образовалась действительно одна
замкнутая ломаная, и задача решена.
95


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 8.1 Задача 8.4
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
Задача 8.2 Задача 8.5
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
Задача 8.3
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
96


КАЖДЫЙ ВТОРОЙ ПОВОРОТ
Задача 8.6
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
Задача 8.7
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
97


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 8.8
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
Задача 8.9
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
98


КАЖДЫЙ ВТОРОЙ ПОВОРОТ
Задача 8.10
о
о
о
о
о
о
о
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
Задача 8.11
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
99


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 8.12
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
Задача 8.13
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
100


КАЖДЫЙ ВТОРОЙ ПОВОРОТ
Задача 8.14
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
Задача 8.15
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
101


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 8.16
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
Задача 8.17
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
102


КАЖДЫЙ ВТОРОЙ ПОВОРОТ
Задача 8.18
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
Задача 8.19
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
103


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 8.20
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
104


РЫБАЛКА
Часто в детских журналах для самых маленьких публикуется картинка, на которой изображено несколько рыбаков, лески удочек у которых перепутались. Необходимо понять, какую из рыб поймал каждый рыбак. Предлагаемая задача рассчитана на детей постарше, поэтому лески тут не изображены (их надо нарисовать), а известна только их длина.
Каждое из чисел соедините со своей рыбкой-звездочкой с помощью ломаной, состоящей из вертикальных и горизонтальных отрезков, соединяющих центры клеток. Ломаные не должны касаться и пересекаться и должны проходить через каждую клетку ровно один раз. Число указывает количество клеток, через которые проходит
Для начала отметим, что сумма всех чисел, обозначающих длины лесок, равна 64 - а это в точности количество клеток нашей сетки. Значит, через каждую клетку сетки проходит какая- нибудь из ломаных.
соответствующая ломаная.
11 7
☆
☆
☆
☆
☆
☆
18
Теперь раскрасим сетку в шахматном порядке. Заметим, что если ломаная имеет нечетную длину, то она соединяет клетки одного цвета, а если четную - то разных. Ломаная длины 13 начинается на темной клетке, значит, закончиться должна на темной. У нас три рыбки на темных клетках - обведем их в кружок, как и число 13. Точно так же на темных клетках заканчиваются ломаные длины 6 и 7 - обведем их в кружок. Теперь числа в кружках должны соединяться с рыбками в кружках.
105


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
abcdefgh
И©
abcdefgh
Если ломаная длины 6 соединяется с рыбкой на дб, то нам не удастся провести ломаную длины 13. Значит, ломаная длины 6 соединяется с рыбкой на f3, а ломаная длины 7 - с рыбкой на дб. Для ломаной длины 13 остается рыбка на Ь5.
Вспомним о том, что через все клетки должны проходить ломаные. Через клетку h8 ломаная может пройти только путем g8-h8-h7 - это ломаная длины 7, а так как в клетке h6 начинается другая ломаная (длины 9), то из клетки h7 ломаная длины 7 поворачивает влево и, проходя через g7-f7-f6, заканчивается у своей рыбки.
11(7)
Аналогичная ситуация и с клеткой hi. Ломаная длины 6 идет по маршруту h2-hl-gl-g2. Заметим, что и ломаная длины 9, и ломаная длины 13 должны «протиснуться» между рыбками на f3 и д5. Значит, ломаная длины 9 идет через клетки h6-h5-g5-f5-e5, ломаная длины 13 - h3-h4-g4-f4-e4. (Заметим, что клетку h4 может посетить только эта ломаная).
f g h
106


РЫБАЛКА
11©
Теперь понятно, что ломаная длины 6 проходит через дЗ. Клетку f2 может посетить только ломаная длины 18, она же должна завернуть и в el. Ну а клетку еЗ должна посетить ломаная длины 13.
f g h
и©
До своей рыбки ломаная длины 13 может добраться тремя путями.
Если она обойдет сверху от рыбки с5, то для ломаных длины 9 и И останется одна рыбка на двоих.
Попробуем провести ее между рыбками сЗ и с5. В этом случае в нижней части остается только 15 клеточек - и ломаную длины 18 разместить не удастся.
И©
Остается один вариант - ломаная длины 13 обходит рыбку на сЗ снизу. Ну а ломаная длины 18 по краю сетки доходит до а 6.
f g h
107


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
11(7)
Становится ясно, что ломаная длины 9 заканчивается рыбкой на сЗ.
Клетку еб теперь может посетить только ломаная длины 11, идя по маршруту f8-e8-e7-e6-d6. Идти далее на сб она не может, так как тогда рыбка на с5 окажется заблокирована, поэтому продолжаем ломаную на d7-c7.
7
6
5
4
3
2
1
11©
18
f
©
Осталось совсем чуть-чуть. Если ломаная длины 11 идет к рыбке на d8, то она пройдет по клеткам Ь7-Ь8- c8-d8. И клетки а7-а8 останутся никем не посещенные. Значит, ломаную длины 11 направляем к рыбке с5, ну а ломаная длины 18 по краю сетки доходит до d8.
g h
108


РЫБАЛКА
Задача 9.1 4
Задача 9.4
14
Задача 9.2
6 8
4
6 5
Задача 9.5
Задача 9.3
8 6
109


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 9.6
10
Задача 9.7
8
10
10
10
11
Задача 9.8
8
11
11
6
110


РЫБАЛКА
Задача 9.9
11
6
12
8
Задача 9.10
12
12
13
11
111


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 9.11
7
10
Задача 9.12
8 6
11
15
9
11 11
10
112


РЫБАЛКА
Задача 9.13
12
12
11 13 11
Задача 9.14
9 13
8
13
14
113


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 9.15
12
13 10
15
8
Задача 9.16
12 12
10
8
12
10
114


РЫБАЛКА
Задача 9.17
8 8
14
14
8
12
Задача 9.18
14
13
10
8
10
115


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 9.19
8 7
15
Задача 9.20
14 8 8
9 13 12
11
10
116


АССОРТИ
В этой главе вашему вниманию предлагаются некоторые задачи без подробного объяснения способа решения. Некоторые из этих задач похожи на ранее разобранные, и уже освоенные методы решения к ним также можно применить. Но даже если задача не похожа ни на одну из известных, способы решения у нее могут быть во многом аналогичны.
ПЕРВЫЙ ВСТРЕЧНЫЙ КОРАБЛЬ
Разместите приведенный комплект кораблей на поле так, чтобы клетки с кораблями не касались друг друга даже углом. Числа по сторонам сетки показывают размер корабля, который встречается первым в соответствующих строке или столбце.
Пример:
1 3 2 1
3
3
1
Г
п
и
□
■
1
1
2 12
Задача 10.1
2 12 3 13
2 Г
2
3
1
1
2
1
2
з тштш *•••
1
2
2 1 2 2 3 1
117


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 10.2
1 2
3 2
•••
2 1
Задача 10.3 2 2 3
2 Г
114 2 1
1
4
3
2
3
1
3
1 тши»
i::::
1
з
2
13311222
118


АССОРТИ
Задача 10.4
3 3 4 1
4
1
Задача 10.5
• •••
2
3
14 3 1
1 1 3 3 2 1
2
1
4
1
3
2 4 2 2 1
119


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
«ПОЛОСАТАЯ ЗМЕЯ»
Нарисуйте в сетке змею - полоску шириной в одну клетку без пересечений. Полоска не может касаться себя даже углом. Клетки полосы чередуются: нечетные - темные, четные - светлые. Цифры справа от сетки показывают число темных клеток, цифры снизу - число светлых клеток. Начало, конец и середина змеи уже отмечены.
Пример:
1
2
О
3
О
2
0 2 1112 Задача 10.6
2
3 0
4 О 2 2
1 3 2 2 1 2 1
120


АССОРТИ
Задача 10.7
31313112
Задача 10.8
12024114
121
2
2
1
2
4
1
1
3
2
4
1
2
2
2
0
3


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 10.9
3
3
2
3
1
3
1
2
1
150322221 Задача 10.10
4
2
3
2
1
2
2
2
2
3
2322230413
122


АССОРТИ
ПОРОВНУ
Разрежьте приведенную фигуру по линиям сетки на 6 частей, одинаковых по форме и размерам. Части могут быть повернуты и отражены.
Пример:
Задача 10.12
Задача 10.13
123


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 10.14
Задача 10.15
124


АССОРТИ
ПО ПОРЯДКУ
Нарисуйте ломаную, состоящую из вертикальных и горизонтальных отрезков, соединяющих центры клеток. Ломаная не должна касаться и пересекать себя. Приведенные цифры должны располагаться вдоль ломаной по порядку.
Пример:
Задача 10.16
Задача 10.17
4
2
5
1
3
5
1
3
6
2
4
125


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Задача 10.18 Задача 10.19
2
6
4
7
5
1
8
3
1
7
8
9
3
6
4
2
5
Задача 10.20
4
6
9
7
1
5
2
3
8
126


АССОРТИ
СКРЕПКИ
Разместите скрепки трех разных размеров (длиной 4, 5 или 6 клеток) так, чтобы они не касались друг друга даже углом. Числа по сторонам сетки означают количество закруглений скрепок, оказавшихся в соответствующем ряду или столбце. Вы можете использовать любое количество (от 0 до бесконечности) скрепок каждого размера.
Пример:
3
0
2
2
1
4
J
J
1 3 0 4 1 0 3
Задача 10.21
1 1 I 1 I 1 |3
о
4
1
3
О
4
4 4 0 3 0 1 3
127


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ Задача 10.22
I I 1 I 1 1 I |з
1
4
2
1
2
О
________ 5
4 0 5 2 0 3 1 3
Задача 10.23
1 1 1 1 I I 1 | 5
О
4
3
1
4
О
________ 4
5 0 4 1 2 5 0 4
128


Задача 10.24
_ _ _ _ _ _ _ 4
1
3
0
1
4
1
I I I I I I I 1 14
250203213
Задача 10.25
I I I I 1 I I 1 |з
о
2
4
О
О
2
2
5
5 14 10 13 0 3
АССОРТИ/СКРЕПКИ
129


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
ОТВЕТЫ Морской бой
г
I ■ TI
НТТ
4
О
2
2
J2
3 0 3 1 3
2 113 3
■
■
■
■
щ
п
ш
п
п
□
■
п
■
[
1
■
ш
■
■
■
■
□
■
■
■
■
щ
□
■
■
■
□
■
□
■
в
■
■
■
■
■
п
■
□
■
■
■
п
■
■
■
■
■
□
■
■
■
■
■
□
■
п
■
■
■
■
■
2 12 12 2
2 12 12 2
■
п
ш
■
■
п
■
ш
■
п
■
■
ш
■
□
■
ш
■
■
г
■
г
шппп
□
■
□
■
■
ш
■
■
■
■
■
■
9
■
■
■
ш
■
с
п
ш
■
■
п
в
■
■
□
□
ш
ш
□□
■■
■
■
□
■
II II ]
г-ч
■
■
[
Ж]
■
■
■
тшш
■
□
■
ас
■
■
■
■
■■
п
□
■
■
3 1 2 0 3 1
12 12 13
и
ЕБ
т
1
5 2 1 2 5 1 4
3
3
2
3
41410505
32411333
•
п
1
шиш
1
□
•
■
нн
■
п
□
1
■пн
•
4
1
7
5
2
■
ш
■
п
■
п
■
п
□
Ш
■
■
■
■
■■■
п
ш
■
ш
■
■
■
■
■
■
Щ
■
■
■
■
шгш
■
ш
ш
■
■
■
■
■
Н
■
■
■
г
■П1
■
ш
ш
□
■
■
□
■
ш
L
■
■
■
■
■
■
■
Li
■
ш
Ш
ш
■
■
■
■
1
ш
■
■
■
■
■■■
■
ш
ш
п
■
■
Щ
■
■
1
ш
■
■
■
г
Г]
ш
■
■
■
■
■
■
ш
■
■
■
■
■■
■
■
ш
■
■
■
■
■
■
□
п
■
■
■
■
п
312141125
130334033
130
ю о


ОТВЕТЫ
т
В
•
•
—
л
•
•
1
•
т
Ш
•
ш
□□□I
510232430
6 2 0
7
2
1
1
1
ш
■
ш
■0ШШ
■
4
0
Г
Г
9
ш
2
7
0
2
3
1
3
~
s
~
5
S
~
~
Г
~
~
S
Г
~
~
~
2
~
~
L.
~
~
Л
~
= •
~
~
2
1
1
4
1
3
2
2
□асшипгзвп
~
—
1
ш
V
~
~
■
£
~
~
пп
£
9
EI
5
~
1
■
Г
~
~
•
§
~
щ
•
~з~
9
■1
~
Ш
~
~
т
1
~s”
~
•
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
■
~
~S~
~
■
9
9
~
~
■
1Г
Ш
•
~
£
□
~
~
~
~
в
~
•
~
~
2
~
~
~
~
~
В
~=Г
ш
~
I
5
В

ж
■
н
•
5
9
в
1331121413
0 4 5
3 2
«Облака»


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ


ОТВЕТЫ
7708826642 9946227722
882866288464 486840594842
486299088855 6 10 4 10 65838522
8
8
2
8
8
3
6
3
8
8
4
4
9
9
5
4
4
4
7
5
7
7
133


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
796495682 10 84 479288827722
Пентамино
134


ОТВЕТЫ
135


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
136


ОТВЕТЫ
«Змея»
3 13
3 4 5
12 1 3 3 4
3 4 3
1 3 3 3 3 3 5
331424 433344
4 4 4
5 3 3
15 4
5 2 3
3 3 4
3 3 2
425253 5 5
6513334 4532533
5 6 6
15 1
3 3 4
4 3 4
3 2 5
5 3 4
4 2 2
3 5 3 5 3 3 3 5 5
42453254 64525423
137


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
8
2
б
4
5
3
4
3
4
7
4
1
4
3
5 1
6
4
335526546
273737411
5
3
5
5
2
7
5
2
3
3
4
3
4
4 2
5 3 7
72 5 324626
663436232
2
4
2
3
4 6 4 8 2 10
6
5
3
5
6
4
5 2 2 7
4446354825
138


ОТВЕТЫ
7435342728
3562836363
94664652425
6
4
5
6
3 6
4
4 2
5
7
5
4
5 3
3 5
4
5 4
8
2
7
2
7 2
4 2
8
5
6
46373735258
1
4
4
6
4
5
5
2
6
8
5
5
8
2
6
5
2
5
4
3
6
2
3
2
5
2
8
5
7
3
10
139


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
3
4 2
4 7 7 6
5 5 7 3 10
34543548296 10
Каждому по звёздочке
*
*
*
*
*
140


ОТВЕТЫ


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
142


ОТВЕТЫ
143


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Прямоугольники
12
8
2
6
8
4
6
6
4
8
3
8
8
2
9
6
8
6
6
2
6
6
8
3
4
3
9
2
10
4
4
8
3
6
6
4
5
4
8
4
4
8
6
6
6
6
12
6
6
9
9
6
10
4
6
8
144


ОТВЕТЫ
4
6
6
4
6
6
2
4
6
8
12
6
6
3
6
6
6
6
9
10
6
6
8
8
3
6
4
4
6
9
9
6
6
6
9
8
6
8
4
6
6
6
6
12
10
6
8
6
6
6
8
6
4
8
6
9
8
6
8
4
12
4
10
4
6
9
12
6
145


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
6
12
6
8
6
8
6
4
9
8
12
6
9
6
6
6
3
8
6
5
6
6
6
6
4
6
8
6
12
4
6
12
6
12
3
4
6
6
6
4
8
9
6
8
6
6
4
6
6
6
6
6
4
5
9
6
3
6
9
6
6
6
6
6
5
8
4
4
2
6
4
8
6
9
6
12
8
146


ОТВЕТЫ
Буква «Г»
о
о
о
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
147


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
о
о
о
о
о
о
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
148


ОТВЕТЫ
о
о
о
о
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
149


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
Каждый второй поворот
■0
©
Q"
4)
о\
d
г\
J
ё
0-
0"
А--
G
р~
р
0
4
ь
1
0
G
р-
(В-
0
0-
4>
0
(j
р-
4)
©
(3-
4)
4)
с
Р"
О"
о-
4
0"
0
©~
(3-
А
4)
0
■©
i-
©"
4
4>
©■
0
0
4)
©■
4
0
4
d
э-
i-
150


ОТВЕТЫ
0
0
4
d
i
r\
J
kJ
r\
(
1)
\ )
i
f
e
0
d
V
i-
©-
G
P"
0
i-
€)
q
О
О
)
{J
€)
0
pH
0
(j
p-
4-
0
•0
©-
¥
0
H
i
9
6-
0]
0
©■
9"
©
0
4
9"
О
kj
d
(3-
151


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
€)
■0
€>
i-
о-
4-
4)
9
4)
Q-
0"
Q-
4)
4)
Q-
©
4)
©)
4-
©■
€)
4
4>
Q-
<!
4-
4
r
j*
Q-
4-
0
4
€)
9"
4-
G
p-
©
■0
Q-
4
€)
4-
4-
■0
■4
g
Э"
©-■
■©
4
¥
4--
О-
0
4
©
О
T
'U
©
©
4
0-
©
f'l
О
4
©
4
152


ОТВЕТЫ
Рыбалка
' 1
1
л
т
L
1—*
L
=ь
—
1
*-
J
—1
*-
I
t
гп
LJ
L
J L
Г1
с
1—*
с *
ГП
1с
JL г
± _
LJ
153


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
14
в
Ш.
в
6 5
10
J
У
FЬ
10
10
8
11
У
f
Fb£
11
1
I
i
r
"I г
L
I
J
LJ
г
J
1
L
Л
T
г
1 I
1
J
LJ
1 г
9
8
10
с
* *
u
d~-
F=hF
11
154


ОТВЕТЫ
12
13
±n=
h-J—
-F
—1 i *
Г+ A
h
=L
11 11 11
FhFI
ю
15
11
f
t=R
11 13 11 12
10
1
*-
“I
T
-*
г
1
-*
f
±
и
Г
±
L
и
1
1
1
12
: -Г,
«к
Ft*
4c
pJ 5
L «1
—+
15
8
13 10
155


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
10
I
12 12 ттг
1-
12
8
10
13
10
8
10
14 8 8
э: l:
ft
i
я
a
9 13 12
8 8
8
12
4
г:
ч
ii
10
15
156


ОТВЕТЫ
Ассорти
2 12 3 13
2 1 2 2 3 1
1 2
□
■
■
■
□
■
■
■
■
■
■
□
■
■
■
■
■
■
■
□
□
■
■
■
■пш
п
■
■
■
■
■
□
■
■
■
■
■
■
■
□
■
■
■
■
■
■
■
□
■
■
□
■
■
■
■
■
■
□
□
■
■
■
■
□
■
■
п
■
2 1
22311421
2
т
□
■
В
4
1
■
в
в
1
4
■
4
а
□
□
□
■
□
■
■
2
2
■
□
2
3
■
□
в
1
1
•
■
□
3
3
■
□
т
•
2
1
3
3
1
1
2
2
2
1
1
3
3
2
1
ж
т
L
Е
I
2
в
•
1
I
1
В
2
п
■
т
4
с
■
в
1
□
■
3
L
с
•
т
в
■
■
■
■
□
ш
■
□
□
□
□
■
□
я
■
■
■
■
■
■
■
■
■
п
— II ■
□
□
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
с
□
■
□
■
■
■
и
■
■
■
■
■
■
п
■
1 4
2
3 О
4 О 2 2
4 2 2 1
1 3 2 2 1 2 1
157


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
2
2
2
4
1
2
2
2
О
3
31313112
12024114
3
3
2
3
1
3
1
2
1
150322221
4
2
3
2
1
2
2
2
2
3
2322230413
158


ОТВЕТЫ
-*
I
[
f
)
(
)
7
1
5-
Л
1
с
3
(
r
)
159


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГОЛОВОЛОМКИ
>
7"
-ч
9-
Г
Т)
-А
“f
JL
5“ '
-A
“tt
9
‘L
i
1
5--
J
• г
-5
4
г
с
)
с
)
L
J
4 4 0 3 0 1 3
ГГ
1
w
J
J
Г
г
ы
3
)
J
J
40520313
50412504
4 1
3
0
1
4 1 4
250203213
г
1
m
с
)
(
3
)
J
J
3 О 2
4 О О 2 2
5
514101303
ГГ
J
J
160