/
Автор: Гречников Ф.В. Каргин В.Р.
Теги: механика деформируемых тел упругость деформация общетехнические дисциплины машиностроение металлургия обработка металлов
ISBN: 978-5-7883-1597-3
Год: 2021
Текст
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АКАДЕМИКА С.П. КОРОЛЕВА»
(САМАРСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Ф.В. ГРЕЧНИКОВ, В.Р. КАРГИН
ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО
ДЕФОРМИРОВАНИЯ МЕТАЛЛОВ
Рекомендовано редакционно-издательским советом федерального
государственного
автономного
образовательного
учреждения
высшего образования «Самарский национальный исследовательский
университет имени академика С.П. Королева» в качестве
учебника для обучающихся по основным образовательным
программам высшего образования по направлениям подготовки
15.03.01 Машиностроение, 22.03.02 Металлургия
САМАРА
Издательство Самарского университета
2021
УДК 539.374(075)
ББК 30.12я7
Г818
Рецензенты: д-р техн. наук, доц. А. И. Х а й м о в и ч;
канд. техн. наук, доц. А. П. Б ы к о в
Г818
Гречников, Федор Васильевич
Теория пластического деформирования металлов : учебник /
Ф.В. Гречников, В.Р. Каргин. – Самара: Издательство Самарского
университета, 2021. – 448 с.
ISBN 978-5-7883-1597-3
На современном уровне изложены основные разделы теории пластического деформирования металлов: теории напряжений и деформаций,
упругости и пластичности и их приложения к теоретическим и практическим методам расчетов процессов пластического формоизменения. Приведены постановка и методы решения технологических задач. Теоретический материал иллюстрирован примерами решения соответствующих задач.
Учебник предназначен для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 22.03.02, 22.04.02 Металлургия, 15.03.01 Машиностроение, связанных с пластическим деформированием металлов давлением.
Подготовлено на кафедре обработки металлов давлением.
УДК 539.374(075)
ББК 30.12я7
ISBN 978-5-7883-1597-3
2
© Самарский университет, 2021
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................... 9
ГЛАВА 1 ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ................................................ 19
1.1 Внешние силы ....................................................................... 19
1.2 Внутренние силы. Напряжения ........................................... 22
1.3 Индексные обозначения ....................................................... 26
1.4 Тензор напряжений............................................................... 28
1.5 Напряжения на наклонной площадке ................................. 33
1.6 Главные нормальные напряжения....................................... 36
1.7 Схемы главных нормальных напряжений .......................... 44
1.8 Октаэдрические напряжения ............................................... 49
1.9 Разложение тензора напряжений ........................................ 51
1.10 Главные (максимальные) касательные напряжения ........ 57
1.11 Равновесие сил и моментов ............................................... 63
1.12 Диаграмма напряжений Мора ........................................... 71
1.13 Выводы ................................................................................ 75
1.14 Задания для самоконтроля ................................................. 76
1.15 Задачи и упражнения .......................................................... 78
ГЛАВА 2 ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ ................................................ 95
2.1 Понятие деформации. Тензор деформаций ........................ 95
2.2 Геометрические уравнения ................................................ 100
2.3 Уравнения совместности деформаций.............................. 103
2.4 Главные деформации .......................................................... 106
2.5 Схемы главных деформаций.............................................. 109
2.6 Разложение тензора деформаций ...................................... 113
2.7 Объемная деформация........................................................ 115
2.8 Переменные Лагранжа и Эйлера ....................................... 117
3
2.9 Скорость деформации. Тензор скоростей деформации .. 119
2.10 Большие пластические деформации ............................... 123
2.10.1 Абсолютные и относительные деформации ........ 123
2.10.2 Логарифмические деформации. Коэффициенты
деформации........................................................................ 124
2.10.3 Смещённый объем. Условие постоянства
объема ................................................................................ 129
2.10.4 Определение числа переходов. Условие
постоянства секундных объемов ..................................... 132
2.10.5 Средняя скорость деформации ............................. 134
2.10.6 Однородная, равномерная и монотонная
деформации........................................................................ 137
2.11 Механические схемы деформаций .................................. 139
2.12 Неравномерность деформации ........................................ 150
2.12.1 Неравномерность деформации и дополнительные
напряжения ........................................................................ 150
2.12.2 Причины неравномерности деформаций ............. 152
2.12.3 Остаточные напряжения ........................................ 154
2.13 Принцип наименьшего сопротивления деформации..... 157
2.14 Пластичность и разрушение металла .............................. 160
2.15 Выводы .............................................................................. 170
2.16 Задания для самоконтроля ............................................... 173
2.17 Задачи и упражнения ........................................................ 178
ГЛАВА 3 ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ .................................................. 187
3.1 Обобщенный закон Гука .................................................... 187
3.2 Различные формы записи основного закона упругости .. 195
3.3 Удельная потенциальная энергия...................................... 202
3.4 Постановка задач и способы их решения ......................... 204
3.5 Частные случаи объемного напряженного состояния ..... 211
4
3.5.1 Плоское напряженное состояние ............................ 211
3.5.2 Плоское деформированное состояние ................... 217
3.5.3 Осесимметричное напряженное состояние ........... 220
3.6 Выводы ................................................................................ 227
3.7 Задания для самоконтроля ................................................. 228
3.8 Задачи и упражнения .......................................................... 230
ГЛАВА 4 ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ ......................................... 237
4.1 Условие перехода металла из упругого состояния
в пластическое состояние......................................................... 237
4.2 Условие постоянства максимального касательного
напряжения ................................................................................ 239
4.3 Условие постоянства энергии формоизменения.............. 243
4.4 Условие пластичности анизотропных сред ...................... 252
4.5 Экспериментальная проверка условий пластичности ..... 256
4.6 Условие упрочнения ........................................................... 258
4.7 Простое и сложное нагружение......................................... 263
4.8 Разгрузка. Остаточные напряжения и деформации ......... 265
4.9 Постулат Друкера ............................................................... 273
4.10 Ассоциированный закон течения .................................... 275
4.11 Теория малых упругопластических деформаций .......... 277
4.12 Теория пластического течения ........................................ 281
4.13 Теория Сен-Венана – Леви – Мизеса .............................. 285
4.14 Выводы .............................................................................. 286
4.15 Задания для самоконтроля ............................................... 289
4.16 Задачи и упражнения ........................................................ 292
ГЛАВА 5 ВНЕШНЕЕ ТРЕНИЕ ПРИ ПЛАСТИЧЕСКОМ
ДЕФОРМИРОВАНИИ МЕТАЛЛОВ .............................................. 297
5
5.1 Понятие внешнего трения .................................................. 297
5.2 Роль внешнего трения в процессах пластического
деформирования........................................................................ 298
5.3 Виды внешнего трения ....................................................... 302
5.4 Законы трения ..................................................................... 305
5.5 Основные факторы, влияющие на трение ........................ 311
5.6 Определение коэффициентов трения................................ 314
5.7 Выводы ................................................................................ 318
5.8 Задания для самоконтроля ................................................. 320
ГЛАВА 6 РАСЧЕТ УСИЛИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ
ПРИ ПЛАСТИЧЕКОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ МЕТАЛЛОВ ..... 322
6.1 Основные положения расчета деформирующего
усилия ........................................................................................ 322
6.2 Пример расчета деформирующего усилия ....................... 326
6.3 Метод совместного решения приближенных уравнений
равновесия и пластичности ...................................................... 327
6.3.1 Основные положения метода .................................. 328
6.3.2 Упрощенное уравнение равновесия для плоского
деформированного состояния .......................................... 330
6.3.3 Упрощенное уравнение равновесия
для осесимметричного напряженного состояния .......... 332
6.3.4 Упрощенное уравнение равновесия для плоского
напряженного состояния .................................................. 334
6.3.5 Алгоритм решения практических задач................. 337
6.3.6 Пример использования метода ............................... 338
6.4 Метод линий скольжения................................................... 341
6.4.1 Основные понятия линий скольжения ................... 341
6.4.2 Основные свойства линий скольжения .................. 347
6.4.3 Виды полей линий скольжения .............................. 350
6
6.4.4 Пример использования метода ............................... 352
6.5 Сопротивление материалов пластическим
деформациям ............................................................................. 355
6.5.1 Основные положения метода .................................. 355
6.5.2 Пример использования метода ............................... 356
6.6 Метод работ ......................................................................... 359
6.6.1 Основные положения метода .................................. 359
6.6.2 Пример использования метода ............................... 360
6.7 Вариационные методы ....................................................... 362
6.7.1 Основные положения метода .................................. 362
6.7.2 Пример использования метода ............................... 366
6.8 Метод конечного элемента ................................................ 371
6.8.1 Основные положения метода .................................. 371
6.8.2 Пример использования метода ............................... 376
6.9 Выводы ................................................................................ 379
6.10 Задания для самоконтроля ............................................... 382
6.11 Задачи и упражнения ........................................................ 386
ГЛАВА 7 ТЕМПЕРАТУРНЫЕ, СКОРОСТНЫЕ
И ДЕФОРМАЦИОННЫЕ УСЛОВИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО
ДЕФОРМИРОВАНИЯ МЕТАЛЛОВ .............................................. 394
7.1 Классификация видов пластической деформации ........... 394
7.2 Тепловой эффект деформации........................................... 396
7.3 Выбор температурного интервала горячей пластической
деформации ............................................................................... 399
7.4 Сопротивление металлов при пластической
деформации ............................................................................... 401
7.5 Выводы ................................................................................ 406
7.6 Контрольные вопросы ........................................................ 408
7.7 Задачи и упражнения .......................................................... 409
7
ГЛАВА 8 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
ИССЛЕДОВАНИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО
СОСТОЯНИЯ ................................................................................... 413
8.1 Метод координатной делительной сетки ......................... 413
8.2 Метод визиопластичности ................................................. 415
8.3 Метод линий тока ............................................................... 416
8.4 Определение нормальных контактных напряжений ....... 420
8.5 Закон подобия ..................................................................... 425
8.6 Моделирование процессов деформирования ................... 431
8.6.1 Основные положения ............................................... 431
8.6.2 Пример компьютерного моделирования................ 433
8.7 Выводы ................................................................................ 439
8.8 Контрольные вопросы ........................................................ 440
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ........................... 442
ПРИЛОЖЕНИЕ ................................................................................ 446
8
ВВЕДЕНИЕ
Теория пластического деформирования металлов – это прикладная инженерная дисциплина, связанная с предшествующими
дисциплинами учебного плана такими как математика, механика
сплошных сред, материаловедение, термическая обработка, технологические процессы в машиностроении и металлургии. Дисциплина тесно связана и последующими изучаемыми дисциплинами
такими как «Теория и технология прокатки», «Теория и технология
прессования», «Теория и технология ковки и горячей объемной
штамповки», «Теория и технология холодной листовой штамповки».
Объект изучения дисциплины – это процессы пластического
деформирования металлов: ковка, горячая объемная штамповка, холодная листовая штамповка, прокатка, прессование и волочение.
Предмет изучения дисциплины – это теоретические основы,
методы проектирования и моделирования технологических процессов пластического деформирования металлов, обеспечивающих получение заготовок и готовых изделий требуемой формы и размеров,
структуры и эксплуатационных свойств.
Сущностью современного технологического процесса обработки давлением является получение изделий из металлических,
конструкционных, композитных и наноструктурированных материалов с заданным уровнем физических, механических и эксплуатационных свойств и качеством поверхности. Изделия максимально
приближены по форме и размерам к готовым деталям машин, механизмов и других устройств.
9
В настоящее время считается бесспорным, что пластичность
является состоянием металлов и зависит от способа деформирования: температуры (термические условия), скорости и степени деформации (деформационные условия), схемы напряженного состояния, внешнего трения (механические условия).
Пластическая деформация является эффективным способом
изменения механических и физических свойств металлов. Пластической деформацией можно увеличить прочность сплавов, которые
термически не упрочняются.
Изделия получают пластическим деформированием в холодном или горячем состоянии с использованием универсального и
специализированного инструмента на оборудовании с минимальными затратами материалов, энергии, времени и труда.
К оборудованию относят прокатные станы, гидравлические и
кривошипные прессы, молоты, горизонтальные ковочные машины.
В качестве деформирующего инструмента применяют листовые и
сортопрокатные валки, штампы для холодной и горячей объемной
штамповки, матрицы, контейнеры, калибры, волоки и оправки.
Для реализации процессов пластического деформирования используется следующая структурная схема (рис. 1).
Рис. 1. Структурная схема процессов пластического деформирования металлов
Любой технологический процесс состоит из последовательных
операций обработки металлов давлением. Разработать технологический процесс, значит, разработать все операции. На рис. 2 в каче-
10
стве примера рассмотрен процесс прессования профиля из алюминиевого сплава в виде последовательности технологических операций и решаемые для их реализации на производстве задачи.
Рис. 2. Технологическая схема изготовления прессованного профиля «УГОЛОК»
из алюминиевого сплава Д16, состояние поставки Т1
Из анализа приведенного примера видно, что при проектировании технологических процессов пластического деформирования
металлов давлением специалисту приходится решать в общем случае следующие основные теоретические и технологические задачи:
• определять поля напряжений и деформаций в обрабатываемом металле и инструменте, что имеет не только чисто теоретический, но и практический интерес;
• устанавливать условия перехода металла из упругого состояния в упруго-пластическое и пластическое;
• выяснять наиболее благоприятные режимы пластического деформирования металлов;
• определять геометрические размеры и форму исходной заготовки перед и после технологической операции, степень ее дефор11
мации, число переходов, обеспечивающих высокую производительность, низкую себестоимость и высокое качество готовых металлоизделий;
• определять температуру нагрева заготовки и инструмента,
скорость деформирования, при которых будет осуществляться технологическая операция;
• оценивать предельные возможности пластической деформации заготовки без разрушения в ходе выполнения технологической
операции;
• устанавливать влияние пластического деформирования на
структуру металла, изменение механических свойств, неравномерность распределения деформации по объему изделия;
• проводить расчет величины усилия и работы, энергии деформации, необходимые для выбора основного оборудования, проектирования и расчета деформирующего инструмента на прочность;
• моделировать напряженно-деформированное состояние металла заготовки при осуществлении операции, исключающее появление дефектов.
При решении поставленных задач обычно выбирается модель
твердого деформируемого тела, построенная на гипотезах о сплошности строения, однородности материала, шаровой изотропии и
естественном ненапряжённом состоянии.
Гипотеза о сплошности строения тела. По этой гипотезе
тело до деформации, в процессе деформации и после нее остается
сплошным (без пустот, разрывов, трещин).
В любом существенном для нас объеме очень много атомов, а
расстояния между ними малы. Например, 1 см3 железа плотностью
7,87 г/см3 содержит при температуре 20°С 8,46·1022 атомов, а расстояние между соседними атомами равно 2,86·10-8 см. Поэтому
твердое деформируемое металлическое тело можно моделировать
сплошной средой, занимающей часть реального физического пространства. Расстояние между ближайшими точками сплошной
12
среды как угодно мало. Эта гипотеза является основой для математического описания движения твердых деформируемых тел, позволяет использовать математический аппарат непрерывных функций,
дифференциальное и интегральное исчисления.
Допущение об однородности материала. Сплошная среда
называется однородной, если свойства выделенных из нее одинаковых объемов одинаковы; например, деформируемая среда имеет
одинаковую плотность во всех точках тела.
В реальных деформируемых телах однородности не существует, хотя бы из-за отсутствия однородности материала. Неоднородными телами являются, например, плакированный лист из алюминиевого сплава Д16, неравномерно нагретое по объему тело. Существенно неоднородны композиционные материалы, содержащие
волокна из углерода и бора.
Гипотеза об изотропности среды. Сплошная среда считается
изотропной по отношению к какому-либо свойству металла, если
это свойство в любой точке будет одинаковым по всем направлениям. Если же свойства зависят от направления в точке, то среда
является анизотропной по отношению к этим свойствам.
Отдельно взятый кристалл металла анизотропен, поскольку
атомы в кристаллической решетке располагаются совершенно
определенным образом. Но если в объеме содержится большое количество хаотично расположенных кристаллов с различной ориентировкой кристаллографических осей, то материал в среднем обладает одинаковыми свойствами в различных направлениях. Его приближенно можно рассматривать как квазиизотропный. С другой
стороны, в листовом металле зерна деформируются в направлении
прокатки, образуется так называемая текстура деформации. Поэтому предел текучести в направлении прокатки и в поперечном
направлении отличается от предела текучести под углом 45°
(рис. 3). Такая же анизотропия возникает при всех других видах
13
пластического деформирования металлов. Особенно резко выражена анизотропия свойств в полуфабрикатах, изготовленных из
сплавов авиационного назначения (титановых, бериллиевых, магниевых, алюминиевых), специальных сталей. Одними из самых
перспективных материалов являются композиты. Они по своему
строению (конструкции) вообще не могут быть изотропными.
Гипотеза о естественном ненапряженном состоянии
тела. Согласно этой гипотезе существующие до приложения
нагрузок напряжения в материале принимаются равными нулю. Эта
гипотеза также не отвечает реальности, т.к. в действительности невозможно получить полуфабрикаты без остаточных напряжений.
Рис. 3. Изменение предела текучести в плоскости прокатанного листа:
1 – изотропное тело; 2 – анизотропное тело
На практике часто встречаются случаи, когда в теле имеются
напряжения до приложения внешних сил, называемые начальными
(остаточными) напряжениями. Основная причина их возникновения – технология изготовления рассматриваемого изделия.
Рассмотрим на примерах возникновение начальных напряжений в заготовках и деталях. Удалим в трубе, изготовленной холодной прокаткой или волочением, в продольном направлении участок
abb'a' (рис. 4, а).
Присутствующие в трубе начальные напряжения приведут к
увеличению зазора между точками aa' и bb'. При горячей прокатке
двутавровых балок в них возникают начальные напряжения, вследствие процессов изготовления и неравномерного остывания. Если
14
такую балку разрезать в продольном направлении посередине вертикальной стенки, обе ее половинки разходятся, изгибаясь наружу
(рис. 4, б).
а
б
Рис. 4. К образованию начальных напряжений
Все перечисленное представляет собой основные допущения
теории пластического деформирования металлов давлением. Причем, если гипотезы о сплошности строения тела и его естественном
напряженном состоянии остаются как бы незыблемыми, то применение остальных не всегда является обязательным. Из перечисленного ясно, что принятые гипотезы не отвечают действительности,
но они помогают строить физическую модель деформируемой
среды.
Принятых допущений недостаточно для построения моделей
формоизменения тел при упругой и пластической деформации.
Здесь приходится проводить дальнейшую идеализацию.
Идеально упругое тело (рис. 5, а). Это понятие лежит в основе
теории упругости. Для идеально упругих тел выполняется первый
закон термодинамики о сохранении энергии в изолированной среде.
Это явление нашло математическое отражение в законе Гука. Поэтому тела, подчиняющиеся этому закону, часто называют телами
Гука.
Нелинейно-упругое тело (рис. 5, б). Тело либо не подчиняется
закону Гука, либо деформация перешла за предел упругого состояния, но разгрузка идет по той же кривой.
15
Идеально упругопластическое тело. При напряжении
меньше предела текучести σт тело ведет себя как тело Гука
(рис. 5, в). При достижении критического значения предела текучести σт начинается пластическое течение и величина деформации
при σт = const является неопределенной. Разгрузка протекает упруго
с тем же модулем, что и при нагружении тела, сжатие подчиняется
тем же законам, что и растяжение, т.е. пределы текучести на растяжение σтр и сжатие σтсж одни и те же по абсолютной величине. Такие
тела в процессе деформации не упрочняются и не разрушаются и
часто называются телами Прандтля.
Идеально жесткопластическое тело (рис. 5, г). Если пластическая деформация является развитой, то упругой составляющей,
считая ее бесконечно малой по сравнению с пластической, можно
пренебречь и считать, что материал до предела текучести ведет себя
как абсолютно твердое тело.
И здесь пластическая деформация является неопределенной и
может неограниченно возрастать. Такие тела называют телами СенВенана-Мизеса. Определенный тип моделей может учитывать
упрочнение металла, т.е. наблюдается повышение предела текучести с ростом степени деформации. Упруго-пластическое тело с линейным упрочнением и жестко-пластическое тело с линейным
упрочнением приведены на рис. 5, д, е.
Идеальная линейно-вязкая среда или среда Ньютона
(рис. 5, ж) начинает деформироваться при любом напряжении, отличном от нуля. Скорость деформации такой среды пропорциональна напряжению, деформация необратима, изменение объема не
происходит.
Вязкопластическая среда (рис. 5, з). Остаточное формоизменение проявляется при напряжении, равном пределу текучести σт.
При увеличении скорости деформации среда линейно упрочняется.
Подобную модель часто используют при горячей обработке металлов давлением.
16
При решении теоретических и технологических задач важно
иметь представление о пространстве и гипотезе абсолютного времени.
Под пространством понимается бесконечно большое множество точек, однозначно задаваемых с помощью чисел, называемых
координатами, которые определяют положение точки.
Рис. 5. Модели твердых деформируемых металлических тел
17
Мерность пространства обусловлена числом координат, которыми определяется положение точек в пространстве. Обычное физическое пространство – это трехмерное пространство, так как положение точки в декартовой прямоугольной системе координат задается тремя координатами. Совокупность точек на плоскости составляет двухмерное пространство, а на линии одномерное пространство.
Согласно гипотезе абсолютного времени время течет одинаково вне зависимости от выбора системы отсчета, в которой рассматривается формоизменение тел под действием внешних сил.
Основными формами движения металлических тел под действием внешних сил являются упругость и пластичность. Упругость – это способность металлов восстанавливать свою первоначальную форму, размеры, объем после снятия внешних сил. Пластичность – это способность металлов необратимо изменять свою
форму и размеры без разрушения.
В заключение отметим, что подход, обоснованный на предложенных гипотезах и допущениях, носит название феноменологического. При этом рассматривают чисто внешнее взаимодействие, не
задаваясь вопросом, за счет чего это достигнуто, не рассматривают
внутреннее кристаллическое строение металлов и происходящие
при нагружении изменения в деформируемом теле. Другими словами, мы отвлекаемся от физической сущности атомно-молекулярных процессов.
Таким образом, теория пластического деформирования металлов давлением – это комплексная инженерно-техническая дисциплина. Ее фундаментом являются такие науки, как математика и физика, кристаллография и металловедение, термическая обработка и
механика сплошных сред, физика твердого деформируемого тела.
18
ГЛАВА 1 ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
1.1 Внешние силы
В процессе пластического деформирования металлов участвуют
два тела: деформируемый металл и инструмент. Наша задача – определить их взаимодействие.
Взаимодействие обрабатываемого тела и инструмента можно
рассматривать с точки зрения его величины, направления, продолжительности. С точки зрения величины и направления взаимодействие удобно выражать силой. Известно, что силы – векторные величины, которые интуитивно можно представить как давление или
тягу.
В механике твердого деформируемого тела под внешней силой
понимают воздействие окружающей среды на тело, стремящееся
изменить состояние его покоя или движения. Здесь под окружающей средой подразумевают другие тела и поля, например, поле тяготения земли, магнитное поле и т.д.
Внешние силы классифицируются по нескольким признакам.
Так, в зависимости от места расположения точек приложения, силы
делятся на поверхностные и объемные (массовые). По продолжительности действия внешние силы подразделяются на постоянные
и временные. Например, вес моста – сила постоянная, поезд, движущийся по нему, – сила временная. По характеру изменения величины внешние силы делятся на статические и динамические. Статическими будут такие силы, когда изменение их величины
настолько мало, что ускорением точек тела и их инерцией можно
19
пренебречь. Если ускорение велико и им нельзя пренебречь, силы –
динамические. Динамические силы могут изменяться большое
число раз, их называют циклическими, повторно-переменными, вибрационными. Если же они прикладываются на очень короткий промежуток времени, то силы будут ударными. По способу воздействия силы бывают активными и реактивными. Активные силы
возникают от действия машин (прокатных станов, гидравлических
прессов, молотов) и передаются обрабатываемому металлу при помощи инструмента. В процессе деформирования на металл воздействуют не только активные силы, но и сопротивление неподвижных
частей инструмента, которые являются связями, ограничивающими
движение деформируемого тела (см. рис. 1). Воздействие связей на
твердое деформируемое тело можно представить как воздействие
некоторых сил, которые называют реакциями связей (реактивными
силами).
Если деформируемое тело соприкасается с поверхностью инструмента, ограничивающей перемещение точек тела, то реакции
связей при отсутствии трения будут направлены по нормали к поверхности в сторону тела. На рис. 6 показана схема волочения проволоки, где сила N представляет воздействие стенок инструмента на
деформируемый металл и является реактивной силой, а сила волочения Рвол – активной силой.
Рис. 6. Схема волочения проволоки
20
К реакциям связей относятся также силы трения, возникающие
в местах соприкосновения деформируемого металла со стенками
инструмента. Сила трения Т располагается в плоскости, касательной к точкам соприкосновения деформируемого металла со стенками инструмента, и направлена в сторону, противоположную движению заготовки (рис. 6). В результате сложения с силами трения
реакции связей R отклоняются от направления нормали к поверхности инструмента в сторону, противоположную движению деформируемого металла.
Силы, распределенные по всему объему твердого деформируемого тела V, называются массовыми (объемными) силами. Если ∆𝐹⃗
– главный вектор массовых сил, действующих на элемент массы
∆m, то плотность массовой силы в данной точке тела
F d F
f lim
m0 m
dm
.
На малую частицу объемом dV с массой ρdV действует массо-
вая сила dF f dV , а для всего объема V тела главный вектор массовых сил равен
F f dV ,
где ρ – плотность сплошной среды. Примерами массовых сил являются силы тяжести и инерционные силы, силы магнитного притяжения.
В процессах пластического деформирования металлов основную роль играют поверхностные силы. Если ∆Pn – усилие, приходящееся на элементарную площадку ∆S с вектором внешней нормали n к поверхности тела, то плотность поверхностных сил (давление) равна
n lim
S 0
Pn dPn
.
S
dS
21
Главный вектор поверхностных сил, действующих на конечный объем V сплошной среды, который ограничен поверхностью S,
равен Pn n ds .
1.2 Внутренние силы. Напряжения
Под действием внешних сил в твердом деформируемом теле
возникают внутренние силы, которые связаны с тем, что реальное
тело сопротивляется изменению расстояния между частицами.
Оценить в расчетах, как изменяются связи в металле под действием внешних сил, практически не удается. Исключительная
сложность явлений вынуждает идти на идеализацию общей схемы
процесса деформирования. Одной из таких идеализаций является
понятие о напряжениях, введенное в научную литературу французским математиком О. Коши (1789-1857). К обоснованию напряжения был близок Г. Галилей, занимавшийся инерцией и свободным
падением тела. Чтобы разделить силу на площадь потребовалось
150 лет.
Как теперь известно, напряжение по О. Коши представляет собой плотность внутренних сил или интенсивность внутренних сил,
действующих между частицами деформируемого тела по воображаемым виртуальным плоскостям скольжения.
Напряжения, возникающие в деформируемом теле под действием внешних сил, определяются с помощью известного метода
сечений. Положим, что в твердом деформируемом теле, находящемся в равновесии под действием внешних сил, требуется определить напряжение в некоторой произвольной точке А (рис. 7). Для
этого мысленно сечем тело произвольной плоскостью, проходящей
через точку А и делим условно его на две части I и II. Отбросив
часть II, заменим ее действие на часть I внутренними силами. Положим, что равнодействующая сил, действующая на элементарную
площадку ∆S, выделенную в окрестности точки А, равна ∆Р.
22
Тогда напряжение в точке А будет
P dP
P lim
.
S 0 S
dS
Напряжение P как векторную величину можно разложить на
составляющие Pnx, Pny, Pnz, параллельные координатным осям
X, Y, Z. Индекс n указывает на то, что напряжения определены на
площадке с нормалью n, а второй индекс указывает ось, параллельно которой проекция напряжения P.
Рис. 7. Схема внешних и внутренних сил
Очевидно, что напряжение P зависит от положения сечения в
пространстве, проведенного через точку А. Через точку А можно
провести бесчисленное множество сечений, а поэтому и векторов
напряжения P в рассматриваемой точке будет также бесчисленное
множество. Причем каждое из них будет соответствовать определенному сечению, направление которого принято задавать направлением внешней нормали n (рис. 7). Это бесчисленное множество
векторов P и будет характеризовать напряжение состояние в точке
тела. В такой постановке описание напряженного состояния сплошной среды в точке тела является весьма сложным. К счастью, для
того чтобы полностью описать напряженное состояние в точке тела,
23
нет необходимости рассматривать все множество векторов напряжений. Это можно сделать, задавая векторы напряжений по предложению О. Коши только на трех взаимно перпендикулярных площадках, параллельных координатным плоскостям.
Если рассмотреть сечение, параллельное координатной плоскости ZOY, то составляющие напряжения Px (проекции) будут σxx,
τxy, τxz (рис. 8, а), где σxx (или σx) – это проекция полного вектора
напряжения Px на нормаль к данной площадке. Так как это напряжение направлено по нормали к площадке, то оно называется нормальным напряжением. Напряжения τxy, τxz – это проекции полного
вектора напряжения Px на координатные оси y и z. Так как эти напряжения действуют в плоскости площадки yz, то они называются касательными напряжениями. Они стремятся сдвинуть материальные частицы тела относительно друг друга по плоскости сечения,
поэтому их иногда называют напряжениями сдвига. Первый индекс
у касательного напряжения, например, τxy говорит о том, что оно
действует на площадке с нормалью, параллельной оси x,
а второй индекс – о том, что вектор напряжения параллелен оси y.
а
б
в
Рис. 8. Напряжения в сечениях, перпендикулярных осям x, y, z
У нормального напряжения оба индекса совпадают, поэтому для
упрощения записи часто используют запись с одним индексом,
24
например σx. Для сечений, параллельных координатным плоскостям ZOY, XOY, составляющие напряжений соответственно будут
σy, τyz, τyx, σz, τzy, τzx (рис. 8, б, в).
Таким образом, напряженное состояние в точке А может быть
определено тремя векторами напряжений, действующих на трех
взаимно перпендикулярных гранях бесконечно малого параллелепипеда, перпендикулярных координатным осям. Каждый из этих
векторов можно разложить на одно нормальное и два касательных
напряжения (рис. 9).
Рис. 9. Напряжения на гранях бесконечно малого элементарного параллелепипеда
Для трех площадок по направлениям, параллельным координатным осям, имеем девять скалярных величин компонент напряжений: σx, σy, σz, τxy, τyx, τyz, τzy, τzx, τxz, характеризующих напряженное
состояние в точке тела. Нормальные напряжения принято считать
положительными, если они растягивающие, и отрицательными,
если – сжимающие. Касательные напряжения положительные, если
они дают положительную проекцию на соответствующую координатную ось.
В Международной системе физических величин СИ напряжения выражают в паскалях (Па) (1 Па = 1 Н/м2). Наряду с ними по
прежнему в технической литературе широко используют размерность напряжений в металлических телах в кгс/мм2 (1 кгс / мм2 =
= 9,8 МПа ≈ 10 МПа ≈ 10 Н/мм2).
25
1.3 Индексные обозначения
Индексные обозначения в записи формул позволяют наглядно
и кратко представить многие величины и выражения. Смысл этих
обозначений в том, что к основным буквам (или букве) одночленного выражения добавляются нижние (верхние) буквенные индексы, например, Cij, Aij, Bj. В качестве индексов используют латинские буквы i, j, k, l, m, n,… .
По правилам индексных обозначений один и тот же буквенный
индекс может встречаться в каждом члене только один раз или два
раза. Если индекс используется один раз (неповторяющийся индекс), то он пробегает значения 1, 2, …, N, где N – заданное положительное целое число.
Неповторяющиеся индексы называются свободными.
Если индекс в обозначении используется дважды, то подразумевается, что по этому индексу производится суммирование
от 1 до N (правило суммирования Эйнштейна). При этом знак
суммы опускается. Повторяющиеся индексы называются немыми.
Сумма не меняет своего значения, если заменить немой индекс другой буквой: aibi = akbk = anbn.
В тех случаях, когда немых индексов несколько, суммирование
производится по каждому немому индексу.
Обычное физическое пространство является трехмерным, поэтому при использовании индексных обозначений размерность индекса равна трем (N = 3).
Декартовы координаты x, y, z будем обозначать соответственно
через x1, x2, x3 и записывать их как xi, где индекс i принимает значения 1, 2, 3. Вместо индекса i можно взять любую другую латинскую
букву, например j, где j = 1, 2, 3. В трехмерном пространстве имеем
aii = Σaii = a11 + a22 + a33,
aibi = Σaibi = a1b1 + a2b2 + a3b3.
26
В некоторых обозначениях широко используется символ
Кронекера
1, i j
ij
.
0, i j
Задача 1. Требуется записать в развернутой форме уравнение
Sj = σijni.
Решение. В правом выражении индекс i немой. По нему проводим суммирование по значениям 1, 2, 3. Получим
S j 1 j n1 2 j n2 3 j n3 .
В правой части индекс j свободный. Приняв последовательно
j = 1, 2, 3, имеем три уравнения:
j 1 S1 11n1 21n2 31n3 ,
j 2 S 2 12n1 22n2 32n3 ,
j 3 S3 13n1 23n2 33n3 .
Задача 2. Требуется записать в развернутой форме уравнение
n ij ni n j .
Решение. В одночленном выражении два немых индекса i и j,
следовательно, проводится двойное суммирование. Вначале проведем суммирование по индексу i (i = 1, 2, 3), затем по индексу
j (j = 1, 2, 3):
n ijni n j 1 j n1n j 2 j n2n j 3 j n3n j
11n1n1 12n1n2 13n1n3 21n2n1 22n2n2
23n2n3 31n3n1 32n3n2 33n3n3 .
Задача 3. Записать в развернутой форме выражение
Sij= σij – σδij.
Решение. Запись Sij в правой части выражения обозначает совокупность величин 32 = 9 величин: S11, S12, S13, S21, S22, S23, S31, S32,
S33. Соответственно получим запись девяти уравнений:
27
S11 11 , S 21 21 , S31 31 ,
S12 12 , S 22 22 , S32 32 ,
S13 13 , S 23 23 , S33 33 .
Задача 4. Даны уравнения в развернутом виде.
Sx = σxxnx + σxyny + σxznz,
Sy = σyxnx + σyyny + σyznz,
Sz = σzxnx + σzyny + σzznz.
Записать их в тензорном виде.
Решение. Вначале перейдем от декартовых обозначений
координатных осей к тензорным обозначениям. Имеем три уравнения:
S1 = σ11n1 + σ12n2 + σ13n3,
S2 = σ21n1 + σ22n2 + σ23n3,
S3 = σ31n1 + σ32n2 + σ33n3.
Из уравнения видно, что в их состав входит девять чисел:
σ11, σ12, σ13, σ21, σ22, σ23, σ31, σ32, σ33. Обозначим их как σij. Так как
второй индекс в обозначении σij совпадает с nj, то Si = σijnj.
1.4 Тензор напряжений
Тензоры – это инвариантные объекты, не зависимые от выбора
системы координат. Компоненты тензора при изменении координатной системы меняются по определенному линейному закону.
Все скалярные и векторные величины можно рассматривать
как тензоры.
Тензор характеризуется определенным рангом. Наиболее простым является тензор нулевого ранга. Он представляет собой скалярную величину, и его единственная компонента не меняет своего
28
значения при преобразовании координатной системы. Пример тензора нулевого ранга – это расстояние между двумя точками в пространстве. Эту компоненту называют инвариантом.
Вектор a в трехмерном пространстве характеризуется компонентами (числами) а1, а2, а3 и описывается тензором первого ранга.
Покажем это: возьмем две координатные системы – старую (x, y, z)
и новую (x', y', z') и рассмотрим в них вектор a (рис. 10).
В старой системе вектор a имеет компоненты ax, ay, az, в новой
системе – ax', ay', az'. Компоненты вектора связаны следующими соотношениями:
ax' = ax cos(x'x) + ay cos(x'y) + az cos(x'z),
ay' = ax cos(y'x) + ay cos(y'y) + az cos(y'z),
az' = ax cos(z'x) + ay cos(z'y) + az cos(z'z).
Рис. 10. Вектор a в старой и новой системах координат
В индексной форме
ai' = αi'i ai,
(1)
где αi'i – косинусы углов между старой и новой системами коорди
нат; ai,– компоненты вектора a в старой системе; ai' – компоненты
вектора a в новой системе.
29
Задача 5. В системе координат x, y, z задан вектор a = 2i+3j-k.
Определить его компоненты в системе координат x', y', z',
направление осей которых заданы в таблице направляющих косинусов:
Решение. На основании формулы (1) имеем:
3 1
3 1 0 3 3 ,
ax 2
2
2 2
3 3
1 3
ay 2 3
1 0
1,
2
2 2
az 20 30 11 1.
В системе координат x', y', z' вектор записывается следующим
образом:
3 3 3
a 3 i
1 j k .
2 2
Величина, характеризующаяся тремя числами, линейно преобразующимися по формуле (1), и есть тензор первого ранга.
Аналогично тензором второго ранга называется любая величина, определяющаяся девятью числами αij в прямоугольной системе координат, преобразующимися по следующему закону:
αi'j' = αi'iαj'jaij.
30
Направляющие конусы связаны между собой соотношением
αikαjk = δij.
В развернутом виде
αi1αj1 + αi2αj2 +αi3αj3 = δij,
при i = j = 1,
α112 + α222 + α332 = 1.
Обычно компоненты тензора второго ранга записываются в
виде матрицы
a11
aij a 21
a
31
a12
a 22
a32
a13
a 23 .
a33
Число компонентов тензора подчиняется следующему выражению:
N = 3p,
где N – число компонент, а p – ранг тензора.
При p = 0, N = 1; p = 1, N = 3; p = 2, N = 9; p = 4, N = 81.
В индексных обозначениях ранг тензора определяется только
свободными индексами, например, Fikk – тензор первого ранга,
Tij – тензор второго ранга, Sijlm – тензор четвертого ранга.
Как показано выше, напряженное состояние в точке деформируемого твердого тела характеризуется девятью числами и поэтому может быть описано тензором второго ранга – тензором напряжений:
x
T ij yx
zx
xy
y
zy
xz
yz .
z
В столбцах тензора напряжений содержатся напряжения,
направление которых параллельно соответственно координатным
осям x, y и z, а в строках – компоненты напряжения, действующие
31
на площадках, нормаль которых параллельна осям x, y и z соответственно. Диагональ матрицы, составленная из нормальных напряжений, называется главной диагональю.
Приняв
хх х 11 , yy y 22 , zz z 33 ,
xy хy 12 и т.д., получим следующую запись тензора напряжений:
11
T ij 21
31
12
22
32
13
23 .
33
Если принять, что τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz, σij = σji, то тензор
напряжений становится симметричным относительно главной диагонали, а напряженное состояние в точке характеризуется только
шестью независимыми компонентами σij.
Если компоненты тензора описывают свойства деформируемых материалов, то такие тензоры называют материальными.
Например, с помощью тензоров второго ранга описывают свойства
электропроводности, диэлектрической и магнитной проницаемости.
Если компоненты тензора не отражают свойства материалов, а
зависят только от внешних сил и положения площадки в пространстве, то такие тензоры называют полевыми. Тензор напряжений –
это полевой тензор, описывающий напряженное состояние в точке
деформируемого тела, как в упругом, так и в пластическом состоянии.
Над тензорами можно проводить ряд операций.
1. Два тензора одинакового ранга равны, если равны их соответствующие компоненты Aij = Bij.
2. Умножение тензора на скаляр дает новый тензор того же
ранга, но с компонентами, увеличенными на сомножитель λ,
Ki = λMi.
32
3. Тензоры одинакового ранга можно складывать или вычитать покомпонентно Aij ± Bij = Cij.
4. Внешнее произведение двух тензоров произвольного ранга
сводится к получению нового тензора, у которого компоненты образованы умножением каждой компоненты одного тензора на каждую компоненту другого тензора. Ранг полученного тензора равен
сумме рангов сомножителей: aibj = cij, DijTk = Фijk.
5. Свертыванием тензора по двум свободным индексам называется операция, когда два индекса обозначают одной и той же буквой, при этом они становятся индексами суммирования. В результате получается тензор, ранг которого на две единицы меньше.
Например, имеем тензор третьего ранга Tijk. Заменим обозначение k
на индекс j и получим тензор первого ранга Tijj. Сверткой тензора Tij
будет Tjj = T11 + T22 + T33.
6. Свертыванием произведения (скалярное внутреннее умножение) называют результат операции свертывания, примененной к
внешнему произведению данных тензоров с последующим свертыванием по индексам, относящимся к разным сомножителям:
aijbil = cjl.
1.5 Напряжения на наклонной площадке
При решении задач пластического деформирования необходимо уметь определять связь напряжений на наклонной площадке
внутри тела и напряжениями на трех взаимно перпендикулярных
площадках.
Выделим в окрестности начала координат деформируемого
тела бесконечно малый элемент, представляющий собой тетраэдр
(рис. 11, а), образованный наклонной и координатными площадками. Положение наклонной площадки в пространстве определяется направляющими конусами:
cos(n, x) = nx, cos(n, y) = ny, cos(n, z) = nz,
где n – внешняя нормаль к наклонной площадке.
33
Обозначим площадь наклонной площадки ∆F. Тогда площади
других граней тетраэдра представляют собой проекции площадки
∆F на координатные плоскости: ∆Fx=∆Fnx, ∆Fy=∆Fny, ∆Fz=∆Fnz.
a
б
Рис. 11. Напряжения на наклонной площадке
Пусть на наклонную площадку действует вектор внешних сил
S . Его проекции на координатные оси: Sx, Sy, Sz. Известны также
напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках, параллельных
координатным плоскостям, внутри тела (рис. 11, б). Выдеx
x
ленный
тетраэдр находится в равновесии. Из условия равновесия
следует, что суммы всех действующих по его граням сил на оси координат равны 0. Перейдем от напряжений к силам, умножая каждое напряжение на площадь соответствующей грани. Получим:
Σx = 0 Sx∆F – σx∆Fx – τxy∆Fy – τxz∆Fz = 0,
Σy = 0 Sy∆F – τуx∆Fx – σy∆Fy – τyz∆Fz = 0,
Σz = 0 Sz∆F – τzx∆Fx – τzy∆Fy – σz∆Fz = 0.
Откуда
S x x n x xy n y xz n z ,
S y yx n x y n y yz n z , .
S z zx n x zy n y z n z
34
(2)
С учетом индексных обозначений Si = σijnj .
Эти уравнения впервые получены французским ученым
О. Коши. Они связывают проекции на оси координат вектора пол
ного напряжения S с напряжениями, действующими на трех взаимно перпендикулярных площадках. Суммируя компоненты Sx, Sy,
Sz по правилу параллелепипеда, получим полное напряжение S.
S 2 S x2 S y2 S z2 .
Нормальное напряжение на наклонной площадке σn определяется как сумма проекций Sx, Sy, Sz на нормаль к площадке:
σn = Sxnx + Syny + Sznz.
Полное касательное напряжение τ на наклонной площадке
находится по правилу параллелограмма:
2n S 2 2n .
По полученным формулам можно найти напряжения на любой
наклонной площадке, проходящей через заданную точку внутри деформируемого тела, если известны в этой точке напряжения по трем
взаимно перпендикулярным площадкам, параллельным координатным плоскостям.
Задача 6. Напряженное состояние в исследуемой точке тела
задано тензором напряжений
90
T 30
0
30
30
120
0
120 .
180
Размерность компонент тензора приведена в МПа. Для площадки, нормаль к которой определяется направляющими косинусами nx = 2/3, ny = 2/3, найти полное S, нормальное σn и касательное
τn напряжения.
35
Решение. Известно, что nx2+ny2+nz2 = 1, откуда
nz 1 nx2 n 2y 1
4 4 1
.
9 9 3
По формулам О. Коши (2):
2
2
1
S x σ x n x τ xy n y τ xz n z 90 30 0 40 МПа,
3
3
3
2
2
1
S у τ уx nх σ у n у τ yz nz 30 30 120 40 МПа,
3
3
3
S z τ zx n x τ zy n y σ z n z 0
2
2
1
120 180 20 МПа.
3
3
3
Полное напряжение
S S x2 S y2 S z2 402 402 202 60 МПа .
Нормальное напряжение
n S x n x S y n y S z n z 40
2
2
1
40 20 60МПа .
3
3
3
Касательное напряжение
n S 2 2n 602 602 0 .
1.6 Главные нормальные напряжения
Среди трех взаимно перпендикулярных площадок, проходящих через любую точку нагруженного тела, найдутся такие, на которых касательные напряжения отсутствуют. Такие площадки
называются главными, а соответствующие им нормальные напряжения – главными нормальными напряжениями. Существование
главных площадок доказывается следующим образом.
Рассмотрим выражение для расчета n на наклонной площадке:
36
n S x nx + S y n y + S z nz .
После подстановки в него (2) получим
n x nx2 y n 2y z n z2 2 xy n x n y 2 yz n y n z 2 zx nz n x .
(3)
Отложим от начала координат к наклонной площадке, прохо
дящей через заданную точку А, радиус-вектор r по направлению
нормали (рис. 12).
Рис. 12. Наклонная площадка
Величину радиуса-вектора возьмем обратно пропорциональной величине нормального напряжения:
c
r
n
или
n
r
,
c2
где c – произвольная постоянная, определяющая масштаб.
Координаты вектора r :
x = rnx , y = rny , z = rnz.
Отсюда значения направляющих косинусов:
nx
x
r
z
r
y
, ny , nz .
r
Подставляя эти значения в уравнение (3), получим алгебраическое уравнение второй степени:
x x 2 y y 2 z z 2 2 xy xy 2 yz yz 2 zx zx c.
37
Полученное уравнение представляет собой поверхность второго порядка, отнесенную к центру координат – эллипсоид. В уравнении отсутствуют члены с x, y, z, определяющие смещение эллипсоида относительно начала координат. Концы радиуса-вектора r
будут лежать на поверхности. Найденная поверхность называется
поверхностью напряжений (эллипсоидом напряжений).
Изменяя направление осей координат, можно преобразовать
уравнение поверхности таким образом, что в нем обратятся в нули
коэффициенты при членах, содержащих парные произведения координаты, т.е. τxy = τyz = τzx = 0.
Оси координат, при которых члены, содержащие произведение
координат, обращаются в ноль, называются главными осями, а нормальные напряжения, направленные по этим осям, – главными нормальными напряжениями. Следовательно, когда за координатную
систему взята система главных осей напряжений, то на координатных плоскостях, являющихся главными площадками, не будет касательных напряжений. По напряжениям в данной точке можно
отыскать главные нормальные напряжения и их направления.
Допустим, что для данной точки наклонная площадка является
главной. Тогда τn = 0 и полное напряжение S на этой площадке будет
направлено по нормали n (рис. 13). Обозначив искомое главное
нормальное напряжение, действующее на наклонной площадке, положение которой определяется nx, ny, nz, через σ и проектируя его на
координатные оси, находим составляющие главного нормального
напряжения, параллельные координатным осям:
Sx = σnx, Sy = σny, Sz = σnz.
Приравнивая полученные соотношения условиям О. Коши, получим:
Sx = σnx = σxnx + τxyny + τxznz,
Sy = σny= τyxnx + σyny + τyznz,
Sz = σnz = τzxnx + τzyny + σznz,
38
или
(σx-σ)nx+τxyny+τxznz = 0,
τyxnx+(σy-σ)ny+τyznz = 0,
τzxnx+τzyny+(σz-σ)nz = 0.
(4)
Рис. 13. Проекции полного напряжения на координатные оси
Полученная система может быть решена как система из трех
линейных однородных уравнений с тремя неизвестными nx, ny, nz. С
учетом тензорных обозначений запись будет выглядеть
(σij – σδij)nj = 0. Полученная система не допускает тривиального решения nx = ny = nz = 0, так как сумма квадратов направляющих косинусов n2x + n2y + n2z = 1. Следовательно, система (4) будет иметь решение, отличное от нуля при условии, что определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю:
x
xy
xz
yx
y
yz
zx
zy
z
0.
Раскрываем определитель:
(σx–σ)(σy–σ)(σz–σ)+2τyxτzyτxz–(σx–σ)τ2zy–(σy–σ)τ2zx–(σz–σ)τ2xy= 0.
39
Первое слагаемое этого уравнения равно
(σx – σ)(σy – σ)(σz – σ) = –σ3 + (σx + σy + σz)σ2–
–(σxσy + σyσz + σzσx)σ + σxσyσz.
После его подстановки и преобразований получаем уравнение
третьей степени относительно σ:
σ3 –(σx + σy +σz)σ2 + (σxσy + σyσz + σzσx – τ2хy – τ2yz – τ2zx)σ –
– (σxσyσz + 2τxyτyzτzx – σxτ2yz – σyτ2zx – σzτ2xy) = 0
или
σ3 – I1(Tσ)σ2 + I2(Tσ)σ – I3(Tσ) = 0,
где I1(Tσ), I2(Tσ), I3(Tσ) – коэффициенты кубического уравнения, не
изменяющие своих значений при изменении положения координатных осей. Их называют инвариантами тензора напряжений.
Линейный инвариант
I1(Tσ) = σx + σy + σz = σ11 + σ22 + σ33 = σii.
Квадратичный инвариант
I 2 T
11
21
x
yx
xy y
y
zy
12
22
22 32
yz
z
z
xz
23 33
33 13
zx
x
31 1
ii jj ijij .
11 2
Кубический инвариант
x
I 3 T ij yx
zx
xy
y
zy
xz
yz .
z
Решая кубическое уравнение, получаем три главных напряжения σ1, σ2, σ3, которые располагаются следующим образом:
σ1 σ2 σ3 .
40
Одним из методов решения кубического уравнения является
метод Кардано. При решении методом Кардано подстановкой
1
x I1 ,
3
кубическое уравнение приводится к виду:
x 3 px q 0 ,
где
1
p I 2 I12 ,
3
2
1
q I13 I1 I 2 I 3 .
27
3
Если дискриминант приведенного уравнения отрицателен, то
все корни вещественные
3
2
p q
0 , х1 2
3 2
х2 2
2
cos
,
3
3
3
q
где cos
2
p3
27
х3 2
p
cos ,
3
3
4
cos
,
3
3 3
.
Если кубичное уравнение можно разложить на линейное и
квадратное уравнения, то задача определения главных нормальных
напряжений упрощается:
k a2 b c 0 ,
k 0 , k ,
a2 b c 0 ,
b b 2 4ac
.
2a
41
Каждому главному напряжению будет соответствовать главная ось, для которой направляющие косинусы находятся из решения системы уравнений. Для первого главного напряжения система
уравнений имеет вид
(σx – σ1)n'x + τxyn'y + τxzn'z = 0,
τyxn'x + (σy – σ1)n'y + τyzn'z = 0,
τzxn'x + τzyn'y + (σz – σ1)n'z = 0.
Сюда же добавляется условие
(n'x)2 + (n'y)2 + (n'z)2 = 1.
Вообще, достаточно найти положение одной главной площадки напряжений, так как две другие площадки взаимно перпендикулярны.
Тензор напряжений в главных осях имеет вид
1 0
T 0 2
0
0
0
0 .
3
Если в обычных осях напряженное состояние в точке задается
шестью числами: σx, σy, σz, τxy , τyz, τzx, то в главных осях тремя значениями главных нормальных напряжений и тремя направляющими косинусами, определяющими положение одной из главных
площадок. Если напряженное состояние задано главными напряжениями, то выражения напряжений, действующих на наклонной площадке, значительно упрощаются.
Составляющие полного напряжения S в каждой точке тела:
S1 = σ1n1, S2 = σ2n2, S3 = σ3n3,
(5)
где n1, n2, n3 – направляющие косинусы главных площадок 1, 2 и 3
соответственно.
Полное напряжение
S 2 12 n12 22 n22 32 n32 .
42
Нормальное напряжение
n 1 n12 2 n22 3n32 .
Касательное напряжение
2n S 2 2n 1n1 2 n2 3n3 1n12 2 n22 3n32 .
2
2
2
2
Значение инвариантов тензора напряжений в системе главных
осей:
I1(Tσ) = σ1+σ2+σ3,
I2(Tσ) = σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1,
I3(Tσ) = σ1σ2σ3.
Из уравнения (5) следует, что
n1
S1
,
1
n2
S
S2
, n3 3 .
3
2
Учитывая, что
n12 n22 n32 1,
получаем уравнение трехосного эллипсоида напряжений, отнесенное к центру и главным осям (рис. 14):
S12 S 22 S 32
1.
12 22 32
(6)
Полуоси эллипсоида напряжений численно равны главным
нормальным напряжениям в данной точке тела. Любой отрезок от
центра до пересечения с поверхностью эллипсоида представляет собой величину полного напряжения S на наклонной площадке, перпендикулярной к отрезку, а проекции отрезка на оси координат
равны составляющим полного напряжения по осям S1, S2, S3. Эллипсоид напряжения является пространственным геометрическим образом напряженного состояния в исследуемой точке деформируемого тела.
43
Рис. 14. Эллипсоид напряжений
Если одно из главных нормальных напряжений равно нулю, то
эллипсоид напряжений (6) превращается в эллипс напряжений и
объемное напряженное состояние преобразуется в плоское напряженное состояние (рис. 15).
Рис. 15. Эллипс напряжений
Если два главных нормальных напряжения равны нулю, то эллипсоид (6) превращается в отрезок прямой линии, что соответствует линейному напряженному состоянию.
1.7 Схемы главных нормальных напряжений
Исходя из количества действующих напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках, возможны девять схем главных нормальных напряжений: линейные, плоские и объемные
(рис. 16).
44
Рис. 16. Схемы главных нормальных напряжений
Схемы представлены графически в виде кубиков, грани которых ориентированы в направлении действия главных напряжений.
Наличие напряжения и его направление обозначаются стрелкой.
Схемы, имеющие напряжения одного знака, называют одноименными, а разных знаков – разноименными. Схемы дают графическое
представление о наличии и знаке главных нормальных напряжений.
Они являются по предложению С.И. Губкина классификатором
всех видов напряженного состояния деформируемого тела.
От схем главных нормальных напряжений зависит пластичность деформируемого тела и его сопротивление деформированию
(усилие деформирования). Пластичность металла всегда больше в
схемах со сжимающими напряжениями, чем в схемах с растягивающими напряжениями.
Наибольшим сопротивлением деформированию отличаются
металлы в условиях деформирования при одноименных схемах. В
условиях разноименных схем, а также линейной, сопротивление деформации снижается (рис. 17).
45
Схемы линейного напряженного состояния встречаются на
практике редко. Схема линейного растяжения реализуется, например, при растяжении тела, длина которого значительно больше размеров в остальных двух измерениях (растяжение струны, канатов и
т.п.). Плоская схема напряженного состояния с известным приближением может быть создана при растяжении тонкой пластины по
контуру. Объемное напряженное состояние возникает почти при
всех процессах обработки металлов давлением (прокатка, прессование, горячая штамповка, волочение).
Рис. 17. Схемы волочения и прессования круглого прутка
Задача 7. Определить главные нормальные напряжения и
направления главных осей, если в рассматриваемой точке деформируемого тела известен тензор напряжений:
T .
Решение. Для нахождения главных нормальных напряжений
составим определитель:
46
0.
Раскроем его по первой строке, т.е. возьмем в виде произведения элементов первой строки на алгебраические дополнения:
0,
2 2 2 2 0 .
Получим кубическое уравнение
2 2 0 .
Тогда
22 0 ,
0, 0,
2 22 0 ,
σ2 – 3τσ = 0 или σ(σ – 3τ) = 0, отсюда получим корни уравнения:
σ1 = 3τ, σ2 = 0, σ3 = 0.
Полученный тензор в главных осях соответствует линейному
напряженному состоянию:
3 0 0
T 0 0 0 .
0 0 0
Найдем направляющие косинусы для первой главной оси. При
подстановке σ1 = 3τ в уравнения (4) получим следующую систему
уравнений:
-2nx+ny+nz = 0,
47
nx–2ny+nz = 0,
nx+ny-2nz = 0,
n2x+n2y+n2z = 1.
Решая совместно первые два и последнее уравнения системы,
получим nx = ny = nz = 1/ 3.
Аналогично находятся направляющие косинусы nx, ny и nz, описывающие положение главных осей 2 и 3 в пространстве.
Задача 8. Напряженное состояние в точке, отнесенное к системе прямоугольных декартовых координат, записано в виде тензора
10 5 0
ij 5 20 0 .
0
0 30
Величина составляющих тензора дана в кг/мм2. Нужно вычислить величину и направление главных напряжений.
Решение. Одну составляющую главных напряжений можно
определить сразу же из записи данного тензора, а именно,
σ1 = 30 кг/мм2. Остальные составляющие главных напряжений
можно получить из первых двух уравнений (4), когда τzx = τzy = 0.
Тогда, определяя коэффициенты направляющих косинусов и
задавая определитель равным нулю, получим
5
10 p
0,
5
20 p
10 p 20 p 25 0 ,
σp2 – 30 σp + 175 = 0,
σp = 15 ± 7,08.
Отсюда σ2 = 22,08 кг/мм2, σ3 = 7,92 кг/мм2.
Направляющие косинусы можно определить, как из уравнений
(4), так и из записи тензора напряжений в данной задаче
48
n3' = 1, n1' = n2' = 0,
n3'' = 0, (n1'')2 + (n2'')2 = 1,
(σx – σ2) n1'' + τxy n2'' = 0.
Возведя в квадрат последнее уравнение и определив одновременно направляющие косинусы, получим
n1
x
2xy
2
2
n2
2xy
5
0,384 ,
34
29
0,925,
34
cosx,2 67 o35,
cos y,2 22o 25.
Таким же образом находим
n3'' = 0,
n1
29
0,925,
34
cos x, 3 22 o 25,
n2
5
0,384,
34
cos y, 3 67 o35.
1.8 Октаэдрические напряжения
В теории пластичности большое значение имеют площадки,
одинаково наклоненные к главным осям. В этом случае
1
n12 n22 n32 .
3
Таких площадок четыре. С четырьмя им параллельными они
образуют фигуру октаэдра (рис. 18), поэтому их называют октаэдрическими и также называют напряжения σокт и τокт, которые действуют на этих площадках.
Нормальное октаэдрическое напряжение σокт равно среднему
нормальному напряжению:
49
окт S1n1 S 2 n2 S3n3 1n12 2 n22 3n32
1
1 2 3 ср ,
3
так как
S1 1n1 , S2 2 n2 , S3 3n3 .
Рис. 18. Октаэдр
Полное напряжение на октаэдрической площадке
S
S12 S 22 S 32
1
12 22 32 .
3
Касательное октаэдрическое напряжение в главных осях
2
окт S 2 окт
1
3
1 2
1
2
1 22 32 1 2 3
3
9
1 2 2 2 3 2 3 1 2 .
В декартовой системе координат x, y, z
окт
50
1
3
x
y
2
y
z
2
x 6 2xy 2yz 2zx .
2
z
1.9 Разложение тензора напряжений
Напряженное состояние в любой точке деформированного
тела можно представить в виде суммы двух напряженных состояний: равномерного всестороннего растяжения (сжатия) и второго
напряженного состояния, равного разности между полным и приведенным выше.
В тензорной записи оно заключается в разложении тензора
напряжений Tσ (рис. 19, а) на шаровой тензор T0 (рис. 19, б) и девиатор D (рис. 19, в).
х
ух
zx
xy
y
zy
xz ср
yz 0
z 0
0
ср
0
0 х ср
0 ух
ср zx
xy
y ср
zy
xz
yz .
z ср
Шаровой тензор напряжений
ср
T 0
0
0
ср
0
0
0
0 ,
ср
где ср – среднее нормальное напряжение (гидростатическое давление);
ср
x y z
3
кк
,
3
не зависящее от направления координатных осей x, y, z, то есть ср
является инвариантом.
Если напряженное состояние характеризуется шаровым тензором напряжений, то тело в процессе деформации испытывает только
упругое изменение объема, а изменение формы не происходит.
51
а
б
в
Рис. 19. Схема разложения тензора напряжений
Схем шарового тензора напряжений может быть только две:
схема равностороннего сжатия и схема равностороннего растяжения (рис. 20).
Рис. 20. Схемы шарового тензора
Так как три главных нормальных напряжения равны по знаку
и по величине, то эллипсоид напряжений обращается в шар. Отсюда
и произошло название шарового тензора напряжений.
Девиатор напряжений
x ср
xy
xz
D yx
y ср
yz ,
zy
z ср
zx
характеризует только компоненты напряжений, вызывающие изменение формы тела. Иногда компоненты девиатора обозначают следующим образом:
52
S x x ср , S xy xy ,
S y y ср , S yz yz ,
S z z ср , Szx zx ,
или
Sx
D Sij S yx
S zx
S xy
Sy
S zy
S xz
S yz .
Sz
Составляющая девиатора напряжений в направлении главной
оси 1 – всегда будет положительной, σ1 – σср > 0; оси 3 – всегда будет
отрицательной, σ3 – σср < 0; оси 2 – может быть больше, меньше или
равна нулю. Отсюда следуют три возможных схемы девиатора
напряжений (рис. 21).
Рис. 21. Схемы девиатора напряжений
Главные оси девиатора напряжений совпадают с главными
осями тензора напряжений.
Кубическое уравнение для нахождения главных осей девиатора напряжений имеет вид:
S3 – I1(Dσ)S2 + I2(Dσ)S – I3(Dσ) = 0.
(7)
где I1(Dσ), I2(Dσ), I3(Dσ) – инварианты девиатора напряжений соответственно.
53
Так как первый инвариант девиатора напряжений
I1 D x ср y ср z ср x y z 3ср 0,
то уравнение (7) имеет вид
S3 + I2(Dσ)S – I3(Dσ) = 0.
Особую роль в теории пластичности играет второй инвариант
девиатора напряжений:
I 2 D
1
x y
6
2
y
z
2
x 6 2xy 2yz 2zx .
2
z
Он используется для подсчета работы и мощности пластической деформации в виде интенсивности напряжений: величин, пропорциональных квадратному корню из второго инварианта девиатора напряжений. В зависимости от принятого коэффициента пропорциональности различают понятия интенсивности касательных
напряжений
T I 2 D
z
1
2
2
2
x y y z z x 6 2xy 2yz 2zx
6
и интенсивности (нормальных) напряжений
i
1
2
x
y
2
y
2
z
2
x 6 2xy 2yz 2zx .
В сокращенной тензорной записи:
1
S ij S ij , i
2
В системе главных осей
T
54
T
1
6
i
1
2
3
Sij Sij .
2
1 2 2 2 3 2 3 1 2
,
1 2 2 2 3 2 3 1 2 .
(8)
(9)
Коэффициенты пропорциональности к формулам (8), (9) выбраны так, чтобы в случае одноосного растяжения (σ1 = σ1,
σ2 = σ3 = 0) интенсивность напряжений совпадала с величиной
наибольшего главного напряжения, σi = σ1, а в случае чистого сдвига
(σ1 = τ, σ2 = 0, σ3 = -τ) интенсивность касательных напряжений совпадала с величиной наибольшего касательного напряжения τ.
Третий инвариант девиатора напряжений
x cp
xy
xz
I 3 D yx
y cp
yz .
zx
zy
z cp
Интенсивность напряжений является интегральной характеристикой напряженного состояния в каждой точке деформируемого тела.
На рис. 22 показан график распределения интенсивности
напряжений в меридиональном сечении при прессовании круглого
прутка, из которого видно, что распределение интенсивности
напряжений по объему заготовки неравномерное. Величина интенсивности напряжений нарастает к выходу из канала матрицы, где
достигает максимальных значений, а после выхода из канала матрицы резко убывает до нулевых значений.
Рис. 22. Распределение интенсивности напряжений σi по объему заготовки
при прессовании круглого прутка
55
Таким образом, разложение тензора на шаровой и девиатор
позволяет разделить его на напряжения, влияющие на изменение
объема и формы тела.
Задача 9. Представить тензор напряжений в виде шарового
тензора и девиатора
10 50 60
T 50 20 40 .
60 40 30
Решение. Среднее нормальное напряжение
x y z 10 20 30
ср
20 МПа.
3
3
Тогда тензор напряжений в виде шарового тензора и девиатора
имеет вид
0 10 50 60
10 50 60 20 0
0 40 .
50 20 40 = 0 20 0 + 50
60 40 30 0
0 20 60 40 10
Если разделить все компоненты девиатора напряжений на τокт ,
то получим направляющий тензор напряжений D .
1 ср
0
0
окт
2 ср
T D .
T T окт
0
0
окт
окт
3 ср
0
0
окт
В результате деления компонент девиатора напряжений на 𝜏окт
мы получаем безразмерные величины, поэтому новый тензор определяет только направление главных напряжений и их соотношения.
Если главные оси напряжений известны, то направляющий тензор
56
напряжений характеризуется только одним числом – показателем вида напряженного состояния:
1 3
2 .
1 3
2
2
(10)
Согласно формуле (10) для одноосного растяжения (σ1 > 0,
σ2 = σ3 = 0) = –1, для одноосного сжатия (σ1 = σ2 = 0, σ3 < 0) =1
для чистого сдвига (σ1 = –σ3, σ2 = 0) = 0.
1.10 Главные (максимальные) касательные напряжения
Главные касательные напряжения имеют большое значение в
теории пластического деформирования металлов (ТПДМ). Ранее
было определено, что в любой точке деформируемого тела можно
найти три взаимно перпендикулярных площадки, на которых касательные напряжения отсутствуют. Во всех других направлениях касательные напряжения существуют и в зависимости от положения
площадки в пространстве будут различными по величине. Найдем
положение площадки, где касательные напряжения принимают экстремальные значения.
Примем для заданной точки главные направления тензора
напряжений σij за направления координатных осей. Тогда на
наклонной площадке в главных осях касательное напряжение равно
2
2n S 2 2n 12 n12 22 n22 32 n32 1n12 2 n22 3 n3 .
После преобразования получим
2n n12 n22 1 2 n22 n32 2 3 n32 n12 3 1 .
2
2
Рассмотрим частный случай, когда n3 = 0.
Тогда 2n n12 n22 1 2 .
2
57
Из условия связи направляющих косинусов
n12 n22 1
(11)
имеем
n22 1 n12 .
Тогда
2n n12 1 n12 1 2 .
2
Для отыскания площадки с наибольшими касательными
напряжениями исследуем данное уравнение на экстремум. Для
этого найдем первую частную производную по n1 и приравняем ее
к нулю:
2 n
n
2
2n1 1 2n12 1 2 0 .
n1
Откуда следует, что
n1 1 2n12 0 ,
так как 1 2 .
Одно из решений этого уравнения n1 0. Тогда из (11) имеем
n2 1. Это координатная плоскость, на которой касательное
напряжение равно нулю.
Для получения решений, отличных от нуля, необходимо при2
нять 1 2n1 0 , или
1
n2 .
2
Таким образом, плоскости максимальных касательных напряжений расположены под углом 45° к главным осям 1 и 2 и параллельны оси 3 (рис. 23).
n1
58
Таких площадок 2 и они взаимно перпендикулярны. Касательные напряжения, действующие на этих площадках, называются
главными касательными напряжениями:
2
12
1 1
2
1 2
2 2
или
12
1 2
1
2
, 21 2
, 12 1
.
2
2
2
Рис. 23. Площадки максимальных касательных напряжений
Аналогично можно рассмотреть и другие частные случаи, когда n1 = 0 и n2 = 0. Повторяя полученные выше рассуждения, получим
59
2 3
1
.
, 31 3
2
2
При объемном напряженном состоянии на шести площадках,
расположенных под углом 45° к главным осям, действует шесть
максимальных касательных напряжений:
23
12
1 2
3
1
,
, 23 2
, 31 3
2
2
2
(12)
связанных между собой тождеством
τ12+τ23+τ31 = 0.
(13)
Так как принято, что 1 2 3 , то наибольшее касательное
напряжение τ13 равно алгебраической полуразности максимального
и минимального главных нормальных напряжений:
max 13
1 3
.
2
Интенсивность T и τmax связаны соотношением
1
T
max
1,15 .
С погрешностью около 7% можно принять Т ≈ 1,08 τmax.
Следует отметить, что на площадках, где действуют максимальные касательные напряжения, нормальные напряжения отличны от нуля:
n 1n12 2 n22 3 n32 .
Если n1 n2
1
, n3 = 0, то n
1 2
.
2
2
Таким образом, главные касательные напряжения равны полуразностям главных нормальных напряжений. Нормальные напряжения, действующие на площадках главных касательных напряжений, равны полусуммам главных нормальных напряжений.
60
Задача 10. Напряженное состояние в точке тела задано тензором напряжений в главных осях.
Определить главные касательные напряжения.
40 0 0
T 0 30 0 .
0 0 10
Решение. Используя формулы (12), получим
12
40 30
5 МПа,
2
30 10
10 МПа,
2
10 40
31
15 МПа.
2
На основании формулы (13) имеем
23
τ12 + τ23 + τ31 = 5 + 10 – 15 = 0.
Задача 11. Для напряженного состояния, представляющего собой положение трех чистых сдвигов во взаимно перпендикулярных
плоскостях, определить максимальные касательные напряжения,
если
1
1
1
xy yz zx 40 МПа.
2
2
2
Решение. Вначале определим главные нормальные напряжения, воспользовавшись кубическим уравнением
σ3 – I1(Tσ)σ2 + I2(Tσ)σ – I3(Tσ) = 0,
где
I1(Tσ) = σx + σy + σz,
I2(Tσ) = σxσy + σyσz + σzσx – τ2xy – τ2yz – τ2zx,
I3(Tσ) = σxσyσz – σxτ2yz – σyτ2zx – σzτ2xy + 2τxyτyzτzx.
61
После подстановки компонент напряжений, получаем следующее кубическое уравнение:
σ3 – 9τ2σ – 8τ3 = 0,
где
I1(Tσ) = 0, I2(Tσ)= – 9τ2, I3(Tσ) = 8τ3.
По условию τ = 40 МПа, тогда
σ3 – 14400σ – 512000 = 0.
Левую часть последнего уравнения можно разложить на множители:
(σ + 40)(σ2 – 40σ – 12800) = 0.
Приравнивая к нулю первый сомножитель, находим один из
корней уравнения:
σ = – 40 МПа.
Решив квадратное уравнение
σ2 – 40σ – 12800 = 0,
найдем остальные два корня:
σ = 20 ±
400 12800 20 115 МПа,
или σ = 135, σ = – 95.
С учетом правила индексов для главных напряжений
σ1 = 135 МПа, σ2 = –40 МПа, σ3 = –95 МПа.
Максимальное касательное напряжение
max
62
1 3 135 95
= 115 МПа.
2
2
1.11 Равновесие сил и моментов
Для определения условия равновесия деформированного тела
произвольной формы, нагруженного внешними поверхностными
силами, мысленно выделим в нем бесконечно малый элемент в
форме параллелепипеда с длинами ребер dx, dy, dz, параллельными
осями координат (рис. 24). Найдем условия, обеспечивающие его
равновесие.
Рассмотрим окрестность точки А с координатами x, y, z. Через
точку А проходят три взаимно перпендикулярные элементарные
площадки, напряженное состояние на которых описывается тензором напряжений
Рис. 24. Одноименные нормальные напряжения σx на противоположных гранях
элементарного параллелепипеда
x
T yx
zx
xy
y
zy
xz
yz .
z
63
Точка А' отстоит от точки А на бесконечно малом расстоянии.
Ее координаты (x+dx, y+dy, z+dz). Через точку А' проходят три взаимно перпендикулярные площадки. Согласно принятой гипотезе о
сплошности среды, напряжения являются непрерывными функциями координат. В точке А σx = f(x, y, z), в точке А' σ'x = f(x+dx, y, z).
Последнее выражение разложим в ряд Маклорена:
f x dx , y , z f x , y , z
df x , y , z
1 2 f x , y .z 2
dx
dx ... .
x
2!
x 2
Ограничимся двумя членами ряда. Тогда в точке А'
x x
x
dx .
x
Таким образом, одноименные напряжения на противоположных гранях отличаются друг от друга на величину приращения по
соответствующей координате. Тензор напряжений для точки А'
имеет вид
xy
x
dx xy
dy xz xz dz
x
y
z
yx
y
yz
T yx
dx y
dy yz
dz .
x
y
z
zy
zx
z
zx x dx zy y dy z z dz
На рис. 25 показан элементарный параллелепипед и напряжения, приложенные к его граням.
Так как по условию элементарный параллелепипед находится
в равновесии, то суммы проекций всех сил, действующих на этот
объем в направлении координатных осей, должны быть равны
нулю:
X 0 , Y 0 , Z 0 .
Усилия, действующие на грани параллелепипеда, равны напряжениям, умноженным на площадь соответствующей грани.
64
Составим уравнения равновесия всех сил на ось x.
Из рис. 25 видно, что силы σxdydz, τxydxdz, τzxdxdy на параллельных гранях взаимно уравновешены, следовательно,
xy
x
dxdydz
dxdydz xz dxdydz 0.
x
y
z
Сокращая на объем элементарного параллепипеда dv=dxdydz,
получим
x xy xz
0.
x
y
z
Рис. 25. Напряжения на гранях элементарного параллелепипеда
65
Аналогичные уравнения получим и для других двух осей, проецируя проекции сил на оси Y и Z. Окончательно имеем три дифференциальных уравнения равновесия, описывающих объемное
напряженное состояние в рассматриваемой точке:
x xy xz
0,
x
y
z
yx y yz
0,
x
y
z
zx zy z
0.
x
y
z
(14)
В тензорных обозначениях уравнение (14) имеет вид
ij
x j
0.
Уравнение (14) содержит шесть неизвестных величин: три нормальных и три касательных напряжения. Число уравнений три, поэтому для нахождения всех компонент напряжений необходимы дополнительные условия.
Кроме поверхностных сил, действующих по граням мысленно
выделенного в теле элементарного параллелепипеда, к нему могут
быть приложены объемные (массовые) силы, например, силы тяжести, отнесенные к единице объема. Обозначим проекции объемной
силы, приходящейся на единицу массы, через Fx, Fy, Fz. Тогда проекции объемной силы на весь объем выделенного элементарного
параллелепипеда будут
FxdV , Fy dV , Fz dV .
Уравнения равновесия с учетом массовых сил имеют вид
x xy xz
Fx 0,
x
y
z
66
yx
x
y
y
zy
yz
z
Fy 0,
zx
z Fz 0.
x
y
z
(15)
В тензорных обозначениях уравнение (15) имеет вид
ij
x j
Fi 0 .
Если объемной силой является лишь сила тяжести, а ось z
направлена вертикально вверх, то Fx = Fy = 0, Fz = –g (ускорение
силы тяжести), ρ (вес единицы объема тела).
Задача 12. Определить компоненты массовых сил Fi, если в
любой точке сплошной среды выполняются уравнения равновесия
(15), когда тензор напряжений задан в виде
ij
5 x1 x2
x22
0
x22
0
2 x3
Решение. Подставим в (15) значения
0
2 x3 .
0
ij
x j
, вычисленные по за-
данному тензору.
5x2 + 2x2 + 0 + Fx = 0;
0 + 0 + 2 + 𝐹𝑦 = 0;
0 + 0 + 0 + 𝐹𝑧 = 0.
Эти уравнения удовлетворяются при Fx = -7x2, Fy = -2, Fz = 0.
Если деформируемое тело находится в состоянии движения, то
к действующим силам нужно добавить силы инерции, взятые с обратным знаком, равные произведениям из массы параллелепипеда
проекции ускорения:
67
dV
d 2U x
dt 2
, dV
d 2U y
dt 2
d 2U z
, dV
dt 2
,
где Ux, Uy, Uz – проекции вектора перемещения на оси x, y, z.
Получим уравнения движения сплошной среды:
x xy xz
d 2U
Fx 2 x ,
x
y
z
dt
yx
x
y
y
yz
z
F y
d 2U y
dt 2
,
zx zy z
d 2U
Fz 2 z
x
y
z
dt
или в тензорных обозначениях
ij
x j
Fi
d 2U i
.
dt 2
Элементарный параллелепипед dV=dxdydz находится в равновесии, если выполняются еще три уравнения равновесия – равенства нулю суммы моментов всех сил относительно координатных
осей
Mx 0, My 0, Mz 0.
Составим уравнение равенства нулю суммы моментов всех сил
относительно оси y (рис. 26).
Следует иметь в виду, что силы, параллельные оси Y, а также
силы, пересекающие ось Y, момента относительно этой оси не дают.
Следует пренебречь также всеми дифференциалами напряжений,
дающих моменты выше третьего порядка малости. Например, нормальная сила на левой грани равна σxdydz, а на правой
x x dydz . Момент дает лишь их разность.
x
68
Рис. 26. Компоненты напряжений на гранях параллелепипеда,
создающие момент относительно оси Y
Следует иметь в виду, что силы, параллельные оси Y, а также
силы, пересекающие ось Y, момента относительно этой оси не дают.
Следует пренебречь также всеми дифференциалами напряжений,
дающих моменты выше третьего порядка малости. Например, нормальная сила на левой грани равна σxdydz, а на правой
x x dydz . Момент дает лишь их разность.
x
Получаем момент четвертого порядка малости и его из уравнения будем исключать
x
dz
dxdydz .
x
2
Момент третьего порядка дадут только две силы:
xz xz dx dydz и zx zx dz dxdy .
x
z
69
Уравнение моментов относительно оси имеет вид
xz xz dx dxdydz zx zx dz dxdydz 0.
x
z
Теперь отбросим бесконечно малые четвертого порядка,
получим xz dxdydz xz dxdydz .
Сокращая на
dV = dxdydz, имеем
объем
элементарного
параллелепипеда
zx xz .
Составив уравнения моментов относительно двух других осей,
окончательно получим:
xy yx , yz zy , zx xz .
Эти уравнения определяют закон парности касательных
напряжений:
σij = σji .
В соответствии с этим законом напряженное состояние в точке
деформируемого тела описывается шестью неизвестными компонентами. Тензор напряжений является симметричным. В каждых
двух взаимно перпендикулярных площадках компоненты касательных напряжений, направленные перпендикулярно к линии пересечения этих площадок, равны между собой и направлены оба к линии
пересечения или оба от линии пересечения.
В цилиндрической системе координат ( r , , z ) обозначим компоненты напряжений через r , , z ,r ,z , zr . Уравнения статического равновесия имеют следующий вид:
r 1 r rz z
0,
r r
z
r
r
r
70
z
1 z
2
0,
r
z
r
rz 1 z z rz
0.
r r
z
r
В сферической системе координат ( r ,, ) дифференциальные
уравнения равновесия записываются в следующем виде:
r 1 r
1 r 1
2 r r ctg 0,
r
r
r sin
r
r 1 r
1 1
3 r r ctg 0,
r
r r
2sin
r
r 1
1 1
3 r 2 ctg 0.
r
r
2sin
r
1.12 Диаграмма напряжений Мора
Диаграммы напряжений Мора дают наглядное графическое
представление о совокупности векторов нормальных и касательных
напряжений на наклонных площадках, построенных в системе главных осей напряжений. При построении диаграммы нормальные
напряжения на наклонных площадках будем откладывать на ось
абсцисс, а касательные по оси ординат. Нормальные напряжения на
наклонных площадках в главных осях:
n 1n12 2 n22 3 n32 .
(16)
Полное напряжение
S 2 12 n12 22 n22 32 n32 2n 2n .
(17)
Направляющие косинусы связаны соотношением:
n12 n22 n32 1.
(18)
71
Получаем линейную относительно n12 систему трех уравнений
(16)-(18). Умножим обе части уравнения (16) на (σ2+σ3):
2 3 n 12 n12 22 n22 32 n32 2 3 ,
(19)
а уравнение (18) умножим на σ2σ3:
2 3 n12 n22 n32 2 3 .
(20)
Из уравнения (18) почленно вычтем уравнение (19) и, прибавив
почленно уравнение (20), получим
2n 2n 2 3 n 2 3 12 n12 22 n22 32 n32
12 n12 22 n22 32 n32 2 3 2 3 n12 n22 n32 .
3
Прибавляя к обеим частям полученного уравнения 2
после
2
преобразования получим:
2
2
3
3
n 2
2n 2
n12 1 2 1 3 ,
2
2
2
2
1
1
n 3
2n 3
n 22 2 1 2 3 ,
2
2
2
(21)
2
2
2
n 1
2n 1
n32 3 1 3 2 .
2
2
Записанное уравнение (21) определяет окружности вида
(x – x0)2+y2=R2. Их центры расположены на оси абсцисс и отстоят
от начала координат на расстоянии
2 3 3 1 1 2
,
,
,
2
2
2
(рис. 27).
В правой части уравнения (21) n1, n2, n3 – это изменяемые параметры, поэтому каждое из уравнений (21) – это уравнение концентрических окружностей с радиусами
72
2
3
2
R1 2
n1 1 2 1 3 ,
2
2
R2 3 1 n22 2 1 2 3 ,
2
2
2
2
R3 1
n3 3 1 3 2 .
2
Рис. 27. Схема определения напряжений σn и τn
Первое уравнение системы (21) определяет в виде окружностей геометрическое место точек σn и τn для заданного значения n1.
То же самое справедливо и для двух других уравнений системы.
Для заданных значений направляющих косинусов n1, n2, n3 и главных нормальных напряжений σ1, σ2, σ3 величины σn и τn определяются точкой К на пересечении трех окружностей радиусами R1, R2,
R3, при n1=n2=n3=0 радиусы окружностей равны:
R1
2 3
, R2 1 3 , R3 1 2 .
2
2
2
73
Как видно из первого и третьего уравнения системы (21), при
увеличении n1 и n3 радиусы соответствующих окружностей увеличиваются. Это означает, что возможные пары значений σn и τn находятся или на окружностях радиуса R1 или R3, или вне их, но не могут
располагаться внутри. Если увеличивать n2 (второе уравнение системы (21)), то R2 уменьшается и пары σn и τn находятся внутри
окружности R2. Таким образом, заштрихованная область – это область значений σn и τn на произвольных наклонных площадках
(рис. 28).
Рис. 28. Диаграмма напряжений Мора
Из формулы (21) видно, что максимальные касательные напряжения численно равны радиусам кругов. При наложении на тело
всестороннего равномерного давления радиусы окружностей не меняются, и все построения смещаются относительно горизонтальной
оси σn.
Шаровой тензор напряжений отображается на диаграмме Мора
окружностью нулевого радиуса (т.е. точкой), расположенной на
расстоянии σср от начала координат.
74
1.13 Выводы
В этой главе рассмотрены вопросы теории напряжений. Напряженное состояние в исследуемой точке твердого деформируемого
тела характеризуется девятью компонентами напряжений σij, заданными в произвольной системе координат, которые образуют тензор
напряжений Tσ. Из девяти компонентов напряжений независимых
только шесть, так как по закону парности составляющие касательных напряжений попарно между собою равны, т.е. тензор напряжений является симметричным тензором. Имея компоненты тензора
напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках по соотношениям О. Коши, можно вычислить составляющие тензора
напряжений по любым наклонным площадкам. Одновременно соотношения О. Коши можно рассматривать как граничные условия
на поверхности тела, если наклонная площадка совмещена с поверхностью тела.
Разложение тензора напряжений на девиатор и шаровой тензор
обусловлено тем обстоятельством, что материалы имеют различные
механические свойства по отношению к равномерному всестороннему растяжению (или сжатию) и к касательным напряжениям. Шаровой тензор напряжений характеризует объемную деформацию в
точке, а девиатор напряжений – формоизменение в окрестности
точки.
При анализе напряженного состояния в точке тела используются следующие характерные площадки, проходящие через нее:
– три главные площадки, на которых действуют главные нормальные напряжения, а касательные отсутствуют;
– шесть площадок, по которым действуют главные касательные напряжения. Площадки, в которых возникают главные касательные напряжения, делят пополам прямые углы между главными
площадками;
75
– восемь площадок, равнонаклонных к главным осям, на которых действуют одинаковые по величине октаэдрические напряжения.
Геометрическим образом объемного напряженного состояния
в точке деформируемого тела служит эллипсоид напряжений. Полуосями его являются главные нормальные напряжения σ1, σ2 и σ3.
Поверхность эллипсоида напряжений представляет собой геометрическое место концов векторов полных напряжений в различных
площадках, проходящих через рассматриваемую точку. Из эллипсоида напряжений следует экстремальность главных нормальных
напряжений, т.е. одно из главных напряжений является наибольшим, а другое наименьшим из всех нормальных напряжений в площадках, проходящих через рассматриваемую точку.
Диаграмма напряжений Мора представляет собой плоский геометрический образ напряженного состояния в точке тела. Она состоит из трех окружностей, диаметрами которых являются разности
главных напряжений. Координаты точек, лежащих в заштрихованной области между окружностями, представляют собой нормальные и касательные напряжения в произвольно ориентированных
площадках.
Показатель вида напряженного состояния Лоде-Надаи характеризует с точностью до равноосного растяжения (сжатия) вид
напряженного состояния.
1.14 Задания для самоконтроля
1. Как делятся внешние силы, действующие на тело при
нагрузке?
2. Какие силы называются активными?
3. Какие силы называются реактивными?
4. Сформулируйте понятие напряжения в точке деформируемого тела.
76
5. Каким образом напряжение как векторную величину можно
разложить на составляющие по координатным осям?
6. Какие напряжения действуют на площадке, перпендикулярной оси x, y и z?
7. Почему касательные напряжения иногда называют напряжениями сдвига?
8. Как определяют знак нормальных и касательных напряжений?
9. Сформулируйте понятие тензора напряжений. Каков физический смысл его компонент?
10. Чем полевые тензоры отличаются от материальных?
11. Перечислите основные действия над тензорами.
12. Когда используют тензорные обозначения?
13. Что такое тензор второго ранга?
14. Чем определяется ранг тензора?
15. Как вы понимаете операцию свертывания тензора?
16. Что такое свободные и немые индексы?
17. В чем состоит правило суммирования по А. Эйнштейну?
18. Чему равен символ Кронекера?
19. Дайте физическое толкование главных нормальных напряжений.
20. Как определить главные нормальные напряжения?
21. Укажите порядок нахождения главных осей напряжений.
22. Покажите схемы главных нормальных напряжений для основных процессов пластического деформирования металлов: волочения, прокатки, прессования.
23. Что такое эллипсоид напряжений? Какой вид имеет эллипсоид напряжений для плоского и линейного напряженного состояний?
24. Для чего вводят в рассмотрение интенсивность напряжений
Ϭi и интенсивность касательных напряжений?
77
25. Как найти инварианты тензора напряжений?
26. Дать геометрическую интерпретацию напряженного состояния в точке деформируемого тела.
27. Схемы главных нормальных напряжений.
28. При каких схемах главных нормальных напряжений пластичность наибольшая, а сопротивление деформированию –
наименьшее?
29. Какие напряжения называются октаэдрическими?
30. Как разложить тензор напряжений?
31. Что характеризует шаровой тензор напряжений, девиатор
напряжений?
32. Сформулируйте роль второго инварианта девиатора напряжений.
33. Чему равны главные касательные напряжения?
34. Как записываются уравнения равновесия?
35. Можно ли по уравнениям равновесия найти напряженное
состояние в точке тела?
36. Сформулируйте закон парности касательных напряжений.
37. Что называют диаграммой напряжений Мора? Чему равны
радиусы главных окружностей?
38. Если известна ориентация площадки, проходящей через
точку, то каким образом найти σn и τn на диаграмме Мора?
39. Дайте определение направляющего тензора напряжений.
40. Что собой представляет эллипсоид напряжений?
41. Какие величины называются инвариантами тензора напряжений?
1.15 Задачи и упражнения
1. Даны два симметричных тензора второго ранга:
78
x 1 a
A а
2x
б
в
б
3 x 2x
в , B x 4 3x .
2 x 3x 4
3x 2
При каком значении х тензоры А и В равны между собой? Чему
при этом равны а, б, в?
2. Записать в развернутой форме статические уравнения равновесия сил
d ij
dx j
0.
3. В трехмерном пространстве расшифровать уравнение
А = Вijninj.
4. Записать в развернутой форме следующие тензорные
символы:
А = σijεij, I = σikσik, Ki = AijBj, Kij = AijlBl.
5. Найти значения выражений, содержащих символ Кронекера:
ii , ij ij ,
1
ij ij , A j ij , ii C jj , ij ik jk .
3
6. Записать в развернутом виде
T = (0,5sijsij)0,5, Г = (2еijeij)0,5.
7. Нормальное напряжение на наклонной площадке записывается в виде
σn = Sxnx + Syny + Sznz
или
n x nx2 y n 2y z nz2 2 xy nx n y 2 yz n y nz 2 zxnz nx .
Дать тензорную запись этих уравнений, приняв σij = σji.
79
8. Первый и второй инварианты тензора напряжений имеют
вид
I1(Tσ) = σx + σy + σz,
I2(Tσ) = σxσy + σyσz + σzσx – τ2xy – τ2yz – τ2zx.
Представить их в тензорном обозначении.
9. Приращение работы в единице объема находят из следующего выражения:
dA = σxdεx + σydεy + σzdεz + τxydγxy + τyzdγyz + τzxdγzx.
Представить формулу в тензорном обозначении.
10. Представить следующие формулы в тензорном обозначении:
xx n x xy n y
xz n z 0 ,
yx n x yy n y yz n z 0 ,
zx n x zy n y zz n z 0 .
11. Определить ранг тензорных величин
аijbj, Fikk, Aijip, σijukvk.
12. Цилиндрический образец диаметром 10 мм подвергнут равномерному растяжению силой 10 кН. Определить напряжения, действующие внутри образца.
13. Напряженное состояние в точке задано следующими составляющими, кг/мм2:
σx = 50, σy = –30, σz = –100, τxy = 50, τyz = 30, τzx = –40.
Записать тензор напряжений в системе СИ.
14. На рис. 29 показаны напряжения в декартовой и цилиндрической системах координат. Провести индексацию напряжений и
записать их в форме тензора напряжений.
80
Рис. 29. Напряжения в декартовой и цилиндрической системах координат
15. На рис. 30 показаны различные частные случаи напряженного состояния в телах. Провести обозначение компонент напряжений, записать их в форме тензора напряжений, указать возможные
нагружения тел внешними силами.
Рис. 30. Частные случаи напряженного состояния в телах
16. Найти ошибки в записи тензора напряжений:
1 5 6
1 2 5
10 20 60
ij 3 2 4 , Tij 6 4 2 , A 20 40 20 .
2 0 3
5 2 3
60 20 50
81
17. Напряженное состояние в некоторой точке тела задано тензором напряжений:
b 0
T 0
0
0 b
0
b .
0
Определить значение полного S, нормального σn, касательного τn
напряжений на площадке с направляющими косинусами nx, ny, nz.
18. Напряженное состояние в точке тела задано в виде тензора
T
2
3
5
4
3
4
2
3
3
.
4
0
Определить значения полного, нормального и касательного
напряжений на площадках, если: а) nx = 1/3, ny = 1/3; б) nx = 2/3,
ny = 1/3.
Сделать вывод по задаче.
19. Определить значения полного, нормального и касательного
напряжений по данным таблицы:
82
20. В точке тела на его границе (направляющие косинусы n x ,
n y , n z заданы) известны компоненты внешнего нагружения
Sx a ,
S y S z 0 . Кроме того, известно, что возле заданной точки внутри
тела xy xz z 0 .
Вычислить остальные компоненты напряжений.
21. Напряженное состояние в точке тела задано тензором:
a b c
T b 0
,
c
0
где a, b, c – константы.
Определить их значения из условий, когда на площадке с
направляющими косинусами nx = 2/3, ny = 1/3, вектор полного
напряжения S равен нулю.
22. Напряженное состояние в точке тела задано тензором
k k
T k k .
k k
Определить значение k из условия, при котором на равнонаклонной площадке нормальное напряжение σn = 0.
23. В задаче 22 изменить условия для определения k, считая,
что полное напряжение S = 2σ, a σn = 0.
24. В задаче 22 изменить условия для определении k, считая,
что нормальное напряжение σn = σ.
25. Задано напряженное состояние в точке тела:
3x 2 3xy
T 3xy
xy
0
0
0
0 .
0
Определить, удовлетворяются ли условия равновесия?
83
26. Определить компоненты массовых сил x, y, z, если в любой
точке сплошной среды выполняются уравнения равновесия, когда
тензор напряжений задан в виде
5 x1 x 2 x 22
0
2
T x 2
0 2 x 3 .
0 2 x3 0
27. Записать тензор напряжений через его главные значения
для следующих случаев:
а) линейное напряженное состояние;
б) плоское напряженное состояние (рассмотреть возможные
случаи);
в) объемное напряженное состояние (рассмотреть возможные
случаи).
28. Напряженное состояние в точке тела задано одним из следующих тензоров:
0
0
T1 , T2 0 , T3 ,
0
T4
0 0
0 0
0 , T5 0 0 , T6 0 .
0 0 0
0
0 0
Определить главные номальные напряжения и направления
главных осей напряжений. Затем в тензорах изменить «+» на «–» и
сделать вывод.
29. На рис. 31 показаны три взаимно перпендикулярные плоскости, проходящие через рассматриваемую точку, с действующими
на них напряжениями. Вычислите главные нормальные напряжения.
84
Рис. 31. Графическая схема напряженного состояния
30. Для заданного напряженного состояния (рис. 32), представляющего собой положение трех чистых сдвигов во взаимно перпендикулярных плоскостях, определить главные нормальные
напряжения и максимальные касательные напряжения, если
xy zx 2 и yz 40 МПа.
Рис. 32. Касательные напряжения на гранях элементарного параллелепипеда
31. На рис. 33 приведены схемы напряженного состояния в
главных осях. Дать обозначения главных нормальных напряжений;
указать вид напряженного состояния; показать площадки, на которых действуют максимальные касательные напряжения, обозначить их.
85
Рис. 33. Схемы напряжений в главных осях
32. Напряженное состояние в точке тела задано одним из следующих тензоров:
30 10 0
20 0 0
T1 10 30
0 , T2 0 60 80 ,
0
0 80 60
0 10
60 30 0
40 0 70
T3 0 60 0 , T4 30 60
0 .
0
70 0 60
0 80
Определить главные нормальные напряжения и направления
главных осей.
33. Для плоского напряженного состояния (σz = τzx = τzy = 0) вывести формулы для определения главных нормальных напряжений.
Для этого случая записать также формулы для определения максимальных касательных напряжений.
34. Вычислить величины максимальных и октаэдрических касательных напряжений, если напряженное состояние задано одним
из следующих тензоров напряжений:
T1
86
20 10 10
10 40 10 ,
10
10 40
T2
40 10 10
10 20 10 .
10 10 20
35. Найти выражения для расчета линейного, квадратного и кубического инвариантов тензора напряжений в главных осях для следующих случаев:
а) линейное напряженное состояние;
б) плоское напряженное состояние;
в) объемное напряженное состояние.
36. Вычислить главные нормальные напряжения и инварианты
симметричного тензора напряжений
10 0
3
T1 10 30 0 .
0
0
1
37. Главные нормальные напряжения в данной точке тела приведены в таблице:
Вариант
Напряжения
1
20
-15
-6
2
-8
40
12
3
30
-20
12
Присвоить численным значениям обозначения σ1, σ2, σ2 и вычислить максимальные касательные напряжения τ12, τ23, τ31.
38. Определить величину первого инварианта девиатора
напряжений I1(Dσ).
39. Разложить тензор напряжений для линейного напряженного состояния: а) растяжение; б) сжатие. Дать схемы главных
напряжений для тензора напряжений, шарового тензора и девиатора.
40. Записать тензор напряжений, когда тело в процессе деформирования испытывает только упругое изменение объема, а изменения формы не происходит.
41. Записать тензор напряжений, когда тело в процессе деформирования испытывает только изменение формы, а упругого изменения объема не происходит.
87
42. Объяснить, почему составляющая девиатора напряжений в
направлении главной оси 1 будет положительной, а в направлении
главной оси 3 – отрицательной.
43. Разложить тензоры напряжений (МПа):
30 60 0
50 20 20
T1 60 30 60 , T2 20 50 20 ,
0
20 20 50
60 30
100 60 0
0 40 40
T3 40 30 40 , T4 60 90
0
0
40 40 0
0 10
на шаровые и девиаторы; определить значения второго девиатора.
44. Два тела из одинакового материала испытывают однородное напряженное состояние. Известен тензор напряжений для одного тела 𝑇1σ . Составить тензор 𝑇2σ для второго тела, если известно, что относительное изменение объема обоих тел одинаково,
а девиатор для второго тела
80 0 0
120 60 30
T1 60 100 50 , D2 0 30 20 .
0 20 50
30 50 20
Определить также главные нормальные напряжения полученного тензора.
45. Для точки тела известны девиатор напряжений
50
140 30
D 30 60 20
50 20 80
и одно из нормальных напряжений, например, σy = 80 МПа.
Определить тензор напряжений.
46. Для точки тела известен первый инвариант тензора напряжений I1(Tσ) = 60 МПа и девиатор напряжений
88
0
30
40
D 0
40 60 .
30
60 80
Определить главные значения девиатора напряжений, а через
них и главные нормальные напряжения. Записать тензор напряжений в главных осях.
47. Напряженные состояния записываются в виде тензоров:
11 0 1
11 1 1
T 1 0 1 , T 0 11 1 .
1
1 1 0
1 0
Разложить их на шаровые тензоры и девиаторы, определить их
значение из условия равенства нулю одного из главных значений
девиатора напряжений.
48. В теории пластичности широко используется показатель
вида напряженного состояния
2 0,51 3
,
0,51 3
где σ1 σ2 σ3.
Рассмотреть его значения для следующих частных случаев:
а) линейное растяжение;
б) линейное сжатие;
в) двустороннее растяжение при σ1 = σ2;
г) двустороннее сжатие при σ2 = σ3;
д) чистый сдвиг, когда σ1 = -σ3.
Достаточно ли этого показателя, чтобы полностью охарактеризовать напряженное состояние?
49. Главные компоненты тензора напряжений могут быть
представлены следующим образом:
89
10 0
3
2 3 2
30 0
где 0
ср
i
, 10
2
, 02 0
3
2 3 2
2 3 2
,
,
i
и т.д.
i
Какие значения принимают σ0, σ10, σ20 и σ30 для случаев, указанных в задаче 48?
50. Для тензора второго ранга
7 0 2
ij 0 5 0 .
2 0 4
Определить компоненты ij в системе координат x1 , x2 , x3 ,
заданной таблицей направляющих косинусов.
51. Найти компоненты тензора при переходе к новой системе
координат, полученной поворотом вокруг оси Z на угол П∕6.
0 1 1
T 1 0 0 .
1 0 2
Таблица направляющих косинусов имеет вид.
90
52. Задан тензор напряжений
7 0 2
T 0 5 0 .
2 0 4
Определить главные нормальные напряжения и главные оси.
53. Вычислить главные значения, главные направления, линейный, квадратный и кубический инварианты тензора напряжений
3 1 0
T 1 3 0 .
0 0 1
54. Построить круги Мора для всех схем главных нормальных
напряжений.
55. Тензор напряжений в исследуемой точке имеет вид
30 10 0
ij 10 20 0 .
0 0 25
Найти величину трех главных напряжений и максимальное
значение главных касательных напряжений. Построить диаграмму
напряжений Мора.
56. Тензор напряжений записан так:
50 100 100
T 100 150 0 .
100 0 200
91
Найти составляющие главных напряжений. Построить диаграмму Мора и по ней определить главные касательные напряжения.
57. Начертить круг Мора для напряженного состояния, когда
σx = 50, σy = 40 и τxy = – 40 МПа.
58. Для напряженного состояния, описываемого тензором
напряжений (МПа)
0
500 300
ij 300 - 200 0
0
0
150
определить: а) среднее напряжение (давление); б) интенсивность
касательных напряжений в главных осях; в) максимальное касательное напряжение; г) сравнить между собой T и τmax.
59. С помощью диаграммы Мора определить область возможных значений n и n на произвольных наклонных площадках,
проходящих через точку.
60. Задан тензор напряжений
Ф 20 0
T 20 И 0
0 0 О
для наклонной площадки с направляющими косинусами
n1
1
0,5Ф
, n2
1
0,5И
,
где Ф – число букв в фамилии, И – имени, О – отчестве студента.
Найти значения радиусов, соответствующих окружностям R1 ,
R2 , R3 . Построить их на диаграмме Мора.
По диаграмме Мора найти n и n , а затем по найденным значениям n и n рассчитать величину полного напряжения S.
92
61. В системе координат x1 , x2 , x3 задан симметричный тензор второго ранга:
Φ 20 0
T 20 И 40 ,
30 40 О
где по главной диагонали Ф – число букв в фамилии, И – число букв
в имени, О – число букв в отчестве студента.
Определить его компоненты и записать симметричный тензор
второго ранга в новой системе координат x1 , x2 , x3 , полученной
поворотом вокруг оси x3 . Направление осей задано следующей
таблицей направляющих косиусов.
62. В системе декартовых координат x1 , x2 , x3 задан вектор
a i 5 j 6k . Определить компоненты вектора в новой системе
координат x1 , x2 , x3 , полученной поворотом вокруг оси
z . Таб-
лица направляющих косинусов приведена в задаче 61.
63. Построить эпюры нормальных и касательных напряжений
в сечениях, наклоненных к оси цилиндрического тела, с шагом 15º,
подвергаемого осевому растяжению силой Q 100 n 10 N (кН),
где n – номер группы, N – номер студента в списке по алфавиту в
составе группы. Дать их анализ и сделать выводы.
93
64. Определить главные нормальные напряжения методом
Кордано и направления главных напряжений, если напряженное состояние в точке нагруженного тела задано тензором напряжений.
20
10
10 Ф
T
4 И
5 ,
6 О
где по главной диагонали Ф – число букв в фамилии, И – число
букв в имени, О – число букв в отчестве студента.
94
ГЛАВА 2 ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ
2.1 Понятие деформации. Тензор деформаций
Термин «деформация» произошел от латинского слова
«deformation», что означает искажение размеров и формы тела за
счет относительного изменения положения его материальных частиц.
Под действием внешних нагрузок все материальные точки (частицы) деформируемого тела перемещаются в пространстве, и меняется их взаимное положение. Например, некоторая точка М в исходном недеформированном состоянии имела координаты
x, y, z. После пластической деформации точка заняла положение М'
с координатами (x' = x+ux; y' = y + uy; z' = z+ uz), где ux, uy, uz – проекции вектора перемещения 𝑢
⃗⃗ точки М на оси x, y, z (рис. 34).
Рис. 34. Разложение вектора перемещения в точке М
95
Перемещения ux = x' – x, uy = y' – y, uz = z' – z являются функциями координат и определяют поле перемещений деформируемого тела:
ux = fx (x, y, z),
uy = fy (x, y, z),
uz = fz (x, y, z).
В силу гипотезы о сплошности строения тела будем предполагать, что эти функции и их частные производные требуемого порядка по x, y, z непрерывны, а компоненты перемещения малы по
сравнению с основными размерами тела.
Рассмотрим поведение элементарного параллелепипеда с ребрами dх, dу, dz, параллельными осям координат, вырезанного в недеформированном состоянии в окрестности точки М, на примере
процесса волочения. В результате деформации в общем случае этот
параллелепипед в окрестности точки М' изменит свою форму и размеры (рис. 35).
Рис. 35. Схема волочения полосы
В процессе деформации ребра изменили свои первоначальные
линейные размеры: они либо удлиняются, либо укорачиваются, но
остаются прямыми линиями. Изменились также углы между реб-
96
рами и положение самого элемента. До деформации они были прямыми, после деформации стали либо острыми, либо тупыми. Предполагая деформацию в точке М малой, ее можно представить в виде
суммы девяти простейших деформаций.
Рис. 36. Линейные и угловые деформации
Первые три деформации называют линейными (рис. 36). Они
определяются отношением приращения длины ребра к исходной
длине и обозначаются через x , y , z :
x
dy
dx
dz
; y
;z
.
dx
dy
dz
Индекс в обозначении деформации указывает ось, в направлении которой происходит удлинение (укорочение) длины ребра. Деформации считаются положительными, если они соответствуют
удлинению ребра, отрицательными – укорочению. Эти деформации
вызывают нормальные напряжения растяжения (сжатия). Линейные деформации приводят к изменению объема и формы тела.
97
Шесть других деформаций являются угловыми (сдвиговыми)
деформациями – это xy , yx , yz , zy , zx , xz . Три из них показаны на
рис. 36. Они приводят к изменению формы тела. Первый индекс в
обозначении угловой деформации указывает направление оси, параллельно которой ребро находилось в исходном состоянии, а второй – ось, по направлению к которой повернулось ребро. Величина
деформаций определяется углом между направлением ребер в исходном положении и после деформации. Угловые деформации часто называют деформациями сдвига. Индексы указывают, в какой
плоскости появляется угол сдвига. Угловые деформации считаются
положительными, если они отвечают уменьшению угла между соответствующими гранями параллелепипеда. В противном случае
они отрицательные.
Рассмотренные вышелинейные и угловые деформации являются относительными, безразмерными и малыми по сравнению с
единицей.
Угловые деформации можно представить по-разному (рис. 37).
a
б
в
Рис. 37. Расчет величины угловой деформации
На рис. 37, а – деформированное состояние характеризуется
жестким поворотом параллелепипеда на угол yx по часовой
стрелке. На рис. 37, б – на угол xy против часовой стрелки. Для всех
трех случаев, показанных на рис. 37, характерно одно и то же напря98
женное состояние, так как поворот элементарного объема как жесткого целого не приводит к появлению в нем дополнительных усилий. В искажении формы при деформации сдвига всегда имеет значение сумма углов, а не величина каждого из них. Поэтому можно
приравнять углы yx и xy , а сдвиговую деформацию обозначить относительно оси x через 0,5 xy , относительно оси y – 0,5 yx
(рис. 37, в). Тогда
0,5 xy 0,5 yx , 0,5 yz 0,5 zy , 0,5 zx 0,5 xz . .
При этом индексация сдвиговых деформаций будет совпадать
с индексацией касательных напряжений. Стягивая элементарный
параллелепипед в точку можно принять, что рассмотренные шесть
компонент деформации описывают деформированное состояние в
исследуемой точке тела, которое можно описать полевым тензором
бесконечно малых деформаций второго ранга:
εx
T 0,5 yx
0,5 zx
0,5 xy
εy
0,5 zy
0,5 xz
0,5 yz .
εz
За счет случая на рис. 37, в тензор деформаций сделан искусственно симметричным относительно главной диагонали и полностью определяет деформированное состояние в исследуемой точке
тела.
По аналогии с теорией напряжений геометрической интерпретацией деформированного состояния в точке тела в пространстве
является эллипсоид деформации, а на плоскости – диаграмма деформаций в координатах: линейные деформации, угловые деформации на наклонной площадке с нормалью n. Любая точка, лежащая
внутри области, ограниченной тремя окружностями диаграммы
своими координатами определяет линейную εn и половину угловой
деформации 0,5 n (рис. 38).
99
2.2 Геометрические уравнения
Так как в основе деформации лежат перемещения, то найдем зависимости между компонентами перемещений и компонентами деформации. Для их вывода будем считать, что поле перемещений
Рис. 38. Диаграмма деформированного состояния
задано. Выделим для этого в деформируемом теле бесконечно малый параллелепипед с ребрами dх, dу, dz, параллельными координатным осям x, y, z. Рассмотрим проекцию этого параллелепипеда
на координатную плоскость xoy (рис. 39). Пусть abcd – проекция
этого параллелепипеда до деформации имеет форму прямоугольника с длинами ребер ad = dx, ab = dy; a1b1c1d1 – после деформации
имеет форму параллелограмма.
Для определения линейной деформации x рассмотрим ребро
ad. Перемещение точки a в направлении оси x обозначим через
ux = ux(x, y, z); точки d, расположенной от точки a на бесконечно
малом расстоянии dx, через ux1 = ux (x+ dx, y, z). Разложив ux1 в ряд
Тейлора и ограничившись только двумя членами ряда можно считать, что перемещение точки d отличается от перемещения точки a
на величину приращения функции ux на длине dx по координате x.
100
Рис. 39. Проекция параллелепипеда на плоскость xoy до и после деформации
Тогда
u x1
u x
dx.
x
Отсюда относительное удлинение ребра ad относительно оси x
равно:
u
u x x dx u x
u
dx u x1 u x
x
x1
x.
dx
dx
dx
x
Аналогично для относительного удлинения ребра dу вдоль оси
y получим:
y
u y
y
.
После деформации длины ребер станут равными:
a1 d 1 dx1 x , a1b1 dy 1 y .
Ребра параллелепипеда, параллельные осям координат в исходном состоянии, после деформации не будут им параллельны, так
101
как произойдет их поворот в результате деформаций сдвига. Согласно определению деформация сдвига в плоскости xy равна сумме
углов α и β поворота ребер ad и ab, т.е. xy α β.
Так как изменения углов бесконечно малые, то при сравнении
бесконечно малых tgα α , поэтому из прямоугольного треугольника a1d1d2:
u y1 u y
d1 d 2
.
a1d 2 u x1 dx u x
или
uy
ux
u y
x
dx u y
u x
dx dx u x
x
u y
dx
x
.
dx1 x
Так как 𝜀х << 1, то
u y
x
Аналогично определяем угол β:
u
x .
y
.
Тогда
xy
u x u y
.
y
x
Проектируя рассматриваемый параллелепипед на координатные плоскости yoz, zox найдем выражения других компонентов деформации от компонентов перемещения.
Окончательно получим шесть геометрических уравнений, полученных О. Коши:
u y
u
u
x x , y
, z z ,
x
y
z
102
xy
u y u z
u x u y
u
u
, yz
, zx z x .
y
x
z
y
x
z
В тензорных обозначениях зависимости компонентов деформации от компонентов перемещения имеют вид:
1 u u j
ij i
.
2 x j xi
2.3 Уравнения совместности деформаций
Так как принят принцип, что тело до деформации и после деформации должно оставаться сплошным, то все компоненты тензора деформаций произвольными быть не могут. Они должны быть
определенным образом связаны между собой.
Если известны три компоненты непрерывного поля перемещений ux, uy, uz, то по ним однозначно определяются простым дифференцированием компоненты деформаций по формулам О. Коши.
Сложнее обстоит дело с обратной постановкой задачи. Если заданы
шесть компонент деформаций, то заранее нельзя утверждать, что
им отвечает какое-либо непрерывное поле перемещений. Деформации, которым отвечает непрерывное поле перемещений, называются совместными деформациями. В противном случае деформации называются несовместными.
Для того чтобы деформации были совместными, они должны
быть взаимосвязаны некоторыми соотношениями, которые называются уравнениями совместности деформаций. Покажем это.
На рис. 40, а показан разрез тела, разбитого на элементарные
параллелепипеды системой взаимно перпендикулярных плоскостей
до деформации. Зададим в теле поле деформаций εх , εу . В результате ребра dх, dу получат некоторые удлинения, (1 + εх )𝑑х,
(1 + εу )𝑑у соответственно. Тело деформируется, как это показано на
103
рис. 40, б. При этом возникают углы сдвига как изменения прямых
углов, зависящие от компонент деформаций ε x ,ε y .
Рис. 40. Проекции элементарных параллелепипедов до и после деформации
Очевидно, наоборот, задавая угловые xy , yz , zx в непрерывно деформируемом теле, будем иметь зависящие от них линейные деформации ε x , ε y , ε z . В случае произвольного и независимого
задания удлинения ребер и углов сдвига деформируемые элементы
не удается сложить в сплошное тело.
Для вывода первой группы уравнений совместности деформаций исключим из геометрических уравнений О. Коши компоненты
перемещения ux, uy, uz. Возьмем два первых уравнения:
x
u y
u x
, y
.
x
y
Продифференцируем первое уравнение два раза по y, а второе
два раза по x, получим:
2 x
y 2
104
3u x
xy 2
,
2 y
x 2
3u y
yx 2
.
Складывая левые и правые части почленно, имеем:
2 x
y 2
2 y
x 2
2
2 u x u y xy
.
xx y
x xy
В скобках получили выражение, представляющее собой γху.
Произведя такие же операции с первым и третьим, а затем со
вторым и третьим геометрическими уравнениями, получим еще две
аналогичные зависимости. Их можно легко записать, используя
круговую подстановку индексов x, y, z:
2
2
2ε x ε y xy
,
xy
y 2
x 2
2ε y
2
2 ε z yz
2
,
yz
z 2
y
2ε z 2 ε x 2 zx
2
.
zx
x 2
z
Вторая группа зависимостей получается из трех последних
геометрических уравнений:
xy
u y u z
u x u y
u u
, yz
, zx z x .
y
x
z
y
x
z
Из этих уравнений также исключим компоненты перемещения
ux, uy, uz. Для этого продифференцируем каждое из них по координате, отсутствующей в обозначении угловой деформации:
xy
z
yz
x
2
2u x u y
,
yz xz
2u y
zx
2u z
,
yx
zx 2u z 2u x
.
y
xy zy
105
В правых частях полученных уравнений имеется по два одинаковых члена, содержащих производные от x, y, z. Их необходимо
исключить. Для этого изменим знаки, например у первого уравнения, и все их сложим. Тогда четыре члена сократятся, и получим:
yz
x
zx xy
2u z
2
.
y
z
xy
Полученное уравнение продифференцируем по z:
γ yz γ zx γ xy
3u z
2 u z
2ε
2
2
2 z .
z x
y
z
xyz
xy z
xy
Меняя знак у второго, а затем у третьего уравнения получаем
еще две аналогичные зависимости:
2ε y
γ xy γ yz γ zx
2
,
y z
x
y
xz
2ε x
γ xy γ zx γ yz
2
.
x z
y
x
yz
Эти уравнения впервые получены французским ученым
Сен-Венаном. Они показывают, что в каждой точке деформированного тела линейные и угловые деформации взаимосвязаны между
собой дифференциальными уравнениями.
2.4 Главные деформации
По аналогии с теорией напряженного состояния можно показать, что в теории деформаций в любой точке деформируемого тела
существуют три взаимно перпендикулярные направления, по которым тело испытывает только деформации удлинения или укорочения, а угловые деформации равны нулю. Эти линейные деформации
называются главными деформациями и обозначаются через
106
ε1 , ε 2 , ε 3 . Определим их величину. Возьмем разность ε n ε ,
где ε – постоянная:
ε n ε ε x n x2 ε y n 2y ε z n z2 γ xy n x n y γ zy n y n z γ zx n zn x ε n x2 n 2y n z2 .
Если нормаль 𝑛
⃗⃗⃗⃗является главным направлением, то разность
должна принимать экстремальное значение, и тогда частные производные от нее по nx, ny, nz должны равняться нулю:
n
n
0,
0, n
0.
n x
n y
n z
Составив частные производные, получим систему трех линейных уравнений:
2ε x ε n x γ xy n y γ xz n z 0,
γ yx n x 2 ε y ε n y γ yz n z 0,
(22)
γ zx n x γ zy n y 2ε z ε n z 0.
Записанная система является однородной относительно неизвестных косинусов углов nx, ny, nz, а следовательно, она имеет нулевое решение, но nx, ny, nz одновременно нулю равняться не могут,
2
2
2
так как nx ny nz 1. Следовательно, для поиска решения си-
стемы определитель из коэффициентов уравнений (22) должен равняться нулю, т.е.:
εx ε
0,5γ xy
0,5γ xz
0,5γ yx
εy ε
0,5γ yz 0.
0,5γ zx 0,5γ zy
εz ε
В этом уравнении неизвестным является .
Раскрыв определитель, получим кубическое уравнение:
ε 3 J1 Tε ε 2 J 2 Tε ε - J 3 Tε 0.
(23)
107
где J1 Tε , J 2 Tε , J 3 Tε – инварианты тензора деформаций. В произвольной системе координат они имеют следующие значения:
J1 Tε ε x ε y ε z ,
J 2 Tε ε x ε y ε y ε z ε z ε x
εx
J 3 Tε 0,5γ yx
1 2
γ xy γ 2yz γ 2zx ,
4
0,5γ xy 0,5γ xz
εy
0,5γ yz .
0,5γ zx 0,5γ zy
εz
Из решения кубического уравнения (23) находятся вещественные значения главных деформаций ε1 , ε 2 , ε 3 . Имея главные деформации, можно из системы (22) и условия n x2 n 2y n z2 1 определить
направления главных осей деформаций. Этим доказано, что в каждой точке существуют три взаимно перпендикулярные направления, для которых:
xy yz zx 0.
В главных осях тензор деформаций и его инварианты имеют
вид:
ε1
T 0
0
0
ε2
0
0
0 .
ε 3
J1Tε ε1 ε2 ε3 , J 2 Tε ε1ε2 ε2ε3 ε3ε1 , J3 Tε ε1ε2ε3 .
Подобно главным напряжениям сдвига главные деформации
сдвига имеют место по взаимно перпендикулярным площадкам,
наклоненным под углом 45° к двум плоскостям координат ε1 , ε 2 , ε 3 .
и проходящим через одну из осей.
Главные деформации сдвига связаны с главными деформациями ε1 , ε 2 , ε 3 . соотношениями:
108
12 1 2 ,
23 2 3 ,
31 3 1 .
Между собой главные деформации сдвига связаны соотношением:
12 23 31 0.
2.5 Схемы главных деформаций
При пластическом деформировании металлов различают три
схемы главных деформаций, предложенных С.И. Губкиным
(рис. 41), дающих графическое представление о наличии и знаке
главных деформаций.
Рис. 41. Схемы главных деформаций
Из условия постоянства объема (несжимаемости), широко
используемого в процессах пластического деформирования металлов, ε1 ε 2 ε3 0 следует, что три главные деформации не могут
быть одного знака, а схемы деформаций могут быть только разноименные. Поэтому не может быть линейных схем деформации. Реально осуществимы только две объемных (рис. 41, а, в) одна плоская (рис. 41, б) схемы.
109
Схема (рис. 41, в) встречается в таких процессах как осадка без
контактного трения (рис. 42, а) и с трением (рис. 42, б), толстолистовая
прокатка (рис. 42, д), поперечно-винтовая прокатка (рис. 42, е).
Схема на рис. 41, а встречается в таких процессах пластического деформирования металлов давлением, как прессование и выдавливание (рис. 42, в), волочение (рис. 42, г). В процессе пластического деформирования происходит уменьшение поперечного сечения заготовки и течение металла в длину изделия. Если течение металла происходит в одной плоскости, то такая деформация называется плоской. Примером плоской деформации является холодная
прокатка тонкого широкого листа в валках, при которой деформация по ширине листа близка к нулю.
Рис. 42. Схемы процессов пластического деформирования металлов
110
Главные линейные деформации связаны между собой следующими соотношениями:
для плоского деформированного состояния:
3 1 , 2 0;
для линейного растяжения и сжатия для изотропного тела:
2 3 0,51 ,
где 𝜀1 – наибольшая по абсолютной величине главная деформация.
Задача 13. В исследуемой точке тела известен тензор деформаций:
4 6
T 6 5
0 6
0
6 .102
4
Необходимо найти главные деформации и направления главных осей.
Решение.
Для определения главных деформаций составим определитель
и приравняем его к нулю:
4- 6
0
6 5 6 0.
0 6 4
Раскрыв определитель третьего порядка по первой строке, получим:
4 - ε
5-ε
6
6
6
6 4ε
0
6
0.
4ε
или
4 - ε5 - ε4 ε 36 364 ε 0.
111
Тогда
4 ε 0,
2 9 52 0.
Отсюда
1 13 10 2 , 2 4 10 2 ,3 4 10 2.
Имея значения главных деформаций, можно определить
направления осей главных деформаций. Например, для первого
направления имеем систему уравнений:
4 13 nx 6ny 0,
6nx 5 13 ny 6nz 0,
6ny 4 13 nz 0,
nx
2
ny nz 1.
2
Из первого уравнения системы:
2
nx ny .
3
Из третьего уравнения системы:
2
nz ny .
3
После их подстановки в четвертое уравнение:
2
2
2
4
4
ny ny ny 1,
9
9
Откуда
ny
112
3
2
2
, nx
, nz
.
17
17
17
2.6 Разложение тензора деформаций
Тензор деформаций, характеризующий общий случай деформированного состояния в рассматриваемой точке тела, можно представить в виде суммы двух деформированных состояний.
Первое деформированное состояние характеризуется шаровым тензором деформаций:
T0
ε ср 0
0
0 ε ср 0 ,
0
0 ε ср
где 𝜀ср – средняя дефорация
εcp ε x ε y ε z / 3,
а второе – девиатором деформаций:
ε x ср
1
D
yx
2
1
zx
2
1
xy
2
ε y ср
1
zy
2
1
xz
2
1
yz .
2
ε z ср
Таким образом,
Tε Tε0 Dε .
Шаровой тензор деформаций описывает деформацию изменения объема, а девиатор деформаций – деформацию изменения
формы в точке тела.
При развитой пластической деформации компоненты шарового тензора деформаций εср = 0. Тогда 𝑇ε = 𝐷ε, так как возникновение пластических деформаций в теле связано с образованием
113
сдвигов и, следовательно, с изменением формы элементарного объема. При всесторонних равных растяжениях или сжатиях пластические деформации не возникают.
Инварианты девиатора деформации в главных осях равны:
J 1 D 0 ,
J 2 D
1
ε 1 ε 2 2 ε 2 ε 3 2 ε 3 ε 1 2 ,
6
J 3 D ε 1 ε ср ε 2 ε ср ε 3 ε ср .
В теории пластичности важное значение играет второй инвариант J 2 Dε , который можно рассматривать как суммарную характеристику искажения формы элемента сплошной среды.
Неотрицательная величина
Г
2
3
ε
x
εy
ε
2
y
εz
ε
2
εx
2
z
3 2
γ xy γ 2yz γ 2zx
2
называется интенсивностью деформаций сдвига.
Коэффициент перед корнем выбран так, чтобы при чистом
сдвиге:
ε x ε y ε z γ yz γ zx 0, γ xy γ
интенсивность деформаций Г равнялась величине сдвига γ .
Неотрицательная величина
εx
2
3
ε
x
εy
ε
2
y
εz
ε
2
εx
2
z
3 2
γ xy γ 2yz γ 2zx
2
называется интенсивностью деформаций. Коэффициент пропорциональности выбран так, чтобы при линейном растяжении
ε1 ε, ε 2 ε 3 -0,5ε , γ xy γ yz γ zx 0
интенсивность 𝜀𝑖 равнялась главной линейной деформации.
114
Октаэдрическая деформация сдвига в главных осях определяется формулой:
γ окт
2
3
ε1 ε 2 2 ε 2 ε3 2 ε3 ε1 2 .
Девиатор деформаций в виде:
2 ε1 ε ср
γ окт
γ окт
0
2
0
0
2 ε 2 ε ср
0
γ окт
0
0
2 ε 3 ε ср
γ окт
называется направляющим тензором деформаций и обозначается
как Dε . Его главные оси совпадают с главными осями тензора деформаций. Если главные оси деформаций известны, то для описания деформированного состояния можно использовать показатель
вида деформированного состояния Лоде–Надаи:
1 3
2 .
1 3
2
2
Для одноосного растяжения ε 1, одноосного сжатия
ε 1, чистого сдвига ε 0.
2.7 Объемная деформация
При деформации тела под действием внешних сил изменяется
не только форма, но и объем. Изменение объема, отнесенное к
115
начальному объему, называется относительной объемной деформацией. Изменение объема происходит в основном вследствие изменения длин ребер элементарного параллелепипеда.
Выделим в рассматриваемом теле элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz, параллельными главным направлениям 1,
2, 3 в данной точке. В этом случае при деформировании углы параллелепипеда остаются прямыми, изменятся лишь длины ребер и
станут равными:
1 ε1 dx, 1 ε2 dy, 1 ε3 dz.
Объем элементарного параллелепипеда до деформации
dV dxdydz ,
после деформации
dV1 1 ε1 1 ε 2 1 ε3 dxdydz .
Относительная объемная деформация:
dV1 dV
ε1 ε 2 ε 3 ε1ε 2 ε 2ε 3 ε 3ε1 ε1ε 2ε 3 .
dV
Отбрасывая произведения деформаций как бесконечно малые
второго и третьего порядков, получим:
u u y u z
ε1 ε 2 ε 3 ε x ε y ε z x
.
x
y
z
Таким образом, объемная деформация выражается суммой линейных деформаций и является инвариатной величиной.
Задача 14. При малой деформации элементарного кубика с
ребром а каждая его точка испытывает смещение, заданное следующими уравнениями:
u x a1 x b1 y c1 z ,
u y a2 x b2 y c2 z ,
u z a3 x b3 y c3 z.
116
Найти относительное изменение объема элементарного кубика
и его линейные размеры после деформации.
Решение. Линейные деформации:
u y
u
u
ε x x a1 , ε y
b2 , ε z z c3 .
x
y
z
Относительная объемная деформация:
ε x ε y ε z a1 b2 c3 .
Линейные размеры кубика после деформации:
a1 ε x a1 a1 ,
a 1 ε y a1 b2 ,
a1 ε z a1 c3 .
2.8 Переменные Лагранжа и Эйлера
При изучении движения сплошной среды существуют два подхода. В первом, связанным с именем Лагранжа, объектом изучения
являются сами материальные частицы. Для каждой частицы исследуются во времени такие величины как скорость, плотность, температура и т.д. Пусть частица в начальный момент времени
t = 0 имеет декартовые координаты X1, X2, X3 (Xi).
Тогда ее текущие координаты: x1, x2, x3 (xi) в той же системе
координат имеют вид:
x1 1 X 1 , X 2 , X 3 ,t ,
x2 2 X 1 , X 2 , X 3 ,t ,
x3 3 X 1 , X 2 , X 3 ,t ,
(24)
Фиксируя начальные координаты Xi и считая время переменным, получим закон движения одной фиксированной материальной
частицы. Полагая переменную Xi и фиксируя t, по формулам (24)
можно найти распределение материальных частиц в пространстве в
117
данный момент времени. Если считать Xi и t переменными, то формулы (24) представляют собой закон движения сплошной среды.
Переменные Xi и t называются переменными Лагранжа. Компоненты вектора скорости частиц по Лагранжу определяются следующим образом:
dx
dx1
dx
, 2 2 , 3 3 .
(25)
dt
dt
dt
Второй подход, развитый Эйлером, в качестве объекта изучения принимает неподвижное пространство наблюдателя или его
фиксированную часть, заполненную движущейся средой. Например скорость в данной точке пространства считается функцией координат точки и времени:
1
x1 , x2 , x3 ,t ,
или в проекциях
1 1 x1 , x2 , x3 ,t ,
2 2 x1 , x2 , x3 ,t ,
3 3 x1 , x2 , x3 ,t .
(26)
Вектор скорости для заданной точки меняется в пространстве по величине и по направлению в зависимости только от времени. Если скорость не зависит от времени, то такое поле называется стационарным.
Таким образом, с точки зрения Эйлера в данной точке пространства исследуются изменения скорости, давления, температуры, а с точки зрения Лагранжа – изменения этих величин для данной индивидуальной частицы. Если известны компоненты вектора
скорости (26), то, приравняв их к уравнению (25), получим:
dx1
dx 2
1 x1 , x 2 , x 3 , t ,
2 x1 , x 2 , x 3 , t ,
dt
dt
dx 3
3 x1 , x 2 , x 3 , t .
dt
118
То есть, имеем систему трех дифференциальных уравнений.
Интегрируя эту систему из начальных условий t = 0, x1 = X1,
x2 = X2, x3 = X3, получим зависимость (24).
2.9 Скорость деформации. Тензор скоростей деформации
Рассмотрим векторное поле скоростей в процессе прошивки
заготовки (рис. 43). Как видно из рисунка, оно неоднородно.
Рис. 43. Векторное поле скоростей при прошивке заготовки
Наибольший градиент скоростей наблюдается под торцем пуансона. В периферийных слоях течение металла вихревое. В процессе деформирования отдельные материальные частицы заготовки
движутся со скоростью ⃗⃗⃗
𝑣 = 𝑣⃗(х, у, 𝑧, 𝑡). Составляющие скорости по
координатным осям x, y, z:
x x x1 , x2 , x3 ,t ,
y y x1 , x2 , x3 ,t ,
z z x1 , x2 , x3 ,t .
Так как скорость частицы определяется величиной перемещения в единицу времени, то:
du y
du
du
x x , y
, z z
dt
dt
dt
119
или
du x x dt , du y y dt , du z z dt .
В течение бесконечно малого промежутка времени dt деформируемый элемент тела испытывает бесконечно малые деформации, определяемые перемещением du. В направлении координатной
оси x имеем:
d x
du x v x dt
x
x
или
d x v x
x ,
dt
x
где x – линейная скорость деформации.
Аналогично могут быть получены и другие скорости линейных
и угловых деформаций:
x
y
z
v
vx
v
, xy x y ,
y
x
x
v y
y
, yz
v y
z
vz
,
y
v v
vz
, zx z x .
x
z
z
В сокращенном виде:
1 v j
ij i
.
2 x j xi
Скоростью деформации называется изменение степени деформации в единицу времени. Это понятие широко используется в теории пластического течения металла. Скорость деформации, по аналогии с тензором деформаций, можно также представить в виде
симметричного тензора скоростей деформации:
120
ξx
0,5η xy
Tξ 0,5η yx ξ y
0,5η zx 0,5η zy
0,5η xz
0,5η yz .
ξ z
Его по аналогии можно представить в виде шарового тензора
T
и девиатора скоростей деформаций D , то есть
T T0 D .
Шаровой тензор имеет вид:
ξ ср
Tξ0 0
0
0
ξ ср
0
0
0 .
ξ ср
При развитых пластических деформациях средняя скорость деформации:
ср
x y z
3
0
или
.
x y z
0.
x
y
z
Девиатор скоростей деформаций записывается аналогично девиатору деформаций:
ξ x ξ ср
Dξ 0 ,5η yx
0 ,5η zx
0,5η xy
ξ y ξ ср
0 ,5η zy
0,5η xz
0 ,5η yz .
ξ z ξ ср
Шаровой тензор T характеризует скорость изменения объ-
ема, а девиатор D характеризует скорость изменения формы тела.
121
Аналогично вводится понятие интенсивности скоростей деформации сдвига:
H
2
3
ξ
x
ξy
ξ
2
y
ξz
ξ
2
ξx
2
z
3 2
η xy η 2yz η 2zx .
2
Главные оси скоростей деформаций, главные скорости линейных деформаций определяются аналогично, как для тензора деформаций.
Задача 15. Дано стационарное поле скоростей материальных
частиц тела:
x 2 z , y 2 y , z 0.
Найти максимальную скорость деформации сдвига.
Решение. Определим тензор скоростей деформаций:
1
ij i j
2 x j xi
0 0 1
0 0 1 .
1 1 0
Его главные значения находим из определителя:
0
1
0
1
1
1 0
или
2 2 0.
Откуда
1 2, 2 0, 3 2.
По аналогии с определением главных сдвигов имеем:
max 31
122
1
3 1 2.
2
2.10 Большие пластические деформации
В процессах пластического деформирования металлов происходят большие пластические деформации, что связано с значительными изменениями размеров деформируемого тела. Для описания
больших пластических деформаций применяют следующие показатели деформации: абсолютные, относительные и логарифмические
деформации, а так же коэффициенты деформации.
2.10.1 Абсолютные и относительные деформации
Для расчeта показателей деформации рассмотрим прямоугольный параллелепипед с ребрами, параллельными главным осям деформации 1, 2, 3 (рис. 44).
Исходные размеры тела до пластической деформации X0, Y0, Z0.
Конечные размеры после пластической деформации X, Y, Z.
Абсолютная деформация находится как разность между конечными и начальными размерами тела в направлении осей координат
ΔX = X – X0, ΔY = Y – Y0, ΔZ = Z – Z0.
Рис. 44. Схема к расчету абсолютных и относительных деформаций
123
Она может быть как положительной, так и отрицательной в зависимости от того, происходит увеличение или уменьшение размеров деформируемого тела.
Относительная деформация по Лагранжу определяется как
отношение абсолютной деформации к первоначальному размеру
тела.
x
X X X 0
,
X0
X0
y
Y Y Y0
,
Y0
Y0
z
Z Z Z 0
.
Z0
Z0
Здесь положительная величина деформации соответствует растяжению, а отрицательная сжатию. Показатели деформации могут
быть выражены в процентах. Отрицательная деформация изменяется в пределах [0, -1), положительная в пределах [0, +∞). Индексы
x, y, z в обозначении деформации показывают по направлению к какой оси ее рассматривают.
Относительная деформация по Эйлеру определяется как отношение абсолютной деформации к конечному размеру тела.
x
X
Y
Z
, y
, z
.
X
Y
Z
2.10.2 Логарифмические деформации.
Коэффициенты деформации
Рассмотрим, как пример, деформацию осадки тела в виде прямоугольного параллелепипеда с начальной высоты Z0 до конечной
высоты Z (рис. 45).
124
Рис. 45. Схема к расчету логарифмических деформаций
Допустим, что в какой-то момент времени высота тела равна Z,
а бесконечно малое уменьшение его высоты равно dZ. Тогда бесконечно малая деформация в направление оси z.
dez
dZ
.
Z
Логарифмическая деформация при осадке тела от Z0 до Z.
Z
dZ
Z
.
ln
Z0
z0 Z
еz
Рассматривая деформацию параллелепипеда с исходными размерами X0, Y0, Z0 и конечными размерами X, Y, Z, можно аналогично
определить деформации в направление осей x и y.
е x ln
Y
X
, е y ln .
X0
Y0
Таким образом, логарифмические деформации представляют
собой результат суммирования бесконечно малых деформаций, поэтому их часто называют истинными деформациями.
Логарифмические деформации обладают свойством аддитивности. При выполнении деформации в несколько этапов, их можно
складывать при расчёте суммарной деформации е eI eII .
125
Допустим, что растяжение образца длиной 100 мм произведено
в два этапа. Вначале образец растянут на длину 120 мм, а после – до
150 мм. Суммарная деформация за два этапа нагружения
е ln
150
150 120
150
120
ln
ln
ln
eI eII .
100
120 100
120
100
Относительные деформации по Лагранжу и логарифмические
деформации связаны между собой соотношениями
е x ln
Х Х
Х
ln 0
ln1 x ,
Х0
Х0
е y ln
Y Y
Y
ln 0
ln 1 y ,
Y0
Y0
е z ln
z z
z
ln 0
ln1 z .
z0
z0
Из рис. 46 видно, что расхождение между логарифмической и
относительной деформацией при изменении последних в пределах
0-10% составляет 0-5%. В инженерных расчётах при относительной
деформации меньше 0,1 можно считать еx ex .
Рис. 46. График зависимости относительной ɛx и логарифмической
ех деформацией
Коэффициенты деформации определяются через отношение
размеров тела после деформации к соответствующим размерам до
деформации.
126
Например, применительно к процессу прокатки плит коэффициенты деформации по рис. 47 следующие: коэффициент обжатия
η = Н/Н0, коэффициент уширения β = В/В0, коэффициент вытяжки
𝜆=
𝐿
𝐿0
= 𝐹/ 𝐹0 , где F0 = В0Н0, F = BH.
Рис. 47. Схема к расчету коэффициента деформации при прокатке плит
В ряде процессов пластического деформирования, таких как
прессование, волочение, прокатка, чаще используют относительную деформацию, выраженную через начальную F0 и конечную Fк
площади поперечных сечений тела.
F
F0 Fk
100%.
F0
Выбор показателей деформации определяется удобством вычисления и требуемой точностью расчeта.
Задача 16. Плита длиной 1200 мм, шириной 360 мм и толщиной 5 мм растягивается равномерно при растяжении в продольном
направлении до тех пор, пока ее длина не увеличится до 1440 мм
без изменения ширины. Найти: а) конечные главные деформации,
б) конечные размеры плиты.
Решение.
Выбрав следующие направления осей: длина x, ширина y, толщина z, получаем:
127
ex ln
x
1440
ln
0,182 ,
x0
1200
e y ln
y
360
ln
0,
y0
360
ez ln
z
t
ln 0,182 ,
z0
t0
так как
ex ey ez 0.
Из уравнения e z ln
t
получаем:
t0
t t0 e ez 5e 0 ,182 4,16 мм.
Следовательно, размеры плиты после деформации будут следующими: длина 1440 мм, ширина 360 мм и толщина 4,16 мм.
Задача 17. Цилиндрическая заготовка диаметром d0 = 100 мм и
высотой h0 = 98 мм осаживается до высоты hк = 50 мм. Считая деформацию равномерной определить истинные деформации, коэффициенты деформации и диаметр заготовки после деформации в
цилиндрической системе координат (ρ, θ, z).
Решение:
Из условия постоянства объема до и после деформации V0 Vк ;
найдем конечный диаметр dк:
d 02
d к2
h0
hк .
4
4
Откуда
dк
d 02 h0
100 2 98
19600 140 мм.
hк
50
Логарифмическая деформация по оси z равна:
h
50
e z ln к ln
ln 0,51 0,6733.
h0
98
128
Из условия, что при линейном напряженном состоянии сжатия:
e e 0,5ez .
Логарифмические деформации по осям ρ и θ равны:
e e 0,33665.
Коэффициенты осадки, уширения и вытяжки равны:
hк 50
0 ,51,
h0 98
d к 140
1,4 ,
d 0 100
d к 140
1,4.
d 0 100
2.10.3 Смещённый объем. Условие постоянства объема
Смещённый объeм – это объем, прибавленный или удаленный
в процессе деформации в одном из главных направлений осей деформации. Этот термин широко используется для расчета работы,
затрачиваемой на пластическую деформацию тела.
Пусть в текущий момент деформации заготовка получает приращение dZ (рис. 48). Тогда элементарный смещённый объем в
направление оси z по высоте
dFcz Fz dZ ,
где Fz – площадь поперечного сечения, перпендикулярная оси z в
каждый момент деформации.
Fz
V0
,
Z
где V0 – объем параллелепипеда V0 = X0Y0Z0.
129
Рис. 48. Схема к расчету смещённого объема в направлении оси Z
После интегрирования получим выражение, из которого
видно, что смещённый объем в направлении оси z равен объему
тела, умноженному на логарифмическую деформацию
Vcz V0 ZZ 0
dZ
V0 e z .
Z
Аналогично можно вывести выражения для смещeнных
объeмов металла по двум другим направлениям – по ширине и
длине
Vcх V0 eх , Vcy V0 e y .
Задача 18. Плита длиной 1500 мм, шириной 200 мм и толщиной 10мм, растягивается равномерно до тех пор, пока ее толщина
не уменьшится до 8 мм. Определить смещённые объемы по длине,
ширине и толщине плиты; размеры плиты после деформации. Материал плиты считать изотропным.
Решение:
Определим истинную деформацию по толщине полосы:
130
et ln
tк
8
ln 0,223.
t0
10
Логарифмическую деформацию по длине плиты определим из
условия постоянства объема:
el eb et 0.
Так как тело изотропно, то деформация по толщине равна деформации по ширине et eb 0, 223 , тогда:
el 2et 0 ,
el 2et 0, 446 .
Начальный объем полосы:
V0 l0 b0 t0 1500 200 10 3 106 мм3 .
Смещённые объемы:
Vct et V 0,223 3 106 669 103 мм 3 ,
Vcb eb V 0,223 3 106 669 103 мм 3 ,
Vcl Vct VCB 2 669 103 1318 103 мм 3 .
Ширина и длина полосы после деформации:
eb ln
bK
bк b0 e eb 200 e (-0,223) 160 мм ,
b0
el ln
bK
lк l0 e el 1500 e 0,446 2343 мм.
b0
Условие постоянства объема широко используется при расчетах размеров заготовки для изготовления изделий пластическим
деформированием. По условию постоянства объема при осадке прямоугольного параллелепипеда (cм. рис. 44) получаем
XYZ
1.
X 0Y0 Z 0
131
После лагорифмирования получим уравнение, описывающие
условие постоянства обьема.
X
Y
Z
ln
ln
ln
0
X0
Y0
Z0
или
ex + ey + ez = 0.
Умножив на объeм деформируемого тела 𝑉0 , получим
V0 ex V0 e y V0 ez 0
или
Vcx Vcy Vcz 0.
Таким образом, сумма смещённых объeмов по трeм взаимно
перпендикулярным направлениям равна нулю. Условие постоянства объeма XYZ/ X0Y0Z0 = 1 после подстановки коэффициентов деформации примет вид
1.
2.10.4 Определение числа переходов.
Условие постоянства секундных объемов
В ряде процессов пластического деформирования металлов,
таких как прокатка, волочение, протяжка, вытяжка изделия получают за несколько операций (переходов). Используя условие постоянства объема, можно получить формулу для определения числа переходов, если известен средний коэффициент вытяжки за переход
𝜆ср за всю обработку, где F0 начальное Fк конечное поперечное сечение тела.
Пусть после 1, 2,…n операций (переходов) поперечное сечение
деформируемой заготовки будет равно F1, F2,…Fк. Тогда коэффициенты вытяжки при отдельных операциях составят
132
1
F0
F 1
F
, 2 1 ,..., n n
.
F1
F2
Fк
Откуда F0 1F1 , F1 2 F2 , ..., Fn1 n Fn .
Тогда F0 1 2 ... n Fк или
F0
1 2 ... n , где n число опеFк
раций.
Окончательно
1 2 ... n .
Если принять 1 2 ... n ср , то nср .
После логарифмирования получим формулу для расчета числа
переходов
n
ln
ln ср
ln F0 ln Fк
.
ln ср
Условие постоянства секундных объемов устанавливает взаимосвязь между скоростью движения металла V и изменениями размеров поперечного сечения F деформируемой заготовки при непрерывном режиме обработки давлением.
Например, закон постоянства секундных объемов должен выполняться при одновременной прокатке заготовки в группе рабочих
клетей прокатного стана (рис. 49).
Рис. 49. Схема одновременной прокатки заготовки в двух рабочих клетях
133
Условие постоянства секундных объемов формулируется так:
«Объeм металла, проходящий через единицу времени, через определенное сечение очага пластической деформации не меняется при
переходе от одного сечения к другому».
V1F1 V2 F2 V3F3 Vi Fi const.
В противном случае возможен обрыв при V2 больше V1 или образование петли при V2 меньше V1.
2.10.5 Средняя скорость деформации
Скорость деформации это изменение степени деформации за
единицу времени. Обозначается в расчетных формулах как ε̇ . Её
размерность сек-1, в отличие от скорости деформирования V (м/сек)
(скорость движения инструмента).
Для случая простого растяжения стержня длиной L0 на
длину Δ𝑙 за время t средняя скорость деформации
l
.
t L0t
При осадке заготовки с начальной высотой H0 до конечной высоты H со скоростью движения инструмента (бойка) V средняя скорость деформации
H H 0 H / H 0
V
.
t
t
H0
При прессовании круглых прутков (рис. 50) среднюю скорость
деформации определяют по формуле
где λ – коэффициент вытяжки.
134
ln
,
t
Fк
,
Fпр
где Fк – площадь поперечного сечения контейнера; Fпр – площадь
поперечного сечения прутка.
Рис. 50. Схема прессования круглого прутка
Длительность деформации находят по выражению
t
Wопд
,
Wсек
где Wсек – объем металла вытекающий из канала матрицы за одну
секунду.
Wсек = FпрVист,
где Vист – скорость истечения прутка из канала матрицы.
Объем очага пластической деформации Wопд может быть вычислен как объeм усечeнного конуса высотой h.
Wопд
1
2
Rк2 Rк Rпр Rпр
h,
3
где Rк = Dк/2 и Rпр = Dпр/2.
Для случая листовой прокатки средняя скорость деформации
за проход
135
VH
,
H RH
где H – высота заготовки до прокатки; V – скорость вращения рабочего валка; ΔH – абсолютное обжатие за проход; R – радиус рабочего валка.
Задача 19. Определить среднюю скорость деформации при
прессовании прутка диаметром Dпр = 10 мм из контейнера диаметром Dк = 50 мм через коническую матрицу α = 450 при скорости истечения 5 м/мин.
Решение.
Найдем высоту очага пластической деформации.
h
Dк Dпр
2 tg
50 10
20 мм .
2 1
Объем очага пластической деформации:
1
2
Vопд Rк2 Rк Rпр Rпр
h,
3
3,14 2
Vопд
25 25 5 5 2 16223 мм 3 .
3
Секундный объем, вытекающий из очага пластической деформации:
Vсек Fк ист ,
ист 5
D 2пр
м
5000
мм
83,3
,
мин 60с
с
3,14 10 2
мм 3
83,33 6541,41
.
мин
4
с
Время, в течение которого металл находиться в очаге пластической деформации:
V
16223
τ опд.
2,5 сек.
Vсек 6541,41
Vceк
136
ист
Средняя скорость деформации равна:
ecp
emax
τ
,
где emax – истинная степень деформации максимальная по абсолютной величине в главном направлении. Для процесса прессования
главная деформация:
emax ln ,
Fконтейнера
Fпрутка
.
Тогда
emax ln
D к2
D пр2
3,22.
Таким образом, средняя скорость деформации равна:
ecp
emax
τ
3,22
1
1,29 .
2,5
c
2.10.6 Однородная, равномерная и монотонная деформации
Однородной называется деформация тела, при которой главные
оси имеют одинаковые направления во всех точках тела и остаются
неизменными в течение всего процесса пластического деформирования. Это означает, что при однородной деформации отсутствуют
сдвиги, а различные участки тела получают одинаковые линейные
деформации как по величине, так и по направлению.
Пример однородной деформации при осадке тела между параллельными плитами без трения показан на рис. 51.
При однородной деформации компоненты перемещений линейно зависят от координат:
u x 1 x , u y 2 y , u z z z.
137
Отсюда следует, что при однородной деформации любая
плоскость деформируемого тела остается плоскостью и после деформации. На этом положении основана гипотеза плоских сечений, широко применяемая в теории обработки металлов давлением.
На практике однородная деформация встречается очень редко.
Обычно имеет место неоднородность деформации, это является результатом действия сил трения, формы инструмента и способа деформирования.
а
б
Рис. 51. Схема осадки квадратной заготовки в условиях равномерной
деформации: а – до деформации; б – после деформации
Пример неоднородной деформации при осадке между параллельными плитами с учетом действий сил трения Т приведен на рис. 52.
Рис. 52. Схема неоднородной деформации
138
Равномерной называется такая деформация, тензор которой в
любой точке тела постоянен и не зависит от координат. Равномерная деформация представляет собой частный случай однородной
деформации. Она возможна в условиях линейного напряженного
состояния.
Условие монотонности деформации заключается в том, что на
всем протяжении процесса деформирования наибольшие и
наименьшие удлинения или укорочения испытывают одни и те же
материальные волокна, проходящие через рассматриваемую точку
тела.
2.11 Механические схемы деформаций
В процессах пластического деформирования, исходя из количества действующих напряжений и деформаций на трех взаимно
перпендикулярных площадках, возможны девять схем главных нормальных напряжений: линейные, плоские и объёмные (рис. 16, стр.
45) и три схемы главных линейных деформаций (рис. 41, стр. 109).
Механические схемы деформаций по С.И. Губкину – это сочетание схем главных нормальных напряжений и схем главных линейных деформаций. Каждая линейная схема напряженного состояния может иметь только одну схему деформации. Каждая из четырех объемных и трех плоских схем может сочетаться со всеми тремя
схемами деформации. Таким образом, число возможных механических схем деформации равно 23 = 2 + (4 + 3)3.
В табл. 1 приведены механические схемы деформаций основных технологических процессов пластического деформирования
металлов: прессование, прокатка листов, осадка и волочение.
Из таблицы видно, что усилие деформации и пластичность металла зависят не только от схемы напряженного состояния, но и от
схемы деформированного состояния.
139
Таблица 1. Механические схемы деформации основных технологических процессов
Процесс
Усилие
деформации
Высокое
Отличная
Прокатка
листов
Высокое
Хорошая
Осадка
Среднее
Удовлетворительная
Волочение
Низкое
Пониженная
Прессование
Схема
напряженного
состояния (σ)
Схема
деформированного
состояния (ε)
Пластичность
При одной и той же схеме напряженного состояния, схемы деформированного состояния могут быть различны, например, в процессах осадки и прессования. В случае осадки оно объемное с двумя деформациями растяжения, а в случае прессования – объемное с двумя
деформациями сжатия. И, наоборот, при одной и той же схеме деформированного состояния в процессах прессования и волочения схемы
напряженного состояния различны: в первом случае оно трехосное одноименное, а во втором – трехосное разноименное.
Схема главных деформаций позволяет судить, в каком направлении течёт металл, как изменяется характер физических и механических свойств металлов. Например, при схеме (рис. 41, а, стр. 109)
зерна металла удлиняются в направлении положительной деформации. Интенсивно происходит упрочнение металла, образуется полосчатость микроструктуры и текстура деформации. При схеме деформаций (рис. 41, в, стр. 109) зерна металла как бы сплющиваются.
Включения инородных металлов и примесей рассеиваются в
140
направлениях положительных деформаций, что оказывает неблагоприятное воздействие на свойства металла.
По механическим схемам деформации можно судить о пластичности металла. Пластичность всегда больше в схемах со сжимающими напряжениями, чем в схемах с растягивающими напряжениями. Наибольшим усилием деформации отличаются металлы
в условиях деформирования при одноименных схемах. В условиях
разноименных схем напряженного состояния усилие снижается.
Если известна схема главных деформаций, то по ней нельзя судить о схеме главных напряжений. Если известна схема главных
нормальных напряжений, то по ней всегда можно найти вид схемы
главных деформаций.
Каков же физический смысл представления тензора главных
напряжений в виде девиатора и шарового тензора? Разложение тензора на шаровой и девиатор позволяет как бы разделить его на
напряжения, влияющие на изменения объема и формы тела.
Принятые в теории пластического деформирования металлов
условия пластичности и вытекающие из этого соотношения не учитывают влияние шарового тензора, так как условие пластичности
выражается только через второй инвариант девиатора напряжений.
Однако это не означает, что шаровой тензор напряжений равен
нулю, просто он не оказывает влияния на момент наступления пластического деформирования.
В то же время характер напряженно-деформированного состояния определяется величиной шарового тензора напряжений. Поэтому при определении предельной деформации в том или ином
процессе его нельзя не учитывать. Примером, подтверждающим это
положение, могут служить исследования П. Бриджмена. Он доказал, что при растяжении образца под гидростатическим давлением
24 тыс. ат. величина предельной деформации увеличилась более
чем в восемь раз по сравнению со значениями в обычно принятых
условиях испытаний.
141
Схемы главных напряжений оказывают существенное влияние
на поведение металлов в процессе деформации. Так, материалы, в
принципе, не могут иметь «чисто механические свойства», не зависящие от схемы действия напряжений. Каждому виду механических
испытаний присуща своя определенная схема или совокупность
схем главных напряжений, которым и соответствуют все получаемые характеристики прочности и пластичности. В частности, как
отмечает С.И. Губкин, «…пластичность при обработке металлов
давлением будет тем больше, чем меньшую роль в схеме главных
напряжений играют растягивающие напряжения».
Таким образом, схема напряженного состояния ограничивает
предельно допустимую степень деформации, которая, в свою очередь, обусловлена вполне конкретными явлениями. Например, при
листовой штамповке к ним относятся:
- потеря устойчивости вследствие образования складок, гофр,
коробления и тому подобных явлений (первый вид потери устойчивости);
- образование «шейки» или чрезмерного местного утонения,
приводящего к браку изделия (второй вид потери устойчивости);
- возникновение трещин, надрывов;
- комбинированное действие указанных факторов.
Каждое из этих явлений, как правило, проявляется на различных стадиях процесса формоизменения. Соответственно от этого
будет зависеть и выбор механических свойств, характеризующих
данное явление. Например, потеря устойчивости в смысле коробления связана с переходными процессами между упругим и пластическим состоянием, т. е. она наблюдается в начале процесса деформации. Механическими характеристиками этого явления будут, очевидно, σ𝑠 , 𝐸. В качестве другого примера можно привести образование трещин при пластическом изгибе в случае применения малых
радиусов гиба. Эти трещины возникают при значительных дефор-
142
мациях, соответствующих примерно степени истинных деформаций в «шейке» образца при его растяжении. Следовательно, и механические характеристики, например ψраз, должны соответствовать
этой стадии процесса.
Для решения задачи о показателях, которые полностью учитывают характер напряженного состояния, используем наиболее общий подход, предложенный С.И. Губкиным.
Показатели схемы напряженного состояния должны быть величинами безразмерными, следовательно, и тензор, характеризующий это состояние, целесообразно представить в безразмерном
виде. Тензор напряжений можно записать в относительных величинах, поделив все его компоненты на величину, пропорциональную
корню квадратному из второго инварианта девиатора напряжений,
например, октаэдрическое касательное напряжение 𝜏окт.
В этом случае получим выражение:
σ1
τ окт
0
0
0
σ2
τ окт
0
ср
0
окт
0 = 0
σ3
0
τ окт
0
ср
окт
0
0 1 ср
окт
0 + 0
ср
0
окт
0
0
3 ср
окт
0
2 ср
окт
0
(27)
Следует подчеркнуть, что величина
τ окт
1
3
1 2 2 2 3 2 3 1 2
2
i
3
не связана с конкретным материалом, а служит лишь для выражения тензора напряжений и его составляющих в относительных безразмерных величинах.
Введем новые обозначения компонент относительно тензора
напряжений:
143
0к
к ср
к 0 ср
,
,d к
(К 1, 2, 3).
окт
окт
окт
Тогда соотношение (27) будет иметь вид
10
0
0
0
02
0
0 0
0 0
30 0
0
0
0
0 d1
0 0
0 0
0
d2
0
0
0
d3
.
Компоненты 𝑑̅к можно выразить через величину показателя
направляющего тензора напряжений ϑσ
2 1 2 3 .
1 3
Тогда
d1
3
2 3 2
, d2
2
2 3 2
, d3
3
2 3 2
. (28)
Компоненты σ0к относительно тензора напряжений с учетом
выражений (28) имеют вид:
3
10 0
;.
2 3 2
02 0
30 0
2
2 3 2
3
2 3 2
;
.
(29)
Уравнения (29) дают ответ на поставленный вопрос – любая
схема напряжений, а следовательно и показатель ее, являются функцией среднего относительного напряжения (гидростатического давления) σ0 и величины ϑσ .
144
Если при графической интерпретации уравнений (28) по одной
из осей отложить величину показателя направляющего тензора ϑσ ,
а по другой – среднее напряжение σ0 , то каждая точка, определяемая этими координатами, будет отвечать тензору относительных
главных напряжений. Полученная таким способом диаграмма называется диаграммой видов напряженного состояния (рис. 53).
Можно указать различные пути ее построения и анализа.
Рис. 53. Диаграмма видов напряженного состояния
Рассмотрим один из них. Прежде всего, проанализируем частные виды напряженного состояния – возможные варианты плоских
схем напряжений. Таких вариантов может быть три:
10 0, 02 0, 30 0;
02 0, 10 0, 30 0;
30 0, 10 0, 02 0.
145
Выражение (29) для первого из них примет вид
0 0
02
3
2 3 2
;
2
0
2 3 2
3
30 0
2 3 2
(30)
;
.
Первое из уравнений однозначно определяет связь между σ0 и ϑσ :
3
0
2 3 2
.
(31)
В координатах 0 оно отображается кривой mn, причем в
характерных точках 1 , 0 , 1 ордината σ0 составляет:
при 1
0
1
при 0
0
3
;
2
при 1
0
2
2
2
;
.
Для определения знаков относительных напряжений σ02 и σ03
проанализируем их выражения, заменив σ0 значением из уравнения
(31). В результате получим:
3 1
02
;
(32)
2( 3 2 )
30
146
6
2(3 2 )
.
(33)
При изменении показателя ϑσ в интервале от +1 до −1 выражения (32) и (33) оказываются отрицательным. Следовательно, кривая 𝑚𝑛 отвечает схемам двухосного сжатия, рис. 53.
При равенстве σ02 = 0 имеем:
3
10 0
0 0
2 3 2
2
;
2 3 2
3
30 0
2 3 2
;
.
Второе уравнение (30)
0
2
2 3 2
в принятой системе координат также можно представить в виде
кривой 𝑛𝑝, а величина σ0 в характерных точках следующая:
1
0 ;
при 1
2
при 0
0 0 ;
при 1
0
1
2
.
Анализируя знаки напряжений σ10 и σ03 , можно прийти к выводу, что здесь рассматривается плоская схема напряжений, причем
в области ϑσ от 1 до 0 сжимающие напряжения по абсолютной величине больше растягивающих.
Наоборот, при значениях ϑσ от 0 до −1 абсолютная величина
напряжений растяжения превышает значения сжимающих. При
ϑσ = 0 наблюдается чистый сдвиг σ03 = −σ10.
147
Наконец, рассматривая случай, когда σ03 = 0, получаем
10 0
02 0
0 0
3
;
2(3 2 )
2
;
2(3 2 )
3
2(3 2 )
.
Уравнение
0
3
2(3 2 )
,
как и в первых двух вариантах однозначно определяющее связь σ0
и ϑσ , на диаграмме может быть представлено кривой 𝑝𝑞. Величина
σ0 в характерных точках составляет :
при 1
0
при 0
0
при 1
0
2
2
;
3
;
2
1
2
.
На основании анализа знаков σ02 и σ10 можно сделать вывод, что в
этом случае имеются плоские одноименные схемы растяжения.
Любую схему напряженного состояния можно определить в
виде точки на диаграмме видов напряженного состояния (рис. 53,
стр. 145) в координатах (𝑣σ , σ°).
На рис. 53 область IV (выше qp) – трехосное растяжение, область III (qpn) – объемная разноименная схема (два растяжения и
одно сжатие), область II (pnm) – объемная разноименная схема
148
(одно растяжение и два сжатия), область I (ниже mn) – область всестороннего сжатия.
На линиях mn, np, pq реализуется плоское напряженное состояние: на mn – плоская схема сжатия, на np – сдвиговая схема напряженного состояния (одно растяжение и одно сжатие), на pq – схема
плоского растяжения.
В точках q и n – реализуются линейные схемы напряженного
состояния, в точке q – схема линейного растяжения, в точке n – линейного сжатия.
Рис. 54. Анализ напряженного состояния при волочении
Диаграмма видов напряженного состояния 𝑣σ – σ° дает графическое представление о том, как изменяется напряженное состояние
с изменением среднего напряжения σ° и 𝑣𝜎 . Например, в области II
реализуются схемы напряженного состояния, отвечающие процессу волочения (рис. 54). Напряженное состояние при волочении
осесимметричного изделия (круглый пруток) реализуется на линии
mp. При входе заготовки в волоку возникает высокое гидростатическое давление σ°, определяемое точкой m на диаграмме, что вызывает износ канала волоки. На выходе из очага пластической деформации напряженное состояние изделия определяется точкой p. Растягивающие напряжения могут привести к разрушению изделия.
149
Таким образом, при волочении металла различным участкам
деформируемого тела соответствуют различные механические
схемы деформаций.
Диаграмма видов напряженного состояния позволяет классифицировать все процессы обработки давлением с точки зрения
напряженного состояния: область I – прессование, прокатки, область III – операции ковки (осадка, протяжки). Область II – волочение линии pq, qn, mn операции листовой штамповки.
2.12 Неравномерность деформации
В реальных процессах обработки металлов давлением напряжения и деформации будут изменяться при переходе от одной точки
к другой. В целом по телу возникает как неравномерность напряженного состояния, так и неравномерность деформаций.
2.12.1 Неравномерность деформации
и дополнительные напряжения
При равномерной деформации напряжения и деформации в
различных точках изотропного, однородного деформируемого тела
одинаковы. Прямые линии, проведенные в теле до деформации,
остаются прямыми и после деформации (рис. 51, стр. 138). Примером однородного деформированного состояния может служить равномерное растяжение при линейном напряженном состоянии до образования шейки.
В процессе пластической деформации отдельные слои (части,
элементы, объемы) тела стремятся получить неравномерные необратимые изменения размеров и формы, чему препятствует целостность металла.
Пусть в деформируемом теле (рис. 55, а) две части А и В разграничены условной поверхностью mn. Предположим, что эти две
150
части в результате приложения внешней силы получат различные
изменения размеров. Если бы элементы А и В могли изменять свою
форму обособлено друг от друга, то в результате деформации они
приняли бы вид, как на рис. 55, б. Так как при деформации сохраняется сплошность тела, то частицы «а» элемента А взаимодействуют с частицами «b» элемента В. Поэтому элемент В передает на
элемент А силы 𝑇𝐴 , стремящиеся увеличить размеры А, а элемент
А, наоборот, передает на элемент В силы ТB, стремящиеся сдержать
его деформацию (рис. 55, в).
а
б
в
г
Рис. 55. Модель образования дополнительных напряжений
Таким образом, в теле на границе элементов, деформирующихся с разной интенсивностью, возникают взаимно уравновешивающиеся внутренние напряжения σ𝑎доп и σ𝑏доп рис. 55, г).
Их называют дополнительными напряжениями. Они не зависят от схемы напряженного состояния, определяемого внешними
силами, а возникают, как следствие разницы в деформациях отдельных элементов тела.
С.И. Губкин сформулировал закон дополнительных напряжений, на основании которого определяют знак дополнительных напряжений. «В слоях и элементах деформируемого тела, стремящихся в
данном направлении к большему изменению размеров, возникают
дополнительные напряжения, знак которых отвечает уменьшению
размеров в рассматриваемом направлении. В слоях и элементах,
стремящихся к меньшему изменению размеров, возникают дополнительные напряжения, знак которых отвечает увеличению размера».
151
Дополнительные напряжения могут быть трех родов:
а) дополнительные напряжения первого рода, уравновешивающиеся между отдельными слоями тела;
б) дополнительные напряжения второго рода, уравновешивающиеся между отдельными кристаллитами (зернами);
в) дополнительные напряжения третьего рода, уравновешивающиеся между отдельными элементами кристаллитов.
Дополнительные напряжения, суммируясь с основными напряжениями, приводят к следующим последствиям:
а) повышение сопротивления деформированию;
б) изменение распределения напряжений;
в) понижение технологических свойств металла (появление
трещин за счет растягивающих напряжений).
2.12.2 Причины неравномерности деформаций
К основным причинам неравномерности деформаций в процессах пластического деформирования относят:
– несоответствие формы заготовки форме готового изделия
или инструмента;
– наличие внешнего трения на контактных поверхностях заготовки и инструмента;
– неоднородность физико-механических свойств деформируемой заготовки;
– характер приложения внешних сил.
Во многих случаях деформирования имеет место несоответствие формы заготовки форме инструмента или готового изделия.
Например, при сортовой прокатке форма калибров валков отличается от формы заготовки (рис. 56). Если квадратную заготовку
условно представить в виде набора узких полос металла, то каждая
из них будет удлиняться пропорционально своему обжатию по вы-
152
соте в калибрах валков. Как видно из рис. 56, в сечении 1-1 удлинение узкой полосы при обжатии максимальное, в сечении 2-2 – минимальное. Металл в области сечения 1-1 стремится к удлинению,
но удерживается металлом в области сечения 2-2 и в нем возникают
дополнительные сжимающие напряжения. В свою очередь металл в
сечении 2-2 стремится увеличить деформацию металла в сечении
1-1 и получает дополнительные растягивающие напряжения.
Рис. 56. Схема неравномерной деформации при сортовой прокатке
Влияние внешних сил трения на неравномерность деформации
показано на примере распределения интенсивности напряжений и
деформаций при осадке цилиндрической заготовки на плоских бойках без смазки (рис. 57).
Влияние неоднородности физико-механических свойств видно
на примере обработки неравномерно нагретой заготовки или деформируемой заготовки, составленной из разных металлов (биметалл).
При неравномерном нагреве нагретые слои как более мягкие деформируются в большей степени, чем холодные слои. Это приводит
к появлению дополнительных напряжений сжатия в наружных слоях
153
и растяжения во внутренних слоях. При большем перепаде температур и высокой степени деформации в объеме заготовки при малой
пластичности металла дополнительные напряжения растяжения могут вызвать разрывы внутренних слоев. Аналогичная картина имеет
место при деформации биметаллической заготовки из металлов с разными механическими свойствами. В мягких слоях появятся дополнительные напряжения сжатия, а в твердых слоях дополнительные
напряжения растяжения.
а
б
Рис. 57. Распределение интенсивности напряжений (а) и деформаций (б)
2.12.3 Остаточные напряжения
После прекращения действия внешних сил, вызывающих пластическую деформацию, снимаются только основные напряжения,
определяющие величину упругой деформации. Дополнительные
напряжения остаются в изделии после разгрузки. Их называют остаточными напряжениями первого, второго и третьего рода, действующими соответственно между частями тела, кристаллитами и в
кристаллите между группами атомов.
154
В процессе прессования основные причины появления остаточных напряжений – неравномерность деформаций как результат совместного действия сил трения и формообразующей матрицы. При
пластической деформации центральные слои металла деформируются меньше, чем периферийные. После прессования знак деформации при разгрузке изменяется на противоположный. В периферийных слоях прутка возникают деформации укорочения. Так как центральные слои сдерживают упругое сокращение периферийных
слоев, то они остаются в растянутом положении. В результате в
пресс-изделии в центральных слоях возникают продольные остаточные напряжения сжатия, а в периферийных – растяжения (рис. 58).
Рис. 58. Распределение остаточных напряжений
После прессования диаметр прутка несколько увеличивается
из-за действия остаточных радиальных напряжений. На поверхности прутка σrост = 0. Внутри слои металла действуют друг на друга
подобно трубам, собранным с натягом.
Под действием остаточных радиальных напряжений в периферийных слоях окружные остаточные напряжения растягивающие,
так как они подвержены действию внутреннего давления. А, поскольку, остаточные напряжения уравновешены внутри прутка, то
внутренние слои испытывают действие сжимающих окружных
напряжений.
Прессование приводит к появлению в некруглых профилях
остаточных напряжений, которые вызывают коробление, скрутку,
продольную и поперечную кривизну, трещины.
155
В большинстве случаев остаточные напряжения нежелательны, поскольку они ухудшают служебные свойства изделий:
снижают коррозионную стойкость, пластичность, ударную вязкость и предел выносливости.
Остаточные напряжения первого рода могут вызвать искажение формы изделия. В качестве примера возникновения остаточных
напряжений, приводящих к искажению формы изделия, рассмотрим прокатку тонкого листа. Тепловая выпуклость бочки валка приводит к неравномерности деформаций по ширине прокатываемой
полосы. Внутренние взаимно-уравновешивающиеся силы создают
остаточные напряжения растяжения в крайних слоях полосы и сжатия в центральных слоях, что приводит к появлению в них дефекта
«коробоватость» (рис. 59, а). Изгиб рабочих валков в результате
действия больших внешних сил формирует в полосе остаточные
напряжения растяжения в центральных слоях и сжатия в крайних
слоях, что приводит к появлению в них дефекта «волнистость»
(рис. 59, б).
а
б
Рис. 59. Схема образования дефектов при прокатке полос:
а – дефект «коробоватость»; б – дефект «волнистость»
156
Основной метод устранения остаточных напряжений – предотвращение их появления правильным режимом обработки, при котором неравномерность деформации сводится к минимуму. Для достижения этого необходимо форму заготовки постепенно приближать к форме готового изделия, заготовку изготавливать из однородного материала, ее обрабатывать при минимальном трении и
равномерно распределенной по объему температуре.
2.13 Принцип наименьшего сопротивления деформации
При решении задач пластического деформирования металлов
необходимо знать перемещения металла и соотношения между
этими перемещениями в разных направлениях. Качественно
направление течения металла определяют на основании принципа
наименьшего сопротивления, предложенного Г. Треска в 1695 г. и
сформулированного С.И. Губкиным.
«В случае возможности перемещения точек деформируемого
тела в различных направлениях, каждая его точка перемещается в
направлении наименьшего сопротивления».
Сопротивление на пути перемещения может быть внутреннего
или внешнего трения.
Принцип наименьшего сопротивления используют, например,
при горячей штамповке заготовок в открытых штампах (рис. 60) для
объяснения механики заполнения гравюры штампа.
В начале процесса штамповки металл заготовки перемещается
в радиальном направлении за пределы гравюры штампа, так как сопротивление течению металла в разъеме между верхней и нижней
половинами штампа в вертикальном направлении большое. По мере
смыкания половин штампа зазор между ними уменьшается, сопротивление течению металла в радиальном направлении резко возрастает, а в вертикальном уменьшается, что обеспечивает заполнение
всех элементов полости гравюры штампа.
157
Рис. 60. Схема заполнения гравюры открытого штампа
Для практического применения закона наименьшего сопротивления необходимо знать направление траектории, по которой для точек, на ней расположенных, сопротивление течению металла будет
наименьшим.
При осадке призматических тел между параллельными шероховатыми плитами при наличии трения по плоскостям контакта с заготовкой траектории определяются по принципу кратчайшей нормали,
сформулированному А.Ф. Головиным.
«Перемещение любой точки тела в плоскости, перпендикулярной к действию внешней силы, происходит по кратчайшей нормали
к периметру сечения».
Максимальную конечную деформацию заготовка получит в тех
направлениях, по которым будет передвигаться наибольшее количество точек.
Согласно указанному принципу, прямоугольник можно разделить на два треугольника и две трапеции линиями, представляющими собой граничные линии или линии раздела сечения (рис. 61).
Площади треугольных участков малы по сравнению с трапецидальными участками. Поэтому деформация в направлении короткой
стороны будет меньше, чем в направлении длинной стороны прямоугольника. Чем больше разница длин сторон, тем больше разница деформаций. При большом отношении размеров деформацией в
направлении меньшей из сторон можно пренебречь и схему деформаций считать плоской.
158
Рис. 61. Траектории движения точек при осадке прямоугольной призмы
в условиях значительного трения
Нетрудно представить, что при увеличении степени деформации при осадке тела контур поперечного сечения первоначально
стремится к эллипсу, а эллипс в дальнейшем преобразуется в круг,
после чего движение точек происходит по радиусам.
Траектория, по которой движутся точки деформируемого тела,
подчиняется принципу наименьшего периметра.
Любая форма поперечного сечения призматического или цилиндрического тела при осадке его в условиях максимального контактного трения стремится принять форму фигуры, имеющей при
данной площади наименьший периметр, т.е. в пределе стремится к
кругу. Действие принципа может быть реализовано для получения
осадкой круглых в плане поковок из заготовок квадратного поперечного сечения.
Этот принцип позволяет наиболее рационально подбирать
форму поперечного сечения исходных заготовок для конкретных
случаев пластического деформирования.
Следует отметить, что последние два принципа справедливы
для случая, когда трение на поверхностях контакта металла с инструментом изотропно, т.е. одинаково по всем направлениям и значительно.
159
При осадке заготовки, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, плоскими бойками при отсутствии контактного трения
движение частиц в плоскостях, нормальных к направлению действия внешней силы, носит радиальный характер. Поперечные сечения в процессе деформации будут оставаться подобными исходному сечению (рис. 62).
Рис. 62. Траектории движения точек при осадке прямоугольной
призмы без трения
Из закона наименьшего сопротивления вытекает принцип минимума полной энергии деформации. «Любое ограничение течению металла увеличивает энергию деформации, то есть минимум энергии затрачивается тогда, когда формоизменение происходит без ограничения течению металла по линиям наименьшего сопротивления».
2.14 Пластичность и разрушение металла
К основным факторам, лимитирующим применение процессов
пластического деформирования металлов давлением, относят пластичность и разрушение металла в процессе пластической деформации.
Пластичностью называют способность металлов деформироваться при разных значениях термомеханических параметров: степени деформации Ɛ, скорости деформации , температуре T без
160
разрушения. Так как пластичность металлов зависит от механической схемы деформаций, то для еe оценки используют разные показатели пластичности.
Мерой пластичности может служить степень деформации
сдвига, накопленная металлом к моменту разрушения Λ 𝑝 .
Предельную пластичность легко определить в простейших испытаниях образцов на растяжение и сжатие.
При развитом пластическом растяжении образцов:
р 3 ln
lp
,
l0
где 𝑙0 – начальная длина образца, 𝑙𝑝 – в момент разрушения.
При осадке без трения цилиндрических образцов на гладких
бойках:
р 3 ln
dp
h0
2 3 ln ,
hp
d0
где h0 , d0 – начальная высота и диаметр образца, hр, dр – высота и
диаметр в момент разрушения.
В качестве основных показателей пластичности при наличии в
схемах растягивающих напряжений используют параметр Ψ– относительное сужение площади поперечного при разрыве образца растяжением:
F0 Fp
,
F0
где F0 и Fp – площадь исходного сечения образца и площадь сечения
шейки после разрыва и относительное удлинение δ при разрыве:
l p l0
l0
.
161
Для оценки пластичности в условиях всестороннего сжатия
применяют относительную деформацию при осадке цилиндрического образца до появления первой трещины:
h0 hтр
h0
,
где h0 – исходная высота образца, hтр – высота образца в момент появления первой трещины на боковой поверхности образца.
Кроме понятия «пластичность» в теории пластического деформирования металлов используют понятие «деформируемость», т.е.
способность тела необратимо изменять свою форму и размеры без
микроскопического разрушения.
Как показывает практика, пластическая деформация металла
сопровождается возникновением и развитием микро и субмикротрещин.
Простейшая модель рождения трещины по К. Зенеру представляет собой скопление дислокаций вследствие пластической деформации у границ зёрен металла (рис. 63).
Рис. 63. Модель возникновения микротрещин
при пластической деформации металла
162
Под действием касательных напряжений τ дислокации скопления сжаты настолько, что их экстраплоскости сближаются на межатомное расстояние. Под ними действуют растягивающие напряжения Ϭх, достигающие величины разрушающего напряжения, что
приводит к образованию трещины, перпендикулярной плоскости
скольжения.
В программном комплексе DEFORM для прогнозирования разрушения при пластической деформации используется критерий
Cokroft-Latham, рассчитываемый по формуле
D 0
1
d C ,
i
где ε – накопленная пластическая деформация, dε – приращение
накопленной деформации, σ1 – максимальное главное растягивающее напряжение, σ𝑖 – интенсивность напряжений, C – константа материала.
Колмогоров В.Л. предложил ввести для описания механизма
образования трещин при пластической деформации скалярную величину Ψ (трещиноватость), характеризующую пораженность элементарного объема деформируемого металла микродефектами.
Принято, что приращение 𝑑Ψ за промежуток времени dt
d ~
d
,
p
где 𝑑Λ – приращение степени пластической деформации, Λ 𝑝 – предельная пластичность металла.
Степень деформации металла без разрушения – это вся накопленная частицей металла пластическая деформация в течение некоторого отрезка времени t. Она подсчитывается с момента возникновения пластического течения до данного момента вдоль траектории
движения частицы металла.
163
t
Hdt ,
0
где H – интенсивность скоростей деформаций сдвига.
H
2
3
x
y
2
y
z
2
x
2
z
2
3 2
xy 2yz 2zx .
2
Здесь ξ𝑥 , ξ𝑦 , ξ𝑧 , η𝑥𝑦 , η𝑦𝑧 , η𝑧𝑥 – линейные и угловые скорости деформаций.
В расчетах часто используют упрощенное уравнение интенсивности скоростей деформации сдвига:
H 1,08max 1,081 3 ,
где ξ1, ξ3 – главные скорости деформаций.
Работы Бриджмена, Смирнова-Аляева, Колмогорова и др. показали, что накопленная деформация в момент разрушения данного
металла и заданных температурно-скоростных условий зависит от
напряженного состояния, определяемого показателем:
K
,
T
где σ – среднее нормальное напряжение
x y z
3
, T – ин-
тенсивность касательных напряжений.
T
1
6
y y z z x 6 2xy 2yz 2zx .
2
x
2
2
2
Здесь σ𝑥 , σ𝑦 , σ𝑧 , τ𝑥𝑦 , τ𝑦𝑧 , τ𝑧𝑥 – значения нормальных и касательных напряжений.
В процессах обработки металлов давлением показатель 𝐾 изменяется в пределах от – 3 до + 3.
Условия пластического деформирования металла без разрушения имеют вид:
164
t
H
dt 1.
0 p
Параметр Ψ, характеризующий степень использования ресурса
пластичности металла, изменяется в пределах 0<Ψ<1. При Ψ = 1
наступает момент разрушения.
Предельная для деформируемого металла степень пластической деформации Λ 𝑝 находится экспериментальным путём по диаграмме пластичности (рис. 64), представленной в виде графического изображения функциональной нелинейной зависимости
Λ 𝑝 = 𝑓(𝐾).
Рис. 64. Диаграмма пластичности
Зависимость Λ 𝑝 = 𝑓(𝐾) всегда убывающая в левой части диаграммы, где Ϭ/T < 0 и преобладает сжатие, предельная деформация
сдвига значительно больше, чем в правой части, где Ϭ/T > 0 и преобладает растяжение.
Для того, чтобы провести расчёт степени использования запаса
пластичности и определить возможность разрушения металла при
пластической деформации, необходимо последовательно решить
ряд задач. Прежде всего определить напряжённое и деформированное состояние металла. Для этого необходимо найти траектории
165
движения частиц в очаге пластической деформации, а также значения интенсивности скоростей деформации сдвига H и показателя
напряжённого состояния Ϭ/T вдоль этих траекторий.
Типичная диаграмма пластичности для холодной и горячей деформаций показана на рис. 65, а. Из диаграммы видно, что с повышением температуры нагрева предельная пластичность металла
возрастает.
На рис. 65, б приведены типичные диаграммы для различных
показателей вида напряженного состояния Лоде-Надаи: растяжения
1; чистого сдвига 0 ; сжатия 1 .
1 3
2 .
1 3
2
Как видно из диаграммы, рост сжимающих напряжений всегда
повышает ресурс пластичности деформируемого металла при прочих равных условиях.
2
а
б
Рис. 65. Типичные диаграммы пластичности
Функциональную зависимость предельной степени деформации сдвига от параметра 𝐾 можно представить в виде степенной зависимости:
166
2
p A B C ,
T
T
где A, B и C – коэффициенты, определяемые по результатам экспериментов с помощью метода наименьших квадратов.
Для построения экспериментальной кривой предельной пластичности (рис. 64) проводят комплекс испытания образцов деформируемых металлов на кручение, растяжение, сжатие, изгиб. Основные требования к опытам – постоянство Ϭ/T в ходе эксперимента
и монотонность процесса. Эти требования порой трудно реализовать на практике. Поэтому результаты опытов получают приближенными.
Рассмотрим, как пример, испытания на кручение цилиндрических образцов в камере, заполненной жидкостью высокого давления (рис. 66), позволяющих определять предельную пластичность
при разных значениях 𝐾 путем регулирования величины давления в
камере p.
Метод кручения цилиндрического образца особенно широко
начали применять в последнее время, особенно при наноструктурировании металла. При кручении схема напряженного и деформированного состояния характерна для чистого сдвига – плоское напряженное состояние, плоская деформация. Пластичность, определенная этим методом, является константой металла.
Рис. 66. Камера высокого давления
167
Деформация при кручении протекает не монотонно: направления главных скоростей удлинений не совпадают все время испытания с одними и теми же волокнами. Тем не менее, степень деформации при кручении может быть подсчитана довольно просто. При
больших деформациях скручивания образец вдоль оси z практически не меняет свою длину и диаметр. Интенсивность скоростей деформации сдвига в этом случае равна скорости угловой деформации:
H
0
.
Z
В пределах участка скручивания l окружная скорость:
r
z ,
l
где ω – угловая скорость относительного поворота торцевых сечений образца.
Используя указанные соотношения, получим формулу степени
деформации:
rt
d.
l0
Степень деформации сдвига пропорциональна расстоянию r от
оси. Максимальное значение она имеет на поверхности образца и ее
можно записать так:
tg p .
Для нахождения предельной степени деформации сдвига при
кручении, достаточно определить в месте разрушения угол наклона
риски φр, напечатанной типографическим способом на поверхности образца (рис. 67) вдоль его образующей, к первоначальному ее
положению.
168
Рис. 67. К расчету угла наклона риски на поверхности образца
На примере процесса прессования накопленная степень пластической деформации достигает наибольших значений на выходе
из очага пластической деформации для периферийных слоeв, а параметр T – наименьших значений. Поэтому разрушение металла
наиболее вероятно на выходе из очага пластической деформации в
поверхностных слоях пресс-изделия.
Найдем при прессовании из цилиндрической заготовки радиусом
RК круглого профиля радиусом RП со скоростью VПР накопленную степень пластической деформации для периферийного слоя. Примем
очаг пластической деформации в виде усеченного конуса, а течение
металла в очаге деформации радиальным (рис. 68).
Рис. 68. К расчету накопленной степени пластической деформации
169
Траектория периферийного слоя 1 совпадает с конусом матрицы с углом α. Ее уравнение: r =Rк – ztgα.
Из условия равенства секундных объемов в сечении z, осевая
скорость:
Vz
Vпр Rк2
Rк z tg 2
,
Радиальная скорость: Vr Vz tg .
Скорость деформаций:
z
2Vпр Rк2 tan
Rк z tan 3
r .
Интенсивность скоростей деформации сдвига можно найти по
приближённой формуле:
H 1,08 z r
4 ,3Vпр Rк2 tan
Rк z tan 3
.
Накопленная степень деформации за промежуток времени
z
при переходе к новой переменной z при длине очага пластиt
Vz
ческой деформации lo𝜕.
t
log d
Hdt 4,32
0
Если
0
R z tg 2,16 ln .
к
Rк z tg
1 , то металл при прессовании деформируется без
p
трещин.
2.15 Выводы
В этой главе рассмотрены вопросы теории деформаций. По
природе деформация тела может быть упругой и пластической, по
величине – бесконечно малой и большой, по характеру – линейной
170
и угловой. Рассмотренная теория носит чисто геометрический характер. Деформированное состояние в исследуемой точке тела характеризуется шестью компонентами деформации: тремя линейными и тремя угловыми деформациями. Величина линейных деформаций определяется отношением приращения длины ребра к исходной длине. Величина угловой деформации определяется углом
между направлением ребер в исходном состоянии и после деформации. Имея компоненты перемещений исследуемой точки, по геометрическим уравнениям Коши нетрудно простым дифференцированием найти компоненты деформаций. Так как компонент деформаций шесть, то их можно описать тензором второго ранга – тензором деформаций, причем полевым и искусственно симметричным.
Деформированное состояние в точке вполне определенно, если для
нее задан тензор деформаций, а компоненты деформаций отвечают
условиям совместности деформаций.
В каждой точке тела существуют три взаимно перпендикулярные направления, которые называют главными осями деформации.
Они обладают тем свойством, что волокна в теле, параллельные им,
проходящие через данную точку, испытывают только линейные деформации удлинения или укорочения. Из условия постоянства объема при пластической деформации главные деформации не могут
быть одного знака. Поэтому имеются только одна плоская и две
объемные схемы деформаций.
Деформированное состояние в точке можно представить в
виде суммы двух деформированных состояний. Первое деформированное состояние характеризуется шаровым тензором деформаций,
когда изменяется объем тела. Второе деформированное состояние
описывается девиатором деформаций, когда изменяется форма (изменение объема не происходит).
Геометрическим образом деформированного состояния в
точке тела является эллипсоид деформации, построенный в главных
осях, а также диаграмма деформаций.
171
Важные частные случаи деформированного состояния – однородная и равномерная деформации. При однородной деформации
главные оси имеют одинаковые направления во всех точках тела и
остаются неизменными в течение всего процесса деформирования.
Равномерная деформация – это частный случай однородной, она реализуется в условиях линейного напряженного состояния.
Когда деформации тела имеют значительные величины, то для
их расчета применяют логарифмические (истинные) деформации,
обладающие свойством аддитивности. Эти деформации находятся
через логарифмы отношений текущих линейных размеров к исходным.
Деформационные изменения в теле во времени в каждой его
точке описываются тензором скоростей деформации, компоненты
которого определяются путем дифференцирования компонент вектора скорости в декартовой системе координат.
Для анализа технологических процессов пластического деформирования металлов давлением широко используется понятие механических схем деформаций. Механическая схема деформаций
для данного процесса – это совокупность схемы главных напряжений и схемы главных деформаций. Она дает графическое представление о знаке главных напряжений и деформаций, отображает
схему действующих сил и определяет характер формоизменения.
Общее количество возможных механических схем может быть 23.
При пластическом деформировании почти всегда имеет место
неоднородность деформации, которая вызывается одной из следующих причин (или их комбинаций):
– деформацией тела, которая осуществляется не по всему телу
одновременно, а по участкам;
– влиянием сил трения по поверхности контакта деформирующего инструмента с заготовкой, изменяющих характер напряженно-деформированного состояния металла;
– формой и размерами инструмента и обрабатываемого металла;
172
– неравномерностью нагрева и неоднородностью свойств деформируемого тела.
В связи с этим, кроме основных напряжений, возникающих от
внешних сил в пластически деформируемом теле, появляются дополнительные напряжения растяжения и сжатия, как результат реакции на изменение размеров отдельных элементов тела при неравномерной деформации. Напряжения, оставшиеся в теле после
окончания пластической деформации, называют остаточными.
Остаточные напряжения искажают размеры тела, его конфигурацию, приводят к появлению дефектов, способны даже вызвать
разрушение металла.
Принцип наименьшего сопротивления утверждает о том, что
каждая точка деформируемого тела перемещается в направлении
наименьшего сопротивления. Большая деформация произойдет в
том направлении, в котором большинство точек встречает меньшее
сопротивление перемещению. Этот принцип показывает, что при
осадке квадратных заготовок при наличии внешнего трения, они изменят свое поперечное сечение и будут стремиться к кругу.
2.16 Задания для самоконтроля
1. Поясните геометрический смысл компонент тензора бесконечно малых деформаций.
2. Что такое интенсивность деформаций и интенсивность деформаций сдвига?
3. Как получают уравнения совместности бесконечно малых деформаций?
4. Запишите условие несжимаемости для бесконечно малой деформации.
5. Как найти главные линейные деформации и главные оси?
6. Чем характеризуется скорость деформации в рассматриваемой
точке тела?
173
7. Что такое скорость относительного удлинения (укорочения)?
Как она выражается через компоненты тензора скоростей деформаций?
8. Всякие ли перемещения вызывают деформации?
9. Как устанавливают связь деформаций с перемещениями?
10. Что такое уравнения совместности деформаций и почему они
существуют?
11. Как изменится геометрическая картина деформации тела,
если уравнения совместности не будут выполняться?
12. Почему уравнений совместности деформаций шесть?
13. Как вы понимаете однородную деформацию?
14. Приведите основные схемы главных деформаций, иллюстрируя их примерами технологических процессов пластического деформирования металлов.
15. Меняется ли объем заготовки в процессах пластического деформирования металлов ?
16. Каким образом тензор деформаций получают симметричным?
17. Что понимают под деформацией тела?
18. Как подсчитать относительное изменение объема?
19. Пусть в начальном состоянии материальная частица имеет
форму элементарного прямоугольного параллелепипеда. Какова его
форма в конечном состоянии?
20. Каков геометрический смысл главных осей тензоров деформаций?
21. В чем состоит различие между монотонной и немонотонной
деформацией? Приведите примеры.
22. Как найти главные оси и главные компоненты тензора скоростей деформаций?
23. Разъясните смысл шарового тензора и девиатора деформаций.
24. Что такое логарифмические деформации? Как Вы понимаете
их геометрический смысл?
174
25. Что такое интенсивность скоростей деформаций и интенсивность скоростей деформаций сдвига? Как выбираются постоянные коэффициенты в формулах для их расчета?
26. Когда применяют малые деформации, большие деформации?
27. В каком случае компоненты деформаций положительны?
28. Как деформируется элементарный параллелепипед с ребрами,
параллельными главным осям тензора деформаций?
29. Каков физический смысл линейного инварианта тензора малых деформаций?
30. Какую деформацию элементарного параллелепипеда описывают диагональные компоненты тензора деформаций? Его боковые
компоненты.
31. В каком случае 𝑇ε = 𝐷ε?
32. Что представляет собой геометрический образ деформированного состояния в точке тела?
33. Что понимают под деформацией тела?
34. Каков физический смысл логарифмических деформаций?
35. Как рассчитать относительные деформации?
36. Какая связь между логарифмическими и относительными деформациями?
37. Дайте понятие смещенного объема.
38. Как определить число переходов в многопереходных процессах обработки давлением?
39. Запишите закон постоянства деформируемого объема.
40. Чем скорость деформации отличается от скорости деформирования?
41. Записать условие постоянства объема через коэффициенты
деформации.
42. Записать условие постоянства объема через смещенные объемы.
43. Как рассчитать среднюю скорость деформации при осадке?
44. Какие деформации обладают свойством аддитивности?
175
45. В чем суть условия постоянства секундных объемов?
46. Чем отличается расчет относительных деформаций по Эйлеру
от расчета относительных деформаций по Лагранжу?
47. Как рассчитать степень деформации при осадке?
48. Когда деформации положительны, а когда отрицательны?
49. Запишите условие постоянства объема через скорости деформаций.
50. Дайте определение механической схемы деформаций.
51. Назовите общее число возможных видов механических схем
деформаций.
52. В каких координатах строят диаграмму видов напряженного
состояния?
53. Что характеризует показатель вида напряженного состояния.
54. Опишите механические схемы деформаций для основных видов обработки металлов давлением: а) прокатки; б) прессования; в) волочения; г) осадки; д) горячей объемной штамповки.
55. Что характеризуют схемы главных деформаций?
56. Используя диаграмму видов напряженного состояния, проведите анализ процесса волочения.
57. Используя механические схемы деформаций объяснить, почему создание противонатяжения при волочении позволяет уменьшить износ канала волоки?
58. Проанализировать процесс гибки широкого листа моментом,
определив механические схемы деформации в различных зонах по
толщине листа, в том числе на внутренней и наружной стороне поверхности. Пользуясь диаграммой 0 v , определить опасные зоны с
точки зрения возникновения трещин.
59. Дайте определение и пример равномерной пластической деформации.
60. Назовите основные причины неравномерности пластической
деформации.
176
61. Приведите примеры технологических процессов, где проявляется влияние геометрических факторов, приводящих к неравномерной
деформации.
62. В каких случаях остаточные напряжения в изделиях нежелательны?
63. Как зависит величина неравномерности деформации от продольной координаты в процессе осадки цилиндрического образца?
Проиллюстрируйте графически.
64. Какие меры принимают с целью выравнивания деформаций
по объему деформируемой заготовки?
65. Приведите примеры образования дефектов в изделиях вследствие неравномерности деформаций.
66. Приведите примеры технологических процессов, где проявляется влияние контактных сил трения, приводящих к неравномерной
деформации.
67. Назовите основные причины образования остаточных напряжений.
68. Как классифицируют дополнительные и остаточные напряжения?
69. Сформулируйте закон дополнительных напряжений.
70. Опишите модель образования дополнительных напряжений.
71. К каким последствиям приводят дополнительные напряжения?
72. Как получить из квадратной заготовки круглую?
73. Приведите несколько физических факторов, приводящих к
неравномерности деформаций?
74.Сформулируйте принцип наименьшего сопротивления.
75.Дайте определение принципа кратчайшей нормали.
76. Изобразите контуры заготовки на различных стадиях осадки
призматического тела.
77. Как влияет наличие контактного трения на форму поперечного сечения заготовки в процессе пластического деформирования?
177
78. Покажите на рисунке движение металла в очаге пластической
деформации при прокатке толстых полос.
79. Как связано сопротивление перемещению и расстояние частицы от контура заготовки?
80. Приведите примеры использования принципа наименьшего
сопротивления в процессах пластического деформирония металлов
давлением.
81. Сформулируйте принцип минимума полной энергии деформации.
82. Опишите неравномерность деформации при осадке тела в
виде шара между плоскими плитами. Какие объемы шара будут испытывать растяжение, а какие – сжатия?
2.17 Задачи и упражнения
1. Определить линейные и угловые деформации согласно
рис. 69.
Рис. 69. Проекция параллелепипеда до и после деформации
2. Какая запись верно отражает запись тензора бесконечно малых деформаций?
0
0, 01 0
10 0 0
T1 0
0, 02
0 , T2 0 15 0 ,
0
0 0 20
0
0, 04
178
0
0, 003 0, 0075
5 6 0
T3 0, 009 0, 002
0 , T4 6 3 4 104.
0, 01 0, 0003 0, 005
0 4 2
3. В точке тела имеются следующие компоненты деформаций:
x 0,001 , y 0,0005 , z 0,0002 , yz 0,0001 , zx 0,0003 .
Вычислить главные деформации и их ориентировку по отношению к осям x, y, z.
4. Деформированное состояние тела описывается следующим
тензором:
4 6 0
T 6 5 - 6 10 4.
0 - 6 4
Найти три взаимно перпендикулярных направления, которые
остаются таковыми и после деформации.
5. При малой деформации тела каждая его точка испытывает
смещения, заданные следующими уравнениями (в 10-4 мм):
U x 5 x 3 y 2 z;
U y 3x 4 y 8 z;
U z 6 x 10 y 5 z.
Найти относительное изменение объема кубика и линейные
размеры после деформации.
6. Известен тензор деформации:
1 0 - 2
T 0 1 - 2 10 3.
- 2 - 2 - 6
Определить направления, в которых происходит лишь растяжение или сжатие.
179
7. Привести к диагональному виду (в записи тензора имеют место лишь линейные деформации в направлении осей координат)
следующие тензоры деформаций:
4 3 0
5 7 0
3
T1 3 8 6 10 ; T2 7 3 0 10 3.
0 6 4
0 0 1
8. Для плоского деформированного состояния ε𝑧 = 0 вывести
формулы для определения главных деформаций.
9. Деформированное состояние задано в виде следующего тензора:
0
0,04 0,02
T 0,02 0,04
0 .
0
0 - 0,02
Определить:
а) главные деформации;
б) девиатор деформаций и второй инвариант девиатора деформаций в главных осях;
в) конечные размеры деформируемого тела, если начальные
размеры составляли 15 50 30 мм.
10. На стальной лист была нанесена сетка со стороной квадрата
50 мм. После растяжения в одном из направлений она стала прямоугольной с размерами 40 60 мм. Определить величину конечных
деформаций. Изменится ли результат задачи, если рассматривать
круглую сетку d0 = 50мм, которая превратилась бы в эллипс с главными осями 2а = 60 мм и 2b = 40 мм?
11. Полоса длиной 250 мм была растянута до 300 мм. Считая
напряженное состояние линейным, а материал изотропным, найти
деформацию по ширине и толщине полосы.
180
12. Пруток из изотропного материала был растянут таким образом, что его длина увеличилась в 1,2 раза. Каков стал конечный
диаметр прутка, если начальный диаметр d0 = 30 мм? Каковы величины деформаций?
13. Плита длиной 2000 мм, шириной 400 мм и толщиной 10 мм
деформировалась до тех пор, пока ее длина стала равна 2800 мм.
Считая деформацию плоской, определить:
а) конечные деформации;
б) конечные размеры плиты;
в) интенсивность деформации.
14. Лист толщиной 6 мм, длиной 400 мм и шириной 300 мм
растягивался до получения продольной деформации 𝑒𝑥 = 0,15. Считая
толщину неизменной, определить конечные размеры листа и интенсивность деформаций.
15. Труба с наружным диаметром d = 80 мм, толщиной стенки
S = 4 мм и длиной l = 800 мм подверглась растяжению до l1 = 1000 мм.
Считая материал изотропным, найти компоненты деформации,
интенсивность деформации и конечные размеры.
16. Тензор скоростей деформации в декартовой ортогональной
системе координат записан следующим образом:
0 a a
T a 0 a .
a a 0
Найти его главные значения и главные оси.
17. Заданы перемещения:
а) Ux = 5xyz; Uy = 2xy2; Uz = 3yz2;
б) Ux = 3x2z; Uy = 3y2x; Ux = 3z2xy.
Записать тензор деформаций и проверить, удовлетворяются ли
условия совместности деформаций.
181
18. Показатель деформированного состояния:
2 1 3
2 .
1 3
2
Используя условие постоянства объема при пластических деформациях, записать его через две деформации, а также через их
отношения.
19. Считая деформацию пластической, рассмотреть значение
νε для следующих случаев:
а) чистый сдвиг;
б) объемная схема деформаций, когда ε𝑧 = ε3 .
20. Используя условие постоянства объема, записать второй
инвариант девиатора деформаций через две его деформации.
21. Даны значения показателя вида деформированного состояния νε = 0, −1, 1. Показать возможные случаи деформированных
состояний, соответствующих указанным величинам.
22. На рис. 70 приведена схема изменения координатной сетки
при волочении круглого сплошного профиля через коническую волоку. Дать анализ изменения линейных и угловых деформаций.
Рис. 70. Схема искаженной координатной сетки
23. Деформированное состояние в точке тела задано тензором
бесконечно малых деформаций:
182
6 x12
ij x 22
x1 x3
x 22
4 x3
x32
x1 x3
6 x32 .
5
Определить, удовлетворяются ли уравнения совместности деформаций.
24. Конечный диаметр прутка равен 40 мм, а длина 2400 мм.
Этот пруток был подвергнут равномерной пластической деформации растяжением от начального диаметра 60 мм. Определить:
а) первоначальные размеры прутка; б) конечные деформации.
25. В процессе деформации первоначально квадратная сетка
линий исказилась так, что расстояние между деформированными
квадратами в долевом направлении увеличилось в 4 раза по сравнению с первоначальным расстоянием. Найти:
а) конечные деформации, если процесс деформации является
линейным растяжением;
б) конечные деформации, если ширина детали остается постоянной.
26. Записать тензор деформаций для следующих случаев:
а) простое растяжение (среда несжимаема);
б) простое сжатие (среда несжимаема);
в) жесткий сдвиг.
27. Тензор деформации задан в следующем виде:
0,5 0
0
T 0,5
0
0 .
0
0
0
Записать тензор в главных осях.
28. Цилиндрическая заготовка высотой H0 = 100 мм и диаметром 50 мм подвергается осадке плоскими бойками до высоты
183
H = 50 мм. Пренебрегая бочкообразованием и считая деформацию равномерной, определить логарифмические деформации и
размер заготовки после деформации в цилиндрической системе
координат.
29. После осадки прямоугольного параллелепипеда высото
й H0 = 40 мм, шириной B0 = 70 мм и длиной L0 = 90 мм на величину
ΔH = 8 мм ширина увеличилась до В = 82 мм. Принимая деформацию равномерной, определить относительные и истинные деформации, коэффициенты деформации. Проверить условие постоянства
объема по показателям деформации.
30. Круглый пруток диаметром 20 мм подвергается волочению
в несколько проходов до диаметра 16,8 мм со средней вытяжкой за
проход λср = 1,2. Определить количество переходов.
31. Полоса длиной L0 = 1000 мм шириной B0 = 500 мм и толщиной H0 = 120 мм подвергалась прокатке без уширения до толщины
H = 50 мм. Определить истинные деформации, смещенные объемы
и длину полосы после прокатки.
32. Плита толщиной t0 = 80 мм прокатывается в четыре прохода
до толщины t4 = 20 мм с одинаковой степенью обжатия за проход.
Определить толщину полосы после первого, второго и третьего
проходов?
33. Конечный диаметр прутка равен 40 мм, а длина 2400 мм.
Этот пруток был подвергнут равномерной пластической деформации растяжением от начального диаметра 60 мм. Определить:
а) первоначальный размер прутка, б) конечные деформации.
34. Данные вытяжки по переходам λ1 = 1,16; λ2 = 1,32;
λ3 = 1,21; λ4 = 1,41 при волочении заготовки с начальным диаметром
15 мм. Определить диаметр прутка после четвертого перехода.
35. Цилиндрическая заготовка осаживалась на молоте за четыре удара со степенью деформации за удар e1 = 10%, e2 = 9%,
e3 = 7%, e4 = 5%. Определить высоту заготовки после каждого удара
молота, если H0 = 160 мм.
184
36. Рассчитать показатели деформации, приведенные в таблице, при прокатке листов в три прохода. Сделать выводы.
Показатели
Проход
1
2
3
Начальная толщина H0, мм
100
90
80
Конечная толщина H, мм
90
80
70
Абсолютная деформация Δ𝐻
Относительная деформация ε =Δ𝐻/𝐻 0
Относительная деформация ε =Δ𝐻/𝐻
Истинная деформация e =ln𝐻⁄𝐻
0
37. Плита длиной 1200 мм, шириной 360 мм и толщиной 5 мм
растягивается равномерно при растяжении в продольном направлении до тех пор, пока ее длина не увеличится до 1440 мм без изменения ширины. Найти:
а) конечные главные деформации;
б) конечные размеры плиты.
38. Определить среднюю скорость деформации при осадке цилиндрической заготовки высотой 120 мм до высоты 70 мм со скоростью деформирования 4,2 м/сек.
39. Определить среднюю скорость деформации при прессовании круглого прутка диаметром 10 мм из контейнера 50 мм через
коническую матрицу с углом конусности 450 при скорости истечения металла 5 м/мин.
40. Высота заготовки до и после осадки на прессе 250 мм и
150 мм. Скорость деформирования 30 мм/сек. Осадка производится
за один ход пресса. Определить средние скорости относительной и
логарифмической деформаций?
41. Одноименные сжимающие напряжения определяются следующими соотношениями:
185
1) σ макс /σ ср 0,6 σ мин/σ ср 1,2,
2) σ макс /σ ср 0,75 σ мин/σ ср 1,5.
Определить, к какому классу деформированного состояния относятся эти случаи. Найти механические схемы деформации и положения указанных схем на диаграмме 0 v .
42. На диаграмме 0 v найти точки, соответствующие следующим данным:
1
;
3
2) σ1 0, σ 3 0, σ 2 0,5σ1 σ 3 ,
1) σ 2 0,
σ1/σ 3
σ1 σ3 σ1 σ3 2/
3) σ1/ σ 2
4) ε 2 0,
3;
5
7
, σ 3 /σ 2 ;
2
2
σ1 σ3 / σ1 σ 3 2/ 3;
σ1 0; σ 3 0,5;
5) σ 3 0,
σ1 0, σ 2 0, ε1 ε 2 ;
6) ε 2 ε 3 ; σ ср σ1/ 3 ;
186
σ1 0, ε1 0.
ГЛАВА 3 ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
В основе теории упругости используют следующие гипотезы:
1) перемещения и деформации в каждой точке тела малы; компоненты деформаций выражаются через перемещения и связаны
формулами
u
u j
ij 0,5 i
x j xi
;
2) в каждой точке тела главные направления тензора напряжения совпадают с главными направлениями тензора деформации;
3) соответствующие компоненты тензоров напряжений и деформаций связаны линейными зависимостями:
T T ,
ср ср ,
D D .
4) модель идеального упругого тела.
3.1 Обобщенный закон Гука
Ранее рассмотрено отдельно напряженное и деформированное
состояние. Это было возможно только потому, что они выражены с
помощью полевых тензоров. Это изучение несет довольно большую
информацию, но не дает полной законченности в решении упругой
задачи. Дело в том, что основной целью процесса деформирования
является установление связи между силами и напряжениями, с од-
187
ной стороны, и смещениями, деформациями – с другой. Только такая связь позволяет пояснить физическую картину процесса деформирования. Первая формулировка закона, связывающего напряжения с деформацией, принадлежит выдающемуся естествоиспытателю, члену Лондонского Королевского общества (прототип – наша
Российская академия наук) Роберту Гуку (1653-1703). Он изучал
поведение стальной струны, нагруженной грузами, и свой закон
упругости вначале представил в следующем виде: «Каково удлинение, такова и сила».
Гук усовершенствовал микроскоп, барометр, зеркальный телескоп, сконструировал ряд других приборов. Он совместно с Гюйгенсом установил постоянные точки термометра (точку таяния льда
и точку кипения воды). Гук выступал против теории флогистона
(«огненной материи»), исследовал с помощью микроскопа строение
растений. Так же широко известен в технике шарнир Гука. Из краткого перечня открытий видна широта и глубина его научных интересов. Кстати, свой закон упругости Гук открыл при создании пружины для часов, которая используется до настоящего времени.
Закон, названный его именем, был открыт в 1660 г. и опубликован в явном виде в 1678 г. В переводе на современный технический язык содержание, которое вкладывал в свой закон Гук, можно
выразить следующим образом: «Деформация упругого тела пропорциональна действующему на него усилию».
Мы же рассматриваем пропорциональность напряжений и деформаций. Ясно, что это более правильное (обобщенное) понятие.
Экспериментальные исследования подтвердили, что закон Гука хорошо согласуется с действительностью только при достаточно малых
деформациях, где пропорциональность величин не дает больших погрешностей. Дело в том, что в природе не существует обратимых процессов, поэтому физически никакой пропорциональности быть не может. Но даже при малых деформациях закон Гука в простой форме
типа σ = Еε не может дать полной картины того, что происходит в де188
формируемом теле. Дело в том, что здесь σ и ε определяются в направлении действия силы. Другие компоненты деформации в записи не
присутствуют. Таким образом, такое выражение является приближенным и применимым для линейного напряженного состояния. В общем
случае объемного напряженного состояния мы имеем шесть компонентов тензоров напряжений и деформаций, которые необходимо связать между собой. Другими словами, требуется обобщенный закон
Гука. Такой закон создан. В его основе лежит пропорциональность (основная идея Гука), но только не двух, а нескольких величин. И хотя
формулировка записи обобщенного закона упругости и его формулировка изменились, но из-за центральной идеи пропорциональности его
называют законом Гука. Он формулируется следующим образом: компоненты тензора деформации в данной точке являются линейными и
однородными функциями компонент тензора напряжений или наоборот. Математически в тензорной форме его можно записать в виде
ij Sijlmlm прямая форма записи ,
ij Сijlmlm обратная форма записи .
Здесь 𝑆𝑖𝑗𝑙𝑚 – тензор модулей податливости, а 𝐶𝑖𝑗𝑙𝑚 – тензор модулей упругости.
Как мы видим, полевые тензоры напряжений и деформаций
связаны материальными тензорами четвертого ранга, которые отражают свойства материала, его строение и симметрию. И если не
принимать гипотезы однородности материала, мы должны находить компоненту в каждой точке тела. Но и при принятии однородности имеем практически неразрешимую задачу, так как нужно 81
испытание по определению упругих свойств. Поэтому приходится
привлекать дополнительную информацию.
Так, из-за симметрии тензоров напряжений 𝜎𝑖𝑗 = 𝜎𝑗𝑖 и деформаций 𝜀𝑖𝑗 = 𝜀𝑗𝑖 возникает симметрия и материального тензора по
двум первым и двум последним индексам, т.е.
S ijlm S jilm , S ijlm S ijml .
189
В результате этого остаются 36 независимых компонент материального тензора, характеризующих анизотропное упругое тело:
S1111 S1122 S1133 S1112 S1123 S1131
S 2211 S 2222 S 2233 S 2212 S 2223 S 2231
S3311 S3322 S3333 S3312 S3323 S3331
S1211 S1222 S1233 S1212 S1223 S1231
S 2311 S 2322 S 2333 S 2312 S 2323 S 2331
S3111 S3122 S3133 S3112 S3123 S3131
Далее пропорциональность связана с обратимостью процесса
упругости, из-за чего возникает еще один тип симметрии – перестановка пар индексов, то есть
Sijlm Slmij.
Тогда число независимых компонент тензора модулей податливости уменьшится до 21, так как коэффициенты симметрично
расположенные относительно главной диагонали, равны между собой. Например, наблюдается следующая связь:
11 S111111 S112222 S113333 2S111212 2S112323 2S113131.
Здесь линейная деформация зависит как от нормальных, так и
от касательных напряжений.
Классический подход в теории упругости не позволяет далее
уменьшить число независимых компонент материального тензора.
Правда, академик В. Новожилов, исходя из теории инвариантов, показал, что число неизвестных можно свести к 18. В настоящее время
установлено, что для металлов количество независимых компонент
можно свести к 15. В любом случае такое число констант определить не удается. В связи с этим отходят от классического подхода и
190
смотрят на особенности поведения реальных тел. Так, замечено, что
изготавливаемые методами пластического деформирования металлические полуфабрикаты – листы, прутки, трубы и т.д. – имеют
определенную симметрию механических характеристик, что приводит к дальнейшему уменьшению числа коэффициентов. Рассмотрим основные из них.
1. Три плоскости симметрии (ортотропное тело, ортогональная
анизотропия). Такая симметрия характерна для листовых полуфабрикатов и композиционных материалов, когда армирующие волокна расположены в трех взаимно перпендикулярных направлениях. В этом случае через каждую точку тела проводят три взаимно
перпендикулярные плоскости симметрии свойств. Образно говоря,
эта симметрия «спичечного коробка».
Какие упрощения вносит данная симметрия? Оказывается, что
при преобразовании компонент материального тензора остаются
такие, у которых либо все индексы одинаковы, либо попарно равны.
Другими словами, при такой симметрии не может быть компонент
типа S1112 , S2111, S3331 и т.д.
Обобщенный закон Гука запишется следующим образом:
11 S 1111 11 S 1122 22 S 1133 33 ; 12 2 S 1212 12 ,
22 S 2211 11 S 2222 22 S 2233 33 ; 23 2 S 2323 23 ,
33 S 3311 11 S 3322 22 S 3333 33 ; 31 2 S 3131 31 .
Таким образом, не только уменьшилось число независимых
компонент материального тензора до 9, но и удалось отделить линейные величины от сдвиговых.
Для того, чтобы использовать уравнения Гука в расчетах компоненты материального тензора необходимо выразить через технические показатели. В качестве технических показателей здесь используются коэффициенты Пуассона 𝜈𝑖𝑗 и модуля упругости 𝐸𝑖 разных направлений. Напомним, что коэффициенты Пуассона представляют собой отношение поперечной деформации к деформации
191
вдоль действия сил. Напряженное состояние при испытании образцов для его нахождения – линейное. Например:
.
S
21 2 2211 .
1
S1111
Если 𝜈𝑖𝑗 = 0, то поперечная деформация отсутствует (древесная
пробка). Если 𝜈𝑖𝑗 = 0,5, то поперечная деформация в упругом теле
максимальная (резина). Для стали 𝜈𝑖𝑗 = 0,25-0,33, свинца 𝜈𝑖𝑗 = 0,45,
бетона 𝜈𝑖𝑗 = 0,08-0,18.
Закон Гука через технические показатели запишется так:
11
11 12
22 13 33 ; 12 12 ;
E1
E2
E3
2G12
22
22 21
11 23 33 ; 23 23 ;
E2
E1
E3
2G 23
33
33 31
11 32 22 ; 31 31 ,
E3
E1
E2
2G31
где Gij – модули сдвига или модули упругости второго рода.
Напомним, что xy 212 и т.д.
Между отдельными показателями при ортотропном теле имеются взаимосвязи:
221 121 ; 331 131 ; 332 232 ; 122331 321321 .
Для металлов, как показали исследования , число определяемых констант можно снизить до 7, так как для них имеются дополнительные соотношения типа
v 21 1 v 31
.
v12 1 v32
2. Плоскость изотропии – трансверсально-изотропное тело.
Здесь через каждую точку тела проходит плоскость, в которой все
свойства эквивалентны (равнозначны).
192
Примером трансверсально-изотропного тела является круглый
профиль, полученный при прессовании. Механические свойства в
поперечном сечении одинаковые, но отличаются в продольном
направлении.
Если в качестве плоской изотропии брать плоскость 1-2, то
наблюдается равенство компонент S1111 S2222, так как растяжение
образцов в 1 и 2-м направлениях дает одинаковый результат;
S1133 S2233 – при растяжении образца, вырезанного в направлении
3, поперечное его сужение в 1 и 2-м направлениях приводит к одному
и тому же результату; S2323 S3131 – поворот вокруг оси 3 равнозначен повороту в направлениях 1 и 2.
Кроме того, из-за наличия плоскости изотропии 1 – 2 коэффициент, связанный со сдвигом, может быть заменен и через линейные
коэффициенты, т.е.
2S1212 S1111 S2222 .
Уравнения по закону Гука для трансверсально-изотропного тела
запишутся следующим образом:
11 S111111 S1122 22 S1133 33 ; 12 S1111 S1122 12 ;
22 S 221111 S1111 22 S1133 33 ; 23 2 S 2323 23 ;
33 S 331111 22 S 3333 33 ; 31 2 S 2323 31.
Или
11
1
1
1 12 12 ;
11 12 22 13 33 ; 12
E1
E2
E3
E2
22
1
22 12 11 13 33 ; 23 23 ;
E1
E2
E3
2G 23
33
1
33 13 22 11 ; 31 31 .
E1
2G 23
193
Таким образом, число независимых компонент материального
тензора уменьшается до пяти. Отметим, что для металлов их можно
сократить и до трех.
3. Полная симметрия – изотропное тело.
Здесь
S1111 S2222 S3333 ; S1122 S2233 S3311 ;
S1212 S2323 S3131
1
(S1111 S1122 ) .
2
Тогда
11 S111111 S1122 22 33 ; 12 S1111 S112212 ;
22 S1111 22 S112233 11 ; 23 S1111 S1122 23;
33 S111133 S112211 22 ; 31 S1111 S112231.
Таким образом, независимых компонент только две.
Выпишем закон Гука для изотропной среды, переходя к системе декартовых координат и выражая коэффициенты через технические константы:
S1111
1
S1122 ;
E;
E
xy
1
x y z ; xy
;
E
G
yz
1
y y z x ; yz
;
E
G
1
z z x y ; zx zx .
E
G
x
Здесь запись проведена через три показателя – μ, G,E.
Однако независимых, как уже показано, два показателя.
Поэтому имеется связь модуля сдвига с модулем упругости:
E
G
.
2 1
194
Полученные уравнения называют физическими уравнениями
теории упругости. Интересно отметить, что происходил спор между
двумя группами ученых, которые возглавляли Коши и Пуассон.
Группа Коши утверждала, что независимых показателей
только два. В правильности их суждений вы убедились сами.
Группа Пуассона говорила об одной независимой константе. Но тогда коэффициент Пуассона у всех материалов был бы равен 0,25, а
это не соответствует действительности.
3.2 Различные формы записи основного закона упругости
Подобно разложению тензоров напряжений и деформаций на
шаровой тензор и девиатор, описывающих изменение объема и
формы тела, обобщенный закон Гука можно представить в виде
двух законов: закона изменения объема и закона изменения формы
тела. Относительное изменения объема тела характеризуется объемной деформацией
x y z 3 ср .
Сложим левые и правые части уравнений, отражающих линейные деформации, получим:
1
x
x y z
E
1
y
y z x
E
1
z
z x y .
E
Получим
1 2
x y z
x y z
E
или
1 2
cp
cp .
E
195
Откуда
cp
E
.
31 2
Введем новую упругую постоянную, описывающую объемный
модуль
E
K
.
31 2
Тогда
cp K.
Это и есть запись закона упругого изменения объема: среднее
напряжение прямо пропорционально объемной деформации в
окрестности точки. Опыт показывает, что эта зависимость справедлива и при высоких значениях ср . Поэтому считается, что объемная деформация исчезает при разгрузке.
Для того чтобы вывести закон упругого изменения формы,
нужно получить зависимость девиатора деформаций от девиатора
напряжений
x ср
0,5 yx
0,5 zx
0,5 xy
y ср
0,5 zy
x cр
0,5 xz
0,5 yz f
yx
z ср
zx
xy
y cр
zy
.
yz
z cр
xz
Рассмотрим вначале преобразования с первым компонентом
девиатора деформаций:
x cp
x
2 1
y z
cp .
E E
E
E
Добавим и вычтем из этого уравнения выражение
Тогда x ср
196
1
2 1
x
cр 3 ср
Е
Е
Е
cp .
E
или
x ср
1
1
x cр
x ср .
Е
2G
Откуда
x cр 2G x ср .
Аналогично можно получить и другие уравнения:
2G
2G
,
,
x cр 2G x ср , xy G xy ,
y cр
z cр
y
ср
z
ср
yz G yz ,
zx G zx .
Окончательно имеем следующую взаимосвязь девиаторов
напряжений и деформаций:
x cр
x cр
xy
xz
2G 0,5 yx
yx y cр
yz
0,5 zx
zx
zy
z
cр
0,5 xy
y cр
0,5 zy
0,5 xz
0,5 yz .
z cр
В сокращенном виде
D 2GD .
Это и есть запись закона упругого изменения формы тела: девиатор напряжений прямо пропорционален девиатору деформаций
в окрестности точки.
Рассмотрим физический смысл модулей упругости. Если объемный модуль К определяет сопротивление конкретного материала
при изменении объема, то модуль сдвига G определяет сопротивление материала при изменении его формы, а модуль упругости E –
сопротивление материала при растяжении (сжатии).
Используя первые три выражения закона упругого изменения
формы тела , путем вычитания можно получить следующие уравнения в главных осях:
197
1 2 2G 1 2 ,
2 3 2G 2 3 ,
3 1 2G 3 1 .
(34)
Из уравнений (34) следует, что
1 2 1 2 2 3 2 3 3 1 3 1
,
,
.
2 3 2 3 3 1 3 1 1 2 1 2
Запишем интенсивность напряжений в главных осях:
i
1 2 2 2 3 2 3 1 2 .
1
2
В этой записи изменим разность напряжений по формулам
(34), получим
i
2G
Так как 2G
2
1 2 2 2 3 2 3 1 2 .
E
, а для изотропного тела = 0,5, то
1
i E
2
3
1 2 2 2 3 2 3 1 2 .
Окончательно
i Ei .
При упругой деформации интенсивность напряжений прямо
пропорциональна интенсивности деформаций.
Аналогично можно получить зависимости интенсивности касательных напряжений Т от интенсивности деформаций сдвига:
Т = GГ,
октаэдрических касательных напряжений от октаэдрической угловой деформации
окт G окт .
198
Установим связь между направляющими тензорами напряжений и деформаций в главных осях:
1 ср
окт
0
0
0
2 ср
окт
0
2G 1 ср
G окт
0
yz
=
3 ср
0
окт
0
0
2G 2 ср
G окт
0
0
0
2G 3 ср
G окт
.
Откуда направляющий тензор напряжений равен направляющему тензору деформаций, т.е. D D .
Найдем уравнения обобщенного закона Гука в обратной
форме, когда напряжения выражены через деформации. Возьмем
первое уравнение закона Гука в прямой форме и опять вычтем и
x
прибавим выражение
. Получим
E
1
x
x x y z .
E
E
Так как
1
x
x
,
E
1 2
то
x y z
E
.
1 2
Полученное уравнение решим относительно напряжения x :
x
E
E
x
.
1 21
1
Полученные коэффициенты при x и Θ принимаем за новые
упругие постоянные – коэффициенты Ляме:
E
E
, 2G
.
1
1 21
199
Аналогично можно получить зависимости и для других составляющих напряжения. Окончательно шесть уравнений закона Гука в
обратной форме можно записать так:
x 2G x , xy G xy ,
y 2G y , yz G yz ,
(35)
z 2G z , zx G zx .
В тензорной записи
ij ijkk 2Gij .
Таким образом, обобщенный закон Гука может быть представлен в различных формах записи: в виде прямого и обратного выражения, в виде законов изменения объема и формы тела.
Задача 20. Определить относительные линейные и угловые деформации, если в исследуемой точке задан тензор напряжений
0
16
40
T 0
40 12 .
16 12
20
и другие константы: E 2 105 МПа, G 7,7 104 МПа.
Решение. Для нахождения компонент деформаций используем
уравнения закона Гука в прямой форме. Коэффициент Пуассона
найдем из формулы
E
.
G
21
Откуда
200
E
2 10 5
1
1 0,3 .
2G
2 7 ,7 10 4
Линейная деформация
1
40 0,3 40 20 2,3 10 4 .
x
5
2 10
Аналогично находятся и другие компоненты деформаций.
Задача 21. Стальная деталь нагружена и замерены следующие
упругие деформации:
x 0,001 , y 0,002 , z 0,003 ,
xy 0,0015 , yz zx 0 .
Найти напряженное состояние детали, если E 2 105 МПа,
0,33 .
Решение. Для нахождения компонент тензора напряжений используем запись закона Гука в обратной форме (35). Вначале находим коэффициенты Ляме:
Е
2 105 0,33
1,53 105 МПа;
1 2 1 1 2 0,331 0,33
G
Е
2 10 5
7 ,9 10 4 МПа.
21 21 0 ,33
Объемная деформация
x y z 0,001 0,002 0,003 0,006.
Компоненты напряжения
x 2G x 1,53 105 0,006 2 7 ,9 104 0,001 1080 МПа,
xy G xy 7,9 104 0,0015 120 МПа.
Аналогично находятся и другие компоненты тензора напряжений
0
1080 120
T 120 1250
0 .
0
0
1400
201
3.3 Удельная потенциальная энергия
В процессе упругой деформации тела внешние силы совершают работу, которая накапливается в деформированном объеме в
виде потенциальной энергии. После прекращения действия внешних сил потенциальная энергия полностью расходуется на упругое
восстановление первоначального объема и формы тела. Следовательно, при упругой деформации работа внешних сил равна работе
внутренних сил или потенциальной энергии.
При одноосном растяжении удельная работа упругой деформации, отнесенная к единице объема, определяется площадью, заштрихованной на рис. 71, а.
б
a
Рис. 71. К расчету удельной работы деформации
Откуда
1
x x .
2
Аналогично удельная работа при чистом сдвиге (рис. 71, б).
A
A
1
xy xy .
2
Используя принцип независимости действия сил при упругой
деформации (принцип суперпозиции сил), полная удельная работа
202
для элементарного параллелепипеда, расположенного в окрестности исследуемой точки, равна половине скалярного произведения
составляющих компонент тензоров напряжений и деформаций:
A W 0,5 x x y y z z xy xy yz yz zx zx .
В сокращенной форме записи
1
1
W TT ijij
2
2
или, если развернуть, то
x
1
W yx
2
zx
xy
y
zy
x
xz
1
yz yx
2
z 1
zx
2
1
xy
2
y
1
zy
2
1
xz
2
1
yz .
2
z
Подобно разложению тензора второго ранга на шаровой тензор и девиатор потенциальную энергию W упругой деформации
тела можно также представить в виде суммы потенциальной энергии изменения объема W0 и изменения формы
Wф , т.е.
W = Wо + Wф.
Составляющие потенциальной энергии можно записать так:
W0
1
1 0 0
T T , Wф D D .
2
2
Эти равенства могут быть записаны в развернутой форме.
Энергию, соответствующую изменению формы находим вычитанием:
Wф W W0 .
(36)
203
Удельная потенциальная энергия в главных осях
W
1
11 2 2 33 .
2
(37)
Подставим в (37) вместо деформаций их значения из обобщенного закона Гука в прямой форме. Получим
W
1 2
1 22 32 21 2 2 2 31 .
2E
Удельная потенциальная энергия изменения объема в главных
осях
W0
1
1
ср 1 2 3 1 2 3 .
2
6
Используя закон сужения объема выразим деформации через
напряжения. Тогда:
W0
1 2
1 2 3 2 .
6E
Подставим найденные значения W, W0 в (36). Получим
Wф
1
1 2 2 2 3 2 3 1 2 .
6E
3.4 Постановка задач и способы их решения
При постановке статистических задач для упругой изотропной
среды имеем следующую замкнутую систему 15 уравнений, полученных ранее. Их можно свести в отдельные группы.
Три статистических дифференциальных уравнения равновесия
ij
x j
204
0.
(38)
Шесть кинематических (геометрических) уравнений связи деформаций с перемещениями
ij
1 U i U j
2 x j
xi
.
(39)
Сюда относят и шесть уравнений совместности деформаций
2 jm
2 jn
2 in
2 im
0.
x j x m xi x n xi xm x j x n
(40)
Шесть физических уравнений
ij ij Gij .
(41)
Граничные условия на поверхности тела
S i ij n j .
Эти уравнения содержат 15 переменных, характеризующих
напряженно-деформированное состояние упругого изотропного
тела и перемещения его точек: шесть компонент напряжений
x , y , z , xy , yz , zx ,
шесть
компонент
деформаций
x , y ,z ,
xy , yz , zx , и, наконец, три перемещения u x , u y , u z .
Решения указанной выше системы уравнений должны выполняться всюду внутри объема тела. Кроме того, на поверхности,
ограничивающей тело, должны быть удовлетворены и граничные
условия. Они могут быть либо статическими (поверхностные
напряжения заданы в каждой точке поверхности тела (рис. 72, а),
либо кинематическими (перемещения заданы в каждой точке поверхности тела (рис. 72, б), либо смешанными (на части
поверхности тела задаются перемещения, а на остальной части поверхности – напряжения (рис. 72, в).
205
а
б
в
Рис. 72. Граничные условия
Условия на поверхности тела могут быть сведены к трем случаям:
1) на поверхности тела заданы нагрузки и не наложено ограничений на перемещения; этот случай называется первой основной задачей теории упругости;
2) на поверхности тела заданы перемещения всех точек поверхности; этот случай называется второй основной задачей теории
упругости;
3) на одной части поверхности тела заданы нагрузки, а на другой – перемещения; это – смешанная задача теории упругости.
При решении статических задач также задаются упругие константы материала: E , , G.
Различают прямую, обратную и полуобратную задачи теории
упругости. В прямой задаче граничные условия заданы, а требуется
определить поле напряжений, деформаций и перемещений во всем
объеме деформируемого тела. В обратной задаче в объеме тела заданы
перемещения (деформации) или напряжения и требуется определить
все остальные переменные, входящие в систему основных уравнений
теории упругости, в том числе и граничные условия. В полуобратной
задаче, предложенной Сен-Венаном, частично заданы одновременно
перемещения и напряжения, а требуется определить все остальные пе-
206
ременные. На практике чаще всего встречаются с прямой задачей теории упругости. Известны два основных пути ее решения: в перемещениях или в напряжениях.
При решении задач теории упругости перемещений в качестве
основных неизвестных переменных принимаются три перемещения: 𝑢𝑥 , 𝑢𝑦 , 𝑢𝑧 . Для их нахождения используются три дифференциальных уравнения равновесия, записанные через перемещения.
Рассмотрим первое выражение из уравнений равновесия (38):
x xy xz
0.
x
y
z
Вначале в уравнения закона Гука в обратной форме подставим
выражения деформаций через перемещения:
u x
,
x
u y
,
x
u
x .
z
x 2G x 2G
u
xy G xy G x
y
u
xz G xz G z
x
После подстановки полученных выражений компонент напряжений в уравнение (38) получим
u y u z
2u
2u
2u
u
G 2x 2x 2x G x
x
x x
y
z
y
z
x
0.
Выражение в первой скобке обозначим через 2u x :
2u x
2u x 2u x 2u x
2 2 ,
x 2
y
z
где 2 – оператор Лапласа. Сумма во второй скобке является объемной деформацией. Тогда
207
G G2u x 0.
x
Аналогично преобразовав и два других уравнения равновесия
(38) и сделав указанные замены, окончательно получим систему,
называемую уравнениями Ляме:
G G 2u x 0,
x
G G 2u y 0,
y
G G 2u z 0.
z
Эти уравнения можно рассматривать как синтез уравнений статического равновесия (38), геометрических (39) и физических (41)
уравнений.
При решении задач теории упругости в перемещениях интегрируется система уравнений Ляме, причем появляющиеся при
этом произвольные функции определяются легче всего из кинематических граничных условий на поверхности тела. Далее по геометрическим уравнениям связи деформаций с перемещениями находятся компоненты тензора деформаций, а с помощью уравнений
обобщенного закона Гука, заданного в обратной форме, и компоненты тензора напряжений
При решении задач теории упругости в напряжениях в качестве основных неизвестных переменных принимают шесть напряжений: x , y , z , xy , yz , zx . Для их нахождения установим некоторые положения. Продифференцируем уравнения Ляме по соответствующей координате и сложим их между собой:
2G 2 0.
Так как первый множитель не равен нулю, то, следовательно
2 0 .
208
Так как по закону Гука величины и ср пропорциональны,
то 2ср 0 или 2 x y z 0 .
Для отыскания шести напряжений ij трех уравнений равновесия недостаточно. Поэтому к ним добавляют шесть уравнений
совместимости деформаций Сен-Венана (40), выраженные через
напряжения.
Рассмотрим первое уравнение из (40):
2
2
2 x y xy
2
.
xy
y 2
x
Подставим в него выражения деформаций из уравнений закона
Гука в прямой форме
1
x y z ,
E
1
y y z x ,
E
1
xy xy .
G
x
Получим
2 x
y 2
2 y
x 2
2 y 2 z 2 x 2 z
y 2
y 2
x 2
x 2
2 xy
21
0.
xy
(42)
Теперь исключим из полученного равенства касательное
напряжение xy . С этой целью возьмем уравнения равновесия (38)
и продифференцируем их соответственно по координатам x, y, z:
2
2 x xy 2 xz
0,
xy xz
x 2
209
2 yx
xy
2 y
y 2
2 yz
yz
0,
2
2 zx zy 2 z
0.
xz zy z 2
Складывая 2 первых равенства и вычитая из суммы третье, решаем полученное уравнение относительно 2 xy / xy :
2 xy
2
2 x y 2 z
2
2 .
xy
x 2
y 2
z
Подставим это выражение в уравнение (42). После преобразования получим
2 x 2 y 2 z
2 ср
z 2
0.
Прибавим и вычтем 2 z :
x y z 1 z
2
2
2ср
z 2
0.
Так как 2 x y z 0, то
1 2 z
2ср
z 2
0.
Остальные пять уравнений, содержащих только напряжения,
выводят аналогично. Окончательно получим:
210
1
2
1
2
x
y
2 ср
x 2
2 ср
y 2
0, 1 xy
2 ср
0, 1 yz
2 ср
2
2
xy
yz
0,
0,
1
2
z
2 ср
z 2
0 , 1 zx
2
2 ср
zx
0.
Эти соотношения называют уравнениями Бельтрами-Митчела.
При решении задач теории упругости в напряжениях интегрируются три уравнения равновесия и шесть уравнений БельтрамиМитчела. Произвольные функции определяются из граничных
условий. В результате решения получают искомые функции компонент напряжений. Далее по формулам закона Гука в прямой форме
находят компоненты деформаций, а по формулам Коши – перемещения.
3.5 Частные случаи объемного напряженного состояния
При объемном напряженном состоянии определение поля
напряжений или деформаций часто оказывается сложным. Это вынуждает вводить во многих практических задачах ряд допущений
относительно распределения напряжений или деформаций, то есть
переходить от объемного напряженного состояния к частным случаям.
Частными случаями объемного напряженного состояния
весьма часто встречающимися при обработке металлов давлением,
являются плоское напряженное, плоское деформированное и осесимметричное напряженное состояние.
3.5.1 Плоское напряженное состояние
Плоское напряженное состояние реализуется приближенно
для тонкой пластины, у которой один основной размер значительно
меньше, чем другие (рис. 73).
По контуру пластины действуют силы, распределенные равномерно по ее толщине и параллельные плоскости пластины. В этом
211
случае компоненты напряжений y , xy , yz , содержащие индекс y,
равны нулю на обеих плоских поверхностях пластины и можно
предположить, что они отсутствуют по всей толщине пластины. Изменение толщины пластины не имеет значения, и толщина ее может
быть принята за единицу. Три другие компоненты напряжений
x ,z ,xz будут постоянными по всей толщине пластины.
Рис. 73. Схема плоского напряженного состояния
Тензор напряжений имеет вид
x
T 0
zx
0 xz
0 0 .
0 z
Деформации происходят в пластине по всем трем осям и описываются тензором деформации
x
T 0
1
zx
2
212
0
y
0
1
xz
2
0 .
z
Из записи тензоров следует, что ось y является главной: напряжение y 0 – одним из главных нормальных напряжений;
y – главная деформация.
Величину двух других главных нормальных напряжений
можно найти из решения определителя:
x xz
0,
z
zx
2 x z x z 2xz 0.
.
Откуда при y 2 0
1 x z 1
3
2
2
x z 2 42xz . .
Дифференциальные уравнения равновесия упрощаются:
x xz
z zx
0,
0.
x
z
z
x
(43)
Зависимости деформаций от перемещений следующие:
x
u x
u u
u
, z z , xz x z .
x
z
z
x
(44)
Из шести условий неразрывности деформаций остается только
одно, первое:
2 x 2 z 2 xz
2
.
xz
z 2
x
Остальные обращаются тождественно в нуль.
Физические уравнения при упругой деформации:
x
(45)
1
x z ; z 1 z x ;
E
E
213
y
x z ; xz 1 xz .
E
G
Условия на поверхности контура пластины:
S x x n x xz n z ;
S z z n z zx n x .
Эти уравнения содержат восемь переменных
x ,z , xz , x , z , xz ,ux ,uz .
При решении плоской задачи в напряжениях вместо определения трех функций x , z , xz достаточно определить одну так называемую функцию напряжений x, z , посредством которой дифференцированием определяют все искомые функции.
x
2
2
2
,
,
.
z
xz
xz
z 2
x 2
(46)
Функция x, z , называется функцией напряжений Эри, а распределение напряжений (46) удовлетворяет уравнениям равновесия
(43), обращая их в тождества. Условие совместимости деформаций
(45) превращается в бигармоническое уравнение,
4
4
4
2
0
x 4
x 2 z 2 z 4
(47)
или
4 0,
к решению которого и сводится плоская задача в теории упругости
в напряжениях.
Плоское напряженное состояние в процессах обработки металлов давлением может быть, например, во фланце при вытяжке цилиндрической заготовки из листового материала, при волочении и
обжиме тонкостенных труб.
214
Задача 22.Дана прямоугольная пластина шириной b , длиной
2b (рис. 74), по кромкам которой действуют внешние силы, равномерно распределенные по ее толщине, равной единице. Под действием этих сил в пластине возникает напряженное состояние, описываемое функцией напряжений в виде полинома четвертой степени
2bx 3 3x 2 y 2 y 4 .
Требуется:
1. Проверить возможность существования такой функции
напряжений.
2. По функции напряжений найти выражения компонентов
напряжений.
3. Выяснить характер распределенных по кромкам пластины
внешних сил, под действием которых имеет место данная система
напряжений, и построить эпюры напряжений.
Рис. 74. Прямоугольная пластина
Решение:
1. Для выполнения проверки существования заданной функции напряжений выполним ее дифференцирование:
3
2
2
12b ;
6bx 2 6 xy 2 ;
12
bx
6
y
;
x
x 3
x 2
4
0;
x 4
215
2
3
4
2
2
6 x 2 y 4 y 3 ;
6
x
12
y
24
y
;
;
24 ;
y
y 3
y 2
y 4
2
12 xy ;
xy
3
4
12 .
12
y
;
x 2 y 2
x 2y
Подставив четвертые производные в бигармоническое уравнение (47), видим, что оно удовлетворяется: 0 2 12 24 0 . Следовательно, напряженное состояние пластины, выраженное заданной функцией напряжений, возможно.
2. Компоненты напряжений, действующих по кромкам пластины, равны:
x
2
2
2
2
6
x
12
y
;
12bx 6 y 2 ;
y
x 2
y 2
2
12 xy .
xy
3. Используя функциональные компоненты напряжений в пластине, построим соответствующие эпюры напряжений по контуру
пластины на каждой ее боковой стороне.
Сторона 0-1-2 ( x 0 , 0 y b ). На этой грани действуют
xy
напряжения xx 12 y 2 , xy 0 :
y 0 (точка 0) xx 0 , xy 0 ;
b
(точка 1) xx 3b 2 , xy 0 ;
2
y b (точка 2) xx 12b 2 , xy 0 .
y
Сторона 2-3 ( 0 x 2b , y b ). На этой грани действуют
напряжения yy 12bx 6b 2 , xy 12bx :
x 0 (точка 2) yy 6b 2 , xy 0 ;
x 2b (точка 3) yy 18b 2 , xy 24b 2 .
216
Сторона 3-4-5 ( x 2b , 0 y b ). На этой грани действуют
напряжения xx 24b 2 12 y 2 , xy 24by :
y 0 (точка 5) xx 24b 2 , xy 0 ;
y
b
(точка 4) xx 21b 2 , xy 12b 2 ;
2
2
2
y b (точка 3) xx 12b , xy 24b .
Сторона 0-5 ( 0 x 2b , y 0 ). На этой грани действуют
напряжения yy 12bx , xy 0 :
x 0 (точка 0) yy 0 , xy 0 ;
x 2b (точка 5) yy 24b 2 , xy 0 .
По полученным результатам строим эпюры xx , yy и xy ,
которые приведены на рис. 75.
3.5.2 Плоское деформированное состояние
Плоское деформированное состояние приближенно реализуется
для тела, у которого один основной размер значительно больше,
чем другие (рис. 76). В этом случае деформация ε𝑦 в направлении
оси у, параллельной большему размеру, будет мала и ею можно пренебречь. В процессах пластического деформирования металлов
примерами плоского деформированного состояния являются прокатка широких тонких листов, когда ширина листа остается постоянной (прокатка без уширения), длинномерный брус, подвергающийся осадке в направлении толщины. В этих примерах перемещения всех точек тела параллельны одной и той же плоскости, перпендикулярной оси y.
ux ux x, z , uz uz x, z .
217
Рис. 75. Эпюры напряжений по контуру пластины
Рис. 76. Схема плоского деформированного состояния
Из определения плоской деформации y yz xy 0. Тогда
тензор деформации имеет вид
x
T 0
1
2 zx
218
0
0
0
1
xz
2
0 .
z
Напряженное состояние описывается тензором напряжений
состоящим из трех независимых компонент:
0 xz
x
T 0 y
0 .
zx 0 z
Уравнения равновесия и геометрические уравнения записываются также, как при плоском напряженном состоянии.
Физические уравнения при плоской упругой деформации описываются законом Гука
1
x y z , xz xz ,
E
G
1
y y z x 0,
E
1
z z x y .
E
x
Из второго уравнения, при 0 ,5, y 0,5 z x .
Таким образом, плоское напряженное и плоское деформированное состояния характеризуются следующими особенностями:
– все компоненты напряжений не зависят от одной из координат, общей для всех компонентов, и остаются постоянными при ее
изменении;
– в плоскостях, нормальных к оси этой координаты, компоненты касательных напряжений равны нулю, а нормальное напряжение равно нулю при плоском напряженном состоянии или равно
полусумме двух других нормальных напряжений при плоском деформированном состоянии.
Из рассмотрения плоского напряженного и плоского деформированного состояний видно, что несмотря на ряд общих формул для описания обоих состояний, они значительно отличаются друг от друга.
При плоском напряженном состоянии в направлении главной оси нор219
мальное напряжение равно нулю, но обязательно есть главная деформация. При плоском деформированном состоянии, наоборот, деформация равна нулю, а обязательно существует нормальное напряжение,
перпендикулярное к плоскости деформации.
3.5.3 Осесимметричное напряженное состояние
Осесимметричное напряженное состояние реализуется для
тела вращения, к поверхности которого приложены распределенные нагрузки, расположенные симметрично относительно его оси и
одинаковые во всех меридиональных сечениях (рис. 77).
Рис. 77. Схема осесимметричного напряженного состояния
При рассмотрении процессов пластического деформирования
металлов, таких как осадка цилиндрической заготовки, прессование
и волочение круглых прутков и труб, а также деформация круглой
толстостенной трубы, находящейся под равномерным наружным
или внутренним давлением, от объемного напряженного состояния
можно перейти к осесимметричному.
При анализе осесимметричного напряженного состояния удобнее пользоваться цилиндрическими координатами вместо декартовых. Вследствие симметрии тела и симметрии внешних сил направления всех радиусов равноправны. Следовательно, составляющие
220
напряжений не зависят от угла θ, а касательные напряжения и угловые деформации, содержащие индекс θ будут равны нулю. Напряжение σθ – главное напряжение, εθ – главная деформация.
Тензоры напряжений и деформаций имеют вид
T 0
0
0
z , T 0
z
0
0
z
0
0,5 z
0
0,5 z .
z
Из трех уравнений равновесия в цилиндрических координатах
остаются только два:
z
z
z
0,
z z
0.
z
Геометрические уравнения:
u
, z
u
u u z
u z
,
, z
.
z
z
Физические уравнения:
1
1
z , z ,
E
E
1
1
z z , z z .
E
G
В случае решения задачи в полярных координатах компоненты
напряжений и условие совместимости можно представить через
функцию напряжений в виде выражений
1 1 2
2
2
,
,
2
2
1 2 2
, 0
221
или
2
1
1 2 2 1 1 2
2 2 2 2 2 2 0.
Если напряжения распределены симметрично относительно
оси, то имеет вид полинома
A ln B ln C2 D ,
где A, B, C, D – постоянные, определяемые из заданных граничных
условий на контуре.
Исходя из этого, можно найти напряжения в толстостенных
цилиндрах с радиусами r1 и r2 при наличии внутреннего p1 и
внешнего p2 давлений:
Q
r12 p1 r22 p2 p1 p2 r12 r22
.
r22 r12
r22 r12 2
Задача 23. Толстостенная достаточно длинная труба из однородного материала находится одновременно под действием равномерного внутреннего и наружного давлений в упругом состоянии.
Определить напряженно-деформированное состояние трубы.
Решение. Используем цилиндрическую систему координат.
Направим координатные линии ρ, θ, 𝑧, соответственно по радиусу
трубы, в окружном направлении и вдоль оси трубы (рис. 75).
Так как напряженно-деформированное состояние трубы является осесимметричным, то τρθ = τθ𝑧 = 0, γρθ = γθ𝑧 = 0. Так как
труба достаточно длинная, то можно принять схему плоского деформированного состояния, т.е. ɛz = 0. Тогда τ𝑧𝜌 = 0, γ𝑧ρ = 0. Из
трех компонент вектора перемещения 𝑢ρ , 𝑢θ , 𝑢𝑧 две компоненты 𝑢θ = 𝑢𝑧 = 0, а компонента 𝑢ρ зависит только от координаты ρ, т.е. материальные точки трубы перемещаются только в радиальных направлениях.
222
Система уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние толстостенной трубы, состоит из одного уравнения статического равновесия:
0,
соотношений между деформациями и перемещениями
u
u
,
(48)
(49)
физических уравнений, связывающих напряжения с деформациями:
2G ,
2G ,
(50)
z .
где Θ – объемная относительная деформация .
Таким образом, имеем пять уравнений (43)-(46) с пятью независимыми переменными u , , , , . Поставленная задача
статически определима.
Решим задачу в перемещениях. Подставим в физические уравнения (50) вместо деформаций перемещения по формулам (49):
2G
u
u
,
u
u
2G .
Полученные выражения напряжений подставим в уравнение
равновесия (48). Получим дифференциальное уравнение Ляме в перемещениях:
2 u
2
1 u u
0,
223
решение которого имеет вид
u C1
C2
.
Тогда
C1
C
C2
, C1 22 ,
2
C
2G C1 22 2C1 ,
(51)
C
2G C1 22 2C1 .
Постоянные C1 и C2 найдем из граничных условий.
На внутренней поверхности трубы: ρ = 𝑟1 σρ =−𝑃1 .
На наружной поверхности: ρ = 𝑟2 σρ =−𝑃2 . Подставим эти
значения P и p в вторую формулу (51):
C
P1 2G C1 22 2C1 ,
r1
C
P2 2G C1 22 2C1 .
r2
Решая эту систему двух уравнений относительно C1 и C2 ,
найдем
C1
C2
P1 r12 P2 r22
1
,
2 G r22 r12
1 r12 r22 P1 P2
.
2G
r22 r12
Подставим эти выражения в (51). Получим окончательно
224
P1r12 P2 r22 P1 P2 r12r22
2 2
,
r22 r12
r2 r1 2
P1r12 P2 r22 P1 P2 r12 r22
2
.
r22 r12
r2 r12 2
(52)
Зная C1 и C2 , можно найти и перемещение
u C1
C2
и осевое напряжение z , которое постоянно во всех
точках трубы.
Теперь рассмотрим три случая.
1. Труба нагружена внутренним давлением. В этом случае
P2 0 . Формулы (52) принимают вид
P1r12 r22
1 ,
r22 r12 2
P1r12 r22
1 .
r22 r12 2
На рис. 78, а показаны эпюры распределения радиального и
окружного напряжений по толщине стенки трубы при нагружении
внутренним давлением.
Окружное напряжение является растягивающим, а радиальное
сжимающим. У внутренней поверхности 𝜎𝜃 достигает наибольшего
значения
P1
r12 r22
.
r22 r12
Радиальное напряжение при этом равно – P1 .
2. Труба нагружена только наружным давлением. В этом случае P1 0 . Выражения (52) принимают следующий вид:
P2 r22 r12
1 ,
r22 r12 2
225
P2 r22
r12
.
1
r22 r12 2
Рис. 78. Распределение радиальных
p и окружных напряжений
по сечению трубы
Эпюры напряжений по толщине стенки трубы для этого случая
нагружения представлены на рис. 76, б. Окружное и радиальное
напряжения – сжимающие напряжения.
3. Труба нагружена одновременно наружным и внутренним
давлением. Соотношение между внутренним и наружным давлениями полагаем таким, что внутренний и наружный радиусы трубы
увеличиваются. Эпюры напряжений для этого случая нагружения
приведены на рис. 76, в. Окружные напряжения около внутренней
поверхности – растягивающие, около наружной поверхности – сжимающие.
226
Рассмотренную выше задачу называют задачей Ляме – по
имени французского ученого, работавшего в 20-х годах XIX века в
Петербургской академии наук. Эта задача широко используется так
же при расчете толстостенных сосудов для удержания высокого
давления, контейнеров для прессования профилей.
3.6 Выводы
Цель теории упругости – определить поля перемещений, деформаций и напряжений при любых нагрузках на границе тела любой формы. Для решения поставленной задачи теория упругости
располагает тремя статическими уравнениями равновесия, шестью
геометрическими уравнениями, связывающими деформации с перемещениями и шестью физическими уравнениями, определяющими
зависимость между напряжениями и деформациями, справедливыми для каждой точки внутри упругого тела. Приведенные уравнения составляют замкнутую систему 15 уравнений с 15 переменными, полностью описывающими напряженно-деформированное
состояние тела. Решение приведенной системы уравнений должно
выполняться для любой точки внутри тела и соответствовать конкретным заданным граничным условиям.
Основным законом теории упругости является обобщенный
закон Гука, связывающий деформации с напряжениями ij Sijlmlm
и, наоборот, напряжения с деформациями ij Sijlmlm .
Закон может быть представлен в виде прямого и обратного выражений и в виде законов упругого изменения объема и формы.
В теории упругости различают прямую и обратную задачи. В
прямой задаче заданы размеры и форма тела, материал, граничные
условия. Искомыми являются 15 переменных, описывающих процесс упругой деформации. В обратной задаче, кроме размеров,
формы тела и материала, задана часть переменных, например, ком227
поненты деформаций. Искомыми являются все остальные переменные, в том числе и граничные условия. Для специалиста наибольший интерес представляет прямая задача, несмотря на то, что она
сложнее обратной.
Известны два основных пути решения прямой задачи. Первый
путь состоит в использовании системы уравнений, выраженных через напряжения. В эту систему входят три уравнения равновесия и
шесть уравнений совместности деформаций, выраженных через
напряжения. Такой путь решения, поскольку в нем в первую очередь находятся напряжения, называется решением задачи теории
упругости в напряжениях. Второй путь решения прямой задачи состоит в том, что в качестве неизвестных функций принимаются проекции векторов перемещений. Для их нахождения применяют уравнения равновесия, выраженные через перемещения. Отсюда произошло название пути решения – решение задачи теории упругости
в перемещениях.
При решении задач теории упругости для трехмерных тел
встречаются большие математические трудности. Это обстоятельство заставляет переходить от объемного напряженного состояния
к частным случаям: плоскому напряженному состоянию, плоскому
деформированному состоянию и осесимметричному напряженному
состоянию.
3.7 Задания для самоконтроля
1. Запишите закон Гука для упругой изотропной среды в прямой форме.
2. Что такое ортотропное упругое тело? Каким числом независимых упругих постоянных характеризуется это тело?
3. Что такое трансверсально-изотропное тело? Каким числом
независимых упругих постоянных характеризуется это тело?
4. Дайте определение коэффициента Пуассона.
228
5. Какой физический смысл имеют объемный модуль упругости К, модуль упругости Е, модуль сдвига G?
6. Охарактеризуйте идеально упругое твердое тело.
7. Запишите системы уравнений теории упругости для изотропного тела.
8.Что такое граничные условия?
9. Какие виды граничных условий вы знаете?
10. Дайте вывод уравнений Ляме.
11. В чем сущность метода решения задач теории упругости в
перемещениях?
12. Дайте вывод уравнений Бельтрами.
13. В чем сущность метода решения задач теории упругости в
напряжениях?
14. Опишите прямую и обратную задачи теории упругости.
15. Сформулируйте постановку задач в теории упругости.
16. Перечислите все переменные, подлежащие определению
при решении задач теории упругости.
17. Запишите тензоры напряжений и деформаций для плоского
напряженного и плоского деформированного состояний изотропного тела.
18.Приведите примеры осесимметричных задач.
19. Что такое функция напряжений Эри? Решением какого
уравнения она является?
20. Дайте определение удельной потенциальной энергии при
упругой деформации.
21. Чему равна удельная работа упругой деформации при одноосном растяжении и чистом сдвиге?
22. Как рассчитать удельную работу упругой деформации для
элементарного параллелепипеда, расположенного в окрестности
исследуемой точки?
23. Запишите уравнения для расчета удельной потенциальной
энергии изменения объема в главных осях.
229
24. Как найти удельную потенциальную энергию изменения
формы для упругого тела?
25. Как найти по заданной функции напряжения Эри компоненты тензора напряжений?
26. Что представляет собой осесимметричное напряженное состояние?
27. Как записываются тензоры напряжений и деформаций для
осесимметричного напряженного состояния?
28. В каких процессах пластического деформирования металлов реализуются схемы плоского напряженного и плоского деформированного состояний?
29. Какие основные задачи теории упругости вы знаете?
30. Закон упругого изменения объема.
31. Закон упругого изменения формы.
32. Как связаны между собой при упругой деформации интенсивность напряжений и деформаций, интенсивность касательных
напряжений и степень деформации сдвига, октаэдрические касательные напряжения с октаэдрическими угловыми деформациями?
33. Как получить уравнения закона Гука в обратной форме, используя уравнения закона Гука в прямой форме?
34. Показать, что при упругой деформации выполняется условие D D .
35. Перечислить величины, характеризующие свойства упругих тел.
36. Перечислите все основные уравнения теории упругости.
37. Перечислите основные способы решения задач теории
упругости.
3.8 Задачи и упражнения
1. Определить относительные линейные, угловые и объемные
деформации в изотропном теле по данным, приведенным в таблицe:
230
Напряжения, МПа
xy
yz
z
x
y
40
0
46
-40
60
26
20
80
-10
0
-24
16
68
42
36
20
25
55
-50
Модули упругости, МПа
zx
E 104
G 104
12
46
24
-16
0
8
20
6,9
11
7,7
2,4
4
25
13
-18
9
3,5
0
12
0
0
11,4
4,2
32
-14
21
14
6
14,1
5
-20
30
18
-4
12
17,5
6,3
2. Из уравнения, выражающего обобщенный закон упругости
для изотропного материала, получить выражение закона Гука для
следующих случаев: 1) одноосное растяжение; 2) одноосное сжатие; 3) двухосное растяжение; 4) z 0.
3. Для неметаллических ортотропных материалов в таблицеопределены следующие упругие постоянные:
Модули упругости, МПа
Коэффициент поперечной
деформации
xy
yz
zx
x
y
z
Gxy
G yz
Gzx
E1
E2
E3
G12
G23
G31
12
23
31
10,3
0,77
0,395
0,524
0,354
0,421
0,031
0,248
0,441
32,7
7,1
4,6
1,21
1,98
2,52
0,07
0,30
0,36
46
16
11,2
5,65
3,30
4,35
0,093
0,36
0,30
26
26
7,8
4,51
3,0
3,0
0,13
0,24
0,24
13,1
5,3
2,82
2,38
2,34
0,10
0,17
0,229
17,6
Для напряженного состояния, заданного тензором
120 0 40
T 0 140 60
40 60 80
определить линейные, угловые и объемные деформации.
231
4. Компоненты материального тензора, входящего в уравнения
упругости, при изотропном теле можно представить следующим
образом:
Cijk l ij kl G ik jl il ik .
Для данного случая записать закон Гука через постоянные и G.
5. Показать, что ij Cijki ki можно разбить на две группы:
ii 3 2Gii и Sij 2Gij ,
здесь S ij и ij – компоненты девиаторов напряжений и деформаций.
6. Замерены следующие деформации:
Деформации 103
x
y
z
xy
yz
zx
1
3
2
3
2
2
4
5
3
1
6
8
1,5
0,5
1
2
0
1
0
1
0
0,3
2
0
Используя данные по упругим постоянным, приведенные в задачах 1 и 2, определить напряженные состояния материала. Используя данные таблицы, представить закон Гука в виде законов изменения объема и формы тела. Показать также зависимости i GYi .
7. Стержень длиной l равномерно растянут в пределах упругой
деформации на величину l . Определить перемещения точек тела
u x , u y , u z и возникающие напряжения для следующих случаев:
а) стержень имеет круглое сечение;
б) стержень имеет квадратное сечение.
8. Определить, под действием каких сил находится круглый
цилиндрический стержень, если его перемещения выражаются
функциями:
232
ux
yz ,
xz , u y
E
E
uz z2 l 2 x2 y2 .
9. Вывести следующие зависимости:
1
1
1
1
;
.
E 3G 9k E 6G 9k
10. Образец упруго растянут с относительной деформацией
0,005 . Модуль нормальной упругости 196 ГПа, коэффициент
Пуассона 0,3 . Определить относительное изменение объема
образца Q.
11. Куб размерами h l b 111 м подвергнут осадке на
величину h в пределах упругости. Коэффициент Пуассона
0,3 . Определить объемную деформацию.
12. Стальная деталь нагружена и замерены следующие упругие
деформации:
x 0,001, y 0,002, z 0,003, xy 0,0015, yz zx 0.
Найти напряженное состояние детали, если
E 2,1105 МПа, 0 ,3.
13. Даны величины напряжений:
x 100 МПа , y 150 МПа , xy 75 МПа .
Определить деформации, если деталь изготовлена из стали,
E 2,1105 МПа, 0,3 . Определить изменение объема.
14. В плите из алюминиевого сплава ( E 7105 МПа,
0,32 ) при ее деформации толщина остается неизменной, а деформации составят: x 5 10 4 , y 2 104 , xy 1 104 .
233
Определить возникающие напряжения.
15. Найти связь между константами А и В, при которой функ-
ция y Ax4 x 2 y 2 By4 будет функцией Эри. Определить компоненты напряжений.
16. Проверить, могут ли при осесимметричной деформации
тела функциями напряжений служить:
С 2 z 2 , Сz n ln
С 2 z 2 z , Сz n
(n = 0,1,2,3);
(n = 1,2,3);
где C – постоянная.
17. Доказать, что функция напряжения Эри
х 4 y 4 6 x 2 y 2 xy 3
4
удовлетворяет бигармоническому уравнению 0 . Найти ком-
поненты напряжения, считая деформацию плоской. Записать уравнения для определения деформаций.
18. Кольцо единичной толщины скручивается двумя парами
сил, приложенных соответственно к внутренней и наружной боковым поверхностям. Убедиться в том, что в каждой точке кольца
напряжения равны
q 0 , pq
M
.
2 2
19. Стальной цилиндр, внешний диаметр которого 300 мм и
толщина стенки 60 мм, подвергнут внутреннему давлению p1 300
МПа. Определить величину наибольших растягивающих, сжимающих и касательных напряжений. Построить эпюры q , P , max .
20. В задаче 19 поменять условие, т.е. считать, что действует
не внутреннее, а внешнее давление. Определить те же величины.
234
21. Принять, что стальной цилиндр (задача 19) подвергнут не
только внутреннему p1 300 МПа, но и внешнему давлению
p2 100 МПа. Определить те же величины.
22. Определить напряжение в стальном контейнере, состоящем
из втулки r1 = 80 мм, r2 = 180 мм и корпуса с r3 = 270 мм. Натяг по
диаметру при посадке втулки 21 0,3 мм, а внутреннее давление
p 500 МПа. Построить эпюры напряжений.
23. Дана система, состоящая из корпуса и двух втулок с размерами: r1 60 мм , r2 80 мм , r3 120 мм и r4 220 мм . Натяг
между первой и второй втулками 21 0,2 мм , а между втулкой и
корпусом 22 0,3 мм . Внутреннее давление p1 500 МПа. Корпус и втулка стальные. Определить напряжения и построить их
эпюры.
24. Разложить тензоры напряжения и деформации на шаровые
и девиаторы. Представить удельную потенциальную энергию в
виде суммы энергий изменения объема и формы тела.
25. Представить полную удельную потенциальную энергию,
энергию изменения объема и формы изотропного тела в виде функции инвариантов тензора деформаций.
26. Записать выражения удельной потенциальной энергии через технические константы для трансверсально-изотропных и ортотропных сред.
27. Записать выражения удельной потенциальной энергии для
частных случаев напряженно-деформированного состояния:
а) линейное растяжение;
б) чистый сдвиг;
в) плоская деформация;
г) двухосное растяжение с отношением напряжений 2 1 0,5.
Тело принять изотропным.
235
28. В точке стального тела заданы тензоры напряжений
0
0
120 50 50
140
T 50 60 50 , T 0 10
0 .
50 50 60
0
0
130
Считая размерность компонент напряжений в МПа, вычислить
удельную потенциальную энергию.
236
ГЛАВА 4 ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
Теория пластичности решает главным образом те же задачи,
что и теория упругости, но для материалов с другими физическими
и механическими свойствами. Поэтому между указанными теориями имеется много общего. В частности, общими являются уравнения равновесия, геометрические уравнения, уравнения совместимости деформаций. Только вместо обобщенного закона Гука, используемого в теории упругости, как физические уравнения, в теории
пластичности применяются другие физические соотношения.
4.1 Условие перехода металла из упругого состояния
в пластическое состояние
Начало пластических деформаций является следствием перехода от одной формы устойчивого равновесия в атомной решетке
зерна к другой. При линейном напряженном состоянии, например
при растяжении, можно считать, что пластическое состояние наступает тогда, когда нагрузка вызывает главное нормальное напряжение σ1 , которое становится равным истинному пределу текучести,
σт с учетом изменения площади образца, упрочнения, температуры
и скорости деформации.
Если по мере деформации металл упрочняется, то для дальнейшего развития пластической деформации необходимо увеличить
напряжение, величина которого определяется кривой упрочнения.
Если упрочнение отсутствует, то пластическая деформация протекает при постоянном напряжении. Отсюда следует, что возникновение пластических деформаций однозначно определяется напряжениями.
237
Теперь требуется перенести эти рассуждения и на случай трехмерного (объемного) напряженного состояния. Сделать это значительно сложнее. Дело в том, что напряженное состояние в рассматриваемой точке описывается шестью компонентами тензора напряжений – x , y , z , xy , yz , zx . Количество возможных комбинаций
напряжений, при которых тело переходит в пластическое состояние, является бесконечным. Точная форма поверхности раздела
упругих и пластических деформаций неизвестна. В связи с этим
приходится прибегать к гипотезам по переходу тела из упругого в
пластическое состояние, а поверхность раздела строить на основе
гипотез. Эти гипотезы и соответствующие уравнения, которые являются их математической формулировкой, называют критериями
(условиями) пластичности.
К ним предъявляются следующие требования:
1. Критерий пластичности должен иметь форму инварианта, так
как характеризуется уравнением состояния тела, которое выражает некоторый физический закон. А это значит, что в это уравнение в качестве независимых переменных должны входить инварианты.
2. В уравнение критерия пластичности, помимо компонентов
тензора напряжений, должны входить компоненты материального
тензора, характеризующие механические свойства металла и определяющие возникновение пластических деформаций при простейших видах напряжённых состояний.
3. Критерий пластичности должен быть действительным для
любых элементарных объемов металла, находящихся в произвольном объёмном напряжённом состоянии.
Исходя из вышеприведённых требований для изотропного металла, критерий пластичности не должен зависеть от направлений и
может быть представлен в виде функции инвариантов тензора
напряжений:
FI1 T , I 2 T , I 3 T K ,
где К – постоянная пластичности.
238
Как показывают опыты, при всестороннем равномерном растяжении или сжатии пластические деформации не возникают. Поэтому критерий пластичности можно представить как функцию
только второго и третьего инвариантов девиатора напряжений в
главных осях:
F 1, 2 , 3 K
или
F 12 ,23 , 31 K .
Из многочисленных, предложенных в разное время гипотез,
наиболее подтвержденными опытом являются следующие:
- гипотеза постоянства максимальных касательных напряжений;
- гипотеза постоянства энергии формоизменения (энергетическая).
Рассмотрим их более подробно в той исторической последовательности, как они появились.
4.2 Условие постоянства максимального
касательного напряжения
Французский инженер А. Треска в 1869 г., основываясь на собственных опытах по истечению металла через отверстия, впервые
высказал предположение (гипотезу) о том, что в момент начала пластической деформации во всех точках деформируемой среды максимальные касательные напряжения τmax имеют одно и то же значение для данного металла, т.е.
max K .
Несколько позднее французский ученый Б. Сен-Венан в
1871 г. Дал математическую формулировку этого условия для плоской деформации.
239
1 3
K.
2
При линейном напряжённом состоянии 1 T , 2 3 0.
Если 1 2 3 , то max 13
Откуда постоянная пластичности K 0,5T .
При объёмном напряженном состоянии уравнения пластичности
по условию постоянства максимальных касательных напряжениий
можно записать в виде:
2 12 1 2 T ,
2 23 2 3 T ,
(53)
2 31 3 1 T .
Если все три уравнения выполняются со знаком неравенства, то
металл находится в упругом состоянии. Чтобы металл находился в состоянии текучести, в одном или двух из этих уравнений должен быть
знак равенства.
Окончательное условие Треска-Сен-Венана можно сформулировать следующим образом.
Переход тела из упругого состояния в пластическое не зависит от
вида напряжённого состояния и происходит тогда, когда по крайней
мере одно или два касательных напряжения достигают максимального
значения, определяемого только механическими свойствами деформируемого металла.
Из уравнений (53) вытекает следующее соотношение между пределом текучести при сдвиге T :
2T T .
В трехмерном пространстве главных нормальных напряжений
условие постоянства максимальных касательных напряжениий интерпретируется предельной поверхностью пластичности, представляющей собой геометрически поверхность правильной шестигранной
240
призмы бесконечной длины, ось которой равнонаклонена к трем главным осям напряжений (рис. 79), т.е. 1 2 3 .
Так как поверхность пластичности описывается тремя уравнениями, то она ограничена шестью попарно параллельными плоскостями.
Рис. 79. Условие пластичности Треска–Сен-Венана
Поскольку возникновение пластических деформаций определяется не величиной главных нормальных напряжений, а их разностью, длина призмы не ограничена. Если точки, изображающие
напряжённое состояние в главных осях, находятся внутри призмы,
то материал будет находиться в упругом состоянии. Когда точки
попадают на поверхность призмы, в частицах металла возникают
пластические деформации. Вне данной поверхности точки лежать
не могут, поскольку возникновение напряжений, больших 𝜎т , невозможно.
241
При плоском напряженном состоянии, например при σ2 = 0,
уравнения (53) принимают вид:
1 T ,
3 T ,
(54)
3 1 T .
На плоскости 1 03 , эти уравнения определяют шестиугольник (рис. 80).
Рис. 80. Условия пластичности Треска-Сен-Венана и Мизеса
при плоском напряженном состоянии
Если точка А, изображающая напряжeнное состояние, находится внутри шестиугольника, то частица металла деформируется
упруго. Если точка В лежит на контуре шестиугольника, в частице
возникает пластическая деформация. В соответствии с условиями
при линейном напряженном состоянии шестиугольник отсекает на
242
осях координат отрезки, равные T . При плоском деформированном состоянии 2 всегда является средним главным нормальным
напряжением 2 0,51 3 и из трех уравнений (53) остается
одно:
3 1 T .
(55)
В произвольных осях, если ось z совпадает с главной осью,
условие пластичности имеет вид
y 42xy T2 .
2
x
Условие пластичности Треска–Сен-Венана в общем удовлетворительно характеризует наступление пластического состояния
металла и согласуется с наблюдениями по линиям Людерса-Чернова.
4.3 Условие постоянства энергии формоизменения
В объeмных задачах пластического деформирования использование условия постоянства максимальных касательных напряжений
в виде трех уравнений (53) наталкивается на большие математические трудности. Часто нелегко установить заранее, какое из трех касательных напряжений достигает максимального значения, а также
учесть влияние среднего главного нормального напряжения. Эти
обстоятельства привели немецкого ученого Р. Мизеса в 1913 г. к гипотезе об описании вокруг шестигранной призмы в координатах
1, 2 , 3 круговой цилиндрической поверхности радиусом
σт √2/3 (рис. 81), уравнение которой имеет вид
i
1
2
1 2 2 2 3 2 3 1 2
T .
(56)
Это условие пластичности (56) формулируется так.
243
Пластическая деформация наступает в теле тогда, когда интенсивность напряжений достигает предельного значенияя, определяемого только механическими свойствами металла независимо от
вида напряженного состояния.
В произвольных осях
i
1
2
y y z z x 6 2xy 2yz 2zx T .
2
x
2
2
(57)
Уравнение (57) отличается от второго инварианта девиатора
напряжений I 2 D , интенсивности касательных напряжений T, октаэдрического касательного напряжения только постоянным множителем. Поэтому условие пластичности Мизеса носит в литературе несколько наименований: «условие постоянства интенсивности напряжений», «условие постоянства интенсивности касательных напряжений», «условие постоянства октаэдрического касательного напряжения».
Если главные нормальные напряжения в каком-либо элементе
тела таковы, что они определяют точку, лежащую на поверхности
цилиндра (рис. 81), то элемент металла (частица) будет находиться
в пластическом состоянии.
Рис. 81. Условие пластичности Мизеса в пространстве главных осей напряжений
244
Если главные нормальные напряжения в элементе таковы, что
они определяют точку, лежащую внутри цилиндра, то элемент будет находиться в упругом состоянии. Так как количество точек на
поверхности цилиндра бесконечно большое, то существует неограниченное количество комбинаций величин главных нормальных
напряжений, удовлетворяющих условию (56).
В дальнейшем выяснилось, что раньше Мизеса это условие как
условие прочности было предложено польским ученым М. Губером
в 1904 г. Позднее Генки в 1923 г. заметил, что левая часть условия
(57) имеет простой физический смысл, соответствуя с точностью до
постоянного множителя удельной потенциальной энергии упругого
изменения формы тела:
WФ
1
1 2 2 2 3 2 3 1 2 .
6E
(58)
Так как удельная потенциальная энергия упругого изменения
формы тела (58) не зависит от вида напряженного состояния, то
приравнивая величину 𝑊ф для объемного напряженного состояния
к величине 𝑊ф для линейного напряженного состояния, получаем
условие пластичности Мизеса (56).
Таким образом, пластическая деформация тела начинается тогда, когда запас удельной потенциальной энергии упругого изменения формы достигает определённой для данных условий величины
независимо от схемы напряжённого состояния. Поэтому условие
Мизеса в отличие от вышеприведенных часто называют энергетическим условием пластичности или условием постоянства энергии
формоизменения.
Приняв при плоском напряжённом состоянии в произвольных
осях z xz yz 0 , уравнение (57) примет вид
2x 2y x y 32xy T2 .
(59)
245
В главных осях выражения (59) запишется так:
12 22 1 2 T2 .
Приняв при плоском деформированном состоянии (ε𝑧 = 0) в
произвольных осях z x y / 2, xz yz 0 , уравнение
(57) примет вид
x
y
2
42xy
4 2
T .
3
(60)
В главных осях при 2 ср выражение (60) запишется так:
1 3
Откуда T
2
3
Т 2T 2к .
(61)
T
.
3
Сравнивая (55) и (61), видим, что для плоского деформированного состояния рассмотренные условия пластичности совпадают,
но по Треска-Сен-Венана T 0,5T , а по Мизесу T T
3.
Рассмотрим графики условий начала пластических деформаций по критериям Мизеса и Треска для плоского напряженного состояния.
Уравнение (59) описывает эллипс с центром в начале координат 1 и 3 (рис. 80). Условия пластичности Треска описывают шестиугольник. В точках с координатами 0, T , T ,0 , 0,T ,
T ,0
критерии пластичности Мизеса и Треска совпадают. Эти
точки соответствуют линейному напряженному состоянию растяжения или сжатия. Другие четыре точки на эллипсе:
1
2
2
1
T ,
T ,
T ,
T ,
3 3
3
3
246
1
2
1
2
T ,
T ,
T ,
T ,
3
3
3
3
соответствуют плоскому напряженному и плоскому деформированному состояниям. В этих точках критерии Треска и Мизеса отличаются друг от друга на 15%. В точках
1
1
1
1
T ,
T ,
T ,
T ,
3
3
3
3
соответствующих чистому сдвигу, критерии отличаются друг от
друга примерно на 8%.
Таким образом, рассматриваемые критерии пластичности
Треска и Мизеса близки друг к другу. Мизес считал условие Треска
точным, а свое – приближенным. Однако многочисленные эксперименты показали, что условие постоянства энергии формоизменения
выполняется в состоянии текучести для поликристаллических металлов более точно, чем условие постоянства максимальных касательных напряжений.
Задача 24. Напряженное состояние в исследуемой точке изотропного тела задано в виде тензора напряжений
0
100 100
T 100 300 200 .
0 200 200
Принимая T 800 МПа, по критерию пластичности Мизеса
выяснить, в каком состоянии находится исследуемая частица металла.
Решение.
По формуле (57) находим
1
100 3002 300 2002 200 1002 6 100 2 200 2
i
2
600 МПа 800 МПа .
247
Исследуемая частица тела находится в упругом состоянии.
Задача 25. Найти внутреннее давление, при котором в толстостенной длинномерной трубе зарождается пластическая деформация.
Решение.
Согласно условию постоянства максимального касательного
напряжения для плоского деформированного состояния
Т ,
у внутренней поверхности достигает наибольшего значения:
r1 P1
r22 r12
.
r22 r12
Радиальное напряжение при этом равно – P1 . Тогда
P1
r22 r12
P1 T .
r22 r12
Откуда
P1
T
.
r22 r12
1 2 2
r2 r1
Использование энергетического условия пластичности в полной форме (57) приводит к большим математическим трудностям,
связанным с его нелинейностью. Например, при плоской по напряжениям осесимметричной задаче уравнение статического равновесия всех сил имеет вид
d
d
248
0.
Чтобы решать его совместно с условием пластичности, желательно, чтобы условие пластичности (57) было выражено в виде
разности . Однако условие пластичности имеет вид
2 2 2 2T2
или
2 2 T2 .
Для облегчения решения задач используют запись условия
пластичности через разность главных напряжений. Покажем это.
Запишем показатель вида напряженного состояния ЛодеНадаи
v
1 3
2 .
1 3
2
2
Разрешим его относительно среднего напряжения
2
1 3 1 3
.
2
2
(62)
Энергетическое условие пластичности в главных осях напряжений имеет вид
1 2 2 2 3 2 3 1 2 2T2 .
Подставим в него выражение (62). Получим
1 3 2 3 2 4T2 .
Откуда
1 3
2T
3 2
.
249
Это уравнение запишем в упрощенном виде
1 3 T ,
(63)
где – коэффициент Лоде,
2
3 2
.
Если среднее главное нормальное напряжение равно одному из
крайних, т.е. 2 1 или 2 3 , то 1 , а условие (63) принимает вид:
1 3 T ,
т.е. совпадает с условием пластичности Треска-Сен-Венана. Максимальную величину коэффициент имеет при плоском деформированном состоянии (рис. 82), когда 2 0,51 3 , 0 ,
1,155.
В этом случае
1 3
2
T 1,15T
3
и разница между обоими условиями пластичности наибольшая. Как
видно из рис. 82, эта наибольшая разница невелика, т.е. влияние 2
на переход частицы из упругого состояния в пластическое несущественно.
Рис. 82. Распределение среднего по величине главного напряжения
250
Энергетическое условие пластичности часто используют при
расчетах процессов пластического деформирования металлов в
2
виде (63), где
1 . Если принять максимальное значение ,
3
то (63) можно рассматривать как приближенную запись энергетического условия пластичности.
Использование условия пластичности в упрощенной линейной
форме записи (63) не дает однозначного решения, так как в конкретной задаче не всегда неизвестно точное значение .
Однако отдельные задачи, в частности осесимметричное деформирование тонкостенных оболочек, удается решить, если использовать параметрическое представление условия пластичности
Мизеса. Как показал А. Надаи, энергетическое условие пластичности изотропного тела
T2 12 12 22
геометрически интерпретируется эллипсом с углом наклона осей
45о и может быть записано, как всякое уравнение эллипса, в параметрической форме:
1
2
2
S cos ,
3
S cos .
3
3
2
Здесь – функция, через которую выражены напряжения 1 и 2 .
Пределы изменения этой функции устанавливаются исходя из
знаков действующих напряжений или, другими словами, от условий конкретной задачи.
3
11
Так при 1 0 и 2 0
.
2
6
251
Аналогично можно установить, что
5
3
при 1 0 и 2 0
,
6
2
а при 1 0 и 2 0
6
2
5
и, наконец, при 1 0 и 2 0
.
6
6
4.4 Условие пластичности анизотропных сред
Как уже отмечалось, поликристаллические металлы на макроскопическом уровне изотропны. Однако в результате пластического
деформирования поликристаллические металлы становятся анизотропными материалами, у которых свойства зависят от направления. Это так называемая деформационная анизотропия в отличие от
начальной анизотропии кристалла. Одной из причин деформационной анизотропии является появление текстуры, т.е. системы закономерно ориентированных кристаллографических элементов большинства кристаллов (зерен), составляющих деформируемое тело.
В общем случае для анизотропного материала Мизесом в 1928
году было предложено следующее энергетическое условие начала
пластичности:
K ijlm ij lm 1 ,
где K ijlm – симметричный материальный тензор, отражающий анизотропию свойств.
Для ортотропного материала в главных осях анизотропии оно
записывается следующим образом:
1
2
2
2
К 1122 x y К 2233 y z К 3311 z x
2
2
К 2323 2yz К 13131313
К 1212 2xy 1.
252
Мизес не сделал никаких предположений относительно коэффициентов K ij и не выразил их через технические константы.
В 1948 г. Хилл сделал следующую расшифровку условия Мизеса
1 1
1
1
1
1
1
2
2
2 2 2 y z 2 2 2 z x
2 Y
Z
X
X
Y
Z
2xy 2yz 2zx
1
1
1
2
2 2 2 x y 2 2 2 1.
Y
Z
T
R
S
X
Здесь X, Y, Z – пределы текучести при растяжении металла в
главных направлениях анизотропии;
R, S, T – пределы текучести при сдвиге по отношению к главным осям.
Этим уравнением трудно пользоваться. Например, для листового проката практически не удается определить Z, R, S.
Арышенским Ю.М. в 1964 г. условие пластичности Мизеса
предложено выразить в традиционной тензорной форме следующим образом:
i2 Kijlmijlm .
Это условие, выраженное через деформационные показатели
для ортотропного тела, имеет вид:
i 3 12
1 3
1 1
1 2
2
2
z x 2 2xy 2yz 2zx .
x y 23
y z 31
1 3
1 1
1 2
Здесь lk – коэффициенты поперечной деформации, аналогичные коэффициентам Пуансона, но только в пластической области. Первый
индекс указывает направление поперечной деформации, а второй –
направление действия силы. Их определяют при линейном напряженном состоянии (рис. 83).
253
Рис. 83. Схема вырезки образцов
При растяжении образцов в направлении 1
21
2
, 31 3 .
1
1
Из условия постоянства объема
1 2 3 0
следует, что
2
3 1,
1 1
или 21 31 1 .
Аналогично при одноосных испытаниях в направлениях 2 и 3
получаем
12 32 1,
23 13 1.
Коэффициент 1 получают при растяжении вырезанного образца под углом 45о к осям 1 и 2, 2 – между осями 2 и 3, 3 –
между осями 3 и 1.
254
В расчетах начала пластичности металла интенсивность напряжений удобно относить к главным осям анизотропии. Например,
для первого направления i имеет вид
i1 21
1
1
2
2
1 2 3
13 1 T 1 ,
12
21
1 2 2
где T 1 – предел текучести металла в направлении 1.
По другим направлениям существуют следующие связи:
i 2
13
12
i1 .
i1 , i 3
21
31
Для ортотропной среды условие Мизеса интерпретируется эллиптическим равнонаклоненным к осям цилиндром. Для плоского
напряженного состояния 2 0 контур текучести имеет вид, показанный на рис. 84. В случае изотропного тела все ij 0,5 и i
принимает выражение (57).
Рис. 84. Контуры пластичности для изотропного и анизотропного тел
255
4.5 Экспериментальная проверка условий пластичности
Поскольку реализация однородного объемного напряженного
состояния в процессах пластического деформирования затруднительна, то экспериментальная проверка условий возникновения
пластического течения производится посредством испытаний тонкостенных трубок при совместном нагружении их продольной растягивающей силой Р и крутящим моментом М. Этот случай соответствует так называемым Р–М опытам. В этом случае возникающее напряженное состояние является плоским, осесимметричным и
однородным (рис. 85).
Рис. 85. Схема P + М опыта
И описывается тензором напряжений
0 0
T 0 0
0
z
0
z ,
z
где z – осевое нормальное напряжение z
P
, z – касательное
2Rt
M
, здесь R – средний радиус тонкостенной
2R 2t
трубы, t – толщина ее стенки.
Инварианты тензора напряжений равны
напряжение, z
2
J1 T z , J 2 T z , J 3 T 0 .
256
Тогда кубическое уравнение для определения главных нормальных напряжений имеет вид
2
3 z 2 z
0.
Его корни равны
1
z 2z 42z
2
, 2 0 , 3
z 2z 4 2z
2
.
Условие пластичности Треска–Сен–Венана 1 3 T примет
вид
2z 42z T2
или
z
T
2
4 z
T
2
1.
В координатах z T , z T это уравнение эллипсов с полуосями соответственно 1; 0,5 и 1; 3 (рис. 86). По графикам видно,
что для сталей результаты экспериментов лучше согласуются с
условием Губера – Мизеса.
Рис. 86. Экспериментальная проверка условий пластичности
257
4.6 Условие упрочнения
Пластическая деформация приводит к упрочнению металла,
предел его текучести повышается (рис. 87) в направлении деформирования. Если образец растягивать из начального состояния, то при
П
1 T в образце возникает пластическая деформация A . Произведем нагружение образца до точки А, а затем полную его разгрузку
до точки N. Если теперь вновь растягивать образец из упрочненного
состояния, то нагружение будет совпадать с прямой NA. Пластическая деформация возникает в образце в точке A, когда соблюдается
условие 1 А . В связи с этим T называют начальным, а А –
текущим пределом текучести при линейном напряженном состоянии.
Рис. 87. Диаграмма упрочнения
Текущий предел текучести зависит от предыдущей пластической деформации и позволяет легко различать при одноосном растяжении нагружение, сопровождающееся дальнейшей пластической деформацией, и разгрузку, происходящую чисто упруго.
258
Если по достижении точки А приращение напряжения d1 таково, что 1 А , произойдет нагружение, а если 1 А , то произойдет разгрузка.
При переходе к сложному напряженному состоянию рассматривают поверхность нагружения (рис. 88). В шестимерном пространстве напряжений ij уравнение поверхности текучести T является границей области.
Если точка, изображающая напряженное состояние, лежит
внутри области, ограниченной T , частица ведет себя как упругое
тело. Если точка находится на поверхности текучести T , в частице
возникают пластические деформации. Граница T представляет
собой выпуклую поверхность совокупности пределов текучести для
всевозможных напряженных состояний. Начало координат соответствует нулевым напряжениям.
Рис. 88. Поверхности текучести и нагружения
С увеличением пластической деформации по мере развития
упрочнения поверхность нагружения , совпадающая в начальном
(неупрочненом) состоянии с поверхностью текучести T , расширяется и смещается.
259
Допустим, что в точке А пластически деформируемого упрочняемого тела напряжения ij получили приращения dij . Если вектор dij направлен наружу к поверхности нагружения , происходит нагружение частицы. Если же вектор dij направлен внутрь
поверхности нагружения , то происходит разгрузка. Если вектор
dij лежит в касательной плоскости к поверхности нагружения ,
в частице произойдут нейтральные изменения, сопровождающиеся
упругими деформациями.
Рассмотрим некоторые простые формы поверхности нагружения.
Изотропное упрочнение. В этом случае упрочнение материала
происходит одинаково во всех направлениях и не зависит от среднего напряжения ср . Тогда поверхность нагружения можно задать
в виде
F J 2 D , J3 D q ,
(64)
где q – возрастающая положительная функция, q – параметр
упрочнения, характеризующий предыдущую деформацию.
Если предположить, что условие (64) содержит только второй
инвариант девиатора напряжений, то условие (64) запишем в виде
i q .
Оно представляет собой круговую цилиндрическую поверхность, равнонаклоненную к главным осям. В процессе пластической деформации радиус поверхности увеличится и в зависимости
от выбора параметра q можно получить различные текущие поверхности нагружения.
Особый интерес представляет случай, когда в качестве меры
упрочнения принимается величина достигнутой интенсивности деформации i (деформационная гипотеза упрочнения).
260
i Ei i ,
(65)
где Ei – некоторая характерная для данного металла функция,
иногда называемая модулем пластичности.
Если в координатах i , i построить кривую (65), то для упругого и пластического состояний получим одну и ту же зависимость
для различных напряженных состояний, называемую единой кривой
(рис. 89).
Рис. 89. Гипотеза единой кривой
Здесь Е’ – модуль пластичности, i E i – упругая область,
i E i – пластическая область.
Разница между Е и Е’ состоит в том, что Е – величина постоянная (константа материала), а Е’ – величина переменная, зависящая от упрочнения, температуры, скорости деформации и т.п.
За меру упрочнения q иногда берут накопленную пластическую деформацию или так называемый параметр Удквиста:
q din ,
где d in – интенсивность приращения пластических деформаций.
В главных осях din имеет вид
din
2
3
d
n
1
dn2
d
2
n
2
d3n
d
2
n
3
d1n
2
.
261
За меру упрочнения q может быть принята и удельная работа
пластической деформации частицы (энергетическая гипотеза
упрочнения) на всем пути пластического деформирования:
q ij dijn .
Энергетическое условие упрочнения является более общим,
чем предыдущее условие, и подтверждается опытами для более широкого класса нагружения. Однако оно не учитывает деформационной анизотропии и может быть использовано лишь для сравнительно несложных путей нагружения.
При изотропном упрочении поверхность нагружения равномерно расширяется, оставаясь подобной самой себе. Эффект Баушингера при этом не описывается, поскольку T в прямом OA и
обратном OA направлениях нагружения одинаков по величине
(рис. 90, а).
Трансляционное упрочнение. Поверхность нагружения испытывает жесткое смещение в направлении деформирования
(рис. 90, б). Сплошная линия – начальное положение, пунктирная –
положение после деформации. Если теперь вновь нагрузить металл,
возрастает –
то T в направлении предыдущей деформации OA
произошло упрочнение.
а
б
Рис. 90. Типы упрочнения
262
В обратном направлении OA 𝜎т падает (произошло
разупрочнение). Эта схема качественно описывает эффект Баушингера.
Уравнение поверхности нагружения имеет вид
f sij aij K ,
где aij – координаты центра поверхности нагружения.
Наиболее простой вариант выбора aij : линейное упрочнение
aij сijn ,
где с – положительная константа, характерная для данного материала, ijn – компоненты пластической деформации.
Перенос и расширение. Комбинация двух предыдущих случаев
приводит к более полной схеме нагружения, т.е.
f Sij aij q .
Это уравнение удовлетворительно описывает упрочнение металла в довольно широких границах изменения пути нагружения.
4.7 Простое и сложное нагружение
Нагружение частицы называется простым, если все компоненты тензора напряжений ij или внешние силы возрастают от
начального состояния пропорционально одному параметру, т.е.
ij ij0 ,
где ij0 – постоянный тензор, а – переменный скалярный параметр.
263
В противном случае нагружение называется сложным. Примерами простого нагружения в P + M опытах на растяжение и кручение образцов являются лучи ОА и ОВ, примерами сложного нагружения траектория OC, ступенчатый путь OM1N , OP1D (рис. 91).
На каждой ступеньке нагружения постоянно либо P = const, либо
M = const. Условия простого нагружения должны выполняться для
каждой частицы тела.
При простом нагружении коэффициент Лоде-Надаи , положение главных осей T не меняется в процессе нагружения.
Ильюшин А.А. разработал теорему о простом нагружении. Для
того чтобы во всех точках несжимаемого тела, нагружаемого внешними силами, возрастающими пропорционально некоторому параметру, нагружение было простым при малых деформациях, достаточно, чтобы зависимость интенсивности напряжений от интенсивности деформаций была степенной функцией вида
i Aim ,
где A и m – характеристики металла.
При простом нагружении в каждой точке тела const .
Это справедливо для тела любой формы, при любом количестве и любых направлениях внешних сил.
Рис. 91. Виды нагружения образцов в P + M опытах
264
Это справедливо для тела любой формы, при любом количестве и любых направлениях внешних сил.
Для упругого тела последовательность его нагружения внешними силами какой-либо роли не играет, так как имеет место однозначное соответствие между напряженным и деформированным состояниями независимо от того, каким образом они созданы. В упругопластических телах ситуация оказывается принципиально отличной. Для упругопластического тела существенен не только характер
напряженного состояния в его точке, но и путь, по которому оно
было создано. В зависимости от этого может значительно меняться
деформированное состояние в одних и тех же точках тела. Это
наглядно видно при простом растяжении (рис. 92). Одному и тому
же напряжению *T могут соответствовать деформации 001, 002, 003
и т.д.
Рис. 92. Деформированное состояние в одних и тех же точках
при растяжении тела
4.8 Разгрузка. Остаточные напряжения и деформации
При определении технологических параметров пластического
деформирования металлов, связанных с точностью получения
265
формы, необходимо знать, как поведет себя материал после снятия
всех внешних сил, т.е. знать характер его разгрузки. Теоретический
анализ точностных параметров проводится на основе теоремы о
разгрузке А.А. Ильюшина.
Рассмотрим одноосное растяжение образца и его разгрузку
(рис. 93).
Предположим, что в растянутом образце в точке В возникло
напряжение B . Причем B T . Этому напряжению соответствует деформация ε𝐵 . Если теперь частично разгрузить образец на
разг , то в образце останутся остаточные напряжения
ост В разг . Напряжению ост соответствует деформация
ост В разг .
Рис. 93. Одноосное растяжение образца и его разгрузка
Как показывает опыт, если при разгрузке тело подчиняется закону Гука, то разг можно определить по формуле разг разг Е .
Таким образом, при вычислении остаточных деформаций необходимо из полной деформации, соответствующей наибольшему
напряжению, вычесть упругую деформацию, соответствующую
значению напряжения, на величину которого уменьшилось
наибольшее напряжение.
266
Ильюшин А.А. распространил эту закономерность и на случай
сложного напряженного состояния для определения остаточных деформаций, напряжений или перемещений частиц тела.
Теорема о разгрузке звучит так:
Перемещения точек тела, а также деформации и напряжения
в определенный момент разгрузки равны разностям между их значениями в момент начала разгрузки и упругими перемещениями, деформациями, напряжениями, которые возникли бы в ненагруженном теле под действием внешних сил, равных разностям нагрузок
до и после разгрузки.
Для технологических расчетов наиболее важно следствие из
теоремы. При полном снятии внешних сил для определения остаточных перемещений, деформаций, напряжений нужно решить пластическую задачу для данных внешних сил, а также для этих же сил
решить упругую задачу. Затем взять разность этих решений.
Допустим, что при нагружении тела были достигнуты напряжения ij и деформации ij . Тогда после полной разгрузки, когда
все внешние силы уменьшаются до нуля, в теле будут остаточные
напряжения ijост и остаточные деформации ijост , равные
ijост ij *ij , ijост ij *ij ,
(66)
где *ij и *ij – напряжения и деформации, которые являются решением задачи теории упругости для тела, нагруженного внешними
силами, соответствующими моменту начала разгрузки.
Задача 26. Найти остаточные напряжения и закрутку после
упругопластического кручения прутка круглого поперечного сечения радиусом R из идеального упругопластического материала на
угол .
267
Решение.
Операцию упругопластического кручения используют для
того, чтобы повернуть одну часть тела относительно другой, например, при изготовлении коленчатого вала двигателя внутреннего сгорания, витых сверл и т.п.
Будем считать, что при кручении моментом М плоские поперечные сечения прутка остаются плоскими и за пределом упругости
материала. При этом смежные поперечные сечения, отстоящие друг
от друга на расстоянии l, поворачиваются относительно друг друга
на относительный угол θ = α⁄𝑙, где – угол кручения.
Согласно теореме о разгрузке А.А. Ильюшина (рис. 94):
,
где – относительный остаточный угол кручения; – относительный угол упругой раскрутки.
Рис. 94. Схема упруго-пластического кручения круглого прутка моментом
Величина угловой деформации z равна углу, заключенному
между образующей круглого прутка и разверткой винтовой линии:
tg z z
где – текущий радиус.
268
,
l
Напряженное состояние является плоским и осесимметричным, а матрицы тензоров напряжений и деформаций имеют вид
0 0
T 0 0
0
z
0
0
0
0
z , T 0
0
0,5 z .
0 0,5
0
0
z
При кручении моментом цилиндрического прутка в его поперечных сечениях возникают только касательные напряжения
z G G .
В случае упругого кручения касательные напряжения максимальны на периферии при R R и уменьшаются по линейному закону R R , обращаясь в нуль в центре сечения прутка
(рис. 95).
Рис. 95. Распределение касательных напряжений при упругой деформации
Действуя на кольцевую площадку dF 2 d , они создают
элементарный момент относительно оси, равный
dM 2 2 d .
Тогда крутящий момент в упругой области равен
R
R
0
0
M y 2 2 d 2
R 3
R 2 d R
CJ ,
R
2
(67)
269
где J – полярный момент инерции для круглого поперечного сечения:
J 0,5R4 .
R
При увеличении момента кручения касательное напряжение
достигает по условию пластичности Треска–Сен-Венана пре-
дельного значения
R T 0,5T ,
и в поверхностном слое прутка возникает пластическая деформация
(рис. 96). При дальнейшем увеличении М пластическая деформация
распространяется вглубь, достигая оси прутка. Величину радиуса С,
определяющего границу между упругой и пластической зонами,
легко найти по формуле 𝜏т = ԌθС, откуда С = 𝜏т ⁄( Ԍθ).
Рис. 96. Распределение напряжений при упругопластической деформации
Как видно из рис. 96, периферийные слои находятся в пластическом, а центральные – в упругом состоянии. Касательные напряжения распределены в поперечном сечении следующим образом:
T , R C ,
C T , C.
270
Крутящий момент складывается из крутящего момента в упругой области M y и крутящего момента в пластической области
M n . Полагая металл прутка неупрочняющимся, получим:
R
2
C3
.
T 2 d 2 T 2 d T R3
C
3
4
0
0
C
M M y M n 2
(68)
После снятия внешнего момента М (разгрузки) в прутке возникнут остаточные касательные напряжения
ост разг ,
(69)
вызывающие раскручивание прутка на угол (рис. 94). Момент
при упругой разгрузке равен
R
M разг 2 разг
0
2
R3
.
d разг
К
2
Из условия равенства суммы моментов нагрузки и разгрузки
нулю M M разг 0 находим максимальное касательное напряжение разг :
разг
R 3 2
C3
0,
T R 3
2
3
4
Откуда
разг
4 1 C3
.
T 1
3 4 R 3
Согласно формуле (65) распределение остаточных касательных напряжений имеет вид
4 C 3
, при С R ,
ост T 1 1
R3
3 R
271
4 C 3
, при 0 C .
ост T 1
R3
C 3 R
Из рис. 97 видно, что остаточные касательные напряжения отрицательны на внешней части поперечного сечения прутка и положительны во внутренней части, поскольку являются самоуравновешивающимися.
Рис. 97. Распределение остаточных касательных напряжений
Угол упругой раскрутки найдем из уравнения
M
.
GJ p
После подстановки (68) в (70) имеем
4T 3 1 3 4 C 1 C 3
.
R C 1
4 3 R 4 R 3
3GR 4
Остаточный угол кручения
4 C 1 C 3
1
.
1
3
3 R 4 R
272
(70)
4.9 Постулат Друкера
Согласно постулату Друкера в цикле нагружения-разгрузки
добавочные напряжения выполняют положительную работу, если
имели пластические деформации. Покажем это.
Рис. 98. К иллюстрации постулата Друккера
Произведем простое нагружение образца растяжением до
точки A A T , затем разгрузку его до точки В (рис. 96). Это состояние примем за начальное. Далее произведем нагружение по линии ВА. Точка А лежит на кривой упрочнения, так что ей соответствует начало пластического состояния. Из точки А произведем бесконечно малое догружение на величину d до точки С, вызывающее приращение пластической деформации dn . Наконец, произведем разгрузку до начального напряжения B в точке D. Удельная
работа пластической деформации в цикле нагружения-разгрузки
BACD равна сумме площадей параллелограмма и криволинейного
треугольника ACF, следовательно
A B dn 0,
ddn 0.
(71)
273
Таким образом, за цикл нагружения и разгрузки добавочные
напряжения выполняют положительную работу на вызванных ими
деформациях. В уравнения (71) входят только приращения пластической деформации, так как работа добавочных напряжений на приращениях упругой деформации в замкнутом по нагружению цикле
равна нулю.
В случае объемного напряженного состояния напряжения в
начальном состоянии в точке В обозначим через ij0 (рис. 99).
Рис. 99. К обоснованию выпуклости поверхности нагружения
Произведем нагружение в упругой области по линии ВА. Точка
А лежит на поверхности T , соответствующей началу пластического течения. Из точки А произведем бесконечно малое догружение dij до точки С (вектор AC ), что вызовет пластическую деформацию dijn . Вернемся теперь в точку В. Согласно постулату
Друкера за весь цикл нагружения и разгрузки ВАСВ добавочные
напряжения ij ij0 и dij выполняют положительную работу,
если имели место пластические деформации
ij
ij0 dijn 0,
dij dijn 0.
274
Из постулата Друкера следует, что поверхность нагружения
является выпуклой, а вектор, изображающий приращение пластических деформаций, dijn направлен по нормали к ней.
4.10 Ассоциированный закон течения
Как только возникают пластические деформации, определяющие уравнения теории упругости перестают быть верными. В силу
того, что пластическая деформация зависит от истории нагружения
материала, в теории пластичности соотношения между напряжениями и деформациями очень часто формулируется через приращения
деформаций
dij dijy dijn .
Для вывода уравнений, связывающих приращения компонент
деформации с компонентами напряжений, применяется ассоциированный закон течения.
Компоненты приращения пластической деформации являются
функциями компонент напряжений. Поэтому приращение работы
пластической деформации ij dijn также является функцией компонент напряжений. Однако они не являются независимыми, так как
удовлетворяют условию пластичности F ij K . Поэтому условие
максимума функции приращения работы пластической деформации ij dijn по способу множителя Лагранжа запишется в виде
ij d ijn dF 0 ,
ij
где d – множитель Лагранжа. Отсюда следует:
dijn d
F
.
ij
(72)
275
Это соотношение является математическим выражением ассоциированного (с условием пластичности) закона течения.
Поясним полученный результат геометрически. Из соотношения
(71) следует, что скалярное произведение двух векторов ij ij0 и
dijn положительно, т.е. угол между ними острый (рис. 100).
Рис. 100. Геометрический образ ассоциированного (с условием пластичности)
закона течения
Так как точка В может быть взята по обе стороны от вектора
ij , то поверхность нагружения выпукла, а вектор приращения
пластической деформации d ijn направлен по нормали к поверхности нагружения. Только при выполнении этих двух условий угол
между векторами ij ij0 и dijn будет острым.
Поскольку направляющие косинусы нормали к поверхности
пропорциональны частным производным от уравнения поверхности по координатам, приходим к соотношению (72).
276
4.11 Теория малых упругопластических деформаций
Эта теория, разработанная А.А. Ильюшиным, устанавливает
связь между напряжениями и деформациями и применима при
условии простого нагружения. Деформации являются достаточно
малыми, так что квадратами и произведениями их можно пренебречь. Кроме того, деформации являются упругопластическими,
когда в одних частях тела возникают только упругие, в других –
пластические деформации.
В основе теории лежат следующие гипотезы:
1. Объемная деформация элемента тела всегда является упругой и связана со средним напряжением такой же зависимостью, как
и при упругой деформации:
ср К или ср 3Кср .
Часто твердое тело полагают несжимаемым, тогда
x y z ср 0 .
2. Девиаторы напряжений и деформаций совпадают с точностью до постоянного множителя (подобны между собой):
D D .
В развернутом виде:
1
x ср x ср , xy xy ,
2
1
y ср y ср , yz yz ,
2
1
z ср z ср , zx zx .
2
Воспользовавшись этими соотношениями, выразим параметр
через интенсивности напряжений и деформаций i и i :
277
i
1
2
2
Откуда
y y z
2
x
y y z
2
x
2
2
x
2
z
x 6 2xy 2yz 2zx
2
z
3 2
3
xy 2yz 2zx i .
2
2
2 i
.
3 i
После подстановки связь между напряжениями и деформациями имеет вид:
2 i
x ср
x ср , xy i xy ,
3 i
3 i
y ср
i
2 i
yz ,
y ср , yz
3 i
3 i
z ср
2 i
z ср , zx i zx .
3 i
3i
Это и есть физические уравнения теории малых упругопластических деформаций. Они играют такую же роль, как уравнения
обобщенного закона Гука в упругой области, но в отличие от последних, они являются нелинейными.
Когда пластически деформированное тело предполагается несжимаемым, то уравнения примут вид:
278
x
3 i
х ср , xy 3 i xy ,
2 i
i
y
3 i
y ср , yz 3 i yz ,
2 i
i
z
3 i
z ср , zx 3 i zx .
2 i
i
3. Интенсивность напряжений i является для заданного материала вполне определенной функцией от интенсивности деформаций , i i .
Вид этой функции определяется механическими свойствами
материала и не зависят от вида напряженного состояния. Функция
i i действительна как для упругой, так и пластической об-
ласти (гипотеза единой кривой). Кривую i Ei строят на основании опытных данных при простом растяжении.
Теория располагает тремя дифференциальными уравнениями
статического равновесия, являющимися едиными для упругой и
пластической области:
ij
0.
x j
Шестью геометрическими уравнениями Коши:
ij
1 U j U i
2 xi
x j
.
Шестью физическими уравнениями:
2 i
D
D .
3 i
Уравнением для расчета i и зависимостью i i .
Всего имеем 17 уравнений с 17 неизвестными U i ,ij , ij , i , i .
Решение задачи будет такое, когда для каждой точки деформированного тела удовлетворяются все уравнения. Кроме того, на границе тела должны быть выполнены контурные условия:
S k kj n j .
Экспериментальные исследования подтверждают адекватность теории малых упругопластических деформаций (рис. 101).
279
Рис. 101. Проверка адекватности теории
Решение задач пластичности по теории малых упругопластических деформаций, как и задач упругости, можно получить двумя
основными методами: в перемещениях или в напряжениях.
В плоских и осесимметричных задачах число уравнений заметно уменьшается. Например, при плоском напряженном состоянии их будет восемь:
yx y
x xy
0,
0,
x
y
x
y
2
2
2 x y xy
2
,
xy
y 2
x
x ср
2 i
x ,
3 i
xy
i
280
2
3
x
y
2
y
y ср
2 i
y ,
3 i
i
xy ,
3i
z
2
i i .
x
2
z
3 2
xy ,
2
4.12 Теория пластического течения
Теория пластического течения устанавливает связь между бесконечно малыми приращениями пластической деформации и
напряжениями.
Теория основывается на следующих гипотезах:
1. Соблюдается объемный закон Гука:
1
31 2
cр
ср
cр .
3К
Е
2. Полные приращения компонент деформации равные сумме
приращений упругих и пластических деформаций, т.е.
y
d x d xy d nx , d xy d xy
d nxy .
Индексы y и n означают соответственно упругую и пластическую деформации.
Девиатор приращений пластических деформаций имеет вид
n
d x
1
d nyx
2
1
n
d zx
2
1
d nxz
2
1
n
Dd n
d y
d nyz .
2
1
d nzy
d nz
2
3. Компоненты девиатора приращений пластических деформаций и девиатора напряжений равны с точностью до бесконечно малого скалярного множителя d :
1
d nxy
2
Dd n dD .
В развернутом виде это равенство записывается так:
1 n
dnx d x ср ,
d xy d xy ,
2
dny d y ср ,
1 n
d yz d yz ,
2
281
1 n
d zx d zx .
2
Воспользовавшись этими соотношениями, выразим параметр
dnz d z ср ,
n
d через интенсивности i и di (интенсивности приращений
пластической деформации):
d
3 din
.
2 i
Тогда физические уравнения примут вид
d nx
3 din
d n
x ср , d nxy 3 i xy ,
2 i
i
d ny
3 din
d n
y ср , d nyz 3 i yz , (73)
2 i
i
d nz
3 din
d n
z ср , d nzx 3 i zx .
2 i
i
В сокращенной тензорной записи зависимости между упругими деформациями и напряжениями в соответствии с обобщенным
законом Гука имеют вид
ij
1
3
ij ij
ср .
2G
1
Тогда приращения компонентов упругих деформаций
d ijy
1
3
dij ij
d ср .
2G
1
Добавляя их к компонентам приращения пластических деформаций, получаем компоненты приращения полных деформаций, записанных в координатной форме
282
n
1
3 d i
d x d x d y d z
x ср ,
E
2 i
d xy
d xy
d in
3
xy ,
G
i
d y
d yz
d z
d zx
n
1
3 d i
d y d z d x
y ср ,
E
2 i
d yz
G
3
(74)
d in
yz ,
i
n
1
3 d i
d z d y d x
z ср ,
E
2 i
d zx
d n
3 i zx .
G
i
Эти уравнения являются основными уравнениями теории течения. Для случая плоской деформации были предложены Прандтлем
и общего случая – Рейссом. Поэтому иногда их называют уравнениями Прандтля-Рейсса.
Если приращения пластических деформаций велики по сравнению с приращениями упругих деформаций, то с последними по
сравнению с первыми можно пренебречь и уравнения (74) принимают вид (73). В соответствии с первой гипотезой отсюда следует
равенство:
n
d ср
d nx d ny d nz 0.
Это условие можно интерпретировать как несжимаемость материала в пластическом состоянии.
4. Соотношение между параметром упрочнения и интенсивностью i не зависит от конкретного вида напряженного состояния.
283
Возьмем в качестве параметра упрочнения параметр Удквиста
q din .
Тогда
i q din .
Интенсивность напряжений i является функцией параметра
Удквиста, не зависящей от вида напряженного состояния. Найдем
эту зависимость, воспользовавшись диаграммой, полученной при
простом растяжении металла (рис. 102).
При одноосном растяжении имеем
n
n
i 1 , d i d .
По отношению к чисто пластическим деформациям материал
несжимаем, поэтому
d n2 d 3n
d1n
.
2
Тогда
q din n , in n , din d n .
Теперь график зависимости n нетрудно построить по диаграмме растяжения, для чего в любой точке ее нужно найти величину упругой деформации y (рис. 102).
Построенная таким образом кривая и является графиком функции
.
n
i
Уравнения теории пластического течения оказываются значительно сложнее уравнений теории малых упругопластических деформаций. При простом нагружении эти теории дают одинаковые
решения. В случае сложного нагружения результаты, полученные с
284
помощью теории пластического течения, лучше согласуются с экспериментальными данными, и поэтому эта теория находит применение при решении задач в случаях сложных нагружений.
Рис. 102. Диаграмма растяжения упрочняемого металла
4.13 Теория Сен-Венана-Леви-Мизеса
Теория Сен-Венана-Леви-Мизеса относится к группе теорий
течения и устанавливает конечные зависимости между напряжениями и компонентами тензора скоростей деформаций. Для плоской
задачи основные уравнения получены Сен-Венаном (1871), для пространственного случая – Леви, а затем Мизесом.
Основные гипотезы теории:
1. Главные оси напряжений совпадают с главными осями
скоростей деформаций
D 2D ,
где 𝜆 – модуль пластичности, величина переменная и неизвестная.
В развернутом виде физические уравнения
x ср 2 x ср , xy xy ,
у ср
z ср
2
2
y
ср
z
ср
,
,
yz yz ,
zx zx .
285
2. В пластической области выполняется условие несжимаемости
x y z
0 или x y z 3ср 0 .
x
y
z
3. Интенсивность нормальных (или касательных) напряжений
постоянна в состоянии текучести:
2
T const ,
3
или есть для каждого материала функция интенсивности скоростей
деформаций (или интенсивности скоростей деформации сдвига):
i i или i f i ,
i T const , i
1
2
2
2
x y y z z x 6 2xy 2yz 2zx T .
2
Модуль получается следующим образом. Подставим в выражение i значения физических уравнений, выраженных через
i
разность напряжений:
2
2
i
x y y z
2
Откуда
2
z
2
x 6 2xy 2yz 2zx .
1 i
.
3 i
Напряжения должны удовлетворять уравнениям движения
сплошной среды:
ij
xi i .
x j
t
4.14 Выводы
В процессах пластического деформирования металлов при расчетах напряженно-деформированного состояния важно знать внешние
286
нагрузки, при которых в деформируемом теле впервые появляются
пластические деформации. Условие, которому должны удовлетворять
напряжения в заданной точке тела, чтобы в ней появились пластические деформации, называется условием (критерием) пластичности.
При линейном напряженном состоянии условие пластичности
имеет вид 1 T . При сложном напряженном состоянии по предложению французских ученых Треска и Сен-Венана металл переходит в пластическое состояние тогда, когда в нем наибольшее касательное напряжение достигает некоторого предельного значения
max T . Мизес и Генки в качестве условия пластичности предложили условие постоянства интенсивности напряжений (энергии
формоизменения) i T . Практика показала, что оба условия пластичности близки между собой и довольно правильно определяют
начало пластической деформации, причем условие пластичности
Мизеса оказывается более точным. Оба условия пластичности
Треска-Сен-Венана и Мизеса (часто называемое энергетическим)
принимают, что наступление пластичности не зависит от среднего
напряжения и схемы напряженного состояния, а определяется механическими свойствами деформируемого металла.
При исследовании пластической деформации тела огромное
значение имеет характер нагружения тела. При простом нагружении в каждой точке тела внешние силы и напряжения возрастают
пропорционально одному и тому же параметру. В противном случае нагружение будет сложным. Согласно теореме А.А. Ильюшина
при простом нагружении для несжимаемого материала интенсивности напряжений и деформации связаны между собой степенной зависимостью вида i Ain .
При объемном напряженном состоянии поверхность нагружения является границей между упругими и пластическими деформациями. С увеличением пластической деформации по мере развития
287
упрочнения поверхность нагружения расширяется и смещается.
Расширение поверхности нагружения есть следствие упрочнения
металла при пластической деформации. Смещение поверхности
нагружения относительно начала координат есть следствие эффекта Баушингера. Поверхность нагружения является выпуклой, а
вектор, изображающий приращение пластических деформаций
dijn , направлен по нормали к ней. Согласно постулату Друкера в
цикле нагружения-разгрузки добавочные напряжения выполняют
положительную работу.
При разгрузке тела (снятие внешних сил) деформация частицы
происходит благодаря накопленной ею упругой потенциальной
энергии. После полной разгрузки, когда внешние силы уменьшаются до нуля, в теле будут остаточные напряжения ijост и остаточные деформации ijост , определяемые по теореме о разгрузке, предложенной А.А. Ильюшиным.
Теории пластичности могут быть условно отнесены к двум типам: деформационным теориям и теориям пластического течения.
В теориях первого типа при построении физических уравнений
устанавливается связь между напряжениями и деформациями, в
теориях пластического течения – связь между бесконечно малыми
приращениями компонент пластической деформации и напряжениями. Отсюда видна принципиальная разница между указанными
теориями. В деформационных теориях физические уравнения являются конечными нелинейными соотношениями, в теориях пластического течения – дифференциальными. Одной из теорий деформационного типа является теория малых упругопластических деформаций.Примером теории пластического течения является теория
Сен-Венана-Леви-Мизеса.
288
4.15 Задания для самоконтроля
1. Запишите условие пластичности для одноосного растяжения, чистого сдвига.
2. Перечислите требования, предъявляемые к критериям пластичности.
3. Какие пределы текучести Вы знаете? Какова между ними
связь по условию пластичности Треска, Мизеса?
4. Сформулируйте условие пластичности Треска-Сен-Венана
для объемного напряженного состояния.
5. Что собой представляет геометрическая интерпретация
условия пластичности Треска-Сен-Венана?
6. Запишите условие пластичности Треска-Сен-Венана для
плоского напряженного и плоского деформированного состояний.
7. Опишите кривую текучести для плоского напряженного состояния в главных осях по условию пластичности Треска-Сен-Венана.
8. Запишите условие Мизеса для объемного напряженного состояния в произвольных осях.
9. Почему условие пластичности Мизеса часто называют энергетическим?
10. Запишите энергетическое условие пластичности для плоского напряженного и плоского деформированного состояний.
11. При каких напряженных состояниях энергетическое условие пластичности и условие пластичности Треска-Сен-Венана совпадают? Когда между ними наибольшая разница?
12. Дайте геометрическую интерпретацию условия пластичности Мизеса в главных осях для объемного напряженного и плоского напряженного состояний.
13. Какая связь между T и T по энергетическому условию
пластичности?
289
14. Насколько значительно влияние среднего главного нормального напряжения 2 на наступление пластического состояния?
15. Как проверяют условия пластичности?
16. Как получить линейную форму записи энергетического
условия пластичности?
17. Как выглядит график изменения коэффициента Лоде в зависимости от показателя вида напряженного состояния?
18. Что представляют собой Р+М-опыты?
19. Почему в результате обработки давлением поликристаллические металлы становятся анизотропными материалами?
20. Опишите природу деформационной анизотропии.
21. Запишите энергетическое условие начала пластичности
для анизотропных материалов, предложенное Мизесом.
22. Какую расшифровку условия Мизеса для анизотропных
тел сделал Хилл?
23. Как выглядит условие пластичности для анизотропных
сред, предложенное Ю.М. Арышенским?
24. Что представляют собой коэффициенты ij в пластической
области? Как они взаимосвязаны между собой для несжимаемых тел?
25. Дайте геометрическую интерпретацию энергетического
условия пластичности для анизотропных сред при плоском напряженном состоянии.
26. Что такое начальный и текущий пределы текучести? Укажите критерий нагружения и разгрузки при одноосном растяжении.
27. Что такое поверхность нагружения? Что она представляет
собой для случая изотропного упрочнения, если следовать условиям пластичности Треска-Сен-Венана и Мизеса?
28. Какие параметры берут в качестве меры упрочнения?
29. Опишите трансляционное упрочнение.
290
30. Чем объясняется расширение и смещение поверхности
нагружения в процессе деформаций?
31. Сформулируйте теорему А.А. Ильюшина о простом нагружении.
32. При какой модели упрочнения металла качественно описывается эффект Баушингера?
33. В чем состоит идея гипотезы «единой кривой»?
34. Сформулируйте теорему А.А. Ильюшина о разгрузке для
случаев полной и частичной разгрузки (когда внешние силы уменьшаются не до нуля).
35. При кручении круглого прутка все поперечное сечение перешло в идеально пластическое состояние. Привести эпюры действующих и остаточных касательных напряжений.
36. Почему отсутствует однозначная связь между пластическими деформациями и напряжениями?
37. Дайте определение постулата Друкера для упрочняющейся и не упрочняющейся пластической среды в случае линейного
и объемного напряженных состояний.
38. Сформулируйте ассоциированный закон течения.
39. Как направлен вектор dijn к поверхности нагружения?
40. Докажите выпуклость поверхностей текучести и нагружения.
41. Назовите основные гипотезы теории течения.
42. Как получить связь между напряженным и деформированным состояниями в теории течения?
43. Запишите физические уравнения теории Сен-ВенанаЛеви-Мизеса.
44. Какие теории целесообразно использовать при простом
нагружении, сложном нагружении?
45. Основные предпосылки теории малых упругопластических деформаций.
291
46. В каких случаях расчеты напряженно-деформированного
состояния по различным теориям пластичности совпадают?
47. Перечислите основные уравнения теории малых упругопластических деформаций, теории пластического течения.
4.16 Задачи и упражнения
1. Записать условие пластичности ортотропной среды для случая плоского напряженного и плоского деформированного состояний, используя выражение i1 .
2. Произвести те же действия, что и в задаче 1, для трансверсального изотропного тела.
3. Энергетическое условие пластичности изотропного тела, записанное в главных осях, разрешить относительно 3 . Затем, используя данные таблицы и принимая условно у всех сплавов
12 21 0 , определить, какие сжимающие или растягивающие
напряжения 3 необходимо приложить, чтобы материал перешел в
пластическое состояние.
Материал
МА-8
ВТ 1-2
ОТ4 -1
ОХ18Н9Т
08КП
Л62
1 , МПа
2 , МПа
3 , МПа
12
21
150
350
300
220
200
90
50
-150
-100
-40
50
-60
190
480
560
250
240
110
0,66
0,72
0,8
0,43
0,68
0,45
0,58
0,65
0,72
0,43
0,57
0,47
4. Аналогично задания 3 рассмотреть трансверсально-изотропное тело, считая плоскостью изотропии плоскость 1-2. В данных таблицы значение 21 условно принять равным 12 .
По результатам решения 2, 3 и 4 оценить влияние анизотропии.
292
5. В некоторой точке тела материал испытывает напряженное
состояние, при котором 3 1 2 0 . Исходя из энергетического условия пластичности определить, при каких числовых значениях тело перейдет в пластическое состояние.
Рассмотреть три случая:
а) среда изотропная S 300 МПа;
б) сплав трансверсально-изотропный (например, ОХ18Н9Т);
в) сплав ортотропный (например, МА-8).
6. Стальной изотропный тонкостенный цилиндр находится
под действием внутреннего давления p1 . Найти его величину из
условия, что в металле впервые появилось пластическое состояние.
Используя выведенную формулу, определить значение p1 ,
если r1 50 мм, r2 150 мм, а S 700 МПа.
7. В случае цилиндрической анизотропии напряжения в толстостенных цилиндрах рассчитывают по формулам:
p1C k 1 p2
1 C 2 k r2
p1C k 1 p2
1 C 2k
r2
k 1
k 1
p1 p2C k 1 r2
1 C 2 k
p1 p2 C k 1 r2
1 C 2 k
k 1
,
k 1
,
где
C
r1 k
,
r2
E
.
E
Принимая для стали k 1,1 и используя условие пластичности
в виде
S1
1 1221
12 0,62, 21 0,5 ,
получить величины, заданные в задаче 6.
293
8. В задаче 6 принять, что действует не только внутреннее, но
и наружное давление:
а) p2 0,5 p1 ; б) p2 p1 .
Что произойдет с цилиндром, если p2 p1 ?
9. Напряженное состояние в точке тела задано в виде тензора
100 100 0
T 100 300 200 .
0 200 200
Принимая S 800 МПа, выяснить, в упругом или пластическом состоянии находится точка изотропной среды.
10. Напряжения в некоторой точке изотропного тела:
1 88 МПа, 2 80 МПа, 3 157 МПа. Может ли металл с
пределом текучести S 196 МПа находится в упругом состоянии?
11. Напряжение в данной точке изотропного тела:
1 30 МПа, 2 20 МПа, 3 40 МПа. Каким пределом текучести должен обладать металл, чтобы при заданных напряжениях
находиться в упругом состоянии?
12. Под действием напряжений 1 50 МПа, 2 10 МПа,
3 20 МПа изотропный металл, согласно условию максимальных касательных напряжений, оказался на пределе текучести. Какова величина предела текучести?
13. Записать условие пластичности максимальных касательных напряжений для плоского напряженного состояния z 0 и
дать его геометрическую интерпретацию.
14. Записать энергетическое условие пластичности для случая
плоского напряженного состояния z 0 и дать его геометрическую интерпретацию.
294
15. Стальной толстостенный цилиндр находится под действием внутреннего давления p1 . Определить предел пластического сопротивления, т.е. то наименьшее давление p1 , при котором
весь металл перейдет в пластическое состояние (тело принять изотропным). Для численного решения использовать данные задачи 6.
16. Определить предел текучести пластического сопротивления стального цилиндра в случае цилиндрической анизотропии.
Для численного решения использовать данные, приведенные в задаче 8.
17. В задаче 15 изменить условие, считая, что действует и
наружное давление p2 . Рассмотреть два случая: p2 0,5 p1 и
p2 p1 .
18. На поверхность листа из сплава ОТ4-1 (см. табл. к задаче
3) была нанесена координатная сетка в виде кругов d 10 мм. После
деформации листа круги сетки превратились в эллипсы с размерами
главных осей 2а = 11 мм и 2b = 9,6 мм. Кривая истинных напряжений аппроксимируется степенной функцией i kein , где k и n –
константы материала. В данном случае n = 0,116, a k = 940 МПа.
Считая, что главные оси деформации совпадают с осями эллипса,
определить значение компонент напряжений и деформаций ( 3
принять равным нулю). Как изменяются полученные результаты,
если не учитывать анизотропию материала?
19. Известно, что при гидростатическом выпучивании листовых материалов в виде лунки 1 2 . Провести сравнение интенсивности деформаций и напряжений изотропного материала, трансверсально-изотропного сплава (например, ОХ18Н9Т) и одного из ортотропных листов. Данные по коэффициенту поперечной деформации
взять из таблицы (задача 3).
20. Определить значение коэффициента Лоде для материалов, указанных в таблице (задача 3).
295
Рассмотреть случаи, когда 0, 1, 1 .
21. Найти связь между напряжениями и деформациями в пластической области, когда z 0 . Рассмотреть три случая:
а) материал принять изотропным;
б) тело является трансверсально-изотропным;
в) среда – ортотропная.
Упрочнение материала аппроксимировано степенной функцией i kin .
22. Длинная толстостенная труба находится под давлением.
Определить напряженно-деформированное состояние и размеры
трубы после деформации, если известно:
а) внутреннее давление р1 (р2 = 0);
б) внешнее давление р2 (р1 = 0).
Материал трубы (несжимаемый) последовательно принять
изотропным, трансверсально-изотропным и ортотропным. Упрочнение принять по степенному закону.
296
ГЛАВА 5 ВНЕШНЕЕ ТРЕНИЕ ПРИ ПЛАСТИЧЕСКОМ
ДЕФОРМИРОВАНИИ МЕТАЛЛОВ
5.1 Понятие внешнего трения
Внешнее трение – это механическое взаимодействие двух тел,
инструмента и заготовки, препятствующее их относительному перемещению в плоскости соприкосновения.
Рассмотрим силы взаимодействия элементов заготовки 𝑅3 и
инструмента 𝑅𝑢 на площадках ∆𝐹3 и ∆𝐹𝑢 . В общем случае эти равнодействующие силы направлены под углом α к нормали контакта
𝑛̅ (рис. 103). Касательная составляющая T силы взаимодействия R
называется силой трения. В соответствии с третьим законом Ньютона силе 𝑅3 , действующей на заготовку, соответствует такая же
сила 𝑅𝑢 , действующая на инструмент, нормальной силе 𝑁3 – нормальная сила 𝑁𝑢 .
Рис. 103. Силы взаимодействия между заготовкой и инструментом
297
Таким образом, на контактной поверхности ∆𝐹3 возникает сила
трения 𝑇3 , оказывающаяя сопротивление перемещению заготовки
относительно инструмента. На контактной поверхности 𝐹𝑢 возникает сила трения 𝑇𝑢 активного действия, которая стремится увлечь
инструмент в направлении движения заготовки. Сила 𝑇3 влияет на
качество поверхности заготовки, а сила 𝑇𝑢 – на износ инструмента.
Силы трения относят к единице площади поверхности трения
τ𝑘 = lim
𝑇
∆𝐹→0 ∆𝐹
и называют контактным касательным напряжением.
При анализе силового режима и формоизменения заготовки
оперируют напряжением τ𝑘3 , действующим со стороны инструмента на заготовку. При анализе нагрузки на инструмент оперируют напряжением τ𝑘𝑢 , действующим со стороны заготовки на инструмент.
В механике различают два вида внешнего трения: скольжения
и качения. Для процессов пластического деформирования металлов
характерно внешнее трение скольжения. Его особенности:
1. Высокие давления на поверхности контакта 100 МПа и более. Для сравнения в узлах машин ~10 МПа.
2. При контакте двух тел, одно из них жесткое либо упругое,
другое – пластическое. Для сравнения в узлах машин оба тела жесткие.
5.2 Роль внешнего трения в процессах пластического
деформирования
В процессах пластического деформирования металлов роль
сил внешнего трения с точки зрения технологии может быть положительной и отрицательной.
Примером положительной роли внешнего трения является момент захвата полосы валками при прокатке. В месте контакта в зоне
входа полосы в очаг пластической деформации действуют силы
298
внешнего трения T, втягивающие полосу в зазор между вращающимися валками. Такие силы трения, направления которых совпадают
с направлениями деформирования, называют активными силами
трения (рис. 104). Для их увеличения на поверхность валков в ряде
случаев наносят насечки, увеличивающие их шероховатость. На выходе из очага пластической деформации действуют реактивные
силы трения, направленные в сторону противоположную деформации металла в валках. Эти силы являются примером отрицательной
роли внешнего трения, так как препятствуют свободному перемещению металла по поверхности инструмента.
Таким образом, реактивные силы 𝑇𝑝 – это силы тормозящие
скольжение металла, а 𝑇𝑎 – активные силы трения.
Рис. 104. Схема сил трения при прокатке полосы
Активное действие сил трения наблюдается и при волочении
трубы на длинной подвижной оправке (рис. 105). В этом случае
силы трения между трубой и оправкой 𝑇𝑎 направлены в сторону
299
движения труб и являются активными, а силы трения трубы в канале волоки 𝑇р направлены против движения и являются реактивными. Направление активных сил трения 𝑇𝑎 совпадает с направлением внешней силы P.
Рис. 105. Схема волочения труб на длинной подвижной оправке
Прессование с активными силами трения, совпадающие по
направлению с силой прессования Р преложено в России проф.
Я.М. Охрименко. В этом способе контейнер имеет большую скорость движения, чем металл заготовки.
Контактное трение ведет к возникновению неоднородности деформаций по объему заготовки, что отчетливо видно на примере
осадки цилиндрической заготовки на плоских бойках без смазки
(рис. 106). В этом случае все вертикальные сечения заготовки получают одинаковые деформации. Силы трения Т тормозят движение
слоев металла, примыкающих к бойкам в радиальном направлении.
Слои металла, удаленные от контактной поверхности, деформируются интенсивнее. В связи с этим цилиндрическая заготовка приобретает бочкообразный вид.
300
Рис. 106.Схема неравномерности деформации при осадке
Весь объем пластически деформируемой заготовки можно
условно разбить на три зоны деформации. Зона I состоит из двух областей «затрудненной» деформации, прилегающих к торцам заготовки. Зона II в осевом сечении заготовки имеет крестообразную
форму, в этой зоне наблюдается наиболее интенсивная пластическая
деформация. В зоне III интенсивность деформации больше, чем в
зоне I, но меньше, чем в зоне II. При осадке заготовок из малопластичных материалов в зоне III под воздействием окружных растягивающих напряжений возможно образование трещин, расположенных вдоль образующей.
Для оценки неравномерности деформации часто используют
коэффициент Кн = Ɛл/Ɛср, где Ɛл – относительная локальная деформация, Ɛср – средняя деформация по объему деформируемой заготовки.
Внешнее трение определяет напряженное состояние и сопротивление деформации металла. Контактные напряжения, суммируясь с основными напряжениями от внешней активной нагрузки,
формируют неравномерное поле напряжений по объему деформируемого тела и по поверхности контакта, значительно увеличивают
сопротивление деформации металла.
Увеличение усилия деформирования P бывает весьма заметным (рис. 107).
301
Рис. 107. Схема сил трения при прессовании прутков
Например, полное усилие прессования складывается из нескольких составляющих 𝑃 = 𝑅M + 𝑇M + 𝑇KP + 𝑇П , где 𝑅м – усилие
на осуществление пластической деформации без учета трения; 𝑇KP, 𝑇M, 𝑇П – усилия на преодоление сил трения, соответственно, на стенке контейнера, конуса матрицы и канала матрицы.
На преодоление сил трения затрачивается до 30-40 % от полного усилия прессования.
Контактное трение снижает стойкость инструмента в результате износа контактной поверхности и образует, например, при волочении на входе заготовки в волоку кольцо износа.
Из-за действия сил трения может измениться схема напряженного состояния. При осадке цилиндрических заготовок в плоских
бойках при отсутствии контактного трения имеет место линейная
схема напряженного состояния, при осадке с трением – объемная
схема напряженного состояния.
5.3 Виды внешнего трения
В физике взаимодействия тел принято различать три основных
вида внешнего трения скольжения: сухое, граничное и жидкостное.
302
Трение называется сухим, если поверхности деформируемого тела
и инструмента находятся во взаимном механическом контакте, свободны от третьих веществ и могут перемещаться в касательной к
ним плоскости, со скоростью V (рис. 108).
К третьим веществам относятся окислы обрабатываемого материала и инструмента, продукты износа, смазка и т.п.
В чистом виде такое трение при пластическом деформировании металлов встречается редко, так как имеются на поверхности
заготовок часто окислы, загрязнения, например, при горячей прокатке стальных полос в первых проходах.
Рис. 108. Схема сухого трения между заготовкой и инструментом
Сухое трение предусматривает непосредственный контакт инструмента и заготовки первоначально по вершинам выступов микронеровностей преимущественно заготовки. В процессе сухого трения в условиях больших контактных давлений возможно появление
узлов схватывания, разрушение выступов микронеровностей, увеличение площади контакта, ухудшение качества заготовки и повышенный износ инструмента.
Характерная отличительная черта сухого трения – наличие
значительной силы трения покоя в начальный момент скольжения.
303
Трение покоя – сила, возникающая между двумя контактирующими телами и препятствующая возникновению относительного
движения. Эту силу необходимо преодолеть для того, чтобы привести два контактирующих тела в движение друг относительно друга.
Возникает при микроперемещениях (например, при деформации)
контактирующих тел.
Трение называется граничным, если на поверхности трущихся
тел адсорбированы вещества, существенно отличающиеся свойствами от материалов инструмента и заготовки (рис. 109). Имеет
место зацепления шероховатостей поверхностей контакта.
Рис. 109. Схема граничного трения
Это наиболее часто встречающийся на практике при пластическом деформировании металлов вид трения, на основе применения
смазок. Смазки, содержащие поверхностно-активные вещества, адсорбируются на трущихся поверхностях, образуя прочные пленки.
Однако толщина смазки так мала, 106 104 мкм, что шероховатости заготовки и инструмента находятся во взаимном зацеплении, что прерывает местами смазочную пленку, образуя узлы схватывания.
Трение называется жидкостным, если между трущимися поверхностями имеется слой смазки толщиной 104 мкм (рис. 110).
Жидкостное трение – это внутреннее трение в объеме смазки.
304
Рис. 110. Схема жидкостного трения
Возможность создания жидкостного трения в процессах пластического деформирования обусловлена гидродинамическим эффектом смазки. В настоящее время оно нашло применение на практике при скоростном волочении проволоки (рис. 111).
В этом процессе сила трения T уменьшается на один-два порядка. С целью создания гидродимамического эффекта используют
конические волоки с углами α ≤ 30 ÷ 60 , специальные напорные
насадки, устанавливаемые перед волокой с зазором 0,1 0,2 мм и
большие скорости волочения V > 30 м/мин.
Термин «жидкостное» трение условен, так как смазка может
быть консистентной и даже твердой, например, парафин. Главное,
чтобы не происходило соприкосновения трущихся поверхностей.
5.4 Законы трения
Для теоретического анализа пластического деформирования
необходимо задать законы трения, по которым изменяются касательные напряжения на контактных поверхностях деформирующего инструмента и заготовки. Эти законы как правило входят в
число граничных условий.
305
Рис. 111. Схема волочения круглого прутка в режиме жидкостного трения
На контактное касательное напряжение трения к lim
F 0
T
F
влияет большое количество факторов:
к f к , , T , ,T , ,
где к – нормальное напряжение на контакте; σт (ε, ε̇ , 𝑇) – сопротивление металла деформации, зависящий от степени деформации 𝜀, скорости деформации ε̇ , температуры Т; υ – скорость скольжения металла по инструменту; α – характеристика физико-химического и механического состояния трущихся поверхностей.
Из-за сложности описания одновременного влияния на 𝜏к всех
перечисленных факторов на практике используют упрощенные законы трения, предложенные Г. Кулоном, Амонтоном, Зибелем,
Ньютоном, Левановым.
Первым, кто занимался трением, был Леонардо да Винчи
(1500 г.). Он установил, что трение зависит от вида контактируемых
материалов: медь-сталь, стекло-мел. Если компоненты одинаковые,
то сила трения может быть разной. Все зависит от того, какое тело
двигается. Если мел по стеклу − одна сила, если стекло по мелу −
другая сила трения. Сила трения, возникающая при контакте тела с
306
поверхностью другого тела, пропорциональна нагрузке, силе прижатия, направлена против направления движения и не зависит от
площади контакта.
В 1699 г. французский ученый Г. Амонтон предложил закон
сухого трения:
T = μ𝑃,
где Т – сила трения; 𝑃 – сила прижатия; μ – коэффициент трения.
В 1785 г. Ш. Кулон предложил молекулярную теорию трения
и вновь открыл закон Г. Амонтона:
T P A,
где А − сила молекулярного взаимодействия на площади контакта.
При 𝑃 = 0, Т = А. В практических расчетах пластического деформирования металлов А = 0, т.к. силы молекулярного взаимодействия
малы в сравнении с первым членом.
При переходе от сил к напряжениям закон Амонтона-Кулона
имеет вид:
k k .
(75)
Из формулы видно, что напряжение трения пропорционально
нормальному напряжению на поверхности контактирующих тел 𝜎к
и не зависит от сопротивления деформации металла. При расчетах
по формуле (75) следует помнить, что τк ≤ τТ , где τТ – сопротивление металла деформации сдвига.
Если принять гипотезу, что трение не зависит от величины
нормального напряжения σк , то его можно выразить в долях от величины σТ и τТ через фактор трения . Этот закон в такой постановке получил название закон Зибеля:
к T .
(76)
Закон формулируется так «Напряжение трения 𝜏к пропорционально среднему по области пластического деформирования сопротивлению деформации сдвига».
307
Области предположительного применения рассмотренных законов трения на практике можно отобразить экспериментальной зависимостью, предложенной Епифановым, приведенной на рис. 112.
Эту зависимость можно рассматривать как смешанный закон трения, представляющий комбинацию законов трения по Кулону и Зибелю.
Рис. 112. Диаграмма области применения законов трения
В области умеренных значений контактных напряжений 1
справедлив закон Амонтона-Кулона. В области 2 увеличение σк не
изменяет 𝜏𝑘 и оно остается постоянным 𝜏к ≤ 𝜏Т , поэтому справедлив закон трения по Зибелю.
Уравнение (75) целесообразно использовать при расчете ряда
операций холодной листовой штамповки, а также операций со
слабо выраженной схемой всестороннего сжатия при малых степенях деформации.
Уравнение(76) полезно использовать при исследовании процессов горячей деформации металлов с достаточно выраженным
всесторонним сжатием (горячая штамповка, прессование) и при
больших степенях деформации.
По закону трения Леванова, который является обобщением законов Кулона и Зибеля, касательные напряжения по контактирующей поверхности заготовки зависят от фактора трения , напряжения текучести материала заготовки T , нормального контактного
давления σк и коэффициента Леванова n.
308
n к
к T 1 e T
.
При определении сил жидкого трения, возникающих на контактных поверхностях, используют закон движения вязкой жидкости Ньютона:
к
dV
,
dn
dV
− градиент скорости в направdn
лении n, перпендикулярном действию напряжения τк .
Основная предпосылка динамики вязких жидкостей, установленная И. Ньютоном, − «положение о пропорциональности касательного напряжения, вызывающего перемещение одного слоя относительно другого, градиенту скорости в направлении, перпендикулярном относительному перемещению».
Силу трения по гипотезе жидкостного трения определяют по
формуле:
где η – коэффициент вязкости;
T
Fк
,
H
а касательное напряжение:
,
H
где υ − скорость скольжения; 𝛨 − толщина слоя смазки; 𝐹к − площадь поверхности контакта.
Пример использования законов трения при анализе процесса
листовой прокатки дан на рис. 113.
309
Рис. 113. Распределение контактных напряжений τк и σк в зонах:
I – скольжения, II – торможения, III – прилипания
Как видно из рисунка трение по поверхности контакта не постоянно, могут возникать различные условия взаимного перемещения
между металлом и инструментом: скольжения, торможения и прилипания. Для прокатки зона III – это зона прилипания, средние − зоны
торможения II, крайние участки – зоны скольжения I. Контактные
напряжения в этих зонах определяются следующими соотношениями.
Область скольжения. Металл скользит по поверхности инструмента. Контактные касательные напряжения увеличиваются по
экспоненте, что соответствует закону Амонтона-Кулона
к к .
Область торможения. В этом случае равновероятны как
скольжение металла на контакте с инструментом, так и сдвиги
внутри металла, по плоскостям, параллельным плоскости контакта.
Касательные напряжения постоянны, что соответствует закону Зибеля:
к T 0,5 ,
где σт – сопротивление метала деформации.
310
Область прилипания. Здесь отсутствует скольжение металла
по поверхности валка. Сдвиговые деформации идут внутри деформируемого тела. Касательные напряжения изменяются по линейному закону, проходя через ноль в нейтральном сечении очага пластической деформации:
к 0 ,5 Т
x
,
l
где 𝑥 – расстояние от точки α до нейтрального сечения; 𝑙 – протяженность зоны прилипания.
5.5 Основные факторы, влияющие на трение
На величину коэффициента трения на поверхности контакта
инструмента и деформируемого металла влияет ряд факторов:
состояние поверхностей инструмента и заготовки;
температура деформации;
скорость относительного скольжения;
характер приложения внешних сил;
наличие смазки.
Состояние поверхности рабочего инструмента определяется
качеством обработки поверхности и её износа в процессе эксплуатации. Чем меньше шероховатость рабочего инструмента (𝑅Α , 𝑅Ζ ),
тем меньше трение. Этот фактор используется довольно гибко. В
случае горячей прокатки, чтобы улучшить условия захвата металла
и увеличить обжатие, поверхность валков загрубляют, увеличивая
её шероховатость. При холодной прокатке наоборот, для снижения
давления металла на валки и сил трения, прокатные валки шлифуют. С другой стороны, шероховатость поверхности инструмента
способствует удержанию смазки и созданию режима, приближающегося к жидкостному трению. Поэтому стремиться к высокой чистоте поверхности инструмента нецелесообразно. Вид обработки
311
поверхности заготовки имеет значение лишь в начальный момент
деформации. При её дальнейшем развитии она сглаживается и становится отпечатком поверхности инструмента, его шероховатости.
Чем больше твердость материала инструмента, тем меньше величина коэффициента трения. Так при волочении проволоки
наибольший коэффициент трения наблюдается на стальных (У9),
меньший на твердосплавных (ВК 15) и ещё меньший на алмазных
волоках.
Температурa деформации при прокатке стали приводит к появлению окисных пленок на поверхности заготовки, увеличивающих
трение (первый экстремум) (рис. 114).
Рис. 114. Изменение коэффициента трения в зависимости от температуры
С дальнейшим нагревом окалина размягчается и играет роль
смазки. Второй экстремум связан с структурными изменениями в
окалине с образованием окислов Fe2O3, Fe3O4, FeO.
Скорость относительного скольжения при её увеличении коррелируется с снижением трения. Известно, что при штамповке на
молоте 3 5 м сек трение меньше, чем при штамповке на
прессе 0,3 0,5 м сек . Разнообразие факторов, влияющих на 𝜇,
нашло отражение в эмпирической формуле Бахтинова при листовой
прокатке стали.
K1K2 K3 1,05 0,0005 T ,
312
где K1 – коэффициент, учитывающий материал валков, K1 0,8 1,0;
К3 – марка прокатываемой стали, K3 = 1,0 – 1,6; K2 – скорость прокатки; T – температура нагрева заготовки.
Характер приложения внешних сил влияет на силовые условия
и характер формообразования. Например, применение вибрации
при осадке цилиндрических заготовок снижает деформирующее
усилие в 1,5 − 2 раза, волочение с противонатяжением уменьшает
величину нормальных контактных напряжений на 30−40%, что объясняется снижением сил трения.
Снизить энергосиловые параметры деформации и износ инструмента позволяет применение технологических смазок, которые
уменьшают трение скольжения, облегчают заполнение полости инструмента, создают разделительную прослойку, препятствующую
местному схватыванию, прилипанию деформируемого металла с
инструментом, сокращают потерю тепла заготовки и снижают
нагрев инструмента.
Смазки состоят из носителя (вода, минеральные масла, растительные и животные жиры и т.д.), активной части (графит, соль,
стекло, алюминиевая пудра, дисульфид молибдена и т.д.) и наполнителя (графит, тальк, мел, слюда, глина и т.д.).
Если смазка предназначена для инструмента, то её капля
должна приобретать форму IV (рис. 115) или II, что свидетельствует
о том, что смазка не склонна к выдавливанию и переходу на деформируемый металл. Формы капли I и III в этом отношении неудовлетворительны. При нанесении смазки на заготовку капля должна
приобретать форму I и II. Форма капли III свидетельствует о неограниченной способности смазки к выдавливанию.
Рис. 115. Формы капель смазки, наносимой на инструмент или заготовку
313
Правильно выбранная технологическая смазка позволяет значительно снизить величину коэффициента трения.
Смазка
Металл
Без смазки
Технический керосин
Al
0,30
0,20
Cu
0,36
0,26
Машинное масло
0,07
0,12
При горячем пластическом деформировании металлов наиболее распространенными являются водно-графитовые и графитомасляные смазки. Графит в виде суспензии находится в носителе −
воде, масле или летучих растворителях. Иногда к графито-масляной
смазке для увеличения ее эффективности добавляют активные составляющие (дисульфид молибдена, соль, смолу и т.д.), что придает
ей стабильность и повышенный температурный предел работоспособности.
При холодной обработке металлов давлением смазка должна
быть поверхностно активной, чтобы противостоять выжиманию
при больших контактных давлениях. Чем тоньше заготовка, тем более тонким должен быть слой смазки.
5.6 Определение коэффициентов трения
Трение является одним из важных параметров в технологических процессах деформирования металлов. Численное значение величины трения, выраженное в виде коэффициента (показателя) или
фактора трения, используется при расчетах для определения усилия
деформирования, работы и мощности пластической деформации,
дает представление о том, как течет металл и является наиболее распространенным показателем оценки эффективности технологических смазок в процессах пластического деформирования.
314
Все разработанные методы дают значения коэффициента трения, усредненные по контактной поверхности, и достоверные значения при условии скольжения.
Одним из известных экспериментальных методов определения
коэффициента трения в лабораторных условиях является метод
осадки кольцевых деформируемых заготовок, предложенный
М. Кокрофтом. Этот метод прост в осуществлении и пригоден для
различных материалов и температурно-скоростных условий. Применяется при определении коэффициента трения в процессах прессования, ковки, штамповки и др.
Сущность метода основана на зависимости изменения внутреннего диаметра кольца от коэффициента трения. При µ = 0 кольцо
расширяется, как сплошной диск, при значительном трении отверстие сужается. При проведении эксперимента берут цилиндрический образец с круглым отверстием. Образец изготавливают из деформируемого металла с соотношением размеров D0 = 2d0,
h0 = 2/3d0 (рис. 116).
Рис. 116. Образец для определения коэффициента трения
Испытуемая смазка наносится на образец или инструмент. Инструмент представляет собой плоские бойки, выполненные из того
же материала, что и деформирующий инструмент в реальном процессе. Далее образец осаживают в осевом направлении. Получаемая
315
форма деформируемого кольца определяется условиями контактного трения. Изменение внутреннего диаметра кольца в зависимости от конечной высоты образца h является высокочувствительным
показателем оценки сил трения и характеризуется степенью деформации по диаметру:
0
d0 d
100%,
d0
где d = 0,5(d1+d2).
Изменение высоты h – степенью деформации по высоте:
h
h0 h
100%.
h0
По расчетным значениям степени деформации по диаметру
ɛ𝑑 , высоте ɛℎ и тарировочному графику (рис. 117) разработанному
М. Кокрофтом, определяют расчетное значение коэффициента µ.
ɛ = ∆h/ℎ0 %
Рис. 117.Тарировочный график для оценки коэффициента трения
316
Коэффициент внешнего трения можно определить по результатам осаживаниям двух цилиндрических образцов с различным отношением d/h с одинаковой степенью деформации, используя закон
Зибеля, по уравнению:
1 2
,
d1 d 2
T
h1 h2
где
d
d
1 Т 1 1 , 2 Т 1 2 ,
h1
h2
d d
1 2 Т 1 2 .
h1 h2
Напряжения 1 и 2 находят по формулам:
1
Р1
Р
, 2 2 ,
F1
F2
где 𝑃1 и 𝑃2 – экспериментальные значения усилий осадки, 𝐹1 и 𝐹2 –
площади поперечных сечений заготовок.
Величину T определяют графическим способом как показано
на рис. 118.
Рис. 118. График для определения T
317
Правильно определить коэффициент трения можно только в
условиях рассматриваемых процессов пластического деформирования металлов давлением. Например, в процессе прокатки
И. М. Павловым предложен способ клещевого захвата при прокатке, в котором производится одновременное измерение силы
трения и нормальной силы при скольжении металла по инструменту (эти способы можно назвать прямыми). Образец зажимается
с одного конца клещами, соединенными цепью с измерителем усилия, и задается в валки. При вращении валков образец захватывается ими, натягивает цепь и передает силу трения Т на прибор; одновременно измеряется полное давление металла на валки Р. Коэффициент трения подсчитывают по формуле при условии действия закона трения по Кулону:
T
tan
2 ,
2P
T
1
tan
2P
2
где α – центральный угол между линией, соединяющей центры валков, и радиусом в точке соприкосновения металла с валком (угол
захвата).
Силы Т и Р должны быть измерены в начальный момент буксования, иначе произойдет истирание поверхности образца и валков, в результате чего коэффициент трения изменится.
5.7 Выводы
Все процессы пластического деформирования металлов осуществляют так, что на поверхностях контакта инструмента и деформируемой заготовки имеется трение, называемое внешним. При любом процессе пластической деформации наружные слои деформируемой заготовки перемещаются относительно поверхности инструмента.
318
Ни один технологический процесс пластического деформирования металлов давлением нельзя рассматривать без учета влияния
внешнего трения. Трение по поверхности контакта не постоянно,
могут возникать различные условия взаимного перемещения между
металлом и инструментом: скольжения, торможения и прилипания.
Под влиянием сил трения усилие деформации заметно возрастает. От величины сил трения зависит износ как инструмента, так и
заготовки, качество поверхности изделия. Вместе с тем ряд технологических процессов пластического деформирования невозможен,
если внешнее трение отсутствует.
Силы контактного трения с точки зрения технологии могут
быть положительными (активными), например, захват и перемещение при прокатке полосы и отрицательными (реактивными), например, при прессовании профилей.
Основным отличием контактного трения при пластическом деформировании от трения в кинематических парах машин является
то, что одно из тел деформируется упруго, а второе пластически.
При этом происходит непрерывное «обновление» поверхности контакта, приработка отсутствует.
Вредное влияние сил контактного трения проявляется в создании зон затрудненной деформации; неоднородности металла по
объему заготовки (различная степень упрочнения, различный размер зерна); увеличении деформирующих сил; снижении стойкости
инструмента (износ рабочей поверхности, нагрев); формировании
остаточных напряжений.
В процессах пластического деформирования металлов давлением из-за особенностей контактного взаимодействия обычно рассматривают три вида контактного трения: сухое, граничное и жидкостное.
При теоретическом анализе процессов пластического деформирования граничные условия на поверхности контакта задают законами трения Амонтона-Кулона, Зибеля и Ньютона.
319
К основным факторам, влияющим на величину контактного
трения относят: шероховатость поверхности инструмента, температура деформации, скорость скольжения, характер нагружения
внешними силами, технологические смазки. Чем меньше шероховатость и выше твердость инструмента, тем меньше трение. Скорость относительного скольжения при её увеличении коррелируется с снижением трения, а повышение температуры деформации
приводит к росту трения. При деформировании металла вибрационной нагрузкой трение уменьшается. Эффективно снижает трение
правильно подобранная технологическая смазка и деформирование
металла в режиме жидкостного трения.
5.8 Задания для самоконтроля
1. Приведите примеры положительной и отрицательной роли
внешнего (контактного) трения в процессах пластического деформирования.
2. Дайте определение внешнего контактного трения.
3. Начертите схему процесса волочения труб на длинной подвижной оправке и покажите на ней реактивные и активные силы
трения.
4. Нарисуйте график распределения касательных сил трения
при прокатке полосы/
5. Опишите состав технологических смазок для уменьшения
сил трения.
6. Перечислите отрицательные проявления контактного трения.
7. Назовите основные виды контактного трения.
8. Дайте характеристику сухого трения.
9. Назовите процессы, в которых может быть реализовано
жидкостное трение и каковы условия для его реализации?
10. Напишите формулу для определения контактных касательных напряжений при жидкостной смазке.
320
11. Нарисуйте схему реализации жидкостного трения при волочении.
12. Дайте характеристику граничного трения и условия его существования.
13. Запишите закон Амонтона-Кулона и поясните область его
использования.
14. Запишите формулу Зибеля для определения величины контактного трения и укажите область ее применения.
15. Перечислите факторы, влияющие на величину коэффициента трения в процессах пластического деформирования.
16. Какова роль контактного трения в процессах пластического деформировния металлов?
17. Какие зависимости используют для расчета сил трения?
18. В каких пределах изменяется коэффициент трения μ?
19. В каких пределах изменяется показатель трения Ψ?
20. Как влияет на величину показателя трения твердость металла инструмента?
21. Как влияет на величину показателя трения температура деформации и скорость скольжения металла по инструменту?
22. Виды смазок, применяемых при горячей и холодной обработке металлов давлением.
321
ГЛАВА 6 РАСЧЕТ УСИЛИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ
ПРИ ПЛАСТИЧЕКОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ МЕТАЛЛОВ
6.1 Основные положения расчета деформирующего усилия
В процессах пластического деформирования участвуют два
тела: инструмент и заготовка. Например, в процессе кузнечной протяжки воздействие инструмента (плоских бойков) на заготовку образует очаг пластической деформации (ОПД) (рис. 119). Он ограничен свободной поверхностью 1, поверхностями контакта с бойками
2 и границей внешнего участка заготовки 3.
Рис. 119. Схема процесса протяжки заготовки на плоских бойках
Взаимодействие инструмента и заготовки по поверхности контакта с точки зрения величины и направления удобно выражать активной силой Р. В теории пластического деформирования металлов
ее принято называть деформирующим усилием.
Вместо деформирующего усилия часто используют удельное
усилие (давление), которое рассчитывается как отношение полного
322
усилия Р к проекции контактной поверхности 𝐹к на плоскость, перпендикулярную направлению полного усилия р =P/𝐹к .
Для сравнительных расчетов пластической деформации заготовок из разных материалов целесообразно использовать безразмерные величины удельных усилий
р
,
σт
где σт – предел текучести
деформируемого металла.
Зная величину деформирующего усилия, можно выбрать требуемое оборудование, степень деформации заготовки за один переход, полную работу и энергию пластической деформации, рассчитать инструмент на прочность.
Для определения величины деформирующего усилия необходимо знать величину и распределение нормальных и касательных
напряжений на поверхности контакта заготовки и инструмента
(рис. 120).
a
б
Рис. 120. Схема деформации заготовки выпуклым инструментом
Пусть рабочая поверхность инструмента (штампа) АВ имеет
криволинейную форму. На контактной поверхности заготовки и
штампа известно распределение нормальных σ𝑛 и касательных τ𝑛
323
напряжений. Деформирующее усилие Р действует в направлении
движения верхнего инструмента.
Силой деформирования называют результирующую силу элементарных сил, действующих со стороны штампа на заготовку
(рис. 120, а).
Элементарными силами являются нормальные контактные
напряжения σ𝑛 и контактные касательные напряжения трения τ𝑛 ,
действующие по нормали и по касательной к элементу контактной
поверхности между штампом и заготовкой.
Выделим в окрестности точки С на контактной поверхности
АB бесконечно малый элемент с площадкой 𝑑𝐹к , в пределах которого σ𝑛 и τ𝑛 можно считать постоянными (рис. 120, б).
Тогда элементарная сила, действующая на этот элемент заготовки по нормали:
dPn n dFк .
Элементарная касательная сила:
dP ndFк .
Пусть верхняя половина штампа движется параллельно оси Z.
Проекция полной элементарной силы:
dP n dFк cos n dFкsin,
(77)
где α – угол между нормалью к элементу и осью OZ.
Так как dFz dFк cos и dFк dFк sin, – проекции dFx на
плоскости, перпендикулярные осям z и x. Тогда уравнение (77) примет вид:
dP n dFz n dFx .
(78)
Сравнение (77) и (78) показывает возможность замены проектирования внешних сил на некоторое направление проецирования
контактных поверхностей.
324
Для определения деформирующего усилия необходимо провести интегрирование уравнения (78). Получим:
Fz
Fx
0
0
P n dFz n dFx .
Часто τ𝑛 = 0 на конечных стадиях заполнения штампа металлом, поэтому:
Fz
P n dFz .
0
Уравнение в декартовых и цилиндрических координатах примет вид:
P n dxdy n dxdy ,
F
F
P ndd ndd.
F
F
Деформирующее усилие в зону пластической деформации может передаваться заготовке либо непосредственным контактом с
ней подвижного инструмента (рис. 119, 120), либо посредством
примыкающих пластически не деформируемых участков заготовки,
как, например, при волочении (рис. 121) круглых прутков.
Рис. 121. Схема процесса волочения прутков
Деформирующее усилие приложено к прутку на выходе из канала волоки.
325
6.2 Пример расчета деформирующего усилия
Определить выражение для расчета полного, удельного и безразмерного усилия при осадке длинномерной прямоугольной полосы с размерами а×h×l на плоских параллельных плитах (бойках)
в условиях плоской деформации.
Закон распределения на контактной поверхности нормального
напряжения имеет вид
2 a 2
x 2 ,
z T 1
ah 4
(79)
где β – коэффициент Лоде, для плоской деформации β = 1,15; μ –
коэффициент внешнего трения.
Рис. 122. Схема осадки прямоугольной длинномерной заготовки
на плоских параллельных плитах
На рис. 122 дана схема осадки длинномерной заготовки 1 в
плоских параллельных плитах 2. В связи с тем, что 𝑙 ≫ ℎ и
𝑙 ≫ 𝑎 деформация в направлении оси у принимается равной нулю.
Построим график распределения нормальных напряжений σZ
на контактной поверхности. Из анализа распределения σZ на контактной поверхности по формуле (79) следует, что при х = 0,5а
σZ = βσТ, при х = 0 σZ = βσТ (1+μа/2h). Эпюра распределения имеет
параболический характер.
326
При определении деформирующего усилия Р используем декартовую систему координат. Тогда
P z dxdy ,
Fк
где Fк – площадь контактной поверхности, Fк = аl.
Принимая условие симметрии процесса осадки относительно
оси Z, получим:
2 a 2
x 2 dx.
(80)
P 2 l0 dy 00 ,5aT 1
ah 4
После интегрирования выражения (80) формулы для расчета
деформирующего, удельного и безразмерного усилия примут соответственно вид:
1 a
P T FK 1
,
3 h
1 a
p T 1
,
3 h
p
1 a
1
.
T 3 h
Из анализа полученных формул видно, что чем больше коэффициент внешнего трения и отношение ширины к толщине, тем
больше усилие деформирования и удельное усилие, что качественно подтверждается практикой.
6.3 Метод совместного решения приближенных уравнений
равновесия и пластичности
Метод широко применяется в процессах пластического деформирования металлов для расчета усилий деформирования, работы
и расхода энергии.
327
6.3.1 Основные положения метода
Напряженно-деформированное состояние при деформировании заготовки рассматривают как плоское деформированное, либо
плоское напряженное, либо осесимметричное напряженное состояние. В случае сложности формы деформируемой заготовки ее разбивают условно на ряд объемов, на которые можно наложить условие осесимметричной или плоской задачи.
Плоское напряженное состояние широко применяется при анализе процессов листовой штамповки, например, во фланце при вытяжке детали из листового материала, при обжиме, раздаче и волочении тонкостенных труб.
В процессах пластического деформирования металлов примерами плоского деформированного состояния являются прокатка
широких тонких листов, когда ширина листа остается практически
постоянной (прокатка без уширения), длинномерный брус, подвергающийся осадке в направлении толщины.
При рассмотрении процессов пластического деформирования
металлов, таких как осадка цилиндрической заготовки, прессование
и волочение круглых прутков и труб, а также деформация круглой
толстостенной трубы, находящейся под равномерным наружным и
внутренним давлением, можно использовать осесимметричное
напряженное состояние.
При анализе осесимметричного напряженного состояния удобнее пользоваться цилиндрическими координатами R, θ, Z вместо декартовых Х, У, Z.
Дифференциальные уравнения равновесия для плоской задачи
по деформациям или напряжениям
x xz
0,
x
z
(80)
zx z
0.
x
z
328
и осесимметричной задачи:
z
z
z
0,
z z
0
z
(82)
упрощают принятием допущений:
– нормальные напряжения зависят только от одной координаты,
– зависимость касательных напряжений по соответствующей
координате принимают линейной.
Благодаря этим допущениям остается только одно дифференциальное уравнение равновесия. В нем вместо частных производных можно использовать обыкновенные производные.
Принятые допущения исключают возможность определения
напряжений в каждой точке деформируемого тела.
Распределение нормальных напряжений определяют только на
контактной поверхности заготовки и инструмента, что позволяет
затем произвести вычисление деформирующего усилия.
Условия пластичности принимают в форме, соответствующей
частным случаям объемного напряженно-деформируемого состояния.
При плоской деформации, плоском напряженном состоянии и
осесимметричной деформации приближенные условия пластичности имеют вид:
T или d d ,
z T или d dz ,
z T или d z d ,
(83)
x z T или dx dz .
329
В научно-технической литературе рассматриваемый метод
встречается под названиями «инженерный метод», «метод тонких
сечений», «гипотеза плоских сечений». Согласно последнему
названию плоские сечения, проведенные в очаге пластической деформации до деформации, остаются плоскими в течение всего процесса обработки металла.
6.3.2 Упрощенное уравнение равновесия
для плоского деформированного состояния
Рассмотрим осадку призматической полосы шириной 2b, высотой 2h, ограниченной длины между плоскими шероховатыми
плитами в декартовой системе координат (рис. 123). Начало координат расположено в центре поперечного сечения полосы. Так как
длина заготовки в направлении оси Y неограниченно велика, то деформированное состояние будет плоским, то есть ε𝑌 = 0. В этом
случае, во всех поперечных сечениях, перпендикулярных оси Y,
картина деформации будет одинаковая.
Рис. 123. Схема напряжений при осадке призматической полосы
между плоскими шероховатыми плитами
330
Вследствие симметрии поперечного сечения полосы относительно оси Z, определим напряжения только для правого участка
очага пластической деформации. Выделим в полосе в направлении
координаты X бесконечно малый объем толщиной dx двумя плоскостями, параллельными оси Z, расположенных на расстояниях x и
x+dx от начала координат. Длину этого элементарного объема в
направлении оси Y примем равной единице.
На выделенный элементарный объем действуют нормальные
напряжения σz, σх, σх + dσx и касательные напряжения τ𝐾 .
Согласно второму допущению, принимаем, что нормальные
напряжения σz, σх не зависят от координаты Z, то есть постоянны по
высоте по координате Z, а зависят только от координаты Х. Тогда
второе дифференциальное уравнение равновесия системы уравнений (81) тождественно обращается в нуль. Остается только первое
уравнение равновесия:
x xz
0.
x
z
Касательное напряжение τ𝑥𝑧 переменное по высоте полосы, на
контактной поверхности равно τК . На рисунке τК – это касательное
напряжение, обусловленное трением полосы об инструмент. Величина τ𝑥𝑧 уменьшается при удалении от контактной поверхности. На
средней высоте полосы τ𝑥𝑧 = 0. Примем, что τ𝑥𝑧 зависит от высоты
полосы линейно, то есть:
xz
K Z
.
h
Тогда
xz K
.
z
h
331
xz
в первое уравнение системы (81) поz
лучаем приближенное уравнение равновесия, выраженное через
обыкновенную производную:
После подстановки
d x K
0.
dx
h
Это уравнение можно легко получить непосредственно из
условия равновесия выделенного элемента толщиной dx на рис. 121.
Сумма всех сил, действующих на выделенный элемент на ось Х
равна 0, то есть
x 2h x dx 2h 2K dx 0.
Тогда
d x K
0.
dx
h
6.3.3 Упрощенное уравнение равновесия
для осесимметричного напряженного состояния
В качестве примера получения упрощенного уравнения равновесия рассмотрим задачу по осадке цилиндрической заготовки под
плоскими шероховатыми плитами (рис. 124). Используем цилиндрическую систему координат (ρ, θ, z). Начало координат возьмем
на пересечении осей симметрии очага пластической деформации.
Так как задача осесимметричная и все направления по координате
θ равноправны, то компоненты напряжений не зависят от координаты θ. Уравнения равновесия имеют вид (82). Согласно гипотезе
тонких сечений выделим в очаге деформации элементарный кольцевой слой толщиной dρ. На этот слой действуют радиальные и осевые напряжения σρ , σ𝑧 , не зависящие от координаты z, и касательные напряжения τ𝐾 .
332
Касательные напряжения τρZ, вызванные трением на контактной поверхности не зависят от координаты ρ, так как трение в этом
направлении постоянно и изотропно, изменяется по линейному закону в зависимости от координаты z
z
2 z K
.
h
Рис. 124. Расчетная схема при осадке цилиндрической заготовки
Тогда в уравнениях равновесия (82), согласно принятым допущениям:
d
z
0,
,
z
d
z
z 2 K
0,
z
h
Окончательно получаем упрощeнное уравнение равновесия,
выраженное через обыкновенную производную:
d
d
2 K
0.
h
(84)
333
Это уравнение можно получить другим способом, проинтегрировав первое выражение системы (82) по z в пределах от 0 до 0,5h:
0 ,5 h
0
0 ,5 h
dz
0
0 ,5 h
dz
0
z
z
dz 0
или
0 ,5 h
d 0 ,5h
0 ,5h
dz
dz dz 0.
d 0
0
0
Окончательно имеем уравнение (84).
Если принять допущение, что бочкообразование при осадке отсутствует, то можно принять условие σρ ≈ σθ , ερ ≈ εθ . Тогда упрощённое уравнение равновесия имеет вид:
d
d
2 K
0.
h
6.3.4 Упрощенное уравнение равновесия
для плоского напряженного состояния
Вывод упрощенных уравнений равновесия при деформации
тонкостенной листовой заготовки основан на следующих допущениях:
1. При осесимметричной деформации тонкостенной заготовки
все напряжения не зависят от координаты θ, поэтому σθ – это главное напряжение, а касательные напряжения τρθ = τzθ = 0.
2. Толщина листовой заготовки S постоянна и значительно
меньше радиусов кривизны в меридиональном 𝑅ρ и широтном 𝑅θ
направлениях.
334
3. Принимается схема плоского напряженного состояния σz =
τρz = τzθ =0. Нормальные напряжения считаем главными и постоянными по толщине стенки оболочки и приведенными к средней поверхности заготовки.
4. Касательные напряжения τК, вызванные трением на контактной поверхности оболочки и инструмента, можно учесть законом
Кулона-Амонтона τK = μσK.
5. Очаг пластической деформации следует разделить на
участки, в которых кривизна срединной поверхности заготовки в
меридиональных сечениях постоянна, как показано на рис. 125.
Рассмотрим тонкостенную оболочку вращения двойной кривизны толщиной S относительно оси О-О1 (рис. 126).
Выделим в очаге деформации бесконечно малый элемент, имеющий постоянную кривизну в меридиональном сечении двумя
плоскостями, проходящими через ось симметрии О-О1, составляющими между собой угол dγ и двумя круговыми коническими поверхностями, составляющими между собой угол dα.
Рис. 125. Схема процесса раздачи
335
Рис. 126. Тонкостенная оболочка вращения
Все напряжения, действующие на выделенный бесконечно малый элемент оболочки, считаем постоянными по толщине оболочки
S и приведенными к срединной поверхности.
Спроектируем все силы, действующие на нормаль к поверхности
элемента, пренебрегая бесконечно малыми высших порядков:
K dR d 2 SR d
d
d
2 SR d
0.
2
2
После деления почленно на SRρRθ получим уравнение Лапласа;
K
.
S
R R
(85)
Проектируя все силы на касательную к поверхности элемента
в меридиональном направлении, проведенную под углом α, получим приближенное уравнение равновесия:
d
d
K
0.
S sin
(86)
Подстановка значения σ𝐾 из (85) в (86) приводит к общему
уравнению равновесия:
336
d
d
0.
sin R R
6.3.5 Алгоритм решения практических задач
Алгоритм решения приближенных уравнений равновесия и
условия пластичности состоит из следующих этапов:
1. Обосновать допущение о частном виде объемного напряженного состояния. Для этого задачу сводят либо к осесимметричной, либо плоской по напряжениям или деформациям.
2. Выбрать систему координат и направления координатных
осей.
3. Уточнить границы очага пластической деформации. В очаге
пластической деформации выделить бесконечно малый элемент деформируемого тела по одной из координат, в направлении которой
ищут закон изменения нормальных контактных напряжений. Проставить действующие на элемент нормальные и касательные напряжения.
4. Принять гипотезу о равномерном распределении нормальных напряжений по указанным координатным поверхностям. В результате эти напряжения зависят только от одной координаты.
5. Составить приближенное уравнение равновесия выделенного элементарного объема деформируемого тела с учетом суммирования всех сил на соответствующую координатную ось. Оно сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению, связывающему нормальные напряжения с напряжениями на контактной поверхности.
6. Сформулировать приближенное условие пластичности в
обычной или дифференциальной форме.
7. Провести совместное решение приближенного уравнения и
условия пластичности с учетом граничных условий. Граничные
условия по напряжениям определяют исходя из физических соображений. Например, при волочении прутка при входе в очаг пластической деформации осевое напряжение равно нулю, а при прессовании прутка осевое напряжение равно нулю при выходе из очага
337
пластической деформации. Очень часто используется условие, при
котором на свободной поверхности деформируемого тела нормальное напряжение равно нулю.
8. Дать анализ полученного решения.
6.3.6 Пример использования метода
Алгоритм решения приближенного уравнения равновесия и
условия пластичности рассмотрим при осадке прямоугольной полосы шириной 2b и высотой 2h неограниченной длины между шероховатыми плитами.
Приближенное дифференциальное уравнение равновесия для
рассматриваемой задачи получено в параграфе 6.3.2 и имеет вид
d x K
0.
dx
h
(87)
Пусть касательное напряжение 𝜏К , обусловленое трением металла об инструмент, изменяются по закону Кулона-Амонтона:
K z ,
(88)
где μ – коэффициент трения.
После подстановки выражения (88) в (89) получим:
d x z
0.
dx
h
(88)
Приближенное условие пластичности для плоского деформированного состояния имеет вид:
x z T .
(90)
При дифференцировании этого уравнения, получаем условие
пластичности в дифференциальной форме:
dx dz .
338
После замены в уравнении (89) дифференциала d x на d z
получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющими переменными:
d z z
(91)
0.
dx
h
В общем виде такие уравнения записываются в виде
f1 x1 z dx f 2 x2 z dz 0.
В результате деления исходного уравнения на f 2 x1 z оно
приводится к виду:
f1 x
z
dx 2 dz 0.
f 2 x
1 z
Почленное интегрирование приводит к соотношению:
f1 x
z
dx 2 dz C .
f 2 x
1 z
После разделения переменных в уравнении (88) и интегрирования получим
z Ce
x
h
.
(92)
Постоянную интегрирования С найдем из граничных условий.
При х=b (на свободной поверхности) 𝜎х = 0. Тогда по условию пластичности (90):
z T .
После подстановки граничных условий в уравнение (92) имеем:
C T e
b
h .
Окончательно закон распределения нормальных контактных
напряжений имеет вид:
339
z T e
b x
h
.
Полное усилие на единицу длины полосы:
b
b
P 2 z dx 2T
0
0
b x
e h dx
h
2T e
b
h
1 .
(93)
Разделив полное усилие на контактную площадь 2𝑏x1, получим удельное усилие
p
b
P
h h
T
e 1 .
2b
b
По полученным выражениям можно построить эпюры контактных нормальных и касательных напряжений (рис. 127).
Рис. 127. Эпюры контактных нормальных и касательных напряжений
Из анализа эпюр контактных напряжений видно, что эпюра 𝜎𝑧
на оси симметрии полосы имеет резко выраженный пик, напряжения τК растут от края полосы к оси симметрии по показательной
кривой и на оси симметрии скачкообразно меняют знак.
340
Из формулы (93) следует, что величина усилия деформирования зависит от предела текучести материала полосы, его физического состояния (температуры, степени и скорости деформации) и
соотношения
μ𝑏
,
ℎ
определяющего размеры заготовки, величину ко-
эффициента трения.
6.4 Метод линий скольжения
Метод разработан в 20 годы XX века Г. Генке и Л. Прандтлем
для определения напряженного состояния по объему деформируемого тела при плоской и осесимметричной деформации. Зная
напряжения в любой точке тела, можно определить напряжение на
контактной поверхности с инструментом и тем самым найти полное
усилие деформации.
6.4.1 Основные понятия линий скольжения
При растяжении плоских образцов на начальной стадии пластической деформации на его полированной поверхности можно
обнаружить сетку двух семейств линий α и β пересекающихся под
прямым углом друг к другу и наклоненные под углом 45° к оси образца (рис. 128).
Эти линии называют линиями скольжения, впервые описанные
Черновым и Людерсом. Такое название линии получили в связи с
тем, что касательные к ним совпадают с направлением максимальных касательных напряжений.
В любой точке деформируемого тела, находящегося в плоском
напряженном состоянии, имеются два взаимно-перпендикулярных
направления, по которым действуют главные нормальные напряжения. Переходя от точки к точке и определяя направления главных
нормальных напряжений, можно получить ортогональную сетку,
341
состоящую из двух систем линий, касательные к которым совпадают с направлениями главных нормальных напряжений. Эти линии называют траекториями главных нормальных напряжений.
Рис. 128. Линии скольжения α и β при растяжении плоского образца силой P
Под углом 45° к главным нормальным напряжениям 𝜎1 и 𝜎3
действуют максимальные касательные напряжения τmax . Переходя
от точки к точке можно получить ортогональную сетку, состоящую
из двух систем линий скольжения α и β (рис. 129).
Рис. 129. Траектории главных нормальных и максимальных
касательных напряжений
342
Выразим компоненты тензора напряжений σ𝑥 , σ𝑧 , τ𝑥𝑧 при
плоской деформации в направлении оси у через главные напряжения и угол α между главной осью 1 и осью х. Для этого рассмотрим
круг напряжений Мора (рис. 130).
Из круга напряжений видно, что
3 1 3
x 1
cos 2 ;
2
2
z 1 3 1 3 cos2;
2
2
xz 1 3 sin 2.
2
Рис. 130. Круг напряжений
При плоской деформации среднее напряжение:
3
,
ср 1
2
343
предел текучести на сдвиг:
k
1 3
max .
2
Компоненты напряжений в функции от угла 2 0,5 2
определяются следующими уравнениями:
x ср k cos 2;
z ср k cos 2;
xz k sin 2,
(94)
удовлетворяющими уравнению пластичности для плоской деформации
x z 2 42xz 4k 2 .
По условию пластичности по максимальным касательным
напряжениям max k k 0,5T . По энергетическому условию плаT
.
3
Угол характеризует направление главных нормальных
стичности k
напряжений, а угол – направление главных касательных напряжений. Можно записать, что
.
4
Отсюда получим:
x ср k sin 2,
z ср k sin 2,
xz k cos 2.
(95)
Определим частные производные напряжений, определяемых
уравнениями (94):
x ср
2kcos2 ;
x
x
x
344
z ср
2kcos2
;
z
z
z
(96)
xz
2ksin 2
.
z
z
Подставляя эти выражения в уравнения равновесия для плоской деформации (81) получим:
ср
2k cos 2
sin 2 0;
x
x
z
ср
2k sin 2
cos 2 0.
z
x
z
(97)
Выразим уравнения (97) в криволинейной системе координат
(сетка линий скольжения). Для этого перенесем начало координат в
какую-либо точку пересечения двух взаимно-перпендикулярных
линий скольжения, а оси координат направим по касательным к линиям скольжения α и β.
Тогда в уравнениях (97) вместо переменных х и z можно подставить соответственно α и β. Угол φ = 0, так как оси координат
совпадают с касательными к линиям скольжения.
Однако
и
dz d dz
не будут равны нулю, так как угол φ, равный нулю в начале координат, изменяется вдоль линии скольжения.
Тогда уравнения (97) примут такой вид:
ср
(ср 2k) 0;
ср
2k
(ср 2k) 0.
2k
(98)
345
После интегрирования уравнений (98) получаем:
ср 2k ;
ср 2k 1 ,
где и 1 – произвольные функции, имеющие постоянное
значение при перемещении точки вдоль одной и той же системы соответственно и , но изменяются при переходе на другую линию той же системы.
Если в какой либо точке А линии скольжения в системе α
ср А 2k A ,
то в другой точке В той же линии скольжения
ср B 2kB .
Приравняем левые части этих уравнений. Тогда
ср A ср B 2k A B .
Для линий системы линий скольжения β имеем
ср A ср B 2k A B .
Объединяя эти уравнения, получим
ср A ср B 2k A B ,
где (φ𝐴 – φ𝐵 ) – угол поворота линии скольжения при переходе из
точки А к В.
Дифференциальные уравнения линий скольжения имеют вид:
z
tg семейство ;
x
z
сtg семейство .
x
346
6.4.2 Основные свойства линий скольжения
Линии скольжения образуют два семейства взаимно-перпендикулярных кривых α и β (рис. 131).
Линии скольжения должны быть непрерывными.
Линии скольжения должны быть ортогональными.
Линии скольжения должны пересекать направление главπ
4
ных нормальных напряжений под углом .
Изменение среднего нормального напряжения σср при движении вдоль линии скольжения от точки А к точке В равно произведению угла ее поворота φ𝐴𝐵 на 2k, т.е.
ср A ср B 2k AB 2k B A .
Это очень замечательное свойство линий скольжения. Оно позволяет найти среднее нормальное напряжение в любой точке пластически деформируемого тела, если задано поле линий скольжения и
известно среднее напряжение в какой либо одной точке тела. Зная
среднее напряжение, предел текучести на сдвиг и угол φ, по уравнениям (94) легко определить компоненты нормальных и касательных напряжений σ𝑥 , σ𝑧 и τ𝑥𝑧 .
Рис. 131. Семейство линий скольжения α и β
347
Линии скольжения должны отвечать условиям на контуре.
Из формулы
xz kcos2
следует, что если отсутствует трение на контактной поверхности
или на свободной поверхности, то cos2 0 , то есть линии
4
скольжения пересекают свободную поверхность заготовки или контактную поверхность деформируемого тела под углом 45°.
При максимальном значении контактного трения касательные
напряжения xy k .
90 . В этом случае одно се2
мейство линий скольжения пересекает линию контакта с инструментом под углом 90°, а для второго семейства линия контакта с
инструментом является общей касательной или огибающей.
В промежуточных случаях трение на поверхности контакта пропорционально нормальному напряжению. При этом линии скольжения пересекают линию контакта под промежуточными углами.
• Угол между касательными к двум линиям скольжения одного
семейства в точках их пересечения каждой линии другого семейства остается постоянным (теорема Генки).
Рассмотрим на рис. 132 две линии α AB и CD и две линии β AC
и BD, образующие криволинейный четырехугольник ABCD.
Определим разность средних напряжений при переходе из
точки A через точку B в точку D.
Тогда cos2 1, 1 0, 2
ср A ср D срA срB срB срD .
Используя 5-е свойство линий скольжений, получим
ср A ср B 2k AB ,
ср B ср D 2k BD .
348
Рис. 132. Элемент в сетке линий скольжения
Следовательно
ср A ср D 2k AB BD .
При переходе из точки A через точку C в точку D:
ср A ср D срA срC срC срD ,
так как
ср A ср C 2k AC ,
ср C ср D 2kCD .
Следовательно
ср A ср D 2k AC CD .
Так как разность средних напряжений в точках A и D одинаковая, при переходе через точки B и C
AB BD AC CD
или
AB CD BD AC .
(99)
349
Распишем углы в каждой точке четырехугольника
AB BD AC CD 0
или
AB CD AC BD .
(99)
Так как левые части выражений (99) и (100) одинаковые, то
приравнивая правые части, получаем
BD AC AC BD .
Отсюда
2BD 2AC
Или
BD AC и AB CD .
6.4.3 Виды полей линий скольжения
Рассмотрим возможные виды полей линий скольжения, которые используют на практике при построении сетки линий скольжения. Эти поля состоят из ортогональных линий.
Наиболее простое поле линий скольжения образовано двумя
семействами прямых линий (рис. 133, а). Поскольку вдоль прямых
линий скольжения среднее напряжение не изменяется, такое поле
характеризует однородное напряженное состояние, компоненты
напряжений во всех точках одинаковы. У прямолинейной границы
при τ = 0 поле линий скольжения представляет собой простейшее
поле, линии которого выходят на границу под углом π/4.
На рис. 133, б приведено простое поле, у которого линии скольжения одного семейства прямые, а другого – кривые, к ним ортогональные. При перемещении вдоль прямых линий среднее напряжение остается неизменным, а при движении вдоль кривых линий оно
изменяется пропорционально углу поворота линии. Частным и
наиболее используемым случаем является центрированное поле,
350
образованное концентрическими окружностями и пучком радиусов
(рис. 133, в). Переход от одного радиуса к другому осуществляется
по кривой и поэтому вдоль каждого радиуса действует иное по величине среднее нормальное напряжение. Все прямые линии (радиусы) сходятся в центре концентрических окружностей. Это приводит к тому, что в одной и той же точке должны существовать разные
по величине напряжения. Поэтому центр такого поля О является
особой точкой, в которой определить напряжения невозможно.
Центрированное поле широко используется при постороениях
сетки линий скольжения.
Рис. 133 Типовые поля линий скольжения
Сложным называют поле линий скольжения, образованное
двумя семействами кривых. Ими могут быть логарифмические спирали (рис. 133, г) или циклоиды (рис. 133, д). Логарифмическая спираль – это линия, пересекающая радиус-вектор под любым постоянным углом φ. Уравнение логарифмической спирали в цилиндрических координатах имеет вид
ρ = reθctgφ.
351
Так как угол, под которым спираль пересекает радиус, равен
φ = π/4, то ctgφ = 1 и уравнение получит вид
ρ = reθ.
В этих полях могут появляться особые точки (рис. 133, д). У
свободной или находящейся под равномерной нагрузкой круговой
границы сетка линий скольжения состоит из логарифмических спиралей. В общем случае сетка линий скольжения у свободной или
находящейся под равномерной нагрузкой границы определяется
формой самой границы тела.
Для построения сетки линий скольжения по всей пластически
деформируемой области приходится составлять комбинации из
двух или трех видов возможных полей. При этом границами отдельных зон являются линии скольжения, общие для смежных полей.
Компоненты напряжений поперек границы должны быть непрерывны. Переход от простейшего к сложному полю возможен только
через простое поле.
6.4.4 Пример использования метода
Построить поле линий скольжения для начала внедрения плоского гладкого пуансона в пластическое полупространство в условиях плоского деформированного состояния ε𝑦 ≅ 0.
Так как контактное трение отсутствует под пуансоном и на
свободной поверхности, то линии скольжения подходят к рабочей
поверхности пуансона и свободной поверхности металла под углом
45° и образуют два треугольных участка с однородным напряженным состоянием I и II (рис. 134). Проведя из точек a и b концентрические окружности и лучи, получим центрированное поле линий
скольжений III. Это поле впервые построил Л. Прандтль.
Определим удельное усилие 𝑃̅, равномерно распределенное по
контактной поверхности пуансона шириной d и длиной l.
352
Рис. 134. Поле линий скольжения при внедрении пуансона
в тело неограниченных размеров
На
свободной
поверхности
напряжение
в
АzА 0, напряжение xА – сжимающее и притом главное.
точке
Следовательно, по условию пластичности:
0 xА 2k .
Откуда
xА 2k .
Среднее напряжение в точке A:
zA 2k 0
ср А xA
k .
2
2
На основании пятого свойства линий скольжения (учитывая,
что ср А срБ :
ср А срБ 2k AБ .
353
После подстановки значения ср А
срБ k 2k АБ .
(101)
Для точки Б условие пластичности:
хБ xБ 2k , срБ
xБ z Б
.
2
Исключив из этих уравнений хБ , получим:
срБ zБ k .
Подставив значение срБ в уравнение (101), получим:
zБ 2k 1 АБ .
Удельное усилие zБ , следовательно
2k 1 АБ .
Угол поворота линий скольжения при движении от точек А
свободной поверхности к точкам Б, расположенным на торце пуансона
АБ
.
2
Тогда удельное усилие осадки:
2 k 1 .
2
Полное усилие деформирования заготовки:
P Fk 2k 1 dl .
2
354
6.5 Сопротивление материалов пластическим
деформациям
6.5.1 Основные положения метода
Метод сопротивления материалов пластическим деформациям
используют для решения задач при больших пластических деформациях. Метод разработан российским ученым Г.А. СмирновымАляевым и сокращенно называется как метод СМПД.
Данный метод предполагает, что деформация является монотонной. При монотонной деформации материальное волокно рассматриваемой частицы на данной стадии либо удлиняется, либо
укорачивается и остается таковым на последующих стадиях деформации.
Показатель вида напряженного состояния
1 3
2
1 3
2
2
(102)
равен показателю вида деформированного состояния
2 1 3
2
1 3
2
и постоянен, т.е. ϑσ = ϑε = const.
Тогда
2 2 1 3 2 2 1 3
const.
1 3
1 3
Если условие монотонности выполняется, то в физических
уравнениях теории пластичности, связывающих напряжения и деформации, можно использовать вместо малых деформаций
ε1 , ε2 и ε3 конечные логарифмические деформации
355
e1 e2
e e
e e
3 ei
2 3 3 1
,
1 2 2 3 3 1 2 i
(103)
где 𝑒𝑖 −интенсивность деформаций:
2
e1 e2 2 e2 e3 2 e3 e1 2 ,
3
σ𝑖 −интенсивность напряжений:
ei
1
1 2 2 2 3 2 3 1 2 .
2
Метод позволяет найти напряжения, если предварительно
определены деформации, известно напряжение на границах заготовки или задано среднее напряжение
2 3 .
ср 1
3
Для нахождения компонент напряжений используют приближенное условие пластичности
(104)
1 3 т ,
i
где β − коэффициент Лодэ:
2
3 2
.
Или уравнение, полученное из формулы (102)
22 1 3 1 3 .
Таким образом, для определения трех главных напряжений
σ1 , σ2 и σ3 имеется система из трех линейных уравнений (102-104),
т.е. задача решается.
6.5.2 Пример использования метода
Пример использования метода рассмотрен при определении
напряженно-деформированного состояния на свободной поверхности торца прошиваемой заготовки (рис. 135).
356
На торцевой поверхности цилиндрической заготовки наносят
две концентрические круговые риски с диаметрами 2R1 и 2R2, большими диаметра прошивня 2Rпр. После внедрения прошивня они
останутся на свободной поверхности заготовки в зоне наплыва с
диаметрами 2r1 и 2r2 (рис. 135).
Определим в общем виде приближенное значение компонент
деформации в зоне, расположенной между двумя рисками.
Окружные деформации по внутренней риске:
2r1
r
eB ln
ln 1 .
2R1
R1
Рис. 135. Схема к определению деформаций на поверхности
прошиваемой поверхности заготовки
На наружной риске:
eH ln
r2
.
R2
Среднее значение:
eср
В Н
.
2
357
Среднее значение радиальной деформации:
r r
eср ln 2 1 .
R2 R1
ср
Среднее значение осевой деформации 𝑒𝑧 найдем из условия
постоянства объема:
eср eср ezср 0.
Откуда ezср eср eср .
Теперь можно найти показатель вида деформированного состояния, принимая логарифмические деформации за главные:
2e e1 e3
e 2
.
e1 e3
И коэффициент Лодэ:
2
3 e2
.
Из физических уравнений (100):
z z
.
e ez
ez e
Так как на свободной поверхности 𝜎𝑧 = 0, т.е. напряженное состояние плоское, то
.
(105)
e ez ez e
Условие пластичности:
T .
(106)
Таким образом, для определения двух напряжений 𝜎𝜃 , 𝜎𝜌 получили систему двух уравнений (105) и (106) с двумя неизвестными,
т.е. задача решается.
358
6.6 Метод работ
6.6.1 Основные положения метода
Метод работ в основном применяют для определения деформирующего усилия и базируется на законе сохранения энергии. При
пластической деформации работа внешних сил 𝐴B равна работе
внутренних сил 𝐴Д , 𝐴В = 𝐴Д или 𝐴В − 𝐴Д = 0.
Работа внешних сил равна разности работ активных сил 𝐴𝑎 и
сил внешнего трения 𝐴тр :
AB Aa - Aтр A Д или A a A Д Атр .
Работа внутренних сил:
AД i i dV .
V
Для идеально пластичного металла по энергетическому условию пластичности σ𝑖 = σТ :
AД T i dV .
V
Здесь σ𝑖 − интенсивность напряжений в главных осях напряжений:
1
1 2 2 2 3 2 3 1 2 ,
i
2
где ε𝑖 − интенсивность деформаций в главных осях деформаций:
2
1 2 2 2 3 2 3 1 2 .
3
Работа сил внешнего трения:
i
Aтр 2kxu x2 2ky u 2y 2kz u z2 dF ,
F
где τ𝑘𝑥 , τ𝑘𝑦 , τ𝑘𝑧 − проекции сил трения на контактных поверхностях заготовки; 𝑢𝑥 , 𝑢𝑦 , 𝑢𝑧 –проекции вектора перемещения на контактных поверхностях заготовки на координатные оси x, y, z.
359
Если трение на контактной поверхности считать постоянным:
k kx ky kz const,
Aтр k u x2 u 2y u z2 dF .
F
Тогда работа активных сил:
Aa i i dV k u x2 u 2y u z2 dF .
V
F
Работа внешних сил:
AB Xux Yu y Zu z dF ,
F
где X, Y, Z − проекции сил на оси координат.
6.6.2 Пример использования метода
Пример использования метода работ рассмотрен при решении
задачи осадки цилиндрической заготовки диаметром 𝑑 и высотой ℎ
на величину ∆ℎ из идеально пластичного материала σТ = const.
Работа внешних сил может быть вычислена по формуле:
AB Ph,
где P − усилие, ∆ℎ − перемещение верхнего инструмента.
Работа сил трения:
Aтр k u dF ,
F
где 𝑢ρ − радиальное перемещение, τ𝑘 −касательное напряжение на
контактной поверхности. Знак « − » в формуле в силу того, что
силы трения препятствуют перемещению металла.
Работа сил деформирования для неупрочняемого металла
(σ𝑖 = σТ ):
AД Т i dV Т i dddz .
V
Деформации в продольном, окружном и радиальном направлениях для осесимметричной задачи находят по формулам:
360
z
du
h
u
,
, .
h
d
Воспользуемся условием несжимаемости:
du
d
u
h
0.
h
Это дифференциальное уравнение имеет решение
1 h
.
2 h
du
u
1 h
1 h
h
Тогда
,
, z
,
d
2 h
2 h
h
u
i
2
3
2 z 2 z 2 h .
h
В расчетах надо взять знак « − », поскольку основной деформацией является деформация сжатия.
Работа сил деформирования:
AД Т i dV s
V
h 2 0 ,5 d h
d 2
.
dddz T h
h 0 0 0
4
Работа сил трения на верхнем и нижнем инструментах вычисляется путем интегрирования
2 0 ,5 d
Aтр 2 k
0
0
hd d 2
1 h 2
dd k
.
2 h
3h
4
Полная работа внешних сил определяется выражением:
AB Ph
T hd 2 k hd d 2
.
4
3h
4
Окончательно формула для расчета полного усилия осадки
имеет вид:
P
d 2
d
T k .
4
3h
361
6.7 Вариационные методы
6.7.1 Основные положения метода
Вариационные методы теории пластического деформирования
металлов для определения напряженно-деформированного состояния тела основаны на энергетическом принципе, согласно которому
«Действительная форма равновесия пластически деформируемого
тела отличается от всех других возможных форм тел, что сообщает
полной энергии формоизменения минимальное значение».
Суть вариационных методов заключается в отыскании таких
функций распределения перемещений (скоростей), которые сообщают энергии «минимальное значение».
Основным понятием вариационных методов являются определения вариации и функционала.
Вариация δу функции y = f(x) есть функция от х, определяемая
при каждом значении х как разность новой функции F(x) и рассматриваемой функции f(x), т.е.
δу= F(x)– f(x).
Новая функция F(x) имеет вид F(x) = f(x) + εφ(х), где φ(х) –
произвольная функция, ε – бесконечно малое число, ε → 0.
Таким образом, вариация функции характеризуется тем, что
она является бесконечно малым (приращением) функции у(х).
В вариационной постановке физическая величина I[y] ( работа,
энергия, мощность), зависящая от одной или нескольких других
функций (например, перемещений) называется функционалом, если
каждому значению функции y = f(x) соответствует вполне определенное значение функционала I.
Можно также сказать, что функционал – это функция, у которой значениями независимой переменной являются обычные функции, а значениями независимой переменной служат числа.
362
Функционал для одной функции, зависящей от одной независимой переменной записывают в таком виде:
I y
x1
F x, y, ydx.
(107)
x0
Подынтегральная функция в данном случае зависит от трех аргументов: независимой переменной х, у как функции от х и производной от у по х.
При подстановке в (107) различных функций y(x) в результате
интегрирования получим различные числа. Задача вариационного
исчисления состоит в нахождении таких значений исходных функций (например, перемещений ux, uy, uz), которые сообщают функционалу экстремальное значение (минимум или максимум).
Если функция y = f(x) является функцией точки, то функционал
I [y] является функционал семейства линий. Например, длина дуги
кривой, которая соединяет две заданные точки с координатами
(x0, y0) и (x1, y1) (рис. 136):
x1
l
1 y dx.
2
x0
Рис. 136. Область значений функции y=f(x)
363
Задача решается следующим образом. Выбирается семейство
непрерывных дифференцируемых кривых, которые не противоречат функционалу. Из этого семейства необходимо выбрать кривую,
обеспечивающую экстремум функционала. Такую кривую называют экстремалью. Для нахождения экстремали выбранную функцию непрерывно изменяют (варьируют), добавляя к ней произвольную функцию, значения которой умножают на бесконечно малую
величину ε.
Классический пример вариационной задачи, предложен Бернулли. «В вертикальной плоскости даны две точки А и В, не лежащие на одной вертикали. Определить путь, опускаясь по которому
под влиянием силы тяжести тело, начав двигаться из точки А дойдет
до другой точки В в кратчайшее время».
В процессах пластического деформирования металлов вариационная задача формулируется из принципа Даламбера так:
«Сумма работ всех внешних и внутренних сил в теле на кинематических возможных перемещениях δUx, δUY, δUz около состояния
равновесия равна нулю».
Таким образом, функционал при пластическом деформировании металлов представляет собой величину энергии Э, которую
необходимо затратить, чтобы сообщить частицам тела некоторые
перемещения.
Вариация работы внутренних сил, равных произведению компонент деформации, определяемые как производные перемещений
по координатам, на компоненты напряжений находят по формуле:
AД v i i dv v i i dv ,
где σ𝑖 – интенсивность напряжений, определяемая из условия пластичности и ε𝑖 – интенсивность деформаций.
Знак вариации выносим за знак интеграла, как это делается для
знака производной. Таким образом получаем полную вариацию работы внутренних сил.
364
В вариационной задаче по пластическому деформированию
рекомендуется использовать зависимость:
AД vТГdv ,
где Т и Г – интенсивности касательных напряжений и интенсивности деформаций сдвига.
Если деформируемый металл принять неупрочняемым, то полная вариация работы внутренних сил:
AД k v Гdv ,
так как
T
T
3
k T .
Вариация работы реактивных сил (сил трения), равных произведению напряжений трения на соответствующие им перемещения
по всей контактной поверхности заготовки и инструмента:
AP k ux2 u 2y uz2 dF k ux2 u 2y uz2 dF ,
где τ = μ𝑘 – закон трения по Зибелю.
Вариация работ внешних сил, равных произведению сил на соответствующие им перемещения:
AB Xu x Yu y Zu z dF Xux Yu y Zu z dF ,
F
F
где X, Y, Z – проекции сил на оси координат.
В зависимости от условий деформации некоторые перемещения являются жестко заданными. В этом случае они не варьируются.
Так как сумма внешних и внутренних сил на малых кинематических возможных перемещениях около состояния равновесия
равна нулю, получим:
Э АВ АД Ар 0.
365
Величина, стоящая в квадратных скобках, называется полной
энергией деформации тела и обозначается через Э. Поэтому δЭ = 0.
Последнее уравнение представляет собой вариационное уравнение
Лагранжа применительно к процессам пластической деформации.
Дальнейшая задача состоит теперь в том, чтобы из всех возможных перемещений найти такие перемещения от осей координат,
которые бы давали минимум полной энергии деформации.
Для упрощения расчетов вариационных задач пластического
деформирования широко используют приближенный метод Ритца,
позволяющий свести вариационные уравнения к системе алгебраических уравнений. В этом случае кинематически возможные перемещения задают в виде ряда, например
U=a1f1 (x, y, z)+ a2f2 (x, y, z)+…+ anfn (x, y, z),
где a1, a2,..., an неизвестные численные параметры, определяемые через частные производные от энергии (Э) по каждому из параметров:
Э
Э
Э
0,
0,...,
0,
а1
а2
аn
f1(x, y, z), f2(x, y, z), …, fn(x, y, z) – произвольно выбранные («координатные» по Ритцу) функции координат, соответствующие условиям
задачи, относительно легко дифференцируемые и интегрируемые,
примерно соответствующие фактическим перемещениям.
6.7.2 Пример использования метода
Рассмотрим процесс волочения широкой полосы из идеальнопластического металла. Деформация полосы осуществляется в
условиях плоского деформированного состояния.
Определим величину удельного растягивающего напряжения при протягивании полосы р через коническую шероховатую
волоку с полууглом при вершине конуса γ. Начальная толщина
366
полосы Н0, конечная Н1. Скорость движения полосы при входе в
канал волоки V0, а на выходе из него V1 (рис. 137).
Рис. 137. Модель волочения широкой полосы
Чтобы упростить вычисления, используем метод верхней
оценки, предложенный В. Джонсоном и Х. Кудо, приводящий к
завышенным результатам (верхней оценке) при определении р.
Сущность метода заключается в представлении объема очага пластической деформации в виде жестких треугольных блоков. Предполагается, что блоки скользят друг по другу и по границам с жесткой зоной и с инструментом. Вдоль границ блоков компоненты скоростей перемещений претерпевают разрывы. Внутри каждого блока
поле скоростей однородно. Число и размеры треугольных блоков
выбирают произвольно. На основании этих допущений строят поле
скоростей, которое является кинематически возможным.Для расчета мощностей необходимо построить поле скоростей по всем границам, называемое годографом скоростей.
Пусть течение металла полосы происходит так, как показано
стрелками на рис. 137. В полосе выделим три характерные области
I, II и III, в которых точение металла плоско-параллельное без деформаций. Область II – это модель очага деформации в виде жесткого треугольного блока АВС, в котором поле скоростей однородно. На линиях АС и ВС скорости терпят разрыв в касательной к
АС и ВС составляющей.
367
Примем вдоль границ АС и ВС касательные напряжения при
скольжении блоков максимальными τK=k. На свободных поверхностях, как всегда, τK = 0, а на контактной поверхности АВ касательные напряжения по закону трения Зибеля τK=μτT, где τT – предел текучести на сдвиг, τT = k.
Построим в области очага пластической деформации II простейшее кинематически возможное поле скоростей (годограф скоростей) (рис. 138). Для этого выберем произвольную О в качестве
центра годографа и от него в горизонтальном направлении в масштабе вектор скорости V0 в направлении течения металла.
Из точки центра годографа и от него в горизонтальном направлении в масштабе вектор скорости V0 в направлении течения металла. Точка «а» на годографе показывает скорость области I. Из
точки О откладываем вектор скорости V1. Точка «в» в плоскости годографа скоростей характеризует движение области III.
Рис. 138. Годограф скоростей
Скорости течения V0 и V1 связаны между собой уравнением неразрывности:
V1 H1 = V0 H0 .
368
Откуда
V1 V0
H0
.
H1
Из точек «а» и «в» годографа скоростей проводим до пересечения линии, параллельные линиям АС и ВС. Получим, что вектор
ОС на годографе отображает скорость течения металла в треугольной области II, параллельно образующей канала волоки АВ. Далее
построим зеркально линии Ов верхнюю часть годографа скоростей.
Покажем, что на линиях разрыва скоростей АС и ВС нормальная составляющая скорости непрерывна. Опустим из точки О годографа скоростей перпендикуляр на сторону АС. Отрезок Ое будет
соответствовать нормальной составляющей скорости V0 и V линии
АС (рис. 138).
Таким образом, при переходе через линию Ае скорость металла изменяется скачком от V0 до V, но нормальная составляющая
скорости к АС остается неизменной, т.е. не терпит разрыв. Аналогичная картина имеет место и на линии разрыва скорости ВС.
Построенное поле скоростей является кинематически допустимым, так как оно удовлетворяет условию несжимаемости и кинематическим граничным условиям.
Выбранное поле скоростей течения содержит одну неизвестную варьируемую величину – угол α. Ее можно определить из вариационного уравнения, построенного на принципе «из всех кинематически возможных полей скоростей течения металла действительным будет то, которое сообщает минимум функционалу, равному мощности активной силы волочения на единицу ширины полосы
I p H1 1 V1 k V HdV k SP V ds S ds ,
где SP – поверхность разрыва, Sτ – поверхность трения, ΔVτ – скачок
касательной составляющей скорости на поверхности разрыва скорости SP, V1 – скорость деформирования.
369
В рассматриваемой задаче пластическая деформация сосредоточена на поверхностях разрыва скоростей. Приняв трение на контакте полосы и волоки заданным по закону Зибеля τ=μk функционал
примет вид
I pH1 1V1 k V ds k V ds k V ds .
ac
bc
(108)
AB
Величину разрыва скоростей определим по годографу |Δ𝑉|𝑎𝑐 ,
|Δ𝑉|𝑏𝑐 и 𝑉. Линия еа показывает касательный к АС компонент скорости V0, линия ес – касательный компонент скорости V. Отрезок ас
показывает приращение касательного компонента скорости |Δ𝑉|𝑜𝑐
при переходе металла линии разрыва АС. Аналогично можно показать, что отрезок св на годографе скоростей – это скачок |Δ𝑉τ|𝑏𝑐 ,
длина вектора V1 отрезок Ов.
Упрощая уравнение баланса мощностей внешних и внутренних сил (108) с учетом приведенных соотношений безразмерное
напряжение волочения полосы примет вид
AC ac BC bc
AB oc
.
k
H1 V1 H1 H1V1
H1 V1
Из условия минимума функционала, изменяя угол α,
d
0
d k
находят оптимальный угол αопт (рис. 139).
Рис. 139. График изменения безразмерного напряжения волочения полосы
в зависимости от угла α
370
6.8 Метод конечного элемента
6.8.1 Основные положения метода
Метод конечных элементов (МКЭ) – это один из современных
методов приближенного решения инженерных задач, в которых исследуемые объекты могут иметь любую форму и различную физическую природу: твердые деформируемые тела, жидкость, электромагнитные среды. В его основе лежат две главные идеи:
1. Дискретизация исследуемого объекта на конечное множество элементов.
2. Кусочно-линейная аппроксимация исследуемых функций.
На рис. 140 представлен очаг пластической деформации при
осадке длинномерной прямоугольной полосы в виде множества отдельных подобластей – конечных элементов.
Конечные элементы могут иметь различную форму и размеры
при решении линейных плоских и объемных инженерных задач
(рис. 141).
Для одномерных задач используют линейный элемент (рис.
141, а), двухмерных областей – элементы в форме треугольников
(рис. 141, б) и трехмерных областей – элементы в форме тетраэдра
и параллелипипеда (рис. 141, в).
Рис. 140. Конечно-элементная модель осадки длинномерной полосы
371
Рис. 141. Обозначения векторных величин перемещений U
Аппроксимирующие функции принимают в виде линейных зависимостей:
U = a1 + a2·x – линейный элемент,
U = a1 + a2·x + a3·у – плоский элемент,
U = a1 + a2·x+ a3·у + a4·z – объемный элемент.
Одним из важных этапов МКЭ является определение аппроксимирующей функции для каждого элемента с помощью функции
формы.
Рассмотрим одномерный конечный элемент – отрезок некоторой
длины L, ограниченный двумя узлами на каждом из своих концов (рис.
142). Узлы обозначим индексами i, j, а значения в узлах Ui, Uj соответственно. Начало системы отчета расположим вне элемента.
Рис. 142. Одномерный конечный элемент
372
Тогда для исследуемой величины запишем в виде:
U x a1 a2 x.
(109)
Константы a1 и a2 определяются из условий в узлах элемента:
U(x) = Ui , при х = Ui ,
U(x) = Uj , при х = Uj .
Получаем систему уравнений для нахождения констант:
a1 + a2·xi = Ui ,
a1 + a2·xj = Uj .
Решение системы дает:
a1
ui x j u j xi
L
, a2
u j ui
L
.
Если подставить найденные координаты в (109), получим:
U x
Ui X j U j X i
L
U j Ui
L
x,
которое перепишем в следующем виде:
U x
Xj x
L
Ui
x Xi
Uj.
L
Линейные функции, зависящие от х, называют функциями
формы. Их обозначают через N. Каждая из этих функций снабжается нижним индексом, обозначающим ее принадлежность определенному узлу. Введем функции формы:
Ni
Xj x
L
,N j
x Xi
.
L
(110)
Тогда запишем соотношение (110) в следующем матричном
виде:
NiU i N jU j N U ,
373
U i
– вектор столбец.
Uj
где [N] = [NiNj] – матричная строка, U
Из формул, определяющих [N] = [NiNj], видно, что функции
формы равны единице в одном определенном узле и равны нулю во
всех других узлах. Для узла Ni = 1, Nj = 0 и наоборот. При любых
значениях х выполняется равенство Ni + Nj = 1.
В методе конечного элемента вычислительный алгоритм представляют в матричной форме и он единообразен для задач различной размерности и физической природы: однородных и неоднородных, изотермичных и анизотропных, упругих и пластических сред.
При матричной формулировке уравнений теории упругости и
пластичности принято информацию о перемещении точек тела {U},
а также деформированном {ε} и напряженном состоянии представлять векторными в виде матриц. Для случая плоских задач теории упругости и пластичности перемещения, деформации и напряжения пишутся в следующем виде
U
U x ,
U y
x
y ,
xy
x
y .
xy
В этом случае, введя матричный дифференциальный оператор
[L], геометрические уравнения Коши можно записать в матричной
форме {ɛ} = [L]{U}, где [L] – матричный дифференциальный оператор:
0
x
L 0
.
y
y x
374
Уравнения обобщенного закона Гука для плоского напряженного состояния
1
x
x y ,
E
1
(111)
y
y x ,
E
xy
xy
.
G
Умножив второе уравнение на μ и сложив с первым, получим:
E
(112)
x y .
x
1 2
Аналогично можно получить:
E
y
y x .
1 2
(113)
Так же
xy G xy
E
E
1
xy
xy .
21
2 1 2 2
(114)
Запишем (112-114) в матричной форме:
x
E
y
2
1
xy
1
0
1
0
0 x
0 y .
1 xy
2
Или {Ϭ} = [D]{ɛ}.
С помощью вариационных принципов, применяемых ко всей
конечно-элементной модели составляется общая система уравнений всей конечно-элементной модели исследуемого деформируемого тела. Она имеет следующий вид:
[K]{U}={P}.
375
здесь [K] – глобальная (общая) матрица жесткости конечно-элементной модели, в которой компоненты являются коэффициентами
жесткости модели и вычисляются путем суммирования соответствующих коэффициентов жесткости конечных элементов; {U} –
глобальный вектор узловых перемещений модели; {P} – глобальный вектор внешних нагрузок. Решение полученной системы позволяет определить поля перемещений, деформаций и напряжений.
Сегодня МКЭ – это мощный инструмент решения инженерных
задач, благодаря созданию пакетов компьютерных программ, таких
как DEFORM, ANSYS, QFORM, ABAQUS, LS-DYNA.
6.8.2 Пример использования метода
Рассмотрим консольный стержень постоянного поперечного
сечения, один конец которого жестко закреплен, а второй – свободен. К свободному концу прикладывается растягивающее усилие Р,
приводящее к упругой деформации стержня. Требуется определить
перемещение стержня (рис. 143).
Поставленная задача решается в перемещениях. В методе конечных элементов отыскиваются такие узловые значения перемещений, которые минимизируют потенциальную энергию системы
П. После нахождения перемещений могут быть определены тензоры напряжений и деформаций, т.е. Ui → εij→Ϭij.
Приведем теорему о потенциальной энергии.
Рис. 143. Модель осевого растяжения стержня
376
Из всех перемещений, удовлетворяющих кинематически граничным условиям, экстремальное значение потенциальной энергии
доставляют те перемещения, которые удовлетворяют уравнениям
равновесия.
Полная потенциальная энергия системы П состоит из двух
компонентов – потенциальная энергия деформаций Пд и потенциальная энергия поверхностных и массовых сил Пс. Так как внешние
силы выполняют работу, противоположную по знаку их потенциальной энергии, то
П = Пд – Пс .
Пусть стержень аппроксимируется одним линейным элементом длиной L с двумя концевыми узлами 1 и 2 и площадью поперечного сечения А.
Выберем линейную модель, описывающую перемещение в
направлении оси x. Направим ось координат х вдоль оси стержня от
1 к 2:
U(x) = a1+ a2·x ,
где х – координата вдоль оси стержня.
Далее получаем на закрепленном конце 1 перемещение равно
нулю, следовательно х = 0, U1 = 0, a1 = 0 U(0) = a1 + a2(0) = 0.
На подвижном торце:
U(L) = a1+ a2·L = U2 .
Из этих выражений в виде системы двух уравнений с двумя неизвестными a1 и 𝑎2 следует, что
a1 = 0, a2 U 2 0,
L
U = N1(x)U1 + N2(x) U2 .
Функции N1 и N2 являются одномерными линейными функциями формы. Для них справедливо, что N1 = 1, N2 = 0 в узле 1 или
наоборот.
377
Запишем функции формы в виде матрицы для одномерного линейного элемента:
[N] = 1 x x .
L L
Тогда изменения перемещения вдоль оси элемента можно записать в виде произведения матрицы формы на столбец U(x):
U1
U(x) = [N]{U}, где {U} = U
.
U 2
В развернутом виде:
U = N1U1 + N2U2.
х
𝐿
Так как U1 = 0, то U = N2U2 = U2.
Потенциальная энергия стержня определяется следующим выражением:
П
1
v x x dV PU 2
2
(115)
Первое слагаемое – потенциальная энергия деформации
стержня, второе – работы приложенной силы.
Напряжение x связано с деформацией ε𝑥 законом Гука:
x E x .
Тогда
П
Деформация
и
E
2
x dx PU 2 .
2 V
перемещение
ε𝑥 = (𝑑𝑈)/(𝑑𝑥). Тогда получим ε2 =
связаны
соотношением
𝑈2
.
𝐿
После подстановки в формулу (111):
2
П
378
AE L U 2
AE 2
U 2 PU 2 .
dx PU 2
0
2 L
2L
Минимизация потенциальной энергии дает уравнение для
нахождения узлового перемещения:
dП
AE
U 2 P 0.
2U 2
L
Отсюда получаем:
U2
PL
.
AE
Полученное выражение точно совпадает с теоретическим значением перемещения, что достигнуто за счет линейности как модели, так и самой задачи.
6.9 Выводы
Основное назначение теории пластического деформирования
металлов – расчет распределения напряжений, деформаций и перемещений по объему очага пластической деформации. С этой целью
в теории пластического деформирования металлов разработаны
различные методы решения задач по расчету деформирующих усилий и деформаций. В связи со сложностью полного решения объемной задачи подход заключается в обращении к плоским и осесимметричным задачам. В этом случае система уравнений, подлежащих решению, уменьшается до двух, трех. Все рассмотренные методы, кроме вариационного, позволяют получить формулы для расчета напряжений, при этом все без исключения методы используют
различные упрощения постановки задачи.
Метод совместного решения приближенных уравнений равновесия и пластичности (инженерный метод) применяется в основном для определения энергосиловых параметров в различных
процессах пластического деформирования металлов с относительно малыми контактными поверхностями (осадка высоких за-
379
готовок, ковка, волочение, поперечная прокатка). К ним относятся: полное и удельное усилие деформирования, а также работа
деформации и мощность деформации. Метод позволяет находить
закон распределения нормальных напряжений на контактной поверхности заготовки – инструмент и определять деформирующее
усилие с учетом внешних сил контактного трения, геометрии заготовки и механических свойств металлов. Он нагляден и прост.
Решения, полученные инженерным методом, подтверждаются и
другими методами. При решении осесимметричных задач в главных осях принимают допущение о том, что одновременно задача
является осесимметричной и плоской деформированной. Для
каждого из этих случаев нужно использовать разные виды приближенных уравнений пластичности. Однако инженерный метод
непригоден для определения других технологических параметров процесса (форма и размер исходной заготовки, предельные
возможности металла в данном процессе).
Метод линий скольжения является вполне доступным и часто
позволяет находить распределение напряжений по всему объему
деформируемого тела. Однако полученные замкнутые решения
применимы для плоско – деформированного и осесимметричного
тела, для неупрочняемого тела и т.д. Зная поле распределения
напряжений по объему тела, можно определить поле распределения
скоростей деформаций, распределений напряжений на контактной
поверхности. Использование стандартных полей линий скольжения
предопределяет такое распределение напряжений по сечению зоны
деформации, которое не всегда соответствует действительному
полю.
Метод сопротивления материалов пластическим деформациям
(СМПД) позволяет решить ряд практических задач. Его особенностью является использование экспериментальных данных, полученных с помощью координатной делительной сетки, кривой упрочнения металла.
380
Метод работ позволяет определить только энергосиловые параметры – усилие полное и удельное, а также работу и мощность.
Данный метод довольно прост для простейших процессов пластического деформирования металлов (например, осадка прямоугольной, цилиндрической заготовки). Однако данным методом определены усилия процессов прессования, прокатки, но здесь встречаются некоторые математические сложности и трудности.
Вариационный метод достаточно сложный – он требует многочисленных математических выкладок. Однако данный метод обладает высокой точностью и им можно определять поля распределения напряжений и деформаций, а также различные технологические параметры, кроме силовых.
Метод верхней оценки является модификацией энергетического метода. Очаг деформации разбивается на жесткие блоки,
внутри которых деформация считается отсутствующей, а формоизменение осуществляется посредством относительного сдвига этих
блоков. Следовательно, действительное непрерывное поле скоростей заменяется достаточно произвольным разрывным кусочно-линейным. На основе закона сохранения энергии составляется уравнение баланса мощностей внешних и внутренних сил, из которого
находится усилие деформирования. При этом считается, что полученная таким образом нагрузка больше действительной и является
верхней оценкой этого параметра. Основанием для такой уверенности являются теорема о минимальных свойствах действительного
поля скоростей. При расчете силовых условий предпочтительнее
иметь верхнюю оценку величины усилия, так как она обеспечивает
определенный «запас прочности» при выборе оборудования и расчете инструмента на прочность.
Весьма перспективным является применение метода конечных
элементов, который интенсивно используется у нас в стране и за рубежом. Суть метода заключается в том, что область пластического
381
деформирования разбивается на ряд элементарных областей, вершины которых образуют узловые точки. Непрерывное поле скоростей заменяется их дискретными значениями в узловых точках, которые определяются путем использования экстремальных принципов обеспечения минимума работы деформации и позволяют найти
распределение кинематических и силовых параметров не только по
сечению, но и по объему зоны деформации. Решение проводится с
использованием ЭВМ для конкретного процесса с использованием
стандартного пакета программ. Приемлемость того или иного пакета программ в каждом случае требует индивидуальной проверки.
При проектировании технологических процессов пластического деформирования для определения технологических параметров используют различные методы, не исключающие, а дополняющие друг друга. Целесообразность использования того или иного
метода зависит от конкретных условий поставленной задачи и требуемой точности ее решения.
Все рассмотренные методы в результате решения позволяют
получить формулы для расчета напряжений и деформаций в зависимости от размеров очага деформации и физических констант (механических свойств материала, показателей трения). Заметим, что в
большинстве случаев механические характеристики металла и
условия трения принимают постоянными (за некоторыми исключениями, которые усложняют решение). Границы применимости теоретически полученных формул устанавливают экспериментально.
В ряде случаев эти решения позволяют получить вполне приемлемые для практики результаты.
6.10 Задания для самоконтроля
1. Дайте определение деформирующей силы.
2. Записать формулу для нахождения силы деформирования.
3. Для чего надо знать величину деформирующей силы?
382
4. Что нужно знать для определения деформирующей силы?
5. Записать общее уравнение для нахождения деформирующей
силы в декартовой системе координат.
6. Записать общее уравнение для нахождения деформирующей
силы в цилиндрической системе координат.
7. Как может передаваться заготовке деформирующая сила в
процессе пластического деформирования?
8. На каком предположении основан метод работ?
9. Как определяется полная деформация заготовки?
10. Запишите физические уравнения для пластической области.
11. Произведите вычисления работы деформации в пластической области с учетом физических уравнений и интенсивностинапряжений.
12. Для определения каких величин и в каких процессах может
быть использован метод баланса работ?
13. Выполните эскиз для процесса осадки цилиндрической заготовки.
14. Как формулируется постановка задачи для процесса осадки
цилиндрической заготовки?
15. Запишите формулу определения полной работы деформирования.
16. Как определяется работа сил трения на одном из торцов цилиндрической заготовки?
17. Запишите условие несжимаемости и получите из него дифференциальное уравнение для определения радиального перемещения.
18. Проинтегрируйте дифференциальное уравнение и определите радиальное перемещение.
19. Перечислите основные положения инженерного метода.
20. Дайте определения частных случаев объемного напряженного состояния.
383
21. Записать упрощенное уравнение равновесия для плоского
деформированного состояния.
22. Для каких классов задач применяют инженерный метод?
23. Какие группы уравнений процесса пластического деформирования используют в инженерном методе?
24. Запишите уравнение равновесия и условие пластичности
для осесимметричной задачи с осесимметричным распределением
внешней нагрузки.
25. Записать упрощенное уравнение равновесия для плоского
напряженного состояния.
26. В какой последовательности проводят расчет деформирующего усилия инженерным методом?
27. В чем сущность метода решения дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющими переменными?
28. Запишите уравнение Лапласа и дайте его анализ.
29. Основные допущения при выводе упрощенных уравнений
равновесия для плоского напряженного состояния.
30. Перечислите все параметры, входящие в формулу для расчета усилия деформирования, полученную инженерным методом.
31. Получить упрощенное уравнение равновесия для плоского
деформированного состояния из рассмотрения равновесия выделенного элемента в очаге деформации.
32. В чем суть метода линий скольжения?
33. Назовите класс задач, решаемых методом линий скольжения.
34. Как расположены относительно друг друга два семейства
линий скольжения Чернова-Людерса? Изобразите их.
35. Запишите дифференциальные уравнения для коэффициентов касательных к линиям скольжения.
36. Как связаны углы касательных к линиям скольжения и траекториями главных напряжений?
37. Запишите выражения напряжений для условий плоской деформации.
384
38. Запишите уравнения для вычисления среднего нормального напряжения σср при движении вдоль линии скольжения.
39. Выполните рисунок к теореме Генки и дайте пояснения.
40. Выполните переход между узловыми точками с различными
промежуточными точками для доказательства теоремы Генке.
41. Дайте обзор семи свойств линий скольжения.
42. Построить и описать поле линии скольжения при внедрении прямоугольного пуансона в плоское полупространство в условиях плоской деформации при отсутствии трения на контактной поверхности.
43. Построить и описать поле линий скольжений при растяжении плоского образца.
44. Построить и описать поле линий скольжений для плоского
кольца, нагруженного по внутреннему контуру равномерно распределенной растягивающей нагрузкой.
45. Перечислите основные задачи, решаемые методом СМПД.
46. В каком виде используют в методе СМПД условие пластичности.
47. Какие величины задают в методе СМПД на границе?
48. Приведите алгоритм определения деформаций в методе
СМПД.
49. Чем обеспечивается точность определения деформаций в
методе СМПД?
50. При каких условиях рекомендуется использовать метод
СМПД?
51. Что означает условие монотонности деформаций?
52. Записать уравнения, связывающие компоненты напряжений и деформаций и расшифровать все величины, входящие в эти
формулы.
53. Алгоритм решения задачи методом СМПД.
54. Как определяются показатели вида напряженного и деформированного состояния в СМПД?
385
6.11 Задачи и упражнения
1. Определить выражения для полного, удельного и безразмерного деформирующего усилия при осадке цилиндрической заготовки диаметром d и высотой h под плоскими шероховатыми плитами. Нормальные напряжения на контактной поверхности подчиняются закону:
2
z T 1 0,5d 2
d
h
.
2. Найти выражения для полного, удельного и безразмерного
деформирующего усилия при протяжке круглой заготовки диметром d в вырезных бойках шириной L. Нормальные напряжения на
контактной поверхности подчиняются закону:
4 L2
T 1
z 2 .
dL 4
3. Определить выражения для полного, удельного и безразмерного деформирующего усилия при неполной прошивке заготовки диаметром D круглым пуансоном диаметром d. Толщина слоя металла
под пуансоном равна h. Закон распределения нормальных напряжений
на контактной поверхности пуансон-заготовка имеет вид
D 0,5
z T 1 1,1ln
.
d
h
4. Определить уравнения для расчета полного и удельного деформирующего усилия при внедрении цилиндрического пуансона с
гладким шаровым торцом в пластическую среду (металл). Распределение нормальных напряжений на контактной поверхности при
отсутствии трения имеет вид
n T 1 ,
2 R
386
где σТ = 40 МПа; R – радиус цилиндрического пуансона,
R = (10 + N) мм, N – номер студента в списке группы; ϼ – текущий
радиус в плоскости, перпендикулярной оси пуансона.
Построить в масштабе: а) эпюру распределения нормальных
напряжений по сферической контактной поверхности пуансона с
металлом при его внедрении на глубину h = (0,5 + 0,01N)R мм, используя три расчетные точки ϼ = 0, ϼ = 0,5r, ϼ = r, где r – радиус,
определяющий проекцию контактной поверхности на плоскость,
перпендикулярную оси пуансона; б) график изменения полного деформирующего усилия от глубины внедрения пуансона в пластическую среду, используя три расчетные точки 0; 0,5h; h.
5. Составить упрощенное уравнение равновесия для протяжки
цилиндрической заготовки диаметром d в вырезных бойках тремя
способами: а) упрощение системы дифференциальных уравнений
равновесия в частных производных; б) вывод приближенного уравнения равновесия на основе равновесия всех сил, действующих на
бесконечно – малый объем в очаге пластической деформации; в) интегрирование одного из двух дифференциальных уравнений в частных производных.
6. Составить приближенное уравнение равновесия в полярной системе координат ρ, θ для длинномерной толстостенной трубы, нагруженной внутренним давлением p и находящейся в пластическом состоянии. Провести совместное решение приближенного уравнения
равновесия совместно с приближенным условием пластичности.
7. Составить упрощенное уравнение равновесия при осадке
длинномерной клиновой поковки под плоскими наклонными шероховатыми плитами (рис. 144) на основе уравнений равновесия в полярной системе координат ρ, θ.
8. Получить упрощенное уравнение равновесия для плоского
деформированного состояния из рассмотрения равновесия всех сил,
действующих на выделенный элемент в очаге пластической деформации при осадке длинномерной прямоугольной полосы.
387
9. В области калибрующего пояска канала матрицы длиной L,
используемой для прессования полосы толщиной B, выделить бесконечно-малый элемент объема. Показать все напряжения, действующие на выделенный элемент. Получить приближенное уравнение
равновесия, произвести его интегрирование.
Рис. 144. Схема осадки длинномерной клиновой поковки
под плоскими наклонными шероховатыми плитами
10. Методом решения приближенных уравнений равновесия и
пластичности определить закон распределения нормальных напряжений на контактной поверхности, полное деформирующее усилие при
осадке длинномерной полосы шириной 2b , высотой 2h между плоскими шероховатыми плитами приняв допущение, что контактные касательные напряжения изменяются по закону Зибеля τк = μσт .
11. Составить упрощенное уравнение равновесия при прокатке
широкой полосы между шероховатыми валками, вращающимися в
разные стороны, на основе дифференциальных уравнений равновесия в полярной системе координат ρ, θ, заменив в очаге пластической деформации дугу захвата хордой.
12. Методом решения приближенных уравнений равновесия
и пластичности определить закон распределения нормальных
напряжений на контактной поверхности, полное деформирующее усилие при осадке цилиндрической заготовки диаметром d и
388
высотой h между плоскими шероховатыми бойками приняв допущение, что контактные касательные напряжения изменяются
по закону Зибеля τк = μσт .
13. Составить упрощенное уравнение равновесия при прессовании круглого прутка из контейнера диаметром D на основе равновесия всех сил, действующих на бесконечно-малый объем в очаге
пластической деформации, имеющего форму цилиндра, в системе
координат ρ, z.
14. Используя совместное решение приближенного уравнения
равновесия и условия пластичности определить величину напряжений во фланцевой части листовой заготовки из неупрочняемого металла для операции вытяжки без утонения и без прижима.
15. По условиям задачи 14 вычислить предельное теоретическое значение коэффициента вытяжки К = D3/d, где Dз – диаметр
заготовки, d – диаметр пуансона.
16. Методом решения приближенных уравнений равновесия и
пластичности определить закон распределения нормальных напряжений на контактной поверхности, полное деформирующее усилие
при осадке длинномерной полосы шириной 2b, высотой 2h между
плоскими шероховатыми плитами приняв допущение, что контактные касательные напряжения изменяются по линейному закону
𝑥
𝑏
τк = μσ𝑠 , σ𝑠 const.
17. Построить сетку траекторий главных нормальных напряжений и сетку линий скольжения при растяжении плоского образца до
пластического состояния.
18. Построить сетку линий скольжения и определить нормальные контактные напряжения P без учета сил трения для следующих
случаев:
а) внедрение плоского пуансона в углубление (рис. 145, а);
б) внедрение плоского пуансона в полость (рис. 145, б);
в) при сжатии тупого клина (рис. 146);
389
г) при частичном внедрении пуансона с круговым сечением в
пластическое полупространство (рис. 147).
а
б
Рис. 145. Внедрение плоского пуансона в углубление
Рис. 146. Сжатие тупого клина
Рис. 147. Внедрение пуансона
19. Построить сетку траекторий главных нормальных напряжений с шагом θ = 150 и линий скольжения на одной четвертой части
площади поперечного сечения длинномерной толстостенной
трубы, находящейся в пластическом состоянии под действием внутреннего давления Р.
Указание.
Для построения семейства линий скольжения использовать уравнение логарифмической спирали: ρ = 𝑟 ∙ 𝑒𝑥𝑝𝐴θ, А = ctgα. Так как линии скольжения наклонены к траекториям главных нормальных
напряжений под углом α = 450, то А = ctgα = 1. Следовательно ρ = 𝑟 θ .
20. По условиям задачи 19 построить эпюры главных нормальных напряжений по толщине стенки длинномерной трубы и найти
внутреннее давление Р, обеспечивающее переход трубы в пластическое состояние.
390
21. Построить поле линий скольжения при деформации идеально пластического металла без учета сил внешнего трения для
следующих случаев:
а) при протяжке полосы между узкими бойками (рис. 148);
б) при волочении плоской полосы (рис. 149).
Указание.
Использовать для построения двухцентровую веерную сетку.
Рис. 148. Схема протяжки полосы между узкими бойками
Рис. 149. Схема волочения плоской полосы
22. Выяснить напряженно-деформированное состояние на свободной поверхности торца прошиваемой заготовки в зоне наплыва
в начальный момент времени операции (рис. 133), если диаметры
круговых рисок до и после начала прошивки будут соответственно
2𝑅1 = 75 мм, 2𝑅2 = 81 мм, 2𝑟1 = 67 мм, 2𝑟2 = 77 мм, σ𝑆 = 52 МПа.
23. На поверхности листа толщиной 1 мм из материала ОТ4-1
была нанесена координатная сетка в виде кругов размером
d = 10 мм. После деформации круг сетки превратился в эллипс с
391
размерами а =11 мм, в = 9,6 мм. Считая, что главные оси совпадают
с осями эллипса, определить δ1 , δ2 и δ3 , δ𝑖 , σ1 и σ2 , если кривая
истинных напряжений аппроксимирована степенной функцией
σi = кδ𝑖 𝑛 , где k и n константы, n = 0,116, k = 944 МПа.
24. Определить удельное давление, необходимое для выдавливания стержневой части поковки через коническую матрицу без калибрующего участка, если касательные напряжения на контактной
поверхности постоянны.
Указание.
1. При решении задачи использовать сферическую систему координат.
2. Принять, что смещение частиц в очаге деформации происходит только по радиусам ρ, тогда 𝑢φ = 𝑢θ = 0.
3. При интегрировании использовать формулу:
dV 21 cos 2 d,
где γ – угол конусности матрицы; 𝑑𝑉 – элементарный объем.
25. Провести анализ поля напряжений при установившемся
процессе вытяжки с утонением стенки из неупрочняемого материала. Коэффициенты трения по пуансону и матрицы принять равными между собой.
Указание.
1. Уравнение равенства работ необходимо составлять к бесконечно малым элементам очага пластической деформации.
2. При решении использовать полярную систему координат.
26. Определить усилие осадки полосы из идеально пластичного материала 2в, высотой 2h и длиной l значительно превышающей ширину между плоскими плитами, в условиях равномерной деформации и постоянства напряжений трения на контактных поверхностях.
Указание.
u x dx c.
392
27. Определить нормальную силу на пресс-шайбе, необходимую для преодоления сил трения на поверхности конической матрицы при прессовании круглого прутка из круглой заготовки, если
скорость движения частиц изменяется по закону:
Vx VH
DH2
, K T .
Dx2
Указание.
Использовать равенство мощностей.
28. Определить нормальную силу на пресс-шайбе при прессовании круглого прутка из круглой заготовки, необходимую для преодоления сил трения:
а) на боковой поверхности контейнера,
б) на поверхности калибрующего пояска.
29. Определить усилие прямого прессования сплошного
прутка из идеально-пластического металла диаметром d1 из круглого контейнера диаметром d0 через матрицу с углом конусности
2α.
30. Определить методом верхней оценки удельное деформирующее усилие при внедрении плоского пуансона в пластическое полупространство без учета сил трения.
Указание.
Преобразовать непрерывное поле линий скольжения в кинематически возможное путем замены дуг отрезками прямых линий.
31. Построить сетку линий скольжения при осадке цилиндрической заготовки постоянного по высоте поперечного сечения без
учета сил трения на контактной поверхности с инструментом.
393
ГЛАВА 7 ТЕМПЕРАТУРНЫЕ, СКОРОСТНЫЕ
И ДЕФОРМАЦИОННЫЕ УСЛОВИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО
ДЕФОРМИРОВАНИЯ МЕТАЛЛОВ
7.1 Классификация видов пластической деформации
Основные критерии деления пластической деформации на
виды – это температура, степень и скорость деформации. Они определяют соотношение процессов упрочнения (наклеп) и разупрочнения (возврат, рекристаллизация) в деформируемом металле.
Явление, связанное с повышением прочностных свойств металлов (σв , σт ), называется упрочнением. Если в ходе пластической
деформации прочностные характеристики понижаются, то речь
идет о разупрочнении металлов. В зависимости от того, какой из
процессов является преобладающим, результаты деформации будут
различны. По С.И. Губкину в зависимости от величины температуры нагрева металла различают холодную, неполную холодную,
неполную горячую и горячую пластическую деформации.
В табл. 1 приведена классификация видов пластической деформации по температуре.
Таблица1. Классификация видов деформации по температуре
Гомологическая
Вид деформации
температура, 0К
Холодная
менее 0,3Тпл
Неполная холодная
0,3Тпл÷0,5Тпл
Неполная горячая
0,5Тпл÷0,7Тпл
Горячая
более 0,7Тпл
394
Холодную пластическую деформацию проводят ниже температуры возврата при Т≤ 0,3Тпл, где Тпл – абсолютная температура
плавления металла по Кельвину.
Холодная деформация сопровождается высоким эффектом
упрочнения и относительно малыми пластическими свойствами металла. Чем больше степень деформации, тем выше степень упрочнения металлов.
Неполную холодную пластическую деформацию проводят при
температурах (0,3-0,5) Тпл. Рекристализация отсутствует, но процесс возврата успевает произойти, что повышает ресурс пластичности металла путем снятия остаточных напряжений.
Неполную горячую пластическую деформацию проводят при
температурах, близких к температуре рекристаллизации, в интервале (0,5-0,7)Тпл. Скорость деформирования выбирают такой, что в
процессе пластической деформации рекристаллизация происходит
не полностью. Металл содержит два типа микроструктур: упрочненные деформированные зерна и разупрочнённые рекристаллизованные зерна. Это приводит к неравномерности деформации при
пластическом деформировании металлов давлением.
Горячая деформация проводится при температурах выше
0,7 Тпл, но ниже 0,9 Тпл и с такой скоростью деформирования, что
металл получает полностью рекристаллизованную структуру.
Горячая деформация является наиболее благоприятной для деформирования металлов. Она улучшает структуру и механические
свойства. При правильно выбранных температурно-скоростных
условиях и степени обжатия в результате горячей деформации получается мелкозернистая структура, за счет чего повышаются показатели сопротивления деформированию и пластичности.
Достоинство горячей деформации в сравнении с холодной: получение мелкозернистой структуры, повышение пластичности металла, применение оборудований меньших усилий, устранение промежуточного отжига, меньшая опасность разрушения металла.
395
К недостаткам можно отнести: низкое качество поверхности
изделий, снижение точности размеров, неоднородность структуры
и свойств по объему металла.
Горячая деформация является обязательной технологической
операцией в процессах ковки и горячей объемной штамповки, горячей прокатки и горячего прессования.
Достоинство холодной деформации – это получение точных
размеров и хорошей поверхности изделий, тонких полуфабрикатов,
изготовление нагартованных изделий, формирование рациональной
анизотропии механических свойств, повышение прочностных
свойств.
К недостаткам можно отнести: понижение коррозионной стойкости, пластичности, электропроводности.
Холодная деформация является обязательной технологической
операцией в процессах холодной прокатки листов, холодной листовой штамповки, холодного волочения проволоки и прутков, холодного выдавливания.
7.2 Тепловой эффект деформации
Часть энергии, расходуемой на пластическую деформацию металла, превращается в тепловую энергию. Вследствие выделенного
тепла температура металла повышается. Это явление получило
название теплового эффекта деформации. Тепловой эффект зависит от скорости деформирования и степени деформации. При прочих равных условиях тепловой эффект зависит от температуры и
уменьшается с его повышением.
Коэффициент выхода тепловой энергии:
nвых
396
Aт
,
A
где Aт количество работы, расходуемое на повышение температуры металла на величину ∆Тε, А – величина полной работы при
пластической деформации заготовки.
Губкин С.И. показал, что коэффициент выхода тепловой энергии для чистых металлов Al, Mg, Cu, Fe (0,85-0,90), сплавов:
nвых 0,75 0,85.
На рис. 150 показано изменение температуры алюминиевой
полосы при горячей и холодной прокатке с учетом теплового эффекта при пластическом деформировании в зависимости от начальной температуры деформации по проходам. При холодной прокатке
полосы температура металла с 20 ℃ повышается в последнем проходе до 180 ℃.
При горячей прокатке полосы температура металла понижается с 480 ℃ до 330 ℃. Если прокатывать металл с 200 ℃, то после
11 проходов его температура практически не изменяется, так как
одновременно происходит уменьшение температуры металла за
счет теплоотдачи и разогрев за счет теплового эффекта.
При расчете теплового эффекта ∆Т𝜀 примем допущение, что
пластическая деформация металла – это адиабатический процесс,
когда все тепло при формоизменении не успевает рассеяться в окружающую среду, а остается в металле. При этом температура металла повышается.
TМe T0 T ,
где Т0 – исходная температура металла.
Количество тепла, необходимое для разогрева металла с массой m с удельной теплоемкостью С от температуры Т1 до температуры Т2 равно:
Q mCT2 T1 VCT ,
где ρ –плотность металла; V – объем металла заготовки.
397
Полная работа пластической деформации:
A Pуд VCM PудV ln emax .
где 𝑃уд – среднее удельное усилие в рассматриваемом процессе;
𝑉СМ – смещенный объем металла; 𝑒𝑚𝑎𝑥 – максимальная деформация в одном из главных направлений.
Рис. 150. Изменение температуры по проходам при горячей
и холодной прокатке
Используя закон сохранения энергии Q вых A, получим:
Т вых
Руд ln emax
C
.
Тепловой эффект появляется неравномерно по всему объему
металла. Он проявляется интенсивнее в тех местах заготовки, где
локализуются пластические деформации.
Таким образом, учет теплового эффекта в процессах пластического деформирования необходим для правильного (научно обоснованного) выбора температурно-скоростного режима деформирования, температуры нагрева заготовки перед осуществлением процесса горячей обработки давлением, для определения последеформационных свойств готовой продукции.
398
7.3 Выбор температурного интервала горячей пластической
деформации
Для горячей обработки металлов давлением при установлении
температурного режима, определяемого температурой начала Тн и
конца Тк данного процесса, используются следующие диаграммы:
состояния, пластичности и рекристаллизации (рис. 151 – 153).
Рис. 151. Диаграмма состояния системы АL-Mg
Рис. 152. Диаграмма пластичности алюминиевого сплава АМг5
399
Рис. 153. Диаграмма рекристаллизации для меди
Температурный режим выбирают так, чтобы при верхних предельных температурах Тн не происходило перегрева или пережога
металла, а при нижних температурах Тк усилие деформации оказалось меньше паспортного усилия оборудования.
По диаграмме состояния сплавов на рис. 151 предварительно
определяется интервал температур для горячей пластической деформации металлов .
Верхний предел температурного интервала Тн ограничивает
линия солидуса Т𝑠 , т.е. Тн ≤ 0,9Т𝑠 . Нижний предел температурного
интервала пластической деформации Тк определяется кривой изменения фазового состояния. Его принимают на (20-30)% выше линии
ограниченной растворимости в твердом виде, так как деформация
металла в двухфазной области приводит к снижению пластичности.
Для уточнения температурного интервала необходимо использовать диаграмму пластичности (рис. 152), по которой по параметрам
δ и Ѱ находится участок максимальной пластичности и по параметрам σв , σт – минимальное сопротивление деформированию. Он
показан на рисунке пунктирной линией и определяет для алюминиевого сплава АМг5 температурный интервал горячей деформации.
400
По диаграмме рекристаллизации (рис. 153) можно определить
величину зерна, которое будет образовываться в металле при выбранном температурном режиме и степени деформации. Из диаграммы видно, что размер зерна уменьшается с увеличением степени деформации и увеличивается с увеличением температуры
нагрева.
Начальная температура нагрева металла Тнагр с учетом температуры деформации Тд, теплового эффекта ∆Тε и падения температуры ∆Ттр при транспортировке металла к оборудованию.
Tнагр TД Tтр Т ,
где ∆Ттр – падение температуры при транспортировке.
Tтр Vохл тр ,
где 𝑉охл – скорость охлаждения; τтр – время транспортировки.
7.4 Сопротивление металлов при пластической деформации
Сопротивление деформации металла – это важнейший параметр пластического деформирования, позволяющий судить о его
прочности и пластичности. В общем виде сопротивление деформации 𝑆∂ по сравнению с исходным значением в начале пластической
деформации σт является характеристикой всего процесса деформирования и характеристикой свойств обрабатываемого металла и параметров деформации: степени деформации, скорости деформации
и температуры нагрева, внешнего трения. Величина сопротивления
деформации входит в условие пластичности, физические уравнения
теории пластичности, формулы для расчета деформирующих усилий и определяется главным образом на основе экспериментальных
данных, представленных в виде таблиц, графиков и эмпирических
формул.
401
Основным показателем, влияющим на сопротивление деформации при холодной пластической деформации металлов является
степень деформации. В этом случае рекристаллизация и разоупрочнение отсутствует, происходит только упрочнение. Сопротивление
деформации, как показывают эксперименты, не зависит от скорости
деформации.
Зависимость между сопротивлением деформации и степенью
деформации описывают кривыми упрочнения (рис. 154).
Рис. 154. Зависимость между сопротивлением деформации
и степенью деформации
Формула, описывающая кривую упрочнения для развитых пластических деформаций, имеет вид:
S то a n ,
где σто – предел текучести металла до начала пластической деформации, определяемый в статических условиях при линейном растяжении; а, n – эмпирические коэффициенты, зависящие от природы
металла и определяемые из условия аппроксимации опытных данных.
Механические свойства большинства металлов и сплавов,
например алюминиевых сплавов, характеризуются кривыми упрочнения, не имеющими ярко выраженной площадки текучести. Такие
кривые аппроксимируются степенной функцией. В самом общем
виде связь напряжений и деформаций имеет вид:
402
i T i
T
nv
,
где σi ,εi – интенсивность напряжений и интенсивность деформаций; S ,S – сопротивление деформации (предел текучести) и соответствующая ему деформация (предел упругой деформации); n –
численный коэффиицент, определяемый из опыта, 0 n 1 ;
1 – коэффициент, определяющий направление выпуклости
графика. Для большинства поликристаллических металлов 1.
Температура нагрева металла оказывает сильное влияние на
величину сопротивления деформации. О ходе изменения показателей прочности и пластичности можно судить по приведенным на
диаграмме пластичности графикам (рис. 152). Из графиков видно,
что нагрев увеличивает пластичность и уменьшает сопротивление
деформации.
Для аналитического определения зависимости сопротивления
деформации от температуры нагрева предложен ряд формул.
Например,
S MemT ,
где M и m – константы, зависящие от природы деформируемого металла; Т – абсолютная температура нагрева.
Скорость деформации оказывает двоякое влияние на процессы
горячей обработки металлов давлением. С одной стороны, повышение скорости деформации приводит к понижению пластичности и
повышению сопротивления деформации, если скорость упрочняющих процессов выше скорости разупрочняющих процессов. С другой стороны, при деформировании с высокими степенями и скоростями деформации происходит разогрев металла, тепло не успевает
рассеиваться в пространстве. Скорость разупрочняющих процессов
в период деформирования больше скорости упрочняющих процессов, сопротивление деформации уменьшается.
403
Для ориентировочных расчетов С.И. Губкин предложил пользоваться «скоростными коэффициентами», которые позволяют рассчитать сопротивление деформации при данной скорости, если оно
известно при статическом нагружении (табл. 2).
Таблица 2. Значения скоростных коэффициентов
Изменение
скорости
деформации
Гомологическая температура
Тдеф
< 0,3
Тпл
Тдеф
= 0,3 ÷ 0,5
Тпл
Тдеф
= 0,6 ÷ 0,7
Тпл
Тдеф
> 0,7
Тпл
10
1,05÷1,10
1,10÷1,15
1,15÷1,30
1,30÷1,50
100
1,10÷1,22
1,22÷1,32
1,32÷1,70
1,70÷2,25
1000
1,16÷1,34
1,34÷1,52
1,52÷ 2,20
2,20÷3,40
при ударной
нагрузке
1,06÷1,14
1,25÷1,75
1,75÷ 2,50
2,50÷3,50
Скорость деформации существенно влияет на сопротивление
деформации, следовательно, и на удельное давление руд и тепловой
эффект ∆Тε.
Для практических расчетов процессов горячего деформирования при определении влияния скорости деформации на сопротивление деформации можно использовать, например, эмпирическую зависимость М.А. Зайкова:
S
T0 0
K пр
,
где 𝑆∂ – сопротивление деформированию при скорости деформации ξ;
σто – сопротивление деформированию при скорости деформации ξ0 ;
Кпр – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств металла (табл. 3).
404
Таблица 3. Значение σт0 и Кпр при 𝜉0 = 1,0с−1
8000С
сталь
9000С
10000С
11000С
12000С
σт0
Кпр
σт0
Кпр
σт0
Кпр
σт0
Кпр
σт0
Кпр
25
203
0,129
149
0,156
105
0,175
76
0,184
-
-
45
205
0,11
141
0,12
108
0,13
81
0,17
61
0,2
50
-
-
172
0,12
124
0,135
93
0,151
66
0,183
Если влиянием степени деформации можно пренебречь, то
совместное влияние температуры и скорости деформации на деформационное поведение металлов можно описать параметром
Зинера-Холломона:
Q
Z exp
.
RT
В выражении ξ и T соотвественно скорость деформации и абсолютная температура деформации, R =8,314 Дж/моль К – газовая
постоянная, а Q –энергия активации процесса.
Сопротивление деформации определяется выражением:
S
1
0,25
arch Z / A ,
где А, α, n – константы исследуемого металла.
В общем случае сопротивление деформации при горячей обработки металлов давлением зависит от степени деформации, скорости деформации и температуры нагрева, т.е.:
S ab c d ,
где а, b, c, d – эмпирические коэффициенты, зависящие от природы
материала. Например, для определения сопротивления деформации
при горячей обработке давлением А.В. Третьяков и В.И. Зюзин
предложили следующую формулу:
405
T a k l e mT ,
где ε – степень деформации, ω – скорость деформации, Т – температура (oC), a, k, l, m – коэффициенты, зависящие от марки стали.
Формула действительна для ε = 0,05-0,40; ω = 0,1–100 с-1.
Если в качестве базиса механических свойств металла взять
предел текучести до начала деформирования, то фактическое сопротивление деформированию, например, в процессе прокатки
можно представить уравнением:
S T nt nH nv ,
где 𝑛𝑡, 𝑛н , 𝑛𝑣 – коэффициенты, учитывающие влияние на сопротивление деформации соответственно температуры, наклепа и скорости деформации.
7.5 Выводы
В процессах пластического деформирования металлов по отношению к температуре нагрева заготовок различают следующие
виды деформаций: холодная, неполная холодная, неполная горячая
и горячая. Температура нагрева определяет соотношение процессов
упрочнения и разупрочнения, происходящих параллельно в деформируемом теле.
Холодная пластическая деформация происходит при температурах ниже температуры возврата и сопровождается упрочнением
металла. В неполной холодной деформации имеет место неполное
упрочнение с одновременным возвратом. Рекристаллизация отсутствует. В неполной горячей деформации происходит возврат и рекристаллизация. При горячей деформации происходит залечивание
дефектов, полная рекристаллизация и образуется равноосная структура.
406
Основное преимущество горячей деформации в сравнении с
холодной – значительное уменьшение сопротивления деформированию и увеличение пластичности при повышении температуры
нагрева.
Основная задача при определении температурно-скоростных
условий деформации состоит в определении температурного интервала, при котором наблюдаются оптимальная пластичность и минимальное сопротивление деформации. Для горячей обработки металлов давлением при установлении температурно-скоростного режима необходимо принимать во внимание диаграммы: состояния;
пластичности и рекристаллизации, а также тепловой эффект деформации. По диаграмме состояния предварительно определяется интервал температур для обработки давлением. Поэтому наряду с ней
необходимо использовать диаграмму пластичности, которая дает
наглядную картину изменения пластических характеристик и способности к деформированию в зависимости от температурных условий. По диаграмме рекристаллизации можно определить величину
зерна, которое будет образовываться при выбранном температурном интервале деформации. Проверка установленного температурного режима деформации осуществляется по эмпирическим формулам или по графикам зависимости сопротивления деформации от
температуры нагрева и скорости деформации, по которым определяется возможность использования силового оборудования и размеров заготовки в производственных условиях.
Величина сопротивления металлов деформации определяет
расчет и проектирование деформирущего инструмента, выбор оборудования, установление рациональных режимов технологических
процессов пластического деформирования металлов, испытание и
подбор материалов с определенными механическими свойствами.
На сопротивление деформированию влияют следующие факторы: природа металла; степень деформации; температурно-ско-
407
ростные условия деформации; схема напряженного и деформированного состояния; размер зерна; тепловой эффект. Основными из
них являются температурно-скоростные условия и степень деформации.
7.6 Контрольные вопросы
1. Перечислите критерии деления видов пластической деформации.
2. Какие явления связаны с процессом упрочнения?
3. Какие явления связаны с процессом разупрочнения?
4. При каких температурах проводят холодную деформацию?
5. При каких температурах проводят неполную холодную пластическую деформацию?
6. При каких температурах проводят неполную горячую пластическую деформацию?
7. При каких температурах проводят горячую пластическую
деформацию?
8. Как влияет скорость деформации на процессы горячей обработки металлов давлением?
9. Назовите наиболее благоприятный вид пластической деформации для деформирования металлов.
10. Опишите тепловой эффект деформации.
11. Какие факторы влияют на величину теплового эффекта деформации?
12. На основании какого закона получают формулу для расчета
теплового эффекта деформации?
13. Какие диаграммы используют при установлении температурного режима горячей деформации?
14. Как выбирают верхнюю границу температурного режима
горячей деформации?
408
15. Как выбирают нижнюю границу температурного режима
горячей деформации?
16. По какой диаграмме можно определить величину зерна, которое будет образовываться при выбранном температурном режиме?
17. Расшифруйте термин «сопротивление деформации».
18. Как определяют сопротивление деформации при холодной
деформации?
19. Как определяют величину сопротивления деформации при
различных температурах и скоростях деформации?
20. В чем отличие предела текучести металла до деформации
от сопротивления деформации в процессе его обработки?
7.7 Задачи и упражнения
1. Определить температуру горячей обработки алюминиевых
сплавов ТН при операции осаживания с ε = 40%, если ρ = 2670 кг/м³,
с = 0,21 + 0,0175 Мg, ТS = 650 – 13,3 Мg.
Вариант
1
2
3
4
Сплав
АМг2
АМг3
АМг6
АД1
σS при ТН , МПа
30
40
50
24
Mg, %
2,4
3,5
6,3
0,0
2. В результате опытов установлена следующая зависимость
σT от скорости деформации 𝑒̇ и температуры Т для сплава АД .
Вариант
1
2
3
4
Т,ºС
20
200
400
600
𝑒̇ = +10−2
8,4
5,1
1,75
0,53
1
𝑐
𝑒̇ = 1
9,2
6,1
2,85
1,22
1
𝑐
𝑒̇ = 102
10,7
8,0
4,8
2,95
1
𝑐
𝑒̇ = 103
1
𝑐
11,4
8,75
6,1
4,2
409
а) Показать, при каком температурном интервале скорость деформации оказывает более сильное влияние на величину сопротивления деформации;
б) Объяснить причину разного влияния скорости деформации
при горячей и холодной деформации.
3. Рассчитать теоретические значения σ𝑠 по формулам, учитывающим влияние скорости деформации. Путем сравнения с опытными данными (см. задачу 2) определить, для каких температур
σ
𝑒̇
справедливо соотношение 𝑙𝑔 σ T = Кпр 𝑙𝑔 𝑒̇ .
𝑠0
0
При расчeтах принять:
К
1) σ пр = 0,03, φ = 0,03 при Т = 20ºС;
T0
Кпр
2) σ
T0
3)
4)
Кпр
σT0
Кпр
σT0
= 0,061, φ = 0,05 при Т = 200ºС;
= 0,18, φ = 0,108 при Т = 400ºС;
= 0,4, φ = 0,18 при Т = 600ºС.
4. Может ли уменьшиться сопротивление деформации при повышенной скорости деформации?
5. Объяснить, к какому виду деформации (холодной или горячей) надо отнести: а) прессование свинца при комнатной температуре; б) деформацию стали на молотах при 400ºС.
Указание.
Использовать соотношение
Трекр ≅ 0,4 ∙ Тпл ,
где Трекр и Тпл – абсолютные температуры рекристаллизации и
плавления соответственно, в градусах Кельвина.
6. Объяснить, почему при горячей обработке металлов давлением не рекомендуется проводить последнюю операцию с малой
степенью обжатия и как может такая деформация влиять на величину зерна и свойства металла.
410
7. Объяснить, можно ли отличить по микроструктуре металл,
деформированный в холодном состоянии, от металла, деформированного в горячем состоянии; указать, в чeм заключается различие
в микроструктуре.
8. Три образца низкоуглеродистой стали подвергались холодной деформации: первый – на 5%, второй – на 15%, третий – на 30%,
а затем нагревались на 700ºС. Указать, в каком образце в результате
нагрева до 700ºС зерно будет более крупным и как влияет рост зерна
на пластические свойства стали.
9. Рекомендовать режим обработки (температуру нагрева) холоднодеформированной латуни, если необходимо сохранить без значительного снижения повышенную прочность, созданную холодной деформацией, но снять часть возникших при этом напряжений.
10. Объяснить, можно ли создать значительное упрочнение
свинца, если подвергнуть его деформации при комнатной температуре.
11. Изогнутый в холодном состоянии пруток латуни подвергают рекристаллизации для снятия наклепа. Указать, будет ли иметь
пруток после рекристаллизации по сечению одинаковые по размеру
зерна.
12. Определить усилие протяжки круглой заготовки в вырезных бойках на гидравлическом прессе и паровоздушном молоте. Заготовка из стали 30ХГСА деформируется с диаметра d0 = 250 мм до
диаметра d = 200 мм со скоростью деформирования на прессе
0,112 м/с и на молоте со скоростью 8 м/с. Температура заготовок
11200С, длина очага деформации l0 = 150 мм, коэффициент трения
0,4.
Указание. Усилие при протяжке круглой заготовки определяется из выражения:
2 l
P d K l0 T 1 0
3 dk
.
411
13. Определить температуру начала горячей обработки при выдавливании круглого прутка диаметром 30 мм из контейнера 210 мм
через плоскую матрицу. Материал заготовки сталь 45. Скорость истечения 1,5 м/мин, Температура начала плавления стали
45 Тs = 1492°С, плотность ρ = 7854 кг/м3, удельная теплоемкость в
интервале температур 1200÷1300°С равна с̅ = 0,675
кДж
,
кг∙℃
предел
текучести T0 15 МПа при скорости деформации е̇ 0 = 0,01 с−1.
Указание.
Учет влияния скорости деформации на сопротивление деформированию учесть скоростным коэффициентом (табл. 2, стр. 404).
14. Определить температуру горячей обработки для стали 50 в
процессе осадки цилиндрической заготовки первоначального диаметра 100 мм и высотой 150 мм до высоты 80 мм на молоте со скоростью деформирования 7 м/с. Температура начала плавления стали
50 Тs = 1495°С, плотность ρ = 7854 кг/м3, удельная теплоемкость в
интервале температур 1200÷1300°С равна с̅ = 0,675
кДж
, предел
кг∙℃
те-
кучести T0 15 МПа.
15. Деформации подвергались два образца из технического железа и молибдена с малыми скоростями деформации при температуре 11000С. Определить к какой температурной обработке относятся эти процессы, если температура плавления железа 1530°С, молибдена 2630°С.
16. Определить среднюю температуру профиля при выходе из
матрицы, если коэффициент вытяжки λ = 60, σT = 80 МПа. Температура нагрева заготовки 420°С. В расчетах принять с̅ = 870
Дж
,
кг∙℃
ρ = 2700 кг/м³, µ = 0,3.
17. Определить приращение температуры при осадке цилиндрической заготовки диаметром 100 мм с высоты 200 мм до 60 мм.
Дж
Температура нагрева заготовки 4000С, с̅ = 870 кг∙℃, ρ = 2700 кг/м³,
µ = 0,3, σT = 50 МПа, ηвых = 0,90.
412
ГЛАВА 8 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
8.1 Метод координатной делительной сетки
Для изучения деформации металла наибольшее распространение получил метод координатной делительной сетки. Сущность
этого метода заключается в следующем. На меридиональное сечение осесимметричной заготовки наносят систему геометрических
меток определенной конфигурации в виде линий, точек, кругов,
квадратов.
Исследуемая заготовка предварительно разрезается, на плоскость разреза наносится сетка (рис. 155). Затем части заготовки составляют вместе по поверхности разъема, предварительно покрытого специальным составом (например, машинное масло, жидкое
стекло и т.п.), предохраняющим их от сварки и подвергают прессованию как цельное металлическое тело. После формоизменения заготовка вновь разнимается и по ней изучают происшедшие на различных участках изменения координатной сетки.
Рис. 155. Эскиз составной круглой заготовки с координатной сеткой
413
Основные параметры деформации в пределах ячейки координатной сетки определяются путем сопоставления конечной и
начальной формы и размерами ячейки. В пределах объема ячейки
тело считается изотропным, а деформация однородной. Полученные данные рассматриваются как локальные, отнесенные к центру
ячейки.
Пусть исходная ячейка представляет собой квадрат с вписанной окружностью. После деформации ячейка превращается по Зибелю в параллелограмм и эллипс (рис. 156).
Рис. 156. Схема обработки координатной сетки
Обработка результатов производится в следующей последовательности:
1. Рассчитывается величина главных осей эллипса 𝑎1 и 𝑏1,
2
c2 d 2
c2 d 2
c 2 d 2sin 2 ,
a1
2
2
2
c2 d 2
c2 d 2
c 2 d 2sin 2 .
b1
2
2
Здесь в записи формул с и d – конечные размеры ребер,
ɣ – угол между ребрами.
414
2. Главные компоненты деформации определяются как натуральные логарифмы отношений главных осей эллипса к диаметру
исходной окружности:
a
b
e1 ln 1 , e2 ln 1 .
a0
b0
Отрицательное значение деформации свидетельствует о том,
что в этом направлении произошло уменьшение размеров ячейки.
3. Находят, с учетом несжимаемости e1 e2 e3 0 , интенсивность деформаций:
2
e12 e22 e1e2 .
3
4. Положение главной оси деформаций 1 вычисляется по формуле:
ei
1 b2
1
tg 1 12 tg
2 a1
2
b12
b2
1 2 tg 4 12 .
a
a1
1
Рассмотренный метод применим только к тем процессам или
их стадиям, которые выполняют условия монотонности. По условию монотонности в исследуемом процессе главные оси деформаций или скоростей деформаций должны совпадать с одними и теми
же материальными волокнами деформируемого тела. Вид пластической деформации должен оставаться неизменным.
Ve const
e1 e3
2 , V 1,1.
e
e1 e3
2
e2
8.2 Метод визиопластичности
Метод визиопластичности, предложенный Е. Томсоном, заключается в том, что экспериментальным путем определяется векторное поле перемещений материальных точек. На его основании
415
вычисляют поле скоростей течения металла и скорости деформаций, а затем при необходимости напряжения.
Если зафиксировать через промежуток времени ∆𝑡 = 𝑡 ′ − 𝑡 координаты узла координатной сетки до (i, j) и после деформаций
(𝑖 ′ , 𝑗 ′ ), то легко найти перемещения по осям координат, например,
для осесимметричной задачи:
U R ij Rij Rij , U z ij z ij z ij
и скорости течения:
VR ij U R i j , Vz ij U z i j
t
t
.
Компоненты тензора скоростей деформаций для осесимметричной задачи в узле (i, j):
z
V z
V
V
V
V
, R R , R , Rz z R
z
R
R
R
z
можно найти методом конечных разностей:
z ij
V z i j V z ij
z ij z ij
,
R ij
V R i j V R ij
Ri j Rij
и т. д.
Далее ведут расчет интенсивности скоростей деформаций:
i
2
3
R 2 z 2 z R 2 3 2Rz .
2
8.3 Метод линий тока
Для получения картины течения металла, например, при прокатке без уширения на плоскость образца, перпендикулярную к нулевой деформации, перед формоизменением наносят линии, параллельные движению металла, с одинаковым шагом ∆У0 . При деформации в установившемся процессе прокатки эти линии совпадают с
линиями тока (рис. 157).
416
Известно, что касательная в любой точке линии тока совпадает
с направлением вектора скорости элементарных частиц. Поэтому,
определяя вдоль экспериментально полученной линии тока угол
наклона касательной α, можно построить векторное поле скоростей
течения металла в очаге деформации при прокатке.
Рис. 157. Семейство линий тока при стационарном процессе прокатки
Для узлов сетки, полученной от пересечения линий тока и системы равноотстоящих вертикальных линий, параллельных оси y,
из условия постоянства секундных объемов следует:
Vx ij V0 Y0 ;
Yij
V
y ij
Vx ij tan; Vij
Vx ij 2 V y ij 2
,
где ∆𝑌0 и ∆𝑌𝑖𝑗 – расстояния между линиями тока в недеформируемой зоне и рассматриваемой точке соответственно; i, j – координаты
точки пересечения линий расчетной сетки; i – порядковый номер
линии тока, j – порядковый номер вертикальной линии, параллельной оси Y; 𝑉0 − скорость движения полосы на входе в валки.
Зная скорость V в соседних точках вдоль линий тока и расстояние между ними ∆ϑ, можно найти время перехода частицы из данной точки в следующую:
t
.
V
417
Для последующего дифференцирования необходим пересчет
значений 𝑉𝑥 и 𝑉у в узлы прямоугольного элемента расчетной сетки
очага деформации (рис. 158). Это можно сделать интерполяцией
компонент скоростей течения 𝑉𝑥 и 𝑉у в вертикальных сечениях очага
деформации.
Рис. 158. Расчетная сетка для расчета скоростей деформаций
Численным дифференцированием 𝑉𝑥 и 𝑉у методом конечных
разностей по двум направлениям x и y находится распределение
скоростей деформаций по всей пластической области:
х
V y
Vx
V V y
, y
, xy x
.
x
y
y
x
Далее для всех точек можно рассчитать интенсивность скоростей дефораций сдвига:
1
2
H 2x xy .
4
Для определения скоростей установившегося течения металла
можно использовать функцию тока ψ , а ее значение получают измерением координат линий тока: 𝑡𝑖 = 𝑉0 у𝑖 , где у𝑖 – координата от
оси симметрии до соответствующей линии тока в недеформированной зоне.
Компоненты скорости связаны с функцией тока следующими
соотношениями:
418
Vх
xy
xy
, Vy
.
y
x
Скорости деформаций находят дальнейшим дифференцированием функции тока:
х
2
2
2 2
, y
, xy 2 2 .
yx
xy
x
y
Для численного дифференцирования, естественно, значения
функции тока пересчитываются в узлы прямоугольной сетки
(рис. 155, а). С этой целью функция тока аппроксимируется полиномом четвертой степени:
y x const a0 a1 y a2 y 2 a3 y 2 a4 y 4 .
Коэффициенты полинома a0 ,a1 ,a2 ,a3 ,a4 можно рассчитать методом наименьших квадратов.
При расчете на компьютере скоростей течения и скоростей деформаций линии тока целесообразно представить в их естественном виде у = у(х, t).
V х V0 yt1 , V y V0 y x yt1 ,
х y , V0 yt3 ytx yt ytt y x ,
хy V0 yt3 ytt y xx yt2 2 ytx yt y x ,
где индексы при у соответствуют частным производным по указанным переменным.
Тогда область определения функции будет представлять собой
прямоугольную область (в отличие от области на рис. 158 ), что исключит процесс интерполяции внутри зоны очага деформации и повысит точность расчета (рис. 159, а).
Чтобы уменьшить влияние помех, связанных с неточностью
измерений координат линий тока, исходную информацию перед
численным дифференцированием сглаживают. Сглаживание состоит в замене измеренных значений y° в определенных точках на
419
новые значения у, вычисленные путем осреднения значений функции тока в последовательно расположенных точках, рис. 159, б.
а
б
Рис. 159. Область определения функции у = у(х, t) и схема сглаживания
ее значений
Чаще всего сглаживание производят в двух направлениях. В
направлении оси у сглаживание производится конечно-разностным
методом по трем смежным точкам:
y j
y j 1 2 y j y j 1
4
.
Аналогично функция тока сглаживается в направлении оси х:
yi
yi1 2 yi yi1
.
4
В граничных точках на входе и выходе очага деформации сглаживание проводится в предположении, что скорость входа и выхода
металла постоянна по сечению.
8.4 Определение нормальных контактных напряжений
Одним из методов определения нормальных контактных
напряжений σ𝑘 на границе «металл – инструмент» является метод
фольговых датчиков, предложенный Я.М. Охрименко.
420
На рис. 160, а представлена схема измерения σ𝑘 с помощью фольгового датчика. Для этого перпендикулярно поверхности инструмента
просверливаются отверстия 1 малого диаметра 1-2 мм и закрываются
фольгой 2 толщиной t = 0,1 – 0,3 мм из достаточно прочного и пластичного металла. После деформации металла на фольге остаются выпуклые
отпечатки, по высоте которых h судят о величине нормальных напряжений на поверхности контакта заготовки и инструмента. Для нахождения
σ𝑘 используют тарировочный график, связывающий величину σ𝑘 с глубиной отпечатка h (рис. 161).
а
б
Рис. 160. Схема измерений контактных напряжений с помощью фольговых
датчиков: а – измерение высоты отпечатка; б – тарировка датчиков
Рис. 161. Тарировочный график
Тарировка датчиков производится полиуретаном 4 в замкнутом объеме при различных значениях гидростатического давления
σ. Шайба 1 с отверстиями 2 и датчиками 3 устанавливается в контейнере 6 (рис. 160, б). При нажатии на пуансон 5 силой P в закрытой полости контейнера с помощью полиуретана создается гидростатическое давление. Нормальное напряжение, действующее на
поверхность шайбы, определяется по выражению:
421
k
P
,
FK
а средняя высота лунок:
hcp
iN1 hi
,
N
где 𝐹𝐾 – площадь контактной поверхности, FK D ; N – число от2
4
верстий на шайбе; hi – высота лунки в i-м отверстии; D – диаметр
контейнера для тарировки.
Метод фольговых датчиков имеет недостатки:
Не идентичность условий при образовании отпечатка на
фольге в процессе тарировки и эксперимента;
Фольговые датчики замеряют давление лишь в ограниченном количестве мест контактной поверхности. Измеренная величина давления является средней.
Одним из простых методов экспериментального определения
нормального контактного давления является метод листовых датчиков давления. Листовые датчики представляют собой профилированные пластинки, изготовленные методом отпечатка с помощью
специального инструмента (рис. 162).
Рис. 162. Схема изготовления листовых датчиков давления
1 – давильник; 2 – заготовка; 3 – профилированный пуансон
422
Сущность измерения контактного давления с помощью данных
датчиков состоит в том, что под действием нормального давления со
стороны рабочего валка происходит пластическая деформация
(осадка) выступов. По размерам деформированных выступов определяется значение давления p на контактной поверхности.
С целью оценки величины контактного давления p от размеров деформированных выступов производится тарировка датчиков
полиуретаном в замкнутом объеме при различных уровнях давления p .
Для определения усилий деформирования или распределения
нормальных контактных напряжений успешно используют силоизмерители, получившие название месдозы и тензометры (рис. 162).
Тензометр – это прибор для измерения деформаций. В настоящее время существует большое количество типов тензометров, которые классифицируются по различным признакам. При измерении
деформации рассматривается удлинение некоторого фиксированного участка на поверхности исследуемой детали. Длина этого
участка определяет базу тензометра. В зависимости от длины базы
различают тензометры с короткой базой (до 5 мм), средней базой
(порядка 20 мм) и длинной базой (30 мм и более). Ни один тензометр не способен определить деформацию в точке. Всегда определяется среднее значение деформации на базовом участке. Чем короче база, тем ближе среднее значение деформации к значению деформации в точке.
Месдозы преобразуют действующую на них нагрузку P в упругую деформацию, фиксируемую в виде электрического сигнала, получаемого от датчика сопротивления R (рис. 163).
Растяжение датчика вдоль горизонтального направления увеличивает его сопротивление, а сжатие наоборот уменьшает. Датчики подключают в мостовую схему (рис. 164).
423
Рис. 163. Месдоза: 1 – основание; 2 – упругий элемент;
R – датчик сопротивления; 𝑅𝑃 – растяжение; 𝑅𝐶 – сжатие
Сила P приводит к уменьшению сопротивления 𝑅𝐶1 сжатого
датчика, наклеенного вдоль образующей упругого элемента 2 и увеличению сопротивления 𝑅𝑃1 растянутого датчика, наклеенного по
окружности. При нагружении месдозы балансировка моста будет
нарушена и возникает ток через диагональ ВД, регистрируемый
гальванометром. Величину нагрузки P находят по тарировочному
графику, построенному в координатах нагрузка-величина тока.
Рис. 164. Мостовая схема подключения датчиков
424
С помощью метода наклонных точечных месдоз, предложенного А.П. Чекмаревым можно получить прямые экспериментальные данные по распределению сил трения и нормальных давлений
на контактной поверхности при прокатке и волочении (рис.165). С
этой целью в прокатном валке монтируют три штифтовые точечные
месдозы: одну по нормали к поверхности, две другие наклонно.
Термин «точечная месдоза» означает, что диаметр штифта, выходящего на контактную поверхность, достаточно мал. По величине сил,
измеренных наклонными месдозами М1 и М2 в какой-либо точке поверхности, можно найти величину равнодействующей всех элементарных сил в данной точке (в продольно-вертикальной плоскости).
Далее, зная нормальное давление р, фиксируемое месдозой Мз,
можно определить тангенциальную силу, т.е. силу трения в этой
точке.
Рис. 165. Схема установки радиальной и наклонных месдоз
8.5 Закон подобия
Закон подобия широко используют в экспериментальных исследованиях для того, чтобы результаты, полученные в лабораторных условиях, можно было бы перенести с гарантией на производственные условия. Он устанавливает соответствие энергосиловых
425
условий деформаций двух тел разных размеров модели и натуры,
если тела геометрически и физически подобны.
При деформации модели и натуры тел, имеющих различные
размеры и получающих одну и ту же степень деформации должны
выполняться следующие условия:
Удельные силы деформирования 𝑝𝐻 и 𝑝𝑀 должны быть
одинаковы;
Деформирующие силы PH и PM относятся как квадраты отношений сходственных линейных размеров:
PH FH
m2 ;
PM FM
Работы деформации относятся как кубы отношений сходственных линейных размеров:
AH VH
m3 ,
AM VM
где 𝑝𝐻 , 𝑝𝑀 , PH, PM, AH, AM, FH, FM, VH, VM – соответственно удельные
усилия, деформирующие усилия, работы, площади и объемы
натуры и модели тел соответственно.
Основные условия подобия процессов пластического деформирования:
Геометрическое подобие должно выполняться для всех стадий
деформирования. Для этого необходимо чтобы отношения соответственных (сходственных) размеров натуры и модели тел были одинаковы. Например, если даны два прямоугольных параллелепипеда
с разными размерами сторон, соответственно, hH, bH, lH и hM, bM, lM
то они будут геометрически подобны, если:
hH bH lH
m,
hM bM lM
где m – масштаб моделирования.
426
При геометрическом подобии отношение площадей сечений
сравниваемых деформируемых тел должно равняться квадрату отношений их линейных размеров, а отношение объемов – отношению линейных размеров в кубе.
Физическое подобие требует идентичности:
1. Степени деформации модели и натуры в сравниваемые моменты времени должны быть одинаковы:
M H .
2. Условия трения между соприкасающимися (контактными)
поверхностями деформирующего инструмента и металла должны
быть одинаковы.
3. Процесс модели и натуры должен длиться одинаковое время.
4. Модель и натура в каждый соответстующий момент деформирования во всех соответственных точках должны иметь одинаковый
химический состав, одинаковые микро- и макроструктуры, фазовое
состояние, степени упрочнения и разупрочнения, температурные
условия, физические и механические свойства.
Приведенные требования физического подобия противоречивы. Например, равенство степеней и скоростей деформаций. Если
время разное, то процессы упрочнения и рекристаллизации при горячей деформации в модели и натуре протекает неодинаково. При
равенстве времен нельзя выполнить требование одинаковости температур, так как имеют место разные теплоотдачи модели и натуры
из-за разных объемов и площадей поверхностей. В связи с этим при
моделировании пластического деформирования в закон подобия
вводят поправочные коэффициенты, определяемые опытным путём.
В некоторых случаях модель по физическим свойствам может
отличаться от натуры. Например, для исследования формоизменения при горячей деформации широкого класса сталей и сплавов в
качестве модельных материалов широко используется на практике
свинец, а также его сплавы с сурьмой, оловом. Это объясняется тем,
427
что свинец рекристаллизуется при комнатной температуре и процессы его упрочнения и разупрочнения протекают аналогично процессам в стали при горячей деформации.
При подготовке и проведении экспериментов полезно использовать принцип размерностей и аппарат теории подобия, что сокращает объем экспериментов без потери контроля над ним. Например,
при прессовании в многоканальные матрицы происходит разделение металла в очаге деформации на отдельные потоки по соответствующим каналам. Объемы этих потоков по существу и определяют скорости истечения отдельных «ниток», длина которых в общем случае неодинакова и зависит от многих параметров.
К основным параметрам конструкции матрицы, влияющим на
скорости установившего течения материала при прессовании из канала ωк, следует отнести (рис. 166): площади поперечного сечения
заготовки Ф0 и канала Фк, расстояние rк от центра тяжести канала К
до центра матрицы, площадь тормозного пояска Фп и среднюю скорость истечения – Vср.
Vcp
V0Ф0
,
KN 1ФК
(116)
где N – количество каналов, на которые разделен профиль; V0 –
скорость пресс-штемпеля.
Рис. 166. Схема очага деформации при прессовании профилей
428
Значительно меньшее значение имеет форма каналов и взаимное их расположение, метод прессования, температура и скорость
прессования. Ввиду множественности параметров вопрос конструирования матриц не поддается строгому математическому анализу.
В связи с этим можно использовать экспериментальный подход, заключающийся в определении структуры формулы, которая бы гарантировала выполнение качественных закономерностей многоканального истечения и экспериментальное нахождение ряда констант.
Итак, получаем шесть фундаментальных переменных. Общее
уравнение можно записать в следующем виде:
Vx f Ф0 , Ф К , Ф П , rК ,Vср .
(117)
Это функциональное соотношение можно выразить через комбинации безразмерных величин. Для этого воспользуемся рэлеевским методом решения размерных систем. Все размерные переменные будем рассматривать по отношению к двум основным единицам: длине L и времени Ө. Допустим, что между этими величинами
существует следующая зависмость:
VK f Ф0a ,ФbК ,ФсПК , rКс ,Vсре .
Подставим сюда вместо символов размерности переменных
a
b
c
d
c
L11 f L2 , L2 , L2 , L2 , L1 , L11 .
(118)
Чтобы данное уравнение было однородным относительно размерностей, должны выполняться следующие соотношения между
показателями степени
для L : 1 2a 2b 2c e d ,
для Ө : 1 e.
Имеем два уравнения с четырьмя неизвестными. Упростим их,
исключив е и b. Тогда e 1 и b a c 0,5d . Подставляя эти соотношения для показателей степени в формулу (118), получаем:
429
VK f Ф0а ,ФКас0,5d ,ФеПК , rКd ,Vср .
Объединяя члены с одинаковыми показателями степени,
можно составить безразмерные комбинации переменных
Ф a Ф
Vк
f 0 , пк
Vср
Ф к Фк
с
r
, к
R0
d
.
Шесть первоначальных переменных задачи согласно
- теореме дают четыре безразмерные комбинации. Исходя из физического смысла (при Фп 0 Фпк и Rк 0, функция
Vк
0 , заVср
пишем функциональную связь в следующем виде:
Vк
Vср Ф
0
Фк
1
a
Ф
, 1 пк
Фк
с
d
r .
, 1 к
R0
(118)
Проанализируем полученную формулу. Первый член выражения (119) в знаменателе определяет сопротивление истечению в
канале матрицы площадью Фк. Второй и третий члены выражения в
знаменателе определяют сопротивление истечению, вызванное поверхностью трения рабочего пояска со смещением канала К относительно центра матрицы. С увеличением этих параметров скорость
истечения падает, что также соответствует действительности.
Из условия равномерного истечения металла из всех каналов
следует, чтоVк =Vi . Тогда
Ф пк
a / c1
Фi
Фк
Ф
Фк 1
1 пi
Фi
1
430
Ri
R0
rк
R0
d/c
.
Обозначив α = a/c β = d/c, получим формулу для расчета поверхности трения. Задаваясь величиной эффективной площади трения на одном из участков профиля, можно определять ее и на других участках канала матрицы:
Ri
Ф пк
1
Ф
R0
Фк
i
.
Ф
r
1 пi Ф к 1 к
Фi
R0
Если каналы равноудалены от центра потока (Rк= Ri), то
Ф
1 пк
Ф
Фк
i .
Ф
1 пi Ф к
Фi
1
При α = 0 (исключается влияние площади каналов) и
Фпк = Пк 𝐿к , где Пк и Lк − периметр и ширина рабочего пояска на
участке получаем известную формулу Матвеева-Журавского, широко используемую при проектировании матриц:
П к Lк П i Li
.
Фк
Фi
8.6 Моделирование процессов деформирования
8.6.1 Основные положения
Моделирование – это один из главных (современных) методов
научного познания, сущность которого заключается в замене изучаемого предмета или явления специальной аналогичной моделью
(объектом), содержащей существенные черты оригинала. Модели
могут быть реальными (материальными), например, модели самолетов, макеты зданий, протезы т.п. и идеальными (абстрактными),
431
создаваемые средствами человеческого языка, так и специальных
языков, например, языком математики.
Таким образом, вместо оригинала (интересующего нас объекта) эксперимент проводят на модели (другом объекте), а результаты исследования распространяют на оригинал.
С помощью моделирования можно усовершенствовать существующие технологические процессы, сократить сроки освоения
новых. Этот метод применяют при изучении различных технологий, режимов работы аппаратов, машин, агрегатов, промышленных
комплексов и хозяйств, а также в управлении предприятиями, распределении материальных ресурсов и т.д.
Важен еще один аспект метода моделирования. Если для обычного эксперимента характерно непосредственное взаимодействие с
объектом исследования, то в моделировании такого взаимодействия нет, так как изучают не сам объект, а его заменитель. Примером может служить аналоговая вычислительная машина, действие
которой основано на аналогии дифференциальных уравнений, описывающих свойства, как исследуемого объекта, так и электронной
модели.
Модели бывают физические и математические. В соответствии
с этим различают физическое и математическое моделирование.
Если модель и оригинал одинаковой физической природы, то применяют физическое моделирование.
Математическая модель – это математическая абстракция, характеризующая физический, биологический, экономический или
какой-либо другой процесс. Математические модели при различной
физической природе основаны на идентичности математического
описания процессов, происходящих в них и в оригинале.
Математическое моделирование – метод исследования сложных
процессов на основе широкой физической аналогии, когда модель и
ее оригинал описываются тождественными уравнениями. Так, благодаря сходству математических уравнений электрического и магнит432
ного полей можно изучать электрические явления с помощью магнитных полей, и наоборот. Характерная особенность и достоинство
данного метода – возможность применять его к отдельным участкам
сложной системы, а также количественно исследовать явления,
трудно поддающиеся изучению на физических моделях.
Компьютерное моделирование – основной метод изучения
процессов пластического деформирования для определения их влияния на изменение структуры и свойств получаемых изделий. Моделирование также применяют для определения закономерностей
формоизменения, характера течения металла и контактных условий
при деформировании. Основная цель моделирования – получение
необходимой информации для проектирования и разработки технологических процессов пластического деформирования металлов.
8.6.2 Пример компьютерного моделирования
Рассмотрим, как пример, моделирование влияния различных
факторов на образование центральной пресс-утяжины и обоснование выбора размеров пресс-остатка для конкретных условий прессования крупногабаритных круглых прутков с малыми вытяжками
на основе аналитических и экспериментальных зависимостей, полученных при компьютерном моделировании процесса.
При выборе размеров пресс-остатка важно знать особенности
деформации металла в заключительной стадии процесса, когда происходит выпрессовывание объема очага пластической деформации.
Численное моделирование основной и заключительной стадии
горячего прессования без смазки реализовано средствами специализированного пакета программ DEFORM-2D на базе метода конечных элементов.
Числовые расчеты виртуального прямого прессования на горизонтальном гидравлическом прессе усилием 200 МН крупногаба-
433
ритных цилиндрических прутков с диаметрами 188 мм (коэффициент вытяжки = 18), 214 мм (коэффициент вытяжки λ = 14), 265 мм
(коэффициент вытяжки λ = 9), 283 мм (коэффициент вытяжки λ = 8)
326 мм (коэффициент вытяжки λ = 6), 560 мм (коэффициент вытяжки λ = 2) из труднодеформируемого алюминиевого сплава 7075
проведены из контейнера с внутренним диаметром 800 мм при реальных промышленных условиях: размеры цилиндрических заготовок DL = 7851000 мм, температура нагрева заготовки 450С, матрицы, контейнера и пресс-шайбы соответственно = 450С, 400С,
350С, скорость прессования 2,2 мм/сек, количество конечных элементов в заготовке 4000, коэффициент трения на контактных поверхностях пресс-шайбы, контейнера и «зеркала» матрицы принят
по закону Зибеля равным 0,5, коэффициент теплопередачи –
11 кВт/(м2град), материал инструмента ANSI-H-13, количество конечных элементов в пресс-шайбе – 2000, в матрице и контейнере –
5000. Моделирование реализовано при установившемся процессе
прессования.
При постановке задачи компьютерного моделирования ее рассматривали как осесимметричную. Толщину слоя металла, находящегося в контейнере пресса на основной стадии процесса задавали
равной половине диаметра контейнера, что перекрывает высоту
очага деформации, а на заключительной стадии – моментом начала
образования центральной пресс-утяжины. Высоту пресс-остатка
принимали равной расстоянию между плоскостью пресс-шайбы и
плоскостью входа прессуемого металла в рабочий канал плоской
или конической матриц в момент образования центральной прессутяжины.
В связи с тем, что при значительном приближении прессшайбы к матрице изменяются скорости течения металла, особенно
в радиальном направлении, то для рассмотрения полной картины
деформации проведен анализ распределения радиальных скоростей
434
течения металла на рабочей поверхности пресс-шайбы в зависимости от следующих технологических и конструкционных параметров
процесса горячего прессования цилиндрических прутков: величины
контактного трения, угла конуса матрицы и коэффициента вытяжки
на основной и заключительной стадиях прессования.
На рис. 167, 168 приведены графики распределения радиальной скорости течения металла на основной стадии и в момент образования центральной пресс-утяжины при коэффициентах вытяжки = 3 и = 6, коэффициентах контактного трения µ = 0 и
µ = 0,5, углах конуса матрицы α = 80 и α = 90.
В табл. 4 дана зависимость высоты пресс-остатка в момент образования пресс-утяжины для конкретных условий прессования.
Рис. 167. Распределение VR на основной стадии процесса, где:
1 – = 6, µ = 0, α = 90, 2 – = 6, µ = 0,5, α = 90,
3 – = 6, µ = 0, α = 80,4 – = 3, µ = 0, α = 90
Из анализа кривых на рис. 167, 168 видно, что распределение
радиальной компоненты VR на рабочей поверхности пресс-шайбы в
основной и заключительных стадиях неравномерное. Радиальная
435
скорость течения металла минимальная у стенок контейнера и на
оси прессования. Компонента VR увеличивается от периферии к
центру, достигая экстремальных значений в области над кромкой
калибрующего пояска, а далее уменьшается при приближении к оси
прессования.
Рис. 168. Распределение VR в момент начала образования центральной
пресс-утяжины, где: 1 – = 6, µ = 0, α = 90, 2 – = 6, µ = 0,5, α = 90,
3 – = 6, µ = 0, α = 80, 4 – = 3, µ =0, α = 90
Таблица 4. Зависимость высоты пресс-остатка от коэффициента вытяжки,
коэффициента трения и угла конуса матрицы
Вытяжка,
λ
Коэффициент
трения µ
6
6
6
3
0
0,5
0
0
Конус матрицы
α,
90
90
80
90
Высота пресс-остатка
H, мм
103
109,4
98,7
170,9
В момент начала образования центральной пресс-утяжины отмечается резкое увеличение радиальной скорости течения и смещение максимальных значений VR ближе к оси прессования.
436
Из сравнения результатов прессования (cм. рис. 167, 168) при
отсутствии контактного трения на инструменте и его наличии
(кривые 1 и 2) видно, что при прессовании с трением наблюдается
рост экстремальных значений VR на основной стадии на 87%, а на
заключительной стадии уменьшение на 30%.
Таким образом, трение на заключительной стадии прессования
играет отрицательную роль, заметно снижая радиальную скорость
течения в поперечном направлении от контейнера к каналу матрицы и уменьшая ее в обратном направлении. Это приводит к более
раннему началу образования центральной пресс-утяжины. Рост высоты пресс-остатка при = 0,5 по сравнению с = 0 составил
6,3% (табл. 5).
Из сравнения результатов при прессовании в плоскую и коническую матрицы (кривые 1 и 3) видно, что максимальная радиальная компонента скорости на основной стадии при прессовании в коническую матрицу по сравнению с плоской матрицей выросла на
10%, а на заключительной стадии – на 16%.
Таким образом, прессование в коническую матрицу играет положительную роль, повышая радиальную скорость в поперечном
направлении. Это приводит к более позднему началу образования
центральной пресс-утяжины. Уменьшение высоты пресс-остатка
при прессовании в коническую матрицу по сравнению с плоской
матрицей составило 4%.
Из сравнения результатов моделирования на рис. 167 и 168 при
прессовании прутков с коэффициентами вытяжки = 3 и = 6 (кривые 1 и 4) видно, что максимальная радиальная скорость течения
металла при прессовании с коэффициентом вытяжки = 3 по сравнению с коэффициентом вытяжки = 6 уменьшилась на основной
стадии на 15%, а на заключительной стадии на 64%. Это говорит о
том, что объем металла, расположенный над матрицей при = 3
становится недостаточным для питания объема металла, расположенного над каналом матрицы.
437
Таким образом, прессование изделий с пониженными коэффициентами вытяжки играет отрицательную роль. Это приводит к более раннему началу образования центральной пресс-утяжины и увеличению отходов. Увеличение высоты пресс-остатка при прессовании с коэффициентом вытяжки = 3 по сравнению с коэффициентом вытяжки = 6 составило 66%.
По полученным данным высот пресс-остатков с помощью
метода наименьших квадратов на рис. 169 построена
апроксимирующая кривая в координатах H/Dk – .
H
0,302 0,03 0,0012 .
Dk
Из анализа полученной формулы видно, что при уменьшении
коэффициента вытяжки высота пресс-остатка резко возрастает по
экспоненте, поэтому при прессовании с малыми коэффициентами
вытяжки ˂15 целесообразно производить выбор размеров прессостатка в зависимости от заданного коэффициента вытяжки.
Рис. 169. График изменения относительной высоты пресс-остатка Н/Dk
в зависимости от коэффициента вытяжки
438
8.7 Выводы
При разработке процессов пластического деформирования металлов давлением и проектировании деформирующего инструмента наряду с аналитическими методами определения усилий,
напряжений и деформаций большое значение имеют экспериментальные методы определения этих величин.
С помощью экспериментов определяют адекватность аналитичесских методов, коэффициенты трения в конкретных процессах
деформирования, распределение нормальных и касательных напряжений на поверхностях контакта заготовки с инструментом, а также
распределение напряжений и деформаций по всему объему деформируемого тела.
В настоящее время полное усилие, например, при осадке на
прессе или волочении изделий на стане, давление металла на валки,
а также работоспособность инструмента определяют на специальных приборах – мездозах, устанавливаемых на оборудовании.
Изучение напряженно-деформированного состояния металла в
процессах пластического деформирования как в лабораторных, так
и производственных условиях широко проводят с помощью координатной делительной сетки, нанесенной на одну из половин составного образца, методами визиопластичности и линий тока. Основные параметры деформации в пределах ячейки координатной
сетки определяются путем сопоставления конечной и начальной
формы и размерами ячейки. В пределах объема ячейки тело считается изотропным, а деформация однородной.
Важное значение при проведении экспериментальных работ и
числовом моделировании имеет выполнение закона подобия, основных приципов механического, кинематического и динамического принципов. Теория подобия, давая общие методичекие указания, является фундаментальной основой теории моделирования.
439
Экспериментальные исследования часто являются единственно возможным методом решения некоторых задач пластического деформирования металлов давлением.
8.8 Контрольные вопросы
1. В чем сущность метода координатной сетки?
2. Перечислите область применения метода координатной делительной сетки.
3. В какой последовательности проводят обработку искаженной координатной сетки по Зибелю?
4. В чем сущность метода визиопластичности?
5. В чем сущность метода фольговых датчиков?
6. Какое устройство называют мездозой?
7. Как построить тарировочный график?
8. Каков принцип работы мездозы?
9. Из каких соображений выбирают размеры ячейки координтной сетки?
10. Как располагают датчики в мездозе?
11. Как определяют деформации в пределах ячейки координатной сетки?
12. В каких случаях применяют метод координатной делительной сетки?
13. Как определить векторное поле перемещений и скоростей
течения металла?
14. Используя метод конечных разностей, записать формулы
для расчета скоростей деформаций.
15. Как выбрать материал для фольговых датчиков?
16. Основные условия подобия процессов пластического деформирования.
17. Какую линию называют линией тока?
440
18. В каких случаях линия тока совпадает с траекторией движения материальной частицы?
19. В чем физический смысл параметра линий тока?
20. Как сократить число опытов на основе принципа размерностей?
21. Что понимают под моделированием?
22. Сущность математического моделирования.
23. Назовите области исследований при компьютерном моделировании.
441
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сторожев, М.В. Теория обработки металлов давлением /
М.В. Сторожев, Е.А. Попов. – Москва: Машиностроение, 1977. –
423 с.
2. Унксов, Е.П. Инженерные методы расчета усилий при обработке металлов давлением / Е.П. Унксов. – Москва: Изд-во Машгиз,
1955. – 271с.
3. Покрасс, И.Б. Теория обработки металлов давлением /
И.Б. Покрасс, Н.Н. Князева. – Ижевск: Изд-во ИжГТУ имени
М.Т. Калашникова, 2015. – 404 с.
4. Громов, Н.П. Теория обработки металлов давлением /
Н.П. Громов. – Москва: Металлургия, 1967. – 340 с.
5. Степанский, Л.Г. Расчеты процессов обработки металлов
давлением / Л.Г. Степанский. – Москва: Машиностроение, 1979. –
215 с.
6. Губкин, С.И. Теория обработки металлов давлением /
С.И. Губкин. – Москва: Металлургиздат, 1947. – 352 с.
7. Мастеров, В.А. Теория пластической деформации и обработки металлов давлением / В.А. Мастеров, В.С. Березовский. –
Москва: Металлургия, 1976. – 352 с.
8. Смирнов, В.С. Теория обработки металлов давлением /
В.С. Смирнов. – Москва: Металлургия, 1973. – 496 с.
9. Смирнов, В.С. Сборник задач по обработке металлов давлением / В.С. Смирнов. – Москва: Металлургия, 1973. – 191 с.
10.Томленов, А.Д. Теория пластического деформирования металлов / А.Д. Томленов. – Москва: Металлургия, 1972. – 408 с.
11. Гун, Г.Я. Теоретические основы обработки металлов давлением / Г.Я. Гун. – Москва: Металлургия, 1980. – 456 с.
12. Смирнов-Аляев, Г.А. Механические основы пластической
обработки металлов / Г.А. Смирнов-Аляев. – Москва: Машиностроение, 1968. – 272 с.
442
13. Чертавских, А.К. Трение и технологическая смазка при обработке металлов давлением / А.К. Чертавских, В.К. Белосевич. –
Москва: Металлургия, 1968. – 364 с.
14. Смирнов-Аляев, Г.А. Экспериментальные исследования в
обработке металлов давлением / Г.А. Смирнов-Аляев, В.П. Чикидовский. – Ленинград: Машиностроение, 1972. – 360 с.
15. Гречников, Ф.В. Деформирование анизотропных материалов / Ф.В. Гречников. – Москва: Машиностроение, 1998. – 448 с.
16. Чиченев, Н.А. Методы исследования процессов обработки
металлов давлением / Н.А. Чиченев, А.Б. Кудрин, П.И. Полухин. –
Москва: Металлургия, 1977. – 311 с.
17. Смирнов-Аляев, Г.А. Сопротивление материалов пластическому деформированию / Г.А. Смирнов-Аляев. – Ленинград: Машиностроение, 1978. – 368 с.
18. Кириллов, П.Г. Теория обработки металлов давлением /
П.Г. Кириллов. – Москва: Высшая школа, 1965. – 296 с.
19. Кучеряев, Б.В. Механика сплошных сред (Теоретические
основы обработки давлением композиционных материалов) /
Б.В. Кучеряев. – Москва: МИСИС, 2000. – 320 с.
20. Богатов, А.А. Механические свойства и моделирование
разрушения материала / А.А. Богатов. – Екатеринбург: ГОУВПО
УГТУ-УПИ, 2002. – 329 с.
21. Томсен, Э. Механика пластических деформаций при обработке металлов / Э. Томсен, Ч. Янг, Ш. Кобаяши. – Москва: Машиностроение, 1968. – 504 с.
22. Шевченко, К.Н. Основы математических методов в теории
обработки металлов давлением / К.Н. Шевченко. – Москва: Высшая
школа, 1970. – 351с.
23. Северденко, В.П. Теория обработки металлов давлением /
В.П. Северденко. – Минск: Высшая школа, 1966. – 223 с.
24. Аркулис, Г.Э. Теория пластичности / Г.Э. Аркулис, В.Г. Дорогобид. – Москва: Металлургия, 1987. – 352 с.
443
25. Джонсон, У. Теория пластичности для инженеров /
У. Джонсон , П.Б. Меллор. – Москва: Машиностроение, 1975. –
567 с.
26. Малинин, Н.Н. Прикладная Теория пластичности и ползучести / Н.Н. Малинин. – Москва: Машиностроение, 1975. – 400 с.
27. Безухов, Е.И. Основы теории упругости, пластичности и
ползучести / Е.И. Безухов. – Москва: Высшая школа, 1968.
28. Арышенский, Ю.М. Теория и расчеты пластического формоизменения анизотропных материалов / Ю.М. Арышенский,
Ф.В. Гречников. – Москва: Металлургия, 1992. – 304 с.
29. Илюкович, Б.М. Введение в теорию пластичности /
Б.М. Илюкович. – Киев: Выща школа, 1983. – 160 с.
30. Иванов, Д.А. Введение в метод конечного элемента /
Д.А. Иванов, А.В. Дель. – Саратов: Амират, 2016. – 84 с.
31. Фокин, В.Г. Метод конечного элемента в механике деформируемого твердого тела / В.Г. Фокин. – Самара: Сам. гос. техн.
ун-т, 2010. – 131 с.
32. Тулупов, С.А. Теория обработки металлов давлением: конспект лекций / С.А. Тулупов, Н.Г. Шемшурова, О.Н. Тулупов. –
Магнитогорск: ГОУ ВПО «МГТУ», 2010. – 175 с.
33. Теория обработки металлов давлением: конспект лекций и
варианты заданий для выполнения курсовой работы / сост. Н.Н. Загиров, Э.А. Рудницкий. – Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 2011. –
56 с.
34. Загиров, Н.Н. Конспект лекций по дисциплине «Теория обработки металлов давлением» / Н.Н. Загиров, Е.В. Иванов,
В.П. Катрюк, В.Н. Баранов. – Красноярск, 2007. – 217 с.
35. Основы теории обработки металлов давлением: учебник /
И.И. Иванов, А.В. Соколов, В.С. Соколов [и др.]. − Москва: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2007. − 144 с.
444
36. Филимонов, В.И. Теория обработки металлов давлением:
учебное пособие / В.И. Филимонов, О.В. Мищенко. – Ульяновск:
УлГТУ, 2012. – 208 с.
37. Колмогоров, В.Л. Механика обработки металлов давлением/ В.Л. Колмогоров. – Екатеринбург: Изд-во Уральского ГТУ,
2001. – 836 с.
38. Огородников, В.А. Оценка деформируемости металла при
обработке давлением / В.А. Огородников. – Киев: Вища школа,
1983. – 174 с.
39. Полухин, П.И. Физические основы пластической деформации: учебное пособие для студентов вузов / П.И. Полухин, С.С. Горелик, В.К. Воронцов. – Москва: Металлургия, 1982. – 584 с.
445
ПРИЛОЖЕНИЕ
Единицы Международной системы
Наименование
величины
Основные единицы
Длина
Масса
Время
Дополнительные единицы
Плоский угол
Произвольные единицы
Частота
Угловая скорость
(угловая частота)
Скорость
Ускорение
Площадь
Сокращенное
обозначение единиц измерения
метр
килограмм
секунда
м
кг
с
радиан
рад
герц
Гц
радиан на секунду
рад/с
метр на секунду
метр на секунду
в квадрате
м/c
м/c2
метр в квадрате
м2
Статический момент
метр в кубе
м3
Осевой момент инерции площади сечения
метр в четвертой
степени
м4
Плотность
Сила
Удельный вес
Напряжение, давление,
нагрузка, распределенная по поверхности
Погонная нагрузка
Момент силы
Работа и энергия
Мощность
446
Единица измерения
килограмм на метр в
кубе
ньютон
кг/м3
Н
ньютон на метр в кубе
Н/м3
паскаль
Па
ньютон на метр
ньютон-метр
джоуль
ватт
Н/м
Н×м
Дж
Вт
Некоторые основные и производные единицы, имеющие специальные названия (м, с, Гц, Н, Па, Дж, Вт), в окончательных результатах расчетов можно увеличивать или уменьшать, используя
для этого приставки
Среди производных единиц с большой буквы пишутся те, которые образованы от фамилий ученых (Гц, Н, Па и т.д.).
Производные единицы связаны с основными, например:
1Н = 1кг1м/1с2; 1Па = 1Н/1м2; 1Дж = 1Н1м; 1Вт = 1Дж/1с.
Приведем примеры использования указанных выше приставок. Модуль упругости для стали Е = 2,11011 Па = 2,11010 даПа =
2,1109 гПа = 2,1108 кПа = 2,1105 МПа = 0,21103 ГПа = 0,21 ТПа.
447
Учебное издание
Гречников Федор Васильевич,
Каргин Владимир Родионович
ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО
ДЕФОРМИРОВАНИЯ МЕТАЛЛОВ
Учебник
Редактор И.П. Ведмидская
Компьютерная верстка А.В. Ярославцевой
Подписано в печать 19.04.2021. Формат 60×84 1/16.
Бумага офсетная. Печ. л. 28,0.
Тираж 25 экз. Заказ
. Арт. – 1(Р1У)/2021.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АКАДЕМИКА С.П. КОРОЛЕВА»
(САМАРСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
443086, САМАРА, МОСКОВСКОЕ ШОССЕ, 34.
Издательство Самарского университета.
443086, Самара, Московское шоссе, 34.
448