Электрический генератор сердца - Титомир Л.И.

Автор: Титомир Л.И.

Теги: инженерное дело техника в целом медицина электрокардиография биофизика электрокардиология

Год: 1980

Похожие

Аритмии и блокады сердца. Атлас электрокардиограмм

Чреспищеводная электрическая стимуляция сердца

Биофизические характеристики тканей человека. Справочник

Сравнительная физиология животных. Том 3

Текст

АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
Л. И. ТИТОМИР
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ
ГЕНЕРАТОР
СЕРДЦА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА 1980
УДК 62—50
Титомир Л.И. Электрический генератор сердца. М.: Наука,
1980. с. 371.
Книга посвящена биофизическому обоснованию электрокардиоло-
гических измерений. Изложены современные представления об электри-
ческих процессах в сердце и порождаемохм ими электрическом поле в те-
ле человека и животного. Рассмотрено математическое моделирование
сердца как электрического генератора от клеточного уровня до уровня
сердца как единого целого, дана сравнительная оценка различных мо-
делей с точки зрения содержащейся в них информации об электрофи-
зиологическом состоянии сердца.
Книга предназначена для специалистов по теоретической и экспери-
ментальной электрокардиологии, биофизике сердца, моделированию
биологических систем и автоматизации электрокардиографической
диагностики.
Ответственный редактор
доктор технических наук
И. Ш. ПИНСКЕР
30501__025
055(02)—80 976—79, ки> %- 2605070000 © Издательство «Наука», 1980 г.
ОТ АВТОРА
Эта книга задумана как биофизическое введение в современную
электрокардиологию. Цель состоит в систематизированном изло-
жении современных данных о происхождении электрического
поля сердца, потенциал которого измеряют при электрокардио-
логическом исследовании, и способов количественного описания
сердца как генератора этого поля. В качестве адекватных мате-
матических соотношений для такого описания используются урав-
нения классической электродинамики стационарных токов в объем-
ном проводнике, представленные в форме, позволяющей непосред-
ственно применять их для решения электрокардиологических
задач.
При обсуждении происхождения электрического поля сердца
последовательно рассматриваются три ключевых аспекта: свойства
отдельных клеток, волокон и малых участков ткани сердца как
элементарных биоэлектрических генераторов; формирование сум-
марного генератора сердца из этих элементарных генераторов;
влияние неоднородности тела как объемного проводника на элек-
трическое поле сердца. Значительное внимание уделено результа-
там математического, физического и биологического моделирова-
ния электрокардиологических*явлений от клеточного уровня до
уровня органа в целом.
Следует подчеркнуть, что главным объектом изучения является
именно внеклеточное электрическое поле, т. е. поле, существующее
в пространстве снаружи от поверхности мембран возбужда-
ющихся клеток. Поэтому внутримембранные электрические про-
цессы молекулярного уровня, фактически служащие первоисточ-
ником этого поля, здесь подробно не разбираются; они представ-
лены лишь общепризнанными феноменологическими моделями,
которые, однако, позволяют удовлетворительно объяснить элек-
трические проявления очень многих анатомических и физиологи-
ческих изменений в сердце.
Несомненно, важнейшая практическая задача электрокардио-
логии — это диагностика состояний и заболеваний сердца. Для
диагностирования в реальных условиях используют не только
электрические потенциалы, но и другие физические проявления
возбуждающейся сердечной мышцы, а также множество разно-
образных объективных данных о состоянии организма и различные
наблюдения «качественного» характера. Анализ этой информации
и диагностическое заключение обычно зависят как от объективных,
так и от субъективных факторов. В книге, однако, диагностиче-
3
ская задача рассмотрена в узком смысле; точнее, обсуждается
лишь один этап ее решения, непосредственно базирующийся на
электрических измерениях и поддающийся формализации при
помощи соотношений электродинамики. Он заключается в опре-
делении количественных характеристик электрического генера-
тора сердца по измерениям электрического поля на поверхности
тела. В то же время подчеркивается важная тенденция, поднимаю-
щая электрокардиологическую диагностику на более высокий
уровень,— стремление к предельно возможному использованию
информации об электрическом генераторе сердца, доступной для
измерения безопасными методами на поверхности тела. Эта тен-
денция находит выражение в разработке методов измерения рас-
пределения потенциала по всей поверхности тела и математиче-
ского анализа этого распределения с привлечением вычислитель-
ной техники.
Автор надеется, что книга будет способствовать углубленной
биофизической интерпретации электрокардиологических данных
и развитию новых подходов к диагностике состояний и заболева-
ний сердца на основе анализа его электрического поля.
Л. И. Титомир
ГЛАВА 1
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
ДЛЯ ОПИСАНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ СЕРДЦА
1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
СТАЦИОНАРНЫХ ТОКОВ
Уравнения Максвелла. Для математического описания элек-
трического поля сердца в книге используются соотношения клас-
сической теории электромагнитного поля, или теории Максвелла
[34, 49, 74]. Теория электромагнитного поля Максвелла является:
1) феноменологической, так как в ней не рассматриваются внут-
ренние механизмы возникновения полей; 2) макроскопической,
так как все рассматриваемые в ней величины представляют собой
средние значения соответствующих физических величин для «фи-
зически бесконечно малых» объемов пространства и интервалов
времени (подразумеваются объемы, которые очень велики по срав-
нению с размерами молекул, но очень малы по сравнению с учи-
тываемыми пространственными изменениями поля и среды, и
интервалы, которые очень велики по сравнению с временами внут-
римолекулярных процессов, но очень малы по сравнению с учиты-
ваемыми временными изменениями поля и среды); 3) теорией близ-
кодействия, так как в ней рассматриваются взаимодействия между
частицами и телами через посредство физического поля и учиты-
вается, что скорость распространения электрических и магнитных
взаимодействий конечна и равна скорости света в рассматриваемой
среде.
Электромагнитное поле полностью описывается векторами на-
пряженности электрического Е и магнитного Н полей. Электри-
ческие и магнитные свойства среды, в которой может существовать
электромагнитное поле, описываются при помощи диэлектрической
еа и магнитной ца проницаемостей и удельной электропроводности
с (величина, обратная удельному сопротивлению р).
Связь между напряженностями электрического и магнитного
полей устанавливается системой уравнений, включающей первую
и вторую пары дифференциальных уравнений Максвелла
rot Н = j dD/dt, div D = g,
rotE=—dB/dt, divB = 0
и «материальные» уравнения, связывающие характеристики элек-
тромагнитного поля с характеристиками среды,
D = eo(E + Ee), В = цаН, j = o(E + Ee). (1.2)
5
Здесь D, В — векторы электрической и магнитной индукции;
j — вектор плотности тока; Ее — вектор напряженности сторон-
него электрического поля (поля сил неэлектростатического про-
исхождения); q — объемная плотность свободных электрических
зарядов; t — время (все величины, входящие в приведенные урав-
нения и используемые в дальнейшем изложении, выражены в еди-
ницах системы МКСА). Предполагается, что характеристики поля
являются функциями времени и пространственных координат, а
характеристики среды — функциями пространственных коорди-
нат, не зависящими от времени и от характеристик поля.
В более общих случаях анизотропных и движущихся сред
соотношения электродинамики усложняются, так как характе-
ристики среды могут сложным образом зависеть от напряженно-
стей электрического и магнитного полей, времени и направления
в пространстве. При различных конкретных условиях, соответ-
ствующих частным решаемым задачам, уравнения электродинами-
ки удается значительно упростить.
Упрощение системы уравнений Максвелла для электрокардио-
логических задач. Для того чтобы получить упрощенную систему
электродинамических уравнений, удобную для анализа электри-
ческого генератора и электрического поля сердца, нужно учесть
конкретные требования к результатам электрокардиологических
измерений, методические особенности этих измерений и свойства
объекта измерения, в том числе свойства биологических источни-
ков тока и биологических тканей, в которых существует исследуе-
мое электромагнитное поле.
Измерение электрического поля сердца обычно проводят на
расстоянии от его источников, не превышающем размеров тела
человека или подопытного животного (максимальное расстояние
порядка 1 м). Ткани тела обладают явно выраженными свойствами
проводника с удельным сопротивлением порядка 1000 Ом-см и
с величинами диэлектрической и магнитной проницаемостей,
близкими к соответствующим характеристикам вакуума. Макси-
мальные частоты биоэлектрических источников, учитываемые при
измерениях, не превышают 1000 Гц. При этих условиях можно
пренебречь влиянием конечной скорости распространения поля
от источников до точек наблюдения и влиянием токов смещения,
т. е. емкостными и индуктивными эффектами, обусловленными ха-
рактеристиками самого тела и граничащей с ним диэлектрической
среды (воздуха). Экспериментальные исследования [126, 221]
и теоретические оценки [208, 374], полученные на основании
опытных данных о свойствах тканей живого организма [423],
показывают, что это приводит к ошибкам в величине электриче-
ского потенциала, обычно не превышающим 5%. Следовательно,
можно не учитывать указанные эффекты и опустить в общей систе-
ме уравнений электромагнитного поля производные, характеризу-
ющие скорость изменения величин во времени. Тогда эта система
уравнений сводится к уравнениям электромагнитного поля ста-
6
ционарных токов
rot Н = j, D = &а (Е + Ее),
rotE = 0, В = ИаН, (1.3)
div D = q. j = с(Е + Ее),
div В == О,
Смысл стационарности электромагнитного поля заключается
в том, что при рассматриваемых измерениях поля все его характе-
ристики, входящие в систему уравнений (1.3), в любой точке рас-
сматриваемой среды изменяются синхронно, так что эта система
уравнений однозначно определяет поле в отдельно взятый момент
времени, независимо от значений величин в предшествующий
период.
Если исследуется электрическое поле в объемном проводнике
(теле человека или подопытного животного), то достаточно исполь-
зовать только первое, второе и последнее уравнения системы (1.3).
Из первого уравнения можно исключить напряженность магнит-
ного поля, применяя к обеим его частям операцию дивергенции
и учитывая, что дивергенция ротора вектора всегда равна нулю.
В итоге получается следующая система уравнений электрического
поля стационарных токов:
divj = О, (1.4)
rotE = 0, (1.5)
j = a(E + Ee). (1.6)
Векторную напряженность электрического поля Е удобно
выразить через скалярный потенциал ф как
Е = —grad ф. (1.7)
Возможность такого описания электрического поля обусловлена
уравнением (1.5), так как для скалярной функции ф должно вы-
полняться тождество rot grad ф = 0. При этом потенциал элек-
трического поля ф определен с точностью до аддитивной постоян-
ной. Подстановка уравнений (1.6) и (1.7) в уравнение (1.4) дает
Дф — grad о grad ф = — div (оЕе), (1.8)
где Д = д*/дх* + d2/5z/2 + d2/dz2 — оператор Лапласа. В прямо-
угольной системе координат xyz
Дф = д2ф/аг2 + 32ф/01/2 + 52ф/дя2. (1.9)
Величина в скобках в уравнении (1.8) представляет собой плот-
ность стороннего тока J, т. е. тока неэлектрического происхожде-
ния (в рассматриваемых случаях этот ток порождается биохими-
ческими процессами, происходящими в мембранах живых клеток):
J == оЕе. (1.10)
7
Эта величина имеет размерность дипольного момента, отнесенного
к единице объема; ее можно рассматривать как объемную плот-
ность дипольного момента непрерывно распределенных диполь-
ных источников тока в области, где имеются биоэлектрические
генераторы, и непосредственно использовать как количественную
характеристику этих генераторов. Величина —div J выражает
объемную плотность унипольных источников тока. Обозначим эту
величину (обычно называемую просто плотностью источников)
через /:
I = -div J. (1.11)
Тогда уравнение (1.8) принимает вид
1 I
Д<р + — grad о grad q> ~--— . (1.12)
Это уравнение было предложено в качестве дифференциального
уравнения для потенциала электрического поля стационарных
токов, создаваемого сердцем в теле как в объемном неоднородном
проводнике с удельной электропроводностью о, являющейся
функцией координат рассматриваемой точки [284].
Существуют также более общие дифференциальные уравнения,
позволяющие учитывать влияние на электрическое поле диэлек-
трических свойств среды [374] и анизотропии тела как объемного
проводника [356, 392].
При исследовании магнитного поля сердца (активно развиваю-
щаяся в последнее время область — магнитокардиография) ис-
пользуют уравнения системы (1.3), относящиеся к магнитному
полю. В связи с тем, что обсуждение вопросов магнитокардиогра-
фии не является предметом книги, ограничимся лишь указанием
нескольких работ, посвященных экспериментальному измерению
и теоретическому анализу магнитного поля сердца [46, 108, 158,
215, 367, 395]. Магнитное поле стационарного тока обусловлено
теми свойствами источников, которые соответствуют интенсивности
вихрей стороннего тока. Иными словами, электрическое поле,
согласно уравнению (1.8), определяется дивергенцией плотности
стороннего тока, а магнитное — ротором плотности. Поскольку
дивергенция и ротор векторного поля формально независимы,
измерение магнитного поля в принципе может дать дополнитель-
ную информацию об источниках, отсутствующую в потенциалах
электрического поля [215, 367]. Однако при физических ограниче-
ниях, характерных для биоэлектрических источников, между элек-
трическим и магнитным полями имеется существенная взаимоза-
висимость, так что во многих случаях магнитокардиограмма
содержит ту же самую информацию о состоянии сердца, что и элек-
трокардиограмма [395]. Тем не менее совместное использование
электрических и магнитных измерений иногда позволяет повысить
точность определения характеристик электрического генератора
сердца [216].
Рис. 1.1. Идеализированное представление проводящей среды для электрокарди о логических
задач
а — неоднородный (кусочно-однородный) ограниченный проводник; б — однородный ог-
раниченный проводник; е— однородный неограниченный проводник / <р = ~ dV^ •
Х V
Сплошными линиями показаны поверхности раздела между областями с разными удель-
ными электропроводностями, штриховыми линиями — мысленные поверхности,^ выделяю-
щие определенные области в однородном проводнике, точками — область биоэлектриче-
ских источников тока • ,
На протяжении всего последующего изложения нас будет
интересовать исключительно электрическое поле сердца, которое
при указанных выше условиях описывается уравнением (1.12).
Дальнейшее упрощение уравнений электрического поля серд-
ца в электрокардиологических исследованиях достигается благо-
даря тому, что рассматриваемую среду считают кусочно-однород-
ным объемным проводником (учитывая «компартментальное»
строение тела), т. е. допускают, что она состоит из небольшого
числа однородных областей, разделенных бесконечно тонкими
поверхностями. В качестве таких областей выбирают органы и
полости с жидкостями тела, обладающие характерными удельны-
ми электропроводностями, а также окружающий тело диэлек-
трик (воздух) с удельной электропроводностью, равной нулю
(рис. 1.1, а). Одна из этих областей, а именно мышца сердца, со-
держит биоэлектрические генераторы (клеточные источники тока)
с плотностью дипольного момента J или плотностью источников I.
В остальных областях генераторы отсутствуют, т. е. J = О,
1 = 0. При этом в результате постоянства удельной электропро-
водности внутри каждой области grad а = 0 и уравнение (1.12)
для области сердца принимает вид уравнения Пуассона
Аф = (1.13)
которое можно записать в иной форме, используя равенство (1.11):
Дф == A-div J, (1.14)
9
а для остальных областей тела оно принимает вид уравнения
Лапласа
Дф = 0. (1.15)
Граничные условия и ограничения модели. При решении диф-
ференциальных уравнений электродинамики необходимо учиты-
вать граничные условия, которые для границы между i-й и ;-й
смежными областями с удельными электропроводностями сгг-
и сгу имеют вид
<р£ = фу, (1.16)
(дц^/дп) = (d^j/dn), (1.17)
где ф* и фу — потенциалы i-й и /-й областей соответственно;
д^/дп и d^j/dn — частные производные этих потенциалов по нор-
мали к поверхности раздела п, направленной из Z-й в /-ю область,
а для внешней границы тела
ду^/дп = 0, (1.18)
так как снаружи тела Пу = 0.
Полная совокупность уравнений (1.13) (или (1.14)) — (1.18)
соответствует наиболее сложной формулировке задач, исследуе-
мых в современной теоретической электрокардиологии. Такой фор-
мулировке свойственна весьма существенная трудность — она
требует знания внутренней анатомической структуры тела и ве-
личин удельной электропроводности различных его органов,
тканей и жидкостей. Однако в настоящее время отсутствует мето-
дика, которая позволила бы достаточно точно определять эти
характеристики в каждом отдельном случае. Кроме того, часто
удается достичь цели исследования, не учитывая внутреннюю не-
однородность тела. Поэтому обычно исключают из рассмотрения
эту внутреннюю неоднородность, полагая, что тело в целом пред-
ставляет собой однородный проводник с некоторой средней удель-
ной электропроводностью о; учитывается лишь неоднородность
среды, обусловленная наличием диэлектрической области вокруг
тела (рис. 1.1, б). Влияние неоднородности последнего вида наи-
более существенно, однако в то же время оно значительно легче
поддается количественному учету по сравнению с внутренней не-
однородностью, так как поверхность тела, отделяющая объемный
проводник от внешней области, легко доступна для измерения.
В результате такого упрощения для описания электрического поля
сердца достаточно уравнений (1.13) (или (1.14)), (1.15) и (1.18).
Потенциал электрического поля в однородном неограниченном
проводнике. Иногда оказывается полезной наиболее простая фо£*
мулировка электрокардиологических задач: рассматривается од-
нородный и неограниченный (бесконечно протяженный во всех
направлениях) объемный проводник, в котором условно задаются
геометрические соотношения между областью источников, т. е.
сердцем, и областью измерения потенциала, например поверхно-
10
стью тела (рис. 1.1, в). Такую формулировку можно использовать
для получения грубо приближенных оценок искомых характери-
стик поля, для интерпретации результатов экспериментов, кото-
рые по своим условиям соответствуют этой упрощенной формули-
ровке (например, когда расстояние между областью источников
и поверхностью, ограничивающей проводник, намного больше,
чем расстояние от источников до точек измерения потенциала, и
влияние ограничивающей поверхности на измеряемый потенциал
пренебрежимо мало), или же в качестве промежуточного этапа
для решения задач с более точной формулировкой. Для этой
простейшей структуры объемного проводника по-прежнему спра-
ведливы уравнения (1.13) (или (1.14)) и (1.15), причем известно
решение для потенциала в любой точке наблюдения:
<Р =
(1.19)
или
1
<Р =--------7
1 4Л(3
С _L div J dV,
J Г
(1.20)
где г — расстояние от точки наблюдения (точки измерения потен-
циала) до любой точки области источников F, а интеграл берется
по всей этой области. Последнее выражение можно представить
в иной форме, используя векторное тождество:
div (TJ) = J grad Т + Т div J,
(1.21)
где Т — некоторая скалярная функция. Проинтегрируем обе
части его по области пространства У, включающей все источники,
и в левой части интеграл по объему заменим интегралом по поверх-
ности 5, ограничивающей этот объем, в соответствии с теоремой
Гаусса, которая выражается как
fdiv(*FJ)d7 = J'FJdS,
V s
(1.22)
где dS — вектор элемента площади поверхности S (предполагает-
ся, что функция W удовлетворяет математическим условиям при-
менимости теоремы Гаусса). На поверхности S источники отсут-
ствуют, т. е. J = 0, так что этот интеграл равен нулю, и после ин-
тегрирования (1.21) получаем
- J YdivJdF = Jjgrad dV.
(1.23)
Полагая W = 1/г и подставляя это выражение в уравнение (1.20),
получаем искомое выражение для потенциала:
?=^^Jg,ad(4)dK
(1.24)
11
Если же объемный проводник не является однородным и беско-
нечно протяженным, то для решения дифференциальных уравне-
ний (1.13) — (1.15) с учетом граничных условий конкретных
рассматриваемых задач приходится применять различные спе-
циальные методы.
2. МУЛЬТИПОЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА
Общие сведения. Если в ограниченной области однородного
бесконечно протяженного объемного проводника имеются распре-
деленные или сосредоточенные источники тока (условия, соответ-
ствующие рис. 1.1, в), то потенциал электрического поля вне об-
ласти источников можно представить в виде суммы характерных
членов, которая получила название мультипольного разложения
потенциала [34, 74, 207, 361—363, 505, 509]. Члены мультиполь-
ного разложения пропорциональны обратным степеням расстоя-
ния г точки наблюдения от начала координат, т. е. величине l/r?t+1,
где п — положительное целое число, определяющее порядок дан-
ного члена. При произвольной форме распределения источников
мультипольное разложение включает бесконечную последователь-
ность таких членов, образующую мультипольный ряд. Начало
координат может быть выбрано в произвольной точке проводника,
причем ряд будет сходиться для любой точки наблюдения, находя-
щейся снаружи сферы с центром в начале координат, охватываю-
щей все источники. Каждый член мультипольного разложения
потенциала, соответствующий определенному значению п, совпа-
дает с потенциалом, создаваемым в этом же объемном проводнике
идеальным точечным (занимающим бесконечно малый объем про-
странства) генератором, который называется мультиполем п-го
порядка. Мультиполь расположен в начале координат и описы-
вается конечным числом параметров, характеризующих его ин-
тенсивность и геометрическую ориентацию. Совокупность мульти-
полей, входящих в разложение потенциала для рассматриваемого
распределения источников, создает в точке наблюдения суммар-
ный потенциал, равный потенциалу распределенных источников.
Построение мультиполей из точечных генераторов. Систему
мультиполей можно построить следующим образом. Мультиполь
порядка п образуется из двух мультиполей предыдущего порядка
п — 1, имеющих равные по абсолютной величине и противополож-
ные по знаку характеристики интенсивности (моменты) в резуль-
тате их сближения и перехода к пределу при стремлении к нулю
расстояния между ними, одновременном бесконечном возрастании
абсолютной величины моментов и сохранении неизменного зна-
чения произведения абсолютной величины момента на это рас-
стояние.
Пусть мультиполь п-го порядка расположен в начале прямо-
угольной системы координат xyz и имеет абсолютную величину
момента Мп, В точке, определяемой вектором dn+i с абсолютной
12
Рис. 1.2. Построение точечного мультиполя общего типа (а) и диполя (б)
величиной dn+i и направляющими косинусами аХ(П+1), (П+1), az(n+ib
расположен мультиполь с таким же моментом, но противополож-
ный по знаку (рис. 1.2, а). При сближении этих мультиполей в на-
правлении вектора dn+i и переходе к указанному выше пределу
получим мультиполь порядка п + 1 с абсолютной величиной
момента
Mn+L — (n + l)7l/nJn+i. (1.25)
Формальное построение системы мультиполей начинают с муль-
типоля нулевого порядка — униполя, который представляет
собой один идеальный точечный источник тока. Момент униполя
принимается равным скалярной величине — полному току источ-
ника Г.
Допустим сначала, что точечный источник находится в точке
с координатами х0, yQ, z0* Плотность распределения источников,
соответствующую точечному источнику, можно описать при по-
мощи пространственной дельта-функции, имеющей нулевое зна-
чение во всех точках пространства, кроме точки (ж0, у0, z0), где
она равна бесконечности, и на основании уравнения (1.19) полу-
чить следующее известное выражение для потенциала в точке
наблюдения (х, у, z):
= , (1.26)
где т\ = У (х — z0)2 + (у — z/o)2 + (z — z0)2 — расстояние от ис-
точника до то^Йи наблюдения. Для униполя, находящегося в на-
чале координат, это выражение записывается аналогично:
13
где г = Ух2 + у2 + — расстояние от начала координат до
точки наблюдения.
Предположим, что в начале координат расположен отрицатель-
ный униполь (сток) с абсолютной величиной момента MQ = | Г |,
а в точке (z0, у0, z0), определяемой вектором dj с направляющими
косинусами axi, ayi, azi — положительный униполь (исток)
с такой же абсолютной величиной момента (рис. 1.2, б). В этом
случае потенциал в точке наблюдения будет равен сумме потен-
циалов от двух рассматриваемых униполей:
1 ____________
Г1 4лз г
(1.28)
где т\ — расстояние точки наблюдения от положительного уни-
поля. (Заметим, что генератор, состоящий из двух униполей с про-
тивоположными по знаку моментами, разделенных ненулевым
расстоянием, называют конечным диполем — в отличие от иде-
ального, или точечного, диполя, который обсуждается ниже;
потенциал генераторов, находящихся на ненулевом расстоянии
друг от друга, обозначен здесь индексом К.) Функцию 1/гх при
условии г dr можно разложить в ряд Тейлора относительно
начала координат, считая независимыми переменными координа-
ты положения истока xQ, yQ, z0‘
1 / 1 \ 1 . 'd2 / 1 \ I .
+ dxQdy0 \ гх / |d1=o WqZ° dy^dzQ \ r± / |d1==o *
-j- ZqXq —д—-х— (—'j I + •.. (1.29)
‘ u dzQdXj \ 7i / ld1=0 1 v 7
Подставим (1.29) в уравнение (1.28) и заменим дифференци-
рование по х0, yQ, z0 дифференцированием по координатам точки
наблюдения х, у, z (при этом члены разложения, содержащие
производные нечетного порядка, изменят знак на противополож-
ный):
1 д2 ( 1 \ 1 d2 / 1 \ 1 d2 / 1 \
2 Х° дх2 \ г ) 2 2/0 ду2 \ г ) 2 Zq dz* \ г )
д2 / 1 \ д2 / 1 \
*Г°^° дхду \ г ) ^°5’0 dydz \ г )
~^и5г (4)+’]
Координаты истока можно выразить как
•r0==diaxi, ^0 = ^10^!, 20 = dia2i. (1-31)
Подстановка этих выражений в уравнение (1.30) дает
112 d2/l\ 1j2 а2 / 1 \
— дх% (—) ^didy! dyi ( r )
1 , 2 Э« / 1 \ , 32 / 1 \
— — dlOzl -д^~ (—) d^xiOyi (~у )
— (-у) — ditt^axi (4-) +•••]• (! -32)
Чтобы перейти от конечного диполя к точечному, рассмотрим
предельный переход при безграничном сближении униполей по
направлению dx, учитывая, что в соответствии с уравнением (1.25)
= MQdv При этом в уравнении (1.32) все слагаемые в скобках,
кроме первых трех, обратятся в нуль, и получится следующее вы-
ражение для потенциала мультиполя первого порядка — точеч-
ного диполя:
(1.33)
Далее, предположим, что диполь, потенциал которого опреде-
ляется выражением (1.33), расположен в точке, определяемой
вектором d2 с направляющими косинусами ax2, ay2, az2, а в нача-
ле координат расположен диполь с такой же абсолютной величи-
ной момента, но противоположный по знаку. Их суммарный по-
тенциал выражается как
Мх Г d / 1 \ , д / 1 \ . д / 1 \ 1
фгК ~ ( r ) Н" ayi Qy ( г ) "И azi qz \ r ) J
Mi Г д I \ i д I 1 \ i д / 1
4Я(3 |_axl &Х ' 7*2 ) *^” ayl &У \ 7*2 ) ttzl \ Г2 ) J ’
(1.34)
где г2 — расстояние между первым диполем и точкой наблюдения.
Применим для этих диполей ту же последовательность действий,
что и для униполей, т. е. разложим функцию 1/г2 в ряд Тейлора
и перейдем к пределу при бесконечном сближении диполей по на-
правлению d2. В результате получаем следующее выражение для
потенциала мультиполя второго порядка — квадруполя:
м2 г 1 а2 / 1 \ , 1 а2 / 1 \ ,
= “toT [т a*ia*2 ~д^- (—) + Т ~ду^~ +
+ -у «zl«z2 ЗУ (-у) + — + <м*х2) ) +
+ -у Kia*2 + алаУ2) -^7 (-у) +
+ у (azl«x2 + «X1«Z2) 5^2 (у) J » (1 ’35)
15
где М2 = 2Л71^2. Аналогичным способом можно вывести выраже-
ния для потенциала мультиполей следующих порядков.
Заметим, что название каждого мультиполя отражает общее
число исходных точечных источников, использованных при его
построении; это число равно 2П.
Потенциал каждого мультиполя выражается как сумма потен-
циалов, определяемых членами выражений (1.33) и (1.35). В каж-
дом члене можно выделить два сомножителя: один зависит только
от интенсивности и ориентации мультиполя, другой — только от
положения точки наблюдения по отношению к мультиполю и от
удельной электропроводности среды. Назовем сомножители, ха-
рактеризующие собственно мультиполь, компонентами мульти-
поля, и обозначим их через Мпщ, где первый индекс указывает
порядок мультиполя, а второй и третий — порядок дифференци-
рования функции 1 /г по у и х соответственно при определении по-
тенциала данной мультипольной компоненты (порядок дифферен-
цирования по z определяется величиной п — I — /с). В этих обо-
значениях общее выражение для потенциала мультиполя п-го
порядка записывается в виде
- 1 V V (—^ м дП /_1\
4Л5 2-J Л fc! (n Z —/с)! nkl dzl дук dzn~l^k \ r /
1=0 к=0 *
(1.36)
Сопоставляя это уравнение с уравнениями (1.27), (1.33) и
(1.35), получаем следующие выражения для компонент мульти-
полей:
униполь (п = 0)
Мооо-±М. = Г; (1.37)
диполь (п = 1)
AZioi = Мцо = AfiOyv 7И100 = (1.38)
квадруполь (п = 2)
А^202 Af2czxlczx2, А/^220 ^cz^2, А7200 7l^2(ZzlCC22>
4
АГ211 ~ “9- Л72 (ах1С4/2 + ау1ах2)?
2 (1.39)
А?210 = ”2“ Af2 (ayiCtZ2 + azlay2),
I
М201 = -«у- Af2(aziaX2 ctxiaz2)
и т. д.
В процессе построения мультиполей при увеличении порядка
мультиполя на 1 к определяющим его величинам добавляются
2 независимые величины — углы, задающие направление сбли-
жения мультиполей для предельного перехода (направляющие
16
косинусы вектора этого сближения связаны между собой соотно-
шением + <%у + & = 1? так что независимыми являются
только какие-либо два из них). Следовательно, общее число
независимых величин, определяющих мультиполь порядка п,
равно 2п + 1. Это число совпадает с числом определенных выше
мультипольных компонент для униполя и диполя, однако в слу-
чае квадруполя и мультиполей более высоких порядков число
мультипольных компонент в уравнениях типа (1.35) превышает
число независимых характеристик мультиполей; следовательно,
между компонентами мультиполей высших порядков имеется
определенная зависимость. Эта зависимость обусловлена указан-
ным выше соотношением между направляющими косинусами(для
мультиполя порядка п существует п таких дополнительных соот-
ношений).
Компоненты мультиполей порядка выше первого можно пре-
образовать к более удобному виду. В частности, к трем первым
квадрупольным компонентам можно прибавить одну и ту же ве-
личину —1/3М2 (ах1ах2 + ccylav2 + а21а22), в результате чего
сумма этих новых компонент квадруполя будет равняться нулю.
При этом не изменяется значение потенциала квадруполя, так как
Преобразованные компоненты квадруполя выражаются как
^1^202 = /з-^^2 (2ctx](Xx2 «у1«у2 ^zl^z2)?
м220 = ЧзМ2 (2оСу1(Ху2 ~ ССх1«х2 — Шг), (1 -41 )
•^200 = (2ctz[(XZ2 Ctx](XX2 ^уТ^уг)?
^211 = 1/2^2 (0-х1(Ху2 + ^у1<^х2)»
М 210 = 11<1М 2 (ccyiaz2 + ocziay2),
^201 = 1/2-^2 (аг]С^х2 + CCxia22),
где
-^202 + ^220 + ^200 = 0. (1.42)
Из приведенных уравнений видно, что униполь характеризу-
ется одной скалярной величиной, а мультиполи более высоких
порядков — несколькими скалярными величинами, которые
можно сгруппировать в векторы и тензоры. В частности, диполь
можно представить в виде вектора, квадруполь — в виде тензора
второго ранга с пятью независимыми элементами, мультиполи
следующих порядков — в виде тензоров более высокого ранга
[89, 133, 134].
Выражение для потенциала диполя (1.33) можно записать
в следующей форме, которая оказывается очень полезной для
анализа электрокардиологических задач:
Ч>1 = ± 4^- Mi grad (-L) > (1 -43)
17
где Мх — вектор с компонентами Л7101, ^ио, ^юо- Положитель-
ный знак берется в случае, если при вычислении градиента диф-
ференцирование производится по координатам точки расположе-
ния диполя, а отрицательный знак — при дифференцировании
по координатам точки наблюдения.
Запишем явные выражения для потенциалов мультиполей низ-
ких порядков, выражая производные функции 1/г через прямо-
угольные координаты х, у, z:
униполь
диполь
= “4^7" (^loi-ут + тг + ^ioo тг) > (1.45)
квадруполь
1 /л# Зх2 — г2 . п Зу2 — г2 . Пуг 3z2 — г2 .
Ф2 = (>202 --^3----Ь >220 -^3-----F >200---------F
+ >211 + >210 + >201 (1 -46)
(где для краткости записи использована радиальная координата
г = Ух* + у2 + z2).
Потенциалы мультиполей иногда удобно выражать в сфери-
ческой системе координат г0ф; ее центр совпадает с началом,
полярная ось, от которой отсчитывается угол элевации 0,—с осью
z и начало отсчета угла азимута ф — с осью х прямоугольной
системы координат xyz. Связь между координатами в сфериче-
ской и прямоугольной системах определяется уравнениями
х = г sin 0 cos ф, у = г sin 0 sin ф, z = г cos 0 (1-47)
и
г = Ух* 4- у2 + z2, 0 = arctg (Ух2~[- y2!z), ф = arctg (ylx).
(1.48)
В сферической системе координат потенциалы мультиполей
низких порядков выражаются в следующем виде:
униполь
диполь
т 1 (п/Г sin0cosi|) . ,.f sin0sinф . cos0 \
<Pi = \Mwl--------72^ + М11°--------------Ь М100 ;
(1.50)
18
квадруполь
1 /,г 3 sin2 0 cos2 ф — 1 . 3 sin2 0 sin2 ф — 1 ,
(М™----------2^------+ М22«--------2^-------+
. 3 cos2 0 — 1 . 1/Г 3 sin2 0 sin ф cos ф .
+ 7,7 200--2~з----Г ^211----------------г
, Л/Г 3 sin 0 cos 0 sin ф . 1/Г 3 sin 0 cos 0 cos ф \ гЛ \
+ Ш 210----------------Г М 201------’] • (1 .U1)
Мультиполи имеют характерную форму распределения потен-
циала в пространстве, зависящую от порядка мультиполя и от
конкретного значения его компонент. При удалении точки на-
блюдения от начала координат, т. е. при увеличении г, потенциал
мультиполя порядка п изменяется пропорционально величине
l/rn+i; в частности, для униполя — пропорционально 1/г, для
диполя — пропорционально 1/г2 и для квадруполя — пропорцио-
нально 1/г3.
Поле униполя обладает сферической симметрией относительно
начала координат, его потенциал во всем пространстве имеет
такой же знак, как и момент униполя (рис. 1.3, а).
Поле диполя содержит область положительного потенциала,
примыкающую к положительному его полюсу, и область отри-
цательного потенциала, примыкающую к отрицательному полю
су; эти области разделены плоскостью нулевого потенциала,
проходящей через диполь перпендикулярно к его оси (к вектору
дипольного момента)» Например, рассмотрим диполь, ориенти-
рованный вдоль оси координат z. Согласно уравнениям (1.38)
и (1.50) его компоненты
= 0, М110 = 0, М100 - Мг (1.52)
и потенциал выражается как
М1 COS 0 /Л
Поле такого диполя изображено схематически на рис. 1.3, б.
Поле квадруполя содержит либо четыре области — две поло-
жительные и две отрицательные, либо только три области, две
из которых имеют полярность, противоположную полярности
третьей (квадруполь последнего типа создает поле с осевой сим-
метрией и называется аксиальным).
Рассмотрим для примера два частных случая квадруполя.
В первом случае исходные диполи ориентированы вдоль оси z и распо-
ложены на оси х, с направлением которой совпадает вектор их сближения
при переходе к квадруполю. Согласно уравнениям (1.39) и (1.51) компонен-
ты такого квадруполя
202 ~ -^220 “ ~ -^21 ® ^261 ^2 -^2»
(1.54)
19
а потенциал выражается как
3 М2 sin 0 cos 0 cos ф 3 М2 sin 20 cos ip
ф2 = -g- ~ “4" 4Я(3 гз • ( • )
Поле этого квадруполя изображено схематически на рис. 1.3, в.
Во втором случае исходные диполи ориентированы вдоль оси z и распо-
ложены на этой же оси, так что вектор их сближения совпадает с направле-
нием оси 2. Согласно уравнениям (1.39) и (1.51) компоненты такого квадру-
поля
^202 -^2*0 ~ ^200 ~ ^2’ -^211 = -^210 ~ ^201 6,
(1.56)
а потенциал выражается как
М2 3 cos2 0 — 1 1 М2 [14~3 cos 20 .
4ла 2г3 4 4л<з I г3
Поле этого квадруполя изображено схематически на рис. 1.3, г.
Поля мультиполей более высоких порядков имеют еще более
сложную структуру, однако подчиняются определенным законам
симметрии [262].
Итак, рассмотрено формальное построение мультиполей раз-
ных порядков из точечных источников тока и особенности формы
распределения их потенциалов. Далее будет показано, каким
образом можно представить потенциал произвольного распределе-
ния источников в виде суммы потенциалов мультиполей.
Мультипольное разложение, основанное на представлении
в виде ряда Тейлора. Предположим, что в некоторой ограничен-
ной области однородного и бесконечно протяженного проводника
с удельной электропроводностью а находятся распределенные
источники тока с конечной плотностью источников I. Потенциал
электрического поля в любой точке наблюдения будет выражаться
формулой (1.19). Мультипольное разложение, или разложение по
мультиполям этого потенциала, можно сформулировать на основе
разложения в ряд Тейлора или на основе разложения в ряд по
сферическим функциям.
£2 Сначала воспользуемся разложением в ряд Тейлора. Выбрав
прямоугольную систему координат xyz, допустим, что плотность
источников I равна нулю вне области г < а, где г — расстояние
от начала координат до рассматриваемой точки и а — радиус
сферы с центром в начале координат, охватывающей все источ-
ники (рис. 1.4, а). Если точка наблюдения Р с координатами х, у, z
Рис. 1.3. Электрические поля униполя (а), диполя (б), квадруполя общего типа (в) и акси-
ального квадруполя (г)
Вверху — области положительного и отрицательного потенциала на сфере, окру-
жающей мультиполь, внизу — эквипотенциальные линии гв координатной плоскости
xOz (потенциалы указаны в относительных единицах)
20
2
Рис. 1.4. Расположение источников тока и точки наблюдения поля
а — общий случай (область источников показана точками); б — дипольный генератор,
расположенный на оси z
находится на расстоянии г = + У2 + я2 от начала координат
и на расстоянии т\ = У(х — я0)2 + (у — yQ)2 + (z — z0)2 от
произвольной точки с координатами xQ, yQ, z0 в области источ-
ников, причем г > а, то функцию 1/гх можно разложить
относительно начала координат в ряд Тейлора вида (1.29),
который после замены дифференцирования по х0, у0, z0 дифферен-
цированием по х, у, z записывается как
оо П п-1 п п
~ = Ll И- М (п -I - /с)! х°у^ '’(1'58)
77=0 Z—0к=0
где п, I, к — целые числа, причем для каждого члена суммы
должно выполняться условие п I + к. Потенциал в точке на-
блюдения определяется уравнением (1.19), где в качестве расстоя-
ния г нужно использовать величину rv Подставляя выражение
(1.58) в уравнение (1.19), получим следующее разложение потен-
циала в точке наблюдения Р:
ОО п П—l п
ф = Li L Z! к'. (Л -I - fc)!’ б xl°y*Z° 1 kfdV) х
77=0 l=o к=о IV
Х дХ1ду^-1-к ( V) ’ (1,59>
где V — область источников. Каждому значению п соответствует
определенная часть (группа слагаемых) этой суммы, изменяю-
щаяся пропорционально величине l/rn+1. При сопоставлении
(1.59) с выражением (1.36) видно, что каждое слагаемое порядка п
суммы (1.59) можно рассматривать как потенциал, создаваемый
вне области источников мультиполем n-го порядка, компоненты
22
которого приняты равными соответствующим интегралам в выра-
жении (1.59).
Обозначим эти интегралы через Сп1а. Теперь выражение (1.59)
можно записать в форме
1 оо n П~1 (
— 4ло“ Il Zj Zj П /с! (/г — z _ /с)! Q^dy^dz71'1^ ( г ) ’
п— l—Q к=о
(1.60)
где
Спи = Ыу№~1'к1(1У. (1.61)
V
Сооо = $IdV;
у
п = 1
Cioi = У x.I dV,
v
п = 2
£*202 ~ f x20I dV,
Выпишем выражения для коэффициентов низких порядков:
и = 0
(1.62)
С*ио = Уо dV, Сюо = У ZqI dV; (1.63)
V V
С220 — yoldV, С200 ~ \ ZqI dV, (1.64)
v v
С211 = ХоУо! dV, С*2ю = У Уо%о1 dV, С201 = § %о%о1 dV•
V V V
Заметим, что для электрического генератора сердца коэффи-
циент Сооо равен нулю, так как суммарный ток биоэлектрических
источников имеет нулевую величину.
Число независимых коэффициентов Cnki ядя члена разложе-
ния n-го порядка равно т/2(п + 1)(п + 2). Если уподобить рас-
пределение источников тока пространственному распределению
некоторых масс, то величины Сп1^1 представляют собой совокуп-
ность «механических» моментов этого распределения. При опре-
деленных условиях распределение масс можно однозначно опре-
делить с любой точностью при помощи моментов. Основным
условием является ограниченность области распределения масс
в пространстве. Поскольку все рассматриваемые биоэлектриче-
ские источники расположены в мышце сердца, их распределение
удовлетворяет указанному условию. Это позволяет заключить,
что коэффициенты Cnki при принятом допущении об однородности
среды в области источников с любой точностью однозначно опи-
сывают распределение источников тока сердца [3631.
Составляющая потенциала, соответствующая каждому члену
суммы (1.60) для заданной величины п, изменяется в зависимости
23
от положения точки наблюдения точно так же, как потенциал
мультиполя n-го порядка (1.36).
Назовем два генератора (два распределения источников тока)
эквивалентными, если они создают один и тот же потенциал
в заданной области наблюдения, или в области измерения потен-
циала. (Понятие эквивалентности генераторов и критерии экви-
валентности более подробно обсуждаются в гл. 3.) Тогда на осно-
вании изложенного можно сказать, что для области наблюдения
г а произвольное распределение источников с плотностью /,
расположенное в области г < а, эквивалентно бесконечной по-
следовательности мультиполей, компоненты которых определя-
ются коэффициентами Cnw
Устанавливая соотношение между коэффициентами Спм и
мультипольными компонентами Mnia, необходимо иметь в виду,
что тг-й член разложения (1.60) содержит г/2 (п + 1) (п 4- 2) неза-
висимых коэффициентов С\А-/, тогда как мультиполь n-го порядка
определяется только 2п + 1 независимыми параметрами. Можно
показать, однако, что в силу равенства (1.40) потенциал каждой
n-й составляющей разложения (1.60) также определяется лишь
2п + 1 независимыми параметрами, которые связаны линейной
зависимостью с коэффициентами Спд/. Сопоставление тг-го члена
разложения (1.60) с выражением для потенциала мультиполя
72-го порядка (1.36) позволяет получить следующие соотношения
между коэффициентами Спи и мультипольными компонен-
тами Mnltb которые определяются выражениями (1.37), (1.38) и
(1.41), для мультиполей низких порядков:
АГоОО = £ооо> ^101 ~ Goi? -^110 ” ^1107 ТИюо = Спин (1.65)
-^202 ~ 1/з (2^202 С220 ^2Оо)^ -^220 “ (2^220 ^202 С200)»
^200 = Т/з (2С200 ^202 ^220)?
^211 ~ ^211 ? ^210 = ^210? ^201 “ С*201‘
Коэффициенты Cnia часто называют мультипольными компонен-
тами распределения источников тока.
Развернутые выражения для мультипольных составляющих
потенциала распределенных источников в прямоугольной и сфери-
ческой системах координат можно получить, подставляя (1.65)
в выражения (1.44)—(1.46) или (1.49)—(1.51).
Мультипольное разложение, основанное на представлении
в виде ряда по сферическим функциям. Другой вид мультиполь-
ного разложения потенциала получается, если разложить функцию
1/гх в ряд по сферическим функциям. Используем введенную
ранее сферическую систему координат. Функцию 1/гх можно
разложить в сходящийся ряд по сферическим функциям
Рп (cos 0О) cos тп’фо и Рп (cos 0О) sin тт|)0 относительно начала
24
координат. Этот ряд записывается как
7Г ~ У» У, 8т (п + w)! г«+1 Р™ (cos 0°)Р™ (cos е) х
п=о т=0
X cos рп(фо —ф)] ПРИ Г^>Г0, (1.66)
оо П п
4- - L £е- (с“е">(cos0) х
n=o т=0 °
X cos [тп (ф0 — ф)| при г <4 Го,
где г0, 0О, ф0 — сферические координаты произвольной точки
в области источников; г, 0, ф — сферические координаты точки
наблюдения; п, т — положительные целые числа; Р™ — присое-
диненная функция Лежандра первого рода степени п и порядка т
(при т = 0 — функция Лежандра); — множитель Неймана
(е0 — 1 и &т = 2 при т 0). Функции Лежандра и присоеди-
ненные функции Лежандра от косинуса угла 0 выражаются сле-
дующим образом:
Po(cos0) = 1,
Pi(cos0) = COS0,
P2(cos0) = 1/4(3 cos 20 4- 1),
Pl (cos 0) = sin0,
Pl (cos 0) = 3/asin20, (1-67)
Pl (cos 0) = 3/2 (1 — cos 29)
и т. Д.
Подставляя первое из уравнений (1.66) в (1.19), в котором г
заменено на г1? получим следующее разложение потенциала
в точке наблюдения Р:
~ 7 1 £j (п 4- л?)! гп^1 Х
п—0 т=0
Х {[ S (cos ®°) cos (cos ®) cos
V
+ [ ^ r%Pn (cos 0о) sin тфо • IdV J Р™ (cos 0) sin тпф} ,
или
оо П
ф= [лпп»7п+грп (cos0)cosm^ +
п—0 m—Q
+ Bnm-^j-Pn (c°s0)sinm^l,
Г
где
fAun) (n —zn)! C npm, ft Л COS77Z.Xj?o
I о f=sm-/-----------i---7Г \ Г0 Pn (COS 0O) . ,
I Bnm J m (n 4- m)l ,) ' 7 [ sin mifo
(1.68)
(1-69)
(1.70)
25
(здесь применена сокращенная форма записи, показывающая, что
выражения для коэффициентов Апт и Вптп различаются только
тем, что выражение для Апт содержит cos тф0, а выражение для
Впт содержит sin тф0; аналогичная сокращенная запись приме-
няется и в дальнейшем). Выражение (1.70) можно преобразовать,
учитывая равенства (1.11) и (1.23):
(Ami (п — т)\ f т j [ nnw / (cos 1
{ } = 8m----—\ J grad rQPn (cos0o)j . , } dV.
lAmJ т|(п4-тп)! J ё o/(sinm^oJJ
(1.71)
Уравнение (1.69), как и (1.60), выражает потенциал распреде-
ленных источников в виде суммы составляющих, каждая из ко-
торых изменяется пропорционально величине l/rn+1. Однако
здесь коэффициенты разложения определены по-иному, а именно,
выражениями (1.70) или (1.71). Выпишем выражения для коэф-
фициентов низких порядков, используя уравнение (1.70):
п = 0
Am=^IdV; (1.72)
V
п — 1
Ao == j r0A(cosOo)/d7, Ли = У г0^1 (cosOo) COS-фо-IdF, (1.73)
V V
Вц = rQPi (cos 0о) sin фо • IdVJ
n = 2
Ao == J roP2(cos0o)/d7,
Ai = $ r^2 (cos 0o) cos ф0- IdV.
v
Ai == -|- ^ ro^2 (cos00) sin фо-IdV, (1-74)
V
Л22 = r^Pl(cos6o)cos2фо‘IdV.
V
B22 =* 70^2 (cos 0O) sin 2ф0-1 dV.
V
Как и в случае разложения в ряд Тейлора, часть суммы (1.69),
соответствующая каждому значению п, может рассматриваться
как потенциал мультиполя. При этом компоненты мультиполя
определяются соответствующими коэффициентами Апт, Впт.
Эти коэффициенты также называют мультипольными компонен-
тами распределения источников тока. Вклад каждой мультиполь-
26
ной компоненты в потенциал определяется как произведение этой
компоненты на коэффициент, являющийся функцией координат
точки наблюдения и удельной электропроводности среды. Выра-
жения для потенциалов, определяемых членами разложения (1.69),
записываются следующим образом:
(1.75)
Ф1 =
Рг (СОЗ 6)
г2
(cos 0) COS ф
+ Ли------------------и
1
4я<3
(cos 0) sin ф
+ #11----------2------
п = 2
1 Г. Р2 (cos 0) , л p£(cos0)cosv|)
4)2 ~ 1ST И20---------Рз-------Н Л21------------------
(cos 0) sin ф Р2 (cos 0) cos 2ф
+ ^2i--------------------F А22--------------------F
Р2 (cos 0) sin 2ф I
+ #22 ---------з-------
(1.76)
(1.77)
И т. д.
Соотношение между мультипольными разложениями разных
видов. Из последних уравнений видно, что при использовании
разложения в ряд по сферическим функциям число независимых
мультипольных компонент порядка п равно 2п + 1 (т. е. совпадает
с числом независимых компонент мультиполей, построенных из
точечных источников). Для мультиполей второго и более высоких
порядков это число оказывается меньше, чем число независимых
мультипольных компонент при разложении в ряд Тейлора. Это
объясняется тем, что коэффициенты Anm, Bnm отражают не все
свойства распределения источников, а только те, которые обуслов-
ливают существование потенциала вне области источников.
При любой форме распределения этого потенциала можно подо-
брать совокупность точечных мультиполей, суммарный потенциал
которых совпадает с потенциалом рассматриваемых распределен-
ных источников. Как уже отмечалось, такой мультипольный гене-
ратор эквивалентен рассматриваемым распределенным источникам
в отношении потенциала, создаваемого вне области источни-
ков. Однако мультипольные компоненты Апт, Впт не дают одно-
значного описания структуры распределенных источников, так
как она определяется моментами распределения Сп^ число ко-
торых для каждого значения п (при п > 1) превышает число муль-
типольных компонент Апт, Впт. Моменты распределения описы-
27
вают все свойства структуры источников, в том числе и те, кото-
рые не находят отражения в потенциале, наблюдаемом вне обла-
сти источников. Например, при симметричном распределении
источников, для которого С202 — С220 = С200 — положительная
величина и С211 — С210 = С201 = 0 (отрицательный точечный
источник в начале координат, окруженный сферической оболоч-
кой равномерно распределенных положительных источников с та-
ким же суммарным током и с центром в начале координат), потен-
циал вне области источников равен нулю, так как в этом случае
Следовательно, по величинам потенциалов, измеренным вне
области источников, в принципе невозможно определить все мо-
менты распределения источников, т. е. мультипольные компо-
ненты Cnki, и восстановить структуру распределения источников,
если отсутствует какая-либо дополнительная информация об этом
распределении. В то же время мультипольные компоненты Апт,
Впт могут быть найдены по измеренному потенциалу.
Если распределение источников задано, то для него можно
вычислить коэффициенты а по этим коэффициентам опреде-
лить мультипольные компоненты Апт, Впт. Очевидно, задача
обратного перехода от этих компонент к коэффициентам Сп1а для
мультиполей выше первого порядка не имеет однозначного реше-
ния.
Для того чтобы установить связь между мультипольными ком-
понентами Апт, Впт, с одной стороны, и мультипольными компо-
нентами Cnia — с другой, нужно перейти в выражении (1.70)
от сферических к прямоугольным координатам, учитывая урав-
нения (1.48) и (1.67), и сравнить результат с (1.61). Для мульти-
полей низких порядков в прямоугольных координатах
Ao==JzoZdF,
V V
An=\x0IdV, Bn={yoIdV,
V V
Ло= ^(2z2-x20-y2)IdV, . (1.79)
V
А21 = J xozoI dV, B21 = J yQz0I dV,
V V
422 = (4 — ?/o)T’dV, B22-=~-^Xoyol dV,
И V
28
и сопоставление этих выражений с выражениями (1.62) — (1.64)
дает
-4 оо = Сооо?
-4]0 = Сюо, — Cion Вц = Спо? (1.80)
Л20 = 1/г (2С200 •— С202 — С220)?
Л21 = C2oi? -В21 — С210?
Л22 = 1/4 (С202 — С220)? В22 = 1/2С2Ц.
Соотношения такого типа могут быть легко получены и для
любого мультиполя более высокого порядка. Они наглядно ил-
люстрируют неоднозначность определения коэффициентов Спи по
заданным компонентам ЛП7П, 5nw.
Некоторые свойства мультипольных компонент. Мультиполь-
ные компоненты обладают двумя свойствами, играющими важную
роль при исследовании электрического поля сердца.
Одно из этих свойств заключается в особом характере измене-
ния мультиполей разных порядков при смещении начала коорди-
нат. Предположим, что начало координат перенесено в точку,
которая в исходной системе координат xoyozo имеет координаты
хс, Ус, Обозначим символами со штрихом величины, относящие-
ся к этой новой системе координат. Координаты точки в новой
системе координат выражаются как
х' = х0 — хс, у’ =у0 — ус, z’ = Zo — zc. (1.81)
Найдем мультипольные компоненты Апт, Впт в новой системе
координат, подставляя в выражения (1.79) вместо исходных новые
координаты (1.81), и представим интегралы в виде сумм интегралов
от отдельных членов подынтегральных выражений:
Aw=AldV, A'w = ^z0IdV -zSldV,
V V V
Axl=\xoldV-xAldV, Bn= \y0IdV-yAldV,
V V V V
^20 = “2“ (2^0 — — Уо) I dV xc XqI dV -}- yc y§I dV —>
v v v
- 2zc J z0I dV -^x2c jj IdV - 1- y2c ^IdV + z2^IdV,
V V V V
Л21 = Xftol dV — zc XqIdV — xA ZqI dV 4- xczc dV,
[V V v V
B21 = yoZoI dV — zc^ y0I dV — yc zQI dV + yczc \ IdV,
V V V V
29
Аг =(4 — ?/о) -----±-xAx0IdV + 4>-уЛуа1 dV 4-
у V у
+ -^-^idv--^yAidv,
V v
' if 1 (* 1 (‘
Аг = — J хоУ^ dV-----г"% \ Х<Д dV---2“^с \ Уо/dV +
|V |У у
+ ^-xcyAldV. (1.82)
IV
Поскольку суммарный ток биоэлектрических источников тока
сердца равен нулю, все члены этих уравнений, содержащие интег-
рал f I dV, обращаются в нуль. С учетом уравнений (1.79) получаем
V
следующие выражения для компонент диполя и квадруполя в
новой системе координат через компоненты, соответствующие
исходной системе:
диполь
= Aw, Ац = Аи, Вц = В1г; (1.83)
квадруполь
Л2о = ^20 4* 4- У&Вц 2 zcA10,
Л21 = А21 2с^1И -&21 = ^21 М10
А22 = А22 — %сЛ-11 4“ ^2 Ус^Пу ^22 = В22 -- V2 ^сВ1г —
-1/2УсА11. (1.84)
Таким образом, при указанных условиях (равенство нулю сум-
марного тока источников) смещение начала координат не приводит
к изменению дипольных компонент, однако изменяет компоненты
квадруполя (и мультиполей более высоких порядков). Как видно
из уравнений (1.84), к квадрупольным компонентам добавляются
величины, пропорциональные компонентам диполя и величинам
смещения по осям координат.
Другое свойство связано с ортогональностью системы сфериче-
ских функций и заключается в том, что интеграл по поверхности
сферы с центром в начале координат от потенциала каждого муль-
типоля, начиная с первого порядка, равен нулю. Это обусловлено
равенством нулю интегралов
2Л Л
У У Рп (cos 0) cos sin 0 dQ dip = 0,
i|)=0 0=0
У У Pn (cos0)sinzmpsin0d0dip = 0
i|>=0 0=0
при п =1,2, ... Следовательно, для любого распределения источ-
30
ников, которое может быть разложено в ряд (1.69) с членом нулево-
го порядка, равным нулю, среднее значение потенциала на поверх-
ности сферы, окружающей все источники, всегда равняется нулю»
Это свойство распределения потенциала широко используется в
электрокар ди ологических измерениях для получения точной нуле-
вой терминали, т. е. индифферентной точки отсчета потенциалов
(см., например, [110]).
Мультипольные представления потенциала обоих типов (осно-
ванные на разложении в ряд Тейлора и на разложении по сфериче-
ским функциям) широко применяются при анализе электрического
генератора и электрического поля сердца. Мультипольные компо-
ненты Апт, Впт используются главным образом при решении задач,,
связанных с определением характеристик генератора сердца по
измерениям его потенциала. В других случаях, например, при
сопоставлении разных математических моделей генератора сердца,
более полезными могут оказаться мультипольные компоненты Спи»
Разложение потенциала дипольного генератора тока. Предпо-
ложим, что источник тока представляет собой точечный диполь,
расположенный на оси z прямоугольной системы координат xyz
на расстоянии г0 от начала координат (рис. 1.4, б). Компоненты
такого дипольного генератора можно рассматривать независимо,
как три диполя, моменты которых ориентированы параллельно
осям координат и имеют соответственно величины Dx, Dy («танген-
циальные» диполи) и Dz («радиальный» диполь). Для получения
искомых разложений потенциала в каждом случае сначала рас-
смотрим конечный диполь, а затем при помощи предельного пере-
хода найдем выражение для точечного диполя.
Конечный диполь с моментом Dx состоит из двух точечных
источников, координаты которых выразим в сферической системе
координат: положительный расположен в точке (г0, 0О, 0), отрица-
тельный — в точке (г0, 0О, л). Расстояние между этими полюсами
диполя равно 2r0 sin 0О, а абсолютная величина тока каждого
полюса равна Dxl(2rQ sin 0О). Выражая потенциалы полюсов при
помощи формулы (1.26) и используя разложения (1.66), получим
следующие выражения для их суммарного потенциала:
г\ со П П_1
фхК = 8jissin0o У 8т"^+Г"(п-|. т)! Рп ^cos0«) х
п—О т—0
X Рп (cos 0) [cos тф — cos т (л — ф)]
при г^>г0,
(1.86)
<₽« = ТВД fit К (™SO.)P”(c«S0) х
71—0 гп—0 0
X [cos тф — cos т (л — ф)]
при Г<>0.
31
Сближение полюсов конечного диполя и переход к пределу при
60 —> 0 дают для точечного диполя выражения
Z) 1
<Рх= -7w-p«(cose)cos^ п₽и r>r0,
п=1
n - n (1-87)
<Px = 4ST 2_1”4?T/’«(cose)costi’ ПРИ r<ro-
1S1 ro
Аналогично для конечного диполя с моментом Dy полюса рас-
положены в точках (г0, 90, л/2) и (г0, 90, 3/2 л), расстояние между
ними равно 2 r0 sin 90 и абсолютная величина тока равна Dy!
/(2r0 sin 90). Суммарный потенциал конечного диполя выражается
так:
__ оо 71 72—1
= 8л<3 sL Оо Vi Vi Ът r*+l (n + ГО)! Рп (COS0°) ^n(cos 6) Х
п=о т—0
x£cos?n(-^-----— cos т л — ip j J при r^>r0,
(1.88)
п °° n n
<1- - taivLE (“se">p” <“50>x
• n=o m=Q 0
X £cos m ------ipj — cos m л — 'ф) J ПРИ r ro-
Сближение полюсов конечного диполя и переход к пределу при
0о —> О дают для точечного диполя выражение
Фу У Чтгрп (cos 9) sin ip при г > г0,
г (1.89)
и
-^-J,n(cos0)cos'ty при Г<го.
о
Для конечного диполя с моментом Dz оба полюса расположены
на оси z и разделены расстоянием 2d; положительный полюс
находится в точке (r0 + d, 0, 0), отрицательный — в точке (г0 — d,
0, 0). Абсолютная величина тока каждого полюса равна Z)z/(2d).
На основании уравнений (1.26) и (1.66) получаем для суммарного
потенциала конечного диполя
= в- Vi [<г° + d>n - (r°_ Рп (cos 0) при г > Г°’
п=о
(1.90)

32
DZ V1 пГ 1 1 "1 „ .
<р*к = та-LovPr1'~ (r„-d)~y"(cosе) при г><г°'
Сближение полюсов конечного диполя и переход к пределу при
d —> 0 дают для точечного диполя выражения
л 00 гп“г
<рг = ^-2jra^p”(cos9) при г>г0)
П=1
(1-91)
= ^^y^+1)~iTPn(cos0) приг<г°-
“ О
Сопоставляя уравнения (1.87), (1.89) и (1.91) для г > г0 с
уравнением (1.69), можно найти величины мультипольных компо-
нент для рассматриваемого частного случая распределения источ-
ников в виде точечного диполя. А именно: не равные нулю мульти-
польные компоненты выражаются как
Лп1=ад-1 (1-92)
для тангенциального диполя Z)x,
,5п1=^гГ (1.93)
для тангенциального диполя Dy и
Ап0 (1.94)
для радиального диполя Dz.
Разложение потенциала дипольных источников по сферическим
функциям и по мультиполям часто оказывается весьма полезным
при решении электрокардиологических задач с применением мате-
матического моделирования (например, при исследовании влияния
неоднородности объемного проводника на электрическое поле
сердца).
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО НОЛЯ
СТАЦИОНАРНЫХ ТОКОВ
Теорема Грина. Ряд полезных интегральных соотношений для
электрического поля сердца можно получить при помощи теоремы
Грина, которая утверждает следующее: если в некоторой области
пространства V, ограниченной замкнутой поверхностью S, заданы
две скалярные функции и Ф2, непрерывные и дважды непрерыв-
но дифференцируемые во всем объеме V, то справедливо соотноше-
ние
j (О^ДФз — Ф2ДФ1)^Г = J [Ф^Фг/дл) — Фг (^Ф1/5п)] dS,
V S
(1.95)
2 Л. И. Титомир
33
где п — внешняя нормаль к поверхности 5. (Вполне строгая
формулировка этой теоремы содержит еще некоторые требования к
математическим свойствам области V и поверхности 5, которые
всегда удовлетворяются в интересующих нас электрокардиологи-
ческих задачах.)
Рассмотрим некоторые случаи применения теоремы Грина к
неоднородной среде, состоящей из нескольких областей, каждая
из которых однородна и имеет собственную удельную электропро-
водность [95, 102, 205, 212, 213, 326, 363, 370, 372, 455].
Выражение внеклеточного потенциала через характеристики
поля на поверхности мембраны клетки. Пусть неограниченный
объемный проводник подразделяется на несколько областей (соот-
ветствующих характерным «компартментам» тела), в которых
существует электрическое поле, генерируемое источниками тока
сердца (рис. 1.5, а). Поверхность 5В соответствует наружной
поверхности тела, которая отделяет его от внешней области РЕ,
имеющей удельную электропроводность аЕ. Основная масса тела
(область Йв) имеет удельную электропроводность ов, отдельные
внутренние органы тела (области Vi, ограниченные поверхно-
стями — удельные электропроводности (i = 1, 2, . . . , N,
Рис. 1.5. Кусочно-однородный
объемный проводник, внутри ко-
торого находятся источники то-
ка а—сосредоточенные в клеточ-
ной мембране (заштрихованная
область), б — произвольно рас-
пределенные в области серд-
ца
34
где N — общее число рассматриваемых отдельно внутренних об-
ластей). Вся область сердца ограничена поверхностью *$н- Внутри
нее поверхностью 5ех выделена небольшая область, соответству-
ющая одной возбуждающейся клетке. Пассивная часть объема
сердца FH (область сердца, где в данный момент отсутствуют
источники тока) заключена между поверхностями и 5ех и имеет
удельную электропроводность он- Область мембраны клетки, в
которой возникают биоэлектрические источники тока, заключена
между внешней поверхностью мембраны Sex и внутренней поверх-
ностью мембраны 5jn. Внутренняя область клетки Fin имеет
удельную электропроводность oi и Обозначим через ср потенциал
электрического поля, создаваемого клеточными источниками в
рассматриваемом объемном проводнике, и через г — расстояние от
некоторой неподвижной точки наблюдения Р до произвольной
точки в любой области проводника. Положим Фх = ср и Ф2 = 1/г.
Тогда уравнение теоремы Грина (1.95) запишется в следующем
виде:
S [ч>А Ш - т4»] Ш dS- (1-96)
V S
Предположим, что точка наблюдения Р находится в области
FB. Поскольку в этой точке г = 0 и функция 1/г не удовлетворяет
условиям применимости теоремы Грина, необходимо исключить
эту точку из области интегрирования. С этой целью введем в рас-
сматриваемую структуру проводника еще одну поверхность —
сферу SQ с центром в точке наблюдения и с радиусом г0, располо-
женную целиком в области Ув, и исключим внутреннюю область
сферы из объема FB. Кроме того, введем сферическую поверхность
с центром в точке наблюдения, охватывающую все указанные
выше поверхности и имеющую радиус гЕ. Теперь применим теорему
Грина к следующим областям: область FH (ограничена поверхно-
стями 5ех и 5н), N областей Vi (каждая ограничена соответствую-
щей поверхностью Si), область VE (ограничена поверхностью 5В
и сферой £Е) и область VB (ограничена поверхностями 6н,
сферой So и N поверхностями Si). Заметим, что ни в одной из
указанных областей не содержится источников тока, так как все
биоэлектрические источники, по предположению, находятся в
области мембраны между поверхностями 5in и 5ех- Следовательно,
в соответствии с уравнением (1.15) внутри каждой из этих областей
Дф = 0. Кроме того, в каждой области г 0 и, следовательно,
Д (1/г) = 0.
Таким образом, левая часть уравнения (1.96), примененного
к каждой области, будет равна нулю. Просуммируем такие
уравнения для всех указанных областей, предварительно умножив
уравнение для области Ун на отношение (ТН/Фв, уравнение для
области VB на отношение оЕ/ов и уравнения для N областей Vi —
2*
35
на соответствующие отношения Oj/aB:
дфн
дп
£
г
dS +
1 аФг '
г дп
dS 4-
д / 1 \
дп \ г /
dS +
___1 дфЕ '
г дп
(1.97)
Здесь индекс в обозначении потенциала указывает область провод-
ника, в которой существует этот потенциал. Преобразуем интегра-
лы по сферическим поверхностям и 50:
J I/ дп \ г / ь г дп \
sE
} ГрЕ-а7
1 с
л \ 1
' 1 dtpX П
— -р. clSi =
г dr J 1
\ -
л дг
(1.98)
где (фк)т и (5<ре/5ге)ти — значения потенциала и его производной в
некоторой точке на поверхности $е (здесь использована теорема о
среднем). Удалим поверхность 5е в бесконечность, т. е. будем
— — "4^ (Фе)гп
Е / m
36
рассматривать область FE как все пространство, расположенное
вне поверхности 5в. Поскольку все источники сосредоточены внут-
ри поверхности 5ц и имеют ограниченный суммарный ток, потен-
циал фЕ убывает на бесконечности обратно пропорционально гЕ
или быстрее, а его производная по — обратно пропорционально
гЕ или быстрее. Следовательно, в пределе
S [^(4) <‘-w)
Е SE
Аналогично для интеграла по поверхности 50:
4? (А)- Ат]dS = М<Рв)т' + (1.100)
Sol
где (фв)т и (Зфв/5г0)тп — значения потенциала и его производной в
некоторой точке поверхности 50 (здесь знаки величин изменены на
противоположные, так как направление увеличения г0 противопо-
ложно направлению нормали к поверхности п). Теперь стянем
поверхность So в точку, устремляя к нулю ее радиус г0. В пределе
второе слагаемое в правой части уравнения (1.100) обратится в
нуль, а потенциал (фВ)т станет равным потенциалу ф в точке
наблюдения Р:
;™4Ь=4-(4)-44гИ-4я'|’(р)- <1ло1>
Далее, заметим, что в области VH непосредственно у поверхно-
сти Sex в соответствии с уравнениями (1.6) и (1.7)
— он (дуп/дп) = /м, (1.102)
где /м — плотность тока, протекающего через поверхность Sex в
направлении нормали к этой поверхности (в рассматриваемом
случае эта величина соответствует мембранному току возбуждаю-
щейся клетки). Величина /м положительна, если ток вытекает
изнутри клетки наружу. Знаки в уравнении (1.102) обусловлены
тем, что нормаль к поверхности определена как внутренняя по
отношению к области Fh.
Согласно уравнениям (1.16) и (1.17) граничные условия на
поверхностях раздела между областями с разными удельными
электропроводностями имеют следующий вид:
на поверхности 5Н
<Рн = <Рв, Он (5<рн/дп) = Ств (д<ръ/дп);
на поверхности 5В
фЕ = фв, ОЕ (дфЕ/<Эп) = Ив (<9фв/<5и); (1.103)
па поверхностях Si
Фг = фв, OTj (dtyi/dn) = О'в (5фв/5п).
37
Преобразуем уравнение (1.97) с учетом уравнений (1.99),
(1.101) — (1.103), полагая, что нормаль п к поверхностям на-
правлена наружу по отношению к области Ув и внутрь по отноше-
нию к остальным областям (при этом знаки интегралов для обла-
стей Ун» Vi и Уе изменятся на противоположные). После необходи-
мых упрощений это уравнение дает следующее выражение для
потенциала в точке наблюдения Р:
f<p>- tst S
&ех &ех
+ -ав) $ ф4-(4)^ +
в 8Н
+ 4^- ~ ав> Sф ШdS +
в i=l s4
(1Л04)
(здесь индексы в обозначении потенциала ф опущены, так как
очевидно, что при интегрировании используются величины потен-
циала на соответствующей поверхности).
Для типичных электрокардиологических измерений область вне
тела Уе представляет собой диэлектрик (воздух), так что в уравне-
нии (1.104) нужно положить аЕ ~ 0. Некоторое упрощение
этого уравнения достигается также за счет того, что третий член
правой части, включающий интеграл по поверхности области
сердца, не отличается по форме от членов следующей за ним
суммы, так что его можно включить в эту сумму, рассматривая
сердце как один из пассивных «компартментов» тела. В результате
уравнение (1.104) принимает вид
N
L <’• - »4г (4)ds - 4г S <₽ 4г (4)is- << •1 o5>
i=l sB
В частном случае, когда клетка окружена однородным и беско-
нечно протяженным проводником с удельной электропровод-
ностью ав, нужно в уравнении (1.104) положить ан = аЕ = =
= Об, и оно значительно упрощается:
<р(Р>= ( — dS + 4~ )dS-
т х 7 4лзв J г 1 4л J т дп \ г )
&ех ®ех
(1.106)
38
Заметим, что здесь и в дальнейшем рассматривается такая
структура объемного проводника, в которой каждая замкнутая
граничная поверхность разделяет только две области с разными
удельными электропроводностями. В более общем случае каждая
область может соприкасаться не с одной, а с двумя или большим
числом соседних областей. Однако и в этом случае остаются спра-
ведливыми приводимые уравнения, с той лишь разницей, что
интегралы по замкнутым поверхностям вычисляются как суммы
интегралов по отдельным участкам этих поверхностей, разделя-
ющим соответствующие пары областей [370].
Первые два члена правой части уравнения (1.105) можно выра-
зить в иной форме. Для этого сначала применим уравнение теоремы
Грина (1.96) к области Fin, ограниченной внутренней поверх-
ностью мембраны 5in, причем точку наблюдения будем считать
по-прежнему расположенной в области VB, т. е. вне клетки. Тогда
левая часть уравнения (1.96) обращается в нуль, поскольку Дф =
= 0 (внутри клетки отсутствуют источники тока) и Д (1/г) = 0 (во
всех точках области Fin величина г не равна нулю), и уравнение
(1.96) дает
$ TTds= $ (1.107)-
Sin ®in
где (pin — потенциал внутри клетки. Но для внутренней поверх-
ности мембраны справедливо уравнение, аналогичное уравнению
(1.102):
-5- Oin (<?<Pin/d72) = 7м. (1.108)
(Ввиду того, что толщина клеточной мембраны очень мала, можно
считать, что плотность тока имеет одно и то же значение на внут-
ренней и наружной поверхностях мембраны.) Учитывая уравнение
(1.108), получаем из уравнения (1.107)
jj jlLdS = -ain J <pin (1.109)
Sin Sjn
Заменим интегрирование по поверхности интегрированием
по поверхности Sex (это не вносит значительной ошибки в резуль-
тат, так как мембрана клетки имеет весьма малую толщину),
подставим это уравнение в (1.105) и объединим интегралы по
поверхности клетки 5ех:
1 С д ! 1 \
Ф<Р) = ^7 \ (<?нфн — <WPin) — — \dS +
Sex
+ /.Д ' Г (аг ~ СТв) Ф ~Г~ dS ~
4л<зв Z iх г ' J т дп \ г I
--тД- ф^М—W (1-11°)
4л J т дп \ г ' '
sb
39
Это уравнение интересно тем, что оно устанавливает непосредст-
венную связь между потенциалом, измеряемым в теле, и потенциа-
лами на внутренней и внешней поверхностях клеточной мембраны,
генерирующей биоэлектрические токи.
Если клетка окружена однородным и бесконечно протяженным
проводником с удельной электропроводностью ав, то с учетом
уравнения (1.106) получаем
1 (• э ! 1 \
(р) = 4^ ) dS'
йех
(1.111)
Очевидно, если рассматривается не одна, а несколько возбуж-
дающихся клеток, то для определения потенциала их суммарного
поля в уравнениях (1.105), (1.106), (1.110) и (1.111) нужно взять
сумму аналогичных членов для каждой клетки.
Выражение внесердечного потенциала через характеристики
поля на поверхности сердца. Другое полезное соотношение
получим, применяя теорему Грина ко всем указанным выше об-
ластям, кроме области Vh, и суммируя результирующие уравне-
ния, умноженные на соответствующие коэффициенты:
П V С Г д ! 1 \ 1 Э(РгЪс I
J LT дп \ г г дп I •
1=1 Si
___1 дфв
г дп
dS +
, С Г д ( 1 \
+ ИфВ ~дп~ \~]
SH
Эф
дп
dS +
в
, С Г э I 1 \ 1 5ФВ 1
Н~ \ фв — —--------------л—
J I т дп \ г / г дп \ ’
So
2V г п
(1.112)
г=1 S;
Преобразуем это уравнение аналогично (1.97). В результате
40
получаем
/n, 1 С 1 5<рВ 1 С д ! 1 \ ,с- ,
q> (Р) = — \--з— dS —-г— \ <рв -а— — ]dS
т J г дп 4л J т дп \ г / '
SH SH
N
+ -4^rS(ai“aB)$
i=l S|
-4г!рв^Н-И (1Л13>
SB
Особенность этого уравнения в том, что оно выражает потенциал
в точке наблюдения не непосредственно через характеристики
источников тока (заключенных, по предположению, внутри поверх-
ности сердца 5Н), а через потенциал и производную потенциала на
поверхности сердца, а также потенциал на поверхностях раздела
областей с разными удельными электропроводностями. В частном
случае, когда внутренняя неоднородность тела вне сердца отсутст-
вует, уравнение принимает вид
4л
1 ’ Г 1 ЛС 1 С д / 1 \ ,1С
Ф (Р) х.-- -— \------------х— ciS-----— \ фв — — dS —
1 х ' 4л J г дп 4л J т дп \ г /
SH
1 Г д
4л J дп
8В
(1.114)
dS.
Если же предположить, что сердце окружено однородным и
бесконечно протяженным объемным проводником, то уравнение
принимает еще более простую форму, аналогичную (1.106):
/пх 1 С 1 а(рВ 1 С d I 1 \ ..
<р(Р) = — \ 5—dS -у— \ фв-п— —\dS. (1.115)
ъ \ / 4л J г дп 4л J дп V г v '
SH SH
Выражение виесердечного потенциала через характеристики
источников тока сердца. Рассмотрим еще один вариант применения
теоремы Грина для анализа электрического поля сердца. Предпо-
ложим, что все биоэлектрические генераторы заданы в виде рас-
пределения источников с плотностью I в области сердца Гн» причем
вся эта область имеет удельную электропроводность он, а в осталь-
ном структура проводника остается такой же, как в предыдущем
случае (рис. 1.5, б). Как и раньше, применим уравнение теоремы
Грина (1.96) к областям Ун, Уь Уе и Ув, считая точку наблюдения
Р расположенной в области Ув. Теперь одна из рассматриваемых
областей, а именно область Ун, содержит источники тока, поэтому
при применении к пей теоремы Грина второй член левой части
уравнения (1.96) в соответствии с уравнением (1.13) выражается
41
как
( — A<pdF = — £
VH VH
(1.116)
Применяя теорему Грина также к остальным указанным выше
областям, умножая на соответствующие коэффициенты и суммируя
все результирующие уравнения, получим уравнение, аналогичное
уравнению (1.97), но с левой частью, не равной нулю:
Преобразуем это уравнение в такой же последовательности, как
уравнение (1.97). В результате получим
N
ф (Р) = —-— \ — dV +• -7-^— У1 (о^ — Ов) ф (“М
в 4
-тН <1Л18>
SB
Первый член правой части уравнения (1.118) в соответствии с
уравнением (1.19) выражает потенциал, который создавали бы
заданные источники в той же точке наблюдения, если бы рассмат-
риваемая среда представляла собой однородный и бесконечно
42
протяженный проводник с удельной электропроводностью сгв, а
остальные члены характеризуют влияние неоднородности среды.
Эти члены можно интерпретировать как потенциал, создаваемый в
той же однородной среде индуцированными, или «вторичными»,
источниками, локализованными на поверхностях раздела областей
с разными удельными электропроводностями (под «первичными»
источниками подразумеваются исходные биоэлектрические источ-
ники тока с плотностью /). В данном случае вторичные источники
представляют собой «двойные слои» источников тока, совпадающие
с поверхностями раздела и имеющие поверхностную плотность
дипольного момента (о* — ав) Ф для внутренних поверхностей
раздела и авср для внешней поверхности тела. Чтобы перейти к
простейшему частному случаю неоднородной среды — однородному
ограниченному проводнику, т. е. проводнику, не содержащему
внутренних поверхностей раздела, положим, что удельная элект-
ропроводность всех областей равна одной и той же величине,
например ав- Тогда в уравнении (1.118) коэффициенты перед всеми
интегралами второго члена обратятся в нуль, и оно принимает вид
ф(Р)=-7-1- ±dV.'{ }dS. (1.119)
т v J г 4л J T dn \ r / v 7
VH sB
Сопоставляя уравнения (1.113) и (1.118) или уравнения (1.114)
и (1.119), можно заметить, что при любом распределении источни-
ков тока внутри замкнутой поверхности 5н потенциал вне этой
поверхности полностью определяется распределениями потенциала
и его нормальной производной на поверхности 5ц. Эти распределе-
ния иногда удобно использовать для математического описания
генератора сердца (см. гл. 3).
Важный частный случай распределения источников — идеа-
лизированный генератор в виде замкнутого равномерного двой-
ного слоя источников тока (более подробно о нем сказано в главах
2 и 3). Легко показать, что если такой двойной слой расположен
в однородном неограниченном проводнике, то независимо от фор-
мы поверхности двойного слоя создаваемый им потенпиал всюду
вне его поверхности равен нулю, а внутри поверхности — неко-
торой постоянной величине, зависящей от плотности дипольного
момента двойного слоя и от удельной электропроводности среды.
Рассматривая вместо первого члена правой части уравнения (1.118)
потенциал замкнутого равномерного двойного слоя, заданного в
однородной области проводника с удельной электропроводностью
ов, можно заключить, что в силу единственности решения этого
уравнения указанное выше свойство замкнутого равномерного
двойного слоя сохраняется и при наличии внутри или снаружи
от его поверхности областей с другими удельными электропровод-
ностями, т. е. для случая неоднородного проводника [3151.
Наконец, еще одно полезное интегральное соотношение для
структуры объемного проводника, изображенной на рис. 1.5, б,
43
можно получить, применяя теорему Грина к областям Гд, Vt
и V-q, в предположении, что точка наблюдения находится в области
Fe, т. е. снаружи от поверхности хУв- Для всех внутренних точек
рассматриваемых областей г 0 и, следовательно, Л (1/г) = 0.
Кроме того, все эти области, за исключением области Ун, не со-
держат источников, так что для них Дер = 0. Для области Уд,
содержащей источники тока с плотностью источников Г, в соот-
ветствии с уравнением (1.13) Аф = —77од. Умножим уравнение
теоремы Грина для области Уд на отношение егд/ов» уравнения
для N областей V} на соответствующие отношения о^/сУв и просум-
мируем результирующие уравнения:
(1.120)
Объединим интегралы по одним и тем же поверхностям, при-
мем во внимание граничные условия (1.103) и умножим обе части
уравнения на 1/(4л). Кроме того, допустим, что объемный провод-
ник окружен диэлектриком и согласно уравнению (1.18) нормаль-
ная производная потенциала на поверхности 5в равна нулю. Ин-
теграл по поверхности сердца 5д, как и прежде, включим в сумму
интегралов по поверхностям других областей. В результате получим
(1.121)
Это уравнение выражает потенциал, который создавали бы вне
поверхности 5в источники тока с плотностью I в однородном не-
ограниченном проводнике с удельной электропроводностью сГв
(левая часть уравнения), через распределение потенциала на по-
верхности 5в и на других поверхностях, разделяющих области
с разными удельными электропроводностями. В частном случае
44
однородного проводника с удельной электропроводностью crB, ог
раниченного поверхностью 5в, т. е. при О/ = сГв, уравнение (1.121)
принимает вид
£ -LdV = 4- \dS- (1.122)
4я5п J г 4л J т дп \ г v '
vH sb
Другие формы интегральных уравнений. Интегральные соот-
ношения для электрического поля стационарных токов можно
представить в иной форме, выражая влияние неоднородности про-
водника не через потенциалы на поверхностях раздела областей с
разными удельными электропроводностями, как в приведенных
выше уравнениях, а через нормальные к поверхностям раздела
составляющие напряженности электрического поля. При этом
вторичные источники будут представляться в виде простых, а не
двойных слоев источников тока, интенсивность которых зависит
от напряженности электрического поля и соотношения между
удельными электропроводностями соседних областей. Такая трак-
товка неудобна тем, что при ее использовании для решения ряда
электрокардиологических задач нужно знать величину нормаль-
ной составляющей напряженности электрического поля в непосред-
ственной близости от поверхностей раздела, а измерение этой вели-
чины очень трудно осуществить [212, 363]. Однако этот подход
в некоторых работах был положен в основу расчета электриче-
ского поля сердца на теоретических моделях [205, 455]. Сопостав-
ление различных форм интегральных соотношений для электри-
ческого поля с позиций теоретической электродинамики содер-
жится в работе [396].
Была предложена также общая формулировка интегральных
уравнений, учитывающая влияние диэлектрических свойств сре-
ды на электрическое поле изменяющихся во времени источников
[95].
4. ПРИНЦИП ВЗАИМНОСТИ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ОТВЕДЕНИЯ
Отведение и вяесердечные факторы. При исследовании элек-
трического поля сердца обычно измеряют разность потенциалов
между двумя точками пассивной электрической цепи, подсоеди-
ненной к объемному проводнику — телу. Такая цепь называется
электрокардиографическим отведением. В самом простом случае
отведение представляет собой два провода, контактирующих с дву-
мя точками поверхности тела; в более сложных измерительных
процедурах отведение может содержать набор весовых резисторов.
Отводимая разность потенциалов, или сигнал отведения, опреде-
ляется двумя факторами: во-первых, характеристиками биоэлек-
трических генераторов сердца и, во-вторых, характеристиками
физической среды, отделяющей эти генераторы от точек наблю-
45
дения (т. е. точек цепи отведения, к которым подключается изме-
рительная аппаратура).
Характеристики среды, которые иногда называют внесердеч-
ными (или экстракардиальными) факторами, включают электри-
ческие и геометрические характеристики тела и параметры схемы
отведения, а именно координаты расположения отводящих элек-
тродов на теле и величины сопротивлений весовых резисторов.
Внесердечные факторы определяют свойства отведения как из-
мерительного устройства и
не зависят от характеристик
генератора сердца. Внесер-
дечные факторы, относящие-
ся к телу как объемному про-
воднику, могут быть в опре-
деленной степени измерены и
учтены при анализе сигналов
отведений. Имеются некото-
рые возможности (хотя и
весьма ограниченные) целе-
направленно изменять эти
факторы. Например, в элект-
рофизиологических экспери-
ментах с анатомически изоли-
Рис. 1.6. Соотношение между источниками и
отведением для кусочно-однородного провод-
ника
рованным сердцем миокард
в естественных условиях. В то же
ний можно изменять в довольно
окружен однородным провод-
ником (физиологическим рас-
твором) вместо тканей и ор-
ганов тела, окружающих его
время параметры самих отведе-
широких пределах, что позво-
ляет конструировать отведения с заранее заданными измеритель-
ными характеристиками.
Поле отведения. Для математического описания отведения
удобно воспользоваться понятием поля отведения [89, 264, 311 —
313]. Полем отведения называется электрическое поле, созда-
ваемое в объемном проводнике током единичной величины, при-
ложенным к выходным точкам отведения. Чтобы найти общие
соотношения между сигналом отведения, характеристиками ге-
нератора и характеристиками поля отведения, воспользуемся
теоремой Грина для кусочно-однородного объемного проводника
такой же структуры, какая была рассмотрена в предыдущем раз-
деле, однако предположим, что в проводнике выделены две не-
большие области со сферическими поверхностями и S2
(рис. 1.6). Определим скалярные функции Фг и Ф2, входящие в
уравнение теоремы Грина (1.95), следующим образом: Фх — <р —
потенциал, создаваемый в объемном проводнике биоэлектрически-
ми источниками, расположенными в области сердца Ун, при ус-
46
ловии, что поверхности 5хи S2 ограничивают диэлектрические об-
ласти и ток через эти поверхности отсутствует; ф2 = Ф — потен-
циал, создаваемый в этом же объемном проводнике токами, про-
текающими через поверхности Sx и S2, при условии, что биоэлек-
трические источники отсутствуют. Тогда уравнение теоремы Гри-
на запишется как
^фДФ-ФДф)^ = иФ^-Ф-^Ы. (1.123)
V s х
Применимтеорему Грина в этой форме к областям Ун, Vt п VB,
учитывая, что величина Аф не равна нулю только в области Ун»
где из-за наличия источников Аф = —Г/он, а величина АФ равна
нулю во всех рассматриваемых областях. Умножим полученное
уравнение для области Ун на отношение ан/пв, а уравнения для
N областей Vi — на соответствующие отношения ог/ов, после чего
просуммируем уравнения для всех областей:
_фн^н_')й5 +
н дп )
\ Ф7<77 = -2- \ <рн
J °В е) \
VH SH
дфН
дп
(1.124)
где индексы в обозначениях потенциалов указывают область, в
которой определен данный потенциал.
Предположим, что среда вне поверхности 5В является диэлек-
триком, и применим к потенциалам ф и Ф граничные условия
(1.103) на поверхностях 5Н и St и граничное условие (1.18) на по-
верхности 5В. Кроме того, применим к потенциалу ф граничное
условие (1.18) на поверхностях 5Х и S2. В результате упрощений
уравнения (1.124) с учетом этих граничных условий и направле-
ния нормалей к поверхностям интегрирования получаем
-±- jj ®IdV = $ ^dS + J <?^dS. (1.125)
B VH Si b’2
47
Рассмотрим оставшиеся интегралы по поверхностям 5Х и S2.
Предположим, что ток, создающий потенциал Ф, втекает в об-
ласть через поверхность 5Х и вытекает из нее через поверхность
S2. Составляющая плотности этого тока по нормали к поверхности
выражается как
in = бвдФ/дп. (1.126)
Здесь знак составляющей плотности тока совпадает со знаком
нормальной производной потенциала, так как направления поло-
жительной нормали и положительного тока противоположны.
В результате уравнение (1.125) принимает следующий вид:
J Ф/Й7= f ф/пdS + У <pjndS. (1.127)
Vjj Si s2
К интегралам правой части этого уравнения можно применить
теорему о среднем, допуская, что на поверхностях Sr и S2 величина
jn не меняет знак:
f (bldV = ф„а j jndS + ф,п2 f jndS, (1.128)
где <pml и <pm2 — значения потенциала <p в некоторых точках на
поверхностях 5Х и S2 соответственно. Здесь интегралы выражают
суммарные токи, протекающие через эти поверхности. Они должны
быть равны по абсолютной величине и противоположны по знаку,
так как поле Ф в ограниченном проводнике создается только эти-
ми токами. Тогда ток, втекающий в объемный проводник через по-
верхность 5Х, равен
rL= \ jndS = — ^ JndS. (1.129)
Si s2
Теперь стянем поверхности Sx и S2 в точки 1 и 2 соответственно,
сохраняя неизменным суммарный ток, протекающий через каждую
из этих поверхностей. В пределе потенциалы срт1 и <рт2 будут стре-
миться соответственно к потенциалам в точках 1 и 2, и уравнение
(1.128) с учетом (1.129) принимает вид
У Ф1 dv = rL (фх - ф2). (1 лзо)
Это одна из форм выражения «принципа взаимности» [74, 358, 3631.
Предположим, что 1 и 2 — это выходные точки отведения, ис-
пользуемого при исследовании электрического поля сердца (за-
метим, что они могут находиться и на поверхности тела). Сигнал
отведения, обусловленный генератором сердца, будет равен раз-
ности потенциалов этих точек
фь = Ф1 — Ф2- (1Л31)
48
Если же через эти точки в объемный проводник подается ток Гь =
-1, то в проводнике создается потенциал Фь, который по опреде-
лению является потенциалом поля отведения. Уравнение (1.130)
при указанных условиях дает следующее выражение для сигнала
отведения:
фь= f (1.132)
Vh
Таким образом, если известен потенциал поля отведения Фь
в области источников, то можно определить сигнал данного отве-
дения, обусловленный любым заданным распределением источни-
ков с плотностью I.
Выражение (1.132) было получено здесь для простого двухпо-
люсного отведения, т. е. для отведения, измеряющего непосред-
ственно разность потенциалов между двумя точками тела. Однако
это выражение справедливо и для сложного отведения, которое
может содержать любое число отводящих электродов на теле, а
между электродами и выходными точками 1 и 2 — любую пассив-
ную электрическую цепь. В последнем случае цепь отведения сле-
дует рассматривать как составную часть объемного проводника,
в котором существует электрическое поле сердца. Важной осо-
бенностью уравнения (1.132) является то, что оно остается в силе
при наличии в объемном проводнике (вне области источников) лю-
бой неоднородности. В частности, при выводе уравнения это было
показано для кусочно-однородного проводника.
Если биоэлектрические источники заданы в виде распределения
диполей с плотностью дипольного момента J, то, учитывая урав-
нение (1.11), можно записать выражение (1.132) в следующей фор-
ме:
<pL = _ [ OLdivJdV. (1.133)
Преобразуя это выражение по аналогии с (1.20), можно записать
его и в таком виде
Фь = [ Jgrad0LdF. (1.134)
Передаточные коэффициенты. В частном случае, когда био-
электрические источники сердца рассматриваются как один ди-
ноль с неподвижной точкой расположения, уравнение для сигнала
отведения (1.134) принимает вид
<Pl = LD = LXDX + LyDy + LZDZ, (1.135)
где D -- вектор дипольного момента генератора сердца, или про-
сто «вектор сердца»; Dx, Dy, Dz — его компоненты в прямоуголь-
ной системе координат;
L = grad. Фь (1.136)
49
— градиент потенциала поля отведения в точке расположения
диполя сердца, обычно называемый вектором отведения; Lx, Ly,
Lz — его компоненты [145, 147—149].
В более общем случае, когда электрический генератор сердца
рассматривается как совокупность диполей, расположенных в раз-
ных точках области сердца, для каждого f-ro диполя с моментом
справедливо уравнение, аналогичное уравнению (1.135):
фЬ- ~ = LixDiX (1.137)
I b b b*A- b^ \ by b\J * It-' b^ \ /
Величина Ц, определенная для каждого элементарного диполя,
связывает его дипольный момент с потенциалом, т. е. его вкладом
в сигнал отведения. Величину L иногда называют векторным пере-
даточным сопротивлением, а ее скалярные компоненты — пере-
даточными коэффициентами [419, 420]. Скалярный потенциал поля
отведения Фь играет такую же роль по отношению к плотности
источников 7, как и вектор grad Фь по отношению к плотности
дипольного момента J.
Распределение источников тока сердца может быть задано
в иной форме — как совокупность мультипольных компонент при
разложении в ряд Тейлора или в ряд по сферическим функциям
относительно начала координат (см. гл. 1, разд. 2). В этом случае
сигнал отведения можно выразить как сумму произведений муль-
типольных компонент на соответствующие характеристики поля
отведения, которые определяют чувствительность отведения
к мультипольным компонентам генератора.
Разложим функцию Фь в ряд Тейлора относительно начала пря-
моугольной системы координат хуъх
Фь = Е Е Е Z! *!(«-/-А)! дх1 дук dzn-i-K (1Л38)
71=1 1 = 3 /С==0
(здесь член нулевого порядка опущен как не представляющий ин-
тереса для рассматриваемых условий). Подстановка этого выра-
жения в (1.132) дает
оо п П—1
= Е ЕЕ ( 5 ^-'^1 dV) X
n=i Z=0 /С=Э ХУц /
дпФь
дх1 дук dzn~l~^
(1.139)
Интеграл в круглых скобках в соответствии с уравнением (1.61)
представляет собой] мультипольные компоненты Cnia распре-
деления источников. Используя введенные ранее обозначения,
получаем из выражения (1.139)
фЬ = 2j LnluCnkD (1.140)
71=1 1 = У k=)
50
где
1
Lnla Z! k\ (n - I - k)\ dxi dy*
(1.141)
— величины, отражающие вклад мультипольных компонент Сп1а
в сигнал отведения. По аналогии с компонентами вектора отведе-
ния величины Lnli-i можно назвать передаточными коэффициентами.
Для мультиполей первого и второго порядков
Т Л101 = дх ’ дФт 7,110 = ду ’ £100 = • dz ’
т 1 т 1 ^фь £200 “ 1
Д202 - 2 дх* ’ М20 - 2 дуг . 2 dz* '
й2фь Дг11== дхду ’ ^Фь 77210 = дудг ' £201 = д*Фт (1.142) dzdx х '
причем £202 + Ь220 + Ргоо = 0, так как АФ = 0.
Таким образом, три первых передаточных коэффициента опре-
деляют чувствительность отведения к дипольной составляющей
генератора сердца и их можно рассматривать как вектор отве-
дения (подразумевая, что дипольный момент распределения
источников обусловлен эквивалентным дипольным генератором).
Передаточные коэффициенты более высоких порядков характери-
зуют чувствительность отведения к мультипольным компонентам
более высоких порядков, а следовательно, к недипольным со-
ставляющим генератора сердца. Они пропорциональны частным
производным потенциала поля отведения соответствующего по-
рядка по координатам и могут быть представлены в тензорной фор-
ме; такие тензоры иногда называют тензорами отведения [89, 133,
134].
При помощи тех же рассуждений, которые были использованы
для мультипольного разложения потенциала в разд. 2 этой главы,
можно показать, что один и тот же сигнал отведения может по-
рождаться разными распределениями источников, так как момен-
ты распределения источников не находят однозначного отражения
в потенциале поля. Однозначно определяются потенциалом только
мультипольные компоненты при разложении потенциала по сфе-
рическим функциям. Чтобы найти характеристики чувствитель-
ности отведения (передаточные коэффициенты) для этих мульти-
польных компонент, разложим потенциал Фь (удовлетворяющий
внутри объемного проводника уравнению Лапласа) по сфериче-
ским функциям относительно начала координат. Это разложение
записывается в общем виде как
оо П
Фь = 2 4 Рп (COS 9) COS ТПф +
п=1 т=)
+ (Ьптгп + f’nmr-”"1) Рп (cos 0) sin тпф], (1.143)
51
где апт, а*т, Ъпт, Ьпт — постоянные коэффициенты. Здесь ис-
пользована обычная сферическая система координат гбф, связан-
ная с прямоугольной системой координат xyz уравнениями (1.47)
и (1.48).
В рассматриваемом случае в начале координат (при г ~ 0)
Фь оо, поэтому нужно положить а*т — 0 и Ьпт = 0. Выра-
жение (1.143) принимает вид
Фь = 2 2 \dnmrnPn(cos 0) cos mty + bnmrnPn (cos 0) sin zn-ф].
11=1 m=l
(1.144)
Подставим его в уравнение (1.132):
<?Ь = 2 2 J ГПР™ (COS 0) COS
п --1 7П—Э V J_[
+ bnm [ rnPn (cos 0) sin m^-IdV\ (1.145)
и сравним результат с выражением (1.70). Сравнение показывает,
что интегралы в выражении (1.145) пропорциональны мульти-
польным компонентам при разложении по сферическим функциям.
Подставляя в уравнение (1.145) выражения для этих компонент,
получаем
оо П
<Рь = У, У, 4- (аптАпт + ЬптВпт), (1.146)
п=1 т~э
ИЛИ
оо п
фЬ “ (^Апт^пт 4" (1.147)
1 тп=Э
где
L>Anm 1 __ 1 (п + т)\ Г апт .
LBnm J “ XT (п —тп)! [ ъпт • к • )
Таким образом, чувствительность отведения к соответствующим
мультипольным компонентам характеризуется передаточными
коэффициентами LAnm и LBnm. Для того чтобы связать эти коэф-
фициенты с коэффициентами Lnkb а следовательно, с производ-
ными функции Фь по координатам, выразим разложение (1.144)
в прямоугольной системе координат:
Фь = flioZ + Ли# + ьпу 4- 1/2a2Q(2z2 — х2 — у2) +
4~3а21яя + 3b21yz 4- 3«22(.г2 — у2) + &Ь22ху + ... (1.149)
и сравним это выражение с разложением (1.138), учитывая урав-
нения (1.141) и (1.148). В результате получим для коэффициентов
52
двух первых порядков
ЭФЬ <?фъ
/>aio — Ьюо — qz ', 1 d2®L Ьдго - />200 - 2 3z2 > o2®l Д321 = Ь2Ю= dydz , 52ф, — 2 , „ , ° дх ду 1аи - />ш ~дх , ЭФЬ Lbh — -М10 = Qy ? а2Фь />.421 = />201 — dxdz, а3Фь 52фь />А22 — 2 (/>202 />2Оо) — ^2 Qyi ' (1.150)
(Напомним, что значения производных вычисляются в начале ко-
ординат, т. е. при х = 0, у = 0, z = 0.)
Рассмотрим для примера проводящую среду простейшей
структуры — однородный бесконечно протяженный проводник
о удельной электропроводностью о. Предположим, что точка 1 рас-
положена на конечном расстоянии от области источников, а точ-
ка 2 — на бесконечном удалении от этой области. Тогда потенциал
поля отведения выражается как потенциал точечного источника,
расположенного в точке 1 и имеющего полный ток, равный едини-
це:
Фь = 1/(4лаг), (1.151)
где г — расстояние от точки измерения потенциала источников
(«г, у, z) до точки измерения потенциала поля отведения в области
источников, принятой за начало координат. Фактически такое от-
ведение представляет собой идеальное однополюсное отведение
с дифферентным электродом в точке 1 и индифферентным электро-
дом в точке 2. Применяя уравнения (1.150) к выражению для по-
тенциала поля отведения (1.151), получаем его передаточные ко-
эффициенты для мультипольных компонент первого и второго
порядков т — 1 z 4л<3 г3 ’ т __ 1 X т 1 У А11 4лб г3 ’ в 11 4лз г3 ’
т 1 3z2—г2 А2° ~ 4лз 2г5 ’ т 1 3xz j- 1 3yz А21 ~ 4лз г5 ’ B2i — 4лз г5 ’
т 1 ,3(г-2-^) Л22 4лз г5 ’ i». - (1.452)
В соответствии с выражением (1.147) сигнал отведения, обус-
ловленный диполем и квадруполем, будет равен
1 Г z л . л 1 V п , 3z2 — Г2 .
<Рь — Ло + Н------2^5---^20 +
(1Л53)
53
Легко проверить, что это выражение совпадает с суммой вы-
ражений (1.76) и (1.77) для потенциала диполя и квадруполя
в однородном неограниченном проводнике (для этого нужно лишь
перейти в последних выражениях к прямоугольным координатам).
Такой результат вполне соответствует принятому определению
однополюсного отведения.
Для нахождения поля отведения и передаточных коэффициен-
тов в более сложных условиях (наличие неоднородности провод-
ника и т. д.) приходится применять специальные методы, в том
числе математическое, физическое и биологическое моделирование.
ГЛАВА 2
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ
ГЕНЕРАТОРЫ СЕРДЦА
1. МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА СЕРДЦА
И ЭЛЕКТРОФИЗИОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
К ЛЕЮК МИОКАРДА
Основные типы клеток сердца. В соответствии с двумя функция-
ми сердца — механической и электрической — мышца сердца
состоит из сократительного (рабочего) миокарда и проводниковой
системы [33, 66, 68]. Сократительный миокард, обеспечивающий
главным образом механическое сокращение сердца, образует ос-
новную массу правого и левого предсердий, межпредсердной пе-
регородки, правого и левого желудочков и межжелудочковой
перегородки. Проводниковая система, обеспечивающая главным
образом формирование и проведение импульсов возбуждения, рас-
положена в определенных местах правого предсердия, межжелу-
дочковой перегородки и желудочков сердца. Эта система состоит
из двух основных частей: синусового узла (расположенного в верх-
ней части правого предсердия) и атриовентрикулярной системы.
Последняя включает атриовентрикулярный узел (расположенный
в нижней части правого предсердия), пучок Гиса (общий ствол
атриовентрикулярной системы, в который переходит нижняя часть
атриовентрикулярного узла), правую ножку пучка Гиса (про-
должение ствола, проходящее по правой стороне межжелудочковой
перегородки), левую ножку пучка Гиса (ответвление общего ство-
ла, проходящее по левой стороне межжелудочковой перегородки)
и сеть волокон Пуркинье (продолжение разветвлений правой и
левой ножек). Сеть волокон Пуркинье пронизывает правый и ле-
вый желудочки и тесно связана с сократительным миокардом.
Как показывают микроскопические исследования, сердечная
мышца имеет клеточное строение, причем все ее клетки обладают
способностью и к электрическому возбуждению, и к механическо-
му сокращению. Однако по анатомическим и физиологическим
свойствам клетки проводниковой системы, или специализирован-
ные клетки, приспособлены в основном к выполнению пер-
вой из указанных функций. Клетки сократительного миокарда
выполняют как первую, так и вторую функцию. Не останавли-
ваясь на спорных и нерешенных вопросах в области микроскопи-
ческой анатомии и физиологии, приведем краткие сведения о клет-
ках миокарда, основываясь на экспериментальных данных, изло-
женных главным образом в итоговых и обзорных работах [29, 33,
144, 169, 263, 289, 317, 349, 432, 434, 438, 439, 493]. Эти сведения
относятся (при отсутствии специальных оговорок) к ткани сердца
млекопитающих средних размеров, в частности человека и собаки.
Основные составные части клетки — это оболочка (сарколемма)
и находящиеся внутри нее внутриклеточное вещество (цитоплазма,
или саркоплазма) и ядро (обычно одно в каждой клетке) (рис. 2.1).
Цитоплазма содержит сократительные элементы (миофибриллы),
состоящие из упорядоченных структурных элементов — саркоме-
ров, а также сложно организованные мембранные и гранулярные
структуры — митохондрии, саркоплазматический ретикулум и др.
Оболочка клетки состоит из двух основных слоев: однородное
Рис. 2.1. Схематическое представление продольного сечения Р-клеток (а), клеток Пур-
кинье (б) и клеток сократительного миокарда (в) [33]
БМ — базальная мембрана, ПМ — плазматическая мембрана, Я — ядра, Мх — мито-
хондрии, Мф — миофибриллы, С — саркоплазматический ретикулум, Т — трубки
Т-системы, ВД — вставочный диск, Д — десмосомы,[Н — нексусы, МВ — области вхож-
дения миофибрилл, К — коллаген
56
внешнего слоя, получившего название внеклеточной базальной
мембраны, и внутреннего слоя, который в свою очередь образован
несколькими слоями липидов и протеинов и называется плазмати-
ческой, или просто клеточной мембраной. Базальная мембрана
имеет неравномерную толщину, в среднем около 100 А; толщина
плазматической мембраны составляет 60 ч- 90 А. Клеточная
мембрана играет особенно важную роль в процессе электрического
возбуждения клетки. Обладая избирательной проницаемостью для
заряженных частиц — ионов и способностью активно (с затратой
энергии) переносить ионы, эта мембрана поддерживает разные
концентрации ионов внутри клетки и во внеклеточном пространст-
ве. При возбуждении клетки мембрана сложным образом изменяет
свою проницаемость по отношению к ионам каждого вида, что
обусловливает определенный характер развития процесса электри-
ческого возбуждения.
В промежутках между мышечными волокнами сердца находится
соединительная ткань, эластические волокна, сеть капиллярных
сосудов кровеносной системы, сосуды лимфатической системы и
нервные волокна.
Соседние клетки миокарда в продольном направлении (вдоль
боковой поверхности клетки, параллельной ее максимальному
диаметру) разделены узкими промежутками, образующими меж-
клеточное пространство, которое заполнено тканевой жидкостью.
Продольные зазоры между клетками имеют ширину от 0,15 до
12 мкм. В области торцов клетки сопрягаются между собой специа-
лизированными мембранными структурами — вставочными дис-
ками (рис. 2.1; 2.2).
Вставочные диски в разных частях сердца несколько различаются по
своему строению. Наиболее типичные вставочные диски, образующие тор-
цевые соединения клеток миокарда желудочков, состоят из двух смежных
плазматических мембран соседних клеток. Базальная мембрана здесь не пре-
рывается, а переходит с боковой поверхности одной клетки на боковую по-
верхность другой. Поверхность каждой плазматической мембраны в области
диска имеет волнистую, или «холмистую», форму, причем мембрана одной
клетки располагается «параллельно» мембране другой клетки, так что высту-
пы одной мембраны входят во впадины другой. В разрезе, параллельном
продольной оси клетки, вставочный иск выглядит как волнистая,'ступенчатая
или зигзагообразная линия. Наблюдается правильное чередование отрезков
этой линии, параллельных оси клетки (продольных участков) и перпенди-
кулярных к ней (поперечных участков). Расстояние между мембранами вну-
три диска обычно составляет от 100 до 300 А. В области диска наряду с уча-
стками, не отличающимися от обычных межклеточных промежутков, имеются
специализированные зоны нескольких типов (области вхождения миофибрилл,
десмосомы, нексусы и др.). В электрофизиологии особое значение придается
одному из типов таких зон — нексусам, или плотным соединениям. Это места,
где мембраны соседних клеток контактируют очень плотно, почти сливаясь
одна с другой (зазор между ними может составлять всего 20 -i- 30 А). Нек-
57
сусы расположим чаще всего на продольных участках поверхности диска
и занимают в сократительном миокарде предсердий около 6%, желудочков —
от 10 до 40% площади поверхности вставочных дисков, а в пучках волокон
Пуркинье — около 17% площади поверхности соприкосновения волокон
пучка [169, 323, 350, 453].
Экспериментальные исследования показали, что в области
вставочных дисков электрическое сопротивление между цитоплаз-
мой соседних клеток существенно ниже, чем обычное электрическое
58
Рис. 2.2. [Микроскопическая струк-
тура клеток сократительного мио-
карда
а — электронно-микроскопическая
фотография сечения клеток мио-
карда желудочка в области вставоч-
ного диска (увеличение 9600)
[289]. Кружками обведены триада
и диада, стрелками показаны спе-
циализированные области диска,
S — саркомер, М — митохондрия.
Вверху слева показана триада, со-
стоящая из трансверсального ка-
нальца (Т) и двух латеральных ме-
шочков (LS) при увеличении 62 000;
б — схематическое представление
пространственной структуры вста-
вочного диска миокарда млекопи-
тающего [144]. Ц — цитоплазма.
1 — межклеточное пространство;
2 — базальная мембрана; 3 — плаз-
матическая мембрана; 4 — область
вхождения миофибрилл; 5 — не-
специализированная область диска
(межклеточная щель); 6 — нек-
сус; 7 — десмосома; в — схемати-
ческое представление микроско-
пического участка миокарда, вклю-
чающего несколько клеток [493]
сопротивление между внутренней областью клетки и внеклеточной
средой. Предполагается, что это низкое сопротивление обусловлено
именно специальными контактными зонами — вероятнее всего,
нексусами. Наличие такой электрической связи между клетками
миокарда объясняет тот факт, что при распространении по нему
электрического возбуждения он проявляет свойства функциональ-
ного синцития [15].
В проводниковой системе сердца выделяют,клетки трех типов:
Р-клетки — самые мелкие клетки сердца, имеющие максимальный
59
размер 5 н-- 10 мкм и расположенные почти исключительно в
синусовом и атриовентрикулярном узлах; переходные клетки —
неоднородная группа клеток, которые по своей структуре занимают
промежуточное положение между Р-клетками и сократительными
клетками, и клетки Пуркинье — основной тип клеток пучка Гиса
и его ножек. Клетки последнего типа образуют разветвления
ножек пучка Гиса и проводниковую сеть в субэндокардиальной
области стенок желудочков, а также встречаются в миокарде
предсердий. По размерам и конфигурации клетки Пуркинье
близки к клеткам сократительного миокарда, хотя в среднем они
имеют большую толщину и несколько меньшую длину, чем
сократительные клетки (диаметр 10 Ч- 30 мкм, длину 20 -4- 50 мкм).
По сравнению с сократительными клетками они характеризуются
меньшей насыщенностью миофибриллами, наличием обширных
областей цитоплазмы с повышенным содержанием гликогена,
незначительным развитием саркоплазматического ретикулума,
меньшим количеством складок и извилин на боковой поверхности
мембраны. Клетки Пуркинье имеют хорошо развитые вставочные
диски, содержащие много контактных зон — десмосом и нексусов.
Такие зоны встречаются и на боковых поверхностях этих клеток.
Клетки Пуркинье сгруппированы в плотные волокна, пряди и
пучки, где клетки уложены в мозаичном порядке и не только
контактируют в торцевых областях, но и тесно соприкасаются бо-
ковыми поверхностями. Такая организация клеток облегчает
электрическую связь между ними.
Основную часть предсердий и желудочков составляют клетки
сократительного миокарда, предназначенные главным образом для
обеспечения механического сокращения сердца и в то же время
способные возбуждаться электрически и проводить возбуждение.
Сократительные клетки предсердий и желудочков мало различа-
ются по своей структуре, они обычно имеют продолговатую форму,
диаметр от 10 до 20 мкм и длину от 50 до 150 мкм. Некоторые авторы
отмечают, однако, что клетки предсердий имеют несколько мень-
шие размеры и более плавную конфигурацию, чем клетки желудоч-
ков; отмечалось также неравномерное распределение клеток по
размерам в разных частях желудочков [75J. Клетки сократитель-
ного миокарда обычно тесно соприкасаются одна с другой торцевы-
ми областями, образуя хорошо развитые вставочные диски. По-
следние имеют описанную выше типичную форму (зигзагообразную
в разрезе) и содержат много специализированных контактных зон.
Организация клеточной структуры миокарда. Анатомическая
организация ткани миокарда в «макроскопическом» масштабе, т. е.
на участках с размерами порядка 1 мм, имеет определенные особен-
ности в зависимости от расположения в сердце и может различать-
ся у разных видов животных.
Обычно параллельные ряды клеток, соединенных вставочными
дисками, образуют волокно, в котором клетки соприкасаются не
только в области вставочных дисков, но и по боковым поверхно-
дп
стям, причем каждая клетка контактирует с несколькими соседни-
ми. Волокна, образованные такими плотно упакованными клетка-
ми, разделены внеклеточной средой и имеют многочисленные
разветвления и слияния (анастомозы). Волокна могут группиро-
ваться в более крупные образования — пряди и пучки, которые в
свою очередь дают разветвления и анастомозы.
Волокна и пучки волокон проводниковой системы, внутри
которых множество клеток Пуркинье находится в тесном соприкос-
новении, имеют много торцевых и боковых контактных зон и
окружены общей базальной мембраной, образуют сложные сетевид-
ные структуры, а в некоторых частях сердца расположены парал-
лельно, с преимущественной ориентацией в одном направлении
Это обусловливает анизотропию свойств ткани по отношению к
скорости проведения возбуждения. Однако такие волокна, полу-
чившие название волокон Пуркинье, имеют явно выраженную
структуру только у копытных млекопитающих. У человека и соба-
ки клетки Пуркинье и волокна из этих клеток значительно более
сходны с клетками и волокнами сократительного миокарда.
Сократительные клетки организованы в цепеобразные и сете-
видные структуры с хорошо развитыми вставочными дисками,
причем контактные зоны распределены наиболее густо именно во
вставочных дисках. Основная масса ткани желудочков сердца
представляет собой геометрически однородное распределение воло-
кон, т. е. не имеет слишком явно выраженных отдельных пучков
или слоев, резких изменений размеров или ориентации волокон в
пространстве или разрывов [84, 294, 454]. Продольные оси волокон
в стенках желудочков обычно ориентированы в направлении,
близком к тангенциальному по отношению к эндокардиальной и
эпикардиальной поверхностям и образуют «континуум» распреде-
ленных волокон. Угол ориентации волокон в проекции на плос-
кость, касательную к эпикарду, изменяется в направлении от
эпикарда к эндокарду сначала плавно, а в субэндокардиальных
слоях — более круто. Вблизи поверхностей стенки желудочка
волокна ориентированы в направлении основание — верхушка
сердца, т. е. «вертикально», а в средней по толщине части стенки —
в направлении, тангенциальном к поверхностям и перпендикуляр-
ном к продольной оси желудочков, т. е. «горизонтально» (рис. 2.3).
У верхушки сердца волокна наклоняются и образуют спиралевид-
ное завихрение. Изменение ориентации волокон при сокращении
сердца происходит плавно и синхронно, причем угол поворота
зависит от расположения волокна в сердце и не превыша-
ет 20°.
При изучении электрических свойств миокарда важное значение
имеет плотность распределения клеток в ткани, или соотношение
объемов клеток и межклеточного пространства. На основании
измерения концентраций электролитов в ткани миокарда собаки
были получены следующие оценки: в сократительном миокарде
относительный объем межклеточного пространства составляет от
fil
Рис. 2.3. Ориентация волокон миокарда в стенке желу-
дочка сердца [454]
а — расположение образца, вырезанногоДизТстенки же-
щудочка для исследования; [<5 — серия Змикрофотогра-
фий, показывающая постепенное изменение направления
волокон при переходе от эндокарда (Эн) к эпикарду (Эп),
Плоскости сечений тангенциальны к эпикардиальной по-
верхности
14 до 18%, а в ткани, состоящей из . воло-
кон Пуркинье,— от 45 до 63% [490].
Электрохимические процессы в клеточ-
ной мембране. Минимальный анатомиче-
ский элемент возбудимой ткани, способный
электрически возбуждаться и проводить
возбуждение,— это отдельная клетка.
Плазматическая мембрана клетки отделяет
внутриклеточную среду от внеклеточной и
обладает особыми свойствами, которые
играют решающую роль в процессе воз-
буждения. Опишем кратко электрофизио-
логические характеристики и процессы,
присущие мембранам всех возбудимых
клеток, и немного более подробно оста-
новимся на особенностях клеточных мемб-
ран миокарда. В основу изложения этого
материала положены работы [21, 25, 30,
67, 69, 70, 187, 228, 324, 363, 415, 433, 478,
496, 500, 501]. Методические приемы элект-
рофизиологических исследований клеток
и хронологическая последовательность по-
лучения данных в этой области здесь не
рассматриваются.
Таблица 2.1
Приближенные величины ионных концентраций в цитоплазме и тка-
невой жидкости в стационарных условиях и соответствующие транс-
мембранные потенциалы для мышцы млекопитающих [415, 500]
Тип иона Концентрация иона, мкМ/См3 Отношение кон- центраций сна- ружи и внутри клетки Трансмембран- ный потенциал, рассчитанный по формуле Не- рнста, мВ
Тканевая жид- кость (потенци- ал 09 Цитоплазма (по- тенциал — 90 мВ)
Катионы
Na+ 145 12 12,1 66
К+ 4 155 1/39 —97
Н+ 3,8-10-8 13-10-8 1/3,4 -32
pH 7,43 6,9
Другие 5
Анионы
ci- 120 4 ♦ 30 -90
НСОз 27 8 3,4 -32
Другие 7
л- 155
* Величина рассчитана по трансмембранному потенциалу при помощи формулы Нерн-
ста для одновалентного аниона (Z=—1), А~— органические анионы.
В электрохимическом отношении клеточная мембрана представ-
ляет собой перегородку, которая разделяет два раствора электро-
литов, существенно различающихся по своему составу. С одной
стороны от мембраны находится внутриклеточная среда, заполнен-
ная цитоплазмой и клеточными органеллами, с другой стороны —
внеклеточная среда, состоящая к основном из тканевой жидкости,
омывающей снаружи все клетки данной ткани. Концентрации раз-
личных ионов внутри и вне клетки сердечной мышцы близки к
соответствующим концентрациям в скелетных мышцах, которые
указаны в табл. 2.1.
Перемещение ионов через клеточную мембрану может осуществ-
ляться механизмами двух типов. Механизмы первого типа, назы-
ваемые обобщенно механизмами пассивного переноса, определяют-
ся двумя основными факторами — градиентом электрохимического
потенциала, который играет роль движущей силы, и способностью
мембраны пропускать через себя ионы определенных видов, или
проницаемостью мембраны. Градиент электрохимического потен-
циала слагается из двух составляющих — градиента концентра-
ций и градиента электрического потенциала. Мембрана обладает
неодинаковой проницаемостью для ионов разных видов, т. е. изби-
рательной проницаемостью, и способна специфическим образом
изменять свою проницаемость по отношению к ионам определенных
видов в зависимости от приложенной к ней разности электрических
63
потенциалов. Как стационарное электрическое состояние мем-
браны, соответствующее невозбужденной клетке (поддержание
потенциала покоя), так и переходные электрические процессы,
происходящие во время возбуждения клетки (развитие потенциала
действия), обусловлены указанными различиями в ионном составе
внутриклеточной и внеклеточной сред и способностью мембраны
к характерному изменению проницаемости.
Механизмы второго типа, называемые обобщенно механизмами
активного переноса, связаны с определенными метаболическими
реакциями, которые обеспечивают выделение энергии, необходимой
для перемещения ионов. Активный перенос необходим для поддер-
жания разности концентраций ионов (в основном ионов Na+ и К+)
между цитоплазмой и внеклеточной средой в возбудимой ткани.
Такая разность концентраций всегда существует в ткани в нормаль-
ных условиях и лежит в основе механизма пассивного переноса
ионов. Процессы активного переноса ионов натрия и калия тесно
связаны между собой и образуют единую систему, получившую
название натрий-калиевого насоса.
Трансмембранный потенциал как основная электрофизиологи-
ческая характеристика клеточной мембраны. Основной характе-
ристикой электрического состояния клетки, которая поддается
непосредственному измерению, является разность потенциалов па
внутренней и наружной поверхностях мембраны, или просто
трансмембранный потенциал. Строго говоря, трансмембранный
потенциал — это разность электрических потенциалов между дву-
мя точками, расположенными на общей нормали к поверхности
мембраны в рассматриваемой области, причем одна точка находит-
ся непосредственно у внутренней поверхности мембраны, а дру-
гая — у внешней поверхности (предполагается, что мембрана
достаточно тонка, чтобы нормаль к одной ее поверхности одновре-
менно являлась и нормалью к другой поверхности). Как в естест-
венных, так и в экспериментальных условиях внутриклеточная и
внеклеточная среды обычно представляют собой проводник с
относительно высокой удельной электропроводностью, не имеющий
значительной неоднородности. Если нормальная клетка находится
в состоянии покоя, то перепады электрического потенциала во
внутриклеточном пространстве и во внеклеточном пространстве
практически отсутствуют и существует лишь значительный перепад
потенциала при переходе через мембрану (в естественных условиях
под внеклеточным пространством подразумевается тканевая жид-
кость, влияние соседних клеток не учитывается). Эта разность
потенциалов одинакова на всем протяжении мембраны, т. е. мемб-
рана «равномерно поляризована». При этих условиях разность
потенциалов между двумя электродами, один из которых находится
внутри клетки, а другой—снаружи, не будет зависеть от конкретной
локализации электродов и всегда будет равна трансмембранному
потенциалу. Но при возбуждении клетки происходит изменение
трансмембранного потенциала, которое начинается в некоторой
64
локальной области мембраны и охватывает ее постепенно, рас-
пространяясь от одной области к другой. Поэтому в каждый момент
времени как внутри клетки, так и снаружи могут существовать
пространственные перепады потенциала и величина трансмембран-
ного потенциала будет зависеть от конкретного расположения
электродов отведения (рис. 2.4).
Для измерения трансмембранного потенциала применяются
различные прямые и косвенные методы. Наиболее важную роль
Рис. 2.4. Схема некоторых типов отведений для клеточных измерений потенциала
ВС — внеклеточная среда, М — мембрана, Ц — цитоплазма; 1 — идеальное расположе-
ние электродов отведения для измерения локального трансмембранного потенциала;
2 — внутриклеточное отведение с индифферентным электродом на поверхности клетки;
3 — внутриклеточное отведение с удаленным индифферентным электродом; 4 — диффе-
ренциальное отведение от поверхности клетки; 5 — униполярное отведение от поверхно-
сти клетки
играет непосредственное измерение его при помощи внутриклеточ-
ных микроэлектродов. Обычно отведение осуществляется микро-
электродом, который имеет очень маленький диаметр (0,1 -н 1 мкм)
и при введении его сквозь мембрану в цитоплазму клетки не
нарушает ее основных электрофизиологических свойств, и индиф-
ферентным электродом, который может быть расположен в произ-
вольно выбранной точке внеклеточной среды. Если эта среда
представляет собой проводник достаточно большого объема и с
достаточно большой удельной электропроводностью, то простран-
ственные перепады потенциала в ней малы по сравнению с измене-
ниями трансмембранного потенциала, так что расположение индиф-
ферентного электрода в данном случае не играет существенной
роли. При этих условиях сигнал отведения пропорционален изме-
нениям трансмембранного потенциала на участках внутренней
поверхности мембраны, непосредственно прилегающих к микро-
электроду.
Сначала рассмотрим малый участок мембраны, полагая, что в
каждый данный момент времени все электрические характеристики
распределены равномерно вдоль его поверхности, т. е. отвлечемся
от явлений, связанных с распространением возбуждения в прост-
ранстве. Трансмембранный потенциал определим как разность
между потенциалами внутренней и внешней поверхностей мембра-
ны на рассматриваемом участке. Заметим, что в эксперименте можно
3 Л. И. Титомир
65
создать условия (используя специальные конструкции стимулирую-
щих и отводящих электродов), при которых электрические процессы
возбуждения происходят синхронно на протяжении всей мембраны
исследуемой клетки (волокна), т. е. фактически устранить влияние
перемещения процесса возбуждения в пространстве. Этот экспери-
ментальный прием иногда называют пространственной фиксацией
трансмембранного потенциала.
Главную роль в клеточных электрических процессах играют
ионы натрия, калия, хлора и некоторые анионы, присутствующие в
цитоплазме и уравновешивающие электрические заряды катионов
внутри клетки (см. табл. 2.1); существенное влияние на эти процес-
сы оказывают также ионы кальция.
Потенциал покоя. В спокойном (невозбужденном) состоянии
клетка имеет отрицательный трансмембранный потенциал, иными
словами, является «отрицательно поляризованной». Этот трансмем-
бранный «потенциал покоя» у большинства типов клеток сердца
при отсутствии внешних стимулирующих воздействий сохраняет
устойчивое значение, приблизительно равное — 90 мВ. Исключе-
ние составляют клетки водителя ритма синусового узла, которые,
как предполагается, относятся по своему типу к Р-клеткам.
В состоянии покоя мембрана обладает значительно большей про-
ницаемостью для ионов калия и хлора, чем для других ионов, кото-
рые содержатся в омывающих ее жидкостях. Поэтому ионы К+, кон-
центрация которых внутри клетки больше, чем снаружи, стремятся
выйти из клетки через мембрану, перенося свой положительный
заряд во внешнюю среду. Это перемещение ионов создает разность
потенциалов на мембране, которая по мере перехода ионов К+
наружу увеличивается до тех пор, пока ее действие не уравновесит
концентрационную силу, выталкивающую ионы К+ наружу. В мо-
мент наступления такого равновесия устанавливается трансмем-
бранный потенциал покоя (или просто потенциал покоя), имеющий
отрицательную величину. Количество ионов К+, которые переходят
на наружную сторону мембраны для достижения указанного равно-
весия, составляет пренебрежимо малую долю от общего количества
ионов в клетке и не оказывает заметного влияния на их концентра-
цию. Ионы СГ уравновешиваются аналогичным образом, однако
они при этом стремятся перейти из наружной среды внутрь клетки.
Проницаемость мембраны для ионов Na+ весьма мала по сравнению
с проницаемостью для других ионов, однако и ионы Na+ вносят
определенный вклад в образование трансмембранного потенциала
покоя. Таким образом, в принципе потенциал покоя определяется
балансом между потоками всех ионов в омывающих мембрану
растворах, однако доминирующую роль играют ионы калия.
Потенциал действия. Электрическое возбуждение клетки ха-
рактеризуется изменением трансмембранного потенциала, которое
во времени отображается импульсом специфической формы, полу-
чившим название трансмембранного потенциала действия (или
66
просто потенциала действия). Здесь будем говорить о «возбуждении
мембраны», а не «возбуждении клетки», подразумевая, что рас-
сматривается локальный участок мембраны, возбуждающийся
синхронно, и не учитываются явления, связанные с распростране-
нием возбуждения в пространстве. Потенциал действия начинается
изменением трансмембранного потенциала от значения потенциала
покоя в сторону уменьшения его по абсолютной величине, т. е.
деполяризацией мембраны, и заканчивается его возвращением к
уровню потенциала покоя, т. е. реполяризацией мембраны. Пер-
воначальное изменение трансмембранного потенциала в клетках
миокарда происходит под действием электрического тока, который
в естественных условиях генерируется соседними возбужденными
областями мембраны при распространении возбуждения по клетке
или соседними возбужденными клетками. В условиях экспери-
мента первоначальное изменение трансмембранного потенциала
можно задавать непосредственно при помощи специальных элект-
рических импульсов стимуляции. В отличие от других клеток
сердца в клетках водителя ритма в период, соответствующий потен-
циалу покоя (диастолический период), происходит медленное само-
произвольное изменение трансмембранного потенциала в направ-
лении деполяризации мембраны.
Существенным свойством клеточной мембраны является опре-
деленное изменение ее проницаемости для ионов различных типов
в зависимости от изменений трансмембранного потенциала (повы-
шение проницаемости для иона данного типа при деполяризации
называется его активацией, понижение проницаемости при про-
должении деполяризации — инактивацией). Кроме того, мембрана
обладает определенной электрической емкостью, которая влияет
на динамику изменения электрического тока, протекающего через
мембрану, и трансмембранного потенциала. Изменение проницае-
мостей мембраны приводит к соответствующим изменениям ионных
потоков через нее, а следовательно, и мембранного электрического
тока, так как ионы несут электрические заряды. В свою очередь,
изменения этого тока обусловливают изменения трансмембранного
потенциала.
Когда в результате первоначальной принудительной деполяри-
зации трансмембранный потенциал достигает определенной вели-
чины (порогового уровня), указанный выше процесс взаимосвя-
занных изменений ионных проницаемостей мембраны и трансмем-
бранного потенциала приобретает регенеративный характер, т. е.
продолжает развиваться самостоятельно в направлении, противо-
положном отрицательной поляризации состояния покоя. Пройдя
несколько типичных фаз изменения электрических характеристик,
рассматриваемый процесс возвращается к исходному состоянию
покоя. Возникающий при этом импульс потенциала действия имеет
форму, которая в основных чертах свойственна всем клеткам
сердца, хотя имеются и некоторые отличительные особенности для
клеток разных типов (рис. 2.5).
3*
67
UM
I------------------1
Рис. 2.5. Импульсы потенциала действия, характерные для основных частей сердца,
и их соответствие во времени фазам электрокардиограммы [444]
1 — синусовый узел; 2 — правое предсердие; 3 — атриовентрикулярный узел; 4 — пу-
чок Гиса; 5 — ножки пучка Гиса; 6 — конечные волокна Пуркинье; 7 — сократитель-
ный миокард левого желудочка
Рассматривая электрическую активность клетки как непре
рывный периодический процесс, обычно расчленяют его на опреде-
ленные фазы, получившие специальные названия. Интервал вре-
мени, соответствующий невозбужденному состоянию мембраны, на-
зывают фазой покоя, или диастолической фазой. У клеток сердца
всех видов, кроме клеток водителя ритма, в этой фазе поддерживает-
ся постоянный трансмембранный потенциал покоя. У клеток води-
теля ритма присходит медленное возрастание трансмембранного
потенциала — диастолическая деполяризация.
Собственно потенциал действия начинается с фазы быстрой
деполяризации (или просто деполяризации), которая у всех клеток
сердца, кроме клеток водителя ритма, протекает очень быстро.
При этом трансмембранный потенциал изменяется от — 90 пример-
но до +30 мВ. Максимальная скорость нарастания трансмембран-
ного потенциала (крутизна восходящего участка) в этой фазе дости-
гает сотен милливольт в миллисекунду. Затем в течение нескольких
сотен миллисекунд происходит возвращение мембраны к поляризо-
ванному состоянию; этот процесс состоит из нескольких фаз, ко-
торые различаются по скорости реполяризации. У некоторых кле-
ток в средней части импульса потенциала действия имеется явно
выраженное «плато», на протяжении которого трансмембранный
потенциал сохраняет значение, близкое к нулю.
У клеток предсердий потенциал действия имеет крутую фазу
деполяризации, максимальное значение трансмембранного потен-
68
циала в области пика потенциала действия достигает от +20 до
+30 мВ. Затем происходит медленное возвращение трансмембран-
ного потенциала к уровню потенциала покоя в течение примерно
200 мс при почти постоянной скорости изменения трансмембранно-
го потенциала. У сократительных клеток желудочков имеется та-
кая же крутая фаза деполяризации, за которой следует первая
фаза быстрой реполяризации. При этом мембрана реполяризуется
частично — происходит снижение трансмембранного потенциала
почти до нулевого уровня. Этот уровень поддерживается пример-
но в течение 200 мс, т. е. на протяжении фазы плато, за которой
следует вторая фаза быстрой реполяризации, или фаза конечной ре-
поляризации, длящаяся также около 200 мс и возвращающая транс-
мембранный потенциал к уровню потенциала покоя. Скорость из-
менения трансмембранного потенциала в фазе конечной реполяри-
зации составляет от —0,3 до —0,5 мВ/мс [90]. Импульс потенциа-
ла действия у клеток Пуркинье имеет в основном такую же форму,
как и у сократительных клеток желудочков, но у него более резко
выражен «зубец», обусловленный начальной быстрой реполяри-
зацией, более наклонное плато и большая общая длительность.
При переходе от первой фазы быстрой реполяризации к фазе плато
импульсы потенциала действия иногда имеют небольшой локальный
минимум — «выемку». У клеток водителя ритма синусового узла
в диастолический период происходит медленная самопроизвольная
деполяризация, и по достижении трансмембранным потенциалом
порогового уровня начинается фаза быстрой деполяризации. Ско-
рость быстрой деполяризации и общая продолжительность потен-
циала действия у этих клеток меньше, чем у других клеток сердца.
После достижения в конце фазы деполяризации пикового значения
трансмембранного потенциала начинается фаза реполяризации, на
протяжении которой трансмембранный потенциал уменьшается с
постоянной скоростью до начального диастолического значения.
Фаза плато у этих клеток отсутствует. Клетки атриовентрикулярно-
го узла имеют потенциал действия такой же формы, как и клетки
водителя ритма, за исключением того, что медленная диастоличес-
кая деполяризация у них происходит со значительно меньшей ско-
ростью.
Параметры импульса трансмембранного потенциала действия
клеток одного и того же типа могут различаться в зависимости от
их анатомического расположения в сердце. Важнейшим различием
такого рода является различие длительностей потенциала действия
сократительных клеток в наружных (субэпикардиальных) и внут-
ренних /субэндокардиальных) слоях миокарда желудочков. По-
тенциал действия субэпикардиальных клеток в условиях, близких
к нормальным, в среднем на 20 -н 30% короче, чем потенциал дей-
ствия субэндокардиальных (см. [324] и др.).
Числовые значения потенциала покоя и параметров импульса
потенциала действия несколько различаются не только у клеток
разного типа, но и у разных видов животных. Кроме того, имеются
69
расхождения между данными о характерных параметрах изме-
нения трансмембранного потенциала, представленными разными
авторами. Приведем некоторые экспериментальные данные, отно-
сящиеся к сердцу человека. В измерениях на полосках сердечной
ткани были получены средние величины потенциала покоя и
амплитуды потенциала действия для желудочков —87 и 115 мВ
соответственно, и для предсердий —70 и 75 мВ соответственно
[479]. В измерениях на препаратах ткани предсердия человека
были получены следующие средние характеристики: для клеток
проводниковой системы потенциал покоя —86 мВ, амплитуда
потенциала действия 102 мВ, максимальная скорость нарастания
трансмембранного потенциала в фазе деполяризации 226 мВ/мс;
для сократительных клеток соответствующие величины равны
—83, 97 мВ и 131 мВ/мс [204]. В измерениях на изолированном
перфузируемом сердце человека были получены следующие ха-
рактеристики для клеток в базальной части левого желудочка:
у двух исследованных сердец потенциалы покоя равнялись —82
и —87 мВ, максимальная скорость нарастания трансмембранного
потенциала в фазе деполяризации 400 мВ/мс [197].
Как величина потенциала покоя, так и параметры потенциала
действия клеток сердца зависят от различных физических, хими-
ческих и физиологических факторов, в том числе температуры,
ионного состава среды внутри и снаружи клетки, характера внеш-
ней стимуляции, действия физиологически активных веществ (аце-
тилхолина, адреналина и др.), метаболических ядов, фармаколо-
гических препаратов, раздражения экстракардиальных нервов,
патологических изменений ткани миокарда и др.
Мембранные токи. Рассмотрим качественно электрические
токи, которые протекают через мембрану типичной клетки сокра-
тительного миокарда при ее возбуждении. Если в период, когда
мембрана находится в состоянии покоя, через нее пропускается
стимулирующий ток, стремящийся ее деполяризовать (т. е. на-
правленный изнутри клетки наружу), то для ионов К+ и С1"
силы концентрационного градиента начинают преобладать над
электрическими силами. Ионы К+ начинают перемещаться изну-
три клетки наружу, а ионы С1“ — в противоположном направле-
нии. Создаваемый этими ионами электрический ток стремится
реполяризовать мембрану, т. е. возвратить трансмембранный
потенциал к уровню потенциала покоя. Но уменьшение отрица-
тельного трансмембранного потенциала приводит к увеличению
проницаемости мембраны для ионов Na+, причем величина этого
изменения зависит от степени деполяризации. Если деполяриза-
ция невелика, то вытекающий из клетки ток, обусловленный иона-
ми К+ и СГ, будет преобладать над втекающим током ионов Na+
и прекращение внешней стимуляции (принудительной деполяри-
зации) сопровождается возвращением трансмембранного потен-
циала к уровню покоя. Отметим, что на скорость изменения транс-
мембранного потенциала, обусловленного протеканием через
70
мембрану тока, оказывает влияние мембранная емкость, которая
при быстрых изменениях тока «шунтирует» резистивное сопро-^
тивление мембраны. Если стимулирующий ток достаточно велик
(если он уменьшает отрицательный трансмембранный потенциал
покоя примерно на 30 мВ), то натриевый ток, втекающий в клетку
в результате увеличения проницаемости мембраны для ионов
Na+, превысит противоположно направленный ток тонов К+ и
С1“, и деполяризация будет продолжаться даже после прекраще-
ния стимулирующего воздействия. Деполяризация влечет за со-
бой дальнейшее увеличение проницаемости мембраны для ионов
Na+, а следовательно, дальнейшее увеличение натриевого тока,
который в свою очередь еще больше усиливает деполяризацию.
Этот процесс быстро нарастает, уже не требуя внешней стимуля-
ции — он имеет регенеративный характер. В начальной фазе
развития потенциала действия проницаемость мембраны для
ионов К+ быстро уменьшается (это отличает процесс возбуждения
клеток сердца от возбуждения клеток скелетных мышц и нервов).
В то же время проницаемость мембраны для ионов Na+ очень
сильно возрастает: если в состоянии покоя она в 50 раз меньше,
чем проницаемость для ионов К+, то к концу фазы быстрой
деполяризации она увеличивается примерно в 500 раз и намного
превышает проницаемость для ионов К+. При этом значительно
уменьшается суммарное электрическое сопротивление мембраны
по отношению к мембранному току. В процессе быстрой деполя-
ризации трансмембранный потенциал стремится достичь значения
равновесного потенциала для ионов Na+, т. е. разности потен-
циалов, которая установилась бы на мембране, если бы при данных
соотношениях между концентрациями ионов Na+ внутри и сна-
ружи клетки мембрана была избирательно проницаема для ионов
Na+ и непроницаема для ионов К+. Равновесный натриевый по-
тенциал в этом случае составляет приблизительно 66 мВ. Однако
в конце фазы быстрой деполяризации трансмембранный потен-
циал не достигает этого значения, а возрастает только прибли-
зительно до 30 мВ. Это объясняется влиянием других ионов,
так как мембрана обладает определенной проницаемостью и для
них, хотя проницаемость для ионов Na+ значительно выше и по-
следние играют доминирующую роль в процессе быстрой деполя-
ризации. Общая амплитуда трансмембранного потенциала при
деполяризации достигает примерно 120 мВ.
Фазы электрического возбуждения мембраны клеток сердца,
следующие за деполяризацией, изучены не так глубоко, как фаза
быстрой деполяризации. Тем не менее можно указать некоторые
основные закономерности изменения ионных токов и проницает
мостей мембраны в этот период.
В процессе деполяризации одновременно с увеличением про-
ницаемости мембраны для ионов Na+ (активация ионов Na+) на-
чинаются процессы, ведущие к уменьшению этой проницаемости
(инактивация ионов Na+). После достижения максимальной ве-
71
личины проницаемость начинает быстро уменьшаться, однако
в мембране клеток сердца в отличие от клеток скелетных мышц и
нервов она не падает сразу до уровня состояния покоя, а быстро
уменьшается лишь до некоторого промежуточного значения и
сохраняет его в течение нескольких сот миллисекунд. В резуль-
тате первоначального быстрого падения проницаемости для ионов
Na+ трансмембраннный потенциал быстро уменьшается сразу же
после его пика. Этот участок импульса потенциала действия соот-
ветствует первой фазе быстрой реполяризации, которая в значи-
тельной степени является также результатом возрастания тока
ионов С1", направленного из клетки наружу. В конце первой
фазы быстрой реполяризации изменение трансмембранного потен-
циала замедляется, и в дальнейшем он некоторое время сохраняет
почти постоянное значение, близкое к нулю (фаза плато). Быстро
снизившаяся проницаемость для ионов К+ сохраняет на протя-
жении всей этой фазы меньшее значение, чем в состоянии покоя.
Замедление реполяризации в конце первой фазы быстрой реполя-
ризации и переход к фазе плато обусловлены особым характером
изменения проницаемости мембраны для ионов К+, и, возможно,
инактивацией ионов С1“, движущихся внутрь клетки и способ-
ствующих реполяризации, а также остаточной повышенной про-
ницаемостью для ионов Na+.
На первых этапах деполяризации начинается перемещение
ионов кальция Са++ снаружи внутрь клетки. Соответствующий ток
медленно возрастает, достигает сравнительно небольшой величи-
ны и затем медленно убывает. Он вносит решающий вклад в под-
держание фазы плато и играет важную роль в процессе механиче-
ской активности клетки, так как для сокращения мышцы необ-
ходимо повышение внутриклеточной концентрации ионов Са++.
В фазе плато мембрана проявляет способность к «выпрямле-
нию» тока, т. е. ее электрическое сопротивление неодинаково для
тока, втекающего в клетку, и тока, вытекающего из нее. По отно-
шению к току ионов К+ происходит «аномальное выпрямление»
(не соответствующее соотношению между внутренней и наружной
концентрациями калия): ток ионов К+ при движении внутрь
клетки встречает меньшее сопротивление, чем при движении на-
ружу. Благодаря этому вытекающий из клетки реполяризующий
калиевый ток имеет небольшую величину и не может преодолеть
действие деполяризующего тока ионов Na+ и Са++. К концу фазы
плато токи ионов Na+ и Са++ прекращаются. Таким образом,
фаза плато характеризуется значительной проницаемостью мем-
браны для ионов Na+ (хотя и меньшей, чем в начале быстрой депо-
ляризации), током ионов Са++, который имеет важное значение
для связи электрических и механических процессов, и повышен-
ным сопротивлением мембраны для тока ионов К+, связанным
с аномальным выпрямлением.
Потенциал действия завершается фазой конечной реполяри-
зации, следующей за фазой плато. В этот период значительный
72
Т а б{л и ц а 2/2
Вклад токов, обусловленных ионами разных видов, в последователь-
ные фазы потенциала действия клеток сердца [187]
Ион Направление движения Обозначение канала Фаза потенциала действия
быстрая деполя- ризация быстрая реполя- ризация выемка плато конечная реполя- ризация диастоли- ческая деполя- ризация
Na+ Внутрь *Na (быстрый) Вкл. Выкл.
lNa Вкл. Выкл.
(медленный)
ci- Внутрь *С1 Вкл. Выкл.
Са++ Внутрь 1Са Вкл. Выкл.
К+ Наружу Выкл. Вкл.
41 Ч2 * * Вкл. * Выкл.
к8 Вкл. Выкл.
* — величина тока мала и не оказывает значительного влияния на трансмембранный
потенциал.
ионный ток протекает через мембрану изнутри клетки наружу.
Этот реполяризующий ток создается главным образом ионами К+,
однако в нем участвуют также и другие ионы. В конце процесса
реполяризации мембрана возвращается в невозбужденное состоя-
ние, а трансмембранный потенциал принимает значение потен-
циала покоя.
Все клетки проводниковой системы сердца обладают в большей
или меньшей степени способностью к самопроизвольной деполя-
ризации в диастолический период, однако в нормальных условиях
самовозбуждение происходит только в клетках водителя ритма
синусового узла. Самопроизвольную электрическую активность
клеток объясняют особыми свойствами мембраны, в частности по-
вышенной проницаемостью для ионов Na+ и уменьшением прони-
цаемости для ионов К+ в диастолический период. Частота сокра-
щений сердца регулируется сигналами симпатических и блуж-
дающих нервов, окончания которых находятся вблизи клеток
водителя ритма и влияют на характеристики изменения транс-
мембранного потенциала этих клеток.
Таким образом, в каждый момент времени на протяжении
цикла возбуждения клетки величина трансмембранного потен-
циала определяется токами ионов нескольких видов, в зависимо-
сти от того, какие «ионные каналы» включены и какие выключены
(табл. 2.2).
73
Уравнение для трансмембранного потенциала, основанное на равнове-
сии Доннана. Рассмотрим некоторые количественные соотношения для мем-
бранных электрических процессов, полученные на основе уравнений фено-
менологической термодинамики (см., например, [363]).
Пусть имеется раствор, содержащий ионы нескольких видов, которые
различаются по массе и величине электрического заряда. Предположим, что
рассматриваемый объем раствора сохраняет постоянную температуру и дав-
ление и является однородным в каждой плоскости, параллельной коорди-
натной плоскости yOz прямоугольной системы координат xyz. Иными слова-
ми, градиенты электрохимического потенциала его компонентов могут быть
ориентированы только в направлении оси х. Потоки ионов, перемещающие-
ся в этом направлении, создают электрический ток, плотность которого оп-
ределяется зарядом ионов данного типа, их количеством и скоростью дви-
жения.
Согласно соотношениям термодинамики, электрический заряд, перено-
симый в установившемся режиме (при равномерном движении потока ионов)
за единицу времени одним молем ионов f-ro вида в направлении оси х, про-
порционален производной электрохимического потенциала ионов по этому
направлению, взятой с отрицательным знаком, и выражается как
Zi
q0i = — ui р-|, (2.1)
где щ — коэффициент, характеризующий сопротивление среды и называе-
мый подвижностью; Zi — валентность и рц — электрохимический потенциал
ионов данного вида. Электрохимический потенциал выражает суммарную
потенциальную энерию электрического поля и диффузии.
Плотность электрического тока определяется как электрический заряд,
проходящий за единицу времени через единичную площадь поверхности,
перпендикулярной к направлению потока ионов:
Z.
ц — 4otCi = — uiCi "daT ’ <2,2)
где Ci — концентрация ионов i-го вида (в молях на единицу объема раст-
вора) в рассматриваемой точке раствора. Электрохимический потенциал
выражается как
= + «TlnCi + Z/<p. (2.3)
Здесь g? — стандартный химический потенциал; R — универсальная газо-
вая постоянная; Т — абсолютная температура; F — число Фарадея и ср —
потенциал электрического поля в данной точке.
Первое слагаемое в этом выражении представляет собой химический
потенциал в стандартных условиях, которые считаются одинаковыми для
всего объема раствора. Второе слагаемое характеризует энергию концентра-
ционной диффузии и третье — энергию электрического поля.
Приведенное определение электрохимического потенциала строго спра-
ведливо для растворов с достаточно низкой концентрацией ионов, при кото-
рой можно пренебречь силами взаимодействия между частицами растворен-
74
ного вещества. Если рассматриваются более концентрированные растворы, для
которых такое пренебрежение необоснованно, то в уравнении (2.3) вместо
величины концентрации следует использовать другую характеристику —
активность ионов данного вида. Подстановка (2.3) в уравнение (2.2) дает
h = - |zjviRT“iciF• (2-4)
Таким образом, плотность тока определяется двумя движущими силами —
градиентом концентраций (направление этой составляющей тока зависит от
полярности иона) и градиентом электрического потенциала (эта составляю»
щая тока всегда направлена противоположно градиенту электрического по-
тенциала).
В рассматриваемой системе макроскопические объемы раствора должны
подчиняться условию электрической нейтральности, т. е. суммарный заряд
положительных и отрицательных ионов на единицу объема раствора должен
быть равен нулю:
(2.5)
г
Предположим, что раствор содержит N видов ионов, и его объем разделен
на две части мембраной конечной толщины с плоскими поверхностями, пер-
пендикулярными к оси х. Пусть мембрана обладает определенной проницае-
мостью для ионов 1-го, 2-го, ..., Л-го видов (к N) и непроницаема для
ионов остальных видов. Если система находится в статическом равновесии,
т. е. отсутствует перемещение ионов любого вида через мембрану, то ионный
ток каждого проникающего через мембрану вида ионов должен равняться
нулю:
Z. i d(D
- пФ “iRT -7Г -1 zi I = °- <2-6)
откуда
d(f RT Mi
dx ~~ Z.dG. dx •
г г
Интегрирование этого уравнения в пределах поверхностей мембраны
дает для равновесного трансмембранного потенциала i-ro вида ионов фор-
мулу Нернста:
RT
Ui = — <Pi = JTln ’ <2-8)
где индексами I и II обозначены величины у противоположных поверхностей
мембраны. Учитывая, что разность электрических потенциалов на мембра-
не одна и та же для ионов всех видов, и используя условие электронейтраль-
ности, получаем из уравнений (2.5) и (2.8) следующую систему уравнений:
( \1/Z1 _ ( °*2 }1/Zz __ _ / Cli\1/Zi __ _ / Clk \1/Zk
\ ^ni / \ ^ii2/ \ ciu / \ /
12 “h ‘ + • • • 4-
+ ^2^H2 + • • • +^г^Пг + • • • + ^N^IIN °- (2.9)
75
Если через мембрану могут проходить ионы всех видов (к = JV), то эта
система уравнений имеет решение только в тривиальном случае — когда
концентрации ионов каждого вида по обеим сторонам от мембраны равны
(Cj| = Сш), т. е. после полного завершения процесса диффузии. Если же
мембрана непроницаема для ионов некоторых видов, то равновесие наступает
при неодинаковых концентрациях проникающих через мембрану ионов в
частях раствора I и II. Такое равновесие называется равновесием Доннана.
Формула Нернста (2.8) справедлива и для простейшего случая, когда мем-
брана проницаема для ионов какого-либо одного вида, и для более сложных
случаев, когда система содержит несколько видов проникающих через мемб-
рану ионов.
В электрических процессах, происходящих в мембранах возбудимых
клеток, основную роль играют ионы четырех видов: катионы К+, Na+ и ани-
оны С1“, А- (см. табл. 2.1). Непроницаемость мембраны для крупных ионов
протеина А~ может служить причиной установления равновесия Доннана.
При этих условиях для остальных ионов, способных проникать через мемб-
рану, справедливо уравнение Нернста (2.8). Применим выведенное соотно-
шение к мембране возбудимой мышечной клетки, считая, что часть I раствора
соответствует внеклеточной, а часть II — внутриклеточной среде (внеклеточ-
ные концентрации будем обозначать индексом ех, а внутриклеточные — ин-
дексом in). Тогда уравнение Нернста дает выражение для трансмембранного
потенциала клетки. Например, для одновалентного катиона К+ это уравне-
ние будет иметь вид
t/K =
R Т К
* Cin К
(2.10)
Расчет по формуле Нернста для мембраны мышечной клетки, находящейся
в состоянии покоя при нормальных физиологических условиях, дает резуль-
таты, приведенные в последнем столбце табл. 2.1. Видно, что для ионов К+
измеренное и расчетное значения трансмембранного потенциала довольно
близки, хотя и не совпадают. Аналогичный расчет для ионов Na+ дает вели-
чину трансмембранного потенциала, существенно отличающуюся от реально
измеренной, даже имеющую противоположную полярность. Теоретически
это могло бы соответствовать условию полной непроницаемости мембраны
для ионов Na+ (в этом случае ионы Na+ играли бы такую же роль в достиже-
нии равновесия, как ионы протеина). Однако установлено экспериментально,
что клеточная мембрана в состоянии покоя обладает проницаемостью для
ионов Na+, хотя и в меньшей степени, чем для других катионов. Поэтому
существует поток ионов Na+, направленный внутрь клетки, так что условия
равновесия Доннана в строгом смысле не выполняются.
Уравнение для трансмембранного потенциала, основанное на модели
мембраны с постоянным полем. Для более точного описания электрического
состояния мембраны клетки нужно использовать иные модели, учитывающие
наличие потоков ионов через мембрану. Одна из таких моделей была предло-
жена Гольдманом и получила широкое распространение при исследовании
электрофизиологических характеристик клеточных мембран (см. [239]). Рас-
смотрим однородную и электронейтральную мембрану конечной толщины,
ограниченную двумя плоскостями, перпендикулярными к оси х. Допустим,
76
что концентрация ионов каждого вида внутри мембраны непосредственно
у каждой ее поверхности пропорциональна концентрации этих ионов в ос-
новной массе раствора, прилегающей к мембране с этой же стороны. Кон-
центрация ионов каждого вида в основной массе раствора с каждой стороны
от мембраны поддерживается постоянной за счет внешних факторов. По пред-
положению, ионы движутся внутри мембраны под действием таких же сил —
электрических и диффузионных,— как и в свободном растворе по бокам
мембраны. Главным допущением модели является то, что электрическое поле
по всей толщине мембраны имеет одинаковую величину напряженности. По-
этому описываемая модель получила название мембраны с постоянным полем.
Пусть поверхность I соответствует внешней границе клеточной мембраны,
а поверхность II — ее внутренней границе. Выберем начало координат на
наружной поверхности мембраны 1 и предположим, что ось х направлена
извне внутрь клетки. Тогда координата наружной поверхности мембраны
х = 0, а координата внутренней поверхности х = где Ъ — толщина мемб-
раны. Постоянство поля внутри мембраны означает, что градиент электри-
ческого потенциала в области между ее поверхностями можно выразить как
dqldx^Ulb, (2.11)
где U — разность между потенциалами на внутренней и наружной поверх-
ностях мембраны (трансмембранный потенциал). Теперь уравнение (2.4)
принимает вид
Z. dC. jj
(2Л2>
Поскольку концентрация ионов не должна изменяться во времени, плот-
ности тока ji не зависят от координаты х, так что последнее уравнение пред-
ставляет собой линейное дифференциальное уравнение первого порядка от-
носительно концентрации Q:
dC.(x) Z.FU Z.j.
dx + bRT Ci = “ | Z{ | и TIT ' <2-13)
Концентрации ионов i-го вида внутри мембраны у ее наружной и внут-
ренней поверхности выражаются как
(°) = W ~ (2.14)
где Cji и Сщ —концентрации ионов i-го вида во внеклеточной и внутрикле-
точной частях раствора соответственно и pi— коэффициент распределения,
характеризующий отношение концентраций у границ между раствором и
мембраной (он считается одинаковым для обеих поверхностей мембраны)»
Решение уравнения (2.13) с граничными условиями (2.14) дает следующее
выражение для концентрации ионов внутри мембраны:
Z-FU Z-FU
О]- -------X ------X
cKiM = \z.[u.tu(e bRT -i) + <W°)e ЬЙГ • (2Л5>
1 г 1 г
На внутренней поверхности мембраны (х = Ь) концентрация выражается как
г- b,i ,-ZiFURRT) -Z^FURRT)
cMi W = -| z. I u.f& (e — 1) + <?Mi <°)e • <2Л6)
4 i ’ i
77
Из последнего уравнения можно получить следующее выражение для плот-
ности ионного тока в зависимости от концентраций ионов у границ мембра-
ны:
. \h\^FU Cm(O)e-ZiFUKRT) -СМ.(Ь)
h~ b . -ZsFU/fRT) • <2Л7)
1 — e г
Определим величину проницаемости мембраны для ионов Z-го вида как
Р.=и£.РТ/(М) (2.18)
и перепишем (2.17) с учетом уравнений (2.14) и (2.18):
^~ZiFUKRTy-ClU
1г ~~ RT > -Z-FUI(RT) ‘ (Z.1J)
1 — е г
Заметим, что если применить к этому уравнению условие отсутствия
потока ионов данного вида (д — 0), то получается соотношение, справедли-
вое для равновесия Доннана:
СП1/С^е-^и^ (2.20)
Очевидно, это уравнение эквивалентно формуле Нернста (2.8).
Рассмотрим квазистатические условия, когда через мембрану не проте-
кает электрический ток (предполагается, что отсутствует внешняя цель, по
которой заряды могли бы перетекать из одной части раствора в другую для
обеспечения условия электронейтральности). Кроме того, предположим, что
независимо от потоков ионов в мембране концентрация их в растворах, омы-
вающих мембрану, поддерживается постоянной.
Условие отсутствия суммарного ионного тока записывается как
2j/i=0' <2-21)
i
Пусть в системе имеются только одновалентные ионы ( |Zj] = 1). За-
пишем выражение для плотности тока (2.19) отдельно для положительных
ионов (2=4-1), обозначая относящиеся к ним величины индексом к, и от-
дельно для отрицательных ионов (Z = — 1), обозначая относящиеся к ним
величины индексом а,
Clke-puKRT'> -Сиг.
. К Ла ЛЛа
h = НТ . -FU/(RT) ’
(2.22)
НТ i_e-FU/(.RT')
Просуммируем эти выражения и приравняем их сумму нулю в соответ-
ствии с уравнением (2.21). После некоторых упрощений получаем
5Рк Cm) + Ра (CUae-FUKRT) - С1О) = 0. (2.23)
к а
78
Решая это уравнение относительно трансмембранного потенциала U, полу-
чим
= ^£1ПЛ-------а-----
' ^р^т + ^Расгя •
к а
(2.24)
В применении к клеточной мембране с учетом только основных ионов,
а именно ионов калия, натрия и хлора это выражение принимает вид
НТ
1п
К ex + PNa^Na ex + Cl^Gl in
In + PNa^Na in + ^Gl^Gl ex
(2.25)
где величины, относящиеся к ионам определенного вида, обозначены соот-
ветствующим индексом. Величины проницаемостей обычно находят эмпи-
рическим методом на основании экспериментальных данных, исходя из тре-
бования, чтобы уравнение (2.25) удовлетворялось при различных значениях
трансмембранного потенциала и различных концентрациях ионов снаружи
и внутри клетки.
Если проницаемость мембраны для ионов какого-либо одного вида су-
щественно больше, чем для ионов других видов, то влиянием на систему всех
ионов с малой проницаемостью можно пренебречь и уравнение (2.25) сводится
к формуле Нернста.
В экспериментах на нервных клетках при концентрациях ионов, близ-
ких к нормальным физиологическим условиям, было найдено соотношение
Рк : PNa : PG1 = 1 : 0,04 : 0,45 для состояния покоя и 1 : 20 : 0,45 для
состояния максимального возбуждения (область пика потенциала действия)
[239]. Для концентраций ионов К+, выходящих за пределы физиологического
диапазона, соотношения между проницаемостями оказались несколько ины-
ми (в связи с тем, что проницаемость зависит от трансмембранного потенциа-
ла, который в свою очередь зависит от концентрации). Однако эти расхожде-
ния невелики, и в большинстве случаев при практических расчетах ими
можно пренебречь.|
В результате измерения потоков ионов через мембрану клеток скелетной
мышцы лягушки в состоянии покоя было получено отношение проницаемо-
стей мембраны для ионов натрия и калия PNa : Рк = 0,013 (см. [363]). Если
допустить, что ионы хлора находятся в статическом равновесии и их поток
через мембрану равен нулю, то трансмембранный потенциал для модели
мембраны с постоянным полем выражается как
RT <?к ех + PgNa ex
* 1П CKin + ?CNain ’
(2.26)
где р = PNa/PK.
При р — 0,013 было получено весьма точное совпадение величин потен-
циала покоя, измеренного в эксперименте и вычисленного по формуле (2.26).
Значения трансмембранного потенциала покоя, рассчитанные по фор-
мулам (2.25) и (2.26) и близкие к реально измеренным, оказываются меньше
по абсолютной величине, чем равновесный (доннановский) потенциал ионов
К+. Это свидетельствует о том, что должен существовать поток ионов К+
79
изнутри клетки наружу в соответствии с соотношениями модели мембраны
с постоянным полем. Наличие такого потока установлено экспериментально.
Измеренный в экспериментах поток ионов Na+ внутрь клетки также соот-
ветствует указанным соотношениям. Однако поток ионов Na+ изнутри клет-
ки наружу существенно отличается от предсказанного теоретически на осно-
вании модели, т. е. он не может быть обусловлен только диффузионными п
электрическими силами. Этот последний поток является результатом актив-
ного переноса, осуществляемого натрий-калиевым насосом.
Развитие потенциала действия характеризуется быстрыми изменениями
ионных токов и проницаемостей мембраны для ионов различных видов. При
этом изменение трансмембранного потенциала зависит не только от ионных
токов и проницаемостей, но и от мембранной емкости, перезарядка которой
требует определенного тока и влияет на скорость изменения трансмембран-
ного потенциала.
Математическая модель Ходжкина—Хаксли в модификации
Нобла. Для количественного описания динамики изменения транс-
мембранного потенциала при возбуждении клетки Ходжкин и
Хаксли [238] предложили математическую модель, основанную
на том, что для тока ионов каждого вида движущая сила опреде-
ляется разностью электрохимических потенциалов с двух сторон
от мембраны, а сопротивление мембраны потоку ионов определя-
ется как отношение этой разности потенциалов к ионному току.
Согласно уравнениям (2.3) и (2.8) разность между электрохими-
ческими потенциалами на внутренней и наружной поверхностях
мембраны, отнесенная к единице заряда, выражается как
(рш - MW) = и - Ui, (2.27)
где Ui — равновесный электрический потенциал тока f-го вида,
определяемый уравнением; (2.8). Проводимость мембраны для
ионов Z-го вида в модели Ходжкина—Хаксли определяется как
Gi = h/(U - Ui), (2.28)
где ji — плотность тока ионов Z-го вида через мембрану. Ионная
проводимость мембраны эквивалентна обратной величине ее со-
противления ионному току, отнесенной к единице площади мем-
браны. Мембранам возбудимых^ клеток свойственна специфическая
зависимость проводимости для ионов каждого вида от трансмем-
бранного потенциала и от предшествующих значений этой прово-
димости в любой рассматриваемый момент развития потенциала
действия. Такое описание электрического процесса в мембране
соответствует эквивалентной электрической схеме с сосредоточен-
ными параметрами для элементарного участка мембраны, пока-
занной на рис. 2.6, а. Здесь представлены токи ионов натрия,
калия, суммарный ток анионов и ток, перезаряжающий мембран-
ную емкость. В процессе возбуждения проводимость для анионов
(в основном анионов С1") остается постоянной, а проводимости
для ионов К+ и Na+ изменяются в зависимости от трансмембран-
80
Рис. 2.6. Эквивалентные электрические схемы элемента возбудимой мембраны
а — для нервной клетки [25]; б — для клетки сердца [343]; в — для клетки сердца с до-
полнительными натриевым и кальциевым каналами (усовершенствованная) [390]; г
для клетки сердца с дополнительной пассивной ветвью, включающей емкость и сопротив-
ление (усовершенствованная) [3081
ного потенциала и времени в соответствии с гипотезой о существо-
вании в мембране специфических каналов, по которым ионы
могут проникать через мембрану из внутриклеточной среды во
внеклеточную или двигаться в обратном направлении. Способ-
ность канала пропускать ионы данного вида зависит от располо-
жения определенного числа заряженных частиц, «активирующих»
или «инактивирующих» канал (т. е. облегчающих или затрудняю-
щих прохождение ионов через мембрану). Вероятность появления
каждой такой частицы в нужном положении выражается специаль-
ными параметрами активации и инактивации. Скорости переме-
щения частиц зависят от трансмембранного потенциала и от тем-
пературы и не зависят от времени. Согласно эквивалентной схеме
на рис. 2.6, а плотность суммарного мембранного тока у*м равна
сумме плотностей ионного и емкостного токов
/м = 7ion + 7с» (2.29)
где плотность ионного тока выражается как
7ion = GNa (Ц - fZNa) + Gk (U - Гк) + Ga (U - Га). (2.30)
Индексы в обозначениях величин указывают соответствующий
вид ионов. Индексом А обозначены величины, соответствующие
«току утечки» (согласно известным гипотезам, он обусловлен анио-
81
нами, в частности ионами С1 ). Плотность емкостного тока выра-
жается как
lc-C^{dUldt\ (2.31)
где См — емкость мембраны, отнесенная к единице ее площади.
Ионные проводимости мембраны выражаются в виде степенных
функций от параметров активации и инактивации, в то время
как последние определяются линейными дифференциальными
уравнениями первого порядка относительно этих параметров как
функций времени. Коэффициентами дифференциальных уравнений
служат константы скорости, являющиеся функциями транс-
мембранного потенциала и температуры. Постоянные параметры,
входящие в эти уравнения, были найдены эмпирически на основа-
нии экспериментальных измерений на возбуждающихся нервных
волокнах, в частности, с применением методов фиксации транс-
мембранного потенциала. Решение системы уравнений, описываю-
щей модель Ходжкина—Хаксли, показало, что она достаточно точ-
но воспроизводит все основные свойства импульса электрического
возбуждения аксона.
Поскольку общий методологический подход, использованный
при разработке указанной выше модели, учитывает характерные
свойства любой возбудимой мембраны, он оказался эффективным
и для описания электрического процесса возбуждения клеток
сердца. При этом, однако, пришлось модифицировать уравнение
модели, чтобы учесть отличия процесса реполяризации клеток
сердца от процесса реполяризации нервных клеток. Основные раз-
личия нормальных потенциалов действия клеток сердца и нервных
клеток заключаются в следующем [344]: 1) в фазе реполяризации
потенциал действия клетки сердца изменяется намного медленнее
и обычно содержит фазу плато, на протяжении которой транс-
мембранный потенциал сохраняет уровень, близкий к нулю;
2) после значительного падения в фазе деполяризации сопротивле-
ние мембраны клетки сердца во время фазы плато вновь возрастает
до значения, характерного для фазы покоя, или даже больше;
3) в клетках проводниковой системы сердца вскоре после завер-
шения реполяризации в мембране начинается медленная диасто-
лическая деполяризация, приводящая к самопроизвольному воз-
никновению очередного импульса потенциала действия.
_ Был предложен ряд модификаций модели Ходжкина—Хаксли,
позволяющих воспроизвести эти особенности изменения транс-
мембранного потенциала клеток сердца. Ниже будет рассмотрена
модификация модели, представленная Ноблом [343]. Она была
разработана на основании электрофизиологических данных, по-
лученных в экспериментах на волокнах Пуркинье, и получила
широкое признание благодаря тому, что позволяет довольно точно
описать многие явления, которые реально наблюдаются при воз-
буждении клеток сердца. В отличие от исходной модели Ходж-
кина—Хаксли в этой модифицированной модели предполагается,
82
что ионы калия могут перемещаться в мембране по каналам двух
типов. Проводимость канала одного типа является мгновенной
функцией трансмембранного потенциала, которая уменьшается
при деполяризации мембраны, а проводимость канала другого ти-
па медленно возрастает. Таким образом, эти каналы действуют
подобно выпрямителям — первый легче проводит ток внутрь
клетки, чем наружу, а второй, наоборот, легче проводит ток
наружу, чем внутрь. Кроме того, в этой модели использованы
скорректированные значения постоянных параметров уравнений
для учета особенностей мембраны клетки сердца, не влияющих
на форму уравнений. Эквивалентная электрическая схема эле-
мента мембраны для модели Нобла показана на рис. 2.6, б.
Полная система уравнений модели Нобла имеет следующий
вид:
7м = См-^Г + GNa(t7 - t/Na) 4- GK(U - UK) +
+ Ga(U-Ua), (2.32)
где
(?Na == G^sjm?h 4- G* ap Gk = Gkx + Gk2,
GK1 = 1,2e(-^)/5o + O,O15^^)/6o, gK2 =
dm/dt = am (1 — m) — pwm, dhldt = ah (1 — h) — pAfe,
dnldt «= an(l — n) — pnn,
am - 0,1 (- U - 48)/(e(-T^)/i5 _ 1),
Pw - 0,12 (G 4- 8)/(^>/5 - 1), (2.33)
ah - О,17е(-^э)/2о, = 1/(e(-^42)/io +
an - 0,0001 (- U — 5O)/(e(-^)/io _ 1), fin = 0,002в(-^^)/8э.
Здесь использованы следующие обозначения: GK1 и Gk2 — про-
водимости мембраны для первого и второго калиевых каналов,
отнесенные к единице площади мембраны; G*a> GnS1, Gk — постоян-
ные, определяемые максимальными значениями соответствующих
проводимостей; тп, h, п — параметры активации натриевого тока,
инактивации натриевого тока и активации калиевого тока (без-
размерные величины) соответственно; am, рт, ад, Ря, ап, рп —
константы скоростей. Проводимость мембраны для анионов GA
задается как один из постоянных параметров модели.
Если рассматривается синхронное возбуждение всей мембраны
клетки, когда отсутствуют потоки ионов и электрические токи,
направленные параллельно поверхности мембраны, и не происхо-
дит распространения возбуждения в пространстве, а также отсут-
ствует внешняя электрическая цепь между внутриклеточной и
внеклеточной областями, то суммарный мембранный ток должен
83
равняться нулю и уравнение (2.32) принимает вид
См (dU/dt) + CNa (U - CNa) + GK (U - UK) + CA (U - Га) = 0.
(2-34)
Иными словами, в процессе развития возбуждения суммарный
ионный ток осуществляет перезарядку мембранной емкости,
а во внутриклеточной и внеклеточной средах токи отсутствуют.
Заметим, что условия синхронного возбуждения мембраны могут
быть созданы в эксперименте при помощи специальной системы
электродов (методика пространственной фиксации трансмембран-
ного потенциала).
Систему уравнений (2.34) и (2.33) решали численным методом
при заданных начальных условиях, соответствующих средней
точке фазы диастолы.«Были получены кривые изменения транс-
мембранного потенциала, весьма близкие по форме к эксперимен-
тально измеренным импульсам трансмембранного потенциала воз-
буждающейся клетки Пуркинье и содержащие все основные фазы
этих импульсов, в том числе фазу, медленной диастолической
деполяризации [343]. Главное расхождение между расчетными и
экспериментальными импульсами потенциала действия заклю-
чается в том, что крутизна фазы быстрой деполяризации (скорость
нарастания трансмембранного потенциала) в результате расчета
модели получается равной около 100 мВ/мс, тогда как в экспери-
ментальных измерениях она обычно в несколько раз больше.
Полная мембранная проводимость во время пика потенциала
действия кратковременно возрастает в 50 -н 100 раз по сравне-
нию с проводимостью в состоянии покоя, к началу фазы плато она
резко уменьшается и становится почти равной проводимости
в конце диастолы. Эти результаты моделирования совпадают
с экспериментальными наблюдениями.
Описанная модель позволяет воспроизвести многие явления
динамики изменения потенциала действия клеток сердца при раз-
личных внешних воздействиях: приложении тока от внешнего
источника, повторных импульсах стимуляции, изменении ионной
проницаемости мембраны и др.
На основании результатов подробного экспериментального
исследования электрического возбуждения клеток сердца были
предложены усовершенствования описанной выше модели, пре-
дусматривающие включение в нее дополнительных каналов и изме-
нение пассивной части эквивалентной электрической схемы эле-
мента мембраны. Это позволяет описать процесс возбуждения
мембраны более точно и в более широком диапазоне условий.
Так, эквивалентная схема с медленным каналом для ионов Na+
и Са++, показанная на рис. 2.6, #, дает возможность воспроизвести
изменения трансмембранного потенциала, найденные в экспери-
ментах на волокнах предсердия лягушки [390]. В эквивалентной
схеме, показанной на рис. 2.6, г, часть мембранной емкости вклю-
чена последовательно с резистивным сопротивлением для более
84
точного учета анатомической структуры мембраны клеток Пур-
кинье [308]. В последнем случае модель дает более близкую к ре-
ально наблюдаемой крутизну фазы быстрой деполяризации —
около 300 мВ/мс; кроме того, удается воспроизвести небольшую
выемку в начале фазы плато потенциала действия, которая иног-
да наблюдается при экспериментальных измерениях.
В дальнейшем более тщательный анализ ионных токов, проте-
кающих через мембрану, позволил выявить в мембране волокон
Пуркинье ряд отдельных ионных каналов, обладающих специфи-
ческими свойствами, в частности, для калиевого тока (при этом
не исключается возможность, что токи в этих каналах отчасти
обусловлены и ионами других видов, см. табл. 2.2) [309]. На этой
основе было уточнено математическое описание мембранного
электрического процесса. Обсуждение особенностей усовершен-
ствованных моделей содержится в работе [31].
Следует подчеркнуть, однако, что для рассматриваемых в этой
книге вопросов происхождения внеклеточного электрического
поля подробная дифференциация ионных токов играет незначи-
тельную роль, ибо это поле определяется суммарным мембранным
током. Поэтому в последующем изложении используется только
первоначальный вариант модели Нобла, обеспечивающий доста-
точную точность при оценке искомых характеристик потенциала
внеклеточного поля отдельного волокна.
2. РАСПРОСТРАНЯЮЩИЙСЯ ПОТЕНЦИАЛ ДЕЙСТВИЯ
В ОТДЕЛЬНОМ ВОЛОКНЕ МИОКАРДА
Основные условия и особенности проведения возбуждения в
отдельном волокне. Возбужденное состояние мембраны, возник-
шее в определенной области клетки, самопроизвольно перемеща-
ется по мембране, охватывая постепенно всю клетку, переходит
на соседние клетки и распространяется по всему миокарду. Пе-
редача возбуждения заключается в том, что участки мембраны,
на которых начинает развиваться потенциал действия, электри-
чески влияют на соседние участки мембраны этой же клетки или
клеток, непосредственно к ней примыкающих, и на этих участках
также развивается потенциал действия, но с некоторым запазды-
ванием во времени. По достижении определенного уровня транс-
мембранного потенциала на этих соседних участках мембраны
они заставляют деполяризоваться следующие смежные с ними
участки и т. д. Этот процесс непрерывен во времени и имеет ха-
рактер волны потенциала действия, которая непрерывно переме-
щается в пространстве, удаляясь от места первоначального воз-
буждения.
Поскольку среда, в которой распространяется возбуждение,
представляет собой совокупность самостоятельных возбудимых
элементов — клеток, целесообразно рассмотреть отдельно два
85
аспекта распространения возбуждения: проведение возбуждения
в отдельной клетке и распространение его в объемной среде, об-
разуемой множеством таких возбудимых и проводящих возбуж-
дение клеток.
Заметим, что экспериментальное исследование распростра-
няющегося процесса возбуждения (в частности, измерение его
скорости) строго в пределах отдельной клетки сердца затруднено
из-за малых размеров клетки и тесной связи между соседними
Рис. 2.7. Направление токов в по-
граничной области между возбужден-
ным (1)и покоящимся (2) участками
мембраны (М)
клетками в миокарде. Этот процесс был подробно изучен в экспе-
риментах на нервных волокнах, для которых значительно легче
выделить достаточно длинные однородные участки клетки. По-
скольку электрофизиологические механизмы возникновения и про-
ведения возбуждения в нервных клетках и мышечных клетках
сердца принципиально не различаются, многие эксперименталь-
ные результаты, полученные для нервов, можно перенести на
клетки сердца. В качестве элемента миокарда, который иногда
называется клеткой при анализе распространяющегося возбуж-
дения, рассматривается фактически не клетка, а волокно, т. е. со-
вокупность клеток, примыкающих одна к другой торцами и свя-
занных электрически таким образом, что возбуждение распрост-
раняется в них как в одной клетке. В дальнейшем остановимся
на вопросе существования реальной электрической связи между
клетками миокарда.
Опишем качественно процесс проведения возбуждения в клетке
миокарда, имеющей продолговатую форму и ограниченной одно-
родной возбудимой мембраной [71, 186]. Рассмотрим небольшой
участок клетки, показанный схематически на рис. 2.7, и предпо-
ложим, что его левая часть (область!) находится в возбужденном,
т. е. деполяризованном, состоянии, а правая часть (область 2) пока
находится в состоянии покоя, т. е. поляризована. При этих ус-
ловиях внутри клетки от области 1 к области 2 течет электриче-
ский ток, который, разряжая емкость мембраны в области 2, при-
водит к ее деполяризации и приближает трансмембранный
потенциал к пороговому значению. По достижении порога в обла-
сти 2 развивается потенциал действия, внутриклеточный потен-
циал быстро принимает все более положительные значения, и ток
внутри клетки начинает течь от области 2 к соседним областям,
86
расположенным справа от нее. Снаружи клетки в окружающем
ее объемном проводнике у границы возбужденной и невозбужден-
ной областей течет ток противоположного направления (от покоя-
щейся области к возбужденной), который уравновешивает пе-
ремещение электрических зарядов внутри клетки. Эти электри-
ческие токи получили название локальных токов, так как они
сосредоточены главным образом в ограниченной области про-
странства вблизи участка мембраны, где развивается процесс депо-
ляризации. По мере перехода мембраны из спокойного в возбуж-
денное состояние эта область перемещается все дальше от места
первоначального возбуждения (слева направо на схеме рис. 2.7)
и вместе с ней изменяется расположение локальных токов. Таким
образом возбуждение распространяется вдоль клетки.
В приведенном выше описании предполагалось, что все точки
мембраны, расположенные в одном и том же поперечном сечении
клетки, находятся в одинаковых фазах возбуждения, так что
фронт возбуждения перемещается в направлении продольной оси
клетки, имеющей конфигурацию, близкую к цилиндру. Если же
предположить, что возбуждение первоначально возникло в неко-
торой точке на боковой поверхности такой клетки, то в первые
моменты после возникновения возбуждения оно будет распростра-
няться во всех направлениях от этой точки, т. е. не только парал-
лельно оси клетки, но и по окружности ее боковой поверхности
(в плоскости поперечного сечения). Однако распространение воз-
буждения в плоскости поперечного сечения происходит сущест-
венно быстрее, чем в продольном направлении, так что по истече-
нии очень короткого промежутка времени перемещающаяся гра-
ница между возбужденным и невозбужденным участками факти-
чески оказывается в плоскости, перпендикулярной к оси клетки.
При этом все точки мембраны, находящиеся в одной плоскости
поперечного сечения клетки, приобретают одинаковые значения
трансмембранного потенциала, и в дальнейшем возбуждение рас-
пространяется только вдоль клетки, причем распределение элек-
трического потенциала сохраняет симметрию относительно оси
клетки [376]. На достаточно длинном однородном участке клетки
(волокна) устанавливается постоянная скорость распространения
возбуждения, величина которой определяется как активными
свойствами возбудимой мембраны, так и пассивными электриче-
скими и геометрическими свойствами клетки.
Одномерная кабельная модель клетки. Учитывая описанные
выше условия распространения возбуждения в клетке (однород-
ность мембраны, близость формы клетки к цилиндру и преимуще-
ственно осевое направление распространения), для теоретического
исследования этого процесса часто используют одномерную, или
линейную, «кабельную модель» [363, 466 и др.]. Математические
соотношения между характеристиками этой модели можно вывести
при помощи эквивалентной схемы с сосредоточенными парамет-
рами, показанной на рис. 2.8, а. Эта схема представляет собой
87
совокупность бесконечно малых элементов мембраны, внутрикле-
точной среды и внеклеточной среды, соответствующую прираще-
нию Az расстояния по оси z. Элемент схемы М обобщенно характе-
ризует элементарный участок мембраны клетки, ограниченный
плоскостями, перпендикулярными к продольной оси клетки z и
проходящими через точки с координатами z и z + Az. Он может
иметь любую электрическую структуру и содержать источники
электродвижущей силы.
Рис. 2.8. Кабельная модель волокна сердца
а — эквивалентная электрическая схема элемента одномерной кабельной модели;
б — схематическое представление участка цилиндрического пространственного кабеля;
в — поперечная ветвь эквивалентной схемы для пассивного кабеля
Пусть символы Пи, rex обозначают сопротивления для осевого
тока внутри- и внеклеточной сред соответственно, отнесенные к
единице расстояния по оси z; fin, Zex — полные токи, протекающие
во внутренней и наружной средах вдоль оси z; Айп, А/ех — при-
ращения этих токов на элементарном участке Az; (рмь, фмех —
потенциалы на внутренней и наружной поверхностях мембраны;
Афшп,Афмех — приращения этих потенциалов на элементарном
участке Az; — ток в направлении нормали к поверхности мем-
браны (мембранный ток), отнесенный к единице расстояния по
оси z. Величины гех будем считать постоянными на рас-
сматриваемом элементарном участке. Тогда через поперечную
ветвь цепи (элемент мембраны М) будет протекать ток Z^Az,
а сопротивления внутренней и наружной ветвей элементарного уча-
стка цепи будут равны ririAz и rexAz соответственно.
Применим к узлам I и II рассматриваемой цепи первый закон
Кирхгофа:
iex + Д^ех Zex Zj\fAz = Р, Zin А/in * “Ь ^М^2 ~ Р>
(2.35)
откуда
AZex/Az = ZM, AZin/Az = — ZM (2.36)
(токи Zin и Zex считаются положительными, если они направлены
в сторону увеличения координаты z, а в элементе М положитель-
ный ток /м направлен изнутри клетки наружу).
88
Применим к наружной и внутренней элементарным ветвям
цепи закон Ома (пренебрегая малыми величинами второго поряд-
ка):
ЛфМ ех “ ^ex^ex^2> ДфМ in “ ЧпПпАз, (2.37)
откуда
Афм ех/А^ » ^ех^ех» АфМ1п/Ая = ЧпПп* (2.38)
Переход от дискретной модели к непрерывной и замена прира-
щений дифференциалами дает вместо уравнений (2.36)
diQxJdz = ijyj, (2.39)
diivjdz = — гм (2.40)
и вместо уравнений (2.38)
^фМех/^2= ^ех^ех, (2.41)
^фМ1п/^2 = ИпПп* (2.42)
Трансмембранный потенциал выражается как
U = фм In ФМех* (2.43)
Дифференцируя это уравнение по z и учитывая уравнения (2.41)
и (2.42), получаем
dU/dz — iinHn "Ь ^ех^ех* (2.44)
Дифференцируя последнее уравнение по z, получаем, с учетом
уравнений (2.39) и (2.40),
d4J /dz2 = (rin + rex) iM- (2.45)
Уравнения (2.39)—(2.42) и (2.45) являются основными урав-
нениями одномерной кабельной модели; иногда их просто назы-
вают кабельными уравнениями.
Если отсутствуют какие-либо внешние по отношению к рас-
сматриваемой цепи источники тока, то
йп = — ^ех* (2.46)
При этом уравнение (2.44) можно записать в виде
dU/dz = (rjn -j- гех) iex. (2.47)
Подставим сюда выражение для тока /ех через производную
потенциала фмех в соответствии с уравнением (2.41):
Предположим, что величины rin и гех не зависят от z, что рас-
сматриваемая кабельная модель имеет бесконечную длину в на-
правлении отрицательной оси z, и примем равными нулю значения
всех потенциалов при z — оо. Тогда, проинтегрировав урав-
89
нение (2.48) в пределах от — оо до текущего значения z, получим
с/ = _2Ь±2£фМеХ) (2.49)
ех
откуда
фМех = ~ - 4х— U- <2’50)
'in । 'ех
Учитывая определение трансмембранного потенциала (2.43), по-
лучаем аналогичное выражение для потенциала внутренней обла-
сти
<PMin = —(2.51)
'in > 'ex
Таким образом, при указанных условиях потенциал U «делится»
между внутренней и наружной областями пропорционально со-
противлениям Tin И Гех-
В эквивалентной схеме, на основе которой получены кабель-
ные уравнения (рис. 2.8, а), сопротивления внеклеточной и внут-
риклеточной сред представлены сосредоточенными резисторами,
которые затем сведены к однородным сопротивлениям (имеющим
протяженность только по оси z). В действительности как внутри-
клеточная, так и внеклеточная среды являются объемными про-
водниками. Объем внутриклеточного вещества определяется раз-
мерами клетки, а объем внеклеточной жидкости зависит от кон-
кретных условий измерения электрических характеристик. Если
клетка окружена тканями и жидкостями, имеющими высокую
удельную электропроводность и большой объем по сравнению с
размерами клетки, то внеклеточную среду можно считать неогра-
ниченно протяженной. Такие условия характерны, например,
для экспериментов с препаратами возбудимой ткани, помещенны-
ми в большой объем физиологического раствора. В других случаях
исследуемое волокно не погружают в физиологический раствор
оно окружено диэлектрической средой (воздухом) и его поверх-
ность покрыта лишь тонким слоем проводящей жидкости.
Пространственная кабельная модель клетки. В связи с тем,
что реальные исследуемые электрические поля клеток имеют объем-
ную структуру, необходимо оценить правомерность применения
для их описания одномерной кабельной модели и соответствующих
уравнений. Для этого рассмотрим другую модель, более близкую
к реальным условиям, учитывающую основные свойства трехмер-
ной структуры клетки, а именно модель клетки в виде кругового
цилиндра неограниченной длины, показанную схематически на
рис. 2.8, б [156, 363]. Предполагается, что стенка цилиндра имеет
бесконечно малую толщину и обладает электрическими харак-
теристиками клеточной мембраны, внутри цилиндра находится
однородная среда, удельная электропроводность которой равна
средней удельной электропроводности внутриклеточного вещества,
90
а снаружи цилиндра —однородная среда неограниченного объема,
удельная электропроводность которой равна средней удельной
электропроводности внеклеточного вещества. Такая геометриче-
ская структура обладает осевой симметрией относительно продоль-
ной оси, которая совпадает с осью z используемой цилиндрической
системы координат npz. Далее предположим, что распределение
электрических токов и потенциалов также симметрично относи-
тельно оси z. В основе этого допущения лежит упомянутая выше
оценка соотношения между скоростями распространения возбуж-
дения в направлении оси клетки и в плоскости поперечного сече-
ния клетки, т. е. по окружности цилиндра. Распространение воз-
буждения по окружности происходит значительно быстрее, чем
вдоль оси, так что даже если первоначальное возбуждение воз-
никает в некоторой точке на боковой поверхности цилиндра, то
оно очень быстро охватывает клетку в окружном направлении (по
сравнению с перемещением вдоль оси), фронт возбуждения «вы-
равнивается» и в дальнейшем все электрические характеристики
оказываются распределенными равномерно по угловой координате
ф, т. е. не зависят от нее. В каждый момент времени они зависят
только от двух пространственных координат — осевой z и радиаль-
ной г. Благодаря такой полной осевой симметрии эта пространст-
венная кабельная модель может быть описана математически урав-
нениями с двумя пространственными переменными.
Обозначим потенциалы электрического поля в пространстве
вне клетки через фех и в пространстве внутри клетки через (pin-
Поскольку внутри и вне клетки отсутствуют электрические ис-
точники, эти потенциалы подчиняются уравнению Лапласа (см.
гл. 1)
Афех (г, ф, z) = О, г > а,
Аф1п (г, ф, z) = 0, г < а,
где а — радиус цилиндра (по-прежнему предполагается, что
мембрана имеет бесконечно малую толщину). Уравнение Лапласа
относительно произвольной функции и выражается в цилиндри-
ческих координатах как
1 д / ди \ . 1 д2и д2и п гох
— + ^ = °- (2.53)
По условиям осевой симметрии = 0, и из уравнений
(2.52) получаем для рассматриваемых потенциалов
д2Фех 1 d ( ^Фш_________/о 54А
dz2 г dr \ dr J ’ dz2 г dr \ dr J ’ ' '
Для того чтобы связать одномерную кабельную модель с рас-
сматриваемой пространственной моделью, естественно предполо-
жить, что потенциалы фмех и фми, входящие в кабельные уравне-
ния, равны потенциалам <рех и ф<п пространственной модели в точ_
91
ках, непосредственно прилегающих к мембране снаружи и внутри
клетки (г = а) в одной и той же плоскости поперечного сечения
с координатой z\
фм ех — фех “ фех» фм in — ф1п (Щ ф, ^) — ф1п* (2.55)
Далее, предположим, что токи одномерной модели /ех и Чп равны
полным осевым токам в сечении z пространственной модели сна-
ружи и внутри клетки соответственно. Плотности осевого тока в
наружной и внутренней областях пространственной модели со-
гласно уравнениям (1.6) и (1.7) будут соответственно равны —
<*ех (дфех/dz) и — Gin (^in/3z), где сгех и Одп — удельные электро-
проводности внеклеточной и внутриклеточной сред, и полные
осевые токи в сечении z выражаются как
о° а
i*x = — <гех 2лг —dr, ип = — а1п 2лг —^~dr. (2.56)
а О
Продифференцируем эти уравнения по z и подставим в резуль-
тирующие уравнения выражения для вторых производных (2.54):
М
дг о ’
dz
— 2лоех г нт“'| ’
ar Ja
(2.57)
= 2Л<71„ [г
С учетом скоростей убывания потенциала фех и его производной
^ФеХ/^г в рассматриваемой пространственной модели на больших
радиальных расстояниях от клетки (при г^- оо) первое из урав-
нений (2.57) дает
9гех « п a<Pex z9
"эГ-------2лоеха . (2.58)
Но эта величина равна полному мембранному току на единицу
расстояния по оси z, т. е.
di*x/dz = гм, (2.59)
что подтверждает корректность кабельного уравнения (2.39).
Согласно уравнению (1.4) для рассматриваемой пространствен-
ной модели плотность тока имеет соленоидальный характер,
и полный ток, пересекающий любую плоскость z = const, должен
равняться нулю, поэтому
*ех “b *in = 0- (2.60)
Но члены этого уравнения, по определению, совпадают с то-
ками г'ех и *и одномерной кабельный модели, так что последнее
уравнение может служить подтверждением кабельного уравнения
(2.46).
Таким образом, установлено соответствие между характерис-
тиками ОДНОМерНОЙ КабеЛЬНОЙ МОДеЛИ фМех> фиш, *ех» Чгъ с одной
стороны, и характеристиками пространственной кабельной мо-
92
дели ф*х, ф1П, г*х, ц* , с другой стороны. Теперь необходимо связать
с пространственной моделью сопротивления гех, тъ и обосновать
возможность применения кабельных уравнений (2.41) и (2.42).
Характеристики пространственной модели, аналогичные сопро-
тивлениям гсх, пп, должны подчиняться соотношениям, совпа-
дающим с этими кабельными уравнениями. Обозначим такие ха-
рактеристики через г*х и г*п соответственно. Тогда согласно урав-
нениям (2.41) и (2.42) они должны выражаться как
* , . 1 5<₽ех /о с. .
rex (z) — , (2.61)
гех
г?п(г) = -4-4г- <2-62>
lin
(эта запись указывает на то, что величины г*х и в принципе
могут зависеть от координаты z). Если в пространственной модели
заданы распределения потенциала на внутренней поверхности
мембраны ф*п (z) и на наружной ее поверхности ф?х(^)»то эти рас-
пределения однозначно определяют потенциал во всем простран-
стве внутри и снаружи клетки, а следовательно, и распределение
плотности тока во всем рассматриваемом пространстве, а также
величины полных осевых токов. Таким образом, задание распре-
делений потенциала на поверхностях мембраны определяет все
величины,) входящие в правые части уравнений (2.61) и (2.62), и
по ним можно определить величины r*x (z) и r*n (z). Условия обос-
нованности применения уравнений (2.41) и (2.42) (т. е. замены
пространственной кабельной модели одномерной моделью) заклю-
чаются в том, что величины r*x (z) и r*n (z) должны оставаться по-
стоянными по координате z при любом распределении потенциалов.
Другими словами, осевой ток должен быть пропорционален произ-
водной соответствующего поверхностного потенциала по направ-
лению оси z. В работе [156] путем разложения потенциалов фех и
фщ в ряд по модифицированным бесселевым функциям показаног
что внутренний и наружный осевые токи состоят из двух состав-
ляющих
^ех (^) = ла2оех h £ех > (2.63)
Ч* (2) = - лаЧп+ И*, (2.64)
причем первые составляющие каждого тока пропорциональ-
ны производной потенциала по z, а вторые (£** и Z*n*) выра-
жаются как интегралы, величины которых сложным образом за-
висят от потенциала на поверхности мембраны. Коэффициент
перед производной потенциала в уравнении (2.64) равен проводи-
мости внутриклеточного вещества на единицу длины клетки вдоль
93
оси, а аналогичный коэффициент в уравнении (2.63) — проводи-
мости на единицу длины цилиндрического проводника такого же
радиуса, но имеющего удельную электропроводность внеклеточ-
ной среды. Выразим из уравнений (2.63) и (2.64) величины г^х
и r*n в соответствии с уравнениями (2.61) и (2.62):
г**^= па^ ~ ’ (2 •65)
ex ех <<ех
ГИ (Z) = —i--------1----• (2.66)
i.i in IjQ
Каждое из этих выражений состоит из постоянной составляю-
щей (первый член) и составляющей, зависящей от z (второй член).
Характер изменения второго члена вдоль оси z и соотношение
между величинами первого и второго членов зависит от соотноше-
ния между объемами внутриклеточной и внеклеточной сред йот
формы распределения потенциалов на поверхностях мембраны.
В работе [156] показано, что при неограниченном объеме вне-
клеточной среды и распределении потенциалов, соответствующем
потенциалу действия нерва, в уравнении (2.66) второй член пре-
небрежимо мал по сравнению с первым, и если положить =
= l/(fta2(Tin), то с высокой точностью будет выполняться соотно-
шение (2.62). Это подтверждает правомерность уравнения (2.42)
при переходе к одномерной модели с использованием эквивалент-
ного сопротивления = г&. Что касается уравнения (2.65), то
в нем второй член существенно изменяется в зависимости от коор-
динаты z (и даже может иметь нарушения непрерывности). Это
объясняется тем, что в наружном объемном проводнике большой
протяженности направление течения тока может значительно
отклоняться от направления оси z (тогда как осевой ток создается
только составляющей плотности тока, параллельной оси z). В то
же время внутри волокна ток по всему объему внутриклеточной
среды направлен преимущественно по оси z.
Таким образом, во внеклеточной среде полный осевой ток не
пропорционален отрицательному градиенту поверхностного по-
тенциала вдоль клетки, и для этих величин не справедливо урав-
нение (2.41). Однако, как показали расчеты, /э*х всегда остается
существенно меньше (первая из этих величин составляет не
больше 2 % от второй). Поэтому пространственную модель целесо-
образно аппроксимировать одномерной кабельной моделью, в кото-
рой сопротивление внеклеточной среды вообще не учитывается по
-сравнению с сопротивлением внутриклеточной. При этом для
описания пространственной модели можно использовать уравне-
ния одномерной модели, в которые входит сумма сопротивлений
Пп и гех, полагая гех ^0. Это допущение несущественно влияет
на определение остальных величин. В частности, уравнение (2.45)
94
принимает вид
dHJ/dz* = riniM. (2.67)
Следует отметить, что в тех случаях, когда объем окружаю-
щего клетку проводника соизмерим с объемом внутриклеточной
среды (например, когда клетка покрыта тонким слоем физиоло-
гического раствора), наружное сопротивление г*х приближается
по величине к внутреннему сопротивлению г*ъ причем его вели-
чина, определяемая уравнением (2.65), становится существенно
независимой от координаты z, так как направление тока снаружи
клетки становится параллельным оси z. При этих условиях будет
справедливым и эквивалентное соотношение для одномерного ка-
беля (2.41), а следовательно, и уравнения (2.48) и (2.50).
Дифференциальные уравнения пассивного и активного распро-
странения возбуждения. Рассмотрим применение одномерной ка-
бельной модели для исследования распространяющегося электри-
ческого возбуждения в отдельной клетке (волокне) сердца. Клетку,,
находящуюся в состоянии покоя, можно представить в виде пас-
сивного одномерного кабеля, в котором дифференциальный эле-
мент мембраны имеет вид эквивалентной схемы, показанной на
рис. 2.8, в. Кроме элементов, характеризующих собственные свой-
ства мембраны (сопротивление и емкость), в эту схему введена
ветвь, отражающая внешнее воздействие (ток стимуляции, на-
правленный по нормали к мембране.) Полный мембранный ток на
единицу длины клетки выражается как сумма токов емкостной вет-
ви, резистивной ветви и тока внешней стимуляции:
----—' + —И ^st? (2.68)
гм 01
где Гм и см—сопротивление и емкость мембраны, отнесенные к едини-
це длины клетки, — ток стимуляции на единицу длины клет-
ки.
Подставляя это уравнение в (2.45), получаем
d2U t dU 1 тт ( \ \ • /о гсп
dz^ X2 dt ~ + Гех) *st’ (2.69).
где X = V+ гех) — постоянная длины клетки и т =
= ГмСм — постоянная времени клетки. Эти параметры характе-
ризуют соответственно скорость убывания трансмембранного по-
тенциала вдоль кабеля при удалении от точки стимуляции и ско-
рость убывания трансмембранного потенциала во времени после
приложеция стимулирующего импульса. Более конкретно посто-
янная времени т равна времени, необходимому для того, чтобы
после приложения ступенчатого импульса стимуляции трансмем-
бранный потенциал в точке стимуляции достиг относительной ве-
личины erf 1, или 84% от установившегося значения. Постоянная
длины % равна расстоянию по оси z от точки стимуляции до точки,,
где в установившемся состоянии трансмембранный потенциал со-
95>
ставляет 1/е, или 37 % от своего значения в точке стимуляции [363 и
др.]. Уравнение (2.69), описывающее распределение потенциала в
пассивной клетке, называют уравнением электротона.
Для рассмотрения процесса активного распространения воз-
буждения в клетке нужно учесть активные процессы в мембране,
т. е. включить в эквивалентную схему мембранного элемента
источники электродвижущей силы и изменяющиеся сопротивления
для ионных токов. В частности, можно использовать описанную
выше модель Нобла для возбудимой мембраны клеток сердца,
т. е. эквивалентную схему элемента мембраны, показанную на
рис. 2.6, б. Для получения искомого уравнения в удобной для
расчетов форме сделаем некоторые предварительные преобразо-
вания. Предположим, что внеклеточное сопротивление гех зна-
чительно меньше внутриклеточного и пренебрежем величиной
Гех. Заметим, ЧТО При ЭТОМ МОЖНО ПОЛОЖИТЬ фмех = 0 и U = Фмт-
Внутриклеточное сопротивление на единицу длины клетки пп
выразим через удельную электропроводность цитоплазмы Oin,
которая считается постоянной на всем протяжении клетки:
rin - 1/(лаЧп), (2.70)
а мембранный ток на единицу длины клетки /м выразим через
плотность мембранного тока /м:
й = 2ла/м, (2.71)
где а — радиус клетки. Предположим также, что к мембранному
току ум, определяемому эквивалентной схемой на рис. 2.6, 5, мо-
жет добавляться внешний ток стимуляции с плотностью фор-
ма которого в пространстве и во времени задается как независи-
мая функция.
Теперь введем выражение (2.32) в уравнение (2.45) с учетом
указанных выше допущений. В результате получаем
W г ди , г тт ч ,
—у" = GM + trNa \U — C/Ка) -Г
+ Gk (U - Uк) + Ga (Ц - Uа) + 7st. (2.72)
Это дифференциальное уравнение в частных производных от-
носительно переменных z и t описывает распространяющийся по-
тенциал действия в виде импульса трансмембранного потенциала,
изменяющегося как во времени, так и в пространстве (которое в
данном случае представлено одним измерением — координатой z).
Граничные условия. Для того чтобы решить уравнения в ча-
стных производных (2.69) или (2.72), необходимо задать времен-
ные и пространственные граничные условия для искомого транс-
мембранного потенциала (или его производных). Граничные
условия зависят от внешнего стимулирующего тока, длины рассмат-
риваемой клетки и от анатомического состояния ее торцевых ча-
стей [19, 376, 495]. Например, если исходным состоянием клетки
является состояние покоя, то в качестве начального значения транс-
96
мембранного потенциала задается величина потенциала по-
коя и начальные значения всех остальных переменных характе-
ристик модели должны соответствовать этому значению транс-
мембранного потенциала.
Выберем на оси кабеля z некоторую начальную точку z = О
и допустим, что ток стимуляции приложен только в этом сечении
клетки. Тогда граничные условия в точке z = О будут опреде-
ляться характеристиками стимула. Каждая из частей кабеля,
расположенных с двух сторон от этой точки, может либо быть бес-
конечно протяженной, либо иметь конечную длину. Рассмотрим гра-
ничные условия для части кабеля, соответствующей положитель-
ной полуоси z.
Для бесконечного кабеля пространственные граничные усло-
вия выражаются так:
U = С/оо при z —> оо, (2.73)
где Uco — заданное значение трансмембранного потенциала на
бесконечном удалении от точки стимуляции, которое, в частности,
может равняться нулю или потенциалу покоя.
Для конечного кабеля пространственные граничные условия
на конце определяются анатомическим состоянием мембраны в об-
ласти торца клетки. Если торцевая мембрана имеет по отношению
к осевому току сопротивление /?т, то граничное условие выражает-
ся как
U — Ryim npnj^z = (2-74)
где iin — осевой ток внутри клетки и zr — координата конца клетки.
Учитывая уравнение (2.42), можно записать это условие в сле-
дующем виде:
□R гр
и = ---при Z = zp (2.75)
Вообще конец клетки может быть связан с какой-либо ткане-
вой структурой, и тогда выбор величины 7?т зависит от харак-
тера этой структуры. Так, клетка может быть соединена с волок-
ном, отличающимся геометрическими свойствами (например, имею-
щим другой диаметр), может разветвляться на несколько волокон
с аналогичными или различающимися свойствами или же мо-
жет быть элементом сети клеток типа синцития. Два важных
частных варианта граничных условий — это условие «изолиро-
ванного конца» и условие «полного повреждения».
В первом случае торец клетки закрыт неповрежденной мем-
браной. Поскольку площадь ее существенно меньше площади бо-
ковой поверхности клетки, сопротивление торца для осевого тока
можно считать бесконечно большим и уравнение (2.75) дает сле-
дующее условие изолированного конца:
dUjdz — 0 при z = zP (2.76)
4 Л. И. Титомир
97
Это условие указывает на отсутствие осевого тока на конце
клетки. Интересно, что оно может быть физически реали-
зовано в любом сечении клетки и при отсутствии поперечной мем-
браны, препятствующей протеканию осевого тока. Если распре-
деление потенциалов и токов по оси z остается симметричным от-
носительно определенной плоскости поперечного сечения клетки,
то через эту плоскость не может протекать осевой ток (неравенство
нулю осевого тока привело бы к нарушению симметрии), так что
для этого сечения также справедливо условие изолированного кон-
ца (2.76). Такая ситуация реально создается при стимуляции про-
тивоположных концов однородного волокна и движении навстре-
чу друг другу импульсов потенциала действия.
Во втором случае торцевая мембрана полностью разрушена
и сопротивление торца клетки можно считать пренебрежимо малым
по сравнению с сопротивлением основной мембраны. Тогда урав-
нение (2.75) дает следующее условие полного повреждения:
U = 0 при z = (2.77)
Решение уравнения электротока для установившихся условий.
Предположим, что в сечении клетки с координатой z = 0 прило-
жен внешний ток, имеющий длительное время постоянную вели-
чину и поддерживающий в этом сечении значение трансмембран-
ного потенциала U0.
Для простоты анализа здесь допускается, что весь стимули-
рующий ток сосредоточен в одном сечении клетки, хотя физически
стимуляция может осуществляться только электродами конечных
размеров. Кроме того, пока не будем рассматривать активных
свойств мембраны (ее способность к регенеративной деполяриза-
ции, т. е. возбуждению), а представим ее в виде пассивной кабель-
ной модели, описываемой уравнением (2.69). Такие условия харак-
терны для клетки, если величина трансмембранного потенциала
не достигает порога возбуждения. В установившемся состоянии
трансмембранный потенциал не изменяется во времени, поэтому
dU/dt — 0 и для любого значения z, кроме z = 0 (сечение, где при-
ложен ток стимуляции), уравнение (2.69) сводится к уравнению
= (2.78)
В точке z = 0, где задан трансмембранный потенциал, для левой
и правой частей клетки имеет место одно и то же граничное ус-
ловие
и (0) = и0. (2.79)
Левую и правую части клетки можно рассматривать при решении
дифференциального уравнения (2.78) независимо. Входное сопро -
тивление рассматриваемого участка клетки определяется отно-
шением
7? = (2.80)
98
где о — полный внутриклеточный осевой ток в сечении z = О,
который в соответствии с уравнениями (2.42) и (2.70) равен
dU \
Иэ о — —
(2.81)
Решение дифференциального уравнения (2.78) стандартными
методами с учетом указанных выше граничных условий на конце
клетки дает для бесконечно протяженного участка клетки
и (z) = иое~г1\ (2.82)
R = %/(ла2оь) (2.83)
и для участка с конечной длиной
(2.84)
/(<+^-И • (2.85)
В частности, для условия изолированного конца (2.76) ТТ („\ ТТ [(г1 U(z)-uo ch(Zi/X) (2.86)
R = -4~ cth4L (2.87)
и для условия полного повреждения (2.77) r/(z) = Z7o-h f v 7 sh(zx/X) (2.88)
R = — Яа2°1п % (2.89)
Кабельные уравнения и уравнение электротока были исполь-
зованы многими авторами для определения пассивных электри-
ческих характеристик клеток возбудимой ткани, в частности тка-
ни миокарда, на основании данных электрофизиологических экс-
периментов.
Очевидно, для вычисления пассивных характеристик клеток
с учетом емкостных свойств мембраны необходимы кабельные
уравнения не только для установившегося состояния, но и для пе-
реходных процессов, возникающих при быстрых изменениях
стимулирующего воздействия.
Следует иметь в виду, что экспериментальные измерения осуществляются
на препаратах (волокнах), которые включают не одну, а много отдельных
клеток, так что получаемые результаты отражают свойства некоторого «эк-
вивалентного кабеля» для всего волокна и их применимость для описания
отдельной клетки является ограниченной. В то же время для волокон с оп-
ределенной анатомической и электрической структурой (параллельное рас-
положение клеток, наличие большого числа контактных зон в их торце-
4*
99
вых областях) найденные пассивные’характеристики близки к соответствую-
щим характеристикам отдельных клеток. Вопрос об электрической связи
между клетками обсужден подробнее в гл. 2, разд. 4.
В табл. 2.3 представлены наиболее важные пассивные электри-
ческие характеристики клеток сердца по данным нескольких ав-
торов: pin — удельное сопротивление цитоплазмы; — сопро-
тивление мембраны на единицу площади для постоянного тока:
Got — полная емкость мембраны на единицу площади; См — ем-
кость мембраны на единицу площади, параллельная мембранному
сопротивлению в эквивалентной схеме; G — емкость мембраны
на единицу площади, соответствующая начальному участку вос-
ходящей фазы импульса потенциала действия; 7?s и Cs — сопро-
тивление и емкость мембраны на единицу площади, включенные
последовательно в дополнительной ветви эквивалентной схемы
(см. рис. 2.6, а); 7?пь Cni — сопротивление и емкость на единицу
площади, включенные параллельно в эквивалентной схеме двух
смежных торцевых мембран соседних клеток.
Различия в этих величинах обусловлены различием в методи-
ках измерений и вычислений, конкретных условиях опытов, ха-
рактере препаратов и т. д.
Оценка скорости проведения возбуждения в клетке. Экспери-
ментальные исследования и теоретический анализ, основанный
на замене возбудимой клетки эквивалентным одномерным кабе-
лем, показали, что скорость распространения возбуждения в клетке
(«скорость проведения») зависит как от ее пассивных электриче-
ских характеристик, так и от специфических свойств мембраны,
обусловливающих активный процесс возбуждения (см. [71, 254]).
Более конкретно: для установившегося движения импульса воз-
буждения по однородной клетке бесконечной длины эта скорость
прямо пропорциональна постоянной длины X и обратно пропор-
циональна постоянной времени т:
Jy — пк/х. (2.90)
Здесь множитель п в обобщенном виде выражает специфические
свойства возбудимой мембраны. В частности, он связан прямой
зависимостью с «фактором безопасности» — отношением амплиту-
ды распространяющегося потенциала действия к пороговому зна-
чению трансмембранного потенциала. Подстановка выражений для
величин Хит через электрические и геометрические характери-
стики клетки дает
где а — радиус клетки; 7?м и См — сопротивление и емкость пс-
возбужденной мембраны, отнесенные к единице ее площади. Та-
ким образом, скорость проведения возбуждения вдоль оси клетки
100
Таблица 2.3. Пассивные электрические характеристики клеток сердца [349]
Тип ткани серд- ца Животное Pin> Ом-см Ом-см2 ctot» мкФ см2 мкФ см2 Of, мкФ см2 С8. мкФ см2 Rs» Ом-см2 Rnb Ом-см2 СП1’ мкФ СМ2 Автор и год публикации
Волокна Козленок 105 1940 12,4 Weidmann, 1952
Пуркинье Овца 118 1714 12,8 2,4 2,4 7,0 300 Fozzard, 1966
» 12,0 4 8 150 Dudel et al., 1966
» 2039 8,5 2,5 6,0 336 0,18 360 Freygang, Trautwein, 1970
» 181 Weidmann, 1970
» 3,0 Schoenberg, Fozzard, 1971
Ткань Собака 3500 1,0 0,76 Sakamoto, 1969
желудочка Овца и теленок 470 9100 0,81 0,59 Weidmann, 1970
Теленок 14 000 3,0 Weidmann, 1966
Собака 1-2 Beeler, Reuter, 1970
Ткань Лягушка 2000 120 25 36 Woodbury, Gordon, 1965
предсердия Кролик 1,3 Paes de Carvalho et at., 1969
Культура Цыпленок 480 20 Sperelakis, Lehmkuhl, 1964
ткани
* Обозначения в тексте.
о
при прочих равных условиях пропорциональна квадратному
корню из ее радиуса.
Формула (2.91) соответствует упрощенной кабельной модели,
не раскрывающей активные механизмы регенеративной деполя-
ризации, которые охватывают определенный участок мембраны и
приводят к характерным изменениям его сопротивления в процес-
се возбуждения. В этой модели допускается, что в каждом сечении
клетки при достижении трансмембранным потенциалом порога
возбуждения (в результате электротонического влияния сосед-
него возбужденного участка) трансмембранный потенциал начинает
самопроизвольно возрастать, достигая максимального значения,
соответствующего полностью возбужденной мембране, тогда как
невозбужденный участок клетки, начинающийся непосредствен-
но от рассматриваемого сечения, сохраняет неизмененные пассив-
ные электрические характеристики, т. е. является однородным
кабелем. В более точных моделях в большей или меньшей степени
учитываются нелинейные соотношения между ионным током и
трансмембранным потенциалом в области регенеративной депо-
ляризации, что позволяет уточнить оценку скорости проведения.
При этом удобно сохранить общую форму выражения для скоро-
сти (2.90), формулируя параметры п, % и т определенным образом
для конкретной рассматриваемой модели. Один из важных ре-
зультатов модельных исследований заключается в том, что при
всех формулировках модели сохраняется одна и та же зависи-
мость скорости проведения от основного геометрического парамет-
ра клетки — ее радиуса и от удельной электропроводности цито-
плазмы, а именно: скорость проведения прямо пропорциональна
квадратному корню из этих величин. Подробное обсуждение ре-
зультатов теоретического и экспериментального исследования
различных факторов, влияющих на скорость распространения
возбуждения в нервных и мышечных клетках, и уточненные теоре-
тические оценки этой скорости можно найти в работах [35, 47, 48,
69, 70, 71, 254].
Распространяющийся потенциал действия в клетке бесконечной
длины. При распространении возбуждения по однородной клетке,
длина которой существенно больше пространственной протя-
женности импульса потенциала действия, этот импульс движется
с постоянной скоростью и не изменяет свою форму. Трансмем-
бранный потенциал для таких условий можно выразить уравнением
волны
77 (2, t) - U (z - vt), (2.92)
где v — постоянная скорость проведения. Отсюда следует
__ 1 дЮ
(2.93)
и подстановка этого уравнения в уравнение (2.72) превращает по-
следнее в обыкновенное дифференциальное уравнение относитель-
на
но переменной t:
d*U r dU ( r (T7 T7 x ,
“2^2“-^2“ - C^~dT + ^Na(^ — ^Na) +
+ Gk (U - Z7K) + Ga (U - UA) + 7st. (2.94)
(Это уравнение подтверждает, что в рамках принятых допущений
скорость проведения при прочих равных условиях прямо пропор-
циональна квадратному корню из диаметра клетки.)
Уравнение (2.94) было решено численным методом для нерва,
причем величина v подбиралась таким образом, чтобы процесс ге-
нерации потенциала действия устойчиво завершался возвращени-
ем трансмембранного потенциала к значению потенциала покоя.
Полученная величина скорости проведения импульса возбужде-
ния по нерву достаточно точно совпадает с экспериментально из-
меренной [2381.
Применение кабельной модели клетки бесконечной длины для
исследования распространяющегося возбуждения является обос-
нованным при условии, что область клетки, охваченная процес-
сом возбуждения, в течение рассматриваемого периода времени
находится достаточно далеко от концов клетки и ограниченность
длины клетки не влияет на развитие этого процесса. Это условие
выполняется для нервных волокон, в которых потенциал действия
имеет небольшую длительность, а протяженность возбужденной
области обычно существенно меньше волокна. Аналогичный под-
ход к определению скорости проведения в клетках сердца для им-
пульса потенциала действия «в целом» невозможен, так как протя-
женность этого импульса в пространстве значительно больше мак-
симальных размеров экспериментальных препаратов и все фазы
этого импульса одновременно не могут присутствовать на изу-
чаемом участке ткани. Однако в качестве скорости распростра-
нения возбуждения можно рассматривать только скорость фазы
быстрой деполяризации, которая имеет значительную крутизну
во времени и позволяет достаточно четко идентифицировать пере-
мещающийся в пространстве фронт возбуждения. При средней
скорости распространения возбуждения 50 см/с, продолжительно-
сти импульса потенциала действия 200 мс и крутизне фазы депо-
ляризации во времени 500 мВ/мс протяженность полного импуль-
са потенциала действия в пространстве составит 10 см, т. е. превы-
сит размеры сердца, а основное изменение трансмембранного по-
тенциала (примерно на 100 мВ) при деполяризации происходит на
расстоянии 0,01 см, соизмеримом с длиной клетки. Поэтому эк-
спериментальное измерение «истинной» скорости проведения (да-
же только для фазы деполяризации) в пределах отдельной клетки
затруднено, и обычно эту скорость измеряют на препаратах —
волокнах, содержащих большое число клеток. Как было указано,
такой препарат можно считать эквивалентным одной клетке и при-
менять к нему кабельную модель. Скорость распространения воз-
буждения в направлении продольной оси волокна должна быть
103
близка к скорости распространения возбуждения в отдельной
клетке (с поправкой на влияние межклеточного сопротивления).
На основе этих предположений были экспериментально получены
скорости распространения возбуждения (точнее, фазы быстрой
деполяризации потенциала действия) в клетках Пуркинье мле-
копитающих (200 -4- 250 см/с) и в клетках желудочков сердца
млекопитающих (40 -4- 90 см/с) [172 и др.].
Распространяющийся потенциал действия в клетке ограничен-
ной длины. Как показали многочисленные экспериментальные
исследования, при распространении возбуждения по клеткам серд-
ца скорость перемещения всех фаз потенциала действия такова,что
пространственная протяженность импульса потенциала действия
превышает реальную длину клеток, так что не исключена возмож-
ность существенного влияния ограниченности клетки на процессы
возникновения и проведения возбуждения и, в частности, на ско-
рость проведения. Поэтому при моделировании распространяю-
щегося возбуждения клеток сердца целесообразно учитывать влия-
ние граничных условий на концах клетки. Такое моделирование
было проведено для тонкого волокна сердца, имеющего конеч-
ную длину и неповрежденные концы [53, 55, 472]. Для этого чис-
ленным методом на ЭВМ была решена система уравнений, вклю-
чающая (2.72) и (2.33). В качестве граничных условий были ис-
пользованы условия изолированного конца (2.76). Были приняты
те же значения параметров мембраны клетки, что и при модели-
ровании нераспространяющегося потенциала действия сердца
в работе [343]: потенциал покоя UT = —90 мВ, равновесные
ионные потенциалы £7ка = 40 мВ, U& = —100 мВ, парамет-
ры ионных проводимостей G^a = 400 мСм/см2, G*at — 0,14 мСм/
/см2, Gk = 1,2 мСм/см2, Ga — 0, удельная электропроводность ци-
топлазмы Gin = 9,5 мСм/см, емкость мембраны на единицу площа-
ди Gm = 12 мкФ/см2. Для исключения самовозбуждения (диасто-
лической деполяризации) проводимость мембраны для ионов ка-
лия была увеличена на 0,3 мСм/см2. В качестве стимула задавали
кратковременный импульс мембранного тока у одного из концов
волокна.
Некоторые результаты этих расчетов представлены на рис. 2.9
и 2.10 для волокна с диаметром 0,001 см и длиной 0,25 см. Полу-
ченные импульсы потенциала действия имеют типичную форму и
содержат все временные фазы, характерные для клеток миокар-
да: фазу быстрой деполяризации, первую фазу быстрой реполяри-
зации, фазу плато и вторую фазу быстрой реполяризации. До на-
чала импульса потенциала действия и после его окончания клет-
ка находится в невозбужденном состоянии, и трансмембранный
потенциал имеет значение, потенциала покоя. На рис. 2.9 для при-
мера показано изменение трансмембранного потенциала во вре-
мени для трех точек: на левом конце, в центральной части и на
правом конце волокна (возбуждение возникает в результате сти-
104
Рис. 2.9. Импульсы потенциала действия на левом конце (1), в центральной точке’ (2) }
и на правом конце (3) волокна, рассчитанные при помощи математической модели [55]
Возбуждение возникает на левом конце при t = О
Рис. 2.10. Распределение трансмембранного потенциала вдоль волокна для нескольких по-
следовательных моментов цикла возбуждения, рассчитанное при помощи математической
модели [55]
Возбуждение возникает на левом конце волокна при t = О
муляции на левом конце и перемещаете^ вправо, последовательно
охватывая все волокно). Форма импульса практически не зависит
от координаты z, хотя общая продолжительность потенциала
действия несколько сокращается по мере движения импульса от
левого к правому концу волокна. Максимальные значения кру-
тизны потенциала действия в фазе деполяризации и в фазе ко-
нечной реполяризации равны соответственно 97 и —0,7 мВ/мс
и почти не зависят от координаты z. Таким образом, ограничен-
на
ность волокна по длине пренебрежимо мало влияет на основные
временные характеристики потенциала действия, за исключением
его длительности. Заметим, что сокращение длительности можно
трактовать как увеличение скорости распространения заднего
фронта (фазы конечной реполяризации). Полученные импульсы
потенциала действия близки по форме к импульсам, найденным
при моделировании нераспространяющегося возбуждения клетки
сердца.
Распределение трансмембранного потенциала в пространстве
(по координате z) для нескольких последовательных моментов цик-
ла возбуждения показано на рис. 2.10. Видно, что изменение
трансмембранного потенциала по длине волокна имеет в основном
такую же форму, как и соответствующие участки импульса транс-
мембранного потенциала во времени (с учетом изменения масшта-
ба по оси абсцисс), за исключением некоторого искривления
непосредственно вблизи концов волокна. Как было указано, гра-
ничные условия приводят к’сокращению длительности потенциа-
ла действия, что равносильно увеличению скорости движения по
волокну заднего фронта волны возбуждения (примерно в 5 раз)
по сравнению с движением переднего, хотя каждая из этих ско-
ростей остается практически постоянной. Поэтому задний фронт
волны возбуждения имеет в пространстве более пологую форму,
чем он имел бы, если бы его скорость была равна скорости перед-
него фронта.
Применение кабельной модели позволило исследовать условия,
при которых неоднородность геометрических характеристик во-
локна и наличие в нем невозбудимых участков вызывают замед-
ление проведения и блокаду [13, 272, 469].
3. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ОТДЕЛЬНОГО ВОЛОКНА МИОКАРДА
В ОБЪЕМНОМ ПРОВОДНИКЕ
Экспериментальные данные о внеклеточном потенциале. Если
возбуждающиеся клетки сердца окружены объемным проводни-
ком, то локальные токи растекаются в этом проводнике и образу-
ют в нем электрическое поле, потенциал которого можно изме-
рить. В экспериментальных условиях объемный проводник пред-
ставляет собой физиологический раствор, в ^который погружен
исследуемый препарат. Физиологический раствор однороден, а
его объем обычно намного больше, чем объем отдельных клеток.
Если же исследуются возбуждающиеся клетки в естественных ус-
ловиях, то измеряют поле в окружающих эти клетки тканях тела,
которые также имеют большой объем по сравнению с объемом от-
дельных клеток и обладают высокой удельной электропровод-
ностью. Хотя неоднородность тканей тела определенным образом
влияет на измеряемое электрическое поле, это влияние не очень
значительно — оно не изменяет основные особенности формы ре-
106
гистрируемых потенциалов, и его пока не будем принимать во вни-
мание. Более подробное рассмотрение вопроса о влиянии неодно-
родности тела на электрическое поле сердца содержится в гл. 4.
При электрофизиологических исследованиях потенциалы элек-
трического поля в непосредственной близости от клеточных источ-
ников обычно измеряют униполярными или биполярными отве-
дениями. В случае униполярного отведения один из электродов
(индифферентный) помещают в объемном проводнике на большом
удалении от возбуждающихся клеток, т. е. в области, где измене-
ния потенциала существенно меньше, чем вблизи клеток, а дру-
гой электрод (дифферентный) — в исследуемой точке поля, кото-
рая расположена вблизи источников. Разность потенциалов между
вторым и первым электродами отражает исключительно из-
менения потенциала дифферентного электрода. Потенциал индиф-
ферентного электрода полагают равным нулю, и потенциал уни-
полярного отведения рассматривают как «истинный» потенциал
электрического поля. Если объем проводника не позволяет отнес-
ти индифферентный электрод достаточно далеко от источников,
то его синтезируют в виде общей точки нескольких электродов,
распределенных на периферии проводника и соединенных через
резисторы со специально подобранными величинами сопротивле-
ний. При суммировании потенциалов от отдельных электродов
на общей точке их изменения компенсируются, потенциал этой
точки остается постоянным и его принимают равным нулю.
В случае биполярного отведения оба электрода находятся
вблизи возбуждающихся клеток и в равной степени воспринимают
изменения потенциала поля. Таким образом, биполярное отведе-
ние регистрирует разность между потенциалами двух исследуе-
мых точек поля. Разновидность биполярного отведения — это
дифференциальное отведение, электроды которого находятся на
таком близком расстоянии друг от друга, что изменение потенциа-
ла в пространстве между точками расположения электродов мож-
но считать линейным. При этом регистрируемый потенциал про-
порционален производной потенциала в направлении оси отведе-
ния, т. е. прямой, соединяющей электроды.
Рассмотрим сначала электрическое поле отдельной клетки
сердца, хотя, строго говоря, в эксперименте выделить отдельную
клетку и исследовать ее поле не удается и вместо этого изучают
поле волокон миокарда, которые при определенных условиях
можно считать эквивалентными отдельной клетке. В то же время
теоретические модели позволяют на основании данных, получен-
ных в этих экспериментах, подробно исследовать свойства элект-
рического поля отдельной клетки.
Запись изменения потенциала электрического поля возбуж-
дающихся клеток обычно получают в виде сигналов униполярных
или биполярных отведений; эти сигналы называются внеклеточ-
ными (или просто клеточными) электрограммами, соответственно
униполярной и биполярной. Электрограмма возбуждающейся
107
клетки сердца обычно содержит три основные области: кратко-
временный быстро изменяющийся импульс, соответствующий фа-
зе быстрой деполяризации и первой фазе быстрой реполяризации
потенциала действия; участок практически постоянного и близ-
кого к нулю потенциала, соответствующий фазе плато потенциала
действия; медленно изменяющийся импульс сравнительно боль-
шой длительности, соответствующий фазе конечной реполяриза-
ции потенциала действия. Аналогичные области характерны и
Рис. 2.11. Импульсы внеклеточного
потенциала, зарегистрированные в
эксперименте при возбуждении по-
лоски мышцы сердца собаки [21]
а — точка отведения вблизи сти-
мулируемого конца полоски;
б — точка отведения в средней
части полоски;
в — точка отведения вблизи конца
полоски, противоположного
стимулируемому
для желудочковой части (комплекса QRS — Т) обычной электро-
кардиограммы, регистрируемой от поверхности тела и отражаю-
щей суммарное электрическое поле всех возбуждающихся клеток
сердца. В последнем случае, очевидно, происходит некоторое пе-
рекрытие во времени потенциалов поля, обусловленных разными
фазами возбуждения различных клеток, в соответствии с последо-
вательностью охвата сердца возбуждением. Несмотря на это,
часть электрокардиограммы, относящаяся к деполяризации же-
лудочков (комплекс QRS), и часть, относящаяся к конечной ре-
поляризации желудочков (зубец Т), обычно достаточно разнесены
во времени, чтобы их можно было четко различать (разделяющий
их участок электрокардиограммы называется сегментом ST). По
этому по аналогии с электрокардиограммой удобно называть быст-
рую часть клеточной электрограммы комплексом QRS, следующий
за ней участок постоянного (и в норме близкого к нулю) по-
тенциала — сегментом ST и медленную часть — зубцом Т. В даль-
нейшем будем использовать именно такую терминологию.
Наибольший интерес представляют униполярные электрограм-
мы, отражающие в чистом виде изменения потенциала электриче-
ского поля в исследуемой точке. Примеры униполярных электро-
грамм, зарегистрированных в объемном проводнике вблизи по-
лоски сосочковой мышцы сердца собаки, представлены на рис. 2.11.
В результате расчета теоретических моделей (см. ниже) и
экспериментальных измерений была установлена четкая зависи-
мость между формой электрограммы и формой трансмембранного
потенциала действия, скоростью его распространения и геометри-
108
ческим расположением отводящего электрода по отношению к
клетке для отдельной клетки и волокна, эквивалентного отдель-
ной клетке. Длительность каждого участка электрограммы связа-
на прямой зависимостью с длительностью соответствующей фазы
потенциала действия. Кроме того, длительность комплекса QRS
увеличивается при увеличении длины клетки и уменьшении ско-
рости проведения. Амплитуда комплекса QRS связана прямой
зависимостью с крутизной фазы деполяризации потенциала дей-
ствия, а амплитуда зубца Т — прямой зависимостью с крутизной
фазы конечной реполяризации. Кроме того, амплитуда зубца Т
увеличивается при увеличении длины клетки и уменьшении ско-
рости проведения. В области объемного проводника, прилегаю-
щей к концу клетки, где возникает возбуждение, комплекс QRS
имеет форму однофазного отрицательного импульса, а зубец Т —
однофазного положительного импульса. У противоположного кон-
ца клетки полярность электрограммы противоположна — комп-
лекс QRS представляет собой положительный однофазный им-
пульс, а зубец Т — отрицательный однофазный импульс. В облас-
ти объемного проводника, примыкающей к средней части клетки,
комплекс QRS имеет двухфазную форму, а зубец Т может вообще
отсутствовать или иметь небольшую амплитуду любой полярнос-
ти. При удалении электрода от возбуждающейся клетки в любом
направлении амплитуды всех частей электрограммы быстро умень-
шаются.
Учитывая приведенные соотношения, на практике используют
следующие качественные критерии того, что исследуемое волокно
с функциональной точки зрения эквивалентно одной клетке [448]:
1) комплекс QRS униполярной электрограммы, отводимой из вне-
клеточного объемного проводника вблизи средней части волокна,
всегда близок по форме к двухфазному импульсу; 2) задержка меж-
ду импульсом стимуляции и зарегистрированным комплексом
QRS электрограммы монотонно увеличивается при смещении диф-
ферентного электрода от стимулируемого конца волокна к его
противоположному концу. Обоснованность этих критериев под-
тверждается приведенным ниже теоретическим анализом электри-
ческого поля отдельной клетки.
Взаимосвязь между определенными участками электрограммы
и фазами трансмембранного потенциала действия подтверждается
результатами синхронной регистрации трансмембранного потен-
циала внутриклеточным микроэлектродом и потенциала электри-
ческого поля клетки внеклеточным униполярным отведением [448].
Такие записи для фазы быстрой деполяризации клетки иллюстри-
руются на рис. 2.12 (здесь наряду с экспериментальными кривы-
ми показаны результаты расчета теоретической модели). Можно
отметить следующие качественные особенности формы экспери-
ментальных кривых: восходящая фаза потенциала действия несим-
метрична, обычно верхний ее угол острее, чем нижний; соответ-
ственно у отрицательного зубца электрограммы амплитуда боль-
109
Рис. 2.12. Сопоставление импульсов внутри- и внеклеточного потенциалов в фазе деполя
ризации при нормальном распространении возбуждения в отдельном волокне сердца [4481
а — синхронные экспериментальные записи внутриклеточного (внизу) и внеклеточного
(вверху) потенциалов; б — совмещенные экспериментальные и рассчитанные импульсы
потенциала. Жирная сплошная линия — внутриклеточный потенциал, зарегистрирован-
ный в эксперименте; тонкая сплошная линия — внеклеточный потенциал, зарегистриро-
ванный в эксперименте; штриховая линия — рассчитанный внеклеточный потенциал;
пунктирная линия — кривая, пропорциональная второй производной внутриклеточно! о
потенциала
И км
-/ZOO -800 -ООО О ООО 800 /200МКН
Рис. 2.13. Пространственное^распределение внеклеточного потенциала в фазе' дс ьслг.11? а
цпи при нормальном*распространении возбуждения в отдельном волокне сердца, построен-
ное по данным экспериментальных измерений [445]
Ось абсцисс направлена вдоль волокна. Возбуждение распространяется справа^налево со
скоростью 145 см/с
ше, чем у положительного. Общая конфигурация электрограммы
близка к второй производной потенциала действия по времени.
На рис. 2.13 представлено распределение потенциала в объем-
ном проводнике, окружающем возбуждающееся волокно Пуркинье
собаки [445]. Записанные в эксперименте потенциалы представле-
ны в виде карты эквипотенциальных линий в плоскости, проходя.,
щей через продольную ось волокна, для фиксированного момен-
110
та времени. Видно, что распределение потенциала сходно по фор-
ме с распределением потенциала дипольного генератора (см.
рис. 1.3, б), ориентированного вдоль волокна и расположенного
вблизи зоны деполяризации. В частности, поле имеет две облас-
ти положительную и отрицательную, разделенные поверхнос-
тью нулевого потенциала, причем положительная область при-
мыкает к еще не возбудившемуся участку клетки, а отрицатель-
ная — к уже деполяризованному участку. Анализ таких карт
показывает, что при увеличении расстояния от волокна размах
электрограммы по амплитуде уменьшается, а расстояние между
максимумами потенциала в направлении оси волокна увеличива-
ется (рис. 2.14). «Дипольное» распределение потенциала переме-
щается в пространстве (вдоль волокна) вместе с фазой деполяриза-
ции потенциала действия.
Противоположная полярность зубцов Т у разных концов воз-
буждающегося волокна (см. рис. 2.11) указывает на то, что в пе-
риод конечной реполяризации внеклеточное электрическое поле
также имеет структуру, близкую к дипольной.
В описанных экспериментах длина волокна была существенно
больше пространственной протяженности фазы деполяризации,
благодаря чему в средней части волокна условия распростране-
ния этой фазы близки к условиям в бесконечно длинном кабеле.
В частности, скорость проведения постоянна,
буждения в пространстве и во времени
остается практически неизменной. Од-
нако при приближении возбуждения к
концу волокна должно сказаться влия-
ние его ограниченности. Например, ес-
ли волокно оканчивается неповрежден-
ной торцевой мембраной, то эта мемб-
рана препятствует протеканию осевого
тока внутри клетки, что приводит к
перераспределению локальных токов, а
следовательно, и изменению внеклеточ-
ного поля. Аналогичные условия возни-
кают при симметричном распределении
электрических характеристик возбуж-
дающегося волокна относительно какой-
либо плоскости поперечного сечения,
например, при движении навстречу друг
другу двух импульсов возбуждения в
форма волны воз-

мкм
7200
800
ООО
ООО 800
мкм
о
Рис. 2.14. Величины размаха по амплитуде (нижние кривые) и расстояния между экстре-
мумами вдоль волокна (верхние кривые) для внеклеточного потенциала в период деполяри-
зации в зависимости от расстояния между точкой измерения и поверхностью волокна
[445]
Сплошные линии — экспериментальные данные; штриховые^— результаты расчета
111
однородном волокне. В этом случае в плоскости симметрии (плоско-
сти столкновения волн возбуждения) также отсутствует внутрикле-
точный осевой ток. На рис. 2.15 показано изменение потенциалов
внеклеточного поля во времени и в пространстве при столкновении
волн возбуждения в волокнах Пуркинье сердца собаки [447].
Полученные результаты показывают, что импульс трансмембран-
ного потенциала действия не изменяет своих характеристик при
движении вдоль волокна, и лишь в непосредственной близости
от точки столкновения наблюдается некоторое увеличение крутиз-
ны фазы деполяризации (она возрастает от 450 до 600 мВ/мс).
На рис. 2.15 приведены сталкивающиеся волны возбуждения,
вызванные искусственно в эксперименте, однако такое явление
часто происходит и в естественных условиях в системе Пуркинье,
которая представляет собой сложную сеть со многими взаимными
соединениями, а не простую древовидную структуру.
Важным выводом из этих наблюдений является то, что потен-
циал действия имеет устойчивую форму и несущественно изменя-
ется в зависимости от граничных условий. Поэтому при прибли-
женных расчетах электрического поля клетки этими изменениями
можно пренебречь.
Отметим некоторые случаи, когда в период деполяризации воз-
буждающихся клеток могут быть зарегистрированы сложные мно-
гофазные импульсы внеклеточного потенциала. При возбуждении
нескольких независимых волокон электрическое поле в окружаю-
щем их объемном проводнике представляет собой сумму полей от
каждого из них, взятого отдельно. Если пространственные макси-
мумы потенциалов, генерируемых разными волокнами, проходят
через точку отведения не одновременно, то внеклеточный потен-
циал регистрируется в виде многофазной кривой. Амплитуды пи-
ков регистрируемых сигналов зависят от расстояния соответст-
вующих волокон от электрода отведения, а временные интервалы
между ними — от пространственных соотношений между волокна-
ми и отводящим электродом и от временных соотношений между
фазами возбуждения разных волокон [445].
Многофазные импульсы могут быть зарегистрированы и от
одного волокна, функционально эквивалентного отдельной клет-
ке, если применяется биполярное внеклеточное отведение и про-
исходит наложение потенциалов, отводимых каждым из его элект-
родов. Иллюстрация таких сигналов приведена на рис. 2.16.
Здесь также наглядно демонстрируется уменьшение амплитуды
потенциалов внеклеточного поля при удалении от его источни-
ков.
Клеточные эквивалентные генераторы непрерывно распреде-
ленного типа для клетки произвольной формы. Рассмотрим неко-
торые математические модели, позволяющие установить количест-
венную связь между трансмембранным потенциалом и электриче-
ским полем, генерируемым отдельной возбуждающейся клеткой
в окружающем ее объемном проводнике.
112
a — экспериментальный препарат
(S1 и S2 — точки стимуляции,
R1 и R2 — точки отведения вне-
клеточного потенциала); б — изме-
нение последовательности регист-
рируемых импульсов при измене-
нии места стимуляции; в — изме-
нение формы импульса внеклеточ-
ного потенциала в точке R1 при
сдвиге места столкновения волн
относительно точки отведения вдоль
волокна (внизу указано время за-
держки импульса стимуляции 1 по
отношению к импульсу стимуля-
ции 2); г — распределение вдоль во-
локна внеклеточного потенциала
сталкивающихся волн возбуждения
в последовательные моменты вре-
мени (сверху вниз). У кривых ука-
заны экстремальные величины по-
тенциала
столкновении волны возбуждения в отдельном
Рис. 2.15. Внеклеточный потенциал при
волокне сердца [447]
Рис. 2.16. Зависимость амплитуды многофазной внеклеточной электрограммы от расстоя-
ния между отведением и возбуждающимся пучком волокон сердца (расстояние указано
под каждой кривой) [3281
Регистрация осуществляется биополярным отведением, ось которого параллельна оси
пучка; препарат погружен в физиологический раствор
Согласно электродинамическим соотношениям, представлен-
ным в гл. 1, общие уравнения для потенциала электрического по-
ля биоэлектрических источников (1.13) и (1.15) в случае однород-
ного неограниченного объемного проводника имеют решения
(1.19) и (1.24). Эти решения имеют довольно общий характер в том
смысле, что они не предусматривают никаких допущений о тол-
щине, мембраны и геометрической форме ее поверхностей, а также
о характере распределения источников внутри мембраны. Однако
они не учитывают различия в удельных электропроводностях соб-
ственно мембраны, цитоплазмы и внеклеточной среды. Без допол-
нительных предположений эти потенциалы не удается связать
с основной электрофизиологической характеристикой клетки—
трансмембранным потенциалом.
При анализе конкретных электрофизиологических задач удоб-
но рассматривать упрощенные модели клетки и представлять кле-
точные электрические генераторы в виде генераторов идеализиро-
ванной структуры, которые имеют достаточно простое математиче-
ское описание и в то же время создают в интересующей нас облас-
ти объемного проводника практически такое же электрическое
поле, как и реально существующие, или истинные, генераторы.
Такие идеализированные генераторы называются эквивалентны-
ми генераторами. Как будет показано в гл. 3, понятие эквивалент-
ного генератора широко используется при исследовании сердца
в целом как генератора электрического поля, однако здесь это
понятие применено к отдельной клетке, так как оно оказалось
полезным и для исследования на клеточном уровне.
Предположим, что мембрана клетки имеет бесконечно малую
толщину, так что в ней отсутствуют тангенциальные токи, и мемб-
114
ранный ток всегда направлен по нормали к ее поверхности S
Рассмотрим некоторые варианты эквивалентных генераторов клет-
ки, распределенных по поверхности (поверхностно распределен-
ные клеточные эквивалентные генераторы) [326, 363].
Согласно уравнению (1.111), если пренебречь неоднородностью
объемного проводника вне и внутри мембраны, то потенциал вне-
клеточного ПОЛЯ МОЖНО выразить как (Ов == ^ех, фв = фех)
Ф — 4^ (аех(Рех а1пфш) ) dS, (2.95)
ех 8
где г — расстояние от точки наблюдения до точек поверхности
мембраны. Это уравнение неудобно тем, что в него отдельно вхо-
дят величины потенциала на внутренней и наружной поверхностях
мембраны — фи и фех соответственно. Однако, вновь используя
уравнение (1.109), его можно преобразовать к следующему виду:
<2-96>
S S
Теперь потенциал в точке наблюдения представлен как сумма
двух составляющих, из которых первая определяется трансмемб-
ранным потенциалом U == фп — фех, а вторая—мембранным током
с плотностью у'м. Для практического анализа клеточного генера-
тора целесообразно выразить этот потенциал через какую-либо
одну из двух указанных величин. Введем дополнительные допу-
щения.
Если положить оь = оех? то потенциал внеклеточного поля
выражается как
ф = -Д [и -/-(—'I dS. (2.97)
r ж J дп \ г } 7
S
Другие, более близкие к реальным условиям допущения заключа-
ются в том, что наружный потенциал мало изменяется по поверх-
ности мембраны по сравнению с внутренним потенциалом или же
что величина его изменений по времени мала по сравнению с из-
менениями внутреннего потенциала и его можно принять за уро-
вень отсчета потенциала, положив равным нулю. В результате
в обоих случаях (2.95) сводится к уравнению
<р = - (2.98)
г 4л J дп \ г / \ /
еХ 8
Экспериментальные измерения показали, что допущения вто-
рого типа выполняются достаточно точно при условии, что клет-
ка окружена проводящей средой большого объема, т. е. в естест-
венных и во многих экспериментальных условиях.
Сравнение подынтегральных выражений в уравнениях (2.95) —
(2.98) с выражением для потенциала диполя (1.43) показывает, что
115
эти подынтегральные выражения пропорциональны потенциалу
поля диполя, ориентированного по направлению внешней норма-
ли к поверхности S, а внеклеточный потенциал, определяемый
уравнениями (2.95) — (2.98), можно интерпретировать как потен-
циал двойного слоя источников тока, совпадающего с поверхнос-
тью клетки 5, имеющего плотность дипольного момента, равную
соответственно aex<Pex — o'inTin^ — или — , и окружен-
ного однородной неограниченной средой с удельной электропро-
водностью оех. Таким образом, в данном случае реальные
биоэлектрические источники тока мембраны заменены эквивалент-
ным генератором в виде двойного слоя источников тока, совпадаю-
щего с поверхностью клетки. Уравнения (2.95) — (2.98) можно
записать в иной форме, используя выражение для телесного (прост-
ранственного) угла
—Н(-г)да- (2'">
S S S
где S — поверхность, которая видна под углом Q из точки наб-
людения; г — расстояние от точки наблюдения до точек этой по-
верхности; г° — единичный вектор, направленный от точки наб-
людения к точке на поверхности; dS — векторный элемент пло-
щади поверхности. Рассматривая мембрану как поверхность 5,
считаем, что вектор dS направлен изнутри клетки наружу. Эле-
ментарный телесный угол определяется как
dQ-~i^)dS <2Л0°)
(он имеет положительную величину, если векторы г° и dS образу-
ют острый угол). Подставляя последнее выражение в уравнение
(2.98), получим
Ф = (2.101)
ex
Представление внеклеточного потенциала с использованием
телесного угла особенно удобно в том случае, если можно прибли-
женно допустить, что мембрана клетки состоит из небольшого
числа областей, в пределах каждой из которых трансмембранный
потенциал имеет постоянное значение. При этом интеграл в урав-
нении (2.101) можно представить в виде
Ф =
(2.102)
где Ui — трансмембранный потенциал Z-й области и Qz- — телес-
ный угол, под которым видна данная область из точки измерения
потенциала.
116
В простейшем случае, когда мембрана состоит только из двух,
ооластей — возбужденной и невозбужденной (рис. 2.17), сумма
в уравнении (2.102) содержит только два члена и выражение для
внеклеточного потенциала принимает вид
(P=T?4^^-C/a)Qr, (Z.103;
где UT — потенциал покоя;
возбужденной мембраны и
— телесный угол, под ко-
торым видна покоящаяся
часть поверхности мембраны
(ограниченная линией разде-
ла между возбужденной и по-
коящейся частями клетки).
Другой вариант эквива-
лентного клеточного генера-
тора можно получить, исходя
из уравнения (1.106). Соглас-
но этому уравнению потен-
циал внеклеточного поля ра-
вен
Ua — трансмембранный потенциал
Рис. 2.17. Представление клеточных источпп
ков тока в виде двойного слоя
(2.104)
где S — поверхность клетки и /м — плотность тока, направлен-
ного по нормали к этой поверхности.
Можно показать, что для клеток, окруженных объемным про-
водником большой протяженности, второй член этого уравнения
пренебрежимо мал по сравнению с первым (например, ниже это
будет показано для цилиндрической клетки). Поэтому с доста-
точной точностью можно положить
<2ло5>
ех
Сравнивая подынтегральное выражение в этом уравнении с
уравнением (1.26), видим, что оно пропорционально потенциалу
поля точечного источника тока (униполя), а величину, определяе-
мую уравнением (2.105), можно интерпретировать как потенциал
простого слоя источников тока, совпадающего с поверхностью
клетки, имеющего плотность унипольных источников /м и окру-
женного однородной неограниченной средой с удельной электро-
проводностью с>ех» Таким образом, в данном случае реальные био-
электрические источники тока мембраны заменены эквивалентным
генератором в виде простого слоя источников тока, совпадающего
с поверхностью клетки.
117
Клеточные- эквивалентные генераторы непрерывно распределен-
ного типа для цилиндрической клетки. Рассмотрим соотношения
для~ электрического поля клетки идеализированной геометриче-
ской формы, аппроксимирующей реальные клетки и волокна серд-
ца, а именно клетки в форме кругового цилиндра бесконечной
длины. Иными словами, рассмотрим модель клетки в виде прост-
ранственного кабеля, однако сосредоточим внимание на электри-
ческом поле во внеклеточной среде. Для этой модели было найде-
но решение уравнения Лапласа в цилиндрической системе коор-
динат путем разложения внутриклеточного и внеклеточного потен-
циалов по модифицированным бесселевым функциям с учетом гра-
ничных условий, определяемых клеточной мембраной [156, 157,
211]. Потенциал во внеклеточной области выражается через транс-
мембранный потенциал следующим уравнением (в цилиндрической
системе координат, ось z которой совпадает с осью клетки):
оо
<Рех = ~ jj (2.106)
& JI ОС ( I К I (I) 1Y. о ( | К J (L) ' *
— оо
где
а (I к I а} = Г —।।’ll /9 4
оо
и {к) = ( и (z) eikzdz (2.108)
— преобразование Фурье от трансмембранного потенциала U (z)\
KQ, Кг модифицированные бесселевы функции второго рода
порядка 0 и 1 соответственно; /0> Л — модифицированные бессе-
левы функции первого рода порядка 0 и 1 соответственно.
Выражение (2.106) дает возможность точно рассчитать потен-
циал в любой точке внеклеточной области, вплоть до потенциала
непосредственно на поверхности клетки, если задано распределе-
ние трансмембранного потенциала и удельные электропроводнос-
ти внутренней и. наружной сред.
Представление при помощи модифицированных бесселевых
функций распределений потенциала на внутренней и наружной
поверхностях мембраны в цилиндрической модели позволило, в
частности, дать количественное сравнение величин слагаемых в
уравнении (2.104). В работе [359] проведен расчет этой модели
для типичного потенциала действия при возбуждении нервной
клетки. Результаты показали, что максимальная относительная
величина второго члена уравнения (2.104) составляет всего лишь
около 1% от величины первого члена. Это вполне оправдывает
пренебрежение вторым членом и использование уравнения (2.105).
Для цилиндрической клетки, являющейся частным случаем
клетки произвольной формы, применимы описанные эквивалент-
118
пые генераторы в виде простого или двойного слоев, совпадающих
с поверхностью клетки. При вычислении внеклеточного потен-
циала в этом случае нужно учитывать правильную геометриче-
скую форму клетки.
В работе [351] выведено выражение для внеклеточного потен-
циала в виде интеграла по продольной оси клетки при помощи
клеточного эквивалентного генератора типа простого слоя для
клетки в форме кругового цилиндра. Таким образом, получен
конкретный вид уравнения (2.105) для данной геометрической кон-
фигурации клетки.
Наряду с эквивалентными генераторами, совпадающими с по-
верхностью клетки, цилиндрическая модель дает возможность
сформулировать клеточные эквивалентные генераторы тока ино-
го типа [38, 371].
Обратимся к уравнению (2.98) и предположим, что внутри и
снаружи клетки определена некоторая функция U (г, 2), которая
при любом значении осевой координаты z не зависит от радиаль-
ной координаты г и равна трансмембранному потенциалу, т. е.
U (г, z) = U (a, z) = U (z). Применим к уравнению (2.98) тео-
рему Гаусса, чтобы заменить интеграл по поверхности клетки
^ интегралом по ее объему V. Тогда внеклеточный потенциал
выразится как
л (5. г» , л \
<р = — -jii- \ grad U grad (—) dV.
ex v
(2.109)
Согласно принятому предположению, градиент функции U(r, z)
направлен вдоль оси z. Учитывая это и обозначая через dA эле-
мент площади поперечного сечения клетки, получим из уравне-
ния (2.109)
21 А
где А — поверхность поперечного сечения клетки и zx, z2 —
координаты границ клетки по длине. Допустим, что концы
клетки закрыты неповрежденной торцевой мембраной, так что в
сечениях zr и z2 выполняются граничные условия (2.76), указы-
вающие на равенство нулю осевого тока. Выражение (2.110) можно
рассматривать как суммарный потенциал, создаваемый распре-
деленными вдоль оси клетки двойными слоями источников в форме
дисков, совпадающих с поперечным сечением клетки и имеющих
плотность дипольного момента — dz. Величина — (^(dU/dz)
выражает плотность дипольного момента эквивалентного генера-
тора, распределенного по объему клетки.
119
Проинтегрируем уравнение (2.110) по частям относительно*
координаты z:
г-
гл - 1
4л аех
dU 1
dz г
Z2 2г
- Z1 Z1 А
(2.111}
В соответствии с указанными условиями первый интеграл в урав-
нении исчезает и потенциал внеклеточного поля выражается как
™ (2.112)
т 4л бех J J г dz2 47
Zi А
Это выражение можно рассматривать как суммарный потен-
циал, создаваемый распределенными вдоль оси клетки простыми
слоями источников в форме дисков, совпадающих с поперечным се-
чением клетки и имеющих плотность источников Ojn dz. Вели-
чина oin (d2U/dz2) выражает плотность источников эквивалентного
генератора, распределенного по объему клетки. Выражение (2.112)
можно представить в ином виде, используя уравнение (2.67), ко-
торое справедливо для пространственной кабельной модели, и,
учитывая уравнение (2.70):
Z2 . Z2
»-к-^-И-2г!-,МЛ-я^И-7-А|Л- (2л13)
Zi A А
Таким образом, получены выражения для внеклеточного по-
тенциала, основанные на замене реальных биоэлектрических ис-
точников тока мембраны эквивалентными генераторами в виде со-
вокупности непрерывно распределенных двойных или простых
слоев дискообразной формы (рис. 2.18). Очевидно, эквивалентные
генераторы обоих типов имеют пространственную структуру. Они
представлены схематически на рис. 2.18, б отдельно для одного
из моментов периода распространения по клетке фазы быстрой
деполяризации и для одного из моментов периода, когда клетка
охвачена фазой конечной реполяризации.
Дальнейшее упрощение структуры клеточного эквивалентного
генератора можно осуществить, используя один из следующих
подходов: перейти от описанных выше пространственных эквива-
лентных генераторов либо к линейным эквивалентным генерато-
рам (т. е. к унипольным или дипольным источникам тока, распре-
деленным не по всему объему клетки, а только по ее оси), либо
к поверхностным эквивалентным генераторам (т. е. унипольным
или дипольным источникам тока, распределенным на некоторых
характерных дискретных плоскостях поперечного сечения клет-
ки). Такие эквивалентные генераторы представлены схематиче-
ски на рис. 2.18, виг соответственно. В первом случае — для ли-
нейных эквивалентных генераторов — плотность дипольного
120
Pen
Рис. 2.18. Клеточные эквивалентные генераторы для цилиндрической клетки сердца в фа-
зе деполяризации (Дел) и в фазе конечной реполяризации (Реп)
а — изменение трансмембранного потенциала и его производных; б — объемно распре-
деленные генераторы; в — линейно распределенные (осевые) генераторы; г — поверхност-
но распределенные (в плоскостях поперечного сечения) генераторы; 0 — идеализирован-
ные распределения трансмембранного потенциала. Стрелками показаны дипольные рас-
пределенные источники, плюсами и минусами — унипольные распределенные источники;
штриховая линия — 17, штрихпунктирная линия — dU/dz, сплошная линия — d2U fdz2.
Возбуждение распространяется слева направо
момента (дипольный момент на единицу длины клетки) равна
т С / dU \ , л о dU /г> л л /ч
= -----dA = — ла20Ъ (2.114)
А
и внеклеточный потенциал выражается как
Z2
Плотность источников (ток на единицу длины клетки) равна
т С d2Z7 7 4 2 d2Z7 /и
It -= tfin dA = ла2(Jin —^5- t (2.116)
А
и внеклеточный потенциал выражается как
z* I
<р = —— — dz. (2.117)
v 4лбех Jr \ /
Z1
Во втором случае — для плоскостных эквивалентных генера-
торов — плотность дипольного момента (дипольный момент на
единицу площади поперечного сечения клетки) равна
Js = Qin | (- dz = ci0 [U (Z1) - U (z2)J (2.118)
и внеклеточный потенциал выражается как
<2-И9>
еХ А
Плотность источников (ток на единицу площади поперечного
сечения клетки) равна
^2
Is =<У1л \-^dz, (2.120)
71
и внеклеточный потенциал выражается как
Ф = (-Is. dA. (2.121)
Г Jr \ /
ех А
В случае плоскостных эквивалентных генераторов возникает
вопрос о выборе их расположения по оси клетки. Можно показать,
что оптимальное расположение таких дискретных эквивалентных
генераторов, обеспечивающее наиболее точную аппроксимацию
122
потенциала, определяется координатой 2, вычисленной формально
как координата центра тяжести для исходных пространственно
распределенных генераторов [38].
Следует отметить, что пространственно распределенные экви-
валентные генераторы точно сводятся к плоскостным эквивалент-
ным генераторам для следующих частных случаев распределения
трансмембранного потенциала: для случая прямоугольного (сту-
пенчатого) трансмембранного потенциала — к дипольным дискам
и для трансмембранного потенциала в виде наклонной прямой—
к унипольным дискам (рис. 2.18, а, д).
Рассмотрение схемы, представленной на рис. 2.18, уже позво-
ляет предположить, что дискретные эквивалентные генераторы
последнего типа должны значительно лучше аппроксимировать
электрическое поле клетки в период деполяризации, чем в период
реполяризации, так как в первом случае реальные электрические
источники сосредоточены в узкой области клетки, а во втором они
распределены по всей длине клетки. Ниже этот вопрос будет об-
сужден более подробно.
Остановимся теперь на применении клеточного эквивалентно-
го генератора в виде унипольных источников тока, распределен-
ных по оси клетки (см. рис. 2.18, в). Как было указано, чтобы
перейти к такому осевому эквивалентному генератору, нужно по-
ложить, что в каждом сечении клетки суммарный мембранный
ток сконцентрирован на ее оси. Величина этого тока на единицу
длины клетки выражается уравнением (2.116), а потенциал вне-
клеточного поля для такого эквивалентного генератора — урав-
нением (2.117).
Полезность эквивалентного генератора этого типа (осевого эк-
вивалентного генератора) обусловлена двумя основными причи-
нами: во-первых, он обеспечивает достаточно высокую точность
аппроксимации внеклеточного поля как на близких расстояниях
от клетки, так и на больших удалениях от нее во всех фазах потен-
циала действия, в том числе и в фазе реполяризации; во-вторых,
он легко интерпретируется физически как полный мембранный
ток, сосредоточенный на оси клетки. Сравнение результатов расче-
та внеклеточного поля при помощи эквивалентного генератора это-
го типа и при помощи более точных соотношений (2.106) —(2.108)
показало, что эквивалентный генератор обеспечивает удовлетво-
рительную точность аппроксимации внеклеточного электриче-
ского поля уже на небольших расстояниях от клетки, а на рас-
стояниях более 10 радиусов клетки различия в результатах расче-
та этими двумя методами пренебрежимо малы [225]. Применение
эквивалентного генератора особенно удобно для теоретических
оценок. При обработке экспериментальных данных необходимо
учитывать повышенную чувствительность второй производной
трансмембранного потенциала к ошибкам измерений и преду-
смотреть методы обработки сигналов, уменьшающие влияние
этих ошибок.
123
Осевой эквивалентный генератор был применен для описания
внеклеточных потенциалов волокон Пуркинье собаки (в фазе де-
поляризации) в работах [445, 448] и при математическом модели-
ровании распространяющегося возбуждения в отдельной клетке
сердца ограниченной длины [53, 55, 472]. Сравнение эксперимен-
тальных и расчетных кривых изменения внеклеточного потенциа-
ла во времени представлено для фазы деполяризации на рис. 2.12.
Распределение мембранного тока вдоль клетки, характеризующее
интенсивность осевого эквивалентного генератора, для последо-
вательных моментов возбуждения клетки сердца представлено на
рис. 2.19. Эта величина получена по формуле (2.116) при математи-
ческом моделировании распространяющегося процесса возбужде-
ния (другие результаты моделирования см. на рис. 2.9 и 2.10).
При прохождении через клетку фазы деполяризации вблизи
фронта деполяризации возникает мембранный ток значительной
величины, имеющий резко выраженные экстремумы — максимум
спереди и минимум сзади. (Под фронтом деполяризации, или фрон-
том возбуждения клетки, подразумевается плоскость, перпендику-
лярная к оси клетки и проходящая через точку, соответствующую
максимальной пространственной крутизне трансмембранного по-
тенциала.)
Эта двухфазная волна мембранного тока перемещается вместе
с передним фронтом возбуждения от левого конца клетки к пра-
вому. В непосредственной близости от правого конца она быстро
«затухает». Затем, когда вся клетка охвачена первой фазой быст-
рой реполяризации, мембранный ток имеет меньшую интенсив-
ность и совершенно иную форму распределения: вся левая часть
клетки генерирует положительный ток, а правая — отрицатель-
ный, причем экстремумы этого распределения находятся на кон-
цах клетки.
Фаза деполяризации переходит в первую фазу быстрой реполяризации
постепенно, и поэтому в некоторые промежуточные моменты времени вдоль
оси клетки имеются три области — две с положительным током и одна с от-
рицательным (однако интенсивность эквивалентного генератора при этом
очень мала).
При переходе к фазе плато мембранный ток уменьшается почти
до нуля, а структура его распределения по оси клетки остается
такой же, как и в первой фазе быстрой реполяризации. В фазе
конечной реполяризации распределение тока также остается поч-
ти симметричным относительно центра клетки с максимумом и
минимумом соответственно на левом и правом концах. В этой фа-
зе ток сначала увеличивается, достигает максимального значения,
а затем уменьшается и по мере восстановления состояния покоя
совсем исчезает.
Следует отметить, что мембранный ток в фазе конечной реполяризации
в рассматриваемой модели мог быть больше, если бы продолжительность
импульса потенциала действия не уменьшалась по мере распространения
возбуждения (по-видимому, под влиянием ограниченности длины клетки).
124
/00
0,00/
--0,00/ -
770
- 0,007

™»ii»iiiiiHiiniimii
- -0,00/
Рис. 2.19. Распределение мембранного тока It (сплошная линия, ограничивающая заштри-
хованную площадь) и трансмембранного потенциала U (штриховая линия) вдоль волокна
для последовательных моментов цикла возбуждения, рассчитанные при помощи математи-
ческой модели [55]
Возбуждение возникает на левом конце волокна при t — О
125
Рис. 2.20. Пространственное распределение внеклеточного потенциала отдельного волокна,
рассчитанное при помощи математической модели для момента фазы деполяризации I ~
= 10 мс (а) и для момента фазы конечной реполяризации t = 130 мс (6) [55]
Возбуждение распространяется слева направо по волокну (заштрихованная полоска).
У эквипотенциальных линий указаны величины потенциалов в микровольтах
На рис. 2.20 изображено внеклеточное поле, рассчитанное по
формуле (2.117) с использованием распределений мембранного то -
ка, показанных на рис. 2.19. Потенциалы представлены в виде
эквипотенциальных карт для двух характерных моментов цик-
ла возбуждения: для момента, когда фаза деполяризации уже ох-
ватила несколько больше половины длины клетки, но еще не дос-
тигла ее правого конца, и для момента времени, соответствующего
средней части фазы конечной реполяризации. (Поскольку вне-
клеточное поле обладает симметрией относительно оси клетки,
эквипотенциальные карты представлены только для одной полу-
плоскости, проходящей через эту ось.) Во время деполяризации
во внеклеточном пространстве имеются две основные зоны — поло-
жительная, спереди от фронта деполяризации, и отрицательная,
сзади от этого фронта (в левой части рассматриваемой области
вблизи клетки имеется небольшая положительная зона, обуслов-
126
Рис, 2.21, Импульсы внеклеточного потенциала (элементарные электрокардиограммы),
рассчитанные при помощи математической модели [55]
Каждая кривая расположена вблизи соответствующей точки измерения потенциала.
Возбуждение распространяется слева направо вдоль клетки (заштрихованная полоска).
Масштабу зубца Т увеличен в^Ю раз
лепная началом первой фазы быстрой реполяризации). В период
охвата клетки фазами быстрой реполяризации поле также имеет
положительную и отрицательную зоны, однако их взаимное рас-
положение противоположно по сравнению с расположением при де-
поляризации, т. е. положительная зона находится слева, а отри-
цательная— справа. Кроме того, эквипотенциальные линии имеют
несколько иную форму, так как эквивалентный генератор «растя-
нут» вдоль клетки, а не сосредоточен в узкой области, как при
деполяризации. Во время фазы плато внеклеточный потенциал
уменьшается почти до нуля, так как очень мала интенсивность
эквивалентного генератора. Конечно, поле трансформируется не-
прерывно и его характерные формы, описанные выше, переходят
одна в другую постепенно, по мере распространения возбуждения
по клетке.
На рис. 2.21 представлено временное изменение внеклеточного
потенциала в некоторых конкретных точках наблюдения для этой
же модели (эти кривые пропорциональны сигналам униполярного
отведения от соответствующих точек объемного проводника, или
клеточным электрограммам). Видно, что модельные электро-
граммы содержат основные элементы, характерные для экспери-
ментально регистрируемых клеточных электрограмм отдельного
волокна сердца (см. рис. 2.11, 2.12): быструю часть (комплекс
QRS), изопотенциальныйучасток (сегмент ST) и медленную часть
(зубец'Т). Полярность зубцов электрограммы существенно зависит
от положения точки наблюдения по отношению к клетке, а их
амплитуды уменьшаются но мере удаления ее от клетки. Это впол-
не соответствует результатам экспериментальных измерений на
127
полоске мышцы сердца, погруженной в большой объем физиоло-
гического раствора [21 и др.].
Если известно изменение потенциала в любой точке внеклеточ-
ной среды, то легко построить и биполярную электрограмму
при любом заданном расположении электродов отведения. Для
этого нужно лишь вычислить разность между потенциалами то-
чек, где расположены электроды, для последовательных момен-
тов цикла возбуждения.
Применяя такой же подход, можно сформулировать клеточные
эквивалентные генераторы для клетки с поврежденной мембра-
ной и проанализировать электрическое поле токов повреждения
[56].
Клеточные эквивалентные генераторы дипольного типа. Все
рассмотренные выше эквивалентные генераторы имеют распреде-
ленную структуру — это источники, распределенные по объему
клетки, по ее поверхности, по плоскости ее поперечного сечения
или по оси клетки. Можно использовать клеточные эквивалентные
генераторы еще более простой структуры — точечные генерато-
ры. Они удобны тем, что потенциал их электрического поля вы-
ражается очень простыми формулами (см. гл. 1). Учитывая реаль-
ную форму поля возбужденного волокна сердца в различные фа-
зы цикла возбуждения, а также поля токов повреждения, целе-
сообразно в качестве точечных эквивалентных генераторов клет-
ки во всех случаях выбрать дипольные генераторы [54]. Обычно
под дипольным генератором подразумевают идеальный, или то-
чечный, диполь, занимающий бесконечно малый объем простран-
ства. Однако иногда применяется также «конечный диполь» —
совокупность двух униполей противоположной полярности и оди-
наковой интенсивности, разделенных конечным расстоянием (под-
робное определение диполей дано в гл. 1). Итак, реальные клеточ-
ные генераторы можно заменить дипольными эквивалентными ге-
нераторами в виде точечных или конечных диполей. Учитывая
осевую симметрию электрического поля, расположение точечного
диполя следует выбрать в точке пересечения с осью клетки диско-
образного эквивалентного генератора типа двойного слоя, а рас-
положение полюсов конечного диполя — в точках пересечения
с осью клетки дискообразных эквивалентных генераторов типа
простого слоя (рис. 2.18, г). Дипольный момент точечного экви-
валентного генератора естественно принять равным суммарному
дипольному моменту истинных генераторов тока в каждый рас-
сматриваемый момент времени. Очевидно, в силу осевой симмет-
рии вектор дипольного момента будет совпадать с осью клетки.
Здесь будет рассмотрен только клеточный эквивалентный гене-
ратор в виде точечного диполя. Для того чтобы определить сум-
марный дипольный момент клетки, нужно проинтегрировать соот-
ветствующие распределенные дипольные генераторы (поверхност-
ные или линейные) по всей занимаемой ими области, или же про-
интегрировать распределенные унипольные генераторы с весовым
128
коэффициентом, равным первой степени координаты, в соответ-
ствии с уравнениями (1.63). В рассматриваемом случае эти урав-
нения для дипольного момента сводятся к уравнению
D = J hzdz, (2.122)
ii
где D — величина суммарного дипольного момента клеточных ис-
точников тока, вектор которого ориентирован по оси z; zx и z2 —
координаты левого и правого концов клетки соответственно.
Напомним, что эта величина не зависит от выбора начала коор-
динат, так как суммарный ток клетки равен нулю. Применение
метода интегрирования по частям к этому интегралу с учетом урав-
нения (2.116) дает
D = лаЧп [z2 |2=?j - zL |2=2] - U (z2) - . (2.123)
Для неповрежденной клетки справедливы граничные условия
(2.76), так что два первых члена суммы в уравнении (2.123) рав-
ны нулю, и получается следующее выражение для дипольного
момента клетки:
D - ла2щп W (^) - U (z2)]. (2.124)
Важная особенность этого выражения заключается в том, что
оно получено без каких-либо допущений о форме распределения
трансмембранного потенциала вдоль клетки, так что дипольный
момент не зависит от характера изменения трансмембранного по-
тенциала по длине клетки, а полностью определяется его значе-
ниями на концах клетки. Отметим, что последнее уравнение ус-
танавливает строгую количественную связь между «дипольной»
и «дифференциальной» теориями происхождения электрокардио-
граммы применительно к отдельной клетке сердца (подробное об-
суждение этих теорий см., например, в [20]).
Расположение эквивалентного диполя (как и расположение
дискообразного эквивалентного генератора типа двойного слоя)
по координате z целесообразно выбрать в «центре тяжести» экви-
валентного генератора в виде распределенных на оси клетки ди-
полей.
Согласно уравнению (1.53), потенциал дипольного клеточного
эквивалентного генератора с учетом уравнения (2.124) выражается
как
D cosO a2 ain ггг/ \ гг/ м к,
<₽D - ~ ~ w <Z1) “ и (Z2)l х
х _1 ’ (2.125)
[Ж2 + у2 _|_ (2 _ z0)2J 2
5 Л. И. Титомир 129
где z0 — координата эквивалентного диполя, расположенного
на оси z, и х, у, z — координаты точки наблюдения вне клетки.
К формуле (2.125) для фазы деполяризации можно прийти и на
основании уравнения (2.103), выражающего внеклеточный потен-
циал через телесный угол, под которым наблюдается край экви-
валентного генератора в виде равномерного двойного слоя. В слу-
чае цилиндрической клетки вместо всей ее поверхности можно
рассматривать только сечение на границе между возбужденной и
покоящейся областями, имеющее форму диска. Раскрывая выра-
жение для телесного угла, получаем
(2.126)
где г — длина отрезка прямой, соединяющего точки на поверхно-
сти поперечного сечения клетки А с точкой наблюдения, и 0 —
угол между этим отрезком и осью и. Полагая, что радиус клетки
мал по сравнению с расстоянием до точки наблюдения, пренебре-
жем изменениями расстояния г при интегрировании и будем счи-
тать его равным расстоянию от точки наблюдения до центра рас-
сматриваемого поперечного сечения клетки. Угол 0 также будет
иметь соответствующее постоянное значение. Тогда из уравнения
(2.126) следует
^in /тт ТТ \ COS 0 /О Л 0*74
Ф= (Ur-Ua)—(2.12/)
* ех '
Это выражение совпадает с полученным выше выражением для по-
тенциала точечного диполя, момент которого равен — jta2<Jin (UT —
- t/a).
Расчеты показывают, что как характеристики эквивалентного
диполя, так и достижимая точность аппроксимации внеклеточного
поля при помощи такого генератора существенно зависят от фазы
возбуждения. На рис. 2.22 представлено изменение во времени
следующих величин, рассчитанных для описанной выше теорети-
ческой модели клетки сердца: полного дипольного момента рас-
пределенных источников тока (такой же момент, по определению,
имеет эквивалентный диполь); координаты расположения экви-
валентного диполя на оси клетки (т. е. центра тяжести распре-
деленных источников); относительной среднеквадратичной ошиб-
ки аппроксимации потенциала поля на расстояниях от центра
клетки порядка ее длины.
При деполяризации эквивалентный диполь имеет максимальный момент
и с постоянной скоростью перемещается вдоль оси клетки. Положительное
значение дипольного момента указывает на то, что диполь обращен положи-
тельным полюсом в направлении движения волны возбуждения. При при-
ближении фронта возбуждения к правому концу клетки дипольный момент
быстро уменьшается, а затем, когда клетка вступает в первую фазу быстрой
реполяризации, он принимает отрицательное значение, т. е. диполь изменяет
130
Рис. 2.22. Характеристики дипольной аппроксимации клеточного генератора [55]
Деп — область деполяризации, Реп — область реполяризации. D — дипольный момент,
zo — координата положения диполя, б — относительная среднеквадратичная ошибка
аппроксимация потенциала (при двух значениях расстояния от центра волокна: п —
= 0,6L, r2 = 0,8Ъ). Масштаб дипольного момента в фазе конечной реполяризации уве-
личен в 10 раз
ориентацию на противоположную (теперь его положительный полюс нахо-
дится слева, а отрицательный справа), причем точка расположения диполя
оказывается приблизительно в центре клетки. Во время фазы плато диполь-
ный момент уменьшается почти до нуля, а во время фазы конечной реполяри-
зации вновь принимает отрицательное значение, достигает минимума и за-
тем вновь приближается к нулю при завершении цикла возбуждения. В те-
чение всего периода реполяризации эквивалентный диполь остается непо-
движным в центре клетки.
Дипольная аппроксимация внеклеточного поля наиболее точ-
на в фазе деполяризации. Это объясняется тем, что при деполяри-
зации распределение мембранного тока имеет форму двухфазной
волны с малой протяженностью по оси z (см. рис. 2.12 и 2.19).
Эта протяженность прямо пропорциональна скорости распростра-
нения деполяризации в пространстве и обратно пропорциональна
скорости нарастания трансмембранного потенциала во времени.
Поскольку отношение этих скоростей остается приблизительно
постоянным для различных условий возбуждения клетки [13],
протяженность распределенного источника тока в направлении
распространения возбуждения также можно считать постоянной.
В фазах реполяризации точность дипольной аппроксимации
заметно ниже, особенно при переходе от фазы деполяризации к
первой фазе быстрой реполяризации, так как в этот период рас-
пределение мембранного тока имеет трехфазную структуру. Од-
нако такая структура сохраняетсявтечение весьма короткого про-
межутка времени, а интенсивность источников при этом очень
5*
131
низка. Поэтому при исследовании поля на больших удалениях от
клетки ошибку аппроксимации, как и сам потенциал поля, можно
не учитывать. По мере удаления точки наблюдения от клетки точ-
ность дипольной айпроксимации для всех фаз возбуждения быстро
возрастает и дипольный эквивалентный генератор становится
вполне пригодным для расчетов на всем протяжении цикла воз-
буждения.
При оценке потенциала поля на расстояниях от клетки, су-
щественно (в 10 илй более раз) превышающих ее размеры, можно
использовать дополнительное упрощение дипольного эквивалент-
ного генератора. Так, можно считать, что он остается неподвижно
расположенным в центре клетки на всем протяжении цикла воз-
буждения [7].
При помощи эквивалентных генераторв в виде подвижных то-
чечных диполей и линейно распределенных дипольных генераторов
было подробно исследовано электрическое поле возбуждающихся
волокон скелетной мышцы [170, 171]. Аналогичный принцип в со-
четании с графическим анализом был применен в одной из ранних
работ, посвященных теоретическому анализу происхождения элек-
трокардиограммы на уровне отдельного волокна сердца [300].
Клеточные генераторы повреждения также можно с высокой точ-
ностью аппроксимировать дипольным эквивалентным генерато-
ром [54, 56].
Оценка параметров клеточной электрограммы. Прохождение
каждой фазы трансмембранного потенциала действия через клет-
ку порождает определенный зубец кривой изменения потенциала
вне клетки, или клеточной электрограммы. Используя клеточ-
ный эквивалентный генератор дипольного типа, можно найти
простые оценочные формулы для расчета высоты (амплитуды) и
ширины (длительности) этих элементов электрограммы.
Допустим, что возбуждение возникает на левом конце клетки
(в точке z и его фронт движется с постоянной скоростью v
к правому концу (z = z2). Предположим, что длительность потен-
циала действия распределена неравномерно вдоль оси z, причем у
левого конца клетки она равна а у правого конца равна Тм2-
Пусть изменение трансмембранного потенциала во времени в фа-
зе деполяризации описывается функцией £7вер (0, а в фазе конеч-
ной реполяризации — функцией £7rGp (£) и эти функции имеют
постоянную форму по всей длине клетки. Длительность потенци-
ала действия изменяется за счет фазы плато, во время которой
трансмембранный потенциал сохраняет постоянную величину
(напомним, что изменение длительности потенциала действия экви-
валентно изменению скорости движения его заднего фронта по
сравнению с передним). Трансмембранный потенциал на правом
конце клетки выражается через трансмембранный потенциал на
левом конце для фаз деполяризации и конечной реполяризации
соответственно как
Uвер (^2? t) == Uвер t ^Dep)? (2.128)
132
где
TDep = L/v, (2.129)
L = z2 — zx — длина клетки, a
URep (22? 0 = URep (Zn t — 'TRep), (2<130)
где
TRep =4- + (7,M2-7’Mi). (2.131)
Рассматривая взаимное расположение волны потенциала дей-
ствия и клетки (или эквивалентного ей участка ткани) в последо-
вательные моменты времени (рис. 2.23), легко определить при по-
мощи этих уравнений значения трансмембранного потенциала на
концах клетки z2 и вычислить дипольный момент эквивалент-
ного генератора по формуле (2.124) (напомним, что граничные ус-
ловия на концах клетки, как показали экспериментальные изме-
рения и математическое моделирование, мало влияют на величину
трансмембранного потенциала).
Согласно уравнению (2.124) максимум дипольного момента для
каждой данной фазы потенциала действия достигается при макси-
мальной разности трансмембранных потенциалов на концах клет-
ки. При реальных условиях возбуждения длина клетки (точнее,
волокна, эквивалентного отдельной клетке) больше, чем про-
странственная протяженность фазы деполяризации, и существен-
но меньше, чем протяженность фаз реполяризации. Поэтому в фа-
зе деполяризации максимальная абсолютная разность транс-
мембранных потенциалов на концах клетки равна полному при-
ращению трансмембранного потенциала за период деполяризации,
т. е. разности между максимальным потенциалом действия и по-
тенциалом покоя, С/таХ — UT, а в фазе реполяризации она равна
максимальному приращению трансмембранного потенциала за
время тКер (т. е. произведению тКер на максимальную скорость
нарастания трансмембранного потенциала во времени £7нер).
Используя в формулах (2.124) и (2.125) указанные величины, соот-
ветствующие экстремальным значениям дипольного момента,
и считая эквивалентный диполь расположенным в центре клетки,
получаем следующие формулы для оценки высоты зубцов клеточ-
ной электрограммы:
. для фазы деполяризации (высота зубца R)
/тт ГТ \ COS О /Q д
<PR (t/max-C/r)—(2.132)
ех
для фазы реполяризации (высота зубца Т)
фТ = 4^-THepf7Rep . (2.133)
Следует отметить, что соотношение (2.133) справедливо для
всех трех фаз реполяризации, в том числе для фазы плато, во вре-
мя которой также может генерироваться внеклеточное поле, если
133
Рис. 2.23. Схема формирования пространственного распределения трансмембранного по-
тенциала в зависимости от изменения длительности потенциала действия на возбуждаю-
щемся участке ткани (заштрихованная полоска)
Слева — трансмембранные потенциалы действия на левом (1) и правом (2) концах участ-
ка ткани; в центре — изменение положения характерных фаз потенциала действия при
распространении возбуждения; справа — распределение трансмембранного потенциала
вдоль участка ткани в последовательные моменты времени. Штриховые линии соответ-
ствуют потенциалу действия, длительность которого линейно уменьшается (за счет фазы
плато) вдоль участка ткани
134
трансмембранный потенциал не остается постоянным, а изменяет-
ся во времени, т. е. если не равна нулю величина С.
Ширина каждого зубца электрограммы равна продолжитель-
ности охвата клетки соответствующей фазой потенциала действия.
Для ее оценки можно воспользоваться следующими соотношениями:
для фазы деполяризации (ширина зубца R)
*R = ^Dep == LfV,
Рис. 2.24. Трансмембранные потен-
циалы действия двух типов (сплош-
ная и штриховая кривые вверху) и
соответствующие им элементарные
электрокардиограммы (внизу), по*
строенные при помощи приближен-
ной оценки высоты и ширины зуб-
цов [55]
для фазы реполяризации (ширина зубца Т)
= ^Rep + ^Rep> (2.135)
где #ReP — продолжительность соответствующей фазы реполяри-
зации потенциала действия (продолжительность фазы деполяри-
зации считается пренебрежимо малой).
На рис. 2.24 приведен пример потенциалов действия двух
характерных форм и соответствующих им электрограмм, построен-
ных при помощи приближенной оценки высоты и ширины зубцов.
Отметим еще, что при принятых допущениях о свойствах вне-
клеточного объемного проводника справедлив принцип суперпози-
ции действующих в нем источников тока. Поэтому электрограмма
любой совокупности волокон определяется как сумма электро-
грамм каждого отдельного волокна, найденных описанным при-
ближенным методом.
4. ФОРМИРОВАНИЕ ГЕНЕРАТОРОВ ВНЕКЛЕТОЧНОГО ПОЛЯ
В МАКРОСКОПИЧЕСКИХ ОБЪЕМАХ МИОКАРДА
Электрическая связь между клетками миокарда и ее влияние
на формирование фронта возбуждения. Возбуждение, возник-
шее в какой-либо одной клетке сердца, распространяется во всех
направлениях, постепенно охватывая весь объем ткани миокарда.
135
Следовательно, электрическое возбуждение способно самопроиз-
вольно перемещаться не только по отдельной клетке, возбужден-
ной в одной точке, но и переходить от нее к соседним клеткам.
В связи с этим важное значение приобретает вопрос о механизме
межклеточной передачи возбуждения: происходит ли она анало-
гично распространению в отдельной клетке (т. е. в результате
перетекания локального тока из одной клетки в другую) или же
каким-либо иным способом, не требующим непосредственного те-
чения общего внутриклеточного тока для разных клеток, напри-
мер, подобно синаптической передаче с участием специальных
химических веществ. В настоящее время подавляющее большин-
ство исследователей придерживается первой точки зрения, по-
скольку гипотеза об электрической связи между клетками миокар-
да получила весьма убедительное экспериментальное подтвержде-
ние. Тем не менее имеются работы, авторы которых высказывают
противоположное мнение, например [452]. Сопоставление этих
точек зрения содержится в работах [15, 28].
Для того чтобы осуществлялась чисто электрическая связь
между клетками, должны существовать области их соприкоснове-
ния, через которые локальный внутриклеточный ток мог бы пере-
текать из одной клетки в другую, не встречая значительного элек-
трического сопротивления. Специализированные контактные зоны,
которые могут обеспечить такое перетекание тока, были об-
наружены при микроскопических исследованиях ткани сердца.
Как отмечалось, различают несколько типов таких зон. Наиболее
вероятными областями низкого сопротивления являются нексу-
сы. Наличие цепи локального тока между внутренними областями
соседних клеток было продемонстрировано в опытах, основанных
на методе сахарозного моста [99]. В опытах с измерением характе-
ристик диффузии радиоактивного калия было продемонстрирова-
но, что проницаемость для калия вставочных дисков в несколько
тысяч раз выше, чем основной поверхности клеточной мембраны.
Соответствующее соотношение должно иметь место и для ионных
проводимостей [497].
Один из способов выявления чисто электрической связи между
клетками миокарда — это прямое измерение электротонического
распределения потенциала в препаратах ткани сердца. Было ус-
тановлено, что электротонический потенциал простирается далеко
за пределы отдельной клетки. Например, найденные в эксперимен-
тах значения постоянной длины равны: для волокна Пуркинье
копытных — 1,9 мм [495], для трабекулы желудочка копытных —
0,88 мм [498], для волокна желудочка лягушки — 0,56 мм [14].
В то же время из микроскопических исследований анатомии мио-
карда известно, что длина его отдельных клеток имеет порядок
100 мкм. Анализ формы начального участка восходящей фазы
измеренного потенциала действия волокна сердца лягушки пока-
зывает, что этот участок соответствует предсказаниям кабельной
теории [488].
136
Рис. 2.25. Сравнение измеренных в эксперименте (темные кружки) и рассчитанных по ка-
бельным уравнениям (сплошные кривые) электротонических потенциалов [168]
1—интактное волокно до повреждения; • 2—немедленно после повреждения; з —после
восстановления трансмембранного потенциала. При теоретическом расчете попользована
величина постоянной длины % = 1,6 мм, найденная по измерениям электротонического
потенциала вдоль волокна (светлые кружки). Вертикальными черточками отмечено по-
ложение области повреждения. Вверху справа — схема эксперимента
Косвенным свидетельством электрической связи между всеми
клетками ткани миокарда является способность миокарда в те-
чение сравнительно длительных периодов времени генерировать
токи повреждения, если в какой-либо ограниченной области серд-
ца в диастолический период или после завершения деполяризации
трансмембранный потенциал отличается от величины трансмем-
бранного потенциала в остальных частях сердца [93].
Количественные оценки изменений пассивных характеристик
волокна сердца в сопоставлении с параметрами кабельной модели
при локальном повреждении были получены в работе [168]. В экс-
перименте на волокнах Пуркинье сердца овцы (длина волокна
6 —е— 17 мм) наносили локальное повреждение мембраны при по-
мощи лазерного луча. Максимальный размер поврежденной зоны
составлял около 100 мкм, т. е. приблизительно равнялся диаметру
волокна. Измерения показали, что электротонический трансмем-
бранный потенциал на расстоянии около 0,5 мм от границы по-
врежденной области сразу же после нанесения повреждения резко
уменьшается, а затем по мере возрастания сопротивления у гра-
ницы поврежденной области увеличивается, принимая в конеч-
ном итоге значение более высокое, чем исходное, до повреждения
(рис. 2.25). Эти изменения потенциала в количественном отноше-
нии вполне согласуются с кабельными уравнениями (2.82) — (2.89)
при соответствующих граничных условиях для однородной кабель-
ной модели, что служит подтверждением отсутствия эЛектриче-
137
ской изоляции между внутренними областями соседних клеток в
волокне.
Анализ условий передачи распространяющегося возбуждения
между двумя клетками на математических моделях показал, что
для прохождения возбуждения между клетками, примыкающими
одна к другой торцевыми поверхностями, среднее сопротивление
на единицу площади торцевой клеточной мембраны не должно
превышать нескольких ом на квадратный сантиметр [16, 234, 502].
Все эти данные говорят о том, что при изучении электрических
явлений в сердце макроскопические участки миокарда нельзя
рассматривать как совокупность относительно независимых кле-
ток. Необходимо учитывать, что концы (а иногда и некоторые
участки боковой поверхности) каждой клетки соединены электри-
чески с несколькими соседними клетками и множество связанных
таким образом клеток образует сложную объемную сетчатую струк-
туру — электрический функциональный синцитий. Это определе-
ние подразумевает, что в данном случае рассматриваются свойства
ткани по отношению к функции электрического возбуждения, тог-
да как с морфологической точки зрения клетки миокарда пред-
ставляют собой самостоятельные и независимые единицы, пол-
ностью отделенные одна от другой замкнутыми клеточными мем-
бранами.
Геометрические и электрические параметры ткани миокарда
как объемного электрического синцития (в общем случае неодно-
родного и анизотропного) оказывают существенное влияние на ха-
рактер распределения трансмембранного потенциала и скорость
его убывания при удалении от точки приложения стимулирующе-
го тока, а следовательно, на условия возникновения и распро-
странения возбуждения в сердце.
Обширные исследования на математических моделях синцитиев различ-
ных типов, образованных кабельными элементами, выявили ряд закономер-
ностей формирования фронта возбуждения в дву- и трехмерных возбудимых
средах, которые невозможно объяснить на основании анализа проведения
возбуждения в отдельном волокне [15, 48]. В частности, было показано, что
в изотропном синцитии, моделирующем миокард, скорость распространения
возбуждения должна быть примерно вдвое меньше, чем в отдельном волок-
не [47]. Эта скорость зависит от размеров и конфигурации первоначально
возбужденной области. В случае малых размеров возбужденной области
потенциал убывает в направлении распространения возбуждения быстрее,
чем при больших размерах возбужденной области. Поэтому сразу же после
возникновения возбуждения в какой-либо точке миокарда, пока охвачен-
ная им область мала, возбуждение распространяется относительно медлен-
но, а по мере расширения фронта возбуждения скорость растет и прибли-
жается к устойчивому предельному значению, соответствующему плоской
форме фронта возбуждения. Это же явление обусловливает выпрямление перво-
начально искривленного фронта. Результаты математического моделирова-
ния находят подтверждение в экспериментальных наблюдениях. В однород*
138
пых областях миокарда фронт возбуждения имеет плавную форму без резких
изломов, изгибов или скачков, как и должно быть в среде, обладающей свой-
ствами синцития [154]. Модели синцития помогают объяснить некоторые яв-
ления, наблюдаемые при прохождении возбуждения в определенных частях
сердца, например, малую скорость проведения в области водителя ритма,
возникновение задержек при переходе возбуждения между областями с раз-
ной клеточной структурой и др.
Вопрос о формировании фронта возбуждения в миокарде ос-
ложняется при учете анизотропии ткани, обусловленной тем, что
продольные оси близлежащих клеток обычно ориентированы пре-
имущественно в одном направлении. Конечно, наличие большого
количества контактных зон как на торцевых, так и на боковых по-
верхностях клеток облегчает электрическую связь в поперечном
направлении. Тем не менее внутриклеточный электротонический
потенциал в макроскопических объемах ткани затухает в направ-
лении поперек осей клеток значительно быстрее, чем вдоль осей
[45]. Скорость распространения возбуждения перпендикулярно
к среднему направлению продольных осей клеток всегда сущест-
венно ниже, чем параллельно этому направлению. Так, в экспери-
ментах на препаратах ткани сердца кошки, собаки, козы [172]
найдено, что скорость распространения возбуждения вдоль осей
клеток сократительного миокарда желудочков и предсердий со-
ставляет 40 н- 90 см/с, вдоль осей клеток Пуркинье — около
250 см/с, а поперек осей клеток — в 2,5 3 раза меньше. Ана-
логичные результаты были получены в работе [406] на препаратах
миокарда желудочков сердца собаки: скорость распространения
возбуждения вдоль осей клеток лежит в диапазоне 45 75 см/с,
а в поперечном направлении 5-4-20 см/с. Было найдено, что при
повышении температуры скорость увеличивается, а при пониже-
нии уменьшается. Скорость в направлении осей клеток прибли-
зительно пропорциональна квадратному корню из диаметра клетки,
что соответствует теории (см. уравнение (2.91)). Было отме-
чено, что распространение возбуждения в продольном направле-
нии имеет регулярный характер, а в поперечном — характери-
зуется значительной нерегулярностью и изменчивостью скорости
в зависимости от условий измерения.
Разные участки ткани сердца обладают разной степенью ани-
зотропии в зависимости от упорядоченности ориентации клеток
и распределения в пространстве контактных зон, обеспечиваю-
щих электрическую связь между соседними клетками.
Анатомическая организация клеток играет важную роль в
функционировании проводниковой системы сердца. В зависимо-
сти от расположения и состояния межклеточных соединений в
волокнах проводниковой системы могут происходить различные
изменения конфигурации и скорости движения фронта возбужде-
ния, приводящие к задержкам, блокадам проведения и в конеч-
ном счете к нарушениям ритма сокращений сердца [327, 447].
13<$
Особенности формирования фронта возбуждения в ткани, ани-
зотропной по отношению к скорости распространения возбужде-
ния, были продемонстрированы в экспериментах на сердце обо-
лочника [283]. Стенка его сердца образована одним слоем клеток,
имеющих продолговатую форму и расположенных таким образом,
что их продольные оси ориентированы преимущественно в одном
направлении, параллельном поверхностям стенки. Если импульс
стимуляции прикладывается в одной точке, то фронт возбуждения,
Рис. 2.26. Карта изохронных линий
при распространении возбуждения
от точки стимуляции (S) в сердце
оболочника [283]
Штрихпунктирной прямой указано
направление осей клеток. Фронт
возбуждения постепенно деформи-
руется под влиянием анизотропии
ткани по отношению к скорости
проведения возбуждения
распространяющегося во все стороны от этой точки, постепенно
приобретает вытянутую форму (рис. 2,26). Вблизи точки стимуля-
ции скорость распространения возбуждения мала, а по мере рас-
ширения фронта возбуждения она растет и достигает максималь-
ного устойчивого значения примерно на расстоянии от точки сти-
муляции 1,25 мм в направлении продольных осей клеток и 0,25 мм
в, направлении, перпендикулярном к.осям. Таким образом, фронт
возбуждения постепенно превращается в два фронта, движущихся
в противоположных направлениях и почти параллельных осям
клеток. Выпрямление фронта возбуждения в направлении пре-
имущественной. ориентации осей клеток — это типичное явление
для ткани, в которой клетки имеют упорядоченную ориентацию.
Итак, пространственно-временные характеристики распро-
страняющейся волны электрического возбуждения в ткани серд-
ца определяются электрофизиологическими характеристиками
клеточной мембраны, пассивными электрическими характерис-
тиками каждой клетки и отдельных волокон, а также организа-
цией клеток в макроскопических объемах ткани, обладающей свой-
ствами функционального синцития. Исследованию вопросов
формирования фронта возбуждения с учетом этих факторов посвя-
щено большое число работ, в которых использованы различные
методические подходы (в частности, методы математического мо-
делирования возбудимых сред) и получены важные результаты,
объясняющие многие особенности как нормальной хронотопогра-
фии распространения возбуждения в сердце, так и ее патологи-
ческих отклонений, приводящих, в частности, к нарушениям
ритма сердечных сокращений [17, 24, 35, 48, 180, 269]. Однако
140
нас здесь будут интересовать не внутренние механизмы форми-
рования фронта возбуждения, вскрытые в указанных выше ис-
следованиях, а лишь свойства фронта возбуждения как элект-
рического генератора и характеристики электрического поля,
создаваемого им в теле. В основном будем рассматривать конфи-
гурацию фронта возбуждения, присущую нормально возбуждаю-
щемуся сердцу млекопитающих.
Экспериментальные данные о скорости распространения воз-
буждения в разных частях сердца. При распространении возбуж-
дения в объемной или двумерной среде понятие скорости распро-
странения возбуждения становится неоднозначным и требует до-
полнительных уточнений (в отличие от «одномерных» клеток и
волокон, при рассмотрении которых подразумевается, что воз-
буждение распространяется вдоль их оси). Скорость собствен-
ного движения фронта возбуждения независимо от структуры воз-
будимой среды можно полностью охарактеризовать скоростью
локального перемещения каждой точки поверхности фронта в на-
правлении нормали к этой поверхности в данной точке. Если фронт
возбуждения имеет плоскую форму и всегда остается параллель-
ным одной и той же плоскости, то его движение характеризуется
скоростью в направлении нормали к этой плоскости.
Интервал времени между моментами возбуждения двух про-
извольно выбранных точек среды может зависеть не от скорости
«физической» передачи возбуждения между ними, а от их распо-
ложения по отношению к фронту возбуждения. Например, в слу-
чае плоского фронта скорость такого перехода возбуждения ме-
жду двумя точками может иметь любое значение от минимального,
равного скорости собственного движения фронта (когда прямая,
соединяющая точки, перпендикулярна к поверхности фронта),
и до бесконечно большого (когда эта прямая параллельна фрон-
ту). Для определения скорости «физической» передачи возбужде-
ния в нужном направлении, выделенном в структуре ткани, не-
обходимо идентифицировать передачу возбуждения по этому
направлению каким-либо способом, не зависящим от формы и
скорости движения фронта возбуждения в целом.
В стенках предсердий возбуждение распространяется с по-
стоянной скоростью 30 ч- 80 см/с в радиальном направлении от
синусового узла, причем поверхность фронта ориентирована
перпендикулярно к поверхностям стенок. Однако обнаруживают-
ся также некоторые направления более быстрого распростране-
ния возбуждения. В частности, предполагается существование
путей предпочтительной передачи возбуждения между синусовым
и атриовентрикулярным узлами. Такая ускоренная передача
может быть обусловлена и специальной пространственной орга-
низацией клеток (т. е. анизотропией ткани, образованной сокра-
тительными клетками), и наличием специальной проводниковой
системы между узлами. Подробное обсуждение этого вопроса
можно найти, например, в работе [405].
141
Атриовентрикулярный узел характерен тем, что в нем проис-
ходит значительная задержка волны возбуждения. Основная
часть задержки приходится на расстояние около 1 мм, и расчет
дает скорость проведения в этом узле 2-4-5 см/с. Такое замедле-
ние можно объяснить многими причинами, в том числе электро-
химическими факторами, электрофизиологическими и морфо-
логическими характеристиками клеток атриовентрикулярного
узла, особенностями пространственного расположения и анато-
мической организации ткани, распределением контактных зон
между клетками.
От атриовентрикулярного узла возбуждение передается на
пучок Гиса, в котором клетки имеют более однородную организа-
цию: их продольные оси ориентированы преимущественно в од-
ном направлении, соответствующем основному направлению рас-
пространения возбуждения. Большинство клеток в пучке Гиса
и его разветвлениях — ножках пучка Гиса — относится к типу
клеток Пуркинье. При нормальных условиях скорость проведе-
ния здесь равна 100 ч- 150 см/с, а в области ложных сухожилий
она может достигать 300 ч- 400 см/с. Экспериментальными иссле-
дованиями было установлено, что в пучке Гиса и его ножках вол-
на возбуждения может проводиться по автономным продольным
путям, между которыми в поперечном направлении имеется лишь
очень слабая электрическая связь [327 и др.].
Волокна Пуркинье проводниковой системы, разветвляясь от
ножек пучка Гиса и пронизывая миокард желудочков, проводят
возбуждение в субэндокардиальные слои, возбуждая сразу об-
ширные участки миокарда. При переходе возбуждения с волокон
Пуркинье на сократительные клетки происходит некоторое за-
медление проведения. Предполагается, что оно может быть вы-
звано особыми свойствами контактных областей между клетками
Пуркинье и сократительными клетками, наличием клеток пере-
ходного типа и некоторыми особенностями распространения вол-
ны возбуждения при переходе от волокон Пуркинье, подобных
по своим характеристикам простому кабелю, к основной массе
сократительного миокарда, который представляет собой более
однородно распределенную в пространстве сеть клеток типа син-
цития [405].
В толще миокарда желудочков возбуждение распространяет-
ся широким фронтом, который перемещается преимущественно от
эндокарда к эпикарду, хотя в некоторые периоды цикла возбуж-
дения поверхность фронта может быть ориентирована перпенди-
кулярно к поверхностям стенки желудочков, а его движение на-
правлено по касательной к этим поверхностям. Расположение
поверхностей фронта возбуждения для некоторых последователь-
ных моментов времени (изохронных поверхностей) на небольшом
участке стенки левого желудочка сердца собаки показано на
рис. 2.27. Форма фронта возбуждения определялась при помощи
многоэлектродного интрамурального отведения потенциалов [428].
142
Рис. 2.27. Экспериментальное измерение последовательности распространения возбужде-
ния в свободной стенке левого желудочка сердца собаки при помощи многоэлектродных
игольчатых трансмуральных отведений [435]
Расстояние между соседними электродами на игле 1 мм. Показано несколько последова-
тельных фронтов возбуждения
В этих экспериментах было найдено, что средняя скорость движе-
ния фронта возбуждения по нормали к его поверхности в субэн-
докардиальном (внутреннем) слое стенки желудочка толщиной 4 мм
равна 200 см/с, в среднем слое — 70 см/с и в субэпикардиальном
(наружном) слое толщиной 4 мм — 40 см/с. Близкие величины
скорости в стенках желудочка были получены при измерениях
на сердце человека [175, 177]. Было найдено, что скорость фронта
возбуждения в изолированном сердце больше, чем в сердце in si-
tu: в среднем для трех опытов она равнялась в первом случае
56 см/с и во втором — 37 см/с.
143
Пространственно-временное изменение фронта возбуждения зависит от
наличия в миокарде участков с измененными свойствами, в которых возбуж-
дение распространяется с иной скоростью, чем в нормальной ткани, или вооб-
ще не может возникать и распространяться. Например, волна возбуждения
не может охватить участок, который не успел восстановиться после преды-
дущего цикла возбуждения, т. е. находится в рефрактерном состоянии. В оча-
ге ишемии скорость распространения возбуждения ниже, чем в здоровом
миокарде, причем уменьшение скорости тем больше, чем сильнее степень
ишемизации ткани. В области некроза возбуждение вообще не распростра-
няется.
Макроскопические элементарные генераторы в период деполя-
ризации. Рассмотрим электрическое поле во внеклеточной среде,
обусловленное макроскопическими участками волны возбуждения.
Поскольку возбуждение одновременно охватывает множество кле-
ток, внеклеточное электрическое поле является результатом сов-
местного действия многих клеточных источников тока. Структура
макроскопических генераторов в значительной степени зависит от
фазы возбуждения, в которой находится рассматриваемая об
ласть миокарда. Ниже будут отдельно обсуждены макроскопиче-
ские генераторы, соответствующие фазам деполяризации и репо-
ляризации потенциала действия.
Область пространства, в которой существуют клеточные ис-
точники тока, порождаемые процессом деполяризации, будем
обобщенно называть фронтом возбуждения. Свойства фронта воз-
буждения как области электрических генераторов удобно описать
следующими характеристиками, которые могут быть измерены
экспериментально: потенциал фронта возбуждения — разность
между потенциалами внеклеточного электрического поля на грани-
цах фронта возбуждения; толщина фронта возбуждения — мак-
симальная протяженность области источников тока в направле-
нии нормали к фронту возбуждения; скорость фронта возбужде-
ния — скорость распространения возбуждения в направлении
нормали к его поверхности. (Поверхность фронта возбуждения —
это некоторая поверхность, параллельная границам фронта и
расположенная посередине между ними.) При использовании этих
характеристик подразумевается, что пространственная протя-
женность области источников в направлении распространения
возбуждения (по толщине) значительно меньше по сравнению с ее
протяженностью в направлениях, перпендикулярных к направ-
лению распространения возбуждения (по ширине). Предпола-
гается также, что характеристики этой области однородны по
ширине, изменяются только по толщине и что скорость движения
фронта возбуждения постоянна.
Если возбуждение распространяется широким фронтом в тка-
ни, имеющей форму тонкой пластины и окруженной объемным
проводником, причем поверхность фронта возбуждения перпен-
дикулярна к поверхностям пластины, то в униполярном отведе-
нии от объемного проводника вблизи поверхности ткани регист-
144
Рис. 2.28. Пространственное распределение внеклеточного потенциала в области фронта
возбуждения, распространяющегося в тонком слое миокарда предсердия на поверхности
верхней полой вены собаки [440]
а — схема экспериментального измерения: ВПВ — верхняя полая вена, СУ — синусо-
вый узел, ПП — правое предсердие; б — фронт возбуждения в области 7 вблизи точки
стимуляции (С) (скорость проведения 50 см/с, время 29,7 мс); в — фронт возбуждения
в области 2 (скорость проведения 130 см/с, время 45 мс, амплитуда потенциала больше)
рируется двухфазный импульс с первым положительным и вто-
рым отрицательным пиками (т. е. двухфазный комплекс QRS).
В частности, такую форму имеет электрограмма, отводимая от
поверхности предсердия, стенка которого представляет собой
тонкую мышечную пластину, как показано на рис. 2.28. В этом
случае фронт возбуждения можно рассматривать как эквивалент-
ный генератор в виде двух линейных источников тока противо-
положной полярности или «дипольный» источник с полюсами,
растянутыми вдоль фронта возбуждения [229]. Подробное иссле-
дование такого фронта возбуждения на участке предсердия соба-
ки, имеющем толщину 250 ч- 400 мкм, показало, что установив-
шаяся скорость движения фронта равна 130 см/с, а в униполярном
отведении от объемного проводника на расстоянии 100 ч- 200 мкм
от поверхности возбудимой ткани регистрируется двухфазный им-
пульс с максимальным размахом по амплитуде 18 мВ, подобный
по форме второй производной фазы деполяризации трансмем-
бранного потенциала действия. В направлении нормали к фронту
145
возбуждения расстояние между экстремумами внеклеточного по-
тенциала составляет от 0,6 до 1,1 мм [440, 441, 444].
При оценке результатов экспериментального измерения ха-
рактеристик фронта возбуждения следует учитывать многочис-
ленные факторы, связанные с конкретными условиями и метода-
ми измерения. Большое значение, в частности, имеет влияние
структуры окружающего объемного проводника, расположение
электродов отведения, ориентация оси биполярного отведения
по отношению к поверхности фронта возбуждения. Поэтому экс-
периментальные данные, полученные в разных условиях, иногда
заметно различаются в количественном отношении.
В измерениях биполярным отведением на поверхности желу-
дочков сердца собаки [487] была получена толщина фронта воз-
буждения 0,8 ч- 1 мм при всех направлениях его движения. По-
тенциал фронта возбуждения в среднем равнялся 74,1 мВ при рас-
пространении возбуждения вдоль осей клеток и был почти на
30% меньше при распространении в поперечном направлении.
При движении фронта возбуждения поперек осей клеток его ско-
рость была вдвое меньше, а регистрируемые импульсы потенциа-
ла имели менее плавную форму по сравнению с движением вдоль
осей клеток, а иногда имели зазубрины, свидетельствующие о ме-
нее регулярном характере распространения возбуждения в по-
перечном направлении.
В работе [379] исследовали замкнутый фронт возбуждения в миокарде
сердца собаки. Для этого осуществляли точечную стимуляцию в глубине
стенки желудочка и отводили потенциалы от эпикарда, эндокарда или внут-
ренних областей стенки желудочка таким образом, чтобы фронт возбуждения
раньше выходил на поверхность стенки, чем достигал отводящих электродов.
В течение всего периода времени между моментом стимуляции и моментом
выхода фронта возбуждения на поверхность сердца, т. е. пока фронт остается
замкнутым, отведение не регистрирует отклонений потенциала. Отклонение
от изопотенциальной линии возникает лишь в момент разрыва замкнутого
фронта возбуждения на поверхности стенки желудочка. Это свидетельст-
вует о том, что двойной слой, эквивалентный фронту возбуждения, является
равномерным, по крайней мере в приближении, соответствующем точно-
сти измерения потенциала в этих экспериментах (хотя непосредственное из-
мерение потенциала фронта возбуждения показывает, что его величина за
висит от ориентации поверхности фронта относительно направления осей
клеток).
В работе [428] было проведено измерение характеристик фрон-
та возбуждения непосредственно в толще миокарда желудочков
собаки при помощи интрамуральных биполярных отведений с рас-
стоянием между электродами 1 мм. Оси отведений, совпадающие
с направлением иглы, на которой установлены электроды, на-
правлены по нормали к поверхности стенки желудочка. Предпо-
лагается, что они также нормальны и к поверхности фронта воз-
буждения. Это предположение справедливо, если возбуждение
146
распространяется от эндокарда к эпикарду широким фронтом»
приблизительно параллельным эндокардиальной и эпикардиаль-
ной поверхностям. Регистрировались типичные однофазные им-
пульсы, амплитуды которых различались главным образом в за-
висимости от расположения исследуемой области по глубине
стенки желудочка, т. е. по направлению эпикард — эндокард.
Амплитуда импульсов в субэндокардиальных областях была
меньше, чем в средних и субэпикардиальных, а скорость распро-
странения возбуждения во внешних слоях стенки желудочков
была ниже, чем во внутренних. Эти различия в амплитуде и скоро-
сти могут быть отчасти следствием того, что в субэндокардиаль-
ных слоях ось отведения может быть сильнее отклонена от нор-
мали к поверхности фронта возбуждения, однако более вероятной
причиной является наличие в сердце собаки хорошо развитой
проводниковой системы — сети волокон Пуркинье, по которым
возбуждение очень быстро проникает от эндокардиальной поверх-
ности в более глубокие слои миокарда. В результате этого на не-
которых локальных участках субэндокардиальной области воз-
буждение может распространяться даже противоположно основ-
ному направлению — в сторону эндокарда. В итоге это может
привести к уменьшению крутизны фронта возбуждения в прост-
ранстве с соответствующим увеличением толщины фронта, в
результате чего амплитуда потенциала в биполярном отведении с
постоянным расстоянием между электродами оказывается во внут-
ренних слоях стенки желудочка в среднем меньше, чем в осталь-
ных слоях. В подтверждение этого можно привести также резуль-
таты экспериментальных измерений на сердце кролика [83],
в которых было найдено, что во внутреннем слое стенки желу-
дочка, составляющем примерно х/3 ее толщины, фронт возбужде-
ния имеет толщину 3 — 3,5 мм, тогда как в остальной части стен-
ки его толщина приблизительно равна 1,25 мм. Для сердца чело-
века указанные факторы должны играть меньшую роль, так как
в нем сеть волокон Пуркинье менее глубоко проникает в миокард
стенки желудочка.
Если внеклеточный потенциал регистрируется в толще мио-
карда униполярным отведением, то основная часть отклонения
потенциала имеет форму двухфазного импульса с первым положи-
тельным пиком (преимущественно в наружных слоях) или одно-
фазного отрицательного импульса (во внутренних слоях). К этому
основному импульсу могут добавляться мелкие пики, связанные
с локальным изменением направления распространения возбуж-
дения, особенно в субэндокардиальных слоях. Основной нисходя-
щий участок импульса имеет большую крутизну. С двух сторон
к нему примыкают более пологие участки, так что он подобен по
форме ступеньке. На рис. 2.29, а сопоставлены импульсы вне-
клеточного потенциала, регистрируемые в толще стенки левого же-
лудочка униполярным отведением и биполярным отведением с осью,
перпендикулярной поверхности фронта возбуждения [489]. Амп-
147
JJ
30
70 №
Зн I 3n
7Z7mB L
7mm
Рис. 2.29. Внеклеточный потенциал в толще миокарда стенки желудочка, измеренный в
экспериментах на собаке [489]
и — импульсы потенциала в униполярных (слева) и биполярных (справа) интрамураль-
ных отведениях, Эп — эпикард, Эн — эндокард; б — пространственное распределение
потенциала в направлении эндокард—эпикард в последовательные моменты фазы деполя-
ризации. Расстояние между соседними электродами игольчатого отведения 1 мм
148
литуда импульсов биполярных отведений с расстоянием между элек-
тродами 1 мм в средних и наружных слоях стенки желудочка до-
стигает 10 -и 15 мВ (что соответствует данным работ [428, 435]).
Соответствующее распределение внеклеточного потенциала
вдоль линии, перпендикулярной к поверхности фронта возбужде-
ния, в последовательные моменты времени имеет вид ступен-
чатой волны потенциала с высотой около 40 мВ и протяженностью
восходящего участка около 3 мм, движущейся от эндокарда
к эпикарду и обращенной положительной областью в направлении
движения (рис. 2.29, б).
Рассмотрим связь между потенциалами внеклеточного поля,
непосредственно измеряемыми при прохождении фронта возбуж-
дения через точки расположения отводящих электродов, и харак-
теристиками эквивалентного генератора, образуемого этим фронтом.
Предположим, что применяется биполярное отведение, ось ко-
торого направлена по нормали к поверхности фронта, а расстоя-
ние между электродами невелико по сравнению с протяженностью
фронта в тангенциальном направлении. При анализе поля вблизи
отведения в этих условиях можно считать фронт однородным и бес-
конечно протяженным во всех плоскостях, перпендикулярных
к оси отведения. Выберем прямоугольную систему координат
xyz таким образом, чтобы ось z совпадала с осью отведения (коор-
динатная плоскость хОу при этом будет параллельна фронту воз-
буждения). В силу указанной однородности фронта все электри-
ческие величины имеют равномерное распределение в плоскостях,
параллельных плоскости хОу, и изменяются только по оси z.
Допустим, что рассматриваемые генераторы находятся в однород-
ном и бесконечно протяженном объемном проводнике с удельной
электропроводностью о и что фронт возбуждения движется с по-
стоянной скоростью v в направлении оси z. В каждой точке объем-
ного проводника изменение внеклеточного потенциала во времени
описывается одной и той же функцией ср (t). При постоянной ско-
рости движения фронта изменение потенциала относительно вре-
мени t и пространственной координаты z выражается в виде функ-
ции ф (г — ?;£), так что волна потенциала имеет одинаковую фор-
му в пространстве и во времени. Зафиксируем время (например,
положим t — 0) и рассмотрим изменение потенциала только от-
носительно оси 2, т. е. функцию ф (z). Согласно уравнению (1.7)
производная потенциала по z с отрицательным знаком определяет
составляющую напряженности электрического поля в направле-
нии оси z
Е = — dy/dz. (2.136)
Разность потенциалов между точками оси z с координатами
г2 и zx
Фдг = - J Edz. (2.137)
Z1
149
Предположим, что в области фронта возбуждения существуют
источники тока клеточного происхождения, которые характерна
зуются средней объемной плотностью дипольного момента с со-
ставляющей по оси z, равной J. Используем уравнения (1.6)
и (1.10), учитывая, что суммарная плотность тока в направлении
оси z должна равняться нулю:
J = - а£. (2.138)
Для определения полного дипольного момента на единицу пло-
щади поверхности фронта (т. е. плотности дипольного момента
двойного слоя, эквивалентного фронту возбуждения) нужно про-
интегрировать эту величину по толщине фронта возбуждения d:
Js = -c^Edz, (2.139)
d
откуда с учетом (2.137) получаем
Js = o<pd, (2.140)
где <pd — разность потенциалов между передней (обращенной
к положительному направлению оси z) и задней границами обла-
сти источников, или просто потенциал фронта возбуждения. Та-
ким образом, для оценки интенсивности фронта возбуждения нуж-
но либо непосредственно измерить разность потенциалов на его
границах <pd и применить уравнение (2.140), либо измерить на-
пряженность электрического поля Е вдоль оси z и проинтегриро-
вать ее по толщине фронта возбуждения в соответствии с уравне-
нием (2.139) (предполагается, что удельная электропроводность
о известна).
Если же измерения потенциала осуществляются в объемном
проводнике на значительном расстоянии от фронта возбужденияг
то нельзя пренебрегать его конечными размерами в пространстве
и нужно учитывать его конфигурацию. По распределению вне-
сердечного потенциала можно определить суммарный дипольный
момент фронта возбуждения. Если фронт возбуждения уподобить
равномерному двойному слою с плоским краем, то его интенсив-
ность, т. е. плотность дипольного момента, можно найти как от-
ношение величины этого суммарного дипольного момента и площа-
ди участка плоскости, ограниченного краем фронта возбуждения.
Наконец, интенсивность эквивалентного генератора, соответ-
ствующего фронту возбуждения, может быть оценена на основа-
нии характеристики первичных биоэлектрических источников
тока, которая может быть измерена экспериментально, а именно
трансмембранного потенциала.
Приведем конкретные оценки плотности дипольного момента
двойного слоя, эквивалентного фронту возбуждения, полученные
с использованием каждого из упомянутых выше подходов.
1. Оценка по пространственной производной внеклеточного
потенциала в области фронта возбуждения. В этом случае интра-
муральное биполярное отведение используется как диффереп-
150
циальное. Поэтому расстояние между электродами должно быть
достаточно малым, чтобы производную внеклеточного потенциала
по направлению оси отведения (перпендикулярному к поверхности
фронта возбуждения) dqldz можно было аппроксимировать отно-
шением Дф/Дя, где Дф — потенциал, измеряемый отведением, и
Дя — расстояние между его электродами. В работе [435] регист-
рировали потенциал биполярным трансмуральным отведением
и рассматривали отношение этого потенциала к расстоянию меж-
ду электродами (равному 1 мм) как составляющую напряженно-
сти электрического поля по оси z. Импульс потенциала аппрок-
симировали гауссовой кривой по методу наименьших квадратов.
Поскольку фронт возбуждения движется с постоянной скоростью
(равной 40 см/с), такую же форму имеет изменение величины на-
пряженности поля Е относительно пространственной координа-
ты 2:
£ = £’0е-'^г/2, (2.141)
где Eq — максимальное значение напряженности и к — параметр,
характеризующий толщину фронта возбуждения (предполагается,
что начало координат соответствует максимуму функции Е (z)).
В данном случае фронт возбуждения формально имеет бесконеч-
ную толщину, а его максимальный потенциал в соответствии с
уравнением (2.137) равен
оо
<j)d = — J Edz = - Ео /2л/* . (2.142)
—оо
Уравнение (2.140) дает следующее выражение для плотности
дипольного момента эквивалентного двойного слоя фронта воз-
буждения:
Js= - Еоб у2л/к . (2.143)
Распределению напряженности (2.141) соответствует распре-
деление унипольных источников тока, объемная плотность кото-
рых с учетом (1.11) и (2.138) выражается как
I = о (dEldz) = - EQGkze-1^. (2.144)
Эта функция имеет форму двухфазной волны с координатами
максимума и минимума У 1/к и — / Ик соответственно. Расстоя-
ние между ее экстремумами dr = 2)/ 1/А, откуда
k = i/dl (2.145)
Подставляя это выражение в уравнения (2.142) и (2.143), полу-
чаем следующие выражения для потенциала и плотности диполь-
ного момента фронта возбуждения:
<pd= -Е^У^2 (2.146)
И
Js = - EoOdt /л/2 . (2.147)
151
По данным работы [435], EQ = 13,5 мВ/мм и dr = 1,5 мм. По-
ложим удельную электропроводность эквивалентной среды равной
0,002 См/см, т. е. средней удельной электропроводности сердеч-
ной мышцы в направлении, перпендикулярном к осям клеток
[397]. Тогда уравнения (2.146) и (2.147) дают (pd = 25 мВ и Js —
= 0,05 мА/см.
Следует отметить, что распределенные дипольные и унипэль-
ные эквивалентные генераторы фронта возбуждения близки по
форме пространственного распределения к эквивалентным клеточ-
ным генераторам, полученным непосредственно при исследовании
кабельных моделей возбудимых волокон (см. рис. 2.12 и 2.19),
хотя количественные параметры этих распределений различаются.
В частности, для фронта возбуждения плотность дипольного мо-
мента меньше, а расстояние между экстремумами унипольного
распределенного генератора больше, чем для отдельной клетки.
Это объясняется тем, что фронт возбуждения формируется мно-
гими клетками, которые определенным образом размещены в про-
странстве и связаны между собой контактными зонами. Экви-
валентный генератор фронта возбуждения является результатом
осреднения многих клеточных генераторов по пространству,
содержащему как клетки, так и внеклеточный объемный провод-
ник. Поэтому на его параметры влияет геометрическая структура
распределения в пространстве клеток, находящихся в одной и той
же фазе возбуждения. Особенно сильно это влияние должно ска-
заться в рассмотренном примере, когда поверхность исследуе-
мого фронта возбуждения параллельна основному направлению
продольных осей клеток, и поэтому возбуждение распространяет-
ся менее регулярно, чем в случае проведения возбуждения вдоль
оси отдельной клетки.
2. Оценка по величине разности потенциалов на границах
фронта возбуждения. В данном случае расстояние между электро-
дами отведения должно быть не меньше полной толщины фронта
возбуждения, причем отведение будет регистрировать потенциал
<pd в течение всего времени, пока фронт возбуждения находится
целиком между электродами (однако это расстояние не должно
быть настолько большим, чтобы сказалось влияние кривизны
фронта и его ограниченной протяженности в тангенциальном на-
правлении). Экспериментальные измерения показывают, что на
поверхности эпикарда толщина фронта возбуждения составляет
около 1 мм, а в глубине стенок желудочков она может достигать
3 мм [83, 175, 487, 489].
Для потенциала фронта возбуждения были получены разные
значения при разных условиях экспериментальных измерений.
Так, при биполярной регистрации на поверхности эпикарда же-
лудочков потенциал фронта возбуждения составлял около
74 мВ в направлении вдоль осей клеток и около 50 мВ в перпенди-
кулярном направлении [487]. При униполярной регистрации
в толще стенки желудочков потенциал фронта возбуждения со-
152
ставлял в среднем 40 мВ [489], хотя отмечалось, что в разных ча-
стях сердца он может различаться, оставаясь в пределах 30 -4-
-4-50 мВ [444]. Принимая, как и в предыдущем случае, удельную
электропроводность среды поперек направления осей клеток рав-
ной 0,002 См/см, получим в соответствии с формулой (2.140),
что плотность дипольного момента двойного слоя, эквивалентного
фронту возбуждения во внутренних слоях миокарда, находится
в диапазоне 0,06 -4- 0,10 мА/см и в среднем равна 0,08 мА/см.
Для фронта возбуждения, движущегося параллельно осям кле-
ток, используем соответствующее значение удельной электропро-
водности среды в этом направлении а = 0,004 См/см [397] и ве-
личину cpd = 74 мВ. Тогда плотность дипольного момента экви-
валентного двойного слоя будет равна 0,30 мА/см.
3. Оценка по суммарному дипольному моменту эктопического
фронта возбуждения, ограниченного эпикардиальной поверхностью.
Для оценки характеристик фронта возбуждения в работе [307]
измеряли его суммарный дипольный момент и площадь поверхно-
сти, ограниченной его краем. Эксперименты проводили на ана-
томически изолированном сердце собаки, погруженном в сосуд
с физиологическим раствором. В одной точке поверхности эпи-
карда стенки левого желудочка прикладывали импульс стиму-
ляции. В процессе радиального распространения возбуждения
от этой точки измеряли в последовательные моменты времени пло-
щадь возбужденного участка поверхности (при помощи множест-
венных отводящих электродов, прикрепленных к эпикарду) и
суммарный дипольный момент волны возбуждения (при помощи
ортогональных внесердечных отведений, установленных на внут-
ренней поверхности сосуда). Векторная сумма сигналов трех орто-
гональных отведений, отнесенная к площади возбужденного уча-
стка эпикарда, в среднем дает величину 0,072 мВ/см2. Калибро-
вочные измерения с искусственным дипольным генератором, вве-
денным в эту же область сердца, показали, что отношение вектор-
ной суммы сигналов отведений к величине его дипольного момен-
та равно 0,555 мВ/(мА-см). Следовательно, средняя плотность
дипольного момента эквивалентного двойного слоя, определяе-
мая как отношение первой из этих величин ко второй, будет рав-
на Js = 0,13 мА/см. Если считать, что в рассматриваемых экс-
периментах поверхность фронта возбуждения имеет некоторую
среднюю ориентацию между направлениями, параллельным и
перпендикулярным к осям клеток, и принять среднюю удельную
электропроводность миокарда о = 0,0025 См/см, то по уравнению
(2.140) потенциал фронта возбуждения <pd = 52 мВ.
4. Оценка по максимальному дипольному моменту фронта воз-
буждения при нормальной деполяризации сердца. Максимальное
значение дипольного момента генератора сердца в период деполя-
ризации достигается, когда граница фронта возбуждения имеет
наибольший размах в пространстве. При этом площадь участка,
ограниченного краем фронта возбуждения (в предположении,
153
что он лежит в одной плоскости) должна быть близка к макси-
мальной площади поперечного сеченця желудочков сердца. При-
мем эту площадь равной площади круга с радиусом 3,5 см (см.
гл. 4). Максимальный дипольный момент генератора сердца в пе-
риод деполяризации, найденный по распределению потенциала
на поверхности грудной клетки в предположении, что эквива-
лентная среда однородна, ограничена поверхностью грудной клет-
ки и имеет удельную электропроводность 0,002 См/см (равную
средней удельной электропроводности туловища), для человека
достигает 2 мА-см [26, 335, 340]. Отношение последней величины
к площади круга 38,5 см2 дает значение плотности дипольного мо-
мента 0,052 мА/см.
Следует отметить, что эта оценка является весьма грубым при-
ближением, так как она основана на чрезвычайно сильном упро-
щении конфигурации фронта возбуждения и полном пренебреже-
нии влиянием внутренней неоднородности тела.
5. Оценка по характеристикам истинных (клеточных} источ-
ников тока. Подойдем к оценке плотности дипольного момента
эквивалентного двойного слоя фронта деполяризации с другой
стороны, основываясь не на внеклеточном потенциале, а на транс-
мембранном потенциале действия, возникающем при возбуждении
миокарда, и характеристиках клеточной структуры ткани сердца.
Сначала рассмотрим случай «тангенциального» фронта воз-
буждения, т. е. фронта, поверхность которого ориентирована пре-
имущественно поперек основного направления осей клеток мио-
карда.
Предположим, что движение фронта возбуждения в направле-
нии оси z происходит в результате проведения по некоторой сети
волокон, обладающих свойствами цилиндрического кабеля и рас-
положенных параллельно оси z. Очевидно, здесь речь идет не о
реальном существовании волокон, совпадающих по структуре
с кабелем, а лишь анализируется модель, отражающая наиболее
существенные электрические свойства возбуждающегося миокар-
да. В зависимости от конкретных условий распространения
возбуждения эта модель может быть более или менее близка по
структуре к реальной ткани. Например, если возбуждение рас-
пространяется в направлении преимущественной ориентации
продольных осей клеток, то кабельные элементы модели можно
рассматривать как структурный эквивалент волокон ткани. Если
же возбуждение распространяется в направлении, перпендику-
лярном к осям клеток, то совокупность кабелей следует рассмат-
ривать как структуру, функционально эквивалентную системе
реально существующих контактных зон и разветвлений клеток
миокарда, обеспечивающих передачу возбуждения в поперечном
направлении. Выведем математические соотношения для такой
кабельной модели, следуя в основном работам [365, 366].
Допустим, что ток, пересекающий мембрану каждой клетки,
может продолжать течь во внеклеточном пространстве только
154
в продольном направлении в пределах узкой межклеточной об-
ласти, приходящейся в среднем на одну клетку. В этом случае
нужно учесть перераспределение трансмембранного потенциала
между внутриклеточной и внеклеточной средами. Сопротивления
внутриклеточной и внеклеточной сред вдоль оси z можно выразить
соответственно как
Пп — l/(oin-4)
и
^ех ~ l/lo'ex (8 — -4)],
(2.148)
(2.149)
где Oin и Hex — внутриклеточная и внеклеточная удельные электро-
проводности; А — площадь поперечного сечения клетки и S —
общая площадь, приходящаяся в среднем на одну клетку в сечении
ткани плоскостью, перпендикулярной к оси z. Используя урав-
нения (2.50) и (2.51), получаем следующие выражения для внутри-
клеточного и внеклеточного потенциалов соответственно через
трансмембранный потенциал U:
и.
Ф1П 1 ~ Л + AWsex
A^in^ex jj
1-Лс + ЛЛп/бех
(2.150)
(2.151)
где Ac = A/S — относительная площадь сечения клеток, которая
в данной модели (параллельные цилиндрические клетки) совпадает
с отношением объема клеток к общему объему ткани.
Потенциал фронта возбуждения будет равен разности вне-
клеточных потенциалов на передней его границе, где трансмем-
бранный потенциал минимален (потенциал покоя Ur), и задней
границе, где трансмембранный потенциал максимален (потенциал
полного возбужения Z7max)-
„ ^(Ап^СХ (Тт Тт ч
Td — 4 __ Я , л 5 /з-\и ШЭХ “
1 Jc5in'3ex
или
<Pd “ & (Umax Uг),
где коэффициент
К ДАп^ех
Аз + ААп Ах
(2.152)
(2.153)
(2.154)
характеризует соотношение между максимальными значениями
разности трансмембранных потенциалов и разности внеклеточ-
ных потенциалов для модели распространения возбуждения
вдоль параллельных волокон.
155
Согласно уравнению (2.140) плотность дипольного момента
эквивалентного двойного слоя будет равна
Js = а К (U max
(2.155)
— ех
"0,5
пи
0,5
Рис. 2.30. Зависимость коэффициента К от
относительного объема клеток ткани и от-
ношения удельных электропроводностей
внутри- и внеклеточной сред
0,35 7
где о — удельная электропроводность эквивалентной среды.
Зависимость коэффициента К от параметра Ас для нескольких
значений о^п/^ех представлена на рис. 2.30. Область наиболее ве-
роятных значений относительного объема клеток Ас и отношения
удельных электропроводностей Oi.i/Оех выделена штриховкой. Вид-^
но, что эта область соответству-
ет довольно широкому диапазо-
7 л fin т ну величин коэффициента К —
от 0,3 до 0,7. В частности, для
параметров сократительной
ткани желудочков Ас = 0,85
[490] и Oin/aex = 0,11 [498] он
приблизительно равен 0,4. При-
нимая С/щах — Uт = 100 мВ и
о = 0,004 См/см для фрон-
та возбуждения, движущегося
вдоль осей клеток, получим по
формулам (2.153) и (2.155) cpd =
== 40 мВ и Js = 0,16мА/см. Эта
оценка базируется на определе-
нии внеклеточного потенциала
для модели ткани в виде парал-
лельных и довольно плотно
упакованных кабелей и на пере-
ходе от этого потенциала к эк-
вивалентному двойному слою источников. Формулируя идеализи-
рованные структуры ткани миокарда и задавая геометрические
соотношения между перемещающимся фронтом возбуждения и
волокнами, можно получить для таких моделей оценки электри-
ческих характеристик фронта возбуждения на основе описанного
подхода [369].
Иной подход состоит в том, что определяется эквивалентный
генератор для отдельной клетки, а затем эквивалентные генерато-
ры всех клеток осредняются на микроскопических участках ткани.
Сформулируем клеточный эквивалентный генератор в виде ди-
польных источников, распределенных по объему цилиндрической
клетки, описываемый уравнением (2.110). В такой модели пред-
полагается, что при определении интенсивности клеточного экви-
валентного генератора можно пренебречь сопротивлением внекле-
точной среды по сравнению с внутриклеточным, причем все паде-
ние трансмембранного потенциала приходится на внутриклеточ-
ное сопротивление. Далее, сведем клеточный эквивалентный ге-
нератор к двойному слою, совпадающему с плоскостью попереч-
ного сечения клетки. Согласно уравнению (2.118) его плотность
156
дипольного момента будет равна
JcS — Фп (Цmax Uг). (2.156)
Если фронт возбуждения перпендикулярен к осям параллель-
ных клеток, то средняя плотность дипольного момента для макро-
скопического участка ткани будет меньше и выражается как
JS = -^c^in (Цmax UT), (2.15 /)
где Ас — относительная площадь сечения клеток. Согласно урав-
нению (2.140) потенциал фронта возбуждения будет равен
<Pd = Лс —— (t/max— UT), (2.158)
где о — удельная электропроводность эквивалентной среды, в ко-
торой существует эквивалентный двойной слой. Это уравнение
аналогично уравнению (2.153), где
К = Асо[п/в. (2.159)
Полагая С7тах — Ur = 100 мВ, = 0,0021 См/см [498],
Ас = 0,85 [490] и о = 0,004 См/см [397] (последняя величина
представляет собой среднюю удельную электропроводность7 мио-
карда в направлении преимущественной ориентации осей клеток),
получаем Js = 0,18 мА/см и <pd = 45 мВ.
Величина ЛсО1п в уравнении (2.157) по смыслу представляет
собой внутриклеточную удельную электропроводность в направ-
лении движения фронта возбуждения, осредненную по макроско-
пической области поверхности фронта. Поэтому такую же форму
выражения для плотности дипольного момента эквивалентного»
двойного слоя можно сохранить, определяя указанную величину
на основе какой-либо иной модели, если описанная кабельная мо-
дель ткани представляется недостаточно обоснованной для кон-
кретных условий. В частности, таким способом можно оценить
интенсивность эквивалентного генератора фронта возбуждения
при любой его ориентации относительно направления осей клеток,
однако для этого должна быть известна указанная средняя по по-
верхности фронта удельная электропроводность внутриклеточной
среды. Например, при оценке интенсивности фронта возбуждения
в работе [18] за основу принято сопротивление электрической
связи между клетками миокарда в направлении поперек осей во-
локон, отнесенное к площади поверхности соседних мембран.
В этом случае среднюю удельную электропроводность в данном на-
правлении можно приближенно выразить как
Оа = z/7?c, (2.160)
где I — размер клетки в этом направлении и Rc — сопротивление
электрической связи между клетками на единицу площади. Тогда
157
уравнения (2.157) и (2.158) принимают вид
/s = -J-(^max-^r) (2.161)
И
Td=^-(^max-^r). (2.162)
С
Последнее уравнение аналогично уравнению, выведенному
в работе [18], и сводится к (2.153), в котором
К = Z/(o/?c). (2.163)
При поперечном размере клетки 20 мкм и 7?с = 10 Ом-см2
[18] уравнение (2.161) дает оценку плотности дипольного момента
двойного слоя для фронта возбуждения, движущегося поперек
осей клеток, Js = 0,02 мА/см. Принимая среднюю удельную элект-
ропроводность ткани миокарда поперек осей клеток о =
= 0,002 См/см, получим по уравнению (2.162) оценку потенциала
для фронта возбуждения, движущегося в стенке сердца радиаль-
но, cpd = 10 мВ.
В заключение сделаем два замечания, касающихся важных
методологических вопросов математического описания генератора
сердца.
Первое относится к понятию эквивалентности генераторов.
Как показывает уравнение (2.140), потенциал фронта возбужде-
ния определяет плотность дипольного момента эквивалентного
двойного слоя с точностью до постоянного коэффициента, равного
средней удельной электропроводности окружающего объемного
проводника ст. Это соотношение демонстрирует неразрывность
определения эквивалентного генератора и задания характеристик
«объемного проводника, в котором существует этот генератор (та-
кой проводник удобно назвать «эквивалентной средой»). Условием
эквивалентности истинного и эквивалентного генераторов являет-
ся равенство создаваемых ими потенциалов, в данном случае вне-
клеточных потенциалов ф^. Следовательно, если задан потенциал
истинного генератора ф^, то между характеристикой эквивалент-
ного генератора Js и характеристикой эквивалентной среды о
имеется однозначная связь. Одну из этих характеристик в принци-
пе можно выбрать произвольно, тогда вторая должна принять оп-
ределенное значение, обеспечивающее равенство потенциалов эк-
вивалентного и истинного генераторов. Более подробно эти вопро-
сы рассмотрены в гл. 3.
Второе замечание касается особенностей пространственной
структуры эквивалентных генераторов макроскопических участ-
ков волны возбуждения. При введении эквивалентного генератора
фронта возбуждения фактически вместо реальной клеточной струк-
туры ткани (в которой области внутриклеточного и внеклеточного
потенциала чередуются, трансмембранный потенциал определен
158
только непосредственно на клеточных мембранах, а биоэлектриче-
ские источники тока существуют лишь в пределах толщины мем-
браны) рассматриваем некую непрерывную среду, в которой ука-
занные электрические характеристики определены как непрерыв-
ные величины. В частности, предполагается, что в каждой точке
этой среды существует трансмембранный потенциал (равный
трансмембранному потенциалу ближайших клеток реального мио-
карда) и внеклеточный потенциал (равный внеклеточному потен-
циалу ближайших межклеточных промежутков реального миокар-
да). Эквивалентные генераторы также рассматриваются как уни-
польные или дипольные источники, непрерывно распределенные
в среде, причем их интенсивность определяется как результат ос-
реднения по пространству интенсивности истинных источников
близлежащих клеток. Это осреднение осуществляется на участках
миокарда, больших по сравнению с отдельной клеткой, но малых
по сравнению с размерами областей миокарда, состояние которых
предполагается оценивать электрокардиологическими методами.
Можно провести аналогию между переходом от элементарных за-
рядов молекул к континуальной среде в классической электроди-
намике и переходом от клеточных генераторов к непрерывно рас-
пределенным генераторам миокарда в электрокардиологии. Неко-
торые следствия этих представлений будут обсуждены в гл. 3.
Макроскопические элементарные генераторы в период репо-
ляризации. Фронт возбуждения, соответствующий фазе быстрой
деполяризации трансмембранного потенциала действия, охваты-
вает узкую область пространства, имеющую пренебрежимо малую
толщину по сравнению с общей протяженностью мышцы сердца
(его толщина обычно не превышает 2 мм). Эта особенность фазы-
деполяризации позволяет с высокой точностью аппроксимировать
соответствующие ей источники тока эквивалентным генератором
в виде бесконечно тонкого двойного слоя, что существенно облег-
чает математическое описание результирующего электрического
поля.
Однако электрические генераторы возникают в миокарде не
только в период его деполяризации, но и в период реполяриза-
ции — восстановления состояния покоя. Об этом прежде всего
свидетельствуют изменения потенциалов, регистрируемые в этот
период времени электрокардиографическими отведениями,— зу-
бец Т, а иногда и смещенный сегмент ST.
Разные фазы реполяризации играют неодинаковую роль в фор-
мировании электрического поля сердца. Первая фаза быстрой ре-
поляризации характерна не для всех клеток сердца, она кратко-
временна и имеет небольшую амплитуду изменения трансмем-
бранного потенциала. Интенсивность возникающих в этот период
источников тока невелика. Кроме того, эта фаза следует непосред-
ственно за фазой быстрой деполяризации, порождающей источ-
ники большой интенсивности и сильное электрическое поле. По-
этому потенциалы, обусловленные первой фазой быстрой реполяри-
159
зации, обычно сливаются с потенциалами деполяризации, и их не
рассматривают отдельно.
Фаза плато в соответствии с ее формальным определением ха-
рактеризуется постоянством трансмембранного потенциала де-
поляризованных клеток сердца. Поэтому в период, когда весь мио-
кард охвачен фазой плато, источники тока и внеклеточное поле
отсутствуют. С этой точки зрения фаза плато аналогична фазе диас-
толы. Однако сказанное справедливо только для сердца, не имею-
щего патологических изменений локального типа. При наличии
таких изменений источники тока могут существовать как в диасто-
лический период, так и в период плато.
В фазе конечной реполяризации трансмембранный потенциал
изменяется во времени, приближаясь к потенциалу покоя, хотя
скорость его изменения значительно ниже, чем в фазе деполяриза-
ции. Если предположить, что скорость распространения всех фаз
потенциала действия приблизительно одинакова и равна скорости
движения фронта возбуждения, то протяженность фазы конечной
реполяризации в пространстве будет больше размеров участков
сердца, охваченных процессом реполяризации. Следовательно,
максимальная разность трансмембранных потенциалов между точ-
ками ткани, находящимися в разных фазах реполяризации, ока-
зывается значительно меньше, чем максимальная амплитуда по-
тенциала действия, а сам процесс реполяризации и порождаемые
им источники тока не локализуются в узкой области, а распреде-
лены по всему сердцу.
Допущение о постоянстве скорости распространения реполяри-
зации не связано с какой-либо гипотезой о физическом механизме
передачи реполяризации от одной точки ткани к другой, а по су-
ществу является следствием предположений о постоянстве скоро-
сти распространения фазы деполяризации и постоянстве длитель-
ности потенциала действия во времени. Иными словами, в качестве
характеристики, определяющей распределение фазы реполяриза-
ции в сердце, вместо скорости распространения реполяризации
можно непосредственно использовать распределение длительно-
сти потенциала действия в сердце. Точнее, разность между ско-
ростями распространения фаз деполяризации и реполяризации
в пространстве равна производной длительности потенциала дей-
ствия в направлении распространения возбуждения. Это иллю-
стрируется на рис. 2.23 для случая распространения возбуждения
по узкому участку миокарда в предположении постоянной скоро-
сти фронта возбуждения (деполяризации) и линейного изменения
длительности потенциала действия вдоль этого участка. Экспери-
ментальные наблюдения показали, что как в норме, так и при па-
тологических изменениях потенциалы действия в разных частях
сердца различаются по длительности. Эти различия определяются
в основном разной длительностью фазы плато, а фазы конечной
реполяризации во всех областях сердца имеют примерно одина-
ковую длительность и крутизну — около —0,5 мВ/мс (например,
160
для сердца собаки были экспериментально найдены величины от
—0,3 до —0,54 мВ/мс, причем для одного и того же животного эта
величина в разных частях сердца отклоняется от среднего значе-
ния не больше чем на 10% [90]). Импульс трансмемб»ранного по-
тенциала действия с небольшой длительностью часто вообще не
содержит фазы плато в строгом смысле слова, так как фаза конеч-
ной реполяризации начинается почти сразу же после фазы депо-
ляризации (см. рис. 2.5). Крутизна ее сначала очень мала, посте-
пенно увеличивается, достигает максимума и перед возвращением
к фазе диастолы вновь уменьшается. В этом случае можно условно
считать фазой плато небольшой участок потенциала действия после
фазы деполяризации, где крутизна потенциала действия мини-
мальна, а следовательно, минимальную интенсивность имеют кле-
точные источники тока.
Малая интенсивность клеточных источников тока и распреде-
ленность их на больших участках пространства при реполяриза-
ции обусловливают электрическое поле с малыми амплитудами и
градиентами потенциала, что затрудняет его исследование как уни-
полярными, так и биполярными внеклеточными отведениями. При-
менение внутриклеточных электродов, регистрирующих трансмем-
бранный потенциал, затруднительно при необходимости измерять
потенциал в глубине мышцы. Кроме того, экспериментальные из-
мерения осложняются тем, что процесс реполяризации очень чувст-
вителен к различным внешним факторам, например, к изменениям
температуры.
Следует еще раз подчеркнуть, что выражение «распространение
реполяризации» можно понимать в двух разных смыслах: либо
как передачу процесса реполяризации от одного участка ткани
к соседним участкам под влиянием электрического тока, генерируе-
мого тем участком, который начинает реполяризоваться раньше,
либо просто как последовательность наступления определенных
фаз реполяризации на разных участках ткани независимо от того,
существует ли физическая передача процесса реполяризации между
соседними участками или же эта последовательность обусловлена
чисто локальными факторами.
Экспериментально показано, что в принципе возможна элект-
рическая передача реполяризации от одного участка миокарда
к другому [21 и др.], однако в настоящее время считается более
вероятным, что последовательность охвата сердца процессом ре-
поляризации определяется почти исключительно локальными фак-
торами. Обсуждение этого вопроса содержится в работе [486].
Как уже указывалось, основной характеристикой потенциала
действия, влияющей на распределение реполяризации в сердце,
является его длительность. Длительность потенциала действия
может зависеть от анатомического и физиологического состояния
клеток, от внешних условий и от патологических изменений ткани
сердца. В связи с трудностью непосредственного измерения длитель-
ности трансмембранного потенциала действия во внутренних об-
6 Л. И. Титомир
161
ластах мышцы сердца для определения этой характеристики ис-
пользовались косвенные методы. В частности, многие исследовате-
ли определяли рефрактерный период — время между моментом
возбуждения клетки и моментом восстановления возбудимости
[76, 151, 378, 485, 486]. Наиболее удобен для этой цели функцио-
нальный рефрактерный период — период времени, за который до-
стигается восстановление возбудимости до уровня, когда порог
возбудимости в 1,5-4-2 раза выше диастолического порога. Экспе-
мс
750 г
Рис. 2.31. Изменение рефрактерного
периода в направлении эндокард
(Эн) — эпикард (Эн) .
График построен по эксперимен-
тальным данным работы [76]
рименты на сердце собаки показали, что в условиях нормы в серд-
це имеется довольно устойчивое распределение длительности ре-
фрактерного периода (которая, по предположению, пропорцио-
нальна длительности потенциала действия); так, рефрактерный
период у эпикарда короче, чем у эндокарда; в правой части меж-
желудочковой перегородки короче, чем в левой; в стенке левого
желудочка и в перегородке у основания сердца короче, чем у вер-
хушки. Типичные величины этих разностей в длительностях со-
ставляют 10 -т- 15 мс между противоположными сторонами пере-
городки, 15 -4- 25 мс между эндокардом и эпикардом левого желу-
дочка и 20 н- 30 мс между верхушкой и основанием сердца (хотя
эти величины имеют значительный разброс и могут в конкретных
случаях выходить за указанные пределы).
Близкие результаты были получены при непосредственном из-
мерении длительности монофазного потенциала действия, регист-
рируемого присасывающимися электродами на поверхности желу-
дочков сердца собаки [90]. Методика последнего типа, по-видимо-
му, дает более надежные результаты, так как кривая изменения
монофазного потенциала, отводимого присасывающимися элект-
родами, фактически совпадает с кривой трансмембранного потен-
циала действия, регистрируемого при использовании внутрикле-
точных микроэлектродов [242, 407].
На рис. 2.31 для примера приведены осредненные данные эк-
спериментов по измерению рефрактерного периода в заднебоковой
области стенки левого желудочка собаки. Следует отметить, что
изменение длительности потенциала действия при переходе от
одной части сердца к другой имеет постепенный, хотя и не всегда
линейный, характер.
162
Среди многих факторов, определяющих различие в длительности
потенциалов действия в разных частях мышцы сердца, наибольшее внимание
привлекли температурные градиенты. Зависимость длительности потенциала
действия от температуры ткани является экспериментально подтвержден-
ным фактом. Неравномерное распределение температуры в сердце должно
повлечь за собой соответствующую неравномерность длительности потен-
циала действия. Известно, что 'эпикард !в нормальных условиях примерно
на Г С теплее, чем полость сердца [^90]. Измерения [181, 380] показали, что
у собаки в стенке левого желудочка сердца температура изменяется в направ-
лении, перпендикулярном к поверхности стенки, причем максимум темпе-
ратуры всегда находится в наружной половине стенки и в среднем на 0,5° С
выше температуры полости. Таким образом, в левом желудочке эндокард
всегда холоднее, чем субэпикардиальные слои мышцы. В стенке правого же-
лудочка перепад температур примерно вдвое меньше, и максимум достигает-
ся вблизи середины стенки, так же как и в межжелудочковой перегородке.
Полость правого желудочка теплее, чем полость левого, в среднем на 0,1 °C.
В измерениях на сердце человека была найдена максимальная разность тем-
ператур для стенки левого желудочка от 0,21 до 0,42 °C, причем распределе-
ние температуры было близко по форме к распределению в стенке сердца со-
баки [380]. Такое распределение качественно согласуется с распределением
длительности потенциала действия в сердце. Однако большинство авторов
приходит к выводу, что температурные градиенты в сердце недостаточно
велики, чтобы их можно было считать единственной или основной причиной
неравномерного распределения длительности потенциала действия в норме.
Роль температурных градиентов сердца в формировании электрических гене-
раторов при реполяризации окончательно не выяснена [12].
Не вызывает сомнения, что изменения температуры определен-
ных участков сердца под действием внешних условий приводят
к соответствующим изменениям длительности потенциала дейст-
вия на этих участках ткани: нагревание — к уменьшению его дли-
тельности и охлаждение — наоборот, к увеличению длительности
[485, 486 и др.]. Наряду с температурой указывались также и мно-
гие другие факторы, от которых может зависеть как устойчивое
распределение длительности потенциала действия в сердце в нор-
ме, так и изменение этого распределения. К таким факторам отно-
сятся давление, химический состав среды, интенсивность снабже-
ния ткани кислородом, анатомические характеристики клеток мио-
карда, частота возбуждения сердца, неврогенные воздействия на
миокард и др.
Согласно одной из последних гипотез, получившей определен-
ное экспериментальное подтверждение, распределение длитель-
ности потенциала действия по объему миокарда тесно связано с ча-
стотой следования импульсов возбуждения и обусловлено глав-
ным образом влиянием механизмов «натрий-калиевого насоса»
[345].
Была выявлена следующая важная закономерность, связываю-
щая последовательность охвата сердца возбуждением и распреде-
лением длительностей потенциала действия: области желудочков,
6*
163
^возбуждающиеся раньше, имеют более длительный потенциал дей-
ствия (более длительный рефрактерный период), чем области, воз-
буждающиеся позже [76]. Это создает тенденцию к сближению
временных фаз процесса реполяризации в разных частях сердца и
способствует тому, чтобы вся мышца завершала восстановление
приблизительно в одно время. Такая тенденция может играть
защитную роль для предотвращения нарушений ритма сердца.
Итак, распределение временных фаз процесса реполяризации
в .мышце сердца, а следовательно, распределение величин транс-
мембранного потенциала и интенсивности соответствующих кле-
точных источников тока определяется двумя основными фактора-
ми: последовательностью распространения возбуждения (фазы
деполяризации) и распределением длительностей потенциала дей-
ствия. Пространственно-временные соотношения для распределе-
ния трансмембранного потенциала и формирования источников
тока в областях миокарда большого объема оказываются довольно
сложными, однако они подчиняются общим принципам, которые
проиллюстрированы для «одномерного» участка на рис. 2.23.
Реполяризация наступает в данной области тем раньше, чем
ближе она к точке возникновения возбуждения (т. е. чем скорее
придет в нее фронт возбуждения) и чем меньше длительность по-
тенциала действия в этой области. Области, которые реполяризу-
ются раньше, имеют более отрицательный трансмембранный по-
тенциал по сравнению с остальными областями. В результате это-
го возникает внутриклеточный ток от области, реполяризующейся
позже, к области, реполяризующейся раньше. Во внеклеточном
пространстве цепь тока замыкается противоположно направлен-
ными токами (текущими от рано реполяризующейся области к бо-
лее поздно реполяризующейся области). Таким образом, область
более ранней реполяризации становится положительным источни-
ком тока, а область более поздней реполяризации — отрицатель-
ным источником. Соответственно поле вблизи первой области имеет
положительный потенциал и вблизи второй — отрицательный.
Поэтому в униполярном отведении вблизи области более ранней
реполяризации регистрируется положительный зубец Т, а вблизи
области более поздней реполяризации — отрицательный зубец Т.
Взаимное расположение областей положительных и отрица-
тельных источников сохраняется устойчиво на протяжении всей
основной части периода реполяризации, во время которого про-
исходит главным образом изменение интенсивности (величины то-
ка) источников без существенного перераспределения их в прост-
ранстве (хотя определенные пространственные эволюции наблю-
даются в начале и в конце реполяризации). В соответствии с общей
тенденцией распределения временных фаз реполяризации потен-
циалы внеклеточного поля в субэпикарде более положительны, чем
в субэндокарде, и у верхушки более положительны, чем у основа-
ния сердца.
В результате того что в период реполяризации распределение
источников растянуто по всему пространству миокарда и градиен-
164
Рис. 2.32. Влияние температуры эпикардиальной поверхности сердца на рефрактерный
период и форму эпикардиальной электрограммы [483]
I — контрольный опыт; II — охлаждение; III — нагревание. Слева показано много-
электродное игольчатое отведение, ориентированное по нормали к поверхностям эпикар-
да (Эп) и эндокарда (Эн). Сплошные кривые — время возбуждения, штриховые — время
окончания абсолютного (ARP), функционального (FRP) и общего (TRP) рефрактерных
периодов. Справа — электрограммы в униполярном отведении
ты потенциала малы, в экспериментальных измерениях трудно уло-
вить четкую границу между областями положительных и отрица-
тельных источников.
На результаты измерений сильно влияют внешние факторы, в
первую очередь температура. Более конкретно: охлаждение опре-
деленной области ткани изменяет источники тока в сторону отри-
цательности, а нагревание — в сторону положительности. Соот-
ветственно в униполярном отведении вблизи этой области зубец
Т при охлаждении становится более отрицательным, а при нагре-
вании — более положительным по сравнению с нормальными ус-
ловиями [380, 485, 486]. Изменения электрограммы под влиянием
локальных изменений температуры иллюстрируются на рис. 2.32.
В униполярных отведениях, расположенных по разные стороны
от границы между областями с измененной и нормальной темпера-
турой, изменения зубца Т будут иметь противоположный харак-
тер.
165
Для приближенной оценки интенсивности источников тока,
возникающих на макроскопических участках миокарда при репо-
ляризации, определим дипольный момент на единицу площади
поперечного сечения участка миокарда длиной L в соответствии
со схемой на рис. 2.23. Предположим для простоты, что возбуж-
дение распространяется в направлении оси z и что фронт возбуж-
дения имеет форму плоскости, параллельной координатной плос-
кости а;Оу. Рассматриваемый участок ткани считается однородным,
а все электрические характеристики — равномерно распределен-
ными в плоскостях, параллельных плоскости хОу. Таким образом,
все величины изменяются только в направлении оси z. Исходя из
тех же представлений, основанных на кабельной модели, что и
при анализе фронта возбуждения, в соответствии с уравнением
(2.153) получим следующее выражение для разности внеклеточных
потенциалов на границах участка ткани:
Ф2 - ф! = к (U±- и2), (2.164)
где U2 — трансмембранные потенциалы на границах Участка
ткани в рассматриваемый момент фазы реполяризации и коэффи-
циент К определяется уравнением (2.154).
Если задать удельную электропроводность эквивалентной
среды о, то в соответствии с уравнением (2.140) дипольный момент
эквивалентного генератора, отнесенный к единице площади попе-
речного сечения рассматриваемого участка ткани, будет равен
Js (Uy- U2). (2.165)
Величины иг и U2 можно определить, используя соотношения
(2.130) и (2.131), в которых теперь L обозначает длину рассматри-
ваемого макроскопического участка ткани и v — скорость движе-
ния фронта возбуждения на этом участке.
Как и при анализе фронта деполяризации, уравнениями
(2.164) и (2.165) можно пользоваться и в тех случаях, когда ка-
бельная модель (по крайней мере в обычном виде) представляется
недостаточно обоснованной. При этом коэффициент К определяют
из каких-либо иных математических моделей или на основе экс-
периментальных измерений.
Подчеркнем, что здесь подразумевается использование эквива-
лентного генератора в виде двойного слоя, расположенного в сред-
ней плоскости поперечного сечения участка ткани. Поскольку
истинные источники распределены по всему участку, аппроксима-
ция внеклеточного потенциала таким генератором достаточно
точна только на сравнительно больших расстояниях точек на-
блюдения от генераторов, в частности, при электрокардиологиче-
ских измерениях на поверхности тела.
Аналогичный подход позволяет сформулировать макроскопиче-
ские элементарные генераторы для случая поражений сердца, ха-
рактеризующихся наличием токов повреждения в систолический и
диастолический периоды.
ГЛАВА 3
СУММАРНЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ
ГЕНЕРАТОР СЕРДЦА
1. ХРОНОТОПОГРАФИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЗБУЖДЕНИЯ
В СЕРДЦЕ
Предварительные замечания. Процесс электрического возбуж-
дения сердца зависит от анатомической структуры, физиологиче-
ского состояния, патологических изменений, способов стимуляции
миокарда и от других факторов. Здесь будет рассмотрена нормаль-
ная последовательность охвата возбуждением (деполяризация)
и восстановления состояния покоя (реполяризация) основных час-
тей сердца: предсердий, атриовентрикулярной проводниковой си-
стемы и желудочков. Эти данные были получены в основном в ре-
зультате экспериментальных измерений, выполненных разными ис-
следователями при помощи отведения потенциалов от поверхности
сердца и из глубины его мышечной массы униполярными и бипо-
лярными внеклеточными электродами.
Представленные здесь сведения относятся главным образом к сердцу
человека. Поскольку большая часть информации об электрофизиологических
процессах в сердце получена в экспериментах на животных, в основном на
собаках, при попытках применения этих данных к человеку следует учиты-
вать анатомические и физиологические различия между сердцем человека
и сердцем подопытного животного. Сопоставление анатомических особенно-
стей сердца человека и сердца собаки, в том числе анатомо-гистологической
структуры проводниковой системы, с точки зрения их влияния на электро-
физиологические процессы содержится в работе [444]. Подробные сведения
о возбуждении сердца различных животных изложены в монографиях [42,
43].
Описывая распространение возбуждения в разных отделах
сердца, приведем лишь самые элементарные сведения об их ана-
томическом строении. Более подробные данные по анатомии серд-
ца можно найти, например, в книге [68]; современные данные по
анатомии и электрофизиологии проводниковой системы сердца
представлены в обзоре [29].
Деполяризация предсердий [143, 177, 375, 405, 409, 412—414,
450]. В предсердиях поддерживается относительно невысокое дав-
ление (5 -т- 12 мм рт. ст.); соответственно они имеют тонкие стенки,
со средней толщиной около 0,2 см. Простейшее геометрическое
167
представление структуры предсердий — полусфера с перегород-
кой посредине. Такая структура определяет следующие особенно-
сти возбуждения предсердий: где бы ни начиналась деполяриза-
ция, она распространяется в противоположных направлениях до
столкновения фронтов волн, охватывающих полусферу. После
этого распространение прекращается, поскольку вся окружающая
ткань рефрактерна. Это отличает предсердия от желудочков, где
окончание возбуждения происходит главным образом в результате
прихода волн деполяризации к границе между сердечной мышцей
и фиброзными кольцами, отделяющими желудочки от предсердий.
Важные структурные элементы предсердия — мышечные отро-
стки, получившие название правого и левого ушек, области впа-
дения полых вен в правое предсердие и легочных вен в левое пред-
сердие. Мышечная ткань предсердий простирается на значительное
расстояние вдоль стенок вен, особенно характерно это для сердца
собаки. Межпредсердная перегородка образует анатомический
каркас для прохождения волн возбуждения от синусового узла
к атриовентрикулярному узлу. Здесь предполагается наличие
предпочтительных путей распространения возбуждения между
узлами.
Электрическая активность предсердий в норме начинается в
синусовом узле (структуре длиной 1,5 2,5 см и шириной 0,4 -4-
-4-0,7 см), содержащем клетки водителя ритма. Определить точную
локализацию водителя ритма не удается, так как происходит поч-
ти одновременное возбуждение многих клеток в довольно обшир-
ной области у правой границы верхней полой вены. На самом ран-
нем этапе возбуждения его фронт имеет эллиптическую форму и
движется радиально от области синусового узла (со скоростью
около 100 см/с) к границам обоих предсердий и межпредсердной пе-
регородки. Последовательные положения фронта возбуждения на
поверхности предсердий представляются в виде более или менее
концентрических изохронных линий (рис. 3.1). Поверхность фрон-
та возбуждения пересекает тонкую стенку предсердия перпенди-
кулярно к обеим ее поверхностям, двигаясь вдоль стенки со ско-
ростью 30 -т- 80 см/с.
Нормальное распространение возбуждения в предсердиях мож-
но рассматривать состоящим из трех расходящихся волн, движу-
щихся вниз от синусового узла. По отношению к телу возбужде-
ние сначала направлено вправо и вперед, позже — влево и назад.
Правое предсердие в норме возбуждается раньше левого. Послед-
ней возбуждается задненижняя область левого предсердия у ле-
вых нижних легочных вен и конец ушка левого предсердия. Общее
время охвата возбуждением предсердий составляет около 90 мс
у человека и около 50 мс у собаки.
В мышце предсердий! анатомически выявляются несколько ха-
рактерных мышечных пучков, в области которых отмечалась более
высокая скорость распространения возбуждения, чем в сосед-
них областях. Однако достаточно устойчивых результатов наблю-
168
Рис. 3.1. Нормальная последовательность возбуждения предсердий человека [177]
а — вид сверху на правое предсердие и межпредсердную область (правое ушко отвернуто);
6 — вид сзади на правое предсердие. А — аорта, ПУ — правое ушко, ЛУ — левое уш-
ко, ВПВ — верхняя полая вена, НПВ — нижняя полая вена. У изохронных линий ука-
зано время в миллисекундах относительно момента наиболее раннего возникновения
возбуждения на поверхности предсердий
дений, которые бы окончательно подтвердили наличие путей пред-
почтительного распространения возбуждения в стенках предсер-
дий, пока не получено.
Общее направление распространения возбуждения в межпред-
сердной перегородке — сверху вниз и сзади вперед. Обычно воз-
буждение перегородки начинается в верхней части пограничного
гребешка правого предсердия. По мнению ряда исследователей,
между синусовым и атриовентрикулярным узлами имеются три
пути предпочтительного проведения, по которым возбуждение
передается быстрее, чем по соседним мышцам. Однако карты изо-
хрон межпредсердной перегородки, полученные в экспериментах
на сердце собаки и кролика, не выявляют узких межузловых пу-
тей передачи возбуждения с фиксированной локализацией. Фронт
возбуждения состоит из участков, соответствующих по протяжен-
ности крупным анатомическим элементам перегородки.
Соотношение между скоростями разных участков фронта воз-
буждения сильно зависит от общей последовательности возбужде-
ния предсердий. Более быстрое распространение возбуждения
в определенных направлениях и в определенных областях пред-
сердий можно объяснить не только наличием специализирован-
ных трактов проведения, но и просто анатомо-гистологической
организацией клеток сократительного миокарда. В частности,
если в некоторых узких областях продольные оси клеток имеют
преимущественно параллельное направление, то скорость распро-
странения возбуждения в направлении осей клеток будет выше,
169
чем в тех областях, где клетки имеют менее регулярную ориента
цию. Кроме того, скорость будет выше в тех областях, где клетки
имеют большие размеры. По-видимому, вопрос о наличии и рас-
положении специализированных путей проведения в предсердиях
нельзя считать окончательно решенным. Критическое обсуждение
современного состояния исследований в этой области можно най-
ти в работах [29, 405, 444].
Деполяризация атриовентрикулярной проводниковой системы
[405, 409, 412, 413,444,481]. Атриовентрикулярный узел распо-
ложен у заднего правого края межпредсердной перегородки,
имеет ширину около 0,3 см и длину 0,5-4— 1 см. Он пролегает по
межпредсердной и межжелудочковой перегородкам и в своей
нижней части постепенно переходит в пучок Гиса, точнее, в его
общий ствол. Функциональная граница между собственно предсер-
дием и атриовентрикулярным узлом может изменяться, так как
она зависит от направления прихода к нему возбуждения. Пучок
Гиса образует основное мышечное соединение между предсердия-
ми и желудочками. Длина общего ствола пучка Гиса 1,5-г- 2 см,
толщина 0,1-4— 0,4 см. Пройдя через атриовентрикулярную борозду,
углубленную в соединительную ткань в верхней части межжелу-
дочковой перегородки, общий ствол пучка Гиса разделяется на
две части — правую и левую ножки. Правая ножка, геометриче-
ски являясь продолжением общего ствола, проходит по правой
стороне межжелудочковой перегородки сначала в ее наружных
слоях, затем несколько углубляется и, вновь приближаясь к
поверхности перегородки, достигает передней папиллярной мыш-
цы, где разделяется на три ветви. Левая ножка, имеющая значи-
тельно меньшую длину, чем правая, расположена в наружных
слоях левой части межжелудочковой перегородки и начинает да-
вать разветвления сразу же после отделения от общего ствола.
Она разделяется на две главные ветви — переднюю и заднюю
и далее распадается на множество отдельных мелких ветвей.
Основной структурный элемент ножек пучка Гиса — это прядь
Пуркинье. Функционально одиночная прядь содержит несколько
отдельных волокон, но возбуждение распространяется в ней как
в одной длинной клетке (одним фронтом). Внутри пряди имеется
густое распределение контактных зон с низким сопротивлением
между отдельными волокнами.
Разветвления ножек пучка Гиса достигают субэндокардиаль-
ных слоев стенок желудочков и переходят в периферическую сеть
волокон Пуркинье. Эта сеть, весьма густая в субэндокардиаль-
ных слоях, становится реже по мере удаления от эндокарда и
приближения к эпикарду. Ее интенсивность в стенках желудочков
и в межжелудочковой перегородке уменьшается в направлении от
верхушки сердца к основанию.
Важной особенностью сети волокон Пуркинье является то, что
она образуется не просто как последовательность разветвлений.
Ее волокна имеют множество взаимных соединений, которые слож-
170
ным образом влияют на взаимодействие приходящих волн воз-
буждения.
Распространяющиеся в предсердиях от синусового узла волны
возбуждения подходят с двух сторон к области атриовентрикуляр-
ного узла по истечении примерно двух третьих периода деполя-
ризации предсердий. В области непосредственно над атриовентри-
кулярным узлом скорость распространения возбуждения резко
уменьшается (примерно до 5 см/с). По-видимому, это объясняется
определенными анатомическими и электрофизиологическими свой-
ствами клеток этой области (малые размеры, особые свойства мемб-
ран), а также геометрической организацией их связи с основной
частью атриовентрикулярного узла. Внутри самого узла ско-
рость распространения несколько больше (до 10 см/с). После воз-
буждения атриовентрикулярного узла начинают возбуждаться
волокна Пуркинье общего ствола пучка Гиса. Возбуждение рас-
пространяется по пучку Гиса и его ножкам с высокой скоростью
(в среднем 200-н300 см/с). Далее оно переходит на сеть субэндо-
кардиальных волокон Пуркинье, быстро ее охватывает и продол-
жает распространяться широким фронтом в волокнах Пуркинье
и главным образом в сократительных клетках основной массы
миокарда желудочков. Период времени от начала деполяризации
предсердий (начала зубца Р электрокардиограммы) до начала де-
поляризации обширных областей желудочков (начала комплекса
QRS электрокардиограммы) в норме равен 0,12н-0,2 с у человека
и около 0,08 с у собаки. При повышении частоты стимуляции пред-
сердий задержка в атриовентрикулярном узле увеличивается, и
в итоге наступает блокада, т. е. полностью прекращается передача
возбуждения на желудочки.
Подробное обсуждение возможных механизмов задержки пе-
редачи возбуждения в атриовентрикулярном узле содержится
в работе [405].
Деполяризация желудочков [44, 143, 174, 176—178, 409—414,
444]. Давление в полостях желудочков значительно выше, чем в
предсердиях: при сокращении сердца в правом желудочке дости-
гается давление 25 мм рт. ст., в левом желудочке — 125 мм рт. ст.
В соответствии с этим желудочки имеют более толстые стенки,
чем предсердия, причем стенка левого желудочка примерно втрое
толще, чем правого. Межжелудочковая перегородка имеет такую
же толщину или несколько толще, чем свободная стенка левого
желудочка. У взрослого человека в норме толщина стенки правого
желудочка составляет около 0,5 см, а толщина средней части
стенки левого желудочка 1,6-н2 см.
Сначала опишем последовательность охвата возбуждением ос-
новных отделов желудочковой части сердца человека в соответ-
ствии с данными, полученными при непосредственных измерениях
на нормально функционирующем анатомически изолированном
сердце [177]. Карты фронтов возбуждения, изображенных изо-
хронными линиями для последовательных моментов времени воз-
171
172
Рис. 3.2. Нормальная последовательность возбуждения желудочков сердца человека [ 177]
а — изохронные линии фронта возбуждения в] поперечных сечениях сердца; б — изо-
хронные линии в продольном сечении сердца (представлены два экспериментальных слу-
чая); в — изохронные линии на поверхности эпикарда. Указано время в миллисекундах
относительно момента наиболее раннего отклонения потенциала в полости левого желу-
дочка. А — аорта, ЛП — левое предсердие, ПП — правое предсердие, ЛЖ — левый же-
лудочек, ПЖ — правый желудочек
буждения желудочков, показаны на рис. 3.2. Моментом начала
возбуждения желудочков, т. е. нулевым моментом, от которого
ведется отсчет времени, считается момент появления сигнала
(отклонения от изопотенциальной линии) в отведении от полости
левого желудочка.
Процесс возбуждения левого желудочка начинается с того,
что в пределах первых 5 мс (от нулевого момента времени) почти
одновременно возбуждаются три эндокардиальные области: об-
ласть в верхней околоперегородочной части передней стенки не-
посредственно под местом крепления митрального клапана, про-
стирающаяся примерно на 2 см к верхушке и передней сосочко-
вой мышце; область в центре левой поверхности межжелудочковой
173
перегородки; область в околоперегородочной части задней стенки
примерно на 1/3 расстояния от верхушки до основания.
В период от 5 до 10 мс эти три области быстро расширяются,
к 15-4-20 мс сливаются, и возбуждение уже охватывает большую
часть внутренней поверхности желудочка, за исключением отдель-
ных участков заднебазальной, среднебоковой и передневерхушеч-
ной областей. Движение фронта возбуждения по этой поверхности
происходит значительно быстрее, чем в направлении к эпикарду.
Через 30 мс после начала возбуждения фронт охватывает всю эту
поверхность, за исключением заднебазального участка. К этому
времени возбуждение уже достигает эпикардиальной поверхно-
сти в тех местах, которые находятся напротив областей наиболее
раннего возбуждения эндокарда. Фронт возбуждения продолжает
двигаться в стенке левого желудочка к эпикарду, причем его изо-
хронные поверхности в последовательные моменты времени со-
храняют более или менее концентричное расположение. Последней
возбуждается заднебазальная, иногда заднебоковая область ле-
вого желудочка.
Возбуждение правого желудочка начинается с эндокардиаль-
ной области у передней сосочковой мышцы в период 5—=—10 мс пос-
ле начального момента возбуждения или несколько позже. Затем
возбуждение быстро распространяется на межжелудочковую пе-
регородку и соседнюю свободную стенку правого желудочка.
После 20 мс происходит прорыв фронта возбуждения на эпикар-
диальной поверхности («эпикардиальный прорыв») в претрабеку-
лярной области. Изохронные поверхности фронта возбуждения
здесь расположены не концентрично, и направление распростра-
нения возбуждения близко к тангенциальному по отношению к
поверхностям стенки желудочка. К 60-н70 мс возбуждение дости-
гает конуса легочной артерии и заднебазальной области правого
желудочка.
Возбуждение межжелудочковой перегородки начинается на
ее левой стороне в средней части и в нижней части у задней стенки
левого желудочка. Общее направление движения фронта возбуж-
дения — слева направо и от верхушки к основанию. Позже воз-
буждение возникает и па правой поверхности перегородки, в ее
средней и передней частях. Относительная значимость волны воз-
буждения, движущейся справа налево, может быть различной.
Примерно через 45 мс волна возбуждения, движущаяся в перего-
родке, достигает области наджелудочкового гребня, где сливается
с фронтом возбуждения, приходящим сюда по свободной стенке
правого желудочка.
Скорость распространения возбуждения в основной массе
миокарда стенок желудочков и межжелудочковой перегородки
(по нормали к фронту) в среднем равняется около 40 см/с, а в
эндокардиальной сети волокон Пуркинье — около 200 см/с.
Когда возбуждение выходит из толщи стенки на эпикардиаль-
ную поверхность желудочков, фронт возбуждения разрывается
174
и линия его пересечения с эпикардом соответствует границе меж-
ду возбужденной и невозбужденной областями поверхности же-
лудочков. Движение этой замкнутой изохронной линии характе-
ризует процесс охвата возбуждением поверхностного слоя миокар-
да желудочков (рис. 3.2, в). Возбуждение, достигающее поверх-
ности эпикарда в разных местах, может привести к образованию
нескольких таких замкнутых линий. По мере охвата поверхности
желудочков возбуждением отдельные возбужденные области сли-
ваются в одну. Ранний эпикардиальный прорыв, соответствующий
началу возбуждения эпикарда, возникает в претрабекулярной
области правого желудочка в период 20н-25 мс после начала воз-
буждения желудочков. Отсюда возбуждение распространяется
более или менее радиально к верхушке и основанию сердца, при-
чем последней возбуждается заднебазальная часть правого же-
лудочка, область предсердно-желудочковой борозды и конуса
легочной артерии. Распространение возбуждения по эпикарду
левого желудочка имеет более изменчивый характер. Здесь на-
блюдались три ранние области эпикардиального прорыва: малая
область передней околоперегородочной поверхности вблизи пред-
сердно-желудочковой борозды; область передней околоперего-
родочной поверхности на половине расстояния между верхушкой
и основанием сердца; область задней околоперегородочной поверх-
ности примерно на половине расстояния между верхушкой и ос-
нованием сердца. В некоторых случаях появляется небольшая
область раннего эпикардиального прорыва у задней части вер-
хушки сердца. Последней обычно возбуждается левая около-
перегородочная поверхность у задней части основания сердца, хо-
тя в некоторых случаях возбуждение заканчивается ближе к бо-
ковой области.
Расхождения в описании последовательности возбуждения эпи-
карда (особенно левого желудочка) у разных авторов объясняют-
ся, по-видимому, значительной изменчивостью изохронных линий
фронта возбуждения на поверхности сердца, их чувствитель-
ностью к форме этой поверхности. Эта изменчивость обусловлена
тем, что поверхность фронта возбуждения при подходе его к эпи-
карду ориентирована почти параллельно поверхности эпикарда
(см. рис. 3.2, а, б).
В последнее время регистрацию распространения возбужде-
ния по поверхности сердца — эпикардиальное картографирование
возбуждения — все чаще применяют для диагностики нарушений
проведения и других патологических изменений сердца при опе-
рациях на сердце (см., например, [200]).
При рассмотрении пространственно-временных характеристик
распространения возбуждения, полученных в экспериментах на
изолированном сердце, следует иметь в виду, что в изолирован-
ном препарате скорость проведения может быть существенно
(иногда на 50%) выше, чем в естественных условиях [177].
175
176
Рис* 3.3. Последовательность возбуждения сердца собаки в норме (а) и при блокаде левой
ножки пучка Гиса (б) 113]
Затемнена возбужденная область* Внизу указано время в миллисекундах относительно
начала комплекса QRS
Экспериментальное исследование сердца плода человека по-
казало, что общий характер распространения возбуждения в нем
такой же, как у взрослого человека. Однако в межжелудочковой
перегородке возбуждение всегда движется только слева направо
(отсутствует составляющая фронта, движущаяся справа налево).
В центральной части перегородки фронт движется в направлении,
перпендикулярном к ее поверхности, а в верхушечной и базаль-
ной областях приобретает тангенциальное направление [143J.
Весьма подробно была изучена хропотопография распростра-
нения возбуждения в желудочках сердца собаки. Согласно описа-
нию, приведенному в работе [413], в сердце собаки быстрое воз-
буждение эндокарда создает в обоих желудочках деполяризован-
ные области в форме неполных конусов, охватывающих часть
обеих свободных стенок и межжелудочковой перегородки (рис.
3.3, а). В период 5-н10 мс после начала возбуждения желудоч-
ков (которое, по предположению, совпадает с началом комплекса
QRS электрокардиограммы) эти области расширяются в резуль-
тате движения фронта в направлении эпикарда свободных стенок
и к центру перегородки. Через 12 мс после начала возбуждения
две указанные области фронта соединяются в перегородке, и фронт
прорывается на поверхности более тонкой стенки правого желу-
дочка. В результате прорыва на передней правой эпикардиальной
поверхности здесь больше нет границы между возбужденной и не-
возбужденной тканью, ориентированной противоположно грани-
цам, находящимся в левой и задней частях сердца. К 18 мс закан-
чивается охват возбуждением левой и правой частей передней
поверхности желудочков. В это время узкая полоса мышцы, прости-
рающаяся от основания до верхушки в заднебоковой области стенки
левого желудочка, а также часть базальной области перего-
родки остаются еще не возбужденными. К 25 мс не охвачены воз-
буждением только малые участки в задней части стенки в основа-
нии левого желудочка и в базальной части перегородки. Здесь
фронт возбуждения, направленный от верхушки к основанию, сох-
раняется до конца комплекса QRS. Последней возбуждается об-
ласть основания межжелудочковой перегородки на границе с
предсердиями.
Как подчеркивается в работе [44], в ряде участков свободной
стенки желудочков, особенно под сосочковыми мышцами, воз-
буждение сначала проникает по отдельным волокнам во внутрен-
ние слои миокарда, откуда волна возбуждения движется одновре-
менно к эндокарду и эпикарду. В этих участках возможны также
изменения направления движения волны на противоположное.
Общая последовательность возбуждения сердца собаки очень близка
к последовательности возбуждения сердца человека, хотя имеются и некото^
рые различия между ними.| В частности, скорость распространения возбуж-
дения в желудочках сердца собаки составляет 50 -ь 60 см/с, т. е. примерно
вдвое больше, чем у человека. Различия могут быть обусловлены некоторы-
ми особенностями анатомического строения сердца человека и собаки; на-
17Q
пример, в сердце человека эндокардиальная сеть волокон Пуркинье менее
глубоко проникает в толщу стенки желудочков.
В работе [413] отмечаются следующие отличительные черты распростра-
нения возбуждения в сердце собаки и человека: в ранний период возбужде-
ния межжелудочковой перегородки, по-видимому, у человека более выраже-
но направление возбуждения слева направо от левой ножки пучка Гиса;
в начале возбуждения желудочков у человека также более выражено возбуж-
дение в боковой стенке левого желудочка; область вблизи правой части пере-
городки, первой воспринимающая возбуждение от правой ножки пучка Гиса,
у человека сравнительно мала. В сочетании с увеличением составляющей
фронта возбуждения в левой части это акцентирует направление возбуждения
в перегородке слева направо. Указанные особенности распространения воз-
буждения в сердце человека обусловлены как более интенсивным разветвле
нием левой ножки пучка Гиса, так и менее интенсивным'разветвлением пра-
вой ножки. Сейчас не ясно, возбуждается ли базальная часть межжелудоч-
ковой перегородки у человека в самом конце комплекса QRS, как и у соба-
ки, хотя достоверно известно, что базальные части левой и правой стенок воз-
буждаются очень поздно. Для того чтобы сопоставить хронотопографические
характеристики распространения возбуждения в сердце собаки и в сердце
человека в одном временном масштабе, нужно значения времени для каждой
изохронной поверхности сердца собаки увеличить примерно в 2,5 раза, так
как деполяризация желудочков у собаки длится около 35 мс, а у человека —
около 80 мс.
Распространение возбуждения в сердце обезьяны очень близко по хроно-
топографии и распространению возбуждения в сердце человека и собаки.
Обзор основных этапов экспериментального исследования распростра-
нения возбуждения в сердце, обсуждение некоторых разногласий между ис-
следователями и нерешенных проблем в этой области можно найти в работе
412].
При многих заболеваниях сердца происходит значительное
изменение хронотопографии распространения возбуждения. Ха-
рактерные изменения ее наблюдались в эксперименте при
блокадах проведения, гипертрофии и других патологических
изменениях сердца. Не останавливаясь на подробном описании
особенностей эволюций фронта возбуждения при разных патологи-
ческих изменениях сердца, приведем лишь одну характерную ил-
люстрацию для случая блокады левой ножки пучка Гиса (рис.
3.3, б).
Реполяризация сердца [76, 409, 413, 442, 444, 449]. Процесс
реполяризации сердца изучен менее подробно, чем процесс депо-
ляризации. Некоторые особенности этого процесса затрудняют
его прямое экспериментальное исследование. Так, при реполяри-
зации в сердце отсутствуют поверхности, резко отделяющие пол-
ностью поляризованные от полностью деполяризованных обла-
стей (как в процессе распространения возбуждения). В связи с
этим клеточные источники тока распределены по обширному
объему, их интенсивность невелика и, следовательно, мала ам-
179/
плитуда внеклеточного потенциала. Кроме того, процесс реполя-
рпзации очень чувствителен к изменениям внешних условий, в том
числе к локальным изменениям, связанным с экспериментальным
вторжением в миокард. Это затрудняет измерение потенциалов
реполяризации в толще миокарда, и процесс реполяризации при-
ходится анализировать на основании измерения потенциалов на
поверхности сердца, в его полостях и на поверхностях тела. Не-
которые факторы, влияющие на распределение внутриклеточного
и внеклеточного потенциалов при реполяризации, обсуждены в
гл. 2, разд. 4.
О характере процесса реполяризации судят главным образом
но форме соответствующих участков электрокардиограммы —
зубца Та для реполяризации предсердий и зубца Т для реполя-
ризации желудочков, а для определения подробной последователь-
ности охвата сердца реполяризацией обычно используют косвен-
ные методы. В частности, широко применяется метод измерения
длительности рефрактерного периода, который является показа-
телем длительности потенциала действия, и, следователь-
но, времени вступления данной области миокарда в фазу ко-
нечной реполяризации. (Заметим, что в дальнейшем говорится
исключительно о фазе конечной реполяризации как наиболее
характерном периоде реполяризации, находящем отражение на
электрокардиограмме.)
Изучение хронотопографии процесса реполяризации предсер-
дий отчасти облегчается тем, что они имеют относительно тонкую
стенку, которую можно рассматривать как двумерную пластину
и считать, что все ее точки на одной нормали к поверхности на-
ходятся в одной и той же фазе возбуждения. Стенки предсердий
охватываются реполяризацией в такой же последовательности,
как и деполяризацией, причем фазы деполяризации и реполяри-
зации частично перекрываются во времени [444].
Если рассматривать реполяризацию предсердий совместно с
общим электрическим процессом возбуждения сердца, то следует
иметь в виду, что эта фаза в норме (как у человека, так и у собаки)
обычно совпадает по времени с деполяризацией атриовентрику-
лярной проводниковой системы и началом деполяризации желу-
дочков. Поэтому отражение реполяризации предсердий на элект-
рокардиограмме обычно маскируется комплексом QRS. Однако
при определенных условиях эти процессы разделяются во време-
ни и реполяризация предсердий проявляется в виде зубца Та.
Изучение процесса реполяризации желудочков осложняется
тем, что необходимо учитывать их трехмерную структуру. В тече-
ние большей части фазы конечной реполяризации желудочки серд-
ца фактически охвачены реполяризацией по всему объему, т. е.
трансмембранный потенциал всех клеток имеет промежуточные
значения между потенциалом полного возбуждения и потенциа-
лом покоя. Однако абсолютные величины трансмембранного по-
тенциала в разных областях желудочков различаются. Между
180
этими областями нет резкой границы, трансмембранный потен-
циал изменяется между ними плавно. Области ранней реполяри-
зации на протяжении всего этого периода имеют более отрицатель-
ные значения трансмембранного потенциала, чем области позд-
ней реполяризации.
Ниже дано краткое описание последовательности реполяри-
зации, полученной в работе [76] на основании измерения рефрак-
терных периодов во многих точках миокарда желудочков сердца
собаки. Очевидно, эта последовательность характеризует оче-
редность наступления в разных частях желудочков лишь одной оп-
ределенной фазы, или уровня реполяризации. Ее нельзя рассмат-
ривать как исчерпывающую хронотопографическую характеристи-
ку всего процесса развития реполяризации. Поэтому будем здесь
называть наступление этой фазы «восстановлением» миокарда.
Обычно последовательность восстановления эпикардиальной
поверхности желудочка аналогична последовательности ее воз-
буждения (рис. 3.4). Область самого раннего восстановления рас-
положена на передней свободной стенке правого желудочка вблизи
верхушки сердца. Затем восстановление «распространяется» кон-
центрически от этого места. Последовательность восстановления
более изменчива на задней, чем на передней, поверхности желудоч-
ков. Однако самое раннее восстановление на задней поверхности
всегда возникает позже, чем на передней, и восстановление у
верхушки завершается раньше, чем у основания сердца. В некото-
рых случаях отдельные области у основания восстанавливаются
так же рано, как и у верхушки на задней поверхности.
Восстановление эндокарда обоих желудочков происходит рань-
ше в некоторых областях у основания, чем у верхушки. Другие
базальные области восстанавливаются позже, чем верхушечные,
а области самого позднего восстановления обычно совпадают с
областями самого позднего возбуждения.
Некоторые области у основания восстанавливаются раньше,
несмотря на более позднее возбуждение этих областей по срав-
нению с верхушкой. Это говорит о том, что у основания собствен-
ный период восстановления короче. Однако базальные области с
самым поздним временем возбуждения восстанавливаются позже,
чем верхушечные.
Соотношение между последовательностью возбуждения и вос-
становления правого желудочка на эндокардиальной поверхности
также иное, чем на эпикардиальной. Как и в левом желудочке,
самое раннее восстановление эндокарда происходит у основания.
Другие базальные области восстанавливаются одновременно с
верхушечными или позже.
В экспериментах, близких к реальным условиям, эндокард
восстанавливался всегда позже, чем эпикард. Это соответствует
известному факту, что в норме рефрактерный период в субэндокар-
диальных слоях длиннее, чем в субэпикардиальных (при изменении
условий эксперимента, например, при нарушении распределения
181
Рис. 3.4. Сравнение последовательностей деполяризации (Деп) и реполяризации (Реп)
на передней (а) и задней (6) эпикардиальных поверхностях желудочков сердца [76]
Время отсчитывается от моментов наиболее раннего возбуждения и наиболее раннего вос-
становления возбудимости соответственно. О — основание, В — верхушка, Л — левая
сторона, П — правая сторона желудочков
температур в желудочках, это соотношение изменяется, и полу-
ченные результаты нельзя безоговорочно переносить на нормаль-
ное сердце).
В общем результаты экспериментальных наблюдений указы-
вают на то, что рефрактерный период (а следовательно, и длитель-
ность потенциала действия) у эндокарда больше, чем у эпикарда,
у верхушки больше, чем у основания, у левой стороны межжелу-
дочковой перегородки больше, чему правой. Сопоставляя эти соот-
ношения с последовательностью распространения возбуждения, ви-
дим, что области, которые возбуждаются раньше, имеют более
длительный рефрактерный период, т. е. существует тенденция
к уравниванию фаз реполяризации в разных частях желудочков.
Важно отметить, что на эпикарде последовательность реполяри-
зации совпадает с последовательностью деполяризации, а на эн-
182
докарде эти два процесса ориентированы отчасти в противополож-
ных направлениях.
Возбуждение значительной части эндокарда завершается за
более короткое время, чем возбуждение эпикарда (это не исклю-
чает позднего возбуждения некоторых базальных участков эндо-
карда). В тех областях, которые очень быстро охватываются воз-
буждением, последовательность распространения возбуждения
мало влияет на последовательность восстановления. В этом слу-
чае основным фактором, определяющим распределение фаз репо-
ляризации, являются собственные свойства ткани — распределе-
ние длительностей рефрактерных периодов (длительностей потен-
циала действия). Однако на уровне эпикарда время, требуемое
для возбуждения, превышает разность в собственных временах
восстановления, так что здесь именно последовательность воз-
буждения определяет порядок восстановления и распределение
трансмембранного потенциала реполяризации.
В нормальных условиях время охвата сердца деполяризацией
в среднем мало по сравнению с разностью длительностей потен-
циала действия в разных частях сердца, так что последователь-
ность реполяризации в основном определяется именно градиен-
тами длительности потенциала действия. Поэтому, если время
охвата сердца деполяризацией уменьшено по сравнению с нор-
мальной длительностью в результате специальной стимуляции
обширной области сердца сильными электрическими импульсами,
то электрическое поле сердца в этот период (характеризуемое
зубцом Т электрокардиограммы) изменяется незначительно. Ес-
ли же стимуляция осуществляется более слабыми импульсами,
возбуждающими лишь небольшие участки сердца, то увеличива-
ется время охвата сердца деполяризацией (за счет удлинения пути
распространения возбуждения) и различие во времени деполяри-
зации разных областей начинает сказываться на последователь-
ности их реполяризации, что приводит к изменению электриче-
ского поля сердца [155].
На основании экспериментов, в которых искусственно изменя-
ли распределение рефрактерных периодов в желудочках сердца
собаки под действием температуры, было высказано предположе-
ние, что границы между областями с разными уровнями трансмем-
бранного потенциала в период реполяризации могут иметь форму
поверхностей, приблизительно параллельных эпикарду и эндо-
карду [153].
2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ СЕРДЦА
В ОКРУЖАЮЩЕМ ОБЪЕМНОМ ПРОВОДНИКЕ
Особенности электрического поля сердда в разные фазы сер-
дечного цикла и способы его визуального отображения. Общей при-
чиной возникновения источников электрического тока в сердце,
а следовательно, внеклеточного электрического поля, является
183
различие уровней поляризации клеток разных областей сердца,
между которыми существует электрическая связь. В нормально
функционирующем сердце такие области возникают в периоды
деполяризации и быстрой реполяризации. Во время деполяри-
зации сердце разделено фронтом возбуждения на две области —
возбужденную (деполяризованную) и еще не возбужденную (по-
ляризованную). Поскольку возбуждение распространяется в про-
странстве, эти области быстро меняют свою конфигурацию. Во
время реполяризации распределение разных уровней поляризации
по объему сердца имеет более пологую форму — между областя-
ми более высокого и более низкого уровня трансмембранного по-
тенциала имеется плавный, постепенный переход, а не скачкооб-
разная граница, как при деполяризации. Расположение областей
высокого и низкого уровня трансмембранного потенциала значи-
тельно более стабильно в пространстве, чем при деполяризации.
В диастолический период (сегмент TQ электрокардиограммы) и
в систолический период (сегмент ST электрокардиограммы) в нор-
ме все клетки миокарда имеют почти одинаковый уровень поля-
ризации и, следовательно, сколь-нибудь значительные электри-
ческие токи и внеклеточное электрическое поле отсутствуют.
В клинической диагностике обычно применяют системы отве-
дений, содержащие относительно небольшое число электродов и
регистрирующие небольшое число сигналов. Это общепринятая
(стандартная) система, многочисленные векторкардиографические
системы, ряд специальных систем. Однако потенциалов, зарегист-
рированных в небольшом числе точек тела, недостаточно для изу-
чения электрического поля во всех подробностях. Поэтому для
исчерпывающего изучения поля нужно отводить потенциалы гус-
той сетью электродов, охватывающей все участки тела, где потен-
циалы могут иметь существенную величину; наиболее важной
областью является поверхность грудной клетки. Потенциалы обыч-
но отводят синхронно однополюсными отведениями или же регис-
трируют последовательно потенциалы групп электродов и затем
синхронизируют их специальными методами.
Для непосредственного визуального анализа электрического
поля используют различные способы оптического и графического
отображения распределения потенциала. Наиболее распространен-
ный способ — построение эквипотенциальных карт, т. е. графи-
ков, на которых изображены линии постоянных значений потен-
циала, взятых через определенный интервал амплитуды [40, 463
и др.]. Известны и другие оригинальные способы отображения по-
верхностного электрического поля — в виде набора светящихся
точек, яркость которых пропорциональна величинам потенциа-
лов соответствующих отводящих электродов [4, 5], в виде карты
местных векторов градиента потенциала [273], в виде изометри-
ческой перспективной проекции рельефа потенциала [352]. Приме-
ры визуальных отображений распределения потенциала на по-
верхности тела представлены на рис. 3.5.
1*4
Метод визуального отображения оказывает определенное влия-
ние на электрофизиологическую интерпретацию изучаемого элект-
рического поля. Однако различия в интерпретации часто сводятся
лишь к расхождениям в терминологии, так как сами изучаемые
процессы имеют одну и ту же физическую сущность. В дальней-
шем при описании электрического поля мы будем ориентировать-
ся главным образом на данные, представленные в виде эквипотен-
циальных карт, поскольку этот способ визуализации весьма
нагляден, удобен для качественного и количественного анализа
и имеет наиболее широкое распространение.
Распределение потенциала электрического поля сердца на по-
верхности грудной клетки [125, 274, 446, 451, 458—461, 463,
464, 467]. При возбуждении предсердий у человека на поверхности
грудной клетки обычно наблюдается распределение потенциала
с одним максимумом и одним минимумом (рис. 3.6, а). В начале
деполяризации (начальная часть зубца Р электрокардиограммы)
максимум расположен в области под правым соском, ниже груди-
ны, в нижней левой окологрудинной области, в области левого
соска или под левым соском; минимум расположен вблизи пра-
вого грудинно-ключичного сустава, в области правой надключич-
ной впадины или в области правой грудной мышцы. По мере рас-
пространения волны возбуждения в предсердиях максимум дви-
жется влево, к левой сосковой линии, иногда достигая средней
подмышечной линии. Минимум смещается меньше, чаще всего
вниз и влево. Движение максимума влево отражает распростра-
нение возбуждения от правого к левому предсердию. Иногда на-
блюдается второй максимум в нижней левой или спинной области
грудной клетки.
Распределение потенциала при реполяризации предсердий
(зубец Та электрокардиограммы) подобно распределению на ран-
ней стадии деполяризации, но имеет противоположную поляр-
ность. Это указывает на то, что волна реполяризации распростра-
няется в стенках предсердий примерно в том же направлении, что
и волна деполяризации.
Возбуждение атриовентрикулярной проводниковой системы
обычно не находит отражения в изменениях потенциала, регист-
рируемых на поверхности тела, так как небольшая масса ткани,
возбуждающаяся в этот период, является источником тока не-
большой интенсивности.
В начале деполяризации желудочков (начало комплекса QRS
электрокардиограммы) у человека обычно наблюдается распреде-
ление потенциала с одним максимумом на передней поверхности
грудной клетки в верхней или средней грудинной области и одним
минимумом в нижней части задней или левой поверхности
(рис. 3.6, б). Это распределение отражает раннее возбуждение
межжелудочковой перегородки и внутренних слоев стенки пра-
вого желудочка. В дальнейшем минимум смещается к правому
плечу и переходит на переднюю поверхность в области правой
185
186
Рис. 3.5. Некоторые способы визу-
ального представления электричес-
кого поля сердца па поверхности
тела
а — электрокардиотопограмма, ам-
плитуда потенциала характеризу-
ется яркостью светящихся точек
и высотой светящихся столбиков
на экране электронного осциллоско-
па [4, 5];
б — «электрический портрет серд-
ца», стрелки изображают направ-
ление градиента потенциала на по-
верхности тела [273];
в — перспективная проекция, изоб-
ражены линии пересечения по-
верхности распределения потен-
циала с плоскостями, параллель-
ными координатным плоскостям
[352]
ключицы. Максимум перемещается вниз и влево к предверхушеч-
ной области. Примерно у 60 % взрослых людей при этом появля-
ется второй минимум у средней грудинной линии на уровне чет-
вертого реберно-грудинного соединения. Он возникает прибли-
зительно между 15 и 40 мс после начала возбуждения желудочков.
У остальных людей этот минимум не возникает в явном виде,
а среднегрудинная область становится отрицательной в результате
прихода туда минимума из ключичной области. Многоэкстремаль-
ное распределение потенциала сохраняется в течение 3 -н 10 мс,
после чего два минимума сливаются в один обширный минимум
и распределение вновь становится двухэкстремальным. Это рас-
пределение отражает движение основной волны возбуждения серд-
ца в направлении от основания к верхушке. Появление второго
минимума у средней грудинной линии, по-видимому, связано с вы-
ходом фронта возбуждения на поверхность правого желудочка.
Два минимума сливаются, когда заканчивается распространение
возбуждения в стенке правого желудочка, направленное преиму-
щественно от верхушки к основанию сердца. В течение последней
187
трети периода деполяризации желудочков максимум потенциала
движется к левой стороне грудной клетки и достигает спинной об-
ласти. В это время примерно у 60% взрослых людей появляется
новый максимум у верхнего конца грудины, т. е. распределение
вновь становится многоэкстремальным. Оно отражает последова-
тельное возбуждение боковой и задней части стенки левого желу-
дочка и верхней части правого желудочка. Максимум у грудины,
вероятно, обусловлен возбуждением наджелудочкового гребня
и конуса легочной артерии. В общей сложности распределение
потенциала имеет больше двух экстремумов на протяжении 20н-
35 мс. На рис. 3.7 для нескольких случаев показаны участки комп-
лекса QRS, на которых наблюдается такое многоэкстремальное
распределение потенциала.
Потенциалы, обусловленные реполяризацией желудочков (со-
ответствующие интервалу ST и зубцу Т электрокардиограммы),
появляются на поверхности грудной клетки еще до полного исчез-
новения экстремумов потенциала, вызванных процессом деполя-
ризации. Поэтому суммирование полей, порождаемых электриче-
скими источниками процессов деполяризации и реполяризации,
часто приводит к довольно сложному распределению потенциала
(рис. 3.6, в),
В одних случаях в начальный период реполяризации макси-
мум появляется в левой сосковой или подмышечной области, а
минимум — в области правой надключичной впадины. Эти экст-
ремумы добавляются к еще не исчезнувшим экстремумам деполя-
ризации, в результате чего образуется «двойное дипольное
распределение», т. е. распределение с двумя максимумами и двумя
минимумами, которое сохраняется 5-4-10 мс, до полного исчезнове-
ния потенциалов деполяризации. Максимум и минимум реполя-
ризации постепенно увеличиваются по амплитуде и остаются на
поверхности грудной клетки до конца процесса реполяризации.
В других случаях максимум реполяризации появляется в ле-
вой окологрудинной области и расщепляет минимум деполяриза-
ции на отдельные отрицательные области. Суммирование потен-
циалов деполяризации и реполяризации влияет на расположение
экстремумов. После исчезновения потенциалов деполяризации
максимум реполяризации обычно сдвигается к своему «истинно-
му» положению напротив тех частей сердца, которые относитель-
но больше реполяризованы, чем другие части.
Минимум реполяризации в начальный период этого процесса
обычно выражен не очень четко, так как почти равномерно рас-
пределенный отрицательный потенциал занимает обширные облас-
ти в нижней части передней, боковой или задней поверхности груд-
ной клетки. Величины потенциала здесь составляют от 0 до
—0,07 мВ (относительно центральной терминали Вильсона). В пре-
делах 100 мс после начала интервала ST отрицательные потен-
циалы перемещаются в область правой лопатки, правого плеча
и спереди в ключичную и надгрудинную области, где проявля-
188
Рис. 3.6. Пример нормального распределения потенциала электрического поля сердца на поверхности тела человека в
последовательные моменты сердечного цикла [459, 460]
Момент времени, соответствующий каждой карте, отмечен части рисунка. У эквипотенциальных линий указан потен*
вертикальной чертой па электрокардиограмме в цищней Циад в милливольтах, ц — возбуждение предсердий;
190
Рис. 3.6. (продолжение)
б — возбуждение желудочков (под картами изображен растянутый во времени комплекс QRS);
Рис. З.С>.*(продолжение)
в -- переходный период между деполяризацией и реполяризацией желудочков;
7 Л. И. Титомир
Рис. 3.6, (окончание)
г — реполяризация желудочков
со
Рис. 3.7. Комплексы QRS для 15 здоровых испытуемых в стандартном отведении II (или
в других указанных отведениях для 7, 8 и 12-го случаев) [464]
Заштрихованными прямоугольниками выделены участки, на протяжении которых рас-
пределение потенциала на грудной клетке имеет многоэкстремальную («недипольную»)
форму
ется отрицательный экстремум. Это характерно для 75% взрос-
лых людей. У остальных 25% отрицательные потенциалы с самого
начала реполяризации находятся в правой ключичной, лопаточ-
ной или сосковой области.
У человека в норме после полного исчезновения потенциалов
деполяризации распределение потенциала реполяризации оста-
ется дипольным, т. е. содержащим один максимум и один минимум,
до конца процесса реполяризации (рис. 3.6, г). Минимум обычно
сохраняет устойчивое положение в правой лопаточной, ключич-
ной, сосковой области или вблизи яремной ямки. Максимум рас-
положен в среднегрудинной области, у левой окологрудинной ли-
нии, у левого соска или в левой подмышечной области. В послед-
нем случае он вскоре смещается вперед. В течение интервала ST
и первой половины зубца Т максимум остается неподвижным или
незначительно смещается. На протяжении второй половины зуб-
ца Т он обычно сдвигается несколько влево, достигая левой соско-
вой линии или передней подмышечной линии. Разность амплитуд
194
максимума и минимума на протяжении интервала ST и восходящей
части зубца Т увеличивается, а затем быстро уменьшается. Вбли-
зи пика зубца Т максимум в среднем достигает 0,95 мВ, мини-
мум — 0,3 мВ (относительно центральной терминали Вильсона).
Распределение потенциала сердца на поверхности тела у детей разных
возрастов по основным качественным характеристикам очень близко к рас-
пределению потенциалов у взрослых людей, хотя отмечаются и некоторые
отличия, обусловленные особенностями анатомических соотношений между
сердцем и поверхностью тела, а также особенностями структуры сердца на
разных этапах развития организма. Распределение потенциала у новорожден-
ных детей отражает значительное преобладание электрических источников пра-
вого желудочка. Одно из наиболее характерных свойств распределения
потенциала у детей — это относительно более частое присутствие множествен-
ных экстремумов потенциала. Возможно, это объясняется более близким рас-
положением области измерения (поверхности тела) к источникам тока и, сле-
довательно, более подробным отражением сложной конфигурации поля на
этой поверхности.
Довольно подробно изучено распределение потенциала на поверхности
тела собаки и других животных/При общем сходстве эволюций электриче-
ского поля сердца человека и собаки наблюдались различия, которые неиз-
бежны из-за известных различий в расположении сердца и анатомической
конфигурацииТтела. В частности, у собаки в периоды деполяризации пред-
сердий и реполяризации желудочков форма распределения потенциала обыч-
но сложнее (содержит больше экстремумов), чем у человека.
Рядом существенных особенностей характеризуется распределение по-
тенциала сердца на поверхности тела у других животных [42, 43].
Во всех экспериментах по измерению распределения потен-
циала сердца на поверхности тела в норме отмечается значитель-
ный индивидуальный разброс характеристик эквипотенциальных
карт, как у людей, так и у подопытных животных. У одного и того
же испытуемого распределение поверхностного потенциала так-
же имеет определенную изменчивость, связанную с изменениями
физиологического состояния и внесердечных факторов. В част-
ности, распределение потенциала зависит от фазы дыхания, анато-
мического соотношения между органами тела во время измерения
и частоты сердцебиений как в фазе деполяризации, так и в фазе
реполяризации [401, 421].
Соотношение между электрическим процессом в сердце и по-
тенциалом в отдаленных областях объемного проводника. Данные,
полученные при параллельной регистрации электрического про-
цесса в сердце и распределения потенциала на поверхности тела
[123, 125, 274, 446 и др.], подтверждают существование тесной
связи между источниками тока сердца и поверхностным по-
тенциалом. Благодаря этой связи даже при помощи чисто визу-
альной качественной оценки распределения потенциала можно
судить о некоторых важных изменениях структуры генератора серд-
7*
195
Рис. 3.8. Соотношение между структурой фронта возбуждения сердца и электрическим по-
лем в теле (схема, построенная на основании экспериментальных данных для собаки) [1231
Область сердца затемнена, фронт возбуждения изображен в виде светлой поверхности
с плюсами, обозначающими его положительную сторону, и минусами — отрицатель-
ную. В сечении тела показаны линии тока, на его поверхности — эквипотенциальные ли-
нии; а — чашеобразный фронт возбуждения, поле которого близко к дипольному; б —
фронт возбуждения после эпикардиального прорыва и соответствующее ему более слож-
ное поле
ца на протяжении цикла возбуждения. Например, эпикардиаль-
ный прорыв фронта возбуждения практически всегда находит
отражение в виде многоэкстремального распределения потенциа-
ла (рис. 3.8). Многие патологические изменения сердца точно рас-
познаются по поверхностному распределению потенциала [123,
167, 463 и др.]. В то же время было убедительно показано, что по-
дробности структуры сердечного генератора, четко выявляемые
при измерениях на сердце или в непосредственной близости от
него, не удается обнаружить по распределению потенциала на
поверхности тела, особенно если анализ этого распределения ог-
раничивается рассмотрением величины и расположения экстрему-
мов [322 и др.]. Дополнительную информацию можно было бы
получить при учете более полных характеристик распределения
потенциала — формы эквипотенциальных линий, градиентов
196
поля, их изменения во времени и т. д. [78]. Однако это не удается
сделать при обычном визуальном анализе.
Поскольку электрическое поле на поверхности объемного про-
водника определяется как характеристиками генератора тока,
так и характеристиками проводника, различия в распределениях
потенциала на теле у разных испытуемых также определяются
этими двумя факторами — индивидуальными особенностями серд-
ца как генератора и тела как объемного проводника. Для того
чтобы устранить влияние внесердечных факторов, измеряют рас-
пределение потенциалов непосредственно на сердце [442, 449 и
др.], в однородном объемном проводнике вблизи поверхности серд-
ца [63, 318, 465 и др.] или же на поверхности однородной модели
тела, в которую помещают анатомически изолированное перфу-
зируемое сердце [503]. Измерения на малом расстоянии от источ-
ников позволяют более полно исследовать структуру электриче-
ского генератора сердца по сравнению с измерениями на
поверхности тела, так как по мере удаления от генератора многие
особенности пространственного изменения потенциала, отражающе-
го структуру генератора, сглаживаются и становятся труднораз-
личимыми. На рис. 3.9 приведены для примера несколько карт
распределения потенциала на сферической поверхности вокруг
сердца в однородном объемном проводнике. Поверхность измере-
ния удалена от поверхности желудочков в среднем на 1,5 см. Из
приведенных иллюстраций видно, что распределение потенциала
вблизи сердца имеет значительно более сложную форму (в част-
ности, большое количество экстремумов), чем распределение|на
поверхности тела.
Хотя приближение области измерения к источникам — измерение по-
тенциалов на поверхности сердца, в его полостях, в толще сердечной мышцы,
в объемном проводнике у поверхности сердца — позволяет более подробно
охарактеризовать генератор сердца, все же нельзя отождествлять получен-
ные при этих измерениях внеклеточные потенциалы с самими биоэлектриче-
скими источниками тока. Эти источники сложным образом распределены
в пространстве, и потенциал, измеряемый в любой точке сердца, неизбежно
представляет собой сумму потенциалов, генерируемых всеми распределен-
ными источниками, а не только находящимися непосредственно в точке из-
мерения или вблизи от нее. Вклад источников в этот потенциал зависит от их
интенсивности и расположения относительно точки измерения. Не удается
полностью устранить и влияние неоднородности объемного проводника: даже
в экспериментах с изолированным сердцем, погруженным в однородный ра-
створ большого объема, сохраняется неоднородность из-за различия удель-
ных электропроводностей мышцы сердца, внутриполостной крови и наруж-
ного физиологического раствора.
197
Рис. 3.9. Распределение потенциала в однородном проводнике на сферической поверхностие
окружающей сердце, для трех моментов периода деполяризации желудочков [63]
Указаны моменты времени относительно начала комплекса QRS, у эквипотенциальных
линий — потенциал в милливольтах
198
3. ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДОЛОГИИ И ТЕРМИНОЛОГИИ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ ГЕНЕРАТОРА СЕРДЦА
Прямая и обратная задачи электродинамики в электрокардио-
логии. Главной практической целью электрокардиологии является
определение анатомического, физиологического состояния и па-
тологических изменений сердца по измерениям потенциала его
электрического поля, т. е. постановка диагноза. Поскольку бу-
дем рассматривать лишь те аспекты этой проблемы, которые не-
посредственно связаны с анализом электрического поля сердца,
диагностика здесь понимается в более узком смысле — как оп-
ределение «электрического состояния» сердца. Это состояние опи-
сывается некоторой совокупностью характеристик сердца как
электрического генератора. На вопросе конкретного выбора этих
характеристик остановимся несколько позже.
В электрокардиологическом исследовании доступным для из-
мерения является потенциал внеклеточного поля, которое по-
рождается (как и внутриклеточное поле) мембранными биоэлект-
рическими источниками и существует во всем объеме тела и на его
поверхности. Сосредоточим внимание на наиболее типичных спо-
собах электрокардиологического исследования, когда областью
измерения потенциала является исключительно поверхность тела,
и не будем рассматривать специальные виды исследования, при
которых измеряют потенциалы в непосредственной близости от
сердца, в частности, на его поверхности и в полостях.
Поскольку существует физическая связь между генератором
сердца и измеряемым полем, для описания электрического состоя-
ния сердца можно использовать непосредственно распределение
потенциала на поверхности тела. Такой подход находит практи-
ческое применение и реализуется в виде качественного, визуаль-
ного анализа карт распределения поверхностного потенциала.
Однако внеклеточное электрическое поле определяется не толь-
ко собственными характеристиками источников тока сердца, но
и свойствами проводящей среды, в которой они расположены, т. е.
тела. Эта среда влияет на форму распределения потенциала, из-
меняя ее по-разному у разных испытуемых. Поэтому необходимо
отделить собственные свойства генератора от свойств среды, и в
связи с этим возникают две фундаментальные задачи электрокар-
диологии: определение потенциала в области измерения по задан-
ным характеристикам электрического генератора сердца и, на-
оборот, определение характеристик электрического генератора
сердца по измеренному потенциалу. По аналогии с электродинами-
ческими задачами эти задачи электрокардиологии называют пря-
мой и обратной соответственно. Прямая и обратная задачи игра-
ют столь важную роль в электрокардиологии, что трудно предста-
вить себе исследование в этой области, которое в той или иной
степени не требовало бы формулировки и решения этих задач.
Обратная задача соответствует диагностической задаче электро-
кардиологии (в указанном узком смысле).
199
Вообще говоря, не исключена возможность чисто описатель-
ного, или «качественного», подхода к решению прямой и обратной
задач. Такой подход широко распространен в клинической диаг-
ностике, однако он оказывается недостаточным в тех случаях, ког-
да необходимо дать полное количественное представление изучае-
мого электрического процесса с учетом многочисленных влияю-
щих на него факторов. Особенно важное значение приобретает
количественное, или математическое, представление в связи с раз-
работкой методов автоматического решения электрокардиологи-
ческих задач и, в частности, автоматической диагностики. Поэто-
му необходима формальная постановка прямой и обратной задач,
а следовательно, нужно сформулировать математическое описание
сердца как электрического генератора.
Понятие эквивалентного генератора и критерии эквивалент-
ности. Важнейшими общими требованиями к количественному
описанию электрического состояния сердца являются следующие:
достаточная точность и полнота описания, минимальная зависи-
мость от свойств проводящей среды, удобство электрофизиологи-
ческой интерпретации, т. е. установления связи с истинными био-
электрическими генераторами, возможность решения прямой и
обратной задач, достаточная простота структуры.
Первичными, или истинными, источниками электрической
энергии в сердце являются биохимические процессы, происходя-
щие в клеточной мембране, а их характеристикой, которая в прин-
ципе может быть измерена для каждой клетки,— трансмембранный
потенциал. Важная особенность трансмембранного потенциа-
ла — весьма слабая его зависимость от пассивных электриче-
ских свойств объемного проводника, окружающего клетку. По-
этому наиболее полным описанием электрического состояния
сердца было бы описание распределения трансмембранного потен-
циала по всему объему сердечной мышцы, т. е. в каждой клет-
ке. Трансмембранный потенциал фактически не существует как
непрерывное распределение в каждой точке объема, а определя-
ется только на границах клеточной мембраны. Аналогично вне-
клеточное поле в ткани сердца также не является непрерывно
распределенным — оно определяется только в межклеточных про-
межутках *.
♦ Как уже было указано, и трансмембранный потенциал, и потенциал вне-
клеточного поля иногда удобно рассматривать как непрерывно распреде-
ленные величины. При этом в каждой точке пространства трансмембранный
потенциал считается равным среднему трансмембранному потенциалу
близлежащих клеток, а внеклеточный потенциал — среднему внеклеточ-
ному потенциалу близлежащих межклеточных промежутков. Осреднение
осуществляется по области, размеры которой велики по сравнению с от-
дельной клеткой, но малы по сравнению с областями, на протяжении ко-
торых изменение потенциалов учитывается. Тогда в области сердечной мыш-
цы будут одновременно определены непрерывно распределенный транс-
мембранный потенциал и непрерывно распределенный внеклеточный по-
тенциал, связанные межпу собой определенным соотношением.
200
В современной электрокардиологии широко применяют опи-
сание электрического генератора сердца, основанное на формули-
ровке генераторов электрического тока, которые в общем случае
не совпадают с истинными источниками тока, но достаточно пол-
но отражают их свойства и связаны с ними известными соотноше-
ниями непосредственно и (или) через посредство распределения
потенциала поля. Такие генераторы получили название эквива-
лентных генераторов.
Метод эквивалентных генераторов применяется на разных уров-
нях электрокардиологических исследований. Так, при анализе
электрического поля отдельной клетки в гл. 2 использовались
клеточные эквивалентные генераторы, расположенные в однород-
ном неограниченном проводнике, с целью облегчения математи-
ческого анализа поля. В дальнейшем будем рассматривать экви-
валентный генератор для сердца в целом, т. е. для всех источни-
ков тока, одновременно существующих в сердце в данный момент.
Эквивалентный генератор представляет собой совокупность
источников тока известной структуры, которые при заданных
свойствах проводящей среды удовлетворяют принятому критерию
эквивалентности истинного и эквивалентного генераторов. При-
меняются в основном два критерия эквивалентности. Один кри-
терий требует, чтобы в области измерения (например, на поверх-
ности тела или в отдельных ее точках) потенциал эквивалентного
генератора с заданной точностью аппроксимировал потенциал
истинного генератора. Другой критерий требует достаточно
точного совпадения характеристик эквивалентного генера-
тора с некоторыми интегральными характеристиками пространст-
венного распределения источников, образующих истинный гене-
ратор. В дальнейшем будем условно называть эти критерии экви-
валентности аппроксимационным и интегральным соответственно.
Формулировка эквивалентного генератора включает два взаи-
мосвязанных аспекта: выбор структуры эквивалентного генера-
тора и выбор методов определения величин его характеристик с
учетом критерия эквивалентности и заданных характеристик
среды. Рассмотрим отдельно эти аспекты.
В электрокардиологии используется несколько уровней фор-
мального описания источников тока сердца по методу эквивалент-
ного генератора. В качестве эквивалентного генератора самого
высокого уровня (наиболее близкого к истинному) можно выбрать
источники тока, непрерывно распределенные по объему возбуди-
мой мышцы сердца и изменяющиеся во времени в соответствии
с развитием цикла возбуждения сердца. Этот эквивалентный ге-
нератор характеризуется величиной плотности унипольных ис-
точников или плотности дипольных источников. Его связь с ис-
тинными биоэлектрическими источниками и переход от мембран-
ных к непрерывно распределенным источникам были рассмотрены
в предыдущей главе. Очевидно, для полного математического опи-
сания такого эквивалентного генератора требуется бесконечно
201
большое число переменных. Но такое описание не представляет
практического интереса, и им нельзя воспользоваться из-за ог-
раниченной разрешающей способности существующих методов
измерения токов и потенциалов.
Необходима более простая и удобная структура эквивалент-
ного генератора, и ее выбор облегчается некоторыми естественны-
ми свойствами исследуемой электродинамической системы, а имен-
но: истинные источники тока находятся в ограниченной области
пространства — мышце сердца; поверхность тела, на которой
измеряется потенциал, удалена от источников; суммарный ток
всех источников равен нулю; структура элементарных (клеточ-
ных) генераторов близка к дипольной. Важное значение для выбо-
ра эквивалентного генератора имеет реальная протяженность
области измерения потенциала (она может охватывать всю по-
верхность тела или отдельные ее участки, в частности, отдельные
«точки измерения»).
В принципе можно выбирать различные структуры эквива-
лентных генераторов, однако предпочтительными являются идеа-
лизированные генераторы, для которых известны достаточно
простые аналитические выражения потенциала в объемном про-
воднике. Применяемые генераторы подразделяются на непрерывно
распределенные, в том числе объемные генераторы (распределения
унипольных или дипольных источников), поверхностные ге-
нераторы (например, простые и двойные слои), линейные генера-
торы, и дискретные, или точечные, генераторы (например, точеч-
ные мультиполи и диполи).
I Значительная свобода выбора структуры эквивалентного ге-
нератора обусловлена, с одной стороны, физической неоднознач-
ностью источников тока для заданного потенциала во внешней
по отношению к ним области (например, равномерные двойные
слои источников,^разные по форме, но ограниченные одним и тем
же замкнутым контуром, создают во внешней области одинаковые
потенциалы). С другой стороны, она обусловлена конечной вели-
чиной ошибки аппроксимации характеристик истинного генера-
тора, допускаемой заданным критерием эквивалентности (напри-
мер, можно выбрать произвольную точку расположения эквива-
лентного диполя в пределах определенной области, если при этом
ошибка аппроксимации потенциала не превышает установленный
уровень).^
Один и тот же истинный генератор сердца можно описать при
помощи эквивалентных генераторов разных уровней сложности.
Более того, любое, даже весьма точное математическое представле-
ние истинного генератора в принципе является эквивалентным
генератором. Однако имеется существенный качественный раздел
между эквивалентными генераторами, построенными на основе
подробных электрофизиологических данных о характеристиках
источников тока в сердце, которые получены при непосредствен-
ных измерениях электрического процесса в области возбуждаю-
202
щихся клеток, и эквивалентными генераторами, сформулирован-
ными на основе рассмотрения только распределения потенциала
на поверхности тела. Хотя провести совершенно четкую границу
между ними невозможно, все же эквивалентные генераторы пер-
вого типа ближе к истинному генератору, в частности, достаточно
точно отражают его геометрическую конфигурацию, а эквивалент-
ные генераторы второго типа, как правило, проще по структуре
(в соответствии с предъявляемыми к ним более жесткими требо-
ваниями практической применимости для диагностики). В связи
с этим при исследовании электрокардиологических задач понятия
«истинный генератор» и «эквивалентный генератор» часто имеют
относительный смысл: в качестве истинного генератора рассмат-
ривается эквивалентный генератор более высокого уровня (более
близкий к истинному), а в качестве эквивалентного — эквива-
лентный генератор более низкого уровня (сильнее отличающийся
от истинного и имеющий более простую структуру).
Эквивалентные генераторы первого типа предназначаются для
возможно более точного описания истинного генератора и вос-
произведения всех реальных изменений его электрического поля
в зависимости от заданных изменений анатомического, физиологи-
ческого или патологического состояния сердца. Эти изменения по-
тенциала определяются путем решения прямой задачи. Для та-
кого эквивалентного генератора первостепенным требованием яв-
ляется близость к истинному, а требование возможности решения
обратной задачи является необязательным. При исследовании
более простых эквивалентных генераторов или каких-либо иных
методов описания электрического состояния сердца такой экви-
валентный генератор используют как наиболее точную модель,
т. е. фактически отождествляют с истинным генератором. Экви-
валентный генератор такого типа иногда называют прямой мо-
делью генератора сердца.
Эквивалентные генераторы второго типа предназначены преж-
де всего для осуществления диагностической процедуры, первым
этапом которой является определение характеристик генератора
по измеренному потенциалу. Поэтому на первый план здесь вы-
ступает требование практической осуществимости решения обрат-
ной задачи. Требование близости к истинному генератору сохра-
няет свою актуальность, хотя и не играет столь важной роли, как
для эквивалентного генератора первого типа. Эквивалентный ге-
нератор второго типа иногда называют обратной моделью гене-
ратора сердца.
Примерами прямой модели могут служить двойной слой ис-
точников тока или набор большого числа диполей, отражающих
электрическую активность элементарных участков миокарда, а
примерами обратной модели — один диполь с неподвижным цент-
ром или небольшое число диполей, отражающих электрическую
активность крупных участков миокарда.
Второй аспект формулировки эквивалентного генератора —
203
это выбор методов решения электродинамических задач при за-
данной структуре генератора. Здесь решающую роль играют при-
нятые критерии эквивалентности генераторов и свойства среды,
в которой он расположен по определению.
Основным критерием «качества» эквивалентного генератора
здесь считается его способность точно воспроизводить измеряемый
потенциал или же некоторые интегральные характеристики ис-
тинного генератора. Конечно, если предъявить к эквивалентному
генератору требование точного решения конкретных кардиологи-
ческих задач, например, определенных задач диагностики состоя-
ний и заболеваний сердца, то возникает сложная проблема инфор-
мационной адекватности эквивалентного генератора, выходящая
за рамки «чисто электрических» критериев. Эта проблема, требую-
щая специальной разработки, здесь не рассматривается. Заметим
лишь, что эквивалентный генератор, аппроксимирующий с высо-
кой точностью потенциал на всей поверхности тела, фактически
исчерпывает всю доступную и полезную информацию об электри-
ческом поле сердца, и применение каких-либо иных критериев
могло бы привести лишь к упрощению эквивалентного генератора.
В случае, если критерием эквивалентности служит равенство
характеристик эквивалентного генератора интегральным харак-
теристикам истинного генератора, наряду с основными задача-
ми — прямой и обратной — возникает еще одна, вспомогатель-
ная задача, а именно определение характеристик эквивалентного
генератора по заданным характеристикам истинного генератора.
Иными словами, в этом случае возможно определение характе-
ристик эквивалентного генератора либо «с поверхности тела» —
по измеренному потенциалу (предполагается, что имеется метод
определения интегральных характеристик по потенциалу), либо
«изнутри сердца» — по заданным (например, на основании элект-
рофизиологических измерений на клеточном уровне) характерис-
тикам истинного генератора.
При решении всех этих задач подразумевается, что электри-
ческие свойства среды известны. Фактически задание характерис-
тик среды входит в определение эквивалентного генератора. Эти
характеристики можно выбирать до некоторой степени произволь-
но. Сохраняя терминологическое единство, удобно назвать эту
среду ^«эквивалентной» средой, в отличие от «истинной» среды
(неоднородного объемного проводника), в которой существуют
истинные источники. Выбор эквивалентной среды определяется
противоречивыми требованиями: она должна быть достаточно
простой по структуре, чтобы можно было получать решение пря-
мой и обратной задач доступными математическими методами или
методами физического моделирования, и в то же время она не
должна слишком сильно отличаться от истинной среды, так как
это повлечет за собой чрезмерно большие различия между истин-
ным генератором и эквивалентным генератором, определяемым
в результате решения обратной задачи.
204
Для большей наглядности рассуждений можно условно представить
свойства истинной среды, истинного генератора, эквивалентной среды и
эквивалентного генератора некоторыми обобщенными характеристиками. Тог-
да соотношение между ними выражается в следующей обобщенной форме:
произведение характеристики истинного генератора на характеристику
истинной среды и произведение характеристики эквивалентного генератора
на характеристику эквивалентной среды должны, по определению, равняться
одному и тому же измеряемому потенциалу. Следовательно, чем больше
различаются характеристики истинной и эквивалентной сред, тем сильнее
расхождение между истинным и эквивалентным генераторами.
Итак, в методе эквивалентного генератора упрощение анализа
электрического поля сердца достигается по двум причинам: во-
первых, сложное распределение источников тока с неизвестной
структурой заменяется более простым генератором с известной
структурой и, во-вторых, сложная неоднородная среда заменяет-
ся объемным проводником с простой электрической структурой
(обычно однородным объемным проводником). Конечно, эта заме-
на неизбежно приводит к ошибкам в описании истинных источни-
ков тока сердца. Влияние двух указанных факторов на точность
описания генератора сердца удается отчасти разделить и иссле-
довать отдельно.
Заметим, что при анализе ошибок, связанных с одним из них—
пренебрежением неоднородностью среды, будем иногда использо-
вать термин «кажущийся генератор». Этот термин применяется
в математическом, физическом и биологическом моделировании,
когда задаются модель неоднородного объемного проводника и
«истинный» генератор, а затем по распределению потенциала в
модели определяются характеристики генератора, но без учета
неоднородности. Найденный таким методом кажущийся генера-
тор состоит из истинного, или первичного, генератора и вторич-
ного генератора, который характеризует влияние неоднородности
проводника. Различие между кажущимся генератором и задан-
ным истинным генератором служит оценкой ошибок, вносимых
в характеристики искомого эквивалентного генератора, когда
пренебрегают неоднородностью объемного проводника (см. гл. 4).
Таким образом, в методе эквивалентного генератора для мате-
матического описания электрического состояния сердца исполь-
зуются непосредственно характеристики предварительно сформу-
лированного эквивалентного генератора достаточно низкого уров-
ня, обеспечивающего возможность решения обратной задачи.
В таком виде метод эквивалентного генератора, относящийся по
существу к методам моделирования (вместо реального объекта ис-
следования изучается упрощенный объект, обладающий теми же
основными свойствами, что и реальный), был и остается одним
из доминирующих методологических подходов в теоретической
электрокардиологии.
Однако можно использовать и иной вариант этого подхода,
который иногда дает более удобную интерпретацию характеристик
205
исследуемого электрического генератора сердца; его можно было
бы называть параметрическим. В этом случае на распределение
источников сердца не налагается каких-либо жестких ограниче-
ний, а для количественного описания его используются непосред-
ственно некоторые собственные интегральные характеристики ис-
точников типа моментов их распределения в пространстве. (Стро-
го говоря, эти характеристики определяются не для истинного
генератора, а для некоторого эквивалентного генератора высокого
уровня при допущении, что можно пренебречь его отличием от
истинного.) Эффективным математическим приемом для реализа-
ции такого метода может служить мультипольное разложение по-
тенциала. Важное преимущество параметрического метода перед
модельным заключается в том, что интерпретация искомых харак-
теристик не требует замены истинного распределенного генератора
идеализированным генератором слишком простой структуры, ко-
торый в результате отождествления с истинным часто является
причиной неправильной трактовки исследуемого электрического
процесса в сердце. (Для иллюстрации можно привести почти три-
виальные примеры: применение эквивалентного генератора в виде
диполя с неподвижной точкой расположения в модельном методе
и применение суммарного дипольного момента распределенных
источников тока в параметрическом методе.)
Описание генератора сердца при помощи распределения по-
тенциала на заданной поверхности. Иной подход к описанию элект-
рического состояния сердца заключается в том, что его характе-
ризуют распределением потенциала и (или) его пространственной
производной, которые существовали бы на заданной «стандартной»
поверхности при условии, что истинные генераторы находятся в
заданной «стандартной» проводящей среде.
Если источники тока расположены в ограниченной области
пространства, то наблюдения электрического поля тем точнее
отражают структуру генератора, чем ближе к нему наблюдается
поле. Поэтому генератор характеризуют распределением потен-
циала на поверхности, максимально приближенной к сердцу.
В идеальном случае она должна была бы плотно охватывать сна-
ружи мышцу сердца. Для упрощения геометрических соотноше-
ний (и при отсутствии подробных данных о конфигурации сердца)
удобно использовать сферу минимального радиуса, целиком вклю-
чающую сердце. Генератор сердца характеризуется либо распре-
делением потенциала на заданной поверхности, либо распределе-
нием производной потенциала по нормали к этой поверхности,
т. е. плотности тока, пересекающего поверхность. И в том, и в
другом случае существует взаимно однозначная связь между ука-
занной характеристикой генератора и распределением потенциа-
ла на поверхности тела. Для уменьшения зависимости искомых
характеристик генератора от внесердечной неоднородности тела
в качестве стандартной среды удобно задать однородный неогра-
ниченный проводник. Таким образом, использование для описа-
206
ния генератора распределения потенциала или плотности нормаль-
ного тока на окружающей сердце замкнутой поверхности позволя-
ет, во-первых, «приблизиться» к сердцу и, во-вторых, исключить
влияние внесердечной неоднородности тела. Определение потен-
циала в области измерения (на поверхности тела) по распределе-
нию потенциала или по распределению плотности нормального
тока на заданной поверхности, окружающей сердце, иногда назы-
вают прямой задачей, и наоборот, определение потенциала и (или)
плотности нормального тока на окружающей сердце поверхности
по потенциалам, измеренным на поверхности тела,— обратной
задачей. Однако такая терминология^е вполне строга, так как
в данном случае речь идет не о связи между эквивалентным гене-
ратором и его полем, а о связи между характеристиками поля од-
ного и того же генератора, но в разных областях среды и при
разных структурах объемного проводника. Строгое определение
эквивалентного генератора, распределенного на замкнутой по-
верхности, включающей все источники, можно дать на основе
теоремы Грина (см. гл. 1): этот генератор состоит из двойного слоя
с плотностью дипольного момента, пропорциональной значениям
потенциала на этой поверхности, и простого слоя с плотностью
источников, пропорциональной производной потенциала по нор-
мали к поверхности.
Заметим, что два представленных способа описания электри-
ческого состояния сердца (при помощи эквивалентного генератора
и при помощи распределения потенциала на заданной поверхно-
сти) могут применяться совместно. Например, при решении об-
ратной задачи можно по поверхностному потенциалу определить
характеристики эквивалентного генератора, а затем найти потен-
циал, создаваемый этим генератором в стандартной среде на стан-
дартной поверхности вблизи сердца.
Обсуждение ряда методологических вопросов математического
описания генератора сердца и формулировки электрокардиологи-
ческих задач содержатся в работах [11, 63, 72, 105, 165, 208, 209,
363, 455].
Некоторые подходы к решению прямой задачи. Обсудим здесь
основные принципы решения прямой задачи электрокардиологии.
Обратная задача будет рассмотрена в последующих разделах в
связи с описанием конкретных типов эквивалентного генератора
сердца, так как ее решение существенно зависит от структуры ге-
нератора.
При изучении типичных общих закономерностей изменения
электрического поля сердца на протяжении сердечного цикла
полезным может оказаться чисто описательное выражение связи
между генератором сердца и регистрируемыми потенциалами.
Примером такого «качественного», или описательного, решения
прямой задачи может служить объяснение формирования комплек-
са QRS нормальной электрокардиограммы в стандартных отведе-
ниях, представленное в наглядной форме на рис. 3.10. Эта схема
207
Рис. ЗЛО. Формирование] комплекса QRS электрокардиограммы в однополюсных отведе-
ниях от конечностей VR, VLJVF и в грудных отведениях Vi и V6 [410]
В области сердца указаны основные направления электрических сил на протяжении депо-
ляризации желудочков как три вектора, соответствующие зубцам Q, R и S нормальной
электрокардиограммы (перегородочный, левый желудочковый и базальный векторы).
Обычно они наиболее сильно выражены через 10, 40 и 65 мс после начала комплекса
QRS соответственно
построена на основе следующих простых предпосылок: генератор
определяется волнами возбуждения (деполяризации) сердца; в об-
ласти, расположенной спереди от фронта возбуждения, потен-
циал положителен, а в области, расположенной сзади от него,—
отрицателен; чем ближе расположена точка измерения к фронту
возбуждения, тем больше регистрируемый потенциал.
Для решения прямой задачи при помощи чисто математиче-
ского расчета необходимо математическое описание как генератора
тока, так и объемной проводящей среды. Генератор может быть
задан в виде источников, непрерывно распределенных в трехмер-
ном пространстве, на поверхности или вдоль линии, или же в виде
идеализированных точечных источников. Среда задается в
виде распределения удельной электропроводности в пространстве
(обычно используется кусочно-однородная аппроксимация объем-
ного проводника). Электродинамическая задача может быть сфор-
мулирована в трехмерном или в двумерном пространстве (в пос-
леднем случае допускается, что все величины, участвующие в
задаче, не изменяются по одной из трех пространственных коор-
динат).
Наиболее простая проводящая среда — однородный неогра-
ниченный проводник с заданной удельной электропроводностью.
Если заданы генераторы, распределенные по объему, по поверх-
ности или по линии, то создаваемый ими в этой среде потенциал
легко вычисляется по формулам типа (1.19) и (1.24), записанным
применительно к объемной, поверхностной или «линейной» об-
ласти соответственно. Если же заданы идеализированные точеч-
ные генераторы, в частности мультиполи, то их потенциал можно
вычислить при помощи формул (1.36), (1.60) (или (1.69)), в зави-
симости от способа задания компонент мультиполей.
208
Рассмотрим поверхностный генератор с распределенными ди-
польными источниками, ориентированными по нормали к поверх-
ности. Такой идеализированный генератор, получивший название
двойного слоя, играет очень важную роль при исследовании элект-
рического поля сердца на всех уровнях. Его потенциал в одно-
родном неограниченном проводнике выражается как
S
или, учитывая уравнения (2.99) и (2.100), как
<р== (3-2)
S
где J — плотность дипольного момента двойного слоя; dS — век-
тор элемента площади его поверхности; dQ — элементарный телес-
ный угол, под которым виден элемент поверхности dS из точки
наблюдения. Элементарный телесный угол считается положи-
тельным, если нормаль к рассматриваемой поверхности направ-
лена от точки наблюдения [см. также пояснения к уравнениям
(2.99) и (2.100)].
В частном случае, когда плотность дипольного момента J
на всей поверхности двойного слоя постоянна (равномерный двой-
ной слой), потенциал выражается как
(3.3)
где Q — телесный угол, под которым видна из точки наблюдения
вся поверхность двойного слоя. Таким образом, потенциал рав-
номерного двойного слоя определяется только ограничивающим
его замкнутым контуром — краем двойного слоя — и не зависит
от каких-либо других особенностей формы его поверхности. Если
двойной слой замкнут (и обращен отрицательной стороной внутрь),
то для любой точки наблюдения, находящейся внутри двойного
слоя, телесный угол Q равен 4л, а для любой точки наблюдения,
находящейся снаружи, он равен нулю. Если точка наблюдения
находится на самой поверхности двойного слоя, то Q = 2л.
Поэтому внутри замкнутого двойного слоя потенциал равен
— //а, снаружи он равен 0 и на поверхности двойного слоя он
равен — J7(2o).
Теперь предположим, что проводящая среда задана в виде не-
однородного проводника. В этом случае решение прямой задачи
даже для точечных генераторов обычно не удается выразить в виде
конечных формул. Исключение представляют самые простые кон-
фигурации объемного проводника в сочетании с точечными гене-
раторами простой структуры. В качестве примера можно при-
вести проводник в форме бесконечного полупространства, отде-
ленного плоскостью от диэлектрической среды, или же в форме
209
однородного шара, окруженного диэлектрической средой, внутри
которого расположен дипольный генератор. Более подробно ана-
литические решения прямой задачи для разных упрощенных мо-
делей будут рассмотрены в гл. 4 в связи с оценкой влияния неод-
нородности объемного проводника на электрическое поле сердца.
Здесь же остановимся лишь на одном общем подходе к решению
этой задачи численными методами для кусочно-однородного объ-
емного проводника произвольной структуры [102]. Предполагает-
ся, что тело состоит из конечного числа однородных областей
с разными удельными электропроводностями и окружено диэлект-
рической средой, удельная электропроводность которой равна
нулю. При этих условиях из уравнения (1.118) с учетом опреде-
ления телесного угла (2.99) можно получить следующее уравне-
ние, связывающее плотность источников тока сердца I с потен-
циалом <р в точке наблюдения, находящейся в основной области
объемного проводника FB:
n
(р = ^- $ -г^-тсЕ^”^
" VH 1=1 si sB
(3.4)
Здесь применены те же обозначения, что и в уравнении (1.118).
Точку наблюдения можно поместить сколь угодно близко к на-
ружной граничной поверхности 5В или любой внутренней поверх-
ности раздела причем ее потенциал в пределе будет равен по-
тенциалу на этой поверхности. Представим интегралы, входящие
во второе и третье слагаемые правой части уравнения (3.4),
в дискретной^форме, заменив поверхности 5В и конечным чис-
лом малых элементов, которым соответствуют элементарные те-
лесные углы AQ. Предположим, что точка наблюдения помещена
на /-м элементе поверхности 5В. Тогда уравнение (3.4) сводится
к следующему уравнению:
N Mi МВ
+тс- Е - °в) Е - 4- ЕфДйг =
1==1 к—1 1=1
<3'5>
В Vh
где Мг — число дискретных элементов, на которые разбита г-я
внутренняя поверхность, и Мв — число дискретных элементов,
на которые разбита наружная поверхность SB.
В рассматриваемой задаче неизвестными являются величины
потенциала на поверхностях Si и 5В, так что общее число неиз-
N
вестных равно Мв + 3 Записывая уравнение (3.5) для каж-
1—1
дого поверхностного элемента, получим [систему линейных
210
уравнении, число которых равно числу неизвестных величин потен-
циала. Коэффициенты уравнений известны, так как геометричес-
кая конфигурация и удельные электропроводности считаются
заданными. Заметим, что потенциал в точке наблюдения ф; вхо-
дит в уравнение (3.5) не только в виде самостоятельного члена
(первый член левой части уравнения), но и как слагаемое одной
из сумм (второй или третий член левой части), причем элемент
поверхности, на котором находится точка наблюдения, виден из
нее под телесным углом 2л. Полученная линейная система урав-
нений может быть решена, например, при помощи итерационных
методов на ЭВМ.
Если влияние внутренней неоднородности проводника не учи-
тывается (т. е. тело рассматривается как однородный, но ограни-
ченный проводник), то второй член левой части уравнения (3.5)
исчезает и уравнение упрощается:
|мв
= И"' (3'6>
^=1 в vH
Величина в правой части уравнений (3.5) и (3.6) равна потен-
циалу, создаваемому в однородном неограниченном проводнике
распределенным генератором с плотностью источников Z. Может
быть задан не распределенный, а точечный генератор. Например,
если задан мультиполь, то правая часть уравнений будет пред-
ставлять собой известную функцию, описывающую потенциал
соответствующего точечного генератора в однородном неограни-
ченном проводнике. Например, для диполя это будет выражение
(1.45) или (1.50).
Иная формулировка численного метода решения прямой зада-
чи для кусочно-однородного проводника была предложена в ра-
ботах [205, 206]. Здесь в основу расчета положен не скалярный по-
тенциал, как в описанном выше методе, а векторная величина
напряженности электрического поля. Некоторые особенности
этих методов, могущие привести к различиям в эффективности ре-
ализующих их вычислительных процедур, отмечены в работах
[103, 212, 455].
Указанные численные методы в принципе пригодны для реше-
ния прямой задачи при любой геометрической конфигурации
кусочно-однородного проводника, т. е. при любой форме поверх-
ностей раздела между областями с разными удельными электро-
проводностями. Однако при практической реализации методов
система уравнений обычно имеет большую размерность и прихо-
дится использовать итерационные процедуры, которые требуют
специальных приемов для обеспечения быстрой сходимости вы-
числительного процесса к точному решению [96].
Как было указано, в качестве описания генератора сердца
может быть задано распределение потенциала на замкнутой по-
2И
верхности, включающей все источники, или же распределение
нормальной производной потенциала (плотности нормального то-
ка) на этой поверхности. Решение «прямой задачи» для этого слу-
чая можно найти, исходя из уравнения (1.113) (см. [363]). Прак-
тическая реализация метода осложняется большой размерностью
системы уравнений, необходимой для достаточно точного пред-
ставления распределенных характеристик поля, и чувствитель-
ностью решения к ошибкам в исходных данных.
Были получены уравнения, непосредственно связывающие
потенциалы в точках поверхности, окружающей сердце, с потен-
циалами в точках поверхности тела, когда рассматриваемая по-
верхность вокруг сердца имеет форму сферы [304] и произволь-
ную форму [104, 105]. Это достигается путем исключения из урав-
нений нормальной производной потенциала. Поскольку на форму
поверхности, окружающей сердце, при этом не налагается ни-
каких ограничений, в качестве такой поверхности может быть
принята сама наружная поверхность сердца (эпикард). Числен-
ное решение «прямой задачи» для второго случая (определение
потенциала на поверхности тела по заданной нормальной произ-
водной потенциала на поверхности, окружающей сердце) пред-
ставлено в работе [185]. Здесь в качестве поверхности, окружаю-
щей сердце, была выбрана сфера или вытянутый сфероид, причем
рассматривался как однородный, так и неоднородный объемный
проводник.
Иной подход к решению «прямой задачи» основан на введении
промежуточного этапа — определения характеристик эквива-
лентного генератора. Например, по распределению потенциала
на заданной поверхности вокруг сердца можно определить ком-
поненты мультипольного эквивалентного генератора, а затем по
этим компонентам вычислить распределение потенциала на по-
верхности тела.
Возможности теоретического расчета достаточно сложных математиче-
ских моделей объемного проводника и решения соответствующих электро-
динамических задач численными методами появились сравнительно недавно
благодаря развитию цифровой вычислительной техники и методов програм-
мирования. До этого математический анализ электрического поля сердца
ограничивался случаями проводника и генератора простейшей конфигурации,
для которых можно было получить достаточно простые расчетные формулы,
а для исследования более сложных конфигураций проводника (в частности,
имеющих форму грудной клетки человека) широко использовалось физическое
и биологическое моделирование, т. е. воспроизведение электрокардиологи-
ческих явлений на физических или биологических объектах и непосредствен-
ное измерение на них потенциалов электрического поля. Два основных эле-
мента моделей — это электрический генератор и объемный проводник, и каж-
дый из них можно моделировать при помощи искусственного устройства или
определенных”частей исследуемого биологического объекта. Перечислим не-
которые возможные варианты методики моделирования электрического гене-
ратора и поля сердца. При чисто физическом моделировании искусственный
212
генератор (система электродов, питаемых током от внешнего источника)
размещается в объемном проводнике (обычно в растворе электролита, иногда
о включением неоднородности), воспроизводящем тело. При чисто биологи-
ческом моделировании генератором тока является само сердце, а объемным
проводником — тело исследуемого объекта (животного или человека), но ха-
рактеристики генератора или проводника в процессе исследования изменяют
заданным образом (например, изменяют последовательность распространения
возбуждения в сердце, наполненность легких воздухом и т. д.). При сочетании
физического и биологического моделирования возможны два основных под-
хода: введение в область сердца животного или человека искусственного ге-
нератора и измерение его поля в теле или, наоборот, анатомическая изоля-
ция сердца, помещение его в искусственный объемный проводник (обычно од-
нородный) и измерение поля в этом проводнике. Для исследования свойств
отдельных отведений иногда применяют метод, основанный на принципе
взаимности — подают ток от внешнего источника на электроды отведения
и измеряют потенциал создаваемого поля в области сердца модели, определяя
при этом поле отведения (см. гл. 1, разд. 4).
При физическом моделировании возникает задача конструирования ис-
кусственного генератора, возможно точнее воспроизводящего истинный гене-
ратор сердца. Решение этой задачи существенно облегчается благодаря при-
менению упомянутого выше принципа суперпозиции источников тока. Гене-
ратор сердца любой сложности практически удается воспроизвести при помо-
щи сочетания дипольных генераторов с заданными дипольными моментами и
точками расположения. Поля этих элементарных генераторов можно измерять
последовательно, а затем суммировать полученные результаты. Поэтому
в большинстве случаев в качестве физической модели генератора применяют
один или несколько диполей. Возможно построение более сложных модель-
ных генераторов в виде различных комбинаций униполей, диполей и муль-
типолей более высокого порядка. Подробнее об устройстве моделей и полу-
ченных на них результатах будет сказано в следующих разделах этой главы
и в гл. 4.
Если необходимо воспроизвести в реальном масштабе времени сложный
по структуре генератор с изменяющимися характеристиками, то на совокуп-
ность активных электродов задают ток, величина которого изменяется по
определенной программе. Характер изменения тока выбирают в соответствии
с принятыми представлениями об изменениях истинного генератора на про-
тяжении сердечного цикла. Создаваемое модельным генератором электриче-
ское поле непрерывно регистрируется в заданных точках объемного провод-
ника, моделирующего тело’(обычно в виде сосуда с электролитом) [162, 482].
Известны аналоговые электронные модели для воспроизведения элек-
трических потенциалов сердца, не включающие в явном виде модель тела
как объемного проводника, но использующие косвенным образом информацию
о зависимости поля от свойств среды [3, 190].
Все упомянутые модели использовались главным образом для решения
электрокардиологической задачи «в прямом направлении», т, е. для опре-
деления электрического потенциала на поверхности тела (или изменения по-
тенциала в конкретных отведениях) при заданных характеристиках генера-
тора сердца. Если эта задача решается в динамике и визуально воспроиз-
213
водятся электрокардиографические записи в скалярной или векторной форме,
то моделирующую систему иногда называют имитатором электрокардиограмм
или векторкардиограммсоответственно. Имитаторы позволяют наглядно пред-
ставить связь между генератором сердца и электрокардиографической записью
при различных анатомических, физиологических] и патологических усло-
виях и являются полезным средством обучения электрокардиографической
диагностике.
Поскольку прямая и обратная электродинамические задачи
базируются на одних и тех же физических закономерностях, свя-
зывающих генератор с его полем, решение прямой задачи являет-
ся неотъемлемой частью исследования методов решения обратной
задачи. Следовательно, математическое, физическое и биологи-
ческое моделирование играет важную роль при разработке
методов решения обратной задачи.
4. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ГЕНЕРАТОРЫ СЕРДЦА
НЕПРЕРЫВНО РАСПРЕДЕЛЕННОГО ТИПА
Объемные генераторы. Сердце как генератор электрического
тока можно представить эквивалентными генераторами в виде
непрерывного распределения унипольных или дипольных источ-
ников тока во всем объеме мышцы сердца, способной к электри-
ческому возбуждению. В первом случае характеристикой экви-
валентного генератора является скалярная функция объемной
плотности унипольных источников 7, во втором случае — вектор-
ная функция объемной плотности дипольного момента J (эти
величины зависят как от координат, так и от времени, однако бу-
дем рассматривать каждый момент времени отдельно, сосредото-
чив внимание на форме их распределения в пространстве). Как
было указано, эти эквивалентные генераторы фактически являют-
ся результатом осреднения истинных (мембранных) источников
тока в малых объемах ткани. Учтем уравнения (2.136) и (2.138) и,
обобщая уравнение (2.155) на случай объемной плотности диполь-
ного момента и непрерывного пространственного распределения
трансмембранного потенциала произвольной формы, запишем
J = - К± grad U,. (3.7)
где Кг — коэффициент, характеризующий влияние пассивных
электрических и геометрических свойств клеточной структуры
ткани на осредненную интенсивность источников тока.
Следует иметь в виду, что этот коэффициент зависит от направ-
ления движения фронта возбуждения в данной точке в соответ-
ствии с анизотропией ткани сердца.
Объемная плотность унипольных источников согласно урав-
нению (1.11) выражается как
I = - div J - Kr MJ, (3.8)
где символом А обозначен оператор Лапласа.
214
Рис. 3.11. Результаты математического моделирования электрического генератора сердца
и его поля для одного из моментов периода деполяризации желудочков (показанного вер-
тикальной чертой на электрокардиограмме) [319]
На изображении грудной клетки (1 — вид спереди, 2 — вид слева, з — вид сзади) пока-
заны эквипотенциальные линии внесердечного поля, на изображениях сечений сердца —
эквипотенциальные линии распределения трансмембранного потенциала (заштрихована
невозбужденная часть миокарда). У эквипотенциальных линий на поверхности грудной
клетки указан потенциал в милливольтах
Это выражение получено при допущении, что величина Кг
постоянна на рассматриваемом участке ткани.
Эквивалентный генератор объемно распределенного типа об-
ладает большой общностью и наиболее полно описывает истин-
ный генератор по сравнению с эквивалентными генераторами дру-
гих типов. Его отличие от истинного генератора проявляется лишь
на уровне отдельной клетки, и поэтому при исследовании элект-
рического поля сердца в целом этим отличием можно пренебречь.
Решение прямой задачи для указанных эквивалентных генерато-
ров (как и для эквивалентных генераторов других типов) не вызы-
вает принципиальных затруднений. Оно может быть получено
при помощи известных методов, описанных в предыдущем разделе.
Очевидно, при практических расчетах применение численных
методов требует дискретного представления непрерывных харак-
теристик генератора. Такую дискретизацию можно трактовать
как переход от непрерывно распределенного генератора к дис-
кретно распределенному — состоящему из достаточно большого
числа точечных генераторов (см., например, [252, 298, 299]). На
рис. 3.11 представлен пример распределений потенциала на по-
верхности грудной клетки, полученных в результате решения пря-
мой задачи при помощи математической модели. Процедура реше-
215
ния основана на дискретизации заданного объемно распределен-
ного генератора в фазах деполяризации и реполяризации миокар-
да [319].
Используются два уровня моделирования генератора сердца. На первом
уровне желудочки подразделяются на 4000 элементов, для которых на осно-
вании электрофизиологических данных задают последовательность деполяри-
зации и форму изменения трансмембранного потенциала действия во времени.
В частности, задается распределение длительности импульса потенциала
действия по всему миокарду желудочков. По этим данным рассчиты-
вают дипольный момент источников внеклеточного поля каждого элемента
в каждый момент времени. На следующем уровне моделирования миокард под-
разделяют на 23 более крупные области, и суммарную электрическую актив-
ность каждой такой области описывают диполем, у которого дипольный момент
равен сумме дипольных моментов исходных элементов миокарда, вошедших
в данную область. В дальнейшем рассчитывают потенциал на поверхности
однородной модели грудной клетки человека, рассматривая в качестве экви-
валентного генератора эти 23 диполя, расположенные в центрах соответст-
вующих областей сердца, но изменяющих свою ориентацию на протяжении
сердечного цикла. Модель позволила весьма точно воспроизвести распреде-
ление потенциала на поверхности грудной клетки и сигналы стандартных
электрокардиографических отведений^ норме и при ишемических поражениях
сердца.
В то же время объемные эквивалентные генераторы крайне
неудобны для решения обратной задачи, так как для их полного
описания в общем случае потребовалось бы бесконечно большое
число параметров. Как было указано в гл. 1 при рассмотрении
мультипольного разложения потенциала, для произвольного
распределенного генератора обратная электродинамическая за-
дача в принципе не может быть решена однозначно.
Решение обратной задачи для распределенных генераторов (как
объемных, так и поверхностных, которые будут описаны ниже)
связано с трудностями, характерными для некорректно постав-
ленных задач; чтобы преодолеть эти трудности, обращаются к спе-
циальным математическим приемам, например к методам регуля-
ризации [64, 72].
Изучение структуры истинного генератора в различные фазы
возбуждения и при различных состояниях сердца указывает на
возможность применения эквивалентных генераторов более про-
стой конфигурации, в то же время достаточно близких к истинно-
му генератору.
Поверхностные генераторы в виде равномерного двойного
слоя с изменяющейся формой. При деполяризации мышцы серд-
ца истинные генераторы сосредоточены в узкой области прост-
ранства (толщиной 1н-3 мм), соответствующей быстрому пере-
ходу мембран из спокойного в полностью возбужденное состояние.
В предсердиях ширина фронта возбуждения имеет такой же
порядок, как и толщина, благодаря небольшой толщине стенки
216
предсердий, и его удобно представить в виде линии, а источники
тока — в виде линейного генератора — дипольных источников,
распределенных вдоль фронта возбуждения, ориентированных по
нормали к нему и тангенциально к поверхности стенки [77]. При
деполяризации желудочков фронт возбуждения имеет значитель-
ную ширину в тангенциальном направлении. В этот период источ-
ники тока удобно описать эквивалентным генератором в виде рав-
номерного двойного слоя, совпадающего с фронтом возбуждения.
Фронт возбуждения, или изохронная поверхность, перемещается
по миокарду желудочков, непрерывно изменяя свою форму (см.
рис. 3.2). Плотность дипольного момента двойного слоя выра-
жается уравнением типа (2.155) и, по предположению, имеет оди-
наковую величину на всем протяжении фронта возбуждения.
Границами двойного слоя являются линии его пересечения с по-
верхностями, отделяющими возбудимую ткань от невозбудимой.
В норме это внутренние и наружные поверхности мышцы сердца,
и при наличии областей некроза к ним добавляются поверхности
раздела между возбудимым и омертвевшим миокардом. Обычно
возбуждение желудочков возникает на их внутренней поверхно-
сти, и в процессе дальнейшего распространения возбуждения
двойные слои всегда остаются разомкнутыми. Однако при наличии
в толще стенки желудочков патологических очагов возбуждения
в течение определенного времени существует замкнутый фронт
возбуждения, которому соответствует эквивалентный генератор
в виде замкнутого двойного слоя. Он размыкается в момент до-
стижения границы возбудимой ткани.
Изучение механизмов формирования и пространственно-вре-
менных эволюций (хронотопографии) фронта возбуждения в мио-
карде представляет собой самостоятельную сложную проблему,
поэтому здесь не будем останавливаться ни на методологии, ни на
результатах исследований в этой области. Нас интересуют преж-
де всего электродинамические характеристики фронта возбужде-
ния. В дальнейшем обсуждении его геометрическая конфигурация
считается заданной. Здесь будут лишь упомянуты некоторые кон-
кретные математические модели, предназначенные для исследова-
ния хронотопографии фронта возбуждения в сердце по всему объе-
му его основных отделов, т. е. с учетом его анатомического стро-
ения.
Обычно реальную конфигурацию сердца представляют в виде
совокупности конечного числа дискретных элементов, воспроиз-
водящих локальные свойства возбудимой ткани: способность пе-
реходить в возбужденное состояние под влиянием соседнего воз-
бужденного элемента, находиться определенное время в рефрак-
терном состоянии и др. В качестве параметра модели задается
скорость передачи возбуждения между ее элементами, причем
для элементов проводниковой системы скорость имеет большую
величину по сравнению с элементами сократительного миокарда.
Начальные импульсы возбуждения прикладываются к элемен-
217
там, которые должны возбуждаться первыми в соответствии
с электрофизиологическими экспериментальными данными. Для
достаточно подробного воспроизведения хронотопографии возбуж-
дения (с учетом размеров и конфигурации всех возбудимых обла-
стей сердца) модель должна содержать большое число элементов —
порядка нескольких десятков тысяч. Поэтому для реализации та-
ких моделей используют ЭВМ. Процедура математического моде-
лирования осуществляется дискретными шагами во времени. Ис-
следование хронотопографии возбуждения сердца на моделях
такого типа описано, например, в работах [298, 299, 348, 384,
436, 437]. Число дискретных элементов для моделирования пред-
сердий в них достигало нескольких десятков тысяч, для модели-
рования желудочков — около 150 000. Несмотря на использование
несколько различающихся алгоритмов для определения положе-
ния фронта возбуждения, во всех этих работах были получены
последовательности фронтов возбуждения для нормальных и не-
которых патологических условий, сходные с экспериментальными
изохронными поверхностями.
Аналогичные математические модели с числом дискретных эле-
ментов порядка тысячи применялись для исследования формы
электрокардиограмм и векторкардиограмм в период деполяриза-
ции желудочков и в период реполяризации желудочков [85, 252,
403]. Некоторые авторы при изучении распространения возбуж-
дения в сердце использовали упрощенные модели желудочков
сердца или их частей в виде правильных геометрических фигур
(сферы, цилиндра и др.), что позволило описать ряд характеристик
модели при помощи аналитических формул [164, 253, 259].
Как электрофизиологические измерения на сердце животных
и человека, так и указанные модельные исследования дают пред-
ставление об основных геометрических особенностях формы фрон-
та возбуждения. В частности, при возбуждении желудочков по-
верхность фронта в норме всегда разомкнута, причем в начале
периода деполяризации ее граница в виде замкнутой линии на-
ходится на эндокарде, а позже, когда возбуждение выходит на
эпикард, появляются новые границы, так что поверхность фрон-
та может быть ограничена несколькими замкнутыми линиями.
Кроме того, в отдельные периоды времени в сердце могут одновре-
менно существовать два или даже больше отдельных фронтов воз-
буждения.
Напомним некоторые важные электродинамические свойства
эквивалентного генератора в виде равномерного двойного слоя,
совпадающего с фронтом возбуждения. Как видно из уравнения
(3.3), потенциал в любой точке однородного неограниченного про-
водника зависит от плотности дипольного момента двойного слоя
Js, которая в соответствии с уравнением типа (2.155) выражается
как
Js = - Кг (3.9)
(<7д — разность потенциалов на поверхностях двойного слоя),
218
и только от одной геометрической характеристики — телесного
угла £2, под которым наблюдается край двойного слоя. Следо-
вательно, двойные слои любой формы, имеющие одинаковую плот-
ность дипольного момента и общий край (ограничивающий кон-
тур), дают в точке наблюдения один и тот же потенциал. Если
равномерный двойной слой замкнут, то во всем внутреннем про-
странстве потенциал имеет постоянную величину —Js/v, а во
всем^наружном он равен нулю
Рис. 3.12. Внутреннее погашение
волны возбуждения при деполяри-
зации желудочков сердца Д437]
Штриховая линия — площадь фрон-
та возбуждения, пропорциональ-
ная суммарной мощности двойного
слоя; сплошная линия — площадь
проекции фронта возбуждения, про-
порциональная дипольному момен-
ту двойного слоя
Отметим, что если в качестве ха-
рактеристики двойного слоя задана разность потенциалов на его
поверхностях (потенциал двойного слоя), постоянная на всем
его протяжении, то указанные свойства такого равномерного
двойного слоя сохраняются, когда проводник вне этого двойного
слоя имеет неоднородность или анизотропию [315].
Тот факт, что потенциал зависит исключительно от формы гра-
ницы двойного слоя, является следствием взаимного «погашения»
потенциалов противоположных участков двойного слоя в тех слу-
чаях, когда его поверхность имеет искривленную форму. Это внут-
реннее погашение приводит к тому, что суммарная «мощность»
биоэлектрических источников не находит полного отражения в из-
меряемом потенциале. Для того чтобы оценить степень внутрен-
него погашения, определим суммарную мощность равномерного
двойного слоя как сумму модулей элементарных диполей:
W = J JsdS = JsSg, (3.10)
Sg
где Js — скалярная плотность дипольного момента и Sg — об-
щая площадь поверхности двойного слоя, и вычислим модуль сум-
марного дипольного момента двойного слоя:
D = | $ JsdS | = Js | J dS | = JsSgl, (3.11)
sg sg
где Js — векторная плотность дипольного момента и Sgl — пло-
щадь проекции двойного слоя на плоскость, перпендикулярную
к вектору суммарного дипольного момента. На рис. 3.12 представ-
219
лено изменение этих величин на протяжении периода деполя-
ризации желудочков, найденное в результате математического
моделирования процесса распространения возбуждения в сердце
человека [437]. Причина различия этих величин очевидна: в пе-
риод деполяризации (особенно в средней его части) фронт возбуж-
дения имеет чашеобразную форму и его общая площадь сущест-
венно больше площади проекции края (см. рис. 3.2). Если оце-
нить степень внутреннего погашения генератора относительной
разностью этих площадей, то, как показывает график на рис. 3.12,
в нормальных условиях погашение в средней части периода
деполяризации достигает примерно 90%. Аналогичная оценка при
помощи математической модели распространения возбуждения
в сердце в работе [85] дает для желудочков человека в среднем
за период деполяризации погашение около 75%. На основании
экспериментальных данных о распространении возбуждения в
желудочках сердца собаки была получена средняя величина по-
гашения около 70% [81]. При нарушении нормального распрост-
ранения возбуждения (например, при блокадах сердца) степень
погашения может уменьшиться.
Эквивалентный генератор в виде равномерного двойного слоя,
совпадающего с фронтом деполяризации, довольно точно описы-
вает истинный генератор сердца, обладает большой наглядностью,
легко интерпретируется с электрофизиологической точки зрения.
Он широко применяется для объяснения формы электрокардио-
графических кривых, записываемых в стандартных и специальных
отведениях. Особенно важную роль он играет при оценке сигна-
лов отведений, электроды которых приближены к сердцу (груд-
ные отведения), так как эквивалентный генератор более простого
типа — диполь с неподвижной точкой расположения — в этом
случае не обеспечивает требуемой точности. Следует отметить,
однако, что точное определение телесного угла, необходимое для
решения прямой задачи при использовании эквивалентного гене-
ратора в виде равномерного двойного слоя, само по себе довольно
затруднительно и для объяснения формы электрокардиограммы
часто применяют «полуколичественный» подход — построение уп-
рощенной (обычно двумерной) схемы фронтов возбуждения в сердце
и визуальную оценку углов, под которыми видны края фронтов
из точки, где расположен дифферентный электрод отведения
(рис. 3.13). Такой метод был широко использован для анализа
электрокардиограмм в общепринятой системе отведений при нор-
мальном и многих патологических состояниях сердца, например,
в работе [111].
Аналитические формулы для расчета потенциала равномер-
ного двойного слоя получены лишь для простейших его конфи-
гураций. Если же необходимо рассчитать потенциал заданного
двойного слоя произвольной формы, то применяют численные ме-
тоды, представляя его в дискретном виде, например, при помощи
триангуляции. Элементарные участки двойного слоя можно ап-
220
Рис. 3.13. Представление фронта возбуж-
дения сердца в период деполяризации в виде
равномерного двойного слоя
а — в начале возбуждения межжелудочко-
вой перегородки имеется одна чашеобраз-
ная поверхность двойного слоя, в точке
наблюдения Р регистрируется положитель-
ный потенциал; б — в средней части пе-
риода возбуждения желудочков могут су-
ществовать одновременно две отдельные
поверхности двойного слоя, в точке Р
регистрируется отрицательный потенциал
Рис. 3.14. Представление источников тока
сердца в период реполяризации в виде мно-
жественного равномерного двойного слоя
(соседние составляющие двойные слои мо-
гут иметь противоположную полярность)
проксимировать двойными слоями более простой формы или ди-
полями. Эти методы были применены для расчета сигналов обще-
принятой системы отведений при помощи эквивалентного генера-
тора в виде двойного слоя, совпадающего с экспериментально
измеренными изохронными поверхностями возбуждения [179],
а также для расчета распределения потенциала на цилиндричес-
кой поверхности, окружающей сердце, и на поверхности тела
человека [163].
При помощи равномерного двойного слоя можно также опи-
сать генераторы, возникающие в сердце в систолический и ди-
астолический периоды при наличии локальных областей с ост-
рым ишемическим повреждением ткани. Эти генераторы распре-
делены в пограничной области между тканью с нормальными
уровнями трансмембранного потенциала покоя и потенциала пол-
ного возбуждения и тканью и измененными уровнями этих потен-
циалов. В отличие от генераторов деполяризации генераторы по-
221
вреждения; сохраняют неизменное положение в пространстве на
протяжении сердечного цикла.
Генераторы в виде множественного равномерного двойного
слоя. При реполяризации истинные источники не сосредоточены
в узкой области, как при деполяризации, а распределены факти-
чески по всей мышце сердца [79, 109, 198, 227]. Поэтому для их
описания удобно применять совокупность равномерных двойных
слоев, каждый из которых представляет отдельную узкую об-
ласть источников, как показано на рис. 3.14.
Рассмотрим трансмембранный потенциал как непрерывную
функцию пространства (см. гл. 2) и предположим, что миокард
разделен поверхностями постоянного уровня трансмембранного
потенциала на достаточно узкие зоны, толщина которых мала
по сравнению с расстояниями от источников до области измерения
потенциала. Величина приращения трансмембранного потенциала
между двумя соседними поверхностями равна U&. Согласно урав-
нениям (2.136), (2.140) и (2.155) каждую такую зону можно пред-
ставить равномерным двойным слоем с плотностью дипольного
момента Js = — K^U^, поскольку градиент трансмембранного
потенциала направлен по нормали к поверхностям уровня. По-
тенциал в точке наблюдения будет равен сумме потенциалов,
генерируемых всеми этими двойными слоями, существующими
в миокарде одновременно. С учетом уравнения (3.3) получаем
ср =
4ЛЗ Z_ I
г
(3.12)
где Q/ — телесный угол, под которым виден из точки наблюдения
край Z-ro элементарного двойного слоя (за его поверхность при-
нимается некоторая средняя поверхность, проходящая между
границами рассматриваемой зоны конечной толщины).
Очевидно, конфигурация элементарных двойных слоев в тол-
ще миокарда при реполяризации зависит как от хронотопографии
фронта возбуждения (деполяризации), так и от распределения
местной ^длительности импульса потенциала действия. Согласно
одной из гипотез [150, 227] поверхности постоянного уровня
трансмембранного потенциала в каждый момент периода реполя-
ризации совпадают с изохронными поверхностями’фронта возбуж-
дения для последовательных^моментов времени периода деполя-
ризации. Таким образом, генератор сердца в каждый момент
периода реполяризации можно представить как совокупность двой-
ных слоев, расположенных параллельно изохронным поверхно-
стям фронта возбуждения и изменяющих плотность дипольного
момента по мере развития процесса реполяризации.
Для периода реполяризации можно оценить степень внутрен-
него погашения потенциалов генератора сердца подобно тому,
как это было сделано для периода деполяризации. В данном слу-
чае погашение обусловлено не только искривленностью формы
каждого элементарного двойного слоя, но и тем, что^дипольные
моменты разных элементарных двойных слоев могут иметь раз-
ное, иногда противоположное направление. Это объясняется тем,
что длительность потенциала действия неравномерно распределе-
на по массе миокарда желудочков и градиенты трансмембранного
потенциала для разных элементарных двойных слоев при реполя-
ризации могут быть направлены в противоположные стороны. По
аналогии с уравнением (3.10) суммарную мощность двойных слоев
генератора реполяризации можно определить как
w
W = 2 JsSsi, (3.13)
г з=1
где Js — абсолютная величина плотности дипольного момента
элементарного двойного слоя (она считается одинаковой для всех
слоев); — общая площадь поверхности i-ro двойного слоя и
N — общее число элементарных двойных слоев. Модуль суммар-
ного дипольного момента генератора будет равен
N
D = | £ JSPiSgli |, (3.14)
г—1
где Jsdi — вектор, равный по абсолютной величине плотности
дипольного момента элементарного двойного слоя и ориентиро-
ванный в направлении суммарного дипольного момента f-ro
двойного слоя, и Sgn — площадь проекции этого двойного слоя
на плоскость, перпендикулярную к вектору суммарного диполь-
ного момента. Приближенный расчет величин W и D для типич-
ных условий возбуждения и распределений длительности потен-
циала действия в миокарде показал, что внутреннее погашение
в среднем за весь период реполяризации составляет от 92 до
99% 1152].
Вследствие большой протяженности фазы быстрой реполяри-
зации по сравнению с размерами сердца распределение градиен-
тов трансмембранного потенциала, а следовательно, и расположе-
ние элементарных двойных слоев эквивалентного генератора, в те-
чение основной части этого периода имеет устойчивый в простран-
стве характер. Генераторы в большей степени изменяют свою ин-
тенсивность (она сначала возрастает, достигает максимума при
прохождении через миокард наиболее крутого участка фазы ре-
поляризации потенциала действия и затем уменьшается до нуля)
и в меньшей степени — ориентацию по сравнению с периодом де-
поляризации. Соответственно электрическое поле сердца в пе-
риод реполяризации характеризуется скорее изменениями типа
синхронной пульсации, чем вращательным движением. Это на-
ходит отражение в продолговатой форме петли Т векторкардио-
граммы.
Отметим одно существенное обстоятельство. В соответствии
с указанными выше свойствами равномерного двойного слоя по-
223
тенциал в точке наблюдения не зависит от формы составляющих
двойных слоев во внутренней области миокарда, а определяется
лишь линиями их пересечения с поверхностями сердца (эндокар-
дом и эпикардом). Это позволило сделать некоторые важные за-
ключения о влиянии ишемических изменений миокарда на элект-
рическое поле сердца^и^на электрокардиограмму, которые изло-
жены в основополагающей работе Бейли [109] и во многих после-
дующих экспериментальных и теоретических работах, посвящен-
ных электрофизиологии ишемической болезни сердца.
Таким образом, эквивалентный генератор сердца в виде рав-
номерного двойного слоя источников тока может служить весьма
точной моделью, отражающей как интенсивность, так и локализа-
цию истинного генератора. Эта модель позволяет объяснить
очень многие электрокардиологические явления, наблюдаемые
при экспериментальных измерениях. Однако анализ этих явлений
при помощи такого эквивалентного генератора осуществляется
только в направленииУрешения прямой электродинамической за-
дачи — определения потенциала по заданному генератору. Реше-
ние обратной задачи, лежащей в основе диагностических методов
электрокардиологии, оказывается для такого эквивалентного ге-
нератора неоднозначным. Это непосредственно следует из основ-
ного свойства равномерного двойного слоя — независимости по-
тенциала от любых его пространственных деформаций при сохра-
нении неизменной границы.
Чтобы обеспечить возможность решения обратной задачи, при-
ходится ограничить допустимую изменчивость эквивалентного ге-
нератора или упростить его структуру.
Один возможный путь — наложение ограничения на прост-
ранственную конфигурацию поверхностного генератора, другой —
переход от распределенных генераторов к точечным. Рассмотрим
возможности использования первого из указанных путей.
Поверхностные генераторы в виде неравномерного двойного
слоя с постоянной формой. Можно^выбрать некоторую стандарт-
ную конфигурацию равномерного двойного слоя, описываемую
уравнениями с небольшим числом параметров, изменение кото-
рых соответствует определенным деформациям двойного слоя.
Эти параметры"могут быть найдены по^измерениям внесердечного
потенциала (с использованием мультипольного разложения) [129,
131]. Однако из-за условия равномерности и слишком жесткого
ограничения формы двойного слоя такой эквивалентный генера-
тор, по-видимому, может быть полезным для описания истинного
лишь в отдельные моменты периода деполяризации желудочков.
Другая возможность заключается в использовании поверхност-
ного эквивалентного генератора с заданной неизменной формой.
Еще в исследованиях Бейли [109 и др.] подчеркивалась мысль о
том,£что потенциал электрического поля вне сердца полностью оп-
ределяется распределением уровня возбуждения на поверхности,
отделяющей возбудимый миокард от невозбудимого объемного
224
проводника, и не зависит от распределения уровня возбуждения
внутри массы миокарда (влияние неоднородности объемного про-
водника пока не рассматривается — он считается однородным и
бесконечно протяженным). Поэтому естественно расположить эк-
вивалентный генератор на поверхности сердца и попытаться свя-
зать его характеристики с величинами, описывающими степень
электрического возбуждения миокарда.
В работе [511] предложен эквивалентный генератор сердца
в виде замкнутого неравномерного двойного слоя, охватывающего
снаружи поверхность сердца. Поскольку его пространственное рас-
положение считается заданным и неизменным во времени, откры-
ваются возможности решения обратной электродинамической за-
дачи. Один из предложенных подходов заключается в следующем.
Сначала нужно найти распределение потенциала на *поверхности
сердца в предположении, что сердце находится в однородном не-
ограниченном проводнике (например, при помощи мультиполь-
ного разложения, определяемого по потенциалу на поверхности
грудной клетки). Далее, предполагается, что потенциал в произ-
вольной точке наблюдения на поверхности сердца обусловлен ге-
нератором в виде замкнутого неравномерного двойного слоя, сов-
падающего с этой поверхностью и имеющего плотность дипольного
момента Js (теперь эта величина уже зависит от координат).
В этом случае потенциал и плотность дипольного момента связа-
ны уравнением, аналогичным (3.1):
<Р = '4^"$/sSrad(4') dS’ (ЗЛ5>
S
в котором, однако, точка наблюдения потенциала считается рас-
положенной на поверхности сердца. Искомую характеристику эк-
вивалентного генератора Js можно найти как решение этого ин-
тегрального уравнения. Если к плотности дипольного момента
Js прибавить любую величину, постоянную на всей поверхности
двойного слоя, то результирующая плотность дипольного мо-
мента также будет удовлетворять уравнению (3.15). Иными сло-
вами, эквивалентный генератор определяется с точностью до замк-
нутого равномерного двойного слоя.
Однако для описанного выше поверхностно распределенного
эквивалентного генератора, формально содержащего всю доступ-
ную информацию об истинном генераторе сердца, не была дана
четкая электрофизиологическая интерпретация. Такая интерпре-
тация оказывается возможной для эквивалентного генератора,
также представляющего собой неравномерный двойной слой, но
расположенный на замкнутой поверхности, совпадающей с гра-
ницей возбудимого миокарда на всей ее протяженности (т. е. вклю-
чающей эпикард и эндокард) [8—10, 72]. Согласно уравнению
(1.134) потенциал, создаваемый источниками тока сердца в неко-
торой точке наблюдения вне сердца (или измеряемый некоторым
8 Л. И. Титомир
225
отведением), можно выразить в общем виде как интеграл:
<р = [ J grad Ф<37, (3.16)
ун
где J — объемная плотность дипольного момента и Ф — функция,
обобщенно характеризующая геометрические соотношения между
точкой наблюдения и источниками, а также свойства объемного
проводника.
Интеграл вычисляется по всей области сердца Гн- Подставим
в это уравнение выражение для плотности дипольного момента
(3-7)
<р = — grad U grad Фс1У. (3.17)
Ун
Чтобы перейти от интегрирования по объему Гн к интегриро-
ванию по поверхности сердца 5ц> применим к функциям U и Ф
уравнение теоремы Грина в следующей форме [74]:
$ (С7ДФ + grad U grad Ф) dV = $ U grad OdS. (3.18)
-sh
Допуская, что область возбудимой мышцы сердца однородна
и, следовательно, ДФ = 0, получаем из последнего уравнения
J grad U grad ФйГ = СТ^^ФйЗ. (3.19)
ун 5н
Подставляя это выражение в уравнение (3.17), получаем
<р = - кх J и grad OdS. (3.20)
5Н
В соответствии с уравнениями (1.135) и (1.136) величина
—KrU grad ®dS представляет собой потенциал, обусловленный
диполем с дипольным моментом —K^UdS, вектор которого ориен-
тирован по нормали к поверхности сердца. Следовательно, полная
величина потенциала может быть выражена как потенциал замк-
нутого неравномерного двойного слоя, совпадающего с границей
возбудимого миокарда:
<Р = $ Jsgrad®dS, (3.21)
5н
где
Js = -KJJ (3.22)
— плотность дипольного момента этого эквивалентного двойного
слоя.
226
К соотношению (3.20) можно прийти также при помощи следующего
качественного рассуждения, не строгого с математической точки зрения, но
дающего наглядную физическую интерпретацию. Предположим, что в области,
совпадающей с возбудимым миокардом, задано произвольное распределение
трансмембранного потенциала. Разобьем соответствующий объемно распреде-
ленный генератор на достаточно тонкие равномерные двойные слои (элементар-
ные двойные слои, подобные тем, которые рассматривались при описании
реполяризации) с [плотностью дипольного момента dJ^ = KrdU (см.
рис. 3.14). Выберем на поверхности миокарда некоторую опорную точку
отсчета, например точку, где трансмембранный потенциал минимален (ее вы-
бор не имеет принципиального значения), и будем мысленно деформировать
все элементарные двойные слои таким образом, чтобы их положительная
сторона полностью совпала с поверхностью сердца, к которой она обращена,
но чтобы край каждого двойного слоя остался неизменным в исходном положе-
нии на поверхности миокарда. Тогда геометрическая структура генератора
изменится — он будет полностью расположен на поверхности сердца, однако
распределение потенциала вне сердца останется прежним, так как оно зависит
только от конфигурации края каждого двойного слоя. Поскольку деформиро-
ванные элементарные двойные слои по определению являются бесконечно
тонкими, в итоге получается результирующий двойной слой на поверхности
сердца, который имеет в каждой точке плотность дипольного момента, равную
сумме плотностей дипольного момента всех элементарных двойных слоев,
совмещенных с этой поверхностью в данной точке. Эта плотность дипольного
момента в некоторой точке поверхности миокарда выражается как
и
J8 = — K1\dU = — Kt(U— Uo), (3.23)
Йо
где U — трансмембранный потенциал в рассматриваемой точке и UQ —
трансмембранный потенциал в опорной точке отсчета.
Подставляя это уравнение в общее выражение для потенциала двойного
слоя (3.21) и учитывая, что потенциал замкнутого равномерного двойного
слоя (в данном случае с плотностью дипольного момента K±Uq) в наружной
области равен нулю, получаем уравнение (3.20).
Поверхностный эквивалентный генератор описанного типа при-
влекателен тем, что его характеристика — плотность дипольного
момента Js — непосредственно отражает важнейшую электро-
физиологическую характеристику клеток миокарда, а именно
трансмембранный потенциал, и поэтому может легко интерпрети-
роваться в биологических и медицинских терминах. В то же время
структура такого эквивалентного генератора отражает принципи-
альную ограниченность электрофизиологической информации, со-
держащейся^во внесердечном электрическом поле,— ограничен-
ность, обусловленную независимостью ^потенциала этого поля от
распределения трансмембранного потенциала во внутренних слоях
сердечной мышцы.
Эквивалентный генератор в виде двойного слоя, распределен-
ного по всей поверхности’миокарда (точнее, его дискретизирован-
8*
227
ный вариант), был положен в основу решения прямой задачи при
моделировании электрокардиографических сигналов в работе
[278].
Решение обратной задачи для такого эквивалентного генерато-
ра сводится к решению интегрального уравнения (3.21) и связано
с определенными вычислительными трудностями. Для их преодо-
ления можно воспользоваться различными приемами, в частности,
принять некоторые допущения, ограничивающие характер изме-
нения трансмембранного потенциала во времени и т. д. Некоторые
методы решения этой задачи описаны в работах [9, 72].
При обсуждении методологии электрокардиологических иссле-
дований уже указывалось, что для математического описания ге-
нератора сердца можно использовать непосредственно характе-
ристики поля вблизи сердца, например, распределение потенциа-
ла или его нормальной производной на замкнутой поверхности,
прилегающей к эпикарду. Хотя эти величины, строго говоря, не
являются собственными характеристиками эквивалентного гене-
ратора, тем не менее их вычисление на поверхности эпикарда или
на близкой к нему замкнутой поверхности по потенциалу, изме-
ренному на поверхности тела, иногда называют решением обрат-
ной задачи. Такой подход применен в работе [285J для определе-
ния нормальной производной потенциала (плотности нормально-
го тока) на сферической поверхности вокруг сердца человека по
потенциалу, измеренному на поверхности грудной клетки. Ал-
горитмы численного решения этой задачи для определения потен-
циала на поверхности сердца и их экспериментальная реализация
для сердца собаки описаны в работах [104—106, 304, 305, 377].
Несмотря на то, что при расчетах не учитывалась внутренняя
неоднородность тела между поверхностями сердца и тела, вычис-
ленные и измеренные распределения потенциала на соответствую-
щей поверхности при решении и прямой, и обратной задачи оказа-
лись достаточно близкими между собой.
В работе [165] описана вычислительная процедура для опреде-
ления эпикардиального потенциала, в которой используется про-
межуточный этап — вычисление компонент мультипольного эк-
вивалентного генератора сердца.
Интересный метод теоретического анализа распределения по-
тенциала на поверхности желудочков сердца в период реполяриза-
ции применен в работе [443]. Эпикардиальные потенциалы вычис-
ляются на основе представления миокарда желудочков в целом
в виде кабельной модели тороидальной формы, причем в качестве
исходных данных используются известные характеристики рас-
пространения возбуждения и форма импульса трансмембранного
потенциала действия.
В заключение отметим, что эквивалентные генераторы сердца
непрерывно распределенного типа играют важную роль в теорети-
ческой электрокардиологии. Являясь весьма точным математиче-
ским описанием истинных генераторов, они позволяют объяснить
228
многие характерные особенности пространственно-временных эво-
люций электрического поля как в непосредственной близости от
источников тока сердца, так и на удалении от них, например, на
поверхности тела. В то же время решение обратной электродинами-
ческой задачи при использовании таких генераторов либо в прин-
ципе неоднозначно, либо чрезвычайно трудно осуществимо в ре-
альных условиях, когда невозможно обеспечить идеально точное
измерение исходных данных. Из-за удаленности поверхности тела
от источников многие детали пространственного распределения по-
тенциала оказываются здесь сглаженными. Более простой характер
изменения поля (по сравнению с областью, находящейся в непо-
средственной близости от сердца) указывает на возможность при-
менения и более простых эквивалентных генераторов с небольшим
числом параметров. К таким генераторам относятся идеализиро-
ванные точечные генераторы, занимающие бесконечно малый объ-
ем пространства, и в первую очередь точечный диполь.
5. ОДНОДИПОЛЬНЫЙ ЭКВИВАЛЕНТНЫЙ ГЕНЕРАТОР
Общие сведения. Эквивалентный генератор в виде одного то-
чечного диполя (однодипольный или просто дипольный эквива-
лентный генератор) обладает целым рядом преимуществ по срав-
нению с генераторами других типов: простотой структуры при до-
вольно высокой точности аппроксимации измеряемого электриче-
ского поля, наглядностью и удобством визуального отображения
и др. Благодаря этим качествам дипольный эквивалентный гене-
ратор получил чрезвычайно широкое распространение в электро-
кардиологии (см. обзор [209]).
Дипольный эквивалентный генератор полностью определяется
координатами точки расположения и компонентами вектора ди-
польного момента. Потенциал электрического поля эквивалент-
ного диполя согласно уравнению (1.135) выражается как
Ф = LXDX + LyD у + LZDZ. (3.24)
где Dх, Dу, Dz — компоненты дипольного момента в прямоуголь-
ной системе координат xyz и Lx. Ly. Lz — коэффициенты, завися-
щие от координат точки расположения диполя и точки наблюде-
ния потенциала, а такжеот принятых свойств эквивалентной среды.
Вектор дипольного момента эквивалентного диполя с компо-
нентами Dx, Dy. Dz часто называют электрическим вектором серд-
ца или просто вектором сердца. В качестве системы координат
обычно используют стандартную прямоугольную систему коорди-
нат, неподвижно связанную с телом (ее начало совпадает с центром
среднего трансверсального сечения грудной клетки или с центром
желудочков сердца, ось х направлена справа налево, ось у — от
головы к ногам и ось z — от передней к задней поверхности груд-
ной клетки).
229
В общем случае можно допустить, что на протяжении сердеч-
ного цикла изменяется как расположение, так и дипольный мо-
мент эквивалентного диполя, т. е. Dx, Dy, Dz, и Lx, Ly, Lz явля-
ются функциями времени. Эти шесть параметров определяются
на основе принятых критериев эквивалентности истинного гене-
ратора и эквивалентного диполя, например, условия совпадения
их потенциалов в области измерения — на поверхности объем-
ного проводника, соответствующей поверхности тела.
В* зависимости от того, сколько и какие именно характеристи-
ки такого генератора приняты в качестве переменных характери-
стик, описывающих электрическое состояние сердца, возможны
разные варианты дипольного эквивалентного генератора, начи-
ная от самых простых. В частности, широко распространенные
схемы интерпретации записей потенциалов сердца в стандартной
электрокардиографии, например, классическую схему треуголь-
ника Эйнтховена, можно трактовать на основе простейшего ди-
польного эквивалентного генератора, а именно диполя с неподвиж-
ной точкой расположения, находящегося в однородном неогра-
ниченном проводнике [265, 271].
Дипольный генератор с неподвижной точкой расположения.
Общая формулировка эквивалентного генератора сердца в виде
диполя с неподвижной точкой расположения исследовалась рядом
авторов. Весьма значительный вклад в изучение этой модели вне-
сли Бюргер с соавторами и Франк с соавторами. Ее обсуждение
можно найти, например, в работах обобщающего характера [145,
195]. В качестве основного аргумента в пользу дипольного эквива-
лентного генератора приводились результаты экспериментальных
измерений, в которых сопоставляли распределения потенциала на
поверхности грудной клетки испытуемого и на поверхности одно-
родной электролитической модели грудной клетки этого же испы-
туемого, в которую был введен искусственный дипольный гене-
ратор, изменяющий свою ориентацию, но сохраняющий неизмен-
ную точку расположения в области сердца [191,192]. В этих опытах
было найдено, что для одного здорового испытуемого, на ко-
тором были осуществлены измерения, относительная ошибка ап-
проксимации измеренного потенциала на теле потенциалом экви-
валентного диполя, расположенного в однородном проводнике,
совпадающем по форме с грудной клеткой, составила на протяже-
нии периода деполяризации сердца в среднем 15%.
Если эквивалентный генератор представляет |собой диполь
с изменяющимися во время сердечного цикла компонентами Dx,
Dу и Dz, расположенный в заданной точке области сердца, а экви-
валентная среда — объемный проводник (однородный или неодно-
родный), ограниченный поверхностью тела, то общее выражение
для потенциала диполя в j-й точке поверхности измерения имеет
ВВД -
Фг == Дсг^х + LZIDZ^ (3.25)
230
где Lxi, Lyi, Lzi — постоянные передаточные коэффициенты, ко-
торые можно рассматривать как компоненты некоторого непо-
движного в пространстве вектора — вектора отведения. Эти вели-
чины можно определить, задавая значения компонент дипольного
момента Z>x, Dу, Dzw решая прямую электродинамическую задачу
для принятой модели объемного проводника путем математическо-
го или физического моделирования.
Пусть в качестве критерия эквивалентности генераторов в каж-
дый данный момент времени рассматривается степень совпадения
потенциалов истинного и эквивалентного генераторов в области
измерения. Приравняем потенциал эквивалентного генератора
в Z-й точке (3.25) потенциалу истинного генератора <ршг-, измерен-
ному в этой же точке:
4- LyiDy -4 LziDz = <pmi. (3.26)
Тогда однозначное решение обратной задачи возможно, если число
точек измерения М равно или больше числа искомых компонент
диполя, т. е. М > 3 (в более общем случае имеется в виду число
отведений любой сложности). Если М = 3, то критерий эквива-
лентности генераторов сводится к требованию полного совпадения
потенциалов эквивалентного диполя с измеряемыми потенциалами.
В этом случае решение обратной задачи представляет собой реше-
ние системы из трех уравнений типа (3.26) с тремя неизвестными
Рх, Dy, Dz. Для получения однозначного решения нужно так
выбрать точки измерения в пространстве, чтобы определитель ли-
нейной системы уравнений, составленный из коэффициентов Lxi,
Lyi, Lzi, не равнялся нулю, т. е. чтобы соответствующие однород-
ные уравнения были линейно независимы. Это достигается, на-
пример, при расположении точек измерения вблизи областей пере-
сечения каждой из трех осей координат с поверхностью провод-
ника.
Количество точек измерения на поверхности тела в принципе
не ограничено, поэтому их может быть значительно больше трех.
При М > 3 система уравнений оказывается несовместной (из-за
отличия эквивалентного генератора от истинного и эквивалент-
ной среды от истинной) и вместо условия полного совпадения из-
меряемого потенциала и потенциала эквивалентного диполя ис-
пользуются подходящие критерии близости этих потенциалов.
Таким образом, решение обратной задачи сводится к нахождению
приближенного решения несовместной системы из М линейных
уравнений типа (3.26). Это решение может быть получено при по-
мощи стандартных методов, например метода наименьших квадра-
тов. При этом минимизируется среднеквадратичное отклонение
потенциалов диполя от измеряемых потенциалов во всех точках.
Напомним, что искомыми величинами здесь являются компоненты экви-
валентного диполя Dx, Dv, Dz, а его расположение считается заданным и
постоянным. Местоположение эквивалентного диполя обычно выбирают в
геометрическом центре сердца, исходя из интуитивного предположения, что
231
эквивалентный генератор должен быть расположен возможно ближе к истин-
ному. Величины коэффициентов L^Lyi и Lzi зависят от расположения эквива-
лентного диполя относительно области измерения (см., например, уравнения
(1.45) и (1.50) для однородного неограниченного проводника). Поэтому
распределение потенциала эквивалентного диполя и, следовательно, достижи-
мая точность аппроксимации зависят от выбора его расположения.
Электрический центр сердца. Точку расположения эквивалент-
ного диполя, выбранную из условия наилучшей аппроксимации
измеряемых потенциалов (или некоторых интегральных характе-
ристик генератора, определяемых по потенциалу) на протяжении
сердечного цикла, называют электрическим центром сердца, в от-
личие от геометрического центра, который выбирают как среднюю
точку объема, занимаемого сердцем (или только желудочками
сердца).
Были предложены эмпирические процедуры определения рас-
положения эквивалентного диполя, основанные на предположе-
нии, что потенциал истинного генератора можно с достаточно высо-
кой точностью аппроксимировать потенциалом диполя, находя-
щегося в неподвижной точке [194, 268, 279, 288]. Эти процедуры
включают поиск на поверхности грудной клетки пар точек, в ко-
торых импульсы изменения потенциала на протяжении сердеч-
ного цикла или определенных его частей имеют одинаковую форму,
но противоположную полярность (являются взаимными «зеркаль-
ными отображениями»), и при суммировании с определенным весом
«погашаются». Для учета влияния ограниченности тела как объем-
ного проводника использовали данные экспериментов на электро-
литических моделях грудной клетки человека.
Электрический центр сердца, найденный описанными выше ме-
тодами у здоровых и больных испытуемых для периода сердечного
цикла, соответствующего комплексу QRS, расположен в пределах
пространства, занимаемого желудочками сердца, и не очень сильно
смещен относительно их геометрического центра. В частности, по
данным [325] (в основном для здоровых испытуемых), в трансвер-
сальной плоскости электрический центр для всех случаев не вы-
ходит за пределы квадрата со стороной 2 см, а по данным [424]
(для больных испытуемых), у подавляющего большинства испытуе-
мых — за пределы квадрата со стороной 5 см. В работе [287] по-
казано, что электрический центр, найденный для периода реполя-
ризации, может быть смещен на несколько сантиметров по отно-
шению к электрическому центру для периода деполяризации.
Метод определения электрического центра можно сформули-
ровать математически и реализовать его в виде вычислительной
процедуры, исключающей субъективную оценку кривых [230].
Линейная зависимость между сигналами отведений и выбор
минимального числа точек измерения. Если электрическое поле
создается генератором в виде одного диполя с неподвижной
точкой расположения, то при сделанных допущениях о свойствах
232
объемного проводника, как показывает уравнение (3.24), по-
тенциал в любой точке измерения является линейной функцией
трех компонент дипольного момента этого генератора. Эти ком-
поненты Dx, Dy и Dz могут произвольным образом изменяться во
времени, тогда как коэффициенты Ly и Lz остаются постоянны-
ми и имеют определенную величину для каждой точки измерения.
Нетрудно показать, что при этих условиях потенциал в любой точ-
ке измерения можно выразить как сумму потенциалов в трех дру-
гих точках с независимыми векторами отведения, умноженных на
постоянные коэффициенты. Иными словами, сигнал каждого от-
ведения является линейной функцией сигналов любых других
трех независимых отведений.
Общую задачу можно сформулировать так. Измерены сигналы
трех независимых отведений (р1? <р2, Фз и некоторого четвертого от-
ведения <р4. Образуем новый сигнал как сумму произведений сигна-
лов трех основных отведений на постоянные коэффициенты
р2 и р3. Разность между измеренным сигналом ф4 и этим новым
сигналом обозначим через срд. Тогда
ф4 = АФ1 + ЖР2 + РзФз + фд- (3.27)
Требуется подобрать такие значения коэффициентов рт, р2 и
р3, чтобы свести к минимуму величину фд. Эта минимальная вели-
чина выражает ошибку линейной аппроксимации измеренного
сигнала четвертого отведения и является функцией времени.
Было проведено много экспериментальных исследований
с целью проверить, как выполняется это соотношение для реаль-
ного распределения потенциалов сердца на поверхности тела.
Методы подобной линейной аппроксимации потенциала на по-
верхности тела называют по-разному, в зависимости от особенно-
стей используемой процедуры (во многих случаях чисто эмпири-
ческой): «погашение потенциалов», «синтез отведений» и др. Эту
процедуру применяли как к потенциалам на поверхности тела
испытуемых, так и к потенциалам на поверхности модели грудной
клетки, в которую вводили искусственный генератор, воспроизво-
дящий распределенные источники тока сердца [135, 193, 266, 310,
314, 425 и др.]. Во всех исследованиях была продемонстрирована
в среднем довольно высокая точность аппроксимации поверхност-
ного потенциала линейной комбинацией сигналов трех основных
отведений, особенно если оси этих отведений хотя бы приблизи-
тельно ортогональны в пространстве (здесь под осью однополюс-
ного отведения имеется в виду прямая, соединяющая эквивалент-
ный диполь с дифферентным электродом, а под осью двухполюс-
ного отведения — прямая, соединяющая два его электрода).
Возможность точной аппроксимации распределения потенциала на
всей поверхности тела линейными функциями от сигналов только трех (а
иногда только двух) заданных отведений многие авторы рассматривают как
подтверждение того, что электрический генератор сердца может быть точно
233
представлен в виде одного эквивалентного диполя с неподвижной точкой
расположения и изменяющимися во времени компонентами дипольного момен-
та. Как было показано выше, в случае, когда распределение потенциала на
протяжении всего рассматриваемого периода времени обусловлено одним
диполем, действительно должна иметь место такая линейная зависимость
сигналов отведений. Следовательно, если потенциал на поверхности не может
быть восстановлен с заданной точностью в виде линейной функции сигналов
трех независимых отведений, то диполя с неподвижной точкой расположения
заведомо недостаточно для описания генератора сердца. Таким образом, воз-
можность точного представления распределения потенциала на теле как
линейных функций трех отведений является необходимым условием для того,
чтобы генератор сердца можно было описать одним диполем с неподвижной
точкой расположения.
Вопрос о том, является ли это условие достаточным для дипольного пред-
ставления генератора сердца, вызвал дискуссию (см. [98, 209] и др.). Чтобы
обсудить его несколько подробнее, вспомним определение эквивалентного
генератора (для принятого критерия эквивалентности). Этот генератор должен
создавать в некотором гипотетическом объемном проводнике такой же потен-
циал, какой истинный генератор создает в теле. Таким образом, для эквива-
лентного генератора характерно, во-первых, отличие его структуры от струк-
туры истинного генератора и, во-вторых, зависимость его параметров от
гипотетического проводника — эквивалентной среды.
Чтобы выразить количественно «близость» истинного и эквивалентного
генераторов вне зависимости от различия в свойствах истинной и эквивалент-
ной сред, охарактеризуем ее степенью совпадения потенциалов этих генерато-
ров в одной и той же среде. Будем говорить, что истинный генератор сводится в
пространстве к эквивалентному, если можно выбрать такие значения парамет-
ров эквивалентного генератора, чтобы его потенциал в области измерения
совпал с потенциалом истинного генератора в предположении, что и истинный,
и эквивалентный генераторы расположены в истинной среде. Очевидно, этот
критерий невозможно точно реализовать практически из-за сложности тела
как объемного проводника. Однако его можно применить в упрощенной
форме — проводить сравнение генераторов в одном и том же объемном провод-
нике, имеющем более простую, чем тело, структуру, которую можно описать
математически или воспроизвести в виде физической модели.
Возвращаясь к вопросу об экспериментах с линейным синтезом сигналов
отведений, следует сказать, что если потенциалы во всех точках поверхности
тела точно выражаются как линейные функции от сигналов трех независимых
отведений, то в принципе сигналы этих трех отведений можно считать пропор-
циональными компонентам эквивалентного диполя с неподвижной точкой
расположения; тогда постоянные коэффициенты в линейных выражениях для
потенциала (компоненты векторов отведения) следует рассматривать как
характеристики эквивалентной среды. При этом, однако, остается неясным,
сводится ли истинный генератор в пространстве к диполю (в указанном выше
смысле). Для решения этого вопроса нужно было бы поместить эквивалентный
диполь в истинную среду (или в среду, достаточно близкую к ней по свойствам)
и проверить возможность аппроксимации истинного распределения потен-
циала в каждый отдельный момент времени потенциалом этого диполя. Если
234
аппроксимация выполняется, то истинный генератор сводится в пространстве
к диполю с неподвижной точкой расположения. В противном случае нужно
признать, что истинный генератор не сводится в пространстве к такому дипо-
лю, а возможность точного линейного синтеза потенциалов объясняется темг
что изменения истинных источников во времени коррелируют между собой
так, что для их описания достаточно трех переменных параметров. В этом
случае эквивалентность дипольного генератора и истинного обеспечивается
благодаря тому, что свойства пространственной структуры истинного генера-
тора (не сводящегося к диполю) учитываются путем задания эквивалентной
среды, которая может сильно отличаться от истинной.
Отметим, что подобные опыты, в которых сопоставлялись распределения
на поверхности тела измеренного потенциала и потенциала дипольного
эквивалентного генератора, показали, что на протяжении значительной части
комплекса QRS диполь не обеспечивает удовлетворительной аппроксимации
[477].
Таким образом, несмотря на возможность точной линейной аппроксима-
ции потенциала на поверхности тела при помощи сигналов небольшого числа
отведений, для оценки структуры истинного генератора необходимо исследо-
вание пространственного распределения его потенциала с учетом электриче-
ских характеристик объемного проводника.
Для исследования линейной зависимости между изменяющими-
ся потенциалами в разных точках поверхности тела использовали
также специальную математическую процедуру — факторный ана-
лиз сигналов [249, 417, 510 и др.]. Целью этой процедуры является
получение из совокупности измеренных сигналов (поверхностных
потенциалов) минимальной совокупности ортогональных во вре-
мени и упорядоченных по мощности функций, через которые мож-
но выразить каждый измеренный сигнал в виде линейного соотно-
шения. Эти функции, расположенные в порядке убывания мощно-
сти (среднеквадратичной величины), называются факторами.
Применение факторного анализа к синхронно записанным сиг-
налам большого числа однополюсных отведений, распределенных
на поверхности грудной клетки (от нескольких десятков до сотен
сигналов), показало, что для точного представления всех этих по-
тенциалов достаточно очень небольшого числа факторов. В част-
ности, в работе [249] установлено, что при помощи трех первых
факторов можно восстановить потенциал на поверхности тела
собаки со среднеквадратичной ошибкой около 10% и на поверх-
ности тела здорового человека со среднеквадратичной ошибкой
около 15%. Максимальная точность (ошибка меньше 1%) дости-
гается при учете 7 факторов для собаки и 8 факторов для человека.
В работе [417] была получена еще более высокая точность восста-
новления поверхностного потенциала по трем факторам у группы
здоровых людей. В принципе три первых фактора можно рассмат-
ривать как компоненты эквивалентного диполя, пренебрегая
ошибками восстановления потенциалов по этим факторам. Однако г
как было указано выше, при этом трудно сделать какие-либо оп-
235
ределенные выводы о действительной пространственной структу-
ре источников тока сердца. Данные многих экспериментальных и
теоретических исследований говорят о том, что истинный генера-
тор сердца в течение значительной части сердечного цикла не
сводится в пространстве к одному диполю с неподвижной точкой
расположения. Поэтому результаты факторного анализа, а также
многочисленных других исследований по линейному синтезу отве-
дений, которые были упомянуты выше (они дают в среднем точность
восстановления потенциала, близкую к результатам факторного
анализа), можно рассматривать как подтверждение наличия силь-
ной корреляции между изменениями во времени характеристик,
отражающих пространственную структуру истинного генератора.
Таким образом, приведенные результаты свидетельствуют о
наличии значительной внутренней взаимозависимости между из-
менениями потенциалов в разных точках поверхности тела. Это
дает возможность определять распределение потенциала на всей
поверхности тела (или наиболее существенной ее части — поверх-
ности грудной клетки) по измерениям потенциалов лишь в неболь-
шом числе точек поверхности, которые выбираются из условия
наибольшей информативности измеряемых в них сигналов. Потен-
циалы во всех остальных точках поверхности в каждый момент
времени определяются как линейные функции от измеренных по-
тенциалов с постоянными весовыми коэффициентами, найденными
на основании анализа статистических свойств распределения по-
тенциала на всей поверхности грудной клетки на протяжении
сердечного цикла у достаточно больших групп испытуемых (как
здоровых, так и с заболеваниями сердца). В работах [280—282] в ре-
зультате анализа распределения потенциала на поверхности груд-
ной клетки здоровых и больных испытуемых была продемонстри-
рована возможность точного восстановления потенциала на всей
поверхности по потенциалам, измеренным в небольшом числе то-
чек — порядка 10. С этой же целью был проведен анализ распре-
деления потенциала на поверхности грудной клетки у группы из
нескольких десятков здоровых и больных детей [107, 440J и груп-
пы, включающей больше 100 здоровых и больных взрослых испы-
туемых [29J5]. В этих работах применялись разные математиче-
ские процедуры, однако получены весьма сходные результаты.
Имея набор коэффициентов, предварительно найденный на боль-
шой группе испытуемых, можно с высокой точностью вычислять
потенциал практически в любой точке поверхности трудной клет-
ки по потенциалам 20—30 однополюсных отведений с оптималь-
ным расположением электродов. Были найдены несколько
вариантов оптимального расположения электродов. Для всех
вариантов характерно существенно более густое распределение то-
чек измерения в прекордиальной области, чем в областях поверх-
ности грудной клетки, более удаленных от сердца, т. е. на спине
и на правом боку (рис. 3.15). Было показано, что при сохранении
такого характера распределения точек измерения точность восста-

С...........................□
Рис. 3.15. Выбор оптимального числа и расположения однополюсных отведений для изме-
рения электрического поля сердца на поверхности грудной клетки
а — оптимальное расположение 24 электродов, по данным работы [440], электроды пока-
заны заштрихованными квадратами. Вид со стороны спины представлен в сжатом масшта-
бе по горизонтальной оси. Для сравнения стрелками показаны позиции электродов цен-
тральной терминали Вильсона (W), векторкардиографической Франка (F) и общеприня-
той электрокардиографической системы (S); б — оптимальное расположение 30 электро-
дов, по данным работы [296], электроды показаны кружками на фоне эквипотенциальной
карты, изображенной на полной развертке поверхности грудной клетки. ПСЛ — передняя
срединная линия, КВ — уровень ключичной вырезки, П — уровень пояса
237
Рис. 3.16. Зависимость относительной среднеквадратичной ошибки б восстановления по-
верхностного потенциала отучнела оптимально выбранных однополюсных отведений.
а — по данным|[440],|б — по данным [296]]
новления потенциалов на поверхности не очень чувствительна
к расположению отдельных конкретных электродов из оптималь-
ной совокупности [296]. Это дает возможность выбирать положе-
ния электродов с учетом удобства практического осуществления
измерений, например, используя упорядоченное расположение
электродов в некоторой системе координат.
По мере увеличения числа точек измерения ошибка восстанов-
ления потенциала уменьшается сначала очень быстро, затем ее
уменьшение замедляется и при увеличении числа электродов сверх
20 она изменяется не очень значительно (рис. 3.16). При использо-
вании 30 измерительных электродов относительная ошибка не
превышает 4%, т. е. близка по величине к случайному шуму из-
мерительной процедуры.
Дипольный генератор с подвижной точкой расположения. По-
тенциал эквивалентного диполя с подвижной точкой расположе-
ния по-прежнему выражается уравнением (3.24), в котором, однако,
коэффициенты Ly, Lz являются переменными величинами.
Большее число степеней свободы эквивалентного генератора поз-
воляет более точно аппроксимировать электрическое поле, но
нелинейная зависимость потенциала от характеристик генератора
усложняет его использование, в частности, решение обратной за-
дачи.
Известно несколько методов определения характеристик экви-
валентного генератора в виде диполя с подвижной точкой распо-
ложения по распределению потенциала на поверхности тела.
В работах [231, 232] предложен метод, основанный на поиске опти-
мального момента и положения диполя путем перебора всех воз-
можных точек его расположения в области сердца отдельно для
последовательных моментов времени.
Предлагались методы приближенной оценки перемещения
эквивалентного диполя при помощи разложения сигналов груд-
ных отведений по сигналам ортогональной векторкардиографиче-
238
ской системы на локальных временных участках комплекса QRS
[36] и аналогичные методы с использованием дополнительного
предположения о прямолинейном и равномерном движении дипо-
ля [37].
В работах [136, 139, 142, 256, 257, 468] используется итера-
ционная процедура определения компонент момента и координат
положения эквивалентного диполя, основанная на линеаризации
зависимости потенциала от этих шести переменных путем разло-
жения ее в ряд Тейлора и учета только первых членов ряда. Метод
был применен для определения характеристик эквивалентного ди-
поля в экспериментах с изолированным сердцем черепахи [142,
468] и кролика [136, 139, 256, 257], помещенным в сферическом со-
суде с физиологическим раствором. Потенциалы измеряли в 20 точ-
ках, равномерно распределенных на поверхности сосуда. Было
показано, что эквивалентный генератор в виде диполя с подвиж-
ной точкой расположения обеспечивает довольно точную аппрок-
симацию поверхностного потенциала, а его характеристики можно
связать с электрофизиологическим состоянием сердца. Сопостав-
ление характеристик дипольного эквивалентного генератора в пе-
риоды деполяризации (комплекс QRS) и реполяризации (зубец Т)
желудочков показало, что при реполяризации ошибка аппрокси-
мации измеренного потенциала, а также величина пространствен-
ного смещения диполя значительно меньше, чем при деполяриза-
ции. Это указывает на то, что истинный генератор сердца может
быть описан одним неподвижным диполем с гораздо большей точ-
ностью на протяжении зубца Т, чем комплекса QRS. При наличии
острого очагового повреждения эпикарда характеристики эквива-
лентного диполя в период S—Т непосредственно отражают разме-
ры поврежденной области и ее локализацию.
Для облегчения практического определения характеристик
эквивалентного генератора желательно использовать по возмож-
ности небольшое число точек измерения потенциала на поверх-
ности тела. В частности, для определения траектории эквивалент-
ного диполя в средней трансверсальной плоскости грудной клетки
человека был предложен упрощенный метод, основанный на прин-
ципе погашения потенциалов дипольного генератора [51]. Ана-
логичный метод определения траектории перемещения эквивалент-
ного диполя для фронтальной плоскости тела описан в работе [32].
Другой подход, основанный на измерении потенциала в шести
точках поверхности тела и решении системы из шести нелиней-
ных уравнений относительно шести неизвестных характеристик
эквивалентного диполя, предложен в работе [492].
В работах [275, 276] представлены методы определения харак-
теристик эквивалентного диполя на основе анализа формы рас-
пределения поверхностного потенциала. Принимая в качестве
эквивалентной среды однородный проводник в форме шара, ис-
пользуют геометрические соотношения между экстремумами по-
тенциала или свойства пространственного разложения потенциала
239
в ряд Фурье на поверхности шара. Необходимые математические
соотношения выведены из формул для потенциала диполя на по-
верхности однородного шара (см. гл. 4) и представлены в виде
номограмм, облегчающих расчеты.
Аналогичные методы были применены для определения харак-
теристик эквивалентного генератора в виде конечного диполя
[456, 457]. Расстояние между полюсами конечного диполя служит
дополнительной степенью свободы эквивалентного генератора,
позволяя повысить точность аппроксимации измеренного потен-
циала. По-видимому, эквивалентный генератор такого типа мо-
жет более точно описать электрические процессы в сердце в те
периоды, когда области положительных и отрицательных источ-
ников тока в сердце распределены на обширных участках простран-
ства (например, в период реполяризации).
Описанные методы решения обратной задачи были основаны
почти исключительно на критерии наиболее точной аппроксима-
ции измеренного потенциала при помощи потенциала, создавае-
мого эквивалентным диполем в эквивалентной проводящей среде.
Однако, как уже было указано при обсуждении методологических
вопросов, некоторые (или все) характеристики эквивалентного
генератора можно определить и на основе других критериев экви-
валентности. Например, из условия совпадения интегральных
характеристик истинного и эквивалентного генераторов (в дан-
ном случае подразумевается, что истинная среда несущественно
отличается от эквивалентной, которая используется при определе-
нии этих интегральных характеристик). В частности, нередко
дипольный момент эквивалентного диполя полагают равным ди-
польному моменту истинных источников тока (который в принципе
может быть вычислен по поверхностному потенциалу). Особен-
ность такого подхода состоит в том, что при таком критерии экви-
валентности дипольный момент эквивалентного диполя не зависит
от выбора точки его расположения. Более подробно этот вопрос
будет обсужден в последнем разделе этой главы.
Векторкардиография. В самом общем случае эквивалентный
генератор сердца однодипольного типа может содержать до семи
переменных характеристик, которые могут быть определены по
измеренному поверхностному потенциалу. Из них наиболее важ-
ную роль играют компоненты дипольного момента, несущего обыч-
но основную информацию об электрическом состоянии сердца.
Для определения дипольного момента (вектора сердца) и отобра-
жения его в наглядной визуальной форме существуют достаточно
эффективные методы и технические средства. Благодаря этим
преимуществам представление электрической активности сердца
одним вектором получило чрезвычайно широкое распространение
как в теоретической, так и в практической электрокардиологии.
Это представление часто кладут в основу анализа стандартных
электрокардиограмм, регистрируемых в виде скалярных кривых
[20, 22, 39]. Более того, на применении эквивалентного диполя и
240
векторного представления генератора сердца базируется эффек-
тивное современное направление электрокардиографии, полу-
чившее название векторкардиографии. При векторкардиографи-
ческом исследовании по измерениям поверхностного потенциала
определяют вектор сердца (для пространственной векторкардио-
графии необходимы три компоненты этого вектора, для плоскост-
ной достаточно двух). Компоненты вектора сердца регистрируются
синхронно и анализируются совместно. Общепринятый способ
визуального отображения вектора сердца — проектирование тра-
ектории конца вектора на координатные плоскости. Получаемые
при этом кривые называются плоскими векторкардиографическими
петлями.
Последовательность распространения возбуждения в желудоч-
ках сердца и векторкардиограмма, непосредственно измеренные в
эксперименте на собаках [124], сопоставлены на рис. 3.17.
Как уже указывалось, для определения вектора сердца при-
меняются различные критерии, в частности, пропорциональность
его компонент сигналам принятых отведений, аппроксимация из-
меренного потенциала во многих поверхностных точках потенциа-
лом соответствующего эквивалентного диполя, равенство его ком-
понент компонентам дипольного момента истинных источников
тока сердца. Векторы сердца, найденные по разным критериям,
могут различаться. Кроме того, результаты применения некоторых
критериев зависят от выбора точки расположения эквивалентного
диполя. Если допустить, что пространственное расположение ис-
точников тока в сердце и поступательные смещения их несущест-
венны для конкретных целей электрокардиологического исследо-
вания и определяются исключительно анатомическим расположе-
нием сердца в грудной клетке, то для определения вектора сердца
целесообразно применять последний из указанных критериев,
для которого результаты не зависят от расположения эквивалент-
ного диполя. Измерение и анализ суммарного дипольного момента
генератора сердца — это основное современное «физически обос-
нованное» направление векторкардиографии.
При анализе векторкардиографических петель и особенно записей сум-
марного дипольного момента сердца концепция дипольного эквивалентного
генератора часто сохраняет лишь чисто условное значение и используется не
полностью, так как анализируется лишь часть параметров, описывающих
диполь,— только его дипольный момент, а расположение диполя в простран-
стве не учитывается. Суммарный дипольный момент сердца можно рассматри-
вать как интегральную характеристику распределения источников тока,
вообще не прибегая к понятию эквивалентного генератора.
Подробные сведения о векторкардиографической диагностике и различ-
ных способах графического представления векторкардиограмм, позволяющих
отобразить траекторию конца вектора сердца в трехмерном пространстве, мо-
жно найти в обширной специальной литературе по векторкардиографии [2, 23
и др.].
241
Рис. 3.17. Сопоставление последовательности возбуждения желудочков сердца (а) и орто-
гональной векторкардиограммы (б) для собаки в норме [124]
Даны изображения во фронтальной (F), сагиттальной (S) и горизонтальной (Н) проек-
циях. На верхнем рисунке — возбуждение эпикардиальной поверхности, на среднем и
нижнем — интрамуральное возбуждение, ПЯС — правый желудочек, ЛЖ — левый же-
лудочек
242
Рис. 3.18. Эквивалентный генератор сердца в виде сферического сегмента двойного слоя
(а) и сравнение потенциалов, порождаемых в точке наблюдения Р эквивалентными гене-
раторами разных типов с одинаковыми величинами дипольных моментов (б)
1 — сферический равномерный двойной слой; 2 — диполь, расположенный в центре плос-
кости, ограниченной краем двойного слоя; 3 — диполь, расположенный в центре сердца
Рассмотрение некоторых методологических вопросов векторкардиографии
(в том числе ортогональной), а также описание конкретных векторкардиогра-
фических систем отведений содержатся в работах [6, 23, 247, 420].
Дополнительное обсуждение целей и способов измерения век-
тора дипольного момента сердца содержится в разделе этой главы,
посвященном мультипольному эквивалентному генератору.
Связь дипольного эквивалентного генератора с истинным гене-
ратором сердца. Ранее обсуждались исключительно критерии и
способы определения дипольного эквивалентного генератора; он
сопоставлялся с истинным генератором сердца только через по-
средство потенциала поля. Рассмотрим электрофизиологическую
интерпретацию такого эквивалентного генератора в сравнении с
наиболее простой моделью истинного генератора (т. е. с эквива-
лентным генератором более высокого уровня). Такой моделью мо-
жет служить равномерный двойной слой источников тока в форме
сферического сегмента с радиусом гн, расположенный на поверх-
ности желудочков сердца. По предположению, измерение потен-
циала осуществляется на сферической поверхности с радиусом /?,
концентрической по отношению к двойному слою, и соответствую-
щей поверхности грудной клетки (рис. 3.18, а). Проводящая среда
является однородным неограниченным проводником с удельной
электропроводностью а. Используется сферическая система коор-
динат с началом в центре указанных сферических поверхностей и
с полярной осью z, совпадающей с осью симметрии двойного слоя.
Тогда поле двойного слоя также будет симметрично относительно
оси z. Двойной слой имеет плотность дипольного момента J и об-
ращен положительной стороной наружу. Потенциал двойного
243
слоя в точке измерения Р, которая определяется как точка пере-
сечения оси z с поверхностью грудной клетки, в соответствии с
формулой (3.3) выражается как
ф = _£_ (1 _ 1 , (3.28)
2б ( /1 _|_ (а/&)2 } '
где а = г и — с2 — радиус окружности, образующей край двой-
ного слоя и b = R — с — расстояние от плоскости края до точки
измерения (с — расстояние плоскости края от центра сердца).
Заметим, что в соответствии с основным свойством равномерного
двойного слоя такой же потенциал будет создавать любой двойной
слой с таким же краем и с такой же плотностью дипольного мо-
мента, в частности, равномерный двойной слой в форме плоского
диска, ограниченного этой же окружностью с радиусом а.
Теперь выберем эквивалентный диполь для этой модели истин-
ного генератора. Воспользовавшись интегральным критерием
эквивалентности, положим дипольный момент эквивалентного ди-
поля равным суммарному дипольному моменту двойного слоя
D — Jna2. Рассмотрим два варианта расположения эквивалент-
ного диполя. В первом случае он всегда будет расположен в центре
сердца, а его потенциал в точке Р согласно формуле (1.45) выра-
жается как
(3-29>
Во втором случае снова используем интегральный критерий экви-
валентности и поместим диполь в точке, обеспечивающей равен-
ство квадрупольных моментов двойного слоя и эквивалентного
диполя. Эта точка оказывается в центре окружности, ограничиваю-
щей двойной слой, и выражение для потенциала диполя в точке Р
будет иметь вид
’»-4 (тГ (•«»)
Результаты расчета потенциалов, создаваемых в точке изме-
рения двойным слоем и эквивалентными диполями в зависимости
от смещения края двойного слоя вдоль оси z (т. е. от расположения
волны возбуждения), представлены на рис. 3.18, б. Потенциал
дан в относительных единицах (J/(2a) = 1 и r^/R = 0,6). Разность
между потенциалом двойного слоя и потенциалом диполя харак-
теризует ошибку аппроксимации потенциала при использовании
дипольного эквивалентного генератора. Параметры рассматри-
ваемой модели, в частности, расположение точки измерения от-
носительно генератора, выбраны таким образом, что ошибка ап-
проксимации является максимальной по сравнению с другими
положениями точки измерения. При удалении этой точки от оси
z ошибка быстро уменьшается, и при углах отклонения от оси z
больше 20° (относительно центра сферы измерения) становится
244
пренебрежимо малой. Диполь; расположенный в центре ограни-
чивающей окружности двойного слоя, т. е. движущийся вместе с
волной возбуждения, обеспечивает значительно более точную ап-
проксимацию потенциала, чем неподвижный диполь в центре
сердца, но и для подвижного диполя в рассматриваемых (наиболее
неблагоприятных) условиях ошибка иногда может достигать до-
вольно значительной величины (около 40%).
Изменение величины ошибки при смещении двойного слоя по оси z
обусловлено двумя факторами: приближением края двойного слоя к точке
измерения и уменьшением размеров двойного слоя (эти факторы взаимоза-
висимы, так как двойной слой остается на заданной сферической поверхно-
сти,^соответствующей эпикарду). Первый из указанных факторов действует
в направлении увеличения ошибки, второй — ее уменьшения. Если преоб-
ладает влияние второго фактора, то ошибка уменьшается. В более реальных
условиях характер этой зависимости, конечно,"определяется формой поверх-
ности сердца, на которой, по предположению, находится генератор в виде
двойного слоя.
Ошибки дипольной аппроксимации генератора в виде двойного
слоя оказываются несколько меньше, если учитывается ограничен-
ность объемного проводника, например, если модель проводящей
среды представляет собой проводник в форме шара, окруженный
диэлектриком [189].
Таким образом, на основании анализа этой простой модели
можно допустить, что генератор сердца, близкий по конфигурации
к равномерному двойному слою с плоским краем, с довольно вы-
сокой точностью сводится к одному диполю, который расположен
в геометрическом центре плоскости, ограниченной краем двойного
слоя. Этот диполь имеет дипольный момент, ориентированный по
перпендикуляру к плоскости края двойного слоя и пропорцио-
нальный по величине ее площади и плотности дипольного момента
двойного слоя. Подобное же заключение справедливо и в том слу-
чае, когда рассматривается тонкая мышечная пластина, в которой
истинный генератор можно представить не поверхностным двой-
ным слоем, а его аналогом на плоскости — линейным генератором
с распределенными дипольными источниками, ориентированными
по нормам к линии. В такой модели эквивалентный диполь рас-
положен в центре отрезка прямой, соединяющей концы линейного
генератора, а его вектор ориентирован по нормали к этой прямой
и имеет величину, пропорциональную длине отрезка.
Эти соотношения позволяют на основании данных о хронотопо-
графии возбуждения и восстановления сердца приближенно оце-
нить характер изменения вектора сердца на протяжении кардио-
цикла, т. е. построить векторкардиографическую петлю. Модель
истинного генератора задается в виде двойных слоев, получен-
ных в результате экспериментального измерения или математи-
ческого моделирования процесса деполяризации и реполяризации
сердца. Для предсердий можно применить указанный выше
245
Рис. 3.19. Дипольная’аппроксимация двойных слоев генератора сердца
Показаны волны возбуждения и векторы эквивалентных диполей для трех моментов (ft,
tit /3) периода деполяризации’желудочков2(а) и для одного момента^периода реполяриза-
ции желудочков (б)
плоский вариант модели, для желудочков необходим анализ в
трехмерном пространстве. В период деполяризации двойные слои
совпадают с изохронными поверхностями фронта возбуждения,
а их плотность дипольного момента пропорциональна максималь-
ному изменению трансмембранного потенциала. В период реполя-
ризации двойные слои совпадают с поверхностями постоянного
трансмембранного потенциала, а их плотность дипольного момента
пропорциональна приращению трансмембранного потенциала меж-
ду соседними поверхностями двойного слоя.
На рис. 3.19 иллюстрируется определение вектора сердца для
нескольких моментов в периоды деполяризации и реполяризации
желудочков. При построении векторкардиограммы фактически
используется только суммарный дипольный момент всех участков
двойного слоя, существующих в каждый рассматриваемый момент
времени в сердце. Если же нужно оценить распределение потен-
циала в области измерения, то следует учитывать также и точки
расположения диполей, к которым сводятся отдельные участки
двойного слоя (это особенно важно для определения потенциала в
областях, приближенных к сердцу).
Описанный метод оценки вектора сердца был применен для
объяснения формы электрокардиограмм и векторкардиограмм при
нормальном и патологическом возбуждениях предсердий [77, 80],
при деполяризации желудочков [159, 260], а также при их реполя-
ризации [82, 226, 227].
246
6. МНОГОДИПОЛЬНЫЙ ЭКВИВАЛЕНТНЫЙ ГЕНЕРАТОР
Общие сведения. Для описания электрического генератора
сердца можно использовать эквивалентный генератор, состоящий
не из оного, а из двух и более диполей. Такой генератор иногда
называют много дипольным. В общем случае много дипольный гене-
ратор определяется 67V переменными характеристиками, где N —
число составляющих диполей, поскольку каждый диполь опреде-
ляется тремя компонентами дипольного момента и тремя коорди-
натами точки расположения. Очевидно, возможности точной ап-
проксимации поверхностного потенциала при увеличении числа
составляющих диполей эквивалентного генератора увеличивают-
ся. Решение прямой электродинамической задачи для многодиполь-
ного эквивалентного генератора не вызывает принципиальных
трудностей, так как в силу допущения о линейности объемного
проводника потенциал такого генератора равен сумме потенциалов
всех составляющих диполей, рассматриваемых независимо один
от другого. Так, если генератор содержит N диполей, то потенциал
в любой точке измерения выражается как
< Р ~ LxlDxl + 4- LZ1DZ14" ДсаДса + LyzDyz + LZ2pz^A~ • • •
• * • + LxnDxn -j- LynDyn 4- LzxDzn, (3.31)
где Z>xi, Dyl, Dzl, Dx2, — компоненты дипольных моментов
составляющих диполей в прямоугольной системе координат xyz\
Lxl, Lyl, Lzl, Lx2, Ly2,-коэффициенты, зависящие от коорди-
нат точек расположения этих диполей и точки наблюдения потен-
циала, а также от принятых свойств эквивалентной среды.
Многодипольный эквивалентный генератор обычно интерпре-
тируют электрофизиологически (по крайней мере для периода де-
поляризации) следующим образом: каждый составляющий диполь
должен характеризовать интенсивность истинных электрических
источников определенного участка фронта возбуждения. Однако
чем подробнее такой эквивалентный генератор описывает истин-
ный генератор сердца, тем труднее оказывается решение обратной
задачи. При увеличении числа диполей быстро возрастает общее
число неизвестных характеристик генератора, к тому же они свя-
заны с измеряемым потенциалом нелинейными уравнениями типа
(3.31). В случае, когда не заданы никакие ограничения на харак-
теристики многодипольного эквивалентного генератора, крите-
рием эквивалентности служит точная аппроксимация измеренного
потенциала, а решение обратной задачи ищется отдельно для каж-
дого момента времени, необходимо располагать не меньше чем
67V независимыми измеренными потенциалами, чтобы решить систе-
му уравнений, состоящую из М > 67V уравнений типа (3.31).
Если эквивалентный генератор содержит очень большое число ди-
полей, точно отражающих хронотопографию возбуждения сердца,
то решение обратной задачи обычно оказывается настолько чув-
ствительным к ошибкам измерения потенциалов тела, что вообще
теряет смысл. Поэтому такие многодипольные генераторы исполь-
зуют исключительно для решения прямой задачи. Их фактически
следует рассматривать как дискретный вариант эквивалентного
генератора в виде двойного слоя [163, 179].
Практически реализуемые методы решения обратной задачи для
многодипольного эквивалентного генератора без ограничений воз-
можны лишь при условии, что генератор содержит достаточно ма-
лое число составляющих диполей.
Двухдипольный генератор без ограничений. В работе [199]
предложен общий подход к определению дипольных моментов и
точек расположения заданного числа диполей по измеренному по-
верхностному потенциалу. Здесь в качестве критерия эквивалент-
ности используется минимальное различие интегральных харак-
теристик истинного генератора и многодипольного эквивалент-
ного генератора,— характеристик, которые по существу сводятся
к компонентам мультипольного разложения этих генераторов.
При этом для определения 12 характеристик многодипольного эк-
вивалентного генератора, содержащего минимальное число ди-
полей — всего два — требуется определение мультипольных ком-
понент истинного генератора трех первых порядков (до октуполь-
ных включительно), что само по себе является довольно сложной
практической задачей.
Характеристики двухдипольного эквивалентного генератора
можно определить из условия равенства дипольных и квадруполь-
ных компонент истинного и эквивалентного генераторов и мини-
мизации среднеквадратичной разности их октупольных потенциа-
лов [129].
Была разработана и реализована в экспериментах процедура
определения характеристик двухдипольного эквивалентного гене-
ратора на основе критерия наилучшей аппроксимации измерен-
ного потенциала [302, 303, 321]. Эта процедура предназначена для
решения обратной задачи при экспериментах на анатомически изо-
лированном сердце кролика, помещенном в сферическом сосуде
с физиологическим раствором. Потенциалы измеряются синхрон-
но 32 электродами, равномерно распределенными по внутренней
поверхности сосуда. Для определения компонент дипольных
моментов и координат точек расположения двух диполей решают
итерационным методом с использованием критерия минимальной
среднеквадратичной ошибки аппроксимации систему из 32 нели-
нейных уравнений с 12 неизвестными, связывающую потенциалы
в точках измерения с характеристиками двухдипольного экви-
валентного генератора. В качестве истинного генератора сердца
в экспериментах создавали искусственное повреждение двух ло-
кальных участков эпикарда желудочков сердца. Поврежденные
области имели небольшие размеры (средний диаметр 0,35 см) и
разные взаимные расположения в разных экспериментах. Потен-
циалы измеряли в период S — Т (по отношению к уровню потен-
циала в период Т — Р). Таким образом, в соответствии со струк-
248
турой генераторов тока повреждения в период измерения истин-
ный генератор был очень близок к двум точечным диполям. В ре-
зультате решения обратной задачи в этих экспериментах удава-
лось с высокой точностью определять расположение двух повреж-
денных зон. Так, вычисленные точки расположения составляющих
диполей двухдипольного эквивалентного генератора были смеще-
ны относительно центров поврежденных областей в среднем на
0,5 см, а во многих случаях оказались внутри поврежденных об-
ластей.
Таким образом, двухдипольный эквивалентный генератор ока-
зывается достаточно эффективным способом описания истинного
генератора сердца, когда структура истинных генераторов сама
по себе близка к двум диполям. Кроме рассмотренного случая
искусственного повреждения сердца, двухдипольный эквивалент-
ный генератор может быть полезным для тех периодов сердечного
цикла, когда истинный генератор представляет собой две отдель-
ные волны возбуждения небольшой протяженности, близкие по
конфигурации к двойному слою с плоским краем. При этом каж-
дый составляющий диполь эквивалентного генератора отражает
размеры и пространственную локализацию соответствующей вол-
ны возбуждения.
В работе [220] рассмотрен эквивалентный генератор в виде
двух подвижных диполей, каждый из которых характеризует вол-
ну возбуждения одного из желудочков сердца. Обратную задачу
решают в два этапа: сначала определяют по поверхностному по-
тенциалу параметры эквивалентного генератора более высокого
уровня (20-дипольного генератора с неподвижными диполями),
а затем для каждого желудочка находят суммарный диполь. Его
дипольный момент равен сумме дипольных моментов соответствую-
щих исходных диполей, а точка расположения определяется как
их «центр тяжести». Этим достигается увеличение устойчивости
решения обратной задачи для двухдипольного генератора.
Если необходимо описать более сложную конфигурацию ис-
тинного генератора сердца, то нужно увеличить число составляю-
щих диполей эквивалентного генератора, но при этом для успеш-
ного решения обратной задачи приходится налагать определенные
ограничения на структуру эквивалентного генератора. Эти огра-
ничения способствуют достижению двух важных целей: установле-
нию более тесной связи между истинным и эквивалентным генера-
торами и повышению точности решения обратной задачи. Ограни-
чения должны быть основаны на экспериментальных данных по
анатомии и электрофизиологии сердца.
Многодипольный генератор с заданным расположением состав-
ляющих диполей* Одно из ограничений, налагаемых на экви-
валентный генератор рассматриваемого типа,— это предваритель-
ное задание пространственного расположения составляющих
диполей. Для наиболее точного описания истинного генератора серд-
ца желательно, чтобы диполи эквивалентного генератора были рас-
положены возможно ближе к истинным источникам тока. Это до-
стигается следующим образом: мышцу сердца подразделяют на не-
сколько сегментов и в середине каждого сегмента (например, в его
центре тяжести) помещают один из составляющих диполей экви-
валентного генератора. В этом случае потенциал эквивалентного
генератора по-прежнему выражается уравнением (3.31), однако
коэффициенты Lxl, Lyl, ... (передаточные коэффициенты) теперь
являются постоянными и известными величинами (так как они
определяются заданными координатами диполей, точек измерения
и характеристиками эквивалентной среды). Общее число неизвест-
ных величин при решении обратной задачи будет равно 37V.
Если измерены потенциалы в М > 3N точках поверхности тела,
то для определения компонент диполей эквивалентного генератора
нужно решить систему из М линейных уравнений типа (3.31) с 3N
неизвестными (например, по методу наименьших квадратов).
Многодипольный эквивалентный генератор с составляющими
диполями, расположенными в заданных точках миокарда и изме-
няющими произвольным образом дипольные моменты, был ис-
следован на математической модели электрического генератора
сердца собаки [385]. В качестве исходных данных при решении об-
ратной задачи использовались потенциалы в 268 точках, равномер-
но распределенных на поверхности тела. Потенциалы были рас-
считаны путем решения прямой задачи для 76-дипольной модели
истинного генератора или измерены на подопытном животном.
Эти модельные исследования показали, что решение обратной
задачи для 20- и 9-дипольного эквивалентных генераторов весьма
чувствительно к ошибкам в измерениях потенциала и геометриче-
ских параметров поверхности тела. Чувствительность к ошибкам
измерений быстро снижается при уменьшении числа составляющих
диполей — при переходе от 20- к 9-дипольному генератору она
становится меньше в 10 раз. Точность аппроксимации измеренных
потенциалов при помощи эквивалентных генераторов обоих видов
достаточно высока — относительная величина среднего квадрата
ошибки не превышает 5 %. Тем не менее ни один из указанных гене-
раторов не обеспечивает достаточную устойчивость решения обрат-
ной задачи к ошибкам измерений. При реальных величинах этих
ошибок не удается определить характеристики эквивалентного
генератора, поддающиеся электрофизиологической интерпре-
тации.
Многодипольный генератор с заданными расположением и
ориентацией составляющих диполей. Для повышения устойчи-
вости решения обратной задачи необходимо налагать дополнитель-
ные ограничения на структуру многодипольного эквивалентного
генератора. Обычное ограничение — это допущение о неизмен-
ности не только расположения, но и ориентации составляющих
диполей. Предполагается, что вектор дипольного момента каждо-
го диполя на протяжении всего рассматриваемого периода време-
ни ориентирован вдоль неподвижной прямой, совпадающей со
250
средним направлением движения фронта деполяризации в данном
сегменте мышцы сердца. При этом учитывается тот факт, что в пе-
риод деполяризации волна возбуждения в небольших участках
мышцы сердца мало изменяет свою ориентацию — она почти парал-
лельна поверхностям стенки сердца и движется в направлении,
близком к радиальному.
Направления составляющих диполей определяются заранее на
основании экспериментальных данных о хронотопографии воз-
буждения сердца и при решении прямой и обратной задач счи-
таются известными. В данном случае поверхностный потенциал,
генерируемый многодипольным эквивалентным генератором, бу-
дет выражаться как
< р + LJD2 + . . . + LnDn, (3.32)
где Djl, Z>2,...— величины дипольных моментов элементарных ди-
полей и L2,. ._______постоянные передаточные коэффициенты,
зависящие от относительного расположения диполей и точки из-
мерения, заданной постоянной ориентации диполей и характе-
ристик эквивалентной} среды.
Таким образом, в этой модели число переменных характерис-
тик эквивалентного генератора равно числу составляющих дипо-
лей JV.
Эквивалентный генератор такого типа применяют для решения
как прямой, так и обратной задачи. В частности, его нередко ис-
пользуют как точную и удобную модель истинного генератора,
предназначенную для исследования эквивалентных генераторов
более простой структуры. При этом можно достичь любой желае-
мой точности описания истинного генератора, увеличивая число
составляющих диполей. Так, в упомянутом выше исследовании
истинное распределение потенциала на поверхности тела получа-
ли путем решения прямой задачи для модели генератора с 76 ди-
полями. Известны и другие многодипольные модели, содержащие
значительно больше диполей. Однако в многодипольных экви-
валентных генераторах, предназначенных для решения обратной
задачи, число составляющих диполей обычно не превышает 20.
Это объясняется тем, что, с одной стороны, 20 диполей обеспечи-
вают точность описания истинного генератора, необходимую для
диагностических целей, и, с другой,— такое число составляющих
диполей близко к верхнему пределу размерности многодиполь-
ного эквивалентного генератора, для которого можно получить
осмысленное решение обратной задачи при реальных требованиях
к точности исходных данных.
Рассмотрим некоторые конкретные применения многодиполь-
ного эквивалентного генератора с указанными ограничениями для
исследования электрического поля сердца посредством решения
главным образом прямой задачи.
Многодипольный генератор с 20 диполями, описывающий элек-
трические источники желудочков сердца в период деполяриза-
251
Рис. 3.20. Разбиение желудочков сердца на сегменты для формулировки 20-дипольного
эквивалентного генератора (а), определение характера изменения величины дипольного
момента для отдельного сегмента (б) и иллюстрация распространения возбуждения через
сегмент 12 (в) [427]
Предполагается, что дипольный момент пропорционален площади фронта возбуждения
в этом сегменте в каждый данный момент времени. А — точка отсчета времени
ции, был сформулирован в работах [426, 427]. Он показан схема-
тически на рис. 3.20, а. Каждый диполь расположен в центре
тяжести соответствующего сегмента миокарда, а его координаты
определены на основе анатомических данных. Направление вектора
дипольного момента совпадает со средним направлением нормали
252
к поверхности фронта возбуждения, проходящего через данный
сегмент. Для воспроизведения динамики изменения электриче-
ского поля во времени нужно задать изменение во времени ве-
личины дипольного момента каждого составляющего диполя.
Эту величину определяли по данным, полученным при экспери-
ментальном исследовании распространения возбуждения в мышце
сердца собаки (с соответствующими коррекциями для сердца че-
ловека). В каждый момент времени дипольный момент для данно-
го сегмента миокарда считается пропорциональным площади фрон-
та возбуждения, ограниченного объемом сегмента (рис. 3.20, б, в).
Функция изменения дипольного момента во времени может быть
задана в виде кривой произвольной формы (рис. 3.20, б) или ап-
проксимирована стандартными функциями. Например, в работе
[427] изменение дипольного момента представлено симметричным
импульсом, который определяется пятью параметрами.
При моделировании патологических состояний сердца, приво-
дящих к изменению дипольного момента определенных сегментов,
изменяют соответствующим образом форму кривой дипольного
момента. Например, при моделировании областей некроза с ма-
лыми размерами (охватывающих лишь часть объема сегмента),
на кривую дипольного момента накладывают кривую аналогичной
формы и противоположной полярности, характеризующую умень-
шение интенсивности электрического генератора в данном сегмен-
те из-за наличия пораженной инфарктом области; результирую-
щая кривая имеет «выемку».
Путем решения прямой задачи для описанного многодиполь-
ного эквивалентного генератора успешно моделировали вектор-
кардиограммы для нормального состояния сердца и для инфарктов
с разными локализациями и размерами [426, 427], а также подроб-
ное распределение потенциала на поверхности грудной клетки
как для однородной, так и для неоднородной эквивалентной среды
[430]. Полученные карты потенциала, электрокардиограммы и
векторкардиограммы оказались весьма близкими к соответствую-
щим экспериментальным записям на реальных объектах.
Много дипольный эквивалентный генератор, построенный по
аналогичному принципу на основании экспериментальных данных
о распространении возбуждения в желудочках сердца человека,
был использован в работе [161] для точного моделирования элек-
трических источников сердца с целью исследования мультиполь-
ного эквивалентного генератора в период деполяризации (см. сле-
дующий раздел).
В работах [388, 470, 471] многодипольный эквивалентный
генератор, содержащий 11 диполей с неизменным расположением
и ориентацией (2 для предсердий и 9 для желудочков), исполь-
зован для моделирования нормальных и патологических элек-
трокардиограмм, регистрируемых в стандартных отведениях,
и объяснения их формы в периоды деполяризации и реполяриза-
ции желудочков.
253
Аналогичный эквивалентный генератор с 14 составляющими
диполями для желудочков сердца рассмотрен в работе [475].
В ряде работ были исследованы методы решения обратной за-
дачи применительно к многодипольным эквивалентным генера-
торам, содержащим от трех до нескольких десятков диполей с
заданным расположением и ориентацией.
Авторы первых работ, посвященных этому вопросу, назвали
такие методы «прицельной электрокардиографией», так как они
ставили задачу определения электрического состояния отдельных
локальных участков сердца [94, 182]. Сердце подразделяли на
6 областей (одна для предсердий и пять для желудочков), и элек-
трическую активность каждой области представляли в виде ге-
нератора, близкого по структуре к диполю.
Выбор числа составляющих диполей эквивалентного генера-
тора определяется противоречивыми требованиями. Желательно,
чтобы он описывал не только состояние основных отделов серд-
ца, но хотя бы до некоторой степени и последовательность рас-
пространения возбуждения. В то же время с увеличением чис-
ла диполей быстро возрастают ошибки в решении обратной за-
дачи, и эквивалентный генератор утрачивает свое значение как
модель, на которой может быть непосредственно основана диа-
гностическая процедура.
В связи с этим при формулировке многодипольных моделей,
предназначенных для решения обратной задачи, приходится
использовать не очень большое число составляющих диполей.
Так, один из наиболее тщательно разработанных эквивалентных
генераторов с диполями, не изменяющими расположение и ори-
ентацию, содержит 12 диполей (в одном из вариантов — только
11) [243, 297]. Обратную задачу для такого эквивалентного ге-
нератора в принципе можно решать обычным методом — опре-
делять решение системы линейных уравнений типа (3.32) при
условии минимизации среднеквадратичной ошибки аппроксима-
ции потенциала, измеренного на поверхности тела (предполага-
ется, что число точек измерения больше числа диполей). Однако
при этом получаются результаты, не поддающиеся электрофизио-
логической интерпретации [138, 297]. Таким образом, возникает
необходимость в наложении дополнительных ограничений на
эквивалентный генератор.
Многодипо’льный генератор с заданными расположением, ориен-
тацией и ограничением на величину моментов составляющих ди-
полей. Согласно данным электрофизиологических эксперимен-
тов существует естественное ограничение, налагаемое на изме-
нение дипольных моментов во времени. Это требование означает,
что моменты диполей, ориентированные в направлении основного
распространения возбуждения, при решении обратной задачи
не принимают отрицательной величины, так как вероятность
поворота направления движения волны возбуждения на проти-
воположное весьма мала. Тогда на решение линейной системы
524
уравнений налагается условие Dt, D2, . . . > 0, и его можно най-
ти методом квадратичного программирования [297]. Подробное
исследование решения обратной задачи при помощи такой вычи-
слительной процедуры показало, что оно позволяет получить элек-
трофизиологически осмысленные результаты, хотя его точность
существенно зависит от близости исходных параметров модели
к параметрам исследуемого объекта, объема исходных данных,
наличия случайного шума измерений и других факторов [138,
297]. В частности, при определении коэффициентов системы
уравнений необходимо учитывать ограниченность объемного про-
водника и его внешнюю конфигурацию. Желательно также учи-
тывать влияние внутренней неоднородности тела, главным образом
наличие внутриполостной крови сердца (пренебрежение влиянием
крови иногда приводит к тому, что найденная величина диполь-
ного момента составляющего диполя вдвое отличается от дейст-
вительной). Согласно приближенной оценке число точек измере-
ния поверхностного потенциала должно не менее чем вчетверо
превышать число искомых характеристик эквивалентного гене-
ратора (в описываемой работе использовали 126 точек измерения).
Было найдено, что в соответствии с теоретическим предска-
занием существует довольно сильная корреляция между суммар-
ной величиной дипольного момента каждого составляющего ди-
поля за период деполяризации (интеграл от этой величины по
времени) и объемом возбудимой ткани в данном сегменте мио-
карда. Эта характеристика значительно менее чувствительна к
ошибкам, чем мгновенные значения дипольных моментов. На
рис. 3.21 для примера представлены кривые изменения диполь-
ных моментов для нормы и для случая гипертрофии левого желу-
дочка, полученные описанным методом. Этот метод был успешно
применен для исследования нескольких сотен здоровых испытуе-
мых и больных с гипертрофией, инфарктом и другими заболева-
ниями сердца [97, 243, 244].
Отметим результаты еще одной работы, посвященной оценке
точности решения обратной задачи для многодипольного эквива-
лентного генератора с использованием метода квадратичного-
программирования [258]. Истинный генератор математически
моделировали 76 диполями, воспроизводящими электрическую
активность сердца собаки, а обратную задачу решали для двух
вариантов многодипольного эквивалентного генератора — с 12
и 9 диполями. В качестве эквивалентной среды использовали од-
нородный проводник в форме сферы с радиусом, равным среднему
расстоянию от центра сердца до поверхности тела собаки. Расче-
ты подтвердили, что число точек измерения должно примерна
в 4 раза превышать число составляющих диполей, чтобы обеспе-
чивалась удовлетворительная точность решения обратной задачи
(относительная среднеквадратичная ошибка в дипольных момен-
тах составляющих диполей, обусловленная ограниченным числом
точек измерения, меньше 10%). При использовании 12-дипольного
255
эквивалентного генератора не удается надежно отличать диполи,
характеризующие возбуждение свободной стенки правого желу-
дочка, от диполей, характеризующих возбуждение межжелудоч-
ковой перегородки. В связи с этим в другом варианте эквива-
лентного генератора (с 9 диполями) некоторые сегменты стенки
правого желудочка были объединены с сегментами перегородки
и представлялись общими диполями (при этом все же удается
отчасти различать электрическую активность стенки желудочка
и перегородки, учитывая, что их возбуждение обычно не совпадает
во времени). Для 9-дипольного эквивалентного генератора ди-
польные моменты соответствующих сегментов сердца определялись
с относительной среднеквадратичной ошибкой около 20%. Ана-
лиз влияния заданного расположения и ориентации составляю-
щих диполей указывает на то, что особенно важное значение имеет
точный выбор ориентации диполей — она должна возможно
меньше отличаться от средней ориентации вектора дипольного
момента истинного генератора в соответствующем сегменте мио-
карда.
Точность решения обратной задачи при помощи метода квад-
ратичного программирования можно повысить, если совместно
Рис. 3.21. Изменение дипольных
моментов составляющих диполей
12-дипольного эквивалентного гене-
ратора на протяжении комплекса
QRS для здорового испытуемого
(кривые, ограничивающие затемнен-
ную площадь) и для больного с
гипертрофией левого желудочка
(жирные кривые) [244]
Данные получены в результате ре-
шения обратной электрокардиоло-
гической задачи. Обозначения сег-
ментов желудочков сердца:
ANBS — передний базальный пере-
городочный,
LANS — нижний передний пере-
городочный,
MALV — средне-передний лево-
желудочковый,
DIAP — диафрагмальный левоже-
лудочковый,
LALV — латеральный левожелу-
дочковый,
PLLV — задний латеральный ле-
вожелудочковый,
APEX — верхушечный,
POBS — задний базальный пере-
городочный,
PBLV — задний базальный лево-
желудочковый,
ABRV — передний базальный пра-
вожелудочковый,
AARV — передний верхушечный
правожелудочковый,
PBRV — задний базальный право-
желудочковый
256
с измерениями электрического поля использовать магнитокар-
диографические данные [216].
Можно наложить еще более жесткие ограничения на характер измене-
ния дипольных моментов составляющих диполей, а именно считать допусти-
мыми лишь некоторые конкретные их значения, например, нулевое и задан-
ное положительное. Нулевое значение соответствует моментам времени,
когда в данном сегменте миокарда полностью отсутствуют источники тока
(через него не проходит фронт возбуждения), а положительное значение —
моментам времени, когда сегмент пересекается фронтом возбуждения. В воз-
бужденном состоянии значение дипольного момента считается пропорцио-
нальным максимальной площади участка фронта возбуждения, ограниченного
объемом данного сегмента. Таким образом, каждый диполь может на-
ходиться в одном из двух состояний — «включен» и «выключен», а эквивалент-
ный генератор в целом — в одном из 2N состояний (где N — число состав-
ляющих диполей). Потенциалы, создаваемые в точках измерения таким ге-
нератором, определяются уравнением (3.32), в котором, однако, величины D
могут принимать лишь два значения — нулевое и заданное положительное.
Такой эквивалентный генератор с дипольными элементами типа «включен —
выключен» исследован в работах [100, 101]. В них предложена вычислитель-
ная процедура, позволяющая из всех возможных состояний эквивалентного
генератора быстро выбрать такое состояние (сочетание «включенных» и «вы-
ключенных» диполей), которое дает распределение поверхностного потен-
циала, наиболее близкое к измеренному (минимизируется, как обычно,
среднеквадратичная разность этих потенциалов). Расчеты для модели сердца
собаки с использованием 10-дипольного эквивалентного генератора показа-
ли, что решение обратной задачи, т. е. найденное распределение возбужден**
ных и невозбужденных сегментов сердца, сходно с хронотопографией воз-
буждения, найденной в экспериментах на живом сердце. Метод решения об-
ратной задачи обладает достаточной устойчивостью к небольшим ошибкам
в исходных данных. В некоторых случаях, однако, наблюдается повторное
«включение» диполей, что противоречит электрофизиологической интерпре-
тации эквивалентного генератора.
Многодипольный генератор с заданными расположением, ориен-
тацией и формой временного изменения моментов составляющих
диполей. Во всех рассмотренных выше методах решения обрат-
ной задачи для многодипольного эквивалентного генератора не
принимается во внимание характер изменения дипольных момен-
тов составляющих диполей во времени, т. е. задача решается
независимо для каждого отдельно взятого момента времени.
В результате может быть получено временное изменение диполь-
пых моментов фактически любой формы (хотя мгновенные ампли-
туды его должны удовлетворять заданным ограничениям).
Другой подход основан на том, что для каждого составляюще-
го диполя заранее задается функциональная форма изменения
дипольного момента во времени. Эта функция отражает основные
особенности формы изменения суммарного дипольного момента
отдельного сегмента миокарда, одинаковые для всех сегментов
9 Л. И. Титомир
257
и не зависящие от их электрического состояния. Кроме того,
функция содержит небольшое число параметров, которые изме-
няются при наиболее существенных изменениях электрического
процесса в сегменте. Именно эти параметры служат переменными
характеристиками электрического состояния сердца и являются
неизвестными при решении обратной задачи. Обычно исполь-
зуют три параметра: один определяет максимальную амплитуду
дипольного момента, два других — временную фазу и длитель-
ность возбуждения сегмента (или моменты начала и окончания
процесса его деполяризации). Типичные функции, применяемые
для аппроксимации изменения дипольного момента,— это гаус-
сова функция, прямоугольный импульс и импульс с закруглен-
ными фронтами. Оценка характеристик такого эквивалентного
генератора осуществляется не отдельно для каждого момента
времени, а совместно для всего рассматриваемого периода цикла
возбуждения сердца. Благодаря этому (совместному анализу про-
странственной и временной областей) число точек измерения
потенциала может быть меньше числа составляющих диполей
модели. Математически решение обратной задачи сводится к ми-
нимизации нелинейной функции от искомых переменных при
помощи алгоритмов итерационного характера [91, 92, 120, 166,
246, 418, 429]. При этом возникают трудности, связанные с неод-
нозначностью решения и с очень жесткими требованиями к вы-
бору начальных значений параметров для итерационной про-
цедуры. Несмотря на высокую точность аппроксимации поверх-
ностного потенциала, найденный эквивалентный генератор
оказывается слабо связанным с характеристиками действительного
электрического процесса в сердце. Эти трудности удается отча-
сти преодолеть, вводя дополнительные ограничения на искомые
параметры. Например, величины некоторых параметров можно
задавать заранее, исходя из имеющихся экспериментальных
данных о хронотопографии возбуждения. При этом найденные
значения остальных параметров эквивалентного генератора при-
обретают большую электрофизиологическую осмысленность. С дру-
гой стороны, наложение слишком жестких ограничений на
параметры эквивалентного генератора может настолько сузить
допустимую область их изменения, что эквивалентный генера-
тор не будет отражать многие существенные для диагностики
состояния истинного генератора сердца. Эти и другие вопросы,
относящиеся к сравнительной оценке многодипольных эквива-
лентных генераторов с ограничением временных характеристик,
более подробно обсуждаются в работе [92].
7. МУЛЬТИПОЛЬНЫЙ ЭКВИВАЛЕНТНЫЙ ГЕНЕРАТОР
Общие сведения. Мультипольный эквивалентный генератор
представляет собой совокупность конечного числа мультиполей,
расположенных в одной точке и удовлетворяющих принятому
258
критерию эквивалентности. Как было показано в гл. 1, при
обычных допущениях о свойствах объемного проводника (экви-
валентной среды) потенциал мультипольного эквивалентного ге-
нератора в любой точке измерения выражается как сумма вели-
чин, пропорциональных компонентам мультиполей
= (з.зз)
где Hi — компоненты мультиполей и Lt — коэффициенты, за-
висящие от координат точки расположения мультиполей и точки
наблюдения потенциала, а также от принятых свойств эквивалент-
ной среды. Под компонентами мультиполей Ht подразумеваются
переменные характеристики мультиполей, которые могут быть
выражены в соответствии с определениями, основанными на раз-
ложении потенциала в ряд Тейлора или в ряд по сферическим функ-
циям. В дальнейшем будем в основном использовать мультиполь-
ные компоненты Апт и Впт для разложения по сферическим
функциям, поскольку они определяются однозначно по поверх-
ностному потенциалу (см. гл. 1).
Уравнение (3.33) позволяет непосредственно определять ре-
шение прямой задачи в каждый момент времени, если заданы
значения мультипольных компонент и коэффициенты Lt. В осно-
ву решения обратной задачи, как и для эквивалентных генерато-
ров других типов, может , быть положен критерий наилучшей
аппроксимации измеренного потенциала или равенство харак-
теристик эквивалентного генератора интегральным характеристи-
кам (в данном случае непосредственно мультипольным компонен-
там) истинных источников тока сердца.
В принципе можно неограниченно увеличивать количество
мультиполей в эквивалентном генераторе, добавляя к нему
мультиполи все более высокого порядка и достигая сколь угодно
высокой точности аппроксимации измеренного потенциала. Од-
нако па практике, учитывая влияние случайных ошибок измере-
ний и требуемую точность описания электрического состояния
сердца, обычно ограничиваются небольшим числом мультипо-
лей низших порядков.
Если используется только мультиполь первого порядка, то
мультипольный эквивалентный генератор совпадает с однодиполь-
ным эквивалентным генератором. Поэтому многие свойства од-
нодипольного генератора характерны и для мультипольного.
Однако мультиполи более высоких порядков обладают и своими
отличительными чертами.
В самом общем случае переменными характеристиками муль-
типольного эквивалентного генератора можно считать как компо-
ненты мультиполей, так и координаты их точки расположения.
Однако рассмотрим сначала мультипольный эквивалентный ге-
нератор с неподвижной точкой расположения, для которого пе-
редаточные коэффициенты Lt являются постоянными величинами.
?
259
При использовании критерия наилучшей аппроксимации
измеренного потенциала для решения обратной задачи изме-
ряют потенциалы независимыми отведениями, число которых
N
(2/г + 1), где N — порядок самого старшего мультиполя,
п=1
включенного в эквивалентный генератор. Затем решают систему из
М линейных уравнений относительно неизвестных компонент
мультиполей для каждого рассматриваемого момента времени.
Очевидно, предварительно должны быть определены передаточ-
ные коэффициенты уравнений, соответствующие заданным ха-
рактеристикам эквивалентной среды и геометрическим соотноше-
ниям между эквивалентным генератором и точками измерения.
Определение передаточных коэффициентов. Возможны разные
подходы к определению передаточных коэффициентов, зависящие
от конкретных условий решения обратной задачи.
В экспериментах с анатомически изолированным сердцем
окружающая сердце среда имеет очень простые электрические
и геометрические свойства — обычно это сосуд правильной гео-
метрической формы, заполненный однородным физиологическим
раствором. Если сосуд имеет большие размеры по сравнению
с сердцем, а измерительные электроды находятся вблизи поверх-
ности сердца, где влияние ограниченности проводника стенками
сосуда на электрическое поле невелико, то в качестве эквива-
лентной среды целесообразно принять однородный неограничен-
ный проводник. Тогда потенциал мультипольного эквивалент-
ного генератора порядка N (т. е. содержащего мультиполи от
первого до TV-го порядка включительно) в соответствии с урав-
нением (1.69) выражается как
N п
= -4k У, У, [Лт (cose)cosmil’ + в™ х
п=1 т=0
X Рп (cos 0) sin тф^, (3.34)
где г, 0, ф — координаты точки измерения в сферической систе-
ме координат, в начале которой (обычно совпадающем с геомет-
рическим центром сердца) находится эквивалентный генератор.
Для мультипольного эквивалентного генератора второго порядка
(дипольно-квадрупольного)
1 г 1 1 1
Ф = "W P1 (cos °) Л1° + (cos 0)cos Л11 +
+ 4" (cos е)sin + 4" (cos 0) Ао + 4" Рг (cos 6) X
X cos фЛ21 4* Р2 (cos 0) sin фБ21 + P2 (cos 0) cos 2фЛ224-
+ P2 (cos0) sin 2i|?P22 J . (3.35)
260
Таким образом, в этом случае передаточные коэффициенты
равны
Г 1 ДЛ1О= 4ЛЗГ2 - 7’i(cos6), - P\ (cos 0) COS Ip,
4лбг2 Pi (cos 0) sin ф, T — 1 4л<5г3 P2(cos0),
‘^21 4л<Зг3 P* (cos 0) С08ф, T i 521 4nar3 P\ (cos 0)sini|',
•P* (cos 0) cos 2ф, ^B22 4д(5Гз P|(cos 0)sin2if
(3.36)
(заметим, что если их выразить через прямоугольные координаты,
то эти выражения совпадают с (1.152)).
Если же сердце погружено в сосуд сферической формы с фи-
зиологическим раствором, а измерительные электроды находятся
на стенках сосуда, то нужно учитывать влияние ограничен-
ности объемного проводника. Поэтому в качестве эквивалентной
среды принимают однородный проводящий шар, окруженный
диэлектриком. Определим потенциал, создаваемый на поверхности
такого шара мультиполями, находящимися в его центре.
Если потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа, то его
можно разложить в ряд по сферическим функциям (1.143). Пред-
ставим потенциал мультиполя, находящегося в ограниченном
проводнике, как сумму потенциала мультиполя в однородном
неограниченном проводнике и потенциала возмущения, обуслов-
ленного наличием границы (поверхности сферы). Этот суммарный
потенциал для мультиполя порядка п выражается как
п
= Е [ (i А ™ cos + (^5 +
7П=0
+ sin ^Ф] Р™ (cos 9)’ (3.37)
где апт, Ъпт — коэффициенты разложения потенциала возмуще-
ния. Согласно заданному условию проводник окружен диэлек-
триком. Следовательно, на его границе должно выполняться со-
отношение (1.18). Дифференцируя выражение (3.37) по г и при-
равнивая производную нулю при г = R, где R — радиус сферы,
ограничивающей проводник, получаем
1 П -f- 1 1 . 7 __ 1 п ~|- 1 1 р (‘J 9Q\
~~ 4Л(3 п Д2П+! ~ 4ло п р2п+1
Выражение для потенциала мультиполя n-го порядка на по-
верхности шарового проводника найдем, подставив эти значения
коэффициентов в уравнение (3.37) и положив г — R. Тогда по-
тенциал мультипольного эквивалентного генератора порядка N
261
выражается как
N п
* - S Е К р" <cos 0)cos "‘Ч1+
П=1 тп—О
+ В™ -^5Г Р”(cos0)sin • <3-39)
Для дипольно-квадрупольного эквивалентного генератора по-
лучаем
<р = Pl (COS 6) Л10 + Р{ (cos 6) cos 1|> • Ли +
+ Pl (cos 0) sin 4> • Ви + Pi (cos 0) Л20 +
+ <cos e)cos "Ф •л21 + “2^г pl2 (cos 9)sin Ч1 • ^21 +
4- Pl (cos 0) cos 2i|i • Л22 4- -255- /)2(cos6)sin24’ • ^22]-(3.40)
Таким образом, в этом случае передаточные коэффициенты
равны
Lai° = га?P1 <cos е>’ Lai1 = i р*(cos 0)cos
Ввп = (COS 0) sin LA20 = g^l^-TVcos©),
La21 = га» p* <cos 0)cos Lb21 = ra^ P'2 <cos 0) Sin
Lavi = oJ^-Pl (cos 0) cos 21|), AB22 = 0,1*03 Pl (cos 0)sin 2ip. (3.41)
Если исследуется электрический генератор сердца in situ
и измерение потенциалов осуществляется непосредственно на
теле человека или животного, то целесообразно использовать
эквивалентную среду, учитывающую хотя бы основные неодно-
родности тела. При этом передаточные коэффициенты не удается
выразить простыми формулами, и их определяют в экспериментах
на физических моделях или путем расчета математических моде-
лей тела. Обычно учитывают только главный вид неоднородности
тела как объемного проводника — его ограниченность.
Сравнительная оценка потенциалов мультиполей в области
измерения. Теоретический анализ и экспериментальные наблю-
дения показали, что при использовании мультипольного эквива-
лентного генератора наиболее существенную роль в аппроксима-
ции измеренного потенциала играет его первый, т. е. дипольный,
член. Остальные члены вносят в потенциал мепее значительный
вклад, который уменьшается по мере повышения порядка муль-
типоля. Непосредственное количественное сравнение мульти-
полей разных порядков не имеет смысла, так как они различи-
262
ются физической размерностью. Поэтому обычно сравнивают ос-
редненные величины потенциала, создаваемого мультиполями в
области измерения.
Рассмотрим область измерения в виде сферической поверх-
ности с центром в начале координат и с радиусом R. Среднеквад-
ратичное значение потенциала cps, распределенного по этой по-
верхности, выражается как
$ jj 4’ssined0dll’- (3.42)
^=0 0=0
Подставляя выражения для потенциала мультипольных компо-
нент в однородном неограниченном проводнике в соответствии с
уравнением (3.34) и учитывая соотношение
л
^lP"(CoSe)F5i„0de-2/_1|-;t:))'! (3,43)
0=0
получим для каждой мультипольной компоненты
f = 1 7 Л 1 * *_____(” + т)! f 4пт)
|<р„ I 4л<з7?п+1 V 8m(2»+l) (п — т)\ В | (0.41)
Суммарные среднеквадратичные потенциалы диполя и квадру-
поля соответственно равны
Ф1 = 4Я(3^2 J/4 * *~з~ (Ао + + ^п)> (3.45)
ф2 = 4тт(5/?з 1/~ + ЗЛ21 + ЗВ21 4- 12Л22 + 12В22). (3.46)
Аналогичным путем, используя уравнения (3.39) и (3.42),
найдем среднеквадратичный потенциал мультипольных компо-
нент на поверхности однородного проводника, ограниченного
сферической поверхностью с радиусом /?,
1 / • - т /~ (2м+ 1) (п + тп)! Г /о z7x
[Фв J 4Я(зЯп+1/г V ‘ '
v пт 4 7
и суммарные среднеквадратичные потенциалы диполя и квадру-
поля
Ф1 4^д'2 3(^1о + (3.48)
ф2 — + 342i + 3B2i + 12А22 + 12Z?22). (3.49)
Таким образом, среднеквадратичный потенциал мультиполя
порядка п на сфере с радиусом R как для неограниченного, так и
для ограниченного проводника обратно пропорционален величине
263
Rn+l и с повышением порядка мультиполя убывает все быстрее
при удалении области измерения от эквивалентного генератора.
Если поверхность измерения имеет более сложную форму
(например, совпадает с поверхностью грудной клетки), то для
оценки вклада мультипольных компонент в измеряемый потенциал
приходится непосредственно вычислять потенциал соответствую-
щей компоненты в точках измерения (как произведение компонен-
ты на ее передаточный коэффициент) и затем определять средне-
квадратичную величину этого потенциала по всем точкам измере-
ния.
Симметрия полей мультиполей. Анализ уравнений, выражающих
потенциал мультиполей, показывает, что поле каждого мультиполя
в однородном неограниченном проводнике обладает характерными
свойствами симметрии и антисимметрии вдоль определенных пря-
мых, проходящих через начало координат (местоположение муль-
типолей). Это позволяет установить правила, облегчающие каче-
ственную оценку распределения потенциала на поверхности тела с
точки зрения возможности его представления при помощи мульти-
польного эквивалентного генератора. Для мультиполей низших
порядков наиболее важны следующие правила, сформулированные
в работах [261, 262] на основе теории представлений групп:
1) для мультиполей четного порядка (п = 0, 2, 4...) разность
потенциалов на концах любого диаметра сферы с центром в начале
координат равна нулю;
2) для мультиполей нечетного порядка (п = 1, 3, 5...) потен-
циалы на концах любого диаметра такой сферы равны по величине
и противоположны по знаку;
3) для униполя (п = 0) и гексадекаполя (п = 4) потенциалы в
вершинах куба или октаэдра с центром в начале координат равны,
а для диполя (п == 1), квадруполя (п — 2) и октуполя (п = 3)
потенциалы в этих точках не равны.
Подобные правила можно сформулировать и для мультиполей
более высоких порядков. Сопоставляя величины потенциалов в
точках поверхности тела, расположенных в соответствии с указан-
ными геометрическими схемами, можно приближенно оценить
относительные вклады в него мультиполей эквивалентного генера-
тора разных порядков [261].
В то же время свойства симметрии полей мультиполей позволя-
ют выбрать небольшое число точек измерения, в которых потенциа-
лы некоторых мультипольных компонент всегда равны нулю, и
объединить эти точки через специально подобранные резисторы в
отведения, избирательно чувствительные лишь к определенным
компонентам мультиполей. Такие отведения фактически реализуют
решение систем уравнений типа (3.33) аналоговым способом.
Указанный подход был использован при конструировании от-
ведений для измерения дипольных и квадрупольных компонент эк-
вивалентного генератора в случае, когда в качестве эквивалентной
среды рассматривается однородный сферический проводник [3061.
264
Если эквивалентная среда представляет собой проводник более
сложной структуры, то идеальные соотношения симметрии для
мультиполей нарушаются. Но эти ошибки можно отчасти скоррек-
тировать, вводя весовые коэффициенты для отводимых потенциалов
на основании известных характеристик эквивалентной среды. Си-
стема отведений с такой коррекцией была применена для определе-
ния некоторых квадрупольных компонент эквивалентного генера-
тора по измерениям потенциалов в средней трансверсальной
плоскости грудной клетки человека [52].
Экспериментальное определение мультипольного эквивалент-
ного генератора при помощи аппроксимационного критерия.
Метод определения компонент мультипольного эквивалентного
генератора путем измерения потенциалов в небольшом числе точек
и решения линейной системы уравнений типа (3.33) был применен в
экспериментах по исследованию электрического поля сердца чере-
пахи, помещенного в сферическом сосуде с физиологическим раст-
вором [142, 237, 373, 468]. В работах [237, 373] определяли
дипольные и квадрупольные компоненты, используя минимальное
необходимое число электродов — 9, из которых образуется
8 независимых отведений, а в работах [142, 468] —- дипольные,
квадрупольные и октупольные компоненты, используя 20 электро-
дов, распределенных регулярно по поверхности сферы (в точках
касания сферы и описанного правильного двадцатигранника).
Результаты этих экспериментов свидетельствуют о том, что для
точной аппроксимации потенциала эквивалентный генератор дол-
жен содержать не только диполь, но и мультиполи более высоких
порядков. Количественное сопоставление результатов этих работ
затруднительно, так как они различаются по методике и критериям
оценки вкладов мультиполей в измеряемый потенциал. Однако эти
результаты позволяю! заключить, что вклад квадрупольных
компонент (а иногда и октупольных) в некоторые периоды сердеч-
ного цикла может быть довольно значительным (приближается к
дипольному вкладу по порядку величины).
Метод определения компонент мультипольного эквивал ентного
генератора при помощи среднеквадратичного приближения изме-
ренного потенциала применяли и для исследования электрического
поля сердца человека.
В работах [373, 422] использовали от 17 до 20 отведений, для
которых передаточные коэффициенты были найдены на однородной
электролитической модели грудной клетки.
В работе [88] для определения мультипольных компонент двух
первых порядков использовали сигналы примерно 300 однополюс-
ных отведений, а передаточные коэффициенты были найдены путем
расчета математической модели грудной клетки как однородного
ограниченного проводника. В дальнейшем на основании анализа
совокупности измеренных сигналов были выбраны 16 грудных
однополюсных отведений, позволяющие практически с такой же
точностью определять дипольные и квадрупольные компоненты.
265
При помощи специального приспособления дифферентные электро-
ды могут быть установлены в точках с заданными координатами
(в цилиндрической системе координат, ось которой совпадает с
продольной осью тела). Этим методом было исследовано электриче-
ское поле сердца у нескольких десятков здоровых и больных испы-
туемых [480].
Иной метод определения мультипольных компонент использо-
ван в работе [165]. Потенциалы, измеренные на поверхности
тела (примерно в 100 точках), предварительно преобразуются в
потенциалы, которые существовали бы на этой же поверхности,
если бы тело было окружено однородным неограниченным провод-
ником. Затем осуществляется аппроксимация этого потенциала
методом наименьших квадратов для заданной совокупности муль-
типолей. Так были исследованы эквивалентные генераторы, содер-
жащие мультиполи от 1-го до 6-го порядков.
Во всех указанных исследованиях были получены сходные ре-
зультаты, свидетельствующие о том, что добавление к диполю
мультиполей более высокого порядка позволяет значительно повы-
сить точность аппроксимации измеряемого потенциала. Наиболее
существенную роль из мультиполей высших порядков играет
квадруполь. Если начало системы координат находится вблизи
геометрического центра сердца, то среднеквадратичный потенциал
квадруполя в период деполяризации желудочков может достигать
более 50% от среднеквадратичного потенциала диполя [422].
Согласно результатам работы [88], при расположении эквивалент-
ного генератора в геометрическом центре желудочков относитель-
ная среднеквадратичная ошибка аппроксимации потенциала на
поверхности грудной клетки дипольным и дипольно-квадруполь-
ным эквивалентными генераторами для периода QRS составляет 23
и 14%, а для периода Т—22 и 18% соответственно. При добавлении
октупольных компонент средняя ошибка аппроксимации близка к
уровню случайных шумов измерения. Добавление квадруполя к
диполю снижает ошибку аппроксимации в среднем вдвое, а при
добавлении октуполя и последующих мультиполей уменьшение
ошибки происходит значительно медленнее. Поэтому максималь-
ный порядок мультиполей, которые целесообразно включать в
мультипольный эквивалентный генератор, исходя из критерия точ-
ности аппроксимации, не должен превышать 4 [165]. После того
как найдены компоненты эквивалентных мультиполей, можно
решить прямую электродинамическую задачу и найти распределе-
ние потенциала, обусловленное эквивалентным генератором, на
любой поверхности, включающей источники, например, непосред-
ственно на поверхности сердца или тела. Сопоставление этого рас-
пределения потенциала с реально измеренным позволяет дать оцен-
ку эквивалентного генератора с точки зрения его способности
воспроизводить качественные особенности формы распределения
потенциала в области измерения. Эквипотенциальные карты на
поверхности грудной клетки, построенные при помощи дипольно-
266
квадрупольного эквивалентного генератора, визуально очень мадо
отличаются от карт, построенных непосредственно по измеренным
потенциалам [214]. На этом основании было предложено использо-
вать для получения карт такой эквивалентный генератор, опреде-
ляемый по измерениям потенциала сравнительно небольшим чис-
лом отведений [474].
В описанных исследованиях найденные величины мультиполь-
ных компонент и ошибка аппроксимации зависят от выбора начала
координат — точки расположения эквивалентного генератора.
Относительный вклад в потенциал высших мультиполей оказыва-
ется тем меньше, чем ближе к истинным источникам расположено
начало координат. В связи с этим имеется возможность включить
координаты точки расположения мультиполей в число переменных
характеристик мультипольного эквивалентного генератора. В этом
случае в уравнении (3.33) коэффициенты Ц становятся переменны-
ми величинами, как и компоненты мультиполей. Уравнение
оказывается нелинейным относительно искомых характеристик
эквивалентного генератора. За счет увеличения числа степеней
свободы эквивалентного генератора достигается повышение точ-
ности аппроксимации измеренного потенциала, однако решение
нелинейной системы уравнений связано с вычислительными
трудностями. Простейшим частным случаем мультипольного
генератора с подвижной точкой расположения является переме-
щающийся диполь, который был рассмотрен в гл. 3, разд. 5.
При анализе электрического поля анатомически изолирован-
ного сердца кролика, помещенного в сферический сосуд с диамет-
ром 6,35 см, заполненный физиологическим раствором, наряду с
эквивалентными генераторами других типов использовали совокуп-
ность диполя и квадруполя с собственными подвижными точками
расположения [302, 320]. Компоненты диполя и квадруполя и
координаты точек их расположения (всего 14 величин) определяли
путем решения 32 нелинейных уравнений типа (3.33) из условия
наилучшей среднеквадратичной аппроксимации потенциала, изме-
ренного в 32 точках на поверхности сферы. Для решения системы
уравнений применяли специальный итерационный алгоритм. Как
и следовало ожидать, благодаря большой размерности эквивалент-
ного генератора достигается высокая точность аппроксимации
измеренного потенциала — в подавляющем большинстве случаев
относительная величина среднего квадрата ошибки не превы-
шает 5%.
Отметим следующее важное обстоятельство. Когда характеристики эк-
вивалентного генератора определяются на основе аппроксимации измерен-
ного потенциала (как в описанных вйше исследованиях), возникают трудности
с электрофизиологической интерпретацией генератора, так как критерий
эквивалентности не имеет четко выраженной связи со структурой истинного
генератора. Эквивалентный генератор задается в виде совокупности конеч-
ного числа мультиполей низших порядков, выбор которых фактически яв-
ляется произвольным. Кроме того, величины мультипольных компонент су-
267
щественно зависят от того, какое общее число мультиполей включено в экви-
валентный генератор, даже если при решении обратной задачи используется
практически все распределение потенциала на поверхности тела. Так, ис-
следования на математической модели генератора сердца и грудной клетки
(однородной и неоднородной) показали, что разность между дипольными ком-
понентами, найденными для эквивалентного генератора, содержащего толь-
ко диполь, и для эквивалентного генератора, содержащего диполь и квадру-
поль, достигает 30% от максимальной дипольной компоненты. Соответствен-
но, разность между квадрупольными компонентами, найденными для диполь-
но-квадрупольного эквивалентного генератора и для дипольно-квадрупольно-
октупольного эквивалентного генератора, может достичь 50% от максималь-
ной квадрупольной компоненты [161].
Указанные недостатки описанного подхода к формулировке мульти-
польного эквивалентного генератора в значительной степени устраняются,
если в качестве критерия эквивалентности принять равенство компонент
мультипольного эквивалентного генератора соответствующим компонентам
мультипольного разложения истинного генератора, т. е. использовать кри-
терий равенства интегральных характеристик. Напомним, что мультипольное
разложение источников тока непосредственно отражаетструктуру их распреде-
ления в пространстве, а его компоненты выражаются уравнениями (1.70).
При определенном выборе свойств эквивалентной среды удается определить
компоненты мультипольного разложения распределенного^ эквивалентного ге-
нератора, и найденные компоненты будут тем ближе ^компонентам истинного
распределения источников, чем ближе эквивалентная среда к истинной.
Уравнения для определения компонент мультипольного разло-
жения источников тока сердца по измеренному потенциалу. Рас-
смотрим способы вычисления мультипольных компонент истинных
источников для некоторых конкретных условий измерения потен-
циала и соответствующих характеристик эквивалентной среды
[199, 207, 218, 362].
Предположим, что потенциал измеряется на сферической
поверхности S с радиусом 7?, внутри которой находятся источники
тока сердца, описываемые компонентами их мультипольного раз-
ложения Апт и Впт. Если рассматриваемая эквивалентная среда
представляет собой однородный неограниченный проводник,то при
любом распределении источников потенциал в области измерения
выражается уравнением (1.69) при г = R:
оо п
Ф = 4^-ZlS [Лт-^г^п (cose)cosm^4-
п=1 т=0
+ Впт jgn+1 (cos 6) sin mtyj (3.50)
(нулевой член, не используемый в электрокардиологии, здесь опу-
щен).
Умножим левую и правую части этого уравнения на четную
сферическую функцию Р™' (cos 0) cos zn'ip (штрихом обозначены
268
порядок и степень данной конкретной сферической функции) и
проинтегрируем его по сферической поверхности измерения S.
Аналогичное вычисление выполним также с нечетной сферической
функцией Рп' (cos 0) sin тп'гр. Объединенная запись этих операций
имеет вид
X Г Ат>1 Рп (cos 0) cos zmf>P™'(cos 6) dS + Впт х
) I Olli ГГЬ 117J
S
X Рп (cos 0) sin mtyP™ (cos 0) Р?® dS j . (3.51)
s
В силу ортогональности сферических функций все члены суммы
в правой части уравнения, для которых п nf и т т', равны
нулю, и уравнение принимает вид
\* фР™ (cos 0) {™® Д dS = -А- Jj [Рп (cos 0)]2 cos тт|) X
S 8
х Е 3ds+в-j«(“s e>nsin ™i> £ dS} (3-52>
(штрихи у символов п и т опущены, так как теперь в уравнение
входят только сферические функции одного порядка и степени).
В результате вычисления интегралов в правой части этого
уравнения получаем следующее выражение для определения
мультипольных компонент по измеренному потенциалу:
fc} “ <2" + *) S «=“е> {.”» 3}dS'
8
Выражая площадь элемента сферической поверхности через
сферические координаты, получим, в частности:
дипольные компоненты
Лю = ЗоТ?2 J J фР1 (cos 0) sin 0 dQ dty,
M)=o 0=o
2Л Л Ли = 3<гЯ2 f $ *ф=0 9=0 2Л Л Ян = ЗпЯ2 J J г|)=0 6=0 <pPi (cos 0) cos ф sin 0 dQ rh|\ (3.54) cpPj (cos 0) sin ф sin 0 dQ ch|);
269
квадрупольные компоненты
2Л JT
Л20 = 5crR3 <pP2(cos0)sin0d0d'i|))
1р=Э 0—0
23Х JX
Л21 = -^-о7?3 <pP2(cos0)cosi|)sin0d0d'ip,
г|)=Э e--=0
2Л rt
B2l = oR3 q>Pl (cos 0) sin i|> sin 0 d0 dtp,
г|)=0 e—0
2Л л
Л22 — -утг tf/?3 <pP2(cOS0)cOs2-l|7Sin0d0dl|7r
ф==0 6=0
2Л Л
В22 = зпг О'-R3 фР2 (cos 0) sin 2ф sin 0 dQ dtp.
A V t)
ip==0 0=0
(3.55)
Рассмотрим теперь условия измерения, более близкие к реаль-
ным. Пусть измерения осуществляются на поверхности S произ-
вольной формы (например, совпадающей с поверхностью тела),
внутри которой в однородном проводнике находится распределение
источников тока сердца. В этом случае справедливо уравнение
(1.122), которое запишем в следующей форме:
~ dV = Ф grad dS, (3.56)
V s v
где г — расстояние от некоторой точки, находящейся вне поверх-
ности S, до любой точки внутри этой поверхности.
Представим величину 1/г в левой и правой частях этого уравне-
ния как разложение в ряд (1.66) и приравняем коэффициенты при
сферических функциях Р™ (cos 0) cos тпф и Р™ (cos 0) sin тпф (они
должны быть равны, так как уравнение выполняется при любых
координатах точки наблюдения). В результате получаем
- ”” $ ‘f srad й> &’ 3] <3-57>
Ь’
где г, 0, — координаты точек внутри проводниками на его границе.
Сравнивая это уравнение с уравнением (1.70), видим, что его
левая часть определяет величину мультипольных компонент.
Следовательно, эти компоненты можно выразить через потенциал
270
на поверхности проводника как
{ впт } = «Р ?rad [гПр" <cos0) {sCin М }] dS- <3-58>
S
Важный частный случай ограниченного проводника — это
однородный проводник в форме шара. Выберем начало координат в
центре шара и применим уравнение (3.58) к этому случаю. Скаляр-
ное произведение под интегралом можно выразить как производ-
ную по нормали к поверхности S от функции в квадратных скобках,
умноженную на скалярный элемент площади поверхности dS.
В рассматриваемом случае направление нормали совпадает с на-
правлением радиуса граничной сферы R. Поэтому получаем
grad ГrnP™ (cos 6) ( cos } 1 dS =
L 4 ’ l Sin Тпф J J
« A[r"/>?(Mse){“”4)]d5.
<3'59>
и уравнение (3.58) принимает вид
J 'lnm \ cpPn (cos 9) ( cos I dS. (3.60)
( Hnm f (n + ?n)! J v •' ' 7
s
Заметим, что это выражение можно было бы получить и иным
путем, воспользовавшись свойством ортогональности сферических
функций, как было получено (3.53) при рассмотрении однородного
неограниченного проводника [233].
Сопоставление выражений (3.53) и (3.60) показывает, что они
различаются только коэффициентом (2п + 1)/п, который отражает
влияние ограниченности проводника на потенциал мультиполя
порядка п.
Перепишем уравнение (3.58) для проводника произвольной
формы, раскрывая скалярное произведение под знаком интеграла:
{tS f’""1 И (“s e> {“n 5!dS-+
+ [и - p"“(cose)] {“}ds„ +
+ m/-)“(cos0)-4-Trl“sinm1*’]dS,J, (3.61)
1 v } sm 0 [ cos тф J ’ v }
где dSr, dS$, dS^ — компоненты векторного элемента площади
поверхности dS в сферической системе координат.
Более удобно для практических расчетов выражение, записан-
ное в прямоугольной системе координат. Чтобы получить его,
воспользуемся известными соотношениями между компонентами ве-
ктора элементарной площадки dS в сферических и прямоугольных
271
координатах, а также рекуррентными соотношениями для присое-
диненных функций Лежандра и сферических функций разных
порядков и степеней. В результате имеем [207]
((п — т)\ р
J X
[пт g
х + т)(п + т- 1) P™Zi (cos 9) g J 2 Jj J] -
- PV-L (COS 9) (c.os !m + !! П1 dSx +
+ -y- [(« + m) (n + m — 1) Pn-i (cos 9) x
x f~sin!m~!!Tl-pri1(eos0)( sin!m +
+ [(» + т)Р^(о»3в){'“”*)] <“.} (3-62)
Запишем явные выражения для мультиполей низших порядков:
дипольные компоненты
Лзо = Dz = б [ qdSz, Ап = Dx = а qdSx.,
S S
Dn = Dy = ст J<pd5y; (3.63)
S
кеадруполъные компоненты
Л20 = (У <р (— xdSx — у dSy -j- 2z dSz),
s
Л21 = о* J q(zdSx + xdSz), B21 = о <p(zdSy + ydSz), (3.64)
s s
1 [* 1 г
Л22 = — a \ <p (x dSx — у dSy), B22 = — a \q(y dSx + x dSy).
s s
Таким образом, имеется возможность вычислить мультиполь-
ные компоненты любого порядка, если потенциал измерен на сфере
в однородном неограниченном проводнике, на сферической поверх-
ности однородного ограниченного проводника или на поверхности
однородного ограниченного проводника произвольной формы при
помощи уравнений (3.53), (3.60) и (3.62) соответственно. Первые
два случая характерны для экспериментальных исследований, в
которых изолированное сердце помещают в сосуд с физиологиче-
ским раствором, а измерение потенциалов осуществляют на сфери-
ческой поверхности вокруг сердца. Третий случай характерен для
экспериментальных измерений на поверхности тела человека или
животного.
Очевидно, при практических расчетах интегрирование в приве-
денных формулах приходится осуществлять численными методами,
272
заменяя его суммированием в соответствии с пространственной:
дискретизацией потенциала при его измерении. Это вносит в
решение обратной задачи ошибку, величина которой зависит от
того, насколько густой сетью электродов покрыта поверхность из-
мерения, т. е. в конечном итоге от количества синхронных (или
искусственно синхронизируемых) отведений. Оптимальное число
отведений определяется конкретными условиями и задачами
исследования.
Определение мультипольных компонент генератора сердца в
экспериментах на изолированном сердце животного. Впервые
мультипольные компоненты были определены экспериментально в
опытах на анатомически изолированном сердце черепахи, помещен-
ном в сферический сосуд диаметром 7,5 см, наполненный физио-
логическим раствором [233]. Потенциал измеряли в 60 точках
поверхности раствора, а расчет дипольных и квадрупольных
компонент осуществляли по формуле (3.60). Было найдено, в
частности, что в период деполяризации максимальное отношение
квадрупольного момента к дипольному имеет порядок величины
радиуса сердца (его размерность выражается в единицах длины),
а максимальное отношение среднеквадратичных потенциалов квад-
руполя и диполя достигало 25%.
Мультипольные компоненты нескольких низших порядков были
найдены также в экспериментах на анатомически изолированном
сердце собаки [58, 59, 63]. Сердце собаки, перфузируемое при помо-
щи донорского кровообращения, помещали в сосуд большого объема
с физиологическим раствором и отводили потенциалы от точек,
распределенных с угловым шагом 15° по азимуту и элевации на
сферической поверхности (сфере измерения), окружающей сердце
(рис. 3.22, а). Диаметр сферы измерения равнялся 11 см, так что
электроды находились на расстоянии 1 -н 2 см от поверхности
сердца. Потенциалы регистрировались группами по 5 сигналов, а
затем синхронизировались при помощи постоянно записываемого
сигнала от точки, неподвижной относительно сердца. В качестве
индифферентного электрода для всех отведений использовали
общую точку соединенных накоротко электродов, расположенных
на периферии сосуда. Схема измерительной системы показана на
рис. 3.22, б. Записанные кривые представляли в числовой форме,
беря отсчеты с интервалом 4 мс для комплекса QRS и 20 мс для
зубца Т. В верхней полярной области сферической системы коор-
динат, где непосредственное измерение потенциалов затруднитель-
но, так как поверхность измерения пересекается сосудами сердца,
значения потенциала определяли путем интерполяции. Таким
образом были получены совокупности значений потенциала для
последовательных моментов времени в 266 точках на сферической
поверхности вокруг сердца. Поскольку стенки сосуда с раствором
удалены от сердца на большое расстояние, а измерительные элект-
роды имеют незначительный объем, условия эксперимента близки
к измерениям в однородном неограниченном проводнике и для
273
Рис. 3.22. Измерение электрического поля изолированного сердца [63]
а — общий вид анатомически изолированного перфузируемого сердца собаки в
сосуде с физиологическим раствором; б — схема экспериментальной измерительной
системы: 1 — перфузируемое сердце в физрастворе, 2 — кабель отведений, 3 —
отводящие электроды, 4 — электроды нулевой терминали, 5 — коммутатор, 6 — усили-
тель биопотенциалов, 7 — электрокардиоскоп, 8 — шлейфовый осциллограф
274
Квадрупольные компоненты,*^ ' рольные компоненты,*^*
Рис. 3.23. Изменение дипольных (а) и квадрупольных (б) компонент электрического гене»
ратора сердца собаки на протяжении сердечного цикла для одного из опытов [63]|
расчета мультипольных компонент было применено уравнение
(3.53) с использованием приближенного значения о = 0,01 См/см.
Расчет компонент диполя, квадруполя и октуполя был осуществ-
лен численным методом на ЭВМ. Анализ ошибок, обусловленных
дискретностью точек измерения, показал, что максимальная
275
ошибка компонент мультиполей 1-го — 3-го порядков, вызванная
заменой интегралов дискретным суммированием, не превышает
10% от максимальной компоненты соответствующего мультиполя.
Результаты для нескольких экспериментов представлены на
рис. 3.23—3.26.
Сопоставление кривых изменения во времени дипольных и
квадрупольных компонент (рис. 3.23) показывает, что изменение
квадрупольных компонент имеет более сложный характер. В то
время как кривые для диполя обычно содержат один или два
экстремума, кривые для квадруполя часто имеют трехфазную и
даже более сложную форму. Отношение абсолютных величин
квадрупольных и дипольных компонент в среднем близко к вели-
чине радиуса сердца. Очевидно, конкретная форма изменения
каждой мультипольной компоненты зависит от ориентации сердца
относительно системы координат. Октупольные компоненты также
изменяются сложным образом.
Для сравнения значимости вкладов мультиполей разных поряд-
ков в измеряемый потенциал были рассчитаны при помощи форму-
лы (3.44) среднеквадратичные значения потенциала, генерируемого
каждым мультиполем, а также среднеквадратичные ошибки ап-
проксимации распределения потенциала на сфере измерения для
мультипольных эквивалентных генераторов нескольких низших
порядков. Предполагалось, что их компоненты равны найденным
мультипольным компонентам истинного генератора, т. е. что ис-
пользован критерий эквивалентности, требующий равенства ин-
тегральных характеристик генераторов. Абсолютная ошибка
аппроксимации выражается как
/' 2Л Л
(<р — <рЕ&)28т0сЮА|) , (3.65)
0=0
где ф — измеренный потенциал истинного генератора и фЕ& —
потенциал эквивалентного генератора, рассчитанный при помощи
формулы (3.34).
Относительная ошибка аппроксимации равна
6 - фд/ф, (3.66)
где ф — среднеквадратичное значение измеренного потенциала
истинного генератора на сфере измерения.
Некоторые результаты этих расчетов представлены на рис. 3.24.
Видно, что ошибки аппроксимации изменяются на протяжении
сердечного цикла, причем особенно резкие изменения наблюдаются
в период деполяризации (комплекс QRS). В период быстрой репо-
ляризации (зубец Т) ошибки более стабильны и в среднем меньше,
чем в период деполяризации. Важно отметить, что эти кривые
построены для сферы измерения, находящейся на небольшом
276
Рис. 3.24. Изменение относительных среднеквадратичных ошибок б аппроксимации по-
тенциала сердца собаки на сфере измерения для дипольного (D), дипольно-квадруполь-
ного (DQ), дипольно-квадрупольно-октупольного (DQO) эквивалентных генераторов и для
эквивалентного генератора в виде диполя с подвижной точкой расположения (Вод). При-
ведены результаты трех опытов [58, 59]
расстоянии от поверхности сердца. При исследовании сердца in
situ область измерения (поверхность тела) расположена в среднем
на большем расстоянии от сердца. Согласно уравнению (3.34) при
удалении от эквивалентного генератора потенциал мультиполя
убывает тем быстрее, чем выше порядок мультиполя. Поэтому для
более удаленной от сердца области измерения ошибки аппроксима-
ции потенциала для любого мультипольного генератора будут
уменьшаться.
Рассмотрим изменение ошибок при удалении области измерения
от сердца. Для этого допустим, что потенциал, который остается
после вычитания потенциала дипольно-квадрупольно-октупольно-
го эквивалентного генератора из измеренного потенциала, изменя-
ется в зависимости от расстояния г пропорционально величине
1/А При этом среднеквадратичный потенциал на сферической
поверхности с произвольным радиусом R для диполя, квадруполя,
октуполя и высших мультиполей можно выразить соответственно
277
следующими формулами:
7?^
4>i — фх С^м)? фз = срз (7?м)>
(3.67)
/?3 /?5
Ф2 = фг (^м)т ф4 = фд(*м),
где фд (7?м), ф2 (Rm). фз (Rm), фд (Rm) — среднеквадратичные по-
тенциалы на сфере измерения с радиусом Rm- Тогда относительные
среднеквадратичные ошибки аппроксимации для сферы с радиусом
R выражаются следующими формулами для дипольного, дипольно-
квадрупольного и дипольно-квадрупольно-октупольного эквива-
лентного генератора соответственно:
— ^Фг + Фз + Ф1/фГ»
&DQ = /ф| + ф1/ф2, SdQO = ф</ф2^
где
ф2 = У ф1 + ф2 + фз + ф4 • (3.69)
На рис. 3.25 показана зависимость этих ошибок, осредненных
на протяжении комплекса QRS и зубца Т, от расстояния R в сред-
нем для нескольких экспериментов. Следует отметить, что получен-
ные среднеквадратичные значения потенциала мультиполей заниже-
ны, а ошибки аппроксимации завышены по сравнению с условиями
реальных электрокардиографических измерений. Это объясня-
ется тем, что неоднородность объемного проводника, которая
исключена в условиях эксперимента, приводит к увеличению
значений потенциалов и уменьшению относительного вклада в
него мультиполей высших порядков. Об этом свидетельствует, в
частности, сравнение формул (3.34) и (3.39) для потенциала в
неограниченном проводнике и на поверхности ограниченного ша-
рового проводника. Например, отношение среднеквадратичных
потенциалов квадруполя и диполя на сферической поверхности в
случае ограниченного проводника будет в 1,2 раза меньше, чем в
случае бесконечно протяженного проводника.
Представленные данные указывают на то, что с увеличением
порядка мультипольного эквивалентного генератора (т. е. включе-
нием в него старших мультиполей) ошибка аппроксимации умень-
шается и эквивалентный генератор все более точно описывает
измеряемый потенциал. При этом элементы эквивалентного гене-
ратора оказываются упорядоченными по значимости: чем ниже
порядок мультиполя, тем большая часть потенциала оказывается
обусловленной этим мультиполем. Так, наиболее существенный
вклад в потенциал вносит диполь, вторым по важности является
квадруполь, затем идет октуполь и т. д. Это иллюстрируется
графиком на рис. 3.26, где представлены относительные средне-
квадратичные ошибки аппроксимации для среднего расстояния
278
Рис. 3.25. Относительные среднеквадратичные ошибки б аппроксимации потенциала для
мультипольных эквивалентных генераторов трех первых порядков в зависимости от рас-
стояния области измерения от центра сердца
На оси абсцисс отмечены стрелками средний радиус сердца (Вн), Радиус сферы измерения
(Rm) и средние расстояния от центра сердца электродов некоторых грудных отведений
Рис. 3.26. Относительные среднеквадратичные ошибки аппроксимации потенциала в за-
висимости от типа эквивалентного генератора и условий измерения (результаты экспери-
ментов на собаках) [59]
Заштрихованная область: 1 — неограниченный проводник, расстояние от центра сердца
5,5 см; 2 — ограниченный проводник, расстояние от центра сердца 5,5 см; 3 — ограничен-
ный проводник, расстояние от центра сердца 11 см (среднее расстояние от центра сердца
поверхности грудной клетки человека в плоскости среднего трансверсального сечения).
N — число переменных характеристик эквивалентного генератора
поверхности грудной клетки человека от центра сердца (умножен-
ные на коэффициент 1/1,2 для приближенного учета влияния
ограниченности проводника). Известно, что типичная относитель-
ная среднеквадратичная величина случайного шума стандартных
электрокардиографических измерений’составляет 10%. Поэтому,
как видно из графика на рис. 3.26, ошибка аппроксимации потен-
циала дипольным эквивалентным генератором значительно больше
шума измерений, для дипольно-квадрупольного генератора эта
ошибка приближается к уровню шума, а для дипол ьно-квадру-
польно-октупольного генератора она уже оказывается ниже уровня
шумов. Следовательно, можно заключить, что дипольный эквива-
лентный генератор отражает основную часть информации об
электрическом состоянии сердца, содержащейся в измеренном
потенциале, но еще не исчерпывает всей доступной информации.
Оставшаяся «недипольная» информация может быть в значитель-
ной степени учтена при помощи квадрупольных компонент,
которые также можно определить по измеренным потенциалам.
Использование октупольных компонент можно считать целесооб-
разным, по-видимому, лишь при условии, если приняты специаль-
ные меры для обеспечения особой точности измерительной проце-
дуры.
279
Наличие полезной информации в недипольной части распреде-
ления потенциала подтверждается качественным анализом карт
эквипотенциалей, построенных для разности между измеренным
потенциалом и потенциалом дипольного эквивалентного генерато-
ра, в экспериментах с изолированным сердцем собаки, погружен-
ным в сосуд с физиологическим раствором [65, 318, 476].
Экспериментальное определение мультипольных компоне нт
генератора сердца человека. В результате экспериментального
исследования электрического поля сердца человека при помощи
специальной автоматизированной измерительной системы были
определены дипольные и квадрупольные компоненты сердечного
генератора [26, 27, 277]. Исходными данными измерений являются
совокупности синхронных значений потенциалов приблизительно
в 200 точках, равномерно распределенных на поверхности грудной
клетки, для последовательных моментов времени сердечного цик-
ла, и совокупность цилиндрических координат этих точек. Муль-
типольные компоненты вычисляются на ЭВМ методом численного
интегрирования по формулам (3.63) и (3.64) при помощи триангу-
ляции поверхности грудной клетки или аппроксимации ее цилин-
дром, поперечное сечение которого совпадает со средним транс-
версальным сечением грудной клетки.
Дипольные и квадрупольные компоненты вычисляются отно-
сительно начала координат, совпадающего с центром среднего
трансверсального сечения, а затем квадрупольные компоненты
пересчитываются по формулам (1.84) для нового начала коорди-
нат, расположенного в геометрическом центре желудочков сердца
(напомним, что дипольные компоненты не изменяются при сме-
щении начала координат). Как и в описанных выше эксперимен-
тах на сердце животных, отношение абсолютных величин квадру-
польных компонент к абсолютным величинам дипольных в среднем
близко к радиусу сердца,. Относительный вклад в поверхност-
ный потенциал квадруполя и диполя можно охарактеризовать от-
ношением их среднеквадратичных потенциалов на сфере с радиу-
сом 7?, равным среднему расстоянию поверхности грудной клетки
от центра сердца. В соответствии с уравнениями (3.48) и (3.49)
эта величина выражается как
6q = ИГ 342i + ЗВ21 + 12Л22 12В22, (3.70)
где D = VAlo + Лн + — модуль дипольного момента. Ве-
личины квадрупольных компонент здесь вычислены относительно
геометрического центра желудочков сердца.
Если осреднить этот относительный среднеквадратичный квад-
рупольный потенциал по времени и взять среднее значение для
группы испытуемых, то получается величина 25% для комплекса
QRS и 22% для зубца Т, что довольно близко к результатам эк-
спериментов на изолированном сердце собаки.
280
В работе [224] описан метод вычисления мультипольных ком-
понент электрического генератора сердца по поверхностному по-
тенциалу, основанный на разложении распределения потенциала
и геометрических параметров поверхности грудной клетки в двух-
мерный ряд Фурье по пространственным координатам.
Представляется важным следующее обстоятельство. Осредненные оцен-
ки ошибок аппроксимации измеренного потенциала при помощи дипольно-
квадрупольного эквивалентного генератора, а также относительного квад-
рупольного потенциала, полученные при описанных здесь экспериментах,
весьма близки к оценкам, полученным в работе [88] на основе другого кри-
терия эквивалентности генераторов (напомним, что в этой работе исполь-
зован критерий минимальной среднеквадратичной ошибки аппроксимации
потенциала при заданном эквивалентном генераторе с ограниченным числом
мультиполей). Таким образом, можно считать, что оба эти подхода в сред-
нем обеспечивают одинаковую точность описания поверхностного потенциа-
ла. Однако конкретные вычисленные значения мультипольных компонент
в этих двух случаях могут сильно различаться. При использовании чисто
аппроксимационного критерия эквивалентности компоненты мультиполя
самого высшего порядка, включенного в эквивалентный генератор, могут
очень сильно отличаться от соответствующих мультипольных компонент
истинного распределения источников тока сердца [161]. Удовлетворительная
степень совпадения характеристик эквивалентного генератора с мульти-
польными компонентами истинного генератора в этом случае обеспечивается
только для 7V — 1 первых мультиполей, если общее число мультиполей в эк-
вивалентном генераторе равно N. Например, если он включает диполь,
квадруполь и октуполь, то в результате решения обратной задачи методом ап-
проксимации поверхностного потенциала будут найдены компоненты диполя
и квадруполя, близкие к соответствующим мультипольным компонентам истин-
ного генератора, а компоненты октуполя будут сильно отличаться от ок-
тупольных компонент истинного генератора.
Если изменяющийся во времени потенциал, распределенный
по поверхности тела, с точностью до уровня шума можно пред-
ставить в виде линейной комбинации потенциалов конечного
числа мультипольных компонент (ортогональных в пространстве)
и линейной комбинации конечного числа временных факторов
(ортогональных во времени), то между мультипольными компонен-
тами, с одной стороны, и временными факторами — с другой,
существует линейное соотношение, так что характеристики одного
типа можно выразить через характеристики другого типа [353].
Суммарный дипольный момент сердца и его значение в элек-
трокард иОлогии. При любых критериях определения мульти-
польного эквивалентного генератора дипольная его часть вно-
сит основной вклад в потенциал на поверхности тела и содержит
наиболее важную информацию об электрическом состоянии сердца
по сравнению с мультиполями более высокого порядка. При рас-
смотрении только дипольных компонент в качестве характеристик
истинного генератора и пренебрежении всеми высшими мульти-
2М
Рис. 3.27. Изменение трех компонент вектора дипольного момента в прямоугольной
системе координат (а) и модуля и углов ориентации (А — азимут, Е — элевация) зтого
вектора (б) для сердца человека
полями эквивалентный генератор мультипольного типа сводится
к дипольному эквивалентному генератору, описанному в одном
из предыдущих разделов, со всеми его преимуществами и недо-
статками.
Однако следует еще раз подчеркнуть особые свойства диполь-
ного эквивалентного генератора, сформулированного на основе
интегрального критерия эквивалентности. Компоненты диполь-
ного момента такого генератора не зависят от выбора начала ко-
ординат (см. гл. 1). Таким образом, дипольный момент является
«собственной» характеристикой генератора сердца, не зависящей
от расположения сердца в грудной клетке (т. е. смещений его
относительно выбранного начала координат).
Суммарный дипольный момент сердца, как любой вектор, мо-
жет быть представлен в виде трех скалярных записей, изображаю-
щих либо изменение трех его компонент в прямоугольной системе
координат (рис. 3.27, а), либо изменение его модуля и двух углов
ориентации (рис. 3.27, б). Широко применяется также представ-
ление вектора дипольного момента сердца в виде проекций тра-
282
ектории его конца на координат-
ные плоскости (рис. 3.28). Такая
пространственная кривая и ее
плоские проекции называются век-
торкардиограммой. О векторкар-
диографии как диагностическом ме-
тоде, базирующемся на векторном
представлении потенциалов, изме-
ряемых любыми тремя (или двумя)
отведениями, уже говорилось в
разделе, посвященном однодиполь-
ному эквивалентному генератору.
Здесь сосредоточим внимание на
таком варианте векторкардиогра-
фии, который предусматривает
измерение именно суммарного ди-
польного момента сердца, отра-
жающего общую дипольную интен-
сивность и ориентацию электриче-
ского процесса в сердце и нечув-
ствительного к анатомическому
расположению сердца.
Представление об абсолютной
величине дипольного момента серд-
ца дают максимальные значения
дипольных моментов для периода
деполяризации сердца некоторых
животных и человека, измеренные
в экспериментах (табл. 3.1).
Из табл. 3.1 видно, что сущест-
вует значительная корреляция
между массой сердца, массой тела
животного и максимальным ди-
польным моментом сердца. Оценка
по этим экспериментальным дан-
ным показывает, что максималь-
ный дипольный момент пропорци-
онален массе сердца в степени
0,77. Согласно приближенной тео-
ретической оценке на основе пред-
ставления генератора сердца в
виде равномерного двойного слоя
максимальный дипольный момент
должен быть пропорционален мас-
се сердца в степени 2/3 (что близко
к экспериментальным результатам)
[217]. Это позволяет использовать
дипольный момент для оценки
Рис. 3.28. Ортогональная векторкардио-
грамма здорового человека в проекциях
на фронтальную (F), трансверсальную
(Т) и левую сагиттальную (S) плоскости
тела [277]
Точками на кривых отмечены моменты
времени через 8 мс для периода QRS
и через 24 мс для периода T. По осям
координат отложен дипольный мо-
мент в мА «см
283
Таблица 3.1
Масса сердца масса тела Жв
мент сердца Z>max [340]
и максимальный дипольный мо-
Вид животного и число эксперименталь- ных случаев VVH, Г Wb, кг ^тах» мА’см
Лягушка (4) 0,16 0,036 0,005
Хомяк (2) 0,44 0,100 0,015
Черепаха (19) 0,96 0,352 0,051
Крыса (2) 1,10 0,277 0,107
Крупная лягушка (7) 1,25 0,390 0,049
Кролик (12) 10,6 3,5 0,355
Обезьяна (12) 42,8 8,65 0,478
Свинья (51) 51,0 12,0 0,665
Собака (17) 108 14,2 1,63
Ягненок (1) 122 25,0 2,13
Человек (15) 300 71,5 2,32
Лошадь (4) 3060 419 13,0
Примечание. Данные для крысы и кролика получены в результате измерений на изо-
лированном сердце, для других животных и человека — в результате приближенного
расчета по формулам (3.63) на основе измерения потенциалов в 100—зОО точках поверх-
ности тела (удельная электропроводность принята равной 0,002 См/см).
патологических изменений массы желудочков сердца [339 и др.].
Индивидуальные различия формы кривых изменения диполь-
ного момента сердца собаки иллюстрируются на рис. 3.29.
Д мД’См
Рис. 3.29. Изменение модуля дипольного момента электрического генератора сердца собаки
на протяжении сердечного цикла (по результатам трех опытов на изолированном сердце)
Гипотеза о том, что всю доступную и полезную информацию об электри-
ческом состоянии сердца отражает вектор его суммарного дипольного момен-
та, а недипольные компоненты обусловлены лишь индивидуальными вариа-
циями расположения сердца и не несут диагностических данных, лежит
в основе одного из современных направлений электрокардиографии — ортого-
284
нальной векторкардиографии. Для измерения компонент вектора сердца в орто-
гональной векторкардиографии применяют «корригированные ортогональные
системы отведений». Идеальная корригированная ортогональная система со-
стоит из трех отведений, каждое из которых должно точно измерять одну из
компонент дипольного момента сердца в прямоугольной системе координат,
неподвижно связанной с телом. Возможность создания систем отведений,
хотя бы приближенно удовлетворяющих этому требованию, основана на свой-
ствах электрического поля сердца, отмеченных ранее. Во-первых, при уда-
лении от сердца относительный вклад в потенциал недипольных компонент
по сравнению с дипольными быстро уменьшается. Во-вторых, при измерении
потенциала на любом расстоянии от сердца дипольные компоненты точно
выражаются в виде интегралов по поверхности измерения (подразумевается,
что источники тока находятся в однородном объемном проводнике, ограни-
ченном поверхностью тела). Важным требованием к системам отведений,
предназначенным для практических измерений в клинике, является мини-
мальное число электродов отведений и удобство их наложения на тело.
Было предложено много (около 20) корригированных ортогональных
систем отведений, содержащих от семи до нескольких десятков электродов.
Все они в большей или меньшей степени основаны на приближенном интег-
рировании потенциала по поверхности тела (фактически интегрирование
заменяется суммированием потенциалов, измеренных в дискретно распреде-
ленных точках поверхности тела). Чем дальше от сердца находится данный
участок поверхности тела, тем меньше влияние недипольных компонент и
тем менее густую сеть электродов нужно применять для интегрирования по-
тенциала. В пределе можно ограничиться простым одно- или двухполюсным
отведением. Однако специфика анатомического строения тела человека поз-
воляет использовать эту возможность лишь в ограниченных пределах, в ос-
новном для измерения фронтальных компонент вектора сердца. Вообще су-
ществует следующая тенденция. В продольном направлении (по оси у) тело
имеет максимальную протяженность, и для точного измерения дипольной
компоненты Dy достаточно биполярного отведения. В боковом направлении
(по оси х) протяженность тела меньше, и для измерения дипольной компо-
неты Dx требуется отведение, включающее несколько (больше двух) электро-
дов. Наконец, в поперечном направлении (по оси z) тело имеет минимальную
протяженность, так что для измерения дипольной компоненты Dz требуется
отведение с наибольшим числом электродов для обеспечения достаточно точ-
ного интегрирования потенциала. С методологическими вопросами ортого-
нальной векторкардиографии и конкретными корригированными ортого-
нальными системами отведений можно ознакомиться более подробно, напри-
мер, по работам [6, 23, 247, 331, 381, 420].
Здесь упомянем лишь об одной тщательно обоснованной системе отведе-
ний, содержащей сравнительно небольшое число электродов, а именно 26,
и обеспечивающей достаточно точное измерение компонент генератора сердца
на основе приближенного интегрирования потенциала на поверхности груд-
ной клетки [332, 337, 341].
В ортогональной векторкардиографии уже сформировались определен-
ные диагностические признаки, и сфера клинического применения этого ме-
тода постепенно расширяется, особенно в сочетании с современными автома-
285
тическими системами электрокардиографической диагностики на базе ЭВМ.
Однако теоретические, экспериментальные и клинические исследования ука-
зывают на то, что дипольный момент не исчерпывает всей полезной диагно-
стической^информации. В некоторых случаях'удается более точно]распознавать
заболевание сердца, если, кроме дипольного момента, учитываются неко-
торые не дипольные компоненты электрического генератора сердца. Корриги-
рованные ортогональные системы отведений, «очищая»;измеряемые потенциалы
от не дипольных составляющих, полностью устраняют не только бесполез-
ные для диагностики изменения потенциала, обусловленные индивидуаль-
ными различиями анатомического положения сердца, но и некоторые его из-
менения, связанные с конфигурацией самого электрического генератора серд-
ца. В связи с этим определение отдельных (хотя бы наиболее существенных)
педипольных компонент в дополнение к дипольным представляет собой пока
не использованный резерв повышения эффективности диагностики [131].
Подвижный электрический центр сердца, Определяемый по
интегральному критерию. До сих пор предполагалось, что муль-
типольные компоненты электрического генератора сердца вычис-
ляются относительно некоторого заранее заданного, неподвиж-
ного на протяжении всего сердечного цикла начала координат,
в котором расположен мультипольный эквивалентный генератор
(эту точку обычно выбирают в геометрическом центре сердца).
Однако, как было показано в гл. 1, все мультипольные компонен-
ты, за исключением лишь дипольных, зависят от расположения
начала координат. Это открывает возможности целенаправлен-
ного выбора начала координат, обеспечивающего изменение
мультипольных компонент в нужном направлении и «перерас-
пределение» их вкладов в измеряемый потенциал. Ввиду того, что
целесообразно по возможности сократить число характеристик,
описывающих генератор сердца, можно выбрать начало коорди-
нат так, чтобы уменьшить величины компонент мультиполей выс-
ших порядков по сравнению с мультиполями низших порядков
(и тем самым снизить относительный вклад этих высших мульти-
полей в измеряемый потенциал).
Рассмотрим выбор начала координат из условия минимизации
квадрупольных компонент. Эти компоненты, вычисленные отно-
сительно точки с координатами хс, ус, zc в исходной системе коор-
динат, выражаются уравнениями (1.84). Если задать значения
новых квадрупольных компонент Л20, H2i, 521, А22, 2?22, т0 урав-
нения (1.84) можно рассматривать как систему линейных урав-
нений относительно трех неизвестных координат хс, уС1 zc новой
точки расположения мультипольного эквивалентного генератора,
поскольку дипольные и квадрупольные компоненты в исходной
системе координат считаются известными. Идеальный случай
минимизации квадрупольных компонент соответствует просто
равенству нулю всех пяти величин Л20, Л21, 521, Л22, 522. Тогда
система уравнений (1.84) принимает вид
Л -- 1цус 2Л10ис — Л20,
286
^ю^с 4“ ^ll^c — ^219 ЛюУс + -Sn^c — -®21» (3*71)
АЛ — -®llZ/c = 2Л22> ВцХс 4" Ац^с = 2522.
Эта система из пяти уравнений с тремя неизвестными является
совместной и имеет единственное решение только при некоторых
конкретных конфигурациях рассматриваемого истинного распре-
деления источников. Например, если это распределение представ-
ляет собой один диполь, то ее решение точно определяет коорди-
наты расположения диполя [199].
Для истинного генератора сердца система уравнений (3.71)
обычно является несовместной, так как не существует точка, от-
носительно которой все квадрупольные компоненты оказались бы
равными нулю. Заметим, что такая ситуация не возникает в дву-
мерном случае. При этом вместо системы уравнений (3.71) полу-
чается система из двух уравнений относительно двух координат
искомой точки на плоскости [199]. Но анализ электрического
генератора в двумерном пространстве представляет интерес лишь
в узко специализированных условиях электрофизиологического
эксперимента [202] или при рассмотрении упрощенных теоретиче-
ских моделей электрического генератора сердца [286]. Если же
исследуется электрическое поле сердца в трехмерном пространстве,
то приходится брать за основу систему уравнений (3.71). Возмож-
ны различные подходы к минимизации квадрупольных компонент
с использованием этих уравнений.
Один из подходов заключается в том, что выбирают из пяти
уравнений какие-либо три и, решая систему из трех уравнений
с тремя неизвестными, определяют координаты искомой точки
хс, Усч При этом обращаются в нуль только три квадруполь-
ные компоненты из пяти [241, 338, 341]. Можно также для состав-
ления системы из трех уравнений брать некоторые линейные ком-
бинации уравнений основной системы (3.71). В этом случае при
отсутствии каких-либо ограничений на структуру истинного ге-
нератора результат вычисления координат ус, zc будет зависеть
от конкретных использованных уравнений. Кроме того, могут воз-
никнуть трудности, связанные с тем, что при некоторых конкрет-
ных ориентациях вектора дипольного момента решение системы
уравнений оказывается неопределенным [341].
Другой подход основан на поиске приближенного решения
системы из пяти уравнений (3.71), сводящего к минимуму средне-
квадратичный вклад всех квадрупольных компонент в измеряе-
мый потенциал [210]. Предположим, что среднее расстояние
от искомой точки до области измерения потенциала равно /?.
Согласно формулам (3.46) и (3.49) средний квадрат потенциала
квадруполя на поверхности сферы как для неограниченного, так
и для ограниченного однородного проводника выражается как
<Рг = К + ЗЛИ2 + ЗВ* 4- 124Й + 125^), (3.72)
287
где К — постоянный коэффициент и Л20, Л21, В21, Л22, 522 — квад-
рупольные компоненты относительно заданной точки (хс, ус, zc).
Подставим сюда выражения (1.84), определяющие квадрупольные
компоненты в новой системе координат через их значения в ис-
ходной системе координат:
Фг = ^(Л-2о + Лп^с Впус — 2Л10гс)2 + 3 (Л21 — Л10^с —
— Лц2с)2 -р 8 (В21 — Л10ус — -ВцА)2 + 12 ^Л22---ту- АцХс -р
4—2~ 4~ 12 (В22 ВцЛг —• -g- Лпус^ J . (3.73)
Чтобы найти минимум этого выражения по координатам хс,
ус, zc. продифференцируем его по этим переменным и приравняем
нулю производные. В результате получаем систему из трех урав-
нений относительно трех неизвестных величин хс, уС1 zc:
^ii 4“ Вц 4- Л10^ хс -j—g- Ли5пус 4—j- ЛцЛю^с —
= —• “у Л20 4- 2А22^ Ли 4" 2522^ц 4- A2iA10,
-у- АпВпхс 4- Ли 4- -g- Вп 4- Л20^ ус 4- -g- Вц Л102с —
= 2В22АП — \~3" ^20 2^-22^ Вц 4- /?21Л10?
-g- ЛцЛ10^с 4—з~ ВпА10ус -4 (А^ 4- 4—з" Л io j zc =
= А21Ап 4" ^21^н 4” А2оА1О. (3. 74)
Решение этой системы уравнений имеет вид
А*>С* + 2А^ (2 - - 2B^xCyCz 4-
+ 2А22СХ (4 - С2Х + Cl) 4- 4В22Су (2 - С')Ь
~ ~4D~^— ^2oCZJ(i + Cz) — 2A21CxCyCz 4- 2B2lCz(2 — C2y) —
- 2A22Cy (4 + Cl - Cl) + 4B22Cx (2 - ^)],
zc = ~^[A2.Cz (3 - Ci) + 2A2iCx (2 - C}) 4- 2B2XCy (2 - C') -
- 2A22Cz {Cl - Cl) -AB22C^CyCz], (3.75)
где D — + D2 4- Dz — модуль вектора дипольного момента
и Сх =DXID, Су —DylD. Cz =DJD — направляющие косину-
сы этого вектора. Можно показать, что этот результат не зависит
от выбора начала исходной системы координат [210]. Очевидно,
поскольку координаты хс, ус, zc определяются отдельно для каж-
.298
дого момента времени, а коэффициенты уравнения (3.74) изме-
няются во времени, в общем случае точка (хс, ус, zc) на протяже-
нии сердечного цикла перемещается в пространстве.
Вокруг подвижного электрического центра в каждый данный
момент времени группируются в пространстве все электрические
источники сердца. Если поместить в эту точку мультипольный
эквивалентный генератор, то в соответствии с условиями ее опре-
деления недипольная составляющая потенциала должна умень-
шиться по сравнению со случаем неподвижного начала координат.
При этом полное пренебрежение недипольными компонентами
сводит мультипольный эквивалентный генератор к эквивалент-
ному генератору в виде одного диполя с подвижной точкой рас-
положения.
Траекторию подвижного электрического центра сердца опреде-
ляли описанным выше методом минимизации квадрупольного
потенциала в экспериментах на изолированном сердце собаки
[58, 59] и при экспериментальных измерениях на человеке [26, 27,
224, 277]. Аналогичный подход был применен в работах по иссле-
дованию электрического генератора сердца человека [87, 250,
422]. Однако здесь в качестве исходных характеристик исполь-
зовались компоненты дипольно-квадрупольного эквивалентного
генератора, полученные при помощи аппроксимационного, а не
интегрального критерия. Поэтому для последних результатов
труднее дать электрофизиологическую интерпретацию.
На рис. 3.30 и 3.31, б представлены проекции траекторий элек-
трического центра на координатные плоскости для сердца собаки
и человека соответственно. В период QRS траектория имеет до-
вольно сложную форму, подобную петле или спирали, и тенден-
цию вращения по часовой стрелке в трансверсальной плоскости.
В период Т ее форма более проста, а протяженность в простран-
стве меньше, чем в период QRS.
Следует отметить, что принятый критерий определения электрического
центра в принципе не исключает возможность расположения этой точки вне
области сердца. Такой случай может возникнуть при некоторых сложных
конфигурациях истинного электрического генератора, в частности, когда
фронт волны возбуждения состоит из нескольких отдельных соизмеримых
по площади частей с дипольными моментами, ориентированными в противо-
положных направлениях. Пример выхода электрического центра за пределы
сердца был продемонстрирован при анализе плоской модели электрического
поля сердца, для которой мультипольные компоненты и координаты электри-
ческого центра вычисляли непосредственно по заданному распределению
элементарных дипольных генераторов сердца [286]. Однако при измерениях
на реальных объектах — на человеке и на подопытных животных — электри-
ческий центр как в период деполяризации, так и в период быстрой реполяри-
зации всегда остается в пределах объема желудочков сердца. Это указывает
на то, что упомянутая выше неблагоприятная конфигурация истинного гене-
ратора сердца не встречается по крайней мере в исследованных случаях.
Ю Л. и. Титомир
289
На рис. 3.32 представлено отношение среднеквадратичных по-
тенциалов квадруполя и диполя, вычисленное для подвижного
электрического центра. Для получения этих величин в каждый
момент времени квадрупольные компоненты были пересчитаны
по формулам (1.84) в новую систему координат с началом в под-
вижном электрическом центре, а затем по формуле (3.70) для них
вычислено среднеквадратичное отношение потенциалов на расстоя-
нии равном среднему расстоянию поверхности грудной клетки
Рис. 3.30. Траектории электрического центра сердца собаки в проекции на плоскость,
приблизительно перпендикулярную к продольной оси сердца [58, 59]
Начало координат расположено в геометрическом центре желудочков. Точками на кри-
вых отмечены моменты времени через 4 мс для периода QRS и через 20 мс для периода Т.
Приведены результаты трех опытов на изолированном сердце
человека от центра сердца. Из графиков видно, что при переходе
от неподвижного (расположенного вблизи геометрического центра
желудочков) к подвижному электрическому центру квадруполь-
ный потенциал значительно уменьшается. Следовательно, повы-
шается точность аппроксимации измеряемого потенциала одно-
дипольным эквивалентным генератором (который имеет подвиж-
ную точку расположения). Аналогичный результат был получен
при анализе плоской модели электрического поля сердца в рабо-
те [286].
Осредненная по времени ошибка аппроксимации потенциала
для подвижного однодипольного эквивалентного генератора по-
казана на рис. 3.24 и 3.26 наряду с ошибками для эквивалентных
генераторов других типов. Видно, что она почти совпадает с ошиб-
кой аппроксимации для дипольно-квадрупольного генератора
с неподвижным центром, хотя однодипольный генератор имеет
меньшее число переменных параметров (три компоненты диполь-
ного момента и три координаты расположения). Однако на
некоторых участках периода деполяризации остаточный квадру-
польный потенциал имеет довольно большую величину, что сви-
детельствует о сложности конфигурации истинного электриче-
ского генератора сердца в это время.
В заключение отметим, что мультипольный эквивалентный
генератор, особенно с подвижной точкой расположения, обеспе-
чивает довольно высокую точность аппроксимации измеренного
290
Рис. 3.31. Траектории конца вектора дипольного момента (а) п электрического центра серд-
ца (б) человека в проекциях на трансверсальную плоскость [26]
Начало системы координат xyz расположено в центре среднего трансверсального сечения
грудной клетки. Точками на кривых отмечены моменты времени через 8 мс для периода
QRS и через 24 мс для периода Т® Приведены результаты измерений для трех здоровых
испытуемых
10*
291
потенциала. Однако попытки дать ясную электрофизиологиче-
скую интерпретацию его недипольных компонент пока не привели
к успеху, что ограничивает его практическое применение для ре-
шения диагностических задач.
Рис. 3.32. Изменение отношения среднеквадратичных потенциалов квадруполя и диполя
относительно электрического центра сердца на протяжении сердечного цикла для собаки
(а) и для человека (б). Приведены результаты трех опытов
Штриховой линией показана эта же величина, вычисленная относительно геометриче-
ского (неподвижного) центра сердца
292
Параметрическое описание генератора сердца на основе муль-
типольного разложения. Существенным недостатком мультиполь-
ного эквивалентного генератора является отсутствие явно выра-
женной связи его элементов (за исключением, быть может, эле-
мента первого порядка — диполя) с конфигурацией истинных
источников тока сердца. Вектор дипольного момента указывает
общую интенсивность электрических источников (хотя точность
отражения в нем этой суммарной интенсивности также зависит
от конкретной формы распределения источников). Его ориента-
ция характеризует относительное расположение в пространстве
положительных и отрицательных источников, а значит, направ-
ление движения фронта возбуждения в пространстве и т. д. Для
следующего мультиполя — квадруполя — дать хотя бы более
или менее приемлемую интерпретацию такого типа значительно
труднее. Еще в большей мере это относится к мультиполям выс-
ших порядков. Но если мультипольные компоненты определяются
по интегральному критерию, они имеют вполне конкретный фи-
зический смысл. Как было показано в гл. 1, их величины мате-
матически связаны с моментами распределения источников —
интегральными характеристиками, которые описывают геометри-
ческие свойства распределения. Там же было указано, что сово-
купность мультиполей любого порядка, найденная по распреде-
лению потенциала в области измерения вне источников, не дает
возможности определить все моменты и восстановить распределе-
ние источников произвольной формы, так как некоторые распре-
деления, различающиеся по своей пространственной конфигура-
ции, создают вне области источников одинаковые поля.
Если же рассматривать не любое возможное распределение
источников, а лишь некоторый класс типичных конфигураций
генератора, соответствующих электрофизиологическим данным
о структуре истинного генератора сердца, то при помощи над-
лежащего преобразования мультипольных компонент удается
охарактеризовать наиболее важные электрические и геометри-
ческие свойства истинного генератора сердца.
Пусть электрический генератор сердца представляет собой
двойной слой с плотностью дипольного момента J, изменяющий
свою форму во времени. В соответствии с уравнением (1.134)
в каждый момент времени потенциал генератора такой структуры
можно выразить как
Ф == JgradOdS, (3.76)
8
где Ф — потенциал поля отведения для однополюсного отведения,
соответствующего точке измерения потенциала; dS — векторный
элемент площади поверхности двойного слоя; интегрирование
выполняется по поверхности двойного слоя 5. (В частном слу-
чае однородного неограниченного проводника это уравнение сво-
дится к уравнению (3.1).)
293
Двойной слой создает в окружающем пространстве распределе-
ние потенциала, которое вне сферы, целиком включающей двой-
ной слой, можно разложить по мультиполям. Используя урав-
нение (1.71) и учитывая, что генератор имеет поверхностно рас-
пределенную структуру, запишем следующее выражение для
коэффициентов этого разложения (мультипольных компонент).
{«Z} И- <3-77)
где г, 0, я|) — сферические координаты точек поверхности двой-
ного слоя.
В прямоугольной системе координат это выражение имеет вид
ГАгт] — тУ' (’ fl Г
\В | = + т)! \ Jf71'1 I (ft + ГП)(п + ТП — 1) X
S
х та- е> {:»<:=;>:}- (cos в, £ ;:+;>*}] +
+4 [<»+т> <«+«р«-' <=“ 9> {~ ’I" S -
- Рп-1 (cos 0) ( sin + JJ 'f )] dSy +
n 1 v 7 cos (m -t-1) гр J J y 1
+ [(n + m) Pn-i(cos0)g5}] dSz} . (3.78)
Заметим, что уравнения (3.77) и (3.78)] почти совпадают с
уравнениями (3.58) и (3.62) соответственно. В них отсутствует
множитель а, вместо поверхностного потенциала ср в подынтег-
ральное выражение входит плотность дипольного момента J,
а интегрирование выполняется не по поверхности тела, а по поверх-
ности двойного слоя. Это свидетельствует о том, что в качестве
эквивалентного генератора сердца можно рассматривать двой-
ной слой, совпадающий с поверхностью тела и имеющий плот-
ность дипольного момента, пропорциональную поверхностному
потенциалу.
Предположим теперь, что рассматриваемый двойной слой
равномерен, т. е. величина J одинакова на всей его поверхности,
и запишем выражения для мультипольных компонент первого
и второго порядков:
дипольные компоненты
До = J J dSz, Дх = J J dSx, Ви = J J dSv; (3.79)
S S S
квадрупольные компоненты
Л2о ~ J (— х dSx — у dSy 2z dSz),
s
= J \ (zdSx + xdSz), B%i = J (zdSy -J- ydSz), (3.80)
s S
294
1 С 1 f*
А22 —J \ (xdSx — ydSy), B22 = -^J\ (ydSx + xdSy).
s s
Из этих уравнений видно, что каждая дипольная компонента
пропорциональна площади поверхности, ограниченной проекци-
ей края двойного слоя на координатную плоскость, перпендику-
лярную к данной компоненте, т. е. равна моменту нулевого
порядка этой плоской поверхности, если рассматривать ее как по-
верхностно распределенную массу. Каждая квадрупольная ком-
понента слагается из статических моментов или перекрестных
статических моментов этих поверхностей, т. е. моментов первого
порядка. Можно показать, что октупольные компоненты вклю-
чают моменты инерции, т. е. моменты второго порядка и т„ д.
В общем случае компоненты n-го порядка в мультипольном раз-
ложении двойного слоя выражаются как линейные функции мо-
ментов (п — 1)-го порядка поверхностей, ограниченных проек-
циями края двойного слоя на координатные плоскости. Этот во-
прос исследован при помощи теоремы Стокса в работах [89, 132].
Допустим, что край двойного слоя лежит в одной плоскости,
параллельной координатной плоскости хОу и смещенной отно-
сительно нее на расстояние z = z0. Тогда выражения (3.79) и
(3.80) упрощаются:
дипольные компоненты'.
Л10 = JSZ, Ап - 0, Вп - 0; (3.81)
квадруполъные компоненты
./I20 ~ %JSzZq, -^21 ~ J § xdSz = JSzXq,
s
B2l^ J у dSz = JSzyQ, A22 = 0, B22 = 0, (3.82)
где Sz — площадь участка плоскости, ограниченного краем двой-
ного слоя, и Хц, у0, z0 — координаты центра тяжести этого участ-
ка. Если теперь перенести начало координат в центр тяжести,
т. е. положить х0 — у0 = z0 — 0, то все квадрупольные ком-
поненты обратятся в нуль и единственной ненулевой компонен-
той мультиполей двух первых порядков останется дипольная
компонента по оси z, равная произведению плотности диполь-
ного момента двойного слоя J на площадь участка плоскости,
ограниченного его краем. При этих условиях и при определенном
выборе направления осей х и у исчезает также большинство окту-
польных компонент [128, 508]. Тем самым объясняется возмож-
ность довольно точной аппроксимации потенциала двойного слоя
с плоским краем при помощи одного диполя, расположенного
в соответствующей точке [189, 270].
В тех случаях, когда край равномерного двойного слоя не
лежит в одной плоскости, свести все квадрупольные компоненты
9Q5
Рис. 3.33. Модель генератора сердца в виде двойного слоя, имеющего форму сферического
сектора [62]
а — расположение сектора относительно прямоугольной системы координат; б — поло-
жение электрического центра генератора в плоскости у0z для углов а = —60, —30, 0,
30 и 60°; в — отношение среднеквадратичных величин квадрупольного и дипольного по-
тенциалов при расположении мультиполей в начале координат (штриховая кривая) и
в электрическом центре сердца (сплошная кривая)
к нулю путем смещения начала координат не удается. Но их
можно минимизировать, выбирая начало координат в точке, за-
нимающей по отношению к краю двойного слоя некоторое сред
нее положение. Величины квадрупольных компонент (или какая-
либо обобщающая функция от них), вычисленные относительно
этого нового начала координат, могут служить мерой отклонения
края двойного слоя от плоской формы. Проиллюстрируем это на
простом примере [62].
Пусть генератор сердца представляет собой равномерный двой-
ной слой в форме сферического сектора с радиусом и плот-
ностью дипольного момента /. Край двойного слоя лежит в двух
плоскостях, линия пересечения которых проходит через центр
сферы (рис. 3.33, а). Выберем прямоугольную систему координат,
ось х которой совпадает с линией пересечения плоскостей, ограни-
чивающих двойной слой, а координатные плоскости xOz и yOz яв-
ляются его плоскостями симметрии. Мультипольное разложение
осуществляется в сферической системе координат, связанной с
прямоугольной обычными соотношениями (1.47) и (1.48). Откло-
нение края двойного слоя от плоской формы характеризуется
углом а между ограничивающими плоскостями и осью у (ее по-
ложительной и отрицательной полуосями). Применяя уравнение
(3.77) для данной конкретной конфигурации генератора, находим
296
выражения для его дипольных и квадрупольных компонент:
Л10 = JnR\ cos а, Ап = Вп = 0, (3.83)
Л20 = 2J7?i sin 2а, А22 = JBf sin 2а,
-4 2i = -®2i = В 22 — 0. (3.84)
По формулам (3.75) вычислим координаты его электрического
центра:
хс = 0, ус — 0, zc = sin а. (3.85)
Как видно на рис. 3.33, б, при изменении степени искривлен-
ности края двойного слоя (характеризуемой параметром а) эле-
ктрический центр всегда находится в средней точке пространства,
«окруженного» краем двойного слоя. Определим по формулам
(1.84) квадрупольные компоненты относительно электрического
центра:
-^20 = == 7^22 ” 0* -^22 = ~sin 2а. (3.86)
Таким образом, перенос начала координат в электрический
центр сводит к пулю большую из двух ненулевых квадрупольных
компонент, тем самым уменьшая среднеквадратичный квадруполь-
ный потенциал. Найдем отношение среднеквадратичных квадру-
польного и дипольного потенциалов на расстоянии R от начала
координат, используя формулу (3.70). Для исходной системы
координат
= ^г^-1зЬ1а1 (3-87)
Для системы координат с началом в электрическом центре
J 5 1 sin а I ж 0,5 1 sin а I. (3.88)
Таким образом, перенос начала координат в электрический
центр вдвое уменьшает относительный квадрупольный потенциал
(рис. 3.33,в). В частном случае двойного слоя с плоским краем
(при а = 0) электрический центр совпадает с началом исходной
системы координат — центром тяжести круга, ограниченного
краем двойного слоя, а остаточный квадрупольный потенциал
равен нулю. При увеличении угла а относительный квадруполь-
ный потенциал увеличивается, но не превышает 0,5 R^/R. Эта
теоретическая оценка близка к результатам экспериментальных
исследований электрического поля сердца человека, хотя в от-
дельные моменты сердечного цикла квадрупольный потенциал
может быть больше указанного теоретического предела, по-види-
мому, из-за более сложной конфигурации истинного генератора.
297
Невозможность сведения к нулю квадрупольных компонент
в принципе может быть обусловлена любыми отклонениями кон-
фигурации истинного генератора от равномерного двойного слоя
с плоским краем, в том числе наличием нескольких таких слоев,
непостоянством плотности дипольного момента или тем, что он
вообще существенно отличается от «поверхностно распределенного»
генератора, т. е. распределен в объемных областях пространства.
Однако во многих случаях модель равномерного двойного слоя
произвольной формы достаточно близка к истинному генератору.
В особенности это относится к фронтам возбуждения в период
деполяризации, а также к генераторам тока повреждения. Допу-
щение о том, что двойной слой имеет плоский край на протяжении
всего периода деполяризации, является менее обоснованным, о
чем свидетельствуют экспериментальные данные о хронотопогра-
фии возбуждения сердца (см. рис. 3.2). Тем не менее это допуще-
ние приемлемо для приближенного анализа электрического ге-
нератора сердца для некоторых участков периода деполяризации
в норме, при некоторых видах блокад сердца, для очагов повреж-
дения миокарда небольших размеров, граница которых лежит на
поверхности сердца. Параметром, характеризующим отклонение
края двойного слоя от плоской формы, может служить остаточ-
ный квадрупольный потенциал.
Таким образом, исходя из мультипольного разложения, мож-
но получить ряд характеристик, которые отражают важнейшие
свойства генератора сердца: суммарную интенсивность, локали-
зацию в пространстве, сложность геометрической конфигурации.
В качестве таких характеристик рассматривались компоненты
дипольного момента, координаты подвижного электрического
центра и относительный остаточный квадрупольный потенциал.
Все они по существу являются интегральными и не зависят от
малозначительных подробностей конфигурации истинного гене-
ратора. Благодаря их интегральному характеру должно проис-
ходить осреднение, а следовательно, уменьшение влияния случай-
ных ошибок измерений, а также влияния неоднородности тела,
не учтенной в принятых свойствах эквивалентной среды при их
определении по поверхностному потенциалу. Поэтому можно
надеяться, что эти характеристики позволят, не обращаясь к кон-
цепции эквивалентного генератора в форме идеализированных
точечных источников, получить математическое описание гене-
ратора сердца, полезное для решения электрокардиологических
задач, в том числе задачи точной диагностики состояний и за-
болеваний сердца.
ГЛАВА 4
ВЛИЯНИЕ СВОЙСТВ ТЕЛА
КАК ОБЪЕМНОГО ПРОВОДНИКА
НА ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ СЕРДЦА
1. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТЕЛА
КАК ОБЪЕМНОГО ПРОВОДНИКА И ИХ ЗНАЧЕНИЕ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЭЛЕКТРОКАРДИОЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Антропометрические данные о размерах грудной клетки и серд-
ца человека. Поверхность тела человека имеет сложную форму,
которую трудно описать при помощи каких-либо простых геомет-
рических фигур. Единственной характерной особенностью внеш-
него строения тела является его симметрия относительно сагит-
тальной плоскости. При исследовании влияния поверхности тела
на электрическое поле сердца наиболее важное значение имеет
конфигурация тела в области грудной клетки, или торса. Это
объясняется тем, что здесь область источников тока (мышца серд-
ца) больше всего приближена к поверхности, ограничивающей
проводник, и тем, что большинство стандартных и специальных
отведений измеряет потенциал именно в этой области. Исключение
составляют отведения от конечностей. Имея небольшие попереч-
ные размеры по сравнению с туловищем, конечности оказывают
несущественное влияние на распределение потенциала на поверх-
ности грудной клетки, а изменение потенциала вдоль конечностей
невелико, так что в приближенных расчетах можно пренебречь
влиянием конечностей на электрическое поле сердца и допустить,
что отведения от конечностей измеряют потенциалы в областях
сопряжения конечностей с туловищем.
Основные размеры туловища человека зависят от возраста и
имеют значительные индивидуальные различия в каждой возраст-
ной группе [41]. На рис. 4.1 представлено изменение с возрастом
среднеарифметических значений некоторых основных размеров
туловища. График отражает характерные значения следующих
размеров: поперечного (передне-заднего) и бокового (право-ле-
вого) диаметров груди на уровне горизонтальной (трансверсаль-
ной) плоскости, проходящей приблизительно через середину же-
лудочков сердца, ширины талии и ширины плеч (в проекциях на
фронтальную плоскость). Индивидуальный разброс этих парамет-
ров тела можно охарактеризовать среднеквадратичным отклоне-
нием от среднего значения. В качестве грубого приближения мож-
но использовать значение среднеквадратичного отклонения, со-
299
ставляющее 0,08 от среднеарифметического значения данного
параметра.
Область, в которой возникают биоэлектрические источники
тока, ограничена внешней и внутренней поверхностями миокарда.
Эти поверхности имеют довольно сложную форму, хотя опреде-
ленные отделы сердца в грубом приближении можно уподобить
известным геометрическим фигурам. Например, поверхности же-
лудочков сердца иногда представляют в виде вытянутого сфероида
или сферы.
'Данные о геометрической конфигурации и размерах сердца получают
в результате анатомических измерений при вскрытиях, а также при помощи
различных методов исследования анатомии сердца in situ [1, 255, 404, 484].
Основные геометрические параметры сердца — это его длина (в направлении
основание — верхушка), поперечные размеры в характерных заданных
плоскостях, внутренние размеры полости левого желудочка, толщина стенки
желудочков и предсердий, площадь фронтальной проекции, объем сердца
в целом и его полостей и др.
В зависимости от метода измерения, состояния сердца и принятых ана-
томических критериев разные авторы приводят несколько различающиеся
данные о геометрических параметрах сердца. (Например, объем сердца, изме-
ренный при вскрытии, обычно оказывается примерно на 30% меньше объема,
измеренного при жизни рентгенографическим методом [295].)
На основании результатов вскрытий в работе [1] представлены следую-
щие значения параметров сердца: длина (от основания аорты до верхушки)
Рис. 4.1. Основные размеры тулови-
ща и средний диаметр сердца чело-
века в зависимости от возраста
Представлены среднеарифметичес-
кие значения право-левого (а), пе-
редне-заднего (Ь) диаметров груди
на уровне центра сердца, ширины
плеч (с) и талии (d) по данным рабо-
ты [41], а также средний диаметр
сердца (dH) по данным [1]; сплош-
ные кривые — для мужчин, штри-
ховые — для женщин
300
у мужчин 8,5 -и 9,0 см, у женщин 8,0 ~ 8,5 см; поперечник (на уровне осно-
вания желудочков) у мужчин 9,2 ч- 10,5 см, у женщин 8,5 ч- 9,2 см; толщина
(на уровне основания желудочков) у мужчин 3,5 ч- 4,5 см, у женщин 3,2 ч-
ч- 4,0 см; окружность (на уровне основания желудочков) 25,8 см. Рентгено-
графические измерения дают следующие параметры общего контура сердца
[160]: во фронтальной плоскости максимальный продольный размер у мужчин
12,3 ч- 14,5 см, у женщин 11,2 ч- 13,0 см; боковой (трансверсальный) раз-
мер у мужчин 11,1 ч- 13,2 см, у женщин 9,0 ч- 12,1 см; поперечный (глубин-
ный) размер у мужчин 8,4 ч- 11,1 см, у женщин 7,0 ч- 8,9 см; объем области
сердца у мужчин 563 ч- 700 см3, у женщин 372 ч- 543 см3. Толщина мышеч-
ных стенок сердца человека имеет следующие значения [1, 68, 255, 444]:
стенки предсердия и межпредсердная перегородка — от 0,05 до 0,4 см, стен-
ка правого желудочка — от 0,2 до 0,8 см, стенка левого желудочка — от
0,7 до 2,0 см, межжелудочковая перегородка имеет почти такую же толщину,
как и свободная стенка левого желудочка. Зависимость размеров сердца от
возраста иллюстрируется на рис. 4.1 кривыми среднего диаметра сердца для
мужчин и женщин (эти кривые получены по данным о среднем весе сердца для
разных возрастных групп, приведенным в работе [1], в результате расчета
диаметра шара, имеющего такой же вес, как и сердце).
При формулировке простых сферических моделей сердца, точ-
нее, его желудочковой части, и главным образом левого желудоч-
ка, целесообразно использовать следующие типичные значения
параметров: наружный диаметр желудочков (диаметр эпикарда)
dj? = 8 см, внутренний диаметр желудочков (диаметр полости)
de = 6 см, толщина стенки желудочков h = 1 см.
Хотя значения указанных параметров сердца у разных людей
имеют значительный индивидуальный разброс, размеры сердца
в каждой возрастной категории сильно коррелируют с размерами
и весом тела, а при заданных размерах тела слабо зависят от таких
факторов, как пол, раса и т. д. [160, 483]. Корреляция подтвер-
ждается сопоставлением кривых размеров тела и размеров сердца
на рис. 4.1. Поэтому при построении моделей для приближенного
решения электрокардиологических задач часто допускают, что
основные размеры сердца и его отделов пропорциональны разме-
рам тела. В частности, удобно использовать следующие типичные
соотношения для взрослого человека: d^Ja == 0,3 и d^Jb = 0,4,
где а и b — боковой и поперечный диаметры среднего трансвер-
сального сечения грудной клетки соответственно.
Сердце расположено в грудной клетке таким образом, что гео-
метрический центр желудочков находится приблизительно в
трансверсальной плоскости, проходящей на уровне четвертого —
пятого межреберья у края грудины. Эту плоскость обычно прини-
мают за плоскость xQz стандартной прямоугольной системы коор-
динат xyz, связанной с телом (анатомическая система координат).
Сечение грудной клетки этой плоскостью будем называть средним
трансверсальным сечением. Центр среднего трансверсального
сечения (точку, делящую пополам боковой и поперечный диа-
301
метры грудной клетки в этой плоскости) принимают за начало
анатомической системы координат xyz, имеющей следующее на-
правление осей: ось х— влево, ось у — к ногам и ось z — назад.
Сечение тела координатными плоскостями х$у и y^z будем назы-
вать средним фронтальным и средним сагиттальным сечением со-
ответственно.
В трансверсальной проекции желудочки сердца смещены влево
относительно плоскости среднего сагиттального сечения (плос-
кости симметрии тела) и вперед относительно плоскости сред-
Рис. 4.2. Трансверсальное сечение
грудной клетки человека на уровне
сердца (сохранен относительны/!
масштаб анатомических элементов
сечения) [494]
Область миокарда заштрихована.
ПП — правое предсердие,
ЛП — левое предсердие,
ПЖ — правый желудочек,
Л Ж — левый желудочек сердца
него фронтального сечения. Это иллюстрирует схема на рис. 4.2,
где воспроизведены с сохранением масштаба основные контуры
фотографического изображения трансверсального разреза груд-
ной клетки взрослого человека на уровне четвертого межреберья
[494]. На основании осреднения анатомических данных место-
положение геометрического центра желудочков сердце в среднем
трансверсальном сечении целесообразно выбрать в точке, сме-
щенной влево от средней сагиттальной плоскости на расстояние
0,10а и вперед от средней фронтальной плоскости на 0,15 Ъ [196,
431]. Эта точка близка к среднему (неподвижному) электриче-
скому центру сердца здорового человека, найденному в работе
[194].
При расположении сердца, типичном для здорового человека,
левый желудочек ориентирован почти горизонтально и обращен
влево и назад по отношению к правому желудочку, который соот-
ветственно находится справа и спереди от левого. Нижние по-
верхности обоих желудочков прилегают к диафрагме. Основание
желудочков и левое предсердие обращены назад, правое предсер-
дие — назад и вправо. Межжелудочковая перегородка почти па-
раллельна фронтальной плоскости тела и по существу является
продолжением свободной стенки левого желудочка. Продольная
ось сердца (от середины основания сердца к его верхушке) на-
правлена вперед, вниз и влево [222, 401]. Угловая ориентация
сердца, как и его размеры, имеет индивидуальную изменчивость.
В экспериментальном исследовании [223] показано, что разброс
302
углового положения сердца невелик. У группы испытуемых,
включавшей не только здоровых, но и больных людей, макси-
мальное различие в направлении анатомической оси сердца было
не больше 45°.
Отметим, что в анатомической системе координат расположе-
ние сердца у собак отличается от его расположения у человека
главным образом тем, что у собаки левый желудочек расположен
несколько ниже правого, а у человека они лежат почти на одном
уровне по высоте [444].
Каждый цикл электрического возбуждения сердца сопровож-
дается его механическим сокращением, при котором происходит
изменение объема, размеров и конфигурации мышцы сердца [22
и др.].
В норме объем сердца человека на протяжении цикла возбуж-
дения изменяется на 25 -н 30% [484]. Это может соответствовать
изменению линейных геометрических параметров сердца в сред-
нем примерно на 10%. В экспериментах па сердце собаки найдено,
что различные линейные размеры желудочков изменяются при си-
столе по сравнению с диастолой в разной степени, причем внешний
размер желудочков уменьшается всего на 8,5%, а внутренний —
на 26%. Увеличение толщины стенки желудочков во время си-
столы может достичь в среднем 28 % [389, 454]. Следует отметить,
что основные изменения геометрических параметров желудочков
происходят после завершения процесса их деполяризации, в фазе
механической систолы.
Удельное сопротивление тканей тела. Основной пассивной
электрической характеристикой тканей и жидкостей тела явля-
ется удельное сопротивление *. В данном случае имеем в виду
осредненные величины удельного сопротивления для макроско-
пических объемов тканей и жидкостей, которые на микроскопи-
ческом уровне имеют дискретное (в частности, клеточное) строение
и неравномерное распределение этой характеристики. Удельные
сопротивления разных тканей, органов и жидкостей тела могут
значительно различаться между собой и, кроме того, зависят от
конкретного физиологического состояния и патологических из-
менений. Подробная сводка данных об удельном сопротивлении
биологических материалов по опубликованным результатам экс-
периментальных измерений содержится в работе [203]. Данные об
удельных сопротивлениях тела in situ довольно разноречивы, так
как измерение этой характеристики связано с большими методи-
ческими трудностями, а результаты зависят от многочисленных
факторов [399]. В качестве примера можно привести эксперимен-
ты по измерению удельного сопротивления одной из основных
* В предыдущих главах для описания свойств объемного проводника ис-
пользовалась главным образом удельная электропроводность — величина,
обратная удельному сопротивлению. При анализе влияния неоднородности
проводника удобнее использовать удельное сопротивление, поэтому в даль-
нейшем изложении фигурирует именно этот параметр.
303
Таблица 4.1
Средние удельные сопротивления органов, тканей и жидкостей тела
в Ом-см [397]
Орган, ткань, жидкость Автор и год публикации
Kaufman W., Johnston F. D., 1943 Burger H. C., Van Milaan J. B., 1943 Schwan H. P., Kay G. F., 1936 Burger H. G., Van Dongen R., 1961 Rush S., Abild- skov J. A., McFee R., 1963
К ровь 208 160 100 160 162*
Печень 506 840 700
Сердце 216 965 563-252 **
Легкие 744 1120 2100
Жировая ткань 2060 1500-5000 2500
Скелетные мышцы (собаки, человека) 643 470-230 ** 965 675-245 ** 2300-150**
Скелетные мышцы (крол жа) Тулов чце челове- ка в целом 415 1800-125 ** 463
Туловище собаки в целом 445
Наружный слой ткани торса собаки 281 ***
* Осредненные данные из литературы.
** Максимальное и минимальное значения для анизотропной ткани.
*** Данные, полученные в результате исследования только двух объектов.
жидкостей тела — крови [236]. Оно зависит главным образом от
гематокрита (относительного объема клеток крови в процентах).
В табл. 4. 1 приведены средние значения удельного сопротив-
ления органов, тканей и жидкостей тела, имеющих наиболее важ-
ное значение для электрокардиологических исследований, по
данным нескольких авторов. Наиболее достоверные данные, по-
лученные в работе [397] для диапазона частот, характерного для
электрокардиологических сигналов, содержатся в последнем
столбце таблицы.
Стандартное отклонение разброса результатов измерений, про-
веденных в работе [397], в разных случаях составляло от 10 до
30% от среднего значения измеряемой величины.
Определенное влияние на распределение потенциала электри-
ческого поля в грудной клетке могут оказать также другие эле-
менты тела, такие как кости скелета и окружающая сердце тонкая
оболочка — перикард. Костную ткань по сравнению с другими тка-
нями можно считать абсолютным изолятором (т. е. принять ее
304
удельное сопротивление бесконечно большим). Перикард удобно
охарактеризовать не удельным сопротивлением, а сопротивлением
по нормали к поверхности участка перикарда с единичной пло-
щадью. Эта величина приблизительно равна 1000 Ом-см2 [364].
Полагая, что наиболее существенными составными частями груд-
ной клетки как объемного проводника являются мышца сердца,
внутриполостная кровь, легкие и наружный мышечно-жировой
слой, авторы работы [397] предлагают для исследования электро-
кардиологических задач приближенную модель в виде кусочно-
однородного проводника с соответствующими удельными сопро-
тивлениями отдельных областей.
Электрические характеристики тела могут изменяться в за-
висимости от физиологического состояния и патологических из-
менений определенных органов и систем организма. Примеры
этого — изменение удельного сопротивления крови при колеба-
ниях гематокрита, удельного сопротивления легких на протя-
жении дыхательного цикла и при некоторых легочных заболева-
ниях и т. д. Подробное обсуждение этих вопросов содержится в ра-
ботах [292, 399, 401].
Если при решении электрокардиологических задач туловище
человека приближенно рассматривают как однородную изотроп-
ную среду, то в качестве удельного сопротивления этой среды мож-
го использовать значения удельного сопротивления, полученные
в экспериментах с пропусканием через тело тока от внешнего ис-
точника. Эти экспериментальные величины по данным нескольких
авторов приведены в табл. 4.2.
Таблица 4.2
Среднее удельное сопротивление грудной клетки человека в Ом*см [201]
X арактеристика Автор и год публикации
Gamboa R., Adair В. N., 1967 Burger Н. С., Van Milaan J. В., 1943 Rautaharju Р. М., 1963 L _ Rush S., Abild- skov J. A.. McFee R., 1963 i Schmitt О. H., 1957
Возраст испытуе- мых, лет Среднее значение Стандартное от- клонение Диапазон разбро- са 2-4-15 368 78,1 220-4-518 21-4-34 458 85,9 307-4-600 Взрослые 415 Взрослые 419 348-4-540 Взрослые 463 Взрослые 489 54,7 150-4-650
Примечание. В работе [342] получено среднее удельное сопротивление грудной клетки
собаки 369 Ом-см (диапазон значений при измерениях на 5 собаках от 345 до 392 Ом-см).
305
Замечания о методологических подходах к сценке влияния не-
однородности тела. Электрические потенциалы, измеряемые при
электрокардиологическом исследовании, определяются, во-первых,
характеристиками биоэлектрических источников тока сердца и,
во-вторых, характеристиками среды, в которой расположены эти
источники. Эта среда, вообще говоря, включает тело—объемный
проводник, на поверхности которого измеряются потенциалы,
и окружающее его диэлектрическое вещество — воздух.
Потенциалы на поверхности тела соответствуют сигналам иде-
альных однополюсных электрокардиографических отведений. Од-
нако иногда применяют более сложные отведения, включающие
пассивную электрическую цепь между отводящими электродами
и выходными точками, потенциал которых непосредственно реги-
стрируется. Если в качестве исследуемого потенциала электриче-
ского поля сердца рассматривается этот выходной сигнал сложного
отведения, то цепь отведения также следует включить в объемную
среду, определяющую поле. Однако не будем включать отведение
в объемную среду и рассмотрим непосредственно потенциалы на
поверхности тела, руководствуясь следующими соображениями.
Входное сопротивление отведения обычно существенно выше со-
противления между любыми точками тела, поэтому подключение
к телу отведения не изменяет распределения потенциала. Сигнал
на выходе любого отведения может быть рассчитан с требуемой
точностью по сигналам на его входе, т. е. потенциалам отводящих
электродов. Это позволяет при необходимости перенести все за-
ключения, полученные для поверхностных потенциалов, на выход-
ные сигналы любых отведений.
Удобно отдельно рассмотреть следующие два основных свой-
ства среды, в которой существует электрическое поле сердца:
ограниченность объемного проводника поверхностью тела, отде-
ляющейегоот диэлектрика,ивнутреннюю неоднородностьобъемного
проводника (наличие органов, тканей и жидкостей тела, имеющих
разные удельные сопротивления).
В простейшем случае при решении электрокардиологических
задач учитывают геометрические соотношения между источниками
тока и точками наблюдения потенциала, т. е. координаты поло-
жения отводящих электродов относительно сердца, однако само
влияние ограниченности тела (электродинамических условий на
границе проводника и диэлектрика), так же как и наличие внут-
ренней неоднородности, не принимают во внимание. Предпола-
гают, что генераторы находятся в однородном и бесконечно протя-
женном (неограниченном) объемном проводнике.
При более точной формулировке учитывается ограниченность
тела, но не учитывается его внутренняя неоднородность. В этом
случае оказываются необходимыми более или менее подробные
данные о форме поверхности тела и его среднем удельном сопро-
тивлении. Получение этих данных, хотя и трудоемко, но вполне
осуществимо современными техническими средствами.
306
Наконец, при наиболее точной формулировке в дополнение
к указанным выше факторам учитывают также и внутреннюю не-
однородность тела. В этом случае необходимы данные о геометри-
ческой конфигурации и удельных сопротивлениях внутренних
частей тела. Очевидно, возможности получения таких данных весь-
ма ограниченны. Поэтому решение электрокардиологических за-
дач в такой полной постановке удавалось реализовать лишь в ла-
бораторных условиях для моделей с осредненными параметрами.
Основные уравнения электродинамики для этих приближен-
ных формулировок электрокардиологических задач были приве-
дены в гл. 1. В связи с неизбежностью таких формулировок
возникает вопрос о том, какова величина ошибок решения электро-
кардиологических задач в тех случаях, когда не учитываются ка-
кие-либо из указанных выше факторов неоднородности среды.
Оценка этих ошибок сводится к сопоставлению искомых величин,
полученных без учета определенного фактора неоднородности и с
учетом этого фактора.
В зависимости от целей конкретного исследования результаты
оценки влияния неоднородности могут быть представлены в раз-
личных формах, которые количественно определяют отклонение
искомых электрических характеристик сердца (собственных пара-
метров генератора или величин, описывающих его поле) от их
действительных значений, если не учитывается данная характе-
ристика объемного проводника.
Влияние неоднородности можно также выразить в виде откло-
нений величин коэффициентов в линейных уравнениях, связы-
вающих характеристики заданного эквивалентного генератора с из-
меряемыми потенциалами, т. е. величин передаточных коэффици-
ентов. При исследовании конкретных отведений это сводится к
оценке изменений векторов отведений или поверхности изобра-
жений.
Таким образом, оценка влияния неоднородности фактически
требует решения прямой или обратной электродинамической за-
дачи при наличии исследуемого фактора неоднородности и при
отсутствии его и сопоставления полученных результатов. Следо-
вательно, для этой цели применимы все известные методы решения
электрокардиологических задач, включая методы математического,
физического и биологического моделирования (см. гл. 3).
Исследование влияния ограниченности тела целесообразно
подразделить на оценку общих тенденций влияния ограниченно-
сти объемного проводника на основе рассмотрения ограничиваю-
щей поверхности простейшей геометрической формы (например,
сферы) и оценку влияния конкретных особенностей внешней фор-
мы тела человека или животного. При исследовании внутренней
неоднородности целесообразно отдельно рассмотреть области тела,
обусловливающие наиболее существенные отклонения электри-
ческого поля по сравнению с однородным проводником: область
внутриполостной крови, имеющей более низкое удельное сопро-
307
тивление, чем мышца сердца, и наружные по отношению к сердцу
области, главным образом легкие, имеющие более высокое удель-
ное сопротивление по сравнению с мышцей сердца. Определенный
интерес представляет также влияние перикарда, слоя подкожного
жира, печени и костей скелета.
Рис. 4.3. Многослойная сферическая мо-
дель объемного проводника
2. ВЛИЯНИЕ НЕОДНОРОДНОСТИ ТЕЛА
НА ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ СЕРДЦА
Многослойная сферическая модель. Для теоретической оценки
влияния неоднородности тела на электрическое поле сердца можно
использовать методы решения прямой электродинамической за-
дачи на математических моделях, как двух-, так и трехмерных
(см. гл. 3). В частности, для этих целей неоднократно использо-
вали многослойную сферическую модель 157, 86, 116, 118, 119,
364]. Эта модель удобна тем, что она позволяет получить аналити-
ческие выражения для потенциала в виде разложения по сфери-
ческим функциям. Прежде чем
рассматривать отдельно каждый
вид неоднородности, сформули-
руем в общем виде многослой-
ную сферическую модель, вклю-
чающую любое число слоев, и
укажем общий метод решения
прямой задачи для такой моде-
ли. В дальнейшем можно будет
проанализировать влияние не-
однородности каждого вида в
отдельности, используя частные
случаи этой общей модели.
Рассмотрим неоднородную
модель тела как объемного про-
водника, в которой области с раз-
ными удельными сопротивления-
ми разделены сферическими по-
верхностями с общим центром О,
совпадающим с началом прямоугольной системы координат xyz и
сферической системы координат г0ф (рис. 4.3). Модель может содер-
жать любое число однородных областей. Обозначим индексом i
номер области, полагая, что номера областей возрастают в на-
правлении изнутри модели наружу, так что для самой внутренней
области i = 1, а для самой наружной t ~ N. Каждая i-я область,
кроме 1-й и TV-й, ограничена двумя концентрическими сферами —
внутренней с радиусом и наружной с радиусом Первая
область представляет собой однородный шар с центром в начале
координат, а TV-я область ограничена изнутри сферой с радиусом
и простирается в бесконечность. Каждая i-я область имеет
308
удельное сопротивление р^. На границе между любыми двумя об-
ластями, Z-й и (Z + 1)-й, может присутствовать бесконечно тонкая
сферическая оболочка, имеющая сопротивление на единицу пло-
щади р{. В качестве генераторов рассматриваются тангенциальные
диполи тока с моментами Dx, Dy и радиальный диполь тока с момен-
том Dz, ориентированные в направлении осей х и 2 соответственно.
Диполи расположены на оси z в точке со сферическими координатами
(г0, 0, 0) внутри одной из однородных областей модели. Необхо-
димо определить распределение потенциала электрического поля
этих диполей внутри или на поверхностях заданной области мо-
дели. Вследствие симметрии модели результаты легко обобщаются
на диполь с любой ориентацией и с любым расположением. При-
нятая конфигурация модели позволяет легко решить эту зада-
чу методом разложения потенциала в ряд по сферическим функ-
циям [34, 74].
Потенциал в любой точке неоднородной сферической модели
равен сумме двух составляющих: потенциала, создаваемого за-
данными источниками в однородной неограниченной среде, и по-
тенциала возмущения, обусловленного неоднородностью провод-
ника. Разлагая этот суммарный потенциал в ряд (1.143), учитывая
уравнения (1.87), (1.91) и условия симметрии, получаем следующие
разложения потенциала в Z-й области модели (выражения для тан-
генциального диполя по оси у не приведены, так как они отличаются
от выражения для диполя по оси х только заменой cos гр на sin гр):
для тангенциального диполя
/ D р гп1 Л \
фхг = / , I + Яп1хгГП + anlxir~n^ I Р\ (COS0) COS 1|)
при r>r0, (4.1)
= 2_1 ("4л + а^гП + ЙП1«Г-П-1 рп (cos 9) (cos 1|>)
при r<r0,
для радиального диполя

Рп (cos 0)
при Г^>Г0,
D,pn rj? 1 4.
Рп (COS 0)
(4.2)
Здесь коэффициенты anlxi, а*^ anzi> постоянные в пределах
г-й области, характеризуют потенциал возмущения и р — удельное
сопротивление области, в которой находятся диполи. В начале ко-
ординат, на бесконечном удалении от генераторов и на границе
раздела однородных областей потенциал должен подчиняться сле-
309
дующим условиям;
при г — 0 ф оо,
при Г —> ОО фуу О,
Рг <4
^-4^!=-—^,
при г = Ri . . !
1 д^г _ 1 а<Рг+1
Рг дг Pi+1 дг
(4.3}
(4.4)
(4.5)
(4.6)
Два последних соотношения соответствуют уравнениям (1.16)
и (1.17). В характерном частном случае, когда TV-я область пред-
ставляет собой диэлектрическую среду, соотношение (4.4) не ис-
пользуется, а условие на границе между проводником и диэлек-
триком имеет следующий вид:
при г = Hn~i d(pN^/dr — 0. (4.7)
При отсутствии на границе между областями оболочки, обла-
дающей радиальным сопротивлением (pt = 0), условие (4.5) уп-
рощается:
при г = Ri cpz = <р/+1. (4.8)
Применив граничные условия (4.3) — (4.8) к уравнениям (4.1)
и (4.2), получаем в общем случае систему из 2N линейных уравнений
с 2N неизвестными величинами anlxi, a*nlxi или anzi, a%zi соот-
ветственно, которая может быть решена обычными методами. Под-
становка найденных значений этих коэффициентов в уравнения
(4.1) и (4.2) дает искомое выражение для потенциала в неоднород-
ном проводнике.
Этим методом в принципе можно определить потенциал при
любом количестве слоев в сферической модели, однако при уве-
личении числа слоев выражения для потенциала становятся все
более громоздкими и неудобными для анализа. Кроме того, сфери-
ческую модель целесообразно применять лишь для описания ана-
томических областей, поверхности которых с приемлемой степенью
приближения можно уподобить сфере (например, это может быть
область сердца). Ниже сферическая модель используется для по-
лучения приближенных оценок влияния на электрическое поле
сердца основных видов неоднородности тела.
Влияние ограниченности тела и формы его поверхности. Ис-
следованию влияния на электрическое поле сердца ограниченности
тела и формы ограничивающей поверхности было посвящено много
теоретических и экспериментальных исследований. Обычный спо-
соб оценки этого влияния — сравнение потенциалов электриче-
ского поля, создаваемых заданным генератором на поверхности
ограниченного проводника и на той же поверхности в неограни-
.310
ченном проводнике (однородном по всему объему или имеющем
области с разными удельными сопротивлениями, соответствующие
определенным внутренним частям тела). Основным критерием
оценки распределения потенциала являются количество и распо-
ложение экстремумов и линий пулевого уровня на ограничивающей
поверхности (где обычно осуществляются измерения потенциала).
Иногда применяют и более подробные количественные критерии,
учитывающие распределение потенциала во всей рассматриваемой
области.
Многие авторы использовали двумерные электродинамические
модели, т. е. модели, в которых все характеристики генератора и
проводника изменяются только по двум координатам и не зависят
от третьей пространственной координаты.
Для некоторых идеализированных источников тока и простых
геометрических структур проводника были получены аналитиче-
ские выражения для потенциала в виде конечных формул или раз-
ложений в сходящиеся бесконечные ряды. Такие выражения были
выведены для простейших двумерных математических моделей,
в частности, для конечного и точечного диполей, расположенных
в произвольном месте проводника, который имеет форму беско-
нечной полуплоскости, круга или эллипса, граничащих с ди-
электрической средой [112, 329, 330]. Проводились также экспе-
риментальные измерения на двумерных физических моделях.
Проводник воспроизводили при помощи тонкого слоя электроли-
та, заполняющего сосуд заданной формы, или электропроводной
бумаги, вырезанной по заданному контуру. Дипольный генера-
тор моделировали, подавая ток от внешнего источника на две
точки проводника, расположенные достаточно близко одна от
другой. Таким методом исследовали модели в форме круга, эллип-
са или сечения грудной клетки человека на уровне желудочков
сердца [112—114, 235, 329, 330, 386, 387, 408]. Результаты экспе-
риментов подтвердили выводы, полученные на основании теорети-
ческих расчетов. Двумерный анализ позволил выявить некоторые
общие закономерности распределения потенциала дипольного
генератора в ограниченном проводнике. В частности, было по-
казано, что наличие границы приводит к значительному возра-
станию абсолютных величин потенциала на ограничивающей по-
верхности по сравнению с бесконечно протяженной средой и изме-
няет форму его распределения (например, смещает экстремумы
потенциала). Эти изменения существенно зависят и от угловой
ориентации, и от координат расположения генератора. Однако
двумерные модели не отражают некоторые особенности распре-
деления потенциала, характерные для объемных (трехмерных)
структур, в которых поле зависит от каждой из трех простран-
ственных координат. Поэтому результаты, полученные на дву-
мерных моделях, нельзя безоговорочно переносить на случай
объемного проводника. Например, расположение точек нулевого
потенциала на границе двумерной круговой модели заметно от-
311
личается от их расположения на границе экваториального сече-
ния модели в форме шара при одинаковом расположении и ориен-
тации дипольного генератора в двумерной модели и в плоскости
экватора трехмерной модели [112]. Один дипольный генератор
создает на границе двумерной модели, однородной или неоднород-
ной, только два экстремума потенциала — один максимум и один
минимум, независимо от формы границы, тогда как в случае трех-
мерных моделей некоторых конфигураций количество экстрему-
мов потенциала на поверхности проводника может быть больше
двух [173, 393, 400].
Таким образом, более важную роль играют исследования, про-
веденные на трехмерных моделях объемного проводника. Для
некоторых трехмерных моделей простой геометрической формы
были получены аналитические выражения, определяющие потен-
циал на поверхности однородного ограниченного проводника при
наличии внутри проводника конечного или точечного дипольного
генератора. Такие выражения были получены для бесконечного
полупространства, отделенного от диэлектрической области плос-
костью [357], для пространства, ограниченного двумя бесконеч-
ными параллельными плоскостями [146, 346], для кругового ци-
линдра с бесконечной длиной [146], для кругового цилиндра
с конечной длиной [146, 346], для шара [141, 188, 499, 507], для вы-
тянутого и сжатого сфероидов [121, 506, 507]. Были получены так-
же выражения для потенциала, создаваемого на поверхности шара
мультипольными генераторами разных порядков [141, 504]. Рас-
четы, выполненные при помощи этих соотношений, дают общее
представление о влиянии на электрическое поле ограниченности
объемного проводника. Следует отметить, что ни одна из указан-
ных геометрических фигур не имеет существенных преимуществ
перед другими в отношении точности аппроксимации реальной
поверхности тела.
Рассмотрим основные тенденции влияния ограниченности
объемного проводника на электрическое поле, используя сфери-
ческую модель. Пусть модель содержит одну шаровую область
с удельным сопротивлением р, ограниченную сферой с радиусом 7?,
вне которой находится диэлектрическая среда (рис. 4.4, а). Ре-
шая прямую задачу для дипольных генераторов описанным выше
методом разложения потенциала в ряд, получаем следующие вы-
ражения для потенциала тангенциального и радиального диполей
соответственно в области r0 < г < В:
О°
72=1
<Р? = У, (-?-)”-1 [п + (и + (тгП Рп <cos 0)- (4Л0)
п=1
312
6
s
2
s
2
7
2
-7
Рис. 4.4. Модель объемного проводника в виде однородного шара (а) и распределение по-
тенциала (в относительных единицах) в меридиональной плоскости на сфере измере-
ния (б)
Жирные кривые — для центрального диполя, тонкие кривые — для диполя на оси z
с эксцентриситетом го/г = О,60 Тонкие сплошные кривые — потенциал на поверхности
шара, окруженного диэлектрической средой (правая шкала на оси ординат), штриховые
кривые — потенциал в однородном неограниченном проводнике (левая шкала на оси
ординат)
Чтобы найти потенциал на поверхности шара, положим г =
— R:
оо
<Рх = (^"'^(cosO)^, (4.11)
П=1
D °°
<₽,= ^E(2ra+1)(-^)n’lp"(cose)- (4Л2)
П=1
Эти разложения в ряд удается представить в виде конечных
формул
Dx? cos ф Г/3 — З/2 cos 9 + 3/ — cos 9 .
4jcZ?2/ sin 9 [ ~г COS ,
Dz? ______________________
[ (1 /2 — 2/ cos 9)’
(1 +/2 — 2f cos 9)s/2
I — /2 Л ?
(4.13)
(4.14)
фх =
ф2 =
где f = r0/R — эксцентриситет диполя.
На рис. 4.4, б представлены кривые распределения потенциа-
ла на меридиональной окружности шара (ф = 0), рассчитанные
по формулам (4.13) и (4.14) для разных расстояний диполя от
центра шара, а также кривые распределения потенциала на этой
313
же окружности, но в предположении, что среда представляет со-
бой однородный неограниченный проводник с удельным сопро-
тивлением р. Из графиков видно, что ограниченность проводника
приводит к увеличению потенциала по сравнению с неограничен-
ной средой и к изменению формы его распределения. Если диполь
находится в центре шара, то форма распределения потенциала не
изменяется, а абсолютная величина увеличивается ровно втрое.
Изменение формы распределения потенциала проявляется, в част-
ности, в том, что для радиального диполя прямая, соединяющая
точки нулевого потенциала па поверхности шара, не проходит че-
рез точку расположения диполя.
При приближении диполя к поверхности шара, когда расстояние
между ним и поверхностью становится существенно меньше, чем
радиус шара, кривизна поверхности оказывает все меньшее влия-
ние на распределение потенциала в области вблизи диполя. Здесь
распределение потенциала приближается к распределению в слу-
чае однородного полупространства, отделенного от диэлектри-
ческой среды бесконечной плоскостью, касательной к поверхности
шара. Чтобы получить выражения для потенциала на этой по-
верхности, сначала преобразуем уравнения (4.13) и (4.14), введя
новые геометрические параметры — расстояние т\ между диполем
и точкой наблюдения и угол 0Х между осью z и прямой, соединяю-
щей диполь с точкой наблюдения. Тогда
<Рх = {2 sin 0! + (1---^-) cos е1] / sin 01}, (4.15)
фг== -^{2cos01 + i (1- ^)}. (4.16)
Найдем предельные значения этих величин при стремлении
радиуса шара к бесконечности (R ->оо, г0 -> оо), предполагая,
что и 01? определяющие взаимное положение диполя и точки
наблюдения, сохраняют заданные значения. Второе слагаемое
в фигурных скобках этих выражений обратится в нуль, и полу-
чаются следующие формулы для потенциала на плоскости, отде-
ляющей проводник от диэлектрической среды:
фх =sinQj, (4.17)
<pz = -^-cosGi. (4.18)
Сравнение этих выражений с (1.50) показывает, что на плос-
кой границе однородного проводника, простирающегося на трех-
мерное полупространство, потенциал всегда вдвое больше, чем
на этой же плоскости в однородном неограниченном проводнике.
Заметим, что этот же результат дает метод электрических изобра-
жений [357].
Ч1Л
Поскольку получить аналитические выражения для распре-
деления потенциала в проводнике, поверхность которого соответ-
ствует реальной форме тела, не представляется возможным, для
исследования влияния формы тела на электрическое поле сердца
применяли методы физического моделирования. Важную роль
в этих исследованиях играют электролитические модели грудной
клетки (торса) человека. Модель торса представляет собой сосуд
из диэлектрического материала с раствором электролита. Внут-
ренняя поверхность сосуда воспроизводит поверхность грудной
клетки человека [191, 196, 267, 381, 382, 420 и др.] (рис. 4.5).
В область сердца модели вводится искусственный генератор в ви-
де электродов, соединенных с внешним источником тока. Генера-
Рис. 4.5. Общий вид электролитической модели грудной клетки человека и координаторного
устройства для определения положения искусственного дипольного генератора внутри
модели
315
тор чаще всего имеет конфигурацию одного диполя, однако воз-
можны генераторы в виде системы одновременно действующие
диполей и более сложные генераторные структуры [347, 360, 383].
При заданных характеристиках генератора потенциалы электри-
ческого поля непосредственно измеряются электродами, устано-
вленными в определенных точках внутренней поверхности модели
(т. е. на поверхности массы раствора, воспроизводящего тело).
Достаточно густая сеть отводящих электродов позволяет измерить
распределение потенциала практически на всей поверхности мо-
дели, представляющей интерес.
Расстояние между активными электродами, моделирующими
дипольный генератор, имеет конечную величину, однако эта
величина обычно мала по сравнению с расстоянием до области из-
мерения (поверхности торса), так что поле конечного диполя
с высокой точностью аппроксимирует поле идеального диполя.
При изучении свойств отдельных отведений или систем с не-
большим числом отведений иногда используют принцип взаимно-
сти и измеряют потенциал поля отведения в области сердца моде-
ли, подавая ток от внешнего источника на электроды отведений
[89, 130].
Исчерпывающая количественная оценка влияния формы про-
водника (а также любой внутренней неоднородности) на электри-
ческое поле заданных источников тока может быть получена при
помощи современных численных методов решения прямой элект-
родинамической задачи, реализуемых на ЭВМ (см. гл. 3).
Известен и иной подход к определению (и исключению) влияния
поверхности, ограничивающей проводник. Здесь в качестве ис-
ходных данных используются не характеристики источников тока,
а непосредственно потенциалы, измеренные на поверхности объ-
емного проводника [354, 355, 368]. По этим данным удается опре-
делить потенциалы, которые создавали бы эти же источники в од-
нородном неограниченном проводнике. При необходимости можно
определить также и градиенты потенциала, т. е. величины токов
в заданной области проводника.
Выражение для потенциала, который создавали бы заданные
источники в точке наблюдения, находящейся внутри тела, если за-
менить рассматриваемую неоднородную среду однородным неог-
раниченным проводником с удельным сопротивлением рв, полу-
чается из уравнения (1.118):
т Y 4л Ди I р. РВ / J т дп \ г /
н i=l
<4Л9>
SB
Если предположить, что точка наблюдения находится бес-
конечно близко к поверхности тела, то это выражение определяет
316
потенциал в однородном неограниченном проводнике на поверх-
ности, совпадающей с поверхностью тела. Для его расчета не-
обходимо знать действительное распределение потенциала на по-
верхности ограниченного проводника. Если он содержит внутрен-
нюю неоднородность, то нужно также знать его ^внутреннюю
структуру и потенциалы на поверхностях раздела областей с раз-
ными удельными сопротивлениями. Пренебрегая влиянием внут-
ренней неоднородности, получим более простое выражение:
<4-20>
SB
Сравнение карт распределения потенциала, построенных в ре-
зультате непосредственного измерения потенциала на поверхности
тела собаки и расчета на ЭВМ потенциала на той же поверхности
в однородном неограниченном проводнике по формуле (4.20),
показывает, что эти распределения потенциала визуально близки
по форме, хотя имеют и различия. В частности, значительно раз-
личаются абсолютные величины экстремумов потенциала [122].
Как и следовало ожидать на основании теоретических оценок,
максимальные абсолютные значения измеренного потенциала
(в ограниченном проводнике) превышают соответствующие зна-
чения вычисленного потенциала (в неограниченном проводнике)
в 2—3 раза. На рис. 4.6 для примера приведены такие карты для
одного из моментов средней части периода деполяризации желу-
дочков сердца.
Фактически карты для однородного неограниченного провод-
ника отражают здесь не только потенциал реально существующих
источников тока сердца, или первичных источников, но и потен-
циал вторичных источников, обусловленных наличием внутрен-
ней неоднородности (второй член правой части уравнения (4.19)).
Потенциал, который существовал бы вне поверхности тела,
если бы истинные источники тока находились в неограниченном
однородном проводнике с удельным сопротивлением рв, выра-
жается на основании уравнения (1.121) как
f »(±ps +
4л J г 4л / I I р. рт> / j ~ дп \ г /
VH %
+ т- Ф-т-f— }dS- (4.21)
4л J Y'дп \ г / 4 7
SB
Предположим, что все пространство вне поверхности тела, про-
стирающееся в бесконечность, имеет такое же удельное сопротив-
ление рв, как основная масса тела. Тогда в уравнении (1.118)
исчезает последний член правой части. В результате получается
следующее выражение для потенциала в неограниченном провод-
нике, однородном вне тела, но имеющем ту же внутреннюю не-
317
Рис. 4.6. Влияние ограниченности тела на форму распределения поверхностного потенциа-
ла [122]
Приведены карты эквипотенциальных линий для одного из моментов периода деполяриза-
ции желудочков, измеренных на поверхности тела собаки (справа) и рассчитанных для
этой же поверхности, но при условии, что генераторы расположены в неограниченной
среде (слева). Стрелками вверху указаны положения передней срединной линии. У экви-
потенциальных линий указаны потенциалы в милливольтах
однородность, что и реальное тело:
фз= PJL f J-dV +^-У (---------------И }dS. (4.22)
1 4 л J г 1 4л \ р- Рп / J дп \ г ' 7
vH г /
В данном случае на поверхностях раздела внутренних областей
будут существовать потенциалы ср*, отличающиеся от потенциалов
для ограниченного проводника ср. Подставляя сюда вместо пер-
вого члена правой части выражение (4.21), получаем
фз =
N
4л / 1 I Рв / J '7 дп
г=1 Х 7 8,-
(“И +
) 1 «
«в
(1.23)
Этот потенциал может быть точно вычислен, если известны
внутренняя и внешняя структура тела и распределение потен-
циала на его поверхности. Однако решение такой задачи связано
о очень большими измерительными и вычислительными трудно-
318
стями. Если же допустить, что внутренние вторичные источники
тока не зависят от того, ограничено тело наружной поверхно-
стью или нет, то в уравнении (4.23) нужно положить ср* = ср,
и оно упрощается, принимая вид
<4-24>
«в
Это выражение дает точное значение потенциала в однородном
неограниченном проводнике вне поверхности тела, который по-
рождается первичными источниками тока в случае, если тело вну-
три однородно, или и первичными, и вторичными источниками
(существующими в ограниченном проводнике) в случае, если тело
внутри неоднородно.
Поскольку приведенные выражения позволяют получить зна-
чения потенциала в однородном неограниченном проводнике вне
поверхности тела, имеется возможность исключить влияние ин-
дивидуальной формы тела на исследуемое распределение потен-
циала. Для этого можно, например, строить карты эквипотен-
циальных линий на одной и той же поверхности грудной клетки
стандартной формы или же на какой-либо правильной геометри-
ческой поверхности, например на сфере.
Заметим, что благодаря доступности измерения геометрических
параметров наружной поверхности тела влияние этой поверхности
на электрическое поле сердца можно в значительной степени
исключить, используя описанные выше подходы. Внутренняя
структура тела менее доступна для измерения, а исключить ее
влияние труднее.
Влияние внутриполостной крови сердца. Различие удельных
сопротивлений крови, заполняющей полости сердца, и самой
мышцы сердца — это наиболее существенный вид внутренней
неоднородности тела, влияние которого на электрическое поле
особенно сильно из-за того, что поверхность раздела этих двух об-
ластей находится в непосредственной близости от источников тока.
Теоретические оценки влияния крови на электрическое поле
сердца были получены для двумерных моделей, в которых область,
занимаемая кровью, имеет форму круга [330, 334], и для трехмер-
ных моделей, в которых эту область обычно представляют в фор-
ме шара [127, 137, 182, 219] (в работе [127] рассмотрена также мо-
дель полости сердца в форме сфероида). Для расчета модели ис-
пользовали метод электрических изображений, метод разложения
потенциала в ряд и другие методы. Следует отметить, что метод
электрических изображений, чрезвычайно удобный при расчете
моделей с плоскими границами, оказывается не столь эффектив-
ным в применении к сферическим моделям, так как в последнем
случае система электрических изображений источников имеет
довольно сложную структуру, а иногда включает изображения
в виде распределенных источников. Это может привести к разно-
, 319
гласиям в количественных оценках влияния неоднородности те-
ла [391]. Результаты расчетов представляют либо непосредственно
в виде изменений величин потенциалов в определенных точках
наблюдения или же в форме изменения поля отведения под влия-
нием включения в однородный проводник области с более низким
удельным сопротивлением.
Были установлены следующие общие закономерности измене-
ния потенциала дипольных источников при наличии области с
низким удельным сопротивлением по сравнению с однородным
проводником: влияние этой области тем сильнее, чем больше ее
размеры, чем меньше относительное удельное сопротивление и
чем ближе к ней расположены источники тока. Наличие этой об-
ласти приводит к увеличению потенциала дипольных генераторов,
ориентированных нормально (радиально) по отношению к гра-
нице области, и к уменьшению потенциала дипольных генерато-
ров, ориентированных параллельно (тангенциально) по отноше-
нию к границе. Форма распределения потенциала изменяется та-
ким образом, как если бы дипольные генераторы, будучи распо-
ложенными в однородном проводнике, сместились в направлении
области с малым удельным сопротивлением и повернулись ближе
к радиальному направлению. Иными словами, если предполо-
жить, что некоторая совокупность дипольных генераторов по-
рождает в однородном проводнике такой же потенциал, какой
истинные генераторы порождают в проводнике, имеющем область
с малым удельным сопротивлением, то эти кажущиеся генерато-
ры будут ориентированы более радиально и будут расположены
ближе к центру указанной области, чем истинные генераторы.
В результате увеличивается кажущаяся «дипольность» распреде-
ления потенциала на поверхности тела. Эти тенденции изменения
электрического поля сердца под влиянием внутриполостной кро-
ви сердца получили название эффекта Броди.
Найдем количественную оценку влияния крови при помощи
сферической модели [57]. Для простоты допустим, что неоднород-
ность проводника обусловлена только наличием крови, так что мо-
дель содержит только две области — шаровую область с удель-
ным сопротивлением рк и радиусом Re, соответствующую полос-
ти сердца с кровью, и наружную область с удельным сопротив-
лением р, обобщенно характеризующую все ткани, внешние по
отношению к полости (рис. 4.7, а). В результате решения прямой
задачи описанным выше методом разложения потенциала в ряд
получаем следующие выражения для потенциалов тангенциаль-
ного и радиального диполей в области г г0:
_ AeP VI / М”-1 л _ 1 ~ Рк/Р ( ДС У”+1
₽ж 4лг2 2-1 \ г / П + 1 Рк \ го /
n=1 L 1+-г-т J
X Pn(cos9) cos ip, (4.25)
320
Рис. 4.7. Модель объемного проводника с шаровой областью, имеющей относительно низ-
кое удельное сопротивление (а), и распределение потенциала (в относительных единицах)
в меридиональной плоскости на сфере измерения (б)
Положение диполя соответствует средней части стенки сердца. Сплошные кривые — потен-
циал при относительном удельном сопротивлении внутренней области 0,4, штриховые
кривые — потенциал в однородном неограниченном проводнике
дгР у /Jo
4 Л/'2 Z i \ г
п—1
X Pn(cost)).
1 — рк/р /^с\2п+1
п + 1 Рк \го J
п р
(4.26)
Если допустить, что удельное сопротивление крови бесконеч-
но мало по сравнению с удельным сопротивлением остальных тка-
ней, т. е. что кровь является идеальным проводником (рк = 0),
то уравнения (4.25) и (4.26) упрощаются:
pn(cos0)cost|>, (4.27)
.Z? р / Гл \ тг—1 . [ Йр \2п+11
Фг = \j (~) [П+ + ]^n(COS0).
п~ 1
(4.28)
Результаты расчета потенциала в меридиональной плоскости
(ф = 0) по формулам (4.25) — (4.26) с учетом семи членов ряда
для разных соотношений между электрическими и геометриче-
скими параметрами модели представлены на рис. 4.7, б. Видно,
что наличие крови приводит к уменьшению амплитуды потенциа-
ла тангенциального диполя и к увеличению амплитуды потенциа-
ла радиального диполя, причем эти эффекты выражены тем силь-
нее, чем больше различаются удельные сопротивления областей
модели. В то же время общая форма распределения потенциала
при введении области крови остается дипольной. Величина изме-
1 Л. И. Титомир
32f
пения потенциала под влиянием крови зависит от конкретных гео-
метрических соотношений между полостью, генератором и точкой
измерения потенциала. При типичных геометрических соотноше-
ниях, предельных значениях отношения р&/р = 0 и непосредствен-
ной близости дипольного генератора к области крови максималь-
ный потенциал его радиальной компоненты может увеличиться
в2,5 4- 3 раза [391]. Потенциал тангенциальной компоненты стре-
мится к нулю. Чтобы получить оценку изменения потенциала для
более реального соотношения между удельными сопротивлениями
крови и тела, а именно рк/р = 0,25, нужно изменение потенциа-
ла, найденное для предельного случая рк = 0, умножить на ко-
эффициент 0,73 [182].
Теоретический анализ сферических моделей с использованием
мультипольного разложения потенциала показал, что при нали-
чии совокупности дипольных генераторов вблизи области крови
увеличение дипольности распределения потенциала (по отноше-
нию к центру сердца) во внесердечной области обусловлено сле-
дующими тремя факторами: относительным уменьшением мульти-
польных компонент высших порядков по сравнению с дипольными
компонентами истинных генераторов, смещением точки располо-
жения одиночного радиального кажущегося диполя к центру серд-
ца и уменьшением тангенциальной компоненты кажущегося ди-
поля по сравнению с радиальной [219].
Были получены также теоретические оценки влияния крови
для сферической модели сердца с перегородкой. Они показали,
что для источников, расположенных в перегородке, остается в си-
ле эффект Броди — увеличение потенциала дипольных генерато-
ров, нормальных к поверхностям перегородки, и уменьшение по-
тенциала дипольных генераторов, тангенциальных к этим поверх-
ностям (для источников, расположенных в свободных стенках же-
лудочков, эффект Броди в такой модели сохраняется, но в ослаб-
ленной степени) [140, 315].
Согласно теоретическим оценкам анизотропия мышцы сердца
ослабляет эффект Броди, особенно когда источники тока находят-
ся в субэпикардиальных слоях стенки желудочков [315].
Эффект Броди был подтвержден в экспериментах на электроли-
тических моделях тела, в которые для моделирования внутрипо-
лостной массы крови вводили металлическую пластину или же
раствор с изменяемым удельным сопротивлением, заключенный
в полупроницаемую оболочку (из мочевого пузыря собаки) [336,
347, 491]. На рис. 4.8 иллюстрируется зависимость распределе-
ния потенциала на поверхности модели от наличия области с ма-
лым удельным сопротивлением и от ориентации дипольного гене-
ратора относительно этой области (полость с объемом 250 см3 за-
полнена раствором с удельным сопротивлением 130 Ом-см, ос-
тальная часть модели имеет удельное сопротивление 550 Ом-см).
При введении области с малым удельным сопротивлением общая
форма распределения потенциала (в частности, количество и рас-
QOO
Рис. 4.8. Влияние внутриполостной крови сердца на форму распределения поверхностного
потенциала [491]
Приведены карты эквипотенциальных линий, полученные в экспериментах на электро-
литической модели грудной клетки человека: а — однородная модель с дипольным гене-
ратором; б — модель с областью крови и тем же дипольным генератором, расположенным
тангенциально к этой области; в — модель с областью крови и тем же дипольным генера-
тором, расположенным радиально к этой области. Относительное удельное сопротивление
крови 0,24» ПСЛ — передняя срединная линия, ЗСЛ — задняя срединная линия, Пл —
уровень плеч, ПО — уровень подвздошной ости
положение экстремумов) почти не изменяется, однако изменяется
абсолютная величина потенциала в соответствии с эффектом Бро-
ди. Кроме того, моделирование показало, что на потенциал влия-
ет также общий объем внутриполостной крови: при его увеличе-
нии потенциал тангенциального диполя уменьшается, а потенци-
ал радиального увеличивается; при уменьшении объема измене-
ния потенциала противоположны (при изменении объема крови
от 100 до 250 мл эти изменения потенциалов могут достигать
10%). Эффект Броди нашел прямое или косвенное подтверждение
и в целом ряде других экспериментальных исследований [240,
292, 3991.
Влияние внесердечной неоднородности тела. При рассмотре-
нии неоднородности тела, внешней по отношению к сердцу, целе-
11* Л. И. Титомир 323
Рис. 4*9. Модель объемного проводника с наружной областью, имеющей относительно
высокое удельное сопротивление (а) и распределение потенциала (в относительных еди-
ницах) в меридиональной плоскости на сфере измерения (б)~
Положение диполя соответствует средней части стенки сердца. Сплошные кривые — по-
тенциал при относительном удельном сопротивлении наружной области 5 и нулевом со-
противлении’перикарда; штрихпунктирные — потенциал при относительном сопротивле-
нии перикарда на единицу площади p/pt = 2,5 см и равных удельных сопротивлениях
наружной ^внутренней областей модели; штриховые кривые — потенциал в однородном
неограниченном проводнике
сообразно выделить следующие области, удельные сопротивления
которых значительно различаются между собой и отличаются от
удельного сопротивления мышцы сердца: перикард, легкие и
поверхностный слой ткани туловища. Для получения приближен-
ной оценки влияния перикарда и легких воспользуемся, как и
при оценке влияния внутриполостной крови сердца, сферической
моделью [61, 364]. Рассмотрим частный случай, когда объемный
проводник содержит две области — шаровую область сердца
с радиусом 7?н и удельным сопротивлением р и область тканей
тела, окружающих сердце, с удельным сопротивлением рл (под-
разумевается, что внесердечная область грудной клетки в основ-
ном заполнена легкими). Перикард представлен бесконечно тон-
кой оболочкой, совпадающей с наружной поверхностью сердца
и имеющей сопротивление на единицу площади р (рис. 4.9, а).
В результате решения прямой задачи указанным методом раз-
ложения потенциала в ряд получаем следующие выражения для
потенциалов тангенциального и радиального диполей соответст-
венно в области г rQ:
п=1 L п X Рп (COS 0) cos 1|>, Рл / Р 1 \ Р к1 + ” Р Ян/ х п Рл , , р 1 + 1 р +(? + " р Ян/ J (4.29)
324
X Pn(cOS0).
Распределения потенциала в меридиональной плоскости моде-
ли, рассчитанные для разных параметров модели по формулам
(4.29) и (4.30) с учетом первых семи членов ряда, представленьГ
на рис. 4.9, б. Из графиков видно, что рассматриваемая неодно-
родность не приводит к заметным качественным изменениям фор-
мы распределения потенциала (сохраняются число и расположе-
ние экстремумов), однако довольно сильно изменяет амплитуду
потенциала. Наличие легких, имеющих более высокое удельное
сопротивление, чем мышца сердца, приводит к увеличению амп-
литуды потенциала как тангенциального, так и радиального ди-
поля, тогда как перикард, наоборот, уменьшает эти потенциалы
(по сравнению с однородным проводником). Однако при соотно-
шении удельных сопротивлений модели, близких к реальным,
преобладает влияние легких, приводящее к общему увеличению
потенциала. Следует отметить, что влияние легких может быть
отчасти скомпенсировано влиянием поверхностного слоя мышц
туловища с более низким удельным сопротивлением, который не
учитывался в рассмотренной здесь модели [86, 364].
Выражения (4.29) и (4.30) позволяют также оценить характер
изменений распределения потенциала в экспериментальных усло-
виях, когда изолированное функционирующее сердце погружено
в большой объем физиологического раствора (например, см. [631).
Удельное сопротивление физиологического раствора обычно мень-
ше среднего удельного сопротивления сердца (в рассмотренной
модели это выражается как рл р)- Вследствие этого потенциалы,
измеряемые в растворе, оказываются значительно меньше потен-
циалов, которые существовали бы в этой же области, если бы она
имела такое же удельное сопротивление, как сердце.
Пространство между легкими и кожей заполнено в основном
мышечной тканью, которая характеризуется значительной ани-
зотропией (см. табл. 4.1). Наружный мышечный слой имеет не-
большую толщину (в среднем около 1 см), причем в плоскости,
тангенциальной к поверхности грудной клетки, существует зна-
чительный случайный разброс ориентации мышечных волокон.
Поэтому можно допустить, что в этой плоскости удельное сопро-
тивление не зависит от направления [397]. Оценка среднего удель-
ного сопротивления в тангенциальном направлении дает величи-
ну 280 Ом-см. Среднее удельное сопротивление в направлении
нормали к поверхности грудной клетки целесообразно принять
равным максимальному удельному сопротивлению анизотропных
мышц 2300 Ом-см, так как мышечные волокна в основном ориен-
11 * 325
тированы по касательной к поверхности [316]. Приближенный тео-
ретический анализ при этих допущениях показывает, что влия-
ние на электрическое поле анизотропного мышечного слоя
сводится к уменьшению абсолютной величины потенциала на коэф-
фициент 2/3 при замене мышечного слоя толщиной 1 см на изотроп-
ный слой толщиной 3 см, имеющий такое же удельное сопротив-
ление, как и легкие. Несколько менее точная аппроксимация влия-
ния наружного слоя — замена его изотропным слоем толщиной
5 см с удельным сопротивлением, равным удельному сопротивле-
нию легких. Иными словами, в удовлетворительном приближе-
нии влияние наружного анизотропного слоя мышц сводится к уве-
личению расстояния точки измерения от генераторов сердца. Ука-
занные оценки справедливы как для тангенциального, так и для
радиального дипольного генератора [316, 363].
Суммарное влияние неоднородности тела. Разные виды неод-
нородности, соответствующие характерным областям и органам
тела, влияют на электрическое поле сердца по-разному, причем
обусловленные ими изменения электрического поля (по сравне-
нию с однородным проводником) иногда взаимно компенсируются.
Поэтому важное значение имеет совместное действие всех видов
неоднородности тела.
Некоторые теоретические оценки общего влияния неоднород-
ности тела на потенциал были получены при помощи двумерных
моделей с границами между областями в форме окружности и
трехмерных сферических моделей. В этих моделях поверхности
раздела между областями с разными удельными сопротивлениями
задаются либо в виде строго концентрических окружностей и
сфер [115, 116, 364], либо в виде окружностей и сфер с эксцентри-
ситетом, отражающим несимметричное расположение сердца в
грудной клетке [117—119]. Источники задаются в виде точечных
диполей [115, 116], равномерного двойного слоя сферической (или
круговой) формы [117—119] или же генераторов, произвольным
образом распределенных на сферической поверхности [364]. Та-
кие модели позволяют легко вывести уравнения для потенциала
на поверхности неоднородного проводника в виде разложения
в ряд Фурье для двумерного случая и разложения по сферическим
функциям для трехмерного случая. Получаются уравнения, ана-
логичные по форме уравнениям (4.25) — (4.30). При рассмотре-
нии более сложных моделей с большим числом слоев уравнения
имеют очень громоздкий вид, и здесь не приводятся. Укажем не-
которые результаты этих теоретических исследований. При одно-
временном присутствии нескольких областей с разными удель-
ными сопротивлениями влияние каждой из них мало зависит от
наличия других, так что относительное изменение потенциала,
обусловленное неоднородностью каждого вида, можно рассмат-
ривать отдельно. Приближенную оценку общего относительного
изменения амплитуды потенциала из-за неоднородности объемно-
го проводника можно получить, суммируя относительные измене-
326
ния его под влиянием неоднородности каждого отдельного вида.
Поскольку одни виды неоднородности увеличивают, а другие
уменьшают потенциал по сравнению с однородным проводником,
происходит частичная компенсация влияния неоднородности.
Например, увеличение потенциала радиальных дипольных гене-
раторов из-за высокого удельного сопротивления легких и низ-
кого удельного сопротивления крови отчасти компенсируется
влиянием перикарда и наружного мышечного слоя.
В работе [119] на сферической модели проанализированы из-
менения потенциала генератора сердца при отклонении от нормы
некоторых физиологических характеристик, определяющих элект-
рическую неоднородность тела: гематокрита, объема и состава
перикардиальной жидкости, характеристик ткани легких, толщи-
ны наружного мышечно-жирового слоя и др.
В настоящее время уже разработаны программы для решения
прямой электродинамической задачи численными методами на
ЭВМ при любом распределении источников тока и любой структу-
ре объемного проводника (см. гл. 3). Это позволило, например,
рассчитать электрическое поле для математической модели груд-
ной клетки реальной формы, содержащей область внутриполост-
ной крови сердца и область легких, при наличии в разных точках
мышцы сердца дипольного генератора [245]. Оценка влияния не-
однородности осуществлялась путем визуального сравнения кон-
фигураций поверхности изображений для однородной модели и
модели с внутренней неоднородностью. Была отмечена зависи-
мость влияния неоднородности от расположения генератора,
а также частичная взаимная компенсация влияний крови и легких
при некоторых расположениях генератора.
Для исследования влияния неоднородности тела на электро-
кардиологические измерения уже в течение длительного времени
используют физические модели. Исследования обычно проводи-
лись для конкретных электрокардиографических отведений и си-
стем отведений, тем не менее их результаты отражают все харак-
терные особенности изменения электрического поля сердца из-за
неоднородности тела, указанные выше. К таким исследованиям
относятся опыты на двумерных гидравлических моделях, электро-
литических моделях и моделях из электропроводной бумаги (см.
обзор [333]), воспроизводящих сечение тела фронтальной плос-
костью. Важные результаты, касающиеся формы распределения
потенциала на поверхности тела, были получены в опытах на
двумерной электролитической модели, воспроизводящей трансвер-
сальное сечение грудной клетки [199,330, 333]. В модели была преду-
смотрена область легких (имеющая вчетверо большее удельное
сопротивление, чем остальная часть туловища), а также области
позвоночника и грудины (с бесконечно большим удельным соп-
ротивлением). Измерения показали, что распределение потенциа-
ла на периферии модели, обусловленное дипольным генератором,
расположенным в области сердца, при наличии указанной неод-
327
породности мало отличается по форме от распределения в случае
однородной модели, хотя абсолютные величины потенциала пре-
терпевают определенные изменения.
Опыты на трехмерных неоднородных моделях туловища чело-
века проводились при изучении поля дипольного генератора серд-
ца и характеристик векторкардиографических отведений [50,
148].
Одним из важных результатов моделирования, по-видимому,
следует считать подтверждение того факта, что из многочисленных
внутренних областей тела, отличающихся по своему удельному
сопротивлению от мышцы сердца, в которой расположены гене-
раторы, наиболее существенное влияние на электрическое поле
оказывают внутриполостная масса крови сердца и легкие, а влия-
нием остальных неоднородностей можно пренебречь.
В последние годы была создана электрофизическая модель,
которая весьма подробно воспроизводит внутреннюю структуру
тела и позволяет исследовать влияние ряда факторов, которым
раньше не придавали значения [394, 398]. Модель является дис-
кретно-непрерывной; она собрана из мелких пластмассовых эле-
ментов, между которыми образуется сеть кубических ячеек. Эти
ячейки заливаются электролитом, а их соединение обеспечивается
специальными каналами, предусмотренными в пластмассовых
элементах. Требуемое среднее удельное сопротивление и степень
анизотропии каждой области задаются за счет определенного со-
отношения между объемами электролита, пластмассового каркаса
и соединительных каналов. Модель воспроизводит в увеличенном
масштабе (2 : 1) туловище человека с внутренними органами и
тканями, имеющими разные удельные сопротивления и опреде-
ленную степень анизотропии: мышцей сердца, кровью, крупными
кровеносными сосудами, легкими, печенью, жировым слоем, ске-
летными мышцами, ребрами и позвоночником. В качестве источ-
ников тока, как обычно, используются дипольные генераторы,
расположенные в разных частях мышцы сердца. Опыты на этой
модели показали, что внутренняя неоднородность тела незначи-
тельно влияет на качественные особенности формы распределения
потенциала на поверхности тела по сравнению с однородным про-
водником. А именно, в основном сохраняется число и располо-
жение экстремумов потенциала (хотя несколько увеличивается
расстояние между ними по поверхности). На модели исследовали
некоторые корригированные ортогональные системы отведений
[398, 399].
В ряде экспериментальных исследований влияния неоднород-
ности тела на электрическое поле сердца применяли биологиче-
ские модели генератора и объемного проводника (см. [73] и др.).
Один из подходов заключается в том, что в качестве генератора
используется само сердце подопытного животного. Его электри-
ческое поле измеряется сначала в нормальных условиях на по-
верхности тела, а затем в однородном проводнике (физиологиче-
ском растворе), и результаты измерений сравниваются [462].
Примеры карт распределения потенциала, полученных в таких
экспериментах на сердце собаки, представлены на рис. 4.10.
В однородном проводнике количество и относительное располо-
жение экстремумов потенциала остаются такими же, как и на
поверхности тела. Следовательно, эти качественные характери-
стики распределения потенциала, которые учитываются при
визуальном анализе карт, определяются исключительно структу-
рой самого генератора сердца и мало зависят от неоднородности
тела вокруг сердца.
Другой подход заключается в том, что вблизи сердца помещают
искусственный генератор (обычно дипольного типа) и измеряют
его поле на поверхности тела, а затем сопоставляют это поле
с известным полем данного генератора в однородном проводнике.
Этот подход может быть также реализован на основе принципа
взаимности, когда в область сердца вводят измерительные элек-
троды, а поле в теле создают при помощи электродов, расположен-
ных на поверхности тела в тех же точках, что и электроды изуча-
емого отведения. Применялись различные варианты этого метода:
электроды вводили в область сердца трупа человека, а при изме-
рениях на живом человеке или подопытном животном — в пище-
вод, бронхи или полости сердца. Однако результаты этих экспе-
риментов по ряду причин имеют весьма ограниченное значение.
При опытах на трупах основной источник ошибок — быстрое
изменение электрических свойств тканей и органов тела после
смерти из-за перераспределения в них жидкостей. В других слу-
Рис. 4.10. Сравнение распреде-
лений потенциала, зарегистри-
рованных на поверхности груд-
ной клетки в эксперименте на со-
баке in situ (а) и на цилиндри-
ческой поверхности вокруг серд-
ца в однородном проводнике в
эксперименте на изолированном
сердце собаки (б) в начальный
период деполяризации желудоч-
ков [462]
У эквипотенциальных линий
указаны потенциалы в милли-
вольтах. Левая часть карты со-
ответствует передней поверх-
ности грудной клетки, правая —
задней поверхности
329
чаях ошибки возникают главным образом из-за того, что внутрен-
ние электроды оказываются расположенными не в той области,
где фактически находятся истинные источники тока сердца. Кроме
того, эти электроды трудно зафиксировать и закоординировать
в пространстве с достаточной точностью. Более надежные резуль-
таты можно получить, используя в качестве искусственного ди-
польного генератора электрический кардиостимулятор. Крити-
ческое обсуждение этих методов и ссылки на опубликованные
результаты исследований содержатся в работе [293].
Важные количественные данные о влиянии ограничивающей
поверхности и внутренней неоднородности тела на электрическое
поле сердца были получены в экспериментах с использованием
принципа взаимности, описанных в работе [416]. В область серд-
ца собаки вводили четыре игольчатых электрода. Другие элек-
троды (несколько десятков) были установлены на поверхности
грудной клетки. Были изготовлены электролитические модели,
точно воспроизводящие поверхность тела подопытных собак.
Расположение всех электродов было точно закоординировано при
помощи рентгенографии. В соответствии с методом взаимности
ток подавали в тело через поверхностные электроды, а потенциал
измеряли внутренними электродами. В каждом случае такие изме-
рения были выполнены для собаки in vivo, для однородной элек-
тролитической модели тела этой же собаки и для модели с поме-
щенными в нее свежевырезанными сердцем и легкими, причем
во всех случаях сохранялись геометрические соотношения между
всеми электродами. Для этих же геометрических соотношений
были вычислены потенциалы измерительных электродов в пред-
положении однородного неограниченного проводника. Для ука-
занных четырех наборов данных были построены карты распреде-
ления величины отношения регистрируемого напряжения к по-
даваемому току. В соответствии с принципом взаимности эта ве-
личина пропорциональна потенциалу, который регистрировался
бы в данной точке поверхности, если бы на внутренние электроды
подавался ток единичной величины (см. гл. 1, разд. 4). Визуальное
сопоставление карт обнаруживает как черты их сходства, так и
черты различия. Причем сходство карт, полученных на моделях,
с картой, измеренной на реальном объекте, увеличивается по мере
усложнения модели, т. е. учета сначала только ограничивающей
поверхности, а потом и внутренней неоднородности. Для количе-
ственной оценки сходства карт были рассчитаны коэффициенты
корреляции между потенциалами, измеренными у животного,
и тремя группами модельных потенциалов. Для однородного не-
ограниченного проводника коэффициент корреляции лежит в пре-
делах от 0,70 до 0,80, для однородной ограниченной модели —
от 0,85 до 0,90, а для модели с сердцем и легкими он обычно пре-
вышает 0,9, а иногда достигает 0,96.
Расположение искусственных генераторов непосредственно
в той же области, где находятся истинные генераторы, т. е. в мыш-
распределения потенциала дипольного генератора на поверхности однородной электролитической модели грудной
потенциала электрокардиостимулятора, зарегистрированного на поверхности тела этого же
Рис. 4.11. Сравнение
клетки испытуемого (а) и распределения
испытуемого (б) [291]
Расположение и ориентация диполя в модели соответствуют распо-
ложению и ориентации электродов электрокардиостимулятора. По-
тенциал на поверхности тела указан в милливольтах, а потенциал
на поверхности модели — в относительных единицах. ПС Л — передняя
срединная линия, ЗСЛ — задняя срединная линия. (Различие карт
обусловлено отчасти тем, что измерение потенциала и рентгеногра-
фическое определение местоположения электродов электрокардио-
стимулятора у испытуемого осуществляли в разные фазы дыхания)
це сердца, достигается путем вживления в сердце подопытной
собаки специальных электродов, питаемых током от внешнего
источника [248]. Распределение потенциала на поверхности тела
при таком искусственном дипольном генераторе имеет два экстре-
мума — один максимум и один минимум, как и в однородном про-
воднике.
Аналогично по методическому принципу измерение потенциала
на поверхности тела человека с вживленными в сердце электро-
дами кардиостимулятора [291 и др.]. На рис. 4.11 представлены
карты распределения потенциала кардиостимулятора на поверх-
ности грудной клетки человека и на поверхности однородной
модели, воспроизводящей грудную клетку этого же человека,
в которую введен дипольный генератор, аналогичный электродам
кардиостимулятора. Распределения потенциала сходны по форме
и, как обычно, имеют два противоположных по знаку экстремума.
Отмечается, что влияние внутренней неоднородности тела может
существенно зависеть от расположения кардиостимулятора от-
носительно области измерения. Это влияние может сказаться на
форме распределения тем сильнее, чем больше элементов тела,
содержащих неоднородность, находится между генератором и
стенкой грудной клетки. Не исключена возможность влияния на
электрическое поле диафрагмы, состоящей из мышц с малым
удельным сопротивлением, и брюшной полости, имеющей, наобо-
рот, довольно высокое среднее удельное сопротивление.
Для уменьшения влияния неоднородности и индивидуального
разброса электрических характеристик тела на электрокардио-
графические измерения предлагалось осуществлять индивидуаль-
ную калибровку записываемых потенциалов и вводить соответ-
ствующую коррекцию в электрокардиограмму и векторкардио-
трамму [183, 293].
3. ВЛИЯНИЕ НЕОДНОРОДНОСТИ ТЕЛА
НА ТОЧНОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК
ГЕНЕРАТОРА СЕРДЦА
Неоднородность тела и решение обратной электродинамиче-
ской задачи. Выше были обсуждены изменения электрического
поля на поверхности тела, обусловленные неоднородностью объем-
ного проводника, при заданном электрическом генераторе. Иными
словами, рассматривалось влияние неоднородности тела на реше-
ние прямой электродинамической задачи.
Более важное значение имеет оценка влияния неоднородности
на решение обратной электродинамической задачи, которое яв-
.ляется составной частью диагностической процедуры. Используя
.понятие эквивалентного генератора, можно следующим образом
сформулировать интересующий нас вопрос: каковы будут ошибки
и характеристиках эквивалентного генератора сердца, если при
1?ис. 4.12. Математические моде-
ли грудной клетки, используе-
мые для оценки влияния ’ огра-
ниченности тела [60, 473]
Сплошной линией изображены
контуры сечений основной моде-
ли I фронтальной (F), сагит-
тальной (S) и трансверсальной
(Т) координатными плоскостями,
штриховой — контуры сечений
моделей II и III трансверсаль-
ной плоскостью. Область желу-
дочков сердца заштрихована
его вычислении по поверхностному потенциалу не учитывается
неоднородность тела?
В результате решения обратной задачи без учета какого-либо
фактора неоднородности, влияние которого нужно оценить, по-
лучаются характеристики некоторого кажущегося генератора,
отличающегося от истинного. (Напомним, что здесь под истинным
генератором подразумевается эквивалентный генератор более
высокого уровня, который отождествляется с заданным реально
существующим генератором сердца, создающим поле в неоднород-
ном проводнике.) Определенные выводы о зависимости кажуще-
гося генератора от неоднородности проводника можно сделать
уже из описанных выше теоретических расчетов и экспериментов,
в которых истинный генератор представляет собой диполь тока.
Было показано, что при наличии неоднородности распределение
потенциала обычно сохраняет качественно дипольную форму —
содержит одну область положительного потенциала с максимумом
и одну область отрицательного потенциала с минимумом. Поэто-
му в грубом приближении можно допустить, что кажущийся гене-
ратор сохраняет структуру диполя с неизменной ориентацией и
точкой расположения, который изменяет под влиянием неодно-
родности только свой дипольный момент. Тогда относительное
изменение потенциала в области измерения при введении в объем-
ный проводник неоднородности любого вида будет пропорцио-
нально отклонению величины дипольного момента кажущегося
генератора по сравнению с истинным.
Значительно более точное приближение можно получить, если
представить кажущийся генератор в виде диполя, но с иным ди-
польным моментом и иным расположением, чем истинный. Разли-
чия между характеристиками кажущегося и истинного диполь-

ных генераторов дают оценку ошибок, вносимых в решение обрат-
ной электродинамической задачи при пренебрежении неоднород-
ностью проводника. Рассмотрим эти ошибки для основных видов
неоднородности.
Влияние ограниченности тела и формы его поверхности. Пред-
положим, что грудная клетка представляет собой однородный
проводник, ограниченный поверхностью тела, а в области сердца
находится истинный дипольный генератор. Если для определения
характеристик генератора по потенциалу используется метод, не
учитывающий ограниченность объемного проводника, т. е. осно-
ванный на допущении об однородном и бесконечно протяженном
проводнике, то будут получены характеристики кажущегося ди-
поля, отличающегося от истинного. Для оценки различия этих
генераторов можно было бы задать истинный диполь, рассчитать
его потенциал на поверхности ограниченного проводника, а затем
по этому потенциалу найти характеристики кажущегося диполя,
считая проводник неограниченным. Однако определение потен-
циала диполя в ограниченном проводнике сложной формы требует
применения довольно сложного итерационного алгоритма (см.
гл. 3). Во избежание этого можно воспользоваться иным подхо-
дом: задавать кажущийся диполь и по его потенциалу определять
истинный диполь [60, 473]. Если заданы компоненты дипольного
момента Dxa, Dya, Dza и координаты точки расположения х{}<1,
Уоа, кажущегося диполя, а также удельное сопротивление объем-
ного проводника р, то распределение потенциала <pg (х, у, z)
в области измерения (соответствующей поверхности туловища)
легко вычисляется по формуле для потенциала диполя в одно-
родном неограниченном проводнике:
= Р Pxa^---roJ + -P;/afa-yoa) + -Pza<Z-ZOa) М 31)
8 [(х_ ^2 + (у_^)2.+ (г_2о^2]3/2 .......
Затем по этому потенциалу можно определить компоненты ди-
польного момента Dx, Dy, Dz и координаты точки расположения
#0, Уь, zo истинного диполя, используя уравнения (3.63), (3.64)
и (3.75). (Фактически этот подход основан на дипольной аппрокси-
мации потенциала путем минимизации его квадрупольной состав-
ляющей.)
Такие расчеты были проведены для трех вариантов модели
туловища человека, заданных при помощи математического опи-
сания — координат точек поверхности (рис. 4.12). Основной
вариант модели (модель I) воспроизводит туловище взрослого
мужчины, соответствующее средним значениям основных разме-
ров тела [41]. Эта модель имеет в среднем трансверсальном сечении
(плоскость xOz) поперечный диаметр b = 20 см, боковой диаметр
а = 27,5 см и параметр эллиптичности а/b = 1,37. Кроме того,
были рассмотрены две модели, отличающиеся от модели I пара-
метром эллиптичности, так как этот параметр отражает наиболее
существенные индивидуальные различия формы грудной клетки
в области сердца. Модель II и модель III получены из модели I
путем сжатия и растяжения по оси х соответственно. Для этого
координаты х каждой точки поверхности модели I умножены на
коэффициент 0,76 (при построении модели II) и на коэффициент
1,24 (при построении модели III). Значения параметра эллиптич-
ности моделей II и III соответствуют границам диапазона его
разброса у разных людей. Интегрирование по поверхности моде-
Рис. 4.13. Компоненты кажущегося
диполя (Пха, Dya, Оеа)9 соответ-
ствующие единичным компонентам
истинного диполя (-Од,, Dy9 в
зависимости от право-левого диа-
метра грудной клетки [60, 473]
Для сравнения горизонтальной
штриховой прямой показано значе-
ние компонент кажущегося диполя
для шаровой модели проводника
ли, необходимое для определения характеристик истинного ди-
поля, осуществляли численным методом на ЭВМ, представляя
поверхность в дискретной форме при помощи триангуляции. Ре-
зультаты расчетов свидетельствуют о том, что кажущийся диполь-
ный генератор значительно отличается от истинного, причем их
различие сильно зависит от конфигурации грудной клетки.
На рис. 4.13 представлены отношения компонент дипольного
момента кажущегося диполя к соответствующим компонентам
дипольного момента истинного диполя в зависимости от эллиптич-
ности грудной клетки (заметим, что эти отношения практически
не зависят отточки расположения истинного диполя). Если истин-
ный диполь направлен параллельно одной из координатных осей,
то кажущийся также направлен параллельно этой оси, но значи-
тельно отличается по величине момента, причем для разных осей
эти различия неодинаковы. Поэтому вектор дипольного момента
кажущегося диполя может отличаться от вектора истинного ди-
поля как по модулю, так и по направлению (рис. 4.14). Коорди-
наты расположения кажущегося диполя также сильно отличаются
от координат истинного. Смещение кажущегося диполя относи-
тельно истинного невелико при расположении истинного диполя
вблизи начала координат (центра среднего трансверсального
сечения туловища) и быстро возрастает (почти линейно) при уда-
лении от этой точки. Поскольку сердце расположено в грудной
клетке несимметрично и основная масса желудочков удалена от
335
Рис. 4.14. Проекции на координатные плоскости^, S и Т момента" кажущегося диполя,,
соответствующего истинному диполю с единичными компонентами [60, 473]
Проекции момента истинного диполя обозначены нулем,?проекции момента кажущегося
диполя для шаровой модели проводника — штриховыми стрелками
центра трансверсального сечения, расположение кажущихся ге-
нераторов существенно отличается от расположения истинных.
При некоторых ориентациях истинного диполя кажущийся диполь
может быть смещен относительно него на расстояние Зн-4 см
(рис. 4.15). Эти результаты показывают, насколько важно учиты-
вать ограниченность тела и форму ограничивающей поверхности
при решении электрокардиологических задач, связанных с опре-
делением интенсивности и локализации источников тока сердца
по поверхностному потенциалу.
В работе [402] было проведено сопоставление ориентаций
истинного и кажущегося дипольных генераторов сердца в экспе-
риментальных измерениях потенциалов поля электрического
кардиостимулятора у группы людей. Оказалось, что ориентация
диполя, найденная по распределению поверхностного потенциала
без учета ограниченности объема грудной клетки, отличается от
истинной ориентации в среднем на 30°. Это вполне соответствует
приведенным оценкам, полученным на математической модели.
Влияние внутриполостной крови сердца. Для сопоставления
характеристик кажущегося и истинного дипольных генераторов
в случае, когда неоднородность проводника обусловлена наличием
внутриполостной крови, воспользуемся сферической моделью,
показанной на рис. 4.7, а [57]. Дипольный момент кажущегося
диполя определяется как дипольный момент источников, создаю-
щих в однородном неограниченном проводнике такой же потен-
циал, какой истинный диполь создает в неоднородном проводнике.
Выражение для этого дипольного момента дает коэффициент чле-
на, соответствующего значению и = 1, в суммах (4.25) и (4.26).
Таким образом, дипольный момент кажущихся тангенциального
336
Рис. 4.15. Разброс кажущихся] диполей
относительно истинных [в проекции на
трансверсальную плоскость [60, 473]
В области желудочков сердца (огра-
ниченной окружностью) в точках А и
В расположены истинные диполи. Соот.
ветствующие кажущиеся диполи изоб-
ражены стрелками и кружками,
соединенными сплошными линиями
(для истинного диполя в точке А) и
штриховыми линиями (для истинного
диполя в точке В). Горизонтальные
стрелки указывают положение кажу-
щегося диполя для истинного диполя,
ориентированного по оси х, вертикаль-
ные стрелки — для истинного диполя,
ориентированного по оси z, кружки —
для истинного диполя, ориентирован-
ного по оси у
и радиального диполей выражается соответственно как
DXa — Dx
1-рк/р /яс\3
1 4- 2рк/р \ ГО )
(4.32)
(4.33)
Dza — Dz 1+2
1 — Рк/р
1 + 2рк/р
. Г0 /
Положение кажущегося диполя определяется как точка, ко-
торая обеспечивает минимальный квадрупольный потенциал ка-
жущихся источников; ее координаты определяются по формулам
(3.75), преобразованным в соответствии с рассматриваемой мо-
делью. Результаты расчета показывают, что различие между ха-
рактеристиками кажущегося и истинного диполей зависит как
от степени неоднородности проводника, так и от ориентации и рас-
положения истинного диполя. На рис. 4.16, а представлена зави-
симость отношения дипольных моментов кажущегося и истинного
диполей от расположения истинного диполя по отношению к по-
лости сердца для нескольких значений отношения удельных
сопротивлений крови и мышцы сердца. На рис. 4.16, б иллюстри-
руется смещение кажущегося диполя относительно истинного
для тех же условий. В случае радиального диполя кажущийся
генератор всегда имеет больший дипольный момент и расположен
ближе к центру сердца, чем истинный, а в случае тангенциального—
меньший, причем его смещение относительно истинного может быть
направлено либо к центру сердца, либо в противоположную сто-
рону. Смещение к центру сердца имеет место, когда истинный тан-
генциальный диполь расположен в непосредственной близости от
границы между мышцей и кровью. Если же он находится в средней
или наружной части стенки сердца, то кажущийся диполь сме-
337
Рис. 4.16. Зависимость дипольного момента (а) и положения (б) кажущегося диполя от
положения истинного диполя при разных значениях относительного удельного сопротив-
ления внутриполостной крови сердца
Штриховые прямые характеризуют соответствующие величины для однородного неогра-
ниченного проводника
щается в направлении от центра сердца (он может даже оказаться
за пределами сердца). Обычно смещение кажущегося тангенциаль-
ного диполя меньше по абсолютной величине, чем смещение ра-
диального. При типичных соотношениях между удельными со-
противлениями областей модели смещение радиального кажуще-
гося диполя относительно истинного составляет в среднем около
0,4 см. Очевидно, чем больше различие в удельных сопротивле-
ниях крови и миокарда, тем сильнее кажущийся генератор отли-
чается от истинного. Эти выводы аналогичны результатам работы
[86].
Важные результаты получены при экспериментальном изуче-
нии влияния эффекта Броди в условиях, максимально приближен-
ных к естественным физиологическим условиям функциониро-
вания сердца [240, 342]. Удельное сопротивление крови интакт-
ного животного (собаки и свиньи) изменяли путем изменения
гематокрита (это позволяет сохранить основные биологические
свойства крови и не вызывает слишком сильных нежелательных
338
побочных явлений). При помощи специальной системы отведений
измеряли суммарный дипольный момент электрического генера-
тора сердца (поскольку дипольная составляющая обусловливает
большую часть поверхностного потенциала, результаты, полу-
ченные для дипольного момента, характерны и для распределения
потенциала в целом). В опытах на собаках было найдено, что по-
вышение удельного сопротивления крови приводит к уменьшению
этого дипольного момента генератора сердца в первой половине
комплекса QRS и увеличению его во второй половине. Снижение
удельного сопротивления крови приводит к противоположным
изменениям дипольного момента (рис. 4.17). Это согласуется с
с данными о том, что в начальный период распространения воз-
буждения в желудочках преобладает радиальная ориентация,
а в конечный период — тангенциальная ориентация дипольных
генераторов по отношению к поверхностям стенки сердца. В норме
(когда удельное сопротивление крови в 2,5 раза меньше, чем мио-
карда) кажущийся дипольный момент изменяется по сравнению
800
Рис. 4.17. Изменение дипольного мо-
мента электрического генератора рдр
сердца на протяжении комплекса
QRS при разных сопротивлениях
крови [342]
Приведены результаты опытов с ддд
увеличением гематокрита, когда
удельное сопротивление крови по-
вышается от нормального значения
143 до 671 Ом-см (а), и опытов с
уменьшением гематокрита, когда
удельное сопротивление крови сни-
жается от нормального значения
127 до 78 Ом«см (6)
20 ОО ОО ОО JOt
Время, % периода QRS
339
с истинным, т. е. со случаем однородного проводника, следующим
образом: в первой половине комплекса QRS он может увеличить-
ся в 2,5-нЗ раза, а в конце этого комплекса может уменьшиться
на 25%. В период деполяризации предсердий генераторы всегда
расположены тангенциально, так что повышение удельного со-
противления крови приводит к увеличению потенциалов. Для
периода реполяризации желудочков (зубец Т) были получены
менее определенные результаты, однако наблюдалась тенденция
увеличения потенциала при повышении удельного сопротивления
крови.
У свиньи хронотопография распространения возбуждения от-
личается более сильно выраженным тангенциальным направле-
нием источников тока сердца в средней и конечной частях периода
деполяризации. Соответственно в эти периоды комплекса QRS
под влиянием крови кажущийся дипольный момент уменьшается
по сравнению с истинным.
Влияние внесердечной неоднородности тела. При помощи сфе-
рической модели можно оценить различия в характеристиках ка-
жущегося и истинного дипольных генераторов для случая, когда
неоднородность проводника обусловлена наличием вокруг серд-
ца легких, которые отделены от поверхности сердца перикардом
[57, 61]. Дипольный момент и точку расположения кажущегося
диполя определим на основании тех же критериев, что и в пре-
дыдущем случае (при анализе влияния крови). Из уравнений
(4.29) и (4.30) получаются следующие выражения для дипольного
момента кажущихся тангенциального и радиального диполей
соответственно:
(4.34)
р 1
= D

-A-L’
Р дн,
1 Рл
2 р
Dz
Рл
р
1 Р.п
р
Р 1 \
Р ДН/
Р 1 '
Р
(4.35)
2
Эти формулы показывают, что тангенциальная и радиальная
компоненты кажущегося диполя отличаются от соответствующих
компонент истинного диполя на один и тот же коэффициент (ве-
личина в квадратных скобках). Следовательно, кажущийся ди-
поль всегда будет иметь такую же ориентацию, как и истинный.
Кроме того, дипольный момент кажущегося диполя не зависит от
координат точки расположения истинного. Легкие и перикард
влияют на величину дипольного момента кажущегося диполя
противоположным образом: из-за наличия легких его дипольный
момент увеличивается, а из-за наличия перикарда — уменьшается
340
?ис. 4.18. Зависимость дипольного момента (а) и относительного радиального смещения
(б) кажущегося диполя от относительного удельного сопротивления внесердечной области
и относительного сопротивления перикарда на единицу площади [61]
Штриховые прямые характеризуют соответствующие величины для однородного неограни-
ченного проводника
по сравнению с истинным диполем. Это иллюстрируется на рис.
4.18, а. При значениях параметров модели, наиболее близких
к реальным условиям, дипольный момент кажущегося диполя
приблизительно в 1,5 раза превышает дипольный момент истин-
ного.
Смещение кажущегося диполя по отношению к истинному
также не зависит от ориентации и расположения истинного ди-
поля. Его изменение в зависимости от степени неоднородности
модели иллюстрируется на рис. 4.18, б. Как легкие, так и перикард
обусловливают смещение кажущегося диполя в радиальном на-
правлении к центру сердца. Величина этого смещения при дейст-
вии обоих факторов может составлять до 20% расстояния истин-
ного генератора от центра сердца.
Следует отметить, что наличие вокруг легких наружного слоя
ткани грудной клетки, имеющего более низкое удельное сопро-
тивление, будет отчасти компенсировать влияние легких и пери-
карда [86]. Из графиков видно также, что в том случае, когда окру-
жающая сердце среда имеет меньшее удельное сопротивление,
чем само сердце (рл/р <С 1)? дипольный момент кажущегося ди-
поля оказывается существенно меньше, чем дипольный момент
истинного. В то же время смещение кажущегося диполя остается
тем же или становится меньше, чем в случае высокого удельного
сопротивления окружающей сердце среды.
Напомним, что здесь в качестве эквивалентной среды рас-
сматривается однородный неограниченный проводник с удельным
сопротивлением р. Однако при формулировке обратной задачи
можно положить, что эквивалентная среда имеет такое же удель-
ное сопротивление, как и окружающий сердце раствор, т. е. рл.
При этом дипольный момент кажущихся генераторов будет опре-
12 Л. И. Титомир 341
делиться выражениями (4.34) и (4.35), уменьшенными на коэффи-
циент р/рл- При значениях параметров модели, соответствующих
реальным электрическим и геометрическим характеристикам экс-
периментального препарата, дипольный момент кажущихся гене-
раторов мало отличается от дипольного момента истинных.
Все приведенные оценки были получены для истинных генера-
торов в виде точечных диполей тока. Однако они остаются в силе
и в том случае, если генераторы представляют собой конечные
диполи с расстоянием между полюсами такого же порядка, как
толщина стенки желудочков сердца [57]. Генераторы последнего
типа важны для описания электрического процесса в сердце
в период реполяризации.
Математическое моделирование с использованием реальных
геометрических параметров грудной клетки и реальной электри-
ческой структуры генератора сердца показало, что ошибки опре-
деления характеристик многодипольного и мультипольного экви-
валентных генераторов, обусловленные пренебрежением влияния
легких, невелики (по крайней мере для эквивалентных генерато-
ров не очень большой размерности). При практическом решении
обратной задачи ими можно пренебречь [161].
Суммарное влияние неоднородности тела. Истинный генератор
сердца гораздо сложнее по структуре, чем один точечный диполь.
Но даже если истинный генератор представляет собой диполь,
то при введении неоднородности кажущийся генератор не сводится
к одному диполю с такой же ориентацией и расположением (об
этом свидетельствует хотя бы принцип электрических изображе-
ний, применяемый для определения поля в неоднородных струк-
турах простой геометрической конфигурации). Поэтому представ-
ляет интерес влияние неоднородности на компоненты мульти-
польного эквивалентного генератора, при помощи которого можно
с любой точностью описать как истинный, так и кажущийся генера-
тор. Такая оценка была получена теоретически на сферической
модели, аналогичной описанной выше (см. рис. 4.3). В модели
имеются три концентрические поверхности раздела между обла-
стями и разными удельными сопротивлениями: сферы с радиу-
сами 2,5 и 3,3 см, ограничивающие изнутри и снаружи область
мышцы сердца, и сфера с радиусом 7,5 см, ограничивающая сна-
ружи область тела (отделяющая ее от наружной диэлектрической
среды). Предполагается, что между сердцем и наружной областью
тела (основную часть которой составляют легкие) находится бес-
конечно тонкая оболочка, соответствующая перикарду. Диполь-
ные генераторы (радиальные и тангенциальные) расположены на
сферической поверхности, равно удаленной от внутренней и на-
ружной поверхностей сердца и имеющей радиус 2,9 см. Приняты
следующие электрические характеристики модели: удельное со-
противление мышцы сердца 500 Ом*см, сопротивление на единицу
площади перикарда 1000 Ом*см2, отношение удельных сопротив-
лений крови и миокарда 1/3, отношение удельных сопротивлений
342
Таблица 4.3
Отношение компонент кажущегося и истинного мультипольных
эквивалентных генераторов сердца (округленные данные из работы
[364])
Ограниченная сфериче- ская модель Ориентация дипольных генераторов Мультиполь
Ди- поль Квадруполь Октуполь
Однородная Радиальная 3,00 2,50(83%) 2,33(78%)
Тангенциальная 3,00 2,50(83%) 2,33(78%).
С областью крови Радиальная 4,42 3,29(74%) 2,84(64%)
Тангенциальная 2,16 1,96(91%) 1,95(90%)
С областью легких Радиальная 5,53 4,48(81%) 4,07(74%)
Тангенциальная 5,53 4,48(81%) 4,07(74%)
С областями крови Радиальная 6,97 5,41(78%) 4,73(68%)
и легких Тангенциальная 3,41 3,23(95%) 3,24(95%)
С поверхностью пе- Радиальная 2,24 1,51(67%) 1,19(53%)
рикарда Тангенциальная 2,24 1,51(67%) 1,19(53%)
С неоднородностью Радиальная 5,93 4,11(69%) 3,30(56%)
всех видов Тангенциальная 2,90 2,45(85%) 2,26 (78%)
Примечание. В скобках указана относительная величина компоненты в процентах по
отношению к дипольной.
легких и миокарда 4. При этих условиях были рассчитаны компо-
ненты кажущегося и истинного мультипольных эквивалентных
генераторов нескольких первых порядков. Отношения этих вели-
чин представлены в табл. 4.3.
Как видно из табл. 4.3, суммарное влияние неоднородности
тела всех видов (включая его ограниченность) дает увеличение
дипольного момента радиальных генераторов примерно в 6 раз
и тангенциальных генераторов в 3 раза. Компоненты мультиполей
более высоких порядков изменяются в меньшей степени, так что
в итоге кажущийся генератор является «более дипольным» (по
отношению к началу координат), чем истинный генератор. Если
же предположить, что при вычислении мультипольных компонент
влияние ограничивающей поверхности учитывается, а ошибку
вносит только внутренняя неоднородность тела, то дипольный
момент кажущегося радиального генератора вдвое превышает
дипольный момент истинного. Дипольный момент кажущегося
тангенциального генератора практически совпадает с дшюлъньпл
моментом истинного.
Влияние неоднородности на характеристики кажущегося ди-
польного генератора было проанализировано на многослойных
12* 343
сферических моделях, аналогичных описанным, в работах [86,
257]. Хотя геометрические и электрические параметры моделей
у разных авторов несколько различны, полученные результаты
хорошо согласуются. В частности, во всех исследованиях отме-
чается смещение кажущегося диполя к центру сердца под влия-
нием внутрисердечной крови.
В работе [257] был проведен теоретический анализ ошибок
определения характеристик дипольных генераторов повреждения
и возбуждения при эктопической стимуляции в опытах на изоли-
рованном сердце кролика, погруженном в сферический сосуд
с физиологическим раствором. Удельное сопротивление раствора
было в 6,6 раза ниже, чем мышцы сердца. Если при этих условиях
характеристики генератора определяются в предположении, что
объемный проводник однороден и имеет такое же удельное сопро-
тивление, как раствор, то для истинного радиального диполя, рас-
положенного у эпикарда, кажущийся диполь будет иметь пример-
но втрое больший дипольный момент. Точка его расположения
будет смещена относительно истинного на 0,3 см к центру сердца
(т. е. примерно на 20% расстояния истинного диполя от центра
сердца).
Качественно аналогичные результаты были получены в экспе-
риментах на электролитической модели грудной клетки человека
с искусственной полостью сердца при определении локализации
дипольного генератора [341].
При экспериментальных измерениях у испытуемых с электри-
ческим кардиостимулятором было показано, что при определении
угла ориентации дипольного генератора сердца по поверхност-
ному потенциалу без учета внутренней неоднородности тела
ошибка в среднем составляет около 9° [402].
Интересно, что оценка ошибок определения характеристик,
дипольного генератора по поверхностному потенциалу из-за
неоднородности тела была дана при помощи двумерной модели
уже в основополагающей работе Габора и Нельсона [199]. Модель
воспроизводит среднее трансверсальное сечение грудной клетки
и содержит области легких (с удельным сопротивлением, вчетверо
большим по сравнению с остальной частью тела), позвоночника и
грудины (с бесконечно большим удельным сопротивлением).
Искусственный дипольный генератор находится в центре области
сердца. Если характеристики генератора определяются методом,
строго справедливым для однородного проводника, то найденный
кажущийся диполь имеет ошибку ориентации до 4° и ошибку ло-
кализации до 0,6 см. При моделировании области легких абсо-
лютным изолятором ошибка ориентации сохраняет примерно
такое же значение, а ошибка локализации достигает 3 см.
Укажем еще некоторые оценки суммарного влияния неоднородности
для случаев, когда генератор сердца представляет собой не один диполь, а
два радиально ориентированных диполя [219], или двойной слой, имеющий
форму участка сферы, параллельного поверхностям сердца [118, 119]. Потен-
344
циал этих более сложных генераторов в области измерения можно аппрокси-
мировать потенциалом, создаваемым в однородном проводнике одним дипо-
лем, т. е. перейти к некоторому эквивалентному дипольному генератору.
Назовем истинным эквивалентным диполем и кажущимся эквивалентным дипо-
лем такие дипольные генераторы, которые аппроксимируют распределения
потенциалов, создаваемые исходными генераторами соответственно в одно-
родном и неоднородном проводниках. В работе [219] показано, что в случае
двух радиальных диполей между кажущимся эквивалентным диполем и ис-
тинным при наличии внутриполостной крови существуют примерно те же со-
отношения, что и между кажущимся и истинным диполем в случае одного ди-
польного генератора (кажущийся диполь имеет больший дипольный момент
и расположен ближе к центру сердца). Как показано в работах [118, 119] на
сферической модели, в которую включена неоднородность грудной клетки
всех основных видов, а генератор сердца представлен в виде равномерного
двойного слоя, расположенного в передней стенке сердца, при типичных па-
раметрах модели дипольный момент кажущегося эквивалентного диполя
примерно в 1,3 раза превышает дипольный момент истинного. При этом рас-
стояние кажущегося эквивалентного диполя от центра трансверсального се-
чения туловища примерно в 1,4 раза меньше, чем расстояние истинного.
Весьма сильное влияние оказывает внутренняя неоднород-
ность тела на решение обратной задачи для многодипольных экви-
валентных генераторов. Модельные исследования показывают,
что в тех случаях, когда обратную задачу решают в предположе-
нии однородного объемного проводника, найденные дипольные
моменты составляющих диполей (т. е. кажущиеся дипольные мо-
менты) могут отличаться от истинных вдвое и даже втрое [398].
В заключение отметим, что неоднородность тела особенно силь-
но влияет на точность определения характеристик генератора
сердца, когда используются потенциалы в немногих точках изме-
рения и передаточные коэффициенты между генератором и этими
точками, найденные на моделях. При этом заметно проявляются
не только различия между модельными и действительными значе-
ниями передаточных коэффициентов, но и разброс в характери-
стиках неоднородности тела у разных испытуемых [184]. Поэтому
предпочтительными в этом отношении представляются методы,
основанные на интегрировании потенциала по обширным обла-
стям на поверхности тела.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Мы рассмотрели экспериментальные данные, основные биофи-
зические представления и математические подходы, используе-
мые в современной электрокардиологии при изучении электри-
ческого генератора и электрического поля сердца. Ограниченный
объем книги не позволил остановиться на некоторых важных
аспектах электрокардиологических исследований, таких, в част-
ности, как влияние различных физиологических и патологических
состояний сердца на его биоэлектрические источники, методика
измерения электрического поля сердца и автоматизация его изме-
рения, выбор диагностических критериев для непосредственного
решения диагностических задач и др. Все эти вопросы должны
быть освещены в специальных работах. Отметим, что биофизи-
ческое обоснование играет важнейшую роль в разработке каж-
дого из этих вопросов. Но и в биофизическом обосновании раз-
личных аспектов электрокардиологии, в особенности в теории про-
исхождения электрокардиографических потенциалов, еще имеется
целый ряд нерешенных проблем. Несомненно, дальнейшие ис-
следования в этой активно развивающейся области науки при-
несут новые результаты, важные как для решения фундаменталь-
ных проблем биофизики и электрофизиологии сердца, так и для
решения актуальных задач совершенствования диагностики
сердечных заболеваний.
ЛИТЕРАТУРА
Абрикосов А . И. Техника патологоанатомических вскрытий трупов.
М.: Медгиз, 1948.
2. Акулиничев И. Т, Практические вопросы векторкардиоскопии. М.: Мед-
гиз, 1960.
3. Акулиничев И. Т., Бабский Е, Б., Гелыитейн Г. Г. и др. Электронное
моделирование электрической активности сердца.— Биофизика, 1959,
4, № 3, с. 354—360.
4. Амиров Р, 3. Электрокардиотопография. М.: Медицина, 1965.
5. Амиров Р. 3. Интегральные топограммы потенциалов сердца. М.: Нау-
ка, 1973.
6. Амиров Р. 3., Рутткай-Недецкий И., Титомир Л. И. Проблемы век-
торкардиографии.— В кн.: Радиоэлектроника в медицине: Научный
обзор № 2. М.: ВНИИ медицинской и медико-технической информации,
1968, с. 28—68.
7. Барышев В. А., Титомир Л. И. О точности дипольной аппроксимации
клеточных источников тока миокарда.— В кн.: Моделирование и авто-
матический анализ электрокардиограмм. М.: Наука, 1973, с. 73—77.
8. Баум О. В. Трансмембранный потенциал и генез электрокардиограммы
(физико-математическая модель).— В кн.: Биофизика мембран. М.; Кау-
нас: Институт биологической физики АН СССР, 1969, с. 32—35.
9. Баум О. В. Биофизический подход к вопросам моделирования электри-
ческой активности сердца (модель генеза электрокардиограмм): Авто-
реф. дис. канд. физ .-мат. наук. М.: Институт биологической физики
АН СССР, 1974.
10. Баум О. В., Дубровин Э. Д. Физико-математическая модель генеза
электрокардиограмм.— Биофизика, 1971, 16, № 5, с. 898—903.
11. Баум О. В., Дубровин Э. ДТитомир Л. И. Биофизический подход
к электрокардиографии и проблема «наглядности» интерпретации элект-
рокардиографической информации.— В кн.: Моделирование и автома-
тический анализ электрокардиограмм. М.: Наука, 1973, с. 35—42.
12. Баум О. ВКиселев Е.Е. Негомогенность формы трансмембранного
потенциала в миокарде и возникновение желудочкового градиента.—
В кн.: Моделирование и автоматический анализ электрокардиограмм.
М.: Наука, 1973, с. 98—103.
13. Беркинблит М. Б., Введенская Н.Д., Дудзявичус И. и др. Исследова-
ние распространения возбуждения в волокнах Пуркинье сердца на
математической модели.— Биофизика, 1970, 15, № 3, с. 521—527.
14. Беркинблит М. Б., Ковалев С, А ., Смолянинов В. ВЧайлахян Л. М.
Определение основных электрических характеристик миокарда желудоч-
ка лягушки,— Биофизика, 1965, 10, № 5, с. 861—867.
15. Беркинблит М. БКовалев С. А., Смолянинов В. В., Чайлахян Л. М.
Электрическое поведение миокарда как системы и характеристики мемб-
ран клеток сердца.— В кн.: Модели структурно-функциональной орга-
низации некоторых биологических систем. М.: Наука, 1966, с. 71—111.
16. Беркинблит М. Б., Ковалев С. А., Смолянинов В. В,, Чайлахян Л. М.
Модель клеточных контактов (электрические свойства).— Биофизика.
1971, 16, № 3, с. 504—511.
17. Беркинблит М. БКовалев С. А ., Смолянинов В. В. и др. Распрост-
ранение возбуждения в анизотропных синцитиях.—Биофизика, 1974,
19, № 6, с. 1057-1061.
347
18. Букаускас Ф. Ф., Ветейкис Р. П., Гутман А. М. Электрическая связь
между волокнами миокарда и генез электрокардиограммы.— Биофизи-
ка, 1975, 20, № 1, с. 118-120.
19. Волков Г. А., Платонова Л. В. Электрические свойства клеток водорос-
ли Nitella flexilis I. Кабельная теория в условиях переходного и устано-
вившегося режимов с учетом конечной длины клетки и сопротивления
торцов клетки.— Биофизика, 1970, 15, № 4, с. 635—642.
20. Гольцман А. В., Дмитриева И. Т. Основы электрокардиографии. Ки-
ев: Госмедиздат УССР, 1960.
21. Гоффман Б., Крейнфилд П. Электрофизиология сердца. М.: ИЛ, 1962.
22. Долабчян 3. Л. Основы клинической электрофизиологии и биофизики
сердца. М.: Медицина, 1968.
23. Дорофеева 3.3, Принципы векторкардиографии. М.: Медгиз, 1963.
24. Иваницкий Г. Р., Кринский В. ИСельков Е. Е. Математическая био-
физика клетки. М.: Наука, 1978.
25. Катц Б. Нерв, мышца и синапс. М.: Мир, 1968.
26. Кнеппо П., Титомир Л. И. Интегральные характеристики электриче-
ского генератора сердца человека.— Биофизика, 1977, 22, ^2 4, с. 686—
693.
27. Кнеппо П., Титомир Л. И. Автоматизированный метод исследования
электрического генератора сердца.— В кн.: Модели. Алгоритмы.
Принятие решений. М.: Наука, 1979, с. 175—195.
28. Косицкий Г. И. Современные проблемы общей физиологии сердца (пре-
дисловие к сборнику).—В кн.: Общая физиология сердца. М.: Медици-
на, 1972, с. 3—12.
29. Лауцявичюс А. Л. Современные представления о проводящей системе
сердца.— Кардиология, 1978, 18, № 10, с. 145—153.
30. Либерман Е. А., Чайлахян Л. М. Механизмы возникновения биопотен-
циалов.— В кн.: Общая и частная физиология нервной системы. Л.:
Наука, 1969, с. 5—36.
31. Мак-Аллистер Р. Е. Исследования и модели мембраны волокна Пур-
кинье.— В кн.: Проблемы общей и клинической физиологии сердечно-
сосудистой системы. Киев: Наукова думка, 1976, с. 106—118.
32. Макфи, Бол. Исследования в области электрокардиографии и магнито-
кардиографии.— ТИИЭР, 1972, 60, № 3, с. 53—98.
33. Морозова О. Л. Ультраструктура клеток и клеточных соединений серд-
ца.— Кардиология, 1975, 15, № 12, с. 121—131.
34. Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. М.: ИЛ, 1960.
35. Пастушенко В. Ф., Маркин В. С., Чизмаджев IO. А . Основы теории
возбудимых сред.— Бионика. Биокибернетика. Биоинженерия, 2. М.:
ВИНИТИ АН СССР, 1977.
36. Пинскер И. Ш., Цукерман Б. М. Электрокардиограмма и информация
об электрической активности сердца.— Экспер. хирургия и анестезио-
логия, 1968, № 3, с. 10—13.
37. Пинскер И. Ш., Шакин В. В. Оценка смещения электрического дипо-
ля сердца.— В кн.: Методы сбора и анализа физиологической информа-
ции. М.: Наука, 1969, с. 50—55.
38. Плонси Р. Источники, соответствующие потенциалу действия, и их по-
ля в объемном проводнике.— ТИИЭР, 1977, 65, № 5, с. 10—23.
39. Практическое руководство по клинической электрокардиографии. М.:
Центр, ин-т усовершенствования врачей, 1966.
40. Пресняков Д. Ф. Динамика формы электрического поля сердца в норме
и патологии.— В кн.: Недостаточность миокарда. М.: Медицина, 1966,
с. 375-384.
41. Размерная типология взрослого и детского населения для целей конст-
руирования одежды.— Труды/НИИ антропологии МГУ им. М. В. Ло-
моносова, 1960.
42, Рощевский М. П. Эволюционная электрокардиология. Л.: Наука, 1972.
43. Рощевский М. П. Электрокардиология копытных животных. Л.: Нау-
ка, 1978.
348
44. Рощевский М. П., Шмаков Д. И. Экспериментальное изучение последо-
вательности охвата возбуждением желудочков сердца.— Кардиология,
1977, 17, № 4, с. 121—125.
45. Саксон М. ЕБукаускас Ф. Ф., Кукушкин Н. ИНасонова В. В. Иссле-
дование электротонического распределения на поверхности кардиаль-
ных структур.— Биофизика, 1974, 19, № 6, с. 1045—1050.
46. Сафонов Ю.Д., Провоторов В. МЛубэВ.М., Якименков Л. И. Ме-
тод регистрации магнитного поля сердца — магнитокардиография.—
Бюл. экспер. биол. и мед., 1967, 64, № 9, с. 111—ИЗ.
47. Смолянинов В. В. О скорости проведения возбуждения по волокну и
синцитию.— Биофизика, 1969, 14, № 2, с. 336—347.
48. Смолянинов В. В. Математические модели биологических тканей. М.:
Наука, 1979.
49. Тамм И. Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1976.
50. Титомир Л. И. Экспериментальное определение параметров векторкар-
диографических систем отведений с учётом неоднородности электриче-
ских свойств тела.— Биофизика, 1967, 12, № 3, с. 573—575.
51. Титомир Л. И. Метод определения перемещения электрического дипо-
ля сердца, основанный на погашении потенциалов.— Бюл. экспер.
биол. и мед., 1968, 66, № 9, с. 117—120.
52. Титомир Л. И. Измерение некоторых квадрппольных компонент экви-
валентного электрического генератора сердца.— Биофизика, 1969,
14, № 2, с. 377-379.
53. Титомир Л. И. Структура элементарных генераторов электрического
поля сердца.— Биофизика, 1972, 17, № 4, с. 655—662.
54. Титомир Л. И. Дипольная модель генератора электрического поля ин-
тактного и поврежденного волокна миокарда.— Биофизика, 1973, 18,
№ 2, с. 331—336.
55. Титомир Л. И, Теоретическое исследование элементарного электриче-
ского генератора миокарда.— В кн.: Моделирование и автоматический
анализ электрокардиограмм. М.: Наука, 1973, с. 43—65.
56. Титомир Л. И. Модель электрического генератора поврежденного во-
локна миокарда.— В кн.: Моделирование и автоматический анализ элек-
трокардиограмм. М.: Наука, 1973, с. 66—72.
57. Титомир Л. И. Влияние основных неоднородностей тела на характе-
ристики эквивалентного электрического генератора сердца.— В кн.:
Моделирование и автоматический анализ электрокардиограмм. М.: Нау-
ка, 1973, с. 104—116.
58. Титомир Л. И. Интегральные характеристики электрической волны
возбуждения сердца.— Биофизика, 1975, 20, № 4, с. 693—698.
59. Титомир Л. И. Интегральные характеристики электрического генера-
тора сердца в период реполяризации.— Биофизика, 1976, 21, № 4,
с. 709—713.
60. Титомир Л. И. Влияние формы грудной клетки на электрическое поле
сердца.— В кн.: Математическая обработка медико-биологической ин-
формации. М.: Наука, 1976, с. 130—139.
61. Титомир Л. И. Теоретическая оценка влияния перикарда на электри-
ческое поле сердца.— В кн.: Математическая обработка медико-биоло-
гической информации. М.: Наука, 1976, с. 140—143.
62. Титомир Л. И. Об интегральных характеристиках одной модели элект-
рического генератора сердца.— В кн.: Модели. Алгоритмы. Принятие
решений. М.: Наука, 1979, с. 168—175.
63. Титомир Л. И., Цукерман Б. МТоропчина И. АКонМ.В. Экс-
периментальное определение характеристик электрического генератора
сердца.— В кн.: Математическая обработка медико-биологической ин-
формации. М.: Наука, 1976, с. 84—102.
64. Тихонов А. Я., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач.
М.: Наука, 1974.
349
65. Торопчина И. A. Исследование электрического поля изолированного
сердца теплокровного животного. Автореф. дис. канд. биол. наук. М.:
Институт медико-биологических проблем Минздрава СССР, 1977.
66. Удельное М. Г. Физиология сердца. М.: МГУ, 1975.
67. Флойд У. Ф. Электрохимические свойства нервов и мышц.— В кн.:
Некоторые проблемы современной электрохимии. М.: ИЛ, 1958, с. 322—
378.
68. Фогельсон Л. И. Клиническая электрокардиография. М.: Медгиз, 1957.
69. Ходоров Б. И. Проблема возбудимости. Л.: Медицина, 1969.
70. Ходоров Б. И. Общая физиология возбудимых мембран. М.: Наука,
1975.
71. Чайлахян Л. М. Электрическая структура возбудимых тканей и меха-
низм проведения нервного импульса.— Биофизика, 1962, 7, № 5,
с. 639—651.
72. Шакин В, В, Диагностическая классификация континуальных эквива-
лентных электрических кардиогенераторов.— В кн.: Математическая
обработка медико-биологической информации. М.: Наука, 1976, с. 115—
129.
73. Шидловский В, А., Ястребцова Н. Л. Дополнительные эксперименталь-
ные данные по искажению электрического поля сердца.— В кн.: Мате-
риалы по экспериментально-клинической электрокардиографии. М.:
Изд-во АМН СССР, 1953, с. 230—242.
74. Шимони К, Теоретическая электротехника. М.: Мир, 1964.
75. AbelH. Cross section of myocardial fibre and T-wave.— In: Proc. Sat.
Symp. XXV Intern. Congr. Physiol. Sci. and XII Intern. Coll. Vectorcard.
Bruxelles: Presses Acad. Eur., 1972, p. 1—2.
76. Abildskov J. A. The sequence of normal recovery of excitability in the
dog heart.— Circulat., 1975, 52, N 3, p. 442—446.
77. Abildskov J. A., Barnes T. G., HiseyB.L. Studies of normal and ecto-
pic atrial excitation.— Amer. Heart J., 1956, 52, N 4, p. 496—509.
78. Abildskov J. A., Burgess M. J., Lux R. L., Wyatt R. F. Experimental
evidence for regional cardiac influence in body surface isopotential maps
of dogs.— Circulat. Res., 1976, 38, N 5, p. 386—391.
79. Abildskov J. A., Burgess M. J., Millar K. et al. The distributed charac-
ter of ventricular recovery as a factor in electrocardiography and vectorcar-
diography.— In: Vectorcardiography 2. Amsterdam: North-Holland P. C.,
1971, p. 651—655.
80. Abildskov J. A., Cronvich J. A., Burch G. E. An analysis of activation
in human atria.— Circulat., 1955, 11, N 1, p. 97—105.
81. Abildskov J. A., Klein R. M. Cancellation of electrocardiographic ef-
fects during ventricular excitation.— Circulat. Res., 1962, 11, N 2,
p. 247—251.
82. Abildskov J. A., Millar K., Burgess M. J., Green L. Characteristics of vent-
ricular recovery as defined by the vectorcardiographic T-loop.— Amer.
J. Cardiol., 1971, 28, N 6, p. 670-674.
83. Agnoli G. C. Determination of direction, velocity and length of excita-
tion waves in heart muscle.— In: Electrophysiology of the heart. Oxford
etc.: Pergamon Press, 1965, p. 163—176.
84. Armour J. A., Randall W.C. Structural basis for cardiac function.—
Amer. J. Physiol., 1970, 218, N 6, p. 1517—1523.
85. ArntzenlusA. C. A geometrical model of successive stages in excitation
of the human heart; its value as a link between excitation and clinical
vectorcardiography.— Cardiovasc. Res., 1969, 3, N 2, p. 198—208.
86. Arthur R. M., GeselowitzD. B. Effect of inhomogeneities on the apparent
location and magnitude of a cardiac current dipole source.— IEEE
Trans. Biomed. Eng., 1970, BME-17, N 2, p. 141—146.
87. Arthur R. M., Geselowitz D.B., BrillerS.A., Trost R. F. The path of
the electrical center of the human heart determined from surface electro-
cardiograms.— J. Electrocardiol., 1971, 4, N 1, p. 29—33.

88. Arthur R. M., Geselowitz D. B.t Briller S. A., Trost R. F. Quadrupole
components of the human surface electrocardiogram.— Amer. Heart J
1972, 83, N 5, p. 663—677.
89. Arzbaecher R. C., Brody D. A. The lead field: vector and tensor properti-
es.— In: The theoretical basis of electrocardiology. Oxford: Clarendon
Press, 1976, p. 175—201.
90. Autenrieth G., Surawicz ВKuo C. S. Sequence of repolarization on the
ventricular surface in the dog.— Amer. Heart J., 1975, 89, N4, p. 463—469.
91. Baker С. M., Pilkington T. C. Quasi-linearization and inverse electrocar-
diography.— IEEE Trans. Biomed. Eng., 1972, BME-19, N 5, p. 397—
398.
92. Baker С. M., Pilkington T. C. The use of time dependent models in inver-
se electrocardiography.— IEEE Trans. Biomed. Eng., 1974, BME-21,
N 6, p. 460—468.
93. Baldwin К. M. The fine structure and electrophysiology of heart muscle
cell injury.— J. Cell. Biol., 1970, 46, N 3, p. 455—476.
94. Barber M. R., Fischmann E. J, Heart dipole regions and the measurement
of dipole moment.— Nature, 1961, 192, N 4798, p. 141—142.
95. Barnard A. C. L., Duck I. M., LynnM. S. The application of electro-
magnetic theory to electrocardiology. I. Derivation of the integral equa-
tions.— Biophys. J., 1967, 7, N 5, p. 443—462.
96. Barnard A. C. L., Duck I. M., LynnM, 5., Timlake И. P. The appli-
cation of electromagnetic theory to electrocardiology. II. Numerical solu-
tion of the integral equations.— Biophys. J., 1967, 7, N 5, p. 463—491.
97. Barnard A. C. L., Holt J. H., Kramer J, O. Models and methods in in-
verse electrocardiology: the UAB choice.— In: The theoretical basis of
electrocardiology. Oxford: Clarendon Press, 1976, p. 305—322.
98. Barnard A, C. L., Sallin E, A., Holt J. H, Fallacy in the logical founda-
tions of vectorcardiography.— J. Electrocardiol., 1970, 3, N 2, p. 191 —
192.
99. Barr L, Electrical transmission between the cells of vertebrate cardiac
muscle.— In: Comparative physiology of the heart: Current trends. Basel;
Stuttgart: Birkhauser Verl., 1969, p. 102—110. Сокр. пер. Барр Л, Элект-
рическая передача между миокардиальными клетками в сердце позво-
ночных.— В кн.: Общая физиология сердца. М.: Медицина, 1972,
с. 46—51.
100. Barr R. С,, Pilkington Т, С. Computing inverse solutions for an on-off
heart model.— IEEE Trans. Biomed. Eng., 1969, BME-16, N 3, p. 205—
214.
101. Barr R, C,, Pilkington T. C., Boineau J. P., Rogers C, L, An inverse
electrocardiographic solution with an on-off model.— IEEE Trans. Bio-
med. Eng., 1970, BME-17, N 1, p. 49—56.
102. Barr R, C,, Pilkington T, C., Boineau J. P., Spach M. S. Determining
surface potentials from current dipoles, with application to electrocar-
diography.— IEEE Trans. Biomed. Eng., 1966, BME-13, N 2, p. 88—
92.
103. Barr R, C., Pilkington T, C., Boineau J, P., Spach M, S. Comparing
methods of generating surface potentials.— IEEE Trans. Biomed.
Eng., 1966, BME-13, N 4, p. 210—211.
104. Barr R. C., Ramsey M., Spach M.S, Relating epicardial to body sur-
face potential distributions by means of transfer coefficients based on geo-
metry measurements.— IEEE Trans. Biomed. Eng., 1977, BME-24, N 1,
p. 1—11.
105. Barr R. C., Spach M, S. Inverse solutions directly in terms of potenti-
als.— In: The theoretical basis of electrocardiology. Oxford: Clarendon
Press, 1976, p. 294—304.
106, Barr R. C., Spach M, S, Inverse calculation of QRS-T epicardial poten-
tials from body surface potential distributions for normal and ectopic
beats in the intact dog.— Circulat. Res., 1978, 42, N 5, p. 661—675.
351
107. Barr R. C., Spach M.S., Herman-Giddens G. S. Selection of the num-
ber and positions of measuring locations for electrocardiography.— IEEE
Trans. Biomed. Eng., 1971, BME-18, N 2, p. 125—138.
108. Baule G. M., McFee R. Theory of the magnetic detection of the heart’s
electrical activity.— J. Appl. Phys., 1965, 36, N 10, p. 2066—2073.
109. Bayley R. H. On certain applications of modern electrocardiographic
theory to the interpretation of electrocardiograms which indicate myocar-
dial disease.— Amer. Heart J., 1943, 26, N 6, p. 769—831.
110. Bayley R. H., Exploratory lead systems and «zero potentials». — Ann.
N. Y. Acad. Sci., 1957, 65, N 6, p. 1110—1126.
111. Bayley R. H. Biophysical principles of electrocardiography. New York:
P. B. Hoeber, 1958.
112. Bayley R. H. The electric field produced by an eccentric dipole in a homo-
geneous circular conducting lamina.— Circulat. Res., 1959, 7, N 2,
p. 272—276.
113. Bayley R. H. Unipolar potential measurements in the electric field pro-
duced by an arbitrary dipole in a circular homogeneous lamina.— Cir-
culat. Res., 1959, 7, N 4, p. 537—544.
114. Bayley R. H. Measurements of unipolar potentials in the electrical field
produced by an arbitrary dipole in the elliptical homogeneous lamina.—
Amer. Heart J., 1960, 59, N 5, p. 737—748.
115. Bayley R. H., Berry P. M. The electrical field produced by the eccentric
current dipole in the nonhomogeneous conductor.—Amer. Heart J., 1962,
63, N 6, p. 808—820.
116. Bayley R. H., Berry P. M. «Body surface» potentials produced by the
eccentric dipole in the heart wall of the nonhomogeneous volume conduc-
tor.— Amer. Heart J., 1963, 65, N 2, p. 200—207.
117. Bayley R. HBerry P. M. The arbitrary electromotive double layer in
the eccentric «heart» of the nonhomogeneous circular lamina.— IEEE
Trans. Biomed. Eng., 1964, BME-11, N 4, p. 137—147.
118. Bayley R. H., Berry P. M. Changes produced in the resultant «heart»
vector by the non-homogeneous volume conductor with normal specific
resistivities.— In: Vectorcardiography 1965. Amsterdam: North-Holland
P. C., 1966, p. 109-118.
119. Bayley R. H., Kalbjleisch J. M., Berry P. M. Changes in the body’s QRS
surface potentials produced by alterations in certain compartments of
the nonhomogeneous conducting model.—Amer. Heart J., 1969, 77,
N 4, p. 517—528.
120. Bellman R., Collier C., Kagiwada H. et al. Estimation of heart parameters
using skin potential measurements.— Com. Assoc. Comp. Mach., 1964,
7, N 11, p. 666-668.
121. Berry P. M. N, M space harmonics of the oblate spheroid.— Ann. N. Y.
Acad. Sci., 1957, 65, N 6, p. 1126-1134.
122. Boineau J. P., Barr R. CPilkington T. C., Spach M. S. The effect of
the torso boundary on observed surface potentials.— In: Sources and sur-
face representation of the cardiac electric field. Bratislava: P. H. Slovak
Acad. Sci.; Amsterdam: Swets and Zeitlinger, 1970, p. 159—165.
123. Boineau J. PHill J. DSpach M. S., Moore E. N. Basis of the electro-
cardiogram in right ventricular hypertrophy.— Amer. Heart J., 1968,
76, N 5, p. 605—627.
124. Boineau J. P., Spach M. SAyers C. R. Time-normalized correlation
of ventricular activation and the vectorcardiogram.—Amer. Heart J.,
1967, 73, N 1, p. 64-78.
125. Boineau J. P., Spach M. S., Pilkington T, C., Barr R. C, Relationship
between body surface potential and ventricular excitation in the dog.—
Circulat. Res., 1966, 19, N 3, p. 489—495.
126. Briller S .A., Geselowitz D. B., Arlinger S. D. et al. The electrical interac-
tion between artificial pacemakers and patients with application to elec-
trocardiography.— Amer. Heart J., 1966, 71, N 5, p. 656—665.
352
127. Brody D. A. A theoretical analysis of intracavitary blood mass influence
on the heart-lead relationship.— Circulat. Res., 1956, 4, N 6, p. 731—738.
128. Brody D. A. The intrinsic electrocardiographic properties of uniform
double layers.— Amer. Heart J., 1962, 63, N 6, p. 841—842.
129. Brody D. A, The inverse determination of simple generator configurations
from equivalent dipole and multipole information.— IEEE Trans
Biomed. Eng., 1968, BME-15, N 2, p. 106—110.
130. Brody D. A., Arzbaecher R. C. The sampling and analysis of lead fields
in electrocardiographic torso models.— IEEE Trans. Biomed. Eng ,
1967, BME-14, N 1, p. 22—29.
131. Brody D. A., Arzbaecher R. C., Horan L. G., Flowers N. C. The problem
of preserving nondipolarity in vectorcardiographic display. — In: Vector-
cardiography 1965. Amsterdam: North-Holland P. C., 1966, p. 125—129.
132. Brody D. A., Bradshaw J. C. The equivalent generator components of
uniform double layers.— Bull. Math. Biophys., 1962, 24, N 2, p. 183—195.
133. Brody D. A ., Bradshaw J. C., Evans J. W. The elements of an electrocardio-
graphic lead tensor theory.— Bull. Math. Biophys., 1961, 23, N 1, p.
p. 31-42.
134. Brody D. A Bradshaw J. С., Evans J. W. A theoretical basis or determi-
ning heart-lead relationships of the equivalent cardiac multipole.—
IRE Trans. Biomed. Electron., 1961, BME-8, N 2, p. 139—143.
135. Brody D. A., Copeland G, D. Electrocardiographic cancellation: Some
observations concerning the «nondipolar» fraction of precordial electro-
cardiograms.— Amer. Heart J., 1958, 56, N 3, p. 381—395.
136. Brody D, A., Cox J. HL, Keller F. W.t Wennemark J. R. Dipole ranging
in isolated rabbit hearts before and after right bundle branch block.—
Gardiovasc. Res., 1974, 8, N 1, p. 37—45.
137. Brody D. A., Erb B. D., Romans W. E. The approximate determination
of lead vectors and the Burger triangle in normal human subjects.—
Amer. Heart J., 1956, 51, N 2, p. 211—220.
138. Brody D. A., Hight J. A. Test of an inverse electrocardiographic solution
based on accurately determined model data.— IEEE Trans. Biomed.
Eng., 1972, BME-19, N 3, p. 221—228.
139. Brody D. A., MirvisD. M., Ideker R. E. et al. Relative dipolar behavior
of the equivalent T wave generator. Quantitative comparison with ventri-
cular excitation in the rabbit heart.— Circulat. Res., 1977, 40, N 3,
p. 263—268.
140. Brody D. A., Sato T. Volume conductors and the electrocardiographic
generator. A five year report.— In: Vectorcardiography 2. Amsterdam:
North-Holland P. C., 1971, p. 3—17.
141. Brody D. A., Terry F. H., Ideker R. E. Eccentric dipole in a spherical
medium: generalized expression for surface potentials.— IEEE Trans.
Biomed. Eng., 1973, BME-20, N 2, p. 141—143.
142. Brody D. A., Warr O. £., Wennemark J. R. et al. Studies of the equiva-
lent cardiac generator behavior of isolated turtle hearts.— Circulat. Res.,
1971, 29, N 5, p. 512—524.
143. Brusca A., Rosettani E., Braguzzi E. Atrial, epicardial, intramural and
septal activation of the human perfused foetal heart.— In: Proc. Sat.
Symp. XXV Intern. Congr. Physiol. Sci. and XII Intern. Coll. Vector-
card. Bruxelles: Presses Acad. Eur., 1972, p. 49—52.
144. Burch G. E., Sohal R. S. Morphologic and pathologic aspects of interca-
lated disc of the heart.— Amer. Heart. J., 1969, 78, N 3, p. 358—368.
145. Burger H. C. Lead vector projections. I.— Ann. N. Y. Acad. Sci.,
1957, 65, N 6, p. 1076-1087.
146. Burger H. C., Tolhoek H. A., Backbier F. G, The potential distribution
on the body surface caused by a heart vector.— Amer. Heart J., 1954,
48, N 2, p. 249—263.
147. Burger H. C., Milaan J. B. van. Heart-vector and leads. Pt I.— Br.
Heart J., 1946, 8, N 3, p. 157—161.
353
148. Burger H. C., Milaan J. В. van. Heart-vector and leads. Pt II.— Br. Heart
J., 1947,9, N 3, p. 154—160.
149. Burger H. C., Milaan J. B. van Heart-vector and leads. Pt III.— Br.
Heart J., 1948, 10, N 4, p. 229-233.
150. Burgess M. J. Physiologic basis of the T wave.— In: Advances in electro-
cardiography. New York; London, Grune and Stratton, 1972, p. 367—375.
151. Burgess M. J., Green L. S., Millar K. et al. The sequence of normal ven-
tricular recovery.— Amer. Heart J., 1972, 84, N 5, p. 660—669.
152. Burgess M. J., Millar K., Abildskov J. A. Cancellation of electrocardio-
graphic effects during ventricular recovery.— J. Electrocardiol., 1969,
2, N 2, p. 101—108.
153. Burgess M. J., Millar K., Abildskov J. A. The geometry of ventricular
repolarization boundaries.— Amer. Heart J., 1970, 79, N 4, p. 524—530.
154. Casella C., Taccardi B. The spread of excitation over short distances in
heart muscle.— In: Electrophysiology of the heart. Oxford etc.: Pergamon
Press, 1965, p. 153—162.
155. Christian E., Scher A. M. The effect of ventricular depolarization on the
sequence of ventricular repolarization.— Amer. Heart J., 1967, 74, N 4,
p. 530—535.
156. Clark J., Plonsey R. A mathematical evaluation of the core conductor
model.— Biophys. J., 1966, 6, N 1, p. 95—112.
157. Clark J., Plonsey R. The extracellular potential field of the single active
nerve fiber in a volume conductor.— Biophys. J., 1968, 8, N 7, p. 842—
864.
158. Cohen D. Detection and analysis of magnetic fields produced by bioelec-
tric currents in humans.— J. Appl. Phys., 1969, 40, N 3, p. 1046—1048.
159. Cohen W., Abildskov J. A., Jacobson E, D. Theoretical and clinical stu-
dies of the electrocardiogram and vectorcardiogram in right ventricular
enlargement.— Amer. Heart J., 1961, 61, N 5, p. 656—664.
160. Comeau W. JWhite P. D. Body build and heart size.— Amer. Heart J.,
1939, 17, N 5, p. 616-623.
161. Cuffin B. N., Geselowitz D. B. Studies of the electrocardiogram using
realistic cardiac and torso models.—IEEE Trans. Biomed. Eng., 1977,
BME-24, N 3, p. 242—252.
^62. D'Alche' P., Coraboeuf E. A mechanoelectrical model reproducing ECG,
VGG and electrical cardiac field from monophasic action potentials.—
J. Electrocardiol., 1971, 4, N 3, p. 187—198.
163. D'Alche P., Ducimetiere P., Lacombe J. Computer model of cardiac poten-
tial distribution in an infinite medium and on the human torso during
ventricular activation.— Circulat. Res., 1974, 34, N 5, p. 719—729.
164. Damen A. A. H. A comparative analysis of several models of the ventri-
cular depolarization; introduction of a string model. Eindhoven, Nether-
lands: Univ. Technol., 1973.
165. Damen A. H. Epicardial potentials derived from skin potential measu-
rements.— In: Measuring and modelling of the cardiac electrical field.
Brno: Edicni stredisko VUT, 1976, p. 9—10.
166. Damen A . A . H., PiceniH.A.L. The multiple dipole model of the ventri-
cular depolarization. Eindhoven, Netherlands: Univ. Technol., 1971.
167. De Ambroggi L., Musso E., Taccardi В. The clinical use of electromaps.—
In: Proc. Sat. Symp. XXV Intern. Congr. Physiol. Sci. and XII Intern.
Coll. Vectorcard. Bruxelles: Presses Acad. Eur., 1972, p. 103—107.
168. Deleze J. The recovery of resting potential and input resistance in sheep
heart injured by knife or laser.— J. Physiol., 1970, 208, N 3, p. 547—562.
169. Dewey M. M. The structure and function of the intercalated disc in ver-
tebrate cardiac muscle.— In: Comparative physiology of the heart: Cur-
rent trends. Basel; Stuttgart: Birkhauser Verl., 1969, p. 10—28.
Сокр. пер. Дивей M. M. Структура и функция вставочных дисков
в сердечной мышце позвоночных.— В кн.: Общая физиология сердца.
М.: Медицина, 1972, с. 12—34.
354
170. Dimitrov G., Dimitrova N. Influence of the asymmetry in the distribution
of the depolarization level on the extracellular potential field generated
by an excitable fiber.— Electromyogr. and Clin. Neurophysiol., 1974,
14, N 3, p. 255-275.
171. Dimitrova N, Model of the extracellular potential field of a single striated
muscle fibre.— Electromyogr. and Clin. Neurophysiol., 1974, 14, N 1,
p. 53—66.
172. Draper M. H., Mya-Tu M. A comparison of the conduction velocity
in cardiac tissues of various mammals.— Quart. J. Exp. Physiol., 1959,
44, № 1 p. 91—109.
173. Drska Z,, Svoboda P. Obtention de deux maxima de meme polarite dans
une cuve rheoelectrique con tenant un doublet simple.— Gen. biol. et
med., 1970, 1, N 1, p. 28—32.
174. Durrer D. Electrical aspects of human cardiac activity: a clinical-phy-
siological approach to excitation and stimulation.— Cardiovasc. Res.,
1968, 2, N 1, p. 1—18.
175. Durrer D Formijne P., van Dam R. T. et al. The electrocardiogram in nor-
mal and some abnormal conditions.—Amer. Heart J., 1961, 61, N 3,
p. 303-314.
176. Durrer D., Roos J. P., Buller J. The spread of excitation in canine and
human heart.— In: Electrophysiology of the heart. Oxford etc.: Perga-
mon Press, 1965, p. 203—214.
177. Durrer D., van Dam R. T., Freud G. E. et al. Total excitation of the iso-
lated human heart.— Circulat., 1970, 41, N 6, p. 899—912.
178. Durrer D., van Dam R. T., Freud G. E. et al. Excitation of the human
heart.— In: Electrical activity of the heart. Springfield: Ch. C. Tho-
mas-Publisher, 1969, p. 53—68.
179. Dvorak M., Munz J. Real model of an equivalent cardiac generator.—
Physiologia bohemosl., 1973, 22, N 6, p. 669—676.
180. Eifler W. J., Plonsey R. A cellular model for the simulation of activation
in the ventricular myocardium.— J. Electrocardiol., 1975, 8, N 2, p. 117—
128.
181. Engelking R., Bienroth W. Untersuchungen uber den intramuralen Tem-
per aturgradienten des Herzens und seinen Einfluss auf das Elektrokar-
diogramm.— Cardiologia, 1959, 34, N 3, S. 147—163.
182. Fischmann E. J., Barber M. R. «Aimed» electrocardiography. Model stu-
dies, using a heart consisting of 6 electrically isolated areas.— Amer.
Heart J., 1963, 65, N 5, p. 628-637.
183. Fischmann E. J., Barber M. R., Lehner H. H. Effect of torso resistivity
variation on the electrocardiograms of children, using a grid lead system.—
Circulat., 1970, 42, N 1, p. 171—179.
184. Fischmann E. J., Weiss G. H., Mehrotra P. PKelly D. Model-to-human
generalization error in ECG systems using lead transfer coefficients.—
In: Body surface mapping of cardiac fields. Basel etc.: S. Karger, 1974,
p. 86—88.
185. Forbes A. D. Forward and inverse solutions using distributed current
sources.— In: Body surface mapping of cardiac fields. Basel etc.: S. Kar-
ger, 1974, p. 199—208.
186. Fozzard H. A. Impulse propagation.— In: Electrical activity of the he-
art. Springfield: Ch. C. Thomas-Publisher, 1969, p. 23—33.
187. Fozzard H. A., Gibbons W. R. Action potential and contraction of heart
muscle.—Amer. J. Cardiol., 1973, 31, N 2, p. 182—192.
188. Frank E. Electric potential produced by two point current sources in a
homogeneous conducting sphere.— J. Appl. Phys., 1952, 23, N 11, p. 1225—
1228.
189. Frank E. A comparative analysis of the eccentric double-layer representa-
tion of the human heart.— Amer. Heart. J., 1953, 46, N 3, p. 364—378.
190. Frank E. Dynamic heart-body simulator.— Rev. Sci. Instr., 1954, 25,
N 6, p. 611—615.
355
191. Frank E. Absolute quantitative comparison of instantaneous QRS equi-
potentials on a normal subject with dipole potentials on a homogeneous
torso model.— Circulat. Res., 1955, 3, N 3, p. 243—251.
192. Frank E. Critical experiment in electrocardiography.— Science, 1955,
122, N 3163, p. 283—284.
193. Frank E. Measurement and significance of cancellation potentials on the
human subject.— Circulat., 1955, 11, N 6, p. 937—951.
194. Frank E. Determination of the electrical center of ventricular depola-
rization in the human heart.— Amer. Heart J., 1955, 49, N 5, p. 670—
692.
195. Frank E. Spread of current in volume conductors of finite extent.— Ann.
N. Y. Acad. Sci., 1957, 65, N 6, p. 980-1002.
196. Frank E., Kay C, F. Frontal plane studies of homogeneous torso models.—
Circulat., 1954, 9, N 5, p. 724—740.
197. Freud G. E. Transmembrane potential in isolated human heart.— Cardio-
vasc. Res., 1972, 6, N 1, p. 75—78.
198. Fruehan С. T., Baule G., Burgess M. J. et al. Differences in the heart as
a generator of the QRS and ST-T deflections.—Amer. Heart J., 1969,
77, N 6, p. 842 —843.
199. Gabor D., Nelson С. V. Determination of the resultant dipole of the he-
art from measurements on the body surface.— J. Appl. Phys., 1954,
25, N 4, p. 413—416.
200. Gallagher J. J,. Kasell J,, Sealy W. C. et al. Epicardial mapping in the
Wolff-Parkinson-White syndrome.— Circulat., 1978, 57, N 5, p. 854—
866.
201. Gamboa R.f Adair B. N. Thorax resistivity in children and adults.— J.
Appl. Physiol., 1967, 23, N 1, p. 109-113.
202. Gastonguay P. A., Nelson С. V. Method for measuring dipole parameters
of isolated hearts and muscles — application to frog gastrocnemius.—
IEEE Trans. Biomed. Eng., 1968, BME-15, N 4, p. 289—297.
203. Geddes L. A., Baker L. E. The specific resistance of biological material —
A compendium of data for the biomedical engineer and physiologist.—
Med. and Biol. Eng., 1967, 5, N 3, p. 271—293.
204. Gelband HBush H. Z., Rosen M. R. et al. Electrophysiologic properties
of isolated preparations of human atrial myocardium.— Circulat. Res.,
1972, 30, N 3, p. 293—300.
205. Gelernter H. L., Swihart J. C. A mathematical-physical model of the
genesis of the electrocardiogram.— Biophys. J., 1964, 4, N 4, p. 285—
301.
206. Gelernter H. L., Swihart J. C. Numerical computation of body-surface
potentials produced by an arbitrary distribution of generators in the heart.—
In: Electrophysiology of the heart. Oxford etc.: Pergamon Press, 1965,
p. 229—243.
207. Geselowitz D. В. Multipole representation for an equivalent cardiac gene-
rator.— Proc. IRE, 1960, 48, N 1, p. 75-79.
208. Geselowitz D. B. The concept of an equivalent cardiac generator.— Bio-
med. Sci. Instrum., 1963, 1, p. 325—330.
209. Geselowitz D. В. Dipole theory in electrocardiography.— Amer. J. Car-
diol., 1964, 14, N 3, p. 301—306.
210. Geselowitz D. В. Two theorems concerning the quadrupole applicable to
electrocardiography.— IEEE Trans. Biomed. Eng., 1965, BME-12,
N 3/4, p. 164—168.
211. Geselowitz D. Comment on the core conductor model.— Biophys: J., 1966,
6, N 5, p. 691-692.
212. Geselowitz D. B. On bioelectric potentials in an inhomogeneous volume
conductor.— Biophys. J., 1967, 7, N 1, p. 1— 11.
213. Geselowitz D. B, Green’s theorem and potentials in a volume conduc-
tor.—IEEE Trans. Biomed. Eng., 1967, BME-14, N 1, p. 54—55.
214. Geselowitz D. B. Use of the multipole expansion to extract significant
356
features of the surface electrocardiogram.— IEEE Trans. Commit 1971
C-20, N 9, p. 1086—1089. r ’’
215. Geselowitz D. В. Electric and magnetic field of the heart.— Ann. Rev.
Biophys. and Bioeng., 1973, 2, p. 37—64.
216. Geselowitz D. В. Model studies of electric and magnetic fields of the he-
art.— J. Franklin Inst., 1973, 296, N 6, p. 379—391.
217. Geselowitz D. B. On the variation of heart dipole moment with body si-
ze.— Ann. Biomed. Eng., 1976, 4, N 4, p. 410—411.
218. Geselowitz D. B. Determination of multipole components.— In: The theo-
retical basis of electrocardiology. Oxford: Clarendon Press, 1976, p. 202—
212.
219. Geselowitz D. B., Ishiwatari H. A theoretic study of the effect of the intra-
cavitary blood mass on the dipolarity of an equivalent heart generator.—
In: Vectorcardiography 1965. Amsterdam: North-Holland P. C., 1966,
p. 393—402.
220. Geselowitz D. B., Miller W. T. A two dipole representation of ventricu-
lar activation.— In: Measuring and modelling of the cardiac electrical
field. Brno: Edicni stredisko VUT, 1976, p. 21.
221. Goldstein H. L., Kay C. F., Schwan H. P, Phase shift in body tissues as
it pertains to electrocardiography.— Federat. Proc., 1953, 12, N 1, p. 53.
222. Grant R.P. Architectonics of the heart.— Amer. Heart J., 1953, 46, N 3,
p. 405-431.
223. Grant R. P. The relationship between the anatomic position of the heart
and the electrocardiogram. A criticism of «Unipolar» electrocardiogra-
phy.— Circulat., 1953, 7, N 6, p. 890—902.
224. Guardo R., Sayers D. McA., Monro D. M. Evaluation and analysis of
the cardiac electrical multipole series based on a two-dimensional Fourier
technique.— In: The theoretical basis of electrocardiology. Oxford: Cla-
rendon Press, 1976, p. 213—256.
225. Harman T. L., Liebfried T. F., Clark J. FF., Hibbs C. W. A comparison
of two methods for determining the extracellular potential field of an
isolated Purkinje strand in a volume conductor.— IEEE Trans. Biomed.
Eng., 1975, BME-22, N 3, p. 174—183.
226. Harumi K. An analysis of the T loop by a theoretic model.— In: Vector-
cardiography 2. Amsterdam: North-Holland P. C., 1971, p. 656—663.
227. Harumi K., Burgess M. J., Abildskov J. A. A theoretic model of the T
wave.— Circulat., 1966, 34, N 4, p. 657—668.
228. Hecht H. H. Normal and abnormal transmembrane potentials of the
spontaneously beating heart.— Ann. N. Y. Acad. Sci., 1957, 65, N 6,
p. 700—733.
229. Hecht H. H., Woodbury L. A. Excitation of human auricular muscle and
the significance of the intrinsicoid deflection of the auricular electro-
cardiogram.— Circulat., 1950, 2, N 3, p. 37—47.
230. Helm R. A. Electrocardiographic cancellation.— In: The theoretical ba-
sis of electrocardiology. Oxford: Clarendon Press, 1976, p. 413—435.
231. Helm R. A., Chou T. C. Computation of a variable location dipole repre-
sentation from body surface leads.— Amer. Heart J., 1969, 77, N 3, p. 363—
366.
232. Helm R. A., Chou T. C. The use of a variably located dipole as an equi-
valent generator.— In: Vectorcardiography 2. Amsterdam: North-Holland
P. C., 1971, p. 98-106.
233. Heppner D. B. Dipole and quadrupole measurements of an isolated turt-
le heart.— IEEE Trans. Biomed. Eng., 1968, BME-15, N 4, p. 298—302.
234. Heppner D. В., Plonsey R. Simulation of electrical interaction of cardiac
cells.— Biophys. J., 1970, 10, N 11, p. 1057—1075.
235. Hess W. Modellversuche uber den Verlauf der Potentiallinien des Herzens
im transversalen Brustkorbquerschnitt.— Z. Kreislaufforsch., 1935, 27,
N 13, S. 433—439.
236. Hirsch F. G., Texter E. C., Wood L. A. et al. The electrical conductivity
of blood.— Blood, 1950, 5, N 11, p. 1017—1035.
357
231. Hlavin J. M., Plonsey R. An experimental determination of a multipole
representation of a turtle heart.— IEEE Trans. Biomed. Electron., 1963,
BME-10, N 3, p. 98—105.
238. Hodgkin A. L., Huxley A, F. A quantitative description of membrane
current and its application to conduction and excitation in nerve.—
J. Physiol. 1952, 117, N 4, p. 500-544.
239. Hodgkin A. L., KatzB. The effect of sodium ions on the electrical acti-
vity of the giant axon of the squid.— J. Physiol., 1949, 108, N 1, p. 37—
77.
240. Hodgkin В. C., Millard R. W,, Nelson С. V. Effect of hematocrit on elec-
trocardiographic potentials and dipole moment of the pig.— Amer. J. Phy-
siol., 1977, 232, N 4, p. H406 — H410.
241. Hodgkin В. C., Nelson C. F., Angelakos E, T. Magnitude, direction and
location of the resultant dipole moment of the pig heart.— J. Electrocar-
diol., 1976, 9, N 2, p. 123-128.
242. Hoffman B. F., Cranefield P. F., Lepeschkin E, et al. Comparison of
cardiac monophasic action potentials recorded by intracellular and suction
electrodes.— Amer. J. Physiol., 1959, 196, N 6, p. 1297—1301.
243. Holt J. H.t Barnard A. C. L., Lynn M. S.f Svendsen P. A study of the
human heart as a multiple dipole electrical source. I. Normal adult male
subjects.— Circulat., 1969, 40, N 5, p. 687—696.
244. Holt J- H., Barnard A. C. L., Lynn M. S. A study of the human heart
as a multiple dipole electrical source. II. Diagnosis and quantitation of
left ventricular hypertrophy.—Circulat., 1969, 40, N 5, p. 697—710.
245. Horacek В. M. Numerical model of an inhomogeneous human torso.— In:
Body surface mapping of cardiac fields. Basel etc.: S. Karger, 1974, p. 51—
57.
246. Horan L. G., Flowers N. C. Simulation of the sequence of ventricular ac-
tivation and the choice of an inverse solution.— Med. Res. Eng., 1967,
6, N 2, p. 28—35.
247. Horan L. G.^ Flowers N. C> The relationship between the vectorcardiogram
and actual dipole moment.— In: The theoretical basis of electrocardiolcgy.
Oxford: Clarendon Press, 1976, p. 397—412.
248. Horan L. G., Flowers N. C., Brody D. A. Body surface potential distri-
bution: Comparison of naturally and artificially produced signals as ana-
lysed by digital computer.— Circulat. Res., 1963, 13, N 5, p. 373—387.
249. Horan L. G., Flowers N. C., Brody D, A. Principal factor waveforms of
the thoracic QRS complex.— Circulat. Res., 1964, 15, N 2, p. 131—145.
250. Horan L. G., Flowers N. C,, Miller С. B. A rapid assay of dipolar and
extradipolar content in the human electrocardiogram.— J. Electrocardi-
ol., 1972, 5, N 3, p. 211-224.
251. Horan L. G., Hand R. C., Flowers N. C., Johnson J. C. The multipolar
content of the human electrocardiogram.— Ann. Biomed. Eng., 1976, 4,
N 3, p. 280-301.
252. Horan L. G., Hand R. C., Johnson J, C. et al. A theoretical examination
of ventricular repolarization and the secondary T wave.— Circulat. Res.,
1978, 42, N 6, p. 750—757.
253. Hori M. Simulation study of QRS-T waves based on an eccentric spherical
model of the heart.— Jap. Circulat. J., 1978, 42, N 5, p. 539—551.
254. Hunter P. J., McNaughton P. A., Noble D. Analytical models of propa-
gation in excitable cells. — Progr. Bioph vs. and Mol. Biol., 1975, 30, N 2/3,
p. 99-144.
255. Hutchins G. M^Bulkley В. H., Moore G. VP. et al. Shape of the human car-
diac ventricles.— Amer. J. Cardiol., 1978, 41, N 4, p. 646—654.
256. Ideker R. E., Bandura J. P., Cox J. W. et al. Path and significance of
heart vector migration during QRS and ST-T complexes of ectopic beats
in isolated perfused rabbit hearts.— Circu]at. Res., 1977, 41, N 4,
p. 558-564.
358
257. Ideker R- E., Bandura J. P*i Larsen R. A, et al. Localization of heart
vectors produced by epicardial burns and ectopic stimuli. Validation of
a dipole ranging method.— Circulat. Res., 1975, 36, N 1, p. 105—112.
258. Ideker R. E., Brody D. A., Cox J. W., Keller F. W. Examination of
a multiple dipole inverse cardiac generator, based on accurately
determined model data.— J. Electrocardiol., 1973, 6, N 3, p. 197—209.
259. Inoue M., Hori M., Kajiya F. et al. Theoretical analysis of T-wave po-
larity based on a model of cardiac electrical activity.— J. Electrocardiol .
1978, 11, N 2, p. 171—180.
260. Jacobson E. D., Rush S., Zinberg S., Abildskov J. A, The effect of in-
farction on magnitude and orientation of electrical events in the heart.—
Amer. Heart J., 1959, 58, N 6, p. 863-872.
261. Jagielski J., Mozrzymas J. Further study on multipole description of the
cardioelectric field.— In: Proc. Sat. Symp. XXV Intern. Congr. PhysioL
Sci. and XII Intern. Coll. Vectorcard. BruxeLes: Presses Acad. Eur., 1972,
p. 249-254.
262. Jagielski J., Mozrzymas J. General theory of multipole generators of car-
diac electric field.— In: Proc. Sat. Symp. XXV Intern. Congr. Physiol.Sci.
and XII Intern. Coll. Vectorcard. Bruxelles: Presses Acad. Eur.. 1972,
p. 255-256.
263. James T. N., Sherf L. Ultrastructure of myocardial cells.— Amer. J. Car-
diol., 1968, 22, N 3, p. 389-416.
264. Johnston F. D. The spread of currents and distribution of potentials in
homogeneous volume conductors.— Ann. N. Y. Acad. Sci., 1957, 65, N 6,
p. 963—979.
265. Jouve A., Buisson P. et. al. La vectocardiographie en clinique. Paris:
Masson et Cie, 1950.
266. Jouve A., Corriol J., Rohner J. J, The electrical field of an artificial he-
art generator based on epicardial leads.— Cardiologia, 1966, 48, N 1,
p. 109—117e
267. Jouve R., Rohner J, J., Renard G. et al. Principe d’une methode d’en*
registrement vectorcardio^raphique eliminant les distorsions dues a 1’ef-
fet de paroi.— In: Le coeur et 1’esprit. Bruxelles: Ed. Univ. Bruxelles,
1977, p. 139—152.
268. Jouve A., Senez J., Pierron J. Diagnostic electrocardiographique. Paris:
Masson et Cie, 1954.
269. Joyner R. TV., Ramon F.> Moore J. W. Simulation of action potential
propagation in an inhomogeneous sheet of coupled excitable cells — Cir-
culat. Res., 1975, 36, N 5, p. 654—661.
270. Kempner К. M., Grayzel J, Single dipole, multiple dipole, and dipole-
quadrupole models of the double-layer in a circular lamina.— J. Electro-
cardiol., 1970, 3, N 2, p. 95—110.
271. Kesselman R. H. A new synthesis of some of the physical foundations of
clinical electrocardiography.— Amer. Heart J., 1954, 47, N 3, p. 360—
368.
272. Khodorov В. I., Timin E. N. Nerve impulse propagation along nonuniform
fibres (Investigationsusing mathematical models).— Progr. Biophys. and
Mol. Biol., 1975, 30, N 2/3, p. 145-184.
273. Kienle F. A. N. Das elektrische Herzportrait. Das elektroanatomische
Herzportrait. Das elektrische dynamische Herzportrait. Der Information-
sgehalt des EHP, EKG und VKG. Karlsruhe, 1973.
274. King T. D.) Barr R. C., Herman-Giddens G, S. et al. Isopotential body
surface maps and their relationship to atrial potentials in the dog.— Cir-
culat. Res., 1972, 30, N 4, p. 393—405.
275. Kneppo P., Rutikay-N edecky I. Zobrazenie rozlozenia potencialov pri
merani elektrickych prejavov cinnosti srdca.— Acta metronom., 1969, 5,
N 6.
276. Kneppo P.y Szathmdry V., Ruttkay-Nedecky I. Surface potentials due to
excentrically located dipole in a spherical volume conductor.— In: Sources
and surface representation of the cardiac electric field. Bratislava:
359
Р. Н. Slovak Acad. Sci.; Amsterdam: Swets and Zeitlinger, 1970, p. 51—
57.
277. Kneppo P., Titomir L. L Integral characteristics of the human cardiac
electrical generator from electric field measurements by means of an auto-
matic cylindrical coordinator.— IEEE Trans. Biomed. Eng., 1979,
BME-26, N 1, p. 21—28.
278. Kobayashi T. Physico-ma thematical mode1 for the construction of the
precordial lead QRS pattern. An approach by the measurement of the
transfer impedance vector.— Jap. Circulat. J., 1967, 31, N 9, p. 1285—
1298.
279. Koechlin R. An attempt to link the works of Jouve and Frank in vector-
cardiography.— In: Proc. 3rd Intern. Conf. Med. Electron. London: Inst.
Electr. Eng., 1961, p. 259—264.
280. Kornreich F, The missing waveform information in the orthogonal elec-
trocardiogram(Frankleads). I. Where and how can this missing waveform
information be retrieved? — Circulat. 1973, 48, N 5, p. 984—995.
281. Kornreich F., Block P. Body surface distribution of heart potentials in
normal subjects, resynthesis of surface maps from A. The Frank leads, B.
14 thoracic leads.— In: Proc. Sat. Symp. XXV Intern. Congr. Physiol. Sci.
and XII Intern. Coll. Vectorcard. Bruxelles: Presses Acad. Eur., 1972,
p. 291—298.
282. Kornreich F., Smeis P., Lebedelle M. et al. How many surface recording
sites completely describe the time varying heart generator?—In: Measuring
and modelling of the cardiac electrical field. Brno: Edicni stredisko
VUT, 1976, p. 5-6.
283. Kriebel M. E. Wave front analysis of impulses in tunicate heart.— Amer,
J. Physiol., 1970, 218, N 4, p. 1194-1200.
284. Krohn L. H. The ECG field equation.— Bull. Math. Biophys., 1962, 24,
N 3, p. 277—278.
285. Krohn L. H. High-resolution electrocardiography.— Geriatrics, 1971,
26, N 1, p. 88—91.
286. Lacombe J., Ducimetiere P,, D'Alche P. Computer bidimensiona model
of the cardiac electrical activity.— In: Proc. Sat. Symp. XXV Intern.
Congr. Physiol. Sci. and XII Intern. Coll. Vectorcard. Bruxelles: Presses
Acad., Eur., 1972, p. 321—325.
287. Langner P. FL, Moore S, R. Location of the electrical center of ventri-
cular repo.arization.— Amer. Heart J., 1956, 52, N 3, p. 335—342,
288. Laufberger V. Spatiocardiography. Textbook and atlas. Prague: P. H. Cze-
chosl. Acad. Sci., 1965.
289. Legato M, J, Ultrastructure of the atrial, ventricular, and Purkinje cell,
with special reference to the genesis of arrhythmias. — Circulat., 1973.
47, N 1, p. 178—189.
290. Lepeschkin E. Role of temperature gradients within ventricular muscle
in genesis of normal T wave of electrocardiogram and ventricular gradient
responsible for it.— Federat. Proc., 1951, 10, N 1, p. 81.
291. Lepeschkin E. Mapping of stimulus distribution from implanted cardiac
pacemakers as a method of studying ECG transfer factors.— In: Body sur-
face mapping of cardiac fields. Basel etc.: S. Karger, 1974, p. 77—85.
292. Lepeschkin E. Physiological influences on transfer factors between heart
currents and body-surface potentials.— In: The theoretical basis of elec-
trocardiology. Oxford: Clarendon Press, 1976, p. 135—161.
293. Lepeschkin E., Rush S., Zao Z, Z. et al. Effect of thoracic conductivities
on cardiac vectors.— In: Vectorcardiography 2. Amsterdam: North-Holland
P. C., 1971, p. 18—29.
294. Lev M., Simkins C. S. Architecture of the human ventricular myocardi-
um.— Lab. Invest., 1956, 5, N 5, p. 396—409.
295. Linzbach A. J. Heart failure from the point of view of quantitative ana-
tomy.— Amer. J. Cardiol., 1960, 5, N 3, p. 370—382.
296. Lux R, L., Smith C, R,, Wyatt R. F., Abildskov J. A. Limited lead se-
360
lection for estimation of body surface potential maps in electrocardiograp-
hy.—IEEE Trans. Biomed. Eng., 1978, BME-25, N 3, p. 270—276.
297. Lynn M. S., Barnard A. C. L., Holt J. H., Sheffield L. T. A proposed
method for the inverse problem in electrocardiology.— Bioph vs J 1967
7, N 6, p. 925—945. ’’
298. Macchi E. Digital-computer simulation of the atrial electrical excitation
cycle in man.— In: Body surface mapping of cardiac fields. Basel etc.:
S. Karger, 1974, p. 102—110.
299. Macchi E., Horacek В. M., Rautaharju P. M. Atrial surface excitation
wavefronts and body surface potentials — a simulation study.— In: Body
surface mapping of cardiac fields. Basel etc.: S. Karger, 1974, p. 126—138.
300. Macleod A. G. The electrogram of cardiac muscle: An analysis which
explains the regression or T deflection.— Amer. Heart J., 1938, 15, N 2,
p. 165-186.
301. Marcus M. L., Kerber R. E.f Ehrhardt J., Abboud F. M. Three dimensio-
nal geometry of acutely ischemic myocardium.— Circulat., 1975, 52, N 2,
p. 254-263.
302. Martin R. O., Cox J. ТУ., Keller F, W. et al. Equivalent cardiac genera-
tors: Two moving dipoles and moving dipole and quadripole.— Ann.
Biomed. Eng., 1974, 2, N 2, p. 164—182.
303. Martin R. O., Keller F. ТУ., Cox J. ТУ., Brody D. A. A comparative
study of nonlinear equivalent cardiac generators.— Ann. Biomed. Eng.,
1975, 3, N 1, p. 47—61.
304. Martin R. O., Pilkington T. C. Unconstrained inverse electrocardiogra-
phy: Epicardial potentials.—IEEE Trans. Biomed. Eng., 1972, BME-19,
N 4, p. 276—285.
305. Martin R. O., Pilkington T. C., Morrow M. N. Statistically constrained
inverse electrocardiography.— IEEE Trans. Biomed. Eng., 1975, BME-22,
N 6, p. 487—492.
306. Mashima S. On the determination and expressions of equivalent quadrupole
of the cardiac generator.— IEEE Trans. Biomed. Eng., 1969, BME-16,
N 1, p. 69—75.
307. Mashima S., Harumi K., Murao S. The magnitude of the electromotive
force of canine ventricular myocardium.— Circulat. Res., 1978, 42, N 6,
p. 757—763.
308. McAllister R. E. Computed action potentials for Purkinje fiber membranes
with resistance and capacitance in series.— Biophys. J., 1968, 8, N 8,
p. 951-964.
309. McAllister R. E., Noble D., Tsien R. W. Reconstruction of the electrical
activity of cardiac Purkinje fibres.— J. Physiol., 1975, 251, N 1, p. 1—59.
310. McFee R. On the interpretation of cancellation experiments. II.— Amer.
Heart J., 1960, 59, N 3, p. 433—441.
311. McFee R., Johnston F.D. Electrocardiographic leads. I. Introduction.—
Circulat., 1953, 8, N 4, p. 554—568.
312. McFee R., Johnston F.D. Electrocardiographic leads. II. Analysis.—
Circulat., 1954, 9, N 2, p. 255—266.
313. McFee R., Johnston F.D. Electrocardiographic leads. III. Synthesis.—
Circulat., 1954, 9, N 6, p. 868—880.
314. McFee R., Parungao A. On the interpretation of cancellation experi-
ments.—Amer. Heart J., 1959, 58, N 4, p. 582—590.
315. McFee R., Rush S. Qualitative effects of thoracic resistivity variations
on the interpretation of electrocardiograms: The «Brody» effect.— Amer.
Heart J., 1967, 74, N 5, p. 642-651.
316. McFee R., Rush S. Qualitative effects of thoracic resistivity variations
on the interpretation of electrocardiograms: The low resistance surface
layer.—Amer. Heart J., 1968, 76, N 1, p. 48—61.
317. McNutt N. S. Ultrastructure of intercellular junctions in adult and
developing cardiac muscle.— Amer. J. Cardiol., 1970, 25, N 2, p. 169—
183.
318. Meyer-Waarden K., Faust U. Untersuchungen der elektrischen Quellen-
361
struktur des Warmbliiterherzens und deren Beziehung zum Thorax-Ekg.—
Arch. Kreislaufforsch., 1972, 67, N 3, S. 233—265.
319. Miller W. TGeselowitz D.B. Simulation studies of the electrocardio-
gram. I. The normal heart.— Circulat. Res., 1978, 43, N 2, p. 301—315.
320. Mirvis D. M., Keller F. FT., Cox J. W. Experimental comparison of four
inverse electrocardiographic constructs in the isolated rabbit heart.— J.
Electrocardiol., 1978, 11, N 1, p. 57—65.
321. Mirvis D. M., Keller F. W., Ideker R. E. et al. Detection and localization
of multiple epicardial electrical generators by a two-dipole ranging techni-
que.— Circulat. Res., 1977, 41, N 4, p. 551—557.
322. Mirvis D. M., Keller F. TV., Ideker R. E. et al. Values and limitations of
surface isopotential mapping techniques in the detection and localization
of multiple discrete epicardial events.— J. Electrocardiol., 1977, 10, N 4,
p. 347—358.
323. Mobley В. A., Page E. The surface area of sheep cardiac Purkinje fibres.—
J. Physiol., 1972, 220, N 3, p. 547—563.
324. Moore E. N., Preston J. В., Moe G. K. Durations of transmembrane acti-
on potentials and functional refractory periods of canine false tendon and
ventricular myocardium: comparisons in single fibers.— Circulat. Res.,
1965, 17, N 3, p. 259—273.
325. Moore S. R., Langner P. H. Location of the electrical center of ventricu-
lar depolarization.— Amer. Heart J., 1956, 51, N 3, p. 405—414.
326. Munk L., George E. P. Active muscle fiber as an equivalent cardiac cur-
rent generator.— Bull. Math. Biophys., 1972, 34, N 3, p. 355—377.
327. Myerburg R. J., Nilsson K., Bejeler B. et al. Transverse spread and
longitudinal dissociation in the distal A-V conducting system.— J. Clin.
Invest., 1973, 52, N 4, p. 885-895.
328. Myerburg R. J., Nilsson K., Zoble R. G, Relationship of surface electro-
gram recordings to activity in the underlying specialized conducting tis-
sue.—Circulat., 1972, 45, N 2, p. 420—432.
329. Nelson С. 7. Effect of the finite boundary on potential distributions in
volume conductors.— Circulat. Res., 1955, 3, N 3, p. 236—242.
330. Nelson С. V. Human thorax potentials.— Ann. N. Y. Acad. Sci., 1957, 65,
N 6, p. 1014—1050.
331. Nelson С. V. Determination of the resultant dipole moment of the heart in
the human and animal.— In: Electrophysiology of the heart. Oxford etc.:
Pergamon Press, 1965, p. 281—299.
332. Nelson С. V. Design of accurate vector lead systems.— J. Maine Med.
Assoc., 1967, 58, N 1, p. 5—10.
333. Nelson С. V. Use of models in electrocardiology.— In: Proc. Sat. Symp.
XXV Intern. Congr. Physiol. Sci. and XII Intern. Coll. Vectorcard. Bru-
xelles: Presses Acad. Eur., 1972, p. 395—403.
334. Nelson C. 7. The effects of heart-cavity blood resistivity and volume on
endocardial potentials: Theoretical predictions.— J. Theor. Biol., 1978,
71, N 3, p. 387—399.
335. Nelson C. 7., Angelakos E. T., Gastonguay P. R. Dipole moments of dog,
monkey, and lamb hearts.— Circulat. Res., 1965, 17, N 2, p. 168—177.
336. Nelson C. 7., Chatterjee M., Angelakos E. T., Hecht H. H. Model studies
on the effect of the intracardiac blood on the electrocardiogram.— Amer.
Heart J., 1961, 62, N 1, p. 83—92.
337. Nelson C. 7., Gastonguay P. R., Wilkinson A. F., Voukydis P. C. A lead
system for direction and magnitude of the heart vector.— In: Vectorcardio-
graphy 2. Amsterdam: North-Holland P. C., 1971, p. 85—97.
338. Nelson C. 7., Hodgkin В. C. Determination of magnitude, direction, and
location of the resultant dipole of the isolated perfused mammalian heart
from surface measurements.— In: Body surface mapping of cardiac fields.
Basel etc.: S. Karger, 1974, p. 184—189.
339. Nelson C. 7., Hodgkin В. C., Angelakos E. T., Hugenholtz P. G. Correla-
tions between vector dipole moment and heart weight.— Federat. Proc.,
1977, 36, N 3, p. 543.
362
340. Nelson С. V., Hodgkin В. C., Gastonguay P.R. Dipole moment of the
hearts of various species.— Ann. Biomed. Eng., 1975, 3, N 3, p. 308—314.
341. Nelson С. V., Hodgkin В. C., Voukydis P. C. Determination of the locus
of the heart vector from body surface measurements: Model experiments —
J. Electrocardiol., 1975, 8, N 2, p. 135-146. F
342. Nelson C. F., Rand P. W.f Angelakos E. T., Hugenholtz P. G. Effect of
intracardiac blood on the spatial vectorcardiogram. 1. Results in the doff —
Circulat. Res., 1972, 31, N 1, p. 95—104.
343. Noble D. A modification of the Hodgkin-Huxley equations applicable to
Purkinje fibre action and pace-maker potentials.—J. Physiol., 1962 160
N 2, p. 317—352.
344. Noble D. Application of Hodgkin-Huxley equations to excitable tis-
sues.— Physiol. Rev., 1966, 46, N 1, p. 1—50.
345. Noble D., Cohen I. The interpretation of the T wave of the electrocardio-
gram.— Cardiovasc. Res., 1978, 12, N 1, p. 13—27.
346. Okada R. H. Potentials produced by an eccentric current dipole in a finite-
length circular conducting cylinder.— IRE Trans. Med. Electron., 1956,
PGME-7, p. 14—19.
347. Okada R. H. An experimental study of multiple dipole potentials and the
effects of inhomogeneities in volume conductors.— Amer. Heart J., 1957,
54, N 4, p. 567—571.
348. Okajima M., Fujino T., Kobayashi T., Yamada K. Computer simulation
of the propagation process in excitation of the ventricles.— Circulat. Res.,
1968, 23, N 2, p. 203-211.
349. Page E,, Fozzard H. A. Capacitive, resistive, and syncytial properties of
heart muscle — Ultrastructural and physiological considerations.— In:
The structure and function of muscle, 2. New York; London: Acad. Press,
1973, p. 91—158.
350. Page E., McCallister L.P. Studies on the intercalated disk of rat left
ventricular myocardial cells.— J. Ultrastruct. Res., 1973, 43, N 5/6,
p. 388—411.
351. Pattie R. E. The external action potential of a nerve or muscle fibre in an
extended medium.— Phys. Med. and Biol., 1971, 16, N 4, p. 673—685.
352. Pearson R. В., Gillespie T. £., Selvester R. H. On line digital collection
and display of total body surface ECG data.— In: Vectorcardiography 2.
Amsterdam: North-Holland P. C., 1971, p. 146—153.
353. Pilkington T. C. Relationship between orthonormal temporal and spatial
electrocardiographic generators.— Math. Biosci., 1972, 13, N 3/4, p. 283—
286.
354. Pilkington T. C., Barr R. C., Rogers C. L. Effect of conductivity inter-
faces.— Bull. Math. Biophys., 1967, 29, N 4, p. 705—710.
355. Pilkington T. C., Barr R. C., Rogers C. L. Effect of conductivity inter-
faces in electrocardiography.— Bull. Math. Biophys., 1968, 30, N 4,
p. 637-643.
356. Pilkington T. C., Starmer С. K, Boineau J. P. On the electrocardiogra-
phic field equation.— Bull. Math. Biophys., 1965, 27, N 4, p. 493—495.
357. Plonsey R. Current dipole images and reference potentials.— IEEE Trans.
Biomed. Electron., 1963, BME-10, N 1, p. 3—8.
358. Plonsey R. Reciprocity applied to volume conductors and the ECG.—
IEEE Trans. Biomed. Electron., 1963, BME-10, N 1, p. 9—12.
359. Plonsey R. Volume conductor fields of action currents.— Biophys. J.,
i 1964, 4,*N 4, p. 317—328.
360. Plonsey R. Theoretical consideration for a multipole probe in electrocar-
diographic studies.— IEEE Trans. Biomed. Eng., 1965, BME-12, N 2,
p. 105—112.
361. Plonsey R. On multipole theory in electrocardiography.— Bull. Math.
Biophys., 1966, 28, N 2, p. 161-166.
362. Plonsey R. Limitations on the equivalent cardiac generator.— Biophys.
J., 1966, 6, N 2, p. 163-173.
363
363. Plonsey R. Bioelectric phenomena. New York etc.: McGraw-Hill В. C.
1969.
364. Plonsey R. Factors which contribute to the dipolarity of the cardiac
source.— In: Vectorcardiography 2. Amsterdam: North-Holland P. C.,
1971, p. 66—71.
365. Plonsey R. Determination of electrical sources in the mammalian heart
from intracellular action potentials.— Circulat. Res., 1971, 29, N 1,
p. 106—109.
366. Plonsey R. Determination of electrical sources in the heart from intracel-
lular action potentials.— In: Sat. Symp. XXV Intern. Congr. Physiol.
Sci. and XII Intern. Coll. Vectorcard. Bruxelles: Presses Acad. Eur.,
1972, p. 440—446.
367. Plonsey R. Capability and limitations of electrocardiography and magne-
tocardiography.— IEEE Trans. Biomed. Eng., 1972, BME-19, N 3,
p. 239—244.
368. Plonsey R. The effect of the torso boundary in electrocardiography.— Bull.
Math. Biol., 1973, 35, N 3, p. 401—405.
369. Plonsey R. An evaluation of several cardiac activation models.— J. Elec-
trocardiol., 1974, 7, N 3, p. 237—244.
370. Plonsey R. The formulation of bioelectric source-field relationships in
terms of surface discontinuities.— J. Franklin Inst., 1974, 297, N 5,
p. 317—324.
371. Plonsey R. The active fiber in a volume conductor.— IEEE Trans. Bio-
med. Eng., 1974, BME-21, N 5, p. 371—381.
372. Plonsey R. Laws governing current flow in the volume conductor.— In:
The theoretical basis of electrocardiology. Oxford: Clarendon Press, 1976,
p. 165—174.
373. Plonsey R., Fleming D., Heppner D. et al. Quadrupole measurements on
turtle and human hearts.— In: Sources and surface representation of
the cardiac electric field. Bratislava: P. H. Slovak Acad. Sci.; Amster-
dam: Swets and Zeitlinger, 1970, p. 167—174.
374. Plonsey R., Heppner D. В. Considerations of quasi-stationarity in elect-
rophysiological systems.— Bull. Math. Biophys.,1967, 29, N 4, p. 657—
664.
375. Puech P., Esclavissat M., Sodi-Pallares D., Cisneros F. Normal auricular
activation in the dog’s heart.—Amer. Heart J., 1954, 47, N 2, p. 174—
191.
376. Rail W. Distributions of potential in cylindrical coordinates and time
constants for a membrane cylinder.— Biophys. J., 1969, 9, N 12,
p. 1509—1541.
377. Ramsey M.t Barr R. C., Spach M. S. Comparison of measured torso po-
tentials with those simulated from epicardial potentials for ventricular
depolarization and repolarization in the intact dog.— Circulat. Res..
1977, 41, N 5, p. 660—672.
378. Reynolds E. W., Vander Ark C. R. An experimental study on the origin
of T-waves based on determinations of effective refractory period from
epicardial and endocardial aspects of the ventricle.— Circulat. Res.,
1959, 7, N 6, p. 943-949.
379. Reynolds E. Ж, Weller D. A. An experimental study of the electromotive
forces of the heart.— Amer. Heart J., 1965, 69, N 1, p. 56—61.
380. Reynolds E. W., Yu P. N. Transmyocardial temperature gradient in dog
and man: Relation to the polarity of the T wave of the electrocardio-
gram.— Circulat. Res., 1964, 15, N 1, p. 11—19.
381. Rijlant P. L’electrogenese globale du coeur.— J. Physiol. (Paris), 1960,
52, N 2, p. 267—322.
382. Rijlant P. Computer analysis of the electrocardiogram.— In: Electrophy-
siology of the heart. Oxford etc.: Pergamon Press, 1965, p. 309—340.
383. Rijlant P. A twenty pole generator equivalent to the heart’s generator
system.— In: Proc. Sat. Symp. XXV Intern. Congr. Physiol. Sci. and
364
XII Intern. Goll. Vectorcard. Bruxelles: Presses Acad. Eur., 1972,
p. 454-461.
384. Ritsema van Eck H. J. Digital computer simulaton of ventricular exci-
tation and repolarization.— In: Body surface mapping of cardiac fields.
Basel etc.: S. Karger, 1974, p. 99.
385. Rogers C. L., Pilkington T. C. Free-moment current dipoles in inverse
electrocardiography.— IEEE Trans. Biomed. Eng., 1968, BME-15,
N 4, p. 312—323.
386. Rohner J. J., Renard G., Neel F., Jouve A. Mise en evidence, au moyen
d’un modele physique, des distorsions du vectocardiogramme, liees a la
paroi thoracique.— Giorn. it. cardiol., 1971, 1, N 6, p. 520—525.
387. Rohner J. J., Silhouette P., Renard G. et al. Etude theorique, en champ
bidimensionnel, de la repartition des potentiels cardiaques sur la surface
thoracique.— G. r. Soc. biol., 1969, 163, N 12, p. 2346—2351.
388. Rosenberg R. M., Chao С. H., Abbott J. A. A new mathematical model
of electrical cardiac activity.— Math. Biosci., 1972, 14, N 3/4, p. 367—
394.
389. Ross J,, Sonnenblick E. H., Covell J. W. et al. The architecture of the
heart in systole and diastole: Technique of rapid fixation and analysis of
left ventricular geometry.— Circulat. Res., 1967, 21, N 4, p. 409—421.
390. Rougier О., Vassort G.f Garnier D. et al. Existence and role of a slow in-
ward current during the frog atrial action potential.— Eur. J. Physiol.,
1969, 308, N 2, p. 91—110.
391. Rudy У., Plonsey R. A note on the «Brody-effect».— J. Electrocardiol.,
1978, 11, N 1, p. 87—90.
392. Rush S. A principle for solving a class of anisotropic current flow problems
and applications to electrocardiography.— IEEE Trans. Biomed. Eng.,
1967, BME-14, N 1, p. 18—22.
393. Rush 5. Inhomogeneities as a cause of multiple peaks of heart potential
on the body surface: Theoretical studies.— IEEE Trans. Biomed.,
Eng., 1971, BME-18, N 2, p. 115—124.
394. Rush S. An inhomogeneous anisotropic model of the human torso for
electrocardiographic studies.— Med. and Biol. Eng., 1971, 9, N 3,
p. 201—211.
395. Rush S. On the independence of magnetic and electric body surface recor-
dings.— IEEE Trans. Biomed. Eng., 1975, BME-22, N 3, p. 157—167.
396. Rush S. Relationships among Green’s theorem, Helmholtz’ theorem and
integral equation methods of solving the forward ECG problem.— IEEE
Trans. Biomed. Eng., 1978, BME-25, N 3, p. 283—287.
397. Rush S., Abildskov J. A., McFee R. Resistivity of body tissues at low
frequencies.— Circulat. Res., 1963, 12, N 1, p. 40—50.
398. Rush S., Baldwin A, F. Some quantitative estimates of inhomogeneity
effects in electrocardiography.— Amer. Heart J., 1976, 91, N 5,
p. 623—633.
399. Rush S., Nelson С. V, The effects of electrical inhomogeneity and anisot-
ropy of thoracic tissues on the field of the heart.— In: The theoretical
basis of electrocardiology. Oxford: Clarendon Press., 1976, p. 323—354.
400. Rush 61., Ricca A., Sala M., Taccardi B. Multiple peaks from a single di-
pole in a homogeneous torso model.— In: Body surface mapping of cardiac
fields. Basel etc.: S. Karger, 1974, p. 89—93.
401. Ruttkay-Nedecky I. Effects of respiration and heart position on the cardiac
electric field.— In: The theoretical basis of electrocardiology. Oxford:
Clarendon Press, 1976, p. 120—134.
402. Salu У., Laughlin D., Rogers J., Marcus M. Effects of the volume conduc-
tor on the apparent orientation of a known cardiac dipole.— J. Electro-
cardiol., 1978, 11, N 2, p. 143—146.
403. Salu У., Marcus M. L. Computer simulation of the precordial QRS comp-
lex: Effects of simulated changes in ventricular wall thickness and vo
lume.— Amer. Heart J., 1976, 92, N 6, p. 758—766.
365
404. Sandler H., Aiderman E. Determination of left ventricular size and sha-
pe.— Circulat. Res., 1974, 34, N 1, p. 1—8.
405. Sano T. Conduction in the heart.— In: The theoretical basis of electro-
cardiology. Oxford: Clarendon Press, 1976, p. 70—119.
406. Sano T., Takayama N., Shimamoto T. Directional difference of conduc-
tion velocity in the cardiac ventricular syncytiunf studied by micro-
electrodes.—Circulat. Res., 1959, 7, N 2, p. 262—267.
407. Sarachek N. S., Roberts J., Leonard J. J, A new method to measure non-
uniformity in the intact heart.— J. Electrocardiol., 1972, 5, N 4, p. 341 —
348.
408. Schaefer К. E. Versuche fiber neue Moglichkeiten, die Richtung der Ak-
tionspole im Herzen zu bestimmen.— Z. Kreislaufforsch., 1935, 27, N 13,
S. 439-444.
409. Scher A. M. Excitation of the heart.— In: Handbook of physiology. Cir-
culation. 1. Washington: Amer. Physiol. Soc., 1962, p. 287—322.
410. Sch°r A. M. The sequence of ventricular excitation.— Amer. J. Cardiol.,
1964, 14, N 3, p. 287—293.
411. Scher A. M. Newer data on myocardial excitation.— In: Electrophysio-
logy of the heart. Oxford etc.: Pergamon Press, 1965, p. 217—228.
412. Scher A. M. Excitation of the heart. A progress report.— In: Advances
in electrocardiography. New York; London: Grune and Stratton, 1972,
p. 61—71.
413. Scher A. M. Electrocardiogram.— In: Physiology and biophysics. II. Cir-
culation, respiration and fluid balance. Philadelphia etc.: W. B. Saunders
Co., 1974, p. 65—101.
414. Scher A. M. Excitation of the heart.— In: The theoretical basis of elect-
rocardiology. Oxford: Clarendon Press, 1976, p. 44—69.
415. Scher A. M., Kerrick W. G. L. Electrical characteristics of the cardiac
cell.— In: Physiology and Biophysics. II. Circulation, respiration and
fluid balance. Philadelphia etc.: W. B. Saunders Co., 1974, p. 49—64.
416. Scher A. M., Ohm W. W., Kerrick W. G. L. et al. Effects of body surface
boundary and of tissue inhomogeneity on the electrocardiogram of the
dog.— Circulat. Res., 1971, 29, N 6, p. 600—609.
417. Scher A. M., Young A. C., Meredith W. M. Factor analysis of the elect-
rocardiogram. Test of electrocardiographic theory: normal hearts.— Cir-
culat. Res., 1960, 8, N 3, p. 519—526.
418. Schloss H. S. Computation of solutions to the inverse problem of electro-
cardiography.— Comp. Biol. Med., 1971, 1, N 3, p. 193—198.
419. Schmitt О. H, Lead vectors and transfer impedance.— Ann. N. Y., Acad.
Sci., 1957, 65, N 6, p. 1092—1109.
420. Schmitt О. H., Simonson E, The present status of vectorcardiography.—
Arch. Intern. Med., 1955, 96, N 5, p. 574—590.
421. Schubert E. Sources of physiological variabilities of the cardiac electric
field in man: The influence of different inflation of the lungs and of high
heart rate on the repolarization field.— In: Le coeur et 1’esprit. Bruxel-
les: Ed. Univ. Bruxelles, 1977, p. 234—248.
422. Schubert R. W. An experimental study of the multipole series that repre-
sents the human electrocardiogram.— IEEE Trans. Biomed. Eng., 1968,
BME-15, N 4, p. 303-312.
423. Schwan H. P., Kay C. F. The conductivity of living tissues.— Ann.
N. Y. Acad. Sci., 1957, 65, N 6, p. 1007—1013.
424. Seiden G.E. The electric heart center for the QRS complex in cardiac
patients.— Circulat. Res., 1956, 4, N 3, p. 313—318.
425. Seiden G. E., Keisman R, A. Cancellation of the abnormal QRS complex
of heart disease.— Amer. Heart J., 1956, 52, N 1, p. 62—69.
426. Selvester R. H., Collier C. R., Pearson R. В. Analog computer model of
the vectorcardiogram.— Circulat., 1965, 31, N 1, p. 45—53.
427. Selvester R. H., Kalaba R., Collier C. R. et al. A digital computer model of
the vectorcardiogram with distance and boundary effects: Simulated myo-
cardial infarction.— Amer. Heart J., 1967, 74, N 6, p. 792—808.
366
428. Selvester R, H., Kirk W. L., Pearson R. B. Propagation velocities and
voltage magnitudes in local segments of dog myocardium.— Circulat.
Res., 1970, 27, N 4, p. 619—629.
429. Selvester R. H., Palmersheim J., Pearson R. В. VCG inverse model for the
prediction of myocardial disease.— In: Vectorcardiography 2. Amsterdam:
North-Holland P. C., 1971, p. 54-65.
430. Selvester R. H., Solomon J. C.^ Gillespie T. L. Digital computer model of
a total body electrocardiographic surface map. An aduit male-torso simula-
tion with lungs.— Circulat., 1968, 38, N 4, p. 684—690.
431. Simonson E. The distribution of cardiac potentials around the chest in one
hundred and three normal men.— Circulat., 1952, 6, N 2, p. 201—211.
432. Simpson F. 0., Rayns D. G., Ledingham J. M. The ultrastructure of ven-
tricular and atrial myocardium.— In: Ultrastructure of the mammalian
heart. New York; London: Acad. Press, 1973, p. 1—41.
433. Singer D. H., Lazzara R., Hoffman B. F. Transmembrane potentials of
cardiac cells and their ionic basis.— In: The myocardial cell. Philadelphia:
Univ. Penn. Press, 1966, p. 73—110.
434. Sjostrand F. S., Andersson-Cedergren E. Intercalated discs of heart musc-
le.— In: The structure and function of muscle, 1. New York; London:
Acad. Press, 1960, p. 421—445.
435. Solomon J, C., Selvester R. H. Current dipole moment density of the he-
art.— Amer. Heart J., 1971, 81, N 3, p. 351—360.
436. Solomon J, C., Selvester R. H. Myocardial activation sequence simulati-
on.— In: Vectorcardiography 2. Amsterdam: North-Holland P. C., 1971,
p. 175—182.
437. Solomon J. C., Selvester R. H. Simulation of measured activation sequence
in the human heart.— Amer. Heart J., 1973, 85, N 4, p. 518—523.
438. Sommer J, R., Johnson E.A. Cardiac muscle. A comparative study of
Purkinje fibers and ventricular fibers.— J. Cell. Biol., 1968, 36, N 3,
p. 497—526.
439. Sonnenblick E, H., Stam A. C. Cardiac muscle: Activation and contracti-
on.— Ann. Rev. Physiol., 1969, 31, p. 647—674.
440. Spach M. *S., Barr R. C. Physiological correlates and clinical application
of isopotential surface maps.— In: Vectorcardiography 2, Amsterdam:
North-Holland P. C., 1971, p. 131—141.
441. Spach M. S., Barr R. C, Intracellular-extracellular action potentials’.
Considerations for the formation of wavefronts and their detection on the
body surface.— In: Advances in electrocardiography. New York; London:
Grune and Stratton, 1972, p. 19—26.
442. Spach M. S., Barr R. C. Ventricular intramural and epicardial potential
distributions during ventricular activation and repolarization in the intact
dog.— Circulat. Res., 1975, 37, N 2, p. 243—257.
443. Spach M, £., Barr R. C. Origin of epicardial ST-T wave potentials in the
intact dog.— Circulat. Res., 1976, 39, N 4, p. 475—487.
444. Spach M. S., Barr R. C. Cardiac anatomy from an electrophysiological
viewpoint.— In: The theoretical basis of electrocardiology. Oxford: Cla-
rendon Press, 1976, p. 3—20.
445. Spach M. S., Barr R. C., Johnson E. A., Kootsey J. M. Cardiac extracel-
lular potentials. Analysis of complex wave forms about the Purkinje net-
works in dogs.— Circulat. Res., 1973, 33, N 4, p. 465—473.
446. Spach M. A., Barr R. C., Lanning C. F., Tucek P. C. Origin of body sur-
face QRS and T wave potentials from epicardial potential distributions in
the intact chimpanzee.— Circulat. 1977, 55, N 2, p. 268—278.
447. Spach M. S., Barr R. C., Serwer G. S. et al. Collision of excitation waves
in the dog Purkinje system. Extracellular identification.— Circulat. Res.,
1971, 29, N 5, p. 499-511.
448. Spach M. S., Barr R. C., Serwer G. A. et al. Extracellular potentials rela-
ted to intracellular action potentials in the dog Purkinje system.— Circu-
lat. Res., 1972, 30, N 5, p. 505-519.
367
449. Spach M. SKing T. £>., Barr R. C. et al. Electrical potential distribution
surrounding the atria during depolarization and repolarization in the
dog.— Circulat. Res., 1969, 24, N 6, p. 857—873.
450. Spach M. S., Lieberman M., Scott J, G, et al. Excitation sequences of the
atrial septum and the AV node in isolated hearts of the dog and rabbit.—
Circulat. Res., 1971, 29, N 2, p. 156—172.
451. Spach M. *$*., Silberberg W. P., Boineau J. P. et al. Body surface isopoten-
tial maps in normal children, ages 4 to 14 years.— Amer. Heart J., 1966,
72, N 5, p. 640-652.
452. Sperelakis N. Lack of electrical coupling bewteen contiguous myocardial
cells in vertebrate hearts.— In: Comparative physiology of the heart:
Current trends. Basel; Stuttgart: Birkhauser Verl., 1969, p. 135—165.
Сокр. пер.: Сперелакис H. Отсутствие электрической связи между сосед-
ними клетками миокарда в сердце позвоночных.— В кн.: Общая физио-
логия сердца. М.: Медицина, 1972, с. 90—120.
453. Spira A. W. The nexus in the intercalated disc of the canine heart: Quan-
titative data for an estimation of its resistance.— J. Ultrastruct. Res.
1971, 34, N 5/6, p. 409-425.
454. Streeter D. D., Spotnitz H. MPatel D. P. et al. Fiber orientation in the
canine left ventricle during diastole and systole.— Circulat. Res., 1969
24, N 3, p. 339-347.
455. Swihart J. C. Numerical methods for solving the forward problem in elect-
rocardiography.— In: The theoretical basis of electrocardiology. Oxford:
Clarendon Press, 1976, p. 257—293.
456. Szathmary V. Inverse solutions.— In: Proc. First European Biophysics
Congress. Vienna: Verl. Wien. Med. Akad., 1971, p. 503—509.
457. Szathmary V. Method of quantitative description of surface potential
maps.— In: Neue Ergebnisse der Elektrokardiologie. II. Jena: VEB Gu-
stav Fischer Verl., 1974, p. 51—53.
458. Taccardi B. Distribution of heart potentials on dog’s thoracic surface.—
Circulat. Res., 1962, 11, N 5, p. 862—869.
459. Taccardi В. Distribution of heart potentials on the thoracic surface of nor-
mal human subjects.— Circulat. Res., 1963, 12, N 4, p. 341—352.
460. Taccardi B. Body surface distribution of equipotential lines during atrial
depolarization and ventricular repolarization.— Circulat. Res., 1966, 19,
N 5, p. 865-878.
461. Taccardi B. Multipolar distribution of cardiac potentials in body surface
mapping.— In: Electrical activity of the heart. Springfield: Ch. C. Tho-
mas-Publisher, 1969, p. 37—52.
462. Taccardi B. A comparison between body-surface equipotential maps and
the potential field generated by an isolated heart.— In: Sources and sur-
face representation of the cardiac electric field. Bratislava: P. H. Slovak.
Acad. Sci.; Amsterdam: Swets and Zeitlinger, 1970, p. 151—158.
463. Taccardi B., De Ambroggi L., Viganotti C. Body-surface mapping of heart
potentials.— In: The theoretical basis of electrocardiology. Oxford: Cla-
rendon Press, 1976, p. 436—466.
464. Taccardi B., Marchetti G. Distribution of heart potentials on the body sur-
face and in artificial conducting media.— In: Electrophysiology of the
heart. Oxford etc.: Pergamon Press, 1965, p. 257—280.
465. Taccardi B., Musso E., De Ambroggi L. Current and potential distribution
around an isolated dog heart.— In: Proc. Sat. Symp. XXV Intern. Congr.
Physiol. Sci. and XII Intern. Coll. Vectorcard. Bruxelles: Press Acad.
Eur., 1972, p. 566—572.
466. Taylor R. E. Cable theory.— In: Physical techniques in biological rese-
arch. New York; London: Acad. Press, 1963, 6, p. 219—262.
467. Tazawa H., Yoshimoto C. Electrocardiographic potential distributions in
newborn infants from 12 hours to 8 days after birth.— Amer. Heart J.,
1969, 78, N 3, p. 292—305.
468. Terry F. H., Brody D.A., Eddlemon C.O. et al. Dipole, quadripole,
and octapole measurements in isolated beating heart preparations.—
IEEE Trans. Biomed. Eng., 1971, BME-18, N 2, p. 139—148.
469. Terry F. H., Wennemark J.R,, Brody D.A. Numerical simulation of
conduction delay in blocked Purkinje tissue.— Circulat. Res. 1972 31,
N 1, p. 53-64.
470. Thiry P. S., Rosenberg R. M. On electrophysiological activity of the nor-
mal heart.— J. Franklin Inst., 1974, 297, N 5, p. 377—396.
471. Thiry P. 8., Rosenberg R. M., Abbott J, A, A mechanism for the electro-
cardiogram response to left ventricular hypertrophy and acute ischemia.—
Circulat. Res., 1975, 36, N 1, p. 92—104.
472. Titomir L. I. Physical and mathematical validation of the equavalent car-
diac generator in the form of an electrical dipole with moving center.—
In: Proc. Sat. Symp. XXV Intern. Congr. Physiol. Sci. and XII Intern.
Coll. Vectorcard. Bruxelles: Presses Acad. Eur., 1972, p. 580—582.
473. Titomir L. I. The effect of human chest shape on the apparent cardiac gene-
rators.— In: Le coeur et Pesprit. Bruxelles: Ed. Univ. Bruxelles, 1977,
p. 285—295.
474. Tompkins W. J., Briller S. A., Geselowitz D. B. Body surface mapping
by equivalent generator techniques.— In: Body surface mapping of cardiac
fields. Basel etc.: S. Karger, 1974, p. 161—166.
475. Toyama A., Suzuki K. The construction method of the QRS loop in myocar-
dial infarction.— Jap. Heart J., 1976, 17, N 2, p. 180—189.
476. Toyoshima H. Correlations between the spread of ventricular activation
and map patterns of measured and difference maps.— Amer. Heart J.,
1976, 92, N 2, p. 183—192.
477. Toyoshima H., Sugiyama SWada M. et al. Sequential change in the dif-
ference of potential distribution between a normal subject and simulated
torso model.— Jap. Heart J., 1974, 15, N 6, p. 560—578.
478. Trautwein W. Membrane currents in cardiac muscle fibers.— Physiol. Rev.,
1973, 53, N 4, p. 793—835.
479. Trautwein FF., Kassebaum D. G., Nelson R. M., Necht H. H. Electrophy-
siological study of human heart muscle.—Circulat. Res., 1962, 10, N 3,
p. 306—312.
480. Trost R. F,, Arthur R. M., Geselowitz D. B., Briller S. A. A dipolo
plus quadrupole lead system for human electrocardiography.— J. Elect-
rocardiol., 1977, 10, N 1, p* 27—38.
481. Truex R. Ct<i Smythe M. Q. Recent observations on the human cardiac
conduction system, with special considerations of the atrioventricular
node and bundle.— In: Electrophysiology of the heart. Oxford etc.: Per-
gamon Fress, 1965, p. 177—198.
482. Uhley H. N. A new simple model for the synthesis of the electrocardio-
gram.— Circulat., 1969, 40, N 2, p. 173—178.
483. Ungerleider H. E., Clark С. P. A study of the transverse diameter of the
heart silhouette with prediction table based on the teleoroentgenogram.—
Amer. Heart J., 1939, 17, N 1, p. 92—102.
484. Ungerleider H. E., Gubner R. Evaluation of heart size measurements.—
Amer. Heart J., 1942, 24, N 4, p. 494—510.
485. Van Dam R. T., Durrer D. Experimental study on the intramural distri-
bution of the excitability cycle and on the form of the epicardial T wave
in the dog heart in situ.— Amer. Heart J., 1961, 61, N 4, p. 537—542.
486. Van Dam R. T., Durrer D. The T wave and ventricular repolarization.—
Amer. J. Cardiol., 1964, 14, N 3, p. 294—300.
487. Vander Ark C. R., Reynolds E. W. An experimental study of propagated
electrical activity in the canine heart.— Circulat. Res., 1970, 26, N 4,
p. 451—460.
488. Van der Kloot W. G., Dane B. Conduction of the action potential in the
frog ventricle.— Science, 1964, 146, N 3640, p. 74—75.
489. Van Oosterom A., Van Dam R, T, Potential distribution in the left ventri-
cular wall during depolarization.— In: Electrocardiology. Physiological,
pathophysiological and diagnostical research. Basel etc.: S. Karger, 1976,.
p. 27-31.
369*
490. Vick R. L., Hazlewood C. F., Nichols B. L. Distribution of potassium, so-
dium, and chloride in canine Purkinje and ventricular tissues.— Circulat.
Res., 1970, 27, N 2, p. 159—169.
491. Voukydis P. C., Angelakos E, T., Nelson С. V. Electrical effects of a high-
ly conductive mass inside the thorax.— Amer. Heart J., 1973, 85, N 3,
p. 382-388.
492. Vrana 7., Gotfryd 0. Vektokardiograficky system s lokalizaci elektrickeho
stredu srdce.— Lekar a techn., 1973, N 3, s. 49—51.
493. Walls E, Ж The microanatomy of muscle.— In: The structure and functi-
on of muscle. 1. New York; London: Acad. Press, 1960, p. 21—61.
494. Walmsley R. The orientation of the heart and the appearance of its cham-
bers in the adult cadaver.— Br. Heart. J., 1958, 20, N 4, p. 441—458.
495. Weidmann S. The electrical constants of Purkinje fibres.— J. Physiol.,
1952, 118, N 3, p. 348—360.
496. Weidmann S. Resting and action potentials of cardiac muscle.— Ann.
N. Y. Acad. Sci., 1957, 65, N 6, p. 663—678.
497. Weidmann S. The diffusion of radiopotassium across intercalated discs
of mammalian cardiac muscle.— J. Physiol., 1966, 187, N 2, p. 323—342.
498. Weidmann S. Electrical constants of trabecular muscle from mammalian
heart.— J. Physiol., 1970, 210, N 4, p. 1041—1054.
499. Wilson F. N.t Bayley R. H. The electric field of an eccentric dipole in a
homogeneous spherical conducting medium.— Circulat., 1950, 1, N 1,
p. 84—92.
500. Woodbury J. W. The cell membrane: Ionic and potential gradients and acti-
ve transport.— In: Medical physiology and biophysics. Philadelphia etc.:
W. B. Saunders Co., 1960, p. 2—30.
501. Woodbury J. W. Cellular electrophysiology of the heart.— In: Handbook
of physiology. Circulation. 1. Washington: Amer. Physiol. Soc., 1962,
p. 237—286.
502. Woodbury J, W., Crill W. E. The potential in the gap between two abut-
ting cardiac muscle cells. A closed solution.— Biophys. J., 1970, 10, Nil,
p. 1076—1083.
503. Yamada K., Okajima M., Hori K. et al. Electro- and vectorcardiograms of
perfused canine heart immersed in electrolyte-filled human torso model.—
Jap. Heart J., 1966, 7, N 4, p. 331—345.
504. Yeh G. С. K. Eccentric multipole representation of current generators in a
spherical volume conductor.— Bull. Math. Biophys., 1961, 23, N 3,
p. 263—276.
505. Yeh G. С. K. On multipole representation of current generators.— Bull.
Math. Biophys., 1962, 24, N 2, p. 197—207.
506. Yeh G. С. K., Martinek J. The potential of a general dipole in a homoge-
neous conducting prolate spheroid.— Ann. N. Y. Acad. Sci., 1957, 65,
N 6, p. 1003—1006.
507. Yeh G. С. K., Martinek J. Comparison of surface potentials due to several
singularity representations of the human heart.— Bull. Math. Biophys.,
1957, 19, N 4, p. 293-308.
508. Yeh G. С. K., Martinek J. Multipole representation of an eccentric dipole
and an eccentric double layer.— Bull. Math. Biophys., 1959, 21, N 1,
p. 33-60.
509. Yeh G. С. K., Martinek J\, de Beaumont H. Multipole representations of
current generators in a volume conductor.— Bull. Math. Biophys., 1958,
20, N 3, p. 203—216.
510. Young T. Y., Huggins W. H. The intrinsic component theory of electro-
cardiography.— IRE Trans. Biomed. Electron., 1962, BME-9, N 4, p. 214—
221.
511. Zabloir L. An equivalent cardiac generator which preserves topography.—
Biophys. J., 1966, 6, N 4, p. 535—536.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От автора...................................................... 3-
Глава 1.
Основные соотношения электродинамики для описания электрического
поля сердца
1. Дифференциальные уравнения электрического поля стационарных
токов............................................................ 5
2. Мультипольное разложение потенциала......................... 12
3. Интегральные уравнения электрического поля стационарных то-
ков ........................................................ 33
4. Принцип взаимности и математическое описание отведения ... 45
Глава 2.
Элементарные электрические генераторы сердца
1. Микроскопическая структура сердца и электрофизиологические
свойства клеток миокарда........................................ 55
2. Распространяющийся потенциал действия в отдельном волокне мио-
карда .......................................................... 85
3. Электрическое поле отдельного волокна миокарда в объемном про-
воднике ....................................................... 106
4. Формирование генераторов внеклеточного поля в макроскопических
объемах миокарда............................................... 135
Глава 3.
Суммарный электрический генератор сердца
1. Хронотопография распространения возбуждения в сердце . . . 167
2. Распределение потенциала электрического поля сердца в окружаю-
щем объемном проводнике........................................ 183
3. Замечания о методологии и терминологии математического описа-
ния генератора сердца......................................... 199
4. Эквивалентные генераторы сердца непрерывно распределенного типа 214
5. О дно дипольный эквивалентный генератор..................... 229
6. Много дипольный эквивалентный генератор..................... 247
7. Мультипольный эквивалентный генератор....................... 258
Глава 4.
Влияние свойств тела как объемного проводника на электрическое
поле сердца
1. Основные характеристики тела как объемного’проводника и их зна-
чение для решения электрокардиологических задач............... 299'
2. Влияние неоднородности тела на потенциал электрического поля
сердца......................................................... 308
3. Влияние неоднородности тела на точность определения характерис-
тик генератора сердца.......................................... 332
Заключение..................................................... 346
Литература..................................................... 347
ЛЕОНИД ИВАНОВИЧ ТИТОМИР
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ГЕНЕРАТОР СЕРДЦА
Утверждено к печати
Институтом проблем передачи информации
Редактор С. В. Ульянов
Редактор издательства Ю. А. Юдина
Художник В. А. Кобрин
Художественный редактор Н. Н. Власик
Художественный редактор графического материала
Технический редактор Н. П. Кузнецова
Корректор Н. И. Казарина
ИБ № 16494
Сдано в набор 30.07.79
Подписано к печати 11.01.80
Т-02414. Формат бОхЭО1/™
Бумага типографская № 1
Гарнитура обыкновенная
Печать высокая
Усл. печ. л. 23, 25. Уч.-изд. л. 26.4
Тираж 1450. Тип. зак. 2145
Цена 2 р. 90 к.
Издательство «Наука»
117864 ГСП-7, Москва, В-485, Профсоюзная ул., 90
2-я типография издательства «Наука»
121099, Москва, Г-99, Шубинский пер., 10