/
Автор: Фильчаков П.Ф.
Теги: математика инженерия естественные науки справочное пособие конформное отображение
Год: 1964
Текст
АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР
П. Ф. ФИЛЬЧАКОВ
ПРИБЛИЖЕННЫЕ
МЕТОДЫ
КОНФОРМНЫХ
ОТОБРАЖЕНИЙ
СПРАВОЧНОЕ РУКОВОДСТВО
) ЖУКОВА
J ДУМК4
КИЕВ 1964
517,2
Ф57
Книга представляет собою справочное пособие по численным приближенным
методам конформных отображений и их практическому осуществлению. Содержит
краткое изложение теории функций комплексного переменного, необходимое для
понимания всего дальнейшего материала, а также описание конформных отобра-
отображений, осуществляемых заданными функциями.
Более подробно изложены весьма простые приближенные методы, которые поз-
позволяют для любой наперед заданной односвязнои или двухсвязной области пост-
построить отображающую функцию с наперед заданной степенью точности.
Приведены также эффективныеформулы для определения констант интеграла
Кристоффеля—Шварца, часто встречающегося при решении самых различных тех-
технических задач. Дано приложение теории конформных отображений к некоторым
техническим задачам, и в частности к задачам фильтрации. Рассмотрено большое
количество примеров, доведенных до окончательных числовых значений. В прило-
приложении публикуются все необходимые расчетные формулы и шаблоны, существенно
облегчающие построение искомых отображающих функций.
Книга не требует от читателей специальной математической подготовки, пре-
превышающей программы технических вузов, и рассчитана на широкий круг студен-
студентов, инженеров, аспирантов и научных работников, специализирующихся в аэро-
и гидродинамике, теории упругости электро- и радиотехнике, теплотехнике, теории
фильтрации и т. д.
Ответственный редактор
академик АН УССР Г. Н. САВИН
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора 5
От автора 6
Основные обозначения, принятые в книге 8
Глава I
Введение в теорию функций комплексного переменного
§ 1. Комплексные числа 9
§ 2. Основные определения 14
§ 3. Арифметические действия с комплексными числами 16
§ 4. Возвышение в степень и извлечение корня 22
§ 5. Основные геометрические понятия 25
§ 6. Функция комплексной переменной 30
§ 7. Обратная функция. Непрерывность функций 33
§ 8. Производная. Условия дифференцируемое™ 35
§ 9. Аналитические функции 43
§ 10. Интеграл от функции комплексного переменного 45
§11. Рациональные функции. Нули и полюсы 48
§ 12. Простейшие иррациональные функции. Точки разветвления ... 52
§ 13. Ряды в комплексной области 55
§ 14. Функциональные ряды. Равномерная сходимость 60
§ 15. Степенные ряды. Радиус сходимости 64
§ 16. Действия со степенными рядами. Рекуррентные формулы . . 70
§ 17. Метод неопределенных коэффициентов, т-я степень ряда 78
§ 18. Обращение степенного ряда 82
§ 19. Показательная функция 90
§ 20. Тригонометрические и гиперболические функции. Формулы Эйлера . 92
§ 21. Логарифмическая функция 101
§ 22. Общая степенная и общая показательная функции 106
§ 23. Обратные тригонометрические и гиперболические функции .... 107
§ 24. Теорема Коши. Основная формула интегрального исчисления ... 112
§ 25. Формула Коши. Теорема о среднем значении 119
§ 26. Производные высших порядков. Принцип максимума !22
§ 27. Ряд Тейлора. Теорема Лиувилля 123
§ 28. Ряд Лорана. Классификация изолированных особых точек однознач-
однозначных аналитических функций 129
§ 29. Бесконечно удаленная точка. Сфера Римана 141
§ 30. Аналитическое продолжение. Римановы поверхности 145
Глава II
Конформные отображения, осуществляемые заданными функциями
§ 31. Конформное отображение. Геометрический смысл производной . 153
§ 32. Линейная функция 156
§ 33. Функция ш= —-. Инверсия 159
г
§ 34. Дробио-линейная функция 166
§ 35. Отображение полуплоскости на полуплоскость. Симметризующее пре-
преобразование х 181
§ 36. Отображение верхней полуплоскости на единичный круг. Отображение
единичного круга самого на себя 184
§ 37. Степенная функция 187
§ 38. Функция Жуковского 199
§ 39. Показательная и логарифмическая функции 213
§ 40. Теорема Римаиа. Основные принципы конформных отображений . 224
§ 41. Интеграл Кристоффеля—"Шварца 227
§ 42. Интеграл Кристоффеля—Шварца в случае незамкнутых областей . . 234
§ 43. Отображение верхней полуплоскости на прямоугольник 241
§ 44. Эллиптические интегралы и функции 250
§ 45. Отображения, осуществляемые эллиптическими функциями Якоби 262
Глава III
Конформные отображения наперед заданных областей
§ 46. Гидромеханический смысл аналитических функций 270
§ 47. Краевые задачи для уравнения Лапласа. Инвариантность уравнения
Лапласа относительно конформных отображений 277
§ 48. Метод конформных отображений. Метод аналогий 283
§ 49. Краткий обзор приближенных методов конформных отображений . . 295
§ 50. Вариационные методы конформных отображений М. А. Лаврентьева . 303
§ 51. Метод последовательных конформных отображений. Отображе-
Отображения Еп и Е$ 311
§ 52. Методика вычислений. Отображения Е~1 и Е~1 323
§ 53. Отображения Ап и Л~' ч 336
§ 54. Отображение областей с угловыми точками 345
§ 55. Отображение областей с разрезами. Аппроксимация функций в комп-
комплексной области 355
§ 56. Графоаналитический метод решения задач фильтрации под гидротех-
гидротехническими сооружениями. Дренированные флютбеты 369
§ 57. Определение коистант интеграла Кристоффеля—Шварца при помощи
обобщенных степенных рядов 385
§ 58. Методика вычислений. Примеры 390
§ 59. Метод тригонометрической интерполяции. Отображение единичного
круга иа внутренность заданной односвязной области 404
§ 60. Симметричные области. Шаблоны для вычислений 418
§ 61. Методика вычислений при помощи шаблонов. Примеры 433
§ 62. Улучшение сходимости итерационного процесса. Примеры .... 452
§ 63. Общий случай. Отображение семейств областей 472
§ 64. Отображение внешних и двухсвязных областей 501
§ 65. Заключительные замечания 509
Summary 513
Литература 516
Приложения:
I. Расчетные формулы для отображений Еп, Е~х, Аа, А~1 . . 3
II. Шаблоны для симметричных областей (^=2) 7
III. Шаблоны для несимметричных областей (q — 0) 17
IV. Шаблоны для внешних областей (q = 2) 39
ОТ РЕДАКТОРА
Предлагаемая вниманию читателей работа члена-корреспондента
АН УССР П. Ф. Фильчакова по широте рассматриваемых в
ней вопросов представляет значительный вклад в нашу отечествен-
отечественную научно-техническую справочную литературу и посвящена одной
из фундаментальных проблем прикладной математики —• эффектив-
эффективному конформному отображению, проблеме, обеспечившей очень
высокий современный уровень в развитии таких отраслей знаний,
как аэро- и гидромеханика, теория упругости и пластичности, тепло-
теплотехника, электро- и радиотехника, электронная оптика, теория
фильтрации и др., лежащих в основе современного технического
прогресса.
В руководстве справочного характера вполне естественным пред-
представляется изложение в гл. I элементов теории функций комплекс-
комплексной переменной, являющихся основой для всего дальнейшего мате-
материала. В гл. II рассматриваются конформные отображения, осущест-
осуществляемые заданными функциями, а также теорема Римана и основные
принципы конформных отображений. В гл. III излагается вопрос
конформных отображений наперед заданных областей —• вопрос, до
настоящего времени не получивший еще достаточно эффективного
решения.
Написана книга простым и ясным языком, а большое число удач-
удачно подобранных примеров, без которых вообще немыслимо хоро-
хорошее руководство пс прикладной математике или механике, повы-
повышает практическую ценность книги и делает ее доступной самому
широкому кругу читателей.
Академик АН УССР Г. Н. Савин
ОТ АВТОРА
Конформное отображение относится к одному из основных по-
понятий теории функций комплексного переменного и играет исключи-
исключительно важную роль как в теоретическом отношении, так и при ре-
решении многих задач аэро- и гидромеханики, теории упругости,
электро- и радиотехники, теплотехники, теории фильтрации и мно-
многих других технических дисциплин.
В связи с этим и литература, посвященная теории конформных
отображений и ее приложениям, весьма обширна и насчитывает
многие сотни названий. Однако до настоящего времени не разра-
разработаны достаточно простые и эффективные численные приближен-
приближенные методы, которые позволяли бы с необходимой точностью осуще-
осуществлять конформные отображения любых наперед заданных об-
областей.
Поэтому в предлагаемом вниманию читателей справочном ру-
руководстве общая теория конформных отображений изложена с
максимально возможной краткостью для такого обширного мате-
материала, а главное внимание уделено вычислительной стороне вопроса,
столь необходимой для практики, но которая в литературе менее
разработана.
Чтение данной книги не требует специальной математической
подготовки и для ее понимания вполне достаточно знаний матема-
математики в объеме первых двух курсов технических вузов. Краткое
введение в теорию функций комплексного переменного, необходи-
необходимое для изучения всего дальнейшего материала, излагается в I гла-
главе, которую мы заимствовали из I тома нашей работы [283] и которую
подготовленный читатель может опустить. Для дальнейшего более
глубокого изучения всех этих вопросов читателю прежде всего сле-
следует обратиться к прекрасной книге М. А. Лаврентьева и Б. В. Ша-
бата [134], а также к литературе, указанной в конце § 48 гл. III.
Изложение всего материала иллюстрируется большим количест-
количеством примеров, доведенных до окончательных числовых значений,
поскольку, согласно известному изречению Ньютона, примеры не
менее поучают, чем правила. Все рассмотренные примеры (за исклю-
исключением двух, отмеченных в тексте) были составлены, вычислены и
продублированы (иногда несколько раз, с использованием различных
б
методик) автором, и только такая черновая работа позволяет глубже
и полнее изучить материал и выявить в нем много интересных скры-
скрытых тонкостей.
Для того чтобы активно усвоить все изложенное в справочном
руководстве, читателю также необходимо продублировать рассмот-
рассмотренные примеры, так как «в науке нет другого способа приобрете-
приобретения, как в поте лица: ни порывы, ни фантазии, ни стремление всем
сердцем не заменяют труда» [А. И. Герцен, Сочинения, т. II,
стр. 12, М., 1955].
В заключение автор выражает глубокую благодарность своему
учителю академику М. А. Лаврентьеву, идеи и советы которого
послужили основой результатов автора, включенных в эту книгу.
Автор также искренне благодарит академика АН УССР
Г. Н. Савина, члена-корреспондента АН УССР Ю. Д. Соколова и
редактора издательства Р. Л. Имас за ряд ценных советов и заме-
замечаний, которые позволили значительно улучшить изложение ма-
материала.
Автор будет очень признателен за все критические замечания
и пожелания, которые просит направлять в адрес издательства:
Киев, ул. Репина 3, издательство «Наукова думка».
Апрель 1964 г. Автор
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В КНИГЕ
z = х + iy = rei4> — комплексное число, независимая переменная;
w = и + iv = де'® — функция комплексного переменного;
g =г g -f— /т) — комплексная координата точки вспомогательной полуплос-
полуплоскости;
Е — Е (тп, ап, br)— функция, конформно отображающая полуплоскость с вы-
вырезанным полуэллипсом на полуплоскость;
Е~1 = Е~1 (тп, ап, Ьп) — функция, обратная к Еп, конформно отображающая
полуплоскость на полуплоскость с вырезанным полу-
полуэллипсом;
Л = Л (т , Рп, ап)— функция, конформно отображающая полуплоскость с вы-
вырезанной круговой луночкой на полуплоскость;
А~1 = Л~'(/яп, Р„, ап) — функция, обратная к Ап;
Eh =E(mn, hn, sn)—функция, конформно отображающая полуплоскость с кру-
круговым, ортогональным к действительной оси разрезом на
полуплоскость;
F^1 = E~l (mn, hn, sn) — функция, обратная к £fts;
z cc=arc sin z
dz
— эллиптический
Г dz Г
) = F{2, k)=\ = \ =
V(l — гг)A — к2гЦ J Vl— кгsin2a
о о
интеграл первого рода;
К = F A, £) = F I—-, к\— полный эллиптический интеграл первого рода;
a
z, k)= \ у —dz=\yrl—^2sin2ada — эллиптический интеграл
о
о
второго рода;
п
I п \
Е = !$ A, k) = j§ I—■, k I — полный эллиптический интеграл второго рода;
К' = К. (к1); Е' — Е (к1) — полные эллиптические интегралы первого и второго
рода при дополнительном модуле к! = \ 1 — &'2;
sn (ю, А) = sin a —эллиптическая функция ее эн», или эллиптический синус;
en (w, к) = cos a — эллиптическая функция ще эн-», или эллиптический коси-
нус;
dn (w, £) = -f-j/l — £2sn2(a>, k) — эллиптическая функция «де эн», или дельта
амплитуды a = arc sin z, с модулем k.
ГЛАВА I
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Понятие числа, которое является одним из самых основных мате-
математических понятий, имеет свою многовековую историю. Число,
как и все научные понятия, возникло не в результате свободного
творения человеческого разума, а было создано для удовлетворения
практических потребностей людей. Так как с течением времени
практическая деятельность людей развивалась, то и понятие числа
также изменялось и совершенствовалось.
Понятие о числе возникло в доисторические времена в связи с
необходимостью счета различных предметов, животных, растений
и т. д. Поэтому первоначально рассматривались лишь целые и по-
положительные числа, которые теперь называют натуральными чис-
числами. Натуральные числа вполне удовлетворяли потребности прак-
практики того времени, и лишь по прошествии многих веков возникли
дробные числа из операции деления, производимой над объектами,
для которых имеет смысл дробление единицы на равные доли. Пот-
Потребность более точных измерений таких величин, как длина, пло-
площадь, вес, время и т. п., привела к дроблению основной единицы
меры на более мелкие части, получившие особые наименования.
Так, например, были введены минута (от латинского minutus —
уменьшенный, малый) для обозначения 1/е0 часа или градуса, се-
секунда (от латинского secunda — второй, т. е. второе деление) для
обозначения Veo минуты, или 1/зеоо часа или градуса.
Несмотря на то что дробные числа встречаются в самых древних
известных нам математических рукописях, понятие дроби как от-
отвлеченного числа проникало в науку чрезвычайно медленно и начало
применяться лишь в XVI—XVII вв. после изобретения десятич-
десятичных дробей и логарифмов. Особенно большие логические трудности
представлял тот факт, что при умножении на правильную дробь в
результате получалось число, не большее, а меньшее исходного.
Интересно также отметить, что еще Штифель в 1553 г. назвал дроби
воображаемыми числами.
Целые положительные числа совместно с числами дробными по-
получили название рациональных чисел.
Необходимость измерения непрерывных величин, т. е. выра-
выражения всякого значения такой величины числом, привела к введе-
введению чисел иррациональных.
Историческое предание приписывает так называемое «открытие»
иррациональных чисел Пифагору, который обнаружил несоизмери-
несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной. Другими словами, Пифа-
Пифагор обнаружил, что отношение длины диагонали квадрата к длине
его стороны не может быть выражено никаким рациональным чис-
числом (это отношение может быть выражено только бесконечной
^ = V2 = 1,414213 ...).
Значительно позже начали входить в обиход отрицательные чис-
числа. Систематическое применение отрицательных чисел в общих фор-
формулах и их использование в качестве коэффициентов алгебраиче-
алгебраических уравнений одновременно с введением нуля как самостоятель-
самостоятельного числа впервые встречается у индусов (VI—XI вв.) и несколько
позже у народов Средней Азии и Закавказья — хорезмийцев, тад-
таджиков, узбеков, азербайджанцев и др. Индусам принадлежит и
правильное истолкование нуля, отрицательных чисел и действий
над ними на примерах простейших направленных величин, таких,
как прибыль—убыток, перемещение в противоположных направ-
направлениях и т. п.
В этом отношении средневековые европейские алгебраисты дол-
долгое время отставали от ученых Востока и либо совсем не рассматри-
рассматривали отрицательных решений уравнения, либо, получая такие реше-
решения, считали отрицательные числа фиктивными, неправильными,
абсурдными числами, числами меньшими, чем ничто. Лишь в XVI
веке Декарт (/?. Descartes, 1596—1650), разрабатывая аналити-
аналитическую геометрию, дал геометрическое истолкование отрицательных
чисел как направленных отрезков, которое с тех пор и стало обще-
общепринятым.
Новое расширенное понятие о числе окончательно закрепляется
в математике в самом начале XVIII века определением, данным
Ньютоном (/. Newton, 1642—1727) в его «Arithmetica Universalis»
A707): «Число есть не столько собрание нескольких единиц, сколько
отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой, однород-
однородной с ней, принятой за единицу. Число бывает трех видов: целое,
дробное и иррациональное. Целое число есть то, что измеряется
единицей; дробное — кратной долей единицы; иррациональное
число несоизмеримо с единицей».
Числа рациональные и иррациональные, положительные и отри-
отрицательные получили общее название действительных, или вещест-
вещественных, чисел.
ю
Геометрически действительные числа изображаются точками
числовой оси — прямой, на которой указано положительное на-
направление, масштаб и начальная точка (т. е. точки, изображающие
нуль и единицу).
Однако не успело еще закрепиться новое расширенное понятие
числа, как дальнейшее развитие математики показало, что и новое
понятие является также неудовлетворительным. В частности, реше-
решение квадратных уравнений уже на самой ранней ступени развития
алгебры привело к невозможной в области действительных чисел
операции извлечения квадратного корня из отрицательного числа.
Величина Ь% при любом числовом значении Ь будет не отрицатель-
отрицательна, т. е. она может быть либо положительна, либо равна нулю, на-
например при b = ± 8 имеем Ь% — + 64; при Ь = 0 и Ь% = 0.
Таким образом, среди действительных чисел нет ни одного та-
такого, квадрат которого был бы величиной отрицательной; следова-
следовательно, и корень квадратный из отрицательной величины У—Ь%
не может быть выражен никаким действительным числом.
Означает ли это, однако, что величина >/"—Ь% является «вооб-
«воображаемой», «невозможной», «мнимой», как ее называли, следуя
традиции, неизменно повторявшейся при всяком новом расшире-
расширении понятия числа?
Конечно, нет. Величина V—Ь% является реально существующей
величиной, которая только не может быть выражена узким, несовер-
несовершенным понятием действительного числа.
С аналогичными явлениями мы сталкиваемся не только в матема-
математике. Например, обыкновенная фотопленка всю красочность при-
природы передает как комбинацию черных и белых тонов. В связи с
этим никто не утверждает, что «действительными» цветами являются
только белый и черный, а все остальные —«воображаемые», «невоз-
«невозможные», «мнимые». Новая, более совершенная пленка, светочувст-
светочувствительный слой которой состоит не из одного, а из трех слоев, чувст-
чувствительных соответственно к синему, желтому и зеленому цветам,
уже в состоянии дать снимок в натуральных красках.
Так и в рассматриваемом случае кроме известной «действитель-
«действительной» единицы, при помощи которой выражаются все действительные
числа, необходимо ввести еще одну, принципиально новую единицу,
которую будем обозначать буквой i, понимая под этим обозначе-
обозначением величину
/ = 1/— 1 или г2 = — 1.
Тогда Y— Ь2 может быть выражено через новую единицу i так:
По исторической традиции число / назвали мнимой единицей, а
числа ib — чисто мнимыми числами.
II
Число вида
а + ib
г.0'3.01
T~2f- f-
i-
1 2 3\
получило название комплексного числа, в котором различают дейст-
действительную (а) и мнимую (Ь) части.
Действительные числа, как было сказано выше, геометрически
изображаются точками числовой оси, но на одной числовой оси пред-
представить комплексные числа невозможно.
Для изображения комплексных чисел служат точки числовой
плоскости: каждое конкретное комплексное число изображается
точкой в системе прямоугольных коор-
/у динат. Осью абсцисс является дейст-
действительная числовая ось, а осью орди-
ординат — ось «чисто мнимых чисел». На
рис. 1, для примера, изображены
числа 2,0 + 3,0 i; — 1,5 + 2,4/; —
2,3 — 1,2/; 3,1 —2,5/.
На числовой плоскости необхо-
! димо задать начало отсчета (нулевую
£ точку), положительное направление
3.1-2.51 на каждой из осей и две масштабные
единицы; действительную A) и мни-
рис_ i мую (/). Обычно масштаб по обеим
осям выбирают одинаковым.
Таким образом, любому комплексному числу a+ib = A -а) +(/• Ь)
соответствует одна, и только одна, точка числовой плоскости, опре-
определяемая координатами (а; Ь); и, обратно, каждой точке числовой
плоскости соответствует одно, и только одно, комплексное число,
действительная часть которого (а) равна абсциссе, а коэффициент
при мнимой части (Ь) —• ординате точки. Например, точка А на
рис. 1 изображает собою комплексное число А = 3 + 2/.
Установленный факт кратко формулируется так: между точками
числовой плоскости и всем множеством комплексных чисел сущест-
существует взаимно однозначное соответствие. В случае Ь = 0 комплекс-
комплексное число обращается в число действительное, при а = 0, Ь Ф 0
оно будет чисто мнимым.
Между различными величинами не всегда существует взаимно однозначное
соответствие. Например, приведем в соответствие порядковый номер месяца с его
продолжительностью (для невысокосного года):
Месяц
Число дней
I
31
II
28
III
31
IV
30
V
31
VI
30
VII
31
VIII
31
IX
30
X
31
XI
30
XII
31
В данном случае каждому римскому числу соответствует одно, и только одно,
арабское число (хотя значения этих чисел могут и повторяться). Но в обратном
направлении нет однозначного соответствия: одному и тому же арабскому числу
12
может соответствовать несколько различных римских чисел, например числу
30 соответствуют номера: IV, VI, IX, XI. Поэтому, указав номер месяца, мы
можем точно ответить, сколько в нем дней, но, указав продолжительность месяца,
нельзя определить его наименования, за исключением февраля.
Комплексные числа начали появляться в работах отдельных ма-
математиков, начиная с XVI в. Но широкое признание и распростра-
распространение они получили лишь в XIX в. после того, как на рубеже
XVIII—XIX вв. одновременно и независимо друг от друга К- Гаус-
Гауссом A797—1799 гг.), К- Весселем A798—1799 гг.) и Ж- Арганом
(в 1806 г.) была дана геометрическая интерпретация комплексных
чисел как точек числовой плоскости, и после того, как при помощи
комплексных чисел удалось решить ряд практически важных задач,
неразрешимых в области действительных чисел.
До тех пор к комплексным числам, как это имело место при каж-
каждом расширении понятия числа, относились с большим недоверием
и не понимали их сути даже многие крупные математики. Например,
Лейбниц (G. Leibnitz, 1646—1716)—один из основоположников
анализа бесконечно малых — писал: «Комплексное число — это
тонкое и поразительное средство божественного духа, почти амфи-
амфибия между бытием и небытием».
В заключение остановимся на связи между расширением понятия
числа и на возможностях выполнения математических действий.
Для натуральных чисел всегда выполнимы только сложение и
умножение. Вычитание уже может дать числа отрицательные, а
деление — дробные.
Для рациональных чисел всегда выполнимы все четыре действия
арифметики, но действие извлечения корня не всегда возможно.
В области действительных чисел возникшая трудность снята
лишь частично: извлечение корня возможно, за исключением извле-
извлечения корней четной степени из отрицательных чисел.
В области комплексных чисел выполнимы все четыре действия
арифметики и извлечение корня любой степени из любого комплекс-
комплексного числа. (Действие возведения в степень мы не рассматриваем,
так как оно эквивалентно действию умножения.)
В результате выполнения этих действий над комплексными чис-
числами снова получаем комплексные числа.
Для комплексных чисел остаются справедливыми все основные
законы арифметики и алгебры, и в качестве значения функции от
комплексного аргумента мы получаем снова комплексное число.
Кроме того, целый ряд вопросов, которые в области действитель-
действительного переменного не могли быть решены и часто рассматривались как
парадоксы, получил простое и естественное объяснение в области
комплексного переменного.
Например, в области комплексного переменного алгебраиче-
алгебраическое уравнение п-я степени всегда имеет точно п корней, а в об-
области действительного переменного оно может иметь и меньшее чис-
число корней и даже ни одного.
13
В области комплексного переменного существует логарифм от
отрицательных чисел, функции синус и косинус принимают любые
значения, а не только значения, не превышающие единицы, и т. д.
К рассмотрению этих вопросов мы еще вернемся в дальнейшем.
§ 2. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Обозначим комплексное число х + iy для краткости одной бук-
буквой z:
z = x + iy. A.1)
Этой же буквой z обозначим и точку в плоскости хОу, изобра-
изображающую собой комплексное число z — х -f- iу (рис. 2). Будем также
говорить, что комплексное чис-
число z = х + iy, есть аффикс
точки, которую это число изо-
изображает.
Числа х и у называют соот-
соответственно действительной (или
вещественной) и мнимой частя-
частями комплексного числа z и обоз-
обозначают символами
x = Rez A.2)
(от латинского слова realis —
„ действительный),
y = \mz A.3)
(от латинского слова imaginarius ■— мнимый, воображаемый).
В некоторых руководствах мнимой частью называется выражение iy, а величи-
величина у — коэффициентом мнимой части. Мы будем придерживаться более краткой
терминологии, принятой в курсах Р. Куранта [109], М. А. Лаврентьева [126; 134],
Ю. Д. Соколова [240] и др.
Числа х и у являются также координатами точки в комплексной
числовой плоскости хОу.
Числа вещественные, для которых у = 0, изобразятся в этой
плоскости точками оси Ох; числа чисто мнимые, для которых х = 0,
у Ф 0, изобразятся точками оси Оу. Поэтому ось Ох называется дей-
действительной осью, а ось Оу — мнимой осью. Число нуль, для кото-
которого х = у = 0, является началом координат.
Таким образом, и действительные числа и числа чисто мнимые
являются лишь частными случаями комплексных чисел.
Необходимо отметить, что знак (+) в символе х + iy не есть
знак алгебраического действия. Выражение х + iy надо рассматри-
рассматривать как единый символ для обозначения комплексного числа,
14
которое мы рассматриваем как точку комплексной числовой плос-
плоскости.
Комплексное число z = х -\- iy можно изобразить не только точ-
точкой, но и вектором, проекции которого на оси были бы соответствен-
соответственно равны х и у. Знаки величин х и у определяют направление проек-
проекции вектора по осям и тем самым однозначно определяют направле-
направление вектора.
Понятие о равенстве двух комплексных чисел вытекает из их
геометрической интерпретации.
Две точки на плоскости совпадают только в том случае, если эти
точки имеют одинаковые координаты как по оси Ох, так и по оси Оу.
Определение. Два комплексных числа равны между собой
тогда, и только тогда, когда в отдельности равны их действительные
и мнимые части.
Следовательно, из одного равенства с комплексными числами
Х\ + iyi = х* + 1У2
вытекает два равносильных равенства с действительными числами
В частности, если комплексное число равно нулю —
z = x+iy = 0,
то это означает, что непременно и
х = О и у = 0.
Вектор z = х + iy можно определить не только прямоугольными
координатами х и у; его можно также однозначно определить и по-
полярными координатами: длиною вектора г и углом ф, который век-
вектор z образует с положительным направлением оси Ох (рис. 2).
В таком случае, рассматривая треугольник Ozx, будем иметь:
y = rsmq>; A-4)
cp = -f-; cp=arctg^-. A.5)
Положительное число г называется модулем, а угол ф аргументом
комплексного числа z = х + iy и обозначается
Ф = а^2. A.6)
При данных значениях х и у модуль комплексного числа z =
= х + iy определяется единственным образом, а аргумент ф опре-
определяется лишь с точностью до слагаемого, кратного ± 2л \ так как
1 Углы измеряем в радианах. Для перехода к градусному измерению углов
пользуемся соотношением 2 л (рад) — 360 .
15
всякий вектор Oz совместится сам с собою, если его повернуть на
любое число полных оборотов в ту или другую сторону вокруг точ-
точки О.
Поэтому если'два комплексных числа равны, то модули их меж-
между собой равны, а аргументы могут отличаться лишь слагаемыми,
кратными ± 2л.
Зная, что х = г cos ф, у — г sin ф, можем комплексное число
z = х + iу представить в следующей форме:
z = r (cos ф -г i sin ф). A. 7)
Эта форма комплексного числа называется тригонометрической,
форма A) называется алгебраической.
Если мнимая часть комплексного числа равна нулю (у = 0),
то его модуль г = + ]/ х2 + 0 = | х|. Следовательно, модуль дейст-
действительного числа совпадает с его абсолютным значением. По анало-
аналогии и для обозначения модуля числа z = х + iу также применяют
знак абсолютного значения (т. е. число пишут между двумя верти-
вертикальными черточками):
r=\z\ = \x + iy\. A.8)
В качестве аргумента комплексного числа будем всегда брать
его наименьшее значение из промежутка 0 ^ ф < 2л.
Примеры:
1. Определить модуль и аргумент числа г= — 3 -f 4i.
Ответ: | г| = 5; arg г = 126°52' = 2,21424 рад.
2. Представить в тригонометрической форме числа:
л = 2 УТ+ 2«; г2 = 2 }/У— 2i; г3 = 3«; г4 = — 2.
Ответ: гх = 4 (cos 30° + i sin 30°); г2 = 4 (cos 330° + « sin 330°);
z3 = 3 (cos 90° + i sin 90э); г4 = 2 (cos 180° + i sin 180°).
3. Представить в алгебраической форме числа:
zx = 5 (cos 135° + » sin 135°); z2 = 5 (cos 225° + » sin 225°);
z3 = 5 (cos 45°-И sin 45°).
§ 3. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ
ЧИСЛАМИ
Сложение комплексных чисел выполняется по правилу сложения
векторных величин. На рис. 3 геометрически построена сумма комп-
комплексных чисел zx + z-z.
Из построения непосредственно вытекает аналитическая формула
сложения двух комплексных чисел:
Zi + z2 = (*i + ид) н- (х2 -f «'«/г) = (xi + хг) + i G/i + 1/2). A.9)
16
Полученный результат легко обобщается на случай любого числа
слагаемых: сложив два вектора z\ и z2, получаем результирующий
вектор Bi + z2), к вектору (гг + z2), пользуясь тем же правилом,
прибавляем вектор z3 и т. д., каково бы ни было число слагаемых.
Таким образом, правило сложения комплексных чисел можно
сформулировать следующим образом.
При сложении комплексных чисел гх = хх + й/ь z2 = х2 + 1уг,...;
zn = хп + iyn получаем в результате комплексное число, действи-
действительная и мнимая части которого соответственно равны суммам
действительных и мнимых частей всех слагаемых:
Z, -f Z2 -f . . . + 2„ = (A'j + Х2 + . . . + Хп) +
+ИУ1 + У2 + ... + уп).
Пример 1. zi = 6 + 3i; г2 = 2 — 5i; z3 = — 1 + 4г.
2i + г2 + г3 = F + 2 - 1) +1 C — 5 + 4) = 7 + 21.
A. 10)
т~
i
1
т
0
l' /^
-— х, -
1
i
1
♦ ,.
•///////////////
Рис. 3.
Яис.
Нетрудно видеть, что сумма комплексных чисел не зависит от
порядка слагаемых (переместительный закон), ибо такими свойства-
свойствами обладает каждая из сумм (хх -f хг + ... + х„) и (^ + ^ + +
+ У,).
Замечание. Переместительный закон
а + 6 = Ь + а,
как и любой другой математический закон, носит ограниченный характер и спра-
справедлив только при определенных условиях, которым должны удовлетворять вели-
величины а и Ь.
Например, определим суммарную высоту двух вертикально поставленных
цилиндров, один из которых изготовлен из свинца, а другой из пористой, губчатой
резины (рис. 4). Очевидно, что в этом случае суммарная высота будет зависеть от
порядка «слагаемых» и благодаря сжимаемости резинового цилиндра
о + Ь Ф Ь -f- a,
т. е. переместительный закон в рассматриваемом случае не будет иметь места.
Сложение допускает и обратную операцию: для любых двух
2 П. Ф. Фильчаков
-, -
комплексных чисел га = хх 4- iy\ и z2 = х2 + iy* всегда можно
найти такое число z = х + й/, что
г2 -f- г = 2i.
Это число называется разностью чисел zx и z2 и обозначается симво-
символом zx — г2. Очевидно, что
г = Zi — Zi = (Xi — х2) + i (yi — у2). A-П)
На рис. 5 дано геометрическое построение разности комплексных
чисел Zi — z2: прибавив к вектору z2 вектор г — (гг — z2), полу-
получаем вектор гг.
Перенеся вектор (гг — z2) параллельно самому себе в начало
координат, получим точку комплексной числовой плоскости (zi— z2).
Вектор (zz — Zx) = — (zi — z2) будет
по величине совпадать с вектором
(Zi — z2), но направление его будет
противоположным.
Установим теперь важные для
дальнейшего свойства модуля сум-
суммы и разности двух комплексных
чисел.
Из геометрического построения
суммы двух комплексных чисел
(рис. 3) следует, что прямая | гг + z2
не может быть длиннее ломаной, сос-
РиСш тоящей из звеньев |Zi| и |z2|:
Izi + zo^lzal + lz^, A.12)
т. е. модуль суммы меньше или равен сумме модулей. Знак равенства в
соотношении A2)г будет иметь место лишь в том случае, когда век-
векторы Zi и z2 имеют одинаковое направление.
Принимая во внимание, что каждая из сторон треугольника
всегда больше разности двух других сторон, можем, воспользовав-
воспользовавшись рис. 3, написать:
| Z\ -|- Z2 \ ^ \Z\\ — I Z2 |, (i. 10)
т. е. модуль суммы двух слагаемых больше или равен разности модулей
этих слагаемых.
Равенство имеет место лишь в том случае, когда направления век-
векторов Zi и Z2 противоположны.
Объединяя неравенства A2) и A3), будем иметь:
|zi| — |z2|<|zi + z2| ^|Zi| + |z2|. A- 14)
1 При ссылках на формулы этой же главы номер формулы приводим без ука-
указания номера главы, как, например, A2) вместо A.12).
18
Далее, так как разность комплексных чисел гг — z2 всегда можно
истолковать как сумму числа гг и числа (— z2), направление которого
противоположно направлению числа (+г2):
Z! — Z2 = Zi + (— Z2),
то соотношения A4) остаются справедливыми и для разности комп-
комплексных чисел
\гг\ — \гг\ $ \zx — zi\^\z1\ + \zi\. A. 15)
Величина \гг — z2| геометрически означает расстояние между
точками Zi и z2 (см. рис. 5).
Пример 2. 2i = — 4 + Зг; г2 = + 4 + 3<; в таком случае | z\ \ =
= | г21 = 5; 2i + г2 = 6<; | 2i + г21 = 6; zi — г2 = — 8; | гх — г2 | = 8, и дей-
действительно
Izi| —|гг| < |zi ±zal < | г^ + lziil.
Умножение комплексных чисел. Примем по определению, что
?=(|/=Г1J = _11 A.16)
и будем комплексное число х -\- iy условно рассматривать как сумму
действительного числа х и числа чисто мнимого iy.
Тогда произведение комплексных чисел zj = хг + iyx и z2 =
= Хг + «/г, как произведение буквенных многочленов, дает:
Zi • z2 = (хл + ti/,) (х2 + iy2) = xix2 + U!i/2 + 1Х2уг + рум.
Приняв во внимание, что i2 = — 1, и группируя действительные
и мнимые части, находим:
(Xi + iyi) (x2 + iy2) = (ХгХ^ — уху2) + / (Х1У2 + x^). A.17)
Пример 3. C-4.) B+ 5») = 1B-3)-(-4-5)]+ «[C-5)+ (-4-2)]=
= 26 + 7i.
Отметим важный частный случай произведения двух комплекс-
комплексных чисел, а именно:
(* + iy) (х - iy) = x*- (iy)* = л-2 + у\ A.18)
Определение. Два комплексных числа х -\- iy и л; ■— iy,
действительные части которых равны, а мнимые части отличаются
только знаками, называются сопряженными.
Число, сопряженное к z = х + iy, обозначается чертой, постав-
поставленной над ним:
l = x — iy. A.19)
2* 19
Учитывая, согласно уравнению E), что модуль комплексного
числа определяется равенством
r= \z\ = + \ х* + у\ A.20)
равенство A8) обычно записывают так:
z-z=|z|2, A.21)
т. е. произведение сопряженных чисел есть число действительное и
равно квадрату модуля каждого из них (так как |г| = jz|).
Отметим еще очевидные формулы:
г + z = 2x; z — z = 2iy. A. 22)
Выведем теперь правило умножения комплексных чисел в три-
тригонометрической форме:
Z\ • г2 = [и (cos ф1 -f- i sin 9i)] • [r2 (cos ф2 -+- i sin ф2)] =
= т\ • r-i [(cos фх cos фг — sin ф1 sin ф2) -f- i (cos фх sin ф2 + cos ф2 sin фх)].
Но из тригонометрии известно, что
cos ф1 cos ф2 — sin ф! sin ф2 = cos (q>i -f- ф2),
sin ф! cos ф2 + sin ф2 cos q>i = sin (ц>г -f ф2),
поэтому
Z\ ■ 22 = Г! • r% [cos (ф! + ф2) + i sin (ф: -f ф2)]. A. 23)
Рассматривая 2i-22 как одно комплексное число, формулу B3)
легко распространить на случай трех сомножителей, а затем и на
случай любого числа сомножителей.
В результате приходим к следующей формулировке: произве-
произведение комплексных чисел zizz ... zn есть снова комплексное число,
модуль которого равен произведению модулей сомножителей, а ар-
аргумент — сумме аргументов сомножителей:
ZiZ% . . . Zn = Г1Г2 . . . Г„ [COS (ф! + ф2+ ■ • • +ф«) +
+ /5т(ф1 + ф2 + ... + Ф„)]. A.24)
Отсюда вытекает, что произведение комплексных чисел только
тогда равно нулю, когда по крайней мере один из сомножителей
равен нулю.
Пример 4. 2i = 2,5 (cos 35° +«sin 35°); г2 = 0,6 (cos 143° +/sin 143°);
г3 = 5,8 (cos 257° + i sin 257°).
г- г2 • г3 = 2,5 • 0,6 • 5,8 [cos C5° + 143° + 257°) + i sin C5Э -f 143° + 257°)] =
= 8,7 (cos 435° + « sin 435=) = 8,7 (cos 75° + « sin 75°).
20
Рис. 6.
Формула B3) позволяет также дать простое геометрическое тол-
толкование операции умножения. При умножении комплексного числа
2i на 22 модуль |2i| растягивается в |г2| раз (если \z2\ < 1, то \zx\
сжимается в,—г раз) и, кроме того, вектор гх поворачивается про-
I 2г |
тив часовой стрелки на угол ф2 = arg22.
На рис. 6 изображено построение произведения z = zx ■ z2.
Для построения z достаточно на отрезке Ozi построить треугольник
Oz^z, подобный треугольнику О1гь вер-
вершины которого суть точки нуль, еди-
единица И Z\.
Таким образом, произведение ком-
комплексных чисел логически определено
аналогично произведению действитель-
действительных чисел: произведение рассматривает-
рассматривается как число, образованное из множимо-
множимого так, как множитель образован из еди-
единицы.
Отметим, что правило знаков при
умножении действительных чисел, ко-
которое в арифметике носит условный характер, в области ком-
комплексных чисел приобретает логическую определенность. В са-
самом деле, аргумент действительного положительного числа есть
нуль, аргумент действительного отрицательного числа есть л;
поэтому при умножении положительного числа на отрицательное
аргумент произведения будет 0 + л = л, т. е. в результате получаем
число отрицательное. При умножении отрицательного числа на от-
отрицательное аргумент будет л + л = 2л. Комплексное же число с
аргументом 2л совпадает по направлению с положительным направ-
направлением действительной оси, следовательно, есть действительное по-
положительное число.
Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное
умножению: если z = —, то частное z есть число, удовлетворяющее
равенству
ZZi = Zi.
Таким образом, если (гх; фх) модуль и аргумент делимого, а
(Г2', фг) ■— модуль и аргумент делителя, то легко видеть, что деление
имеет один определенный результат (если делитель отличен от нуля)
и что модуль частного будет-у-, а аргумент его (фХ—ф2). Обозначая
частное в виде дроби, можем написать
2i п (COS ф! + i Sin ф2)
17 = Г
- sin
= 7Г [C0S (ф1 -
Sltl (^ -
17 Г, (cos ф2
Итак, модуль частного равен частному модулей делимого и дели-
21
теля, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и
делителя.
При гг = 0 формула B5) теряет свой числовой смысл.
Деление комплексных чисел всегда можно заменить их умноже-
умножением, умножив делимое и делитель на число, сопряженное делителю,
в результате чего получим:
ji_ _ Zi • г2 __ (xi + ij/i) (*г — iffa)
22 z2 • г2 х\ 4- j£
и окончательно
Пример 5. z\ = 5 — 2<; г2 = 3 4- 4».
5 — 2» E — 2i) • C — 4Л A5 — 8
^ ~3 + 4j ~ C + 40-C-4i) ~ 9 + 16 ^U'2e llU*'
Примерб. 2i = 3 (cos 78° + i sin 78°); г2 = 5 (cos 33° + i sin 33°).
— = — [cos G8° — 33°) + / sin G8° — 33°)] = 0,6 (cos 45° + « sin 45°).
г2 5
§4. ВОЗВЫШЕНИЕ В СТЕПЕНЬ И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ
Применяя формулу B4) в случае п равных сомножителей, полу-
получаем правило возвышения в степень комплексных чисел:
zn = [г (cos ф -f i sin ф)]п = г" (cos п ф -\- i sin п ф), A. 27)
т. е. для возвышения комплексного числа в целую положительную
степень нужно его модуль возвести в эту степень, а аргумент
умножить на показатель степени.
Пример 1. Определим различные степени числа i.
В тригонометрической форме < = 1 (cos— -£■ i sin—) , так как cos— = 0;
sin _= 1. Поэтому, применяя формулу B7), будем иметь:
(■2= J21 cos 2 ——- + ( sin 2 — I = — 1, так как cos n = — 1; sinit=O;
/ л л \ Зя Зя
/3= 1з cos3 — + i sin 3 -— I = — /, так как cos— =0; sin— = — 1;
\ z z / z z
/ Л Л \
(■4= 14 Jcos 4 _. -j- , sin 4 == I = + 1, так как cos2n = 4-l; sin2n = 0;
fi = ,■*.« = D- 1) • i = 4-«'. «° = <4 • <2 = D- 1) • (— 1) = — 1 и т. д.
Таким образом, любая степень числа i приводится к одному из чисел — 1,
-«, 4-1. + '-
22
Остановимся еще на одном частном случае формулы B7).
Полагая в этой формуле г — 1, получим формулу Муавра (A. Moi-
vre, 1667—1754):
(cos ф -f- i sin ф)" = cos nq> + i sin nq>. A. 28)
Формула Муавра позволяет наиболее просто выводить тригоно-
тригонометрические формулы для синусов и косинусов кратных углов.
Разлагая левую часть уравнения B8) по формуле бинома Ньютона
и приравнивая действительные и мнимые части согласно основной
теореме о равенстве комплексных чисел (см. § 2), получим возмож-
возможность выразить sin пц> и cos пц> через различные степени sin ф и
cos ф.
Пример 2. Пусть п = 3, тогда, заменяя угол ф углом а, который обычно
фигурирует в тригонометрических формулах, имеем:
(cos a + i sin а)а = cos 3 а + i sin За.
Раскрывая левую часть и принимая во внимание результаты примера 1,
находим:
cos3 а 4- 3< cosv а sin а — 3 cos а sin2 а — i sin3 а = cos 3 а 4- i sin За.
Приравнивая действительные и мнимые части, получаем известные формулы
тригонометрии:
cos За = cos3 а — 3 cos а sin2 а: sin За = 3 cos2 а sin а — sin3 а.
Переходим теперь к операции, обратной возведению в степень,
а именно к операции извлечения корня.
п
Корнем л-й степени V z из комплексного числа z = r (cos ф +
+ г sin ф) называется такое комплексное число а = q (cos a +
+ i sin а), п-я степень которого равна подкоренному числу:
ап = z.
Таким образом, равенство
у г (cos ф -f- ' sin ф) = q (cos a -\- i sin a)
равносильно равенству
г (cos ф + i sin ф) = о" (cos па + i sin na).
Но у равных комплексных чисел модули должны быть равны, а
аргументы могут отличаться лишь слагаемым, кратным 2л:
Qn = г, па = ф -f
откуда
п
где V г есть арифметическое значение корня и k — любое целое
число.
23
Таким образом, получаем:
> jsincp) = Vr (cos i±?*5 + i sin*±^5), (i .29)
(
т. е. для извлечения корня из комплексного числа надо извлечь
корень из его модуля, а аргумент разделить на показатель корня.
В формуле B9) число k может принимать всевозможные целые
п.
значения, однако различных значений Vz будет точно п, и они будут
соответствовать значениям k = 0, 1, 2, ..., (п — 1).
Чтобы доказать это утверждение, воспользуемся тем, что при
умножении комплексных чисел модули их перемножаются, а аргу-
аргументы складываются, и представим число
у z = у г cos J— f- i sin
как результат произведения двух чисел:
ф . . . Ф\1Г] / 2кл . . 2кл
Первый сомножитель при данных значениях г я ц> имеет одно
определенное значение, второй сомножитель будет иметь строго п
различных значений, соответствующих значениям k = О, 1, 2, ...,
(л - 1).
Если же k придавать какие угодно другие целые значения, то,
в силу периодичности тригонометрических функций, новых значений
/ 2кл . ■ 2кл\ -, /—
для cos—-f-г sin—I, а следовательно, и для у z не получим.
Например, при k = п + 3 будем иметь:
2кл 2 (п + 3) л г, , 6я / 2кл . ■ ■ 2кл
о . Ьл I 2кл ,
• = 2л 4- — и cos —-—\- i;
/ 6я , . . 6я
= COS \- I Sin I ,
а это значение мы уже имели при k — 3.
Исключение из этого правила представляет лишь частный слу-
случай, когда подкоренное число равно нулю, т. е. г = 0. В этом слу-
случае все указанные выше значения корня равны нулю.
з
Пример 3. Определим все значения \Г1. Модуль i равен единице и аргу-
я
мент -£-, поэтому
{k=0; 1; 2).
24
3 _
Таким образом, получаем следующие три значения для У"i :
я , . . я КЗ 1 . 5я , . . 5я КЗ
Зя , . Зя
cos ~y -Г * sin — = — r.
3
Все значения У~1 расположены на окружности единичного радиуса (так как
| i 1 = 1) и делят эту окружность на три равные части.
Контроль. Проверим правильность полученных ответов, возведя их в
3 _
третью степень. Действительно, модуль каждого из трех значений Y i равен еди-
единице и после возведения в куб дает I3 = 1 = |Л, а их аргументы после трехкрат-
я
ного поворота совпадают с arg I = -~-.
В заключение отметим, что в результате различных действий над
комплексными числами получаем снова число комплексное, которое
в частных случаях может оказаться числом действительным, чисто
мнимым или нулем. При этом только извлечение корня приводит к
многозначному ответу, все же остальные действия дают однозначный
ответ. Действительно, хотя аргумент каждого из комплексных чи-
чисел можно увеличивать на любое число, кратное 2л при сложении,
вычитании, умножении, делении и возведении в степень, аргумент
результата от этого сможет увеличиться только на число, кратное
2л, которое не меняет значения комплексного числа.
Только при извлечении корня аргумент будет увеличиваться на
число —^ Ф 2ягл, где k, т, п — целые числа, причем k < п.
Нетрудно также показать, что комплексные числа подчиняются
всем законам алгебры, следовательно, к комплексным числам при-
применимы все алгебраические преобразования. Строгое доказательст-
доказательство этих положений можно найти в книгах [39; 43; 109; 126; 134;
146; 152; 192; 211; 233; 240; 251; 294; 295; 330] и др.
§ 5. ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
Отнеся плоскость к прямоугольным осям Ох и Оу, каждую точку
плоскости можем выделить, охарактеризовать либо двумя коорди-
координатами (х; у), либо одним комплексным числом z = х + iy.
Таким образом, между точками плоскости хОу и множеством
всех комплексных чисел г, как было отмечено в § 1, существует
взаимно однозначное соответствие.
При этом под «множеством» будем понимать совокупность пред-
предметов (элементов) конечную или бесконечную, определенную ка-
каким-либо свойством, общим для всех элементов данного множества.
2S
Например, множество граней многогранника, множество целых чи-
чисел, множество точек на отрезке прямой.
Комплексная величина z может принимать ряд конкретных, фик-
фиксированных значений, но может также непрерывно изменяться.
Если z есть величина переменная, т. е. принимающая различные
значения, то изменения этой величины в плоскости хОу будут изоб-
изображаться соответствующими перемещениями точки г. В этом смыс-
смысле плоскость хОу называют плоскостью комплексного переменного.
Кроме этого точечного представления комплексных чисел будем
пользоваться также и векторным представлением: каждому комп-
комплексному числу ставим в соответствие вектор, проведенный из на-
начала координат в точку z = х + iy.
В дальнейшем мы не будем различать символов «комплексное
число z = х + iy», «точка плоскости (х; у)», «вектор, определяющий
собою число z = х + iy» и будем говорить, например, точка 2 + 3/,
треугольник с вершинами гь г2, z3, сумма векторов гх и 22 и т. д.,
в зависимости от удобства изложения того или иного вопроса.
Остановимся на ряде необходимых нам геометрических понятий.
Непрерывной кривой называется множество точек, координаты ко-
которых х; у заданы как непрерывные функции
x = fi(t); y = h(t)
вещественной переменной t в некотором промежутке t\ ^ t <; 4-
Если начальная точка кривой совпадает с ее конечной точкой,
кривая называется замкнутой.
Для рассматриваемых в данной книге вопросов можно ограни-
ограничиться некоторым гораздо более специальным классом кривых.
Мы будем прежде всего рассматривать гладкие кривые, т. е. кривые,
имеющие в каждой точке (включая начальную и конечную точки)
определенную касательную, направление которой меняется непре-
непрерывным образом, когда точка описывает кривую. Примером гладкой
кривой могут служить прямая линия, окружность, эллипс, парабо-
парабола, синусоида.
Конечное число гладких кривых, соединенных последовательно
друг с другом, составляют кусочно-гладкую кривую. Последняя мо-
может иметь в точках соединения друг с другом двух гладких кусков
угловые точки (точка А на рис. 7), в которых кривая имеет две раз-
различные касательные, или точку возврата (точка В на рис. 7).
Примером кусочно-гладкой линии может служить ломаная ли-
линия.
В дальнейшем изложении, когда будет идти речь о кривой, то
всегда будет подразумеваться кусочно-гладкая кривая, если не бу-
будет сделана специальная оговорка.
Если с = а + ib какое-нибудь фиксированное число, а е поло-
положительное действительное число, то множество всех комплексных
чисел z = х + iy, удовлетворяющих неравенству
| Z — С К 8,
26
называется окрестностью точки с. Так как модуль разности \г — с\
представляет собою расстояние между точками z и с, то геометри-
геометрически окрестности соответствует внутренность круга радиуса е с
центром в точке с.
Комплексная переменная может изменяться или на всей плоско-
плоскости, или только в некоторой области плоскости комплексного пере-
переменного г, например в некотором круге, прямоугольнике и т. д.
У всякой области будем различать внутренние ее точки и точки кон-
контура или границы. Например, в случае круга с центром в начале
координат и радиусом единица внутрен-
внутренние точки характеризуются условием
\г\<\ или х* + у* < 1, ^\ В
а границей является окружность
1*1=1 или х2 + г/2 = 1.
Границу области будем обозначать бо- Рис. 7.
льшой греческой буквой гамма: Г.
Характерным свойством внутренних точек области является то,
что не только они сами, но и их некоторая окрестность целиком при-
принадлежит области, т. е. точка М будет внутренней точкой области,
если этой области принадлежит целиком некоторый достаточно ма-
малый круг с центром М. Точки границы не являются уже внутрен-
внутренними точками области, но каждая сколь угодно малая окрестность
точки границы содержит как точки, принадлежащие области, так и
точки, не принадлежащие к ней.
Будем, кроме того, считать, что область не распадается на
отдельные куски (свойство связности области), иначе говоря, бу-
будем предполагать, что любые две точки области могут быть соеди-
соединены некоторой линией, которая целиком находится внутри об-
области.
Понятие области является одним из основных понятий теории
функций комплексного переменного, поэтому дадим для него точную
формулировку.
Определение. Областью называется множество D точек
плоскости, обладающее следующими свойствами:
1) если какая-нибудь точка принадлежит данному множеству D,
то и некоторая окрестность этой точки должна принадлежать D
(свойство открытости);
2) любые две точки D можно соединить линией, которая целиком
находится внутри области (свойство связности).
Простейшими примерами области являются внутренность круга,
внутренность прямоугольника и т. д.
Граничные точки области могут образовывать чрезвычайно слож-
сложное множество, которое не подходит под данное выше понятие кри-
кривой и с трудом поддается наглядному представлению. Рассмотрим,
27
например, область D, изображенную на рис. 8. Внутри прямоуголь-
прямоугольника ABMN проведены прямолинейные разрезы попеременно от
сторон ВМ и AN, которые сгущаются по мере приближения к сто-
стороне MN. Областью D в этом случае будет то множество точек, кото-
которое остается от прямоугольника, если из него удалить все точки,
принадлежащие границе области Г, т. е. точки, лежащие на разре-
разрезах, а также все точки контура прямоугольника.
г,
D
1 I
Рис. 8.
Рис. 9.
В данной книге мы не будем рассматривать такие сложные об-
области, а главное внимание уделим областям, границей которых слу-
служит одна единственная замкнутая, кусочно-гладка я кривая.
Такие области называются односвязными.
Характерным признаком односвязной области D является то ее
свойство, что любую замкнутую кривую, расположенную внутри
D, можно путем непрерывной деформации стянуть в точку, не вы-
выходя за пределы области.
В случае области, представленной на рис. 9, это можно выпол-
выполнить лишь для кривой Yi. но нельзя выполнить для кривой Y2. так
как область D в данном случае есть двухсвязная, и ее граница Г
состоит из двух замкнутых кривых Гх и Г2.
В дальнейшем под областью будем понимать лишь множество D
внутренних точек области. Если же к области присоединяется также
и ее граница, то такая область называется замкнутой и обозначается
D. Таким образом,
Отметим еще, что положительным направлением обхода границы
области считается такое, при котором область остается все время
слева.
После того как мы определили основные алгебраические опера-
операции для комплексных чисел и ввели понятие комплексной перемен-
переменной, необходимо рассмотреть основную операцию дифференциаль-
дифференциального и интегрального исчисления — переход к пределу в комплекс-
комплексной области.
28
Определение. Говорят, что комплексная переменная
z = х + iy стремится к пределу с — а + ib, где а и b — постоянные
величины, если стремится к нулю модуль разности
Для обозначения предела служит один из следующих знаков:
lim 2 = с или z-+c.
Из написанного выражения следует, поскольку под радикалом
стоят положительные слагаемые, что | г — с | —^ 0 равносильно
тому, что х -> а, у -> Ь. Другими словами
lim (x -\- iy) = a -f ib,
lim x = a, lim//=6 A.30)
суть равносильные равенства.
Геометрически равенство limz = c означает, что переменная
точка 2 в процессе своего изменения стремится к фиксированной
точке с, как к своему предельному положению.
При этом мы не делаем никаких оговорок относительно пути,
по которому 2 приближается к с. Важно лишь, чтобы расстояние
\г — с\ между точками 2 и с начиная с некоторого момента стало и
оставалось при дальнейшем изменении z меньше любого, наперед
заданного, сколь угодно малого положительного числа е, т. е. стре-
стремилось к нулю.
Так как определение предела комплексного переменного соглас-
согласно равенствам C0) свелось к определению пределов действительных
переменных, то основные свойства предельного перехода автомати-
автоматически переносятся в область комплексного переменного. В частности,
для комплексных переменных остаются в силе теоремы о пределе
суммы, произведения, целой степени и частного, которые выражают-
выражаются следующими формулами:
lim (zi -f- 22 -f • • ■ + 2„) = Mmzi + limz2 + ... -f- limz,,, A. 31)
lim (Zi22. . . zn) = lim Zi lim z2... lim zn, A-32)
lim Bn) = (lim zf, A.33)
ПтЛ = «£!£? A-34)
22 lim г2
(если lim г^Ф О).
Далее, из определения предела непосредственно вытекает, что
lim 2 = с равносильно lim|z| = \c\ и, в частности,
lim 2 = lim (x -f- iy) = 0
равносильно
lim | z | = 0 или limx = 0, limz/ = 0.
29
§ 6. ФУНКЦИЯ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Понятие функции является одним из главнейших понятий совре-
современной математики. Поэтому остановимся на нем подробнее и для
простоты изложения начнем с рассмотрения понятия функции дейст-
действительного переменного.
Выражение, подобное
Х2 _ 2,х + 5,
не имеет определенного числового значения, пока не указано значе-
значения х. Говорят, что значение этого выражения есть функция значе-
значения х и пишут:
х2 — 3*+5 = /(*).
Величина х называется независимым переменным, или аргументом.
Например, если х = 4, то я2 — 2>х -\- 5 = 16 — 12 + 5 = 9, так
что / D) = 9. Таким же образом непосредственной подстановкой
можно найти значение функции / (х) при любом, дробном, ирра-
иррациональном или комплексном значении х.
Число простых чисел, меньших чем п, есть функция / (п) целого
числа. Когда задано значение числа п, то значение функции / (п)
определено, несмотря на то что до сегодняшнего дня неизвестно
никакого аналитического выражения для подсчета / (п). Например,
для п = 10 имеем / (п) = 5, так как среди первых десяти чисел
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 простых чисел будет только пять: 1, 2, 3,
5, 7. Для п — 16 имеем / (п) = 7 и т. д.
С понятием функции мы также встречаемся каждый раз, когда
величины связаны каким-либо физическим соотношением. Напри-
Например, можно утверждать, что скорость самолета v есть функция
мощности w его моторов: v = / {w).
Для того чтобы конкретизировать эту функцию, необходимо
либо теоретически установить, какая именно связь существует между
величинами v и w, либо путем соответствующих экспериментов
составить достаточно подробную таблицу измеренных значений v
для различных w.
В XVIII в. идея функциональной связи более или менее отожде-
отождествлялась с существованием простой математической формулы, точно
выражающей эту зависимость. Такой взгляд оказался слишком
узким и тормозил дальнейшее развитие математики. Поэтому поня-
понятие функции впоследствии в течение долгого времени подвергалось
обобщениям и шлифовке.
Чтобы уяснить суть этого процесса, обратимся к дальнейшим
примерам.
Часто приходится иметь дело с математическими объектами, ко-
которые мы выбираем из некоторого множества S этих объектов. Из-
Избираемый объект Z носит название переменного, множество S —
множеством его изменяемости. Говорят, что «переменное Z пробе-
30
гает множество S», подразумевая под этим, что переменное Z мы мо-
можем отождествлять с любым элементом множества S.
Нет никакой необходимости в том, чтобы множество S перемен-
переменного Z было множеством чисел. Например, 5 может быть множест-
множеством всех точек плоскости, тогда переменное Z будет обозначать лю-
любую конкретную точку плоскости.
S может быть также множеством всех треугольников плоскости,
тогда Z будет любым конкретным треугольником. Не обязательно
также, чтобы множество переменного содержало бесконечное число
элементов. Например, Z может обозначать любого отдельного чело-
человека из населения S данного города в определенный момент времени.
Если каждому значению переменного Z сопоставляется некото-
некоторое определенное значение другого переменного W, то W называется
функцией переменного Z. Способ, посредством которого W связано
с Z, выражается в символическом виде уравнением W = F (Z) (чи-
(читается «W равно F от Z»). Если Z пробегает множество S, то пере-
переменное W пробегает некоторое другое множество, которое обозначим
U. Например, если S есть множество треугольников Z на плоскости,
то в качестве функции W = F (Z) можно, в частности, рассматри-
рассматривать длину периметра треугольника Z. В таком случае множеством
значений функции W будет множество U всех положительных
чисел (периметр треугольника не может быть числом отрица-
отрицательным). Отметим, что два (или несколько) различных треугольни-
треугольника могут иметь равные по длине периметры, так что равенство
F (Zi) = F (Z2) возможно и тогда, когда Zi Ф 1г.
В данном случае каждому значению Z соответствует одно, и
только одно, определенное значение W, но, обратно, каждому зна-
значению периметра W может соответствовать бесчисленное множество
различных треугольников Z, так что в рассматриваемом случае
между переменными Z и W не существует взаимно однозначного
соответствия.
Функциональную связь между величинами W и Z можно уста-
устанавливать не только при помощи математической формулы, но также
при помощи графиков, таблицы или любым другим способом, лишь
бы можно было каждому значению аргумента Z привести в соответст-
соответствие одно или несколько значений функции W.
Таким образом, понятие функции как соответствия между вели-
величинами гораздо шире и включает в себя в виде частного случая и
понятие функции как некоторой математической зависимости, вы-
выраженной той или иной формулой. Действительно, любая математи-
математическая формула, например
W = V~~Z + \ogZ,
также устанавливает соответствие между рядом значений Z и W,
так как, задав любое значение Z, вычисляем по данной формуле
соответствующие значения W.
Точная формулировка понятия функции будет следующая.
31
Определение. Величина W называется функцией перемен-
переменной Z, если каждому значению Z можно привести каким-либо спосо-
способом в соответствие одно или несколько значений W.
Переменная величина Z называется аргументом функции W.
Если в качестве аргумента Z принимают комплексное число z =
= х + iy, или, другими словами, точку комплексной числовой
плоскости, то полученную функцию W называют функцией комплекс-
комплексного переменного. Для ее обозначения употребляют обычно строч-
строчные буквы: w — f (z).
Функция комплексного переменного w представляет собою также
комплексное число, поэтому ее можно представить разложенной на
действительную и мнимые части:
w = f (z) = и -f- iv.
В элементарных функциях такое разделение можно произвести
при помощи простых операций, например
w = 22 = (х + iyJ = х2 + 2ixy -j- (iyf = x2 — у"- + 2ixy
и, следовательно,
и = х2 — у-; v = 2ху.
Таким образом, определить значение функции / (z) — значит
определить и и о, которые являются функциями двух действитель-
действительных переменных х, у:
w = f(z) = u (х, у) + iv (x, у). A. 85)
Если каждому значению z соответствует одно единственное зна-
значение w, то w называется однозначной функцией от z, в противном
случае w называется многозначной функцией. В дальнейшем при от-
отсутствии специальной оговорки будем рассматривать только одно-
однозначные функции.
В случае функции комплексного переменного геометрически
функциональную зависимость w — f(z) нельзя представить также
просто как график функции действительной переменной, так как
это потребовало бы четырехмерного пространства с осями х, у, и, v.
Поэтому принято значения аргумента изображать точками од-
одной плоскости (z-плоскости), а значения функции — точками другой
(w-плоскости).
Каждую точку М г-плоскости функция w= f (z) переводит соот-
соответственно в некоторую точку TV ^-плоскости. Если точка М опи-
описывает некоторую кривую с в г-плоскости, то приводимая ей в соот-
соответствие функцией w = f (г) точка TV опишет некоторую кривую
у в ^-плоскости. В этом смысле говорят, что функция w = /B) осу-
осуществляет преобразование или отображение множества точек М
плоскости 2 на множество точек TV плоскости w. При этом если
32
функция w = f (z) однозначна и двум различным точкам М всегда
соответствуют две различные точки N, то такое отображение назы-
называется взаимно однозначным, или однолистным.
Пример. Рассмотрим функцию w = Чг— D + Зг), которую представим
как сложную функцию, составленную из следующих двух функций:
а) гЛ = 2г,
б) w = Zi — D + Зг).
Вспоминая геометрический смысл умножения (§ 3) и учтя, что
аргумент действительного числа 2 равен нулю, видим, что отобра-
отображение а) есть подобное преобразование 2-плоскости с коэффициентом
Плоскости z и z,
П/ЮСк'ость»/
Рис. 10.
подобия 2. При этом преобразовании любая точка г-плоскости пере-
переходит в точку плоскости zlt удваивая свои координаты. В частности,
окружность в плоскости z будет переходить снова в окружность уд-
удвоенного диаметра.
Преобразование б) представляет собой сдвиг плоскости zx на
постоянный вектор D + 3/).
Отображение, осуществляемое функцией w, состоит из наложе-
наложения, или суперпозиции (т. е. из последовательно выполненных), отоб-
отображений а) и б).
На рис. 10 для наглядности представлено преобразование точек
окружности, осуществляемого функцией w = 2z — D + 3/). Про-
Простоты ради плоскости z и z1 на рис. 10 совмещены.
§ 7. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
Функция
w = f(z)
каждой точке z-плоскости приводит в соответствие одну или несколь-
несколько точек ш-плоскости. В свою очередь, каждой точке ш-плоскости
будет соответствовать одна или несколько точек г, удовлетворяющих
соотношению w = f (z). Поэтому, решив уравнение w = f (г) отно-
относительно z, получим новую функцию
z = F {w),
которая называется обратной функцией.
П. Ф. Фильчаков
зз
Например, для функции w = 2z — D + 3/) обратной функцией
будет z = y w + D + 3/); для функции w = z2 обратной являет-
является функция z = У'w и т. д.
Обратная,функция осуществляет обратное отображение точек
^-плоскости на г-плоскость.
Необходимо отметить, что и прямая и обратная функции уста-
устанавливают одно и то же соответствие между точками 2-плоскости и
да-плоскости, но свойства этих функций и удобства, которые они
создают при вычислениях, различны, поэтому идея обращения функ-
функций широко применяется в математике для получения новых функ-
функциональных зависимостей.
С подобными обстоятельствами мы встречаемся не только в математике.
Например, если мы хотим данное английское слово перевести на русский язык,
то, пользуясь англо-русским словарем, это очень легко сделать.
Однако если мы попытаемся эту же задачу решить при помощи русско-англий-
русско-английского словаря, который для того же самого объема слов устанавливает то же самое
соответствие, но в обратном направлении, то мы вынуждены будем либо пересмот-
пересмотреть весь словарь для того, чтобы найти все значения этого слова (а их может быть
несколько), либо, предварительно угадав это слово, сможем затем только прове-
проверить правильность догадки.
Для того чтобы лучше пояснить эту мысль, обратимся к приме-
примерам. Как известно, длина стержня / есть функция температуры
стержня / = / (f).
Для измерения же температуры эту зависимость удобнее обра-
обратить и рассматривать температуру t как функцию длины стержня
что и положено в основу принципа термометра.
Аналогично, натуральный логарифм числа можно определить,
пользуясь таблицей функции у = ех, однако удобнее построить
«обратную» таблицу
х = 1ш/,
которая, так сказать, устанавливает ту же самую функциональную
связь между х и у, но «с обратной стороны».
Перейдем теперь к выяснению понятия непрерывности.
Простоты ради, рассмотрим график функции действительного пе-
переменного у = f (x), представленный на рис. 11. Для всякого значе-
значения аргумента, кроме х = а, функция у принимает одно и то же
значение, независимо от того, приближаемся ли мы к данной точке
справа или слева. В точке же х = а значения функции справа и сле-
слева различны и, переходя через точку х = а, функция скачком изме-
изменяет свое значение.
Возвращаясь к функциям комплексного переменного, дадим сле-
следующее определение непрерывности функций.
34
Определение 1. Функция w = f (г), определенная в об-
ласти D, называется непрерывной в точке z = с этой области, если
предельное ее значение, при стремлении z к. с, равно ее частному
значению при z = с:
Рис. П.
т. е. если модуль разности |/ (г) — / (с)\ стремится к нулю при стрем-
стремлении \z — с] к нулю; точнее: если при любом наперед заданном по-
положительном числе 8 можно найти
такое положительное число б, что
\г — с|<б.
\f(z) — f(c)\ : е при
Это определение и гарантирует,
что в точке z = с функция w = f (z)
не может изменить скачком свое зна-
значение (в зависимости от направления
пути, по которому мы пришли в точ-
ку комплексной плоскости z = с),
как это имело место для точки х = а (рис. 11), в которой равен-
равенство Нш / (х) = / (а) не выполняется.
х -*■ а
Определение 2. Функция f (z) называется непрерывной
в некоторой области D, если она непрерывна в каждой точке этой об-
области.
Всякая непрерывная функция w = / B) комплексной перемен-
переменной z = х + iy может быть представлена в виде w = и + iv, так
что непрерывность f(z) = и (х, у) + iv (x, у) равносильна непре-
непрерывности двух функций и (х, у); v (x, у) двух действительных пе-
переменных.
В заключение приведем без доказательств (так как оно прово-
проводится топологическими методами) важную теорему, которой будем
часто пользоваться в дальнейшем.
Теорема. Если функция w = f(z) непрерывна в
области D и осуществляет взаимно одно-
однозначное отображение D на некоторое мно-
множество точек А в плоскости w, то А также
является областью и обратная функ ц и я
z = F (w) непрерывна в Д.
Доказательство этой теоремы приведено, например, в [134;
151; 192; 233].
§ 8. ПРОИЗВОДНАЯ. УСЛОВИЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ
Для выяснения понятия производной обратимся к примеру.
Пусть наблюдатель поставил своей целью изучить закон перемеще-
перемещения искусственного спутника Земли, движущегося по небосклону.
3*
35
В распоряжении наблюдателя есть приборы для измерения вре-
времени и пройденного спутником расстояния.
Однако часть небосклона закрыта для наблюдений облаками и
линией горизонта, так что непосредственно можно вести наблюде-
наблюдения только на отдельных, ограниченных участках траектории спут-
спутника. Очевидно, что путем непосредственных наблюдений нельзя
полностью определить функцию, представляющую пройденный
спутником путь s = / (t), которую будем рассматривать как функ-
функцию времени t.
Для того чтобы распространить полученные результаты и на
участки траектории, недоступные наблюдению, необходимо изучить
не только функцию пути s (t), но и функцию скорости перемещения
спутника v (t).
Под средней скоростью перемещения будем понимать величину,
измеряемую отношением пройденного расстояния к промежутку
времени, в течение которого это расстояние пройдено:
s (h) — s (t0)
Кроме средней скорости будем рассматривать также и скорость
в данный момент t:
,j.\ 1- S(ti) — S (t) ,,.
т. е, предел отношения (а), в котором положено to=t и промежуток
времени h — t стремится к нулю.
Далее, пусть выяснилось, что в первом приближении среднюю
скорость движения спутника можно считать постоянной.
Тогда, пользуясь формулой (а), имеем
и, зная из непосредственных наблюдений t0; s (t0), легко вычислим
местоположение спутника в любой момент ti, в который его непосред-
непосредственно нельзя наблюдать.
Скорость v (t), как функция времени t, является, так сказать,
функцией производной от функции пути s (t), функцией, зависящей
от s (t) и полностью определяемой s (t).
Однако производная функция v (t) помогает глубже и полнее
изучить исходную, или, как говорят, первообразную, функцию s {t).
Поэтому для более глубокого изучения любой функции w = f(z)
начали изучать также и функцию, характеризующую быстроту
изменения исходной функции, т. е. производную от функции w, по-
понимая под производной предел отношения приращения функции
f(z+Az)-f(z)
к приращению аргумента Az, когда последний стремится к нулю.
36
Напомним, что разность Z\ — г0, которая показывает, на сколько величина z\
больше или меньше величины г0, называется приращением.. Для обозначения при-
приращения какой-либо величины употребляется прописная греческая буква дель-
дельта: Д.
Так, например, Дг= Z\ — г0 или Дю —w\ — wo есть приращения величины
г или w.
Производная от функции w = / (z) является новой функцией
того же самого переменного z и обычно обозначается W — /' (г)
(читается «эф штрих от зет») или -?-.
Таким образом, по определению
r®=^n'+tt~m. A-36)
Задача вычисления производной /'B) по данной функции / (г)
и составляет предмет дифференциального исчисления, а обратная ей
задача определения первообразной функции / (г) по известной ее
производной /' (г) составляет предмет интегрального исчисления.
Дифференциальное и интегральное исчисления объединяют од-
одним общим названием: анализ бесконечных малых.
Задача теории комплексного переменного и состоит в распростра-
распространении анализа бесконечно малых на функции комплексного перемен-
переменного.
Определение производной, приведенное выше, полностью приме-
применимо и к функциям комплексного переменного, аргументом которых
является комплексная переменная z = х + iy, только с одной, весь-
весьма существенной оговоркой: данный предел не должен зависеть от
пути, по которому Az -» 0.
Воспользуемся этим определением и в качестве примера вычис-
вычислим по формуле C6) производную для функции w = f (z) = г2,
расчленив весь процесс на четыре естественных шага,
1. Найдем значение функции / (г), соответствующее точке
г + Az:
f(z+ Az) = (z+ AzJ = z2+2z ■ Az + (Azf.
2. Определим приращение функции w = f (z) = г2, соответст-
соответствующее приращению аргумента на величину Az:
Aw = f(z+Az) — f (г) = [г2 + 2гЛг + (AzJ] — г2 = 2г • Az + (AzJ.
3. Найдем отношение приращения функции Aw к приращению
аргумента Az:
Aw _ 2г • Дг + (Дг)г = 2г , Дг
Дг Дг
/л - L _
dz
. vr\T тто Л -У /^тчлпижлятп п it ил7 пя^»
Дг
4. Вычислим производную /' (г) = -,—, т. е. определим предел
Дю .
-д^-, когда Az стремится к нулю:
= lim -д— = lim Bz -\- Az) = 2г.
37
Итак, для функции f B) = г2 производной является функция
f'(z) = 2z.
Рекомендуем читателю, пользуясь формулой бинома Ньютона
(которая справедлива также и для комплексных чисел)
(z + а)п = zn + nz"-^ + п(п~l) zn~2a2 + ...+ап
и приведенной выше схемой, доказать, что для функции w = zn
производная будет
до' = nz"—1.
Так как обычные свойства алгебраических действий и действия
перехода к пределу сохраняются при переходе к функциям комплекс-
комплексного переменного, то сохраняются и обычные правила дифференци-
дифференцирования, вывод которых основан лишь на упомянутых свойствах:
\f(z) + F(z)]' = f'(z) + F'(z); A.37)
[/ (z) F (z))' = /' (z) -F(z)+f {z) • F B); A. 38)
z)V _f'(z)-F(z)-f(z). F'(z) . ,, oqn
]y = F[f(z)].f'(z). A.40)
В последней формуле F [f (z)] обозначает сложную функцию, аргу-
аргумент которой, в свою очередь, есть функция / (г) переменной z. Ве-
Величина же F'[f (г)] = F' (t) обозначает производную по t, где
t = f (z).
Из формулы C8), в частности, вытекает, что постоянный множи-
множитель можно выносить из под знака производной. Действительно,
положив в формуле C8) / (г) = С = const (тогда1 /' (г) = 0), имеем:
[CF (z)Y = С - F (г). A.41)
Ряд других важных формул дифференциального исчисления для
функций комплексного переменного мы выведем в дальнейшем, а
сейчас дадим точную формулировку понятия производной функции
комплексного переменного.
Определение. Производной f (z) = — функции комп-
комплексного переменного w = f (z) называют предел отношения прира-
приращения функции Ддо= / B + Az) — f (z) к приращению аргумента
А2, когда последний стремится к нулю,
1 Если f (г) = С, то приращение функции /(г) равно тождественно нулю
f (г + Дг) — f (г) = С — С = 0 и, согласно формуле C6), производная от по-
постоянной величины тождественно равна нулю:
/'B) = (С)'=0.
38
при условии, что этот предел существует и не зависит от пути,
по которому приращение Дг стремится к нулю.
Последнее условие налагает существенные ограничения на класс
функций комплексного переменного, требуя независимости произ-
производной от направления дифференцирования.
К более подробному рассмотрению этого вопроса мы и перехо-
переходим.
Выберем два каких-нибудь значения комплексной переменной
Zi = Xi + iyi и 2г = х2 + /г/2- Тогда приращение переменной z =
= х + iy выразится через приращения величин х и у следующей
формулой х:
Дг = г2 — гх = (х2 + iy2) — (xi + iyi) = (х2 — хх) + i (у2 — ух) =
= Ах + /Дг/.
Представим также и функцию w = f(z) с отделенной действитель-
действительной и мнимой частями:
w = f{z) = u(x, y) + iv(x, у).
Для того чтобы предел
ц /(г+Аг)-/М
дг-^о Дг
не зависел от пути, по которому Дг= Ах -\-iAy стремится к нулю,
т. е. для того, чтобы / (г) = и + iv имела производную, функции
и (х, у) и v (х, у), очевидно, не могут быть совершенно произволь-
произвольными, а должны удовлетворять определенным условиям.
Найдем, прежде всего, необходимые условия существования
производной. Для этого предположим, что / (г) = и + iv имеет
производную в точке z = х + iy, или, как говорят, дифференцируема
в точке z, и выведем отсюда следствия, касающиеся и (х, у) и v (x, у).
Существование производной, которое мы предположили, озна-
означает, что приращение Дг =Ах +/Дг/ может идти к нулю любым спо-
способом. Возьмем два частных способа приближения точки z -\- Az
к точке z.
При первом способе будем считать, что точка z -f- Дг стремится к
точке г вдоль прямой, параллельной оси Ох, тогда:
у = const, Ay = 0, Az = Ax, A. 42)
а при втором способе будем считать, что г -f- Дг стремится к г вдоль
прямой, параллельной оси Оу:
х = const, Ах = 0, Дг = /Дг/. A. 43)
1 Приращение Дг можно также рассматривать как величину, которую надо
прибавить к значению г = zi для того, чтобы получить новое, измененное значение
г2 = гх + Дг.
39
Выразим теперь производную /'(г) в общем случае через при-
приращения функций и (х, у) и v (х, у):
/ V«7 — »"" Дг —
= ]jm [и (* + Дх, у + Ay) + to (x + А у, у + Ay)] — [u (x, y) + to (x, y)] _
Ги(*+А*, у+Ау)—«(*■ У) . ;-о(ж + Ах, у+дУ)— р(*. уI ,} 44)
[ iAy "г" hx + iSy \Л >
Из этой формулы при первом способе стремления Дг к нулю,
т. е. при выполнении условий D2), имеем:
Р (у\ - lim Г"(х+Ах, У) — и(х, у) . v(x + Ax, y) — v(x, у)Л
Так как мы предположили, что /'(г) существует, то действитель-
действительная и мнимая части выражения в квадратных скобках должны иметь
предел. Другими словами, функции и (х, у) и v (x, у) должны иметь
частные производные1 по х, причем должно иметь место равенство
Аналогично, при втором способе приближения точки z -f- Az
к точке z будем иметь согласно D3) и D4):
Г (г) = lim["(*' у +лу)~ц(*' у) i • р (*, У + ду) — " (*■ у)]
' д [ 'ДУ + (ДУ J
или, переходя к пределу и учитывая, что
J_= J _J__ _ .
получим
/' (г) = v\' у' — / "(*' у>. A-46)
' ч ' ду ду v '
Сравнивая выражения D5) и D6), получаем необходимые условия
существования производной f'(z), которым должны удовлетворять
частные производные функций и (х, у) и v (x, у):
дх ду ' ду дх
1 Напомним, что для функций двух (или многих) переменных частной произ-
производной называется производная, вычисленная в предположении, что все аргументы,
кроме одного, сохраняют постоянное значение.
Для обозначения частных производных употребляются специальные знаки
—; —-. Подробнее об этом можно найти, например, в § 89 книги А. Я- X и н-
дх ду
чина, Краткий курс математического анализа, Гостехиздат, М.—Л., 1953.
40
Необходимое условие не всегда является одновременно и усло-
условием достаточным. Вообще говоря, необходимые условия более
узки, чем условия достаточные, и лишь в отдельных частных случаях
они могут совпадать.
Например, необходимым условием возможности полета пассажирского само-
самолета является наличие горючего. Однако одного этого условия еще недостаточно:
для того чтобы самолет действительно мог отправиться в рейс, его моторы должны
быть в исправном состоянии, погода должна быть летной, должен быть в наличии
хотя бы один пассажир, мотор должен быть заправлен не только горючим, но и
смазочным материалом и т. д.
В рассматриваемом нами случае необходимые условия дифферен-
дифференцирования функции комплексного переменного / (г) являются одно-
одновременно и условиями достаточными, т. е. при выполнении условий
D7) предел lim ^г Л остается одним и тем же при любом
стремлении Дг к нулю, а не только при рассмотренных выше двух
частных способах D2) и D3), к доказательству чего мы и переходим.
Итак, будем считать, что условия D7) выполнены, и предположим,
кроме того, что все частные производные функций и (х, у) и v (x, у)
существуют и непрерывны в данной точке г.
Достаточность условий D7) можно доказать без предположения
ди ди ди ди
о непрерывности частных производных -=- , -~-, -^-, -=—, см.,
например, [109; 192].
Давая г произвольное приращение Дг =Ах +iAy и применяя
теорему о конечных приращениях, найдем
Аи (х, у) = и (х + Ах, у + Ау) — и(х, у) = и(х+ Ах, у + А у) —
— и(х, у + Ау) + и(х, у + Ау) — и(х, у) =
Ау) д ди(х, у + SiAy) д
"^ ду у
дх "^ ду
@ < в; вх < 1)
или, принимая во внимание, что частные производные непрерывны,
получим
( у) (ъ + )+ (If + б2)
и аналогично
Д* <*.*) = (£+«.) Л*+ (£ + *) Л*
где ex, е2, 83) е4 — бесконечно малы вместе с Дх и Ау. В таком
41
случае, заменяя -=- и -^-согласно условиям D7), получим:
f(z + Az)-f(z) = Аи + iAv =
i
(| 851 -> 0; ee [ -> 0 при Az -> 0).
Следовательно, так как Ах + iAy = Az, то
: + Дг)-/(г)_
Дг
e5Ax + е6Ду
Но при Ах -> 0, Ау -> О:
85Д*
Дд; + (Дг/
I Дх
Дд;
и поэтому
/' B) = lim
г)-/(г)
ди
■ dv
Дг
что и требовалось доказать.
Пользуясь условиями D7), производную функции / (z) можно
представить в следующих равносильных формах:
-, . . ди . dv dv . du du . du dv . dv ,, .„,
Пример 1. Функция f (г) = г2 = (д; -f- iyJ = x2 — у2 -f- 2ixy дифферен-
дифференцируема в каждой точке плоскости г. Действительно, в данном случае и = х* — у2;
v = 2ху, так что
ди. ди dv dv
dx ' dy dx dy
и условия D7) выполняются всюду. Таким образом,
du dv
f (г) = -=— + (-з— = 2дг + 2iy = 2 (д; + iy) = 2г,
что полностью согласуется с результатом, полученным па стр. 37.
Пример 2. Непрерывная во всех точках плоскости г функция f (г)=
du
= г = х — iy ни в одной точке не дифференцируема, так как — = 1;
dx
ди dv dv
— = 0; — = 0; = — 1 и первое из условии D7) не выполняется.
о(/ dx dy
42
Этот факт можно доказать и непосредственно:
-/(г)_ [(а: + Ад;) — i(y + Ay)] — [x — iy] = Ax — iAy
Аг Аг Ах + iAy
Дг + Дг)—/(г) Ау
и предел -т зависит от предела отношения -г—, т. е. от пути, по ко-
которому Дг будет стремиться к нулю.
Условия D7), которые играют исключительно важную роль в
теории функций комплексного переменного, называют обычно ус-
условиями Коши-Римана.
Однако это не вполне соответствует истории вопроса, так как
впервые эти условия неоднократно встречались в трудах Даламбера
A752) и Эйлера A755 и 1777) при рассмотрении задач гидродинами-
гидродинамики, картографии и др., а также в работах Лагранжа A762—1765,
1799). В работах Коши A789—1857) и Римана A826—1866), которые,
по сути, положили начало теории функций комплексного перемен-
переменного как самостоятельной дисциплины, но появившиеся почти на
сто лет позже, эти условия получили более общий смысл [339; 363].
Поэтому, следуя предложению А. И. Маркушевича [151], будем
условия D7) называть условиями Даламбера — Эйлера.
Учитывая важность полученных результатов, сформулируем их
в виде следующей теоремы.
Теорема. Пусть функция f (г) = и (х, у) + iv (х, у)
определена в некоторой окрестности точ-
точки z = х + iy, причем в этой точке функции
и (х, у) и v (х, у) дифференцируемы.
Тогда, для дифференцируемости функ-
функции комплексного переменного /(г), в точке
z необходимо и достаточно, чтобы в этой
точке выполнялись условия Даламбера —
Эйлера:
ди dv ди до
дх ду ' ду дх '
§ 9. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Однозначная функция называется регулярной, или голоморфной,
в точке z, если она непрерывна и дифференцируема в некоторой ок-
окрестности точки z.
Функция / (г), дифференцируемая только в самой точке, но не в
ее окрестности, называется моногенной в этой точке.
43
Таким образом, функция называется регулярной в точке г, если
она моногенна в точке 2 и в ее окрестности.
Многозначная функция / B) называется регулярной в точке 2,
если, выбрав в г одно из значений / (г), можно в остальных точ-
точках достаточно малой окрестности 2 выбрать значения функции
/ (г) так, чтобы образовалась функция, однозначная и регулярная
в точке 2.
Если / B) регулярна в каждой точке области D (без всякого иск-
исключения), то она называется регулярной в области D.
Определение. Функция комплексного переменного w =
= / (z) (однозначная или многозначная) называется аналитической
в области D, если она регулярна во всех точках ее, за исключением,
быть может, множества изолированных точек, не нарушающих
связности области D.
Точки области D, в которых нарушается регулярность аналити-
аналитической функции (т. е. в которых функция не имеет производной
или терпит разрыв непрерывности), называют особыми точками
(подробнее об особых точках см. § 28).
В предыдущем параграфе мы показали, что требование дифферен-
дифференцируемое™ функций комплексного переменного гораздо более силь-
сильное, чем для функций действительного переменного. Предполагая
дифференцируемость функции w = f (z) в точке г, мы считаем, что
предел отношения л будет одним и тем же незави-
независимо от направления, по которому переменная точка г + Дг при-
приближается к фиксированной точке г.
Это требование сильно ограничивает класс функций комплекс-
комплексного переменного, исключая из рассмотрения функции, у которых
,. /(г + Дг)— /(г)
предел lim '-*—'■—т-—'-^- существует, но зависит от направления,
по которому Дг стремится к нулю. Такие функции, согласно оп-
определению § 8, не имеют производной и не являются аналитиче-
аналитическими.
С другой стороны, только это ограничение и придает теории ана-
аналитических функций исключительную стройность и законченность.
В частности, только благодаря принятому выше определению произ-
производной интеграл от аналитической функции является также анали-
аналитической функцией и не зависит от пути интегрирования; все пра-
правила дифференциального и интегрального исчисления, выведенные
для функций действительного переменного, полностью применимы
к аналитическим функциям; причем из существования первой про-
производной аналитической функции вытекает существование ее про-
производных любого порядка и т. д.
Кроме того, класс аналитических функций достаточно широк.
Например, все элементарные функции, тригонометрические, гипер-
гиперболические, логарифмические и эллиптические функции принадле-
принадлежат к классу аналитических функций.
44
Далее, сумма, разность, произведение и частное аналитических
функций, а также аналитическая функция от аналитической функ-
функции будут снова аналитическими функциями.
В заключение отметим, что если / (z) в данной точке имеет произ-
производную f'(z), то / (г) в этой точке непрерывна. Однако обратное ут-
утверждение не всегда справедливо, т. е. из непрерывности функции
еще не следует, что производная существует и мы видели пример
функции, непрерывной для всех значений z, которая ни в одной точ-
точке не имеет производной.
Это утверждение доказывается вполне аналогично случаю функ-
функции действительного переменного [233; т. I, § 45].
Для дальнейшего изложения будет еще играть важную роль сле-
следующая теорема, которая также доказывается аналогично случаю
функций действительного переменного.
Теорема. Если w = / B) есть аналитическая
функция переменного z и каждому значе-
значению w соответствует одно и только одно
значение 2, то обратная функция
z = F(w)
является аналитической функцией пере-
переменного w (при всех тех значениях w и z,
для которых f (г) Ф 0) и ее производная оп-
определяется равенством
F'(w) = -j^. A.49)
Другими словами, производная функции, обратной к данной,
равна величине обратной к производной данной функции.
§ 10. ИНТЕГРАЛ ОТ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
В теории вещественных функций интеграл, с одной стороны, вво-
вводится как функция, определяемая действием, обратным дифферен-
дифференцированию («неопределенный интеграл»), а с другой стороны, — как
предел некоторой суммы («определенный интеграл»), после чего дока-
доказывается, что оба эти определения совпадают. Вполне аналогично
можно поступать и для интеграла от функции комплексного пере-
переменного.
Пусть w = /(г) есть кусочно-непрерывная и ограниченная функ-
функция комплексного переменного 2, определенная в некоторой области
D, и пусть С — произвольная кусочно-гладкая линия (см. § 5),
лежащая в этой области с началом в точке г0 и концом в точке г
(рис. 12). Разобьем дугу zoz на произвольное число п частичных дуг
при помощи точек г0, г1; г2, ..., гп~\, zn = 2, расположенных после-
45
довательно в положительном направлении линии С. Пусть, далее,
£* — некоторая точка на дуге zk-\Zk. Составим сумму произведений
fe=i
я) Аг2
где Azfe= 2ft+i — zk есть приращение переменного 2.
Предел этой суммы при безграничном возрастании числа делений
п и безграничном уменьшении каждой из дуг
zk-\Zk и называется интегралом от / (г) вдоль кри-
вой С:
Введем обозначения:
Qk = 5* + «il*. / (Qk) =
При этих обозначениях:
f (£*) Azft
*=i
»(Б*.
—o(E*.
k=\
+ « ][] [о (Е*. il*) Ах* + «(Е*, il*) A^ft].
*=1
При сделанных предположениях о f (z) и линии С обе суммы,
стоящие в правой части, стремятся к пределам, равным соответст-
соответствующим криволинейным вещественным интегралам:
U(z)dz=Uu(x, y)dx — v(x, y)dy] +
с с
+ i{[v(x, y)dx+u(х, у)dy]. A. 50)
с
Эта формула и дает выражение интеграла от функции комплексного
переменного через два обычных вещественных криволинейных ин-
интеграла, вычисление которых легко сводится к вычислению обыкно-
обыкновенных интегралов [39, гл. V, § 29; 233, т. II, § 66].
46
Формулу E0) легко запомнить, если написать ее в таком виде:
U{z)dz=Uu + to) (их + Idy). A. 50')
с с
При обозначении интеграла часто вместо кривой С указывают
2
только ее концы (А = z0, В = z ) и пишут [f{z)dz или Г f(z)dz.
20 АВ
В частном случае кривая С может быть замкнутой; очевидно,
что данное выше определение интеграла годится и для этого случая.
Интеграл по замкнутой кривой обычно обозначают так:
§f(z)dz.
Для иллюстрации вычислений интеграла от функции комплекс-
комплексного переменного рассмотрим следующий пример:
ydz ^^xdx — ydy +i\^ydx + xdy = j xdx — ydy + i]d(xy) =
z0 С С С С
-Iх* У2 Л- !пЛ \Х- У - (* + lyf - (*о + iyuf _ 1 , 2 2ч
2
и в случае замкнутой кривой С:
zdz = 0.
Как видим, в данном примере мы получим тот же самый резуль-
результат, если формально воспользуемся обычными правилами интегри-
интегрирования функций действительного переменного.
В дальнейшем будет показано, что и в общем случае техника ин-
интегрирования функций комплексного переменного в принципе не
отличается от обычной техники интегрирования функций дейст-
действительного переменного.
Из формулы E0) непосредственно вытекают основные свойства
интеграла от функции комплексного переменного, вполне аналогич-
аналогичные свойствам обычных криволинейных интегралов.
1. При изменении направления обхода пути интегрирования ин-
интеграл изменяет только свой знак:
^ ^ A.51)
ВА АВ
2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
\af(z)dz = a\f(z)dz. A.52)
с с
47
3. Интеграл от суммы нескольких функций равняется сумме ин-
интегралов от отдельных слагаемых:
= С fx (z) dz + \f2 {z)dz+...+ \fn (z) dz. A. 53)
ё z с
4. Если путь интегрирования А В разбит на несколько частей
ААХ, АхАг, ...,An-iB, то интеграл по всему пути равняется сумме
интегралов по отдельным его частям:
A.54)
AB
5. Так как
п.
= j f{z)dz+
AA,
V
где \sk—длина дуги, которая соответствует хорде |Azft|, то, пере-
переходя к пределу при п -> оо, получаем
A.55)
лв
В частности, если М обозначает максимум модуля функции
f (z) на дуге А В, а / — длину дуги А В, то из последней формулы
получаем
f(z)dz
АВ
■ Ml.
A.56)
К этим вопросам мы вернемся еще в § 24, а сейчас перейдем к
изучению простейших функций комплексного переменного.
§ 11. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ. НУЛИ И ПОЛЮСЫ
Рациональными называются функции, которые могут быть опре-
определены при помощи не более чем четырех основных действий (сло-
(сложения, вычитания, умножения и деления), производимых над не-
независимым переменным z и постоянными (вообще говоря, комплекс-
комплексными) числами. Число выполненных действий, кроме того, не долж-
должно быть бесконечно большим.
Среди рациональных функций особенное место занимают функ-
48
ции, которые могут быть определены при помощи не более чем трех
действий — сложения, вычитания и умножения. Это — функции
целые рациональные, иначе целые многочлены, или полиномы.
Так как действие вычитания может быть заменено действием
сложения и умножения на постоянную величину с = — 1:
А — В = А + {— 1M,
то мы приходим к следующему результату.
Определение. Целой рациональной функцией, или полино-
полиномом, называется всякая функция, которая может быть построена
из независимой переменной z = х + iy и постоянных чисел с = a -\-ib
посредством конечного числа сложений и учножений.
Требование конечного числа сложений и умножений сущест-
существенно, так как при бесконечном их числе функции могут быть не-
нерациональными, примером чего служат бесконечные степенные
ряды или произведения, определяющие трансцендентные функции.
Обозначают полином обычно при помощи символа Р (z).
Выполнив все операции, которыми определен данный полином,
и приведя подобные члены, всегда можно полином степени п пред-
представить в следующем виде:
Р (z) =ca + cxz + cz81 + • • • + СпЛ A. 57)
где с„, d, ..., с„ — постоянные (комплексные) коэффициенты. При
этом с„ =f'- 0, в противном случае полином Р (г) будет иметь степень
меньшую чем п.
Этот же полином, как известно из алгебры, можно разложить на
множители, тогда он примет вид
P(z) = cn(z-air(z-a2t*...(z-ak)nk (сяФ0), A.58)
где щ, щ., ..., nk —целые положительные числа, причем
«1 + ГЦ + . . . + Пк = П.
Комплексные числа ах, а2, ..., ak называются корнями, или (как
более принято говорить в теории функций комплексного перемен-
переменного) нулями, полинома Р (г), а числа %, /гг, ..., nk— кратностями
этих нулей.
Нуль кратности единица называется простым.
Примерами полиномов могут служить следующие выражения
(причем деление в третьем примере на постоянное число 4 не проти-
противоречит определению полинома, так как может быть заменено умно-
умножением на V4):
Рг B) = 4 A + zf = 4 + 82 + 4г2,
Р2 (z) = {[(Зг + 0 B — 50 + Ю] 2 + i} 2 = iz + A5 + 2/) г2 +
+ 3B — 5г) г3,
ЗД - ^^ + 2B2-42*) = -1+ 222-|2=.
49
Докажем, что полином Р (г) есть функция аналитическая во
всей области комплексного переменного.
Говоря о «всей плоскости переменного г», мы не рассматриваем по-
пока так называемой бесконечно далекой точки z = оо, которая будет
рассмотрена в § 29.
Плоскость с исключенной точкой z = оо называется открытой,
или незамкнутой, плоскостью в отличие от замкнутой плоскости,
в состав которой входит также и точка z = оо.
Легко убедиться, что простейший полином /г-й степени
P(z) = zn A.59)
при целом положительном п имеет во всей плоскости переменного
z непрерывную производную
P'(z) = nzn-\ A.60)
т. е. полином Р (z) = zn является аналитической функцией во всей
открытой плоскости комплексного переменного z.
Действительно, воспользуемся алгебраическим тождеством
Ап — вп = (Л — В) (А" + Ап~2В +Ап~3В2 ^ + АВп~2 + В"~')>
в котором А и В являются комплексными числами. Справедливость
этого тождества легко непосредственно проверить, перемножив мно-
многочлены правой его части.
Положив в этом тождестве А = z -\-Az и В = z, будем иметь
(z + Azf -zn=Az [(z + Дг)"-1 +z(z+ Az)"-2 +...+
В таком случае, применяя формулу C6) к функции w = f (z) = Zn,
получим
w- = щП
= lim [(z + Azf-[ + z(z + Дг)"-2 + ... + zn~2 (z + Дг) +
Дг-э-0
В пределе при Дг-> 0 каждое из слагаемых, находящихся в квад-
квадратных скобках, стремится к величине г"-', а число таких слагаемых
равно 1 + (п — 1) = п, в силу чего и получаем равенство F0):
Р' (г) = /и".
Воспользовавшись теперь формулами C7) и D1), находим, что
для произвольного полинома /г-й степени E7):
Р (г) = cQ + cxz + с2г2 + ... + cnzn
5b
производной будет служить следующий полином степени п — 1:
Р' (z) = d + 2с,2 + Зс322 + ... + ncnzn-\ A. 60')
Из того факта, что полином /г-й степени имеет всюду производ-
производную, вытекает (см. § 9), что полином Р (z) является непрерывной
функцией во всей плоскости комплексного переменного z, за исклю-
исключением точки z = оо.
Следующими по сложности после целых рациональных функций
(полиномов) являются дробные рациональные функции. Эти функции
могут быть заданы при помощи конечного числа арифметических
операций, выполняемых над переменной z и постоянными коэффи-
коэффициентами. При этом операция деления на переменную z должна
обязательно быть для того, чтобы дробная рациональная функция
не являлась полиномом.
Примерами дробных рациональных функций могут служить сле-
следующие функции:
±-
Всякую рациональную функцию можно в результате тождест-
тождественных преобразований представить в виде отношения двух поли-
полиномов:
= ао + ^г+.-.+У = я„(г-аО<*(г-а,)я»...(г-айуЦ
где
п-х + пг + ... + nk = п; Ш\ + гп2 + .. + Щ = т;
пх, пъ .... nk; т.\, гпъ ■ ■ ■, Щ—целые положительные числа.
При этом, сокращая числитель и знаменатель на общий множи-
множитель, если он имеется, всегда можем достичь того, чтобы полиномь!
в числителе и знаменателе были взаимно простые, т. е. чтобы онине
имели общих корней.
Производную для функции w легко вычислить, воспользовавшись
формулами C9) и F0').
Таким образом, дробная рациональная функция есть функция
аналитическая во всей незамкнутой плоскости комплексного
переменного, регулярная в любой ограниченной области, которая не
содержит нулей знаменателя.
Числа <хь <х2 ak суть ее нули с кратностями %, щ, ..., nk.
Корни знаменателя рь р2. •••. Р/ суть особые точки этой функции,
которые называются полюсами с кратностью тх, m2, ■■•, Щ.
Полюс кратности единица называется простым.
4* 51
Очевидно, что всякий нуль функции w (z) есть полюс функции
■—7-j с сохранением кратности, а также всякий полюс функции w (z)
есть нуль той же кратности функции ——.
§ 12. ПРОСТЕЙШИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ.
ТОЧКИ РАЗВЕТВЛЕНИЯ
Функция
w = Vl A.62)
обратная к функции z = wn, /г-значная (п — целое положительное
число). Например, при п = 2 каждому значению z соответствуют
ада значения: wx = -\-~\ z nw2 = — ]Лг, отличающиеся множителем
4т 1 ИЛИ —1.
В общем случае каждому значению переменной г, которую здесь
удобнее рассматривать в тригонометрическом виде
z = r (cos ф -f ' sin ф),
кроме значения z = 0, на основании формулы B9) (§ 4) будет соот-
соответствовать п значений w:
о>1 = + у г cos -з— -f i sin -J— ;
\ п п I
п. г— ф + 2я , . . ф + 2я \
w2 = -f у г f cos -=—■ f- i sin -=—! ;
nr—\ ф + 2(п— 1)я , . . ф+2(я—1)я] /. „n.
wn = + у r cos v ^ yn '—+ t sin ^ ^ rc '—\. A.63)
Для каждого фиксированного значения z — г (cos ф+ i sin ф)
все п значений щ, w2, .... wn расположатся на окружности радиуса
в вершинах правильного /г-угольника.
Выберем какое-либо значение z0 = r0(cos ф0 + г з1пф0) перемен-
переменной z и будем соответствующие ему п значений w обозначать [°>
Начнем перемещать точку z по некоторой непрерывной, само-
самонепересекающейся замкнутой кривой С, не проходящей через на-
начало координат. Отметим, для наглядности, еще несколько промежу-
промежуточных точек, например гь z2.
Каждой из этих точек будут соответствовать свои п значений
«*{'>, да*", ...,wV> и wM,w&),..., teA2) функции w (рис. 13,0, где для кон-
конкретности, положено п = 4). Если точка г, пройдя всю кривую С,
вернется в начальную точку z0, то и каждое из значений wlt w2, ..., wn
52
также вернется в свое исходное положение, описав в плоскости w
замкнутые кривые уьУг. •■•, уп, так как при этом argz = ф, достиг-
достигнув своего максимального значения ф2, возвратится к своему на-
начальному значению arg?o=90.
Если же точка 2 = 0 лежит внутри контура С (рис. 13,6), то
картина будет совершенно иная. Совершив однократный обход по
Рис. 13.
кривой С и возвратившись в начальное положение г„, модуль z
примет свое исходное значение г0 = |г„|, а аргумент увеличится на
2л. Поэтому конечные значения w\ (j = 1, 2, ..., п) совпадут с
начальными значениями оду-+1 (wn+l = w-i). После п-кратного об-
обхода кривой С значения щ, щ, ..., wn совпадут с первоначальными
значениями w^\ w^ о/°) и пути, описанные точками w%, щ,---, wnj
образуют одну замкнутую линию (рис. 13, б).
Таким образом, в любой области D переменного z, которая не
содержит ни одной замкнутой кривой, обходящей точку 2 = 0,
можно выделить п непрерывных и однозначных функций, принимаю-
53
щих каждая одно из значений F3); эти п функций называются ветвя-
ветвями многозначной функции w = v 2 ; их значения в каждой фиксиро-
фиксированной точке отличаются одно от другого только множителем
(cos-^--\-1'sin——), по модулю равным единице. В каждой точке
\ ft t\ J
области D применима теорема о производной обратной функции
(§ 9), согласно которой будем иметь
, п,— . 1
dw __ 1 _ 1 у г _ 1 л
~dz ~~~ (w"Y ~~ n z ~~ n
Следовательно, каждая из построенных ветвей функции w = Vz
в области D, не содержащей точки 2 = 0, является регулярной функ-
функцией.
Если же область D содержит хотя бы одну замкнутую кривую,
обходящую точку г = 0, то в такой области нельзя ветви функции
w = yrz отделить друг от друга и, следовательно, функцию w = y^z
нельзя уже рассматривать как совокупность отдельных однознач-
однозначных регулярных функций.
В самой точке 2 = 0 значения всех п ветвей wx wn совпадают.
Точка 2 = 0, в любой окрестности которой нельзя отделить п
п ,—
различных ветвей функции w = у z, называется точкой разветвле-
разветвления этой функции. Точка разветвления, так же как и рассмотренные
ранее полюсы, является особой точкой, в которой аналитическая
функция теряет регулярность.
Итак, w = V^z есть многозначная (n-значная) аналитическая
функция в незамкнутой плоскости 2, регулярная во всех ее точках,
кроме точки разветвления 2 = 0.
Для более полного и глубокого изучения многозначных функций
служат специальные многолистные поверхности, предложенные
выдающимся немецким математиком Бернгардом Риманом (В. Rie-
тап, 1826—1866) и получившие название поверхностей Римана.
К этому вопросу мы еще вернемся в § 30.
Рассмотренные в § 11 и 12 функции принадлежат к более широко-
широкому классу алгебраических функций.
Алгебраической называется такая функция, связь которой с ее
аргументом можно представить в виде алгебраического уравнения
F(z; w) = P0(z) + P1(z)w + ...+Pn(z)ur = 0, A.64)
где п — целое положительное число, a P0{z), Pi (г), ..., Р „(г) —
целые полиномы произвольных степеней. Полином F (г; w) считаем
неприводимым, т. е. таким, который не разлагается на два или боль-
больше полиномов более низких степеней.
Если п = 1, то w будет рациональной функцией, если же/г> 1,
то w называется иррациональной функцией от 2.
54
Всякая неалгебраическая функция называется трансцен-
трансцендентной.
Для рассмотрения даже простейших трансцендентных функций
необходимо знакомство с основными положениями теории рядов
с комплексными величинами, к чему мы и переходим.
§ 13. РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ
Все основные результаты, полученные для рядов с действитель-
действительными членами, легко обобщаются на случай рядов с комплексными
членами. Поэтому мы ограничимся наиболее кратким изложением
вопроса. Более подробные сведения о рядах можно найти, напри-
например, в книгах [8; 134; 192; 233; 291].
Выражение вида
СО
5]e, A.65)
члены которого сь с2 сп суть числа или функции, называют,
соответственно, числовым или функциональным рядом. Если сп
комплексные величины, то ряд определен в комплексной области.
Суммы Si = сь s2 = Ci + с2 sn = сх + с2 + ... + сп назы-
называются частичными суммами ряда, а член с„ — общим членом ряда.
Для обозначения ряда употребляют специальный символ сумми-
суммирования, состоящий из большой греческой буквы сигмы S и индекса
суммирования п, который пробегает все целые значения подряд от
п = 1 до п = оо, как и обозначено в правой части равенства F5).
Иногда, для подчеркивания, говорят бесконечный ряд, но слово
бесконечный здесь излишне, так как по самому определению ряд
обязательно должен состоять из бесконечного числа членов. Конеч-
Конечный ряд называют, обычно, конечной суммой, а в случае степенных
рядов —полиномом (см. § 11 и 15).
Определение 1. Если су чма п первых членов бесконечной
последовательности комплексных чисел
сц = «1 + ibi, а-2 = а», + ib%, ..., <х„ = ап + ibn
при неограниченном возрастании п стремится к определенному ко-
конечному предельному значению
lim sn = lim [(ax + if*) + (а2 + ib2) + ... + (а„ + ibn)\ = А + iB,
П—>Со И—>Со
то числовой ряд
S = {ai + ih) + (eg + ibt) + . .. + (а„ + ibn) + ...=
A.66)
называется сходящимся, а число S = A + iB называется его суммой.
55
Если же при неограниченном возрастании п величина sn не стре-
стремится ни к какому пределу, то ряд F6) называется расходящимся.
Примерами расходящихся рядов могут служить следующие:
S = / -f 2i + 2>i + Ai + Ы + ... + ni + ...,
S = z + 2г — z — 22+2+22 — 2 — 2г + ..., где z = x + iy.
В первом примере при неограниченном увеличении числа членов
S -> оо. Во втором примере при неограниченном возрастании числа
членов сумма S не растет безгранично, а принимает только одно из
следующих значений 2, Зг, 2г, 0, однако S не стремится ни к ка-
какому определенному пределу при п -> оо. Такие ряды иногда назы-
называют колеблющимися.
Из определения 1 непосредственно вытекает, что ряд F6) сходится
тогда, и только тогда, когда в отдельности сходятся два ряда с дей-
действительными членами, образованные из действительных и мнимых
частей членов ряда F6):
Ox + Q-2 + . .. + йп + . .. = У пп,
"=' A. 66')
Ъх + h + .. - + Ьп + ... = Y. К-
Необходимое и достаточное условие Коши для сходимости ряда
сохраняет силу и для рядов с комплексными членами. Таким обра-
образом, для сходимости ряда F6) необходимо и достаточно, чтобы произ-
произвольно заданному положительному числу г можно было поставить
в соответствие такое целое положительное число N, что при п > N
п+р
A.67)
где р — произвольное целое положительное число.
Другими словами, достаточное условие Коши сходимости беско-
бесконечного ряда заключается в требовании, чтобы модуль суммы произ-
произвольного числа членов ряда после /г-го члена был меньший чем е.
Что касается первых п членов ряда, то они могут быть любыми
ограниченными величинами и их значение на сходимость ряда не
отражается, а изменяет лишь на конечную величину значение суммы
ряда.
В частности, из условия Коши при р — 1 вытекает, что необходи-
необходимым (но недостаточным) условием сходимости ряда F6) является
стремление его общего члена к нулю при п -> оо:
\im(an + ibn) = 0. A.68)
56
Если условие F8) не выполняется, то ряд не может быть сходя-
сходящимся. Однако есть ряды, например известный из анализа гармо-
гармонический ряд
1 + Т + Т+- + Т+ —
для которых условие F8) выполняется, но ряд является расходя-
расходящимся.
Доказать расходимость гармонического ряда можно следующим путем.
Сравним гармонический ряд (выделив в нем для наглядности группы из 2,
4, 8, ... членов) с другим рядом, расходимость которого легко доказать.
2 члена 4 члена 8 членов
Во втором ряду каждая группа, заключенная в квадратные скобки, равна -к.
Так как рассматриваемый ряд содержит таких групп бесконечное множество, то
его сумма будет величина бесконечно большая, следовательно, ряд расходящийся.
Но ведь каждый член гармонического ряда больше соответствующего члена
второго ряда или равен соответствующему члену второго ряда, поэтому гармони-
гармонический ряд и подавно расходится.
В силу указанных обстоятельств выполнение условия F8) еще
не гарантирует сходимости ряда, т. е. это условие является необхо-
необходимым, но недостаточным.
Для рядов с комплексными членами остаются справедливыми
также следующие простейшие свойства сходящихся рядов с дейст-
действительными членами.
1. Свойство сходимости или расходимости ряда не изменится,
если все его члены умножить на одно и то же число, отличное от
нуля.
2. Если ряды
Sl = <z1+a2 +... + «„+... = \ ak, A.69)
s2 = Pi + P2 + • • • + Р„ + • • • =
сходятся и имеют суммы, соответственно равные sx и s2, то сходятся
также и ряды
Si ± s2 = (<xi ± Pi) + (<х2 ± Р2) + • • • + К ± Р«) Ч =
t,±P,) A.69')
и суммы их соответственно равны sx + s2 и Si — s2.
57
3. Свойство сходимости или расходимости ряда не изменится,
если к ряду прибавить или отбросить от него произвольное конечное
число каких угодно (ограниченных) членов.
Если ряд, образованный из модулей членов ряда F6)
ak + ibk\, A.70)
или, в другой форме записи,
= £(+Kai + &!),
сходится, то в силу очевидных неравенств
+b2n>\bn\
ряды F6') будут сходиться. Следовательно, будет сходиться и ряд
F6). В этом случае он называется абсолютно сходящимся. Дадим
точную формулировку этого важного понятия.
Определение 2. Ряд с комплексными величинами назы-
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный
из модулей его членов.
Признаки сходимости и свойства абсолютно сходящихся рядов
вполне аналогичны признакам и свойствам абсолютно сходящихся
рядов с действительными членами. Все эти признаки и свойства
можно получить из рядов с действительными членами, заменяя тер-
термин «абсолютное значение» на термин «модуль».
Приведем основные из них. Доказательства этих теорем можно
найти, например, у И. И. Привалова [192].
1. Теорема сравнения.
Если
Ы^<71Ря1. 0-71)
где q — положительное постоянное число, не зависящее от п, а
Р„ — общий член абсолютно сходящегося ряда, то и ряд F6)
«1 + eta + ... +
абсолютно сходящийся.
58
2. Признак Даламбера (J. L. D'Alembert, 1717—1783).
Если, начиная с некоторого значения п,
<?<1, A.72)
где q — положительное постоянное число, не зависящее от п, то
00
ряд 2,аь абсолютно сходится.
3. Признак Коши (A. L. Cauchy, 1789—1857).
Если, начиная с некоторого значения п,
VM^q<h A.73)
где q — положительное постоянное число, не зависящее от п, то ряд
00
2,ak абсолютно сходится.
4. Теорема Коши.
Если два ряда
Si = аг + а2 + • • - + а„ + ... ,
S-2 = Pi + Р2 + • • - + К + ■ ■ ■
абсолютно сходятся и имеют суммы sx и s2, то и ряд
«iPi + («хРг + aiPi) + (aiPs + «2P2 + «зРх) + • •., A. 74)
образованный из произведений их членов, записанных в произволь-
произвольном порядке, также абсолютно сходится и его сумма равна произве-
произведению SiS2.
5. Сумма абсолютно сходящегося ряда не изменяется от произ-
произвольной перестановки его членов.
Последнее свойство может показаться очевидным, однако это не
так, и для рядов, сходящихся не абсолютно (такие ряды называют-
называются условно сходящимися), перестановка членов ряда может изменить
его сумму. Более того, Б. Риман доказал следующую замечательную
теорему:
Если ряд сходится условно, то можно так переставить его члены,
чтобы вновь полученный ряд имел любую наперед заданную сумму;
можно также добиться того, чтобы новый ряд оказался расходя-
расходящимся.
Доказательство см., например, у Н. К. Бари [8; стр. 44].
Первым обратил внимание на это Лежен Дирихле (L. Dlrlchlet, 1805—1859),
который привел следующий пример:
Ряды
59
*2 - 1 + у —2" + -g- + у—4 +-g- +ТГ ~"+ ' • • '
состоящие из одних и тех же членов с одними и теми же знаками, стремятся к раз-
различным пределам.
Действительно, представляя эти ряды в общем виде, имеем
L +LL
+
откуда
4" — 3
n=l
_J 1_
4/г ~~ ~2n ~ £j An — 2 4/Г
2/1-1 2n - 2 ol
3
и, следовательно, si = у sx.
Сумма первого ряда, как известно из анализа, равна
sx = In 2 = 0,693147 ....
так что
5г = 1,03972 . ..
Благодаря тому, что сумма условно сходящегося ряда зависит от
порядка его членов, теорема Коши об умножении рядов к условно
сходящимся рядам не применима.
Таким образом, только для абсолютно сходящихся рядов все ос-
основные операции над ними, включая перестановку членов и умноже-
умножение, выполняются по тем же законам, что и для конечных сумм.
Этим и объясняется то важное значение, которое имеют в теории
функций комплексного переменного абсолютно сходящиеся ряды.
§ 14. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ.
РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
Рассмотрим бесконечный ряд
Щ + щ + ... + wn + ... =/хB) 4- /,(z) + .. • +fn(z) + • • • ■ A. 75)
члены которого суть функции комплексной переменной, опре-
определенные в некоторой области D или на линии Г. Такие ряды назы-
60
ваются функциональными в отличие от числовых рядов, рассмотрен-
рассмотренных в § 13.
Если ряд G5) сходится при всяком значении z, которое принадле-
принадлежит области D (или линии Г), то он называется сходящимся в области
D (или на линии Г).
Сумма его s (z) будет также некоторой функцией от z; разность
между суммой ряда s (z) и суммой его первых п членов sn(z) назы-
называется п-м остатком ряда
Rn(z) = s(z)—sn(z). A.76)
Существенно отметить, что сумма ряда G5) может быть разрыв-
разрывной функцией и в том случае, когда каждый из членов ряда является
функцией непрерывной.
Рассмотрим для иллюстрации следующий пример ряда:
Данный ряд' сходится при всех действительных значениях z,
так как его члены образовывают бесконечно убывающую геометри-
геометрическую прогрессию со знаменателем —г-—г < 1 при z Ф 0.
Для рассматриваемого ряда имеем
и, следовательно, при z Ф 0
s (г) = Hm sn (г) = 1 + г2.
Отсюда предельное значение суммы s (z) при г -> 0 будет lim s (z) =
= 1, в то время как при z = 0 непосредственно из G7) следует,
что частичное значение sn@) = 0 (при любом и) и, следовательно,
s @) = 0.
Таким образом, при z = 0 сумма ряда G7) имеет точку разрыва
первого рода, хотя все его члены — непрерывные функции.
В 1841—1848 гг. Вейерштрассом (К. Weierstrass, 1815—1897),
Зейделем (L. F. Seidel, 1821—1896) и Стоксом (J. G. Stokes, 1819—
1903) было установлено, что разрывность суммы бесконечного ряда
непрерывных функций связана с особенным характером сходимости
ряда, а именно с так называемой неравномерной сходимостью ряда.
Определение. Бесконечный ряд непрерывных функций
00
У, fk (z) называется равномерно сходящимся в области D (или на
линии Г), если произвольно заданному положительному числу е
можно привести в соответствие такое целое положительное число
61
N, не зависящее от z, что при п > N будет (оба приводимых условия
эквивалентны)
п+р
Ы*)
k=n+l
<в или \Rn(z)\<e, A.78)
где р — произвольное целое положительное число.
Если такого числа N одного и того же для всех значений z в рас-
СО
сматриваемой области нельзя найти для всякого е, то ряд } , fk (z)
называется неравномерно сходящимся.
Равномерная сходимость представляет собой наиболее сильный
тип сходимости, которая только и обеспечивает для равномерно схо-
сходящихся рядов некоторые очень важные свойства, в том числе воз-
возможность почленного интегрирования и дифференцирования
рядов.
«Простая», т. е. не обязательно равномерная, сходимость пред-
представляет собою более сложный тип сходимости, который в данной
работе не будет рассматриваться.
Определение простой сходимости от определения равномерной
сходимости отличается отсутствием требования, чтобы число N за-
зависело только от е, и допускается, чтобы N зависело также и от зна-
значения z, принадлежащего, конечно, области D (или кривой Г).
Равномерная сходимость, как уже подчеркивалось, зависит от
всей совокупности значений г в данной области, и один и тот же
ряд в одной области (или вдоль определенной кривой) может схо-
сходиться равномерно, а в более широкой области сходимость может
быть уже неравномерная. Так, например, ряд
~ • • •
Z2 _|_ 2 I • • • "Г г2 _
00
l
сходится равномерно (но не абсолютно, так как ряд
-j- к |
ходящийся) на всей действительной оси.
В самом деле, при действительных значениях z рассматриваемый
ряд будет знакопеременным рядом, члены которого монотонно убы-
убывают по абсолютной величине.
. Благодаря этому п — 1 остаток ряда по абсолютному значению
будет меньшим, чем абсолютное значение и-го члена ряда [8; 233]:
1
и для того, чтобы Rn-i < e, достаточно, чтобы было ;< е < 1,
62
т. е. z2 + п > —. Следовательно, достаточно взять N > 1 + — ,
чтобы при всяком действительном z выполнялось условие G8), если
только п > N.
Если же г будет принимать, например, чисто мнимые значения,
то члены рассматриваемого ряда для любого п при г -> i\ n будут
расти беспредельно.
Рассмотренный в начале этого параграфа ряд G7), хотя и схо-
сходится абсолютно при действительных значениях z, но его сходи-
сходимость в окрестности точки г = 0 будет неравномерной. Действитель-
Действительно, для равномерной сходимости необходимо, чтобы при произвольно
выбранном е< 1 было
R < е
начиная с некоторого п, т. е. чтобы было
A + z*f-1 > i-
или
откуда
Правая часть полученного неравенства не ограничена сверху на
любом отрезке действительной оси, включающем в себя точку z = 0.
Поэтому и не существует такого, независимого от z, числа N, чтобы
выполнялось условие G8) при п > N. Тем не менее, для любого фик-
фиксированного п можно подобрать соответствующее N (но оно будет
зависеть от z), которое обеспечит выполнение условия G8) при
п > N, т. е. ряд G7) обладает простой, а не равномерной сходи-
сходимостью, чем и объясняется тот факт, что сумма ряда G7) при г = 0
имеет точку разрыва.
В § 13 было показано, что абсолютно сходящиеся ряды (а под
рядом всегда понимают бесконечную сумму членов) подобны конеч-
конечным суммам в том смысле, что их можно перемножать и переставлять
в них члены в произвольном порядке, не изменяя суммы ряда.
Сходство равномерно сходящихся рядов с конечными суммами
идет еще дальше, и для этих рядов справедливы следующие теоремы,
которые мы приводим без доказательства. (Доказательство см.,
например, у Ю. Д. Соколова [240, гл. III, § 2 и гл. VI, § 1] или у
В. Л. Гончарова [39, гл. VI, § 36].)
Теорема 1. Если бесконечный ряд 2/*. (z) н е п р е-
рывных функций от z сходится равномер-
63
но в некоторой замкнутой области D (или
на линии Г), то его сумма есть также не-
непрерывная функция от z в этой области
D (и л и на линии Г).
Теорема 2. При тех же условиях, что и в
теореме 1, если, кроме того, все функции
fk{z) интегрируемы в D (или на Г), то в этой
области D (или на Г) ряд можно почленно
интегрировать и интеграл от суммы ряда
будет равен сумме интегралов от каждого члена
ряда.
Теорема 3. При тех же условиях, если, кро-
кроме того, в О (и л и на Г) все функции f/,(z) имеют
непрерывные производные /* (г) и если ряд,
составленный из этих производных, схо-
сходится равномерно, то в области D (или на
Г) возможно почленное дифференцирование
В заключение приведем простой достаточный признак Вейер-
штрасса равномерной и абсолютной сходимости ряда функций от г:
Для равномерной и абсолютной сходимости ряда 2^ h (г) в не'
которой области D достаточно, чтобы члены ряда в этой области по
модулю не превышали членов сходящегося знакоположительного ряда
М1 + М2 + ... + Мп + ..„ A.79)
т. е. чтобы было
Действительно, благодаря сходимости ряда G9) можно найти
такое положительное целое число N, не зависящее от z, что п-й
(п > N) остаток ряда G9), а следовательно, и \Rn (z)\ будет меньше
любого наперед заданного положительного числа е.
§ 15. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. РАДИУС СХОДИМОСТИ
Как мы уже видели, наиболее простыми в обращении будут ряды,
сходящиеся не только абсолютно, но и равномерно. К таким рядам
относятся и степенные, чем и обусловлено то особо важное значение,
которое имеют степенные ряды в теории функций комплексного пе-
переменного и в ее различных приложениях.
64
Определение. Степенным рядом (точнее, целым степен-
степенным) называется бесконечный ряд вида
2. сПг — zo)k =
(z — z0)
— zof
k=0
+ cn(z~z0) +..., A.80)
где Ck и z0 — заданные комплексные числа, не зависящие от г.
Число г0 для краткости называют центром ряда. В частности,
может быть г0 = 0.
Выясним прежде всего область сходимости сте-
степенного ряда, для чего докажем следующую тео-
теорему-
Первая теорема Абеля A826). Если степенной
ряд 2_Ck (z — z°) сходится в некоторой точке z =
k=0
Рис. 14.
= Zu то он сходится, и притом абсолютно и рав-
равномерно, во всяком круге с центром z0 и радиусом q < \zx — zo|,
т. е. радиусом, меньшим, чем расстояние от zx до z0 (рис. 14).
Переходя к доказательству теоремы, предположим, что z — про-
про\ \ \ \
извольная точка круга \z — Zq\
член ряда (80) в виде
р
q < \zi — zo\ и представим и-й
Из сходимости ряда в точке zi, которая имеет место по условию
теоремы, вытекает, что
для всех п, где М некоторое положительное число.
Кроме того, в силу нашего предположения
q, где 0 г£ q < 1.
— z0
Следовательно, для всех п
,Mqn,
откуда и вытекает по признаку Вейерштрасса абсолютная и равно-
равномерная сходимость ряда внутри круга \z — гь| ^ q < |zi — zo\,
так как члены рассматриваемого ряда по модулю меньше членов
убывающей геометрической прогрессии, составленной из положи-
положительных чисел.
В частности, ряд сходится абсолютно (но, вообще говоря, не рав-
равномерно) во всех точках круга [г — zoj < |zi — zo\. Отсюда выте-
II. Ф. Фильчаков
65
кает, что если степенной ряд расходится при некотором значении
z = zlt то он расходится и при всяком значении z, для которого
\Z — Z0\\Zi~Z0.
Теорема, сформулированная выдающимся норвежским математи-
математиком Нильсом Генриком Абелем A802—1829), играет в теории сте-
степенных рядов исключительно важную роль и, в частности, из этой
теоремы следует, что степенной ряд сходится в некотором круге,
радиус которого будем обозначать через R, причем ряд сходится
абсолютно при
| z — г01 < R,
расходится при
\г — zo\> R
и равномерно сходится в любом круге
|Z —Zo|<Q</?.
На самом же круге г — г0 = R ряд может быть сходящимся или
расходящимся, и установление этого факта требует дополнительных
исследований, иногда очень сложных.
Радиус этого кругам называется радиусом сходимости степенно-
степенного ряда, а сам круг — кругом его сходимости.
Для определения радиуса сходимости R служит формула
~=\hnV&\, A.81)
где lim обозначает верхний предел [192, гл. II, § 3].
Эта формула была получена Огюстом Луи Коши в 1821 г. и со
всей строгостью доказана в 1893 г. Жаком Адамаром (Jacques Hada-
mard, 1865). Она называется формулой Коши — Адамара.
Радиус сходимости можно также определять по формуле, выте-
вытекающей из признака сходимости рядов Даламбера
Игл
n-
сп+1
A.82)
если только указанный предел существует.
В частности, R может равняться нулю (тогда сумма ряда сводится
к его первому члену с0) или бесконечности (тогда ряд сходится во всей
плоскости z).
На основании теорем § 14 и доказанной равномерной сходимости
степенного ряда внутри его круга сходимости вытекают следующие
весьма важные свойства степенных рядов, которые мы сформулируем
в виде следующих теорем.
Теорема 1. Сумма степенного ряда есть не-
непрерывная функция от z внутри круга схо-
сходимости ряда.
66
Этот результат дополняется второй теоремой Абеля A826): если
степенной ряд сходится в точке г1 окружности \z — zo\ = R, то его
сумма s (z) есть функция, непрерывная в точке гх самой окружности
вдоль радиуса, идущего из центра z0 в точку zx.
А. Прингсхейм доказал, что при условиях этой теоремы s (z)
непрерывна в точке zi вдоль любой линии, которая не касается ок-
окружности в точке Z\.
Теорема 2. Степенной ряд внутри круга его
сходимости можно почленно интегриро-
интегрировать, и сумма полученного ряда будет
представлять собой интеграл от суммы
данного ряда:
СО
' П=0 П=0
Теорема 3. Степенной ряд внутри круга его
сходимости можно почленно дифференци-
дифференцировать, и его сумма будет представлять
собою производную от суммы данного
степенного ряда:
со
сп (z - 20г)'= £ псп (z - zuf~\ A.84)
rt=O n=0
Для того чтобы последнее свойство имело место, надо доказать,
что ряд, полученный почленным дифференцированием, имеет тот же
радиус сходимости R (в силу чего он также будет равномерно сходя-
сходящимся рядом, как этого требует условие теоремы 3, § 14).
Пусть z — некоторая точка внутри круга сходимости и ^i —
число, удовлетворяющее неравенству \z — zo\ < ^i < R. Так как
СО
ряд V cnR" сходится абсолютно, то существует такое положительное
число М, что
| cnR" \<M или | сп | < ~
при всех значениях п.
Тогда для модуля общего члена ряда, полученного дифференци-
дифференцированием, имеем
АЛ „ / _ _ \П 1
п\с
I G 7 \
I (Z — 2о)
П~1 I
т. е. модули членов ряда (84) меньше соответствующих членов сходя-
сходящегося по признаку Даламбера ряда. Следовательно, ряд (84) схо-
сходится абсолютно во всех точках внутри круга сходимости исходного
СО
степенного ряда £ cn(z — z0)". Если |г — го|> R, то сп (г — г^,)", а
л=0
5* 67
благодаря этому и псп (z —z0)"—1 не стремится к нулю и ряд расхо-
расходится.
СО
Таким образом, ряд (84) и ряд ^ сп (z — zo)n имеют один и тот же
круг сходимости.
со г
Следствие!. Ряд ^ tt:t(z — zo)"+'. полученный почленным
п=0П ~т~
00
интегрированием степенного ряда 2mlcn(z — z0)n, имеет тот же
радиус сходимости R, что и исходный ряд.
Действительно, если бы это было не так, то, дифференцируя по-
СО
членно ряд V „_j_ j (z — zo)"+l , мы бы получили исходный ряд
л=0
СО
Y, cn{z — z0)" с радиусом сходимости ^ф R, что противоречит
теореме 3.
Следует, однако, отметить, что из факта равенства радиусов
сходимости данного степенного ряда и рядов, полученных почлен-
почленным дифференцированием или интегрированием, нельзя сделать ни-
никаких выводов относительно характера сходимости этих рядов и на
самой границе области сходимости, т. е. на самой окружности
СО
\z — zo\= R. Так, например, ряд £ zn расходится во всех точках
П=0
границы \z\ = 1, тогда как после интегрирования получается ряд
_j_ ] , сходящийся при z = —1. Действительно, при г = —1
имеем
n=0
СО
Аналогично, ряд V -^- , радиус сходимости которого R = 1
п=1
(докажите это, воспользовавшись формулой (82)), абсолютно схо-
сходится во всех точках границы области сходимости \z\ = 1, так как
при \z\ = 1
z"
n=l «=i
а ряд справа, как известно [233], сходящийся.
68
Продифференцировав же этот ряд, получим ряд V1 -—
кото-
п=1
рый на окружности \z\ = 1 является расходящимся, по крайней мере в
точке jzj = 1, как гармонический ряд 1 + -^ + ~т + ~т + ■ ■ •
Приведенные примеры также хорошо иллюстрируют сказанное
ранее о поведении ряда на самой границе области сходимости.
А именно, на контуре сходимости ряд может быть всюду сходящимся
(но отнюдь не обязательно абсолютно или равномерно сходящимся)
или всюду расходящимся, или может сходиться только в отдельных
точках и расходиться в других точках.
СО
Следствие 2. Степенной ряд s(z) = £ сп (z — z0)" в круге
п=0
его сходимости \z — zo\ < R можно дифференцировать (и интегри-
интегрировать) произвольное число раз.
В результате будем получать новые степенные ряды, которые
будут иметь тот же самый радиус сходимости R и суммы которых
будут равны последовательным производным или интегралам от
суммы ряда s (z).
В заключение докажем важную для дальнейшего теорему.
Теорема 4. Сумма любого степенного ряда
s (z) = 2j с„ (z — z0)" = co + c1(z — z0) + c2 (z — z0J + .,.
есть регулярная (голоморфная) функция
внутри круга сходимости.
Для того чтобы доказать, что в области D функция регулярна,
надо доказать, что она во всех точках области D (без какого-либо
исключения) имеет производную.
Для простоты выкладок, не ограничивая общности рассуждений,
положим z0 = 0, что равносильно замене
z* = z — z0.
В таком случае будем иметь
s (z -f- Дг) — s (г) _ ^ (г + Аг)" — гп _
А^ 2. Д2 ~"
СО
= У] сп [(г + ЛгГ1 + z (z + Azf'2 +... + тГ1\-
а=1
Пусть q такое число, что
\z+
69
Тогда
| сп [(г + Az)n~l + z(z + Az)n~2 +... + zn~1}
CO
Но ряд V \cnQn~l сходится, следовательно, сходится и ряд
в=1
У, сп д — ПРИ фиксированном значении z равномерно относи-
л т- s(z-)-Az)—s(z)
тельноДг. Благодаря этому —*——-^ есть непрерывная функ-
функция от Az и
С„1
п=1
что и следовало доказать.
Эту теорему можно получить также как следствие рассмотрен-
рассмотренных выше теорем, которые мы привели без доказательств.
§ 16. ДЕЙСТВИЯ СО СТЕПЕННЫМИ РЯДАМИ.
РЕКУРРЕНТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Остановимся теперь на выводе необходимых для дальнейшего
формул для выполнения основных четырех арифметических дейст-
действий со степенными рядами.
Пусть нам даны два степенных ряда:
sb (г) = Ьо + Wz + Ьггг + .. . + bn-iz"'1 + bnzn + ..., A. 85)
sc (г) = со+ clZ + с2г2 + ... + Cn-iz"'1 + cnzn + ..., A. 86)
где b0, bi bn, c0, Ci cn — не зависящие otz, заданные комп-
комплексные числа.
При этом мы ограничимся рассмотрением рядов, центры которых
находятся-в нулевой точке. Чтобы перейти к общему случаю, необ-
необходимо z заменить величиной z — z0. Эта замена не затрагивает коэф-
коэффициентов ряда, поэтому выводимые дальше формулы имеют вполне
общий характер. Отметим попутно, что задать, определить беско-
бесконечный степенной ряд — означает определить все его коэффициенты.
Другими словами, задать степенной ряд это значит указать формулу
для определения общего коэффициента ряда сп по данному значению
п и другим известным величинам.
70
Если известны все коэффициенты степенного ряда, то вычисле-
вычисление суммы ряда и определение его радиуса сходимости не представ-'
ляет принципиальных затруднений, хотя и не всегда эти операции
легко выполнимы.
Например, чтобы вычислить при помощи ряда
In 2 = 1 - \- + у— -J- + ■. ■ + J—^ К . . = 0,693147 ...
только с двумя верными десятичными знаками (т. е. с погрешностью,
меньшей 0,005), согласно признаку Лейбница, необходимо взять 200
членов рассматриваемого ряда.
Если же мы произведем попарную группировку членов ряда,
то получим новый ряд, сходящийся значительно быстрее:
1
1-2 ' 3 • 4 ' 5-6 ' ' " - ' га (га+1) ' ' ' *
Чтобы получить ту же точность, необходимо взять 30 членов но-
нового ряда.
Существуют различные способы улучшения сходимости рядов.
Например, применив в данном случае преобразование Эйлера
[10; 204] и воспользовавшись только 11 членами нового ряда, мы
получим для 1п2 семь точных цифр, что потребовало бы использова-
использования 20 000 000 членов первоначального ряда.
Отметим также, что рассмотренный в этом примере ряд для функ-
функции In (I + z) является одним из наиболее медленно сходящихся
рядов.
В дальнейшем мы познакомимся с рядами, весьма быстро сходя-
сходящимися, а сейчас перейдем к изучению действий со степенными
рядами.
Суммой и разностью (85) и (86) будут служить ряды:
sb (г) + sc (г) = (bo + с0) + (h + c1)z + (bt + с2) г2 + ... +
+ (bn + cn)zn + ..., A.87)
sb(z)—sc(z) = (bo —c0) + (fti — d)z + (Ьа —с2)г2 + ... +
+ (bn-cn)za + ... A.88)
Степенной ряд, как было уже доказано, абсолютно сходится
внутри круга его сходимости. Поэтому, согласно теореме Коши
(см. § 13), степенные ряды можно перемножать по правилам умноже-
умножения многочленов.
Перемножив ряды (85) и (86), получим новый степенной ряд
sa(г) = а0 -]- dz + а2г2 + ... + ап<? + ... = sb (г) • sc(z), A. 89)
71
коэффициенты которого согласно формуле G4) будут определяться
при помощи следующего равенства:
ап = V* + V*-i -г Ьфп-2 + . .. + bn-iCi + Ъпс0. A. 90)
Этот же результат получим непосредственно из формулы (89):
ао + ац + a2z2 + ... + an^izn~l + anzn + ... =
= (bo + Wz + 62z2 + ... + Ьл-,^1 + Ь„г" + ...) X
X (Co + CiZ + C2Z" + • • • + Cn-iZ""' + C^Z" -f . . .).
если перемножим в правой ее части ряды sb (z) • sc (z) и приравняем
коэффициенты при одинаковых степенях г.
При этом мы пользуемся почти очевидной теоремой: если два сте-
степенных ряда равны между собой
я=0 /1=0
то равны между собою все коэффициенты этих рядов:
ап = Ъп.
Доказательство теоремы будет приведено в § 17.
Пример 1. Функции ez и sin г комплексного переменного определяются
теми же рядами, какими эти функции определяются в случае действительного ар-
аргумента (см. § 19 и 20):
Напомним, что знаком га! (читается — «га факториал») обозначается произ-
произведение всех целых чисел от 1 до га, т. е.
га! = 1 . 2- 3. ..(га —1) -га.
Например:
61 = 1 . 2 . 3 • 4 • 5 • 6 = 720; 7! = 1 .2-3-4-5-6-7 = 5040.
При этом условились считать, что факториал нуля равен единице:
0! = 1.
Определим ряд для функции ег ■ sin г.
В данном случае
и 1 h i и ' * и Х '
60=1, Ьг=1, Ь2 = -_ = _ , 6,= —= -_,...,
со = 0, ci=l, с2 = 0, с3 = gj-= б~>-"
72
Вычисление (с шестью десятичными знаками после запятой) первых десяти
коэффициентов ап по формуле (90) приведено в табл. 1.
Эти вычисления легко выполняются на любой счетной машине, включая и
обычный арифмометр, без промежуточных записей 1.
Так, при определении а5 вычисляем произведение Ьос6 (множители Ьо и с5
обведены в табл. 1 сплошными прямоугольниками), затем, не снимая результата,
умножаем «в отрицательном направлении» Ьг на с3= — 0,166667 (множители Ь2
и с3 обведены пунктирными прямоугольниками) и заканчиваем вычисление, умно-
умножив в положительном направлении Ь4 на с± = + 1,000000 (произведения bic4 =
= b3d = Ь5с0 = 0 и поэтому в вычислениях не участвуют).
В данном случае о5 есть величина отрицательная, поэтому в результативном
счетчике арифмометра получим число 9,9666665, которое следует понимать как до-
дополнение искомого числа до единицы. Округлив полученное число до шести деся-
десятичных знаков и определив для него дополнение, находим
аъ = — 0,033333.
Если путем грубой прикидки можно определить, что а будет отрицательным, то
следует поменять знаки у коэффициентов сп и вычислять — а , которое будет уже
величиной положительной.
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
К
1,000000
1,000*000
; 0,500000 1
0,166*667
0,041667
0,008333
0,001389
0,000198
0 000025
0,000003
0,000000
0
+ 1,000000
0
t
! —0,166667 |
0
t
+0,008333
0
—0,000198
0
+0,000003
0
ап
0,000000
+ 1,000000
+1,000000
+ 0,333333
0,000000
—0,033333
—0,011112
—0,001587
0,000000
+0,000045
+0,000009
Т с
п
0,400000
0,160000
0,064000
0,025600
0,010240
0,004096
0,001638
блица 1
4
—
0,130000
0,016900
0,002197
0,000286
0,000037
—
В табл. 1 мы предварительно заполняем полностью колонки Ъп и сп. Для того
чтобы при вычислении ап фиксировать внимание на необходимых множителях,
удобно применять какие-либо марки (например, мелкие монеты), отмечающие
нужные в данный момент величины. Расположив эти марки в начале вычислений
соответственно над и под числами, помещенными в сплошных прямоугольниках
1 Так как методика вычислений на малых вычислительных машинах и на ариф-
арифмометре по сути одинакова, то в дальнейшем под словом «арифмометр» мы будем
понимать любую малую вычислительную машину без программного управления.
73
(мы продолжаем разбор вычисления а5) и вычислив произведение Ь0с5, смещаем
марки на одну строку, фиксируя множители bi и с4, и продолжаем этот процесс,
пока не дойдем до Ьъса. Вычисленное значение аъ записываем в колонку ап.
Конечно, весь процесс вычисления коэффициентов о<,, oi, а-2, ..., а10 требует
времени значительно меньше, чем его потребовалось для описания техники вычис-
вычисления одного коэффициента а5. Но поскольку в дальнейшем нам неоднократно
п
надо будет вычислять величины вида ап = ^ bfn_j , то мы и остановились
/=о
так подробно на технике вычислений.
Определив коэффициенты ап, имеем
ег sin г = г + г2 + 0,ЗЗЗЗЗЗг3 — О.ОЗЗЗЗЗг5 — 0,011112г6 —
— 0,001587г7 + 0,000045г« + 0,000009г10 + . . .
Полученный ряд позволяет непосредственно вычислять значения функции ег sin г.
Вычисления также удобнее всего производить в табличной форме. Так, в табл. 1
вычислены 2й для г = zi = 0,4 и г = г2 = 0,13. Перемножив ап и г", располо-
расположенные в одних и тех же горизонтальных строках и просуммировав результат (все
это выполняется на арифмометре в один прием без промежуточных записей), полу-
получаем
ем sin 0,4 =0,580944 и е0'13 sin 0,13 = 0,147631.
Для контроля вычислим непосредственно эту величину, ограничиваясь шестью
десятичными знаками. Из таблиц находим [255; 300; 342]:
е°-4= 1,491825; sin 0,4 = 0,389418; е0'13 = 1,138828; sin 0,13 = 0,129634
и тогда
е0'4 sin 0,4 = 0,580944; е0'13 sin 0,13 = 0,147631.
В качестве упражнения рекомендуем читателю повторить вычис-
вычисления, приведенные в табл. 1.
Заметим также, что формула (90) позволяет определять коэффи-
коэффициенты ап, конечно, не только в численном виде, но и в общем виде,
по известным Ьп и сп.
Больше того, формула (90) позволяет определить все коэффициен-
коэффициенты ряда, полученного в результате деления двух степенных рядов.
Действительно, если необходимо определить ряд:
л=0 V fc г"
то мы придем к рассмотренной выше задаче, представив равенство
(91) в следующем виде:
п=0 о=0 rt=0
74
В таком случае коэффициенты с„, Ьп, сп будут связаны той же форму-
формулой (90):
но неизвестны теперь сп, а известны ап и й„.
Положив в формуле (90) п = 0, имеем
а0 = Vo,
откуда
co = -g. A.92)
Далее, из того же равенства (90), разрешив его относительно сп,
находим:
с„ = — -^ [(V*-i + V«_2 + ... + bn-i ci + bnc0) — an] A.93)
или
n
bkcn~k\, n= 1,2,3,...
Положив в формуле (93) n = 1 и учтя (92), определяем:
1
о
При п = 2 получаем
с2 = — -^ (&iCi + Й2с0 — а2) = — [6i (со&1 — Ъфх) + 60 (а260
о
Этот процесс можем продолжать как угодно далеко, определяя по-
последовательно d, с2, с3 сп ..., т. е. все коэффициенты искомого
ряда.
В более общем виде решение этой задачи приведено в книге
В. И. Смирнова [233, т. III, ч. 2, стр. 60—61], где получена общая
формула для коэффициентов сп в виде частного двух определителей
и-го порядка.
По формуле (93) коэффициенты сп наиболее удобно определять
численным путем по известным [ап\, { Ьп\ и с0. Для иллюстрации тех-
техники вычислений рассмотрим пример.
Пример 2. Известно, что для г = х -\~ iy функции sin г и cos г опреде-
определяются теми же рядами, что и в случае действительного аргумента (см. § 20):
г г3 , г<> г7 ,
_ + _.__.г..., (а)
75
Определим разложение в степенной ряд для функции
tg г = -^2±- = Со + Слг + с2г2 + сзг3 + . .. (с)
В данном примере
= 0, ai = 1, а2 — О, дз =— — ,...,
60=1, 61=0, 62=--i, Ьз = О, Ь4 = -^,..., й> = 0 и -i-=l.
Вычисление по формуле (93) первых одиннадцати коэффициентов с (с шестью
десятичными знаками) ясно из табл. 2. Например, при вычислении с5 поступаем
следующим образом. Вычисляем прежде всего у (— Ь^) с5_А (коэффициенты
4=1
с0, с1( с2, с3, с4 уже вычислены). Для этого, учтя, что bi = 0, устанавливаем марки
над и под числами, помещенными в сплошных прямоугольниках. Перемножив
(— bi) на с3 «в положительном направлении», перемещаем марки соответственно
вниз и вверх на две строки (так как Ь3 = 0) и, не снимая результата, умножаем
«в отрицательном направлении» (— Ь4) на л. Как только верхняя марка дошла до
п
горизонтали п, это служит сигналом того, что вычисление у (—bk)cn_k закон-
4=1
чено. Прибавив (алгебраически) а к найденной сумме, умножаем все на
Ьо
(в данном примере——= 1) и в результате получаем искомое с , которое записы-
ваем в той же строке п.
В рассматриваемом примере в формуле (93) знак минус, стоящий перед 2,
удобнее отнести к коэффициентам Ьп, в результате чего получим (учтя, что Ьо~ 1)
п
(~ bk> Cn~k-
4=1
В соответствии с этим в табл. 2 помещены коэффициенты (— b ).
Заметим также, что в табл. 2 число 0 означает точный нуль, в числе же 0,000000
после отмеченных нулей могут следовать какие угодно цифры и, напри-мер,
Ью = — = 0,0000002755 . ..
Вычисление остальных коэффициентов с в данном примере существенно
упрощается, так как при га > 10 будет ап< 3- 1СГ9,Ьп < 3 • 10~10, т. е. с приня-
принятой нами точностью вычислений при га> 10, а = 0 и b =0.
Благодаря этому в данном примере .при га З3 10
76
Таблица 2
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ап
0
+ 1,000000
0
—0,166667
0
+0,008333
0
—0,000198
0
+0,000003
0
— 1,000000
0
+ 0,500000
1
0
] —0,041667 \
0
+0,001389
0
—0,000025
0
+0,000000
0
1 +1,000000 ;
t°
+0,333333
0
+0,133333
0
+0,053969
0
+0,021870
0
—
0,400000
0,064000
0,010240
—
0,001638
—
0,000262
—
4
—
0,130000
—
0,002197
—
0,000037
—
—
—
—
—
Выполнив вычисления по этой формуле, в дополнение к результатам табл. 2, най-
найдем
сат = 0; от = 6, 7, 8, . . . ; сп = 0,008863; с1з = 0,003592;
с15 = 0,001456; с17 = 0,000590; с19 = 0,000239;
с21 = 0,000097; с23 = 0,000039; с25 = 0,000016;
с2,= 0,000006; с29 = 0,000003; c3i = 0,000001.
Определив коэффициенты 1 сп, можем вычислить
для любого комплексного г в круге сходимости полученного ряда, радиус которого
необходимо еще определить по формуле (81) или (82) (в рассматриваемом случае
/? = т)-
Например, в табл. 2 приведены данные, необходимые для вычисления tg г
при г — Z\ = 0,4 и г = гг = 0,13, на основании которых находим tg 0,4 =
= 0,422793; tg 0,13 = 0,130737.
1 Чтобы проиллюстрировать эффективность табличного метода вычислений,
отметим, что определение 16 коэффициентов су, с3, с5, ..., с31 на клавишном арифмо-
арифмометре типа ВК-1 потребовало всего 10 минут.
77
Возможная погрешность не превышает единицы в шестом десятичном знаке.
В качестве контроля вычисления коэффициентов сп определяем
с„= 1.557407
л=0
и найденный результат сверяем с табличным значением [300; 342]:
tg I = tgl pad =1,557408.
В заключение отметим еще одну особенность вычислений по фор-
формуле (93).
При вычислении коэффициентов сп по этой формуле результатив-
результативные данные, полученные в очередном и-м шаге, возвращаются затем
в виде исходных данных для вычисления сп+1 в следующем шаге,
благодаря чему формулы типа (93) получили название рекуррентных,
что означает — такие, которые возвращаются.
Рекуррентные формулы играют важную роль в теории рядов, в
анализе, в теории функций комплексного переменного и во многих
других разделах математики.
§ 17. МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ.
т-я СТЕПЕНЬ РЯДА
При выводе правила деления степенных рядов мы пользовались
так называемым методом неопределенных коэффициентов, широко
применяемым в теории рядов.
Суть этого метода заключается в том, что искомый ряд формально
представляют в виде ряда, коэффициенты которого не известны, не
определены, а затем, пользуясь той или иной зависимостью, которую
удается установить между формально введенными коэффициентами
и коэффициентами других известных рядов, последовательно нахо-
находят неопределенные вначале коэффициенты.
Для строгого обоснования этого метода необходимо еще дока-
доказать следующую, почти очевидную теорему.
Теорема. Если сумма сходящегося степен-
степенного ряда равняется нулю при всех зна-
значениях г внутри некоторого круга, то все
коэффициенты этого ряда равняются
нулю.
Доказательство. По условию теоремы
со +ci(z — z0) + с2 (z — zof + с3 (z — zof + c4(z — z0L + ... = 0.
Положив в этом тождестве г = гь, находим
со=0.
Продифференцировав обе части тождества, имеем
d + 2с2 (г — z0) + Зс3 (z — zoy + -id (z — zof + ... = 0,
78
откуда при z = z0 получаем
ci= 0.
Продифференцировав обе части нового тождества и снова полагая
z = Zq, находим
и, продолжая этот процесс, убедимся, что все коэффициенты сп = 0.
Следствие. Если суммы двух степенных рядов, центры
которых совпадают, равны между собою в точках некоторого круга,
то коэффициенты этих рядов при одинаковых степенях z — z0 соот-
соответственно равны; т. е. из равенства
Ап (z — zo)n =Y,Bn(z-zof A.94)
п—0 гс=0
следуют равенства
Ап = Вп (я = 0, 1, 2,...). A.95)
Действительно, перенеся ряд из правой части равенства (94) в
левую, мы приходим к ранее рассмотренному случаю:
и в силу доказанной теоремы А„ — Вп = 0 (п = 0, 1, 2, ...).
Необходимо еще раз подчеркнуть, что для того, чтобы равенства
(95) имели место, центры обоих рядов должны совпадать.
Воспользуемся теперь методом неопределенных коэффициентов
для нахождения т-й степени ряда.
Пусть будет
(с0 + аг + с2г2 + c3zs + .. .)т = Д>
+ A2z2+ A3z3+ .... A.96)
где коэффициенты Л„, Ах, Аг, ■■■ пока не определены.
Как и в § 16, не ограничивая общности рассуждений, мы можем
рассматривать ряд с центром в точке z0 = 0, что упрощает выкладку.
Условие с0 ф 0 также не является существенным. Если с0 = 0
(или общее с0 = Ci = ... = Cp_i = 0, ср Ф 0), то, представив дан-
данный ряд в виде
V = cpz" + cp+lzp+l + cp+2zp+2 +...=
га=0
= zp (cp + cp+lz + cp+2z2 +...),
79
приходим к рассматриваемому случаю, так как
z"}m = zmp (ср + cp+l г + cp+2z* + .. Г, ср Ф 0.
п=0
После сделанных замечаний, полагая в (96) 2 = 0, находим
A0 = do. A.97)
Для определения остальных коэффициентов, следуя Ж- Бер-
Бертрану [10, гл. III, § 331], прологарифмируем обе части уравнения
(96)
т lg (со + ьг + с2г2 + с3г3 +...) = lg (А. + Агг + A2z* + A*? + ...)
и возьмем затем от обеих частей полученного уравнения производ-
производную (которая берется по тем же правилам, что и в случае действи-
действительного переменного, как будет показано в § 21).
В результате получим следующее уравнение:
а + 2с2г + Зс3г2 + . . . = Л -f- 2Л2г + ЗЛ3гг + ■ ■ ■
т 'со + С1г + с2г2 + с3г3+... Ао + Агг + Л2г2 + А3г> + . . . '
откуда имеем
(с0 + ciz + сгг2 + сзг3 + ...) (А + 2Л2г + ЗЛ3г2 +...) =
= т (а + 2с2г + Зс3г2 + ...) (Ао + Axz + Л2г2 + A3zs + ...).
Перемножая полученные ряды и приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях г, имеем
2с0Л2 + ciA = m Bс2Л0
= m [ис„Л0 + (и —
Решая найденные уравнения, получаем рекуррентную формулу
для определения коэффициентов Ап:
п
y[k(m+l)-n]ckAn-k (п= 1, 2, 3,...) A.98)
ИЛИ
ПСо
= J_ [a^An-y + 4n) An-2 +... + a(nn)A0], A. 98')
flCQ
80
где введено обозначение
aia) = lk(m + l) — n]ck. A.99)
Исключая последовательно неизвестные Ль А2, А3 после
несложных преобразований формулам (98) можно придать также
следующий вид:
Ао = J5;
2! \ с°- с*- I 2!
(m-\)(m - 2) (m - 3) / a ,*] .
При численном определении коэффициентов Ап удобнее пользо-
пользоваться непосредственно формулами (98'), (99).
Так как при выводе формул мы никаких ограничений на число
т не накладывали, то они справедливы при любых значениях т.
Пример. Определим ряд для функции у ег. В данном случае имеем (см.
§ 16, пример 1)
л=0
J_
+ -jj- + -J + ~ + . . . j = Л„ + Агг
Коэффициенты Ап определяем по формулам (97), (98'), (99), которые при т =
—, с0 = 1 приобретают вид
Ло=1; 4"> = (ЗА - 2л) -|- ; ra>fe;
Все необходимые вычисления выполнены в табл. 3, в которой предварительно
вычислена вспомогательная часть.
Вычисление а^ ведем построчно: устанавливаем на арифмометре число _*_
81
и умножаем его последовательно на весь необходимый ряд чисел Ck — 2га). После
этого вычисляем описанным в § 16 приемом суммы [a^An_l -f- c^'lAn_2 -)-■■■ +
+ а^Ао] и полученный результат умножаем на —.
Например, при вычислении А3 находим произведение чисел, отмеченных
сплошными прямоугольниками, прибавляем (алгебраически, т. е. в данном случае
вычитаем) произведение чисел, помещенных в пунктирных прямоугольниках, и
га
0
1
2
3
4
5
6
7
Основная
К
1,000000
0,500000
! 0,125000
0,020833
0,002604
0,000260
0,000022
0,000001
сп
1
1,000000
0,500000
0,166667
0,041667
0,008333
0,001389
0,000198
k
1
2
3
4
5
6
7
af
4"»
4"»
4"'
af
d?
Вспомо-
+0,500000
полученный результат (не снимая его с результативного счетчика арифмометра)
делим на га = 3.
Для вычисления Л4 перемещаем марки снова в исходное положение, но мно-
множители а£л) = Ck — 2га) — берем из колонки га = 4 и начинаем процесс с вычис-
вычисления
= а\4)А0.
Полученные результаты легко проверить непосредственно, поскольку у ег=е ,
1
так что
А =— = -
" 2" 2"га!
В случае любого иного ряда 2cnz" техника вычислений коэф-
коэффициентов Ап ничем не будет отличаться от рассмотренной в этом
примере. Если т число целое, то коэффициенты Ап можно также вы-
вычислять по формулам A04) § 18.
§ 18. ОБРАЩЕНИЕ СТЕПЕННОГО РЯДА
со
Обратить данный степенной ряд £ = V cn(z—zo)n, который удоб-
нее представить в виде
I — С0 = Ct (Z — 2о) + С2 (Z — Z0J + . .. + Сп (Z — Z0)n + . . . ,
d^O, A.101)
82
это значит выразить величину z — z0 в виде ряда, расположенного
по степеням S — So. гДе So = с0:
z - 20 = А (£ - So) + Л (Б - t0J + • • • + А„ (S - t0)" + ... A. 102)
= 0 см. в работе В. И. Смирнова [233,
Таблица 3
Исследование случая
т. III, гл. I, § 23].
гательная
л=3
л=5
л=6
л=7
—0,500000
+0,500000
— 1,500000;
0
-^-0,250000
—2,500000
—0,500000
+0,083333
+0,083333
—3,500000
— 1,000000
—0,083333
+0,041667
+0,020833
—4,500000
— 1,500000
—0,250000
0
+0,012500
+0,004167
—5,500000
—2,000000
—0,416667
—0,041667
+0,004167
+0,002778
+0,000693
С задачей обращения ряда мы сталкиваемся каждый раз, когда
необходимо определить функцию, обратную к данной функции,
если последняя задана в виде степенного ряда.
Итак, задача обращения степенного ряда A01) заключается в вы-
вычислении коэффициентов Ап по данным значениям z0 и с0 = £0,
Ci, С2, ..., Сп, ...
Решаем эту задачу методом неопределенных коэффициентов.
Пусть будет:
- So = 4
"
- го) + 4"
- SoJ = 4 ' (г -
— z0J + ... + ci" (z — zoy + .
42) (z — zof + ... + c^-i (z — z0)"
C)
(S - SoK = 4 ' (г - гоK+ • • • + c£L2 (z - z0)
A. 103)
где все коэффициенты с<£> при fe > 2 надо еще определить.
Так как
(S-£o)ft+' = (S-So)ft(S-So)'.
6*
83
то, воспользовавшись формулой (90) § 16, имеем:
m — 1С1 ст -г С2 wn—1 "Г Ц 6т—2 -f- . .. -f- Cm Ci J. A.
Отсюда, в частности, при I = 1:
^+" = [^> + <*£!_, + Cscj£U + • • • + стс?\ A • Ю4')
так как
сЧ) = ст, A.104")
поскольку первое равенство A03) совпадает с заданным рядом.
Формулы A04) и дают возможность последовательно определить
все коэффициенты с$ по известным коэффициентам ст заданного
ряда A01).
Подставив теперь формулы A03) в тождество A02) и собрав коэф-
коэффициенты при одинаковых степенях z — z0, на основании теоремы
§ 17 получаем
^ ^U + А3с™2 +...+ Апс[п) ={1111 Ц '
так как левая часть тождества A02) содержит только один первый
член z — z0 с коэффициентом единица.
Отсюда при п = 1 имеем:
A.105)
При п > 2, решив полученное уравнение относительно Ап и
учтя, что согласно A04') и A04")
с(,я) = с7, A.106)
находим рекуррентную формулу для определения всех остальных
коэффициентов обращенного ряда
Ап = =^f^" + ЛА + ЛЛ 4- • • • + ^«-icS1'];
п>2. A.105')
Формулу A05') легко запомнить, так как верхний индекс у
величин с<^> в каждом члене совпадает с нижним индексом коэф-
коэффициентов Ai, Лг А„—1, а сумма верхнего и нижнего индексов
с$ всегда постоянна: k -j- m = п + 1.
Таким образом, формулы A04), A05) полностью решают задачу
обращения степенного ряда. Вычисления по этим формулам удоб-
удобнее всего выполнять табличным способом. Методику вычислений
проиллюстрируем на примерах.
84
Пример 1. Обратим ряд, которым определяется функция £ = 1п A -£ г)
В данном примере
1 1 (- l)n+1
г0 = 0; со = go = 0; а = + 1; с2 = —g-; с3 = -f-g-;... ; сп= ; . . .
Записав в табл. 4 в колонке сп = с^1' коэффициенты заданного ряда ci = V,
С2 = — 0,5000000; с3 = -$■ 0,3333333; ... , приступаем прежде всего к вычислению
остальных вспомогательных величин с^ по формуле A04')- Эти вычисления удоб-
удобнее всего вести по диагональной схеме. На главной диагонали согласно формуле
A06)
c[k) = (Cl)k, /г = 2, 3, 4
т. е. все члены, расположенные на главной диагонали, получаем, возводя последо-
последовательно ci во вторую, третью, ..., л-ю степень. В данном примере ci = 1 и все
члены главной диагонали равны единице.
На второй диагонали согласно формуле A04') для т = 2:
C[k+' > = ClC<ft> + C2cf> И При С! = 1; cf = kc2; A.106')
так что в данном примере
с<2> = 2с2 = — 1,0; с<,3> = Зс2 = — 1,5; с<4) = 4с2 = — 2,0; . ..
Все дальнейшие диагонали удобнее непосредственно вычислять по формулам
A04'). перемножая последовательно элементы колонки с^'на соответствующие эле-
элементы колонок с^]_{; с^2; ...
Например, для третьей диагонали (от = 3) имеем
С(*+Ч = ClCf*> +С2С(*> + СзС<*> A. 106")
и, чтобы вычислить c^3'=ciCg2'^ C2CB'-h e^f3', устанавливаем марки под числом
й = 1 в колонке с^1' и под числом сз2'= 0,9166666 в колонке с^[, перемножаем
эти числа, затем, переместив марки на одну строку соответственно вниз и вверх,
перемножаем (не снимая предыдущего результата) вторую пару элементов и, до-
достигнув в третьем шаге второй маркой главной диагонали, заканчиваем вычисле-
вычисление. Найденное значение
43) = 1 • 0,9166666 4- 0,5000000 • 1,0000000 -$• 0,3333333 • 1 = 1,7499999 запи-
записываем в колонке с^]_2 в строке га=5, т. е. на третьей диагонали п — 2=3.
Теперь в колонке с^_2 имеем три элемента, что позволяет совершенно аналогично
по формуле A06") вычислить сC4) = 2,8333332, для чего надо первую марку воз-
возвратить в исходное положение (под числом ft = 1), а вторую марку установить под
вычисленным в предыдущем шаге с^3'. Продолжая этот процесс, последовательно
вычисляем все элементы третьей диагонали.
Вычисление элементов четвертой диагонали выполняется точно так же, только
в каждой колонке надо брать по четыре элемента, при вычислении пятой диагонали
берем в каждой колонке уже пять элементов и т. д.
При k = 1 согласно формулам A04') и A04") имеем
сш' = с\ст + С2ст~1 + C-fm-2 + ■■■+ cmcl'
85
т. е. вторая колонка cj^_l вычисляется путем умножения элементов колонки исход-
исходных коэффициентов сп самих на себя,и в данном примере второй элемент третьей
диагонали, на вычислении которого мы вначале не останавливались, будет:
с^2) = 1 . 0,3333333 + 0,5000000 • 0,5000000 + 0,3333333 • 1 = 0,9166666.
Отметим еще, что величины с^' вычисляются совершенно аналогично тому,
как вычислялись ап в табл. 1 § 16.
Определив все необходимые вспомогательные величины cjjj', коэффициенты
обращенного ряда Ап очень легко вычислить по рекуррентной формуле A05').
Для этого надо лишь колонку уже вычисленных коэффициентов Alt А2, ...,Ап_у
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ап
+ 1,0000000
+0,5000000
+0,1666667
+0,0416667
+0,0083333
+0,0013888
+0,0001984
+0,0000250
+0,0000032
+0,0000009
с -сA)
+1
—0,5000000
+0,3333333
—0,2500000
+0,2000000
—0,1666667
+0,1428571
—0,1250000
+0,1111111
—0,1000000
+ 1
— 1,0000000
+0,9166666
—0,8333333
+0,7611111
—0,7000000
+0,6482142
—0,6039682
+0,5657937
сл-2
+ 1
— 1,5000000
+1,7499999
— 1,8749999
+1,9333333
— 1,9541666
+1,9531083
— 1,9389879
г D)
сгс—3
+ 1
—2,0000000
+2,8333332
—3,4999998
+4,0291665
—4,4499998
+4,7862431
умножить (не снимая результатов) на строку вспомогательных величин c'*+£'
и результат (взятый с обратным знаком) разделить на последний элемент этой строки
1 = Q т' е' на элемент, стоящий в первой диагонали. В табл. 4 элементы первой
диагонали отделены от остальных элементов ломаной линией.
Подчеркнем, что все величины cj^1', необходимые для вычисления Ап,
расположены именно на л-й строке, что создает максимальное удобство при вы-
вычислении коэффициентов А .
Первый коэффициент Аи необходимый для начала рекуррентного процесса,
вычисляется непосредственно по формуле A05): Ai= —
с\ '
В рассматриваемом примере cl= I, так что Ai=l; с^ = 1;
А2 = — Л^1' = — с2 = + 0,5000000;
А3= — [Л1С<" + Л2с<2)] = — 1 • 0,3333333 + 0,5000000 • 1 = +0,1666667:
Л4 = + 1-0,2500000 — 0,5000000-0,9166666 + 0,1666667 • 1,5000000 = 0,0416667;
86
Все коэффициенты Ап,вычисленные с семью десятичными знаками, приведены
в первой колонке табл. 4.
Точные значения искомых коэффициентов в данном примере получим, обращая
исходное равенство £ = 1п A + г) и разлагая затем е^ в ряд:
_
откуда ah =
-L.
Вычисленные в табл. 4 значения совпадают с точными до п = 7, а даль-
дальнейшие точные значения будут As = 0,000024801 ..., А9 = 0 000002755
Аы= 0,000000275...
Таблица 4
г()
Сп-4
<6)
5
с G)
сл-6
сл-7
.(9)
Г(Ю)
сл-9
—2,5000000
+4,1666665
—5,8333330
+7,4236107
—8,9062495
+ 1
—3,0000000
+5,7499998
-8,9999995
+12,5541659
—3,5000000
+7,5833331
— 13,1249993
—4,0000000
+9,6666664
—4,5000000
+1
Расхождение результатов обусловлено накоплением ошибок округления при
вычислении величин е^>, и если полученная точность недостаточна, то вычисления
надо проводить с большим числом знаков.
Если исходный ряд A01) содержит только нечетные степени
(как это часто встречается на практике), то и обращенный ряд
A02) будет также содержать только нечетные степени.
В этом случае объем вычислений существенно сокращается, как
это видно из примера 2.
Пример 2. Обратим ряд
е=агсз.пг=г+
з
Ь3
1-3- 5
Исходные данные (колонка сп'' = сп) и все вычисления приведены в табл.5,
причем колонки с^]_{ и с®}_2 вычисляются точно так же, как и в примере 1. Однако
поскольку все четные коэффициенты равны нулю, то согласно формуле A05') нет
надобности вычислять и четные колонки c^2k,l, так как они будут умножаться
87
на А2п = 0. Вычисление всех нечетных колонок е^2^1' выполняется совершенно
аналогично примеру 1 по формуле A04) при / = 2, для чего и надо было предва-
предварительно вычислить «образующую» колонку cj^_lt например:
2)сC) + CB)J3) = ! . 0,3083334 + 0,3333334 • 0,5000001 +
3 о J-
+ 0,1777778 • 1 =0,6527779.
Таблица 5
сE) = B)сC)
п
1
о
5
7
9
Ап
+ 1,0000000
-0,1666667
+0,0083334
—0,0001985
+0,0000029
сп = ^
+ 1
0,1666667
0,0750000
0,0446429
0,0303819
<■.<!?.
(+1)
@,3333334)
@,1777778)
@.1142858)
сп—2
+ 1
0,5000001
0,3083334
0,2135583
Ln—4
+ 1
0,8333335
0,6527779
г G)
сп—6
+1
1,1666669
Четные коэффициенты исходного ряда ^л = 0в табл. 5 не вносятся.
Вычисление коэффициентов Ап (только нечетных) выполняется по формуле
A05'), но при этом элементы колонки сп_,, которые в табл. 5 взяты в скобки и наб-
набраны нонпарелью, в вычислении Ап не должны участвовать (ведь они должны
быть умножены на А2 = 0), например:
Л5 = — [Aicl6l) + А,43)] = — 1 • 0,0750000+0,1666667 • 0,5000001 =
= + 0,0083334.
Вычисленные Ап остается сравнить с их точными значениями, что в дан-
данном примере легко выполнить, так как
5!
11!
Рекомендуем читателю для приобретения навыков в технике вычислений
повторить (ограничиваясь шестью десятичными знаками) вычисление табл. 4 и 5,
которые благодаря их простоте и однотипности выполняются довольно быстро.
Так, например, на арифмометре типа ВК-1 табл. 4 вычисляется за 1,0—1,5 часа,
а табл. 5 за 10—15 минут. При этом полезно проанализировать насколько
возраст/т погрешности в Ап, если вычисления выполнять с шестью десятичными
знаками, а не с семью, как в табл. 4 и 5.
В заключение приведем еще формулу обращения обобщенного
степенного ряда, который при т = 1 переходит в обычный степенной
ряд A01):
- U = (z - zof {Cl + c2(z-z0)+... + cn(z- zo)"+l+ ...}. A.107)
Возведя обе части этого равенства в т-ю степень, имеем:
(£ — SoT = (z-zo){Cl+ ca(z —Zo) + •.. + cn(z
Воспользовавшись результатами § 17, находим
C2 (z — z0) + Cs(z — z0J
88
где коэффициенты Сп определяются формулами A00) или вычисляют-
вычисляются по рекуррентным формулам (98'), (99), в которых надо только
произвести замену An-i -> Сп; сп-\ -> с„.
Объединяя найденные результаты, получаем
- СоГ = Ci (z —
z-z0J + С3 (z-z
... +Cn(z-z0)"
и приходим таким образом к задаче, рассмотренной в начале пара-
параграфа.
Обращая полученный обычный степенной ряд, после неслож-
несложных преобразований находим формулу обращения ряда A07):
г- г0 = Big -
где
A-108)
С2т
тег
>i = —
от [ Зот
с2 ,2
Ci
2!
Dm-f 1)Dot-
3!
)
Eот + 1) (бот + 2) (бот -f- 3) / с2
4! ~^
Eот+1)Eот+2)/
5от+1
2,
Положив в этих формулах т = 1, находим в явном виде пер-
первые пять коэффициентов для обращенного степенного ряда A02),
которые были найдены другим путем в работе [162, т. I, стр. 389—
390]. Если необходимо найти большее число коэффициентов, то
удобнее воспользоваться рекуррентными формулами A04), A05).
Отметим попутно, что все формулы, выведенные в § 16—18,
легко программируются на быстродействующих электронных вычис-
вычислительных машинах.
Ознакомившись с основными свойствами степенных рядов, пе-
перейдем теперь к изучению с их помощью элементарных трансцен-
трансцендентных функций.
89
§ 19. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
Показательная функция комплексного переменного ez опреде-
определяется как сумма ряда
Воспользовавшись формулой (82), находим, что радиус сходи-
сходимости данного ряда
1
R = lim
c«+i
1 •2 ■ 3...n
= lim j = lim (n -f 1) = со,
1 ■ 2 ■ 3.. . n(n
т. е. ряд A09) сходится при всех значениях г как действительных, так
и комплексных. Таким образом, ег есть регулярная функция на
всей открытой плоскости z, т. е. на всей плоскости с выключенной
точкой z = оо. Как будет показано дальше, точка г = <х> является
единственной особой точкой для функции ег.
Функции, обладающие этими свойствами, называются целыми
трансцендентными.
Если z принимает действительные значения г = х, то формально
определенная равенством A09) функция ez тождественно совпадает
с показательной функцией, определяемой в анализе тем же рядом:
или пределом
"■" 1! "f" 2! "г" 3!
ех= lim 1 +—)"
Покажем, что и все основные свойства, которыми обладает
функция е*, имеют место и в случае комплексного переменного
z = х + iy.
1. Дифференцируя почленно ряд A09) (что мы имеем право
делать на основании теоремы 3 § 15), находим производную функ-
функции е2:
2! ^ 3! +•••+ „1
Следствие. Производная любого порядка от функции е
тождественно равна самой функции.
90
2. Докажем теперь так называемую теорему сложения для
функции ег, которая имеет следующий вид:
eZl ■ ez'= ez'+z\ A.110)
Действительно, на основании теоремы Коши об умножении
абсолютно сходящихся рядов (§ 13), произведя соответствующую
группировку членов, имеем:
;+^> + ^ + ^ (г1 + г2)
ч й +... = 1ч- —п—
+21+ •••+ п\ h---
Полученный ряд, согласно формуле A09), тождественно равен
е^+ъ, что и доказывает равенство (ПО).
Теорема сложения, особенно если она имеет такое простое выра-
выражение, как в случае функции ez, существенно облегчает задачу
вычисления значений изучаемой функции.
Так, в случае действительных значений z = х вычисление е"
при помощи ряда A09), хотя принципиально и возможно при
любых значениях х, но число членов ряда, необходимое для обес-
обеспечения требуемой точности, т. е. объем вычислительной работы,
при х > 1 резко увеличивается по мере увеличения числа х.
Теорема сложения позволяет избежать эту трудность. Так,
например, составив при помощи рядов таблицу значений функции
ех для промежутка 0 $ х s^ 1, мы можем, воспользовавшись равен-
равенством (ПО), представить ех в виде
ех = е1 • /-' = е ■ <Г\
В таком случае вычисление значений ех для промежутка 1 <^ х <^
<; 2 сводится к умножению уже известного значения ех~х на постоян-
постоянный множитель е = 2,71828..., величина которого также уже была
определена при х = 1.
Для промежутка 2 ^ х ^ 4 вычисляем ех по формуле
ех = е* ■ ех-\
так как при этом 0 $ (х — 2) $ 2, и, следовательно, е*—2 и е2 уже
нам известны.
Таким образом, при помощи теоремы сложения можем продол-
продолжать вычислять таблицу значений функции ех как угодно далеко,
не прибегая больше к вычислениям при помощи рядов.
91
Применяя многократно формулу (ПО), можно ей придать сле-
следующий, более общий вид:
е*в V... ez" = eZt+z°+Zl+-•■+*». A.110')
В частности, при гг — z2 = z3 = ... = zn = z получаем
(ezf = enz. A.110")
3. Положив в формуле (ПО) zx = z, z2 = — z, находим, что
eze~z = e°= 1,
т. е.
Отсюда вытекает, что показательная функция ни при каких конеч-
конечных значениях z не обращается в нуль.
Действительно, если бы в какой-либо точке г функция ег обра-
обратилась в нуль, то согласно A11) в точке (— z) она была бы не опре-
определена, что противоречит формуле A09).
Показательная функция есть, следовательно, отличная от по-
постоянной целая функция, не имеющая нулей.
С некоторыми другими свойствами показательной функции мы
познакомимся в следующем параграфе.
§ 20. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.
ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА
Определим функции комплексного переменного sin г и cosz ряда-
рядами, построенными аналогично случаю действительного перемен-
переменного:
cosz= l-4 + |--4 + -■ + (- ^E + •••■ 0-ПЗ)
По формуле (82) находим, что радиус сходимости ряда A12)
R = lim
= lim Й1 = lim B" + 3) Bn + 2) = со.
Л—
Для ряда A13) также R = <х>.
Следовательно, sinz и cosz, как и показательная функция ez,
суть целые трансцендентные функции, регулярные во всей откры-
открытой плоскости комплексного переменного z, которые при действи-
действительных значениях г = х тождественно совпадают с известными
функциями действительного аргумента sin л: и cos л:.
92
Необходимо подчеркнуть, что на основании формального совпа-
совпадения рядов, которыми определяются функции sin г и cos г и те же
функции действительного переменного sinx и cosx, нельзя делать
заключения, что и все свойства этих функций одинаковы.
Функции sin z и cos z являются совершенно новыми функциями,
обладающими рядом новых свойств (например, ] sin г j может быть
какой угодно большой величиной, в то время как функция sinx
по абсолютному значению не может превышать единицы: |sinx| =< 1).
Тем не менее sin z и cos z «унаследовали» все основные свойства функ-
функций sin л: и cos л:, но каждое из этих свойств надо строго доказать.
Для этого установим связь между функциями sin z, cos z и изу-
изученной нами показательной функцией.
Заменяя в формуле A09) z на iz, имеем
1! ^ 2! ^ 3! ^ 4! ^ 5!
. г г2 . г3 . г» . . г5
'ТГ 2Г—1^\ +^Г + 1-5Г
Перегруппировав члены, можем написать:
после чего, заменяя ряды в скобках по формулам A12), A13),
получаем:
elz = cos z + i sin z. A-114)
Заменяя i на —i, имеем
e-'z = cosz — tsinz. A.114')
Складывая и вычитая равенства A14) и A14') и решая полученные
уравнения относительно cos z и sin z, находим формулы Леонарда
Эйлера (L. Euler, 1707—1783):
2.e , A.115)
2 , A.116)
устанавливающие связь между тригонометрическими функциями
и функцией показательной.
При z = у, где у — действительное число, формула A14) дает
е'у = cos у + i sin у. A.114*)
Полагая в формуле A14") у = 2я; у = я; у = ~ , получаем равен-
равенства, которые следует запомнить:
е2я,= 1. е» = _1; Д' =; A П7)
93
Исходя из тригонометрической формы представления комплекс-
комплексных чисел (формула G) § 2) и формулы A14"), получаем также
новую показательную форму комплексного числа
г = r (cos ф + / sin ф) = ге'ф, A.118)
которая благодаря ее краткости стала наиболее распространенной.
Применяя теорему сложения (ПО) для функции ег в случае
г = х + iy, получаем
ez = ex+iy = exeiy = ех (cos у + i si n у), A.119)
т. е. показательная функция ez имеет модулем ех и аргументом
y+2kn (k = 0, ±1, ±2, ±3,...).
Формула A19) устанавливает новое важное свойство показа-
показательной функции ez (которым в действительной области эта функция
не обладает) — ее периодичность..
Напомним, что функция/ (г) называется периодической, если существует такое
постоянное, отличное от нуля, число а, что при произвольном целом га тождествен-
тождественно (т. е. при всяком г) справедливо равенство
/(г + ол)=7(г) (л=±1; ±2; ±3;...).
Число а (вообще говоря комплексное) называется периодом функции f (г) .
Если же это равенство выполняется не при любых г и га, а только при каких-
либо фиксированных их значениях, например
sin 30° = 0,5; sin 150° = sin C0° + 120°) = 0,5 = sin 30°,
то в этом случае а = 120° не будет периодом функции sin г.
Заменяя в формуле A19) число z = х + iy числом z + 2яш =
= х + (у + 2ял) г, имеем:
= ex(cosy+ ism у).
Воспользовавшись снова формулой A19), находим
Таким образом, показательная функция ez имеет мнимый пе-
период 2яг.
Выведем теперь основные свойства функций sinz и cosz.
1. Дифференцируя почленно ряды A12) и A13), имеем
(sinz)'= 1-^г + ^Г- ■••= l--J + 4----
(cos z)' = - z + ~ % + ... = - (z- |- + f - ...j =- sin z.
A.122)
94
2. Непосредственно из рядов A12) и A13) также получаем:
sin(—z) = — sinz; cos(—z) = cosz; A.123)
т. е. функция sin z есть функция нечетная, a cosz — четная.
3. Справедливы теоремы сложения при любых комплексных
значениях zi и zi:
sin (zi + z2) = sin Zi cos z2 + cos Zi sin z2; A. 124)
cos (zi + z2) = cos Zi cos z2 — sin zi sin z2. A. 125)
Докажем первую из этих формул; вторая доказывается анало-
аналогично.
Воспользовавшись формулами Эйлера A15), A16), имеем
(e'Zl — e-'z>)(e'z-*-f-e-''z') .
sin Zi cos z2 -f- cos Z\ sm z2 = ~ ! +
l if ±£ Ш zl£ L = _
= fe+zj) _ e«z,-z,) i
4г 4г 1
,—z2) g—г(г,+г2) _|_ g((z,+z2) _J_ e''(Zi—zt) g'(Zi—z2) g
ег (Z!+z2) e—1 (z,+z2)
i ( ^
' = Sin
4. Положив в формулах A24), A25) zx = z,Z2 = 2 ял, устанав-
устанавливаем, что функции sin z и cos z периодические и имеют период,
равный 2я:
sin (г + 2лп) = sin г; cos (г + 2ял) = cos z. A.126)
Отметим, что при доказательстве периодичности функции ez
мы пользовались свойством периодичности тригонометрических
функций от действительного аргумента у, но не от комплексного
аргумента г, которое еще не было доказано.
5. Следствием теоремы сложения являются формулы двойного
и половинного аргумента, формулы для суммы и разности синусов
и косинусов, которые все имеют тот же самый вид, что и для функ-
функций действительного аргумента.
В частности, положив в A25) zi = — zi = z, получаем
cos 0= cos z cos (— z) — sin z sin(— z),
т. е. известное тригонометрическое тождество
sin2z + cos2z= 1, A.127)
которое в элементарной математике обычно доказывается исходя
из теоремы Пифагора.
При комплексном г = х + iy геометрическое толкование функ-
функций sin z и cos z как отношение противолежащего и прилежащего
катетов к гипотенузе совершенно теряет свой смысл. Тем не менее,
основное тригонометрическое тождество sin2 z + cos2 z = 1 сохра-
сохраняет свою силу.
95
В качестве иллюстрации проверим численно тождество A27),
взяв, к примеру, г = 0,5 i.
Тогда, подставив в формулы A12), A13) г = 0,5 i н ограничи-
ограничиваясь шестью десятичными знаками, имеем
• /ле-\ • In. с , 0,125 , 0,03125 0,0078125 , \ ncmn.c.
sin @,50 = i /0,5 + -~- + -^go 1- 5т !-...)= 0,521095г,
/леч ii °'25 i °>0625 1 0,015625 , , , о_сос
cos@,50= ! +~4~Н 24 ' 720 ^ ■■• = 1.127626.
Следовательно,
sin2 @,50 + cos2 @,50 = — 0,271540 + 1,271540 = 1,000000.
Отметим, что в рассмотренном примере cos @,50 есть величина
большая чем единица.
При достаточно большом у функции sin iу и cos iy, как легко
видеть из формул A12), A13), будут принимать по модулю какие
угодно большие значения.
6. Определим все те точки плоскости z, в которых sin г и cos г
обращаются в нуль. Согласно формуле A15) уравнение sin г = 0
равносильно уравнению
е'г — е~и = 0,
т. е.
ё"*= 1.
Отсюда, учитывая периодичность функции ег, в силу первого из
уравнений A17), получаем:
г = дат, где п = 0, ±1, ±2,...
Таким образом, все нули функции sin z расположены на дейст-
действительной оси в точках ля.
Аналогично доказываем, что все нули функции cos z расположены
на действительной оси в точках у+ ля, где п — любое целое число
пли нуль. При этом нули функций sin z и cos z будут простыми (не
кратными) нулями.
В заключение все остальные тригонометрические функции комп-
комплексной переменной определим при помощи формул:
§ Z
cos г г etz + e-iz — l e2iz + j >
_ cos г _ _\_ _ . e2lz + 1 .
Ctg Z ~~ sin г ~{g~z~~l e2/z _ j ;
к7м^; AЛ28)
cosec г = -:— =■
slnz
96
Первые две из этих функций имеют период, равный it, остальные
—2я.
Функции tg 2 и ctg z имеют бесконечное число простых нулей
и полюсов, совпадающих соответственно с нулями их числителей
и знаменателей. Функции sec z и cosec г на всей открытой плоскости
г нулей не имеют, а их простыми полюсами будут нули функций
cos г и sin г, которые были определены выше.
Перейдем теперь к изучению гиперболических функций.
Рис. 15.
Тригонометрические функции действительного аргумента
cosx можно определить при R = 1 как длины отрезков ВС и ОВ
(рис. 15). При этом аргумент х можно понимать не только как вели-
величину центрального угла а=А ОС, но и как площадь сектора круга,
с центральным углом 2а, так как х= -^-R* ■ 2а = а (поскольку R =
= 1).
Таким образом,
sin х — ВС; cos х = ОВ
(благодаря этому обстоятельству тригонометрические функции
называют также круговыми). 2
Рассматривая аналогичные функции площади не в круге х -f-
+ „2=1 а в равнобочной гиперболе д;2 — уг = 1 (ограничиваясь
только ее'правой ветвью) и обозначая через х площадь гиперболи-
гиперболического сектора COD, определяем гиперболические функции, для
обозначения которых употребляются первые буквы их латинских
названий:
sh х = вс — гиперболический синус (sinus hyperbolicus),
ch x = ОВ — гиперболический косинус (cosinus hyperbolicus).
Вычислим площадь х гиперболического сектора COD. Для вели-
7 П. Ф. Фнльчаков
97
чины площади, которую вырезает гипербола (обозначим ее через
Si), имеем
ов ов
5, = 2 \ V х1 — 1 dx = х Vх1 — 1 — In (x + Ух2 — :
J
= ОВ V(OBf — 1 — In (OB + V(ОВ)*— 1).
Далее, (OBf — (CBJ =1, так что
VJpBf— 1 =ВС; ОВ = У(ВСJ+ 1,
и тогда
5Х = ОВ • СВ — 1п (ОВ + V(OBf — 1) =
= ОВ ■ CB — In (ВС + V{BCf +1).
Но ОВ ■ CB = S2 есть площадь треугольника COD. Следовательно
х = S2 — Sx - In (ВС + V(BCf 4- 1),
откуда
ВС + ]/(ВСJ 4- 1 = е*
или (ВСJ + 1 = (е* — ВСJ = ё* — 2ехВС 4- (ВСJ.
Решив полученное уравнение относительно ВС, имеем
вс= е2х-1 =^=£^.
Но по определению ВС = sh x, следовательно, для действительного
аргумента х
, ех — е~х , ех 4- е~х
sh х = s и аналогично сп д; = —'ъ .
Дифференцируя эти формулы, сразу же находим
(sh х)' = е 2* = ch x; (ch х)' = —~— = :
и, разлагая эти функции в ряд Маклорена, получаем
_
В случае комплексного переменного z — х + iy определим по
аналогии функции sh z и ch z как суммы абсолютно сходящихся на
98
всей открытой плоскости z рядов, т. е. рядов, радиус сходимости
которых, согласно (82), есть R = <х>:
2п-1-1
- + ...; A.129)
Ь-.., A.130)
или при помощи формул:
z
shz = 2e , chz = +e , A.131)
являющихся следствием формул A29), A30).
Непосредственно из этих определений (вполне аналогично тому,
как это было сделано для круговых функций) вытекают:
основное тождество
ch2z — sh2z=l; A.132)
свойства четности и нечетности
sh(— z) = — shz; ch(—z) = chz; A.133)
периодичность с чисто мнимым периодом 2ш
sh (z + 2лш) = sh z; ch (z + 2ma) = ch z; n = 0, ± 1, ± 2,... A. 134)
и формулы для производных
(sh г)' = ch z; (ch z)' = sh z. A.135)
Заменив в A31) z на /z и воспользовавшись формулами Эйлера
A15), A16), устанавливаем связь между тригонометрическими и ги-
гиперболическими функциями:
sh iz = i sin z; sin /z = i sh z; A.136)
ch iz = cos z; cos iz = ch z.
Формулы A36) позволяют все результаты, установленные для
тригонометрических функций, легко перенести на случай гипербо-
гиперболических функций.
Например, заменяя в формулах A24), A25) Z\ на izx и z2 на гг2,
имеем
sin [i (zi + ^г)] = sin izi cos /z2 + cos iz\ sin jz2;
cos [i (zi + z2)] = cos izi cos t'za — sin iz\ sin jz2.
Воспользовавшись теперь формулами A36), получаем
/ sh (zi + z2) = i sh zi ch z2 + г ch zx sh z2;
ch (zi + z2) = ch Zi ch z2 — г2 sh zx sh z2.
7* 9Э
Сократив первое равенство на i и учтя, что г2 = — 1, получаем
теоремы сложения для функций sh г и ch г:
sh (zi + z2) = sh zi ch z2 + ch zx sh z2; A.137)
ch (zi + z2) = ch Zi ch z2 + sh zx sh z2.
В качестве упражнения читатель легко может вывести формулы
двойного и половинного аргумента для функций sh z и ch z.
Из формул A36) также следует
sh z = 0 при z = ляг, где п = О, ±1, ±2, ... ,
и
chz=0 при z = -5-Bn+ 1)г, где n = 0, ± 1, ± 2, ... , A. 138)
т. е. все нули функций sh z и ch z расположены на мнимой оси, в
том числе и точка г = 0, которая также является нулем функции
sh z.
Определим теперь действительную и мнимую части тригономет-
тригонометрических и гиперболических функций.
Воспользовавшись теоремами сложения и формулами A36),
имеем:
sin z = sin (х -j- »/) = sin х ch г/ -f г cos x sh r/;
cos z = cos (x + гг/) = cos xchy — i sin x sh y;
shz= sh(x + iy = shx cost/ + г chxsin y; A. 139)
ch z = ch (x + iy) = ch X cos r/ + i sh x sin r/.
Таким образом, функции sinz, cos z, shz, ch z от комплексного
аргумента z = x + iy выражаются комплексными числами, кото-
которые определяются при помощи тригонометрических и гиперболи-
гиперболических функций действительного аргумента.
Пример. Вичислим sin A,3 Ч^ 0,5г) н cos (J,3 -f 0,5г).
По таблицам (например, [213]) находим:
sin 1,3 = 0,96356; sh 0,5 = 0,52110;
cos 1,3 = 0,26750; ch 0,5 = 1,12763
н по формуле A39) вычисляем:
sin A,3 + 0,5г) = 1,08654 + 0,13939г;
cos A,3 + 0,5г) = 0,30164 — 0,5021 li.
Можно этн вычисления проводить и непосредственно с комплексными числами
при помощи рядов, которыми определяются функции sin z; cos г, однако это при-
приведет к значительно большему объему вычислений.
100
Кроме функций sh z и ch z еще получили распространение функ-
функции th z— гиперболический тангенс—и cth z — гиперболический ко-
котангенс,— которые определяются формулами:
chz
,, сЬг 1
cth z = -r- = п— =
sh z th2
er
„22
+ 1
е2г-1
■ = — i tg iz,
= i ctg iz.
A. 140)
На рис. 16 приведены графики гиперболических функций для
действительного аргумента х (более подробно о гиперболических
функциях см. [210, 322]).
Рис. 16.
Отметим, что в теории функций комплексного переменного три-
тригонометрические и гиперболические функции, по сути, теряют
право на самостоятельное существование, так как они являются
весьма простыми рациональными функциями от показательной
функции ег.
Их самостоятельное существование обусловлено тем, что исто-
исторически эти функции возникли и изучались вначале только для
действительных значений аргумента, а в области действительных
аргументов между ними нет никакой связи.
§ 21. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
Логарифмической функцией от комплексного переменного z =
= х + iy называется функция, обратная к показательной, т. е.
функция w, которая определяется уравнением
e°» = z (z=#=0). A-141)
Значение z = 0 из рассмотрения исключается, так как функция
ew никогда не принимает значения нуль.
Обозначается логарифмическая функция символом Logz:
w^Logz. A-141')
101
Определим действительную и мнимую части функции Log z. По-
Положим
w = и + iv,
z = г (cos ф + i sin ф) = ге'ч>,
где
г = + /х2 + г/2, q> = arctg-J, (—я<ф<я).
Тогда из A41), воспользовавшись теоремой сложения для
показательной функции, имеем
Сравнивая модули и аргументы правых и левых частей получен-
полученного комплексного равенства, находим:
е" = г, т. е. и = In r,
и
и = ф + 2шт,
где 1п г — натуральный (неперов) логарифм положительного числа г.
Таким образом,
w= \nr+ /(ф + 2пя), п = 0, ±1, ±2 A.142)
или, вводя обычные обозначения для модуля и аргумента комплекс-
комплексного числа,
Logz = In | z | + f Arg г. A.142')
Логарифм (как функция комплексного переменного) некоторого
числа z = х + iy есть бесконечнозначная функция, действитель-
действительная часть которой определяется однозначно и равна натуральному
логарифму его модуля, а мнимая,— равная аргументу числа,—
определяется с точностью до слагаемого, кратного ±2я.
Такое понимание логарифма принадлежит Эйлеру; он изложил
его в работе 1749 г.: «О споре между Бернулли и Лейбницем о лога-
логарифмах отрицательных и мнимых чисел».
Пример. Определим логарифм числа 1 г= 4 — 3/.
В данном случае х = -t 4, у = — 3, следовательно,
Ф = arctg (— 0,75) = 2,49809 (рад);
In | г ] = 1,60944; Arg г = 2,49809 + 2/гя (л = 3,14159 ...),
1 Для точных вычислений построены специальные таблицы [48]. С меньшим
числом знаков (как это обычно и встречается на практике) можно пользоваться
любыми таблицами натуральных логарифмов и таблицами функций arctg x или
tg*.
102
так что
Log D—3/)= 1,60944 + /B,49809+ 2яя) (л = 0, ±1, ±2 ).
Отметим особо важные частные случаи.
1) z — положительное число: z = х, (х > 0). Тогда \z\ = х;
tg(p = 0; ф = 0; Arg z = 2гат и
Log л: = 1пдг + 2mu; л = 0, ± 1,± 2, ..., т. е. Logx имеетбес-
конечное множество значений:
..., In х — 4го; In х — 2го; In x; In х + 2лг; In л: + 4яг, ...,
но только одно из них (при п = 0) действительное: именно то зна-
значение 1п х, которое известно из элементарной алгебры.
2) z — отрицательное число: z — х (х < 0). Тогда \z\ = —х;
tg<p = — 0; ф = я; Argz = Bл + 1)я и для Logz получаем сле-
следующие значения:
... , 1п (— х) — Зяг, 1п (— х) — я/; In (— х) + ш,
In (— х) + Зяг", ... (— х > 0).
Значений Log z и в этом случае будет бесконечное множество, но
среди них нет ни одного действительного, в силу чего в элементарной
алгебре и утверждают, что отрицательные числа не имеют лога-
логарифмов.
3) Модуль числа z равен единице: |г| = 1.
Тогда In \z\ = 0 и
Log z = i Arg z,
т. е. все значения логарифма чисто мнимые.
Многозначность функции Log г есть следствие того, что &° есть
периодическая функция.
Действительно, поскольку
то уравнение ё" = z должно иметь бесконечное число корней w0 +
+ 2nni, где w0—одно из решений этого уравнения.
Значение логарифма, которое получают из A42) при п = 0,
называют главным значением и обозначают его
In z= In | z\ + iargz (—я<а^г<Гя). A.143)
Тогда
Log z = In z + 2дш\ n=0, ±1, ±2, ... A.143')
Рассмотрим подробнее вопрос о связи между различными зна-
значениями функции Log z.
Предположим, что точка г, начиная от положения z0, описы-
описывает некоторую замкнутую кривую С, не имеющую точек самопере-
самопересечения.
Каждому значению г соответствует бесконечное число значений
функций Log z, которые при непрерывном изменении z также изме-
103
няются непрерывно и опишут в плоскости w — и + iv = Log z
кривые ..., Г_2, Г_ь Го, Гь Г2, ...
Если кривая С (рис. 17) не содержит внутри себя точку г = О,
то arg z, изменяясь непрерывно вдоль С и достигнув в точках z1
и z2 наибольшего и наименьшего значений, после завершения пол-
полного оборота вернется к своей первоначальной величине arg?0.
совершив лишь маятникообразное движение. Следовательно, глав-
главное значение In z опишет некоторую замкнутую кривую Го (так
как начальное и конечное значения In z = In
mrg z будут
совпадать), все остальные зна-
значения Log z — In z -f 2nni опи-
опишут кривые Г„, отличающиеся
от Го лишь сдвигом на посто-
постоянный вектор 2яш, я = ± 1,
± 2, ± 3, ... (рис. 17, сплош-
сплошные линии).
Если кривая С" будет содер-
содержать внутри себя точку 2=0,
то при полном ее обходе модуль
г = |г|, как и в первом случае,
примет свое первоначальное зна-
значение, но arg z не вернется к
значению arg z0, а получит при-
приращение 2я; следовательно, каж-
рис. п. дое значение Log г увеличится
на 2ш, т. е. перейдет в сле-
следующее значение (рис. 17, пунктирные линии).
Учитывая такой непрерывный переход одного значения Log г
в другое при обходе начала координат г — 0, все эти значения рас-
рассматриваем как различные ветви одной бесконечнозиачной функ-
функции Log z. Точка z = 0, в которой как бы соединяются все ветви
Log z, называется точкой разветвления (бесконечного порядка)
этой функции.
На плоскости с разрезом, идущим из точки г = 0 (например,
вдоль отрицательной половины действительной оси), который ис-
исключает возможность полного обхода точки z = 0, каждое зна-
значение Log z будет непрерывной однозначной функцией; такой же
будет каждая ветвь и во всякой односвязной области, которая не
содержит нулевой точки.
Во всякой такой области каждая ветвь Log г будет функцией
регулярной.
Взяв одно из значений Log z, согласно теореме о производной
обратной функции (§ 9) и равенству D9), найдем производную функ-
функции Log z = w (еш = г):
^ 4=|- A-144)
(ew)'
104
Заметим, что производная будет одна и та же для всех ветвей Log z.
Таким образом, Log z есть бесконечнозначная аналитическая функ-
функция на всей открытой плоскости z, регулярная во всех точках,
кроме точки z = 0.
Основные свойства логарифмической функции выражаются ра-
равенствами:
Log (?i?2) = Log zx + Log z2;
(-J) = LogZx-Logz,; A. 145)
Log zm = m Log z.
Докажем первое из этих равенств, так как остальные являются
его следствием.
Для двух каких-либо значений г
Z\ = /i (cosфх -j- ' sin фх) и z2 = r-2, (cos ф2 + i sin ф2)
имеем
Log zx = In rx + i (ф! + 2nin), Log z-i = In r2 + i (ф2 + 2л2я).
Складывая эти равенства, получаем
Log zx + Log z2 = In (/у2) + г [(фг + ф2) -f 2 (nx + п2) л] == Log (ZiZ2),
так как ZiZ2 = (rxr2) [cos (фХ + ф2) + г sin (фг + ф2)].
В связи с бесконечнозначностью функции Log г это равенство надо
понимать в том смысле, что сумма некоторого значения Log zx
и некоторого значения Log z2 равняется одному из значений
Log (Z!Z2).
Для главных значений In z равенства A45) имеют обычный одно-
однозначный смысл.
Переход от равенства вида
к равенству
Log zx = Log z2
называется логарифмированием равенства Zi == г2.
Логарифмируя равенство вида
■ eZi — e2\
результат в связи с многозначностью функции Log z следует запи-
записывать в виде
Zi = z2 + 2ляг.
105
§ 22. ОБЩАЯ СТЕПЕННАЯ И ОБЩАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ
ФУНКЦИИ
Общая степенная функция комплексной переменной г", где а
есть произвольное комплексное (в частности, действительное)
число, определяется при помощи показательной и степенной функ-
функций следующим образом:
z» = eaL°sz. A.146)
В связи с тем, что Log z = lnz + 2kni бесконечнозначная функция,
общая степенная функция, вообще говоря, будет также иметь
бесконечное количество значений:
2A= ga(ln2+2tot0 = gain* . e2akm> (jfe = 0, ± 1, ±2, . . .), A. 146')
но многозначность на этот раз входит не через слагаемое, как в
случае Log z, а через множитель е2аШ.
Рассмотрим несколько частных случаев.
1. a — целое число: a = п.
В этом случае благодаря периодичности ez
e2nknl =r: \
так как nk — число целое.
Таким образом, при а целом г", согласно A46), будет иметь одно
единственное значение, т. е. будет алгебраической рациональной
(целой при a > 0 и дробной при a < 0) функцией, что полностью
совпадает с результатами § 11.
2. a — дробное рациональное число: a =— (где тип целые
числа, не имеющие общих делителей и п > т). В этом случае za будет
иметь только п различных значений:
m т 2mkni
za = -,^= ^ UZ . ~n (k=0, 1, 2, . . . ,, П — 1),
так как при k = n, n + 1, n + 2, ... мы будем получать для мно-
2mkn i
жителя е п те же значения, что и при k = 0, 1, 2 п — 1.
2тШ
Например, при k = п имеем е п = е2тШ = 1 = е°. В этом слу-
случае z° будет алгебраической иррациональной функцией.
3. a — иррациональное или мнимое число. Тогда все значения
выражения е2аШ различны и, следовательно, za будет бесконечно-
значной.
Если а не равняется целому числу или нулю, то za, как и лога-
логарифмическая функция, имеет точку разветвления z — 0.
На плоскости z с разрезом, идущим из точки z = 0 (например,
вдоль отрицательной половины оси х), каждая, ветвь za будет регу-
регулярной функцией.
106
Применяя правило дифференцирования функции от функции из
равенства A46), получаем
(za)' = j eaL°sz = ^f = aza~l. A. 147)
Общая показательная функция комплексного переменного а
определяется формулой
az = ezL°sa, (аф 0) A. 148)
Функция аг имеет бесконечное количество значений, так как Log a =
= lna + 2kni, (k = 0, ±1, ±2, ...) представляет собою совокуп-
совокупность однозначных регулярных функций, не переходящих одна
в другую.
На основании A48) для производной имеем
(az)' = Loga • ezL°ea = az ■ Log a. A. 149)
§ 23. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Функция комплексной переменной w, обратная к функции sin w,
обозначается w = Arc sin z (читается арксинус z) и, следовательно,
определяется уравнением
2. —. A.150)
Решая это уравнение относительно w, будем иметь последовательно:
z = .ю ; e2lw — 2izeiw —1 = 0;
= iz + УI — z2;
w = Arcsinz = — Log(rz + ]/ 1 —z2). A. 151)
Таким образом, функция Arcsinz тесно связана с логарифмиче-
логарифмической функцией, что в действительной области не могло иметь места.
Функция Arc sin z бесконечнозначная, а именно: каждому зна-
значению z соответствуют две бесконечные серии значений, которые
происходят, с одной стороны, от двух значений корня: ±Vl—г2и,
с другой стороны, от бесконечного числа значений логарифма.
То значение Arcsinz, которое получим, взяв в формуле A51)
главное значение логарифма, называется главным значением функции
арксинус и обозначается
arcsinz.
107
Можно показать [240, гл. IV, § 5], что все остальные значения
Arc sin z будут выражаться через его главное значение следующими
двумя формулами:
Arcsinz= 2kn -f- arcsinz, (k == 0, ±1, ±2, ...),
Arcsinz= Bk + 1) Jt — arcsinz, (fc = 0, ±1, ±2, ...),
которые легко объединить и представить в таком виде:
Arcsinz = fot + (—1)*arcsinz, (k = 0, ±1, ±2, .. Л A.152)
Если z действительное число (z = д;), то главное значение функ-
функции арксинус определяется неравенствами:
— -у <arcsin*<-|-- A.153)
Производную функции w — Arcsinz найдем, пользуясь правилом
дифференцирования обратных функций (формула D9) § 9).
Для того чтобы иметь право пользоваться теоремой о дифферен-
дифференцировании обратной функции, необходимо предварительно уста-
установить, что единственными особыми точками функции Arcsinz
будут точки ±1, которые являются точками разветвления. Краткое,
но исчерпывающее изложение этого вопроса можно найти в цити-
цитированной выше книге Ю. Д. Соколова [240, гл. IV, § 5].
В данном случае обратной функцией является функция г =
= sin w и, следовательно,
Таким образом,Arcsinz есть бесконечнозначная аналитическая
функция на всей плоскости г, регулярная во всех ее точках,кроме
точек z = + 1, в которых производная (Arcsinz)' теряет смысл.
Аналогично определяется и функция w = Arc cos z (читается
арккосинус z) при помощи соотношения
-^t£— , A.155)
откуда
е2/ш _ 2zeiw +1 = 0,
e'w = z + у z2 — 1 = z + i V 1 — z2
w = Arccos2 = jLog(z+ i]/~l —z2), A. 156)
а также функция w = Arc tg z (читается арктангенс z) из соотноше-
соотношения
1 е2Л» i
г=^ю=т-7^ТГ' AЛ57)
108
откуда
piiw _ L± ll ^ ' — г
e "~ 1 — /г " / + г
z = ~Log^. A.158)
Функция Arc cos г имеет те же особые точки, что и функция
Arc sin z; особыми точками Arctgz согласно A58) будут точки
z = ± i, так как в этих точках подлогарифмическое выражение
обращается соответственно в нуль и бесконечность. Во всех осталь-
остальных точках плоскости z обе функции регулярны.
Если в формулах A56), A58) взять главные значения логарифма,
то получим главные значения arc cos zh arc tg z, через которые выра-
выражаются все остальные значения этих функций:
Arc cos z = 2/bt ± arc cos z, (k=0, ±1. ±2, ...), A.159)
Arc tg z = kn + arc tg z, (k = 0, ±1, ±2, . ..). A.160)
Производные от Arc cos z и Arc tg z, как и в случае действитель-
действительного аргумента, определяются равенствами:
(Arccosz)'=^=J=, A.161)
(Arctgz)' =y~. A.162)
Между обратными тригонометрическими функциями, вполне
аналогично случаю действительного аргумента, легко установить
необходимые нам в дальнейшем формулы (при этом мы ограничиваем-
ограничиваемся только главными значениями рассматриваемых функций):
arcsin z = arccos ]/l — z2 = arctg = -= arccos z;
y'\ —
arccos z = arcsin \f\ — z1 = arctg = -5 arcsin z; A.163)
г 2
arctgz = arcsin = arccos
Например, воспользовавшись тождеством sin2t£> + cos2ay = 1,
имеем:
w = arcsin z; z = sin tw = V1 — '
cos ю = |/ 1 — z2; a> = arccos |/1 — z2,
и, следовательно,
ю = arcsin z = arccos V1 — z-.
109
Аналогично, исходя из формулы
получаем
z = cos w = sin / -^ да],
п
до = arccos z; -5 до = arcsm z
и после исключения до
arcs in z = -5 arccos z.
Тем же путем любое тригонометрическое тождество можно пре-
преобразовать в тождество для обратных тригонометрических функций.
Перейдем к рассмотрению функций, обратных по отношению
к гиперболическим, которые определяются совершенно аналогично
обратным тригонометрическим (круговым) функциям.
Из равенств
z = sh до =
z = ch до = ^
решая каждое из них относительно w и вводя соответствующую
обратную функцию, получаем
w
= Arsh z = Log (z + Vz2 + 1);
до = Arch z = Log (z + j/z2 — 1); A.164)
Заметим, что иногда, особенно в американской и английской
литературе, для обозначения обратных функций употребляются
символы
sin-'zEE Arcsinz, cos г, tg~lz, sh~'z, ch~'z, th" z = Ar thz.
Обратные гиперболические функции называются соответственно
ареа-синус, ареа-косинус, ареа-тангенс (отметим, что для обратных
круговых функций употребляется приставка Arc, а для гиперболи-
гиперболических — приставка Аг].
ПО
Производные этих функций, как и в случае действительного
аргумента, определяются равенствами:
AЛ65>
(Arth z)' =
Эти производные можно также определить согласно равенствам
A64), пользуясь правилом дифференцирования сложной функции
(формула D0) § 8). Например:
(Arsh z)' = {Log (z + V~z2 + 1)}' =
2г
Особыми точками обратных гиперболических функций будут точ-
точки, в которых знаменатель производной обращается в нуль, т. е.
z = ± i для Arsh гиг = ± 1 для Arch z и Arth z.
Таким образом, Arsh z, Archz, Arth z суть бесконечнозначные
аналитические функции во всей плоскости г, регулярные во всех
ее точках за исключением отмеченных выше особых точек.
Главными значениями ■ обратных гиперболических функций
называются те, которые получим, взяв в формулах A64) главные
значения логарифма. Специальных обозначений для главных зна-
значений Arsh z, Archz, Arth z обычно не применяют, ограничиваясь
оговоркой в тексте, что речь идет о главных значениях.
Между обратными тригонометрическими и обратными гипербо-
гиперболическими функциями существуют следующие зависимости (мы их
приводим только для главных значений):
arcsin z = — i Arsh iz, Arsh z— i arcsin iz\
arccos z = — i Arch z, Arch z = i arccos z; A.166)
arctg z = — i Arth iz, Arth z — i arctg iz.
В справедливости этих равенств проще всего убедиться, пере-
переходя к логарифмическим функциям.
Например, согласно формулам A51) и A64), из равенства
arcsin z = — i Arsh iz.
получаем
i Log (iz + ]/\-z2) = -i Log (iz + /- z2 + 1),
111
которое является тождеством, если учесть, что
-1 — -L — — '
Легко доказать, ограничиваясь главными значениями, что
Arsh(— z) = — Arshz,
Arth (— г) = — Arth г,
т. е., что функции Arsh г и Arth г — нечетные. Функция Arch г не
обладает ни свойством четности, ни свойством нечетности.
Тождества, связывающие между собой обратные гиперболические
функции, доказываются, исходя из тождеств для функций shw,
chw, th ш, буквально так же, как в случае обратных тригономет-
тригонометрических функций.
Читателям, которых интересует более глубокое знакомство с
этим материалом, рекомендуем обратиться к книгам В. С. Сафро-
нова [210] или И. Я. Штаермана [322].
§ 24. ТЕОРЕМА КОШИ. ОСНОВНАЯ ФОРМУЛА
ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
После того как мы ознакомились с теорией рядов и важнейшими
элементарными функциями, вернемся к изучению основных понятий
теории функций комплексного переменного и рассмотрим прежде
всего теорему Коши, играющую в дальнейшем исключительно
важную роль.
Теорема Коши г. Если функция / (г) регулярна
в замкнутой односвязной области D, то ин-
интеграл от / (г) п о контуруС этой области рав-
равняется нулю
[z)dz = 0. A.168)
Контур С считаем гладким или кусочно-гладким. Подчеркнем
также, что / (г) именно должна быть регулярной в D (т. е. во всех
точках D без какого-либо исключения / (г) должна быть непрерыв-
непрерывной, однозначной и иметь конечную производную), а не аналити-
аналитической (т. е. регулярной всюду, за исключением некоторого мно-
множества особых точек, которое не нарушает связности области D).
Действительно, если в D содержится хотя бы одна особая точка
1 С а и с h у A. L., Memoire sur les integrates definies, prises entre des limf-
tes imaginaires. Paris, 1825. Гаусс знал эту теорему уже в 1811 г., как это сле-
следует из его письма к Бесселю от 18 декабря 1811 г. (Gauss, Werke, Bd. 8,
стр. 90—92), однако своевременно ее не опубликовал.
112
функции / (z), то теорема Коши в приведенной выше формулировке
уже не будет верна. Например, как увидим дальше, \ — =2щ,
с
где С — простая замкнутая кривая, содержащая внутри себя точку
z — 0, которая является полюсом функции—•
Докажем теорему Коши при дополнительном предположении
о непрерывности производной /' (г) (для регулярности / (z) требу-
требуется только существование /' (z), но не ее непрерывность), как это
делал сам Коши.
Пусть, как всегда
f(z) = u (x, у) + iv (x, у); z = x + iy,
тогда, согласно формуле E0) § 10:
\f(z)dz= \ udx — vdy -f i \ vdx + udy = 0,
ее с
так как оба криволинейных интеграла при условии регулярности
е / \ г/ / ч ди дч
f (z) и непрерывности / (z) равняются нулю, если -^-=—-г- и
дч ди т т ъ -
~ь—= -3-. Но последние условия совпадают с условиями Эйлера —
Даламбера (§ 8) и, следовательно, выполняются всюду в D вслед-
вследствие предположения о регулярности / (г).
Таким образом, теорема Коши доказана.
Однако предположение о непрерывности /'(г) не является не-
необходимым для доказательства теоремы.
В 1900 г. Гурса (Е. Goursat, 1858—1936) доказал эту важную
теорему при значительно меньших ограничениях, а именно Гурса
доказал теорему Коши, требуя только регулярность / (z), и притом
лишь внутри области D. На самом контуре С достаточно одной не-
непрерывности / (г) и нет необходимости даже в существовании /' (г)
на контуре С.
Поэтому более точная формулировка теоремы Коши будет сле-
следующая [45, т. II, § 280; 151, стр. 154—162; 192 гл. 4, § 2; 240,
гл. VI, § 2]:
Если функция f (z) непрерывна в замкнутой односвязной об-
области D и регулярна внутри области D, то интеграл от f (z) no кон-
контуру С этой области равен нулю.
Доказательство Гурса имеет то принципиальное преимущество,
что оно не требует непрерывности f (z) и, больше того, из него
(это будет доказано в конце параграфа) вытекает, что из существо-
существования производной /' (z) автоматически следует ее непрерывность.
Справедлива также теорема, доказанная в 1886 г. итальянским
математиком Гиацинте Морера (G. Morera, 1856—1909), обратная
по отношению к теореме Коши [192, стр. 179].
8 П. Ф. Фильчаков ' 13
Теорема Морера. Если функция f(z) непрерывна
в некоторой области D и если интеграл
f(z)dz, взятый вдоль какого-либо замкну-
с
того контура, лежащего в D, равняется
нулю, то f (z) есть функция регулярная в об-
области D.
Таким образом, свойство <yf(z)dz = 0 является таким, которое
с
полностью характеризует регулярную функцию.
Перейдем теперь к следствиям теоремы Коши.
Следствие 1. Если функция f (z) есть регулярная функ-
Z
ция в односвязной области D, то значение интеграла \f(z)dz,
взятого вдоль произвольной кусочно-гладкой линии С, принадлежа-
принадлежащей области D, не зависит от линии С, а определяется лишь поло-
положениями начальной и конечной точек этой линии.
г
Другими словами, значение интеграла \f(z)dz не изменится,
Zo
если мы будем непрерывно деформировать линию С, не проходя
при этом через точки, в которых / (z) перестает быть регулярной,
и сохраняя неизменными начало и конец линии С. Или еще короче:
величина интеграла \f(z)dz не зависит от пути интегрирования,
если функция / (z) в рассматриваемой области регулярна.
Для доказательства проведем две произвольные кривые z0 Az
и z0Bz, лежащие в области регулярности функции / (z).
Тогда получим замкнутый контур z0AzBz0, внутри которого
/ (z) остается регулярной, и, следовательно, интеграл по этому
контуру, равный разности интегралов вдоль z0Az и z0Bz, согласно
теореме Коши, равен нулю.
Z
Таким образом, интеграл \f(z)dz в односвязной области регу-
Zo
лярности f(z) не зависит от выбора пути интегрирования, а зависит
только от конечных точек z0, z и при фиксированном z0 является
однозначной функцией своего верхнего предела z.
Основываясь на теореме Коши, можно доказать ряд предло-
предложений, аналогичных обычным предложениям интегрального исчис-
исчисления.
Прежде всего докажем следующую теорему, которая является
основной при интегрировании функций комплексного переменного.
114
Теорема. Если функция / (г) регулярна в одно-
связной области D, то интеграл
рассматриваемый как функция своего верх-
верхнего предела z, также является регулярной
в D функцией, причем:
A.169)
Действительно, по определению производной и ранее доказан-
доказанным свойствам интеграла
Az-s-0 аг
z+Az z z+Az
= lim ^( f f{QdZ-\f{t,)dz) = \\m-±- f
В силу непрерывности f (z) (которая является следствием регу-
регулярности / (z)) в области D можем написать
/(£) = /(z) +в (£),
где Z — точка на пути интегрирования между z и г + Аг, а вели-
величина б по модулю может быть сделана путем подбора достаточно
малого Az, меньше любого наперед заданного числа е > 0, т. е.
|б| -> 0 при Az -> 0.
Подставляя эти значения в предыдущее равенство и учитывая,
что при фиксированном верхнем пределе интеграла / (z) величина
постоянная и ее можно вынести за знак интеграла, получаем:
z+Дг z+Дг z+Az
Г Г \ ± Г
+ + +A
F' (г) = Hm f ± Г / (z) dt, + — Г Щ\ = / (г) + Hm ± Г 6^, (а)
z z г
так как из определения интеграла (§ 10) непосредственно следует,
что
z+Az
115
Далее, из неравенства E6) § 10 вытекает, что
z-j-Дг
bdt, <^ Az • max б,
так как путь интегрирования от точки г до точки г + Az можно
согласно следствию 1 считать прямолинейным, тогда его длина
будет равн a Az.
При Az -э- 0 максимальное значение величины б также стре-
стремится к нулю, поэтому
z+Дг
lim ~ Г 6Л < lim (max б) = 0.
4г-*0 Аг J Дг-s-O
Таким образом, в равенстве (а) первый предел равен / (г), а вто-
второй — нулю и, следовательно,
что и требовалось доказать.
Определение. Функция Ф (г), производная которой всюду
в D равна заданной функции f (г):
Ф'(г) = /(г), A.170)
называется первообразной этой функции.
Доказанная теорема утверждает, что интеграл от f (г), рассмат-
рассматриваемый как функция своего верхнего предела, является одной из
первообразных функций / (г). Самый общий вид первообразной
функции будет Ф (г) + С, где С произвольная постоянная.
Первообразная функция также называется неопределенным ин-
интегралом.
Итак, согласно изложенному
является первообразной функцией для функции / (г) или ее нео-
неопределенным интегралом.
Покажем, что любая другая первообразная одной и той же функ-
функции / (z) будет иметь вид
z
+ С. A.171)
Действительно, из определения первообразной функции A70)
ф' (г) = / (г)
И F'(z) = f(z).
116
Вычитая эти равенства и обозначая через g (z) разность Ф>(г) ~
—F (z), имеем
g> (Z) = Ф' (г) - F' (г) = {Ф (г) - F (z)}' = 0.
Полагая g (z) = и (х, у) + iv (х, у) и замечая, что согласно формуле
D8) § 8
, , . ди . . ди ди . ди
8 w - "Ж + ' Тх - ~дЦ —1 л7'
получаем вследствие равенства g' (z) = 0
ди ди ди dv ^
дх дх ду ду
Следовательно, и (х, у) и v (х, у), а вместе с тем g (z) = и + iv
постоянны (в данной области D):
откуда и вытекает равенство A71).
Полагая в формуле A71) z = z0, получаем
С = Ф(г0),
после чего равенство A71) перепишем в виде
-Ф(г0), A.172)
т. е. величина интеграла от регулярной функции равняется при-
приращению первообразной функции вдоль пути интегрирования.
Формула A72) выражает определенный интеграл через неопре-
неопределенный, совершенно аналогично случаю действительного аргу-
аргумента. Поэтому и при интегрировании по комплексному переменному
совершенно равносильны оба представления интеграла: 1) как про-
процесса суммирования, 2) как действия, обратного дифференциро-
дифференцированию.
Однако для наших целей второе представление предпочтитель'
нее, так как позволяет все правила интегрирования, известные из
анализа, применять и в случае теории функций комплексного пере-
переменного.
Пример 1. Как было доказано в § 20,
(sin г)' = cos г.
Поэтому по формулам A70) и A72)
z
»
cos gdg = sin г — sin г0.
117
В случае замкнутого контура (г = г0)
cos £d£ = 0.
Пример 2. Если С есть замкнутый контур, содержащий внутри себя точку
г = а, то
dz
= 2ni,
A.173)
так как всякое значение первообразной функции
dz
г— а
= Log (г — а) + С
изменяется на 2яг при обходе точки г = а.
Это можно доказать и непосредственно.
Опишем из точки г = а окружность Г радиуса
г, которая полностью лежит внутри контура С.
Функция
1
Рис. 18.
будет регулярной в кольце, ограниченном контуром С и окружностью Г (эта функ-
функция теряет регулярность в самой точке А), поэтому согласно следствию 1 интеграл
по контуру С будет равняться интегралу по окружности Г, на которой
г — а = rei<f, dz = irel4>dy, (r = const, 0 < ф < 2я),
поэтому
dz
2я 2я
n dz f trendy . Г
= ф • = \ = 1A dy = 2m.
a Jz- a J Ле'Ф J
г о о
В случае многосвязных областей теорема Коши обобщается
следующим образом:
Если функция f (z) регулярна в замкнутой многосвязной области,
то интеграл от f (z) no всему контуру области равен нулю.
Пусть, например, область D ограничена одной замкнутой кри-
кривой Г и двумя замкнутыми внутренними кривыми 1\ и Г2 (рис. 18),
т. е. полный контур области С состоит из трех кривых: С = Г +
+ 1\ -+- Г2, положительное направление интегрирования (отно-
(относительно области D) вдоль которых показано стрелками. Сделав
разрезы АВ и MN', получим уже рассмотренный случай односвяз-
иой области, применив к которому теорему Коши и учтя, что ин-
интегралы по Ли и MN берутся дважды, но в противоположных на-
направлениях, так что их сумма равна нулю, получаем
A.174)
118
j/ (z) dz = j/ (z) dz + \f (z) dz. A. 174')
г г
или
г,
Другими словами, интеграл по внешнему контуру равняется
сумме интегралов по всем внутренним контурам, причем во всех
интегралах обход совершается против стрелки часов.
Следствие 2. Интеграл по двум каким-либо замкнутым
контурам, которые лежат в многосвязной области регулярности
функции, имеет одно и то же самое значение, если от одного кон-
контура можно перейти к другому непрерывной деформацией, не встре-
встречая при этом особых точек функции f (z).
§ 25. ФОРМУЛА КОШИ. ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ
Теорема Коши позволяет доказать основную интегральную фор-
формулу, также принадлежащую Коши, которая позволяет определить
значение регулярной функции / (z) в произвольной внутренней точке
z какой-либо замкнутой области D (односвязной или многосвязной)
через значения / (z) на контуре С, ограничивающем область. От-
Отсюда вытекает, что значения' регулярной аналитической функции
внутри области полностью определяются теми значениями функции,
которые она принимает на границе области и никаких других зна-
значений / (z) внутри D принимать не может.
Эта формула Коши имеет следующий вид:
2m J l — г-
с
Для доказательства формулы Коши рассмотрим функцию
W = , (а)
которая будет регулярна во всех точках замкнутой области D, за
исключением, быть может, точки £ = г.
Описывая около точки z, как центра, окружность Г достаточно
малого радиуса q, целиком лежащую в области D, видим, что ф(£)
будет регулярной функцией во всех без исключения точках, лежа-
лежащих между контурами С и Г, включая и сами контуры. Поэтому на
основании обобщенной теоремы Коши имеем:
(b)
Последнее равенство показывает, что значение \ ф(£) dt, не зависит
г
119
от радиуса q вспомогательной окружности Г, так как оно равно
постоянному числу \ ф(£) dt,.
с
Чтобы определить это постоянное значение, заметим, что
1щ1фC1ш1 f(z).
£_>z £->z Ь — г
Следовательно, если принять /' (г) в качестве значения функции
ф(£) в точке £ = z, то ф(£) становится непрерывной функцией всюду
в замкнутой области D и при этом |ф(£)| С М (где М — надлежащим
образом выбранное постоянное число), какова бы ни была точка £
области D.
Пользуясь последним неравенством и применяя формулу E6)
§ 10, находим
<
г
Так как q можно выбрать как угодно малым, а значение рас-
рассматриваемого интеграла есть величина постоянная, то отсюда
вытекает, что
г
тогда, согласно равенству (Ь), и
с
Заменяя в полученном равенстве ф(£) по формуле (а), находим
ИЛИ
с с
так как величина f B) является не зависимой от переменной инте-
интегрирования £ и ее можно вынести из-под знака интеграла.
Далее, согласно результату примера 2 § 24
так что последняя формула приобретает вид
c^~Z
120
откуда и получаем искомую формулу Коши:
A.175)
Подчеркнем, что в формуле A75) буквой £ обозначены точки кон-
контура С (который может состоять из одной кривой или из несколь-
нескольких линий С = Г + ГЧ + Гг+..., как, например, на рис. 18),
ограничивающего односвязную или многосвязную область D, a z
обозначает любую внутреннюю точку области D. и соответственно
/(£) — значение функции на контуре С, a f (z) —
значение функции во внутренней точке области D.
Правая часть формулы A75) называется ин-
интегралом Коши.
Очевидно, что если точка z лежит вне зам-
замкнутой области D, то интеграл Коши равняет-
равняется нулю, так как в этом случае подынтеграль-
подынтегральная функция регулярна во всех без исключения
точках области D и по теореме Коши интеграл
от нее по контуру С равен нулю.
Легко также доказать [233, т. III, стр. 33], Рис. 19.
что формула Коши справедлива и в случае
бесконечной области, которая лежит вне некоторой замкнутой
кривой, если только функция f (z) обладает тем свойством, что
/ (z) -> 0 при z -> со . При этом положительным направлением
обхода относительно области D будет уже обход по стрелке часов
(рис. 19), так что при сохранении прежнего направления интегри-
интегрирования против стрелки часов в формуле Коши для случая беско-
бесконечной области D необходимо знак изменить на обратный:
A. 175')
Рассмотрим еще частный случай формулы A75), а именно слу-
случай, когда кривая С есть окружность |£ — z\ = R.
Полагая при этом Z, — z = Re1®, dZ, = tRe^dy, получаем из
формулы A75)
2я
Дг + Re*9) {LRe!ff) dq>
2я
A.176)
Формула A76) выражает так называемую теорему о среднем
значении для регулярных аналитических функций:
Теорема. Если функция f(z) непрерывна в зам-
замкнутом круге и регулярна внутри этого
121
круга, то ее значение в центре круга равно
среднему арифметическому значений на ок-
окружности.
§ 26. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.
ПРИНЦИП МАКСИМУМА
Интеграл Коши, рассмотренный в предыдущем параграфе, со-
содержит z в качестве параметра, и притом в чрезвычайно простой
форме.
Точка z находится внутри области D, а переменная точка инте-
интегрирования £ пробегает контур области С, поэтому разность £ — z
нигде не обращается в нуль и интеграл Коши в формуле A75) пред-
представляет собой интеграл от непрерывной функции, который можно
дифференцировать по z под знаком интеграла сколько угодно раз
[233, т. III, стр. 32—33; 240, стр. ПО].
Таким образом, из A75) последовательно дифференцируя, на-
находим
A.177)
Итак, регулярная в некоторой области D функция / (г) имеет
в ней бесконечное число последовательных производных, которые
определяются формулами A77) и в свою очередь являются непре-
непрерывными и регулярными в D.
Таким образом, только из одного факта существования произ-
производной /' (г) (что равносильно выполнению условий Даламбера —
Эйлера для рассматриваемой функции) на основании теоремы Коши
вытекает регулярность функции / (z), существование и регуляр-
регулярность производных всех порядков, а также независимость интеграла
от пути интегрирования.
В этом отношении функции комплексного переменного существен-
существенно отличаются от функций действительного аргумента, которые та-
такими замечательными свойствами не обладают.
В качестве непосредственных следствий формулы Коши A75)
докажем два неравенства для модулей |/ (г)| и \fw (z)\.
122
Согласно формуле A75) для целого и положительного л можем
написать (рассматривая [/ (z)]n как новую функцию):
Обозначим через М максимум модуля функции / (z) на контуре
С, через / — длину контура и через б — наименьшее расстояние
точки z до контура. Тогда, применяя к интегралу, стоящему в пра-
правой части, неравенство E6) § 10, получим
i/W|-<'
или
Отсюда, переходя к пределу при л-» со, получаем неравенство1
\f(z)\^M, A.178)
которое устанавливает так называемый принцип максимального
модуля:
Если функция / (z) регулярна в некоторой
области и непрерывна на ее контуре, то
максимум модуля f (z) достигается на кон-
контуре.
Аналогичным путем, обозначив через R радиус круга с центром
в точке z, который целиком расположен в области регулярности
функции / (z), и учтя, что в этом случае / = 2я/?, получаем из
формул A77) так называемое неравенство Коши
^^1 (L179)
которым мы еще в дальнейшем воспользуемся.
§ 27. РЯД ТЕЙЛОРА. ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ
Выше мы видели, что сумма степенного ряда
— z0) + c2(z — z0J + ...
есть регулярная функция внутри круга сходимости этого ряда.
Докажем теперь обратное предложение, которое было установлено
Коши A831).
1 Можно показать, что знак равенства в формуле A78) возможен только
тогда, когда /(г) постоянна [192, стр. 210].
123
Теорема 1. Всякую функцию / (z), регуляр-
регулярную в круге \z — zo\ <Z R, с центром z0, можно
представить вн утри этого круга степенным
рядом
f(z) = co + Cl(z — zo) + c2(z — zof + ... A. 180)
и такое представление будет единственным.
Согласно интегральной формуле Коши A75) имеем
f(z)--L
2я* J С -
где z — какое-либо фиксированное число, расположенное внутри
круга |£ — zo\ < R. В качестве кривой Г возьмем окружность
С центром z0 и радиусом Ri < R.
Представим выражение г^ следующим образом:
1
£ — г (£ — го) — (г — г0) £ — г0 г — г0 '
причем так как точка £ является точкой окружности Г, а точка
z лежит внутри Г, то величина
г — г0
Воспользовавшись правилом деления многочленов (или исходя
из формулы для суммы геометрической прогрессии), можем далее
написать
1 —'-.
Подставляя эти результаты в интегральную формулу Коши,
находим
1
г
Так как
то ряд в квадратных скобках будет абсолютно и равномерно схо-
сходящимся и, следовательно, его можно почленно интегрировать.
124
Выполнив почленное интегрирование и учтя, что величину
(z — го)п можно вынести за знак интеграла как величину, не за-
зависящую от переменной интегрирования £, получаем
f(z) = с0 + d(z —Zq) + c2(z-z0J +...+с„ (z-zof + ..., A. 181)
где введено обозначение
с = —
г
Но по формулам A75) и A77)
2яг ,)С— г0 ъ /v 0/ 2яг J (t — zn\n+i re'
Г Г Vb '
(л= 1, 2, 3, ...),
так что
Co = /(zo). ci = ^. с2 = ф1, .... с„ = ^, A.182)
т. е. коэффициенты ряда A81) определяются значениями, которое
принимает в точке z0 сама функция / (z) и ее последовательные про-
производные.
Этот ряд был впервые найден в 1712 г. Бруком Тейлором
(В. Taylor, 1685—1731) и опубликован в 1715 г. в сочинении «Ме-
thodus incrementorum directa et inversa», но использован для разло-
разложения функций в ряды только в 1742 г. Колином Маклорёном
(С. Maclaurin, 1698—1746).
Поэтому ряд A81) называется рядом Тейлора, а величины сп—
коэффициентами Тейлора.
Положив в A81) z0 = 0, получим, как частный случай ряд
Макмрена.
Остаток ряда Тейлора, как это легко показать, воспользовав-
воспользовавшись равенством (а), выражается формулой
Покажем теперь, что полученное разложение функции в ряд
Тейлора A81) будет единственным. Действительно, допустим, что
мы имеем разложение функции / (z) в некоторый степенной ряд
/ (z) = A0 + Ax{z — z0) + Л2 (z—zof + A3 (z - z0K +
+ ... + An(z-z0)n+ ... A-184)
Полагая в формуле A84) z = z0, находим
125
Дифференцируя последовательно ряд A84), получаем:
Г (г) = Аг + 2A2(z-z0) + M3(z-z0f + ...+ nAn(z-zof^
Г(г) = 1 ■ 2Л2 + 2 ■ ЗЛ3B-г0) + ... + („_ \)пАп (z-z0Y~*
Г(г)= 1 • 2 • ЗЛ3 + ... + (л- 2) (л- \)пАп {z-z0Y~* + ...,
Полагая в этих равенствах z = z0, определяем:
А\ = Г (z0); Аг = |- /' (z0); ... ; Ап = — f" (z0),
т. е. коэффициенты ряда A84) тождественно совпадают с коэффи-
коэффициентами Тейлора A82) и, следовательно, если функция / (z) в окре-
окрестности точки z0 разлагается в некоторый степенной ряд A84), то
этот ряд может быть только рядом Тейлора, коэффициенты которого
определяются формулами A82).
Функцию / (z) = с0 + Сх (z — z0) + с2 (z — z0J + ..., которую
в некоторой окрестности точки z0 можно представить степенным ря-
рядом, называют также голоморфной функцией, т. е. целовидной —■
подобной целым функциям (от греческих слов dXot, — весь, це-
целый и подеру — форма, вид) (см. § 9). Этот термин был введен в
1875 г. учениками Коши Брио и Буке в их труде: Briot et Bouquet,
Theorie des fonctions elliptiques, Deux, edit., Paris, 1875.
Согласно теореме 1 этого параграфа понятия «регулярная функ-
функция» и «голоморфная функция» тождественны, и мы в дальнейшем
будем применять оба названия, как равнозначные.
Рядом Тейлора (или его частным случаем — рядом Маклорена)
очень удобно пользоваться для фактического разложения функций в
ряды.
Пример 1. Разложим в ряд Маклорена (т. е. при г0 = 0) функцию
/ (г) = ez.
В § 19 было показано, что производная любого порядка от функции ez тож-
тождественно равна самой функции, т. е. если { (г) = ег, то и /<п) (г) = ег. Поэтому
при 20 = 0 по формулам A82) находим
е° е° 1 е° 1
и тогда по формуле A81):
ег-1 + — + — Ч- — 4- +— 4-
126
Аналогичным путем можно доказать, что функции sin z, cos z, sh z,
ch z разлагаются в следующие ряды Маклорена:
z 3,-1-51 71 "I" ■•• -t-\ ' Bn+\)\
cosz= 1-4 + ^-4+...+AГ^ +
2з 2s 27
z + + + + +
Пользуясь формулой (82) § 15, легко показать, что эти ряды схо-
сходятся во всей комплексной плоскости z, т. е. что радиус сходи-
сходимости этих рядов R = со.
Пример 2. Разложим в ряд Маклорена функцию
/B) = 1пA+2).
Имеем:
rw A- ГB) ^^; Г(*) 2! ■
' У>~ 1 +2' ' W~(l+2K ' ' У'~ A+2K ' ■•■•
Подставляя в эти равенства z = 20=0 и внося полученные значения в формулы
A82), находим
= 0; ci=l, с2 = —_, c3 = -j,
и, следовательно,
Воспользовавшись теперь формулой (82) § 15, получаем
1
с
fl = lim
1
л + 1
т. е. ряд A85) сходится только при \г\ < 1.
Выясним, почему для различных аналитических функций полу-
получаются различные радиусы сходимости.
В начале параграфа мы видели, что аналитическая функция
/ (z) разлагается в степенной ряд только внутри области ее регу-
регулярности.
127
Поэтому если точка z0 есть обыкновенная точка аналитической
функции f (z), то f (z) разлагается в степенной ряд A81) в окрест-
окрестности этой точки, причем окружность круга сходимости ряда будет
иметь центр в точке z0 и проходить через ближайшую к точке z0
особую точку функции / (z).
Таким образом, существует тесная связь между радиусом
сходимости степенного ряда и природой функции, изображаемой
этим рядом. Благодаря этому теория степенных рядов получает
полную ясность лишь в комплексной области. Так, в области дей-
действительных чисел нельзя понять, почему ряд
* 1 v2 I V4 Г6 |
перестает сходиться при значениях л;^ — 1, л: > + 1, в то время
как функция а определена для всех действительных значений
1 | X
независимого переменного х, причем значения х = ± 1 не являются
для нее исключительными. Однако мы получим полную ясность,
как только перейдем в комплексную область. Действительно,
функция а имеет особые точки при z = ± г, лежащие на еди-
единичной окружности, а поэтому радиус сходимости данного ряда
равен единице.
В рассмотренных выше примерах функции ег, sinz, cos z, sh z,
chz имели единственной особой точкой точку z = оо, поэтому ряды,
представляющие эти функции, имели R = оо.
В примере 2 для функции 1п A + г) точка г = — 1 является
особой и, в соответствии с этим, ряд A85) с центром в точке z0 = О
имеет радиус сходимости, равный расстоянию между точками z0 =
= 0 и z = 1, т. е. R = 1.
Установим теперь неравенства Коши для коэффициентов степен-
степенного ряда.
Теорема 2. Если степенной ряд
— zoJ+ ... +cn(z — z0)n+ ...
сходится в круге \z — zo| </? и представляет
в нем функцию f (z), модуль которой все вре-
время меньше некоторой константы М, то имеют
место неравенства
|с„1<^, (п = 0, 1, 2, ...). A.186)
Эти неравенства получаем немедленно, воспользовавшись неравен-
неравенствами A79) и формулами для коэффициентов степенного ряда
128
Неравенства A86) показывают, что в вычислительном отношении
более эффективными будут ряды с большими радиусами сходи-
сходимости, так как их коэффициенты будут быстрее убывать.
Из тех же неравенств A86) вытекает, имеющая большое значе-
значение, теорема Лиувилля1 (J. Liouville, 1809—1882).
Теорема Лиувилля. Если функция / (z), регуляр-
регулярная во всей плоскости, является также ог-
ограниченной по модулю, то она тождественно
равна константе.
Действительно, в рассматриваемом случае разложение
/ (z) = с0 + d (z — z0) + с2 (z — z0J + ... +сп (z — zo)n + ...
имеет место для любой точки z.
Пользуясь неравенствами Коши, имеем
М<-^, (л = 0, 1,2,...),
где М есть постоянное число, a R можно выбрать сколь угодно
большим: R -> со . Следовательно, при л > 1 будем иметь сп = 0
и, значит,
f (г) = со = const,
что и требовалось доказать.
В общем случае, если / (z) не ограничена по модулю, то при
R -» со величина М также будет расти неограниченно и из нера-
неравенства A86) нельзя будет сделать заключения, что с„ ЕЕ 0 при п =
= 1, 2, 3 ...
§ 28. РЯД ЛОРАНА. КЛАССИФИКАЦИЯ ИЗОЛИРОВАННЫХ
ОСОБЫХ ТОЧЕК
ОДНОЗНАЧНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
Рассмотрим степенной ряд
... + с_2(z — zo)~2 + c_i (г — го)~1 +
— z0) + с2 (г — го)я + ... , A. 187)
который содержит не только целые положительные, но и целые
отрицательные степени (z — Zq).
Этот ряд называется рядом Лорана (P. Laurent, 1813—1854) и
представляет собою сумму двух рядов:
с0 + а (г -z0) + c2(z -z0J + c3(z -г0K + ... A. 187')
и
с-ф-г,,)-1 + с2(г-г0Г2 + с3(г-г0Г3 + ... A. 187')
Ряд A87') является обычным степенным рядом, основные свойства
которого мы уже изучили в § 15—18.
1 Эта теорема еще раньше была доказана Коши A844).
9 П. Ф. Фильчаков 129
Этот ряд абсолютно сходится внутри некоторого круга
\z— гв| < R, и его сумма внутри этого круга есть регулярная функ-
функция от z.
Ряд A87") при помощи замены
можно превратить в целый степенной ряд
C-\W -j- С_2йУ2 4" C--iW3 -f- . . . ,
который абсолютно сходится внутри некоторого круга \w\ <—,
и его сумма внутри данного круга есть регулярная функция от w —
= . Отсюда вытекает, что ряд A87") абсолютно сходится вне
2—Zq
круга \z — го\ < г и сумма его в этой внешней области, которая
определяется неравенством \г — го| > г, есть регулярная функция
от г.
Если г < R, то ряд A87) сходится абсолютно и равномерно вну-
внутри кольца
r<\z — zo\ <R
и его сумма в этой кольцевой области является регулярной функ-
функцией / (г). Ряд A87) также допускает почленное дифференцирование
и интегрирование.
В частном случае может оказаться, что г = 0 или что R = оо.
Если все коэффициенты с-п~ 0, (п = 1, 2, 3, ...), то ряд Лорана
обращается в ряд Тейлора, который, следовательно, можно рас-
рассматривать как частный случай ряда Лорана.
Докажем теперь теорему Лорана х.
Теорема Лорана A843). Всякую функцию / (г), регу-
регулярную внутри кольца г < \г — 201</?, в каж-
каждой точке z внутри этого кольца можно
представить в виде ряда Лорана A87), и при-
притом единственным способом.
Как и раньше, при доказательстве можно считать, что функция
f (г) регулярна и на самих окружностях Г' и Г" (рис. 20).
Тогда, согласно формуле Коши A75), учитывая, что в рассмат-
рассматриваемом случае контур С = Г' + Г" двухсвязный, имеем
dt
Г' Г'
Если точка Z, лежит на окружности Г', то
2 — 2о
1 Эта теорема была получена на два года раньше Вейерштрассом, однако
он свой результат не опубликовал.
130
и, вполне аналогично § 27, получаем
1 = Y (г-г0)"
5-г 2-(Г-г>
откуда
2я/ .
Г'
. f l^-dl = с0
где, как и в § 27,
" 2я< .)E-*>)в+1
I"
Подчеркнем, однако, что теперь
п\
Рис. 20.
так как функция f (z) внутри Г" (а следовательно, и внутри Г')
нерегулярна. Поэтому нет таких простых формул, аналогичных
формулам A82) для ряда Тейлора, которые позволяли бы легко
определить коэффициенты ряда Лорана для произвольной аналити-
аналитической функции / (z) и при фактическом определении этих коэффи-
коэффициентов приходится пользоваться различными частными сообра-
соображениями, исходя из свойств данной конкретной функции / (z).
Если точка £ лежит на окружности Г", то
г —г0
благодаря чему разложение у— получим в виде следующего равно-
равномерно сходящегося на Г" ряда:
1 1 11
; — го) — (г — г0) г — г0
E - го)"~'
(г-2„)"
1 —
g-го'
г —г0
~ 7,
и, следовательно,
Г"
= c_i(z—z0)"
П=|
С_2 (Z — Z0)~2 + С-3 (Z — Zo)~3
9*
131
где
Подставляя оба разложения в исходную формулу, мы и полу-
получаем представление функции / (z) в виде суммы ряда Лорана:
/ (г) = ... -f- с_з (z — zo)~3 + с_2 (z — zor2 -i-c-^z — zo)~' +
-zoK+... A.188)
или, применяя сокращенную форму записи,
/(z)= У с„(г—г„Л A.188')
Я=—со
где
= 0, ±1, ±2, ...),
причем Г есть произвольная окружность, которая лежит между
Г' и Г" (см. следствие 2 § 24).
Из формул A88') для коэффициентов ряда Лорана, точно так же,
как в § 27, вытекают следующие неравенства Коши. Если на окруж-
окружности \z — zo\ = q функция / (z) ограничена |/ (£)| ^ М, то
м
|св|<-^. (л = 0. ±1, ±2. ...). A.189)
Q
Ряд отрицательных степеней, который сходится при \z — zo\ >
> г, называется главной частью, а ряд положительных степеней,
сходящийся при \z — zo\ < R, называется регулярной, или пра-
правильной, частью ряда Лорана.
Докажем еще, что разложение Лорана A88') есть единственно
возможное для данной функции f (z) в данном круговом кольце.
Действительно, допустим, что во всех точках z, внутренних к
некоторому кольцу, одновременно имеют место два разложения
= V Сп{г-г0Г= У cn(z-zQf.
Гс=—- 00 1=—- 00
Умножая оба разложения на (z — z0)-"—' и интегрируя вдоль
произвольной окружности с центром в точке z0, лежащей внутри
кольца, на которой оба ряда равномерно сходятся, получаем
2тсп = 2тсп или сп = сп, (п — 0, ±1, ±2, ...).
Точная область сходимости ряда Лорана A88) есть круговое
кольцо с центром в точке z0, внутри которого функция f (z) регуляр-
132
на и на каждой окружности Г' и Г" которого имеется по край-
крайней мере по одной особой точке этой функции. В частности, если
внутри Г' функция / (z) не имеет особых точек, то ее разложение
Лорана обращается в ряд Тейлора.
Пример. Рассмотрим функцию
. . 1
Она имеет особыми точками полюсы z = 1 и г = 2, а в остальном однозначна и ре-
регулярна на всей плоскости.
Отметим два круговых кольца, имеющих центр в начале координат
1 <|г| <2; 2< \г\ < о°.
В каждом из этих колец f (г) разлагается в ряд Лорана. Так, в кольце 1 < \г\ < 2
имеем, разлагая f (г) на простейшие дроби,
— 1 1
/ (г) = +
г— 1 г —2'
откуда в силу условия 1< |г| < 2 получаем для внутренних точек кольца:
111 111 vi 1
I I\
г
г— 1 г , 1 г гг г3
:=1._!_ = -!/i + ^ + il + ^.
л=0
и окончательно
7
или, объединяя обе суммы,
где сп = 1 при п = — 1, —2, —3, . . .
и 1
2"+'
при л = 0, 1, 2, 3, ...
В кольце 2 < |г| < оо аналогичным образом, принимая во внимание , что
|г| > 2, будем иметь разложение, содержащее только отрицательные степени г:
1
г— 1
VI
1
1 ' г
1
2
1
2
1
2 А
г п
133
откуда
/(*)= (г_1)(г_
11=0
Отметим также, что в круге |г| < 1, внутри которого нет ни одной особой точки
функции f (г), она разлагается в ряд Тейлора.
Рекомендуем читателю построить это разложение, вычислив коэффициенты
по формулам A82) при г0 = 0.
В рассмотренном примере было получено два различных разло-
разложения Лорана для одной и той же функции. Однако это обстоятель-
обстоятельство не противоречит утверждению теоремы о единственности раз-
разложения, так как указанные разложения имеют место для разных
круговых колец.
Рассмотрим теперь вопрос о классификации изолированных
особых точек однозначных аналитических функций.
Однозначную функцию f (z) мы называли регулярною или го-
голоморфною в точке 20 = а, если она регулярна в некоторой окрест-
окрестности этой точки, например в круге какого угодно малого радиуса
с центром в а.
В § 27 мы убедились, что функцию, регулярную в точке а, можно
представить внутри некоторого круга с центром а в виде суммы
целого степенного ряда
f(z) = с0 + ci(z — а) + c2(z — aJ -f- • • • +cn(z — a)" + ...
Точку а, в которой функция регулярна, называют обыкновенной
точкой функции f (z).
Если со= f (а) = 0, то число zo= а называют нулем функции
f (г). Если с0 = с\ = Съ = ... = ст-\ = 0, ст Ф 0,т. е. если (см. A82)):
f (a) = f (а) = /»=...= /""-" (а) = 0, f{m) (a) ± 0,
то а называют т-кратным нулем функции / (z).
В последнем случае можем написать
f (г) =--- (z — а)т {ст + cm+i (z — a) + ст+2 (г — аJ + ...} =
где ср (z) означает целый степенной ряд, стоящий в фигурных скоб-
скобках, причем ф (а) ф 0. В силу непрерывности ф (г) можно описать
вокруг а круг достаточно малого радиуса, внутри которого ф (z) Ф
Ф 0, а из этого следует важное заключение, что а будет единствен-
единственным нулем функции / (z) = (z — а)тф (z) в соответствующем доста-
достаточно малом круге. Вне этого круга / (z) может, конечно, иметь еще
другие свои нули.
Таким образом, мы доказали, что нули регулярной функции
есть изолированные точки, за исключением случая, когда / (z)
тождественно равна нулю в круге сходимости.
134
Всякую точку, в которой аналитическая функция перестает
быть регулярной, в § 9 мы назвали особой точкой функции / (z).
Если можно построить область, в которой особая точка а будет
внутренней и в которой, кроме а, не будет других особых точек,
то а называется изолированной особой точкой. Другими словами,
точка а называется изолированной особой точкой функции / (z),
если существует окрестность 0 < \z — а\ < R этой точки (с ис-
исключенной точкой а), в которой / (z) регулярна.
Подчеркнем, что однозначная функция / (z) может иметь не
только изолированные особые точки. Например, функция / (г) =
= tg — будет иметь не только изолированные особые точки вида
о
z = п =0, ± 1,±2, ... (в этих точках / (г) = оо), но так-
также и их точку сгущения z = 0. Поэтому точка z = 0 является
особой неизолированной точкой функции / (z) = tg—, так как при
достаточно большом п в любой сколь угодно малой окрестности
точки z = 0 содержится также бесчисленное множество и других
2
особых точек z == 7s—г-тт- этой функции.
(Ztl -J- 1)Я г
В этом параграфе мы ограничимся только рассмотрением изо-
изолированных особых точек однозначных аналитических функций.
С простейшими особыми точками многозначных аналитических функ-
функций мы уже знакомились в § 12 и 21.
Поведение аналитической функции в окрестности изолирован-
изолированной особой точки а наиболее полно можно изучить, пользуясь раз-
разложением этой функции в ряд Лорана в окрестности точки z0 = а.
Различают три типа изолированных особых точек, в зависимо-
зависимости от поведения функции / (z) в их окрестности:
1. Точка а называется устранимой особой точкой, если суще-
существует конечный предел lim f (z) = А.
z^-a
2. Точка а называется полюсом, если / (z) является бесконечно
большой при приближении к а, т. е. существует lim f (z) = оо.
3. Точка а называется существенно особой точкой, если lim f (z)
z^-a
не существует (т. е. этот предел принимает различные значения,
в том числе и бесконечно большое, в зависимости от пути, по кото-
которому z стремится к а).
Если а является изолированной особой точкой функции / (z),
то согласно теореме Лорана эту функцию можно разложить в коль-
кольце ее регулярности 0 < \z — а\ < R в ряд Лорана:
f{Z) = ■ ■'
135
Кольцом в данном случае является окружность радиуса R
с выключенным центром,— особой точкой а,— т. е. внутренний ра-
радиус кольца г = 0.
Это разложение имеет различный вид в зависимости от характера
особой точки.
Приведем три относящиеся сюда теоремы.
Теорема 1. Д л я того чтобы а была устранимой
особой точкой функции / (z), необходимо и
достаточно, чтобы лорановское разложение
f (z) в окрестности точки а не содержало
главной части.
Действительно, если лорановское разложение f (z) не содержит
главной части, т. е. если / (г) представляется целым степенным
рядом
f(z) = co + Cl(z — a) + c2(z — af+..., A.190)
то при z -» а существует предел
lim f(z) = с0
и, следовательно, а по определению является устранимой особой
точкой.
Обратно, если а является устранимой особой точкой функции
f (z), то в силу того, что lim / (z) существует и конечен, функция
f (z) ограничена в окрестности а; пусть |/ (z)[ ^ М.
Тогда, воспользовавшись неравенством Коши A89)
\cn\<MQ~n
и выбирая в них число Q сколь угодно малым, найдем, что при
отрицательном п все коэффициенты сп равны нулю, так что лора-
лорановское разложение f (z) не содержит главной части. Теорема пол-
полностью доказана.
Название «устранимая особая точка» обусловлено тем, что та-
такую особую точку можно «устранить», доопределив функцию
/ (z) в точке а, полагая f (а) = lim f (z) = с0. После этого f (z) бу-
дет аналитической и в точке а, так как при условии / (а) = с0 во
всем круге \z — а\ < R она будет представляться как сумма сте-
степенного ряда.
Пример 1. Рассмотрим функцию
Точка г=0 является единственной конечной особой точкой этой функции
и при г=0 функция /(г) не определена.
Второй особой точкой этой функции является точка г=оо, о чем подробнее
будет сказано в следующем параграфе.
136
Воспользовавшись известным тейлоровским разложением для sin г, имеем
при любом гфО
1 i z3 г5 г7 1 1 г'' г* 1
П>~ Зг { 3! + 5! 7!+-""|~з| 3!h5! ' ' 'j
и тогда при г=0 имеем
Таким образом, как только мы определили надлежащим обра-
образом нашу функцию в рассматриваемой особой точке, эта функция
стала регулярной всюду, включая и самую точку z = 0, т. е. точка
z = 0 является устранимой особой точкой функции f(z) = s-^-.
Перейдем к изучению поведения функции в окрестности полюса.
Из определения полюса а следует, что / (z) отлична от нуля в
некоторой его окрестности 0 < \z — а\ < R\, где R± < R. В та-
такой окрестности функция
будет регулярна и для нее, очевидно, lim g (z) = 0.
На основании теоремы 1 точка а является устранимой особой
точкой функции g (z) и, положив g (а) = 0, мы устраним особен-
особенность для g (z) в точке а. Очевидно, что а является нулем функции
g (z). Обратно, если g (z) имеет в точке а нуль (и g (z) не равна то-
тождественно нулю), то функция
будет регулярна в некоторой окрестности 0 < \z—а\ < Rlt так
как нуль есть изолированная особая точка (а сама точка а усло-
условием \z — а\ > 0 из рассмотрения исключена). Очевидно, / (z)
имеет в точке а полюс и притом'того же порядка, какой порядок
имеет в той же точке а нуль функции g (z) (см. § 11).
Докажем теперь следующую теорему.
Теорема 2. Для того чтобы точка а была по-
полюсом функции / (z), необходимо и доста-
достаточно, чтобы главная часть лорановского
разложения f(z)B окрестности а содержала
лишь конечное число членов
оо
• ■ • + ~и + V ск (г - а)*. A. 191)
Цу + + и
(г — а) <■ — и
fe=o
При этом номер старшего отрицательного
137
члена разложения совпадает с порядком
полюса.
Пусть а является полюсом л-го порядка функции f (z). Тогда
функция g (z) = -rj- имеет в точке а нуль л-го порядка и, следо-
следовательно, в окрестности точки а эта функция может быть представ-
представлена в виде
g (z) = (z — а)п ср (z),
где ф (z) регулярна в окрестности а и ср (а) Ф 0.
В таком случае и функция —— регулярна в некоторой окрест-
окрестности \z — а\ < Rx точки а, следовательно, ее можно представить
в этой окрестности рядом Тейлора
Ф(г)
где
Объединив полученные результаты, находим
+ г_л+1 (z — a)+ ... + с0 B— af
Раскрыв скобки, получаем искомое разложение- A91), справед-
справедливое в окрестности 0 < \z — а\ < R.
Пусть теперь, обратно, в некоторой окрестности 0 < \z — а\ <
< R имеет место разложение A91), причем с-пФ0. Тогда функция
в круге \z — а\ < R представляется рядом Тейлора
Ф (г) = с_„ + с_„+1 (z — а) + ... ,
т. е. регулярна. Так как lim ср (г) = с_„ ф 0, то
lim f (z) = lim ф(г)„ = oo
z->a z^-a B — a)
и точка а является полюсом функции f (z). Функция g (z) = ттт =
= Д имеет в точке а нуль п-ro порядка (так как ф (а)ФО), сле-
следовательно, порядок полюса а равен п. Теорема полностью дока-
доказана.
Однозначная функция, которая не имеет в конечной области
плоскости z других особых точек, кроме полюсов, называется мера-
138
морфной, т. е. «дробновидною» (от греческих слов цёдосг— часть,
дробь и цоРФЛ — форма, вид).
После голоморфных (т. е. «целовидных») функций (см. § 27)
мероморфные функции являются следующим по сложности классом
аналитических функций. Примерами мероморфных функций являются
дробно-рациональные функции, а также tg z, ctg z, sec z, th z, cth z
и др.
Из доказанных теорем непосредственно вытекает следующая
теорема.
Теорема 3. Точка а тогда и только тогда яв-
является существенно особой для функции
/ (z), когда главная часть лорановского раз-
разложения последней в окрестности точки а
содержит бесконечно много членов.
Действительно, если бы главная часть лорановского разложения
для / (z) в окрестности точки а отсутствовала или имела бы конеч-
конечное число членов, то точка а, согласно теоремам 1 и 2, была бы либо
устранимой особой точкой, либо полюсом.
Поведение функции в окрестности существенно особой точки
выясняет следующая теорема, которая обычно приписывается Ве-
йерштрассу х.
Теорема Сохоцкого A868). Если а существенно осо-
особая точка функции / (z), то для любого ком-
комплексного числа А существует последова-
последовательность точек) zk ) -» а такая, что
lim f (zk) = А.
fe-S-00
Прежде всего существует последовательность {zk\ -> а, для
которой lim / (zk) = оо, так как в противном случае в окрестности
точки a f (z) была бы ограничена | / (z) |< M и тогда непосредствен-
непосредственно из теоремы 1 следовало бы, что точка а есть устранимая особая
точка.
Пусть теперь задано произвольное комплексное число А. Если
в любой окрестности точки а найдется точка z, в которой f (z) = А,
то теорема доказана, так как из таких точек можно построить по-
последовательность [Zk\ -> а, в точках которой lim / (Zk) — A.
Поэтому мы должны допустить, что в некоторой окрестности
точки а функция f (z) не принимает значения А.
Тогда в этой окрестности функция
1 Эта теорема впервые была доказана в диссертации петербургского матема-
математика Юлиана Васильевича Сохоцкого A842—1926) и опубликована на 10 лет
раньше появления работы Карла Вейерштрасса A815—1897).
139
регулярна. Точка а не может быть для нее ни полюсом, ни устра-
устранимой особой точкой, так как в этих случаях функция
имела бы конечный или бесконечный предел при z -» а.
Следовательно, а является существенно особой точкой функции
h (z) и по доказанному выше существует последовательность
{гк} -» а, для которой lim h (zk) = оо.
Для этой последовательности, очевидно,
lim/(zk) = lim \A + т-тт = А (так как lim , , , — 0),
и теорема Сохоцкого доказана.
Более общим утверждением является большая теорема Пикара
(Е. Picard, 1856—1941), которая заключается в том, что в какой
угодно малой окрестности существенно особой точки а функция
принимает и притом бесконечное число раз любое конечное значе-
значение, кроме, быть может, одного [192, гл. VIII, § 4].
Пример 2. Проверим справедливость теоремы Сохоцкого для функции
1
которая имеет в начале координат существенно особую точку.
Для А = оо последовательностью 1гЛ будет служить
?* = Т' *-1- 2. 3. ....
так как в этом случае
lim/(zfe) = limefc = оо.
Для А = 0 можно принять
ибо тогда
limflzfe) = li
k—> оо k—
Наконец, для произвольного конечного А Ф 0 берем
1
, k = 0, 1, 2, 3, ....
In A + 2&Я1
тогда
lim/ (zfe) = lim elnA+ikKi = einA = A,
в силу периодичности показательной функции
е = е , (к = 0, 1, 2, . . .).
140
Теоремы 1 и 2, а также теорема Сохоцкого позволяют утвер-
утверждать, что в окрестности изолированной особой точки аналити-
аналитическая функция либо стремится к определенному конечному или
бесконечному пределу, либо вполне неопределенна, т. е. стремится
по различным последовательностям к любому наперед заданному
пределу.
Никаких других промежуточных случаев быть не может и,
следовательно, однозначная аналитическая функция в качестве
изолированных особых точек может иметь только либо устранимые
особые точки, либо полюсы, либо существенно особые точки.
С другой стороны, согласно теореме Лиувилля, во всей беско-
бесконечной плоскости z (включая и точку z =со) каждая аналитическая
функция, если она не равна тождественно постоянной, должна иметь
хотя бы одну особую точку.
§ 29. БЕСКОНЕЧНО УДАЛЕННАЯ ТОЧКА.
СФЕРА РИМАНА
До сих пор мы рассматривали только конечные точки плоскости
комплексного переменного, однако для рассмотрения многих во-
вопросов необходимо ввести и бесконечно удаленную точку.
Наглядное представление об этой
точке можно получить при помощи так
называемой числовой сферы, или сферы
Римана.
Рассмотрим сферу, касающуюся сво-
своим южным полюсом плоскости z в на-
начале координат.
Каждому комплексному числу по-
поставим в соответствие точку сферы, ко- Рис- 21-
торую получим при пересечении сфе-
сферы лучом, соединяющим z с северным полюсом сферы (рис. 21).
Установленное соответствие будет взаимно однозначным и всей
комплексной плоскости будет соответствовать вся сфера с выколо-
выколотым северным полюсом.
Выполненное построение называется также стереографическим
проектированием.
Чтобы распространить соответствие на всю сферу, вводят услов-
условную бесконечно удаленную точку (комплексное число z = со) и
считают ее соответствующей северному полюсу сферы.
Число z = оо не участвует в арифметических операциях, как
обычные комплексные числа. Однако говорят, например, что после-
последовательность [zn\ сходится к бесконечно удаленной точке
limzn = оо,
141
если для любого сколь угодно большого М > 0 найдется такое п >
> N, начиная с которого
| гп | > М.
Эта терминология оправдывается тем, что стереографические
проекции Zn точек гп действительно образуют последовательность,
сходящуюся к северному полюсу сферы.
Плоскость комплексного переменного с присоединенной беско-
бесконечно удаленной точкой называют полной, или замкнутой, комплекс-
комплексной плоскостью, в противоположность плоскости с исключенной точ-
точкой z = оо, которая называется открытой, или незамкнутой
(см. § 11).
Под окрестностью бесконечно удаленной точки понимают часть
плоскости, находящуюся вне некоторого круга с центром в начале
координат (или в какой-либо другой точке z = а):
\г\> R.
На сфере Римана ей будет соответствовать круг с центром в се-
северном полюсе, т. е. окрестность в обычном смысле слова.
Изучим теперь поведение однозначной аналитической функции
f (z) в окрестности точки г = со.
Введенное ранее понятие изолированной особой точки функции
f (z) без всяких изменений обобщается и на случай бесконечно уда-
удаленной точки.
Будем говорить, что точка z = оо является устранимой особой
точкой, полюсом или существенно особой точкой функции / (z) в
зависимости от того, конечен, бесконечен или вполне неопределен
предел
lim f(z).
Пусть функция / (z) регулярна в некоторой окрестности бес-
бесконечно удаленной точки (регулярность функции в самой точке
z = оо будет определена ниже).
Мы можем рассматривать окрестность \z\ > R как «круговое
кольцо» с центром в начале координат, внутренним радиусом R
и внешним радиусом, равным бесконечности,
R < |z|< оо.
В этом «кольце» f (z) должна разлагаться в ряд Лорана по степеням
z и при этом, как и выше, могут представиться три случая.
1. Ряд Лорана вовсе не содержит членов с положительными
степенями г:
142
В этом случае при стремлении г к бесконечности / (z) стремится
к конечному пределу с0, и говорят, что /(z) регулярна в бесконечно
далекой точке, причем
lim /(z) = f(oo) = с0
г—>оо
и саму точку z = со считают обыкновенной, а не особой, точкой
функции / (г).
Если, кроме того, с0 = сх = ... = с„_! = 0, но сп ф О, то / (г)
в точке z = оо имеет нуль п-ro порядка.
Например, точка z = со является для функций
fl(z) = 2-j и h(z) = ~
соответственно обыкновенной точкой для Д (г) (причем fi (°о ) —
= 2) и нулем третьего порядка для /2 (z).
2. Ряд Лорана содержит конечное число членов с положитель-
положительными степенями г:
f{z) =
0).
Вынося за скобки zn, убеждаемся, что / (z) стремится к бесконеч-
бесконечности при z -> оо ;
но частное ^- стремится к конечному пределу с_„, отличному от
нуля. В этом случае бесконечно далекая точка называется полюсом
n-го порядка функции / (z), а совокупность членов (с_„ гп -\-
-f- c_n+i z1-' -(-... + c_xz) называется бесконечной частью в этом
полюсе.
Пример 1. Всякий полином
Р (г) = а0 + aiz + а2г2 + . . . + aj1
будет в точке г = со иметь полюс, порядок которого равен степени полинома.
Таким образом, дополняя результаты § 11, можем утверждать, что всякий
полином ге-й степени Р (г) есть аналитическая функция во всей замкнутой (или
полной) комплексной плоскости, регулярная всюду, кроме единственной особой
точки г = со, в которой Р (г) имеет полюс re-го порядка.
Если же Р (г) во всей замкнутой плоскости не имеет ни одной особой точки,
т. е. и точка г = оо не является полюсом функции Р (г), то это возможно лишь в
случае
Р (г) = Со = const,
как утверждает теорема Лиувилля (см. §27).
143
3. Ряд Лорана содержит бесконечное число членов с положи-
положительными степенями z:
f B) = • • ■ + C_2Z2 + C^\Z -j- Co -f- — }-—£--{-...
В этом случае бесконечно далекая точка называется существен-
существенно особой точкой функции.
Если ввести вместо г новую независимую переменную w по
формуле
1 1
z = —; w = — ,
w г
как всегда поступают при изучении поведения функции в точке
z = со, то окрестность бесконечно далекой точки плоскости z пе-
перейдет в окрестность начала координат на плоскости w и ряд
Лорана в рассматриваемом случае даст бесчисленное множество
членов с отрицательными степенями w.
Отсюда, вследствие теоремы Сохоцкого (§ 28), можем утвер-
утверждать, что если z = со есть существенно особая точка / (z), то при
изменении г вне любого сколь-угодно большого круга \z\ > R
существуют значения /(z), сколь-угодно близкие к любому наперед
заданному комплексному числу, и даже (согласно теореме Пикара)
/ (z) принимает бесчисленное множество раз любое комплексное
значение, кроме, быть может, одного.
Пример 2. Относительно функций ег, sin z, cos z, shz, chz мы раньше
говорили, что они регулярны на всей плоскости, но при этом бесконечно далекая
точка исключалась из рассмотрения.
Тейлоровские разложения для этих функций сходятся на всей комплексной
плоскости и, в частности, в окрестности точки z= ex.
Эти ряды содержат бесчисленное количество членов с положительными сте-
степенями z; например,
г z г2 г3
~ ТГ+ *2!~ "зГ ' ' '
следовательно, рассматривая их как ряды Лорана, видим, что для функций ег,
sin z, cos z, shz, chz точка г = 00 является существенно особой точкой. Подчерк-
Подчеркнем, что других особых точек эти функции не имеют.
При z -> оо эти функции не имеют определенного предела.
Например, для функции f (z) = cos z, если z принимает действительные зна-
значения z = х, то
lim/(z) = lim cos л;
г—>оо х->оо
и величина cos л;, имея действительное значение при х -* ею, колеблется бесчис-
бесчисленное количество раз между значениями — 1 и -г- 1, не стремясь ни к какому
определенному пределу.
Если z = iy, то / (z) = cos iy = chy и при г = со
lim/ (г) = lim ch у = оо.
Z—> СО у—>■ СО
144
§ 30. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ.
РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
Если функция / (г) регулярна в некоторой области D\, то есте-
естественно возникает вопрос — нельзя ли расширить область опре-
определения функции, т. е. нельзя ли создать более широкую область D,
содержащую Di внутри себя, и в этой более широкой области опре-
определить регулярную функцию F (г), которая совпадала бы с / (z)
в исходной области Dx.
Такое расширение области определения регулярной функции
называется аналитическим продолжением функции.
Оказывается, если аналитическое продолжение возможно, то
оно является единственным. В этом отношении регулярные функ-
функции комплексного переменного существенно отличаются от непре-
непрерывных функций действительного переменного. В самом деле, если
дана непрерывная функция f (х) действительного переменного х
на некотором промежутке а :< х =< Ь, то мы можем продолжить
график этой функции и за пределы промежутка бесчисленным мно-
множеством способов, не нарушая непрерывности функции / (х).
Для регулярных же функций комплексного переменного / (z)
значения в первоначальной области Dx вполне определяют (и при-
притом единственным образом) значения функций вне этой области,
если только расширение области, т. е. аналитическое продолжение,
вообще возможно. Однако необходимо подчеркнуть, что, совершая
аналитическое продолжение, мы можем прийти и к многозначным
функциям.
Это свойство регулярных аналитических функций можно сфор-
сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема. Если две функции /i(z) и /2 (z), регу-
регулярные в области D, совпадают между собой
только в некоторой части Do этой области
(или на кривой), то они совпадают и вовсей
области D.
Действительно, допустим, что в Do существуют две тождественно
неравные между собой регулярные функции
/2B) И f'2(z),
которые обе в части этой области Do равнялись бы /i (z). Тогда
была бы регулярной функцией в D, которая в Do тождественно
обращалась бы в нуль и вместе с тем не сводилась бы тождественно
к нулю в D (так как мы предположили, что вне Do в области D
функции /*2 (г) ф /г (г) ).
Однако это противоречит доказанному в § 28 утверждению,
что нули регулярной функции могут быть только изолированными
10 П. Ф. Фильчаков 145
точками. Поэтому наше допущение не может иметь места, и теорема
доказана.
Обратимся теперь к вопросу об аналитическом продолжении.
Пусть Д (z) регулярна в области Di и предположим, что удалось
построить новую область D2, имеющую с D1 общую часть Di,2
(рис. 22), и определить в области D% регулярную функцию /2 (г),
совпадающую с /i (z) в Di,2.
Можно назвать /2 (z) непосредственным аналитическим продол-
продолжением /i (z) из D\ в Di через общую часть D,,2. Функция, опре-
определенная в Di, как fi (z), и в Di, как /2 (z), дает единую регулярную
функцию во всей расширенной области D = D\ + D2. Докажем,
что не может существовать двух различных
аналитических продолжений.
Предположим, что есть два различных
аналитических продолжения /i (z) из Di в
Di через Du2. Эти две функции /2 (z) и
/2* (z), регулярные в Di, должны совпа-
совпадать с /i (z), а следовательно, и между
Рис. 22. собой в DU2. Но тогда, в силу доказан-
доказанной выше теоремы, они совпадут и во
всей области Di, т. е. дадут одно и то же аналитическое продол-
продолжение.
Аналитическое продолжение можно осуществить и в том случае,
если области Di и Di только соприкасаются по одному общему
участку границы (см. М. А. Лаврентьев и Б. В. Шабат [134, стр. 87]).
Конкретно аналитическое продолжение можно осуществить,
ограничиваясь только круговыми областями и разложением Тей-
Тейлора в таких областях.
Пусть аналитическая функция / (г) задана некоторым рядом
Тейлора с центром z0 = ах:
Будем называть этот ряд, сумма которого есть регулярная функция
от z, элементом функции f (z) в круге сходимости Ki этого ряда.
Проведем из точки ах некоторую линию Г и будем аналитически
продолжать нашу функцию вдоль Г. Для этого возьмем на линии
Г другую точку аг — такую, чтобы дуга ахаг лежала внутри круга
К\. Пользуясь рядом A92), мы можем вычислить производные
/<п) (аг) и написать затем разложение Тейлора для нашей функции
с центром г0 = а2:
00 СО
U (г) = X ^ <г - ^ = S Т^ <г - *Г> A ■ 192'>
т. е. построить новый элемент /2 (г) функции f (z).
146
Элемент /2 (z) будет определен в круге /С2 с центром а2, который
является кругом сходимости ряда A92'). Если круг /С2 будет вы-
выходить за пределы круга К\, то элемент /з (z) будет являться ана-
аналитическим продолжением элемента /х (z).
Заметим, что ряд A92') можно получить из ряда A92) и другим
способом, переписав ряд A92) в виде
," [(z — а2) + (а2 — ах)]"
и воспользовавшись затем формулой бинома Ньютона.
После того как первое аналитическое продолжение выполнено,
переходим к следующему, выбрав на Г новую точку а3, такую,
чтобы дуга a2as принадлежала кругу /С2. Ряд A92') мы можем,
как и выше, перестроить по степеням (z — а3) и получим новый
элемент функции f (z):
оо
f,(Z) = VCf> (z-азГ,
определенный в некотором круге /Сз с центром а3.
Этот процесс можно развивать до тех пор, пока не продолжим
нашу функцию / (z) на всю комплексную область, за исключением
отдельных изолированных особых точек, в которых f (z) теряет
регулярность, или пока не определим область существования /,(z),
за пределы которой функция f (z) не продолжаема. Граница
области существования / (z) называется естественной границей
этой функции.
Например, можно показать [134, стр. 90], что для функции
00
f (z) = z2 + z4 + z8 + z" + ... = V z2"
л»
n=i
особыми точками являются все точки окружности \г = 1, т. е.
что окружность \г\ = 1 есть особая линия для f (z).
Поэтому областью существования для f (z) служит круг \г\ < 1,
а естественной границей, за которую / (z) нельзя' аналитически
продолжить,— окружность \г\ = 1.
Совокупность всех степенных рядов (всех элементов /„ (г)),
которые получаются, из данного ряда (элемента /i (z)) при помощи
непосредственных аналитических продолжений, образует представ-
представление функции, которая, по Вейерштрассу, называется полной
аналитической.
Пример. Рассмотрим ряд
оо
_±_==1+г + гз + гз + ... = ^Л A.193)
10* 147
Он сходится и определяет регулярную фуикцию
1
/B)"-
1 —г
лишь в круге ]г| < 1, так как точка г= 1 является полюсом функции f (z).
РядA93) можно рассматривать как элемент f\ (г)функции/ (г)= ^ __ анали-
аналитической во всей плоскости, в силу чего ряд A93) можно продолжить на всю плос-
плоскость с выключенной точкой г= 1.
Областью определения элемента h (г) служит круг К\\
U\< 1,
проходяший через особую точку |г| = 1 функции /(г), центр которого zo= а,
находится в начале координат (рис. 23).
Если мы возьмем внутри круга Ki некоторую точку г„ = а2, например а2 =
= 0,8i, и построим ряд по степеням (г —аг), то получим новый ряд вида
1
z— 0,8г
_ 0,8* + A -
I _
(г — 0,&)"
1 — 0,8г)"+1
Элемент f2 (г) будет определен в круге Кг с центром в аг и радиусом R2 =
_ у 14- @^8'Jрг 1.281, равным расстоянию от центра а2 до особой точки г=1. Взяв,
далее, точку аз внутри круга Кг, опре-
определим аналогично элемент }■„ (г) в виде
ряда
I
(г — аз)"
A —
м+\
который регулярен в круге Ks.
Если бы мы продолжали выбирать
точки а4, а5, ... иа мнимой полуоси
у > 0, то мы последовательно продол-
продолжили бы функцию / (г) на всю верх-
верхнюю полуплоскость.
Выбрав же точку а4 внутри круга
Кз, как показано на рис. 23, и продол-
продолжая этот процесс дальше, мы аналити-
аналитически продолжим функцию / (г) на всю
полную комплексную плоскость г с
исключенной точкой г= 1.
рис 23. Рассмотренный пример имеет
только иллюстративное значение
и в данном случае проще пользоваться выражением функции в ко-
конечном виде: / (z) = ^——, не прибегая к аналитическому продол-
продолжению ряда A93).
Но в целом ряде важных практических задач, решаемых при
помощи конформных отображений или при помощи дифференциаль-
дифференциальных уравнений, функцию можно определить только при помощи
степенного ряда (определенного, вообще говоря, в некотором огра-
148
ничейном круге /Ci); тогда путь аналитического продолжения яв-
является единственно возможным путем. При этом важную роль
играет так называемый принцип перманентности [22>2>, т. III,
стр. 71]:
Если исходный элемент функции w (z) удовлетворяет некоторому
уравнению, например дифференциальному уравнению,
F (z, w, w', w",
=0,
Рис. 24.
то и функции, которые можно получить из w при помощи анали-
аналитического продолжения, также удовлетворяют этому же уравне-
уравнению во всей области их существования.
Вернемся теперь снова к аналитическому
продолжению, осуществляемому при помощи
цепи областей.
В общем случае области Di, D2, D3, ...
могут налегать друг на друга и помимо тех
общих частей Dn. „+1 , о которых мы гово-
говорили выше.
Рассмотрим, например, цепь, состоя-
состоящую из трех областей D\, D2, Da, и
положим, что D3 налегает на Di (рис. 24). На этом нале-
налегающем куске, заштрихованном на рис. 24, значения fi (z),
определенные в Di, и значения /3(z), определенные в D3, могут быть
и различными. В этом слу-
случае будем иметь при анали-
аналитическом продолжении мно-
многозначную функцию. Но мы
можем геометрически избе-
избежать многозначности, считая,
что заштрихованный кусок,
на котором значения /i (z)
и f3(z) различны, состоит как
бы из двух листов: одного,
принадлежащего Di, и дру-
другого, принадлежащего D3.
Поверхности, служащие для наглядного представления одно-
однозначных и многозначных функций, получили название римановых
поверхностей.
Рассмотрим для конкретности двухзначную функцию
Рис. 25.
w =
Каждому конечному значению z ф 0 соответствуют два различ-
различных значения wx и w2 = eni wu отличающиеся одно от другого
только множителем е 2 =е?й'■ = — 1, т. е. знаком.
149
В точке разветвления z = 0 оба значения совпадают:
Если мы проведем разрез от точки 0 до + со, который будет
исключать возможность полного обхода точки разветвления z = О,
то, как вытекает из результатов § 12, разрезанная плоскость будет
являться областью, в которой функция w будет однозначна, и на
ней мы можем полностью определить одну из ветвей w1 или w2
нашей двузначной функции w = У г.
Возьмем теперь два экземпляра такой разрезанной плоскости:
Di для изображения значений ^иОг для изображения значений
о>2, и склеим берега разрезов этих областей крест накрест: верхний
берег разреза на Di соединим с нижним берегом на Di и наобо-
наоборот (рис. 25).
Если мы, исходя из некоторой точки z0, опишем замкнутый кон-
контур вокруг точки разветвления z = 0, то, возвратившись в точку
z0, мы будем находиться на другом листе по сравнению с тем, с ко-
которого мы вышли, описывая контур. При этом определенные выше
значения функции V z на нашем контуре дадут, очевидно, анали-
аналитическое продолжение функции вдоль этого контура, причем окон-
окончательное значение функции в точке z0 будет отличаться в данном
примере только знаком от исходного элемента функции в этой же
точке.
Совершив еще один оборот вокруг точки разветвления, мы вер-
вернемся к исходному значению функции w (z0).
Область D = Di -f- Di представляет, собою полную область
существования функции w = У г, и при этом функцию w на ее
римановой поверхности D = Di -+- Do мы уже можем рассматри-
рассматривать как однозначную функцию.
п
В случае функции w = У г ее риманова поверхность будет
состоять из п листов, а для бесконечнозначной функции w — Logz
для построения римановой поверхности необходимо взять бес-
бесконечное число листов.
Таким образом, при помощи римановых поверхностей мы можем
наглядно представить себе отображение, осуществляемое много-
многозначной функцией, и считать, что любую аналитическую функцию
можно рассматривать как однозначную на ее римановой поверх-
поверхности.
На этом мы заканчиваем краткое изложение основных поня-
понятий теории функций комплексного переменного и переходим к изу-
изучению конформных отображений.
Естественно, что мы вынуждены были многие вопросы изложить
конспективно и, кроме того, исключить из рассмотрения ряд важ-
важных вопросов теории функций комплексного переменного (напри-
(например, теорию контурных интегралов, операционный метод и его
150
приложения), которые в этой книге в дальнейшем непосредственно
не используются.
Читатели, желающие углубить и систематизировать свои зна-
знания в этом направлении, должны обратиться к одному из курсов,
указанных в списке литературы и в первую очередь к курсам
[39; 109; 134; 146; 192; 233; 240; 291; 295; 330], в большинстве из
которых приведена и дальнейшая литература.
Краткий очерк развития теории функций комплексного пере-
переменного приведен в книге [240], а подробный обзор работ совет-
советских ученых — в статье «Теория функций комплексного перемен-
переменного» в сборнике [155, т. I, стр. 381—510].
ГЛАВА II
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ,
ОСУЩЕСТВЛЯЕМЫЕ
ЗАДАННЫМИ ФУНКЦИЯМИ
Вторая глава посвящена геометрической иллюстрации аналити-
аналитических функций — изучению отображений, которые осуществляются
заданными аналитическими функциями. Такие отображения явля-
являются конформными во всех точках, в которых производная отлична
от нуля (см. § 31).
Понятие конформного отображения относится к числу важней-
важнейших понятий математики. Возникшее из физических представлений,
оно находит многочисленные приложения к самым различным тех-
техническим областям, а именно, при помощи метода конформных
отображений с успехом решают практические задачи гидро-и аэро-
аэродинамики, теории упругости, теории фильтрации, теории тепло-
теплового, магнитного, электростатического полей и многие другие.
Отдельные задачи, связанные с конформными отображениями, ре-
решались Даламбером (J. L. D'Alembert, 1717—1783), Эйлером
(L. Euler, 1707—1783) и Гауссом (К. F. Gauss, 1777—1855). Осно-
Основываясь на их результатах, Риман (G. F. В. Riemann, 1826—1866)
в своей диссертации «Основы общей теории функций комплексного
переменного» A851) систематизировал и развил теорию конформных
отображений, исходя из физических представлений.
Не останавливаясь на истории развития теоретических вопро-
вопросов, которые выходят за рамки данной книги, отметим, что инициа-
инициатива широкого применения конформных отображений к конкрет-
конкретным практическим задачам и наиболее принципиальные результаты
в этом направлении принадлежат русским ученым — Н. Е. Жуков-
Жуковскому, С. А. Чаплыгину, М. А. Лаврентьеву, М. В. Келдышу
(гидро- и аэродинамика), Г. В. Колосову, Н. И. Мусхелишвили,
А. Н. Диннику, Г. Н. Савину (теория упругости), Н. Н. Павлов-
Павловскому, П. Я- Полубариновой-Кочиной (теория фильтрации) и их
многочисленным последователям и ученикам.
152
§ 31. КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Значение функции комплексного переменного z = х + iy
будет также комплексным числом
w = u(x,y) + iv(х, у),
следовательно, оно может быть изображено точкой с координатами
и и v, для чего необходимо взять другой экземпляр плоскости ком-
комплексного переменного, которую будем называть плоскостью w.
Если функция w = f (г) однозначна, то каждому значению
аргумента г = х + iy, т. е. точке (х, у) в числовой плоскости г
будет соответствовать одно определенное значение функции w =
= и + iv, т. е. точка (u,v) в числовой плоскости w.
Другими словами, однозначная функция w = f (z) устанавли-
устанавливает однозначное соответствие между точками числовых плоскостей
z и w такое, что каждой точке г соответствует одна и только одна
точка w. Точку w поэтому называют образом точки z. а саму точку
z — прообразом точки w.
Далее, если каждому образу w соответствует один и только
один прообраз z, то соответствие называется взаимно однозначным
или одно однозначным.
Пусть точка z описывает некоторую кривую С в числовой плос-
плоскости z. Образ ее w = / (z) также придет в движение и опишет
кривую Г в числовой плоскости w, если функция / (z) непрерывна.
Можно утверждать, что любая непрерывная функция комплекс-
комплексного переменного w = f (z) отображает каждую точку z в некото-
некоторую точку w, каждую линию С в плоскости г — в некоторую ли-
линию Г плоскости w.
Посмотрим теперь, какими свойствами будет обладать отобра-
отображение, если отображающая функция
w=f(z) B.1)
будет не только непрерывной, но и регулярной.
Рассмотрим некоторую точку г в области D и некоторую линию
С с определенным направлением, выходящую из точки г, т. е. та-
такую линию, которая в точке z имеет определенную касательную
(рис. 26,а).
Функция w = / (z) отобразит точку г и линию С соответственно
в точку w и линию Г (рис. 26,6).
Допустим, что в точке г производная /' (z) не равна нулю (если бы
/' (г) = 0, то Arg /' (z) был бы неопределенным, т. е. не имел бы
смысла) и пусть
f' (z) = R (cos Ф + i sin Ф), B. 2)
153
так что
R = \f'(z)\ и Ф = Arg/'(*)■ B.2')
Возьмем, кроме того, на линии С произвольную точку z + Az,
которой функция1 A) приведет в соответствие точку ш +Дш, и
обозначим углы, образованные хордой и касательной к С в точке
z с осью Ох, через Р и а, а углы, образованные хордой и касатель-
касательной к Г в точке w с осью Ои, через Рх и с^.
Будем приближать точку z + Az к точке z вдоль линии С;
тогда точка w + Ада будет приближаться вдоль Г к точке w и при
этом Az и Ада будут одновременно стремиться к нулю.
Согласно определению производной (см. гл. I, § 8)
будем иметь
lim
Дг->0
B.3)
Далее, аргументом комплексного числа Az является угол, образо-
образованный вектором, соединяющим точки z и Az с осью Ох, т. е. ArgAz=
= Р и соответственно (с точностью до кратных 2я, что в данном
случае не существенно) ArgAt£)= Pi. Поэтому, принимая во вни-
внимание, что аргумент частного равен разности аргументов делимого
и делителя, получаем
lim (Pi — p) = lim Arg (Aw — Az) = lim Arg - —
Az->0 Дг-j-O Дг->0 Дг
ИЛИ
ox — a = Argf'(z) =Ф. B.4)
Проанализируем полученные результаты. Формула C) пока-
1 Как было уже отмечено , при ссылках на формулы данной главы номер главы
не указываем.
154
зывает, что в пределе отношение бесконечно малого расстояния
между отображенными точками Aw и расстояния между их прооб-
прообразами Az равняется величине R = \f (z)|, которая зависит только
от точки z и не зависит от направления линии С.
Другими словами, модуль производной R = \f (z)| выражает
величину изменения линейных размеров в точке z при отображе-
отображении, осуществляемом функцией w = f (z).
При R > 1 происходит растяжение произвольно направленного
бесконечно малого элемента, выходящего из точки г, а при /?<
< 1 — сжатие.
При R = 1 такой бесконечно малый элемент преобразуется
в эквивалентный бесконечно малый элемент, выходящий из точки w.
Формула D) показывает, что аргумент производной Ф =
= Arg /' (z) определяет собою угол поворота в данной точке г в ре-
результате преобразования w = / (z).
Другими словами, угол между касательными, проведенными
к точке z и к ее образу w, равен аргументу производной и не зави-
зависит поэтому от исходного направления касательной, а зависит
только от положения точки г.
Пусть теперь С* и Г* будут две другие кривые, которые соот-
соответствуют друг другу, проходят через точки z и w = f (z) и каса-
касательные к которым в этих точках образуют с осями Ох и Ои соот-
соответственно углы а* и ах*.
Благодаря тому, что производная /' (z) регулярной функции,
а следовательно, и Arg /' (z) не зависит от направления в данной
точке, и только благодаря этому свойству регулярной функции,
получаем:
а[ — а* = Arg f' (z) для кривых С* и Г*
ах — а = Arg f' (z) для кривых С и Г,
откуда следует, что
* *
ах — а = ах — а,
т. е. линии Г и Г*, получаемые в результате отображения w =
= f (z), образуют между собой тот же самый угол (по величине и
направлению), какой образуют линии С и С*. Это свойство кратко
называют свойством консерватизма углов.
Итак, отображение, осуществляемое регулярной функцией w =
= f (z), обладает в каждой точке z, где /' (z) ф 0, двумя свойствами:
постоянством растяжений и консерватизмом углов.
Если мы возьмем в плоскости z бесконечно малый треугольник,
то ему в плоскости w будет соответствовать бесконечно малый по-
подобный треугольник, так как соответственные углы в этих треуголь-
треугольниках будут равны согласно свойству консерватизма углов, а отно-
отношения соответственных сторон (с точностью до бесконечно малых
высшего порядка) будут равны одному и тому же постоянному
числу R =/= 0.
155
В силу этого отображение, осуществляемое регулярной анали-
аналитической функцией, называют конформным отображением, точнее
конформным отображением первого рода х.
Однако из того факта, что конформное отображение является
отображением подобия в бесконечно малом (вблизи каждой точки,
где Г (z) Ф 0), вовсе не следует, что и в целом («в большом») при
конформном отображении форма линий не изменяется.
Коэффициент растяжения R = \f (z)\, вообще говоря, меняется
от точки к точке, поэтому форма линий в целом не может сохра-
сохраниться (за исключением тривиального случая, если f (z) = const),
но углы между двумя любыми пересекающимися линиями при кон-
Грмном отображении сохраняются во всех точках г, в которых
(z) Ф 0.
В частности, сетка взаимно перпендикулярных прямых, парал-
параллельных осям Ох и Оу, при конформном отображении будет в общем
случае преобразована в криволинейную сетку, но углы между
кривыми останутся по-прежнему прямыми, т. е. сетка, как говорят,
останется ортогональной.
Отображение, осуществляемое аналитической функцией / (z),
будет конформным во всех точках, в которых f (z) регулярна.
В особых же точках функции / (z) конформность отображения
нарушается.
Преобразование, которое обладает постоянством растяжений
и сохраняет величину углов, но изменяет направление их отсчетов
на обратное, называется конформным отображением второго рода.
Такое преобразование осуществляет, например, функция
w = г — х — iy,
где z есть комплексная величина, сопряженная с величиной г.
Эта функция дает так называемое зеркальное отражение относи-
относительно действительной оси.
Вообще, если w = f (z) есть функция регулярная в области D,
которая дает конформное отображение первого рода, то функция
w = Т(г).
сопряженная с данной, дает конформное отображение второго
рода.
§ 32. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
Изучение конформных отображений начнем с отображения,
осуществляемого линейной функцией
w — аг ь Ь. B. 5)
где а и Ъ — произвольные комплексные числа.
Предварительно отметим ее основные свойства.
1 Термин «конформное отображение» был введен Шубертом в 1789 г. [240,
стр. 163].
155
Обратная функция: г = -—- также линейная функция.
Особенность: простой полюс г = со, в остальных тонках регу-
регулярна.
и b
пиль: г = .
3 а
Отображение: z-плоскость и ю-плоскость конформно отобража-
отображаются одна на другую при помощи поворота и растяжения, т. е.
при помощи вращения, преобразования подобия и сдвига.
Неподвижные точки: z\ — со; гц = . _ .
Остановимся несколько подробнее на отмеченных свойствах.
Отображение E) будет конформным во всей плоскости, так как
w' = а ф О
и взаимно однозначным, поскольку
1 ь
Z——W .
а и
Точка z = 0 переходит в точку Ь, при z = оо получаем w = со,
т. е. бесконечно удаленная точка переходит сама в себя, и вся
плоскость z переходит во всю плоскость w.
Рассмотрим отдельные частные случаи, совмещая на рисунке
для простоты плоскости z и w.
1. Случай а — 1, b = ЬЛ 4- ib2.
Тогда ш=в + |» определится формулой
w = г + Ь = (х -f Щ) -1- Fi -f ih\ B. 6)
т. е.
u=x + b!, v = y + bz, B.6')
и мы получаем известные формулы преобразования координат на
плоскости при параллельном перенесении осей.
Таким образом, каждую точку w можно получить из соответ-
соответствующей точки z путем параллельного переноса ее в направлении
вектора, соответствующего числу b — Ьг + ib2, на расстояние,
равное его длине.
Будем называть поэтому преобразование F) параллельным пере-
переносом (или сдвигом) плоскости на вектор b (рис. 27, а).
2. Случай \а\ = 1; b = 0.
Величину а, если \а\ — 1, можно представить в виде
а = cos а т|- t sin а = е'а
157
и формула E) при b = 0 принимает следующий вид:
w = az = (cosa 4- г sin a) (я -f- гг/), B.7)
откуда
a = л; cos a — у sin a; и = x sin a + у cos a. B.7')
По формуле G) при условии \а\ = 1 имеем:
\w\=\z\; krgw = a -f- Argz,
следовательно, преобразованную точку w получаем из ее прообраза
—>
г, повернув вектор z вокруг нулевой точки на угол а, т. е. преобра-
преобразование G) есть поворот плоскости вокруг начала координат на
У
Рис. 27.
угол а (рис. 27,6). Отметим также, что формулы G) полностью сов-
совпадают с формулами поворота прямоугольных осей, выводимыми
в аналитической геометрии.
3. Случай а = т, b = 0, где т есть действительное положи-
положительное число.
Формула E) принимает при этом вид:
или
w = mz, (b = 0)
и = тх, v = my, \w\=m\z\,
B.8)
B. 8')
т. е. точка z преобразуется в точку w, которая лежит на прямой
Oz на расстоянии т \z\ от начала координат.
Это есть преобразование подобия с центром подобия в нулевой
точке и с коэффициентом подобия т.
Общее преобразование E)
(\а\ф 1, ЬфО)
158
можем теперь представить как результат трех последовательных
преобразований:
Z\ = eiaz, где а = Arg а;
z2 = тгъ где т = \ а |;
w = z2 + b,
т. е. как результат поворота вектора z на угол, равный Arga, пре-
преобразования подобия с коэффициентом, равным \а\ и переносу
полученной точки на вектор Ь.
Формула E) показывает, что линейное преобразование опреде-
определяется двумя коэффициентами: а и Ъ.
На практике часто возникает обратная задача: подобрать такие
коэффициенты линейного преобразования а и Ь, чтобы две наперед
заданные точки zx и z2 были преобразованы в две наперед заданные
ТОЧКИ W! И W2.
Внося эти значения в формулу E), получаем систему с двумя
неизвестными:
ы>! = azt + b;
w2 = az2 + b,
из которой и определяем искомые коэффициенты преобразования:
а b 2 д
z\ — г2 ' zi — z3 '
Отметим, что линейное преобразование оставляет неподвижными
две точки: точку Z\ = со, для которой w\ = со, и вторую точку,
которую обозначим Z\\.
По условию w\\ = Z\\. Подставляя эти значения в формулу E),
получим
zn=azn + b,
откуда
ato-rb- BЛ0)
При а = 1 получаем 2ц = со, т. е. в этом случае обе неподвижные
точки совпадают.
§ 33. ФУНКЦИЯ о) = у. ИНВЕРСИЯ
Отметим основные свойства рассматриваемой функции
а> = |, B.11)
где
z — х + ty = re'f; w= u-\- iv = qe1®.
159
Обратная функция: z =— тождественна исходной функции.
Особенность: простой полюс z = 0, в остальных точках регу-
регулярна.
Нуль: z= оо, причем нуль простой (однократный).
Отображение: окружности (а также прямые) переходят в окруж-
окружности или прямые. Полная плоскость w отображается в полную
плоскость z.
Неподвижные точки: Z\ = + 1; 2ц = — 1.
Расчетные формулы: в декартовых координатах
" = *■ + ф ; V= x* + y*'' B- 12)
в полярных координатах
Q = y\ 0 = -<р. B.13)
Рассматриваемая функция является простейшей дробно-линейной
функцией.
Подставив полярные координаты
2 = rei(<>; w =
в уравнение A1), имеем
j j
откуда непосредственно и получаем расчетные формулы A3).
Из формул A3) также следует, что преобразование, осуществляе-
осуществляемое функцией A1), можно рассматривать как результат двух кон-
конформных отображений 2-го рода, которые определяются форму-
формулами:
£ = 4: или q* = -; **=ср; £ = д*е'** B.14)
Z г
ш = С или q = q*; * = — ■&*, B. 15)
где 2 и £ суть величины комплексно сопряженные к величинам
2 И £.
Преобразование A4) всякую точку 2, которая лежит внутри
единичной окружности С, переводит в точку £, которая лежит вне
С на продолжении отрезка Ог, при этом произведение расстояний
Ог и 0£ равняется квадрату радиуса круга, т. е. в данном случае
160
Такое отображение называется преобразованием обратных ра-
радиусов-векторов или инверсией относительно окружности С; точки
z и £ называются симметричными относительно окружности С.
Преобразование A5) переводит каждую точку в точку, симмет-
симметричную ей относительно действительной оси, и называется зеркаль-
зеркальным отражением относительно действительной оси.
Рис. 28.
В более общем случае инверсия относительно окружности
(уравнение которой х2 + у2 = R2) определяется формулой
ИЛИ
е* =
г
B. 14')
Дадим теперь точное определение понятия инверсия.
Точки z и £ называются симметричными относительно окруж-
окружности С, если они лежат на одном луче, исходящем из центра
окружности С, и если для этих точек
=/?2.
B. 16)
Преобразование инверсии легко осуществить графически. Для
этого из точки z восстанавливаем перпендикуляр к лучу Oz и через
точку Р его пересечения с окружностью С проводим касательную,
которая и отсечет на продолжении луча Oz точку £,, симметричную
относительно окружности С (рис. 28).
И П. ф. Фильчаков
161
Действительно, из подобия треугольников OPz и OPZ, получаем
R _ Ot,
Oz R '
т. е. Oz-Ol = R* или \z\ ■ \t,\ = R*.
В частности, точка z = 0 будет отображаться в точку £ = оо и,
наоборот, точкой, симметричной относительно окружности С к бес-
бесконечно удаленной точке z= оо, будет являться центр окружности
й = о.
Возвращаясь к отображению A1), видим, что, отразив зеркально
в действительной оси найденную инверсией точку £, получаем
искомую точку w (рис. 28):
Обращая равенство A1), находим
следовательно, обратная функция тождественно совпадает с ис-
исходной. Поэтому точку z, соответствующую заданной точке w,
строим буквально в обратном порядке. Например, для заданной
точки о>! строим циркулем-измерителем ее зеркальное отражение
a>i в действительной оси, проводим луч Owi и на нем циркулем от-
отмечаем точку Zi, для которой |zi| = r=^i. Величину |k)i|=|kj1|
непосредственно измеряем на рисунке, приняв в качестве единицы
масштаба R = 1. На рис. 28 (в масштабе 1 = 20 мм) для wt имеем
\wt\ = 51,0 мм = 2,55; так что |zi| =-7^^ = 0,392 — 7,8 мм.
Пример 1. Отобразим при помощи функции A1) область т, являющуюся
внешностью эллипса с осями а — 2,5; b = 1,5, который касается единичной ок-
окружности (R = 1) в точке w3 (рис. 28). Оси эллипса параллельны биссектрисам
координатных углов, а его фокусы расположены на прямой w\wb, причем с =
= |/"а2 — №■ = 2,0.
Отметив на заданном эллипсе ряд точек w\, wz, ш3, о>4, ть, строим описанным
выше способом их образы z\, z2, z3, z4, z5.B результате внешность эллипса w пере-
переходит в область z, заштрихованную на рис. 28, которая полностью расположена
внутри единичной окружности и касается ее в точке г3 = ш3. При этом точка
w = оо переходит в точку z = 0. Положительное направление обхода границы
области ту, а>2, вуз..-., при котором сама область остается слева (см. гл. I, § 5),
сохраняется и образы z\, zi, z3, ... также обходят область z в положительном на-
направлении, как это и отмечено на рис. 28 стрелками.
Графические построения, которыми мы пользовались при реше-
решении примера 1, не всегда могут обеспечить необходимую точность.
Для достижения любой степени точности удобнее пользоваться
162
расчетными формулами A2), которые непосредственно получаем из
равенства A1)
отделив действительные и мнимые части:
и =
+ у* '
V =
— у
х2 + у2 "
Вычисления по формулам A2) выполняются очень легко, что
мы проиллюстрируем на примере.
Пример 2. Отобразим при помощи функции A1) круг г, определяемый
уравнением
(х — 0,50K + (у + 0,18)з = 0,09.
Отметим на круге ряд точек, z\, zz, z3, ..., координаты которых приведены в
табл. 6.
Точки
X
У
*>+У>
1
*2+г/2
и
V
1
+0,7400
0
—
1,3514
0
2
+0,5000
+0,1200
0,26440
3,78215
1,8911
—0,4539
3
+0,2600
0
—
3,8462
0
4 '
+0,2000
—0,1800
0,07240
13,8122
2,7624
+2,4862
Та б л
5
+0,3000
—0,4036
0,25289
3,95429
1,1863
+ 1,5960
и ца 6
6
+0,5000
—0,4800
0,48040
2,08160
1,0408
+0,9992
Воспользовавшись формулами A2), вычисляем соответствующие им точки
wi_, а>г, Щ,--. Все вычисления, обеспечивающие в ответе пять значащих цифр,
приведены в той же табл. 6, Вычисления удобнее вести по колонкам, причем за-
записывать строки х2 + и2 и ■ нет надобности, так как, вычислив ,
*2 + г/3 х» + у* .
переносим результат в установочный счетчик и, умножив его соответственно на х
и (—у\ получаем искомые и и v. Мы эти строки привели только для того, чтобы чи-
читатель при повторении примера имел возможность проверить свои вычисления.
Точки 1 и 3, для которых у = 0, v = 0, вычисляются по формуле и = —■ - Ре-
Результаты всех вычислений представлены на рис. 29, на котором (как и на рис. 28)
координатные оси плоскостей z и w совмещены.
Рекомендуем читателю повторить примеры 1 и 2, построив при
этом еще несколько дополнительных точек.
11* 163
Легко проверить, что все отображенные точки wi, дог, ..., щ,
на рис. 29 лежат на одной окружности. Это не случайность, а
следствие одного из замечательных свойств отображения A1), и мы
сейчас докажем, что отображение w =— любую окружность снова
переводит в окружность. Прямую линию мы также будем считать
окружностью бесконечно большого радиуса, т. е. окружностью,
проходяпцеи через бесконечно удаленную точку.
Рис. 29.
Общее уравнение окружности имеет вид
А (х2 + у2) + 2Вх +
где в случае прямой линии А = 0.
Так как (см. гл. I, § 3)
у2; z + z = 2x\ z~z = 2iy,
где
z = х -f iу и z = x — iy,
1 i
то уравнение окружности, учитывая, что -у = -^
представить в виде
Azz + В (z +~z) — iC (z — z) + D = 0
или
Azz + yz -f- yz + D = 0,
где А и D действительные числа, а
у = В + iC и y = В — iC
комплексные сопряженные.
164
= -^ = — i, можно
B- 17)
Применив теперь преобразование A1) к уравнению окружности
и учтя, что согласно A1) z = —, 2 = -^-, из A7) получаем:
w w
+ + +
ww ^ w
или, приводя к общему знаменателю и отбрасывая его, находим:
Dww -f- yw + yw + A = 0.
Вводя новые обозначения
б = у = В — 1С, "б = у = В + 1С
убеждаемся, что преобразованное уравнение изображает собою
окружность в плоскости w:
Dww + bw+bw + Л = 0. B.17')
При D = 0 это уравнение представляет прямую линию.
Следовательно, любая окружность или прямая линия при
отображении A1) снова переходит в окружность.
Единичная окружность, уравнение которой есть
х2 + у2 = 1 или zz = 1,
переходит при отображении A1) сама в себя:
WW = 1 ИЛИ И2 + V2 = 1.
Однако неподвижными будут только точки z = ± 1, все же осталь-
остальные точки единичной окружности перейдут в свои сопряженные,
т. е. в точки, симметричные относительно действительной оси.
Далее, сравнивая A7) и A7'), видим, что все окружности, прохо-
проходящие через начало координат в области z (у таких окружностей
D = 0), перейдут в плоскости w в прямые линии и, наоборот, пря-
прямые из области z (для них А = 0) перейдут в окружности, прохо-
проходящие через точку w = 0.
Пучок прямых, проходящих через начало координат (для него
А = D = 0), переходит сам в себя.
Пример 3. Отобразим при помощи функции A1) верхнюю полуплоскость.
Из сказанного ясно, что верхняя полуплоскость г, границей которой является
прямая у = 0, отображается функцией w = — в нижнюю полуплоскость, граница
которой v = 0. Рис. 30, иа котором соответствующие точки обозначены одними
и теми же номерами, дает полное представление об этом отображении.
Замечание. Отображение, осуществляемое сложной функцией
o>=/4z) = MA(z)]>
называется наложением или суперпозицией отображений fx и fz.
165
Пользуясь введенным термином, полученный в начале параграфа результат
можно сформулировать более кратко:
Отображение A1) всегда можно представить как суперпозицию инверсии A4)
и зеркального отражения A5).
К отображению A1) мы вернемся в следующем параграфе.
\
Рис. 30.
§ 34. ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
Дробно-линейная функция в общем случае имеет следующий
вид:
W =
аг -f- b г — z\
^Td или ffil = g^r^'
B.18)
где а, Ь, с, d, g = —, Zi = , z2 = — произвольные
с а с
комплексные числа, ограниченные лишь условиями
ad — be ф 0, с Ф 0.
Ь — dm
B. 18')
Обратная функция: z =
также дробно-линейная.
d
cw —а
Особенность: простой полюс при z = zi = — —, в остальных
точках всюду регулярна.
Нуль: простой (однократный) в точке z = zx = .
Отображение: дробно-линейная функция осуществляет взаимно
однозначное и конформное отображение полной плоскости комп-
комплексного переменного z (т. е. плоскости с присоединенной точкой
166
z = oo) на полную плоскость w. При этом окружности (или прямые)
переходят снова в окружности (или прямые).
Неподвижные точки: две точки z\ и 2П, являющиеся- корнями
квадратного уравнения
_(fl-d)± V(a-dy + Abc ,„ .
*1; II — 2с ' * '
Расчетные формулы:
где
_ a . 6 ' . d .
Я —г = g^i + t§2', Z\ = = Xi -f- fi/i", 22 = = *2 -r '№',
CuC
B. 20')
= (У — f/i) xl — (x — x) vl' vl =
»2 (_,. д.^2 -|_ (y
Q .
Более подробное изучение дробно-линейной функции начнем с
выяснения условий A8').
При с = 0 преобразование A8) переходит в линейное, рассмот-
рассмотренное в § 32.
Если ad — be =0 или ——-г> то, обозначая это отношение величи-
величиной т, имеем
а = тс, b = md
и тогда
az 4- Ь тег 4- md ,
w = —-~ = ~-^- = т = const.
cz-j- d cz-\- d
Решая теперь уравнение A8) относительно z, получим формулу
для обратного преобразования, которое также будет дробно-линей-
дробно-линейным:
Дробно-линейное отображение, следовательно, взаимнооднознач-
взаимнооднозначно и оно преобразовывает всю плоскость, включая и бесконечно
далекую точку, саму в себя.
167
Но при этом точка z = со- переходит в точку w ='—, а точка
z = -в точку w = оо, т. е. в общем случае дробно-линейного
преобразования бесконечно далекая точка не будет уже неподвиж-
неподвижной точкой.
Дробно-линейное преобразование конформно на всей плоскости
z, кроме точки г — , так как производная
. (сг + d) а — (az4- Ь) с ad — be , , , , „,
w' = v ! i - —— = -.—г—jTj-, (ad — be Ф 0) конечна и отлич-
(cz + d)* (сг + dy> y ^ >
d
на от нуля при всяком конечном значении 2, кроме точки г = ,
которая является простым полюсом функции A8). В бесконечно
удаленной точке углы также сохраняются (если под углом между
двумя линиями при z = оо понимать угол между линиями, полу-
полученными отображением zx = —,в точке zx = 0, см. § 29), так как,
1 . а 4- bzy
выполнив подстановку z =— , найдем, что функция w = —■—-,—
в точке zx = 0 при с Ф 0 регулярна и имеет при Zi = 0 производ-
, ad — be
ную w = ^—, не равную нулю.
Изучим основные свойства дробно-линейного отображения, ко-
которое называют также общим линейным, бирациональным или кру-
круговым. Преобразование A8) впервые изучалось Мёбиусом
(A. F. Mobius, 1790—1868).
Выполняя в формуле A8) деление, лмеем
az-j-b a . be — ad
cz-j-d с "Г" c(cz-j-d) '
так что отображение A8) можно представить как суперпозицию
трех последовательно выполненных отображений:
Wl = cz + d\ w2=—; w= — + bc~'ad w2; Ьс — айфО. B.22)
W\ С С
Представление B2) позволяет легко доказать первое основное
свойство дробно-линейного преобразования, которое присуще
только этому преобразованию и заключается в следующем: если
точка z описывает окружность на плоскости комплексного пере-
переменного z, то точка w на ш-плоскости описывает тоже окружность
или прямую линию.
Если же точка z описывает прямую линию, то w описывает пря-
прямую или окружность. Так как прямую линию мы условились счи-
считать окружностью бесконечно большого радиуса, то указанное
свойство можно сформулировать более кратко в виде следующей
теоремы.
168
Теорема 1.Дробно-линейное преобразование
окружность отображает в окружность.
В силу этого обстоятельства дробно-линейное преобразование
и называют также круговым преобразованием.
Переходя к доказательству, заметим, что первое и третье преоб-
преобразования B2) являются линейными: Wx=cz -\- d,w =— + • с~а щ,
С С
а любое линейное преобразование E) сводится к преобразованию
подобия, вращения и сдвига, каждое из которых окружность пере-
переводит в окружность, прямую — в прямую.
Преобразование w2 = —' как было доказано в § 33, также пере-
переводит окружность в окружность (или прямую линию), следова-
следовательно, согласно B2) и общее дробно-линейное преобразование A8)
обладает этим же свойством, так что теорема 1 полностью дока-
доказана.
Преобразование A8) содержит три произвольных комплексных
параметра, а именно отношения трех из коэффициентов а, Ь, с, d
к одному из них, так как числитель и знаменатель в A8) всегда
можно разделить на любой из коэффициентов а, Ь, с, d. Поэтому
мы можем определить преобразование A8), задав три каких-либо
дополнительных условия.
Например, мы можем потребовать, чтобы три заданные точки
2Ь 22, z3 плоскости z перешли в три заданные точки Wi, w2, w3
плоскости w. Легко проверить, что дробно-линейная функция,
осуществляющая данное преобразование, имеет следующий вид:
W\ W3 —■ Щ 2 — Z\
W — W2 W3 —
B. 23)
Действительно, решая это уравнение относительно w, получим
дробно-линейное преобразование вида A8). Далее, подставляя
z — zi и w = Wi, в формуле B3) и слева и справа получим нуль.
При подстановке другой пары соответствующих точек z = z3
и w = w3 в обеих частях получим единицу и при подстановке
z = 22 и w = w2 в обеих частях будем иметь бесконечность.
Отсюда видно, что дробно-линейное преобразование B3) дей-
действительно три заданные точки 2Ь 22, z3 преобразовывает в три
наперед заданные точки Wi, w2, w3. При этом, очевидно, построен-
построенное преобразование будет переводить окружность, однозначно
определяемую тремя точками 2Ь 22, z3, в окружность, однозначно
определяемую тремя точками wu w2, w3.
В дальнейшем мы будем преобразованием B3) неоднократно
пользоваться.
Воспользуемся введенным в § 33 понятием инверсии и докажем
второе основное свойство дробно-линейного преобразования.
Теорема 2. Точки, симметричные относитель-
относительно некоторой окружности С, отображаются
169
в точки, симметричные относительно окруж-
окружности Г, которая является образом окруж-
окружности С.
Покажем прежде всего, что пара симметричных относительно
окружности С точек М и N характеризуется тем, что пучок окруж-
окружностей, проходящих через эти точки, будет ортогональным к С
(т. е. каждая окружность пучка будет пересекать окружность С
под прямым углом).
Пусть Р — одна из точек пересечения с окружностью С радиуса
R какой-либо из окружностей С, проходящей через симметричные
точки М и N (рис. 31).
Так как, с одной стороны, произ-
произведение отрезков секущей ОМ ■ ON ра-
равняется квадрату касательной ОР к С,
а, с другой стороны, на основании сим-
симметрии точекМ hNотносительно окруж-
окружности С:
то радиус ОР есть касательная к С.
Следовательно, окружность С ортогональна к С. Очевидно,
что и наоборот: если пучок окружностей, которые проходят через
точки М и N ортогонален к С, то М и N будут взаимно симметричные
точки относительно окружности С.
Благодаря этому, если дробно-линейное преобразование ото-
отображает точки М и N в некоторые точки Mt и Nt, то пучок окруж-
окружностей, проходящих через симметричные точки М и N, отобра-
отображается в пучок окружностей, которые проходят через точки Мг
и Ni. Полученный пучок в силу свойства консерватизма углов при
конформном отображении будет ортогональным к окружности Г,
являющейся образом окружности С.
Следовательно, точки Mi и Ni будут взаимно симметричными
относительно окружности Г, что и требовалось доказать.
Очевидно, что теорема 2 так же, как и другие свойства преобра-
преобразования A8), справедлива и для простейшего дробно-линейно го
преобразования A1) w =— которое получим, положив в A8)
а = d = 0, b — с = 1. Отметим, что для этих значений коэффи-
коэффициентов условия A8') выполняются.
Неподвижные точки дробно-линейного преобразования находим
обычным путем, положив в A8) w = z. В результате приходим
к квадратному уравнению
z{cz-\- d) = az + b или cz1 + (d—a)z — b = 0,
корни которого A9) и будут оставаться неподвижными при преоб-
преобразовании A8). В частности, для простейшего дробно-линейного
170
преобразования A1), положив в A9) а ~ d = О, Ь — с = \, полу-
получаем прежний результат (см. § 33):
Пример. Рассмотрим дробно-линейное преобразование
w = ^\ B. 24)
и построим для него сетки, конформно-эквивалентные сетке декартовых координат
и сетке полярных координат.
Найдем, прежде всего, образ действительной оси у = 0. При
у = 0 величина z есть действительное число z = x, а тогда, согласно
B4), w будет также действительным числом:
w = "S " = 7"=Т ' B- 25>
т. е. действительная ось у — 0 переходит в действительную ось
и = 0 области а) и между точками этих осей устанавливается соот-
соответствие B5). Подставив в уравнения B4) или B5) значения
2, = - 1, ги = 0, zm = + 1, zIV = оо,
находим образы этих точек:
причем, поскольку направление обхода при конформном отобра-
отображении сохраняется, то верхняя полуплоскость z переходит в ниж-
нижнюю полуплоскость w (и наоборот, нижняя полуплоскость z пере-
переходит в верхнюю полуплоскость w). Действительно, пройдя всю
ось х в направлении точек I -^ II -> III -> IV (+ со) —> IV (— оо)_>
->■ I (рис. 32), мы все время оставляем слева верхнюю полуплос-
полуплоскость, а проходя в том же порядке в области w образы этих точек
I ->■ II -> III (— со) -> III (+ °о) -=► IV -> I, мы уже слева остав-
оставляем нижнюю полуплоскость. Отметим попутно, что поскольку
в теории функций комплексного переменного бесконечно удаленная
точка рассматривается как одна единственная точка полной (или
замкнутой) плоскости, то, удаляясь по любой прямой в бесконеч-
бесконечность, надо ее «замыкать», переходя на противоположный конец
этой прямой. Образом бесконечно удаленной точки 2IV = оо при
отображении B4) будет одна единственная точка
wiv = lim т=т = lim f = + l>
z~a> c ' z~a>\
Z
независимо от пути по которому г -> оэ. Совершенно аналогично
в области w мы все прямые должны «замыкать» через точку III
(w = оо), являющуюся образом единственной точки гщ = -f- 1.
171
Установим теперь, во что преобразуются прямые
х = const,
параллельные оси у. Семейство координатных прямых х = const
есть семейство окружностей (R =оо), проходящих через бесконечно
удаленную точку IV (z = оо), ортогонально к оси у = 0 (которую
мы также рассматриваем как окружность). Согласно теоремам
1 и 2 семейство х = const будет снова преобразовываться в семей-
семейство окружностей, проходящих через точку ui = wiv = + 1, ор-
ортогонально к оси v = 0, которая является образом оси у = 0.
Для однозначного определения каждой окружности этого семейства
достаточно определить еще одну ее точку щ,. В качестве точки
"г удобнее всего взять образ точки действительной оси z = х,
т. е. точки пересечения линии х = const с осью у = 0. Тогда, сог-
согласно B5),
Так как точки иг = + 1 и и2 лежат на диаметре искомой окруж-
окружности (в противном случае окружность не была бы ортогональна
оси v = 0), то координаты ее центра будут определяться равенствами
а* =-о-( + "*) = Т М + ;г=
а ее радиус Rx, поскольку все искомые окружности должны про-
проходить через точку иг = +1, будет
В результате, пользуясь только теоремами 1 и 2, мы нашли,
что каждая координатная линия х — const переходит в окружность
(u-ax)* + v* = R2x B.26)
с параметрами
Прямая л; = 1, для которой i?v = оо, отображается сама ц
себя, т. е. в прямую и = 1, проходящую через точки III и IV
(рис. 32).
При х > 1 все окружности семейства B6) располагаются
справа от прямой и = 1, при х < 1 —слева. Радиус Rx = оо
при л: — 1=0 быстро уменьшается с ростом абсолютного значе-
значения величины х — 1 и при \х — 1| -> оо Rx -> 0, так как правая
и левая части семейства окружностей B6) при ± х -> оо стяги*
ВЭЮТСЯ В ТОЧКу W\y = + 1. :
172
На рис. 32 каждая из окружностей B6) помечена соответствую-
соответствующим ей значением х = const и (для х = 0, ±1, ±2, ±3) изо-
изображена сплошной линией для полупрямых х = const, расположен-
расположенных в верхней полуплоскости у > 0 и пунктиром — для у < 0.
Параметры всех окружностей B6), изображенных на рис. 32, вы-
вычислены в табл. 7.
Аналогичным путем доказываем, что семейство координатных
линий
у = const,
параллельных оси х , отображается в семейство окружностей
(и — ayf + (у — byJ = Rl, B. 27)
1 1
" ~ \у\ ' а^~+' у~ ~~у'
ортогональных к прямой и = 1 и касающихся действительной
оси в точке Wi = + 1, т. е. в точке нх = + 1, их = 0.
Действительно, семейство прямых у = const проходит через
бесконечно удаленную точку z\y = с», ортогонально к прямой
х = 1. Следовательно, семейство окружностей B7) будет проходить
через точку щу = + 1, ортогонально к прямой ы = + 1, являю-
являющуюся образом прямой х = + 1. Поэтому центры всех окружно-
окружностей лежат на прямой и = + 1, т. е. ау = + 1, а для определения
fej, достаточно найти вторую точку w2 — образ точек прямой х = 1,
так как в качестве первой точки окружностей B7) можно взять
точку шх = a^iv = + 1, для которой «i = + 1 = ау, vx = 0.
Подставив 22 = 1 + iy в уравнение B4), имеем
™ _ 0 + '*) + 1 _ 2 ■
i
=1_г_, т.е. ыя=
Отсюда
1
что и требовалось доказать.
Окружности B7) изображены на том же рис. 32, а все необхо-
необходимые вычисления выполнены в табл. 7.
Таблица 7
л;
г/
Ry
ЬУ
+ 1,0
ОО
оо
+ ОО
0
0
+ 1,5
+2,00
+3,00
+2,0
+0,50
+0,50
+2,0
+ 1,00
+2,00
+ 1,0
+ 1,00
+ 1,00
+3,0
+0,50
+ 1,50
+0,5
+2,00
+2,00
±оо
0
+ 1,00
+0,25
+4,00
+4,00
—3,0
+0,25
+0,75
0
оо
оо
—2,0
+0,33
+0,67
—0,25
+4,00
—4,00
— 1,0
+0,50
+0,50
—0,5
+2,00
—2,00
0
+ 1,00
0
-1.0
+ 1,00
— 1,00
+0,5
+2,00
— 1,00
ОО
0
0
173
Легко проверить, что все окружности B7) ортогональны к се-
семейству окружностей B6), как и должно быть, поскольку сетка
декартовых координат х = const, у = const ортогональна.
На рис. 32 для большей наглядности показано, во что отобра-
отображается функцией B4) один из квадратов (двойная штриховка) и
один из прямоугольников (одинарная штриховка), образованных
координатными линиями. Заметим, что у этих криволинейных
фигур все четыре угла прямые. Отметим также, что единичная
окружность \z\ = 1, которая проходит через точки /Иь I, М3,
III, отображается в мнимую ось Ov области w.
Для решения второй части примера введем обозначения
z + 1 = /уг"*; г — 1 = г*»" B. 28)
и перейдем в области w к полярным координатам w =
(рис. 33).
Тогда согласно B4)
откуда
q = — ; * = Ф1 — ф2. B. 29)
Покажем, что функция B4) семейство лучей
Ф = const
отображает в семейство дуг окружностей, проходящих через точки
I (z = — 1) и III (г = +1), причем для точек, лежащих на оси
Оу, устанавливается соответствие:
y = _ctg^-. B.30)
Действительно, если точка г пробегает одну из таких окружно-
окружностей, то угол О все время будет сохранять постоянное значение
как вписанный угол, опирающийся на одну и ту же дугу I — III.
При прохождении через узловые точки 1B = — 1) и III (г = + 1),
значение этого угла ft — di переходит скачком в значение
Ог = я — •&!.
Рассматривая теперь ф2, как внешний угол треугольника I г III,
получаем соотношениеф2 = ф1 + (— О), полностью соответствующее
второй формуле B9). Знак минус, стоящий у О (см. рис. 33), гово-
говорит о том, что углы срх и ф2 в области г и угол Ь в области w надо
отсчитывать в противоположных направлениях.
Формулу C0) непосредственно получаем, рассматривая треу-
треугольники II М2 Ш и II Ме III в области г.
Соответствующие значения О и у, по которым построен рис. 33,
приведены в табл. 8. Отметим только, что луч Ф = 0, для которого
174
шм шн
у = оо, переходит в отрезок действительной оси х (+ 1, + оо, — оо,
— 1), расположенный вне точек I и III, а луч i? = я переходит
в отре&ок — 1 < х < + 1 (показанный на рис. 33 пунктиром).
Рис. 33.
Таким образом, как и на рис. 32, действительная ось Ох переходит
в действительную ось Ои и соответствие точек I, II, III, IVсохра-
IVсохраняется, конечно, прежним.
Координатные линии
| W | = Q = COnst,
176
Точки
0
У
Q
Zl=Xl
%
Mi
0
0
—1
—1
J
0
Mi
—45°
1+VT
1/3
—2,00
—0,50
— 1,25
+0,75
M3
—90°
+ 1
I 2—1
-(! + )/2")
1— Y~2
-V2
+ 1,00
ли
— 135°
V2—\
1/2
—3,00
—0,33
— 1,67
+ 1,33
мъ
+ 180°
0
1
oo
0
oo
oo
Ms
+ 135°
1—/2"
2
+3,00
+0,33
+ 1,67
+ 1,33
Тг
M7
+90°
—1
1 + ^2"
1 + J/2"
У~г—\
+ V2
+ 1,00
i б л ица
' M8
+45°
-d+/2)
3
+2,00
+0,50
+ 1,25
+0,75
8
Ли
0
oo
oo
+ 1
+ 1
+ 1
0
т. е. окружности, ортогональные к лучам i? =const, в силу конформ-
конформности отображения B4) перейдут в семейство окружностей, орто-
ортогональных к рассмотренному выше семейству окружностей. При
q = 1 согласно B9) будем иметь гх = г2, так что единичная окруж-
окружность | w\ = 1 перейдет в мнимую ось Оу, точки которой равно-
равноудалены от точек I (z = — 1) и III (г = + 1). Заметим также,
что точки I и III в областях w и z соответственно симметричны
относительно единичной окружности |ш| = q = 1 и ее образа —
оси Оу.
При q > 1 образы окружностей q = const будут расположены
справа от оси Оу и при q -> со они будут стягиваться к точке
III (z = + 1). При q < 1 все эти окружности расположатся слева
от оси Оу и при q ->■ 0 будут стягиваться к точке I (z = — 1).
На рис. 33 все окружности этого семейства помечены в области
z соответствующими значениями q = const.
Строго говоря, мы решили задачу обратную к поставленной в
условии примера, так как мы построили в области z сетку коорди-
координат (она называется биполярной), соответствующую полярной сетке
в области w. Но решая уравнение B4) относительно z, видим, что
обратная функция
z ==
W — 1
B.31)
тождественно совпадает с исходной функцией B4). Поэтому для
точного выполнения условия примера надо только на рис. 33 по-
поменять местами обозначения областей шиг.
Формула C1) легко позволяет определить две точки, достаточ-
достаточные для однозначного определения в области г каждой заданной
окружности q = const. Действительно, взяв в области ш на окруж-
окружности q = const точки щ = + q и w2 = — q, лежащие на поляр-
12 П. Ф. Фильчаков
177
ной оси (и на ее продолжении) и, подставив эти значения в C1),
находим:
Так как образ окружности q = const должен быть ортогонален
действительной оси Ох (которая является образом полярной оси),
то точки Zi и z2 лежат на диаметре, совпадающем с осью Ох и, сле-
следовательно, они однозначно определяют собою искомую окруж-
окружность. В частности, из C2) следует, что координаты центра (aQ; bQ)
и радиус RQ образа окружности q = const будут определяться ра-
равенствами:
«о = -у (zi + 2j) = -^Щ- ; bQ = 0;
Все значения, необходимые для построения на рис. 33 образов
окружностей q = const, приведены в табл. 8.
Для завершения примера остается еще определить неподвиж-
неподвижные точки отображения B4). Сравнив A8) и B4), имеем:
а = 6 = с = 1, d = — 1.
Подставив эти значения в A9) находим, что неподвижными
должны быть точки
Внося точки Zi и z2 в B4), убеждаемся, что их образы
». * 1 ± К 2 — 1 ±у 2
совпадают с исходными точками, т. е. остаются при отображении
B4) неподвижными.
Рассмотренный пример, на котором мы так подробно остано-
остановились, имеет вполне общее значение, так как любую дробно-линей-
дробно-линейную функцию A8) всегда можно представить в следующем виде:
где
178
Если g = 1, то, направив в области z действительную ось че-
через точки ?! и г2 и приняв в качестве единицы полудлину отрезка
ZiZa (рис. 34), мы и прийдем к случаю B4): гх = — 1; г2 = + 1.
Следовательно, общее дробно-линейное отображение A8) или
C4) путем надлежащего выбора системы координат в области z
всегда можно привести к двум последовательным отображениям:
Л А +1
w = gw*; w* =
г--*.*щ
Рис. 34.
т. е. общее дробно-линейное отображение A8) всегда можно пред-
представить как суперпозицию простейшего линейного отображения
w = gw* (сводящегося к преобразованию подобия и поворота) и ото-
отображения w* = _ ■.
Если в C4) полюс z2 совпадает с бесконечно удаленной точкой
(т. е. если с = 0, так что одной из неподвижных точек отображения
становится точка z2 = оо), то дробно-линейное преобразование
C4) переходит в линейное E): w =-§• z-\- -r . Если g = z2 = 0,
z\ — оо, gz-i = + 1, то преобразование C4) переходит в простей-
простейшее дробно-линейное преобразование A1).
Дадим еще простое геометрическое построение образа точки г
при отображении
w = i=^- = -U- е' (ф1~ф2) = oew. B. 34')
Соединив заданную точку г с точками Z\ и z2 получаем все необ-
необходимые нам величины: ги г2, —i? (рис. 34). Из точки Za проводим
вспомогательную единичную окружность. Тогда, проведя через
точку В прямую, параллельную стороне п, из подобия полученных
треугольников находим, что АВ = q, так как q : 1 = л : г%.
12* 179
Отложив на вспомогательной единичной окружности дугу
СВ' — — С В, проводим луч г2В'; сделав на этом луче из точки О
засечку радиусом q, мы и получим отображенную точку w.
При построении образа какой-либо другой точки z вспомога-
вспомогательная единичная окружность остается той же самой, так что
строим ее лишь один раз для любого числа точек z.
Тот же самый результат получим, проведя из точки О луч О по
известному углу — О = ср2 — ф1 и отложив на этом луче найденную
величину q, но это требует добавочных построений.
Заметим, что на рис. 34 плоскости w и z совмещены.
Совместив теперь точки z\ = — 1, Z2 = + 1 рис. 33 (изменив
в требуемом отношении его масштаб) с точками zx и z2 рис. 34,
получим сетку конформно-эквивалентную сетке полярных коор-
координат при более общем отображении C4').
Замечание. В частности, мы доказали выше, что геометрическое место
точек г, для которых отношение расстояний до двух заданных точек z\ и гг по-
постоянно:
г — г\
Q= \W\ =
= const,
является окружностью. Это составляет содержание известной теоремы Аполлония.
г —
Поэтому окружности семейства
ностями.
: const называют аполлониевыми окруж-
В заключение выведем расчетные формулы для осуществления
отображения A8) при любых комплексных значениях z.
Введем обозначения -,
г —2i _ (г — zi) (г — г2) _ \(х — xi) + i(y — 1/1)] [(* — хг) — i {у — г/г)] _
г — 22 B _ 22) B _ 22) {х — *2J + (у— г/2J
= X + iY. B. 35)
Разделяя в C5) действительные и мнимые части, а затем подста-
подставив C5) в C4) и выполнив умножение
w = (gi + ig*> (X + iY) = (giX - g2y) + i (giY +
получаем расчетные формулы B0), B0').
В частности, для отображения B4), для которого gi = 1, g2 =
= 0, zx = — 1, 22 = + 1 из формул B0) и B0') получаем:
« = (х + 1) х2 + yyl = 1 + 2x1; х\ = (х_^ + у2;
B.36)
Величины Х2, уг легко вычисляются на арифмометре в один .
прием без промежуточных записей. Для этого вычисляем (х — 1J+ ,
180
+ у2, переносим результат в установочный счетчик, вычисляем
величину, _П2 I г и умножив ее сначала на (х—1), а затем на у
получаем последовательно х\, у\. По х* у* легко находим и =
= 1 + 2x1; у = — 2У2.
Рекомендуем читателю проверить по формулам C6) ряд точек,
построенных на рис. 32 и 33 другим путем.
Перейдем теперь к рассмотрению наиболее интересных частных
случаев дробно-линейного отображения.
§ 35. ОТОБРАЖЕНИЕ ПОЛУПЛОСКОСТИ НА ПОЛУПЛОСКОСТЬ.
СИММЕТРИЗУЮЩЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Уточним понятия, которыми мы уже неоднократно пользова-
пользовались.
Часть плоскости г, лежащая выше или ниже действительной
оси х, называется соответственно верхней или нижней полупло-
полуплоскостью.
Границей и верхней и нижней полуплоскости будет являться
действительная ось х, уравнение которой
У = 0.
Внутренние точки верхней (нижней) полуплоскости опреде-
определяются из условия, что коэффициент мнимой части у координат
точек положителен (отрицателен).
Для того чтобы построить функцию, отображающую верхнюю
полуплоскость снова на верхнюю полуплоскость, необходимо по-
построить такую функцию, которая переводила бы действительную
ось х области z = х + iy в действительную ось и области w =
= и + iv.
Так как прямую линию мы условились рассматривать как
окружность бесконечно большого радиуса, то согласно § 34 искомое
преобразование должно быть дробно-линейным. В силу постав-
поставленных выше условий действительным z должны соответствовать
действительные же w, а следовательно, в общей формуле дробно-
линейного преобразования A8) все четыре коэффициента а, Ь, с, d
должны быть действительные числа.
Но этого мало, надо еще, чтобы при движении z в положитель-
положительном направлении по действительной оси (в сторону возрастания)
и w двигалось бы в том же направлении. В противном случае верх-
верхняя полуплоскость z будет переходить в нижнюю полуплоскость w.
Подставляя в формулу A8) z = х + iy и отделяя действительную
и мнимую части, получаем
x + iy) + d
_i_ i (ad ~ bc^i У
181
Отсюда легко установить, что рассмотренное преобразование
отображает действительную ось у = 0 на действительную ось v = О
и верхнюю полуплоскость у > 0 на верхнюю полуплоскость v > О
при условии
ad —be > 0 B. 37)
и верхнюю полуплоскость у > 0 на нижнюю полуплоскость v < О
при условии
ad—bc< 0. B. 37')
Итак, отображение верхней полуплоскости z на верхнюю по-
полуплоскость w осуществляется дробно-линейной функцией
+! B.38)
с любыми, вполне произвольными, действительными коэффициен-
коэффициентами, удовлетворяющими условию C7). Если же имеет место усло-
условие C7'), то верхняя полуплоскость z отображается на нижнюю
полуплоскость w.
Построенная отображающая функция будет единственной [134,
стр. 121—122].
В дальнейшем нам будет необходимо преобразование, перево-
переводящее четыре произвольные точки xlt x2, х3, х4 действительной оси
полуплоскости z в четыре попарно симметричные (относительно
начала координат) точки полуплоскости w.
Будем называть такое преобразование симметризующим.
Очевидно, что симметризующее преобразование является част-
частным случаем только что рассмотренного преобразования C8),
отображающего полуплоскость саму на себя.
Не ограничивая общности, будем искать преобразование, пере-
переводящее точки Xi, x2, х3, х4 полуплоскости z в следующие четыре
точки — Р, — 1, +1, +р полуплоскости w. Кроме того, будем
считать, что точки хх и xi симметричны: —xi = + Xj = ос. Это легко
достигнуть, выбрав начало координат в точке, делящей пополам
отрезок Х\Хц (рис. 35). Величина Р не может быть произвольной,
так что в рассматриваемом случае определяющих условий только
три:
w (xi) = — w (xt), w (х2) = — 1, w(x3) = + 1.
Искомое отображение будет определяться дробно-линейной функ-
функцией C8)
az-\- Ь
W =
сг+1 '
коэффициенты которой определяются указанными выше условиями.
Для простоты дальнейших выкладок мы положили d= 1, что
всегда можно сделать, разделив в формуле C8) числитель и знаме-
182
натель на d и обозначив для краткости отношения -г, -т , -г теми
add
же буквами а, Ь, с. Из соответствия точек 1 и 4 (см. рис. 35) имеем:
— Р(— ас+ 1) = —аа+6,
+ р (+ ас + 1) = + т + Ь,
откуда
Ъ — (фс, а = —,
и искомое преобразование при-
приобретает вид
fj (г + са3)
а(«+1) "
B. 39)
////^-////////Л/////
-1
/////A//t////h/fft ^
Полученное преобразован^ при
любых с и р оставляет точки
1 и 4 симметричными.
Определим теперь с и Р из1
соответствия точек 2 и 3.
Подставив в C9) значения z=
= xi и соответствующее ему ш» =
= — 1, а также значение z = х3 и соответствующее ему ш» = + 1,
получим два уравнения для определения с и {}:
— а(сх2+ 1) = р (х, + са2),
Рис. 35.
Разделив первое из них на второе, после несложных преобразова-
преобразований находим квадратное уравнение для определения с:
+ х3) + 2с (а2 + ед) + (х* + х3) = О,
откуда
С =
- (а» +
+
+ х3)
B. 40)
Знак у радикала мы должны были выбрать плюс, для того
чтобы в случае, когда точки хг и х3 исходной полуплоскости z
симметричны (т. е. когда—хъ = х3), получить с = 0, при котором
преобразование C9) превращается в линейное преобразование
подобия
как и должно быть в тривиальном случае симметризации полуплос-
полуплоскости z с четырьмя попарно симметричными точками
— Хх = Xi = a; — х^ = х^.
183
Определив с, находим из уравнения, полученного из соответствия
точек 3:
B. 40')
Итак, искомое симметризующее преобразование определяется
формулой C9), в которой коэффициенты с и Р вычисляются по фор-
формулам D0) и D0'), а величины — xi = Xt — а, хг, x3 заданы.
§ 36. ОТОБРАЖЕНИЕ ВЕРХНЕЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ
НА ЕДИНИЧНЫЙ КРУГ. ОТОБРАЖЕНИЕ ЕДИНИЧНОГО КРУГА
САМОГО НА СЕБЯ
В качестве второго частного случая дробно-линейного преобра-
преобразования рассмотрим отображение верхней полуплоскости на еди-
X. X. X,
Рис. 36.
ничный круг. Зададимся точкой верхней полуплоскости а = ш +
+ icti, переходящей в центр единичного круга w = 0 (рис. 36).
Согласно теореме 2 § 34 точка а = а± — га2, симметричная точке
а относительно действительной оси, должна перейти в точку w = со,
симметричную точке w = 0 относительно единичной окружности.
Поэтому искомое отображение должно иметь следующий вид:
w = k-
z —a
B.41)
где k — постоянный множитель, а = а^ + ш2, а = ai — ich — ком-
комплексные сопряженные числа.
Каково бы ни было k действительное или комплексное функция
D1) отображает верхнюю полуплоскость на некоторый круг ради-
184
уса R с центром вю = 0, так как точка w = оо должна быть сим-
симметричной точке w = .0 относительно окружности этого круга.
Подберем k так, чтобы круг был единичным. Для этого достаточно
потребовать, чтобы точка z = 0, принадлежащая границе полу-
полуплоскости, т. е. действительной оси, перешла в точку единичной
окружности \w\ — 1. Подставив значения z = 0 и соответствующее
ему \w\ = 1 в формулу D1), находим
1 = k
k\
Поэтому можно положить k = eia, так как |е'а| = 1 и окончатель-
окончательное решение поставленной задачи будет давать функция
где а — любое действительное число. Изменение числа а вызывает
поворот круга относительно центра w = 0.
Для точек действительной оси z = x получаем
w = e , где tg<p =—— — ; а = ai + ta2; B.41)
(x — axJ — a|
причем согласно D1') точка z = оо переходит в точку w = eia,
т. е. при z = х = оо имеем tgф = 0; ф = 0. Тогда при х — а\
будет tg9 = 0; ф = я, а при х = аг + а^ согласно D1") tgф = оо;
л
По свойствам дробно-линейных отображений пучку радиусов
круга \w\ < 1, которые можно рассматривать как дуги окружно-
окружностей, проходящих через точки w = 0 и w = со соответствуют,
принадлежащие верхней полуплоскости, дуги окружностей, про-
проходящих через точки а = аг + ia2 и а = аг — ia2.
Семейству окружностей с центром в точке w = 0 соответствуют
окружности, имеющие а и а своими сопряженными точками (рис. 36).
Перейдем теперь к выводу функции, отображающей единичный
круг сам на себя.
Зададимся произвольной точкой z = а круга \ z\ < 1, перехо-
переходящей в центр w = 0 круга \ w\ < 1. Точка а* = — , симметричная
а
с а относительно единичной окружности, должна переходить в
точку w = со. Следовательно, искомое отображение должно иметь
вид:
,2 — а , г — а
W = к р = Й1 — ,
2_i- 1-oz
а
где &i = — ak есть некоторая постоянная. Подберем k± так,
чтобы круг в плоскости w был единичным. Для этого достаточно
185
потребовать, чтобы точка z = 1 перешла в некоторую точку еди-
единичной окружности ] w\ = 1, т. е. чтобы было
1 —а
1 = 1 V
\—а
Обозначая, как обычно, а = ai + iaz, легко убедиться, что числа
1 — а =A — аг) — ш2, 1 — а = A — аг) + ich,
являются комплексными сопряженными числами, модули которых
всегда между собой равны (см. гл. I, § 3). Поэтому
1 —а
1 — а
1-aj
. 1 —а!
= 1 и тогда \ ki\ = 1.
Следовательно, можно принять ki = ёа и функция, отображающая
Рис. 37.
единичную окружность z на единичную окружность w, приобре-
приобретает следующий окончательный вид:
ш г — а
w = e
где а— любое действительное число.
Так как1
->
B. 42)
то а геометрически означает угол поворота при отображении D1)
в точке а:
На рис. 37 цифрами отмечены линии, соответствующие друг
другу при отображении D1). ',
\ dw ~\ dw
1 Символ —j— означает, что берется значение производной -т— в точке
г = а.
186
§ 37. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
Целая степенная функция определяется равенством '
w = zn; n > 2, B. 43)
где п — целое положительное число, большее чем единица.
Обратная функция:
z = Ifw. B. 44)
Особенности: полюс л-го порядка в точке z = оо; обратная
функция D4) имеет две точки разветвления w = 0; w = оо.
Нуль: «-кратный нуль в точке z = 0.
Отображение: угол z-плоскости с вершиной в точке z = 0 и вели-
величиной раствора а отображается на такой же угол ю-плоскости, но
с раствором па. В частности, угол а = — отображается на полную
ю-плоскость; полная z-плоскость отображается на я-листную рима-
нову поверхность («-кратную плоскость) с точками разветвления
w = 0 и w = со. Сетка полярных координат г = const, ф = const
плоскости z = retf отображается снова в сетку полярных коор-
координат q = const, ■& = const плоскости w = де№.
Конформность отображения нарушается только в точках z = 0
и z = оо.
Неподвижные тонки: неподвижными остаются точки z = 0,
z = со, а также точки, являющиеся корнями двухчленного урав-
уравнения zn~l = 1, т. е. точки zk, делящие единичную окружность
на п — 1 равных частей:
z*= COS^=1 + r'sin^=r: n>2> k = 0, I, ... , n-2. B.45)
Расчетные формулы: в полярных координатах
q = Г«; <& = Лф; B. 46)
в декартовых координатах
-£lgr2; B.47)
= жр.
187
Рассмотрим теперь более подробно отображение, осуществляе-
осуществляемое целой степенной функцией.
Функция D3) имеет производную
w' = nzn-1,
отличную от нуля во всякой конечной точке плоскости, кроме
точки z = 0. Следовательно, во всякой такой точке сохраняются
углы при отображении с помощью степенной функции D3).
Значениям z — 0 и z = со соответствуют значения ш = 0 и
w = со, но консерватизм углов в этих точках нарушается.
Действительно, введем полярные координаты
z = rel<f>; w — ge'#;
тогда из равенства D3) непосредственно получаем равенства D6):
q = г", # = щ.
Из второго равенства D6) видно, что углы в точке z = 0 не сохра-
сохраняются, а увеличиваются в п раз.
Консерватизм углов нарушается и в точке z = оо, потому что
функция j— в окрестности точки z=0 совпадает с данной функ-
wb)
цией.
Далее из соотношений D6) видно, что окружности г = const
с центром в нулевой точке плоскости z переходят на плоскости
w также в окружности \w\ = о радиуса q = rn; лучи, выходящие
из нулевой точки (ф = const), будут переходить также в лучи (■& =
= «ф = const), т. е. сетка полярных координат при преобразовании
D3) переходит снова в сетку полярных координат.
Возьмем теперь на плоскости переменного z угол величины — ,
образуемый положительной действительной осью и полупрямой,
выходящей из нулевой точки (рис. 38, п ■= 3).
Как вытекает из равенств D6), этот угол 0 < ф < — степенной
функцией будет отображаться на верхнюю полуплоскость перемен-
переменного w. Действительно, при ф = 0 угол # = 0, при ф = ~ угол
# = Пф — Я.
Отметим, что полная плоскость z функцией D3) будет отобра-
отображаться на я-листную поверхность Римана (см. гл. I, § 30).
Неподвижные точки рассматриваемого отображения найдем,
как обычно, положив в D3) w = z, в результате чего и прийдем к
формуле D5), (см. гл. I, § 4).
188
Комбинируя дробно-линейную функцию со степенной, можно
получить ряд новых отображений, наиболее типичные из которых
мы рассмотрим в качестве примеров.
Ю
Пример 1. Отобразим полукруг с центром в точке г =. О и радиусом г = 1
на верхнюю полуплоскость.
Отобразим сначала диаметр полукруга (т. е. отрезок—1, -4-1) в поло-
положительную действительную полуось так, чтобы точкам г = — 1 и г = 4-1 соответ-
соответствовали точки w = 0 и w = со.
В качестве отображающей функции можно взять (см. § 34)
шх = --£^-, B.48)
так как при изменении г от ■—1 до -ф-1 функция шх пробегает, возрастая, все зна-
значения от 0 до -ф- оо.
Рис. 39.
Посмотрим, во что эта функция будет переводить единичную полуокружность.
Вдоль этой полуокружности г = е"Р (рис. 39), поэтому из формулы D8) имеем
_ в'"" + 1
Wl ~ е'Ч> — Г
Учтя, что —1 = р и воспользовавшись формулой A. 128), § 20, находим
Когда точка г пробегает полуокружность от -^1 до —1, то ф изменяется от 0 до л,
следовательно, ctg5L будет изменяться от оо (в точке ^Н) до нуля (в точке —1)
и величина дах будет изменяться вдоль положительной мнимой полуоси от гоо до 0.
189
Как уже отмечалось, в качестве бесконечно далекой точки мы
рассматриваем одну единственную точку —■ северный полюс чис-
числовой сферы, которой соответствует на плоскости комплексного
переменного окружность бесконечно большого радиуса (см. гл. I,
§ 29). Поэтому, «уходя в бесконечность» в каком-либо направлении,
мы можем «вернуться из бесконечности» по любому другому направ-
направлению. Так, в рассматриваемом примере при z->l величина ^-^-со.
Но если z -э- 1 по действительной оси, то ш>1-> <х> также по дейст-
действительной оси, если же z -> 1 по дуге полуокружности, то ш>1-> оо
по мнимой оси. Поэтому на рис. 39 точке В в областях щ и w со-
соответствует по две точки, которые мы условно обозначили (+ °°),
(/ со ), (— со), хотя это в действительности одна и та же бесконечно
удаленная точка.
Заметим, что когда точка z описывает полуокружность в поло-
положительном направлении, то область полукруга остается слева
(рис. 39). Из предыдущих формул легко видеть, каково будет на-
направление соответствующего обхода на плоскости i»i. На рис. 39
оно обозначено стрелками. Так как отображенная область долж-
должна также находиться слева при обходе переменным ш полуоси
0и\ и полуоси Оvi, то отсюда заключаем, что наш полукруг с по-
помощью функции D8) отобразится на координатный угол плоскости
ш>1. Для того чтобы преобразовать полученный координатный угол
(равный 5_) в верхнюю полуплоскость, его раствор надо удвоить,
т. е. воспользоваться степенной функцией при п = 2:
w = w\.
Объединяя полученные результаты, находим искомую функцию,
отображающую полукруг на верхнюю полуплоскость:
W =
г— 1
B. 49)
При симметричной нормировке, определяемой соответствием
точек
Точки
Область г
Область w
А
. 1
— 1
С
i
оо
В
+ 1
+ 1
аналогичным путем получим следующую отображающую функцию:
2г B.50)
w =
Пример 2. Отобразим сектор (
плоскость.
190
1, 0<<р< — на верхнюю полу-
т
Преобразование wi = гт будет отображать сектор на полукруг единичного
радиуса, который лежит в верхней полуплоскости (рис. 40). Поэтому искомой
функцией будет
B. 51)
\ гт-\
Рис. 40.
Пример 3. Отобразим область, заключенную между двумя пересекающи-
пересекающимися под углом — окружностями (так называемый двуугольник с углом —), на
т т
верхнюю полуплоскость.
Пусть г0 и zi — вершины двуугольника. Дробно-линейная функция
w% = ■
— z0
г— гх
х о
Рис. 41.
отобразит точки г0 и z% в точки хю\ = 0 и wi = оо, дуги окружностей — в полу-
полупрямые, которые выходят из начала координат, а двуугольник на внутренность
угла с вершиной в начале, величина которого равна по-прежнему —, так как
т
производная _— в точке г0 отлична от нуля (рис. 41). Преобразование
отобразит этот угол на некоторую полуплоскость. Умножив шг на е^а, где а зависит
от размещения двуугольника, можно достичь того, что эта полуплоскость станет
верхней полуплоскостью. Следовательно, искомой функцией будет
Z—Zi
B. 52)
191
В частности, если ось двуугольника в области г направлена вдоль мнимой оси,
то а = 0 и тогда получим
., . - B-52')
Остановимся теперь на частном случае степенной функции при
п = 2, который очень наглядно иллюстрирует все ее свойства.
Полагая в D3) п = 2 и разделяя действительные и мнимые
части, имеем
w = z2 = (х + iyf = х2 — у2 + 2ixy
или
и = х2 — у2; и = 2ху. B. 53)
Отсюда следует, что сетка декартовых координатных линий и =
= const, v = const области w переходит в ортогональную сетку
равнобочных гипербол (рис 42):
х2 — у2 = и = const; ху = -| = const.
При этом биссектриса ОЕ первого квадранта z-плоскости
для которой ф = -г переходит в положительный отрезок оси Ov,
для которого ® — -q> биссектриса ф = -у- я — в отрицательный от-
отрезок оси Ov, первый квадрант ВОС z-плоскости (ф = -к-) пере-
переходит в верхнюю полуплоскость w- плоскости (■& = я), второй
квадрант BOA —■ в нижнюю полуплоскость, а верхняя полуплос-
полуплоскость z переходит в полную плоскость w, но с разрезом АОС. Гра-
Граница верхней полуплоскости АОС переходит в разрез АОС, иду-
идущий вдоль положительной полуоси Ои, и для того чтобы отобра-
отображение E3) было однозначным, точки, лежащие на различных бере-
берегах разреза, мы должны рассматривать как различные точки в об-
области w, которым в области z действительно соответствуют различ-
различные точки, например точки Л и С на рис.42. Этим свойством обла-
обладают все точки положительной полуоси Ои, кроме точек разветвле-
разветвления w — и = 0, w = и = оо, каждой из которых соответствует
только одна точка области z, а именно z = 0 и z = оо.
Все остальные точки w - плоскости, кроме точек разреза АОС,
дают уже однозначное соответствие и, в частности, точки, располо-
расположенные на отрицательной полуоси Ои, однозначно переходят в точки
мнимой полуоси х = 0; у > 0, например точка В на рис. 42.
Смысл термина «точки разветвления» раскрывается наиболее
полно, если обратиться к гидромеханической интерпретации функций
комплексного переменного, согласно которой каждую аналитиче-
аналитическую функцию можно рассматривать как комплексный потенциал
некоторого потока идеальной несжимаемой жидкости (гл. III, §46).
Функция w = z2 есть комплексный потенциал для потока, обте-
обтекающего каждый из квадрантов области z. При этом линии v= const
192
будут линиями тока, а линии и = const — эквипотенциальными ли-
линиями (линии и и v можно также поменять ролями, о чем будет ска-
сказано в гл. III). При отображении E3) поток, обтекающий первый
квадрант, переходит в поток, обтекающий в верхней полуплоскости
w прямолинейный разрез ОС, в силу чего все линии тока выпрям-
выпрямляются, переходя в координатные прямые v = const. Линия тока,
совпадающая с осью Оу, достигнув твердой стенки АОС, разветв-
разветвляется на две линии тока О А и ОС, образы которых в плоскости w
также разветвляются в точке w = 0 на две струи, обтекающие раз-
разрез и соединяющиеся снова только во второй точке разветвления
W = оо.
Полную комплексную плоскость z, как уже отмечалось, функ-
функция w= z2 отображает на дважды пробегаемую полную оьплоскость.
Поэтому для того чтобы получить однозначное отображение, эти
две ш-плоскости надо разрезать по действительной оси и склеить
их в двулистную риманову поверхность аналогично рис. 25 § 30.
Эта же функция w = z2 отображает область, ограниченную
одной из гипербол v = const, например, гиперболой DEF, на полу-
полуплоскость, расположенную слева от прямой DEF в области w.
При этом каждый из криволинейных квадратов будет переходить
в прямолинейный квадрат, как например квадраты, заштрихован-
заштрихованные на рис. 42.
Следовательно, функция
w1 = w — 4/ = z2
будет отображать область, расположенную слева от гиперболы
DEF на верхнюю полуплоскость шх. Воспользовавшись теперь
результатами § 36, легко получить функцию, отображающую об-
область, расположенную внутри одной из ветвей гиперболы на внут-
внутренность круга.
Рассмотрим еще обратную задачу и найдем во что переходит
при отображении w = z2 сетка декартовых координат х = const,
у = const области z.
•3 П. Ф. Фильчаков
193
Из второго уравнения E3) имеем у = ^ или х = £-. Подставив
эти значения в первое уравнение E3) и считая сначала х = const,
а затем у = const, после очевидных упрощений получаем:
и2 = 4х2(х2 — и) для х = с — const;
и2 = 4у2 (ы -f у2) для у = с = const. B- 54*
Оба семейства E4) в координатной системе и, v являются семей-
семействами софокусных парабол (с параметрами х или у), ось которых
совпадает с осью Ои, а фокус расположен в точке w = 0. Во всех
точках плоскости w, отличных от точек w = 0 и w = со, параболы
этих семейств пересекаются под прямыми углами, образуя орто-
ортогональную параболическую сетку (рис. 43).
Поэтому любой квадрат из области z, граница которого не со-
содержит точки z = 0, перейдет в криволинейный квадрат области
w, как, например, дважды заштрихованные квадраты на рис. 43.
В точке же z = 0 конформность отображения нарушается, и поэтому
угол / — 0 — 1 (ф = -5) квадрата, заштрихованного один раз,
переходит в отрезок действительной оси Ои, т. е. увеличивается
в два раза (■& = я). Остальные три угла сохраняют свое прежнее
значение у. Полуполоса х = ±2; у > 0 переходит во внутренность
пунктирной параболы с пометками х=+2их = — 2, имеющей
разрез вдоль действительной оси от вершины (образа точек х =
= + 2, у = 0 их = —2, у = 0) до точки разветвления w = 0 (об-
(образа точки z = 0), так что и в этом случае угол в точке z = 0 (q> =
= я) в области w удваивается, принимая значение ■& = 2л. Полу-
Полуплоскость у > с, например, у> 1, переходит во внешность сплош-
сплошной параболы с пометкой у = с = 1. Полуплоскость у > 0 ото-
отображается на полную плоскость w с разрезом вдоль действительной
полуоси v = 0, ы > 0.
194
Для более полного представления об отображении, осуществляе-
осуществляемом функцией E3), которую мы теперь запишем в виде
w = z2; q = г2; Ъ = 2ф,
B.55)
отметим, что единичную окружность, касающуюся мнимой оси
в точке z = 0,, уравнение в полярных координатах которой
г = cos ф, B. 56)
эта функция отображает в кардиоиду
е = г2 = cos2 ф = cos2 -|- или q = 4- A + cos 0). B. 57)
Рис. 44.
Рис. 45.
Согласно принципу соответствия границ (см. § 40), функция
E5) осуществляет конформное отображение внутренности окруж-
окружности E6) на внутренность кардиоиды E7). Точка z = 0 перейдет
в точку w = 0, которая для кардиоиды является точкой возврата,
так что угол в точке z = 0 (ф = я) удвоился и принял для точки
w = 0 значение ■& = 2я. Все остальные точки окружности E6)
переходят в обычные точки кардиоиды (рис. 44). В частности точки
V~~2 1
г = —g— , ф = ±45° переходят в точки Q —-гр Ф = ± 90°, точка
г=+1, ф = 0 — в точку q = + 1,
(q = г\ Ъ = 2Ф).
Обратная функция
= 0, точка (г, ф) — в точку
B.58)
аналогичную единичную окружность q = cos ■& в области w пере-
переводит в ветвь лемнискаты г = [ Q = V cos ■& или
г = ]/cos 2ф,
B. 59)
а внутренность этой окружности отображает на внутренность пра-
правой ветви лемнискаты (рис. 45).
13*
195
В общем случае при любом действительном т, функция
w — z™, q = гт, ■& = тф,
которую можно определить как
w = ет log г = rm (cos тф + i sin тф),
,\
Si
-+- -Ч -• 4- --+ -- .-/--+ -
"/
-J -2 -/ О +J *2 *3
B.60)
B. 60')
Рис. 46.
отображает угол 0 ^ ср < а на угол 0 ^ ■& =S та, который будет
больше исходного угла, если т>1, и меньше исходного угла,
если т < 1 (рис. 46). В частности, полуплоскость z @ =S ф $ я)
отображается функцией F0) на. угол 0 ^ Ф %тя в плоскости w и,
196
наоборот, угол 0 ^ ф =$ — отображается на верхнюю полуплоскость
w. Поэтому примеры 2 и 3, рассмотренные нами для целых значе-
значений т = п, остаются в силе и при любом действительном т.
Функция F0) называется общая степенная функция. Расчетные
формулы для общей степенной функции согласно F0') получим,
произведя лишь замену п = т в расчетных формулах D6), D7)
для целой степенной функции D3).
Рис. 4,.
В табл. 9 выполнены все вычисления, необходимые для построе-
построения рис. 46 и 47, на которых изображены сетки, полученные в ре-
результате отображения общей степенной функцией F0) сетки декар-
декартовых координат х = const, у = const (масштаб на рис. 47 уменьшен
в полтора раза).
При вычислении по формулам D7) величину q (кроме нескольких
частных случаев, например т = 0,5; т. = п = 2) легче всего опре-
определять потенцированием, найдя предварительно lgg = mlgr. При
этом, поскольку через х и у рационально выражается величина
г2 = х2 + у2, а не г = ]/х2 + г/2, то удобнее пользоваться форму-
формулой
197
которая и указана в расчетных формулах D7).
1,0
о
0,5
1,0
1,00
1,25
2,00
lg/
0
0,09691
0,30103
tg<P
0
0,50000
1,00000
0
0,46365
0,25я
/я=0,75;
0
0,03634
0,11289
1,0000
1,0873
1,2968 О
О
0,34774
,1875я
sinO
О
0,34077
cosO
1
0,94015
2,0
О
0,5
1,0
1,5
2,0
4,00
4,25
5,00
6,25
8,00
0,60206
0,62839
0,69897
0,79588
0,90309
О
0,25000
0,50000
0,75000
1,00000
о
0,24498
0,46365
0,64350'
0,25я
0,22577
0,23565
0,26211
0,29846
0,33866
1,6818
1,7205
1,8286
1,9882
2,1810
О
0,18373
0,34774
0,48263
0,1875я
О
0,18270
0,34077
0,46411
1
0,98317
0,94015
0,88578
3,0
О
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
9,00
9,25
10,00
11,25
13,00
15,25
18,00
0,95424
0,96614
1,00000
1,05115
1,11394
1,18327
1,25527
О
0,16667
0,33333
0,50000
0,66667
0,83333
1,00000
О
0,16515
0,32!75
0,46365
0,58800'
0,69474
0,25я
0,35784
0,36230
0,37500
0,39418
0,41773
0,44373
0,47073'
2,2795
2,3030
2,3714
О
0,12386
0,24131
2,4785 0,34774
2,6165
2,7780
2,9562
0,44100
0,52105
0,1875я|
О
0,12355
0,23898
0,34077
0,42685
0,49779
1
0,99234
0,97103
0,94015
0,90432
0,86730
Все остальные вычисления ясны из табл. 9, в которой приведены
(только для х = 1; 2; 3) все необходимые вычисления для т = 0,75
и основные результаты для т = 1,25 и т = 1,50. Табл. 9 мы вы-
вычислили с точностью, которая часто встречается при решении тех-
технических задач. Для построения рис. 46 и 47 вполне достаточно
было бы получить результат с тремя десятичными знаками. Реко-
Рекомендуем читателю по образцу табл. 9 выполнить подробные вычис-
вычисления для т = 1,25 и т = 1,50.
Особенно просто выполняются вычисления для лучей ф = 0
и ф = j, когда х = у. Для построения образов точек этих лучей
достаточно найти только величину q, так как эти точки лежат на
лучах ■0 = 0 (так что q = и) и ■& = —г- .
Для построения рис. 46 и 47 достаточно вычислить значения
узловых точек в первом полуквадранте 0 ^ ф ^ —. . Отразив зер-
зеркально полученную сетку в луче ■& = -j- (который является обра-
образом луча ф = -г-), получаем сетку, соответствующую первому квад-
„ тп
ранту z, после чего второе зеркальное отражение в луче v = ~^-
(соответствующего мнимой оси Оу) дает полную искомую сетку.
Для наглядности на рисунках отмечены штриховкой один из квад-
198
—m=0,375
и
1,0000
1,0222
—
1,6818
1,6915
1,7191
1,7611
—
2,2795
2,2854
2,3027
2,3301
2,3662
2,4093
—
V
0
0,3705
—
0
0,3143
0,6231
0,9227
—
0
0,2845
0,5667
0,8446
1,1169
1,3829
—
m=l,25;
e
1,0000
1,1497
1,5422
2,3784
2,4703
2,7344
3,1436
3,6680
3,9482
4,0164
4,2170
4,5391
4,9684
5,4896
6,0890
0
0,5796
0,3125л
0
0,3062
0,5796
0,8044
0,3125я
0
0,2064
0,4022
0,5796
0,7350
0,8684
0,3125л
1
и
1,0000
0,9619
—
2,3784
2,3553
2,2878
2,1803
—
3,9482
3,9311
3,8805
3,7979
3,6857
3,5465
625
l П
V Q
0
0,6296
—
0
0,7447
1,4975
2,2646
—
0
0,8233
1,6507
2,4859
3,3317
4,1903
—
1,0000
1,1822
1,6818
2,8284
2,9600
3,3283
3,9528
4,7568
5,1962
5,3040
5,6234
6,1428
6,8463
7,7171
8,7389
Т аб л и
=1,50;
0
0
0,6955
0,375я
0
0,3675
0,6955
0,9653
0,375я
0
0,2477
0,4826
0,6955
0,8820
1,0421
0,375я
1 •
и
1,0000
0,9076
—
2,8284
2,7624
2,5553
2,2500
—
5,1962
5,1421
4,9811
4,7161
4,3516
3,8925
—
ца 9
750
V
0
0,7575
0
1,0634
2,1326
3,2500
—
0
1,3005
2,6099
3,9360
5,2731
6,6635
—
ратов сетки и его зеркальные отражения в биссектрисе первого квад-
квадранта и мнимой оси области z, а также их образы в плоскости w.
Рис. 46 и 47 вместе с рис. 42 (на котором, поменяв ролями z
и w и ограничиваясь верхней полуплоскостью, получим картину
для т = 0,5) и рис. 43 дают полное представление об отображении,
осуществляемом как целой, так и общей степенной функцией.
Точки z = 0 и z=l остаются неподвижными при любом т.
(а не только при целом т = п); конформность нарушается только
в точке г= 0 (и z= оо), в которой угол ср = а переходит в угол
Ф = та, во всех же остальных точках квадраты сетки переходят
в криволинейные квадраты, сохраняя во всех своих вершинах
углы -у. Отметим также, что в области, расположенной внутри еди-
единичной окружности | z | < 1, при т < 1 происходит растяжение,
а при т > 1 — сжатие, в то время как для точек, расположенных вне
единичной окружности \z\ > 1, картина обратная.
§ 38. ФУНКЦИЯ ЖУКОВСКОГО
Функцией Жуковского называется рациональная функция
199
Обратная функция: не принадлежит к тому же типу и будет
функцией иррациональной
z=w + Vw2— 1. B. 62)
Особенности: простые полюсы в точках z = О, z = со ; обрат-
обратная функция имеет две точки разветвления w = ^ 1.
Нули: два простых (однократных) нуля в точках z = ± г.
Отображение: внешность единичного круга (так же как и его
внутренность) отображается взаимно однозначно на внешность
отрезка (— 1, +1) действительной оси Ои, т. е. на полную ш-плос-
кость с разрезом (— 1, +1). Полная z-плоскость отображается
на двулистную риманову поверхность, склеенную по разрезу
(— 1, +1). Единичная окружность \z\ = 1 отображается взаимно
однозначно в дважды проходимый отрезок (— 1, +1)- Сетка
полярных координат z-плоскости переходит в ортогональную
сетку конфокальных эллипсов и гипербол. Конформность нару-
нарушается только в точках z = ± 1, в которых w' — — 11 г) = 0.
Неподвижные точки: неподвижными остаются точки z = ± 1;
z = со.
Расчетные формулы:
Ц±у г* = х* + у\ B.63)
Функция Жуковского, как вытекает из равенства F1) будет
аналитической на всей плоскости z и регулярной во всякой об-
области, которая не содержит точек z = 0 и z = >. , являющихся ее
простыми полюсами.
Положив z = гёч> в уравнении F1) и учтя формулы A.114),
A.114') § 20, находим
w= u + tv — -w [re ф+ — e
= y Ir (cos ф + i sin ф) + — (cos q> — i sin фI.
Отсюда, отделив действительные и мнимые части, имеем
и = -jlr + — j соэф; и=^(г )sin9. B.64)
Представив эти уравнения в виде:
" Р 5Шф,
200
а затем возведя их в квадрат и сложив, мы исключим из системы
уравнений F4) переменную ф. В результате получаем уравнение
линий г = const в области w:
или
и2 v2
-—--j = 1; г = const, B.65)
где
''+4-); ^ = 4fr--r); ar+br = r, r>\. B.65')
При любом фиксированном значении г = const (г > 1), уравне-
уравнение F5) есть уравнение эллипса с осями Or, br, фокусы которого
расположены в точках ± 1, так как
т. е. уравнение F5) есть уравнение однопараметрического семей-
семейства эллипсов, являющихся в области w образами семейства окруж-
окружностей г = const.
Параметром в уравнении F5) является величина г.
Исключив аналогичным путем из системы уравнений F4) пере-
переменную г, получим уравнение семейства линий ф = const в облас-
области w:
U2 V2 1 / . 1 \2 1 / 1 \2
cos2 ф sin2 ф" 4 I /" / 4l r
"" 4 г + "Г /1 г г ~
ИЛИ
= 1; ф = const, B. 66)
ф Ф
где
— ~7Ы=\. B.66')
Уравнение F6) есть уравнение однопараметрического семей-
семейства гипербол с осями а^, Ь9, фокусы которых ± с,, = ± 1 совпа-
совпадают с фокусами семейства эллипсов F5).
Величина ф в уравнении F6) играет роль параметра и каждая
конкретная гипербола семейства F6) является в области w обра-
образом заданного луча ф = const области г.
201
Следовательно, сетка полярных координат г = const, ф = const
области z отображается функцией Жуковского в ортогональную
сетку конфокальных эллипсов F5) и гипербол F6), совпадающие
фокусы которых находятся в точках w = ± 1-
На рис. 48 построены эти сетки для случая отображения внеш-
внешности единичного круга \z\ > 1, т. е. при условии г> 1, а в
r * и=-я-' <f- я'1
Рис. 48.
табл. 10 вычислены по формулам F5) и F6) соответствующие зна-
значения осей а и Ь для семейств эллипсов г = const и семейств гипер-
гипербол ф = const.
Сама единичная окружность \г\ = г = 1 переходит в эллипс,
у которого аг = 1; Ьг = 0, т. е. в разрез (— 1, +1) действительной
оси области w. При этом для однозначности отображения образы
верхней полуокружности @ < Ф < + я) мы должны отожде-
отождествить с точками верхнего берега разреза, а образы нижней полу-
полуокружности (—я < ф < 0) — с точками нижнего берега разреза.
В частности, точки z = ± i переходят согласно F1) в точки w =
= y (± i; + -тгЛ = ± \ A — 1) = ± 0, лежащие на верхнем и
нижнем берегах разреза, а точки z = ± 1 переходят в точки w =
= J_i _j_ i _| -\= -j- 1, т. е. остаются неподвижными. Точки верх-
верхней полуплоскости у > 0 при г > 1 переходят в точки верхней полу-
полуплоскости v > 0. По мере увеличения г эксцентриситет эллипсов F5)
1 2л
е = — =
202
стремится к нулю и эллипсы все больше и больше приближаются
к окружностям, причем
i V 4) \ B. 67)
lira ar = lim br = lira -i- (V ± 4) = \ r.
Быстрота приближения аги br к их предельным значениям хо-
хорошо видна из табл. 10, согласно которой, например, при г = 25
1
имеем а, = -тг i
6г=-^г —0,02.
Таблица 10
Линии r=const; 0<ф<2я
г
К
1,000
1,000
0
2,000
1,250
0,750
3,000
1,667
1,333
4,000
2,125
1,875
5,000
2,600
2,400
10,000
5,050
4,950
15,000
7,533
7,467
20,000
10,025
9,975
25,000
12,520
12,480
Линии tp=const:
0
1,000
0
±22°,5
+0,924
±0,383
±45°,0
+0,707
±0,707
±67°,5
+0,383
±0,924
±90°,0
0
±1,000
±112°,5
—0,383
±0,924
±135°,0
—0,707
±0,707
±157°,5
—0,924
±0,383
±180°,0
—1,000
о
Этот же результат непосредственно получим, определив произ-
производную для функции F1):
if it
B. 68)
B. 68')
и найдя затем ее значение в точке z = оо:
W = тт.
» 2
Отсюда следует, что коэффициент растяжения (равный модулю
производной; см. § 31) для отображения F1) на бесконечности ра-
равен 1/2, что полностью совпадает с результатами, выраженными
формулой F7). Для большей наглядности полученного результата
масштаб на рис. 48 в плоскости z поэтому и взят в два раза мень-
меньшим, чем масштаб в плоскости w.
Отметим теперь, что преобразование
1
1
B. 69)
переводит функцию F1) саму в себя, т. е. оставляет инвариантной
* 1
W = -7Г
203
В таком случае две любые точки z и — функция Жуковского
будет отображать в одну точку w = у (z H ) плоскости w. Так
как простейшая дробно-линейная функция F9) переводит внеш-
внешность единичной окружности в ее внутренность, то результат,
представленный на рис. 48, легко распространить на случай ото-
отображения внутренности единичной окружности \z\ <^ 1. Действи-
Действительно, окружности г = const и — = const при любом г будут пере-
переходить в один в тот же эллипс ю-плоскости, а луч <р = const при
г < 1 будет переходить в гиперболу с теми же самыми осями сЦр,
Ьф, что и при г > 1. В целом при отображении внутренности еди-
единичной окружности мы получим ту же самую картину, что и на
рис. 48.
Но при г < 1 будет — > 1, и для того чтобы величина br осталась
положительной, мы должны во второй формуле F5') изменить
знак, т. е. представить эти формулы в виде:
1 . 1\ , 1 / 1
ar + br = y; r^l. B.65")
Как было показано в § 33 точки z и — лежат соответственно на
лучах ф и — ф на расстоянии г и - от начала координат. Поэтому при
г < 1 точкам верхней полуплоскости у > 0 области z будут уже
(в отличие от случая г > 1) соответствовать точки нижней полу-
полуплоскости v < 0 и наоборот. Далее, так как при г < 1 величина
г отрицательна, то из F4) следует, что при положительном
обходе окружности \z\ = г соответствующий эллипс в ю-плоскости
обходится в отрицательном направлении. В случае же г > 1 на-
направление обхода в z-плоскости и в ю-плоскости совпадает, как это
и показано на рис. 48 стрелками.
В пределе при г ->- 1 для случая г ^ 1 единичная окружность
перейдет в тот же разрез (— 1, + 1) оси Ои плоскости w, но теперь
для сохранения однозначности и непрерывности отображения точ-
точкам верхней полуокружности г — 1 мы должны поставить в соот-
соответствие точки нижнего берега разреза, а точкам нижней полуокру-
полуокружности г = 1 — точки верхнего берега разреза.
Вся плоскость z (т. е. внешность и внутренность единичной
окружности) будет отображаться на двулистную риманову поверх-
поверхность, которую получим, склеив крест накрест берега разрезой
(— 1, + 1) двух экземпляров ю-плоскости, изображенных на
рис. 48. Полученная риманова поверхность для функции Жуков-
204
ского представлена на рис. 49. Окружности г = const и — = const
области z на римановой поверхности будут представлены двумя
одинаковыми эллипсами, лежащими на различных листах и про-
проходимыми в противоположных направлениях, а прямая у = xtg ф,
т. е. луч ф = const и его продолжение через начало координат —
луч ф — я = const перейдут в две ветви одной гиперболы с осями
аф и Ьф. Например, проследим по рис. 48 за движением в плоскости
z точки A (z), пробегающей всю прямую у = х. Начав движение
из бесконечности, точка A (z) по лучу ф = + -j-n достигнет начала
1 3
координат, а затем по лучу ф = — я—я = ——я удалится в бес-
бесконечность, дважды пересекая на всем пути единичную окружность.
Поэтому ее образ A (w) на рис. 49
будет двигаться вначале по пра-
правой ветви гиперболы, лежащей —^ * /
на верхнем листе, а достигнув (в
тот момент, когда точка A (z) бу-
будет пересекать единичную окруж-
окружность \г\ = г = 1) разреза (— 1,
+ 1) перейдет на нижний лист
и при z -> 0 через точку В (w) уй-
уйдет в бесконечность. Затем, когда
точка z, пройдя через полюс фун-
функции F1) z = 0, выйдет на луч
Ф = j-n, ее образ «замкнувшись через бесконечность» (так как
w @) = оо ) перейдет в точку В' (w), лежащую на том же нижнем
листе римановой поверхности, но уже на левой ветви гиперболы.
Продолжая движение по левой ветви, образ точки z при \z\ — 1
снова достигнет разреза (— 1, + 1) и, пройдя через разрез, перейдет
на верхний лист, удаляясь в бесконечность в направлении точки
A' (w), так как функция F1) имеет второй полюс z — со, в кото-
ром также w = со. Достигнув по лучу ф = я точки z = со,
«замыкаем наш путь через бесконечность» и возвращаемся на луч
Ф = -j-n, в силу чего и в области w из точки A'(w) через бесконеч-
бесконечность снова приходим в точку A (w), из которой мы начали дви-
движение.
Для более полного представления о функции Жуковского рас-
рассмотрим, во что она отображает внешность окружности
х2 + (у —КJ = 1 + h2 или х2 + y2 — 2hy = 1, B. 70)
с центром в точке z0 = ih (т. е. в точке х0 = 0, у0 = h) и проходя-
проходящей через точки z = ± 1. Радиус этой окружности
205
так что дуга BCD при h > 0 всегда будет расположена в верхней
полуплоскости и вне единичной окружности \z\ = 1, а дуга DAB—
внутри (рис. 50).
Легко проверить, что преобразование F9) дугу BCD отображает
в дугу BAD, причем точке С соответствует точка А, а любые две
Рис. 50.
соответствующие точки М = z и М' = — лежат на лучах <р и—<р.
Но пару точекzи —функция Жуковского отображает в одну точку
w — -к- (z H—), поэтому окружность G0) будет отображена в два-,
жды пробегаемую дугу, проходящую через точки w = ± 1. кото*;
рые являются неподвижными точками преобразования F1). Дока-j
жем, что эта дуга в области w будет дугой окружности ,'
v2 — vl
h— j) =
206
с центром в точке «о = 0, ио == у (т h) и радиусом
Действительно, угол а, под которым видны точки +_ 1 из любой
точки z = М дуги BCD, как вписанный угол сохраняет постоянное
значение, так что для любой точки дуги BCD имеем (см. § 34)
arg -j^y = a = const, B. 72)
а для точек дуги BAD
arg ~-\ = а — л = const. B. 72')
В самих точках В и D функция arg2 ^_ терпит разрыв непре-
непрерывности и изменяется скачком от значения а к значению а — я.
Воспользовавшись теперь формулой F2), которую получаем,
решив уравнение F1) относительно z, находим, что
2+1 (to + Yw2— 1)+ 1 (да+ 1) + V \w+ \){w— 1)
(w + у w2 — 1) — 1 ~ (w — 1) + \ (w + 1) (to — Г)
V ш-f-1 (V ш+1+Уда— 1)
/ да— 1 (/"ш— 1 + Yw + 1)'
Отсюда, после сокращения на выражение в скобках, получаем
г+ ' _ l/ «o+l to + 1 _
2 j — v ... 1 "•"" ... 1 — I , 1 ; • \^- '")
Следовательно, образом дуги окружности G2) будет также
дуга окружности с удвоенным вписанным углом (под которым из
произвольной точки М (w) видны точки w = i 1):
= 2 arg ( г + 1) = 2а, B. 74)
а для дуги BAD
/НО + 1 \ о п /О 7/1Л
аГ§&1=2а-2Л' B-74)
так как при возведении в степень аргумент комплексного числа
умножается на показатель степени (см. гл. I, § 4).
Уравнения G4) и G4') снова подтверждают, что дуги BCD
и BAD отображаются в одну, дважды пробегаемую дугу, так как
углы, которые образует с осью Ои касательная в точке D = + 1
к образам этих дуг отличаются между собой на один полный обо-
оборот — 2л.
207
Для того чтобы найти аналитическое выражение для преобра-
преобразования точек границы, перейдем в области z к полярным коор-
координатам
x = rcos<p, z/ = rsinq>
и, подставив эти значения в уравнение окружности G0), получаем
после очевидных преобразований, для произвольной точки М — z
дуги BCD:
rM = h sin ф + ]/1 + /j2sin2(p.
В таком случае
1 _ 1 V\ + h2 sin2 "ф— h sin g> __
гм ~~ hsiny + V^l +ft2sin2tp (/1 + h2 sin2 tp> — (A sin фJ
= yi+h? sin2 <p — Л sin ф.
Подставив найденные значения в F4), получаем искомые фор-
формулы
им = cos ф 1/1 + /г2 sin2 ф; vM = h sin2 ф, B. 75)
по которым легко определить образ w любой точки z окружности
G0).
В частности, точки z= i 1, для которых ф = 0 и ф = я,
sin ф = 0, cos ф = ± 1 остаются, как и должно быть, неподвиж-
неподвижными w—u = ±l, v = 0, а для точек С и А, для которых ф =
= ± т> s'n2 Ф = ( ± П2 = 1. cos ф = 0, имеем
UA;C=°> VA;C = fl'
т. е. точки С и А переходят в одну точку w = ih — вершину дуги
BCD в области w. Последние результаты можно также непосред-
непосредственно получить из формулы F1), подставив в нее последова-
последовательно zD.B= ± I, zC;a= i{h ± R), где R2 = 1 + h2 (см. рис. 50).
Исключив ф из системы G5), получаем уравнение окружности
G1). Это же уравнение можно получить из условия, что окруж-
окружность BCD в области w должна проходить через точки w = ± 1
и w = ih.
Отметим еще два предельных случая рассматриваемого отобра-
отображения, представленные на том же рис. 50.
При h = 0 окружность ABCD переходит в единичную окруж-
окружность \z\ — г = 1, так что а = у и круговой разрез A BCD в пло-
плоскости w переходит в прямолинейный разрез (— 1; + 1), причем
согласно G5) или F4):
uM=cosy = x, vM = 0, B.75')
т. е. мы приходим к случаю, рассмотренному в начале параграфа.
В частности, верхняя полуплоскость с вырезанным полукругом
208
при h = 0 отображается F1) на верхнюю полуплоскость w без
выреза, а внутренний полукруг BCD— на нижнюю полуплоскость w.
При h — со дуга BCD переходит в отрезки действительной оси
ВС (— сю), С (+ оо) D, а дуга ШВ — в отрезок (— 1, + 1) той же
оси Ох, так что а = 0 и область z при h = со есть верхняя по-
полуплоскость, которая функцией Жуковского отображается на пол-
полную ю-плоскость с разрезом по действительной оси, идущем из
точек ± 1 в точки С (± °°) = А (± оо). Угол а = 0 в плоскости
z перейдет в плоскости w в тот же угол 2а = 0, а угол а — я =
= —п в удвоенный угол 2а—2л = —2я, совпадающий с углом
2а = 0, т. е. ось Ох в точке А разрывается и преобразуется функ-
функцией F1) в разрезы (—оо, —1)(+ 1, + со), причем
wA = w (dz 0) = dz со.
Линии у = const при значениях у > 1 переходят в мало искрив-
искривленные линии, полностью расположенные в верхней полуплоскости
w и при х -> dz с0 ассимптотически приближающиеся к прямым
v = -£ У- Те же из линий г/ = const, которые пересекают единичную
окружность | z 1 = 1 в области w частично проникают через отверстие
BD в нижнюю полуплоскость. В пределе при г/->0 граница z полуплос-
полуплоскости у=0 переходит в разрез С (— со) ВА (— оо) А(+ оо) £>С(+ со),
нижний берег которого «замкнут на бесконечности» через точки
А (— оо), А (— i оо ), Л (+ оо ) как на рис. 50 условно показано
стрелками. Точки, в которых линии у — const пересекают единич-
единичную окружность \z\ — г — 1, лежат в области w на разрезе BD,
поскольку для них г2 = 1, так что согласно F3) и = х, v = 0,
х = У\ — у2 = cos ф. Точки В = — 1 и D = + 1 остаются
неподвижными: юв = — 1, wD = + 1.
В заключение параграфа применим функцию Жуковского к
построению одного класса аэродинамических профилей.
Для этого рассмотрим отображение функцией F1) области z,
заключенной между двумя окружностями, соприкасающимися в
точке D (z = + 1). Внутренняя окружность A0B0C0D, проходящая
через точки Во — — 1 и D = + 1, как было уже доказано, функ-
функцией F1) переводится в круговой разрез B0C0D, называемый дуж-
дужкой профиля, а внешняя окружность ABCD переходит в замкнутую
кривую, называемую контуром профиля, толщина которого зави-
зависит от параметра а (рис. 51). Вместо параметра а многие авторы
вводят параметр d — Va? + (b — h2) = a ]/l + h2 — расстояние
между центрами окружностей R и Ro.
Точка D будет для профиля точкой возврата, в которой каса-
касательная совпадает с направлением касательной к дужке профиля
в точке D. Угол наклона этой касательной, как следует из рис. 50,
однозначно определяется величиной п.
Н П. Ф. Фнльчаков 209
Уравнение внешней окружности ABCD будет
(x + aJ+(y — bf = R2 или у = Ъ ± V R2 — (х + аJ, B.76)
где, согласно рис. 51,
Ъ = A + a) А, Я2 = A + аJ + б2 = A + аJ A + /г2). B. 76')
Точки профиля в области w получим, подставив в расчетные
формулы F3) координаты точек внешней окружности ABCD.
При этом проще всего задаться рядом значений х, вычислить по
h-C/,35
Рис. 51.
формуле G6) соответствующие каждому х два значения у, а затем
по формуле F3) определить искомые и и и.
Все вычисления для представленных на рис. 51 профилей при
h = 0,35; а = 0,30 и h = 0; а = 0,30 приведены в табл. 11.
Если а — 0, то внешняя окружность совпадает с внутренней и
профиль переходит в круговую дужку. При h = 0 внутренняя ок-
окружность переходит в единичную окружность \z\ = 1 и профиль
в этом случае становится симметричным.
Расчетные формулы F3) получим, вынеся в формулах F4) за
скобку г и произведя затем замену г cos <р = х, г sin <p = у. Для
того чтобы при вычислениях свести к мнимому число промежуточ-
промежуточных записей (т. е. число строк в расчетной табл. 11) формулы F3)
удобнее представить в следующем виде:
-~); г2 =
у2. B.77)
Тогда величина ^ вычисляется в один прием без промежуточ-
промежуточных записей: устанавливаем на арифмометре х и умножаем его на
себя, не снимая результата, устанавливаем у и также умножаем
на себя, в результате получаем г2 = х2 + у2; переносим результат
210
в установочный счетчик и подбором находим частное 8 ' а = ^-,
т. е. находим частное, умножая (х2 + у2) путем подбора (знак за
знаком, начиная с высшего разряда) на такой множитель у = -^ ■>
который в результативном счетчике дает уг2 = 0,5 [281, гл. II,
§ 7]. Определив -^ по формулам G7), легко вычисляем также без
промежуточных записей искомые величины и и v. Читателю будет
полезно продублировать табл. 11, а также вычислить еще несколько
точек, например, при х= — 1,5, которому соответствуют (при
h = 0,35) yi= + 1,1310; уг = — 0,2210; из. = — 0,9626, vi =
= + 0,4052; иг = — 1,0762, у2 = — 0,0624 и при h = 0, г/ =
= ± 0,5000; и = — 1,0500; v = ± 0,1500.
Точки А, В, С, которые вместе с дужкой B0C0D являются
наиболее характерными для профиля, можно вычислять не по
общим формулам G7), а по более простым формулам:
Хс-.А = Ь гС;А = 1(Ь±У~Х2-а2);
Для полноты картины заметим еще, что заштрихованная на
рис. 51 область z переходит во внутренность профиля w с разрезом
по его дужке, а внутренность круга A0B0C0D функцией Жуковского
будет отображаться на полную ю-плоскость, расположенную на
втором листе римановой поверхности, склеенной теперь (в отличие
от рис. 49) по дужке. Но в аэродинамике нас интересует задача
обтекания профиля, т. е. задача, сводящаяся к отображению внеш-
внешности профиля на внешность круга ABCD, так что надобность в рас-
рассмотрении второго листа римановой поверхности в этом случае
отпадает.
Рассмотренный выше метод получения аэродинамических про-
профилей впервые был предложен знаменитым русским ученым
Н. Е. Жуковским и поэтому профиля этого класса называются
профилями Жуковского. При небольших h они довольно близки
к профилю крыла самолета, а при h = 0 — к профилю руля. Так как
эти профиля очень простой функцией F1) отображаются на круг,
задача обтекания которого решается без особого труда, то расчет
профилей Жуковского особенно прост. Этим обстоятельством ши-
широко пользуются в аэродинамике и в настоящее время, хотя в связи
с резким повышением скоростей теперь в авиации используются
профиля, отличные от профилей Жуковского.
Николай Егорович Жуковский A847—1921) первый также стал
широко применять методы теории функций комплексного перемен-
14* 211
я
s
ч
и
II
>
и
II
►^
=
JI
я
а
ю
о
о
g
ю
—0,
о
8
1
000
т
о
g
•—Г
I
о
о
о
о
о
о
о
о
ю
о"
X
3500
9,
II
•с
о
о
о
оо
о
8
о
со
о"
+
8
о
о"
о
о
о
о"
1
о
8
о"
!
о
,200
1
о
о
о
со
о
о
00
о"
а
+
,3000
о
II
II
а
о
ю
"
о
о
00.
~-<
о
00
о
о
1
о
о
о
,857
о
о
об
о
см
'в
—J—
ч
т
&
,4550
о
II
II
«о
с
'—1
+
см
со.
+
см
СО
i
о
+
о
оо
1—Г
,362
см
со
"
сч
ч 1
S:
,8970
II
II
ю
i
СП
СП
+
00
+
-
,64
+
1
сч
со
I4—
о
i
,907
о
см
СП
00
00.
о
см
о
о
о
о"
см
00
'—1
о"
ю
ю
о
о
,—1
о"
ю
со
о"
1
00
ю
см
со
о"
СО
,465
о
■*
см
со
<о
о"
СО
о
см
о"
см
со
о
о
о
см
со
о"
1
ю
S
о"
I
125
1
00
ю
см
00
о"
1
00
,482
о
о
со
о
<о
о"
3
00
СП
СП
о
<о
см
<о_
о"
+
со
СО
о"
00
СП
ю
о"
о
о
I
CN
,031
о
о"
о
,—1
о"
1 1
1
1
1
1
1
со
сл с»
СЭ С»
о
Ю OJ
,284
,263
о
СП Ю
<х
t>
с^
- см
1 °^.
о
ю
CN OO
О СО
о
II
•о
1)
jl
о
lea
'"
3000
о
II
с
о
■5
см
^т*
о"
о
со
с
a
со
,72
с
э
125]
со
CN
о
СО
,381
с
о
со
см
о"
a
0059
II
II
§:
со
00
1—1
о
см
со
о*
+
о
со
о"
00
СП
см
о
о
см.
о"
1
CN
304
о
см
со
см
о"
!
со
00
1—1
о"
212
ного в гидро-и аэромеханике. Его работы положили начало науке
о теоретических основах воздухоплавания и до настоящего вре-
времени не потеряли своего значения. К этим вопросам мы еще в даль-
дальнейшем вернемся.
§ 39. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
Показательная функция определяется равенством
w = ег = ex+l« = exeiy или q = ех, й = у. B. 79)
Обратная функция:
z = Log w = In w + 2nni, n = 0; ±1; ±2; ... , B. 80)
где In w — главное значение логарифма.
Особенности: точка z = оо является существенно особой точкой
функции G9), в любой бесконечно малой окрестности которой она
может принимать любое значение (в зависимости от пути, по кото-
которому z -> со). Обратная функция (80) имеет две точки разветвления
w = 0, w = оо бесконечного порядка, которые называют также
логарифмическими точками разветвления.
Нуль: единственным нулем функции ez является точка z = — со,
т. е. бесконечно удаленная точка, к которой z стремится вдоль
отрицательной полуоси у = 0, х < 0. В открытой же плоскости z
значение нуль функция ег нигде не принимает (см. гл. I, § 19).
Отображение: показательная функция G9) отображает полосу
— я^; у ^ + я области z на полную ш-плоскость с разрезом вдоль
действительной отрицательной полуоси v = 0, и ^ 0. Сетка декар-
декартовых координат в этой полосе z переходит в сетку полярных коор-
координат да-плоскости. Вся полная плоскость z отображается на беско-
нечнолистную риманову поверхность с разрезом по действительной
отрицательной полуоси, соединяющим точки ветвления w = 0,
w = со. Конформность отображения нарушается только в точке
Z = со.
Логарифмическая функция (80) осуществляет обратное отобра-
отображение всей плоскости w с разрезом на полосу — я $; у <: я, бес-
конечнолистную риманову поверхность на полную z-плоскость.
Неподвижная точка: неподвижной остается только точка z =
= + оо, т. е. бесконечно удаленная точка, к которой z стремится
вдоль положительной полуоси у = 0, х > 0.
Расчетные формулы: в полярных координатах для функции G9)
w = Qe'® = ez = exe(y, Q = ex, u = у; B. 81)
в декартовых координатах
w = и + iv = exel« = e* (cos у + i sin у); B. 81')
и = ех cos у, v = ex sin у.
213
Отображение, осуществляемое показательной функцией
w = ег,
конформно во всей открытой (незамкнутой) плоскости z, так как
производная этой функции
существует и отлична от нуля во всякой конечной точке плоскости z.
Введя в плоскости z декартовы координаты z = х + iy, а в
плоскости w — полярные координаты w = <x№ согласно теореме
сложения для показательной функции A.110) имеем
w = Qe'® = ег = ex+ly = eVX
Откуда приравняв модули и главные значения аргументов, полу-
получаем расчетные формулы (81)
е = е*, & = у.
Так как согласно формуле A.120) ez есть функция периодическая,
с чисто мнимым периодом 2яг
е2+2/щ,- = gZ) B.82)
го для изучения отображения, осуществляемого показательной
функцией, достаточно рассмотреть только отображение ею беско-
бесконечной полосы
— со < х <; + со; — я <^ у <. + Я,
в которой было определено главное значение логарифма (см. гл. I,
§21).
Для этой полосы, согласно (81), прямые у = const параллель-
параллельные оси Ох отобразятся в лучи й = у = const. В частности, вся
действительная ось у — 0, — со ^ х г^+ °° отобразится в луч
& = 0, т. е. в действительную полуось v = 0, 0^ы^ + оо в
области w. Прямые «/ = + -5- иг/ = ~- отобразятся в лучи й =
= + -^-и й = к-, а прямые у = ± я, являющиеся границей
полосы, отобразятся в совпадающие между собой лучи й = ± я.
Поэтому для того чтобы сохранить однозначность отображения,
мы должны разъединить лучи й = ± я, проведя в области w раз-
разрез от w = 0 др w = — со (рис. 52). Тогда прямой у = + я будет
соответствовать верхний берег разреза, а прямой у = — я — его
нижний берег.
Отрезки прямых х = const, лежащие в пределах рассматривае-
рассматриваемой полосы, согласно (81) будут отображаться в окружности
q = ех = const.
214
Отрезок х = О, идущий вдоль мнимой оси области z, отобра-
отобразится в единичную окружность q = е° = 1, отрезок х = 1 —в
окружность q = е = 2,718..., при х = 2 получим q = е2 = 7,389...
и по мере дальнейшего увеличения значения х радиус будет очень
быстро возрастать, стремясь к q = со при х = + <х>. Для отрица-
отрицательных значений х < 0 все окружности q= ex = const будут
размещаться внутри единичной окружности, стягиваясь при х ->
-> — оо весьма быстро к нулю. Так, например, при х = — 0,5
-3 -2 -Ц 0, *1[ +2
1Т
U
I , I I I ,
I ,, I I I ч
/Л777///7т///7Т7Т//Г7777//7777/1/77Т//7
у=
Рис. 52.
имеем о = е °'5 = —т=^ = 0,6065..., при х = — 1 и х = — 2 соот-
V е
ветственно будет q = е~х = — = 0,3678 ... , q = —^ = 0,1353 . . .
и т. д.
Прямоугольник O^x^l, O^r/^я, заштрихованный на
рис. 52, перейдет в заштрихованное полукольцо 1 <^ q ^ е, 0 ^й=$
^я, а его дважды заштрихованная часть перейдете криволинейный
прямоугольник, ограниченный дугами концентрических окружностей
q=1, g=e и лучами й = -^-, й = — я, все четыре угла которого со-
сохраняют свое прежнее значение 90°.
Если мы возьмем такой же соседний прямоугольник 1 ^ х ^ 2,
0 ^ у ^ я, то он отобразится функцией ег в круговое полукольцо
е ^ Q ^ е2' 0 ^ ^ ^ л> а вся положительная полуполоса 0 ^ х ^
5^ + со,0<^г/^я отобразится в верхнюю полуплоскость w с вы-
вырезанным полукругом q<^1. На этот полукруг O^qs^I, 0^
^ й^ я функция ez будет отображать отрицательную полуполосу
— оо < х < 0; 0<г/<я (рис. 53).
215
Отразив ее зеркально в мнимой оси Оу получим в области z
полную полосу 0 ^ у ^ я, образом которой будет представленный
на рис. 53 полукруг и его отражение в единичной окружности q =
= ех = 1 (которая является образом оси Оу), т. е. вся верхняя полу-
полуплоскость w. Отразив теперь всю полосу О^г/^я в действитель-
действительной оси Ох, получаем полосу удвоенной ширины — я ^ у <^ я,
f ■*—■
шш
ч
д
Ж
W//A
t
образ которой найдем зеркальным отражением верхней полуплос-
полуплоскости w в луче й=г/ = 0, который является образом оси Ох. В ре-
результате мы снова получим картину, представленную на рис. 52,
причем, как и должно быть, верхний берег разреза й= +я, соот-
соответствующий верхней границе полосы у = + я, при зеркальном
отражении в луче й = 0 перейдет в нижний берег разреза ■& — — я,
являющийся образом нижней границы полосы у = — я.
У1
V////////X
Рис. 54.
Сетка декартовых координат х = const, у = const перейдет в
ортогональную сетку полярных координат q = const, u = const,
причем конформность нарушится только в точках z = ± со и их
образах w = 0 и w = со .
Распространим полученные результаты на всю z-плоскость, ко-
которую всегда можно разбить на бесконечное счетное множество
соприкасающихся полос шириною 2 я (рис. 54).
216
Согласно тождества (82), каждая такая полоса отобразится
функцией w = ег взаимно однозначно на всю да-плоскость с разре-
разрезом, представленную на рис. 52.
Изготовим бесконечное множество экземпляров таких разре-
разрезанных да-плоскостей, занумеруем эти экземпляры (листы) целыми
числами «от — оо до + оо и сложим их в «стопку» так, чтобы
второй лист лежал на первом, третий на втором и т. д., нулевой
лист под первым, минус первый под нулевым и т. д. Склеив (ото-
(отождествив) крест на крест нижний берег разреза каждого листа
с верхним берегом разреза листа, лежащего над ним, и, наоборот,
верхний берег разреза каждого листа с нижним берегом листа,
лежащего под ним, мы и получим риманову поверхность, на кото-
которую функция w = е2 взаимно однозначно отображает всю z-плос-
кость. Нулевой лист этой поверхности соответствует полосе —я ^
^ у ^ + я, изображенной более подробно на рис. 52.
Если точка z будет теперь двигаться вверх по прямой х = const
параллельной оси Оу (например, по прямой х=1, отмеченной
стрелками на рис. 52), то ее образ w, вращаясь против часовой
стрелки вокруг начала координат w = 0, будет как бы «подни-
«подниматься» на римановой поверхности по спирали, переходя с «-го
листа на « + 1 лист, каждый раз, когда точка z будет пересекать
верхнюю границу «-й полосы у = B« + 1) я. Если точка z дви-
движется по той же прямой х = const вниз, то ее образ w на римановой
поверхности будет вращаться по часовой стрелке, «опускаясь»
по спирали и переходя с одного листа на другой с меньшим но-
номером.
Логарифмическая функция (80)
z — Log w = In w + 2«яг", « = 0, ±1, ± 2, ... ,
как функция обратная к показательной w = ez, будет осуществлять
взаимно однозначное отображение бесконечнолистной римановой
поверхности w на полную z-плоскость (рис. 54). Если же ограни-
ограничиться только главным значением логарифма, т. е., если рассматри-
рассматривать функцию z = In w, то получим отображение полной да-пло-
скости на полосу — я < у <^ + я, именно в которой, согласно
формуле A.143) § 21, и определялся аргумент у = й = arg w глав-
главного значения логарифма. Заметим, что для обеспечения однознач-
однозначности отображения 2= In да, мы должны исключить из рассмотре-
рассмотрения нижнюю границу полосы у — — я, так как она относится
к следующему (нижнему) листу римановой поверхности.
Таким образом, несмотря на то, что логарифмическая функция
(80) есть бесконечнозначная функция, на своей римановой поверх-
поверхности w она осуществляет взаимно однозначное отображение об-
области w на полную плоскость 2, но в связи с этим область w должна
состоять из бесконечного числа разрезанных и склеенных крест
на крест листов.
Как было показано в § 21, точка w = 0 есть точка разветвления
217
бесконечного порядка функции Log w. Путем замены w = — легко
показать, что точка w = со будет также точкой разветвления бес-
бесконечного порядка. В каждой из точек разветвления логарифми-
логарифмическая функция имеет только одно значение Log 0 = — оо, Log со =
= со . Поэтому точки w = 0 и w = оо являются общими для всех
листов римановой поверхности, т. е. они являются концевыми
точками всех разрезов на поверхности w. Точки разветвления бес-
бесконечного порядка рассмотренного выше типа называются также
логарифмическими точками разветвления.
Часто возникает потребность рассмотреть логарифмическую
функцию саму по себе. Для этого достаточно повторить все сказан-
сказанное, поменяв лишь ролями переменные w и г, что не представит
труда выполнить читателю в виде упражнения. Мы же ограни-
ограничимся случаем главного значения логарифма и рассмотрим только
функцию
w = In 2 = In re1* = In r + гср B. 83)
или после отделения действительных и мнимых частей
и = Ыг, и = ср. B.83')
Следовательно, логарифмическая функция (83) сетку полярных
координат г = re'f отображает в сетку декартовых координат и =
=lnr = const, v — ср = const и при этом вся 2-плоскость с разре-
разрезом по отрицательной действительной полуоси отображается на
полосу — со ^ и ^ + со; —я ^ v ^ -f л области w. Пол-
Полную картину этого отображения получим, поменяв ролями области
w и 2 на рис. 52.
Показательная (как и логарифмическая) функция в сочетании
с рассмотренными ранее рациональными функциями позволяет
построить ряд отображений, часто используемых на практике.
Проиллюстрируем сказанное примерами.
Пример 1. Отобразим полосу, ширина которой 2Н, на единичный круг.
Решение примера начнем с частного случая, когда ширина полосы равна я,
а ее нижняя граница совпадает с действительной осью области г* (рис. 55).
Как уже было показано, такую полосу функция
/ = ez" B. 84)
отображает на верхнюю полуплоскость /. При этом точки нижней границы полосы
А (г* = — оо); В (г* = 0); С (г* = + оо) перейдут в точки tA =0; tB= +1;
tc= -\-°°, а для точек верхней границы полосы, для которой у*= я; г* = **-(- т
согласно A.110) и A.117) имеем:
/ = е**+йг = e'V* = — ех\
так что образами точек А' (х* = — оо); D (х* = 0); С (д* = +сх>) будут
tA. = -O = + O = tA; tD=-\; fc. = -oo.
218 ■
Отобразим теперь при помощи дробно-линейной функции
at +b
w = т+т ' B-85)
(в которой, не нарушая общности, можно положить с = 1) полуплоскость t на еди-
единичную окружность w при следующем соответствии трех точек (см. рис. 55):
Точки
t
W
А
0
— 1
В
+ 1
—;
С
+ 1
Из соответствия точек А, подставив в (85) значения t = 0 и w — —1, получаем
— 1 = — или Ь = — d.
а
Из соответствия точек С находим, что а — +1, после чего подставив в (85')
значения t = ^f\\ w = — i, соответствующие точкам В, находим
\—d
— i = , откуда d = + i.
1 -fd
Подставив значения а, Ь, d в (85), получаем
t + l
B. 85')
после чего, заменяя t его значением (84), имеем для искомой отображающей функ-
функции:
w = —i ■. B. 86)
ez +1
Формулу (85') можно также непосредственно получить из
формулы D1') § 36.
Приведем формулу (86) к более удобному для вычислений виду.
Для этого, умножив числитель и знаменатель на величину — i =
л
= е~Т, учтя, что — г2 = 1, и, воспользовавшись формулой A.140)
§ 20, перейдем от показательной функции к гиперболическому тан-
тангенсу:
w =
г "' Т- 1
- iez
B. 86')
Произведя теперь в (86') замену
АН
219
т. е. переходя при помощи параллельного переноса и преобразова-
преобразования подобия (изменения масштаба) к полосе ширины 2#, симмет-
симметрично расположенной относительной оси Ох (рис. 56), получаем
окончательный результат для искомого отображения:
w = th
яг
B. 87)
В частности, для полосы, полуширина которой #=—-отобра-
жающая функция (87) прини-
принимает наиболее простой вид:
я'М
= thz.
B. 87')
At
У,
D
ДМ В
\ Z*x+iy |
с'П
X
-ш см)
W4H-IV
Точки мнимой оси Оу, для которых 2 = iy и согласно A.140)
th«/ = i tgy, функцией (87) отобразятся также в точки мнимой оси
Ov:
w = th^ = itg^f, т.е. « = 0, f = tgg-. B.88)
В частности, точки D (у = + Я); В (у = — Н) перейдут в точки
Точки действительной оси Ох, для которой z = x, функцией
220
(87) отобразятся в области w снова в точки действительной оси
v = 0:
i» = « = th4y, B.88')
причем точкам х = ± °° будут соответствовать точки ю = ± 1.
Воспользовавшись теперь формулой (которую получаем из фор-
формулы для tg (х + iy), применяя к ней результаты § 20 гл. I):
sh 2х , . sin 1у ,п arv.
+ i y B.89)
ch
sh
ЯХ
9.H
ЯХ
2H
■f- cos
ny '
2H
ch
sin
ЯХ
W
Щ
1H
f- cos
ny
9.H
и разделяя в (87) действительные и мнимые части, имеем в общем
случае для образа точки z = х + iy:
B.90)
Поэтому для точек верхней и нижней границы полосы 2, для кото-
которой у = ± Н и, следовательно,
ад . , я , . ад , я -
sm-g^- = sin i-g- = ± 1. cos -ф = cos ± у = 0,
формулы (90) дают
ЯЛ
«==^^=th^, W=_±-L_, B.90')
.ял 2Я ях v '
причем, как и должно быть, в этом случае
sh2 + 1 ch2
chJ^ Ch
СП 2Я С 7Г
т. е. точки верхней и нижней границы полосы г переходят в точки
границы единичной окружности \w\ = 1.
В частности, точки С и С, для которых х = + со , и точки Л
и Л', для которых х = — со, согласно (90'), переходят в те же са-
самые точки ю=ы=±1; и=0, в которые переходят и точки
х = ± оо, лежащие на действительной оси полосы г.
Легко также показать, что сетка декартовых координат х =
= const, у = const перейдет в сетку ортогональных окружностей,
представленных на рис. 56.
Действительно, показательная функция (84) переводит коорди-
координатные прямые х* ~ const, у* = const в окружности и лучи, а
дробно-линейная функция (85), так же как и дальнейшие линейные
221
преобразования, может их перевести снова только в окружности
или прямые. Так как прямые х = const ортогональны к граничным
прямым А'С; АС полосы г, то их образом должны быть окруж-
окружности, ортогональные к единичной окружности \w\ — 1. Поэтому
для однозначного определения в области w, каждой из окружностей
х = const достаточно по формуле (88') вичислить для данного зна-
значения х только одну точку, лежащую на действительной оси Ои.
Семейство линий у = const перейдет в окружности, проходя-
проходящие через точки А и С —образы бесконечно удаленных точек, и для
их однозначного определения достаточно вычислить по формуле
(88) для заданного значения у точку, лежащую на мнимой оси Ov.
1 2
На рис. 56 построены образы прямых у =■ ± -„■ Я; у=±^Яи
1 3
прямых х = ± -£- Я; х = ± Я; х = ± -к Я.
В примере 1 мы рассмотрели горизонтальную полосу, средняя
линия которой совпадает с осью Ох. В случае произвольной полосы
г* надо отметить на ее средней линии две точки Z\, z% и при по-
помощи линейной функции z — az* + b перевести их в точки 2=0
и г = + 1, в результате чего мы и прийдем к случаю, рассмотрен-
рассмотренному в примере 1. Из соответствия заданных двух точек коэффи-
коэффициенты а и Ъ линейной функции определятся однозначно.
В частности, для вертикальной полосы шириною 2Я, средняя
линия которой совпадает с осью Оу, функция, отображающая по-
полосу на единичный круг, будет
^=tg~. . B.91)
Обратная функция
реализует обратное отображение единичного круга \w\ ^ 1 на
вертикальную полосу 2, а функция, обратная к (87)
^^^,nl±i, B.92')
отображает единичный круг на горизонтальную полосу.
Производная обратной функции (92'):
dw ~ я 1 —
/о
обращается в бесконечность в точках w— ± 1, так что в этих
точках коэффициент растяжения бесконечно большой, а также
нарушается конформность отображения (87).
Пример 2. Отобразим двуугольник с нулевым углом на единичный
круг.
222
Пусть в плоскости г задана область, ограниченная двумя окружностями,
которые имеют внутреннее касание в точке г0, т. е. пусть задан двуугольник с
углом, равным нулю (рис. 57).
Дробно-линейное преобразование
отобразит обе окружности на параллельные прямые, а дву-
двуугольник — на полосу, дальнейшее преобразование которой
было подробно рассмотрено в примере 1.
В частности, если внешняя окружность пе-
перейдет в прямую, т. е. будет бесконечно боль-
большого радиуса, и если потребовать соответствия
трех точек А, С, Е, указанного на рис. 58, то
функция
Рис. 57.
t =
B — 3
сн
ш
ш
и
Ш
Ж
W/A
'Ш,
е'
1
Ж
в'
W////A
W//A
с'Н
УА
отобразит рассматриваемый
двуугольник на горизонталь-
горизонтальную полосу t, полуширины
Н = 1, применив к которой
преобразование (87) получим
искомую отображающую фун-
функцию
B. 94)
в ЯП
с'Н
Читателю будет полезно
в виде упражнения выпол-
выполнить более подробно вывод
формулы (94), а также про-
проверить соответствие осталь-
остальных точек, приведенных для
большей наглядности на
рис. 58.
В заключение параграфа
заметим, что если в функции
Жуковского w = -у U + -j-
произвести замену
ег,
t = е или t ■■
то согласно формул A.116) и A.131) § 20 получим
w = -ь- (e'z -\- e~tz) — cos z или w = -=■ (ez + е~г) — ch z.
Следовательно, отображение реализуемое тригонометрическим или
223
гиперболическим косинусом, легко изучить как суперпозицию ото-
отображений, реализуемых показательной функцией и функцией Жу-
Жуковского.
Аналогично можно изучить и отображения, реализуемые осталь-
остальными тригонометрическими и гиперболическими функциями, но
мы из методических соображений это сделаем в § 42 другим путем —
при помощи интеграла Кристоффеля — Шварца.
§ 40. ТЕОРЕМА РИМАНА. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ
КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ
Имея произвольную аналитическую функцию, легко изучить
конформное отображение, ею осуществляемое. Любая область D,
в которой функция w — f (г) однолистна, с помощью этой функции
конформно отображается на некоторую область Д. Таким образом,
для каждой такой функции мы можем получать различные при-
примеры конформных отображений, геометрически иллюстрирующих
данную функцию. В предыдущих параграфах мы и рассмотрели
наиболее характерные примеры отображений, осуществляемых ос-
основными элементарными функциями.
Однако для практических целей больший интерес представляет
значительно более трудная обратная задача, так называемая основ-
основная задача теории конформных отображений:
Заданы области D и Д, требуется построить функцию, осуще-
осуществляющую конформное отображение одной области на другую.
Прежде всего заметим, что в таком общем виде, в каком сформу-
сформулирована основная задача конформного отображения, она неразре-
неразрешима.
Так, например, многосвязную область нельзя взаимно одно-
однозначно и непрерывно отобразить на односвязную.
Нельзя конформно отобразить полную плоскость z или пло-
плоскость г с одной выключенной, например бесконечно далекой точ-
точкой, на ограниченную область Д плоскости w. Если бы существо-
существовало такое отображение, то функция w — f (г) — его реализующая,
была бы регулярной во всей открытой плоскости и в то же время
ограниченной, так как все значения f (г) лежали бы в ограниченной
области Д, но тогда по теореме Лиувилля (§ 27) f (г) должна быть
постоянной, что невозможно.
Ограничиваясь рассмотрением односвяЗных и однолистных об-
областей, поставленную основную задачу можно упростить и не нару-
нарушая общности этой задачи, можно считать, что одна из рассматри-
рассматриваемых областей есть единичный круг (или полуплоскость). Если
задача будет решена для этого частного случая и будут найдены две
регулярные функции w = ft (zi) и w — f2 (z2), отображающие одно-
связные области D и Д плоскостей Z\ и г2 на единичный круг \w\ <
< 1, то, исключая w, получим функцию га = F (z{), которая ото-
отображает область D на область Д.
224
При сделанных предположениях имеет место теорема, принад-
принадлежащая Риману, которая является одним из важнейших резуль-
результатов теории функций комплексного переменного и которая играет
основную роль в теории конформных отображений.
Теорема Римана A851). Существует единственная,
вполне определенная, регулярная в D фун-
функция w — f (г), которая взаимно однозначно
и конформно отображает область D (отлич-
(отличную от всей плоскости г и от всей плоскости
г с одной выключенной точкой) на единич-
единичный круг | ш| < 1, т а к что произвольно задан-
заданным точке гов D инаправлению в этой точке
будут соответствовать точка w0— 0 и положи-
положительное направление действительной оси.
Если контур области D есть простая замкнутая линия, то эта
функция f (г) будет непрерывна вплоть до контура области D и
отобразит этот контур на окружность единичного круга. Обратная
функция будет тогда непрерывна в замкнутом круге.
Так как единичный круг при помощи дробно-линейного преоб-
преобразования можно отобразить самого на себя, то функцию / (г), кото-
которая зависит от трех действительных произвольных постоянных,
можно однозначно определить и другими условиями, например,
заданием трех точек границы области D и соответствующих им
трех точек единичной окружности. Об условиях, которые опре-
определяют собою однозначность отображения, говорят, что они нор-
нормируют рассматриваемое конформное отображение. Во всех при-
примерах, рассмотренных в предыдущих параграфах, нормировка ото-
отображения осуществлялась нами в виде задания трех соответствую-
соответствующих точек, лежащих на границах отображаемых областей.
Таким образом, теорема Римана показывает, что любую одно-
связную область (граница которой состоит более чем из двух точек)
можно конформно отобразить на другую произвольную односвяз-
ную область, хотя сама по себе теорема Римана и не указывает
практического пути для осуществления этого отображения. Дока-
Доказательство теоремы Римана можно найти, например, в книгах [192,
гл. XII, § 6; 109, гл. VI, § 1—3].
В отношении многосвязных областей заметим, что даже не вся-
всякие две области одной и той же связности можно конформно отобра-
отобразить одну на другую. Например, два кольца, которые ограничены
концентрическими , окружностями, можно конформно отобразить
одно на другое только в том случае, если отношение радиусов окруж-
окружностей для обоих колец одинаково. Однако доказано, что всякую
«-связную область можно отобразить на плоскость с « разрезами,
которые имеют вид параллельных отрезков прямых, причем некото-
некоторые из этих разрезов могут вырождаться в точку. Всякую «-связ-
«-связную область можно также отобразить на единичный круг с разре-
разрезами в виде дуг окружностей концентрических с граничной окруж-
15 П. Ф. Фильчаков 225
ностью, причем некоторые из них могут стягиваться в точку. В част-
частности, любую двухсвязную область всегда можно отобразить на
концентрическое круговое кольцо, отношение радиусов которого
зависит от формы отображаемой области.
Подчеркнем, что в теореме Римана речь идет только об отобра-
отображении внутренних точек области D на внутренние точки единич-
единичного круга. Рассмотрим поэтому теперь какое устанавливается
соответствие между граничными точками областей, так как гранич-
граничные точки при решении практических
задач чаще всего играют наиболее важ-
важную роль.
Прежде чем сформулировать относя-
относящиеся сюда основные результаты, отме-
отметим, что граничные точки могут иметь
различную кратность. Например, на
рис. 59 при обходе границы точки Z\ и
г5 проходятся один раз, точки г2 и г4 по
два раза, точка z3— три, так что точки
2i, 25 — простые (однократные), точки
Рис. 59. 22, 24 — двухкратные, точка г3 — трех-
трехкратная.
Теорема о соответствии границ. При взаимно однозначном
конформном отображении области D на область Д отображающая
функция w = f (z):
1) устанавливает взаимно однозначное и непрерывное соответствие
границ этих областей, если граница Д не имеет бесконечных ветвей
(т. е. если точка w = оо не лежит на границе области Д) и если
граничные точки считать столько раз, какова их кратность.
2) отображающая функция имеет на границе D непрерывную произ-
производную, если границы D и Д не имеют бесконечных ветвей и обла-
обладают в каждой точке непрерывной кривизной. В угловых точках
границы конформность отображения (но не его непрерывность)
нарушается, а производная либо равна 0, либо со, либо не имеет
определенного значения.
Под производной отображающей функции на границе w = f (z) =
= f (s) понимают предел
W (s) = Ит'Л±^=ЛЙ> ,
4s 0 fls
где s — длина дуги границы области D (z), отсчитываемая от i
некоторой фиксированной точки z0 этой границы.
При решении многих практических задач важную роль играет:
следующий, в известном смысле обратный по отношению к теореме \
о соответствии границ. '
Принцип соответствия границ. Пусть даны две односвязные;
области D и Д с границами С и Г, причем область Д ограничена.
Если функция w = f (z) аналитична в D, непрерывна в замкнутой
226
области D и осуществляет взаимно однозначное отображение С
на Г с сохранением направления обхода, то она осуществляет и
(однолистное) конформное отображение области D на Д.
Первые систематические результаты в вопросах соответствия
границ были получены В. Ф. Осгудом [361].
Существенный вклад в развитие этих вопросов внесли исследо-
исследования К. Каратеодори, П. Кёбе, Э. Линделёфа и др.
Дальнейшие глубокие исследования в этом очень сложном и
важном вопросе были проведены Г. М. Голузиным, М. А. Лаврентье-
Лаврентьевым, И. И. Приваловым, Н. Н. Лузиным и др.
Другим широко применяемым при конформных отображениях
принципом является принцип симметрии, который был сформули-
сформулирован Б. Риманом и обоснован затем Г. Шварцем.
Принцип симметрии. Пусть граница области D содержит дугу
окружности или прямолинейный отрезок С и пусть функция w =
= f (z), аналитическая в области D и непрерывная на ее границе,
отображает D на область А так, что дуга С отображается на дугу Г,
также являющуюся либо дугой окружности либо прямолинейным
отрезком. Тогда функцию w = f (z) можно аналитически продол-
продолжить через Дугу С; продолженная таким образом функция будет
отображать пару взаимно симметричных относительно С точек (из
которых одна принадлежит области D) в пару точек взаимно симме-
симметричных относительно Г.
Принцип симметрии для частного случая прямолинейного от-
отрезка был сформулирован еще в 1777 г. Л. Эйлером.
Принцип сохранения области. Если функция w = f (z) регуляр-
регулярна в области D и отлична от постоянной, то точечное множество А,
на которое она отображает D, также является областью, причем
направление обхода границ областей D и А сохраняется.
Другими словами, если при обходе границы D область остается
слева, то и при соответствующем обходе границы А область остается
слева.
В данном параграфе мы ограничились тем, что сформулировали
основные принципы конформных отображений, которыми частично
пользовались при рассмотрении примеров.
Подробное изложение этих вопросов и их дальнейшее обобще-
обобщение, в частности, на случай неограниченных областей, читатель
найдет в книге М. А. Лаврентьева и Б. В. Шабата [134, гл. II,
§ 1 и § 3], а также в книгах Г. М. Голузина [37, гл. II] и И. И. При-
Привалова [192, гл. XII].
§ 41. ИНТЕГРАЛ КРИСТОФФЕЛЯ —ШВАРЦА
Во многих технических приложениях теории конформных ото-
отображений особо важную роль играет функция, отображающая
верхнюю полуплоскость lm z > 0 на произвольно заданный
«-угольник в области w (p ис. 60).
15* 227
Внутренние углы «-угольника будем характеризовать при по-
помощи чисел cti, сс2, ..., ап, указывающих, какую часть составляет
данный угол от развернутого угла я (или 180°). Так, для прямо-
прямоугольника cii = сс2 = сс3 = сс4 = y> Для правильного треугольника
1
oti = а2 = а3 = -у.
Каждое из чисел аь а2, ..., а„ должно быть действительным по-
положительным числом, не превышающим 2, и поскольку сумма внут-
внутренних углов многоугольника равна я (я — 2), то
= п — 2.
B.95)
VI
м„.,
У
а,., а.
Рис. ЬО.
Искомая функция была построена Кристоффелем (Е. В. Chris-
toffel, 1829—1900) и Шварцем (Я. A. Schwarz, 1843—1921) в виде
следующего интеграла г\
(z - a2f~' ...(г — anf»-ldz + В, B.96)
где аь а2, ..., ап—точки действительной оси, соответствующие
вершинам многоугольника, а Л и В некоторые, вообще говоря,
комплексные постоянные. Величины аь а^, ..., ап, А, В будем назы-
называть константы интеграла Кристоффеля — Шварца.
В частности, В должно согласно формуле (96) представлять
точку на контуре многоугольника, соответствующую точке z = 0.
Числа аь а2, ..., ап считаем все различными и расположенными
в возрастающем порядке: аг < Оъ < ... < ап.
Будем также считать, что путь интегрирования лежит в верх-
верхней полуплоскости и может включать в себя отрезки действительной
оси, но не проходит через точки z = аь z = а2) ..., z = ап, кроме,
быть может, конечной точки.
х Свои результаты Шварц доложил на математическом семинаре Берлинского
университета весною 1864 г., но опубликовал их только через 5 лет [367, стр. 65—
83].
Работа Кристоффеля [340], в которой он независимо от Шварца исследовал
тот же самый вопрос, вышла на 2 года раньше.
228
Если z = а, и при этом а/ — 1 < 0 (/ = 1, 2, ..., п), то хотя
lim (z — ajfi~{ = lim г——> оо, но порядок бесконечности
г-а/ z-af (.2 — а;-) ;
будет 1 — а/ < 1 (так как все а, положительны) и, следователь-
следовательно, интеграл (96) будет существовать как несобственный.
Под выражением B — а/H/ A = 1. 2, ..., п) понимаем в верх-
верхней полуплоскости ту ветвь соответствующей многозначной функ-
функции, которая на действительной оси при z = х > щ принимает
действительные положительные значения.
При сделанных предположениях интеграл (96), рассматривае-
рассматриваемый как функция своего верхнего предела z, будет определять
собою в замкнутой верхней полуплоскости Im z > 0 однозначную
непрерывную функцию, регулярную при Im z > 0. Единственными
особыми точками этой функции будут точки
z = аъ z = a?., . .. , z = an.
В этом утверждении необходимо еще только проверить непре-
непрерывность функции (96) в точке z = оо.
Но подынтегральная функция, учитывая условие (95), может
быть записана в виде:
откуда и следует, что
: — ai) (z — a2)a2~l ... (z — an)an~ldz
имеет конечное значение. Значение интеграла не зависит от пути
интегрирования, целиком принадлежащего верхней полуплоскости
и соединяющего точки 0 и оо, в чем убеждаемся путем предельного
перехода, исходя из интегральной теоремы Коши. Отсюда и выте-
вытекает непрерывность рассматриваемой функции w (z) в точке z = оо.
Далее, производная этой функции
—г- = A(z — ai)™1 (z — а2)а2~' ... (z — а„)а"-~{
dz
в верхней полуплоскости нигде не обращается в нуль, следова-
следовательно, формула (96) дает конформное отображение верхней полу-
полуплоскости z на некоторую область плоскости w, не содержащую
внутри себя точек разветвления, которые характеризуются именно
dw A
условием —з— = U.
229
Докажем, что полученная в результате отображения (96) об-
область w будет заданный многоугольник. Для этого выясним, во
что отобразится контур верхней полуплоскости z, т. е. действитель-
действительная ось.
Положим, что z, двигаясь в положительном направлении вдоль
действительной оси х, изменяется на отрезке
ai =S x ^ a2.
Тогда соответствующая часть контура области w будет опреде-
определяться интегралом (96), который мы разобьем на два интеграла:
w = A \ (z — at)™1 (z — а2Г~' ... (z — an)un~xdz +
о
+ A j (z - агГ~1 (z - а2Г~[ ... (z- а^~хйг + В.
В первом интеграле оба предела постоянны, поэтому и весь инте-
интеграл равен постоянной величине. Обозначая
^- аг)а'-' (z - а^~х ... (z- an)an~ldz,
о
будем иметь
2
w = A j (z — ai)"'-1 (z — аъТ°-х ... (z — an)an~{dz + В*. B.96')
При изменении величины z вдоль отрезка а^ ^ х ^ Ог, каждая
из разностей z — ak = x — ak(k = 1, 2, ..., я) будет иметь постоян-
постоянный аргумент, который обозначим фА. Так как все аи а2, ...,
ап — действительные числа, то, очевидно,
поскольку х — ai есть величина положительная и ф2 = фз = ••• =
= ф„ = я, поскольку х — ak при k = 2, 3, ..., п суть величины
отрицательные.
Аргумент всей подынтегральной функции в (96') пока ai ^ х ^
=S O2 будет также постоянным, а именно ои будет равен следующей
величине, которую мы обозначим ф:
Ф = (ax — 1) ф1 + (а2 — 1) ф2 + ••• + К — 1) ф„.
Воспользовавшись показательной формой комплексного числа и
230
представляя каждый из сомножителей в виде z—ak = е'П \z—ak\,
формулу (96') представим так:
= Ае*> j | г - а, р \г - а2 Г ... | г - ап \a"~ldz + В*, B. 96")
w
где интегрирование совершается по отрезку вещественной оси.
При этих условиях интеграл (96 ") будет величиной действительной
и положительной, так как ai^z и под знаком интеграла стоят
только положительные величины — степени модулей соответствую-
соответствующих разностей z — ak.
Из формулы (96 ") непосредственно видно, что отрезку а± < х ^
<^ а2 действительной оси области z будет соответствовать на пло-
плоскости w отрезок прямой МгМ2, имеющий начало в точке w = В*
и образующий угол ф + Arg А с вещественной осью.
При дальнейшем движении точки z мы должны обойти точку
а2 по малой полуокружности радиуса q, расположенной в верхней
полуплоскости, так как в точке а2 функция w теряет регулярность.
Как только мы перейдем на участок
величина z — а2 = х — а2, которая на предыдущем участке аг ^
^ х ^ а2 была отрицательной, станет теперь положительной и,
следовательно, аргумент разности z — a2 получит приращение,
равное величине 0 — я = — я, а тогда аргумент множителя
(z — аг) получит приращение, равное
— я (сс2 — 1) = я — сс2я.
Таким образом, на следующем отрезке а2^х^Оз будем иметь
формулу, аналогичную (96"), но только аргумент ф будет иметь
уже новое значение, которое отличается от предыдущего слагае-
слагаемым я — сс2я, т. е. отрезку a2^ x <^ а3 будет соответствовать на
плоскости w отрезок прямой М2М3, такой, что угол, образованный
направлением MiM2 и направлением М2Мз будет равен я — сс2я.
Угол между самими отрезками MiM-2 и М2М3 будет являться
дополнительным к полученному углу и, следовательно, будет
равен
я — (я — сс2л) = сс2я.
Так как радиус q полуокружности, по которой совершался
обход точки а2 (см. рис. 60), можно сделать как угодно малым,
то при q -э- 0 мы убедимся, что точке а2 будет соответствовать вер-
вершина многоугольника Mi.
Продолжая этот процесс дальше, убедимся, что вся действитель-
действительная ось перейдет в контур многоугольника Mi, M2, М3, ..., Мп
231
и при этом конформность отображения будет нарушаться только
в точках аь а2, Оз, ..., ап, в которых -г- либо равно нулю (присед, >
> 1), либо равно бесконечности (при ak < 1).
Точка z = оо, как мы уже выяснили раньше, перейдет в обык-
обыкновенную точку контура многоугольника, лежащую на стороне
MnMi.
Обозначая lk длину стороны MkMk+\, согласно формуле (96)
будем иметь
>—aO^-'tz —oj)"'-1 ... (z-a,f"-ldz , B.97)
причем
an+\ ЕЕ fli.
Итак, как только известны точки аь а2, ..., а„, которые при
отображении переходят в вершины Мь М2, ..., М„, функция,
отображающая полуплоскость z на многоугольник w вполне опре-
определяется интегралом Кристоффеля—Шварца.
Однако обратная задача — по заданным вершинам много-
многоугольника Мь М2, ..., М„ определить константы аь а2, ..., ап,—
которая главным образом и встречается на практике, представ-
представляет очень большие математические трудности, за исключением
тех редких случаев, когда интеграл (96) выражается через элемен-
элементарные функции. Во всех остальных случаях эти константы обыч-
обычно рекомендуют определять из системы уравнений (97) подбором,
что приводит к весьма трудоемким вычислениям. В § 57—58 гл. III
мы рассмотрим более эффективный метод определения констант
интеграла Кристоффеля — Шварца при помощи обобщенных степен-
степенных рядов.
Для того чтобы из системы уравнений (97) исключить постоян-
постоянную А, необходимо предварительно разделить эти уравнения на
одно из них, например, на уравнение при k = 1.
При изменении констант А и В многоугольник будет оставаться
подобным данному и будет подвергаться только преобразованию
подобия и сдвига, т. е. линейному преобразованию.
Поэтому после того как определены константы аь а2, ..., ап,
константы А и В легко определить из соответствия двух каких-
либо вершин многоугольника. К этому вопросу мы еще в дальней-
дальнейшем вернемся.
Поскольку полуплоскость можно отобразить саму на себя
(см. § 35) и при этом три произвольные точки перевести в три на-
наперед заданные точки, то и в интеграле Кристоффеля—Шварца три
константы можно задать вполне произвольно, например можно
всегда положить ai = — 1; a2 = 0; а3 = + 1.
Однако, при этом формула (96) обеспечит только построение
232
а,я
многоугольника с заданными углами, так как величины, харак-
характеризующие углы, непосредственно входят в формулу (96).
Что же касается размеров сторон многоугольника и его место-
местоположения на плоскости w, то эти величины будут определяться
остальными константами ak и константами А и В.
Для того чтобы получить заданный многоугольник, надо будет
еще определить эти величины, с чем мы познакомимся при решении
конкретных задач. Принципиальная же возможность определения
констант ak, А, В вытекает из теоремы Римана (§ 40), согласно
которой существует единственное конформное отображение w =
= / (z) полуплоскости Im z > 0 на
данный многоугольник, переводящее три
данные точки аь а2, а3 действительной
оси в три вершины многоугольника, на-
например в Mi\ M2; М3.
Для этой функции w=f (z) имеет мес-
место формула (96) при надлежащем вы-
выборе а4, а&, ..., ап, А, В.
Следовательно, при данных трех про-
произвольно выбранных значениях ak оста-
остальные параметры существуют и опреде-
определяются единственным способом.
Интеграл Кристоффеля — Шварца осуществляет также отобра-
отображение единичного круга \z\ <^ 1 на внутренность данного много-
многоугольника и при этом формула (96) полностью сохраняет свой внеш-
внешний вид. Только константы интеграла в этом случае принимают
другое значение, а именно, константы аь а^, ..., ап будут теперь
точками единичной окружности \ak\ = 1, соответствующие при
отображении (96) вершинам многоугольника. Этот факт легко про-
проверить, выполнив в интеграле (96) такую дробно-линейную под-
подстановку, которая верхнюю полуплоскость преобразовывает в еди-
единичную окружность.
Отображение верхней полуплоскости на внешность многоуголь-
многоугольника (рис. 61) осуществляется функцией [134, стр. 160—161]
а, я
Рис. 61.
w = A
(z-af(z-af
B.98)
где akn — внешние углы многоугольника (он + ссг + ••• + ап =
= п + 2);
ak— точки действительной оси, соответствующие вершинам
многоугольника;
а — точка верхней полуплоскости z, соответствующая точке
w = со; а — число, сопряженное с а; А и В — постоян-
постоянные величины, имеющие то же значение, что и в случае
внутренней задачи.
233
Для отображения внутренности единичного круга на внеш-
внешность многоугольника имеет место формула
Z
ш = A \(z — ai)ai~[(z — а2)аг~1 ... (z — an)an~l^- + B, B.99)
z2
6
где akn — внешние углы многоугольника (он + аг + ... + а„ =
= п + 2); ak — точки единичной окружности (так что все \ak\ =
==1), соответствующие его вершинам, А и В — коэффициенты, опреде-
определяющие местоположение многоугольника, масштаб и выбор начала
координат в z-плоскости. Кроме того, предполагается, что точке
w = со соответствует центр круга |z| ^ 1.
Отображение внешности единичного круга |z| > 1 на внеш-
внешность многоугольника осуществляется непосредственно интегра-
интегралом (96), в котором, аналогично случаю внутренней задачи, все
o-k ( \ak\ = 1) суть точки единичной окружности, соответствующие
вершинам многоугольника.
В заключение отметим, что вместо выражения «интеграл Кри-
стоффеля — Шварца» часто употребляют в том же самом смысле выра-
выражение «формула Кристоффеля—Шварца».
' В данном параграфе мы по сути не вывели формулу Кристоффе-
Кристоффеля— Шварца, а лишь проверили ее справедливость. Строгий вывод
этой формулы в доступном изложении и ряд интересных примеров
можно найти в книгах [134, гл. II, § 37—38]; [233, т. III, гл. II,
§ 36]; [295, гл. VIII].
§ 42. ИНТЕГРАЛ КРИСТОФФЕЛЯ — ШВАРЦА В СЛУЧАЕ
НЕЗАМКНУТЫХ ОБЛАСТЕЙ
Интеграл Кристоффеля — Шварца позволяет отображать полу-
полуплоскость не только на многоугольник в обычном смысле слова,
но и в различных предельных случаях многоугольников, напри-
например, когда одна или несколько вершин многоугольника уходят
в бесконечность и полученную фигуру только формально можно
назвать многоугольником. Примеры таких многоугольников доволь-
довольно широко распространены во многих технических задачах и, в
частности, в задачах фильтрации.
Выведем предварительно формулу отображения, при котором
одной из вершин многоугольника, например Мп, соответствует
бесконечно удаленная точка. Для этого, выполнив в формуле
(96) преобразование
1 dC
г = ап — -у; dz = -^-;
z = ап при С, = со; при z = U, Q = £0 = —
а
234
будем иметь:
in — fli — -)
+ В = А (аа - ai)ai~l ... (ап- an_,)a«-'-' (- I)"- X
I'1
X
Взяв теперь в качестве нижней границы интеграла число 0 (что
? ° ?
согласно равенству = 1 + сводится к замене постоянного сла-
u L о
гаемого В некоторой другой постоянной В*) и вводя обозначения
А* = А (о» - а1Г~1 .. . (а„ - а^,)"" (- I)"""'.
а также, учтя, что согласно условию (95)
?-2?"^1~Ь^2 ~~Ь • • • Н~ ^и—" f 1
з з з ^»
получаем окончательно
I
w= A* \ (£ — а*)а'~' (^ — а*)™2 ... (£ — а^_,)а"—I—Id£ + В*- B.100)
о
Таким образом, если одной из вершин заданного многоугольника
соответствует бесконечно удаленная точка ап = оо, то относя-
относящийся к этой вершине множитель выпадает из формулы Кристоф-
феля — Шварца.
Этим обстоятельством на практике часто пользуются для упро-
упрощения интеграла Кристоффеля — Шварца, как мы увидим на при-
примере 1, рассмотренном в конце этого параграфа.
Перейдем теперь к интересующему нас случаю, когда одна или
несколько вершин многоугольника лежат в бесконечно удаленной
точке, т. е. когда многоугольник будет незамкнутым.
Пусть вершина Ми многоугольника Д лежит в бесконечно уда-
удаленной точке области w.
Возьмем на лучах Mk-i Mk и Mk+\Mk две произвольные точки
M'k и М"к, соединим их отрезком прямой и рассмотрим получен-
полученный обычный (п + 1) = угольник Д* (рис. 62). Функция, отобра-
235
жающая полуплоскость на многоугольник, будет выражаться ин-
интегралом Кристоффеля — Шварца (96):
2 „
„ ■ a'h — I afc — I
-a^'1 ... (z-a'k) k {z-a"k) ... (z-
где ak, a"k — измеренные, как и обычно, в долях я углы при вер-
вершинах Mk, Mk и ak, ak — точки действительной оси z, соответ-
соответствующие этим вершинам.
Пусть теперь отрезок М'к М\ удаляется в бесконечность, оста-
оставаясь параллельным самому себе. При этом точки ак и ак сли-
сливаются в одну точку ак, соответствую-
соответствующую вершине Мк = °°, и тогда в пре-
^ деле получим, что
Обозначим через
-акп
взятый со знаком минус угол пересечения лучей Mk—\Mk и Mk+\Mk
в конечной точке Mk- Тогда из треугольника Mk Mk Mk имеем
а'кл 4- «*я — akn ~ я,
откуда, сократив на л, находим:
a* + a* = «ft + 1 или ak + ak — 2 = a* — 1
и написанный выше интеграл принимает свой обычный вид
о
Это же рассуждение повторяется дословно и в случае, когда в
бесконечности лежат несколько вершин многоугольника.
Таким образом, формула Кристоффеля — Шварца остается в силе
и для многоугольников, у которых одна или несколько вершин
лежат в бесконечно удаленной точке, если при этом угол между
двумя прямыми с вершиной в бесконечности определяется как
угол в конечной точке их пересечения, взятый со знаком минус.
Отметим, что при таком определении угла в бесконечности оста-
остается справедливой и формула (95).
236
Действительно, для обычного (п + 1)-угольника Д* имеем
«1 + о* + • • • + % + a"k + ■■■ +ап = (п+ \)—2.
Заменяя теперь по доказанному выше ak + ocft = ccft + 1 полу-
получаем для «-угольника, вершина которого Mk находится в бесконечно
далекой точке, прежнее условие (95):
+ «2 + ... +
ап = п — 2.
Пример 1. Отобразим полуплоскость г на полуполосу w, ширина кото-
которой равна я (рис. 63).
В данном примере рассматриваемым многоугольником является треугольник
(вершины которого мы перенумеровали) с вершиной 3, находящейся в бесконечно
далекой точке.
Рис. 63.
Углы, измеренные в долях п.. для этого треугольника будут:
1
I = ТГ . аз = 0.
Так как три константы интеграла Кристоффеля — Шварца мы можем выбирать
произвольно, то положим
Тогда имеем случай, рассмотренный в начале этого параграфа, и согласно формуле
A00), опуская в обозначениях звездочки, имеем
z _L_ [ 1
+ 1) 2 (г — 1) 2 dz + В
или, вынося (—1) из второго множителя и включив величину (—1) '/* = — ( в
состав не определенного еще множителя А, получим х
w = A
dz
V 1 —
в.
1 Строго говоря, мы должны при этом ввести новый множитель А* = — «А.
Но так как А* подлежит еще определению, то мы новый множитель обозначим
прежней буквой А.В дальнейшем в подобных случаях мы не будем уже делать ого-
оговорок.
237
Выполнив интегрирование, находим
w = A arcsin г+ В.
Определим константы А я В, что легко сделать из соответствия точек / и 2 (как
и прежде, в различных областях соответствующие точки мы всегда обозначаем
одними и теми же цифрами).
Точка 1. В этой точке w = =-, z =— 1, arcsin (—1) = ^~,
так что из полученной формулы имеем:
Точка 2. В этой точке w= +-5-. z = + 1, arc sin 1 =-5-, так что
Решая эти два уравнения, находим
5 = 0, А= 1,
и, следовательно, отображение полуплоскости z на полуполосу w,
ширина которой равна я, осуществляется функцией
w = arcsin z. B. 101)
Если ширина полуполосы будет равна величине 2Ь, то, повторяя
выкладку (рекомендуем это сделать читателю в виде упражнения),
найдем
5 = 0, Л = ^.
я
и отображающей функцией будет
w = Щ-
Обращая уравнение A01'), видим, что функция
w = Щ- arcsin z. B. ЮГ)
z = sin-^ B.102)
отображает полу полосу w, ширина которой равна 2Ь на полу-
полуплоскость z, причем вершины полуполосы — b и + Ь переходят
в точки z = — 1 и z = + 1 • При b = -у имеем
z=sinw. B.102')
Если область w сдвинуть на рис. 63 вправо на величину -^, т. е.
если произвести замену w -> w + -к , то из A02') получим
z = cos w. B. 103)
238
Следовательно, функция z = cos w отображает полуполосу w
шириною я, левая грань которой совпадает с мнимой осью Ov,
на верхнюю полуплоскость.
Этот же результат можно непосредственно получить из инте-
интеграла Кристоффеля—Шварца, определив теперь А и В из нового
соответствия точек 1 и 2: (zi = — 1; Wi = 0), (г2 = + 1; щ = я).
Пример 2. Отобразим единичную окружность |ш| < 1 на полосу г,
представленную на рис. 56 § 39, при нормировке, определяемой соответствием
одной внутренней точки: ш=0, г = 0 и одной граничной точки wD = i, zD — iH.
Полосу г мы можем рассматривать как двуугольник с углами ai = аг = О
в бесконечно удаленных вершинах / = Л и 2 = С. В данном примере мы отобра-
отображаем единичный круг на многоугольник. Поэтому, согласно результатов, приве-
приведенных в конце § 41, в качестве констант интеграла Кристоффеля—Шварца для
двуугольника мы можем выбрать две точки
a-i = — 1, а2 = + 1,
которые лежат на единичной окружности \w\ = 1. Тогда, меняя ролями, согласно
рис. 56, переменные w и г в интеграле Кристоффеля — Шварца (96) и учтя, что в
данном примере ai — 1 = аг — 1 = —1, получаем для искомого отображения
= А \
—
(w+\)(w-\)
о
1 +w)(\-w)
о
В.
Отсюда, разлагая подынтегральное выражение на простейшие дроби и вы-
выполняя интегрирование, имеем
W
1 1 _ А* l+w
+ w) ' 2A— w)\ ~~ 2 \—w
z — А* \\ 1 : I dw + В = -^— 1п •1-: Ь В. B. 104)
о
Константы А* и В определяем из условия нормировки. Подставив
1 - 1 . ТО)
в A04) значения z = 0; w = 0; In } ^__w = In 1 =0, находим
B = 0.
Точка D. В этой точке z = /Я; ю = /; следовательно,
1 +w __ 1 +г _ A -НJ_ 1 + 2t + i2 _ ■
T=1F~ \-i ~ I-»2 2 ~г'
я
, 1 + Ш , . , 2 .Л
1п 1—'— = 1пг = 1пе =г-о-
1 — W £
и тогда согласно A04), учтя, что В = 0, имеем
А* . я А* 2Н
Ш = -у • i ^ > откуда ~y = — •
239
Подставив найденные для А* и В значения в A04) и восполь-
воспользовавшись последней из формул A.164) § 23, получаем оконча-
окончательно
2Я , 1+w
Ш
£.11 1 1 T^ W ^-11 * i.1
= — In т-^-— = — Arth w,
B. 104')
что полностью совпадает с формулой (92'), выведенной в §39 другим
яг
путем. Обратив A04'), получаем функцию w = th-^-, отображаю-
отображающую полосу z на единичный круг \w\ ^ 1.
В рассматриваемом примере представляет еще интерес просле-
проследить за обходом в плоскости z бесконечно удаленных точек А и С.
При движении точки w по единичной окружности | w \ ^ 1
для модуля и аргумента величины . _w будем иметь (см. рис 56)
0<
1 +W
1 — W
B. 105)
При этом модуль достигает своего наименьшего и наибольшего
значений в точках w = ± 1, а аргумент представляет собою угол,
под которым видны точки ш = i 1 из произвольной точки еди-
единичной окружности \w\ = 1. Этот угол, как вписанный угол, опи-
опирающийся на диаметр, может принимать только два значения:
±-у» когда точка w соответственно движется по верхней полуокруж-
полуокружности A'DC или по нижней полуокружности ABC. В самих точ-
точках Аи С величина arg (, ) претерпевает разрыв непрерывности,
как было уже для аналогичного случая рассмотрено в § 38.
Воспользовавшись теперь этими результатами и формулой
A.143) § 21, согласно A04') получаем для точек самой единичной
окружности \w\ = 1:
1 — W
4- i — I =
±г 2 f
In
1 +w
1 — w
или
X =
In
1 + w
1 — w
у=±н,
± m, B. Ю6)
B. 106')
где знак плюс соответствует верхней полуокружности (v > 0),
а знак минус — нижней полуокружности (v < 0). Следовательно,
если на рис. 56 точка w будет двигаться по единичной окружности
из D в А' (оставляя область слева), то ее образ в плоскости г будет
двигаться по прямой у = + Н из точки D в точку А' (также остав-
оставляя область слева). При переходе от точки А' к точке А в области
240
wзначение arg
изменяется скачком от величины +-|к вели-
величине —y> что согласно A06) приводит в области z к переходу с
верхней прямой у = + Я на нижнюю прямую у = — Я, т. е. к пе-
переходу от точки А' (— со) к точке А (— ос). Продолжая двигаться
по границе областей w и z в положительном направлении (т. е. в
направлении, при котором каждая из областей остается слева),
мы, пройдя точки В (для которых wB = — i, zB — — г'Я), прихо-
приходим в точку С. Обход точки С в области w возвращает значение
arg \yzi~) к величине + -к-> а в области z обход точки С снова при-
приводит на верхнюю границу полосы у = + Я. Продолжая это дви-
движение дальше, приходим в исходные точки D.
В дальнейшем мы еще неоднократно будем пользоваться инте-
интегралом Кристоффеля—Шварца в частности, в следующих парагра-
параграфах с его помощью мы изучим важные для приложений эллипти-
эллиптические интегралы и эллиптические функции, а также конформные
отображения ими осуществляемые.
§ 43. ОТОБРАЖЕНИЕ ВЕРХНЕЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ
НА ПРЯМОУГОЛЬНИК
Пусть в плоскости w дан прямоугольник со сторонами 2К и К',
расположенный, как показано на рис. 64. Пусть, далее, его верши-
вершинам в полуплоскости Im z > 0 соответствуют точки—-г-, —1,
L
4
It
Рис. 64.
+ 1, + — (где 0 < k < 1), которые мы обозначим теми же циф-
цифрами, что и соответствующие вершины многоугольника.
В данном случае будем иметь
1
а! = а2 = а3 = а4 = -^
'6 п. Ф. Фильчаков
241
так что согласно формуле Кристоффеля—Шварца (96) функция,
отображающая верхнюю полуплоскость Im г > 0 на внутренность
прямоугольника w, будет иметь следующий вид:
w =
dz
или после упрощений
z
w = A \ ■ . r 4- C,
J
где обозначено А = & Л*.
Положив вначале для простоты А = 1, С = 0, исследуем на
какой именно прямоугольник отобразится полуплоскость Im z > 0
при помощи функции
z
ш (z) = f -т dz =. B. 107)
w J V^(l —z2)(l —ftaz2) V '
Как ни прост по виду интеграл A07), но он не выражается при
помощи элементарных функций, так как не существует ни одной
элементарной функции (или их комбинации), производная которой
равнялась бы подынтегральному выражению.
Этот интеграл получил название эллиптического интеграла
первого рода в канонической форме Лежандра или короче эллип-
эллиптического интеграла первого рода *.
На основании общих результатов § 41 можем утверждать, что
эллиптический интеграл первого рода есть аналитическая функция.
регулярная всюду в верхней полуплоскости, кроме точек г-.
— 1, + 1, +-Т-, которые являются ее точками разветвления. Эти
точки называются также критическими точками,— в них произ-
производная рассматриваемой функции, равная подынтегральному вы-
выражению
^ Х ■ B.108)
dz /(I— 22)A— k*Z*)
обращается в нуль.
1 Название возникло в связи с тем обстоятельством, что с этими интегралами
впервые встретились при определении длииы дуги эллипса и несколько позже при
изучении колебаний эллиптического маятника.
242
Изучим подробнее интеграл A07), который является функцией
своего верхнего предела z и в области регулярности, т. е. в верхней
полуплоскости с исключенными точками г-, — 1, + I, +-jr >
не зависит от пути интегрирования (см. гл. I, § 24).
При z = 0 будем иметь w = 0, так как точка z = 0 является
регулярной точкой нашей функции.
Положим теперь, что при z = 0 радикал имеет знак плюс и про-
произведем интегрирование вдоль положительного направления по-
полуоси х.
Когда z = х изменяется в промежутке 0 < х < 1, подынтеграль-
подынтегральная функция будет действительным положительным числом и,
следовательно, интеграл будет также действительным положитель-
положительным числом.
Хотя мы и не можем выразить интеграл A07) через элементар-
элементарные функции, но вычислить его значение для любого регулярного
z при фиксированном k мы можем с любой степенью точности, вос-
воспользовавшись какой-либо формулой численных квадратур.
Например, в табл. 12 приведено вычисление эллиптического
интеграла первого рода для значений z = 0,1 и z = 0,2 при k =
= 0,5 по формуле Симпсона, которая в рассматриваемом случае
(для действительных значений z = x) будет иметь следующий вид
[9; 104; 281]:
w(z)=\f (z) dz=-e-[f (z0) + 4/ (zO + 2/ (z2) + ... +
t) Oil
о
+ 2/ (z«-2) + 4/ (*„_,) + / (zj], B. 109)
где
l
У A— 22)A —
z0, zi, Z2 z,,—точки, делящие промежуток 0—z на равные
части,
п — число частей (в формуле Симпсона п должно
быть четным).
Для значения z = 0,1 (при п = 2 и k= 0,5) имеем
w @,1) = М [/ (Zo) + 4/ (Zl) + / (г2)] = 0,10021.
Для значения z = 0,2 при п = 4:
ш @,2) = Й [/ (z0) + 4/ (Zl) + 2/ (z2) + 4/ (zs) + / (z4)] = 0,20170.
Мы ограничились вычислениями с пятью десятичными зна-
16* 243
ками, более точные вычисления при помощи рядов дают:
ш@,1) = 0,1002093; ш@,2) = 0,2016969.
Таким образом, все вычисленные у нас цифры верные.
Таблица 12
п
0
1
2
3
4
гп
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,0000
0,0025
0,0100
0,0225
0,0400
1,00000
0,99750
0,99000
0,97750
0,96000
х-кЧп
1,00000
0,99938
0,99750
0,99438
0,99000
V (i-z2)(i-^)
1,00000
0,99844
0,99374
0,98590
0,97488
1,00000
1,00156
1,00630
1,01430
1,02577
При z -> 1 подынтегральная функция /(z)->oo, однако ин-
интеграл w(z) будет существовать как несобственный (так как поря-
порядок бесконечности в данном случае равен г/2).
Обозначая
или, короче,
к =
dz
A-г2H-
B. 110)
B. ПО')
видим, что функция A07) отображает промежуток действительной
оси 0 $ z S; 1 на промежуток действительной оси 0 ^ w ^ К
области w.
При этом функция w растет монотонно от нуля до величины К —
полудлины горизонтальной стороны прямоугольника. Таким об-
образом, мы изучили пока поведение функции на участке 0 — 2
(рис. 64). Перейдем к изучению поведения функции на остальных
участках границ отображаемых областей.
Участок 2—3. При переходе z = х на следующий участок дей-
действительной оси полуплоскости z
необходимо прежде всего совершить обход особой точки z =
по полуокружности малого радиуса q.
При этом из всех сомножителей подынтегрального выражения:
A —z) A + z) (I — kz) (I4- kz) только сомножитель A —z)
при переходе величины z < 1 в величину z > 1 изменит свой знак
244
на обратный, т. е. аргумент сомножителя A —■' z) уменьшается на
величину я, аргумент корня |/"A —z) уменьшается на -^-, а аргу-
аргумент подынтегральной функции / (z) увеличивается на -|-.
В связи с этим для того, чтобы под радикалом снова иметь поло-
положительную величину для значений z = x, необходимо преобразо-
преобразовать подынтегральное выражение для участка 1 ^ z г; — следую-
щим образом:
— z2)(l — /e2z2) = ]/"—(z2 — 1)A — &2z2) =
= i V(z2— 1)A— /e2z2).
Поэтому, когда z = * будет находиться в промежутке
функция w (z) принимает такой вид:
_ Г ^ . Г dz
W ~ о/A — z2)(l— kV) J У (z2—1)A — й2г2)
или, учтя (ПО'),
z
a>(z) = /r + »f /-— ^ • B.111)
V J /(г2— 1)A — Й222) V
Теперь подынтегральная функция и сам интеграл в A11) опять
будут числами положительными. Но так как интеграл умножается,
на i, то изображение точки действительной оси z из промежутка
1 =S z :<; — будет располагаться в плоскости w все время на прямой
параллельной мнимой оси Ои.
Вводя обозначение
im \
(z2— 1)A — kV)'
или, короче,
B.112)
k
dZ —, B.112')
1
245
видим, что функция A07) промежуток действительной оси
отображает на сторону прямоугольника B—3):
w = K + iv, где 0 s£ v ^ К'.
Участок 3 — В — 4. При переходе z — х на участок
-г =S X ^ со
к
аргумент подынтегральной функции снова возрастает на величину
-у и для того чтобы под радикалом иметь положительную величину
мы должны его преобразовать следующим образом:
= i2 V(z2 — 1) (&2z2 — 1).
Поэтому, когда z = х будет изменяться в промежутке
функция да (z) примет вид:
1 k
да (z) = \ . + l \
j , ,. -1)(й2г2-1)
T
или, учтя (НО'), A12'), и что г2 = — 1, получим
z
= К + г/С' — f %== . B. 113)
^ J /B2-1)(й%2-1) v '
Исследуем поведение функции да(г) в точке z = со. Согласно
формуле (ИЗ) для z = оо имеем:
dz
246
Произведем подстановку
Z =
Тогда при z =-г имеем t = 1; при z = оо, t =
_ j_. <и
так что
dt
00 0
1 kfl
о
1
Меняя пределы интегрирования (что изменяет знак интеграла
на обратный), видим, что полученный интеграл отличается от ин-
интеграла (ПО') только переменной интегрирования, от которой
величина определенного интеграла не зависит, следовательно,
00
С dz
= А,
!-1)
и тогда для точки z = со имеем
ш (со) = К + iK! — К = г'Л". B. 114)
Таким образом, бесконечно далекая точка z = оо функцией A07)
отображается в точку w = iK', лежащую на середине стороны
E—4) прямоугольника w, т. е. точка z = оо является регулярной
точкой эллиптического интеграла первого рода.
Продолжим интегрирование дальше для промежутка
Так как подынтегральная функция в этом промежутке остается
такой же, как и в промежутке -г ^ z ^ + со, то интеграл A07)
в рассматриваемом случае запишется в следующем виде:
Z
w (z) = iK' — f dZ = . B. 115)
00
247
Последний интеграл для указанного промежутка есть число поло-
положительное, которое при z-+—г-стремится к К, в чем легко убе-
убедиться, как и выше, применив подстановку z = —-гт .
В силу изложенного, перемещение точки z от — со до
—т- изобразится в плоскости w дальнейшим перемещением точки w
вдоль стороны прямоугольника E—4) от точки В (w = iK') До
точки w = — К + iK', которая является образом точки z = —г-
действительной оси полуплоскости Im z > 0.
В целом участок действительной оси z = х
отображается функцией A07) на сторону прямоугольника E—4):
w = u + iK', где /С> и > — /С,
причем бесконечно далекой точке z = ± °° (которую, как неодно-
неоднократно уже подчеркивалось, мы рассматриваем, как одну точку
комплексной плоскости z) соответствует единственная точка В
(рис. 64):
W (± со) = i/C'.
Участок 4—/. Новый обход по полуокружности точки z = ^
приведет к новому увеличению аргумента подынтегральной функ-
функции на величину -у и поэтому при переходе z = x на участок
представим радикал следующим образом:
i2 V(z2— l)(/e2z2— 1) = i3 |/"(z2
Отсюда интеграл A07) для промежутка
может быть представлен так:
Z
w(z) = —K + iK'—i f -7=М=. B.116)
248
Интеграл в формуле A16) есть число действительное и при z -> — 1
стремится к величине К'■ Действительно, сделав подстановку z =
= — t, dz = — dt, и учтя равенство A12'), имеем
V lit, 1\ /1 ЪЦ1\ V Ifi 1 W1 £>2/2\
/(г2— 1)A —
Поэтому при z = — 1 согласно A16) w(z) = —К и, следова-
следовательно, точка w вернулась на действительную ось. Всему же рас-
рассматриваемому промежутку
действительной оси z = x соответствует сторона прямоугольника
D-1):
w = —K + i(K'—v), где 0 s£ v ^ К.'■
Участокг 1—0. Последний обход точки z = — 1 по полуокруж-
полуокружности приведет еще раз при движении вдоль границы области w
к повороту на угол-^-, а радикал в подынтегральной функции при-
примет свой первоначальный вид:
так как г4 = + 1.
Благодаря этому при переходе z = x на участок
— 1 ^д:г£0
интеграл A07) будет равен
Z
тG) = — К+ С йг B.117)
—i
Та же подстановка z = — t убеждает нас, что при z -> 0 интеграл
о
\ — - = К и, следовательно w @) = 0, т. е., совер-
шив полный обход всей границы полуплоскости Im z > 0, мы
пришли к первоначальному значению функции
w @) = 0
1 Участки (] — 0) и @ — 2) являются по сути одним участком A — 2), кото-
который мы рассматривали раздельно только из методических соображений.
249
Последнее обстоятельство имеет для нас важное значение:
путем последовательного интегрирования мы убедились, что гра-
граница верхней полуплоскости Im z > 0 (т. е. действительная ось
х) отображается в плоскости w в виде замкнутой фигуры,— прямо-
прямоугольника со сторонами, имеющими длину- 2К. и К'■
Таким образом, в силу принципа соответствия границ функция
A07)
действительно отображает верхнюю полуплоскость на прямо-
прямоугольник конформно, однозначно и непрерывно.
Проведенные исследования можно сократить, если восполь-
воспользоваться принципом симметрии. Для этого надо при помощи под-
подстановки z — iy показать, то интеграл A07) отображает мнимую
ось Оу на прямолинейный отрезок ОВ области w. Установив затем,
как было изложено выше, что положительная полуось Ох @—2—3—
—со) отображается функцией A07) на правую половину границы
прямоугольника 0—2—3— В и отразив зеркально первый квадрант
z в оси Оу, а его образ w в отрезке ОВ, в силу принципа симметрии
распространяем результат на всю верхнюю полуплоскость z и на
весь прямоугольник w A—2—3—4).
В общем случае при произвольных А и С функция
w*
z
(г) = A f dl = + С = Aw (z) + С,
которая получается из функции A07) при помощи линейного пре-
преобразования, будет отображать полуплоскость на прямоугольник,
подобный прямоугольнику, изображенному на рис. 64.
При этом (см. § 32) константа С определяет собою положение
центра прямоугольника, а константа А определяет его размеры
и угол наклона горизонтальной стороны прямоугольника к дей-
действительной оси.
§ 44. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФУНКЦИИ
Рассмотренный в предыдущем параграфе эллиптический инте-
интеграл первого рода A07), который играет важную роль при решении
мнс^Рих технических задач, обычно обозначают буквой w = и +
dz
w = \ —.=
0
250
Вводя новую переменную
z = sina; . B.118)
dz = cos ada; УI — z2 = УI — sin2 a = cos a
и обозначая эллиптический интеграл первого рода более распро-
распространенным символом w = F (a, k), получаем
a
F(a,k) = f , da B.119)
' J /1 _ £2 sin2 a V ;
Эта форма эллиптического интеграла называется тригонометри-
тригонометрической.
Величина a = arcsin z называется амплитудой, а величина
k — модулем.
Символ F (a, k) и показывает, что эллиптический интеграл пер-
первого рода зависит от двух величин: от амплитуды а и от модуля k.
При этом обычно модуль рассматривают как параметр, а ампли-
амплитуду как независимое переменное.
Иногда эллиптический интеграл первого рода обозначают сим-
символом F (а), опуская для краткости записи модуль k.
В дальнейшем мы всегда можем считать, что
JfesS 1.
Действительно, если модуль эллиптического интеграла w больше
единицы, то его вычисление легко свести к тому случаю, когда
модуль меньше единицы. Для этого необходимо в интеграле
(k > 1)
произвести замену переменных, положив
t , l ,
d d
в результате чего интеграл представится в виде
t
dt
If dt , С
о 1 / A )A P) о
где
Вместо модуля k часто вводят в рассмотрение другой параметр —
модулярный угол б, который определяется равенством
/г = sine, (/г<1). B.120)
251
На рис. 65 представлено семейство графиков интеграла F (a, k)
как функции амплитуды а и параметра k. При k = 1 и а-*-90°
величина F (a, k) стремится к бесконечности; для всех остальных
значений а и k величина F (a, k) ограничена.
При k = 0, как следует из формулы A19),
F (а, &) = а = arc sin z.
6-90У70'б8*
50'
40'
ЗСГ
20"
МО'
0*
з"
у
//
/,
//,
/
щ
'А
//
V/
''/
%
)l
'//
1/
V
ft
.
II
'//
/
/
/
1
1
/
V
/
/
'/
/
/
/
20
1
\
\
\
к
к1
\
\
1
\
>
—»
\
/
Л
\
)
/
\
\
J
1
Рис. 65.
0.5
Рис. 66.
I,
Если амплитуда а = 90° (т. е. а = -=- радиан), то интеграл
F (a,k) называется полным эллиптическим интегралом первого рода
и обозначается
или просто К'.
■(*• *)
B.121)
К
z
B. 121')
Полный интеграл K(k) есть функция только своего модуля
(рис. 66).
При k = 0 имеем К=~^-= 1,5708... При увеличении модуля
величина К монотонно растет, и при k = 1 полный эллиптический
интеграл первого рода К = °°.
Наряду с модулем k рассматривают также дополнительный мо-
модуль, который обозначают k' и определяют равенством
# + /г'2 = 1 или k' = + j/T^2. B.122)
252
Из равенства A20) непосредственно следует, что модулярный
угол б', соответствующий модулю k', будет дополнять угол б до
прямого. Действительно,
sin б' = k' = У\ — /г2 =]/1 —sin26 = cos6,
откуда и следует, что
б + б' = 90°. B.123)
Полный эллиптический интеграл первого рода, взятый при
дополнительном модуле k', обозначается той же буквой К, но со
штрихом:
K' = K(k') B.124)
или
я
Т
Г da
J У \ — A sin2 о
т. е. К' является той же самой функцией от k'', что и К от k.
В предыдущем параграфе уже были определены формулами
(ПО') и A12') величины К и К'- Докажем теперь, что формулы
(ПО') и A12') эквивалентны формулам A2Г) и A24').
Произведем в формулах A2Г) и A24') замену
sin a = z,
тогда
dz dz dz
cos ada = dz; da =
cos а у I— sin2 a К 1 — г2
it
и так как при a = 0 z = 0, а при a = ~ z= 1, то из формул A2Г)
и A24') получаем:
о
1
B. 124")
J
Эквивалентность формул (ПО') и A21') доказана. Для того,
чтобы доказать эквивалентность формул A24") и A12'), введем
новую замену переменных
t= ' B.125)
253
Решая это равенство относительно z2, имеем
откуда
Z =
k't ' k't2 у t* — i'
Далее, учтя, что k'2 — 1 — k2, находим
1 _ 2= 1 г2— 1 _ й'2^ __ (fa _ l) _ A — Jfeg) fa — fa _|_ i _ 1 —
Z "" k'2f> ~ k'2fi ~ 2t* ~~ k2
Внося полученные результаты в формулу A24") и учитывая, что
согласно подстановке A25) новыми пределами интегрирования бу-
будут величины
t = 1 (при 2 = 0) и t = —== = -г (при 2 = 1), находим
yik'2 к
' = f -JTdt . = С ■ д . B. 124'")
J Й72У f2— 1 • У 1 — k4* J V(f2— 1)A— и2;2)
Полученная формула A24'") отличается от формулы A12') только
переменной интегрирования, от которой величина определенного ин-
интеграла не зависит, следовательно, эти формулы эквивалентны.
Таким образом, из результатов § 43 вытекает, что эллиптиче-
эллиптический интеграл первого рода F (a, k) отображает верхнюю полу-
полуплоскость на прямоугольник, длина сторон которого определяется
значениями полных эллиптических интегралов при данном модуле
k и равна 2К{Щ и К'(k).
Изменяя значения k, получим прямоугольник с каким угодно
значением отношения его сторон, начиная от 0 и кончая оо.
Эллиптическим интегралом второго рода в канонической форме
Лежандра называется интеграл
8B; k)^\YX-=^dz. B.126)
о
Этот интеграл, так же как и интеграл первого рода F B; k), не
выражается в общем виде через элементарные функции.
Применяя подстановку
г = sin a,
из которой следует, что
dz
dz = cos ada = Vrl — sin2 a da или ■ , ■ = da,
V 1 — г2
254
приводим интеграл A26) к тригонометрической форме
а
(а; k) = jVl— £2 sin2 а da.
B.127)
Величина k так же, как и прежде называется модулем эллипти-
эллиптического интеграла, а а — его амплитудой.
Если модуль k больше единицы, то, производя в интеграле
A26) замену
t
получаем
Воспользовавшись теперь равенством 1 = k2 + k'2 представим
числитель подынтегрального выражения в виде
1 — р = k'2 + & — t2 = k'2 + k* (i — -^-
Подставив этот результат в предыдущее равенство, имеем
dt
ИЛИ
8 (z; k) = k~F (t; 1) +
t; |),
A. 128)
где t = kz.
Таким образом, при k > 1 эллиптический интеграл 8 (г; k)
выражается через эллиптические интегралы первого и второго
рода, модуль которых ki = -г меньше единицы.
Для положительных значений модуля, меньших единицы, и
для амплитуды в пределах от 0 до 90°, Лежандр построил десяти-
десятизначные таблицы значений интеграла второго рода. Эти таблицы
вместе с десятизначными таблицами для F (а; б) содержатся в мему-
аре Лежандра [356]. Ввиду чрезвычайной редкости этого издания
255
Пирсоном были изданы в 1934 г. таблицы (Л. М. Legendre, Tables
of the Complete and Incomplete Elliptic Integrals with an Introduc-
Introduction by K- Pearson, London, 1934), представляющие фотографи-
фотографическое воспроизведение таблиц Лежандра. В дальнейшем эти таб-
таблицы воспроизводились многими авторами с сокращением до 4,
5 или 6 знаков, например, [209], [226].
Модуль в этих таблицах представлен в тригонометрической
форме: k = sin 6. Значения 8 (a; k) — 8 (а; б) даются с шагом
в 1° в интервалах 0 ^ а ^ 90° и 0 ^ б<90°.
г,ог
',5
1,0
0,5
W
2озо-
60'
Ж
во-
Ж
1,6-
f 4
! Ч
u-
J Л —
-—
/
/
/
\
/
\
>
\
/
\
\
10 20 30 АО 50 60 Ю 80 90'
-а
Рис. 67.
0.5
Рис. 68.
На рис. 67 построены графики функции 8 (а; б), из которых
видно, что величина модуля сравнительно слабо влияет на величину
эллиптического интеграла второго рода. Поэтому в пятизначных
таблицах 8 (а; 6), например, в книге Ю. С. Сикорского [226], моду-
модулярный угол дается с шагом в 5°.
Если амплитуда а = 90° [т. е. а = ~- радианов1), то интеграл
8 (a; k) = 8 (г; k) называется полным эллиптическим интегра-
интегралом, который уже есть функция только модуля k и обозначается
Е (k) или короче Е:
Л
~2
jjj^. B.129)
о о
На рис. 68 представлен график функции Е (k).
Полный эллиптический интеграл от дополнительного модуля
k' = У 1 — №, которому соответствует модулярный угол б' = -^--—
— б, будем обозначать Е':
Е' = Е' (k) = Е (£'). B. 129')
256
При k -*- 1 интеграл Е (k) -=>- 1, но lim K(k) = со. Поэтому для
увеличения точности таблицы значений k ее шаг по мере приб-
приближения модулярного угла б к 90° уменьшается.
Например, в табл. 3 из книги [226] для интервала 0 ^ б ^ 70°
шаг 1°, для интервала 70° $ б ^ 80° шаг 30', а затем шаг равен
12', что надо учитывать при интерполировании.
Отметим попутно, что в хорошо изложенной и доступной для
широких инженерных кругов книге Ю. С. Сикорского [226] в таб-
таблицах полных и неполных эллиптических интегралов первого и вто-
второго рода, к сожалению, имеются опечатки. Ниже приведены исправ-
исправленные значения, которыми надо заменить ошибочные значения,
помещенные в этих таблицах.
В табл. 1: F G2°; 2°) = 1, 25693; F B6°; 26°) = 0,45671; F (90°;
26°)= 1, 65570; ^(ЗЗ0; 36°) = 0,58677; F F3°; 43°) = 1,19963;
/="F0°; 44°) = 1,13829; F (80°; 44°) = 1,59806; F F3°; 45°) =
= 1,20926; F G3°; 55°) = 1,53155; F B8°; 65°) = 0,50534;
F E8°; 66°) = 1,18647; F D8°; 67°) = 0,93262; F E7°; 69°) =
= 1,17062; F F1°; 71°) = 1,29720; F F2°; 71°) = 1,32857;
F (84°; 77°) = 2,45166; F C8°; 78°) = 0,71507; F D9°; 87°) =
= 0,98328.
В табл. 2: 8 E3°; 25°) = 0,90481; 8 E4°; 25°) = 0,92122;
8 E5°; 25°) =0,93761; 8 E4°; 35°) = 0,90264; 8 F7°; 55°) =
= 1,01674; 8 (81°; 80°) = 1,00958; 8 (86°; 90°) = 0,99756.
В табл. 3: К D5°) = 1,85407; К (87°36') = 4,56090; К (89°36') =
=6,35088; К (89°48') = 7,04398.
Данные исправления были нами сделаны в процессе выполнения
текущих работ с помощью этих таблиц, т. е. более или менее слу-
случайно, так что, по-видимому, этот список не является полным.
Кроме эллиптических интегралов первого и второго рода,
встречаются еще эллиптические интегралы третьего рода, которые
в канонической форме Лежандра имеют следующий вид:
Z
П (г; л; k)=[ Г dz = . B.130)
При помощи подстановки
г = sin a
этот интеграл приводится к тригонометрической форме
а
П(а; л; k) = f d" . B. 130')
v ' J A + n sin2 a) V 1 — й2 sin2 a
Если а = -й-, интеграл называется полным и обозначается символом
П (n;k).
17 п. Ф. Фильчаков 257
Для полных эллиптических интегралов третьего рода имеются
таблицы, составленные С. Неитап'ом. Эти таблицы приведены в
книге Ф. Б. Нельсон-Скорнякова [167; Приложение I).
В этой же книге в Приложении XVII содержатся формулы при-
приведения для неполного эллиптического интеграла 3-го рода, выра-
выражающие его через полный интеграл 3-го рода и другие табулирован-
табулированные функции, т. е. позволяющие производить вычисление интеграла
П (а; п; k) при помощи таблиц полных интегралов П (п; k).
В настоящее время издан двухтомный труд: В. М. Беляков,
Р. И. Кравцова, М. Г. Раппопорт, Таблицы эллиптических интег-
интегралов, т. I и II. Изд-во АН СССР, М., 1962, 1963.
В этих таблицах, общий объем которых превышает 1500 стр.,
вычислены с семью значащими цифрами как полные, так и непол-
неполные эллиптические интегралы первого, второго и третьего рода,
а также содержатся некоторые другие вспомогательные таблицы.
Ознакомившись с эллиптическими интегралами, введем теперь
понятие об эллиптических функциях, которые в некотором отноше-
отношении подобны тригонометрическим функциям и являются их обоб-
обобщением.
Отметим предварительно, что тригонометрические функции,
например, г = sin w можно получить при помощи так называе-
называемого обращения интегралов.
Рассмотрим интеграл
=агсзшг, B.131)
величина которого w является функцией верхнего предела инте-
интеграла z. Будем рассматривать обратную функцию, т. е. будем рас-
рассматривать верхний предел г как функцию величины интеграла w.
В результате получаем однозначную, регулярную и периодическую
функцию
г — sin w.
Говорят, что эта функция получена путем обращения интеграла
A31).
Точно так же, если возьмем эллиптический интеграл первого
рода
С йг
= \ =_ ,
w =
J
то в результате его обращения, как оказывается, получается ана-
аналитическая однозначная функция г = f (w).
Эта функция, однако, будет уже мероморфной, а не целой, как
z = sinw и будет обладать не одним, а двумя существенно различ-
различными периодами, что мы выясним в дальнейшем.
258
а
w =
Остановимся на рассмотрении эллиптического интеграла первого
рода в тригонометрической форме:
а
= \ r da , @ < k < 1). B. 132)
J /1-й2sin2а ; V '
Этот интеграл есть функция от а, определенная для любого веще-
вещественного а. Более того, функция w непрерывна при любом а и
имеет конечную и отличную от нуля производную
dw 1
d« у 1-й2sin2 а '
Так как последняя всегда положительная, то w монотонно возрас-
возрастает от —оо до + со, когда а увеличивается от — со до + со.
Действительно, подынтегральное выражение всегда больше или
равно единице, следовательно, |да|>|а|.
Отсюда вытекает, что и а также является однозначной функцией
от w, определенной для любого w; непрерывной и имеющей конеч-
конечную производную:
-^ = У\ — /г2 sin2 а. B. 133)
т. е. а является аналитической функцией от w.
Эту функцию Якоби (К- G. Jacoei, 1804—1851) назвал ампли-
амплитудой * интеграла w и обозначил ее
а = am (w; k)
или короче
а = am w.
Кроме функции а = am w Якоби ввел в рассмотрение в качестве
самостоятельных функций2
sin a = sin (am да), B. 134)
cos а = cos (am w),
Д (am w) = + Vl — № (sin am wJ
и назвал их соответственно синус амплитуды или эллиптический
синус, косинус амплитуды или эллиптический *косинус и дельта
амплитуды.
Функции sin am w, cos am w и Дат w, как аналитические функ-
1 Этим термином мы уже пользовались в начале параграфа.
2 Знак, стоящий перед корнем, обозначает, что берется только положитель-
положительное значение корня.
17* 259
ции от а = am w являются также однозначными, непрерывными
и дифференцируемыми функциями от w.
Они получили общее название эллиптических функций Якоби
и, по предложению Гудермана, обозначаются короче следующим
образом:
sin am w = sn w; cos am w = en w\ Дam w = dn w. B. 135)
Последние обозначения в настоящее время общеприняты и чи-
читаются так: «эс эн вэ», «цэ эн вэ», «дэ эн вэ».
Функции Якоби, в силу самого их определения, связаны между
собой простыми алгебраическими соотношениями:
sn2^4- сп2оу = 1, B. 136)
которые позволяют любые две из этих функций выразить через
третью. Например:
= Vl— srfw, B.137)
dn w = у 1 — fe2 sn2 да.
Произведя теперь в интеграле A32) замену переменного
dz dz
sin a = z; da =
cos а
и учтя, что верхним пределом полученного интеграла будет величина
2 = sin a = sn w, имеем:
z sn w
dz = f - dl B.138)
]"A-г2)A-й2г2) J /A— г«)A— й2г2)
о о
Таким образом, функция Якоби эпги является обращением эллип-
эллиптического интеграла первого рода.
Иначе говоря, sn w равно верхнему пределу интеграла
Г dt
w = \ ■ г = -_, причем этот предел z = snw мы рассматри-
J
ваем как функцию от величины самого интеграла w.
Поскольку функция sn w зависит также и от модуля k, то в тех
случаях, когда необходимо отметить эту зависимость, вместо обозна-
обозначения sn w употребляют обозначение sn (w;k) и, аналогично, en (w;k)
dn (w;k).
Найдем производные от функций Якоби.
Дифференцируя обе части равенства
sn w = sin a
260
и учтя равенство A33), имеем
dsnw da
= cos a -r- = cos а У1 — &2 sin2 а.
dw dm
Но согласно определений A34) и A35)
cos а = en да; ]/1 — k2 sin2 а = dn да,
так что получаем
dw
Аналогичным путем находим:
den w
dsnw , ,,-. , „_,
= cn да dn да. B. 139)
dm
d dn a)
= — sn да dn да, B. 140)
= — &2эпдаспда. B.141)
Эллиптические функции Якоби для действительных значений
аргумента да = и легко вычисляются при помощи таблицы эллип-
эллиптических интегралов первого рода. Действительно, определив по
данному значению да = F (а; 6) амплитуду а, находим затем со-
согласно A34) — A36):
sn да = sin а; сп да = cos а; dn да = ]/1 — k- sin2 а.
Имеются также таблицы, которые позволяют непосредственно
по данным да и k определять значения эллиптических функций
Якоби. Например, в приложении к книге Ф. Б. Нельсон-Скорня-
кова [167] приведены пятизначные таблицы функций sn (w;k),
cn (w;k), dn (w;k). Параметром, т. е. вторым входом в этих табли-
таблицах служит величина k2, что облегчает пользование таблицами.
В заключение параграфа рассмотрим случаи вырождения эллип-
эллиптических функций Якоби.
Если модуль k=0 или 1, то эллиптические функции выро-
вырождаются в тригонометрические или в гиперболические.
Действительно, в первом случае при k = 0, из формулы A32)
имеем
w = а == am да
и, следовательно, согласно определений A35):
эп(да; 0) = sin да, B. 142)
сп (да; 0) = cos да.
Далее, из формулы A36) находим, что при k = 0 функция dn да
превращается в постоянную величину.
dn(i0; 0) = 1. B. 142')
261
Этот же результат непосредственно следует и из формулы A38),
так как при k = 0 интеграл
\ dz С йг
да = \ ■ -_ - = \ — = arcsmz,
J ]/A —г2)A — й2г2) JVl—г2
т. е. совпадает с интегралом A31) и, следовательно,
z = эида = sin да.
Во втором случае, когда k = 1,
Г* j f* л iii
W ~ J /A _z2)(iZT^pj J 1 — z2 ~ 2 П 1 — z "
Обращая это равенство, т. е. решая его относительно z, имеем:
e2w-l ew-e~w
w+e~w
e^+l ew+e
Но выражение ———^, есть гиперболический тангенс (см. гл. I,
§ 20), поэтому при k = 1
эп(да; 1) = Шда, B. 143)
сп (да; 1) = у 1 — sn2 (да; 1) = у 1 — th2 да = I/ г^ == -г— ,
\ ' ' ' \ ' ' у СП W СП Ш
dn(да; 1) = y\—k2sn2(w; 1) = У\ —Ш2да = ~ .
Таким образом, тригонометрические и гиперболические функции
представляют собой лишь весьма частные случаи функций эллип-
эллиптических.
§ 45. ОТОБРАЖЕНИЯ, ОСУЩЕСТВЛЯЕМЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ
ФУНКЦИЯМИ ЯКОБИ
Эллиптический синус sn (w;k) как было доказано, является
обращением эллиптического интеграла первого рода да = F (z;k) =
= F (a; G). Поэтому функция sn (w;k) осуществляет конформное
отображение, обратное по отношению к отображению, рассмотрен-
рассмотренному в § 43, т. е. она отображает прямоугольник со сторонами
2К (k) и К' (k) на полуплоскость z. Длина сторон прямоугольника
зависит от величины модуля k. При этом отображении начало ко-
координат да = 0 переходит в начало координат z = 0, точка В (да =
262 ? _ ' '
= г/С') —в бесконечно далекую точку z = оо, а вершины прямо-
прямоугольника— в точки ±1; ± -г оси х (рис. 69).
Следовательно, на основании этих геометрических соображений
мы установили, что
sn 0 = О,
ЭП (iK) — со,
B. 144)
B. 145)
т. е., что нулем функции sn w является точка w = 0, а полюсом —
точка w = iK'.
-h l
Zuy^ —
-K-M'
V
iK'
g
®
0
B*
3;
2\
*K-iK'
ВЫ
2 3
Рис. 69.
Аналогично из соответствия точек 1, 2, 3, 4 получаем важные
для дальнейшего формулы
= + l; sn(—/С) 1;
B. 146)
sn(K + iK') = + ^\ sn(-K + iK') = —±. B.147)
Далее, из принципа симметрии вытекает, что функция sn w будет
отображать прямоугольник II, симметричный данному прямоуголь-
прямоугольнику I, на нижнюю полуплоскость (рис. 69).
Но для того чтобы сохранить однозначность отображения,
плоскость z необходимо разрезать вдоль действительной оси от
точек z = -f- 1 и z = — 1 соответственно вправо и влево до беско-
бесконечности.
Тогда верхнему берегу разреза будет соответствовать контур
2—3— В —4—1 прямоугольника I, а нижнему берегу — контур
2—.3*—В*—4*—1 прямоугольника II. Общая сторона 1—2 перейдет
в неразрезанный отрезок (— 1; +1) оси х.
В результате этого построения мы по принципу симметрии функ-
функцию sn w, определенную вначале только в прямоугольнике I, ана-
аналитически продолжили через сторону 1—2 в прямоугольник II.
Это продолжение, как мы видели, реализует отображение прямо-
прямоугольника II на нижнюю полуплоскость.
263
Поступая аналогично, можем аналитически продолжить функ-
функцию sn w через сторону 2—.3* в прямоугольник III (рис. 70), в ре-
результате чего функция z — sn w отобразит прямоугольник III снова
на верхнюю полуплоскость. Развивая дальше этот процесс, мы ана-
аналитически продолжим функцию z = sn w на всю плоскость w,
как это показано на рис. 70, где заштрихованные прямоугольники
отображаются на верхнюю полуплоскость, а незаштрихованные —
на нижнюю.
Всей плоскости w будет соответствовать бесконечное количество
экземпляров разрезанных плоскостей z. Каждый из этих экземпля-
экземпляров плоскости z должен
быть разрезан по действи-
действительной оси х так, чтобы
неразрезанному участку
соответствовала общая сто-
сторона двух смежных пря-
прямоугольников, которые
отображаются на всю плос-
плоскость z. Например, при
отображении прямоуголь-
прямоугольников II и III неразрезан-
неразрезанным участком должен быть
участок 2—3 оси х (см.
Рис. 70.
рис.69). Соединив соответствующим образом борта разрезов каждого
из экземпляров плоскости z (см. гл. I, §30), мы получим риманову
поверхность для эллиптического интеграла первого рода F (z;k),
который является бесконечнозначной функцией.
Точки ±1 н±-г будут для функции F (z;k) точками разветв-
ления бесконечного порядка.
Функция z = sn w будет однозначной, ибо если при обходе
какого-либо замкнутого пути мы вновь попадем, например, в пря-
прямоугольник 1,то новые значения sn w будут совпадать со старыми
(они отображают прямоугольник I на полуплоскость с той же нор-
нормировкой, что и раньше). Далее, эта функция регулярна внутри
прямоугольников и на их границах всюду, кроме точки iK' и всех
точек, соответствующих ей при продолжениях (они отмечены на
рис. 70 крестиками), где она имеет полюсы, так как эти точки при
конформном отображении переходят в z=oo.
Таким образом, функция z = sn w однозначна во всей плоскости
w и не имеет на конечном расстоянии других особых точек, кроме
полюсов.
Следовательно, это есть мероморфная функция (см. гл. I,
§28).
Далее, на рис. 70 черным кружком отмечена произвольная точка
w = и + iv прямоугольника I и все точки, которые получаются
из нее четным числом продолжений. Белыми кружками отмечены
264
sn (w -f 4mK + 2niK') = sn w.
точки, в которых наша функция принимает сопряженные значения
z = sn w. Во всех этих точках, имеющих вид
w + 4тК + 2niK',
(где т;п = О, ±1, ±2,..., произвольные целые числа), функция
sn принимает одинаковые значения
B. 148)
Это свойство и означает, что функция sn (w\k) имеет два суще-
существенно различных периода т = 4 К и т' = 21 К', отношение ко-
которых равно чисто мнимой величине. Таким образом, sn (w;k)
есть двоякопериодическая функция.
Обратная же функция к периодической обязательно должна
быть бесконечнозначной, как это и имеет место в данном случае
для функции F (z; k).
Величина периодов зависит от модуля k. В частности, при k =
= 0 имеем К = -у , К' = °° и, следовательно, т = 2л, т' = со, т. е.
второй период перестает существовать.
Так как sn (w;0) — sin w, то мы вновь доказали, что период
функции sin w равен 2л.
Геометрически это соответствует тому факту, что прямоуголь-
прямоугольники I и II (рис. 69) при k = 0 переходят в вертикальную полосу,
ширина которой равна л.
Аналогично при k = 1, /С= со, /С' =-?-и, следовательно, функ-
функция th w = sn (w;l) имеет чисто мнимый период in.
Функции сп (w;k) и dn (w;k), которые выражаются через функ-
функцию sn (w;k) при помощи формул A37), также являются мероморф-
ными, двоякопериодическими функциями.
Основные свойства этих функций и конформные отображения,
которые они осуществляют, можно изучить аналогичным путем,
поэтому мы приведем только окончательные результаты объединяя
их с результатами, полученными для функции sn (w;k).
w
sn w
en w
dn w
Некоторые частные значения функций Якоби
0
0
+ 1
+ 1
К
+ 1
0
k'
ж
0
— 1
+ 1
iK
<х>
QO
QO
21К'
0
— 1
— 1
К + iK'
1
Т
. k'
~l k
0
265
Периоды, нули и полюсы функций Якоби
Функция
sn w
спш
dnm
Периоды
4/С и liK'
4/С и 2/С + 2i/C'
2/С и 4i7C'
Нули1
2m/C + iniK'
Bm — l)K + 2niK'
Bm-l)/C +
+ Bга — 1) г/С'
Полюсы2
2тК + Bга — 1) i/C'
2mK + Bга — 1) i/C'
1тК + Bга — 1)г/С'
Отметим также, что функция sn да является нечетной (что легко
видеть, рассматривая продолжения sn да), а функции сп да и dn да—
четные:
sn (— да) = — sn да,
сп (— да) == + сп да,
dn (— да) = + dn да.
B. 149)
Кроме того, для функций Якоби имеют место следующие тео-
теоремы сложения [226, гл. I, § 30]; [233, т. III, часть 2-я, § 182]; [276,
т. II, гл. 22]:
sn (да! + да2) =
сп (да! -)- да2) =
dn (да! -\- Wi) =
sn wi сп ш2 dn ш2 + sn ш2 en wi dn Ш1 _
1 — й2 sn2 ад sn2 w2 '
en w\ en wi — sn wi sn ш2 dn Ш1 dn ш2.
1 — й2 sn2 wi sn2 ш2 '
B. 150)
B.151)
B. 152)
При ^ = 0, как мы уже отмечали, sn да = sin да, сп да = cos да,
dn да = 1 и формулы A50), A51) переходят в известные формулы
сложения для тригонометрических функций, а формула A52) об-
обращается в тождество.
Формулы A50) — A52) позволяют вычислять значения функ-
функций Якоби от суммы аргументов, если известны значения этих
функций для каждого из аргументов в отдельности.
В частности, полагая в этих формулах ал равным одному из
следующих значений
да! = К; ал = 2/С; ал = К + 1К'; ал = 1К'\ ил = 2г7Т,
1 Здесь /лига произвольные целые числа: /п; п = 0; ± 1; ± 2; ± 3; ...
266
a да2 = да и, воспользовавшись результатами, приведенными выше,
получаем формулы приведения эллиптических функций
<bi(K±w) = -^', B.153)
sn B/С ± w) = Т sn да; en BК ± до) = — en до;
dnBK±w) = dnw; B.154)
dn (К + iK' ± w) = ± /й' -^J; B. 155)
^; B.156)
sn Bi/C' ± да) = ± sn да; en BiKr ±w) = — en да;
dn B//C ± да) = — dn да; B. 157)
где k' = У 1 — /г2.
В качестве примера рассмотрим вывод первой из этих формул
для эллиптического синуса.
В данном случае wt — К, даг = ^.
Подставляя эти данные в формулу A50) и учтя A49), имеем
sn(K ± w) = i_fe2sn2Ksn2m •
Но согласно результатам, приведенным на стр. 265, sn К = 1,
en /С = 0, dn К = k', так что
,,, , ч сп ш dn ш
sn(K±)
Воспользовавшись теперь равенством A36)
dn2 да = 1 — &2 sn2 да,
получаем искомую формулу
, г^ , х СП Ш dn Ш СП Ш
8П(/С±Ш)
Остальные формулы выводятся вполне аналогично и мы рекомен-
рекомендуем читателю выполнить их вывод в качестве упражнения.
Исключение составляют только формулы A56), так как непо-
непосредственная подстановка в A50) — A52) значений sn (iK') — со,
en (iK') = оо, dn (iK') = оо приводит к неопределенности, рас-
267
крытие которой также связано с преодолением некоторых труд-
трудностей.
Поэтому мы изберем обходной путь, представив аргумент (г/С' ±
± w) в следующем виде:
(г/С' ± w) = (/С + г/С' ± ш) — /С = wl — К,
где, краткости ради, положено
wi = /С + г/С' ± ДО-
sn и
dn и
ОК 2 К ЗК 4К
Рис. 71.
Учтя теперь свойство нечетности A49) функции sn и восполь
зовавшись уже доказанной первой формулой A53), имеем
Но согласно формулам A55), доказательство которых легк
выполнимо,
ik'
= сп (/С + г/С'± до) = —и
vl ^-l/ kcnw
Следовательно,
dn и>1 =
sn (г/С' ±w) = —
СП Ш1
ik' сп ш
± /й' sn w
± 1
kcnw ■ ik' sn а.1
ksnw ' I
что и требовалось доказать.
Остальные две формулы A56) выводятся аналогично.
В заключение параграфа на рис. 71 и 72 приведены в качест)
иллюстрации графики функций Якоби для действительного арг
мента w = и (который чаще всего и встречается на практике) соо
ветственно при значениях модуля k2 = у и k2 = у?.
При значениях k, не слишком близких к единице, графики фуй
268
ций z = sn«Hz = cnM еще очень сильно напоминают синусоиду
и косинусоиду, а график функций z = dn и мало отличается от
прямой z = 1 (максимальные значения dnO = dn 2K = dn 4K =
= ... = 1, а минимальные dn К = dn 3/С = ... = k' — j/"l — №).
По мере приближения модуля k к единице действительный
период этих функций растет, а графики все больше и больше отли-
отличаются, соответственно, от синусоиды, косинусоиды и прямой z = 1.
Рисунки 71 и 72 надо еще сравнить с графиками, вычерчен-
вычерченными для предельных случаев
при k = 0: sn и — sin и, en и — cos и, dn и = 1
и при k = 1: sn и = th и, en и = dn и = —г—,
v ' ch и '
что читателю полезно выполнить в виде упражнения.
Отметим также еще одно обстоятельство: косинусоиду, как
известно, можно совместить с синусоидой простым перемещением
на -у вдоль оси и.
Возможность такого совмещения есть следствие соотношения
sin l -5- + u) = cos и.
Но из формулы
мы видим, что от прибавления четверти периода К к аргументу
и функция sn и не переходит в сп и.
Поэтому график sn и с графиком сп и, вообще говоря, совме-
совместить нельзя.
На этом мы заканчиваем наше краткое знакомство с эллипти-
эллиптическими функциями и интегралами, которое можно лишь рассмат-
рассматривать как самое элементарное введение в теорию этих функций.
При таком конспективном изложении мы совершенно не затронули
вопросов, связанных с тэта-функциями и эллиптическими функ-
функциями Вейерштрасса, играющих первостепенную роль в общей
теории этих функций.
Именно К- Вейерштрасс первый развил теорию эллиптических
функций в наиболее общем виде, исходя из определения, согласно
которому эллиптической функцией называется двоя копер иодиче-
ская аналитическая функция, не имеющая никаких особых точек,
кроме полюсов в конечной части плоскости.
Читателям, желающим подробнее ознакомиться с этими вопро-
вопросами, рекомендуем книгу Ю. С. Сикорского [226], которая имеет
более прикладной характер, и книгу Э. Т. Уиттекера и Дж. Н. Ват-
сона [276], в которой материал изложен в весьма изящной и ком-
компактной форме. Вычислительная сторона вопроса более подробно
изложена в книге [283, т. I, § 47—53].
269
ГЛАВА III
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ НАПЕРЕД
ЗАДАННЫХ ОБЛАСТЕЙ
В предыдущей главе мы ознакомились с основными свойствами
конформных отображений и с отображениями, которые осущест-
осуществляют наперед заданные аналитические функции. Однако при реше-
решении практических задач, которые сводятся к конформным отобра-
отображениям, возникает обратная, несравненно более сложная задача,—
определение аналитической функции, которая отображает наперед
заданную область на одну из канонических областей, например на
полуплоскость или на единичный круг.
Решением этой задачи занимались многие ученые в течение
нескольких последних десятилетий и тем не менее все еще не удалось
разработать достаточно простых и одновременно достаточно эффек-
эффективных методов отображения любой наперед заданной области.
Наличие весьма подробной литературы как по существующим
приближенным методам конформных отображений, так и по при-
приложениям этих методов к решению технических задач существенно
облегчает нашу задачу. Поэтому мы после краткого изложения
существующих методов и соответствующих ссылок на литературу
основное внимание уделим методу тригонометрической интерполя-
интерполяции, который при помощи очень простых расчетных формул позж>^
ляет отобразить довольно широкий класс заданных односвязных и
двухсвязных областей с любой наперед заданной степенью точ-
точности.
§ 46. ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Аналитические функции играют фундаментальную роль в раз-{:
личных теоретических и практических вопросах, в аэро- и гидро-1
механике, в теории теплопроводности, при решении многих задач
электро- и радиотехники, в теории упругости и в других вопросах.
270
В связи с этим для более полного понимания рассматриваемых
ниже вопросов выясним предварительно гидромеханический смысл
аналитических функций комплексного переменного.
Будем рассматривать установившееся плоско-параллельное дви-
движение несжимаемой однородной жидкости.
Движение жидкости называется плоско-параллельным, или пло-
плоским, когда все частицы жидкости, которые лежат в определенный
момент в некоторой плоскости хОу во время движения остаются
в той же самой плоскости и движение во всех плоскостях, парал-
параллельных хОу, совпадает с движением в этой плоскости. В таком
случае достаточно следить лишь за движением в плоскости хОу,
т. е. рассматривать все движение не как пространственное, а как
плоское.
Пусть vx, vy — проекции вектора скорости v частицы жидкости,
находящейся в данной точке.
Считая область движения жидкости G (т. е. область плоскости,
которая занята движущейся жидкостью) односвязной, предполо-
предположим поток свободным от источников.
Это означает, что ни в какой части области G жидкость не воз-
возникает и не исчезает, т. е. в каждой частичной области, принад-
принадлежащей U, с течением времени происходит изменение состояния
жидкости исключительно посредством притока или утечки жидкости
через границы этой частичной области. Сделанное предположение
приводит к условию, которому должен удовлетворять вектор ско-
скорости V.
Рассмотрим произвольную замкнутую кусочно-гладкую кривую
Г в области G и обозначим vn нормальную к Г составляющую
вектора v, считая положительное направление нормали, идущим
от Г внутрь области. Тогда выражение
vnds,
г
в котором ds обозначает элемент дуги Г, будет пропорционально
увеличению количества жидкости, протекающему за единицу вре-
времени в области, ограниченной кривой Г. Вследствие предположе-
предположения об отсутствии источников это выражение должно быть равно
нулю, какова бы ни была линия Г, принадлежащая G. Заметив,
что1
У„ = Vx COs(n, X) + Vy COS(n, У) = — Vx ^L + Vy -£■,
получаем условие
1 Символами (п, х) и (п, у), как это принято в векторном исчислении, обозна-
обозначены углы между направлением нормали п и осями Ох и Оу. Читателям, которые
не знакомы с элементами векторного исчисления, рекомендуем обратиться к курсу
В. И. Смирнова [233; т. II, глава IV].
271
г г
Отсюда на основании известной теоремы о независимости криво-
криволинейного интеграла от пути интегрирования [233, т. II, стр. 222],
заключаем: свободный от источников поток жидкости характери-
характеризуется равенством
dv &u
дх - ду ■ ^ 1)
Равенство A) должно иметь место в каждой точке односвязной
области G, в которой нет источников у рассматриваемого потока
жидкости.
Обозначим далее через vs составляющую вектора скорости v в
направлении касательной к кривой Г, считая в качестве положи-
положительного направления кривой то направление, при котором область,
внутренняя к Г, остается слева.
Выражение \ vsds называют циркуляцией потока вдоль кривой Г.
г
Поток жидкости называется невихревым в G, если его цирку-
циркуляция вдоль произвольной замкнутой кривой Г, принадлежащей
G, есть нуль. Заметив, что
. , их , йу
ys = yxcos(s, x)-\-vucos(s, y) = vx-j- + vy-~j,
условие невихревого потока запишем так:
+v
1
г
Воспользовавшись снова теоремой о независимости криволи-
криволинейного интеграла от пути, получаем
£ У__ /О О\
~ду~ ~~дх~- {6у
Физический смысл равенства B) заключается в том, чтооновыр^н
жает отсутствие вихрей в рассматриваемом движении жидкости.
Вихрь скорости характеризует вращательное движение частицы
жидкости вокруг своей мгновенной оси, проходящей через центр,
находящийся внутри частицы. Если предположить, что частица
жидкости отвердела бы, то угловая скорость ее вращения в точке
(х,у) имела бы значение -~ \-^- д-
Равенство B) и показывает, что угловая скорость такого вра-
вращения равна нулю.
Таким образом, отсутствие вихрей в данной области означает,
что частица жидкости в каждой точке этой области может иметь
272
только поступательное движение и подвергаться некоторой дефор-
деформации, но не может испытывать вихревого вращения, угловая ско-
1 / dv dv \
рость которого равна -j[~di Т~'" Однако Это не означает, что
весь поток в целом должен двигаться только прямолинейно. Если
частицы жидкости испытывают некоторую деформацию в каждой
точке, то их траектории в общем случае уже будут криволинейны.
С другой стороны, как известно (см. напр. В. И. Смирнов [233^
т. II, гл. III, § 2. 71]), при выполнении условия B) подынтеграль-
подынтегральное выражение
vxdx + vydy
является полным дифференциалом dtp некоторой функции ф, опре-
определяемой равенством'
Ф (х, у) = \ vxdx + vbdy,
причем
дх ' иу~ ду ' ^- ^
откуда
Функция ф (х,у) называется потенциалом скоростей, 1 а сопряжен-
сопряженная с нею функция aj> (x,y) такая, что
называется функцией тока. Разность значений функций тока
Ц(х> У) — Ц(хо, Уо)
выражает количество жидкости, которое протекает за единицу
времени через цилиндрическую поверхность единичной высоты,
которая имеет направляющей некоторую линию, соединяющую
точки (х,у); (хо,г/о) и образующие, перпендикулярные к плоскости
хОу.
Если невихревой поток свободен также и от источников, тогда
1 Название происходит от латинского слова потенция (potentia—возмож-
(potentia—возможность, способность) и означает в данном случае, возможность математически опи-
описать при помощи только одной скалярной функции <р согласно уравнениям C)
поле скоростей в безвихревом потоке жидкости. Вихревой поток жидкости не
может иметь потенциала скоростей. Поэтому выражение «потенциальный поток»
равносильно утверждению, что в данном потоке завихрения отсутствуют. Введение
потенциала скоростей <р, таким образом, весьма упрощает задачу исследования по-
потока движущейся жидкости.
18 П. Ф. Фильчаков 273
условия B) и A) выполняются одновременно. Внося в этом случае
выражения C) в уравнение A), найдем
?!5 ^ - 0 C 6Ъ
дх* + ду
Это уравнение, играющее важную роль в математической физике,
называется уравнением Лапласа, а его решения ф получили назва-
название гармонических функций.
Вводя специальный символ Д (называемый оператором Лап-
Лапласа)
аф ~~ дх* ^ ду* '
уравнению Лапласа можно придать следующий вид:
ДФ = 0. C. 7)"
Таким образом, каждый стационарный невихревой и свобод-
свободный от источников поток несжимаемой жидкости обладает потен-
потенциалом скоростей ф (х,у), удовлетворяющим дифференциальному
уравнению Лапласа 1.
Легко показать, что и сопряженная функция 1|з (х,у) также
удовлетворяет уравнению Лапласа: Дг|) = 0.
Кривые
Ф = const
называются эквипотенциальными линиями или линиями уровня, а
кривые 1|з = const линиями тока.
Вдоль линий ф = const нет движения жидкости, так как жид-
жидкость течет всюду к ним перпендикулярно. Действительно, обозна-
обозначая теперь vs составляющую скорости v в произвольном направ-
направлении s очевидно имеем
Л dy
Vs"=Vx~dJ + vy~~dl-
Отсюда в силу C) получаем
_ d<p dx дф dy *
_
Vs ~ ~дх~ ' ~ds + ~df ' ~ls ~~ ~ds~
и, следовательно, для линий ф (х,у) = С = const получим
s ds
т. е. составляющая скорости вдоль эквипотенциальной линии
равна нулю.
1 Необходимо отметить, что Лаплас (P. Laplace, 1749—1827) рассмотрел урав-
уравнение Аф = 0 в 1872 г., а задолго до него это уравнение использовал Эйлер;
(L. Euler, 1707—1783) в своих замечательных работах по гидромеханике и другим
разделам математической физики.
274
Итак, рассматриваемое движение жидкости может быть пол-
полностью охарактеризовано двумя гармоническими функциями ц>(х,у)
и ij) (x,y).
Сравнивая уравнения C) и E), видим, что функции ф и aj> свя-
связаны соотношениями Даламбера — Эйлера:
~д7 ~ ~ду' ~ду ~ д~х ' ' >
Следовательно, поток жидкости можем характеризовать одной
функцией комплексного переменного
W (z) = ф (х, у) -f- гЧ|) (х, у),
которая в силу условий (8) будет аналитической.
Эта функция называется характеристической функцией потока
или комплексным потенциалом, а ее производная (см. гл. I, § 8)
,,7, dW d<f . дхЬ
w = —з— = —=— -)- I ~з— = V,, — IV,,
dz дх ' дх х '-'
называется комплексной скоростью; вектору же скорости жидкости
отвечает сопряженное значение производной от комплексного
потенциала
—^—I- I —z— = —^— — i —=— = W .
дх ду дх дх
Таким образом, всякому невихревому и свободному от источни-
источников в односвязной области G стационарному потоку несжимаемой
жидкости соответствует характеристическая функция W (г), анали-
аналитическая в области G, и обратно, любой аналитической в G функ-
функции W (z) соответствует определенная кинематически возможная
картина движения идеальной жидкости.
Эквипотенциальные линии
Ф = const
и линии тока
г|) =. const
в плоскости W будут изображаться семейством координатных
прямых. Так как последние взаимно ортогональны, то в силу кон-
конформности отображения, осуществляемого аналитической функ-
функцией W (z), эквипотенциальные линии и линии тока и в плоскости
движения z останутся ортогональными во всех тех точках, в кото-
которых W (z) ф 0, т. е., где скорость движения отлична от нуля. ■
Следовательно, при стационарном движении линии г|) = const
будут совпадать с траекториями частиц, поскольку мы выше дока-
доказали, что вектор скорости v направлен перпендикулярно эквипо-
эквипотенциальным линиям.
18* 275
Этим фактом и объясняется само название линии тока.
Если вместо W (z) рассматривать комплексный потенциал
iW (z), то линии тока станут эквипотенциалями и, наоборот, экви-
эквипотенциальные линии перейдут в линии тока.
Таким образом, каждая аналитическая функция описывает две
возможные картины движения жидкости.
Пример 1. Линейная функция (коэффициент этой функции мы берем в
тригонометрической форме а = cos a + i sin а):
W = аг = (cos а + i sin а) (х + iy) = (х cos а — у sin а) + i (х sin а + у cos а)
W-Q7
а-cosor+iswor.
Рис. 73.
Рис. 74.
есть комплексный потенциал в случае поступательного движения идеальной жид-
жидкости в плоскости хОу (рис. 73). Уравнения семейства эквипотенциалей имеет
вид
<р (дс, у) = х cos а — у sin а = С,
а уравнения линий тока
■ф (х, у) = х sin а + у cos а = Ci.
Проекции скорости будут.
(Эш (Эф
о_ = — = cos а; v — = — sin а.
х дх у ду
Областью движения является вся плоскость, так как единственная особая точка
линейной функции есть точка г = сю.
Пример 2. Квадратичная функция
W ■■= г2 = (х + iyf =
у2 + 2ixy
также является комплексным потенциалом движения идеальной жидкости, зани*
мающего всю плоскость.
Потенциал скоростей имеет вид
Ф (х, у) = хг — уг,
а функция тока
■ф (х, у) = 2ху.
Следовательно, эквипотенциалями и линиями тока будут соответственно paii"
нобочные гиперболы (рис. 74): ;
ц> = х2 — у* = С; г|) = 2ж(/ = Сь ;
276 f
Проекции скорости определяться равенствами
d<f дц>
с =-Z- = 2x; v = -^=-2</,
х дх у ду
а полное значение скорости, равное модулю вектора скорости, будет:
К линиям тока принадлежат также и обе координатные оси Bху = 0), а биссект-
биссектрисы координатных углов являются эквипотенциалями.
В начале координат скорость равна нулю (W' = 0) и, как ви-
видим, в этой точке ортогональность эквипотенциалей и линий тока
нарушается.
Рассматривая вместо всей плоскости один из координатных
углов, например первый, заключаем, что та же функция представ-
представляет комплексный потенциал движения жидкости, заключенной в
первом координатном угле. При этом стороны угла, являющиеся
линиями тока, можно рассматривать как твердые стенки, в которых
движется жидкость.
В заключение отметим, что доказанная в § 27 гл. I теорема
Лиувилля в гидродинамической интерпретации становится очевидной
и означает: покоящаяся во всей замкнутой плоскости жидкость
будет иметь своим комплексным потенциалом постоянную вели-
величину
W = const.
§ 47. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА.
ИНВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА ОТНОСИТЕЛЬНО
КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Уравнение Лапласа, которое является простейшим дифферен-
дифференциальным уравнением в частных производных эллиптического типа,
играет очень важную роль при решении различных технических
задач.
Уточним поэтому основные понятия, связанные с уравнением
Лапласа, с которыми мы частично встречались в § 46.
Определение 1. Скалярная величина U, которая при-
принимает определенное значение в каждой точке М (x,y,z) пространст-
пространства, называется скалярной функцией точки или, короче, скалярным
полем U = U (х, у, z); например, поле температур в неравномерно
нагретом теле, поле плотности в неоднородной среде, поле электри-
электрического потенциала и т. д.
Определение 2. Векторная величина А, которая при-
принимает определенное значение в каждой точке М (х, у, z) простран-
пространства, называется вектор-функцией точки или, короче, векторным
полем А = А (х, у, z); например, поле скоростей частиц движу-
277
щейся жидкости, поле электрической или магнитной напряжен-
напряженности и т. д.
Скалярное или векторное поле называется плоско-параллельным,
если для всех точек любой прямой, параллельной некоторому по-
—>
стоянному направлению, функция U или А имеет одно и то же
значение. Изучение такого поля сводится к изучению его в плос-
плоскости, перпендикулярной к этому направлению, так как картина
поля во всех плоскостях, параллельных рассматриваемой, будет
одна и та же. Например, поле скоростей при обтекании крыла
бесконечного размаха (практически для всех сечений, удаленных
от концов достаточно длинного крыла постоянного поперечного
сечения) во всех плоскостях, перпендикулярных к ребру крыла,
будет одинаковым. Таким образом, для плоско-параллельных по-
полей трехмерная задача сводится к задаче двумерной, что весьма
упрощает ее решение.
Точка поля, в которой div А Ф О, называется источником.
—>
(иногда говорят об источниках лишь в случае, когда d\v A > 0;
точку, в которой d\v A < 0, тогда называют стоком). Если
в каждой точке некоторой области G
divA-^ + ^-O,
дх ' ду
то поле называют свободным от источников или соленоидальным
в этой области.
Точка поля, в которой rot А Ф 0, называется вихревой точкой,
или, короче, вихрем поля. Если в каждой точке некоторой области
дАи дАх
дх ду
то поле называют безвихревым или потенциальным или консер-
консервативным в этой области.
Безвихревое поле обладает тем свойством, что в нем криво-
криволинейный интеграл \ A ds, где s — длина дуги кривой ВС не зави-
S
сит от пути, соединяющего В и С, а зависит только от положения
точек В и С. Например, работа против силы тяжести (при отсут-
отсутствии трения) не зависит от пути, а зависит только от разности
высот начальной и конечной точек пути.
Таким образом, если в консервативном (безвихревом) поле
зафиксировать начальную точку В = В (х0, у0, z0) и изменять
конечную точку С —- С (х, у, z), то криволинейный интеграл, взя-
взятый вдоль пути ВС, будет скалярной функцией от точки:
\~Ads= \ Ads = U {х, у, z).
ВС s
278
Величина U образует скалярное поле U = U (х, у, z), которое
тесно связано с векторным полем А (х, у, z), являясь его производ-
производным полем. Величина U называется потенциальной функцией или
—>
потенциалом исходного векторного поля А. Эту же связь между
—> ->
векторным полем А — А (х, у, z) и скалярным полем потенциала
U — U (х, у, z) можно, как известно, выразить и в дифферен-
дифференциальной форме при помощи равенства
или, что то же самое,
~~ дх ' ■« ~ ду
Необходимо отметить, что в теории электричества и теплопровод-
теплопроводности обычно потенциалом U вектора А называют величину, обрат-
обратную по знаку
А = — grad U.
Определение 3. Гармонической в области G функцией
называется действительная функция U (х, у) двух действительных
переменных, обладающая в этой области непрерывными вторыми
частными производными и удовлетворяющая дифференциальному
уравнению Лапласа
™™ 0.
дхг ' дуг
В математической физике доказано, что потенциалы важней-
важнейших векторных полей являются гармоническими функциями, при-
примером чему может служить рассмотренное в § 46 поле скоростей
плоского потока идеальной жидкости. Поэтому любую гармониче-
гармоническую функцию можно представить физически, как потенциал неко-
некоторого поля. В общем случае гармонические функции часто и назы-
называют потенциалами, а теорию гармонических функций — теорией
потенциала.
. Согласно определению 3 совокупность гармонических функций
представляет собою общее решение уравнения Лапласа. Однако
такое решение слишком неопределенно и непригодно для матема-
математического описания заданного физического процесса — ведь любая
гармоническая функция является решением. Поэтому аналогично
тому, как для обыкновенных дифференциальных уравнений задают
дополнительные условия, которые позволяют выделить одно опре-
определенное решение и сделать этим самым задачу физически опреде-
определенной, так и для полного определения решения уравнения Лап-
Лапласа требуются дополнительные условия.
279
Эти условия для уравнения Лапласа формулируются в виде так
называемых краевых задач, т. е. заданных соотношений, которым
должна удовлетворять искомая функция U на границе области G.
К таким граничным условиям естественно приводят сами физи-
физические условия решения данной задачи.
Простейшее из таких условий встречается в первой краевой
задаче или задаче Дирихле:
Найти функцию U (х, у), удовлетворяющую в заданной области
G уравнению Лапласа
которая на границе G принимает заданные непрерывные значения
U = f(s),
где s — дуга границы области G.
К задаче Дирихле приводится, например,отыскание температуры
теплового поля или электростатического поля в некоторой области
G при заданной температуре или потенциале на границе области.
Часто условие непрерывности граничных значений U — f (s)
является слишком стеснительным и поэтому приходится рассматри-
рассматривать обобщенную задачу Дирихле:
На границе Г области G задана функция U = f (s), непрерыв-
непрерывная всюду, кроме конечного числа точек slt s2 sn, где она имеет
точки разрыва первого рода. Найти гармоническую, (т. е. удовле-
удовлетворяющую уравнению Лапласа) и ограниченную в области G функ-
функцию U (х, у), принимающую заданные значения во всех точках
непрерывности этой функции.
Если заданная функция f (s) непрерывна, то обобщенная задача
Дирихле совпадает с обычной, так как условие ограниченности
функции U (х, у) следует автоматически из условия ее непрерыв-
непрерывности в замкнутой области G — G + Г.
Для этой задачи доказана теорема единственности [134, гл. III,
§ 42—43), т. е. доказано, что в данной области G при сформулиро-
сформулированных выше граничных условиях существует не более одного
решения обобщенной задачи Дирихле.
Наряду с задачей Дирихле в приложениях также часто встре-
встречается вторая краевая задача или задача Неймана:
Найти гармоническую в области G функцию U (х, у), зная зна-
значения ее нормальной производной на границе
и значение U (х0, у0) в какой-либо точке (х0, у0) замкнутой области G.
Во многих технических задачах важную роль играет смешанная
краевая задача, которая формулируется следующим образом:
На границе Г односвязной области G заданы точки alt Ьи а2,
Ьг, .... ап, Ъп, расположенные в том порядке, в котором они выпи-
280
саны, и на дугах (ak; bk), (bk; ak+l), (k = 1, 2, ..., n; an+i = aj
заданы соответственно действительные функции / (s) и g (s).
Требуется найти в заданной области G функцию U (xl у), удов-
удовлетворяющую уравнению Лапласа (т. е. гармоническую функцию)
и граничным условиям
U = f(s) на (ак; Ьк),
~- = g(s) на (Ък\ ак+{),
dU .
где -^— обозначает производную в направлении внутренней нор-
нормали к Г.
Таким образом, на границе Г области G в случае смешанной
задачи, как и подчеркивает само название, попеременно чередуются
граничные условия, имеющие место в первой и во второй краевых
задачах.
Смешанная задача всегда разрешима и ее решение единственно.
Наиболее компактное доказательство этой важной теоремы (назы-
(называемой теоремой существования и единственности) можно найти
в [134, гл. III, § 55].
Кроме рассмотренных трех видов граничных условий, встре-
встречаются еще условия и более сложные, однако на этом мы останав-
останавливаться не будем. Этот вопрос обстоятельно изложен в неодно-
неоднократно цитированной книге М. А. Лаврентьева и Б. В. Шабата
[134].
Отметим только, что рассмотренные нами краевые задачи (их
часто также называют граничными задачами) являются внутренними
краевыми задачами.
Если ищется решение в области внешней по отношению к об-
области G, то и соответствующая задача называется внешней краевой
задачей или внешней граничной задачей.
Перейдем теперь к выяснению связи между конформным преоб-
преобразованием и уравнением Лапласа.
Как мы видели, гармоническая функция, являющаяся реше-
решением уравнения Лапласа, определяется, во-первых, областью,
в которой она ищется, зависящей от формы изучаемого физического
объекта, и, во-вторых, граничными условиями, которые должны
быть выполнены на границе этой области.
Часто бывает, что для простейших, так называемых кано-
канонических областей, таких как круг, прямоугольник, полуплоскость
и т. п., задача может быть относительно просто разрешена при
сравнительно сложных граничных условиях.
Если же область имеет сложное строение, то решение задачи
непосредственно для этой области представляет подчас весьма
большие затруднения, даже при самых простых граничных усло-
условиях.
Поэтому, чтобы упростить задачу, обычно пытаются предвари-
281
тельно преобразовать данную область к простейшему, канони-
каноническому виду.
При такого рода преобразованиях будет меняться, вообще
говоря, не только область, для которой ищется решение, и гра-
граничные условия, но и само дифференциальное уравнение, которому
должна удовлетворять искомая функция.
Очевидно, наибольшее значение для уравнения Лапласа будет
иметь такое преобразование, относительно которого само уравне-
уравнение Лапласа — простейшее из уравнений эллиптического типа —
остается неизменным или, как говорят, инвариантным.
Рассмотрим преобразование
и = и (х; у), v = v (х; у), C.9)
которое осуществляется аналитической функцией
w (z) = и (х; у) + iv (x\ у), C. 10)
конформно и однозначно отображающей область G плоскости (х; у)
на область D плоскости (a; v).
Выясним, как изменится при этом преобразовании уравнение
Лапласа
&*чи==1&- + -1Р = 0- <ЗЛ1)
Имеем:
dU _ _dU_du_, dU dv
dx ~ ди дх * dv дх '
дЮ __ d-U I ди\2 _ д-Ц ди_ dv дЮ / dv \2 dU d2u dU ff>v
~дх*"~ ~duF \дх ) + dudv ~dx ~dx + dv2 [dx j + ~du~ Ttf + ~dv ~dx*~
и аналогично
d2U _ d2U !du\z d2V du dv , д*Ц I dv 2 dU dhi dU d2v
dy2 Ъп? \dyj + dudvdy"dy' ^ dv2 {'ду ) ^"duIy2 + dvly2'
Поэтому новое уравнение для функции U в переменных и и v,
которое получается из уравнения (И), будет:
дх* + ду2 ~~ ди2 [[дх! +{ду)\+ dv* \[дх) +\ду}\
~~ д2 [[дх! +{ду)\+ dv* \[дх) +\ду}\
C. 12)
\du dv . du дуЛ dU д2^ д^и_ dU_ Г d2v d2v Л
[дх dx + ду dy\~^ du dx* + dy1 + dv [~дх* + dy* J
т" А dudv [дх dx
Но по условию функция w (z) = и + iv аналитическая, следо-
282
вательно, для нее, как вытекает из условий Даламбера — Эйлера,
должны выполняться соотношения:
du _Эс_ , _du_ jk>_ ___ „ с^ц д3ц _ „ д2о д2и _ „
дх. дх ~*~ ду ду ~ U; ~W + "Эр" "" U; ~дх^ + ip" "~ и'
Подставляя эти результаты в предыдущую формулу, находим
Следовательно, если | w' (z) | ф 0, то из уравнения (И) получаем
~тт + ~тгт = 0- C.12')
Таким образом, мы доказали важное для дальнейшего пред-
предложение:
Уравнение Лапласа остается инвариантным относительно пре-
преобразований, доставляемых регулярными аналитическими функ-
функциями. Инвариантными остаются и линии уровня.
Другими словами, в результате конформного отображения,
осуществляемого аналитической функцией w (z) ~ и (х; у) + iv (x;y),
гармоническая в области G функция U (х; у) переходит в функцию
U* = U (и; v), гармоническую в области D, если только | w (z) \ ф
Ф 0. Граничные условия и = const, v = const также остаются
инвариантными.
Если же преобразование (9) будет осуществлено произвольными
функциями и = и (х; у), v — v (x; у), то уравнение Лапласа (И)
будет преобразовано не в уравнение Лапласа A2'), а в общее диф-
дифференциальное уравнение с частными производными второго по-
порядка A2), для которого в настоящее время еще не разработаны
достаточно эффективные методы решения. Именно благодаря этому
обстоятельству, решение многих технических задач может быть
сведено к задаче определения функции, конформно отображающей
некоторую наперед заданную область на одну из канонических
областей, например на полуплоскость или на единичный круг, для
которых рассматриваемая задача легко решается.
§ 48. МЕТОД КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ.
МЕТОД АНАЛОГИЙ
Согласно результатам, полученным в предыдущих параграфах,
аналитические функции и реализуемые ими конформные отобра-
отображения позволяют очень наглядно представить плоские потен-
потенциальные поля различной физической природы, которые не изме-
изменяются во времени, т. е. стационарные плоские потенциальные
поля. Для большей конкретности рассмотрим еще наиболее ти-
283
пичные примеры таких полей и их исследование при помощи ме-
метода конформных отображений.
1. Поле скоростей течения жидкости. Рассмотрим криволиней-
криволинейную полосу G, ограниченную двумя гладкими кривыми А В и CD,
пересекающимися лишь в бесконечности (рис. 75). Задача заклю-
заключается в том, чтобы построить картину безвихревого (потенциаль-
(потенциального) течения несжимаемой жидкости, в которой отсутствуют
источники и стоки, протекающей в канале, горизонтальное сечение
которого совпадает с криволинейной полосой, представленной
на рис. 75. Если канал имеет большую глубину и его стенки пред-
представляют собою цилиндрические поверхности, то очевидно, что в
каждом горизонтальном сечении, достаточно удаленном от дна
канала, картина течения будет одна и та же, т. е. в этом случае
задачу можно рассматривать как плоскую. Заметим попутно, что
говоря о линии при исследовании плоско-параллельных полей мы
фактически имеем в виду цилиндрическую поверхность, проходя-
проходящую через эту линию перпендикулярно к плоскости поля; под
точкой мы имеем в виду прямую, образующую этой цилиндрической
поверхности, проходящую через данную точку; а под областью —
цилиндрическое тело.
В частном случае, когда стенки канала есть параллельные
прямые, согласно примера 1 § 46 комплексный потенциал для рас-
рассматриваемого течения будет
W = аг = а (х + iy),
где постоянная а определяется из граничных условий и равна ско-
скорости потока в канале на бесконечности, которая должна быть
задана. Действительно, в этом частном случае стенки канала сов-
совпадают с линиями тока и как бы растворяются в потоке, переста-
переставая быть для него препятствием. Но из физических соображений
ясно, что любую линию тока можно заменить бесконечно тонкой
твердой стенкой, расположенной перпендикулярно к плоскости
течения и это не вызовет никаких возмущений в стационарном по-
потоке жидкости. Возможность замены линий тока в поле скоростей
жидкости — так называемый принцип отвердения — следует также
из единственности решения соответствующих краевых задач.
Совместив действительную ось ф области комплексного потен-
потенциала W с направлением вектора скорости потока на бесконеч-
бесконечности, мы получим полную сетку движения для рассматриваемого
частного случая канала, представленную на рис. 75.
Для того чтобы результат, полученный для частного случая
канала W = ср + гг|з, перенести на случай канала произвольного
сечения z = х + iy (рис. 75), необходимо только построить харак-
характеристическую функцию (т. е. комплексный потенциал) для общей
задачи, которой является функция, конформно отображающая
область W на область z:
z = F(w) C. 13)
284
или в развернутом виде
х -\- iy = Fl (ф; i|j) -j- IF2 (ф; i|j). C. 13')
Разделяя в этом уравнении вещественные и мнимые части и по-
полагая последовательно х — const, у = const, получаем уравнения
гидродинамической сетки движения (в параметрической форме):
x = Ft (Ф; тр), C. 14)
Д
Рис 75.
Рис. 76.
а для определения скорости потока в любой точке области движе-
движения служит уравнение
■?■=«,-/«,. C.15)
Построив поле скоростей при помощи уравнения Бернулли, легко
определить также давление в любой точке потока, в том числе и на
стенках канала.
Непосредственное построение отображающей функции A3) в
общем случае довольно сложно. Поэтому задачу обычно расчле-
расчленяют на две более простые, вводя в качестве вспомогательной кано-
канонической области полуплоскость или единичный круг £ = \ + щ
и отображают на нее области z и W.
Исключив затем из найденных уравнений вспомогательную
переменную £, получаем искомую характеристическую функцию
A3). При этом основную трудность представляет задача отображе-
отображения наперед заданной области z на каноническую область £, а за-
задача отображения полосы W на £ уже была рассмотрена в § 39 и
42 гл. II.
285
Аналогичным путем решаются задачи обтекания заданного
контура, например профиля крыла самолета, представленого на
рис. 76. Для удобства исследований можно считать, что крыло не-
неподвижно, а на него набегает поток воздуха с постоянной скоро-
скоростью в бесконечности и», которая равна фактической скорости
движения крыла. При скоростях, не приближающихся к скорости
звука, как показали многочисленные исследования, воздух можно
считать идеальной несжимаемой жидкостью и пренебречь вихре-
образованием вокруг крыла. Кроме того, мы представим крыло в
виде бесконечно длинного цилиндра с образующими, перпендику-
перпендикулярными вектору скорости. Тогда поле скоростей частиц воздуха
будет плоско-параллельным и можно ограничиться изучением плос-
плоского поля в любом сечении, перпендикулярном образующим ци-
цилиндра.
Поставленная задача также решается построением характери-
характеристической функции (т. е. комплексного потенциала) для наперед
заданного профиля крыла, так как эта функция отображает про-
профиль в двойной разрез, который совпадает с одной из линий тока
в области комплексного потенциала W простейшей задачи данного
типа (рис. 76).
В более сложных случаях, например, в случае обтекания крыла
при наличии циркуляции, для решения задачи достаточно найти
функцию, отображающую заданную область z на круг, так как за-
задача циркуляционного обтекания круга легко решается [134,
стр. 244—246].
2. Тепловое поле. Как известно, температура в плоском тепло-
тепловом поле без источников тепла удовлетворяет дифференциальному
уравнению [134, стр. 232]
w)-
dt ~ [дх* ~г дуг I
где и — температура, t — время, а2 — некоторый постоянный коэф-
коэффициент. Ограничиваясь установившимся режимом, при котором
температура не зависит от времени, так что -^г = 0, мы придем
к уравнению Лапласа
^L + *± = о,
дх1 ' ду2
т. е. температура есть гармоническая функция. Сопряженную к ней
гармоническую функцию v (x, у) называют функцией тока тепла,
а аналитическую функцию / (г) ~ и (х, у) + iv (x, у) — комплекс-
комплексным потенциалом (теплового поля).
Выясним физический смысл функции v (x, у). В теории тепло-
теплопроводности принимается, что количество тепла, протекающего за
286
единицу времени через элемент длины ds, пропорционально ds
ди
и нормальной производной температуры —, т. е. равно
— k~ds= (— kgradи, п°)ds = (Q, n°)ds. C. 16)
Здесь k — коэффициент внутренней теплопроводности, знак
минус берется с учетом того, что тепло течет от высоких температур
к низким, вектор
Q = — & grad и C.17)
называется вектором, потока тепла. Из A6) видно, что поток век-
вектора Q через линию АВ означает количество тепла, протекающее
через Л В за единицу времени.
По свойству градиента в каждой точке поля вектор потока
->■
тепла Q направлен по нормали к линии и (х, у) = const (изотер-
(изотермической линии, т. е. линии равной температуры), проходящей че-
через эту точку. Но это направление, очевидно, является касательным
к линии уровня функции v (х, у), следовательно, линии v (x, у) =
= const служат векторными линиями Q (т. е. линиями, по которым,
«течет тепло»). Далее, из формулы A7) и уравнений Даламбера —
Эйлера имеем
^ \ дх ' ду I ду ' дх
Следовательно, поток тепла через произвольную линию с левой ее
стороны на правую, при котором n°ds = — idz = dy— idx, равен
jj |L^+!^=_&j dv =
АВ АВ АВ
= k{v(zA)-v(zB)}. C.18)
Отметим еще выражение вектора Q через комплексный потенциал
5 —*(§+'"£)= "ТО C.19)
Таким образом, между полем скоростей течения жидкости и теп-
тепловым полем имеется полная аналогия. Разница состоит лишь в том,
что в первом случае могут быть многозначными обе компоненты
комплексного потенциала, а во втором действительная часть —
температура — всегда однозначна.
В качестве иллюстрации решим задачу о стационарном распре-
распределении температур в канале, дно которого нагрето до температуры
287
и = Т°, а стенки поддерживаются при значении и = 0°; между
стенками и дном проложен бесконечно тонкий слой теплоизоля-
теплоизоляции. Сечение канала плоскостью, перпендикулярной к его дну,
представлено на рис. 77.
Как мы уже отмечали, температура в стационарном тепловом
поле есть гармоническая функция. Поэтому рассматриваемая задача
есть обобщенная задача Дирихле для полу полосы.
Граничные условия в данном случае будут и = Т на прямой
ВС и и = 0 на прямых АВ и DC, т. е. участки границы есть линии
Н
д(-°°)
и=0
г
U
С
1
♦
1
1
1
t
1
♦
1
и=0
t
t
в
I
у
\
1
?
1
1
i
♦
ф
в
?
Рис. 77.
уровня и = const, которые при конформном отображении снова
переходят в линии уровня. Следовательно, для решения постав-
поставленной задачи достаточно конформно отобразить заданную область
z на такую область, для которой решение легко построить.
Согласно результатов примера 1 § 42 гл. II функция
яг
C. 20)
отображает полуполосу г шириною 2а на верхнюю полуплоскость
£. При этом основание канала ВС перейдет в отрезок действитель-
действительной оси — 1 < |< +1, на котором и = Т, а стенки канала
АВ (х = — а) и DC (х = + а) перейдут в лучи — оо < | < — 1;
+ 1 < | < + со, на которых и = 0.
Воспользовавшись теперь преобразованием
W = lni=±, C.21)
мы отобразим верхнюю полуплоскость £ на полосу W = ц> + tipi
причем отрезок ВС (—1 < £ < +1) перейдет в прямую i|> = я,
288
на которой и = Т, а лучи АВ и CD перейдут в прямую г|) = О,
на которой и = 0 (рис. 77).
Исключим из B1) вспомогательную полуплоскость £: Согласно
формуле B0) и теореме сложения A.139) § 20 для функции синус,
имеем
Я I ЯХ Яу \ ЯХ
sm—(*+&)-! (sin—ch—-ij + icos—sh-'
ях яу
£ — 1 2а _ \ 2а 2а j 2а 2а
2a V 2a 2a / 2a 2a
Умножив числитель и знаменатель этой дроби на величину со-
сопряженную знаменателю, получаем
sh2 ch2 1 + cos2 —- sh2 -4- 2г cos
\ la la 2a 2a I 2a
Я(/
sh+ 2г cossh —-
— 1 \ la la 2a 2a I 2a 2a
T 4- 1 ях яу n . nx яу ях ли
ь ^ sin2 — ch2 -f- + 2 sin — ch-^- + 1 + cos2 — sh2 -^_
2a 2a 2a 2a 2a 2a
Произведя затем замену
после несложных преобразований находим
/ , о пУ ,1И\ ях , яу
sh2 — — cos2 \ + 2£ cos sh —^~
t — 1 I 2a 2a / 2a 2a
t, + 1 . , ^ Я(/ . ЯХ Я(/
sin2 hen2 h 2 sin—ch —
2a 2a 2a 2a
или, как легко непосредственно проверить, возведя правую часть
в квадрат
/ пу яx^
sh \- i cos —
sin 1- ch —^
2а 2а
Подставив найденное значение в B1), и учтя, что логарифм от
степени равен показателю степени, умноженному на логарифм
основания, исключаем вспомогательную переменную £:
яу ях
sh —— cos ——
W = Ф + hb = 2 In I + i I. C. 23)
т ' T I я* Я(/ ' ЯХ , Я(/ ' v '
sin \- ch — sin \- ch —
2a 2a 2a 2a
Определив по формулам A.5) § 2 модуль и аргумент подлогариф-
19 П. Ф. Фильчаков 289
мического числа и воспользовавшись затем формулой A.143) § 21,
разделяем в B3) действительные и мнимые части
яу ях пу . ях
sir 1- cos2 — ch sin —
"а 2а о, 2а 2а .„ пл.
2Ь C24>
cos-—-
гр = 2 arctg —|j-. C.24')
sh
2а
формулы B4) легко позволяют получить окончательные резуль-
результаты.
Очевидно, что функция
и = -£> C-25>
будет решением поставленной задачи Дирихле для полосы W =
= Ф + /гр. Действительно, на нижней границе полосы ip = 0 и
тогда, согласно B5), и = 0, а на верхней границе полосы ()) = яи, со-
согласно B5), и = Т, как и должно быть в соответствии с граничными
условиями.
Для того чтобы перенести этот результат в исходную область
z = х + iy остается только подставить в B5) значение г|), опре-
определяемое формулой B4'), и мы получим формулу для температуры
в канале z в окончательном виде:
C. 26)
Проверим, удовлетворяет ли найденное решение граничным
условиям. Вдоль дна канала ВС имеем у — 0, а тогда sh |^ = О,
arctg оо = — и, согласно B6), ивс = Т; вдоль стенок канала х =
так что cos 4^- = cos (±, —) = 0; arctg 0 = 0 и, согласно B6), иАВ =
= uDC = 0.
Формула B6) позволяет легко определить любое число изотерм
в области канала 2, для чего надо эту формулу представить в виде
ЯХ , Яи . ЯУ .„ (vjv
290
Тогда, задаваясь значением и = const, например, и = 0,01 Т;
и = 0,1 Г; и = 0,3 Т; ..., а также рядом значений х, например,
х = 0; х = 0,1 а; х = 0,2а; ... по формуле B7) вычисляем'соответ-
вычисляем'соответствующие значения у для каждой заданной изотермы. На рис. 77
построена таким путем сетка наиболее характерных изотерм.
В области полосы W этим изотермам соответствуют координатные
прямые ф = const.
Линии v = const, ортогональные в каждой регулярной точке
области z к изотермическим линиям, наглядно показывают, как
тепловой поток течет от нагретого дна канала ВС к его охлажден-
охлажденным стенкам АВ и DC. Ось Оу также будет линией v = const, которой
соответствует отрезок мнимой оси ф = 0 в полосе W = ф + пр.
Общий расход тепла в данной задаче бесконечно большой Q =
= со, так как длина полосы W не ограничена. Это вызвано тем,
что толщина теплоизоляции в точках В и С была принята равной
нулю, чего в реальных условиях не может быть. Если учесть тол-
толщину теплоизоляции и исключить точки В и С дугами малых окруж-
окружностей радиуса \z — а\ = е, то, как будет показано ниже, с точ-
точностью до малых высшего порядка эти дуги совпадут с линиями
v = const, которым в области полосы W будут соответствовать ли-
линии ф = const. Тогда в области W каналу z будет соответствовать
прямоугольник и для сопряженной функции v совершенно анало-
аналогично получим
пу ях
сп (- sin —
Q Q 1 2а 2а ,„ О0.
Туш
СП Sin
2а 2а
где
1 + cos —
Задаваясь в формуле B8) значением v = const и рядом допу-
допустимых значений х, легко находим соответствующие значения у для
точек, лежащих на одной и той же линии тока тепла v = const.
В частности, для точек дна канала ВС, для которых у = 0,
и для точек х = а, лежащих на стенке DC, имеем из B8):
х , пу
1+sin
Q , 2а Q
= -J- In ; vDr =
b пх "^
J In ; vDr = r In .
b пх "^ Ь , ny
1 — sin — ch ■ 1
2a 2a
Приравнивая между собою эти равенства, находим условие,
которому должны удовлетворять координаты конечных точек одной
19* , 291
и той же линии тока v = const, лежащие на дне канала ВС и на
его стенке DC:
пх пу
1 + sin— ch (- 1
2а 2а , пи 1 {ЗЖ)
пх пу 2а пх
1 — sin — ch 1 sin —
2а 2а 2а
Отсюда
2а
где введено обозначение а — х = г. Решая это уравнение относи-
относительно у, а затем разлагая полученные результаты в ряды, имеем
пу д и /+ яе\ + яе 1 t з JIe i 3 t 5 яе
2a \° 2a J *=2a 6°2a~^40°2a ""'
ite 1 / ite \* , 2 / яе
~2a~ + ¥ a"
40
или, после очевидных упрощений,
Таким образом, при е -> 0 с точностью до е3
у = е = а — х,
т. е. линия тока v = const в окрестности точки С (х = а, у = 0)
проходит через точки окружности | z — а | = е, лежащие на дне
канала ВС и на его стенке DC. Исходя из формулы B8), можно
также показать, что в окрестности точки С и вся линия тока v =
= const будет с точностью до е3 совпадать с дугой окружности
\z — а\ = е.
В точке В, как вытекает из условий симметрии, картина будет
вполне аналогичная.
В данном примере мы рассмотрели бесконечно высокий канал.
Для канала ограниченной высоты ход решения остается прежним,
только вместо отображения B0) надо воспользоваться отображением
где модуль k определяется из соотношения ширины и высоты кана-
канала. Для канала бесконечной высоты k = О'И эллиптический синус
переходит в сикус обыкновенный.
292 '
Если мы все изложенное выше для теплового поля повторим
для поля электростатического, мы получим те же самые результаты,
изменится лишь терминология.
Так, например, задачу, представленную на рис. 77, можно
рассматривать как задачу определения плоско-параллельного элек-
электростатического поля в вакууме для полуполосы, к основанию кото-
которой ВС, выполненного из проводника, приложен потенциал V = 1,
а вдоль линий А В и DC, также выполненных из проводников, при-
приложен потенциал V = 0. В точках В и С проводники изолированы
один от другого бесконечно тонким слоем изоляции. Задачи такого
типа часто встречаются в электронике.
Все также останется прежним, если к полуполосе A BCD, выпол-
выполненной из тонкого листа электропроводного материала, например,
из специальной электропроводной бумаги с омическим сопротив-
сопротивлением порядка 100—100.000 ом на квадрат, по линиям АВ и CD
приложить электрический потенциал ф = 0 при помощи металли-
металлических шин, сопротивлением которых можно пренебречь, а по ли-
линии ВС установить шину с потенциалом ф = 1. Шины ф = 0 и ф = 1
должны быть разделены бесконечно тонким слоем изоляции. Тогда
линии равного потенциала ф = const (аналогичные изотермам и =
= const) можно построить непосредственно на самом листе электро-
электропроводной бумаги. Для этого при помощи очень простого измери-
измерительного устройства и измерительной иглы (зонда) определяем ряд
точек с заданным значением потенциала ф = const, а затем каждую
из найденных эквипотенциалей вычерчиваем непосредственно на
электропроводной бумаге цветным карандашей, так что результаты
получаются очень наглядными. При помощи того же самого изме-
измерительного устройства можно измерить значение потенциала в лю-
любом количестве интересующих нас точек поля. Линии тока строятся
путем обращения исходной задачи, т. е. путем перехода к новой
задаче с обращенными граничными условиями, в которой новые
эквипотенциали совпадают с линиями тока исходной задачи.
Электропроводная бумага выпускается промышленностью с раз-
различным удельным сопротивлением от десятков до сотен тысяч ом
на квадрат. Поэтому если необходимо исследовать поле в зонально
неоднородной среде, как это часто встречается при решении прак-
практических задач, то каждая из зон вырезается из соответствующего
сорта электропроводной бумаги, а затем склеиваются между собой
специальным электропроводным клеем. Техника экспериментиро-
экспериментирования с электропроводной бумагой очень проста и, например, но-
ножом или ножницами она режется так же легко, как и обыкновенная
бумага, а по внешнему виду она напоминает черную обертку для
фотобумаг.
Хотя на электропроводной бумаге мы можем исследовать только
электрическое поле в проводящей среде, но, поскольку все стацио-
стационарные физические поля (при отсутствии источников внутри поля)
описываются уравнением эллиптического типа (а в случае однород-
293
ной среды — уравнением Лапласа), то полученные результаты легко
пересчитать на любое другое поле. На этом принципе основан ме-
метод математических аналогий при решении многих технических
задач. При этом возможны различные аналогии, но для решения
краевых задач для потенциальных полей наиболее широкое приме-
применение получил метод электроаналогий, который впервые был пред-
предложен Г. Кирхгофом в 1845 г. В качестве проводящей среды при-
применяют металлическую фольгу, электролиты жидкие и желеобраз-
желеобразные, смесь мраморной крошки с графитом и т. д. Для моделирова-
моделирования этого класса задач нами в 1947 г. было предложено воспользо-
воспользоваться электропроводной бумагой, которая еще в 1943 г. была
разработана для других технических целей Б. Б. Гутманом [47].
Разработанный затем для моделирования этих задач интегратор
ЭГДА (электрогидродинамических аналогий) [289; 290] произво-
производится в настоящее время нашей промышленностью серийно. Эти
интеграторы нашли уже широкое применение для решения самых
разнообразных задач, сводящихся к исследованию потенциальных
полей, в том числе и для полей с осевой симметрией. Как показало
решение многочисленных контрольных задач, при этом достижима
точность порядка 1—2%, которая при использовании специальных
приемов может быть еще повышена в 3—4 раза. Все эти вопросы
подробно изложены в книгах [283; т. 2, гл. V] и [290], в которых
приведена также и подробная библиография.
В данном параграфе мы ограничились очень кратким изложением
применения метода конформных отображений к исследованию гид-
гидродинамического и теплового полей.
Более подробно эти вопросы очень хорошо изложены в книгах
М. А. Лаврентьева [126] и М. А. Лаврентьева и Б. В. Шабата [134,
гл. III], где рассмотрено также решение многих типов технических
задач, сводящихся к исследованию плоских потенциальных полей.
Дальнейшее развитие этих вопросов читатель найдет в книгах
И. М. Аснина [4], В. В. Голубева [34], Г. А. Гринберга [41], М. И. Гу-
ревича [44], X. С. Карслоу [77], Н. Е. Кочина [100], Н. Н. Лебе-
Лебедева [139], Л. Г. Лойцянского [142]; А. В. Лыкова [147]; Ф. Б. Нель-
сона-Скорнякова [167], Н. Н. Павловского [171], П. Я. Полу-'
бариновой-Кочиной [187], Л. И. Седова [221], К- В. Соляник-
Красса [242], Г. Ю. Степанова [250]; Б. А. Фукса и Б. В. Шабата
[295]; И. А. Чарного [308] и многих других.
Применение аналитических функций к конформному отобра-
отображению простейших криволинейных поверхностей (шар, тор и
т. д.) можно найти в книге В. Коппенфельса и Ф. Штальмана [354],
русский перевод которой вышел в свет в 1963 г.
Значительный шаг вперед в вопросе приложения метода конформ-
конформных отображений к более сложному классу задач был сделан
Г. В. Колосовым и Н. И. Мусхелишвили, которые с большим
успехом применили этот метод к решению задач плоской теории
упругости, описываемых бигармоническим уравнением.
294
Весьма обстоятельное изложение этих вопросов можно найти
в книгах Г. В. Колосова [96], Н. И. Мусхелишвили [163] и
Г. Н. Савина [207], которые уже в течение многих лет стали на-
настольными книгами для всех, кто интересуется решением различ-
различных задач теории упругости.
В тесной связи с этим направлением (несмотря на применение
других методов исследований) находятся работы по теории пла-
пластичности А. А. Ильюшина [65], А. Ю. Ишлинского [68], В. В. Со-
Соколовского [241], в которых дан также обзор дальнейших исследо-
исследований и приведена более подробная библиография.
§ 49. КРАТКИЙ ОБЗОР ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ
КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Разработка приближенных методов конформных отображений
ведется уже свыше пятидесяти лет и литература, посвященная
этим вопросам, насчитывает многие сотни названий. Не имея воз-
возможности в данной работе подробно остановиться на освещении
этих вопросов, мы ограничимся самым кратким их изложением
с указанием основной литературы.
Первыми по времени систематически начали разрабатывать
методы, основанные на экстремальных свойствах функций, отобра-
отображающих заданные области на круг.
Приведем основные результаты, полученные в этом направлении.
Пусть функция (которую ищем в виде степенного ряда)
w = f(z) = co + ciz + c2z2 + . ..; сп = ап + ibn, C. 29
регулярная в круге радиуса R с центром в начале координат, ото-
отображает его на некоторую область G комплексной переменной w.
Для однозначности отображения введем нормировку
f@) = 0; f'@) = l, C.30)
из которой вытекает, что в разложении B9) должны быть с0 = 0>
сх = 1.
Доказано, что при таком отображении площадь отображенной
области G всегда больше, чем л#2 и может совпадать с этим числом
лишь в случае тождественного преобразования w = z, к которому
сводится при нормировке C0) линейное преобразование w = с0 +
+ Ciz. Отсюда вытекает, что искомая функция дает минимум инте-
интегралу
C.31)
выражающему площадь преобразованной области по сравнению
со всеми другими функциями, удовлетворяющими условиям C0).
Функцию, дающую требуемое конформное отображение, можно
295
искать, следовательно, как решение следующей вариационной за-
задачи:
Среди функций, регулярных в области G и подчиненных усло-
условиям C0), найти ту, которая дает минимум интегралу C1).
В существовании и единственности решения поставленной эк-
экстремальной проблемы нас убеждает теорема Римана. При этом
обычно ищут не непосредственно f (z), a /' (z), которая входит под
знак интеграла C1), а затем по найденной /' (z) восстанавливают
f (z), что легко выполняется.
Другим экстремальным свойством, позволяющим применить
его для построения отображающей функции, является свойство
минимума длины контура при преобразовании области на круг,
которое может быть сформулировано следующим образом.
При преобразовании круга |до| ^ R с помощью регулярной
функции
длина контура отображаемой области увеличивается, если исклю-
исключить тривиальный случай / (до) = до.
Отсюда непосредственно вытекает, что функция, дающая кон-
конформное отображение области G на круг, обладает тем свойством,
что она дает наименьшее значение интегралу
C.32)
равному длине изображения контура L. Более подробно эти во-
вопросы изложены в монографии [73, гл. V, § 2—3].
В нашей стране первыми работами по теории конформных
отображений, опубликованными в двадцатых годах, были работы
В. И. Смирнова [231], И. И. Привалова [189] и М. А. Лаврентьева
[118].
В своей весьма многогранной и плодотворной работе М. А. Лав-
Лаврентьев неоднократно возвращался к разработке различных во-
вопросов теории функций комплексного переменного и к теории кон-
конформных отображений, а также к их различным техническим при-
приложениям [119—134].
С именем М. А. Лаврентьева связано также возникновение ново-
нового направления в теории приближенных конформных отображений,
которое оказалось весьма плодотворным и в рамках которого уда-
удалось провести ряд исследований как теоретического, так и приклад-
прикладного характера. Речь идет о вариационных методах теории конформ-
конформных отображений, на которых мы несколько подробнее остановимся
в §50.
Эта область конформных отображений развивалась М. А. Лав-
Лаврентьевым на протяжении ряда лет и была предметом многих публи-
публикаций. Используя ее методы, М. А. Лаврентьев получил свои клас-
296
сические результаты по теории волн и струй. Эти результаты отно-
относились к проблеме существования определенных классов течений
несжимаемой жидкости и имели большое принципиальное значение.
При этом вариационные методы М. А. Лаврентьева позволяют по-
получать не только результаты чисто теоретического значения. Они
служат также средством эффективного решения прикладных задач,
являясь основой приближенных расчетов. Многие примеры таких
решений приведены в работах [126, 132, 134].
Большой вклад в развитие теории конформных отображений
и их технических приложений был сделан в ряде совместных ра-
работ М. А. Лаврентьева и М. В. Келдыша [85—90]. В этих работах
было получено решение задачи о жестком ударе о воду, выпол-
выполнены исследования об устойчивости решения задачи Дирихле и о
единственности задачи Неймана, а также впервые проведены иссле-
исследования о движении крыла под поверхностью тяжелой жидкости,
которые явились теоретической основой нового, очень быстро раз-
развивающегося раздела современной гидромеханики — теории корабля
на подводных крыльях.
В своих дальнейших работах М. В. Келдыш [80—84] разви-
развивает эту же тематику, а также разрабатывает вопросы представления
функций комплексного переменного рядом полиномов и вопросы
конформного отображения многосвязных областей.
В совместной работе М. В. Келдыш и Л. И. Седов [91] уста-
устанавливают свою известную формулу, которая позволила эффективно
решить смешанную краевую задачу для гармонических функций,
и благодаря этому получила многочисленные практические приме-
применения.
Дальнейший существенный вклад в развитие как теоретических,
так и прикладных вопросов теории функций комплексного пере-
переменного и, в частности, конформных отображений внесли работы
Н. Е. Кочина, Л. И. Седова, С. Л. Соболева, Л. Н. Сретенского,
С. А. Христиановича.
Н. Е. Кочин [99—101] разрабатывает гидродинамическую тео-
теорию решеток, которая в настоящее время получила широкое при-
признание, проводит исследование движения тяжелой жидкости в ка-
канале, рассматривает частный случай задачи Римана и изучает ряд
других вопросов.
Л. И. Седов [215—221] в своих исследованиях уделяет большое
внимание задачам удара твердого тела о жидкость, задаче глисси-
глиссирования по поверхности тяжелой жидкости и разработке многих
других вопросов общей теории плоскопараллельных движений
жидкости и газа.
С. Л. Соболев [234—238] исследовал вопрос о единственности
решений разностных уравнений эллиптического типа, рассмотрел
интересную предельную задачу теории логарифмического потенциа-
потенциала и ее применение к отражению плоских упругих волн, разработал
методику применения алгорифма Шварца в теории упругости и про-
297
вел исследования по ряду других вопросов более теоретического
характера.
Л. Н. Сретенский [244—247] разрабатывал вопросы волновых
движений, вопросы теории газовых струй, а также провел иссле-
исследования по теории Ньютоновского потенциала, включая и решение
некоторых обратных задач этой теории.
С. А. Христианович [301—303] в своих работах, относящихся
к этому направлению, исследовал задачи по обтеканию профилей
при дозвуковых и сверхзвуковых скоростях, а также рассмотрел
задачу математической теории пластичности при внешних силах,
заданных на замкнутом контуре.
Вариационным методам конформных отображений М. А. Лав-
Лаврентьева посвящен также ряд работ его учеников и последователей.
Ю. П. Иванилов, Н. Н. Моисеев и А. М. Тер-Крикоров [64]
показали, что вариационные формулы М. А. Лаврентьева носят
асимптотический характер, являясь первыми членами разложений,
соответствующих точных решений. На базе вариационных формул
М. А. Лаврентьева были выполнены интересные исследования для
узких полос Н. Н. Моисеевым, в обзорной статье которого, кроме
того, поставлен ряд новых важных задач [165, стр. 180—200].
К этому же направлению примыкают исследования Г. Н. По-
ложего [180—183], в которых дается применение разработанного
автором метода мажорантных областей, к решению ряда задач
теории фильтрации и теории кручения.
М. А. Лаврентьеву принадлежит также идея метода последо-
последовательных конформных отображений, на развитии которой мы
остановимся в § 51.
Необходимо еще отметить ряд основополагающих работ
М. А. Лаврентьева [125, 127—129, 132] по квазиконформным
отображениям и по римановым поверхностям, которые успешно
развиваются дальше в работах А. В. Бицадзе [11—12], И. Н. Векуа
[20—22], Л. И. Волковысского [23—24], Ю. Ю. Трохимчука [268],
Б. В. Шабата [311—314] и многих других. Более подробно все
эти вопросы, выходящие за рамки данной книги, изложены в
[154—155].
Экстремальные свойства отображающей функции, сформулиро-
сформулированные в начале параграфа, дали возможность применить для е&
построения различные полиномы, ортогональные на контуре или
ортогональные в области. Первые успешные попытки построения
таких полиномов были предприняты в двадцатых годах нашего;
столетия Карлеманом, Сеге, Бохнером и Бергманом [73, гл. V»
§ 4]; [214]. К этому же направлению тесно примыкают работы
В. И. Смирнова [231—232] и И. 3. Штокало [323—326], которые
не потеряли своего значения до настоящего времени. ;
Новое направление в развитии приближенных методов конформ*
ных отображений было дано в работах участников семинара при
Институте математики и механики Ленинградского университета»
298
который был организован в начале тридцатых годов В. И. Смир-
Смирновым. Среди этих работ надо отметить работы Г. М. Голузина
{36—38], Л. В. Канторовича [38; 69—74], В. И. Крылова [38; 73;
105], П. В. Мелентьева [38; 156], М. И. Муратова [38], Н. П. Сте-
Стенина [38]. Эти же работы вошли затем в монографию Л. В. Канто-
Канторовича и В. И. Крылова [73] по приближенным методам высшего
анализа, первое издание которой вышло еще в 1936 году и которая
в настоящее время является наиболее фундаментальной моногра-
монографией, освещающей эти вопросы.
Л. В. Канторовичем [69; 70; 72] был разработан метод последо-
последовательных приближений для конформного отображения круга на
односвязную область, опирающийся на тот факт, что эта задача
эквивалентна задаче параметрического представления границы об-
области с помощью сопряженных функций. Метод разложения по
степеням малого параметра Л. В. Канторовича был успешно при-
применен Г. М. Голузиным [36; 38], В. И. Крыловым [38], М. И. Мура-
Муратовым [38] как в теоретических исследованиях, так и в других ра-
работах по приближенным конформным отображениям. Этот же метод
в несколько измененном виде был рассмотрен А. 3. Закариным
[57] и Г. А. Николаевой [168], которая, кроме того, детально исследо-
исследовала сходимость используемого процесса, опираясь на теоремы о
методе Ньютона.
Необходимо также отметить оригинальный графоаналитический
метод П. В. Мелентьева, который благодаря своей наглядности
и простоте нашел признание среди широких кругов инженеров.
Опираясь на метод П. В. Мелентьева, Ю. В. Благовещенский
[13—14] разработал аналитический метод отображения односвяз-
ных и двухсвязных областей, обладающий довольно быстрой схо-
сходимостью и базирующийся на задании отображающего контура
дискретным рядом точек, лежащих на нем, как это часто встре-
встречается на практике. К этому же направлению примыкает статья
И. Г. Губаря [42].
Разработке приближенных методов для конформного отобра-
отображения двухсвязных областей посвящены работы Г. Я. Хажалия
[296—298] и Б. Ф. Шилова [321].
Необходимо также отметить интересные и оригинальные работы
В. А. Зморовича [58—61], Д. А. Кваселава [78—79] и Т. В. Путяты
[195].
Большое внимание в литературе уделялось разработке при-
приближенных методов конформных отображений, связанных с исполь-
использованием интегральных уравнений.
Первая работа в этом направлении, по-видимому, принадлежит
Л. Лихтенштейну [357], который задачу отображения на круг одно-
связной однолистной области, ограниченной замкнутой кривой
с непрерывной кривизной, свел к решению интегрального уравне-
уравнения Фредгольма. Независимо от Лихтенштейна, к этому же инте-
интегральному уравнению пришел в 1933 г. С. А. Гершгорин [29], который
299
для его решения предложил воспользоваться методом Нистрёма.
Для решения интегрального уравнения Лихтенштейна—Гершгорина
А. М. Банин [7] предложил приближенный метод, сводящийся к ре-
решению конечной системы линейных дифференциальных уравнений.
Методика вычислений проиллюстрирована на конкретном примере.
В 1931 г. Т. Теодорсен сначала в самостоятельной работе, а за-
затем в работе, совместной с И. Гарриком [370], свел задачу о по-
построении функции w = Qe'*, конформно отображающей область G,
близкую к кругу на единичный круг | z | = | re'f \ ;£ 1, к решению
интегрального уравнения Фредгольма второго рода:
2я
а (Ф) = Ф + ^ j log e [ft m ctg £=pL лр, (з. зз)
о
где q = e (■&) есть уравнение контура области G. Для решения
уравнения C3) авторы воспользовались методом последовательных
приближений, исходя из нулевого приближения ,
= Ф, C. 34)
что дает тем лучшие результаты, чем исходная область G ближе
к единичному кругу.
Исследование сходимости метода Теодорсена и Гаррика были
выполнены в работе 1945 г. С. Варшавского и в работе 1952 г.
А. Островского [343; 354, § 17]. Интересные исследования в этом же
направлении были выполнены Г. В. Сирыком [228], который, в ча-
частности, составил программу для реализации метода Теодорсена и
Гаррика на электронной цифровой вычислительной машине.
Решению задачи об отображении произвольного аэродинами-
аэродинамического профиля, которая имеет большое практическое значение,
в 1946—1947 гг. были посвящены весьма интересные работы
С. Г. Нужина [170], Я. М. Серебрийского [225] и Л. А. Симонова
[227]. В этих работах приводится также ряд вспомогательных таб-
таблиц, существенно облегчающих вычисления. При этом метод, пред-
предложенный С. Г. Нужиным, выгодно отличается от аналогичных
приближенных методов тем, что в нем непосредственно строится ряд,
отображающий внешность заданного профиля на внешность круга,
без предварительного перехода к области близкой к кругу. С. Г. Ну-
жин доказал также сходимость предложенного им процесса.
П. П. Куфарев [112—-115], в частности, занимался методом ото-
отображения на круг области, получающейся из плоскости проведе-
проведением полигонального разреза, начинающегося на бесконечности.
У разреза постепенно наращиваются звенья, причем k-й шаг тре-
требует решения системы k + 1 обыкновенных дифференциальных
уравнений. К этому же направлению примыкает и работа
Ю. В. Чистякова [309]. А. М. Чуфистова [310] разработала мето-
методику построения приближенного конформного отображения с по-
помощью показательной функции.
300
В последнее время для решения задачи конформного отображения
наперед заданных областей все шире начинают применять методы
электромоделирования. Первые работы в этом направлении отно-
сяться к 1937—1947 гг. и принадлежат К- Бредфилду, С. Гукеру
и Р. Саусвелу [337], Л. Маловару [358] и Ю. Г. Толстому [265—
266]. В 1955 г. А. Г. Угодчиков [271—272], пользуясь электропро-
электропроводной бумагой и исходя из метода П. В. Мелентьева, разработал
очень простой экспериментально-аналитический метод построения
функции, конформно отображающей произвольную односвязную
область на круг, а также двухсвязную область на круговое кольцо.
Определяя при помощи электромоделирования положение узловых
точек, являющихся образами точек делящих окружность | z | = 1
на т равных частей, А. Г. Угодчиков устранил основную трудность
в методе П. В. Мелентьева.
Другую методику решения этой же задачи предложили затем
Г. Н. Положий [182], Г. Ю. Степанов [249], О. В. Тозони [263—
264], В. Е. Шаманский [316]. В своих статьях Г. Н. Положий
предложил также оригинальную методику определения констант
интеграла Кристоффеля—Шварца на электропроводной бумаге.
Более простая методика определения констант Кристоффеля—Швар-
Кристоффеля—Шварца изложена в статье [285].
В статье А. Г. Угодчикова и И. И. Серебренниковой [275], боль-
большое внимание уделено разработке методики повышения точности
определения образов узловых точек при помощи моделирования на
электропроводной бумаге. Однако необходимо подчеркнуть, что
методы, использующие электромоделирование, не могут обеспечить
достаточно высокой точности построения отображающей функции,
которая часто бывает необходима для решения многих технических
задач.
Из работ общего характера в первую очередь надо отметить
весьма содержательную и доступную широким кругам инженеров
работу М. В. Келдыша [153, т. II, гл. IX] и аналогичную работу
Э. Ф. Беккенбаха [239, гл. 13].
Большой интерес также представляют труды международного
симпозиума, посвященного вопросам конформных отображений и
их приложениям, который был проведен 22—25 июня 1949 г. в Лос-
Анжелосе Институтом численных методов, Национальным бюро
стандартов и Калифорнийским университетом [343], а также сбор-
сборник [346], являющийся непосредственным продолжением первого.
В первом из этих сборников приводится библиографический об-
обзор по конформным отображениям с краткими аннотациями, со-
составленный В. Зайделем [343, стр. 269—280].
Более подробный обзор работ отечественных ученых в теории
функций комплексного переменного и, в частности, в приближенных
методах конформных отображений, приведен в книгах [154, стр.
319—478; 797—799]; [155, т. I, стр. 381—510; 846—848], в которых
дана также исчерпывающая библиография по этим вопросам.
301
Из приведенного краткого обзора, который мы еще частично
продолжим в следующих параграфах, видно какое большое внима-
внимание уделялось этим вопросам, тем не менее задача построения про-
простого, но достаточно эффективного и точного метода отображения
любой наперед заданной области на одну из канонических областей
далека от своего окончательного решения и ждет еще своих исследо-
исследователей.
Так, в цитированной выше работе М. В. Келдыш [153, т. II,
стр. 199] отмечает: «Важная роль конформных отображений в тео-
теории функций и ее приложениях выдвинула задачи нахождения
конформных отображений одной области на другою при заданной
геометрической форме областей. В ряде простейших, но полезных
случаев эта задача может быть решена при помощи элементарных
функций комплексного переменного. Однако в общем случае нельзя
обойтись элементарными функциями. Как уже говорилось, Риман
высказал общую теорему теории конформных отображений, однако
он не дал строгого доказательства этой теоремы. Потребовались
усилия многих крупных математиков в течение ряда десятилетий,
чтобы найти полное доказательство теоремы Римана.
В тесной связи с различными путями доказательства теоремы
Римана развивались методы общего построения приближенным
путем конформных отображений областей. Фактическое построение
конформного отображения одной области на другую представляет
собой иногда весьма трудную задачу Ч.
Эта же сторона вопроса отмечается и Э. Ф. Беккенбахом [239,
стр. 371—372]: «Эффективное определение функций, дающих тре-
требуемое конформное отображение, за исключением ряда известных
частных случаев, представляет собой трудно выполнимую задачу1.
Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть формулу Шварца —
Кристоффеля для конформного отображения полуплоскости на
внутренность многоугольника. Определение входящих в нее постоян-
постоянных представляет, вообще говоря (кроме некоторых простейших
случаев), весьма значительные трудности. Кроме того, затрудни-
затруднительным оказывается применение этой формулы для определения
эквипотенциальных линий и т. д., даже если входящие в нее постоян-
постоянные известны.
Тем не менее применение в технике метода конформных ото-
отображений непрерывно усиливается. В промышленных предприя-
предприятиях, университетах и в ряде правительственных учреждений ве-
ведется большая работа по построению конформных отображений
при помощи моделирующих устройств и современных электронных
цифровых вычислительных машин.
Такая работа [336] проводится, например, на вычислительных
машинах в Кембридже, Принстоне, Вашингтоне и Лос-Анжелосе. ,
Русские математики Канторович и Крылов посвящают конформ- .
1 Подчеркнуто нами.
302
ным отображениям последние 300 страниц своей книги о прибли-
приближенных методах высшего анализа [73]. Кроме того, имеется про-
продолжение [346] книги, издаваемой Национальным бюра стандар-
стандартов, к которой мы уже отсылали читателя. Авторы рассматривают
не только новые методы, оценки ошибок и условия сходимости, но
также и опыт использования вычислительной машины SEAC Наци-
Национального бюро стандартов».
Число таких цитат легко продолжить, но мы лишь только заме-
заметим, что в большинстве работ по приближенным методам конформ-
конформных отображений в качестве примеров рассматриваются отображения
эллипса, квадрата и еще нескольких простейших контуров, а более
сложные примеры встречаются редко.
Может показаться странным, что задача, так легко решаемая
при прямой постановке, переходит в очень трудную задачу при
обратной постановке. Но подобные примеры встречаются довольно
часто и не только в математике. Так, например, очень легко алмаз
перевести в графит, для чего надо только его нагреть в электропечи
до 2200—2500° С при обычном давлении, но без доступа воздуха.
Обратная же задача — превращение графита в алмаз — потребовала
огромных усилий крупнейших специалистов в течение нескольких
десятков лет и успешно решена лишь в самое последнее время.
§ 50. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ М. А. ЛАВРЕНТЬЕВА
Как уже отмечалось в предыдущем параграфе, М. А. Лаврен-
Лаврентьев, опираясь на вариационные принципы Линделёфа и Монтеля,
разработал новое направление в теории конформных отображений,
дающее возможность судить о том, как изменяются отображения
при изменении отображаемых областей, т. е. позволяющее изучать
динамику конформных отображений. Такой подход представляет
особый интерес для практики, так как он дает возможность произ-
произвести пересчет и улучшить запроектированную конструкцию, если
после проверки оказалось бы, что исходный вариант не удовлетворяет
каким-либо техническим условиям. Все эти вопросы с исчерпываю-
исчерпывающей полнотой изложены в недавно вышедшей монографии М. А. Лав-
Лаврентьева [132], а также в более ранних курсах [126, гл. V]; [134,
гл. IV], следуя которым мы приводим здесь самые основные резуль-
результаты, опуская их доказательства.
Пусть в плоскости z заданы две односвязные области D и D,
ограниченные кривыми С и С, и пусть w = f(z) и w = f (z) — функ-
функции, реализующие конформные отображения D и D на одну из
канонических областей (круг, полуплоскость, полосу) и одинаково
нормированные. Задача, о которой только что шла речь, ставится
следующим образом:
303
Считая отображение w = f (z) известным, а контур С близким
к С, найти главную часть б/ приращения
при переходе от области D к D.
Область, ограниченную кривой С, следуя М. А. Лаврентьеву,
обозначим D (С), а функцию, отображающую D (С) на единичный
круг, при котором фиксированная внутренняя точка z0 области
переходит в начало координат, обозначим
w = f(z; С), w0 = f (z0; С) = 0. C.35)
Функций, удовлетворяющих указанным условиям, бесконечно
много, но все они отличаются друг от друга только множителем
вида ёь, где # — действительное число. Будем понимать под
f (z; С) любую из них, определяя (если возникнет в этом необхо-
необходимость) величину # каким-либо дополнительным условием. Замк-
Замкнутую линию, переходящую при отображении C5) в окружность
w\ = q < 1, будем обозначать через Со и называть линией уровня.
Деформацией контура С будем называть замену его контуром
С. Предположим, что области D (С) и D (С ) звездны относительно
точки z0, т. е., что их границы С и С в системе полярных координат
с полюсом в 20 можно представить уравнениями г = г (<р) и г = г (ф)
с помощью однозначных функций г я г. Точку 22 = 20 + г%е1^ кон-
„ „ г (w)
тура С, в которой отношение —~ достигает экстремального значе-
значения, и соответствующую точку z2 = zo+ r±e1^ контура С будем
называть точками наибольшей деформации, а число К = — —■
наибольшей деформацией контура.
Основной качественный вариационный принцип, так называе-
называемый принцип Линделёфа, утверждает, что если ограничиться ото-
отображениями на единичный круг областей, содержащих фиксиро-
фиксированную точку 20 (прообраз точки w = 0 при каждом таком отобра-
отображении), то при вдавливании внутрь границы области: 1) все линии
уровня сжимаются; 2) растяжение в точке z0 увеличивается; 3) ра-.
стяжение в точках границы, оставшихся неподвижными (и, в част-
частности, длина образа недеформированной части границы) умень-
уменьшается; 4) в точках наибольшей деформации растяжение увеличи-
увеличивается более чем в -^ раз.
Иными словами, имеет место
Теорема 1. Если область D (С) содержится в
D (С), т о:
304
1) при любом q @ <о<1) область D (Со) содер-
содержится в D (CQ), причем соприкосновение Со и
CQ возможно лишь при совпадении С и С;
2) в точке 20
\f'(z0; C)\>\f'(z0- O|, C.36)
причем знак равенства возможен лишь при
совпадении С и С;
3) е с л и контуры С и С имеют общую точку
?!, то в этой точке
|/'(Zl; Ol=£|/'(zi; С)\, C.37)
причем знак равенства возможен лишь
при совпадении С и С;
4) если области звездны относительно z(h
то в точках наибольшей деформации
\f'G2,C)\>±\f'(z2; 01. C-38)
где А, < 1 — наибольшая деформация контура.
Следствием теоремы 1, полное доказательство которой при-
приведено в [134, стр. 336—339], является так называемый принцип
Монтеля:
Теорема 2. Пусть области!? (О и Z? (О содержат
точку 20 и С = Ci + С2, С = Ci + С2, причем Сх лежит в D (С),
С2 — в н е D (С), & — вне D (С) и С2 в D (С) (рис. 78).
Пусть, кроме того, при отображениях
w = f(z; С), w = f(z; С)
дуги С] и Сх переходят соответственное дуги
#i и §i, тогда длины этих дуг (которые обозна-
обозначим теми же буквами, что и сами дуги) свя-
связаны соотношением
#1 > fti, C. 39)
причем знак равенства достигается лишь
при совпадении Си С.
Сформулированные выше основные вариационные принципы
М. А. Лаврентьев распространяет на функции, реализующие кон-
конформное отображение на канонические области других типов.
20 П. Ф. Фильчаков 305
а именно, на внешность круга, на полуплоскость и на полосу и дока-
доказывает для этих трех случаев теоремы, аналогичные теореме 1, а
также выводит оценки для граничной производной, определяющие
вариации модуля и аргумента производной отображающей функции
в зависимости от вариации границы области [134, стр. 340—350].
Далее М. А. Лаврентьев устанавливает свои, получившие очень
широкое распространение, приближенные формулы для конформ-
конформного отображения областей мало отличающихся от областей, ото-
Рис. 78.
Рис. 79.
бражение которых на канонические области известны, и дает оценки
погрешности этих формул, что весьма существенно при решении
практических задач.
Изложение этих вопросов начнем с областей мало отличаю-
отличающихся от единичного круга [134, стр. 350—360].
Будем, по-прежнему, считать замкнутую линию С близкой к
единичной окружности | z | = 1 по положению и кривизне, т. е.
в ее полярном уравнении
г = г(ф)=1-6(ф) C-40)
будем считать
|б(Ф)|<е, 1в'(фI<е. |6"(ф)|<е. C.41)
Главную часть f (z; С) получим, отправляясь от формулы для
отображения круга с выброшенной луночкой площади аи угловые
точки которой близки к еа [134, стр. 142—143]:
w ■
1 +
1+ гё
.—it
C. 42)
[w @) = 0, w @) > 0].
Предположим, что из круга \z\ < 1 выброшены две луночки
аи и °V«. угловые точки которых близки соответственно к е«« и ёг*
По формуле D2) находим отображение круга | z | < 1 с выброшен
ной луночкой ati на круг |©| < 1:
С принятой степенью точности можно считать, что луночка О
306
переходит в луночку той же площади с угловыми точками, близ-
близкими к ю = еНг. Воспользуемся снова формулой D2), согласно
которой функция
ш = ш+^ЧA(а,) C.44)
дает отображение круга | © | < 1 с выброшенной луночкой atl
на круг \w\ < 1. Подставляя в D4) выражение ©из D3) и замечая,
что благодаря наличию множителя atz под знаком функции ц(г (<*>)
с принятой степенью точности можно заменить о> на г, получим
отображение круга | w | < 1 с выброшенными двумя луночками на
единичный круг
w ~ z + -7Г- Ц( B) + if- Ц1г (z). C. 45)
Формула D5) остается в силе, если выбрасываемые участки круга
по форме отличны от луночек.
Перейдем к общему случаю области D, ограниченной кривой
D0). Заменим эту кривую ломаной, состоящей из дуг окружностей
и отрезков радиусов (рис. 79). Площадь выброшенного сектора
ok = [1— rk D)]А4, гДе А4 = 4+i — 4. поэтому, применяя фор-
формулу D5), обобщенную на случай выброшенных секторов, полу-
получим:
f(z; C)~z + ^
/г=1
Заменяя сумму интегралом и подставляя вместо т]< (z) ее выраже-
выражение из D2), найдем окончательную приближенную формулу для
конформного отображения на круг области, близкой к кругу:
2л
0
[/@; Q = 0; /'@; C) > 0].
Изложенный вывод формулы D6) геометрически нагляден,
однако он не является достаточно строгим и не дает оценки по-
погрешности, допускаемой этой формулой. Аналитический вариант
вывода формулы D6), основанный на интеграле Шварца, был пред-
предложен Г. В. Сирыком [228], исходя из которого и была получе-
получена оценка погрешности О (е2). Эта оценка показывает, что формула
D6) дает результат с точностью до величин порядка е2, если кон-
контур исходной области w, согласно формул D1), отличается по по-
положению и кривизне от единичного круга на величину, не превы-
превышающую е.
20* 307
Для практических целей полезно отметить полученные М. А. Лав-
Лаврентьевым соотношения между полярными координатами точек
z = ге'Ф и ш = Qe'#, соответствующие друг другу при рассматри-
рассматриваемом отображении:
2л
2л
' — t)
которые также справедливы с точностью до малых порядка е2.
При q = const эти формулы дают параметрические уравнения
прообразов окружностей | w' \ — у.
Формула D8) справедлива и при q = 1:
2л 2л
откуда
2л
^-dt. C.49)
Интеграл в формуле D9) следует понимать как особый, по-
поскольку в точке t = Ь подынтегральная функция обращается в бес-
бесконечность первого порядка. Замечая, что по свойству интеграла
от периодической функции пределы интегрирования в D9) можно
взять от #—л до Ф+я, и пользуясь нечетностью котангенса, полу-
получим, что главное значение интеграла равно
2л л
О —л —я
Поэтому формулу D9) можно переписать в виде
2л
Д# « ^ J {б @ - б (#)} ctg Ц^ Л, C. 50)
где интеграл понимается уже в обычном смысле.
Наиболее важной для практических применений является фор-
формула D9). По этой формуле можно вычислять не только значение
308
Ф по Ф, но при условиях D1) также и значения граничной произ-
производной, для которой получен следующий результат:
2л
\f'(z; СI ^ 1 +6@) —^J b^-^-dt + Oie*). C.51)
При практических вычислениях функции / (z; С) по вариации
б (ф) проще всего задавать б с помощью тригонометрической суммы:
б (ф) = е (а0 + аг cos ф + bx sin ф + а2 cos 2ф 4- b% sin 2ф + ...). C.52)
Подставляя это разложение в формулу D6), придем к вычисле-
вычислению интегралов вида
2Я 2я
"U + г Ai
~— at.
о " о г
Чтобы вычислить их, заметим, что на единичной окружности,
где £ = е", имеем cos nt = Re (£") и sin nt = Re (— it?). Поэтому,
пользуясь интегралом Шварца, можно утверждать, что для | z | < 1
эти интегралы соответственно равны /х = zn и /2 = — izn.
Учитывая эти результаты, найдем из D6) приближенное выра-
выражение функции, реализующей отображение области D (С) на еди-
единичный круг:
w = f(z; С) = z + ez [а0 + (ах — Щ z +
-f- \U2 №2) Z -\- . . .J ~p \J ^c J. \O. Do)
Приближенное выражение обратной функции находится обыч-
обычным путем и имеет вид
z = g (w) = w — ew [a0 -j- (ax — ibi) w -f
-f (a2 — й2) да2 + ...] + О (е2), C. 54)
откуда легко находится
g' (w) = 1 — e [a0 + 2 (ax — ibi) w -f
+ 3 (a2 — й2) Ю2 + ...] + O(e2) C.55)
и, в частности, растяжение на границе
| g' (ел) | = eRe ln s' («'*) = 1 — e [a0 + 2 (ax cos # +
+ h sin #) + 3 (a3 cos 2# -j- 62 sin 20)+ ...] +О (е2), C. 56)
а также соответстйие аргументов граничных точек
Ф = # + Im In М-Ш. = # — е (ai sin # — b\ cos # 4-
4- a2 sin 2ft — 62 cos 2# + ...) + О (е2). C. 57)
309
В случае задания б,(ф) в виде тригонометрического многочлена
формулы E3) — E7) весьма удобны для расчетов.
Выведенные формулы для отображения областей, близких к
кругу остаются в силе и для отображений
w = F (г; С), F (oo; Q = оо
внешности, близких к кругу областей на внешность единичного
круга. Только при этом 6 (ср) следует определять не из уравнения
D0), а из полярного уравнения кривой С в виде
г = г(ф)=1 + в(Ф). C.58)
Это замечание следует из того, что формула D2), на которой осно-
основаны все последующие формулы, справедлива также и для отобра-
отображения внешности единичного круга плоскости z с выброшенной
луночкой на внешность единичного круга плоскости w. В послед-
последнем проще всего убедиться,' совершая дополнительное преобразо-
преобразование z = -у-; w = — плоскостей z и w.
Полученные результаты М. А. Лаврентьев распространяет за-
затем на области, близкие к данной, отображение которой на еди-
единичный круг известно, а также на области, близкие к полуплоскости
и к полосе.
Так, в случае области D (С), близкой к полуплоскости, граница
которой С определяется уравнением у = у (х), получен следующий
результат.
Если кривая у = у (х) удовлетворяет условиям
\у\<г, \у'\<г, \у"\<е, lim ху(х) = 0, C.59)
£-•-4-00
то функция
w=f(z; С), f'(oo; 0=1,
реализующая отображение области D (С) на верхнюю полуплос-
полуплоскость, может быть представлена следующей приближенной форму-
формулой:
w = f(z; Q~z + ±- j -^-dt. C.60)
— oo
Для функции g (w)$ обратной к f (z; С), получаем отсюда
— 00
Последняя формула справедлива для всех значений w, Im w
310
в частности, полагая w = и, получим соответствие между точками
линии С и оси и,
а также приближенную формулу для производной
л. C.63)
Все приведенные формулы справедливы с точностью до малых
высшего порядка сравнительно с е, причем интегралы в формулах
F2) и F3), а также в F0) и F1) при действительных z и w надо
понимать как особые.
Аналогичные результаты, полученные для случая полосы и для
случ'ая области близкой к данной, читатель найдет в цитированных
выше книгах, в которых рассмотрено большое число интересных
примеров, имеющих важное практическое значение. Отметим также,
что IV глава монографии М. А. Лаврентьева [132] посвящена ква-
квазиконформным отображениям, которые автор впервые начал раз-
разрабатывать еще в 1935 г. и которые являются обобщением конформ-
конформных отображений, позволяющим применить их к решению более
широкого класса уравнений в частных производных [154, стр.406—
409]. В частности, при помощи квазиконформных отображений
М. А. Лаврентьеву впервые удалось решить ряд трудных задач
на установившееся движение газа как в случае плоских течений,
так и в случае движений с осевой симметрией.
О применении вариационных методов М. А. Лаврентьева к за-
задачам фильтрации хорошо изложено в обзорной статье П. Я. Полу-
бар иновой-Кочиной [165].
§ 51. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ КОНФОРМНЫХ
ОТОБРАЖЕНИЙ. ОТОБРАЖЕНИЯ Еп и Es
Остановимся теперь на другом направлении в развитии при-
приближенных методов конформных отображений, которое перво-
первоначально получило распространение в теории фильтрации.
В 1934 г. для гидромеханического расчета оснований плотин
при бесконечной глубине водопроницаемого грунта М. А. Лав-
Лаврентьев предложил метод последовательного отображения шпун-
шпунтов, который был развит затем в работах В. С. Козлова г [94—95].
1 Монография В. С. Козлова [95], как официально отмечено редакцией, долж-
должна была выйти в свет в 1937 г., но по техническим причинам ее опубликование за-
затянулось до 1941 г.
311
Заметим, что в гидротехнике водонепроницаемое основание плотии называют
флютбетом, а тонкие водонепроницаемые перегородки, которые забивают в пес-
песчаные или суглинистые грунты для удлинения путей фильтрации, называют шпун-
шпунтовыми стенками или, короче, шпунтами. Шпунтовые стенки осуществляют из
специальных металлических свай — шпунтин, соединяющихся между собой водо-
водонепроницаемым замком, которые забивают последовательно одна за другой в грунт.
В случае малых плотин применяют также деревянные шпунты, но они менее на-
надежны.
Метод последовательного отображения шпунтов Козлов при-
применил для построения приближенного решения в случае трехшпун-
тового флютбета с двумя крайними шпунтами равной длины, но
с несимметрично расположенным средним шпунтом.
В первом шаге Козлов отображает при помощи точного реше-
решения Павловского двухшпунтовый симметричный флютбет на по-
полуплоскость, что требует применения эллиптических интегралов
первого и второго рода. Заменив затем криволинейный разрез,
в который перешел внутренний шпунт, дугой окружности, он вто-
вторичным отображением полуплоскости с разрезом в виде дуги окруж-
окружности на неразрезанную полуплоскость завершает решение задачи.
Решение получилось громоздким и поэтому В. С. Козлов не
уделил достаточного внимания дальнейшему развитию и упро-
упрощению этого метода.
В конце 1936 г. была опубликована статья Г. Росбаха [364],
в которой также применена идея последовательного отображения
шпунтов для решения двухшпунтового несимметричного (незаглуб-
ленного в грунт) флютбета при конечной глубине водопроницаемого
слоя.
В первом шаге Росбах отображает область одношпунтового
флютбета при конечной глубине водопроницаемого грунта на вну-
внутренность единичного круга. При этом второй шпунт переходит
в криволинейный разрез.
Затем при помощи я-кратно примененной функции Кёбе, ото-
отображающей внутренность круга с радиальным разрезом на внут-
внутренность круга без разреза, Росбах строит сходящуюся последова-
последовательность, которая при п -> оо дает точные значения образов вер-
вершин флютбета, т. е. констант интеграла Кристоффеля — Шварца.
Определив эти константы, автор в дальнейшем пользуется
интегралом Кристоффеля — Шварца как отображающей функцией.
Сходимость процесса, предложенного Росбахом, медленная,
как отмечает и сам автор, а вычисления в каждом шаге трудоемки.
Эти обстоятельства затруднили более подробную разработку
этого теоретически безупречного процесса; в частности, мы в даль-
дальнейшем больше не встретили работ Г. Росбаха, в которых разви-
развивалась бы весьма плодотворная идея последовательных конформ-
конформных отображений.
Независимо от указанных выше работ, в 1940 г. Н. Т. Меле-
щенко [157] опубликовал статью, в которой дана исчерпывающая
инженерная разработка метода последовательного отображения
312
шпунтов для случая бесконечной глубины водопроницаемого слоя
(Т = оо), за исключением оценки погрешности.
В качестве основного отображения Мелещенко применил одно-
шпунтовый флютбет при Т = оо, что весьма упростило все расчет-
расчетные формулы, так как это отображение осуществляется функцией
С = Vz2 + s2, C. 64).
где s — длина шпунта.
Отображая в первом шаге при помощи функции F4) только
один из шпунтов на полуплоскость, в результате чего данный
шпунт развертывается в отрезок действительной оси, Мелещенко
заменяет остальные шпунты, которые при этом несколько искрив-
искривляются, снова прямолинейными шпунтами. Это позволяет, повто-
повторив многократно процесс, решить задачу фильтрации для много-
многошпунтового незаглубленного флютбета.
В этой же работе Н. Т. Мелещенко подчеркнул, что он работает
над обобщением метода для случая конечной глубины водопрони-
водопроницаемого грунта х, но преждевременная смерть на фронте Великой
Отечественной войны не дала возможности весьма талантливому
автору завершить так успешно начатые работы.
Идею последовательного отображения шпунтов в применении
к фильтрационному расчету плотин системы А. М. Сенкова при
Т = оо применяют также Ф. Р. Гантмахер и Б. И. Сегал [26] в
статье, опубликованной в 1942 г., результаты которой были развиты
затем Б. И. Сегалом [212].
Сегал, как и Мелещенко, в качестве основного отображения
использовал функцию F4).
Для контроля метода Сегал, найдя приближенные значения
образов всех угловых точек флютбета на полуплоскости, вычисляет
отношения сторон многоугольника — флютбета.
Для этого он пользуется интегралом Кристоффеля — Шварца
и методом Канторовича [73] приближенного вычисления несобст-
несобственных интегралов этого типа.
Сравнивая вычисленные приближенные значения с фактиче-
фактическими, автор показывает, что наибольшая погрешность в его пер-
первом примере составляет 2,7%.
Необходимо подчеркнуть, что метод последовательного отобра-
отображения шпунтов в том виде как он изложен в рассмотренных выше
работах пригоден только для исследования незаглубленных в грунт
флютбетов, которые редко встречаются на практике.
Этот же метод, начиная с 1939 г., разрабатывал автор, участвуя
в работе семинара М. А. Лаврентьева, но первые публикации были
сделаны в 1949—1953 гг., результаты которых подытожены в [283,
т. 2, гл. III].
1 Фактических указаний как осуществить это обобщение в статье [157] не
приведено.
31S
-n
В данных работах метод последовательного отображения шпун-
шпунтов обобщен на случай конечной глубины водопроницаемого грунта
Т < оо для заглубленных и незаглубленных флютбетов, и дана
•его оценка погрешности.
Кроме того, на основе метода последовательных отображений
шпунтов был разработан очень простой графоаналитический ме-
метод фильтрационного расче-
та флютбетов произвольно-
произвольного практического профиля
[283, т. 2, гл. IV], на чем
мы еще остановимся в § 56.
Изложенную выше идею
можно применить и в об-
общем случае для конформ-
конформного отображения сложной
области при помощи ряда
последовательных, надле-
надлежащим образом выбран-
выбранных, элементарных ото-
отображений.
Естественно такой ме-
метод назвать методом по-
последовательных конформ-
конформных отображений или ме-
методом исчерпывания.
Выбор самих элементар-
элементарных отображений диктует-
диктуется особенностями рассма-
рассматриваемых задач и просто-
простотой вычислений, необходи-
необходимых для осуществления
данного элементарного ото-
отображения.
В принципе число ос-
основных элементарных ото-
отображений может быть про-
произвольным, но для наших
целей достаточно рассмо«
треть только три элемен«
тарных отображения.
При этом для очень широкого класса односвязных областей
можно получить любую сколь-угодно высокую степень точности,
что потребует лишь большего или меньшего объема вычислитель*
ных работ. \
В качестве одного из элементарных отображений рассмотри»
■отображение полуплоскости z с вырезанным полуэллипсом на полу«
плоскость без выреза £ (рис. 80). ,
\0
Рис. 80.
.314
Легко проверить, что функция
отображает область z на вспомогательную полуплоскость т с выре-
вырезанным полукругом единичного радиуса.
В частности, как следует из формулы F5), точки z = ± а
отображаются в точки т = ± 1, а точка z = ib соответственно
в точку
= ib + V— V* + й2 — а2 _ ibj-ja _ .
а + Ь — a + b ~
Дополним полуокружность до полной окружности (пунктирная
линия на рис. 80) и воспользуемся функцией Жуковского (гл. II,
§ 38):
которая отображает внешность круга единичного радиуса на внеш-
внешность двойного отрезка (— 1; +1) действительной оси £* области £*.
При этом верхняя полуокружность переходит в верхний берег
разреза (—1; +1), а нижняя полуокружность — в нижний. Лучи
( +1; -Ь оо)и( —1;— оо) действительной оси t переходят в такие же
лучи действительной оси £*
Внося в F6) значение F5), имеем
1
2
г2 +
z+V
izVz*-
2 (a
2г(г
г2
a-
H
+
+
-fb2
\-b
J —
b)(z
Vz*
— a2
г +
a2 + га + Ь2 -
+ У г2 + Ь2
+ 6» - a2) +
a + b
Vz* + b*-a*
-а* + (а + bf
-a2)
Ib (a + b)
2 (а + 6) (г + У г2 + Ь2 — а3)
или после очевидных упрощений
Применив теперь преобразование подобия
I = (а + b) t*
и подставляя в это равенство значение F7), находим искомую
отображающую функцию
l = z+ b}a + b) C.68)
315
Умножив во втором слагаемом числитель и знаменатель на
величину z — ]/г2 + Ь — а2, формуле F8) легко также придать
следующий вид:
или
r az—bVzi + б2 — а2 „„,.
I = ^ГЦ • C- 68 )
При 2= со из формулы F8) следует
lim t, = z = оо,
z-> оо
т. е. бесконечно далекая точка при отображении F8) остается
неподвижной.
Точка z = ib согласно F8') переходит в точку £ = 0; точки
z — ± а — в точки £ = it (а + Ь), а дуга полуэллипса — в отрезок
[ — (а + Ь); + (а + 6)] действительной оси £.
Легко также показать, что преобразование F8) переводит се-
семейство эллипсов с полуосями (ак; bk) софокусных исходному эл-
эллипсу (а; Ь) (т. е. таких, что а\ — Ъ\ = а2 — Ь2) в эллипсы того же
семейства с полуосями (ak; pA), где
ааь — ЬЬ. аЬ. — Ъа.
По мере увеличения размера полуосей (ак; bk) полуоси (ак; fik)
преобразованного эллипса будут все меньше и меньше отличаться
от полуосей исходного эллипса (ak; bk).
Для метода последовательных конформных отображений преоб-
преобразованию F8) надо придать несколько большую универсальность,
рассматривая более общий случай, когда центр эллипса находится
не в начале координат, а в произвольной точке действительной
оси (рис. 81).
Кроме того, в дальнейшем удобнее обозначать исходную об-
область z для я-го шага, как область zn, а получаемую полуплоскость
£, как область zn+].
В таком случае согласно формулам F8') и F8) функция, ото-
отображающая верхнюю полуплоскость zn с вырезанным полуэллип-
полуэллипсом на верхнюю полуплоскость гп+], будет иметь следующий вид:
linn * /о -7f)\
Ид _ Vn ' ГДе Zn-Zn — mn,
ИЛИ
316
причем
lim г„+] = z'n = zn — mn
Отображение G0), зависящее от трех параметров тп, ап, Ьп,
определяющих собою положение и размеры эллипса, будем для
краткости обозначать символом Е (т„, ап, Ьп) или, еще короче, Еп.
Выведем расчетные формулы для осуществления отображения
Еп при комплексных значениях z* = х* + щ\.
Уп
On
t 2
-fart)
3
0 t(an*en) хл+/
Рис. 81.
Обозначим квадратный корень, фигурирующий в формуле G0)
комплексным числом
Ъ\ - а\ =
'п + iynf + Ъ\- al C. 71)
где
xn = xn — mn; yn = yn.
Возведя равенство G1) в квадрат и разделяя действительные
и мнимые части, получаем для определения искомых 1п и ^л систему
уравнений
ti-\й = 2Мп, где 2Мп = х'п -у\ + Ъ\-а% C. 72)
%n\in = х*пуп. C. 73)
Отсюда, умножая G2) на № или на [i* и учтя G3), имеем
К — (ХпУпJ = 2MnA,S C. 74)
или
ix4 _ (хпупJ = — 2Afn[x2. C. 74')
Решая каждое из этих квадратных уравнений относительно к%
или \1п и выбирая необходимые нам знаки у корней, находим:
К*=+Мп + ]/М2 + (х'пУпГ C- 75)
317
или
К = - мп + VMI + (хпупГ, B.75')
где
Мп = ~ (х'п —у2п + Ь1 — al).
После того как определены №п, \i2n, а, следовательно, и Хп, [х„,
искомые величины хп+\, Уп+i вычислить очень легко. Для этого»
подставив G1) в G0), имеем
ап (*я + 1Уп) - К (К + '>»)
Разделив теперь действительные и мнимые части, получаем:
хп+] = апх'п — Ь*п%п; уп+\ = апуп — 6^„, C. 76)
где введены обозначения
^ A ;_i. C.77)
Формулы G3), G5), G6) и будут искомыми расчетными форму-
формулами для осуществления отображения Еп.
Отметим, что в формулах G5) берем арифметическое значение
корня, величине %.п приписываем тот же знак, какой имеет величина
х*п, а [х„ всегда считаем величиной положительной, так как у нас
всегда уп > 0.
В частном случае, когда
согласно формулам G5) и G6), имеем
Х% = 2Мп = Хп +% — <&: [х„ = 0; Уп+1 = 0. C.78)
Величина хп+\ и в этом частном случае вычисляется по формуле
G6).
Замечание. По формуле G5) при Мп > 0 вычисляем только
^ = + Л1„ + К М£ + (х*пупJ, а затем по формуле G3) находим
\
При Мп < 0 имеем Мл=— Шп и тогда удобнее вычислять по формуле G5')
только величину
U = - Мп + VK + 1*'пУпГ = + I Мп 1+ I У К + (Х*ПУЛГ 1,
318
а затем по G3) найтн
. х'пУп
Если н в этом случае вычислять по G5)
К = + Мп + ]/~М\ + (х*пУп)- = I У К + (*пУп? \~\Мп\,
то при малых значениях (х*пупJ в разности | у М\ + (х*пупУ \ — \ Мп будут вза-
взаимно уничтожаться цифры старших разрядов и точность вычислений резко
уменьшится.
Например, при Мп = — 2,764; хпуп = 0,143 имеем V М\ + (х*пуп)- =
= +2,768 нпоформулам G5) и G5') находим у,%= 5,532; \\= 0,004, откуда
цл= 2,352; Хп = 0,063.
Воспользовавшись же формулой G3) и более точным \in, найдем
Хп = — = 0,0608, причем все трн знака будут верными.
Для получения такой точности при вычнсленнн Хп непосредственно по фор-
формуле G5) надо в исходных данных иметь пять верных десятичных знаков и даль-
дальнейшие вычисления вести с шестью значащими цифрами.
Таким образом, одновременное использование G3), G5) и G5') обеспечивает
более высокую точность вычислений н несколько проще, чем вычисления только'
по формулам G5) и G5').
Выведем теперь приближенные расчетные формулы для отобра-
отображения Еп.
Воспользовавшись разложением в ряд, из формулы G0) получаем
Zn+1 = Zn + > ,2k+\ ' ( I zn I •> + ' °n — an )' (.«• 'y)•
где
b (a + Ь ) 9ь i
>^ n y n ft' - *"-» *-'^ * /2 1,2 \ /^ .
= 0/f, J л\ Wn — On)L,2k— ],
(А=1, 2, 3,...). C.80>
Переходя к показательной форме комплексных чисел
* /ml 1 —im *
zn=re , —г = —е v; xn = r
r
и пользуясь формулой Эйлера
е~т/ф = cos пкр — I sin m ф,
из ряда G9), разделив действительные и мнимые части и вводя в
состав старших членов ряда новую переменную
^ — 472 » Q — 16/-* > е ~ 64re
319
находим:
х„+, = х*п[ 1 + £) + ^-(о cos Зф + 2q2cos 5ф + 5е3соз7ф + ...),
yn+i = уа[\-Щ —^(osin Зф + 2е2 sin 59+5e3sin 7Ф+...), C. 81)
где
х; = х„-т„; tgq>=4-; r* = x** + yt q = ~fi-. C.82)
При достаточно больших г2 расчет удобнее вести при помощи
рядов (81). Особенно удобны эти формулы, если можно ограни-
ограничиться только одним первым членом в каждом из рядов (81):
Ci Г(У,ГП_ С!(гcos Ф) _ *fr. С, ■ Ci(rshnp) _ УпС1
— СОЬф ^ ^.2 , ^ МИ ф fi г2 ,
которые мы с этой целью и представили в формулах (81) в преобра-
преобразованном виде.
Однако если два-три члена ряда не обеспечивают необходимой
точности, то целесообразнее пользоваться точными формулами
G3), G5), G6).
В частном случае, если
Уп = 0,
из формул (81); (82) получаем
г = х*; ф = 0; cos Bk + 1) ф = 1; sin Bk -f 1) ф = 0; yn+] = 0;
или
х„+] = х* -f ex + e2 + e3 + e4 + ... , C. 83)
где
8i = -4 ; e2 = qei, e3 = 2q82; e4 = 5q83; ... C. 84)
*n
Отметим в дополнение к сказанному ранее следующие основ-
основные свойства отображения Еп = Е(тп, ап, Ьп):
а) точки zn, лежащие на контуре полуэллипса, переходят в
точки действительной оси области zn+u причем
*„+]= ""^ "х*п, ул+1 = 0; C.85)
п
.320
б) для всех точек zn, расположенных в верхней полуплоскости,
имеют место неравенства
IXn+i \>\х'п\; Уп+i ^ уп, C. 86)
которые непосредственно следуют из формул G0').
Действительно, подставив G1) в G0'), имеем
- _ / + КК + К) . ,
сП-\-1 — Zn -\ « ; — — 2„ -j-
(*в + *-„) + « (уп + Ю
+ К К + К) «< + Ю -1 &» + М
откуда
xn+l — xn + ~тг
+ К? + (Уп + Vn>
C.87)
Так как величины х* и КП всегда имеют один и тот же знак,
а величины уп, [х„ всегда положительны, то из формул (87) непо-
непосредственно и вытекают неравенства (86).
В силу указанных свойств, воспользовавшись соответствующей
последовательностью отображений {Е„}, можно практически лю-
любую односвязную однолистную область z отобразить на верхнюю
полуплоскость £ с любой степенью точности. Однако, если гра-
граница отображаемой области имеет угловые точки, то, пользуясь
только одними отображениями Еп, не всегда возможно достичь
гладкой аппроксимации границы, т. е. не всегда возможно устра-
устранить все угловые точки границы. К этому вопросу мы еще вернемся
в § 54.
Отобразив соответствующей элементарной функцией область z
на верхнюю полуплоскость zx с рядом вырезов произвольной формы,
мы можем последовательно исчерпать эти вырезы при помощи
стандартных полуэллипсов с полуосями an, bn. В каждом из п
шагов, по крайней мере через три, надлежащим образом выбранные
точки границы1 Ап (хд; уА), Вп (хв\ ув), Сп (хс; Ус) мы можем про-
провести полуэллипс, ортогональный к действительной оси (рис. 82).
Точки Ап, Вп, С„, определяющие собою размеры и положение
1 При выборе точек Ап, Вп, Сп необходимо лишь следить за тем, чтобы при
отображении Еп граница области гп , j не вышла за пределы верхней полуплос-
полуплоскости. В противном случае вместо преобразования G0) необходимо будет при-
применять в дальнейшем более сложное преобразование, указанное в § 14.1 (слу-
(случай б) работы [223], или же преобразование Л , которое мы рассмотрим в § 53.
21 П. Ф. Фильчаков 321
эллипса, определят и параметры отображения Еп для я-ro шага.
Формулы при этом будут следующие:
— 1)хв — рхс '
; p =
— ,fi '
Хп — X- — I
УВ~ У А
; bl =
C. 88)
В результате точки Ап, Вп, Сп границы области г„ в n-ом шаге
будут отображены функцией Е (тп, an, bn) в точки действительной
С„(хс'-Ус)
Рис. 82.
оси области zn+i, а ординаты остальных точек границы, в силу
свойства б) могут только уменьшиться. Точки, которые в п-ом
шаге находились на действительной оси, так и останутся на ней
во всех последующих шагах, как это следует из формулы G0).
В дальнейшем будем говорить, что в n-ом шаге осуществлено
спрямление участка Ап — Вп — С„.
Выбрав п достаточно большим, осуществим отображение об-
области z на полуплоскость £ с заданной степенью точности.
Если точка Вп совпадет с вершиной полуэллипса, формулы (88)
упрощаются и принимают следующий вид:
У Ув-
ЬП = ув.
C.881
Одна из точек А или С в силу симметрии эллипса в этом случай
не может быть произвольной.
322
Отметим также частный случай преобразования Е (тп> ап, Ьп),
который получим, положив ап = 0.
При ап = 0 полуэллипс (рис. 81) переходит в вертикальный
разрез, длина которого равна Ьп и, следовательно, мы приходим
к рассмотренному ранее преобразованию F4)
+bl C.89)
Заменяя
bn = s,
будем обозначать теперь отображение полуплоскости с вертикаль-
вертикальным разрезом s на полуплоскость без разреза символом
Es^E(m,t; ап = 0; Ья = s). C.89')
Выведенные в этом параграфе расчетные формулы остаются
в силе и при ап = 0 (за исключением формулы (85)), но упрощаются.
В частности, при ап = 0 согласно формул G6) G7) имеем:
Xn+i = К; Уп+i = [х„, C.90)
где Хп и [х„ определяются формулами G3) и G5), в которых 2Мп=
= x'* — y% + s2.
При ап = Ьп согласно формуле G0') получим
и отображающая функция переходит в функцию Жуковского, как
и должно быть для полуплоскости с вырезанным полукругом ради-
радиуса ап = Ьп. Этот же результат получим, исходя из формул (80),
которые при ап = Ьп дают
Сх = al; Сы+i = 0; при k> 1,
так что ряд G9) обрывается на первом члене.
Отметим еще, что отображение Еп всюду конформно, за исклю-
исключением точек z — /и = ± а, в которых углы увеличиваются в два
раза. Для отображения Es особыми будут точки z — т = ±0,
в которых углы также увеличиваются в два раза и точка z — т =
= is, в которой углы уменьшаются вдвое. Во всех же остальных
точках (включая и точку z = оо) функция Es регулярна и конформ-
конформность в них не нарушается.
§ 52. МЕТОДИКА ВЫЧИСЛЕНИЙ. ОТОБРАЖЕНИЯ Е71 и EJ1
Метод последовательных конформных отображений, как уже
отмечалось, носит вполне общий характер и с его помощью можно
отобразить на полуплоскость любую односвязную однолистную
область.
21* 323
Непосредственное применение этого метода наиболее удобно
в тех задачах, в которых достаточно осуществить численное ото-
отображение и нет необходимости строить отображающую функцию
в явном аналитическом виде.
Но при решении сложных технических задач при помощи метода
последовательных конформных отображений бывает необходимо
вычислить значение функции Е (т,„ ап, Ьп) несколько сот раз A0—
20 шагов по 20—30 точек в каждом шаге).
Поэтому методика вычислений приобретает принципиальное
значение и мы в этом параграфе подробно остановимся на отработке
наиболее экономичной техники вычислений, рассмотрев с этой
целью два конкретных примера.
Пример 1. Отобразим на верхнюю полуплоскость Z, область zi, представ-
представленную на рис. 83, на котором перенумерованы все рассматриваемые точки и ука-
указаны необходимые размеры.
В первом шаге спрямим участок границы /—2—3, для чего в качестве парамет-
параметров отображения £i необходимо взять:
mi = 0; ai = 0; bi = 3,0.
Таким образом, имеем частный случай отображения Еп= Е$, для которого
при п = 1:
Хч = А-1', 1/2 === l^l'i *. === *1» 01 = S = 3,0.
Величины Xi, [ii, Mi вычисляем по формулам G3), G5). Все необходимые вы-
вычисления приведены в табл. 13, в первых двух строках которой указаны исходные
координаты xi, j/i рассматриваемых точек. Особенно удобен для этих целей кла-
клавишный арифмометр типа ВК или клавишные полуавтоматы и автоматы.
Методика вычислений следующая. Прежде всего вычисляем параметры отоб-
отображения и постоянные величины, необходимые для осуществления данного шага.
В первом шаге такой величиной будет Ь^ = 9,000.
Так как в первом шаге mi = 0, то х^ = х\ и его вычислять нет надобности,
Поэтому приступаем к вычислению для всех рассматриваемых точек величш
x>=xi</i и Ali=-(xJ-£+bJ).
Для этого устанавливаем на арифмометре (или другой вычислительной маши
не) величину х\, умножаем ее на j/i и записываем результат, а затем, сохраня
прежнюю установку, умножаем х\ иа xi, т. е. возводим его в квадрат. К получение
му результату прибавляем Ь2, а затем устанавливаем j/i и умножаем его на (—j/t
вращая ручку арифмометра в отрицательном направлении, в результате чего м
вычтем из находящейся в результативном счетчике величины х? + Ь2 величш
У8. После этого переносим результат в установочный счетчик и, умножив его i
0,5, получаем Mi. Таким образом, величины xij/i и Mi вычисляем в один прием б
промежуточных записей.
Чтобы ие допустить при этом погрешностей за счет несоответствия разряд
слагаемых, все величины следует писать с одним и тем же числом десятичных з!
ков, добавляя при надобности нули.
Приступаем теперь к вычислению 1
324
для всех тех точек, для которых величина Mi положительна (в данном примере
Mi > О для всех рассматриваемых точек).
Устанавливаем величину (xij/i) и, умножив её саму на себя, получаем
(X\y{f. Затем, не снимая результата, устанавливаем Mi, умножаем его в «положи-
«положительном направлении», т. е. вращая ручку арифмометра в положительном на-
направлении на -\-Mi и получаем в результате (xij/iJ Ч- М\.
В таблице квадратов \ по данному N2 = М2 -f- (xij/iJ, находим N =
= V М2 + (*ij/iJ. т. е. решаем обратную табличную задачу или же при помощи
таблицы квадратных корней по данному N2 находим непосредственно N. Записы-
Записывать при этом величину V М^ + (*ij/iJ нет надобности.
В установочном счетчике у нас сохраняется величина Mi (поэтому вначале
вычисляем (Xij/iJ, а затем М^). Как только по таблице определена величина
V М2 + (xij/iJ , мы, удерживая правой рукой линейку у найденного числа и этим
самым выделяя его, левой рукой снимаем предыдущий результат и, сделав один
оборот, переносим с установочного счетчика в результативный Mi. Теперь гасим
на установочном счетчике Mi, устанавливаем найденное значение у М2 + (*ij/iJ.
прибавляем его к находящемуся в результативном счетчике Mi и получаем А,| =
= Mi + V М2 + (Xij/iJ. По этой же таблице квадратов или квадратных корней
находим Xi = Xi и записываем результат.
Таким путем вычисляем всю строку хг, так как при массовых вычислениях
всегда следует группировать работу по однотипным операциям, это ускоряет темп
работы и требует меньшего напряжения внимания.
Величины, которые необходимы в данный момент для вычислений, отмечаем
какими-либо марками, например монетами.
В заключение первого шага по найденному хг определеям
Произведение Xiyi было ранее вычислено и зафиксировано в расчетной таблице
13.
Для тех точек, для которых j/i = 0, согласно формуле G0) или F4) при
m: = ai = 0 будет
Для точек, лежащих на вертикальном разрезе х* = 0; г* = iyi, имеем
1/2 = 0; Xi = VЬ2 — у\; j/i < Ьь
Хотя для описания методики вычислений потребовались две страницы, сами
вычисления в первом шаге для всех 9 точек требуют всего 20—25 минут времени
1 Для этих вычислений удобны «Пятизначные логарифмические таблицы»
Гаусса [27], в которых табл. VIII позволяет без интерполяции находить по
данному N2 с четырьмя верными цифрами величину N. Таблица VIII занимает
всего 20 страниц, а чем объем таблицы меньше, тем удобнее с нею работать.
Можно, конечно, пользоваться и любой другой таблицей квадратов или квадрат-
квадратных корней, например [254]. Для более удобного считывания результатов в таб-
таблице пользуются короткой линейкой из тонкого прозрачного материала (напри-
(например, из полиэтилена, плексигласа или хлорвинила), которая четко выделят тре-
требуемую строку таблицы.
325
при вычислении на арифмометре типа ВК-1, т. е. в среднем 2—3 минуты для одной j
расчетной точки. ;
В результате первого шага мы перешли от области zx к области
2а (рис. 83), в которой вертикальный разрез /—2—3 перешел уже
в отрезок действительной оси.
Во втором шаге проводим полуэллипс через точки 4; 6; 7.
Тогда параметры отображения £2 определятся по формулам (88),
+3.0
+2,0
ZfX,+VJ,
т,=0
•3 -2
о н
I ' I ' г ' I
+2 +3 +¥ +5
h
П1 П ' I ' I~
+5 +6
Уз
7 8 9
-7 -6 -5
-3 -2 -1
Рис. 83.
+2
в которых точками А; В; С будут являться точки 4; 6; 7, как это
и отмечено в табл. 13 и на рис. 83.
Другими словами, в формулах (88) мы должны положить:
х\= 6,309; х% = 12,325; хЬ = 17,876
хЛ= 2,512; хв= 3,511; хс = 4,228
уА = 0,348; ув= 0,570; ус= 0,355.
По этим значениям вычисляем прежде всего величину
Ув ~ V"a 0,20380
0,19888
— 5,8529
— 1,7339
= -\- 1,025, а затем
= + 3,376.
326
При определении р и т вычисляем и записываем вначале знаменатели, что
осуществляется в один прием без промежуточиых записей. Например, для вычис-
вычисления ув—i/q устанавливаем ус и умножаем его на самого себя в «отрицательном
направлении», затем, не снимая результата, устанавливаем ув иумножаем на себя
в «положительном направлении». Полученный результату^—Ус= 0,19888 запи-
записываем в знаменателе, снимаем его, но установку ув сохраняем для вычисления
числителя ув—у1^. Числитель вычисляем аналогичным путем, но в верхних ре-
регистрах арифмометра, для того чтобы полученный результат можно было непос-
непосредственно разделить на известный уже знаменатель. Для этого каретку с уста-
установкой ув= 0,570 отправляем в крайнее левое положение и умножаем на число
0,570000000, а затем от результата отнимаем у% = 0,348 • 0,348000000.
При определении т вычисляем в один прием —(хс ■ 1,025— хв • 0,025 —
— хА ■ 1,000) = — 1,7339 и записываем результат в знаменателе. Затем вычис-
вычисляем в один прием — (л£ • 1,025 — х| ■ 0,025 — х\ ■ 1,000) = — 11,7058, пере-
переносим результат в установочный счетчик и умножаем его на -д- = 0,50000000, от-
отправив каретку в крайнее левое положение, а затем полученное число
5,85290000000 непосредственно делим на записанный ранее знаменатель. При этом
числитель в т записывать нет надобности, а числитель в р записываем, так как
величина ув—у\ будет еще необходима при вычислении Фп.
После того как найдено т.2, определяем х*А = хд — т2 = — 0,864; х*в=
= -f- 0,135; хАув= — 0,4925; хвуд=-$- 0,0470 и по ним в один прием, аналогично
тому как вычислялось р, находим:
_ 0,24035 __ __ 0,24035 _
а2-0^03Ж-М793> Ъ*~ 0,7283 -0'3300-
При этом числители у а* и Ъ\ одинаковы, а знаменатель j/|—у\= 0,20380 бе-
берем готовым, так как он равен числителю у р и поэтому был уже нами вычислен
и записан.
По найденным о^, Ь* определяем а2, Ьг, й| — а^, а затем по формулам G7)
вычисляем (в один прием) а2, Ь2, которые и записываем в табл. 13, округлив их
до трех десятичных знаков.
Определив все постоянные величины,необходимые для осуществления отоб-
отображения Ez, вычисляем прежде всего строку х = Хг — т-г. Строку х* = х — т
вычисляем, сохраняя все время установку т (или —т), к которой надо только от-
отнять (или прибавить) очередное значение х, а затем, прибавив его (или отняв),
восстанавливаем установку т, необходимую для вычисления следующей точки.
Строки (x*j/2), М2, V Щ + (х*2у2J + \ М2\, Я,2, |х2 вычисляются затем точно
так же, как и в первом шаге. При этом для тех точек, для которых М% отрицатель-
отрицательно (в нашем примере для точек 4, 5, 6, 7), согласно замечания § 51 вычисляем
вначале иг, а затем ^ = ■• Например, для точки 5, для которой ЛЬ =
J
= —0,418, по найденному V -f> \Щ = 0,925 определяем ца= /0,925 = 0,962, а
. q 287
затем вычисляем 1^= ^о"= — 0,298.
Саму же строку V~~^ \Щ удобнее всегда вычислять полностью, не обращая
327
внимания на знак величины Мп, который учитываем позже, согласно равенства
X2 при М > 0.
По найденным Хг, Ц2 и х2, j/2 определяем хз, уз согласно формулам G6):
Хз = о*х* — Ь* Х2; j/3 = a'ift — 6*Ца •
Обе координаты хз, уз вычисляем в один прием, а именно, установив а2, умно-
умножаем его на -^х (вращая ручку арифмометра в положительном направлении), за-
затем, не снимая результата, устанавливаем Ь* и умножаем его на —Хг (вращая
ручку арифмометра в отрицательном направлении), в результате чего и получаем
x-j, которое записываем в расчетную таблицу. Далее, погасив предыдущий резуль-
результат, но сохранив установку Ъ , умножаем Ъ в «отрицательном направлении» на
2 ♦ 2
(—|Х2), после чего, установив а и умножив его в «положительном направлении»
на (+ (/г), получаем уз, которое и записываем в табл. 13. Установку а2 сохраняем
для вычисления координат следующей точки. В результате такой «челночной схе-
схемы» вычислений по формулам G6) достигается экономия 50% установок множите-
множителей ап и Ьп. Еще удобнее по этой схеме вначале вычислить всю строку хз, а затем
всю строку у3, фиксируя в расчетной таблице необходимые в данный момент зна-
значения х2, Хг или j/2, |хг одной или двумя монетами, расположив их так, чтобы они
закрывали собою все числа из промежуточных строк, не участвующих в данных вы-
вычислениях. Тогда в процессе вычислений остается только передвигать эти фикси-
фиксирующие марки от одной колонки к другой, проходя последовательно все колонки
СТрОК X*, Х.2 ИЛИ 1/2, |Х2.
Для тех точек, для которых j/2 = 0, пользуемся формулой G8), и, следователь-
следовательно, для этих точек величины (x'j/г). ЛЬ и [а2 ие вычисляем.
Координаты точек 4; 6; 7, которые лежат на контуре эллипса, можно вычис-
вычислить по формуле (85). Однако с целью контроля лучше и эти точки вычислить по
общим формулам, а затем результат проверить по формуле (85), которая в данном
примере, учтя, что = 1,529, дает для точек 4; 6; 7; х'4) = — 1,321;
j ' = 0,206; *д ' = 1,303. Полученный результат подтверждает правильность
вычисления параметров /иг, аг, Ьг.
В результате отображения £2 область z* = z2 — m2, которая
на рис. 83 совмещена с областью г2, переходит в область z3.
Пренебрегая небольшими отклонениями ординаты у3 от нуле-
нулевого значения на участке 3—9, мы можем область z3 приближенно
отождествить с полуплоскостью £, и тогда искомая отображающая
функция будет определяться равенством
Если же необходима более высокая точность, то процесс исчер-
исчерпывания легко продолжить и добиться того, чтобы для заданного
е после п шагов выполнялось неравенство уп < е, для чего необ-
необходимо увеличить число рассматриваемых точек, особенно в окрест-
окрестности точек 3; 5; 8.
328
ю
to
Постоянные
величины
и=1
т1=0
oi=0
6i=3,000
6^=9,000
д=2
/П2^~|-3,376
02=1,086
62=0,574
о*=2,121
62=1,121
Ъ\—а\= -0,849
Область
Х\
Уг
x'yi
Mi
\М\ + V
х\
Хф
Мг
\м\л-У~
Я2
М-2
х3
Уз
Т а б л i
та 13
Точки
1
0
0
—
—
—3,000
0
—6,376
0
—
39,804
—6,309
0
-6,451
0
2
0
3,000
—
0
0
—3,376
0
—
10,548
—3,248
0
—3,519
0
3
0
2,000
5,000
2,236
0
—1,140
0
—
0,451
—0,672
0
—1,665
0
4
0,500
1,750
0,875
3,094
6,309
2,512
0,348
А
—0,864
—0,301
—0,112
0,433
—0,457
0,658
—1,320
0,000
5
1,000
1,500
1,500
3,875
8,030
2,834
0,529
—0,542
—0,287
—0,418
0,925
—0,298
0,962
—0,816
0,044
6
2,000
1,000
2,000
6,000
12,325
3,511
0,570
В
0,135
0,077
—0,578
1,161
0,071
1,077
0,207
0,002
7
3,000
0,500
1,500
8,875
17,876
4,228
0,355
С
0,852
0,302
—0,125
0,452
0,449
0,672
1,304
0,000
8
3,500
0,250
0,875
10,594
21,224
4,607
0,190
1,231
0,234
0,315
0,707
0,841
0,278
1,668
0,091
9
4,000
0
0
—
25,000
5,000
0
1,624
0
—
1,788
1,337
О
1,946
0
Пример 2. Отобразим на верхнюю полуплоскость £ полуплоскость
г= а с вырезом, определяемым дискретным рядом точек 1—10, координаты
которых заданы в табл. 14 в строках х\, j/i.
Переходя к решению примера, в первом шаге проводим полуэллипс с вер-
вершинами в точках / и 4, в результате чего получаем параметры для отображения
Ei: mi = 0; ai = 2,0; 6i = 1,4 (рис. 84).
Точки 2 и 3, как легко проверить, лежат на контуре эллипса, поэтому, выпол-
выполнив отображение Ei, мы спрямим в области гг участок границы /—2—3—4.
7
1 ' I
II
2a
7
Ч
1 i p ?
—-
d
1 1
III
-*•
и
IV
4 6
\
if
i '
V _
■— 4L'
^ .*"
Г
\1O
T ' J
-. Vff
--V-
1 ■ 1 '
1
*--
-5
+5
Во втором шаге в качестве точек А, В, С выберем точки 8; 9; 10, по которым •:
вычисляем, как описано выше, параметры т2 = -(^3,2903; аг = 0,5538; Ьг = 1,9646
и все остальные постоянные величины, необходимые для осуществления отобра-
отображения Ei. Все вычисления в первом и втором шагах, которые вполне аналогичны
вычислениям, рассмотренным в примере 1, приведены в табл. 14, а полученные облас-1
ти гг и г3 представлены на этом же рис. 84, причем области г и гп при п = 2!
и п = 3 на рис. 84 совмещены. Строку М2 -> (хуJ во втором шаге можно в таб-
таблице и не записывать.
В третьем шаге полуэллипс проводим через точки А = 5; В = 6; С = 7,
согласно которым определяем параметры Шз = — 2,2450, аз = 0,7476; Ьз= 0,1376.
Координаты самих точек 5; 6; 7 при отображении Е3 находим по формуле
330
(85), причем в данном случае — '- = 1,1841. Для контроля определения пара-
аз
метров второго и третьего шагов точки А, В, С вычисляем и по общим формулам
G3), G5), G6). В данном примере результаты совпадают с точностью до четвертого
десятичного знака. Все остальные точки в третьем шаге удобнее вычислять при по-
помощи рядов, определив предварительно по формулам (80) и (82) постоянные С\ =
= — Ьл(ая + Ья) = 0,06090; — (а? — Ь*) = 0,1350, которые вносим в табл. 14.
При этом, согласно формулам (83), (84), легко создать цепочку вычислений, ко-
которая будет требовать только записи величин ei, ег, е3, ...
В самом деле, определив и записав величину ei = —г , снимаем результат,
но сохраняем установку х*, по которой вычисляем х*? Затем переносим резуль-
0,25 (а3 —б2)
тат в установочный счетчик и подбором вычисляем е = 5_—it j-[pH делении
xl
чисел по методу подбора, установленный (например, на арифмометре типа ВК-1)
делитель отправляем в крайнее левое положение, и делаем несколько положитель-
положительных оборотов, пока ие получим первой значащей цифры делимого (или ближайшей
к ней меньшей цифры), потом перемещаем каретку в следующий нижний разряд,
подбираем вторую цифру и т. д. Когда процесс подбора закончен с необходимой
точностью, частное читаем в счетчике оборотов. Перенеся теперь найденный резуль-
результат q в установочный счетчик (без его записи в расчетной таблице) вычисляем
последовательно
е2 = Q8i, е3 = 2ее2, е4 = 5ее3.
В данном случае х*, как и прежде, удобно вычислять для всей строки, a ei,
ег, е3, Ч, ••• по колонкам для каждой точки отдельно. Например, для точки 4
0,06090 0,1350
имеем хз = - 1,7439; 8l = } .^ = - 0,0349; о. = j^ = 0,0444; е2 =
= eei = — 0,0015; е3 = q Bе2) = — 0,0001; х4 = **+ 8i+ e2+ е3= —1,7804. Для
точки в соответственно ei = 0,0312, е2 = 0,0011, е3 = 0,00008 « 0,0001. Для
всех остальных точек е3 < 0,00005, поэтому мы в табл. 14 строку е3 не стали
приводить. Все остальные результаты представлены в табл. 14.
В полученной области г4 для всех точек, которыми была опре-
определена граница исходной области, имеем г/4 = 0, т. е. все эти точки
выведены на действительную ось. Поэтому область г4 можем счи-
считать приближенно совпадающей с полуплоскостью £ и, следова-
следовательно, отображающая функция будет
Большей точности в примере 2 получить невозможно, так как
мы не имеем более точной информации о границе исходной области
2 = Z! и поэтому не можем увеличить числа рассматриваемых то-
точек. К сожалению, с подобными обстоятельствами не редко при-
приходится встречаться при решении практических задач. Например,
аэродинамический профиль обычно задается таблицей координат
331
n
0
1
2
3
Постоянные величины
mi=0; xx=x\
ai= 2,0000; bi~ 1,4000
a*1=3,3333; 6*=2,3333
&*—a\= —2,0400
m2=+3,2903; x*=x2—m2
a2=+0,5538; 62=+1,9646
a*=—0,3925; 6*=-1,3925
b\— а*=3,5530
тз=—2,2450; x*=x3—тз
a3=0,7476; 6з=0,1376
Ci=0,06090;
Т(аз-6з)=°-1350
Область
XI
Mi
|/и| + V
ki
•«г
*2
X2I/2
M2
|x2
•«3
Уз
xl
ei
e2
x4
Точ-
1
—2,0000
0
—3,4000
0
—6,6903
48,3131
—6,9508
—7,0530
0
—4,8080
—0,0127
—0,0001
—4,8208
0
2
— 1,7000
0,7375
— 1,2538
+0,1530
1,4161
— 1,1900
1,0536
—2,8900
—0,0001
—6,1803
41,7491
—6,4614
—6,5717
0
—4,3267
—0,0141
—0,0001
—4,3409
0
3
— 1,0000
1,2124
— 1,2124
— 1,2550
3,0000
—0,7000
1,7321
—1,7000
—0,0002
—4,9903
28,4561
—5,3344
—5,4695
0
—3,2245
—0,0189
—0,0002
—3,2436
0
с ограниченным числом точек. В задачах фильтрации линия водо-
упора также бывает определена лишь небольшим числом точек,
так как при определении геологического разреза грунта число
буровых скважин стремятся свести к минимуму, поскольку каж-
каждая скважина стоит десятки тысяч рублей.
Заканчивая изложение методики вычислений, необходимо от-
отметить как положительный факт, что при отображении ошибки
округления накапливаются сравнительно медленно. Чтобы это
проверить, читателю будет полезно продублировать табл. 14 с тремя
десятичными знаками и сравнить результат с результатами, при-
332
Таблица 14
4
0
1,4000
_
—
—
—
—
0
0
—3,2903
—
—
14,3791
—3,7920
—
—3,9889
0
— 1,7439
—0,0349
—0,0015
— 1,7804
0
5
0,9000
1,3200
1,1880
— 1,4862
3,3889
0,6453
1,8409
1,4943
0,1046
— 1,7960
—0,1879
3,3838
11,4854
6,7728
—2,6025
0,0722
—2,9191
0,0595
А
—0,6741
—
—
—0,7982
0
6
1,6500
1,4000
2,3100
—0,6388
3,0352
1,3259
1,7422
2,4062
0,6015
—0,8841
—0,5318
1,9864
4,2286
4,0428
—2,0107
0,2645
—2,4529
0,1322
В
—0,2079
—
—
—0,2462
0
7
2,2300
1,9600
4,3708
—0,4544
4,8488
1,9849
2,2020
2,8019
1,3953
—0,4884
-0,6815
0,9223
1,3151
2,0691
— 1,4384
0,4738
— 1,8113
0,1121
С
+0,4337
—
—
+0,5135
0
8
2,7500
2,4000
6,6000
—0,1188
6,7199
2,5460
2,5923
3,2260
1,9513
А
—0,0643
—0,1255
—0,1252
0,03143
0,3025
—0,2282
0,5500
—0,2925
—0,0001
1,9525
0,0312
0,0011
1,9849
0
9
3,1000
1,2000
3,7200
3,0650
7,8850
2,8080
1,3248
3,7813
0,9088
В
0,4910
0,4461
1,4843
2,4022
3,0342
1,7419
0,2561
2,2329
—0,0001
4,4779
0,0136
0,0001
4,4916
0
10
3,0000
0
0
—
2,6382
0
3,8442
0
С
0,5539
—
—
3,8598
1,9646
—
2,5183
0
4,7633
0,0128
0,0001
4,7762
0
веденными в табл. 14, которую мы с этой целью специально вычис-
вычислили с четырьмя десятичными знаками.
Рассмотрим теперь отображение, обратное к отображению Еп,
которое будем обозначать символом
£7' =
(тп, ап> Ъп).
Функция £7Г отображает полуплоскость zn+1 на полуплоскость
zn с вырезанным полуэллипсом, определяемым параметрами
тп, ап, Ьп.
333
Расчетные формулы для отображения Еп ' найдем, решая урав-
уравнение G0) относительно zn, в результате чего получим
(°- »!/
т
zn = гя — тп — I г
н ' п
или в развернутом виде
х'п = а^д:„+1 + Ъ'пК+и уп = а^г/„+1 + Ь'пцп+1, C. 92)
где
; ^ = 1 — а^; *л = хп — т„; г/л = у„; C. 93)
л
2Мп+1 = 4+1 — ^+1 — (а„
и далее при Мп+1 > 0
Хп+1Уп+1
К%+1 = УИ„+1 + Vfift+i + (хп+1Уп+1Г; цл+, = Хп+1Уп+1 ■ C 94)
при Мп+1 < 0, когда — Мп+1 = | Мл+, | > 0,
У+'. C.95)
В частности, для точек действительной оси yn+i — 0:
2УИ„+1 = х2п+1 - (ап + Ъпу. C.96)
Тогда при Mn+i < 0 имеем
Хл+1 = 0; (Ал+1 = | 2Мл+11; д:„ = aUn+i; г/„ = Ку-п+и C-97)
при М„+1 > 0 получаем
ц„+1 = 0; Ми = 2Мп+1; хп = aUn+i + ~ЬпК+й Уп = 0. C.98)
Исходя из формулы (91), читатель легко сможет получить также
для отображения £7' расчетные формулы в виде рядов.
С отображениями Еп~[ мы встречаемся каждый раз, когда необ-
необходимо перенести результаты, полученные в полуплоскости г„ = £
в исходную область z = Zj_.
Так как формулы G0) и (91) принадлежат к одному и тому же
типу, то и методика вычислений при отображениях Еп и Е^1 вполне
аналогична. Поэтому мы ограничимся тем, что для примера 2 най-
найдем в исходной области гх образ прямой г/4 — 1.5 = const, парал-
параллельной действительности оси на полуплоскости t, = г4. Образ
этой прямой построим по точкам I—VIII, которые на полуплоскости
£ = г^ возьмем эквидистантными. Все вычисления (с тремя десятич-
десятичными знаками) приведены в табл. 15, причем для каждого фиксиро-
334
n
з-'
2-1
1-'
rlnPTnQulILIO CO TfMTTTJUt-T
11UL lU/lHriblC ЬСЛИЧИпЫ
m3 = —2,245
as = 0,748
&„ = 0,138
a* = 0,844
Tg = 0,156
(оз+63J= 0,785
m2 = +3,290
a2 = 0,554
62= 1,965
02 = 0,2199
~b\ = 0,7801
(a2+&2J = 6,345
m, = 0; ** = Xi
ai = 2,000
6i= 1,400
a * = 0,5882
T* =0,4118
(ai+6iJ= 11,560
Область
Xi
У*
Xilji
Mi
\m\+V~
Xi
♦
xs
Уз
xs
ХзУа
M3
\m\ + V~
X3
*
X2
Vi
Хг
ХгУг
Mi
\M\ + t ~
X,
V*
x\ =xi
yi
T а б л г
ца 15
Точки
I
—6,000
1,500
—9,000
16,482
35,261
—5,938
1,516
—5,990
1,502
—8,235
—12,369
29,607
61,694
—7,855
1,575
—7,939
1,559
—4,649
—7,248
3,811
12,000
—3,464
2,092
—4,161
1,778
II
—4,000
1,500
—6,000
6,482
15,315
—3,913
1,533
—3,986
1,505
—6,231
—9,378
15,108
32,890
—5,735
1,635
—5,844
1,606
—2,554
—4,102
—3,808
9,405
—1,337
3,067
—2,053
2,208
III
—2,000
1,500
—3,000
0,482
3,520
—1,876
1,599
—1,981
1,515
—4,226
—6,402
4,609
12,497
—3,535
1,811
—3,687
1,746
—0,397
—0,693
—7,225
14,483
—0,182
3,806
—0,308
2,594
IV
0
1,500
0
—
3,036
0
1,742
0
1,538
—2,245
—3,453
—1,835
5,745
—1,441
2,397
—1,618
2,208
1,672
3,692
—6,820
14,675
0,964
3,831
1,380
2,876
V
2,000
1,500
3,000
0,482
—
+ 1,981
1,515
—0,264
—0,400
—4,285
8,589
—0,136
2,931
—0,164
2,620
3,126
8,190
—4,326
13,588
2,222
3,686
2,754
3,059
VI
4,000
1,500
6,000
6,482
—
3,986
1,505
1,741
2,620
—2,789
6,616
1,019
2,572
1,178
2,337
4,468
10,442
1,471
12,016
3,466
3,013
4,055
2,615
VII
6,000
1,500
9,000
16,482
5,990
1,502
3,745
5,625
2,712
8,957
2,993
1,879
3,158
1,796
6,448
11,581
13,396
31,104
5,577
2,077
6,089
1,912
ванного п параметры отображений у £7Г' и Еп одни и те же. Поэтому
необходимые нам значения тп, ап, Ьп берем непосредственно из
табл. 14. Исходные значения координат рассматриваемых точек
приведены в табл. 15 в строках дг4, г/4-
Данные точки дт4, г/4 при помощи обратного преобразования
£Т' = Е~1 {т3, а3, Ь3) отображаем в область z3= x3 + iy9, в связи
с чем этот шаг будем обозначать как шаг п = 3~'. Воспользовав-
Воспользовавшись затем отображениями £7' = £"' (mit а2, Ь2) и £Т' = Е~1
(mi = 0, аъ bi), мы последовательно переносим образ прямой г/4=
= 1,5 = const в область й и в исходную область z1 = г. Резуль-
Результаты вычислений, приведенные в табл. 15, изображены также на
рис. 84 пунктирными линиями.
Согласно формуле (91) при zn+i = оо имеем
\imzn = zn+i = со,
т. е. при отображении £7', как и при отображении Еп, бесконечно
удаленная точка остается неподвижной. Поэтому в области z^ ли-
линия I—VIII будет асимптотически приближаться к прямой у =
= г/4 = 1,5 = const и, например, для точек дт4 = ± 10, г/4 = 1,5
будем иметь соответственно (*i = —8,475; г/i = 1,577), (xi =
= +10,501; yi = 1,600).
При дублировании табл. 15, которое необходимо выполнить,
для того чтобы закрепить методику вычислений при отображении
Е^х, читателю будет также полезно провести все вычисления и для
точек (xt = ±10,000; г/4 = 1,500) и точки VIII.
При ап = 0 отображение Е^1 переходит в отображение ЕТ1 =
= £-■ (тп, ап = 0, Ьц = s), обратное к £s. Расчетные формулы
для отображения £7' получим, положив ап= 0 в общих формулах
(91) — (98), либо непосредственно обратив равенство F4), в резуль-
результате чего получим
гп = zn - тп = Y^-s\ C. 99)
Функция £7' отображает полуплоскость £, = zn+l на полуплос-
полуплоскость z = Zn = zn — тп с вертикальным разрезом bn = s.
В заключение отметим, что рассмотренные примеры носят
вполне общий характер и таким путем можно отобразить любую
односвязную однолистную область на полуплоскость. Однако для
более эффективного решения этой задачи нам надо еще в следующих
параграфах рассмотреть два других элементарных отображения.
§ 53. ОТОБРАЖЕНИЯ Л„ и Л^'
Построим функцию, отображающую полуплоскость z с вырезан-
вырезанной круговой луночкой произвольного радиуса R на полуплоскость!
без вырезов £.
336
При нормировке
£(со)=со; £'(«0=1
и расположении осей, которое указано на рис. 85, эта функция
будет иметь следующий вид:
[z — а\у
C. 100)
JT
' J-A
-а-~) /
■or
2
2
а
*
3 '
аг
1
где
C. 101)
а — полудлина хорды луночки и р — угол, образованный каса-
касательной к окружности в точке ее пересечения с осью абсцисс.
При Р > 0 имеем у > 1; ау > а, так что точки z = ± а согласно
формуле A00) переходят в точки £ = ± ау, более удаленные от
начала координат (как и при отображении £„).
22 П. Ф. Фильчаков
337
При р < 0, т. е. когда луночка вдавлена в нижнюю полуплос-
полуплоскость, у < 1, ay < а и точки £ = ± ау, являющиеся образами
точек z = ± а, приближаются к началу координат.
Формулу A00) получим, заметив, что дробно-линейное преобра-
преобразование
г — а
ш =
г + а
переводит область z во внутренность угла © с раствором я—р.
Действительно, для точек 1 (г = — а); 3 (z = + а) имеем ©i = оо;
©з = 0 и поскольку дробно-линейное преобразование окружности
(и прямые) переводит снова в окружности (и прямые), то дуга
]—2—3 в области © переходит в дугу окружности, проходящую
через бесконечно удаленную точку 1 (© = оо), т. е. переходит
в луч /—2—3, а участки действительной оси 4 (— оо ) — /; 3—4
(+ оо ) переходят в луч 3—4—/ (+ оо). Угол в точке 3 (не являю-
являющейся особой точкой) между этими лучами в силу конформности
отображения сохраняет свое прежнее значение л — р (см. § 37,
пример 3). Степенная функция
W = ©л Р =
отображает область © на верхнюю полуплоскость w, которую при
помощи нового дробно-линейного преобразования
г = ау т—11—
b ' 1 —w
отображаем .саму на себя так, чтобы точки Wi =oo, w3 = 0, wt = 1
перешли в точки £i = — ay, t,3 = + ay, £4 = оо . Объединив эти
три отображения, мы и получим формулу A00).
При осуществлении метода последовательных конформных ото-
отображений вычисления большей частью приходится вести для ком-
комплексных значений переменной z = х + iy. Поэтому нам необ-
необходимо еще для функции A00) вывести расчетные формулы.
Введем обозначения
г — а
г+а
= qe , где q =
г — а
причем О есть угол, под которым из заданной точки z видны точки
z = ± я. а Q есть отношение расстояний от точки z до точек z =
= ± а (рис. 85).
Тогда
г— а _ . 2а _ , 2а _ . 2а [(х + а) — гу] _
г+ а ~ "~ г + а ~ (х + а) + iy ~ (д: + аJ + (/« ~
2а (х + а)
(* + аJ
338
Отсюда
2 4a2j/2 , 4ах
= 1 —:
lay
ИЛИ
x + af + y
lay
2а
r*'
\-{х + а)
C. 103)
C. 104)
Из формулы A00) при замене A02) получаем
1 + QVev
1 Qve'v#
sin уЪ
1—
i'ev sin
или
о о I I I г* XT' I (
где введены обозначения
а = 1—QVcosyd1; t = QVsinY'O'. C.105)
Перемножив теперь скобки в числителе и разделив действи-
действительные и мнимые части, находим необходимые нам расчетные
формулы:
2ау
= gv, g =
В частности, для точек оси абсцисс (у = 0) имеем
х -\-а
C. 106)
C.107)
для точек, лежащих на дуге окружности, для которых & = -к Bя—
— 2Р) = я — р = const:
^ ^ n = 0 C.108)
22* 339
и для точек оси ординат (х = 0), для которых q = 1:
а=1 — cos yd; t = sinY'O; g='
g,
| = 0; r^ayctg^. C.109)
Точка 2, которая одновременно лежит на дуге окружности и на
оси ординат и для которой, следовательно, q = 1, у$ = я; ctg -~- =
= ctg -5-; отображается в начало координат | = 0; г\ = 0.
Для точек симметричных относительно оси у, т. е. для точек
Zi = + х + iy и z2 = — х + гг/,
имеет место равенство
QiQ2=l, (ЗЛЮ)
которое непосредственно следует из равенства A03).
Отображающую функцию легко также представить в виде ряда.
Из формулы A00), вынося в каждом из слагаемых за скобку z и
сокращая затем дробь на zv, имеем
а \ V
Тогда для lz|>a, т. е. для
миальным рядом, получаем
\ г I \ г
a
z
< 1, воспользовавшись бино-
и, следовательно,
у (у — 1) / a
1 + 21 \Т
у (у — 1) /_а \г у(у— 1)(у — 2)(у —3) (±\*
"*" 2! [ г ) + 4! U j
= Z, | (V-l)(Y-2)/a\2 ,(у-1)(у-2)(у—3)(у —4)/а\«
1 + 3i (т) + si (t
Выполнив деление рядов, находим
1 (V2 — 1) (Y3 — 4) Bу3 — 11) /д\е
340
или окончательно
5 = 2 + ^ + ^-+^- + ...; \г\<а, . C.111)
где
-^А3;... C.112)
При z-> оо из A11) непосредственно следует
z=oo, C.113)
т. е. бесконечно удаленная точка при отображении A00) остается
неподвижной.
При у = 2 ряд A11) обрывается на первом члене (Ах = а2,
Am— 1 = 0 при п > 2) и мы получаем
или в развернутом виде
$) ^^) (зли)
т. е. отображающая функция A00) переходит в функцию Жуков-
Жуковского, как и должно быть, поскольку при у = 2 угол р = у и дуга
окружности /—2—3 переходит в полуокружность радиуса R = а.
Формулу A14) легко также получить, положив у = 2 в формуле
A00). При р -> я, когда у -> оо, если одновременно потребовать,
чтобы а -> 0 (т. е. если зафиксировать радиус окружности R),
из формулы A00) путем предельного перехода можно найти резуль-
результаты, полученные ранее в примере 2 § 39. При р = 0, когда у = 1,
из формулы A00) при любом а получаем тождественное преобра-
преобразование
1=г.
Отметим, что при любом целом у функция A00) переходит в дробно-
рациональную функцию.
Найдем расчетные формулы для обратной функции, отображаю-
отображающей полуплоскость £ = | + щ на область z = х + iy (рис. 85).
Из уравнения A00) имеем
l-М или i=f==(C^y/V, C.115)
341
откуда
7v
z = а
1 —
l + ay
Введем обозначения
= cem, где с =
— ay
+ ay
a = ars
C.116)
C.117)
Тогда
2r — I—ay
C.118)
Подставив эти результаты в формулу A16), после элементар-
элементарных преобразований находим требуемые расчетные формулы:
x = g*a* — a; y = g*x*, C.119)
где по аналогии с A05) и A06) введены обозначения:
а*= 1—c/Ycos-;
= c/vsm-; g* = —i T. C.120)
• a +x
В частности, для точек действительной оси ц = 0; tga = 0
получаем a = 0 или a = я.
Тогда на участках -— оог£|<^ — ay, +ау^|^о° имеем
а = 0; с =
ay
l+ay ' ~ -L-_
а на участке — ay ■$ \ ^ + ay получим:
a = я; с =
1 — ау
1+ау
= g*a*— a;
C.121)
= g*x*. C.122)
где ст*, т*, g* вычисляются по формулам A20) при a = п.
Будем теперь отображение, осуществляемое функцией A00)
при условии, что начало координат перенесено в точку (х = + т;
у = 0) и при замене z -> zn, t, -> г„+ь обозначать символом
Л„ = Л(т„, р„, а„),
а обратное отображение символом
Л-'=Л~'(тп, р„, а„).
Параметрами отображений Л„ и Л^1 будут являться величины тп, р„,
а„. При этом величина угла р может быть как положительной, так
342
и отрицательной, т. е. луночка может быть как «выступающей»,
так и «вдавленной» в нижнюю полуплоскость гп.
Расчетные формулы для отображений Л„ и Л^Г1 получим, заменив
в формулах, выведенных выше, величину х величиною
х* = х — т. C.123)
Существенно также отметить, что функция Л„ исходную область,
имеющую две угловые точки, отображает на полуплоскость, гра-
граница которой есть гладкая линия — прямая у = 0. Благодаря
Рис. 86.
этому при помощи отображения Л„ можно в каждом шаге устранить
одну или две угловые точки на границе отображаемой области,
подбирая соответствующее значение параметра Р„ (см. рис. 85).
Отмеченные обстоятельства делают отображения Л„ и Л^Г' весьма
универсальными и удобными для осуществления метода последова-
последовательных конформных отображений.
Необходимые для этого параметры отображения тп, р„, ап легко
определяются после того как найдем координаты центра (х0, у0)
и радиус окружности R:
(х - хоу + {у — yQy = R\ C. 124)
проходящей через три произвольные точки
А{хА; у А), В(хв; ув), С (хс; ус),
лежащие на границе области zn в данном шаге п (рис. 86).
Искомые величины определяем из системы трех уравнений:
C. 125)
343
откуда получаем
2у (у у) = (х\ x\) + {у% У а) д 126)
2х0 (хв — хА) + 2у0 (ув — уА) = (х\ — x\) + {у% — У а),
2х0 (хв — xc) + 2y0 (у в — у с) = (хв — хЬ) + (У% — Ус)-
Решив эту систему, находим х0, уи, после чего вычисляем
R2 = (хА - Хо? + (Уа - УоУ C. 127)
и находим требуемые параметры отображения Л„:
I / Q2 2 v* - r\e- ft * /Q 1 OQ\
В частности, если точка В совпадает с вершиной дуги луночки,
полученные формулы упрощаются и принимают следующий вид:
(хв — x.f
х0 = хв = т; 2у0 = ув+УА 7, 7Г~ '>
-у1 C-129)
Формулы для определения параметров также упрощаются, если мы
применяем отображение Л„ для устранения одной из угловых точек
границы. В этом случае точка А не может быть произвольной, а
должна совпадать с одной из точек z*n = ± о и параметр (}„ являет-
является заданной величиной. Поэтому мы можем произвольно выбрать
только одну из точек границы, например точку В.
Так как угол р нам задан, то, полагая для определенности,
что р > 0 и что точка А совпадает с точкой z* = — а, в данном
случае будем иметь
хо = хА + i? sin P; уо = — Я cos р. C.130)
Тогда из условия, что окружность A24) проходит через точку
В, находим
(хв — xA — Rsin$y + (ув + R cos РJ = R*
или после очевидных упрощений
(хв — xAf + yl — 2R [(хв — хА) sin р — ув cos 0] = 0.
Определив из этого уравнения R, находим затем параметры ап и тп.
Если Р < 0 или точка А совпадает с точкой гп = + а, то в фор-
формулах A30) надо лишь изменить соответственно знаки.
В результате получим следующие формулы:
KJ + !]
C.131)
а = R | sin р |; т = | хА \ ± а,
344
где верхние знаки берутся, если хА = — а, нижние знаки —
если х*А = + а и величина sin Р всегда берется по модулю.
В заключение параграфа подчеркнем, что отображение Л„ всюду
конформно, за исключением точек z — т = ± а, в которых углы
изменяются в у раз: при Р > О, т. е. при у > 1 увеличиваются,
а при р < 0, т. е. при у < 1 уменьшаются. Образы точек хорды —
—а, +а (пунктир на рис. 85) находим по общим формулам, в кото-
которых надо положить ■& =я. При этом точка z = О переходит в точку
мнимой оси £ = ir\, где ц = ay ctg ^L .
§ 54. ОТОБРАЖЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ С УГЛОВЫМИ ТОЧКАМИ
Как уже отмечалось, функцию Л„ особенно удобно применять
при отображении областей, на границе которых имеются угловые
точки. Методику вычислений в этом случае также рассмотрим на
примерах.
Пример 1. Отобразим на верхнюю полуплоскость £ область г\, представ-
представленную на рис. 83, применив для обеспечения гладкости аппроксимации границы
области функцию Лл.
Первый шаг выполняем при помощи отображения Е$, точно так же, как и в
примере 1 § 52.
Поэтому решение в табл. 16 начинаем непосредственно со второго шага, зна-
значения Хг и J/2 для которого берем из табл. 13. Полученная область гг изображена в
увеличенном масштабе на рнс. 87, на котором точка 1 лежит за пределами рисунка.
Так как точка 3 не являлась особой точкой для функции Е$, то угол в этой
точке в области га сохраняет то же значение, которое он имел в области гг. Поэто-
Поэтому, переходя к определению параметров второго шага, согласно рис. 83, имеем
tgP = 4=2' откуда 0 = 02=1.1071.
Точку А берем совпадающей с точкой 3, а в качестве точки В, как отмечено на
рнс. 87 и в табл. 16, берем точку 5.
Тогда, подставив значения хА = 2,236; хв = 2,834; хв — хд= 0,598; ув=
= 0,529; sin 0 = 0,8944; cos 0 = 0,4472 в формулы A31) и взяв в этих формулах
верхние знаки, вычисляем в один прием (определив в JR вначале знаменатель)
0,5 • 0,63744
R = 0 29828— = 1,0685; оа = 0,9557; тг = + 3,192.
По известному 0 = 02 = 1,1071 вычисляем также согласно формуле A01)
3,1416
а затем все необходимые постоянные величины, которые и записываем в табл. 16.
Расчетные формулы A03) — A06), в которых х надо заменить величиною
х* = х — т, для осуществления отображения Лл представлены в таком виде, что
по ним каждый этап вычислений выполняется в один прием без промежуточных
записей. Так, при осуществлении второго шага вычисляем вначале всю строку
*2 = х2 — та, сохраняя все время установку та (или —тг), а затем для каждой
345
точки определяем q2 и tg # по формулам A03), A04). При этом находим вначале
(х* -^ а), умножаем его самого на себя, устанавливаем затем у и, не снимая резуль-
результата, добавляем слагаемое у2 = у . у. Найденное значение (х* Чг аJ -ф- у2 перено-
переносим в установочный счетчик и, умножив на коэффициент — = = 0,2616,
4а 4а2
который записан в табл. 16, получаем г*. Величину г*, в свою очередь, переносим
х*
без записи в установочный счетчик и методом подбора находим частное —, а затем
-4
Г
-3
* 5
' |0 1—
-2
-/
6
ц ц
1
17.»
1
8--В
А-
9
°|
* . *
*
х„
Рис. 87.
'■= 1
■. Сохранив в установочном счетчике величину г*, умножаем ее на 2,
н, вычтя последовательно из результата х* и а, находим знаменатель 1г*— х*—а,
который переносим в установочный счетчнк, после чего подбором, по записанному
в табл. 16 значению у, вычисляем tg ■&. Например, для точки 7, для которой х* =
= 1 ,0360, у = 0,3550 имеем х* 4- а = 1,9917; (х* 4- af -ф- у"- = 4,0929; г* =
= 4,0929-0,2616= 1,0707; —=0,9676; о» = 0,0324; 2г* — х* —а = 0,1497;
г*
0,3550
tg#= o~l497 = '^'' пРнчем из всей цепочки вычисленных значений в табл. 1с
записываем только величины q2 h tg #.
Далее, по таблице [213], которая очень удобна для этих вычислений, по най
денному tg# определяем #. Установив на арифмометре у и умножив его последова
тельно на каждое из значений #,находим для всей строкн углы у&,г затем по то/
же таблице [213] sin y& н cos y&.
346
Величину qv легко определить при помощи таблицы логарифмов непосредст-
непосредственно по E2,ие вычисляя предварительно значение д. Для этого определяем lg (q2)
У Y
и, умножив его на-i-, находим -— lg @2 = lg qv , по которому потенцнрова-
нием определяем qv. Так, для точки 7 имеем: lg q2 = lg 0,0324 = 2,51054 =
= —1,48946; lg eV = — lg e2 = — 1,48946 • 0,7721 = — 1,15001 =2,84999, и сле-
следовательно, @v = 0,0708. Окончательное значение lg @v можно вычислить не-
У
сколько проще, если умножить число 1,48946 на -„- = 0,7721 в «отрицательном
направлении», тогда в результативном счетчике непосредственно получим lg q2 =
=9998,84999... = §",84999.
Найдя значения qv по формуле A05), определяем о;х и по формуле A06) за-
заканчиваем расчет, вычислив в один прием g, которое переносим без записи в уста-
установочный счетчик н вычисляем по нему сначала ц = gx, а затем go. Сохранив в ре-
результативном счетчике найденное go, вычитаем из него ау и получаем искомое |.
Результаты, полученные по общим формулам для точки В = 5,
которая лежит на дуге окружности, сверяем с результатами, вычис-
вычисленными по формулам A08), что является контролем определения
параметров т%, а2, р2.
Все вычисления приведены в табл. 16. При этом, для того чтобы
избежать накопления ошибок округления, все промежуточные вы-
вычисления надо проводить с одной лишней значащей цифрой, кото-
которую затем отбрасываем при округлении результатов.
В третьем шаге спрямляем вторую угловую точку границы.
Для определения параметров третьего шага в качестве точек А я В
берем точки 9=Ая6=Вя принимаем во внимание, что для
точки А = 9 (согласно рис. 83)
tg р = 1; откуда Р = р3 = 0,4636; sin р = 0,4472; cos p = 0,8944.
Подставив соответствующие значения в формулы A31), в кото-
которых теперь надо взять нижние знаки, находим последовательно:
/?= 1,7962; а3 = 0,8033; т, = + 1,246; у =-уа = 1.1731
и все остальные необходимые постоянные величины.
Все вычисления третьего шага, которые совершенно аналогичны
вычислениям второго шага, приведены в той же табл. 16, а области
гп я гп для п = 2; 3; 4 изображены на рис. 87. При этом в преде-
пределах точности наших вычислений уже в третьем шаге для точки 4
можем принять гД4) = 0,0017 = 0.
Для завершения отображения в четвертом шаге остается вывести
на действительную ось еще точки 7 я 8, взяв их в качестве точек
А я В. Недостающую для определения параметров точку С легко
найти графически, вычертив в достаточно большом масштабе гра-
границу области z4 и учтя, что в точке 9 мы достигли уже гладкой
аппроксимации границы, так что в точке 9 действительная ось
347
Таблица 16
п
1
2
Постоянные величины
*2 = *а — "h
пц= +3,192
02 = 0,9557
02=1,1071
у= 1,5442
_L = 0,2616
4а
ау = 1,4758
2ау = 2,9516
-1-Y = 0,7721
Л1 = 0,4215
Л3 = 0,0415
Л6 = 0,0112
Область
еа
tgO
sinY^1
cosy^1
Qv
0
T
Точки
2
0
0
—3,192
3,440
0
—"
—
—
—
2,596
—
—
—3,325
0
3
2,236
0
A
—0,956
—
—
—
—
—
—
—
—
—
— 1,476
0
4
2,512
0,348
—0,680
14,18
—2,017
2,031
3,136
0,0056
—1,0000
7,748
8,7480
0,0434
— 1,138
0,0017
5
2,834
0,529
В
—0,358
3,148
—2,002
2,034
3,141
0,0006
—1,0000
2,424
3,4240
0,0015
-0,614
0,0004
6
3,511
0,570
0,319
0,3746
—2,240
1,991
3,075
0,0665
—0,9978
0,4685
1,4675
0,0312
0,535
0,043
В
7
4,228
0,355
1,036
0,0324
2,371
1,172
1,810
0,9715
—0,2369
0,0708
1,0168
0,0688
1,414
0,196
8
4,607
0,190
1,415
0,0437
0,3228
0,312
0,482
0,4636
0,8861
0,0894
0,9208
0,0414
1,723
0,144
9
5,000
0
1,808
0,0951
0
—
—
—
—
0,1626
—
—
2,049
0
A
Продолжение таблицы 16
со
СО
п
3
4
Постоянные величины
х*3—х3 — т*
т3= +1,246
а3 = 0,8033
Рз = 0,4636
Y= 1,1731
-L= 0,3112
4а
ay = 0,9424
2ау= 1,8847
_1_ч = 0,5866
Ai = 0,0809
А3 = 0,0091
Л5 = 0,0023
mi = +0,435
а4 = 0,407
Аг = 0,00461
Область
*
*з
Q2
tg«
ft
Yft
sinyft
cosyft
Qv
a
X
xt
У4.
*\
4
Точки
2
—4,571
2,035
0
—
—
—
—
1,517
—
—
—4,588
0
-5,023
—5,024
0
3
—2,722
3,376
0
—
—
—
—
2,042
—
—
—2,751
0
—3,186
—3,187
0
4
—2,384
4,066
0
—
—
—
—
2,277
—
—
—2,418
0
0
5
—1,860
6,353
0
—
—
—
—
2,958
—
—
— 1,905
0
0
6
-0,711
221,3
—0,5009
2,677
3,140
0,0016
—1,0000
23,74
24,74
0,0380
—0,866
0,0001
0
7
0,168
0,4501
—0,5440
2,643
3,101
0,0406
—0,9992
0,6260
1,6255
0,0254
0,217
0,018
A
0
8
0,477
0,0767
—0,5828
2,614
3,066
0,0755
—0,9971
0,2217
1,2211
0,0167
0,601
0,021
В
0
9
0,803
—
0
—
—
—
—
—
—
—
0,942
0
+0,507
+0,517
0
переходит в касательную к границе области. Еще проще в качестве
точки С взять точку на действительной оси, лежащую несколько
левее точки 9, например точку zc = хс = 0,942—0, 100 = 0,842.
Тогда для определения параметров четвертого шага будем иметь:
хА = 0,217; хв = 0,601; хс = 0,842;
уА = 0,018; ув = 0,021; ус = 0.
Подставив эти значения в формулы A26) приходим к -системе
+ 0,768хс + 0,006г/0 = + 0,3142,
— 0,482х0 + 0,042г/0 = — 0,3473,
решив которую, получаем
х0 = + 0,4347 = + 0,435; у0 = — 3,280.
По найденным х0; у0 согласно формул A27), A28), A01), A12)
определяем искомые параметры, величину у и коэффициенты ряда
A11):
R = 3,3051; т4 = х0 = + 0,435; а4 = хс — х0 = 0,407;
cos р = 0,9924; Р = р4 = 0,1234; у = у4 = 1,0409; у2 = 1,0835;
Лх = + 0,00461; А3 = + 0,00015.
Легко проверить непосредственными вычислениями, что некото-
некоторый произвол в выборе точки С не вносит заметных погрешностей
в окончательные результаты. Если же требуется большая точность,
то необходимо увеличить число рассматриваемых точек границы в
исходной области zb разместив дополнительные точки с учетом ре-
результатов, полученных при последующих отображениях. С этой
целью в расчетной таблице надо оставлять 2—3 резервные колонки
для возможных дополнительных точек.
Определив параметры отображения Л4, завершаем решение
примера 1, ограничившись вычислением только образов угловых
точек 1, 2, 3, 9 исходной области zx. Для точек 1, 2, 3 вычисления
ведем при помощи ряда A11), а для точки 9 — по общим формулам
A03) — A06). Результаты (за исключением точки 1) приведены в
табл. 16. Для точки / (для которой согласно табл. 13: х% =
= — 3,000; г/2 = 0, так что х* = х2 — 3,192 = — 6,192), пользуясь
рядом A11), находим последовательно при
. п = 2;3;4; х3 = —6,260; х*3 = — 7,506; х4 = —7,517;
х* = — 7,952; хъ = — 7,953; уп = 0.
Значения коэффициентов ряда A11) для каждого шага п приве-
приведены в табл. 16.
350
Граница области гъ есть всюду гладкая линия, отклоняющаяся
от прямой г/5 = 0 лишь на участке 3—9 на величину порядка 0,001—
0,003. Поэтому область гь мы можем приближенно отождествить
с полуплоскостью g ~ гъ и отображающую функцию представить
последовательностью
^25 = £1Л2Л3Л4B), C.132)
которая дает более точный результат, чем это было достигнуто
в § 52.
При помощи функции A32) легко отобразить на полуплоскость
любую точку (внутреннюю или граничную) исходной области
z = zx. При этом для точек, для которых \z\ > 2а, вычисления
удобнее вести при помощи рядов, 3—4 члена которых в этом случае
обеспечат достаточно высокую степень точности.
Подчеркнем, что функция A32) является аналитической, кото-
которую при возникновении такой необходимости легко дифференциро-
дифференцировать, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции.
Функция
z = лг'л^'лг'яг1 (£); I»а C.133)
осуществляет обратное отображение полуплоскости g ~ z6 на об-
область z = zlt представленную на рис. 83. Точную отображающую
функцию для этого случая будет давать интеграл Кристоффеля —
Шварца. Подставив в этот интеграл найденные приближенные
значения его констант, т. е. образов угловых точек:
Si» *"' = -7,953; |2 « х52) = — 5,024;
|3^х53) = - 3,187;
S.»*i9) = +0,517
и вычислив затем длину каждой из сторон многоугольника zi,
можно определить фактическую погрешность, допущенную при
решении примера 1.
Замечание. Если одна из точек zn= ± ап лежит на гладком участке
границы области гп, то при отображении Ап в области 2n,( возникнет угловая
точка. Поэтому точки А, В, С, определяющие параметры отображения Ап, надо в
каждом шаге выбирать так, чтобы угловые точки луночки не лежали на гладких
участках границы области гп.
Как мы уже отмечали, при р*„ =-2-°т°б>ражениеЛп осуществляет-
осуществляется особенно просто, так что во многих случаях целесообразно для
грубой аппроксимации применять данное частное отображение Л„.
При этом полуокружность, в которую переходит дуга луночки,
351
может быть вписанной, описанной или пересекаться с границей ис-
исходной области.
Пример 2. Отобразим при помощи функций Ап полуплоскость с выре-
вырезанным полуэллипсом
\2
♦5
1 2 3 и 5 б |7 8 9 Ю и 12 13 и
-Учц—9- | °г |О-г-1о-г-6-г-Я | о, i" j —9^—ro-s»—, 9-
5 О *Ъ
Рис. 88.
Опишем вокруг эллиптического выреза полукруг радиуса R = а ~ 2,5
(рис. 88). Тогда параметрами отображения Ai будут
На контуре полуэллипса отметим ряд точек г= zi и по формулам A14) вы-
вычислим их образы в области г2.
Вычисления по формулам A14) выполняются в один прием, для
чего по данным х = хъ у = i/i и известному а2 = а\ = 6,25 нахо-
дим а 4- 2 ' п0 которому устанавливаем без записи в установочной
1 , а2
счетчике величину 1 ~\—ji—г и> умножив ее на x=xi, записываем
х -\- у
352
Таблица 17
п
1
2
Постоянные
величины
mi = 0
а] = 6,250
Х*2 == Х2
/п2 = 0
Оа = 4,666
р2 = —0,4732
Y = 0,8691
JL = 0,05358
ау = 4,055
2ау = 8,110
J-V = 0,4345
Точные значения
Область
*i
ж»
Q2
tgft
ft
vo
cos^O
QY
a
X
Ет
%
Точки
7
0
2,000
0
—1,125
—
—
—
—
—
—
—
—
—
0
0
0
0
8
0,500
1,960
1,264
-1,034
0,3489
0,5051
3,609
3,137
0,0046
— 1,0000
0,6329
1,6329
0,0029
0,912
0,009
0,900
0
9
1,000
1,833
2,434
—0,795
0,1100
0,4876
3,595
3,124
0,0176
—0,9998
0,3833
1,3832
0,0067
1,808
0,028
1,800
0
10
1,500
1,600
3,449
—0,479
0,0259
0,4634
3,576
3,108
0,0336
—0,9994
0,2044
1,2043
0,0069
2,679
0,039
2,700
0
11
2,000
1,200
4,298
—0,179
0,00209
0,5114
3,614
3,141
0,0006
— 1,0000
0,0685
1,0685
0,00004
3,535
0,0003
3,600
0
12
2,300
0,784
4,735
—0,046
0,000078
—0,660
-0,583
-0,507
—0,4856
0,8742
0,0164 ■
0,9857
—0,0080
4,172
—0,067
4,140
0
13
2,500
0
+5,000
0
0,00119
—
—
—
—
—
0,0536
—
—
4,514
0
4,500
0
результат I=хг. Сняв результат, но сохранив установку 1-1 ° 2 ,
вычисляем 1 ° 2 = — A Н—° 2 )-(- 2, переносим найденную
величину в установочный счетчик и, умножив ее на у = г/i, за-
заканчиваем вычисление, определив ц = г/2. Результаты всех вы-
вычислений приведены в табл. 17, в которой в силу симметрии мы
ограничились только точками первого квадранта.
Граница области 22 будет гладкой линией, так как угловые
точки 1 я 13 спрямлены отображением Лг.
Параметры второго шага определим, взяв в качестве точек
А я В точки А = 11 и В = 7, учтя при этом, что точка В=7 совпа-
совпадает с вершиной дуги луночки. Тогда согласно A29) находим:
г/о = 9,112; х0 = т2 = 0; а2 = 4,666; р\,= —0,4732;
Y=Ya = 0,8691.
Вычисления во втором шаге выполняются так же, как и в при-
примере 1. Исключение составляет лишь точка 12, очень близко рас-
расположенная от угловой точки луночки а2. Для этой точки q2 надо
вычислять в соответствии с первой частью формулы A03):
. _ (x-af+i? @,069J+(-0.046J 0,00688 _
6 ~ (х + а)а + </* (9.40!J+ (—0,046J " 88>381 —
так как в противном случае произойдет потеря точности вычислений
из-за уничтожения значащих цифр при вычитании близких вели-
величин [281, стр. 44—45].
Во втором шаге луночка была вдавлена в нижнюю полуплос-
полуплоскость (fb < 0; у2 < 1) и в соответствии с этим при отображении
Л2 все точки в области z3 приблизились к началу координат. Об-;
ласть z3 представлена на том же рис. 88.
Отметим, что точки z2 = ± а2 не лежат на границе области и^
следовательно, параметры второго шага определены в соответствий
с высказанным выше замечанием. Но, если бы при п — 2 мы взяли
в качестве точки А, например, точку 13, то в области z3 на учаср»
ках границы /—2 и 12—13 возникли бы луночки с углами р*3 =*
= — Y2P2 в точках / и 13. I
Пример 2 имеет точное решение, которое осуществляется фуню
цией £i = Е (mi = 0; аг = 2,5; ^ = 2,0). В табл. 17 для conof
ставления результатов приведены также точные значения |т; %'
полученные при помощи отображения Е± I
Обратное отображение Л^1 принадлежит к тому же типу, чЦ
и Л„, причем параметры для каждого фиксированного п у этих от<|
бражений будут одни и те же. Поэтому методика вычислений ПВ|
354 |
формулам A18) — A22) вполне аналогична рассмотренной выше,
и читатель, продублировав табл. 16 и 17, легко освоит и методику
вычислений при осуществлении отображения Л71- Полезно также
в качестве упражнения осуществить какой-либо один шаг из этих
таблиц в обратном направлении от zn+l к zn при помощи соответ-
соответствующего отображения Л^Г1.
В данном параграфе мы ограничились двумя примерами, что
вполне достаточно для изложения методики вычислений.
В общем случае, если граница области имеет k угловых точек,
то их всегда можно устранить при помощи не более чем k последо-
последовательных отображений Л„, выбрав в каждом шаге надлежащим
образом параметры тп, ап, р„. В результате граница области Zk+l
станет гладкой линией, которую можно приблизить с любой сте-
пеньк) точности к действительной оси, продолжая процесс исчер-
исчерпывания при помощи отображений Еп или Л„, или же непосред-
непосредственно отобразить область 2£+1 на полуплоскость, воспользовав-
воспользовавшись формулами Лаврентьева.
§ 55. ОТОБРАЖЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ С РАЗРЕЗАМИ.
АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ В КОМПЛЕКСНОЙ
ОБЛАСТИ
При отображении областей с разрезами существенную роль
играет отображение Es, которому можно придать большую универ-
универсальность, если прямолинейный разрез заменить разрезом по дуге
окружности.
Тогда при нормировке
£(сх>)=сх>; £'(«>) =1
и расположении осей, указанном на рис. 89, функция, отобра-
отображающая область z с круговым разрезом, ортогональньм к действи-
действительной оси, на полуплоскость £ будет иметь следующий вид:
8 (г—
C. 134>
Л
где ft и s соответственно горизонтальная и вертикальная проекции
Дуги /—2—3. Знак у корня берем плюс, если точка лежит вне
полукруга /—2—5, и минус — если точка лежит внутри этого полу-
полукруга.
Вводя, как и в § 51, обозначение
I -f i\i = 'v z2 -f s2, C. 135)
23* 355
величины X п ц для любой заданной точки z = х + щ определяем;
по формулам: '
где
+ УМ* + {xyf; \i = -f- при М > 0;
^ = _ М
при М < 0,
C. 136)
0' h
г
s
1
СО--
Z-fl
U El
5(-«; б ; г] j
f ? * / / * / /■/ г г j f / s s & г* *O/s г? гг А?
-f
5 6 12
.1 31 zsl \0
Рис. S9.
Подставив A35) в A34), получаем расчетные формулы для
числения £ = 1+ щ при комплексных значениях аргумента
= х + iy:
[6.
356
где
Для того чтобы вывести формулу A34), продолжим дугу /—2—3
до полуокружности. При этом координата для точки 5 будет
S2
z% = j- ■ Тогда дробно-линейная функция
где е=4 (з
переводит точки z3 = h и zs = — — в точки ©3 = О и ©5 = °°; всю
окружность /—2—5—/ в мнимую ось, а дугу /—2—3 в прямо-
прямолинейный разрез длиною s. Действительно, подставив для точки
2 в A38) значение гч = is, получаем
is—/г _ i(s-j-ih) _ .
0J Г ~ s s + ih ~ ls-
Точки 4 и 6, для которых z4 = со, 2в = 0 согласно A38) переходят
в точки ©4 = + —; а>в = — й-
Область (л отображаем на полуплоскость w при помощи функ-
функции
±/919 / О 1 О Л\
— у а>* -\- S , (о. 1оУ)
где с = + Ks2 + ft2 есть длина хорды /—2, а масштабный множи-
множитель sic введен для того, чтобы в дальнейшем удовлетворить норми-
нормировке £ (оо) = z (оо) = оо. Знак у корня в формуле A39) берем
такой, какой имеет действительная часть величины ш.
При отображении A39) бесконечно удаленная точка ws = оо
остается неподвижной, т. е. переходит в точку ку6 = оо.
Координаты всех остальных точек, указанные на рис. 89, полу-
получим, подставив в A39) соответственно значения ©i = ©3 = 0;
©2 = is; ©4 = — = w& ©в = — h.
Подставив A38) в A39) после несложных преобразований на-
находим:
sV(z — hf+
\f £- (s2 + h?) + (s2 + /г2)
V s2 K
= =
сA+ег) с A+ег)
- са-140,
357
В полуплоскости w бесконечно удаленная точка w = w% — оо
является образом точки 2S = —. Поэтому, воспользовавшись
о
еще одним дробно-линейным преобразованием
перейдем от полуплоскости w к полуплоскости £, в которой точка
g = g4 = со будет уже образом точки 24 = оо, как того и требует
введенная нами нормировка.
Подставив A40) в A41) получаем искомую отображающую
функцию A34).
Остановимся на определении образов точек /—6 в области £,,
которые также указаны на рис. 89.
Точка 1: z1 = h; тогда согласно A34), учтя что е — —; с2 = №-\-
4- s2 и выбирая знаки у корня, как указано было выше, имеем
Точка 2: 22 = is; V z\-\- s2 = 0, так что £з = 0.
Точка 3: z3 = h; но знак у корня в формуле A34) теперь берем
плюс (а не минус, как для точки /), и тогда
+С
Точка 4: 24 = оо. Воспользовавшись разложением в ряд, имеем
для | 2 j > s:
~ * "•" 2г 823 "•" • • • '
так что
lim B— Vz2 + s2) = lim(z— 2 — -|- + •-■)== — lim-^- = 0.
г-9-оо V / г-*» V 2г / z->« ^г
358
Подставив это значение в A34), находим для точки z4 = оо:
= lim У z2 + s2 = z = оо,
z-^oo 1 + е (г — Yz2 + s2)
причем
Следовательно, бесконечно удаленная точка при отображении A34)
остается неподвижной и коэффициент растяжения в этой точке ра-
равен единице, как того и требует принятая выше нормировка t (оо) =
= оо; I' (оо) = 1.
Точка 5: гъ = — —; тогда согласно A34) имеем
V г2
т. е. точка 5 при отображении A34) также остается неподвижной.
Точка 6: 26 = 0; тогда, учтя, что знак в этом случае у корня
надо брать отрицательный, получаем
Ь6 1 + es s + /г '
Решив уравнение A34) относительно z, имеем
е£2 +
d. 142)
Функция A42) осуществляет обратное отображение полуплос-
полуплоскости £ на полуплоскость с круговым разрезом z.
Будем теперь отображение, осуществляемое функцией A34) при
условии, что начало координат перенесено в точку (х = т; у = 0)
и при замене z -> zn и £ -> zn+i, обозначать символом
Ehs = E(mn, hm sn),
а обратное отображение — символом
E^sl = E-l{mn, hn, sn).
Параметрами отображений Ehs и £^' будут являться величины
т, h, s. При этом величина h может быть как положительной,
так и отрицательной, т. е. основание дуги окружности (точка 1=3)
359
может быть расположена как справа (h > 0), так и слева (h < 0)
от начала координат.
При h = 0 имеем е = —г = 0; с = j/s2 + ft2 = s и согласно ,
формуле A34)
■7-rjl
-з
■2 -1
*2
ч
т. е. отображение Ehs переходит при h = 0 в ранее изученное ото-
отображение Es. Заметим, что при h = 0 для точки 5 получаем z5 =
= = оо и, следовате-
следовательно, две неподвижные точ-
точки отображения Ehs (точки
4 я 5) при h = 0 сливаются
в одну неподвижную точку
z = оо отображения Es.
Отображение, осущест-
осуществляемое функцией A34),
конформно во всей замк-
замкнутой плоскости z, за ис-
исключением точек 1—3 и 2.
В точке 1=3 при ото-
отображении A34) углы уве-
увеличиваются в два раза, а
в точке 2 — углы умень-
уменьшаются вдвое.
Точка z = оо является
регулярной точкой функ-
функции A34) и поэтому в точ-
точке 2 = оо конформность данного отображения не нарушается.
Расчетные формулы для отображений Ehs и EJs получим, заме-
заменив в соответствующих формулах, выведенных выше, величину х
величиною
х* — х — т. .
Параметры отображения т, h, s определяются непосредственно
по концевым точкам дуги в каждом конкретном примере, к решению
которых мы и переходим. !
Пример 1. Отобразим на верхнюю полуплоскость £ полуплоскость г = Zi
с разрезом по дуге окружности
Ц ©
Рис. 90.
представленную на рис. 90.
В первом шаге проведем через концевые точки дуги 1 — 7 н4 прямолинейны?
разрез, который в данном примере будет ортогональным к действительной оси.
Поэтому, воспользовавшись отображением Е$ при т = mi = 0; s = si = 2 мй
в первом же шаге устраняем разрез и переходим от полуплоскости с разрезом г =i
= zi к полуплоскости га с вырезанной луночкой. Для того чтобы определить боле<
360
точно форму получаемой луночки, рассмотрим на круговом разрезе еще точки
2 = 6 и 3 = 5, которые в области гг являются двойными точками границы, а в об-
области гг переходят в обыкновенные точки. При этом для точек 2 и 3, лежащих на
левом берегу кругового разреза уг берем со знаком минус, а для точек 5 и 6, ле-
лежащих на правом берегу разреза — со знаком плюс.
Все вычисления для первого шага, которые выполняются по формулам G3);
G5); (90) § 51 при шл== 0; ап = 0; йл= si = 2, приведены в табл. 18, в которой
указаны также и координаты рассматриваемых точек в исходной области г= гг.
n
1
2
Постоянные
величины
Ъ\ = Si = 2
й* = 4,000
гаг = 1,577
оз = 0,423
а, = 0,1789
о
те
ё
?i
X2
#2
«ft
Г а б л и
ца 18
Точки
1
0
0
1 _
— 2,000
0
— 3,577
— 3,627
0
2
+0,300
+ 1,157
0,4671
0,8329
1,7878
— 1,337
— 0,349
— 2,914
— 2,975
— 0,342
3
+ 0,100
+ 1,889
0,1889
0,2208
0,5114
— 0,715
— 0,264
— 2,292
— 2,440
— 0,247
4
0
+ 2,000
0
0
— 1,577
— 1,666
0
5
+ 0,100
+ 1,889
0,1889
0,2208
0,5114
+ 0,715
+ 0,264
— 0,862
— 1,052
+ 0,206
6
+ 0,300
+ 1,557
0,4671
0,8329
1,7878
+ 1,337
+ 0,349
В
— 0,240
— 0,480
0
7
0
0
+ 2,000
0
А
+ 0,423
+ 0,846
0
Дуга окружности (х + IJ + (у — IJ = 2 в точке 1 = 7 области zi образует
с действительной осью угол 45°, а в вершине 4 угол будет равен 360°= 2я. Так как
отображение Es в точке 1 = 7 удваивает углы, а в точке 4 уменьшает их величину
вдвое, то в области г% граница луночки в точках / и 7 будет ортогональна к дейст-
действительной оси хг, а в точке 4 угол будет равен 180° = я, т. е. точка 4 перестанет
быть точкой возврата и перейдет в обыкновенную точку границы области гг.
Заканчиваем пример 1 обычным путем, исчерпывая полученную луночку при
помощи последовательности отображений Еп илиЛл. Например, во втором шаге
можно спрямить угловую точку 7, проведя через точки 7 = А и 6 = В полуокруж-
полуокружность, ортогональную к действительной оси,т.е.воспользоваться частным случаем
я
отображения Лп при рп = -~- , которое осуществляется при помощи функции
Жуковского. Тогда, подставив в формулу A31) хд = 2,000; хв= 1,337;
ув = 0,349; Р = -— определяем параметры отображения
= R = 0,4234=
«0,423; гщ =
= 1,577; у = 2-
Все вычисления для второго шага, которые выполняются ана-
аналогично вычислениям, рассмотренным в примере 2 § 54, приведены
в табл. 18, а на рис. 90 представлена также область z3, в которой
угловая точка 7 уже перешла в обыкновенную точку границы
,области.
361
Во втором шаге можно получить лучший результат, если про-
провести через точки 5, 6, 7 полуэллипс и воспользоваться затем со-
соответствующим отображением Еп.
Продолжив процесс исчерпывания, читатель легко сможет окон-
окончить этот пример.
3 К
Рис. 91.
Пример 2. Отобразим на верхнюю полуплоскость £ полуплоскост
г = zi с разрезом по дуге окружности х2 + у2 = 4, представленную на рис. 91
В первом шаге, в отличие от примера 1, мы можем провести вспомогательны
прямолинейный вертикальный разрез только через вершину дуги 2. Воспользс
вавшись снова функцией Es при mi = 0; fli = 0; 6i = s = 2, отображаем исхо;
ную область z\ на полуплоскость с вырезанной луночкой гг, рассматривая кров*
основных точек /—6 также и вспомогательные точки Pi = Р4; Р2 = Рз; /; !•
Все вычисления, которые аналогичны вычислениям, выполненным в примере \
приведены в табл. 19. Дуга /—2—3, которая (как и в примере 1) состоит из точ<
362
двойной кратности, при отображении Es переходит в области г2 в криволинейную
луночку, представленную на рис. 91. В точках 1 и 3 контур этой луночки ортого-
ортогонален к действительной осн хг, так как разрез s не проходит через основание дуги
и, следовательно, точка 1 = 3 является регулярной точкой, отображающей функ-
функции Es, в которой углы сохраняют свое прежнее значение, а в области z\ дуга
/—2—3 ортогональна к действительной оси х\. В точке 2, в которой углы при отоб-
отображении Es уменьшаются вдвое, граница луночки пересекает о;ь хч, под углом
45°. Участок /—6—5 оси xi при отображении полуплоскости с разрезом zi при
помощи функции Es переходит в дважды проходимый разрез /—6—5 оси хг, за-
заштрихованный на рис. 91. Подчеркнем, что в примере 1, в котором прямолиней-
прямолинейный разрез s проходил не только через вершину, но и через основание криволиней:
ного разреза, граница луночки не содержала участков с точками двойной кратности.
Во втором шаге при помощи отображения Аг спрямляем угловую точку 3,
для которой Р = р2 = ~п ■ Параметры отображения определяем по формуле
A31), взяв в качестве точек А и В точки 3 и Р4- В результате имеем
хА = 2,828; хв = 1,732; ув = 1,000; аз = Я = 1,004;
пц = хА —а2 = 1,824.
В третьем шаге при помощи отображения Лз спрямляем угловую точку /
( для которой Р = Рз = г- I , проведя полуокружность через точку /, а ее
центр поместив в точке 6. Тогда параметры третьего шага будут
тз = хв=—4,088: а3 = R = | да — х* \ = 0,781; fc = ~ ; у = Уз="з •
Все вычисления для п = 2 и п = 3 приведены в табл. 19, причем, учитывая
интересующую нас точность, образы вспомогательных точек lull после второго
шага мы прекратили вычислять.
В четвертом шаге устраняем разрез 1—6—5, проведя через точки 1 = 5 и 6
дугу окружности ортогональной к действительной оси и воспользовавшись затем
отображением Ehs, параметры которого указаны в табл. 19. В результате получаем
область г5, граница которой есть всюду гладкая кривая. Продолжая процесс ис-
исчерпывания, читатель легко придет к области гп =з £, совпадающей с любой сте-
степенью точности с полуплоскостью £.
Пример 2 имеет точное решение, которое получим, воспользовавшись непо-
средственноотображением£Л5 при т = 0, к = s = 2. Для сравнения результатов
точные значения |т; т]т приведены в последних двух строках табл. 19, а также
изображены на рис. 91.
Рассмотренные примеры показывают насколько объем вычис-
вычислительной работы зависит от удачного или неудачного выбора пер-
первого шага. Поэтому в случае разреза произвольной формы, пред-
представленного на рис. 92, вспомогательный разрез необходимо про-
проводить в виде дуги окружности ортогональной к действительной
оси и проходящей через концы заданного разреза. Тогда, восполь-
воспользовавшись отображением EHS и выведенными для него рабочими
формулами A36) и A37), мы после первого же шага полностью
устраняем разрез и приходим к области 22 = х2 + /г/2 с вырезан-
вырезанной луночкой, характерные особенности которой изображены на
363
со
1
0
3
4
т.
Постоянные
величины
mi = 0
а,=0
6, = s = 2
m2 =+1,824
а| = 1,008
Р = 1" = 90°
*3 = *з — Л*»
m3= —4,088
а3 = 0,781
ft, = —0,5л
у = 0,6667
1 = 0,3201
4аау = °.52О7
2ау = 1,0414
iY = 0,3333
m4 = 0
ft = -0,521
s = +0,301
s2 = 0,0906
e = —5,751
«n~» лвгайние.
Область
Xl
Ух
xm
л* + у
Уг
x2
x$
Уз
*
*з
tg©
■&
cosyft
QV
0
t
x4
У*
j/z* + s*
г —l/
l+e( )
X6
Уа
1 ь 1
5
—2,000
0
—
—
—2,828
0
—4,652
—4,869
0
—0,781
0
—
-0,521
0
—
—
-1,119
0
—2,000
n
6 1
0
0
—
—2,000
0
—3,824
—4,088
0
0
1
0
я
—
—
1
0
0,301
—
—
0
0
—1,000
1 n
i !
2,000
0
—
—2,828
0
—4,652
—4,869
0
—0,781
0
—
—
—
—
—0,521
0
—
—
+0,081
0
—0,828
0^
Pi
1,000
1,732
1,7320
1,0001
3,0001
—1,732
—1,000
—3,556
—3,819
—0,926
0,269
0,5712
—4,521
4,930
3,287
-0,1449
-0,9894
0,8297
1,8209
-0,1202
+0,049
-0,038
—
—
—
—
z
p*
0,100
1,997
0,1997
0,0100
0,2099
-0,458
—0,436
—2,282
—2,708
—0,355
1,380
0,1011
—0,3904
—0,372
-0,248
—0,2455
+0,9694
0,4659
0,5484
—0,1144
1,299
—0,380
—
—
—
—
Точки
2
0
2,000
—
—
0
0
—1,824
—2,377
0
1,711
0,1393
0
—
—
—
0,5184
—
1,642
0
1,6694
—0,0274
1,1576
1,442
0
0
0
Ps
0,100
1,997
0,1997
0,0100
0,2099
0,458
0,436
—1,366
—2,036
0,222
2,052
0,2062
0,0950
0,095
0,063
0,0630
0,9980
0,5908
0,4104
0,0372
1,996
0,228
—
—
—
—
—
Pi
1,000
1,732
1,7320
1,0001
3,0001
1,732
1,000
-0,092
—0,184
0
3,904
0,4443
0
—
—
0,7631
—
3,875
0
—
—
—
—
z
*
3
2,000
0
—
—
2,828
0
1,004
2,008
0
6,096
0,5973
0
—
—
0,8422
6,079
0
6,0865
-0,0075
1,0431
5,835
0
4,828
0
Табл
I
0,500
1,936
0,9680
0,2500
1,2500
1,118
0,866
—0,706
—1,276
0,167
—
—
—
—
_
—
—
—
z
ица 19
II
1,500
1,323
1,9845
2,2498
5,2498
2,291
0,866
+0,467
+0,953
—0,036
—
—
—
—
—
—
—
—
—
рис. 92, т. е. мы приходим к задаче, рассмотренной в предыдущих
параграфах. При этом уг приписываем знак минус для точек, ле-
лежащих на левом берегу разреза, и знак плюс для точек, лежащих
на его правом берегу.
В отдельных случаях бывает целесообразно разрез устранять
по частям. Например в случае, представленном на рис. 93, восполь-
воспользовавшись в первом шаге отображением Es, мы участок /—2—5
точно отображаем на действительную ось лг2, и приходим к разрезу
2—3—4 более простому, чем был исходный разрез /—2—3—4—5.
Подведем теперь итог и наметим путь решения задачи при
помощи метода последовательных конформных отображений для
произвольной односвязной однолистной области Z. Граница об-
области Z может иметь конечное число разрезов и угловых точек.
В случае замкнутой области Z (рис. 94) всегда можно найти
три достаточно близкие точки А, В, С, через которые можно про-
провести соприкасающуюся окружность. Отобразив при помощи дроб-
дробно-линейной функции внутренность полученного круга на полу-
полуплоскость при условии, что образом точки В будет бесконечно уда-
удаленная точка, прийдем к исходной области z, к которой уже при-
применим метод последовательных конформных отображений. Полу-
Полученную границу области z при помощи отображений Еп и Л„ при-
приближаем с любой степенью точности к действительной оси, устра-
устраняя все разрезы и угловые точки, как было изложено в данном пара-
параграфе и в § 54. Процесс исчерпывания удобнее всего вести.начиная
с концов полученной луночки, сокращая в каждом шаге ее диаметр.
365
Полученная точность будет зависеть от числа рассмотренных точек
и от их расположения на границе области. Поэтому в случае необ-
необходимости надо вводить дополнительные вспомогательные точки с
таким расчетом, чтобы между каждыми двумя точками, определяю-
определяющими параметры данного шага,
лежала еще одна контрольная
точка, расстояние которой от
действительной оси будет ха-
характеризовать собою достигну-
достигнутую на данном участке точность.
Элементарные отображения
Еп, Л„, Ehs обладают тем свойст-
свойством, что точки действительной
оси области 2„ эти отображения
снова переводят в точки дейст-
действительной оси области 2„_|_1. По-
Поэтому точки, выведенные в п-ша-
ге на действительную ось, оста-
остаются на этой оси во всех по-
последующих шагах. Следователь-
I's | + s хг но, все вспомогательные точки,
Рис. 93. выведенные с принятой точнос-
точностью на действительную ось, в
дальнейшем процессе исчерпывания можно не рассматривать, что
уменьшает объем вычислительной работы. Эти вспомогательные
точки вводились лишь .
для того, чтобы опреде-
определить параметры необхо-
необходимых элементарных ото-
отображений.
В случае незамкну-
незамкнутых областей также лег-
легко найти элементарную
функцию, которая бы
отображала заданную об-
область Z на исходную об-
область г.
Таким образом, при
помощи метода последо- Рис. 94.
вательных конформных
отображений можно отобразить любую односвязную однолист-
однолистную область на полуплоскость и достигнуть при этом любой сте-
степени точности. Однако объем вычислений при этом может быть
настолько значительным, что этот путь окажется не достаточно
эффективным. Поэтому мы в § 59—63 рассмотрим еще метод триго-
тригонометрической интерполяции, который во многих случаях приводит
к цели быстрее. В более сложных задачах наиболее эффективным
366
сн
в
A
1
®
_f _Д
•f "
оказывается сочетание метода последовательных конформных ото-
отображений с методом тригонометрической интерполяции.
В заключение отметим, что на базе метода последовательных
конформных отображений можно также строить очень простые спо-
способы решения некоторых технических задач, на чем мы остановимся
в § 56.
Кроме того, при помощи метода последовательных конформ-
конформных отображений можно эффективно аппроксимировать в комплекс-
комплексной области некоторые тран-
трансцендентные функции. Так
как последний вопрос выхо-
выходит за рамки данной работы
и в дальнейшем послужит те-
темой самостоятельного иссле-
исследования, то мы ограничимся
здесь самыми краткими заме-
замечаниями.
Легко непосредственно про-
проверить, пользуясь интегралом
Кристоффеля — Шварца, что
при помощи эллиптических
интегралов первого и третье-
третьего рода можно точно отобра-
зить верхнюю полуплоскость
на область w, представлен-
представленную на рис. 95.
Но область w можно ото-
отобразить на полуплоскость и
при помощи метода последо-
последовательных отображений. Дей-
Действительно, в первом шаге
при помощи функции
z — sin nw = sin я (и -f iv) = sin nu ch nv -f г cos nu sh nv C.143)
мы отобразим полуполосу w на верхнюю полуплоскость г. Раз-
Разделив в A43) действительные и мнимые части, получим
х = sin ли ch nv,
CM В' A
-1
f
6
*1
Я
©
X
Рис. 95.
откуда
у = cos nu sh nv,
= sin2 ям -f соэ2яы = 1.
C. 144)
Следовательно, отрезок DB в области w, для которого v = const,
в области z согласно A44) перейдет в полуэллипс с осями a=chnv,
b = sh nv. При этом прямолинейный разрез DEF перейдет в об-
367
ласти z в разрез по дуге эллипса, ортогонального к действительной
оси х. Проведя в области z через точки D=F и Е дугу окружности,
ортогональную к действительной оси, и воспользовавшись функцией
Ehs, мы во втором шаге отобразим область z на полуплоскость £
с высокой степенью точности, которую при необходимости легко
повысить в последующих шагах. Объединяя полученные резуль-
результаты мы можем выразить приближенно эллиптический интеграл
третьего рода через эллиптический интеграл первого рода и эле-
элементарные функции. Полученная приближенная формула верна во
всей комплексной плоскости и будет тем точнее, чем рассматри-
рассматриваемая точка более удалена от разреза DEF.
Аналогичным путем нами было получено следующее разложе-
разложение для эллиптического синуса:
Y sin у
sn(z; k) = -г , C.145)
1 4- с\ sin2 f- c2 sin4 \-са sin6 f- .. .
Y Y Y
где
яК'
У = Щг = A + 2д+2д* + 2д» + ...Г; q = e К,
ci = + -[[Y2(l + й2)- 1] = (у- 1)
- ci D + 7ci)] = - 16 (q3
сз = + 4" \cl + c* D + 3ci)l = + 64 (?5 + 7q7 + 27q» +...);
*=—& Iе* + <4ci — 3c2) c2 — A2 + 10ci) c3] =
= — 256 (q" + 9q9 + ...).
Коэффициенты сп с ростом п очень быстро убывают и поэтому фор;
мула A45), которая верна и при комплексных значениях z, очен!
удобна для вычисления sn (z; &).
./■о" _ ■'
Например, при k = -s— , для которого /С = К'; q — е~п й
= 0,043213918 ..., имеем (с восьмю десятичными знаками):
Y = + 1,1803 4060, d = +0,1816 3432
с2 = — 0,0013 0342
с3 = + 0,0000 0977 с4 = — 0,0000 0008.
368
Тогда (ограничиваясь шестью десятичными знаками) скажем, для
г = 0,82, получаем— = 0,694715; sin— = 0,640166 и согласно
формуле A45)
SO @,82; V075) = i + 0,074436-S19 + О.ОООШ = °'703408-
Пятизначные таблицы [167] дают sn @,82; У~0Ж) = 0,70341, так
что все вычисленные нами знаки (кроме, быть может, шестого)
верные.
При меньших значениях k коэффициенты с„ будут убывать еще
быстрее, так что во многих случаях для получения результата с
4—5 десятичными знаками в формуле A45) достаточно сохранить
в знаменателе только два первых члена: 1 + a sin2 —.
Интересные результаты по вопросам приближения функций
в комплексной области читатель найдет в работе В. К. Дзядыка
[50], в которой приведена также и дальнейшая библиография.
Метод последовательных конформных отображений был с успе-
успехом применен П. А. Рудченко [202] и Ф. П. Яремчуком [331] для
решения задачи фильтрации из канала или русла произвольного
сечения при произвольной линии дренирующего слоя.
П. Д. Карпенко [76] построил элементарную функцию, анало-
аналогичную Л„ для непосредственного отображения на единичный круг,
и применил затем метод последовательных отображений к решению
задачи полного обтекания аэродинамического профиля произволь-
произвольной формы потоком несжимаемой жидкости.
А. Л. Кудрявцев [108] применил этот метод к отображению двух-
двухсвязных областей.
Краткое изложение метода последовательных отображений для
непосредственного отображения заданной области на круг приве-
приведено в книге В. Коппенфельса и Ф. Штальмана [354, § 16. 1,
стр. 181—184]. Более подробно этот вопрос изложен в статьях
Р. Альбрехта [332], Ю. Комату [353]; И. Хайнгольда и Р. Аль-
Альбрехта [347]. В статье [353] метод обобщен на случай отображения
двухсвязных областей.
§ 56. ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ФИЛЬТРАЦИИ ПОД ГИДРОТЕХНИЧЕСКИМИ СООРУЖЕНИЯМИ.
ДРЕНИРОВАННЫЕ ФЛЮТБЕТЫ
Как мы уже отмечали, метод последовательных конформных
отображений позволяет строить эффективные приближенные ме-
методы для решения некоторых технических задач. В качестве одной
из них рассмотрим задачу фильтрации под гидротехническими со-
сооружениями.
24 п. Ф. Фильчаков 369
Теория фильтрации под гидротехническими сооружениями была
разработана еще в 1918—1920 гг. Н. Н. Павловским [171] и сведена
к решению смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа при;
следующих граничных условиях1 (рис. 96): вдоль лучей D — Д$
и В — С потенциальная функция ср = q>i = const и ср = ср2 =
=const (причем без ограничения общности можно принять фх = 1^
ф2 = 0); вдоль подземного контура гидротехнического сооружения
и вдоль линии водоупора ~- = 0. Если глубина водопроницаемого
грунта Т превышает в 1—2 раза длину подземного контура L, то
такую глубину можно считать как бесконечно большую, т. е. ц
этом случае можно принимать, что Т = со. ;
Ь(-офУу /.•■/•//:/
'1 '""'
'У
—=0
'S/S/SS/
'//Л В
9
SSSS/SSSS*
Рис. 96.
В принципе решение поставленной задачи сводится к построе
нию функции, отображающей область движения грунтовых вся
z = х + iy на полуплоскость £ = § + гт|, что можно осущв|
ствить при помощи интеграла Кристоффеля — Шварца. Однаю|
при точном гидродинамическом решении задачи возникают большее
вычислительные трудности и в настоящее время самым сложны)
подземным контуром, для которого имеется точное решение, являй!
ся контур (флютбет) с двумя шпунтами неравной длины при Т ^ d
[283; т. 1; § 63—64]. *
Поэтому наряду с развитием точных методов в теории фильтра
ции большое внимание уделялось также развитию различнь|
приближенных методов, тем более, что исходные данные (коэффй
циент фильтрации грунта, форма линии водоупора и т. д.) всег|
известны только с ограниченной степенью точности. -?j
Наиболее эффективным из приближенных методов, как
было отмечено в § 51, оказался метод последовательного отобрая
ния шпунтов и разработанный на его основе метод последоват
ных конформных отображений.
Применение этого метода к задаче фильтрации под гидротехв
ческими сооружениями позволило решить ее для однородного и;
1 В теории фильтрации обычно применяется левая система координат и 1
данном параграфе будем следовать этой традиции.
370
зотропного грунта в самом общем виде, а именно, для флютбета
произвольного профиля при произвольной форме линии водрупора.
В качестве первого приближения был разработан графоаналити-
графоаналитический метод, позволяющий решать эти задачи при помощи цир-
циркуля, линейки и трех номограмм с достаточной для практики точ-
точностью, что было подтверждено сравнением 6 наиболее распростра-
распространенных инженерных методов, тщательно выполненным Б. П. Руп-
лисом [203].
Однако необходимо подчеркнуть, что рассматриваемые нами
задачи относятся к числу простейших задач теории фильтрации.
Решение же более сложного класса задач, таких как фильтрация
через земляные плотины, фильтрация в двухслойной среде и т. д.,
требуют более сложного математического аппарата, который был
успешно разработан П. Я. Полубариновой-Кочиной [187].
Решение поставленной задачи начнем с одношпунтового флют-
флютбета г = х + iy (рис. 97) при бесконечной глубине водопроницае-
водопроницаемого грунта Т = со. Пользуясь методом Павловского, одношпунто-
вый флютбет легко преобразовать в эквивалентный плоский флют-
флютбет £ = 5 + гг|, для которого решение уже не представляет затруд-
затруднений. Функция, осуществляющая это отображение, была построена
Н. Н. Павловским [171] и ей, пользуясь интегралом Кристоффеля—
Шварца, легко придать следующий вид:
£ = Vs2 + z2; sign g = sign x, C. 146)
где s — длина шпунта. Заметим, что функция A46) совпадает с рас-
рассмотренной в § 51 функцией Es.
В частности, для точек действительной оси z = х, имеем
C.147)
и для точек г — iy, расположенных на шпунте у ^ s,
С = S = У^^¥- C. 148)
Пользуясь формулами A47), A48), контур одношпунтового флют-
флютбета легко отобразить графически на контур эквивалентного плос-
плоского флютбета (рис. 97).
Для этого проведем через точку 6 (х = 0; у = s) ось g параллель-
параллельно оси х. Согласно формуле A47), численное значение g для про-
произвольной точки z = х найдем как гипотенузу треугольника,
катеты которого равны s и х. Например, для точки 10 (х = Ь)
соответствующую величину § находим непосредственно на рис. 97,
измерив циркулем расстояние между точками 6 и 10. Найденное
значение, не изменяя раствора циркуля, переносим на ось g, как
показано на рис. 97 пунктиром. В дальнейшем будем для краткости
говорить, что мы отобразили точку 10 радиусом F—10) из центра
24* 371
6. Для того чтобы отображение было однозначным, величине £;
приписываем тот же знак, какой имеет величина х, т. е. значений
g откладываем вправо от нулевой точки 6 если х положительно, и
влево — если х отрицательно, как и отмечено в формуле A47).
Аналогичным путем строим образы остальных интересующих
нас точек z — х. В частности, образами точек 8 и 4 (основание,
шпунта) будут точки |8 = + s; |4 = — s.
с-13м
ь=9м
~Х-Ь=3м
\JTJTJT\TJT\
+.W £
Рис. 97.
Значение § для любой точки z = iy, расположенной на шпунте;
найдем согласно формуле A48) как катет треугольника, гипотенуз^
и второй катет которого соответственно равны say.
Отображение в этом случае осуществляется следующим путей
При помощи циркуля радиусом R — s из заданной точки z = iy
как из центра, делаем засечку на оси х, в результате чего и пол^1
чим искомую величину §, которую проектируем затем на ось I
Величину § откладываем в положительном направлении, есд!
точка iy лежит на правой грани шпунта, и в отрицательном, есЛ
она лежит на его левой грани. Таким путем на рис. 97 nocrpoetij
образы точек 5 и 7. -ц
Для завершения решения задачи остается перейти от плоско^
флютбета £ = |, к которому мы привели одношпунтовый флютбе!
372
к стандартному плоскому флютбету £* = |* с концами в точках
Этот переход осуществляется линейным преобразованием
Б* = Х^-Ь)-1. C-149)
где Л= |10— |i есть полная длина эквивалентного плоского флют-
бета;
?i и |10 — образы начальной и конечной точек исходного одно-
шпунтового флютбета.
Преобразование A49) можно также осуществить графически при
помощи центрального проектирования, как показано на рис. 97.
По найденному |* определяем приведенный фильтрационный
напор
h= -^-arccosg*, C.150)
который необходимо знать для расчета устойчивости гидротехни-
гидротехнического сооружения. Результаты приведены в табл. 20. Анало-
Аналогичным путем определяем и все остальные интересующие проек-
проектировщиков величины: скорость фильтрации вдоль дна нижнего
бьефа и фильтрационный расход [283; т. 2, § 82], на чем мы оста-
останавливаться здесь не будем.
При отображении многошпунтовых флютбетов каждый из шпун-
шпунтов в первом приближении отображаем независимо один от дру-
другого, пренебрегая их взаимным влиянием. Для этого надо только
при помощи точек А\, Аг, ..., Ап—\, делящих горизонтальные
участки флютбета между двумя соседними шпунтами пропорцио-
пропорционально их длинам, разбить многошпунтовый флютбет на п одно-
шпунтовых. В результате приходим к n-кратному повторению рас-
рассмотренной выше задачи.
Пример 1. Рассмотрим двухшпунтовый несимметричный заглубленный
флютбет, для которого имеется точное решение (рис. 98).
Двухшпунтовый флютбет (я = 2) разобьем точкой А = Ai на два одношпун-
товых. Чтобы построить точку А, откладываем от точки 5 вертикально вверх от-
отрезок, равный длине шпунта S2, и соединяем полученную точку 6* с точкой 3.
Одношпунтовый флютбет /—2—<?—4—А отображаем при помощи функции A46)
непосредственно на ось £, рассматривая участок /—2—3 как левую половину сим-
симметричного одношпунтового флютбета со шпунтом s = h -Ф- а, а участок 3—4—А
как правую половину симметричного одношпунтового флютбета со шпунтом
s = si. Для второго одношпунтового флютбета А—5—6—7 центром отображения
будет вершина 6 шпунта s%. Поэтому прежде всего строим ее образ, снеся точку
6* радиусом.?—6* из центра 3. Действительно, отрезок 3—6* равен длине ломаной
3—А—6, и, следовательно, образ конечной точки А первого одношпунтового
флютбета 1—2—3—4—А совпадает при таком построении с образом начальной
точки второго одношпунтового флютбета А—5—6—7, что обеспечивает непрерыв-
непрерывность отображения.
Образ центра отображения 6 на оси | будем называть опорной
точкой 6. Образы остальных точек флютбета А—5—6—7—(+ »)
строим, измерив циркулем расстояние данной точки от вершины 6
373
И"
к
ч
о
о
ОО
оз
ю
СО
сч
S
а.
Точ
о о
ОО
о о о
о— о
4,5
0,736
0,237
о о"
сооо
Отг СО
Ю ОО
озо0-
ооо
•»* ^3" oO
1О СЧ 1О
соо"о
• 1
«о
о сооз
о" о
со оз
— со
ю ^3" сг>
с
)О О
,0
,721
,756
а
ТОО
gg
ooo
о
сч
те
к
ч
те
-
оз
ю
со
сч
|
чки
8
0,761
о
248
о
009
о
310
о
566
,000
1
g
о
0,225
in
о
сч
о
420
о
497
о
600
о
692
о
000
о
о
о
о
0,217
сч
о
416
о
499
о
599
о
692
о
,000
ОО
ОО
о
—0,0
-3,7
8^с
о —
1 1
So
IT
сч
о
о ■*
ОО
о
о сч
11
о о
о"о"
ОО
-с
•о"
S
ч
о
ОО
г-
оз
ю
ОД
со
Точ
о
о
io
+
о
о
о
о
Со
о
сч
оз
о
1О
1
a
сч
1
+
lO
1
о_
7
о
о
о
ю
ОО
о
ОО
о
г—
о
414
о
122
о
166
1
351
о
708
о
1
ОО
о
1
о
о
о
1
с
м/
о
о
о
о
о
со
о
364
о
461
о
553
о
614
о
750
о
оз
^t
ОО
о
000
000
о
оз
о
СО
сч-
о
356
о
460
о
551
о
1
750
о
£,
ОО
о
000
ОО
а>
о сч
о
ОО
Г\
ОО
о сч
осч
осч
о" о*
1 1
сч
?°
1 1
So,
ОО
я
о. р.
о о,
о о
■ *«;
374
шпунта s2 и отложив на оси | это расстояние в соответствующем
направлении от опорной точки 6. На рис. 98 показано построение
образа точки 7, а также все необходимые построения при-решении
данного примера.
Напор, являющийся основной характеристикой фильтрацион-
фильтрационного потока, в случае многошпунтовых флютбетов определяется по
той же формуле A50).
В табл. 21 сопоставлены приближенные значения /гпр, опреде-
определенные по излагаемой методике, с результатами точного решения
Рис. 98.
/гточн, а также даны абсолютная и относительная погрешности
е — /г-точн — "пр, о —
100% при следующих исходных дан-
ных:
с = 3; Ъ = 2; si = 0,75; s2 = 0,50; h = h = 0,25;
*в = —1,5; Т=оо.
Графоаналитический метод, как показали проведенные иссле-
исследования, дает вполне удовлетворительные результаты при выполне-
выполнении условия
Ъ > si + s2, C. 151)
которое на практике в большинстве случаев осуществляется.
Функция, отображающая область двухшпунтового флютбета z
на полуплоскость С = I + Щ, имеет следующий вид [283; т. 1, § 63]:
z = AL \Cu (ft) — 8 (и; А) + ОП (и; а) +
C. 152)
375
где
sn2
<6.-6*)<5-ЬЗ'
^2 «5-6*) №т-6»)
ЪК'
nAL
- U)
= — ^- №'
Здесь, как обычно, и (k), § (и; k), П (и; а) суть эллиптические
интегралы первого, второго и третьего рода, а К, К', Е, Е' —
полные эллиптические интегралы первого и второго рода.
Данные формулы получены при нормировке
?2=— 1, Бт = + 1. £|2=оо = °°. C.153)
При такой нормировке определение констант отображения |з, |4, gi,
|в сводится к решению относительно |4, |s системы двух трансцен-
трансцендентных уравнений:
51
sin—^— sh
m=l
sin —j>— sh —j7—
где
<-п2 Л, . Л'\ _
sn (|ilf A)-
. 2 /.. • Ъ'\ _
С* = С + D
Ff" (ЗЛ55)
— 2p = g, + gc — LD-, — 2? = 1 — g*(g, — LD)—CL*
376
После того как найдены |3, |4, is, ie из уравнения A52) опре-
определяем образы точек 1 я В.
Отметим, что точное решение для двухшпунтового флютбета
(при вычислениях на обычных счетных машинах) требует нескольких
десятков часов, а приближенное выполняется за 10—12 мин. При
этом все графические построения удобно выполнять на миллимет-
миллиметровой бумаге, в таком масштабе, чтобы на оси ?* единица изобра-
изображалась отрезком длиною 100 мм.
Решение более сложных флютбетов выполняется аналогично.
Пример 2. Рассмотрим трехшпунтовый незаглубленный флютбет, пред-
представленный на рис. 99. На этом же рис. 99 выполнены все построения, необходимые
Рис. 99.
для фильтрационного расчета данного флютбета, а в табл. 22 сопоставлены приб-
приближенные значения напора hnp с результатами Лточн> полученными с тремя знача-
значащими цифрами по методу последовательных конформных отображений [283;
т. 2, гл. III].
Для дальнейших обобщений графоаналитического метода необ-
необходимо несколько подробнее рассмотреть отображение A46).
Возведя обе части A46) в квадрат и разделяя действительные и
мнимые части, имеем
Выполнив теперь несложные преобразования, получаем расчет-
расчетные формулы для осуществления отображения A46) в случае произ-
произвольного комплексного значения z = х + iy:
I2 = *2
C. 156)
377
Из первой формулы A56), принадлежащей к формулам итера-
итерационного типа, также следует, что при 0 =£ у <; со будет иметь
место неравенство
х г£ I ^ ]/х2 + s2.
На рис. 100 выполнено отображение координатной сетки х =
=const, у = const при помощи формул A56). Как видим, отображе-
отображение Es носит ярко выраженный локальный характер и деформа-
деформация области z быстро затухает по мере удаления от шпунта s.
Анализ рис. 100 показывает, что в случае графоаналитического
метода, отображая каждый из шпунтов независимо один от дру-
другого, мы пренебрегаем небольшим
искривлением этих шпунтов, их сдви-
сдвигом и уменьшением длины шпунтов.
Так как два последних фактора ока-
оказывают на окончательный результат
в известной мере противоположное
влияние, то этим и объясняется высо-
высокая точность графоаналитического ме*
тода, основанного на столь грубых»
допущениях.
Далее, из рис. 100 следует, что;
линия водоупора, даже если она|
залегает на глубине 2s, сравнительно!
мало деформируется при отображений!
A46) и ее можно заменить надле-|
жащим образом выбранной прямой!
Учтя, что небольшие изменения глуби!
ны Т мало влияют на распределение напора вдоль контура флютбе*
та и на. распределение расходов вдоль линии нижнего бьефа, мы
теперь можем легко обобщить графоаналитический метод на слу|
чай конечной глубины водопроницаемого грунта (Т < со). |
При Т < со контур флютбета приводим к плоскому флютбетя
точно так же, как и в случае Т = со.
Отличие заключается лишь в том, что при Т < оо фл
приводим к стандартному плоскому флютбету при глубине водоп
ницаемого слоя Г*, величина которой определяется по форму
0
i
s
ш
р
г.г
—— "■—,
\
Рис. 100.
т* =
2Л
C.157
где Т — глубина водопроницаемого грунта для исходного фл!0|
бета, |
sm — длина максимального вертикального участка, ,
Л — полная длина эквивалентного плоского флютбета. i
378 'i
Формула A57) дает вполне удовлетворительные результаты при
условии
T>2sm. ' C.158)
При меньших значениях Т целесообразнее водопроницаемый
грунт полностью перерезать шпунтовой стенкой, так что на прак-
практике условие A58) обычно всегда выполняется.
Отобразив заданный флютбет на плоский при Т < оо, опреде-
определяем приведенный напор и полный фильтрационный расход Q (ко-
(который при Т = оо имеет значение Q = оо) по формулам:
где
& = th—.; sina = -j-th^
2Г k it
Для облегчения вычислений по формулам A50) и A59) нами
построены номограммы, обеспечивающие точность в три значащие
цифры [283; Приложение I].
Аналогичным путем определяются и остальные фильтрацион-
фильтрационные характеристики.
Пример 3. Рассмотрим наиболее общий тип двухшпунтового флютбета
при различных отметках дна нижнего и верхнего бьефов (см. рис. 98):
с = 0; 6 = 2; ^ = 0,25; Si = 0,75; t2 = 0,20; s2 = 0,50
при Т = оо и при Т = 2.
Выполнив построения, совершенно аналогичные приведенным на рис. 98,
находим приближенные значения £^р для всех характерных точек флютбета и для
точки В, расположенной правее точки 4 нарасстоянии 0,5й. По найденным |пр сог-
согласно формуле A50) определяем h при Т = оо. По этим же значениям |пр, учтя
что в данном примере Л = |7 = 4,06; sm= h ■$■ а= 1; Т = 2 и, следовательно,
Т* = 0,92, находим /гпр при Т= 2 по формуле A59) или по номограмме 2 [283;
Приложение I].
В табл. 23 сопоставлены приближенные значения Лпр с данными
точного гидродинамического решения Лто™ и указаны абсолютные
и относительные погрешности.
Далее, по найденному графоаналитическим путем Т* = 0,92 по
формуле A59) или номограмме 1 [283] определяем приведенное
значение полного фильтрационного расхода
Qnp = 0,327.
Точное значение
фгочн — 0,321
379
и, следовательно, для полного расхода будем иметь
е=—0,006; б = — 1,9%.
Рассмотрим теперь фильтрационный расчет дренированных флют-
бетов, которые в настоящее время чаще всего встречаются в гидро-
гидротехнической практике.
Для обычного, недренированного плоского флютбета при Т = оо
линии тока суть эллипсы, фокусы которых находятся в концах
Рис. 101.
флютбета [171; 187]. Поскольку гидродинамическая сетка дви-
движения грунтовых вод не изменится, если линию тока заменить
твердой стенкой, то задача фильтрации для дренированного флют-'
бета будет сведена к аналогичной задаче для обычного флютбета,!
если область z* конформно отобразить на область £* с разрезом ЛВС,:
имеющим форму линии тока (рис. 101 ,а). Точное решение этой зада*]
чи требует использования эллиптических интегралов первого и>
третьего рода. Однако мы можем получить предельно простое;
приближенное решение, если эллиптический разрез заменим!
вертикальным прямолинейным разрезом, проведенным через сред-:
нюю точку участка ABC и равную половине его длины (рис. 101,6).';
В таком случае (если оси у и ц направить вдоль разреза) отобра-'
жение будет осуществляться функцией
C.160)
= ]/г2 — /2, sign? = sign*
380
J
Точки
=пр
ftnp
точн
8
б, %
*пр
"точн
8
б, %
1=2
-1,000
1,000
1,000
0
0
1,000
1,000
0
0
3
—0,507
0,669
0,673
0,004
0,5
0,690
0,696
0,006
0,9
4
-0,138
0,544
0,539
—0,005
-0,9
0,551
0,544
—0,007
-1,3
В
—0,062
0,520
—
—
—
0,523
—
—
—
5
0,409
0,366
0,363
—0,003
—0,8
0,348
0,341
—0,007
-2,0
6
0,655
■ 0,273
0,265
—0,008
-3,0
0,249
0,237
—0,012
—4,8
Таб
7
1,000
0
0
0
0
0
0
0
0
лица 23
Примечание
Г = оо
Г = 2
Точки
г*
г.
"точн
"точн
8
б,%
£= 1
-1,00
—1
1
1
1
1
0
0
2
-0,75
-0,7534
0,7716
0,7716
0,787
0,789
0,002
0,3
3
—0,50
—0,5063
0,6690
0,6689
0,692
0,695
0,003
0,4
4
—0,25
-0,2586
0,5832
0,5832
0,612
0,616
0,004
0,6
5
0
-0,0101
0,5032
0,5032
0,537
0,543
0,006
1,1
6
0,25
0,2394
0,4230
0,4231
0,463
0,469
0,006
1,3
q
0,50
0,4904
0,3369
0,3369
0,381
0,389
0,008
2,1
8
0,75
0,7436
0,2331
0,2332
0,279
0,288
0,009
3,1
Т а б л i
9=G
1,00
+ 1
0
0
0
0
0
0
та 24
1
Пример
4
5
и его легко осуществить при помощи циркуля. На рис. 101,6 пока-
показано построение образа точки G. Остальные точки строятся ана-
логично. Перейдя затем при помощи центрального проектирования
к стандартному плоскому флютбету £* = |* + щ* с концами в точ-
точках ± 1, завершаем решение задачи.
Для иллюстрации получаемой точности, рассмотрим два приме-
примера, имеющих точное гидродинамическое решение [284; I].
Пример 4. Заданные величины: гЕ= — 1; z*Q= -f- 1; гА = а = 2; гс=
= Y = 3.
В табл. 24 сопоставлены приближенные значения приведенного напора hn
с точными значениями /гточн для точек, расположенных на основном участке флют-
бета Е — G.
Так как в данном примере результаты совпали в четвертом десятичном знаке,
то для обеспечения такой точности значения,; £*=£* определялись не графически,
а по формуле, эквивалентной указанным выше графическим построениям
t>
s = V(a - 1) (Y — 1) ■ C. 161)
По найденным £пр по формуле A50) определялось h . Аналогичным путем
определялись и все остальные фильтрационные характеристики потока, что под-
подробно изложено в статье [284; II]. В частности, приведенный напор в точке бифур-
бифуркации В грунтового потока hB= 0,0703 и приведенный расход через дренажное
отверстие G — A: qnp = 0,482.
Точное значение этих величин будет соответственно
hB = 0,0709; <7Т0ЧН= 0,486.
Пример 5. Заданные величины: гЕ = — 1; z*G= + 1; а =1,1; у = 3.
Пример 5 отличается от примера 4 только тем, что в нем размеры дренажного
отверстия G — А сокращены до 0,1 первоначального значения. Результаты для
тех же точек г* приведены в табл. 24.
Легко показать, что погрешность данного метода монотонно4
уменьшается с увеличением размера дренажного отверстия G — А ;
и уменьшением длины участка А —С = 21. Поэтому для всех;
плоских флютбетов с большим G — Ли меньшим Л — С, чем в.;
примере 5, результаты будут еще точнее, а точность, полученная!
в примере 5, вполне достаточна для фильтрационных расчетов.
Действительно, погрешность в = ± 0,010 в определении h при;
действующем напоре (т. е. разности уровней верхнего и нижнего]
бьефов) Н = 10 м сравнима с погрешностью, вызываемой волной^
высотою 10 еж в нижнем бьефе, поверхность которого в теорий!
фильтрации считают горизонтальной. \
При Г<оо, аналогично изложенному выше, данный дренирован-,
ный флютбет приводим к плоскому недренированному tj
382
при конечной глубине водопроницаемого грунта Т*. Расчеты в бо-
более сложных случаях выполняются в два этапа: данный дренирован-
дренированный флютбет произвольного практического профиля при" помощи
графоаналитического метода приводится к плоскому дренирован-
дренированному флютбету, который затем решается по изложенной методике.
На рис. 102 выполнены все построения, необходимые для фильт-
фильтрационного расчета одного из вариантов флютбета Каховской ГЭС.
7ГВЬ
F.1,',2 31
Г 2' 3\
Рис. 102.
При этом данный флютбет практического профиля предварительно
надо привести к схематизированному одношпунтовому флютбету.
Для этого соединяем точки 8—// прямой линией и переносим
на нее точку 9 радиусом, равным отрезку 8—9, из центра 8, а также
точку 10 радиусом 11—10 из центра //. Далее продолжаем новую
подошву флютбета за точку 12 и сносим на нее точку 13 радиусом /,
равным длине отрезка 12—13. Сама точка 12 при этом претерпевает
сдвиг на величину А ~ 0,36 t, что вытекает из анализа отображения
бесшпунтового перепада на полуплоскость.
Схематизация участка /—2--3—4 выполняется аналогично.
Чтобы определить h во внутренних точках области плоского
флютбета С* = I* + Щ*, в частности, для точек, расположенных
на разрезе А* —В*—С*, через заданную точку проводим линию
h = const, которая при Т = оо есть гипербола с фокусами в точ-
точках ± 1. Найдя вершину £о этой гиперболы по формуле A50),
определяем А. В табл. 25 полученные результаты /гпр сопоставлены
383
Точки
С*
ч
лэм 1
е
б, % 1
£= 1
—1,000
1,000
1,000
0
0
2
—0,965
0,916
0,924
0,008
0,9
3
—0,710
0,751
0,746
—0,005
—0,7
4
—ОД 22
0,539
0,535
—0,004
—0,7
5
0,268
0,414
0,430
0,016
3,7
6
0,496
0,335
0,345
0,010
2,9
с результатами электромоделирования Лэм (среднее арифметическое
из четырех экспериментов), выполненного в 1951 г. [284; II].
Графоаналитический метод позволяет также рассчитывать флют-
беты с п дренажными отверстиями. Точное решение в этом случае
может быть получено при помощи известной формулы Келдыша —,
Седова [91].
Более подробно все рассмотренные нами вопросы изложены
в работах [282], [283, т. 2, гл. IV], [284], включая и случай двух-
двухслойной среды.
В работе [283] также рассмотрен вопрос оценки погрешности
графоаналитического метода и установлена область его приме-
применения.
В данном параграфе мы ограничились задачами фильтрации и
показали, что пользуясь только одним единственным элементарным
отображением Es, можно с вполне достаточной для практики точ-
точностью отображать области, имеющие довольно сложные границы4
с большим числом угловых точек и разрезов. Эти результаты были
достигнуты благодаря тому, что функция Es точно отображала
каждую из особенностей границы области, а взаимное влияние
изолированных особенностей было незначительным. Точные мето-
методы, примененные к таким областям, привели бы к очень сложным
решениям, доведение которых до числа, даже при использовании
электронных цифровых вычислительных машин, представляло бы
большие трудности.
Эти же приемы, особенно прием «растворения в потоке обтекае-
обтекаемой границы», которая для этого предварительно трансформируется
в одну из линий тока, могут с успехом быть применены и для реше*.:
ния других технических задач. Однако рамки данной работы вы-
вынуждают нас закончить на этом изложение вопросов, связанных
с методом последовательных конформных отображений и перейти*
к определению констант интеграла Кристоффеля — Шварца, так
как этот вопрос в § 41—42 остался открытым.
384
Таблица 25
7
0,716
—
0,246
0,256
0,010
3,9
8
0,853
—
0,175
0,173
—0,002
—1,2
9 = С
+1,000
—
0,000
0,000
0
0
А= 10
1,814
1
0
0
0
0
11
1а +0,238*
0,9880
0,049
0,048
—0,001
—2,1
12 •
&+0,155*
0,9948
0,033
0,035
0,002
5,7
13=G
1,814
1
0
0
0
0
н
§ 57. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНСТАНТ
ИНТЕГРАЛА КРИСТОФФЕЛЯ — ШВАРЦА
ПРИ ПОМОЩИ ОБОБЩЕННЫХ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
Проблема констант интеграла Кристоффеля — Шварца была
поставлена более 90 лет тому назад в известных работах Э. Кристоф-
Кристоффеля [340] и Г. Шварца [367]. Однако до настоящего времени не
существует достаточно общего и простого метода определения
этих констант. Наиболее просто вопрос решается в тех случаях,
когда формулу Кристоффеля—Шварца можно проинтегрировать
в явном виде. Ряд интересных примеров подобных решений при-
приведен М. А. Лаврентьевым [126];
[134].
С. Бергман предложил два спо-
способа определения этих констант
для многоугольников, имеющих
углы -к- я и-£ я, и в качестве конкрет-
конкретных примеров рассмотрел четырех-
четырехугольник и симметричный шести-
шестиугольник [333—334]. Наиболее об-
обстоятельно вопрос определения
констант Кристоффеля — Шварца
рассмотрел Н. П. Стенин [38],
применивший для этого метод Нью-
Ньютона — Фурье в сочетании с ме-
методом вычисления несобственных
интегралов Л. В. Канторовича
[73]. П. П. Куфареву принадле-
принадлежит метод, основанный на исполь-
использовании дифференциального уравнения Левнера [113]. Приближен-
Приближенный метод, дающий в отдельных частных случаях хорошие резуль-
результаты, был предложен И. С. Хара [299]. Случай произвольного четы-
2
1
1 ?=
3
Рз
• ъ*ч
4
**♦
1
Ml
H
I
Рис. 103.
25 п, Ф. Фильчаков
385
рехугольника рассмотрен В. Копенфельсом и Ф. Штальманом
[354], причем авторы для этой цели воспользовались гипергеометри-
гипергеометрическими рядами. В данном параграфе для определения констант
Кристоффеля — Шварца применяются степенные ряды [2861, что
позволяет существенно упростить все вычисления. Полученные фор-
формулы также легко программируются на быстродействующих элект-
электронных машинах.
Произвольный односвязный (|л + 1) -угольник г при нор-
нормировке, указанной на рис. 103, отображается на полуплос-
полуплоскость £ при помощи интеграла Кристоффеля — Шварца (см.
§ 41)
г = dAc~1 A -£Г~' -.. A -Klf^dt + D2, C.162)
константы которого k3, kiy ..., k^, Di, D2 надо предварительно
определить.
Для вычисления необходимых в дальнейшем несобственных
интегралов /£ служит формула, которую получим, разлагая каж-
каждую скобку подынтегрального выражения в биномиальный ряд
i/kj
. 1_
smnp,-_i v p ^ h(l-l) &{m) , h-Vj-Sf
= sin яр ' 2- 4-+"Av/' + «/
m=0 m=0
где '
«=1,2,3,...; / = i+l; Pi = ад Р„ = P«_i+ ая —1; C. 164)}
-^ j , a0 = 1,
Отметим, что биномиальные коэффициенты a^', a^', a^', ..I
и коэффициенты b*i\ blS!v легко вычислять по рекуррентным фощ
мулам A65) и A66). При ft- = 0; ±1;.-- формула A63) теряе|
смысл, но и в этом случае можно получить аналогичную формул^
в состав которой будет входить логарифмическая функция.
386
Согласно формуле A62) имеем
i/kj
- if-1
й1 = ка3'-\..Щ~1 ф-{[\-т) •••><
Разлагая в полученном подынтегральном выражении в биномиаль-
биномиальные ряды все скобки кроме i-й и /-Й и воспользовавшись затем
формулой A63), приходим к системе уравнений для определения
искомых констант интеграла Кристоффеля—Шварца:
р т=0
0 р т=0
д(р) ,{п) л(тO-B)
Ai(j,(j,/4 . " ■ л24/гл34/з ир+ * - * —п—"*»
р т=0
р т=0
,—2"р, 1М./М.—1 "—Р— ■■■ —"—"«>
где
** = fc ^"Sjn^VZ/slnnp,; M = I^T;^ = -^. C.168)
Коэффициенты с чертой 6v'вычисляются по тем же рекуррентным
формулам A65), но при условии, что Ь^ = 1. Все суммы в системе
A67) имеют кратность, равную |л — 2.
В качестве пояснения выведем первые два уравнения системы
A67).
25* 387
Для стороны li имеем
1
_£_ = J g»r-l A _ QO
О
Воспользовавшись биномиальным рядом и учтя обозначения A66),
при условии, что &2 = 1, находим:
00 оо ОО
(i — /г3д 2j 3 = 2j \M ~~ 2j '
т=0 т=0 т=0
р=0 р=0
В таком случае
т=0
1
Р=0
Л^> J ?р+ -
р, ... , т=0
Полагая теперь в формуле A63) vi = р + ... + п + т; |3i = ец;
i = I; j = 2; kt = ki = со; kj = kt = I, получаем
A7vr-fc = 0. A[m\ = a(D (kAm = | 1 при m = 0;
следовательно,
а() . ?,П) () Г (а2)
= Ор+...+/ц-т. «О — Г (Ol + а2) ' {
Подставляя в предыдущий результат значение /i, вводя равен?
ством A68) постоянную М и вынося из-под знака суммы постоянную
Ь(о\ мы и получаем первое уравнение системы A67). J
Отметим, что первое уравнение системы A67) можно найт$|
не прибегая к формуле A63), поскольку /i непосредственно выр4
жается через бета-функцию Эйлера. 1
388 ii
Для стороны 1г имеем
'2~' — v^
л=0 p=0
&{n) i
p=0 я=0
где
/2 =
I
Полагая в формуле A63) i = 2; ) = 3; V2 = p + ... + n; &; =
=&2 = 1; A/ = k3; находим:
j _ sin Я01
m=0
00
1 Ь-Р-...-п-Ргу^ ,B) »(m)
m=0
Внося значение /2 в исходное уравнение, вынося постоянные вели-
величины за знак суммы и учитывая первое уравнение системы A67),
имеем
Л(Р) Л(п'Д(т*АA* i_
дЦ/i • ■ ■ «/23/2t'p+ ... -\-n-\-m т~
р т=0
^-v2-Pj V^ лB) Л(т) _ Л/,, Sin:
«3
р т=0
p m=0
Вводя теперь постоянную
389
и учитывая, что при kz = 1
„(л) .— п „D)ь(п)л—п _ „D) / ki \п _ «(л) . «(р) .—р
из предыдущего результата мы и получаем второе уравнение си-
системы A67). При этом постоянную величину
,B) _ Г (fe) Г
00 -~
удобнее вынести из-под знака суммы и перейти в сумме к коэф- -
фициентам с чертой Ьр+...+п—т-
Вывод остальных уравнений A67) производится аналогично.
Исключив М из уравнений A67), определим из полученной си-
системы константы k3, kt, ..., ky, одним из известных методов, напри-
например методом Ньютона—Фурье. Первые приближения удобно нахо-
находить по методу итераций, поскольку величина каждой из сумм
в A67) близка к единице, так что главной частью в каждом из урав-
уравнений A67) будет соответственно
1. U—Эг. 1,0,-1»,—Р,. . газ-|гСЦ-| г— Р ,
1, «з , К3 «4 , . . . , «з «4 • " " Ktl
По найденным k3, kt, ..., k^ из первого уравнения системы A67)
определяем М. Поместив теперь в области z начало координат
в вершину / и направив ось х вдоль стороны 1Х, будем иметь
Dj. = M; D2 = 0.
Определение констант Di, Da при другом расположении осей осу-
осуществляется при помощи линейного преобразования, подробно рас-
рассмотренного в § 32, из соответствия двух заданных вершин много-
многоугольника. Поэтому в дальнейшем мы ограничимся только опреде-
определением констант &з> ^4, •■•. &ц, что составляет основную труд-
трудность задачи.
§ 58. МЕТОДИКА ВЫЧИСЛЕНИЙ. ПРИМЕРЫ
Рассмотрим подробнее случай четырехугольника (|л = 3), кото-\
рый часто встречается при решении различных технических задач.
При \х = 3, обозначая ks= k и учтя, что k2 = 1, имеем из A66):
Лз*/г = о.т к , Аг»/, = ат я •
Вводя, далее, новые обозначения ;
Л _ ПCIП). д _ „BIB) /о 1СО\';
лт — ат 0т , От — ат 0т (О. 1О\))
и учтя A65), A66), A68), из системы A67) при ц = 3 получаем:
Ml — V A km- A , — (m + l
Ж~ Ь т ' m+1 ~~ (т+1)
m=0
390
ЛШ b-0*V1 R bm- R (m + 1 — a2)(m + «4) о . ,o i7n
-ДгГ - « lBmk , Bm+l = (т+1)(т + аз+а4) Sm, (i 171)
m=o
Разделив теперь A71) на A70), находим уравнение для определе-
определения к.
g-kNc = 0, C.172)
де
" л=0
Коэффициенты ряда /с определяем по рекуррентным формулам
гл. I, § 16:
СЬ=1; С/г = Лп-E„ + С15„_, + ... + Сп_151). C.174)
Полагая в A72) 1С = 1, получаем нулевое приближение для &:
ko = gl#*. C.175)
Более точные результаты дает формула первого приближения, на
выводе которой мы остановимся ниже:
г ko j Ci 0103 + a2a4 .0 17ДЧ
^ = Т=АЙГ: d2 = -lT= pj_, ■ (ЗЛ76)
Дальнейшее уточнение осуществляется по формуле Ньютона:
f (Ь )
kn+l = kn-f^, C.177)
где согласно равенству A72)
f' (k) = _ fp-1 ($JC + £ пС„А"). C. 178)
Пример 1. Рассмотрим семейство четырехугольников с фиксированными
углами и стороной /1 = 1 (рис. 104).
Заданные величины для пяти вариантов четырехугольника и значение искомой
константы k приведены в табл. 26. В этой же таблице даны значения постоянных
Я2; g (или X ; g* для вариантов IV, V), а также kg, ki, вычисленные по формулам
A75), A76). При вычислении g мы пользовались восьмизначными таблицами гам-
гамма-функций [167; Приложение XVI].Вычисление всех вспомогательных величин
выполнено в табл. 27. Пользуясь результатами табл. 27, находим по Ai=s 0,05529
391
Таблица 26
Вариант
к ■■ к
ft = 1 _ ft*
Ад; %2
g; g*
fto = 1 — *o
ft, = i - *;
k-k
к
ста
*o
ki
A:/,
ft
ста
ftl
I
0,6000000
0,0552759
—0,2312539
2,0475692
0,0568914
0,0552893
1,5000000
0,1133944
2,3090170
0,3348373
0,1121160
0,1133873
5,000000
0,2215004
0,2209714
0,2751717
0,221972
II
0,5000000
0,2126450
-0,3312539
1,4294423
0,23952
0,21347
1,0000000
0,1860865
1,8090170
0,4273841
0,1826572
0,1860557
3,000000
0,3092554
0,3682856
0,4258123
0,31061
III
0,3988633
0,5000000
—0,4323906
1,0950939
0,6953
0,5135
0,9371541
0,2000000
1,7461711
0,4427660
0,1960417
0,1999618
2,000000
0,3920668
0,5524285
0,6021761
0,39501
IV
0,3000000
0,7957171
1,0742764
0,8010078
0,77219
0,79500
0,5000000
0,3616651
1,3090170
0,5906303
0,3488442
0,361453
1,238859
0,5000000
0,8918343
0,9067927
0,5066
V
0,2000000
0,9624817
0,9360798
0,6128422
0,9617771
0,9624777
0,3119219
0,5000000
1,1209389
0,6897300
0,4757275
0,49949
0,6416990
0,6500000
1,721768
1,591064
0,6669
Заданные величины
Пример 1
ax = 0,20
aa = 0,55
a3 = 0,60
a4 = 0,65
Pa = -0,25
Пример 2
at = 0,30
aa =1,20
a3 = 0,75
a4 = —0,25
Pa = 0,50
Пример 3
ax = 0,28
ot2 = 1,89
04=--0,17
Pa =1,17
CO
to
со
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
П
ри
К
1
0,1066667
0,0512000
0,0327680
0,0237677
0,0184938
0,0150523
0,0126408
0,0108629
0,0095014
0,0084275
0,0075602
0,0068460
0,0062483
м е ч а н н е.
вп
1
0,2340000
0,1244100
0,0828443
0,0613657
0,0483737
0,0397212
0,0335713
0,0289896
0,0254525
0,0226446
0,0203651
0,0184799
0,0168967
Значение k% для
с„
1
—0,12273333
—0,0434140
—0,0240759
—0,0160143
—0,0117269
—0,0091142
—0,0073768
—0,0061486
—0,0052401
—0,0045444
—0,0039969
-0,0035560
-0,0031946
Вариант I
0,0552900
0,0030570
0,0001690
0,0000093
варианта II вычислялось по формуле
Вариант
0,2130000
0,0453690
0,0096636
0,0020583
0,0004384
0,0000934
0,0000199
0,0000042
A77).
II
0,2126447
0,0452178
0,0096153
0,0020446
0,0004348
0,0000925
0,0000197
0,0000042
Т
а б л и ц а 27
Вариант III
kn
0,5000000
0,2500000
0,1250000
0,0625000
0,0312500
0,0156250
0,0078125
0,0039062
0,0019531
0,0009766
0,0004883
0,0002442
0,0001221
для варианта I: /c (ki) = 0,9928228; f (ki) = 0,0001344; f (ki) = 9,5307; k=
= 0,0552759.
Для остальных вариантов вычисления производятся аналогично.
При этом если k > 0,5, то вычисляем дополнительную константу
0,5
in
\
\
\
\
\
\
4,
0,2 0,k 0,6
Рис. 104.
k* = 1 — k, для чего надо только перейти к транспонированному
♦ * * *
четырехугольнику, у которого I1=k; h = h\ Щ — а,+ь «4 = °i-
Коэффициенты С"п для транспонированного четырехугольника вы-
вычисляются по тем же ре-
рекуррентным формулам
A70), A71), A74). В дан-
данном примере
С[ = 0,0732737;
Cl = 0,0318265;
Сз = 0,0191372;
С\ = 0,0132662;
С\ = 0,0099633;
С\ = 0,0078775;
UIU С\ = 0,0064550;
Рис- 105- Cl = 0,0054309.
На рис. 104 построен график k = F (k/к) Для всего однопа-
раметрического семейства рассматриваемых четырехугольников. i
Пример 2. Рассмотрим семейство разомкнутых четырехугольников
(рис. 105). ,
Заданные величины, искомая константа k, ее нулевое и первое приближения
fee; fei, а также постоянные Ь и g приведены в табл. 26. Методика вычислении для
394
разомкнутых четырехугольников остается прежней, поэтому приведем только зна-
значения первых десяти коэффициентов ряда /с:
d = — 0,0500000; С2 = 0,0012500; С3 = 0,0004839; С4 = 0,0004986;
С5 = 0,0004062; Св = 0,0003268; С, = 0,0002653; С8 = 0,0002186;
С9= 0,0001826; Сю = 0,0001547.
На рис. 105 построен график k = F(k/li) для всего семейства.
Обратимся теперь к случаю вырожденных четырехугольников
а3 = 0, которые, в частности, встречаются в теории фильтрации
(рис. 106).
В данном случае, выполняя в соответствующих формулах пре-
предельный переход аз -> 0, h -> со будем иметь
ю
Рис. 106.
s =
_ Jt/iF (ai + a2)
ЛГ (си) Г (а.,)
п=0
. d
C. 179)
где h — расстояние между сторонами 2—3 и 3—4 (рис. 106). Даль-
Дальнейший расчет выполняется аналогично примеру 1, с учетом фор-
формул A79).
Пример 3. Рассмотрим семейство четырехугольников, представленных
на рис. 106. Результаты приведены в табл. 26 и на графике (рис. 106).
Для двух частных случаев (рис. 107).
а) cti + a2 = 2; a3 = 04 = 0; б) cti 4- «2 = 3; a3 = 0; 04 = — 1
решение получаем в замкнутом виде:
k=1— 1-
h A — a2) sin jtai
1—a,
= 1 —
1 h sin ясц
C. 180)
395
Случай а) представляет собой область фильтрации для быстротока
(или перепада при с^ = 0,5) при конечной глубине водопроницаемого
грунта.
В заключение дадим еще для константы k разложение в ряд по
степеням k0 и hi. Согласно уравнениям A72), A73) и A75) имеем:
Рис. 107.
Обращая полученный ряд (см. § 18 гл. I), решаем нашу задачу:
k = ko+d2kl+dak3o + dikio + ...; 6o = g1/f\ C-181)
где, согласно формулам A.108'),
Пользуясь результатами § 17 и 18 гл. I, легко также получить
рекуррентные формулы для вычисления любого числа коэффи-
коэффициентов dn.
Пример 4. ai= 0,51; a2 = 0,24; a3 = 1,15; a4= 0,10; /i = /2=l.
В данном примере ko= 0,07251602; d2 = —0,651200; d3 = 0,368429; dt =
= —0,20198; d5= 0,1165; de = —0,0721 и, следовательно, k = 0,06922677.
Формула A81) позволяет также строить приближенные фор-
формулы для определения константы k. Например, принимая, что
da^d^~\ получаем из A81) формулу первого приближения A76).
Перегруппировывая затем ряд A81) по степеням hi и пользуясь
методом неопределенных коэффициентов, имеем
1_л , / г\\ /О 1 ОО\
- U&fZ{ + . • - (#2 = U), (О. lOZ)
где
= d\ —
21
(n —
396
Таблица 28
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0,20
0,20
0,20
0,55
0,55
0,30
0,30
0,30
0,30
0,30
0,28
0,28
0,28
0,28
0,28
0,51
0,55
0,55
0,55
0,60
0,60
1,20
1,20
1,20
1,20
1,20
1,89
1,89
1,89
1,89
1,89
0,24
0,60
0,60
0,60
0,65
0,65
0,75
0,75
0,75
0,75
0,75
0
0
0
0
0
1,15
а4
0,65
0,65
0,65
0,20
0,20
-0,25
—0,25
—0,25
—0,25
-0,25
-0,17
-0,17
—0,17
-0,17
—0,17
0,10
h : /i; A : к
0,6000000
0,5000000
0,3988633
0,4216054
0,5009658
1,5000000
1,0000000
0,9371541
0,5000000
0,3119219
5,0000000
3,0000000
2,0000000
1,2388590
0,6416990
1,0000000
ь
"точн
0,0552759
0,2126450
0,5000000
0,2042829
0,0375183
0,1133944
0,1860865
0,2000000
- 0,3616651
0,5000000
0,2215004
0,3092554
0,3920668
0,5000000
0,6500000
0,0692268
0,0552762
0,21267
0,5007
0,20430
0,0375183
0,1133945
0,1860878
0,2000016
0,361687
0,50011
0,2214988
0,309238
0,39198
0,4996
0,6472
0,0692270
0,0552759
0,21261
0,4983
0,20426
0,0375183
0,1133945
0,1860876
0,2000014
0,361685
0,500098
0,2214458
0,309013
0,39133
0,4975
0,6389
0,0692266
Ы
0,0552764
0,21273
0,5031
0,20435
0,0375183
0,1133946
0,1860879
0,2000018
0,361689
0,500113
0,2215518
0,309462 -
, 0,39263
0,5016
0,6555
0,0692276
Аналогичным путем получаем две формулы второго приближе-
приближения:
fe2 = kx (I + a3k\); fen = fe0 A + i^Zko)'» d32 = -J. C.183)
В табл. 28 сведены результаты для всех 16 рассмотренных
четырехугольников — замкнутых, разомкнутых и вырожденных.
Точное значение kT04B определялось по формуле A77) с семью
десятичными знаками, а приближенное
Йц -4- &2
6Пр = -~—-• C.184)
Погрешность формул A84) уменьшается вместе с уменьшением
величины /г, и в большинстве случаев формула A84) дает не менее
4 значащих цифр, а такая точ-
точность вполне достаточна при ре-
решении очень многих техничес-
технических задач. Дальнейшее приме-
применение метода Ньютона пример-
примерно удваивает число значащих
"~" ' ' * цифр в каждом шаге.
Рис. 108. Отметим также, что в табл. 28
во всех случаях, когда ряд A81)
был знакочередующимся (номера 1—5; 11—16), формулы A83)
дали двухстороннее приближение.
Пользуясь рядом A81), можно получить и в общем случае
более точные формулы двухстороннего приближения, которые дают
непосредственно оценку погрешности.
С целью дальнейшей проверки результатов мы рассмотрели
также пример, имеющийся в доступной нам литературе.
Вычислив в ряде A73) семнадцать коэффициентов и воспользо-
воспользовавшись методом Ньютона, мы нашли для трапеции, представлен-
представленной на рис. 108,
fe = 0,69158119.
Переход к транспонированному четырехугольнику и соответственно
к вычислению k* = 1— fe = 0,308 ... в данном примере приводит
к особому случаю и поэтому нами не рассматривался.
При помощи дробно-линейной подстановки
_ 3 —fe
а~ 1+fe
приходим к нормировке, принятой в [73], и находим с девятью
значащими цифрами
а= 1,36465150-
398
Л. В. Канторович и В. И. Крылов, из монографии которых
взят этот пример, пользуясь разработанным Канторовичем методом
вычисления несобственных интегралов, после трех приближений
получили [73; стр. 562—565]:
а= 1,3655.
Рассмотрим теперь случай пятиугольника (|л = 4). При |Л = 4,
учтя, что &2 = 1> удобнее пользоваться более простыми обозначе-
обозначениями
Л<-;> = a^k); iC = oiV; *=■£-. C- 185)
Тогда, исходя из A65) — A68), приходим в конечном итоге
к системе двух уравнений для определения констант k3; fe4:
Ф (*з, fti) -= gshr — x~4zi = 0; C. 186)
_ V1 с(")д("). / _ 1П с(")д("). / _ Г1 c(«) д(»),
— V l->133/144 > ' 2r — > '-'ггз^т > 'З* — > ^33^^24 >
n=0 я=0 n=0
(n) _ VI 1A) Aim). C(n) __ VI ГB) Жт). c(n)_ V^ IC) л(т).
133 — 7 °n+m^33 , O223 — /) °п—т-™ЪЗ > j33t — > "-n-m/4t .
m=0 m=0 m=0
__ Я.1Г (Pa) Г (a8) Г (Ol + a2) . X3 Г (Ра) Г (а3) Г фз + a4)
Г (ai) Г М Г (p2 + as) ' ga X2 Г (Рз) Г (a4) Г ф2 + as) "
Решаем систему A86) методом Ньютона—Фурье, начальные зна-
значения для которой находим по методу итераций:
С=й1А; t@'=g3-^. C.187)
Дальнейшее уточнение корней производим по формулам:
б3п+1> = бГ)-41; &+1)=С-х-' C.188)
где введены обозначения
Аз = /ф« — ф/4; А* = ф/з — /фз! А = /зф4 — <р'/ё
-JL- t'-JL- m'-J?_ щ
~ h ~ 4 ~ dk3 ' ^ ~ eh,. •
399
f'-JL- t'-JL- m'-J?_- щ'-
Все необходимые частные производные легко выразить согласно
равенствам A85), A86) через соответствующие частные производные
от степенных рядов /14; /2т; hi, S[H; 5^; S^.
Методику вычислений рассмотрим на примерах.
Пример 5. Определим константы &з, ^4 для разомкнутого пятиугольника,
представленного на рис. 109,а:
сц=0,30; а2=1,20; а3 = 0,25; а4=1,40; ii=l; /2= 1,75; h = 2,00.
Рис. 109.
В данном прнмере, ограничиваясь вычислениями с семью значащими цифрами,
согласно равенствам A64), A68), A86), A87), имеем:
р2 = 0,50; Рз= —0,25; Xi = /i
gi = 0,6611840; g3 = 0,7117855;
> = g\
= 2,559017; А* = —1,618997;
0,437; т<0> = g* = 0,257.
Далее, вычисляем коэффициенты а'2', а^', ..., b@}v, которые зависят только
от заданных углов многоугольника. Каждый из этих коэффициентов вычисляется
на любой счетной машнне в однн прнем без промежуточных запнсей по рекуррент-
рекуррентным формулам A65), A66). В данном случае, например:
v + 0,25 -B) -B)
Р °_v> 0v4-
B) у - 0,20 'B> д.
V+1 ~ v 4- 1 V ' -
0,50
_у + 0150_-B)
у + 0,75 v '
Результаты вычислений приведены в табл. 29.
Воспользовавшись теперь значениями &'0);- т
@)
ляем по итерационным формулам A87) первое приближение, ограничиваясь
только 1—2 членами соответствующих рядов.
Затем по формулам A88) находим искомые константы. Первые шагн выпол-
выполняем с 3—4 значащими цифрами. Процесс продолжаем до тех пор, пока резуль-
результаты двух последующих шагов не совпадут с требуемой точностью.
В данном прнмере потребовалось выполнить четыре шага, каждый нз которых
требует (на клавишных вычислительных машинах) 1—2 часов рабочего времени.
В табл. 29 приведены все необходимые вычисления, выполненные в последнем шаге
для значений
£з= 0,3296842; £4 = 0,0633050; т = 0,1920171,
которые н являются искомыми.
400
' При этом вычисляем вначале коэффициенты Л^'; Л^', умножив согласно
формуле A85) а, на соответствующую степень Щ нлн tv , например,
Л<2) = aS,3>fc2 = 0,656250 • 0,108692 = 0,071329,
Л^> = ^4)тз = _ 0,064000 • 0,007080 = — 0,0004531.
Затем вычисляем все необходимые суммы S'"'. Для того чтобы вычислить
со
SJ0' = V 1^'л'', перемножаем на любой вычислительной машине, не син-
синмая результатов после каждого умножения, значения Ж1', Л'У', v = т, распо-
* 33
ложенные в одних н тех же горизонтальных строках. Соответствующие значения
£>У н А^\ необходимые для данного умножения, удобно отмечать в таблице
какнмн-лнбо марками, например, монетами. При вычислении S'1' =
= VJ ^m+i^' значення *v* берем в табл. 29 со сдвигом на одну строку вниз:
/тс—0
v = т + 1 и т. д.
ОО
Прн вычислении S^j = £ &л—m-^T' значение Л(°' = 1 умножаем на
т=0
Ь^; v = п н, опускаясь по колонке Л'^', одновременно поднимаемся по ко-
колонке Ъ^\ пока не достигнем нулевой горизонтали b^ = &L'o = 1> после чего
переходим в колонку b^}v и в процессе дальнейшего счета опускаемся по этой
колонке вниз. Например:
S SHг^t% hL M • • •=°'51770-
Закончив вычисление всех S(n), переходим к вычислению сумм Л4, /2т, /з4-
Для того чтобы вычислить /и = ^] ^{зз^и'1 надо только перемножить, не
л=0
снимая промежуточных результатов, значення S'"' н Л^', v = n, стоящие в
одних н тех же строках, в результате чего получаем:
/н = 1,0587885 — 0,232023 • 0,025322 — . .. = 1,0528514.
Аналогичным путем вычисляем /2т = 0,9143110; /34 = 0,9831235 и результаты
записываем в табл. 29 в соответствующих колонках S'"'. Отметим, что по мере
увеличения п в суммах S(n) надо определять меньшее число значащих цифр в соот-
соответствии с величиной коэффициентов Л^"', Л^"', Л'^',
Подставив найденные значення / в формулы A86) н учтя, что kr2 = 0,5741813;
■с-Ъ = 0,6619649, получаем
/ (ks, ki) = 0,0000001; ф (fc,, ki) = — 0,0000001.
Выполнив еще одни шаг, можно получить 10—11 значащих цифр в fe, k^.
Пример 6. Определим константы k3, &4 Для пятиугольника, представ-
представленного на рис. 109,6:
a1==0,70; a2 = 0,55; a3 = 0,60; а, = 0,65; k=l, /2=1.25; /3=1,60.
26 п, Ф. Фильчаков 401
В случае замкнутых многоугольников методика вычислений ничем не отли-
отличается от рассмотренной в прнмере 5. Поэтому прнведем только значенне основных
постоянных н окончательные результаты:
г@)
0,25
—0,15
0,8758814
0,7448025
0,59
0,14
0,4588843
0,08152677
В данном примере для обеспечения полученной точности потре-
потребовалось вычислить коэффициенты Лзз', Al2V /До v = 17 включи-
включительно. Однако благодаря исключительной простоте и однотип-
однотипности вычислений это потребовало лишь незначительного увели-
увеличения расчетного времени.
Кроме того, и для пятиугольника можно вывести более эффек-
эффективные приближенные формулы, аналогично тому, как это было
сделано для четырехугольника, которые позволят при уточнении
по формулам A88) ограничиться одним-двумя шагами.
В общем случае при \х > 5 решение выполняется аналогично,
причем исходные значения с 2—3 значащими цифрами можно
очень легко определять при помощи электромоделирования [285].
При больших значениях \х расчет целесообразнее производить на
электронных цифровых вычислительных машинах.
В заключение остановимся еще на вопросе наиболее рацио-
рациональной нормировки при определении констант интеграла Кристоф-
феля—Шварца, в связи со свободой выбора стороны к.
Если после получения первого приближения констант k3, £4> ■•-,
£ц окажется, что при данном выборе стороны к объем вычислений
значителен, то необходимо перейти к транспонированному много-
многоугольнику г*, у которого
т. е. произвести циклическую перестановку вершин многоуголь-
многоугольника г.
На полуплоскости £ переход к транспонированному многоуголь-
многоугольнику приведет к дробно-линейному преобразованию
C. 189)
переводит в
которое образы вершин £х = 0, £2 = 1, £з =
точки £* = со, £* = 0; £3 = 1.
Полагая в формуле A89) X. =—т-, £ =
1
К "п+1
между исходными и транспонированными константами:
п = 4, 5,..., |л; 6ц,+1 = 0.
получаем связь
1-*,
•п+1
C.190)
402
В частности, для четырехугольника {k3 = k, kx = 0) получаем
соотношение
k* = 1 - k,
которым мы уже пользовались в примере 1.
В случае пятиугольника (k5 — 0) будем иметь
и, например, если k3 = 0,9; kt = 0,7; т = 0,777 .... то для транс-
транспонированного пятиугольника: k3 = 0,333 ...; £* = 0,1; х* =
= 0,3; так что объем вычислений существенно сократится.
Если первая циклическая перестановка не приводит к цели,
необходимо выполить две циклические перестановки и т. д.
В случае правильных многоугольников циклическая переста-
перестановка его вершин приводит к многоугольнику тождественному
исходному z = z*. Поэтому для правильных многоугольников k*n =
= kn и из A90) получаем систему уравнений для определения
искомых констант:
1 — ka = k3 (I — ki) = ki A — kb) = ... = V C.191)
Отсюда, в частности, для квадрата
1
кз = Т>
для правильного пятиугольника
кз = У"Ь-1 ^0,61803399; к„ = 1 — k3; х = k3,
для правильного шестиугольника
,2,1,1
«з = у' к* — y ' 5 = Т '
В. Н. Савенков показал, что в случае произвольного много-
многоугольника путем циклических перестановок всегда можно прийти
к таким значениям констант, которые не будут превышать кон-
констант соответствующего правильного многоугольника.
В. Н. Савенков рассмотрел также особый случай многоуголь-
многоугольников, который у нас остался неисследованным, и разработал про-
программу для вычисления констант интеграла Кристоффеля —
Шварца по изложенной в § 57 методике на электронной вычисли-
вычислительной машине Минск-1.
Согласно этой программе, при вычислении констант ks, ki, ..., £й
требуется машинного времени для произвольного четырехуголь-
четырехугольника 0,5—2,0 минуты, для произвольного пятиугольника 3—
12 минут и т. д.
26* 403
Кроме того, В. Н. Савенков [205; 269, т. I, в. 1] исследовал
вопрос сходимости итерационного процесса, изложенного в § 57, и,
в частности, показал, что для произвольного четырехугольника
процесс сходится при любом начальном значении k0.
В. М. Головань также исследовал особый случай и применил
результаты § 57 к решению задачи фильтрации из канала с учетом
капилярного поднятия воды [32], которая была поставлена
В. В. Ведерниковым еще в начале тридцатых годов.
§ 59. МЕТОД ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ.
ОТОБРАЖЕНИЕ ЕДИНИЧНОГО КРУГА НА ВНУТРЕННОСТЬ
ЗАДАННОЙ ОДНОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ
В § 51—55 мы рассмотрели метод последовательных конформ-
конформных отображений, который позволяет решить задачу отображения
для довольно широкого класса областей. В частном случае для
полигональных областей задача отображения точно решается при
помощи интеграла Кристоффеля — Шварца, метод определения
констант которого был рассмотрен в § 57, 58.
Однако во многих случаях более эффективным оказывается
применение метода тригонометрической интерполяции [51, стр. 21 —
43; 287; 288], к изложению которого мы и переходим. Этот метод
также позволяет получить при помощи очень простых расчетных
формул любую наперед заданную точность построения отображаю-
отображающей функции для довольно широкого класса областей, встречаю-
встречающихся при решении практических задач. При этом, что весьма
существенно, метод не налагает никаких ограничений на способ
задания контура, т. е. контур может быть задан аналитически,
графически или таблично, только дискретным рядом точек.
Рассмотрим вначале задачу отображения единичного круга
|£| ^ 1 на внутренность произвольной наперед заданной одно-
связной, ограниченной и однолистной области z = х + iy.
Отображающую функцию z = / (£) нормируем, как обычно,
условиями
| f|i = x0, C.192)
т. е. потребуем, чтобы точки £ = 0 и Z, = 1 отображались соответ-
соответственно в точки z = 0 и z — х0 (рис. ПО).
Отображающую функцию будем искать в виде степенного ряда
С„Г; ca = aa + iba, C.193)
л=1
коэффициенты которого суть комплексные числа.
404
Из первого условия A92) вытекает, что с0 = 0, поэтому ряд A93)
начинается с п = 1.
Перейдя в области Z, = гё® к полярным координатам и восполь-
воспользовавшись для £" формулами Эйлера
£ = (re v) =re ф = г (cos n ф -f i sin Пф),
представим равенство A93) в следующем виде:
00
г = V (ап -f г^„) [r"(cos n ф + i sin n ф)] =
= V г" [(ап cos п ф — Ьп sin n ф) + i (а„ sin n ф + bn cos n ф)].
Разделяя действительные и мнимые части, находим:
х = У^ г11 (а„ cos «ф — bn sin пф),
C. 194)
оо
у = \ г" (а„ sin пф Ц- fe,, cos пф).
Как только коэффициенты сп ~ ап -{- ibn будут известны, фор-
формулы A94) позволяют легко определить образы z = х + iy любого
количества точек единичного круга £ = re'4' как внутренних, так
и граничных. Но для этого надо уметь по заданному контуру об-
области z определять коэффициенты с„ ряда A93), для чего надо обра-
обратить систему уравнений A94) с бесконечным числом неизвестных
С этой целью разобьем единичную окружность на т равных
частей Аф = — при помощи точек:
г=1; фй^ф1 + (^— 1)Дф = Ф1+ 2(fe~ )я ;
k=\, 2 т. C.195)
Образы этих точек zk = xk + и/д. в области z будем называть
узловыми точками (рис. ПО).
Тригонометрические функции дискретного аргумента в случае
равноотстоящих данных, определенных уравнением A95), обладают
405
свойством ортогональности (и нормированноети), которое выра-
выражается равенствами:
. . .
sin }щ sin щк =
k=\
cos /фА cos п ф* =
fe=l
О при / Ф п;
т/2 при / = п\
О при / Ф п\
т/2 при / = п;
C. 196)
\^ sin }ц>к cos пфд, = 0;
от-;
/л-2
Рис. /70.
т. е. суммы произведений A96) при любых целых \ и п равны нулю,
за исключением случая j = n в первых двух суммах, когда они
равны величине т/2. На доказательстве условий ортогональности
A96) мы остановимся в конце параграфа.
Далее, для того чтобы избежать трудностей, связанных с реше-
решением бесконечной системы линейных алгебраических уравнений,
будем вместо ряда A93) вначале рассматривать конечную сумму
(т. е. полином степени т):
C.193')
л=1
коэффициенты которого будем обозначать С„ —- Ап + iBn, а за-
затем осуществим предельный переход m-> оо.
Тогда для узловых точек zk = хк + iyA в случае полинома, под-
406
ставляя г = 1, <р = <рА в равенства A94) и заменяя ап-^-Ап; Ьп-±Вп,
получим:
т
xk = Y1 An cos rupk — Вп sin n фд.;
tjk = ^ Л„ sin яфд, + В„ cos пфА; C.197)
1 о
=1,2 т; Фй =
Равенства A97) позволяют легко вычислить узловые точки
(*ь Ук) по известным коэффициентам полинома Ап, Вп. Эти же
равенства можно рассматривать и как систему 2т линейных алгеб-
алгебраических уравнений с 2т неизвестными Аъ А2, ■■■, Ат, Въ В2, ■■■
Вт, которые определяются координатами узловых точек xk, yk.
Однако решение системы п линейных алгебраических уравне-
уравнений при больших п — задача технически чрезвычайно сложная.
Только в данном частном случае благодаря специальному выбору
узловых точек, при котором справедливы условия ортогональности
A96), система A97) решается очень легко и в результате ее обра-
обращения мы получаем:
т
А' = ~т S Xk COS ; ^ + Ук Sin > ф*'
В' = ~т У] ~~ Хк S'n ;фА + Ук C°S /ф*';
/= 1, 2, ..., т.
Действительно, умножив первое из уравнений A97) на cos/фд^
а второе на sin /фй и просуммировав полученные результаты по k,
имеем
т mm
2] ** cos /<pt + г/А sin /ф4 = 2] Ц] (^n cos «Ф*— Bn sin n 4>t) cos /фй +
m
+ У] (Дг sin пфА + Bn cos пфй) sin /фА|.
Преобразуем теперь правую часть полученного уравнения и по-
покажем, что она равна тА/.
Поменяв порядок суммирования в правой части и вынося затем
407
за знаки внутренних сумм величины Л„, Вп, постоянные относи-
относительно индекса суммирования k, приводим ее к виду
m
cos rap* cos /(pfc + ^ sin rap* sin /<рЛ +
n=\ k=\ ft=l
m m
+ V Ba i\^ cos rapfc sin /фд, — V sin «фд, cos /<рЛ.
Но согласно условий A96) при любых / и n
Y1 cos Пфй sin / фд, = 0; Ч^ sin n ф* cos /фй = 0,
так что коэффициенты при всех Вп обратятся в тождественный нуль.
Кроме того, коэффициенты при Ап, где п пробегает все значения
п = 1, 2, 3, ..., / — 1, /+ 1, ..., m согласно условиям ортогональ-
ортогональности A96) также обратятся в нуль, если п Ф j. Единственный
член, который сохранится в правой части, это будет член, содер-
содержащий Ап = Л/, так как только при п = j согласно условий A96)
получим результат, отличный от нуля
in m
cos щк cos /фд, + >£ sin tvfk sin / фА = — + ~ = m, при п = /.
Последний результат легко получить и непосредственно, так
как при п — j
т mm
COS П фд, COS /фд, + V sin Пфй Sin /фд, = V (S^2 /фд, + СО52/фй) = /Л,
k=\ k=\ k=\
поскольку sin2 /фд + cos2 j(fk = 1 для каждого значения £=1,2,...
..., т.
Таким образом, мы в один прием исключили из системы A97)
все неизвестные Аъ Л2, ..., Л,_ь Л,+1, •••, Ат, Ви В2, ..., Вт>
кроме Л/, и пришли к одному уравнению с одним неизвестным
xk cos /фд + ijk sin /фд =
решив которое и получаем первую из формул A98).
Аналогично, умножив первое из уравнений A97) на (— sin /
408
а второе ка (+ cos /фА) и воспользовавшись условиями A96),
после тех же преобразований получаем
(— xk sin j<pk + ук cos
откуда непосредственно следует вторая формула A98).
Формулы A98) позволяют по известным хк; yk (k = 1, 2, ..., m)
при любых значениях т и фХ определить все коэффициенты иско-
искоЛ В (j 1 2 ) О
ф
мого полинома Л,-; В,- (j = 1, 2,
m). Однако вначале и узловые
2,
Рис. 111.
точки zk = хк + iyk нам также не известны. Об этих точках из-
известно только, что они лежат на контуре заданной области z и
должны быть образами точек £,к = е'^ь, делящих единичную окруж-
окружность |£| = г = 1 на т равных частей, но закон распределения
точек zk вдоль заданного контура вначале неизвестен. Поэтому
для решения поставленной задачи необходимо еще построить ите-
итерационный процесс, который позволял бы определять узловые
точки с любой наперед заданной степенью точности.
Для этого разобьем единичную окружность | £ | = 1 на 4|л
равных частей и рассмотрим две системы точек A95): четную и
нечетную, которые на рис. 111 обозначены соответственно кружоч-
кружочками и крестиками.
Для четных точек т = 2|л; Аф = — = — ; фх = 0, так что
согласно A95), заменяя k на k — 1 = 2v, будем иметь
ф2л, = ?^ = ^1г Где v = 0, I, 2,...,m— 1. C.199)
409
Для нечетных точек также т --- 2|Г, Аф = — = —, но теперь
(pi = -х- Аф, и поэтому согласно A95) получаем
2|х
3.199')
где v = 1, 2, 3, ..., т; k = 2v— I = 1, 3, 5, .... 2т— 1.
Коэффициенты A98), построенные на базе т четных точек
A99), будем обозначать А\+т), В'+т), а те же коэффициенты, по-
построенные на базе т нечетных точек A99'), обозначим Л~т),
В\~~т). Данные обозначения были нами введены в работе 1287; I],
в которой непосредственным путем было показано, что эти коэф-
коэффициенты имеют очень простую связь с коэффициентами искомого
ряда A93), а именно:
00 00
(.+т) =£a/+vm = щ + ai+m + ai+2m + ...; В)+т) =£b,+w, C. 200)
v=>0 v—0
А(Гт) = V (— l)vaRvm = a; — ai+m + aj+2m —...;
v=0
00
j — > (— 1) 0;+vm.
v=0
где
j = 1, 2, ..., m.
В связи с этим величины y4/±m); B}±m) будем также в дальней-
дальнейшем называть подпоследовательностями коэффициентов ряда с
т-интервалом в индексах.
Сложив, а затем вычтя равенства B00), получаем формулы удво-
удвоения индекса (+ т), т. е. формулы образования подпоследователь-
подпоследовательностей искомых коэффициентов (только со знаками плюс) с удвоен-
удвоенными интервалами в индексах:
C.201)
а!+т + + +
где
/= 1, 2, ..., m;
Величины Вj+2m); B'^^1' строятся по этим же формулам B01),
в которых надо только коэффициенты ап заменить на Ьп.
410
Таким образом, для того чтобы процесс удвоения интервала
в индексах продолжать как угодно далеко, фактически необходимо
только уметь вычислять Л/+2); В,!+2) и A{j~m)\ В{[~т) при m =
= 2,22, 23, 24, ..., на чем мы остановимся в § 60—63, в которых
будет подробно рассмотрена и сама методика вычислений.
В силу теоремы Римана ряд A93) является сходящимся. Поэ-
Поэтому для любого наперед заданного е всегда можно найти такое
достаточно большое число т, чтобы выполнялись условия
± й/+2т + а;+3т ± • • • | < у ". I bj+m ± bj+2m + ■ ■ ■ \ < -у •
Тогда согласно B00) для этого m с точностью до е будем иметь
А)+т) = А(Гт) = а г, B(i+m) = В\-т) = bj. C. 202)
Таким образом, задача определения коэффициентов A93) све-
сведена нами к определению подпоследовательностей Л}-±); В)-±т) для
достаточно больших значений т, что в свою очередь эквивалентно
задаче определения необходимого количества узловых точек. Для
решения последней задачи мы и построим теперь итерационный
процесс.
Допустим, что при некотором т = 2|л известны в нулевом при-
приближении значения четных узловых точек
Dv; y(°i). k = 2v = 0, 2, 4, ..., 2m — 2 = 4|л — 2, C. 203)
которые являются образами четных точек A99).
Это позволяет по формулам A98) и A99) непосредственно вы-
вычислить все А\+т); В\+т); ] = \, 2,...,т; причем полином т
степени
70) = Р+т @ = С\+тК + СB+т)? + ...+ С(+т)£Г;
б?т) = А\+т) + iBJ+m) C.204)
отобразит единичный круг | Z, \ <; 1 на область z так, что граница
области z будет точно проходить через заданные узловые точки
B03). Последнее утверждение непосредственно вытекает из самого
вывода формул A98), так как величины Л/, В; определяются из
системы линейных алгебраических уравнений A97), в правых ча-
частях которых стоят координаты заданных узловых точек
z2v = x2v -f- iy2v; k = 2v = 0, 2, 4,..., 2m— 2 = 4(x — 2.
Подставив найденные
Л, = Л^»; В/ = В^т); } = л = 1, 2 m
411
в формулы A97), вычисляем по ним для нечетных значений фь
определяемых формулой A99'), нечетные узловые точки
(xi, г/i), (х3; у%), (хь; уъ), ..., (х2т-и у2т-\),
которые, вообще говоря, не будут лежать на границе заданной
области z (см. рис. 111). Точки zk = xk -f iyk будем поэтому на-
называть приближенными (внеконтурными) точками.
Сносим приближенные точки на контур, пользуясь одним из
способов сноса, которые будут рассмотрены в § 62 и в результате
получаем в нулевом приближении систему нечетных узловых точек:
D0); A k = 1, 3, 5, ... , 2m — 1 = 4|i — 1, C. 205)
что позволяет теперь по той же формуле A98), но уже при нечет-
нечетных значениях A99') углов фд, вычислить все значения Л/~т);
В{~т) для /= 1, 2, ..., т.
Новый полином
7*= Р_и(£) = С\-т) t + СB-т)¥ + -.. + С{~тIт; C. 206)
= А{-т) + 1В1Гт)
* I
I
отображает единичный круг |£| ёг 1 на область z так, что теперь
уже граница области z будет точно проходить через нечетные
точки B05), лежащие на заданном контуре z, так как они были
получены при помощи сноса на контур нечетных приближенных
точек (Xk, Ук)- Поэтому подставив А; = Л'~т); В,- = В{~т); }=1,
2,..., т в те же формулы A97), но взяв четные значения A99) углов
<pfc=(p2v. вычисляем приближенные (внеконтурные) четные точки z2v:
(-V. Уо), (Xi, 1/г). (Xi, г/4), • • • . (х2т-2, Уъп-ч)
и, снося их на заданный контур z, получим более точные значения
z\v исходных четных узловых точек B03).
Итерационный процесс повторяем, пока последующее приб-
приближение не совпадет с заданной точностью с предыдущим при-
~(Я— 1) ~(Л)
ближением z — z .
Однако если т было взято недостаточно большим (а значение
m наперед неизвестно), то величины Л;±т\ В/±), прийдя к своим
предельным значениям, не будут совпадать между собою с необ-
необходимой точностью. Тогда, взяв прежние четные и нечетные точки
в качестве системы новых четных точек и определив соответствую-
412
щие им нечетные точки по формулам A97), как было указано выше,
приходим к удвоенному циклу итерации 2т. По формулам A97)
при заданном т можно также непосредственно вычислить'4т или
2пт новых промежуточных точек и в один прием учетверить или
увеличить в 2п раз величину цикла итерации т. Тем же путем
можно перейти от цикла итерации т к любому другому циклу
итерации ти При достаточно большом т величины Л/+т),
А)~т) и В)+т\ В\~т) совпадут с любой наперед заданной сте-
степенью точности, что и является сигналом окончания процесса, так
как при этих условиях, согласно B02),
л,+т) = л,_т) = а_. B<t+m) = sj_m) = н у = 1, 2, 3, ... , т,
С ТОЧНОСТЬЮ ДО 6.
Минимальное значение т, при котором возможен данный итера-
итерационный процесс, есть т = 2, т. е. \х = 1.
Начальные значения B03) можно определять графически или
при помощи электромоделирования [51, стр. 21—43], которое дает
более точные результаты. В случае симметричных областей в каче-
качестве начальных значений можно ограничиться узловыми точками
(•*V. Уо), (-V. Уц), (*2ц"> У2ц). известными по условиям симметрии.
Методику самих вычислений мы рассмотрим в § 60—63 на кон-
конкретных примерах, при решении которых, выполнив всего 3—7
последовательных приближений, будут определены коэффициенты
ряда A93) с абсолютной погрешностью, не превышающей 0,0001 -f-
~ 0,000001, а такая точность вполне достаточна для самых от-
ответственных технических расчетов.
В заключение параграфа докажем справедливость формул A96),
которые сыграли такую важную роль при обращении системы A97).
Докажем прежде всего, что при любом целом v
т т
V sin v(pfc = 0; V cos v<pfc = 0, C. 207)
fc=i fc=i
если углы фд, делят окружность на т равных частей, т. е. если они
согласно формуле A95) растут в арифметической прогрессии:
2(к1)Л : *=1. 2, ...,т.
Для частного случая фх = 0 формулы B07) легко доказываются
непосредственно.
Введем обозначение
а = Аф = — .
Тогда при фх = 0 имеем
фд, = (k — 1) a, sin ф! = 0,
413
так что, записав дважды в развернутом виде первую из рассматри-
рассматриваемых сумм в прямом и в обратном порядке, получим
т
V sin v(pfc = sin va Ц- sin 2va + sin 3va -f- ... -|- sin v (m — 1) a,
m
V sin v<fk = sin v (m — 1) a -f sin v (m — 2) a + sin v (m — 3) + ... +
+ sin va.
Сложив эти суммы, а затем, воспользовавшись тригонометрическим
тождеством
sin р + sin у = 2 sin ^Цр- cos 5-^-,
получим для каждой пары слагаемых:
, . , , ч п . та (т — 2) a
sin va -f- sin v (m — 1) a = 2 sin v -»- cos vi ^— ;
sin 2va + sin v (m — 2) a = 2 sin v -^- cos v ~— ;
/ i\ , • n ■ ma B — m)a
sin v (m — 1) a 4- sin va = 2 sin v -~- cos v ^—.
Отсюда, объединяя результаты и вынося общий множитель за
скобки, находим
т
|cosvv^
2\^1 • П • I/HA J
\ smv(pft — 2sinv -=- cosv
, (m — 4) a , , B — m) a 1
+ cos vJ -^ 1- ... + cos v ^ 2~i •
TT ma . ma
Но по определению -к- = я, так что sin v -~- = sin vn = О
при любом целом v и, следовательно,
г —1)а = 0, где а = ^-. C.208)
Переходя теперь от косинусов к синусам дополнительных углов,
аналогичным путем доказываем, что при любом целом v
т
Vcosv(£— l)a = 0, где а = ~. C.208')
414
В общем случае
и тогда
sin vфfc = sin v [ф! + {k — 1) «1 = sin vф^ cos v(k — 1) a +
+ cos vф1 sin v (k — 1) a;
cos vфд, = cos v [ф1 + (k — 1) a] = cos vф1 cos v (k — 1) a —
— sin vфl sin v (k — 1) a.
Следовательно, при любом фх и любом целом v, вынося за знаки
суммирования постоянные множители sinvфl, cos vфl, имеем
т т
V sin vфд, = sin \q>i V1 cos v (k — 1) a -f- cos гфХ V sin v (k — 1) a =0,
mm m
\ cos v-ф^ = cos vф1 У^ cos v (k — 1) a — sin xqn V1 sin v (k — 1) a = 0,
k=l k=\ k=\
так как согласно B08) и B08') каждая из сумм в правой части равна
нулю.
После того как тождества B07) доказаны, условия ортогональ-
ортогональности A96) получаем, преобразовав в них произведение тригоно-
тригонометрических функций в суммы согласно известным тригонометри-
ческим тождествам:
т т
1
V sin /фд, sin пфд, = ^ ^] [cos (/ — п) фй — cos (J + п) фА];
т
cos /фд, cos щк = -j ^ [cos (/ — п) щ + cos (j + п) фд,]; C. 209)
т
~2
sin /фА cos щк = у ^ [sin (/ — п) Фд, + sin (/ + п) ф4].
Тогда, если / Ф п, то при любых целых /ил величины v = / — п
и У1 = / + п будут также целыми числами и согласно B07) каж-
каждая из полученных сумм в правой части обратится в нуль, как
и должно быть в соответствии с A96).
415
Если же / = л, то / — п = О, / + п = 2п, cos (/ — п) щ = 1
и из первых двух тождеств B09) получаем
sin /фд, sin
mm
= V sin2 щк = у V A —
co
V1cos/фА cos
= ^ cos2 дфй = —
cos
k=\
так как 2п = v есть целое число и согласно B07)
V1
= 0.
Третье тождество B09) и при / = п, когда sin (/ — п) фА = 0,
в соответствии с первым тождеством B07), дает
V sin /фд, cos ПфА = у V si
sin 2пфА=0.
Таким образом, мы полностью доказали, что суммы тригоно-
тригонометрических функций, аргументы которых ц>к делят окружность
на травных частей, удовлетворяют условиям ортогональности A96).
Таблица 30
k
1
2
3
4
5
<Р*
17°
89°
161°
233°
305°
2<Р*
34°
178°
322°
466°
610°
S
+0,292372
+0,999848
+0,325568
—0,798636
—0,819152
0,000000
cosq>fc
+0,956305
+0,017452
—0,945519
—0,601815
+0,573576
—0,000001
sin 2q>ft
+0,559193
+0,034899
—0,615661
+0,961262
—0,939693
0,000000
cos q>fcsin 2q>ft
+0,5347591
+0,0006091
+0,5821192
—0,5785019
—0,5389854
+0,0000001
cos2 q>fc
0,9145193
0,0003046
0,8940062
0,3621813
0,3289894
2,5000008
Для большей наглядности в табл. 30 тождества B07) и условия
ортогональности A96) проверены численно при т = 5; а = Лф =
бш 72„ 1?0 ( . 1 2)
. =
Погрешности в шестом десятичном знаке в отдельных суммах,
5
как, например, в сумме V1 cos2 фА=2,5000008 » 2,500001, вызваны
416
ошибками округления табличных значений величин sin ц>к, cos щ,
sin 2(pfc.
Перемножив и просуммировав, не снимая результатов,- соответ-
соответствующие колонки в табл. 30 (что на арифмометре выполняется
в один прием), получим далее:
5 5
V sin yk cos yk = 0,0000006; V sin q>ft sin 2 фА = — 0,0000005;
5 5
V sin2(pft = 2,5000014; V sin2 2yk = 2,5000008.
k=\ k=\
Читателю будет полезно добавить в табл. 30 еще колонки cos
sin ЗфА; cos Зф£ и продолжить эту проверку.
Мы подробно остановились на доказательстве условий ортого-
ортогональности в связи с тем, что, как уже отмечалось, только благодаря
этим условиям система A97) решалась очень просто.
В общем случае, если систему п линейных алгебраических
уравнений решать при помощи известного метода детерминантов,
то число одних умножений и делений будет равно
(п2—1)п\+п
и, например, для системы десяти уравнений число этих операций,
будет
A00 — 1) 10! + 10 ~ 360 000 000.
По методу исключения Гаусса, который сейчас широко распро-
распространен, число умножений и делений составляет
■J-Bn2 + 9n—5)
и при п = 10 равно 475.
Однако и при решении, скажем, системы 16 линейных уравне-
уравнений по методу Гаусса при ручном счете необходимо затратить
около 20—40 часов. Даже при использовании электронных цифро-
цифровых вычислительных машин решение системы нескольких сотен
линейных уравнений до настоящего времени остается еще нерешен-
нерешенной проблемой. Чтобы убедиться во всем сказанном, рекомендуем
читателю в качестве упражнения решить систему A97) при т = 4
и т = 8 вначале каким-либо способом, не используя условий
A96), а затем при помощи этих условий.
Отметим, что впервые, по-видимому, условия ортогональности
тригонометрических функций для дискретных, равноотстоящих
аргументов были применены для практического гармонического
27 П. Ф. Фильчакоа 417
анализа А. Н. Крыловым [104, § 53, стр. 156—158; 1-е изд., § 53,
стр. 194—198] и первая публикация по данному вопросу была сде-
сделана А. Н. Крыловым в 1906 г. в литографированом издании курса
{104]. Но этот факт остался незамеченным и не был, к сожалению,
использован при разработке приближенных методов конформных
отображений. Исключение составляют только весьма интересные
работы Ю. В. Благовещенского [13, 14]. Более компактное дока-
доказательство этих условий приведено у К- Ланцоша [137, гл. IV,
,§ И].
§ 60. СИММЕТРИЧНЫЕ ОБЛАСТИ.
ШАБЛОНЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИИ
Несмотря на исключительную простоту формул A97), A98),
вычисления по ним при больших значениях т весьма трудоемки»
При решении же практических задач в большинстве случаев ряд
A93) сходится довольно медленно и часто возникает необходимость
определять полиномы Р±т(£) до значений т = 64 и т = 128. При
этих условиях техника вычислений перерастает в самостоятельную
проблему, от успеха решения которой зависит и успех решения
всей задачи о конформном отображении наперед заданных областей.
Для углов ф£ и ф4ц-ь если они определены формулами A99)
или A99'), т. е. если они принадлежат к введенным в § 59 системам
четных или нечетных точек, делящих единичную окружность
| £ | = 1 на т равных частей, будем иметь
Dix — k) л п п
4V-* = ~2ц = 2л — щ; 2ц = т.
Тогда при любом целом j
sin /Ф4д_, = sin / Bл - ф,) = - sin /ф,;
cos j<piti_k = cos / Bл — фА) = + cos j<pk
и формулы A98) мы можем представить также в следующем виде:
т/2
А' = Ш 2(ЛГ* + ^-ft)cos щк + (yk — y4)i_k) sin /<pfc; C.211)
k=\
-k~Xk) sin/cp*+(y*+у^cos ^*?
где, как и прежде, / = 1, 2, ..., т, но верхний индекс суммирования
равен ~ = |л, а не m = 2|л, как в A98).
418
Например, для первой из формул A98) имеем
cos
sin W =
1
m/2
= m 2(ЛГ*cos /(Pfc
4tl~*cos /ф4д~*
sin
sin
Отсюда, воспользовавшись формулами приведения B10) и при-
приводя затем подобные члены, тотчас же получаем B11). Формулу
B11') получаем аналогично.
Рис.
Остановимся теперь на случае симметричных областей, которые
часто встречаются на практике.
Пусть область г имеет q осей симметрии, причем первая ось
обязательно должна быть совмещена с осью х.
При q = 1, в силу симметрии, имеем (рис. 112):
лг4,и_* = + хк; у ,г = — ук; у0 = у = 0. C. 212)
Подставив эти значения в формулы B11), получаем для четных
или нечетных k — 2v; k = 2v + 1; v = 0,1, ..., \x. — 1, для кото-
fat
m/2
Af = IK
cos ;cp*
sin /^J 5/ =
- 213)
k=\
при любых значениях т = 2ц > 2 и / = 1, 2, ..., т.
Формулы B13) остаются справедливыми и в предельном случае
при m-^ со. Следовательно, если ось х является осью симметрии
27* 419
для области z, то все коэффициенты ряда A93) суть числа действи-
действительные:
с/ = а/; 6/ = 0; / = 1, 2, 3, ...
Для симметричных областей упрощаются также и формулы
для вычисления координат узловых точек, так как, начиная с q = 1,
согласно B13) имеем Вп = 0 и тогда формулы A97) приобретают
более простой вид:
т т
xk = V Ап cos пц>к; yk = V Ап sin nyk; k = 1, 2, ..., m. C.214)
л=1 л=1
При </ = 2, т. е. когда осями симметрии являются оси коорди-
координат хну, имеем дополнительно к условиям B12):
•^2,и—k == Xk> ^2ц k == ~* Уку "^V1 ^^ *^ЗМ< == ^' (^" ^1Ь)
Далее, для углов
B|х — k) it _
согласно формулам приведения имеем
sin /ф2 _£ = sin / (л — фА) = (— 1) sin /фА,
cos /qp2 ft = cos / (л — фА) = (— 1)' cos }(fk.
Поэтому в B13) мы можем снова уменьшить вдвое верхний
индекс суммирования (а следовательно, и объем вычислений,
так как половина умножений будет заменена сложениями), выпол-
выполнив следующие преобразования:
т/2
2 VI . '
Aj = — > xk cos /фА + yk sin /фй =
m/4
' ;A cos /фА -|- X2,u-ft cos /ф, _A) -\- (yk sin /ф^ + i/2u,-ft sin /Ф2„_й).
Отсюда, воспользовавшись формулами B16), мы и получаем
т/4
Формула B17) справедлива при q = 1. Но если область имеет
420
две оси симметрии, то, учтя дополнительные условия B15), будем
иметь
х 4- ( п'г -г и ( п/, f2** при/= 1,3,5,..., т — 1,
(о при j = 2, 4, 6, ..., т = 2ц
«/,-(- »V. = ft[1 -(-»'! =
о при j = 2, 4, 6, ..., т = 2ц;
Р "РИ' = "'3'5 ""'■
о при ] = 2,4,6,..., т = 2ц.
Следовательно, при q = 2 согласно B17) все четные коэффи-
коэффициенты обратятся в нуль—А; = A2v = 0, а нечетные будут опре-
определяться формулой
т/4
^y\ sini%y' /=1,3,5 т— 1, C.218)
т. е. ряд A93) будет иметь только нечетные степени £,:
c1+2v=a1+2v; 61+2v = 0 C.219)
v=0
и все его коэффициенты будут действительными числами.
Далее, при условии B15) непосредственно из B14) получаем
А\+2) = *0; А[-2) = у» C. 220)
и тогда по формуле удвоения индекса B01) определяем начальные
значения Л/~4 при q = 2:
Л(+4) }—(v -i- ii V /!|Ч~4' — (г // ^ (Ч 990'^
1 о \ 0 i и m/j 3 о \ 0 ^'м,' ^ ^^\/ ^
Формулы для определения всех остальных (нечетных) А)~т)
будут выведены несколько позже.
При q = 4 имеем дополнительно к B12) и B15):
** = У»-к> х»/2 = Уц/v (З- 221)
и, повторив предыдущие выкладки, доказываем, что ряд A93)
имеет вид
C. 222)
При этом находим, что отличными от нуля будут только А\^-т)
для j = 1 + 4v; v = 0, 1, 2, ..., -j- (m—1), а начальными А\+т)
421
будут
Л<+8) = ±
А{+8) = | (*о -
- C. 223)
Продолжая этот процесс, можно показать аналогичным путем,
что при q осях симметрии (первая из которых совпадает с осью х)
ряд A93) будет иметь следующий вид:
: 2ц a
C. 224)
v=0
При q = oo получаем преобразование подобия
как и должно быть, потому что область с бесконечным числом осей
симметрии есть только круг.
Исследуем теперь подробнее дважды симметричные области
(<7 = 2), которые часто встречаются на практике, а остальные
случаи рассмотрим в § 63.
Прежде всего придадим формуле B18) вид, наиболее удобный
для вычислений.
Для углов
__ (|х — k)n я £я _ я т
воспользовавшись формулами приведения, имеем для нечетных
/ = 1, 3, 5, ...
1=1 1=1
sin ]\_k = (— 1) 2 cos j<pk; cos /Фд_А = (— 1) 2 sin jq>k; C. 225)
для четных / = 2, 4, 6, ...
sin jq>ll_k = — (— 1)//2 sin /qy
cos /фд_А = (— 1)//2 cos j(pk,
или в табличной форме
C. 225')
cos /фд_
/
= sin /|
t=COS/|
я
,2
я
т
-*)
1
+ с«9,
+sin ф^
2
+sin 2ф^
—cos 2ф£
3
—cos Зф^
—sin Зф^
4
—sin 4ф£
+cos 4ф^
5
+COS Щ
+sin фА
422
В формуле B18) можно перейти к индексу суммирования, умень-
уменьшенному в два раза, если удвоить число членов под знаком суммы,
представив формулу B18) в следующей форме, эквивалентной
исходной:
т/8
X ^*cos Уф*+ x*~k cos /фд-^ + {i)k sin mk+ y»-k sin />фи-*)-
Тогда, для нечетных /, согласно формулам приведения B25),
получаем
т/8
А> = 4 j (У* ± ^ S'n /ф* + ^ ± У»-ь] COS /ф*' C> 226)
где в круглых скобках берем знак (+) при / = 1 + 4v и знак (—)
при 7 = 3+ 4v; v = 1, 2, 3, ...
При четных / == 2/г для дважды симметричных областей, как
уже было показано, все коэффициенты Л/ = Ачп == 0.
Вводя обозначения
a2=pi; v+i = J:vi ^д+v'
!sin/ф = sin jv —; v = 2n—1,
m C.227)
cos /cpv_! = cos/ (v — 1) i ; v = 2/г
и снова возвращаясь к верхнему индексу суммирования, равному
-j-, мы теперь легко придади
удобный для вычислений вид:
-j-, мы теперь легко придадим формуле B26) следующий наиболее
т/4
* = ■£•£">•*'•■ C-228)
v=l
где величины a/v обладают свойством периодичности по индексу /:
в силу чего первый индекс / у величин a/v в случае дважды симмет-
симметричных областей (q = 2) всегда можно привести к одному из двух
значений:
/ = 1 или / = 3.
Отметим также, что величины a/v выражаются через координа-
координаты точек заданного контура, а величины g,v являются постоян-
423
ными, не зависящими от формы границы отображаемой области,
которые для каждого фиксированного т вычисляются один раз
навсегда.
В приложении II нами составлены для случая q = 2 шаблоны
для вычисления всех A^j~m) при т = 4; т = 8; т = 16; т — 32;
т = 64, в которых приведены также все необходимые значения
g!v (с восьмю десятичными знаками) и для каждого /п даны в раз-
развернутом виде величины a/v.
В этих же шаблонах приведены и аналогичные величины a,v
для отображения внешних областей, о чем более подробно будет
сказано в § 64.
При т > 8 все шаблоны построены на основании формулы
B26), в которой при вычислении A{j~m), как уже отмечалось, сумми-
суммирование надо вести только по нечетным k, т. е. в индексе сум-
суммирования произвести замену k -> 2 v— 1.
Коэффициенты А*~4) находим непосредственно из формулы B18),
положив в которой т = 4; k = 1; фх = — = —г ; / = 1; 3, полу-
получаем
А(ГА) = оц sin -5-; 4~4) = аи sin — , C. 230)
где
Присоединив сюда начальные значения Л/+т) B20'):
4+4) = |(*о + ^); Л<+4) = у(*о-уц); и = 2
и воспользовавшись затем формулой удвоения индекса т B01),
мы по известным А\~~т)\ т = 4; 8; 16; 32; 64 легко можем вычислить
все последующие AJ+m}, включая и + /п = 128.
Для однотипности записей в шаблонах все glv при помощи
формул приведения выражены через синусы острых углов и,
кроме того, в этих шаблонах непосредственно приведены значения
величин — glv, что согласно формуле B28) избавляет от последую-
последующего умножения результата суммирования на постоянный множи-
4
тель —.
т
В качестве иллюстрации в левой половине табл. 31 приведен
шаблон при q = 2, т = 8 для вычисления всех Л/~8). В правой
половине этой таблицы приведен образец самих вычислений, вы-
424
полненных для следующих предварительно найденных значений
нечетных узловых точек:
k
1
3
ч
1,1873
0,2779
Ук
0,7264
1,0000
Согласно формуле B28) прежде всего вычисляем величины a/v. Для этого
устанавливаем на арифмометре уг= 0,7264, переносим его в установочный счетчик,
затем снимаем yi и, установив х3 = 0,2779, при помощи одного положительного
оборота получаем аи = yi -$■ х3 = 1,0043, которое и записываем в расчетной таб-
таблице. Сохранив результат, при помощи двух отрицательных оборотов находим
а3\ = аи — 2хз = yi — х3 = 0,4485.
Аналогичным путем в один прием вычисляем ai2= xi + у3 и азг = an — 2j/3=
= Х\ — уз-
Определив все a,-v, переходим к вычислению коэффициентов Л1~8), беря зна-
значения всех g-vc пятью десятичными знаками, поскольку исходные значения xk,
у, в этом примере даны с четырьмя десятичными знаками.
Установив согласно шаблону YSl = 0.19134, умножаем его наац= 1,0043,
1
затем, не снимая результата, устанавливаем -к s3 = 0,46194 и, умножив его на
ai2 = 2,1873, вычисляем в один прием Л<~8) = 1,20256= 1,2026, поскольку
,_„. 1 1
А^ °> = — (аи sin фг + ai2 cos q>i) = — (au sin ф1 + a12 sin фз) =
kn kn kn hi — k)n
где <sh = — , а кодовые числа su = sin —, так что cos— = sin
Найденный результат округляем до четырех десятичных знаков и записываем в
расчетную таблицу. Затем снимаем результат, но установку -к- sz сохраняем для
вычисления Аь, которое находим, перемножив а- и g-v = {sv\, стоящие в одних
и тех же строках шаблона в колонке Аъ:
— Sl) ai2 = 0,04541 » 0,0454.
Аналогично, сохраняя последнюю установку -„- si, вычисляем Ау ^ =
1 \ / 1 \ 1
— sij «31 — I — S3) аэе= — 0,0007; а затем, воспользовавшись установкой^ S3,
425
находим А[ 8) = + 0,2430. Программа вычислений Ajj 8) и А\ 8) указана в
нижней части шаблона.
В данном примере коэффициент А7 отрицательный, поэтому при его вычисле-
вычислении в результативном счетчике было получено число
9999,999294628 = — 0,000705372 =» — 0,0007,
которое является дополнением к единице истинного значения искомого числа.
Истинное значение отрицательного числа находим, вычтя все цифры дополнения
из 9, а последнюю цифру из Ю.Можнотакже изменить знаки всех s,, на обратные в
колонке А, и непосредственно вычислить — А,= + 0,000705372 = 0,0007. Од-
Однако вычисление при помощи дополнения более удобно, так как не всегда
заранее известно, что результат будет отрицательный, при котором надо вели-
величины s. брать с обратными знаками.
Описанная схема вычислений наиболее экономна и, например, вычисление
всех a-v и А^"8' на арифмометре ВК-1 выполняется в течение 2—3 минут, в
чем читатель легко сможет убедиться, продублировав табл. 31.
Шаблон Aj-m);
sv = sin^b
^-s1 = 0,1913 4172
— s3 = 0,4619 3977
31
«12 = X\ ± Уз
32
m = 8;<? = 2
\
an
\
aai
И32
л(-8)
1
+s3
3
+«3
+4
—Sl
A<-8>
—s3
T а б л
Образец вычислений
/V
11
12
31
32
1,0043
2,1873
m = 8
0,4485
0,1873
I
1
3
5
7
и ца 31
i
+ 1,2026
+0,2430
+0,0454
—0,0007
Вычисление по шаблонам приложения II всех остальных Л/ т
при т > 8 выполняется совершенно аналогично, только число
4 \
произведений I — sk\ a/v в каждой из сумм увеличится и будет равно
-г, т. е. для т = 16 каждый коэффициент вычисляется как сумма 4
произведений (—sft\ a/v, для /п = 32, как сумма 8 произведений
и т. д. При этом каждый из А)~т) вычисляется в один прием без
промежуточных записей, вначале по alv все коэффициенты / = 1 +
+4/г = 1, 5, 9, 13, ..., расположенные в верхней половине шаб-
шаблона, а затем no a3v коэффициенты / = 3+4п = 3, 7, 11, ..., рас-
расположенные в его нижней половине. После вычисления очередного
426
4
Л/, сохраняем последнюю установку — sk, необходимую для на-
начала вычисления одного из последующих коэффициентов Л/, необя-
необязательно стоящего в шаблоне рядом. Например, в табл. 31 мы
после вычисления Л5 перешли к Л7, а затем к Л3. Дальнейшие
замечания по методике вычислений будут сделаны при решении
примеров в § 61, 62.
Таким образом, коэффициенты Л/ очень легко вычислить, как
только известны узловые точки, определение которых и составляет
основную трудность в методе тригонометрической интерполяции.
Итерационный процесс для определения узловых точек zk, из-
изложенный в § 59 так подробно только из методических соображе-
соображений, можно значительно упростить.
Действительно, представим этот процесс в виде следующей
схемы (где k есть число нечетное: k = 2v — 1):
z'v _ A98) -> Л;+т) - A97) -* 4 -* 4 - A98) -*
Согласно этой схеме по первому приближению четных узло-
узловых точек при помощи формул A98) вычисляем коэффициенты Л/+т),
воспользовавшись которыми по формуле A97) вычисляем прибли-
приближенные (внеконтурные) нечетные узловые точки ~к, сносим их на
контур и получаем первое приближение нечетных узловых точек
А = Z2v—1, по которым аналогичным путем находим второе при-
приближение четных узловых точек 22" и т. д.
Но если значения Aj+m\ которые выражаются по формуле A98)
через четные узловые точки, подставить в формулу A97), то мы
исключим коэффициенты Л/+т) и получим формулу, непосредствен-
непосредственно выражающую нечетные точки zk = z2v_i через четные z2v. Ана-
Аналогичным путем легко также найти формулу, непосредственно
выражающую z2v через zk = z2v_i, причем, обращая ее, мы снова
прийдем к первоначальной формуле.
Например, при т = 4 для дважды симметричных областей
(<7 = 2) имеем две четные точки и одну нечетную, причем согласно
формуле B30), которая была получена из A98):
Ai = ЛГ4) = (г/ц/2 -Ь *ц/2) sin —-;
л_л<-4)_/,, * ,tsin —■ „-Л-2
/13 — ^3 —■ \Уи/2 — хц/2) а111 л > Н1 — о —
Тогда, подставив в B14), эквивалентную формуле A97), соответ-
соответствующие значения четных углов cp0 = 0, ср2 = 4р (рис 113) и учтя,
427
что при q = 2, Л2 = А^= 0, получаем для координат четных узло-
узловых точек
х0 = Ах cos 0 + Л3 cos 0 = Ai + А3;
Хц = Аг cos -у + А3 cos -у = 0;
г/о = i4i sin 0 + Л3 sin 0 = 0;
1 sin -у + Л3 sin -у = Ах — Л3,
где Л/ = Л{~4).
Внося сюда значения Л,- , мы и находим формулы, непосред-
непосредственно выражающие внеконтурные четные узловые точки
через заданные контурные нечетные точки zk:
xo=2 sin -^-
г/ц = 2 sin -5-
4
C.231)
причем «/о = 0 и Яц = 0, как и должно быть по условиям симме-
симметрии.
Умножив теперь каждое из уравнений B31) на sin-^-и учтя,
что sin2 -т- = у, обращаем эти уравнения и получаем формулы, не-
непосредственно выражающие внеконтурные нечетные узловые точки
zk = z2v-i через заданные контурные четные z2v:
я
= sin-г
= sin -^-
C. 232)
428
Аналогично при т = 8 согласно B14) для четных углов <р0 =
= 0; фг = "х ; ф4 =-5- (см. рис. 113) имеем
х0 = Ai cos фо + As cos Зфо + Аъ cos 5ф0 + А1 cos 7ф0 =
= Л + As + Аь + А;
*2 = Ai cos ф2 + А3 cos Зф2 + &ь cos 5ф2 + А-, cos 7ф2 =
= (Л, — As — Л5 + Л7) cos -5-;
*4 = Ai cos ф4 + ^з cos Зф4 + Аь cos 5ф4 + Л7 cos 7ф4 = 0;
г/о = Ai sin фо + ^з sin Зф0 +' Аь sin 5ф0 + ^7 sin 7ф0 =0; C. 233)
г/г = Ai sin ф2 + As sin Зф2 + Аь sin 5ф2 + Л7 sin 7ф2 =
= (i4i + ^з — Аь — А7) sin ~;
г/4 = Лх sin ф4 + А3 sin Зф4 + &ь sin 5ф4 + Л sin 7ф4 =
= Ах — As -f- Л5 — Л7,
где Л/ = Л/~8), причем при <7 = 2; Л2 = Л4 = Л6 = Л8 = 0.
Подставив теперь в формулу B26), которая эквивалентна A98),
значения нечетных углов фъ мы после очевидных упрощений полу-
получаем для Л/ = Л/~т) при т = 8, jj, = 4:
Л1 = Л[~8) = + Q/i + *з) si + (xi 4- г/з) s3;
Л3 = Л3~~8) = + (дгх — t/s) Si + (г/i — xs) s3;
Л5 = Л<-8) = + (г/i + xs) Ss — (ATi + уз) Su C. 234)
Л7 = Л^"8) = — (xi — уз) % + (г/i — *з) sb
где согласно ранее введенным обозначениям
. kn kn m
sk = sm <pk = stn — ; ck = cos — = s^-a; jj, = -^-.
Из формул B34) получаем
Лх + Л7 = 2sxyi + 2s3y3; Л3 + As,
Л1 — Л7 = 2s3*! 4- 2si^3; Л3 — Аъ = 2s!*! —
Внося эти значения в B33), мы и приходим к искомым формулам,
непосредственно выражающим z2v через заданные нечетные узло-
узловые точки zk = z2v-u
+ (s3—s0 г/3 = + 1,306^ + 0,5412г/3; C. 235)
х2 = — с2 (s3 — si) г/i + с2 (s3 + sx) г/3 = — 0,3827г/х 4- 0,9239г/3
429
и
у2 = + s2 (s3 4- sx) X! — s-t (s3 — sO хъ = 4- 0,9239*i— 0,3827*3; C. 235')
г/4 = + (S3 — Si)#i 4- (s84- Si)*3 = + 0,5412*i 4- 1,3066^
где
Si = sin -5- = sin 22°,5; S3 = sin -4- = sin 67°,5;
о о
, 2я . ...
s2 = c2 = sin -5- = sin 45 .
о
Решая каждую из систем B35), B35') относительно нечетных
узловых точек, т. е. обращая эти системы, получаем формулы, кото-
которые выражают zk = z^-i через заданные четные узловые точки z2v
при т = 8:
*i = 4- s2(s,+ Si) г/2 + 4" («3 — si) г/4 = 4- 0,9239г/2+ 0,2706г/4;
j C.236)
х3 = — Sa (s3— st) г/2 4- у (Ss + si) г/4 = — 0,3827г/2 f- 0,6533г/4
и
г/i = 4- ^ (s» + si) ^o — Сг (s»~ si) *г = + О,6533*о— 0,3827*2;
C. 236')
г/8 = + (S3 — Si) л^о + с2 (s34- Si) *2 = 4- 0,2706*0+ 0,9239*2.
Легко видеть, что каждая из систем B35), B35') обращается
очень просто, если умножить ее на столбец при соответствующем
неизвестном, взяв эти множители при *0 и уд = у4 с весом 1/2.
Например, для того чтобы определить уъ умножим первое урав.
нение B35) на -^ (s3 + sx), а второе на — с2 (s3— sx) и мы полу-
получим в один прием первое уравнение B36'):
-у (ss + si) *0 — с2 (s3 — si) *2 = -у [(s3 + s2J + (s3 — siJ] у! +
+ у Ksi — sx) — (S3 — Si)] г/3 = г/ь
так как
c\ = cos2 45° = -i-; s2 + Sj = cos2^- + sin2-^- = 1.
Продолжая этот процесс и учтя, что в случае q = 2 для / =
= 1, 3, 5 ...
т/4—1
г/^sin /фА; ^ = 1, 3, 5, ... ; C. 237)
т/4—1
430
получаем для любого т = 2,22, 23, ... следующие формулы:
",'2v%; ft = 2v—1= 1, 3, 5, .... ц —1;" C.238)
bv = J] Yi1. а,**; *2д =0; г/о = 0, C. 238')
где
т/4
l)(*-2v) + SB/_l)(ft+2v)};
Y",2v = — Y"i*.n-2v> C.238")
обращая которые будем иметь:
Д/2-1
Y2" кУы 2v = 0, 2, 4, ..., ц — 2; C. 239)
v=0
Д/2
v11 л-о • 2v — 2 4 и — — (Ч 9W»
v=l
где коэффициенты транспонированных матриц определяются по
формулам:
Y2v. k = \. 2v ПРИ v * 0 и Yo. * = у Ъ. о- C- 239">
Замечание 1. В формулах B38), B39) индекс суммирования /г пробе-
пробегает только нечетные значения, т. е. под k мы теперь понимаем целое нечетное
число k = 2v — 1=1,3, 5... В случае четных узловых точек вместо индекса k
мы будем употреблять индекс 2v и в соответствии с этим четные узловые точки
будем в дальнейшем называть также 2\-точки, сохранив только за нечетными уз-
узловыми точками название k-точки.
Замечание 2. Образ окружности | £ | = const при отображении, осу-
осуществляемом полиномом л-й степени г = Рп(£,), называют лемнискатой [277,
гл. III, § 33]. Если заданная область г ограничена лемнискатой, то при т > п
все приближенные (внеконтурные) точки zk, определяемые по точным узловым
точкам г^, будут точно лежать на контуре области г. Если же граница области г
не является лемнискатой, то точки zk (или 22v) при любом т не будут лежать на
контуре г, но при т—> оо будут приближаться к контуру как угодно близко.
Формулы B31), B32), B35), B36) справедливы только для лемнискат и поэтому
для полной строгости в случае произвольных областей г в левых частях этих фор-
формул надо х, у заменить на х, у, как это сделано в B38), B39).
Коэффициенты у в формулах B38), B39) не зависят от отобра-
отображаемого контура, а зависят только от т и углов cpt= cp2v-i или cp2v,
431
причем между этими коэффициентами существует следующая
связь:
11 in
1
где ц =
C. 240)
Поэтому целесообразно коэффициенты у вычислить один раз на-
навсегда, а сами формулы B38), B39) представить в виде шаблонов,
содержащих матрицы соответствующих коэффициентов у.
Таблица 32
Данные
\ к
2v\
X
1
+0,6407 2886
—0,4157 3481
—0,0746 5783
—0,0228 8733
7,
11 y"v, k 11 : т
= 16; G = 2
Искомые
Уз
+0,2249 9406
+0,7910 6508
—0,5132 7997
—0,0975 4516
Уъ
+0,1503 3622
+0,3524 4295
+0,7681 7776
—0,4903 9264
х-л
Искомые
- 11 Yzv, k а;
т = Id, q = /
г/т
+0,1274 4889
+0,2777 8512
+0,3753 3028
+0,8657 2292
г/s
Уе
|\2v
Данные
В табл. 32 приведен шаблон для вычисления приближенных
нечетных точек zk по заданным четным узловым точкам z2v при т=
= 16, т. е. в этом шаблоне приведена матрица коэффициентов ||Y2v, 4
для вычислений по формулам B39) при т = 16, q = 2.
Все матрицы ||Y2v, *|| и ||у*, 2v||, вычисленные нами с восьмю
десятичными знаками для случая дважды симметричных областей
(<7 = 2) при т = 4, 8, 16, 32, 64, приведены в соответствующих
шаблонах приложения II.
Вычисления при помощи этих шаблонов осуществляются пре-
предельно просто. Например, при вычислении yk согласно табл. 32
каждое из заданных значений в колонке х0, х2, xt, х6—х^—2 умно-
умножается на соответствующий коэффициент у, стоящий в шаблоне
в той же строке в колонке ук (k = 1,3, 5, 7), и все эти произведения
в соответствии с формулой B39') суммируются, в результате чего
и получаем искомое yk. Вычисления такого типа выполняются на
арифмометре в один прием без промежуточных записей и будут
рассмотрены более подробно в § 61.
В силу формулы B40) матрицы || y\lv, k \\ и — || у[£; * \\ между
собою совпадают, поэтому шаблон для вычисления xk по формуле
432
B39) можно совместить с шаблоном для вычисления ук, располо-
расположив только заданные значения у%, yit y6, уа = г/д слева, снизу
вверх, а искомые xk (k = 1, 3, 5, 7) внизу, справа налево (анало-
(аналогично тому, как совмещают в одной таблице таблицу синусов и ко-
косинусов на основании формул приведения). Для большей нагляд-
наглядности соответствующие величины в шаблонах следует «поднять»,
обведя их цветным карандашом.
§ 61. МЕТОДИКА ВЫЧИСЛЕНИИ ПРИ ПОМОЩИ ШАБЛОНОВ.
ПРИМЕРЫ
Прежде чем перейти к методике вычислений, которую рассмот-
рассмотрим на примерах, заметим, что если часть контура есть дуга окруж-
окружности
(х — аJ + (У — bf = R2, C. 241)
Рис. 114.
то снос по нормали приближенных (внеконтурных) точек zk на эту
дугу осуществляется по формулам:
xk— a = -~(xk— a); yk — b = ~
C.24Г)
где
El = (ж* —а)»+ &—&)».
Вывод формул B4Г) ясен из рис. 114.
Пример 1. Отобразим с точностью до 1 б | < 0,00005 единичный круг
(£[< 1 на область г, ограниченную коробовой кривой, т. е. на скругленный
прямоугольник, размеры которого (для его четверти) указаны на рис. 115.
28 П. Ф. Фильчаков
433
Из условий симметрии и нормировки A92) нам известны две
узловые точки, а именно
*о=1.5; г/о = ° и *д = °; г/д=1'0,
являющиеся образами точек окружности г=\ при cpo=O и срд = ^-.
Приняв эти точки в качестве заданных четных узловых точек
при т = 4, ц — 2, мы по формулам B32) находим координаты
соответствующей им приближенной нечетной точки
7Г = 0,707; 7i= 1-061,
(точн)
Рис. 115.
которую сносим по нормали на контур (являющийся в^ данном
примере при х > а дугой окружности) по формуле B41'), поло-
положив в ней а = 0,5; 6 = 0; R = 1,0.
В результате получаем:
/??=■ 1,169; &= 1,081; ^ = 0,691; г/i = 0,981.
Проводить итерационный процесс при q = 2 на уровне m = 4
нет смысла, так как в этом случае полином Р+т (£) однозначно
определяется узловыми точками г0, гд (и симметричными им).
Поэтому переходим сразу к т = 8 (jj- = 4), взяв в качестве
четных узловых точек z0, 2Д и вновь найденную г2 = дг2 + гг/2
(которая при /п = 4 была точкой zA = zi = дп + гг/i). Для того
чтобы в дальнейшем при каждом последующем увеличении т не
обозначать одни и те же точки различными номерами, припишем
масштабному множителю нумерации точек ц сразу достаточно
большое значение, например ц = 16. Если в процессе дальней-
434
шего счета выбранное ц окажется не достаточно большим, его легко
увеличить.
Эти же вычисления удобнее выполнять в табличной форме.
Так, в табл. 33 приведен начальный этап вычислений при взятом
(j, = 16, который мы уже выполнили для т = 4.
При т = 8 заданными четными точками, т. е. 2у-точками,
будут (в масштабе jj, = 16) точки 2v = 0; 8; 16, которые при ц =
=-~ = 4 соответствуют точкам 2v=0; 2; 4. Подставив их коорди-
координаты в формулы B36), B36') или воспользовавшись шаблоном т =
= 8; q = 2 приложения II, вычисляем приближенные А-точкн:
Т4 = 0,9239 • 0,981 + 0,2706 • 1,000 = 1,1769; ~12 = 0,2779;
1/4 = 0,6533 • 1,500 — 0,3827 - 0,691 = 0,7155; ~уп = 1,0443,
соответствующие при ц = -^- = 4 нечетным точкам k—l и k=3.
Формулы сноса приближенных точек по нормали согласно B4Г)
в данном примере (а = 0,5; 6 = 0; R = 1,0) будут
Ч = 0,5 + 4- (ж* - 0,5); ук = -±гЪ Й = («* — 0.5J + 72k
при 0,5 < ж* < 1,5 C.241")
и для прямолинейного участка границы
Xk = Xk, */*=!; пРи 0<л;*<0,5, C.24 Г")
так как этот участок параллелен оси х и его уравнение будет
Тогда точку z4 сносим по формуле B4Г) и получаем для нее:
£42 = 0,9701; ^4= 0,9849; -±-=1,0153; х*=- 1,1873;
г/4 = 0,7264;
а для точки 2ц согласно B4Г") имеем л;^ = х-м = 0,2779; г/и =
= 1,0000.
Точки z0, 2Д сносить нет надобности, так как известны точные
значения х0 = 1,5; у0 = 0; яд = 0; #д = 1,0.
Полученные результаты записываем в табл. 33.
Контур области z на рис. 115 есть кусочно гладкая кривая,
но в точке х = 0,5; у = 1 радиус кривизны терпит разрыв непре-
непрерывности и скачком переходит от значения R = <х> к значению
R = 1. Поэтому в данном примере сходимость у ряда A93) будет
28* 435
Исходные данные
2v
0
16
x2v
1,500
0
«fcv
0
1,000
Нулевое
приближение
m=4
k
О
о
~<?
0,707
У ft
1,061
1,169
1,081
2v
0
8
16
X 2v
1,500
0,691
0
1,@)
У 2v
0 _
0,981—
1,000—
Шаг
л=1
m=16
T T
/2 = 11
1С
/71=10
л=Ш
m 1С
/71= JO
n=IV
m=32
JX= 16
n=V
m=32
H=16
2v
0
4
8
12
16
0
4
8
12
16
0
4
8
12
16
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0
2
4
6
8
10
12
14
16
M
2v
1,5000
1,1873
0,6910
0,2779
0
1,5000
1,1821
0,6439
0,2769
0
1,500000
1,181600
0,643120
0,276640
0
1,500000
1,409687
1,181549
0,904039
0,643033
0,436689
0,276597
0,134358
0
1,500000
1,409643
1,181772
0,903736
0,643741
0,436545
0,276285
0,134426
0
У 2v
0
0,7264
0,9810
1,0000
1,0000
0
0,7313
0,9896
1,0000
1,0000
0
0,731730
0,989700
1,000000
1,000000
0
0,415294
0,731772
0,914741
0,989718
1,000000
1,000000
1,000000
1,000000
0
0,415390
0,731565
0,914876
0,989615
1,000000
1,000000
1,000000
1,000000
k
2
6
10
14
2
6
10
14
2
6
10
14
1
3
5
7
9
11
13
15
1
3
5
7
9
11
13
15
Xk
1,4022
0,9001
0,4417
0,1351
1,40976
0,90434
0,43678
0,13438
1,410174
0,904210
0,436689
0,134358
1,476548
1,307695
1,043635
0,768775
0,531944
0,353256
0,203940
0,066792
1,476570
1,307513
1,043805
0,768651
0,531994
0,353268
0,203945
0,066794
— (n)
Ук
0,4095
0,8950
1,0385
1,0209
0,41358
0,91510
1,00097
1,00094
0,415516
0,915128
1,000319
1,000280
0,214971
0,589924
0,838931
0,963726
0,998885
0,999744
1,000166
0,999960
0,214972
0,589777
0,839163
0,963202
0,999457
0,999977
0,999980
0,999982
0,9817
0,9611
.
0,99871
1,00090
1,001070
1,000845
0,999859
1,000382
0,999344
1,001008
0,998792
—
0,999902
0,999914
0,999918
0,999931
0,999938
—
436
Таблица 33
Нулевое приближение
т=8
k
7<°>
хн
1 1
4
12
1,1769
0,2779
0,7155
1,0443
*!
0,9701
—
0,9849
>
т=16
2v
0
4
8
12
16
*2v
1,5000
1,1873
0,6910
0,2779
0
У\х
0
0,7264
0,9810
1,0000
1,0000
—0,009200
—0,019600
+0,038500
+0,020900
—0,000645
+0,000450
+0,000970
+0,000940
+0,000535
+0,000422
+0,000319
+0,000280
—0,000070
+0,000191
—0,000328
+0,000504
—0,000604
—0,000256
+0,000166
—0,000040
—0,000049
—0,000043
—0,000041
—0,000034
—0,000031
—0,000023
—0,000020
—0,000018
1,4106
0,9081
0,4417
0,1351
1,41035
0,90416
0,43678
0,13438
1,409687
0,9040™
0,436689
0,134358
1,476617
1,307541
1,043813
0,768640
0,531963
0,353256
0,203940
0,066792
1,476618
1,307548
1,043827
0,768660
0,531995
0,353268
0,203945
0,066794
yV
0,4134
0,9129
1,0000
1,0000
0,41385
0,91469
1,00000
1,00000
0,415294
0,914741
1,000000
1,000000
0,214986
0,589811
0,839206
0,963240
0,999488
1,000000
1,000000
1,000000
0,214983
0,589802
0,839197
0,963235
0,999488
1,000000
1,000000
1,000000
2v
0
4
8
12
16
0
4
8
12
16
0
4
8
12
16
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0
2
4
6
8
10
12
14
16
~(«+i)
X 2v
1,4962
1,1806
0,6440
0,2769
0
1,49750
1,18176
0,64312
0,27664
0
1,499375
1,181195
0,642985
0,276597
0
1,500063
1,409698
1,181808
0,903753
0,643745
0,436545
0,276285
0,134426
0
1,500052
1,409688
1,181805
0,903756
0,643750
0,436547
0,276286
0,134426
0
~(n+I)
У 2V
0
0,7297
0,9902
1,0051
1,0045
0
0,73190
0,98968
1,00009
1,00010
0
0,731392
0,989386
0,999804
0,999825
0
0,415415
0,731603
0,914914
0,989643
0,999997
0,999995
0,999995
0,999994
0
0,415409
0,731595
0,914909
0,989642
1,000022
1,000017
1,000015
1,000015
Та
' 0,9956
1,0012
—
—
1,00047
0,99995
—
—•
.
0,998961
0,999329
—
—
1,000120
1,000105
1,000084
1,000056
—
—
—
1,000097
1,000089
1,000077
1,000055
—
—
—
блица 34
*2v
—0,003800
—0,002200
+0,000600
+0,005100
+0,004500
—0,002500
+0,000235
—0,000025
+0,000090
+0,000100
—0,000625
—0,000519
—0,000335
—0,000196
—0,000175
+0,000063
+0,000060
+0,000052
+0,000042
+0,000028
—0,000003
—0,000005
—0,000005
—0,000006
+0,000052
+0,000048
+0,000044
+0,000038
+0,000027
+0,000022
+0,000017
+0,000015
+0,000015
437
медленная и, следовательно, на уровне т = 8 нецелесообразно
проводить итерационный процесс, так что мы сразу переходим
к т = 16.
В соответствии с этим найденные при т = 8 &-точки мы
принимаем при т = 16 в качестве первого приближения для 2v-
точек, записав их в строках 2v = 4 и 2v = 12 колонок #2v, y\v
Добавив сюда строки 2v = 0, 8,16 из колонок xl°l, yiV при т — 8,
т. е. объединив k-точки и 2у-точки при т = 8, мы получаем
первое приближение всех четных узловых точек для т = 16, на
чем и заканчиваем подготовительный этап, позволяющий теперь
перейти к итерационному процессу сразу на уровне т = 16. Най-
Найденные в табл. 33 результаты переписываем в табл. 34 в качестве
исходных значений для точек x2nv\ у2У первого шага (п = I)
и переходим к их уточнению. На рис. 115 точки z\v отмечены
кружками на контуре. На этом же рисунке черточками отмечено
истинное положение узловых точек z6, z8, zi0. Остальные точки мы
не нанесли, чтобы не затемнять рисунка.
Итерационный процесс выполняем при помощи шаблонов при-
приложения II, которые надо разрезать на отдельные карточки,
в соответствии с их номерами.
Расположив шаблон [y2v к; гп == 16; q = 2], который представлен также в
табл. 32, левее записанной колонки исходных значений xl2vii перемножив, не сни-
снимая результатов, коэффициенты y2v> * из колонки у\ и значения xl2v, стоящие в од-
одних и тех же строках, получаем в один прием:
^1 = 0,6407 • 1,5000 — 0,4157 • 1,1873 — 0,0747 • 0,6910 —
— 0,0229 • 0,2779 = 0,40950778 := 0,4095,
которое и записываем в колонке гД"' как у2 (поскольку мы приписали ц значение
ц = 16, а не |j, = -q" = 8, как должно быть при гп= 16). Аналогично, перемножив
коэффициенты y2v, * соответственно из колонок у3, уъ, у, на те же x2v, вычисляем
в один прием (при нумерации точек в масштабе ц = 16):
~' = 0,8950; ~t,[0 = 1,0385; ~lu = 1,0209.
Затем, переместив шаблон на одну колонку правее и совместив его с колонкой
заданных значений г/2"' = y\v, тем же путем вычисляем:
~i= 1,4022; хЦ = 0,9001; л£ = 0,4417; £=0,1351,
которые и записываем в табл. 34 (в масштабе и. = 16) как х12, х^, х110, х1и.
Каждую пару соответствующих множителей в шаблоне и в табл. 34 отмечаем
какими-либо марками, например мелкими монетами. При этом, определяя xftj .
438
умножение ведем на встречных курсах, т. е. самый нижний множитель y2v ь умно-
умножаем на самый верхний (отличный от нуля) множитель уг = у,4) = 0,7264, затем
марки перемещаем соответственно на одну строку вверх и вниз и заканчиваем
вычисление, когда первая марка достигнет верхней строки шаблона, например:
Ti = 0,8657 • 0,7264 + 0,3753 • 0,9810 + 0,2778 • 1,0000 +
+ 0,1274 ■ 1,0000 = 1,4022.
Найденные приближенные точки гк сносим на контур при х. < 0,5 согласно
B4Г"), просто переписав xk в колонке х. и положив ук = 1,0000, а при х. > 0,5
по формуле B41").
Для этого вычисляем в один прием
извлекаем квадратный корень, например, по таблицам Барлоу [254] или по фор муле
1 1
К 1 ± е = 1 ± — е— - е2 ± . . .
2. о
и по найденному Rk% не записывая его в табл. 34, определяем множитель __. ,
который переносим в установочный счетчик и.умножив соответственно на (хк— 0,5)
и на ук, непосредственно определяем по формулам B41") xk и ук.
Установку Rk, еще до вычисления по ней -^-, мы использу-
ем также для вычисления величины отклонения (по нормали)
приближенных точек zk от заданного контура:
а* = #1 —/? = /?*—1 при 0,5<л;*<1M. C.242)
На прямолинейном участке, т. е. при 0 ^ Xk =£ 0,5, имеем
** = Й-1. C-242')
Записав в табл. 34 вычисленные значения б*, Xk, yk, заканчиваем
первую половину шага п = I. Вторую половину шага выполняем
совершенно аналогично при помощи шаблона ty*, 2v! «г =16; q =
— 2J, который размещен на оборотной стороне шаблона [^2у, *;
m = 16; q = 2]. В результате по первому приближению k-m-
чек (xlk, ylk) в один прием без промежуточных записей вычисляем
второе приближение z2v точек, которые после сноса на контур
дают исходные значения xl*v, y^v для второго шага (п = II).
Вычисления во втором шаге выполняем уже с пятью десятичными
знаками, а в третьем шаге — с шестью.
Выполнив третий шаг, мы видим, что при m = 16 конечные
439
результаты итерации *£j,+I), #2^+1) практически совпадают с исход-
исходными данными х$, yW, например:
хш= 1,181600; уш = 0,731730;
4 4
^v = 1,181549; #™ = 0,731772.
Следовательно, на уровне т = 16 итерационный процесс за-
заканчивается при п = III и большей точности при т = 16 мы не по-
получим. С другой стороны, отклонения 8 при /г = III еще не дают
требуемой по условию точности:
|8(< 0,000050.
Поэтому в IV шаге переходим к т = 32, для чего в колонках
исходных значений х$, у$ записываем в строках 2v = 0, 4,
8, 12, 16 конечные значения аг££+1), У{21+1), найденные в III шаге
после сноса на контур точек х(£+1>, у(£+1К а в строках 2v = 2,
6, 10, 14 значения х(£>, y{kn\ найденные в первой половине III
шага, т. е. объединяем четные и нечетные точки III шага.
Вычисления в IV шаге выполняем совершенно аналогично,
только пользуемся теперь шаблонами [y2V. *', т = 32; q — 2],
[у*, 2v'. т = 32; q = 2], каждый из которых для уменьшения их
размеров размещен на двух сторонах карточки; например, для
Y2v, k- на одной стороне уъ у3, у6, у7 (и внизу, хи, ххз, хц, х9) и на
другой стороне у9, уи, у13, у1Ъ (и хъ хъ, х3, xt).
При т = 32 величина ц принимает не условное, а свое истинное
значение ц — ^- = 16 (т. е. масштабный множитель для нее теперь
равен единице) и А-точки действительно переходят в нечетные
точки: k — \, 3, 5, ..., 15 = ц — 1.
После двух итерационных циклов процесс на уровне т = 32
заканчивается, так как х^, у^ (эти значения приведены в
табл. 35) в пределах точности вычислений совпадают с x%v, y^v,
следовательно, дальнейшее продолжение итерационного процесса
на уровне т = 32 новых результатов не даст. Но в данном при-
примере точность полученная при т = 32 удовлетворяет заданным
условиям, поскольку для всех &-точек и всех 2у-точек в V
шаге имеем:
1 8 \ < 0,000050.
Исключение составляет лишь точка Zq"+1>> Для которой 8 =
= + 0,000052, но погрешность в этой точке несущественна, так как
нам известно точное значение узловой точки zo = xo= 1,5.
Отметим, что вычисления в табл. 34 надо проводить, наращивая
постепенно точность, а на заключительном этапе (при п - V)
440
для устранения ошибок округления в коэффициентах у их значе-
значения в шаблонах надо брать с одним лишним десятичным знаком,
т. е. для обеспечения пяти верных десятичных знаков результатов
у берем с 7-ю десятичными знаками, а координаты (х; у) —с 6-ю.
Итак, после пяти шагов мы определили с наперед заданной
точностью все необходимые узловые точки, которые переносим
в табл. 35 и по шаблонам для Л/~т) заканчиваем решение примера.
Начальные значения Л/+4) находим, подставив х0 = 1,500000,
Ун = Уи= 1,000000 в формулы B20'). Затем по шаблону для
т = 4 или по формулам B30) для х^р. = xs = 0,643746; г/д/2 =
= Уя = 0,989615 вычисляем Л{~4) = 1,154961; Л£~4) = 0,244566.
Все коэффициенты Л'.~"8)определяем согласно образцу вычислений, приведен-
приведенному в табл. 31, по (xt; yt) и (х^; уц), которые соответствуют при т= 8нечетным
узловым точкам k = 1 и k = 3. Эти координаты (и их а,/.) набраны курсивом
в колонках х^, y^j правой половины табл. 35. Аналогично, воспользовавшись
шаблоном для т = 16 noxlQ, y^ для 2v = 2, 6, 10, 14 (которые с их а^
набраны в разрядку и при т= 16 соответствуют нечетным узловым точ-
точкам k= 1, 3, 5, 7), вычисляем все Л<~16); /= 1, 3, 5, ... , 15. По нечетным
узловым х\ , yl при т= 32, воспользовавшись шаблоном № 6а приложения 11,
тем же путем определяем все Л(~32'; / = 1, 3, 5, ..., 31 = т — 1.
При вычислении всех А(~т) каждая соответствующая пара значений а1(. и азг>
как уже отмечалось, вычисляется в один прием, например при т = 32, вычислив
и записав в таблице вначале аи = у\ +■ х\ъ = 0,214983 + 0,066794 = 0,281777,
величину а31 = у\ — х\ъ, = 0,148189 находим из аи, сделав два отрицательных
оборота последней установки х\ь = 0,066794; так что вычисление а^., практически >
идет со скоростью записи их значений. Необходимые для вычисления данной пары
аи и a3t величины *£> У/t отмечаем марками (монетами) в соответствующих колонках
расчетной таблицы, перемещая их затем при вычислении следующей пары значе-
значений (Х[ ,-,[; а3 ,-i if как показано стрелками в левой части табл. 35.
По найденным а^ при помощи шаблона для т = 32 вычисляем в один прием
каждый из коэффициентов Л'~32', перемножая, не снимая результатов, а^. и g.-;. =
= {sk},стоящие в тех же строках в колонке вычисляемого Л|"~32). При этом удоб-
удобнее устанавливать множители gj и умножать их на соответствующие а.-;, как
было описано в § 60.
Вычисления по образцу табл. 34 и 35 удобнее всего производить на разверну-
развернутых листах бумаги в одну линейку, в связи с чем и ширина всех строк в основных
шаблонах взята соответствующей этой бумаге. Тогда строки шаблона точно совпа-
совпадают со строками расчетной таблицы, что облегчает сами вычисления и позволяет
каждый из шаблонов легко перемещать в соответствующее место таблицы. Для
того чтобы в процессе вычисления данный шаблон не сбивался с установленного
положения его следует пригружать легким грузом. Кроме того, в шаблонах и в
расчетных таблицах следует «поднять» все знаки минус, обведя их красным ка-
карандашом, это уменьшит ошибки от потери внимания при выполнении таких од-
однотипных вычислений, как суммирование произведений при больших значениях т.
Вычислив все At~m) и зная начальные Л|+4) по формулам удвоения интер-
интервала в индексах B01), легко определить последовательно все Л^+т* для т =
= 8, 16, 32. Для этогоустанавливаем соответствующее ЛН"т', умножаем его на 0,5,
441
k
1
3
5
7
9
11
13
15
Вычисление ^
xk
1,476618
x
1,307548
\
1,043827
0,768660
0,531995
\
\
0,353268
\
\
0,203945
\
\
0,066794
0,214983
\
\
0,589802
\
0,839197
\
0,963235
0,999488
\
| 1,000000
\
1 1,000000
4
1,000000
,(—32)
li по нечетным точкам
/'
11
12
13
14
15
16
17
18
31
32
33
34
35
36
37
38
aU
+0,281777
2,476618
0,793747
2,307548
1,192465
2,043827
1,495230
1,768148
m=32
0,148189
0,476618
0,385857
0,307548
0,485929
0,043827
0,431240
—0,230828
i
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
i
Л(-32)
+ 1,201361
0,246188
0,047957
0,002872
0,000841
0,001165
—0,000299
—0,000254
0,000254
0,000016
—0,000141
0,000060
0,000053
—0,000069
0,000009
0,000041
Л(+32)
+ 1,201333
0,246170
0,047952
0,002871
0,0C0840
0,001164
—0,000298
—0,000254
0,000253
0,000016
—0,000142
0,000059
0,000054
—0,000068 '
0,000008
0,000040
442
Таблица 35
Вычисление
А{+т)
по четным точкам
2v
0
2
4
6
8
10
12
14
16
-VI
X2v
1,500000
1, 409644
1,181775
0, 9 0 3 7 4 0
0,643746
0, 4 3 6 5 4 7
0,276286
0, 1 3 4 4 2 6
0
yS
0
0, 4 1 5 3 8 9
0,731562
0, 9 1 4 8 7 4
0,989615
1,000000
1,000000
1,000000
1,000000
/'•
11
31
11
12
31
32
11
12
13
14
31
32
33
34
Н
+ 1,633361
m=4
0,345869
+1,007848
2,181775
m=8
0,455276
0,181775
+0,5 4 98 1 5
2, 4 0 9 6 4 4
1,35 1421
1,903740
m=16
0, 2 8 0 9 6 3
0,40 964 4
0, 4 7 8 3 2 7
—0,0 9 6 2 6 0
j
1
3
j
1
3
5
7
/
1
3
5
7
9
11
13
15
7
+ 1,154961
0,244566
i
+ 1,200692
0,245091
0,048101
0,003144
л(-1б)
+ 1,201080
0,246154
0,048093
0,002812
0,000787
0,001233
—0,000307
—0,000295
/
+ 1,250000
0,250000
д (+8)
/
+ 1,202480
0,247283
0,047520
0,002717
i
+ 1,201586
0,246187
0,047810
0,002930
0,000894
0,001096
—0,000290
—0,000214
443
затем устанавливаем Л'- т) и, не снимая результата, также умножив его на 0,5,
получаем Л|+2т> = — [Л<.+т) + А{~т>\.
Записав найденное значение в таблицу, перемещаем каретку в следующий,
высший разряд и делаем один отрицательный оборот (т. е. умножаем Л'~т) на
— 1,0), в результате сразу же получаем
Например:
= 0;5л<+8> + 0,5Л^~8) = 1,201586;
1,0Л<-8> = 0,000894.
Для удобства сравнения результатов коэффициенты Л'.+32) помещаем в табл. 35
рядом с вычисленными ранее коэффициентами Л*.~32>, иа чем и заканчиваем реше-
решение примера.
Пример 1 мы рассмотрели так подробно для того, чтобы чита-
читатель имел образец вычислений, так как определение функции,
отображающей круг на любую другую односвязную область, при
<7 = 2 выполняется аналогично. Исключение может составить
лишь применение других методов сноса приближенных точек на
заданный контур, на чем мы остановимся в § 62.
Отметим, что в табл. 33—35 приведены все без исключения
вычисления, необходимые для определения отображающей функции,
а также величины отклонения получаемого контура от заданного
и ни одной записи на черновиках не производилось. На арифмо-
арифмометре типа ВК-1 эти три таблицы вычисляются в течение 4—5
часов. Однако надо учитывать, что при увеличении числа т объем
вычислений растет как т2, так как и матрицы ||у|| и матрицы
\\gi\\\ Для вычисления А{~т) квадратные, с числом строк и столб-
столбцов, равным -^.
Проанализируем теперь полученные результаты.
На рис. 116 по данным V шага табл. 34, т. е. по точкам гЦ;
zl = Л1 и найденным узловым точкам zll; zl = zj1, построены ап-
аппроксимирующие контуры, на которые фактически отображается
единичная окружность |£|=1 полиномами B04) и B06):
7---- Р+т (Q; 7= Р_т @; С = е'ф (г = 1); т = 32.
Пунктирными отрезками на рисунке указаны отклонения 8^ и 82V
этих фактических контуров, являющихся лемнискатами (см. заме-
замечание 2 § 60), от заданного, который на рассматриваемом участке
есть отрезок прямой у — \. Для большей наглядности масштаб
по оси у взят в 2500 раз большим, чем по оси х. Амплитуда аппрок-:
444
симирующих кривых при движении от точки 21в к точке z0 в данном
примере увеличивается и принимает максимальное значение 80 =
= 0,000052 в точке z0, которое в 3,5 раза больше минимального
6i6 = 0,000015. Все отклонения 6к и 82v односторонние, но кривая
Р—т расположена вне заданной области г, а кривая Р+т—внутри ее.
Это объясняется тем, что первые три коэффициента am+j; / = 1, 3, 5
ряда A93) в данном примере отрицательны: а33 ~ — 0,000015;
1,00002
1,00000
0,99998
0.10 0,20
Рис. 116.
0,30
азъ =» — 0,000009; а37 =» — 0,000004 и, следовательно, для первых
трех определяющих коэффициентов полиномов Р±т согласно B00)
имеем:
А\~т) = ai — am+i+ ... = a,- + |am+/-) + ...;
Л!+т) = a/ + am+l + ... = as - \am+!\ + ...;
так что Л!+т) < A]~m) при т = 32; /=1,3, 5.
На уровне т = 16, где Л}+т) > А{~т) при / = 1; 3 картина бу-
будет обратной: аппроксимирующие кривые Р—т будут расположены
внутри области г, а кривые Р+т — вне ее, что полностью подтверждае-
подтверждается результатами III шага табл. 34, согласно которым все 8& > 0,
а все 82v < 0.
Полученные результаты легко улучшить, взяв в качестве окон-
окончательного аппроксимирующего полинома полином
= Рт
j-m—1
C. 243)
коэффициенты которого суть среднее арифметическое коэффициен-
коэффициентов Л}+т) и ЛГт):
Л;=4[Л<+тЧ
I = 1, 3, ... , т - 1. C. 243')
445
В силу того что формула B43) линейна относительно коэффи-
коэффициентов Л/, кривая, определяемая полиномом B43), будет прохо-
проходить через середины всех отрезков 6^ и 82v, т. е. аппроксимирующая
кривая Рт даст двухстороннее отклонение с амплитудой, уменьшен-
уменьшенной в два раза. При этом отклонения в узловых точках будут опре-
определяться формулой
fiJrb) = i-fin; n = 0, 1, 2, 3, 4, ... , 2т — 1. C.243")
На рис. 116 кривая г = Pm(Q показана пунктиром, а точки, по
которым она построена, отмечены треугольничками. Таким обра-
образом, взяв в качестве отображающей функции полином B43), мы
условие, поставленное в примере, 18 | < 0,000050, выполним с двои- ■
ным запасом. Отметим также, что, выполнив всего три шага на уровне
т = 16 и определив коэффициенты Л/ полинома B43) по Л'+16)
и Л/~16) из табл. 35, мы достигнем точности
\ 8 К 0,0005,
а такая точность, например при решении задач теории упругости, <
превышает допуски механической обработки деталей. Следова-,';
тельно, добиваться в этом случае большей точности не имеет смысла. ■'
При решении других классов технических задач сама их постановка ]
часто устанавливает естественный предел необходимой точности j
решения, которую метод тригонометрической интерполяции всегда ;
может обеспечить.
Замечание. Формула B43') тождественно совпадает с первой из формул;
удвоения интервала в индексах B01). Однако если мы по найденным ЛИ"' и Л*~т' [
непосредственно перейдем по формулам B01) к Л|-+2т); /=1, 3, ..., 2т — 1, то1
аппроксимирующий полином г = Р<2т, хотя и будет проходить через удвоен-!
ное число узловых точек, точно лежащих на заданном контуре, т. е. через преж-;
ние четные и нечетные точки zk, 22v> но амплитуды при этом-часто могут превы»;
шать амплитуды аппроксимирующих кривых Рт и даже Р , т или Р__т- V"*
Только в процессе дальнейших итераций мы, увеличив 1Щ
значительно улучшим результаты, а первый шаг после переход^
от т к 2т может ухудшить результаты, в чем и заключается оди|
из неустраненных пока недостатков метода тригонометрической
интерполяции. j
Так, в табл. 34 в первом шаге (при т = 16) максимальное откло?
нение 8б было 810 = 0,038500 в точке k = 10. После двух итераци|
в III шаге max 8* = 82 = 0,000535, т. е. на том же уровне т =
после двух итераций max bk был понижен в 72 раза. Но в IV ша
сразу после перехода к т = 32, хотя кривая zlv — Р+Ъ2 @ и при
ходила (в первом квадранте) через 9 узловых точек z2v Bv = 0, $
446 3
4, 6, 8, 10, 12, 14, 16), в отличие от кривой z111 = P+i6 (£), которая
проходила через 5 узловых точек z2v Bv = 0, 4, 8, 12; 16), мы
имели
max | бГ \ = — 89 = + 0,000604 > 0,000535.
Этот результат был улучшен в том же IV шаге после первой итера-
итерации, когда мы получили max 82v = Sjv = 0,000063, а после полного
итерационного цикла мы имели
max | Sj | = — 8^ = + 0,000049,
что в 11 раз меньше, чем max б = б = 0,000535.
В силу отмеченного в замечании обстоятельства нет смысла
при недостаточно большом т находить предельное положение узло-
узловых точек, так как они не являются истинными узловыми точками
и при переходе к более высоким значениям т не сохраняют своего
положения.
Узловые точки остаются неподвижными при переходе от т к 2т
только тогда, когда заданный контур есть лемниската степени п $
<1 т, т. е. если заданный контур есть образ единичной окружности,
отображенный полиномом степени п ^ т. В случае же контуров,
которые отображаются рядом A93), это может быть достигнуто
точно в пределе при т -> оо, а при фиксированном т только с опре-
определенной погрешностью е Ф 0.
Для более глубокого изучения этого вопроса рекомендуем чита-
читателю продублировать табл. 34, выполнив на уровне т = 16 только
1 или 2 шага и переходя затем к т = 32. Необходимо также изо-
изобразить графически результаты, полученные в табл. 33 и 34, при
п = 0, I, II непосредственно для области г, а при п — III, IV, V,
спрямив заданный контур г и представив величину 8 как функцию ,
его дуги s, т. е. построив график величины 8 в прямолинейной си-
системе координат (s; 8), значительно увеличив масштаб по оси 8.
Все эти построения удобно выполнять на миллиметровой бумаге
в достаточно большом масштабе.
Пример 2. Отобразим с той же точностью | 61 < 0,00005 коробовую кри-
кривую с параметрами а = 0,8; b = 0; R = 1,0 (рис. 115).
Как и в примере 1, по исходным данным х0 = 1,8; у^— 1.0
в масштабе ц — 16 вычисляем при п = 0, т = 4 по формуле B32)
первую нечетную приближенную точку:
Х/2 = ^0) = °'7°7; ^/2 = Й0) = 1 '273.
Снос на контур осуществляем по формуле B4Г") при 0 ^ х $
$ 0,8 и по формуле B41") при 0,8 ^ х < 1,8, в которой согласно
формуле B41') надо положить теперь а = 0,8. Точку 40) сносим
по формуле B4Г").
447
Таблица 36
Исходные данные
2v
0
16
X2v
1,800
0
0
1,000
п=0; т=4
k
8
~@)
Xk
0,707
~@)
У k
1,273
2v
0
8
16
„@)
X2v
1,800
0,707
0
„@)
У2\
0
1,000
1,000
4
12
п=0
~@)
х&
1,194
0,271
т=8
~@)
У &
0,905
1,140
0,9743
1,199
0,271
yi0)
0,917
1,000
Продолжение табл. 36
п=1; т=8
2v
0
8
16
X2v
1,739
0,573
0
У 2v
0
1,004
1,003
1,800
0,573
0
0
1,000
1,000
k
4
12
~i
Xk
1,194
0,271
f~~~J I
y^
0,957
1,016
Tk
1,071
—
„I
' k
1,181
0,271
y\
0,925
1,000
2v
0
4
8
12
16
rj=l; m=16
X2v
1,800
1,181
0,573
0,271
0
y\v
0
0,925
1,000
1,000
1,000
Так как для точки г| ' отклонение б = 0,273000 очень велико, то в нулевом
приближении на уровне т = 8 лучше выполнить полный цикл итерации,' а не по-
полуцикл, как в табл. 33. Все вычисления, которые выполняем по шаблонам, приве-
приведены в табл. 36.
Так, воспользовавшись шаблоном [y2v k; m= 8; q= 2] по х$\ у$, вычис-
вычисляем л4°'; У^0)- Точку k= 12 сносим по формуле B41""), а точку 6=4 — по формуле
B41"), согласно которой по1?4= 0,9743 находим7f4 = 0,9871, —= 1,0131, а
затем х^ = 1,199; yf> = 0,917. Воспользовавшись теперь шаблоном [yk 2v; m =
=8;<7= 2], по найденным^0*, у|?' вычисляем первое приближение (л= I; /п=8)
для точек *2V; y\v, из которых точку 2v= 8 сносим на контур по формуле B4Г")
при а= 0,8, а для точек 2v = 0; 16 всегда хо = 1,8; у^ = 1,0.
По уточненным x£v, y\v тем же путем определяем х\, у\ и на
этом заканчиваем полный итерационный цикл на уровне т = 8.
Объединив найденные четные и нечетные точки, получаем исходные
значения x\v, y\v для уровня т — 16.
Дальнейшие вычисления выполняются аналогично табл. 34.
Но в данном примере для получения требуемой точности достаточно
выполнить по два итерационных цикла на уровнях т = 16 и т =
= 32. Окончательные результаты для V шага приведены в табл. 37,
в которой четные точки (п = 2v) и нечетные точки (п = k = 2v — 1)
объединены в одних и тех же колонках. В колонке 8 • 10~6 указана
в единицах шестого десятичного знака величина отклонения для
каждой рассматриваемой точки, причем максимальное отклонение
8i = —0,000036 = —36 • 10~6 удовлетворяет заданной в усло-
условии примера точности. Минимальное отклонение (для точки 15,
для которой фактически 815 = —0,0000002) лежит за пределами
точности вычислений.
В табл. 37 приведены также и значения коэффициентов Л/±32),
которые вычисляются совершенно аналогично табл. 35 по найден-
найденным нечетным и четным узловым точкам.
Взяв согласно формуле B43) в качестве отображающей функции
полином Рт, коэффициенты которого суть среднее арифметическое
коэффициентов Л*+32) и Л/~32), мы все отклонения б, приведенные
в табл. 37, уменьшим в два раза и, следовательно, достигнем боль-
большей степени точности:
18 | < 0,000020.
Таким образом, в примере 2 (а = 0,8), в котором заданная
область г больше отклоняется от круга, чем в примере 1 (а = 0,5),
29 П. Ф. Фильчаков 449
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
хп
1,800031
1,741146
1,585363
1,378667
1,165352
0,972218
0,812532
0,687927
0,584993
0,494015
0,411744
0,335493
0,263771
0,195240
0,128986
0,064143
0
Уп
0
0,337894
0,619083
0,815530
0,930891
0,985036
0,999937
0,999999
1,000010
0,999997
1,000009
0,996999
1,000008
0,999999
1,000008
1,000000
1,000007
б-io—6
+31
—36
+29
—28
+21
—22
+ 15
—01
+ 10
-03
+09
—01
+08
—01
+08
-00
+07
1,800000
1,741180
1,585340
1,378683
1,165345
0,972222
0,812532
0,687927
0,584993
0,494015
0,411744
0,335493
0,263771
0,195240
0,128986
0,064143
0
у1
0
0,337906
0,619065
0,815553
0,930872
0,985058
0,999921
1,000000
1,000000
1,000000
1,000000
1,000000
1,000000
1,000000
1,000000
1,000000
1,000000
/
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
Т а б л
л<-32>
+ 1,243936
+0,343193
+0,138797
+0,052382
+0,015702
+0,003379
+0,001036
+0,001023
+0,000688
+0,000079
—0,000214
—0,000110
+0,000067
+0,000086
+0,000008
—0,000020
и ца 37
л<+32)
+ 1,243924
+0,343183
+0,138790
+0,052379
+0,015701
+0,003378
+0,001036
+0,001022
+0,000688
+0,000079
—0,000214
—0,000110
-1-0,000067
+0,000086
+0,000008
—0,000018
мы получили большую точность при меньшем объеме вычислений.
Однако при дальнейшем увеличении параметра а сходимость про-
процесса будет ухудшаться. При а = оо область г перейдет в полосу,
для которой согласно формуле B.92') § 39, положив Я = 1 , будем
иметь:
out I
г —
Пример 3. Отобразим с точностью | б 1 < 0,000005 =5-10 в область
г, являющуюся наружным звеном приводной втулочно-роликовой цепи с запресо-
ванными в нее валиками, размеры которой указаны на рис. 117. л
Границей области г (в первом квадранте) являются две сопрягающиеся ок-
окружности (х — аJ + (у — бJ = R2 с параметрами ах = 1; Ь\ = 0; R\ = 1 и
п2 = 0; &2 = 1; Яг = У 2— 1 = 0,41421356..., так что снос на контур и в этом
примере осуществляется по формулам B41').Точка сопряжения есть особая точка,
в которой кривизна контура терпит разрыв непрерывности. Весь ход решения ни-
ничем не отличается от примеров 1 и 2, поэтому в табл. 38 мы приводим только окон-
окончательные результаты, полученные при m = 64; ц= 32. Взяв в качестве отобра-
отображающей функции полином B43) с коэффициентами, равными средним арифмети-
арифметическим из Л|+64' и Л'-~б4), и учтя, что при этом погрешность B43")
б(±) — — б
°п — 2 °п'
мы и достигнем требуемой точности | б | <С 0,000005, которая в 10 раз выше, чем в
примерах 1 и2.Максимальная погрешность (достигаемая в точке п = k = 1) равна
[ = — 6i = — 0,0000052 != — 0,000005.
Рекомендуем читателю решить пример 3 при m = 32, \i = 16, начав итера-
итерационный процесс по образцу табл.36, и установить,какие при этом будут погреш-
погрешности ^'
450
На рис. 117 крестиками и кружками отмечены узловые точки
k и 2v для т — 64, ц = 32, а также построены образы радиусов
(т. е. лучей <р = const) единичного круга £ = re'f для п = 0, 2, 4,
6, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32. Так как все радиусы ортогональны к
окружности, то в силу конформности отображения и их образы
будут ортогональны к границе области г. Кроме того, согласно
нормировке A92) для дважды симметричных областей образ каждо-
каждого из лучей <р„ = — = const в области г должен выходить из
/1=32
Рис. 117.
п 2пп г-,
точки г = 0 под тем же самым углом <рп = —. Поэтому узловые
точки г будут сгущаться на участках границы области 2, которые
ближе расположены к началу координат г = 0 ирассредотачиваться
на участках границы более удаленных от точки 2 = 0. Так, напри-
например, на рис. 117 узловые точки /—8 занимают дугу, примерно в 18
раз большую, чем точки 24—32.
Отметим еще, что легко выполнимым, но только частичным
контролем для дважды симметричных областей могут служить
равенства:
и-1
C. 244)
v=0
которые для Л/ = А\+т) должны выполняться тождественно, а для
А/ = Л/~т) дают приближенные значения точек *0; Уц.
Рекомендуем читателю провести эту частичную проверку ре-
результатов, приведенных в табл. 35, 37, 38. Полным контролем
29*
451
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
2,000000
1,924560
1,729750
1,482019
1,237409
1,024155
0,849527
0,710530
0,601078
0,514901
0,446847
0,392737
0,349621
0,315078
0,288015
0,265310
0,244432
0,224960
0,206495
0,188960
0,172124
0,155952
0,140287
0,125109
0,110300
0,095845
0,081654
0,067710
0,053944
0,040334
0,026828
0,013397
0
7.
0
0,381023
0,683720
0,876156
0,971413
0,999706
0,988616
0,957186
0,916987
0,874458
0,833082
0,794500
0,759612
0,728617
0,702311
0,681907
0,665598
0,652199
0,640930
0,631399
0,623244
0,616266
0,610267
0,605132
0,600743
0,597028
0,593916
0,591358
0,589315
0,587755
0,586657
0,586004
0,585787
+0,0000044
—0,0000052
+0,0000039
—0,0000039
+0,0000030
—0,0000024
+0,0000022
—0,0000015
+0,0000018
—0,0000008
+0,0000015
—0,0000004
+0,0000014
—0,0000001
+0,0000014
— 0,0000003
+0,0000013
+0,0000003
+0,0000012
+0,0000003
+0,0000011
+0,0000003
+0,0000011
+0,0000004
+0,0000010
+0,0000004
+0,0000011
+0,0000004
+0,0000010
+0,0000004
+0,0000010
+0,0000004
+0,0000010
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
47
49
51
53
55
57
59
61
63
Ta(
Л(-64)
+0,844419
+0,428337
+0,279102
+0,175906
+0,105960
+0,063516
+0,039303
+0,024774
+0,015216
+0,009012
+0,005425
+0,003480
+0,002244
+0,001318
+0,000718
+0,000449
+0,000340
+0,000226
+0,000099
+0,000033
+0,000039
+0,000052
+0,000030
—0,000005
—0,000011
+0,000008
+0,000019
+0,000005
—0,000012
—0,000009
+0,000008
+0,000008
злица 38
Л(+64)
+0,844417
+0,428335
+0,279101
+0,175905
+0,105959
+0,063515
+0,039302
+0,024774
+ 0,015216
+0,009011
+0,005425
+0,003480
+0,002244
+0,001318
+0,000718
+0,000449
+0,000340
+ 0,000226
+0,000099
+0,000033
+0.000038
+0,000052
+0,000030
—0,000005
—0,000011
+0,000008
+0,000019
+0,000005
—0,000012
-0,000009
+0,000008
+0,000009
будет являться повторное вычисление всех узловых точек по окон-
окончательно принятым коэффициентам Л/.
§ 62. УЛУЧШЕНИЕ СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННОГО
ПРОЦЕССА. ПРИМЕРЫ
В предыдущем параграфе было показано, что коэффициенты
отображающей функции легко вычисляются по известным узловым
точкам, определяемым при помощи итерационного процесса. Схо-
Сходимость же этого процесса самым существенным образом зависит
от принятой методики сноса приближенных точек на кон-
контур. Поэтому остановимся на последнем вопросе более под-
подробно.
452
Если достаточно малый участок границы области г, в окрестно-
окрестности которого лежит точка гп, есть гладкая кривая, то его с любой
степенью точности всегда можно заменить хордой а, проходящей
через две близкие точки контура. Отклонение е средней точки
хорды от контура будет определяться формулой, вывод которой
ясен из рис. 118:
я + 16
C. 245)
где R — радиус кривизны
в точке контура, соответ-
соответствующей середине хорды.
При -п--» 0 величина е бу-
будет стремиться к нулю как
Ln 7'-7*
Рис 118.
Рис. 119.
^-, т. е. очень быстро. Например, при R = 1, а — 0,001/? имеем
е = 0,000000125...
Следовательно, при сносе приближенных точек г„ на гладкий
участок контура мы всегда рассматриваемый участок можем за-
заменить его хордой. Больше того, выбрав достаточно близкими точ-
точки Z\, z2, всегда можно погрешность от этой замены свести к величине,
лежащей за пределами точности вычислений. Благодаря этому
обстоятельству задача сноса каждой из точек гп на контур, которая
при точной постановке часто требует решения сложных трансцен-
трансцендентных уравнений, приводится к простейшей задаче определения
точки пересечения двух прямых — хорды, проходящей через две
заданные точки zt = г'п и z2 = z"n границы области г:
у = kx -|- b, гд k =
У-2 — j/i
хг — xi
= ух — кхъ
C. 246)
453
и прямой, проходящей через приближенную точку гп в заданном
направлении kx = tg Yi (рис. 119):
у = hx + bi, где bi = yn — hxn. C.247)
Прямую B47) будем называть также лучом сноса.
Решая систему линейных уравнений B46) — B47), мы и на-
находим координаты точки пересечения zn, которую будем пока счи-
считать первым приближением искомой узловой точки zn = г\
*« = И- yn = kxa + b. C.248)
Рассмотрим теперь три способа сноса, которыми будем поль-
пользоваться в дальнейшем.
Снос по нормали. В этом случае прямая B47) будет ортого-
ортогональна к хорде B46), и поэтому
i ХХ C.249)
Уч.— г
Тогда, подставив найденное kx в общие формулы B48) и заменяя
b и &i их значениями из B46) и B47), после несложных преобра-
преобразований получаем расчетные формулы для сноса по нормали на
хорду контура (рис. 119):
k (ц — г/i) + кгхх 4- х
v п п ■ ,, I, I Ь /у v\ fi осг)Ч
Лп j £2 , уп — у\ -\- К улп Л1), \О. 4OV)
или
хп = lu-k*1 " ' У" = У" "*" ^Х (Хп — ■*«)• ^" ^^'^
где
, _ У г -г/i . ,l _ _ 1 _ XI-хг
Л'2 — Л^1 k У2 — У\
Отсюда, в частности на участках границы области г, на кото-
которых хорда горизонтальна (k ~ 0) или вертикальна (k = 00;
ki = 0), имеем
х„ = ^„; г/я = г/i = У2 = const при * = 0, C. 251)
*я = *i = const; г/„ = г/„ при ^ = 0. C. 251')
Формулой B51) мы уже пользовались в § 61.
Снос по лучу из начала координат. В этом случае
*i===L = -7L; 6i = 0. C.252)
454
Из B48) и B46) находим требуемые расчетные формулы
*„ = X~V1~~* : у» = л +*(*«-*i); * = |~f- C-253)
Двухступенчатый снос с учетом результатов двух приближений.
Для каждой из приближенных точек гп существует такое направ-
направление kx луча сноса B47), которое при помощи одного единствен-
единственного шага позволяет найти соответствующую истинную узловую
точку г„. Но эти значения угловых коэффициентов kx вначале неиз-
неизвестны и могут быть легко определены лишь после того, как реше-
решение задачи окончено и найдены истинные значения узловых точек
гп. Однако в тех случаях, когда снос по формулам B50) или B53)
дает медленную сходимость при определении узловых точек, ите-
итерационный процесс можно значительно ускорить, если более точ-
точные угловые коэффициенты &2 лучей сноса определять с учетом
результатов двух последующих приближений. Выполняется такой
снос следующим образом. Все четные и нечетные приближенные
точки гп = zln, полученные в первом шаге, сносим на контур по
формулам B50) или B53), и находим соответствующие контурные
точки z\ в первом приближении. Во втором шаге, выполнив пол-
полный итерационный цикл, получаем сначала четные, а затем нечет-
нечетные приближенные точки гп = г1^, которые сносим на контур
по тем же формулам B50) или B53). Зная точное значение контур-
контурных точек ^ , легко определить для каждой из них свое более точ-
точное &2> которое позволит по точке zln первого шага непосредственно
найти точку ^ второго шага. Угловой коэффициент k2 более точ-
точного луча сноса
у = k2x + &2 C. 254)
определяем по двум заданным точкам zln = x\ -f- iyln; z1* = *"+ iy1*,
т. е. по приближенной (внеконтурной) точке первого шага г\ и по
точке г1*, снесенной на контур во втором шаге (рис. 119):
Определив более точные k2, каждую из приближенных точек гЦ
второго шага сносим на контур по лучам, параллельным B54),
C.2540
455
где &* определено из условия, что луч сноса проходит через
точку г*1.
В результате по приближенным точкам z^ второго шага непо-
непосредственно получаем контурные точки z^11, по точности примерно
равные значениям третьего шага при обычном (одноступенчатом)
методе сноса (рис. 119). Следовательно, за счет небольшого увели-
увеличения работы по вычислению параметров ki и b\ мы экономим
полный итерационный цикл. В процессе дальнейшего счета, после
каждого нового цикла итерации можно уточнять параметр ki,
однако он обычно изменяется настолько медленно, что а этом
нет необходимости и, определив после двух шагов ki, сохраняем
его значение и для всех последующих шагов.
Расчетные формулы для двухступенчатого сноса получаем из
общих формул B48), которые теперь принимают следующий вид:
*» = £=г|; Уп = kxn + Ь, C. 255)
где k, b, ki, b*2 определены формулами B46), B54') и B54").
Отметим, что формулы B55) целесообразно применять лишь
в отдельных неблагоприятных случаях, когда для данного т два-
три шага при обычном сносе не дают удовлетворительных результа-
результатов. Пример такой области будет приведен в § 63.
Остановимся теперь на дальнейшей отработке методики вычис-
вычислений.
Пример 1. Определим функцию, отображающую единичный круг | £ | < 1
иа область г, контур которой задан уравнениями в параметрическом виде:
x = singchT|, | = cosq>,
. F. ZOO)
у = cos | sh т), т| = sin ф,
где I ит)—промежуточные параметры, зависящие в свою очередь только от одного
параметра ф.
Из уравнений B56) следует, что при замене величины ср на— ф
получаем |(— ср) = |(+ ср), ц(— ср) = — ti(+ ф) и тогда:
), у{— ф) = —у(+ Ф),
следовательно, ось Ох есть ось симметрии заданного контура.
Аналогично | (я — ф) = — | (ф), т] (я — ф) = т] (ф), так что
х(п — ф) = — дг(ф), у (л — ф)=
и ось Оу также есть ось симметрии. Таким образом, область г имеет
две оси симметрии (q = 2) и нам достаточно рассмотреть ее только
в I квадранте для значений 0 ^ ф ^ -у •
При ф = 0: I = 1, т] = 0, так что х0 = sin 1 = 0,841471; у„=0.
456
При <р = -^:£ = 0, т]=1и тогда Хц = 0; у» = sh 1 = 1,175201.
Задав теперь несколько промежуточных значений параметра ц>
и вычислив согласно B56) с тремя десятичными знаками соответ-
соответствующие х и у, строим по найденным точкам контур заданной
области г (рис. 120).
Узловые точки в данном примере будем определять, осуще-
осуществляя снос на контур по нормали. Все вычисления, обеспечиваю-
обеспечивающие точность в шесть десятичных знаков, приведены в табл. 39,
которая вычисляется аналогично табл. 33 и 34 примера 1 § 61.
Поэтому поясним только начальный этап итерационного процесса.
В нулевом шаге (п = 0) при т =
= 4 (в масштабе ц = 8), подставив У
заданные х0 = 0,841 и г/д = 1,175
в формулы B32), находим прибли-
приближенную нечетную точку k = -£-: W
х$г = х? = 0,707^ = 0,831;
Я°/2 = Й0) = °-7О7*о == 0,595.
Найденную точку 4°' сносим гра- 0£
фическим, путем по нормали на
контур и согласно рис. 120 (ко-
(который надо выполнить на милли-
миллиметровой бумаге в достаточно боль-
большом масштабе, например 1 =
= 200 мм) получаем для k = -£-
= 0,817;
= 0,585.
После этого переходим к т = 8, для чего к точке 2д/2 = 40)
добавляем заданные точки z0, 2Д и, приняв их в качестве исходной
системы четных точек 2v по формулам B36), B36') или по шаблону
[Y2v,*; т = 8; q = 2] приложения II, вычисляем приближенные
(внеконтурные) нечетные точки х k = ^ ; k — -~ и получаем (в
масштабе ц = 8) для п + 1 = I:
^i = 0,860; #i = 0,237; "? = 0,544; у[ = 0,983.
1 В табл. 39 эти точки внесены в графу 2v, а не в графу k для т = 8, как
должно быть. Это обстоятельство надо иметь в виду, и в дальнейшем мы не будем
выделять из общей таблицы нулевой шаг (если он состоит из двух полуциклов
прит =4ит= 8), как это было сделано из методических соображений в примере
1 §61.
457
со
а
я
ч
о
Я!
СО СО —I О
СО СО О —|
*о со ^ со
г-- оо ю о
(NO 00 О)
союсм —н
о со со "^ ю
ю со ю о
С СЭ 00 О
О СО СО -rf Ю
СО 00 00 С^
о* о" о"—Г
00 Ю
о" о"
оо оою
о" о" о* о"
-чГ —н СП -г^
—" [~- 00 -Ф о
-чГ Ю —| -чГ
00 00 ООЮ
о" о" о" о*
CO
СО
00 00 00 Ю
о"оо~о"
О <М ■* СО 00
О СМ ^Г СО 00
—< СО 00 СО
1" — 00 СО
О)фО
О О} О} (N
О <М ■* СО 00
со со -^ —"
йо?5§
СЛ сО О -^t1
о" о" о" -Г
00
о"
00
о"
—| ■* Ю(М
00 00 »О Ю
со ю о ю
00 00 t^ <М
о о" о" о"
со сг> *р
см оо о
О^ ^Г 00
^100103
00 00 1^ О)
о о" о" о"
СО—•
[ О^ ^Г 00
СОЮОЧ-
oq^oq^^^ c-i
о" о" о" о
СО —н [-^ о
WOtDO
S
о" о" о"—Г
со со со
оо
00
о"
СО СО Г~- (N
с^ со оо ю
00 00 t^ <М
00 00 t-~ (N
о" о" о* о"
1О Ю О^)
00 ф ^ 00
СО Ю О ^
00 00 Г-- (N
о" о" о" о"
00
о"
о -^ оо
о ■* оо
!1 I! II
я S S
OOOW
о г-- lo со »о
СО 00 00 С^
СО Ю СО (М
С-5 СО СО - Ю
" СО 00 00 [^
00 00 00 Ю
о" о" о" о"
о <м ■* со оо
О <М ■* СО 00
^_ СО
1^—00
О <М 'J'CO 00
458
Точка k = 6 в пределах точности рис. 120 лежит на контуре,
поэтому сносим графически по нормали только точку k = 2 и на-
находим: х\ = 0,857; у\ = 0,237; х\ =~х\ = 0,544; г/* = PJ = 0,983.
Присоединив сюда найденную при т = 4 точку z^—zf
и заданные точки z0, гд, получаем исходную систему четных точек
2v для первого шага (п = I). В первом шаге начальные значения
берем уже с четырьмя знаками (приписав для точек 2v = 2, 4, 6
нули), а затем постепенно повышаем точность до шести десятичных
знаков, беря при п = III значения коэффициентов у с семью деся-
десятичными знаками.
После трех шагов при т = 16, ц = ~ = 8, которые выпол-
выполняем по шаблонам [y2v, ь гп = 16; q = 2] и [у*., 2v; яг = 16; <7 = 2],
как было описано при решении примера 1 § 61, приближенные
точки 4"+1) с точностью до единицы шестого знака ложатся на
заданный контур, так что на этом и заканчиваем итерационный
процесс. Можно было бы еще в IV шаге уточнить zk, но при дан-
данной точности вычислений это не даст заметных улучшений, так как
при п = III значения 4"+1) отличаются от исходных 4"' не свыше
чем на 5 единиц последнего знака.
k
1
3
5
Ч
0,846797
0,855924
0,720493
0,294811.
У?
0,109233
0,393896
0,790674
1,124031
п
11
12
13
14
31
32
33
34
+0,404044
+ 1,970828
+ 1,114389
+ 1,646598
—0,185578
—0,277234
—0,326597
+0,065250
i
1
3
5
7
9
11
13
15
A(-i6)
+ 1,000000
—0,166666
+0,008333
—0,000198
+0,000003
0,000000
0,000001
0,000000
Т а б л
д(+16)
+ 1,000000
—0,166666
+0,008333
—0,000198
+0,000003
0,000000
0,000000
0,000001
\ ц а 40
а(точн)
+ 1,000000
—0,166667
+0,008333
—0,000198
+0,000003
0,000000
0,000600
0,000000
В табл. 40 приведены все вычисления, необходимые для опре-
определения по найденным при п = III нечетным узловым точкам
zk = z коэффициентов отображающей функции Л}~16), а также
окончательные результаты для Л)+16), которые вычисляются по
четным узловым точкам
нены по образцу табл. 35.
Поясним еще методику сноса на контур приближенных точек
в I, II и III шагах.
После того как в первом приближении графическим путем были
найдены все узловые точки при т = 16, пользуясь уравнениями
z2v =
™ = z™. Все эти вычисления выпол-
выпол459
B56), в окрестности каждой из узловых точек гп находим по две
опорные точки Zi = zn и z2 = zn, определяющие собою хорду,
которая заменяет на рассматриваемом участке дугу заданного кон-
контура. Все необходимые вычисления приведены в табл. 41. Эти вы-
вычисления с пятью знаками удобно выполнять по таблицам [213],
а с шестью — по таблицам [342].
Определив опорные точки гъ z2, каждую приближенную точку
гп сносим на контур по нормали, пользуясь формулами B50) или
B50'). При этом точки /—5 сносим по формуле B50'), определив
предварительно в табл. 41 для них величины &, = —г = Xl ~~ *2 и
к Уч — Ух
k\, а для точек 6 и 7 пользуемся формулой B50) и величинами
и У% —У1 . иъ
к = и к .
Вычисления по этим формулам выполняются в один прием без промежуточных
записей. Например, при п = 1 для точки k = 3 согласно табл. 39 и 41 имеем:
Тп=~3= 0,856300; г^=^= 0,394900; xi= х'3 = 0,855966; у± = у'3 = 0,393377;
ki= + 0,084058; k\ = 0,007066. Тогда в соответствии с формулой B50') вычи-
вычисляем у — Уп = — 0,001523, переносим результат в установочный счетчик и
умножаем его «в отрицательном направлении» на k±; затем, не снимая резуль-
результата, устанавливаем хп = 0,856300 и умножаем его «в положительном направ-
направлении» на k^, после чего, установив xi = 0,855966 и умножив его на 1,000000»
получаем в один прием, расположенный в верхних регистрах арифмометра,
числитель
ki (У1 — Тп) + k^Tn + xi = 0,861888595466,
который остается разделить на знаменатель 1 +6^ = 1,007066, автоматически
установившийся в счетчике оборотов. В результате получаем х = х3 = 0,855841,
которое и записываем в табл. 39, округлив до 5 знаков. Найденное значение хп
переносим в установочный счетчик и в один прием вычисляем
у3 = (хз — хз) ■ 0,084058 + 'у'з ■ 1,000000 = 0,394861 « 0,39486,
которое также записываем в табл. 39.
Аналогично при п = 1 для точки 7 имеем: х^ = х,=0,29520; у = г/7= 1,122900;
х1 = / = 0,295638; у1 = у'1= 1,123735; k = — 0,358959; k" = 0,128852 и, вос-
воспользовавшись теперь формулой B50), а не B50'), а также учтя, что k здесь
отрицательно, в один прием вычисляем:
Эти же результаты с любой степенью точности можно получить
и графически, так как заданный контур нам достаточно представить
небольшим числом узловых точек и окрестностью каждой из них,
что всегда легко выполнить в достаточно большом масштабе. Так,
на рис. 121 выполнены все построения для сноса по нормали нечет-
460
ных точек k = 1 и k — 3 при п = I, II, III. Для сравнения на
рис. 120 (и на рис. 121 кружком с точкою) отмечены также и точные
значения узловых точек. Эти построения удобно выполнять на
миллиметровой бумаге, расположив всю систему нечетных точек
на одном чертеже, а всю систему четных точек — на другом. В дан-
данном примере мы снос всех точек выполняли графически в масштабе
0,00001 = 1 мм при п = I; II и 0,000001 =2лл при п = III (т. е.
в масштабе, в два раза большем, чем на рис. 121 при п = I, II).
0,3950
0,3915
0,391.0
0,3935
0,39390
ТочкпЗ
(п-тфш) gjm
0,39389
t 0,85592 0,85593
0,1090
0,1085
Точка 1
0,8560 0.8565
'•■■■'■■
0,8U70
0,81*15
Рис. 121.
Проверив эти результаты по формулам B50) и B50'), можно
убедиться, что ошибка графического сноса не превышает 1—2
единиц последнего десятичного знака.
В табл. 41 необходимо для каждой узловой точки оставлять в ре-
резерве 2—3 строки, так как не всегда удается сразу найти необхо-
необходимые опорные точки и вначале приходится брать хорду более длин-
длинной, а затем уменьшать ее размер, сближая между собою опорные
точки zb г2.
Для полной строгости надо еще проверить, лежит ли с заданной
точностью средняя точка каждой из выбранных хорд на контуре,
что легко осуществить, подставив их координаты в уравнение за-
заданного контура. Можно также пользоваться критерием примени-
применимости на данном участке линейной интерполяции [281, гл. III, § 13].
Данный пример имеет точное решение:
3!
5!
7!
так как, подставив в это уравнение контурные значения g = £-|-
+ 1ц = е(ф = cos ф + / sin ф и разделив затем действитель-
действительные и мнимые части, получаем уравнения B56).
461
n
1
2
3
4
5
6
7
22=21
21=22
22=22
22=23
22=24
21=Z5
22=г5
21=26
22=2g
2i=2;
22=27
Ф
00 CM
CM CO
о о
CM CM
CM CM
33°43'
33°47'
44°58'
45°02'
56°13'
56°17'
67°28'
67°32'
78°43'
78°47'
|=COS ф
0,980899
0,980672
0,924102
0,923657
0,831793
0,831146
0,707518
0,706695
0,556054
0,555086
0,383221
0,382146
0,195661
0,194520
T)=sin ф
0,194520
0,195661
0,382146
0,383221
0,555086
0,556054
0,706695
0,707518
0,831146
0,831793
0,923657
0,924102
0,980672
0,980899
sin |
0,830998
0,830871
0,798080
0,797812
0,739140
0,738704
0,649950
0,649324
0,527839
0,527016
0,373910
0,372912
0,194415
0,193296
ch т)
1,018979
1,019203
1,073911
1,074332
1,158057
1,158623
1,260276
1,260908
1,365749
1,366351
1,457774
1,458246
1,520653
1,520913
n
2v
0
0
m=4 I 8
1
m=8
11
m=16
H=8
0
4
8
0
2
4
6
8
X2v
1,2500000
0
1,2500000
0,5439283
0
1,2500000
0,9761559
0,5439283
0,2314309
0
#2v
0
0,8333333
0
0,8158924
0,8333333
0
0,6065055
0,8158924
0,8380856
0,8333333
k
4
2
6
1
3
5
7
~(n)
xk
0,5892556
0,9792846
0,2321728
1,1703100
0,7499822
0,3725324
0,1107254
~(«)
Ук
0,8838835
0,6084495
0,8407717
0 3491838
0,7516829
0,8363012
0,8349805
*g Ф*
1,0000000
0,4142136
2,4142136
0,1989124
0,6681785
1,496606
5,027335
462
eos g
0,556276
0,556465
0,602552
0,602907
0,673552
0,674029
0,759977 '
0,760512
0,849344
0,849855
0,927465
0,927867
0,980919
0,981141
sht)
0,195749
0,196912
0,391516
0,392670
0,584034
0,585156
' 0,767004
0,768042
0,930199
0,931083
1,060710
1,061359
1,145594
1,145939
X
0,846770
0,846826
0,857067
0,857115
0,855966
0,855879
0,819116
0,818738
0,720896
0,720089
0,545076
0,543797
0,295638
0,293986
У
0,108890
0,109575
0,235909
0,236743
0,393377
0,394412
0,582905
0,584105
0,790059
0,791286
0,983771
0,984800
1,123735
1,124328
Таб л и
k; k\ ki; k\
kx=—0,081752
£;=+0,006683
£1=—0,057554
£2=+0,003312
kx = +0,084058
£2=+0,007066
*1=+0,315000
£2=+0,099225
£1=+0,657702
k\= +0,432572
k =—0,804535
k2= +0,647277
k =—0,358959
k2= +0,128852
ца 4
1
n
zi=z;
zz=z'n
г-i
22
2l
22
2l
22
2l
22
21
22
2l
22
1
2
3
4
5
6
7
45°,00
22°,50
67°,50
11°,25
33°,75
56°,25
78°,75
cfe=cos <fk
0,7071068
0,9238795
0,3826834
0,9807853
0,8314696
0,5555702
0,1950903
1—2ac2ft+a2
1,0400000
0,7571573
1,3228427
0,6704482
0,8869266
1,1930734
1,4095518
0,5439283
0,9761559
0,2314309
1,1703040
0,7499783
0,3725304
0,1107247
Ук
0,8158924
0,6065055
0,8380856
0,3491819
0,7516792
0,8362968
0,8349763
/
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
а,.=Л{+32>
1,0000000
0,2000000
0,0400001
0,0080000
0,0016000
0,0003200
0,0000640
0,0000128
0,0000026
0,0000005
0,0000000
463
В связи с этим в табл. 40 приведены для сравнения и точные
значения коэффициентов
(точн) _ (точн) __ (— 1)" . „ _
, п2п+1 - п-
(точн) _
а, -
п-0,1,2,...
Сравнив результаты, видим что в пределах точности вычислений
в данном примере
Л*6' = Л<-+16) = а<точн).
2.0 X
Пример 2. Отобразим единичную окружность \ £ |< 1 на область г, огра-
ограниченную лемнискатой Бута, параметрическое уравнение контура которой
— a)cosq>
У =
A + a) sinq>
1 — 2a cos 2ф + a2 ' J 1 — 2a cos 2<p + a2 ' ' ' '
Лемниската Бута имеет две оси симметрии: Ох и Оу.
Подставив в B57) значения ср = 0 и ср = -^-, получаем
C. 257)
C.258)
На рис. 122 представлены лемнискаты Бута для значений пара-
параметра а = 0; 0,2; 0,5. При а = 0 она переходит в окружность;
при a->l *0->oo, г/д->у; при отрицательных значениях пара-
параметра — 1 < а < 0 оси х и у поменяются ролями.
Лемниската Бута обладает следующим замечательным свойст-
свойством, справедливость которого будет показана ниже.
464
При сносе приближенных точек zk на контур по лучу из начала
координат получаем точные значения нечетных узловых точек Zk,
если исходные четные узловые точки z2v были точными.
Так как при т = 4 нам известны точные значения z0 = х0 и
2д = iy».' то в силу отмеченного свойства мы можем легко вычислить
без итерационного процесса любое количество узловых точек,
путем лишь удвоения т в каждом шаге.
В табл. 42 выполнены с семью десятичными знаками все необ-
необходимые вычисления для случая а = 0,2.
По найденным нечетным узловым точкам Zk при т = 4, 8, 16
вычисляем Л/~4), А{~8), Л;~16), а затем, вычислив Л}+4) по х0 и г/д
и воспользовавшись формулами удвоения, находим Л/+32), причем
для контроля вычислять А\~Ъ2) в этом примере нет надобности,
поскольку все узловые точки Zk точные. Окончательные резуль-
результаты Л*+32) приведены в той жеяабл. 42, а сами вычисления выпол-
выполнены по образцу табл. 35.
Пример 2 также имеет точное решение:
^ ..., C.259)
в чем убеждаемся, подставив в B59) £ = e'f> = cos ср +1 sinф;
£2 _ е2/ф = cos 2ф -|- i sin 2ф и получив затем после разделения
действительных и мнимых частей уравнения контура B57).
Сравнив вычисленные значения Л}+32) с точными, которые при
а = 0,2 будут равны
/-1
а, = а 2 , т. е. ах = 1, а3 = 0,2; а5 = @,2J; а7 = @,2K; ....
устанавливаем полное их совпадение, за исключением л!+32) и Л2^2),
отличающихся от точных аъ = 0,04 и a2i = 0,0000001 единицей
седьмого знака, что обусловлено ошибками округления.
Докажем теперь отмеченное выше свойство лемнискаты Бута.
Разделив второе уравнение B57) на первое согласно B52),
имеем
Следовательно, для каждой нечетной узловой точки гп = г& лем-
лемнискаты Бута, при сносе по лучу из начала координат соответствую-
соответствующей приближенной точки zn = 2&, значение параметра щ будет
определяться уравнением
°~a)I C.260)
A + a) xk
30 П. Ф. Фнльчаков 465
При т = 4, (л = 2 согласно B32) для приближенной нечетной
точки k = -^ = 1, учтя B58), получаем
. я . я
sm -j- _. sin——
4 ~" . я 4
Тогда, подставив эти значения в B60), находим, что при любом а
i
-=1, откуда
Подставив найденное ф = 45° в уравнения контура B57) и учтя,
что cos 2фд/2 = cos 90° = 0, имеем
Xfl/2 = j^ sin 45°; г/дЛ = J-=| sin 45°. C. 261)
Но точка фд/2 = -j- делит дугу ф= -^-на две равные части,
следовательно, найденная при т = 4 в результате сноса по лучу
из начала координат точка k и будет истинной узловой точкой.
Воспользовавшись теперь тригонометрическими тождествами
(- .VII V3T
в принятых ранее обозначениях sv = sin—■, cv =-- cos—= s^_v,
i — sk = 25/-^:/+* C. 262)
2 2
при /n = 8, (A = 4 для приближенной точки k = 1 согласно урав-
уравнениям B36) и B36'), имеем
xi = s2 (s8 + si) г/2 + j (%
Si) ^o — c2 (s8 — Si) jc2 = SsA^o —
где sv = sin ~ , cv = Я-v и, следовательно, 2s2 = 2c\=2 sin245°= 1.
Подставив эти значения и значения B58), B61) точных четных
узловых точек г<ы (при т = 8, (А = 4) в B60), имеем
Г s2s3 \ —а Л
[\-а \+а* \
j j
2A + q2) c2si + 2asi
~~ a g 8 '
si)+2os3 2 A + a2) S2C1 + 2acx ~~ a g 8
466
так как
Si = sin -g-; s3 = q = cos -g-; s2 = c2 = cos -j;
s3 + Si = 2s2ci; s3 — si = 2c2si.
Следовательно, при любом значении параметра а в результате
сноса точки гг по лучу из начала координат получаем
Аналогично доказываем, что при т = 8, фз = -г- •
Отсюда вытекает, что после сноса по лучу на контур точек zi,
z3 при т = 8 также получаем точные значения нечетных узловых
точек zk; k = 1; 3.
Воспользовавшись методом полной математической индукции,
доказываем аналогичным путем это утверждение для любого т.
В табл. 42 снос точек zk по лучу мы осуществляли, вычислив
при а = 0,2 согласно формуле B60)
а затем подставив а = 0,2 и найденные ф& в уравнения контура
B57). При этом в табл. 42 опущены колонки эшфй и соз2ф£, так как
sin фй = cos Ф8_й, a c2/i = cos 2q>k для данного шагал по абсолют-
абсолютной величине совпадает с соответствующим ck = cos фй предыду-
т
щего шага, в котором тп~\= -^-.
На рис. 122 отмечены точные узловые точки для лемнискат
Бута при а = 0,2 и а = 0, 5, а также показан снос по лучу точки
zf> в нулевом шаге для случая а = 0,2 и для случая а = 0,5 снос
точек z^0) и г'; z}2, т. е. нечетных точек zft при /г = 0 и /г = I. Осталь-
Остальные приближенные точки zk в масштабе рис. 122 сливаются с точ-
точками контура. В качестве упражнения рекомендуем читателю про-
продублировать табл. 42 и решить пример 2 при а = 0,5.
Отметим, что при а = 0,2; а = 0,5 и а = —0,25 лемнискаты
Бута близки к контурам примеров 1 и 3 § 61 и примера 1 данного
параграфа. Поэтому можно ожидать, что снос по лучу из начала
координат и для этих примеров даст лучшие результаты. Выска-
Высказанное предположение следует проверить непосредственным вы-
вычислением.
Пример 3. Отобразим единичный круг | £ | < 1 на внутренность эллипса
г с полуосями а* = 473,8 мм; Ь* = 330,2 мм.
30* 467
Для дальнейших вычислений удобнее перейти к безразмерным
величинам, выполнив преобразование подобия
г =
ъ*
а =
a*
~~b*
1,434889; 6=1.
В данном примере снос будем осуществлять по нормали, но не
по общим формулам B50), а по более простым, которые для эллипса
легко получить. Заменив эллипс окружностью (л; — (SJ + У2 ~ R2,
Рис. 123,
где
i = х{ 1 ], пересекающей его под малым углом в точке,
близкой к искомой контурной точке г = гп, и вводя малую вели-
величину е равенством R2 = A + 2е) R.2, имеем (рис. 123):
= 1 — е + . . . , где е =
/1+28
C. 263)
Положив в B63) R = b — О (б2) « b при вычислении е, находим
К после чего получаем искомые формулы для эллипса, дающие
снос по нормали с точностью до малых высшего порядка
Ъх
у =
262-
C. 263')
При б -> 0 имеем R -> 6 и формулы B63') переходят в тождества.
Если полученная точность будет недостаточной, найденную точку
надо снести повторно, пользуясь той же формулой B63'). Откло-
468
нение 6 приближенной точки гп от найденной точки будет опреде-
определяться равенством
■T--
C. 263")
Выполнив теперь нулевой шаг при т = 4ит = 8по образцу
табл. 33 и по два полных цикла итерации при т = 16 и т = 32,
(А = 16 по образцу табл. 34, находим искомые узловые точки.
В табл. 43 приведены окончательные результаты IV шага, а именно
снесенные на контур по формуле B63'), причем в данном примере
6=1, нечетные точки zlkv и вычисленные по ним согласно шаб-
шаблону [yk, 2v'. гп = 32; ^ = 2] приближенные четные точки 4v-
Для приближенных четных точек указано и их отклонение б- 10~в
в долях шестого десятичного знака, вычисленное по формулам B63),
B63"). Максимальное отклонение зафиксировано в точке п = 4,
для которой 64 = — 25-10 = — 0,000025.
Снеся теперь на контур точки z'v, по ^найденным z'^ вычисляем
га
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
„IV.
xk »
1,434865
1,397282
1,305042
1,190910
1,073440
0,959821
0,852089
0,750427
0,654277
0,562923
0,475593
0,391582
0,310229
0,230933
0,153137
0,076329
0
7Z
0
0,227525
0,415710
0,557825
0,663548
0,743331
0,804565
0,852339
0,889977
0,919833
0,943464
0,962042
0,976338
0,986964
0,994279
0,998584
0,999990
+24
0
+ 10
0
—25
0
—17
■ о
—13
0
—9
0
—10
0
-10
0
—10
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
Л(+32)
1,143268
0,186556
0,059976
0,023956
0,010682
0,005094
0,002540
0,001310
0,000692
0,000372
0,000204
0,000112
6,000063
0,000034
0,000018
0,000010
а(точн)
1,143263
0,186553
0,059973
0,023950
0,010678
0,005092
0,002540
0,001310
0,000692
0,000373
0,000204
0,000113
—
—
—
Т а б л и
«Г
1,14326
0,1866
0,0593
0,0233
0,0144
0,0075
—
—
—
—
ца 43
а}у>
1,14264
0,1893
0,0611
0,0239
0,0113
0,0042
0,0024
—
—
—
—
—
—
—
по образцу табл. 35 коэффициенты А\^Ъ2), которые также приве-
приведены в табл. 43. В качестве упражнения следует по нечетным
точкам zlk вычислить еще Л}~32) и убедиться, что они (кроме А[~32))
будут отличаться от Л}+32) только в шестом знаке. Например,
А(Г32) = 1,143257; А(ГЩ = 0,186554; ... и тогда А1+64» = 1,143262;
469
/Ц+64' = 0,186555; A^i} = 0,000006; .... Результаты будут несколько
точнее, если А]~32) вычислить по нечетным точкам г[, полученным
при т = 32 в пятом шаге по исходным zjv после одного итерацион-
итерационного полуцикла. Перейдя к т = 64, можно определить коэффициен-
коэффициенты А\ с погрешностью в 1—2 единицы седьмого знака.
Замечание. Снос на контур можно также осуществлять
по формулам, вывод которых ясен из рис. 123:
х=~х — £с; у = "у — £у; дТ=4г--^-; Ду = 4г£ C.264)
R a R
Если же снос выполнить по формулам
х = 7— ^Ах*; у =7—-J-ДУ. C.264')
т. е. если приближенную точку г сносить на среднюю точку отрезка
гг, которую будем обозначать (см. рис. 123)
Zi/, — Zn ,
и по найденным четным точкам z^2) вычислить (точно так же, как и
раньше, т. е. по образцу табл. 35) коэффициенты Л{+т), то эти коэф-
коэффициенты
А™ = Л}*1"» (z./J, где а,. = г&*\ C. 265)
с точностью до б2 будут совпадать с коэффициентами А; полинома
B43) § 61.
В результате при значительно меньшем объеме вычислений мы
получили коэффициенты аппроксимирующего полинома Рт (£), даю-
дающего отклонения 6i5/2), в два раза меньшие, чем полиномы Р+т (£)
или Р—т (£) с коэффициентами А\+т) или А1[~т). Рекомендуем чита-
читателю закончить пример 3, выполнив снос точек г™ по формулам
B64').
Это замечание носит вполне общий характер, и им легко вос-
воспользоваться при отображении любых других областей.
Для обратной функции, отображающей внутренность эллипса
на единичный круг |£|<^1, построено быстро сходящееся разло-
разложение в ряды [354, стр. 319 или 341 русского издания]:
2<7г + 2<7° DгЗ - Зг) + 2д*> A6г» - 20г^ + 5г) + • ■ ■ . 2 «^
*~ 1+2</*Bг«—1) + 2</М(8г» —8г* + 1) + ... >Ч а + Ъ'
В данном примере
^ = 0,42261917; ф = 0,03190045; ^ = 0,00043007;
^• = 0,00000104,
470
так что
т __ 0,90008208г + 0,0036750355г3 + 0,0000000152225 + ■ • • _ i - ,
£ "~ ~ 1 + 0,13627971 г2 + 0,000017698572* + . . . Yl2 ~*~ Ys + * * *
Выполнив при помощи рекуррентных формул § 16 деление
рядов, получаем: Yi =+ 0,90008208; у3 = —0,11898789;
Y8=+ 0,016199720; Y7 = — 0,0022055872; ...;
Ym = —0,0000000141; уа= +0,0000000019; ...
Обратив теперь по формулам § 18 степенной ряд £ = yiZ +
+ y3z* + Уь?5 + ..., находим точные значения коэффициентов ряда
A93), которые приведены (до / = 23) в табл. 43 в колонке а]04"-
В табл. 43 полученные результаты сопоставлены (после пере-
пересчета на Ь = 1) также с результатами а(/К), продублированными
нами по формулам Л. В. Канторовича и В. И. Крылова [73,
стр. 439—441] и с результатами af\ полученными А. Г. Угодчи-
ковым электромоделированием [271, стр. 227]. При вычислении
а}К) в данном примере (а = 1,434889; 6=1) имеем а2 = yzzr I
b2 = -прх. откуда % = -£=£ = 0,346171 и далее а}К) = &- =
= Qo V 1 + К а}К) = Q2«+i = aiK)Qn, причем авторы отмечают, что
их формулы даны с точностью до X5.
Для пересчета результатов Угодчикова их надо разделить на
Ь* = 330,2.
Подводя итог, отметим, что при сносе по нормали на хорду
погрешность каждой из точек гп (с точностью до малых высшего
порядка) будет равна гипотенузе треугольника zn zn z™4H , а по-
погрешность снесенной точки гп — его катету. Поэтому погреш-
погрешность всех снесенных по нормали точек гп будет заведомо меньше
погрешности точек гп, что и обеспечивает сходимость итерационного
процесса. О других методах сноса этого без специально выполнен-
выполненного исследования сказать нельзя. Так что наиболее надежным
является снос по нормали, хотя во многих случаях он и будет да-
давать более медленную сходимость итерационного процесса.
Наиболее эффективным итерационным процессом, по-видимому,
будет процесс, использующий только систему четных узловых точек
с контролем результатов по нечетным точкам и с одновременным
уточнением исходных четных точек при помощи формул отобра-
отображения близких областей М. А. Лаврентьева или же при помощи
метода последовательных конформных отображений. В настоящее
время нами проводится отработка такой методики и ее результаты
будут опубликованы в отдельной работе.
Представляет также большой интерес установить класс областей
471
(если такой существует), для которых при сносе приближенных
точек по нормали непосредственно получаем точные результаты
без итерационного процесса. Кроме того, существенно установить,
существуют ли помимо семейства лемнискат Бута другие классы
областей, для которых снос по лучу из начала координат приводит
к точным результатам.
§ 63. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ.
ОТОБРАЖЕНИЕ СЕМЕЙСТВ ОБЛАСТЕЙ
В случае отображения несимметричных областей, т. е. в общем
случае, всем расчетным формулам можно также придать очень
простой вид, если ввести обозначения:
Xk =
xk
C. 267)
2fi.-k fa
%-re1*
n>-zA <D>
Например:
Puc. 124.
= Xk J^2|U— k
'ft — Ук T y2i>.-k
Каждая из величин X£ '" или Yt'" составлена из соответствую-
соответствующих координат образов гп единичной окружности £, = ёч, опре-
определяемых такими значениями углов ф„, для которых sin ср„ и cos ф„
приводятся к той же самой функции острого угла q>k (рис. 124).
Тогда, повторив все выкладки § 60, но не пользуясь уже
условиями симметрии, получаем следующие формулы для опре-
определения коэффициентов А/ и В/, / = 1, 2, 3, ..., т.
472
Начальные значения (т = 2; |А = 1; / = 1; 2):
C. 268)
А[+2) = т (*о + *2Д); В<+2) =
[+2) =
(* + *); В<+2)
и соответственно
Af2) = т ^ - %); В^2) = т (** *д): C.269)
При /и = 4; ц = 2; ; = 1, 2, 3, 4:
о<-4> 1 V+-+-.
2 - ТЛ^2 • C.270)
rv+Y+
п(— 4) «1 /у+Ч ! ТН +\-
■°з = 4"' ^/2 + УД/2 J'
«(-4) _ 1 у+ + + +.
п>(-4) 1 V+ + + +
Й4 = — -J ^ц/2
где Si = s^/2 = sin— , а все ^ц/2, ^ц/2 согласно B67) определяются
, . ,13 5 7,
координатами (xk, yk) точек k = -g-ц; у(л; -^ ц; уц, образы ко-
которых делят окружность | £ | = 1 на четыре равные части.
При т > 8; ц = -^ ; / = 1, 2, 3, ... , т получаем искомые фор-
формулы уже в общем виде:
т/4 т/4
473
где
- при k = 2/г — 1,
— 1)-^- при k= 2/г
и введены обозначения
a2Tl,k = Yt + ~~±X+~r+;
C. 272)
- - + I у+ +
It ' ц— k
; 4+1 =
т/Ч 1- -г- v4-4 .
C.273)
• + =FX+i
Величины а/д,, |3/д, обладают свойством периодичности по ин-
индексу у
<*/+*,; ft = «/*-
в силу чего первый индекс у величин a-lk, ftjk всегда можно при-
привести к одному из четырех значений
/= 1; 2; 3; 4,
которые только и фигурируют в формулах B73).
Отметим также, что и в общем случае величины a/ft, Р/д, выра-
выражаются через координаты точек заданного контура, а величины
glk являются постоянными, не зависящими от формы границы
отображаемой области, которые для каждого фиксированного т
вычисляются один раз навсегда.
В качестве пояснения докажем формулу B71) для А/ при j =
= 1 + 4/г.
Представим первую формулу A98) § 59 в следующем виде:
ft=i
m/8
^ ' : COS 1% + Ч-k COS j(p^_k
+ *2|u-ft COS /ф2д_А + *2ц+к COS /ф2]и_А + Хзц-k COS
474
cos /ф3д+А + хць-k cos /Ф4Д_А) + (yk sin fa
sin fa_k + y^+k sin j^+k + y^_k sin /ф2д_,
4- #4|U_fc sin /4VJ • C • 275)
Тогда для Ai+in, т. е. для / = 14- 4/г, воспользовавшись форму-
формулами приведения и учтя, что при т = 2(а согласно A95) для углов
= 2гат 4- -S- =F A 4- 4л) ф
z (о. 27о)
4- 4п) Фзцт, = 2пл 4- Ц- =F A 4-
синусы будут переходить в* косинусы и наоборот, а для углов
A 4- 4п) ф2дт, = 2«я 4- я =F A 4- 4п) Ф/к.
A 4- 4п) ф4д_А = 2гат 4- 2я — A 4- Щ
синусы и косинусы будут приводиться к функциям того же самого
названия, получаем:
т/8
Л/ = — ^ {xk — x2ii.-k — Х2ц+к + *4щ-*) cos /фй 4-
fc=l
4- (*n-fc — ^ц+fc — Xty-k + хъ^+k) sin fa 4-
4- 0/, 4- %_, -%+ft —Ущ-k)sin /Ф* +
4- (У^к + У»+к — Уг^-k - Уз^+и)cos /Ф*.
или в обозначениях B67), после очевидной перегруппировки
т/8
+4 -
+ (Х£ — ++ F+4 - -) cos fa.
Но согласно B72) и соответствующим формулам B73), в которых надо
взять верхние знаки, имеем
; * = Yt+ ~ 4- X+-Tk ~ +, g.k = sin fa,
4- У+4 , gh k+l = cos /фА,
475
так что, переходя в сумме к удвоенному верхнему пределу, окон-
окончательно получаем формулу B71) для случая / = 1 + 4/г:
т/4
Из формул B75) и B76), B76'), кроме того, следует, что величины
alk (так же, как и p,ft) обладают периодичностью по индексу /, так
как величина 2я есть период функций sin cp и cos ср.
Все остальные формулы B71) доказываются совершенно анало-
аналогично, причем в силу соотношения периодичности B74) достаточно
рассмотреть только четыре случая:
/ = 1 + 4п, / = 2 + 4п, / = 3 + 4/г, / = 4 + 4/г,
для каждого из которых а/4, f>jk имеют различные значения, опре-
определяемые формулами B73).
При доказательстве формул B68) — B71) надо еще принять во
внимание, что sin 0 = sin я = cos -^- = cos -^- = 0; sin ± -5- = ± 1;
cos 0 = 1; cos я = — 1.
Итерационный процесс, рассмотренный ранее, остается в силе
и в общем случае, но теперь связь между четными и нечетными
точками определяется следующими формулами, вывод которых со-
совершенно элементарен, но утомителен:
т/4—1
v=l
т ~ ~т ' ° + • • • + Лт/4 ),
т
т/4—1
\] y\v,kXtv~ + -, C.277)
v=l
о(+т) _ 1 (V+ + + + , , у+ + + +.
m
m/4—i
= Уо,к(Уо — Ут)+ ^ Vl2v,kY£> +; C.278)
v=l
m/4—1
v=l
т/4—1
V Y'1', Л +—; ц = f; C. 279)
v=l
476
v=l
m/4—1
+ + + +; C.280)
m/4—1
— V1V У+ — + - _l_ V v'V Y++ +
+
ц,к 2j 2v. * 2V
v=0
Вычисления по формулам B77)—B80), несмотря на их кажу-
кажущуюся сложность, производятся так же просто, как и в случае
q = 2, что будет показано при решении примеров.
Для облегчения этих вычислений нами в приложении III сос-
составлены шаблоны, содержащие матрицы коэффициентов у<п). Сами
коэффициенты у<п> вычисляются один раз навсегда по следующим
формулам, в которых, как и раньше, введены обозначения sv =
= sin —; cv = cos— .
m m
При п = I:
m/8—1
Y2Bv-1), k = -^ (SBv-1) дС^Д + V S4/Bv-l) [Czik + C(n_2/)fc] | ". C. 281)
1 2 U '
При п = II:
m/4
m/4
Y2I, k = "^Г^ [SB/-i)(fc-2v> + SB/_i)(fc+2v)]. где v Ф 0. C. 282)
Заметим, что случай v = 0 следует из общей формулы, если
сумму взять с весом 1/2.
При п = III коэффициенты у вычисляем по формуле приведе-
приведения
Y2" k = — Yn_2V -k> гДе P = Т- • C- 283)
При л = IV
т/8—1
477
m/8
)*: C-284)
Y2T2V-1), k=
m/8—1
v + 2]
/=1
причем
viv viv
»2v, k — rn-2v, дfc
В приложениях II и III нами вычислены все у(п) Для т = 4;
8; 16; 32 и у11. Y111 Для т = 64 с 8 десятичными знаками, что
потребовало предварительного вычисления величин s, ис, с 10
знаками, а в отдельных неблагоприятных случаях, когда округ-
округляемая цифра есть пятерка с нулями или четверка с девятками
например при т = 64:
Y&; k = Y&, 17 = — °'0581 9129 5019 ^ — 0,0581 9130;
■Ys*. * = Ys»; б = — 0,0133 4335 4995^ — 0,0113 4335) для правиль-
правильного округления необходимы sv и cv с 12—14 знаками.
Все значения sv = sin ^-, cv = cos -^-, необходимые для вы-
вычисления y(ii) при /n ^ 64, приведены с 14 знаками в табл. 44.
Табл. 44 легко вычислить на обычном арифмометре 1, исходя
из известного значения с\6 = cos2 45° = -~ = 0,5000 ... , последова-
последовательно применяя формулу косинуса половинного угла и основ-
основное тригонометрическое тождество
cv/2 = |/ 0,5 + \cv; 4 + 4=1,
если последние 7 знаков корня определять, пользуясь итерацион-
итерационной формулой Ньютона,
где а ~ Y~N — приближенное значение корня из N, найденное,
например, с 7 знаками по таблице [254].
Отметим, что объем вычислений при определении коэффициен-
коэффициентов у = Y (т) растет как т3 (число самих коэффициентов у растет
как т2 и число слагаемых в формулах B81) — B84) увеличивается
в т раз). Так, например, вычисление всех у для случая q = 2 при
1 Эти вычисления представляют одии из редких примеров, когда, ие прибегая
к искусственным приемам, удается получить на арифмометре точность, превышаю-
превышающую вдвое объем счетчика оборотов.
478
Таблица 44
V
1
2
3
4
5
6
7
8
9^
10
11
12
13
14
15
16
32—v
sv=slnT
0,0490 6767 432743
0,0980 1714 032959
0,1467 3047 445540
0,1950 9032 201614
0,2429 8017 990326
0,2902 8467 725447
0,3368 8985 339222
0,3826 8343 236509
0,4275 5509 343029
0,4713 9673 682600
0,5141 0274 419322
0,5555 7023 301960
0,5956 9930 449243
0,6343 9328 416364
0,6715 5895 484701
0,7071 0678 118655
vn
cv=cos-g4-
vn
0,9987 9545 620517
0,9951 8472 667219
0,9891 7650 996478
0,9807 8528 040323
0,9700 3125 319455
0,9569 4033 573221
0,9415 4406 518302
0,9238 7953 251128
0,9039 8929 312344
0,8819 2126 434835
0,8577 2861 000027
0»8314 6961 230255
0,8032 0753 148064
0,7730 1045 336274
0,7409 5112 535497
0,7071 0678 118655
vn
sv=silr6T
32—v
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
V
m = 32 потребовало 16 часов, а при т = 64 времени ушло в 8
раз больше, т. е. свыше 16 рабочих дней.
Из общих формул легко найти формулы и для симметричных
областей. Так, при q = I, учтя условия симметрии B12), имеем
хк = *4м—k,
; Уо = y2ll = О-
Подставив эти значения в B67), получаем в случае q = 1:
Х£ + —=Х£- + - = 0; Yt + + + = Yt~-+=0; C.285)
Xt + + + = 2(xk+ x2^k); Yt+ = 2(ук + у^_к); C. 285')
Afe = Z (Д:А — Х2ц—к), ik = Z (#fe —У2ц~к>- (**• ■^°t) )
Отсюда, учтя B73), находим, что при любых /, &, т [287; I]:
и мы снова получили результаты § 60.
При q = 2, в силу условий симметрии
так что, подставив эти значения в B85), получаем дополнительно
- + - = 0;
= Аук. C. 286)
479
Следовательно, согласно B73) при q = 2 для четных значений
/ будем иметь
alk = 0; Л}±т) = 0; а/ = 0 при / = 2v; v = 1, 2, 3, ...
и для нечетных
O2Ti; k = 4 (#fc ± дгд_й); а2тI-, fc+i = 4 (*fc ± #Д_Л), C. 287)
что полностью соответствует формуле B26) § 60.
Включив теперь множитель 4 в состав a;k или glk, мы и получим
для случая q = 2 все дальнейшие результаты § 60.
В частности, соответствующие шаблоны приложений II и III
отличаются между собою только наличием множителя 4.
Отметим также, что все шаблоны yki 2v приложения II согласно
формуле B39") получены из соответствующих шаблонов y2v, k пу-
путем перехода к транспонированной матрице (т. е. к матрице, у кото-
которой надо поменять ролями столбцы и строки) после предваритель-
предварительного умножения на 2 строки х0 (совпадающей со строкой у^). По-
Последнее обстоятельство вызвано тем, что при обращении соответ-
соответствующей системы уравнений множители при х0 и у^ надо брать
с весом 1/2, как это было при обращении систем уравнений B35)
и B35'). Например, если мы предварительно умножим на 2 строку
х0 в табл. 32, а затем поменяем ролями столбцы и строки, то мы
получим шаблон [у*!^; «г = 16; q = 2] приложения II и, на-
наоборот, разделив на 2 столбец х0 в шаблоне YfcU2v. а затем поменяв
ролями столбцы и строки, получим табл. 32, т. е. шаблон [у21, ы\
т = 16; q = 2]. В связи с этим в приложении II мы для т = 64
приводим только шаблон [у™*,; гп = 64; q = 2], разделив в кото-
котором на 2 столбец х0 и затем транспонировав его, читатель легко
сможет построить шаблон [у21, ь т = 64; q = 2]. Шаблоны при-
приложения III транспонируются аналогично.
Остановимся теперь на методике вычислений, для чего снова
обратимся к примерам.
Пример 1. Отобразим единичный круг £ на область г, контур которой
задан графически иа рис. 125.
Решение примера начнем с графического определения нулевого
приближения для точек z^, z2]U, zw. Для этого построим (в нулевом
приближении) образ луча ср = 0. Так как этот луч ортогонален
к единичной окружности |£| = 1, то согласно нормировке A92)
его образ должен проходить через заданные точки г = 0 и z0 = х0
ортогонально к контуру г. Поэтому, восстановив в точке z0 вну-
внутреннюю нормаль к контуру, продолжаем ее плавно так, чтобы
построенная дуга прошла через начало координат г = 0. Построим
теперь вспомогательную окружность небольшого радиуса (г =
= 10—20 мм) и разделим ее на 4 равные части, отправляясь от
образа луча ср = 0, в результате чего получим начальные направ-
480
ления лучей ф = \i, ф = 2ц, ф = Зц. Продолжив эти лучи так,
чтобы они вышли ортогонально на контур (поскольку их прообра-
прообразы — радиусы все ортогональны единичной окружности |£| = 1),
мы и построим в нулевом приближении искомые точки z<°>, z<°>,
z$. Тем же путем можно определить любое число узловых точек
и на рис. 125, например, еще выполнены построения (пунктир-
точечными линиями) для точек г2, г4) z6, zn.
-0,630 -
Однако графические построения обладают малой точностью,
и поэтому мы перейдем к итерационному процессу, который целе-
целесообразнее начинать на уровне m = 4.
В табл. 45 приведены все вычисления (без каких-либо допол-
дополнительных записей на черновиках), необходимые для определения
32 (четных и нечетных) узловых точек, причем в данном примере
потребовалось выполнить только два шага (п = 0; I) при m = 4
и по одному шагу (п = II; III) при m = 8 и m = 16. Масштабный
множитель нумерации точек \i для всех шагов был принят \i = 8.
Вычисления в табл. 45, несмотря на кажущуюся их сложность,
отличаются от аналогичных вычислений для симметричных областей
31 П. Ф. Фильчаков
481
(q = 2) только наличием двух дополнительных операций: прямого
перехода от известных х, у согласно обозначений B67) к X"", Y""
и обратного перехода от X"", Y"" к соответствующим им х, у.
Эти операции выполняются очень легко и в один прием, если ко-
координаты точек расположить согласно табл. 46 (которую для кон-
Таблица 46
кретности мы приводим для т = 16, р = -у = о
Нечетные
Zk 22ц—k
Zl t 2l5
2з
213
211
29
ТОЧКИ
г2ц+к
217 '
21»
221
I 2m
24ц—fc
231
229
227
226
22v
2o
Четные
22ц—2v
—
22 t 2U
24
■ 2e
—
212
210
28
ТОЧКИ
22n+2v
216
218 '
220
, 222
—
24ц—2v
—
230
228
226
224
Тогда все необходимые координаты точек для определения со-
соответствующих Z"+ + +, Z" , Z+ •", Z+~ + ~ будут находи-
находиться в одной строке, что существенно упрощает их вычисление.
Например, рассмотрим, как выполнен в табл. 45 переход k2J" для снесен-
снесенных на контур нечетных точек zk, выполненный в третьем шаге (га=1П) в начале
второго полуцикла.
В перюй строке этого участка табл. 45 имеем
XI,
+ 1,441
—0,841
—0,430
+1,331
хГ
+ 1,501
-0,301
+4,043
+0,521
и переход выполняется следующим образом.
Сложив (алгебраически, т. е. с учетом знаков) все х, стоящие в этой строке,
согласно B67) получаем
Х+ + + + = xi + «и + хи + *31 = + 1,501,
которое и записываем в табл. 45. Затем, сохранив результат и последнюю установку
x3i = + 1,331, вычисляем в один прием
Х+ = X! + *16 — А'17 — *з1 = ;
= Х+ + + + — 2*17 — 2*3i = . .. 999,699 = — 0,301.
482
Для этого, сделав два отрицательных оборота сохранившейся установки *3i, наД°
только установить величину Xi, = — 0,430, после чего, произведя еще два оборота
в противоположном направлении (в данном случае в положительном, так как х17
величина отрицательная), мы и найдем Xf~^ . Сохранив полученный резуль-
результат, аналогичным путем вычисляем в один прием
Х+ ~ ~ + = xi - х1Ъ - х„ + ли = Х+ + - - - 2х1Ъ + 2х31 = + 4,043.
а затем, воспользовавшись последней установкой x3i, заканчиваем прямой переход,
определив
X+-+- = xi — х1Ъ + Xl, — x31 = X+-- + + 2х17 — 2*3i = + 0,521.
Переход от уп, г/гитп' У^а—п к ^'п " выполняется совершенно аналогично.
Описанная схема вычислений зафиксирована в приложении III в виде
шаблона № 1, с помощью которого операция перехода выполняется со скоростью
записи результатов в расчетной таблице. Данный шаблон, на котором для каждого
из хп, *2итя' Х4и—п Указан0 число оборотов и их направление, размещаем в
табл. 45 над строкой, содержащей рассматриваемые хп, ... или уп, ifei+n-" • ^ы*
числив и записав для первой строки все четыре Х'^", перемещаем шаблон на
одну строку ниже и вычисляем по у\, у1Ъ, ... точно так же все Kj ', например (мы
продолжаем рассматривать тот же участок табл. 45):
= + 0,526 — 0,381 — 0,567 — 0,476 = ... 999,102 = — 0,898;
Y+ + =У+ + + + -2У1,-2у31 =
= . . . 999,102 + 2 ■ 0,567 + 2 • 0,476 = + 1,188; . ..
Этот процесс продолжаем, пока не дойдем до самой нижней строки, в данном
случае до строки у,, у9, угз, у№. Все найденные X'k'", Yk'" записываем, как ука-
указано в табл. 45, в верхней половине Хк и в нижней Y'k" .
Обратный переход выполняется при помощи того же самого
шаблона, если величины Х„ или Уп брать с весом. х/4. Дей-
Действительно, выполнив с величинами -г- Хп алгебраические опера-
операции, указанные в знаках верхних индексов, мы получим следую-
следующие тождества:
— + X+ —+
+ ++-); C.288)
При вычислении уп, t/2nT«> Уш-п надо только в B88) заменить
Хп на соответствующие Yn"'.
31» 483
В справедливости тождеств B88) убеждаемся, заменив все
их значениями B67), например:
(Хп — Х2ц
~ (хп + Х2ц—п
(Хп — Х2ц—п — Х21х+п
— Х2ц+п — *4ц—п)
откуда непосредственно и следует первая формула B88).
Таким образом, рассматриваемый шаблон является обратимым,
т. е. Zn вычисляются по заданным zn, гш^„, z4U_ra пючно так же,
как гп, г2йТп, z4U_n вычисляются по заданным -т ZU".
Поэтому при выполнении операций прямого и обратного пере-
перехода можно пользоваться одним и тем же шаблоном, который в
приложении III отпечатан в двух вариантах (по ширине колонок):
№ 1 для вычислений с 3—4 знаками и № 1а для вычислений с 5—6
знаками.
Для закрепления техники вычислений при обратном переходе читателю по-
полезно продублировать ту часть табл. 45, (п = III, конец первого полуцикла), в
которой выполнен переход от величин I—Xk I и I—Y'K"'I к приближенным
xkm, у. Множитель 1./4, поставленный в шапках таблиц (прип = О, II, III)
подчеркивает, что все Xj" , Y'k' были предварительно вычислены с весом 1/4.
т. е. уменьшенными в 4 раза ( о чем мы скажем подробнее несколько позже).
Первая строка этого участка имеет следующий вид:
16 —А
16 +
32— k
+0,377
—0,074
+1,009
+0,129
„ш
+ 1,441
—0,835
—0,429
+1,331
Поместив над этой строкой шаблон (причем здесь удобнее воспользоваться
шаблоном № 1 для прямого перехода, ширина столбцов которого рассчитана на
3—4 знака), вычисляем последовательно, перемещая шаблон по строкам вниз:
~»' = + 0,377 — 0,074 + 1,009 + 0,129 = + 1,441;
~»' =~'и — 2 • 0,129 — 2 • 1,009 = ... 999,165 = — 0,835; . . .;
1/}П = — 0,224 + 0,298 + 0,249 + 0,203 = + 0,526.
Для четных точек 0, \i, 2ц = m, 3jx, для которых ф0 = 0, фй =
4 = я; Фзц = -J- и- следовательно, sin ф0 = sin ф2
4" • % = я; Фзц = -J- и- следовательно, sin ф0 = sin ф2д =
cos <рд = cos фзд = 0; sin фд = cos ф0 = + 1; sin фзд == cos Фзд = — 1,
484
прямой и обратный переходы осуществляются по следующим фор-
формулам:
Xt + + + Х2ц + Хзц;
C.289)
r= Xq = Xq — Хц-\- Х2ц —
и соответственно
xv-= 1 Wo + Хц — Хо У,
290)
Для Yt , Y
и f/o. Уи< f/ги- f/зи формулы совершенно аналогичные.
В соответствии с формулами B89), B90) и для этого особого
случая в приложении HI построены шаблоны, которые уже не
обладают свойством обратимости. Технику вычислений по шаб-
шаблонам для особого случая читатель легко усвоит, продублировав
соответствующие участки табл. 45.
В табл. 46 также выделены строки 2v = 0 и 2v = \i, для кото-
которых переход осуществляется по формулам B89), B90). Для всех
остальных строк 2v = 2, 4, 6, ..., \i — 2 прямой и обратный
переходы осуществляются точно так же, как и для нечетных точек,
т. е. по общим (обратимым) шаблонам № 1 или 1а.
Отметим, что для экономии места в первых двух шагах (п = 0;1)
табл. 45 мы не выделяли строк 2v = 0 и 2v = \i, из которых только
и состоит эта таблица при т = 4.
После того как усвоена техника вычислений при операции
перехода, дальнейшее решение выполняется совершенно анало-
аналогично случаю симметричных областей (q = 2). Так, записав в
табл. 45 при п = 0 в качестве исходных значений координаты
четных точек г<°), найденные на рис. 125 графическим путем, вы-
числяем по ним согласно формулам B89) соответствующие Хо , У'о".
По данным четным Z v вычисляем приближенные Z* .
485
При т = 4r k = у = 1, как непосредственно следует из B77)—
B84), эти вычисления выполняются по формулам:
X+ + + + =-xt + + +; Yt + + + = -Yt + + +;
Xf+ = —SlYf +; K+ + = + SlXt +; C.291)
Лх = -f- Sir о , г i = —
y-\ h-_ yH h~. yH !--_- i Y+
Л1 Го » 'i = + Ло
= 0,70710678; jfe=.-t-= 1.
Так как для выполнения операции обратного перехода вели-
величины Zk ' удобнее вычислять с весом 1/i, то каждое из уравнений
B91) предварительно умножаем на 0,25 и тогда, например, по из-
известному Х^ + + + = 0,532 вычисляем
+ +-0,25- 0,532= —0,133.
Найденное значение записываем в колонке, отмеченной мно-
множителем XU, как приближенное, внеконтурное -^ Wtit+ + =
= Х4~ + + + = —0,133), поскольку нами был принят масштаб ji=8,
а не ц = -~- = 2..
Вычислив аналогично все величины -j Zw/2 = -г Z^ , опреде-
определяем по ним (в нулевом приближении) при помощи операции
обратного перехода соответствующие координаты внеконтурных
точек xlk\ t/*0) для k = 4, 12, 20, 28. Найденные точки z(ft0) строим
на рис. 125, сносим их графически по нормали на контур и полу-
получаем соответствующие контурные точки zjj?', координаты которых
записываем в табл. 45 (например, для точки k = 12 имеем x(f% =
= —0,926; у($ = + 0,390). Затем согласно B67) при помощи
прямого перехода (по общим, обратимым шаблонам) вычисляем
нечетные Zk", подставив которые в те же формулы B91), находим
уже в первом приближении (п = 0; п + 1 = I) четные внеконтур-
ные У4 Zo . Например, умножив вторые уравнения B91) на
—2sx и учтя, что 2s\ = 1, имеем
486
так что
\i = 8, k = у = 4):
1у+--+ = _!Slx4+ + = (-0,3536) • (-0,772) = 0,273;
±х+-~+ = 1,056.
Вычислив при п + 1 = I аналогично все 1/4 Zo , путем обрат-
обратного перехода находим внеконтурные точки z^, для 2v = 0, 8'
16, 24. Построив эти точки х на рис. 125 (который надо выполнить
на миллиметровой бумаге в масштабе 1 = 100 мм) и снеся их графи-
графически по нормали на контур, получаем исходные данные для шага
п = I. Выполнив на том же уровне т = 4 шаг п = I, совершенно
аналогично находим точки z\n z™v. В шаге п = II переходим на
уровень т = 8, для чего объединяем нечетные и четные точки,
полученные при п = I, и располагаем их по образцу табл. 46.
Затем вычисляем соответствующие Х'о'", Хй", Уо'"> ^й" (ц=8)
по формулам B89) или по шаблону для особого случая и Х4 У4 "
по общим формулам B67), т. е. по общему обратимому шаблону, а
также величины
Все найденные значения записываем, как указано, в табл. 45 для
п =р II, например:
Xt~ + ~= + 1,268; Xt + —= —0,544;
_ В* = + 0,0025;
у+ + + + = Г+- + - = —0,704; Yf + —= + 2,324;
As = — 0,0004.
Воспользовавшись теперь шаблонами № 4 -j Y^'J' m = 8; 7 = 0
приложения III вычисляем по четным Z2V нечетные приближенные
(внеконтурные) 1/4 Z* " для k = 1; 3 (т. е. для k = 2;6 в принятом
масштабе нумерации точек \i = 8), например:
= — 0,1768 • 0,725 + 0,0025 = —0,126;
1/*Yt + + + = + 0,131; 1/4K2h + — = 0,1633Л"^ + —
— 0,0957Л"^ — +=0,1633 • 4,276 — 0,0957 • 1,661 = + 0,539;
1 Четные и нечетные точки, обозначаемые на рисунке одними и теми же зна-
знаками, надо выделять различными цветами, например красным и зеленым.
487
lUYt — + = (—0,2310)-(—0,747) + (—0,0676) • (—0,544) = + 0,209;
lUYt~ + ~ = + 0,1250 • 0,464 + (—0,1250) • (—0,467) +
+ 0,1768 • 1,268 = + 0,341.
Каждая пара соответствующих V4 Z2 , lU Z6 вычисляется
очень легко и в один прием, для чего надо только шаблон разме-
разместить непосредственно в расчетной табл. 45 левее соответствующей
колонки исходных данных и умножить их, не снимая результатов,
на коэффициенты у, стоящие в тех же строках шаблона, после чего
шаблон перемещаем на одну колонку левее и выше и т. д. При
этом отметим, что все Yk вычисляются по X2V и, наоборот,
все Xk no K2v . Шаблоны для вычисления V4 Yk и V4 Xk совме-
совмещены, поэтому для удобства вычислений их надо «поднять», об-
обведя зеленым карандашом каждый из X2V' , стоящий во второй ко-
колонке исходных данных и каждый из Yl , стоящий вторым в
соответствующих строках искомых величин. В шаблонах и в ра-
расчетной таблице надо также «поднять» все знаки минус, обведя их
красным карандашом.
Для того чтобы матрицы соответствующих коэффициентов тожде-
тождественно совпали, что необходимо для совмещения шаблонов, во
всех шаблонах вместо Х'п' мы вычисляем — Хп ", так что полу-
полученные результаты (для четных и нечетных) Хп" надо записывать
в расчетной таблице с обратным знаком. Величины Y'n " вычис-
вычисляются непосредственно со своим знаком.
Для совмещения шаблонов потребовалось также и величину
Вт записать во всех шаблонах со знаком минус.
Определив все внеконтурные величины 1/4 Xk'", XU Yk при
помощи обратного перехода по общим формулам B88), т. е. при
помощи общего обратимого шаблона, вычисляем все внеконтурные
&-точки во втором приближении г", которые после сноса на
контур дают точки г.". По точкам г", выполнив прямой переход
при помощи того же самого шаблона, находим все Xk , К* , являю-
являющиеся исходными данными для определения внеконтурных величин
1/i ^jv . V4 Y'zv", которые вычисляются совершенно аналогично по
шаблонам № 4а [х/4 ~yl7lv', т = 8; q — 0], расположенным на об-
обратной стороне карточки с шаблонами р/4 y'w™; tn = 8; q = 0].
Определив все х/4 Z2V и выполнив обратный переход, нахо-
находим точки z2". которые после сноса на контур дают третье при-
приближение для четных точек г2". При этом точки z0, z8, z16, z24
находим по шаблону № 2а для особого случая B90), а точки z4, Z12,
Z20. г28 — по общему обратимому шаблону № 1 или 1а.
488
Объединив точки zu и z2Tv , получаем исходные данные для
следующего шага п = III, который выполняем на уровне т = 16
в натуральном масштабе \i == — = 8.
Все вычисления в III шаге выполняются совершенно анало-
аналогично вычислениям II шага, только теперь пользуемся шаблонами
[V4 y'~\v; т = 16; 9 = 0] и [V4 yfr™; m = 16; 9 = 0] приложения
III согласно которым при т = 16 каждая из искомых величин вы-
числяется в один прием как сумма -г- = 4 (или о) произведении,
стоящих в одних и тех же строках коэффициентов у и исходных
данных Z2V или Z* , например:
lUYf + — = 0,0562- 4,276+ 0,1978-3,412 —
— 0,1283 • 1,645 — 0,0244 • 0,370 = + 0,695;
1UYf + — = 0,0376 • 4,276 + 0,0881 • 3,412 + 0,1920- 1,645 —
— 0,1226 • 0,370 = + 0,732;...
Замечание. При вычисленииXt~ + ~ = X^ + + +, Yt~+~' =
E=Yjt+ + + в шаблонах l1,Uylv2v'' m; q = 0] в колонке исходных
данных для всех k = 1, 3, 5, ..., \i — 1 величины Yt + + +, Xt + + +
надо заменить величинами Yi ^~, Xt l"~, как это и отмечено
в каждом из соответствующих шаблонов приложения III.
Снос точек в данном примере, начиная с шага п = I, для
&-точек и о = II для 2у-точек, осуществлялся как двухступен-
двухступенчатый (см. § 62). При этом для большей наглядности на рис. 125
окрестности точек 8; 16 и 28 показаны в 10—и 40-кратном мас-
масштабе. Истинные значения узловых точек на рис. 125 отмечены
черточками на контуре и номерами точек без верхнего индекса.
Подчеркнем, что при двухступенчатом сносе, если два после-
последующих приближения лежат по разные стороны от дуги контура,
то направление луча сноса надо изменять на противоположное,
как это имеет место при сносе точки z\%. Точку z\, для которой
отклонение от контура при п = I оказалось значительно большим,
чем при п = 0, более целесообразно сносить по нормали, так как
снос по нормали дает наиболее надежные результаты.
При двухступенчатом сносе для отдельных точек может воз-
возникать ухудшение результатов (например, для точки г28т на
рис. 125), однако сумма всех погрешностей при двухступенчатом
сносе значительно быстрее идет к нулю, чем при других способах
сноса, и благодаря этому сходимость итерационного процесса зна-
значительно ускоряется.
489
Вычисление Л|+т>; BJ+m> по четным
Уч
хг
У*.
Xi
'Л
2v
+1,502
0
+0,284
+ 1,257
8—2v
—0,894
+0,422
-0,337
J-0,669
8+2v
—0,636
—0,528
—0,164
—0,447
16—2v
+0,303
-0,887
—0,065
—0,493
n=III; m=8; ц=4
++++
—0,471
+0,345
++
—0,749
+3,013
+ +
+1,645
+0,395
+-+-
+0,711
+1,275
/'
11
12
+1,162
—0,402
. \i
11
12
13
14
+4,658
+1,368
Вычисление Aj m'; BJ m* по нечетным
Xl
Xs
Уз
k
+ 1,156
+0,965
—0,255
+0,920
8—k
—0,973
—0,139
—0,518
+0,667
8+k
—0,280
—0,532
—0,116
—0,452
16—ft
+1,003
—0,797
—0,009
-0,633
n—11; m-8; [X—4
*;;■;
F.r.
++++
+0,906
0,898
—0,503
+0,502
++-
—0,540
■0,648
+2,155
+2,672
+—+
+3,412
+0,370
+0,839
+0,072
+-+-
+0,846
+0,156
+ 1,369
+0,434
11
12
31
32
21
22
41
42
+2,525
+6,084
+1,785
+0,740
+1,803
+ 1,804
+0,935
+0,008
490
Таблица 47
точкам Z2v=22v ПРИ m==
Л!+2)
+0,272
+0,176
+0,5810
+0,2010
+0,1360
—0,0880
+1,0690
+0,4330
+0,2640
—0,2640
(m=4)
h
+ 1ДН
+0,354
/
1
2
3
4
2(+У
Z(-)>
+0,8235
+0,3188
+0,2419
+0,1178
+1,5020
—0,6288
в,<-4)
+0,2023
—0,1778
+0,0626
—0,0862
+0,0009
—0,5289
+0,8250
+0,3170
+0,2440
+0,1160
+ 1,5020
—0,6360
+0,2000
—0,1760
+0,0640
—0,0880
0,0000
—0,5280
точкам
k=z}} при /п=8
+0,612
+1,487
+0,468
+0,191
—1,002
— 1,005
—0,690
—0,001
/
1
2
3
4
5
6
7
8
2(+У
2(-)/
+0,8234
+0,3189
+0,2415
+0,1169
+0,0008
—0,0001
—0,0001
—0,0010
+1,5003
—0,6309
в,<-8)
+0,2010
—0,1774
+0,0632
—0,0862
—0,0004
+0,0003
+ 0,0003
+0,0001
+0,0009
—0,5273
Л(+8)
+0,8242
+0,3179
+0,2430
+0,1169
+ 0,0008
—0,0009
+0,0010
—0,0009
+1,5020
—0,6360
Л(+8)
+0,2012
—0,1769
+0,0633
—0,0871
—0,0012
+0,0009
+0,0007
—0,0009
0,0000
—0,5280
491
Вычисление Л| 16'; SJ 16* по нечетным точкам
16—ft
16+/г
32—ft
h
Vi
x3
Уз
хъ
Уь
х7
Уп
+ 1,441
+0,526
+0,728
+1,221
—0,064
+ 1,121
—0,323
+0,750
—0,841
—0,381
—0,998
+0,157
—0,704
+0,602
—0,388
+0,664
-0,430
-0,567
-0,199
-0,481
-0,142
-0,441
-0,088
-0,469
+ 1,331
—0,476
+0,624
—0,925
+0,095
—0,765
—0,048
,—0,542
11
12
13
14
+ 1,293
+6,468
+3,661
+5,478
+0,314
+ 1,573
+0,890
+ 1,341
n=III; m=16; ц=8
31
32
33
34
+ 1,083
+ 1,618
+ 1,907
—0,380
+0,288
+0,424
+ 0,500
—0,101
+1,501
+0,155
—0,815
—0,847
—0,898
—0,028
+0,517
+0,403
—0,301
—0,695
—0,721
—0,575
+1,188
+2,784
+2,929
+2,425
+4,043
+2,549
+0,877
+0,105
+0,998
+0,620
+0,195
+0,013
+0,521
+0,903
+ 0,403
+0,025
21
22
23
24
+0,975
+2,348
+2,351
+ 0,970
-0,546
-1,301
-1,306
-0,545
41
42
43
44
+0,657
+0,654
+0,665
—0,660
—0,496
—0,495
—0,500
+0,489
9
10
11
12
13
14
15
16
1 —u,oyo -j-i ,100 -ри,ээо —J—0,816
3 '■ —0,028 +2,784 +0,620 +1,508
+0,843
+0,159
На этом мы заканчиваем пояснения к табл. 45, так как техника
вычислений при прямом и обратном переходах в 111 шаге была уже
рассмотрена выше.
Табл. 45 является образцом вычислений при итерационном
процессе в случае q = 0, и поэтому читателю следует,продублиро-
следует,продублировав ее, убедиться, что и при q = 0 итерационный процесс выпол-
выполняется очень легко, если освоена техника вычислений по шаблонам.
Дальнейший ход решения почти не отличается от случая q = 2,
и в табл. 47 по найденным узловым точкам при т = 8 выполнены
все вычисления (включая и частичный контроль), необходимые
для определения А\±8), В]±8\ которые осуществляем по соответ-
соответствующим шаблонам приложения III, по образцу табл. 35. При
этом в качестве исходных узловых точек мы взяли точки г^1 и z£j+1> =
= Zgv, полученные при т = 8 во втором шаге (п = II), так как
уже в этом шаге нечетные точки в масштабе рис. 125 ложились на
492
Таблица 48
у ,П1
л(-16)
+0,8241
+0,3178
+0,2433
+0,1165
+ 0,0006
+0,0002
+0,0002
0,0000
+0,0003
—0,0001
0,0000
+0,0004
—0,0001
+0,0003
—0,0001
0,0000
+ 1,5034
—0,6332
B(-16)
+0,2008
—0,1766
+0,0639
—0,0875
-0,0004
+0,0001
+0,0003
0,0000
+0,0004
—0,0006
+0,0001
—0,0005
+0,0001
—0,0003
+0,0001
0,0000
—0,0001
—0,5307
Точные значения
2v
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
+1,502000
+ 1,156514
+0,284153
—0,257700
—0,337000
—0,511175
—0,889505
—0,979538
—0,636000
—0,283307
—0,164153
-0,117705
—0,065000
—0,010033
+0,305505
+1,002943
ai=+0,825;
6t=+0,200;
#2v
0
+0,966110
+ 1,257064
+0,918838
+0669000
+0,667716
+0,430731
—0,132731
—0,528000
—0,534706
—0,447064
—0,453631
—0,493000
—0,635120
—0,888731
—0,796476
O2=+0,317;
62=—0,176;
k
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
4
+ 1,441924
+0,728590
—0,062704
—0,323271
—0,384306
—0,701526
—0,997787
—0,841285
—0,432980
—0,200362
—0,143212
—0,088166
—0,047639
+0,094101
+0,626703
+1,331918
a3=+0,244;
63=+0,064;
Ук
+0,524386
+ 1,221232
+ 1,122331
+0,749394
+0,663899
+0,603953
+0,163828
—0,381026
-0,567373
—0,481698
—0,441485
—0,470067
—0,541716
—0,766488
—0,923870
—0,475301
а4=+0,116
bt—— 0,088
контур, что может точно выполняться только в том случае, если
контур есть лемниската степени п ^ ~ = 4.
Результаты, полученные в табл. 47, подтвердили это предпо-
предположение, так как с точностью до е <; 0,001 мы получили Aj±8) =
= В]±8) =0 при / > 5.
С целью дальнейшей проверки в табл. 48 по нечетным точкам
z'n (полученным в первом полуцикле III шага), которые также
все ложатся на контур, мы вычислили коэффициенты А\~1 ) и В* '
и убедились, что и при т = 16 с точностью до е ^ 0,0006 снова
Л}-16> = д}-«» = 0 при j > 5.
Рекомендуем читателю закончить эту проверку, вычислив по
образцу табл. 47 по точкам z^/ = 4v коэффициенты Л*+16) и б'+16)-
Контур в примере 1 действительно есть лемниската, так как
493
мы его построили, взяв в качестве отображающей функции полином
4-й степени:
г =
с, = щ
ibh
Точные значения коэффициентов также приведены в табл. 48
и по этим коэффициентам вычислены с 6 десятичными знаками точ-
точные значения 32 узловых точек. Эти значения можно использовать
для контроля различных методов сноса, а также для контроля всех
шаблонов при q = 0, так как, взяв, например, точные значения
четных узловых точек z2V при т = 16 и вычислив по шаблонам
нечетные узловые точки zk (k = 1, 3, 5, .... 31), мы должны полу-
получить их значения (с возможной погрешностью в 1—2 единицы ше-
шестого знака), приведенные в табл. 48.
Пример 1 имеет вполне общее значение, так как при его реше-
решении мы нигде не пользовались известными нам точными значениями
коэффициентов с/ или узловых точек zn, Решение любого другого
примера выполняется вполне аналогично, а для получения более
высокой точности можно применять аналитические методы сноса
или графические в увеличенном масштабе, точно так же, как это
было описано в § 60—62. ;
По образцу примера 1 читатель легко может построить любое
количество других примеров — этюдов, которые очень полезны-
для отработки наиболее рациональной методики вычислений. J
На рис. 126 построены области z еще для трех таких примеров —^
этюдов, для которых отображающая функция определяется следую*,;
щими полиномами:
a) z = ail +
где
= 1; а3 = -д-;
б) z =
2 + a3ls + а&\ где а, = 1,0; а2 = — 0,6;
а3= +0,2; а«= —0,1;
494
7
в) г = ^ сп1п; где сх = 1,1234 — 0,2428/;
с2 = 0,3297 — 0,0953/; с3 = 0,1620 + 0,1364/;
с4 = 0,1074 + 0,0894/; а = 0,0463 + 0,0489/;
гв = 0,0214 + 0,0447/; с7 = 0,0098 + 0,0187/; сп = 0 при п > 8.
В случаях а) и б) граница области z имеет точки возврата,
однако определение отображающей функции при помощи метода
тригонометрической интерполяции и в этих случаях выполняется
обычным путем.
Отметим, что при построении этюдов надо следить за тем, чтобы
область z не перестала быть однолистной. Например, в случае по-
полинома а) это произойдет при нарушении условия За3 =S a-y.
При изложении метода тригонометрической интерполяции мы
рассмотрели только случаи q = 2 и q = 0. Все остальные случаи
легко получить из общего случая <7 = 0-
Так, при q = 1 в шаблонах у приложения III надо вычеркнуть
один из столбцов и соответствующие значения Z'n'" в шапках
искомых величин, так как согласно B85)
и уравнения B77) — B80), содержащие эти величины, удовлетво-
удовлетворяются тождественно. Кроме того, для удобства дальнейших вы-
вычислений значения коэффициентов хд y в этих шаблонах согласно
B85') — B85") надо удвоить, т. е. составить матрицы коэффи-
коэффициентов х/2 y'~iv и в шапках искомых величин множитель х/4 заме-
заменить множителем х/2, так как
т Xt+ + + = -j (хк + x2il-k) = -2 (xk + хщ-к) и т. д.
Операция прямого и обратного перехода при q = 1 также упро-
упрощается, поскольку, например, по известным
очень легко определить в один прием искомые координаты хк, хш—к
и, наоборот, по данным координатам также легко вычисляются
искомые Xt + + +, Xt — +.
При q = 1 все В/ = 0, а при вычислении А/ значения величин
gjk надо удвоить, что и сделано в соответствующих шаблонах при-
приложения III, где приведены значения gjk = {sk} для q = 0 и для
9=1.
При q = 2 в силу условий B85) и B86) уравнения B77) и B80)
495
обращаются в тождества 0 = 0, так что надобность в шаблонах
Y1 и yiv отпадает, а шаблоны у11 и Y111 можно совместить согласно
формуле B40). Далее, согласно B86) при q = 2 вычисления можно
вести непосредственно с координатами хп, уп, а не с величинами
Z'n", и поэтому шаблоны у11 (совмещенные с шаблонами уш)
приложения II получим, умножив на 4 все элементы матрицы ViY11
соответствующего шаблона приложения III. Случай q = 4 вычис-
вычисляется по шаблонам приложения II с учетом формул B21) —
B23) § 60.
Построенные нами шаблоны позволяют вычислять коэффициенты
Cj±m) = Л5±т> + iB\±m) до т s£ 32 при д = 0и q=\ и до т s£
==; 64 при q = 2 и q = 4.
Для более сложных случаев сотрудник Института кибернетики
АН УССР Л. Н. Иваненко [63; 269, т. I, вып. 1] разработал стан-
стандартную программу для построения отображающей функции по
методу тригонометрической интерполяции на электронных циф-
цифровых вычислительных машинах. Эта программа позволяет с на-
наперед заданной точностью приближения к данному контуру опре-
определять (для внутренних и внешних областей) с 8 десятичными
знаками коэффициенты Л{±т) и £/±т) для т ^ 256 при рО и
коэффициенты Л;±т) для /п<[512<7 в случае симметричных облас-
областей, при средней затрате машинного времени от 0,5 до 20 минут
в зависимости от т и числа итераций. В этой программе пре-
предусмотрена также команда, которая позволяет в любом шаге
(промежуточном или конечном) выводить на печать координаты
внеконтурных и контурных (после сноса по нормали) узловых
точек zn и zn соответствующие им коэффициенты С\т) = А\ т) +
+ г'В)±т) и величину отклонений bn = \zn— zn\. Л. Н. Иваненко,
решив большое число примеров, исследовал также вопрос быст-
быстроты сходимости метода тригонометрической интерполяции.
Пример 2. Отобразим единичный круг | £ | <1 с точностью до | б | <
< 0,000015 ss 0,00001 на скругленный прямоугольник г, размеры которого указа-
указаны на рис. 127.
В табл. 49 приведены окончательные результаты, полученные
Л. Н. Иваненко для данного примера при т = 64.
В табл. 49 приведены и отклонения 6J,*' узловых точек zn, вычис-
вычисленных по коэффициентам Л'т) = -^ [Л'+т) + А)~т)], которые при-
приняты в качестве окончательных коэффициентов аппроксимирую-
аппроксимирующего полинома B43), а также координаты узловых точек zn = хп +
+ iyn (снесенные на контур в предпоследнем шаге). Максимальное
отклонение зафиксировано в точках 48 и 49, для которых
б„ = =р 12 • Ю = =F 0,000012,
так что условие, поставленное в примере 2, всюду выполнено.
496
Результаты табл. 49 читателю полезно продублировать по шаб-
шаблонам для случая q = 1 при меньшей степени точности, например
при т = 16 или т = 32.
Остановимся теперь кратко на вопросе отображения семейств
областей. Метод тригонометрической интерполяции легко позво-
позволяет решить и этот вопрос. Для однопараметрических областей
(уравнение контура которых всегда можно выразить через пара-
параметр Я, < 1) координаты узловых то-
точек и коэффициенты отображающей
функции при помощи шаблонов при-
Н
-1,0
4,0"
I
Рис. 127.
Рис. 128.
ложений II или III легко выразить через параметр Я, и его сте-
степени. Например, для семейства эллипсов при а > b можно поло-
положить а = 1, Я, = — <1 и все дальнейшие вычисления вести в
долях Я,, как и в рассмотренных выше числовых примерах.
Для заданных семейств областей можно также составлять
таблицы коэффициентов отображающей функции с шагом, ко-
который обеспечил бы с необходимой для практики точностью
определение этих коэффициентов при помощи линейной или квад-
квадратичной интерполяции во всем требуемом интервале изменения
параметров семейства. Эти вычисления очень удобно производить
на электронных цифровых вычислительных машинах по стан-
стандартной программе, разработанной Л. Н. Иваненко.
Пример 3. Отобразим единичный круг £ на семейство квадратов г, скруг-
скругленных радиусом R (рис. 128), при значениях параметра R = 0,125; 0,25; 0,50;
0,75.
В данном случае область z имеет четыре оси симметрии (q = 4)
и все вычисления удобно проводить по шаблонам приложения II.
Вычислив значения коэффициентов щ = Л}т> при указанных
четырех значениях параметра R, мы получаем результаты, доста-
достаточные для построения графиков коэффициентов для всего одно-
параметрического семейства скругленных квадратов 0 =s; R <? 1.
При этом мы пользуемся и предельными случаями, так как при
R = 1 область z переходит в единичную окружность, для которой
32V4 П. Ф. Фильчаков
497
/
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
A{+m)
+ 1,034804
—0,049716
+0,003840
+0,036432
—0,047119
+0,029759
—0,003870
—0,012646
+0,015085
—0,009019
+0,001573
+0,003349
—0,004802
+0,003427
—0,000866
—0,001013
+0,001353
—0,000702
+0,000086
+0,000056
+0,000059
—0,000125
+0,000062
+0,000081
—0,000230
+0,000278
—0,000154
—0,000058
+0,000180
—0,000142
+0,000038
+0,000015
д(-т)
+1,034792
—0,049715
+0,003840
+0,036430
—0,047116
+0,029758
—0,003870
—0,012645
+0,015084
—0,009018
+0,001573
+0,003349
—0,004801
+0,003426
—0,000866
—0,001013
+0,001352
—0,000701
+0,000086
+0,000056
+0,000059
—0,000125
+0.000062
+0,000081
—0,000230
+0,000277
—0,000154
—0,000058
+0,000180
—0,000142
+0,000038
+0,000015
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
—6
+6
—6
+6
—6
+6
—6
+6
—6
+6
—6
+6
—6
+6
—6
+6
—6
+5
—6
+5
—6
+5
—6
+5
—6
+5
—6
+5
—6
+5
—6
+5
xn
+ 1,000000
+0,998844
+0,995378
+0,989612
+0,981558
+0,971239
+0,958678
+0,943907
+0,926962
+0,907887
+0,886726
+0,863536
+0,838370
+0,811397
+0,782376
+0,751692
+0,719308
+0,685320
+0,649802
+0,612858
+0,574568
+0,535050
+0,494387
+0,452712
+0,410111
+0,366732
+0,322668
+0,278083
+0,233081
+0,187850
+0,142522
+0,097331
Уп
0
0,048072
0,096032
0,143765
0,191162
0,238107
0,284495
0,330211
0,375156
0,419215
0,462296
0,504286
0,545102
0,584634
0,622806
0,659515
0,694691
0,728242
0,760104
0,790193
0,818457
0,844820
0,869242
0,891656
0,912035
0,930326
0,946512
0,960557
0,972457
0,982198
0,989792
0,995252
% = 1 и a/ = 0 если / > 1. При R = 0 получаем обычный квадрат,
для которого коэффициенты искомого ряда
г = fllE + а& + а&> + а13£13 + ... C. 292)
будут определяться следующей рекуррентной формулой:
Щп+1 = —
_ Bп — 1) Dя — 3)
ах
2п (in + 1)
= 1,07870520; п= 1,2,3, ...,
C. 292')
где К' полный эллиптический интеграл первого рода при допол-
дополнительном модуле £'= arc sin 45°.
Ряд B92) сходится очень медленно, так как убывание коэффи-
коэффициентов B92') по мере роста п быстро затухает.
498
Таблица 49
i
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
Ц+т)
—0,000004
—0,000015
+0,000010
+0,000014
—0,000046
+0,000069
—0,000056
—0,000000
+0,000057
—0,000068
+0,000033
+0,000005
—0,000018
+0,000014
—0,000008
+0,000007
—0,000009
+0,000013
—0,000013
+0,000001
+0,000018
—0,000029
+0,000019
+0,000001
—0,000014
+0,000014
—0,000009
+0,000006
—0,000005
+0,000001
+0,000005
—0,000009
А(-т)
—0,000004
—0,000015
+0,000010
+0,000014
—0,000046
+0,000069
—0,000056
—0,000000
+0,000057
—0,000068
+0,000033
+0,000005
—0,000018
+0,000014
-0,000008
+0,000007
—0,000009
+0,000013
—0,000013
+0,000001
+0,000018
—0,000028
+0,000019
+0,000001
—0,000014
+0,000014
—0,000009
+0,000007
—0,000004
+0,000001
+0,000006
—0,000010
п
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
б^По-6
—6
+5
—5
+5
—6
+5
—6
+5
—7
+5
—8
+6
— 10
+9
— 11
+ 11
— 12
+ 12
— 11
+ П
—8
+8
—5
+7
—4
+6
—3
+6
—3
+5
—3
+5
хп
+0,052482
+0,008453
—0,034133
—0,075708
—0,117300
—0,159126
—0,201764
—0,245442
—0,290814
—0,338268
—0,388902
—0,443616
—0,506184
—0,580322
—0,662922
—0,746922
—0,826047
—0,893637
—0,945206
—0,978860
—0,995998
—1,000000
—1,000000
— 1,000000
—1,000000
—1,000000
— 1,000000
—1,000000
—1,000000
—1,000000
— 1,000000
— 1,000000
Уп
0,998622
0,999964
1,000000
1,000000
1,000000
1,000000
1,000000
1,000000
1,000000
1,000000
1,000000
1,000000
0,999962
0,993506
0,972712
0,934775
0,879069
0,808301
0,727578
0,643852
0,563137
0,492057
0,432449
0,379312
0,330322
0,284185
0,240301
0,198029
0,157065
0,117013
0,077657
0,038719
= -=£ = —0,107871; a9 =+0,044946;
Например:
О249 = + 0,000310; айз = — 0,000302.
Поэтому для обеспечения точности отображения порядка | б | <
< 0,0001 надо вычислить коэффициенты до / = 1 + An > 1000.
При R > 0 быстрота сходимости ряда B92) увеличивается по
мере приближения R к единице. На рис. 129 по значениям, вычис-
вычисленным нами при помощи шаблонов приложения II, построены гра-
ш фики первых коэффициентов а/ ряда B92) до / = 33 включительно.
Эти графики (которые надо построить на миллиметровой бумаге
в масштабе по оси ординат 0,001 — 1 мм) позволяют определить
коэффициенты ряда B92) для всего однопараметрического семей-
32+!/4 П. Ф. Фильчаков
499
\
а-ь
О»
«13
aXl
025
023
т
|Smaxl
R=0
+1,07871
—0,10787
+0,04495
—0,02593
+0,01735
—0,01264
+0,00973
—0,00779
oo
#=0,1
+ 1,07869
—0,10784
+0,04491
—0,02589
+0,01731
—0,01259
+0,00908
—0,00774
512
0,00014
#=0,2
+ 1,07857
—0,10751
+0,04446
—0.02535
+0,01669
—0,01191
+0,00895
—0,00695
256
0,00006
#=0,3
+ 1,07796
—0,10605
+0,04253
-0,02309
+0,01419
—0,00926
+0,00621
—0,00419
128
0,00008
#=0,4
+ 1,07644
—0,10224
+0,03766
—0,01774
+0,00881
—0,00420
+0,00173
—0,00047
64
0,00018
ства 0 ^ R ^ 1 с точностью до 2—3 единиц четвертого десятичного
знака. Для уменьшения размера рисунка мы вместо коэффициента
1 ^ ах ^ 1,0787... построили график величины ах — 1 < 0,08 и
коэффициент а5 нанесли с обратным знаком.
Пример 3 был затем продублирован Л. Н. Иваненко, частич-
частичные результаты вычислений которого (до j — 29), представлены в
табл. 50. В этой же таблице приведены значения т, при котором
+0,09-
*цов-
*Q03-
0-
-0,03
"°5
a,-1
+a9
*Ozs
"'9 . ■-
an0" ..
--
'
9 '02 ' 0
N
4 ■. J
\
6 ' 08 ' i'O
для данного R совпали с заданной точностью Л*-+т) = А) т), ве-
величина максимального зафиксированного отклонения бтах, а также
точные значения коэффициентов B92') для R = 0.
В заключение отметим, что хотя формулы A97), A98) были
нами получены еще в 1961 г., для отработки наиболее рациональ-
500
Таблица 50
#=0,5
+ 1,07324
—0,09461
+0,02879
—0,00938
+0,00211
+0,00030
—0,00058
+0,00014
32
0,00037
#=0,6
+ 1,06717
—0,08172
+0,01649
—0,00130
—0,00111
+0,00031
+ 0,00031
—0,00013
32
0,00023
#=0,7
+ 1,05803
—0,06368
+0,00410
+0,00155
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
16
0,00039
#=0,8
+ 1,04373
—0,04184
—0,00291
+0,00021
+0,00056
+0,00032
+0,00005
—0,00012
32
0,00017
#=0,9
+ 1,02467
—0,01944
—0,00351
—0,00120
—0,00046
—0,00014
0,00000
+0,00007
32
0,00009
#=1,0
1,00000
0
0
0
0
0
0
0
—
ной методики вычислений, сократившей их объем в 15—20 раз,
потребовалось затратить еще свыше двух лет. При этом были
рассмотрены и проверены на многочисленных примерах восемь
различных вариантов, последний из которых и был изложен в
данной работе. Чем вызваны все вычислительные трудности легко
понять, если учесть, что задача построения отображающего поли-
полинома эквивалентна решению системы сложных трансцендентных
уравнений с несколькими десятками и даже сотнями неизвестных,
которыми являются координаты узловых точек. Более простые рас-
расчетные формулы для общего случая (д = 0) рассмотрены в статьях
1287, II; 288].
§ 64. ОТОБРАЖЕНИЕ ВНЕШНИХ И ДВУХСВЯЗНЫХ
ОБЛАСТЕЙ
Рассмотрим теперь задачу отображения внешности единичного
круга | Z, | > 1 на внешность произвольной односвязной и одноли-
однолистной области z = х + iy, ограниченной простой замкнутой кривой.
Отображающую функцию z = / (£) в случае внешних областей
будем нормировать условиями
= со;
= /(£)
Е=1
= х0,
C. 293)
т. е. потребуем, чтобы точки £ = оо и % = 1 отображались соответ-
соответственно в точки z = оо и z = х0.
Отображающую функцию ищем в виде ряда
с0 + ^- + -^
ibn. C.294)
32+1 U*
501
Подставив в B94) значение £ = 1 и учтя B93), получаем усло-
условие, которому должны удовлетворять коэффициенты с„:
х0 = С—\ + с0 + С\ + с2 + с3 + ... C. 295)
Условие B95) позволяет легко выразить один из коэффициен-
коэффициентов через все остальные.
Если область z симметрична и осью симметрии является ось Ох,
то все коэффициенты ряда B94) будут действительные числа с„ =
= ап, Ь„ = 0. При двух осях симметрии (q = 2), из которых одна
совпадает с осью Ох, ряд B94) приобретает следующий вид:
г = £ a2v_^-2v =a_1?+ f + f + f+... C. 296)
v=0
Для точек Z, = ге'ф единичной окружности (г = 1; ц>= ц>к)
имеем
I = е1Щ = cos ц>к + г sin ц>к; £~" = е 'n(Pk = cos пц>к — г sin пц>к.
Тогда, подставив эти значения в B96) и переходя от ряда B96)
к аппроксимирующему полиному (коэффициенты которого Л у,
в отличие от коэффициентов Л; для внутренних областей будем
отмечать звездочками)
■у — \^ Л* 5-1—2v „• г . А1 Аз . . Ат— 1 ,q OQC'4
г — 2j ^2v-'b = А-& + "g" + "gT + • ■ • + T^Hj • (-Э- ^96 )
v=0
после разделения действительных и мнимых частей, находим
хк = Л1] cos ц>к + А[ cos ф^ + Л3 cos Зф^ + ... + Kn-i cos (m — 1) ф^;
Ук = A-i sin ф^ — Л*х sin ф^ — A's sin Зф^ — ... — Л„_! sin (m — 1) q>ft.
Так как согласно A99) или A99') для углов ф^, определяющих
собою четные или нечетные узловые точки zk,
cos Ф^ = — cos (т — 1) ф^; sin ф^ = + s'n (т — 1) ф^.
то внося эти результаты в полученные уравнения и меняя во вто-
втором из них знаки на обратные, придаем им следующий вид:
+ xk = А\ cos ф^ + Л3 cos 3cpft + ... + (A'm-i — A'-i) cos (m — 1) ф^;
—yk=A\ sin ф^+ Л* sin Зф + ... + (A'n-i—AL{) sin (m—1) q>ft. C. 297)
Отсюда, воспользовавшись условиями ортогональности A96)
502
обращаем систему B97) совершенно аналогично тому, как была
в § 59 обращена система A97), и получаем
m
л''=i SXk cos i% ~yksin /(p*' C-298)
где / = 1, 3, 5 m — 1, причем для / = m — 1 вместо А] мы
должны рассматривать величину (А*т^1 — Л_х), входящую в си-
систему B97) в качестве последнего неизвестного. Сравнив между
собою равенства B98) и A98), в которых для случая q = 2 надо
положить Bj = 0 и / = 1, 3, ..., т — 1, мы видим, что они тожде-
тождественно совпадают, если поменять знаки у ординат ук.
Следовательно, коэффициенты А) для внешних областей и ана-
аналогичные коэффициенты Aj для внутренних областей (q = 2)
можно вычислять по одним и тем же шаблонам, заменив лишь
в случае внешних областей величины а,к на величины
I — 4h ± Хц—k, k — нечетно,
a,v = Ук Д C.299)
3v [ + xk T у^_к, k — четно,
которые для т = 4, 8, 16, 32; \i = ^- приведены в соответствую-
соответствующих шаблонах приложения II. При этих условиях получаем
А) = Ah для / = 1, 3, 5, ... , т — 3; 3 0
л* ' л* л '
Последнее из равенств C00) обладает неопределенностью,
которую легко устранить.
Так как ряд B96) в силу теоремы Римана является сходящимся,
то при т -> оо должно выполняться условие Ат~\ < е -> 0 и
тогда, с точностью до любого наперед заданного е, будем иметь
i4li = —Л,,-,, C.301)
где Лт_1 коэффициент, вычисляемый по шаблонам для внутренних
областей, в которых взяты значения a*k согласно формуле B99).
Условимся при любом т коэффициент Л_1 определять по фор-
формуле C01). В окончательные результаты это будет вносить погреш-
погрешность, меньшую, чем погрешности вычислений, так как для полу-
получения окончательных результатов мы всегда т берем достаточно
большим, а погрешность, вносимая приближенной формулой C01)
в промежуточные результаты, автоматически устраняется в ходе
дальнейших вычислений при увеличении т.
В частности, учтя, что при т = 4 согласно C01)
A'-i — — Лт_1 = Аз,
503
получаем в случае симметричных внешних областей (q = 2) для
начальных значений Лу=Л'+4)
= \{хо + у^ C.302)
Далее, для случая внешних областей остается справедливой
формула удвоения интервала в индексах B01), а между четными
и нечетными узловыми точками существует следующая связь:
д-1
U2v = У Y" 2v * "•" YjT 2v^.4> W- 303 )
ft= 1
где p. = -^-; A = 1, 3, 5; .. . , p.— 1 и введены следующие обозна-
обозначения:
—„ 8 4 ... пп
У1. 2v = Т^Г C*C2v = -^ (Ck-2v + Ck+2V)' Cn = COS — J
_ ^
m '
/=2
Y"t, 2v = + "^ / SB/-l)(*-2v) — SB/—l)(ft+2v) = Y" ., M_2v! C- 303")
7=2
III — — — i_ _ — 1l
^fe" ^^ 171 171 x\x—A' № "^
Заметим, что во второй и третьей формулах C03"), в отличие от
аналогичных формул B38"), суммирование начинается со значе-
значения / = 2.
Обращая систему уравнений C03) и C03'), получаем
Д/2—1 Д/2
yv **2v + У yv ky2v; C.304)
v=0 v=l
Д/2— 1 Д/2
Ti иЧо j It
{г I 'J/2v* 2v v
v=0 v=l
причем коэффициенты у транспонированных матриц определяются
по тем же формулам B39") § 60, что и для случая внутренних об-
областей.
504
Матрицы всех необходимых коэффициентов у и у для случая
q = 2 приведены в шаблонах приложения IV (для т — 4, 8, 16).
Методика вычислений по этим шаблонам ничем не отличается от
методики, рассмотренной в предыдущих параграфах, поэтому огра-
ограничимся одним только примером.
П р и м е р. Отобразим с точностью | 6 | < 0,0005 внешность единичного круга
|£1> 1 на область г, являющуюся внешностью коробовой кривой с параметрами
а == 0,8; 6=0; R = 1,0 (рис. 130).
Рис. 130.
Решение этого примера выполняется аналогично примеру 2
§ 61, и, в частности, снос на контур осуществляется по тем же фор-
формулам B41") и B41'"), в которых согласно B41') надо положить
а = 0,8.
Все вычисления, необходимые для определения узловых точек
и коэффициентов аппроксимирующего полинома Лу, приведены
в табл. 51 и 52, которые вычислены по образцу табл. 33, 34 и 35.
Для упрощения обозначений в табл. 52 звездочки опущены, так
что под АA±т) следует теперь понимать соответствующие коэффи-
„ - л* 1±т)
циенты для внешних областей Aj
В данном примере в качестве окончательных коэффициентов
взяты А} — А\+ъ2\ так как, непосредственно осуществив дополни-
дополнительную проверку, мы убедились, что условие | б | < 0,0005 при
этих коэффициентах выполняется. Для получения большей точ-
точности необходимо выполнить еще один или два полных итерацион-
итерационных цикла при т = 32, а затем вычислить Alf~32) и в качестве
505
n
0
m=4
m=8
2v
0
8
X2v
1,8000
0
</2v
0
1,0000
k
4
~@)
x k
1,2728
~2
K4 =
~@)
Vk
0,7071
0,7235
2v
0
4
8
v@)
*2v
1,8000
1,3558
0
$
0
0,8313
1,0000
ft
I
m=16
ц=8
II
m=16
ц=8
2v
0
2
4
6
8
0
2
4
6
8
yW
X2v
1,80000
1.68270
1.34660
0.79240
0
1,80000
1,68277
1,34433
0.80296
0
An)
»2v
0
0,47000
0,83740
1.00000
1.00000
0
0,46980
0,83887
0,99999
1,00000
k
1
3
5
7
1
3
5
7
~(П)
xk
1,76979
1,53973
1,10018
0,42437
1,77111
1,53994
1,10188
0,42482
~(n)
Vk
0,24101
0,67294
0,94579
1,00796
0,24145
0,67371
0,95413
1,00135
X
0.99858
1,00005
0.98463
1,00135
1,00140
1,00150
—0.00071
+0,00002
—0,00771
+0,00796
+0,00068
+0,00070
+0,00075
+0,00135
2v
0
2
4
6
8
k
1
3
5
7
III
X2v
1,80000
1,68278
1,34435
0,80308
0
4
1,77045
1,53942
1,10165
0,4248?
..Ill
0
0,46979
0,83886
0,99999
1,00000
*?
0,24129
0,67324
0,95342
1,00000
i
1
1
2
1
2
3
4
m-
+0,50549
=4
—2,18321
m=8
+0,33329
+0,68279
—1,27287
+2,68277
m=16
+0,18353
+0,77045
+0,42841
+0,58600
—0,66611
+2,77045
— 1,77489
+2,49284
/
— 1
1
/
— 1
1
3
5
2(+)
2(_)
4-0
+ 1,543763
+0,357435
+ 1,482831
+0,379180
—0,074664
+0,023314
1,810661
1,005673
506
k
2
6
~@)
xk
1,6836
0,7924
T?2 -
H2 -
~@)
Ук
0.4705
0,9825
= 1,0021
40)
1,6827
0,7924
0,4700
1,0000
2v
0
4
8
Таб
~2v
1,8063
1,3501
0
лица 51
'—I
0
0,8428
1,0156
xk
1,77048
1,53972
1,10251
0.42437
1.77045
1,53942
1,10165
0,42482
уГ
0,24118
0,67293
0,95314
1,00000
0,24129
0,67324
0,95342
1,00000
2v
0
2
4
6
8
0
2
4
6
8
~(Л+1)
* 2v
1,79975
1,68254
1.34406
0,80295
0
1,79927
1,68213
1,34392
0,80308
0
~(n+l)
^2v
0
0,46968
0,83845
0,99811
0,99893
0
0,46944
0,83819
0,99897
0.99872
«I
0,99948
0,99900
0,99623
0,99853
0,99841
0,99795
К
—0,00025
—0,00026
—0,00050
—0,00189
—0,00107
—0,00073
—0,00074
—0,00079
—0,00102
—0,00128
+1,400000
+0,400000
+ 1,471882
+0,378718
—0,071882
+0,021282
1,800000
1,000000
/
1
1
3
5
7
9
11
13
2(+)
Z(-)
+ 1,476491
+0,379176
—0,073410
+0,022369
—0,005501
—0,000237
+0,001412
—0,001035
1,799265
0,998719
Л(+1б)
+ 1,477356
+ 0,378949
—0,073273
+ 0,022298
0,005474
—0,000231
+0,001391
—0,001016
1,800000
1,000000
Л(+32)
+ 1,476924
+0,379062
—0,073342
+0,022334
0,005488
—0,000234
+0,001402
—0,001026
2(+)'"
2(-);
Таблица
+0,000432
—0,000114
+0,000068
—0,000036
+0,000014
+0,000003
—0,000010
+0,000010
1,799999
1,000001
Ь2
16+/
15
17
19
21
га
25
27
29
507
окончательных коэффициентов взять средние арифметические
B43'), что читатель легко может выполнить в качестве упраж-
упражнения.
Сравнив рис. 115 и 130, мы видим, что в случае внешних обла-
областей узловые точки распределены по контуру более равномерно и
они менее чувствительны к вариациям контура, так как теперь лучи
<р = const идут не из точки z = 0, а из точки z — со. Благодаря
этому сходимость итерационного процесса для внешних областей,
как правило, более быстрая, чем в случае внутренних областей.
Кроме того, узловые точки теперь сгущаются на участках, более
удаленных от начала координат z = 0 (т. е. «более близких» к точке
z = оо), и рассредотачиваются на участках, более близких к нача-
началу координат.
Для контроля шаблонов приложения IV можно воспользоваться
отображением внешности единичного круга на внешность эллипса
так как в этом случае точной отображающей функцией будет яв-
являться полином
5-1 °i а 4- b а — Ь ,о ОЛС,
z = a_i£ + -jr-; a-i = -5- : ai = —2~ • C' 305)
В общем случае (q > 0) задача решается аналогично, причем
коэффициент Со определяется из условия B95) после того, как опре-
определены все остальные коэффициенты сп.
Более простая методика, дающая хорошие результаты как
в общем случае (д = 0), так и в случае симметричных обла-
областей, изложена в статье В. П. Фильчаковой (ДАН УССР, № 9,
1964).
Метод тригонометрической интерполяции легко обобщается и
на случай отображения кругового кольца г0 $ г $ 1 на заданную
двухсвязную однолистную область z. При этом, воспользовавшись
для обращения соответствующих систем уравнений условиями орто-
ортогональности A96), получаем все расчетные формулы аналогично
тому, как это было выполнено Б. Ф. Шиловым [321] и Ю. В. Благо-
Благовещенским [13] при обобщении метода П. В. Мелентьева на случай
двухсвязных областей.
Другой путь, применимый для областей любой связности, зак-
заключается в том, что n-связную область путем последовательного
проведения п—1 разреза приводим к области односвязной, которую
при помощи метода последовательных отображений (или в сочета-
сочетании с методом тригонометрической интерполяции) отображаем на
полуплоскость с разрезами на действительной оси. Отобразив най-
найденную полуплоскость с разрезами на соответствующую канони-
каноническую область, получаем полное решение задачи [288].
508
§ 65. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
При изложении метода тригонометрической интерполяции мы
ограничились задачей отображения единичного круга £ на наперед
заданную односвязную и однолистную область 5 (г), уделив основ-
основное внимание вычислительной стороне вопроса, наиболее важной
для приложений. Обратная задача, т. е. задача отображения задан-
заданной области 5 (г) на единичный круг Z, легко решается путем обра-
обращения полученного ряда A93)
z = dS + CaS2 + C3ts +...
при помощи рекуррентных формул § 18 гл. I, которые справедливы
и для комплексных значений коэффициентов сп — ап + ibn.
В случае сложных контуров первое приближение для узловых
точек, как уже отмечалось выше, можно определять при помощи
электромоделирования. Наиболее простой и обеспечивающий точ-
точность до 2—3 десятичных знаков метод определения узловых точек
при помощи моделирования на электропроводной бумаге разрабо-
разработал А. Г. Угодчиков [271—272; 51, стр. 59—69], который по най-
найденным экспериментально точкам строил отображающую функцию,
пользуясь методом П. В. Мелентьева [38; 156]. Для повышения
точности моделирования А. Г. Угодчиковым и И. И. Серебреннико-
Серебренниковой [275] был предложен остроумный прием предварительного «тари-
«тарирования» электропроводной бумаги, который может повысить точ-
точность результатов в 2—4 раза. Другие методы повышения точности
при моделировании на электропроводной бумаге изложены в работе
[290], в которой приведена и более подробная библиография по
этим вопросам.
В дальнейшем А. Г. Угодчиков [274] для построения отображаю-
отображающей функции по найденным моделированием узловым точкам при-
применил интерполяционные полиномы Лагранжа, а для уточнения
результатов воспользовался итерационным процессом, аналогичным
процессу, предложенному ранее нами [51, стр. 36, 37 и 41; 287;
I, п. 4]. Излагаемый в работе [274] экспериментально-аналитичес-
ский метод применяется не только для отображения единичного
круга на наперед заданную односвязную область (внешнюю или
внутреннюю), но также и для отображения кругового кольца на
заданную двухсвязную область, конечную или полубесконечную.
В первоначальном варианте (при использовании метода П. В. Ме-
Мелентьева) случай полубесконечных областей был рассмотрен в ра-
работе А. Г. Угодчикова и А. Я. Крылова, указанной в литературе
к [274]. Кроме того, А. Г. Угодчикову [273] принадлежит теорема,
в которой доказано, что если конечная односвязная область 5 (г)
ограниченная замкнутой кривой Жордана, у которой угол a (s)
наклона касательной к вещественной оси как функция дуги s удов-
удовлетворяет условию Липшица
|a(s) — a(s')|< K\s — s'\; К = const, C.306)
509
то последовательность аппроксимирующих полиномов Лагранжа
{со„ (Q} сходится равномерно к отображающей функции z = со (£)
в замкнутом круге \%\ $ 1, включая и границу. В этой же статье
[273] полученный результат распространен на случай, когда a (s)
есть абсолютно непрерывная функция и a' (s) £ Lp; p > 1, т. е.
когда
2л
,<z'(s) \"ds< со; р>1. C.307)
К сожалению, эти теоремы оставляют открытым основной во-
вопрос о влиянии погрешности самих узловых точек на амплитуду
отклонений аппроксимирующего контура от заданного.
На основании результатов работы [272] И. И. Серебренниковой
[224] была составлена стандартная программа для машины БЭСМ-2
для случая симметричных двухсвязных областей (q > 1) при ус-
условии, что число узлов интерполяции mx t 60. В дальней-
дальнейшем И. И. Серебренникова применила эту программу для решения
задач изгиба и кручения призматических стержней, имеющих сим-
симметричное двухсвязное поперечное сечение, при условии, что
qmx < 120.
При изложении метода тригонометрической интерполяции мы
не имели возможности остановиться на его приложениях. Благо-
Благодаря простоте всех вычислений и высокой точности получаемых
результатов, этот метод начинает находить применение для все
более широкого круга технических задач.
Так, Э. П. Гранкин [40; 269, т. I, вып. 1] применил метод
тригонометрической интерполяции к решению некоторых обратных
задач корпускулярной оптики и получил оригинальные резуль-
результаты при расчете потенциальных полей, формирующих пучки заря-
заряженных частиц в случае задания двух неблизких между собою
траекторий в пучке или в случае замкнутой траектории. Оба эти
случая до сих пор оставались не решенными.
В. И. Лаврик [135; 269, т. I, вып. 1] применил этот метод к ре-
решению задач фильтрации со свободной поверхностью, и в частности
к задаче по определению кривой депрессии для земляной плотины
с ленточным дренажом.
X. С. Решотка [199]; [269, т. I, вып. 1] рассмотрел задачу
магнитного обогащения и, в частности, получил новые результаты
при расчете поля электромагнитного сепаратора с постоянной
магнитной силой-
Н. В. Алексеев [269, т. II, вып. 1] применил этот метод к опре-
определению концентрации напряжений, возникающих при работе
спиральных сверл.
Остановимся теперь очень кратко на вопросе оценки погреш-
погрешности метода тригонометрической интерполяции, которую еще в
510
общем случае не удалось получить, но которую легко найти в каж-
каждом конкретном примере.
Действительно, после того как для заданной области 5 (г)
построен аппроксимирующий полином z = Pm(Q, мы легко можем
представить величину отклонения б„= zn — zn как функцию дуги
s границы области 5 (г):
6 = 6E).
Так как это функция одной переменной s, которая в явном виде
выражается через найденные коэффициенты С/ = А; + iB; и коор-
координаты заданного контура области 5 (г), то не представляет боль-
большого труда найти обычным путем все максимумы и минимумы
функции б (s). Больше того, в процессе определения узловых точек
мы фактически находим величину отклонений б„ во всех узловых
точках zn полинома B43). Однако эти отклонения (типичная картина
которых представлена на рис. 116), вообще говоря, не совпадают
с точками максимума и минимума функции б = б (s), а как пока-
показало решение многочисленных примеров, они лежат в достаточно
малой окрестности этих экстремальных точек. Поэтому можно
ожидать, что точная оценка метода тригонометрической интерполя-
интерполяции будет даваться формулой
в</С|впих|, C.308)
где бтах есть максимальное из фактических отклонений в четных
или нечетных узловых точках z2v или zk, а К — абсолютная кон-
константа, значение которой еще надо установить. По-видимому, можно
будет показать, что К < 2, над чем мы в настоящее время работаем.
Представляет также большой интерес разработать метод, анало-
аналогичный изложенному в § 59—64, используя полиномы Чебышева,
что должно дать более быструю сходимость.
По всем отмеченным выше направлениям в настоящее время
ведется работа, и результаты будут публиковаться по мере их полу-
получения.
Для полноты изложения рассматриваемых вопросов остано-
остановимся еще на технике вычислений со степенными рядами в комплекс-
комплексной области, с чем часто приходится встречаться при решении
практических задач.
Значение отображающей функции, найденной в форме ряда A93)
легко вычислить при любом комплексном g = re'f = | + Щ, если
ввести обозначения
£" = £„ + iCn, где Sn = г" sin жр, Сп = г" cos mp. C.309)
Тогда вычисление ряда A93) будет сводиться к умножению
и сложению комплексных чисел, как только будут определены все
511
необходимые величины Sn = Sn(r; ц>), Сп = Сп (г; ц>), для чего по-
построим удобные рекуррентные формулы.
Будем исходить из известных тождеств:
sin(n+ l)(p = 2cos(psinmp — sin(n— l)q>; ^
cos (n -j- 1) ф = 2cos ф cos mp — cos (n — 1) (p.
Умножив каждое из тождеств C10) на гп+1 и учтя C09), получаем
искомые рекуррентные формулы:
Sn+l = 2lSn - г25л_,; So = 0; S, = т,; C 3 j 1}
Сл-j-i = 2|СЛ — г"Сп—и Со = 1; Ci = §,
где
| = г cos (р; т] = г sin qr, r2 == |2 + Л2-
Исходя из начальных значений So, Si и Со, Ci по формулам
C11) очень легко вычислить в один прием любое количество зна-
значений Sn, Cn, причем коэффициенты 2| и г2 в этих формулах постоян-
постоянны для каждого фиксированного £ и не зависят от п.
Если ряд имеет только четные (или только нечетные) степени,
то удобнее пользоваться формулами
Sn+2 = 2 (£2 - л2) Sn - г*5„_2; So = 0; 52 = 25л; f3 312)
Сп+2 = 2E2-л2)Сл-г*Сл_2; Со=1; С2 = 52-Л2,
которые выводим аналогичным путем.
При г < 1 сходимость ряда A93) будет резко возрастать, так
как по мере роста п величины Sn и Сп согласно C09) будут стре-
стремиться к нулю, как гп.
Отметим также, что и погрешность метода тригонометрической
интерполяции для внутренних точек области, будет уменьшаться,
так как максимум модуля погрешности достигается на границе об-
области.
APPROXIMATE METHODS OF CONFORMAL MAPPING
P. F. FILCHAKOV
SUMMARY
This book is a reference manual designed for a wide circle of engineers, stu-
students, post graduate and research men specializing in aero- and hydrodynamics,
the theory of elasticity, electrical, radio and heat engineering, the theory of filt-
filtration, etc.
The first chapter contains a brief introduction to the complex functions theory,
essential for understanding the succeeding material.
The second chapter deals with conformal mappings carried out by means of the
given functions. Questions relating to the Christoffel— Schwarz integral, frequently
encountered when solving most various technical problems, are discussed with greater
detail.
The third chapter gives a description of very simple approximate methods, acces-
accessible to the widest circle of engineers, which permit finding a mapping function with
a preassigned degree of accuracy for any given simply or doubly connected domain ,
Effective formulae are also presented for determining the constants of the Chris-
Christoffel—Schwarz integral. An application of the theory of conformal mapping to som-
technical problems is given in particular to problems of filtration. Agraphoanalytical
method is elaborated for the solution of problems of filtration under hydrotechnical
structures. This method, requiring the use of compass and ruler only, enables one to
determine all necessary filtrational characteristics for any underground contour met
with in practice.
The exposition of the material is illustrated by a large number of examples re-
reduced to final numerical values. All necessary computational formulae and stencils,
which substantially facilitate the finding of the mapping functions sought, are pub-
published in the appendix.
chapter I
INTRODUCTION TO THE THEORY OF FUNCTIONS
OF A COMPLEX VARIABLE
§ 1. Complex numbers
§ 2. Basic definitions
§ 3. Arithmetical operations with complex numbers
513
§ 4. Raising to a power and extracting the root
§ 5. Basic geometrical concepts
§ 6. Functions of a complex variable
§ 7. Inverse function. Continuity of functions
§ 8. The derivative. Conditions of differentiability
§ 9. Analytical functions
§ 10. Integral of the function of a complex variable
§ 11. Rational functions. Zeros and poles
§ 12. The simplest irrational functions. Branch points
§ 13. Series in the complex domain
§ 14. Functional series. Uniform convergence
§ 15. Power series. Radius of convergence
§ 16. Operations with power series. Recurrent formulae
§ 17. Method of undetermined coefficients, m-th power of the series
§ 18. Inversion of the power series
§ 19. Exponential function
§ 20. Trigonometric and hyperbolic functions. Euler's formulae
§ 21. Logarithmic function
§ 22. General power and general exponential functions
§ 23. Inverse trigonometric and hyperbolic functions
§ 24. Cauchy's theorem. Basic formula of integral calculus
§ 25. Cauchy's formula. Theorem of the mean value
§ 26. Derivatives of higher orders. The maximum principle
§ 27. Taylor's series. Liouville's theorem
§ 28. Laurent's series. Classification of isolated singular points of single-value analy-
analytical functions
§ 29. The point at infinity. Riemann sphere
§ 30. Analytical continuation. Riemann surfaces
CHAPTFR II
CONFORMAL MAPPING EFFECTED BY GIVEN FUNCTIONS
§ 31. Conformal mapping. Geometric sense of the derivative
§ 32. The linear function
§ 33. The function w = —. Inversion
§ 34. Fractional-linear function
§ 35. Mapping of a half-plane on a half-plane. Symmetrizing transformation
§ 36. Mapping of the upper half-plane, on a unit circle. Mapping of a unit circle on
itself
§ 37. Power function
§ 38. Zhukovsky's function
§ 39. Exponential and logarithmic functions
§ 40. Riemann's theorem. Basic principles of conformal mapping
§ 41. Christoffel—Schwarz integral
§ 42. Christoffel—Schwarz integral in the case of open domains
514
§ 43. Mapping of the upper half-plane on a rectangle
§ 44. Elliptical integrals and functions
§ 45. Mapping, effected by elliptic functions
CHAPTER III
CONFORMAL MAPPING OF GIVEN DOMAINS
§ 46. Hydromechanical sense of analytical functions
§ 47. Boundary problems for Laplace's equation. Invariance of Laplace's equation
with respect to conformal mapping
§ 48. Method of conformal mapping. Method of analogies
§ 49. Brief survey of approximate methodes of conformal mapping
§ 50. M. A. Lavrentyev's variational methods of conformal mapping
§ 51. Method of successive conformal mappings. Mappings of En and Es
§ 52. Methods of calculation. Mappings of E~l and E~l
§ 53. Mappings of Л„ and Л~'
§ 54. Mapping of domain with angular points
§ 55. Mapping of domains with cuts. Approximation of functions in the complex
domains
§ 56. Graphoanalytical method of solving problems of filtration under hydrotech-
nical structures. Drained flood-beds
§ 57. Determination of the constants of the Christoffel—Schwarz integral by means
of generalized power series
§ 58. Methods of calculation. Examples
§ 59. Method of trigonometric interpolation. Mapping of a unit circle onto the inte-
interior of a given simply-connected domain
§ 60. Symmetrical domains. Stencils for calculation
§ 61. Methods of calculation with the aid of stencils. Examples
§ 62. Improvement of convergence of the iterational process. Examples
§ 63. General case. Mapping of a family of domains
§ 64. Mapping of external and doubly-connected domains
§ 65. Concluding remarks
Summary
References
Appendix: I. Computational formulae for mapping En, E~', An , Л~'
II. Stencils for symmetrical domains (q = 2)
III. Stencils for asymmetrical domains (q = 0)
IV. Stencils for external domains (q = 2)
ЛИТЕРАТУРА*
1. Авазашвили Д. 3., О применении теории функций комплексного
переменного к задачам кручения и изгиба. Прикл. матем. и мех., т. IV, вып.
1, 1940, стр. 129—134.
2. Алексеевский В. П., Об одной задаче теории струй. Прикл. ма-
матем. и мех., т. XXII, вып. 6, 1958, стр. 833—841.
3. Арутюнян Н. X., Приближенное решение проблемы кручения стерж-
стержней с полигональным поперечным сечением. Прикл, матем. и мех., т. VI,
вып. 1, 1942, стр. 19—30.
4. А с н и н И. М., Расчеты электромагнитных полей, изд. ВЭТА, Л., 1939.
5. Ахиезер Н. И., О некоторых конформных отображениях. Труды кон-
конференции по аэродинамике, 1934.
6. Ахиезер Н. И., Элементы теории эллиптических функций, Гостех-
издат, М.—Л., 1948.
7. Б а н и н А. М., Приближенное конформное отображение в применении
к задаче обтекания произвольного контура плоскопараллельным потоком.
Прикл. матем. и мех., т. VII, вып. 2, 1943, стр. 131—140.
8. Бари Н. К., Теория рядов, Учпедгиз, М., 1936.
9*. Березин И. С. и Жидков Н. П., Методы вычислений; т. I и II,
Физматгиз, М., 1959—1960.
10. Бертран Ж-, Дифференциальное исчисление. Петроград 1911.
П. Бицадзе А. В., О местных деформациях при сжатии упругих тел.
Сообщения АН Гр. ССР, т. V, № 8, 1944, стр. 761—770.
12. Бицадзе А. В., К проблеме уравнений смешанного типа. Труды
Матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова, вып. 41, 1953, стр. 1—58.
13. Благовещенский Ю. В., О некоторых приближенных методах
конформного преобразования. Сб. трудов Института строительной механики
АН УССР, т. 14, 1950, стр. 145—152.
14. Благовещенский Ю. В., Про деяю наближеш методи кон-
конформного перетворення. Математичний зб1рник КДУ, № 4, 1950, стр.
73—78.
15. Боженко А. С, Кручение стержней полигонального сечения. Сб.
Ленинградского ин-та ж-д. транспорта; вып. 164, 1959, стр. 219—230.
16. Большаков К- П., Кедров А. И., Моисеев И. А., Не-
* Данный список литературы далеко не исчерпывает библиографии по кон-
конформным отображениям и по теории функций комплексного переменного. На-
Наряду с этим в список включен ряд работ, в которых содержится применение
конформных отображений к решению различных технических задач.
Звездочкой отмечены работы, в которых приведена более подробная библио-
библиография по конформным отображениям и по смежным вопросам.
516
которые вопросы применения сварки в мостостроении. Трансжелдориздат,
М., 1950.
17*. Бондаренко П. С, ДослЦження обчислювальних алгорифм1в на-
ближеного штегрування диференщальних р1внянь методом скшченних pi3-
ниць. Вид-во КиТвського ун1верситету, 1962.
18*. Бухгольц Г., Расчет электрических и магнитных полей. ИИЛ, М.,
1961.
19. В а р в а к П. М., Развитие и приложение метода сеток к расчету пласти-
пластинок, ч. 1 и II. Изд-во АН УССР, 1949; 1952.
20. Веку а И. Н., Новые методы решения эллиптических уравнений.
Гостехиздат, М.—Л., 1948.
21*. Веку а И. Н., Обобщенные аналитические функции. Физматгиз, М.,
1959.
22. Веку а И. Н., Рухадзе А. К., Задачи кручения кругового ци-
цилиндра, армированного продольным круговым стержнем. Известия АН
СССР, т. 3, 1933, стр. 373—386.
23. В о л к о в ы с с к и й Л. И., Квазиконформные отображения и зада-
задача о конформном склеивании. Укр. матем. журн., т. III, № 1, 1951, стр.
39—51.
24. Волковысский Л. И., Квазиконформные отображения. Изд-во
Львовского ун-та, 1954.
25. Волковысский Л. И., Л у н ц Г. Л., Араманович И. Г.
Сборник задач по теории функций комплексного переменного. Физматгиз,
М., 1960.
26. Г а н т м а х е р Ф. Р. и С е г а л Б. И., Способ гидромеханического
расчета одной системы плотин. ДАН СССР, т. 35, № 4, 1942, стр. 103—
109.
27. Гаусс Ф., Пятизначные логарифмические таблицы. Гостехиздат, М.—Л.,
1933.
28*. Г а х о в Ф. Д., Краевые задачи. Физматгиз, М., 1963.
1 29. Г е р ш г о р и н С. А. О конформном отображении односвязной области
на круг. Матем. сб. т. 40, № 1, 1933, стр. 48—58.
30*. Г л а з е р В., Основы электронной оптики. Гостехиздат, М., 1957.
31. Говорков В. А., Электростатические и магнитные поля. Связьиздат,
М., 1951.
32. Г о л о в а н ь В. М., Про cnoci6 визначення констант Кристоффеля —■
Шварца в одшй задач1 фшьтрацп з каналу. ДАН УРСР, № 10, 1961, стр.
1277—1281.
33. Голубев В. В., О применении формулы Шварца — Кристоффеля к по-
построению аэродинамических профилей. Труды ЦАГИ, вып. 493, 1940,
стр. 3—39.
34. Голубев В. В., Лекции по теории крыла. Гостехиздат, М.—Л., 1949.
35. Голубев В. В., Однозначные аналитические функции. Автоморфные
функции. Физматгиз, М., 1961.
36. Гол узин Г. М., Метод вариации в конформном отображении. Матем.
сб., т. 19, F1), № 2, 1946, стр. 203—236.
37. Г о л у з и н Г. М., Геометрическая теория функций комплексного пере-
переменного. Гостехиздат, М.—Л., 1952.
38. Голузин Г., Канторович Л., Крылов В., Мелен-
тьев П., Муратов М., Стенин Н., Конформное отображение
односвязных и многосвязных областей. Гостехиздат, М.—Л., 1937.
39. Гончаров В. Л., Теория функций комплексного переменного. Учпед-
Учпедгиз., М., 1955.
40. Г р а н к i н Е. П., Про BH6ip ciM'T траекторий при розв'язанш обернено!
задач1 електронноГ оптики. ДАН УРСР, № 12, 1962, стр. 1546—1549.
41. Гринберг Г. А., Избранные вопросы математической теории электри-
электрических и магнитных явлений. Изд-во АН СССР, М.—Л., 1948.
42. Губарь И. Г., Аналитический вариант метода Мелентьева. Укр.
матем. журн., т. XIV, № 4, 1962, стр. 398—403.
33 П. Ф. Фильчаков 517
43. Г у р в и ц А., Теория аналитических и эллиптических функций. Гостех-
издат, М.—Л., 1933.
44.* Гуревич М. И., Теория струй идеальной жидкости. Физматгиз, М.,
1961.
45. Г у р с а Э., Курс математического анализа, т. II; III, ч. 1. Гостехиздат.
М.—Л., 1936.
46. Г у т е н м а х е р Л. И., Электрические модели. Изд-во АН СССР, М.
1949.
47. Гутман Б. Б., Электропроводящая бумага, Сб. статей по отдельным
вопросам целлюлозной и бумажной промышленности. Госбумиздат, М.,
1944.
48. Десятизначные таблицы логарифмов комплексных чисел. Изд-во АН СССР
М., 1952.
49.* Дженкинс Дж., Однолистные функции и конформные отображения.
ИИЛ, М., 1962.
50. Д з я д ы к В. К-, О проблеме СМ. Никольского в комплексной области.
Известия АН СССР, сер. матем., т. 23, 1959, стр. 697—736.
51. Доклады четвертой межвузовской конференции по применению физического
и математического моделирования в различных отраслях техники. Сборник
№ 1. Математическое моделирование полей. Изд-во МЭИ, М. 1962.
52.* Дружинин Н. И., Метод электрогидродинамических аналогий и его
применение при исследовании фильтрации. Госэнергоиздат, М.—Л.,
1956.
53. Дьяченко В. Е., Танцюра Н. А., Электроинтегратор сеточного
типа и некоторые его применения. В сб. «Электрическое моделирование».
Изд-во АН СССР, М., 1952, стр. 20—32.
54. Жуковский Н. Е., Лекции по гидромеханике. Ученые записки Мос-
Московского ун-та. 1887, в. 7; Собр. соч., т. II, Гостехиздат, М.—Л., 1948.
55. Жуковский Н. Е., Просачивание воды через плотины. Опубликова-
Опубликовано Опытно-мелиоративной частью НКЗ, в. 30, 1923, Собр. соч. т. VII,
Гостехиздат, М.—Л., 1950, стр. 297—332.
56.* Журавский А. М., Справочник по эллиптическим функциям. Изд-во
АН СССР, М.—Л., 1941.
57. 3 а к а р и н А. 3., Об одном методе последовательных приближений
в конформном отображении. Изв. АН КазССР, сер. матем. и мех. т. 5,
№ 6, 1951, стр. 104—118.
58. 3 м о р о в и ч В. А., Две задачи из области конформных отображений.
Журнал Ин-та математики АН УССР, № 3/4, 1934, стр. 215—222.
59. 3 моров и ч В. А., Конформные отображения однолистных двухсвязных
областей. Научн. зап. Киевского ун-та, т. 111, № I, 1937, стр. 59—107.
60. 3 м о р о в и ч В. А., Об обобщении формулы Шварца—Кристоффеля на
области ограниченные кусочно гладкими кривыми. В сб. «50 лет Киевского
политехнического ин-та», Киев, 1948, стр. 643—653.
61. Зморович В. А., Об обобщенных аналитических функциях. Изв.
Киевского Политехнического ин-та, т. 19, 1956, стр. 3—65.
62. Зоммерфельд А., Электродинамика. ИИЛ, М., 1958.
63. I в а н е н к о Л. М., Про деяю результати застосування нових метод1в
конформних вщображень однолетних областей. Обчислювальна математика
i техшка. 36. праць 1н-та шбернетики АН УРСР, 1963, стр. 3—5.
64. И в а н и л о в Ю. П., М о и с е е в Н. Н., Тер-Крикоров А. М.,
Об асимптотическом характере формул М. А. Лаврентьева. ДАН СССР,
т. 123, № 2, 1958, стр. 231—234.
65.* Ильюшии А. А., Пластичность. Основы общей математической теории.
Изд-во АН СССР, М., 1963.
66. Исследования по современным проблемам теории функций комплексного
переменного. Сб. статей под ред. А. И. Маркушевича. Физматгиз, М.,
1960.
67. Исследования по современным проблемам теории функций комплексного
переменного. Сб. статей под ред. А. И. Маркушевича. Физматгиз, М., 1961.
518
68. И ш л и н с к и й А. Ю.,-Пластичность. В кн. «Механика в СССР за 30
лет». Гостехиздат, М., 1950.
69. Канторович Л. В., О некоторых методах построения функции,
совершающей конформное отображение. Изв. АН СССР сер. физ.-матем.
т. 2, 1933, стр. 229—235.
70. Канторович Л. В., О конформном отображении. Матем. сб., т. 40,
№ 3, 1933, стр. 294—325.
71. Канторович Л. В., О конформном отображении многосвязных об-
областей. ДАН СССР, т. 2, № 8, 1934, стр. 441—444.
72. К а н т о р о в и ч Л. В., Эффективные методы в теории конформных отоб-
отображений. Изв. АН СССР, сер. матем. т. 1, 1937, стр. 79—90.
73.* Канторович Л. В. и Крылов В. И., Приближенные методы
высшего анализа, изд. 5-е, Физматгиз, М.—Л., 1962.
74. Канторович Л. В., Крылов В. И., Ч е р н и н К. Е., Таб-
Таблицы для решения граничных задач. Гостехиздат, М., 1956.
75.* Каратеодори К-, Конформное отображение. Гостехиздат, М.—Л.,
1934.
76. Карпенко П. Д., Обтекание крылового профиля произвольной фор-
формы потоком несжимаемой жидкости. Сб. «Вопросы математической физики
и теории функций». Изд-во «Наукова думка», 1964, стр. 35—44.
77. К а р с л о у X. С. Теория теплопроводности. Гостехиздат, М., 1947.
78. Кваселава Д. А., К теории конформных отображений. Труды
Матем. ин-та АН ГрССР, т. 9, Тбилиси, 1941, стр. 19—32.
79. Кваселава Д. А., О конформном отображении смежных областей.
Сообщ. АН Гр. ССР, т. 5, Тбилиси, 1944, стр. 468—472.
80. Келдыш М. В., Конформные отображения многосвязных областей на
канонические области. Успехи матем. наук., т. 6, 1939, стр. 90—119.
81. Келдыш М. В., О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле.
Успехи матем. наук, т. 8, 1941, стр. 171—292.
82. Келдыш М. В., О методе Б. Г. Галеркина для решения краевых задач.
Изв. Ан СССР, сер. матем., т. 6, 1942, стр. 309—330.
83. К е л д ы ш М. В., О представлении функций комплексного переменного
рядами полиномов е замкнутых областях. Матем. сб., т. 16, E8), 1945,
стр. 249—258.
84. Келдыш М. В., Функции комплексного переменного. В кн. «Матема-
«Математика, ее содержание, методы и значение», т. 2, Изд-во АН СССР, М., 1956,
стр. 171—222.
85. Келдыш М. В. и Лаврентьев М. А., К теории конформных
отображений. ДАН СССР, т. 1, № 2—3, 1935; стр. 85—87.
86. Келдыш М. В. и Л а в р е н т ь е в М. А., Общая задача о жестком
ударе о воду. Труды ЦАГИ, т. 152, 1935, стр. 5—13.
87. Келдыш М. В. и Лаврентьев М. А., О движении крыла под
поверхностью тяжелой жидкости. Докл. на конференции по волновому со-
сопротивлению 21 мая 1936 г.
88. Келдыш М. В. и Л а в р е н т ь е в М. А.. Об устойчивости решения
задачи Дирихле. Изв. АН СССР, сер. матем., т. 4, 1937. стр. 551—593.
89. Келдыш М. В. и Лаврентьев М. А., О единственности задачи
Неймана. ДАН СССР, т. 16, № 3, 1937, стр. 151—152.
90. Келдыш М. В. и Лаврентьев М. A., Sur la representation con-
forme des domaines limites par des courbes rectifiables. Ann. Ecole norm., v.,
54, 1937, стр. 1—38.
91. Келдыш М. В. и Седов Л. И., Эффективное решение некоторых
краевых задач для гармонических функций. ДАН СССР, т. 16, № 1, 1937,
стр. 7—10.
92. Киселев П. Я-, О приближении аналитических функций полиномами
Фабера-Уолша. Укр. матем. журн., т. XV, № 2, 1963, стр. 193—199.
93. К о з д о б а Л. А., Исследование температурных полей роторов судовых
газовых турбин. Сб. трудов ВНТОВТ, Черноморское отделение, вып. 2,
Одесса, 1957.
33* 519
94. Козлов В. С, Определение гидродинамических элементов для трех-
шпунтового флютбета при несимметричном расположении внутреннего
шпунта. Известия АН СССР, ОТН, т. 6, 1940, стр. 53—72.
95. Козлов В. С, Гидромеханический расчет флютбетов. Госэнергоиздат,
М.—Л., 1941.
96. Колосов Г. В., Применение комплексной переменной к теории упру-
упругости. (Юрьев, 1909). Гостехиздат, М.—Л., 1935.
97. Колосов Г. В. иМусхелишвили Н. И., О равновесии упру-
упругих круглых дисков. Изв. Электротехнич. ин-та, т. XII, Петроград, 1915,
стр. 39—55.
98. Костю к А. Г., К определению температурного поля и температур-
температурных напряжений в турбинных дисках. «Теплоэнергетика», № 3, 1956, стр.
3—9.
99. К о ч и н Н. Е., Об одном частном случае задачи Римана. ДАН СССР,
т. 17, № 6, 1937, стр. 287—290.
100. Кочин Н. Е., Гидродинамическая теория решеток. Гостехиздат,
М.—Л., 1949.
101. Кочин Н. Е., О движении тяжелой жидкости в канале с дном, имею-
имеющим уступ. Собр. соч., Изд-во АН СССР, М., 1949.
102. Кочин Н. Е., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления.
Изд. 8-е, Изд-во АН СССР, М., 1961.
103. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В., Теоретическая гид-
гидромеханика. Изд. 5-е, Гостехиздат, М., 1955.
104. Крылов А. Н., Лекции о приближенных вычислениях. Изд. 6-е,
Гостехиздат, М.—Л., 1954.
105. Крылов В. И., Приложение интегральных уравнений к доказательству
некоторых теорем теории конформных преобразований. Матем. сб., т. 4
D6), 1938, стр. 9—30.
106. Крылов Н. М. и Боголюбов Н. Н. La solution approchee du
probleme de Dirichlet. Vortrage Geb. Aerodinamik und verw. Geb., (Aachen)
1929, стр. 53—55; ДАН СССР (А), т. 11, 1929, стр. 283—288.
107. К р ылов Н. М. иБоголюбовН. Н., Application de la methode
de I'algorithme variationnel a la solution approchee des equations differentielles
aux derivees partielles du type elliptique. Изв. АН СССР, ОФМН, вып. 1.
1930, стр. 43—71; вып. 2, 1930, стр. 105—114.
108. Кудрявцев А. Л., Об одном приближенном методе конформных отоб-
отображений двухсвязной области на кольцо. В сб. Вопросы вычислительной ма-
математики. Изд-во АН УзССР, Ташкент, 1963, стр. 30—33.
109. Курант Р., Геометрическая теория функций комплексного переменного.
Гостехиздат, М.—Л., 1934.
ПО*. Курант Р., Принцип Дирихле, конформные отображения и минималь-
минимальные поверхности. ИИЛ, М., 1953.
111*. Курант Р. и Гильберт Д., Методы математической физики,
т. I и т. П. Гостехиздат, М.—Л., 1951.
112. К у ф а р е в П. П., К вопросу о поведении отображающей функции на
границе. Изв. Научно-иссл. ин-та матем. и мех. Томского ун-та, т. 3, № 1,
1946, стр. 37—60.
113. К у ф а р е в П. П., Об одном методе численного определения параметров
в интеграле Шварца—Кристоффеля. ДАН СССР, т. 57, № 6, 1947, стр. 535—
537.
114. К у ф а р е в П. П., К теории однолистных функций. ДАН СССР, т. 57,
№ 7, 1947, стр. 751—754.
115. К у ф а р е в П. П., К вопросу о конформном отображении дополнитель-
дополнительных областей. ДАН СССР, т. 73, № 5, 1950, стр. 881—884.
116. К уф а рев П. П., О струйном обтекании дуги окружности. Прикл.
матем. и мех., т. XVI, вып. 5, 1952, стр. 589—598.
117. Куфарев П. П. и Семухина Н. В., О распространении ва-
вариационного метода Г. М. Голузина на двусвязные области. ДАН СССР,
т. 107, № 4, 1956, стр. 505—507.
520
118. Лаврентьев М. А. , Sur la representation conforme. С. г. Acad. sci.
v., 184, 1927, стр. 1407—1409.
119. Лаврентьев М. A., Sur une methode geometrique dans la' represen-
representation conforme. Atti del Congresso internazionale del Matematici, Bo-
Bologna, 3—10 Settembre, 1928, Bologna, N. Zanichelli, vol. 3, 1930, стр.
241—242.
120. Лаврентьев М. А., Геометрические вопросы теории функций комп-
комплексного переменного. Труды 2-го Всесоюзного матем. съезда, т. I, Л.,
1934, стр. 258—270.
121. Лаврентьев М. А., К теории конформных отображений. Труды Физ.-
матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова, т. 5, 1934, стр. 159—246.
122. Лаврентьев М. А., О некоторых граничных задачах в теории одно-
однолистных функций. Матем. сб., № 1 D3), 1936, стр. 815—846.
123. Лаврентьев М. А., О некоторых свойствах однолистных функций
с приложением к теории струй. Матем. сб., №4 D6), вып. 3, 1938, стр. 391.—-
458.
124. Лаврентьев М. А., О некоторых свойствах струйных течений.
ДАН СССР, т. 20, № 4, 1938, стр. 235—237.
125. Лаврентьев М. А., Об одном классе квазиконформных отображений
и о газовых струях. ДАН СССР, т. 20, № 5, 1938, стр. 343—346.
126. Лаврентьев М. А., Конформные отображения с приложениями к
некоторым вопросам механики. Гостехиздат, М.—Л., 1946.
127. Лаврентьев М. А., Квази-конформные отображения и их производ-
производные системы. ДАН СССР, т. 52, № 4, 1946, стр. 287—290.
128. Лаврентьев М. А., Общая задача теории квази-конформных отобра-
отображений плоских областей. Матем. сб., т. 21 F3), 1947, стр. 285—320.
129. Лаврентьев М. А., Основная теорема теории квази-конформных
отображений плоских областей. Изв. АН СССР, сер. матем., т. 12, 1948,
стр. 513—554.
130. Лаврентьев М. А., Задача Дирихле для узкого слоя. Труды Ма-
Матем. Ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова, т. 38, 1951, стр. 146—151.
131. Лаврентьев М. А., Кумулятивный заряд и принцип его работы.
Успехи матем. наук. т. 12, вып. 4, G6), 1957, стр. 41—56.
132*. Л а в р е н т ь е в М. А., Вариационный метод в краевых задачах для
систем уравнений эллиптического типа. Изд-во АН СССР, М., 1962.
133. Лаврентьев М. А. и Шабат Б. В., Геометрические свойства
решений нелинейных систем уравнений с частными производными. ДАН
СССР, т. 112, № 5, 1957, стр. 810—811.
134*.Лаврентьев М. А. и Шабат Б. В., Методы теории функций
комплексного переменного. Изд. 2-е, Физматгиз, М., 1958.
135. Л а в р и к В. И., О решении задач свободной фильтрации методом после-
последовательных приближений. Укр. матем. журн. т. XV, № 4, 1963, стр. 427—
431.
136. Ламб Г., Гидродинамика. Гостехиздат, М.—Л., 1947.
137*. Л а н ц о ш К-, Практические методы прикладного анализа. Физматгиз,
М., 1961.
138*. Лебедев А. В., Федорова P.M., Справочник по математиче-
математическим таблицам. Изд-во АН СССР, М., 1956.
139. Лебедев Н. Н., Температурные напряжения в теории упругости.
Гостехиздат, М.—Л., 1937.
140. Лебедев Н. Н., Специальные функции и их применение. Изд. 2-е,
Физматгиз, М., 1963.
141. Липовой Г. С, Построение потенциального потока газа с учетом его
сжимаемости вокруг крылового профиля при помощи электромоделирования.
Укр. матем. журн. т. XV, № 3 1963, стр. 314—320.
142. Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа. Гостехиздат, М.—Л.,
1950.
143. Лузин Н. Н., Метрическая теория функций и теория функций комплекс-
комплексного переменного. Собрание сочинений, т. I, Изд-во АН СССР, М., 1953.
521
144. Лукьянов B.C., Технические расчеты на гидравлических приборах
Лукьянова. Трансжелдориздат, М., 1937.
145. Лукьянов В. С, Головко М. Д., Расчет глубины промерзания
грунтов. Трансжелдориздат, М., 1957.
146. Лунц Г. Л. и Эльсгольц Л. Э., Функции комплексного пере-
переменного. Физматгиз, М., 1958.
147. Лыков А. В., Теория теплопроводности. Гостехиздат, М., 1952.
148. Л я в А., Математическая теория упругости. Гостехиздат, М.—Л., 1935.
149*. Л я ш к о И. И., Решение фильтрационных задач методом суммарных
представлений. Изд-во Киевского ун-та, 1963.
150*. М а д е л у н г Э., Математический аппарат физики. Фнзматгиз, М., 1961.
151. Маркушевич А. И., Теория аналитических функций. Гостехиздат,
М.—Л., 1950.
152. Маркушевич А. И., Краткий курс теории аналитических функций.
Гостехиздат, М., 1957.
■153. Математика, ее содержание, методы и значение, т. I, II, III. Изд-во АН
СССР, М., 1956.
154. Математика в СССР за тридцать лет. Гостехиздат, М.—Л., 1948.
155. Математика в СССР за сорок лет; т. I и т. II. Физматгиз, М., 1959.
156. Мелентьев П. В., Приближенные вычисления. Физматгиз, М., 1962.
157. М е л е щ е н к о Н. Т., Приближенный метод расчета фильтрации под
сооружениями, расположенными на безграничном проницаемом основании.
Изв. ВНИИГ, т. XXVIII, 1940, стр. 264—272.
158. Микеладзе Ш. Е., Новые методы интегрирования дифференциаль-
дифференциальных уравнений и их приложения к задачам теории упругости. Гостехиздат,
М.—Л., 1951.
159. Милн-Томсон Л. Н. и Комри Э. Д ж., Четырехзначные мате-
математические таблицы. Физматгиз, М., 1961.
160. М и н а с я н Р. С, О смешанной граничной задаче уравнения Лапласа
для прямоугольника. Прикл. матем. и мех., т. XVI, № 3, 1952, стр. 293—304.
161. Ми х лин С. Г., Интегральные уравнения и их приложения к некоторым
проблемам механики, математической физики и техники. Изд. 2-е, Гостех-
Гостехиздат, М.—Л., 1949.
162*. Морс Ф. и Фешбах Г., Методы теоретической физики, т. I и II.
ИИЛ, М., 1958; 1960.
163. Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математической
теории упругости. Изд. 4-е, Изд-во АН СССР, М., 1954.
164. Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения.
Изд. 2-е, Физматгиз, М., 1962.
165. Некоторые проблемы математики и механики.К шестидесятилетию акаде-
академика М. А. Лаврентьева. Изд-во Сибирского отделения АН СССР, Новоси-
Новосибирск, 1961.
166. Некрасов А. И., Точная теория волн установившегося вида на по-
поверхности тяжелой жидкости. Изд-во АН СССР, М., 1951.
167. Нельсон-Скорняков Ф. Б., Фильтрация в однородной среде.
Изд. 2-е, Изд-во «Советская наука», М., 1949.
168. Николаева Г. А., О приближенном построении конформного преоб-
преобразования методом сопряженных тригонометрических рядов. Труды Матем.
ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова, вып. 53, 1959, стр. 236—265.
169. Н у ж и н М. Т. и Н. Б. Ильинский, Методы построения подземного кон-
контура гидротехнических сооружений. Обратные краевые задачи теории
фильтрации. Изд-во Казанского ун-та, 1963.
170. Нужин С. Г., Построение потенциального потока несжимаемой жид-
жидкости около крыловых профилей произвольной формы. Прикл. матем. и
мех., т. XI, № 1, 1947, стр.' 55—64.
171. Павловский Н. Н., Теория движения грунтовых вод под гидротех-
гидротехническими сооружениями и ее основные приложения. Петроград, 1922,
Собр. соч. т. II. Изд-во АН СССР, М.—Л., 1956.
522
172. Павловский Н. Н., Гидромеханический расчет плотин системы Сен-
кова. Гостехиздат, М.—Л., 1937.
173. Панов Д. Ю., Справочник по численному решению дифференциальных
уравнений в частных производных. Изд. 5-е, Гостехиздат, М.—Л., 1951.
174. Папкович П. Ф., Теория упругости. Оборонгиз., М.—Л., 1939.
175. Патрашев А. Н., Гидромеханика. Военно-морское изд-во, М., 1953.
176. Петровский И. Г., Лекции по теории интегральных уравнений.
Изд. 2-е, Гостехиздат, М.—Л., 1951.
177. Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производ-
производными. Изд. 3-е, Физматгиз, М., 1961.
178. Положий Г. Н., О р-аналитических функциях комплексного пере-
переменного. ДАН СССР, т. 58, № 7, 1947, стр. 1275—1278.
179. Положий Г. Н., Теорема о сохранении области для некоторых эллип-
эллиптических систем дифференциальных уравнений и ее применения. Матем. сб.,
т. 32 G4), 1953, стр. 485—492.
180. Положий Г. Н., Вариационные теоремы плоской и осесимметричной
фильтрации в однородной и неоднородной средах. Метод сохранения области.
Укр. матем. журн., т. VI, № 3, 1954, стр. 333—348.
181. Положий Г. Н., Вариационно-топологические теоремы краевых за-
задач теории кручения валов переменного сечения. Метод сохранения области
и мажорантных областей. Изв. АН СССР, сер. матем., т. 19, 1955, стр. 245—
270.
182. Положий Г. Н. Эффективное решение задачи о приближенном
конформном отображении односвязных и двухсвязных областей и опре-
определение постоянных Кристоффеля—Шварца при помощи электрогидроди-
электрогидродинамических аналогий. Укр. матем. журн., т. VII, № 4, 1955, стр. 423—
432.
183.* Положий Г. Н., Численное решение двумерных итрехмерных краевых
задач математической физики и функции дискретного аргумента. Изд-во
Киевского ун-та, 1962.
184. Полубаринова-Кочина П. Я., Применение теории линейных
дифференциальных уравнений к некоторым случаям движения грунтовой
воды. Изв. АН СССР, сер. матем., т. 3, 1938, стр. 371—398.
185. Полубаринова-Кочина П. Я., Применение теории линейных
дифференциальных уравнений к некоторым задачам о движении грунтовых
вод (случай трех особых точек). Изв. АН СССР, сер. матем., т. 3, 1939,
стр. 329—350.
186. Полубаринова-Кочина П. Я., Применение теории линейных
дифференциальных уравнений к некоторым задачам о движении грунтовых
вод (число особых точек больше трех). Изв. АН СССР, сер. матем., т. 5—6,
1939, стр. 579—602.
187.* Полубаринова-Кочина П. Я., Теория движения грунтовых
вод. Гостехнздат, М., 1952.
188. Полубаринова-Кочина П. Я., Некоторые методы теории
функций комплексного переменного в применении к теории фильтрации.
В сб.: Некоторые проблемы математики и механики. К шестидесятилетию
академика М. А. Лаврентьева. Изд-во Сибирского отделения АН СССР,
Новосибирск, 1961, стр. 212—218.
189. Привалов И. И., О функциях, дающих однолистное конформное отоб-
отображение. Матем. сб., т. 31, 1924, стр. 350—365.
190. Привалов И. И., Интегральные уравнения. Изд. 2-е, Гостехиздат,
М.—Л., 1937.
191. Привалов И. И., Граничные свойства аналитических функций.
Изд. 2-е, Гостехиздат, М.—Л., 1950.
192. Привалов И. И., Введение в теорию функций комплексного перемен-
переменного. Изд. 10-е, Физматгиз, М., 1960.
193. Проскура Г. Ф-, Гидродинамика турбомашин. Машгиз, Укр. отд.,
К-, 1954.
194. Пространства римановых поверхностей. Сб. статей, ИИЛ, М., 1961.
523
195. Путята Т. В., О конформном преобразовании области близкой к
кругу на круг. Изв. Киевского политехи, ин-та, т. 19, 1956, стр. 141—148.
196.* П у х о в Г. Е., Избранные вопросы теории математических машин. Изд-во
АН УССР, 1963.
197. Рапопорт И. М., О плоской обратной задаче теории потенциала.
ДАН СССР, т. 28, № 4, 1940. стр. 305—307.
198. Рапопорт И. М., Об одной задаче теории потенциала. Укр. матем.
журн., т. II, № 1, 1950, стр. 48—55.
199. Решотка X. С, Застосування конформних вщображень до розрахунку
!зодинам1чного поля. ДАН УССР, № 2, 1964, стр. 147—151.
200. Риман Б., Сочинения. Гостехиздат, М.—Л., 1948.
201. Рихтмаиер Р. Д., Разностные методы решения краевых задач. ИИЛ,
М., 1960.
202. Рудченко П. А., До питания ф1льтрацП з канал1в довмьного попереч-
поперечного nepepiey. ДАН УССР, № 12, 1958, стр. 1300—1304.
203. Руплис Б. П., К вопросу расчета подземного контура плотин на не-
нескальных основаниях. Научные труды Литовской Сельхозакадемии, т. V,
Каунас, 1959, стр. 355—378.
204. Рыжик И. М., Таблицы интегралов сумм рядов и произведений. Изд.
2-е, Гостехиздат, М.—Л., 1948; изд. 4-е дополненное: Градштейн И. С. и
Рыжик И. М., Физматгиз, М., 1962.
205. Савенков В. Н., О сходимости итерационных процессов при опреде-
определении констант интеграла Кристоффеля—Шварца. Укр. матем. журн., т.
XV, № 3, 1963, стр. 321—327.
206. Савин Г. Н., Распределение напряжений в плоском поле, ослабленном
каким-либо отверстием. Труды ДИСИ, сообщ. 10, 1936, стр. 1—42.
207*. Савин Г. Н., Концентрация напряжений около отверстий. Гостехиз-
Гостехиздат, М.—Л., 1951.
208. CaBiH Г. Н., Парасюк О. С, Б1гармошчш розв'язання р1вняння
пластичность ДАН УССР, № 3, 1947, стр. 52—55.
209. Самойлова-Яхонтова Н. С, Таблицы эллиптических интегра-
интегралов. Гостехиздат, М., 1935.
210. Сафр о нов В. С, Круговые и гиперболические функции комплекс-
комплексного переменного. Гостехиздат, М.—Л., 1931.
211. Сафронов В. С, Конформные преобразования и применение их в
гидротехнике. Изд-во КУБУЧ, Л., 1933. (В заглавии книги: Софро-
нов В. С).
212. Сегал Б. И., Расчет фильтрации под плотинами с бесконечной глубиной
проницаемого основания. Инженерный сб.,т. Ш, вып. 1, 1946, стр. 137—158.
213. Сегал Б. И. иСемендяев К. А., Пятизначные математические
таблицы. Изд-во АН СССР, М.—Л., 1950.
214.* С е г е Г., Ортогональные многочлены. Физматгиз, М., 1962.
215. Седов Л. И., Об ударе твердого тела, плавающего на поверхности
жидкости. Труды ЦАГИ, вып. 187, 1934, стр. 3—27.
216. Седов Л. И., Падение клина на поверхность воды. Технические заметки
ЦАГИ. (Сб. общетеоретической группы ЦАГИ), вып. 52, 1935, стр. 14—17.
217. Седов Л, И., Плоская задача о глиссировании по поверхности тяжелой
жидкости. Труды конференции по волновому сопротивлению. Изд. ЦАГИ,
1937.
218. Седов Л. И., Развитие метода Жуковского для определения струйных
течений, стесненных несколькими криволинейными препятствиями (Теорет.
сб. ЦАГИ, 5). Труды ЦАГИ, вып. 342, 1938, стр. 42—47.
219. Седов Л. И., Приложение теории функций комплексного переменного
к некоторым задачам плоской гидродинамики. Успехи матем. наук, вып. VI,
1939, стр. 120—182.
220. Седов Л. И., К общей теории плоско-параллельных движений газа.
Вестник Моск. ун-та, № 9, 1949, стр. 3—14.
221. Седов Л. И., Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. Гостех-
Гостехиздат, М.—Л., 1950.
524
222. Секерж-Зенькович Я. И., К теории обтекания криволинейной
дуги с отрывом струй. Труды ЦАГИ, вып. 299, 1937, стр. 3—47.
223. Сенков А. М., Фильчаков П. Ф., Приближенные методы рас-
расчета стационарного движения грунтовых вод под гидротехническими соору-
сооружениями. Изд-во АН УССР, 1952.
224. Серебренникова И. И.,О построении конформно отображающих
функций при помощи электромоделирования и электронных цифровых ма-
машин. Электромеханика, № 12, 1961, стр. 3—12.
225. Серебрийский Я. М., Обтекание крыловых профилей произволь-
произвольной формы. Инженерный сб., т. III, вып. 1, 1946, стр. 105—136.
226. С и к о р с к и й Ю. С, Элементы теории эллиптических функций с при-
приложениями к механике. Гостехиздат, М.—Л., 1936.
227. Симонов Л. А., Расчет обтекания крыловых профилей и построение
профиля по распределению скоростей на его поверхности. Прикл. матем.
и мех., т. XI, вып. 1, 1947, стр. 69—84.
228. С и р ы к Г. В., О конформном отображении близких областей. Успехи
матем. наук., т. XI, вып. 5 G1), 1956, стр. 57—60.
229. Слезкин Н. А., Обтекание плоским прерывным газовым потоком
криволинейного препятствия. ДАН СССР, т. 2, № 8—9, 1935, стр.
512—515.
230. Слезкин Н. А., Об ударе плоской газовой струи в безграничную стен-
стенку. Прикл. матем. и мех., т. XVI, вып. 2, 1952, стр. 227—230.
231. Смирнов В. И., О конформном преобразовании односвязных областей
в себя. Зап. матем. каб. Крымского ун-та, т. 3, 1921, стр. 145—152.
232. Смирнов В. И., Sur la theorie des poIinOmes orthogonaux a une variable
complexe. Журн. Ленингр. физ-матем. общ. т. 2, №1, 1928, стр. 155—
179.
233. Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. I, II, III (ч. 2). Гостех-
Гостехиздат, М.—Л., 1951.
234. Соболев С. Л., Об одной предельной задаче теории логарифмического
потенциала и ее применение к отражению плоских упругих волн. Труды
Сейсм. ин-та, № 2, 1930, стр. 1—18.
235. Соболев С. Л., Алгорифм Шварца в теории упругости. ДАН СССР,
т. 4, № 6, 1936, стр. 235—238.
236. Соболев С. Л., Об единственности решений разностных уравнений
эллиптического типа. ДАН СССР, т. 87, № 2, 1952, стр. 179—182.
237. Соболев С. Л., Уравнения математической физики. Изд. 3-е, Гостех-
Гостехиздат, М., 1954.
238. Соболев С. Л., Уравненияв частных производных. В кн.: Математика,
ее содержание, методы и значения, т. 2. Изд-во АН СССР, М., 1956.
239*. Современная математика для инженеров; под редакцией Э. Ф. Беккенбаха.
ИИ Л, М., 1958.
240.* Соколов Ю. Д., Елементи теорп функцш комплексно!' змшноТ. Изд-во
«Радянська школа», К., 1954.
241.* С о к о л о в с к и й В. В., Теория пластичности. Изд. 2-е, Изд-во АН
СССР, М., 1950.
242. Соляник-Красса К. В., Кручение валов переменного сечения.
Гостехиздат, М.—Л., 1949.
243. Справочник авиаконструктора, т. II, Гидромеханика самолета. ЦАГИ,
М., 1938.
244. Сретенский Л. Н., Теория волновых движений жидкости. Гостех-
Гостехиздат. М.—Л., 1936.
245. Сретенский Л. Н., Об одной обратной задаче теории потенциала.
Изв. АН СССР, сер. матем., т. 5—6, 1938., стр. 551—570.
246. Сретенский Л. Н., Теория ньютоновского потенциала. Гостехиздат,
М.—Л., 1946.
247 Сретенский Л. Н., К теории газовых струй. Прикл. матем. и мех.,
т. XXIII, вып. 2, 1959, стр. 305—332.
248. Степанов Г. Ю., Построение двухрядных решеток по методу годо-
525
графа скоростей. Прикл. адатем. и мех., т. XVII, вып. 5, 1953, стр. 592—
598.
249. Степанов Г. Ю., Конформное отображение двухсвязных областей с
помощью электрического моделирования. Межвузовская конференция по
применению физического и математического моделирования, Информацион-
Информационные материалы, ИзД-во МЭИ, М., 1957, стр. 129—130.
250.* Степанов Г. Ю., Гидродинамика решеток турбомашин. Физматгиз,
М., 1962.
251. Стоилов С., Теория функций комплексного переменного (Написан при
сотрудничестве К. А. Казаку), т. 1, т. 2, ИИЛ, М., 1962.
252.* Страшкевич А. М., Электронная оптика электростатических полей,
не обладающих осевой симметрией. Физматгиз, М., 1959.
253. Сунцов Н. Н., Методы аналогий в аэродинамике. Физматгиз, М.,
1958.
254. Таблицы Барлоу квадратов, кубов, квадратных корней, кубических корней
и обратных величин всех целых чисел до 12 500. ИИЛ, М., 1950.
255. Таблицы <? и е~х- Изд-во АН СССР, М., 1955.
256. Т а м м И. Е., Основы теории электричества. Изд. 5-е, Гостехиздат, М.,
1954.
257. Теория поверхностных волн. ИИЛ, М., 1959.
258.* Тетельбаум И. М., Электрическое моделирование. Физматгиз, М.,
1959.
259. Тимошенко С. П., Теория упругости. Гостехиздат, М.—Л., 1934.
260. Т и т ч м а р ш Е., Теория функций. Гостехиздат, М.—Л., 1951.
261. Тихонов А. Н., Об устойчивости обратных задач. ДАН СССР, т. 39,
№ 5, 1943, стр. 176—179.
262. Тихонов А. Н. и Самарский А. А., Уравнения математиче-
математической физики. Гостехиздат, М.—Л., 1951.
263. Т о з о н и О. В., Обоснование экспериментально-аналитического ме-
метода решения задачи Дирихле для односвязной и двухсвязных областей.
Труды Новочеркасского политехнического ин-та, т. 43/57, 1956, стр.
45—64.
264. Т о з о н и О. В., Моделирование функции, бесконечнолистно конформно
отображающей двусвязную область на полосу. Известия Высших учебных за-
заведений, Электротехника, № 5, 1958 стр. 14—22.
265. Толстов Ю. Г., Конформное преобразование двухсвязных обла-
областей с помощью интегратора. Изв. АН СССР, ОТН, т. 7—8, 1944, стр. 447—
461.
266. Толстов Ю. Г., Применение электроинтегратора для конформных
преобразований односвязных областей. Изв. АН СССР, ОТН, т. 2, 1947,
стр. 159—164.
267. Тополянский Д. Б., О применении эффективных методов конформ-
конформного отображения к решению одной задачи об изгибе стержней. Прикл.
матем. и мех., т. IV, вып. 2, 1940, стр. 123—124.
268*. Трохимчук Ю. Ю., Непрерывные отображения и условия моноген-
моногенности. Физматгиз, М., 1963.
269. Труды семинара по прикладной математике; т. I, вып. 1. Изд-во АН УССР,
1963.
270. Тумашев Г. Г. и Нужин М. Т., Обратные краевые задачи.
Уч. зап. Казанского ун-та, т. 115, кн. 6, 1955, стр. 3—167.
271. У год ч и ков А. Г., Электромоделирование задачи конформного
преобразования круга на наперед заданную односвязную область. Укр.
матем. журн., т. VII, № 2, 1955, стр. 221—230.
272. У г о д ч и к о в А. Г., Электромоделирование конформного преобразо-
преобразования кругового кольца на заданную двухсвязную область. Укр. матем.
журн., т. VII, № 3, 1955, стр. 305—312.
273. У го дч и ко в А. Г., О тригонометрической интерполяции конформно
отображающих функций. Укр. матем. журн., т. XI, № 1, 1961, стр. 111—
115.
274. У годчи ков А. Г., Применение электромоделирования и интерполя-
интерполяционных полиномов Лагранжа для построения конформно отображающих
функций. Семинар: Методы математического моделирования и теория элект-
электрических цепей, № 3, вып. 5, Научный совет по кибернетике АН УССР,
Киев, 1963.
275. Угодчиков А. Г., Серебренн i кова 1. I., Електромоделю-
вання конформного перетворення зовшшносп круга на зовшшшсть задано!
криво!. Прикладна механша, т. III, вип. 3, 1957, стр. 269—276.
276.* Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа,
т. 1, т. 2. Изд. 2-е, Физматгиз, М., 1963.
277.* У о л ш Д ж. Л., Интерполяция и аппроксимация радиональными функ-
функциями в комплексной области. ИИЛ, М., 1961.
278. Фильчаков П. Ф., Метод последовательного отображения шпунтов.
ДАН СССР, т. 78, № 3, 1951, стр. 413—416.
279. Фильчаков П. Ф.,0 методе последовательных конформных отобра-
отображений. ДАН СССР, т. 101, № 1, 1955, стр. 25—28.
280. Фильчаков П. Ф., Численный метод конформного отображения од-
носвязных однолистных областей. Укр. матем. журн., т. X, № 4, 1958,
стр. 434—449.
281.* Ф i л ь ч а к о в П. Ф., Математичний практикум. Обчислення. Изд-во
«Радянська школа», Киев, 1958.
282. Фильчаков П. Ф., Фильтрационный расчет флютбетов в двухслойной
среде. Гидротехническое строительство № 6. 1959, стр. 30—34.
283.* Фильчаков П. Ф., Теория фильтрации под гидротехническими соо-
сооружениями; т. 1 и 2. Изд-во АН УССР, 1959—1960.
284. Фильчаков П. Ф., Гидромеханический расчет дренированных флют-
флютбетов. I., Укр. матем. журн., т. XI, № 4, 1959, стр. 393—407; II., Примене-
Применение метода последовательных конформных отображений. Укр. матем. журн.,
т. XII, № 4, 1960, стр. 439—461.
285. Фильчаков П. Ф., Определение констант интеграла Кристоффеля—
Шварца при помощи моделирования на электропроводной бумаге. Укр.
матем. журн., т. XIII, № 1, 1961, стр. 72—79.
286. Фильчаков П. Ф., Определение констант интеграла Кристоффеля—
Шварца при помощи обобщенных степенных рядов. В сб. Некоторые проб-
проблемы математики и механики. К шестидесятилетию академика М. А. Лаврен-
Лаврентьева. Изд-во Сибирского отделения АН СССР, Новосибирск, 1961, стр. 236—
252.
287. Фильчаков П. Ф., Конформное отображение заданных областей при
помощи метода тригонометрической интерполяции. I., Укр. матем. журн.
т. XV, № 2, 1963, стр. 158—172; II. Укр. матем. журн., т. XVI, № 6,
1964.
288. Фильчаков П. Ф., Численный метод конформных отображений одно-
связных и многосвязных областей, основанный на тригонометрической
интерполяции. Концентрация напряжений. Сб. статей под ред. Г. Н. Са-
Савина. Труды симпозиума по концентрации напряжений. Киев, 26—29
мая 1964.
289. Фильчаков П. Ф., Панчишин В. И., ИнтеграторыЭГДА-6/53
и ЭГДА-6/51, Инструкция по эксплуатации и методике моделирования задач.
Изд-во Киевского ун-та, 1955.
290*. Фильчаков П. Ф., Панчишин В. И., Интеграторы ЭГДА.
Моделирование потенциальных полей на электропроводной бумаге. Изд-во
АН УССР, 1961.
291. Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального ис-
исчисления. Изд. 4-е, т. III, Физматгиз, М., 1960.
292. Флорин В. А., Применение метода ЭГДА к определению напряжен-
напряженного состояния в основании сооружения. Сборник Гидроэнергопроекта № 7,
Проектирование гидротехнических сооружений. 1941, стр. 27—45.
293. Франк Ф. и Мизес Р., Дифференциальные и интегральные урав-
уравнения математической физики. Гостехиздат, М.—Л., 1937.
527
294. Фукс Б. А. и Л е в и н В. И., Функции комплексного переменного.
Специальная часть. Гостехиздат, М.— Л., 1951.
295. Фукс Б. А. и Шабат Б. В., Функции комплексного переменного
и некоторые их приложения. Изд. 2-е, Физматгиз, М., 1959.
296. Хажалия Г. Я., К теории конформных отображений двухсвязных
областей. Труды Матем. ин-та Груз. фил. АН СССР, т. 4, 1938, стр. 123—
134.
297. Хажалия Г. Я-, К теории конформных отображений двухсвязных об-
областей. Матем. сб., т. 8 E0), № 1, 1940, стр. 97—106.
298. Хажалия Г. Я-, Об одной приближенной формуле теории конформ-
конформных отображений. Труды Кутаиского пед. ин-та, т. 15, 1956, стр. 451 —
466.
299. Хара И. С, Об одном методе приближенного конформного отображения
многоугольных областей на единичный круг. ДАН УССР, № 4, 1953,
стр. 289—293.
300. Хренов Л. С., Шестизначные таблицы тригонометрических функций.
Физматгиз., М., 1960.
301. Христианович С. А., Плоская задача математической теории пла-
пластичности при внешних силах заданных на замкнутом контуре. Матем. сб.
т. 1 D3) вып. 4, 1936, стр. 511—534.
302. Христианович С. А., Приближенное интегрирование уравнений
сверхзвуковых течений газа. Прикл. матем. и мех., т. XI, вып. 2, 1947,
стр. 215—222.
303. Христианович С. А., Юрьев И. М., Обтекание крылового
профиля при докритической скорости потока. Прикл.матем. и мех., т.Х!
вып. 1, 1947, стр. 105—118.
304. Ч а калов Л., Увод в теорията на аналитичне функции. Държавно изд-
во «Наука и изкуство», София, 1957.
305. Чаплыгин С. А., О газовых струях. М., 1902; Собр. соч., т. II, Гос-
Гостехиздат, М., 1948.
306. Чаплыгии С. А., О силах действующих на цилиндр, обтекаемый по-
потоком, с образованием поверхностей разрыва. Сб. общетеоретической груп-
группы ЦАГИ, III, Труды ЦАГИ, вып. 240, 1935, стр. 5—13.
307. Чаплыгин Ю. С, Глиссирование по жидкости конечной глубины.
Прикл. матем. и мех., т. V, вып. 2, 1941, стр. 223—252.
308. Ч а р н ы й И. А., Подземная гидромеханика. Гостехиздат, М.—Л.,
1948.
309. Чистяков Ю. В., Об одном способе приближенного определения
функции, конформно отображающей круг на области, ограниченные дугами
окружностей и отрезками прямых. Учен. зап. Томского ун-та, т. 14, 1950,
стр. 143—151.
310. Чуфистова А. М., Приближенное конформное отображение с по-
помощью показательной функции. Уч. зап. Ленинградского ун-та, сер. матем.,
т. 37, вып. 6, 1939., стр. 119—126.
311. Шабат Б. В., Об обобщенных решениях одной системы уравнений в
частных производных. Матем. сб., т. 17 E9), 1945, стр. 193—210.
312. Шабат Б. В., Об отображениях, осуществляемых решениями систем
Карлемана. Успехи матем. наук, т. 11, вып. 3 F3), 1956, стр. 203—206.
313. Шабат Б. В., Геометрический смысл понятия эллиптичности. Успехи
матем. наук, т. 12, вып. 6 G8), 1957, стр. 181—188.
314. Шабат Б. В., К понятию производной системы в смысле М. А. Лавренть-
Лаврентьева. ДАН СССР, т. 136, № 6, 1961, стр. 1298—1301.
315. Шаманский В. Е., Приближенный метод решения задачи Дирихле
для уравнения Лапласа. ДАН СССР, т. 100, № 6, 1955. стр. 1049—1052.
316. Шаманский В. Е., К вопросу о конформном отображении при по-
помощи электромоделирования. Укр. матем. журн., т. VIII, № 1, 1956, стр.
92—96.
317.* Шаманский В. Е., Методы численного решения краевых задач на
ЭЦВМ. Изд-во АН УССР, 1963.
528
318.* Швец И. Т., Д ы б а н Е. П., Воздушное охлаждение роторов газовых
турбин. Изд-во Киевского ун-та, 1959.
319. Ш е р м а н Д. И., Статические плоские задачи теории упругости: Труды
Тбилисского матем. ин-та, т. II, 1937, стр. 163—225.
320. Ш е р м а н Д. И., К общей задаче теории потенциала. Изв. АН СССР,
сер. матем., т. 10, 1946, стр. 121—134.
321. Шилов Б. Ф., О приближенном конформном преобразовании двух-
двухсвязных областей. Труды Военно-механического ин-та, Л., 1939, стр.
153—187.
322. Штаерман И. Я-, Гиперболические функции. Гостехиздат, М.—Л.,
1935.
323. Штока л о И. 3., О давлении потока конечной ширины на пло-
плоскую пластинку. Зап. Харьковского матем. об-ва, т. 10, сер. 4, 1934, стр.
93—101.
/1324. Штока л о И. 3., О приближенном конформном отображении посредст-
посредством полиномов Сеге. Сб. н.-и. работ Харьковского текстильного ин-та,
т. 1, 1939, стр. 169—182.
325. Шт о к а л о И. 3., Оценка модуля некоторых коэффициентов функций,
дающих однолистное конформное отображение. Сб. н.-и. работ Харьковско-
Харьковского текстильного ин-та, т. 2, 1940, стр. 223—230.
326. Штока л о И. 3., К вопросу о необходимом и достаточном условии одно-
однолистности функции в |г| < 1. Сб. н.-и. работ Харьковского текстильного
ин-та, т. 2, 1940, стр. 231—238.
327. Эфрос Д. А., Гидродинамическая теория плоско-параллельного кави-
тационного течения. ДАН СССР, т. 51, № 4, 1946, стр. 263—266.
328.* Электрическое моделирование. Сб. статей участников совещания по электри-
электрическому моделированию. Изд-во АН СССР, М., 1952.
329. Янке Е. и Эмде Ф., Таблицы функций с формулами и кривыми.
Гостехиздат, М.—Л., 1948.
330. Янчевский С. А., Функции комплексного переменного. Изд. 2-е,
Гостехиздат, М.—Л., 1937.
331. Я р е м ч у к Ф. П., О фильтрации из канала при произвольной линии
раздела грунта и дренирующего слоя. «Строительство и архитектура», № 1,
1962, стр. 145—154.
332. Albrecht R., Zum Schmiegungsverfahren der konformen Abbildung.
Z. angew. Math, und Mech., Bd. 32, 1952, S. 316—318.
333. Bergmann St., Ueber die Bestimmung der Verzweigungspunkte eines
hyperelliptischen Integrals aus seinen Periodizitatsmoduln mit Anwendungen
auf die Theorie des Transformators. Mathem. Zeitschrift. Bd. 19, H. 1—2,
1923, S. 8—25.
334. Bergmann St., Ueber die Berechnung des magnetischen Feldes in einem
Einphasen-Transformator. Z. angew. Math, und Mech., Bd. 5, H. 4, 1925,
S. 319—331.
335. В e t z A., Konforme Abbildung. Berlin—Gottingen—Heidelberg, 1948.
336. В i r k h о f f G., Young D. M., Z a r a n t e I I о Е. Н., Numerical
Methods in Conformal Mapping, Proc. Symposia in AppI.Math., IV Amer.
Math. Society, New York, 1953.
337. В r a d f i e I d K. N. E., Hooker S. G. and Southwell R. V.,
Conformal transformation with the aid of an electrical tank, Proc. Roy.
Soc. Lond., Serie A. Math, and Phys. Sciences N 898, v. 159, 1937, p.
315—346.
338. Caratheodory C, Elementarer Beweis fur den Fundamentalsatz der
konformen Abbildung. Schwarz-Festschrift J., Springer, Berlin, 1914,
S. 19—41.
339. Ca uchy A. L., Sur Ies differentielles de quantites algebriques ou geo-
metriques et sur Ies derivees des fonctions de ces quantites, Paris, 1847.
340. С h r i s t о f f e I E., Sul problema delle temperature stazionarie e la rap-
presentazione di una data superficie. Annali di Matematica. II-а serie, tomo
Iе, Milano, 1867.
529
341. Churchill R., Complex Variables and Applications. 2 Ed., New York,
Toronto, London, 1960.
342. Comrie L. J., Chambers's Six-Figure Mathematical Tables, vol. II,
Natural Values. London, 1949.
343.* Construction and Applications of Conformal Maps. Proceedings of a Symposium,
Ed. by E. F. Beckenbach. National Bureau of Standards Appl. Math. Ser.,
18, 1952.
344. Eagle A., The Elliptic Functions as they Schould Be. An Account,
with Applications of the Functions in a New Canonical Form, Cambridge,
1958.
345.* E r d ё I y i A., Magnus W., Oberhettinger F., Trico-
m i F., Higher Transcendental Functions'; Vol. 1—3, New York, Toronto,
London, 1953—1955.
346.* Experiments in the Computation of Conformal Maps. Ed. by J. Todd. National
Bureau of Standards Appl. Mat., Ser., 42, 1955.
347. Heinhold J. u. Albrecht R., Zur Praxis der konformen Abbil-
dung. Rendiconti Circulo Mat., Palermo, t. 3, 1954, S. 130—148.
348. Julia G., Legons sur la representation conforme des aires simplement con-
nexes. Paris, 1931.
349. Julia G., Lemons sur la representation conforme des aires multiplement con-
nexes, Paris, 1934.
350.* Kob er H., Dictionary of Conformal Representations. 2 ed., New York,
1957.
351. К о e b e P., Abhandlungen zur Theorie der konformen Abbildung. I. Die
Kreisabbildung des allgemeinsten einfach und zweifach zusammenhangenden
schlichten Bereichs und die Randerzuordnung bei konformer Abbildung. Jour-
Journal fur die reine und angew. Math., Vol. 145, 1915, S. 177—223.
352. К о е b e P., Abhandlungen zur Theorie der konformen Abbildung. IV. Abbil-
Abbildung mehrfach zusammenhangender schlichter Bereiche auf Schlitzbereiche.
Acta Math., Vol., 41, 1918, S. 305—344.
353. Komatu Y., Ein alternierendes Approximationsverfahren fur konforme
Abbildung von einem Ringgebiet auf einem Kreisring. Proc. Jap. Acad., V. 21
1949, S. 146—155.
354.* Koppenfels W. und Stallmann F., Praxis der konformen Abbil-
Abbildung. Berlin, Gottingen, Heidelberg, 1959. (Русский перевод, Физмат-
гиз, М., 1963).
355. Kravtchenko J., Representation conforme de Helmholtz. Theorie
des sillages et des proues. J. Math. Pures Appl., y. 20, 1941, p. 35—301.
356. Legendre A. M., Traite des fonctions elliptiques et des integrates eule-
■— riennes, t. 1—3, Paris, 1825—1832.
357. Lichtenstein L., Zur konformen Abbildung einfach zusammenhangen-
zusammenhangender schlichter Gebiete. Arch. Math. Phys., Vol. 25, 1917. S. 179—180.
358. Malavard L., Sur la resolution rheoelectrique des questions de represen-
representation conforme et application a la theorie des profils d'ailes. C. r. Acad.
Sci., vol. 218, n° 3, 1944, p. 106—108.
359. Nehari Z., Conformal Mapping. New York, Toronto, London, 1952.
360. N у s t r 6 m E. J., Ueber die praktische Auflosung von Integralgleichungen
mit Anwendungen ans Randwertaufgaben, Acta Math., Vol., 54, 1930, S. 185—
204.
361. О s go о d W. F., Lehrbuch der Functiontheorie. Bd. I., 4. Aufl., Leipzig-
Berlin, 1923; Bd. II, 2. Aufl., Leipzig—Berlin, 1929.
362. Pearson K., Tables of the Incomplete Beta-Function, Cambridge, 1904.
363. R i e m а п п В., Grundlagen fur eine allgemeine Theorie der Funktionen einer
veranderlichen komplexen Grosse. Gottingen, 1851.
364. Ro s s b а с h H., Ueber Grundwasserstrommungen. Ingenieur-Archiv,
Bd. VII, H. I und 5, 1936. S. 41—51, und 342—351.
365. Rothe R., Ollendorf F., PohlhausenK., Funktionentheo-
rie und ihre Anwendungen in der Technik. Berlin, 1931.
366. Saks S. i Zygmund A., Funkcje analityczne. Warszawa, 1938.
530
367. S с h w a r z H. A., Ueber einige Abbildungsaufgaben, Journal Kir reine
und angewandte Math., Bd. 70, 1869, S. 105—120. Gesammelte Mathematische
Abhandlungen, Bd. II, Berlin, 1890, S. 65—83.
368.* Se i d e I W., Bibliography of Numerical Methods in Conformal Mapping.
National Bureau of Standards Appl. Math., Ser., 18, 1952, p. 269—280.
369. Tannery I. etMolk I., Elements de la theorie des fonctions ellipti-
ques, t. I—IV, Paris, 1893—1902.
370. Theodorsen T. and Garrick 1. E., General Potential Theory
of Arbitrary Wing Sections. National Advisory Committee on Aeronautics,
Technical Report N 452, 1933.
371.* Ullrich E., Praxis der kontormen Abbildung. FIAT-Bericht angew.
Math., Teil I.
372. Weierstrass K., Vorlesungen fiber die Theorie der elliptischen Functio-
nen. Berlin, 1915.
373. Weierstrass K., Vorlesungen fiber Anwendungen der elliptischen Func-
tionen. Berlin, 1915.
374. W i t t i с h H., Konforme Abbildung einfach zusammenhangender Gebiete.
Z. angew. Math, und Mech., Bd. 25/27, H. 2, 1947, S. 131—132.
Павел Феодосьевич Фильчаков
Приближенные методы конформных отображений
Справочное руководство
Печатается по постановлению Редакционно-издательского совета
Академии наук Украинской ССР.
Редактор издательства Р. Л. Имас
Художественный редактор В. П. Кузь
Оформление художника Г. М. Балюна
Технический редактор А. А. Матвейчук
Корректор В. С. Дворкина
ЬФ 05405-Зак. № 1892. Изд. № 228.Тираж 4700.Формат бумаги 60x90V,0. Печати, физич.
листов 35.75+2 вкл. Условн. печ. листов 36,5. Учетно-издат. листов 34,81. Подписано
к печати 3/\'Ш 1964 г. Цена I р. 94 коп.
Издательство «Наукова думка» ул. Репина, 3.
Напечатано с матриц Киевской книжной фабрики на Книжной фабрике «Октябрь»
Государственного комитета Совета Министров УССР по печати,
Киев. Артема, 23 а.
ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
Стр.
210
242
319
339
466
Строка
8 снизу
4 снизу
6 снизу
2 сверху
формула
C.261)
Напечатано
к мнимому числу
обращается в нуль.
у„ = г sin mtp
4а2/
1—а . 1—а
1+а' 1+а
Должно быть
к минимуму число
обращается в бес-
бесконечность.
у„ = г sin ф
1—а _ 1+а
1+а2' 1 + а8
v; n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
aB)
1,000000
—0,200000
—0,080000
—0,048000
—0,033600
—0,025536
—0,020429
0,016927
0,014388
—0,012469
—0,010973
43)
1,000000
0,750000
0,656250
0,601562,
0,563965
0,535767
0,513443
0,495106
0,479634
0,466310
0,454653
<>
1,000000
—0,400000
—0,120000
—0,064000
—0,041600
—0,029952
—0,022963
—0,018371
1,0030000
0,3296842
0,108692
0,035834
0,011814
0,003895
0,001284
0,000423
0,000139
0,000046
0,000015
1,0000000
0,0633050
0,004008
0,000254
0,000016
TV
1,0000000
0,1920171
0,0368706
0,007080
0,001359
0,000261
0,000050
0,000010
y(l)
1,000000
0,200000
0,104000
0,068343
0,050118
0,039183
0,031949
0,026837
0,023049
0,020137
0,017836
1,000000
0,500000
0,416667
0,375000
0,348214
0,328869
0,313921
0,301847
0,291785
0,283203
0,275750
У<2>
1,000000
0,666667
0,571429
0,519481
0,484848
0,459330
0,439359
TV
1,000000
—0,120000
—0,045333
—0,025805
—0,017305
—0,012690
—0,009847
—0,007946
A®
1,000000
0,247263
0,071329
0,021556
0,006663
0,002087
0,000659
0,000209
0,000067
0,000021
0,000007
A®
1,000000
—0,0659368
—0,0086954
—0,0017200
—0,0003970
—0,0000995
—0,0000262
—0,0000072
—0,0000020
—0,0000006
ЛЗТ
1,000000
0,144013
0,024197
0,004259
0,000766
0,000140
0,000026
0,000005
0,000001
Л44
1,000000
—0,025322
—0,000481
—0,000016
—0,000001
Л4т
1,000000
—0,0768068
—0,0044245
—0,0004531
- 0,0000565
—0,0000078
—0,0000011
—0,0000002
1,000000
—0,012661
—0,000321
—0,000012
—0,000001
i
c(n)
°133
1,0587885
0,232023
0,12561
0,0845
0,063
I
1,0528514
1
Tat
J223
0,9625814
0,595471
0,51770
0,4740
0,444
0,42
0,4
0,4
0,9143110
>лица 29
6ззг
0,9814963
—0,127238
—0,04953
—0,0287
—0,019
0,9831235
. | 2V-
0
m=4
I
(i=8
*2v
4v
0
+ 1,502
0
+ 1.502
0
8
—0,330
+0.700
—0,329
+0.703
16
—0.590
—0.540
—0.606
—0,533
24
—0,050
—0.526
—0,060
—0.500
\
Xo
Ко
Xo
Ко
++++
+0,532
—0,366
+0.507
—0.330
++
—0.560
+2,452
—0.538
+2,406
+ +
+4,184
+1.080
+4,216
+1.066
+ 1,292
—0,714
+ 1.285
—0,736
1/4
z
z
z
z
++++
—0,133
+0.092
—0,127
+0,082
++
—0,191
+0,740
—0,188
+0,746
+ +
+0,434
+0,099
+0,425
+0.095
+-+-
+0,178
+0.323
+0,184
+0,321
,*
~@)
xk
~@)
Ук
—i
xk
~i
Ук
4
+0,288
+ 1,254
+0.294
+ 1,244
12
—0.956
+0,410
—0,924
+0,412
20
—0,198
—0.424
—0,180
—0,438
28
+0,314
—0,872
+0.302
—0.890
*
40)
У?
4
y\
4
+0,287
+1,255-,
+0.293
+ 1,257
12
—0,926
+0,390
—0,900
+0,410
it
II
m=8
ц=8
n
III
m=16
(i=8
4
XO
У?
4'
*?
41
\
4"
*ш
4»
*?!
4"
y\n
4"
2v
+1.502
0
+0.293
+1.257
—
—
2v
+ 1.502
0
+1,156
+0,965
+0.284
+1.257
—0.255
+0.920
—
—
16—2v
— ■
—
—0.900
+0.410
—0.337
+0.669
16—2v
—
'—0.973
—0,139
—0.894
+0.422
—0.518
+0,667
—0,337
+0.669
16+2v
—0.636
—0.528
—0,164
—0.447
—
—
16+2v
—0,636
—0,528
—0.280
—0,532
—0.164
—0,447
—0.116
—0.452
—
—
32—2v
—
+0.304
—0,888
—0,065
—0.493
32—2v
—
+1.003
—0,797
+0,303
—0,887
—0,009
—0,633
—0,065
—0,493
\
Xo
x4
x8
Ко
к4
\
Xo
x2
X»
xe
Xt
Ко
K2
K4
Ke
Y,
++++
+0,464
—0,467
+1,268
—0,352
+0,332
—0,704
++++
+0,464
+0,906
—0,471
—0,898
+1,268
—0,352
—0,503
+0,345
+0,502
—0.704
++
,
—0,747
—0,544
—
+3,002
+2,324
++—
—0,540
—0,749
—0,648
—0,544
—
+2,155
+3,013
+2,672
+2.324
+ +
+4.276
+1,661
—B8 =
+1,056
+0,406
A, =
+ +
+4,276
+3,412
+1,645
+0,370
—Вы =
+ 1,056
+0,839
+0,395
+0.072
Aw =
+-+-
+0,725
= +0,0025
—
+ 1,288
= —0,0004
+-+-
+0,846
+0,711
+0,156
= +0,0005
—
+ 1.369
+1,275
+0,434
= +0,0001
1/4
%
A'e
k6
1/4
z
X3
x6
X,
z
Y3
K5
K,
++++
+0,228
—0,227
—0,126
+0,131
++++
+0,377
+0,039
—0,205
—0,212
—0,224
—0,007
+0,130
+0,103
++
—0,134
—0,165
+0,539
+0,673
++
—0,074
—0,173
—0,181
—0,145
+0,298
+0,695
+0,732
+0,608
+ +
+0,851
+0,092
+0,209
+0,017
_J L.
+ 1,009
+0,637
+0,220
+0,026
+0,249
+0,155
+0,049
+0,003
+0,210
+0,039
+0,341
+0,108
+-+-
+0,129
+0,225
+0,102
+0,005
+0,203
+0,378
+0,210
+0,039
\
~n
X2
~II
Уч
~n
*6
~n
Уч
\
—'in
x\
—'in
У\
—*III
*3
~ш
У А
—Ill
*5
—Ill
Уъ
-—«in
X7
—'Ill
У7
k
+ 1.155
+0.963
—0,261
+0,929
k
+ 1.441
+0,526
+0,728
+ 1,221
—0,064
+ 1,121
—0,326
+0,753
16—ft
—0,967
-0,137
—0,523
+0,679
16—ft
—0,835
—0,378
—0,996
+0,155
—0,708
+0,603
—0,388
+0.669
16+*
—0,279
—0,533
—0,115
—0,451
16+ft
—0,429
—0,568
—0,200
—0,479
—0,142
; —0,441
—0,088
—0,469
32—k
+ 1,003
—0,797
—0,009
—0,633
32—k
+1,331
—0,476
+0,624
—0,925
+0,094
—0,763
—0,046
—0,541
\
41
*?
41
y\l
\
xf
yfl
4"
4"
yf
xf
y)n
k
+1,156
+0,965
—0,255
+0,920
k
+ 1.441
+0.526
+0,728
+ 1,221
—0.064
+ 1,121
—0,323
+0.750
16—*
—0,973
—0,139
—0,518
+0,667
16—*
—0,841
—0,381
—0,998
+0,157
—0,704
+0,602
—0,388
+0,664
20
—0,198
—0,424
—0,180
—0.438
28
+0,314
—0,872
+0,302
—0.890
k
xf
У?
A
*i
4
+0.287
+1.255-
+0,293
+ 1.257
12
—0.926
+0,390
—0,900
+0.410
20
—0,176
—0,453
—0,164
—0,447
28
+0.309
—0.888
+0,304
—0.888
\
xt
Y*
X4
Yt
++++
—0,506
+0,304
—0.467
+0.332
+H
—0,772
+2,986
—0,747
+3,002
+ +
+ 1,698
+0.430
+ 1.661
+0.406
+ -+-
+0,728
+ 1,300
+0,725
+ 1,288
1/4
Xo
Ко
x;
yI
++++
+0,126
—0,076
+0,117
—0,083.
++
—0,152
+0,600
; —0,144
+0,587
+ +
+ 1,056
+0,273
+ 1,062
+0,264
+-+-
+0,325
—0.182
+0.322
—0.181
2v
X2v
~n
*2v
~II
y2v
0
+1,507
+0,015
+1,501
0.000
8
—0,351
+0.706
—0,349
+0,685
T а б л и i
16
—0,605
—0.531
—0,623
—0,528
I a 45
24
—0.047
—0,494
—0.061
—0.489
16+fc
—0,279
—0,533
—0.115
—0,451
16+fe
—0,429
—0,568
—0,200
—0.479
—0,142
; —0,441
—0,088
—0,469
32—ft
+ 1,003
—0,797
—0,009
—0,633
32—ft
+ 1,331
—0.476
+0,624
—0,925
+0,094
—0.763
—0,046
—0,541
\
4
xi
\
*<«
У?
*?'
yf
xf
У?
k
+1,156
+0,965
—0,255
+0,920
k
+ 1.441
+0,526
+0,728
+ 1.221
—0.064
+ 1.121
—0,323
+0,750
16—ft
—0,973
—0.139
—0,518
+0.667
16—ft
—0,841
—0,381
—0.998
+0.157
—0,704
+0.602
—0,388
+0,664
16+fc
—0.280
—0,532
—0,116
-0,452
16+fe
—0.430
—0,567
-0,199
—0,481
—0,142
—0,441
—0,088
—0.469
32—ft
+1,003
—0.797
—0.009
—0.633
32—ft
+1,331
—0.476
+0.624
—0,925
+0.095
—0.765
—0,048
—0,542
\
x2
xe
K2
K6
\
Xi
X,
x5
X,
Ki
Y3
П
Y;
++++
+0,906
—0,898
—0,503
+0.502
++++
+1.501
+0,155
—0.815
—0,847
—0,898
—0.028
+0,517
+0,403
+H
—0,540
—0.648
+2.155
+2,672
++
—0,301
—0,695
—0.721
—0.575
+1,188
+2,784
+2,929
+2.425
+ +
+3.412
+0,370
—Bs =
+0,839
+0,072
As =
+ +
+4,043
+2.549
+0,877
+0,105
—sie =
+0,998
+0,620
+0,195
+0,013
i4ie =
+-+-
+0.846
+0.156
—0.0001
+ 1.369
+0,434
= —0,0010
+-+-
+0.521
+0,903
+0,403
+0,025
= —0.0004
+0.816
+1,508
+0,843
+0,159
= +0,0004
1/4
Xo
X,
x8
Ко
к4
K8
1/4
Xo
x2
x,
xe
x8
Ко
K2
K4
Ke
K8
++++
+0,116
—0,118
—
—0,086
+0.086
—
++++
+0.117
+0.226
—0,117
—0,223
—
—0,087
—0,125
+0.089
+0,125
—
++
_
—0,187
—0,137
'-u
+0.753
+Q.582
++^__
1
t"
—(^,135
-0,187
—0.161
—q,i36
. t-
+0,541
+Q.754
+(J,668
+0,582
+ +
+1.065
+0.411
—
, +0,264
+0.098
—
+ +
+1,069
+0,854
+0,410
+0.091
—
+0.265
+0,210
+0,098
+0,017
—
+-+-
+0.319
+0.178
—
—0.177
+0.319
—
+-+-
+0,318
+0,211
+0,177
+0.037
—
—0,177
+0,341
+0.317
+0,109
—
\
~HI
xo
~ш
Уо
~ш
*4
~III
У*
^8
У&
\
~IV
xo
Уо
~IV
X2
~IV
У2
■—IV
X4
~IV
У4
~>IV
*6
Уб
^8
~>IV
Уь
2v
+ 1,500
+0,001
+0.284
+ 1,256
—
—
2v
1,504
+0.001
+1,156
+0,967
+0.283
+1,258
—0,256
+0,919
—
—
16—2v
—
—0,894
+0,422
—0,340
+0.673
16—2v
—
—0.974
—0.135
—0,891
+0,428
—0,512
+0.667
—0,337
+0,672
16+2v
—0,630
—0,527
—0,164
—0,446
—
—
16+2v
—0.634
—0.529
—0,282
—0,535
—0,163
—0,446
—0,116
—0.451
—
—
32—2v
_
—
+0,302
—0.888
—0,066
—0,491
32—2v
—
—
+1.004
—0,797
+0.303
—0.884
—0,008
—0.635
—0,065
—0,492