Л. В. КАНТОРОВИЧ и В. И. КРЫЛОВ
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
ВЫСШЕГО АНАЛИЗА
ИЗДАНИЕ
ПЯТОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ
Ж
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА . 1962 . ЛЕНИНГРАД

Леонид Витальевич Канторович и Владимир Иванович Крылов
Приближенные методы высшего анализа.
Л., Физматгиз, 1962 г.. 708 стр. с илл.
Редактор Г. П. Акиасв
Техн. редактор Д. А. Лукьянов Корректор Т. А. Фомкина
Сдано в набор 3/11 1962 г. Подписано к печати 10/V 1962 г. Бумага Х/ю.
Физ. печ. л. 44,25. Усл. печ. л. 44,25. Уч.-изд. л. 45,19. Тираж 16 000 экз. Т-04763.
Цена книги 2 р. 41 к. Заказ № 1241.
Государственное издательство физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ленинградский Совет народного хозяйства. Управление полиграфической промышленности.
Типография № i «Печатный Двор» имени А. М. Горького, Ленинград, Гатчинская, 26.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к пятому изданию 9
Глава I. Методы, основанные на представлении решения в виде
бесконечного ряда
§ 1. iM e т о д Фурье 11
1. Задача Дирихле для прямоугольника И
2. Задачи Дирихле и Неймана для кольца в случае уравнения
Лапласа 22
3. Пример бигармонической проблемы 26
§2. Бесконечные системы уравнений 29
1. Основные определения 29
2. Теоремы о сравнении систем 30
3. Регулярные и вполне регулярные системы 37
4. Приближенное решение регулярных систем 44
5. Лимитанты. Различные обобщения регулярных систем .... 49
6. Краткий обзор других исследований, относящихся к
бесконечным системам 54
§3. Решение граничных задач с помощью нсортого-
нальныхрядов 56
1. Общие принципы 56
2. Решение задачи о разложении произвольной функции по
наперед заданным функциям с помощью ортогонализации 57
3. Решение задачи о разложении произвольной функции но
наперед заданным с помощью бесконечных систем уравнений ... 67
4. Пример 1. Смешанная граничная задача для уравнения
Лапласа 69
5. Пример 2. Расчет защемленной пластинки 74
§ 4. Применение двойных рядов к решению
граничных задач 82
1. Постановка задачи. Основания метода 82
2. Уравнение Пуассона для прямоугольника 83
3. Применение к уравнениям четвертого порядка 86
§5. Улучшение сходимости рядов, получаемых при
решении 91
1. Общие принципы, на которых основаны методы улучшения
сходимости . 9!
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
2. Метод А. Н. Крылова улучшения сходимости
тригонометрических рядов 93
3. Ряды Фурье с усиленной сходимостью 100
4. Общие методы улучшения сходимости при приближенном
решении граничных задач. 102
Глава И. Приближенное решение интегральных уравнений
Фредгольма
§ 1. Замена интегрального уравнения системой
линейных уравнений ПО
1. Основные определения ПО
2. Замена интегрального уравнения конечной системой
линейных алгебраических уравнений Ш
3. Оценка погрешности, получающейся в результате замены
интегрального уравнения системой линейных уравнений 117
4. Пример 121
§2. Метод последовательных приближений и
аналитическое продолжение 124
1. Метод последовательных приближений 124
2. Применение аналитического продолжения для
приближенного решения интегральных уравнений 131
§3. Применение интегральных уравнений к решению
задачи Дирихле 133
1. Интегральное уравнение теории потенциала 133
2. Метод Неймана 138
3. Метод Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова 143
4. Пример 149
§4. Решение интегральных уравнений с помощью
замены произвольного ядра на вырожденное 155
1. Интегральное уравнение с вырожденным ядром 155
2. Замена произвольного ядра вырожденным 157
3. Пример .160
4. Другая оценка погрешности 161
5. Метод моментов 165
6. Метод Бэтмена 170
Глава III. Метод сеток
§1. Выражения производных через разностные
отношения. Соотношения между значениями функции
вуз л ах сетки, гармоническим и бигармони-
ческим операторами 179
1, Выражения производных через разностные отношения .... 179
2. Соотношения между значениями функции в узлах сетки,
оператором Лапласа и бигармоническим оператором 197
§2. Дифференциальные уравнения и
соответствующие им уравнения в конечных разностях 208
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения 208
2. Уравнения в частных производных эллиптического типа. . . 216

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
3. Граничные условия для уравнений в конечных разностях . . 228
4. Уравнение Д2«=/(л:, у) 231
§ 3. Решение уравнений в конечных разностях..... 234
1. Существование и единственность решения 234
2. Два метода решения уравнений в конечных разностях.
Примеры 239
3. Оценка погрешности. Сходимость процесса 250
Глава IV. Вариационные методы
§1. Вариационные проблемы, связанные с
важнейшими дифференциальными уравнениями....... 260
1. Задачи, приводящие к обыкновенному уравнению....... 260
2. Вариационные задачи, приводящие к уравнениям Лапласа и
Пуассона 266
3. Другие виды граничных условий 269
4. Вариационные задачи, связанные с бигармоническим
уравнением 272
5. Вариационные проблемы, связанные с нахождением
собственных чисел и собственных функций 274
§2. Метод Ритца и метод Б. Г. Галеркина . . 277
!. Основная идея метола Ритца и метода Б. Г. Галеркина. . . 278
2. Применение методов Ритца и Б. Г. Галеркина к
обыкновенным дифференциальным уравнениям 282
3. Применение методов Ритца и Б. Г. Галеркина к решению
уравнений в частных производных второго порядка ". . . . 292
4. Применение к бигармоническому уравнению 303
5. Применение к нахождению собственных значений и функций 312
§3. Приведение к обыкновенным дифференциальным
уравнениям 323
1. Основные уравнения 326
2. Примеры нахождения первого приближения 329
3. Примеры уточнения решения 336
4. Пример применения метода к бигармоническому уравнению 341
5. Применение метода к нахождению собственных значений и
собственных функций 344
§4. Оценка погрешности в вариационных методах
и порядок сходимости их 346
1. Случай обыкновенных дифференциальных уравнений
2. Проблема сходимости минимальных последовательностей для
уравнений эллиптического тина 357
3. Сходимость метода Ритца и метода приведения к
обыкновенным уравнениям 366
Глава V. Конформное преобразование областей
§ 1. Введение 376
1. Конформное преобразование и уравнение Лапласа 4 376
2. Преобразование односвязных областей 378
3. Преобразование многосвязных областей , 380

О ОГЛАВЛЕНИЕ
§2. Свойство минимума площади при
преобразовании области на круг 383
1. Экстремальное свойство функции, преобразующей область
на круг 383
2. Приложение метода Ритца 385
3. Минимизация при помощи полиномов 389
4. О сходимости последовательных приближений. Полнота
системы координатных функций 390
5. Внешние области 393
§3. Свойство минимума длины контура при
преобразовании области на круг 394
1. Экстремальное свойство преобразующей функции 394
2. Применение метода Ритца " 396
3. Преобразование внешних областей 398
§4. Ортогональные полиномы и конформное
преобразование 400
1. Полиномы, ортогональные на контуре 400
2. Приложение к конформному преобразованию 402
3. Полиномы, ортогональные в области 407
4. Приложение к конформному преобразованию 408
§5. Разложение в ряд по степеням малого параметра
в случае преобразования области на круг 409
1. Постановка задачи. Приведение к системе уравнений .... 409
2. Метод последовательных приближений 420
3. Конформное преобразование внешних областей 425
§6. Разложение в ряд по степеням малого параметра
в случае преобразования круга на область,... 433
1. Нормальное представление контура 433
2. Метод бесконечных систем 435
3. Примеры ¦ 439
4. Метод последовательных приближений для областей, близких
к кругу, контур которых задан неявным уравнением 444
5. Метод последовательных приближений для областей,
близких к таким, конформное преобразование круга на которые
известно 448
6. Метод последовательных приближений для кривых,
заданных в параметрической форме 452
7. Доказательство сходимости процесса последовательных
приближений . .* 455
8. Замечание об отображении круга на внешность кривой.
Примеры . „ 466
§ 7. Метод П. В. Мелентьева приближенного
конформного преобразования 472
1. Алгорифм последовательных приближений 472
2. Выбор первого приближения. Схемы вычислений 481
3. Об отображении внешних областей. 493
4. Случай симметричных контуров. Примеры 495

ОГЛАВЛЕНИЕ 7
§8. Функция Грина и конформное преобразование
областей ¦ 500
1. Введение. Функция Грина для задачи Дирихле 500
2. Приближенное построение функции Грина 507
3. Функция Грина для задачи Неймана 512
4. Функция Грина для смешанной задачи 518
§9. Приложение интегральных уравнений к к о н ф о р м-
н о м у преобразованию 523
1. Интегральное уравнение для преобразования внутренних
областей 523
2. Замечания о решении интегрального уравнения и
приближенном построении отображающей функции 527
3. Интегральное уравнение для преобразования внешних
областей 529
4. Преобразование области на плоскость с параллельными
разрезами , 533
5. Преобразование многосвязной области на плоскость с
разрезами, лежащими на лучах, исходящих из одной точки 539
§10. Отображение многоугольника на
полуплоскость 542
1. Вывод формулы Кристоффеля—Шварца ¦ 542
2. Значение параметров, входящих в интеграл Кристоффеля —
Шварца 545
3. О методе Ньютона — Фурье для системы уравнений и о
вычислении несобственных интегралов 547
4. Примеры 550
5. Отображение полуплоскости на произвольный
четырехугольник 557
Глава VI. Принципы приложения конформного преобразования
к решению основных задач для канонических областей
§ 1. Введение , ¦ . . 566
1. О преобразовании оператора Лапласа 566
2. О преобразовании бигармонического оператора. Формула
Гурса. Связь бигармонических функций с плоской задачей теории
упругости 567
3. Преобразование предельных условий 576
4. Интегралы типа Коши; их вычисление 579
§2. Задача Дирихле 584
1. Интеграл Пуассона 584
2. Интеграл Пуассона для внешности круга 588
3. Задача Дирихле для полуплоскости 590
4. Задача Дирихле для кольца 590
5. Формула Шварца. Нахождение сопряженной гармонической
функции 592
6. Решение уравнения Пуассона в круге 595
§ 3. Задача Неймана 598
1. Формула Дини 598
2. Внешность окружности . . 600

8 ОГЛАВЛЕНИЕ
3. Задача Неймана для полуплоскости 601
4. Задача Неймана для кольца 603
§4. Общая предельная задача для гармонических
функций 604
1. Постановка задачи. Случай постоянных коэффициентов в
предельно\! условии 604
2. Задача Гильберта 610
3. Общая предельная задача 613
§5. Основные задачи для бигармонических функций 618
1. Первая основная задача. Приведение к системе уравнений 618
2. Вторая основная задача. Приведение к системе уравнений 628
3. Первая основная задача. Приведение к функциональным
уравнениям 629
4. Вторая основная задача. Приведение к функциональным
уравнениям 636
Глава VII. Метод Шварца
§ L Метод III варца решения задачи Дирихле для ел у-
чаясуммы двух областей 639
1. Метод Шварца в общем случае. Исследование сходимости 639
2. Случай линейного уравнения эллиптического типа. Оценка
быстроты сходимости процесса Шварца для уравнения Лапласа 649
3. Приведение метода Шварца к решению системы
интегральных уравнений последовательными приближениями • 659
§ 2. Метод Шварц а—И еймана решения задачи Дирихле
для случая пересечения двух областей 664
1. Описание метода и исследование сходимости
последовательных приближений 664
2. Пример исследования сходимости метола Шварца—Неймана.
Оценка быстроты сходимости в случае уравнения Лапласа 667
3. Приведение метода Шварца — Неймана к решению системы
интегральных уравнений последовательными приближениями .... 681
§3. Пример приложения метода Шварца 685
Цитированная литература 698

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
Исследование большого круга естественно-научных и
инженерных проблем приводит к математическим задачам, относящимся к
решению дифференциальных уравнений и граничных проблем для
них, интегральных и других функциональных уравнений.
Классические курсы, посвященные этим дисциплинам, содержат
в основном теоретическое исследование соответствующих проблем,
а также точные аналитические их решения для некоторых
простейших случаев. В практике же постоянно встречаются задачи, для
которых точное решение не может быть найдено или оно мало
эффективно.
Поэтому приближенные методы решения задач математической
физики, в особенности метод сеток и вариационные методы, развитые
в начале этого столетия, были встречены техниками с большим
интересом и сразу получили широкое распространение. Основные
достоинства приближенных методов состояли в том, что они являлись
универсальными и эффективными, так как позволяли находить
приближенное решение для широкого класса случаев и при применении
требовали простых и вполне осуществимых вычислений.
За последние четыре десятилетия приближенные методЕл
получили особенно большое развитие в Советском Союзе. Одновременно
с разработкой уже известных методов советскими учеными был
предложен ряд новых. В этом общем труде, вызванном главным
образом потребностями естествознания и техники, приняли участие,
наряду с математиками, многие представители механики и других
прикладных наук.
Особенно острая потребность в развитии численных методов
появилась в связи с необходимостью решения новых сложных задач,
возникших с развитием современной физики и новейших областей
техники. Появление электронных счетных машин, благодаря которым
эффективность численных алгорифмов возросла во много раз, также
вызвало широкий поток новых исследований, посвященных
разработке численных методов и их новым трактовкам.
Данная книга, впервые вышедшая в 1936 году под заглавием
„Методы приближенного решения уравнений в частных производных",
была, по-видимому, первым руководством, посвященным этому

10 ПРЕДИСЛОВИЕ
предмету. Впоследствии она неоднократно переиздавалась уже под
названием „Приближенные методы высшего анализа", более соответствующим
ее содержанию, поскольку наряду с уравнениями в частных
производных значительное место в книге уделено интегральным
уравнениям и приближенному конформному отображению. При
переизданиях была добавлена новая глава, а некоторые главы были
подвергнуты коренной переработке. Однако книга далеко не охватывает
всего круга проблем данной области, в ней рассматриваются только
задачи с граничными условиями (для уравнений эллиптического типа),
притом по преимуществу линейные.
В настоящее издание внесены лишь небольшие изменения по
сравнению с предыдущим. Помимо отдельных исправлений и добавлений
существенно дополнена библиография по вопросам, затронутым в
тексте. Более полный обзор советской литературы по
приближенным методам можно найти в книге „Математика в СССР за сорок
лет". Главы I, II и IV написаны Л. В. Канторовичем, главы III, V,
VI и VII •— В. И. Крыловым. Все главы независимы одна от другой,
за исключением шестой главы, существенно опирающейся на пятую.
Л. В. Канторович
В. И. Крылов

ГЛАВА I
МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ПРЕДСТАВЛЕНИИ РЕШЕНИЯ
В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА
§ 1. Метод Фурье
Одним из основных и наиболее • распространенных методов
решения задач математической физики является метод Фурье. Решение,
найденное по этому методу, получается обычно в форме
бесконечного ряда, во многих случаях быстро сходящегося, поэтому метод
Фурье часто может быть использован и для нахождения
необходимых численных результатов; отрезок же этого ряда дает
приближенное решение задачи. Мы предполагаем, что читатель знаком с
простейшими применениями метода Фурье к решению задач математической
физики, например с решением задачи о струне по методу Фурье.х)
Поэтому мы не будем излагать здесь метод Фурье со всей полнотой
и подробностью, а рассмотрим только его применение к
нескольким задачам, относящимся к уравнениям эллиптического типа и
главным образом к уравнению Лапласа.
1. Задача Дирихле для прямоугольника. Простейшим и
основным уравнением в частных производных эллиптического типа является
уравнение Лапласа:
д2и л /1Ч
Функции непрерывные с частными производными первого и второго
порядка, являющиеся решениями этого уравнения, называются
гармоническими.
Первая основная задача, относящаяся к уравнению Лапласа, есть
задача Дирихле. Она формулируется так: найти функцию и,
гармоническую в данной области D и принимающую на замкну»
том контуре L, ограничивающем область D, заданные значения*
1) См. В. И. Смирнов [1], т. II, Р. Курант и Д. Ги л ьб ерт |П,
С Л. ^Соболев [1], И. Г. Петровский [1], В. И. Левин и
[],
Ю. И. Г р о с б е р г [1].

12
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА
[гл. т
ь/2
0
"/г
D
А
г
а
X
о
Если уравнения контура L даны в параметрическом виде: х — х (s)
y=y(s)} то это условие можно, например, записать так:
u[x(s),y(s)}=f(s),
где f(s) — заданная функция. Короче будем записывать:
ц-zzzij {S) на L»
Сделаем одно замечание, которое будет нам полезно. Если
функция f(s) есть сумма f(s)=fx (s) +/2E), то достаточно, очевидно,
найти решения щ и и2, обращающиеся на L соответственно в /j (s)
и /2E), так как и = щ-]-щ даст
решение задачи, обращающееся на
L в f(s).
Перейдем теперь к решению
задачи Дирихле для случая, когда
область ?)есть прямоугольник ABCD
со сторонами а и Ь. Оси координат
выберем, как указано на рис. 1, т. е.
за ось абсцисс возьмем
горизонтальную среднюю линию, а за ось
ординат — левую сторону.
Общая задача Дирихле будет
состоять здесь в нахождении
гармонической функции, обращающейся в заданные произвольные функции на
сторонах прямоугольника. Следовательно, граничные условия можно
записать так:
Ь
при ^ = ^-,
Рис. 1.
11 =
при J/ = — -2
при # = 0,
ПРИ х = а.
B)
Решение этой задачи можно получить как сумму щ -f- щ
решений двух более простых задач:
iW при у=ъ* I
у— ^ ,
О при jc=O и х = а,
при х = а,
при у = ±~(у t
C)
C')

§ 1] 1. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНИКА 13
Эти задачи являются более простыми, так как в них мы имеем
на двух сторонах нулевые условия. Обе задачи несущественно
разнятся между собой и решение одной из них может быть легко
сведено к решению другой, поэтому мы рассмотрим подробно лишь
задачу нахождения функции iit.
Задачу решаем методом Фурье. Ищем прежде всего элементарные
основные решения, именно функции вида:
« = *(*)• КО), D)
которые удовлетворяли бы уравнению Лапласа A) и лишь
последнему из условий C).
Подставляя D) в уравнение Лапласа, найдем:
-ГК+К"* = 0 или ^ = _^ = А, E)
где k — некоторая постоянная, ибо оба выражения X"jX и Y"f У
должны быть постоянными, так как только в этом случае функция
одного х может тождественно равняться функции одного у. Для
нахождения функции X из E) получим уравнение второго порядка:
X" — kX=0, F)
а чтобы функция и, определенная равенством D), удовлетворяла по-
следнему из условий C), функция Х(х) должна удовлетворять
условиям:
0. G)
Мы должны найти решение уравнения F), удовлетворяющее
условию G). Если положить k = — X2,*) то общее решение уравнения F)
будет:
Х(х) = Ci cos he -j- C2 sin kx.
Условия G) дают
Cx = 0; Ci cos Xa -f- C2 sin "ka = 0,
следовательно, C1 = 0 непременно, а С2 можно взять неравным нулю
только при условии
shUa = 0, (8)
т. е. если \а — число, кратное тт:
1а = пп (л=1, 2, 3, . . , );
х) Можно было бы рассмотреть и положительные значения kt но они не
дали бы никаких отличных от нуля решений. Действительно, положив к = Х2,
нашли бы Х(х) = d chX.v -(- С2 shXx, начальные условия G) заставили бы
здесь принять Ci = C2 = 0l т. е, мы не получили бы никакою нетривиального
решения.

14
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА
[гл. т
п неположительные здесь отсутствуют, так как новых решений они
не дают. Итак, при Х = — мы получаем решение:
Х(х) = С sin — (п = 1, % ...). (9)
Подставляя /г = — >.2 = — (у —) в E), получим для Y уравнение
Y"-',jJy = O, (9')
решая которое найдем
Y=C{e
С%е * v = С, ch ~
2 sh ~y,
A0)
где Cj и С2 — произвольные постоянные.
Окончательно основное решение D) ввиду (9) и A0) можем
записать так:
г/ =; Д ch -—у 4- Б sh — V sin —
(И)
где А и В — опять произвольные постоянные.
Теперь решение нашей задачи — функцию их можем искать в виде
суммы основных решений:
со
A2)
у
sin —х.
а
Эта функция удовлетворяет уравнению Лапласа A) и последнему
из условий C), остается подобрать постоянные Ап и Вп так, чтобы
удовлетворить первым двум из условий C). На основании этих
условий пишем следующие равенства:
[А п ch -о - - - Вп sh -тг— sin — х = ср, (лг),
i & = 7 ^4nCh~7s—
i J==— LlY n 2a
" sh ~W |sm Т х = 'f
A3)
С другой стороны, разлагая <pi (•*) и
в промежутке @, а), имеем:
в ряды по sin —х
1
где
а
К = ! f
о
™
A5)

§ 1] 1. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНИКА
Сравнивая коэффициенты рядов A3) и A4), получаем:
Если из этих равенств определить Лп и Вп п подставить в A2),
то для и{ получаем окончательно:
ch «^ + ?jLZ!^sh ^ sin -"^. A7)
la
Этот ряд будет наверное сходящимся во всякой точке внутри
прямоугольника, ибо 3^ и $f, как коэффициенты Фурье
интегрируемой функции, стремятся к нулю, а отношения
ппу , ппу
1 —^ sh ~^-
а а
ch -tz— sh -^—
2a 2a
представляют величины порядка e 2 ^ 2' , и так как |_У|<^у, то
-(\у\-—\
ряд для «1 сходится как прогрессия со знаменателем еа \ ' 2' .
Следует отметить, что для быстроты сходимости ряда A7),
особенно в точках, близких к контуру (когда \у\ близок к Ь/2), имеет
существенное значение быстрота убывания коэффициентов ^ и р^
Это обстоятельство дает путь для улучшения сходимости ряда A7)
[см. § 51.
Ввиду быстрой сходимости ряда A7) будут сходиться ряды для
производных щ и будет допустимо почленное дифференцирование,
а потому, так как каждое слагаемое есть решение уравнения, ясно,
что функция щ (ху у) удовлетворяет уравнению Лапласа A). Далее,
если cpi 0*0 и ?«(•*) непрерывны, то можно показать, что предельные
значения для ii\ (х, у) при приближении к контуру будут те, которые
предписаны условиями C). Итак, найденная функция щ удовлетворяет
всем поставленным условиям.
Для нахождения функции щ нужно решить уравнение Лапласа
при условиях C'). Но, вводя преобразование координат при помощи
формул
приведем условия C^ к виду C), только при этом обменяются ролями
числа а и Ь и вместо функций cpt и срз войдут $х и ф.2. Поэтому,

16 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ. I
воспользовавшись формулой A7), а затем вернувшись к переменным
х и у, решение для функции на получаем в следующем виде;
где
Полное решение поставленной задачи — функцию и — получим,
складывая решение A7) и A8). Следует заметить, что выражения
для функций их и щ упрощаются, если cpi (x) и ср2 (х) [соответственно t^ (у)
и фзО7)] равны между собой. Например, если у\(х) — ^2(х) = у(хO то
а
1 j{X) sin -у ах
и выражение для щ принимает вид
п=] *"" '2а
Таким же образом может быть решена для случая прямоугольника
и вторая основная граничная задача — задача Неймана.
Задача Неймана вообще ставится так: найти функцию и,
гармоническую в области D, у которой нормальная производная j-,
т. е. производная по направлению нормали к контуру, имеет
заданные значения на контуре L,
Pn=Ms) на L B1)
Задача Неймана имеет некоторые особенности по сравнению с
задачей Дирихле. Во-первых, она имеет ие единственное решение, ибо

§ 1] 1. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНИКА 17
очевидно, что если мы к некоторому решению задачи прибавим любую
постоянную, то снова получим решение. Во-вторых, функция fx (s)
не может быть взята произвольно. Именно, по известному свойству
гармонической функции, интеграл от ее нормальной производной по
замкнутому контуру должен равняться нулю:1)
\ fnds =
I L
Перейдем теперь к случаю прямоугольника. Обозначения и систему
координат сохраняем те же, что и в задаче Дирихле. Так же как и
там, можем разбить задачу на две, причем в каждом случае на двух
сторонах условия нулевые.
Для функции щ будем иметь условия
ул(х) при У=^
при у = —
^• = 0 при х = 0, х = а.
Ь <23>
Задачу решаем методом Фурье. Отыскивая решение в форме и = ХУ,
имеем здесь для Х(х) вместо G) условие
На основании этого условия получим тем же путем, что Х = —^— и
^=cos™x (л = 0, 1, 2, ...). B5)
Тогда для и у найдем вместо A2) ряд
B6)
последнее слагаемое А§у-\-Въ есть решение уравнения (9'),
отвечающее случаю /2 = 0.
*) См. В. И. Смирнов [1], т. II, стр. 574. Правда, там приведено
доказательство этого равенства для контура, лежащего внутри области, но
переходом к пределу отсюда получается "то же равенство для граничного
контура.

18
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ. I
Постоянные Ап и Вп можем определить, пользуясь первыми двумя
из условий B3). Именно на основании этих условий и ряда B6) пишем
оо
'«! VI ПП Г я , ПТ.Ь , г, - ПТ.ЬЛ ПП , л
¦-~ =7 — A«sh -~ Ь В„ ch -5— cos —х-т-Аъ=-У\(х)>
}у у===±_ ?d a \ n la l n 2a J а ! и ли 7>
оо
•^ о »—1
Ь\ п , л
-аг |cos цх+А*=
B7)
Обозначим через а^1' и a;f коэффициенты Фурье функций /j (x)
и XaW ПРИ разложении их в ряд по cos — дг:
а
C0S
= 0, 1, 2, ...)
Если сравнить теперь коэффициенты при cos --v™ в обеих частях
равенств B7), то найдем систему для определения Лп и Вп:
пт.Ь ¦ R . «™6 a ,s,
(«=1,2,...) B7')
Для п = 0 получим непосредственно из B7) равенства:
Последним равенствам можно удовлетворить только, если ao1) = oto!).
При этом же условии будет Л0 = ^- = а-|" = у. Определяя же Лл
и ^л из систем B7') и подставляя полученные значения в B6), найдем
окончательно:
й1 = 4.У+Яо-Ь
00
7
2птг шЬ
а 2а
^i. B8)
В процессе решения сами собой выявились отмеченные выше
особенности задачи Неймана: во-первых, вошла в решение произволь-

§ 1] 1. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНИКА 19
ная постоянная ?0; во-вторых, мы получили дополнительное условие
ао1} — а]J) = 0. Это условие означает не что иное, как условие B2)
для рассматриваемой задачи. Действительно,
I.DC ifl J I
так как по остальным сторонам последний интеграл равен нулю.
Итак условие aj,1' — a|f; = 0 равносильно B2).
Задача об определении второй части иг может быть поставлена и
решена аналогичным образом.
Отметим еще, что методом Фурье можно найти решение задачи
и для того случая, когда на одних сторонах дана сама неизвестная
функция, а на других — ее нормальная производная, а также когда
задана линейная комбинация функции и ее нормальной производной.
Возможность решения основных граничных задач для уравнения
Лапласа в случае прямоугольника позволяет но многих случаях
получить решение тех же задач и для уравнения II у а с с о if а
. д2и , д2а
Действительно, пусть для определенности речь идет о задаче
Дирихле: H = cp(s) на L. Предположим, что нам удалось найти какое-то
частное решение щ{х, у) уравнения Пуассона Д»о = /. Введем тогда
новую неизвестную функцию
щ(х, у) = и(х% y) — ih(x9 у).
Функция П\(х, _у) должна уже удовлетворить уравнению Лапласа, ибо
Аг/j = Дгг — Дг?0 =/—/= 0.
Граничные условия для их будут, правда, другие, именно если
обозначить /0(а) ту известную функцию, в которую обращается Uq(x} у) на
контуре I, то для щ получим условие:
«!=/(«)—/о (s)=/i(s) на L
Таким образом всегда решение граничной задачи для уравнения
Пуассона приводится к нахождению частного его решения и к
решению граничной задачи для уравнения Лапласа.
Что касается частного решения wo(jc, y\ то его часто бывает
легко найти, отыскивая в форме, отвечающей правой части и
содержащей неопределенные коэффициенты. Например, если правая часть
f(x, у) есть полином я-й степени, то решение нужно искать в виде
полинома {п-\- 2)-й степени с неопределенными коэффициентами. При
этом в членах каждой степени к<^п-\-2 двум из коэффициентов

20 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [гл. Г
можно дать произвольные значения, остальные определятся тогда
единственным образом. Эта произвольность может быть использована
для придания частному решению возможно более простого вида.
Рассмотрим теперь один пример решения задачи Дирихле, именно
в случае уравнения Пуассона.
Пример. Задача о кручении прямоугольной призмы.
По теории Сен-Венана задача о кручении любого призматического
тела, сечение которого—область Д ограниченная контуром L, —
приводится к следующей граничной задаче: найти решение уравнения
Пуассона
Аи =—2, C0)
обращающееся в нуль на контуре L:
н = 0 на L C1)
При этом основные величины, требующиеся для расчета, выражаются
через функцию и (ее называют функцией напряжения) следующим
образом;1)
компоненты касательного напряжения
т„ = О»|; ^ = -0^, C2)
а момент при кручении
C С udxdy. C3)
Здесь Ь — угол поворота, отнесенный к единице длины, a G — модуль
сдвига.
Дадим теперь решение задачи о кручении для прямоугольника со
сторонами а и Ь. Мы должны найти решение уравнения C0),
обращающееся в нуль на контуре. Чтобы свести дело к решению
уравнения Лапласа, ищем частное решение и0 уравнения C0).
Разыскиваем его в виде щ = Ах*-\- By*. Подставляя щ в
упомянутое уравнение, получаем:
= — 2.
Проще всего принять А = —1 и ? = 0. Кроме того, к полученному
решению можно добавить произвольную линейную функцию. Удобнее
всего принять
г/0 = — х* 4- ах>
х) См. П. Ф. П а и к о в и ч [1], Л. С. Л ей бе нзо н [2], М. М. Филон ен-
ко-Бородич [1], Н. В. Геккелер [1], стр. 17. Физическое значение
функции а таково: если перемещение в направлении оси Z есть до = $?(*, у) и
если | — функция, сопряженная с % т. е. такая, что ^- = V-; з1 = — г- ,
1
то и = ф

§ п
1. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНИКА
21
так как тогда и0 обращается в 0 на сторонах х = 0 и х = а. Если
ввести теперь неизвестную функцию щ = и — гг0, то она
удовлетворяет уравнению &щ = 0 и начальные условия для нее
»1 = — {ах — х2) при у = ±~у
и = 0 при х —0; х = а.
Для щ мы можем воспользоваться решением B0), причем в
данном случае у(х) — —(ах — х2), а потому
(а-ад со, ?«U =
В = V (ах — х2) sin -— dx
^ cos
= т-5 COS—- = гт I
COS
Таким образом, при п четном ^ = 0, при п нечетном ?„ = гт
Подставляя найденное значение §п в B0), получим:
8а2 сп —^-
sin
я-1, 3,5 ...K8/l"ch ~^
Для и получим окончательно решение
и = х(а — х) —
8а2
а ъх ,
- s'" т +
chu
3*ch
2a
C4)
С помощью этого решения могут быть найдены касательные
напряжения z и момент М. Так, для момента имеем
8fls VI
— sh-
a nnx
cos
2а
l, 3, ...

22 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ. I
Ряды для хгх и хгу получаются дифференцированием ряда C4).
Приведем некоторые численные данные.1) Для момента М
получаем такие значения:
М = О,140809а4 при j = l,
при j = l,5,
при j = l2.
Далее приведем значения и в некоторых точках для случая а = 2
нA, 0) = 0,91098, ttfl, ОW0,77694,
и(\, ~) = 0,66374, «(I, I) = 0,58982.
Заметим, что решенная сейчас математическая задача может быть
и иначе использована в теории упругости. Именно прогиб и
равномерно загруженной мембраны удовлетворяет уравнению
где С — постоянная. Если мембрана оперта по контуру
прямоугольника, то должно быть н = 0 на контуре. Ясно поэтому, что решение
задач» о равномерно загруженной мембране может быть легко
получено из C4). В частности, приведенные выше значения и дают нам
(с точностью до постоянного множителя) величину прогиба мембраны
со сторонами 1 и 2 в различных точках.
2. Задачи Дирихле и Неймана для кольца в случае
уравнения Лапласа. Пусть требуется решить задачу Дирихле для
уравнения Лапласа
в случае области, заключенной между двумя концентрическими
окружностями радиусов % и % с центром в начале.
Вводя полярные координаты, можем упомянутое уравнение
переписать в виде *)
Областью в полярных координатах служит бесконечный
прямоугольник (— оо<^0<^-J-oo; /?j^r^/?2), граничными условиями
1) См. также Н.В. Геккелер [1], стр.30, П. Ф, Панкович [1], стр. 231.
*) См. В. И. Смирнов 11], т. 11, стр.342.

§ 1] 2. ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА ДЛЯ КОЛЬЦА 23
являются периодичность искомого решения как функции 0 и
заданные значения на окружностях:
а (г, 6+ 2*) = а (г, в), 1
u(Rb в)=/,(в); u(Rb 0)=Л(в). J ( )
Для решения задачи применим метод Фурье. Подставляя
и= Тф) R(r)y получим после преобразований
При этом постоянную в правой части C7) нужно выбрать
отрицательной, в противном случае невозможно будет удовлетворить
первому из условий C6). Первое из уравнений C7) дает
Т@) = А cos № + В sin M. C8)
Для того чтобы было удовлетворено первое из условий C6),
нужно, чтобы k было целым числом: & = 0, 1, 2,,,.
Второе уравнение принимает вид:
r*R" (г) + г К (г) — А*/? (г) = 0.
При k^O это уравнение — типа Эйлера, и основные решения его:
rk и гЛ При ^ = 0 убеждаемся непосредственно, что его решения
суть 1 и Inr.
Принимая во внимание это и C8), можем написать решение и
в виде ряда:
со
и (г, 0) = 2 КА** + fl*r*)cos *Q +
H- (C,rfe + Dkr~k) sin M] + До In r + fi0. C9)
Для определения постоянных разлагаем функции /i@) и /2@) в
тригонометрические ряды:
со
/2(8) = -^-+ y^'cosuG-j-P/f'sin
D0)
Пользуясь последними из условий C6), приранняп коэффициенты
при соответственных синусах и косинусах в C9) и D0), получим

24 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [гл. Т
для определения постоянных А, Д С, D следующие уравнения;
Находя из этих уравнений значения постоянных и подставляя
в C9), получим окончательно
/?Л Ш/Г 9. Пп/?«—In/?Л "Г
' 2 (In /?2 — In
у
2 L
W^. ^^)r sin
Легко проверить непосредственно, что ряд D2) наверное сходится
при R\<Cr<^R%t так как величины ак и ^ стремятся к нулю. При
этом, если функции /iF) и /2@) удовлетворяют условию Дирихле,
то сходятся ряды D0), а потому ряд D2) сходится и при г=/?1
и г = /?а.
Рассмотрим два важнейших предельных случая, когда кольцо
обращается в круг и в внешность круга. Для первого случая, беря
в D2)
Rl = 0; R% = R; f\ F) = f; /2 F) = /@); ajf' = a,; pg» = pAl
найдем решение задачи Дирихле для круга:
„(г, 6)= -5-+
Т2(^Г П*9)- D3)
Во втором случае, беря
Ri = R; R*-~co; ЛF) =/F); /2@) = f; a'ftll = afc; р»• = р^,
получим решение задачи Дирихле для внешности круга радиуса /?:
*~" DVfe in AS). D4)

§ 1]
2. ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА ДЛЯ КОЛЬЦА
25
Полученное решение' и (г, 6) при г—+оо имеет пределом число Ц-.
Найденные здесь решения D3) и D4) представлены в форме
бесконечных рядов, однако их можно преобразовать в определенные
интегралы. Проведя это, например, для решения D3), получим:
и (г, 0) = -2- + 2 (l?)*(a* C0S Ш + ?* Si" Щ =
2
2я со 2ъ
= i \ /(X) dX + ^ (^ '" [(Т $ /M cos /<Х dX ) cos
2u
+ f 1 f /(X) sin AX d\j sin A:9J =
d
2n oo
= JJ. f Г I+2 V f4-WcosAXcosAe+sinAXsinAe)l/(X)eft. D5)
2i:JoL SV/?/ '
Но стоящий в скобках бесконечный ряд может быть
просуммирован. Воспользовавшись формулами Эйлера, найдем:
~)* cos k (X - 6) =
2Re
Л
1 Cr
" /?a — 2r/? cos @ — X) -\~ r"
подставляя полученное выражение в D5), найдем решение
внутренней задачи Дирихле для круга в форме так называемого
интеграла Пуассона:
2
2п
D6)
Для внешней задачи аналогично находим:
2ЯЕ
J) Здесь и в дальнейшем знак Re означает, чго должна быть взята
действительная часть следующего за ним выражения.
2) Более строгое математически изложение решения задачи Дирихле для
прямоугольника и круга можно найти, например, в книге Л. В. К а н т о р о-
в и ч а [12].

26 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ R ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ. I
Такого же рода суммирование и преобразование решения D2) в
определенный интеграл для случая кольца не может быть выполнено
в элементарных функциях и выполнимо только при привлечении
специальных— эллиптических функций.
Так же, как и задача Дирихле, может быть решена задача
Неймана для кольца, внутренности и внешности круга. В случае кольца
граничные условия будут состоять в задании значений нормальной
производной:
^^л: =/l(fl); iwij =/(9) D7)
Тогда, если искать решение задачи в форме C9) и обозначить,
как и прежде, через а*', ру\ а//}, ^ коэффициенты Фурье функций
А (б) и Л (°)» найдем:
+2
при этом решение задачи возможно только при выполнении условия
*irRi=*?R* D9)
и тогда решение задачи не единственно, а содержит в своем составе
произвольную постоянную В{). Условие D9) говорит о том, что
интегралы от нормальных производных но обеим окружностям должны
быть равны между собой, что опять эквивалентно условию B2).
Найденное решение D8) принимает более простой вид, если кольцо
превращается в круг или внешность круга, и тогда подобно D6)
и D6') оно может быть представлено в виде определенного
интеграла. *)
3. Пример бигармонической проблемы. Бигармоническими
проблемами вообще называются задачи отыскания решения уравнения
а а д*и . Л дАи . д^а Л
ДА?/ = -- -|_ 2 -з-тпг-ь + л а = 0»
^4 ' дх2ду2 ' dy4 '
удовлетворяющего некоторым граничным условиям на контуре области
относительно функции и и ее частных производных первых
!) Многочисленные примеры приложения метода Фурье и более общего
метода, разработанного автором, можно найти в обширной монографии
Г. А. Г р и и б е р г а [1].

§ 11
3. ПРИМЕР ВИГЛРМОНИЧПСКОЙ ПРОБЛЕМЫ
27
трех порядков, Эги условия определяются смыслом самой задачи.
В ряде случаев для решения бигармонических проблем оказывается
применимым метод Фурье. В качестве примера подобной задачи
рассмотрим ту, к которой приводит нахождение прогиба равномерно
загруженной прямоугольной пластинки, опертой по четырем сторонам.
Прогиб этой пластинки и = и(х, у) представляет, как известно,
решение дифференциального уравнения*)
где р — единичная нагрузка, а N — жесткость пластинки. Граничными
условиями служат
ду- |
2) и = 0,
а а
при х= —-я-; х=1г.
E2)
Для того чтобы свести задачу к решению однородного уравнения,
найдем частное решение. За такое частное решение удобнее всего
взять многочлен 4-й степени от у, удовлетворяющий уравнению E1)
и первым из условий E2). Этот многочлен, очевидно, будет
2) E3)
Если обозначить теперь через щ разность и — ип = ии то
функция щ (Ху у) удовлетворяет однородному бигармоническому
уравнению ДД??1 = 0 и граничным условиям
1) и,=0,
dr2
Функцию 1
при у = 0; у = 1
pbx I у ^ у3 , у
:2AN\b~ bz~~b'
можем найти с помощью метода Фурье.
\ <Ъ
E4)
1) И. В. Г е к к е л е р [1], стр, 127, С. П. Тимошенко [2], Б. Г. Г а-
л ё р к и н [1].
2) Физическое значение этого решения таково: н0 есть прогиб свободно
опертой балки длины b под равномерной нагрузкой интенсивности ^.

28 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА (гл. I
Фундаментальные решения однородного уравнения E0) ищем
в виде ХУ. Подставляя в уравнение E0), получим
X™ У + 2Х" У" -f XKlv = 0. E5)
Для того чтобы получить уравнение только относительно
функции X, достаточно в качестве У взягь функцию, удовлетворяющую
уравнению
Y" = cY. E6)
Эта функция У должна, кроме того, удовлетворять первой группе
условий E4). Уже первые два из этих условий: Y=Q при у = 0
и у = Ь вместе с уравнением (об) определяют вполне, как в
предыдущих случаях, искомые фундаментальные функции У:
K№=sin~^ (л=1, 2,...)- E7)
Но эти функции, как нетрудно проверить, удовлетворяют также
и двум другим условиям той же группы, именно:
-—=0 при v = 0 и у = &.
Это счастливое обстоятельство имеет место лишь при данных
специальных граничных условиях, а не имеет общего характера.
Благодаря этому данный метод применим не ко всякой бигармонической
проблеме, а лишь к некоторым, подобным рассматриваемой.
Продолжая исследование, подставляем найденное Уп в (до) и для
нахождения Хп получаем уравнение
VIV О. Y"_L -_L У О (ЪЯ\
Л -? -т^- Л -j ^ Л U, \у°)
откуда
"" " у TlTtX I H-TZX I i tlTZX I f tV%X . ttTCX few.
h on ^. f Cfi „. /7 c\\ I iUi
и искомое решение щ получает вид:
»sinf?- F0)
Д.'гя определения постоянных аф Ьп> сп и dn мы должны
воспользоваться второй группой граничных условий E4). Коэффициенты сп
и dn следует принять равными нулю, так как решение, очевидно,
должно быть четной функцией х. Для определения коэффициентов

§ 2] I. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 29
ап и ЬпУ разлагая правую часть предпоследнего из равенств E4)
в ряд Фурье, будем иметь:
13
Применяя теперь к выражению F0) условия E4), получим для
определения ап и Ьп (л=1, 3, б,...) уравнения
-2у + &я ~6^ 12 ch -2J- + _ sh -gj J = О,
а„ -5Г- Л -2у + &я ~6^ 12 ch -2J- + _ sh -gj J
ап и Ьп с четным номером оказываются равными нулю.
Решая написанные уравнения относительно ап н Ьп и подставляя
найденные их значения в E9) и F0), получим окончательно после
всех преобразований:
F2)
где а = 5^р Этот ряд настолько хорошо сходится, что практически
обычно можно ограничиться первым членом
1 —
л l тса t.п^ , гд , та тел: 7zx < пх - па
2 ch 26chT + 26sh SchT - Tsh T ch26
8inf .
§ 2. Бесконечные системы уравнений
1. Основные определения. Теория бесконечных систем уравнений
с бесчисленным множеством неизвестных начала разрабатываться в конце
прошлого века; в настоящее время имеется обширная литература,
посвященная ей*1) До сих пор, однако, эта теория не получила вполне
законченного вида.
Теория бесконечных систем линейных уравнений возникла и
развилась в связи с теми приложениями, которые она имеет в вопросах
х) Из книг, в которых изложена эта теория, укажем: В. Ф. Каган [1],
Рисе [1 ]. Литература по данному вопросу указана в статье X с л л и н г е р а
и Теплица [1] ив сборнике „Математика в СССР за сорок лет".

30 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ. 1
интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, в теории
интегральных уравнений и, в особенности, при решении граничных
задач математической физики. Мы рассмотрим в этом параграфе начала
теории бесконечных систем; применение бесконечных систем к
решению некоторых граничных задач дано в следующем параграфе.
Бесконечной системой линейных уравнений с бесконечным
множеством неизвестных называется система уравнений:
A)
где aifk — известные коэффициенты, Ьг — свободные члены и хг —
неизвестные. Система численных значений величин хь хь ... называется
решением системы A), если после подстановки этих значений в левую
часть равенств A) мы получим сходящиеся ряды и все эти равенства
будут удовлетворены.
При исследовании и решении бесконечных систем возникают
следующие задачи:
1) установить, имеет ли система решение, удовлетворяющее
данным условиям;
2) установить, единственно ли решение системы;
3) указать метод, с помощью которого это решение может быть
найдено; вообще говоря, для этого требуются бесконечные операции;
4) указать приемы нахождения с помощью конечного числа
действий приближенных значений для искомых, притом так, чтобы
существовала возможность оценить погрешность этих приближений.
Мы рассмотрим здесь решение этих вопросов для одного важного
класса систем, так называемых регулярных систем.
Отметим предварительно, что выделяя слагаемое xt в i-м
уравнении и перенося его в левую часть, можно придать данной системе
следующий вид:
оо
2
В дальнейшем будем рассматривать именно системы вида B).
2. Теоремы о сравнении систем.!) Прежде чем перейти к
изучению класса регулярных систем, мы докажем некоторые общие
теоремы о сравнении двух систем типа B).
По поводу теорем этого номера см. Пелле [1—3] и Л. В. Канто-
ч [11"
на стр. 37).
р о в н ч [11]. См. также литературу по теории регулярных систем (сноска
37).

§ 2] 2. ТЕОРЕМЫ О СРАВНЕНИИ СИСТЕМ 31
Систему уравнений
со
*I=2Q,A + s* C = i> 2,...) C)
будем называть мажорантной для системы B), если выполнены
следующие неравенства:
!"'*1?/" <|=!'2....;*=i.2.-*j {4)
Теорема I (о существовании решения). ?сля мажорантная
система C) имеет неотрицательное решение X'i^O, то данная
система B) имеет решение xf, которое может быть найдено
методом последовательных приближений и для которого справедливо
неравенство
fi E)
Доказательство. Предварительно применим метод
последовательных приближений к системе C), для этой цели положим X1?' = 0
и далее Л]я) определим по индукции;
со
Xf '»= 2C'."Xf + Bi 0=1, 2,.. .)¦
F)
Имеем, очевидно, Xiti = Bi^z0 = Xj'>. Если теперь уже
установлено, что Xf> ^ХР~]\ то на основании F) получаем:
Итак, для всех п и i имеем Х^+^
С другой стороны, Л?' = 0 ^ XI Пусть уже установлено, что
'ь тогда опять на основании F), пользуясь тем, что Х\
удовлетворяют системе C), заключаем, что
Вг <
причем сходимость ряда в правой части неравенства влечет за собой
сходимость в левой части.
Итак, на основании принципа индукции при всех г и п: Х\п)^Х[.
Таким образом, мы установили, что при фиксированном I последова-

32 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ. Т
тельность Xf] возрастает с увеличением п и остается ограниченной
числом Х\у поэтому существуют пределы:
lim *}«> =Xf^X'i (i = l,2,...). G)
Покажем, что полученные таким образом числа Xf дают решение
системы C). Действительно, перейдем в равенстве F) к пределу при
п—*со. В правой части допустим почленный переход к пределу, ибо
ряд справа сходится равномерно относительно п, так как он мажори-
руется рядом с постоянными чле^ми ^.С^ьХ'ь, Итак, осуществляя
этот переход, находим
со
^ ;, (8)
т. е. действительно Xf — решение системы C).
Применим тот же метод последовательных приближений к
системе B). Полагаем, следовательно, ^0) = 0 и далее определяем xf>
индуктивно, принимая
Установим теперь неравенство
| Л(» Н> _ xf | ^ Х[п^ — Xf\ A0)
Имеем, очевидно:
| хУ — хТ | = \bt | ^ Bi = Xf' — Х?\
Предположим, что уже усгановлено неравенство 1
^Xf* — Х\п-^\ тогда имеем:
Итак, неравенство A0) установлено. Пользуясь им, видим, что ряд
xf + (х? — хГ) + (xf — хТ) +... (И)
сходится, так как он мажорируется сходящимся рядом [ср. G)]
ХТ 4- W - Xf) -\ (ХГ - Xf) +... = lim Xf = Xf. A2)

§ 2] 2. ТЕОРЕМЫ О СРАВНЕНИИ СИСТЕМ 33
Обозначим сумму ряда (И) через х*
х1 A3)
Из A2) и A3) ясно, что \х*\^Х*. Наконец, переходя к пределу
в равенстве (9), находим
предельный переход почленно был допустим, так как ряд справа
со
мажорируется рядом ^СгкХ^ и поэтому сходится равномерно отно-
сительно п. Итак, х* — решения системы B), при этом | х% \ ^ Xf ^ Х\,
и теорема полностью доказана.
Замечание 1. Решения xf и Xf систем B) и C), найденные методом
последовательных приближений при нулевых начальных значениях, будем
называть главными решениями этих систем.
Замечание 2. Отметим, что если коэффициенты и свободные члены
системы неотрицательны: ciik^.0\ &г^0, то неотрицательно и главное
решение х^^О. В самом деле, как ясно по индукции из (9), все д^ЬЫ), а
поэтому и xf^O,
Перейдем теперь к вопросу об единственности решения
бесконечной системы. Следует сказать здесь, что этот вопрос зависит от
того, какие условия налагать на решение. Так, например, система
уравнений
х*==г~2х*+г G = l> 2, ...)
имеет не единственное решение: наряду с тривиальным решением
xt = Q, она имеет решение я^ = 2г'. Однако, ограниченное ее решение,
т, е. решение, удовлетворяющее условию ] xt \ <^ М (I = 1, 2,...),
единственно, это есть ДГ| = О. В теореме II мы указываем область, в
которой решение системы наверное единственно.
• Теорема II (об единственности решения). При условиях и
обозначениях предыдущей теоремы,единственное решение системы B),
удовлетворяющее неравенству \ xt \ ^ РХ* (Р ^ 1 — постоянное),
есть главное ее решение, К этому решению приходим непременно,
отправляясь от любых начальных значений xf*,
удовлетворяющих условиям \хТ | ^ РХ*.
Доказательство. Нам будет удобнее сначала доказать второе
из утверждений теоремы. Нужно показать, что, отправляясь от
2 Л. Канторович и В. Крылов

34 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ. I
значений х?\ удовлетворяющих неравенству [xTl^PXt^ определяя
по индукции х{*\ полагая
мы будем иметь \imxf) = xf* Докажем для этой цели неравенство
Р (Xf - Х\п)). A5)
Для я = 0 неравенство справедливо: | Зсг^0)—x't | = 'x'fl ^ PXf ==
= Р(Х*— X'f). Покажем теперь возможность перехода от я к я4-1.
На основании A4), (9), A5), (б) и (8) имеем
)
и неравенство A5) с заменой я на п~\~\ установлено.
Из него на основании G) заключаем, что (xf] — xf])—+O и, так
как xf) — xf [по A3)], то и &*)—*х*, и второе утверждение теоремы
установлено.
Пусть теперь 5сг есть некоторое решение системы B),
удовлетворяющее условию \%i\^PX\* Положим jc'f^Xi, тогда, очевидно, все
JcW, определенные последовательно равенством A4), будут равны xv
По уже доказанному мы должны иметь limjc(^ = xf, но так
от п фактически не зависят и равны хь, то Jc?- = jcf, и первая часть
теоремы также установлена.
Для нахождения решения бесконечной системы рассматриваемого
нами типа наряду с методом последовательных приближений может
быть дан и некоторый другой метод. Для обоснования этого метода
нам понадобится теорема о предельном переходе в бесконечных
системах, с которой мы и начнем.
Теорема III (о предельном переходе). Пусть дана
последовательность бесконечных систем типа B):
ОО
xt = 2 ci. *** + *! A=1,2....), A6)

§ 2] 2. ТЕОРЕМЫ О СРАВНЕНИИ СИСТЕМ 35
E=1, 2...), имеющих общую мажорантную систему C) с
неотрицательным решением. Пусть, далее,
nmcitk = citk) lim *, = *,. A7)
5
Тогда, если xf есть главное решение системы B) и х* — главное
решение системы A6), то
*f. A8)
Доказательство. Применяем к каждой из систем A6) метод
s
последовательных приближений, полагая х\0) = 0 и далее по индукции
k
Покажем, что
f^xf. B0)
Для п = 0 это очевидно; покажем возможность перехода от п
кп +1, Перейдем в равенстве A9) к пределу при $—>оо. Благодаря
тому, что ряд справа мажорируется сходящимся рядом с постоянными
членами 2 Q, *Л> в нем допустим предельный переход почленно, и
пользуясь A7), B0) и A9), находим:
и соотношение B0) установлено для любого я. Далее имеем [ср. A3)]:
при этом ряд справа мажорируется при всех s рядом A2) и потому
в нем допустим почленный переход к пределу при s — oo. Совершая
его, пользуясь B0) и A3), находим
lim xf=xf + е*?' — *И + (xf ^ xf
и соотношение A8), а с ним и теорема, доказаны.
Теорема IV (о методе редукции). Решение системы B),
имеющей мажорантную систему C) с неотрицательным решением,
может быть найдено по методу редукции, т* е. с помощью

36 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ. 1
предельного перехода в решении конечной сие те мы, получающейся из
данной бесконечной отбрасыванием всех уравнений и неизвестных,
начиная с некоторого. Точнее говоря, если образовать конечную
систему
B1)
Xjy= Сдг, iX\ —p С]\[% X% —j— . ., —j— С ft N-%N —j— &ДГ
it обозначить через лг^0=1, 2,..., AT) главное решение1) ее, то
N
Umxi = xtJ B2)
где х* обозначает главное решение системы B).
Доказательство. Рассмотрим, наряду с системой B1),
следующую бесконечную систему уравнений (ЛГ=1, 2,...)
i=l, 2, ..., АО,
B3)
Главным решением этой системы, очевидно, будет служить после-
N N N
довательность чисел хи х2, ... , xN, 0, 0,.,. , или, если принять
N
xt = 0 для Г>М можно сказать короче, что решением N-й системы B3)
будет последовательность xt (i=l,2,. ..)• Далее ясно, что
предельной для последовательности систем B3) служит система B). В самом
деле, лишь только N^i, коэффициент системы B3), стоящий на
(I, k)-u месте, cfk, равен cif k) а потому, действительно, коэффициенты
(и свободные члены) системы B3) стремятся к соответствующим
коэффициентам и свободным членам системы B). Наконец, совершенно
очевидно, что система C) служит общей мажорантной для систем B3).
Таким образом, к последовательности систем B3) применима теорема III,
Пользуясь ею, заключаем, что главное решение системы B3) сходится
к главному решению системы B):
N
Нт хг = xf,
что и требовалось доказать.
1) Как мы увидим ниже (п° 3, замечание 2 к теореме На), конечные
системы вида B1) имеют, как правило, единственное решение, а потому здесь
можно было бы говорить и просто о решении системы B1).

§ 2] 3. РЕГУЛЯРНЫЕ И ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫЕ СИСТЕМЫ 37
3. Регулярные и вполне регулярные системы. Регулярной
системой будем называть бесконечную систему типа B), для которой
сумма модулей коэффициентов в каждой строке меньше единицы:
0=1, 2,...). B4)
Если эта сумма не превосходит постоянного числа, меньшего
единицы;
00
(*=1, 2,...). B5)
то систему будем называть вполне регулярной. *)
Введем следующее обозначение:
Для регулярных систем числа р,*^>0, для вполне регулярных
9>0
Р^>
Теоремы предыдущего номера о сравнении систем сразу позволяют
получить ряд результатов относительно регулярных и вполне
регулярных систем.
Предположим, что дана регулярная система B), свободные члены
которой удовлетворяют условию
1*||<*Р* B7)
где К^> 0 — постоянная. Тогда система уравнений
i.*i**+*pi B8)
будет мажорантной для системы B); действительно, благодаря B7)
ясно, что условия D) соблюдены. Система B8) имеет очевидное
положительное решение Xi = K^>0, ибо на основании B6) ясно, что
Благодаря этому, к системе B) применима теорема I. Пользуясь
ею, получаем следующую теорему о регулярных системах.
1) По теории регулярных и вполне регулярных систем см. Б.М. К о я л о
вич [2], Р. О. Кузьмин [1,2]. См. также Диксон [1], Кох [1], Винт-
нер [i|.

38 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ. I
Теорема la. Регулярная система уравнений^ свободные члены
которой удовлетворяют условию B7), имеет ограниченное решение
B9)
которое может быть найдено методом последовательных
приближений.
Следствие. В случае вполне регулярной системы условие B7),
так как р*^б, можно заменить на условие \Ьг\^К$ = Р* Так как
число Р — произвольно, то видим, что решение вполне регулярной
системы существует при любых ограниченных в совокупности
свободных членах и если | bt | ^ Р, то
!*<1<т (т=*)-
Замечание L Условие B7) наверное может быть удовлетворено с помощью
подбора подходящего /С, если среди свободных членов системы все, кроме
конечного числа, равны нулю. Таким образом, в этом случае регулярная система
наверное имеет ограниченное решение.
Замечание 2. Мы провели доказательство существования решения для
регулярной системы при условии B7), пользуясь тем, что такие системы
представляют частный случай систем, допускающих мажорантную с
неотрицательным решением. Но в действительности этот частный случай почти
совпадает с общим. Именно, всякая система, допускающая мажорантную
с положительными свободными членами Bi > 0 и положительным решением X'h
может быть сведена к регулярной. Действительно, вводя в системе B) новые
неизвестные, полагая г,- = —^Ч можем переписать ее так:
C0)
Тогда, так как X't решение системы C),
1 < 1
2
^ х,
- Z' Ci>k' x7
т. е. система C0) регулярная, и условие B7) выполнено.
Переходим к вопросу об единственности решения для регулярных
систем. Теорема И позволяет установить здесь следующее предложение.
Теорема Па. Если главное решение системы уравнений B8)
ограничено снизу положительным числом
0, (SI)

§ 2] 3. РЕГУЛЯРНЫЕ И ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫЕ СИСТЕМЫ 39
то регулярная система B) при условии B7) имеет единственное
ограниченное решение, к которому приводит метод
последовательных приближений, от каких бы начальных значений х(?],
ограниченных в совокупности, мы ни отправлялись. Наконец, в этом
случае непременно X* = К-
Действительно, согласно теореме II, единственное решение
системы B), удовлетворяющее условию | xt | ^ PXf, есть главное реше-
- ние. Но для всякого ограниченного решения при подходящем Р будем
иметь \xi\^Pql, т.е., благодаря C1), для него будет удовлетворено
условие \Xi\^PXf> а потому такое решение не может быть отлично
от главного. Второе утверждение получается таким же образом из
второй половины теоремы II.
Наконец, последнее утверждение, что Xf — JK, получается сразу,
если применить первое утверждение теоремы к системе B8), которая
сама для себя служит мажорантной. Тогда видим, что ее
ограниченное решение Х\ = К должно совпадать с главным K=Xf.
Замечание 1. Для вполне регулярных систем условие C1) выполнено
всегда. В самом деле, в этом случае
Поэтому вполне регулярная система имеет всегда единственное ограниченное
решение, *) которое может быть найдено методом последовательных
приближений, отправляясь от любой ограниченной системы начальных значений.
Замечание 2. Регулярная система, состоящая из конечного числа
уравнений, непременно вполне регулярна. В самом деле, в качестве 0 можно
принять наименьшее из чисел pj. Поэтому, согласно предыдущему замечанию,
ограниченное решение такой системы единственно, но так как
неограниченных решений у конечной системы быть не может, то вообще решение такой
системы единственно. Конечная система уравнений, имеющая мажорантную
с положительными свободными членами и положительным решением,
приводится, как мы видели выше (замечание 2 к теореме fa), к регулярной
конечной системе, а потому такая система имеет единственное решение. На это
обстоятельство мы уже ссылались выше (прим. на стр. 36).
Замечание 3. Регулярная система может иметь и несколько
ограниченных решений. Так, непосредственной подстановкой можно убедиться, что
система
Xi=[l ~ (ГПУ2] "+1 + <ГП? (' = '•2> -> C2)
имеет два различных решения
х,«1 (*==!, 2, ...)
и
Х1 == ; I \ (i = 1, 2, , ¦.).
1) Тот факт, что ограниченное решение вполне регулярной системы
единственно, может быть установлен весьма просто непосредственно. Чтобы
установить это, нужно показать, что ограниченное решение однородной
системы ;tj = ?ty. *** есть 0. Но, обозначая через М точную верхнюю
границу \xi\, получаем |^ j ^^ | cit k\M ^M A —6),а потому иЛ1<Л1A —6),
т. е. М = 0.

40 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ. I
Главным будет второе из этих решений, что легко проверить непосредственно
и что вытекает из следующей ниже теоремы.
Теорема Нб.1) Регулярная система может иметь не более чем
одно решение, стремящееся к нулю, т. е. такое, что lim xt = 0.
При этом, если коэффициенты и свободные члены регулярной
системы положительны, то положительное ее решение,
стремящееся к нулю, есть непременно главное ее решение.
Покажем прежде всего, что однородная регулярная система не
может иметь решения, стремящегося к нулю и отличного от нуля.
Пусть, действительно, xt такое решение системы:
00
I /f = 1
Обозначим через Q^>0 точную верхнюю границу \х(\. Так как
xt —* 0, то, начиная с некоторого i (? ^ ^), будет \хг\ <^ -о- Q и потому
должно найтись такое J0<^i, что \xto\ = Q. Из уравнения системы
с номером *0 имеем
откуда сразу следует, что Q = 0, а потому все л^ = 0.
Отсюда вытекает непосредственно первое утверждение теоремы,
так как если бы неоднородная регулярная система имела два
решения, х\ и x'iy стремящихся к нулю, то их разность xt=Xi — xt
представляла бы такое же решение1 соответствующей однородной
системы, что по доказанному возможно, только если все ^==0,
т. е. х\ = Х}>
Переходя к доказательству второго утверждения, отметим, прежде
всего, что если система с ct k ^ 0 и Ьг ^ 0 имеет положительное
решение \хг), то главное решение не превосходит его: 0 ^х* ^xt.
Это следует сразу из теоремы 1, если принять в ней Xi = xt.
Поэтому, если про данное решение известно, что оно стремится
к нулю хг — 0, то будет и xf — 0, а тогда по уже доказанному мы
должны иметь xt = xft т. е. \хг) главное решение.
Следствие. Если при некоторой подстановке вида
хг = И{гь (Н( ф 0, lim И{ — со)
J) Эта теорема и следствие из нее принадлежат П. С, Бонда-
ренко Ц).

§ 2] 3. РЕГУЛЯРНЫЕ И ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫЕ СИСТЕМЫ 41
в регулярной системе B), получившаяся в результате система
относительно неизвестного zt:
Й <«=»!. 2, ..0 Bа)
окажется снова регулярной, т. е.
то данная система имеет единственное ограниченное решение.
Но действительно, каждое ограниченное решение xt системы B)
дает решение zi-=^-jj-xi системы Bа), стремящееся к нулю, и так
как система Bа) может иметь не более одного такого решения, то
ограниченное решение системы B) единственно.
Это предложение дает ценный метод установления единственности
ограниченных решений для регулярных систем. Пример его
применения дан в § 3, п° 5.
Мы не будем формулировать специально для случая регулярных
систем теорему Ш; ввиду важности теоремы. IV, ее формулировку
приведем.
Теорема IVa. Главное решение регулярной системы
(i=1> 2> •••) B)
со свободными кленами, удовлетворяющими условию | Ь{ \ ^ К^ь
может быть найдено методом р^^кции, т. е. если хг есть ре-
шение конечной системы
N
= 2
2 0=1, 2,..,., N), B1)
то
х? = lim xt. B2)
Мы имели право говорить просто о решении, а не о главном
решении конечной системы B1), так как решение этой системы, как мы
видели выше (замечание 2 к теореме 11а), единственно.
В заключение, чтобы показать возможность использования теорем
этого номера, проведем исследование одной частной бесконечной
системы.

42 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ. I
Пример. Рассмотрим систему уравнений
сю
2 (* + 1-2*И*-1-2
1, 2, ...) C3)
или в раскрытом виде:
C3')
Эта система уравнений будет регулярной, но не вполне регулярной. В самом
деле, в данном случае имеем:
i — I
— 2fe)Bf—1— 2k)
—2^) B/—1—2
~~1 .3 « 3-5^ ••' ^B/ — 3) B/— 1)
Поэтому в данном случае
~ 2 \ 2/ — 1
_L j .
2~
_ 1
О, но, очевидно, нельзя указать такого 0>О, что р*^6. На основании
теоремы 1а можем сделать заключение, что система уравнений C3) наверное
имеет решение и метод последовательных приближений к ней применим,
если для свободных членов ее выполнено условие
C4)
-т-» т. е. свободные члены
Последнее условие равносильно тому, что 1
порядка не ниже у : | bi \ = О (~г
Далее, для того чтобы установить единственность ограниченного
решения для системы C3), нужно установить, что система типа B8),
составленная для данного случая, имеет главное решение, ограниченное снизу
А?30
Последняя система имеет те же коэффициенты, что и C3), и свободные
члены, равные Р* = ТПГ2 ^мы полагаем ^С—1» что несущественно), так что

§ 21
3. РЕГУЛЯРНЫЕ И ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫЕ СИСТЕМЫ
43
она принимает вид:
Г ¦ 1
?— 1) B1 — 3) l + Bt — 3) Bг — 5)
C5)
Мы покажем, что
-у- Для 9Т0ГО проведем непосредственную оценку
последовательных приближений.
Отправляясь от значений А}0) = 0, для первого приближения имеем
у(ц 1
1 4/ — 2 •
Покажем, что для любого n-го приближения справедливо неравенство
(я)
1
C6)
Оно верно при я = 1. Покажем, что оно остается справедливым при
переходе от п к я + 1. Действительно, на основании *-го уравнения системы C5)
и неравенств C6), имеем:
(/i -и)
!
! у(«) -l. j L y(»)
' B/ — 1) B/ — 3) 'м ^ B/ — 3) B/ — 5)
-J- УW -L J- 1 -> ! ± j
"! .3 i+l"r ##t "*" 4/—2:=^ B/— 1) B/ — 3) 2m"
^ — 3) B/ — 5)
, 1
к— 1) — 4 + 2п
1 _
1 . 3 4 (I — :
i— 2-
— 4 / '
4* —2 #
Далее, ввиду вогнутости функции -т^т п , 0—j— имеем неравенство:
/г . п 2п
« — 1) + 2я —
—1)+2и '.

44 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ. I
Воспользовавшись им, можем предыдущей оценке придать следующий вид:
4(?—1)+2я \Ь3^3.5~ ••' ~ B/ — 3)B* —
_2п М I \ 1 __ I . пD< — 4)
/"Г л; о — 7 0 1
— 4/ —4 + 2* \ 2 4/ — 2Г 4/ —2~ 4/ — 2^ Df — 4 + 2л) D1—2) ~"
1 nDf —4) ft+1
¦^ 4i — 2" Df —2)Df —2 + 2л) "" 4f —4 + 2(я+1) *
и неравенство C6) установлено. Переходя в нем к пределу при n-+cot
найдем:
XT = lint Xin) Ss lim tj !___ _^. .
Отсюда на основании теоремы Па следует, что ограниченное решение
системы C3) единственно. Итак, мы показали, что при свободных членах порядка
не ниже -г система C3) имеет ограниченное решение и притом единственное.
4. Приближенное решение регулярных систем. Мы покажем
теперь, каким образом могут быть найдены с помощью решения
конечных систем приближения с недостатком и с избытком для
решений регулярной, бесконечной системы.
Рассмотрим регулярную систему, удовлетворяющую условию B7).
Предположим сначала, что с{ k^0 и ftj^O. В этом случае при>
N
ближения с недостатком, для неизвестных дают решения х{ конечной
системы B1). Действительно, те же числа хх являются решениями
бесконечной системы B3), которая, очевидно, мажорируется систе-
N
мой B), а потому для их главных решений имеем xi^xf.
Нам удобнее будет здесь обозначать приближение с недостатком
через xt (опуская А/), так что х. = xi ^ xf. Для получения
приближений с избытком рассуждаем так. Мы получили бы точные значения
для чисел хи хъ ..., хх, если бы в первые N уравнений системы B)
подставили вместо Jc,v-f i, .xrjv-f2» ••• их значения и решили бы затем
получившуюся систему N уравнений с N неизвестными:
C7)
Однако мы не знаем точных значений неизвестных + +
входящих в свободные члены системы уравнений C7), но мы знаем,
что они все не превосходят /Cfпоэтому, заменяя числа x%(k = N-\- 1,

§ 2] 4. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ СИСТЕМ 45
А/-}-2, ...) на К в системе C7), мы получим конечную (регулярную)
систему уравнений, мажорирующую ее и потому имеющую решения,
не меньшие чем числа х*, jc*> ..., х%.
Итак, если через хи ,.., xN обозначить решения системы
l> *'
C8)
то имеемxi^xf. Таким образом, для е ===== 1, 2, ..., N
C9)
Если же положить х. = 0 и xt = j( для i^>N, то неравенство C9)
будет справедливо для всех без исключения значений L
Перейдем теперь к вопросу о том, что произойдет с этими
приближениями при N—> со. Относительно приближений с недостатком xt = xt
нами уже установлено [см. B2)], что при jV-^oo они сходятся
к главным решениям системы:
lim xt = xt D0)
Относительно приближений с избытком xt ясно, что при
увеличении N они не возрастают.
Действительно, если мы рассмотрим систему вида C8) из N-\-l
уравнений, то для группы первых N уравнений этой системы
относительно неизвестных хи лг2, ,.., х^ будет служить мажорантной
система C8) из N уравнений, так как вторая получается из первой заме-
ной xN+\ на заведомо не меньшее число К> Поэтому существуют
пределы
lim xiz=xi.
Переходя к пределу в каждом уравнении системы C8),
убеждаемся, благодаря тому, что
2^ *>* *
lim
что эти пределы хг удовлетворяют системе уравнений B).
Поэтому, если для системы B) выполнены условия, обеспечивающие

46 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ. Т
единственность ограниченного решения (теорема На), в частности, если
она вполне регулярная, то имеем xi==xf1 а потому
lim Xi — xf. D1)
JV-*-oo
Мы дали сейчас способ нахождения приближений с недостатком
и с избытком, стремящихся к искомым в случае положительных*
систем (с единственным решением). Укажем теперь подобный же
способ для случая систем с коэффициентами и свободными членами
произвольного знака.
Для нахождения приближений можно поступить так. Введем
обозначение
со
2 |с'*| D2)
ft=JV + l
и составим систему 2N уравнений с 2N неизвестными %1 и хг:
N N
~xi = 2' Ci> *** + 11Ci' k*k Jrbi-K("l< (' = 1.2,..., N),
N N
= 1,2,...,
= 2
D3)
где сумма ?' распространена в каждой строке на те k7 для которых
cifk^>®> a 2" на те» Для которых cik<^0. Заметим прежде всего,
что эта система имеет определенное решение. Действительно, вычитая
из вторых равенств первые, а также складывая соответственные
равенства, получим две независимые системы уравнений относительно
неизвестных xt — xi и xt -f- х{:
N N
N
N
bt (i=l, 2, ... , N). D5)
Обе системы D4) и D5) вполне регулярны, а потому (см.
замечание 2 к теореме На) единственным образом определяют xi — xi
и xl-\-xlt а тем самым xt и xt. Покажем, что т^к определенные

§ 21 4. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ СИСТЕМ 47
числа хь хъ ..., xN представляют приближения с недостатком к
искомым х*> jc*, .,., х%9 а хъ хъ .,., Хх — приближения с избытком.
Для доказательства этого будем решать систему D3) по способу
последовательных приближений, именно следующим образом* за
начальные значения примем xf]z= — J(} xf> = K; подставив эти значения
в правую часть D3), найдем x(tv и х1^ и т. д. Решение системы D3)
по этому способу равносильно тому, чтобы независимо одну от
другой решать методом последовательных приближений системы D4)
и D5), начиная с значений xf— xli*) = 2K; xf-^-x'f = О, поэтому
при /—>оо будет x^—tXt; xf —+x.. Для начальных значений имеем,
очевидно, x?*^xf^x?\
Пусть уже установлено, что х^^х* ^х{Р. Покажем, что и
if+1)*^х*^^/+1). Действительно, например, для xf~^l) изD3)имеем
N
Итак, для всех / установлено неравенство х^Р ^xf ^xf. Тогда,
переходя к пределу, заключаем, что выполняется неравенство
*!*=? *?<*,. C9)
То обстоятельство, что приближения xt и хг действительно
сходятся к главному решению, опять может быть обнаружено при
дополнительном предположении, что для системы B) выполнены
условия теоремы На. Действительно, как легко убедиться, сопоставляя
последовательные приближения решений систем D3) для разных N>
с возрастанием N числа %t не убывают, a xt не возрастают, поэтому
при А/-^со они стремятся к определенным пределам. Вследствие
этого существуют пределы
Переходя в системе D4) к пределу при N->oo, убеждаемся в том,
что числа zt удовлетворяют однородной системе уравнений
В таком случае 2^=^=0. В самом деле, раз условия теоремы На
выполнены для системы B), то они выполнены и для приведенной
выше системы, определяющей zt. Применяя эту теорему, убеждаемся

48 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ. I
в том, что всякое ограниченное решение этой системы должно
совпадать с главным ее решением, очевидным образом равным нулю.
Итак, ^ = 0; lim (xt— xt) = 0 и благодаря неравенствам C9)
что и требовалось установить *).
В качестве примера найдем приближения для решений системы C3) со
свободными членами 0i=l; 62 = 0; #3 = 0;...:
+ • + lf
1,1.
371Гх х ~^~ "ПТ Ха ' "' *
Системы для определения приближений с избытком и с недостатком
в данном случае (при N=5) имеют вид [ср. B1) и C8), А>=2]:
ikk?3x*+{>xi=jx*+r^
^^бЗ^ + ЗЕ^ + ТВ^ + Т^
Решая эти системы, получаем:
^ = 1,7034; ^2 = 1,3040; ^ = 1,3461; Je4 = 1,4651; Х5= 1,6424.
Таким образом, находим следующие границы для неизвестных:
1,2 И 2 < хх < 1,7034; 0,5383 < лг2 < 1,3040; 0,3461 < х9 < 1,3461;
0,2307<лг4<: 1,4651; 0,1346<хь < 1,6424; 0 *?хг < 2A = 6,7...).
Границы для неизвестных при таком приближении получились лишь
весьма грубые (они несколько уточнены ниже, в п° 5).
Заметим, что для практического приближенного решения бесконечной
системы и нахождения обоих приближений к искомым оказывается выгоднее
(при значительном: N) не решать точно систему D3), а решать ее по способу
*) Вопрос об априорной оценке разности X-t — Зс,* рассматривался
П, С. Бондаренко C].

§ 2] 5. лимитанты 49
последовательных приближений так, чтобы получить для 3^ приближение
с недостатком, а для Xt с избытком. При этом выгодно по ходу вычислений
одновременно постепенно увеличивать число N уравнений, включенных
в рассмотрение.1)
5. Лимитанты. Различные обобщения регулярных систем. Прежде
всего укажем на введенное Б. М. Кояловичем понятие лимитант — особых
выражений, которые позволяют в некоторых случаях оценивать и изучать
значения неизвестных для больших i.
Будем предполагать, что у регулярной системы B), удовлетворяющей
условию B7), коэффициенты положительны и что она имеет единственное
ограниченное решение, т. е. что главные решения системы B8) суть Xf = K
Предположим далее, что нам известны значения *f, xf,... л:* первых р
неизвестных. Подставим эти значения во все уравнения, начиная с (/? -f-1 )-го.
Тогда для определения неизвестных хр+и лгр+2,... получим систему уравнений
00
2
Эта система имеет в качестве мажорантной систему
*,= 2 C*.iA + (tfh + tf 2С*»й) ('=/>+1.Р + 2,...) D7)
с главным 'решением Xf =/С (/=/? + !»...)• Сравнивая свободные члены
систем D6) и D7), можно указать известные границы, в которых содержатся
искомые Хр+и АГр}.2,... Именно, если отношение этих свободных членов для
всех /=/>-f 1, /7 + 2,... заключено в границах Л и Я:
р Р
2 ЧкхТ+Ь 2 €U**t+bl
то неизвестные xi ограниченного решения системы D6) заключены в
пределах:
Л/С== hXf 4 xt ^ HXf = HK (I =р + 1, р + 2, ...). D9)
Действительно, из D6) и D8) ясно, что для неизвестных Xi — Kh и
КН — Xi получаются системы с положительными свободными членами; в таком
случае эти неизвестные, являющиеся главными и единственными решениями
!) Подробно изложенное решение другого численного примера имеется
в работе Б. М. Кояловича [2]. Некоторые применения к граничным
задачам метод бесконечных систем нашел в работах П. С. Б о н д а р е н к о [2]
и И. П. Мацкевича [1]. Многочисленные применения к различным
механическим задачам указаны в работах Б. Л, Абрамяна [1—3], Н. X. А р у-
тюняна [2], Р. С. Минасяна [1, 2], О. М. С а п о н д ж я н а [1], а также
в ряде других работ, ссылки на которые можно найти в статье М. К, Гаву-
рина и Л. В. Канторовича в книге „Математика в СССР за сорок лет".

50 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ. I
соответствующей системы, также неотрицательны (п° 2, замечание 2 к
теореме I):
и неравенства D9) установлены. Выражения v^f\ входящие в D8), Б. М.
Коялович называет лимитантами. Он дал следующее интересное применение
лимитант. При практическом решении некоторых систем было замечено, что
xf
при увеличении *-номера неизвестной отношение -т^. приближается к
исколи
торому постоянному числу, иначе говоря, xf можно записать в виде
*? = «* + «,)*?, E0)
где G—постоянная и s^—*0. Пользуясь лимитантами, Б. М. Коялович
показал, *) что это обстоятельство имеет место для регулярных систем,
удовлетворяющих некоторому дополнительному условию, именно следующему:
(а). Все коэффициенты, лежащие по левую сторону диагонали, имеют
порядок свободных членов мажорантной системы, т. е. существуют такие
два числа / и L. что
^ 1 2 I 1 \
r=..V.7 ) E1)
Таким образом, если система регулярная с единственным ограниченным
решением, удовлетворяющая условиям (а) и B7), то при i —> оо неизвестные
имеют определенный конечный предел
lim xf. E2)
1-юо
Чтобы показать применение лимитант, уточним, пользуясь
неравенством D9), оценку для неизвестных xf, xf,... в примере, рассмотренном
в конце п°4. Примем в D8) /» = 5и заменим при нахождении И неизвестные
нам числа xf, xf, xf, xf, xf на найденные выше значения xt, х2, х3, х4, х5.
Легко проверить, что наибольшее отношение получается при f = 6, а потому
_L- 4-—- ' Х ~ ' 1 - " 1
9-11 "¦" 7-9
«1 - 1,7034 + 1 • 1,3040 + 1 • 1,3461+1 . 1,4631 +1 • 1,6424 = 0,7231.
Таким образом, получаем новую оценку для последних неизвестных
*f^ *;==#//¦ = 2-0,7231= 1,4462 (f = 6, 7,.,.),
Легко убедиться, что в данном случае /г = 0, и потому оценки снизу,
кроме тривиальной, мы не находим. Полученные значения х\ (i = 6, 7,.,.)
*) См. Б. М. Коялович [2], гл. IV, Автор рассматривает там систему
с двумя сериями неизвестных и делает наряду с (а) некоторое второе
предположение, которое в нашем случае является излишним, так же как и
последняя часть рассуждения автора, стр. 162—165.

§ 2] 5. лимитанты 51
позволяют в свою очередь уточнить найденные выше приближения с
избытком для первых пяти неизвестных. Именно значения этих приближений
с избытком найдутся из системы, полученной так же, как выше, только
с заменой л^(/ = 6, 7..,) не на /С=2, а на КИ\ Поэтому ясно, что вновь
найденные приближения с избытком будут равны Х\ = х(+ //' (Xt г- х.)
(/=1, 2, 3, 4, 5). С помощью так найденных значений Х\ можно вновь
уменьшить значение Н и перейти от #' к //"<//' и т. д. При этом два
последовательных значения И будут связаны равенством:
~
Число //= lim//(Л> определится из уравнения, которое получится из пре-
й-»оо
дыдущего равенства, если заменить в нем Hik) и Hik+U на И. Решив это
уравнение, найдем Я = 0,4923. Отсюда по формулам Xf} = xi + И (X.— Зс.)
(/=1, 2, 3, 4, 5) получаем новые значения для приближений с избытком.
Окончательно приходим к следующим границам для неизвестных:
1,21К xt < 1,331; 0,538 ^ х2 ^ 0,726; 0,346 ^ .v3 ^ 0,592;
0,231 ^ х* < 0,534; 0,135 ^ хь ^ 0,506; 0 ^ xt ^ 0,492 (/ = 6, 7 ...).
Укажем теперь на некоторые виды систем, теория которых приводится
к теории регулярных систем или на которые эта теория обобщается.
I. Иногда приходится рассматривать совокупность двух бесконечных
систем
E3)
^
*=:1
= 1
с двумя рядами неизвестных хи ^s»... h^i,^»... На такие системы,
очевидно, переносятся результаты пп° 2—4, так как, вводя новые неизвестные z,
полагая
*«м = **; *2j=>>* (/=1,2,...),
получим для них один ряд уравнений.
II. Можно рассматривать бесконечные в обе стороны системы уравнений
с неизвестными ^(/ = 0, ± 1, ± 2,...), именно системы вида
-foo
2 <* = 0, ±1, ±2,.,.). E4)

52 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ. I
На эти системы также переносится теория регулярных систем, в
частности, если
2 , (' = 0, ±If±2,...),
то для системы E4) остается верным все сказанное выше о вполне
регулярных системах.
III. Во многих случаях система, не являющаяся регулярной, приводится
к виду регулярной с помощью некоторых преобразований, например с
помощью подстановки ^ = а^ или с помощью сложения и вычитания равенств
системы.
IV. Упомянем еще о квазирегулярных системах. Мы будем называть так
системы, в которых условие регулярности выполнено лишь во всех строках,
начиная с некоторой, т. е.
E5)
и, кроме того,
у |,tl<+coM 2 ло 1
E6)
Вопрос о существовании решения такой системы сводится к вопросу
о существований решения конечной системы. Действительно, рассмотрим
регулярную систему уравнений
оо N
Подобная система со свободными членами bt имеет ограниченное
решение |ii |=^/С при свободных членах сх ft(ft=l, 2,,.., iV) она также имеет
оо
ограниченные решения af\ (\a\k)\^\, так как |сг,fe]^l — У \ci>k\)>
в силу E5). Поэтому окончательно решение системы E7) выразится так:
1 ? m .). E8)
Подставляя эти значения в уравнения
оо
*= 2
[подстановка имеет смысл в силу первого из условий E6)], получим
систему N уравнений с N неизвестными для определения л^, лс2,..., х^. Если

§ 2] 5. лймитанты 53
эта конечная система имеет решение, то с помощью равенств E8) найдем
решение первоначальной системы. Если решение этой конечной системы
единственно и выполнено условие для единственности решения регулярной
системы E7), то и решение первоначальной системы единственно.
V. Наконец, теория, проведенная выше для линейных систем, в
значительной мере распространяется на системы нелинейные. В частности,
полностью переносятся на этот случай теоремы о сравнении систем. *) Рассмотрим
бесконечную систему нелинейных уравнений.
00 00 00
2 2-2
и мажорантную для нее систему, т. е. систему того же вида
ОЭ 00 ОО
У i-inr р. ( V у \ —- fiil) 1
- + 2 2 - 2 сй.*« *jVkt...xkJ+...(i=i,2,...), F0)
где функции /^ являются мажорантными для Д именно всегда
|»«"|<В«'; left», *yI^Cj0iikl fty_ F1)
Можно показать тогда, что если мажорантная система имеет
неотрицательное решение j^j^O, то данная система имеет решение xf (главное)
удовлетворяющее условию \xf\^X'r Далее, если Xf есть главное решение
системы F0), то решение системы E9), удовлетворяющее условию \xi\^ Xfy
единственно. Наконец, главное решение системы E9), наряду с методом
последовательных приближений, может быть получено с помощью метода
редукции. Именно, если через xt обозначить главное решение конечной
системы уравнений
N N
2 сй....".*/*1-^ + ^1 (/«1.2,. ..N), F2)
1 *у-1
то предел этих решений дает главное решение системы E9):
./V
lim Xi = х1}.
ЛГ-оо
На этом мы заканчиваем теорию регулярных систем. Мы уделили им
столь большое место ввиду важности их для приложений. В следующем
') См. работы Пелле [1] (для случая конечных систем) и Л. В.
Кантор о в и ч а [11].

54
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА
[гл.
номере мы даем обзор других исследований, относящихся к бесконечным
системам уравнений; там, несмотря на теоретическое значение этих
исследований, мы ограничимся лишь изложением основных результатов без дока-,
зательств, за которыми отсылаем интересующихся к специальным
руководствам В. Ф. Кагана [I] и Рисса [1].
6. Краткий обзор других исследований, относящихся к бесконечным
системам. I. Бесконечные определители. Впервые бесконечные определители
были применены в 1877 г. Хиллом при интегрировании одного
дифференциального уравнения, получающегося при исследовании движения луны. Вскоре,
в связи с этим, Пуанкаре развил начала теории таких определителей. После
того систематическое их исследование было проведено в ряде работ Коха,
Рассмотрим бесконечную матрицу:
F3)
и предположим, что двойной ряд" 2j | ci} k | сходится; тогда можно показать,
I, k « 1
что определитель из я2 элементов этой матрицы Дл при п —> оо стремится:
к пределу; этот предел А называют бесконечным определителем
матрицы F3). При сделанном предположении его называют
нормальным определителем.
Если мы заменим далее в матрице F3) fc-й столбец на ряд ограниченных
чисел Ьи &2j..., то опять будет существовать предел конечных
определителей Д^ при п —- оо, который обозначим Д(Л).
При введении таких определителей для системы уравнений,
коэффициенты которых составляют матрицу F3):
F4)
может быть развита теория решения, аналогичная теории решения конеч*
ных систем с помощью определителей, в частности могут быть доказаны
теоремы, аналогичные теоремам Крамера и Руше.
Можно доказать именно следующие предложения:
1) Если определить системы Д^О, то система имеет единственное
ограниченное решение, которое дается равенствами
Xi=~, F5)
2) Если определитель Д = 0, то однородная система, получаемая из F4),
имеет отличные от нуля решения, при этом она имеет г независимых
решений, где г есть ранг матрицы F3) (число всегда конечное); таким образом,
в частности в однородной системе можно зафиксировать г неизвестных так,
чтобы она стала определенной.
3) Если Д = 0, то неоднородная система F4), вообще говоря, не имеет
решения. Для того чтобы она имела решение, свободные члены bt системы
должны удовлетворять некоторым определенным соотношениям (числом г).
Если эти соотношения выполнены, то решение существует, но не единственно.

§ 2] 6. КРАТКИЙ ОБЗОР ДРУГИХ ИССЛЕДОВАНИЙ 55
Кох показал, что эти результаты остаются верными для гораздо более
широких классов определителей, чем нормальные. Наиболее интересное
со
обобщение состоит в том, что требование сходимости ряда \ |^>й| можно
заменить требованием сходимости рядов
со со со
ct, i » 7 с\ ъ и / #/»
_ .*± ' *?
со
тогда и решение будет удовлетворять условию: \^х\ сходится. Также
можно вместо упомянутых выше условий потребовать, например, сходимости
со со
ряда У, \chi\ и того> чтобы | cit k | <; а^ где ряд \ at сходится.
II. Системы с вполне непрерывной формой.х) В связи с построением
теории интегральных уравнений Гильбертом была развита специальная
теория бесконечных систем уравнений.
Рассмотрим наряду с системой F4) билинейную-форму
со
F6)
Эта форма является вполне непрерывной, если выполнено условие
п т
равномерно относительно Xi и у& лежащих в области
со со
Достаточным условием для этого является, например, сходимость ряда
c)t k, но можно указать и другие более слабые достаточные условия,
i, fed
которые имеют, однако, довольно сложный характер.
Для систем F4) с вполне непрерывной формой F6) Гильбертом
было доказано следующее предложение, обобщающее подобное же предло-
со
жение для конечных систем: при сходимости ряда Л Ь\ либо данная система
г = 1
00
имеет единственное определенное решение, удовлетворяющее условию Л х\
1
А) Рисе [1], гл. IV—V, Гильберт [1].

56
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА
[гл. i
сходится, либо имеет решение, отличное от нуля, однородная система,
соответствующая системе F4). Также распространяются и остальные теоремы
о конечных системах.*)
III. Более общие системы. Шмидт рассматривал 2) системы вида F4) при
со
единственном условии 2л cf, k сходится. Для таких систем им было дано
необходимое и достаточное условие существования решения. Так, например,
условие того, чтобы однородная система F4) не имела решения, бтличного
оо
от нуля со сходящимся рядом 2л х% есть обращение в нуль следующего
выражения:
lim J
а~*оо
Clk ...
$11 •••
I Sal ... Sa
(fe=l, 2, ...)
ft = l
Аналогичного вида условие можно дать и для неоднородной системы
а также подобного же вида выражениями задать и самые неизвестные.
Впрочем эти выражения мало алгорифмичны и потому вряд ли могут
быть использованы для практического решения.
§ 3. Решение граничных задач с помощью
неортогональных рядов
1. Общие принципы. В § 1 мы рассмотрели решение
граничных задач по методу Фурье с помощью рядов по фундаментальным
функциям, т. е. рядов по функциям, которые образуют на контуре
ортогональную систему функций (в случае задачи Дирихле; вообще
же образуют ортогональную систему контурные операторы над ними).
Однако разыскание такой системы функций представляет вообще
большие затруднения, поэтому мы рассмотрим здесь способы
нахождения решения в виде ряда, составленного из произвольных решений,
не образующих на контуре ортогональной системы. Здесь находят
применение бесконечные системы уравнений.
*) Вопрос о применимости метода редукции и о приближенном решении
систем с вполне непрерывной формой и систем, удовлетворяющих условию
Коха, рассматривается в работе Л. В. Канторовича [18], гл. И, § 3. См.
также Л. В. Канторович и Г\ П. Акилов [1], гл. XIV, § 3.
2) Шмидт [1]. Некоторые методы, указанные Шмидтом, а также Кё-
терицшем [1], могут оказаться полезными и для численного решения
бесконечных систем. См. диссертацию Гольдшмидта [1].

§ 3] 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАЗЛОЖЕНИЙ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 57
Итак, пусть требуется найти решение однородного уравнения
эллиптического типа:
М(и) = 0 A)
при граничном условии
P(u)=f(s) на контуре L, B)
где Р — линейная однородная операция над и.
Пусть нам известен некоторый бесконечный ряд решений
уравнения A): щ(х, у), щ(х, у), ... Операция Р(и) на контуре над
этими решениями дает некоторую систему функций дуги
Р[*п(*> y)] = ?n(s) на I (/1=1, 2, ...). C)
Если бы мы могли разложить данную функцию f(s) в ряд по
функциям
то смогли бы написать искомое решение в виде ряда1)
со
и С*. У) = 2 Wnfry)- E)
Таким образом, перед нами встает задача о разложении
произвольной функции f(s) по некоторой системе неортогональных функций.
Рассмотрим в следующих номерах способы решения этой задачи,
а также примеры решения различных граничных задач с помощью
таких выражений.
2. Решение задачи о разложении произвольной функции по
наперед заданным функциям с помощью ортогонализации. Пусть
дана бесконечная система функций
определенных и непрерывных в промежутке (а, Ь).
1) Заметим, что для этого нет необходимости даже в разложении /(s)
в ряд по самим уп (s), а достаточно разложить ее в ряд по их линейным
комбинациям, т. е. написать /(s) в виде
уак как тогда аналогично можно составить и и (лг, у)\
00 П]
212

58 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ. I
Прежде всего мы можем из данной системы функций исключить
те, которые представляют линейные комбинации предшествующих, так
как они по существу не обогащают систему. Проведем теперь орто-
гонализацию системы F), а именно построим систему функций
W4 М-*). ... (?)
ортогональных и нормированных, притом такую, что каждая
функция системы G) представляет некоторую линейную комбинацию
функций системы (б), точнее tyn(x) имеет вид
Фп С*) = <]Ь (*) + *{п)Ъ (*) + ... + <#Ч (¦*)• (8)
Проведем эту ортогонализацию последовательно. Первая функция fy (х)
должна иметь вид tyi(x) = cyl(x). Подбирая постоянную с из условия
ь
i ty\dx=l, найдем
л
Пусть первые функции ф, (дг), ф2 (дг)> ..., tyn (x) определены. Функция
$п+\(х) должна быть составлена линейно из них и функции )
т. е. иметь вид:
¦д+i (х) = с$г (х)
Постоянные cf определяем из условия ортогональности ^л+1 (х)
к tyx (х), ... , фл (лг), именно, умножая (9) на ф,- (дг) и интегрируя,
получим, пользуясь ортогональностью и нормированностью <^ (дг),..., ф„ (лг):
Определяя отсюда с,-, подставляя в (9) и найдя еще постоянную с
ь
из условия 1 <j>i + idje==l, в результате получим
а
п Ь
ft+iW- 2 ( J
- 2 (J
11
Заметим, что знаменатель здесь не нуль, благодаря линейной
независимости функций <р! (дг), ср2 (х), ..., <рп+1 С#). С помощью этого
равенства можно последовательно находить функции tyi(x)9 %(x)> ...

§ 3] 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАЗЛОЖЕНИИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 59
Заметим, что, пользуясь определителями, можно было бы прямо
написать выражение я-й функции tyn(x):
ь ь ь
1 ?i?a?*... I
а
Ъ
l?i^..- \
b
«Ы*)= —
-, 00')
где Ал — так называемый определитель Грамма функций
а
Ъ
Этот определитель наверное отличен от нуля, если функции cpt,...»9л
линейно независимы.
В том, что функции фх, ..., фде определенные равенством A0'),
ортогональны и нормированы, можно убедиться непосредственной
проверкой.
Подобно тому, как мы провели ортогонализацию для функций,
заданных на интервале, может быть проведена ортогонализация и для
К
функций, заданных на контуре Ly нужно только повсюду вместо I
ВЗЯТЬ 1 . а
После того как построена ортогональная система, можно для
всякой функции f{$) написать ее разложение в ряд по функциям этой
системы:
оо b
fix) = ^ А„% (х); А „ = J fix) ф„ (х) dx. A1)
п=Х а

60 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ. I
Отметим, что, конечно, нельзя гарантировать вообще сходимость
ряда в правой части равенства A1), поэтому правильнее говорить,
что этот ряд соответствует функции f(x)y а не равен f(x\ Знание
ряда по функциям tyn (х), соответствующего функции f(x), позволяет,
так как фя есть линейная комбинация (8) функций <р^, написать ряд
по линейным комбинациям функций cpif соответствующий f(x):
A2)
Для вопроса о сходимости рядов A1) и A2) имеет существенное
значение так называемая полнота системы функций {уп (х)}. Система
функций {<ря(-*0} называется полной, если не существует функции
ь
Ф (х) с \ | Ф (х) |2 dx ^> 0, ортогональной одновременно ко всем функ-
ЦИЯМ <рй(*)э Т- е« такой» ЦТО
Ъ
*« = О (я=1, 2, ...). A3)
Отметим следующее, почти очевидное свойство полных систем: две
непрерывные функции, имеющие все коэффициенты Фурье равными
между собой, совпадают. Действительно, разность двух таких
функций ортогональна ко всем ®{(х\ а потому равна нулю.
Очевидно, что система функций <ря (х) будет полной одновременно
с системой функций tyn (x). Относительно многих систем функций
известна их полнота, например тригонометрические функции cos nx>
sin пх(п — 0, 1, 2, ...) образуют полную систему в промежутке @,2гс);
целые положительные степени х\ 1, х, х2, ... — полную систему
в любом интервале. *) Можно показать, что общим условием для пол-
. ноты ортогональной нормированной системы функций является
выполнение для любой интегрируемой с квадратом функции f(x) так
называемого уравнения замкнутости В. А. Стеклова
An= \f{x)%(x)dx. A4)
*) См., например, И. И. Привалов [1], стр. 41 и 47, а также
В. Л, Гончаров [1], стр. 146. Г. М. Мюнтцем было установлено, что
любая система степеней 1, jcXl, лгХз, ... образует полную систему в интервале
(О, 1), если только ряд V г— расходится. См. И. П. Натансон [I]. По по-
воду обобщения этой теоремы см- Ш т ей ихау з [1]. Вопросам полноты
систем функций посвящены также исследования п. К. Бари [1].

§ 3] 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАЗЛОЖЕНИИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 61
Если система функций $п(х) и полная, все же нельзя утверждать,
что для всякой функции f{x) ряд в правой части (И) сходится,
однако можно утверждать, что имеет место сходимость ^того ряда
к f(x) в более общем смысле.
Рассмотрим следующий интеграл:
п
i 1
2
i s- 1
Интегрируя, пользуясь при этом ортогональностью и нормирован-
ностью $i(x) и определением Аь без труда убедимся, что
ь п
| 2 А& м Гdx==
i 1
2
i «= 1
п Ь Ь п
Ь п
. = J р(х) dx- 2 2 At J /(х) ф, (х)dx + J [ 2 Л,
a jl a a f 1
2 J J [ 2
=»l a a f = 1
a j=l
Отсюда на основании уравнения замкнутости ясно, что величина 1п
стремится к нулю при я->оо. Поэтому при больших п сумма п
п
членов ряда A1) V АД(дг) хотя и может в отдельных точках сильно
iI
отличаться от /(.#), н0 в среднем — интегрально — отличается от f(x)
весьма мало. Говорят вообще, что последовательность функций Fn{x)
сходится в среднем к функции F(x), если
ь
lim \[F{x) — Fn{x)\*dx = 0. A6)
«-¦СО
Мы можем сказать поэтому ввиду A5), что частичные суммы ряда
в правой части равенства A1) сходятся в среднем к функции
f(x); то же относится тем самым и к ряду A2). Воспользуемся сейчас
же этим фактом. Пусть функция f(s) представляет контурные
значения поставленной задачи, а <рл($) — контурные значения основных
решений ип(х> у). При этом пусть система функций <рл(з) полная,
Ортогонализовав эту систему, получим для функции f(s) разложения
A1) и A2).
Составим функцию
2
Ап[а{")щ(х> у)+а*п)щ(х> ^+• • •+а«)м«(х> м A7)

62 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ. Т
Зта функция и (х> у) формально удовлетворяет всем условиям задачи.
Покажем, что по крайней мере в случае задачи Дирихле для
уравнения Лапласа ряд A7) сходится и представляет действительное
решение задачи» Докажем именно следующую теорему.
Теорема. !) Пусть ип (ху у) гармонические функции в области Д
ограниченной контуром Г, состоящим из конечного числа
аналитических дуг. Пусть контурные значения функций ип (х, у)
образуют полную систему функций <?п (s). Тогда, если /($) —
непрерывная функция, ряд A7) сходится и дает гармоническую в
области D функцию и (х, у), значения которой при приближении к кон-
туру стремятся к f(s)>
Доказательство. Докажем прежде всего эту теорему для
случая, когда область D есть единичный круг. Введем полярные
координаты. Функция ип(х, у) на контуре обращается в уп(9), поэтому
она выражается интегралом Пуассона [§ 1, п° 2, D6)]:
о
благодаря чему общий член ряда A7) — функция vn также
выражается интегралом Пуассона:
. + а?)и1,(г, 6)] =
Определим с помощью интеграла Пуассона и ряда гармоническую
функцию
j
а«cos пВ+Ьп sin пВ) гП* B0)
где ап и Ъп — коэффициенты Фурье функции /F). Эта функция
представляет, как нам известно (§ 1, п° 2), решение задачи Дирихле
для круга с граничными значениями, определяемыми функцией /F).
Поэтому
lima (г, в) «/(в).
Нетрудно проверить, что этот же предел будет равен /@), если при
стремлении точки изнутри к контуру гиб будут изменяться
одновременно. Докажем теперь, что внутри единичного круга ряд
1) Пиконе [1].

§ 3] 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАЗЛОЖЕНИИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 63
оо
S vn(r, 8) сходится и дает в сумме и (г, 0). Рассмотрим для этого
разность
п
|и(г, в)- У, г»,(г, в) =
П
2тс
J
О
Пользуясь для интеграла, стоящего в правой части B1),
неравенством Буняковского:
ь
[ J
B2)
найдем
и(г, 9)- 2 "i С,
2л
В первом интеграле в правой части подынтегральная функция не
Г 1 _Г2 12 П \г\2 4
превосходит, очевидно, hrj—p- =(j-^) <./1__гч2> а сам первый
множитель величины Л-^~—» т# е' представляет величину ограничен-
00
ную. Второй интеграл, поскольку ряд 2 ^яфл00 сходится в сред-
нем к /(X) [ср. A5)], имеет пределом нуль. Итак, установлена схо-
оо
димость ряда J] vi (г> в) и то, что сумма его равна и (г, 6), а тем
самым доказано равенство A7).
В случае, если бы данная область представляла не круг, мы могли
бы установить равенство A7) с помощью аналогичных рассуждений
с той только разницей, что вместо формулы Пуассона пришлось бы
воспользоваться общей формулой, дающей решение задачи Дирихле
для любой области:
и (х, у) = J О (х, у, s)f(s) ds, B4)
которая строится с помощью функции Грина.

64 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ. I
Пример, Решим в качестве примера опять задачу Дирихле для
прямоугольника; для определенности возьмем квадрат (—1, 1; —!, 1).
Фундаментальные решения выберем теперь иначе, чем в п° 1 § 1, а именно примем
в качестве их фундаментальные решения для круга г71 cos ncp, r"sinn<p. Эти
функции на контуре квадрата уже не будут ортогональны, поэтому нам
придется провести их ортогонализацию.
Если перейти к декартовым координатам .v = rcos<p и у =¦ г sin у и
разложить cos пер и sin щ по известным формулам Муавра, то найдем так
называемые гармонические полиномы:
rncosщ = rn\ cos*<p * ¦- cosn~2<рsin2<р +
Тп sin
p = rn In cos* «р sin ср п(п-~ ){п— ) cos^8 y 8}пз <р _(-,,. =
Отсюда первые гармонические полиномы будут: 1; х; у; х2—у2; 2ху;
& З2 З* yz; jc4 — 6x*y* + y*; 4xsy — 4ху3; ... Ортогонализуем эти
б
у; у y; y + y y у; ру
полиномы; при этом, чтобы сократить вычисления, ограничимся четными
полиномами: 1; Xs — у*; х* — 6х2у2-\~у*; ... Заметим, что сохранение лишь
этой частичной последовательности полиномов даст возможность решать
задачу Дирихле только с симметричными граничными условиями.
Обозначим контур квадрата через L. Первую функцию 1 мы должны
только нормировать. Имеем, очевидно,
поэтому первая функция ^\{х)^=.\\У%, Для второй функции вычисляем
прежде всего
О, 1) (-1, 1) (-1. -D О, -1
О, ) (, ) (. D О, )
f+J+J + J
1, -о а, I) (-1, о <-f! -и
-1
J J$
Следовательно, функция л:8—у% ортогональна к 1, а потому ее надо лишь
нормировать:
= 4 J A - *2J dx ?J,

§ 3] 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАЗЛОЖЕНИЙ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 65
откуда окончательно <\>2(х)= J/* 15/64 (а:3—.у2)- Далее для нахождения tyi(x)
по A0) ищем
1/ g| С (Xе —
Тогда
<W — С Ы — { \ 9«+1 ^5 j +i — f \
Наконец, нормируя функцию +« по условию \ ф| t/s = 11 окончательно
получим
*'-6*У+/ + 08 о,2244 & -6^У +,< +0,8).
С помощью найденных первых, а также дальнейших полиномов <\>и |2, фз» •••
можно решать задачу Дирихле для квадрата с произвольными
(симметричными) условиями на контуре. *) В качестве примера решим задачу Дирихле
с граничными условиями:
и = 1 — л:2 при у = ± 1,
« = 1 —^2 при лг = ±: 1,
а) Это вытекает из утверждения, что гармонические полиномы
образуют полную систему (на контуре) для любой односвязной области,
ограниченной спрямляемым контуром. Последнее же утверждение может быть
легко выведено из теоремы о том, что аналитическая функция в
односвязной области может быть равномерно апроксимирована полиномами
комплексного неременного. См. В. Л. Гончаров [1], гл. V.

66 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ. I
или кратко w=/(s) на L Мы должны но указанному выше методу
разложить /(s) на контуре L в ряд по фь фг» <W» ••• Для этого ищем
= J
= J /(s) ф, (s) rfs = 4
J
i
в, = \' / (s) <i3 (s) flfs = 0,2244 • 4 С (л:1 — бдг2 + 1 -f 0,8) A — л:2) их = 0,8206.
? J
В таком случае
/ (s)«* о^, (s) + в^г (s) + а,ф, (з),
а самую гармоническую функцию приближенно найдем в виде:
« (*, ^) *4 ^' W + °'8206> °'2244 (^-6хУ+У+ 0,8) =
= j + 0,1841 (л*_вх«у +у* + 0,8).
Отсюда, например, и @,0) =^ 0,814, точно же по методу ne I § 1 нашли бы
и @,0) = 0,816.
Замечание 1. Отметим, что способ решения задачи Дирихле,
использованный в примере для решения этой задачи для квадрата, может быть
применен для уравнения Лапласа и в случае других областей. Именно всегда
можно взять те же гармонические полиномы r"cosn<p и rn sin пер и ортого-
нализовать их на контуре данной области. Наиболее удобен этот способ
в случае областей, ограниченных многоугольниками. Метод этот требует,
правда, весьма значительных вычислений, однако эти вычисления все же
являются выполнимыми практически, особенно если удается внести в них
упрощения, пользуясь соображениями симметрии и т. и.
Замечание 2. Следует отметить, что наряду с обычными ортогональными
и нормированными системами, которые мы рассматривали выше
ь
***** = {
[ 1, если * =
= {о
оказываются полезными также системы ортогональные и нормированные по
весу р (х), где р (л:)^0 — некоторая интегрируемая функция, именно такие,
что
ь
1, если / = &,
0, если «

§ 3] 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАЗЛОЖЕНИИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 67
В случае обычной ортогонализации, очевидно, веср(лг) = 1. При орто-
гонализации по весу также может быть для всякой функции составлено
разложение в ряд тю функциям'?;:
о
); <ч = \
Произвольная система функций может быть, так же как и в обычном
случае, ортогонализована и нормирована по весу, нужно только во всех
интегралах, входящих в A0), добавить к подынтегральной функции
множитель р (х).
Иногда находят применение и другие обобщения ортогональных систем,
например биортогональные системы; так называют две системы
функций {?,•(.*)}, {<W(*)b удовлетворяющие условиям
ъ
С 1, если i = &,
Для всякой функции /(л:) может быть и здесь составлено разложение
оо Ь
Замечание 3. Мы рассматривали в этом номере граничные.условия вида
Р (и) =/ (s) на контуре А,
где Р(и) — некоторый линейный оператор на контуре. Однако тот же путь
решения применим и в более общем случае, когда на различных частях
контура заданы различные операторы
PiW^sftis) на LY\ P*(u)=f2(s) на Ц,
где Li и /,3 — две части контура L Например, имеем подобную задачу, если
на одной части контура задана сама функция, а на другой — ее нормальная
производная. В случае такой смешанной задачи нужно составить по основ»
ным решениям ып(лг, v) функции уп(з), определенные следующим образом:
\ [ия (х, у)] на Lu
\ [ап (лг, у)] на L2>
ортогонализовать и нормировать эту систему функций, после чего составить
разложение по этой системе функции /(s), равной fx (s) в пределах Lv и
/а (s) в пределах Z,2.
3. Решение задачи о разложении произвольной функции по
наперед заданным с помощью бесконечных систем уравнений.
Рассмотрим ту же задачу о разложении произвольной функции f(x)
в промежутке (а, Ь) по функциям уп(х) другим путем. Напишем
искомое разложение с неопределенными коэффициентами Ak в виде:
3,

68 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ. 1
Возьмем теперь любую полную систему функций {фг-(.#)},
помножим обе части равенства B5) на ф/(х) и проинтегрируем его, тогда
получим систему уравнений
2И* = *| A=1,2,...),
где
ь ь
*/.*=??* <¦*) Ь (х) dx; Ьг = С /(*) ф, (х) dx. B7)
Система B6) служит для определения постоянных At. Если нам
удастся определить значения А(, удовлетворяющие системе B6),
причем такие, что ряд в правой части B5) сходится к некоторой
непрерывной функции /* (х) (хотя бы ряд сходился лишь в среднем)
и если при этом окажется, что допустимо почленное интегрирование
ряда B5), то сумма этого ряда /* (x)=f(x). В самом деле, для
функций f(x) и /*(лг) одинаковы интегралы: $ф*/йх=$ф*/* dx,
в таком случае для ортогональной системы, получающейся ортого-
нализацией из функций ф,-, / и /* имеют одинаковыми все
коэффициенты Фурье, а тогда по сделанному выше замечанию (стр. 60) они
совпадают.
Полезно указать также другой способ получения системы B6),
практически, пожалуй, даже более удобный. Именно к системе B6)
можно прийти другим путем.
Разложим в ряд по какой-либо полной ортогональной системе
функций {§i (л:)}, например в обыкновенный ряд Фурье, функцию f(x)
и все fk(x); пусть
оо со
2 b с*); ?* (*) = 2Ci*^(x)> B8)
где cik и bt определяются формулами B7).
Подставим теперь ряды B8) в равенство B5) и приравняем
коэффициенты при tyi(x) в обеих частях этого равенства, тогда и получим,
очевидно, систему B6). Отметим, что второй способ получения
системы B6) предполагает, в отличие от первого, систему функций ^ (х)
ортогональной и нормированной.
Нельзя дать более или менее общих условий, при которых
система B6) имеет решение. Однако в ряде практически важных
случаев система B6) оказывается регулярной, как мы увидим дальше на
примерах. Упомянем об одном таком случае.
Если функции 6Л(х) тригонометрические, а функции уп(х) весьма
близки к ним, то система оказывается регулярной. Более того,

§ 3] 4. ПРИМЕР 1. СМЕШАННАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА 69
пусть tyn(x) любые ортогональные и нормированные в промежутке
iiiuuuLiu Нллги u*Ti хя хя*
пусть tyn(x) любые ортогона
(а, Ь) ограниченные функции:
и пусть
причем
Тогда система B6) будет вполне регулярной. В самом деле,
ь ь
я
i С*) !
В силу этого, если ввести
то система B6) перепишется так:
A=1, 2, ...),
B9)
C0)
C1)
C2)
причем она, очевидно, вполне регулярна, так как ввиду неравенств C0)
ОО 00 00
kzt.i k ~ф- i
Приведем теперь несколько примеров задач математической
физики, решаемых с помощью бесконечных систем.
4. Пример 1. Смешанная граничная задача для уравнения Лапласа.
Рассмотрим следующую граничную задачу. Найти функцию гармоническую
В единичном круге (рис. 2), для которой на половине контура окружности

70
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [гл. I
заданы значения самой функции, а на другой половине—значения ее
нормальной производной:
да
д?
l=/(8) при —
те
ПРИ -тг
При этом для упрощения вычислений предположим условия симметричными
относительно оси ОХ, т, е.
/(-в) «/(в),
Искомое решение, ввиду симметрии относительно оси OXf ищем в форме
ряда
со
«== \ An
rn cos nb.
На основании первого условия
должны иметь:
A,cos«е=/F), -|<
Функции 1, cos28, cos48, ...
образуют полную систему в
промежутке (—те/2, те/2) (по отношению к
четным функциям); помножив
поэтому написанное равенство на
каждую из этих функций и
проинтегрировав в пределах от —тс/2 до х/2,
найдем требуемую систему для
определения неизвестных коэффициентов Ап. Для окончательного составления
этой системы вычислим прежде всего
Рис. 2.
- n/2
я/2 п/2
С cosfcO cos2<8dO = ~ f [cos(fc + 2i)8 + cos (k —20 6] ^6 »
/2 /2
It
"
0
при й = 2/ = 0,
при ft = 2/ (г> 0),
при **=2y
(-1)^/2 Bу+1)
при fts=2y+ 1.
Введем еще обозначение
к/2
aH=z С /(8) cos2*8 d9 (i = 0, 1, 2, ...),

§ 31
4. ПРИМЕР 1. СМЕШАННАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА
71
тогда получающуюся систему уравнений можем записать в виде:
2 * 1 л 2' 3 л , 2 • 5 л 2 • 7
|~77 ' ~""зТз 8"^5Т5 5"~'7~7
«о,
тс
7
2-1
.1?
1-5
2^5
2*5
5-9
2-7
— Ь7
О —20 A +20 1~*~ C — 20 C + 20 3^'"
B;+1-
+20
(а)
Далее, граничное условие на второй части дает нам:
= ср F) при тг
Помножим здесь обе части равенства на cos 2/(8 — %) = cos 2/8;
соответственный интеграл будет отличаться от предыдущего только знаком, а именно
3/2л 5/2г
cos /гО cos 2/8 db = f cos (ДО — fcr.) cos B/8 — 2frc) rfO =
3/271
it/2
cos Лв cos 2/0 rfe.
Если теперь, кроме того, введем обозначение
3/2*
р*!== \ <р (б) cos 2/0 rf0,
it/2
то полученная система уравнений будет:
> 12 о . 02 о . S2 2 . 72
-^~Л! + з_
2-1а . 2-32
2-52
" 3-7
2-7а
' 5-9
—20A +20
'
— 2/)C
B;+
1+20
(Ь)
Произведем некоторое преобразование полученных систем. Исключим
Прежде всего неизвестные Д2| Аь ..., для чего каждое (/- е) уравнение

72
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА
[ГЛ. I
системы (Ь) разделим на 21 и вычтем из него соответственное уравнение
системы (а); первое уравнение системы (Ь) перепишем без изменений. В
результате придем к системе
2-1 А , 2-3 . 2-5 „ . 2-7 . 0
2-1
2-1
Л A J_ Л Л
, 2-3
¦-3.4 Л1Т-1
2-5 л , 2-7
'-"Г4Л5+374
—20 2/
(_3
C — 20 21
(с)
Умножим теперь еще /-е уравнение (i^O) на /, а первое разделим на 2
и введем новые неизвестные:
-i B/—1); ...
Для них получим систему
5 ^ 7
В\
__ В\ Вз __ В$ __ Вт Je о
__5 —3—1 1 2 б>
В этой системе возьмем полусуммы первого и второго уравнений,
второго и третьего и т. д., при этом в некоторых из полученных уравнений
изменим знаки, тогда будем иметь окончательно
п &8 В* Вп 1 ,п , р 0 ч
ьз
1-3
(e)
Такой переход от системы (d) к системе (е) является законным лишь
на половину, именно: всякое решение системы (d) будет удовлетворять,
очевидно, и системе (е); за обратное мы, однако, поручиться не можем.

§ 3] 4. ПРИМЕР 1. СМЕШАННАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА 73
Последнюю систему (е) мы рассматривали в качестве примера в nQ 3
§ 2 C3) и там было установлено, что эта система имеет наверное
ограниченное решение, если свободные члены имеют порядок не ниже —. Так как
справа у нас стоят величины р2|- и 2ia2f-, т. е, коэффициенты Фурье функций
ср (8) и ~? то достаточно потребовать, чтобы эти функции были
ограниченной вариации. После того как числа Bi, #з, ••• будут определены из
последней системы, по ним можно найти числа Ait Лз, ..., а по этим числам можно
из системы (а) найти Л0) Л2, Л4, ... Однако, чтобы доказать, что
полученные значения А{ действительно дают решение первоначальной задачи,
ограниченность чисел В21~1 недостаточна. В самом деле, например, при
свободных членах -р ~- в /-м уравнении получим решение ?2;_i = 1; очевидно,
однако, что это решение не удовлетворяет системе (d), так как при его
подстановке ряды в правой части оказываются расходящимися. Поэтому
нужно сделать более сильное ограничение относительно свободных членов
системы (е).
Предположим, что свободные члены системы имеют порядок не ниже
1 К
т=^\ т. е. j р2л_21 и |2/га2я_2| не превосходят — ; в таком случае
п Уп п Уп
можно показать, что решения будут порядка не ниже ———, т. е.
к
|#2Л_1 |<~~гт.*) Докажем, что эти решения системы (е) удовлетворяют и
/я
системе (d). Прежде всего ясно, что подстановка их в уравнения системы (d)
дает в левых частях сходящиеся ряды с общим членом порядка не
ниже 1/яаЧ Рассмотрим n-е уравнение системы (d) и оценим его левую часть,
пользуясь тем, что |#2rt-il <—7="« ^Ри этом ПРИ оц.енке мы воспользуемся
Уп
У
заменой суммы на интеграл, подобной той, которая проводится при выводе
интегрального признака сходимости рядов Коши. Имеем, беря абсолютные
величины,
В
*) Для доказательства этого достаточно проверить, что подстановка
В2- 1 =——-. в систему (е) дает свободные члены порядка ——, и затем
/л п Уп
воспользоваться сравнением решений (§2, п° 2, теорема 1 E)).

74 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ, I
Правая часть n-го уравнения системы (d) также при сделанных
предположениях сколь угодно мала. Это показывает, что каково бы ни было е > О,
можно найти достаточно далекое уравнение системы (d), которое верно с
точностью до е. Коротко можно сказать, что бесконечно далекое уравнение
системы (d) удовлетворено. Возьмем /г-е уравнение системы (d), которое
удовлетворено с точностью до е. Равенство, получающееся сложением п-го
и (п—})-го равенств системы (d), есть удвоенное (п — 1)-е равенство
системы (е), а потому удовлетворено точно. Отсюда заключаем, что (п — 1)-е
равенство удовлетворено с точностью до е и, продолжая таким же образом,
установим то же самое для всех равенств вплоть до первого. Ввиду
произвольности е можем заключить, что все равенства системы (d) удовлетворены
точно. После этого найдем числа
которые будут порядка не ниже 1/я8/2 и дадут решение системы (с). Далее,
из системы (а) можем найти Ло, Л2) ААу ..,; легко установить с помощью
оценки, аналогичной той, которая проведена выше, что числа Л2п будут
о
порядка не ниже п 2 In n и удовлетворяют вместе с A2n-.i уравнениям
систем (а) и (Ь). Далее,если мы рассмотрим для функций «(г, б) и —~~—-
ряды по cos2raO в промежутках ^^^^У И ~2"^°^ТТС' то 9ТИ
ряды будут сходиться абсолютно и равномерно,1) а потому допустим будет
предельный переход почленно при г—1, что даст в силу равенств систем
(а) и (Ь):
Мы на этом примере наметили, как может быть проведено решение
подобной задачи с помощью бесконечных систем с полным исследованием
получающихся систем. Заметим, что рассмотренная задача может быть
решена иным путем без применения бесконечных систем.2)
К бесконечной системе, но более сложного вида, может быть приведено
также решение более общей задачи:
найти и при условии
' 2 Л"
5. Пример 2. Расчет защемленной пластинки. Известно, что прогиб
тонкой прямоугольной пластинки со сторонами 2а и 2?, защемленной по
J) По отношению к ряду для ^- это, правда, справедливо лишь при
некоторых дополнительных ограничениях.
2) Эта задача представляет предельный случай задачи Гильберта,
рассмотренной в курсе В. И. Смирнова [I], т. Ill, ч. 2, стр. 190 или ниже,
гл. VI, § 4, п°2.

I 3]
5. ПРИМЕР 2. РАСЧЕТ ЗАЩЕМЛЕННОЙ ПЛАСТИНКИ
75
краям и подверженной равномерной нагрузке, представляет функцию а (л:, y)t
удовлетворяющую уравнению
ЛДы^^ + 2аР5? + ^==с; c==lv> C3)
где Р—-единичная нагрузка, N — постоянная, связанная с упругими
свойствами пластинки, а также граничным условиям
~? = 0 при лг = ±д; j> = 0 при у = +
Частное решение уравнения C3), очевидно, будет
ao = -L(a« — x2)(b2~ у2).
Тогда для функции U\—u— ц0 имеем уравнение Л
условия
их = 0 при х = ± а, у =s i #;
з-i =s + — (б2 — у2) при лг = ±л;
ах 4
= ±^(а^-^) при у = +6.
C4)
C5)
i=0 и граничные
C6)
Ввиду симметрии граничных условий, их представляет четную функцию
переменных х и у. Поэтому достаточно будет, если искать решение в форме
ряда, составленного из четных функций, и удовлетворить граничным
условиям при х = + а, у = -)-#, так как при х = — а и jj = — Ъ они будут
удовлетворены автоматически. Разложим далее граничные функции в
тригонометрический ряд, тогда граничные условия можем записать так:
И! = 0 при х = а; «i=0 при у = Ь;
п8
sin n ¦
Zi n»
Я7С
— COS 7T7 J
¦«•a*-
C7)
где <p = 6/o.
Искомое решение пытаемся найти в форме
+ <р»
// (л:,
я «= 1, 3, б, ...
ИГ 1
у 1
C8)

76 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ. I
где функции Н и Hi представляют четные решения дифференциального
уравнения E8), которое было введено при исследовании прогиба свободно
опертой пластинки (§ 1, п° 3), удовлетворяющие, соответственно, условиям
Я (а, лт1) = 0 и Ht(bt nn)=*0:
И (х, tin) = (а + л:) sh ^ (а — х) + (а — х) sh ^
C9)
(У, nn) = (b+y)ui??(b-y) + {Ъ-у) sh
Очевидно, что решение C8) удовлетворяет формально уравнению
i^O и условиям «i=0 при х = а и у = Ь. Мы должны подобрать
теперь коэффициенты Ап и Вп так, чтобы удовлетворить последним двум
условиям C7).
Легко проверить, что
D0)
Отсюда имеем:
са& г VI . /Л (v, птг) «л . ш
Хт
.г 2 ^Л—
[п « 1, з, ... п2 с
сл8 Г
= о-»
=& 2тсЧ
. лтеср -4- sh пщ пп
An —I~L Icos ?г -
в Н(х> я") яв-in I
«¦ch»"*2* Ч"
D1)
Чтобы сравнить теперь выражения D1) и C7), нужно функции И (х, п%)
и И\ (уу пп) разложить в ряды но cos ^- x и cos^y. Имеем:
S* .З"^"*)-. 2 °/С08<Г>. D2)

§ 3] 5. ПРИМЕР 2. РАСЧЕТ ЗАЩЕМЛЕННОЙ ПЛАСТИНКИ 77
где, согласно формулам для коэффициентов рядов по ортогональным
функциям,
ь
(у, як)cos ?^
5 \« 7Tch — smT
./W .
2ЬУ У
—
я о
D3)
1 И (х} пъ) cos ~xdx
Подставляя вместо И w Их ряды D2) в выражения D1) и приравнивая
их к выражениям C7), придем после сокращения на са8 к следующим
равенствам:
92 \1 2 пп
h 1 ~1?—сов2ьУ +
L U3*3 n (V
2
1,3
Г 8 i А nn .
sm
1—1,3,...
Sm2" nn
1t°
n = l, 3, ...
\^ Г 8 i Bn 5 . n% . In Ы 1
2 ЬйГ'7/f» 2" \^ sinTsinTcos2^x
2 _
/i— 1.3, , . . ^ =* 1,3, ...
сп -у
Превращая двойные ряды в ординарные по cos — у и cos^-д: (заменив
при этом / на л, а п на р) и приравнивая нулю все коэффициенты при этих
функциях, приходим после сокращения к системе уравнений
( п* Vdnp* = l,
_ t (/1=1,3,5,7,...) } D5)-
. пп
sin 2-

78 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА
где мы обозначили для простоты
[гл.
ПК , . ПЪ
\- sh —
16
D6)
2
Из системы D5) должны быть определены коэффициенты Ап и Вп, тогда
но ним можно составить решение C8).
Остановимся подробнее на случае квадратной пластинки. В этом случае
й = й;9=4=1;Вп=Лл;рп = ал.
Из двух систем уравнений D5) можно сохранить одну. Для полного
написания этой системы вычисляем аПУ имеем:
~th-===0,45814; as =
16 2
J6ch
^ 16 2
«5=1,96355; ot7==2,74889; oe = 3,53417; au =4,31969.
Для больших й(л^10) можем принять
Пт: лт: -f* sh П% пт. пъ + sh ля Лт:
а== =
Если мы в системе D5) член суммы, содержащий
члену, стоящему вне суммы, то система примет вид
0,70814Л,
(fob"
-(то)'*
,42989 Л
\2б/ х \34/ 8
+&!А
+(?)'*
2.2.355Л,
(§Jл8-
/25\2
2.99889Л,
/81\2 /81\2 /81 \2 /81
\8§J \90/ 3 ' \Т06/ ъ \Т30
121
/' 25 \2 / 25 \а
¦ me; ^9""ii46Jл
/121
1
присоединим к
+...=1,
D7)

§ 31 5. пример 2. расчет защемленной пластинки 79
Эта система, как мы покажем ниже, является регулярной и имеет
единственное ограниченное решение при данных свободных членах. Это
решение может быть найдено как по способу последовательных приближений,
указанному в § 2, так и несколько видоизмененным способом
последовательных приближений, а именно следующим. Отделим члены за главной
диагональю и перенесем их в правую часть; тогда, отбросив сначала эти члены
и решив оставшуюся рекуррентную систему, получим первое приближение
для неизвестных А1у Л8, ... Вставив эти первые приближения в отделенные
члены и решив вновь получившуюся рекуррентную систему, получим
вторые приближения для неизвестных и т. д. Нетрудно установить, что эти
последовательные приближения будут стремиться к тому же главному
решению, что и приближения, получаемые обычным методом. Пользуясь именно
указанным методом, Хенки 1) нашел следующие значения для неизвестных:
Ai =1,4138, Aib = 0,0193,
Л3 ==0,0945, Л17 = —0,0141,
Аь = —0,1093, Am = 0,0103,
А7 =0,0770, Л21= — 0,0077,
Лв = — 0,0510, Л23 = 0,0051,
Ли = 0,0371, Л« = —0,0041.
Л18 = —0,0264,
Теперь,когда постоянные Ль Л3, ... определены, определен и прогиб
пластинки в любом месте а = но + Иь который находится из равенств C5)
и C8), а с, помощью его могут быть найдены также моменты и другие
необходимые для расчета величины. Так, например, прогиб посредине:
ь niz
2
наибольший момент посредине стороны:
Аналогичным образом может быть проведено решение и для
неквадратной пластинки, только в этом случае придется принять во внимание обе
системы уравнений D5).
1) Впервые метод решения задачи о расчете защемленной пластинки
приведением к бесконечной системе уравнений развит Б. М. К о я л о в и-
чем [1]. По поводу приведенного решения и численных данных см.
Б. Г. Г а л е р к и н [3, 4J и [1], стр. 90. Кроме того, см. С. П,
Тимошенко [I] и Хенки [1].
Примеры применения бесконечных систем в других задачах теории
упругости имеются в статьях: Д. М. Волков и А. А. Назаров [ 1 ],
Л. И. Лучинин [1], Н. И. М у с х е л и ш в и л и [31, М. И. Г о р б у н о в-
Посадов [1J, С. Г. Гуревич [1], Бизано и Кох [1].

80
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА
[ГЛ. !
На основании полученного решения Хенки дает следующие численные
результаты, приводя для сравнения результаты для заделанной балки (<р = оо)
ь
1,0
В центре пластинки
My
0,092 pa2
0,148 pa2
0,167 pa*
Mx
0,092 pa"
0,080 pa2
В середине стороны
My
0,205 pa*
0,306 /?a2
0,333 рФ
Mx
0,205 pa2
0,226 pa2
Проведем теперь исследование системы уравнений D7). Докажем, что
эта система регулярная и имеет ограниченное решение, при данных
свободных членах. Оценим для этого сумму модулей коэффициентов (кроме
диагонального) в каждом уравнении системы. Имеем для я=1, 3, 5,...
.« ( п* у _ г „« -ц
я!_Т
J
оо
п
2"
1^ __ т.п
Jo "" 8"
Первая сумма заменена на интеграл и остаточный член по формуле
касательных. Вторая — бесконечная сумма — заменена прямо на интеграл, так
как кривая обращена уже вогнутостью вверх.
Диагональный же коэффициент при неизвестном Ап равняется по
абсолютной величине
я«
1
в том, что ап > -^ легко убедиться, пользуясь D6) I. Деля уравнения
системы D7) на этот диагональный коэффициент ал + -j и перенося все члены,
кроме диагонального, направо, приведем систему D7) к нормальному виду.
При этом сумма модулей коэффициентов при неизвестных в правой части
будет

§ $1 5. ПРИМЕР 2. РАСЧЕТ ЗАЩЕМЛЕННОЙ ПЛАСТИНКИ 81
Это неравенство показывает, что получившаяся система регулярная и
что она имеет, наверное, ограниченное решение при свободных членах
порядка не ниже — , т. е. < --. Но после деления на ап -}- -г , свободные
tni fin 4
члены 1 заменяются на
ПК У
т.е. удовлетворяют этому условию для /^=8. Итак, система уравнений D7)
действительно имеет ограниченное решение, и метод последовательных
приближений представляет сходящийся процесс.*)
Для доказательства единственности ограниченного решения системы D7)
применим метод, указанный в следствии к теореме 116 (стр. 40). Именно,
введем вместо неизвестных Лп новые неизвестные Ст полагая
Ап = пСп (я = 1, 3, 5, ...).
Относительно неизвестных Сп система D7) [см. также D5)) принимает
вид
где штрих у знака суммы показывает, что k не следует придавать
значение fc = n.
Требуется проверить регулярность полученной системы. Для этого
оценим сумму модулей ее коэффициентов. Имеем:
_ 1 ! , LL_J_ ,
"" 2 B + lJrL2 (a + lJ^
(л8
* t ! ] 1 ] J-
^- (д2 + й2J~г 2 4n3J 2 4л8
k = 3, 5, ... , n — 2
1 1
2" J
+ A2J ^ 2 (u2 +l)
xdx I 1 i 1
2 + JC2)8 ^ 2 (rt2 + lJ + 2
,1 f xdx ,
t2 (n2 +л:2J "Т"
1
п О
При этом мы, пользуясь тем, что функция ( 2 .—^s" в промежутке @, п)
\П *\- X )
обращена вогнутостью вниз, сумму в квадратных скобках, соответствующую
п
формуле трапеций (с интервалом Л = 2), заменили на \, а бесконечную сумму
х) Изложенное ниже прямое доказательство единственности решения
предложено П. С. Бондаренко [2]. Ранее Р. О. Кузьминым [2] бы*
ло дано доказательство единственности решения этой системы, опирающееся
на теорему единственности для бигармонической проблемы.

82 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА IPЛ. I
заменили на \ , пользуясь тем, что в промежутке (л, + оо) эта функция
п
убывающая. Поэтому, вводя множитель, стоящий перед знаком суммы,
находим:
L 1 к3
4 *+ 2 (*й+1?^
L (n* + k*)
135
If
~т+т т('+т
Полученное неравенство показывает, что преобразованная система
оказалась даже вполне регулярной, а потому она, а следовательно, и
первоначальная система имеют единственное ограниченное решение.
§ 4. Применение двойных рядов к решению
граничных задач
1. Постановка задачи. Основания метода. Пусть ставится задача:
найти решение уравнения эллиптического типа
M(ti) = f(xty) A)
при нулевых граничных условиях:
Р(и) = 0 на контуре Г B)
и различных свободных членах f(x, у). Заметим, что требование
нулевых граничных условий не уменьшает общности. В самом деле»
если бы граничные условия были не нулевые: Р(и)==ср($) на Г, то,
построив произвольную функцию щ(ху у)у удовлетворяющую этим
граничным условиям, мы для разности их = и — щ имели бы, очевидно,
нулевые граничные условия: Р(и{) = Р(и) — Р(по) = О на Г и
уравнение
М (щ) = М(и) — М (ив) =f(x,y) — M\ щ (х, у)\
т. е. того же типа, что и A), лишь с другим свободным членом.
Для решения поставленной задачи часто оказывается полезным
использование двойных рядов. Предположим, что мы нашли
функции «i>ft(jc, у) удовлетворяющие нулевым граничным условиям
Р[И|,*С*> J01 = 0 на Г C)
и пусть
М[щ, h{x, y)] = vt, k(x, у). D)

§ 4] 2. УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНИКА 83
Допустим, что мы умеем разложить функцию /(х, у) в ряд по
функциям vit k:
fix, у) = 2
i, k
тогда искомое решение граничной задачи можем формально написать
в виде
со
и (х, у)= ^ ai, к и*. * to -V)- <6)
Укажем теперь способ нахождения функций uik(x, у). За них
можно во многих случаях принять с успехом фундаментальные
функции уравнения
Ж(и) = Хя G)
при граничном условии Я(гг) = О. Эти функции, вообще говоря,
ортогональны между собой и образуют полную систему функций
в данной области. Предположим, что подобные функции uit k(x, у) и
числа XL k найдены так, что
M(ui9k) = \itkuitk. (8)
Тогда, если функция f(x, у) разложена в ряд
i, к = 1
то искомое решение и(х, у) пишется в виде
со
и(х,у)= ^ тг; ni. ь{х, У)-
i, k и I
Фундаментальные функции w/>ft часто оказывается возможным
отыскать по методу Фурье.
2. Уравнение Пуассона для прямоугольника. Поставим
следующую задачу: найти решение уравнения Пуассона
Aa=/(jr,-y), (И)
обращающееся в нуль на границах некоторого прямоугольника:
г/ = 0 при х=0у х — а, у = 0> у = Ь. A2)
В § 1 нами было приведено решение с помощью метода Фурье
задачи Дирихле для уравнения Лапласа Ди = 0 при произвольных
граничных условиях. Это решение давало в известных случаях
возможность найти решение и поставленной сейчас задачи относительно
уравнения Пуассона. В этом номере мы даем с помощью двойных
рядов решение задачи в общем случае при произвольной функции f(x, у).

84 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ. I
Поступая как сказано выше, ищем по методу Фурье
фундаментальные функции уравнения
Дк = Хн.
Подставляя в него и = X (х) • У (у), будем иметь:
или
Xй jL_Y"_
для чего необходимо
X" У"
где р и q — постоянные. Определяя далее функции Х(х) и У(у) из
этих уравнений и из граничных условий
X(a) = X{0) = 0; Y(b)= К@) = 0,
найдем, что нетривиальное решение существует только при условии
Р~~ «2 ; 9~ Ь2 \п—\9 2, 3, ...)
и это решение будет
Am (AT) = Sin — -; Yn (у) = Sin -^ .
Функции
«*.n(->f.J') = ^«(-*)-K»(^)=Sin^8in^ A3)
образуют полную систему ортогональных функций в прямоугольнике
(О, а; 0, ft). Далее,
Функцию f(x, у) можем, вообще говоря, разложить в двойной
ряд Фурье,1) т. е. в ряд по функциям ит п:
00
fi*> У)= 2 am,«sin^sin^, A5)
где
а Ь
A6)
J) См., например, И. И. Привалов [1], § 27 или Г. П. Толстое [1'
гл. VII.

§ 4] 2. УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНИКА 86
Тогда искомое решение и ввиду A0) можно написать так:
Полученному решению A7) можно придать несколько иной вид.
Подстави^в в A7) вместо коэффициентов Фурье атп их
выражения A6), получим:
_°°_ # т%х . пну а b
/ ! //71 JT"\ Ii О &
a b
-я
sm —- sm ~~ sin — sin -~
а о а о
m2 , na
?, ч) d5 йРч. A8)
Если рассмотреть отдельно стоящую в скобках функцию четырех
переменных
. WWJf . W1XV . Wtt» . «ТЛИ
sin sm -г— sin sin —•
Q(x,y. 8,4) = -^ 7 ^5
то с помощью этой функции, от свободного члена не зависящей,
решение задачи при любом свободном члене можем записать весьма
просто:
а ь
и(х, у)= J J Q(x, y\ 5, ii)/ft ij)rf5dTt B0)
Относительно функции G(x, у; Е, т;) заметим, что ряд для нее
сходится всегда и дает конечное значение, за исключением случая
% = х\ у—у у когда она оказывается бесконечной логарифмического
порядка. Таким образом, двойной интеграл, дающий и (х, у), является
вообще несобственным, однако подынтегральная функция наверное
абсолютно интегрируема. Функция G(x, y\ I, ?]) представляет, с
точностью до постоянного множителя, функцию Грина для
прямоугольника. *)
Заметим, что с помощью двойных тригонометрических рядов
уравнение Пуассона может решаться для прямоугольника не только в
случае задачи Дирихле, но и при других граничных условиях, например
]) См. Гурса |1],т. Ш, ч. 1, стр. 184.

86 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ. Т
в случае задачи Неймана. Кроме того, с помощью двойных рядов
могут решаться граничные задачи для прямоугольника не только в
случае уравнения Пуассона, но и для всех уравнений второго порядка
эллиптического типа с постоянными коэффициентами, не содержащих
смешанной производной и первых производных, т. е. для уравнений
вида
3. Применение к уравнениям четвертого порядка. Общие
принципы применения двойных рядов к решению уравнений 4-го порядка
остаются те же, поэтому мы ограничимся рассмотрением только двух
частных задач.
1. Свободно закрепленная по краям прямоугольная пластинка.
Дифференциальное уравнение для прогиба ее есть
^$ + 2^-г%)=р{х. у), B2)
где р(х, у)— единичная нагрузка и граничные условия
и = 0> д?~0 "Ри ¦у==0; У~Ь-
B3)
Частный случай этой задачи при р постоянном был уже рассмотрен
в п° 3 § 1. Основные функции, удовлетворяющие граничным условиям,
здесь будут, как легко проверить,
. тъх . ппу . 1 а о ч
sin- —sin-™ (m, /1=1, 2, 3,...).
Поэтому решение ищем в виде двойного ряда
00 ОО
ZV я • 'ия* • пну
2 Am,nsm-Tsm~/,
Применяя операцию iVAA к одному члену, убеждаемся, что
к71m& 1 п2Y k . . mnx . nny /n.4
= N {-? + ?) %A™<» sin T"sm ПГ' B4)
т. е. при подстановке в правую часть этот член приобретает
множитель

§ 4] 3. ПРИМЕНЕНИЕ К УРАВНЕНИЯМ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА 87
Это показывает, что коэффициенты Фурье и(х, у) должны отличаться
от коэффициентов Фурье р{х,у) множителем, обратным по величине.
Таким образом, если
00 СО
х \1 VI . тпх . гту
VY1 dm, n sin —- sin -^
v, ,._ / > _r.—_r-f B6)
ТО
m = I n = 1 V a '
где
йт,« = ~1 \ \ /^('» ^ sin ~^~ sm f^jr & dr\. B7)
о о
Ряд для и(х, у) будет наверное абсолютно сходящимся, причем
д2и б2и
сходятся также ряды для ^~2У -г-*, служащие для определения
моментов.
Рассмотрим в качестве примера изгиб под действием
сосредоточенной силы величиной Р, приложенной в точке х = %, _у = т]. Такую
силу можно рассматривать как предельную для равномерной нагрузки
р
интенсивности приложенной на прямоугольнике (?, S-|-8; tj, г4 -|- S)
при Ь —- G. Найдем предел коэффициента amt п при 8 —* 0. Имеем для
данного случая, пользуясь теоремой о среднем:
СР. тъх . ппу , ,
= й»»sin Т (; + Щ sin Т (Ti +9l8) •8 - 5ft sin I" sin 'У-' B8)
Таким образом, прогиб под действием сосредоточенной силы Р в точке
(?, 7j) дается рядом
00 °° . т%х . п-у .
V 4Р ш-таа-гт
2 -йя; Г!
B9)
Отметим, что для и(х, у) и здесь имеем сходящийся ряд и
предельный переход в и(х, у) был допустим; однако, если бы мы
заменили ат>п на его предельное значение в ряде для р(х, у), мы
получили бы расходящийся ряд, но в переходе к пределу в этом ряде
мы не нуждались.

88 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ. I
Подставим выражение B7) коэффициента amifl в решение ti(x, у),
тогда мы его можем представить в виде:
а Ь
5 X1 X1 a a b b
•ЛпЪ / . / . Ttlli '—'at\ a
NrMb
X
XP& rud\dt\. C0)
Или, если обозначить стоящую в скобках функцию четырех
переменных через О(х, у, ?, tj), то
а Ь
u(x, y)= f ^ G(Jtr, j;, 6, т])/7& 7])rfU7j. C1)
о d
Функция G(x, у, Е, т]) называется функцией Грина для данной
задачи; с помощью этой функции может быть получено в написанном
виде решение для любого вида свободного члена, т. е. для любой
нагрузки. Эта функция представляет, как убеждаемся, сравнивая с B9),
прогиб для случая единичной силы Р= 1, приложенной в точке (i if]),
поэтому и естественно, что прогиб под нагрузкой интенсивности р(х,у)
дается формулой C1). Действительно, прогиб в точке (х, у) иод
действием силы /?(?, y\)dldrh приложенной в точке (?, tj), будет равен,
согласно B9), G(x, у, ?, tj) /?(?, rfid\drb а потому прогиб под
действием всей нагрузки интенсивности /?(Е, tj) дается интегралом C1).
С помощью двойных рядов может решаться бигармоническое
уравнение и при различных других условиях. Примеры таких решений
л применении к безбалочным перекрытиям можно найти в книге Леве,х)
Следует заметить, однако, что получение окончательных результатов
при помощи двойных рядов требует весьма значительных вычислений.
2. Прямоугольная пластинка на упругом основании. Ее
уравнение отличается от обычного уравнения пластинки тем, что к нагрузке
добавляется со знаком минус реакция основания, пропорциональная
прогибу, а потому уравнение будет
УУДДи = р (jc, у) — kNu
или
д4и | д4и ,
= l'<'x> У)-
Граничные условия и нагрузку примем соответствующими случаю
бесконечного безбалочного перекрытия.
Перекрытие представляет бесконечную плиту, в которую на
определенных расстояниях опираются колонны (рис. 3). В основаниях
колонн на плиту действует поэтому, на определенном
прямоугольнике, равномерная нагрузка интенсивности р. Относительно линий
1) Д. Л е в е [1].

§ 4]
3. ПРИМЕНЕНИЕ К УРАВНЕНИЯМ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
89
раздела между колоннами должна быть полная симметрия, т. е. и
является относительно этих линий четной функцией, а потому
граничные условия для и будут:
?=а g = 0 при * = ±«; | = 0, |« = 0 при у = ±Ь.
При решении задачи достаточно, очевидно, ограничиться
прямоугольником ( — а, а\ —Ь\ Ь\
...2а -
аа а\ Щ
Рис. 3.
Правая часть — интенсивность нагрузки р(х, у)— есть функция,
равная р в прямоугольнике (— аа, аа; — Щ, Ь$) и нулю в остальном.
За фундаментальные решения, ввиду четности искомой
функции г/, следует принять
JtTZV
cos '^^ cos —,- (my n = 0t 1,2,.,.),
птх
—
так как для этих функций граничные условия, очевидно, удовлетворены.
Так же как и в предыдущем случае, найдем, что, если ат, „ —
коэффициенты р(х, у) в разложении по этим функциям, т. е. если
00 ОО
Р(х, у)= ^ 2л ат, п cos — cos -|-,
ТО
_ гл №ЪХ Ппу
«т п COS COS —~
т.п а fo

90 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ. I
Для разложения функции р(х, у) в ряд, ее удобно в данном случае
представить в виде произведения функции от одного х на функцию
от у. Очевидно,
р(х, У) =
где ®(х)— функция, равная ]/"/? в (—аа, аа) и нулю в остальном,
а ф(з>) равна Ур в (—b$y b$) и нулю в остальном. Разлагая эти
функции в ряд по косинусам, имеем:
ст = — \ у р cos ах = 1/ /? — sin = —^~ sin /гсяа
т flj « I./яте a Jo /и те
(/и=1, 2, 3, ...),
и, следовательно,
sin тяа
cos
ш~ а
аналогично
Тогда
00 0 . °° °° sin тм sin /z*S cos ^^- cos n-^
sm ля? пъу 4p \ \ a#
cos
тп
П=\ ТП=\ /1=1
Наконец,
.. . °° sm тъа cos ——
а ,
sy +7]
ОО 00
-™ ^ > —^т^'гтттг cos — cos-r

§ 5] 1. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ 91
Заметим, что с помощью двойных тригонометрических рядов могут
с успехом решаться вообще граничные задачи для прямоугольника
в случае уравнений вида
д*а , пд*и ( пд2и
где Л, В, С, Д ?", F—постоянные и 5я —4 АС < О.1)
§ 5. Улучшение сходимости рядов, получаемых
при решении
1. Общие принципы, на которых основаны методы улучшения
сходимости. При приближенном решении многих задач анализа
случается часто, что данный процесс, чаще всего ряд, оказывается
сходящимся весьма медленно, что делает его почти, а иногда совсем,
непригодным для действительного получения решения. Такая медленная
сходимость вызывается обычно наличием особенности в данной задаче.
Общий метод для уничтожения медленной сходимости состоит в
выделении особенности.
Рассмотрим сперва его применение к более простой задаче — о
вычислении суммы медленно сходящихся рядов с постоянными членами.
Пусть нам требуется, например, определить сумму ряда
2°° * _ * л_ * . * ii
W+\ — 2" ^  "Г Jo "Г п
1
Для непосредственного нахождения суммы этого ряда с точностью
0,001 нужно взять в нем 1000 членов. Поступим иначе: выделим из
общего члена низшие степени —, вызывающие медленную сходимость.
Имеем:
п—\
1) Для решения граничных задач, в особенности в случае бесконечных
областей, может применяться аппарат интегралов Фурье. Ряд примеров
успешного его использования в бигармонических проблемах можно найти в
монографии С. С. Г о л у ш к е в и ч а [1]. Эффективный метод численного
нахождения значений осциллирующих интегралов типа интеграла Фурье предложен
М. В. Николаевой [Г]..

92 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ. I
Первые два ряда, медленно сходящиеся, как известно, суммируются
точно и имеют сумму~ и ^, последний сходится столь быстро, что
О Уи
для вычисления его суммы ограничиваемся 4 членами:
у I 1,1,1, 1
Окончательно
Для улучшения сходимости в данном случае и в других аналогичных,
когда общий член есть рациональная функция, можно было бы вместо
рядов > ~з и > -j воспользоваться следующими, еще более
элементарными:
ОО ОО
Jmtt{n+l) '
ОО
1-ШТ
Так, выделяя последовательно из общего члена данного ряда члены
вышенаписанных рядов с соответственно подобранными
коэффициентами имеем:
1 1 . п—\ 1 .
Первые два ряда дают в сумме 1 -J- -у = -^, сумму последнего
находим приближенно:
со
Zm {п2 + п)(п + 2) (п2 + 1) ^ 12 Г20 "т" 2040 »
и окончательно сумма ряда будет равна
ОО
««а
х) Подробнее об улучшении сходимости рядов с постоянными членами
см. А. А. Марков [2] и Я. С. Б е з и к о в и ч [1J,.

§ 51 2. МЕТОД А. Н. КРЫЛОВА 93
2. Метод А. Н. Крылова улучшения сходимости
тригонометрических рядов. *) Всякая функция, удовлетворяющая так
называемым условиям Дирихле, имеет, как известно, сходящийся ряд Фурье:
оо
fix) = у -f 2(а" cos пх + bfl sin
д„ = — \ /(дг) cos nx dx\ bn = — \ f(x) sin nx dx.
—% —Я
Однако коэффициенты а„ и ЬпУ вообще говоря, уменьшаются не
быстро, и тогда ряд Фурье сходится медленно, а потому часто мало
удобен для представления функции. Ряд Фурье будет быстро
сходящимся, если сама функция fix) и некоторое число ее первых
производных непрерывны и периодичны. В самом деле, пусть, например,
fix)> fix)> Гix) и f"ix) непрерывны и периодичны, a fiv(x)
интегрируема. Обозначим через ап w bn коэффициенты Фурье f(x)\ a!n\
ЬУП) ?i\ ЬУП <*\ ЬЧ*Г'() %\ b%f™()
Интегрируя по частям выражения для ап и Ьп и пользуясь
периодичностью f(x)> получим:
ап== 1
1 с ЬП)
— - \ f(x)smnxdx = — —;
пп J J v f п '
п = 1 J Ю si" nxdx = [-1 f(x) 2!?*l u -
Применяя далее те же формулы последовательно для f(x),f"(x),
f"(x), найдем:
Ьп—~п—~ ч*~~ п* ~ 1?-
*) A. H. Крылов [2].

94 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ. I
Числа а{п и Ьп\ как коэффициенты Фурье интегрируемой функции,
стремятся к нулю при п -> оо, а потому ряд Фурье для /(х) сходится
в этом случае быстрее, чем ряд ^д-*»1)
Итак, для того чтобы иметь быстро сходящийся ряд Фурье для
функции, нужно добиться непрерывности ее и ее первых производных.
Этого можно часто достигнуть, выделяя из данной функции
элементарного вида функцию, имеющую те же разрывы, и такую, что и ее
первые производные имеют те же разрывы, что и первые
производные данной функции.
Построение такого рода функций совершается весьма элементарно,
когда разрывы данной функции и ее первых производных имеют
простой характер. Исходим из известного и легко проверяемого
разложения
~V* при — 2*<
при
О при # = 0, 2тс,—2тс,
которое дает периодическую функцию, терпящую разрыв со скачком
величиной к в точке х = 0:
а(+0)-о(-0) = *
и в остальном линейную. Функцию того же вида, но имеющую разрыв
не при jc = 0, а при некотором х = хо(О<]хо<^2тс), представляет
функция с(х — jc0). Последняя функция определяется равенствами:
0 при дг = х0
и ряд Фурье для нее будет:
оо оо
sin п (х — Хо) \ cos nxo sin nx — sin nx0 cos nx
1) Если /(IV^ (x) — функция ограниченной вариации (в частности, если она
удовлетворяет условию Дирихле), то ее коэффициенты Фурье имеют
порядок —, и ряд для f(x) сходится, как \-5.
5

§ 5] 2. МЕТОД А. Н. КРЫЛОВА 95
Для того чтобы получить функцию элементарного вида, имеющую
разрыв в первой производной, интегрируем почленно ряд для
функции а (х); найдем:
X
У
_ (к — хУ , те2 _
4 ] 4
оо оо оо
V Г COS ПХ \х VI 1 "у. COS ПХ ,~
я«1
Так как У —2- оказывается свободным членом ряда Фурье функции,
стоящей слева, то
00 V.
Вводим поэтому окончательно периодическую функцию
00 ОО
-J
COS ПХ
при _
%2 /^ д.42
_^_— 4 при
для которой, очевидно,
Так же, как и для а(х), можно ввести функцию at(x — jc0),
производная которой имеет скачок величиной i: в точке х = х0.
Интегрируя еще раз, введем периодическую функцию
/ ч V sin пх
имеющую скачок во второй производной в точке х = 0. «Таким же
образом можем построить и дальнейшие функции os(x).
Пусть теперь f(x) — функция, имеющая всюду, за исключением
конечного числа точек, ограниченные производные А-го порядка, причем
она сама и эти производные непрерывны всюду за исключением
конечного числа точек, где они имеют разрыв 1-го рода.
Производная (Лг —|— 1)-jto порядка удовлетворяет условию Дирихле. Пусть точки
разрыва функции f(x) есть х\°\ xl?\ ..., Хт# а величины скачков:
— Q) E=1, 2, ..., т,).

96 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА |ГЛ. \
Пусть у у-й производной имеются разрывы в точках УД ,„, х\?
с величиной скачка
h.-f (xs+0)-f (,.-0) ^=12 д;.
Мы можем теперь функцию f[x) представить в виде:
1±
j«i
5 = 1
Функция ср (jc) при этом будет уже непрерывна вместе с k первыми
производными, а (к-{-\уя ее производная удовлетворяет условию
Дирихле. Проверим, например, что <?(х) непрерывна. Сомнение могут
вызывать только точки х'$°\ но в такой точке все члены непрерывны
за исключением f(x) и — hsc(x — xi0)). Однако разность двух
последних функций все же непрерывна, так как, вычитая из предела справа
предел слева, имеем:
[ f(xT + 0) - 1 hso (jtf' + 0 - хТ)\ -
- \/(хГ - 0) -1 fc,a (jc?1 - 0 — х^0)) | =
=/W + 0) -/(^ - 0)-1 А,[о(+ 0)- а(-0)] = 0.
Итак, рассмотренная разность непрерывна, а потому и <?(х)
непрерывна в точке х^0'.
Аналогичным образом можно убедиться и в непрерывности k первых
производных функции cp(Jc); наконец, (k -|- 1)-я ее производная, так же
как и /(*+1) (х\ удовлетворяет условию Дирихле. Поэтому ряд
Фурье для функции <?(х):
cos ллг + ря sinn)
будет сходиться весьма быстро, именно ап и $п бyдyt порядка -^тг" •
Ряд Фурье для функции f(x), если принять во внимание ряды для

§ 5] 2. МЕТОД А. Н. КРЫЛОВА 97
а(х), <зх(х) и т. д., будет:
222
7t= 1 S=\ И—1
со . со
( °
Мы выделили, таким образом, из ряда Фурье функции f(x)
медленно сходящиеся части, которые элементарно суммируются, и в
остатке получили быстро сходящийся ряд.
Чаще, впрочем, приходится решать задачу в обратном порядке.
Именно мы, не имея самой функции, получаем тем или иным
способом ее ряд Фурье, обычно в результате решения какой-либо задачи
математической физики. Во многих случаях оказывается, что этот
ряд медленно сходится, тогда он весьма мало пригоден для
вычисления значений самой функции, для нахождения же ее производных
он вовсе непригоден, так как для них получаются из него
расходящиеся ряды. В этом случае часто удается, не обращаясь к
порождающей функции, в самом ряде провести улучшение сходимости. Это
удобнее всего осуществить, выделяя медленно сходящиеся части из
ряда и суммируя их, на основании известных рядов для а(х— jc0),
Qi(x — х0) и т. д. Разберем два примера.
1. Рассмотрим ряд
sin х , sin Зх , sin Ъх ,
~ I 3 * 5 Г---
Его можно преобразовать так:
со со
2 sin Bfe ~\- l)x VI 1 — cos nn sin nx
2k +1 ~ Zd 2 Т~ ~
СО 00
1 VI sin пх 1 VI sin п (х -— те) 1 , ч I '
1 vi sin пх 1 vi
— Z ~~п т L
Мы видим, что в данном случае этот способ дал возможность
просуммировать ряд до конца. Именно, если воспользуемся
выражением о(х), то найдем, что сумма этого ряда равна
ад =4 [о с*)-о (•*-*)]=
1 Гтс — х ( х\\ п
[)j при
—х 2ъ — хЛ %
_ —J = —Т при
О при д;=
4 Л. Канторович и В. Крылов

98 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ. I
2. Пусть дан ряд Фурье
sin/и;
Выделив из коэффициента низшие степени —, имеем:
п _ 1 » 1 | L_
Я2—1 П ~»713 "»" п&—П*л
После подстановки этого выражения ряд Фурье разбивается на три:
w^ cos n -~ sin nx 9 yi cos n "o"
ОО ЯТС
2 V C0S~2~
~Ъ Lj 5 8 Sitl ПХ*
Пользуясь, как и в предыдущем примере, рядами для о (х) и <j2 (x),
мы можем просуммировать первые два ряда в конечном виде;
9 v^ cos /г 77 sin ял:
5,W = -4
7t ^J П
I Y sin
тс ^^
9 «
cos n -x- sin nx
j V^ sin л (x + уj + sin n(x — ~\
=--? _ =

§ 5] 2. МЕТОД А. Н. КРЫЛОВА 99
Пользуясь определением функций о(х) и <з2(лг) и их
периодичностью, находим легко
Sl(x) =
s»(*)=
Таким образом, окончательно для функции f(x) получаем:
оо
2 V
— 7 2,
1
@
Это представление функция/ конечно, во много раз более удобно,
чем первоначальное, так .как позволяет легко вычислять значения
функции f(x) и ее первых производных.
Заметим, что улучшение сходимости рядов Фурье может
применяться не только по отношению к рядам Фурье рассмотренного вида,
т. е. к рядам Фурье, порождающая функция которых ограничена со
своими первыми производными, но и к рядам Фурье других функций.
Однако тогда для суммирования медленно сходящихся частей
приведенные выше ряды для о(х), ai(x) и т. д. могут оказаться
недостаточными. Во mhofhx случаях здесь можно использовать ряд
cos х -j- -я- cos 2x -{- -=- cos Злг + .,.==
s= — Re [In A — eix)] = — In 12 sin i)
и ряды, получающиеся аналогичным образом, например;
cos 2x ¦_ cos Зх , cos Ax \
= A — cos л:) In 2 sin -| -|- (*| — f) sin лг -f cos x.

100 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ. I
С помощью этих рядов и рядов, указанных прежде, может быть
проведено улучшение сходимости во всяком ряде вида:
00
I (А [—) $тпхо-\-в(~) cos пх0) sin пх-\-
-f (с(—J sin nxo + D\-Л cos ял;0 j cos nx\,
где ЛA/п), ВA/п), СA/п) и D(l/ri) — аналитические функции от
\/п для малых значений аргумента.
3. Ряды Фурье с усиленной сходимостью. Как было указано в
предыдущем номере, периодическая функция, имеющая k— I непрерывных
производных и ?-ю, удовлетворяющую условию Дирихле, имеет коэффициенты
Фурье порядка l/nk+1\ Функция не периодическая, имеющая даже
производные всех порядков внутри промежутка @, 2те),. но такая, что она сама или
одна из ее производных имеют различные значения при лг = О и х = 2те,
имеет медленно сходящееся разложение. А. С. Малиевым 1) был предложен
способ получения быстро сходящихся тригонометрических рядов, могущих
служить для представления функций, этого вида.
Пусть функция f(x) задана в промежутке @, те) и имеет в нем
непрерывные производные до (к—1)-го порядка и k-ю, удовлетворяющую
условию Дирихле. Эта функция" может быть разложена в ряд по sin 2пх и cos 2пх%
либо же она может быть разложена в ряд по одним sin плгили по одним cos nx>
что соответствует нечетному или четному ее продолжению на промежуток
(— те, 0). Эти ряды будут, однако, вообще говоря, сходиться медленно. Если
мы не заинтересованы в специальном характере тригонометрического ряда,
с помощью которого желаем представить f(x)t то мы можем продолжить
ее на промежуток (—те, 0) любым образом. Мы добьемся порядка \/nk+i в
ее коэффициентах Фурье, если определим ее в промежутке (—те, те) таким
образом, чтобы при периодическом продолжении ее на (—оо, + со)
получалась бы функция, у которой существуют производные до &-го порядка и
k-я производная удовлетворяет условию Дирихле. Для осуществления такого
продолжения достаточно f (х) взять в промежутке (—те, 0) равной у (х),
где «р (х) — полином Bk — 1)-й степени, который в точках 0 и —те имеет
вместе с производными до (к—1)-го порядка значенияг равные
соответствующим значениям/(л:) и ее производных при х = 0 и х = те, именно:
?@)=/@), ?(-*)=/<*),
@) =-/<*-« @), у(*~1} (— те) =/<*-*> (те).
Требуемый здесь полином <р (х) удобнее всего искать в форме:
А. С. Малиев [1, 2].

§ 5] 3. РЯДЫ ФУРЬЕ С УСИЛЕННОЙ СХОДИМОСТЬЮ 101
тогда коэффициенты Ао, At, ..., А^_с, Вц, Bi, ..., B^-i определяются,
очевидно, из следующих двух систем уравнений:
<р' @) = Ь*-М, + и*Л! =/' @),
?" @) = C\k (ft — 1) *»-М0 + Qkn^Ai + C!*M2 =/" @),
Если полином if(x) определен указанным способом, то функция
продолженная дальше периодически, имеет k—1 непрерывных производных
и fe-ю, удовлетворяющую условию Дирихле. Ряд Фурье ее сходится как
l/rcft+1, и так как в промежутке @, г.) он дает функцию f(x)y то для
последней мы и получили требуемое представление.
Пример. Построим быстро сходящийся ряд Фурье для функции
Желая получить сходимость порядка 1/д4, нужно принять ?==3.
Системы уравнений для данного случая принимают вид:
7w /\q « *^Г- j —— % tjQ — ~~" у
Отсюда находим:
. _ 1 . - _ 5 . — 12
5о==:"^' 5l==~2^> ^2=:~*^
тогда

102 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [гл. I
Разлагая теперь в ряд Фурье функцию
{ ч(х) (-*<*<<>),
получим для f{x) в промежутке @, я) требуемое разложение:
240 VI /1 12 \ 1440 VI 1
/(лг) = —г / -—т 2^? }cosnx-\ г- / --
х к8 ^ \ я* тс #D у тс ^мУ Л
я=*1,3,б,... ««2,4.6,...
Этот метод улучшения сходимости может найти применение при решении
задачи о разложении некоторой функции в ряд по данным функциям, не
образующим ортогональную систему, — задачи важной, как мы видели в § 3,
для некоторых методов решения граничных задач. Пусть требуется
разложить функцию g(x) в промежутке @э я) по заданным функциям fn (x). Для
нахождения коэффициентов такого разложения в § 3 был рассмотрен метод
бесконечных систем уравнений. Если воспользоваться улучшением
сходимости, то систему можем составить так. Продолжим функции g(x) и fn(x)
на (— тс, я) и составим для них быстро сходящиеся ряды:
ап cos пх + Ьп sin nx),
4М= 21 {а« cos
Разыскивая тогда разложение g(x) в виде
2 (x) + ...,
получим, после подстановки рядов и приравнивания коэффициентов, систему
уравнений:
Эта система может оказаться более удобной для решения, чем
составленная обычным способом, благодаря тому, что ее коэффициенты убывают
гораздо быстрее.
4. Общие методы улучшения сходимости при приближенном
решении граничных задач.!) Бесконечные ряды, которые мы
находили при решении различных граничных задач, получались в
результате известного преобразования ряда Фурье граничной функции.
Именно, коэффициенты ряда, дающего решение, определялись по
коэффициентам Фурье граничной функции. Таким образом, для быстроты
сходимости ряда, дающего решение, имеет существенное значение
порядок коэффициентов Фурье граничной функции, т. е. в конечном
счете, как мы видели в предшествующем п° 2, правильность
граничной функции, точнее говоря, непрерывность ее и ее первых произ-
1} См. Л. В. Канторович [4, 8]..

§ 5] 4. ОБЩИЕ МЕТОДЫ УЛУЧШЕНИЯ СХОДИМОСТИ 103
водных. Таким же образом и при решении с помощью двойных рядов
уравнений с правой частью, например Дм=/(лг, у)\ ДДи=/(лг, у),
в ряд, дающий решение, входят коэффициенты двойного ряда Фурье
функции f(x, у), и поэтому, для того чтобы обеспечить быструю
сходимость, необходима регулярность функции f(x, у).
Итак, для быстрой сходимости рядов, дающих решение,
существенное, необходимое значение имеет регулярность самой задачи, именно
существование и непрерывность первых производных: 1) у граничной
функции, 2) у функции, стоящей в правой части. Как мы увидим ниже,
выполнение этих двух'условий является необходимым для быстрой
сходимости и при других способах приближенного решения
граничных задач, а не только при пользовании методом бесконечных рядов.
Изложенные соображения приводят к такой мысли. Вместо того,
чтобы улучшать сходимость в рядах, получающихся в результате
решения, поступить иначе — провести сначала предварительное, так
сказать, „профилактическое" улучшение поставленной граничной
задачи, т. е. добиться выполнения двух вышеуказанных условий, а тогда
ряды, получающиеся в результате решения, будут сами собой быстро
сходящимися.
Общий прием для приведения задачи к регулярной состоит в
следующем. Пусть речь идет о нахождении решения уравнения 2-го
порядка эллиптического типа:
. M[u(x9y)]=f(x9y),
обращающегося в данную функцию <р($) на контуре L,
ограничивающем область D.
Будем искать функцию щ(х, у) такую, что
М [щ (х, у)] ;=/о (х, у), щ (х> у) = сро E) на U
причем /0 (х, у) и ср0 ($) — любые функции, имеющие лишь те же
особенности, что f(x, у) и <р ($), т. е. такие, что разности
/С*> У) —/о (х, у) =/i (х, у), ср (s) — ср0 О) = cpi is)
непрерывны вместе с некоторым числом первых производных. Если
такая функция щ(ху у) построена, то, вводя новую неизвестную
функцию
«1 (*> У) = «(*> У) — «о С*. У)>
имеем для ее нахождения уже регулярную задачу:
М[их{ху y)]=fi(x, у), ux(xf y) = yl(s) на контуре L
После того как U\(xt у) будет найдена, добавляя известную
функцию щ [xt y)t получим искомое и. Отметим еще, что
уничтожение особенностей в f(x, у) и в y(s) можно производить
последовательно» Именно, сначала можно уничтожить особенности в f(x} у),

104 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ. I
при этом граничные данные могут измениться, а затем уничтожить
особенности в граничной функции, но тогда, чтобы правая часть не
изменилась, нужно искать щ(х, у), являющуюся решением
однородного уравнения М(и) = 0, Дадим теперь приемы построения
требуемой функции ио(х, у) для уничтожения особенностей того и другого
вида.
I. Устранение особенностей в функции, заданной на контуре.
Пусть функция ср (s), заданная на контуре, имеет особые точки.
Предположим, что она непрерывна вместе с несколькими первыми
производными всюду, кроме отдельных точек, а именно точек разрыва
первого рода самой функции <p(s) и угловых точек кривой а = ср($),
т. е. точек разрыва первого рода производной <p(s) и т. п.
Пусть нам нужно устранить некоторую особенность функции cp(s).
Предположим для определенности, что в точке Ми соответствующей
5 = $1, она имеет.разрыв первого рода со скачком
ср EХ — 0) = а.
Возьмем простого вида область Do, содержащую целиком данную
область D и ограниченную некоторым контуром ?0, имеющим вблизи
точки М\ общую часть с контуром I. Задав на контуре 10 ПРО-
стейшим образом граничные значения, образующие скачок величины о
в точке Ми найдем в области Do решение уравнения М(и) = 0,
удовлетворяющее этим условиям. Тогда, беря для иг за контурные
значения разность между <р($) и значениями ио(х> у) на L, мы и
уничтожаем разрыв в точке Ж. Заметим, что требование наличия
общей части у контуров [ и 10 вблизи точки Mt можно, с
известными оговорками, заменить более слабым требованием, что в точке Mi
контур LQ касается L
В качестве области ?>и удобнее всего пользоваться кругом,
внешностью круга и полуплоскостью, соответствующим образом приставляя
их к данному контуру.
Наиболее удобно этот прием проводится в случае, когда
оператор М(и) есть оператор Лапласа Ди. В этом случае можно
построить решения, регулярные во всех точках, кроме одной, и имеющие
в ней данную особенность.
Пусть на контуре L точка Мх есть точка разрыва первого рода ср ($).
Предположим, что в точке Мх имеется касательная и контур L
вблизи М лежит, по одну сторону касательной. Не ограничивая
общности, можем считать, что точка Мх есть @, 0), а касательная есть
ось ординат, и контур L (вблизи Mi) лежит вправо от нее. Тогда
функция
U, (х, у) = 11 (In z) = ? I [hi (х + ly)\ = т arctg |')
1 (In z) обозначает мнимую часть In z.

§ 51 4. общие методы улучшения сходимости 105
есть регулярная гармоническая функция всюду, кроме начала
координат; в начале координат при движении вдоль контура L она
претерпевает разрыв первого рода со скачком а. Действительно,
при j<0 lirn — arctg ^-= — arctg (— со) = — т;
у _> 0 Л
при j>>0 lim -^ ^ ^4
у-+ 0
так ка$ х^>0 и х представляет бесконечно малую высшего порядка
по сравнению с у при приближении по кривой L Таким образом,
UQ(xt у) имеет скачок величиной о на кривой L и, вычитая эту
функцию, мы уничтожаем соответствующий разрыв у ср (s). Таким же
образом может быть удален и разрыв в производной, только здесь
нужно воспользоваться функцией
У) = - 7 Re {С* + ОО № С* + *У) - 1]} =
= - -? [х Aп У^+7 - 1) - У arcig -f-¦]
Эта функция ?/{f (xy у) имеет в начале координат разрыв в
производной по дуге контура L со скачком величины с*. Нужно, правда,
для установления этого предположить, что касательная к контуру L
непрерывно меняется вблизи Мх и что \\тху~1\пу = 0. Второе из
этих условий наверное выполнено, если в точке Мх конечна кривизна
кривой L Вычитая функцию Щ(х> у)9 мы можем устранить скачок
величины а* в производной. Таким образом, всегда (при сделанных
выше предположениях) разрывы первого рода в самой контурной
функции и ее производной по дуге могут быть устранены, в случае
граничной задачи для уравнения Пуассона Ам==/(д;, у), с помощью
функций Uo (х, у) и US (x, У)-
Заметим, что на самой оси ординат контурные значения функций
Uq(x, у) и Щ(х, у) при приближении со стороны правой
полуплоскости будут соответственно
г
-у при
О при у = О, US (О, у) =
—-?- при j/<0;
-j-y при
2"^ при у < О.
Это показывает, что и в случае, когда вблизи точки Мх контур
имеет прямолинейный участок, можно пользоваться для уничтожения
особенности функциями UQ(x, у) и Uq(x, у).

106 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ. I
Нетрудно построить также и функции, дающие возможность
устранить разрывы в производных высшего порядка. ,
Рассмотрим теперь применение изложенного метода к двум
частным областям, именно к кругу и кольцу.
1. Задача Дирихле для круга. Требуется найти
функцию, гармоническую в круге x2-\-y*^R* и обращающуюся на
контуре в данную функцию <р(9). Решение задачи дается, как мы знаем,
в виде интеграла Пуассона или ряда
00
2 (an™snQ + bnsmne) (-?-)", A)
2
Я= 1
где ап и Ъп — коэффициенты Фурье функции <р(б). Предположим,
что функция <р F) имеет особую точку; пусгь для определенности это
будет разрыв со скачком а при 0 = 0. Тогда коэффициенты Фурье
функции ср (б) ап и Ьп будут порядка —, и написанный выше ряд,
дающий решение, для вычислений не пригоден; также мало удобно
здесь и вычисление интеграла. Следуя указанному методу, мы должны
вычесть из и(х, у) функцию UQ(x, у), которую нужно приспособить
к точке (R, 0). Таким образом, нужно заменить в ней х на R— х и
взять именно функцию
Обозначим через <р0 Ф) ее контурные значения, тогда, вводя x=Rcosti,
у = R sin б, найдем:
Ряд Фурье для функции <роF) будет:
00
то(©) = - 2,-тг-
Теперь нужно определить гармоническую функцию и (г, 0) по
контурной функции
и к полученной функции ut(r, б) добавить
гт/ ч а м У а а г sin 6
V%С*, Л = -arctg^ = -arctg R_r

§ 5] 4. ОБЩИЕ МЕТОДЫ УЛУЧШЕНИЯ СХОДИМОСТИ 107
Мы видим, что в данном случае применение приема улучшения
граничных условий свелось, по существу, к тому, что мы выделили
из ряда A) медленно сходящуюся часть
00
_о_ VI sin nb (r
« L n \R
и просуммировали ее в конечном виде, т. е. провели улучшение
сходимости тригонометрического ряда.
Таким образом, в этом простейшем случае метод улучшения
граничных условий эквивалентен улучшению сходимости
тригонометрических рядов.
Аналогичным образом, если при 0 = 0 функция ср @) имеет скачок
в первой производной величины а*, то нужно из функции и(х,у) вычесть
функцию US (х, у), в которой х заменено на R — х> т. е. вычесть
- ? [(Я - х) (in Y(R - х? +у* -l)-y arctg
В таком случае из контурной функции надо будет вычесть
функцию <р$F), получающуюся из вышенаписанной при подстановке
x—RcosQ; y = RiQ
cos8)(lnRy — 2cos6— 1) —
- i=i R sin б] = — f! Re [(R — Re" »•) (In (R — Re~ ») - 1)].
2. Задача Дирихле для кольца. Функция,
гармоническая в кольце /?i<Cr<C#a и обращающаяся на окружностях r = Rx
и г = /?2 в заданные функции <piF) и <р2F), может быть дана, как
известно из § 1, п° 2, в виде ряда:
U— 2Aп/?1-1п/?2IПГ"г 2 (In/?, — ln^) Г
~ ^v^r4fe cos kQ
H г ь т~ь sin kv\ B)
Здесь 4l) и pi!) — коэффициенты Фурье ^(Q), a 42} и pi2) — cp2 @).
Сходимость вблизи окружностей r — Rx и r = R% будет здесь та же,
что и у тригонометрических рядов функций срх (б) и ср2 F), т. е. весьма
медленная, если функции ух и <р2 имеют особенности.
В данном случае мы не будем проводить улучшение порядка
сходимости, уничтожая отдельные особые точки, а уничтожим в один

108 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА [ГЛ. I
прием все особенности следующим образом. Составим две функции:
и* (г, б) — решение задачи Дирихле для внешности круга радиуса r=Rx
при контурных значениях cpt (8), и и* (г, б) — решение задачи Дирихле
для внутренности круга радиуса r = R2 при граничной
функции ср2 @):
2«
г, 6)=^ j Rl _
_ X)+
B)
= ТГ+ 2 («Р со. » + рР eta «)(-;-
B) °°
+ 2 (Р » + рР ta «)(;)*
fr=*l
Вычтем их из функции и (г, б), тогда для разности ^ (г, б) = и (г, 6)
— «f(r> б) — мг(Л б) контурные условия будут:
v(Rv 0) = -^- | («tf сое Afl
| tf + pP .in
Для определения функции v(r, 6) мы получили задачу того же
вида, что ранее для и (г, б), но здесь коэффициенты Фурье контурных
-~) , поэтому
(
/
ряд B) для функции v(ry б) будет сходиться наверное как
прогрессия со знаменателем ~~. Именно, это будет ряд:
о (г, 8) = —o/lnD._,wP.Jnr —
2 (In/?! — ln/?2) 2 (In ^2 —
В том, что этот ряд сходится как геометрическая прогрессия
со знаменателем RijRb можно убедиться и непосредственно.

§ 5] 4. ОБЩИЕ МЕТОДЫ УЛУЧШЕНИЯ СХОДИМОСТИ • 109
После того как функция v(r, б) найдена, добавив к ней uf (r, б)
и «!(г, б), получим и (г, б); что касается функций и* (г, 6) и и? (г, б),
то при их нахождении с помощью ряда или интеграла Пуассона
можно применить указанные выше приемы улучшения сходимости для
круга, в простейших же случаях они найдутся в конечном виде.
Изложенный здесь прием применим не только для кольца, но и
для других многосвязных областей, и позволяет переходить от
неаналитических к аналитическим контурным условиям. *)
II. Устранение особенностей в правой части. Уничтожение
особенностей функции f{x, у) может быть проведено с помощью
приемов, построенных на тех же принципах, что и выше. Не входя в
подробности, укажем два подобных приема.
1. Пусть функция f(x, у) или ее частные производные имеют
разрывы. Выделим функцию /0(jc, у) простого вида и такую, что
разность f(x, у)—fo(xt у) непрерывна вместе со своими первыми
частными производными. Функцию /0 (jc, у) продолжим в некоторую
простого вида область Д,, содержащую D\ пусть получившаяся
функция есть /о(.*г, у). Для этой функции решим уравнение M(u)=f*
в области Do при любых граничных условиях; это решение и даст
требуемую функцию щ(х, у).
Область Ьо желательно брать такую, для которой мы можем
решить уравнение М(н)=/ с любым свободным членом. Например,
для уравнения Пуассона можно брать прямоугольник. Тогда для
нахождения разности щ = и — «о получится задача с регулярной правой
частью. За функцию /0(х, у) можно взять, в частности, самую
функцию f(x, y)> тогда для щ будем иметь однородное уравнение.
2. Можно поступить и иначе. Для уничтожения данной
особенности / достаточно построить какую-нибудь функцию щ(х, у), для
которой результат операции М (н0) имеет ту же особенность, что и /.
Вычитая щ из и, мы и уничтожим эту особенность.
Например, если М (и) = А« и функция f(x, у) терпит вдоль линии
х = Х\ скачок величиной а (у), за такую функцию можно принять:
— (х — х{)*а(у) при х^хь
0 при х^хх.
Оба приема изменят контурные значения, поэтому после
применения их могут появиться особенности первого рода — в граничных
условиях. Эти особенности могут быть уничтожены рассмотренными
выше (стр. 106) способами. Отметим, что при этом свободный член
f(x, у) уже не изменится.
*) Другие приемы и примеры улучшения сходимости рядов,
встречающихся при решении задач математической физики, можно найти в гл. ХП
монографии Г. А. Гринберга [1].

ГЛАВА И
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ФРЕДГОЛЬМА
§ 1. Замена интегрального уравнения системой линейных
уравнений
1. Основные определения. Интегральным уравнением
Фредгольма второго рода называется уравнение
ъ
т (х) - X J К(х, у) ср (у) dy =/(*),
а
где у(х)— неизвестная функция, К(х, у) — ядро уравнения, f{x) —
свободный член, X — численный параметр. Если свободный член
отсутствует, получаем однородное уравнение
ъ
а
Уравнением первого рода называется уравнение вида:
ь
К решению интегральных уравнений второго рода может быть
приведено большинство граничных задач математической физики.х)
Основных проблем, возникающих при решении уравнения второго
рода, две.
1. Непосредственное нахождение решения неоднородного
уравнения при определенном значении параметра X и определенной или
произвольной правой части.
п По теории интегральных уравнений см. И. И. Привалов [2],
Гурса [1], т. III, ч. 2, В. И. Смирнов [1], т. IV, И. Г. Петровский
Г21. С. Г. Михлин Г41.
Гурса [1], т. III, ч. 2, В
[2], С/ Г. Ми х лин [4].

§ 1] 2» ЗАМЕНА СИСТЕМОЙ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 111
2. Задача о решении однородного уравнения. Однородное
уравнение, как правило, имеет только тривиальное нулевое решение <р (х) = О,
и лишь при исключительных значениях параметра X оно имеет
нетривиальное решение. Эти исключительные значения X называются
собственными значениями для данного интегрального уравнения,
а соответствующие решения однородного уравнения —
собственными функциями. Вторая задача — это и есть задача отыскания
собственных значений и собственных функций интегрального
уравнения.
В приложениях мы встречаемся с решением задач первого типа
при применении интегральных уравнений к уравнениям эллиптического
типа, а с задачами второго рода — главным образом при применении
к уравнениям гиперболического и параболического типа. Следует
указать, что решение второй задачи представляет более трудный и более
общий вопрос — именно, если известны все собственные числа X и
отвечающие им собственные функции, то, как это следует из общей,
теории интегральных уравнений, решение задачи 1 может быть легко
получено.
2. Замена интегрального уравнения конечной системой
линейных алгебраических уравнений. Пусть дано интегральное уравнение
второго рода
ъ
<р (*) — X J К (х, у) 7 (у) dy=f(x). A)
а
Входящий в это равенство интеграл мы можем с помощью любой
формулы приближенного интегрирования приближенно заменить на
некоторое простого вида выражение, не содержащее знака интеграла.
Действительно, всякая линейная формула приближенного
интегрирования имеет вид:
ь п
^ B)
где Ak и xk — постоянные для данного промежутка и для данной
формулы числа, а р — погрешность. При этом обычно Ak^0 и
Например, для формулы прямоугольников:
— а . . 1Ч Ь — а
п
*) Для формул, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем, будем
предполагать эти условия выполненными.
По поводу формул приближенного интегрирования см. А. Н. Крылов
[3], Я. С. Безикович [1], В. И. Крылов [2].

112 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. II
для формулы трапеций'.
=4;; х Ъ\
4;...; хп Ъ\
для формулы касательных:
_Ь — а.
k n >
для формулы Чебышева:
xk = Ь~а + Ь~~а х{п);
Л п
где л:^ —точки Чебышева.
Наконец, для формулы Гаусса:
где xffl — точки Гаусса (корни полинома Лежандра), а Л^ — коэффициенты
Гаусса, составленные для интервала @,1),
После применения формулы B) к интегралу в левой части
уравнения A) приходим к равенству:
п
Т (х) - X ^ Atfix, xk) ? (xk) =/(*) + Хр (х). C)
В частности, полагая в равенстве C) последовательно
X — X^j Х<%} . . . , -^/i»
приходим к следующей системе уравнений, которой удовлетворяют
числа <?(хг) — значения искомой функции в точках xt:
п
Ц - X ^ AkK{xit xk) с? (xk) =/(*,) + XPi (i = 1, 2, ... , я), D)
где pi = p(jcf). Отбрасывая в правой части равенств D) малую
величину р,-, точное значение которой нам неизвестно, мы получим следую-

§ 1] 2. ЗАМЕНА СИСТЕМОЙ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 113
щую систему п уравнений с п неизвестными $ (xt)y 9 (лг2),..., 3 (хд):
? C*i) - * 2 А**(** ^ * (*ft) =f(Xi) (' = L 2, ... , л) E)
xn)=f(xx\
или в развернутом виде:
— Х9 (д
n)=f(x& \ E')
Решив эту систему уравнений, мы найдем приближения 9(
9 (лг3), ..., ф (х„) для значений искомой функции ср (лгО, ср (х2), ... ,
?(Jcn)-1) По этим значениям приближенное значение самой функции
может быть найдено с помощью того или иного приема
интерполирования. В данном специальном случае удобнее всего получить это
значение— 3(лг), — исходя из равенства C), отбросив в нем р (х) и заменив
<?(xt) на <р (atJ. Тогда f(x) напишется в виде:
9 (х) =/(*) + X
г, xk) 9 (xfe).
F)
Очевидно, что точность результата, полученного при замене
интегрального уравнения A) системой линейных уравнений E), будет тем
выше, чем меньшую погрешность мы совершаем, заменяя интеграл
суммой. Точная оценка погрешности, получающейся цри применении1
этого метода, • составляет содержание следующего номера, здесь мы
сделаем лишь несколько замечаний общего характера.
Прежде всего остановимся на выборе формулы механических
квадратур. Ввиду того, что увеличение числа вводимых ординат
неизвестной функции чрезвычайно повышает трудность решения системы
уравнений E), желательно вообще использовать наиболее точные из
х) Замена интегрального уравнения системой линейных уравнений
применялась уже в фундаментальных работах Фредгольма и Гильберта
для теоретических исследований. Там всегда использовалась формула
прямоугольников. Использование этой замены для приближенного решения
систематически проведено в работах финского математика Н и стре м а [1,-2];
последним было предложено также применение в этом вопросе других,
более точных, формул приближенного интегрирования.

114 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. И
формул, именно формулы Гаусса и Чебышева. При этом формула
Гаусса несколько более точна, но зато в формуле Чебышева все Ak
равны между собой, и потому при ее применении система E) имеет
более простой и удобный вид. Отметим еще, что в специальном
случае, когда функции f(x) и К(х, у) периодичны и имеют период,
равный b — а (тогда периодично, конечно, и решение у(х)\ — ту же
точность, что и формула Гаусса, дает формула прямоугольников, и
тогда, конечно, удобнее пользоваться последней. При этом система E)
имеет следующий весьма простой вид, если взять для
определенности а = 0, Ь = 2п:
п— 1
<Р U— - / K[l -—, Л—
/ K[l , Л Ф [
В случае промежутка интегрирования вида (О, Ь\ если ядро
представляет четную или нечетную функцию своих переменных, а
правая часть / той же четности, что и ядро по дг, целесообразно
применение специальных формул для интегрирования четных и нечетных
функций. *) Если неизвестная функция или ядро заведомо обращаются
в 0 на концах промежутка, целесообразно применение квадратурной
формулы А. А. Маркова.2)
Применение высших формул квадратур может быть оправдано
только в случае, если подынтегральная функция правильна (имеет
некоторое число производных). В данном случае нужна, следовательно,
правильность К{х, у) и у(у)У но правильность последней будет
обеспечена, если кроме ядра и свободный член f(x) будет правилен.3)
Полезно указать, что в некоторых случаях, когда в самой
поставленной задаче нет правильности, ее можно все же добиться. Например,
если ядро правильно, а свободный член имеет особенности, то, вводя
новую неизвестную функцию
¦ (¦*) = *(*)-/(¦*)> G)
мы для нее получим уравнение
ь ъ
ф С*) - X J K(x, у) ^(y)dy=l^ K(x, y)f{y) dy, (8)
*) См. Л. В. Канторович [20].
2) В. И, Крылов [2], гл. 9, Р. Б. Аккерман [1]
8) Действительно, если, например, существуют и непрерывны fim(x) и
х* У)* т0» дифференцируя п раз по х интегральное уравнение A),
убедимся, что существует я-я производная ср (х):
ъ
J Ю {х$ у) 9 {у) dy +ftm {xy

§ 1] 2. ЗАМЕНА СИСТЕМОЙ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 115
т. е. уравнение того же вида, что и для <р (х), но в котором
свободный член уже правилен.
Рассмотрим еще случай, когда ядро имеет особенность при у = х,
как это часто бывает, именно оно само или его производная Ку(х, У)
терпят разрыв непрерывности при у = х. В этом случае выгодно,
прежде чем заменять интегральное уравнение на систему линейных
уравнений, преобразовать его следующим образом:
Действительно, если теперь рассмотрим второй интеграл, стоящий
в левой части, то мы увидим, что, благодаря наличию множителя
[<рО0 — 9(х)]> обращающегося в нуль при у — х> его
подынтегральная функция оказывается более правильной, чем К{ху у) <рО>), и
замена этого интеграла на конечную сумму более оправданной, чем
ь
для первоначального. Что касается \ К(х, y)dy, то, так как он не
а
содержит неизвестной функции, он может быть вычислен без труда
и даст некоторую определенную функцию х(х). Строя для
уравнения (9) систему уравнений так же, как построена система E) для'
уравнения A), придем к системе:
2
(i=l, 2,..., п\
решение которой дает лучшее приближение в этом случае, чем
решение системы E). *)
Если ядро К(х, у) обращается в бесконечность при у = х, как
это имеет место для сингулярных интегральных уравнений, то i-e
слагаемое в левой части A0) теряет смысл. В этом случае его
целесообразно заменить на выражение, которое получится, если
применить ту или иную формулу интерполирования к функции K(xit _y)X
X [? (У) — 9 (xi)]' В частности, если воспользоваться линейным интер-
*) См. Л. В. Канторович [4]. Здесь указан и другой способ
уничтожения особенности в ядре при у = х.
Другая возможность применения данного метода в случае наличия
особенностей у ядра, основанная на использовании крадратурных формул В. А,
Стеклова, разработана Н. К. Артмеладзе [1]. По этому вопросу см.
также Ни стрём [3]иГильдебрандт [1].

116 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (ГЛ. И
полированием, то выражение K(xt> *2)[?(#j)— ?(•*«)] нужно заменить
на
) Г* (*
Наконец, следует указать, что метод замены интегрального
уравнения на систему алгебраических пригоден также и для приближенного
решения задачи о нахождении собственных чисел и собственных
функций. Именно для решения этой задачи вместо системы уравнений E)
нужно рассмотреть соответствующую однородную систему
= ° 0 = 1. 2,..., и).
Определитель этой системы будет
хп)
хх) 1—ХЛ2/С(х2) х^ ... —\ЛпК(хь хп)
A2)
... \—\АпК(хпУхп)
Приравнивая нулю этот определитель и решая соответствующее
уравнение
А(Х) О, A3)
найдем те значения X, при которых система уравнений A1) имеет
решение {<?(Xi)}f не равное тождественно нулю.1) Эти значения X
и будут приближенными значениями для собственных чисел. Далее,
беря значения X, равные корням уравнения A3), и составляя при
J) Метод раскрытия определителя „векового" уравнения A2), значительно
превосходящий ранее известные, был предложен акад. А. Н. Крыловым
[I]. Другой интересный метод для той же цели был дан А. М.
Данилевским [1]. Целесообразны в применении и непосредственные методы
нахождения соостзенных чисел и векторов матрицы без раскрытия векового
определителя. Наконец, для той же задачи может применяться так
называемый метод наискорейшего спуска, см. Л. В. Канторович [17], 118],
гл. IV, § 4 или Л. В. Канторович и Г. П. Аки лов II], гл, XV, § 2,
Детальное изложение различных численных методов для задачи о
собственных числах матриц дано в книге Д. К. Ф а дд е е в а и В. Н. Фаддее-
вой [1]. См. также И. М. Гельфанд [1], Дополнение 1.

§ 1] 3. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ 117
этих значениях X соответствующие им независимые решения системы
уравнений A1), мы можем получить приближенные выражения для
собственных функций уравнения.1)
Необходимо сказать, что даже в том случае, когда ядро было
симметрично К(х, у) = К(у> х)> матрица системы уравнений A1)
может оказаться несимметричной, что несколько затрудняет решение
уравнения A3). Поэтому здесь целесообразно симметризовать матрицу,
для чего достаточно умножить 1-е уравнение системы A1) на У Ах
и ввести вместо <?(xt) новые неизвестные zi=yrAi^(xi).
3. Оценка погрешности, получающейся в результате замены
интегрального уравнения системой линейных уравнений. Мы
рассмотрим подробно оценку погрешности при решении первой
задачи о нахождении функции ср (дг).
Если обозначить через A/>ft алгебраическое дополнение элемента
г-й строки и k-vo столбца в определителе Д(Х) A2), то решение
системы уравнений E) может быть написано в виде:
^-щ A=1,2,...,*). О4)
Оценим, насколько эти приближенные значения отличаются от
точных значений искомой функции ср(дг) в тех же точках:
Предположим, что функции f(x) и К(х, у) имеют некоторое
число р непрерывных производных; столько же производных имеет
тогда и ср(д:).2)
Обозначим через Н^\ N{s\ M^\ М^ верхние границы
и через Я(о), N(o\ Ж(о) — верхние границы модулей самих
функций ср(лг), fix) и К(х, у), В таком случае могут быть легко оценены
и производные подынтегральной функции К(х,у) у(у)> а именно на
основании правила Лейбница очевидно:
A5)
4) Другой практически удобный путь нахождения собственных чисел и
функций дается в работе Кед лог а [1]. См.'также С. Г. Михлин [4],
стр. 113, Прием, позволяющий указать границы, между которыми заключено
собственное число, дан в работе К о л л ат ц а [3] и его книге 14].
2) См. примечание 3) на стр. 114.

118 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. II
Если обозначить теперь через а максимальную ошибку, которую
ь
мы совершим, заменяя \ К(х, У)ч(у)йу суммой, т. е. максимум
а
модуля величины:
Ъ п
\ К(х, y)<t(y)dy- J ЛпК(х9 xk) cp (xk) = p (*), A6)
a fe=l
так что
|Р(*)|<* Ы^*> A7)
то эта величина а может быть легко оценена некоторым выражением,
содержащим T^s\
Эта оценка может быть произведена с помощью известных
выражений остаточных членов, которые имеются для всех формул
механических квадратур. В частности, имеем, например:
для формулы трапеций
для формулы Симпсона
для формулы Гаусса
(Ь — дум j 1 >2>3,.(/г\3 Ttsn)
°^ 2n + l \(n+\)...2n) # Ь2-3/.#2й*
Во всех формулах эта оценка имеет вид a^knTis\ где &л —
определенный для данной формулы квадратур множитель, не
зависящий от вида подынтегральной функции.
Выведем теперь требуемую оценку. Пусть <р(лг) есть решение
интегрального уравнения A). Значения ее в точках хь .%,.., хп
удовлетворяют системе уравнений:
п
<? С**) - * 2 Л kK(Xi' Хк) 9 (Хк) =f(-Xi
Для решения этой системы воспользуемся формулами A4), взяв
только /С*^)-f~ ^Р* вместо f(xk); найдем тогда:
Сравнивая с A4), получаем:

§ 1] 3. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ 119
п
если через В обозначить верхнюю границу отношения У |Д*,*| и |Д(Х)|,
*=1 -<5. B0)
т. е. такое число, что
Оценка A9) является довольно удобной, так как требующиеся для
этой оценки величины Д/рй и Д(Х) определяются сами собой, когда
производится фактическое решение системы уравнений E). Остается
еще указать предел погрешности, которую мы допускаем в остальных
точках, пользуясь для ф С*) интерполяционной формулой F). В самом
деле, приближенное значение ср(лг) равно:
, xk)B(xk). F)
С другой стороны, точное значение у(х) по C) равно
п
ср(x)=f(x) + X 2 ЛЛ*(*, ^)<р(хЛ) + Щх),
k=\
где |р(лг)|^а. Вычитая из одного равенства другое и пользуясь A9),
получим:
—а)], B1)
так как \ Ak = b — а.1)
Единственным недостатком полученной оценки B1) является то
обстоятельство, что о оценивается через T^s\ в состав же Т^5) входят
Н^\ Н^1\..,, H(s) — границы неизвестной функции у(х) и ее
производных. Однако это неудобство удается устранить, так как эти
границы можно выразить через известные величины М^\ Л/E) и В.
Прежде всего, дифференцируя s раз уравнение A), находим:
ь
т<*> (х) = X J [ *1
*) Это равенство верно для всех квадратурных формул, перечисленных
на стр. 112, и вообще для таких, которые дают точное значение для функции,
равной постоянной.

120 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. П
откуда
| х | 0 _ в) м& + JV(*> E = 0, 1, 2,..,). B2)
Теперь выражение Tis) A5) может быть оценено так:
T(s) = н(о)Му _|_ CJtf A)Ж?-!> + •.. + Я^М(в) < N@)Af(? +
^^ +... + Д/^)Ж(О) -f | X | (ft — а) (Ж@)Ж^ -f
где Ps и Q5 — известные величины. Далее а оценивается, как было
указано выше, через T{s\ и, следовательно, ее оценка имеет вид:
(Р, + Q^(o)), B3)
где Ая — коэффициент при производной, входящий в оценку
остаточного члена примененной формулы квадратур.
Пользуясь неравенством B3), оценку B1) можем переписать так:
\. B4)
Обозначим через 5 верхнюю границу модуля приближенного
решения <?(х).1) Тогда получим:
| т (*) | ^ S+ [М «•> | Ц В (ft - а) + 1] kn (/>, + Qstf"»); X |.
Отсюда и
#«» ^ s+ [Д1(о), х | 5 (ft _ а) + 1 ] kn (Р, + QS^W) | X |.
Далее, преобразуя это неравенство, находим оценку для Н^:
ыо) ^ S+ [М^ | X | В (Ь-а) + 1] 1 X | knPs
— l-lM^\l\B(b-a) +l]\\knQs > {ZO)
верную, если знаменатель правой части положителен. Для этого,
так как kn весьма мало, требуется лишь, чтобы остальные
величины В, Ж(о), Qs, |X| оказались не слишком большими.
В случае, если этот знаменатель положителен, решение cp(je)
оказывается ограниченным, а это сразу позволяет утверждать, • что
J) Величина S может быть найдена непосредственно по (б), но она легко
может быть оценена и через введенные уже постоянные. Действительно,
по A4) и B0)
|?(*;
Далее, ввиду F)
2
Отсюда видно, что последнее полученное выражение может быть принято
в качестве S.

§ 1] 4. пример 121
данное значение X не есть собственное число. Действительно, в
противном случае к у(х) можно было бы добавить произвольное
решение однородного уравнения, которое может быть взято сколь угодно
большим, а тогда неравенство B5) не соблюдалось бы.
Подставляя оценку Н^ из неравенства B5) в B4), можем
получить окончательную оценку | <р (х) — <р (х) \ — точности приближения,
в которой участвуют лишь известные величины.*)
Приведенные оценки позволяют также оценить и погрешность,
сделанную при нахождении собственных чисел и функций по
изложенному способу. Не вдаваясь здесь в подробности, ограничимся
лишь принципиальным указанием. '
Возьмем некоторую область значений X, например круг | X | <^ Ао.
п
Оценим в этой области 2 I А/ д|> пусть эта оценка есть число /?.
и 1 '
П
Тогда в неравенстве B5) можем принять за В величину j~~. Если
теперь значение X будет таким, что
]| X] *wQ,>0, B6)
то X не собственное число. Поэтому собственные значения могут
быть расположены только в области значений X, не
удовлетворяющих неравенству B6). Это замечание и дает возможность оценить
точность приближенных значений для собственных чисел, найденных
решением уравнения Д(Х) = 0.2) Оценка погрешности при
определении собственных функций может быть произведена на основании
подобных же соображений, на которых мы не останавливаемся
подробнее.
4. Пример. Применим рассмотренный выше способ приближенного
решения интегральных уравнений к решению уравнения
1-±
используя при этом формулу квадратур Гаусса.
*) Менее совершенная попытка оценки погрешности при замене
интегрального уравнения системой линейных уравнений была сделана И. А. А к б е р-
ге новым [1]. Несколько более точная, но более сложная оценка была
получена И. П. М ы с о в с к и х [I].
Другая оценка погрешности, основанная на исследовании определителя
Фрсдгольма, дана Островским [1]. Эта оценка относится к применению
формулы прямоугольника и имеет скорее теоретический интерес, С общей
точки зрения вопрос рассмотрен в гл. II, § 4 работы Л. В. Канторовича
[18]. См. также Л. В. Канторович и Г. П. Акилов [1], гл. XIV, § 4.
2) Оценке погрешности приближений к собственным числам, найденных
из этого уравнения, посвящены работы В и л ан д т а [1J и И. II Мысов-
с к и х [3].

122 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [гл. II
Заменяя это интегральное уравнение на систему, при п = 2, и приняв
во внимание, что здесь X = —, ^4i = A> = ¦9*, получим систему E) для данного
случая в виде:
1 \
- -j Ав, з j ? (*s) =/2.
Согласно со сказанным выше, за Xi и лгг взяты абсциссы Гаусса для
интервала @, 1): jcx = 0,2113; х2 = 0,7887. Вычислив значения /<^ =/<* (л:;, лт^),
/^=/(^) и подставив их в систему, приведем ее к виду:
0,7386 f (atj) — 0,2954 $ (л:2) = 0,4434,
— 0,2954 ? (лгО + 0,5343 f (лг2) == 0,2384.
Значения необходимых определителей будут:
0,7386 —0,2954
А =
— 0,2954 0,5343 °'3°74'
0,4434 — 0,2954
0,2384 0,5343
= 0,3073,
0,7386 0,4434
— 0,2954 0,2384
= 0,3071,
откуда
7 (Xi) = у = 0,9997; f (*,) = ^ = 0,9990.
Поэтому приближенное решение в остальных точках по формуле F) дается
равенством:
¦$(*) = ¦! (е°'*Шх 0,9997 + е0'7887* 0,9990) + 1 _ -L (** _ 1).
Точное решение данного уравнения, как легко проверить подстановкой,
есть <f W=b Сравнивая значения этих решений в точках хи лт2, видим,
что разница будет соответственно 0,0003 и 0,0010. Можно, например, найти
еще у @) =0,9997, и опять разница 0,С003. Как видим, приближенное
решение почти совпадает с точным.
Дадим теперь точную оценку погрешности найденного приближенного
решения, пользуясь способом, указанным в п°3.
Найдем некоторые необходимые величины. В'—означает оценку
~ д •
В данном случае Д^ суть элементы определителя Д, и наибольшее
отношение будет
0,7386 + 0,2954 ^9А
0^074 ' '
следовательно, можно принять В = 3,4.

§ 1] 4. пример 123
Разлагая в ряд свободный член и его производные, найдем:
Х)—[ 2х{е i}~2 4 12 48 240 1440 10080 ""
= — (д + J х + 2б я* + 72 х* + 336 ** + " 'у *
Отсюда видно, что за границы функции / и ее производных в @,1) можно
принять:
Далее ядро и его производные будут:
аналогичные выражения имеют производные по у. Поэтому за границы их
в @,1) можно принять
Отсюда
Р4 == NiQ)M^ + QN^M^ + C\N™Mf + QN^My + Nl*}Mi0) <Se< 22,
Q4 L | X | (b — a) {M{(i)Mf + C\M{»Mf +
=8e2 < 60.
rf4
Тогда для производной -^iKi-^y У)<?(у) получаем оценку
где Н10) — верхняя граница <р(.у)- Далее для оценки погрешности при замене
интеграла на сумму находим, пользуясь выражением оценки для формулы
Гаусса (стр, 118) при я = 2:
1 М • 2ч2 Тш
"^ft2i — 5 \3. 4J Ь2.3-4 ""
4320
Наконец, S — верхнюю границу <р~(л:) — можем принять равной 1,4
Действительно, максимальное значение первого члена ? (х) есть -j- (?0>212 +
-|- г0*789) яя 0,9, а максимальное значение следующей разности есть -~-,
Подставляя найденные значения, найдем для И@) следующую оценку:
_ 1,4 + B,72 ¦ 3,4 ¦ 0,5 + 1) ¦ 0,5 ¦ 0,00024 . 22 _
"" I — B,72 • 3,4.0,5 + !)• 0,5-0,00024-60- "" ' *

124 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. II
Наконец, для интересующей нас разности | <р— ?| получаем оценку
= 0,5 • 5,62 • 0,00024 B2 + 60. 1,48) = 0,07.
Как мы видели, в действительности погрешность порядка 0,001 и она
значительно ниже того, что мы сейчас получили при оценке 0,070.J) Однако
проведение оценки установило, например, с полной определенностью, что
Х = 0,5 не есть собственное значение данного интегрального уравнения и
что оно имеет, следовательно, единственное решение.2)
§ 2. Метод последовательных приближений и аналитическое
продолжение
1. Метод последовательных приближений. Рассмотрим
интегральное уравнение второго рода:
ь
9(х)- X J К(х, у)9(у) dy=f(x). A)
а
Метод последовательных приближений для его решения состоит
в следующем. Ищем решение в виде ряда, расположенного по
степеням X:
?(*) = ?о(*) + Ч (*) + **?«(¦*) + ••• B)
Подставляя этот ряд в уравнение A), найдем:
?о (х) 4~ ^?i (х) -\- ^2?2 (.я)-}-...—
ь
=/(*) + * J *(*, у) [?о Су) + *?i Су) + ^ Су) 4- • • •] dy.
а
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях X, получим*
?0 С*) =/<*)>
ь
<Pi (х) = f K(x, у) ср0 (у) dy,
i C)
b
Ь
?2 (х) = J К (х, у) ?! Су) dy,
*) Исключительная грубость оценки в данном примере является
случайной и вызвана тем, что точное решение есть постоянная. Если бы мы
приняли это во внимание, то нашли бы, что в данном случае r<4)=//C0)Afj/4)=?.
Поэтому оценка погрешности оказывается, равной 0,5 • 5,62 • 0,00024 • 2,72 =
= 0,0018, т. е. довольно близкой к действительной погрешности.
2) Здесь рассмотрено приближенное решение интегральных уравнений
типа Фредгольма; методы решения уравнений с неременными пределами (типа
Вольтерра) можно найти в работах: Ш. Е. Микеладзе [2], В. И. К р ы-
л о в [1], У итт е ке р и Робинсон [l]t Г. М. Мюнт ц [1J.

§2]
1. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
125
Из этих равенств можно определить последовательно все функции
9tD <р9 С*)> • • • > именно, если ввести так называемые итерированные
ядра
>У)=\к{ху f)Ki(t,y)dt,
=1 К{х, f)Kt{t,y)dt,
D)
то можем написать следующие выражения для функций
ъ
(р,(х) =/(*); ср„(х) = J Кп{х, y)f(y)dy(n = 1,2,...). E)
а
Ряд B) можем теперь записать в виде:
ь ь
=/(¦*) + х f г (*> У- 1)/(У) аУ> F)
если через Г обозначить ряд, стоящий в скобках:
Т(х,у, Ъ) = К1(х, у) + \Къ(х, у) + ... G)
Функцию Г называют резольвентой уравнения A). Можно доказать,
предполагая ограниченным ядро К(х, у): \К(х>у) \*^М, что ряды G),
F) и B) будут равномерно сходящимися и 9 (у) есть решение уравнения
A), если X достаточно мало, точнее, если X удовлетворяет условию:
*) Можно указать более точные оценки для радиуса сходимости рядов
B), F) и G). Оценка (8) остается верной, например, если М не верхняя
граница К{х, у), а хотя бы такое число, что выполняется одно из неравенств:
ь
- в)} (а)
а
Ь Ь
1 К, (х, у) \<МР(Ь- а)Р'К
(b)
(с)

126 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. II
Если X удовлетворяет неравенству (8), то рядом B) можно с
успехом пользоваться для приближенного решения. Часто требуемые
квадратуры C) можно выполнить точно, тогда получаемый ряд B)
будет сходиться по крайней мере как прогрессия со знаменателем
| X | М {Ь — а). Погрешность, которую мы допустим, если ограничимся
п членами в ряду B), может быть оценена без особого труда. Именно,
предполагая \f(x)\^N> легко получить последовательно, что
*-«)\ (9)
и потому остаток ряда B) после п членов
| А"9п (х) + Х"+1<рй+1 (*) + ... |< I Ч" NM" {Ь - а)" +
Как правило, однако, квадратуры C) не могуг быть выполнены,
и в таких случаях нужно применить формулы приближенного
интегрирования. Укажем наиболее удобный порядок расположения
вычислений при этом.
Выбираем определенную формулу квадратур:
Введем сокращенные обозначения:
Ki.k=K(*i> ¦**); ?<?=?*(**); 9@=?(^i); f{i)=f{xt\ (it)
причем приближенные значения для y{i) и ср^ будем обозначать через
?(/) и ?я}* Тогда равенства C) дают:
Ь
?Р = \ *C*i. У) Ь (У) dy ^
a
и вообще
т
?2)+i=2i4**'.*%*)-
J) Для решения интегрального уравнения, а также для нахождения
собственных чисел и функций его может применяться и другой способ
последовательных приближений — метод наискорейшего спуска. См. об этом
Л. В. Канторович [18], гл. Ill, § 6, а также Л. В. Канторович и
Г. П. Аки лов [1], гл. XV.

§2]
1. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
127
Вычисления по этим формулам удобнее всего расположить в та*
блицу:
*а
Хт
1
ЬЛтКг,т
2
ХЛАГМ
ХЛ2АГ2, i
X АтК2, т
...
т
Xi4a/Cm> 2
^АтКт,т


рольный
tff
/Cm
<Р(о81
Ху<"
х?*
^2
X2 ^(т)
Х^3*
Эта таблица составляется следующим образом: 1) Вычислив
значения ядра в точках (xi9 xk) и помножив на множитель \Ak>
составляем квадратную таблицу. За ней следует контрольный столбец
о котором будет сказано ниже. 2) Значения функции / в точках Xi
дают нам первый столбец, следующий за контрольным. 3) Для
вычисления элементов второго столбца поступаем так: помножаем
элементы первого столбца, следующего за контрольным, на элементы
первого столбца таблицы и складываем эти произведения, находим:
A3)
Помножая таким же образом элементы того же первого столбца,
следующего за контрольным, на элементы второго столбца таблицы,
находим:
Продолжая таким образом, вычисляем весь второй столбец,
следующий за контрольным. 4) Третий столбец, следующий за контрольном
(столбец <Ра)> вычисляется точно так же, как второй, только вместо
первого столбца, следующего за контрольным, нужно пользоваться
вторым, например;
« У

128 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. II
5) Вычисления нужно вести до того момента, пока элементы
последнего столбца не сделаются столь малыми, что ими можно будет
пренебречь. После эгого, складывая элементы найденных столбцов
по строкам, получаем последний столбец — приближенные значения
искомой функции <р в точках xt:
* x«f (о . A5)
В том, что ряд сходится при условии (8), можно убедиться без
труда. Пусть |ср<') j = |/. |^N. Тогда
Продолжая так, найдем \у№\ ^N[M\l\(b — а)]п, т. е. ряд A5)
действительно сходится при условии (8).1)
Контроль произведенных вычислений удобнее всего производится
на основании следующих соображений. Ввиду прежних формул,
имеем:
т mm
2 xw>= 22
Поэтому, если составим дополнительный столбец величин
получающихся суммированием строк квадратной таблицы
(контрольный столбец), и составим суммы вертикальных столбцов, следующих
за квадратной таблицей
i=\
х) Сходимость процесса последовательных приближений к решению, при
применении специальных формул квадратур, при одновременном увеличении
числа используемых точек, в пределах области, определяемой
неравенством (8) или более точными неравенствами (см. прим. на стр. 125) была
установлена в работе Н, М, Крылова и Я. Д. Т а м а р к и н а [1].
Применение метода последовательных приближений специально для
численного решения интегрального уравнения рассеяния света дано в работе
Е. С. Кузнецова и Б. В. Овчинского [1].

§2] 1. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 129
то, умножая контрольный столбец на столбцы за таблицей, мы должны
получить величины Хер*, )Ар*, ..,, например:
Х*ср*;... Об)
Этот способ дает, следовательно, возможность проверки после
вычисления каждого из столбцов.
Проверка правильности полученного решения может быть
произведена еще другим способом. Пользуясь выражением для &{|) и Ц1^
находим:
2
т
Следовательно, найденные значения <р(|) должны быть решениями
системы обыкновенных уравнений первой степени:
,., *)?<*> =/<<>. A7)
Чтобы проверить, что <?('} действительно удовлетворяют этой
системе, нужно вычислить, посредством умножения столбца ®{k} на
квадратную таблицу (подобно тому, как мы поступали с каждым
т
столбцом), столбец величин 2 ^AkKi ftS(fe), которые должны оказаться
равными ср@ —f{i\
Система A7) совпадает с той системой E), которую мы
рассмотрели в § 1. Таким образом, способ вычислений, которым мы здесь
пользовались, есть не что иное, как применение особого способа
решения системы A7) — способа итераций, который практически обычно
более удобен, чем непосредственное ее решение.
Так как способ последовательных приближений дает в
результате решение системы A7), то строгая оценка погрешности,
получающейся в результате решения по этому способу, может быть
произведена с иомошью формул п° 3 § 1.
Практически оценку погрешности полученного решения можно
произвести и иначе. Прежде всего, с помощью той или иной
интерполяционной формулы, например формулы F) п° 2 § 1, можно,
пользуясь найденными числами ^к\ получить приближенное выражение
5 Л. Канторович и В. Крылов

130 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. И
т
для ср(лг) во всем промежутке: ср(лг)=/(л:) + Х 2 AkK(x> xk)9ik)-
Для проверки того, насколько точно у(х) удовлетворяет
интегральному уравнению, можно ее подставить в интегральное уравнение, но
интеграл заменить на сумму по другой формуле квадратур:
т*
и проверить, какова ошибка при нескольких значениях х.
Мы рассматривали сейчас вопрос о приближенном решении
уравнения с определенной правой частью f{x). В случае же, если одно
и то же уравнение приходится решать для различных правых частей,
то выгоднее построить резольвенту. Для этой цели нужно составить
итерированные ядра Ks(xf у). Если ввести в рассмотрение числа
K{i% = Ks(xi> xk) и через К{?\ обозначить приближенные их
значения, то будем иметь следующие формулы для последовательного
приближенного вычисления их:
Эта формула показывает, что если значения ^sKi% выписывать в
виде матрицы, то каждая матрица получается из предыдущей
посредством умножения на матрицу || \AkKjy k II- Это дает возможность
построить схему вычислений, аналогичную рассмотренной выше, и дать
такие же правила контроля. Складывая все построенные матрицы,
получим матрицу значений для резольвенты:
г,-*=*,^*
С помощью матрицы ||Г,-, *|| решение для любого свободного
члена f(x) может быть построено по формуле:
Ъ =/"> + X
Мы не останавливаемся здесь на дальнейших подробностях.1)
*) Приближенному решению интегральных уравнений при малых значениях
параметра посвящена также работа Д. Ю. Панова [1]. В этой работе
рассматривается применение метода С. А. Чаплыгина и к нелинейным уравнениям.
Приближенное решение нелинейных интегральных уравнений
рассматривается также в работах А. Н. Балуева [1], В. П. Ветчинкина [1],
Д. М. За гадского [1] и Л. В. К а н т ор о в и ч а [18], гл. IV, §3, [19],
[21]. См. также Л. В. Канторович и Г. П. А к и л о в [1], гл. XVIII, §3.
Приближенному решению сингулярных интегральных уравнений
посвящены работы В. В. Иванова [1—3], А. И. Каландия [1J и
И. Д. Софронова [1].

§ 2] 2. ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ 131
2. Применение аналитического продолжения для
приближенного решения интегральных уравнений. Ряд G) для резольвенты Г
представляет разложение ее по степеням параметра X около точки X = О
и будет поэтому сходящимся до первой особой точки этой функции.
Следовательно, ряд будет сходящимся, пока | X | <[ | ^ |, где X, —
первое собственное число ядра. Вследствие этого рядом G) нельзя
пользоваться, если | X | ^> | Х{ |, так как он расходится, и затруднительно
пользоваться, если | X | близок к | Xt |, так как тогда ряд сходится
медленно. В этих случаях оказывается часто удобным, именно когда
нам известно в некоторой мере расположение собственных чисел
интегрального уравнения, применить аналитическое продолжение.
Укажем несколько приемов аналитического продолжения, наиболее
подходящих для данного случая. При этом мы считаем для удобства в
дальнейшем, что Xt= —1; очевидно, всегда можно посредством
замены ХнаХ = — г- этого добиться.
Л
1. Непосредственное продолжение. Решение при |Х|<^1 дается
сходящимся рядом:
Мы можем с помощью этого ряда вычислить значения <р(лг, X) и
производных ее по ^:^9(х» ^)» например при Х = ---. Это
позволит составить разложение решения ср(лг,X) по степеням ( X — у). Это
разложение можно получить и прямо, заменяя в данном ряду X на
+ у) (имея ввиду Х' = Х — -у) и переразлагая ряд по степеням X'.
Расстояние точки X = -j до собственного значения Xt = — 1 равно 1-у,
и потому, если не помешают следующие собственные значения,
полученный ряд по степеням X' будет иметь радиус сходимости 1 -^ и даст
возможность, например, вычислять решение при 1^Х<^2, что было
невозможно с помощью первоначального ряда. Независимо от
расположения других собственных значений, кроме X,, перестроенный
ряд будет наверное сходиться при Х=1, т. е. У = ^у если только
само это значение не является собственным.
Перестроенный ряд имеет следующий вид:
в»

132 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫ* УРАВНЕНИЙ [ГЛ. II
Этим же рядом можно пользоваться и для приближенного
вычисления значений ср в отдельных точках — чисел у^К При этом придется
использовать последовательные приближения $W (см. предыдущий номер).
2. Уничтожение полюса посредством домножения. Предположим
известным, что первое собственное число ядра есть Xt = — 1 и это
есть простой полюс для резольвенты. Например, собственное число
всегда будет простым полюсом, если ядро симметрическое [К(ху у) =
= К (у, х)]. Остальные собственные значения предполагаем ббльшими
чем 1 по модулю. В таком случае функции (X -f-1) Г (х9у, X) и (X -j- 1) X
X ? (х> X) уже не имеют X = — 1 особой точкой, а потому ряды по
степеням X для этих функций будут сходящимися при |Х|<^|Х2|, в
частности наверное сходятся, если |Х| = 1. Ряды же для этих функций
находятся непосредственно, именно:
В частности, при X = 1
Т(х,у, i) = ^
причем перегруппировку здесь произвести нельзя, так как тогда ряд
можег превратиться в расходящийся.
Этими же рядами можно пользоваться и для вычисления значений
резольвенты в отдельных точках, если итерированные ядра
находились численным образом.
3. Преобразование ряда посредством замены переменной. Общая
идея состоит в следующем. Предположим, что мы можем ввести
вместо X новую переменную у\, полагая т] = со (X); X = оз* (т;), где <о
и а)* функции регулярные во всяком случае в круге |т]|<^1, так,
чтобы: 1) начало Х = 0 перешло в начало ?] = 0; 2) точки %уь,...9
в которые перейдут Xlf Х2, ..., были бы^1 по модулю: hij^l,
|т]в|^ 1> ... 5 3) для интересующего нас значения X (при котором
нужно решить уравнение) было бы соответствующее | у\ | = | <о (X) | <^ 1.
Если нам известна такая функция 7] = о)(Х), то, заменяя в ряду
для резольвенты или решения X на о>*(тг|), раскладывая полученный
ряд по степеням т], мы получим ряд, имеющий, в силу условия 2, радиус
сходимости ^ 1, а потому наверное сходящийся при интересующем
нас значении т], для которого И|<О-
Дадим два случая подобного преобразования.1)
1. Пусть известно, что все собственные значения находятся в
полуплоскости Re [X] <: — 1. Преобразуем в таком случае переменную, полагая:
J) Другие возможные преобразования указаны в работе В. Н. К у б л а-
но в с кой [1].

§ 3] 1. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА 133
т. е. беря за о>(Х) функцию, отображающую полуплоскость Re [X] ^ — 1
на единичный круг |т]|^1.
Вводя эту подстановку, получим для Г, например, следующий ряд:
= 2Ку\ + BК+
Этот ряд сходится при |т]|<О> чт0 отвечает всем X из
полуплоскости RefXlS»—1. В частности, для нахождения Г(*, у, 1)
XI
нужно принять Х= 1, а потому т) = >—р-х = -q" 5 следовательно, получим
быстро сходящийся ряд.
2. Предположим, что все собственные числа вещественны и <;— 1.
В этом случае за функцию о)(Х) принимаем функцию, отображающую
плоскость с вырезом от Х = — 1 до —оо на единичный круг, именно
7J = 0)(X) =
/Х+1 +1 •
В таком случае полученный после подстановки ряд по степеням тг]
будет сходиться еще быстрее, чем предыдущий, например X = 1 будет
отвечать т)= ^ _~ =3 — 21/^2^^-. Для построения этого ряда,
1 /2+1 6
как показывает решение предыдущего уравнения относительно X,
оказывается нужным подставить в ряд по степеням X вместо X выражение:
и полученный в результате ряд расположить по степеням т].
§ 3. Применение интегральных уравнений к решению
задачи Дирихле
1. Интегральное уравнение теории потенциала. Прежде всего
приведем вывод соответствующего интегрального уравнения.
Заметим предварительно, что если обозначить через г расстояние
между точками Р(дг, у) и М($, у\), то In г, рассматриваемый как функция
переменных х и у, есть функция гармоническая. В этом можно
убедиться, проверив непосредственной подстановкой, что функция
— ^ = ^ In [(jc _ ^ 4- CV — -ПJ] A)

134 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. И
удовлетворяет уравнению Лапласа
ди==*« + ?1 = 0. B)
дх2 ] ду2 v J
Производные функции и по параметрам ? и т] также будут гар-
ди
моническими; например, для -^ имеем:
дА\л- д* (ди\— д (д
д1)~т~ д*[д1 )~д^\д
Отсюда ясно, что и производная этой функции по любому
постоянному направлению L по переменным 5 и •»], представляющая
линейную комбинацию -^ и -^-, также представляет функцию
гармоническую.
Если обозначить через ср угол, который образует вектор РМ с этим
направлением L, то эта производная, как это ясно геометрически,
будет:
ди 1 дг cos <p
dl~T д!~~г~ '
Итак, —- — функция гармоническая.
После этого предварительного замечания перейдем к рассмотрению
задачи Дирихле. Пусть дана конечная область Д ограниченная
простым замкнутым контуром L Предположим, что уравнение контура
дано в параметрическом виде; за параметр принята дуга s:
x = x(s); y=y(s) @<s^s0),
при этом предполагаем, что функции x(s) и у (s) имеют непрерывные
производные xr (s), у' (s), не обращающиеся в нуль одновременно.
Требуется найти функцию и, гармоническую в области Д которая на
контуре обращается в заданную непрерывную функцию дуги f(s):
n=f(s) на L
Возьмем любую точку М E, у\) на контуре L и обозначим через ср
угол, образованный вектором РМ> проведенным из точки Р(х, у),
с нормалью, построенной в точке М (рис. 4). Тогда, по сказанному
выше, функция у будет гармонической функцией переменных х и у
в области D. Пусть теперь р. ($) — произвольная непрерывная функция,
в таком случае интеграл
2±3 C)
есть гармоническая функция переменных х и у в области D. В самом
деле, вычисляя Л V, можем произвести дифференцирование под знаком

§ 3)
1. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА
135
интеграла, но тогда, так как ji (s) от х и у не зависит, а —^
функция гармоническая, получим Д\/=0. Функция V носит название
потенциала двойного слоя, и \i(s) называют его плотностью. Придадим
выражению V другую форму,
чтобы сделать более ясной
геометрически его структуру.
Обозначим через а> угол,
который образует вектор РМ
(рис. 4) с положительным
направлением оси ОХ. Если
изменять положение точки М, то
угол а) представляет функцию
5, a dm — угол, под которым
элемент дуги ds виден из
точки Р. Но проекция ds на пер- Рис 4.
пендикуляр к вектору РМ есть
ds cos cp, а потому угол, под которым ds видно из точки Р% есть
cos?ds ; итак:
Поэтому выражению V можно придать вид:
1
D)
При этом со представляет функцию s, а также х и у: ш = о> E, х> у);
s0 обозначает полную длину контура L
Примем, в частности, плотность ji(s)=l, тогда V= \ rfco дает,
очевидно, угол, под которым вся кривая L видна из точки А Ясно,
что этот угол равен 2тг, если точка Р внутри D; равен тс, если точка Р
лежит на контуре L, и равен, наконец, нулю, если Р вне контура L:
|2тс, если Р внутри Д
те, если Р на L, E)
О, если Р вне I.
Попытаемся теперь найти решение задачи Дирихле в форме потенциала
двойного слоя,именно попробуем найти плотность [х($)так, чтобы функция
so
и (х, у) = V (J, E) т^ ds F)
о
имела при приближении к контуру значение /($).

136 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. И
Определим, чему равен предел и(х> у), когда точка Р (лг, у)
стремится к точке Ро на контуре, отвечающей дуге равной о, т. е.
к точке Ро [лг (о), у (о)]. Имеем:
lim и (х, у) = lim \ w. (s) tfo> =
Р-Ро Р-Ро QJ
,1) G)
так как V [х (a) doo = ir|x (о). Итак, мы должны иметь:
oJ
so
«1*(<0+$!»(*)?<&=/(а). (8)
О
Полученное уравнение и есть интегральное уравнение для
определения функции (х. Если мы разделим еще на тс, то приведем его
к виду:
so
pi (о)- J *(*, o)lx(s)d5 = i/(a), (9)
где ядро АГE, о), если воспользоваться геометрически очевидным
выражением для угла a>(s, о), может быть записано в виде:
- л = -Т
Заметим, что интегральное уравнение могло быть составлено таким
же образом, если бы за параметр в уравнении кривой L была взята
не дуга s, а некоторый другой параметр L Уравнение имело бы
тогда вид:
(и)
Если ввести в уравнении (9) перед знаком интеграла параметр
? 1
а (а) — л \ К(sf a)ii(s)ds = —f(o\ A2)
Здесь о) (s, a) есть краткое обозначение для w (s, л"(а), у (а)).

§ 3] 1. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА 137
то можно показать, что значение Х=1, которое для нас интересно,
не является собственным числом для данного интегрального уравнения.
Поэтому, на основании общей теории интегральных уравнений,
уравнение (9) имеет единственное решение при любом свободном члене /(а).
Для приближенного решения уравнения существенную роль играет
распределение собственных значений этого уравнения. Прежде всего
можно показать, что они все вещественны. Далее, Х==— 1
—собственное значение для этого уравнения, так как, очевидно, постоянная [a (s) = С
удовлетворяет однородному уравнению, соответствующему
уравнению (9), ибо, как мы видели выше [см. E)],
J
О
Наконец, можно установить, что в промежутке (— 1, 1) собственных
значений нет.!)
Тот факт, что Х=1 не является собственным значением ядра и
между точками — 1 и 1 собственных значений нет, позволяет
утверждать, что все указанные в предыдущем параграфе приемы
аналитического продолжения применимы. В частности, прием продолжения
с помощью домножения приводит к следующему ряду для искомого
решения:
{{ {... A3)
где
So So
$ Н* (И)
Скажем еще несколько слов о третьем приеме. Согласно этому
приему, мы должны ввести в ряду, дающем разложение решения по
степеням X, новый параметр % полагая X = ср (т|), и переразложить ряд
по степеням у\.
В качестве двух возможных подстановок были указаны
1 — 4
и х=
Обе эти подстановки дают удовлетворительный результат для данной
задачи. Применение их не представляет никаких особенностей по
сравнению с общим случаем, кроме того, мы встретимся с ними ниже
в примере, поэтому мы не останавливаемся здесь на них подробнее.
В следующем номере мы рассмотрим подробнее другую подстановку.
*) См. Гурса 11], т. Ill, ч. 2, стр. 172.

138 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. II
2. Метод Неймана. Для нас представит здесь интерес подстановка
X = 1 ^ . Эта подстановка переводит X = 1 в in = ^; X = — 1
— ^ 1 1
в у\ = оо. Наконец, промежутку — -к- ^ *1 ^ т будет соответствовать
Как ясно из сказанного выше, в последнем промежутке нет
собственных значений, а потому ряд по степеням ?] будет иметь радиус
сходимости ^>~2 и наверное будет сходиться при интересующем нас
значении ^ = •9* • Для получения этого ряда по степеням т] мы не будем
пользоваться рядом по степеням X, а непосредственно в данное
интегральное уравнение введем параметр % Имеем тогда:
V
О — -П) V- (о) - -П J K(s, о) (i (s) ds = ^/@),
г °
или, пользуясь тем, что \ K(s, o)ds = —1 [см. E) и A0)], можем
переписать еще иначе:
F(a)]rfS = i=^/(a),>) A5)
где должно быть взято т|= у. Если искать решение этого уравнения
по методу последовательных приближений, то получим его в
следующем виде:
1*(<0 = М°) + М°) + М°)+..- Об)
где
so
0
So
*) К уравнению A5) можно было прийти и проще. Именно, приравняв/(s)
выражение G) перед последним преобразованием, мы получили бы
уравнение A5) при yj= — ,

I 3] 2. метод неЙмлна t39
Ряд A6) для решения задачи Дирихле был предложен еще в 1877 г.
Нейманом.1) Для случая выпуклого контура его сходимость была
установлена еще самим Нейманом с помощью совершенно
элементарных средств.2)
Мы приведем вкратце это доказательство. Как мы говорили
выше, контур будем предполагать выпуклым и притом в узком смысле,
т. е. без прямолинейных участков. Сделаем несколько предварительных
замечаний.
1. Все функции ^Л (а) непрерывны.
Для уо(а) = 2- /(а) это справедливо по предположению. Пусть,
далее, |хЛ(о) непрерывна; для того чтобы убедиться в непрерывности
функции iVt-i(°) при а = а0, рассмотрим ее выражение;
1 1 ?
= T [fti (°) — fti (ао)] + оИ [ft
,
Здесь первый член непрерывен по предположению, а второй также
непрерывен при о = а0, благодаря тому, что первый множитель [|хЛ(а0) —
— [1Л($)] подынтегральной функции обращается в нуль при s = a0.
2. Пусть функция/E) положительна и ограничена: 0 ^f(s) <; /С, тогда
где /г<^1 постоянная, не зависящая от выбора точек ai9 a2 и
функции /E). В самом деле, разобьем контур С на две части: Z/, где
выполнено неравенство
rf to )
ds *""""* ds
и L\ где
rfa) (s, aj) ^ dm (s, a2)
rfs ^ ~ds
1) См. Г у pea [1], т. Ill, ч. 1, стр. 170.
2) Интересно отметить, что ряд, который получается, если разыскивать
решение уравнения A5) в виде ряда по степеням т), и члены которого
представляют линейные комбинации двух соседних членов ряда A6), будет
сходящимся в случае любой области с гладким контуром, как это следует из
приведенных выше рассуждений.

140 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [гл. tt
Очевидно тогда, что |У| окажется максимальным, если мы возьмем
функцию f(s), равной К на V и нулю на V или наоборот.
Останавливаясь для определенности на первом случае, имеем:
Стоящий справа интеграл означает геометрически разность тех углов,
под которыми видна часть I! контура L из точек, отвечающих 5 = ot
и s = o2. Очевидно, каждый член этой разности <:тс и ^0, причем
одновременный знак равенства исключен. Итак, при каждых данных
Oi И Оа
ds ds
Далее, величина, стоящая слева, представляет непрерывную
функцию о, и о2, а потому и верхняя ее граница <^тс. Обозначим эту
верхнюю границу через кк (Л<^1), тогда по предыдущему
и неравенство A8) установлено.
Приведем теперь доказательство сходимости ряда A6), для чего
оценим [хДа). Пусть т^^(р)^М Г|хо(а) = ^/(а) , тогда
$0
о
f f, о—] х
4/,.rrfco(st О!) rfco(S, д8)]//о | Ш ^^(S, ax) flfa> (g, g2) ] ^^
XL й 5i J^+a j L~^^ ^—\ds-
с
Здесь первый член равен -^ [^0(а2) — ft)(°i)] и не превосходит по
модулю -к-(М — т). Во втором члене функция \*<0(s) — т может
играть роль f(s) в предложении 2, а потому второй интеграл не

§ 3] 2. мйтод неймана 141
превзойдет -~h(M — т)\ наконец, третий интеграл равен нулю. Итак,
|(^- m) + ±h(M — т) = р(М — т),
где
р=
Таким же точно образом можно получить последовательно, что
\^Ы-^Ы\^Ш-т)9(. A9)
Отсюда заключаем:
, (а) | =
2*
J
w (С) - ^_, E)]
1 f° da (s,
Ha основании полученного неравенства ясна уже и равномерная
сходимость ряда A6) и то, что полученное решение [х (а) непрерывно.
В том, что р.(о) удовлетворяет предложенному уравнению, можно
убедиться хотя бы непосредственной подстановкой.
Отметим еще следующее неравенство:
B1)
Мы покажем теперь, что если предположить кривую L имеющей
всюду конечный радиус кривизны, то для величины Аир можно дать
вполне точную оценку через известные геометрические элементы.1)
Для этой цели оценим прежде всего снизу ^^ q , которая для
выпуклой области представляет величину положительную. Обозначим
через 0 = 6E) угол касательной к кривой L с положительным
направлением оси ОХ. Ясно, во-первых, что
a (S, о) ] _ 1 db_ I
где /?a — радиус кривизны кривой L в точке, соответствующей s = a.
В самом деле, геометрически -т- есть скорость поворота секущей,
отнесенная к дуге, и потому, очевидно, она равна половине кривизны.
1) См. Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов [1], где содержатся
частично приведенные ниже рассуждения.

142 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [гл. It
Далее, если минимум -?- достигается не при s = o, то в такой
точке должна быть -^- = 0. Вычислим эту вторую производную.
Обозначим через rSt a длину вектора, идущего от точки а к s, а через
a)S) 0 = со (s, о), как и раньше, угол, образованный им с осью ОХ\
имеем:
имеем:
[« М-« Ml %
_ [x (s) — х (a)] sin b — [y(s)—y (a)] cos 0 _
= -— (cos o)St asin 0 — sin uM>9 cos 0) = sin ( ~ <°* <?);
r cos (9 - to) Г^ - jj? j - sin F - a>) i { [a: (s) - * (a)] cos 8 + [y (s) - >> (a)] sin б }
= p =
r cos F — со) -г cos F — <o) sin F — <o) — sin (8 — a>) cos @ — ca)
= -- _
COS @ — со) Г 1 . . ,
= —у-^[г^ + 2вш(—
Отсюда видно, что -з^-а обращается в нуль, только если
cos (a)S) g — 0) = О или sin (co519 — 0) = — Тр^у н0 тогда ^f* °
обращается в или соответственно в ^ . Последнее значение, как мы
видели, i*a принимает в частности при s = o. Итак, ясно, что если
мы обозначим через rf0 максимальное расстояние между двумя точками
кривой, а через /?0 — максимальный радиус кривизны, то минимум -^
будет ^ меньшего из двух чисел -т- и ^-. Геометрически очевидно,
однако, 4TO9d~^5~' а ПОТОМУ> полагая ^-=а, можем утверждать,
что при всех рассматриваемых значениях s и a
^Г^«. B2)

§ 3] 3. МЕТОД Н. М. КРЫЛОВА И Н. Н. БОГОЛЮБОВА 143
После того как получена оценка для ^, легко указать и число
/г<^1, о котором идет речь в предложении 2.
Пусть, действительно, V— некоторая часть контура L
Обозначим L* ту часть L, которая остается после удаления L'. Пусть, далее,
s' — полная длина V и s" = s0 — $' — длина L\ Имеем тогда:
С Г*° <s>g*) d(* <s> qa>1 dc=
J I ds ds ]
С d<& (s, $i) С don (s, <
~ J ds J ds~
—-
Tc — s"<x — s'a =
—с -"•-)=•(¦ -
Таким же образом может быть установлено аналогичное неравенство
для — У, а потому
О^Н*- B3)
Следовательно, за h может быть взято число 1 — k-j? > вычитаемое
имеет здесь простой геометрический смысл: это есть отношение длины
кривой L к максимальной длине окружности круга кривизны.
Для задачи Дирихле может применяться рассмотренный в § I
данной главы метод замены интегрального уравнения системой
обыкновенных линейных уравнений. При этом имеющаяся здесь оценка
для верхней границы искомой функции B1) позволяет с успехом дать
оценку для погрешности, которая получается при применении метода.
3. Метод Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова. Мы рассмотрим
здесь более подробно один из возможных способов замены
интегрального уравнения системой алгебраических, именно способ,
предложенный Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым [I].1) Этот способ состоит
в том, что в интегральном уравнении
so
V- 00 + М V- 00 rfC4Ss'3) ds =/(a) B4)
О
входящий в него интеграл заменяют приближенно следующей суммой:
As
*) Оценка погрешности проведена там несколько иначе,

144 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. II
о
Здесь As есть п-я часть промежутка @, s0): As=~; s( — любые
точки, отстоящие одна от другой на расстояние As, например:
bs_e jS^ . . Bп— 1) . _As
2 2 2 2
Эта замена сводится к тому, что весь интеграл разбивается на
/ As , As\
интегралы по промежуткам (Sj к-, Sj, -f- -у 1, причем в каждом из
этих интегралов выносится среднее значение функции [a(s), при этом
берется значение"^ именно в срединной точке интервала. Итак, заменим
в интегральном уравнении B4) интеграл на сумму и положим в
полученном равенстве последовательно о — su % ..., sn; мы придем тогда
к системе уравнений для определения приближенных значений jjl
в точках s/.
п
? (st) + ± 2 * (*у) V EУ. si> =f(si) 0 = Ь 2, ..., я), B5)
где для краткости положено
к / ч С da (s, Ss) ..
Система уравнений B5) удобна тем, что коэффициенты ее Ay(o(sy,st)
могут быть легко определены даже по чертежу.
Решая эту систему, найдем приближенные значения искомой
функции в точках $,-: ?($*)• Соответствующие точные значения обозначим
через [*($,-). Если мы обозначим через zt разность между ними:
то, как легко видеть, числа zt удовлетворяют системе уравнений
п
где
2pyv^(T4 {27)
7=1 b
Обозначим через /?* максимум величины /? (а) (оценкой этой
величины мы займемся ниже) и оценим числа zt.

§ 3] 3. МЕТОД Н. М. КРЫЛОВА И Н. Н. БОГОЛЮБОВА 145
Преобразуем прежде всего систему B6). Именно, пользуясь
равенством
перепишем ее в виде:
п
2 /о (sj9 si) (zt - zj) + \ R (st). B8)
Эта система уравнений аналогична уравнению Неймана и может
быть решена тем же способом последовательных приближений. Именно
решение zt найдем в форме ряда:
+ ...> B9)
где
=i 2 Д/оE/, s^-zf). C0)
/=1
Сходимость ряда B9) может быть установлена тем же способом
что и для ряда Неймана. Действительно, прежде всего справедливо
неравенство, аналогичное B3):
V (sp sk) I < icA = ic (l - 5^), C1)
0/
если 2' означает сумму, взятую по некоторым, любым образом
выбранным j от 1 до п. Это неравенство справедливо, так как если взять
(As As\
Sj — -к, Sy -j" "о") >
отвечающих тем у, по которым производится суммирование, то
неравенство C1) есть не что иное, как B3). Далее, аналогично
предложению 2, можно показать, что если /у любые числа и О^/у^АГ, то
[ V (sJf st) - Ayo> F> sk)] ff I < nhK. C2)
Для установления этого достаточно разбить сумму на две: 2'
и 2'» относя в одну те слагаемые, для которых разность в скобках
положительна, и во вторую — те, для которых она отрицательна.
Далее при оценке каждой суммы можно заменить ft на К и
воспользоваться неравенством C1).

146 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. II
Оценки для установления сходимости ряда дальше могут быть
произведены так же, как и в способе Неймана [,A9) и B0)], если
только оперировать теперь с суммами, как там с интегралами. Эти
оценки дадут:
¦ 2
/г*
A-1
*
/г _
2 -t-2(l-P) — 2A—Л)
где х — вполне определенная постоянная.
Итак, в точках «г мы имеем:
C3)
Отметим, кроме того, что так как (а.E0 удовлетворяют такой же
системе, как и zt, лишь с другими свободными членами f(s{) вместо
R(si), то ясно, что если N есть верхняя граница |/(s)|, то
|{ifo)Kitf. C4)
Далее для точного решения p. (s), как это следует из
рассуждений, приведенных при изложении метода Неймана, будет выполнена
аналогичная оценка
|ц(*)|<тМ C5)
В результате решения системы B5) мы получим приближенные
значения функции [х в точках si9 в остальных точках ее естественно
определить приближенно на основании B4) как
п
=№ -1 ^ ? (*у) V (sj> *)- C6)
Оценим разницу между этим приближенным решением и точным
. Для этой цели напишем точное равенство
* 00 =f(s) - ±
где /?(s) — остаточный член, который по модулю ^/?*. Сравнивая
это равенство с предыдущим C6) и пользуясь C3), находим:
№(*)—?(*)!<«*+ *Я*. C8)
Займемся теперь оценкой /?*,

§ 3]
3. МЕТОД Й. М. КРЫЛОВА И Н. И. БОГОЛЮБОВА
14?
Для любой функции F(s) имеем:
а + Л/2 а + Л/2
J F(s)rfs-F(a)-fc = J
а —Л/2 а —Л/2
-b^-(s-aJ
где 5* — некоторое среднее значение: a — ^-:
эту формулу для функции
A = i F' (s*) /г3,
-f--^. Применяя
получим:
5у+Д5/2
J
5у-Д5/2
24
max
+ 2 max
+ 2 max
(As)8
24
Q.
При этом постоянную Q легко определить на основании данных
задачи. В самом деле, пользуясь C5) и затем дифференцируя
первоначальное уравнение B4), находим, что:
ds = Мь
где Mi, Мъ очевидно, легко определяемые постоянные. Далее,
значения
~d?' ds*
могут быть также оценены, а потому и все выражение для Q может
быть найдено. На основании этого
1 п«
Д5
„ 24"

148 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [гл. И
Последняя величина и можег быть принята за оценку /?*, а потому
имеем:
- ? (s) | *? R* A + т) < ±±_х (-Ж
После того как плотность |i($) найдена с помощью потенциала
двойного слоя, можем написать требуемое решение задачи Дирихле:
где
(оE, лг, ^) =
Так как точное и приближенное значения и — функции
гармонические, то максимум их разности достигается, когда точка (лг, у)
принадлежит контуру. Но значение приближенного решения на контуре есть
а значение точного решения есть
отсюда разница на контуре будет равна:
Укажем, впрочем, что приближенное решение, полученное в виде
интеграла, можно заменить приближенно суммой, а именно:
я */+Т
1 С
Si
SS 2
где p(Sj) — найденные приближенные значения.

I 3] 4. пример 149
4. Пример.') Рассмотрим в качестве примера применения методов,
изложенных в этом и в предыдущем параграфе, задачу Дирихле для эллипса:
x = acost, y = bsint, 0<*^2ti, (a^b),
т. е. задачу определения гармонической внутри эллипса функции и (х> у),
которая на контуре обращается в заданную функцию g(t): и (a cost, Ъ sin t) =
=zg(t). Эта задача, если искать решение в виде потенциала двойного слоя
приводит к уравнению A1):
2тс
Положим для краткости
Раскрывая это выражение, имеем:
. , . . . . . ,2 cos ~~*ГТ • sin —pj—
и и sin t — о sin т а ж о 1 2.
•-п. arctg = -г: arctg —-. — =
dt a cos t — a cos т dt a o . t + т . т — ^
— 2 sm —^— sm —7у-
1 ,
Или, предполагая #:^а, т. е. исключая случай круга, можем f((t, т)
придать следующий вид, удобный для численных подсчетов:
ab
Будем для простоты предполагать, что условия симметричны относительно
координатных осей, т. е. ?(—0 = ?@; ёЫ+ t\ = g(^ — t\ , тогла
искомая функция р.(/) будет удовлетворять тому же условию. В интегральном
уравнении заменим интеграл суммой следующим образом. Для определенности
выбираем в промежутке @, 2%) 16 точек: 4 точки возьмем в промежутке
1) Этот пример рассмотрен в работе Нистрёма [1], стр. 32. См. также
Берстоу-Берри [1] и С. Г. Михлин [4], стр. 35.

150 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ |>Л. tt
у), пусть это будет tu t2} tZy *4, остальные точки tby tQ, ..., tiQ берем
симметрично относительно осей:
ь*в = « — tu td =7: + ^; t16 = 2n—ti;
t7 = n — t2\ tl0 = n + t2; tn = 2n — t2;
В силу симметрии задачи:
Мы рассмотрим две формулы квадратур: формулу Гаусса и формулу
прямоугольников. Формулу Гаусса применяем для промежутка @, тс) с
восемью ординатами. Тогда абсциссы t5y te, t7 и t% сами получатся
симметричными точкам tu t2, t8i ti. За точки tu t2i t3i tu преобразовав соответствующие
абсциссы Гаусса к промежутку @, те), должны принять:
tx = 3°34'26",09; t2 = 18° 18'0",06; U = 42с42'7",50; U = 73°29'27", 18.
Для промежутка (те, 2тс) мы возьмем ту же формулу Гаусса, только вместо
точек tu ... , *s воспользуемся точками tQ, ..., tu. Формула Гаусса в приме-
нении к интегралу 1 —K{t, t)\i.(t)dt дает:
2« 16
J
0
при этом коэффициенты aki благодаря присутствию множителя — , должны
7С
быть взяты те же, что и для промежутка @, 1) при 8 ординатах, а именно:
ах = а8 == ад = а10 = 0,0506143; а2 = а7 = в10 = а1В = 0,1111905;
я8 = аб = 0и = а14 = 0,1568533; д4 = «5 = ^2 = «18 = 0,1813419.
Подставляя вместо интеграла сумму и полагая T = flf ^2, ..., получим
систему уравнений
16
1 —
2«
1 J Kit,
0
Мы получили систему 16 уравнений для определения 16 неизвестных
f(^) — приближенных значений функции fx в точках ^. Однако в силу
упомянутой выше симметрии можно оставить 4 неизвестных jl (^), jl (?2), p (ifa)» ?• (^4)
и сохранить лишь 4 первых уравнения, так как остальные уравнения их
повторяют.

§ 31 4. пример 151
Группируя члены с каждым неизвестным, можем записать систему в виде:
4
2 1
7С
где коэффициентам В,- ^, пользуясь выражениями tby tQy ,..tlQ через tu t2y
t3y tA можно придать форму
ab Г
tf + b2 .
+ U) jrErp - cos (n-
_L_ _ Cos (тс + tk + ti) а2_ь* "~ cos B7l~tk+ti) |
ab 1
cos (tk ±
при этом последний множитель представляет сокращенное обозначение для
суммы четырех слагаемых, стоящих в фигурной скобке.
После того как в результате решения систем p-(t\)y p. (t2), fl (^3)> Р-(U)
будут определены, можем получить приближенное значение ? (t) в остальных
точках, заменяя в данном интегральном уравнении интеграл на сумму.
Получим:
1 Ь afi (t{)
Для численных подсчетов остановимся на случае а= 1; ^= —. Вычислив
для данного случая коэффициенты В^ k и пользуясь указанными выше
значениями t-t и п{, можем систему уравнений, служащую для определения р (^),
написать в виде:
(X (*!)• 1,125990+ ? (t2)- 0,263037 + {i (^,) -0,311729 + jZ (^4) -0,299244 = -^ff(^),
Д (^) • 0,119735 + /Г (*2). 1,254816 + /X (/f3) • 0,315974 + (X (^4). 0,309480= ~ g (t9),
/I (^) -0,100591 + р (^2) -0,223987 + (Г (^8). 1,321839 + jX (tA). 0,353576 = i- g (^8),
jx (^) -0,083522 + ? (^2). 0,189758 + ? (^8). 0,305828 + (X (/4) • 1,420914 = - g (^4),

152
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
[ГЛ. II
^=1145'
0,300608
0,266309
0,227517
0,205566
0,266309
0,261815
0,244358
0,227517
*з=56015'*4=78°45'
0,227517 0,205566
0,244358 0,227517
0,261815 0,266309
0,266309 0,300608
0,6184474
0,4892463
0,3065284
0,1773273
0,4223938
0,4080378
0,3877361
0,3733809
0,4006101
0,3990146
0,3967589
0,3951642
Чтобы довести вычисления до конца, остановимся и на определенных
граничных условиях. Будем искать функцию и (x,y)t удовлетворяющую условию ')
на эллипсе, иначе говоря, в данном случае
i
В таком случае в правой части нужно подставить:
1
(*2) = 0,147386; — g it*) = 0,104254;
«V <W 71
-Lg(*4) = 0,049428.
Решая непосредственно написанную выше систему четырех уравнений,
найдем:
р(^) = 0,103038; ji(*2) = 0,092859; р. (*8) = 0,054038; ? (*4) = 0,004698.
Подставляя эти значения в приведенное выше выражение для р (t), можно
определить р. и в остальных точках.
В этой задаче можно получить точное решение интегрального
уравнения, это есть
Вычислив для сравнения значения (х в точках tit t2y t8i tit найдем:
p. (tt) = 0,103034; (л (*2) = 0,092859; fx (t3) = 0,054040; ^(^4) = 0,004696.
1) К этому условию приводит задача о кручении стержня эллиптического
сечения, т. е. об определении решения уравнения Ды = — 2 при нулевых
условиях на контуре. Действительно, вводя U\ = и + -^ (х2 + .у2), мы видим,
что функция «1 удовлетворяет уравнению ^ = 0. Упомянем, что для
поставленной задачи о кручении легко указать точное решение, именно
1

§ 3]
4. ПРИМЕР
153
Таблица 1
0,3891895
0,3980119
0,3977612
0,3975844
0,3979204
0,3979003
0,3978724
0,3978531
0,3978903
0,3978877
0,3978846
0,3978828
N
0,3978868
0,3978861
0,3978858
0,3978859
0,3978860
0,3978858
0,3978857
0,3978861
0,3978860
0,3978856
0,3978855
0,3978859
0,3978858
0,3978854
0,3978853
0,3978857
0,3978856
0,3978852
0,3978851
0,3978855
Сравнивая значения fi и (L в других точках, получим расхождение того
же порядка, например:
ji @) = 0,103451; р. @) = 0,103451; fi (j ) = — 0,003985;
p. (y)= — 0,003979.
Применим для решения того же примера ряд, который дает метод
последовательных приближений и его аналитическое продолжение. При этом
требующиеся квадратуры будем проводить приближенно. Тогда, как мы
указывали выше (стр. 127), этот способ представляет не что иное, как
применение способа итераций для решения той системы линейных уравнений,
к которой приближенно сводится решение интегрального уравнения. Мы
здесь воспользуемся только вместо формулы Гаусса формулой
прямоугольников, что допустимо, так как функции /<"(?, х) и g(z) периодичны. Тогда
Таблица 2
fJLj
(Л2
P-3
fX4
(JL3
{JL7
f*8
fX9
№.
X
ДО ТI0
1,000000
0,999983
0,999664
0,996596
0,980338
0,923436
0,786872
0,559264
0,299141
0,104049
0,017341
24
1—7)
1
3
ДО ч\ь
1,000000
0,995885
0,954732
0,790123
0,460905
0,131687
/,!+ 1 \i
, = 3-
до V°
1,000000
0,999998
0,999979
0,999570
0,995129
0,968748
0,875178
0,668391
0,381319
0,138075
0,023178
) 1
-2 f/2"
ДО 7N
1,000000
0,999233
0,980458
0,855813
0,526324
0,152244
до V0
1,000000
0,999023
0,989258
0,945312
0,828125
0,623047
0,376953
0,171875
0,054687
0,010742
0,000976
1-4
1
2
ДО 7]5
1,000000
0,968750
0,812500
0,500000
0,187500
0,031250

154 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. И
коэффициенты В^ ь можно находить но тем же формулам, что и выше,
только ti и аь будут иметь другие значения, а именно
*3 = А я
*4 = — тс = 78°45'; а, = а2 =? аь = я4 = -1 = 0,125.
Последовательное вычисление функций (м, р2,... производим по той
схеме, которая указана на стр. 127. Прежде всего вычисляем значения
Wi, jH* = #i, k и затем последовательно определяем $\ \^\ ... (мы
пользуемся обозначениями, примененными в § 2 п° 1, только роль <р играет jj.).
Результаты вычислений приведены в табл. 1.
Таблица 3
fji (?)=—- B5 + 27 cos 2t) истинное
IDUtc
Подстановка
до V°
ДО 7M
Способ домножения
Т) К + (РО + f*l) +
+ (М-1 +^2) + ...+ ((^4 +М)]
2" [н-о + (f*o + f*i) +... + (р» + fiio)]
Подстановка
до r/o
) 27] • tj ]
до т^
ДО У110
^ 1 ~» 1 0
1 — ?] z
ДО Y]5
«B
?
11
11
i
11
?
0,0993620
0,0993621
0,09931
0,0993623
0,0993620
0,0993628
0,09916
0,0993637
0,09946
?
||
e
=L
II
1
0,0702917
0,0702919
0,07024
0,0702919
0,0702917
0,0702926
0,07009
0,0702925
0,07033
?
II
?
11
11
CO
0,0291802
0,0291803
0,02913
0,0291800
0,0291802
0,0291810
0,02897
0,0291796
0,02914
?
11
Cl
in
?
0,0001099
0,0001099
0,00006
0,0001095
0,0001098
0,0001107
0,00010
0,0001073
0,000014

§ 4] 1. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ 155
Как мы видим, ^ не убывают с увеличением п} поэтому рядом,
составленным прямо по последовательным приближениям, воспользоваться для
вычислений не можем. Применим различные приемы аналитического
продолжения. Во всех случаях мы, после соответствующей подстановки, ряд (х =
= {ао-|-^1 + ^2fJL2 + "- перестраиваем по степеням у\ и затем, сохранив
некоторое число членов ряда, подставляем вместо ?] численное значение,
соответствующее X = 1.
Мы будем сохранять члены до yj5 или до у\10. Получающееся в результате
подстановки значения yj выражение представляет сумму (xt-, снабженных
различными численными коэффициентами. В табл. 2 приведены значения этих
коэффициентов, которые получаются при различных подстановках.
При способе домножения нужно взять все^ с коэффициентом 1 за
исключением последнего слагаемого, которое нужно взять с множителем -у.
Применяя эти приемы к данной задаче и пользуясь вычисленными значениями fi{/\
получаем результаты, которые даны в табл. 3.
Как видим, все приемы продолжения дают вполне удовлетворительные
результаты; наилучший результат дает самый простой прием продолжения,
именно продолжение с помощью домножения. Отметим, что значения
коэффициентов, приведенные в табл. 2, не связаны с данным частным
примером и могут использоваться и в других случаях.
§ 4. Решение интегральных уравнений с помощью замены
произвольного ядра на вырожденное
1. Интегральное уравнение с вырожденным ядром.
Вырожденным называют ядро, которое может быть представлено в виде
конечной суммы произведений:
Для такого ядра нетрудно дать полное "решение уравнения Фредгольма
ь
-*?*С*, У) 9 (У) dy =/(*). B)
а
Прежде всего можем предположить функции а5(лг) линейно
независимыми, ибо в противном случае число слагаемых в выражении
ядра можно было бы уменьшить.
Решение естественно искать в виде:
ЛЛ(*), C)
где Ai — неизвестные пока постоянные.
Введем обозначения:
ь ь
D)

156 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. II
Подставляя выражение <р(лг) C) в уравнение, мы должны иметь:
п b п
» ~ Х ( \ У *s С*) Р, (У)]/(У) dy -
J [
а 5=1
b n n
E)
i,j = ?i (l=U 2, ...>л). F)
Если обозначить через А(Х) детерминант системы F):
5=iy=i
Отсюда, приравнивая коэффициенты при а,-(.я), найдем:
п
А(Х) =
G)
и через A,- k — алгебраическое дополнение элемента &-й строки и i-ro
столбца, то решение системы напишется в виде:
п
"дм *
(8)
|, ft/ft
<р (х) =f(x) + X 2 *
A(t)
=/(*) + х!
2 BA|> *а< (а:) ) $
2".
А(Х)
где
А{х,у, Х)=2 2 Ai.*e*

§ 4] 2. ЗАМЕНА ПРОИЗВОЛЬНОГО ЯДРА ВЫРОЖДЕННЫМ 157
Следовательно, резольвента для уравнения этого рода получается
в явном виде:
Щ$±. A0)
Собственные числа ядра находятся посредством решения уравнения
2. Замена произвольного ядра вырожденным. Возможность
удобного решения уравнений с вырожденным ядром приводит
естественно к мысли о том, чтобы при решении уравнения с любым ядром
заменить это ядро приближенно на вырожденное и решить
соответствующее ему уравнение вместо данного. Подыскание вырожденного
ядра, близкого к данному, может проводиться многими способами.
В частности, в качестве такого ядра может приниматься отрезок
ряда Тэйлора (см. п°3, пример), отрезок ряда Фурье, что, как мы
увидим ниже (п°5), эквивалентно применению метода моментов или
особого приема интерполирования (п°6). Мы займемся сейчас оценкой
погрешности, которая получается при замене данного ядра на
близкое к нему другое ядро, в частности на вырожденное.
Теорема. Пусть даны два ядра k(x, у) и К(х, у) и известно,
что
ь
\\К(*> y) — k(x, y)\dy<h A1)
а
и что резольвента *f(x, у, X) уравнения с ядром k(x, у)
удовлетворяет неравенству
$ , A2)
а
а также, что
Тогда, если выполнено условие.
1-|Х|АA+|Х|Я)>0, A3)
то уравнение
ь
К(Х, y)<f(y)dy=f(x) A4)
а
имеет единственное решение <р(лг), и разность между этим
решением и решением ср(лг) уравнения
ь
, y)v(y)dy=fi{x) A5)

158 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I!
не превосходит
где N верхняя граница |/(•*)!•
Доказательство. Пусть М есть верхняя граница
и М верхняя граница | $ (jc) |. Имеем из A4):
Ь
=/(*) +X J [K(x, y)-k(x, y)]<?(y)dy=f*(x). A7)
а
Правая часть этого уравнения не превосходит
ь
Ь
|mJ|/C(x, y) — k(x9 y)\dy<N+\\\Mh\
а
тогда решение его ср(лсг) не превзойдет следующей величины:
ь
\9(*)\ = \f* {*) + *§ !(*> У*
Следовательно,
M<iV+ | X \НМ + | X | B(N+ | X | Mh)y
откуда
причем последний переход законен, если выполнено з^
1-|Х|йA+|Х|5)>0. A3)
Итак, при соблюдении этого условия все решения уравнения A4)
ограничены, а потому уравнение A4) имеет единственное решение;
последнее показывает, между прочим, что X не есть собственное
значение этого уравнения.
Вычитая теперь уравнение A5) из A7), получаем следующее
уравнение для разности ф {х) = ср (х) — ?(дг)'
-*$*С*. У)Ф(У)dy =/*{*) -А

I 4] 2. замена произвольного ядра вырожденным 159
Отсюда, так как
I/* (х) -Л (*) I < \/*.(х) -/(*) | + \f(x) -/, (х) К | X | Mh + %
найдем
). A9)
Подставляя еще вместо М его оценку A8), имеем:
и требуемая оценка A6) получена. Заметим, что можно уточнить
оценку разности |ср(лг) — $(лг)| = | <|>(лгI следующим образом.
Обозначая максимум ее через 8, имеем, очевидно,
и по A9)
). B0)
Разрешая это неравенство относительно 8, находим
Другой способ оценки приведен ниже, в п°41.)
Замечание. Из доказанной теоремы вытекает, что если X не
собственное число ядра К(Ху У) и последовательность ядер Кп(х> У)—>К{х,у)
и fn(x)-*f(x) (равномерно), то
Действительно, достаточно воспользоваться оценкой A6), составленной
для пары ядер Кп(х> У) и К(х, У) вместо соответственно К(х, у) и k (л*, у).
1) Изложенный здесь способ оценки погрешности опубликован впервые
в первом издании данной монографии. Оценка погрешности, произведенная
в других предположениях, чем приведенная здесь, имеется в диссертации
И. А. Акбергенова, выполненной в 1935 году в Ленинградском НИИММ.
Там же дана оценка погрешности при определении собственных значений.
Основные результаты диссертации можно найти в работе И. А.
Акбергенова [2]. См. также Л. В. Канторович [11] и [18].
Другая оценка разности | <р (л:) — $ (х)\ в случае/i (x)=/(.v) предложена
И. П. М ы с о в с к и х [2].

160 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [гл. II
Доказанная теорема дает, в частности, и способ оценки
погрешности при замене ядра алгебраическим. Проиллюстрируем это на
следующем простом примере.
3. Пример. Решить уравнение:
2"
ср (х) — \ sin ху <р (у) dy =/ (х).
Относительно / (х) частных предположений делать пока не будем.
Разлагая sin ху в ряд имеем:
Заменим sin ху двумя первыми членами ряда и рассмотрим
соответствующее уравнение с алгебраическим ядром:
У
?<*)-? (ху - ^ ? (у) dy =/ (х).
Ищем решение в виде:
Подставляя это выражение в уравнение и обозначая через /i и /8
интегралы
1 1
2 2
находим:
Отсюда, приравнивая нулю коэффициенты при х и л:8, получим:
24^"~ТбО5==^ь 9бчИ~*\ ~*37б]В~*2'
Решая эту систему, найдем
А = 1,043277 (Щ^Л + щ/2); 5= 1,043277 (— ^Л + ^/Л .
Поэтому решение будет иметь вид:
?(*)=/(*) +А* + Як8 =
=*/(х)+ \ 1,043277A,0001860^ — 0,0010416лг8у — 0,0010416л:у8 —
— 0t\b9T222x*y*)f{y)dy.