Текст
С. ЛЕНГ
АЛГЕБРА
Автор книги, видный американский математик, профессор Колумбийского
университета С. Ленг, хорошо знаком советскому читателю по двум вышедшим
ранее монографиям "Алгебраические числа" и "Введение в теорию
дифференцируемых многообразий" (издательство "Мпр", 1966 и 1967). В книге
рассмотрены все основные разделы современной алгебры (группы, кольца,
модули, теория полей, линейная и полилинейная алгебра, представления грунп).
Читатель найдет здесь также первоначальные сведения по гомологической
алгебре и алгебраической геометрии.
Книга отражает изменения, происшедшие в алгебре за последние два
десятилетия, и дает читателю возможность основательно познакомиться с
областями алгебры, ставшими уже классическими. Язык категорий и функторов
связывает воедино разрозненные ранее понятия и результаты.
Книга будет весьма полезной математикам различных специальностей,
студентам, аспирантам и научным работникам. Она может служить основой
специальных курсов по алгебре.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода 5
Предисловие 7
Предварительные сведения 11
Литература 14
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ГРУППЫ,КОЛЬЦА И МОДУЛИ
Глава I. Группы
§1. Моноиды 17
§ 2. Группы 21
§ 3. Циклические группы 25
§ 4. Пормальные подгруппы 27
§ 5. Действие группы на множестве 32
§ 6. Силовские подгруппы 36
§ 7. Категории и фупкторы 39
§ 8. Свободные группы 47
§ 9. Прямые суммы и свободные абелевы группы 55
§ 10. Конечно порожденные абелевы группы 61
§11. Дуальная группа 66
Упражнения 69
Глава II. Кольца
§ 1. Кольца и гомоморфизмы 73
§ 2. Коммутативные кольца 80
§ 3. Локализация 85
§ 4. Кольца главных идеалов 89
Упражнения 92
Глава Ш. Модули
§ 1. Основные определения 93
§ 2. Группа гомоморфизмов 95
§ 3. Прямые произведения и суммы модулей 98
§ 4. Свободные модули 103
§ 5. Векторные пространства 105
§ 6. Дуальное пространство 108
У пражнения 111
Глава IV. Гомологии
§1. Комплексы 114
§ 2. Гомологическая последовательность 116
§ 3. Эйлерова характеристика 118
§ 4. Теорема Жордана — Гёльдера 122
Упражнения 126
Глава V. Многочлены
§ 1. Свободные алгебры 127
§ 2. Определение многочленов 131
§ 3. Элементарные свойства многочленов 136
§ 4. Алгоритм Евклида 141
§ 5. Простейшие дроби 145
§ 6. Однозначность разложения на простые множители многочленов от 148
нескольких переменных
§ 7. Критерии неприводимости 151
§ 8. Производная и кратные корни 153
§ 9. Симметрические многочлены 155
§10. Результант 158
У пражнения 162
Глава VI. Пётеровы кольца и модули
§ 1. Основные критерии 166
§ 2. Теорема Гильберта 169
§ 3. Степенные ряды 170
§ 4. Ассоциированные простые идеалы 172
§ 5. Примарное разложение 177
Упражнения 181
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
Глава VII. Алгебраические расшпрения
§ 1. Конечные и алгебраические расшпрения 185
§ 2. Алгебраическое замыкание 191
§ 3. Поля разложения и нормальные расшпрения 198
§ 4. Сепарабельные расшпрения 202
§ 5. Конечные поля 208
§ 6. Примитивные элементы 211
§ 7. Чисто несепарабельные расширения 213
Уиражнения. 217
Глава УШ. Теория Галуа
§ 1. Расширения Галуа 219
§ 2. Примеры и приложения 227
§ 3. Корни из единицы 232
§ 4. Линейная независимость характеров 237
§ 5. Порма и след 239
§ 6. Циклические расширения 243
§ 7. Разрешимые и радикальные расширения 246
§ 8. Теория Куммера 248
§ 9. Уравнение Хп-а=0 252
§ 10. Когомологии Галуа 255
§11. Алгебраическая независимость гомоморфизмов 256
§12. Теорема о нормальном базисе 260
Уиражнения 260
Глава IX. Расширения колец
§ 1. Целые расширения колец 268
§ 2. Целые расширения Галуа 275
§ 3. Продолжение гомоморфизмов 282
Уиражнения 284
Глава X. Трансцендентные расширения
§ 1. Базисы трансцендентности 286
§ 2. Теорема Гильберта о нулях 288
§ 3. Алгебраические множества 290
§ 4. Теорема Петера о нормализации 294
§ 5. Линейно свободные расширения 295
§ 6. Сепарабельные расширения 298
§ 7. Дифференцирования 301
Уиражнения 305
Глава XI. Вещественные поля
§ 1. Упорядоченные поля 307
§ 2. Вещественные поля 309
§ 3. Вещественные нули и гомоморфизмы 316
Уиражнения 321
Глава XII. Абсолютные значения
§ 1. Определения, зависимость и независимость 322
§ 2. Пополнения 325
§ 3. Конечные расширения 332
§ 4. Нормирования 336
§ 5. Пополнения и нормирования 345
§ 6. Дискретные нормирования 346
§ 7. Пули многочленов в полных полях 350
Упражнения 353
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Глава ХШ. Матрицы и линейные отображения
§1. Матрицы 361
§ 2. Ранг матрицы 363
§ 3. Матрицы и линейные отображения 364
§ 4. Определители 368
§ 5. Двойственность 378
§ 6. Матрицы и билинейные формы 383
§ 7. Полуторалинейная двойственность 388
Упражнения 393
Глава XIV. Структура билинейных форм
§ 1. Предварительные сведения, ортогональные суммы 396
§ 2. Квадратичные отображения 399
§ 3. Симметрические формы, ортогональные базисы 400
§ 4. Гиперболические пространства 402
§ 5. Теорема Витта 403
§ 6. Группа Витта 403
§ 7. Симметрические формы над упорядоченными полями. 408
§ 8. Алгебра Клиффорда 411
§ 9. Знакопеременные формы 415
§10. Пфаффиан 417
§11. Эрмитовы формы 419
§12. Спектральная теорема (эрмитов случай) 421
§13. Спектральная теорема (симметрический случай) 423
Упражнения 425
Глава XV. Представление одного эндоморфизма
§ 1. Представления 429
§ 2. Модули над кольцами главных идеалов 432
§ 3. Разложение над одним эндоморфизмом 442
§ 4. Характеристический многочлен 446
Упражнения 452
Глава XVI. Полилинейные произведения
§ 1. Тензорное произведение 456
§ 2. Основные свойства 461
§ 3. Расширение основного кольца 466
§ 4. Тензорное произведение алгебр 468
§ 5. Тензорная алгебра модуля 470
§ 6. Знакопеременные произведения 473
§ 7. Симметрические произведения 477
§ 8. Кольцо Эйлера — Гротендика 478
§ 9. Некоторые функториальные изоморфизмы 481
Упражнения 486
Глава XVII. Нолупростота
§ 1. Матрицы и линейные отображения над некоммутативными кольцами 488
§ 2. Условия, определяющие полупростоту 491
§ 3. Теорема плотности 493
§ 4. Нолупростые кольца 496
§ 5. Простые кольца 498
§ 6. Сбалансированные модули 501
Упражнения 502
Глава XVIII. Представления конечных грунп
§ 1. Нолупростота групповой алгебры 504
§ 2. Характеры 506
§ 3. Одномерные представления 511
§ 4. Пространство функций классов 512
§ 5. Соотношения ортогональности 516
§ 6. Индуцированные характеры 520
§ 7. Индуцированные представления 523
§ 8. Положительное разложение регулярного характера. 528
§ 9. Сверхразрешимые группы 530
§ 10. Теорема Брауэра 533
§11. Ноле определения представления 539
Упражнения 541
Добавление. Трансцендентность вид 546
Указатель 553
УКАЗАТЕЛЬ
р-адические числа 348
----целые 348
р-адическое разложение 348
----многочлена 148
Алгебра 127
— внешняя 474
— групповая 130
— знакопеременная 474
— Клиффорда 411
— конечно порожденная 127
— Ли 393
Абсолютное значение 322
----р-адическое 323
----неархимедово 322
----тривиальное 322
Абсолютные значения зависимые 322
----независимые 322
Абстрактная чепуха 126
Автоморфизм 23, 40
— гильбертов 428
— пары 381
— формы 389
— многочленов 132
— моноидная 130
— некоммутативных многочленов
471
— свободная 127
— симметрическая 477
— тензорная 470
Алгебраическая независимость
133,138
Алгебраически зависимые
гомоморфизмы 256
— независимые гомоморфизмы 259
-----множества 297
Алгебраический элемент 185
Алгебраическое замыкание поля 197
Алгоритм Евклида 141
Аннулятор 174
Антимодуль 388
Аппроксимационная теорема
Артина—Уэплза 324
Ассоциативность 17
Ассоциированный (об идеале) 290
Базис группы 58
— дуальный 109
Базис модуля 103
— ортогональный 397
— ортонормальный 409, 419
— трансцендентности 287
-----сепарирующий 298
Башия абелева 31
— нормальная 31
— подгрупп 31
— полей 187
— циклическая 31
Бесконечно большой 308
— малый 308
Бесконечный в точке элемент 339
Блок 431
Вектор Витта 264
Векторное пространство 105
-----конечномерное 106
Вес многочлена 155
— одночлена 155
Вещественное замыкание поля 310
Взаимно простые элементы 91
Вложение 24
— колец 78
— полей 191
Внешнее произведение 474
Внешняя алгебра 474
Встречается 138
Высота рационального числа 165
Гильбертово пространство 428
Гиперболическая пара 402, 415
— плоскость 402, 415
Гиперболическое пространство 402
415
-----нулевое 415
— расширение 406
Гипотеза Шенуэла 552
Гомология 116
Гомоморфизм главный 174
— группы 22
— канонический 51
— кольцевой 76
— локально нильпотентный 174
Гомоморфизм модулей 94
— моноидов 22
— нулевой 94
— целый 272
G-гомоморфизм 479
Граница 116
Группа 21
— абелева 18
-----конечно порожденная 61
-----свободная 57
— алгебраическая 393
— без кручения 65
— вещественная унитарная 382
— Витта 407
— Витта — Гротендика 408
— Галуа 217, 219
-----многочлена 227
— гомологии 116
— Гротендика 58
— дуальная 66
— единиц кольца 73
— знакопеременная 392
— знакопеременной формы 392
— значений 337
— изотропии 35
— инерции 280
— кватернионная унитарная 392
— когомологий группы 255
— комплексная унитарная 392
— конечно порожденная 49
— обратимых элементов кольца 73
— определенная образующими и
соотношениями 52
Группа ортогональная 392
— периодическая 70
— проконечная 264
— простая 124
— разложения 277
— разрешимая 32
— сверхразрешимая 530
— свободная 47
-----от кручения 65
-----сп образующими 51
— симметрическая 70
— симплектическая 392
— специальная 393
— типа (рг',...,рг°) 62
— унитарная 392
— циклическая 25
— Эйлера — Гротендика 121
— р-элементарная 534
р-грунпа 36
Групповой объект 44
Двойственность 378
Действие 32, 41
Действует 504
— тривиально 505
Делит 90
Делитель нуля 79
Дзета-функция 544
Диаграмма 11
— коммутативная 12
Дискриминант 157
Дистрибутивность 73
Дифференцирование 301
— поля над подпол ем 302
— тривиальное 302
Длина замкнутого комплекса 114
— модуля 125, 491
— фильтрации 125
Доминируется 549
Дуальное пространство 108
Единица 73
— левая 21
— правая 21
Единичный элемент 17
Жорданова каноническая форма 445
Закон взаимности Фробениуса 521
— композиции 17
— сокращения 59
Замкнутое подмножество спектра 292
Замкнутость относительно закона
композиции 20
Знак перестановки 70
Знакопеременная алгебра 474
Знакопеременное произведение 475
Знаменатель 549
Идеал 75
— ассоциированный с модулем 175
— главный 75
— двусторонний 75
— левый 75
— максимальный 80
— однородный 475
— правый 75
— простой 80
-----изолированный 178, 496
— соответствующий иримарному
подмодулю 177
Идеалы изоморфные 496
Идемпотентный элемент 498
Изометрия 399
Изоморфизм И, 22, 40
Инвариант 443
Инвариант матрицы 443
— модуля 439
— пары 443
— подмодуля 441
— полиномиальный 443
Индекс подгруппы 24
Индуцированная функция 521
Категория 39
— абелева 122
— аддитивная 121
Квадратичный символ 236
Кватернионы 394
Китайская теорема об остатках 82
Класс вычетов по модулю 78
— сопряженных элементов 512
р-класс 535
Когомологии Галуа 255
Кограница 255
Кольцо 73
— артиново 502
— главных идеалов 75
— Гротендика 480
— классов вычетов 78
— коммутативное 74
— конечно порожденное 77
— локальное 88
— многочленов 132
— нётерово 168
— нормирования 308, 338
-----определенное упорядочением
309
— отношений 85
— полуиростое 496
— простое 85, 497
— с делением 73
— целое 270
— целозамкнутое 272
— целостное 79
— целостности 79
— целых чисел по модулю 81
— факториальное 89
— частных 85
— Эйлера — Гротендика 478
— G-градуированное 470
Коммутативность 18
Комплекс ацикличный 120
— замкнутый 114
— открытый 114
Комплексификация 424
Композит 187
Композиция отображений 11
Компоненты матрицы 361
----диагональные 362
Конечный в точке элемент 339
Копроизведение 46
Корень из единицы 145, 232
-------первообразный 145, 232
-------примитивный 145, 232
— многочлена 142
----кратный 153
— простой 204
Коцикл 255
Коэффициент линейной комбинации
100
— матрицы 361
— многочлена 132
— Фурье 519
Коядро 122
Кратность 491, 509
— корня 153
Критерий Маклейна 300
— Эйзенштейна 151
2-кручение 399
Лежит над 274, 342
Лемма Гаусса 149
— Накаямы 273
— о бабочке 122
— Цассенхауза 122
— Цорна 13
— Шура 490
Линейная комбинация 99
— независимость 100
Линейно независимые функции 237
Локальная норма 335
— степень 333
— униформизация 355
Локальный параметр 347
— след 335
Максимальное архимедово 308
Максимальный элемент 13
Матрица 361
— ассоциированная с линейным
отображением 368
-----с формой 384
— накопеременная стандартная 416
— квадратная 362
— кососимметрическая 386
— нильпотентная 445
— обратная 375
— симметрическая 386
— транспонированная 362
— эрмитова 391
Многообразие 292
Многочлен 131
— аддитивный 257
— круговой 235
Многочлен минимальный 442
— однородный 140
— от нескольких переменных 140
— редунированный 144
— сепарабельный 204
— симметрический 155
-----элементарный 155
— характеристический 446
Множество алгебраическое 289
— индексов 12
— индуктивно упорядоченное 13
— линейно упорядоченное 13
— направленное 71
— А-неприводимое 291
— образующих 23
— совершенно упорядоченное 13
— упорядоченное 13
— частично упорядоченное 13
G-множество 33
Модуль 93
— без кручения 433
— бесконечный циклический 433
— главный 100, 430
— градуированный 115
— дуальный 379
— индунированный 523
— инъективный 113
— конечно порожденный 100
— конечного типа 100
— конечной длины 125
— левый 93
— не имеющий 2-кручения 399
— нётеров 166
— образующий 501
— однозначно делимый на 2 400
— периодический 433
— полупростой 493
— правый 93
— проективный 112
— сбалансированный 501
— свободный 103
— типа (pr',...,prs) 435
— точный 268, 495
— циклический 435
G-модуль 478, 505
(G, к) -модуль 478
Моноид 17
— абелев 18
— коммутативный 18
Мономорфизм 11
Морфизм 39
— градуированный 115
— комплексов 114
— G-множеств 34
Мультипликативно независимые
элементы 262
Наибольший общий делитель 90
Наименьшее общее кратное 91
Независимые некоммутативные
переменные 472
— переменные 136
— элементы модуля 436
Неподвижное поле группы 219
Неприводимый элемент кольца 89
Неравенство треугольника 410, 420
— Шварца 410, 420
Несепарабельная степень 206
Нильпотентный элемент 173
Нильрадикал 173
Н.о.д 90
Н.о.к. 91
Норма 239, 327
— эндоморфизма 427
Нормализатор 28
Нормирование 322, 337
— дискретное 345, 346
— тривиальное 337
Нулевой элемент 17
Нуль многочлена 142
— множества многочленов 289
— порядка г 347
Нуль-пространство 405
Область 79
— целостности 79
Оболочка комплексная 424
Образ 11
Образующая 23, 48, 100
— группы 26
— идеала 76
— кольцевая 77
— свободная 51
Образующие и соотношения 52
Обратный предел 71
— элемент 21
-----левый 21
G-объект 41
Ограничение отображения 11
Однородный элемент степени 470
Одночлен 138
— примитивный 131
Одночлены некоммутативные 472
Определитель 370
— линейного отображения 377
Орбита 35
Ортогонализация Грама — Шмидта
411
Ортогональная сумма 397
Ортогональный 68
Открытое подмножество спектра 292
Отмеченный класс 189, 270
Относительный инвариант 262
Отношение Эрбрана 71
Отображение антилинейное 388
— биективное 11
— билинейное 68,110
-----ассоциированное с
квадратичным 400
— индуппрования 521
— инъективное 11
— каноническое 28, 130
— квадратичное 399
-----однородное 400
— линейное 94
-----ассоципрованное с
квадратичным 400
-----метрическое 399
— п-линейное 369
— г-линейное каноническое 473
— ограничения 520
— полилинейное 369
-----знакопеременное 369
— полулинейное 388
— редукции 466
— самосопряженное 421
— симметрическое 423
— сопряженное 381
-----относительно формы 421
— сюръективное 11
— Эйлера—Пуанкаре 118
— эрмитово 421
Отрицательный элемент 307
Перестановка 22
Период 26, 435
— бесконечный 26
Периодический элемент 61, 433
Перпендикулярный 68
Подгруппа 22
— замкнутая 222
— инвариантная 27
— кручения 61
— нормальная 27
— силовская 36
— стационарная 35
— тривиальная 22
Подкольцо 74
Подмножество мультипликативное
85
— собственное 11 Подмодуль 93
— инвариантный 427
— кручения 433
— примарный 177
— принадлежащий идеалу 177
р-подмодуль 435
Подмоноид 20
Подполе максимальное архимедово
308
Подпространство G-инвариантное
495
Подъем расширения 189
Показатель группы 26
— модуля 435
— элемента 26
Поле 74
— алгебраическое замкнутое 194
— архимедово 308
— вещественно замкнутое 309
— вещественное 309
— группы неподвижное 219
— инвариантов группы 219
— инерции 280
— конечное 208
— определения представления 539
— отношений 87
— полное 325
— простое 85
— разложения 198, 199, 277
— совершенное 217
— частных 87
— числовое 284
Положительный элемент 307
Полупростота 488
Полюс порядка г 347
Поляризационное тождество 420
Пополнение 327
Порождает 23, 49
Порожденный 100
Порядок 26, 347
— группы 24
— класса 514
— матрицы 362
— элемента а ър 91,148
Последовательность Коши 325
— Штурма 312
Постоянный член многочлена 139
Почти все 19
Правило Крамера 370
Правильно определено 13
Представитель смежного класса 24
Представление 427, 478
— вполне приводимое 430
— главное 430
— группы 33
— индуппрованное 523
— неприводимое 427
— определимое над к 540
— полупростое 430
— простое 427
— регулярное 514
— точное 504
— тривиальное 505
Представления изоморфные 507
Призрачные компоненты 265
Примарное разложение 177
----несократимое 178
Примитивный элемент 213
Принадлежащий (об идеале) 290
Принадлежит 220, 262, 351
Продолжает 191
Продолжение гомоморфизма 282
Проективный предел 71
Произведение 45
Производная многочлена 153
Прообраз 11
Простейшие дроби 145
Простой элемент 91
Пространство представления 506
— EG-простое 495
G-пространство 505
(О,к)-пространство 505
Прямая сумма 55
Прямой предел 71
Прямое произведение 45
Пфаффиан 417
— общий 418
Радикал 502
Разложение на неприводимые
элементы 89
— определителя 373
Разложение Тейлора 162,163
Размер 548
— вектора 548
— матрицы 361
— многочлена 549
Размерность
пространства 107
— расшпрения 286
Ранг 363
— группы 66
— столцовый 363
— строчный 363
Расширение
свободное 297
— Галуа 219
-----абелево 224
-----циклическое 224
— конечное порожденное 18S
— круговое 237
— Куммера 249
— линейно свободное 295
-----разделенное 295
векторного
алгебраически
— нормальное 201
— основного кольца 467
— поля 185
-----алгебраическое 185
-----бесконечное 185
-----конечное 185
— радикальное 247
— разрешимое 246
-----в радикалах 247
Расширение регулярное 305
— сепарабельное 300
— сепарабельно порожденное 298
— сепарабельное 204, 206
— чисто несепарабельное 214
Рациональная функция 137
-----определенная в точке 137
р-регулярный множитель 534
р-регулярный элемент 534
Редукционный критерий 152
Редукция 467
— многочлена 136
Результат 158, 162
Ряд групп 31
Свободное множество 297
Сдвиг 34
Сепарабельный элемент 204
Силовские подгруппы 36
Символ Лежандра 236
Симметрическая алгебра 477
р-сингулярный множитель 534
— элемент 534
Система линейных уравнений 394
-------однородная 394
Скалярное произведение 396
След 239, 363
Смежный класс 24
-----левый 24
-----правый 24
Собственный вектор 421, 447
Собственное значение 421, 447
Содержание многочлена 148
Сопряжение 33, 517
Сопряженное пространство 108
Сопряженность 208
Сопряженные подмножества 34
р-сопряженный 535
Спаривание 68
Спектр 292
Спектральная теорема 421, 423
Сравнение собственное 351
Стабилизатор 35
Стандартная знакопеременная
матрица 416
Старший коэффициент многочлена
139
Степенной ряд 170
Степень многочлена 138
-----относительно Хи 139
-----полная 139
— несепарабельности 206
— примитивного одночлена 138
— расширения 186
— рациональной функции 165
— сепарабельная 203
Степень трансцендентности 286
Столбец 361
Строка 361
Сумма подмножеств 412
Тело 73
— кватернионов 394
Тензор 485
Тензорная алгебра 470
Тензорное произведение 456
Теорема аппроксимационная Артина
— Уэплза 324
— Артина — Риса 181
— Артина — Шрейера 245
— Бернсайда 495
— Бликфельда 531
— Ведденберна 495
— Витта 403
— Гельфанда—Мазура 327—330
— Гельфонда — Шнейдера 547
— Гильберта 169
----о нулях 290
— Джекобсона 494
— Жордана — Гёльдера 122
— Исо'сы 354
— китайская об остатках 82
— Колчина 503
— Кронекера 237
— Крулля 181
— Кэли — Гамильтона 446
— Машке 506
— Мориты 502
— Нетера 294
— Риффеля 499
— Сильвестра 408
— Стейнберга 487
— Тейта 428
— Шевалле 163
— Шрейера 124
— Штурма 312
— Эрмита—Линдемана 547
— 90 Гильберта 243
Теоремы Артина 221, 238, 257, 537
— Брауэра 528, 538, 539, 540
Тип группы 62
— модуля 435
Топология Зарисского 293
Точка поля 339
— поля F-значная 339
----тривиальная 339
— сектра 293
Точная последовательность 29
Транспозиция 70
Трансформирование 33
Трансцендентный 138
Универсально отталкивающий
объект 47
— притягивающий объект 47
Универсальный объект 47
Уплотнение башни 32
Упорядочение 336
— индуцированное 308
— поля 307
Факторгруппа 28
Факторкольцо 76
Фактормодуль 94
Фильтрация конечная 125
— простая 125
Форма 369
— билинейная 378
-----невырожденная 379
-------слева 379,380
-------справа 379
-----неособая 380
-------слева 379,380
-------справа 379, 380
— знакопеременная 369
-----нулевая 415
— квадратичная 400
— невырожденная 396
— нулевая 405
— определенная 406
— отрицательно определенная 409
— положительно определенная 409
— полуторалинейная 388
-----неособая 389
-------слева 389
-------справа 389
— приведенная к диагональному
виду 401
— симметрическая 381
— степени d 140
— эрмитова 390
— эрмитова отрицательно
определенная 419
— эрмитова положительно
определенная 419
Формула классов 36
— Планшереля 543
— разложения на орбиты 36
Формы изометричные 399
— эквивалентные 399, 407
Функтор 42
— аддитивный 481
— ковариантный 42
— контравариантный 43
— представляющий 43
— стирающий 42 Функционал 108
Функция классов 512
— Мёбиуса 236
Характер 237, 262
— единичный 507
— неприводимый 508
— обобщенный 508
— одномерный 511
— представления 506
— простой 508
— регулярный 514
— собственный 508
— тривиальный 237, 507
Характеристика кольца 84
— Эйлера—Пуанкаре 119
—Характеристический многочлен
445
Хорошо себя ведет 334
Целое замыкание кольца 271
— уравнение 269
Целые алгебраические числа 284
Целый элемент 269
Центр 28
— кольца 74
Централизатор 28
Цикл 116
Чисто несепарабельный элемент 213
Эйлерова характеристика 118
— фи-фупкция 82
Эквивалентные нормы 327
— точки 339
р-элементарный 534
Эндоморфизм 23, 40
— диагонализируемый 454
— знакопеременный относительно
формы 382
— кососимметрический
относительно формы 382
— нильпотентный 445
— нормальный 427
— положительно определенный 428
— симметрический относительно
формы 381
— сопряженный 389
— Фробениуса 154
— эрмитов 390
Эпиморфизм 11
Ядро 23
— морфизма 122
— слева 68, ПО
— справа 68, ПО
— формы 396
От редактора перевода
„Алгебра" С. Ленга призвана служить в основном
тем же целям, что и изданная у нас двадцать лет назад
и ставшая теперь библиографической редкостью двухтом-
ная „Современная алгебра" Ван дер Вардена. Об этой
преемственности, как и о содержании всей книги, доста-
точно подробно говорится в предисловии автора. Читатель,
несомненно, почувствует, что умело подобранный свежий
материал, а также язык и стиль изложения вполне со-
звучны алгебре шестидесятых годов — обстоятельство осо-
бенно ценное для молодых математиков.
Добросовестная работа переводчика способствовала
устранению неточностей и опечаток, помимо тех, список
которых был любезно прислан нам автором. Более значи-
тельные исправления в соответствии с пожеланиями автора
были внесены в гл. XI.
Свободный и местами шутливый тон книги отчасти
смягчен подстрочными примечаниями.
А. И. Кострикин
Предисловие
Я предпочитаю называть ее так [абстракт-
ной алгеброй], а не современной алгеброй,
потому что она, несомненно, будет жить долго
и в конце концов станет древней алгеброй.
Ф. Севери (Льеж, 1949)
Эта книга может служить основой годового курса алгебры для
аспирантов.
К сожалению, объем материала, который слушатель в идеале
должен был бы усвоить за год, чтобы получить надлежащую подго-
товку по алгебре (независимо от того, по какому предмету он специа-
лизируется), превышает физические возможности лектора в течение
годового курса. Следовательно, книга должна содержать больше
материала, чем в действительности может быть изложено в аудитории.
Порядок изучения различных тем допускает многочисленные вариа-
ции. Например, к теории полей и теории Галуа можно приступить
сразу же после того, как даны основные определения, относящиеся
к группам, кольцам, полям, многочленам от одной переменной и
векторным пространствам. Поскольку теория Галуа очень быстро
создает впечатление глубины, этот путь весьма привлекателен во мно-
гих отношениях.
Можно также после ознакомления с основными определениями
начать с линейной алгебры, оставив теорию полей на более позднее
время. Главы книги написаны таким образом, чтобы обеспечить наи-
большую гибкость в этом отношении, и я часто совершаю преступление
против бурбакизма, повторяя короткие рассуждения или определения,
чтобы сделать некоторые параграфы или главы логически независи-
мыми друг от друга.
В изложении теории Галуа я следую Артину, но с незначитель-
ными модификациями. Чтобы прочувствовать различия, читатель может
с пользой для себя обратиться к небольшой книжке. Артина. Кроме
того, читателю стоило бы ознакомиться с изложением, основанным
на теореме Джекобсона—Бурбаки, полезной в несепарабельном слу-
чае. Однако стандартный случай достаточно важен в большинстве
приложений, чтобы оправдать классическое изложение, которое я
здесь выбрал.
Поскольку алгебре научил меня Артин, чувство обязанности по
отношению к нему пронизывает всю книгу. В меньшей степени это,
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
возможно, относится к разделу линейной алгебры и представлений,
где влияние Бурбаки является более решающим (в содержании, а не
в стиле изложения). Однако в выборе материала я более разборчив,
чем Бурбаки, с вытекающими отсюда преимуществами и недостат-.
ками меньшей энциклопедичности.
Обеспечив изложение материала, который ни при каких обстоя-
тельствах не может быть опущен в основном курсе, можно затем
на выбор развивать его в различных направлениях. Невозможно изло-
жить их все с одинаковой полнотой. Точный момент, когда лектор
пожелает остановиться в любом из этих направлений, будет зависеть
от времени, места и настроения. Например, главы о вещественных
полях и абсолютных значениях могут быть без ущерба опущены
или же прочитаны слушателями самостоятельно. То же самое относится
к главе о представлениях групп. Теорема Витта о квадратичных формах
также может быть опущена. Однако любая книга, преследующая
те же цели, что и наша, должна включать набор этих тем, ведущих
вглубь, но развиваемых ровно настолько, чтобы избежать полной
запутанности и излишнего увеличения числа страниц. По всем этим
вопросам не может быть достигнуто даже внутренней удовлетворен-
ности автора, не говоря уж о всеобщем согласии. В конечном счете
конкретные решения относительно того, что включать и что не вклю-
чать, принимаются исходя из соображений общей связности и эсте-
тического равновесия. Например, я умышленно избежал чрезмерного
углубления в коммутативную алгебру. Я не мог превращать основной
курс алгебры исключительно в тренировочный полигон для будущих
алгебраических геометров. Однако всякий преподающий этот курс
может наложить на материал отпечаток своей индивидуальности и
с большей силой, чем у меня, выделить одни темы за счет других.
В предлагаемой книге нет ничего, что воспрепятствовало бы этому.
Структура книги все еще удивительно напоминает ту, которая
была придана ей Артином, Нётер и Ван дер Варденом примерно
тридцать лет тому назад. Я целиком согласен с Ван дер Варденом
в вопросе о включении в учебное пособие такого рода теории пред-
ставлений конечных групп. Ввиду прогресса, достигнутого Брауэром
за истекшие тридцать лет, оказалось возможным дать более полное
изложение, чем это мог сделать Ван дер Варден в свое время.
Имеются достаточные основания, чтобы включить в курс больше
материала о линейных группах и их представлениях, чем я это сумел
сделать, пытаясь сохранить размер книги в разумных пределах. Осо-
бенно легко это осуществить с аспирантами, имеющими надлежащую
подготовку по линейной алгебре со своих студенческих лет. К счастью,
теперь имеется несколько учебников, посвященных алгебрам Ли и
группам Ли, так что я не чувствую себя слишком виноватым, опустив,
эти темы (см., в частности, записки Серра „Алгебры Ли и груп-
пы Ли“).
ПРЕДИСЛОВИЕ
9
Что касается предварительных сведений, то я предполагаю только,
что читатель знаком с основными математическими понятиями (т. е. по
существу с множествами и отображениями), а также с целыми и
рациональными числами. Более подробное описание того, что пред-
полагается известным, приведено ниже. В нескольких случаях опре-
делители используются раньше их формального изложения в тексте.
Большинству читателей определители уже будут известны, и мы
полагаем, что для улучшения структуры всей книги можно позволить
себе такие небольшие отклонения от полного упорядочения логиче-
ских связей.
Нью-Йорк, 1965 Серж Ленг
Предварительные сведения
Мы предполагаем, что читатель знаком с понятием множества и
символами П. U. Z3, с, Если А, В—множества, то запись
Ас В обозначает, что А содержится в В, но может и совпадать с В.
То же самое относится к записи А о В.
Если /: А—>В— отображение одного множества в другое, то
мы пишем
для обозначения действия f на элемент х из А. Мы различаем стрелки
—> и ।—>.
Пусть /: А—>В—некоторое отображение. Мы говорим, что /
инъективно, если из х Ф у следует /(х)=^/(у). Мы говорим, что f
сюръективно, если для каждого Ь£В существует элемент а£А,
такой, что /(а)-=Ь. Мы говорим, что / биективно, если оно одно-
временно сюръективно и инъективно !).
Подмножество А множества В называется собственным, если
А =Р В.
Пусть /: А—>В—отображение и А' — подмножество в А.
Ограничение f на А' есть отображение А' в В, обозначаемое
символом f\A'.
Если /: А -> В и g: В->С—отображения, то их композиция
g о f определяется соотношением (§ о /) (%) = g(J (%)) для всех х £ А.
Пусть /: А -> В — отображение и В' — подмножество в В. Через
(В') мы обозначаем подмножество в А, состоящее из всех тех
х£А, для которых f(x)£_B'. Мы называем его прообразом мно-
жества В'. Соответственно / (Л) мы называем образом отображения /.
Диаграмма
А В
/д
С
’) В применении к отображениям множеств с заданной системой алге-
браических операций в русской литературе наряду с терминами „инъективно*,
„сюръективно* и „биективно* употребительны также соответственно термины
.мономорфно*, „эпиморфно* и „изоморфно*. — Прим. ред.
12
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
называется коммутативной, если g ° / = h. Аналогично диаграмма
А -£-+ В
q> I L
v 4,
С -r-> D
Ф
называется коммутативной, если £Г°/ = Фг-(()- Мы будем иногда иметь
дело с более сложными диаграммами, состоящими из стрелок между
различными объектами. Такие диаграммы называются коммутатив-
ными, если в любом случае, когда можно пройти от одного объекта
к другому по двум различным последовательностям стрелок, скажем-
А, 21^ л2 ^ ... Ап
И
соответствующие композиции совпадают:
Л-1 ° Л-2 0 ••• ° = ёт-2° ••• °£1-
Большинство наших диаграмм будет состоять из указанных выше
треугольников или квадратов, и для проверки коммутативности таких
диаграмм достаточно убедиться, что каждый треугольник и квадрат
в них коммутативен.
Мы предполагаем, что читатель знаком с целыми и рациональ-
ными числами, множества которых обозначаются соответственно через-
Z и Q. Во многих примерах мы предполагаем также, что читателю
известны вещественные и комплексные числа, множества которых
обозначаются через R и С.
Пусть А и /—два множества. Под семейством элементов в А,
занумерованных посредством I, понимают отображение /: I —► А.
Таким образом, для каждого i £ I задан элемент f(i)£A. Хотя
семейство есть не что иное как отображение, мы часто мыслим его-
как совокупность объектов из Л и записываем его так:
или
{fl,-] •< г,
употребляя символ а,- вместо /(«)• Мы называем / множеством
индексов.
Мы предполагаем, что читатель знает, что такое отношение экви-
валентности. Пусть А — множество с заданным на нем отношением
эквивалентности, Е — некоторый класс эквивалентности элементов
из А. Иногда мы будем определять отображение классов эквивалент-
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
13
ности в некоторое множество В. Чтобы определить такое отобра-
жение на классе Е, мы будем зачастую сначала задавать его значение
на некотором элементе х £ Е (называемом представителем класса Е),
а затем показывать, что оно не зависит от выбора представителя
х £ Е. В таком случае говорят, что / правильно определено.
Нам будут встречаться произведения множеств, скажем конечные
произведения Л X В или Л! X • • • X Ап, и произведения семейств
множеств.
Мы будем пользоваться леммой Цорна, которую мы сейчас сфор-
мулируем.
Множество Л называется (частично) упорядоченным, если между
некоторыми парами элементов задано отношение х<^у, удовлетво-
ряющее следующим условиям. Для всех х, у, z £ А
имеем х X х;
если х -Х у и у X z, то х X z;
если хХ' и уХх> то х — у.
Подмножество Т в А называется совершенно (или линейно) упо-
рядоченным, если для всякой пары элементов х, у будет у X х
или х X у.
Пусть S—подмножество в Л. Любой элемент Ь^А, удовлетво-
ряющий условию х<0 для всех х £ S, будем называть верхней
гранью подмножества 5 в множестве Л.
Упорядоченное множество Л называется индуктивно упорядочен-
ным, если всякое его совершенно упорядоченное подмножество имеет
верхнюю грань в Л.
Элемент а^А, для которого из х £ Л и аХА' следует а = х,
называется максимальным элементом множества Л. (Таким образом,
максимальный означает „относительно максимальный“, а не „абсолютно
максимальный".)
Лемма Цорна утверждает: если А — упорядоченное множество
и если оно индуктивно упорядочено и не пусто, то в А суще-
ствует по крайней мере один максимальный элемент.
Мы будем также использовать утверждения о мощностях, напо-
добие следующих.
Пусть Л — бесконечное множество. Тогда множество всех конеч-
ных подмножеств в Л имеет ту же мощность, что и Л. Если D
счетно, то Л X D имеет ту же мощность, что и Л. Мощность мы
будем иногда сокращенно обозначать символом card. Имеем
(card(Л)X card (В) и card (В)<; card (Л)) влечет
card (Л) = card (В).
Литература1)
{1] Artin Е., Galois Theory, Notre Dame Mathematical Lectures, № 2, 1946
[2] A r t i n E., Geometric Algebra, Interscience, New York, 1957.
[3] Bourbaki N., Algebre commutative, Heimann, Paris, 1962.
[4] БурбакиН., Алгебра. Модули, кольца, формы, „Наука*, М., 1966.
[5] Бурбаки Н„ Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы,
„Наука*, М., 1965.
[6] Godern ent R., Cours d’algebre, Hermann, Paris, 1963.
[7] Jacobson N., Lectures in abstract algebra, Van Nostrand, Princeton,
N. J., vol. I, 1951; vol. 2, 1953; vol. 3, 1964.
[8] Ленг С., Алгебраические числа, „Мир*, M., 1966.
[9] Lang S-, Diophantine geometry, Interscience, New York, 1960.
1101 Ван дер Варден Б. Л., Современная алгебра, т. 1 и 2, Гостехиздат,
М. — Л., 1947.
[11] Weber Н., Lehrbuch der Algebra, 1898 (reprinted by Chelsea, 1963).
[12] Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, т. 1 и 2, ИЛ,
М„ 1963.
[13*] Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, Физматгиз, М., 1962.
[14*] Боревич 3. И., Ш а ф а р е в и ч И. Р., Теория чисел, „Наука*, М„
1964.
Выше приведен краткий перечень учебных пособий и монографий по
алгебре. Бурбаки всегда наиболее полон и незаменим для ссылок. Джекобсон
излагает теорию Галуа с позиций теоремы Джекобсона — Бурбаки, полезной,
помимо всего прочего, при рассмотрении чисто несепарабельных расширений.
Читателю следует пробежать все эти книги, чтобы ознакомиться с точками
зрения, отличными от принятых в настоящей книге.
') Звездочкой отмечена литература, добавленная при переводе. —
Прим. ред.
Часть первая
ГРУППЫ,
КОЛЬЦА
И МОДУЛИ
В этой части вводятся основные понятия алгебры, и
главная трудность для начинающего заключается в овла-
дении разумным словарным запасом за короткое время.
Ни одно из новых понятий само по себе не является
трудным, но их последовательное накопление может иногда
показаться тяжким.
Чтобы понимать последующие части книги, читатель
по существу должен знать только основные определения
этой первой части. Разумеется, та или иная теорема может
в дальнейшем использоваться в отдельных местах, но в це-
лом мы стремились избегать длинных цепочек логических
зависимостей.
Глава I
Группы
§ 1. Моноиды
Пусть S — множество. Отображение
называется иногда законом композиции (на S в себя). Если х и
у — элементы из S, то образ пары (х, у) при этом отображении на-
зывается также их произведением относительно закона композиции
и будет обозначаться через ху. (Иногда мы пишем также х • у,
а во многих случаях удобно использовать и аддитивное обозначение
и писать, таким образом, х+у. В этом случае мы называем эле-
мент х + у суммой х и у. Обычно обозначение х + у используют
только в том случае, когда выполняется соотношение х-|-у = у + х.)
Пусть S— множество, наделенное законом композиции. Произве-
дение элементов х, у, z из S можно составить двумя способами:
(ху) z и х(уг). Если (ху) z = х (yz) для всех х, у, z из •$, то мы
говорим, что закон композиции ассоциативен.
Элемент е из S, такой, что ех = х = хе для всех x£S, назы-
вается единичным элементом. (Когда закон композиции записывается
аддитивно, единичный элемент обозначается через 0 и называется
нулевым элементом.} Единичный элемент единствен, поскольку если
е' — другой единичный элемент, то по предположению имеем
е = ее' = е'.
В большинстве случаев единичный элемент обозначают просто 1
(вместо е). В большей части этой главы, однако, мы будем писать е,
чтобы избежать путаницы при доказательствах основных свойств.
Моноид — это множество G с ассоциативным законом композиции,
обладающим единичным элементом (так что. в частности, О не пусто).
Пусть G — моноид и хь ..., хп — элементы из О (где п — целое
число > 1). Мы определим их произведение по индукции
п
JI xv = Х1 ... х„ = (Xj ... x„_j) х„.
V=1
18
ГЛ. I. ГРУППЫ
Справедливо следующее правило
т п т + п
П ‘ П xm + v ~ П xv'
Ц“1 v—1 V«1
утверждающее по существу, что мы можем любым способом
расставлять скобки в нашем произведении, не изменяя его значе-
ния. Доказательство легко получается индукцией, и мы предоставляем
его читателю в качестве упражнения.
п т+п
Вместо пишут также Ц xv.
v=l m+t
Удобно считать, что пустое произведение равно единичному эле-
о
менту. Таким образом, по определению JJ xv = e.
V«1
Можно было бы определить более общие законы композиции,
т. е. отображения с произвольными множествами; можно,
далее, определить ассоциативность и коммутативность в любой ситуа-
ции, для которой это имеет смысл. Например, для коммутативности
нужен закон композиции
/: SXS->T,
где два исходных множества одинаковы. Коммутативность тогда
означает, что f (х, y)=f (у, х), Или ху=ух, если опустить в обозначе-
ниях /. Что касается ассоциативности, то мы предоставляем читателю
найти наиболее общую комбинацию множеств, при которой она рабо-
тает. Ниже нам встретятся специальные случаи, связанные, например,
с отображениями и S)(T->Т. Здесь произведение (ху) г
имеет смысл при у £8 и z£T. Произведение x(yz) также
имеет смысл для таких элементов х, у, z, и, следовательно, имеет
смысл говорить об ассоциативности нашего закона композиции, коль
скоро для всех указанных выше элементов х, у, z выполнено равен-
ство (ху) z = х (yz).
Если закон композиции, определенный на G, коммутативен, то мы
также будем говорить, что сам моноид G коммутативен (или абелев).
Пусть О — коммутативный моноид и х}..........хп — элементы
из G. Пусть г|з — биективное отображение множества целых
чисел (1.....п) на себя. Тогда
п п
11 -^ф (V) == 11 xv
V=1 V-1
Мы докажем это утверждение по индукции. Для п = 1 оно
очевидно. Предположим, что оно верно для п—1. Пусть k — такое
целое число, что ф(й) = п. Тогда
п А —1 n—k А—1 n — k
11 Яф (v) =: П Х’Ф (v) ’ ^ф (А) ’ П -^Ф (A + V) === П (V) ' П И'Ф (A+v) ’ -^ф (А)«
§ 1 моноиды
19
Определим отображение <р множества (1..........п—1) в себя фор-
мулами
<р (v) = ф (у), если v < k,
<P(v) = ^(v+l), если v
Тогда
п fe —1 п — к л—1
П (V) == П -^ф М ‘ П ^ф (ft-1+v) ' Хп = П Xq (v) • Хп,
что по индукции равно х}....хп, как и требовалось.
Пусть О — коммутативный моноид, / — некоторое множество, и
пусть /: / —> G — такое отображение, что / (/) — е для почти всех
I £ /. (Здесь и ниже почти все означает все, кроме конечного числа.)
Пусть /0—подмножество в Z, состоящее из тех I, для которых
f (i)^e. Под
11/(0
itl
мы будем понимать произведение
П /(0.
взятое в любом порядке (его значение не зависит от порядка по
предыдущему замечанию). Разумеется, пустое произведение равно е.
Когда G записывается аддитивно, то вместо знака произведения
мы пишем знак суммы 2- '
Имеется ряд формальных правил обращения с произведениями,
которые было бы скучно полностью перечислять. Приведем только
один пример. Пусть /, J—два множества и /: ly<,J->G — отобра-
жение в коммутативный моноид, принимающее значение е для почти
всех пар (/, j). Тогда
ПГП /О'. /)1 = П ГП/а. /)]•
Доказательство предоставляем читателю в качестве упражнения.
Мы будем иногда писать JJ f (I), опуская I £ /, если ясно, о ка-
ком множестве индексов идет речь.
Пусть х — элемент моноида G. Для всякого целого п О мы
•определим хп как
п
iu
1
так что, в частности, х°=е, хх = х, х1 = хх, ... . Очевидно,
хп+т = хпхт и (хп)т = х"т. Кроме того, в силу ассоциативности
для любых двух элементов х и у моноида О, таких, что ху — ух,
20
ГЛ I ГРУППЫ
имеем (ху)п = х"уп. Формальное доказательство предоставляем чита-
телю в качестве упражнения.
Пусть 3, 3'—два подмножества моноида G. Мы понимаем под
33' подмножество, состоящее из всех элементов вида ху, где х £ 3
и y£S'. По индукции можно определить произведение любого
конечного числа подмножеств, причем имеет место ассоциативность.
Например, если 3, S', 3"—подмножества в О, то (SS') S"=S (S'S").
Заметим, что OG — G (потому что в G имеется единичный элемент).
Для x£G мы определим xS как (х] 3, где {х} —множество, состоя-
щее из одного элемента х. Таким образом, множество xS состоит
из всех элементов вида ху, где у £ 3.
Подмоноидом моноида О называется подмножество Н в G, со-
держащее единичный элемент е и такое, что ху £ Н, если х, у £ Н
(мы говорим, что Н замкнуто относительно закона композиции).
Ясно, что подмоноид Н сам является моноидом относительно закона
композиции, индуцированного законом композиции на G.
Для всякого элемента х моноида G подмножество степеней хп
(п = 0, 1, ...) есть подмоноид в G.
Пример моноида. Мы предполагаем, что читатель знаком с тер-
минологией элементарной топологии. Пусть М — множество классов
гомеоморфных друг другу компактных (связных) поверхностей. Опре-
делим сложение в М. Пусть 3, S'—компактные поверхности, D —
маленький диск в 3 и D'— маленький диск в 3'. Пусть далее С,
С' — окружности, образующие границы D и D', a DQ, D'Q— внут-
ренности дисков О и D' соответственно. Приклеим 3—Do к S'— D'o,
отождествив С с С. Можно показать, что получающаяся поверхность,
не зависит с точностью до гомеоморфизма от произвола в выборе,
имеющегося в предыдущем построении. Если о, а' обозначают классы
поверхностей, гомеоморфных поверхностям 3 и 3' соответственно,
то мы берем в качестве оД-о' класс поверхности, полученной ука-
занным процессом склеивания. Можно показать, что так определен-
ное сложение определяет на М структуру моноида, нулевым элемен-
том которого будет класс обычной двумерной сферы. Кроме того,
если т обозначает класс тора, а л — класс проективной плоскости,
то всякий элемент о из /И имеет единственное представление в виде
о = итД- тл,
где п — целое число )>0, а /п = 0, 1 или 2. Справедливо равенство
Зл = т 4-л.
(Предыдущий пример включен по двум причинам: во-первых,
чтобы скрасить неизбежную скуку этого параграфа; во-вторых, чтобы
показать читателю, что моноиды существуют в природе. Нет нужды
говорить, что этот пример никоим образом не будет использоваться
в остальной части книги.)
§ 2. ГРУППЫ
211
$ 2. Группы
Группа G — это моноид, в котором для каждого элемента х £ О
существует элемент у £ О, такой, что ху = ух = е. Элемент у на-
зывается обратным к х. Обратный элемент единствен; действительно,
если у' — другой обратный к х, то
у' = у'е = у' (ху) = (у'х) у = еу = у.
Мы обозначаем этот обратный элемент через х-1 (или через — х,.
когда закон композиции записывается аддитивно).
Для любого положительного целого числа п мы полагаем х~п =
= (x-1)”. При этом обычные правила оперирования с показателями
выполняются для всех целых чисел, а не только для целых чисел
0 (как это было для моноидов в § 1). Тривиальное доказательство
предоставляется читателю.
Мы могли бы также определить левые единицы и левые обратные
(очевидным способом). Легко доказать, что они являются на самом
деле единицами и обратными соответственно. Именно:
Пусть Q—множество с ассоциативным законом композиции*
е — левая единица для этого закона. Предположим, что у каж-
дого элемента есть левый обратный. *Гогда е — единица и всякий
левый обратный является также обратным. В частности, G —
группа.
Для доказательства рассмотрим произвольный элемент а £ G и
его левый обратный b£G, ba = e.
Имеем
bab = eb = b.
Умножение слева на левый обратный для b дает
ab = е,
другими словами, b является также правым обратным к а. Кроме
того,
ае = aba = еа = а,
следовательно, е — правая единица.
Пример. Пусть Gгруппа и5 — непустое множество. Множество
отображений М (S, G) является группой; именно, для любых двух
отображений /, g множества S в G определим отображение fg
равенством
(/£) (*) = f(X)g (X)
и отображение / 1 равенством / \x) = f(x)~1. Тривиально прове-
ряется, что М (S, G) — группа. Если G коммутативна, то такова же
22
ГЛ. I. ГРУППЫ
и группа М (S, G), и при аддитивной записи закона композиции в G
так же записывают и закон композиции в М (S, G), так что пишут
J ё вместо fg и —/ вместо /-1.
Пример. Пусть S — непустое множество, G — множество биектив-
ных отображений S на себя. Тогда G — группа, причем закон ком-
позиции — обычная композиция отображений. Единичным элементом G
является тождественное отображение множества S, а групповые свой-
ства проверяются тривиально. Элементы группы G называются пере-
становками множества S.
Пример. Множество рациональных чисел образует группу отно-
сительно сложения. Множество отличных от нуля рациональных чисел
образует группу относительно умножения. Аналогичные утверждения
справедливы для вещественных и комплексных чисел.
Пусть G — группа. Подгруппой Н группы G называется подмно-
жество в G, содержащее единичный элемент и замкнутое относительно
закона композиции и взятия обратного элемента (т. е. это подмоноид,
такой, что х-1 £ Н, если х £ Н). Подгруппа называется тривиальной,
если она состоит из одного единичного элемента. Пересечение любого
непустого семейства подгрупп есть подгруппа (тривиальная проверка).
Пусть G, G' — моноиды. Гомоморфизм моноидов (или просто
гомоморфизм) О в О'— это отображение/: G —> О', удовлетворяющее
условию / (ху) = / (х) f (у) для всех х, y£G и переводящее еди-
ничный элемент моноида О в единичный элемент О’. Если G и О'—-
группы, то гомоморфизм группы О в О' — это просто моноидный
гомоморфизм.
Мы иногда будем говорить: „пусть /: G —> О' — гомоморфизм
групп", имея в виду: „пусть G, О’—группы и f — гомоморфизм
группы G в О'".
Пусть /: G—>G'— гомоморфизм групп. Тогда
/(х-1) = /(х)~1;
действительно, если е, ег — единичные элементы в G и Gf соответ-
ственно, то
е' = f (е) = / (хх-1) = f (х) f (х-1).
Кроме того, если G, G'— группы и /: G—>0'— такое отображение,
что f (ху) = f (х) f (у) для всех х, у из G, то f(e) — e'. Действи-
тельно, f (ее) = f (в) и также равно f(e)f(e). Умножение на обрат-
ный к f (е) показывает, что /(е) = е'.
Пусть G, G'— моноиды. Гомоморфизм /: G—>0' называется
изоморфизмом, если существует гомоморфизм g: О' —>0, такой, что
J °g и g° f — тождественные отображения (в О' и G соответственно).
§ 2 ГРУППЫ
23'
Тривиально проверяется, что отображение f является изоморфизмом
в том и только в том случае, если оно биективно. Существование
изоморфизма между двумя группами О и G' иногда обозначается
символом G^G'. Если G = G', то мы говорим, что изоморфизм
есть автоморфизм. Гомоморфизм группы G в себя называется также
эндоморфизмом.
Пример. Пусть G—моноид и х — элемент из G. Пусть N обозна-
чает (аддитивный) моноид целых чисел 0. Тогда отображение
/: N-»G, определяемое формулой f(ri) = xn, есть гомоморфизм.
Если О—группа, то мы можем продолжить / до гомоморфизма
группы Z в G (как указывалось выше, хп определено для всех п £ Z).
Тривиальные доказательства предоставляются читателю.
Пусть п— фиксированное целое число, и пусть G — коммутатив-
ная группа. Легко проверяется, что отображение
группы G в себя есть гомоморфизм. То же самое относится к ото-
бражению Xi—>х~х. Отображение xi—> хп называется возведением,
в п-ю степень.
Пусть G—группа и 5—подмножество в О. Мы будем говорить,
что 5 порождает G или что S — множество образующих для О,
если всякий элемент из G может быть представлен как произведение
элементов из S или обратных к ним, т. е. как произведение хх ... хп,
где каждое х. или х~х лежит в S. Ясно, что множество всех таких
произведений будет подгруппой в G (пустое произведение есть еди-
ничный элемент) и притом наименьшей подгруппой в G, содержащей 5.
Таким образом, S порождает G в том и только в том случае, если
наименьшая подгруппа в G, содержащая 5, совпадает с О.
Пусть G — группа, S — множество ее образующих и G' — дру-
гая группа. Пусть f: S->G' — некоторое отображение. Если
существует гомоморфизм f группы О в G’, ограничение которого
на S есть f, то такой гомоморфизм единствен, т. е. f допускает
самое большее одно продолжение до гомоморфизма G в О'. Это оче-
видное утверждение будет неоднократно использоваться в дальнейшем.
Пусть /: G—>G' и g'. G'->G"— гомоморфизмы групп. Тогда
композиция g ° f— тоже гомоморфизм групп. Если /, g — изомор-
физмы, то и g°f—изоморфизм. Кроме того, /-I: GZ->G — тоже
изоморфизм. В частности, множество всех автоморфизмов группы G
образует группу, обозначаемую символом Aut(G).
Пусть /: G—>G' — гомоморфизм групп, е и е' — единичные эле-
менты групп G, G'. Ядром отображения / мы называем подмноже-
ство в G, состоящее из всех тех х, для которых /(х) = е'. Из-
определений немедленно вытекает, что ядро Н гомоморфизма f —
24
ГЛ. I. ГРУППЫ
подгруппа в G. (Докажем, например, что Н замкнуто относительно
взятия обратного элемента. Пусть х £ Н. Тогда
/(х-1)/(х) = /(е) = е'.
Так как f(x) = e', то /(х-1) = е', откуда х~у^Н. Остальные про-
верки предоставляем читателю.)
Пусть опять /: О—>0'—гомоморфизм групп, Н'— его образ.
Тогда Н'— подгруппа в G'. Действительно, Н’ содержит е', и если
f (х), /(у)^Н', то /(ху) =/(х)/(у) также лежит в Н'. Кроме того,
/(x~’j = /(x) 1 лежит в Н', и, следовательно, Н'— подгруппа в G'.
Ядро и образ / иногда обозначаются символами Кег/ и Im /.
Гомоморфизм /: G->G', устанавливающий изоморфизм между
группой G и ее образом в G', мы будем также называть вложением.
Гомоморфизм, ядро которого тривиально, инъективен.
Чтобы доказать это, предположим, что ядро гомоморфизма / три-
виально и что /(х) = / (у) для некоторых х, у £ О. Умножая на
/(у-1), получаем
/ (ху"1) = / (х) / (у-1) = е'.
Следовательно, ху-1 лежит в ядре, т. е. ху-1 = е и х = у. Если,
в частности, гомоморфизм / также и сюръективен, то /—изомор-
физм. Таким образом, сюръективный гомоморфизм, ядро которого
тривиально, — обязательно изоморфизм. Отметим, что инъективный
гомоморфизм является вложением.
Пусть О— группа и Н— ее подгруппа. Левый смежный класс
группы О по Н — это подмножество в G вида аН, где а — некото-
рый элемент из G. Всякий элемент из аН называется представи-
телем смежного класса аН. Отображение х i—> ах индуцирует
биекцию Н на аН. Следовательно, любые два левых смежных класса
имеют одинаковую мощность.
Заметим, что смежные классы аН и ЬН, имеющие хотя бы один
общий элемент, совпадают. Действительно, пусть ах = by, где х,
у £ Н. Тогда а=Ьух~\ Но ух-1 £ Н. Следовательно, аН=Ь (ух-1) Н=
— ЬН, потому что для любого z^H имеем zH = H.
Мы приходим к выводу, что G есть объединение попарно непере-
секающихся левых смежных классов по Н. Аналогичное замечание
применимо к правым смежным классам (т. е. подмножествам в G
вида На). Число левых смежных классов группы G по Н обозна-
чается через (О : Н) и называется (левым) индексом подгруппы Н
в G. Индекс тривиальной подгруппы называется порядком группы G
и обозначается символом (G : 1). Из предыдущего получаем
Предложение 1. Пусть G — группа и Н — ее подгруппа.
Тогда
(G.H)(H: 1) = (G: 1)
§ 3. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
25
в том смысле, что если два из этих индексов конечны, то коне-
чен и третий и имеет место написанное равенство. Если порядок
(0:1) конечен, то он делится на порядок подгруппы И.
Более общо, пусть Н, К — подгруппы в G, причем И z> К.
Пусть — множество представителей {левых) смежных клас-
сов И по К и \yj] — множество представителей смежных клас-
сов 0 по Н. Тогда мы утверждаем, что {y;xz}— множество
представителей смежных классов группы О по К.
Чтобы доказать это, заметим, что
i
j
причем в обоих объединениях слагаемые попарно не пересекаются.
Следовательно,
о = Ц
i, j
Мы должны показать, что в последнем объединении слагаемые также
попарно не пересекаются, т. е. yxz представляют различные смеж-
ные классы. Предположим, что
= у},х.,К
для некоторой пары индексов (J, Г) и (j', I'). Умножив на Н справа
и приняв во внимание, что xz, ху лежат в Н, получим
у.Н = у.,Н,
откуда у} = у.,. Отсюда вытекает, что х.К = х.,К, а потому х. = хГ,
что и требовалось показать.
Формула из предложения 1 может быть, следовательно, обобщена:
(G : K) = {G : Н){Н : К),
причем понимать это нужно так: если два из трех индексов, входящих
в формулу, конечны, то конечен и третий и имеет место написанное
равенство.
$ 3. Циклические группы
Целые числа Z образуют аддитивную группу. Найдем ее под-
группы. Пусть Н—подгруппа в Z. Если Н нетривиальна, то пусть
а—ее наименьший положительный элемент. Мы утверждаем, что Н
состоит из всех элементов вида па, где и £ Z. Чтобы доказать это,
рассмотрим любой элемент у£Н. Существуют целые числа п, г, где
О < о, такие, что
у = па -ф г.
"26
ГЛ. I. ГРУППЫ
Так как Н—подгруппа и г = у—па, то г£Н, а потому г — О,
и наше утверждение доказано.
Мы будем говорить, что группа О циклическая, если существует
такой элемент а в О, что всякий элемент х из G может быть записан
в виде ап, где n£Z (другими словами, если отображение f : Z—>G,
определяемое формулой f(n) = a", сюръективно). При этом элемента
называется образующей группы G.
Пусть G — группа и а £ G. Подмножество всех элементов а" (п £ Z)
есть, очевидно, циклическая подгруппа в G. Если т — целое число,
для которого ат = е и т > 0, то мы будем называть т показателем
элемента а. Будем говорить, что т>0 — показатель группы G,
если хт = е для всех х £ G.
Пусть G — группа и a£G. Пусть /: Z—>G — гомоморфизм, опре-
деленный формулой f(n) — an, и пусть Н—ядро /. Возможны два
случая.
(i) Ядро тривиально. Тогда / —изоморфизм Z на циклическую
подгруппу в G, порожденную элементом а, и эта подгруппа беско-
нечна. (Если а порождает G, то О — циклическая группа.) Мы говорим,
что а имеет бесконечный период.
(И) Ядро не тривиально. Пусть d—наименьшее положительное целое
число, лежащее в ядре. Это d называется периодом (или порядком)
элемента а. Если т — такое целое число, что ат = е, то m = ds
для некоторого целого $. Заметим, что элементы е, а...а“~х
попарно различны. Действительно, если ar — as, где 0 г, s-^d— 1,
и, скажем, г s, то as~r = е. Так как 0 s — г < d, то мы должны
иметь s— г = 0. Циклическая подгруппа, порожденная элементом а,
имеет порядок d. Следовательно, справедливо
Предложение 2. Пусть G — конечная группа порядка и > 1.
Тогда период всякого элемента афе из G делит п. Если порядок
группы G — простое число р, то G — циклическая группа и любой
отличный от е элемент служит образующей для G.
Далее имеет место
Предложение 3. Пусть G — циклическая группа. Тогда
всякая ее подгруппа — циклическая. Если f — гомоморфизм G,
то его образ — циклическая группа.
Доказательство. Если О — бесконечная циклическая группа,
то она изоморфна Z, а мы нашли все подгруппы в Z и обнаружили,
что они циклические. Если G — конечная циклическая группа с обра-
зующей а и Н — некоторая ее подгруппа, то пусть т — наименьшее
положительное целое число, такое, что ат лежит в Н. Легко про-
веряется, что ат порождает Н. Наконец, если /: G—>G'— гомо-
морфизм и а — образующая для G, то /(а) есть, очевидно, образующая
для /(G) и, следовательно, /(G) — циклическая группа.
§ 4. НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ
27
Мы предоставляем читателю в качестве упражнений доказательства!
следующих утверждений о циклических группах:
(i) Бесконечная циклическая группа имеет в точности две
образующие (если а — образующая, то а-1 — единственная другая
образующая).
(п) Пусть G — конечная циклическая группа порядка п и х—ее
образующая. Множество образующих группы G состоит из тех
степеней xv элемента х, в которых показатель v взаимно прост с п.
(iii) Пусть G — циклическая группа и а, b — две ее образующие.
Тогда существует автоморфизм группы G, переводящий а в Ь.
Обратно, любой автоморфизм группы О переводит а в некоторую
образующую G.
§ 4. Нормальные подгруппы
Мы уже отмечали, что ядра гомоморфизмов групп являются под-
группами. Теперь мы хотим охарактеризовать такие подгруппы.
Пусть /: О—>G' — гомоморфизм групп и Н — его ядро. Для’
всякого элемента х из G выполняется равенство хН — Нх, что прове-
ряется непосредственно исходя из определений. Мы можем также
переписать это соотношение в виде хНх~х = Н.
Обратно, пусть G — группа и Н — ее подгруппа. Предположим,
что для всех элементов х из О имеем хНаНх (или, что экви-
валентно, хНх~хс.Н). Если мы возьмем х-1 вместо х, то получим
НсхНх~'\ откуда хНх~А = Н. Таким образом, наше условие экви-
валентно условию хНх~г = Н для всех x£G. Подгруппа Н, удовле-
творяющая этому условию, называется нормальной (или инвариантной}
подгруппой. Мы сейчас увидим, что всякая нормальная подгруппа
служит ядром некоторого гомоморфизма.
Пусть О'—множество смежных классов по Н (по предположению
левые смежные классы совпадают с правыми смежными классами, так
что нет нужды делать различие между ними). Если хН и уН — сме-
жные классы, то их произведение (хН)(уН) также будет смежным
классом, поскольку
хНуН — хуНН — хуН.
Это произведение определяет в О' ассоциативный закон композиции.
Ясно, что сама подгруппа Н как смежный класс служит единичным1
элементом для этого закона композиции и что х~хН служит обратным
для смежного класса хН. Следовательно, G' — группа.
Пусть /: О—>G' — отображение, для которого /(х) есть смежный
класс хН. Тогда, очевидно, f — гомоморфизм и подгруппа Н содер-
жится в его ядре. Если f(x) = H, то х/7 — Н и, значит, х£Н,
так как Н содержит единичный элемент. Таким образом, Н совпадает
с ядром, и мы получили интересовавший нас гомоморфизм.
•28
ГЛ I ГРУППЫ
Группа смежных классов по нормальной подгруппе Н обозна-
чается символом О//7 (читается О по модулю Н или О по Н). Ото-
бражение f группы О на G/Н, построенное выше, называется
каноническим отображением, a G[H называется факторгруппой
группы О по Н.
Замечания
(1) Пусть {НД.^— семейство нормальных подгрупп группы О.
Тогда подгруппа
также будет нормальной. Действительно, если у£Н и х £ G, то хух~*
лежит в каждой подгруппе Нг, а потому и в 77.
(2) Пусть 5 — подмножество в О, и пусть K = /\'s— множество
всех таких элементов х £ G, что xSx-1 = S. Тогда 7V, очевидно, —под-
группа в G; она называется нормализатором подмножества S. Если <S'
состоит из одного элемента а, то N называют также централиза-
тором элемента а. Более общо, пусть Zs— множество всех таких
элементов х £ G, что хух-1 = у для любого у £S. Тогда Zs назы-
вается централизатором подмножества S. Централизатор самой
группы О называется ее центром. Это подгруппа в О, состоящая
из всех ее элементов, коммутирующих со всеми другими элементами,
и, очевидно, инвариантная в G.
Пусть 77—подгруппа в G. Тогда она, очевидно, является инва-
риантной подгруппой своего нормализатора N н. Следующие утвержде-
ния мы предоставляем читателю в качестве упражнений:
Если К — подгруппа в G и Н — нормальная подгруппа в К,
то KczNH.
Если К — подгруппа в NH, то КН — группа и Н — нормальная
подгруппа в КН.
Нормализатор подгруппы 77 — наибольшая подгруппа группы G,
для которой Н является нормальной подгруппой.
Пусть О — группа, Н — ее нормальная подгруппа, х, у g G. Мы
будем писать
х = у (mod 77),
если х и у лежат в одном и том же смежном классе по 77, или,
что равносильно, если ху-1 (или у-1х) лежит в 77. Читается это
соотношение так: „х и у сравнимы по модулю Н“.
Если G—аддитивная группа, то
х = 0 (mod 77)
означает, что х лежит в 77, а
х = у (mod 77)
§ 4. НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ
29
означает, что х — у (или у—х) лежит в Я. Знак сравнения исполь-
зуется главным образом для аддитивных групп.
Пусть
G' —->G-^> О"
— последовательность гомоморфизмов. Мы будем говорить, что эта
последовательность точная, если Im/ = Kerg'. Например, если
Н — нормальная подгруппа в О, то последовательность
Н G —Д G[H
точная (здесь j — вложение и ср — каноническое отображение). После-
довательность гомоморфизмов с большим числом членов, например
Gt—'->G2—2>G.r-> ... _^1->G„,
называется точной, если она точна в каждом члене, т. е. если
Im ft = КегД+1
для всех i = 1....п—-2. Например, точность последовательности
О—>G' -X>G >G"—>0
означает, что f инъективно, что 1т/ = Кег£ и что g сюръективно.
Эта последовательность по существу не что иное, как точная после-
довательность
0 -> Н G G/H -> 0,
где Н — Ker g.
Далее мы опишем некоторые гомоморфизмы, которые все назы-
ваются каноническими.
(0 Пусть G, О' — группы и Д G—>G' — гомоморфизм, ядром
которого служит Н. Пусть ф: G—>G(H—каноническое отображение.
Тогда существует единственный гомоморфизм Д: G'H- >G', инъек-
тивный и такой, что f — Д°ф.
Чтобы определить Д, рассмотрим хН — смежный класс по Н.
Так как f (ху) = f (х) для всех у£Н, положим ft(xH) равным f (х).
Это значение не зависит от выбора представителя х в смежном
классе, и тривиально проверяется, что отображение Д гомоморфно,
инъективно и является единственным гомоморфизмом, удовлетворяю-
щим нашим требованиям. Мы будем говорить, что гомоморфизм Д
индуцирован гомоморфизмом Д
Егш гомоморфизм Д индуцирует изоморфизм
X: G/H~> Im f
30
ГЛ. I. ГРУППЫ
факторгруппы GfH на образ Д и, таким образом, отображение f
может быть разложено в следующую последовательность гомомор-
физмов:
G-Z+GIH— ->Im /-Л. G'.
Здесь J— вложение Im f в G'.
(ii) Пусть G—группа, Н — ее подгруппа и N — пересечение всех
нормальных подгрупп, содержащих Н. Тогда N—нормальная под-
группа и, следовательно, наименьшая нормальная подгруппа, содер-
жащая Н. Пусть /: G->G'— гомоморфизм, ядро которого содер-
жит И. Тогда ядро / содержит W и существует единственный гомо-
морфизм Д: G/N ~>G’ (о нем говорят, что он индуцирован гомо-
морфизмом /), для которого коммутативна следующая диаграмма:
G'
X х
<р\ //«
G/N -
Как и выше, <р — каноническое отображение.
Можно определить Д, как и в (i), положив
Д(хЛ0 = /(х).
Отображение Д правильно определено; тривиально проверяется, что
оно удовлетворяет всем нашим требованиям.
(iii) Пусть G — группа и Н^К — две ее нормальные подгруппы.
Тогда К — нормальная подгруппа в Н и можно определить отобра-
.жение GjK —> GfH, сопоставив каждому смежному классу хК смеж-
ный класс хН. Немедленно проверяется, что это отображение является
гомоморфизмом и что его ядро состоит из всех смежных классов
вида хК, где х£Н. Таким образом, имеем канонический изомор-
физм
(G]K)I(HIK)^GIH.
Можно было бы также описать этот изоморфизм, используя (i) и (ii).
Мы предоставляем 'читателю показать, что имеет место коммутатив-
ная диаграмма
0 -> Н > G -> GIH -> 0
I кан | кан I Id
о -> Н/К -> G//C G/H -> 0
в которой строки точны.
(iv) Пусть G — группа и Н, К — две ее подгруппы. Предполо-
жим, что Н содержится в нормализаторе подгруппы К. Тогда оче-
видно, что Н(\К — нормальная подгруппа в Н, и столь же очевидно,
§ 4. НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ
31
что НК = КН есть подгруппа в G. Имеется сюръективный гомо-
морфизм
Н->НК1К,
сопоставляющий каждому х £ И смежный класс хК группы НК по К.
Читатель тотчас проверит, что ядром этого гомоморфизма служит
как раз Н П К. Таким образом, имеет место канонический изомор-
физм
Н1(Н[\К)^НК!К.
(v) Пусть /: G->G'— гомоморфизм групп, Н' — нормальная под-
группа ь О' к Н — f~l (Н ):
G----> О'
t t
/-’(//)_> я'
Тогда Н — нормальная подгруппа в G. [Доказательство: если x£G,
то / (хНх~1) — f (х) / (И) f (х)-1 содержится в Н', так что
хНх~Ас.Н.] Компонируя / с каноническим отображением G' на G'/H’,
получаем гомоморфизм
G _» o' _» G'/H',
ядром которого служит Н. Следовательно, существует инъективный
гомоморфизм
р G/H-^G'/H',
называемый снова каноническим и приводящий к коммутативной диа-
грамме
0->Н -> G -> О/Н->0
I I/ 17
'l 4- 4
->G' ->G'/H'
Если гомоморфизм f сюръективен, то / есть изоморфизм.
Укажем теперь некоторые приложения наших утверждений о гомо-
морфизмах.
Пусть G — группа. Последовательность подгрупп
G = Goz3G1z>G2zj .. . z>Gm
называется башней подгрупп. Башня называется нормальной, если
каждая Gz+1 нормальна в G(. (Z = 0...т—1). Башня называется
абелевой (соответственно циклической), если она нормальна и если
каждая факторгруппа GJGi+i абелева (соответственно циклическая)1).
*) Здесь вводится терминология, принятая больше в литературе по тео-
рии полей. Специалисты по теории групп говорят преимущественно о рядах
групп с теми или иными свойствами. — Прим. ред.
32
ГЛ. I. ГРУППЫ
Пусть /: О—>G'— гомоморфизм, и пусть
G' = GooGjo .. . nG'„
— нормальная башня в G. Положим G/ = /-1(G(). Тогда Сг
(г = 0....т) образуют нормальную башню. Если G- образуют абе-
леву башню (соответственно циклическую башню), то и Gi образуют
абелеву (соответственно циклическую) башню, поскольку для каждого I
имеется инъективный гомоморфизм
Oz/G;+1->G-/Gf + i
и поскольку подгруппа абелевой группы (соответственно циклической
группы) абелева (соответственно циклическая).
Уплотнением башни
G = GpGp ... oGm
называется башня, которая может быть получена вставлением конеч-
ного числа подгрупп в данную башню. Группа называется разреши-
мой, если она обладает абелевой башней, последним элементом кото-
рой будет тривиальная подгруппа (т. е. в предыдущих обозначениях
{^} )•
Предложение 4. Всякая абелева башня конечной группы G
допускает циклическое уплотнение. Всякая конечная разрешимая
группа G обладает циклической башней, последним элементом
которой является {е|.
Доказательство. Второе утверждение есть непосредственное
следствие первого, и, очевидно, достаточно доказать, что если
Q — конечная абелева группа, то G обладает циклической башней.
Применим индукцию по порядку группы G. Пусть х — элемент из G
(можно предполагать, что хФе) и X — циклическая группа, поро-
жденная х. Положим G' = G/Х. По индукции мы можем найти ци-
клическую башню в О'; ее прообраз будет циклической башней в G
с последним элементом X. Если мы уплотним эту башню, добавив {в}
в конце, то получим искомую циклическую башню.
§ 5. Действие группы на множестве
Пусть S — множество и G—моноид. Под действием G на S
(слева) мы понимаем отображение G X. S -> S, такое, что если обо-
значить через xs образ пары (х, s) при этом отображении (х £ G
и s£S), то для всех х. у£О и будет
(ху)s — х (ys) и es — s.
§ 5. ДЕЙСТВИЕ ГРУППЫ НА МНОЖЕСТВЕ
33
Мы говорим в таком случае, что Q действует на множестве S (слева),
а также что 5 есть О-множество.
Рассмотрим О-множество 5. Всякое х(~0 индуцирует отображе-
ние Т S->S множества S в себя, задаваемое формулой
Т х (s) = xs
для всех Кроме того, по определению имеем
Тху^Тх0Ту
для всех х, у £ О.
Если О — группа, то у отображения Тх существует обратное,
а именно 71 -ь и, следовательно, каждое Тх есть перестановка мно-
жества 5. Отображение xt—>Tx является, очевидно, гомоморфизмом
группы G в группу перестановок множества 5, и мы говорим, что G
представлена в виде группы перестановок (или что нам дано пред-
ставление группы G в группу перестановок).
В остальной части этого параграфа мы будем предполагать, что
О — группа. Наиболее важными двумя примерами представлений G
в виде группы перестановок являются следующие:
(i) Сопряжение. Для всякого х из G определим отображение
ox:G~> О формулой ох (у) = хух~}. Отображение
(X, у)|—>хух-1
определяет действие G на себе, называемое сопряжением (а также
трансформированием). (Выполнение условий, которым должно удо-
влетворять действие, проверяется тривиально.) В действительности
каждое <зх является автоморфизмом G, т. е. для всех у, z £ G имеем
®х = (У)ог(г),
и ох обладает обратным, а именно о -i. Мы видим, таким обра-
зом, что отображение
х ।—> ох
есть гомоморфизм группы G в ее группу автоморфизмов. Ядро
этого гомоморфизма — нормальная подгруппа в G, состоящая из всех
таких х £ G, что хух-1~у для каждого у £ G, т. е. из всех х £ О,
которые коммутируют с каждым элементом из G. Иными словами,
это ядро совпадает с центром группы G.
Чтобы избежать путаницы, мы не употребляем записи ху для ох(у).
Иногда пишут
ox-i (у) = х~'ух~ух,
т. е. используют экспоненциальное обозначение, так что выполняются
правила
ухг = (ух)г и уе = у
для всех х, у, z £ G.
34
ГЛ I ГРУППЫ
Отметим, что посредством сопряжений G действует также на мно-
жестве своих подмножеств. Действительно, пусть S — множество всех
подмножеств в О и пусть Л £ S—одно из них. Тогда хАх~* есть
также подмножество в G, которое можно обозначить символом ох(Д),
и легко проверяется, что отображение
(х, Л)|—
произведения G X в S определяет действие О на S. Отметим,
кроме того, что если А — подгруппа в G, то хАх~* — тоже под-
группа, так что G действует посредством сопряжений и на множестве
всех подгрупп.
Пусть А, В — два подмножества в G. Мы говорим, что они
сопряжены, если существует такой элемент х^О, что В — хАх~\
(ii) Сдвиг. Для каждого х£О определим сдвиг Тх: G—>G, по-
ложив Тх(у) — ху. Тогда отображение
(х, у) ху = Тх (у)
определяет действие группы G на себе Предостережение-. Тх не
является групповым гомоморфизмом! Это только перестановка G
Аналогично О действует посредством сдвигов на множестве своих
подмножеств, поскольку хА = 7\(Л)— подмножество в G вместе с А.
Если Н — подгруппа в G, то 1\(Н) — хН не будет, конечно, под-
группой, но будет левым смежным классом по Н и, следовательно,
G действует посредством сдвигов на множестве левых смежных клас-
сов по Н. Мы обозначим это множество через G/Н. Таким образом,
G/Н есть G-множество, даже если подгруппа Н и не является нор-
мальной. Множество правых смежных классов обычно обозначают
символом Н \ G
Указанные два представления группы О в виде группы переста-
новок будут часто использоваться в дальнейшем В частности, пред-
ставление посредством сопряжений будет использовано в следующем
параграфе при доказательстве теорем Силова.
Пусть S, S' — два G-множества Мы скажем, что отображе-
ние /: S—> S' есть морфизм G-множеств или G-отображение, если
f (xs) = xf (s)
для всех х £ G и $ £ S (мы вскоре определим категории и увидим,
что G-множества образуют категорию).
Возвратимся теперь к общей ситуации и рассмотрим группу, дей-
ствующую на некотором множестве S. Пусть Множество эле-
ментов х £ G, для которых xs — s, есть, очевидно, подгруппа в G;
§ 5 ДЕЙСТВИЕ группы на множестве
35
она называется группой изотропии элемента s в G и обозначается
символом 05!).
Когда G действует на себе посредством сопряжений, группа изо-
тропии элемента есть не что иное, как нормализатор этого элемента.
Точно так же, когда G действует посредством сопряжений на мно-
жестве своих подгрупп, группа изотропии подгруппы — это снова ее
нормализатор.
Пусть G действует на множестве S, s и s' — элементы 5 и
у— такой элемент из О, что ys = s'. Тогда
Gs,=-yG5y~J.
Действительно, сразу видно, что yGsy~l оставляет s' неподвижным
и что y~}Gs/y оставляет неподвижным $, откуда и вытекает указан-
ное равенство. Другими словами, группы изотропии элементов s и s'
сопряжены.
Пусть G действует на множестве S, s — фиксированный элемент
из S. Подмножество в S, состоящее из всех элементов вида xs (где
х £ G), обозначается через Gs и называется орбитой элемента s от-
носительно группы G. Если х и у лежат в одном и том же смежном
классе по H=GS, то xs = ys, и обратно (очевидно). Таким образом,
получаем отображение
/: G/H->S,
задаваемое формулой f(xH)-— xs\ ясно, что это отображение есть
морфизм G-множеств. В действительности, как сразу видно, оно инду-
цирует биекцию множества левых смежных классов G/Я на орбиту Gs.
Следовательно, если G — группа, действующая на множестве S
и s£S, то порядок (или длина) орбиты Gs совпадает с индексом
(G : Gs).
В частности, если G действует посредством сопряжений на мно-
жестве своих подгрупп и Н — одна из них, то число сопряженных
с И подгрупп равно индексу нормализатора NH в G.
Пример. Пусть G — группа и И— ее подгруппа индекса 2. Тогда Н
нормальна в G. Доказательство. Заметим, что Н содержится в своем
нормализаторе N н. Поэтому индекс NH в G равен 1 или 2. Если
он равен 1, то все доказано. Предположим, что он равен 2. Пусть G
действует посредством сопряжения на множестве своих подгрупп.
Тогда орбита подгруппы Н содержит 2 элемента и группа G дей-
ствует на этой орбите. Таким образом, мы получаем гомоморфизм
группы G в группу перестановок двух элементов. Так как имеется
одна сопряженная с Н подгруппа, не равная II, то ядро этого
') В зависимости от контекста подгруппу Gs называют иногда стабили-
затором, а также стационарной или стабильной подгруппой элемента
(точки) $ — Прим. ред.
36
ГЛ I ГРУППЫ
гомоморфизма есть (нормальная) подгруппа индекса 2 и, следовательно,
совпадает с Н, т. е. Н нормальна вопреки предположению. Это за-
вершает доказательство.
Пусть О действует на множестве S. Тогда две орбиты группы О
либо не пересекаются, либо совпадают. Действительно, если Gsx и
Gs2 — две орбиты с общим элементом s, то .s — x.v, для некоторого
x£G и, следовательно, Gs = Gxs1 = Gsl. Аналогично Gs=Gs2-
Таким образом, S— объединение попарно не пересекающихся раз-
личных орбит, и мы можем записать
S = [J Gst (Gs( попарно не пересекаются),
где / — некоторое множество индексов и — элементы различных
орбит. Если S конечно, это дает разложение порядка множества S
в сумму порядков орбит, которое мы назовем формулой разложения
на орбиты, а именно
card (S) = S (О :
Пусть х, у— элементы группы (или моноида) G. Они называются
коммутирующими, если ху — ух. Если G — группа, то множество всех
элементов х £ G, коммутирующих со всеми элементами G, есть под-
группа в G, которую мы назвали центром группы О. Пусть G дей-
ствует на себе посредством сопряжения. Тогда элемент х лежит
в центре в том и только в том случае, если орбита этого элемента
совпадает с ним самим и, таким образом, состоит из одного элемента.
Вообще, порядок орбиты элемента х равен индексу его нормализа-
тора. Следовательно, в том случае, когда G — конечная группа, пре-
дыдущая формула принимает вид
(G:1)^2(G:Gx),
х£С
где С — множество представителей различных классов сопряженных
элементов. Эта формула называется также формулой классов.
§ в. Силовские подгруппы
Пусть р — простое число. Под р-группой мы понимаем конеч-
ную группу, порядок которой является степенью р (т. е. равен рп
для некоторого целого п^О). Пусть G — конечная группа и Н —
ее подгруппа. Мы называем Н р-подгруппой в О, если Н — р-группа.
Мы называем Н силовской р-подгруппой, если порядок Н есть рп
и если рп—наибольшая степень р, делящая порядок G. Ниже мы
§ 6. СИЛОВСКИЕ ПОДГРУППЫ
37
докажем, что такие подгруппы всегда существуют. Для этого нам
понадобится лемма.
Лемма. Пусть G — конечная абелева группа порядка т и
р — простое число, делящее т. Тогда G содержит подгруппу
порядка р.
Доказательство. Докажем сначала по индукции, что если
G имеет показатель п, то порядок группы G делит некоторую сте-
пень п. Пусть b^G, Z>#=1, и пусть И—циклическая подгруппа,
порожденная Ь. Тогда порядок И делит п, так как Ьп^=\. Далее,
п есть показатель для G/Н. Следовательно, порядок факторгруппы
G/Я делит, согласно индуктивному предположению, некоторую сте-
пень п, а в таком случае это справедливо и для порядка G, потому
что
(О: 1) = (0:Я)(Я: 1).
Пусть порядок группы G делится на р. В силу только что дока-
занного в G существует элемент х, период которого делится на р.
Пусть этот период равен ps, где $ — некоторое целое число. Тогда
Xsи, очевидно, элемент Xs имеет период р и порождает под-
группу порядка р, что и требовалось доказать.
Теорема 1. Пусть G — конечная группа и р — простое
число, делящее ее порядок. Тогда в G существует силовская
р-подгруппа.
Доказательство проводится индукцией по порядку G. Если
порядок простой, то наше утверждение очевидно. Предположим те-
перь, что теорема доказана для всех групп, порядок которых меньше
порядка G. Если в G имеется собственная подгруппа Н, индекс ко-
торой взаимно прост с р, то силовская /7-подгруппа в И будет
также силовской /7-подгруппой в G и наше утверждение справедливо
по индукции. Мы можем поэтому предположить, что у всякой соб-
ственной подгруппы индекс делится на р. Пусть теперь G действует
на себе посредством сопряжений. Из формулы классов получаем
(О: 1) = (Z: 1)+2(G:GJ.
Здесь Z—центр G и член (Z : 1) соответствует орбитам, состоящим
из одного элемента, т. е. как раз элементам из Z. Сумма справа
берется по всем другим орбитам, поэтому каждый индекс (G : Gv) > 1,
и по предположению делится на р. Так как р делит порядок G,
отсюда следует, что р должно делить порядок Z; в частности,
G имеет нетривиальный центр.
Согласно лемме, в Z существует циклическая подгруппа И, по-
рожденная элементом порядка р. Так как подгруппа И содержится
38
гл. I. группы
в Z, то она нормальна. Пусть /: G—>GjH—каноническое отобра-
жение. Если рп—наибольшая степень р, делящая (О: 1), то рп~*
делит порядок G/Н. Пусть К' — силовская р-подгруппа в G/Н (су-
ществующая по предположению индукции), и пусть 7< = /-1(К'/)-
Тогда KzsH и f отображает К на К'. Следовательно, имеет место
изоморфизм KIH^K' и К имеет порядок рп~хр = рп, что и тре-
бовалось доказать.
Теорема 2. Для всякой конечной группы G
(i) каждая р-подгруппа содержится в некоторой силовской
р-подгруппе;
(ii) все силовские р-подгруппы сопряжены',
(iii) число силовских р-подгрупп = 1 mod р.
Доказательство. Все доказательства являются применениями
техники, связанной с формулой классов. Пусть 5 — множество си-
ловских р-подгрупп в G. Тогда G действует на 5 посредством со-
пряжения. Пусть Р—одна из силовских р-подгрупп. Группа изо-
тропии Gp подгруппы Р содержит Р, и, следовательно, орбита под-
группы Р (обозначим ее через So) имеет порядок, взаимно простой
с р. Пусть Н— р-подгруппа порядка > 1. Тогда Н действует по-
средством сопряжений на So и S() распадается в объединение попарно’
не пересекающихся орбит относительно Н. Так как порядок Н есть
степень р, то индекс любой ее собственной подгруппы делится на р,
следовательно, хотя бы одна из /У-орбит в So должна состоять
только из одного элемента, а именно из некоторой силовской под-
группы Р'. Тогда Н содержится в нормализаторе Р' и, следова-
тельно, HP' есть подгруппа в G. Кроме того, Р' нормальна в НР‘..
Так как
НРЧР' ^НДН(] Р'),
то порядок НР'/Р' есть степень р, а потому и порядок HP' есть
степень р. Так как Р'— максимальная р-подгруппа в G, то мы
должны иметь НР' — Р’ и, следовательно, НсР', что доказы-
вает (i).
В частности, рассмотрим случай, когда Н—силовская р-под-
группа в G. Как мы показали, Н содержится в некоторой подгруппе,
сопряженной с Р, и, значит, совпадает с ней (так как порядки их
одинаковы). Это доказывает (ii). Наконец, возьмем Н = Р. Тогда
одна из орбит относительно Н содержит ровно один элемент (сама Р),
а все другие орбиты имеют более одного элемента; в действитель-
ности порядки этих орбит делятся на р, поскольку они равны ин-
дексам собственных подгрупп в Р. Это доказывает (iii).
Теорема 3. Пусть О — конечная р-группа. Тогда G разре-
шима. Если ее порядок > 1, то G имеет нетривиальный центр-
§ 7. КАТЕГОРИИ И ФУНКТОРЫ
39
Доказательство. Первое утверждение следует из второго,
так как если G имеет центр Z и мы по индукции имеем абелеву
башню для G/Z, то мы можем поднять эту абелеву башню до G,
показав тем самым, что G разрешима. Чтобы доказать второе ут-
верждение, воспользуемся формулой классов
(G:l)= card (Z) + 2 (О : GJ;
здесь сумма берется лишь по тем х, для которых (G : Gx) 1. Оче-
видно, р делит (0:1), а также делит каждый член в сумме, так
что порядок центра делится на р, что и требовалось доказать.
Следствие. Пусть G—р-группа, порядок которой отли-
чен от 1. Тогда существует последовательность подгрупп
(а) = GqcG^GjC ... c=G„ = G,
такая, что каждая подгруппа Gi нормальна в G и Gi+1/Gi —
циклическая группа порядка р.
Доказательство. Так как центр группы G нетривиален,
то в нем имеется элемент а #= е порядка р. Пусть Н — циклическая
группа, порожденная а. По индукции, если G =# Н, то в фактор-
группе G/Н мы можем найти последовательность подгрупп, удовлет-
воряющую сформулированным требованиям. Взяв прообраз этой башни
.в G, получим искомую последовательность.
£ 7. Категории и функторы
Теперь, прежде чем идти дальше, нам будет удобно ввести но-
вую терминологию. Мы уже встречались с объектами разного рода:
множествами, моноидами, группами. Со многими другими мы еще
встретимся, а для каждого такого рода объектов мы определяем
специальный род отображений между ними (например, гомоморфизмы).
Некоторые формальные свойства являются общими для всех них,
а именно существование тождественных отображений объектов на
себя и ассоциативность отображений, выполняемых одно за другим.
Мы введем понятие категории, чтобы дать общее абстрактное опи-
сание таких ситуаций.
Категория Л включает в себя следующее: класс объектов ОЬ (Л)',
для всяких двух объектов А, В £ ОЬ (Л) множество Мог (Л, В),
называемое множеством морфизмов объекта А в В; для всяких трех
объектов А, В, С£ОЬ(Л) закон композиции (т. е. отображение)
Мог (В, С)ХМог(М, В)->Мог(/1, С).
При этом должны выполняться аксиомы:
40
ГЛ. I. ГРУППЫ
КАТ 1. Два множества Мог (А, В) и Мог (Д', В') не пересе-
каются, за исключением случая А = А' и В = В'\ в этом случае она
равны.
КАТ 2. Для каждого объекта А из Л имеется морфизм idA£
£Мог(А, А), который для всех объектов В £ ОЬ (Л) действует то-
ждественно слева и справа на элементы множеств Мог (В, А) и
Мог (А, В) соответственно.
КАТ 3. Закон композиции ассоциативен (в случае, когда он опре-
делен), т. е. если /£Мог(А, В), g^Mor(B, С) и /г £ Мэг (С, £>), то
(Ь g) о / = Ь (g о/)
для любых объектов А, В, С, D из Л.
Здесь мы сознательно записываем композицию элемента g из
Мог (В, С) и элемента f из Мог (А, В) как go f, т. е. как компо-
зицию отображений. Далее, в этой книге мы увидим, что на прак-
тике морфизмы в большинстве случаев действительно являются ото-
бражениями или тесно связаны с отображениями.
Класс всех морфизмов категории Л будет обозначаться симво-
лом Аг {Л) (от „arrows ofc^“ — „стрелки из Л“). Мы будем иногда
использовать запись „/ £ Аг (ЛУ, чтобы выразить, что f—какой-то
морфизм из Л, т. е. элемент некоторого множества Мог (А, В), где
А, ВеОЬ(Л).
Иногда, неточно выражаясь, мы будем называть категорией сам
класс объектов — в том случае, когда ясно, что понимается под
морфизмами этой категории.
Элемент /£Мог(А, В) записывается также в виде /: А—>В или
А—->В.
Морфизм / называется изоморфизмом, если существует морфизм
g :В-> А, такой, что g о f и f« ^являются тождественными морфиз-
мами в Мог (А, А) и Мог (В, В) соответственно. Если А = В, то
изоморфизм мы называем также автоморфизмом.
Морфизмы объекта А в себя называются эндоморфизмами. Мно-
жество эндоморфизмов объекта А обозначается символом End (А).
Из наших аксиом немедленно вытекает, что End (А) — моноид.
Пусть А—объект категории Л- Мы обозначаем через Aut(A)
множество его автоморфизмов. Это множество в действительности
является группой, поскольку все наши определения так и подобраны,
чтобы выполнялись групповые аксиомы (ассоциативность, суще-
ствование единичного элемента и обратного). Таким образом, мы
теперь начинаем улавливать некую обратную связь между абстракт-
ными и более конкретными категориями.
§ 7. КАТЕГОРИИ И ФУНКТОРЫ
41
Примеры. Пусть — категория, объектами которой служат мно-
жества, а морфизмами — отображения множеств. Мы говорим просто,
что ff— категория множеств. Три аксиомы КАТ 1, 2, 3 тривиаль-
ным образом удовлетворяются.
Пусть Grp — категория групп, т. е. категория, объектами кото-
рой служат группы, а морфизмами — гомоморфизмы групп. Снова
все три аксиомы тривиально выполняются. Аналогично имеем кате-
горию моноидов, обозначаемую символом Мои.
Ясно также, что G-множества для всякой группы G образуют
категорию (с очевидными морфизмами).
Вообще мы можем теперь определить понятие действия группы О
на объекте в любой категории. Действительно, пусть Л — некоторая
категория и А£ОЬ (Л)- Под действием О на А мы будем пони-
мать гомоморфизм G в группу Ап1(Л). Обычно объект А является
множеством и автоморфизм из Aut(/1) действует на А как на мно-
жестве, т. е. индуцирует перестановку на А. Таким образом, если
нам задан гомоморфизм
о: G->Aut(X),
то для каждого x£G мы имеем автоморфизм ах объекта А, являю-
щийся перестановкой на А.
Рассмотрим специальный случай, когда сД — категория абелевых
групп, которую можно обозначить символом АЬ. Пусть А—абелева
группа, G — группа, и пусть задано действие G на группе А, т. е.
гомоморфизм
о: G—>Ап!(Л).
Будем обозначать через х • а элемент ах(а). Тогда для всех х, y£G,
а, b £ А имеем
х (у а) = (ху) - а, х • (а Д- Ь) = х • а Д- х • Ь,
е • а = а, х • 0 = 0.
Заметим, что когда группа G действует на себе посредством со-
пряжений, то G действует на себе не только как на множестве, но
и как на объекте в категории групп, т. е. перестановки, индуциро-
ванные этим действием, в действительности являются автоморфиз-
мами групп.
Аналогично мы введем позднее другие категории (колец, модулей,
полей), и у нас уже есть общее определение того, что следует по-
нимать под действием группы на объекте в любой из этих катего-
рий.
Пусть Л— категория. Мы можем взять в качестве объектов но-
вой категории морфизмы из Л- Если /: А—>Вн f'. А' —>В' —
два морфизма из Л (и, следовательно, объекты из ^), то мы
42
ГЛ. I. ГРУППЫ
определяем морфизм //' (в ^)как пару морфизмов (ср, ф) из Л,
для которых следующая диаграмма коммутативна:
А -L+B
<г IФ
j *
А' В'
Ясно, что — категория (строго говоря, как и в случае отображе-
ний множеств, следовало бы снабжать (ср, ф) индексами / и f', НО'
на практике такая индексация опускается).
Имеется много вариаций на эту тему. Так, мы можем сосредото-
чить свое внимание на тех морфизмах из Л, у которых фиксирован
исходный объект, или на тех, у которых фиксирован конечный
объект.
Пусть, например, А — некоторый объект в Л. и пусть Ла —
категория, объектами которой служат морфизмы
f-. А
из Л, для которых А — конечный объект. Морфизм в ЛА из-
/ : X —> А в g: Y -> А — это просто такой морфизм
й: X—> Y
из Л, что диаграмма
X > Y
\ /
/л
А
коммутативна.
Пусть Л, $—категории. Ковариантный функтор F из Л
в —это правило, сопоставляющее каждому объекту А в Л неко-
торый объект F (А) в д& и каждому морфизму /: А -> В — морфизм
F(/): F (A ')~>F (В) таким образом, что выполняются следующие
условия:
ФУН 1. Для всякого А из Л имеем F (id^) = id^ (л).
ФУН 2. Если /: А - >В и g: В->С — два морфизма из Л, то
F(.g°f) = F(g)0F(f).
Пример. Сопоставив каждой группе G ее множество (сняв с него
групповую структуру) и каждому групповому гомоморфизму сам этот
гомоморфизм, рассматриваемый лишь с теоретико-множественной
точки зрения, мы получим функтор из категории групп в категорию
множеств. Такой функтор называется стирающим функтором.
Заметим, что всякий функтор преобразует изоморфизмы в изо-
морфизмы, так как /og = id влечет F (f) о F (g) = id.
§ 7. категории и функторы
43
Можно определить понятие контравариантного функтора из Л
•в <$, используя то же самое условие ФУН 1 и обращая стрелки
в условии ФУН 2, т. е. каждому морфизму /: Д—контравариант-
ный функтор сопоставляет морфизм
F(/): Л(В)->Л(Д)
(идущий в противоположном направлении) таким образом, что если
/: А>В и g-. В->С
— морфизмы В Л. то
F (g ° /) = F (/)0 F (g)-
Иногда для обозначения функтора пишут Д вместо F (/) в слу-
чае ковариантного функтора и /* — в случае контравариантного функ-
тора.
Пример. Пусть Л— некоторая категория и А—фиксированный
объект в Л. Мы получим ковариантный функтор
МА: Л-+&.
положив МА (X) = Mor (А, X) для любого объекта X из Л-
Если <р: X X'—морфизм, то возьмем в качестве
Л4л(ф): Мог(Д, %)—>Мог(Д, X')
отображение, задаваемое правилом
g-H-xpog-
для любого §'^Мог(Д, X),
A-S^X-^X'.
Аксиомы ФУН 1 и ФУН 2 проверяются тривиально.
Аналогично для каждого объекта В из Л мы имеем контрава-
риантный функтор
Л1«:
такой, что (Y) = Мог (К, В). Если ф: Y'-+Y— морфизм, то
Мв(ф): Мог(Е, В)->Мог(Г, В]
есть отображение, задаваемое правилом
/Р->/оф
для любого /£Мог(Е, В),
У' у в.
Предыдущие два функтора называются представляющими функ-
торами.
44
ГЛ. I. ГРУППЫ
Рассмотрим важный специальный случай, когда мы имеем дело
с категорией групп. Если S— множество и О—группа, то, как мы
отмечали в § 2, множество отображений М (S, G) само есть группа.
Если G, G' — две группы, то множество морфизмов Mor (О, О')
в категории групп — это просто множество гомоморфизмов О в О';
оно будет обозначаться Hom(G, О'). Заметим, что Нот (О, О') не
будет, вообще говоря, группой, если О' — неабелева группа.
Отметим, кроме того, тот важный факт, что представляющие
функторы приводят к гомоморфизмам. Рассмотрим, например, кова-
риантный представляющий функтор. Пусть S — множество, X, X'—
группы и ср: Х->Х'— гомоморфизм групп. Имеем индуцированное
отображение
ЛГ5(ф): M(S, X)->M(S, X'),
задаваемое правилом gi—xpog. Если g, h£M(S, X), то для х £ X
ф ° (gh) (х) = Ф ((g/z) (х)) = ф (g (х) h (х)) = ф (g (х)) ф (й (%)).
Следовательно, /И5(ф)— гомоморфизм. Аналогичное утверждение спра-
ведливо и для контравариантного представляющего функтора.
Тот факт, что Hom(G, X) есть группа, когда обе группы G, X
коммутативны, заслуживает особого внимания. Мы изучим коммута-
тивный случай более детально, когда будем иметь дело с дуальными
группами, и позднее, когда будем рассматривать двойственность век-
торных пространств. Эти разделы дают хорошие дополнительные
примеры для обсуждаемых здесь понятий, и читатель может сразу
обратиться к ним, если пожелает.
Как отметил Гротендик, представляющие функторы можно ис-
пользовать, чтобы перенести определения некоторых структур на
множествах в произвольные категории. Например, пусть <jl— кате-
гория и О — объект из X Мы говорим, что G — групповой объект
в ст£, если для каждого объекта X из <Л задана групповая струк-
тура на множестве Mor(X, О) таким образом, что сопоставление
Хн->Mor(X, G)
функториально (т. е. является функтором из категории <Л в катего-
рию групп). Множество Mor(X, G) иногда обозначают через G(X)
и мыслят его как множество точек объекта О в X. За оправданием
этой терминологии читатель отсылается к гл. X, § 3.
Другим примером может служить понятие произведения, опреде-
ленное в категории множеств. Мы распространим это понятие на
произвольные категории так, чтобы оно было согласовано с пред-
ставляющими функторами.
§ 7 КАТЕГОРИИ И ФУНКТОРЫ
45
Произведения и копроизведения
Пусть Л— категория и А, В —объекты из Л- Под (прямым)
произведением объектов А, В в Л понимается тройка (Р, /, g),
состоящая из объекта Р в Л и двух морфизмов
Р
У Хх
А В
и удовлетворяющая следующему условию. Если даны два морфизма
в Л
ср С —>А и ф: С—>В,
то существует единственный морфизм h: С-+Р, для которого сле-
дующая диаграмма коммутативна:
С
А В
другими словами, y = и ф = ^ой. Более общо, если дано
семейство объектов в Л, то (прямое) произведение этого
семейства есть пара (Р, где Р — объект в Л и —
семейство морфизмов
P—>At,
удовлетворяющая следующему условию Для каждого семейства мор-
физмов
gr C->At
существует единственный морфизм h. С —> Р, такой, что /г о h = g-t
для всех I.
Пример. Пусть Л — категория множеств. Пусть, далее, —
некоторое семейство множеств, /3=ДЛг— их декартово произве-
дет
дение и Р—>At— проекция на /-множитель. Тогда (Р, {/,}) оче-
видным образом удовлетворяет требованиям, налагаемым на произве-
дение в категории множеств.
Что касается обозначений, то произведение двух объектов в ка-
тегории мы будем обычно записывать в виде Л X Д а произведение
произвольного семейства объектов — в виде [J At, т. е. используя
46
ГЛ. I. ГРУППЫ
те же самые обозначения, что и в категории множеств. В следующем
параграфе мы исследуем произведения в категории групп.
Нам придется также встречаться с дуальным понятием. Пусть
{Л;}.—семейство объектов в категории Л. Под их копроизведе-
нием понимается пара (S, состоящая из объекта S и семей-
ства морфизмов
{fd Al-+S\,
удовлетворяющая следующему условию. Для каждого семейства мор-
физмов {gp At->C] существует единственный морфизм h: S->C,
такой, что Ь fi = gi для всех I.
Как в случае произведения, так и в случае копроизведения, мор-
физм h называется морфизмом, индуцированным, семейством jg\).
Примеры. Пусть —категория множеств. В этой категории
существуют копроизведения. Например, пусть S, S' — множества,
и пусть Т — множество, имеющее ту же мощность, что и S', и не
пересекающееся с S. Пусть /р S—>S— тождественное отображение
и /2: S'—>Т— некоторая биекция. Пусть U — объединение S и Т.
Тогда (U, fi, есть копроизведение для S, S', причем /ь /2 рас-
сматриваются как отображения в U~.
Пусть —категория пунктированных множеств. Ее объекты
состоят из пар (S, х), где S— множество, а х — некоторый его
элемент. Морфизм из (S, х) в (S', х') в этой категории — это такое
отображение g: S —> S', что g(x) = x'. Копроизведение для (S, х)
и (S', х') в этой категории существует и может быть построено
следующим образом. Обозначим через Т объединение х и множества
той же мощности, что и дополнение к х' в S', такого, что Т П 5 =
— (х). Пусть U = S (J Т и
Д: (S, х)->((/, х)
— отображение, индуцированное тождественным отображением мно-
жества S. Пусть, далее,
/2: (S', х')->((7, х)
— отображение, переводящее х' в х и индуцирующее некоторую
биекцию S'—{х'} на Т—{х]. Тогда тройка
((U, х), Л, /2)
есть копроизведение для (S, х) и (S', х') в категории пунктирован-
ных множеств.
Аналогичными конструкциями могут быть получены копроизведе-
ния произвольных семейств множеств или пунктированных множеств.
Категория пунктированных множеств особенно зажна в теории го-
мотопий.
§ 8 СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ
47
Пусть — некоторая категория. Объект Р в называется
универсально притягивающим, если существует единственный мор-
физм каждого объекта из в Р, и называется универсально от-
талкивающим, если для каждого объекта из существует един-
ственный морфизм Р в этот объект.
Когда смысл ясен из контекста, мы будем называть такой объект
Р просто универсальным. Так как универсальный объект обладает
тождественным морфизмом в себя, то ясно, что если Р, Р' — два
универсальных объекта в , то между ними существует однозначно
определенный изоморфизм.
Посмотрим теперь, как это применяется, скажем, к копроизведе-
нию. Пусть Л.— категория и {Л,}— семейство объектов в Л. Опре-
делим новую категорию <?, взяв в качестве ее объектов семейства
морфизмов {/,: Л,—Если даны два таких семейства
{// « К- А^в'}>
то морфизмом первого объекта во второй будет по определению
морфизм ср: В>В' в Л, такой, что = для всех I. Тогда
копроизведение семейства {Л(}—это просто универсальный объект
в %.
Копроизведение семейства {Л() будет обозначаться так:
Па
bi
Копроизведение двух объектов А, В будет также обозначаться через
лПя-
Из предположения единственности вытекает, что копроизведение
определено однозначно (с точностью до однозначно определенного
изоморфизма). Аналогичное замечание справедливо и для прямого
произведения.
§ 8. Свободные группы
Пусть I—некоторое множество, и для каждого 1£1 пусть GL —
некоторая группа Пусть О = JJ Ot — теоретико-множественное про-
изведение множеств G(. Тогда G— это множество всех семейств
где x;£G(. Мы можем определить на G групповую структуру
посредством покомпонентного умножения; именно, если (х;) , у и
(у()г£/— два элемента из G, то их произведением считаем семейство
(x;yz) f/- Обратным к (xz) будет (•’Cf1) Ясно, что при этом
G — группа и что проекции
G >G;
48
ГЛ. I. ГРУППЫ
являются гомоморфизмами. Поскольку G — теоретико-множественное
произведение для G;, то получаем
Предложение 5. Группа JJ G(- вместе с гомоморфизмами
проектирования образует произведение семейства в ка-
тегории групп.
Действительно, если [gy G'—>Gi\llzI— семейство гомоморфизмов,
то существует единственный гомоморфизм g\ О'->Цо;, для ко-
торого коммутативна требуемая диаграмма. Это — гомоморфизм,
определяемый равенством g (x')i = gt (х') для х' £ G' и всякого i£I.
Заметим, что каждая группа Gy допускает инъективный гомомор-
физм в произведение на его у-ю компоненту, а именно отображение
Zy-: Gy—> Д G;, такое, что z-я компонента элемента Ху-(х)для всякого
i
x^Gj равна единичному элементу группы G;, если i j, и равна
самому х, если i = j. Это вложение будет называться каноническим.
Имеется полезный критерий того, что группа есть прямое про-
изведение своих подгрупп.
Предложение 6. Пусть G — группа и И, К — две такие
ее подгруппы, что И К = е, НК = О и ху = ух для всех х£Н
и у£К- Тогда отображение
ну^к->о,
при котором (х, у)'—>ху, есть изоморфизм.
Доказательство. Это отображение, очевидно, гомоморфизм,
и притом сюръективный, так как НК = G. Если (х, у) принадлежит
его ядру, то х —у-1, так что х лежит сразу и в Н, и в К, а по-
тому х^е, следовательно, также у = е и наше отображение — изо-
морфизм.
Заметим, что предложение 6 обобщается по индукции на любое
конечное число подгрупп Нх, ..., Н п, попарно коммутирующих друг
с другом и таких, что Н, ... Ип^=-0 и
/7;+1П(^ ... Н^) — е.
В этом случае группа G изоморфна прямому произведению
Я, X ... X Нп.
Пусть G — группа и S— подмножество в G. Напомним, что G
порождается множеством 5, если каждый элемент из G может быть
записан в виде конечного произведения элементов из 5 и их обрат-
ных (причем пустое произведение всегда представляет единичный
элемент G). Элементы из S называются тогда образующими. Если
в группе G существует конечное множество образующих, то мы на-
§ 8 СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ
49
зываем ее конечно порожденной. Пусть S— некоторое множество.
Мы говорим, что отображение ср: S >G порождает G, если его
образ порождает О.
Пусть /: 5—>F— отображение множества S в некоторую группу,
g: 3>G— другое такое отображение. Если f (S) (или, как мы
условились говорить, /) порождает F, то, очевидно, существует са-
мое большее один гомоморфизм ф группы F в G, для которого
коммутативна следующая диаграмма:
S F
X X
G
Рассмотрим теперь категорию <?, объектами которой являются
отображения множества S в группы. Если f:S >G и S>Gr—
два объекта в этой категории, то под морфизмом из / в /' мы по-
нимаем гомоморфизм ср: G>G', для которого фо/ = /', т. е. для
которого коммутативна диаграмма
Под свободной группой, определенной множеством S, мы будем по-
нимать универсальный объект в этой категории.
Предложение 7. Для всякого множества S существует
определенная им свободная группа (F, f). При этом отображе-
ние f инъективно и порождает группу F.
Доказательство (я обязан этим доказательством Ж. Титсу).
Ради простоты мы сначала проведем доказательство для случая,
когда S конечно. Пусть Т — бесконечное счетное множество, Г —
множество всех групповых структур на Т и Ту — соответствующая
группа для каждого у£Г. Обозначим через Му множество всех
отображений множества S в Ту. Пусть Т—теоретико-множе-
ственное произведение группы Ту и множества {<р|, состоящего из
одного элемента; таким образом, <р используется как индекс, так что
7’Vf|, — это „та же самая" группа, что и Т , но занумерованная по-
средством (р. Введем декартово произведение
групп Определим отображение
fo- S->F0,
50
ГЛ. I. ГРУППЫ
переводя X в множитель Ty, ф посредством <р. Мы утверждаем, что-
для каждого отображения g: S —> О множества S в произвольную-
группу G существует гомоморфизм gt: F0—>G, такой, что комму-
тативна обычная диаграмма
Л/
X
г*
О
т. е. gtt°f(i = g- Для доказательства заметим сначала, что можно
предполагать, что g порождает G, просто ограничившись рассмо-
трением подгруппы в G, порожденной образом g. В этом случае
card G card Т. Пусть G — произведение группы G и группы целых
чисел Z, так что card (G) — card (Г). Тогда для некоторого
существует изоморфизм
к G->7\
и G естественным образом вкладывается в 0 = 0 XZ как прямой
сомножитель. Обозначим это вложение через /г, так что /г(О) =
= GX[OJ. Мы имеем теперь следующую последовательность гомо-
морфизмов и отображений:
S S.+ G—+G = 0 X Z— -> 7\.
Пусть ф = Хойо£- — их композиция. Тогда ф £ Л4у, и мы можем
рассматривать ф как отображение множества 5 в Т ф. Положим
ф* = рго о X-1 ° prY> где ргу>ф—проекция группы Fo на множи-
тель Туу Из определений немедленно вытекает, что следующая
диаграмма коммутативна:
Обозначим через F подгруппу в Fo, порожденную образом /0,
и через f—отображение /0, рассматриваемое как отображение мно-
жества S в F. Пусть g*—ограничение ф* на F. Непосредственно-
видно, что gf — единственное отображение, приводящее к нужной
§ 8 СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ
51
нам коммутативной диаграмме, следовательно, (Л, /) — искомая сво-
бодная группа. Кроме того, ясно, что отображение f инъективно.
Предположим теперь, что S не является конечным. Тогда легко
так подобрать мощности, чтобы доказательство осталось справедли-
вым. Именно, положим 7 = 5 и возьмем за G произведение группы Q
с прямой суммой (см. § 9) достаточного числа экземпляров группы Z,
так чтобы было снова card (Ci) _ card (Т). В остальном доказатель-
ство проходит, как и прежде.
Отберем для каждого множества S одну свободную группу, опре-
деляемую S, и обозначим ее через (F(S), fs) или, короче, через
F (S). Она порождается образом отображения fs. Множество S можно
рассматривать как содержащееся в F (S); тогда элементы из S на-
зываются свободными образующими группы F (S). Если g: S>G—
некоторое отображение, то мы будем обозначать через gy. F(S)—>G
гомоморфизм, реализующий универсальность нашей свободной груп-
пы F(S).
Пусть X: S>S'—отображение одного множества в другое и
F (?.): F (S) —> F {S') — отображение (Д, о X) :
S _^F(S)
х| \ |е(Х)
Мы можем, таким образом, рассматривать F как функтор из кате-
гории множеств в категорию групп (функториальные свойства прове-
ряются тривиально, проверка предоставляется читателю).
Если X сюръективно, то F (X) также сюръективно. Доказа-
тельство снова предоставляется читателю.
Если два множества S, S' имеют одинаковую мощность, то они
изоморфны в категории множеств (так как изоморфизм в этом
случае — биекция!), и, следовательно, группа F (S) изоморфна
группе F (S'). Если S состоит из п элементов, то мы называем F (S)
свободной группой с п образующими.
Пусть G — группа и S — то же самое множество, что и G
(т. е. О рассматривается как множество без групповой структуры).
Имеем тождественное отображение g’. S->G и, следовательно,
сюръективный гомоморфизм
gy. F(S)—>G.
который будет называться каноническим. Таким образом, всякая
группа есть факторгруппа свободной группы.
Группы можно строить также с помощью, как говорят, обра-
зующих и соотношений. Пусть S — множество и F (S) — свободная
группа. Будем считать, что /; S-> F (S) — вложение. Пусть R —
52
гл. I. ГРУППЫ
некоторое множество элементов из F (3). Каждый элемент из R
может быть записан в виде конечного произведения
П
v=l
где каждое xv есть элемент из 3 или обратный для элемента из 3.
Пусть N— наименьшая нормальная подгруппа в F (3), содержа-
щая R, т. е. пересечение всех нормальных подгрупп в F (3), со-
держащих R. Тогда F (S)/N будет называться группой, определен-
ной образующими 3 и соотношениями R.
Пример. Легко показать, что группа, определенная одной обра-
зующей а и соотношением {а2}, имеет порядок 2. В упражнениях
в конце главы предложены менее тривиальные примеры.
Канонический гомоморфизм tp: F (S)-> F (S)/N удовлетворяет (оче-
видно) свойству универсальности относительно тех гомоморфизмов ф
группы F (3) в группы О, для которых ф (х) = 1 для всех х £ R. Ввиду
этого группу F(S)lN иногда называют группой, определенной обра-
зующими 3 и соотношениями х = 1 (для всех х £ R). Например,
группа из предыдущего примера могла бы быть названа группой,
определенной образующей а и соотношением а2 = 1.
Предложение 8. Копроизведения в категории групп суще-
ствуют.
Доказательство. Пусть {Gz}.f/—семейство групп. Рас-
смотрим категорию ё, объектами которой являются семейства гомо-
морфизмов групп
О/->О1ге/.
с очевидными морфизмами. Нам нужно найти универсальный объект
в этой категории. Для каждого индекса I возьмем за 3Z то же самое
множество, что и Gz, если Gz бесконечно, и произвольное счетное
множество, если Gz конечно. Пусть 3 — множество, имеющее ту же
мощность, что и теоретико-множественное объединение попарно не
пересекающихся множеств 3Z (т. е. их копроизведение в категории
множеств). Пусть Г — множество групповых структур на 3 и Фу
для каждого у£Г — множество всевозможных семейств гомомор-
физмов
Ф= (ФГ- g/-*sy}-
Каждая пара (Зу, ср), где ф£Фу,
как индекс). Положим
есть группа (<р использовано только
II
ver
П (Sv Ф)
'РёФу
§ 8 СВОБОДНЫЕ ГРМ1ПЫ
53
и для каждого I определим гомоморфизм fp G( - > Fo следующим
предписанием: его компонента для каждого множителя (Sy, <р) совпа-
дает с соответствующей компонентой гомоморфизма <р(.
Пусть теперь ^={g(: G(—>Gj— некоторое семейство гомомор-
физмов. Заменяя G, если необходимо, подгруппой, порожденной обра-
зами гомоморфизмов gL, мы видим, что card (G) card (S), поскольку
всякий элемент из G есть конечное произведение элементов из этих
образов Вложив G как множитель в произведение с достаточно
большим набором экземпляров группы Z, мы можем предполагать, что
card (G) = card (S) Существует гомоморфизм gj Fo —>G, такой, что
gt
дтя всех i. Действительно, мы можем без потери общности предпо-
ла1ать, что G = SY для некоторого у и я ф для некоторого ф£Ф?.
В качестве g* возьмем проекцию До на множитель (5у, ф).
Пусть F — подгруппа в Fo, порожденная объединением образов
оюбражений /( по всем I. Ограничение g* на F есть единственный
гомоморфизм, удовлетворяющий соотношениям f t° gx = gt для всех z,
и наш универсальный объект, таким образом, построен.
Я обязан Эйленбергу изящным доказательством следующего пред-
ложения:
Предложение 9. Пусть А и В — две группы, теоретико-
множественное пересечение которых есть {1}. Существует группа
А о В, содержащая А и В в качестве подгрупп с тривиальным
пересечением ЛПВ“(1] и обладающая следующим свойством
Всякий элемент =F 1 из А о В допускает единственное предста-
вление в виде произведения
ах ... ап (п^> 1, at 1 для всех i),
где at£ А или at £ В, причем если at £ А, то а1+1 £В, а если at £ В,
то at+1 £ А.
Доказательство. Возьмем в качестве А о В множество после-
довательностей
а = (ах, . а„) (п^О),
таких, что либо п = 0, и последовательность пуста, либо и
тогда элементы последовательности принадлежат А или В и все 1.
причем никакие два соседних элемента последовательности не принад-
лежат одновременно ни А, ни В. Пусть b = (bx...Ьт). Определим
произведение ab как последовательность
С»!....ап, Ьг.....6т), если ап £ А, Ьг£В или ап £ В, Ь^А,
(«1....апЬх.....Ьт), если ап, ЬХ^А или ап, Ьг£В и а,Д=£1,
(«!, .... .... Ьт) (определено по индукции),
если ап, Ьг^А или аа, bi £ В и апЬх=\.
54
ГЛ. I. ГРУППЫ
Случай, когда п = 0 или т~0, охватывается первым случаем,
при этом пустая последовательность служит единичным элементом
в А о В. Ясно, что
(flj....Й1 Т) ~ единичный элемент,
так что в проверке нуждается только ассоциативность. Пусть с =
= (cb .... сг).
Рассмотрим сначала случай, когда т = 0, т. е. последователь-
ность b пуста. Тогда, очевидно, (ab)c = a(bc). То же самое будет
если п = 0 или г = 0. Теперь рассмотрим случай т — 1. Пусть b — (х),
где х £ А, х at 1. Тогда в каждом возможном случае проверяется,
что (ab) с = а (Ьс). Вот эти случаи:
'(й].....ап, х, с}..........сг),
(а}......апх, С].........с,),
(«1......а„, хсх.........сг),
(«1.......................сг),
(«1......а„)(с2........сг),
.........ап~у, апхСу,....с2........сг),
(«1......«я-1)(с2.........
если ап £ В и £ В,
если ап £ А, апх=^=1, сх£В,
если ап£В, сх£А, хсх =А 1,
если ап = х~1 и сх £ В,
если ап£В и с1 — х~’,
если а„. сх£А, апхс1^=1,
если ап, сх £ А и апхсх — 1,
При т > 1 применяем индукцию. Записав последовательность в виде
b = b'b", где Ь' и Ъ"— более короткие последовательности, получим
(oZ>) с = (а (b'b")) с = ((ab') b") с = (abr) (Ь"с),
a (be) = а ((b'b") с) = а (b' (b"c)) = (ab') (Ь"с),
что и требовалось показать.
Мы имеем очевидные вложения групп А и В в А о В и, отожде-
ствляя А, В с их образами в А о В, получаем доказательство нашего
предложения.
По индукции можно доказать аналогичный результат для несколь-
ких множителей. В частности, для свободной группы получаем
Следствие 1. Пусть F (S) — свободная группа, определенная
множеством S, и хх.....хп—различные элементы из S. Пусть
V].....vr — целые числа =£ О и 1Х..1Г— такие целые числа,
1<С С....ir п,
что ij-Fij+y для 7=1.....г—1. Тогда
xvi....Xх/1.
<! ‘г
Доказательство. Пусть Gj........—циклические группы,
порожденные элементами хх...хп. Рассмотрим группу G — Gyo ...
... °G„. Пусть
F (S) -> G
§ 9. ПРЯМЫЕ СУММЫ И СВОБОДНЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
55-
— гомоморфизм, переводящий каждый элемент х; в себя, а все дру-
гие элементы из 5 — в единичный элемент группы G. Наше утвер-
ждение теперь очевидно.
Следствие 2. Пусть S—множество из п элементов xv ..., хп,
п^>1, и О], . . ., Gn — бесконечные циклические группы, порожден-
ные этими элементами. Тогда отображение
F (S) —>Gxo ... oG„,
переводящее каждое xt в себя, является изоморфизмом.
Доказательство. Это отображение, очевидно, сюръективно^
и инъективно.
Следствие 3. Пусть Gb ..., Gn — группы. Гомоморфизм
01II • • • II Gi ° • • • ° ° я
их копроизведения в Glo ... °Gn, индуцированный естественными:
вложениями Gj^-yGyo ... °Gn, является изоморфизмом.
Доказательство. Опять-таки очевидно, что этот гомомор-
физм инъективен и сюръективен.
§ 9. Прямые суммы и свободные абелевы группы
Абелевы группы образуют категорию, которую можно обозначить,
символом АЬ. Заметим, что если —семейство абелевых групп,
то их произведение в категории групп является также произведением
в категории абелевых групп, т. е. если мы образуем теоретико-
множественное произведение
Па
а.1
и наделим его структурой группы с помощью покомпонентного умно-
жения, то оно станет абелевой группой, обладающей необходимым
свойством универсальности.
Копроизведение в категории абелевых групп обычно называется
прямой суммой.
Предложение 10. Прямые суммы в категории абелевых
групп существуют.
Доказательство. Пусть {Д;} ?—семейство абелевых групп.
Рассмотрим подмножество А прямого произведения Ц Лг, состоящее
из всех семейств х^А^, таких, что xi = 0 для всех, кроме
56
ГЛ. I. ГРУППЫ
конечного числа индексов I. Ясно, что А — подгруппа в произведе-
нии. Для каждого индекса j£l мы определим отображение
X/ Aj->A,
положив ХДх) равным элементу из А, j-я компонента которого
есть х, а все остальные компоненты равны 0. Очевидно, X,- — инъек-
тивный гомоморфизм. Мы утверждаем, что А вместе с семейством
отображений есть прямая сумма семейства Пусть
{/): At->B}—произвольное семейство гомоморфизмов в абелеву
группу В. Определим отображение
f: А->В
формулой
Сумма справа в действительности конечная, так как в ней все члены,
кроме конечного числа, равны 0. Непосредственно проверяется, что
отображение f—гомоморфизм. Кроме того, ясно, что f j(x)
для всякого j и всякого х £ Aj. Таким образом, f удовлетворяет
необходимому условию коммутативности. Ясно также, что отображе-
ние f однозначно определено, чем доказательство и завершено.
Заметим, что в случае конечного множества I прямая сумма и пря-
мое произведение совпадают.
Пусть А — абелева группа и В, С — ее подгруппы. Если В-ф- С = А
и ВпС = 0, то отображение
ВХС->А,
задаваемое правилом (х, y)i—является изоморфизмом (мы уже
отмечали это в некоммутативном случае). Вместо записи А = В X С
мы будем писать
Л--В@С
и говорить, что А — прямая сумма В и С. Аналогичное обозначе-
ние используется и для прямой суммы любого конечного числа под-
групп В}....Вп, таких, что В]-|-. . . -ф- Вп = А и
В(-41 П (Вг -ф- - -, -ф Bj) = 0.
В этом случае пишем
А = В1®...®Вп.
Пусть теперь S — множество и — категория, объектами кото-
рой являются отображения f-.S—>A множества 5 в абелевы группы,
с очевидным образом определяемыми морфизмами: если /: S—>А и
f': S -> А' — два отображения в абелевы группы, то морфизм из f
§ 9. ПРЯМЫЕ СУММЫ И СВОБОДНЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
57
в f— это гомоморфизм (групп) g\ А->А', такой, что коммутативна
обычная диаграмма, т. е. g ° f — f' Универсальный объект этой ка-
тегории называется свободной абелевой группой, порожденной
мн >жеством 5. Мы увидим, что такой объект всегда существует.
Действительно, пусть Z(S) — множество всех отображений ф: S->Z.
таких, что ф(х) = 0 для почти всех x£S. Тогда Z (S)— абелева
группа (сложением в которой служит обычное сложение отображений),
Пусть k — целое число и х —некоторый элемент из 5. Мы обозна-
чаем через k-x отображение <р, для которого ф(х) = & и ср(у)=О
при у х. Очевидно, что всякий элемент ф из Z (S) может бьпь
записан в виде
ф = &1 • Xj-ф- . .. • хп,
где kt — некоторые целые числа и x^S (I — 1......п), причем все
элементы xz различны. Кроме того, ф допускает единственное такое
представление, так как если
О = 2 — k'x) • х,
то
откуда k' = kx для всех х £ 5.
Вложим 5' в Z (5) посредством отображения fs = f, для кото-
рого /(х)=1 • х. Ясно, что f инъективно и что f (S) порождает
Z (S). Для всякого отображения g: S->B множества S в абелеву
группу В определим отображение
формулой
Z (S') - > В
2 kx • х\ = 2 ksg (х).
Это отображение — гомоморфизм (тривиально), для которого соот-
ветствующая диаграмма коммутативна, т. е. g^°f = g (тоже три-
виально). Это единственный гомоморфизм, обладающий указанным
свойством, так как для всякого такого гомоморфизма g* должно вы-
полняться условие £•*(! • х) = g (х). Таким образом, наш универсаль-
ный объект построен.
Обычно отождествляют S с его образом в Z (5); иногда мы бу-
дем опускать точку и писать просто kxx или 2 kxx-
Для всякого отображения X: S ->S' одного множества в дру-
гое существует единственный гомоморфизм X, для которого
58
ГЛ. I. ГРУППЫ
коммутативна следующая диаграмма:
S -2£>Z(S)
х| |х
s' >z($')
fs' 4 '
.Действительно, 2, есть не что иное, как (/s. в обозначениях пре-
дыдущего параграфа. Доказательство этого утверждения предостав-
ляется читателю в качестве тривиального упражнения.
Положим Fab(S) = Z(S) и 2, = Fab(2.). Очевидно, что Fab есть
функтор из категории множеств в категорию абелевых групп.
В качестве упражнения покажите, что всякая абелева группа А
есть факторгруппа некоторой свободной абелевой группы F. Если
А — конечно порожденная группа, то покажите, что и F можно вы-
брать конечно порожденной.
Если множество А состоит из п элементов, то мы будем говорить,
что свободная абелева группа Fab(A) есть свободная абелева группа
с п образующими. Если 5 — множество из п символов х}, .... х„,
то мы скажем, что — свободная абелева группа со свободными
образующими Xi.....хп.
Абелева группа называется свободной, если она изоморфна сво-
бодной абелевой группе Fab(S) для некоторого множества 5. Пусть
А — абелева группа, и пусть S — такое подмножество в А, что для
любого данного z £ А существует единственный набор целых чисел пх,
по одному для каждого x^S, такой, что почти все пх = 0 и
z = 2 пчх-
x^S
Тогда ясно, что группа А изоморфна свободной абелевой группе
/•’аЬ(А); мы называем А множеством свободных образующих группы А
или также ее базисом. Аналогичным образом определяется понятие
семейства свободных образующих.
Несколько слов об обозначениях. Если А — абелева группа и
Т — подмножество элементов из А, то мы обозначаем через (Т) под-
группу, порожденную всеми элементами из Т, т. е. наименьшую под-
группу в А, содержащую Т.
Пример. Группа Гротендика. Пусть М — коммутативный мо-
ноид, записываемый аддитивно. Существуют коммутативная
группа К(М), называемая группой Гротендика моноида Л1, и го-
моморфизм моноидов
у:
§ 9. ПРЯМЫЕ СУММЫ И СВОБОДНЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
59>
обладающие свойством универсальности относительно гомомор-
физмов моноида М в коммутативные группы.
Доказательство. Пусть Fab (Л1) — свободная абелева группа,
порожденная М. Обозначим через [х] образующую группы Fob(M),
соответствующую элементу х £ М. Пусть В—подгруппа, порожден-
ная всеми элементами вида
[хД-у] —И —[у],
где х, у£М. Положим К (М) = Fab(M)jB. Пусть, далее,
у: М->К(М)
— отображение, являющееся композицией вложения моноида М
в Fab(M), задаваемого соответствием xi—> [х], и канонического
отображения
Fab (^) >F:lb (М)/В.
Ясно, что у—гомоморфизм, удовлетворяющий нужному свойству
универсальности.
Будем говорить, что в М выполняется закон сокращения, если
для любых х, у, z £ Л4, связанных соотношением x-j-z = y-j-z,
имеем х = у.
Справедлив следующий важный критерий инъективности построен-
ного выше универсального отображения у.
Если в М выполняется закон сокращения, то каноническое
отображение у моноида М в его группу Гротендика инъективно.
Доказательство. Доказательство здесь по существу то же
самое, что и при построении отрицательных целых чисел, исходя из
натуральных. Рассмотрим пары (х, у), где х, у£М, и скажем, что
пара (х, у) эквивалентна паре (х', у'), если у -4- х’ = х 4~ у'• (Из
справедливости закона сокращения вытекает, что это действительно
отношение эквивалентности.) Сложение пар определим покомпонентно.
Тогда классы эквивалентности пар образуют группу, нулевым эле-
ментом которой служит класс пары (0, 0) [или класс пары (х, х) для
любого х^Л4]. Противоположным для элемента (х, у) является (у, х).
Имеет место гомоморфизм
xi—> класс пары (0, х).
Из закона сокращения сразу следует, что он инъективен. Таким об-
разом, мы построили инъективный гомоморфизм моноида М в неко-
торую группу. Отсюда вытекает, что универсальный гомоморфизм
также должен быть инъективен.
Мы рассмотрим позже несколько примеров универсальных групп
К(М).
•60
ГЛ. I. ГРУППЫ
Для данных абелевой группы А и ее подгруппы В иногда бывает
желательно найти подгруппу С, такую, что А == ВфС. Следующая
лемма дает нам условие, при котором это возможно.
Лемма. Пусть АА' — сюръективный гомоморфизм абе-
левых групп и В—ядро f. Тогда, если группа А' свободна, то
в А существует подгруппа, такая, что ограничение f на С ин-
дуцирует изоморфизм С на А', и А = В@С.
Доказательство.
каждого i £ / пусть х; —
Пусть —базис группы
какой-либо элемент из А, для
/(%.) = 4
А', и для
которого
Пусть С—подгруппа в А, порожденная всеми элемен-
тами х;, i£I. Если
2 HjXj = 0
/£/
для некоторых целых nz, из которых почти все равны 0, то, при-
меняя /, получаем
откуда все nz = 0. Следовательно, наше семейство — базис
подгруппы С. Аналогичным образом, если zGC и /(г) = 0, то z = 0.
Следовательно, В/~)С = 0. Пусть х £ А. Так как f (x)^A', то суще-
ствуют целые числа и,-, i£I, такие, что
/(х)= 2 п.х'
Применяя / к х—^niXi, находим, что последний элемент лежит
if/
в ядре /, скажем
х — 2 — ЬСВ.
i<ii
Отсюда видно, что х£В-\-С, и, следовательно, Л = ВфС, что и
утверждалось.
Теорема 4. Пусть А — свободная абелева группа, В — не-
которая ее подгруппа. Тогда В — также свободная абелева группа
и мощность базиса мощности базиса А. Любые два базиса В
имеют одинаковую мощность, называемую рангом В.
Доказательство. Мы дадим доказательство только для случая,
когда А конечно порождена, скажем, базисом {Xj....х„) (я 1);
проводим доказательство индукцией по п. Имеем представление А
в виде прямой суммы
А — ZX[® .. . (©Zx„.
§ 10. КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
61
Пусть /: А—>Zxx— проекция, т. е. гомоморфизм, для которого
/ (Wi*i + • • + тпх^ = /npq,
каковы бы ни были т^Т. Пусть Вх— ядро ограничения / на В.
Тогда В] содержится в свободной подгруппе {х._.....хп). По ин-
дукции В] свободна и имеет базис из -< я—1 элементов. В силу
леммы в В существует подгруппа Сх, изоморфная подгруппе в Zxx
(а именно, образу f (В)), такая, что
В = ВХ®СХ.
Таким образом, f (В) — либо 0, либо бесконечная циклическая группа,
т. е. свободная группа с одной образующей, Это доказывает, что
группа В — свободная.
(В случае когда А не является конечно порожденной, можно
использовать аналогичное рассуждение с трансфинитной индукцией;
мы предоставляем это читателю.)
Заметим, далее, что из предыдущего следует, что существует по
меньшей мере один базис подгруппы В, мощность которого п.
Поэтому доказательство будет закончено, если мы покажем, что
любые два базиса в В имеют одинаковую мощность. Пусть S — один
базис с конечным числом элементов т, Т — другой базис, содержа-
щий по крайней мере г элементов. Достаточно доказать, что г -Д т
(затем можно воспользоваться симметрией). Пусть р — простое число.
Тогда факторгруппа В/рВ есть прямая сумма циклических групп
порядка р, причем в сумме имеется т членов. Значит, порядок этой
факторгруппы равен рт. Используя базис Т вместо 5, заключаем,
что BfpB содержит r-кратное произведение циклических групп по-
рядка р, а потому рг рт и r-^т, что и требовалось показать.
(Отметим, что мы не предполагали a priori, что базис Т конечен.)
§ 10. Конечно порожденные абелевы группы
Группы, названные в заглавии этого параграфа, встречаются так
часто, что стоит установить теорему, полностью описывающую их
структуру. В этом параграфе мы записываем наши абелевы группы
аддитивно.
Пусть А — абелева группа. Элемент а £ А называется периоди-
ческим, если он имеет конечный период. Подмножество всех перио-
дических элементов из А является подгруппой в А, называемой под-
группой кручения группы А (если а имеет период т и Ь имеет
период п, то а ± b имеет период, делящий тп).
Конечно порожденная периодическая абелева группа (группа, сов-
падающая со своей подгруппой кручения), очевидно, конечна. Мы
начнем с изучения конечных абелевых групп. Пусть А — абелева
группа и р — простое число. Мы обозначаем через А (р) подгруппу
'62
гл. 1. группы
всех элементов х £ А, период которых есть степень р. Тогда А(р)—
периодическая группа, являющаяся р-группой, если она конечна.
Теорема 5. Пусть А—конечная абелева группа. Тогда А
является прямым произведением своих подгрупп А (р) по всем
простым р, таким, что A(p)^Q.
Доказательство. Сначала рассмотрим случай абелевой груп-
пы А, показатель которой п может быть записан в виде произведения
п = тт', где т, т' — взаимно простые целые числа > 1. Сущест-
вуют целые числа г, s, такие, что
Поэтому
rm-\- sm' = 1.
А = rmA-\- sm'AcmA4- т'АсА,
откуда следует, что все символы включения нужно заменить на ра-
венства. Если а £ mA П т'А, то т'а = 0 и та — 0, откуда а = гта -|-
sm'а = 0. Следовательно, А — прямое произведение подгрупп mA
и т'А.
Пусть Ат обозначает подгруппу в А, состоящую из всех х, для
которых тх = 0. Тогда т'АсАт, так как тт'А = 0. Обратно,
если х £ Ат, то х = rrnxA- sm'x — m'sx, так что х£т'А. Следо-
вательно, т'А = Ат и аналогично тА = Ат', так что окончательно
А — Ат X Ат'.
По индукции заключаем, что А есть прямое произведение своих под-
групп А (р), что и утверждается в теореме.
Наша следующая задача — описать структуру конечных абелевых
р-групп. Пусть Гр . . ., rs—целые числа 1. Конечная р-группа А
называется группой типа (рг 1...p's\ если она изоморфна прямому
произведению циклических групп порядков /Л (г = 1, . . ., $).
Теорема 6. Всякая конечная абелева р-группа изоморфна
прямому произведению циклических р-групп. Если она есть группа-
типа (р'1, ..., рг$), причем
то последовательность (гх..rs) определена однозначно.
Доказательство. Пусть А — конечная абелева р-группа.
Нам потребуется следующее замечание. Пусть b— элемент из А,
Л -Л 0, /? — целое число 0, такое, что pkb 0, и пусть рт — период
элемента pkb. Тогда b имеет период рк+т. Доказательство: разумеется>
§ 10. КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
63
/)fe + mZ> = 0, а если рпЬ = О, то, во-первых, n(^k, а, во-вторых,
n(^k-\-m, так как иначе период элемента ркЬ был бы меньше,
чем рт.
Теперь докажем существование искомого прямого произведения по
индукции. Пусть О]£ А — некоторый элемент максимального периода.
Не теряя общности, мы можем предполагать, что группа А— не
циклическая. Пусть А: — циклическая подгруппа, порожденная эле-
ментом av периода, скажем, рг‘. Нам нужна лемма.
Лемма. Пусть b—некоторый элемент из А/А} периода рг.
Тогда в А существует представитель а класса Ь, также имею-
щий период рг.
Доказательство. Пусть b—произвольный представитель класса
b в А. Тогда ргЬ лежит в А,, скажем, ргЬ = пах, где п — некоторое
целое число. Заметим, что период периода Ь. Запишем п = ркц,
где ц взаимно просто с р. Тогда также является образующей
подгруппы Л] и, следовательно, имеет период рг‘. Мы можем пред-
полагать, что k г\- Тогда рк\Ш\ имеет период pr'~k. В силу нашего
предыдущего замечания элемент b имеет период
рГ+Г'~к,
откуда по предположению гД-Г] — & и г ^k. Это доказывает,
что существует элемент с £ А}, такой, что prb = prc. Пусть а=Ь—с.
Тогда а есть представитель для b в А и рга = 0. Так как период
(а)^рг, то заключаем, что а имеет период, равный рг.
Возвращаемся к основному доказательству. По индукции фактор-
группа Д/Л1 допускает представление в виде произведения
Л/Л[ — Л2 X • • X ‘4?
циклических подгрупп порядков р'2, .... рг$ соответственно; мы
можем предполагать, что г2^> ... 4 rs. Пусть а,-— образующая для
А, (1 = 2, в) и а1 — ее представитель в Л, имеющий тот же
период, что и Пусть Л; — циклическая подгруппа, порожденная
элементом аг. Мы утверждаем, что Л есть прямое произведение под-
групп Л]......As.
Для заданного элемента х£А обозначим через х его класс вы-
четов в Л/Лр Существуют целые числа /и(- (1 = 2, ..., s), для ко-
торых
х = щ2й2 4- . . . -\-msas.
64
ГЛ. I. ГРУППЫ
Следовательно, х — т2а2—...—msas лежит в Xj и существует
целое число такое, что
х = т-fly • 4~ msas>
откуда /Ц-f-... Л5= А.
Предположим далее, что т1, .... ms—целые числа О,
такие, что
О = тщ! + т2а2 msas.
Так как at имеет период .... у), то мы можем считать,
что ти; < рг». Проводя черту над членами этого уравнения, получаем
О = т2а2 + • • • + msas-
Так как А/Аг— прямое произведение подгрупп А2, ,,,, As, то за-
ключаем, что каждое mz = 0 для 1 = 2.........s. Но тогда также и
т1 = 0 и, следовательно, все т;==0. Отсюда вытекает немедленно,
что
(А4~ • • • -Т- А) Г) = О
для каждого г 4-1 и, следовательно, А — прямое произведение под-
групп .......As, что и требовалось установить.
Единственность доказываем по индукции. Предположим, что
группа А записана двумя способами в виде произведения циклических
групп, т. е. имеет одновременно типы, скажем,
/Л) и (рт'.........рть\
где и m-i тк 1. Тогда рА — также
р-группа порядка, строго меньшего, чем порядок А, и типов
(/'-1......Р*-1) и (рт'-\ .... р^"1),
причем подразумевается, что если некоторый показатель г1 или nij
равен 1, то множитель, соответствующий
г. — 1 т з — 1
Р i или р 1
в рА, будет просто тривиальной группой 0. По индукции подпо-
следовательность в
(Г1_1. rs-\).
состоящая из тех целых чисел, которые ^>1, однозначно определена,
и то же самое справедливо для соответствующей подпоследователь-
ности в
(mi — 1......mk — 1).
§ 10. КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
65
Другими словами, мы имеем rz—l=mz—1 для всех таких номе-
ров Z, что rz—1 или т;—1 1. Следовательно, ц — т^ для всех
этих номеров I и две последовательности
(/'.....РЧ и (//"........рт>)
могут отличаться только своими последними членами, равными р.
Эти члены, соответствующие множителям типа (р......р), встре-
чаются, скажем, v раз в первой последовательности и ц раз во вто-
рой последовательности. Тогда для некоторого целого п группа А
имеет типы
(pri, ..., р\ р, . . ., р) и (рг>...р\ р, ,, ,, р).
v раз ц раз
Таким образом, ее порядок равен
pri+-+r«pv = pri+-+r«p’i,
откуда v = ц, и наша теорема доказана.
Группа G называется группой, свободной от кручения, или груп-
пой без кручения, если единичный элемент является единственным
элементом в О, имеющим конечный период.
Теорема 7. Пусть А — конечно порожденная абелева группа
без кручения. Тогда А — свободная.
Доказательство. Предположим, что А #= 0. Пусть 5—ко-
нечное множество образующих и хг, .... хП — максимальное под-
множество в S, обладающее тем свойством, что, каковы бы ни были
целые числа Vj....v„, из
VjXjH- ... +v„x„=0
вытекают равенства v? = 0 для всех j (заметим, что га^-1, так как
А =£ 0). Пусть В — подгруппа, порожденная элементами xY, ..., хп.
Тогда В свободна. В силу предположения о максимальности Хр .... хп
для заданного у £ А существуют целые числа тх....тп, т, не все
равные нулю, такие, что
туwijX]... -\-тпхп = 0.
При этом т ф 0, иначе все т;. = 0. Следовательно, ту лежит в В.
Это справедливо для каждого элемента у из конечного множества
образующих группы А, откуда вытекает, что существует целое число
т =£ 0, для которого тАсгВ. Отображение
хн> тх
группы А в себя — гомоморфизм, имеющий тривиальное ядро, по-
скольку А без кручения. Следовательно, это изоморфизм группы А
66
ГЛ. I. ГРУППЫ
на подгруппу в В. В силу теоремы 4 предыдущего параграфа заклю-
чаем, что mA свободна, откуда и А свободна.
Теорема 8. Пусть А—конечно порожденная абелева группа
и At — ее подгруппа, состоящая из всех элементов, имеющих
конечный период. Тогда At конечна и A/At свободна. При этом
в А существует свободная подгруппа В, такая, что А есть пря-
мая сумма At и В.
Доказательство. Напомним, что конечно порожденная перио-
дическая абелева группа очевидным образом конечна. Пусть А поро-
ждается п элементами, и пусть F — свободная абелева группа с п
образующими. В силу свойства универсальности существует сюръек-
тивный гомоморфизм
F-2> А
группы F на А. Подгруппа ср-1 (Л,) в F конечно порождена в силу
теоремы 4. Следовательно, At сама конечно порождена и потому
конечна.
Далее, докажем, что A'At не имеет кручения. Пусть х — неко-
торый элемент в A/At, такой, что тх = 0 для некоторого целого
т #= 0. Тогда для любого представителя х класса х в А имеем
mx£At, откуда qmx — 0 для некоторого целого q =F 0. Следова-
тельно, x£At, так что х = 0 и A/At свободна от кручения. Значит,
в силу теоремы 7 A[At свободна. Для завершения доказательства
используем лемму к теореме 4.
Ранг факторгруппы A[At называется также рангом группы А.
§ 11. Дуальная группа
Пусть А — абелева группа показателя /п^-1. Это означает, что
тх — 0 для каждого элемента х£А. Пусть Zm — циклическая группа
порядка т. Будем обозначать через И* или через Нот (Л, Zm) группу
гомоморфизмов группы А в Zm и называть ее дуальной к А.
Пусть f: А->В — гомоморфизм абелевых групп, причем обе
группы имеют показатель т. Тогда / индуцирует гомоморфизм
/*:
Именно, для каждого полагаем /*(ф) = фо/. Тривиально про-
веряется, что /* — гомоморфизм. Можно рассматривать Нош(Д, Zm)
как контравариантный функтор на категории абелевых групп показа-
теля т. Действительно, свойства
idf = id И (/og)* = g*o/*
Проверяются тривиально.
§ 11. ДУАЛЬНАЯ ГРУППА
67
Теорема 9. Если А—конечная абелева группа, представи-
мая в виде произведения А = В \С, то А* изоморфна В* X С*
(сам изоморфизм описан ниже). Всякая конечная абелева группа
изоморфна своей дуальной.
Доказательство. Рассмотрим две проекции
вхс
// \g
В с
произведения В X С на две его компоненты. Рассмотрим гомомор-
физмы
(в х су
у/
ZT с*
Мы утверждаем, что эти гомоморфизмы индуцируют изоморфизм
В’ X С* на (В X С/.
Действительно, пусть фр ф2 лежат в Нот (В, Zm) и Нот (С, Zm)
соответственно. Тогда пара (фр ф2)£В*ХС*> и мы определим соот-
ветствующий ей элемент в (В X С)*, положив
(Ф1 • 'Фг) (х > У) = Ф1 (х) + ф2 (у)
для (х, у) £ В X С. Таким образом, получаем гомоморфизм
в* х с* -> (в х су.
Обратно, пусть ф£(ВХО*. Тогда
ф(х, у) = ф(х, 0) + ф(0, у).
Функция фь определенная на В условием ф1(х) = ф(х, 0), принад-
лежит В*, и аналогично функция ф2, определенная на С условием
ф2(у) —Ф(0, У)’ принадлежит С*. Таким образом, получаем гомо-
морфизм
(В х су -^В^Х с\
очевидно, обратный гомоморфизму, определенному перед этим. Следо-
вательно, мы получаем изоморфизм, что и доказывает первое утвер-
ждение нашей теоремы.
Мы можем записать любую конечную абелеву группу как произ-
ведение циклических групп. Таким рбразом, чтобы доказать второе
утверждение, достаточно рассмотреть случай циклических групп.
Пусть А—циклическая группа, порожденная элементом х периода п.
Тогда п \т и Zm имеет ровно одну циклическую подгруппу порядка п,
Zn (упражнение 20). Если ф: A—>Zm— гомоморфизм и х — обра-
зующая для А, то ее период служит показателем для ф(х), так что
63
ГЛ I. ГРУППЫ
ф(х). а следовательно и ф(Д), содержится в Z„. Пусть у — обра-
зующая для Z,7. Имеем изоморфизм
фр X->Z„,
для которого ф[ (х) = у. Для каждого целого k, 0 <1 & < и, имеем
гомоморфизм Афр для которого
(&Ф1) (х) = k ф! (х) = ф! (kx).
Таким образом, мы получаем циклическую подгруппу в А*, состоящую
из п элементов /гф^ (О <1 k < и). Обратно, любой элемент ф из А*
.однозначно определяется своим действием на образующую х и должен
переводить х в один из п элементов (0 <(&<«) группы Zn.
Следовательно, ф совпадает с одним из отображений &фр Эти ото-
бражения составляют всю группу А*, которая, таким образом, является
циклической группой порядка п с образующей фР Это доказывает
нашу теорему.
При рассмотрении дуальных групп мы используем различные
реализации циклических групп Zm. Такие группы встречаются во
многих приложениях, например группа комплексных корней /n-й сте-
пени из единицы или подгруппа порядка т в Q/Z и т. д.
Пусть А и А' — две абелевы группы. Билинейное отображение
произведения А X А' в абелеву группу С — это отображение
А X А' -> С,
обозначаемое через
(х, х') ।—> (х, х')
и обладающее следующим свойством: для каждого х£А функция
х' ।—> (х, х') есть гомоморфизм и аналогично для каждого х' £ А'
функция х ।—> (х, х') есть гомоморфизм.
Частным случаем билинейного отображения является отображение
А X Нот (Л, С)->С.
которое каждой паре (х, /), где х£А и /£Нот(Л, С), сопоста-
вляет элемент f (х) из С.
Билинейное отображение называется также спариванием.
Элемент х £ А называется ортогональным (или перпендикуляр-
ным) подмножеству S' в А', если (х, х') = 0 для всех x’£S'.
Ясно, что множество элементов х £ А, ортогональных к S', образует
подгруппу в А. Аналогично определяются элементы из А', ортого-
нальные к подмножествам в А.
Ядро слева нашего билинейного отображения — это подгруппа
в А, ортогональная ко всей группе А'. Аналогично определяем ядро
справа.
Для заданного билинейного отображения А'/.А'^>С обозначим
через В, В' его ядра слева и справа. Всякий элемент х' из А' опре-
УПРАЖНЕНИЯ
69
деляет при помощи соответствия х i—> (х, х') некоторый элемент
из Нот (Л, С), который мы будем обозначать через фх-. Так как -фу
обращается в нуль на В, то мы видим, что, на самом деле, -фу будет
гомоморфизмом A/В в С. Кроме того, фх-=фу', если х', у'—такие
элементы из А', что
х' = у' (mod В').
Следовательно, ф: х' > фу есть в действительности гомоморфизм
О —> A'fB' —> Hom (A/В, С),
который инъективен, поскольку мы определили В' как группу, орто-
гональную к А. Аналогично мы получаем инъективный гомоморфизм
0-> Д/В—>Нот(Д,/В/, С).
Предположим, что группа С — циклическая порядка т. Тогда
/ифл, = Ф,„у = 0 для любого х' £ А', откуда А'/В' имеет показатель т.
Точно так же и A/В имеет показатель т.
Теорема 10. Пусть А\А' —— билинейное отображение
двух абелевых групп в циклическую группу С порядка т и В,
В' — его ядра соответственно слева и справа. Предположим, что
факторгруппа А'/В' конечна. Тогда А) В конечна и A'IB' изоморфна
дуальной группе группы A/В (относительно нашего отображения ф).
Доказательство. Вложение A/В в Нот(Д7В', С) показы-
вает, что группа A/В конечна. Кроме того, для порядков получаем
неравенства
(А/В-. Г)^((А'1В'У: 1) = (А'1В': 1)
и
(Д'/В': 1)<((Д/В)*: 1) = (Д/В: 1).
Отсюда вытекает, что наше отображение ф биективно и, следова-
тельно, является изоморфизмом.
Следствие. Пусть А—конечная абелева группа, В — ее
подгруппа, А* — дуальная группа и В[ — множество всех <р£ А*,
таких, что <р(В) = 0. Тогда существует естественный изоморфизм
между А*/В± и В*.
Доказательство. Это частный случай теоремы 10.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что каждая группа порядка -С 5 абелева.
2. Показать, что существуют две неизоморфные группы порядка 4,
а именно циклическая и произведение двух циклических групп порядка 2.
70
ГЛ. I. ГРУППЫ
3. Пусть р — наименьшее простое число, делящее порядок конечной
группы G, Н — подгруппа индекса р. Показать, что Н нормальна в G.
4. Показать, что существуют ровно две неизоморфные неабелевы группы
порядка 8. (Одна из них задается образующими о, т и соотношениями
а4=1, т2 = 1, тот = а3.
Другая — группа кватернионов.)
5. Пусть G — группа и А — ее нормальная абелева подгруппа. Показать,
что G/А действует на А посредством сопряжений, и таким путем получить
гомоморфизм G/А в Aut (Я).
6. Показать, что каждая группа порядка 15 — циклическая.
7. Определить все группы порядка <Д0 с точностью до изоморфизма.
8. Группа G называется периодической, если для каждого xQG суще-
ствует целое число для которого х" = 1. Показать, что в категории
периодических абелевых групп существуют бесконечные прямые произведения.
9. Пусть а — перестановка конечного множества /, содержащего п эле-
ментов. Определим знак е (а) перестановки о, положив его равным (—1)'", где
т = п — число орбит а.
Если ....../г —орбиты а, то т также равно сумме
г
т — У, [card (Zv) — 1].
V»1
Перестановка т множества / называется транспозицией, если в / суще-
ствуют два таких элемента i =/= J, что т (г) = J, т (у) = г и т (х) = х для всех
х £ I, х =£ i, j. Пусть т — транспозиция. Показать, что с (ат) == — е (а), рас-
смотрев два случая, когда I, j лежат на одной и той же орбите переста-
новки о или же на разных орбитах. В первом случае ат имеет орбит на одну
больше, а во втором случае — на одну меньше. В частности, знак транс-
позиции равен —1.
10. Доказать по индукции, что транспозиции порождают группу пере-
становок множества I (называемую симметрической группой и обозначаемую
часто через Sn). Если а = т, хт, где т,— транспозиции, то с (а) = (—I)"2.
Показать, что е (aaz) = е (а) г. (а'), где а, а' — любые две перестановки.
11. Пусть / — множество целых чисел (1, ..., п). Показать, что для любой
перестановки a
П [а (/) — <т (г)] = е (or) JJ (у —0-
1<I< i<« 1<Z< У<Л
12. Пусть G — группа и Н — ее подгруппа конечного индекса. Показать,
что в G существует нормальная подгруппа N, содержащаяся в Н и также
имеющая конечный индекс. [Указание: если (G : Н) = п, то найти гомо-
морфизм G в S„, ядро которого содержится в Н.}
13. Пусть /: А -> А' — гомоморфизм абелевых групп, В — подгруппа
в А. Обозначим через А- и Af соответственно образ и ядро отображения f
и аналогично определим и Bf. Показать, что
(A:B) = (Af:Bf)(Af:Bf)
в том-, смысле, что если два из этих трех индексов конечны, то конечен и
третий и выполняется написанное равенство.
УПРАЖНЕНИЯ
71
14. Пусть О — конечная циклическая группа порядка п, порожденная
элементом а. Предположим, что G действует на абелевой группе А, и пусть
/, g: А-> А — эндоморфизмы А, определяемые формулами
f (х) = ох — х и g (х) = х ох -ф- • • • °п~ 1х.
Определим отношение Эрб рана
„ {Af: Ag)
при условии, что оба индекса конечны. Предположим теперь, что В — под-
группа в А, для которой GB с В. (а) Определить естественным образом
действие G на A/В. (б) Доказать, что
Ч И) = Ч (В) q (А/В)
в том смысле, что если два из этих множителей конечны, то конечен и третий
и выполняется написанное равенство, (в) Показать, что если А конечна,
то q (Л) = 1.
(Это упражнение — частный случай общей теории эйлеровых характе-
ристик, рассматриваемой в гл. IV. После прочтения этой главы данное
упражнение делается тривиальным. Почему?)
15. Пусть / — некоторое множество индексов. Предположим, что на /
задано отношение частичного порядка, а именно для некоторых пар (i, j)
выполнено соотношение i < у, удовлетворяющее следующим условиям. Для
всех I, j, k в / имеем: i < Z; если I < j и j k, то I < k\ если / и / < г,
то z = j- Мы говорим, что / — направленное множество, если для любых I,
j£I существует элемент k, такой, что I <; k и j k. Пусть / — направлен-
ное множество, <Л — некоторая категория и {Л/} —семейство объектов из <Л.
Предположим, что для каждой пары i, j с условием I j задан морфизм
/): А^А},
такой, что 4°//= Л и fli = id' каковы бы ни были i <; j < k. Прямой
предел семейства {/у}— это универсальный объект в следующей катего-
рии %. ОЬ (#) состоит из пар (Л, (/‘)). где Л£ОЬ(Л) и (/‘)—семейство
морфизмов Ai -> Л, /£/, такое, что для всех коммутативна сле-
дующая диаграмма:
flj
Л/----А,
X X
Л
(Универсальный означает, конечно, универсально отталкивающий.)
Показать, что в категории абелевых групп прямые пределы существуют.
^Указание'. профакторизовать прямую сумму по соотношениям, накладывае-
мым отображениями /у.]
16. Обращая стрелки в предыдущем упражнении, ввести понятие обрат-
ного, или проективного, предела. Доказать, что обратные пределы суще-
ствуют в категории групп. [Указание', получить обратный предел как
подгруппу произведения, состоящую из всех векторов (х(), которые удо-
влетворяют соотношениям согласования, налагаемым отображениями /у.]
72
ГЛ. I. ГРУППЫ
17. Пусть Н, G, G'— группы и
g:H->G'
— два гомоморфизма. Определить понятие копроизведения этих двух гомо-
морфизмов и показать, что оно существует.
18. Пусть А — периодическая абелева группа. Показать, что А — прямая
сумма своих подгрупп А (р) по всем простым р.
19. Рассматривая Z и Q как аддитивные группы, показать, что Q/Z — пе-
риодическая группа, которая имеет одну и только одну подгруппу порядка п
для всякого целого ni>l, и что каждая такая подгруппа циклическая.
20. Показать, что если А — циклическая группа порядка п и d — поло-
жительное целое число, d | п, то А содержит ровно одну подгруппу порядка d,
причем эта подгруппа циклическая.
21. Показать, что всякая конечная абелева группа, не являющаяся цикли-
ческой, содержит подгруппу типа (/д р) для некоторого простого р.
22. Пусть G — циклическая группа порядка п и Н — циклическая группа
порядка т. Показать, что в случае взаимно простых т, п группа G X Й
будет циклической (порядка тп).
Глава II
Кольца
§ 1. Кольца и гомоморфизмы
Кольцо А — это множество с двумя законами композиции, назы-
ваемыми соответственно умножением и сложением, записываемыми
соответственно как произведение и как сумма и удовлетворяющими
следующим условиям:
КО 1. Относительно сложения А — абелева группа.
КО 2. Умножение ассоциативно и имеет единичный элемент.
КО 3. Для всех х, у, z£A
(х-\- у) z = xz -\-yz и z (х-\-у) = zx-\-zy.
(Эти соотношения называются дистрибутивностью.)
Как обычно, мы обозначаем единичный элемент относительно
сложения через 0, а единичный элемент относительно умножения —
через 1. Мы не предполагаем, что 1 =£0. Заметим, что 0х = 0 для
всех х£А. Доказательство: очевидно, ОхД-х = (0Д- 1)х = 1х = х;
следовательно, Ох —0. В частности, если 1=0, то А состоит из
одного 0.
Для любых х, у имеем (— х) у = — (ху). Доказательство:
ху Д- (— х) у = (х -j-(— х)) у = Оу = 0,
так что (— х) у служит обратным для ху относительно сложения.
Легко доказываются и другие стандартные правила, связывающие
сложение и умножение, например, (—х)(—у) = ху. Мы предоста-
вляем это читателю в качестве упражнений.
Пусть А —кольцо и U — множество всех элементов в А, имеющих
одновременно правый и левый обратный. Тогда U — мультиплика-
тивная группа. Действительно, если а имеет правый обратный Ь,
так что ab=\, и левый обратный с, так что са=1, то c=cab=b
и мы видим, что с (или Ь) служит двусторонним обратным для а.
Поэтому U удовлетворяет всем аксиомам мультипликативной группы
и называется группой делителей единичного элемента 1 или, более
кратко, группой единиц кольца А. Она иногда обозначается через Ал
и называется также группой обратимых элементов кольца А.
Кольцо А, в котором 1 Д=0 и всякий ненулевой элемент обратим,
называется кольцом с делением или телом.
74
ГЛ. II. КОЛЬЦА
Кольцо А называется коммутативным, если ху = ух для всех
х,у£А. Коммутативное тело называется полем. Отметим, что по
определению поле содержит по крайней мере два элемента, а именно
О и 1.
Подмножество В кольца А называется подкольцом, если оно
является аддитивной подгруппой, содержит мультипликативную еди-
ницу и если х, у£В влечет ху £ В. В этом случае В само есть
кольцо, причем операции в В те же самые, что и в Л.
Например, рассмотрим центр кольца Л —подмножество, состоящее
из всех элементов а£А, таких, что ах —ха для всех х£А. Непо-
средственно видно, что центр А является подкольцом.
Точно так же, как мы выводили ассоциативность в общем случае
из ассоциативности в случае трех сомножителей, можно доказать
дистрибутивность в общем случае. Пусть х, ут, ..., уп — элементы
кольца А. По индукции проверяется, что
х(У1 + ••• 4-yn) = -v,Vi+ • • Ч-ху„;
легко также видеть, что для любых элементов xl (Z = 1....п) и
у У (у=1.....т) кольца А
(п \ / m \ пт
S xt 2 уч = S S
i-1 /\/-1 / 1 = 1 7-1
Кроме того, дистрибутивность выполняется и для вычитания, например
X (У1 — у2) = хух — ху2.
Мы предоставляем все эти доказательства читателю.
Примеры. Пусть S—множество, А—кольцо u 2R(S, Л)—мно-
жество отображений. S в А. Тогда ?Sl(S, Л) — кольцо, если для
(S, А) положить
(fg)(x) = /(x)g(x) и (/ + g)(x) = /(x)4-g(x)
при всех x£S. Мультипликативной единицей служит постоянное
отображение, значение которого есть мультипликативная единица
кольца Л. Аддитивной единицей служит постоянное отображение,
значение которого есть аддитивная единица кольца Л, т. е. 0. Про-
верка того, что 2U(S, Л)—кольцо-относительно введенных выше
законов композиции, тривиальна и предоставляется читателю.
Пусть М — аддитивная абелева группа и Л — множество End (Л1)
групповых гомоморфизмов М в себя. Определим сложение в Л как
сложение отображений и умножение в Л как композицию отображе-
ний. Тривиально проверяется, что Л — кольцо. Его единичным эле-
ментом служит, разумеется, тождественное отображение. Вообще
говоря, кольцо- Л не коммутативно.
§ 1. КОЛЬЦА И ГОМОМОРФИЗМЫ
75
Левый идеал а кольца А — это подмножество в А, являющееся
подгруппой аддитивной группы А, и такое, что Даса (и, следова-
тельно, Да = а, поскольку А содержит 1). При определении правого
идеала мы требуем, чтобы аД = а, а двусторонним идеалом назы-
ваем подмножество, которое одновременно является левым и правым
идеалом. Двусторонние идеалы в этом параграфе будут называться
просто идеалами.
Если А — кольцо и а£А, то а=Аа есть левый идеал, называ-
емый главным. Говорят, что а — образующая для а (над А). Ана-
логично АаА — главный двусторонний идеал. В коммутативном кольце
всякий левый или правый идеал является двусторонним.
Коммутативное кольцо, в котором всякий идеал главный и
1=40, называется кольцом главных идеалов.
Пример. Целые числа Z образуют коммутативное кольцо. Пусть
а — идеал =AZ и =А0. Если п£а, то —п£а. Пусть d—наименьшее
целое число > 0, лежащее в а. Для всякого п £ а существуют
целые числа q, г, 0 < rf, такие, что
n = dq^~ г.
Так. как а—идеал, то отсюда следует, что г лежит в а, а потому
г = 0. Следовательно, а состоит из всех кратных qd числа d, где
q^l, и Z — кольцо главных идеалов (см. также рассуждение в на-
чале § 3).
Для всякого кольца А подмножество (0) и само А являются идеа-
лами.
Пусть а, b — идеалы в А. Под ab мы понимаем множество всех
сумм
Х1У1+ • • +хпуп,
где и yt £ Ь. Непосредственно проверяется, что ab — идеал и
что множество идеалов образует мультипликативный моноид, причем
единичным элементом в нем служит само кольцо. Этот единичный
элемент называется единичным идеалом и часто обозначается через (1).
Пусть а, b—левые идеалы; их произведение ab определяется так же,
как и выше. Оно тоже является левым идеалом, и вновь имеет место
ассоциативность: (ab) с = а (Ьс) для любых левых идеалов а, Ь, с.
Если а, b—левые идеалы в А, то а Ц-(’ (сумма аддитивных
подгрупп в А), очевидно, будет левым идеалом. Аналогично для
правых и двусторонних идеалов. Таким образом, идеалы образуют
также моноид относительно сложения. При этом имеет место и
дистрибутивность: если а!.....а„, Ь — идеалы в А, то, очевидно,
Ь (Я1 + • • • + ля) = Ьа] 4- Ьа„
и аналогично для умножения с другой стороны. (Однако множество
идеалов не образует кольца!)
76
ГЛ. И. КОЛЬЦА
Если — семейство идеалов, то их пересечение
Па1
1^1
— также идеал. Аналогично для левых идеалов. Заметим, что если
а, b—два идеала кольца А, то яЬсяПЬ.
Пусть аг...... а„ — элементы кольца А. Мы обозначаем через
(ар ..., ал) идеал, являющийся пересечением всех идеалов в А,
содержащих эти элементы, или левый идеал, являющийся пересече-
нием всех левых идеалов в А, содержащих эти элементы. Что
именно имеется в виду (т. е. двусторонний или левый идеал), всегда
будет ясно из контекста. Мы называем йр ..., ап образующими
этого идеала. Главный идеал (или главный левый идеал), таким
образом, порождается одним элементом. Сразу видно, что левый
идеал, порожденный элементами ах........ап, состоит из всех эле-
ментов, которые могут быть записаны в виде
х1а1 + .. . 4~ xnan,
где х; £ А.
Под кольцевым гомоморфизмом понимают отображение /: А->В
одного кольца в другое, являющееся моноидным гомоморфизмом для
мультипликативных структур на А и В, а также моноидным гомо-
морфизмом для аддитивных структур. Другими словами, / должно
удовлетворять соотношениям
/ (а Д- а') = / (а) 4- / (а'), f (аа’) = f (a) f (а'),
/(1)=1. ' /(0) = 0
для всех о, а'£ А. (Точнее следовало бы писать /(1)==1, /(0)=0,
где 1 — единица и 0 — нуль в В.) Его ядром служит ядро отобра-
жения /, рассматриваемого как аддитивный гомоморфизм.
Как немедленно проверяется, ядро кольцевого гомоморфизма
/: А—> В является идеалом в А.
Обратно, пусть а — идеал кольца А. Мы можем построить фак-
торкольцо A/а следующим образом. Рассматривая Лия как адди-
тивные группы, образуем факторгруппу A/а. Определим теперь в А/а
мультипликативный закон композиции. Если х -|-а и у -ф а — два
смежных класса по я, то полагаем (х -|- я) (у -К я) равным смежному
классу (xy-f-a). Этот смежный класс правильно определен, так как
если X], У] лежат в тех же самых смежных классах, что и х, у
соответственно, то, как немедленно проверяется, Х1У1 принадлежит
тому же смежному классу, что и ху. Наш мультипликативный закон,
очевидно, ассоциативен и имеет единичный элемент, а именно смеж-
ный класс 1 4 я. Кроме того, выполняется дистрибутивный закон,
поскольку он выполняется для представителей смежных классов.
§ I. КОЛЬЦА И ГОМОМОРФИЗМЫ
77
Таким образом, мы определили структуру кольца на Д/я и канони-
ческое отображение
/: Л->Л/я
является, очевидно, гомоморфизмом колец.
Если g: А—> А' — кольцевой гомоморфизм, ядро которого со-
держит идеал я, то существует однозначно определенный коль-
цевой гомоморфизм gt: А/а —> А', для которого коммутативна
следующая диаграмма:
А—А'
^\| /Д*
А/а
Действительно, если рассматривать /, g как групповые гомомор-
физмы (для аддитивных структур), то существует однозначно опре-
деленный групповой гомоморфизм gt, для которого наша диаграмма
коммутативна. Мы утверждаем, что на самом деле g—кольцевой
гомоморфизм. Можно было бы предоставить читателю это тривиальное
доказательство, но мы приведем его полностью. Если х£А, то
g (х) = gtf (х). Следовательно, для х, у £ А имеем
g* (/ (*) f (У)) = g*(/(ху)) = g(ху) =-- g(х)g(y) = g,(f (х))gt(f(y))-
Но для всяких данных г\£А/а существуют х, у£А, такие, что
£ = /(х) и л = /(У)- Далее, так как /(1) = 1, то gj(\) = g*(\) = 1
и, следовательно, оба условия, необходимые для того, чтобы ото-
бражение gt было гомоморфизмом мультипликативных моноидов,
выполняются, что и требовалось показать.
Утверждение, которое мы только что доказали, эквивалентно
высказыванию, что каноническое отображение /: А —> А/а универ-
сально в категории гомоморфизмов, ядра которых содержат я.
Пусть А — кольцо и В — его подкольцо. Пусть S — подмноже-
ство в А. Мы обозначаем через В[S] пересечение всех подколец
в А, содержащих В и S. Если всякий элемент из S коммутирует
с любым элементом из В, то В [S], очевидно, будет кольцом,
состоящим из всех элементов вида
где сумма пробегает некоторое конечное число наборов (Zj, . . ., z'n)
целых чисел >0 и .....s„£S.
Если А = В [S], то говорят, что 5 является множеством образую-
щих (или, точнее, кольцевых образующих) для А над В или что А
порождается множеством S над В. Если S конечно, то говорят,
что А конечно порождено как кольцо над В.
78
ГЛ II. КОЛЬЦА
Заметим, что, как и в случае групп, гомоморфизм колец одно-
значно определяется своим действием на образующие. Именно, пусть
/; В-> В'—гомоморфизм колец, и пусть в предыдущих обозна-
чениях А = В [S], Тогда существует самое большее одно продол-
жение / до гомоморфизма кольца А, имеющее предписанные значения
на 5.
Пусть А — кольцо, а — идеал и 5— подмножество в А. Мы
пишем
5 = 0 (mod а),
если 5 cz а. Пусть х, у£А. Мы пишем
х = у (mod а),
коль скоро х — у£а. Если а—главный идеал, равный (а), то до-
пустима также запись
х = у (mod а).
Если /: Л->Л/а— канонический гомоморфизм, то x = y(moda)
означает, что /(х) = /(у)- Эти обозначения в форме сравнений
бывают удобны, когда хотят избежать явного упоминания канониче-
ского отображения /.
Факторкольцо Л/а называется также кольцом классов вычетов.
Смежные классы кольца Л по а называются классами вычетов по
модулю а, и для данного х£А смежный класс x-j-a называется
классом вычетов элемента х по модулю а.
Любой биективный гомоморфизм колец f\ А—> В является
изоморфизмом. Действительно, существует обратное в теоретико-
множественном смысле отображение g: В -> Л, и тривиально прове-
ряется, что g—гомоморфизм колец.’
Мы иногда будем говорить просто „гомоморфизм" вместо „коль-
цевой гомоморфизм", если ясно, что речь идет именно о кольцах.
Отметим, что кольца образуют категорию (морфизмами в которой
служат гомоморфизмы).
Пусть /: Л —> В — гомоморфизм колец. Тогда образ f (Л)
отображения f — подкольцо в В. Доказательство очевидно.
Ясно, что инъективный кольцевой гомоморфизм /: А->В уста-
навливает изоморфизм между кольцом Л и его образом. Такой
гомоморфизм будет называться вложением (колец).
Пусть /: А—>А' — гомоморфизм колец и а.'— идеал в А'.
Тогда /-1(а') есть некоторый идеал а в Л, и мы имеем индуциро-
ванный инъективный гомоморфизм
Л/a А'/а'.
Тривиальное доказательство предоставляется читателю.
§ Т. КОЛЬЦА И ГОМОМОРФИЗМЫ
79
Предложение 1. Прямые произведения в категории колец
существуют.
Действительно, пусть — семейство колец, и пусть
Д=Д At—их произведение как аддитивных абелевых групп. Умно-
жение в А определим очевидным способом: если (xz)ie/ и (y;)/f/—
два элемента из А, то берем в качестве их произведения (х/у1-)/^/,
т. е. определяем умножение покомпонентно, так же как мы это
делали для сложения. Мультипликативная единица — это просто эле-
мент произведения, z-я компонента которого является единичным
элементом в А{. Ясно, что мы получаем на А структуру кольца и
что проекция на каждый множитель будет кольцевым гомоморфизмом.
Кроме того, А вместе с проекциями, очевидно, удовлетворяет необ-
ходимому свойству универсальности.
Отметим, что обычное отображение вложения Д,- на Z-й множитель
не является кольцевым гомоморфизмом, поскольку оно не пере-
водит единичный элемент et кольца At в единичный элемент кольца А.
Действительно, оно переводит et в элемент кольца А, имеющий е;
в качестве z-й компоненты и 0(=0t) — в качестве всех других ком-
понент.
Пусть А — кольцо. Элементы х, у в А называются делителями
нуля, если х =# 0, у =£ 0, а ху — 0. Большинство колец без делите-
лей нуля, которые мы рассматриваем, будут коммутативными. Ввиду
этого мы называем кольцо А целостным, если оно коммутативно
И если в нем нет делителей нуля и 1 =# 0 ’).
Примеры. Кольцо целых чисел Z — без делителей нуля, т. е.
целостное. Если S— множество, содержащее не менее двух элементов,
и А — кольцо с 1 =# 0, то кольцо отображений M(S, Д) имеет
делитель нуля. (Доказательство?)
Пусть т — положительное целое число =£ 1. Кольцо Z/mZ со-
держит делители нуля тогда и только тогда, когда т — не простое.
(Доказательство предоставляем читателю в качестве упражнения.)
Часто используется следующий критерий.
Отличные от нуля элементы а, b целостного кольца А
порождают один и тот же идеал тогда и только тогда, когда
в А существует обратимый элемент и, для которого Ь — аи.
Доказательство. Если такой обратимый элемент найдется»
то АЬ—Аиа=Аа. Обратно, пусть Аа — АЬ. Тогда, в частности,
а = Ьс и b = ad для некоторых элементов с, d £ А. Следовательно,
a = adc, откуда а(1—dc) = 0, а потому dc=l. Следовательно,
с — обратимый элемент.
') Целостное кольцо называют также кольцом целостности, областью
целостности или просто областью. — Прим. ред.
80
ГЛ. II. КОЛЬЦА
§ 2. Коммутативные кольца
В этом параграфе слово „кольцо* будет означать „коммута-
тивное кольцо*.
Пусть А — кольцо. Простой идеал в А — это такой идеал р =# А,
что кольцо А/у — целостное. Эквивалентным образом мы могли бы
сказать, что это такой идеал р =£ А, для которого из условий х,
у £ А и ху £ р всегда следует, что х £ р или у £ р.
Пусть т— идеал. Мы говорим, что m— максимальный идеал,
если m А и если не существует идеала о. #= А, содержащего ш
и #= т.
Всякий максимальный идеал — простой. Доказательство. Пусть
tn — максимальный идеал, и пусть х, у£А таковы, что ху g in.
Предположим, что х £ т. Тогда — идеал, строго содер-
жащий т и, стало быть, равный А. Следовательно, мы можем напи-
сать
1 — и ах,
где и £ m и а £ А. Умножая на у, получаем
у = у и ах у,
откуда у£т и ш, таким образом, простой.
Пусть А — кольцо. Всякий его идеал а ¥= А содержится в не-
котором максимальном идеале ш. Доказательство. Множество
идеалов, содержащих а и =£ А, индуктивно упорядочено по вклю-
чению. Действительно, если —линейно упорядоченное множество
таких идеалов, то 1 bz ни для какого I и, следовательно, 1 не
лежит в идеале Ь = (J Ь(-, который и мажорирует все Р;. Пусть
щ — некоторый максимальный элемент в нашем множестве. Тогда
т #= А и m является максимальным идеалом, что и требовалось
установить.
Пусть А — кольцо. Тогда (0] является простым идеалом
в том и только в том случае, если А — целостное. (Доказатель-
ство очевидно.)
Мы определили поле К как такое кольцо, в котором 1 =£ 0
и мультипликативный моноид отличных от нуля элементов является
группой (т. е. если х£К и х =/= 0, то для х существует обратный).
Отметим, что единственные идеалы поля К — это само К и нулевой
идеал.
Если А — кольцо и m — максимальный идеал, то А/т— поле.
Доказательство. Для х £ А обозначаем через х класс вычетов эле-
мента х по модулю т. Так как m Ф А, то в А/т имеется единичный
элемент ф 0. Всякий ненулевой элемент из А/т может быть записан
§ 2. КОММУТАТИВНЫЕ КОЛЬЦА
81
как х для некоторого х£А, х(£тп. Чтобы найти его обратный,
заметим, что тД-Лх есть идеал в А, строго содержащий m и,
стало быть, равный А. Следовательно, мы можем написать
1 =и-\-ух,
где и £ ш и Это означает, что ух=1 (т. е. 1) и, таким
образом, х имеет обратный, что и требовалось установить.
Мы предоставляем читателю в качестве упражнения доказать, что
и обратно, если А —кольцо и m — такой идеал, что А/т—поле,
то ш максимален.
Пусть f: А->А' — гомоморфизм (коммутативных колец,
согласно действующему соглашению). Пусть у'—простой идеал
в А' и р = Тогда идеал у простой.
Для доказательства возьмем х, у с условием ху £ р. Предпо-
ложим, что х р. Тогда f (х) р'. Но /(х)/(у) = /(ху) £ р'.
Следовательно, f (у) (-])', что и требовалось установить.
В качестве упражнения докажите, что если гомоморфизм f
сюръективен .и ш' — максимальный идеал в А', то идеал /-1(1п')
максимален в А.
Пример. Пусть Z — кольцо целых чисел. Мы уже отмечали, что
всякий идеал в этом кольце главный и имеет вид raZ для некоторого
целого гаД> О (однозначно определенного идеалом). Пусть р — про-
стой идеал (отличный от 0), p = nZ. Тогда п должно быть простым
числом, что по существу непосредственно вытекает из определения
простого идеала. Обратно, если р — простое число, то pZ— простой
идеал (тривиальное упражнение). Кроме того, pZ— максимальный
идеал. Действительно, предположим, что pZ содержится в некотором
идеале nZ. Тогда р = пт для некоторого целого т, откуда п —р
или п=\, что и доказывает максимальность pZ.
Пусть п — целое число. Факторкольцо Z/raZ называется кольцом
целых чисел по модулю п. Если п равно простому числу р, то
кольцо целых чисел по модулю р является в действительности полем,
обозначаемым символом Fp. В частности, мультипликативная группа
поля Fp называется группой отличных от нуля целых чисел по мо-
дулю р. Из элементарных свойств групп получаем следующий стан-
дартный факт элементарной теории чисел. Если х — целое число
ф 0 (mod р), то хР-} = 1 (mod р). (Для простоты обычно пишут mod р
вместо mod pZ и аналогично пишут mod га вместо modraZ для любого
целого га.) Если, далее, дано целое число га>1, то обратимые
элементы кольца Z/raZ состоят из тех классов вычетов modraZ,
которые представляются целыми числами т ¥= 0, взаимно простыми
с га. Порядок группы единиц (обратимых элементов) кольца Z/ra2'
82
ГЛ II. колыи
обозначается через <р (я) (где <р известна как эйлерова фи-функция).
Следовательно, если х— целое число, взаимно простое с п, то
хч> (л) == 1 (mod п).
Китайская теорема об остатках. Пусть А— кольцо-
и йр а„— такие идеалы, что az-|-a? = 4 при всех I Ф j.
Для любого семейства элементов .... хп кольца А существует
такой элемент х£А, что x = x;(moda;) при всех I-
Доказательство — по индукции. Если га = 2, то имеем
1 — raz -4— а2
для некоторых элементов al^a.i и можно положить х = х,2а} х}а2.
Предположим, что теорема доказана для семейства из п — 1
идеалов. Для каждого/ ^>2 мы можем найти элементы га^й] и
bt £ аг, такие, что
а^ —Н I== 1 i 2.
п п
Произведение JJ (а, -1- #,) равно 1 и лежит в a1H-IJai, т. е.
i=2 1-2
в й1 + й2 ... йя. Следовательно,
п
«1 + П = А-
i-2
В силу справедливости теоремы при га = 2 мы можем найти такой
элемент Vi£ А, что
У4 = 1 (mod a,),
/ п \
V]S=0 mod {J az).
\ i-2 )
Аналогично найдутся такие элементы у2, .... уп, что у j = 1 (mod Ду)
и у, 0 (mod az) при г =# j. Тогда элемент х = х1у1-{- ... +х,гу„
удовлетворяет нашим требованиям.
Еще одно замечание в том же духе: если ab ..., йц — такие
идеалы в А, что
• • • + ~ А<
и если V), ..., v„ — положительные целые числа, то
<4- ... +<Я = А.
Доказательство тривиально и предоставляется читателю в качестве
упражнения.
§ 2. КОММУТАТИВНЫЕ КОЛЬЦА
83
Следствие. Пусть А — кольцо и (ц.......ап — идеалы в А.
Предположим, что az + ay- — А при I =# j. Пусть
п
Г- А -> П = (Л/Я1) X • • • X (Л/а„)
<=1
— отображение кольца А в написанное произведение, индуциро-
ванное каноническими отображениями А на А/аг для каждого
п
множителя. Тогда ядро отображения f есть P)az и f сюръек-
i-i
тивно, что приводит, таким образом, к изоморфизму
^/Л»^П Ак
Доказательство. Утверждение о ядре очевидно. Сюръек-
тивность вытекает из предыдущей теоремы.
Теорема и ее следствие часто применяются к кольцу целых чи-
сел Z и к попарно различным простым идеалам (pj)...(рп). Они
удовлетворяют предпосылкам теоремы, поскольку являются макси-
мальными. Аналогично можно взять целые числа тх....тп, по-
парно взаимно простые, и применить теорему к главным идеалам
(ml) = m1Z....(тп) = mnZ. Это ультраклассический случай китай-
ской теоремы об остатках.
Пусть, в частности, т — целое число > 1 и
т = П Pt
i
— разложение т на простые сомножители с показателями rt^\.
Тогда имеем изоморфизм колец
Z/mZ^ П Щр'Я-
I
Если А — кольцо, то обозначаем, как обычно, через А* мультипли-
кативную группу обратимых элементов в А. Мы предоставляем сле-
дующее утверждение читателю в качестве упражнения.
Предыдущий кольцевой изоморфизм ZjmZ на произведение ин-
дуцирует изоморфизм групп
В силу этого изоморфизма имеем
Ф(т) = Пф(р2)-
84
ГЛ. I Г. КОЛЬЦА
Если р — простое число иг — целое число 1, то
Ф(Х) = О— 1)РГ-1-
Последняя формула доказывается по индукции. Если r= 1, то
ZfpZ—поле и мультипликативная группа этого поля имеет порядок
р—1. При г 1 рассмотрим канонический гомоморфизм колец
Z/X+1Z->Z/prZ,
порожденный включением идеалов (рг+1)с(Х)- Индуцированный им
гомоморфизм групп
к (Zlpr+'Z)*^(Z/prZ)*
сюръективен, потому что любое целое число а, представляющее не-
который элемент из Z'prZ и взаимно простое с р, будет представ-
лять также некоторый элемент из (Z/pr+1Z)*. Пусть а—целое число,
представляющее такой элемент из (Z/pr+1Z)*, что А,(а)=1. Тогда
й= 1 (mod prZ)
и, следовательно, мы можем написать
й= 1 + хрТ (mod pr+1Z)
для некоторого х £ Z. Значения х = 0, 1....р — 1 приводят к р
различным элементам из (Z/pr + 1Z)*, которые все лежат в ядре А.
Но в качестве элемента х в предыдущем сравнении всегда может
быть выбрано одно из этих р чисел, поскольку всякое целое число
сравнимо с одним из них по модулю р. Следовательно, ядро А, имеет
порядок р и наша формула доказана.
Отметим, что ядро А, изоморфно группе Z[pZ. (Доказательство?)
Пусть А — кольцо. Обозначим на минуту его единичный эле-
мент через е. Отображение
к. Z->A
для которого К{п) = пе, будет, очевидно, кольцевым гомоморфизмом
с идеалом-ядром (п), порожденным некоторым целым числом п 0.
Канонический инъективный гомоморфизм Z/nZ—>А является (коль-
цевым) изоморфизмом между Z/nZ и некоторым подкольцом в А.
Если А — целостное, то nZ — простой идеал и, следовательно, п — 0
или п = р, где р — некоторое простое число. В первом случае А
содержит в качестве подкольца кольцо, изоморфное Z и часто отож-
дествляемое с Z. В этом случае мы говорим, что А имеет харак-
теристику 0. Если же п— р, то мы говорим, что А имеет ха-
рактеристику р; в этом случае А содержит (изоморфный образ)
Fp в качестве подкольца').
') В дальнейшем употребляется также краткое обозначение char Л = 0
или р. — Прим. ред.
§ 3. ЛОКАЛИЗАЦИЯ
85
Всякое поле К имеет характеристику 0 или р > 0. В первом
случае К содержит в качестве подполя изоморфный образ поля ра-
циональных чисел, а во втором случае оно содержит изоморфный
образ поля Fp. В обоих случаях это подполе будет называться про-
стым полем (содержащимся в К). Так как это простое поле является
наименьшим подполем в К, содержащим 1 и не имеющим автомор-
физмов, кроме тождественного, его обычно отождествляют с Q или Fp,
в зависимости от того, какой случай имеет место.
Под простым кольцом (в К) мы будем понимать либо кольцо
целых чисел Z, если К имеет характеристику 0, либо Fp, если К
имеет характеристику р.
§ 3. Локализация
Мы продолжаем предполагать, что „кольцо* означает „ком-
мутативное кольцо*.
Пусть А — некоторое кольцо. Под мультипликативным под-
множеством в А мы будем понимать подмоноид в кольце А (рас-
сматриваемом как мультипликативный моноид согласно КО 2). Дру-
гими словами, это есть подмножество S, содержащее 1 и вместе
с любыми двумя элементами х, у их произведение ху.
Мы построим сейчас кольцо частных кольца А по S, известное
также под названием кольца отношений кольца А по S.
Рассмотрим пары (a, s), где а£А и s£S. Определим отношение
(а, $)— (a', s')
между такими парами следующим условием: существует элемент
Sj£.S. для которого
Sj (s'а — sa') = 0.
Тривиально проверяется, что это будет отношение эквивалентно-
сти; класс эквивалентности, содержащий пару (a, s), обозначается
через a/s. Множество классов эквивалентности обозначается симво-
лом S
Отметим, что если 0£S, то содержит ровно один элемент,
а именно 0/1.
Условием
(al s') (a'js) = aa'fss'
в 5-1Л вводится умножение Тривиально проверяется, что это ум-
ножение правильно определено. Оно имеет единичный элемент, а
именно 1/1, и, очевидно, ассоциативно.
86
ГЛ. II. КОЛЬЦА
Сложение в S задается посредством формулы
а . а' s'аso!
s' s' ss'
Тривиально проверяется, что оно правильно определено. Для при-
мера приведем подробное доказательство. Пусть ax\s\ = a[s и
= a'/s'. Мы должны показать, что
(s'a' + = (s'а + sa')fss'.
Существуют s2, s3£S, для которых
s2(sax — sxa) — О,
5з(5'<-5Х) = 0-
Умножим первое равенство на s3s's', а второе — на «2$$!, затем
сложим их и получим
S2S3 (Sai — S!a) + (s'a'i------51й)] — 0
По определению это и есть то, что мы хотим показать; именно
•существует элемент из 5 (например, а2а3), который после умноже-
ния на
ss' + Sjti') — SjS' (s'a + sa'}
дает 0.
Заметим, что для данных а£А и у, s' £S
afs = s'afs's.
Таким образом, это элементарное свойство дробей остается спра-
ведливым и в нашей более общей ситуации.
Наконец, так же тривиально проверяется, что два наши закона
композиции определяют на структуру кольца.
Пусть
<ps: A—>S~*A
— отображение, при котором q>(a) = а/1. Сразу видно, что <ps —
гомоморфизм колец. Кроме того, всякий элемент из cps(S) обратим
в (обратным к а/1 служит 1/а).
Пусть — категория, объектами которой служат кольцевые го-
моморфизмы
/: А->В,
такие, что для всякого а £ S элемент f (s> обратим в В. Если
/: А -> В и f'\ А -> В’ — два объекта в ё, то морфизм g из /
в f — это гомоморфизм
g-. В-+В',
§ 3. ЛОКАЛИЗАЦИЯ
87
для которого коммутативна диаграмма
А J-+ В
Мы утверждаем, что <ps — универсальный объект в этой ка-
тегории ft-
Доказательство. Предположим, что а/s = a'/s', или, дру-
гими словами, что пары (a, s) и (a', s') эквивалентны. Найдется
£ 5, для которого
$j (s'а — sa') = 0.
Пусть /: А—> В— объект из Тогда
f (*1) [/ (s') f(a) — f (s) f (a')] = 0.
Умножая на /(Sj)-1, а затем на /(s')-1 и /($)”*, получаем
f(a) /(s)-1 = f(a') f(s')~\
Следовательно, мы можем определить отображение
й: S~'A~->B,
при котором h(a;S) = f (a)f (s)~l для всех a[s£S~'A. Тривиально
проверяется, что h — гомоморфизм, приводящий к нужной коммута-
тивной диаграмме. Тривиально проверяется также, что такой гомо-
морфизм h единствен и, следовательно, (ps есть универсальный объект,
что и требовалось доказать.
Пусть А — целостное кольцо и S — мультипликативное под-
множество, не содержащее 0. Тогда отображение
Ф5: A->S~XA
инъективно.
Действительно, по определению равенство а/1 =0 означает, что
существует s£S, для которого s« = 0 и, следовательно, а — 0.
Наиболее важными примерами мультипликативных множеств
являются, следующие.
(i) Пусть А — кольцо и 5 — множество обратимых элементов в А
(т. е. множество единиц). Тогда 5, очевидно, мультипликативно и обо-
значается, как мы отмечали, через А*. Если А — поле, то А* — муль-
типликативная группа отличных от нуля элементов в Л. В этом слу-
чае S-1/l совпадает просто с А.
(И) Пусть А — целостное кольцо и S — множество всех его ненуле-
вых элементов. Тогда 5—мультипликативное множество и 5-1Л — поле,
называемое полем частных или полем отношений кольца А.
88
ГЛ И. КОЛЬЦА
Обычно А отождествляют с соответствующим подмножеством в S'1/!
и пишут
a]s — s~xa,
а А, 5 £ S.
(iii) Кольцо А называется локальным кольцом, если оно имеет
единственный максимальный идеал. Если А—локальное кольцо,
щ—его максимальный идеал и х£А, x(tm, то элемент х обратим
(иначе х порождал бы собственный идеал, не содержащийся в ш, что
невозможно). Пусть А—некоторое кольцо и р —его простой идеал.
Обозначим через S дополнение к р в А. Тогда S — мультипликатив-
ное подмножество в Л и S'1/ обозначается символом А^. Это ло-
кальное кольцо (см. упражнение 3); оно называется локальным коль-
цом кольца А в р.
Пусть А — кольцо и S — некоторое его мультипликативное под-
множество. Обозначим через J(A) множество всех идеалов в А. Мы
можем определить отображение
Ф$: J(M)->J(S-’X),
положив ф5(а) = £~1п, где S-1a— подмножество в 5-1Д, состоящее
из всех дробей a's с а£а и s£S. Читатель легко проверит, что
S~’a будет 5-1Л-идеалом и что ф5 является гомоморфизмом как для
аддитивной, так и для мультипликативной структур моноида на мно-
жестве J(A). Кроме того, ф5 сохраняет также пересечения и вклю-
чения; другими словами, для любых идеалов а, I’ из А мы имеем
5'1(а + Ь) = ^'1а + 5'1!', S'1 (nP) = (S-Ia) (S-1b),
S~1(anb) = S~1aDS'1b.
Для примера докажем последнее соотношение. Пусть х £ a (] р;
Тогда x/s лежит как в S~’a, так и в 5'4, так что включение левой
части в правую тривиально. Обратно, пусть мы имеем элемент из S'1/!,
который может быть записан в виде als==b[s', где Ъ£Ь и s,
s' £ S. Тогда найдется элемент д, £ S, такой, что
s^'a = srsb,
и этот элемент лежит как в а, так и в Ь. Следовательно, элемент
a/s = Sis'a/sis's
лежит в £-:1(аПЬ). что и требовалось доказать.
§ 4. КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
89
§ 4. Кольца главных идеалов
И в этом параграфе „кольцо* означает „коммутативное кольцо*.
Пусть А — целостное кольцо. Элемент а #= 0 называется непри-
водимым, если он не является единицей и если из равенства а = Ьс
с Ь£А и с £А следует, что b или с — единица.
Пусть а =# 0 — некоторый элемент в А, и пусть главный
идеал (а) простой. Тогда а неприводим. Действительно, если а~Ьс,
то один из множителей, скажем Ь, лежит в (а). Тогда мы можем на-
писать b = ad, где d — некоторый элемент из А и, следовательно,
a = acd. Поскольку А целостное, отсюда следует, что cd = 1, дру-
гими словами, что с-«-единица.
Утверждение, обратное предыдущему, верно не всегда. Мы обсу-
дим, при каких условиях оно верно. Говорят, что элемент а£А,
а =# 0, обладает однозначным разложением на неприводимые эле-
менты, если в А существуют единица и и неприводимые элементы
Pi (j=l, ..., г), такие, что
Г
а = иЦр1,
(=1
причем для двух таких разложений на неприводимые элементы
Г S
а =и П Pi =«' П чр
i=l J=1
мы имеем г — s и после перестановки индексов I pt = и^, где
ut — некоторые единицы в А, г—1.....г.
Отметим, что если р — неприводимый элемент и и — единица, то
up—тоже неприводимый элемент, так что при разложении на мно-
жители мы должны допускать умножение на единицы. В кольце целых
чисел Z отношение порядка позволяет нам выделить один неприво-
димый элемент (положительное простое число) из двух возможных
(а именно, ± р), отличающихся друг от друга на множитель, являю-
щийся единицей. В более общих кольцах это, конечно, невоз-
можно.
Допуская в предыдущем равенстве г — 0, мы принимаем согла-
шение, что всякая единица кольца А имеет разложение на неприво-
димые элементы.
Кольцо называется факториальным (или кольцом с однозначным
разложением на множители), если оно целостное и если всякий эле-
мент #= 0 имеет однозначное разложение на неприводимые элементы.
Мы докажем ниже, что всякое целостное кольцо главных идеалов
факториально.
Пусть А—целостное кольцо и a, b £ A, ab #= 0. Мы говорим,
что а делит Ь, и пишем а\Ь, если существует элемент с£А, для
•90
ГЛ. И. КОЛЬЦА
которого ас = Ь. Мы говорим, что элемент d£A, =Л 0, является
.наибольшим общим делителем (сокращенно н. о. д.) элементов а
и Ь, если d\a, d\b и если любой элемент е из А, е=£0, делящий
и а, и Ь, делит также d.
Предложение 2. Пусть А — целостное кольцо главных
идеалов и а, Ь£ А, а, ЬФО. Если (а, Ь) = (с), то с — наиболь-
ший общий делитель элементов а и Ь.
Доказательство.. Так как b лежит в идеале (с), то b — хс
для некоторого х£А, или, что то же самое, с | Ь. Аналогично с | а.
Пусть d делит и а, и Ь, т. е. a = dy, b = dz, где у, z£A. Так как с
лежит в (а, Ь), то
с = wa -Т tb
с некоторыми w, t^A. Тогда с ~ w dy -|-1 dz ~ d (wy -\-tz), откуда
d\ с и наше предложение доказано.
Теорема 1. Всякое целостное кольцо А главных идеалов
факториально.
Доказательство. Мы докажем сначала, что всякий ненулевой
элемент в А имеет разложение на неприводимые элементы. Обозначим
через S— множество главных идеалов =£0, образующие которых не
имеют разложения на неприводимые элементы; предположим, что S
не пусто. Пусть (П0 лежит в S. Рассмотрим произвольную возрастаю-
щую цепочку
(fll)c(a2)c ... с(а„)с ...
Т= Г= Г=
идеалов из S. Мы утверждаем, что она не может быть бесконечной.
Действительно, объединение идеалов такой цепочки будет идеалом в А,
причем главным, равным, скажем (а). Образующая а должна лежать
в некотором элементе цепочки, скажем в (ап), а тогда
(а„)с(а)с:(ая),
откуда вытекает, что цепочка обрывается на (ап). Следовательно
любой идеал в Л, содержащий (п„) и #= (ап)> имеет образующую
допускающую разложение на неприводимые множители.
Заметим теперь, что элемент ап не может быть неприводимым
{иначе он имел бы разложение) и, следовательно, а„ — Ьс, где ни Ь,
ни с не являются единицей. Но тогда (Ь) =Л (ап) и (с) Ф (ап), а потому
и Ь, и с обладают разложениями на неприводимые множители. Произ-
ведение этих разложений будет разложением для ап вопреки предпо-
ложению, что S не пусто.
Чтобы доказать единственность, заметим сначала, что если р — не-
приводимый элемент в A, a, b£A, p\ab, то р\а или р\Ь. Дока-
§ 4. КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
9Т
зательство. Если р J а, то н. о. д. элементов р и а равен 1 и, сле-
довательно,
1 ~ хр-А-уа
для некоторых х, у£Л. Тогда b — Ьхр уаЬ, а поскольку p\ab,
мы заключаем, что р | Ь.
Предположим теперь, что а имеет два разложения
а = рх . .. pT = qx . . . qs
на неприводимые "элементы. Так как р} делит произведение, стоящее
справа, то делит один из его сомножителей, причем после их пере-
нумерации мы можем считать, что это qx. Тогда найдется единица
для которой qx — ti\pv Сокращая оба разложения на рх, получаем
р2 . . . рг = uxq2 ... qs.
Доказательство завершается по индукции.
Можно было бы называть два элемента a, b £ А эквивалентными,
если существует единица и, такая, что а = Ьи. Выберем по одному
элементу р из каждого класса эквивалентности, состоящего из непри-
водимых элементов, и обозначим через Р множество таких предста-
вителей. Пусть а£А, а 0. Тогда существуют единица и и целые
числа v(p)^>0, равные 0 для почти всех р£Р, такие, что
а = и П Pv(p).
-р?р
При этом единица и и целые числа v(p) однозначно определены эле-
ментом а. Мы называем v(p) порядком элемента а в р, обозначая
его также символом ordpa.
Если А — факториальное кольцо, то всякий неприводимый эле-
мент р порождает простой идеал (р). Поэтому в факториальном кольце
неприводимые элементы будут также называться простыми.
Заметим, что можно обычным способом определить понятие наи-
меньшего общего кратного (н. о. к.) конечного числа ненулевых эле-
ментов кольца А. Именно, мы полагаем н. о. к. элементов а}, ...
.. , ап£ А равным любому элементу с£ А, удовлетворяющему условию
ordp с = max ordp at
I
для всех простых элементов р из А. Такой элемент с определен
однозначно с точностью до множителя, являющегося единицей.
Мы говорим, что ненулевые элементы а, b £ А взаимно просты,
если (а, Ь') = (\'). Это означает, что н. о. д. элементов а и Ь есть
единица.
Пример Кольцо целых чисет Z факториально. Его группа единиц
состоит из 1 и —1. Естественно брать в качестве представителя класса
92
ГЛ. II. КОЛЬЦА
эквивалентности данного простого элемента положительный простой
элемент (называемый простым числом) при возможном выборе из двух
элементов р и — р. Аналогично, как мы покажем позднее, кольцо
многочленов от одной переменной над полем факториально, и в ка-
честве представителей простых элементов в этом кольце обычно вы-
бирают неприводимые многочлены со старшим коэффициентом 1.
УПРАЖНЕНИЯ
Все кольца предполагаются коммутативными
1, Пусть А — кольцо с 1 О, S — его мультипликативное подмножество,
не содержащее 0. Пусть, далее, р — максимальный элемент в множестве идеа-
лов кольца А, пересечение которых с 5 пусто. Показать, что р — простой.
2. Пусть /: А -> А' — сюръективный гомоморфизм колец. Показать, что
если кольцо А — локальное, то и кольцо А' — локальное.
3. Пусть А — кольцо и р — простой идеал. Показать, что А^, имеет един-
ственный максимальный идеал, состоящий из всех элементов вида aгде
л Ер и s(£p.
4. Пусть А — кольцо главных идеалов и S — его мультипликативное под-
множество. Показать, что S-1A— кольцо главных идеалов.
5. Пусть А — факториальное кольцо и S — его мультипликативное под-
множество. Показать, что S-1A факториально и что простые элементы
в S-1A— это те простые р из А, для которых (/?) (~) S пусто.
6. Пусть А — кольцо главных идеалов, ..., а„ — ненулевые элементы
из А и («j...an) — (d). Показать, что d — наибольший общий делитель
для ai (i = 1..п).
7. Пусть р — простое число, А — кольцо 7^рг1 (г — целое число > 1).
Пусть Q = А* — группа единиц в А, т. е. группа классов вычетов по мо-
дулю рг, взаимно простых с модулем. Показать, что Q—циклическая, за
исключением случая, когда
р = 2, г > 3;
в этом случае она является группой типа (2, 2Г~2).
{Указание-, в общем случае показать, что G — произведение циклической
группы, порожденной элементом 1 -ф- р, на циклическую группу порядка р — 1.
В исключительном случае показать, что Q — произведение группы {±1} на
циклическую группу, порожденную классом вычетов числа 5 по модулю 2Г.]
8. Пусть I— комплексное число V—1. Показать, что Z [/]—кольцо глав-
ных идеалов и, следовательно, факториально. Каковы в нем единицы?
9. Пусть А — кольцо целых функций на комплексной плоскости. Показать,
что всякий конечно порожденный идеал в А является главным. Каковы глав-
ные простые идеалы в А? Каковы единицы в А? Показать, что А не факто-
риально.
Глава III
Модули
§ /. Основные определения
Пусть А — кольцо. Левый модуль над А, или левый Л-модуль
М, — это абелева группа, обычно (записываемая аддитивно, вместе
с некоторым действием А на М при этом А рассматривается как
мультипликативный моноид согласно КО 2), таким, что для всех а,
b £ А и х, у £ Л4 выполнены соотношения
(а + Ь) х = ах 4- Ьх и а (х + у) = ах-}- ау.
Мы предоставляем читателю доказать, что а(—х) = — ах и что
0х = 0. По определению действия \х~х.
Аналогичным образом определяют правый /1-модуль. Мы будем
иметь дело только с левыми Л-модулями, если не оговорено про-
тивное, и поэтому будем называть их просто Л-модулями или даже
модулями, когда ясно, о каком кольце идет речь.
Примеры.
Отметим, что Л есть модуль над собой.
Любая коммутативная группа является Z-модулем?
Аддитивная группа, состоящая из одного (\ является модулем над
любым кольцом.
Любой левый идеал в Л есть модуль над Л.
Пусть S— непустое множество и М — некоторый Л-модуль. Мно-
жество отображений 9)((S, М) будет Z-модулем. Мы уже отмечали
раньше, что это коммутативная группа. Если теперь f £ (S, М), а£ А,
то считаем af отображением, для которого (af )(s')~ af (s). Аксиомы
модуля проверяются тривиально.
В остальной части этого параграфа мы будем иметь дело с фик-
сированным кольцом Л и, таким образом, можем опускать при-
ставку Л-.
Пусть М — модуль. Под подмодулем N в М мы понимаем такую
аддитивную подгруппу, что Л Nez А? Очевидно, А? есть модуль
(с действием, индуцированным действием Л на М).
Пусть а — левый идеал и М — модуль. Множество (ыИ всех
элементов
• • • 4" аахп’
94
ГЛ. ПТ. МОДУЛИ
где at £ а и х; £ М, будет, очевидно, подмодулем в М. Имеет место
ассоциативность, а именно для любых левых идеалов а, Ь
а (bAf) = (ab) М.
Имеют место также некоторые очевидные соотношения дистрибу-
тивности, например (а-ф- b)Af = d/W-|- bAf. Если N и N'— подмо-
дули в М, то a (NN') — nNaN'.
Пусть А1—/4-модуль и W—его подмодуль. Определим структуру
модуля на факторгруппе М/N (для уже имеющейся структуры адди-
тивной группы). Пусть x-\-N — некоторый смежный класс группы
по .'V, и пусть а£А. Мы определяем a(x-)-N) как смежный
класс ax-\-N. Тривиально проверяется, что так введенное действие
правильно определено (т. е. если у лежит в том же смежном классе,
что и х, то «у лежит в том же смежном классе, что и ах) и что
оно удовлетворяет всем необходимым условиям, так что MfN пре-
вращается в модуль, называемый фактор мод улем модуля М по А/.
Под гомоморфизмом модулей понимается отображение
/: М^»М'
одного модуля в другой (над тем же самым кольцом А), которое
является гомоморфизмом аддитивных групп и для которого
/ (ах) — af (х)
при всех а £ А и х£М. Ясно, что к'ласс A-модулей образует кате-
горию, морфизмами в которой служат гомоморфизмы модулей, обычно
называемые просто гомоморфизмами, если это не приводит к пута-
нице. Когда желают явно указать кольцо А, то говорят, что /
является А-гомоморфизмом, или также, что f—А-линейное отоб-
ражение.
Тождественное отображение всякого модуля на себя является
гомоморфизмом. Для любого модуля М' отображение М —> М’,
такое, что £(х) = 0 для всех х£М, является гомоморфизмом, назы-
ваемым нулевым.
Пусть М—модуль и N—его подмодуль. Тривиально проверяется,
что канонический гомоморфизм аддитивных групп
/: M->MjN
является также гомоморфизмом модулей. Столь же тривиально про-
веряется, что он универсален в категории гомоморфизмов модуля Af,
ядро которых содержит N.
Если f: М-+ М' — гомоморфизм модулей, то его ядро и образ
являются подмодулями в М и М' соответственно (тривиальная
проверка). Канонические гомоморфизмы, рассмотренные в гл. 1, §4,
переносятся с необходимыми изменениями и на модули. Для удоб-
ства читателя приведем сводку этих гомоморфизмов.
§ 2. ГРУППА ГОМОМОРФИЗМОВ
95
Пусть N, N' — два подмодуля модуля AL Тогда V-}- N' будет
также подмодулем и имеет место изоморфизм
NINftN' N')IN'.
Если /И zd М' z>М"—модули, то
(М1М"У(М'1М") М/М'.
Если f: М —> М.'—гомоморфизм модулей и N'—подмодуль в М',
то есть подмодуль в М и имеет место канонический
инъективный гомоморфизм
Если гомоморфизм f сюръективен, то f—изоморфизм модулей.
Доказательства сводятся к проверке того, что все гомоморфизмы,
с которыми мы имели дело, занимаясь абелевыми группами, являются
теперь А-гомоморфизмами модулей. Эту проверку мы предоставляем
читателю.
Отметим, что, как и в случае групп, гомоморфизм модулей,
являющийся биективным отображением, будет изоморфизмом модулей.
Здесь вновь доказательство то же, что и для групп (нужно только
заметить, что обратное отображение, являющееся, как мы знаем,
изоморфизмом групп, есть на самом деле изоморфизм модулей). Про-
верка снова предоставляется читателю.
Как и в случае абелевых групп, мы называем последователь-
ность гомоморфизмов модулей
AT -А М -£> М"
точной, если Im / = Ker g. С подмодулем N модуля М ассоциируется
точная последовательность
где отображение Л? в М есть включение, а последующее отображе-
ние — каноническое. Понятие точности принадлежит Эйленбергу —
Стинроду.
§ 2. Группа гомоморфизмов
Пусть А — кольцо и X, X'— A-модули. Мы обозначаем через
Нотл(А'/, X) множество А-гомоморфизмов модуля X' в X. Тогда
Нотл(А'/, X) есть абелева группа, причем закон сложения — это
закон сложения отображений в абелеву группу.
Если кольцо А коммутативно, то мы можем превратить Ношл (X', X)
в A-модуль, взяв в качестве а/ с а£А и /£Нотл(А", X) отоб-
ражение, для которого
(а/) (х) = af (х).
96
ГЛ. III. МОДУЛИ
Проверка аксиом Л-модуля тривиальна. Однако если А не комму-
тативно, то приходится рассматривать Нотд(Л'/, X) просто как
абелеву группу.
Можно также рассматривать Нотд как функтор. В действитель-
ности это функтор от двух аргументов, контравариантный по пер-
вому аргументу и ковариантный по второму. В самом деле, пусть
Y — Л-модуль и
Х'-^Х
— Л-гомоморфизм. Тогда имеем индуцированный гомоморфизм
Нотд(/, Y): Нотд(А', У)-> НотА(Х', Y)
(обращение стрелки!), задаваемый правилом
о /.
Это иллюстрируется следующей последовательностью отображений
X’-UX-X+Y.
Тот факт, что Нотд(/, У) будет гомоморфизмом, представляет собой
просто перефразировку свойства (gx + g2) о f — g{ ° f+g2 ° /• K°-
торое тривиально проверяется. Если / = id, то композиция с / дей-
ствует на g как тождественное отображение, т. е. g о id = g.
Имея последовательность Л-гомоморфизмов
Х'->Х-^Х",
мы получаем индуцированную последовательность
Ношд(.*', У) <-Нотд (Д', У)<- Нотд (X", У). '
Для всякой точной последовательности
X' —> X — -> Х”~>0
индуцированная последовательность
Нотд(АГ/, У) <— Нотд(Аг, У) ч— Нотд {X", У)<-0
точна.
Это важный факт, доказательство которого тривиально. Напри-
мер, если g-. X" —> У — Л-гомоморфизм, то его образом в Нотд(Х, У)
будет композиция g с сюръективным отображением X на X". Если
эта композиция равна 0, то g = 0, поскольку X —> X" сюръективно.
В качестве другого примера рассмотрим гомоморфизм g\ X -> У,
для которого композиция
X' — +X-X+Y
§ 2. ГРУППА ГОМОМОРФИЗМОВ
97
равна 0. Тогда g обращается в 0 на образе л. Отображение g,
таким образом, можно разложить посредством фактормодуля
X/ImX
— •> \
g
Так как X —> X" сюръективно, то имеем изоморфизм
X/Im X X".
Следовательно, мы можем пропустить g через X”, показав тем самым,
что ядро гомоморфизма
Нотд(Х', К)<—Нотд(Х, И)
содержится в образе гомоморфизма
Нотл(Х, И) <- Нотд {X", Y).
Проверка других условий, необходимых для точности, предоста-
вляется читателю.
Аналогичную ситуацию мы имеем и по отношению ко второму
аргументу, только в этом случае функтор ковариантен. Таким обра-
зом, для фиксированного X и последовательности Д-гомоморфизмов
Y'-+Y->Y"
имеем индуцированную последовательность
Ногпд(Х, Г)->Нотд(Х, Y) -> Нотд (X, Y").
Для всякой точной последовательности
0->Г' ->Y"
индуцированная последовательность
0 -> Нотд (X, Y') -> Нотд (X, Y) —> Нотд (X, Y")
точна.
Доказательство предоставляется читателю. Оно немедленно выте-
кает из определений.
Отметим, что точность последовательности
0 -> Y' -> Y
означает, что модуль Y' вкладывается в Y, т. е. изоморфен подмо-
дулю в Y. Если Y'czY, то всякий гомоморфизм в Y' может рас-
сматриваться как гомоморфизм в Y. Это соответствует вложению
0—>Нотд(Х, П/)->Нотд(Х, Y).
Пусть М — Д-модуль. Из соотношений
(£'1 + £’2)°/ = £'1°/ + £’2о/
98
гл. Ill МОДУЛИ
и их правого аналога, а именно
g ° СА 4- А) = g0 /1 + g0 Л-
а также из того факта, что существует единичный элемент для ком-
позиции, именно idAf, мы заключаем, что Нотд(Л1, М) есть кольцо,
умножением в котором служит композиция отображений. Если п—це-
лое число ^>1, то мы можем писать fn для обозначения п-кратной
итерации f и можем определить /° как id. Согласно общему опре-
делению эндоморфизмов в категории, мы можем также писать Епбл М
вместо Нотл (Л4, /И).
Так как A-модуль М—абелева группа, то Homz(Af, М) (=множе-
ству групповых гомоморфизмов Л1 в себя) есть кольцо и мы могли
бы определить действие А на М как кольцевой гомоморфизм
A~>Honiz(Af, Л1).
§ 3. Прямые произведения и суммы модулей
Пусть А — кольцо. Как и в случае абелевых групп, копроизве-
дение в категории A-модулей называется прямой суммой.
Предложение 1. Прямые произведения и прямые суммы
в категории A-модулей существуют.
Доказательство. Доказательство в случае произведения мы
предоставляем читателю в качестве упражнения. В качестве образца
мы рассмотрим случай суммы, следуя конструкции, данной для пря-
мой суммы абелевых групп. Пусть — семейство A-модулей и
М = Ц
— их прямая сумма как абелевых групп. Определим на М структуру
A-модуля. Если (x;);gZ — элемент из М, т. е. такое семейство эле-
ментов что хг = 0 для почти всех Z, и если а£А, то
положим
задавая тем самым умножение на а покомпонентно. Тривиально про-
веряется, что это есть действие А на М, превращающее М в А-модуль.
Если читатель обратится теперь к данному ранее доказательству
существования прямых сумм в категории абелевых групп, то он
сразу увидит, что его можно продолжить в том же плане, с тем
чтобы показать, что М есть прямая сумма семейства как
A-модулей (например, отображение
§ 3 ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СУММЫ МОДУЛЕЙ
99
для которого (%) имеет J-ю компоненту, равную х, и z-ю компо-
ненту, равную 0, при I #= у, теперь, как легко видеть, будет /1-го-
моморфизмом). Для данного семейства Д-гомоморфизмов {/t:
отображение /, определенное в доказательстве для абелевых групп,
является также Д-гомоморфизмом и обладает всеми необходимыми
свойствами.
В случае когда I—конечное множество, имеется полезный критерий
представимости модуля в виде прямого произведения.
Предложение 2. Пусть М—А-модуль и п—целое число ^>1.
Для каждого 1=1..........п пусть <р(: /И М — А-гомоморфизм,
такой, что
п
2 ф, = id и tp( о = 0 для I + j.
Тогда ф2 = ф. для всех I. Положим Mi = (pi(M) и возьмем ото-
бражение <р: М —>ЦД1(, для которого
ф(х) = (Ф1(х)....ф„(х')).
Тогда ф будет А-изоморфизмом М на прямое произведение
Доказательство. Для каждого j имеем
<Р7 = <Р7 0 id = Фу ° 2 ф, = ф, ° Ф7 = Ф7-
что доказывает первое утверждение. Ясно, что ф — Д-гомоморфизм.
Пусть х лежит в его ядре. Так как
x = id(x) = 2 <Р, О).
г=1
то мы заключаем, что х = 0, так что ф инъективно. Пусть для ка-
ждого z=l........п заданы элементы yt £ Мг Положим х = у1-(- ...
... +уп. Очевидно, ф7-(у() = 0 при z =£ j. Следовательно,
Ф7 (х) = у}
для каждого /—1, .... п. Это доказывает, что ф сюръективно, и
завершает доказательство нашего предложения.
Заметим, что в том случае, когда I — конечное множество, пря-
мая сумма и прямое произведение совпадают.
Как и в случае абелевых групп, для обозначения прямой суммы
мы используем символ ф.
Пусть М — модуль над кольцом А и S — подмножество в М.
Под линейной комбинацией элементов из S (с коэффициентами в Д)
понимают сумму
2 алх,
xcs
100
гл. ш. МОДУЛИ
где {дх}—некоторое множество элементов из А, почти все из кото-
рых равны 0. Эти элементы ах называются коэффициентами линей-
ной комбинации. Пусть N — множество всех линейных комбинаций
элементов из S. Тогда N — подмодуль в М, так как если
2 ахх и 2 Ъхх
x^S x{S
— две линейные комбинации, то их сумма равна
2 (Ах А-ьх)х,
х<^>
а если с £ А, то
с (2 ахх\ = 2 сахх,
W.S / xts
и эти элементы снова являются линейными комбинациями элементов
из 5. Мы будем называть N подмодулем, порожденным S, a S—мно-
жеством образующих для N. Иногда мы будем писать N = A (S).
Если S состоит из одного элемента х, то модуль, порожденный х,
записывается также в виде Ах или просто (х), и иногда мы будем
говорить, что (х) есть главный модуль.
Модуль М называется конечно порожденным, или модулем конеч-
ного типа, если он имеет конечное число образующих.
Подмножество S модуля М называется линейно независимым
(над А), если из равенства нулю линейной комбинации
2 ахх
x^S
обязательно вытекает, что ах = <д для всех х£3. Если S линейно
независимо и если две линейные комбинации
2 ахх и 2 Ьхх
равны, то ах — Ьх для всех x£S. Действительно, вычитание одной
линейной комбинации из другой дает 2 (ах—bx)x = Q, откуда
ах—-Ьх = 0 для всех х. Если подмножество о линейно независимо,
то мы будем также говорить, что его элементы линейно независимы.
Аналогично семейство (xz}/^/ элементов из тИ называется линейно
независимым, если, какова бы ни была линейная комбинация
^2^ = 0,
й; = 0 для всех Z. Подмножество S (соответственно семейство {х(-})
называется линейно зависимым, если оно не является линейно неза-
висимым, т. е. если существует соотношение
2 ахх = 0 (соответственно 2 azxz = 01,
xes \ ici 1
в котором не все ах (соответственно о(-) = 0.
§ 3 ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СУММЫ МОДУЛЕЙ
101
Предостережение. Пусть х — какой-нибудь элемент из М, являю-
щийся линейно независимым. Тогда семейство {xj , в кото-
ром хг == х для всех г, линейно зависимо, если n> 1, но множество,
состоящее из самого х, линейно независимо.
Пусть М — Л-модуль и — некоторое семейство его под-
модулей Имея гомоморфизмы включения
Х(: М(->М,
получаем индуцированный гомоморфизм
V Цм^м,
такой, что для любого семейства элементов среди которых
все, кроме конечного числа, равны 0,
4(Ut))= 2 *>
i<u
Если \ — изоморфизм, то мы говорим, что семейство {М,} есть
разложение Л1 в прямую сумму. Это, очевидно, равносильно тому,
что всякий элемент из М имеет единственное представление в виде
суммы
2
где хг £ и почти все х4=0 Допуская неточность в обозначе-
ниях, мы в этом случае будем также писать
А1=ПЧ-
Если семейство [МД таково, что всякий элемент из М допускает
какое-то представление в виде суммы 2 хг (не обязательно един-
ственное), то мы будем писать М = 2 М(. В общем случае, если
[Л1Д—произвольное семейство подмодулей, то образ определенного
выше гомоморфизма X* есть подмодуль в М, который будет обозна-
чаться через 2
Если М — модуль и (V, П' — два таких его подмодуля, что
N -Д- N' = М и N П N' = 0, то имеет место изоморфизм модулей
/И^Л'фЛ'',
точно так же как и в случае абелевых групп, и аналогично для ко-
нечного числа подмодулей
Отметим, что наше изложение теории абелевых групп есть, разу-
меется, частный случай теории модулей просто потому, что абелевы
группы можно рассматривать как модули над Z Однако обычно
представляется желательным (хотя это и непроизводительно) получать
сначала некоторые результаты для абелевых групп, а затем указывать,
102
гл. III. МОДУЛИ
что они, вообще говоря, справедливы (очевидным образом) и для
модулей.
Пусть >И, М', N — модули. Тогда имеет место изоморфизм абе-
левых групп
Нотл(А1фЛГ, N) -> Нотл (М, N)XHomA(M7, N)
и аналогично
Нотд(АЛ Ж X АН <—> Нотд (.V, Л4)@Нотл (А/, Л4') |.
Первый из изоморфизмов получается следующим образом. Если
/: — гомоморфизм, то f индуцирует гомоморфизмы
/р .M - >'V и /2: М' —> N посредством композиции с вложениями соот-
ветственно М и М.' в их прямую сумму
47-> М © {0} с М ©М' N,
Мы предоставляем читателю проверить, что сопоставление
/-Ч/н /2)
и дает изоморфизм, указанный в первой рамке. Изоморфизм во вто-
рой рамке получается аналогичным способом. Если даны гомомор-
физмы /р АА—>М и /2: то имеет место гомоморфизм
/: N—>М\М', определяемый формулой
/W = (/iW. /2(*))-
Тривиально проверяется, что сопоставление
(Л- /2)->/
дает изоморфизм, указанный во второй рамке.
Конечно, прямая сумма и прямое произведение двух модулей изо-
морфны, но мы различаем их в обозначениях из соображений функ-
ториальности.
Предложение 3. Пусть 0-> М' —> М—-> М" —>0—точная
последовательность модулей. Следующие условия эквивалентны".
(1) Существует гомоморфизм <р: М" —>/И, такой, что
g о = id.
(2) Существует гомоморфизм ф: М —> ЛК, такой, что ф ° /=id.
При выполнении этих условий имеют место изоморфизмы
Л4 = Im/фКегф, Af = Kerg©Im(p,
§ 4. СВОБОДНЫЕ МОДУЛИ
103
Доказательство. Выпишем гомоморфизмы из правой части
последовательности
М ~±М"->0.
ч>
Пусть х £ М. Тогда разность
* — <Р (£(*))
лежит в ядре g и, следовательно, М — Ker g —Im Ф-
Эта сумма прямая, так как если
х = у-\-г,
где и z£_ Im ср, то z~(fi(w)\ здесь и, применяя g,
получаем, что ®> = g'(x). Таким образом, w однозначно определен
элементом х, а потому z однозначно определен элементом х. Сле-
довательно, то же справедливо и для у; тем самым доказано, что
сумма прямая.
Рассуждения, относящиеся к другой части последовательности,
аналогичны, и проведение их предоставляется читателю в качестве
упражнения, равно как и доказательство эквивалентности обоих усло-
вий. В случае когда эти условия удовлетворяются, говорят, что точ-
ная последовательность из предложения 3 расщепляется.
§ 4. Свободные модули
Пусть А1 — модуль над кольцом А и S — подмножество в М.
Мы будем говорить, что S— базис модуля М, если S не пусто,
порождает Л4 и линейно независимо. В частности, если S — базис Л4,
то ЛГ #= {0} при условии, что А {0], и всякий элемент из ЛГ имеет
единственное представление в виде линейной комбинации элементов
из S. Аналогично мы говорим, что непустое семейство эле-
ментов из М образует базис в М, если оно линейно независимо и
порождает М.
Всякое кольцо, рассматриваемое как модуль над собой, обладает
базисом, состоящим из единичного элемента 1.
Пусть / — непустое множество, и для каждого 1£1 пусть А[=А,
причем все А; рассматриваются как Л-модули. Положим
i^i
Модуль F обладает базисом, состоящим из элементов et в F, i-ti ком-
понентой которых является единичный элемент из Л;, а все другие
компоненты равны 0.
Под свободным модулем мы будем понимать модуль, обладающий
базисом, или же нулевой модуль.
104
ГЛ Ш МОДУЛИ
Теорема 1. Пусть А — кольцо и А1— модуль над А с бази-
сом {х()г£7, где I — непустое множество. Пусть, далее, N есть
A-модуль и —семейство элементов в N. Тогда существует
единственный гомоморфизм f: M->N, такой, что — для
всех I.
Доказательство. Пусть х — некоторый элемент из Д4. Су-
ществует единственное семейство элементов из А, для кото-
рого
х = 2 atxt.
ар
Положим
/(%)= 2 «л-
Ясно, что f — гомоморфизм, удовлетворяющий нашим требова-
ниям, и что это единственный такой гомоморфизм, так как мы должны
иметь
/(*)= 2 ajtxj.
Следствие 1. В обозначениях теоремы предположим, что
— базис в N. Тогда гомоморфизм f является изоморфиз-
мом (модулей).
Доказательство. В силу симметрии существует единственный
гомоморфизм
g: N-+M,
такой, что g(yt) = xl для всех I и fog и g ° f являются соответ-
ствующими тождественными отображениями.
Следствие 2. Два модуля, имеющие базисы одинаковой мощ-
ности, изоморфны.
Доказательство. Очевидно.
Доказательства следующих утверждений предоставляем читателю
в качестве упражнений.
Пусть А4 —свободный модуль над А с базисом так что
И-] | Ах,.
in
Пусть а — левый идеал в А. Тогда аМ будет подмодулем в М.
Далее, ах,— подмодуль в Ах, для каждого I. Имеет место изо-
морфизм (Д-модулей)
Ж/аМ я» П Ахi!axi
in
Кроме того, Ах,/ах, и Д/а изоморфны как Д-модули.
§ 5. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
105
Предположим дополнительно, что А коммутативно. Тогда.
Ala — кольцо. Кроме того, М/аМ есть свободный модуль над А/а
и каждый фактормодуль Axilaxi свободен над A/а. Если X; — об-
раз xi при каноническом гомоморфизме
то xt служит базисом
Axjaxi над Ala.
Axi —> Axjax^
{состоящим из одного элемента) для
§ 5. Векторные пространства
Модуль над полем называется векторным пространством.
Теорема 2. Пусть V — векторное пространство над полем К,
причем V^={0}. Пусть Г—множество образующих для V над К
и S — некоторое линейно независимое подмножество в Г. Тогда
в V существует базис $}, такой, что Sc.fflcJ'.
Доказательство. Пусть 2 — множество, элементами кото-
рого служат подмножества Т из Г, содержащие 5 и линейно неза-
висимые. Тогда 2 не пусто (оно содержит S). Мы утверждаем, что 2
индуктивно упорядочено. Действительно, если \ТД—совершенно
упорядоченное подмножество в Т (упорядоченность по включению),
то подмножество (J Tt также линейно независимо и содержит 5.
Пусть $— максимальный элемент в существующий по лемме
Цорна. Тогда $ линейно независимо. Пусть W — подпространство
в V, порожденное <$. Если IF #= V, то существует некоторый эле-
мент х£Г, такой, что x(£W. Тогда .6? U [х] линейно независимо.
Действительно, если
—0, av, Ь£К,
то мы должны иметь Ь — 0, потому что иначе
х = — 2 b~\y£W.
Так как в свою очередь $ линейно независимо, то = 0 для всех
это и доказывает, что & U [х] линейно независимо вопреки
максимальности <$. Отсюда следует, что W = V и, кроме того, что
непусто, так как V #= {0}. Теорема доказана.
В частности, мы видим, что если V—векторное пространство #={0},
то всякое множество линейно независимых элементов может быть
расширено до базиса, при этом базис может быть выбран из любого
данного множества образующих.
106
ГЛ. Ш. МОДУЛИ
Теорема 3. Пусть К — векторное пространство над по-
лем К- Тогда любые два базиса V над К имеют одинаковую
мощность.
Доказательство. Предположим сначала, что в V суще-
ствует базис из конечного числа элементов, скажем {г/р .... vm],
т 1. Докажем, что любой другой базис должен также состоять
из т элементов. Для этого достаточно доказать следующее: если
—элементы из V, линейно независимые над К, то n^jn
(так как затем мы можем использовать симметрию). Доказываем по
индукции. В К существуют элементы С;....ст, для которых
... +cmvm, (1)
причем хотя бы один из них, скажем q, отличен от 0. Тогда
лежит в подпространстве, порожденном над Д' элементами
v2, .... vm, и, следовательно, это подпространство совпадает с V.
Кроме того, Wp v2......линейно независимы. Действительно,
предположим, что Ьг, .... Ьт— такие элементы из К, что
... —0.
Если bt Ф 0, то разделим это равенство на Ьх и выразим в виде
линейной комбинации элементов ю2, .... Вычитание ее из (1)
дало бы тогда соотношение линейной зависимости между Up что не-
возможно. Следовательно, Ъх ~ 0, а тогда и все Ь/ — 0. так как
линейно независимы.
Предположим по индукции, что после подходящей перенумера-
ции мы нашли tq........{г < п), для которых совокупность
W •... wr> г»г+р .... vm]
будет базисом в V. Представим •wr+I в виде линейной комбинации
^+1 = ^1+ ••• + W+^+i^r+iH" ••• +«Л- (2)
где ct£K- Коэффициенты при в этом соотношении не все
равны нулю, так как иначе существовала бы линейная зависимость
между Скажем, сГ+1 ф 0. Применяя рассуждение, аналогичное
использованному выше, мы можем заменить •уг+1 на и вновь
получить базис V. Это означает, что мы можем повторять эту про-
цедуру до тех пор, пока не станет г = п, а потому п т, что и
доказывает нашу теорему.
Общий случай бесконечного базиса мы предоставляем в качестве
упражнения читателю. [Указание', использовать тот факт, что любое
конечное число элементов одного базиса содержится в пространстве,
порожденном конечным числом элементов другого базиса.]
Если векторное пространство V обладает базисом из конечного
числа элементов, скажем из т, то мы будем говорить, что V ко-
§ 5. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
107
нечномерно и что т— его размерность. В силу теоремы 3 мы
видим, что т есть число элементов любого базиса V. Если V = {0},
то мы полагаем его размерность равной 0 и говорим, что V
0-мерно. Сокращенно размерность обозначается через ,,dim“ или
если для ясности необходима ссылка на поле К-
Имея дело с векторными пространствами, мы употребляем слова
подпространство и факторпространство вместо подмодуль и фактор-
модуль.
Теорема 4. Пусть V — векторное пространство над по-
лем К, 1И — его подпространство. Тогда
dim/f V — dim/f W 4- dim^- VfW.
Если f: V -+U — гомоморфизм векторных пространств над К,
то
dim И = dim Ker f-\- dim Im f.
Доказательство. Первое утверждение является частным слу-
чаем второго, когда в качестве f взято каноническое отображение.
Пусть {«z};fZ— базис в Im / и — базис в Кег/. Возьмем
семейство элементов {i7z}ZgZ из V, такое, что /(t>z) = zzz для каждого
i£l. Мы утверждаем, что
К
будет базисом для V. Этим, очевидно, завершается доказательство
нашего утверждения.
Пусть х — элемент из V. Тогда существуют элементы в Д',
почти все равные 0 и такие, что
/ (х) = 2 az«z.
Следовательно, f(x — 2 aivi) — f (х) — Zj aif (.vi) ~ 0- Значит,
х — 2 “Ft
лежит в ядре /, а потому существуют элементы в К, почти
все равные 0 и такие, что
х — 2 ai'ui — 2 djWj.
Отсюда находим, что х = 2 at 2 bfWj, т. е. {-vz, тоД поро-
ждает V. Остается показать, что семейство щД линейно незави-
симо. Предположим, что существуют элементы cz, dj, такие, что
o = 2c-^+2<v®y.
108
ГЛ. Ш. МОДУЛИ
Применяя /, получаем
0 = 2 с/ (^) = 5 Мр
откуда все cz = 0. Отсюда тотчас заключаем, что все dj — Q и, сле-
довательно, наше семейство {vz, -Wj] является базисом для V над К,
что и требовалось показать.
Следствие. Пусть V — векторное пространство и W — его
подпространство. Тогда
dim W dim V.
Если V конечномерно и dim U7 = dim V, то W = V.
Доказательство. Очевидно.
§ 6. Дуальное пространство
Пусть V — векторное пространство над полем К. Будем рассма-
тривать К как 1-мерное пространство над собой. Под дуальным про-
странством V* к V мы будем понимать пространство Hom^V, К)!).
Его элементы называются функционалами. Таким образом, функ-
ционал на V — это /С-линейное отображение /: V—>K. Если х £V
и / £ V*, то / (х) иногда обозначают через (х, /). Фиксируя х, мы
видим, что выражение (х, /), рассматриваемое как функция от f £V*,
Af-линейно по своему второму аргументу и, таким образом, х инду-
цирует линейный функционал на V*, равный 0 в том и только в том
случае, если х = 0. Следовательно, мы получаем вложение V—>У**,
которое не всегда сюръективно.
Пусть {xz}/g/—базис в V. Для каждого 1^1 обозначим через ft
однозначно определенный функционал, для которого /z (ху) = dZy-
(другими словами, /z(x;-)=l, если l = j, и =0, если I d= j). Такое
линейное отображение существует в силу общих свойств базисов
(теорема 1 из § 4).
Теорема 5. Пусть V—векторное пространство конечной
размерности п над полем К. Тогда dim И* =/г. Если {хь .... x„J —
базис для V и — функционал, для которого f t(x = то
{/j....fn]—базис для V*.
Доказательство. Пусть / g V*. и пусть az= / (xz) (I— 1, ... ,п).
Имеем
+«л/л)(^-) = «1/1(^)+ 4- a„/„(xz) = az.
’) В русской литературе чаще употребляется термин „сопряженное
пространство". — Прим. ред.
§ 6. ДУАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО
109
Следовательно, / = «1/1+ ... 4-«я/я, и мы видим, что /г поро-
ждают V*. Кроме того, они линейно независимы, так как если
+°я/я = 0
с at £ К, то, беря значение левой части на xt, получаем
Vz(*z) = °>
откуда Д; = 0 для всех I. Это доказывает нашу теорему.
Следствие. Если, пространство V конечномерно, то ото-
бражение V^V№, сопоставляющее каждому x£V функционал
/i—>{х, f) на V*, является изоморфизмом Й на V**.
Доказательство. Это отображение — инъективный гомомор-
физм. Поэтому его образ будет подпространством в Vе размерности п
и, следовательно, должен совпадать со всем И**.
Для данного базиса {xj (z=l.....п) базис {/,•}, определенный
в формулировке теоремы, называется дуальным базисом. Пользуясь
этими базисами, мы можем представить любой элемент А из V по-
средством координат («!.ап) и любой элемент В из V* посред-
ством координат ........бп), так что
Д = «1х1Ч~ ... -+ апхп, В = Ь^\-\- ... -|-bnfn.
Отсюда мы видим, что
(А = ••• = л.в
есть обычное скалярное произведение наборов из п чисел.
Пусть V — векторное пространство над полем К, и пусть
0->UZ-UV-2>t/->0
— точная последовательность К-линейных отображений. Мы
утверждаем, что индуцированная последовательность
0 <- Нот^Г, /С) <—Hom^-(V\ К) <- Hom^ (U, К)<~0,
т. е. последовательность
также точна.
Точность во всех членах, кроме крайнего левого, есть общий
факт, не связанный со спецификой векторных пространств и спра-
ведливый для произвольных модулей (см. § 2). Существенным момен-
том здесь является доказательство сюръективности отображения V*
в W*. Чтобы установить ее, рассмотрим произвольный функционал g
на W. Существует подпространство Т в Й, такое, что
У = Л(Г)4 т
по
гл. ш. МОДУЛИ
есть прямая сумма. Фактически мы можем рассматривать W как
подпространство в V, поскольку X— вложение. Любой элемент из V
имеет единственное представление в виде суммы где w £ W
и t£T. Определим функционал f на И, положив f (w ~[-f) = g (w)
для всех w^W и t£T. Тогда ограничение f на VC(=Z,(IT)) сов-
падает с g. Это и означает, что левое отображение в индуцирован-
ной последовательности сюръективно.
Пусть V и V — два векторных пространства. Предположим, что
нам задано отображение
записываемое так:
(х, х'~) н-ь- (х, х'),
x£V, x'^W. Мы называем это отображение билинейным, если
для каждого х £ V функция х' i—> (х, х') линейна и аналогично для
каждого x'^V' функция xi—>(х, х'} линейна. Элемент x£V на-
зывается ортогональным (или перпендикулярным) подмножеству S'
в V, если (х, х'} — 0 для всех x'£S'. Аналогично определяется
ортогональность элемента из V подмножеству из V. Очевидно, что
множество всех x£V, ортогональных к S', есть подпростран-
ство в V.
Определяем ядро слева билинейного отображения как подпро-
странство в V, ортогональное к V'; аналогично определяется ядро
справа.
Пусть W — ядро справа и W — ядро слева данного билинейного
отображения
VXV'^K,
и пусть х'— некоторый элемент из V. Тогда х' определяет функ-
ционал на V по правилу х ь-> (х, х') и этот функционал, очевидно,
зависит только от смежного класса х' по модулю W'; другими сло-
вами, если х' = х' (mod W), то функционалы xi—>(х, х') и
xi—->(х, х'^ равны. Следовательно, имеет место гомоморфизм
ядро которого по определению есть точно W, откуда получаем
инъективный гомоморфизм
О _> V'/W' -> V*.
Так как все функционалы, соответствующие элементам V', обра-
щаются в нуль на W, то мы можем рассматривать их как функцио-
налы на V/W, т. е. как элементы из (V/W)*. Таким образом, в дей-
ствительности мы получаем инъективный гомоморфизм
q^V'/W' -+(V/W)*.
УПРАЖНЕНИЯ
111
Можно было бы дать специальное название гомоморфизму
g: V-+V*,
для которого
(X, х') = (х, g(x'))
при всех x£V и x'£V'. Однако удобнее изображать этот гомо-
морфизм с помощью стрелок и называть индуцированным отобра-
жением, или естественным отображением. Давать ему особое имя —
значило бы стремиться к излишнему утяжелению терминологии.
Теорема 6. Пусть Vy^V'—>K— билинейное отображение,
W, W' — его ядра слева и справа соответственно, и пусть V'/W'
конечномерно. Тогда индуцированный гомоморфизм V)W' —>(V/IF)*
является изоморфизмом.
Доказательство. В силу симметрии имеет место индуциро-
ванный гомоморфизм
VfW
являющийся инъективным. Так как
dim = dim V'/W',
то отсюда следует, что V/W конечномерно. Из инъективности пре-
дыдущего гомоморфизма и ему аналогичного, а именно
Q^V'/W' ->(viwy,
вытекают неравенства
dim V/W dim V'/W'
и
dim V'/W' < dim V/W,
откуда следует, что эти размерности равны. Таким образом, наши
гомоморфизмы сюръективны и обратны друг другу, что и доказывает
теорему.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что всякий модуль над кольцом А является гомоморфным
образом некоторого свободного модуля.
2. Обобщить утверждение теоремы 3 о размерности векторных про-
странств на свободные модули над произвольным коммутативным кольцом.
[Указание: вспомнить, как аналогичное утверждение доказывалось для сво-
бодных абелевых групп, и воспользоваться максимальными идеалами вместо
простых чисел.)
3. Провести подробное доказательство того, что условия расщепимости
последовательности, данные в предложении 3, эквивалентны. Показать, что
f S
послздовательность 0-> М' —-> М —> М" ->0 расщепляется в том и только
112
гл. III. МОДУЛИ
в том случае, если существует подмодуль N в М, такой, что модуль М
равен прямой сумме Im fQN и что в этом случае N изоморфен М. Вос-
становить все детали в доказательстве предложения 3.
4. Пусть А — коммутативное кольцо, At — Л-модуль и S — мультипли-
кативное подмножество в А. Определить S-1Af способом, аналогичным тому,
который мы использовали при определении 5-1Л, и показать, что 5-1Л1
будет 5-1Л-модулем.
5. Пусть А и S обозначают то же, что в упражнении 4. Показать, что
если 0 -> М' -> 0—точная последовательность, то и последователь-
ность 0-> S-1.A4/-> S-1Af-> S~1AI,/-> 0 точна.
6. Пусть V — векторное пространство над полем К и U, W— его под-
пространства. Показать, что
dim U -ф- dim W = dim (U -ф- IT) -|- dim (Uf] W).
7. Пусть E и E, (j = 1, ..., m) — модули над некоторым кольцом. Пусть
<р.: Е^Е и ф(: E->Ei—гомоморфизмы, обладающие следующими свой-
ствами:
i|^o<jpt = id, =0, если i =f= j,
tn
2 = id-
r = l
Показать, что отображение x i—> ..., фтх) является изоморфизмом E
на прямое произведение модулей £, (z = 1, ..., т), а отображение
(%b . . ., Хт) I—> Ч|-Г| -|- • • + Утхт
— изоморфизмом этого прямого произведения на Е.
Обратно, если модуль Е равен прямому произведению (или сумме) под-
модулей Et (z = 1, ..., т) и если обозначить через вложение в Е и
через ф( — проекцию Е на £(, то эти отображения обладают указанными
выше свойствами.
8. Проективные модули. Пусть А — кольцо. Модуль Р над А назы-
вается проективным, если для любых заданных гомоморфизма /: Р -> М"
и сюръективного гомоморфизма g: А1 М" существует гомоморфизм
h\ Р —> М, для которого коммутативна следующая диаграмма:
Р
h/ I/
Xх
М М" -> 0.
Доказать:
(а) Прямая сумма модулей проективна в том и только в том случае,
если каждое слагаемое проективно.
(б) Модуль Р проективен в том и только в том случае, если сущест-
вует модуль Л4, такой, что PQ)M свободен.
(в) Всякий модуль М может быть включен в точную последователь-
ность 0-> ;VF-> Л10 с проективным модулем F (ср. упражнение 1).
(г) Модуль Р проективен в том и только в том случае, если всякая точ-
ная последовательность
0 _> М' -> М -> Р -> 0
расщепляется.
УПРАЖНЕНИЯ
113
9. Инъективные модули. Пусть А — кольцо. Модуль Q называется
инъективным, если для любых данных модуля N, его подмодуля N' и гомо-
морфизма N' -> Q существует продолжение этого гомоморфизма на N, т. е.
существует гомоморфизм 2V->Q, для которого коммутативна следующая
диаграмма:
О -> N' -> N
Ф /
Доказать:
(а) Прямое произведение модулей инъективно в том и только в том слу-
чае, если каждый сомножитель инъективен.
(б) Абелева группа Q/Z, рассматриваемая как модуль над кольцом це-
лых чисел Z, инъективна. (Использовать лемму Цорна.) То же утверждение
справедливо для R/Z, где R — группа вещественных чисел.
(в) Пусть Q — модуль над А. Предположим, что для всякого левого
идеала J кольца А любой гомоморфизм ц : ./ -> Q может быть продолжен до
гомоморфизма А в Q. Тогда Q инъективен. [Указание: при заданных N' с N
и /: N' -> Q возьмем x0£N, xQ(j-N'. Пусть J — левый идеал, состоящий из
элементов а(^А, для которых ax0QN'. Пусть гомоморфизм <р (а) = f (ах А
продолжен на А; продолжить f по формуле f (х' -ф- bxa) = f (х') (&)
для x’^N’ и Ь(^А. Затем использовать лемму Цорна.]
(г) Пусть До = Homz (Д, R/Z); превратим До в Д-модуль, полагая
(af) (х) = f (ха) для а£А и f£A0. Используя (в), показать, что До инъек-
тивен.
(д) Всякий модуль является подмодулем некоторого инъективного мо-
дуля. [Указание: пусть М — Д-модуль и х£М, х--0. Показать, что суще-
ствует гомоморфизм f х: М -> До, для которого fx (х) 0. Пусть J — идеал
в А, аннулирующий х, и ср: Д—>R/Z— гомоморфизм, обращающийся в нуль
на J и такой, что <р (1) =f= 0. Построить fx, для которого fx (х) = <р. Затем
взять произведение всех /х.]
(е) Модуль Q инъективен тогда и только тогда, когда всякая точная
последовательность
0 —> Q-> .VД1--> 0
расщепляется.
10. Пусть А — аддитивная подгруппа евклидова пространства R"; пред-
положим, что во всякой ограниченной области пространства содержится
лишь конечное число элементов из А. Показать, что А — свободная абелева
группа с числом образующих <1 п. [Указание: провести индукцию по мак-
симальному числу линейно независимых над R элементов из Д. Пусть
V,, .... vm — максимальное множество таких элементов, и пусть До — под-
группа в Д, содержащаяся в R-пространстве, порожденном vh . . .,
По предположению индукции любой элемент в До есть линейная целочислен-
ная комбинация элементов vt, ..., Пусть S — подмножество элементов
v^A вида v = aIvl-)~ ... ~[~amvm с вещественными коэффициентами <zt-,
удовлетворяющими неравенствам
0< < 1 при i = 1, ..., т — 1;
о ат 1.
Пусть —элемент из S с наименьшим а„,#=0: показать, что lv,.vm ,,
будет базисом в А над Z.]
Глава IV
Гомологии
§ 1. Комплексы
Пусть Л — кольцо. Под открытым комплексом Л-модулей пони-
мают последовательность модулей и гомоморфизмов {(Ez, dz)),
„ р di-i _ р р
где l пробегает все целые числа и dt отображает Et в Ем, причем
о di_\ = О
для всех I.
Часто рассматривают конечные последовательности гомоморфиз-
мов, скажем
Е^...->ЕГ,
в которых композиция двух последовательных гомоморфизмов равна 0;
такую последовательность можно превратить в комплекс, добавив
нули на каждом конце
—> 0 —> 0 —> £\ ... —> Ег —> 0 —> 0 .
Замкнутый комплекс Л-модулей — это последовательность модулей
и гомоморфизмов {(Ег, где I пробегает множество целых чисел
по модулю п для некоторого га)>2, удовлетворяющая тому же
свойству, что и выше, для композиций последовательных гомоморфиз-
мов. Таким образом, замкнутый комплекс выглядит так:
> ... ->-Еп.
*I
Мы называем га длиной замкнутого комплекса.
Можно, не опасаясь путаницы, опускать индекс i в d; и писать
просто d. Мы будем также обозначать комплекс {(Elt d^} через (Е, d)
и даже, еше короче, просто через Е.
Пусть (Е, d) и (Е', d') — два комплекса (оба открытые или оба
замкнутые), г — целое число. Морфизм (комплексов)
/: (£', d')->(E, d)
§ 1. КОМПЛЕКСЫ
115
степени г — это последовательность гомоморфизмов
Е'.—>Е. ,
J I I l+r
таких, что для всякого I коммутативна следующая диаграмма:
4 4
Y- > Ei A Г
Точно так же как мы пишем d вместо dz, мы будем писать /
вместо /). Если комплексы замкнуты, то мы определяем морфизм
одного в другой только в том случае, если они имеют одинаковую
длину.
Ясно, что комплексы образуют категорию.
Будет полезно ввести еще одно понятие, относящееся к объектам,
занумерованным посредством моноида. Пусть G — моноид, который
мы предположим коммутативным и аддитивным, имея в виду даль-
нейшие приложения. Пусть — семейство модулей, занумеро-
ванных посредством G. Прямая сумма
будет называться G-градуированным модулем, ассоциированным
с семейством Пусть и — два семейства,
занумерованные посредством G, и М, М' — ассоциированные с ними
G-градуированные модули. Пусть г £ G. Под G-градуированным
морфизмом f: Л1' —> АТ. степени г мы будем понимать гомоморфизм /,
отображающий М/ в Л1^Г для всякого i£G (при этом отожде-
ствляется с соответствующим подмодулем прямой суммы). Таким обра-
зом, f есть не что иное, как семейство гомоморфизмов Мг.-> М.+г.
Если (Е, d)— комплекс, то мы можем рассматривать Е как G-гра-
дуированный модуль (взяв прямую сумму членов этого комплекса),
a d — как G-градуированный морфизм степени 1, полагая G равным Z
или Z/nZ.
Обратно, если G есть Z или Z/raZ, то мы можем рассматривать
G-градуированный модуль как комплекс, считая по определению d
нулевым отображением.
Для простоты мы будем часто опускать эпитет „G-градуирован-
ный“ перед словом „морфизм", когда речь будет идти о G-градуиро-
ванных морфизмах.
116
ГЛ. IV. гомологии
§ 2. Гомологическая последовательность
Пусть (Е, d) — комплекс. Положим
Zz (Е) = Ker dt
и назовем Zz(E) модулем l-циклов. Положим, далее,
Bz(E) = Im rZz_z
и назовем Bt(E) модулем i-границ. Мы часто будем писать Zz и Bt
вместо Zz(E) и Вt(E) соответственно. Будем называть группу
Ht (Е) = Zz/Bz = Ker dz/Im
i-ft группой гомологий комплекса Е. Градуированный модуль, ассо-
циированный с семейством [Н^, будет обозначаться через И(Е) и
называться гомологией комплекса Е. Иногда пишут И* (Е) вместо И (Е).
Если /: Е' —>Е—морфизм комплексов, скажем, степени 0, то имеем
индуцированный канонический гомоморфизм степени О
Д: Н {Е')-> Н (Е)
их гомологий. Это непосредственно видно из коммутативных диа-
грамм, участвующих в определении морфизма комплексов. Действи-
тельно, читатель тотчас проверит, что fl[Z'^c.Zi и /.(Е0сЕ.,
откуда получается индуцированный гомоморфизм z'i/b'i-^ Z^Bi. (Чи-
тателю следует один и только один раз в своей жизни проследить
все детали до конца.) Таким образом, Н есть функтор из категории
комплексов в категорию градуированных модулей. Можно было бы
писать И (f) вместо Д, а также /Д(/) или для индуцированного
отображения на
Рассмотрим короткую точную последовательность комплексов
с морфизмами степени 0:
0->Е' ЛеЛЕ"->.0,
которая, если ее выписать целиком, выглядит так (пишем d вместо dr
I I l_
0—>Ez_i —>EZ_1 —> EZ_1—>0
III
0—^E'i -£->Ei —>0
u| d| d|
0 e'm Ez+1 -*-> E-+i —> o
0 —* E<+2 —> Ez+2 —* E*+2 —* 0
1 I ।
§ 2. ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
117
Можно следующим образом определить морфизм степени 1
6; Н (F") -> Н (£').
или, что равносильно, семейство гомоморфизмов
bp
Пусть z лежит в Z/. Так как g сюръективно, то существует
элемент z^Eit для которого gz — z". Сдвинемся теперь вертикально
вниз по стрелке d и возьмем dz. Используя коммутативность gd = dg,
находим, что gdz = Q, т. е. dz лежит в Ker g с Ei+V В силу точ-
ности существует элемент z £Ei+t, для которого fz =dz. Кратко
мы можем написать
Z = f dg lz .
Мы предоставляем читателю в качестве шаблонного упражнения
проверить, что z принадлежит Zi + i, или, другими словами, является
циклом, и что его класс по модулю Вг+1 не зависит от выбора эле-
мента z, для которого gz = z". Далее, отображение
2ГН-> /-1 dg~XZ ПО модулю + 1
индуцирует гомоморфизм
z7b;->z;+i/b;+1,
который и является /-й компонентой искомого морфизма б.
Теорема 1. Пусть
Е" -> О
— точная последовательность комплексов с морфизмами f, g
степени 0. Тогда последовательность
Н (Е') Н (Е)
б\ i/ в»
Н (Е")
точна.
Доказательство. Доказательство по существу шаблонно и
состоит в петлянии по диаграммам. Однако читателю, желающему
приобрести навык в подобного сорта тривиальностях, следует про-
следить его во всех деталях. В качестве примера докажем, что
Кегб <= Im^.
Воспользуемся теми же обозначениями, которые были введены
перед формулировкой теоремы при описании морфизма б. Если г"
118
ГЛ. IV. гомологии
представляет класс, образ которого относительно б равен 0, то это
означает, что z' — граница, другими словами, что существует эле-
мент и'£Е'., для которого z' — du'. Тогда, используя обозначения,
введенные при определении 6, имеем
dz — fz' = fdu' = dfu
в силу коммутативности. Следовательно,
d (z — fu’) = О
и z— fu' есть цикл в Et. Но g (z— fu') = gz = z". Это означает,
что класс элемента z" лежит в образе g*, что и требовалось дока-
зать.
Если фигурирующую в этой теореме гомологическую последова-
тельность выписать полностью, то она выглядит следующим образом:
H'i -> Ht -> H"i н'м ->Hi+1-+ Нм
Ясно, что наше отображение б функториально (в очевидном
смысле) и, следовательно, все наше образование (Н, б) является
функтором из категории коротких точных последовательностей ком-
плексов в категорию комплексов.
§ 3. Эйлерова характеристика
Мы продолжаем рассматривать Д-модули. Пусть Г — абелева
группа, записываемая аддитивно. Пусть ф — правило, сопоставляющее
некоторым модулям элементы из Г и удовлетворяющее следующему
условию:
Если 0 -> М' -> М -> М" —> О — точная последовательность, то
Ф(Л1) определено тогда и только тогда, когда определены ф(АГ)
и ф(/И"), и в этом случае
Кроме того, ф(0) определено и равно 0.
Такое правило ф будет называться отображением Эйлера —
Пуанкаре на категории Д-модулей. В том случае, когда модуль М'
изоморфен модулю М, из точности последовательности
0 -> М' -> -> 0 0
заключаем, что если ф(М) определено, то и ф(ЛГ) определено и
Ф (М') = ф (7И). Следовательно, если Ф(Л1) определено для модуля М,
§ 3. эйлерова характеристика
119
то ср определено для всякого подмодуля и фактормодуля М. В част-
ности, если имеется точная последовательность модулей
М' -> М -> М"
и если ср(ЛГ) и ср(ЛГ') определены, то определено и ср(Л4), что
сразу видно, если рассмотреть ядро и образ наших двух отображе-
ний и применить определение.
Примеры. В случае А — Z можно считать ср определенным для
всех конечных абелевых групп и равным порядку группы. Значе-
ния ср лежат в мультипликативной группе положительных рациональ-
ных чисел.
В качестве другого примера рассмотрим категорию векторных
пространств над полем k. Можно считать ср определенным для ко-
нечномерных пространств и равным размерности. Значения ср лежат
тогда в аддитивной группе целых чисел.
Вернемся к общему случаю. Пусть Е— открытый комплекс,
такой, что почти все Ht равны 0. Пусть ср — отображение Эйлера —
Пуанкаре на категории модулей (т. е. Л-модулей). Определим ха-
рактеристику Эйлера — Пуанкаре ^(Е) (или, короче, эйлерову
характеристику) относительно ср формулой
хФ(£) = 3(-1)'<р(/Л)
при условии, что значения cp(//z) определены для всех Ht; в этом
случае мы говорим, что определена для комплекса Е. Той же
формулой определим характеристику Эйлера — Пуанкаре и в случае
замкнутого комплекса Е, длина п которого четна ’).
За примером читатель может обратиться к упражнению 14 из
гл. I.
Можно рассматривать Н как комплекс, положив d равным нуле-
вому отображению. При этом мы видим, что Хф(/7) есть та же
знакопеременная сумма, что и выше. Более общо:
Теорема 2. Пусть F — комплекс, имеющий четную длину,
в случае если он замкнут. Предположим, что ty(Fi) определено
для всех I и что выполнено одно из следующих двух условий’.
(i) Ft = 0 для почти всех г, (ii) cp(/7z) = O для почти всех I, и
отображение ср таково, что <р(Л1) = 0 влечет ср (Af) = 0 для вся-
кого М' с. М. Тогда характеристика хф(О определена и
x<P(F) = S(—!)'<<)
Доказательство. Заметим сначала, что cp(77z) определено
для всех I, а из условий (i) или (ii) вытекает, что <p(Z7z) = 0 для
') Здесь и ниже в формулировки автора внесены некоторые уточне-
ния. — Прим. ред.
120
ГЛ. IV. гомологии
почти всех г. Следовательно, характеристика Хф(^) определена.
Пусть Zz и Bt— группы i-циклов и z-границ в Fz соответственно.
Имеем точную последовательность
0 —> Zz-> Fz —> Bz+1 —> 0,
из которой получаем
Ф (Zi) = Ф (Zt) + Ф <А+1).
причем для почти всех i каждый из членов этого равенства обра-
щается в нуль. Взяв знакопеременную сумму, немедленно получаем
наше утверждение.
Комплекс, гомологии которого тривиальны, называется ациклич-
ным.
Следствие. Пусть F—ацикличный комплекс, удовлетво-
ряющий условиям теоремы 2. Тогда
2(-DWz) = o.
I
Если открытый комплекс F таков, что Fz«=0 для почти всех Z,
то его можно рассматривать как замкнутый комплекс, определив до-
полнительное отображение, идущее от дальнего правого нуля к даль-
нему левому нулю. Таким образом, в этом случае изучение откры-
того комплекса сводится к изучению замкнутого комплекса.
Теорема 3. Пусть
0->Е'~>Е~>Е"->0
— точная последовательность комплексов с морфизмами сте-
пени 0. В случае замкнутых комплексов предполагаем, что их
длина четна. Пусть <р — отображение Эйлера — Пуанкаре на
категории модулей. Если характеристика хФ определена для
двух из трех комплексов, то она определена и для третьего и
ХфС^^Хф (^)+Хф(£")-
Доказательство. Имеем точную гомологическую последо-
вательность
-> /7"_1 -> Н\ -> -> И} -> H'i + 1 .
Эта гомологическая последовательность есть не что иное, как ком-
плекс, гомологии которого тривиальны. Кроме того, каждая группа
гомологий, принадлежащая, скажем Е, стоит между группами гомо-
логий Е' и Е". Следовательно, если хф определена для Е' и Е", то
она определена и для Е. Аналогично рассуждаем и в двух других
случаях. Если наши комплексы — замкнутые четной длины п, то го-
§ 3 ЭЙЛЕРОВА ХАРАКТЕРИСТИКА
121
мологическая последовательность имеет четную длину Зи. Поэтому
мы можем применить следствие из теоремы 2 для получения иско-
мого результата.
Для ряда приложений удобно построить универсальное отобра-
жение Эйлера. Пусть Л — некоторое множество классов модулей
относительно изоморфизма. Если Е— модуль, то пусть [Е] —его
класс относительно изоморфизма. Мы требуем, чтобы Л удовлетво-
ряло условию Эйлера — Пуанкаре, т. е. чтобы для всякой точной
последовательности
ОО
класс [f] тогда и только тогда лежал в Л, когда [Д'] и [£"] лежат
в Л- Кроме того, нулевой модуль лежит в Л- Мы утверждаем,
что существует отображение
у: Л-> К (Л)
множества Л в некоторую абелеву группу К (Л), обладающую
свойством универсальности по отношению к отображениям
Эйлера — Пуанкаре, определенным на Л.
Чтобы построить это отображение, рассмотрим свободную абе-
леву группу Даь И). порожденную множеством наших классов [Д’].
Пусть В—ее подгруппа, порожденная всеми элементами вида
[Д]-[Д']-[Д"],
где
0->Д/->Д->Д"->0
— точная последовательность, члены которой лежат в Л- Пусть
К (Л) — факторгруппа РлЬ(ЛУВ, и пусть у: Л->К(Л)—естествен-
ное отображение. Ясно, что у обладает свойством универсальности.
Отметим сходство этой конструкции с группой Гротендика мо-
ноида. И действительно, группа К (Л) известна под названием группы
Эйлера — Гротендика множества Л-
Важное обобщение. Из предыдущего ясно, что ббльшая часть
того, что мы сделали, относится к чистой теории стрелок. Действи-
тельно, для определения гомологий нам нужны только понятия ядра
и коядра (фактормодуля). Тот факт, что модули состоят из элемен-
тов, мы использовали лишь для определения 6.
Можно аксиоматизировать понятие категории, в которой все пре-
дыдущие рассуждения имеют смысл. Рассмотрим сначала категорию Л,
такую, что Mor(E, F) есть абелева группа для каждой пары объек-
тов Е, F из Л, причем выполняются следующие два условия:
АБ 1. Закон композиции морфизмов билинеен, и существует ну-
левой объект 0, т. е. такой объект, что Мог (О, Е) и Мог(Е, 0)
состоят ровно из одного элемента для любого Е.
122
ГЛ IV гомологии
АБ2. В этой категории существуют конечные произведения и
конечные копроизведения.
Мы говорим тогда, что Л—аддитивная категория
Для данного морфизма E—+F в категории Л его ядром по
определению будет такой морфизм Е' ->Е, что для всех объектов X
в этой категории точна следующая последовательность:
О -> Mor (X, E')->Mor(X, £)->Мог(Х, F).
Мы определяем коядро f как морфизм F —> F", такой, что для всех
объектов X в категории точна следующая последовательность:
Мог(£, Л") Mor (F, X) <- Mor (F", Х)<-0.
Непосредственно проверяется, что ядра и коядра универсальны в под-
ходящих категориях и, следовательно, если существуют, то един-
ственны с точностью до однозначно определенного изоморфизма
АБ 3. Ядра и коядра существуют.
АБ4. Если /: E—>F — морфизм, ядро которого есть 0, то /—
ядро своего коядра. Если /: E->F — морфизм, коядро которого О,
то /—коядро своего ядра. Морфизм, ядро и коядро которого
равны 0, есть изоморфизм.
Категория Л, удовлетворяющая предыдущим четырем аксиомам,
называется абелевой категорией.
Например, комплексы модулей образуют абелеву категорию, по-
скольку ясно, как определить, скажем, ядро морфизма комплексов.
В топологии абелеву категорию образуют так называемые векторные
пучки.
§ 4. Теорема Жордана — Гёльдера
Мы начнем с некоторых чисто теоретико-групповых результатов.
Как и элементарные теоремы об изоморфизмах, они имеют аналоги
для модулей, которые будут сформулированы позже.
Лемма о бабочке (Цассенхауз). Пусть U, V — под-
группы некоторой группы, и пусть и, v— нормальные подгруппы
в U и в V соответственно. Тогда
u(U П г») нормальна в и (U П К),
(и ПУ)о нормальна в (77 П^)*'
и соответствующие факторгруппы изоморфны, т. е.
u(U 0 V)/u (U ftv)=^(U П V) v/(u П V) v.
§ 4. ТЕОРЕМА ЖОРДАНА — ГЁЛЬДЕРА
123-
Доказательство. Комбинация групп и факторгрупп стано-
вится ясной, если посмотреть на следующую диаграмму подгрупп
(которая и дала название лемме):
На этой диаграмме нам заданы U, и, V, v. Остальные вершины
в диаграмме соответствуют группам, которые определяются следую-
щим образом. Пересечение двух отрезков, идущих вниз, представляет
пересечение групп. Два отрезка, идущие вверх, пересекаются в вер-
шине, которая представляет произведение двух подгрупп (т. е. наи-
меньшую подгруппу, содержащую их обеих).
Рассмотрим два параллелограмма, составляющие крылья бабочки,
и докажем, что противоположные стороны этих параллелограммов
равны.
Действительно, вертикальная сторона, общая обоим параллело-
граммам, имеет 77 QV в качестве верхнего конца и (и П V) (U fl v),
в качестве нижнего конца. Имеем изоморфизм
(U П И)/(и П V) (U П v) и (U П V)/« (77 Л v).
Он получается из теоремы об изоморфизме
НЦН П N) = HN/N,
если положить Н — 77 ПИ и М = «(7/П^). Таким образом, средняя
вертикальная сторона равна вертикальной стороне слева. В силу
симметрии она равна также вертикальной стороне справа, и так как
две величины, равные порознь третьей, равны между собой, то наша'
лемма доказана.
Пусть G — группа, и пусть
0 = 01:э02о ... :эОг = {е],
G = 77] о 772 о ... дэ775—(е)
124
ГЛ. IV. гомологии
— нормальные башни подгрупп, заканчивающиеся тривиальной груп-
пой. Мы будем говорить, что эти башни эквивалентны, если r = s
и если существует такая перестановка I t—> I' индексов i — 1, .. .
. .., г — 1, что
oz/o1+1^/yz7//r+b
Другими словами, последовательности факторгрупп в двух наших
башнях одинаковы с точностью до изоморфизма и перестановки
индексов.
Теорема 4 (Ш рей ер). Для всякой группы О две нормаль-
ные башни подгрупп, заканчивающиеся тривиальной группой, обла-
дают эквивалентными уплотнениями.
Доказательство. Рассмотрим две указанные башни. Для
каждого I = 1...г — 1 и j — 1.....s положим
° И =ОМ (Н; П oz).
Тогда Gis=Gl+v и мы получаем уплотнение первой башни
G = Gn □ О12 э ... э О1|М □ О2 =
= G21zdG22o ... oGr_blo ...
Аналогично полагаем
^•==^+1(О/П^)
для /=1......$—1 и Z=1, .... г. Это дает уплотнение второй
башни. В силу леммы о бабочке для Z=1....г—1 и J—1, ...
..., $ — 1 имеем изоморфизмы
Каждая из наших уплотненных башен имеет (г—l)(s—1)4-1 эле-
ментов, а именно GZ;(Z=1.....г—1; /=1.........s— 1) и {е}
в первом случае, и {е} во втором случае. Предыдущие изомор-
физмы для каждой пары индексов (Z, у) показывают, что наши уплот-
ненные башни эквивалентны, что и требовалось доказать.
Группа G называется простой, если она не тривиальна и не имеет
других нормальных подгрупп, кроме {г) и самой себя.
Теорема 5 (Жордан — Гёльдер). Пусть G — группа и
G = G1zdG2Z) ... => Gr={e]
— такая нормальная башня, что каждая группа GJGi+y проста
для i — 1, .... г—1. Тогда любая другая нормальная башня
группы G, обладающая теми же свойствами, ей эквивалентна.
§ 4 ТЕОРЕМА ЖОРДАНА — ГЕЛЬДЕРА
125
Доказательство. Заметим, что при любом уплотнении {О;?}
нашей башни для каждого i существует в точности один индекс J,
для которого GJGi+l = G^/O^ ;-+1. Таким образом, последователь-
ность нетривиальных факторов в исходной башне и в уплотненной
одинакова. Теорема доказана.
Точно так же как и в случае элементарных теорем об изомор-
физме для групп, имеются аналоги теорем 4 и 5 для модулей. Разу-
меется, в случае модулей нам нет нужды беспокоиться о нормаль-
ности подмодулей.
Если М— модуль (над кольцом А), то последовательность под-
модулей
М = Afj zd М2 zd ... zd Мг — О
называется также конечной фильтрацией, причем г называется дли-
ной фильтрации. Говорят, что модуль М простой, если он не со-
держит никаких подмодулей, отличных от {0} и самого себя, и если
Л1 Ф 0. Фильтрация называется простой, если каждый фактормодуль
Ж(-/А1/ + 1 простой. Теорема Жордана — Гёльдера утверждает, что
всякие две простые фильтрации модуля эквивалентны.
Модуль М называется модулем конечной длины, если он равен 0
или же обладает простой (конечной) фильтрацией. По теореме Жор-
дана — Гёльдера длина такой простой фильтрации однозначно опре-
делена; она называется длиной модуля. На языке эйлеровых харак-
теристик теорема Жордана — Гёльдера может быть переформули-
рована так:
Теорема 6. Пусть <р — правило, которое каждому простому
модулю сопоставляет элемент некоторой коммутативной
группы Г, причем ф(/И) == ф (ЛТ), если МъМ'. Тогда ф обладает
единственным продолжением до отображения Эйлера — Пуанкаре,
определенного на всех модулях конечной длины.
Доказательство. Для заданной простой фильтрации
Л4 = Л1] zd М2 ZD ... zd Мг = 0
положим
г-1
ф(Ж)=2ф(м,./ж,.+1).
1-1
Из теоремы Жордана — Гёльдера непосредственно следует, что эта
функция правильно определена и что такое продолжение ф является
отображением Эйлера — Пуанкаре.
В частности, мы видим, что длина модуля есть отображение
Эйлера — Пуанкаре, принимающее свои значения в аддитивной группе
целых чисел и имеющее значение 1 для любого простого модуля.
126
ГЛ. IV. гомологии
УПРАЖНЕНИЯ1)
Взять любую книгу по гомологической алгебре и доказать все теоремы,
не заглядывая в доказательства, данные в книге.
Гомологическая алгебра была изобретена Эйленбергом — Маклейном.
Общая теория категорий (т. е. теория стрелок) общеизвестна под названием
абстрактной чепухи (термин принадлежит Стинроду)2).
') Мы рекомендуем пропустить эти упражнения при первом чтении. —
Прим, ред.
2) Следует отметить, что термин „абстрактная чепуха" носит в книге
позитивный характер и используется далее в серьезном смысле. —Прим. ред.
Глава V
Многочлены
§ 1. Свободные алгебры
Пусть А — коммутативное кольцо. А-алгебра (или алгебра
над А)—это модуль Е вместе с билинейным отображением Е/Е—>Е.
Во всей, этой книге мы, если не оговорено противное, будем иметь
дело только со следующим специальным типом алгебр. Пусть
/: Д —> В— гомоморфизм колец, такой, что f (Д) содержится в цен-
тре В, т. е. f (а) коммутирует с любым элементом из В для всякого
а£А. Тогда мы можем рассматривать В как Д-модуль, определив
действие А на В посредством отображения
(a, b) f—> / (а) b
для всех а £ А и Ь£_В. Аксиомы модуля тривиальным образом удо-
влетворяются, и мультипликативный закон композиции В X В —> В,
очевидно, билинеен (т. е. Д-билинеен). Так вот, если не оговорено
противное, то под алгеброй над А мы будем всегда понимать ука-
занный выше гомоморфизм колец. Мы говорим, что алгебра является
конечно порожденной, если В как кольцо над f (Д) конечно по-
рождено.
Пусть G—мультипликативный моноид и А — коммутативное
кольцо. Пусть — категория, объектами которой являются тройки
(<р, /, В), где /: А—>В есть Д-алгебра и <р: О -> В — гомоморфизм
мультипликативных моноидов. Если (q/, f, В') — другой объект в Чэ,
то морфизм из (ср, /, В) в (ср', f', В') в категории — это коль-
цевой гомоморфизм h: В-> В', для которого коммутативна следующая
диаграмма:
Оч
I \
ч> I \
В— + В'
Универсальный (отталкивающий) объект в Ч? называется свободной
(Д, О)-алгеброй, или свободной Q-алгеброй над А. Построим такую
алгебру в явном виде.
128
ГЛ. V. МНОГОЧЛЕНЫ
Пусть A [G]— множество всех отображений a: G—> А, таких, что
а(х)=0 для почти всех x£G. Определяем сложение в A [G] как
обычное сложение отображений в абелеву (аддитивную) группу. Если
а, р£ A [G], то их произведение ct(3 определяем формулой
(а|3)(0= 5 а(х)Р(у).
xy=t
Сумма берется по всем таким парам (х, у) с х, y£G, что xy = t.
Эта сумма в действительности конечна, поскольку имеется лишь конеч-
ное число пар элементов (х, y)£Gy^G, для которых а(х)Р(у) ¥= 0.
Мы видим также, что (ар) (0 = 0 для почти всех t и, следовательно,
ар принадлежит нашему множеству A [G],
Аксиомы кольца тривиально проверяются. В качестве примера
приведем доказательство ассоциативности. Пусть а, р, у£Л[О]. Тогда
((ар)y)(0 = 2 (aP)(x)Y(y)= 2 Г S а («) ₽ 0)1 Y (У) ==
xy=t ху—/ i_uv=x J
= Г 5 «(«)₽(®)Y(y)]= 2 a(«)P(t/)Y(y),
xy=t l_uv=x J (u, v, y)
uvy=t
причем последняя сумма берется по всем тройкам (и, v, у), произве-
дение которых равно t. Эта последняя сумма симметрична, и если бы
мы вычислили (a(PY))(O. то получили бы снова эту сумму. Это
доказывает ассоциативность.
Единичным элементом в A [G] служит функция б, такая, что
б(е)=1 и 6(х) = 0 для всех х £ G, х е. Тривиально проверяется,
что a = da = ad для всех a£ A [G],
Введем теперь другие обозначения, которые сделают струк-
туру A [G] более ясной. Пусть а£А и x£G. Мы будем обозначать
через а • х (а иногда также через ах) функцию, значение которой
в х равно а, а в у равно 0, если у =#= х. Тогда любой элемент
а £ A [G] может быть записан в виде суммы
a = 2 а (х) • х.
x£G
Действительно, если — семейство элементов из А, почти все
из которых равны 0, и мы положим
р = 2 ах • х’
x^G
то для любого у £ G будем иметь р (у) = ау (непосредственно из
определений). Это также показывает, что любой данный элемент a
допускает единственное представление в виде суммы 2 ах ' х-
Имеется естественный способ превратить A [G] в Л-модуль. Если
а£А и элемент а£Д[О] записан в виде суммы ^ах-х, то пола-
§ 1. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ
129
гаем аа равным элементу 2 (аах)' х- Ясно, что все аксиомы модуля
удовлетворяются и что множество элементов {1 образует
базис А [О] над А.
В наших нынешних обозначениях умножение и сложение могут
быть записаны соответственно следующим образом:
( 2 ах ' 2 К • Н= У, axbv XV,
\х^а )\Уеа ) х, у
2 ах •х + 2 ъх •х — 2 (ах+&х) •х
х^а х^а х^а
— именно так, как нам хотелось бы. Отметим, что единичный эле-
мент в Л [G] —— это просто 1 • е.
Пусть ф0: О —> A [G] — отображение, задаваемое формулой <р0(х) =
= 1 • х. Непосредственно проверяется, что отображение <р0—гомо-
морфизм мультипликативных моноидов и что оно на самом деле
инъективно, т. е. является вложением.
Пусть /0: Л->Л[О]— отображение, задаваемое формулой
/0(я) = а . е.
Непосредственно проверяется, что /0—гомоморфизм колец, также
являющийся вложением. Таким образом, мы превратили A [G]
в Л-алгебру, и сразу видно, что структура Л-модуля на Л [О], как
на Л-алгебре, совпадает с той, которая была описана выше.
Тройка (<р0, /0, Л [G]) есть свободная (Л, О)-алгебра. Это
утверждение является частным случаем следующего предложения.
Предложение 1. Пусть /0: А->В — некоторая А-алгебра
и G — мультипликативный подмоноид в В. Предположим, что G
образует базис для В как модуля над А. Для всякой А-ал-
гебры /: Л—>С и любого гомоморфизма моноидов (р: 0->С
существует единственный гомоморфизм колец h: В->С, для
которого диаграмма
В — >С
/о | /
а/1
коммутативна и ограничение h на G равно <р.
Доказательство. Для каждых х £ G и а£А пишем а-х
вместо f(1(a)x. Всякий элемент а£Л[О] имеет единственное пред-
ставление в виде суммы
а = 2 ах • х
xiG
с ах£А, поскольку G — базис для В над Л. Как мы видели при
рассмотрении базисов модулей, существует единственный гомоморфизм
13Э
ГЛ V МНОГОЧЛЕНЫ
модулей й: В->С, ограничение которого на G равно <р, а именно
такое отображение, для которого
й(а) = 2 /(«J<P W-
х^О
Кроме того, если
₽=2
то
а₽ = 5 ( S axb \ • z
z^G\xy=z
И
й(а₽) = 2/(5 axby\(f(z)= 2 ( 5 f(ax)f(b )yp(z) = h(a)h(fi).
zfG \ху-z ) z£O\xy-z J
Так как ограничение на G отображения h равно <р, то й(1) = 1.
Следовательно, h является также гомоморфизмом колец. Отсюда
вытекает коммутативность нашей диаграммы. Предложение доказано.
Чтобы вывести из предложения 1, что (<р0, /0, А [О]) — свобод-
ная (А, О)-алгебра, надо положить В = A [G] и отождествить G
с его образом в A [О] при вложении <р0.
Начиная с этого момента мы будем, не опасаясь путаницы,
писать ах вместо а • х. Мы будет называть A [G] моноидной алге-
брой моноида G над А. Отображения <р0, /0 называются канони-
ческими.
В следующем параграфе мы в качестве частного случая получим
алгебру многочленов. Для случая когда О — группа, групповая
алгебра A [G] будет более детально рассмотрена в этой книге позднее.
Наша моноидная алгебра обладает еще одним свойством универ-
сальности.
Предложение 2. Пусть <р: G—>0'— гомоморфизм моноидов
и f: А -> А' — гомоморфизм колец, причем оба кольца А, А' ком-
мутативны. Тогда существует единственный гомоморфизм колец
h\ A [G] -> А' [О'],
для которого коммутативна диаграмма
G-------------------------------5Е--> G'
I ч>о
,, i-
A [О] А' [О']
4 4 ,
А----А'
{Вертикальные отображения — канонические.)
§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ
131
Доказательство. Это прямое следствие предложения 1:
положим .С = А' [О'], рассмотрим гомоморфизмы
Фо 0 Ф И /' О /
и применим к ним предложение 1.
§ 2. Определение многочленов
Пусть S — некоторое множество и N — аддитивный моноид целых
чисел 0 (т. е. моноид натуральных чисел). Обозначим через
N(S)
множество функций S->N, которые равны 0 для почти всех эле-
ментов из S. (Это по существу та же самая конструкция, которую
мы применяли для получения свободных абелевых групп; в настоящем
случае мы получаем свободный абелев моноид. Однако мы будем
записывать его мультипликативно.) Пусть x£S и z£N; мы обозна-
чаем через х1 функцию, которая принимает значение I в х и 0 в уфх.
Если <р, ф — две функции из N (S), то их произведение фф опреде-
ляется формулой
(Фф) (х)==ф(х) + ф(х).
Тогда N (S) будет мультипликативным моноидом, единичным эле-
ментом которого служит нулевая функция. Всякий элемент ф£Г4(5)
имеет единственное представление в виде произведения
П xV w -
где v: S->N—отображение, для которого v(x) = 0 при почти всех х.
Такое произведение будет называться примитивным одночленом и
будет иногда обозначаться символом M(v) (S) или просто M(v).
Имеем вложение Js: S-^N(S) (задаваемое правилом xi—>х’)>
образ которого порождает N (5) как моноид. Отметим, что если
п—целое число )>0, то элемент
(х1)" = х’х1 ... X1
равен х", т. е. наше обозначение согласуется с обозначением, исполь-
зуемым для произведения функций.
Заметим, что если
п?’и и
xgS x^S
—примитивные одночлены, то их произведение равно
П xvW+u(z)
xCS
132
ГЛ. V. МНОГОЧЛЕНЫ
Как и в случае абелевых групп, имеет место свойство универ-
сальности. Именно, пусть G — коммутативный моноид. Для всякого
данного отображения A,: 8 —> G существует единственный гомомор-
физм моноидов N (8) —> G, для которого коммутативна следующая
диаграмма:
5—-+ G
Js\
N (8)
В частности, для всякого данного отображения A,: 8 —>8' одного
множества в другое существует гомоморфизм моноидов А,„: N (8) —>
—>N(8'), для которого коммутативна следующая диаграмма:
8 —^N(8)
х.| к
4- 4-
8'-7->N(8'),
JS' ' '
иными словами,
П *vWl = П
1x65 J xCS
Доказательство этого утверждения тривиально, как и в случае абе-
левых групп. Можно рассматривать N (8) как функтор из категории
множеств в категорию коммутативных моноидов.
Пусть А — коммутативное кольцо. Тогда можно образовать мо-
ноидную алгебру A [N (8)] над А, которую мы будем называть коль-
цом (или алгеброй) многочленов от 8 над А. Для простоты мы
будем обозначать это кольцо через А [8]. По определению всякий
элемент из А [8] имеет единственное представление в виде линейной
комбинации
S fl(v)^(v) (8) ~ 2 ам П
(v) (v) Xgs
‘где (v) пробегает все отображения множества 8 в N, обращающиеся
в 0 для почти всех х, и <z(v) равно 0 для почти всех (v). Прими-
тивные одночлены образуют базис алгебры А [8] над А, как было
отмечено выше для моноидных алгебр. Элементы из А [8] называются
многочленами от 8 над А. Элементы а^ называются коэффициен-
тами многочлена.
Замечание об обозначениях. Пусть Т—подмножество коммута-
тивного кольца В и v: Т—>N — отображение, для которого v(x) = 0
при почти всех х £ Т. Мы будем через Af(v) (Т) обозначать также
элемент
П
хСТ
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ
133
причем подразумевается, что это произведение берется по тем х,
для которых v(x)#=0, и что пустое произведение есть единичный
элемент в В. Никакой путаницы с обозначениями для одночленов
не возникнет, так как из контекста всегда будет ясно, что мы имеем
в виду.
Если S есть множество из п символов Хь ..., Хп< то
А [5] = Л[Х1.........................Хп\,
и мы будем говорить о кольце (или алгебре) многочленов от Х}, . .., X п
над А. Мы иногда будем использовать векторное обозначение и пи-
сать А [А"] вместо А [A'j, ..., Хп].
Всякий многочлен из Л [А'] может быть однозначно записан в виде
где сумма берется по всем наборам из п целых чисел vp .. ., v„)>0,
причем почти все коэффициенты a(v) равны 0.
Пусть снова S — произвольное множество. Отметим, что и S,
и А обладают каноническими инъективными отображениями в A [S],
задаваемыми соответствиями
х I—> 1 • х1 и а • JJ х°.
л-es
В действительности каноническое отображение А в A [S] является
кольцевым гомоморфизмом, именно вложением. Можно безболезненно
отождествлять S и А с соответствующими образами в A [S], Одно-
член JI х°, служащий единичным элементом в моноиде N (5),
x^S
обозначается также через 1, поскольку это не приводит ни к какой
путанице. Таким образом, если S состоит из одного символа X,
то всякий многочлен может быть записан в виде
д0А'°-|- CjA'1 апХп = а0-|- ахХ-ф- ... -ф-апХп,
где av£A и п.— некоторое целое число ^>0.
Пусть А, В — коммутативные кольца и /0: А—>В — некоторая
Л-алгебра. Пусть S — подмножество в В. Если семейство одночленов
Al(v)(5)=II xvw
x^S
линейно независимо над А, то мы будем говорить, что S алгебраи-
чески независимо над А, или что элементы из S алгебраически не-
зависимы над А. Можно было бы также рассмотреть занумерованное
множество S={xz}ze/, образовать одночлены
Af(v) (5) = П х?
134
ГЛ. V. МНОГОЧЛЕНЫ
и назвать семейство {х/}ге/ алгебраически независимым, если одно-
члены Af(V)(S) линейно независимы над А. В частности, когда мно-
жество S конечно, скажем £=(/;, ..., tn\, одночлены имеют вид
.....'„И •••#-
где (vv . . ., vn) пробегает все наборы из п целых чисел 0.
Наша конструкция алгебры многочленов показывает, как при за-
данном коммутативном кольце А можно построить Д-алгебру, имею-
щую сколь угодно много алгебраически независимых элементов.
Следующая теорема дает нам важное свойство универсальности
для алгебраически независимых элементов.
Теорема 1, Пусть А, В — коммутативные кольца, f0'. А—>
—> В — А-алгебра, S — подмножество в В, порождающее В. Пред-
положим, что элементы из S алгебраически независимы над А.
Пусть А'—коммутативное кольцо, f: А—> Д'— гомоморфизм
колец и A,: S—> А' — некоторое отображение. Тогда существует
единственный гомоморфизм колец h\ В-+А', для которого диа-
грамма
В-+ А’
4 у
//
Д^
коммутативна, и ограничение h на S равно А.
Доказательство. Пусть О — мультипликативный моноид, со-
стоящий из всех элементов M(V) (S) в В. Если v =£ р, то =£
=£ (S), так как иначе мы имели бы соотношение линейной за-
висимости
4f(v)(S)-4fw(5) = 0.
Следовательно, отображение <р: G-+A', для которого
W П П
\ х£5 / X^S
является гомоморфизмом моноидов. Для завершения доказательства
применяем предложение 1.
Мы можем применить теорему 1 к алгебре многочленов A [S],
отождествив множество S с его каноническим образом в A [S], Тогда,
если В = А [5] и
a = 2a(v) • П
(v) xgs
то гомоморфизм h записывается так:
A(a) = S/(a(v))II^WvW.
(V)
§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ
135
Рассмотрим частный случай, когда 3— конечное множество, со-
стоящее из различных элементов t1...tn, алгебраически независи-
мых над А. Пусть ................... Хп суть п различных символов. Тогда
имеется гомоморфизм колец
A [*i.....ХП]^А[^.........tn],
отображающий Xt в tt и индуцирующий тождественное отображение
на А. Из определений тотчас видно, что его ядро должно быть
равно 0 и что поэтому мы имеем изоморфизм. В частности, любые
два кольца, порожденные над А п алгебраически независимыми эле-
ментами, изоморфны.
Имеется еще несколько частных случаев теоремы 1, которые мы
специально отметим.
Пусть сначала А фиксировано, и пусть 3, S' — два множества
с заданной биекцией X: 5—>3'. Рассматривая S' как подмножество
в A [S'], получаем изоморфизм
А [3] А [3'],
индуцирующий биекцию 3 на S'. В случае когда 3 состоит из п
символов Xv .... Хп и S' состоит из п символов , .... Y п, мы
видим, что кольца многочленов изоморфны, причем этот изоморфизм
для каждого I переводит Xt в Y t.
Предположим, что 3 содержится в S'. Тогда А [3] канонически
вкладывается в A [S'], Если 3 есть множество {А^.....Хп] и S'
есть множество
И1......*„+1...........ад
то мы можем считать кольцо многочленов А [А\.....Хп] содержа-
щимся в А [Л",.............................. А^]. Одночлен
х^... ху
может рассматриваться как одночлен от Хх.....XN, если продол-
жить функцию v так, чтобы vz = 0 для / > п.
Пусть теперь А — подкольцо кольца А' и 3 — некоторое множе-
ство. Тогда имеем естественное вложение А [3] в А' [3], а именно
многочлен
2«(v)II^vW
лС-S
с коэффициентами в А может рассматриваться как многочлен, имеющий
коэффициенты в А'. Мы будем отождествлять А [3] с соответствующим
подкольцом в А' [3].
Более общо, пусть о: А -> А’ — гомоморфизм коммутативных ко-
лец. Тогда этот гомоморфизм единственным способом продолжается
до гомоморфизма колец
о: А [3] -> А' [3],
136
ГЛ. V. МНОГОЧЛЕНЫ
индуцирующего тождественное отображение на S. Например, пусть
5—множество из п символов Хх, Хп. Тогда
о: А[Х,.....Xn]—>A'[Xi.........Хп]
есть гомоморфизм колец, задаваемый отображением
2 . Х^ ~ 2 а («„) X*. ... Х’„. .
Пусть а обозначает многочлен, стоящий слева от стрелки; мы часто
будем обозначать многочлен, стоящий справа, символом аа.
Можно сказать, что а° получается из а применением о к коэф-
фициентам а.
Пусть А — целостное кольцо и р— его простой идеал. Пусть
о: А—> А' — канонический гомоморфизм А на Л/р. Если о.(А') —
многочлен из А[Х], то аа будет иногда называться редукцией а
по модулю р.
Например, взяв А —7. и р = (р), где р — простое число, мы
можем говорить о многочлене ЗА’4—Х-]~2 как о многочлене mod 5,
рассматривая коэффициенты 3, —1, 2 как целые числа mod 5, т. е.
как элементы из Z/5Z.
$ 3. Элементарные свойства многочленов
Пусть А — коммутативное кольцо и S — множество из п симво-
лов А’1.....Хп. Отождествляя А’1, . .., Хп с их каноническими
образами в кольце многочленов А [А'1........ Хп], мы называем
А’1....Хп независимыми переменными над А, а А [X]—кольцом
многочленов от п переменных. Всякий многочлен а из Л [Д’] до-
пускает единственное представление в виде
а = У а, ,Xvp . . . Xvn = У а. .М, , (X).
(v) 1 п (v) (V) 4 7
п
Пусть (Z>j..bn)—элемент из JJ А (прямого произведения А са-
1
мого на себя п раз), которое мы будем обозначать через Л(л\ В силу
теоремы 1 существует однозначно определенный гомоморфизм
А: А[Х......Хп]^А,
для которого h (X t) = bL при I — 1, ..., п и который тождествен
на А. Имеем
= •••
Мы будем обозначать этот элемент из А через bn) и го-
ворить, что это элемент, полученный подстановкой (by bn)
« 3 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ
137
вместо (Хр .... X п) в а. Таким образом, мы видим, что а опре-
деляет функцию на А(л| со значениями в А.
Аналогично, если А — подкольцо (коммутативного) кольца В и
(^) = (/>р ..., Ьп) — элемент из В<л), то мы можем тем же путем,
что и выше, образовать элемент а (Ь) и получить функцию из В^
в В, задаваемую соответствием (b)i—>а(Ь).
Записывая а, как и выше, мы видим, что
a (bi, ..., bn)='^ia(v)Mw(bi, ...» bn),
или в векторных обозначениях
a (b) = S a(V)M(v) (b).
В этих обозначениях
а = а(Х) = а(Х1, Хп).
Мы увидим ниже, что в том случае, когда А — целостное кольцо,
А[ХТ, .... Х,г] также целостное. Если К — поле частных кольца А,
то поле частных кольца А ...............Хп] обозначается через
К(Х1......Хп). Элементы поля К(Х1, ..., Хп) называются рацио-
нальными функциями. Всякая рациональная функция может быть
записана в виде дроби f(X)lg(X), где /, g— многочлены. Если
(Ь{, ..., bn)—элемент из №л) и рациональная функция допускает
представление в виде такой дроби f/g, что g(b')=F0, то мы гово-
рим, что эта рациональная функция определена в (Ъ). Из общих
свойств локализации вытекает, что в этом случае мы можем подста-
вить (Ь) в рациональную функцию и получить значение f(b)jg(b).
Может случиться, что многочлен не является нулевым многочле-
ном, но определяет нулевую функцию.
Пример. Пусть X = Z/pZ для некоторого простого р. Если а£А
и а = 0, то ар = Q. Если а =£ 0, то а — элемент мультипликативной
группы ненулевых элементов из А, имеющей порядок р—1. Значит,
аР~1 = 1, и мы получаем
ар — а.
Это справедливо для всех а^А. Поэтому многочлен Хр—X опре-
деляет нулевое отображение А в себя, а многочлены Хр и X опре-
деляют одну и ту же функцию, а именно тождественное отображение
на А.
Вообще пусть F— конечное поле и q — число элементов в F.
Тогда как Xq, так и X определяют тождественное отображение F
в себя. Можно показать, что любое отображение F в себя задается
некоторым многочленом (от одной переменной) и аналогично любая
функция на F^ со значениями в F задается некоторым многочленом
от п переменных (см. упражнения).
138
ГЛ. V. МНОГОЧЛЕНЫ
Пусть снова А — подкольцо в В, и пусть Ьг...Ьп—элементы
из В. Напомним, что если гомоморфизм
Д[ХР .... Хп}-+В,
задаваемый соответствием a(A")i—>а(£), имеет тривиальное ядро, т. е.
если он является вложением, то Ьг, .... Ьп алгебраически незави-
симы над А. Если п = 1 и элемент b = ЬХ алгебраически независим
над А, то мы также говорим, что b трансцендентен над А.
Пример. Известно (хотя и не тривиально доказывается), что числа
е = 2,71 ... и л=3,14 ... трансцендентны над полем рациональ-
. ных чисел Q. Не известно, являются ли они алгебраически незави-
симыми (или даже, рационально ли число e-j-л). Для конкретных
комплексных чисел обычно бывает чрезвычайно трудно выяснить,
являются ли они трансцендентными или же алгебраически независи-
мыми над полем рациональных чисел.
Пусть А обозначает, как и прежде, коммутативное кольцо, и
пусть S = flAz1...Хп]. Под степенью примитивного одночлена
Xvi ... Xvn
1 п
мы будем понимать целое число v1+...-|-vn (которое ^>0).
Многочлен
аХ^...ху (а£А)
будет называться одночленом (не обязательно примитивным).
Если а (Д')— многочлен из А [X], записываемый в виде
а(Д) = 2ам^ ... Х%>,
то либо а = 0, и в этом случае мы говорим, что его степень равна
— оо, либо а =# 0, и тогда мы определяем степень а как максимум
степеней одночленов Af(v) (X), для которых a(v) ф 0. (О таких одно-
членах говорят, что они встречаются в многочлене.) Отметим, что
степень многочлена а равна 0 в том и только в том случае, если
а(М) = а,Л11 ... Х°п
для некоторого а0£Д, а0 =£ 0. Этот многочлен мы также записываем
просто как a(A") = a0, т. е. пишем 1 вместо
X? ... Х°П.
отождествляя тем самым этот многочлен с константой а0.
Отметим, что многочлен а^Ху, ..., Хп) от п переменных можно
рассматривать как многочлен от Xп с коэффициентами в А [Хг, . . .
.... ДГП_1] (если п^>2). Действительно, имеет место гомоморфизм
A[XV .... X„\^A[Xl, .... ХП_1][Хп],
§ 3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ
139
подучаемый подстановкой, и этот гомоморфизм, очевидно, является
изоморфизмом. Таким образом,
СО
а(А\.........................
/=0
тде aj — элементы из А [Хг, .... Хп_1]. Под степенью многочлена а
относительно X п мы будем понимать его степень как многочлена
от Xп с коэффициентами в A [A^........Хп_1]. Легко видеть, что
если эта степень равна d, то d—наибольшее целое число, встре-
чающееся в качестве показателя при Xп в одночленах
аМХ^ . .. Ху
•с a(V) ¥= 0. Аналогичным образом определяем степень по каждой
переменной Х((1=1......п).
Степень многочлена а по каждой отдельной переменной, как
правило, отличается, конечно, от его степени (которую называют
иногда полной степенью, если хотят избежать двусмысленности).
Например,
имеет полную степень 4, степень 3 по Х1 и 2 по Х^.
Мы будем часто слово „степень" сокращенно обозначать симво-
лом deg.
Пусть /(А) — многочлен от одной переменной из А [X]
f (X) = а0-\- .. .апХп,
где at £ А ил — некоторое целое число 0. Если /=£ 0 и deg f = п,
то по определению ап ф 0; мы называем ап старшим коэффициен-
том многочлена /, а а0—его постоянным членом. Заметим, что
йо = /(О).
Пусть
g(X) = 60+ ,..-\-ьтхт
— некоторый многочлен из А [X] степени т, причем g ф 0. Тогда
/(X)g-(A) = «A + • •
Если предположить, что по крайней мере один из старших
коэффициентов ап или Ьт не является делителем 0 в А, то
deg(/g) = deg/+ degg
и старший коэффициент fg равен апЬт. Это выполняется, в част-
ности, в тех случаях, когда ап или Ьт есть единица в А, или
140
ГЛ. V. МНОГОЧЛЕНЫ
когда кольцо А — целостное. Следовательно, если А — целостное
кольцо, то А [А-] также целостное.
Если / или g~0, то мы по-прежнему имеем
deg(Jg) = deg/Ч- degg,
если считать, что —оо-\--т =— со для любого целого т.
Тривиально проверяется, что для любых многочленов /, g £ А [А-]
имеет место неравенство
deg(/ + g)< max (deg/, degg),
опять-таки при соглашении, что — со < т для всякого целого т.
Мы предоставляем читателю в качестве упражнения доказать, что
в том случае, когда А — целостное кольцо и /, g — многочлены от
нескольких переменных,*нмеют место те же правила:
eg (/g) = deg / + deg g,
deg(/+ g) < max (deg/, rfegg).
Здесь степень может пониматься либо как полная степень, либо как
степень по одной из переменных. Мы заключаем отсюда, что кольцо
А [А/ ..., Хп] — целостное.
Пусть снова А — произвольное коммутативное кольцо и d — целое
число 0. Пусть
/(^....... a'j-ao
— многочлен от п переменных над А. Мы будем говорить, что / —
однородный многочлен степени d, или форма степени d, если все
одночлены, встречающиеся в /, имеют степень d, т. е. если в записи
/W = 2«(v)^V1 ...
для всякого o(V) =/= 0 имеем
Vj + ... ч- v„ = d.
Мы предоставим читателю в качестве упражнения доказать, что не-
нулевой многочлен / от п переменных над А является одно-
родным степени d тогда и только тогда, когда для всякого
множества из п -1-1 алгебраически независимых элементов
и, tx, .... tn над А имеет место равенство
f(utx.....utn) = udf(tx....tn).
Пусть /—однородный многочлен степени d. В силу теоремы 1
аналогичное соотношение выполняется, если подставить вместо и,
......tn произвольные элементы Ьо, Ь}.......Ьп (при этом бе-
рутся из некоторого коммутативного кольца В, Содержащего А
в качестве подкольца).
§ 4. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА
141
Отметим, что если / и g— однородные многочлены степеней d и е
соответственно и fg=/=Q, то fg — однородный многочлен степени de.
Если d — e и /-|-g¥=0, то fg— однородный многочлен сте-
пени d.
Наконец, сделаем одно замечание относительно терминологии.
Ввиду изоморфизма
А [X.....X„}^A[tu .... tn]
между кольцом многочленов от п переменных и крльцом, порожден-
ным над А п алгебраически независимыми элементами, мы можем
применять всю терминологию, введенную нами для многочленов, к эле-
ментам из A [Zb . . ., tn]. Таким образом, мы можем говорить о степени
элемента из A [Z], и правила для степени произведения и суммы будут
выполняться. Фактически мы будем элементы из A [Z] называть также
многочленами от (Z). Алгебраически независимые элементы будут также
называться переменными (или независимыми переменными); любое раз-
личие, которое мы делаем между А [X] и A[f], является скорее
психологическим, чем математическим.
§ 4. Алгоритм Евклида
Теорема 2. Пусть А — коммутативное кольцо, f,g£A [А']—
многочлены от одной переменной степени 0. Предположим, что
старший коэффициент многочлена g является единицей в А.
Тогда существуют однозначно определенные многочлены q, г А \ Х\,
такие, что
f = gq+r
и teg г < degg.
Доказательство. Пусть
f (X) = а пХп...+«0.
g(X) = ^x4-...+^0-
где n = deg/, d — tegg, так что ап, bd^Q и bd—единица в А.
Применим индукцию по п.
Если п — 0 и degg>deg/, то положим q — Q, r = f. Если
degg = deg/ = 0, то положим г = 0 и q = anbd\
Предположим, что теорема доказана для многочленов степени < п
(где п > 0). Мы можем предполагать, что degg deg/ (иначе
возьмем q = Q и г = f). Тогда
/ (X) = апЬй1 Хп~dg (X) + /1 (X),
где /1(ЛЭ имеет степень < п. По индукции мы можем найти qv г9
такие, что
f(X) = a„bdXXn-dg (%)+<?! (X)g (Х)4- г (X)
142
ГЛ. V. МНОГОЧЛЕНЫ
и deg г < degg. Положим
q {X) = anbdX Xn~dqx(X),
чем доказательство существования q, г и закончено.
Что касается единственности, то предположим, что
f = q\g+<A = q2g+r2,
где deg Г] < deg g и degr2<degg. Тогда
(qi — q2) g = r2 — rp
Так как по предположению старший коэффициент g есть единица,
то
deg (9i — q2')g = deg — q2) + deg g.
Поскольку deg(r2— r])<degg, то предыдущее соотношение может
выполняться только при qi — q2 = Q, т. е. q^ = q2 и, следовательно,
Г] = г2, что и требовалось показать.
Теорема 3. Пусть k — поле. Тогда кольцо многочленов от
одной переменной k [А"] является целостным кольцом главных
идеалов.
Доказательство. Пусть а—идеал в причем а =# 0.
Пусть g—элемент из а наименьшей степени и f—любой
отличный от нуля элемент из а. Согласно алгоритму Евклида (т. е.
по теореме 2) мы можем найти q, г £k[X], такие, что
f=qg+r
и degr<degg. Но r = f — qg, следовательно, г лежит в а. Так
как g имеет минимальную степень 0, то г = 0; значит, а состоит
из всех многочленов вида qg (где q£k{X}). Это доказывает нашу
теорему.
Следствие. Кольцо k [А”] факториально.
Если k — поле, то всякий ненулевой элемент из k будет единицей
в k и непосредственно видно, что единицы в /г[Х] — это просто
единицы из k. (Никакой многочлен степени 1 не может быть
единицей ввиду формулы сложения для степени произведения.)
Пусть А — коммутативное кольцо и f (X) — многочлен из А [А].
Пусть А — подкольцо в В. Элемент b £В называется корнем или
нулем f в В, если /(й) = 0. Аналогично, если (А)— набор из п
переменных, то набор из п элементов (Ь) называется нулем /, если
/(*) = 0.
Теорема 4. Пусть k — поле и f—многочлен степени п'^0
из k [А] от одной переменной X. Тогда f имеет самое большее п
корней в k, и если а — корень f в £, то f (X) делится на X — а.
§ 4 АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА
143
Доказательство. Предположим, что /(а) = 0. Найдем q, г,
такие, что
f (X) — q (X) (Xа)г (X)
и deg г < 1. Тогда
О = / (а) = г (а).
Поскольку г либо 0, либо ненулевая константа, то мы должны иметь
г = 0, т. е. X — аделит /(А). Если а1..ат — различные корни f
в k, то по индукции мы находим, что /(А) делится на произведение
(X — aj ... (Х — ат),
откуда т^.п, как и утверждалось.
Следствие 1. Пусть k — поле, Т — бесконечное подмно-
жество в k и f(X)£k[X] — многочлен от одной переменной.
Если f(a) = Q для всех а£Т, то / = 0; иными словами, если f
индуцирует нулевую функцию на Т, то f — нулевой многочлен.
Следствие 2. Пусть k — поле, 7\.....Тп — бесконечные под-
множества в k и /(Ар ..., А„) — многочлен от п переменных
над k. Если / (ар . ,.,ая) = 0 для всех ai£Tl(l=\....п), то
/ = 0.
Доказательство. По индукции. Мы только что убедились,
что теорема справедлива для одной переменной. Пусть п ^>2; запишем
/(*1...... *я) = 2/Д*р .... *Я-1)А'
J
как многочлен от Хп с коэффициентами в fe[Ap .... Х№_1]. Если
существует набор
(^р.... ... хл-р
такой, что fj(bx...для некоторого j, то
/(*,....bn_v А)
— ненулевой многочлен в k[Xп], принимающий значение 0 на беско-
нечном множестве элементов Тп. Но это невозможно. Следовательно, /?-
индуцирует нулевую функцию на 7\Х ••• X^n-i для всех J и п0
индукции мы имеем, что fj — O для всех j. Следовательно, / = 0,
что и требовалось показать.
Следствие 3. Пусть k — бесконечное поле и f — многочлен
от п переменных над k. Если / индуцирует нулевую функцию
на kw, то f — 0.
144
ГЛ. V. МНОГОЧЛЕНЫ
Рассмотрим теперь случай конечных полей. Пусть k — конечное
поле из q элементов и f(XA......X п) — многочлен от п перемен-
ных над k. Запише,м
f(X„ .... X X1 ••• A'V'1-
' \ 1 п) (V) 1 п
Как мы условились говорить, одночлен Af<v> (X) встречается в /,
если a(V) =/= 0. Предположим, что это имеет место и что в нашем
одночлене Л4(¥) (%) некоторая переменная Xt встречается с показа-
телем Тогда мы можем написать
Xv.‘ = Х9.+^, где у. — целое число 0.
Если мы теперь заменим в этом одночлене Л"Т< на Х^+1, то получим
новый многочлен, определяющий ту же самую функцию, что и /.
Степень этого нового многочлена не больше, чем степень /.
Выполняя предыдущую операцию конечное число раз для всех
одночленов, встречающихся в /, и всех переменных Х^.......X п,
мы получим некоторый новый многочлен /*, который определяет
ту же самую функцию, что и /, но степень которого по каждой
переменной < q.
Теорема 5. Пусть k—конечное поле из q элементов и
f — многочлен от п переменных над k, такой, что степень f по
каждой переменной < q. Если f индуцирует нулевую функцию
на А(я\ то f = 0.
Доказательство. По индукции. Если «=1, то deg f < q
и, следовательно, f не может иметь q корней в случае / =£ 0. Индук-
тивный шаг проводится точно так же, как в доказательстве след-
ствия 2.
Пусть /— многочлен от п переменных над конечным полем k.
Многочлен g, степень которого по каждой переменной < q, будем
называть редуцированным. Выше мы показали, что существует реду-
цированный многочлен /*, который дает ту же самую функцию на kw,
что и /. Теорема 5 теперь показывает, что этот редуцированный
многочлен единствен. Действительно, если glt g2— редуцированные
многочлены, дающие одну и ту же функцию, то gr— g2 редуцирован
и дает нулевую функцию. Следовательно, gj— gz = 0 и g} = g2-
Дадим еще одно приложение теоремы 4. Пусть k — поле. Под
мультипликативной подгруппой в k мы будем понимать подгруппу
группы k* (ненулевых элементов k).
Теорема 6. Пусть k — поле. Всякая конечная мультипли-
кативная подгруппа U в k циклическая.
§ 5. ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ
145
Доказательство. Запишем U в виде произведения под-
групп U (р) для всех простых р, где U (р) есть р-группа. В силу
упражнения 22 из гл. 1 достаточно доказать, что U (р) циклическая для
каждого р. Пусть а — элемент из U (р) максимального периода рг,
где г — некоторое целое число. Тогда хр = 1 для всех элементов
х £ U (р) и, следовательно, все элементы из U (р) являются корнями
многочлена
ХрГ — 1.
Циклическая группа, порожденная а, содержит рт элементов. Если
эта циклическая группа не совпадает с U (р), то наш многочлен
имеет более чем рт корней, что невозможно. Следовательно, а поро-
ждает U (р), и наша теорема доказана.
Следствие. Если k — конечное поле, то группа — цикли-
ческая.
Элемент с. поля k, для которого существует такое целое число
что называется корнем из единицы или, более точно,
корнем n-й степени из единицы. Таким образом, множество корней
n-й степени из единицы — это множество корней многочлена Хп—1.
Существует самое большее п таких корней, и они, очевидно, обра-
зуют группу, которая, согласно теореме 6, является циклической.
Позднее мы изучим корни из единицы более подробно. Образующая
группы корней и-й степени из единицы (в том случае, если эта группа
имеет порядок п) называется примитивным (или первообразным)
корнем n-й степени из единицы. Например, в поле комплексных
чисел еЫ1п — примитивный корень n-й степени из единицы, а все
корни n-й степени из единицы имеют вид е2лМп, где
£ <5. Простейшие дроби
В этом параграфе мы займемся анализом поля частных кольца
главных идеалов, используя факториальность такого кольца.
Теорема 7. Пусть А — целостное кольцо главных идеалов
и Р — множество представителей для его неприводимых элемен-
тов. Пусть К — поле частных кольца А и а — некоторый эле-
мент из К. Тогда для каждого р£Р найдутся элемент а.рТА
и целое число j(p)'^-0, такие, что j(p) — Q для почти всех
р£Р, ар и р> W взаимно просты и
146
ГЛ. V. МНОГОЧЛЕНЫ
Если имеется другое такое представление
то J(p) = i(p') и ар = рр mod pi W для всех р.
Доказательство. Докажем сначала существование такого
представления. Пусть а, Ь — взаимно простые ненулевые элементы
из А. Тогда существуют х, у£А, для которых ха-}- yb — 1. Следо-
вательно,
1 . У
ab b ' а ’
так что любая дробь с\аЬ с с £ А может быть разложена в сумму
двух дробей (а именно, сх'Ь и cyfa), знаменатели которых делят b
и а соответственно. По индукции отсюда вытекает, что любой эле-
мент а £ К имеет требуемое представление, за тем возможным исключе-
нием, что р может делить ар. Сокращение на наибольший общий
делитель приводит к представлению, удовлетворяющему всем нужным
условиям.
Что касается единственности, то предположим, что а имеет два
представления, указанных в теореме. Пусть q— фиксированный про-
стой элемент из Р. Тогда
aq Р^ X1 Рр ctp
qi W qi (?) pi (Р) pi СР) '
р¥=?
Если j(q') = i(q) = O, то для q наши условия удовлетворяются. Пред-
положим, что одно из чисел j (q), i(q) отлично от нуля, скажем
_/(<?)> О и j (q)^ i(q). Пусть d — наименьшее общее кратное для
всех степеней р>^ и р1^\ таких, что p4=q- Умножим предыдущее
равенство на dqi <«>. Получим
d (aq — qiW-i (?)рр = qi (?)р
для некоторого р £ А. Кроме того, d не делится на q. Если I (q) <
< ./(<7), то q делит aq, что невозможно. Следовательно, /(<?) = j (q).
Но тогда а? — р? делится на qiW, что и доказывает теорему.
Применим теорему 7 к кольцу многочленов k [А] над полем k.
Пусть Р—множество неприводимых многочленов, нормированных
так, чтобы старший коэффициент у них был равен 1.-Тогда Р будет
множеством представителей для всех неприводимых элементов из k [А].
В представлении для а, указанном в теореме 7, мы можем теперь
разделить о.р на рРр\ т. е. применить алгоритм Евклида, если
degap^-deg pPPi. Мы обозначаем поле частных кольца k [А] через k (X)
и называем его элементы рациональными функциями.
§ 5. ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ
147
Теорема 8. Пусть —кольцо многочленов от одной
переменной над полем k. Пусть Р—множество неприводимых
многочленов в /г[Х] со старшим коэффициентом 1. Тогда любой
элемент f из k(X) имеет единственное представление в виде
foo= S -^я+sm.
Р'Р р ’
где fр, g— многочлены, fp = Q при j(p) = 0, fp взаимно прост
с р при и deg/p < deg р'<₽) при /(р)>0.
Доказательство. Существование немедленно вытекает из
предшествующих замечаний. Единственность следует из того факта,
что если имеются два представления с элементами fp и qp соответ-
ственно и с многочленами g, h, то рНр) делит fp — yp, откуда
fp — <Рр=О, а потому fp = 4p, g = h.
Можно и дальше разложить член fplpHp), выразив fp через суммы
степеней р. При этом мы добьемся того, что в выражении много-
члена /, указанном в теореме 8, будут содержаться лишь так назы-
ваемые простейшие дроби f р/р’(р), в которых deg f р < deg р.
В действительности это можно сделать в несколько более общей
форме.
Теорема 9. Пусть k — поле, k[X]— кольцо многочленов от
одной переменной, f, g^k[X]. Предположим, что degg^> 1. Тогда
существуют однозначно определенные многочлены
/о- Л....fdWX],
такие, что A<ig fi<i&tgg и
f = /о+ fdgd-
Доказательство. Сначала докажем существование. Если
degg > deg/, то возьмем /0 —/ и — Q для I > 0. Предположим,
что deg g^ deg/. Можно найти многочлены q, г, такие, что
/ = deg г <.degg,
и так как degg^-1, то deg q < deg/. По индукции существуют
многочлены й0, hx...hs, для которых
Я — д0-\-hyg...
и, следовательно,
f-=r-+hog+ ... +hsgs+f
что и доказывает существование.
Что касается единственности, то пусть
/ = ••• 4-М‘/ = Фо + <Р1£+ ••• +ФтД"г
148
ГЛ. V. МНОГОЧЛЕНЫ
— два разложения, удовлетворяющие условиям теоремы. Добавляя
члены, равные 0, к одной из сторон, мы можем считать, что m = d.
Вычитая, получим
О==(/о —Фо)+ ... +(/d—<Pd)g-d.
Следовательно, g делит /0 — <р0, а поскольку deg(/0— <p0)<degg,
то /0 = <р0. Возьмем наименьшее г, для которого (если такое I
существует). Разделив наше равенство на gl, мы найдем, что g делит
ft — (pi и что, следовательно, такого i не может существовать. Это
доказывает единственность.
Полученное в теореме 9 разложение / по степеням g мы будем
называть g-адическим разложением многочлена /. Если g{X)~X,
то ^-адическое разложение совпадает с обычной записью / как
многочлена.
§ 6. Однозначность разложения на простые множители
многочленов от нескольких переменных
Пусть А — факториальное кольцо и К — его поле частных. Пусть
а £ К, Мы можем представить а в виде отношения элементов
из А, не имеющих общих простых множителей. Если р — простой
элемент из А, то
а = ргЬ,
где Ь£К, г — целое число и р не делит ни числитель, ни знамена-
тель элемента Ь. Используя однозначность разложения на простые
множители в А, мы тотчас убеждаемся, что число г однозначно
определено элементом а. Будем называть г порядком а в р (и. запи-
сывать г = ordp а). Порядок элемента а = 0 в р полагаем равным -ф- оо.
Если а, а'£К и аа' #= 0, то
ordp {аа') = ordp а Д- ordp а'.
Это очевидно.
Пусть f{X)£K[X]— многочлен от одной переменной
/(Х) = а0_Г ••• -f-anXn.
Для / = 0 полагаем ordp / — -ф- оо. Если / #= О, то считаем по опре-
делению
ord„ f = min ord„ a,,
p -J p f'
где минимум берется по тем г, для которых а, =# 0.
Будем называть всякий элемент вида ирТ, где г —ordp/ и и — лю-
бая единица в А, р-содержанием многочлена /. Содержанием f
будем называть выражение
n/rd^.
§ 6. ОДНОЗНАЧНОСТЬ РАЗЛОЖЕНИЯ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ
149'
где произведение берется по всем р, для которых ordp/=£0, а также
любое кратное этого выражения на единицу из А. Таким образом,
содержание однозначно определено с точностью до умножения на
единицу из А. Сокращенно мы обозначаем содержание через cont.
Если Ь£К, bf=O, то cont (bf) = b cont(/). Это ясно. Следова-
тельно, мы можем записать
/(Х)=С.Л(Д
где с — cont (/) и /i (X) имеет содержание 1. В частности, все коэф-
фициенты многочлена fx лежат в А и их н. о. д. равен 1.
Лемма Гаусса. Пусть А — факториальное кольцо. К —его
поле частных, f, g [X] — многочлены от одной переменной.
Тогда
cont (jg) = cont (/) cont (g).
Доказательство. Записав f = cfj и g = dgx, где c = cont(/)
и d = cont(g), мы видим, что достаточно доказать следующее: если /,
g имеют содержание 1, то fg также имеет содержание 1, а для
этого достаточно доказать, что ordp (jg)= 1 для всякого простого р.
Пусть
f (А-) = апХп -ф- ... -ф- а0, ап=£0,
g(X) = bmXm-f ... f-b(), ьт*о,
— многочлены с содержанием 1 и р — простой элемент в А. Доста-
точно доказать, что не все коэффициенты fg делятся на р. Пусть
г — наибольшее целое число, такое, что а агФ0 и р
не делит аТ. Аналогично пусть Ьь—самый левый коэффициент в g,
bs 0, не делящийся на р. Рассмотрим коэффициент при Xr+S
в / (X) g (X). Этот коэффициент равен
с = arbs-\-ar+1bs_1 ф- ... фвг_1&5+]ф- ....
причем р ф arbs. Однако р делит все другие ненулевые члены в этой
сумме, поскольку в каждом из них содержится либо некоторый коэф-
фициент at, стоящий слева от аГ, либо некоторый коэффициент bj,
стоящий слева от bs. Следовательно, с не делится на р, и наша лемма
доказана.
Следствие. Пусть f (Х)£А[Х\ имеет в К [X] разложение
f(X) = g(X)h(X). Если с.; = cont (g), ch = cont (h) и g — cggu
h = chh1, mo
f {X) —cschgx{X) hx{X)
и cgch — элемент из A.
150
ГЛ. V. МНОГОЧЛЕНЫ
Доказательство. Единственное, что нуждается в доказа-
тельстве, — это последнее утверждение, но оно непосредственно
вытекает из равенств cont (/) = cgch cont = cgch.
Теорема 10. Пусть А—факториальное 'кольцо. Тогда
кольцо многочленов А [А'] от одной переменной факториально.
Его простыми элементами являются либо простые элементы
из А, либо многочлены из А [АД неприводимые в К [Х] и имеющие
содержание 1.
Доказательство. Пусть f£A[X], /ДО. Используя одно-
значность разложения на простые множители в К [А'] и предыдущее
следствие, можно найти разложение
/(АЭ = с • рДАЭ ... рг(Х),
где с£А и /?]....... рГ — многочлены из Д[АД неприводимые
в К [АД Выделив их содержания, мы можем, не теряя общности,
предполагать, что содержание pt равно 1 для каждого I. Тогда
с = cont (/). Это дает нам существование разложения на простые
множители. Очевидно, что каждый многочлен Pi(X) неприводим
в А [АД Если мы имеем другое такое разложение, скажем
f(X) = d.q,(X) ...qs{X),
то из однозначности разложения на простые множители в Д'[А"]
заключаем, что г = s и что после перестановки множителей будет
Р 1 = 0^1’
где элементы at£K. Так как предполагается, что и pt, и qt имеют
содержание 1, то в действительности at лежат в Л и являются еди-
ницами. Это доказывает теорему.
Следствие. Пусть А—факториальное кольцо. Тогда кольцо
многочленов от п переменных А [АД .. Хп] факториально. Его
единицами являются в точности единицы из А, а простыми
элементами — либо простые элементы из А, либо многочлены,
которые неприводимы в К [X] и имеют содержание 1.
Доказательство. Индукция.
В силу теоремы 10 в тех случаях, когда мы имеем дело с мно-
гочленами над факториальным кольцом, содержание которых равно 1,
нет необходимости специально указывать, будут ли такие много-
члены неприводимыми над А или над полем частных К. Эти два
понятия эквивалентны.
Замечание 1. Кольцо многочленов К[Ху....Хп] над полем К
не является кольцом главных идеалов при п 2. Например, идеал,
порожденный элементами А^..... Xп, не главный (доказательство
тривиально).
§ 7 КРИТЕРИИ НЕПРИВОДИМОСТИ
151
Замечание 2. Обычно бывает не слишком просто решить, явля-
ется ли данный многочлен (скажем, от одной переменной) неприво-
димым. Например, многочлен А'4-]-4 приводим над полем рациональ-
ных чисел, потому что
А4 4- 4 = (%2 — 2Х 4- 2) (А"2 + 2Х 4- 2).
Позже в этой книге мы укажем точный критерий неприводимости
многочлена Хп—а. Другие критерии даются в следующем параграфе.
§ 7. Критерии неприводимости
Первый критерий — это критерий Эйзенштейна. Пусты
А — факториальное кольцо, К—его поле частных, f (Х)=апХп-\-
4-- - -Ьао — многочлен степени n 1 в XIA’] и р — простой-
элемент в А. Предположим, что
ап ф 0 (mod р), ai = Q(modp) для всех i < п, аоф 0 (mod р2).
Тогда f (X) неприводим в АГ [А'].
Доказательство. Выделяя в случае надобности н. о. д. из
коэффициентов /, мы можем, не теряя общности, считать, что со-
держание многочлена f равно 1. Если / разлагается на множители
в АДА'], то, согласно следствию леммы Гаусса, существует и раз-
ложение в А [А'], скажем /(А') = g (X) h (АД,
^(X) = AdXd4...4-A0,
А (А1) = стХт 4- .. • 4 с0,
где d, т~^>1 и bdcm^=O. Пусть о—канонический гомоморфизм, ото-
бражающий А на А/(р). Тогда
/W = ^(X)Aa(X).
Но /“(А') = о (ап) Хп. Поэтому в силу однозначности разложения
на множители в кольце Д/(р) [АГ]
g°(X) = o(bd)Xd и ha(X) = o(cm)Xm,
откуда Z>0E=0(modp) и c0 = 0(modp). Следовательно, aa = bQcQ =
Es0(modp2), что противоречит условию.
Пример. Пусть а — отличное от нуля и свободное от квадратов
целое число 4±1. Тогда для любого п^\ многочлен Хп— а не-
приводим над Q. Многочлены ЗА15—15, 2А'10 — 21 неприводимы
над Q.
В некоторых случаях многочлен, не удовлетворяющий критерию'
Эйзенштейна, после простого преобразования начинает ему удовле-
творять.
152
ГЛ V МНОГОЧЛЕНЫ
Пример. Пусть р—простое число. Многочлен
/(Х) = хр-’4-... 4-1
неприводим над Q.
Доказательство. Достаточно доказать, что многочлен f (Х±-1)
неприводим над Q. Заметим, что биномиальное коэффициенты
( v ) = v! (р — v)! ’ 1 v р 11
делятся на р (потому что числитель делится на р, знаменатель не
делится, а сам коэффициент является целым числом). Имеем
п v , п_(М4-1)р-1_*р4-р*р~14- ... 4-Р*
•' т v Х4-1 — 1 — X '
откуда видно, что f (М-4- 1) удовлетворяет критерию Эйзенштейна.
Пример. Пусть Е— поле и t — элемент некоторого поля, содер-
жащего Е, такой, что t трансцендентен над Е. Пусть К — поле
частных кольца Д'И- Для любого целого я (> 1 многочлен Хп— t
неприводим в К [М]. Это вытекает из того факта, что кольцо А —
= Е [/] факториально и t — простой элемент в нем.
Редукционный критерий. Пусть А, В — целостные
кольца,
о: А > В
— гомоморфизм и К, L — поля частных для А и В соответ-
ственно. Пусть, далее, f£A[X]—такой многочлен, что /я4=0
zz deg/7 = deg/. Если f3 неприводим в £[Х], то / не обладает
разложением f (X) = g (X) h (X), в котором
g, /г£А[Х] и degg, deg/z^l.
Доказательство. Предположим, что / имеет такое разложе-
ние. Тогда f, = g<3h°. Так как degg^^degg и deg/га deg/г, то
из нашего предположения вытекает, что в этих соотношениях для
степеней должно иметь место равенство. Следовательно, в силу не-
приводимости /7 в L[X] мы заключаем, что либо g, либо h есть
элемент из А, что и требовалось установить.
Предположим в предыдущем критерии, что А — локальное кольцо,
т. е. кольцо, имеющее единственный максимальный идеал р, и что р
служит ядром о. Тогда из неприводимости /я в /ДМ] заключаем
о неприводимости / в Д[М]. В действительности любой элемент из А,
не лежащий в р, должен быть единицей в А, так что последнее
утверждение критерия можно усилить, добавив, что g или h явля-
-ется единицей в А.
§ 8. ПРОИЗВОДНАЯ И КРАТНЫЕ КОРНИ
153'
Этот критерий можно применять также в тех случаях, когда А
факториально, и в этом случае заключать о неприводимости f в К [%].
Пример. Пусть р — простое число. Ниже будет показано, что-
многочлен Хр— X—1 неприводим над полем "LIpZ. Следовательно,
Хр — X — 1 неприводим над Q. Аналогично многочлен
Д'5 _ 5 дм _ 6 х — 1
неприводим над Q.
§ 8. Производная и кратные корни
Пусть А — коммутативное кольцо. Определим отображение
D: А [Д'] -> А[Х]
кольца многочленов в себя. Если f (X) = апХп-\~ . .. _|. а где-
а^А, то производная Df = f' определяется соотношением
Df {X) = f (X) = S va^-1 = папХп~1 + • • • + «н
V—1
Легко проверяется, что для всяких многочленов /, g из А [Д’]
(/ + g)' = f -г g’> (fg)' = f'g + fg'
и для всякого а £ А
(af)’ = «.Г.
Пусть К — поле, f — многочлен из К [Д'] и а — его корень в К-
Тогда
f (Х) = (Х— а)т g(X),
где g (X) — некоторый многочлен, взаимно простой с Х—а (и, сле-
довательно, такой, что g(a)=kty- Мы называем т кратностью а
в f и говорим, что а — кратный корень, если m> 1.
Предложение 1. Пусть К, f обозначают то же, что и
выше. Элемент а поля К является кратным корнем много-
члена f тогда и только тогда, когда f'(a) = Q.
Доказательство. Взяв для / указанное выше разложение,
получаем
f {X) = (Х- а)т g' (X) + т (X - a)'""1 g (X).
Если /п>1, то, очевидно, //(а) = 0. Обратно, если т~1, то-
/'(Х~)~(Х— a)g'(X)A-g(X), откуда /' (а) = g (а)=^0. Следова-
тельно, если f (а) — 0, то мы должны иметь /и > 1, что и требо-
валось доказать.
154
ГЛ V. МНОГОЧЛЕНЫ
Предложение.2. Пусть f£K[X\. Если К имеет харак-
теристику 0 и f имеет степень 1, то /'#=0. Пусть К имеет
характеристику р>0 и f имеет степень ^>1. Тогда f = 0
.в том и только в том случае, если в выражении для f (X)
т
/W=Sovxv
V = 1
р делит каждый индекс v, для которого av^0.
Доказательство. Если К имеет характеристику 0, то про-
изводная одночлена avXv с 1 и av=T0 отлична от нуля, по-
скольку она равна vavXv~\ Если К имеет характеристику р > 0, то
производная такого одночлена равна 0 тогда и только тогда, когда
_p|v, что и утверждалось.
Пусть К имеет характеристику р > 0, и пусть многочлен / ука-’
ванного выше вида таков, что f (X) — Q. Тогда мы можем написать
d
н=1
где b^K.
Так как биномиальные коэффициенты делятся на р при
1ОО— 1. то для любых элементов а, b из поля К характе-
ристики р мы имеем
(аЬ)р = арЬр.
Далее, очевидно, (ab)p = арЬр, так что отображение
х ।—> хр
есть гомоморфизм К в себя, имеющий тривиальное ядро и, следова-
тельно, инъективный. Итерируя, мы заключаем, что для всякого
целого г 1 отображение х\—есть эндоморфизм поля АГ, назы-
ваемый эндоморфизмом Фробениуса. По индукции для всяких эле-
ментов Ср ..,, сп из К
(ci + • • • +CZ = ср 4-... у-ср.
Применяя эти замечания к многочленам, мы видим, что для любого
элемента а£Х выполняется соотношение
(Х — а)рГ = ХрГ—арГ.
Пусть с£Х. Если многочлен
ХрГ-с
§ 9. СИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
155-
имеет корень а в К, то аРг = с и
ХрГ — с = (X — а/.
Следовательно, наш многочлен имеет ровно один корень кратности рг.
Например, (X—1)р = Хр —1.
§ 9. Симметрические многочлены
Пусть А — коммутативное кольцо и ......tn — алгебраически
независимые элементы над А. Пусть X — переменная над A[flt ...
..., tn\. Образуем многочлен
F(X) = (X-/,)... (X-tny=Xn-S,Xn-'+
где каждый элемент s/ = s;(/1...tn) является многочленом от
У......tn. Например,
=^1 + • • • +^л и 5л=Л---^л-
Многочлены $j, .... sn называются элементарными симметриче-
скими многочленами от tx....tn.
Мы предоставляем читателю в качестве упражнения проверку
того, что Si — однородный многочлен степени I от ..tn.
Пусть о—некоторая перестановка целых чисел (1....п). Для
данного многочлена f (f) £ А [/] = А .tn\ определим /а фор-
мулой
f (t\, .... 61) —/(?а(1), ..., ^а(л)) )•
Если о, т — две перестановки, то /ат = (/а)т и, следовательно, сим-
метрическая группа О на п символах действует на кольце много-
членов А [/]. Многочлен называется симметрическим, если /”==/
для всех о £ О. Ясно, что множество симметрических многочленов
есть подкольцо в А [/], содержащее постоянные многочлены (т. е.
само А), а также элементарные симметрические многочлены Sp . . .
. . ., sn. Ниже мы увидим, что оно по существу ничего больше и не
содержит.
Пусть Хг.....Хп — переменные. Будем считать весом одночлена
V. V
*1* ... хУ
целое число v, Д- 2v2 Д-.. ,Д- nv„. Определим вес многочлена g(Xx, . ..
..., Хп) как максимум весов одночленов, встречающихся в g.
>) Имеется лишь внешнее сходство с обозначением /’ из § 2 и 8. —
Прим. ред.
156
ГЛ. V. МНОГОЧЛЕНЫ
Теорема И. Пусть f .... tn\ — симметрический
многочлен степени d. Тогда существует многочлен g(Xx, ...
...., %„) веса d, такой, что
= .... sn).
Доказательство. Индукция по п. Если п — 1, то теорема
•очевидна, так как sl=t1.
Предположим, что теорема доказана для многочленов от п — 1
переменной.
Если мы подставим tn—0 в выражение для F (А'), то получим
Г1 (*„-!)« *.
где (sz)0—выражение, полученное подстановкой tn = Q в st. Заметим,
что (ЯД,, ..., ($„_!)() — это как раз элементарные симметрические
многочлены от t\.....
Проведем теперь индукцию по d. Если </ = 0, то наше утверж-
дение тривиально. Предположим, что d > 0 и что наше утверждение
доказано для многочленов степени < d. Пусть f (tx, .... tn) имеет
степень Существует многочлен gi(Xv .... Хп_х) веса
такой, что
Ж........O) = Sr1((s1)o........(s„-i)0)-
Отметим, что .... srt-i) имеет степень по tx...............tn.
Многочлен
/1(А.....U = •••• £1(*1...s„_i)
имеет степень (по tx.......tn) и является симметрическим. Имеем
/1(Л.....*„-1. 0) = 0.
Следовательно, J\ делится на tn, т. е. содержит tn множителем. Так
как симметрический, то он содержит в качестве множителя
/] ... 1п. Следовательно,
/1 = 5Я/2(Л....U-
где /2—некоторый многочлен, который должен быть симметриче-
ским и степень которого <1 d — п <.d. По индукции существует
многочлен g2 от п переменных веса — п. для которого
/2 (Л....tn) = g2(Si.....sn)-
Получаем
f(t) = gi(Sv •••• + •••- $«)•
причем каждый член справа имеет вес d. Это доказывает нашу
теорему.
§ 9 СИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
157
Покажем теперь, что элементарные симметрические мно-
гочлены $i....sn алгебраически независимы над А.
Если они зависимы, то возьмем не равный 0 многочлен f (A\, ...
..., Хп)бА[Х] наименьшей степени, для которого
...............................s„) = 0.
Запишем f как многочлен от Хп с коэффициентами в A [Xj, . ..
.... X
/(%,, .... Х„) = /0(Х1, .... Л.........
Тогда /о¥=О. Иначе
f(X) = Xnty(X),
где ф — некоторый многочлен и, следовательно, $пф($], .... s„) = 0.
Отсюда вытекало бы, что ф .......s„) = 0, причем ф имеет сте-
пень, меньшую, чем степень /.
Подставляя st вместо Xt в предыдущее тождество, получаем
o==/o(si..........s„_i)+ +A(si- •••’
Это — соотношение в А [/1.../„]; если мы подставим 0 вместо tn
в это соотношение, то все члены, кроме первого, обратятся в О,
что дает
О —/o((si)o’ •••’ (sn-i)q)
(мы используем те же обозначения, что и в доказательстве тео-
ремы 1). Мы получили нетривиальное соотношение между элемен-
тарными симметрическими многочленами от tlt .... tn_x — противо-
речие.
Пример. Рассмотрим произведение
б(0 = П(0-9-
Ki
Мы тотчас видим, что какова бы ни была перестановка а чисел
(1, .... п),
6”(0 = ±6(0-
Следовательно, 6 (О2 — симметрический многочлен; мы называем его
дискриминантом
D(su .... 5„)=П(0-92-
к i
Таким образом, мы рассматриваем дискриминант как многочлен от
элементарных симметрических функций.
158
ГЛ. V. МНОГОЧЛЕНЫ
§ 10. Результант
В этом параграфе мы предполагаем, что читатель знаком с оп-
ределителями. Теория определителей будет изложена позднее.
Пусть А — коммутативное кольцо, и пусть г»0, ..., vn, w0, ...
..., алгебраически независимы над А. Образуем два многочлена
= ... +v„,
gw(X) = WoX'r-+ ... +wm.
Назовем результантом наборов (v, w), или многочленов fv, gw,
определитель
-ц0 Щ ...
w0 Th . . . vn
• • Vn
w0 Wr ... wm
W, ...
w0 Wj ...
tn+n
Пустые места предполагаются заполненными нулями.
Если подставить вместо (v) и (w) в коэффициенты многочленов
fv и gw соответственно элементы (а) — (а0, . . ., ап) и (Ь) = (р0, . . .
..., Ьт) из А, то получатся многочлены fa и gb с коэффициентами
в Л, и мы берем в качестве их результанта определитель, по-
лученный подстановкой (а) вместо (v) и (Ь) вместо (w) в напи-
санный выше определитель. Результант многочленов fv, gw будем
обозначать символом
gw) или R(v, w).
Результант R (fa, gb) получается подстановкой (а) и (b) вместо соот-
ветственно (v) и (w).
Заметим, что R(v, w)— многочлен с целочисленными коэффи-
циентами, т. е. мы можем взять А = Z. Если z— переменная, то
R (zv, w) = zmR (v, w) и R (v, zw) = znR (y, w).
что непосредственно видно, если вынести z из первых т строк
(соответственно последних п строк) определителя. Таким образом,
R однороден степени т по первому набору переменных и однороден
степени п по второму набору переменных. Кроме того, будучи пред-
§ 10 РЕЗУЛЬТАНТ
159
ставлен в виде суммы одночленов, результант R(v, w) содержит од-
ночлен
®'"w"
и т
с коэффициентом 1.
Если подставить в результант 0 вместо v0 и w0, то получится 0,
поскольку обратится в 0 первый столбец определителя.
Будем теперь действовать над кольцом целых чисел Z. Рассмот-
рим линейные уравнения
= + ... -{-vnXm~1,
Xm~2fv(X) = VQXn+m~2-+ ... -[-vnXm~2.
/Д) = v0X"+...+vn,
x,I-1gw(X) = woxn^m-1 + Wlxn+rn-'2+ ... ^wmXn~\
xn-*gw{X)= Waxn+m-2+ ... 4-
gw (.X) = woxm + ... 4- wm.
Пусть C — столбец, составленный из левых частей, и пусть
Со.....Ст+п-1
— столбцы из коэффициентов. Наши уравнения могут быть записаны
так:
с = хп+т_1Со+ ... +1.Ст+п.
По правилу Крамера, примененному к последней неизвестной,
а именно к 1, получаем
R(v, w) = det(C0....Cm+„-1) = det(C0.....Cm+n_2, С).
Отсюда мы видим, что существуют такие многочлены <p^ w и w
в T\v, те1] [А], для которых
%, «Л + %, = Я
Отметим, что R(v, w')£Z[v, те>], но многочлены в левой части
содержат переменную X.
Пусть X: Z[v, те»]—>Л— гомоморфизм в коммутативное кольцо А.
Положим k{v) — {d), к (w) — {b)\ тогда
<ра,*Л4-^,Л = Я(а, b) = R{fa, gby
Таким образом, из общего соотношения для результанта над Z мы
получаем аналогичное соотношение для всякой пары многочленов
над любым коммутативным кольцом А.
160
ГЛ. V. МНОГОЧЛЕНЫ
Предложение 3. Пусть К — подполе поля L, и пусть
fa' ёь — многочлены, в К [X], имеющие общий корень | в L. Тогда
R(a, b) = 0.
Доказательство. Если fa (^) = gb (£) = 0, то, подставляя £
вместо X в выражение, полученное для R(a, b), находим, что
R{a, b) = 0.
Исследуем теперь зависимость между результантом и корнями
наших многочленов Д, gw. Нам потребуется
Лемма. Пусть й(Хх, ..., Хп)— многочлен от п переменных
над кольцом целых чисел Z, обращающийся в 0, если подста-
вить Х{ вместо Х2 и оставить все другие X t неизменными (г#=2).
Тогда /г(Х}, Хп) делится на Хг — Х2 в Z [А^, ..., Хп].
Доказательство. Упражнение для читателя.
Пусть v0, Zj, ..., tn, w0, ut, .... ит алгебраически независимы
над Z. Образуем многочлены
Л = vQ(X - ,. (X - tn) = v0Xn+ ... + vn,
Sw — — Ml) • • • --Utn) — + • • • +
Таким образом, мы полагаем
^ = (— и wy = (— l)-/wosy(«).
Предоставляем читателю легкую проверку того, что
®0> V1....V„, wo, ®!, .... wm
алгебраически независимы над Z.
Предложение 4. В предыдущих обозначениях имеем
п т
'R (fv. gw) = П П - «;)•
Доказательство. Обозначим через S выражение, стоящее
в правой части равенства из формулировки предложения.
Так как R(y, w) однороден степени т по своим первым пере-
менным и однороден степени п по вторым переменным, то
R = vg''K)"/z (t, и),
где h(t, u)£Z\t, и\ В силу предложения 3 результант обращается
в нуль при подстановке tt вместо .....п и у = 1.....т),
откуда по лемме вытекает, что R, рассматриваемый как элемент из
Z [г»0, t, w0, и], делится на — Uj для каждой пары (г, у). Следо-
вательно, R делится в Z [о0, t, w0, «] на 5, поскбльку разность
tt— Uj является, очевидно, простым элементом в этом кольце, и
различные пары (Z, у) приводят к различным простым элементам.
§ 10. РЕЗУЛЬТАНТ
161
Из равенства
п т
5 = ”оЧП n,(zz — ui) 0)
i-1 7=1
и из того факта, что
л п т
П/(^) = <!П П(^-«Д
1=1 1=1 ] = \
мы получаем
’ S = ^.ng(t). (2)
Аналогично
т '
S = (3)
Из (2) мы видим, что 5 однородно степени п по (w), а из (3) —
что S однородно степени т по (у). Так как R обладает точно
теми же свойствами однородности и делится на S, то R = cS для
некоторого целого с. Так как и /?, и S содержат одночлен
встречающийся в них с коэффициентом 1, то с — 1, и наше пред-
ложение доказано.
Отметим, что три выражения, найденные выше для 5, дают нам
разложение на множители результанта R. Мы получаем также об-
ратное утверждение к предложению 3.
Следствие. Пусть fа, gb — многочлены с коэффициентами
в некотором поле К, разлагающиеся на множители степени Г
в К [М] и такие, что хотя бы один из старших коэффициен-
тов а0, #о=£О. Тогда R(Ja, gb) = 0 в том и только в том слу-
чае, если fa и gb имеют общий корень.
Доказательство. Пусть результант равен 0, и пусть для
определенности с0 =£ 0. Если
fa = «о (^ — а1) • • (Х — «л)>
— разложение fa на множители, то имеет место гомоморфизм
Z [тт0, t, w] —> К,
при котором ц()1—>ай, tt\—>а; и Wj\—>bj для всех I, j. Тогда
° = Я(/я>
откуда следует, что хотя бы один из az является корнем много-
члена gb. Обратное уже было доказано.
162
ГЛ. V. МНОГОЧЛЕНЫ
Выведем еще одно соотношение для результанта в специальном
случае. Пусть, как и выше,
Л(Х) = т/0Хл+ ... Ч-г>л = с0(Х-^1)
В силу (2) для производной /' многочлена Д
'’(/, 4)=«;-'П/'(у. <4)
Используя правило дифференцирования произведения, находим
Л(*) = 2Ч(*-О ••• ... (x-tn),
I
f v (fl) = V0 (fl *1) • • (fl ^l) (fl
где крышка над членом указывает, что этот член должен быть опу-
щен.
Мы называем дискриминантом многочлена Д выражение
D (fv) = D (у) = П (fi - tjY-
Предложение 5. Пусть Д, как и выше, имеет алгебраически
независимые коэффициенты над Z. Тогда
R (/.• Л)=Ч"-1 П (t- ^) = (-D© v0D(fv). (5)
Доказательство. Подставим выражение, полученное для
Д(^г). в произведение (4). Утверждение следует немедленно.
Если мы подставим 1 вместо v0, то найдем, что дискриминант,
как мы его определили в предыдущем параграфе, совпадает с опре-
деленным здесь. В частности, получаем явную формулу для дискри-
минанта. Формулы в случае многочленов степени 2 и 3 приво-
дятся в упражнениях.
УПРАЖНЕНИЯ
1. (а) Сформулировать и доказать аналог теоремы 8 для рациональных
чисел.
(б) Сформулировать и доказать аналог теоремы 9 для положительных
целых чисел.
2. Пусть f — многочлен от одной переменной над полем k, и пусть
X, Y — две переменные. Показать, что в k [X, К] имеет место разложение
в ряд Тейлора
п
7(Х4-Г) = /(А)+2ф; (A) Y1,
1 = 1
УПРАЖНЕНИЯ
163
где q>( (X) — некоторые многочлены от Л с коэффициентами в k. Если k
имеет характеристику 0, то
ф;т = ™.
3. Обобщить предыдущее упражнение на многочлены от нескольких
переменных (ввести частные производные и показать, что для многочленов
от нескольких переменных существует конечное разложение Тейлора).
4. (а) Показать, что многочлены X4 -|- 1 и Xе -|- X3 -|- 1 неприводимы над
полем рациональных чисел.
(б) Показать, что многочлен степени 3 над полем либо неприводим, либо
имеет корень в этом поле. Является ли многочлен X3 — 5Х2 1 неприводи-
мым над полем рациональных чисел?
(в) Показать, что многочлен от двух переменных X2 Y2 — 1 неприво-
дим над полем рациональных чисел. Неприводим ли он над полем комплекс-
ных чисел?
5. Пусть f (X) = Хп an_iXn~1 ... 4*до — многочлен с целыми
коэффициентами, а0 =/= 0. Показать, что если f имеет корень в поле рацио-
нальных чисел, то этот корень должен быть целым рациональным числом,
делящим а0. Обобщить это утверждение на любое факториальное кольцо и
его поле частных.
6. (а) Пусть k — конечное поле из q элементов. Пусть f(Xx.Хп) —
многочлен в k [X] степени d, такой, что /(0, ..., 0) = 0. Элемент (ah ...
..., a„)£k<n[ для которого f (а) — 0, называется нулем /. Показать, что
если п > d, то f имеет по крайней мере еще один нуль в №. [Указание'.
предположить противное и сравнить степени редуцированных многочленов
1—/(A')7”1
и (1 — ^i-1) (1 — Рассуждение принадлежит Шевалле.]
(б) Усилить предыдущий результат, доказав, что число N нулей много-
члена f в № сравнимо с нулем по mod q. Рассуждать следующим обра-
зом. Пусть I — целое число 0. Показать, что
V1 Z___Г Я — 1= — если q — 1 делит I,
I 0 в противном случае.
Обозначим предыдущую функцию от i через ф (г). Показать, что
S d-zw"-1)
xCJ>Sn'i
и что для каждого набора (zb ..., in) целых чисел ^>0 будет
2 ^ •••*?=Чп)•••11’(Q-
X^kW
Показать, что оба члена в сумме для N дают 0 mod р. (Приведенное рассу-
ждение принадлежит Варнингу.)
(в) Распространить теорему Шевалле на г многочленов /ь ..., fr сте-
пеней dx, ..., dT соответственно от п переменных. Показать, что если эти
164
ГЛ V МНОГОЧЛЕНЫ
многочлены не имеют постоянных членов и п > У, d„ то у них есть нетри-
виальный общий нуль.
(г) Показать, что произвольная функция /: ^л) -> k может быть пред-
ставлена многочленом. (Как и прежде, k —• конечное поле.)
7. Пусть А — коммутативное целостное кольцо и X — переменная над А.
Пусть а, Ь£А, причем а — единица в А. Показать, что отображение X i—>
I—> аХ-ф- b продолжается и притом единственным образом до автоморфизма
кольца A [2С], индуцирующего тождественное отображение на А. Каков об-
ратный автоморфизм?
8, Показать, что любой автоморфизм кольца А [X] имеет вид, указанный
в упражнении 7.
9. Пусть А — коммутативное целостное кольцо, К— его поле частных и
К (X) — поле частных кольца А [X] (или, что то же самое, кольца К [2С]).
Показать, что всякий автоморфизм поля К (X), индуцирующий тождествен-
ное отображение на К, имеет вид
V. .
где а, Ь, с, d£K таковы, что (аХЬ)/(сХ-\- d) не лежит в К, или, что экви'
валентно, ad — be X 0.
10. Показать, что дискриминант многочлена аХ2 -ф- ЬХ -ф- с равен Ь2— 4ас.
11. Показать, что дискриминант многочлена f (X) = айХ3 -ф- а^Х2 -ф-
-ф а2Х -ф- а3 равен
а1а2 — ^'г0а2 — 4а^а3 — 27фф| -ф- 18аоа1а2а3.
В частности, дискриминантом многочлена f (20 = X3 -ф- ЬХ -ф- с будет—463 —
— 27с2.
12. Показать, что дискриминант многочлена обращается в нуль тогда и
только тогда, когда многочлен имеет кратный корень. (Вы можете предпола-
гать, что многочлен разлагается на множители степени 1 в некотором поле.)
13. Пусть w — некоторое комплексное число. Показать, что существует
постоянная с — с (w), для которой справедливо следующее. Пусть /•', G —
ненулевые многочлены от одной переменной с комплексными коэффициентами
степеней d и d' соответственно и R — их результант. Тогда
I R I < cd+d' [ + 1 1 ] I F |d' I G |d (d + d’)d+d'.
(Мы обозначаем через | F | максимум абсолютных значений коэффициентов
многочлена А.)
14. Показать, что можно определить простейшие дроби для положитель-
ных рациональных чисел, т. е получить разложение, аналогичное разложе-
нию из теоремы 8. Показать, что группа Q/Z изоморфна прямой сумме адди-
тивных групп Z[l/p]/Z, взятой по всем простым р. Обобщить на произволь-
ное кольцо главных идеалов А. Если К — поле частных кольца Л, то что
представляет собой KIA')
15. Следующее упражнение несколько труднее предыдущих. Пусть тп/п—
рациональное число, представленное в виде отношения взаимно простых
УПРАЖНЕНИЯ
165
целых чисел т, п. Назовем его высотой Н (т[п) максимум из | т |, | п |.
Пусть
— элемент из Q (Л), представленный в виде отношения двух взаимно про-
стых многочленов /, g. Назовем степенью элемента ср максймум из deg/,
deg g. Если число а £ Q таково, что g (а) /= 0, то мы можем образовать
ср (а) = / (a)/g (л); в этом случае мы говорим, что функция ср определена в а.
Пусть ср имеет степень d. Показать, что существуют две константы сь с2 > О,
такие, что для всех рациональных чисел а, в которых ср определена,
имеют место неравенства
с 1/7 (a)d < Н (ср (а) )< с2Н (a)d.
[Указание: одно из неравенств тривиально. Для получения другого показать,
что функция Н (x)d/H (ср (х)) ограничена.]
Глава VI
Нётеровы кольца и модули
$ /. Основные критерии
Пусть А — кольцо и М — модуль (т. е. левый Л-модуль). Мы
будем говорить, что модуль М нётеров, если он удовлетворяет
одному из следующих трех условий:
(i) Всякий подмодуль в М конечно порожден.
(ii) Всякая возрастающая последовательность подмодулей в М
My<^M2czM3c....
такая, что A1z#=AIZt1, конечна.
(iii) Всякое непустое множество S подмодулей в М содержит
максимальный элемент (т. е. такой подмодуль Л40, что для любого
элемента N из S, содержащего Л10, имеем W = А10).
Докажем теперь, что три предыдущих условия эквивалентны.
(1) (ii). Предположим, что имеется возрастающая последователь-
ность подмодулей в М. Пусть W — объединение всех Alz (/=1,2, . . .).
Тогда подмодуль N конечно порожден, скажем, элементами Ху, ...
. . ., хТ и каждая образующая лежит в некотором Л4(. Следовательно,
существует такой индекс у, что
ху, , xr £ Mj.
Тогда
(xlt ..., xr)c MjtzN = (xj, ..., xr),
откуда вытекает равенство Mj = N, и наше утверждение доказано.
(ii) =ф (iii). Пусть No—некоторый элемент из S. Если No не
максимален, то он содержится собственным образом в некотором
подмодуле Ny. Если Ny не максимален, то он содержится соб-
ственным образом в некотором подмодуле N2. По индукции, если
мы нашли подмодуль (Vz, который не максимален, то он содержится
в качестве собственного подмодуля в некотором подмодуле
Таким образом, мы смогли бы построить бесконечную цепочку, что
невозможно.
(iii)гф(i). Пусть N — подмодуль в М, a0£_N. Если М#=(а0), то
существует элемент ay £ N, не лежащий в (я0). Продолжая по ин-
§ I. ОСНОВНЫЕ КРИТЕРИИ
167
дукции, мы можем найти возрастающую последовательность подмо-
дулей в П, а именно
(а0)с(а0, aj)c:(a0, ах, а^с... ,
включение в которой всякий раз собственное. Множество этих
подмодулей содержит максимальный элемент, скажем подмодуль
(а0, аА...аг), и этот конечно порожденный подмодуль, очевидно,
должен быть равен АС что и требовалось показать.
Предложение 1. Пусть М—нётеров A-модуль. Тогда вся-
кий подмодуль и всякий фактормодуль модуля М нётеровы.
Доказательство. Наше утверждение очевидно для подмодулей
(скажем, в силу первого условия). Что касается фактормодулей, то
пусть А^ — некоторый подмодуль и f: М —> MfN — канонический
гомоморфизм. Пусть M1czM2cz...—возрастающая цепочка подмо-
дулей в MfN, и пусть (Mt). Тогда М2сд . . .—возрас-
тающая цепочка подмодулей в М, которая должна иметь максималь-
ный элемент, скажем Мг, так что М1 = МГ для 1^-г. Но/(7Иг) =
= Mt, что и доказывает наше утверждение.
Предложение 2. Пусть М — модуль, П — его подмодуль.
Предположим, что N и М/N нётеровы. Тогда М нётеров.
Доказательство. С каждым подмодулем L в М мы можем
связать пару модулей:
L^(L[\N, (L + N)IN).
Мы утверждаем: если EccF—такие два подмодуля в Л4, что связан-
ные с ними пары совпадают, то E — F. Чтобы убедиться в этом,
возьмем х £ F. В силу предположенного равенства (Е + N)/N —
= (F-\-N)[N существуют элементы и, и у£Е, такие, что
y-^u — x-^-v. Тогда
х—у = и— v£F (\N = Е(}П.
Так как х = у-^-и — v, то получаем отсюда, что х£Е, и наше
утверждение доказано. Если мы имеем возрастающую последователь-
ность
Ех(=.Е2с. ....
то связанные с ними пары образуют возрастающую последовательность
подмодулей в N и М/N соответственно и эти последовательности
должны стабилизироваться. Следовательно, наша последовательность
Егс1Е2а:.. . также стабилизируется в силу предыдущего утверждения.
Предложения 1 и 2 могут быть суммированы в следующем утвер-
ждении: в точной последовательности 0 —> ЛГ —> Л4 —>/И" —> О модуль
М нётеров тогда и только тогда, когда М' и М" нётеровы.
168
ГЛ. VI. НЁТЕРОВЫ КОЛЬЦА И МОДУЛИ
Следствие. Пусть М — модуль и N, N'—его подмодули.
Если М = N 4- N' и если оба модуля N, N' нётеровы, то М Не-
теров. Конечная прямая сумма нётеровых модулей нётерова.
Доказательство. Заметим сначала, что прямое произведение
N X N' нётерово, так как оно содержит W в качестве подмодуля,
фактормодуль по которому изоморфен АЛ, и применимо предложе-
ние 2. Имеет место сюръективный гомоморфизм
N X АЛ -> М,
при котором пара(х, х'), где x£N и x'£N', переводится в х-|- х'.
В силу предложения 1 отсюда вытекает, что М нётеров.
Для конечных произведений (или сумм) предложение доказывается
по индукции.
Кольцо называется нётеровым, если оно нётерово как левый
модуль над собой. Это означает, что всякий левый идеал конечно
порожден.
Предложение 3. Пусть А — нётерово кольцо и М — конечно
порожденный A-модуль. Тогда М нётеров.
Доказательство. Пусть х}, ,хп — образующие М. Тог-
да существует гомоморфизм
/: /1 X -4 X • • • X л-> -'И
произведения кольца А на себя п раз, при котором
/ («1................««) = +••-+ апхп.
Этот гомоморфизм сюръективен. В силу следствия из предыдущего
предложения произведение нётерово, и, следовательно, в силу пред-
ложения 1 модуль М нётеров.
Предложение 4. Пусть А — нётерово кольцо и ср: А—> В —
сюръективный гомоморфизм колец. Тогда В нётерово.
Доказательство. Пусть bj с ... с с ... —возрастающая це-
почка левых идеалов в В, и пусть а; = <р~1(Ь;). Тогда а; образуют
возрастающую цепочку левых идеалов в А, которая должна стаби-
лизироваться, скажем, на яг. Так как ср (аг) = Ь;- для всех г, то наше
предложение доказано.
Предложение 5. Пусть А—коммутативное нётерово
кольцо, S'— мультипликативное подмножество в А. Тогда коль-
цо S-1M нётерово.
Доказательство. Мы предоставляем доказательство читателю
в качестве упражнения.
§ 2. ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА
169
$ 2. Теорема Гильберта
Теорема 1. Пусть А — коммутативное нётерово кольцо.
Тогда кольцо многочленов Л[Л"] также нётерово.
Доказательство. Пусть 21— идеал в Д [X]. Обозначим
через ct(- множество элементов а£А, служащих старшими коэффи-
циентами в многочленах
«0 —. . . —аХ‘,
лежащих в 21. Тогда ясно, что есть идеал. (Если а, b лежат
в а,-, то а ± b лежит в аг; чтобы это увидеть, достаточно взять
сумму и разность соответствующих многочленов. Если х£А, то
ха £a.i — это сразу видно, если умножить соответствующий много-
член на х.) Кроме того, имеем
aocaic=a2cz. ..,
другими словами, наша последовательность идеалов {aj возрастаю-
щая. Действительно, умножив упомянутый выше многочлен на X,
мы найдем, что «Caz+i-
Последовательность идеалов {azj стабилизируется, скажем, на а/.
aoczaj са2с= ... = ftr+i = ....
Пусть
aoi....яоло — образующие для а0,
агХ....аГПг — образующие для аг.
Для каждого z' = 0....г и 7=1, ..., nt пусть //у- — многочлен
из 21 степени I со старшим коэффициентом а^. Мы утверждаем, что
многочлены f:j составляют множество образующих для 21.
Пусть f—многочлен степени d из 21. Индукцией по d мы до-
кажем, что f лежит в идеале, порожденном ftj. Пусть йД>0. Если
<7 > г, то заметим, что старшие коэффициенты многочленов
^d~rfn..... Xd-rfrnr
порождают ad. Следовательно, существуют элементы сг.сп £ А,
такие, что многочлен
f-C1Xa~rfrl-...-cnX^rfrnr
имеет степень < d, причем этот многочлен также лежит в а. Если
d г, то мы также можем получить многочлен степени < d, лежа-
щий в а, вычтя некоторую линейную комбинацию
f d' • • • С n^fdn^'
Заметим, что многочлен, который мы вычли из /, лежит в идеале,
порожденном fПо индукции мы можем найти такой многочлен g
170
ГЛ. VI. НЕТЕРОВЫ КОЛЬЦА И МОДУЛИ
в идеале, порожденном /гу, что / — g = 0, доказав тем самым нашу
теорему.
Следствие. Пусть А — нётерово коммутативное кольцо,
и пусть B = A[Xi, ... , хт]— конечно порожденное коммута-
тивное кольцо, содержащее А в качестве подкольца. Тогда В
нётерово.
Доказательство. Представив В как факторкольцо кольца
многочленов, применим теорему 1 и предложение 4.
§ 3. Степенные ряды
Пусть X— некоторый символ, и пусть G — моноид функций на
множестве {X} со значениями в множестве натуральных чисел. Для
всякого v£N обозначим через Xх' функцию, значение которой в X
равно v. Тогда G — мультипликативный моноид, с которым мы уже
сталкивались при рассмотрении многочленов. Его элементами будут
Х°, X1, X2, .... xv, ... .
Пусть А — коммутативное кольцо, и пусть А [ [X] ] — множество
функций из G в А, причем на эти функции не накладывается ника-
ких ограничений. Тогда всякий элемент из А[[X] ] можно рассмат-
ривать как элемент, сопоставляющий каждому одночлену Xv неко-
торый коэффициент av£A. Обозначим этот элемент через
1 avXv.
v = 0
Символ суммирования здесь, разумеется, только символ, но мы будем
тем не менее записывать предыдущее выражение также в виде
а0Хй->гагХ^+ ...
и называть его формальным степенным рядом от одной перемен-
ной с коэффициентами в А. Мы называем а0, alt ... коэффициен-
тами этого ряда.
Если даны два элемента из А [ [X] ], скажем
СС QO
и Еу",
v = 0 ji = 0
то мы определяем их произведение
2^,
1=0
полагая
о = 2 «Л-
V+|l"l
§ 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
171
Их суммой, как и в случае многочленов, будет по определению
2 (flv м •
v=0
Тогда видно, что степенные ряды образуют кольцо, причем доказа-
тельство этого факта то же самое, что и для многочленов.
Можно также построить кольцо степенных рядов от нескольких
переменных А [ [АГр .... А"„] ], в котором каждый элемент может
быть представлен в виде
2 a(v)^> ...*> = 2 ....Хп).
Коэффициенты выбираемые без всяких ограничений, находятся
во взаимно однозначном соответствии с наборами из п целых чисел
(Vj....v„), в которых vz О для всех I. Легко показать, что
существует изоморфизм между А [ [А"р . .., Хп] ] и кольцом повтор-
ных степенных рядов А [ [XJ ]. . . [ [Хя] ]. Мы предоставляем это
в качестве упражнения читателю.
Теорема 2. Если А нётерово, то А [ [X] ] также нётерово.
Доказательство. Наше рассуждение будет представлять
собой видоизменение рассуждения, использованного при доказатель-
стве теоремы Гильберта для многочленов. Мы будем рассматривать
элементы наименьшей степени вместо элементов наибольшей степени.
Пусть 21 — идеал в А [ [АГ] ]. Обозначим через az множество эле-
ментов а£А, таких, что а служит коэффициентом при Х‘ в неко-
тором степенном ряде
аХ‘-\- члены более высокой степени,
лежащем в 21. Тогда az—идеал в А и azczaz+1 (доказательство
этого утверждения такое же, как для многочленов). Возрастающая
цепочка идеалов стабилизируется:
ctocz^czc^a:... car = ar+1 = ... .
Как и прежде, пусть atj (Z = 0....г и / = 1.......raz) — образую-
щие для идеалов az, и пусть ftj — степенные ряды, имеющие
в качестве начальных коэффициентов. Если дан ряд /£21, начи-
нающийся с члена степени d, скажем d^r, то мы можем найти
элементы
С1.....cnd^A-
такие, что ряд
1 dl * • • ^nd^nd
172
ГЛ. VI. НЁТЕРОВЫ КОЛЬЦА И МОДУЛИ
начинается с члена степени 1. Действуя по индукции, мы
можем предполагать, что (/ > г. Тогда, чтобы получить ряд, начи-
нающийся с члена степени ~^>d-\- 1, используем линейную комбинацию
t (^) f __АР) yd—г t
J С] Л Jrl CnT-^- Jrnr-
Таким образом, если ряд начинается с члена степени d > г, то он
может быть представлен как линейная комбинация степенных рядов
/г1> • • • ’ fгпт
с коэффициентами
gi (Х) = 2 c(v)xv-r>..., (Х) = s
v=d v=d
и мы видим, что Jjj порождают наш идеал 21, что и требовалось
показать.
Следствие. Если А — поле или нётерово коммутативное
кольцо, то кольцо А [ [Xv ..., Хп] ] нётерово.
§ 4. Ассоциированные простые идеалы
В этом параграфе мы предполагаем, что А — коммутатив-
ное кольцо. Модули и гомоморфизмы, если не оговорено против-
ное, будут A-модулями и А-гомоморфизмами.
Предложение 6. Пусть S — мультипликативное подмно-
жество в А, причем S не содержит 0. Тогда в А существует
идеал, максимальный в множестве идеалов, не пересекающихся
с S, и всякий такой идеал является простым.
Доказательство. Существование такого идеала р следует
из леммы Цорна (множество идеалов, не пересекающихся с не пусто,
так как содержит нулевой идеал, и, очевидно, является индуктивно
упорядоченным). Пусть р — максимальный элемент в этом множестве.
Пусть a, b£A, ab£y, но а(£р и По предположению идеалы
(а, р) и (Ь, р), порожденные аир (или b и р соответственно), пе-
ресекаются с S, а потому существуют элементы s, s'£S, с, с' £ А,
р, р' ЕР- такие, что
s = ca-\-p и s' = c'b -)- р'.
Перемножив эти два выражения, получим
ss' — cc'ab -ф- р".
§ 4 АССОЦИИРОВАННЫЕ ПРОСТЫЕ ИДЕАЛЫ
173
где р" — некоторый элемент из р. Отсюда вытекает, что лежит
в р. Это противоречит тому факту, что р не пересекается с 5, и тем
самым доказывает, что идеал р простой.
Элемент а кольца А называется нильпотентным, если существует
целое число п 1, такое, что а" = 0.
Следствие 1. Элемент а кольца А нильпотентен в том
и только в том случае, если он лежит во всяком простом идеале
кольца А.
Доказательство. Если ап = 0, то й”^р для всякого про-
стого идеала р и, следовательно, а £ р. Если а" =£ 0 ни для какого
положительного числа п, то обозначим через S мультипликативное
подмножество, состоящее из степеней а, а именно {1, а, а2, ...},
и, согласно предложению, найдем простой идеал, не пересекающийся
с S, доказав тем самым обратное предложение.
Нильрадикалом идеала асзД называется множество всех а^А,
таких, что ап £ а для некоторого целого п 1 (или, что эквивалентно,
множество элементов а^А, образ которых в факторкольце Д/а ниль-
потентен). Заметим, что нильрадикал идеала а является идеалом, по-
скольку из а" = 0 и bm = Q следует (а-|- b)k = Q для достаточно
большого k: в биномиальном разложении либо а, либо b будет по-
являться в степени, не меньшей, чем п или т.
Следствие 2. Элемент а кольца А лежит в нильрадикале
идеала а тогда и только тогда, когда он лежит во всяком про-
стом идеале, содержащем а.
Доказательство. Следствие 2 эквивалентно следствию 1,
примененному к кольцу Д/а.
Распространим следствие 1 на модули. Сделаем сначала несколько
замечаний о локализации. Пусть S — мультипликативное подмножество
в А. Для всякого модуля М можно определить тем же спо-
собом, как мы определили 5-1Л. Рассматриваем классы эквивалентности
пар (х, s), где х £ М и s£S, причем две пары (х, в) и (х', s') экви-
валентны, если существует элемент £ S, такой, что Sj (s'x—sx') = 0.
Обозначим класс эквивалентности пары (х, s) через х/s. Тотчас про-
веряется, что множество классов эквивалентности — аддитивная группа
(относительно очевидных операций). В действительности она является
Д-модулем относительно операции
(a, x/s)\—>axfs.
Этот модуль классов эквивалентности мы и будем обозначать через
(Отметим, что можно было бы также рассматривать как
Д-модуль.)
174
ГЛ. VI. НЁТЕРОВЫ КОЛЬЦА И МОДУЛИ
Если р— простой идеал в Л и 5 — дополнение к р в А, то S-1Af
обозначается также через М$.
Из определений тривиально вытекает, что если N-+M— инъек-
тивный гомоморфизм, то имеется естественное вложение S~TN ->5-1Л4.
Другими словами, если N — подмодуль в М, то S~lN можно рас-
сматривать как подмодуль в 5-1Л4.
Если x£N и s£S, то дробь х/s может рассматриваться как эле-
мент из S~XN или Если x/s = Q в 5-1Л1, то существует эле-
мент s1^S, такой, что s{x = 0, а это означает, что x/s есть 0 также
и в S~lN. Таким образом, если р—простой идеал и N — подмодуль
в М, то имеется естественное вложение в Mf. Фактически мы
будем отождествлять с подмодулем в М$. В частности, мы видим,
что есть сумма своих подмодулей (Ах)?, где х £ М (но, разу-
меется, не прямая сумма).
Пусть х£М. Аннулятор а элемента х — это идеал, состоящий
из всех элементов а£А, таких, что ах = 0. Имеет место изоморфизм
(модулей)
А/а — > Ах
относительно отображения
а к-> ах.
Лемма. Пусть х — элемент модуля М, а — его аннулятор
и р — простой идеал в А. Тогда (Дл:)^ ф 0 в том и только в том
случае, если р содержит а.
Доказательство. Лемма является непосредственным след-
ствием определений, и ее доказательство предоставляется читателю.
Пусть а — элемент из А. Пусть М — некоторый модуль. Гомо-
морфизм
ху—>ах, х£М
будет называться главным гомоморфизмом, ассоциированным с а,
и будет обозначаться через ам. Мы будем говорить, что ам локально
нильпотентен, если для каждого х £ М существует такое целое число
и(х)^ 1, что ап (х]х = Q. Из этого условия следует, что для всякого
конечно порожденного подмодуля N в М существует такое целое
число n 1, что anN =0: достаточно взять в качестве п наибольшую
из степеней а, аннулирующих конечное множество образующих N.
Поэтому если модуль М конечно порожден, то гомоморфизм ам
локально нильпотентен в точности тогда, когда он нильпотентен.
Предложение 7. Пусть М — модуль, а £ А. Тогда ам ло-
кально нильпотентен в том и только в том случае, если а лежит
во всяком простом идеале р, для которого =# 0.
§ 4 АССОЦИИРОВАННЫЕ ПРОСТЫЕ ИДЕАЛЫ
175
Доказательство. Предположим, что ам локально нильпо-
тентен. Пусть р— простой идеал в А, такой, что =£ 0. Тогда су-
ществует х£М, для которого (Лх)?=А0. Пусть п— такое положи-
тельное число, что апх = 0. Обозначим через а аннулятор элемента х.
Тогда ап и, следовательно, мы можем, применив лемму и след-
ствие 2 предложения 6, заключить, что а лежит во всяком простом
идеале р, таком, что Л1р =А 0. Обратно, если дан элемент х£Л1,
х #= 0, то рассмотрим модуль Ах и, обратив предыдущие рассужде-
ния, докажем, что апх — 0 для некоторого п^>1, установив тем
самым локальную нильпотентность гомоморфизма ам.
Пусть М — модуль. Простой идеал р в А будет называться ассо-
циированным с М, если существует элемент х^М, аннулятор кото-
рого совпадает с р. Так как р #= А, то, в частности, х =А 0.
Предложение 8. Пусть Л4 — модуль =£0 и р—максималь-
ный элемент в множестве идеалов, являющихся аннуляторами
элементов х£М, х #= 0. Тогда р — простой идеал.
Доказательство. Пусть р — аннулятор элемента х =А 0. Тогда
р=£Д. Пусть a, b£A, ab£p, а£р. Тогда ах=£0. Но идеал (Ь, р)
аннулирует ах и содержит р. Если р максимален, то отсюда выте-
кает, что Jfp и, следовательно, р — простой идеал.
Следствие 1. Если кольцо А нётерово и М — модуль =£0,
то существует простой идеал, ассоциированный с М.
Доказательство. Множество идеалов, определенное в фор-
мулировке предложения 8, не пусто, поскольку М 4= 0, и содержит
максимальный элемент, поскольку А нётерово.
Следствие 2. Предположим, что и А, и М нётеровы, А1=А0.
Тогда существует последовательность подмодулей
/И =/Их =эД42 =э ... зэА1г = 0,
такая, что каждый фактормодуль изоморфен А?рг, где
рг — некоторый простой идеал.
Доказательство. Рассмотрим множество подмодулей, обла-
дающих свойством, описанным в формулировке следствия. Оно не
пусто, поскольку существует простой идеал р, ассоциированный с М,
и если р — аннулятор х, то Дх=5=Л/р. Пусть W— максимальный
элемент в этом множестве. Если N^M, то в силу предыдущего рас-
суждения, примененного к M}N, существует подмодуль N' в М, такой,
что N'/N изоморфен Д/р для некоторого р, а это противоречит ма-
ксимальности N.
176
ГЛ. VT. НЁТЕРОВЫ КОЛЬЦА И МОДУЛИ
Предложение 9. Пусть кольцо А нётерово и а£ А. Пусть
/И — модуль. Тогда гомоморфизм ам инъективен в том и только
в том случае, если а не лежит ни в одном из простых идеалов,
ассоциированных с /И.
Доказательство. Предположим, что ам не инъективен, так
что ах = 0 для некоторого х£М, х =f= 0. В силу следствия 1 пред-
ложения 8 существует простой идеал р, ассоциированный с Ах и а
есть элемент этого р. Обратно, если а№ инъективен, то а не может
лежать ни в каком ассоциированном простом идеале, потому что а
не аннулирует никакого ненулевого элемента из М.
Предложение 10. Пусть кольцо А нётерово и М — модуль.
Пусть а£А. Следующие условия эквивалентны:
(1) ам локально нильпотентен-,
(2) а лежит в каждом ассоциированном с Ж простом идеале:
(3) а лежит в каждом простом идеале р, для к второго 7Ир^=0.
Доказательство. То, что (1) влечет (2), очевидно из опре-
делений и не нуждается в предположении, что А нётерово. Не ну-
ждается в этом предположении и то, доказанное в предположении 7,
утверждение, что (3) влечет (1). Мы должны, таким образом, пока-
зать, что (2) влечет (3). Пусть р — простой идеал, для которого
4= 0. Тогда существует элемент х £ М, такой, что {Ах)^ =/= 0. В силу
предложения 8 в Я существует простой идеал q, ассоциированный
с {Ах}^. Следовательно, существует элемент yds в (Лх)р с у£Ах,
sftp и y/s^=0, аннулятор которого совпадает с q. Отсюда вытекает,
что qcp, так как иначе существовало бы причем 0-=by[s,
откуда y/s = 0 — противоречие.
Пусть теперь а,, ..., аг — конечное множество образующих идеала q.
Тогда для каждого Z=1......г существует элемент /г(£р, такой,
что /(az)' = 0. Очевидно, t~tx ... Zr(£p- Всякий элемент из q анну-
лирует элемент ty в М, и если a(ty) = 0 в /И, то ayfs = 0 в ТИр,
откуда a£q. Следовательно, q — аннулятор элемента ty в Л4, являю-
щийся ассоциированным с /И простым идеалом. Это как раз и тре-
бовалось установить.
Следствие. Пусть кольцо А нётерово и 7И — модуль. Сле-
дующие условия эквивалентны:
(1) существует только один ассоциированный с М простой
идеал:
(2) М 4= 0, и для всякого абА гомоморфизм ам либо инъек-
тивен, либо локально нильпотентен. При выполнении этих усло-
вий множество тех элементов а £ А, для которых ам локально
нильпотентен, совпадает с простым идеалом, ассоциированным с /И.
§ 5. ПРИМАРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
177
Доказательство. Это непосредственное следствие предложе-
ний 9 и 10.
Приводимое ниже предложение будет использовано в следующем
параграфе, чтобы при некоторых условиях охарактеризовать ассоции-
рованные с модулем простые идеалы.
Предложение 11. Пусть N — подмодуль в М. Всякий про-
стой идеал, ассоциированный с N, ассоциирован также и с М.
Любой ассоциированный с модулем М простой идеал ассоциирован
также либо с N, либо с М/Й.
Доказательство. Первое утверждение очевидно. Пусть
р — ассоциированный с М простой идеал, скажем р есть аннулятор
элемента х =(= 0. Если ДхПА/ = 0, то Ах изоморфен подмодулю из
М/N и, следовательно, р ассоциирован с М/N. Если ИхП^¥=0, то
мы рассматриваем Ах Г) N как модуль над целостным кольцом Д/р
и ясно, что аннулятор любого ненулевого элемента из Ах П N в Д/р
есть 0. Следовательно, его аннулятор в А есть р и р ассоциирован
с Д7, что и требовалось показать.
£ 5. Примарное разложение
Мы продолжаем предполагать, что А — коммутативное кольцо
и что модули (соответственно гомоморфизмы) — это А-модули
(соответственно А-гомоморфизмы), если не оговорено противное.
Пусть /И — модуль. Подмодуль Q в М называется примарным,
если Q =/= М и если для любого данного абА гомоморфизм ам/Q
либо инъективен, либо нильпотентен. Рассматривая А как модуль над
собой, мы получаем, что идеал q примарен тогда и только тогда,
когда он удовлетворяет следующему условию:
если a, A, ab£q и a то b"£q для некоторого п/>1.
Пусть Q — примарный подмодуль и р — идеал, состоящий из всех
элементов а£А, для которых ам/Q нильпотентен. Тогда р — простой
идеал. Действительно, предположим, что a, b£A, ab £р и а (£р.
Тогда aM/Q инъективен и, следовательно, a"j,Q инъективен для всех
и/> 1. Из нильпотентности (ab)M/Q теперь вытекает, что bM/Q должен
быть нильпотентен и, следовательно, что b^-f. Этим доказано, что
идеал р простой. Мы будем называть р простым идеалом, соответ-
ствующим Q, а также говорить, что Q р-примарен!).
') Говорят также, что Q принадлежит простому идеалу р. — Прим- ред.
178
ГЛ. VI. НЕТЕРОВЫ КОЛЬЦА И МОДУЛИ
Предложение 12. Пусть М— модуль, .... Qr — под-
модули, \>-примарные для одного и того же простого идеала р.
Тогда подмодуль П ... П Qr также у-примарен.
Доказательство. Положим N = Qj("| ... Qr- Пусть а£р,
и пусть nz таковы, что (<2.m/qz)”‘— О для каждого г=1.г; обо-
значим через п максимум из Пр .... пг. Тогда (Om/q)” = 0, так что
o-miq нильпотентен. Обратно, предположим, что а^у. Пусть х Q М,
x(^Qj для некоторого J. Тогда anx(£Qj для всех положительных п
и, следовательно, ам/Q инъективен. Это доказывает наше предложение.
Пусть W — подмодуль в М. Если W представлен в виде конеч-
ного пересечения примарных подмодулей, скажем
A^ = Qifl ... flQr.
то мы будем называть это представление примарным разложением
подмодуля N. Используя предложение 12, мы видим, что, сгруппи-
ровав Qi по их простым идеалам, мы всегда можем получить из
данного примарного разложения другое, в котором простые идеалы,
соответствующие примарным подмодулям, все различны. Примарное
разложение подмодуля N, в котором простые идеалы рь . . ., рг,
соответствующие <2.....Qr, различны, причем N не может быть
представлен в виде пересечения собственного подсемейства примар-
ных подмодулей {<21....Qr}, будет называться несократимым.
Вычеркивая некоторые из примарных модулей, участвующих в дан-
ном разложении, мы находим, что если подмодуль N обладает ка-
ким-то примарным разложением, то он обладает и несократимым
разложением. Мы докажем сейчас результат, дающий некоторое свой-
ство единственности несократимого примарного разложения.
Пусть Qj П ... (\Qr = N — несократимое примарное разложение,
причем pz соответствует Qz. Если pz не содержит никакого (у Ф i),
то мы говорим, что pz изолирован. Изолированные простые идеалы —
это, таким образом, те простые идеалы, которые минимальны в мно-
жестве простых идеалов, соответствующих примарным модулям Qz.
Теорема 3. Пусть N — подмодуль в М, и пусть
^=<г1п ... nQr=Q;n ... bq;
— два его несократимых примарных разложения. Тогда r — s.
Множество простых идеалов, соответствующих Qx, ...,Qr и
......Q'r, одно и то же. Если .........— множество изо-
лированных простых идеалов, соответствующих этим разложе-
ниям, то Q. = Q't для г=1..............т, другими словами, примар-
ные модули, принадлежащие изолированным простым идеалам,
однозначно определены.
§ 5. ПРИМАРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
179
Доказательство. Предположим, что, после возможной пере-
становки индексов, максимален в множестве простых идеалов, со-
ответствующих примарным модулям Q' и Qr и что pt =# ру для
У=1, .... $. Тогда существует такой элемент й^рр что a(£pz
(г = 2...г) и й^ру (7=1......$) Пусть п^>\— целое число,
для которого апМ с Qp Обозначим через N* модуль элементов
х £ М, таких, что anx£N. Мы утверждаем, что AT — Q2(~l ... f] Qr-
Ясно, что
Q2f] ... nQrc7V*.
Обратно, если х£М, x(£Qt для некоторого Z> 1, то anx^Qi, по-
скольку й(£рг. Следовательно, 7V*czQ2n ••• П Qr- Те же рассужде-
ния показывают, что если pj =# р' для J—1, .... $, то
о2п ... nQr=Q;n ... п<?;.
вопреки предположению, что наше представление N в виде пересе-
чения примерных модулей несократимо. Это доказывает, что pj встре-
чается в множестве (р{..p'j, скажем р1 = рр а также, что
Q2n ... nQf=<?;n ... ПС'.
Остается доказать единственность примарного модуля, принадле-
жащего изолированному простому идеалу, скажем рр По определе-
нию для каждого у = 2, ..., г существует йу £ ру, йу^рр Пусть
й = й2 ... аг—произведение этих элементов. Тогда й£ру для всех
У > 1, но й^Срр Мы можем найти целое число такое, что
йщ/еу = 0 для J — 2...г- ПУСТЬ
Nm = множество таких х£М, что amx£N.
Мы утверждаем, что Qj = Nm для всех достаточно больших т.
Этим будет доказана искомая единственность. Пусть x£Qp Тогда
атх Qi П ••• П Qr = М так что х £ Nm. Обратно, пусть х £ Nm,
так что amx£N и, в частности, amx^Ql. Так как й(£рр то по
определению й^/р, инъективен. Следовательно, х £ и тем самым
наша теорема доказана.
Теорема 4. Всякий подмодуль N нётерова модуля М обла-
дает примарным разложением.
Доказательство. Рассмотрим множество подмодулей в М,
не обладающих примарным разложением. Если это множество не
пусто, то ввиду нётеровости М оно имеет максимальный элемент,
189
ГЛ VI НЁТЕРОВЫ КОЛЬЦА И МОДУЛИ
который мы обозначим через N. Подмодуль N не примарен, т. е.
существует а£А, такое, что «м/v ни инъективен, ни нильпотентен.
Возрастающая последовательность модулей
Ker aMIN с Ker <= Ker a3M/N с .. .
стабилизируется, скажем, на arM/N. Обозначим эндоморфизм
arM/N-
через ср. Тогда Кегф2 = Кегф. Следовательно, 0 = КегфГ)1тф
и ни ядро, ни образ ср не равны 0. Веря прообраз в М, мы
видим, что N есть пересечение двух подмодулей в М, не рав-
ных N. Из максимальности W заключаем, что каждый из этих под-
модулей допускает примарное разложение, а потому и N допускает
примарное разложение —противоречие.
Мы закончим наше рассмотрение установлением связи между
простыми идеалами, принадлежащими примарному разложению, и
ассоциированными простыми идеалами, обсуждавшимися в предыду-
щем параграфе.
Предложение 13. Пусть А и М нётеровы. Подмодуль Q
в М примарен тогда и только тогда, когда с MIQ ассоциируется
в точности один простой идеал р; в этом случае р соответ-
ствует Q, т. е. Q ^-примарен.
Доказательство. Это непосредственное следствие определе-
ний и следствия предложения 10.
Теорема 5. Пусть А и М нётеровы. Ассоциированные с мо-
дулем М простые идеалы — это в точности простые идеалы,
соответствующие примарным модулям в несократимом примар-
ном разложении 0 в М. В частности, множество ассоциирован-
ных с модулем А1 простых идеалов конечно.
Докамтел ьств о. Пусть
0 = (?!П ... nQr
— несократимое примарное разложение 0 в М. Имеет место инъек-
тивный гомоморфизм
1=1
В силу предложения 11 из § 4 и предложения 13 мы заключаем,
что всякий ассоциированный с М простой идеал соответствует не-
которому Q(. Обратно, пусть N — Q2f] ... П Qr- Тогда N =/= 0,
поскольку наше разложение несократимо. Имеем
N = П/(П п Q0 (П + Qi)/Qi <= M!Q1-
УПРАЖНЕНИЯ
181
Итак, N изоморфен подмодулю в M[Qr и, следовательно, обладает
ассоциированным простым идеалом, который не может быть ничем
иным, как простым идеалом plt соответствующим Это доказывает
нашу теорему.
УПРАЖНЕНИЯ
Во всех упражнениях „кольцо" означает „коммутативное кольцо".
1. Пусть А — кольцо, а — идеал, содержащийся во всяком максимальном
идеале, и В — конечно пфюжденный A-модуль. Если аЕ = Е, то Е = 0.
[Указание: индукция по числу образующих. Выразить одну образующую
через другие, используя тот факт, что 1 а есть единица при а £ а. См.
лемму Накаямы в гл. IX.] Это утверждение применимо, в частности, к слу-
чаю, когда А = о— локальное кольцо и а = ш— его максимальный идеал.
Получить следующие два утверждения в качестве следствий:
Пусть Е — конечно порожденный о-модуль и F— его подмодуль.
Если Е = F -|" niE, то Е = F.
Если xh ..., хп — образующие для ш mod ш2, то они служат обра-
зующими для nt над о.
2. (Артин — Рис) Пусть А — нётерово кольцо, а — идеал, Е — конечно
порожденный модуль и F—подмодуль. Тогда существует целое число s>0,
такое, что для всех n'y>s имеем = all~s (asE(]F). [Указание: пусть
At = A[f[ и A't = А [а/] = JJ а!Чп. Если аь ..., ат — образующие идеала а,
то a^t, ..., amt— образующие кольца At, которое поэтому нётерово. Опре-
делить очевидным способом Et как А^-модуль JJ 1пЕ и аналогично опреде-
лить Ft. Пусть Et = AtEt — J j a.ntnE. Тогда Et — конечно порожденный
А(-модуль и Et(\Ft имеет конечное число образующих, включающих лишь
конечное число степеней t. Пусть ts — наибольшая из них; тогда
се з
П П Е) = E’t [}Ft — A't П tv (аУ Ер Е\
/z =-О v=0
Сравнение коэффициентов при tn для п s дает
anE(]F = a"~v(avEpE),
т = 0
откуда немедленно следует искомый результат.]
3. (К р у л л ь) В условиях предыдущего упражнения предположим, что
а содержится во всяком максимальном идеале кольца А. Тогда р апЕ = 0.
п=1
[Указание: положить Е = ра"Е и применить лемму Накаямы.] В частности,
пусть о — нетерово локальное кольцо и ш — его максимальный идеал. Тогда
n ,1,v = °-
v-1
182
ГЛ VI. НЁТЕРОВЫ КОЛЬЦА И МОДУЛИ
4. Пусть А — коммутативное кольцо, М — модуль, N — подмодуль и
jV= Q1f'| ... ПОг —его примарное разложение. Положим Qi — Qi/N. По-
казать, что 0=(?!П ... DQr — примарное разложение 0 в М/N. Сформу-
лировать и доказать обратное утверждение.
5. Пусть р — простой идеал и а, Ь — идеалы в А. Показать, что если
«Ь с: р, то а с р или b с: р.
6. Пусть q — примерный идеал, и пусть а, Ь — идеалы, удовлетворяющие
условию аЬ с q. Предположим, что идеал В конечно порожден. Показать,
что либо a a: q, либо существует положительное целое число л, такое, что
В" с: q.
7. Пусть А — нётерово кольцо и q — р-примарный идеал. Показать, что
•существует такое, что p”czq.
8. Пусть А — произвольное коммутативное кольцо, S — мультипликатив-
ное подмножество, р — простой идеал и q — р-примарный идеал. Тогда р
пересекает 5 в том и только в том случае, если q пересекает S. Кроме
того, если q не пересекает S, то S~'q будет S-1 р-примарным идеалом
в S-1A
9. Пусть as = S-1a, где a — идеал в А- Если q>5: Л-»5-1Я — канони-
ческое отображение, то Ч^1^) сокращенно обозначаем через asf)A
хотя бы и не было инъективным. Показать, что между простыми идеа-
лами из Л, не пересекающимися с S, и простыми идеалами из S Л суще-
ствует взаимно однозначное соответствие
PH->ps и Р5 I—>р$ПЛ = Р-
Доказать аналогичное утверждение с заменой простых идеалов на при-
мерные.
10. Пусть a = qi П • • • П qr — несократимое примарное разложение идеала.
Предположим, что qr ..., q£. не пересекают S, а qy. при j> i пересекают S.
Показать, что
aS = • • • П QzS
— несократимое примарное разложение идеала as-
11. Предположим, что кольцо А нётерово. Показать, что множество де-
лителей нуля в А является теоретико-множественным объединением всех
простых идеалов, соответствующих примарным идеалам в несократимом
примерном разложении 0.
Часть вторая
ТЕОРИЯ
ПОЛЕЙ
Эта часть связана с решениями алгебраических уравнений с одним
•или несколькими переменными. Это повторяющаяся тема каждой
главы части, и мы закладываем здесь фундамент для любого дальней-
шего изучения таких уравнений.
Если даны подкольцо А кольца В и конечное число много-
членов /1.....fn из Л [Хр .... Хп], то нас интересуют наборы
из п элементов (Ь1, .... £Л)£В(,!\ такие, что
Л(^1......ьп) = о
для i = 1, ..., г. При соответствующем выборе А и В это вклю-
чает в себя основную задачу диофантова анализа, когда А и В имеют
„арифметическую" структуру.
Мы изучим различные случаи сначала для уравнений с одним
переменным над произвольным полем, беря в качестве В алгебраи-
ческие расширения этого поля. Далее мы рассмотрим аспекты этого
вопроса, относящиеся к кольцевым структурам (целые расширения).
Затем мы перейдем к конечно порожденным кольцевым расширениям
и многочленам от нескольких переменных. Наконец, мы введем до-
полнительные структуры, такие, как вещественность или метрические
структуры, задаваемые абсолютными значениями. Каждая из этих
структур приводит к некоторым теоремам, описывающим структуру
решений указанных выше уравнений.
Глава VII
Алгебраические расширения
§ 1. Конечные а алгебраические расширения
Пусть F—поле. Если F— подполе поля Е, то мы говорим также,
что Е есть расширение поля F. Мы можем рассматривать Е как
векторное пространство над F, и мы говорим, что Е—конечное или
бесконечное расширение F, в зависимости от того, конечна или бес-
конечна размерность этого векторного пространства.
Пусть F—подполе поля Е. Элемент а из Е называется алге-
браическим над F, если в F существуют элементы а0..ап (и^>1),
не все равные 0 и такие, что
CQ-j-aja-j- ... +плап = 0.
Для алгебраического элемента а =# 0 мы всегда можем найти такие
элементы at в предыдущем равенстве, что а0 0 (сокращая на под-
ходящую степень а).
Пусть X— переменная над F. Можно также сказать, что эле-
мент а алгебраичен над F, если гомоморфизм
F [М] -+Е,
тождественный на F и переводящий X в а, имеет ненулевое ядро.
В таком случае это ядро будет главным идеалом, порожденным одним
многочленом р(Х), относительно которого мы можем предполагать,
что его старший коэффициент равен 1. Имеет место изоморфизм
F [Х\Цр (Х))^ F[a],
и так как кольцо F [а] целостное, то р (X) неприводим. Если р(Ху
нормализован условием, что его старший коэффициент равен 1, то
р (X) однозначно определяется элементом а и будет называться не-
приводимым многочленом элемента а над F. Иногда мы будем обо-
значать его через lrr(a, F, X).
Расширение Е поля F называется алгебраическим, если всякий
элемент из Е алгебраичен над F.
Предложение 1. Всякое конечное расширение Е поля F
алгебраично над F.
186
ГЛ. Vir. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
Доказательство. Пусть а££, а =£ 0. Степени а
1, а, а2, ..., а"
не могут быть линейно независимы над F для всех целых положи-
тельных п, иначе размерность Е над F была бы бесконечна. Линей-
ное соотношение между этими степенями показывает, что элемент а
алгебраичен над F.
Заметим, что утверждение, обратное предложению 1, не верно:
•существуют бесконечные алгебраические расширения. Позднее мы
увидим, что подполе поля комплексных чисел, состоящее из всех
чисел, алгебраических над Q, является бесконечным расширением Q.
Если Е—расширение поля F, то мы обозначаем символом
[£:F]
размерность Е как векторного пространства над F. Будем называть
,[Е: F] степенью Е над F. Она может быть бесконечной.
Предложение 2. Пусть k — поле и F с Е — расширения k.
Тогда
[Е:Л] = [£:/=] [F: А].
Если — базис поля F над k и — базис поля Е
над F, то {xzy?}(Z у)е/х/ будет базисом поля Е над k.
Доказательство. Пусть z£E. По предположению суще-
ствуют элементы ау- £ F, почти все равные нулю и такие, что
z = 2 аууу.
KJ
Для каждого JQJ существуют элементы bjt£k, из которых почти
все равны 0, такие, что
«/ = 2 b^Xi,
i^I
и, следовательно,
« = 22^ЛУу
j i
Это означает, что {xzy?} является семейством образующих для Е
над k. Мы должны показать, что оно линейно независимо. Пусть
[c(j]—семейство элементов из k, почти все из которых равны 0,
такое, что
2 2 CijXiyj = 0.
j i
Тогда для каждого j
2 CijXi = О,
§ t. КОНЕЧНЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
187
поскольку элементы у7- линейно независимы над F. Наконец, = О
для всякого i, так как {х;}—базис поля F над k, что и доказы-
вает наше предложение.
Следствие. Расширение EzzFzik поля k конечно в том и
только в том случае, если Е конечно над F и F конечно над k.
Как и в случае групп, мы называем башней полей последова-
тельность расширений
ВДс . . . ccFn.
Для конечности башни необходимо и достаточно, чтобы каждый ее
этаж был конечен.
Пусть k — поле, Е—его расширение и а^Е. Мы обозначаем
через £(а) наименьшее подполе в Е, содержащее k и а. Оно со-
стоит из всех дробей /(«)/£ (а), где /, g— многочлены с коэффи-
циентами в k и g (а) =/= 0.
Предложение 3. Пусть элемент а алгебраичен над k.
Тогда £(а) = й[а] и поле k(a) конечно над k. Степень [k (а): k}
равна степени многочлена 1гг (а, k, X).
Доказательство. Пусть p(A") = Irr(a, k, X). Пусть много-
член f (X)£k[X] таков, что /(а)#=0. Тогда f (X) не делится на
р(Х) и, следовательно, существуют многочлены g (X), h(X)£k[X],
такие, что
g{X)p{X)^-h{X)f{X)=\.
Отсюда мы получаем, что А(а)/(а)=1 и, значит, f (а) обратим
в А: [а]. Следовательно, k [а] не только кольцо, но и поле, а потому
должно быть равно /г (а). Пусть d = degp(X). Степени
1, а, . . ., ad-1
линейно независимы над k; действительно, предположим, что
Ч~ = 0,
где £ k, причем не все — 0. Положим g (А") = а0-(-... -\-ad_1Xd~'1.
Тогда g =F 0 и g (a) = 0. Следовательно, g (X) делится на р (X) — про-
тиворечие. Наконец, пусть /(a)££[a], где f (X)£k[X], Сущест-
вуют многочлены q(X), r(X)£k\X], такие, что degr<d и
f(X) = q(X)p(X) + r(X).
Тогда /(a) = r(a) и мы видим, что 1, а, ad-1 порождают k [aj
как векторное пространство над k. Это доказывает наш-е предло-
жение.
Пусть Е, F — расширения поля k. Если Е и F содержатся в не-
котором поле L, то мы обозначаем через EF наименьшее подполе
в L, содержащее и Е, и F, и называем его композитом Е и F в L,
188
ГЛ. VII. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
Если не заданы вложения Е, F в общее поле L, то мы не можем
определить их композит.
Пусть k — подполе в Е, а{, .... ап — элементы из Е. Мы обо-
значаем через
А: («1...а„)
наименьшее подполе в Е, содержащее k и , ап. Его элементы
состоят из всех дробей
/(«1. «»)
g (а,, ..ап) ’
где /, g— многочлены от п переменных с коэффициентами в k и
g(a]t .... ап)=5^0. Действительно, множество таких дробей образует
поле, содержащее k и ар ..., ап. Обратно, любое поле, содержа-
щее k и
«1....ап-
должно содержать эти дроби.
Заметим, что Е является объединением всех своих подполей
k(av .... ап), когда (а;...а„) пробегает все конечные подсемей-
ства элементов из Е. Можно было бы определить композит произ-
вольного подсемейства подполей поля L как наименьшее подполе,
содержащее все поля этого семейства. Мы говорим, что Е конечно
порождено над k, если существует конечное семейство элементов
а,....ап из Е, такое, что
Е = k (dp . .., ot„).
Мы видим, что Е есть композит всех своих конечно порожденных
лодполей над k.
Предложение 4. Всякое конечное расширение Е поля k
конечно порождено.
Доказательство. Пусть {ар ..., а„} — базис поля Е как
векторного пространства над k. Тогда, очевидно, E=k(ax...а„).
Если £'=fe(a1.....а„)— конечно порожденное поле и F—рас-
ширение поля k, причем как F, так и Е содержатся в А, то
EF = F («!....а„)
и поле EF конечно порождено над F. Мы часто будем рисовать
такую картинку:
EF
к
§ 1. КОНЕЧНЫЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
189
Наклонные линии указывают на отношение включения между полями.
Мы будем также называть расширение EF поля F подъемом Е до F.
Пусть элемент а алгебраичен над полем k и F — расширение k.
Предположим, что оба поля k (a), F содержатся в некотором поле L.
Тогда а алгебраичен над F. Действительно, неприводимый много-
член для а над k a fortiori имеет коэффициенты в F и дает линейную
зависимость между степенями а над F.
Пусть нам дана башня полей
kak (ajcfe (dp a2)c: ... a.k(ai...........an),
причем каждое поле порождено над предыдущим одним элементом.
Предположим, что каждый элемент az алгебраичен над k, 1=1. п.
В качестве частного случая нашего предыдущего замечания получаем,
что az+1 алгебраичен над k(aY..az). Следовательно, каждый этаж
башни — алгебраический.
Предложение 5. Пусть E = k (az.........a„)— конечно поро-
жденное расширение поля k, причем az алгебраичен над k для
каждого 1=1.......п. Тогда Е—конечное алгебраическое расши-
рение поля k.
Доказательство. В силу предыдущих замечаний Е можно
считать вершиной башни, каждый из этажей которой порождается
одним алгебраическим элементом и потому является конечным по
предложению 3. Ввиду следствия предложения 2 мы заключаем, что Е
конечно над k и что оно алгебраично—в силу предложения 1.
Пусть — некоторый класс расширений Fa:E. Мы будем назы-
вать класс отмеченным, если он удовлетворяет следующим условиям:
(1) Пусть kczFс.Е — башня полей. Расширение kc.E принадле-
жит тогда и только тогда, когда kc.F и Fс.Е принадлежат <ё‘.
(ii) Если kc.E принадлежит ¥>, а F — любое расширение поля k
и если Е, F оба содержатся в некотором поле, то F с:ЕЕ принад-
лежит с(з .
(iii) Если kczF и /гсД принадлежат , причем F, Е—-подполя
некоторого общего поля, то kt=EF принадлежит <*f.
Указанные свойства иллюстрируются следующими диаграммами:
190
ГЛ. VIE АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
Эти структурные диаграммы чрезвычайно полезны при обращении
с расширениями.
Заметим, что (iii) формально следует из первых двух условий.
Действительно, можно рассматривать EF над k как башню с эта-
жами kczFc:EF.
Что касается обозначений, то иногда удобнее писать Е/F вместо
FczE. Это не может привести к смешению с факторгруппами, так
как мы никогда не будем использовать записи Е/F для обозначения
соответствующей факторгруппы в тех случаях, когда Е — расшире-
ние поля F.
Предложение 6. Класс алгебраических расширений является
отмеченным, и то же самое относится к классу конечных рас-
ширений.
Доказательство. Рассмотрим сначала класс конечных рас-
ширений. Мы уже доказали условие (i). Что касается (ii), то пред-
положим, что E/k конечно, a F—любое расширение поля k. В силу
предложения 4 существуют элементы cq, .... а„£Е, такие, что
E — k («j....а„). Тогда EF = F (ctj......а„) и, следовательно,
EF/F конечно порождено алгебраическими элементами. Используя
предложение 5, заключаем, что EFjF конечно.
Рассмотрим теперь класс алгебраических расширений. Пусть
kc^FccE
— башня. Предположим, что Е алгебраично над k. Тогда a fortiori
F алгебраично над k и Е алгебраично над F. Обратно, предполо-
жим, что каждый этаж в башне алгебраический. Пусть а£Е. Тогда
а удовлетворяет уравнению
апаЛ+ ••• Н~а0 = 0’
где a(£F, причем не все az = 0. Пусть FQ = k(an, .... а0). Тогда
Fo конечно над k в силу предложения 5 и а алгебраичен над Fo.
Из наличия башни
k<=F0 = k(an.....a^cF^a)
и из того факта, что каждый этаж в этой башне конечен, заклю-
чаем, что FQ(a) конечно над k, следовательно, а алгебраичен над k.
Это доказывает, что Е алгебраично над k и что, таким образом,
условие (i) выполняется для алгебраических расширений. Выполнение
условия (ii) уже отмечалось раньше: при подъеме алгебраический
элемент остается алгебраическим и, следовательно, алгебраическое
расширение при подъеме также остается алгебраическим.
Замечание. Верно, что конечно порожденные расширения также
образуют отмеченный класс, но рассуждение, необходимое для дока-
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ЗАМЫКАНИЕ
191
зательства условия (i), может быть выполнено лишь с применением
более сложной техники, чем та, которой мы располагаем сейчас. См.
главу о трансцендентных расширениях.
§ 2. Алгебраическое замыкание
В этом и в следующем параграфе мы будем иметь дело с вложе-
ниями одного поля в другое. В связи с этим введем соответствующую
терминологию.
Пусть Е— расширение поля F, и пусть
о: F->L
— вложение (т. е. инъективный гомоморфизм) F в L. Тогда о инду-
цирует изоморфизм поля F с его образом oF, который мы иногда
будем обозначать также через Fa. Вложение т поля Е в L назы-
вается вложением над о, если ограничение т на F равно о. Мы
говорим также, что т продолжает о. Если о — тождественное вло-
жение, то мы говорим, что т есть вложение поля Е над F.
Эти определения можно было бы дать и в более общих катего-
риях, поскольку все зависит лишь от того, имеют ли смысл диа-
граммы
Е——+L
вкл'| вклА^у'вкл.
F------>L F
а
Замечание. Пусть f(X)£F(X)— многочлен, скажем f(X) =
= a0-f- ••• и пусть а — корень f в Е. Тогда
О = /(а) = ао4-а1а4- ... 4-ала”.
Если, как и выше, т продолжает о, то мы видим, что та будет
/Я
корнем многочлена / , поскольку
0 = т(/(а)) = а“ а”(та)4- ... -|-а’(та)я.
Здесь мы пишем аа вместо о (а). Это экспоненциальное обозна-
чение часто бывает удобно и будет неоднократно использоваться
в дальнейшем. Аналогично мы пишем Fa вместо o(F) или oF.
При изучении вложений нам будет полезна одна лемма, относя-
щаяся к вложениям алгебраических расширений в себя. Предвари-
тельно отметим, что если о: E^>L — вложение над k (т. е. инду-
цирующее тождественное отображение на k), то о можно рассматри-
вать как Л-гомоморфизм векторных пространств, потому что и Е,
и L могут рассматриваться как векторные пространства над k.
192
ГЛ. VII. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
Лемма 1. Пусть Е—алгебраическое расширение поля k, и
пусть о: Е->Е— вложение Е в себя над k. Тогда о — автомор-
физм.
Доказательство. Так как гомоморфизм ст инъективен, то
достаточно доказать, что он сюръективен. Пусть а — произвольный
элемент из Е, р (X) — его неприводимый многочлен над k и Е' — под-
поле в Е, порожденное всеми корнями многочлена р(Х), лежащими
в Е. Тогда Е' — конечно порожденное и, следовательно, будет ко-
нечным расширением над k. Кроме того, о должно переводить вся-
кий корень многочлена р (X) в корень того же самого многочлена
и, следовательно, о отображает Е' в себя. Мы можем рассматри-
вать о как ^-гомоморфизм векторных пространств, поскольку о инду-
цирует тождественное отображение на k. Так как отображение о
инъективно, то образ о(Е') есть подпространство в Е', имеющее
ту же размерность, что и [Е'-. £]. Следовательно, о(Е'~) = Е'. Так
как абЕ', то отсюда вытекает, что а лежит в образе отображения ст,
и наша лемма доказана.
Пусть Е, F—расширения поля k, содержащиеся в некотором
большем поле L. Мы можем образовать кольцо Е [Л], порожденное
элементами F над Е. Тогда EF будет полем частных этого кольца,
а также полем частных кольца F[£], Ясно, что элементы из Е [F]
могут быть записаны в виде
-j- • • + aifin'
где at£E и b^F. Таким образом, EF есть поле отношений этих
элементов.
Лемма 2. Пусть Ev Е2— расширения поля k, содержащиеся
в некотором большем поле Е, и пусть о — вложение поля Е
в поле L. Тогда 0 (ЕгЕ2) = <з (EJ <з (Е2).
Доказательство. Применяя ст к отношению элементов ука-
занного выше вида, скажем
/%А+---+^М a^+...+аХ
ст -------------- =------------------,
| /, / . . / . / I /о./о . . /<т /(J
\ я161 + • • + атЬт / Й1 Ь1 + • • • + ат Ьт
мы видим, что образом служит элемент из о (£\) о (Е^). Отсюда ясно,
что образ о(ЕхЕ2) есть о (Е^ о (Е2).
Пусть k — поле, / (20— многочлен степени ^-1 из k [20. Рас-
смотрим задачу отыскания такого расширения Е поля k, в котором f
имеет корень. Если р (26)— неприводимый многочлен в k[X], деля-
щий f (X), то любой корень р(Х) будет также корнем f (X), так
что мы можем ограничиться неприводимыми многочленами.
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ЗАМЫКАНИЕ
193
Пусть />(Х)— неприводимый многочлен. Канонический гомомор-
физм
о: k[X]->k\X]!(p(X))
индуцирует на k гомоморфизм, ядром которого служит 0, поскольку
всякий ненулевой элемент из k, будучи обратимым в k, порождает
единичный идеал, а 1 не лежит в ядре. Пусть Е,— образ X при
гомоморфизме о, т. е. о (X) есть класс вычетов Х mod(Д’).
Тогда
/(У = /(Х%(Р(Х))’ = О.
Следовательно, элемент Е есть корень многочлена рп и как таковой
алгебраичен над ok. Таким образом, мы нашли расширение поля ok.
а именно ok(Е), в котором ра имеет корень.
С помощью несложного теоретико-множественного рассуждения
мы сейчас докажем
Предложение 7. Пусть k — поле и f — многочлен из k [Д]
степени ^>1. Существует расширение Е поля k, в котором f
имеет корень.
Доказательство. Можно предполагать, что многочлен / — р
неприводим. Мы показали, что существуют поле F и вложение
о: k->F,
такие, что ра имеет корень Е в Р- Пусть S— множество той же
мощности, что и F — ok (дополнение ok в F), и не пересекающееся
с k. Положим E=k{]S. Мы можем продолжить о: k-^-F до биек-
ции Е на F. Определим теперь на Е структуру поля. Если х, у£Е,
то полагаем
ху = о“'(о(х)о(у)),
х + у = о-1 (о (х) + о (у)).
При ограничении на k эти операции совпадают с заданными опера-
циями сложения и умножения нашего исходного поля k и ясно, что k
есть подполе в Е. Положим а — о-1(Е)- Тогда ясно также, что
р(а) = 0, что и требовалось доказать.
Следствие. Пусть k — поле и J\, .... fn — многочлены из
/г|Д] степеней ^>1. Тогда существует расширение Е поля k,
в котором каждый имеет корень, Z=1.......п.
Доказательство. Пусть Е{— расширение, в котором
имеет корень. Мы можем рассматривать /2 как многочлен над Ех.
Пусть Е2— расширение Ех, в котором /2 имеет корень. Продолжая
по индукции, немедленно получаем наше следствие.
194
ГЛ. Vir. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
Поле L называется алгебраически замкнутым, если всякий мно-
гочлен из /-[А'] степени 1 имеет в L корень.
Теорема 1. Для всякого поля k существует алгебраически
замкнутое поле L, содержащее k в качестве подполя.
Доказательство. Сначала мы построим расширение Ех поля k,
в котором всякий многочлен из k [Д’] степени 1 имеет корень.
Можно действовать следующим образом (Артин). Каждому много-
члену f из k [-V] степени 1 сопоставим символ X Пусть S—мно-
жество всех таких символов Xf (так что S находится в биективном
соответствии с множеством многочленов из k [Л"] степени 1). Обра-
зуем кольцо многочленов k [S]. Мы утверждаем, что идеал, поро-
жденный всеми многочленами /(Xр в k [S], не является единичным.
Если бы это было не так, то существовала бы конечная комбинация
элементов из нашего идеала, равная 1:
£i/i (*/,) + +£п/«(^/„)=1.
где £/С&[5]. Для простоты будем писать Xt вместо Xfi. Много-
члены включают в действительности только конечное число пере-
менных, скажем Хг.....Х^ (где N^ri). Наше соотношение тогда
гласит:
п
2 £1(^1......^)/,.(Xz)=l.
Пусть F— конечное расширение, в котором каждый многочлен
......fn имеет корень, скажем аг есть корень в F при
Z= 1, .... п. Положим а; —0 при I > п. Подставив ai вместо Xt
в наше соотношение, мы получим 0=1 — противоречие.
Пусть m — максимальный идеал, содержащий идеал, порожден-
ный всеми многочленами f (Xв k [S]. Тогда k [Sj/m— поле и мы
имеем каноническое отображение
о: k[S]-^k [S]/m.
Для всякого многочлена /£&1Х] степени 1 многочлен имеет
корень в поле k [S]/m, которое является расширением поля ok.
Используя теоретико-множественное рассуждение того же типа, что
и в предложении 7, мы заключаем, что существует расширение Ег
поля k, в котором каждый многочлен f [А"] степени 1 имеет
корень.
По индукции мы можем построить такую последовательность
полей
Е^ссЕ^сгЕ^с.... cz£ncz ....
§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ЗАМЫКАНИЕ
195
что каждый многочлен из Еп[Х] степени 1 имеет корень в Еп+1.
Пусть Е — объединение всех полей Еп, п=1, 2......... Тогда Е,
естественно, является полем, поскольку для любых х, у£Е найдется
номер п, такой, что х, у£Еп, и мы можем взять произведение ху
или сумму x-j-y в Еп. Эти операции, очевидно, не зависят от вы-
бора того п, для которого х, у£Еп, и определяют структуру поля
на Е. Всякий многочлен из Е [Д'] имеет коэффициенты в некотором
подполе Еп и, следовательно, обладает корнем в ЕплЛ, а тем самым
и корнем в Е, что и требовалось доказать.
Следствие. Для всякого поля k существует расширение k,
алгебраическое над k и алгебраически замкнутое.
Доказательство. Пусть Е — алгебраически замкнутое рас-
ширение поля k, и пусть k—объединение всех подрасширений из Е,
алгебраических над k. Тогда k алгебраично над k. Пусть элемент
а£Е алгебраичен над k. Тогда а алгебраичен над k в силу предло-
жения 6. Если f — многочлен степени 1 из &[Х], то / имеет
корень а в Е и алгебраичен над k. Следовательно, а лежит в k и k
алгебраически замкнуто.
Заметим, что если L—алгебраически замкнутое и f^L\X\ имеет
степень )>1, то существует с £ L и ctj..an£L, такие, что
f(X) = c(X — cq) ... (Х — аД.
Действительно, f имеет корень ахъ L, так что f(X) = (X—а1)§'(Д'),
где g (X) £ L [Д']. Если d&gg^l, то мы можем повторить это рас-
суждение и по индукции представить f в виде произведения членов
(Д'— а;) (7 — 1....п) и некоторого элемента c^L. Отметим, что с
совпадает со старшим коэффициентом многочлена /, т. е.
/ (Д') — сХп -ф- члены меньшей степени!
Следовательно, если коэффициенты / лежат в подполе k поля L, то
с £ k.
Пусть k — поле и о: k—>L — вложение k в алгебраически замк-
нутое поле L. Мы хотим исследовать продолжения о на алгебраиче-
ские расширения Е поля k. Начнем с рассмотрения частного случая,
когда Е порождено одним элементом.
Пусть £‘ = fe(a), где а алгебраичен над k,
p(X) — hr(a, k, X).
Пусть р — корень многочлена р° в L. Всякий данный элемент из
&(a) = fe[a] мы можем записать в виде /(а), где f (Д') £ k [Д'] — не-
который многочлен. Определим продолжение о как отображение
/(а)н^Г (р).
196
ГЛ. VII АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
Это отображение, на самом деле, правильно определено, т. е. не
зависит от выбора многочлена f (А'), использованного для предста-
вления нашего элемента в k [а]. Действительно, если многочлен g (X)
лежит в k [X] и таков, что g(a) = /(ct), то (g— f) (a) = 0, а потому
р (Д') делит g (X)—f (X). Следовательно, р° (X) делит ga (X)—f~ (X)
и, таким образом, g°(p) = /J(p). Далее, очевидно, что наше ото-
бражение есть гомоморфизм, индуцирующий о на k, и что оно слу-
жит продолжением о на k(a). Таким образом, получаем
Предложение 8. Число возможных продолжений о на k(a)
не превосходит числа корней многочлена р, а именно равно числу
различных корней р.
Это важный факт, который мы позже проанализируем подробнее.
А сейчас нас интересуют продолжения о на произвольные алгебраи-
ческие расширения k. Мы получим их, используя лемму Цорна.
Теорема 2. Пусть k — поле, Е — его алгебраическое расши-
рение и о: k—>L— вложение k в алгебраически замкнутое поле L.
Тогда существует продолжение о до вложения Е в L. Если Е
алгебраически замкнуто и L алгебраично над ok, то любое такое
продолжение о будет изоморфизмом поля Е на L.
Доказательство. Пусть S— множество всех пар (Д, т), где
F—подполе в Е, содержащее k, и т—продолжение о до вло-
жения F в L. Мы пишем (F, т') для таких пар (F, т)
и (F', т'), если Fc.F' и r/|F = r. Отметим, что множество S не
пусто [оно содержит (k, о)] и индуктивно упорядочено: если {(F;, rz)}
линейно упорядоченное подмножество, то положим F— (J F; и опре-
делим т на F, положив его равным т; на каждом /\. Тогда (F, т)
служит верхней гранью для этого линейно упорядоченного подмно-
жества. Применяя лемму Цорна, находим (К, Е)—максимальный эле-
мент в S. Тогда X есть продолжение о, и мы утверждаем, что К—Е.
В противном случае существует а£Е, а(£К; в силу предыдущего
вложение X имеет продолжение на К (а) вопреки максимальности
{К, К). Таким образом, существует продолжение о на Е. Мы обо-
значаем это продолжение снова через о.
Если Е алгебраически замкнуто и L алгебраично над ok, то оЕ
алгебраически замкнуто и L алгебраично над о(Е), следовательно,
L = оЕ.
В качестве следствия получаем некую теорему единственности для
„алгебраического замыкания" поля k.
Следствие. Пусть k— поле и Е, Е'—алгебраические рас-
ширения над k. Предположим, что Е, Е' алгебраически замкнуты.
Тогда существует изоморфизм
т: Е\->Е’
§ 2 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ЗАМЫКАНИЕ
197
поля Е на Е', индуцирующий тождественное отображение
на k.
Доказательство. Продолжим тождественное отображение
поля k до вложения Е в Е' и применим теорему.
Мы видим, что алгебраически замкнутое и алгебраическое расши-
рение поля k определено однозначно с точностью до изоморфизма.
Всякое такое расширение будет называться алгебраическим замы-
канием k и будет обозначаться через k. Фактически, если не ого-
ворено противное, символ k мы будем использовать только для обо-
значения алгебраического замыкания.
Теперь стоит рассмотреть общую ситуацию с изоморфизмами и
автоморфизмами в общих категориях.
Пусть — категория и А, В — объекты в Л. Обозначим через
iso(/l, В) множество изоморфизмов А на В. Предположим, что суще-
ствует по крайней мере один такой изоморфизм о: А —> В с обрат-
ным о-1: В-^-А. Если ср — автоморфизм объекта А, то о ° ср:
А—>В— снова изоморфизм. Аналогично, если ф— автоморфизм В,
то фо о: А—>В — снова изоморфизм. Кроме того, группы автомор-
физмов Aut(M) и Aut(B) изоморфны относительно взаимно обратных
отображений
ср ।—> о о ср о о-1,
о-1 о ф о а <—। ф.
Автоморфизм оосроо-1 определяется тем, что делает коммутативной
следующую диаграмму:
А——+В
<р I | <т о ср о а-1
4- 4
А------>В
а
Аналогичную диаграмму имеем и для а-1офоо.
Пусть т: А -> В—какой-нибудь другой изоморфизм. Тогда т~’ о а
есть автоморфизм объекта А и то о-1 — автоморфизм В. Таким обра-
зом, два изоморфизма отличаются на автоморфизм (объекта А или В).
Мы видим, что группа Aut(B) действует на множестве Iso (Л, В)
слева, a Aut(A) — на множестве Iso (А, В) справа.
Мы видим также, что группа Aut(A) определена однозначно
с точностью до отображения, аналогичного сопряжению Это совер-
шенно не похоже на тот тип единственности, который свойствен
универсальным объектам в категории. Такие объекты имеют лишь
тождественный автоморфизм и, следовательно, определены с точно-
стью до однозначно определенного изоморфизма.
Не так обстоит дело в случае алгебраического замыкания поля,
которое обычно имеет большое количество автоморфизмов. Большая
198
ГЛ. VII. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
часть этой главы и вся следующая глава посвящены изучению этих
автоморфизмов.
Примеры. Позже в этой книге будет доказано, что поле ком-
плексных чисел алгебраически замкнуто. Комплексное сопряжение
является автоморфизмом поля С. Имеется и еще много автоморфиз-
мов, но уже не непрерывных. Мы рассмотрим другие возможные
автоморфизмы в главе о трансцендентных расширениях. Подполе
поля С, состоящее из всех чисел, алгебраических над Q, есть алге-
браическое замыкание Q поля Q. Легко видеть, что Q счетно. Дей-
ствительно, докажите в качестве упражнения следующее утверждение.
Если k — поле, не являющееся конечным, то любое алгебраи-
ческое расширение над k имеет ту же мощность, что и k.
(Если k счетно, то можно сначала перенумеровать все многочлены
над k, а затем перенумеровать все элементы произвольного алге-
браического расширения.)
В частности, Q =Р С. Для поля R вещественных чисел R = C.
Если k—конечное поле, то алгебраическое замыкание k поля k
счетно. Позднее в этой главе мы во всех подробностях опишем при-
роду алгебраических расширений конечных полей.
Не все интересные поля являются подполями поля комплексных
чисел. Например, представляет интерес исследовать алгебраические
расширения поля С(Х), где X— переменная над С. Изучение этих
расширений равносильно изучению разветвленных накрытий сферы
(рассматриваемой как риманова поверхность), и фактически имеется
точная информация о природе таких расширений, поскольку известна
фундаментальная группа сферы, из которой выколото конечное число
точек. Мы вернемся к этому примеру позднее, когда будем рассма-
тривать группы Галуа.
§ 3. Поля разложения и нормальные расширения
Пусть k — поле, f — многочлен из k [X] степени ^-1. Под по-
лем разложения К многочлена / мы будем понимать расширение К
поля k, в котором / разлагается на линейные множители, т. е.
f{X) = c{X — ax) ... (Х-ап),
где 1—\, .... п, причем K = k(aA.......ап~) порождается
всеми корнями f.
Теорема 3. Пусть К — поле разложения многочлена f (X) £
£ k [X]. Если Е — какое-нибудь другое поле разложения /, то
существует изоморфизм о: Е->К, индуцирующий тождествен-
§ 3. ПОЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ И НОРМАЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
199
ное отображение на k. Если kc.Kc.k, где k — алгебраическое
замыкание k, то любое вложение поля Eek, индуцирующее
тождественное отображение на k, — обязательно изоморфизм Е
на К.
Доказательство. Пусть К—алгебраическое замыкание поля К.
Тогда К алгебраично над k и, следовательно, является его алгебраи-
ческим замыканием. В силу теоремы 2 существует вложение
о: Е->К,
индуцирующее тождественное отображение на k. Имеем разложение
на множители
f(X) = c(X-^ ... (Х-₽я),
где Z —1............п. Старший коэффициент с лежит в k. Полу-
чаем
f(X) = f(X) = c(X-^ ... (Х-Ор„).
Но в Х[Х] разложение на множители однозначно. Так как f имеет
в К [X] разложение
/(Х) = с(Х—ttj) ... (X —ая),
то набор (орр .... ор„) отличается от (ар .... ал) только переста-
новкой. Отсюда заключаем, что opz£X для *=1...........п и что,
следовательно, оЕс.К. Но K — k(a.lt ..., ал) = £(ор1, .... оря) и,
значит, аЕ = К, поскольку Е — A(pb ..., рл). Это доказывает нашу
теорему.
Отметим, что всякий многочлен f (X) £k[X] имеет поле разло-
жения, а именно поле, порожденное всеми его корнями в данном
алгебраическом замыкании k поля k.
Пусть / — некоторое множество индексов и {/z}zg/— семейство
многочленов из k[X] степеней 2>1. Под полем разложения для
этого семейства мы будем понимать расширение К поля k, такое,
что всякий /z разлагается в К [X] на линейные множители, причем К
порождается всеми корнями всех многочленов /z, i^I. В большин-
стве приложений мы будем иметь дело с конечным множеством ин-
дексов I, но рассмотрение бесконечных алгебраических расширений
приобретает все большее значение, и мы с ними систематически
будем сталкиваться. Следует также заметить, что доказательства раз-
личных утверждений, которые мы будем приводить, не стали бы
проще, если бы мы ограничились конечными расширениями.
Пусть k — алгебраическое замыкание поля k, — поле разло-
жения многочлена f z в k. Композит полей Xz будет полем разложе-
ния для нашего семейства, так как оба условия, определяющие поле
200
ГЛ. VII. алгебраические расширения
разложения, очевидно, выполняются. Кроме того, теорема 3 неме-
дленно распространяется на бесконечный случай.
Следствие. Пусть К — поле разложения для семейства
и Е — какое-нибудь другое поле разложения. Любое вложе-
ние Е в К, индуцирующее тождественное отображение на k,
определяет изоморфизм Е на К.
Доказательство. Мы сохраняем предыдущие обозначения.
Заметим, что Е содержит однозначно определенное поле разложе-
ния Е( многочлена /(. и К содержит однозначно определенное поле
разложения Kt многочлена /г. Любое вложение о поля Е в К должно-
отображать Et на Kt в силу теоремы 3 и, следовательно, переводить
Е в К. Так как К есть композит полей К;, наше отображение о
должно переводить Е на К и, следовательно, оно индуцирует изо-
морфизм Е на К.
Замечание. Если I конечно и /р .... fn — наши многочлены,,
то поле разложения для них — это поле разложения для одного мно-
гочлена /(Д') = /j (Д') . . . fn (Д'), являющегося их произведением.
Однако, даже если ограничиться только конечными расширениями,
удобнее иметь дело сразу с множествами многочленов, а не с одним,
многочленом.
Теорема 4. Пусть К — алгебраическое расширение поля k,
содержащееся в некотором его алгебраическом замыкании k. Тогда
следующие условия эквивалентны:
НОР 1. Всякое вложение о поля К в k над k является авто-
морфизмом поля К.
НОР 2. К—поле разложения некоторого семейства много-
членов в &[.¥].
НОР 3. Всякий неприводимый в k [Х\ многочлен, имеющий
корень в К, разлагается в К на линейные множители.
Доказательство. Предположим, что выполняется НОР 1.
Пусть а—элемент из К, ра(Х) — его неприводимый многочлен над
k и р— корень многочлена ра в k. Тогда существует изоморфизм
поля /г (о.) на fe(P) над k, отображающий а в р. Продолжим этот
изоморфизм до вложения К в k. Это продолжение есть по предпо-
ложению автоморфизм о поля К, и, следовательно, сга = р лежит в К.
Значит, всякий корень многочлена ра лежит в К и ра разла-
гается на линейные множители в К [Д']. Следовательно, К есть поле-
разложения для семейства {/?а}а£К’ где а пробегает все элементы
поля R, и тем самым выполняется НОР 2.
§ 3. ПОЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ И НОРМАЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
201
Обратно, предположим, что выполняется НОР 2, и пусть —
семейство многочленов, для которых К служит полем разложения.
Если а—корень некоторого в К, то мы знаем, что оа также
будет его корнем для любого вложения о поля К в k над k. Так
как К порождается корнями всех многочленов ft, то о отображает
Л' в себя. Теперь, чтобы заключить, что о—автоморфизм, при-
меняем лемму 1.
Доказательство того факта, что НОР 1 влечет НОР 2, показывает
также, что при этом выполняется и НОР 3. Обратно, предположим,
что выполняется НОР 3. Пусть о—вложение К в k над k. Пусть
ч^К и р (X)—неприводимый многочлен элемента а над k. Так
как о — вложение К в k над k, то о отображает а в корень |3 много-
члена р(А’), а по предположению р лежит в К. Следовательно,
оа лежит в К и о отображает К в себя. Из леммы 1 вытекает, что
о— автоморфизм.
Расширение К поля k, удовлетворяющее условиям НОР 1, НОР 2,
НОР 3, будет называться нормальным. Не верно, что класс нор-
мальных расширений является отмеченным. Например, легко показать,
что всякое расширение степени 2 нормально, но расширение Q (ф^2)
поля рациональных чисел не является нормальным (комплексные
корни многочлена X4—2 в нем не содержатся). Тем не менее это
расширение получается последовательными расширениями степени 2,
а именно
£=Q (/2)z)Fz)Q,
где _ _
F — Q (а), и Е = F (ф^а).
Таким образом, башня нормальных расширений не обязательно нор-
мальна. Однако некоторые свойства отмеченного класса все же имеют
место.
Теорема 5. Нормальные расширения остаются нормаль-
ными при подъеме. Если K^E^k и К нормально над k, то К
нормально над Е. Если Klt К2 нормальны над k и содержатся
в некотором поле L, то К\К2 нормально над k и то же самое
справедливо для П Л’г-
Доказательство. Для доказательства нашего первого утвер-
ждения предположим, что К нормально над k и F — произвольное
расширение поля k. Допустим, что К, F содержатся в некотором
большем поле L. Пусть о — вложение KF над F (в L). Тогда ото-
бражение о тождественно на F и, следовательно, на k и по пред-
положению его ограничение на К отображ&ет К в себя. Получаем
(KF)a = KaFa = KF, т. е. KF нормально над F.
202
ГЛ. VII. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
Предположим, что Kz^Eak и что К нормально над k. Пусть о —
некоторое вложение К над Е. Тогда о есть также вложение К над k,
и наше утверждение справедливо по определению.
Наконец, если Ку, К2 нормальны над k, то для любого вложения
о поля над & имеем
и наше утверждение снова вытекает из сделанных предположений.
Утверждение, касающееся пересечения, справедливо потому, что
о {Ку П К2) = о {Ку) П о {К2).
Заметим, что если К—конечно порожденное нормальное рас-
ширение над k, скажем K — k{ay, .... ал), и ру, . .., рп — соот-
ветствующие неприводимые многочлены для щ...а„ над k, то К
есть уже поле разложения для конечного семейства рг, .... рп. Позже
мы исследуем, когда К будет полем разложения для одного непри-
водимого многочлена.
$ 4. Сепарабельные расширения
Пусть Е — алгебраическое расширение поля F и
<у: F—>L
— вложение F в алгебраически замкнутое поле L. Исследуем более
подробно продолжения о на Е. Любое такое продолжение о ото-
бражает Е на подполе в L, алгебраическое над aF. Таким образом,
для наших целей мы можем предполагать, что L алгебраично над oF
и, следовательно, совпадает с алгебраическим замыканием поля oF.
Обозначим через Sa множество продолжений о до вложения Е в L.
Пусть L' — другое алгебраически замкнутое поле, и пусть
т: F -> И — вложение. Мы предполагаем, как и выше, что U есть
алгебраическое замыкание поля xF. В силу теоремы 2 существует
изоморфизм А: /,—>//, продолжающий отображение т°о-1, опреде-
ленное на oF, Это иллюстрируется следующей диаграммой:
------l
<—Е— >
I
xF +—F—+GF
Обозначим через Sx множество вложений Е в L', продолжающих х.
Если a*£5a—продолжение а до вложения Е в L, то А ° о* будет
продолжением х до вложения Е в L', поскольку при ограничении
на F мы имеем
А. о о* = т ° о * о о = х.
§ 4 СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
203
Таким образом, Т индуцирует отображение Sg в <$т. Ясно, что об-
ратное отображение индуцируется изоморфизмом Z-1 и, следовательно,
Sa, Sx приводятся во взаимно однозначное соответствие отображением
O*->ZoO*.
В частности, мощность 50, ST одна и та же. Таким образом, эта
мощность зависит только от расширения Е/F; мы будем обозначать
ее через
: /Ъ
и называть сепарабельной степенью Е над Е. Она представляет
интерес главным образом в том случае, когда Е/F конечно.
Теорема 6. Для всякой башни E^F^k
[Е . k\s=[E . F\S[F k]s.
Если, кроме того, Е конечно над k, то [Е: конечна и
[Е : /г]5 < [Е: А].
Таким образом, сепарабельная степень не превосходит степени.
Доказательство. Пусть о: k —>L — вложение поля k в алге-
браически замкнутое поле L, [oz}(.z— семейство различных продол-
жений о на F, и для каждого I пусть {г^}— семейство различных
продолжений oz на Е. В силу доказанного выше каждое oz имеет
ровно [Е : Е]5 продолжений до вложения Е в L. Множество вложе-
ний {тгу} содержит ровно
[Е: Е]5[Е:^
элементов. Всякое вложение Е в L над о должно быть одним из т/у.,
и, таким образом, мы видим, что первая формула выполняется, т. е.
имеет место мультипликативность сепарабельных степеней в башнях.
Что касается второго утверждения, то предположим, что Е//г
конечно. Тогда мы можем получить Е как башню расширений, каждый
этаж которой порождается одним элементом
Ас=й(а1)с=/г(а1, а2)с: ... ..., аг) = Е.
Если мы определим индуктивно Ev+i = Fv (av+1), то в силу предло-
жения 8 из § 2 будем иметь
(®V+1) < IFV (av+l) :
Таким образом, наше неравенство выполняется для каждого этажа
башни. В силу мультипликативности отсюда вытекает, что неравенство
справедливо для расширения E/k, что и требовалось показать.
Следствие. Преть Е конечно над k и E=)Fzc>k. Равенство
(Е : &]5 = [Е : k] выполняется тогда и только тогда, когда соот-
204
ГЛ. VII. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
ветствующее равенство выполняется для каждого этажа башни,
т. е. для EjF и F/k.
Доказательство. Очевидно.
Позднее будет показано (это нетрудно показать), что [Д:
делит степень [Д: &], когда Е конечно над k. Определим [Д : k]t как
частное, так что
[Д : &]5 [Д : k\i = [Д : &].
Из мультипликативности в башнях степени и сепарабельной степени
вытекает, что символ [Д: k]t также мультипликативен в башнях. Мы
будем иметь с ним дело в § 7.
Пусть Д — конечное расширение поля k. Мы будем говорить,
что Д сепарабельно над k, если [Д : = [Д : k\. Алгебраический
над k элемент а называется сепарабельным над k, если k(a) сепа-
рабельно над k. Мы видим, что это условие эквивалентно тому, что
неприводимый многочлен Irr (a, k, X) не имеет кратных корней.
Многочлен f (Х)£Дг[Х\ называется сепарабельным, если у него
нет кратных корней. Если а — корень сепарабельного многочлена
g (X) £ k [X], то неприводимый многочлен элемента а над k делит g
и, следовательно, а сепарабелен над k.
Сейчас мы сделаем несколько дополнительных замечаний к пред-
ложению 8. Читатель может опустить эти замечания, если он инте-
ресуется только полями характеристики 0 или сепарабельными расши-
рениями.
Пусть f(X) — (X— d)m g (X) — многочлен из k [X], причем g (X)
не делится на X —- а. Напомним, что т называется кратностью а в /.
Мы говорим, что а —кратный корень /, если т > 1. В противном
случае мы говорим, что а—простой корень.
Предложение 9. Пусть а — алгебраический элемент над k,
a£k, и пусть f(X) — Irr (а, k, X). Если char k = 0, то все корни
многочлена / имеют кратность 1 (/ сепарабелен). Если char^=p>0,
то существует целое число р^О, такое, что всякий корень f
имеет кратность pt1. Далее,
[k (а): k] = р» [А (а) : А]5
и элемент арЦ сепарабелен над k.
Доказательство. Пусть ap ..., аг — различные корни мно-
гочлена / в k и т — кратность корня а = а1 в /. Для всякого
1 г существует изоморфизм
a: k (a) —> k (az)
над k, для которого oa = az. Продолжим о до автоморфизма поля k;.
будем обозначать это продолжение по-прежнему через о. Так как
§ 4. СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
205
коэффициенты / лежат в k, то = /. Заметим, что
/(Х)=П(Х-оа;)"\
I =1
где т1 — кратность at в f. В силу однозначности разложения на
множители заключаем, что/пг = /и1 и, следовательно, все mt равны
одному и тому же целому числу т.
Рассмотрим производную /' (X). Если / и /' имеют общий корень,
то а будет корнем многочлена меньшей степени, чем deg/. Это
невозможно, за исключением случая, когда deg f =—сю, другими
словами, когда производная /' тождественно равна 0. Если харак-
теристика равна 0, этого не может произойти. Следовательно, если /
имеет кратные корни, то мы имеем случай характеристики р и
/ (%) = g (Хр) для некоторого многочлена g (X) k [X]. Поэтому
ар— корень многочлена g, степень которого <deg/. Продолжая
по индукции, мы получим наименьшее целое число такое, что apil
является корнем сепарабельного многочлена из k [АГ], а именно такого
многочлена h, для которого
f (X) = h(Xpp\
Сравнивая степени / и g, заключаем, что
[6(a): k(ap)] = р.
По индукции находим
[/г (а): k (а₽ц)] =
Так как h имеет корни кратности 1, то
[&(а₽и): Аг], = [fc(<х<) : &]
и, сравнивая степени многочленов / и h, мы видим, что число раз-
личных корней у / равно числу различных корней у h. Следовательно,
[/г (а): Аг] = [k (а₽м) : k]s.
Отсюда наша формула для степеней вытекает в силу мультиплика-
тивности, так что утверждение доказано. Отметим, что корнями
многочлена h являются
а/".....af.
Следствие 1. Для любого конечного расширения Е поля k
сепарабельная степень [£: делит степень [Z?: Аг]. Частное
равно 1 в случае поля характеристики 0 и равно некоторой
степени р в случае поля характеристики р > 0.
Доказательство. Разложим E/k в башню, каждый этаж
которой порождается одним элементом, и применим предложение 9
с учетом мультипликативности наших индексов в башнях.
206
ГЛ. VII. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
Если Elk конечно, то мы называем
[£:*)
несепарабельной, степенью (или степенью несепарабельности) и
обозначаем ее через [£ : &]z. Таким образом,
[£:й]5 [£:A]Z = [£:£].
Следствие 2. Конечное расширение сепарабельно тогда и
только тогда, когда [Е : й]г- = 1.
Доказательство. По определению.
Следствие 3. Если EzzF'zzk— два конечных расширения, то
[f :/s]z = [Д : f]z [Л : й]г.
Доказательство. Очевидно.
Отметим, что если элемент а сепарабелен над k и F—произ-
вольное расширение поля k, то а сепарабелен над F. Действительно,
если f — сепарабельный многочлен из k [X], для которого /(а) = 0,
то, поскольку коэффициенты f лежат также и в Л, а сепарабелен
и над F. (Можно сказать, что сепарабельный элемент остается сепа-
рабельным при подъеме.)
Теорема 7. Пусть Е — конечное расширение поля k. Тогда
для сепарабельности Е над k необходимо и достаточно, чтобы
каждый элемент из Е был сепарабельным над k.
Доказательство. Пусть Е сепарабельно над k и а£Е. Рас-
смотрим башню
k cz k (a) cz Е.
В силу теоремы б мы должны иметь равенство [&(«): k\ = \k (а): &]s,
означающее, что а сепарабелен над k. Обратно, предположим, что
каждый элемент из Е сепарабелен над k. Мы можем записать
E = k(a1, ..., ал), где каждый az сепарабелен над k. Рассмотрим
башню
k cz k (az) cz k (ар ct2) cz ... cz k (ap .. ., ал).
Будучи сепарабельным над k, каждый элемент ctz сепарабелен над
й(ар .... az_z) при z 2. Следовательно, по теореме о башне Е
сепарабельно над k.
Заметим, что наше последнее рассуждение показывает, что если Е
порождается конечным числом элементов, каждый из которых сепа-
рабелен над k, то Е сепарабельно над k.
Пусть Е—произвольное алгебраическое расширение поля k. Бу-
дем говорить, что Е сепарабельно над k, если всякое его конечно
§ 4. СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
207
порожденное подрасширение сепарабельно над k, т. е. если всякое
расширение &(«!.....ап), где otp .... ап£Е, сепарабельно над k.
Теорема 8. Пусть Е — алгебраическое расширение поля k,
порожденное семейством Если каждый элемент а(- сепа-
рабелен над k, то Е сепарабельно над k.
Доказательство. Всякий элемент из Е лежит в некотором
конечно порожденном подполе kfa^, .... как мы отметили выше,
каждое такое подполе сепарабельно над k. Следовательно, в силу
теоремы 7, всякий элемент из Е сепарабелен над k, что и завершает
доказательство.
Теорема 9. Сепарабельные расширения образуют отмечен-
ный класс расширений.
Доказательство. Пусть Е сепарабельно над k и Е о F о k.
Всякий элемент из Е сепарабелен над F, и всякий элемент из F,
будучи элементом из Е, сепарабелен над k. Следовательно, каждый
этаж в башне сепарабелен. Обратно, предположим, что Е гэ F гэ k —
некоторое расширение, для которого EIF сепарабельно и F[k сепа-
рабельно. Если Е конечно над k, то мы можем применить теорему 6.
А именно мы имеем равенство сепарабельной степени и степени в каж-
дом этаже башни, откуда в силу мультипликативности вытекает ра-
венство степеней для Е над k.
Пусть теперь Е бесконечно и а£Е. Тогда а будет корнем сепа-
рабельного многочлена /(А”) с коэффициентами из F. Пусть этими
коэффициентами будут ап, .... а0. Положим F0 = k(an.......а0).
Тогда Fo сепарабельно над k и а сепарабелен над Fo. Теперь из
рассмотрения конечной башни
k cz Fo <=. Fo (а)
заключаем, что F0(a) сепарабельно над k и что, следовательно,
а сепарабелен над k. Это доказывает условие (i) в определении „от-
меченности".
Пусть Е сепарабельно над k и F—произвольное расширение
поля k, причем оба расширения Е, F являются подполями некоторого
поля. Всякий элемент из Е сепарабелен над k, а потому сепарабелен
над F. Так как EF порождается над F всеми элементами из Е,
то EF сепарабельно над F в силу теоремы 8. Это доказывает усло-
вие (ii) в определении „отмеченности" и завершает доказательство
нашей теоремы.
Пусть Е — конечное расширение над k. Пересечение всех нор-
мальных расширений К поля k (в алгебраическом замыкании Е), со-
держащих Е, есть нормальное расширение над k, которое содержит Е
и, очевидно, является наименьшим нормальным расширением поля k.
208
ГЛ. VII. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
содержащим Е. Если ап — все различные вложения Е в Е,
то расширение
К = (OjE) (о2Е) . . . (о„Е),
композит всех этих вложений, является нормальным расширением k.
Действительно, любое его вложение, скажем т, мы можем применить
к каждому расширению oz£; тогда (rOj....то„) будет перестанов-
кой совокупности (О!............... ст„) и, следовательно, т отображает К
в себя. Всякое нормальное расширение поля k, содержащее Е, должно
содержать otE для каждого I, и, таким образом, наименьшее нор-
мальное расширение поля k, содержащее Е, в точности равно
композиту
(о^) . . . (опЕ).
Если Е сепарабельно над k, то из теоремы 9 с помощью индук-
ции заключаем, что наименьшее нормальное расширение поля k, со-
держащее Е, также сепарабельно над k.
Аналогичные результаты будут справедливы и для бесконечного
алгебраического расширения Е поля k, если взять бесконечный ком-
позит. Что касается терминологии, то если Е—алгебраическое рас-
ширение поля k и о—произвольное вложение Е в k над k, то мы
называем поле оЕ сопряженным с Е в k. Мы можем сказать, что
наименьшее нормальное расширение поля k, содержащее Е, есть
композит всех сопряженных с Е подполей в Е.
Пусть а—алгебраический элемент над k. Если ......— раз-
личные вложения поля k (а) в k над k, то мы называем элементы
OjU....ага сопряженными с а в А. Этими элементами являются
попросту различные корни неприводимого многочлена над k, соот-
ветствующего элементу а. Наименьшее нормальное расширение поля k,
содержащее один из этих сопряженных элементов, совпадает
с k (с^а, .... ora).
§ 5. Конечные поля
Мы получили достаточно общих теорем для того, чтобы описать
строение конечных полей. Это интересно само по себе, а также дает
примеры к общей теории.
Пусть F — конечное поле из q элементов. Как мы уже отмечали
раньше, имеется гомоморфизм
Z—>F,
переводящий 1 в 1, ядро которого не может быть 0, и, следовательно,
является главным идеалом, порожденным простым числом р, по-
§ 5. КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ
209
скольку Z/рТ. вкладывается в F, a F не имеет делителей 0. Таким
образом, F имеет характеристику р и содержит поле, изоморфное Z/pZ.
Заметим, что поле ZIpZ не имеет других автоморфизмов, кроме
тождественного. Действительно, любой автоморфизм должен отобра-
жать 1 в 1 и, следовательно, оставляет каждый элемент на месте,
так как 1 аддитивно порождает Т^рТ.. Будем отождествлять Z/pZ
с его образом в F. Тогда F есть векторное пространство над Z/pZ,
причем это векторное пространство должно быть конечномерным,
поскольку F конечно. Пусть его размерность будет га, и пусть
........—базис для F над ZjpZ. Всякий элемент из р имеет
единственное представление в виде
«1®! —I- . . —йлыл,
где га, £ Z/pZ. Следовательно, q = pn.
Мультипликативная группа F* поля F имеет порядок q—1. Вся-
кий элемент а £ F" удовлетворяет уравнению А"7-1 = 1. Следовательно,
всякий элемент из F удовлетворяет уравнению
/(Х) = Xq — Х = 0.
Это означает, что многочлен f (X) имеет q различных корней в F,
а именно все элементы из F. Следовательно, f разлагается в F на
множители степени 1, а именно
X" — X = П (X — «).
а'Р
В частности, F есть поле разложения для /. Но поле разложения
однозначно определено с точностью до изоморфизма. Следовательно,
если конечное поле порядка рп существует, то оно однозначно опре-
делено с точностью до изоморфизма как поле разложения много-
п
члена Хр —X над Z/pZ.
Для краткости будем обозначать Z/pZ также через Fp. Пусть
га — целое число 1. Рассмотрим поле разложения многочлена
ХрП — X = / (X)
в алгебраическом замыкании Fp. Мы утверждаем, что это поле раз-
ложения совпадает с множеством корней многочлена / (X) в Fp.
Действительно, пусть а, р— корни. Тогда
(а 4- р)р" — (а-Д- р) = ар"д- рр” — а — р = 0,
откуда а Д-р — корень. Точно так же
пП пп пП
(ар)р — ар = ар рр — ар = ар — ар — 0
210
ГЛ. VII. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
и, значит, ар — корень. Отметим, что 0, 1 — корни /(X). Если
Р =£ 0, то
(Г1/—Р"1=(pH-1—Р’1=о.
так что р-1 — корень. Наконец,
_Л Пп
(-₽/ -(-₽)=(- 1/ р₽ +₽.
Если р нечетно, то (—1)₽ =—1, и мы видим, что —р — корень.
Если р четно, то —1 = 1 (в Z/2Z) и, следовательно, —Р = Р — ко-
рень. Это доказывает наше утверждение.
Производная многочлена / (X) равна
/(Х) = рпХрП~х — 1 = —1.
Следовательно, у /(X) нет кратных корней, и, значит, он имеет рп
различных корней в Fp. Таким образом, его поле разложения со-
держит ровно рп элементов. Суммируем наши результаты.
Теорема 10. Для всякого простого числа р и всякого це-
лого числа п 1 существует поле порядка рп, обозначаемое сим-
волом Fpn, однозначно определенное как подполе в алгебраическом
замыкании Fp. Это поле разложения многочлена
хрП — X,
и его элементы —корни этого многочлена. Всякое конечное поле
изоморфно одному и только одному из полей Fрп.
Мы обычно полагаем рп — q и пишем F? вместо Fpn.
Следствие. Пусть У q — конечное поле и т — целое число ^>1.
В данном алгебраическом замыкании F? существует одно и
только одно расширение поля F? степени т, и этим расширением
является поле Удт.
Доказательство. Пусть q = рп. Тогда qm = ртп. Поле раз-
т
ложения многочлена Xя — X есть в точности У ртп и имеет сте-
пень тп над Z/pZ. Так как Ff/ имеет степень п над Z/pZ, ТО Fgn
имеет степень т над F?. Обратно, любое расширение степени т над F?
имеет степень тп над Fp и, следовательно, должно совпадать с Fртп.
Это доказывает наше следствие.
Теорема 11. Мультипликативная группа конечного поля —
циклическая.
Доказательство. Это уже было доказано в гл. V, § 4,
теорема 6.
§ 6. ПРИМИТИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
211
Опишем все автоморфизмы конечного поля.
Пусть q = рп и F?—конечное поле из q элементов. Рассмотрим
отображение Фробениуса
<р:
такое, что ф(х) = хр. Очевидно, ф—гомоморфизм и его ядро равно О,
поскольку F? — поле. Следовательно, ф инъективно. Так как Fg ко-
нечно, то отсюда вытекает, что ф сюръективно и что, следовательно,
ф— изоморфизм. Отметим, что он оставляет Fp неподвижным.
Теорема 12. Группа автоморфизмов поля F? является цик-
лической группой порядка п с образующей ф.
Доказательство. Пусть G—группа, порожденная ф. Заме-
тим, что ф" = id, поскольку ср" (х) — хргг — х для всех x^F?. Сле-
довательно, п — показатель для ф. Пусть d—период ф, так что
d~^>\. Имеем <ра(х) — xpd для всех x^Fg. Следовательно, всякий
элемент х £ F? является корнем уравнения
xpd — Х = 0.
Это уравнение имеет самое большее pd корней. Следовательно, d'^n,
откуда d = n.
Остается доказать, что G совпадает с группой всех автоморфиз-
мов поля F9. Любой автоморфизм поля F? должен оставлять Fp
на месте, т. е. являться автоморфизмом Fg над Fp. В силу теоремы 6
из § 4 число таких автоморфизмов п. Следовательно, F? не может
иметь никаких других автоморфизмов, кроме тех, что содержатся в G.
Теорема 13. Пусть т, п—целые числа 1. Поле FрП со-
держится в Fрт тогда и только тогда, когда т делится на п.
Если это так, то положим q=pn и т-nd. Тогда Fрт нор-
мально и сепарабельно над F? и группа автоморфизмов поля F т
над F? есть циклическая группа, порожденная отображением ф".
Доказательство. Все утверждения теоремы являются три-
виальными следствиями уже доказанного выше, и их проверка предо-
ставляется читателю.
£ 6. Примитивные элементы
Теорема 14. Пусть Е — конечное расширение поля k. Эле-
мент а£Е, для которого E — k(a), существует тогда и только
тогда, когда имеется лишь конечное число промежуточных по-
212
ГЛ. VII. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
лей F: k cz F с. Е. Если Е сепарабельно над k, то такой эле-
мент а существует.
Доказательство. Если k конечно, то, как мы знаем, муль-
типликативная группа поля Е порождается одним элементом, который
тем самым порождает и Е над k. Поэтому будем предполагать, что k
бесконечно.
Предположим, что существует лишь конечное число подполей,
промежуточных между k и Е. Пусть а, р £ Е. Когда с пробегает
элементы из k, мы можем получить лишь конечное число полей типа
^(аД-ср). Следовательно, существуют элементы c^k, причем
Ci 4= с2, такие, что
k (а + CjP) — k (а -ф- с2р).
Заметим, что а + с^р и а-|-с2р лежат в одном и том же поле, и
потому там же лежит (c1 — c2)f>, а следовательно, и р. Таким об-
разом, а также лежит в этом поле и мы видим, что поле k (а, р)
может быть порождено одним элементом.
Продолжая по индукции, получаем, что если Е — k (cq......ал),
то существуют элементы с2.....сп £ k, такие, что
E = k(®,
где | = cq-|-с2а2-ф-...-f-слая. Это доказывает половину нашей
теоремы.
Обратно, предположим, что E—k(a) для некоторого а. Пусть
/ (X) = Irr (а, А, X), kc.F czE и gp (X) = Irr (а, F, X). Тогда gp
делит f. В £[Х] имеет место однозначность разложения на множи-
тели, и любой многочлен из £[Х], со старшим коэффициентом 1 и
делящий /(X), равен произведению некоторого числа сомножителей
(X — az), где at....ап — корни многочлена f. Следовательно, су-
ществует лишь конечное число таких многочленов. Таким образом,
мы получаем отображение
множества промежуточных полей в конечное множество многочленов.
Пусть Fo—подполе в F, порожденное над k коэффициентами много-
члена gP(X). Тогда gp имеет коэффициенты в Fo и неприводим
над Fo, поскольку он неприводим над F. Следовательно, степень
элемента а над Fo та же самая, что и над F, т. е. F == Fo. Таким
образом, поле F однозначно определяется соответствующим ему много-
членом gp, и, значит, наше отображение инъективно. Это доказы-
вает первое утверждение теоремы.
Что касается утверждения, относящегося к сепарабельным расши-
рениям, то, используя индукцию, мы можем без потери общности
§ 7. ЧИСТО НЕСЕПАРАБЕЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
213
предполагать, что E — k(a, р), где а, р сепарабельны над k. Пусть-
.......оп— различные вложения поля k (а, р) в k над k. Положим
Р(А') = f[ (a,<z + А'оф— оуа — ХоуР).
<¥=7
Очевидно, Р (X)— ненулевой многочлен и, следовательно, существует
элемент с £ k, для которого Р(с)¥=0. Тогда элементы о,-(а-|- ср)
(Z = 1, ..., п) все различны, а потому k(a-\-cfi) имеет над k сте-
пень не меньше п. Но n = [k(a, р) : /г| и, следовательно, k(a, р) —
= £(а-|-сР), чт0 и требовалось доказать.
Если E — k(a), то мы будем говорить, что а—примитивный
элемент поля Е (над k).
§ 7. Чисто несепарабельные расширения
Этот параграф имеет чисто технический характер и может быть
опущен почти без ущерба для понимания остальной части книги.
Мы всюду предполагаем, что k — поле характеристики р > 0.
Элемент а, алгебраический над k, называется чисто несепара-
бельным над k, если существует целое число п 0, такое, что аРп
лежит в k.
Пусть Е—алгебраическое расширение поля k. Мы утверждаем,
что следующие условия эквивалентны:
Ч. Нес. 1. [f : 1.
Ч. Нес. 2. Всякий элемент а из Е чисто несепарабелен над k.
Ч. Нес. 3. Неприводимое уравнение для всякого элемента а££
над k имеет вид Хрп — а = 0 при некоторых «^>0 и а £ k.
Ч. Нес. 4. Существует такое множество образующих {«,), f
поля Е над k, что каждый элемент аг чисто несепарабелен над k.
Чтобы доказать эту эквивалентность, допустим, что выполняется
Ч. Нес. 1. В силу теоремы 6 заключаем, что [k(a): £]s=l. Пусть
/(А') = 1гг(а, k, X). Тогда f имеет только один корень, поскольку
[k (а): k]s
равна числу различных корней многочлена f (X). Положим
m = [k(a): k\. Тогда deg/ = m и разложение f над k(a) имеет
вид f(X) = (X— а)т. Но т — рпг, где г — целое число, взаимно-
простое с р. Поэтому
/(Аг) = (А’р —ар )г = Хр г — гаР Хр -ф- младшие члены.
Так как коэффициенты многочлена f (X) лежат в k, то
га,Рп
214
ГЛ. VII. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
лежит в ft, и так как г#=О(в /г), то арп лежит в k. Пусть а = арп.
Тогда а есть корень многочлена ХрП— а, делящегося на f (X). От-
сюда вытекает, что f (Х) = Хрп — а.
По существу то же самое рассуждение, что и предыдущее, по-
казывает, что Ч. Нес. 2 влечет Ч. Нес. 3. То, что третье условие
влечет четвертое, тривиально.
Наконец, предположим, что выполняется Ч. Нес. 4. Пусть
Е — расширение, порожденное чисто несепарабельными элементами
(/ £ 1). Любое вложение поля Е над k отображает az в корень
многочлена
(Д') — Irr (az, k. X).
Но fi {X) делит некоторый многочлен Хрп — а, имеющий только
один (кратный) корень. Следовательно, любое вложение поля Е
над k тождественно на каждом az, а потому тождественно на £ и
мы заключаем, что [Е: ti]s = 1, что и требовалось доказать.
Расширение, удовлетворяющее четырем предыдущим условиям,
будет называться чисто несепарабельным.
Предложение 10. Чисто несепарабельные расширения об-
разуют отмеченный класс расширений.
Доказательство. Утверждение о башне вытекает из тео-
ремы 6, а свойство подъема—из условия Ч. Нес. 4.
Предложение И. Пусть Е — алгебраическое расширение
поля k, и пусть Ео—композит всех подполей F поля Е, таких,
что Fck и F сепарабельно над k. Тогда Ео сепарабельно над k,
а Е чисто несепарабельно над Ео.
Доказательство. Поскольку сепарабельные расширения об-
разуют отмеченный класс, то, как мы знаем, Ео сепарабельно над А.
Фактически Ео состоит из всех элементов Е, сепарабельных над А.
В силу предложения 9 для заданного элемента а £ Е, существует
такая степень р, скажем рп, что арП сепарабелен над А. Следова-
тельно, Е чисто несепарабельно над Ео, что и требовалось показать.
Следствие 1. Если алгебраическое расширение Е поля А
одновременно и сепарабельно, и чисто не сепарабельно, то Е= k.
Доказательство. Очевидно.
Следствие 2. Пусть расширение К нормально над А, и
пусть Ко—его максимальное сепарабельное подрасширение.
Тогда Ко также нормально над А.
Доказательство. Пусть а — вложение Ко в К над А. Про-
должим о до вложения поля К. Тогда о будет автоморфизмом К.
§ 7. ЧИСТО НЕСЕПАРАБЕЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
215
Кроме того, поле сепарабельно над k, следовательно, оно-
содержится в Ко, поскольку Ко—максимальное сепарабельное под-
поле. Значит, аК0 — К0, что и утверждалось.
Следствие 3. Пусть Е, F— два конечных расширения
поля k, причем E/k сепарабельно, a F/k чисто несепарабельно.
Предположим, что Е, F — подполя некоторого общего поля. Тогда
[EF :F] = [E:k] = [EF :
[EF : Е] = [F : k] = [EF :
Доказательство. Картина имеет следующий вид:
Доказательство состоит в тривиальном жонглировании индексами
с использованием следствий предложения 9. Мы предоставляем его
читателю.
Следствие 4. Обозначим через Ер поле всех элементов
вида хр,х£Е. Пусть Е —конечное расширение поля k. Если
Epk = E, то Е сепарабельно над k. Если Е сепарабельно над k,
то Epnk = E для всех п^>\.
Доказательство. Пусть f0— максимальное сепарабельное
подполе в Е. Допустим, что Epk = E. Положим E — k(ax, ...
.... ап). Так как Е чисто несепарабельно над Ео, то существует
такое т, что a.Pm£EQ для всех i — 1, .... п. Следовательно, Ep,n<z.
с.Ей. Но Epmk = E, так что Е — Ео сепарабельно над k. Обратно,
предположим, что Е сепарабельно над k. Но Е чисто несепара-
бельно над Epk. Так как Е в то же время сепарабельно над Epk,
то заключаем, что E = Epk. Итерируя, получаем E = Eptlk для
п 1, что и требовалось доказать.
Предложение 11 показывает, что любое алгебраическое расши-
рение может быть разложено в башню, состоящую из максимального
сепарабельного подрасширения и чисто несепарабельного этажа над
ним. Обычно бывает нельзя обратить порядок в этой башне. Однако
имеется важный случай, когда это может быть сделано.
Предложение 12. Пусть К — нормальное расширение
поля k, G— его группа автоморфизмов над k и К° — неподвиж-
ное поле группы G. Тогда К° чисто несепарабельно над k и К
216
ГЛ. VII. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
сепарабельно над Ка. Если Кй—максимальное сепарабельное под-
расширение К, то К= и Ко П = k.
Доказательство. Пусть и т— произвольное вложе-
ние поля k(a) над k в К. Продолжим т до вложения поля К; будем
обозначать это продолжение по-прежнему через т. Тогда т — авто-
морфизм поля К, поскольку К нормально над k. По определению
та = а и, следовательно, т тождественно на k(a). Поэтому
[/г (а): /г]5 = 1 и элемент а чисто несепарабелен. Таким образом,
Л"0 чисто несепарабельно над k. Пересечение Ко и К° одновременно
и сепарабельно, и чисто несепарабельно над k, и, следовательно,
равно k.
Чтобы доказать сепарабельность К над К°, предположим сначала,
что К конечно над k и что, следовательно, группа О конечна в силу
теоремы 6. Пусть «(;/<, и пусть dj......аг — максимальное под-
множество элементов из G, такое, что элементы
Oja....ora
различны. Тогда некоторое тождественно на а и а есть корень
многочлена
/-1
Заметим, что /т = f для любого т £ G, поскольку т переставляет
корни. Мы видим, что f сепарабелен и что его коэффициенты
лежат в неподвижном поле К°- Поэтому а сепарабелен над К°-
Редукция бесконечного случая к конечному основывается на том
наблюдении, что всякий элемент а£К содержится в некотором ко-
нечном нормальном подрасширении в К. Детали мы предоставляем
читателю.
Теперь имеем следующую диаграмму:
К
/ \
№
сеп.^^Х, /ч. нес.
В силу предложения 11 К чисто несепарабельно над Кй и, следо-
вательно, чисто несепарабельно над К0К°. С другой стороны, К се-
парабельно над К0 и, следовательно, сепарабельно над К,,Ка. Таким
образом, К = К0Ка, что и доказывает наше предложение.
УПРАЖНЕНИЯ
217
Мы видим, что всякое нормальное расширение распадается в ком-
позит чисто несепарабельного и сепарабельного расширений. В сле-
дующей главе мы определим расширение Галуа как нормальное се-
парабельное расширение. Тогда Хо будет расширением Галуа над k
и нормальное расширение распадается на расширение Галуа и чисто
несепарабелыюе расширение. Группа О называется группой Галуа
расширения K,'k.
Поле k называется совершенным, если kp -=k. (Всякое поле ха-
рактеристики нуль также называется совершенным.)
Следствие. Если поле k совершенно, то любое его алгеб-
раическое расширение сепарабельно. Всякое алгебраическое рас-
ширение поля k совершенно.
Доказательство. Всякое конечное алгебраическое расши-
рение содержится в нормальном расширении, поэтому наши утверж-
дения непосредственно следуют из предложения 12.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть k — конечное поле из q элементов, / (X) £й [27] — неприводи-
мый многочлен. Показать, что f (X) делит многочлен Х'Г!— X тогда и только
тогда, когда степень f делит п.
2. Показать, что
х?п-х=П П /dW-
d | п f непр.
где второе произведение берется по всем неприводимым многочленам сте-
пени d со старшим коэффициентом 1. Подсчитав степени, показать, что
d | n
где ф (rf) — число неприводимых многочленов степени d. С помощью эле-
ментарной теории чисел получить двойственное равенство
«ф («) = У, I* (d) qnld.
d j n
(ц— функция Мёбиуса, см. стр. 236.)
3. Пусть k — поле характеристики р, и пусть t, и алгебраически неза-
висимы над k. Доказать следующие утверждения:
(i) k (t, и) имеет степень р2 над k (tp, ир).
(ii) Между k (t, и) и й (tp, ир) существует бесконечно много расши-
рений.
4. Пусть Е — конечное расширение поля й характеристики р > 0, и
пусть рТ = [£ : й];. Допустим, что не существует степени p4 s с s < г, для
которой Ер k сепарабельно над й (т. е. такой, что а₽! сепарабелен над й
для всякого а из Е). Показать, что Е может быть порождено одним эле-
ментом над й. [Указание: предположить сначала, что Е чисто несепара-
бельно.]
218
ГЛ. VII. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
5. Пусть k — поле, f (X) — неприводимый многочлен из k [Л’] и К — ко-
нечное нормальное расширение над k. Показать, что если g, h — неприво-
димые множители f (X) в К [X], то существует автоморфизм а поля К
над k, для которого g = ha. Привести пример, показывающий, что это ут-
верждение неверно, если X не нормально над k.
6. Пусть хь хп алгебраически независимы над полем й, а у алгеб-
раичен над k (х) = k (хь .,., х„). Пусть Р (Хп+ ,) — неприводимый много-
член элемента у над k (х) и <р (х) — наименьшее общее кратное знаменателей
коэффициентов многочлена Р. Тогда коэффициенты многочлена <р (х) Р
являются элементами из k [х]. Показать, что
/(X,. ...,Хя+1)=Ф(Х1.......Хп)Р(Хп+1)
неприводим над k как многочлен от п -f-1 переменной. Обратно, пусть
/(XH ..., Хл+1)— неприводимый многочлен над k и хь ..., хл алгебраи-
чески независимы над k. Показать, что
/(Xi, ..., хл, Хл+1)
неприводим над k (хь ... хл).
Если f — многочлен от п переменных и (Ь) = (6Ь ..., Ьп) такой набор
из п элементов, что /(6)=0, то мы говорим, что (6)—нуль многочлена /.
Мы говорим, что нуль (6) нетривиален, если не все координаты &г-
равны 0.
7. Пусть f (Xj.Хя)— однородный многочлен степени 2 (соответ-
ственно 3) над полем k. Показать, что если f имеет нетривиальный нуль
в некотором расширении нечетной степени (соответственно, степени 2)
над й, то f имеет нетривиальный нуль в й.
8. Пусть f (X, У) — неприводимый многочлен от двух переменных над
полем й, и пусть t трансцендентно над й, причем существуют взаимно
простые целые числа т, п и элементы а, 6£й, такие, что
f(atn, btm)=O. Показать, что после возможной замены X или У на обрат-
ную величину и с точностью до постоянного множителя многочлен f имеет
вид
ХтУп — с
с некоторым с £ й.
Ответ к следующему упражнению неизвестен.
9. (Артин) Пусть /— однородный многочлен степени d от п перемен-
ных с рациональными коэффициентами. Показать, что если п> d, то су-
ществуют корень из единицы £ и элементы х1( ха£ Q [£], не все равные
нулю, такие, что f (хь .... хл) = 0.
Глава VIII
Теория Галуа
§ /. Расширения Галуа
Пусть К — поле и G — группа автоморфизмов поля К. Мы будем
обозначать через К° подмножество в К, состоящее из всех элемен-
тов х £ К, таких, что ха = х для всех о £ G. Это подмножество
называется неподвижным полем группы G1). Это действительно поле,
поскольку из х, у£К° следует
(х у)а = х° -|- уа = х у
для всех о £ G и аналогичным образом проверяется, что К° замкнуто
относительно умножения, вычитания и деления. Кроме того, К° содер-
жит 0 и 1 и, следовательно, содержит простое поле.
Алгебраическое расширение К поля k называется расширением
Галуа, если оно нормально и сепарабельно. Мы будем считать К
вложенным в некоторое алгебраическое замыкание. Группа автомор-
физмов поля К над k называется группой Галуа поля К над k и
обозначается символом О (K!k) или просто G. Она совпадает с мно-
жеством вложений поля К в К над k.
Для удобства читателя мы сформулируем теперь основной резуль-
тат теории Галуа для конечных расширений Галуа.
Пусть К — конечное расширение Галуа поля k с группой
Галуа G. Тогда между множеством подполей Е в К, содержа-
щих k, и множеством подгрупп Н в G существует биективное
соответствие, задаваемое формулой Е = КН. Поле Е будет рас-
ширением Галуа над k тогда и только тогда, когда подгруппа Н
нормальна в G, и в этом случае отображение оь->о|Д индуци-
рует изоморфизм факторгруппы G/Н на группу Галуа поля Е
над k.
Мы дадим доказательства шаг за шагом, причем, насколько воз-
можно, мы даем их для бесконечных расширений.
Теорема 1. Пусть К — расширение Галуа поля k, G — его
группа Галуа. Тогда k = K°. Если F — промежуточное поле,
’) Или, по другой терминологии, полем инвариантов группы G.— Прим,
ред.
220
ГЛ. VIII ТЕОРИЯ ГАЛУА
/гсГсб, то К — расширение Галуа над F. Отображение
F*->G (К IF)
множества промежуточных полей в множество подгрупп группы
G инъективно.
Доказательство. Пусть а£К° и о — произвольное вложе-
ние поля k(a) в К, индуцирующее тождественное отображение на k.
Продолжим о до вложения К в К; мы будем обозначать это про-
должение по-прежнему через о. Тогда о — автоморфизм поля К
над k, следовательно, элемент группы G. По предположению а
оставляет а неподвижным. Поэтому
[/г(а) :А],= 1.
Так как а сепарабелен над k, то имеем k(a) = k и а есть эле-
мент k. Это доказывает наше первое утверждение.
Пусть F — промежуточное поле. Тогда К нормально над F в силу
теоремы 5 и сепарабельно над F в силу теоремы 9 из гл. VII. Сле-
довательно, К — расширение Галуа над F. Если H = G(K!F), то
в силу доказанного выше заключаем, что F = KH- Если F, F' —
промежуточные поля и H = G(KIF), H' — G(K/F'), то
Г = К!' и F' = KH'.
Если Н = Н', то F = F', откуда вытекает, что отображение
(К IF)
инъективно, что и доказывает нашу теорему.
Мы будем иногда называть группу G(KIF) над промежуточным
полем F группой, ассоциированной с F. Мы будем говорить также,
что подгруппа Н в G принадлежит промежуточному полю F, если
Н = G (К/F).
Следствие I. Пусть Kfk — расширение Галуа с группой G.
Пусть F, F' — два промежуточных поля и Н, Н' — подгруппы
в G, принадлежащие F, F' соответственно. Тогда Н(\Н' при-
надлежит полю FF'.
Доказательство. Всякий элемент из Н [\Н' оставляет FF’
неподвижным, и всякий элемент из G, оставляющий FF' неподвиж-
ным, оставляет неподвижным также F и F' и, следовательно, лежит
в Hf\FT. Это доказывает наше утверждение.
Следствие 2. (Обозначения те же, что и в следствии 1.)
Неподвижное поле наименьшей подгруппы в G, содержащей Н, Н',
есть F f\F'.
§ I РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА
221
Доказательство. Очевидно.
Следствие 3. Пусть обозначения те же, что и в следст-
вии 1. Тогда Fc.F' в том и только в том случае, если Н'с-Н.
Доказательство. Если FaF' и о£Н' оставляет F' непод-
вижным, то о оставляет неподвижным и F, так что о лежит в И.
Обратно, если Н'азН, то неподвижное поле группы Н содержится
в неподвижном поле группы И', так что Fc:F'.
Следствие 4. Пусть Е—конечное сепарабельное расшире-
ние поля k и К — наименьшее нормальное расширение поля k,
содержащее Е. Тогда К—конечное расширение Галуа над k.
Существует лишь конечное число промежуточных полей F, таких,
что kczFczE.
Доказательство. Мы знаем, что К нормально и сепара-
бельно. Далее, К конечно над k, поскольку это, как мы видели,
конечный композит конечного числа сопряженных с Е полей. Группа
Галуа расширения Kjk имеет лишь конечное число подгрупп. Сле-
довательно, существует лишь конечное число подполей в К, содер-
жащих k, и тем более лишь конечное число подполей в Е, содер-
жащих k.
Конечно, следствие 4 было уже доказано в предыдущей главе,
но здесь мы получили другое доказательство с иной точки зрения.
Лемма 1. Пусть Е — алгебраическое сепарабельное расши-
рение поля k. Предположим, что существует целое число п~^\,
такое, что всякий элемент а из Е имеет степень <Т..п над k.
Тогда Е конечно над k и \Е : k] п.
Доказательство. Пусть а — элемент из Е, для которого
степень [k (а): k] максимальна, скажем равна т п. Мы утверждаем,
что k (а) == Е. Если это не так, то существует элемент р £ Е, такой,
что P(£i%(ct), и в силу теоремы о примитивном элементе найдется
элемент у££(а, (3), для которого k (а, р) = k (у). Но из башни
kc:k (а)с k (а, р)
мы видим, что [&(а, р) : k] > т, откуда вытекает, что у имеет сте-
пень > т над /г,— противоречие.
Теорема 2 (Артин). Пусть К — поле и G — конечная группа
автоморфизмов поля К, имеющая порядок п. Пусть k — KQ —
соответствующее неподвижное поле. Тогда К — конечное расши-
рение Галуа над k и его группа Галуа есть G, Кроме того,
|/< : k] — п.
222
ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ ГАЛУА
Доказательство. Пусть а£/С, и пусть ...........аг—такое
максимальное множество элементов из О, что с^н, . . ., ora различны.
Для всякого наборы (тс^а.........тога} и {о^а, ..., ога} отли-
чаются лишь перестановкой, поскольку т инъективно и каждый эле-
мент то(а содержится в множестве {о^....ora}, иначе это мно-
жество не было бы максимальным. Следовательно, а — корень мно-
гочлена
Г
/W = II(X-aza)
1=1
и для любого r£G имеем /т— /. Таким образом, коэффициенты
многочлена f лежат в K° = k. Кроме того, f сепарабелен. Следо-
вательно, всякий элемент а из К есть корень сепарабельного много-
члена степени с коэффициентами в k. Далее, этот многочлен
разлагается на линейные множители в К. Таким образом, К сепара-
бельно над k, нормально над k и является поэтому расширением
Галуа над k. В силу леммы 1 имеем [/<: k] п. Группа Галуа
поля К над k имеет порядок : /г] (в силу теоремы 6 из гл. VII,
§ 4), и, следовательно, группа О должна быть полной группой Галуа.
Этим доказаны все наши утверждения.
Следствие. Пусть К — конечное расширение Галуа поля k
и G — его группа Галуа. Тогда всякая подгруппа в G принадле-
жит некоторому подполю Г, такому, что kcFcK-
Доказательство. Пусть Н — подгруппа в G и Г = КИ.
В силу теоремы Артина К—расширение Галуа над F с группой Н.
Замечание. Для бесконечных расширений Галуа К поля k пре-
дыдущее следствие уже перестает быть справедливым. Это показы-
вает, что использование того или иного вычислительного соображе-
ния действительно необходимо в доказательстве для конечного слу-
чая. В настоящем изложении использовано старомодное рассуждение.
Читатель может посмотреть собственное доказательство Артина в его
книге „Теория Галуа“. В бесконечном случае на группе Галуа G
вводится топология Крулля (см. упражнения) и G превращается
в компактную вполне несвязную группу. Подгруппы, принадлежащие
промежуточным полям,— это замкнутые подгруппы. Если читатель
желает полностью игнорировать бесконечный случай во всех наших
рассмотрениях, он может это сделать без какого-либо ущерба для
понимания. Доказательства для бесконечного случая обычно тожде-
ственны с доказательствами для конечного случая.
Понятия расширения Галуа и группы Галуа определяются чисто
алгебраически. Следовательно, их формальное поведение при изо-
морфизмах точно такое же, какого можно ожидать от объек-
тов в любой категории. Мы опишем это поведение для рассматри-
ваемого случая в более ясном виде.
§ 1. РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА
223
Пусть К—расширение Галуа поля k и
X: К->К'- = ),К
— изоморфизм. Тогда К1 — расширение Галуа поля k\
К—-> К*
k—+kK
Пусть G — группа Галуа поля К над k. Тогда отображение
о ।—> А, ° ст ° X-1
определяет гомоморфизм Q в группу Галуа поля над k\ обрат-
ный к которому задается правилом
X-1 О т О 1 т.
Следовательно, группа G(K)'lkK') изоморфна G(K/k) относительно
предыдущего отображения. Мы можем записать это так:
G (КК/Мг/ = G (К/k)
ИЛИ
G(KKIKk) = KG(K/k)X~\
где показатель X означает „сопряжение"
о1 — X-1 о о о X.
Контравариантности никак нельзя избежать, если мы хотим сохранить
правило
(<?)“ = </“
для композиции отображений Z и о.
Пусть, в частности, F—промежуточное поле, kc.Fc.K и
А: С——вложение F в К, предполагаемое продолженным до
автоморфизма поля К- Тогда КК — К. Следовательно,
G (Ki/.F)'- = G (КIF)
И
G(KIKF)= KG(KIF)K~\
Теорема 3. Пусть К — расширение Галуа поля k с груп-
пой G. Пусть F — подполе, kc:Fc:K и Н —G (KIF). Тогда для
нормальности F над k необходимо и достаточно, чтобы под-
группа Н была нормальной в G. Если F нормально над k, то
отображение ограничения оы—xjIF будет гомоморфизмом G на
224
ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ ГАЛУА
группу Галуа поля F над k, ядро которого есть И. Таким обра-
зом О (F/k) GjH.
Доказательство. Пусть F нормально над k и О' — его
группа Галуа. Отображение ограничения oi—>g\F переводит G в О',
и по определению его ядро есть Н. Следовательно, Н нормальна
в О. Кроме того, любой элемент т £ G' продолжается до вложения Д'
в /С, которое должно быть автоморфизмом поля К, так что отобра-
жение ограничения сюръективно. Это доказывает последнее утверж-
дение. Наконец, предположим, что F не нормально над k. Тогда
существует вложение А, поля F в К над k, которое не является
автоморфизмом, т. е. kF Ф F. Продолжим А до автоморфизма поля К
над k. Группы Галуа G(Kp.F) и О (КIF) сопряжены и, принадлежа
разным подполям, не могут совпадать. Следовательно, подгруппа И
не нормальна в G.
Расширение Галуа называется абелевым (соответственно цик-
лическим), если его группа Галуа G абелева (соответственно цикли-
ческая).
Следствие. Пусть К Ik — абелево (соответственно цикли-
ческое) расширение. Если F — промежуточное поле, kezFczK,
то F—расширение Галуа над k и притом абелево (соответственно
циклическое).
Доказательство. Это вытекает немедленно из того факта,
что всякая подгруппа абелевой группы нормальна и всякая фактор-
группа абелевой (соответственно циклической) группы абелева (соот-
ветственно циклическая).
Теорема 4. Пусть К — расширение Галуа поля k, a F —
произвольное расширение, причем К, F—подполя некоторого дру-
гого поля. Тогда KF является расширением Галуа над F, а К —
расширением Галуа над K{\F. Пусть Н—группа Галуа поля KF
над F и G—группа Галуа поля К над k. Если а£Н, то ограни-
чение о на К лежит в G и отображение
о^о\К
дает изоморфизм И на группу Галуа поля К над K[\F.
Доказательство. Пусть о£П. Ограничение о на К есть
вложение поля К над k, следовательно, элемент группы G, поскольку К
нормально над k. Отображение oi—>о\К, очевидно, является гомо-
морфизмом. Если о\К тождественно, то о должно быть тождественно
на KF (так как всякий элемент из KF может быть выражен как
комбинация сумм, произведений и отношений элементов из К и F).
Следовательно, наш гомоморфизм он>о|К инъективен. Пусть И'—
§ 1. РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА
225
его образ. Тогда Н' оставляет К fl F неподвижным, и, обратно, если
элемент а£./< неподвижен относительно П', то а неподвижен и от-
носительно Н, откуда а £/7 и а^П^7- Поэтому К П F— соответ-
ствующее неподвижное поле. Если К конечно над k или даже если
KF конечно над F, то в силу теоремы 2 И' есть группа Галуа поля К
над К Г)/7, и теорема в этом случае доказана.
(В бесконечном случае нужно еще добавить замечание, что наше
отображение он->о^ непрерывно, откуда вытекает, что его образ
замкнут, поскольку И компактна.)
Следующая диаграмма иллюстрирует теорему 4:
КС\Г
I
к
Полезно мыслить себе противоположные стороны параллелограмма
равными.
Следствие. Пусть К — конечное расширение Галуа и F —
произвольное расширение поля k. Тогда [KF : У7] делит [К : /г].
Доказательство. Пусть обозначения те же, что и выше.
Как мы знаем, порядок группы Н делит порядок группы G, откуда
и вытекает наше утверждение.
Предостережение. Утверждение следствия, как правило, неверно,
если К не является расширением Галуа над k. Например, пусть
а = У2 —вещественный кубический корень из 2, £—кубический
корень из 1, не равный 1, скажем
-1+/^
2
и пусть р = £а. Рассмотрим Е = Q (Р). Так как р — комплексная ве-
личина, а а— вещественная, то Q(P)¥=Q(oc). Положим F — Q (ос).
Тогда Е П F будет подполем в Е, степень которого над Q делит
число 3. Следовательно, эта степень есть 3 или 1 и, значит, должна
быть равна 1, поскольку Е =А F. Но
£/7=Q(a, p) = Q(a, O = Q(a, ”з)
Следовательно, EF имеет степень 2 над F.
226
ГЛ VIII ТЕОРИЯ ГЛЛУА
Теорема 5. Пусть А\ и К2 — расширения Галуа над полем k
с группами Галуа Gt и С2 соответственно. Предположим, что
Кх, К2 — подполя некоторого поля. Тогда КХК2 — расширение
Галуа над k. Пусть G — его группа Галуа. Отобразим G Gx X О2
посредством ограничений, а именно
at->(a|Kp a|A72).
Это отображение инъективно. Если Кх(\ К2 = k, то это отобра-
жение есть изоморфизм.
Доказательство. Нормальность и сепарабельность сохра-
няются при взятии композита двух полей, так что КХК2 есть расши-
рение Галуа над k. Наше отображение, очевидно, является гомо-
морфизмом G в Gj X О2. Если элемент o£G индуцирует тождест-
венные автоморфизмы на А\ и К2, то он индуцирует тождественный
автоморфизм и на их композите, так что наше отображение инъек-
тивно. Предположим, что А1ПА'2 = &. Согласно теореме 4, для
заданного элемента ох^Ох найдется элемент о из группы Галуа
поля А'1А'2 над К2, индуцирующий Oj на Этот элемент о заве-
домо лежит в G и индуцирует тождественное отображение на /С>.
Следовательно, Qx X (содержится в образе нашего гомоморфизма
(где е2 — единичный элемент группы G2). Аналогично (ej X G2 содер-
жится в этом образе. Следовательно, их произведение содержится
в образе, а их произведение есть в точности Gt X G2. Это доказы-
вает теорему 5.
кхк2
кх к2
KJ\K2
fe
Следствие 1. Пусть Кх, ..., Кп — расширения Галуа поля k
с группами Галуа Gx, .... Оп. Предположим, что А'г+1 Г) (А\ ...
... Afz) = k для каждого z=l...п—1. Тогда группа Галуа
композита Кх . . . Кп естественным образом изоморфна произве-
дению GjX • • • ХО„.
Доказательство. Индукция.
Следствие 2. Пусть К — конечное расширение Галуа поля k
с группой G, причем G может быть представлена в виде пря-
мого произведения G = Gxy^ ... У^Оп. Пусть К, — неподвижное
поле группы
GxX ... XII) X ... XGn,
§ 2. ПРИМЕРЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ
227
где группа из одного элемента стоит на l-м месте. Тогда —
расширение Галуа над k и Ki+X(\(KX ., . KL) — k. Кроме того,
К = К1...КП.
Доказательство. В силу следствия 1 теоремы 1 композит
всех принадлежит пересечению соответствующих групп, состоя-
щему, очевидно, из единицы. Следовательно, композит равен К.
Каждый прямой множитель группы G нормален в О, так что Kt —
расширение Галуа над k. В силу следствия 2 теоремы 1 пересечение
нормальных расширений принадлежит произведению соответствующих
им групп, откуда ясно, что Ki + i П (К\ ... Kt) = k.
§ 2. Примеры и приложения
Пусть k—поле, / (Д')—многочлен степени 1 из k [X] и
/(Х) = (Х-а1) ... (Х-а„)
— его разложение на множители в поле разложения К над k. Пусть
G — группа Галуа поля К над k. Мы называем G группой Галуа
многочлена f (X) над k. Элементы из G переставляют корни много-
члена /. Таким образом, мы имеем инъективный гомоморфизм группы О
в симметрическую группу Sn на п элементах. Не всякая перестановка
обязательно задается некоторым элементом из G. Ниже мы рассмо-
трим примеры.
Пример 1. Пусть k — поле и a£k. Если а не является квадра-
том в k, то многочлен X2—а не имеет корня в k и потому непри-
водим. Предположим, что char 2. Тогда многочлен сепарабелен
(поскольку а 0), и если а—некоторый его корень, то k (а)—поле
разложения, являющееся расширением Галуа. Его группа Галуа —
циклическая порядка 2. Выделение полного квадрата показывает, что
так описывается всякое квадратичное расширение (для char =# 2).
Пример 2. Пусть k—поле характеристики X 2 или 3, /(Х) =
---Х^ХЬХХ с— многочлен над k. (Любой многочлен степени 3
может быть приведен к такому виду посредством выделения полного
куба.) Если f не имеет корней в k, то / неприводим (любое разло-
жение на множители должно содержать множитель степени 1). Если
а — корень многочлена /(X), то [/г (а) : /г] — 3. Пусть К — поле
разложения и G —его группа Галуа. Тогда G имеет порядок 3 или 6,
поскольку G есть подгруппа симметрической группы S,. Во втором
случае k (а) не будет нормальным над k.
Имеется простой способ проверить, является ли группа Галуа
полной симметрической группой. Рассмотрим дискриминант. Положим
6 = («! — а2) (а2 — а3) (х — а3) и Д — б2,
228
ГЛ VIII ТЕОРИЯ ГАЛУА
где аР а2, а3—различные корни многочлена /(X). Если G—группа
Галуа и <j£G, то а(&)=± д. Следовательно, а оставляет А непо-
движным. Таким образом, А лежит в основном поле k, а именно,
как мы видели,
А = —4б3—27с2.
Множество тех о в G, которые оставляют б неподвижным, совпа-
дает в точности с множеством четных перестановок. Таким образом,
G будет симметрической группой тогда и только тогда, когда А
не является квадратом в k.
Например, рассмотрим многочлен
/(Х) = ХЗ-Х-]-1
над полем рациональных чисел. Любой рациональный корень должен
быть либо 1, либо —1, так что f (X) неприводим над Q. Дискри-
минант равен —23 и не является квадратом. Следовательно, группа
Галуа—симметрическая группа. Поле разложения содержит подполе
степени 2, а именно К (б) = k(]ЛА).
Пример 3. Рассмотрим многочлен f(X) = X^—2 над полем ра-
циональных чисел Q. Он неприводим по критерию Эйзенштейна.
Пусть а—вещественный корень и I — ]/~—1. Тогда +а и + 1а —
четыре корня многочлена /(X) и
[Q (а): Q] = 4.
Следовательно, полем разложения многочлена /(X) будет
К = Q (а, /).
Поле Q (а) П Q (0 имеет степень 1 или 2 над Q. Степень не может
быть равна 2, иначе i £ Q (а), что невозможно, поскольку корень а
вещественный. Следовательно, степень равна 1, I имеет степень 2
над Q(a) и поэтому [X : Q] = 8. Группа Галуа многочлена /(X)
имеет порядок 8.
Существует автоморфизм т поля К, оставляющий Q (а) неподвиж-
ным и переводящий I в —I, поскольку К—расширение Галуа над
Q (а) степени 2. Имеем r2 = id,
Q (а, I) = К
2 /X
Q (a) Q (i)
4\ /2
Q
В силу мультипликативности степеней в башнях степени именно таковы,
как указано в диаграмме. Таким образом, X4—2 неприводим над
§ 2. ПРИМЕРЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ
229
Q (г). Кроме того, К нормально над Q (7). Существует автоморфизм о
поля К над Q (/), отображающий корень а многочлена Д'4—2 в ко-
рень 1а. Немедленно проверяется, что 1, о, о2, о3 различны и что
o4 = id. Таким образом, о порождает циклическую группу порядка 4.
Обозначим ее через (о). Так как т(£(о) и (о) имеет индекс 2 в G,
то G = (o, т) порождается элементами о и т. Кроме того, непо-
средственно проверяется, что
то = о3т,
поскольку это соотношение выполняется при действии на элементы а
и I, порождающие К над Q. Это дает нам строение G. Легко про-
верить, что структура подгрупп следующая:
Пример 4. Пусть k — поле, .... tn алгебраически независимы
над k и K=k(tl, tn). Симметрическая группа С на п символах
действует на М, переставляя .......tn), и ее неподвижное поле есть
поле симметрических функций, т. е. по определению поле, состоящее
из тех элементов в К, которые неподвижны относительно G. Пусть
Sj.....sn — элементарные симметрические многочлены и
п
1=1
С точностью до знака коэффициентами f будут slt . . ., sn. Положим
F~Ka. Мы утверждаем, что F =-k (Sj, ..., s„). Действительно,
k(s1.....sn) <= F.
С другой стороны, К является полем разложения многочлена f (М)
и его степень над F равна п!, а степень над ....
следовательно, имеет место равенство F = k (sr, .... s„).
Многочлен /(20 рассмотренного вида называется общим многочле-
ном степени п. Только что мы построили расширение Галуа, группа
Галуа которого есть симметрическая группа.
230
ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ ГАЛУА
Используя теорему Гильберта о неприводимости, можно построить
расширение Галуа поля Q, группа Галуа которого есть симметриче-
ская группа (см. гл. IX и [9], гл. VIII). Не известно, для всякой ли
данной конечной группы О существует расширение Галуа поля Q,
группа Галуа которого есть G. Эмма Нётер заметила, что это можно
было бы доказать посредством специализации параметров, если бы
было известно, что всякое поле Е, для которого
Q(*i.....s„) <= Е Q(Z1( . . ., Z=„),
изоморфно полю, порожденному п алгебраически независимыми эле-
ментами. Когда писалась эта книга, ответ еще не был известен.
Отметим, что можно задать более общий вопрос. Если ф,
алгебраически независимы над полем комплексных чисел С, то всякое ли
поле Е с условием С cz Е cz С (ф.......tn) изоморфно полю, по-
рожденному г алгебраически независимыми элементами (г<^п)? Из-
вестно, что ответ утвердителен при п 2 (Люрот для п = 1 и
Касательнуово для п = 2). Ни в каком другом случае ответ не из-
вестен. (Фано думал, что он нашел контрпример, но критическая
переоценка в последние годы показала, что вопрос по-прежнему
остается открытым.)
Пример 5. Докажем, что поле комплексных чисел алгебраически
замкнуто. Это послужит иллюстрацией для почти всех ранее дока-
занных теорем.
Мы используем следующие свойства поля вещественных чисел R:
это — упорядоченное поле; всякий положительный элемент является
квадратом, и всякий многочлен нечетной степени из R [X] имеет ко-
рень в R. Позднее мы рассмотрим упорядоченные поля в общем слу-
чае и наши рассуждения окажутся применимыми к любому упорядо-
ченному полю, обладающему перечисленными выше свойствами.
Пусть / = У—1 (другими словами, i— корень многочлена Х2-ф1).
Из всякого элемента в R(Z) извлекается квадратный корень. Если
а ф- bi £ R (Z), a, b £ R, то квадратный корень задается выражением
с ф- di, где
Каждая из правых частей этих равенств положительна и, следова-
тельно, имеет квадратный корень в R. Затем тривиальным образом
определяется знак у с и у d так, чтобы (с -ф- di)2 — а -ф- Ы.
Поскольку R имеет характеристику 0, всякое его конечное рас-
ширение сепарабельно. Всякое конечное расширение поля R(Z) со-
держится в некотором расширении К, являющемся конечным расши-
§ 2. ПРИМЕРЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ
231
рением Галуа над R. Мы должны показать, 4toA' = R(Z). Пусть О —
его группа Галуа над R, и пусть Н — силовская 2-подгруппа в G и
F — неподвижное поле группы Н. Подсчитывая степени и порядки,
находим, что степень поля F над R нечетна. В силу теоремы о при-
митивном элементе существует элемент a£F, такой, что /7 = R(a).
Тогда а будет корнем неприводимого многочлена нечетной степени
из R [X]. Это возможно лишь в том случае, когда эта степень
равна 1. Следовательно, G = Н—2-группа.
Далее, мы видим, что К—расширение Галуа над R(z). Пусть
— его группа Галуа. Так как G1— р-группа (с р = 2), то, если
она нетривиальна, в ней содержится подгруппа О2 индекса 2. Пусть
F—неподвижное поле подгруппы G2. Тогда F имеет степень 2
над R(0> т. е. является квадратичным расширением. Но мы видели,
что из всякого элемента в R(Z) извлекается квадратный корень и что,
следовательно, R(z) не имеет расширений степени 2. Отсюда выте-
кает, что G1— тривиальная группа и К = R(z), что нам и требова-
лось установить.
(Основные идеи предыдущего доказательства были уже у Гаусса.
Тот их вариант, который мы выбрали и в котором существенным
образом использованы силовские группы, принадлежит Артину.)
Пример 6. Этот пример адресован тем, кто немного знаком с ри-
мановыми поверхностями и накрытиями. Пусть t трансцендентно над
полем комплексных чисел С. Значения t из С и оо соответствуют
точкам гауссовой сферы S, рассматриваемой как риманова поверх-
ность. Пусть Рх.....Рп+1’ — различные точки сферы $. Конечные
накрытия поверхности
(Л......Ря+1}
находятся в биективном соответствии с некоторыми конечными рас-
ширениями поля С (Z), а именно теми, которые не разветвлены вне
Рр ..., Рп+1. Пусть К— объединение всех расширений, соответ-
ствующих таким накрытиям, и пусть л^—фундаментальная группа
поверхности S—{Pj........Рл+1}. Тогда, как известно, — сво-
бодная группа с п образующими, обладающая таким вложением
в группу Галуа поля К над С (Z), что конечные подполя в Л" над С (Z)
находятся в биективном соответствии с подгруппами группы л^”' ко-
нечного индекса. Для данной конечной группы G, порожденной п
элементами су.....о„, мы можем найти сюръективный гомоморфизм
л(п) —> G,
переводящий образующие n(”> в ..., а . Пусть Н—его ядро.
Тогда Н принадлежит подполю Ки поля К, которое нормально
232
ГЛ VITT ТЕОРИЯ ГАЛУА
над С (t) и группа Галуа которого есть G. На языке накрытий это
означает, что И принадлежит некоторому конечному накрытию по-
верхности 5—[Т3!.....Pn+i}.
§ 3. Корни из единицы
Пусть k — поле. Под корнем из единицы (в k) мы будем пони-
мать всякий элемент 'Q6k, такой, что £"=1 для некоторого
Если характеристика поля k равна р, то уравнение
имеет только один корень, а именно 1, и, следовательно, нет ника-
ких корней рт-й степени из единицы, кроме 1.
Пусть п—целое число > 1, взаимно простое с характеристикой
поля k. Многочлен
Хп — 1
сепарабелен, поскольку его производная пХп~1 обращается в нуль
лишь при Х==0и, значит, не имеет с Хп—1 общих корней. Сле-
довательно, в k многочлен X"— 1 имеет п различных корней, являю-
щихся корнями из единицы. Они, очевидно, образуют группу, а, как
мы знаем, всякая конечная мультипликативная группа в поле цикли-
ческая (гл. V, теорема 6). Таким образом, группа корней н-й степени
из единицы циклическая. Образующие этой группы называются при-
митивными, или первообразными, корнями н-й степени из единицы.
Пусть Uп обозначает группу всех корней п-й степени из единицы
в k и т, п — взаимно простые целые числа; тогда
и,пп^итхип.
Это следует из того, что Um, Uп не могут иметь общих элементов,
кроме 1, и, значит, UmUn содержит ровно тп элементов, каждый
из которых есть корень пгп-й степени из единицы. Следовательно,
UmUп = Umn (откуда и получается разложение в прямое произведение).
Теорема 6. Для всякого примитивного корня п-й степени
из единицы С
[Q (О •’ Q] = ф («).
Доказательство. Пусть f (X)— неприводимый многочлен
элемента С над Q. Тогда f (X) делит многочлен X"—1, скажем
Хп—1 — f (X) h(X), где /, h оба имеют старший коэффициент 1.
В силу леммы Гаусса /, h имеют целые коэффициенты. Ниже мы
покажем, что если р — простое число, не делящее п, то также
будет корнем многочлена /. Поскольку — тоже примитивный ко-
рень п-й степени из единицы и поскольку любой примитивный ко-
§ 3. КОРНИ ИЗ ЕДИНИЦЫ
233
рень п-й степени из единицы может быть получен последовательным
возведением С в простые степени с показателями, не делящими п, то
отсюда будет следовать, что все примитивные корни n-й степени
из единицы являются корнями многочлена /, который поэтому имеет
степень ^ф(п), и, значит, его степень равна точно ср (я).
Предположим, что не является корнем /. Тогда У — корень
многочлена h, а сам £— корень h(Xp). Следовательно, /(Д') делит
h (Агр), и мы можем написать
h(Xp) —f (X)g (X).
Так как f имеет целые коэффициенты и старший коэффициент 1,
то и g имеет целые коэффициенты. Поскольку ap:=a(mod р) для
любого целого числа а, то заключаем, что
h(XPY^h(X')r‘ (mod /?)
и, следовательно,
h{X)p = f (X)g(X) (mod р).
В частности, обозначив через f и h многочлены над Z/pZ, полу-
чающиеся соответственно из f и h при редукции по модулю р, мы
видим, что f и h. не являются взаимно простыми, т. е. имеют об-
щий множитель. Но Хп—1 = f(X)h(X) и, следовательно, Хп— 1
имеет кратные корни. Но это, как сразу видно из рассмотрения
производной, невозможно, и наша теорема доказана.
Следствие. Если п, т — взаимно простые целые числа
то
Q(C„)nQ(Q = Q-
Доказательство. Заметим, что £„ и содержатся оба
в Q(£mn), поскольку — примитивный корень m-й степени из еди-
ницы. Кроме того, примитивный корень степени тп из единицы.
Следовательно,
Q(QQ(Q = Q(U)-
Наше утверждение вытекает из мультипликативности (f(mn) =
= ф(/и)ф(и).
Предположим, что я = р — простое число (не имеющее ничего
общего с характеристикой). Тогда
Хр — 1 = (Х — 1)(Х₽-1+ ... Н- 1).
Любой примитивный корень р-й степени из единицы является кор-
нем второго множителя в правой части этого равенства. Так как
234
ГЛ. VIII ТЕОРИЯ ГАЛУА
имеется ровно р — 1 примитивных корней /?-й степени из единицы,
то мы заключаем, что ими исчерпываются все корни многочлена
А'р-1-г- ... 4-1.
Мы видели в гл. V, что этот многочлен может быть преобразован
в многочлен Эйзенштейна над полем рациональных чисел. Это дает
другое доказательство того факта, что [Q (£р): Q] = р—1.
Пусть k—произвольное поле, п—целое число, взаимно простое
с его характеристикой, £ —— примитивный корень n-й степени
из единицы в k и о—вложение k (С) в k над k. Тогда
(о0« = О(^)=1,
так что (К также есть корень n-й степени из единицы. Следова-
тельно, о£ = £' для некоторого целого i —z(o), однозначно опре-
деленного по модулю п. Значит, о отображает k(Q в себя и, таким
образом, k(Q нормально над k. Если т— другой автоморфизм поля
k (£) над k, то
о4=:/(о)/(т).
Так как о и т — автоморфизмы, то z(o) и z(t) взаимно просты с п
(иначе <4 имел бы период, меньший п). Таким образом, мы получаем
гомоморфизм группы Галуа G поля А (С) над k в мультипликативную
группу (Z/nZ)’ целых чисел по модулю п, взаимно простых с п.
Этот гомоморфизм, очевидно, инъективен, поскольку г (о) однозначно
определяется по модулю п автоморфизмом о, а действие о на k (С)
определяется действием этого автоморфизма на С- Мы заключаем,
что А (С) абелево над k.
Пусть ф—функция Эйлера. Как мы знаем, порядок группы (Z/zzZ)*
равен ф(/г). Следовательно, степень [А(С): А] делит ср (/г).
Исследуем более подробно разложение на множители многочлена
X'1—1; для простоты предположим, что характеристика равна 0.
Имеем
Хп- 1 = П (X - СО),
<а
где произведение берется по всем корням zz-й степени из единицы.
Соберем вместе все члены, соответствующие тем корням из еди-
ницы, которые имеют одинаковый период. Пусть
fdW = П
период
Тогда
Х''-1=П/ДХ).
d 1 п
§ 3 КОРНИ ИЗ ЕДИНИЦЫ
235
Мы видим, что /1(Х)=АГ—1 и что
Хп 1
п
d<n
Следовательно, мы можем вычислять fn(X) рекуррентно, и видно,
что fn(X) является многочленом из Q [X], поскольку мы последо-
вательно делим друг на друга многочлены, имеющие коэффициенты
в Q. У всех наших многочленов старший коэффициент равен 1, так
что в действительности /„ (X) имеет целочисленные коэффициенты
в силу теоремы 2 из гл. V, § 4. Таким образом, наша конструкция
по существу универсальна и годна для любого поля (характеристика
которого не делит nY
Мы называем fn(X) п-м круговым многочленом, или многочле-
ном деления круга на п равных частей.
Корнями /„ являются в точности примитивные корни п-й степени
из единицы, и, следовательно,
deg/„ = T(»)-
В силу теоремы 6 мы заключаем, что fn неприводим над Q и,
значит,
/„(X) = Irr(C„, Q, X).
Доказательства следующих рекуррентных формул мы предоста-
вляем читателю в качестве упражнений
1. Если р — простое число, то
/р(Х) = ^-1 + Хр-2+... + 1
и для любого целого г 1
2. Пусть п = р\' ... рг/ — положительное целое число, разложен-
ное на простые множители. Тогда
3 Если п нечетно, то f-2„(X) — fn(—X).
4 Если р—простое число, не делящее п, то
5. Имеем
/.(Ю=П(^"-1)’"Й.
d | л
236
ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ ГАЛУА
Как обычно, |1 — это функция Мёбиуса:
Н(п) =
О, если п делится на рг для некоторого простого р;
(—1)г, если п = pi.. .рт—произведение различных простых чисел;
1, если п = 1.
В качестве упражнения покажите, что
( 1 при п = 1,
2 И (d) = <
при п > 1.
Если £— корень n-й степени из единицы и £#=1, то
= 1 Н+...+Г'=о.
Это замечание тривиально, но полезно.
Пусть F? — конечное поле из q элементов, где q есть некоторая
степень простого числа р¥=2. Тогда F* содержит q—1 элементов
и является циклической группой. Следовательно, индекс
(f;.-f^=2.
Для целого числа v ф 0 (mod р) положим
v \___f 1 ’
~Р/ ( —1,
если v = x2 (mod р),
если v ф х1 (mod р).
Эта функция, известная под названием квадратичного символа (или
символа Лежандра), зависит только от класса вычетов v mod р.
Из нашего предыдущего замечания мы видим, что имеется ровно
столько же квадратичных вычетов, сколько и невычетов по модулю р.
Пусть £— примитивный корень р-й степени из единицы и
V
где сумма берется по всем ненулевым классам вычетов по мо-
дулю р. Тогда
s4^"-
Всякое квадратичное расширение поля Q содержится в некото-
ром расширении, получающемся присоединением к Q корня из
единицы.
Доказательство. Последнее утверждение следует непосред-
ственно из явного выражения ± р как квадрата в Q (£), поскольку
квадратный корень из любого целого числа содержится в поле, по-
рожденном присоединением квадратных корней из простых множи-
§ 4. ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ ХАРАКТЕРОВ
237
телей, входящих в его разложение, а также —1 . Кроме того,
для простого числа 2 имеет место соотношение (1 -j- Z)2=2Z. Докажем
утверждение, касающееся S2. Имеем
V, р V, и
Когда v пробегает все ненулевые классы вычетов, то же самое про-
исходит с vii при любом фиксированном р и, следовательно, замена v
на vp, дает
S2= V V|x2) gg(v+1) —- ( V ) gB(v+l)__
V, Ц V, |1
s ш^п-
|X v=/=-l и
Ho 1Д--= 0, так что сумма по ц, стоящая справа,
равна —1. Следовательно,
5М4)(Р_,) + <_.; £
V=/=-1 V
что и требовалось установить.
Мы видим, что Q(/p) содержится в Qft. /-1) ИЛИ QG)
в зависимости от знака квадратичного символа для —1. Расширение
поля называется круговым, если оно содержится в поле, полученном
присоединением корней из единицы. Выше мы показали, что квадра-
тичные расширения поля Q являются круговыми. Теорема Кронекера
утверждает, что всякое абелево расширение поля Q является круговым,
но ее доказательство требует техники, которая не может быть из-
ложена в этой книге.
§ 4. Линейная независимость характеров
Пусть G — моноид и К — поле. Под характером G в А" мы
(в этой главе) будем понимать гомоморфизм
X: G—> К *
моноида G в мультипликативную группу поля К. Тривиальный
характер — это гомоморфизм, принимающий постоянное значение 1.
Функции /z: G>K называются линейно независимыми над К, если
из любого соотношения вида
ai/i Ч- . .. + anf п = 0
с at£K следует, что все at = 0.
238
ГЛ VIII ТЕОРИЯ ГАЛУА
Теорема 7 (Артин) Пусть Xi- > Х«—различные харак-
теры G в К Тогда они линейно независимы над К
Доказательство Один характер, очевидно, линейно незави-
сим. Предположим, что имеется соотношение
«1X1 ~Ь • • =
где коэффициенты at£K не все равны 0 Возьмем такое соотноше-
ние с наименьшим возможным п. Тогда га 2 и ни один at не
равен 0 Так как Х1> Хг различны, то существует элемент z £ О-
такой, что Xi (z)4=X2(z). Для всех x£G имеем
«1X1 (xz) 4- . 4- гаяХ« (xz) = О,
и так как — характеры, то
«1X1 (г) Х1 4- • • • +- ««Хл О) Хл = О
Разделим на Xi (4) и вычтем из нашего первого соотношения Член
«jXi сократится, и мы получим соотношение
-=0
Первый коэффициент в этом соотношении отличен от 0, и оно имеет
меньшую длину, чем первоначальное соотношение — противоречие.
В качестве приложения теоремы Артина можно рассмотреть случай,
когда К — конечное нормальное расширение поля k, а характеры--
различные автоморфизмы Oj...оя поля К над k, рассматриваемые
как гомоморфизмы группы К* в К*. Этот частный случай был ис-
следован уже Дедекиндом, который, однако, сформулировал теорему
несколько иным образом, рассматривая определитель, составленный
из где {соу}—подходящее множество элементов из /С, и дока-
зывая более сложным путем тот факт, что этот определитель отличен
от 0 Формулировка, данная выше, и весьма элегантное доказа-
тельство теоремы принадлежат Артину
В качестве другого приложения имеем
Следствие. Пусть ар , а„ — различные ненулевые эле-
менты поля К Если alt ., ап — элементы из К, такие, что
для всех целых v
«^ 4- . .4- апоУп = О,
то al = Q для всех I
Доказательство Применяем теорему к различным гомо-
морфизмам
v ।—> av
I
группы Z в К*.
Другое интересное приложение будет дано в упражнениях (отно-
сительные инварианты).
§ 5 НОРМА И СЛЕД
239
§ 5. Норма и след
Пусть Е—конечное расширение поля k, [Е •. k\s = r. Положим
также
pv-=[E\ k\t,
если характеристика равна р > 0, и 1—в противном случае. Пусть
Oj, . ., ог— различные вложения Е в алгебраическое замыкание k
поля k. Для всякого элемента а из Е определим его норму из Е
в k формулой
г / г \1£ *1(
v = l \V = 1 /
Аналогично определяем след
Trf (а) = [f : k]t Т ova-
V = 1
След равен 0, если [Z? : &]z > 1, другими словами, если E/k не сепа-
рабельно. Таким образом, если Е сепарабельно над k, то
Nk (а) = П оа’
0
где произведение берется по всем различным вложениям Е в k над k.
Аналогично, если E/k сепарабельно, то
Trf (а) = 2 аа-
а
Теорема 8. Пусть E/k— конечное расширение. Тогда норма
Nk является мультипликативным гомоморфизмом Е* в k*, а след—
аддитивным гомоморфизмом Eek Если Ez^Fzok—башня полей,
то оба эти отображения транзитивны, или, что равносильно,
Nl = NFk о Nef и Trf = ТгС о Тг£.
Если E==k(tt) и /(Х)=1гг(а, k, X) = Хп + ап_хХп~х -ф- . . .
.. . 4-а0, то
А^(а>(а) = (— 1)"а0 и Тг?(а)(а) = -а„_1.
Доказательство Для доказательства первого утверждения
заметим, что элемент сепарабелен над k, если piL — [Е: k\t.
С другой стороны, произведение
П
V-1
240
ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ ГАЛУА
остается неподвижным при любом изоморфизме в k, поскольку при-
менение такого изоморфизма просто переставляет множители. Следо-
вательно, это произведение должно лежать в k, так как сепара-
белен над k. Аналогичное рассуждение применимо и к следу.
Что касается второго утверждения, то пусть {ту-}— семейство
различных вложений F в k над k. Продолжим каждое ту до изо-
морфизма k на k и обозначим это продолжение по-прежнему через ту-.
(Не теряя общности, мы можем предполагать, что FcA.) Пусть
[nJ — семейство вложений Е в k над F. Если о—некоторое вложе-
ние Е над k в k, то тт'о при каком-то j оставляет F неподвижным
и, таким образом, тт1о = о/ для некоторого I. Следовательно,
o = Tyoz и, значит, семейство {ТуО,-} дает все различные вложения Е
в k над k. В башнях степень несепарабельности мультипликативна,
так что наше утверждение о транзитивности нормы и следа очевидно,
поскольку, как мы уже показали, Np отображает Е в F, и ана-
логично для следа.
Предположим теперь, что Е — k (а). Имеем
If
/(Х) = ((Х-а1)...(Х-аг))‘ ' \
где ар ..., аг — различные корни /. Рассмотрение постоянного
члена f дает нам выражение для нормы, а рассмотрение второго
члена — выражение для следа.
Заметим, что след является fe-линейным отображением поля Е
в k, а именно
Тг^(са) = с Тг^(а)
для всех а£Е и c£k. Это очевидно, поскольку с остается непод-
вижным при всяком вложении Е над k. Таким образом, след есть
й-линейный функционал из Е в k. Для простоты мы будем писать Тг
вместо Тг£.
К
Теорема 9. Пусть Е — конечное сепарабельное расширение
поля k. Тогда функционал Tr: Е -> k ненулевой. Отображение
Е'/^Е -> k, определяемое правилом
(х, у) н-> Тг (ху),
билинейно и отождествляет Е с дуальным ему пространством.
Доказ ательство. Тот факт, что Тг отличен от нуля, сле-
дует из теоремы о линейной независимости характеров. Для всякого
х £ Е отображение
Trv: E—>k,
§ 5 НОРМА И СЛЕД
241
для которого Тгх (у) = Тг(ху), будет, очевидно, й-линейным, и ото-
бражение
xi—>Тгх
будет ^-гомоморфизмом Е в дуальное ему пространство Е. (Мы не
обозначаем сейчас дуальное пространство через Е*, используя звез-
дочку для обозначения мультипликативной группы поля Е.) Если
Тгх — нулевое отображение, то Тг(хЕ) = 0. Но хЕ — Е при х#=0.
Следовательно, ядро отображения xi—>Тг^. равно 0 и мы получаем
инъективный гомоморфизм Е в дуальное пространство Е. Так как
эти пространства имеют одинаковую размерность, то, значит, мы
получаем изоморфизм. Это доказывает нашу теорему.
Следствие 1. Пусть (ор ..., —базис Е над k. Тогда
существует базис <о'.....«/ пространства Е над k, для кото-
рого Тг = д...
Доказательство. Базис со[, ..., д/ есть не что иное, как
дуальный базис, который мы определили, когда рассматривали дуаль-
ное пространство для произвольного векторного пространства.
Следствие 2. Пусть Е — конечное сепарабельное расшире-
ние поля k и о,...... <тл— множество различных вложений Е
в k над k. Пусть ..., von — некоторые элементы из Е. Тогда
векторы
•••• <А)>
= • • •> о А)
линейно независимы над k в том и только в том случае, если
w,, . . ., w„ образуют базис Е над k.
Доказательство. Предположим, что wy...........w„ образуют
базис расширения E/k. Пусть cq...а„ — элементы из k, для которых
а1£1 + • • • +ап1п = 0.
Тогда отображение
aiffi -4- • . • -4-ала„,
примененное к каждому из элементов те»,...... дает 0. Но
ор ..., ол линейно независимы как характеры мультипликативной
группы Е* в k*. Отсюда вытекает, что af = 0 для д = 1.....п и
наши векторы линейно независимы.
Обратно, предположим, что ........... wn линейно зависимы
нат k. Тогда в Е найдется элемент а4=0, для которого Тгасо( = 0
242
ГЛ VIII ТЕОРИЯ ГАЛУА
п
при всех z, откуда 2 °; (а) £у=0. это и означает, что векторы £z-
/=1
линейно зависимы.
Замечание. В случае характеристики 0 тот факт, что след не
равен тождественно 0, совсем тривиален. Действительно, если c^k
и с=£0, то Тг(с) = пс, где п = [Д: k\ и пс=£0. Это соображение
сохраняет силу также и в случае характеристики р, взаимно про-
стой с п.
Предложение 1. Пусть E = k(a)—сепарабельное расшире-
ние, f (X) — Irr (a, k, X) и f (X)—производная многочлена f (X).
Пусть
(jTZ-aj' = Po + Pi^ + • >
где Тогда дуальным базисом для 1, а.........а" 1 будет
Ро - 1
/'(«)’ ” /' (а)
Доказательство. Пусть .......ал— различные корни /.
Тогда
у f(X)
(Д’-а,) /'(а,-)
I = 1
для
О г п — 1 •
Чтобы усмотреть это, обозначим через g (X) разность левой и правой
частей этого равенства. Тогда g— многочлен степени не более п—1,
имеющий п корней ар .... ап. Следовательно, g тождественно
равен нулю.
Многочлены
/ (X) агг
(Х — ад f (а,)
все сопряжены между собой. Если мы назовем следом многочлена
с коэффициентами в Е многочлен, полученный применением следа
к коэффициентам, то
f(X) о/ 1 у,
(Д' — а) /' (а) J
Рассмотрев коэффициенты при каждой степени X в этом равенстве,
мы найдем, что
что и доказывает наше предложение.
§ 6. ЦИКЛИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
243
§ 6. Циклические расширения
Напомним, что конечное расширение называется циклическим,
если оно является расширением Галуа и его группа Галуа цикли-
ческая.
Теорема 90 Гильберта. Пусть K/k—циклическое рас-
ширение с группой Галуа G. Пусть о — образующая группы Си
р£/С Норма /Vf(p) = /V(p) равна 1 в том и только в том случае,
когда существует элемент а 0 в К, такой, что р = а/аа.
Доказательство. Предположим, что такой элемент а суще-
ствует. Беря норму от р, получаем N(a)jN(оа). Но норма — это
произведение по всем автоморфизмам из G. Применение о лишь
переставляет эти автоморфизмы. Следовательно, норма равна 1.
Будет удобно использовать экспоненциальные обозначения. Если
т, г' £ G и то пишем
с. Т Ч~ Т ' с. Т о т *
S = S & •
В силу теоремы Артина о характерах отображение
id 4-рст+р1+ао2+ ... 4-p1+ov +а''~2о'1“1
не равно тождественно нулю. Следовательно, существует 0 £ К, для
которого элемент
и = 0 + p0a-Cp’+V2 + . . . -+-р1+0+ +0,!“2оа'!1
не равен нулю. Если воспользоваться тем фактом, что Af(p)=l и
что, следовательно, при применении о к последнему члену суммы
мы получим р *0, то становится очевидным, что ра° = а. Чтобы
завершить доказательство, разделим на а®.
Теорема 10. Пусть k — поле, п — целое число >0, взаимно
простое с характеристикой поля k, причем в k имеется при-
митивный корень n-й степени из единицы.
(а) Если К — циклическое расширение степени п, то суще-
ствует элемент а^К, такой, что K = k(d) и а удовлетворяет
уравнению X" — а = 0 для некоторого a£k.
(б) Обратно, пусть a£k и а — некоторый корень многочлена
Хп—а. Тогда k (а) — циклическое расширение над k степени d,
d\n и ad—элемент из k.
Доказательство. Пусть £—примитивный корень /г-й степени
из единицы в k, K/k—циклическое расширение с группой G и
о—образующая G. Имеем Af(£-1) = (£-r)Z!= 1. В силу теоремы 90
Гильберта существует элемент а£К, такой, что оа = 'Са. Поскольку
244
ГЛ. VIII ТЕОРИЯ ГАЛУА
Z лежит в k, то о‘а = £'а для i— 1, .... п. Следовательно, эле-
менты £'а составляют п различных сопряженных с а над k, откуда
вытекает, что [k (а): k\ не меньше, чем п. Так как {К ' k] — n, то
Л' = &(а). Кроме того,
о (ал) = о (а)" = (£а)л = а".
Неподвижный относительно о элемент а” будет неподвижен отно-
сительно всякой степени о и, следовательно, неподвижен относи-
тельно G. Поэтому а” лежит в k и мы полагаем п = ал. Это дока-
зывает первую часть теоремы.
Обратно, пусть a£k и а — корень многочлена Х.п— а. Тогда
для всякого Z=1.......п также является корнем этого много-
члена и, следовательно, все его корни лежат в поле k(d), которое
тем самым нормально над k. При этом все корни различны, так что
k (а) является расширением Галуа над k. Пусть G — его группа Галуа.
Если о — автоморфизм расширения k(a)[k, то оа также будет
корнем многочлена А7" — а. Следовательно, оа = со0а, где <од — не-
который корень п-й степени из единицы, не обязательно примитивный.
Отображение oi—><о0 является, очевидно, гомоморфизмом О в группу
корней п-й степени из единицы, причем инъективным. Так как всякая
подгруппа циклической группы циклическая, то мы заключаем, что
G—циклическая группа, скажем, порядка d и d\n. Образ G есть
циклическая группа порядка d. Если о — образующая О, то
<о0—примитивный корень rf-й степени из единицы. Далее получаем
о (ad) = (oa)d = («па/ = ad.
Следовательно, элемент ad неподвижен относительно О. Это элемент
из k, и наша теорема доказана.
Теперь мы переходим к аналогу теоремы 90 Гильберта в характе-
ристике р для циклического расширения степени р.
Теорема 90 Гильберта (аддитивная форма). Пусть
k — поле, Kjk — циклическое расширение степени п с группой G
и о — образующая G. Пусть р£/С След Тг^(р) равен 0 в том и
только в том случае, когда существует элемент а£К, такой,
что р = а — aa.
Доказательство. Если такой элемент а существует, то
след будет 0, поскольку след равен сумме, взятой по всем элемен-
там G, а применение о лишь переставляют эти элементы.
Обратно, предположим, что Тг(р) = О. Существует элемент 0£/С
для которого Тг(0)=^О. Положим
a = TFW f Р0° +4- о₽) е°2 + • • • + (м- ор + ... + о"~2р) 0°"’1 ].
Отсюда сразу вытекает, что р = а — <за.
§ 6. ЦИКЛИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
245
Теорема 11 (Артин — Шрейер). Пусть k — поле характе-
ристики р.
(а) Если К — циклическое расширение над k степени р, то
существует элемент а£К, такой, что K = k(a), причем а удо-
влетворяет уравнению Хр— X— a = Q для некоторого a£k.
(б) Обратно, для данного элемента a£k многочлен f(X) =
= ХР— X — а либо имеет корень в k, и тогда все его корни
лежат в k, либо неприводим. В последнем случае, если а — не-
который его корень, то k(a)—циклическое расширение степени р
над k.
Доказательство. Пусть K/k — циклическое расширение сте-
пени р. Тогда Тг^(—1) = 0 (это просто результат сложения —1
с собой р раз). Пусть о — образующая группы Галуа. В силу адди-
тивной формы теоремы 90 Гильберта имеется элемент а £ К, для
которого оа — а=1, или, что то же самое, оа = а-|-1. Следова-
тельно, а'а = «-|-< для всех целых чисел i= 1, ..., р и а имеет
р различных сопряженных, так что [й (а) : k] р. Отсюда вытекает,
что K = k(a). Заметим, что
о(ар — а) = о (а)р — о (а) = (аД- 1)р — (аД- 1) = а₽ — а.
Следовательно, элемент ар — а, неподвижный относительно о, будет
неподвижен относительно степеней о, а потому и относительно G.
Таким образом, он лежит в неподвижном поле k. Полагая а~ар— а,
видим, что наше первое утверждение доказано.
Обратно, пусть a£k. Если а—корень многочлена Хр — X — а,
то а -Д i при 4=1...р также служит его корнем. Таким обра-
зом, f (X) имеет р различных корней. Если один корень лежит в k,
то и все корни лежат в k. Допустим, что ни один из корней не лежит
в k. Мы утверждаем, что многочлен неприводим. Предположим, что
f(X) = g(X)h(X),
где g, h £ k [X ] и 1 <Д deg g < р. Так как
р
/(Х)=П(^-«-0.
1-1
то g(X) совпадает с произведением по некоторым целым числам t„
Пусть d — degg. Коэффициент при Xd~~l будет суммой членов
— (аД-/), взятой точно по d целым числам i. Следовательно, он
равен —do.-rj, где j — некоторое целое число. Но d Д= 0 в k и,
значит, а лежит в k, поскольку коэффициенты g лежат в k — противо-
речие. Таким образом, /(X) неприводим. Все его корни лежат
в поле k (а), которое по этой причине нормально над k. Так как
/ (X) не имеет кратных корней, то k (о) будет расширением Галуа
246
ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ ГАЛУА
над k. Имеется автоморфизм о поля k (а) над k, такой, что оа = а 1
(поскольку а -ф-1 также корень). Степени о1 автоморфизма о дают
о'(а) = а-|-/ для z=l....р и поэтому все различны. Следова-
тельно, группа Галуа состоит из этих степеней, а потому является
циклической, что и доказывает теорему.
£ 7. Разрешимые и радикальные расширения
Конечное расширение E\k (которое мы для удобства будем пред-
полагать сепарабельным) называется разрешимым, если группа Галуа
наименьшего расширения Галуа К над k, содержащего Е, является
разрешимой группой. Это эквивалентно тому, что существует раз-
решимое расширение Галуа L поля k, такое, что kcEa!.. Действи-
тельно, имеем kcEczKc.L и G(Klk) есть гомоморфный образ
группы G (L/k).
Предложение 2. Разрешимые расширения образуют отме-
ченный класс расширений.
Доказательство. Пусть E/k разрешимо и Е — поле, содер-
жащее k, причем Е, Е—подполя некоторого алгебраически замкну-
того поля. Пусть К — разрешимое расширение Галуа над k и Е с К.
Тогда KF будет расширением Галуа над F и G(KF/F)—подгруппой
в G (Elk) в силу теоремы 4 из § 1. Следовательно, EFfF разрешимо.
Ясно, что подрасширение разрешимого расширения разрешимо. Пусть
Е о F zd k — башня с разрешимыми расширениями E)F и Fjk.
Пусть К — конечное разрешимое расширение Галуа поля k, содержа-
щее F. Как мы только что видели, ЕК!К разрешимо. Пусть
L— разрешимое расширение Галуа поля К, содержащее ЕК. Если
о — произвольное вложение L над k в заданное алгебраическое замы-
кание, то <зК — К и, следовательно, oL— разрешимое расширение
поля К. Пусть /И — композит всех расширений oL для всех вложе-'
ний о поля L над k. Тогда М — расширение Галуа над k, а следо-
вательно, и над К. Группа Галуа поля М над является под-
группой произведения ДО(оГ/К),
§ 7. РАЗРЕШИМЫЕ И РАДИКАЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
247
в силу теоремы 5 из § 1. Следовательно, она разрешима. По теореме 3
из § 1 имеет место сюръективный гомоморфизм G (M/k)->0 (K/k).
Значит, группа Галуа расширения M/k имеет разрешимую нормальную
подгруппу, факторгруппа по которой разрешима. Поэтому она сама
разрешима. Так как Е с 7И, то наше доказательство закончено.
Конечное расширение F поля k называется разрешимым в ради-
калах, если оно сепарабельно и если существует конечное расши-
рение Е поля k, содержащее F и обладающее разложением в башню
/г с Ео с fj с Е2 с ... с. Ет = Е,
таким, что каждый этаж Е1+1/Е( принадлежит к одному из следую-
щих типов:
(1) получается присоединением корня из единицы;
(2) получается присоединением корня многочлена Хп— а, где
a^Et и п взаимно просто с характеристикой;
(3) получается присоединением корня уравнения Хр — X — а,
где a£Et и р — характеристика > 0.
Сразу же видно, что класс расширений, разрешимых в радикалах,
является отмеченным классом.
Тео рема 12. Пусть Е—сепарабельное расширение поля k.
Тогда Е разрешимо в радикалах в том и только в том случае,
если Ejk разрешимо.
Доказательство. Предположим, что Efk разрешимо. Пусть
К—конечное разрешимое расширение Галуа поля k, содержащее £;
т — произведение всех степеней простых чисел, не равных характе-
ристике и делящих степень [К : k\\ F = k(Q, где — примитивный
корень /п-й степени из единицы. Тогда F/fe абелево. Поднимем К
над F. Тогда KF разрешимо над F. Между F и KF имеется башня
подполей
KF
К F
k
такая, что каждый ее этаж — циклический простого порядка, по-
скольку всякая разрешимая группа обладает башней подгрупп такого
типа, и мы можем применить теорему 3 из § 1. В силу теорем 10
и 11 заключаем, что KF разрешимо в радикалах над F и, следова-
тельно, разрешимо в радикалах над k. Это доказывает, что E/k раз-
решимо в радикалах.
Обратно, предположим, что E/k разрешимо в радикалах. Для
любого вложения о поля Е в Е над k расширение oE/k также
248
ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ ГАЛУА
разрешимо в радикалах. Следовательно, наименьшее содержащее Е
расширение Галуа К поля k, которое является композитом Е и его
сопряженных, разрешимо в радикалах. Пусть т — произведение всех
степеней простых чисел, не равных характеристике и делящих сте-
пень {К : й]. Положим снова F = k(Q, где £—примитивный корень
m-Vi степени из единицы. Достаточно доказать, что KF разрешимо
над F, поскольку отсюда будет вытекать, что KF разрешимо над k
и, следовательно, группа G(Klk), являющаяся гомоморфным образом
группы G (KF]k), разрешима. Но KF!F может быть разложено в башню
расширений, каждый этаж которой имеет простую степень и при-
надлежит к типу, описанному в теоремах 10 и 11, причем соответ-
ствующие корни из единицы лежат в поле F. Следовательно, KF/F
разрешимо, и наша теорема доказана.
Замечание. Можно было бы так видоизменить предыдущее изло-
жение, чтобы не предполагать сепарабельности. Тогда нужно было бы
иметь дело с нормальными расширениями вместо расширений Галуа
и считать уравнения Хр — а = 0 разрешимыми в радикалах, когда
р равно характеристике. При этом будет иметь место теорема,
соответствующая теореме 12. Доказательства очевидны ввиду § 7
из гл. VII.
§ 8. Теория Куммера
В этом параграфе мы дадим обобщение теоремы, касающейся
циклических расширений, на тот случай, когда основное поле содержит
достаточно много корней из единицы.
Пусть k — поле и т — положительное целое число. Расширение
Галуа К поля k с группой G называется расширением показателя т,
если om = 1 для всех o£G.
Мы будем исследовать абелевы расширения показателя т. Сначала
предположим, что т взаимно просто с характеристикой поля k и
что k содержит примитивный корень m-й степени из единицы. Обо-
значим через Zm группу корней /к-й степени из 1. Будем пред-
полагать в этом параграфе, что все наши алгебраические расширения
содержатся в некотором фиксированном алгебраическом замыкании k.
(т \
или ~\/~а) не определено однозначно.
Если ат — а и $ — корень /и-й степени из единицы, то также и
(£а)т = а. Мы будем использовать символ ai/m для обозначения
любого такого элемента а и все такие элементы а будем называть
корнями m-й степени из а. Заметим, что, поскольку корни от-й степени
из единицы лежат в основном поле, поле /е (гл) будет одним и тем же
независимо от того, какой корень m-й степени а из а мы выберем.
Мы будем обозначать это поле символом k (а1
§ 8. ТЕОРИЯ КУММЕРА
249
Обозначим через /г*т подгруппу в k*, состоящую из всех m-х сте-
пеней ненулевых элементов из k. Это образ группы k* при гомо-
морфизме х ।—> хт.
Пусть В — подгруппа k*, содержащая k*m. Мы будем обозначать
символом &(В1,т), или Кв, композит всех полей /г(а1/Ш) с а £ В. Он
однозначно определен подгруппой В как подполе в k.
Пусть а£В и а — корень /n-й степени из а. Многочлен Хт— а
разлагается на линейные множители в Кв, и, таким образом,
Кв — расширение Галуа над k, поскольку это выполняется для всех
а£В. Пусть G — его группа Галуа. Если o£G, то оа = (о0а, где
(0о 64 = *’- некоторый корень т-Я степени из единицы. Отобра-
жение
О н-> (0о
является, очевидно, гомоморфизмом G в Zm, т. е. для т, o£G имеем
тоа == wTwoa = <д0(ота. Мы можем написать wn = oa/a. Этот корень
из единицы ®0 не зависит от выбора корня т-Я степени из а,
поскольку если а' — другой корень т-Я степени, то а' = £а для
некоторого C£Zm, откуда
oa'/a' = £oa/£a = oa/a.
Обозначим wu символом (о, а). Соответствие
(о, а) ।—> (о, а)
дает нам отображение
GXB~>Zm.
Если а, Ь£В и am = a, f>rrl = b, то ((М)т = ab и, следовательно,
о (ap)/ap = (оа/а) (ор/р).
Отсюда, заключаем, что предыдущее отображение билинейно. Кроме
того, если а £ k*m, то (о, а) = 1.
Теорема 13. Пусть k — поле ат — целое число > 0, взаимно
простое с характеристикой поля k, причем примитивный корень
т-й степени из единицы лежит в k. Пусть В — подгруппа в k*,
содержащая k*m, и Кв = k(Bllm\ Тогда Кв — абелево расширение
Галуа показателя т. Пусть G — его группа Галуа. Имеет место
билинейное отображение
О X В Zm, задаваемое соответствием (о, a) i—> (о, а).
Если o£G, а^В и ат = а, то (о, а) — oa/a. Ядро слева равно 1,
а ядро справа есть k*m. Расширение КBfk конечно тогда и только
тогда, когда индекс (В : k'm) конечен, и в этом случае
[KB:k] = (B:ksm).
250
ГЛ VIII ТЕОРИЯ ГАЛУА
Доказательство. Пусть о£О, причем (о, а} = 1 для всех
а£В. Тогда оа = а для всякого примитивного элемента а поля Кв,
такого, что ат = а£В. Следовательно, о индуцирует тождественное
отображение на и ядро слева равно 1. Пусть а£В, причем
(о, а) = 1 для всех о£О. Рассмотрим подполе k(a[lm) в Кв. Если
а1/'" не лежит в k, то существует автоморфизм поля k(a1/m) над k,
не являющийся тождественным. Продолжим этот автоморфизм на Кв
и обозначим продолжение снова через о. Тогда ясно, что (о, а) =£ 1.
Это доказывает наше утверждение.
В силу теоремы двойственности из гл. I, § 11 мы видим, что
группа G конечна тогда и только тогда, когда конечна группа Bjlim,
и в этом случае порядок G равен индексу (В : k*m).
Теорема 14. В обозначениях теоремы 13 отображение Вi—>КВ
дает биективное соответствие между множеством подгрупп в k*,
содержащих И’т, и множеством абелевых расширений над k по-
казателя т.
Доказательство. Пусть В1, В2— подгруппы в k*, содержа-
щие k*m. Если В} с В2, то k с k (В2т\ Обратно, предположим,
что k с k(в'2,т). Мы хотим доказать, что В1 с В2. Пусть Ь£ВХ.
Тогда k (д1™) с k (В2т\ причем к(Ь11т) содержится в конечно поро-
жденном подрасширении в k(B2m\ Таким образом, не теряя общности,
мы можем предполагать, что группа B2/k*m — конечно порожденная
и, следовательно, конечная. Пусть В3 — подгруппа в k*, порожден-
ная В2 и Ь. Тогда А(вУт) = А(Дз/т), а из того, что мы видели выше,
вытекает, что степень этого поля над k есть
(В2: k”n) или (В3 : k*m).
Таким образом, эти два индекса равны и В2 = В3. Это доказывает,
что Вх с В2.
Итак, мы получили вложение нашего множества групп В в мно-
жество абелевых расширений поля k, имеющих показатель т. Пред-
положим теперь, что К — некоторое абелево расширение над k пока-
зателя т. Любое конечное подрасширение есть композит циклических
расширений показателя т, поскольку всякая конечная абелева группа
является произведением циклических групп, и мы можем применить
следствие 2 теоремы 5, § 1. В силу теоремы 10 всякое циклическое
расширение может быть получено присоединением корня m-й степени.
Следовательно, К может быть получено присоединением семейства
корней m-й степени, скажем корней m-й степени из элементов
где bj £ k*. Пусть В — подгруппа в k*, порожденная всеми b и k*mГ
§ 8. ТЕОРИЯ КУММЕРА
251
Если Ь' — Ьат, где a, b£k, то, очевидно,
k(b'Vm) = k(b>im).
Следовательно, что и требовалось доказать.
В случае когда мы имеем дело с абелевыми расширениями пока-
зателя р, равного характеристике, мы должны развить аддитивную
теорию, находящуюся к теоремам 13 и 14 в таком же отношении,
как теорема 11 к теореме 10.
Пусть k—поле характеристики р. Определим оператор р, положив
(х) = хр — х
для х £ k. Тогда р есть аддитивный гомоморфизм поля k в себя.
Подгруппа р (А) играет ту же роль, что и подгруппа Е"т в мульти-
пликативной теории для случая, когда т— простое число. Теория,
касающаяся степеней р, несколько сложнее и принадлежит Витту.
Читателя, желающего посмотреть, как она выглядит, мы отсылаем
к упражнениям.
Корень многочлена Хр—X — а с a£k будем обозначать через
Для всякой подгруппы В в k, содержащей tyk, положим К B — k(y~xB).
Это поле, полученное присоединением $'}а к k для всех а£В. Под-
черкнем тот факт, что В—аддитивная подгруппа в k.
Теорема 15. Пусть k—поле характеристики р. Отобра-
жение В\—является биективным соответствием между
подгруппами в k, содержащими fik, и абелевыми расширениями
поля k, имеющими показатель р. Пусть К — Кв = В) и
G — группа Галуа этого расширения. Имеет место билинейное
отображение
G X В —>Z/рТ., задаваемое правилом (о, a)i—>(о, а).
Если o£G, а£В и $а = а, то (о, а)=оа—а. Ядро слева равно 1,
а ядро справа есть ipk. Расширение KB[k конечно тогда и только
тогда, когда индекс (В : fik) конечен, и в этом случае
[Кв'k] — (B :fk).
Доказательство. Доказательство полностью аналогично дока-
зательствам теорем 13 и 14. Оно может быть получено заменой
умножения сложением и использованием ,Дэ-х корней" вместо корней
/и-й степени. Никаких других изменений в доказательстве не требуется.
Аналогичная теорема для абелевых расширений показателя рп
требует векторов Витта и будет изложена в упражнениях.
252
ГЛ VIII. ТЕОРИЯ ГАЛУА
§ 9. Уравнение Хп — а = 0
Когда корни из единицы не содержатся в основном поле, урав-
нение Хп— a = Q по-прежнему представляет интерес, но требует
более деликатного обращения.
Теорема 16. Пусть k — поле, п — целое число ^>2 и a£k,
а =# 0, причем a^kp для всех простых чисел р, делящих п, и
—4&4, если 4 | п. Тогда многочлен Хп— а неприводим в k[X).
Доказательство. Наше первое предположение означает, что а
не является р-й степенью в k. По индукции мы сведем нашу теорему
к случаю, когда п—степень простого числа.
Запишем п~ ргт, где р взаимно просто с т и нечетно. Пусть
т
X"_a = II(X-av)
V-I
— разложение Хт — а на линейные множители и, скажем, а = ах.
Подставляя Хр вместо X, получаем
tn
Хп — а = ХрГт — а = П(ХрТ — av).
V=1
По индукции можно считать, что Хт— а неприводим в &[Х]. Мы
утверждаем, что а не является р-й степенью в k (а). Действительно,
пусть а=рр, Р£й(а) и N — норма из /г (а) в k. Тогда
— а = (— l)m N (а) = ( — l)m N (рр) = (— l)m N ф)р.
Если т нечетно, то а будет р-й степенью, что невозможно. Ана-
логично, если т четно (а р нечетно), мы также получаем противо-
речие. Это доказывает наше утверждение, поскольку т взаимно
просто с р. Считая теорему известной для степеней простых чисел,
заключаем, что многочлен Хр —а неприводим над k(a). Если
А—корень многочлена ХрГ — а, то k cz k (a) cz k (A) — башня, ниж-
ний этаж которой имеет степень т, а верхний — степень рг. Отсюда
вытекает, что А имеет степень п над k и что, следовательно, много-
член Хп—а неприводим.
Пусть теперь п = рг—степень простого числа.
Предположим, что р совпадает с характеристикой. Пусть a —
корень р-й степени из а. Тогда Хр — а = (Х— а)р и, следовательно,
ХрГ — а = (Хрг~' — а)Р при г .>2. По соображениям, еще более
тривиальным, чем вышеприведенные, мы видим, что а не является
р-й степенью в k(a) и, значит, Хр ’ — а неприводим над k (а).
'Следовательно, ХрГ— а неприводим над k.
§ 9 УРАВНЕНИЕ X —a = t)
253
Предположим, что р не совпадает с характеристикой. Снова рас-
суждаем по индукции. Пусть а—некоторый корень многочлена
Хр — а. Сначала рассмотрим случай г = 1. Пусть £— примитивный
корень р-й степени из единицы. Многочлен Хр— а над k(£) либо
неприводим, либо разлагается на линейные множители. Во втором
случае k(a)c k(Z). Поскольку k(Qjk абелево, то k(a) есть расши-
рение Галуа над k. Так как всякий сопряженный с а элемент имеет
вид t,'a, где t,'—некоторый примитивный корень р-й степени из еди-
ницы, то k (а) = k (Q. Следовательно, все корни Хр— а, не лежа-
щие в k, имеют одинаковую степень над k, делящую р — 1. Но это
невозможно и, следовательно, многочлен Хр — а неприводим. Пусть
теперь г ^>2. Положим а = аг Имеем
Х₽-а = П(Х-а¥)-
v= 1
^r-a = nU^->-av).
v=l
Предположим, что а не является р-й степенью в k (а). Пусть А —-
корень Хр ' — а. Если р нечетно, то по индукции А имеет сте-
пень рг~х над k (а), следовательно, степень рг над k, и все готово.
Если же р = 2, то предположим, что а = — 4р4, где p^fe(a). Пусть
N—норма из /г (н) в k. Тогда — а — N (а) — 16/V(p)4, т. е. —а — Ь2,
где bf^k. Ниже будет показано, что в этом случае из наших пред-
положений относительно а вытекает неприводимость многочлена
X2 —а = X2 А-b2. Предположим, что a — [Х для некоторого
Р£й(а), и выведем из этого следствия.
Взяв норму из k(а) в k, находим
— а = (—1/ N (а) = (—1/ N ф₽) = ( —1)р N (|3)р.
Если р нечетно, то а будет р-й степенью в k — противоречие. Сле-
довательно, р = 2 и —а — N (|3)2—квадрат в k. Запишем —а = />2,
где b^k. Так как а не является квадратом в k, то заключаем, что
и —1 не является квадратом в k. Пусть Z2 =—1. Над k{i) спра-
ведливо разложение
X2' — а = X2' 4- Ь2 = (Х2'“14- ib) (X2'"1 — ib).
Каждый множитель имеет степень 2Г-1, и мы рассуждаем по индук-
ции. Если X2 1 ± lb приводим над &(Z), то ± lb либо есть квадрат
в k(i), либо лежит в —4(&(Z))4. В любом случае ± ib будет квад-
ратом в Ze(Z), скажем
± ib — (с 4- di)2 = с2 4- 2с di — d2,
254
ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ ГАЛУА
где с, d£k. Отсюда получаем с2 = </2, т. е. с — ± d, и ± lb ==
— 2cdl= ± 2с2/. Возведение в квадрат дает противоречие, а именно
а = — й2 = — 4с4.
Из однозначности разложения на множители мы теперь заключаем,
что X2 -\-Ь2 не может разлагаться в А [Д'] на множители, что и до-
казывает теорему.
Условия нашей теоремы необходимы, поскольку
4/>‘ = (Х2+ 2b X + 2/>2) (X2 — 2b X + 2/>2).
При п = 4/п и — 4/г4 многочлен Хп — а приводим.
Следствие 1. Пусть k — поле и для некоторого простого
числа р элемент a£k, a^Q, не является р-й степенью. Если р
совпадает с характеристикой или же нечетно, то для всякого
г 1 многочлен Хр —а неприводим.
Доказательство. Это утверждение логически слабее, чем
утверждение теоремы.
Следствие 2. Пусть k—поле, причем алгебраическое замы-
кание k поля k имеет конечную степень > 1 над k. Тогда k — k(i),
где I2 — —1, и k имеет характеристику 0.
Доказательство. Заметим, что k нормально над k. Если k
несепарабельно над k, то k—чисто несепарабельно над некоторым
подполем и имеет над ним степень > 1 (в силу гл. VII, § 7), сле-
довательно, существуют подполе Е, содержащее k, и элемент а £ Е,
такие, что Хр— а неприводим над Е. В силу следствия 1, k не
может быть конечной степени над Е. (Если читатель опустил § 7
гл. VII, то он может ограничиться рассмотрением случая характери-
стики 0.)
Итак, мы можем предполагать, что k является расширением Галуа
над k. Пусть Aj = Лг (Z). Тогда k будет расширением Галуа также
и над fej. Пусть Q — группа Галуа k/kv Предположим, что имеется
простое число р, делящее порядок G. Пусть Н — подгруппа порядка р
и F— соответствующее неподвижное поле. Тогда [k : F]~ р. Если р
равно характеристике, то упражнение 5 в конце главы дает противо-
речие. Поэтому мы можем предполагать, что р не равно характери-
стике. Тогда корни р-й степени из единицы, отличные от 1, являются
корнями многочлена степени р—1 (а именно, Хр *-}- ... -j-1)
и, следовательно, должны лежать в F. В силу теоремы 10 из § 6
отсюда вытекает, что k есть поле разложения некоторого многочлена
Хр — а с a £F. Многочлен Хр —а должен быть приводим. В силу
§ 10. КОГОМОЛОГИИ ГАЛУА
255
нашей теоремы имеем р = 2 и а = — 4#4, где b£F, откуда
r==F(a'/2) = /7(Z).
Но мы предполагали, что I £ — противоречие.
Остается доказать, что k имеет характеристику 0. Предположим,
что k имеет характеристику > 0 (но никакой буквы для обозначения
характеристики мы не используем, поскольку р уме занято). Поле,
получаемое присоединением примитивного корня из единицы £ г к про-
стому полю F, является циклическим над этим простым полем. В силу
теоремы 4 из § 1 группа Галуа поля k над k, являющаяся цикли-
ческой порядка 2 и порождаемая, скажем, элементом о, соответ-
ствует некоторой подгруппе группы Галуа расширения F (Ту) над F.
Однако расширение F (£2Г), будучи циклическим над F, обладает только
одним подполем степени 2 над F, и это подполе должно содержать I,
поскольку I имеет степень 1 или 2 над F. Так как о/ Ф I, то непод-
вижное подполе в F (Zy) относительно о должно совпадать с F. Это
означает, что F имеет степень 2 над F, что дает противоречие,
если взять г достаточно большим.
Следствие 2 принадлежит Артину.
§ 10. Когомологии Галуа
Пусть Q—группа и А — абелева группа, которую мы в наших
общих замечаниях, предшествующих теореме, будем записывать адди-
тивно. Предположим, что О действует на А посредством гомомор-
физма G —>Aut(A). Под 1-коциклом группы О в А понимают семей-
ство элементов {а0)а^0, где аа£А, удовлетворяющее соотношениям
аа+°ат = аат
для всех о, т £ G. Если {aa)ofO и {₽0)„^0— 1-коциклы, то мы можем
сложить их и получить 1-коцикл {ct0—j—ра}ст^0. Ясно, что 1-коциклы
образуют группу; ее обозначают символом Z1 (G, А). Семейство эле-
ментов {a0)agG называется 1-кограницей группы О в А, если суще-
ствует элемент для которого aa = o|3 —13 при всех o£G.
Ясно, что всякая 1-кограница является 1-коциклом и что 1-когра-
ницы образуют группу, обозначаемую В1 (G, А). Факторгруппа
Z1 (G, A)/B'(G, А) называется первой группой когомологий группы G
в А и обозначается символом HX(G, Д).
Теорема 17. Пусть K!k— конечное расширение Галуа с груп-
пой Галуа О. Тогда НХ(Ь, К*)—1 для действия О на К* и
Н1 (G, К) = 0 для действия G на аддитивной группе поля К.
256
ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ ГАЛУА
Другими словами, первая группа когомологий тривиальна в обоих
случаях.
Доказательство. Пусть {ct0}aeG—1-коцикл группы О в К*.
Соотношение, которому должен удовлетворять коцикл, в мультипли-
кативной записи выглядит так:
асС —
ОТ от
В силу линейной независимости характеров существует 0£/С для
которого элемент
₽= 2 <v(0)
т£О
отличен от нуля. Тогда
ор= 2 сСот(9) = 2 аат«01ат(0) = аа1 S «атат(0) = а71Р-
t(G т хео т£О
Мы получаем, что ао = р/ор, и использование р-1 вместо р дает нам
то. что нужно.
Что касается аддитивной части теоремы, то найдем элемент 9£/С
для которого след Тг(9) не равен 0. Для заданного 1-коцикла (а0)
в аддитивной группе поля К положим
0 ~ Тг (0)
Сразу же получаем ая = р — ор, что и требовалось.
§11. Алгебраическая независимость гомоморфизмов
Пусть А — аддитивная группа, К — поле и ..., Кп: Л—>К—
аддитивные гомоморфизмы. Мы будем говорить, что А.р .... Кп
алгебраически зависимы (над К), если существует многочлен
/(Xj, ..., Х„) в К [Мр ..., Хп], такой, что
/(М*>......Z;!(x)) = 0
для всех х£А, но при этом f не индуцирует нулевую функцию
на К(П}, т. е. на прямом произведении К с собой п раз. Мы знаем,
что с каждым многочленом / можно сопоставить однозначно опре-
деленный редуцированный многочлен, дающий ту же самую функцию.
Если К бесконечно, то редуцированный многочлен совпадает с /.
В нашем определении зависимости мы могли бы предполагать f ре-
дуцированным.
§ 11. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ ГОМОМОРФИЗМОВ
257
Многочлен / (Л\...Хп) будет называться аддитивным, если
он индуцирует аддитивный гомоморфизм /С("> в АГ. Пусть (У) =
= (Е1.... Yn) — переменные, независимые от (X). Положим
g(X, Y) = f(X+Y)-f(X)-f(Y),
где X -4- Y обозначает результат покомпонентного сложения векторов.
Тогда полная степень g, рассматриваемого как многочлен от (X)
с коэффициентами в К [У], строго меньше, чем полная степень /,
и аналогично его степень по каждому Xt не больше, чем степень /
по этому Xt. Это сразу видно из рассмотрения разности одночленов
AI(V) (X 4- У) - m(v) (Х~) - м(v) (У) =
= (*1 + ...(*+ У„р - - У*. ... у> ;
Аналогичное утверждение справедливо и для g, рассматриваемого
как многочлен от (У) с коэффициентами в XIX]. Отсюда вытекает,
что если f редуцированный, то g также редуцированный. Следова-
тельно, если / аддитивный, то g — нулевой многочлен.
Пример. Пусть К имеет характеристику р. Тогда в случае одной
переменной отображение
где а£Х и т'^1, аддитивно и задается аддитивным многочле-
ном аХр . Ниже мы увидим, что это типичный пример.
Теорема 18 (Артин). Пусть ..., —адди-
тивные гомоморфизмы аддитивной группы в поле. Если эти гомо-
морфизмы алгебраически зависимы над К, то в К [АГ] имеется
аддитивный многочлен f(Xx....Хп) #= 0, такой, что
/(Мх).....М*)) = 0
для всех х £ А.
Доказательство. Пусть f(X) = f(Xx,..., Xn)£X[X]—
редуцированный многочлен наименьшей возможной степени, такой,
что /=#0, но /(A(x)) = 0 для всех х£А, где Л(х) — вектор
(Xj (х)..Х„(х)). Докажем, что / аддитивен.
Пусть g(X, У) = / (X4- У) — f(X) — f(Y). Тогда
g<Mx), Л(у)) = /(Л(х4-у))-/(Л(х))-/(А(у)) = 0
для всех х, у£А. Мы утверждаем, что g индуцирует нулевую функ-
цию на X Xw. Предположим противное. Возможны два случая.
Случай 1. Имеем gfc, Л(у)) = 0 для всех ££/С(я) и для всех
у£А. По предположению существует вектор £Х(п\ для которого
§(£', У) не равен тождественно 0. Положим Р (Y) — g $, У). Так
258
ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ ГАЛУА
как степень g по (И) строго меньше степени /, то получаем про-
тиворечие.
Случай 2. Существуют Ъ,'и такие, что ^(V’
A(y'))=£0. Положим P(X) = g(X, А (у')). Тогда Р(Х)— нену-
левой многочлен, но /э(А(х)) = 0 для всех х £ А — снова противо-
речие.
Таким образом, g индуцирует нулевую функцию на X Х^п),
чем и доказано нужное нам утверждение, а именно, что f аддитивен.
Рассмотрим теперь аддитивные многочлены более подробно.
Пусть / — аддитивный многочлен от п переменных над К и при-
том редуцированный. Положим
Л(Хг) = /(0.....xt......0),
где X t стоит на Z-м месте, а остальные компоненты равны 0. В силу
аддитивности
/PG......*„) = Л(*1)+ ... +/„(*«).
поскольку разность между правой и левой частями есть редуциро-
ванный многочлен, принимающий на значение 0. Кроме того, /г
для каждого I — аддитивный многочлен от одной переменной. Сейчас
мы изучим такие многочлены.
Пусть /(X)— редуцированный многочлен от одной переменной,
индуцирующий линейное отображение К в себя. Предположим, что
в / встречается одночлен агХг с коэффициентом аг 0. Тогда одно-
члены степени г в
g(A, /) = /(*+Ю-/Р0-/(П
задаются выражениями
ar (X + Y)r — агХг — arYr.
Но, как мы уже видели, g тождественно равен 0. Следовательно,
предыдущее выражение есть тождественный 0, так что многочлен
(% + Г)г — Хг — Г
является нулевым. Но он содержит член rXr~lY. Следовательно, при
г > 1 наше поле должно иметь характеристику р, а г должно де-
литься на р. Запишем r — pms, где s взаимно просто с р. Тогда
0 = (X 4- Г)г — Хг — Г = (ХРт 4- Yp™}s — (A^m)s — (Ypm"f.
Рассуждая, как и выше, заключаем, что $—1.
Итак, если /—аддитивный многочлен от одной переменной, то
т
f{X)=^avXp\
v=o
' § 11. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ ГОМОМОРФИЗМОВ
259
где av£K. В случае характеристики 0 единственными аддитивными
многочленами от одной переменной являются многочлены вида аХ,
где а £ К.
Как и следовало ожидать, мы называем Xlt . . алгебраически
независимыми, если любой редуцированный многочлен /, такой, что
/(А(х)) = 0 для всех х£А, является нулевым многочленом.
Применим теорему 18 к тому случаю, когда Zj......Z„— авто-
морфизмы поля, и скомбинируем ее с теоремой о линейной независи-
мости характеров.
Теорема 19. Пусть К — бесконечное поле и Ор . , ., о,; — раз-
личные элементы конечной группы автоморфизмов К. Тогда
Oi.....о„ алгебраически независимы над К.
Доказательство (Артин). В случае характеристики 0 тео-
рема 18 и линейная независимость характеров показывают, что наше
утверждение верно. Пусть характеристика р > 0, и пусть Oj...о„
алгебраически зависимы.
Существует аддитивный многочлен /(Ар . . ,, X j в К[Х}, , Хп],
такой, что / ¥= 0, но
.....оя(х)) = 0
для всех х£К. В силу предыдущего мы можем записать это соот-
ношение в виде
п т
2 2 (.х)рГ = о
i=1г = 1
для всех х £ К, причем не все коэффициенты а!г равны 0. Поэтому
в силу теоремы о линейной независимости характеров эндоморфизмы
{хн-(х)₽г] для г— 1, .... и и г=1, ..., т
не могут быть все различны. Следовательно, для всех х£К мы имеем
о. (x)pr = cij (x)pS,
где либо 14= j, либо г 4= s. Пусть, скажем, Извлечение корня
р-й степени в характеристике р однозначно. Значит,
О/ (х) = оу (х)р5-г = оу (xpS~r)
для всех х(^К. Положим о = от1о.. Тогда
о (х) = xpS~r
для всех х£К. Если оп — id, то
260
ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ ГАЛУА
для всех х£К. Поскольку К бесконечно, это возможно только
при s = г. Но тогда ст,- = Oj вопреки тому факту, что мы начи-
нали с различных автоморфизмов.
$ 12. Теорема о нормальном базисе
Теорема 20. Пусть K/k — конечное расширение Галуа сте-
пени п и Ор .... о„— элементы его группы Галуа О. Тогда су-
ществует элемент такой, что o-yw....onw образуют
базис К над k.
Доказательство. Здесь мы докажем это только для случая,
когда k бесконечно. В случае конечного поля k доказательство можно
будет провести позднее методами линейной алгебры как упражнение.
Для всякого о£О пусть Ха— переменная и tg x = Xa-tx. Поло-
жим Д', = Пусть
/(А'!....X„)=det(^,a.).
Тогда / не является тождественным нулем, что видно, если подста-
вить 1 вместо Xia и 0 вместо Ха для о 4= id. Так как k бесконечно,
то по теореме 19 определитель не может быть равным нулю при
всех х£К, если мы в / подставим ai (х) вместо XСледовательно,
существует элемент w£K, для которого
det^or’Oy^)) ¥= 0.
Предположим, что элементы ах, ..., an£k таковы, что
fiiffi(w)+ ••• 4-a„o„(w) = 0.
Применим о"1 к этому соотношению для каждого Z=1...п. По-
скольку aj£k, мы получим систему линейных уравнений относи-
тельно неизвестных ау-. Так как определитель из коэффициентов #=0,
то
О] = 0 для j = 1, .... и
и, следовательно, w будет искомым элементом.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть k — поле, X— переменная над k и
— рациональная функция из k (X), представленная в виде отношения двух
взаимно простых многочленов /, g. Определим степень ср как max (deg/,
УПРАЖНЕНИЯ
261
deg g) и положим Y = q> (X). (а) Показать, что степень ф равна степени рас-
ширения k (X) над k (Y) (в предположении, что Y k). (б) Показать, что
всякий автоморфизм поля k (X) над k может быть представлен рациональной
функцией <р степени 1 и, обратно, что всякая такая функция ф определяет
некоторый автоморфизм, (в) Показать, что эта группа автоморфизмов поро-
ждается следующими отображениями (a, b £ k):
Xi->aX, а=#0; X X -f- b;
Л.
2. Пусть k — поле из q элементов и К — k (X) — поле рациональных
функций от одной переменной над k. Пусть Q — группа автоморфизмов поля К,
задаваемых отображениями
у. аХ -)- b
cX+d ’
где а, Ь, с, d лежат в k и ad — be Q. Доказать следующие утверждения:
(i) Порядок G равен q3 — q.
(ii) Неподвижное поле группы G равно k (К), где
г_ (Хч2 — Х)ч+Х
(ХЧ — Х)ч2+1 ’
(iii) Пусть Нj — подгруппа в О, состоящая из отображений X i—> аХ -|- b
с а #= 0. Неподвижное поле группы //, совпадает с k (Т), где Т = (№ — Х)ч~\
(iv) Пусть Н2 — подгруппа в Ни состоящая из отображений X i—> X -|- b
с b£k. Неподвижное поле группы Н2 равно k (Z), где Z = XI — X.
3. Пусть Q — фиксированное алгебраическое замыкание поля Q, Е — ма-
ксимальное подполе в Q, не содержащее (такое подполе существует
в силу леммы Цорна). Показать, что всякое конечное расширение поля
Е— циклическое. (Ваше доказательство должно остаться пригодным, если
вместо Y2 взять любое алгебраическое иррациональное число.)
4. Пусть k — поле, k — его алгебраическое замыкание, о — автоморфизм k,
оставляющий k неподвижным, и F—неподвижное поле относительно о. По-
казать, что всякое конечное расширение поля F— циклическое.
(Две предыдущие задачи — это примеры Артина, показывающие, как вы-
капывать ямы в алгебраически замкнутом поле.)
5. (i) Пусть К — циклическое расширение поля F с группой Галуа G,
порожденной а. Предположим, что характеристика равна р и что [А: Д] = рт-1,
где m — некоторое целое число 2. Пусть р — элемент поля К, для кото-
рого Тг^ (Р) = 1. Показать, что в К существует элемент а, такой, что
оа — а = рр — р.
(ii) Доказать, что многочлен ХР — X — а неприводим в К [X].
(iii) Доказать, что если 0 — корень этого многочлена, то F (0) — расши-
рение Галуа поля F, циклическое и имеющее степень рт, и что его группа
Галуа порождается продолжением а* автоморфизма а, для которого
о* (0) = 0 р.
6. Пусть Е — алгебраическое расширение поля k, такое, что всякий
многочлен f (X) из k [%] степени ^>1 имеет хотя бы один корень в Е.
Доказать, что Е алгебраически замкнуто. [Указание: рассмотреть отдельно
262 гл. VIII. ТЕОРИЯ ГАЛУА
сепарабельный и чисто несепарабельный случай и воспользоваться теоремой
о примитивном элементе.]
7. Относительные инварианты (Сато). Пусть k — поле, К — его рас-
ширение и G — группа автоморфизмов К над k, причем k совпадает с непод-
вижным полем группы G. (Мы не предполагаем, что К алгебраично над k.)
Под относительным инвариантом группы G в К мы будем понимать эле-
мент Р£К, Р =# О, такой, что для всякого a £G существует элемент % (о)
для которого Р° = %(о) Р. Так как о — автоморфизм, то % (о) g k*. Мы будем
говорить, что отображение %: G->£* принадлежит Р, и будем называть его
характером. Доказать следующие утверждения:
(а) Определенное выше отображение % — гомоморфизм.
(б) Если один и тот же характер х принадлежит относительным инва-
риантам Р и Q, то существует такой элемент cQk*, что P — cQ.
(в) Относительные инварианты образуют мультипликативную группу, ко-
торую мы обозначаем через I.
Элементы Рь .... Рт из / называются мультипликативно независи-
мыми по модулю k*, если их образы в факторгруппе //£* мультипликативно
независимы, т. е. если из соотношения
р}' ... Р™ = с£к ,
где V]....vm — целые числа, следует, что v, = ... = = 0.
(г) Доказать, что если Рь ..., Рт мультипликативно независимы по мо-
дулю k*, то они алгебраически независимы над k. [Указание: воспользоваться
теоремой Артина о характерах.]
(д) Пусть Х=£(Х,, ..., Хп)— поле частных кольца многочленов
k [Xt X„]=k [X], причем G индуцирует автоморфизмы этого кольца много-
членов. Доказать:’ если Ft (X) и Р2 — относительно инвариантные много-
члены, то их н. о. д. является относительным инвариантом; если Р (X) =
= F, (Х)/Р2 (X) — относительный инвариант, являющийся отношением двух
взаимно простых многочленов, то F, (X) и Р2 (X) — относительные инварианты.
Доказать, что относительно инвариантные многочлены порождают f/k*. Пусть
S — множество относительно инвариантных многочленов, которые не могут
быть разложены в произведение двух относительно инвариантных многочле-
нов степени ^1. Показать, что элементы из S>k* мультипликативно незави-
симы и что, следовательно, f/k*— свободная абелева группа- (Если вы зна-
комы с понятием степени трансцендентности, то, используя (г), вы сможете
заключить, что эта группа — конечно порожденная.]
8. Пусть Е — конечное сепарабельное расширение над k степени п,
W = (w,.....wn) — система элементов из Е и о.......... — различные вло-
жения Е в k над k. Определим дискриминант системы IF, положив
DE/k (ИО = det (ст;®/)2-
Доказать: (а) Если V = (vb ..., vn) — какая-нибудь другая система (столбец)
элементов из £ и Х = (х,-,) — матрица из элементов поля k, такая, что
W == XV, то
DE/k (IF) = det (X)* DE/k(V).
(б) Дискриминант является элементом из k.
(в) Пусть Е = k (а) и /(Х) = 1гг(а, k, X). Пусть а„ .... ая — корни /и,
скажем, а = а1. Тогда
п
(а) = п (а — а.А
i-ч
УПРАЖНЕНИЯ
263
Показать, что
DE/k (1, а, ..., а”-1) = (-1)" NEk (/ (а)).
(г) Пусть обозначения те же, что и в (а). Показать, что
det (Tr — (det (c^W;))2.
[Указание-, пусть А — матрица (о,®,). Показать, что *АА есть матрица
(Тг (®,-®/)).]
9. Пусть F— конечное поле и К — его конечное расширение. Показать,
что норма Np и след Тг£ сюръективны (как отображения К в F).
10. Пусть a 0, =/=±1 — целое число, свободное от квадратов. Для
каждого простого числа р пусть Кр — поле разложения многочлена Хр — а
над Q. Показать, что [Хр : Q] = р (р — 1). Для всякого целого числа т > 0,
свободного от квадратов, пусть
= П дР
р| т
— композит всех полей Кр с р | т, и пусть dm — [Кт : Q] — степень Кт над Q.
Показать, что если т нечетно, то dm = JJ dp, а если т четно, т = 2п, то
р| m _
d2n — dn или 2d„, в зависимости от того, содержится или нет У а в поле
корней rw-й степени из единицы Q (£т).
11. Пусть А — абелева группа и G — конечная циклическая группа с обра-
зующей а, действующая на А [посредством гомоморфизма G -> Aut (А)].
Определим след Тго = Тг на А, положив Тг (х) — хх. Обозначим через АТг
т^о
ядро следа и рассмотрим (1—а) А — подгруппу в А, состоящую из всех
элементов вида у — оу. Показать, что /71 (G, А) и АТг/(1— а) А.
12. Какова группа Галуа следующих многочленов: (а) X3— X — 1 над Q.
(б) X3—10 над Q. (в) X3 — 10 над Q(]/r2). (г) X3 — 10 над Q (У—3).
(д) X3 — X — 1 над Q(/=23). (е) X4 —5 над Q, Q(/5 ), Q(/=5), Q (Z).
(ж) X4— а над Q, где a — любое целое число =^=0, =£±1 и свободное от
квадратов, (з) X" — а над Q, где п нечетное >1, а — любое свободное
от квадратов целое положительное число, (и) X4 -[- 2 над Q, Q (Z).
(к) (X2 — 2) (X3 — 3) (X2 — 5) (X2 — 7) над Q. (л) (X2 -/>,) ... (X2 - рп)
над Q (/>!, ..., рп — различные простые числа), (м) (X3 — 2) (X3 — 3) (X2 — 2)
над Q (V —3). (н) X” — t над С (Z), где t трансцендентно над полем комп-
лексных чисел С, а л — целое положительное число, (о) X4—t над R (Z), где t
такое же, как и выше.
13. Пусть k — поле, п — нечетное целое число >1 и g— примитивный
корень n-й степени из единицы, лежащий в k. Показать, что k содержит
также примитивный корень 2и-й степени из единицы.
14. Пусть k — конечное расширение поля рациональных чисел. Пока-
зать, что в k имеется только конечное число корней из единицы.
15. Определить, какие корни из единицы имеются в следующих полях:
Q(Z), Q(K=2), Q(/2), Q(/=3), Q(/3), Q (/=5).
16. Для каких целых чисел т примитивный корень т-й степени из еди-
ницы имеет степень 2 над Q?
264
ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ ГАЛУА
17. Пусть k — поле характеристики 0, причем для всякого конечного
расширения Е поля k индекс (£*: £*”) конечен, каково бы ни было целое
положительное п. Доказать, что для всякого такого п существует только
конечное число абелевых расширений над k степени п.
18. Пусть f (z) — рациональная функция с коэффициентами в конечном
расширении поля рациональных чисел, причем существует бесконечно много
корней из единицы £, для которых /(£) есть корень из единицы. Показать,
что существует такое целое число п, что f (г) = сгп, где с — некоторая кон-
станта (являющаяся на самом деле корнем из единицы).
Это упражнение может быть обобщено следующим образом. Пусть
Го — конечно порожденная мультипликативная группа комплексных чисел и
Г — группа всех комплексных чисел у, таких, что ут лежит в Го для неко-
торого целого т =/= 0. Пусть f (z) — рациональная функция с комплексными
коэффициентами, такая, что существует бесконечно много у £ Г, для которых
f (у) лежит в Г. Тогда снова f(z) = czn для некоторых сил.
Мною дано доказательство соответствующего утверждения для случая,
когда значения у и / берутся в Го, а не в Г (см. „Diophantine Geometry",
гл. VII, теорема 7).
19. Пусть K/k— расширение Галуа. На группе G (K/k) = G определяем
топологию Крулля, беря в качестве фундаментальной системы открытых
окрестностей единицы множество подгрупп, которые принадлежат конечным
расширениям Е поля А, содержащимся в К. Используя представление на
левых смежных классах, находим, что нормальные подгруппы кофинальны
в этом семействе и что, следовательно, семейство нормальных подгрупп,
принадлежащих конечным нормальным расширениям, определяет ту же самую
топологию. Показать, что группа G алгебраически и топологически изо-
морфна проективному пределу конечных факторгрупп G/U, где U пробегает
все такие нормальные подгруппы. Вывести отсюда, что G компактна и вполне
несвязна. Такие группы называются проконечными. Показав, что всякая
замкнутая подгруппа конечного индекса открыта. Показать, что замкнутые
подгруппы — это в точности те подгруппы, которые принадлежат промежу-
точным подполям Ac F С К- Показать, что если Н — произвольная под-
группа в G nF—ее неподвижное поле, то подгруппа в G, принадлежа-
щая F, совпадает с замыканием Н в G.
20. Пусть А — такое поле, что всякое его конечное расширение — цикли-
ческое и что для всякого целого п оно имеет одно расширение степени п.
Показать, что группа Галуа G = G (k/k) есть обратный предел lim Z/z«Z,
где rnZ пробегает все подгруппы в Z, упорядоченные по включению. Пока-
зать, что этот предел изоморфен прямому произведению пределов
lim z/p"z,
п ->оэ
взятому по всем простым числам р, другими словами, он изоморфен произ-
ведению всех аддитивных групп целых р-адических чисел.
21. Векторы Витта. Пусть xh л2, ... —последовательность алгебраи-
чески независимых элементов над кольцом целых чисел Z. Для всякого п 1
положим
л-("’ = 2 dxnJd.
d\ п
Показать, что хп может быть выражено черэз х^, где d\n, с рациональ-
ными коэффициентами.
УПРАЖНЕНИЯ
265
Используя векторную терминологию, мы называем (хь х2, ...) компо-
нентами Витта вектора х, а х^, ...) — его призрачными компонен-
тами. Сам х мы называем вектором Витта-
Рассмотрим степенной ряд
Л(о= П
Показать, что
-*4iog/-*(0= Sх(л>^
п > 1
|Ъод -^-log/(0 мы понимаем /' (0//(0> где fit) — степенной ряд, произ-
водная которого /' (f) берется формально."|
Если х, у — два вектора Витта, то их сумму и произведение определяем
покомпонентно относительно призрачных компонент, т. е. полагаем
(x + y)W = x'n) + y('!\
Каковы (х + у)«? Показать, что
fxit)fy(t) = fx+y(t).
Стало быть, (х-\-у)п — многочлен с целочисленными коэффициентами от
xt, yi, ..., хп, уп. Показать также, что
Лу(О= п (1-^уГ/тГ/т.
d, е> 1
где т — наименьшее общее кратное d, е и d, е пробегают все целые числа
1. Таким образом, (ху)п также есть многочлен от ур ..., хп, уп с це-
лочисленными коэффициентами.
Предыдущие соображения принадлежат Витту (устное сообщение) и от-
личаются от приведенных в его первоначальной работе.
Проверить, что формулы, выражающие компоненты (x-f-у) п и (-*У) я,
зависят только от компонент х^ь и у?ь, где k = 0, 1, .... п.
Если А — коммутативное кольцо, то, взяв гомоморфный образ кольца
многочленов над Z в А, мы увидим, что можно определить сложение и
умножение векторов Витта с компонентами в Л и что эти векторы Витта
образуют кольцо W (Л). Показать, что W есть функтор, т. е. что любой го-
моморфизм <р кольца А в коммутативное кольцо А' индуцирует гомоморфизм
1Г(<р): W (Л) -> W (А').
22. Пусть р — простое число. Рассмотрим векторы Витта с компонентами,
равными 0, за исключением тех, которые занумерованы степенями р. При-
меним log по основанию р к номерам этих компонент, — так что мы будем
писать хп вместо х п. Например, х^ теперь обозначает то, что раньше
было xt. Если k — поле характеристики р, то тем же символом W (k) обо-
значается совокупность векторов Витта только что указанного вида. В силу
упражнения 21 W (k) является кольцом. Для вектора Витта х = (х0, .
•.хп, ...) положим
Vx = (0, х0, . .) и Рх = (х%, х[, . .
266
ГЛ. VIII. ТЕОРИЯ ГАЛУА
Таким образом, V есть оператор сдвига. Очевидно, VoF = poV. Пока-
зать, что
(Vx)w = и х(л) = (Лл)(л-1) +рпхп.
Кроме того, по определению имеем
= + ' + . . . +Рпхп.
23. Рассмотрим снова W (k), где k— поле характеристики р. Тогда V —
аддитивный эндоморфизм кольца W (k) и F — кольцевой гомоморфизм W (k)
в себя. Кроме того, для всякого xQW (k) имеем
рх = VFx.
Если х, y£W(k), то (ylx)(yjy) = Vi+j (F^x, F1 х). Обозначая для а^к
через {а} вектор Витта (а, 0, 0, ...), мы можем символически записать
оо
1-0
Показать, что если х £ W (k) и х0 Ф 0, то х есть единица в W (k). [Указа-
ние: имеем 1 —х [ад"1} = Уу и затем
со со 1
* {№} 2 =о - v» 2 = L
О о
24. Пусть п — целое число >. 1, р, как обычно, — простое число и
k — поле характеристики р. Обозначим символом W п (й) кольцо усеченных
векторов Витта (ха,.... хп_^) с компонентами в k. Мы рассматриваем W п (ky
как аддитивную группу. Для x£Wn(k) положим ft (х) = Fx — х. Очевидно,
У—гомоморфизм. Если Л?— расширение Галуа поля к, <s^G(K/k) и
то мы можем определить ох как вектор с компонентами
(ох0,..., oxn_j). Доказать аналог теоремы 90 Гильберта для векторов Витта
и показать, что первая группа когомологий тривиальна. [Берем вектор, след
которого является единицей в Wa (k), и тем же путем, что и в доказательстве
теоремы 17, § 10, устанавливаем, что цикл является кограницей.]
25. Показать, что если x£Wn(k), то существует вектор g£IT„ (#), для
которого j? (g) = х. Сделать это по индукции сначала для первой компо-
ненты, а затем показать, что вектор (0, at....а,!-:) лежит в образе р
тогда и только тогда, когда (аь ..., an~i) лежит в образе р. Доказать по
индукции, что если g, g' £ W„ (k') для некоторого расширения k' поля k и
если Pg = P|', то g — g'—вектор, компоненты которого лежат в простом
поле. Следовательно, решения уравнения pg = х для заданного х £ Wп (ку
отличаются все между собой на векторы с компонентами из простого поля,
а таких векторов имеется рп штук. Полагаем
W = *(l0......ёл-1)
или символически
k«?-'x).
Доказать, что это расширение Галуа поля k, и показать, что циклические
расширения поля k, имеющие степень рп, — это в точности расширения типа
й(Р-1аг), где вектор х таков, что х0(£Р*-
26. Развить теорию Куммера для абелевых расширений показателя рп
поля k, используя (k). Другими словами, показать, что между подгруп-
УПРАЖНЕНИЯ
267
пами В в Wn(k), содержащими у\Уч(к), и абелевыми расширениями ука-
занного выше типа имеется биективное соответствие
D
где Кд = k(^>-'B). Все это принадлежит Витту (см. Witt Е., Journal fiir
die reine und angewandte Mathematik, 1935 и 1936 гг.). Доказательства, с не-
большими изменениями, те же самые, что и данные в тексте для теории
Куммера.
27. Дать пример поля К, имеющего степень 2 над двумя различными
подполями Е и F соответственно, но такого, что К не алгебраично над EQE.
28. Пусть F = Fp—простое поле характеристики р, К —поле, получен-
ное из F присоединением всех примитивных корней l-й степени из единицы
для всех простых чисел I =F р. Показать, что К алгебраически замкнуто.
{Указание', показать, что если q — простое число и г —целое число >>1, то
существует простое число I, такое, что период р mod I равен qr. Для этого
используется старый прием Ван дер Вардена. Пусть I — простое число, де-
лящее целое число
Ь = р9_'Г-- =(рч'~А— +q(pgr~1— ^)Ч~2+ ... -\-q.
pF 1 — 1
Если I не делит pF~y — 1, то все готово. В противном случае l = q. Но
при этом q2 не делит b и, следовательно, существует простое число
q, делящее Ь. Тогда степень F (Ц) над F есть qr, так что К содержит
подполя произвольной степени над /'•]
Глава IX
Расширения колец
В этой главе слово „кольцо" будет обозначать „коммутатив-
ное кольцо".
§ 1. Целые расширения колец
В гл. VII и VIII мы изучали алгебраические расширения полей.
По целому ряду причин желательно исследовать также алгебраические
расширения колец. Например, данный многочлен с целыми коэффи-
циентами, скажем №—X—1, можно привести по модулю любого
простого числа р и получить таким образом многочлен с коэффи-
циентами в конечном поле. В качестве другого примера рассмотрим
многочлен
хя4-5л_1хл-1+ ... +s0,
где .... s0 алгебраически независимы над полем k. Этот много-
член имеет коэффициенты в k [s0, ..., sn_J, а после подстановки
вместо $0, .... элементов из k получается многочлен с коэффи-
циентами в k. В общем можно получать информацию о многочленах,
беря гомоморфизм кольца, в котором лежат их коэффициенты. Эта
глава посвящена краткому описанию основных фактов, касающихся
многочленов над кольцами.
Пусть А—кольцо и — Л-модуль. Мы будем говорить, что
модуль М точный, если равенство <zAf = 0, а£А, возможно только
при а = 0. Отметим, что А является точным модулем над собой,
поскольку А содержит единичный элемент. Кроме того, если А =£ 0,
то точный модуль над А не может быть модулем, состоящим только
из нуля.
Пусть А — подкольцо кольца В и а £ В. Следующие условия
эквивалентны:
ЦЕЛ 1. Элемент а есть корень многочлена
A'"-ф- ... 4-Д0
степени п 1 с коэффициентами а^А. (Существенным моментом
здесь является то, что старший коэффициент равен 1.)
§ 1. ЦЕЛЫЕ РАСШИРЕНИЯ КОЛЕЦ
269
ЦЕЛ 2. Подкольцо А [а] — конечно порожденный Л-модуль.
ЦЕЛ 3. Существует точный модуль над А [а], являющийся ко-
нечно порожденным Л-модулем.
Докажем их эквивалентность. Предположим, что выполняется
ЦЕЛ 1. Пусть g(X)— многочлен из А [«¥] степени 1 со старшим
коэффициентом 1, для которого g(a) = 0. Если f(X)£A[X], то
f (X) = q (X) g (Х)-\-г (X),
где q, г^Л[А'] и degr<degg. Следовательно, /(a) = r(a) и мы
видим, что если degg = /i, то 1, a.....а"-1 являются образую-
щими Л [а] как модуля над А.
Уравнение g(X) = 0, где g — многочлен описанного выше вида,
для которого g(a) = 0, называется целым уравнением для а над А.
Предположим, что выполняется ЦЕЛ 2. Тогда в качестве точного
модуля мы можем взять само кольцо Л [а].
Предположим, что выполняется ЦЕЛ 3, и пусть М — точный мо-
дуль над Л [а], конечно порожденный над Л, скажем, элементами
W], .... адл. Так как аМсТИ, то существуют элементы а^^Л,
такие, что
aw1 = anWi + ... +ai„w„,
<™,n = a„1w1 + .. . +annwn.
Перенося aw,......в правые части этих уравнений, мы прихо-
дим к заключению, что определитель
аннулирует М: dM = Q. (Это будет доказано в главе, в которой мы
рассматриваем определители.) Так как модуль М точный, то должно
выполняться равенство d = 0. Следовательно, а есть корень много-
члена
det | ХЪи — аи\,
дающего целое уравнение для а над Л.
Элемент а, удовлетворяющий трем предыдущим условиям ЦЕЛ 1,
2, 3, называется целым над Л.
Предложение 1. Пусть А — целое кольцо, К — его поле
частных и а — алгебраический элемент над К. Тогда в А суще-
ствует элемент с =# 0, такой, что са — целый элемент над А.
270
ГЛ. IX. РАСШИРЕНИЯ КОЛЕЦ
Доказательство. Имеем уравнение
«ла"+«л-1а"-1+ ••• +я0 —0.
где а. 6 А и а =£ 0. Умножим его на а"-1. Тогда
(«„“)" + ••• +«оа"-1 = 0
будет целым уравнением для апа над А.
Пусть А, В—подкольца кольца С, и пусть а£С. Если а—це-
лый элемент над А и А с В, то тем более а — целый элемент
над В. Таким образом, целость элемента сохраняется при подъеме.
Пусть В — кольцо, содержащее А в качестве подкольца. Мы будем
говорить, что В—целое над А, если всякий элемент из В является
целым над А.
Предложение 2. Если В — целое кольцо над А, конечно
порожденное как А-алгебра, то В конечно порождено и как
А-модуль.
Доказательство. Это предложение можно доказывать индук-
цией по числу кольцевых образующих и, таким образом, учитывая
наличие башни
Ас А [«]]<= А [ар а2]с ... с/Цг/j.а„] = В,
предполагать, что В = Д[а] для некоторого элемента а, целого
над А. Но, как мы уже видели, в этом случае наше утверждение
верно (это составляет часть определения целости).
Так же как для расширений полей, мы можем говорить, что
класс расширений колец Ас В является отмеченным, если он
удовлетворяет аналогичным свойствам, а именно:
(i) Пусть АсВсС— башня колец. Расширение АсС тогда и
только тогда принадлежит когда Ас В принадлежит и ВсС
принадлежит %.
(ii) Если А с В принадлежит ^иС — любое расширение кольца А,
причем В, С оба являются подкольцами некоторого кольца, то СсВ [С]
принадлежит ¥>. (Отметим, что В [С] = С [В] есть наименьшее кольцо,
содержащее и В, и С.)
Как и для полей, мы в качестве формального следствия из (i)
и (ii) получаем, что выполняется также и свойство
(iii) Если АсВ и АсС принадлежат ¥>, причем В, С — под-
кольца некоторого кольца, то ЛсВ|С| принадлежит %.
Предложение 3. Целые расширения колец образуют отме-
ченный класс.
Доказательство. Пусть А с В с С — башня колец. Если
С— целое над А, то ясно, что В— целое над А и С — целое над В.
§ 1. ЦЕЛЫЕ РАСШИРЕНИЯ КОЛЕЦ
271
Обратно, предположим, что каждый этаж в башне целый. Пусть а £ С.
Тогда а удовлетворяет целому уравнению
ал + 6„-1а'!-14- = О,
где Ь^В. Положим В! = Л[^0, ..., Тогда By, согласно пред-
ложению 2, будет конечно порожденным Л-модулем и By [а] — конечно
порожденным Врмодулем. Так как ^[alcBja], то By [а] — точный
А [а]-модуль. Наконец, By [а] есть конечно порожденный Л-модуль.
Действительно, если т/р ..., vr — образующие By над Л и Wy. ws —
образующие В} [а] над ВР то vt-Wj, 1=\....г, /=1, .... s,
порождают By [а] над Л. Следовательно, кольцо С—целое над Л.
Наконец, пусть В, С—кольца, являющиеся расширениями Л, при-
чем В — целое над А. Предположим, что В, С— подкольца некото-
рого кольца. Тогда С [В] порождается над С элементами из В,
а каждый элемент из В является целым над С. То, что С [BJ является
целым над С, непосредственно вытекает теперь из следующего пред-
ложения.
Предложение 4. Пусть А — подкольцо кольца С. Тогда
элементы из С, целые над А, образуют подкольцо в С.
Доказательство. Если a — целый элемент над Л, то А [а] —
целое расширение Л, поскольку для любого а' £ А [а] конечно поро-
жденный Л-модуль А [а] является точным А [а']-модулем. Пусть
теперь а, р£С— целые элементы над Л. Рассмотрим башню
ЛсЛ[а]сзЛ[а, р]. Каждый этаж в этой башне является целым,
а потому, согласно первой части доказательства предложения 3,
Л [а, р]—целое расширение А. Следовательно, а±р и ар — целые
элементы над Л, что и доказывает наше предложение.
В условиях предложения 4 множество элементов из С, целых
над Л, называется целым замыканием кольца Л в С.
Предложение 5. Пусть В — целое кольцо над А и а — его
гомоморфизм. Тогда кольцо о (В) — целое над о (Л).
Доказательство. Пусть а£В и
an + a„_]a«-1+ 4-ao = O
— целое уравнение для а над А. Применение о дает
° (а) ° (ал-1) ° (а) -(-••• 4*°(ао)===О,
что и доказывает наше утверждение.
Следствие. Пусть А — целостное кольцо, k — его поле част-
ных, Е — конечное расширение над k и а£Е— целый элемент
над А. Тогда норма и след элемента а (из Eek) являются
272
ГЛ. IX. РАСШИРЕНИЯ КОЛЕЦ
целыми над А и таковы же коэффициенты неприводимого много-
члена над k, соответствующего а.
Доказательство. Для всякого вложения а поля Е над k
элемент оа является целым над А. Так как норма — это произведе-
ние элементов оа по всем таким о (возведенное в степень, равную
некоторой степени характеристики), то норма — целый элемент над А.
Аналогичное верно для следа и для коэффициентов многочлена
Irr (a, k, X), которые являются элементарными симметрическими функ-
циями от его корней.
Пусть А — целостное кольцо и k — его поле частных. Мы будем
говорить, что А целозамкнуто, если оно совпадает со своим целым
замыканием в k.
Предложение 6. Всякое факториальное кольцо А цело-
замкнуто.
Доказательство. Предположим, что имеется дробь а)Ь с а,
Ь^А, целая над А, и простой элемент р в А, делящий Ь, но не
делящий а. Тогда для некоторого целого числа п 1 и a-t £ А
(ajb)n + an_}(a/b')n 1-|- -|-йо = О,
откуда
ап-\-ап_фап~1-^- ••• af)n — 0.
Так как элемент р делит Ь, то он должен делить ап, а следова-
тельно, и а — противоречие.
Пусть /: А—>В— гомоморфизм колец (А, В — коммутативные
кольца). Напомним, что такой гомоморфизм называется также А-ал-
геброй. Мы можем рассматривать В как A-модуль. Будем говорить,
что В — целое над А (относительно этого кольцевого гомоморфизма /),
если В—целое над f (А). Это расширение нашего определения це-
лости полезно, так как в некоторых приложениях имеют место откло-
нения от обычной ситуации, а мы тем не менее хотим говорить
о целости. Более точно, нам следовало бы говорить, что не В
является целым над А, а что / есть целый гомоморфизм колец или,
просто, f — целый. Мы будем часто использовать эту терминологию.
Некоторые из наших предыдущих предложений непосредственно
дают следствия для целых гомоморфизмов колец; например, если
/; А—> В и g: В-+С целые, то g of: А-ь-С целый. Однако, вообще
говоря, не верно, что если g о f целый, то целый и /.
Пусть f: А-+В — целый гомоморфизм и S — мультипликативное
подмножество в А. Тогда имеет место гомоморфизм
S~lf: S~'A->S~'B,
§ 1. ЦЕЛЫЕ РАСШИРЕНИЯ КОЛЕЦ
273
где, строго говоря, S ХВ = (J (S)) 1 В и S 7 определяется по фор-
муле
(S~7)(x/s) = /(x)//(s).
Проверка того, что это гомоморфизм, тривиальна. Имеет место ком-
мутативная диаграмма
* f
/) р-‘/
Л->5-1Д
горизонтальными отображениями в которой служат канонические ото-
бражения х н—> х/1.
Предложение 7. Пусть f: А-+В—целый гомоморфизм и
S — мультипликативное подмножество в А. Тогда гомоморфизм
S~*f: S~1A->S~1B — целый.
Доказательство. Для а£В, а£А и s£S будем писать аа
и a/s вместо f (а) а и a//(s) соответственно. Так как всякий эле-
мент а£В—целый над f (А), то имеем
а^а^а”-'-]- -|-ао = О,
где at£A. Беря канонический образ в S~lB и деля почленно на sn,
получаем
(а/s)" -b(a„_i/s)(a/s)"-1+ ••• + aolsn = Q;
это доказывает, что элемент a/s является целым над (s-7)(5-7).
Предложение 8. Пусть А — целостное и целозамкнутое
кольцо, S — мультипликативное подмножество в A, O^S. Тогда
S~lA целозамкнуто.
Доказательство. Пусть a — элемент поля частных, целый
над Имеем уравнение
а« । Дд^-а«-14- ... 4-Д1 = о,
$П— 1 «о
а( £ А и st£S. Пусть s равно произведению sn_r ... s0. Тогда ясно,
что элемент sa — целый над А и, следовательно, лежит в А. Зна-
чит, а лежит в и кольцо целозамкнуто.
Лемма Накаямы. Пусть А — кольцо, a—идеал, содержа-
щийся во всех максимальных идеалах кольца А, и М—конечно
порожденный А-модуль. Если аЛ1 = 7И, то Л4 = 0.
274
ГЛ. IX РАСШИРЕНИЯ КОЛЕЦ
Доказательство. Индукция по числу образующих Л4. Пусть,
скажем, М порождается элементами wx...wrl. Существует пред-
ставление
ie>I = aIwl + • • • + a„w„,
где az £ а. Следовательно,
(1 —a1)4^ = a2w2-j- ••• -r-a„w„.
Если элемент 1—at не является единицей в А, то он содержится
в некотором максимальном идеале р. Так как ах £р по предполо-
жению, то мы получаем противоречие: 1 £р. Следовательно, 1 —ах —
единица, и предыдущее равенство, разделенное на этот элемент, пока-
зывает, что модуль М может быть порожден п — 1 элементами, чем
и завершается доказательство.
Пусть р—простой идеал кольца А и S — дополнение к р в А.
Мы пишем в этом случае S — А—р. Если /: А^-В есть Д-ал-
гебра (т. е. гомоморфизм колец), то будем писать Вр вместо 8~}В.
Мы можем рассматривать Bf как Др =Д~1Д-модуль.
Пусть А — подкольцо в В, р — простой идеал в /1 и ф — про-
стой идеал в В. Мы будем говорить, что /р лежит над р, если
П А = р. В этом случае вложение А—>В индуцирует вложение
факторколец
Д/р->В/ф,
и по существу мы имеем коммутативную диаграмму
В->В^
t t
Д —> Д/р
в которой горизонтальные стрелки обозначают канонические гомо-
морфизмы, а вертикальные — вложения.
Если кольцо В —целое над Д, то Bfty — целое над Д/р, согласно
предложению 5.
Предложение 9. Пусть А—подкольцо в В и р—-простой
идеал в А, причем кольцо В — целое над А. Тогда 'уВ Ф В и су-
ществует простой идеал 4(5 в В, лежащий над р.
Доказательство. Мы знаем, что Bt— целое над Ар и что
Др — локальное кольцо с максимальным идеалом Шр==5-1р, где
S = Д — р. Так как, очевидно,
р5р = рДрДр = ШрВр,
наше первое утверждение достаточно доказать для случая, когда
Д -—локальное кольцо. (Отметим, что существование простого идеала р
§ 2. ЦЕЛЫЕ РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА
275
влечет, что 1 =# 0 и рВ = В тогда и только тогда, когда 1 £$В.)
Если рВ = В, то 1 представляется в виде линейной комбинации эле-
ментов из В с коэффициентами в р
1 = ахЬх-\- • ~{-апЬп,
где аг£р и Ь^В. Пусть В0 = Л[61......£„]. Тогда рВ0 = В0 и
В(1—конечный Л-модуль в силу предложения 2, Следовательно,
Во=О в силу леммы Накаямы, — противоречие.
Чтобы доказать наше второе утверждение, рассмотрим следующую
коммутативную диаграмму:
В->В₽
t t
Л —> Лр
Мы только что доказали, что ШрВр =# Вр. Следовательно, ШрВр со-
держится в некотором максимальном идеале ЭК кольца Вр. Переходя
к прообразам, мы видим, что прообраз ЭК в Л^, есть идеал, содер-
жащий Шр. Так как идеал Шр максимальный, то ЭКП^р^Шр. Пусть
33— прообраз ЭК в В. Тогда 33— простой идеал в В. Прообраз Шр
в Л есть просто р. Беря полный прообраз ЭК по обоим путям в диа-
грамме, находим
33 П А = р,
что и требовалось показать.
Предложение 10. Пусть А—подкольцо в В, причем
кольцо В—целое над А. Простой идеал 3? в В, лежащий над
простым идеалом р кольца Л, максимален в том и только в том
случае, если р максимален.
Доказательство. Предположим, что р максимален в Л.
Тогда Л/р — поле и B/ty—целостное кольцо, целое над Л/р. Если
«£ В/^3, то элемент а алгебраичен над Л/р, а мы знаем, что тогда
Л/р [а] — поле. Следовательно, всякий ненулевой элемент из В/33
обратим в кольце В/33, которое поэтому является полем. Обратно,
предположим, что 33 — максимальный идеал в В. Тогда В/33— поле,
целое над целостным кольцом Л/р. Если Л/р — не поле, то оно со-
держит ненулевой максимальный идеал ш. В силу предложения 9
в В/?|3 существует простой идеал ЭК, лежащий над ш, ЭК Ф 0, —
противоречие.
£ 2. Целые расширения Галуа
Мы исследуем здесь взаимоотношение между теорией Галуа много-
члена и теорией Галуа того же самого многочлена, приведенного по
модулю простого идеала.
Предложение 11. Пусть А—целостное кольцо, целозамк-
нутое в своем поле частных К', L — конечное нормальное расти-
276
ГЛ. IX. РАСШИРЕНИЯ КОЛЕЦ
рение поля К с группой Галуа G; р — максимальный идеал в А
и Q—простые идеалы целого замыкания В кольца А в L,
лежащие над р. Тогда существует элемент o£G, такой, что
o^ = Q.
Доказательство. Предположим, что Q #= ни для одного
©£О. Тогда т£1 #= ни для какой пары элементов о, т£0. Суще-
ствует элемент х £ В, такой, что
х = 0 (mod о^) для всех o£G,
х=1 (mod о СО для всех о£О
(использовать китайскую теорему об остатках). Норма
\а€О )
лежит в В П АГ = Д (так как А целозамкнуто) и, значит, в ^ПЛ = р.
Но х(£оС ни при каком o£G, так что ох(£С) ни при каком o£G.
Это противоречит тому факту, что норма элемента х лежит в р=С П А;
Локализацией можно снять предположение о максимальности р;
достаточно предполагать, что р простой.
Следствие. Пусть А — кольцо, целозамкнутое в своем поле
частных К; Е—конечное алгебраическое расширение поля К;
В — целое замыкание А в Е и р — максимальный идеал в А. Тогда
существует лишь конечное число простых идеалов в В, лежа-
щих над р ’).
Доказательство. Пусть L — наименьшее нормальное расши-
рение поля К, содержащее Е. Если Cip Q2 — два различных про-
стых идеала в В, лежащих над р, и Г]32— два простых идеала
из целого замыкания А в L, лежащих над Cli и Q.2 соответственно,
то Это соображение сводит наше утверждение к случаю,
когда Е—нормальное расширение над К, а тогда оно становится
непосредственным следствием предложения 11.
Пусть кольцо А целозамкнуто в своем поле частных К и В —
его целое замыкание в конечном расширении Галуа L с группой G.
Тогда аВ = В для всякого o£G. Пусть р — некоторый максималь-
ный идеал в А и — максимальный идеал в В, лежащий над р.
Обозначим через Gsp подгруппу в G, состоящую из всех автомор-
физмов о, для которых оГр = Гр. Тогда группа G^ естественным обра-
зом действует на поле классов вычетов В/^J и оставляет неподвиж-
ным поле Д/р. Каждому о £ 0~в мы можем сопоставить автоморфизм о'
поля B/5JS над Д/р, и отображение, задаваемое правилом
он-> о',
) Именно в таком виде следствие используется в § 4 гл. XII. В форму-
лировке автора на Е налагается условие сепарабельности. — Прим. ред.
§ 2 ЦЕЛЫЕ РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА
277
индуцирует гомоморфизм Gy в группу автоморфизмов поля Blty
над Д/р.
Группа будет называться группой разложения идеала $£. Ее
неподвижное поле будет обозначаться через Ld и будет называться
полем разложения идеала $£. Пусть целое замыкание А в Ld
и Ci = П Bd. В силу предложения 11 единственный простой
идеал в В, лежащий над О.
Пусть G= [J a;Gsp—разложение на смежные классы группы О
по 0,р. Тогда простые идеалы оу^3—’это в точности все различные
простые идеалы в В, лежащие над р. Действительно, для двух эле-
ментов о, G тогда и только тогда о^3 = т^3, когда т-1о5)3 = ^3,
т. е. т-1о лежит в Оф. Таким образом, т, о лежат в одном и том же
смежном классе mod Gy.
Непосредственно ясно, что группой разложения простого идеала о^З
будет оОфО-1.
Предложение 12. Поле Ld — это наименьшее подполе Е
в L, содержащее К и такое, что ^3— единственный простой
идеал в В, лежащий над идеалом {который является про-
стым в В(\Е).
Доказательство. Пусть Е обладает указанными свойствами^
и пусть Н—группа Галуа расширения L над Е. Положим q = ^3 П Е.
В силу предложения 11 все простые идеалы в В, лежащие над q,
сопряжены посредством элементов из Н. Так как имеется только
один такой простой идеал, а именно то это означает, что //
оставляет ^3 инвариантным. Следовательно, Hc:Gy и E^Ld. Но, как
мы уже отмечали, само Ld обладает требуемыми свойствами.
Предложение 13. В тех же обозначениях имеем Д/р —
= Bd/E {относительно канонического вложения А/у —> Bd/D.).
Доказательство. Если о—элемент из G, не лежащий в G^,
ТО И 0-1^3 ¥= ^3. Положим
£}0 = а-’!₽ЛМ
Тогда Qo =/= El. Пусть х — произвольный элемент из Bd. В Bd суще-
ствует элемент у, такой, что
у = х (mod El),
у=1 (mod EQ
для всякого о из G, не лежащего в G,B. В частности,
У---Х (mod ^3),
у=1 (modo-1^)
278
ГЛ. IX. РАСШИРЕНИЯ КОЛЕЦ
для всякого о вне G.p. Второе сравнение переписывается в виде
оу = 1 (mod ф)
для всех o(£G,p. Норма элемента у из Ld в К есть произведение у
на множители вида оу с о(£вР. Следовательно,
Nr (У) = х (mod^p).
Но норма лежит в К и даже в А, поскольку она является произве-
дением элементов, целых над А. Так как и х, и норма лежат в Bd,
то последнее сравнение выполняется по модулю Q. Но именно
это и утверждается нашим предложением.
Пусть х — элемент из В. Мы будем обозначать через х' его образ
относительно гомоморфизма B^-B/ty. Тогда о' есть автоморфизм
поля В/^р, удовлетворяющий соотношению
о'х' — (ох)'.
Пусть /(X)—многочлен с коэффициентами в В. Мы будем обозна-
чать через f' (X) его естественный образ при предыдущем гомомор-
физме. Таким образом, если
f(X) = b„X"-\-------
то
f'(Х) = b'nXn... +b'o.
Предложение 14. Пусть кольцо А целозамкнуто в своем
поле частных К\ В — его целое замыкание в конечном расширении
Галуа L поля К с группой G; р — максимальный идеал в А и
ip — максимальный идеал в В, лежащий над р. Тогда В^ — нор-
мальное расширение поля Л/р и отображение о >—> о' индуцирует
гомоморфизм G,jj на группу Галуа G.c расширения В/^р над Л/р.
Доказательство. Пусть В' — В/ф и А' = Л/р. Любой эле-
мент из В' может быть записан как х' для некоторого х £ В. Эле-
мент х' порождает некоторое сепарабельное подрасширение в В' над А'.
Пусть / — неприводимый многочлен для х над К. Коэффициенты /
лежат в Л, поскольку сам х — целый над Л и все корни /—целые
над Л. Таким образом,
т
/ро=П (*-*/)
/=1
разлагается на линейные множители в В. Так как
т
i — I
§ 2. ЦЕЛЫЕ РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА
279
и все х'. лежат в В', то f разлагается на линейные множители в В'..
Заметим, что /(х) = 0 влечет /'(х') = 0. Следовательно, В' нор-
мально над А' и
[А' (О : А'] < [/С (х): К] < [L : /С].
Это означает, что максимальное сепарабельное подрасширение поля А' ’
в В' имеет конечную степень над А' (использовать теорему о при-
митивном элементе из элементарной теории полей). Эта степень в дей-
ствительности ограничена числом [Z. : /С].
Остается доказать, что отображение oi—>с/ дает сюръективный
гомоморфизм группы О.в на группу Галуа расширения В' над А'.
Чтобы сделать это, мы сначала приведем соображение, сводящее
задачу к случаю, когда ^3 — единственный простой идеал в В, лежа-
щий над р. Именно, в силу предложения 13 поля вычетов основного
кольца и кольца Bd в поле разложения одинаковы. Значит, для дока-
зательства сюръективности мы можем взять в качестве основного
поля Ld. Это и есть желаемая редукция, так что мы можем считать,
что K = Ld, Q —
Так и считая, выберем образующую максимального сепарабельного
подрасширения в В' над А'; пусть это будет х' для некоторого
элемента х из В. Пусть /—неприводимый многочлен элемента х
над К. Всякий автоморфизм поля В' определяется его действием
на х', а х' он переводит в некоторый корень многочлена Положим
x = xv Для любого данного корня xt многочлена / существует
элемент о группы О = G.B, такой, что ах = xt. Следовательно,
а'х' — х'г так что автоморфизмы В' над А', индуцированные эле-
ментами из G, действуют транзитивно на корнях Значит, они
дают нам все автоморфизмы поля вычетов, что и требовалось показать.
Следствие 1. Пусть А — кольцо, целозамкнутое в своем
поле частных К', L — конечное расширение Галуа поля К', В —
целое замыкание А г L\ р— некоторый максимальный идеал в А;
<р: Л—>Л/р— канонический гомоморфизм и фр ф2—два гомомор-
физма кольца В в заданное алгебраическое замыкание поля Л/р,
продолжающие ф. Тогда существует такой автоморфизм о поля L
над К, что
Ф1 = Ф2 0 °-
Доказательство. Ядра фр ф2—это простые идеалы в В,
сопряженные между собой согласно предложению 11. Следовательно,
существует такой элемент т группы Галуа G, что фр ф2°т имеют
одно и то же ядро. Не теряя общности, мы можем поэтому считать,
что фр ф2 имеют одно и то же ядро ф. Следовательно, существует
автоморфизм со поля ф! (В) на ф2 (В), такой, что со ° ф1 = ф2. В силу
280
ГЛ. IX. РАСШИРЕНИЯ КОЛЕЦ
предыдущего предложения существует элемент о группы G^, для
которого со ° 41 — 41 ° °- Это доказывает нужное нам утверждение.
Замечание. Во всех предыдущих предложениях можно было бы
предполагать, что Р— произвольный простой, а не обязательно макси-
мальный идеал. В этом случае, чтобы иметь возможность применить
наши доказательства, достаточно произвести локализацию в р.
Ядро отображения
с которым мы имели дело выше, называется группой инерции идеала
Она состоит из тех автоморфизмов в G,e, которые индуцируют три-
виальный автоморфизм на поле вычетов. Неподвижное поле этой
группы называется полем инерции и обозначается через L*.
Следствие 2. Сохраняя предпосылки следствия 1, пред-
положим еще, что — единственный простой идеал в В, лежащий
над р. Пусть f(X)— многочлен из со старшим коэффи-
циентом 1, неприводимый в XIX) и имеющий корень а в В.
Тогда многочлен f является степенью неприводимого многочлена
из А' [Л].
Доказательство. Как следует из доказательства предложе-
ния 14, любые два корня f сопряжены относительно некоторого
изоморфизма В' над А' и, следовательно, /' не может разлагаться
на взаимно простые множители. Поэтому f есть степень неприво-
димого многочлена.
Предложение 15. Пусть А —целостное кольцо, целозамк-
нутое в своем поле частных К, и L — конечное расширение Галуа
поля К, причем L = K(a), где а — целый элемент над А, являю-
щийся корнем неприводимого многочлена
f (X)—Хп-А-ап_хХп~х А-----4-«о>
Пусть f (Л-) — соответствующий многочлен с коэффициентами
из А/p, где р — некоторый максимальный идеал в А. Пусть, на-
конец, ф — лежащий над р простой идеал из целого замыкания В
кольца А в L и G,y — его группа разложения. Если у f нет крат-
ных корней, то отображение оь->о' имеет тривиальное ядро
и является изоморфизмом группы G,$ на группу Галуа много-
члена f над А/р.
Доказательство. Пусть
/(Х)=П(*-х()
— разложение f в L. Как мы знаем, xt. £ В. Если то, как
и прежде, обозначим через о' гомоморфный образ о в группе 0,^.
§ 2. ЦЕЛЫЕ РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА
281'
Имеем
Г (Х)=П(Х-х'.у
Предположим, что о'х'. — х^ для всех I. Так как (ох.у = о'х' и так
как f не имеет кратных корней, то автоморфизм о также тожде-
ственный. Следовательно, наше отображение инъективно, а группа
инерции тривиальна. Поле А’ .......х'] есть подполе в В’, и
любой автоморфизм В’ над А', ограничение которого на это подполе
тождественно, должен быть тождественным, поскольку G^—> G,^—
сюръективное отображение на группу Галуа В' над А'. Следова-
тельно, В' чисто несепарабельно над А' (х(....x'J, а потому
группа Gp изоморфна группе Галуа многочлена f над А'.
Предложение 15 дает очень эффективный инструмент для иссле-
дования многочленов над кольцом. Например, рассмотрим „общий"
многочлен
fw (Х~) = Хп + гшп_хХп~х + ,.. + w0,
где w0, ..., wn_! алгебраически независимы над полем k. Как мы
знаем, группой Галуа этого многочлена над й(то0, .... wn) является
симметрическая группа. Пусть tx, ..., tn — его корни, и пусть а —
образующая поля разложения. Не теряя общности, мы можем считать
элемент а целым над кольцом k[w0......w«-il (умножая любую
заданную образующую на подходяще выбранный многочлен и используя
предложение 1). Пусть gw(X)—неприводимый многочлен элемента а
над &(w0, . . ., Коэффициентами g служат многочлены от (ш).
Если мы сможем подставить вместо (w) значения (а) с такими
а0, .... an_1£k, что ga останется неприводимым, то, согласно пред-
ложению 15, мы тотчас получим заключение, что группа Галуа много-
члена ga также будет симметрической. Аналогично, если всякое поле
между А(-<»(), . . ., w„_1) и A(/i, . . ., /„) порождается п алгебраически
независимыми элементами, то мы можем применить подобную кон-
струкцию для получения расширений с заданными группами Галуа.
Может ли это быть сделано, является одной из основных нерешен-
ных задач теории Галуа. Это по существу есть параметризация всех
расширений Галуа независимыми элементами.
В качестве другого примера рассмотрим многочлен №—X—1
над Z.
Редукция по модулю 5 показывает, что этот многочлен непри-
водим. Редукция по модулю 2 дает неприводимые множители
(АГ2+АГ-ф-1)(Х3+АГ2+1) (mod 2).
Следовательно, группа Галуа над полем рациональных чисел (как
группа перестановок корней многочлена) содержит 5-цикл и произ-
ведение 2-цикла и 3-цикла. Отсюда легко вытекает, что она должна
быть полной симметрической группой.
282
ГЛ. IX. РАСШИРЕНИЯ КОЛЕЦ
§ 3. Продолжение гомоморфизмов
Когда мы рассматривали процесс локализации, мы очень коротко
•остановились на вопросе о продолжении гомоморфизма на локальное
кольцо. При изучении теории полей мы также привели одну теорему
продолжения для вложений одного поля в другое. Теперь мы раз-
берем вопрос о продолжении в полной общности.
Напомним сначала случай локального кольца. Пусть А — кольцо
и р— некоторый простой идеал. Как мы знаем, локальное кольцо
Др — это множество всех дробей х/у, где х, у£Д и у(£р. Его
максимальный идеал состоит из дробей, у которых х £ р. Пусть L—
I оле и <р: А —>L— гомоморфизм, ядром которого служит р. Тогда
мы можем продолжить ф до гомоморфизма Ар в L, положив
ф(х/у) = ф(х)/ф (у),
где, как и выше, х/у — элемент из Ар.
Далее, мы имеем целые расширения колец. Пусть о — локальное
кольцо с максимальным идеалом т, В — целое расширение над о
и ф: о—>Ь— гомоморфизм о в некоторое алгебраически замкнутое
поле L. Предположим, что ядром ф служит т. В силу предложения
9 из § 1 в В существует максимальный идеал ЭИ, лежащий над ш,
т. е. такой, что — nt. Тогда В/ЭН есть поле, являющееся алге-
браическим расширением поля о/in, а о/m изоморфно подполю ф(о)
в L, поскольку ядро ф совпадает с nt.
Мы можем выбрать такой изоморфизм поля o/tn на ф(о), что ком-
позиция гомоморфизмов
о^о/ш^Л
будет равна ф. Вложим теперь В/ЯЛ в L так, чтобы сделать ком-
мутативной диаграмму
В —> В!ЗЛ\
t
о —> o/m —> L
и получить таким образом гомоморфизм В в L, продолжающий ф.
Предложение 16. Пусть А — подкольцо в В, причем В —
целое над А. Пусть ф: A—>L—гомоморфизм в некоторое алге-
браически замкнутое поле L. Тогда ф обладает продолжением
до гомоморфизма В в L.
Доказательство. Пусть р— ядро ф и S — дополнение к р
в А. Мы имеем коммутативную диаграмму
B_>5-iB
t t
§ 3 ПРОДОЛЖЕНИЕ ГОМОМОРФИЗМОВ
283'.
и <р может быть пропущен через канонический гомоморфизм кольца
А в 5-1Л. Кроме того, кольцо S~lB — целое над Это сводит
вопрос к уже рассмотренному выше случаю с локальным кольцом.
Теорема 1. Пусть А— подкольцо поля К и х£К, х Ф 0.
Пусть ср: A—>L—гомоморфизм А в алгебраически замкнутое
поле L. Тогда <р допускает продолжение до гомоморфизма в L
либо кольца А [х], либо кольца А [х-1].
Доказательство. Мы можем продолжить ср до гомоморфизма
локального кольца /1^, где р—ядро <р. Таким образом, не теряя
общности, мы можем считать, что А—локальное кольцо с макси-
мальным идеалом ш. Предположим, что
щД [х-1] = А [х-1].
Тогда
1 = czq —а^х 1 • * • —&ах ,
где at £ nt. Умножив на х”, получим
(1 — а0) хп-\- Ьп_ххп~А -ф- • • -ф- Ьп — 0
с надлежащими элементами Ь^А. У нас а0£ш, так что 1—а0(£ш,
и, следовательно, 1 —а0 есть единица в А, поскольку предполагается,
что А—локальное кольцо. Разделив на 1—«0, мы видим, что эле-
мент х—целый над А и что, следовательно, наш гомоморфизм,
обладает продолжением на Д[х].
Если, напротив, мы имеем, что
шЛ [х-1] ф= А [х~1 ],
то пМ [х_Ч содержится в некотором максимальном идеале кольца
А [х-1] и идеал ‘’р И Л содержит т. Поскольку щ максимальный, мы
должны иметь ^ПД==ш. Так как <р и каноническое отображение
А—>А/т имеют одно и то же ядро, а именно lit, то мы можем найти
вложение ф поля А/m в L, такое, что композиция
А -> А/m L
равна <р. Отметим, что А/m канонически вкладывается в Bf^, где
В = Д[х-1]. Продолжим ф до гомоморфизма B/ty в L, что мы можем
сделать независимо от того, будет ли образ х-1 в B/ty трансцен-
дентным или алгебраическим над Л/trt. Композиция
B->Bi^->L
и дает нам искомое продолжение ф.
Следствие. Пусть А — подкольцо поля К, L — некоторое
алгебраически замкнутое поле, ф: A—>L— гомоморфизм и В —
284
ГЛ. IX. РАСШИРЕНИЯ КОЛЕЦ
максимальное подкольцо в К, на которое <р может быть про-
должен в качестве гомоморфизма в L. Тогда В — локальное кольцо,
и если х£К, х#=0, то либо х£В, либо х~г£В.
Доказательство. Пусть 5 — множество пар (С, ф), где С —
подкольцо в К, содержащее А, и ф: С -> L — гомоморфизм, продол-
жающий <р. Тогда 5 не пусто [оно содержит (А, ф)] и частично упо-
рядочено по отношению к возрастающему включению и ограничению.
Другими словами, (С, ф)<ЦС'. ф'). если СсзС', и ограничение ф'
на С равно ф. Ясно, что 5 индуктивно упорядочено, поэтому в силу
леммы Цорна существует максимальный элемент, скажем (В, ф0).
Тогда, во-первых, В — локальное кольцо, иначе ф0 продолжается
до локального кольца, определяемого его ядром, и во-вторых, В
обладает требуемым свойством в соответствии с теоремой 1.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Какова группа Галуа над полем рациональных чисел уравнения
^4_^2Х24-А'-[-3 = 0?
2. Указать многочлен степени 6, группа Галуа которого была бы сим-
метрической группой на 6 элементах.
3. Пусть К — расширение Галуа поля рациональных чисел Q с группой
О, В — целое замыкание кольца Z в К, и пусть элемент а £ В таков, что
К = Q (а). Положим f (X) = Irr (а, Q, X) и предположим, что f остается
неприводимым над Z/pZ, где р— некоторое простое число. Что вы можете
сказать о группе Галуа G?
4. Пусть А — целостное кольцо, К — его поле частных и t — трансцен-
дентный элемент над К- Показать, что если А целозамкнуто, то А [/] также
целозамкнуто.
5. Пусть А — целостное кольцо, целозамкнутое в своем поле частных К, L —
конечное сепарабельное расширение поля К и В — целое замыкание А в L.
Показать, что если А нетерево, то В — конечный A-модуль. [Указание: пусть
{g>i, ..., w„}—базис поля L над К, Умножив все элементы этого базиса на
подходящий элемент из А, мы можем, не теряя общности, считать, что все
<0/ — целые над А. Пусть .....со'}—дуальный базис относительно следа,
так что Тг (a>(Wy) = 6, у- Запишем а из L, целый над А, в виде
а = 4- ... ф- bn<i>'n,
где bj^K- Взяв след Тг(аау) для / = 1..п, заключаем, что В содержится
в конечном модуле Аю} 4- ... 4- Асо^.]
6. Предыдущее упражнение применимо к случаю, когда А = Z и К = Q.
Всякое конечное расширение поля Q называется числовым полем, а целое
замыкание кольца Z в таком расширении L называется кольцом целых алге-
браических чисел поля L. Обозначим его через Iд. Пусть а...а —раз-
УПРАЖНЕНИЯ
285
личные вложения L в поле комплексных чисел. Вложим IL в евклидово про-
странство посредством отображения
а ।—> (0,0, ..аяа).
Показать, что в любой ограниченной области пространства имеется лишь
конечное число элементов из / [Указание-, коэффициенты в целом уравне-
нии для а являются элементарными симметрическими функциями от сопря-
женных с а элементов и, таким образом, являются ограниченными целыми
числами.] Использовать упражнение 10 из гл. III для вывода, что IL есть
свободный Z-модуль размерности п. Показать, что в действительности его
размерность равна п, причем базис /£ над Z служит также базисом L над Q.
7. Пусть Е — конечное расширение над Q; IЕ — кольцо целых алгебраи-
ческих чисел поля Е; U — группа единиц кольца /£; а.....ол — различные
вложения £ в С. Отобразим U в евклидово пространство посредством ото-
бражения
/: а I—> (log | 01 а |, ..., log | а„а |).
Показать, что / (Z7) — конечно порожденная свободная абелева группа, уста-
новив, что в любой конечной области пространства имеется лишь конечное
число элементов из /((/). Показать, что ядро отображения I — конечная
группа, являющаяся поэтому группой корней из единицы в Е. Таким образом,
сама группа U — конечно порожденная абелева группа.
8. Используя лемму Цорна, обобщить результаты § 2, особенно пред-
ложения 11 и 14, на бесконечные расширения Галуа.
Глава X
Трансцендентные расширения
В этой главе слово „кольцо* означает „коммутативное
кольцо*.
§ 1. Базисы трансцендентности
Пусть К — расширение поля k и 5 — некоторое подмножество в К.
Напомним, что S называется алгебраически независимым над k, если
из соотношения
0=2 a(V)Mv (5) = 2 «(v) П *vW
с коэффициентами а^^/г, почти все из которых равны 0, с необ-
ходимостью следует, что все а^ = 0.
Мы можем ввести отношение порядка среди алгебраически неза-
висимых подмножеств в К по возрастающему включению. Эти под-
множества тогда, очевидно, оказываются индуктивно упорядоченными,
и, таким образом, существуют максимальные элементы. Если S— ал-
гебраически независимое подмножество в К и если мощность S
является наибольшей среди мощностей всех таких подмножеств, то
мы будем называть эту мощность степенью трансцендентности
или размерностью расширения К над k. В действительности нам
будет необходимо различать только конечные степени трансцендент-
ности и бесконечные степени трансцендентности. Заметим, что понятие
степени трансцендентности находится в таком же отношении к поня-
тию алгебраической независимости, как понятие размерности к поня-
тию линейной независимости.
Мы часто будем иметь дело с семействами элементов из АГ, ска-
жем с семейством мы будем говорить, что такое семейство
алгебраически независимо над k, если его элементы различны (дру-
гими словами, x-^Xj при i^j), и множество, состоящее из эле-
ментов этого семейства, алгебраически независимо над k.
Подмножество S в К, алгебраически независимое над k и мак-
симальное относительно упорядоченности по включению, будет на-
зываться базисом трансцендентности поля К над k. Из максималь-
§ I. БАЗИСЫ ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТИ
287
ности ясно, что если S — базис трансцендентности К над k, то
поле К алгебраично над k(S).
Теорема 1. Пусть К — расширение поля k. Любые два ба-
зиса трансцендентности К над k имеют одинаковую мощность.
Если Г — множество образующих К над k (т. е. K = k(T)) и
S — подмножество в Г, алгебраически независимое над k, то су-
ществует базис трансцендентности поля К над k, такой, что
Доказательство. Мы докажем, что если существует один
конечный базис трансцендентности, скажем {хр .... хт\, т^>1,
то любой другой базис трансцендентности также должен содержать яг-
элементов. Для этого достаточно будет доказать следующее: если
-Wj, . .., wn — элементы из К, алгебраически независимые над k, то
п т (так как затем мы сможем использовать симметрию). По пред-
положению существует ненулевой многочлен от /и Д-1 перемен-
ных с коэффициентами в k, такой, что
хг, .... хт) = 0.
Кроме того, по предположению w1 встречается в Д и некоторое х,-,
скажем Хр также встречается в /Р Тогда элемент Х\ алгебраичен
над k(wi, х2, ..., хт). Предположим по индукции, что после под-
ходящей перенумерации х2, .... хт мы можем найти ®р ...
..., wr(r<«), такие, что К алгебраично над
k(wit . ..,wr, xr+i...xm).
Тогда существует ненулевой многочлен f от т -1-1 переменных
с коэффициентами в k, для которого
/(®r+l. W1.....*г+1...........xm)==0-
причем wr+1 действительно встречается в /. Так как все w ал-
гебраически независимы над k, то некоторый элемент Xj (j = r-|-
—|— 1, .... w) также встречается в /. После перенумерации мы мо-
жем считать, что / = гД-1. Тогда хг+1 алгебраичен над
.....wr+1, xr+2, хт).
Поскольку башня алгебраических расширений является алгебраиче-
ским расширением, то К алгебраично над ..........wr+i> xr+2’
.... хт). Мы можем повторять эту процедуру, и если п '^т, то,
заменив все х элементами w, мы обнаружим, что К алгебраично
над k(w,, ..., wm). Это показывает, что из идя следует равен-
ство п = т, что и требовалось.
Мы, таким образом, доказали следующее: либо степень трансцен-
дентности конечна и равна мощности любого другого базиса трансцен-
дентности, либо она бесконечна, и тогда всякий базис трансцендент-
288
ГЛ. X. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
ности бесконечен. Утверждение о мощности в бесконечном случае
предоставляется читателю в качестве упражнения. Мы также оста-
вляем в качестве упражнения утверждение о том, что всякое мно-
жество алгебраически независимых элементов может быть дополнено
до базиса трансцендентности, выбранного из данного множества об-
разующих. (Читатель отметит полную аналогию этих утверждений
с соответствующими утверждениями о линейных базисах.)
§ 2. Теорема Гильберта о нулях
Теорема о нулях является специальным случаем теоремы о про-
должении гомоморфизмов, относящимся к конечно порожденным
кольцам над полями.
Теорема 2. Пусть k— поле, k[x] — k[x1, .... х„] — ко-
нечно порожденное кольцо над k и <р: k—>L— вложение k в не-
которое алгебраически замкнутое поле L. Тогда существует
продолжение ф до гомоморфизма k [х] в L.
Доказательство. Пусть — некоторый максимальный идеал
в А[х], о — канонический гомоморфизм о: k [х] —> k [х]/9И. Тогда
ok [axj....ох„]— поле, являющееся расширением поля ok. Если
мы сможем доказать нашу теорему для случая, когда конечно по-
рожденное кольцо является в действительности полем, то мы рассмот-
рим тогда ограничение фо о-1 на ok и продолжим его до гомомор-
физма ok [охр .... ох„] в L, что и даст нам искомое продолжение
для ф.
Не теряя поэтому общности, мы предполагаем, что k[x\ — поле.
Если оно алгебраично над k, то все доказано (в силу известного
результата для алгебраических расширений). В противном случае
пусть .......tr—некоторый базис трансцендентности, г^1. Не
теряя общности, мы можем считать, что ф тождественно на k. Каж-
дый элемент xlt ..., хп алгебраичен над А (О.....tr). Умножив
неприводимый многочлен Irr(xz, k(t), X) на подходящий ненулевой
элемент из k[t\, мы получим многочлен, все коэффициенты которого
лежат в k [/]. Пусть «1(0...«„(0— множество старших коэффи-
циентов этих многочленов и а (0 — их произведение
«(0 = «j (0 ... ап (0-
Так как а(0¥=0, то существуют такие элементы t'x.....что
«(0)^=0 и, следовательно, az (0)^=0 ни для какого I.
Каждый элемент xt является целым над кольцом
k I/1....*г' a^(t)..... ar (o] ‘
§ 2. ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА О НУЛЯХ
289
Рассмотрим гомоморфизм
ср: k .........................tr] —> k,
который тождествен на k и для которого — Пусть р—его
ядро. Тогда Наш гомоморфизм ср однозначно продолжается
на локальное кольцо k [Z]^ а в силу предыдущих замечаний он про-
должается до гомоморфизма
.....х„]
в k, согласно предложению 16 из гл. IX, § 2. Это доказывает тре-
буемое утверждение.
Следствие 1. Пусть k — поле и k{xv х„] =/г[х]—
конечно порожденное кольцо над k. Если k [х]—поле, то k [х]
алгебраично над k.
Доказательство. Все гомоморфизмы поля являются изо-
морфизмами (на образ), и существует гомоморфизм k [х] над k в ал-
гебраическое замыкание поля k.
Следствие 2. Пусть k [х,.......хл]—конечно порожденное
целостное кольцо над полем k, и пусть .......ут — ненулевые
элементы этого кольца. Тогда существует такой гомоморфизм
ф: k [х] -> k
над k, что ф(у;)¥=0 ни для одного /=1.....т.
Доказательство. Рассмотрим кольцо k |Xj......xn, у"1, ...
.... у-1] и применим к нему теорему.
Пусть 5 — некоторое множество многочленов в кольце много-
членов k[Xx.....Хп] от п переменных, L — некоторое расширение
поля k. Под нулем множества S в L понимают любой набор из п
элементов (ср .... сп), лежащих в L, такой, что
/(Д.....<Д) = 0
для всех f£S. Если S состоит из одного многочлена/, то мы будем
также говорить, что (с) есть нуль /. Множество всех нулей семей-
ства S называется алгебраическим множеством в L (или, точнее,
в Л(я)). Пусть а — идеал, порожденный всеми элементами из 5. По-
скольку Sea, ясно, что всякий нуль а служит также нулем S.
Однако, очевидно, справедливо и обратное, а именно всякий нуль S
является также нулем а, поскольку всякий элемент из а имеет вид
• •• д
290
ГЛ X ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
где fj£$, a gi£_k{X\. Таким образом, рассматривая нули какого-
либо множества 5, мы всегда можем считать их нулями некоторого
идеала. Отметим кстати, что любое алгебраическое множество будет
множеством нулей некоторого конечного числа многочленов, так как
всякий идеал в &[Х] конечно порожден (гл. VI). Еще одним след-
ствием теоремы 2 является
Теорема Гильберта о нулях. Пусть а — идеал в k [ X] =
= k[Xx......Хп], и пусть всякий его нуль (c) = (Cj.........с„)
в будет также нулем многочлена f^k[X]: /(с) = 0 Тогда
существует целое число т^-0, для которого fm£a-
Доказательство. Если а—само кольцо многочленов, то
наше утверждение очевидно. Пусть а=^й[А']. Предположим, что ни-
какая степень fm многочлена f не лежит в ct(m = 0, 1, . . .). Обо-
значим через 5 мультипликативное множество всех степеней f и че-
рез р — максимальный элемент в множестве идеалов, содержащих а,
пересечение которых с S пусто. Тогда р — простой идеал, согласно
предложению 6 из гл. VI, § 4. Имеет место изоморфизм
k[Xv .... Xn]/v^k[xl........х„],
и так как / £ р, то /(хр .... хл)¥=0. Пусть
ср: k [х] —>k
— гомоморфизм над k, для которого <р(/(х))=£0. Тогда <р(/(х)) =
= / (<р(х)), где ср(х) = (cp(Xj).ср(х„)). Это противоречит пред-
положению, что / обращается в нуль на всех алгебраических нулях
идеала а.
§ 3. Алгебраические множества
Мы ограничимся несколькими самыми элементарными замечаниями
об алгебраических множествах. Пусть k — поле, А — алгебраическое
множество нулей в некотором фиксированном алгебраически замкну-
том расширении этого поля. Множество всех многочленов / £ k [Xv . .
.... Хп], таких, что /(х) = 0 для всех (х)£Л, является, очевидно,
идеалом а в k [Д'], и этот идеал определяется множеством А Мы
будем называть его идеалом, принадлежащим А, или же говорить,
что он ассоциирован с А. Если А — множество нулей множества
многочленов 5, то Scza, причем а можег быть больше, чем 5.
С другой стороны, заметим, что А есть также множество нулей
идеала а.
Пусть А, В — алгебраические множества, а, b — их ассоциирован-
ные идеалы. Тогда ясно, что Ас:В в том и только в том случае,
если адэЬ. Следовательно, А —В в точности тогда, когда а == Ь.
Это приводит к важному следствию. Поскольку кольцо многочленов
5 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА
291
£[.¥] нётерово, то алгебраические множества удовлетворяют дуаль-
ному свойству, а именно во всякой убывающей последовательности
алгебраических множеств
24jZ> A2zd ...
обязательно Дт = Дт+1 = Для некоторого целого т, т. е.
все Av равны при v'^m. Кроме того, по двойственности к дру-
гому свойству, характеризующему условие нётеровости, заключаем,
что всякое непустое множество алгебраических множеств содержит
минимальный элемент.
Теорема 3. Конечное объединение и конечное пересечение
алгебраических множеств являются алгебраическими множест-
вами. Если А, В — алгебраические множества нулей идеалов а, b
соответственно, то А Ц В будет множеством нулей идеала а П Ь.
а А П В—множеством нулей идеала (а, Ь).
Доказательство. Рассмотрим сначала A U В. Пусть (х) £
£ A U В. Тогда (х) есть нуль идеала а Г) !'• Обратно, пусть (х) —
нуль идеала а П Ь. причем (х)(^А. Тогда существует многочлен f£a,
такой, что /(х)=А0. Но (/) bcafccza fl Ь и, следовательно, (/g)(x) = 0
для всех £(;(’, откуда g(x) = Q для всех Следовательно,
(х) лежит в В и A (J В есть алгебраическое множество нулей идеала
«пь
Чтобы доказать, что A Q В— алгебраическое множество, возьмем
(х)£А(]В. Тогда (х) будет нулем идеала (а, Ь). Обратно, пусть
(х) — нуль идеала (а, Ь). Тогда, очевидно, что и требо-
валось. Это доказывает нашу теорему.
Алгебраическое множество V называется k-неприводимым, если
оно не может быть представлено в виде объединения V — A J В
алгебраических множеств А, В, где А, В отличны от V. Мы будем
иногда говорить „неприводимое" вместо „^-неприводимое".
Теорема 4. Всякое алгебраическое множество А может
быть представлено в виде конечного объединения неприводимых
алгебраических множеств
л = ... uvr-
Если между Vt нет включений, т. е. если Vt ф при j, то
это представление единственно.
Доказательство. Сначала докажем существование. Предпо-
ложим, что множество алгебраических множеств, которые не могут
быть представлены в виде конечного объединения неприводимых
алгебраических множеств, не пусто. Пусть V — минимальный элемент
в нем. Тогда V не может быть неприводимым, и мы можем записать
292
ГЛ X ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
V — A U В, где А, В—алгебраические множества, причем A^=V и
B=£V. Так как каждое из А, В строго меньше, чем V, то мы можем
представить А, В в виде конечных объединений неприводимых алге-
браических множеств, получив, таким образом, представление и для
V, —противоречие.
Что касается единственности, то пусть
Л = ^и ... ... U^s
— два представления А в виде объединения неприводимых алгебраи-
ческих множеств без включений. Каждое Wj мы можем записать
в виде
... uo^nvr).
Так как множество Wj[}Vt — алгебраическое, то W j = W j[\V t для
некоторого I. Следовательно, WjCiVi для некоторого г. Аналогично Vt
содержится в некотором Wv. Поскольку между Wj нет включений,
мы должны иметь W = Vl — Wv. Наше рассуждение может быть
проведено для каждого Wj и каждого VЭто доказывает, что
каждое Wj встречается среди Vl и каждое Vt — среди W j, откуда
и вытекает единственность представления.
В качестве упражнения докажите, что тогда и только тогда алге-
браическое множество неприводимо, когда его ассоциированный идеал
простой. Неприводимое алгебраическое множество обычно называют
многообразием.
Понятие алгебраического множества может быть следующим обра-
зом обобщено на произвольные (коммутативные) кольца.
Пусть А—коммутативное кольцо. Под спектром spec (Л) мы будем
понимать множество простых идеалов в А. Подмножество С в spec (Л)
называется замкнутым, если существует идеал а кольца А, такой,
что С состоит из всех простых идеалов р, для которых аср. Допол-
нение к замкнутом}' подмножеству в spec (И) называется открытым
подмножеством в spec (Л). Следующие утверждения легко прове-
ряются, и их проверка предоставляется читателю.
Объ ’динение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.
Пересечение произвольного семейства замкнутых множеств замк-
нуто.
Пересечение конечного числа открытых множеств открыто.
Объединение произвольного семейства открытых множеств от-
крыто.
П\ стое множество и все множество spec (Л) одновременно и
открыты, и замкнуты.
Для всякого подмножества S в Л множество простых идеалов
р£ spec (Л), таких, что Sep, совпадает с множеством простых идеа-
лов р, содержащих идеал, порожденный S.
§ 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА
293
Пусть / £ А. Мы можем рассматривать множество простых идеа-
лов из spec (Л), содержащих /, как множество нулей элемента /.
Действительно, это есть множество таких р, для которых образом /
при каноническом гомоморфизме
Л-^-Л/р
служит 0.
Пусть А, В — кольца и ф: А^-В — гомоморфизм. Тогда <р инду-
цирует отображение
spec (ср) = ф-1: spec (В)-> spec (Л)
по правилу
Читатель тотчас проверит, что отображение spec (ф) непрерывно в том
смысле, что если U — открытое множество в spec (В), то ф"1 (t/)
открыто в spec (Л).
Мы можем рассматривать spec как функтор из категории ком-
мутативных колец в категорию топологических пространств. Тополо-
гия, которую мы определили выше на множества spec (Л), называется
топологией Зарисского.
Под точкой из spec (Л) в поле L понимается отображение
зрес(ф): spec (ft) —> spec (Л),
индуцированное некоторым гомоморфизмом ф: A^L кольца Л в L.
Например, каждому простому числу р соответствует точка из
spec(Z), а именно точка, определяемая отображением редукции
Z^Z/pZ.
Соответствующая точка задается обращенной стрелкой
spec (Z) <— spec (Z/pZ).
В качестве другого примера рассмотрим кольцо многочленов
k [%!.....Хп] над полем k. Для всякого «-набора (clt ..., сл)
из ft(n> имеем гомоморфизм
ф: k[X1......-¥„]-> ft,
такой, что ф тождествен на k и ф(АГ;) = сг для всех I. Соответ-
ствующая точка задается обращенной стрелкой
spec (k [X]) < - spec (ft).
Таким образом, мы можем отождествлять точки из «-пространства ft(n)
с точками из spec (ft [А”]) (над ft) в ft.
Обобщением понятия алгебраического множества, определенного
нами выше, служит понятие замкнутого множества. В качестве упраж-
нения предлагается доказать следующее утверждение.
294
ГЛ X. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
Теорема 5. Пусть А — нётерово кольцо. Тогда всякое замк-
нутое множество С в эрес(Д) может быть представлено как
конечное объединение неприводимых замкнутых множеств, при-
чем это представление единственно, если в объединении
С=^и ... 1Ж
неприводимых замкнутых множеств включений V^Vпри j
нет.
Разумеется, под неприводимым замкнутым множеством мы пони-
маем такое замкнутое множество, которое не может быть предста-
влено в виде собственного объединения двух замкнутых множеств.
§ 4. Теорема Нетера о нормализации
Теорема 6. Пусть k [Xj....xn]=k[x]—конечно порожден-
ное целостное кольцо над полем k, причем k (х) имеет степень
трансцендентности г. Тогда в k [х] существуют элементы
ур ..., уТ, такие, что кольцо k [х] — целое над
A[y] = A[yj...уг].
Доказательство. Если (х,......хп) уже алгебраически неза-
висимы над k, то все доказано. Если нет, то имеется нетривиальное
соотношение
S v/‘ ••• х^ = 0,
в котором каждый коэффициент a^p^k и =А 0. Сумма берется по
конечному числу различных «-наборов целых чисел (ур .... j'n),
jv 0. Пусть т2, .... т„ — целые положительные числа. Положим
у2 = х2 —х^, .... У„ = хп — х™«
и подставим х. = у{ -|- х™‘ (Z=2, .... п) в предыдущее уравнение.
Используя векторные обозначения, положим (т) = (1, т2, .... тп)
и введем скалярное произведение (у) • (т) = Ji-\~m2j2Af~ ... -\-mnjn.
Развернув соотношение после указанной подстановки, получим
2 а(у)х(Л-('«) -j- f (Хр у2, ..., уд) = 0,
где /— многочлен, в котором не встречаются чистые степени хг.
Выберем теперь целое число d достаточно большим [скажем, большим,
чем любая компонента вектора (у), для которого а^р =£ 0] и возьмем
/и —(1, d, d2...dn~\
Тогда все (у) • (т) различны для тех (у), для которых а(;; 0. Тем
самым мы получаем целое уравнение для хг над k [у2...у„].
§ 5. ЛИНЕЙНО СВОБОДНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
295
Так как каждый из x;(Z> 1) содержится в k[x{, у2, у„], то
кольцо &[х] — целое над k [у2......у„]. Мы можем теперь продол-
жать по индукции и, используя транзитивность целых расширений,
уменьшать число игреков до тех пор, пока не дойдем до алгебраи-
чески независимого множества игреков.
§ 5. Линейно свободные расширения
В этом параграфе мы обсудим вопрос о том, каким образом два
расширения К и L поля k ведут себя по отношению друг к другу.
Мы будем считать, что все рассматриваемые поля содержатся в одном
алгебраически замкнутом поле Q.
Расширение К называется линейно свободным') от L над k,
если всякое конечное множество элементов из К, линейно независи-
мое над k, линейно независимо и над L.
Это определение несимметрично, но на самом деле, как мы сейчас
докажем, свойство быть линейно свободным симметрично относи-
тельно К и L. Предположим, что К линейно свободно от L над k.
Пусть ур .... уп— элементы из L, линейно независимые над k.
Допустим, что имеется нетривиальное соотношение линейной зави-
симости над К
*1У1+*2У2+ + *пУл = 0- (1)
Пусть, скажем, х{...хг линейно независимы над k, а хг+1..хп
Г
являются их линейными комбинациями xt — У, а1цхц, ....п.
Ц=1
Перепишем соотношение (1) в виде
г п / г \
2 -М’ь + 22 а!цх У/ = о
ц = 1 1 = гл 1 \ц = 1 /
и, собрав члены после раскрытия скобок во второй сумме, получим
г / п \
2 (Уц+ 2 (зд) рф = о.
Ц—1\ I — г +1 /
Поскольку игреки линейно независимы над k, коэффициенты при х^
не равны 0. Это противоречит линейной свободе К от L над k.
Дадим теперь два критерия линейной свободы.
Критерий 1. Пусть К — поле частных кольца R и L — поле
частных кольца S, kczKftL. Чтобы убедиться в том, что L и К
линейно свободны над k, достаточно показать, что если элементы
‘) Или линейно разделенным. Алгебраически свободные поля (см. ниже)
в равной мере называют также алгебраически разделенными. — Прим. ред.
296
ГЛ X. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
у 1, ..., уп из 5 линейно независимы над k, то между ними нет
линейных соотношений и над R. Действительно, если элементы
уj, .... уп из L линейно независимы над k и если имеется соотноше-
ние ... -|-хлул —0 с х^К, то мы можем выбрать у в S
и х в R, такие, что ху ф 0, yy;^S для всех/ xx^R для всех I.
Умножение нашего соотношения на ху дает линейную зависимость
между элементами из R и $. Однако элементы yyt, очевидно, линейно
независимы над k, что и доказывает критерий.
Критерий 2. Пусть снова R — подкольцо в К, такое, что К есть
его поле частных, и пусть R — векторное пространство над k с бази-
сом {на). Чтобы доказать, что К и L линейно свободны над k, доста-
точно показать, что элементы {м(/} этого базиса линейно независимы
и над L. Действительно, предположим, что это так. Пусть хх, . ..
.. хт — элементы из R, линейно независимые над k. Они лежат в ко-
нечномерном векторном пространстве, порожденном некоторыми из иа,
скажем и{.....ип, и могут быть дополнены до базиса этого про-
странства над k. При подъеме это «-мерное векторное пространство
над L должно сохранить свою размерность, поскольку элементы и
остаются по предположению линейно независимыми, а, следовательно,
иксы также должны остаться линейно независимыми.
Следующее предложение дает полезный критерий, позволяющий
устанавливать линейную свободу в башне полей:
Предложение 1. Пусть К — поле, содержащее некоторое
другое поле k, и L=>E—еще два расширения поля k. Тогда К
и L линейно свободны над k в том и только в том случае, если К
и Е линейно свободны над k, a KE, L линейно свободны над Е.
KL
KE \
К ^Е^
k
Доказательство. Предположим сначала, что /<, Е линейно
свободны над k и KE, L линейно свободны над Е. Пусть {и} — ба-
зис К как векторного пространства над k (мы используем сами эле-
менты этого базиса в качестве их индексирующего множества), и
пусть {а} —базис Е над k, а {X} —базис L над Е. Тогда {аХ} будет
базисом L над k. Если К и L не являются линейно свободными
над k, то существует соотношение
2 (2j W<Ua = 0 с какими-то с^^О, c^k.
К, а \ х /
§ 5 ЛИНЕЙНО СВОБОДНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
297
Изменение порядка суммирования дает
2 ( 2 с,лаиа) = 0
X \х, а /
вопреки линейной свободе L и КЕ над Е.
Обратно, предположим, что К и L линейно свободны над k.
Тогда тем более К и Е линейно свободны над k. Поле КЕ есть
поле частных кольца Е [/С], порожденного над Е всеми элементами
из К. Это кольцо является векторным пространством над Е, и базис К
над k служит также базисом для кольца Е [ТС] над Е. Из этого
замечания и из критериев линейной свободы мы видим, что доста-
точно доказать, что элементы такого базиса остаются линейно неза-
висимыми над L. Но это вытекает из предположения, что К и L
линейно свободны над k.
Введем еще одно понятие, касающееся двух расширений К и L
поля k. Мы будем говорить, что К алгебраически свободно от L
над k, если всякое конечное множество элементов из К, алгебраи-
чески независимое над k, алгебраически независимо и над L. Пусть
(х) и (у)— два множества элементов из Q. Мы будем говорить, что
они свободны над k (или алгебраически независимы над k), если
поля k (х) и k (у) алгебраически свободны над k.
Так же как и в случае линейной свободы, наше определение не-
симметрично; докажем, что в действительности выражаемое им отно-
шение симметрично. Именно, предположим, что К алгебраически
свободно от L над k. Пусть ур .... у„— элементы из L, алгебраи-
чески независимые над k. Допустим, что они становятся зависимыми
над К- Тогда они явЛяются алгебраически зависимыми уже над неко-
торым подполем F в К, конечно порожденным над k и, скажем,
имеющим степень трансцендентности г над k. Подсчет степени транс-
цендентности поля F(у) над k двумя способами приводит к проти-
воречию (см. упражнение 5):
F k(y)
г\ /п
Предложение 2. Если К и L линейно свободны над k, то
они алгебраически свободны над k.
Доказательство. Пусть хь ..., хл — элементы из К, алге-
браически независимые над k. Предположим, что они становятся
алгебраически зависимыми над L. Имеем соотношение
2 Уа^сДх) = О
298
ГЛ. X. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
между одночленами Л1а(х) с коэффициентами уа из L. Это—линейное
соотношение между Л4а(х). Но последние линейно независимы над к,
так как иксы предполагаются алгебраически независимыми над к, —
противоречие.
Предложение 3. Пусть L — расширение поля k и (и) =
= (и1.... иг)—множество алгебраически независимых величин
над L. Тогда поле k(u) линейно свободно от L над k.
Доказательство. Согласно критериям линейной свободы,
достаточно доказать, что элементы базиса кольца k [«], которые ли-
нейно независимы над k, остаются линейно независимыми и над L.
Но одночлены М (и) дают базис k [«] над k. Они должны остаться
линейно независимыми над L, поскольку, как мы уже видели, линейное
соотношение дает алгебраическое соотношение. Предложение до-
казано.
Отметим в заключение, что свойство двух расширений К и L
поля k быть линейно свободными или алгебраически свободными
является свойством конечного типа. Для доказательства того, что
они обладают каким-либо из этих свойств, достаточно доказать это
для всех подполей Ко и Lo в К и L соответственно, конечно поро-
жденных над k. Это следует из того факта, что в определениях
фигурирует только конечное число величин.
§ 6. Сепарабельные расширения
Пусть К — конечно порожденное расширение поля k, К = k (х).
Мы будем говорить, что оно сепарабельно порождено, если можно
найти базис трансцендентности (tv ..., tT) поля Kjk, такой, что
К — сепарабельное алгебраическое расширение поля k(t). Такой базис
трансцендентности называется сепарирующим базисом трансцен-
дентности для К над k.
Через р мы всегда будем обозначать характеристику поля, если
она отлична от 0. Поле, получаемое из k присоединением корней
pm-Vt степени из всех элементов k, будет обозначаться через kX)p .
Композит всех этих полей по т=\, 2, ... обозначается симво-
лом 1г1р .
Предложение 4. Следующие условия, относящиеся к рас-
ширению К поля k, эквивалентны-.
(1) К линейно свободно от ki/p .
(2) К линейно свободно от k ' для некоторого т.
S 6 СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
299
(3) Всякое подполе поля К, содержащее k и конечно порожден-
ное над k, сепарабельно порождено.
Доказательство. Ясно, что (1) влечет (2). Чтобы доказать,
что (2) влечет (3), мы можем, очевидно, предполагать, что К конечно
порождено над k, скажем К — k (х) = k (хр ..., хп). Пусть степень
трансцендентности этого расширения равна г. Если г = п, то дока-
зательство закончено. В противном случае пусть xv .... хг—базис
трансцендентности. Тогда элемент хг+1 алгебраичен над/г^.....хг).
Пусть f(Xx......А^)—многочлен наименьшей степени, для кото-
рого
f (^1....^r + l) О’
Тогда / неприводим. Мы утверждаем, что не все х, (I = 1, ,.., г 4- 1)
встречаются в нем обязательно в степени, кратной р. Если бы это было
так, то мы могли бы написать f (X) = У, саМа (Х)р, где Л'1а(А')
одночлены от Х}.......Хг+1 и саС^- Это означало бы, что Л1а(х)
линейно зависимы над k1/p (извлечем корень р-й степени из уравне-
ния саМа(х)р — 0). Однако Л1а(х) линейно независимы над k
(иначе уравнение для xv ..., хг+1 было бы меньшей степени) и мы,
таким образом, получаем противоречие с линейной свободой k(x}
и k1/p • Итак, скажем, Х} встречается не только в степени, кратной р.
в многочлене / (X). Далее, f(X) неприводим в k [Xj.........ХГ г, |
и, следовательно, /(А') = 0 есть неприводимое уравнение для
над £(х2.....-^г+1)- Так как Хх встречается не только в сте-
пени, кратной р, то это уравнение есть сепарабельное уравнение для х,
над k (х2, .... хг+1), иными словами, х}— сепарабельный алгебраиче-
ский элемент над k(x2.....хл). Если (х2, ..., х„)— базис транс-
цендентности, то доказательство закончено. Если нет, то, скажем
х2 сепарабелен над й(х3......хп). Тогда k(x) сепарабельно над
k(x3.....хп). Рассуждая по индукции, мы видим, что этот процесс
может быть продолжен до тех пор, пока не получится базис транс-
цендентности. Это доказывает, что (2) влечет (3). Это также дока-
зывает, что сепарирующий базис трансцендентности для k (х) над k
может быть выбран из любого данного множества образующих. Для
завершения доказательства достаточно, предполагая К конечно поро-
жденным над k, убедиться в том, что (3) влечет (1). Пусть («)—се-
парирующий базис трансцендентности для К над k. Тогда К—сепа-
рабельное алгебраическое расширение k(u). В силу предложения 3
k(u) и k р линейно свободны. Положим L — k р . Тогда k(u)L
чисто несепарабельно над й(и) в соответствии с элементарной тео-
рией конечных алгебраических расширений и, следовательно, линейно
свободно от К над k («). Используя предложение 1, заключаем, что К
линейно свободно от L над k, что и доказывает наше предложение.
300
ГЛ. X. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
Расширение К поля k, удовлетворяющее условиям предложения 4,
называется сепарабельным, что согласуется с использованием этого
слова для алгебраических расширений.
Утверждение об эквивалентности первых двух условий нашего
предложения известно как критерий Маклейна. Оно имеет следую-
щие непосредственные следствия:
Следствие 1. Если К сепарабельно над k и Е—подполе в К,
содержащее k, то Е сепарабельно над k.
Следствие 2. Пусть Е — сепарабельное расширение над k
и К — сепарабельное расширение над Е. Тогда К — сепарабельное
расширение над k.
Доказательство. Применить предложение 1 и определение
сепарабельности.
Следствие 3. Если поле k совершенно, то всякое расшире-
ние над k сепарабельно.
Следствие 4. Пусть К—сепарабельное расширение над k,
алгебраически свободное от расширения L поля k. Тогда KL—се-
парабельное расширение поля L.
Доказательство. Всякий элемент из KL допускает представ-
ление в виде комбинации конечного числа элементов из К и L.
Следовательно, любое конечно порожденное подполе в KL, содержа-
щее L, содержится в композите FL, где Е—некоторое подполе в К,
конечно порожденное над k. В силу следствия 1 мы можем предпо-
лагать, что К конечно порождено над k. Пусть (t) — базис трансцен-
дентности К над k, такой, что К—сепарабельное алгебраическое
расширение поля k(t). По предположению (t) есть базис трансцен-
дентности KL над L, и так как всякий элемент из К является сепа-
рабельным алгебраическим над k(t), то он также сепарабелен над
L(t). Следовательно, KL сепарабельно порождено над L. Следствие
доказано.
Следствие 5. Пусть К и L — два сепарабельных расшире-
ния поля k, алгебраически свободные друг от друга над k.
Тогда KL сепарабельно над k.
Доказательство. Применить следствия 4 и 2.
Следствие 6. Пусть К, L—два расширения поля k, линейно
свободные над k. Тогда К сепарабельно над k в том и только
в том случае, если KL сепарабельно над L.
Доказательство. Если поле К не сепарабельно над k, то
оно не линейно свободно от k1/p над k и тем более не линейно сво-
§ 7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
301
бодно от Utlp над k. Отсюда в силу предложения 1 вытекает, что KL
не линейно свободно от Lk^p над L и, следовательно, KL не сепа-
рабельно над L. Обратное есть частный случай следствия 4, поскольку
линейно свободные поля алгебраически свободны.
Мы завершим наше рассмотрение сепарабельности двумя резуль-
татами. Первый из них уже был получен в ходе доказательства пер-
вой части предложения 4, но мы сформулируем его здесь в явном
виде.
Предложение 5. Для конечно порожденного сепарабельного
расширения К поля k сепарирующий базис трансцендентности
может быть выбран из любого заданного множества образую-
щих.
Чтобы сформулировать второй результат, обозначим через Кр
поле, получаемое возведением всех элементов поля К в рт-ю
степень.
Предложение 6. Пусть К — конечно порожденное расши-
рение поля k. Если Кр k —К для некоторого т, то К — сепара-
бельное алгебраическое расширение поля k. Обратно, если К — се-
парабельное алгебраическое расширение над k, то Кр k = K для
всех т.
Доказательство. В случае когда КД— конечное алгебраи-
ческое расширение, утверждение уже было доказано в элементарной
теории конечных алгебраических расширений (гл. VII, § 7, след-
ствие 4). Пусть К трансцендентно над k и tv .... tr — базис транс-
цендентности. Тогда К есть конечное алгебраическое, но не сепара-
бельное расширение поля k(tp......tp\ а потому К X Кр 'k X
X(^f.....tp)z2Kpmk. Это доказывает наше предложение.
§ 7. Дифференцирования
Дифференцированием D кольца R называется отображение D-.
R->R кольца R в себя, линейное и удовлетворяющее обычным пра-
вилам для производных, т. е. D (х -ф- у) = Dx ф- Dy и D(xy) —
— xDy-\- yDx. В качестве примера рассмотрим кольпо многочле-
нов k [X] над полем k. Для каждой переменной Лф взятие обычной
частной производной д/дХ( является дифференцированием в k [X].
Мы можем также очевидным образом получить дифференцирование
в поле частных, а именно положив
D (u]v) — (v Du — и Dv'^v1.
302
ГЛ. X. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
Мы будем работать с дифференцированиями поля К. Дифферен-
цирование в К называется тривиальным, если Dx = 0 для всех
х £К. Оно называется тривиальным на подполе /г в К, если Dx — 0
для всех х £ k. В этом случае говорят также, что D есть диффе-
ренцирование поля К над k. На простом поле дифференцирование
всегда тривиально: имеем
D (1) = D (1 • 1) = 2D (1), откуда £>(!)== 0.
Рассмотрим теперь задачу о продолжении дифференцирований.
Пусть L = K (х) = К (%!...хп)— конечно порожденное расшире-
ние. Для f£K\X\ обозначаем через df/dxi многочлены д//дX [,
вычисленные в (%). Когда существует дифференцирование D* на L,
совпадающее с заданным дифференцированием D на X? Если /(Х)£
£К\Х]— многочлен, обращающийся в нуль на множестве (х), то
любое такое дифференцирование D* должно удовлетворять соотно-
шению
0 = D*f (х) = (х) 4 S (df/dxi) D*Xj, (1)
где fD обозначает многочлен, получаемый применением D ко всем
коэффициентам /. Отметим, что если соотношение (1) выполняется
для всякого обращающегося в нуль на (х) элемента из конечного
множества образующих идеала в К [X], то (1) выполняется для вся-
кого многочлена из этого идеала. Это непосредственное следствие
из правил дифференцирования. Упомянутый идеал будет иногда на-
зываться идеалом в К [X], определенным множеством (х).
Предыдущее необходимое условие для существования D* оказы-
вается также и достаточным.
Теорема 7. Пусть D—дифференцирование поля К, (х) —произ-
вольное множество величин и [fa(X)} — множество образующих
для идеала в Х[Х], определенного множеством (х). Если тогда
(и) — любое множество элементов из К (х), удовлетворяющих
уравнениям
0 = fa (X) 2 (df'jdxj
то существует одно и только одно дифференцирование D* поля
К (х), совпадающее с D на К и такое, что D*xi = ui для вся-
кого I.
Доказательство. Необходимость была показана выше.
Обратно, если g(x), /г(х) лежат в К [х] и /г(х)4 0, то непосред-
ственно проверяется, что отображение D*, определенное формулами
D"g (х) = (х) Д- «z,
правильно определено и является дифференцированием поля X (х).
§ 7 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
303,
Рассмотрим частный случай, когда (х) состоит из одного эле-
мента х. Пусть D — заданное дифференцирование на К.
Случай 1. Элемент х— сепарабельный алгебраический над К.
Пусть / (X) — неприводимый многочлен, которому удовлетворяет х
над К. Тогда /' (х) #= 0. Имеем
0 = /D(x) + /' (х)м,
откуда и =—fD (x)lf' (х). Следовательно, D продолжается на К (х)
однозначно Если D тривиально на К, то D тривиально и на К (х).
Случай 2. Элемент х трансцендентен над К. Тогда D продол-
жается, причем элемент и может быть выбран в К (х) произвольным
образом.
Случай 3. Элемент х чисто несепарабелен над К, так что
хрт — а = 0, где а£К. Тогда D продолжается на К (х) в том и
только в том случае, если D(a) = Q. В частности, если D три-
виально на К, то элемент и может быть выбран произвольным об-
разом
Предложение 7. Конечно порожденное расширение К (х)
над К тогда и только тогда является сепарабельным алгебраи-
ческим, когда всякое дифференцирование D поля К (х), тривиаль-
ное на К, тривиально и на К (х).
Доказательство. Если К (х)— сепарабельное алгебраическое
расширение поля К, то это случай 1. Наоборот, если оно не яв-
ляется сепарабельным алгебраическим, то мы можем соорудить башню
расширений между К и К (х), каждый этаж которой относится к од-
ному из трех рассмотренных выше случаев. По крайней мере один
этаж будет относиться к случаю 2 или 3. Рассмотрев самый верхний
э,аж этого типа, мы тотчас увидим, как построить дифференциро-
вание, тривиальное на основании и нетривиальное на вершине башни.
Предложение 8. Пусть даны поле К и элементы (х) =
= (Xj.....хп) из некоторого его расширения, причем сущест-
вуют п многочленов ftC.K[K\, таких, что
1) Л(х) = 0 и
2) det (dfJdXj) #= 0.
Тогда К (х~) — сепарабельное алгебраическое над К-
Доказательство. Пусть D — дифференцирование на К (х),
тривиальное на К. Поскольку /г (х) = 0, мы должны иметь Dft (х) = 0,
откуда вытекает, что Dxt удовлетворяют п линейным уравнениям,
матрица из коэффициентов которых имеет ненулевой определитель.
Следовательно, Dxt = 0, так что D тривиально на К (х). Поэтому
К (х) — сепарабельное алгебраическое над К.
304
ГЛ. X. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
Следующее предложение непосредственно вытекает из рассмот-
ренного выше случая 3.
Предложение 9. Пусть K = k(x)— конечно порожденное
расширение поля k. Элемент z из К тогда и только тогда ле-
жит в Kpk, когда Dz = 0 для всякого дифференцирования D
поля К над k.
Доказательство. Если z лежит в Kpk, то, очевидно, всякое
дифференцирование D поля К над k обращается в нуль на z. Об-
ратно, если z(^Kpk, то z чисто несепарабелен над Kpk и, согласно
рассмотренному выше случаю 3, мы можем найти дифференцирова-
ние D, тривиальное на Kpk и такое, что Dz=i. Это дифференци-
рование определено сначала только на поле Kpk(z). Его можно про-
должить на К следующим образом. Предположим, что имеется эле-
мент иЗК, такой, что w(^Kpk(z). Тогда vvp £Kpk и D обращается
в нуль на гсзр Мы можем снова применить случай 3, чтобы продол-
жить D с Kpk(z) на Kpk(z, w). Продвигаясь так шаг за шагом,
мы в конце концов достигнем К и тем докажем наше предложение.
Дифференцирования поля М образуют векторное пространство
над М, если определить zD для z£K формулой (zD) (х) = zDx.
Пусть К — конечно порожденное расширение поля k размерности г
над k. Обозначим через 36 ЛГ-векторное пространство дифференци-
рований поля К над k. Для всякого z^K имеем спаривание
(D, z) н-> Dz
пространств 36, К в К. Всякий элемент z поля К определяет, таким
образом, М-линейный функционал на 36. Этот функционал обозна-
чается через dz. Имеем
d (yz) = у dz-j- z dy,
d (у -ф- z) — dy -ф- dz.
Эти линейные функционалы порождают дуальное к 36 пространство ,
если определить ydz условием (О, ydz) ।—> у Dz.
Предложение 10. Предположим, что К — конечно порож-
денное сепарабельное расширение поля k, имеющее степень транс-
цендентности г. Тогда векторное пространство 36 (над К) диф-
ференцирований поля К над k имеет размерность г. Элементы
t1....tr поля К образуют сепарирующий базис трансцендент-
ности для К над k в том и только в том случае, если
dtx, ..., dtr образуют базис дуального к 36 пространства ЗГ над К.
Доказательство. Если tv . . ., tr — сепарирующий базис транс-
цендентности для К над k, то, согласно случаям 1 и 2 теоремы
УПРАЖНЕНИЯ
305
о продолжении, мы можем найти дифференцирования Dr, . ... Dr
поля К над k, для которых Для заданного поло-
жим rwl — Dtl. Тогда ясно, что D — так что Dt образуют
базис пространства 3) над К, a dtt образуют дуальный базис. Об-
ратно, если dt,....dtT образуют базис для над К, а К не яв-
ляется сепарабельным алгебраическим над k(t), то, согласно предло-
жению 7, мы можем найти дифференцирование D, которое тривиально
на k(t), но нетривиально на К. Тогда (D, dtl)*—>Dtl = O для всех/,
что противоречит тому факту, что dtv ..., dtr есть базис дуального
пространства. Следовательно, К является сепарабельным алгебраиче-
ским над k (t). Элементы ..., tr алгебраически независимы, так
как в противном случае степень трансцендентности К над k была бы
меньше г. Итак, .....tr образуют сепарирующий базис для К над k.
Следствие. Пусть К — конечно порожденное сепарабельное
расширение поля k и z — элемент из К, трансцендентный над k.
Тогда К сепарабельно над k(z) в том и только в том случае,
если существует дифференцирование D поля К над k, такое, что
Dz ¥= 0
Доказательство. Если К сепарабельно над k (г), то z до-
пускает включение в сепарирующий базис для К над k, и мы можем
применить предложение Если Dz=f=Q, то dz-^Q и мы можем вклю-
чить dz в базис пространства над К. Опять-таки из предложе-
ния вытекает, что К сепарабельно над k(z).
У ПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать, что поле комплексных чисел имеет бесконечно много авто-
морфизмов [Указание: использовать базисы трансцендентности.]
2. Подполе k поля К называется алгебраически замкнутым в К, если
всякий элемент из К, алгебраический над k, содержится в k Доказать:
если k алгебраически замкнуто в К и К, L алгебраически свободны над k,
причем либо L сепарабельно над k, либо К сепарабельно над k, то L ал-
гебраически замкнуто в KL
3. Доказать эквивалентность следующих условий (они определяют поня-
тие регулярного расширения)'
(1) k алгебраически замкнуто в К и К сепарабельно над k.
(п) К линейно свободно от k над k.
4. Доказать для регулярных расширений результаты, аналогичные тем,
коюрые были доказаны выше для сепарабельных расширений.
5. Пусть k cz Е cz К — расширения полей. Показать, что
Ст транец (K/k) = Ст. транец (^/^)-|—Ст транец. (E/k).
Если —базис трансцендентности для Elk и —базис трансцендент-
ности для KIE, то {xt, уу] будет базисом трансцендентности для K/k.
306
ГЛ X ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
6. Пусть K/k — конечно порожденное расширение и Е — подрасширение,
К —> Е дэ k. Показать, что E/k конечно порождено.
7, Пусть k — полз характеристики 0, .... zT— алгебраически незави-
симые над k величины и (е1}), /=1, т, J=1..........г, г т,— целочис-
ленная матрица ранга т. Пусть, далее,
== г{11 ... ?ег1Г для i ~ 1, ..., т
Показать, что W]....алгебраически независимы над k. [Указание: рас-
смотреть /(-гомоморфизм
D ь—> (Dzjzi, ..., DzrfzT),
отображающий /(-пространство дифференцирований поля К/й в №г>, и по-
лучить линейные условия на те дифференцирования D, которые обращаются
в нуль на k(wt, ..., wm).]
8. Пусть k, (г) обозначают то же, что в упражнении 7. Показать, что
для всякой рациональной функции Р
d (Р (z)) = grad Р (г) • dz,
здесь использованы векторные обозначения, т. е. dz = (dzv....... dzr) и
grad Р = (dPfdz-,, ..., dPfdzr). Определить d log P и выразить его в терми-
нах коордлнат. Показать, что для любых двух рациональных функций Р, Q
из k (г)
d log (PQ) = d log P d log Q.
Глава XI
Вещественные поля
§ 1. Упорядоченные поля
Пусть К — поле. Упорядочение поля К — это подмножество Р
в К, обладающее следующими свойствами:
ПОР 1. Для всякого данного элемента х£К либо х£Р, либо
х = 0, либо —х £ Р, и эти три возможности взаимно исключают
друг друга. Иными словами, К есть объединение попарно не пере-
секающихся множеств Р, (0) и — Р.
ПОР 2. Если х, у£Р, то х-\-у£Р и ху £ Р.
Мы будем также говорить, что К упорядочено посредством Р.
и называть Р множеством положительных элементов.
Пусть К упорядочено посредством Р. Так как 1^0и 1 = 12 =
= (—I)2, то 1 £Р. В силу ПОР 2 имеем 1 -f- . . . -f- 1 £Р, откуда
вытекает, что К имеет характеристику 0. Если х £ Р, то из хх~1—
— 1 £ Р вытекает, что х-1 £ Р.
Пусть х, у£К. По определению х < у (или у > х) означает,
что у — х £ Р. Если х < 0, т. е. элемент —х положительный, то мы
говорим, что элемент х отрицательный. Тривиально проверяется,
что имеют место обычные соотношения для неравенств, например,
х < у и у < z влечет х < Z,
х < у и z > 0 влечет xz < yz,
х < у и х, у > 0 влечет 1/у < 1/х.
По определению х у означает, что х<у или х = у. Если х у
и у -С х, то х = у.
Пусть К упорядочено. Для всякого х£К. х =А 0, элемент х'2 по-
ложителен, поскольку х2 = (—х)2 и либо х £ Р, либо -х£Р. Та-
ким образом, сумма квадратов положительна или равна 0.
Пусть Е— поле. Тогда произведение сумм квадратов в Е также
будет суммой квадратов. Если а, Ь£Е—суммы квадратов и
# 0, то alb — сумма квадратов.
Первое утверждение очевидно, и второе — тоже, если принять
во внимание равенство a)b — ab
Если Е имеет характеристику ^2 и если —1 есть сумма квад-
ратов, то всякий элемент а£Е будет суммой квадратов, поскольку
4а = (1 а)2— (1 — а)2.
308
ГЛ XI. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
Если К — поле с упорядочением Р и F— подполе, то, очевидно,
Р п F определяет упорядочение на F, называемое индуцированным
упорядочением.
Отметим, что обе наши аксиомы ПОР 1 и ПОР 2 применимы и
к кольцу. Если А — упорядоченное кольцо с 1 =# 0, то ясно, что А
не может иметь делителей нуля и упорядочение кольца А можно оче-
видным образом продолжить на поле частных: дробь называется по-
ложительной, если она допускает запись в виде а<Ь, где а, b А и
а, b > 0. Тривиально проверяется, что тем самым действительно опре-
делено упорядочение на поле частных.
Пример. Определим упорядочение в кольце многочленов R [Z] над
полем вещественных чисел. Многочлен
/ (О = aHtn + • «о
с ап Ф 0 будем считать положительным, если ап > 0. Обе аксиомы
тривиально проверяются. Отметим, что t > а для всех a£R. Таким
образом, элемент t является бесконечно большим по отношению к R.
Существование бесконечно больших (или бесконечно малых) элемен-
тов в упорядоченном поле — это основная черта, которой такое поле
может отличаться от подполя поля вещественных чисел.
Сделаем несколько замечаний относительно этого явления, т. е.
существования бесконечно больших элементов.
Пусть К — упорядоченное поле и F—его подполе с индуциро-
ванным упорядочением. Как обычно, полагаем | х | = х, если х > 0,
и | х | = — х, если х < 0. Мы будем говорить, что элемент а из К
бесконечно большой над F, если | а | > х для всех х £ F. Мы будем
говорить, что этот элемент бесконечно малый над F, если 0 а | <
< | х | для всех x£F, х 0. Мы видим, что элемент а является
бесконечно большим тогда и только тогда, когда элемент а-1 бес-
конечно малый. Мы будем говорить, что К архимедово над F, если
в К нет элементов, бесконечно больших над F. Промежуточное поле/^,
KzdF^zdF, называется максимальным архимедовым полем над F,
если оно архимедово над F и никакое другое промежуточное поле,
содержащее Fv не является архимедовым над F. Если Fx архимедово
над F и F2 архимедово над Fv то F2 архимедово над F. Следова-
тельно, по лемме Цорна всегда существует максимальное архимедово
подполе Л; в К над F. Мы будем говорить, что F—максимальное
архимедово подполе в К, если оно является максимальным архиме-
довым полем над собой в К-
Пусть К — упорядоченное поле и F—его подполе. Обозначим
через о множество элементов из К, не являющихся бесконечно боль-
шими над F. Ясно, что о — кольцо, причем для любого а£К будет
либо а£о, либо а-1 £ о. Следовательно, о является так называемым
кольцом нормирования, содержащим F. Обозначим через ш идеал,
§ 2. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
309<
состоящий из всех а£К, бесконечно малых над F. Тогда m — един-
ственный максимальный идеал в о, поскольку любой элемент из о,
не лежащий в т, имеет обратный в о. Мы будем называть о коль-
цо ч нормирования, определенным упорядочением расширения K/F.
Предложение 1. Пусть К — упорядоченное поле, F—его
подполе, о — кольцо нормирования, определенное упорядочением
расширения К/F, и m — его максимальный идеал. Тогда о/ш — ве-
щественное поле (см. § 2).
Доказательство. В противном случае мы имели бы равен-
ство
— 1 = 2а; + й'
где az £ о и а £ ш. Но поскольку сумма У, о?, положительна, а эле-
мент а бесконечно мал, это равенство, очевидно, невозможно.
§ 2. Вещественные поля
Поле К называется вещественным, если —1 не является суммой
квадратов в К ’). Поле К называется вещественно замкнутым, если
оно вещественное и любое его вещественное алгебраическое расши-
рение совпадает с К. Другими словами, К является максимальным
по отношению к свойству вещественности алгебраических замыканий.
Предложение 2. Пусть К — вещественное поле.
(i) Если а £ К, то либо К (Уа), либо —а)—вещественное
поле. Если а — сумма квадратов в К, то поле К(уГа ) вещест-
венное. Если поле К а} не является вещественным, то —а
есть сумма квадратов в К.
(ii) Если f — неприводимый многочлен нечетной степени п из
/<[26] и a — корень f, то поле К (а) вещественное.
Доказательство. Пусть а£К. Если а — квадрат в К, то
поле K(]'fa) = K и, следовательно, является вещественным по ус-
ловию. Предположим, что а не есть квадрат в К. Если поле А'(У«)
не вещественное, то существуют bt, с^К, такие, что
— 1 = У (bi с; j/b )2 = У (bi 2сibi Уа С;«).
>) Принято говорить в таком случае о формально вещественном поле,
но мы сохраним краткую терминологию автора, поскольку из контекста ясно,,
когда речь идет об обычном поле вещественных чисел. — Прим. ред.
310
ГЛ XI ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
Так как 1, а линейно независимы над К, то отсюда вытекает, что
Если а — сумма квадратов в К, то получаем противоречие. Во всяком
случае,
Ж
есть частное сумм квадратов и, значит, в силу сделанного выше заме-
чания —а является суммой квадратов. Следовательно, поле К()/—а)
вещественное, что доказывает наше первое утверждение.
Что касается второго, то предположим, что К (а) не вещественное.
Тогда мы можем записать
— 1 =2^(а)2-
где многочлены gt из /(’[А'] имеют степени га—1. В К [Д'] су-
ществует многочлен Л, такой, что
-i = 2 ^(*)2+а (*)/(*).
Сумма 2;?/(Д')2 имеет четную степень, и эта степень должна быть
> 0, так как иначе —1 была бы суммой квадратов в К. Степень
эта 2га — 2 Поскольку / имеет нечетную степень га, h имеет
нечетную степень га — 2. Мы видим, что если — корень h, то
— 1 есть сумма квадратов в К(|3). Так как deg/z<deg/, то доказа-
тельство завершается по индукции.
Пусть К — вещественное поле. Под вещественным замыканием
поля К мы будем понимать вещественно замкнутое поле С, алгебраи-
ческое над К.
Теорема 1. Всякое вещественное поле К обладает вещест-
венным замыканием. Вещественно замкнутое поле R имеет един-
ственное упорядочение (а именно, положительные элементы в R
— это суммы квадратов). Всякий положительный элемент в R
является квадратом, и всякий многочлен нечетной степени из
R [Д'] имеет корень в R. Имеет место равенство R — Rty—1 )
Доказательство. В силу леммы Цорна наше поле К содер-
жится в некотором вещественно замкнутом поле, алгебраическом над К.
Пусть теперь R — вещественно замкнутое поле и Р — множество не-
нулевых элементов из R, являющихся суммами квадратов. Тогда Р
замкнуто относительно сложения и умножения. В силу предложения 2
всякий элемент из Р есть квадрат в R и для данного элемента a^R,
а =£ 0, будет либо а £ Р, либо — а£Р. Таким образом, Р определяет
упорядочение. Опять-таки в силу предложения 2 всякий многочлен не-
четной степени над R имеет корень в R. Наше последнее утверждение
вытекает из примера 5 гл V111, § 2.
§ 2 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
311
Следствие. Пусть К — вещественное поле и а — элемент
из К, не являющийся суммой квадратов. Тогда существует упо-
рядочение поля К, при котором элемент а отрицателен.
Доказательство. В силу предложения 2 поле К (У—а ) ве-
щественно и, следовательно, имеет упорядочение как подполе своего
вещественного замыкания. Относительно этого упорядочения —«>0
и, значит, а отрицателен.
Предложение 3. Пусть R— поле, такое, что R R и
R = R(]f—1 ). Тогда R вещественно и, следовательно, вещест-
венно замкнуто.
Доказательство. Пусть Р — множество элементов из R, ко-
торые являются квадратами и Ф 0. Мы утверждаем, что Р есть упо-
рядочение поля R. Действительно, пусть а £ R, а 4= 0. Предположим,
что а не является квадратом в R. Пусть а — корень уравнения
№ — а = 0. Тогда R (а) — R (У —1 ) и, следовательно, существуют с,
d£R, для которых а = с + «?У—1 . В таком случае
а2 = с2-|-2сг/У—1 —d2.
Так как 1, У—1 линейно независимы над R, то с = 0 (поскольку
a(£R2) и, следовательно, —а есть квадрат.
Теперь докажем, что сумма квадратов будет квадратом. Для про-
стоты положим г = У—1 . Поскольку поле R (I) алгебраически замк-
нуто, для данных a, b£R мы можем найти с, d£R, такие, что
(с-р di)2 = а->-Ы. Тогда а —с2— d2 и b = ‘led. Следовательно,
а2Ь2 = (с2d2)2.
Если а £ R, а 0, то одновременно а и —а не могут быть
квадратами в R. Таким образом, Р — упорядочение, и наше пред-
ложение доказано.
Теорема 2. Пусть R — вещественно замкнутое поле, а,
b£R и f (X) — многочлен из R [X], причем f(a)<0 и f(b))>0.
Тогда существует элемент с между а и Ь, для которого f (c) = O.
Доказательство. Так как поле /?(У—1) алгебраически
замкнуто, то f разлагается над R в произведение неприводимых
множителей степеней 1 и 2. Если многочлен Х2-\-аХ -Ур непри-
водим (а, р £ R), то он является суммой квадратов, а именно
У+У+ЬУ
так что 4р > а2. Следовательно, изменение знака / происходит за
счет изменения знака какого-то линейного множителя, который, как
тривиально проверяется, должен иметь корень, лежащий между а н Ь.
312
ГЛ. XI. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
Лемма. Пусть К — подполе упорядоченного поля Е и а£Е —
алгебраический элемент над К, являющийся корнем многочлена
f (^) = X ~4~ an-iXn + • • • ао
с коэффициентами в К- Тогда | а1 4~Ian-i 1+ • • • +1 ао I-
Доказательство. Если | а | 1, то утверждение очевидно.
Если |а|> 1, то выражаем | а |л через члены меньшей степени,
делим на | а |я-1 и получаем доказательство нашей леммы.
Отметим, что из этой леммы вытекает, что элемент, алгебраи-
ческий над некоторым упорядоченным полем, не может быть беско-
нечно большим относительно этого поля.
Пусть f (X)—многочлен с коэффициентами в вещественно замк-
нутом поле R, не имеющий кратных корней, и и < v — элементы из R-
Под последовательностью Штурма для / на интервале [и, г»] мы
будем понимать упорядоченную систему многочленов
Г=/г........fm},
обладающую следующими свойствами:
ШТ 1. Последний многочлен fm является отличной от нуля кон-
стантой.
ШТ 2. Ни для какого 0 j т — 1 не существует точки
х£[и, v], такой, что f . (х) = f j + 1(x) = 0.
ШТ 3. Если х£[и, ц] и fj(x):=0 для некоторого у = 1, ...
.... т—1, то fj_x(x) и /-+1(х) имеют противоположные знаки.
ШТ 4. Имеем fj(u)=f--0 и fj (ц)^=0 для всех / = 0, .... т1>.
Для любого элемента о], не являющегося корнем ни для
какого из многочленов f}-, мы будем обозначать через Ws (х) число
перемен знаков в последовательности
(/(*). Л (*).../т(х)}
и будем называть Ws(х) вариацией знаков в этой последовательности.
Теорема Штурма. Число корней многочлена /, заключен-
ных между и и v, равно разности Ws(u) — (ш) для любой по-
следовательности Штурма S.
Доказательство. Заметим, что если сц < а2 < ... < аг —
упорядоченная последовательность корней многочленов /у в [и, и]
•) Читатель заметит, что без специального выбора интервала [и, с] выполне-
ние этого условия при У=£0 не обеспечивается конструкцией системы. На самом
деле его можно заменить условием возрастания произведения /0 (х) (х) при
возрастании х в малой окрестности (относительно интервальной топологии)
нуля а многочлена /=/0. В определении вариации Ws (Р) нужно тогда потре-
бовать /(₽)^0 и выбросить из последовательности {/0 (₽)> /т(Р)} ну-
левые члены. — Прим- ред.
§ 2. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
31»
(/=0, .... т—1), то вариация lFs(x) постоянна в открытых ин-
тервалах между этими корнями (в силу теоремы 2). Следовательно,
достаточно доказать, что если имеется точно один элемент а, такой,
что и < а < v и а есть корень некоторого /;-, то разность 1FS (м) —
— ^(т/) равна 1, когда а—корень /, и 0 в противном случае.
Предположим сначала, что а—корень некоторого /у- для 1 — 1.
Тогда согласно ШТ 3 элементы /y_j(a), /;+1 (а) имеют противопо-
ложные знаки и эти знаки не изменяются при замене а на и или v.
Следовательно, вариация знаков в последовательностях
{/,-i(«). /Ди), /у+1(«)} и
одна и та же, а именно равна 1. Таким образом, если а не является
корнем /, то Ws (и) = Ws (v). Если теперь а — корень /, то / (и)
и /(f) имеют противоположные знаки, но f (и) и /'(f) имеют один
и тот же знак, а именно знак, совпадающий со знаком / (и). Следо-
вательно, в этом случае W/s (и) — Ws (v) + 1. Это доказывает нашу
теорему.
Для многочлена без кратных корней последовательность Штурма
строится без труда. Применяя алгоритм Евклида, получаем
/1 — §2 f2 /з-
fт—2 Sm—1 /т—1 fт'
где f' = fr Так как /, f не имеют общих множителей, то последний
член в этой последовательности будет отличной от нуля константой.
Тривиально проверяются и другие свойства последовательности Штурма.
Если бы, например, два последовательных многочлена в этой после-
довательности имели общий нуль, то он был бы нулем и для всех
остальных многочленов, вопреки тому факту, что последний из них
в 0 не обращается.
Следствие. Пусть К — упорядоченное поле, /— неприво-
димый многочлен над К степени Д 1. Число корней / в двух ве-
щественных замыканиях поля К, индуцирующих заданное упоря-
дочение на К, одинаково.
Доказательство. Используя лемму, мы можем взять в ка-
честве v достаточно большой положительный и в качестве и доста-
точно большой отрицательный элементы в К, так чтобы все корни /
и все корни многочленов в последовательности Штурма лежали
между и и f. Тогда W s {u) — Ws (v) будет равно общему числу корней /
в любом вещественном замыкании поля К, индуцирующем заданное
упорядочение.
314
ГЛ. XI. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
Теорема 3. Пусть К — упорядоченное поле и R, R'— его
вещественные замыкания, индуцирующие заданное упорядочение
на К. Тогда существует однозначно определенный изоморфизм
о: R-> R' над К, и этот изоморфизм сохраняет порядок.
Доказательство. Мы покажем сперва, что для данного
конечного подрасширения Е в R над К существует вложение Е в R'
над К- Пусть Е = К (а), и пусть / (X) == 1гг (а, К, Х~). Тогда f (а) — О
и следствие теоремы Штурма показывает, что / имеет некоторый
корень р в R'. Таким образом, существует изоморфизм К (а) на К (р)
над К, отображающий а в р.
Пусть ctj....а„ — различные корни f в R и .........р„—раз-
личные корни f в R', причем
сц < ... < а„ в упорядочении поля R,
Pi < . • < Ря в упорядочении поля Rr.
Мы утверждаем, что можно выбрать вложение о поля К (а{, , ап)
в R' таким образом, что оаг=рг для г=1........п. Действительно,
пусть у, — такой элемент из R, что
Y? = a/+1 — ел при i=l......п—1,
и пусть £^ = /<(0^....ап, ур .... Y«-i)- В силу только что дока-
занного существует вложение о поля Et в R', а тогда сга/+]— oaz
есть квадрат в R'. Следовательно,
004 < ... < сга„.
Это доказывает, что <га; =р; для I — 1..п. Кроме того, последнее
условие полностью определяет действие о на К (аР .... ап). Мы ут-
верждаем, что о сохраняет порядок. Действительно, пусть у£К (ар .. .
. . ., ал), 0<уи элемент y^R таков, что у2 = у. Тогда существует
вложение поля К (аР .... ап, Yp • •• Yn-P V) в R' над К, которое
индуцирует о на К (ар . . ., а„) и для которого оу есть квадрат, а,
значит, как и утверждалось, оу > 0.
Используя теперь лемму Цорна, мы, очевидно, получим изомор-
физм R на R' над К- Этот изоморфизм сохраняет порядок, поскольку
он отображает квадраты на квадраты. Тем самым теорема доказана.
Предложение 4. Пусть К — упорядоченное поле. К' — его
расширение, в котором нет соотношений вида
п
— 1 = 2
i=i
с а^К, П; > 0, и а^К'. Пусть L — поле, получаемое из К' при-
соединением квадратных корней из всех положительных элементов
поля К- Тогда L вещественно.
§ 2. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
315
Доказательство. Если—нет, то существует соотношение типа
— 1 = 2
г=1
с дг > О, и at^L. (Мы можем взять az = l.) Пусть г — на-
именьшее целое число, для которого мы можем записать указанное
выше соотношение с а;, лежащими в подполе поля L, имеющем вид
«'(УЪ......у^),
где bj^K, bj >0. Если
az = Xi + уi УКГ,
где
Xp у^к^УЪ........у^7),
то
— 1 = 2 «/ (xzч- уI УьУ = 2 а. (х] + 2xzyz У^г + у]Ь^.
По предположению УЬГ не лежит в К'(УЬг..УЬГ~У Следова-
тельно,
—l = 2«zx;+ 2 «Ду?.
вопреки минимальности г.
Теорема 4. У всякого упорядоченного поля К существует
вещественное замыкание R, индуцирующее заданное упорядочение
на К.
Доказательство. Возьмем К' — К в предложении 4.
Тогда L вещественно и содержится в некотором вещественном замы-
кании. Наше утверждение теперь очевидно.
Следствие. Пусть К — упорядоченное поле и К' — его рас-
ширение. Для того чтобы существовало упорядочение на К', ин-
дуцирующее заданное упорядочение поля К, необходимо и доста-
точно, чтобы отсутствовали соотношения типа
— 1 = 2«;а?,
<=1 ‘
где а^К, а^О и а^К'.
Доказательство. Если нет таких соотношений, то, согласно
предложению 4, L вещественно и, значит, содержится в некотором
вещественном замыкании, упорядочение которого индуцирует некото-
рое упорядочение на К’ и заданное упорядочение на К, что и тре-
бовалось. Обратное очевидно.
316
ГЛ XI ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
Пример. Пусть Q—поле-алгебраических чисел. Непосредственно
видно, что Q допускает только одно упорядочение, а именно обыч-
ное. Следовательно, любые два вещественных замыкания поля Q в Q
изоморфны, причем соответствующий изоморфизм однозначно опре-
делен. Вещественные замыкания поля Q в Q исчерпываются в точ-
ности подполями в Q, над которыми Q имеет конечную степень. Пусть
К—конечное вещественное расширение поля Q, содержащееся в Q,
Элемент а из К тогда и только тогда будет суммой квадратов в К,
когда положителен всякий элемент, сопряженный с а в поле веще-
ственных чисел, или, что эквивалентно, в одном из вещественных
замыканий поля Q в Q.
Замечание. Теория, развитая в этом и предыдущем параграфах,
принадлежит Артину — Шрейеру.
$ 3. Вещественные нули и гомоморфизмы
Подобно тому как мы развили теорию продолжения гомоморфиз-
мов в алгебраически замкнутое поле и получили теорему Гильберта
•о нулях в алгебраически замкнутом поле, мы хотим теперь развить
теорию для случая, когда принимаемые значения лежат в вещественно
замкнутом поле. Одной из основных теорем будет следующая:
Теорема 5. Пусть k — поле, K = k (Xj......х„)— конечно
порожденное расширение. Предположим, что k упорядочено. Пусть
Rk — вещественное замыкание поля k, индуцирующее то же самое
упорядочение на k, что и К. Тогда существует гомоморфизм
ф: k[xx....xn]-+Rk
над k.
В качестве приложений теоремы 5 получаем
Следствие I. Пусть обозначения те же, что и в теореме,
и пусть .......причем
У1 < У2 < • • • <Ут
в заданном упорядочении поля К. Тогда гомоморфизм <р можно
выбрать таким образом, что
ФУ1 < ... < Ф.\’т.
§ 3 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ НУЛИ И ГОМОМОРФИЗМЫ
317
Доказательство. Пусть = у— у где у^К. Тогда
поле К (уР .... Ут-1) обладает упорядочением, индуцирующим задан-
ное упорядочение на К. Применяем теорему к кольцу
....V...........^-1' Yr •
Следствие 2 (Артин). Пусть k — вещественное поле,
допускающее только одно упорядочение, и это упорядочение архи-
медово. Пусть f(Xx.....Xn)£k(X)— рациональная функция,
не принимающая отрицательных значений: f(a)^>0 для всех
(a) = (av ..., aj^k^, в которых f (а) определено. Тогда f (X)
есть сумма квадратов в k (X).
Доказательство. Предположим, что утверждение не верно.
В силу следствия теоремы 1 § 2 существует упорядочение k(X), при
котором f отрицательна. Применим следствие 1 к кольцу
....Ь(ХГ>],
где h(X')— знаменатель f(X). Мы можем найти гомоморфизм ср этого
кольца в Rk (тождественный на k), такой, что Ф(/)<0. Но ф(/) =
= /(ф%р .... <рХл). Так как в Rk нет бесконечно малых элементов
относительно k, то найдутся элементы a^k (/= 1..п), близкие
к <рХр и в силу непрерывности / (ар . .., ал) < О,— противоречие.
Следствие 2 было проблемой Гильберта. Доказательство теоремы 5,
которое мы приведем, отличается от артиновского доказательства
этого следствия рядом технических моментов.
Сначала мы покажем, как можно свести теорему 5 к случаю,
когда К имеет степень трансцендентности 1 над k, причем k веще-
ственно замкнуто.
Лемма 1. Пусть R — вещественно замкнутое поле и Ro —
подполе, алгебраически замкнутое в R (т. е. такое, что всякий
элемент из R, не лежащий в Ro, трансцендентен над RQ).
Тогда Ro вещественно замкнуто.
Доказательство. Пусть f (X)— неприводимый многочлен
над /?0. Он разлагается в R на линейные и квадратные множители.
Их коэффициенты лежат в R, алгебраичны над Ro и, следовательно,
лежат в Ro. Таким образом, сам f (X) либо линеен, либо является
неприводимым квадратным трехчленом над Ro. В силу теоремы
о промежуточном значении мы можем во втором случае предполагать,
чю f положительно определен, т. е. /(а)>0 для всех а £ RQ.
Не теряя общности, мы можем считать, что f (X) — X2Ь2 для
некоторого b £ Ro. Любой корень этого многочлена приносит с собой
1 , а потому единственным алгебраическим расширением Ro
является —1). Это доказывает, что Ro вещественно замкнуто.
318
ГЛ XI ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
Обозначим через RK вещественное замыкание поля К. индуцирую-
щее заданный порядок на К, и через /?0—алгебраическое замыкание k
в RK. В силу леммы 1 Ro вещественно замкнуто.
Рассмотрим поле /?0(Х;.....х„). Если мы сможем доказать нашу
теорему для кольца /?0[Х;.....x!t] и найдем гомоморфизм
ф: Ro [хр . . х„] ->/?„,
то, рассмотрев изоморфизм о: R(,-> RK над k (существующий согласно
теореме 3) и положив ср = ооф, мы получим решение нашей задачи
над k. Тем самым теорема сводится к случаю, когда k вещественно
замкнуто.
Пусть теперь Р— промежуточное поле, над которым К
имеет степень трансцендентности 1. Обозначим через RP веществен-
ное замыкание F, содержащееся в RK. Если наша теорема верна для
расширений размерности 1, то мы можем найти гомоморфизм
ф: .....xn\->RP.
Заметим, что поле &(фхр ..., фх„) имеет степень трансцендентности
п— 1 и вещественно, так как содержится в Rp. Таким образом,
по индукции теорема сводится к случаю, когда К имеет размерность
1 и k, как мы видели выше, вещественно замкнуто.
Наше утверждение геометрически интерпретируется следующим
образом. Можно считать, что K = R(x, у), где х трансцендентен
над R и (х, у)— корень некоторого неприводимого многочлена
/(Д', У) из R [X, F], и мы хотим по существу доказать, что имеется
бесконечно много точек на кривой f(X, E) = 0 с координатами,
лежащими в R, т. е. бесконечно много вещественных точек.
Основная идея состоит в том, чтобы найти некоторую точку
(a, b)£R(2', такую, что /(a, 6) = 0, но D2f (a, b)4=Q- Тогда мы
сможем применить теорему о промежуточном значении. Очевидно,
f (a, b-\-h) меняет знак, когда малое положительное h заме-
няется на малый отрицательный элемент из R. Если взять элемент
а' £ R, близкий к а, то f (а', b-\-h) также будет менять знак для
малых h и, следовательно, f(a'. К) имеет нуль в R для всех а',
достаточно близких к а. Этим путем мы получим бесконечно много
нулей.
Чтобы найти нашу точку, рассмотрим / (х, У) как многочлен
от одной переменной У с коэффициентами в /?(х). При этом, не те-
ряя общности, мы можем считать, что старший коэффициент равен 1.
Построим последовательность Штурма для этого многочлена, скажем
{/(х, У), /\(х, У)...../т(х, К)}.
Положим d — deg f и обозначим через А (х) = (ad_} (х), .... а0(х))
коэффициенты /(х, У). Из алгоритма Евклида видно, что коэффи-
§ 3. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ НУЛИ И ГОМОМОРФИЗМЫ
319
циенты многочленов в последовательности Штурма могут быть выра-
жены в виде рациональных функций
{OvH(x))}
от ad_r(x).....а0(х).
Пусть
v (х) = 1 ± ad_r (х)± ... ±а0 (х) + $,
где $—-некоторое положительное целое число, а знаки выбраны та-
ким образом, чтобы каждый член в этой сумме давал положительный
вклад. Положим и(х) =— v(x) и выберем s так, чтобы ни и, ни v
не были корнями никакого многочлена в последовательности Штурма
для /. Для дальнейшего нам потребуется лемма.
Лемма 2. Пусть R—вещественно замкнутое поле и {hl (х)} —
конечное множество рациональных функций от одной переменной
с коэффициентами в R. Предположим, что поле рациональных
функций R (х) каким-то образом упорядочено, так что каждой
функции hL{x) приписан некоторый знак. Тогда имеется беско-
нечно много таких значений а переменной х в R, что при любом I
величина h^a) определена и имеет тот же знак, что и hi(x).
Доказательство. Рассматривая по отдельности числители и
знаменатели наших рациональных функций, мы можем без потери
общности предполагать, что — многочлены. Тогда
/г. (х) = с П (х — X) П р (х),
где первое произведение берется по всем корням К многочлена ht,
а второе — по положительно определенным квадратичным множителям
над R. Для любого Е, £ R величина р(£,) положительна. Достаточно
поэтому показать, что для всех К могут быть сохранены знаки (х—X)
при подстановке вместо х бесконечного множества значений а. Упо-
рядочив все значения % и х, получим
• . . X . • • ,
где, возможно, или Х2 должно быть опущено, если х меньше или
больше, чем любое %. Произвольное значение а для х в R, выбран-
ное между A,j и %2, будет удовлетворять требованиям нашей леммы.
Чтобы применить лемму к доказательству существования нашей
точки, возьмем множество рациональных функций (х)}, состоящее
из всех коэффициентов ad_x (х)....а0(х), всех рациональных функ-
ций Gv(A(x)) и всех функций fj(x, м(х)), fj(x, v(x')), вариация
знаков которых удовлетворяет теореме Штурма. Мы найдем беско-
нечно много значений а переменной х в R, которые сохраняют знаки
этих рациональных функций. Тогда многочлены f (а, К) имеют корни
320
ГЛ. XI. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
в А? и для всех, кроме конечного числа, значений а эти корни будут
кратности 1.
Теперь уже дело простой техники показать, что для всех, кроме
конечного числа, точек на кривой элементы хг, .... хп лежат в ло-
кальном кольце гомоморфизма R \х, y]->R, переводящего (х, у)
в точку (а, Ь), для которой /(а, Ь) = 0, но D2f (а, Ь) 0 (см. при-
мер в конце § 4 гл. XII и упражнение 12 той же главы). Можно
было бы дать здесь и непосредственное доказательство. Таким об-
разом, мы получаем гомоморфизм
....X„]^R,
что и доказывает теорему 5.
Теорема 5 допускает обращение.
Теорема 6. Пусть k—вещественное поле, K = k(xl, ...
.... хп, у) = /г(х, у)—его конечно порожденное расширение, та-
кое, что элементы .... хп алгебраически независимы над k,
а у алгебраичен над k(x). Пусть f(X, Y) — неприводимый много-
член из К], для которого f(x, у) — 0. Пусть, далее, R—
вещественно замкнутое поле, содержащее k, причем существует
набор (a, b)£R(n±V, такой, что f (а, Ь) = 0, но Dn + Xf(a, b) Ф 0.
Тогда поле К вещественное.
Доказательство. Пусть tv . . ., tn алгебраически независимы
над R. По индукции мы можем упорядочить R(tv .... t„) таким
образом, чтобы каждый tt был бесконечно малым относительно R
(см. пример из § 1). Пусть R' — вещественное замыкание поля
R(tv .... tn), сохраняющее упорядочение. Положим ul — ai-y для
i=\, п. Тогда /(«, b-\-h) при малых положительных и отри-
цательных значениях h из R имеет разные знаки и, следовательно,
f (и, Y) имеет в R' корень, скажем V. Так как многочлен f непри-
водим, то изоморфизм k(x) на k (и), переводящий xz в «(-, продол-
жается до вложения k(x, у) в R' и, следовательно, поле К веще-
ственно, что и требовалось показать.
На языке алгебраической геометрии теоремы 5 и 6 утверждают,
что поле функций многообразия над вещественным полем k тогда и
только тогда вещественно, когда многообразие имеет простую точку
в некотором вещественном замыкании поля k.
На тех же идеях основано доказательство следующей теоремы.
Теорема 7. Пусть k — поле и К — его конечно порожденное
расширение, причем К упорядочено. Пусть R — вещественно зам-
кнутое поле, содержащее k и индуцирующее то же самое упо-
рядочение на k. что и К. Предположим, что степень трансцен-
дентности R над k не меньше, чем степень трансцендентности К
над k. Тогда существует вложение К в R над k.
УПРАЖНЕНИЯ
321
Мы предоставим доказательство читателю в качестве упражнения.
Используя прием с извлечением квадратных корней, можно всегда
выбрать указанное вложение так, чтобы сохранить конечное число
неравенств в заданном упорядочении поля К.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать на примере, что следствие 2 § 3 перестает быть верным,
если упорядочение поля k не предполагать архимедовым (в чем дело?). [Ука-
зание (Dubois D. W., Notices Amer. Math. Soc., 1967. 14, № 3, 67T — 288).
Пусть Q — поле рациональных чисел, t — переменная; на Q (/) вводится упо-
рядочение, относительно которого 0 < t — бесконечно малая величина. Пусть
К,— вещественное замыкание поля Q (/) и k=[}ki, где каждое й,— про-
межуточное поле, Q (Z) cz й, о: Д, не допускающее квадратичного расширения
в К. Положить / (X) = (%3— ty — f3]. *)
2. Пусть а алгебраично над Q и Q (а) — вещественное поле. Доказать,
что а будет суммой квадратов в Q (а) тогда и только тогда, когда па > О
для всякого вложения о поля Q (а) в R.
3. Пусть F— конечное расширение поля Q и ср: F -> Q — Q-линейный
функционал, такой, что <р (х2) > 0 для всех x^F, х=Ь0. Пусть a£F, а=£0.
Показать, что если <р(ах2)^0 для всех xQF, то а является суммой квадра-
тов в F и F чисто вещественно, т. е. всякое вложение F в поле комплексных
чисел содержится в поле вещественных чисел. [Указание-, использовать тот
факт, что след дает отождествление F с его дуальным пространством над Q,
и применить аппроксимационную теорему из гл. XII, § 1.]
4. Прочитать формулировки результатов в статье „Теория вещественных
точек” (Lang S., The theory of real places, Ann. Math., 1953, 378—391) и
доказать эти результаты, не заглядывая в доказательства, данные в статье.
5. Пусть — вещественный интервал и f (t)— вещественный
многочлен, положительный на этом интервале. Показать, что f (/) может
быть записан в виде
2<?l + S^-«) Qu + 2 <₽ -о Q1-
где Q2 обозначает квадрат. [Указание', разложить многочлен и использовать
тождество
(/_«)(₽_/)= -0+(;-«)(Р-О2.]
6. Показать, что поле вещественных чисел имеет только тождественный
автоморфизм. [Указание: показать, что автоморфизм сохраняет упорядо-
чение.]
') Добавлено при переводе. Место этого упражнения было занято утверж-
дением, совпадающим с леммой из § 2 и не исключенным лишь по недо-
смотру. — Прим. ред.
Глава XII
Абсолютные значения
§ 1. Определения, зависимость и независимость
Пусть К — поле. Абсолютное значение v на К — это вещест-
веннозначная функция xi—>|х |j, на К, удовлетворяющая следующим
трем условиям:
АЗ 1. |х|р^0 для всех х^К, и | х |о — 0 тогда и только
тогда, когда х = 0.
АЗ 2. | ху |р = | x\v | у |р для всех х, у£К.
АЗ 3. | х -|-у |р<| х |р +1 у |р для всех х, у^К.
Если вместо АЗ 3 абсолютное значение удовлетворяет более
сильному условию
АЗ 4. |x-r-y |р<тах(|х|р, | у Ц
то мы будем говорить, что оно является нормированием или что
оно неархимедово. Абсолютное значение, для которого | х |р = 1
при всех х=£0, называется тривиальным.
Имея дело с одним фиксированным абсолютным значением, мы
будем писать | х | вместо | х |р и говорить о | | как об абсолютном
значении.
Абсолютное значение на К определяет метрику. Расстояние между
двумя элементами х, у из К в этой метрике равно |х — у |. Таким
образом, абсолютное значение определяет топологию на К. Два
абсолютных значения называются зависимыми, если они определяют
одну и ту же топологию. В противном случае они называются не-
зависимыми.
Отметим, что | 1 | = | 1 |2 = | (—I)21 = | 1 |2, откуда
|1| = |-1|=1.
Кроме того, | — х | = | х | для всех х £ К и | х~х | = | х |-1 для х=/=0.
Предложение 1. Пусть | |j и | |2—нетривиальные абсо-
лютные значения на поле К. Тогда для их зависимости необ-
ходимо и достаточно, чтобы из соотношения
I х Ii < 1
следовало |х|2<1. Если они зависимы, то существует число
К > 0, такое, что | х = | х £ для всех х£К.
$ I. ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ЗАВИСИМОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ
323
Доказательство. Если два абсолютных значения зависимы,
то наше условие выполняется, поскольку множество тех х£К, для
которых | х |j < 1, совпадает с множеством тех х, для которых
limx" = 0 при ге—>со. Обратно, предположим, что условие теоремы
выполняется. Тогда из | х |j > 1 следует | х |2 > 1, поскольку
| х-1 |j < 1. По предположению существует элемент х0£К, для кото-
рого | х0 |j > 1. Пусть а = | х0 и Ь = | х0|2. Положим
log а
Пусть х£К, х=^0. Тогда | х |t = | х01“ для некоторого числа а.
Если т, п — такие целые числа, что т/п > а, причем п > 0, то
и, < ix„r.
откуда
КК11<1
и, значит,
рлК|1<1-
Отсюда вытекает, что | х |2 < | х01™л. Следовательно,
I Х ,2 | Х0 1г ‘
Аналогично доказывается обратное неравенство и, таким образом,
получаем
I х 1г = I хо I2
для всех х£К, х=£0. Утверждение, что | х |2 = | х |^, теперь оче-
видно.
Дадим несколько примеров абсолютных значений.
Рассмотрим сначала поле рациональных чисел. Имеем прежде
всего обычное абсолютное значение, а именно \т\ = т для любого
положительного целого числа т.
Для всякого простого числа р имеем р-адическое абсолютное
значение vp, определяемое формулой
\prm'ti \р= \)рг,
где г — целое число, а т, п — целые числа Д=0, не делящиеся на р.
Непосредственно видно, что р-адическое абсолютное значение не-
архимедово.
Аналогичное определение нормирования можно дать для любого
поля Д', являющегося полем частных кольца главных идеалов. Пусть,
например, K = k(t), где k—некоторое поле и t—переменная над k.
Для всякого неприводимого многочлена р (С) из k [/] имеем нормиро-
вание vp, определяемое так же, как в поле рациональных чисел, но
324
ГЛ. XII. АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
с тем отличием, что здесь нет естественного способа его норма-
лизовать. Поэтому выбираем число с, такое, что 0 < с < 1, и для
любой рациональной функции prflg, где /, g— многочлены, не
делящиеся на р, полагаем
I Prflg \Р = ст.
Разные значения постоянной с приводят к зависимым нормированиям.
Всякое подполе поля комплексных чисел (или вещественных
чисел) обладает абсолютным значением, индуцированным обычным
абсолютным значением в поле комплексных чисел. Позднее мы увидим,
как можно получать абсолютные значения на некоторых полях,
вкладывая их в другие поля, которые уже снабжены естественными
абсолютными значениями.
Предположим, что определенное на некотором поле абсолют-
ное значение ограничено на простом кольце (т. е. кольце целых
чисел Z, если характеристика равна 0, и кольце целых чисел
modp, если характеристика равна р). Тогда это абсолютное зна-
чение непременно неархимедово.
Доказательство. Для любых элементов х, у и любого
положительного целого числа п имеем
] (а: -i-У)" I < (и 4-1) С (max (| х |, |у |))л.
Извлекая из обеих частей корни n-й степени и устремляя п к бес-
конечности, получаем доказательство нашего утверждения. Отметим,
что предпосылка утверждения всегда выполнена в случае характе-
ристики > 0, поскольку в этом случае простое кольцо конечно!
Мы отсылаем читателя к любой другой книге, где рассматрива-
ются абсолютные значения, за доказательством того факта, что всякое
архимедово абсолютное значение на поле рациональных чисел зависит
от обычного абсолютного значения. Этот факт по существу беспо-
лезен (и нигде не используется в дальнейшем), так как мы всегда
исходим из конкретно заданного множества абсолютных значений на
интересующем нас поле.
В предложении 1 мы получили сильное условие, которому должны
удовлетворять зависимые абсолютные значения. Теперь мы получим
условие, которому удовлетворяют независимые абсолютные значения.
Аппроксимационная теорема (Артин—Уэплз). Пусть
К—поле и | |j...... | |s—нетривиальные попарно независимые
абсолютные’ значения на К. Пусть хг....xs — элементы из К
и е > 0. Тогда существует элемент х£К, такой, что
\х- х( < е
для всех I.
§ 2. ПОПОЛНЕНИЯ
325
Доказательство. Рассмотрим сначала два из наших абсо-
лютных значений, скажем •v1 и vs. По условию мы можем найти
элемент а£К, такой, что | a < 1 и |а|5^>1. Аналогично мы можем
найти элемент |3 £ К, такой, что [0,^1 и |0^<1. Положим у=0/а.
Тогда | у k > 1 и | у |5 < 1.
Теперь докажем, что существует элемент z £ К, такой, что
| z l! > 1 и | z |у < 1 для j = 2, .... s. Доказываем это по индукции.
Случай $ = 2 был только что рассмотрен. Предположим, что мы
нашли элемент z £ К, удовлетворяющий условиям
| z |j > 1 и | z |у- < 1 для 7 = 2.s — 1.
Если | z |5 1, то элемент zny для достаточно большого п будет
удовлетворять нашим требованиям.
Если | z > 1, то последовательность
стремится к 1 относительно и vs и стремится к 0 относительно
Vj (/=2, .... $—1). Ясно, что при достаточно большом п эле-
мент t„y удовлетворяет нашим требованиям.
Используя только что построенный элемент z, мы видим, что
последовательность zn[(l -\-zn) стремится к 1 относительно и к О
относительно для 7 — 2.........s. Поэтому для всякого i мы можем
построить элемент zt, который очень близок к 1 относительно
-Vi и очень близок к 0 относительно v}- Тогда элемент
х = 21х1Д- ... -\-zsxs
удовлетворяет требованиям теоремы.
§ 2. Пополнения
Пусть К—поле с нетривиальным абсолютным значением v, которое
во всем этом параграфе будет оставаться фиксированным. Обычным
способом можно определить понятие последовательности Коши. Это
такая последовательность {х„} элементов из К, что для заданного
£ > 0 существует целое число N, такое, что для всех п, т> N
имеем
I хп — хт | < е.
Мы будем говорить, что поле К полное, если всякая последова-
тельность Коши сходится.
Предложение 2. Существует пара (Kv, I), состоящая из
поля Kv, полного относительно некоторого абсолютного значения^
326
ГЛ. XII. АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
и вложения I: К —> Kv, такого, что абсолютное значение на К
индуцируется абсолютным значением на Kv (т. е. |х|г) = |/х|
для х£К). При этом 1К плотно в Kv. Если (K'v, Z')—другая
такая пара, то существует однозначно определенный изомор-
физм ср: Ку->К', сохраняющий абсолютные значения, для кото-
рого коммутативна следующая диаграмма'.
К ----
V V
Доказательство. Единственность очевидна. Существование
доказывается хорошо известным способом, который мы сейчас кратко
напомним, предоставив детали читателю.
Последовательности Коши образуют кольцо, сложение и умноже-
ние в котором производятся покомпонентно.
Определяется нуль-последовательность как последовательность {х„},
для которой limx„ = O. Нуль-последовательности образуют идеал
п-»со
в кольце последовательностей Коши, который на самом деле является
максимальным идеалом. (Если последовательность Коши не является
нуль-последовательностью, то для всех достаточно больших п ее
члены отличны от 0 и для почти всех ее членов можно взять об-
ратные элементы. С точностью до конечного числа членов снова по-
лучаем последовательность Коши.)
Поле классов вычетов кольца последовательностей Коши по мо-
дулю нуль-последовательностей и есть поле Kv. Мы вкладываем К
в Kv „по диагонали", т. е. сопоставляем элементу х£К последова-
тельность (х, х, х, . . .).
Абсолютное значение на К продолжаем на Kv по непрерывности.
Если {х„} — последовательность Коши, представляющая элемент Е
из Kv, то полагаем | Е | = lim | хп |. Легко доказывается, что так опре-
деленное абсолютное значение не зависит от выбора представляющей
последовательности (%„} для Е и индуцирует заданное абсолютное
значение на К-
Наконец, доказывается, что поле Kv — полное. Это делается обыч-
ным диагональным процессом. Если Ер —последовательность
Коши в Kv и Еу представляется последовательностью Коши
из К, то без всякого труда доказывается, что
•^IP Х22’ •''33' • • •
будет последовательностью Коши в К, представляющей элемент Е
из Kv, для которого
lim =
§ 2. ПОПОЛНЕНИЯ
327
Пара (Kv, i), фигурирующая в предложении 2, может быть на-
звана некоторым пополнением К- Стандартная пара, полученная
с помощью предыдущей конструкции, могла бы быть названа (просто)
пополнением К.
Пусть поле К снабжено некоторым нетривиальным архимедовым
абсолютным значением v. Если известно, что ограничение v на под-
поле рациональных чисел зависимо от обычного абсолютного значе-
ния, то пополнение Kv является полным полем, содержащим попол-
нение поля Q в качестве замкнутого подполя, т. е. содержащим
в качестве замкнутого подполя поле R вещественных чисел. Стоит
привести теорему Гельфанда — Мазура, касающуюся структуры таких
полей. Но сначала введем понятие нормированного векторного про-
странства.
Пусть К — поле с нетривиальным абсолютным значением н Е—
векторное пространство над К. Под нормой на Е (согласованной
с абсолютным значением на К) мы будем понимать функцию 11—> | £ |,
отображающую Е в поле вещественных чисел, такую, что
НО1. | Ё, | О для всех £££, и ||| = 0 тогда и только тогда,
когда £, = 0.
НО 2. | |<.' | х 11 £ | для всех х £ К и £ £ Е.
НО 3. Если %£Е, то | Е. +V К I 1 + 1 V I- Две нормы | |j
и | |2 называются эквивалентными, если существуют числа Сг,
С2 > 0, такие, что для всех имеют место неравенства
^i I £ Ii + I В 1г + +1 £ 1г
Предположим, что пространство Е конечномерно с базисом
<о1....(£>„ над К. Имея выражения
£ = Х1(О1 + ... + ХЛ(>)„, Х^к
элементов "^Е через этот базис, мы можем определить норму, по-
ложив
1£ | = max| xt |.
I
Три свойства, определяющих норму, тривиально проверяются.
Предложение 3. Пусть К — поле, полное относительно
некоторого нетривиального абсолютного значения, Е — конечно-
мерное пространство над К. Любые две нормы на Е (согласован-
ные с заданным абсолютным значением на К) эквивалентны.
Доказательство. Докажем сначала, что топология на Е
является топологией прямого произведения, т. е. что если со1.<о„ —
базис Е над К. то последовательность
4- ... + х^п, xw е К,
328
ГЛ. XII. АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
является последовательностью Коши в £ в точности тогда, когда
каждая из п последовательностей х^ является последовательностью
Коши в /С Доказывать будем индукцией по п. Утверждение оче-
видно для га=1. Предположим, что п 2. Рассмотрим указанную
выше последовательность. Не теряя общности, мы можем считать,
что она сходится к 0. (Если необходимо, рассмотрим последова-
тельность £(v)— |,<ц> при V, ц—>оо.) Мы должны показать, что после-
довательности коэффициентов также сходятся к 0. Если это не имеет
места, то существует число а > 0, такое, что при некотором j, ска-
жем J — 1,
| х<у> | > а
для сколь угодно больших V. Таким образом, для некоторой подпо-
следовательности значений v последовательность сходится
к 0 и, следовательно,
Пусть T](v) обозначает правую часть этого равенства. Тогда подпосле-
довательность T]<v) сходится (поскольку сходится левая часть равен-
ства). По индукции заключаем, что коэффициенты при ю2, .... ып
также сходятся в К, скажем, к у2........ уп. Беря предел, полу-
чаем, что
— ©1 = ?2О)2 "+ • • Упап
вопреки линейной независимости свг.
В заключение мы должны убедиться, что нормы, индуцирующие
одинаковую топологию, эквивалентны. Пусть этими нормами будут
| и | |2. Существует число С > 0, такое, что для любого f £ Е
11 |i < С влечет | £ |2 < 1.
Возьмем элемент а£К с условием 0 < |а|< 1. Для всякого £££
существует однозначно определенное целое число s, такое, что
С\а\<\а^ |! <С.
Значит, | сЛ, |2 1, откуда тотчас получаем
Второе неравенство следует из симметрии с аналогичной константой
Теорема 1. Пусть А — коммутативная алгебра над полем
вещественных чисел, содержащая некоторый элемент j, такой,
что j2 = —\. Положим C = R4-Rj. Допустим, что А нормиро-
вана (как векторное пространство над R) и что | ху | | х 11 у (
§ 2 ПОПОЛНЕНИЯ
329
для всех х, у £ А. Тогда для заданного элемента х0£ А, х0 =# О,
найдется элемент с £ С, такой, что х0— с необратим в А.
Доказательство (Торнхейм). Предположим, что элемент
х0—z обратим для всех z£C. Рассмотрим отображение /: С—> А,
определяемое формулой
/(z) = (x0 — z)~'.
Легко проверяется (как обычно), что взятие обратных является не-
прерывной операцией. Следовательно, f непрерывно и для z =# О
имеем
/(*) = г-1 (XqZ-1 — I)-1 = ~ (—-—.
* л0 | |
\ Z )
Отсюда мы видим, что f (г) стремится к нулю, когда z уходит
в бесконечность (в С). Следовательно, z\—>|/(г)| является непре-
рывным отображением С в множество вещественных чисел 0, огра-
ниченным и принимающим малые значения вне некоторого большого
круга. Значит, оно имеет максимум, скажем М. Пусть D — множе-
ство элементов z£C, для которых \ f (z)\ = М. Тогда D непусто;
D ограничено и замкнуто. Докажем, что D открыто, и тем самым
получим противоречие.
Пусть с0 — некоторая точка из D, которую после сдвига мы мо-
жем предполагать совпадающей с нулем. Мы утверждаем, что если г,
вещественное и > 0, мало, то все точки окружности радиуса г
с центром в с0 лежат в D. Действительно, рассмотрим сумму
п
п k\ х° — ®' г
где со — примитивный корень n-й степени из единицы. Формальное
п
взятие логарифмической производной от X"—гп= JJ (X— о/'г) по-
Ы
называет, что
nA"*-1 _ V 1
Xn — rn ~ X — ®kr ’
* = i
откуда, деля на п и подставляя х0 вместо X, получаем
Если г мало (скажем, | r/x0 | < 1), то
lim | S (п) | = I 1 = М.
330
ГЛ. XII. АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Предположим, что существует комплексное число Z с абсолютным
значением 1, такое, что
I—
I Хо — /.г |
Тогда около Z найдется на единичной окружности интервал и най-
дется такое число е > 0, что для всех корней из единицы С. лежа-
щих в этом интервале,
(Это вытекает из непрерывности.) Возьмем п достаточно большим.
Пусть Ьп — число корней п-й степени из единицы, лежащих в нашем
интервале. Тогда 6л/п приблизительно равно длине этого интервала
(деленной на 2л). Мы можем представить S (и) в виде суммы
где первая сумма Si берется по тем корням из единицы 4, которые
лежат в нашем интервале, а вторая сумма берется по всем остальным
корням. Каждый член второй суммы имеет норму 4 /И, так как
М—максимум. Следовательно, получаем оценку
<1(М^-е)-Н"-^) Л))</И-^ е.
Это противоречит тому факту, что предел | S (п) | равен М.
Следствие. Пусть поле К является расширением поля R
и обладает абсолютным значением, продолжающим обычное абсо-
лютное значение на R. Тогда либо AT = R, либо К— С.
Доказательство. Допустим сначала, что К содержит С.
Тогда из предположения, что К — поле, и из теоремы 1 следует,
что К = С.
Если К не содержит С, другими словами, не содержит квадрат-
ного корня из —1, то мы введем L = K(j), где /2 =—1- Опреде-
лим норму на L (как R-пространстве), положив
I х + yj I = I х 14-1 У I
для х, у£К. Это, очевидно, превращает L в нормированное R-npo-
странство. Кроме того, если z = х-\- yj и z'= х'-\-y'j, то
| zz' | = | хх' — уу' | 4- | ху' 4- х'у | 4
< I хх' |4-1 УУ' 14-1 ху' 14-1 х'у | ==
= I х || х' 14-1 у || у' 14-1 х 11 у' 14-1х'||у । =
= (I х 14-1 У |) (| х' I -г-1 у' I) = I z 11 г’ |,
§ 2 ПОПОЛНЕНИЯ
331
и мы можем снова применить теорему 1, что и завершает доказа-
тельство.
При помощи предложения 3 получается следующее важное ут-
верждение:
Предложение 4. Пусть К — поле, полное относительно
нетривиального абсолютного значения v, и Е — произвольное ал-
гебраическое расширение К. Тогда v имеет единственное продол-
жение на Е. Если Е конечно над К, то Е полное.
Доказательство. В архимедовом случае существование про-
должения очевидно, поскольку мы имеем дело с вещественными или
комплексными числами. В неархимедовом случае мы отложим дока-
зательство существования до одного из следующих параграфов. Оно
использует идеи, совершенно отличные от рассматриваемых здесь.
Чю касается единственности, то мы можем предполагать, что Е ко-
нечно над К. В силу предложения 3 всякое продолжение v на Е
определяет ту же топологию, что и норма, задаваемая как максимум
абсолютных значений коэффициентов в разложении по базису. Если
в Е задана последовательность Коши £,(х)
£(V) = + ...
то п последовательностей {xV(} (г = 1....п) должны быть после-
довательностями Коши в К по определению нормы как максимума
норм коэффициентов. Если jxvf) сходится в К к элементу zt, то
очевидно, что последовательность £(v) сходится к z1<ol -ф- ... -ф zn<s>n.
Следовательно, Е—полное. Кроме того, поскольку любые два про-
должения v на Е эквивалентны, мы можем применить предложение 1,
причем обязательно Х=1, так как оба продолжения индуцируют
одно и то же абсолютное значение v на К. Это доказывает то, что
нужно.
Из единственности мы можем получить явное выражение для аб-
солютного значения на алгебраическом расширении К. Заметим сна-
чала, что если Е—нормальное расширение К и о — автоморфизм Е
вад К, то функция
х ।—>|ох |
является абсолютным значением на Е, продолжающим заданное аб-
солютное значение на Д'.
Следовательно, мы должны иметь
I ох | — | X |
для всех х£Е. Если Е алгебраично над Д' и о — вложение Е в Д'
над Д', то остается справедливым ю же заключение. В часности,
если а — алгебраический элемент степени п над К и а, . .. ,ап —
332
ГЛ. XII. АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
его сопряженные (с учетом кратностей, равных степени несепара-
бельности), то все абсолютные значения | az | равны. Обозначив че-
рез N норму из К (а) в К, мы видим, что
| Д/ (а) | = | а |п,
и извлекая корень л-й степени, получаем
Предложение 5. Пусть К — поле, полное относительно
некоторого нетривиального абсолютного значения. Пусть эле-
мент а алгебраичен над К и N — норма из К (а) в К. Если
п—[К (а) : К], то
В частном случае поля комплексных чисел над полем веществен-
ных чисел можно записать a — a-\-bi, где a, b£R, и мы видим,
что формула из предложения 5 является обобщением формулы для
абсолютного значения комплексного числа
a = (я2-|- Д2)'2,
поскольку й2-|-£>2 есть не что иное, как норма числа а из С в R.
§ 3. Конечные расширения
В этом параграфе мы будем иметь дело с полем К, снабженным
нетривиальным абсолютным значением ю.
Мы хотим описать, как это абсолютное значение продолжается
на конечные расширения поля К. Если Е—расширение над К и
w — некоторое абсолютное значение на Е, продолжающее v, то бу-
дем писать -w | v.
Мы знаем, что v может быть продолжено на пополнение Kv, а за-
тем однозначно продолжено на его алгебраическое замыкание Kv.
Если Е—конечное расширение К или даже произвольное алгебраи-
ческое расширение, то мы можем продолжить v на Е, вложив Е
в K.v посредством изоморфизма над К и взяв индуцированное абсо-
лютное значение на Е. Мы докажем теперь, что всякое продолже-
ние v может быть получено этим способом.
Предложение 6. Пусть Е — конечное расширение поля
К, w— некоторое абсолютное значение на Е. продолжающее v.
Ew — соответствующее пополнение и Ки. — замыкание К в Ew,
причем Е отождествлено с подполем в Ew. Тогда EW = EKW (ком-
позит).
§ 3. КОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
333
Доказательство. Заметим, что Kw является пополнением К
и что композит EKW конечен над Kw, а потому, согласно предло-
жению 4, § 2, является полным полем. Так как он содержит Е,
то Е плотно в нем и, следовательно, Ew = EKW.
Если мы начинаем с вложения о: E—>KV (относительно которого
всегда предполагается, что оно берется над К), то снова в силу
предложения 4 § 2 поле of • Kv — полное. Таким образом, эта кон-
струкция и конструкция из предложения 6 по существу совпадают
с точностью до изоморфизма. В дальнейшем мы примем точку зре-
ния вложений. Теперь мы должны определить, когда два вложения
дают нам одно и то же абсолютное значение на Е.
Пусть даны два вложения о, т: E—>KV\ мы будем говорить, что
они сопряжены над Kv, если существует автоморфизм Z поля Kv
над Kv, для которого о = 2.т. Мы видим, что в действительности нам
достаточно знать действие А, на хЕ или хЕ • Kv.
Предложение 7. Пусть Е— алгебраическое расширение К.
Два вложения о, т: Е—>К., тогда и только тогда приводят
к одному и тому же абсолютному значению на Е, когда они
сопряжены над К~,.
Доказательство. Предположим, что они сопряжены над Kv.
Тогда единственность продолжения абсолютного значения с Kv на Kv
гарантирует, что индуцированные абсолютные значения на Е равны.
Обратно, предположим, что они равны. Пусть хЕ—>аЕ— изомор-
физм над К. Покажем, что А, продолжается до изоморфизма хЕ •
на of • Kv над Kv. Так как хЕ плотно в хЕ Kv, то всякий элемент
х бхЕ К.. может быть записан в виде
х = lim ххп,
где х„ £ Е. Поскольку абсолютные значения, индуцированные вло-
жениями о и т на Е, совпадают, последовательность Хххп = охп
сходится к некоторому элементу из of • Kv, который мы обозначим
через Хх. Непосредственно проверяется, что Хх не зависит от спе-
циального выбора последовательности ххп и что А: хЕ • —> of • Kv
есть изоморфизм, который, очевидно, оставляет поле Kv неподвиж-
ным. Это доказывает наше предложение.
Ввиду двух предыдущих предложений при заданном продолже-
нии w абсолютного значения v на конечное расширение f поля К
мы можем отождествлять Ew с композитом EKV полей f и Kv. Если
степень N = [E:K] конечна, то мы будем называть
Nw = [Ew : Kv]
локальной степенью.
334
ГЛ ХП АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Предложение 8. Пусть Е—конечное сепарабельное рас-
ширение над К степени N. Тогда
W I V
Доказательство. Как известно, Е = К(а) для какого-то
элемента а. Пусть f (К)—его неприводимый многочлен над К- Тогда
над Kv мы имеем разложение
f{X) = fx{X) ... /Г(Х)
на неприводимые множители /z (X). В силу нашего предположения
о сепарабельности все они встречаются с кратностью 1. Вложения Е
в Кг, соответствуют отображениям а в корни многочленов ft. Два
вложения сопряжены тогда и только тогда, когда они отображают а
в корни одного и того же многочлена С другой стороны, ясно,
что локальная степень в каждом случае есть в точности степень
Это доказывает наше предложение.
Предложение 9. Пусть Е — конечное расширение над К.
Тогда
2 {Ew : КД < [Е : К].
W I V
Если Е чисто несепарабельно над К, то существует только
одно абсолютное значение w на Е, продолжающее о.
Доказательство. Сначала докажем второе утверждение.
Если Е чисто несепарабельно над К и рГ — его несепарабельная
степень, то ар £ К для всякого а из Е. Следовательно, v имеет
единственное продолжение на Е. Рассмотрим теперь общий случай
конечного расширения и положим F = EP К- Тогда F сепарабельно
над К и Е чисто несепарабельно над F. В силу предыдущего пред-
ложения
2 [Fw : КД = [Е : К]
w ]v
и для каждого w будет [Ew : Еш] [Е : Е]. После этого неравенство,
фигурирующее в формулировке предложения, становится очевидным.
Если v — такое абсолютное значение на К, что для всякого ко-
нечного расширения Е поля К имеет место равенство [Е: К] —
— 2 ’ то мы будем говорить, что v хорошо себя ведет.
w I V
Рассмотрим башню конечных расширений LtdEtdK. Пусть w про-
Сегаег все абсолютные значения на Е, продолжающие v, а и — все
S 3 КОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
335
абсолютные значения на L, продолжающие v. Если и\и>, то La со-
держит Ew. Таким образом,
2 [Lu : KJ =2 2 {La : Ew] [Ew ; Kv\ =
U I V W I V U I w
= 2 [K№ : Kv] 2u:
W I V U I w
< 2 [^ : KJ [/-:£]<
W I V
<[E:K] [/,:£].
Отсюда мы непосредственно видим, что если v хорошо себя ведет,
Е—конечное расширение над К и ® продолжает v на Е, то •w
также хорошо себя ведет (мы должны всюду иметь равенство).
Пусть Е—конечное расширение К и рг—его несепарабельная
степень. Напомним, что норма элемента а £ Е задается формулой
Л'д-(а) = П
а
где о пробегает все различные изоморфизмы Е над К (в заданное
алгебраическое замыкание).
Если w — абсолютное значение, продолжающее v на Е, то норма
из Ew в Kv будет называться локальной нормой.
Заменив выше произведение на сумму, получим след и локаль-
ный след. Мы обозначаем след сокращенно символом Тг.
Предложение 10. Пусть Е — конечное расширение К, и
пусть v хорошо себя ведет. Тогда
^(а) = П<“(а).
'W [ V V
(а)= 2 Тг^»(а)
W I V V
для любого а£Е.
Доказательство. Предположим сначала, что Е — К(а), и
пусть /(К) — неприводимый многочлен элемента а над К. Разло-
жив /(К) на неприводимые множители над Kv, получим
fW=f(X) ... fr(X\
где каждый /((X) неприводим и все /( различны ввиду нашего
предположения, что v хорошо себя ведет. Норма А^(а) равна сво-
бодному члену /, умноженному на (—l)deg^, и аналогично для каж-
дого ft. Поскольку свободный член f равен произведению свобод-
ных членов fit получаем первую часть предложения. Утверждение
для следа вытекает из рассмотрения предпоследнего коэффициента
У f и каждого
33S
ГЛ. XII. АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Если Е не равно К (а), то мы просто используем транзитивность
нормы и следа. Детали предоставляются читателю.
Можно оперировать и непосредственно с вложениями. Пусть
ор .... от — различные вложения Е в K.v над К и рг—несепара-
бельная степень Е над К. Несепарабельная степень композита of • Kv
над Kv для всякого о не превосходит рт. Если мы разобьем ор .... от
на различные классы сопряженности над Kv, то из предположения,
что v хорошо себя ведет, немедленно следует, что несепарабельная
степень o;f • над Kv для каждого i должна быть также равна рг.
Таким образом, формула, выражающая норму в виде произведения
сопряженных с кратностью рг, распадается в произведение множите-
лей, соответствующих классам сопряженности над Kv.
Принимая во внимание предложение 5 из § 2, мы получаем
Предложение И. Пусть К снабжено хорошо себя веду-
щим абсолютным значением V. Пусть, далее, Е — конечное рас-
ширение над К и
W№ = [fw: К„}
для всякого абсолютного значения w на Е, продолжающего v.
Тогда
П|а|> = |^(а)|0
W I V
для любого а£Е.
§ 4. Нормирования
В этом параграфе мы получим среди других результатов теорему
о существовании продолжения неархимедовых абсолютных значений
на алгебраические расширения. Введем сначала одно обобщение
понятия неархимедова абсолютного значения.
Пусть Г — мультипликативная коммутативная группа. Мы будем
говорить, что на Г определено упорядочение, если задано подмно-
жество 5 в Г, замкнутое относительно умножения и такое, что Г
есть объединение следующих попарно непересекающихся подмно-
жеств: $, единичного элемента 1 и множества S-1, состоящего из
всех обратных к элементам из S.
По определению неравенство а < [3 для а, PC Г означает, что
ар~'с5. В частности, а<1 тогда и только тогда, когда a£S.
Легко проверяются следующие свойства отношения <:
1. Каковы бы ни были а, либо а < (3, либо а=р, либо
Р < а, причем эти возможности взаимно исключают друг друга.
2. а < р влечет ау < ру для всякого у С Г-
3. а<р и р < у влечет а < у.
(Обратно, отношение, удовлетворяющее указанным трем свой-
§ 4. НОРМИРОВАНИЯ
337
ствам, определяет подмножество 5, состоящее из всех элементов < 1.
Однако этот факт нам в дальнейшем не потребуется.)
Удобно присоединить формально к упорядоченной группе допол-
нительный элемент 0, такой, что 0а = 0 и 0 < а для всех а£Г.
Упорядоченная группа тогда является аналогом мультипликативной
группы положительных вещественных чисел, за исключением того,
что упорядочение, возможно, пеархимедово.
Если а £ Г и п — целое число =£0, для которого а" = 1, то а = 1.
Это тотчас следует из предположения о том, что 5 замкнуто отно-
сительно умножения и не содержит 1. В частности, отображение
си—>«" инъективно.
Пусть К — поле. Под нормированием К мы будем понимать ото-
бражение Xi—>| х | поля К в упорядоченную группу Г, к которой
присоединен дополнительный элемент 0, такое, что
НОР 1. | х j = 0 тогда и только тогда, когда х = 0.
НОР 2. | ху | = | х 11 у | для всех х, у £ К.
НОР 3. | х-|- у | шах (| х |, | у |).
Мы видим, что нормирование определяет гомоморфизм мульти-
пликативной группы К* в Г. Нормирование называется тривиальным,
если оно отображает К* в 1. Если отображение, задаваемое норми-
рованием, не сюръективно, то его образ будет упорядоченной под-
группой в Г и, беря ограничение на этот образ, мы получим норми-
рование, отображающее Д'* на упорядоченную группу, называемую
группой значений.
Мы будем обозначать нормирования также через v. Пусть
и2— два нормирования на К. Мы будем говорить, что они эквива-
лентны, если существует сохраняющий порядок изоморфизм X, образа
на образ *u2, такой, что
I х !г=== I х к
для всех х £ К. (Мы принимаем соглашение, что X (0) = 0.)
Нормирования, как и абсолютные значения, обладают дополни-
тельными свойствами. Например, | 1 | = 1, поскольку | 1 | = | 1 |2. Кроме
того,
| ±х| = |х|
для всех х£К. Доказательство очевидно. Далее, если | х | < | у |, то
|х+у| = |у|-
Чтобы убедиться в этом, заметим, что при наших предположениях
|у| — 1у + х — х|< max (| у + х |, | х | )< max (| х |, | У |) = | У |-
Наконец, в сумме
xi 4- • • • + хп — о
по крайней мере два элемента суммы имеют одинаковые значения
338
ГЛ XII АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
при нормировании. Это непосредственно вытекает из предыдущего
замечания.
Пусть К — поле. Подкольцо о в К называется кольцом норми-
рования, если оно обладает тем свойством, что для всякого х£К
либо х£о, либо х-1£о.
Мы увидим сейчас, как кольца нормирования приводят к норми-
рованиям. Пусть о — кольцо нормирования в К и U — группа единиц
кольца о. Мы утверждаем, что с — локальное кольцо. Действительно,
предположим, что х, у £ о не являются единицами. Пусть, скажем,
х/у^о. Тогда 1 х/у — (х + у)/у £ о Если бы элемент x-f-y был
единицей, то 1/у £ о, вопреки предположению, что у — не единица.
Следовательно, x-f-y — не единица. Тривиально проверяется, что для
z £ о элемент zx не является единицей. Следовательно, не единицы
образуют идеал, являющийся, таким образом, единственным макси-
мальным идеалом в о.
Пусть m — максимальный идеал вой т*—мультипликативная
система ненулевых элементов из т. Тогда
/С = т* U £/U т*~'
есть объединение попарно не пересекающихся множеств пГ, U и in* "•
Факторгруппе /С/и может быть придано упорядочение. Если х £ К*,
то обозначаем смежный класс xU символом | х |, полагая |0| — 0.
Считаем по определению, что I х | < 1 (т. е | х | £ S) тогда и только
тогда, когда х £ ш*. Наше множество S, очевидно, замкнуто отно-
сительно умножения, и если положить Г — K*/U, то Г окажется
объединением попарно не пересекающихся множеств 5, 1, 5-1. Таким
образом, мы получаем нормирование поля К.
Отметим, что если х, у£К и у 0, то
| х | < | у | | х/у | < 1 х/у £ т*.
Обратно, если задано нормирование поля К в некоторую упоря-
доченную группу, то пусть о — подмножество в К, состоящее из всех
таких к, что |х|</1. Из аксиом нормирования тотчас вытекает, что
о — кольцо Если | х | < 1, то | х~1 | > 1, так что х-1 не лежит в о.
Если | х | == 1, ю | х~11 = 1. Мы видим, что о есть кольцо норми-
рования, максимальный идеал которого состоит из элементов х
с |х|< 1 и единицами которого служат элементы х с | х | = 1. Чи-
татель тотчас проверит, что имеется биективное соответствие между
кольцами нормирования в К и классами эквивалентности нормирований.
Пусть F — поле и пусть символ со удовлетворяет обычным алге-
браическим правилам. Для а £ F по определению
а + сю = оо; а-со = оо, когда а ¥= 0;
со-со = со; 1/0 = оо и 1/оо = 0
Выражения сю ± сю, 0 • сю, 0/0, оо/со не определены.
§ 4. НОРМИРОВАНИЯ
339
Точкой ср поля К в поле F называется отображение
<р: К - > (F, оо)
поля К в множество, состоящее из F и со, удовлетворяющее обыч-
ным правилам для гомоморфизмов
ср (a -j- b) = ср (a)-j- ф(6),
ср (ab) = ср (а) ср (Ь)
(если только выражения, стоящие в правых частях этих формул, опре-
делены) и такое, что <р(1)= 1. Мы будем говорить также, это эта
точка является F-значной. Элементы из К, которые не переводятся
в со, будут называться конечными в этой точке, а остальные эле-
менты будут называться бесконечными.
Читатель тотчас проверит, что множество о элементов из К, ко-
нечных в некоторой точке, является кольцом нормирования в К. Его
максимальный идеал состоит из тех элементов х, для которых ср (х) = 0.
Обратно, если о — кольцо нормирования в К с максимальным идеа-
лом тп, то обозначим через ср: о — >о/тп канонический гомоморфизм
и положим ф(х) = оо для х£К, х(£о. Тривиально проверяется, что
Ф — точка.
Пусть фр К - > {Мр се) и ф2: К - > {F2, со)—две точки поля К.
Беря их ограничения на образы, мы можем считать, что они сюръек-
тивны. Будем говорить, что они эквивалентны, если существует изо-
морфизм X: Fj—>F2, для которого ф2=Х о срр (Мы полагаем Х.(оо) —со.)
Легко видеть, что две точки эквивалентны в том и только в том
случае, если они имеют одно и то же кольцо нормирования. Ясно,
что имеется биективное соответствие между классами эквивалентности
точек поля К и кольцами нормирования в К. Точка называется три-
виальной, если она инъективна. Кольцом нормирования тривиальной
точки служит просто само поле К.
Заметим, что, как и в случае гомоморфизмов, композиция двух
точек снова является точкой (тривиальная проверка).
Часто удобнее иметь дело с точками, а не с кольцами нормиро-
вания, так же как иногда удобнее иметь дело с гомоморфизмами, а не
с каноническими гомоморфизмами или кольцами по модулю идеала.
Однако во всем дальнейшем мы используем язык колец нормирования
и предоставляем читателю перевод на язык точек.
Общая теория нормирований и колец нормирования принадлежит
Круллю (1932). Однако теория продолжения гомоморфизмов из гл. IX,
§ 3, была развита лишь около 1945 г. Она дает нам теорему про-
должения для нормирований.
Теорема 1. Пусть К — подполе поля L. Тогда всякое нор-
мирование на К имеет продолжение до нормирования на L.
340
ГЛ XII. АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Доказательство. Пусть о — кольцо нормирования в К, соот-
ветствующее данному нормированию. Пусть ср: о -> о/ш — канонический
гомоморфизм на поле вычетов. Продолжим его до гомоморфизма
некоторого кольца нормирования £) в L, согласно § 3 из гл. IX.
Пусть — максимальный идеал в Г>. Так как ЗЯ Г] о содержит in,
но не содержит 1, то ЗЯ П о = in. Пусть U'—группа единиц кольца С.
Тогда U' П К — U будет группой единиц кольца о. Таким образом,
имеем каноническое вложение
которое, как непосредственно проверяется, сохраняет порядок. Ото-
ждествляя K*;U с подгруппой в L*IU', мы получаем продолжение
нашего нормирования поля К до нормирования L.
Разумеется, когда мы имеем дело с абсолютными значениями, мы
требуем, чтобы группа значений была подгруппой мультипликативной
группы положительных чисел. Следовательно, мы должны еще кое-что
доказать о природе группы значений L*[U' в случае, когда L алге-
браично над К-
Предложение 12. Пусть L — конечное расширение степени п
поля К, и пусть w — нормирование L с группой значений Г',
а Г — группа значений нормирования поля К. Тогда (Г' : Г) п.
Доказательство. Пусть [ уг [....| уг | — элементы из Г7,
представляющие различные смежные классы Г7 по Г. Докажем, что \>7-
линейно независимы над К. В соотношении агу1-{- ... -}-агуг — 0
с aj(~K, а—гй, два члена должны иметь одно и то же значение,
скажем | alyi | = | a^j |, где i^=j и, значит,
Ы = IM-
Это противоречит предположению, что | yt |, | у7 | (I ¥= /) представляют
разные смежные классы Г7 по Г, и тем самым доказывает наше пред-
ложение.
Следствие 1. Существует целое число е^>1, такое, что
отображение у\—индуцирует инъективный гомоморфизм Г7 в Г.
Доказательство. Возьмем е равное индексу (Г7 : Г).
Следствие 2. Если К—поле с нормированием v, группа
значений которого есть упорядоченная подгруппа упорядоченной
группы положительных вещественных чисел, и если L — алгебраи-
ческое расширение поля К, то существует продолжение нормиро-
вания v на L, группой, значений которого также служит некоторая
упорядоченная подгруппа положительных вещественных чисел.
Доказательство. Мы знаем, что можно продолжить v до
нормирования w поля L с некоторой группой значений Г7, а группа
§ 4. НОРМИРОВАНИЯ
341
значений Г нормирования v может быть отождествлена с подгруппой
в R+. В силу следствия 1 всякий элемент из Г' имеет конечный пе-
риод по модулю Г. Так как каждый элемент из R+ имеет единствен-
ный корень е-й степени для всякого целого числа то мы оче-
видным образом можем найти сохраняющее порядок вложение Г' в R”,
тождественное на Г. Таким образом, мы получаем наше продолже-
ние v до абсолютного значения на L.
Следствие 3. Если L конечно над К и Г — бесконечная,
циклическая группа, то группа Г' также, бесконечная циклическая.
Доказательство. Использовать следствие 1 и тот факт, что
всякая подгруппа циклической группы циклическая.
Придадим теперь нашему предыдущему предложе ию несколько
более сильную форму. Будем называть (Г7: Г) индексом ветвления.
Предложение 13. Пусть L — конечное расширение степени п
поля К, £)— кольцо нормирования в L, ЭК— его максимальный
идеал, о — и ш—максимальный идеал кольца о, т. е.
ш = ЭКПо- Тогда степень поля вычетов [О/ЭК: с/тп] конечна. Если
мы обозначим ее через f и через е — индекс ветвления, то ef <^п.
Доказательство. Пусть ур .... уе—представители в L*
различных смежных классов Г'/Г и zx....zs — элементы из £?,
классы вычетов которых mod ЭК линейно независимы над о/тп. Рас-
смотрим соотношение
2 anzjyi = °-
где и не все а;; = 0. Во внутренней.сумме
поделим все члены на коэффициент aiv, имеющий наибольшее зна-
чение относительно нормирования. Мы получим линейную комбинацию
элементов zv .... zs с коэффициентами в о, причем по крайней мере
один коэффициент является единицей. Так как zx, .... zs линейно
независимы по модулю 3JI над с/тп, то наша линейная комбинация
является единицей. Следовательно,
для некоторого индекса V. В сумме
yz = 0,
342
ГЛ XII АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
рассматриваемой как сумма по I, по крайной мере два члена имеют
одинаковое значение. Это противоречит независимости элементов
j у, |..| уе | mod Г, как и в доказательстве предложения 12.
Замечание. Наше доказательство показывает также, что элементы
линейно независимы над К. Позднее это будет использовано.
Если w—продолжение нормирования v, то индекс ветвления будет
обозначаться через e(w\v), а степень поля вычетов — через / (w | г»).
Предложение 14. Пусть К—поле с нормированием v и
KcEcL—конечные расширения К. Пусть w — продолжение v
на Е и и — продолжение w на L. Тогда
е (и | w) е (w | о) = е (и | г»),
/(«I w)/(w| o) = /(zz I V).
Доказательство. Очевидно.
Словами предыдущее предложение можно выразить так: индекс
ветвления и степень поля вычетов мультипликативны в башнях.
С помощью нормирований (или колец нормирования) можно полу-
чить характеристику целых элементов. Будем пользоваться следующей
терминологией. Пусть о, Г) — локальные кольца с максимальными
идеалами ш, ЭЯ соответственно. Будем говорить, что £? лежит над о,
если осО и ЭЯПо = т. В этом случае имеется каноническое вло-
жение o/mczD/ЭЯ.
Предложение 15. Пусть о — локальное кольцо, содер-
жащееся в поле L. Элемент х из L тогда и только тогда
является целым над о, когда х принадлежит всякому кольцу
нормирования С) поля L, лежащему над о.
Доказательство. Предположим, что х не является целым
над о. Пусть ш — максимальный идеал в о. Тогда идеал (in, 1/х)
в о [ 1/х] не может совпадать со всем кольцом, поскольку в против-
ном случае мы имели бы
— 1 = ап OJx)"-}- • •• -Б «1 (1/х) -ф- у,
где у £ m и zzz £ а, откуда
(1 + у)х'!+ ... +а„-0.
Но 1-ф-у не лежит в ш, следовательно, является единицей в о. Раз-
делив уравнение на 1 -|- у, видим, что х—целый над о, вопреки
нашему предположению. Таким образом, идеал (т, 1/х) не совпадает
со всем кольцом и, следовательно, содержится в некотором макси-
мальном идеале пересечение которого с о содержит щ, т. е. должно
быть равно ш. Продолжая канонический гомоморфизм о [1/х]-»
—>о[1/х]/ф до гомоморфизма некоторого кольца нормирования О
§ 4. НОРМИРОВАНИЯ
343-
поля L, мы видим, что образ 1/х есть 0 и, следовательно, х не может
лежать в этом кольце нормирования.
Обратно, предположим, что элемент х является целым над о, и
пусть
*ПД- ... Д- а0 = О
— целое уравнение для х с коэффициентами в о. Пусть О — произ-
вольное кольцо нормирования поля L, лежащее над о, и | | — cooi-
ветствующее нормирование. Разделим уравнение на х". Если | х | > U
то | 1/х|< 1, и мы получаем выражение для 1 в виде суммы чле-
нов, каждый из которых имеет нормирование < 1, что невозможно.
Следовательно, | х | 1, т. е. что и требовалось установить.
Предложение 16. Пусть А—кольцо, содержащееся в поле L.
Элемент х поля L тогда а только тогда является целым над А,
когда х лежит во всяком кольце нормирования О поля L, содер-
жащем А.
Доказательство. Доказательство аналогично доказательству
предыдущего предложения и предоставляется читателю в качестве
упражнения.
Мы закончим этот параграф установлением связи между кольцами
нормирования в конечном расширении и целыми замыканиями.
Предложение 17. Пусть о — кольцо нормирования поля К,
L — конечное расширение К, О — кольцо нормирования поля L,
лежащее над о, и 3)1— его максимальный идеал. Пусть, далее,
В — целое замыкание кольца о в L и = Тогда D равно-
локальному кольцу В
Доказательство. Ясно, что В^ содержится в О. Обратно,
пусть х — элемент из £). Тогда х удовлетворяет уравнению с коэф-
фициентами в К, среди которых не все равны 0, скажем
апхп Д— . . . Д— а0 = О, С •
Пусть as — коэффициент, имеющий наибольшее значение среди
относительно нормирования, ассоциированного с кольцом нормирова-
ния о, и притом самый старший из коэффициентов, имеющих это-
значение. Положим bi — ai!as. Тогда все Ь^о и Ьп, bs±x£3)t.
Разделим уравнение на Xs. Получим
... -+W+ 1)Д- 4(^-1+ ••• +Д!-:Хг) = °-
Обозначим через у и z два выражения, стоящие в скобках в пре-
дыдущем уравнении, так что
— y = zjx и —xy = z.
344
ГЛ XII АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Чтобы доказать наше предложение, достаточно показать, что у и z
лежат в В и что у не лежит в ^3.
Воспользуемся предложением 15. Если некоторое кольцо норми-
рования из L, лежащее над о, содержит х, то оно содержит и у,
поскольку у есть многочлен от х с коэффициентами в о. Следова-
тельно, оно содержит также и z —— ху. Если, с другой стороны,
кольцо нормирования поля L, лежащее над с, содержит 1/х, то оно
содержит z, поскольку z есть многочлен от 1/х с коэффициентами
в о. Следовательно, это кольцо нормирования содержит также и у.
Отсюда в силу предложения 15 заключаем, что у, z лежат в В.
Кроме того, так как х £ Г), а Ьп...bs+1 лежат по построе-
нию в ЭЙ, то у не может лежать в Эй и, следовательно, не может
лежать в ДЗ. Это завершает доказательство.
Следствие 1. Пусть обозначения те же, что и в предло-
жении. Тогда существует лишь конечное число колец нормиро-
вания в L, лежащих над о.
Доказательство. Это вытекает из того факта, что суще-
ствует лишь конечное число максимальных идеалов Д кольца В,
лежащих над максимальным идеалом кольца о (следствие к предло-
жению 11, гл. IX, § 2).
Следствие 2. Пусть обозначения те же, что и в предло-
жении. Предположим дополнительно, что L является расшире-
нием Галуа над К. Если С> и О' — два кольца нормирования в L,
лежащие над о, с максимальными идеалами Эй, Эй' соответ-
ственно, то существует автоморфизм о поля L над К, такой,
что оГ> = £У и оЭЙ = 9Й'.
Доказательство. Пусть ^3 = 0 и )$' = О' П В. В силу
предложения 11 из гл. IX, § 2, мы знаем, что существует автомор-
физм о поля L над К, для которого о^3 = ^3'. После этого наше
утверждение очевидно.
Пример. Пусть k — поле и К — его конечно порожденное рас-
ширение степени трансцендентности 1. Если t—базис трансцендент-
ности К над k, то К будет конечным алгебраическим расширением
над k(t). Пусть О — кольцо нормирования поля К, содержащее k,
причем £) #= К. Положим о = ОП^(^)- Тогда, очевидно, о является
кольцом нормирования поля k(t) (условие об обратных заведомо
удовлетворяется) и соответствующее нормирование поля k(f) не может
быть тривиальным: либо t, либо Скажем, Пусть ш —
максимальный идеал в о. Тогда ш П k [Л не может быть нулевым
идеалом, иначе канонический гомоморфизм о-»о/т индуцировал бы
изоморфизм на k [/] и, значит, изоморфизм на k(t) вопреки предпо-
ложению. Следовательно, m (М [/] есть простой идеал р, порожден-
§ 5. ПОПОЛНЕНИЯ И НОРМИРОВАНИЯ
345
ный каким-то неприводимым многочленом p(t). Локальное кольцо
k [£] является, очевидно, кольцом нормирования, которое должно
совпадать с о, поскольку всякий элемент из k(t) имеет представле-
ние вида рти, где и — единица в [/]р. Таким образом, мы опреде-
лили все кольца нормирования поля k(t), содержащие k, и мы
видим, что группа значений—циклическая. Такие нормирования будут
называться дискретными. Они изучаются более подробно ниже.
Ввиду следствия 3 предложения 12 кольцо нормирования © в К
также дискретно.
Поле вычетов о/in равно k а потому является конечным рас-
ширением k. В силу предложения 13 отсюда следует, что ©/Эй
конечно над k (здесь ЭЙ обозначает максимальный идеал в ©).
Наконец, отметим, что существует лишь конечное число колец,
нормирования © поля К, содержащих k и таких, что t лежит в ма-
ксимальном идеале кольца ©. Действительно, такое кольцо нормиро-
вания должно лежать над k [£]*,, где р = (/)— простой идеал, порож-
денный t, и мы можем применить доказанное выше следствие 1.
§ 5. Пополнения и нормирования
В этом параграфе мы рассматриваем неархимедово абсолютное
значение -V на поле К. Это абсолютное значение является нормиро-
ванием, группа значений которого Гд. есть подгруппа группы поло-
жительных вещественных чисел. Пусть о — его кольцо нормирования,
ш — максимальный идеал.
Обозначим через К. пополнение К относительно v и через о (соот-
ветственно ш)—замыкание о (соответственно т) в К. По непрерыв-
ности всякий элемент из о имеет значение а всякий элемент из.
К, не лежащий в о, имеет значение > 1. Если то сущест-
вует элемент у£К, для которого | х — у| очень мало и, значит,
| х | = | у | для такого элемента у (в силу неархимедовости). Следова-
тельно, о — кольцо нормирования в К. и ш — его максимальный
идеал. Кроме того,
ЗпК = о, тПА' = ш,
и мы имеем изоморфизм
о/m—->о /ш.
Таким образом, поле вычетов о/m не изменяется при пополнении.
Пусть Е — расширение поля К, 0Е— его кольцо нормирования,
лежащее над о, и ш£ — максимальный идеал в оЕ. Предположим, что
нормирование, соответствующее оЕ, является в действительности
346
ГЛ XII АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
абсолютным значением, так что мы можем образовать пополнение Е-
Тогда имеет место коммутативная диаграмма
оЕ/тЕ — ->о£/т£
t
o/m —о/m
в которой вертикальные стрелки являются вложениями, а горизон-
тальные — изоморфизмами. Таким образом, расширение поля вычетов
нашего нормирования можно изучать для пополнений Е и К.
Аналогичное замечание применимо и к индексу ветвления. Пусть
ГР(А) и YV(K) обозначают группы значений наших нормирований на
К и К соответственно (т. е. образ при отображении xi—>|х| для
х£К* и х £ А* соответственно). Мы видели выше, что Гр (А) = Г^ (А);
другими словами, ввиду свойства неархимедовости группа значений
при пополнении остается той же самой. (Это, разумеется, уже не так
в архимедовом случае.) Пусть снова Е — расширение поля К и w —
абсолютное значение на Е, продолжающее v. Имеет место коммута-
тивная диаграмма
Гю (E)—->rw(E)
t t
Гр (А) —->Гр(А)
из которой видно, что индекс ветвления (TW(E): Гр (А)) также не
изменяется при пополнении.
§ 6. Дискретные нормирования
Нормирование называется дискретным, если его группа значений
циклическая. В этом случае нормирование является абсолютным зна-
чением (если мы рассматриваем группу значений как подгруппу
в группе положительных вещественных чисел). Для всякого простого
числа р р-адическое нормирование поля рациональных чисел дис-
кретно. В силу следствия 3 предложения 12 § 4 продолжение дис-
кретного нормирования на конечное расширение также дискретно.
Если не считать абсолютные значения, получаемые вложением поля
в поле вещественных или комплексных чисел, дискретные нормиро-
вания являются практически наиболее важными абсолютными значе-
ниями. Мы посвятим им несколько замечаний.
Пусть v — дискретное нормирование поля А ио — его кольцо
нормирования, щ—максимальный идеал. В m имеется элемент л,
§ 6 ДИСКРЕТНЫЕ НОРМИРОВАНИЯ
347
значение которого | л | порождает всю группу значений. (Другой
образующей группы значений служит элемент | л-11.) Такой элемент л
называется локальным параметром для v (или для ш). Всякий эле-
мент х из К может быть записан в форме
х = илг,
где и — единица из о и г — некоторое целое число. Действительно,
| х | = | л |г = | лг | для некоторого z£Z, откуда вытекает, что х/лг—
единица в о. Мы называем г порядком х относительно v. Он, оче-
видно, не зависит от выбора параметра. Мы будем также говорить,
что х имеет нуль порядка г. (Если г отрицательно, то мы говорим,
что х имеет полюс порядка — г )
В частности, мы видим, что ш — главный идеал, порожденный л.
В качестве упражнения проверьте, что всякий идеал в о главный и
является степенью т. Заметим, кроме того, что о — факториальное
кольцо с единственным простым элементом (с точностью до единиц),
а именно л.
Для элементов х, у£К будем использовать запись х ~у, если
|х| = |у|. Пусть л( (Z = 1, 2, . . .)—последовательность элементов
из о, таких, что л(~л'. Пусть R— множество представителей о/ш
в о. Это означает, что каноническое отображение о > о/тп индуци-
рует биекцию R на о/m. Всякий элемент х из о может быть
записан в виде сходящегося ряда
х ,=== а0 —£Г^Л| —^2*^2 —Н • • *
где коэффициенты at£R однозначно определяются элементом х.
Это легко доказывается посредством индуктивного рассуждения. Пред-
положим, что
№=а0-|- ... -|-аллл (mod m" н).
Тогда х — (а0Д- ... -ф а,плп) = лл+1у для некоторого у С °- По пред-
положению у = ап_, для некоторого Отсюда полу-
чаем
* = йо4 ••• (mod m"+2),
и ясно, что n-й член нашего ряда стремится к 0. Очевидно, что
построенный таким образом ряд сходится к х. Если поле —пол-
ное относительно нашего нормирования, то всякий такой ряд схо-
дится к некоторому элементу из (в силу неархимедовости !). Из
того факта, что R содержит точно по одному представителю для
каждого класса вычетов mod m, вытекает, что at однозначно опреде-
лены
348
ГЛ. XII. АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Примеры. Рассмотрим сначала случай поля рациональных чисел
с р-адическим нормированием vp. Пополнение обозначим символом
Qp. Это поле р-адических чисел. Замыкание Z в Qp называется
кольцом целых р-адических чисел Zp. Отметим, что простое число р
является простым элементом и в кольце Z, и в его замыкании Zp.
Мы можем выбрать в качестве нашего множества представителей R
множество целых чисел (0, 1, ..., р—1). Таким образом, всякое
целое р-адическое число может быть записано в виде сходящейся суммы
а,-р', где az — целые числа, О^а^^р—1. Эта сумма называется
р-адическим разложением. Такие суммы складываются и умно-
жаются обычным способом как сходящиеся ряды.
Например, справедлив обычный формализм для геометрической
прогрессии, и, скажем, для р — 3
-1=т^з- = 2(1 + з + з2ч-...).
Отметим, что представители (0, 1......р—1) ни в коей мере
не являются единственными, могущими быть использованными. В дей-
ствительности можно доказать, что Zp содержит корни (р—1)-й
степени из единицы, и часто удобнее выбирать эти корни из еди-
ницы в качестве представителей для ненулевых элементов поля выче-
тов.
Теперь рассмотрим случай поля рациональных функций k(t), где
k—произвольное поле и t трансцендентно над k. Возьмем нормиро-
вание, определяемое простым элементом t кольца k [/]. Это норми-
рование дискретно, а пополнением k [fl относительно него служит
кольцо степенных рядов A [[fl]. Мы можем взять элементы из k
в качестве представителей поля вычетов, которое канонически изо-
морфно k. Максимальным идеалом в k [[fl] является идеал, поро-
жденный t.
Все это представляет собой алгебраизацию обычной ситуации,
возникающей в теории функций комплексного переменного. Напри-
мер, пусть z0—точка на комплексной плоскости и о — кольцо функ-
ций, голоморфных в некотором круге с центром г0. Тогда о — кольцо
дискретного нормирования, максимальный идеал которого состоит
из тех функций, которые имеют нуль в гй. Всякий элемент из о
обладает разложением в степенной ряд
оо
f(z) = 2 av(z — z0)v.
х=т
В качестве представителей поля вычетов могут быть взяты комплекс-
ные числа av. Если ат ф 0, то говорят, что / (г) имеет нуль по-
рядка т. Порядок будет один и тот же, иметь ли в виду порядок
относительно дискретного нормирования в алгебраическом смысле,
§ 6 дискретные нормирования
349
или порядок в смысле теории функций комплексного переменного.
Мы можем выбрать канонический униформизирующий параметр,
а именно z— z0 и
f(z) = (z — z0)m g(z),
где g(z)—степенной ряд, начинающийся с ненулевой константы.
Таким образом, g(z) обратим.
Пусть снова К — поле, полное относительно некоторого дискрет-
ного нормирования, и Е— конечное расширение К. Пусть о£, —
кольцо нормирования в £ и его максимальный идеал, лежащие над о,
ш в К. Пусть П — простой элемент в Е. Если ГЕ и Гд-— группы
значений нормирований в Е и К соответственно и
е ~ (Ге : Г/с)
— индекс ветвления, то
т-нь
а элементы
П'лЛ О —1, / = 0, 1, 2, ....
имеют порядок /е-f-Z в Е.
Пусть о)р .... ©у—элементы из о£, классы вычетов которых
mod 1ПЯ образуют базис в о^/in^. Если R, как и выше, обозначает
множество представителей поля о/in в о, то множество, состоящее
из всех элементов вида
—|— . . . —Пуфу,,
где at £ /?, будет множеством представителей для 0Е/тЕ в оЕ. Отсюда
видно, что всякий элемент из оЕ обладает сходящимся разложением
е—1 f <х>
2 2 5 «V, I,
i-0 V-I 7=0
Таким образом, элементы образуют множество образующих оЕ
как модуля над о. С другой стороны, мы видели в доказательстве
предложения 13 из § 4, что эти элементы линейно независимы над К.
Следовательно, получаем
Предложение 18. Пусть К — поле, полное относительно
дискретного нормирования, Е — конечное расширение К и е, f —
соответственно индекс ветвления и степень поля вычетов. Тогда
ef=[E:K],
Следствие 1. Пусть а£Е, а Ф 0, v— нормирование на К
и w— его продолжение на Е. Тогда
ordo Nk(<T) — f (w\v) ord® a.
350
ГЛ. XII. АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Доказательство. Это вытекает непосредственно из формулы
| (а) | = | а|е/
и из определений.
Следствие 2. Пусть К — произвольное поле и v— дискрет-
ное нормирование на К. Пусть Е — конечное расширение поля К.
Если v хорошо себя ведет в Е (например, если Е сепарабельно
над К), то
S е (w | и) / (w | v) — [£ : Д'].
w I V
Если Е — расширение Галуа над К, то все ew равны одному и
тому же числу е, а все fw — одному и тому же числу f, так что
efr — [£ : К],
где г — число продолжений v на Е.
Доказательство. Первое утверждение вытекает из нашего
предположения и из предложения 8 § 3. Если Е—расширение Галуа
над К, то, как мы знаем из следствия 2 предложения 17 § 4, любые
два нормирования поля Е, лежащие над v, сопряжены. Следовательно,
все индексы ветвления равны и то же самое верно для степеней
полей вычетов. Наше соотношение efr = [E:K] теперь очевидно.
§ 7. Нули многочленов в полных полях
Пусть К—поле, полное относительно некоторого нетривиаль-
ного абсолютного значения.
Пусть
/(Х)=П(Х-а^
— многочлен из К [X] со старшим коэффициентом 1 и с различными
корнями ctz кратностей г;. Обозначим через d степень /. Пусть
g— другой многочлен с коэффициентами из К также степени d и
со старшим коэффициентом 1. Обозначим через | g | — максимум
абсолютных значений коэффициентов g. Легко видеть, что если вели-
чина | g | ограничена, то абсолютные значения корней g также
ограничены.
Предположим, что g близок к f в том смысле, что величина
|/—g | мала. Если 0 — корень g, то величина
|/(Р)~ Д(Р)| = |/(Р) 1= III - Рр
§ 7. НУЛИ МНОГОЧЛЕНОВ в полных ПОЛЯХ
351
мала и, следовательно, р должен быть близок к некоторому корню /.
Если р близок, скажем, к а — ар то его расстояние до других кор-
ней f близко к расстоянию от до других корней, а потому огра-
ничено снизу. В этом случае мы будем говорить, что р принадлежит а.
Предложение 19. Если многочлен g достаточно близок к f
и Рр .... Р5—корни g, принадлежащие а (с учетом кратностей),
то s = есть кратность а в f.
Доказательство. Предположим противное. Тогда можно
найти последовательность многочленов gv, стремящихся к /, у кото-
рых имеется точно а корней p((v)...Р^, принадлежащих р, причем
Ф rv (Мы можем брать многочлены с одним и тем же а, так как
имеется лишь конечное число возможных значений для s.) Кроме
того, остальные корни gv также принадлежат корням /, и мы можем
предполагать, что эти корни сгруппированы в соответствии с тем,
какому корню / они принадлежат. Так как limgv = /, то заключаем,
что а должен иметь кратность а в f — противоречие.
Исследуем теперь условия, при которых многочлен имеет корень
в полном поле.
Предположим, что К — поле, полное относительно некоторого
дискретного нормирования с кольцом нормирования о и макси-
мальным идеалом р. Пусть л—фиксированный простой элемент в р.
Мы будем иметь дело с «-мерным пространством над о. Вектор
(«!....ап), где будем обозначать через А. Будем говорить,
что А — нуль многочлена f(Xx......X п) £ о [%] от п переменных,
если / (А) = 0, и что А нуль f по модулю р™, если / (А) = 0 (mod pm).
Пусть С = (с0, ..., сп)—вектор из о<л + 1) и т — целое число ^>1.
Исследуем природу решений сравнения вида
лт(со+с1х1+ ••• + СЛ) = 0 (mod pm+1). (*)
Это сравнение эквивалентно линейному сравнению
co + cixi+ = 0 (mod р). (**)
Если хоть один коэффициент с,- (г = 1, ..., п) не сравним с 0 (mod р),
то множество решений не пусто и имеет обычную структуру решения
одного неоднородного линейного уравнения над полем о/p. В част-
ности, оно имеет размерность п—1. Сравнение (*) или (**), где
хотя бы одно ct ф 0 (mod р), будет называться собственным срав-
нением.
Обозначим через DJ формальную частную производную от f
по Xt и введем запись
&гд/{Х) = {П^(Х), .... Dnf(X)).
352
ГЛ. XII. АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Предложение 20. Пусть f(X)^o[X\ и г — целое число
1. Пусть А £ о(л> — вектор, такой, что
= b (mod р2'"1),
£)г/(Д) = 0 (modpr-1) для всех 1—\, ..., п,
Dif(A)^0 (mod рг) для некоторого г=1..........п.
Пусть v — целое число ^0 и ВС о(л) — вектор, для которого
В=А (mod рг) и f (В) = 0 (mod p2r-1+v).
Вектор У £ о(л) тогда и только тогда удовлетворяет сравнениям
YssB (mod pr+v) и /(Г) = 0 (mod р2^),
когда он может быть записан в виде У = B-\-nr+vC, где С £ о^,'> —
некоторый вектор, удовлетворяющий собственному сравнению
/ (В) 4- nr+v grad f (В) • С == 0 (mod p2r+v)-
Доказательство. Доказательство короче, чем формулировка
предложения. Пусть У = В -|- nr+vC. Запишем разложение Тейлора
f (B-\-rf+vC) — / (В)4-ftr+vgrad / (В) • С (mod p2r+2v).
Решая это сравнение по модулю p2r+v, получаем, согласно предпо-
ложению, собственное сравнение, поскольку
grad f (В) = grad f (Д) = 0 (mod pr-1).
Следствие 1. В предпосылках предложения 20 существует
нуль многочлена f в о(п), сравнимый с Xmodpr.
Доказательство. Мы можем записать этот нуль в виде схо-
дящегося ряда
Д4-л''С04-л''+1С14- ....
вычисляя Со, Ср ... индуктивно, как в предложении.
Следствие 2. Пусть f — многочлен от одной переменной
из о [X], и пусть элемент а£о удовлетворяет условиям f (а~) =
(mod р), но f (а) ф. 0 (mod р). Тогда существует элемент
d£o, b = a (mod р), такой, что f(b) = O.
Доказательство. Возьмем в предложении п — 1 и г=1
и применим следствие 1.
Следствие 3. Пусть т — положительное целое число, не
делящееся на характеристику поля К. Тогда существует целое
число г, такое, что для всякого а£о, а=\ (mod рг), уравнение
Хт — а = 0 имеет корень в К.
Доказательство. Применить предложение.
УПРАЖНЕНИЯ
353
Пример. В 2-адическом поле Q2 существует квадратный корень
из —7, т. е. У—7 £Q2, так как —7=1 — 8.
(Об уточнениях предыдущего предложения см. N. Bourbaki,
Algfebre Commutative, Ch. Ill, § 4, 5.) В тех случаях, когда абсо-
лютное значение недискретно, также можно сформулировать критерий
существования нуля у многочлена.
Предложение 21. Пусть К — поле, полное относительно
неархимедова абсолютного значения (нетривиального). Пусть
о — его кольцо нормирования, /(А')^о(Л'] — многочлен от одной
переменной, и пусть элемент ао£о таков, что
| / (а0) | < |/'(а0)21
(здесь f обозначает формальную производную многочлена f). Тогда
последовательность
f («<)
а, + 1 = а, —
1+1 1 f (а,)
сходится к некоторому корню а многочлена f, лежащему в о,
и имеет место неравенство
|а—а0
1.
В тех случаях, когда абсолютное значение дискретно,
21 превращается в частный случай предложения 20.
используемая в этом предложении, полезна также при
некоторых колец, скажем локального кольца с макси-
Доказательство. Это легкое упражнение. Мы предоставляем
детали читателю. Отметим, что здесь снова показатель 2 дает точное
условие того, что приближенный корень можно поднять до настоя-
щего корня,
предложение
Техника,
рассмотрении
мальным идеалом ш, таким, что mr = 0 для некоторого целого г.
Если имеется многочлен / из о [X] и приближенный корень а0, для
которого f (а0) 0 mod in, то аппроксимационная последовательность
Ньютона показывает, как поднять а0 до корня f.
УПРАЖНЕНИЯ
1. (а) Пусть X— поле с нормированием. Для всякого многочлена
f (X) = Ло + ai^ + • • • + апХп
из К [А] определим | f | как максимум значений | а, I (I = 0, ..., п). Показать,
что этим определяется нормирование в К [X], а также что это нормирование
может быть продолжено на поле рациональных функций X (X). Почему лемма
Гаусса является частным случаем предыдущего утверждения? Обобщить на
многочлены от нескольких переменных.
(б) Пусть f— многочлен с комплексными коэффициентами. Определим | /I
как максимум абсолютных значений коэффициентов. Пусть d — целое число >1.
354
ГЛ XII. АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Показать, что существуют константы Сь С2 (зависящие только от d), такие,
что если f, g — многочлены из С [А-] степени <1 d, то
Ci I /I |£ К |/£ К С2| / | Ш-
[Указание: индукция по числу множителей степени 1. Отметим, что правое
неравенство тривиально.]
2. Пусть A4q — множество абсолютных значений, состоящее из обычного
абсолютного значения и всех р-адических абсолютных значений vp на поле
рациональных чисел Q. Показать, что для любого рационального числа а £ Q,
а ф 0, имеет место равенство
П =
of -Mq
Пусть К — конечное расширение Q и М^. обозначает множество абсолютных
значений на К, продолжающих абсолютные значения из 44q, и для всякого
пусть — локальная степень [К: Qa]- Показать, что для а'~К,
« 0, имеет место равенство
П 1«С°' = 1-
3. Показать, что поле р-адических чисел Qp не имеет других автомор-
физмов, кроме тождественного. [У казание: показать, что такие автоморфизмы
непрерывны в р-адической топологии. Использовать следствие 3 предложе-
ния 20 в качестве алгебраической характеристики элементов, близких к 1.]
4. Пусть А — целостное кольцо главных идеалов, К — его поле частных
ио — кольцо нормирования в К, содержащее А, причем о =£ К. Показать,
что о есть локальное кольцо А(р} для некоторого простого элемента р. [Это
применимо и к кольцу Z, и к кольцу многочленов k [АГ] над полем k.[
5. Пусть Л —целостное кольцо, К— его поле частных. Предположим,
что всякий конечно порожденный идеал в А — главный. Пусть о—дискрет-
ное кольцо нормирования в К, содержащее А. Показать, что о = Л(Р; для
некоторого элемента р из Л и что р — образующая максимального идеала в о
6. (И с с ’ с а) Пусть АГ— поле мероморфных функций на комплексной
плоскости С и о — кольцо дискретного нормирования в АГ (содержащее поле
констант С). Показать, что функция z лежит в о [Указание: пусть at,
а2, ...—дискретная последовательность комплексных чисел, сходящихся
к бесконечности, например последовательность целых положительных чисел,
р — некоторое простое число и vb v2, ... —последовательность целых чисел,
0<v(-<.p—1, для которой 2 v,p‘ не является р-адическим разложением
рационального числа. Пусть f—целая функция, имеющая нуль порядка v;p'
в at для всякого i и не имеющая никаких других нулей. Если z не содер-
жится в о, то рассмотреть дробь
Пользуясь вейерштрассовским разложением целой функции, показать, что
g (г) = h (г)рП+1 для некоторой целой функции h (z).
УПРАЖНЕНИЯ
355
Вычисляя теперь порядок нуля g относительно дискретного нормирова-
I
nv р
(г — а() 1 , полу-
чить противоречие j
Показать, что если U — некомпактная риманова поверхность, L — поле
мероморфных функций на U и о — кольцо дискретного нормирования в L,
содержащее константы, то всякая голоморфная функция (р на U лежит в о
[Указание рассмотреть отображение <р U -> С и получить дискретное норми-
рование на К, компонируя <|. с мероморфными функциями на С Затем при-
менить первую часть упражнения ] Показать, что кольцо нормирования — это
кольцо, ассоциированное с точкой на римановой поверхности [Дальнейшее
указание если вы не знакомы с римановыми поверхностями, то сделайте
это для комплексной плоскости Для всякого z Q U пусть fz — функция, голо-
морфная на U и имеющая только нуль порядка 1 в г Показать что если
для некоторого г0 функция fza имеет порядок > 1 в о, то о — кольцо нор-
мирования, ассоциированное с z0 Иными словами, всякая другая функция fz
имеет порядок 0 в о Убедиться посредством приема аналогичного использо-
ванному в первой части упражнения, что нормирование, определяемое коль-
цом о, тривиально на любой голоморфной функции ]
7. Снова векторы Витта Пусть k — совершенное поле характери-
стики р Мы будем использовать векторы Витта в той форме, в какой они
описаны в упражнениях из гл VIII На W (k) можно определить абсолютное
значение, а именно | х | = р~г, если хГ— первая ненулевая компонента х
Показать, что это действительно абсолютное значение, очевидно, дискретное,
определенное на кольце и допускающее продолжение на поле частных Пока-
зать, что последнее поле — полное, и заметить, что W (k)— кольцо нормиро-
вания Максимальный идеал состоит из тех х, у которых х0 = 0, т е равен
pW (k)
8. Пусть F — поле, полное относительно некоторого дискретного норми-
рования, о — соответствующее кольцо нормирования ил — простой элемент,
причем поле о/(л) = k имеет характеристику р Доказать, что если a, bQon
а = b (mod пг), где г > 0, то арП = ЬрП (mod лг+л) для всех целых п О
9. Пусть F обозначает то же, что и выше Показать, что в о существует
система представителей R для о/(л), такая, что Rp = R и что такая система
единственна (Тейхмюллер) [Указание пусть а—некоторый класс вычетов
из k Для всякого v^O пусть av — представитель в о класса ар \ показать,
„V
что последовательность <г(, сходится при v->co и притом к представителю а
класса а, не зависящему от выбора av ] Показать, что полученная таким
образом система представителей R замкнута относительно умножения и что
если F имеет характеристику р, то система R замкнута также относительно
сложения, а значит, изоморфна k
10. Предположим, что F имеет характеристику 0. Сопоставим каждому
вектору x(^W(k) элемент
2 ГУ-
где g(— представитель xt в специальной системе из предыдущего упражне-
ния Показать, что это отображение дает вложение IV (£) в о
11. (Локальная униформизация) Пусть k — поле, К—-конечно поро-
жденное расширение степени трансцендентности I и о — кольцо дискретного
нормирования поля К над k с максимальным идеалом ш Предположим, что
о/m = k и что К сепарабельно над k (х), где х — некоторая образующая ш.
356
ГЛ КП АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Показать, что существует элемент у £ о, такой, что К ~ k (х, у), и обладаю-
щий также следующим свойством.
Если ср — точка поля К, определенная кольцом о, а = q> (х), b = q> (у)
(разумеется, а = 0) и f (X, Y) — неприводимый многочлен из k [X, Y], для
которого f (х, у) = 0, то D2f (а, Ь) #= 0. [Указание: записать сначала
К — k (х, z), где элемент z — целый над k [х]. Пусть z = zu ..zn —
элементы, сопряженные с г над k (х). Продолжить о до кольца нормирова-
ния D поля k (z\, ..., гп). Рассмотреть
z = Цд -|— Ц|Х —]— ... -|— arxr —j— .,.
— разложение z в степенной ряд c a^k и ввести Рг (х) = а0 -|- ... -\-агхг.
Для i = 1, .... п положить
= zi-PT(x)
У‘ xr
Взяв г достаточно большим, показать, что у, не имеет полюса в ©, но
у2....уп имеют полюса в £). Элементы у,, ..., уп сопряжены над k (х).
Пусть f (X, Y) — неприводимый многочлен пары (х, у) над k. Тогда f (х, Y)~
= 4л (х) Yn -j- ... +4o(x)i гДе 4/ (-к) fk [х]. Можно также предполагать,
что 4/ (0) ¥= 0 (так как f неприводим). Записать f (х, Г) в виде
/(х, Г) = 4„(х)у2 ... ул(у_у1)(у2-1Г-1) ... (у-1/—1).
Показать, что 4zz (•*) Уг • • • уя = н не имеет полюса в D. Пусть w обозначает
класс вычета элемента а^Йпо модулю максимального идеала в О. Тогда
0#=/(х, Г) = (-1)л-1й(У-71).
Положив у — ун у = 6, найти, что D2f (а, Ь) — (—I)”-1 и =£ 0.]
12. Доказать обращение упражнения 11: если К = k (х, у), f (X, Y) — не-
приводимый многочлен пары (х, у) над k и если элементы a, bP-k таковы,
что f (а, Ь) = 0, но D2f (а, Ь) #= 0, то существует однозначно определенное
кольцо нормирования о поля К с максимальным идеалом in, такое, что
x = a(modm) и у = 6 (mod ш). Кроме того, о/ш = й их — а — образую-
щая щ. [Указание: показать, что если g (х, у) £ k [х, у] — элемент, для кото-
рого g (а, 6) = 0, то g (х, у) = (х — а) А(х, у)/В(х,у), где А, В — такие
многочлены, что В (а, Ь) =£ 0. Если А (а, Ь) = 0, то повторить процесс. Пока-
зать, что процесс не может повторяться бесконечно и приводит к доказа-
тельству требуемого утверждения.]
13. Пусть К — поле характеристики 0, полное относительно некоторого
неархимедова абсолютного значения. Показать, что ряды
exp (х) = 1 + х ++-gj-+ ...,
iog(i+x)=x-4+4-...
Z о
сходятся в некоторой окрестности 0. (Основная трудность возникает в слу-
чае, когда характеристика поля вычетов равна р > 0, так как р делит знаме-
натели п! и п. Получить выражение для показателя степени, в которой р
встречается в и!) Доказать, что ехр и log дают отображения, обратные друг
другу, из окрестности 0 в окрестность 1.
14. Пусть поле К, так же как в предыдущем упражнении, имеет харак-
теристику 0 и является полным относительно некоторого неархимедова абсо-
лютного значения. Показать, что при любом целом п > 0 обычное биномиаль-
ное разложение для (l-j-х)1^ сходится в некоторой окрестности 0. Сделать
УПРАЖНЕНИЯ
357
это сначала в предположении, что характеристика поля вычетов не делит п;
в этом случае доказательство утверждения намного проще.
15. Пусть Qp — р-адическое поле. Показать, что Qp содержит бесконечно
много квадратичных полей вида Q (У— т), где т — целое положительное
число.
16. Показать, что кольцо целых р-адических чисел Zp компактно. Пока-
зать, что группа единиц в Z,, компактна.
17. Пусть К — поле, полное относительно некоторого дискретного норми-
рования с конечным полем вычетов ио — кольцо элементов поля К, порядки
которых 0. Показать, что о компактно. Показать, что группа единиц кольца о
замкнута вой компактна.
18. Пусть К — поле, полное относительно некоторого дискретного нор-
мирования, и о — кольцо целых элементов поля К. причем о компактно.
Пусть /2, ... —последовательность многочленов от п переменных с коэф-
фициентами в о. Предположим, что все эти многочлены имеют степень < d
и что они сходятся к многочлену f (т. е. | f — //1 -> 0 при i -> со). Показать,
что если каждый fi имеет нуль в о, то f также имеет нуль в о. Показать,
что если многочлены f, однородны степени d и каждый fi имеет нетри-
виальный нуль в о, то f имеет нетривиальный нуль в о. [Указание: исполь-
зовать компактность кольца о и для однородного случая — компактность
группы единиц в о.) (О приложениях этого упражнения, а также предложе-
ния 21 см статью Lang S., On quasi-algebraic closure, Ann. Math., 1951.)
19. Показать, что если p, p'— два различных простых числа, то поля Q,,
и Qp. неизоморфны.
20. Доказать, что поле Qp содержит все корни (р— 1)-й степени из еди-
ницы. \У казание: использовать предложение 21, применив его к многочлену
А"р-1 — 1, который разлагается в поле вычетов на множители степени 1.)
Показать, что два различных корня (р—1)-й степени из единицы не могут
быть сравнимы по модулю р.
Часть третья
ЛИНЕЙНАЯ
АЛГЕБРА
И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Мы будем заниматься модулями и векторными простран-
ствами, исследуя их структуру с различных точек зрения.
Основной темой здесь будет изучение пары, состоящей из
модуля и эндоморфизма или кольца эндоморфизмов, и
попытки разложить такую пару в прямую сумму ком-
понент, структура которых может быть явно описана. Те-
ма прямой суммы повторяется в каждой главе. Иногда
для получения разложения в прямую сумму мы используем
двойственность относительно спаривания, а иногда получаем
наше разложение непосредственно. Если модуль никак
не разлагается в прямую сумму простых компонент, у нас
не остается другого выбора, как применить конструкцию
Гротендика и посмотреть, что из этого может получиться.
Тема продолжения встречается лишь однажды, в теоре-
ме Витта, кратким контрапунктом к теме разложения.
Глава XIII
Матрицы и линейные отображения
На протяжении этой главы R обозначает коммутативное
кольцо и Е, F — R-модули. Приставку R- перед линейными ото-
бражениями и модулями мы будем опускать.
§ 1. Матрицы
Под матрицей размера т\п над R понимается снабженное двумя
индексами семейство (aZ;) элементов из R (i = 1, . . ., т и j — 1.ri),
обычно записываемое в виде
/ аи • • • а1п \
\ ат1 • • ^тп/
Мы будем называть коэффициентами или компонентами матрицы.
Матрица размера 1 X п называется строкой (размерности, или дли-
ны, п), а матрица размера т X 1—столбцом (размерности, или
высоты, т).
Сложение для матриц одинакового размера определяется поком-
понентно. Если Л = (а,у) и В = (Ьц) — матрицы одного и того же
размера, то под A-j-B понимается матрица, у которой//-компонента
равна aij-\-bij. Сложение, очевидно, ассоциативно. Произведение
матрицы А на элемент c£R мы определяем как матрицу (ca/j),
у которой //-компонента равна са^. Таким образом, множество ма-
триц размера т'/п над R является модулем (т. е. /^-модулем)-
Произведение АВ двух матриц определено лишь при определен-
ных условиях, а именно когда А имеет размер /и X п, а В имеет
размер п X г > т- е- только в том случае, когда длина строк в А
такая же, как и высота столбцов в В. Пусть это имеет место, и
пусть А — (а^) и В = (bjk). Мы понимаем под АВ матрицу размера
т X г> У которой /^-компонента равна
362
ГЛ. XIII. МАТРИЦЫ и линейные отображения
Если для матриц А, В, С произведения АВ и ВС определены,
то определены также произведения (АВ) С и А (ВС) и выпол-
няется равенство
(АВ) С = А (ВС).
Доказывается это тривиально. Пусть С = (ckl). Читатель тотчас
обнаружит, что /7-компонента каждого из предыдущих произведе-
ний равна
.2 S аijkcki-
j ь
Матрица размера т X п называется квадратной матрицей, если
т — п1). Например, матрица размера 1X1—квадратная матрица; она
иногда будет отождествляться с элементом из R, являющимся ее
единственной компонентой.
Для данного целого числа п 1 квадратные матрицы размера
п'Дп образуют кольцо.
Это опять-таки тривиально проверяется, и проверка предоста-
вляется читателю.
Единичным элементом кольца матриц размера п X п является
матрица
[1 0 ... О О
О 1 О
л,= ’ . : ’
О . О
О 0 ... О 1
все компоненты которой равны 0, за исключением стоящих на диаго-
нали, которые равны 1. Мы иногда будем писать / вместо Iп. Вооб-
ще если А = (atj) — квадратная матрица, то мы будем называть
элементы аи ее диагональными компонентами.
Имеется естественный гомоморфизм кольца R в кольцо матриц
размера п X задаваемый правилом
Здесь cl„ — это квадратная матрица размера п X п, у которой все
компоненты равны 0, за исключением диагональных компонент, которые
равны с. Будем обозначать кольцо матриц размера п X п, над R через
Mat„(/?). Тогда Matn (R) есть алгебра над R (относительно введен-
ного выше гомоморфизма).
Пусть Д = (а(у) — матрица размера т X п- Назове.м транспони-
рованной (по отношению) к ней матрицей {А матрицу (ац)
(/=1......п и 1=1.........т). Тогда */1 —матрица размера п X т.
"> Re называют также квадратной матрицей порядка п.—Прим. ред.
§ 2 РАНГ МАТРИЦЫ
363
Читатель тотчас проверит, что если А, В — матрицы одинакового
размера, то
*(А 4- В) = ‘А + ‘В.
Если c£R, то ‘(сА) = с‘А. Если матрицы А, В можно перемножить,
то произведение ‘В*А определено и
‘{АВ) = ‘В‘А.
Отметим, что операции над матрицами коммутируют с гомомор-
физмами. Более точно, пусть ф : R —> R' — гомоморфизм колец, и
пусть А, В — матрицы над R. Определим фД как матрицу, получаемую
применением ф ко всем компонентам А. Тогда
Ф {А В) = фД ф^> ф = (фД) (фД)>
Ф (сД) = ф (с) фД, ф(*Д) = /ф(Д)
Аналогичные замечания будут применимы ко всем нашим даль-
нейшим рассмотрениям (например, в следующем параграфе).
Пусть A — (atJ)— квадратная матрица размера п X « над ком-
мутативным кольцом R. Определим след А формулой
к(Д) = 2а„;
i = i
другими словами, след есть сумма диагональных элементов. Для лю-
бых двух матриц А,В размера п'Дп
tr {АВ) = tr (В А).
Действительно, если А — (afJ) и В = {btJ), то
1г(ДВ) = 22«„Дч = *г(ВД).
I V
В качестве приложения заметим, что если В — обратимая ма-
трица размера n'/ti (т. е. является единицей в кольце матриц), то
tr {B~xAB) = it{A).
Действительно, tr {В~ХАВ) — tr {АВВ~1) — tr (Д).
§ 2. Ранг матрицы
Пусть k — поле и Д — матрица размера т'/,п над k. Под строч-
ным рангом А мы будем понимать максимальное число линейно неза-
висимых строк матрицы Д, а под столбцовым рангом А — макси-
мальное число линейно независимых столбцов Д. Таким образом, эти
ранги представляют собой размерности векторных пространств, порож-
денных соответственно строками А и столбцами А. Мы утверждаем,
что эти ранги равны одному и тому же числу, и это число мы на-
зовем рангом А.
354
ГЛ XIII МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Действительно, пусть Д1, .... Ап — столбцы А и At.....Ат—стро-
ки А. Пусть *Х = (xj..................................хт)—строки с компонентами x^k.
Имеем линейное отображение
X I—> ххА] 4- .. . 4- хтАт
пространства £(т) на пространство, порожденное строками. Обозначим
через W его ядро. Тогда IF будет подпространством в и
dim W 4 строчный ранг = /п.
Пусть У— столбец размерности т. Тогда отображение
(X, У)^‘ХУ=Х У
является билинейным отображением в k, если матрицу 1ХУ размера
1 X 1 рассматривать как элемент из k. Заметим, что W ортогонально
пространству столбцов А1........А", т. е. это есть пространство
всех X, для которых X А1' = 0 при j = 1, .... п. В силу теоремы
двойственности из гл. III мы знаем, что пространство k<m' дуально
самому себе относительно спаривания
(X. У
и что k^m^W дуально пространству, порожденному столбцами А1, .. .
. . ., Ап. Следовательно,
dim k{m>,W = столбцовый ранг,
или
dim W 4~ столбцовый ранг — т.
Отсюда заключаем, что
столбцовый ранг — строчный ранг,
что и требовалось установить.
Отметим, что W можно рассматривать как пространство решений
системы из п линейных уравнений
Х1А1 4 • • • 4- хт^т — О
с т неизвестными х{, .... хт. Действительно, если мы запишем
предыдущее векторное уравнение через координаты, то получим обыч-
ную систему из п линейных уравнений. Предоставляем читателю про-
делать это, если он пожелает.
§ 3. Матрицы и линейные отображения
Пусть Е— модуль, и пусть существует базис =
для Е над R. Это означает, что всякий элемент из Е имеет одно-
значное представление в виде линейной комбинации
х ~ xlll -+••+ xnln’
где Xi£R. Мы будем называть (Xj....хп) компонентами х отно-
сительно этого базиса. Упорядоченный набор из п элементов можно
§ 3. МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
365
рассматривать как строку. Будем обозначать через X столбец, полу-
ченный транспонированием строки (х,......хл), называя также X
столбцом элемента х относительно заданного базиса.
Заметим, что если |£i........— другой базис Е над R, то т =
— п. Действительно, пусть у — некоторый максимальный идеал в R.
Тогда Е/уЕ—векторное пространство над полем RlcR и непосред-
ственно ясно, что если обозначить через Е,; класс вычетов элемента
^modpF, то {£ь . . ., £л] будет базисом для £/у£ над R/vR. Следо-
вательно, п равно также размерности этого векторного пространства,
а инвариантность мощности базисов векторных пространств над по-
лями нам известна. Таким образом, т — п. Мы будем называть п
размерностью модуля Е над R.
Будем рассматривать RW как модуль столбцов высоты п. Это
свободный модуль размерности п над R. Он имеет базис, состоящий
из единичных векторов е1.....еп, для которых в строке
V = (0......О, 1,0......0)
все компоненты равны 0, за исключением z-й компоненты, равной 1.
Матрица А размера т% п задает линейное отображение
La
по правилу
Xi->AX.
Действительно, А (-¥+ У) — ДА'-Ь АУ и А(сХ) = сАХ для столб-
цов X, У и с £ R.
Предыдущие рассмотрения могут быть распространены на несколько
более общую ситуацию, которая может оказаться очень полезной.
Пусть Е — абелева группа, причем R — коммутативное подкольцо в
Endz (Е) = Homz (Е, Е).
Тогда Е есть /^-модуль. Кроме того, если А — матрица размера т ХЛ
над R, то получаем линейное отображение
ЕА: Е(п,->Е(т},
определяемое по правилу, аналогичному указанному выше, а именно
X ।—> АХ. Это интерпретируется очевидным образом как обычное умно-
жение матриц. Если А = (а^) и X — столбец элементов из Е, то
АХ =
«И - • •«!„
ат1 • •атп
Уп
где V,- — Л а,,х
366
ГЛ. XIII. МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Если А, В — матрицы над R, для которых определено произведе-
ние, то для любого c£R имеем
^АВ = ^А^В и ^сА — С^А‘
Таким образом,
Л(ВХ) = (ЛВ) X.
Произвольное коммутативное кольцо R можно рассматривать как
модуль над собой. Тем самым мы снова приходим к частному случаю
отображения /?<п) в R(m\ Кроме того, если Е—модуль над R, то R
можно рассматривать как кольцо эндоморфизмов Е.
Предложение 1. Пусть Е — свободный модуль над R с ба-
зисом (xj...хя}, jip . . ., уп — некоторые элементы из Е и А —
такая матрица над R, что
Тогда {у;, .... у„] является базисом в Е в том и только в том
случае, если матрица А обратима.
Доказательство. Пусть X, Y — столбцы из наших элементов,
т. е. АХ — У. Предположим, что У— базис. Тогда существует ма-
трица С над R, для которой СУ = Х, так что САХ = Х, откуда
СА=/ и аналогично АС =/; следовательно, А обратима. Обратно,
предположим, что А обратима. Если бы уг.уп были связаны со-
отношением
Ь}У1 + • • • + Ьпуп = О
с bt^R, то, придав этому соотношению матричную форму
BY = Q,
где В—строка (Ьх........ Ьп), и подставив вместо У его выражение
У= АХ, мы получили бы, что В (Л X) = (В^) X = 0. Но [хг, ...
.. ., хя} — базис. Следовательно, BA—Q, а значит, и В = (ВА) Л-1=
= В (ЛЛ-1) = 0. Таким образом, Ьг — . . . = Ьп = 0 и компоненты У
линейно независимы, что доказывает наше предложение.
Отметим, что в доказательстве второй половины предложения 1
использовалось лишь существование такой матрицы С, что СА=1.
Таким образом получаем
Следствие. Если для матрицы А существует матрица С,
такая, что СА = 1 или АС — I, то матрица А обратима и С = А~ •
§ 3. МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
367
Возвратимся к нашей ситуации модулей над произвольным ком-
мутативным кольцом /?.
Пусть Е, F — модули. Мы увидим, как можно линейному отобра-
жению сопоставить матрицу, если только заданы базисы в Е и F. Пред-
положим, что модули Е, F — свободные с базисами ....
и <$' — .....£я } соответственно. Пусть
/: Е-> F
— линейное отображение. Существуют однозначно определенные эле-
менты a-.jTR, такие, что
/ (11) =
f (£л) — + • • • 4“
или, иначе,
т
/а7)=2^.
(Отметим, что сумма берется по первому индексу.)
Полагаем
^|, (/) = («/;)•
Если элемент х = х1£1-|- . .. -}-хп1,п выражен через базис, то мы обо-
значаем столбец X компонент элемента х через Л-1^(х). Имеем
М^(/(х)) = М%,(/)М^(х).
Другими словами, если X' — столбец компонент f (х) и 7И — матрица,
ассоциированная с /, то X' — MX. Таким образом, действие линей-
ного отображения выражается произведением матриц и мы имеем f = LM.
Предложение 2. Пусть Е, F, D — модули и <$, —ко-
нечные базисы в Е, F, D соответственно. Пусть
f g
E->F->D
— линейные отображения. Тогда
Доказательство. Пусть А и В — матрицы, ассоциированные
относительно заданных базисов с отображениями /, g соответственно.
Если X—столбец, ассоциированный сх£Е, то столбец, ассоцииро-
ванный с g(/(x)), равен В (АХ) = (В А) X. Следовательно, В А есть
матрица, ассоциированная с g ° f. Это доказывает то, что нужно.
368
ГЛ. XIII. МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Следствие 1. Пусть E = F. Тогда
М%- (id) (id) = (id) = /.
Всякая матраца М#' (id) обратима.
Доказательство. Очевидно.
Следствие 2. Пусть N = (id). Тогда
М%. (f) = (id)Mf (/) (id) = (/) АГ1-
Доказательство. Очевидно.
Следствие 3. Пусть Е—свободный модуль размерности п
над R и gg — некоторый его базис. Отображение
является изоморфизмом кольца всех эндоморфизмов модуля Е на
кольцо матриц размера n X л над R. Фактически это отображе-
ние является изоморфизмом алгебр над R.
Мы будем называть матрицей, ассоциированной с f отно-
сительно базиса .
Пусть Е — свободный модуль размерности п над R. Под GL(E),
или Aut^(f) понимается группа линейных автоморфизмов модуля Е.
Это—группа единиц в EndR(E). Под GLn(R) понимают группу обра-
тимых матриц размера п X п над R. Как только выбран базис для Е
над R, мы получаем изоморфизм групп
GL (£) GLn (R)
относительно этого базиса.
Пусть
/: £->£'
— некоторое линейное отображение. Выберем какой-нибудь базис $
и рассмотрим матрицу М, ассоциированную с f относительно След f
полагаем по определению равным следу М, т. е.
tr (/) = tr(M).
Если М' — матрица / относительно какого-то другого базиса, то су-
ществует обратимая матрица N, такая, что М' = N~lMN, и, следова-
тельно, след не зависит от выбора базиса.
§ 4. Определители
Пусть Е{...Еп, F — модули. Отображение
/: E.X-.-XE^F
§ 4. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
369
называется R-полилинейным (или просто полилинейным), если оно ли-
нейно по каждой переменной, т. е. если для всякого индекса I и эле-
ментов .... xz_P xz+1, ..., х„, Xj£Ej, отображение
ХЬ-^ДХр xz_p х, Х/+1, .... х„)
является линейным отображением Cz в F.
Полилинейное отображение, определенное на zi-кратном произве-
дении, называется также п-линейным. Если Е} = . . . = Еп = Е, то
мы будем говорить, что / — полилинейное отображение на Е, вместо
того, чтобы говорить, что оно полилинейно на Е^-
Пусть f—«-линейное отображение. Выбрав два индекса /, у, I =# j.
а потом зафиксировав все переменные, кроме z-й и у-й, мы можем
рассматривать / как билинейное отображение на Et X Е}.
Предположим, что £\ = ... =Еп — Е. Говорят, что полилинейное
отображение / является знакопеременным, если /(хр ..., хя) = 0,
всякий раз как существует такой индекс z, 1 X i' п — 1, что xz = xz+1
(другими словами, когда два соседних элемента равны).
Предложение 3. Пусть f — п-линейное знакопеременное ото-
бражение на Е и xv .... х„£Е. Тогда
/(< xt, xz+P ...) = — /(..., xZ4P xz, ...).
Другими словами, когда мы переставляем два соседних аргумента,
значение f меняет знак. Если xt = Xj для 14= j, то f(хр ...
.. ., х„) = 0.
Доказательство. Сосредотачивая свое внимание на множите-
лях, стоящих на z-м и у-м месте, мы можем считать, что / в нашем
первом утверждении билинейно. Тогда для всех х, у £Е имеем
0 = /(хД-у, х4-у) = /(х, у) + /(у, х).
Этим и доказано то, что нужно, а именно что f(y, х) = — /(х, у).
Что касается второго утверждения, то мы можем последовательно пере-
ставлять соседние аргументы f до тех пор, пока имеющиеся по усло-
вию два равных аргумента не станут рядом. Это показывает, что
/(хр ..., хч) = 0, когда xz = xy-, 14= j-
Следствие. Пусть /—п-линейное знакопеременное отобра-
жение на Е. Пусть xz....хп£Е, 14=] и a£R. Тогда значение f
на (Хр .... хп) не изменится, если мы заменим xt на х^-^аХр
а все другие компоненты оставим неизменными.
Доказательство. Очевидно.
Полилинейное знакопеременное отображение, принимающее свои
значения в R, называется полилинейной знакопеременной формой.
Нам неоднократно придется вычислять значения полилинейного зна-
копеременного отображения на линейных комбинациях элементов из Е.
370
ГЛ. XIII. МАТРИЦЫ и линейные отображения
Положим
Wj = anVj + ... + а1лт/„
+ . . . + annvn.
Пусть/ — п-линейное знакопеременное отображение на Е. Раз-
лагая правую часть равенства
/(^i.....•k’«) = /(OiM+ • • • + «А • • •• ««-1^1+ • • • + о«Л).
мы получим сумму членов вида
#1, а (1) • • • Яп, а (n) f (Уа (1), . . ., Va (Л)),
где а пробегает множество произвольных отображений набора {1.п}
в себя. Если о не биективно (т. е. не является перестановкой), то два
аргумента va(i) и совпадут при i ф j и соответствующий член
будет равен 0. Следовательно, мы можем брать нашу сумму лишь по
перестановкам о. Перемещая элементы (va ц)...va (nj) обратно, к их
стандартному порядку, и используя предложение 3, мы приходим к сле-
дующему разложению.
Лемма. Пусть wl......обозначают то же, что а выше. Тогда
.....w„) = Se(o)ai,a(i). . ....vn),
О
где сумма берется по всем перестанов кам о множества {1, ..., п}
и е(о) есть знак перестановки.
При рассмотрении определителей я буду следовать изложению
Артина в его книге „Galois Theory".
Под определителем размера n><zi мы будем понимать отображение
det: Matn (/?) —> R,
обозначаемое также через
D: Mat„ (R)-> R,
которое обладает свойством О(/)=1 и является, если рассматривать
его как функцию от столбцов А1.......Ап матрицы А, полилинейным
знакопеременным отображением. В этой главе для обозначения опре-
делителей мы будем использовать главным образом букву D.
Позднее мы докажем, что определители существуют. А сейчас мы
выведем их свойства.
Правило Крамера. Пусть А1.............Ап — столбцы размер-
ности п, и пусть элементы хх, .... xn£R таковы, что
... —хп Ап = Н
§ 4 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
371
для некоторого столбца В. Тогда для всякого I имеем
XiD(Al.....An) = D(A1....В.......А"),
где в правой части равенства В стоит на i-м месте.
Доказательство. Пусть, скажем, z=l. Напишем разложение
D(B, А2....Д«) = 2х.О(ЛЛ А2......А")
j-i
и применим предложение 3 (все члены в правой части равны 0, за
исключением одного, содержащего хх).
Следствие. Предположим, что R— поле. Тогда А1, ..., Ап
линейно зависимы в том и только в том случае, если
D(AX.....Д«) = 0
Доказательство. Пусть мы имеем соотношение
*1А Д- . . . хпАп — О,
где xt £ R. Тогда xxD (А) — О для всех I. Если некоторый коэффи-
циент xt 4= 0, то О(Д) = 0. Обратно, предположим, что А1.Ап
линейно независимы. Тогда мы можем представить единичные век-
торы е1, .... е" (см. § 3) в виде линейных комбинаций
е' = Ь1ХА'+ ...-^„А”,
e” = bnlA' + ...-\-ЬппАп,
где bt j £ R. Но
1 = D(e', . . ., е").
Ввиду предыдущей леммы последнее выражение может быть разло-
жено в сумму членов, содержащих D^A1, ..., Ап), и следовательно,
О(Д) не может быть равно 0.
Предложение 4. Если определители существуют, то они
определены однозначно. Если, далее. А1..Ап — столбцы размер-
ности п матрицы A = (alj), то
D (Л1, .... >1") = 2 е (о) «о (1), 1 • • • «о w, п-
где сумма берется по всем перестановкам о множества
(1.....п] и е(а) — знак перестановки.
Доказательство. Пусть е1.........еп, — как обычно, единич-
ные векторы. Мы можем записать
А1 == аххех 4- . . . 4-a„ie",
= аХпех 4- ... 4- аппеп.
372
ГЛ. XIII. МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Поэтому
D (^4С ..., Ап) = £ (о) йд (1), 1... а^ (П>; п
а
в силу леммы. Это доказывает, что значение определителя одно-
значно определено и задается указанной формулой.
Следствие. Пусть <р: R->R'— гомоморфизм в коммута-
тивное кольцо. Если А — квадратная матрица над R и (рА —
матрица, полученная применением <р к каждой компоненте А, то
<р(О(Д))==О(<рЛ).
Доказательство. Применим <р к выражению из предложе-
ния 4.
Предложение 5. Для всякой квадратной матрицы А
над R
D(A) = D(‘A).
Доказательсто. В произведении
«а (1), 1 • • • «а(л), л
каждое целое число k от 1 до п встречается среди чисел
о(1)....о(п) точно один раз. Следовательно, мы можем перепи-
сать это произведение в виде
а1, <з~1 (!)• • ,ап, о"1 (л)'
а так как е (о) = е (о-1), то сумма из предложения 4 запишется
в виде
В этой сумме каждый член соответствует перестановке о. Однако,
когда о пробегает все перестановки, то же самое происходит и
с о-1. Следовательно, наша сумма равна
2 е (О) «1,а (!)• • - «л, о (л)-
а
а это есть не что иное, как О(М), что и требовалось показать.
Следствие, Определитель является полилинейным и зна-
копеременным по отношению к строкам матрицы
Теперь мы докажем существование и одновременно одно допол-
нительное важное свойство определителей.
При п=1 полагаем D(a) = a для любых a£R.
Предположим, что мы уже доказали существование определи-
телей размера т X т для всех целых чисел /и<л(л^-2). Пусть
§ 4. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
37а
А — матрица размера п X п над R, А — (а^). Обозначим через
Ajj матрицу размера (п—1)Х(П—1)> полученную из А вычерки-
ванием i-й строки и у-го столбца. Пусть I—фиксированное целое
число 1 X i X п. Определяем индуктивно
О(Л) = (- 1)<+,йпО(Лп)-Ь • • • 4- (- 1)/+ЧлО(Лм).
(Это выражение известно как разложение определителя D по i-Vi
строке.) Докажем, что D удовлетворяет определению определителя.
Рассмотрим D как функцию А-го столбца. Возьмем произволь-
ный член
(- 1)'+Ч7О(Д/у).
Если j #= k, то atj не зависит от k-ro столбца, a D(Atj) зависит
от k-ro столбца линейно. Если j — k, то а^ зависит линейно от
А-го столбца, а от k-vo столбца не зависит. Так как опре-
делитель О(Д) есть сумма таких членов, то он зависит от А-го стол-
бца линейно и, таким образом, D(A) полилинеен.
Далее, предположим, что два соседних столбца равны, скажем,
Ak = Ak¥1. Пусть индекс j #= k и kA 1- Тогда матрица Ai}
имеет два соседних равных столбца и. следовательно, ее определи-
тель равен 0. Таким образом, члены, соответствующие индексу
j =# k или АД- 1, дают нулевой вклад в D(A). Остальные два члена
могут быть записаны так:
(- 1)/+%лО(Д«) + (- iy+ft+,aZift+1D(X£.ft+1).
Матрицы Aik и A/i+1 равны ввиду предположения, что k-H
столбец А равен (/гД-1)-му столбцу. Аналогично *+1 Сле-
довательно, эти два члена сокращаются, поскольку они имеют про-
тивоположные знаки. Это доказывает, что наша форма — знакопе-
ременная, и дает
Предложение 6. Определители существуют и удовлетво-
ряют правилу разложения по строкам и столбцам.
[Для разложения по столбцам мы используем тот факт, что
D (А)— D1 (А).\
Теорема 1. Пусть Е — модуль над R, vt, .. ., vn — элемен-
ты из Е и А ==. (ац) — матрица над R Положим
374
ГЛ ХП! МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Пусть, далее, А — некоторое п-линейное знакопеременное ото-
бражение на Е. Тогда
ДО1......w„) = D (А) А (ог..vn).
Доказательство. Разложим
А (ац-uj 4- ... 4 а1Л..anlvx Ч~ • • • + annvn)
и, приняв во внимание, что D(A) — D(‘A), получим в точности то,
что требовалось.
Пусть Е, Е — модули, и пусть Lna(E, F) обозначает множество
всех «-линейных знакопеременных отображений Е в F. Если Е = R,
то мы также будем писать La(E, R) = La(E). Ясно, что La(E, Е) —
модуль над R, т. е. это множество замкнуто относительно сложе-
ния и умножения на элементы из R.
Следствие 1. Пусть Е — свободный модуль над R,
{Uj...—некоторый его базис. Пусть, далее, F— произ-
вольный модуль и w^F. Тогда существует единственное п-ли-
нейное знакопеременное отображение
EX...XE->F,
такое, что А^Дт^....г»„) — w.
Доказательство. Не теряя общности, мы можем предпола-
гать, что E=R'1, и если А1, .... Ап — столбцы, то мы полагаем
АЩ)(Д1...Дл) = D (A)w. Тогда Ада, очевидно, обладает требуе-
мыми свойствами.
Следствие 2. Если модуль Е свободен над R и обладает
базисом, состоящим из п элементов, то модуль La(E) свободен
над R и обладает базисом, состоящим из одного элемента.
Доказательство. Пусть А1 — полилинейное знакопеременное
отображение, принимающее значение 1 на базисе ...... n„}.
Любой элемент <р^Лд(Д) может быть записан единственным образом
в виде сА1 для некоторого с £ R, а именно для с = <р(т'1.vn).
Это доказывает то, что нужно.
Любые два базиса для La(E) в предыдущем следствии отли-
чаются множителем, являющимся единицей в R. Другими словами,
если А — базис £”(£), то А = сА1 = А(, для некоторого c£R, и с
должно быть единицей. Базис Aj зависит, конечно, от выбора базиса
для Е. Koi да мы рассматриваем /?(л), наш определитель D есть
в точности At по отношению к стандартному фазису, состоящему из
-единичных векторов е1, .... е".
§ 4. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
375.
Иногда бывает удобно говорить, что любой базис в Lna(E) яв-
ляется определителем на Е. В этом случае следствие из правил?
Крамера может быть сформулировано несколько иначе.
Следствие 3. Пусть R— поле, Е— векторное простран-
ство размерности п и Д — произвольный определитель на Е.
Пусть vlt .... vn£E. Для того чтобы (г/р .... v„] было базисом
Е, необходимо и достаточно, чтобы
Д (-Up .... vn) ¥= 0.
Предложение 7. Для любых матриц А, В размера п 'Д п
над R
D(AB) = D(A)D(B).
Доказательство. Это предложение является в действитель-
ности следствием теоремы 1. Возьмем в качестве г»!.vn еди-
ничные векторы е1...............................еп и рассмотрим
Получим
.....w„) = D(AB')D(e'.....еп).
С другой стороны, пользуясь ассоциативностью и применяя теорему Г
дважды, имеем
D(Wp .... тп) — D(A) D (В) Dte1....еп).
Так как D(e\ .... ел)=1, то получаем наше предложение.
Пусть А = (аф—матрица размера п X п над Я- Введем матрицу'
Л = (^),
в которой
^ = (-1);+<О(Ду7).
(Обратите внимание, что индексы переставлены!)
Предложение 8. Пусть d = D(A'). Тогда АА — АА = df.
Определитель D(A) обратим в R в том и только в том случае.,
если матрица А обратима, и в этом случае
А-1 =4-Я.
d
376
ГЛ. Х1ГГ. МАТРИЦЫ и линейные отображения
Доказательство. Для любой пары индексов I, k ^-компо-
нента матрицы АА равна
al^lk + al^2k + • • • + alrfink ~
= alx D (Дн) (-l)ft+n D(Akn).
Если i — k, то сумма является просто разложением определителя
по z-й строке и, следовательно, равна d. Если i =F k, то обозначим
через А матрицу, полученную из А заменой k-tt строки на z-ю
строку с сохранением всех остальных элементов неизменными. Если
мы вычеркнем из А fe-ю строку и /-й столбец, то получим ту же
самую матрицу, что и вычеркивая k-ю строку и j-й столбец из
матрицы А. Таким образом,
^kj= ^kj
и наша предыдущая сумма может быть записана в виде
аа (- l)ft+I D (Дм) + . .. + а1п (-\)к+п D (Akn).
Это есть разложение определителя А по г-й строке. Так как
£)(Д) = 0, то наша сумма равна 0. Мы т-аким образом доказали,
что /^-компонента матрицы А А равна d, если i — k (т. е. если это
диагональная компонента), и равна 0 в противном случае. Это дока-
зывает, что AA — dl. С другой стороны, из определений мы тот-
час заключаем, что *Д = fA. Поэтому
\А А) = М'Л = ММ = di,
т. е. и AA — dl, поскольку t(dl) = dl. Когда d—единица в R,
матрица А обратима и обратной для нее служит матрица D~lA.
Обратно, если А обратима и АА~1=1, то d (Д) D (Д-1) = 1 и,
следовательно, элемент D (Д) обратим, что и требовалось показать.
Следствие. Пусть F — произвольный R-модуль, .... —
элементы из F и А = (а^)—матрица размера п~у^п над R.
Предположим, что
• • • +а,Л==0,
.. • +а„л = 0.
Тогда D (A)wi = 0 для всех I. В частности, если F порождается
эл ементами •w1, <wa, то D(A) F = 0.
$ 4. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
377
Доказательство. Это вытекает из замечаний § 3. Умножая
на А, находим
где d = D (Л).
Предложение 9. Пусть Е, F — свободные модули размер-
ности п над R с базисами а <$' соответственно. Линейное
отображение f:E^>F тогда и только тогда является изомор-
физмом, когда определитель ассоциированной с ним матрицы
есть единица в R.
Доказательство. Пусть А = (J). По определению f
будет изоморфизмом в том и только в том случае, если существует
линейное отображение g: F->E, такое, что^° /=id и /og=id. Если
/ — изоморфизм и В — (g), то АВ — В А = /. Беря определитель
произведения, заключаем, что элемент D(A) обратим в R. Обратно,
если D(A) — единица, то в силу предложения 7 мы можем опреде-
лить матрицу Л-1. Эта матрица ассоциирована с некоторым линейным
отображением g: F ->Е, обратным к /, что и требовалось установить.
Наконец, введем понятие определителя эндоморфизма.
Пусть Е — свободный модуль над R и — его базис. Пусть
/: Е—>Е—эндоморфизм модуля Е. Положим
Если <$' — другой базис для Е и М' = М$'> (f), то существует обра-
тимая матрица /V, такая, что
M' = NMN~l.
Беря определитель, мы видим, что D (М') = D (М). Следовательно,
этот определитель не зависит от выбора базиса; он будет называться
определителем линейного отображения f. Ниже мы дадим харак-
теризацию этого определителя, не зависящую от выбора базиса.
Пусть Е — произвольный модуль. Мы можем рассматривать
Lna(E) как функтор от переменной Е (контравариантный). Далее, мы
можем рассматривать La(E, F) как функтор от двух переменных, кон-
травариантный по первой и ковариантный по второй переменной.
Действительно, пусть
Е' J-+E
378
ГЛ XIII МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
— линейное отображение. Всякому полилинейному отображению
<р: E'n‘—>F можно сопоставить композицию фо/(я),
Е X ... X £' — -> Е X • • • X £— -> F,
где /(") есть произведение / на себя п раз. Отображение
La(f)'- Lna{E, F)->Lna(E', F),
задаваемое правилом
ф ।—> Ф ° /(П),
очевидно, линейно, и оно определяет наш функтор. Мы будем
иногда писать /* вместо Lna(J).
Рассматривая, в частности, случай, когда Е = Е' и F — R, полу-
чим индуцированное отображение
Г: Lna(E)^Lna(E).
Предложение 10. Пусть Е — свободный модуль размер-
ности п над R и А — базис в Lna (Е). Пусть f: Е—>Е — эндомор-
физм модуля Е. Тогда
Доказательство. Это непосредственное следствие теоремы 1.
А именно пусть А (или ‘А)— матрица эндоморфизма / относительно
некоторого базиса {vP ..., модуля Е. По определению
/*A(vp .... vn) = A(/(Vi)....f(6>n));
в силу теоремы 1 правая часть равна
D(A)k(vx......v„).
Согласно следствию 1 теоремы 1, заключаем, что /*А = D(A) А,
поскольку обе эти формы принимают одинаковое значение на
.......
§ 5. Двойственность
Пусть R— коммутативное кольцо и Е, F — модули над R. Тогда
R-билинейная форма на £ X F — это отображение
/: Ey.F->R,
• обладающее следующими свойствами: для всякого х£Е отображение
yi_>/(x, у)
./^-линейно, и для всякого у £ F отображение
х
1{х, у)
§ 5 ДВОЙСТВЕННОСТЬ
379'
/?-линейно. В остальной части этого параграфа мы будем опускать
приставку /? и будем писать (х, у)у или (х, у) вместо f(x, у).
Для х£Е и y£F пишем х | у, если (х, у)=0. Аналогично,
в случае, когда •$ — подмножество в F, пишем х | А, если х | у для
всех у £ S. В этом случае мы говорим, что элемент х перпендику-
лярен к А. Пусть А1- состоит из всех элементов в Е, перпендику-
лярных к А. Это, очевидно, подмодуль в Е. Аналогичным образом
определяется перпендикулярность с другой стороны. Мы считаем
по определению ядром f слева F и ядром f справа Е±. Мы
будем говорить, что форма f невырождена слева (справа), если ее
ядро слева (соответственно справа) равно 0. Пусть Ео — ядро J
слева; имеем индуцированное билинейное отображение
Е/Ео XF->R,
которое, как тривиально вытекает из определений, невырождено'
слева. Аналогично, если Fo — ядро f справа, то имеем индуциро-
ванное билинейное отображение
eieqxfif0->r.
которое невырождено с обеих сторон. Это отображение опреде-
лено, поскольку значение (х, у) зависит только от смежного класса х
по модулю Ео и смежного класса у по модулю Ро.
Мы будем обозначать через Z,2 (Е, F\ R) множество всех билиней-
ных отображений Е X F в R. Ясно, что это множество является
модулем (т. е. /^-модулем) с обычными сложением отображений и
умножением отображений на элементы из R.
Форма f порождает гомоморфизм
qy Е—yHom^f/7, R),
такой, что
4>fM(y) = f (х, у) = (х, у)
для всех х£Е и y£F. Мы будем называть Нош/?(/7, R) дуальным
модулем модуля F и обозначать его через F*. Имеем изоморфизм
L?(E, F; R) <-> Horn„ (Е, Horn fF, /?))
задаваемый отображением f\—>qy обратное к которому опреде-
ляется очевидным образом: если <р: Е—^-Hom^/7, R) — гомоморфизм,
то определяем f по формуле
/(х, у) = ф(х)(у).
Мы будем называть форму / неособой слева, если фу—изо-
морфизм, другими словами, если наша форма может быть использована
380
ГЛ XIII. МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
для отождествления Е с модулем, дуальным к F. Форма, не-
особая справа, определяется аналогичным образом, и мы будем
говорить, что форма f неособая, если она неособая слева и справа.
Предостережение: невырожденная форма не обязательно должна
быть неособой.
Получим теперь изоморфизм
End/? (Е) «-> L2 (Е, F; R)
зависящий от фиксированного неособого билинейного отображения
f: EXF-»R.
Пусть X^End/?(F) — линейное отображение Е в себя. Тогда
отображение
(х, у)^(Ах, у) = (Ах, y)f
билинейно, и этим путем всякому H^End^fE) мы сопоставляем
линейным образом некоторую билинейную форму из L2(E, F; R).
Обратно, пусть отображение h: EXF-+R билинейно. При задан-
ном х£Е отображение hx: F->R, для которого hx (у) = h (х, у),
линейно и лежит в дуальном модуле F*. По предположению суще-
ствует единственный элемент х' £ Е, такой, что для всех у £ F
h(x, у) = (х', у).
Очевидно, что сопоставление х\—> х' является линейным отображе-
нием Е в себя. Таким образом, всякому билинейному отображению
Е X F —> R мы сопоставили линейное отображение Е-->Е.
Непосредственно видно, что отображения, описанные в последних
двух абзацах, являются взаимно обратными изоморфизмами между
End/?(F) и L?(E, F; R). Подчеркнем еще раз, что они зависят от
нашей формы /.
Разумеется, мы могли бы все то же самое проделать справа и
получить аналогичный изоморфизм
I2 (Е, F- R) «-> End?? (F)
также зависящий от нашей фиксированной неособой формы f.
В качестве приложения рассмотрим линейное отображение А: Е—> Е.
Пусть (х, y)i—> (Дх, у) --соответствующее ему билинейное ото-
бражение. Тогда существует однозначно определенное линейное
отображение
(Д: F->F,
такое, что
{Ах, у) = (х, 1Ау}
§ 5 ДВОЙСТВЕННОСТЬ
381
для всех х£Е и у£Р. Мы будем называть 1А отображением,
сопряженным к А относительно flE
Непосредственно ясно, что если А, В — линейные отображения
Е в себя, то для с £ R имеем
‘(сА) = с‘А, ‘(А +В) = ‘АА-‘В и ‘{АВ) = ‘В‘А.
Предположим, что Е=Е. Пусть отображение f:
билинейно. Под автоморфизмом пары (Е, f) или просто под авто-
морфизмом формы f мы будем понимать линейный автоморфизм
А: Е->Е, такой, что
{Ах, Ау) = {х, у)
для всех х, у£Е. Группа автоморфизмов формы / обозначается через
Aut(/).
Предложение 11. Пусть f: Е X Е —> R — неособая билиней-
ная форма, А: Е—>Е — линейное отображение. Тогда А яв-
ляется автоморфизмом f в том и только в том случае, если zAA = id
и А обратимо.
Доказательство. Из равенства
{х, у) — {Ах, Ау) = {х, *ААу),
выполняющегося для всех х,у£Е, заключаем, что ‘АА — id, если
А — автоморфизм формы /. Обратное столь же очевидно.
Замечание. Если модуль Е свободен и конечномерен, то условие
*AA = id влечет обратимость А.
Пусть /: Е X Е —> R — билинейная форма. Мы будем говорить,
что / — симметрическая, если f (х, y) = f{y, х) для всех х, у £ Е.
Множество симметрических билинейных форм на Е будет обозначаться
символом L2S{E). Возьмем фиксированную симметрическую неособую
билинейную форму / на Е, записав ее в виде {х. y)i—> {х, у).
Эндоморфизм А : Е -> Е называется симметрическим относительно
f, если *А — А. Ясно, что множество симметрических эндоморфиз-
мов модуля Е является модулем, который мы будем обозначать через
Sym (Е). Имеем изоморфизм, зависящий от нашей фиксированной
симметрической неособой формы f,
Т\ (В) Sym (Е)
О Точнее, сопряженным к А слева. Об этом достаточно выразительно
свидетельствует обозначение ‘А. В английском тексте для ‘А использовано
название transpose в отличие от adjoint в эрмитовом случае. При переводе
было сохранено лишь различие в обозначениях: ‘А и А*. — Прим. ред.
382
ГЛ. XIII. МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Этот изоморфизм описывается следующим образом. Если g— симме-
трическая билинейная форма на Е, то существует однозначно опре-
деленное линейное отображение А, такое, что
§(%, у) = (Лх, у)
для всех х, у£Е. Используя тот факт, что обе формы /, g симме-
трические, получаем
(Ах, у) = (Ау, х} — (у, ‘Ах') = (‘Ах, у).
Следовательно, А=‘А. Сопоставление g 1—>А дает гомоморфизм
LS(E) в Sym (Е). Обратно, для заданного симметрического эндомор-
физма А модуля Е мы можем определить симметрическую форму пра-
вилом (х, у) ।—> (Ах, у), и сопоставление этой формы эндоморфизму А,
очевидно, дает гомоморфизм Sym (Е) в L2 (Е), обратный к предыду-
щему гомоморфизму. Следовательно, Sym(E) и Е?(Е) изоморфны.
Напомним, что билинейная форма g : Е X Е -> R называется зна-
копеременной, если g(x, х) = 0 для всех х£Е и, следовательно,
g (х, у) = — g (у, х) для всех х, у £ Е. Множество билинейных знако-
переменных форм на Е является модулем, обозначаемым символом
l?a (Е).
Пусть f:(x, y)i—> (х, у) — фиксированная симметрическая не-
особая билинейная форма на Е. Эндоморфизм А : Е—> Е будет на-
зываться кососимметрическим или знакопеременным относительно /,
если ‘А = —А и, кроме того, (Ах, х} = 0 для всех х Q Е. Если для
всякого aER соотношение 2а = О возможно лишь при а = 0, то
второе условие (Ах, а) = 0 излишне, так как (Ах, х) —— (Ах, х)
влечет (Ах, х') — 0. Ясно, что множество знакопеременных эндоморфиз-
мов модуля Е образует модуль, обозначаемый через Alt(E). Имеет
место изоморфизм, зависящий от нашей фиксированной симметри-
ческой неособой формы f,
£*(E)^Alt(E)
Этот изоморфизм описывается следующим образом. Если g—знако-
переменная билинейная форма на Е, то соответствующее ей линейное
отображение А — это такое отображение, для которого
g(x, у) = (4х, у)
при всех х,у£Е. Аналогично симметрическому случаю тривиально
проверяется, что соответствие g •*-* А дает нам искомый изоморфизм.
Примеры. Пусть k — поле, Е—конечномерное векторное про-
странство над k и f-.Ey^E—>Е—-билинейное отображение, записы-
§ 6 МАТРИЦЫ И БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
383
ваемое в виде (х, y)i—>ху. Каждому х^Е сопоставим линейное ото-
бражение кх: Е Е, для которого
К (У) = ху.
Тогда отображение, получаемое взятием следа, а именно
(х, у) tr (кху).
есть билинейная форма на Е. Если ху — ух, то эта билинейная форма
симметрическая.
Далее, пусть Е — пространство непрерывных функций на отрезке
[0,1], К (s, t) — непрерывная функция от двух вещественных перемен-
ных, определенная на квадрате 0 <1 $ <11 и Для ф, ф££
положим
(ф, ф) — 11 ф (s) К(s, 0 ф (t) ds dt,
где двойной интеграл берется по квадрату. Получаем билинейную
форму на Е. Если К (s, t)—K (t, s), то эта билинейная форма симме-
трическая. Когда мы в следующем параграфе будем рассматривать
матрицы и билинейные формы, читатель увидит аналогию между пре-
дыдущей формулой и билинейной формой, определяемой матрицей.
Наконец, пусть U — открытое подмножество вещественного ба-
нахова пространства Е (или конечномерного евклидова пространства,
если читатель на этом настаивает), и пусть /: U —>R — дважды непре-
рывно дифференцируемое отображение. Для всякого х £ U производ-
ная Df (ху. Е —> R есть непрерывное линейное отображение, а вторая
производная D2f (х) может рассматриваться как непрерывное симме-
трическое билинейное отображение Е Е в R.
§ 6. Матрицы и билинейные формы
Мы исследуем связь между понятиями, введенными выше, и мат-
рицами. Пусть f: Е\Р —> R — билинейное отображение, где Е, F —
свободные модули над R с базисами — [vv .... vm], =
= {Wj......соответственно. Положим gij — •Wj). Если
х = X^j + . .. + xrnvm
И
у = y1W14-... 4- ynwn
— элементы из Е и F соответственно с координатами xz, y^R, то
384
ГЛ. XIII. МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Пусть X ,Y— столбцы координат для х и у относительно наших
базисов. Тогда
(х, y) = ‘XGY,
где О — матрица Мы могли бы записать G = Будем
называть G матрицей, ассоциированной с формой f относительно
базисов
Обратно, если дана матрица G (размера т X »)> то из отображения
(X, Y}\—>lXGY
мы получаем билинейную форму. Таким образом, мы приходим к соот-
ветствию между билинейными формами и матрицами и ясно, что это
соответствие индуцирует изоморфизм (/?-модулей)
1?(Е, F; /?)<-> Matmx„(/?)
задаваемый правилом
Два отображения между этими двумя модулями, описанные нами выше,
очевидно, обратны друг другу.
Если базисы {Up . ,.,ия) и .... таковы, что
(uz, w;)=6/y-, то будем говорить, что эти базисы дуальны друг
другу. В этом случае билинейное отображение имеет на (Д', Y)
значение
Д’ • F = х1у1 хпуп,
задаваемое обычным скалярным произведением.
Легко найти общее правило, по которому изменяется матрица G,
когда мы меняем базисы в Е и F. Однако мы выпишем явную фор-
мулу только в том случае, когда E = F и $ = $'. Итак, имеем
билинейную форму f: Ey^E->R. Пусть — другой базис в Е.
Будем писать Х% и Х<$ для столбцов, соответствующих элементу х
из Е относительно этих двух базисов. Обозначим через С обратимую
матрицу М* (id), для которой
х& = СХ%.
Тогда наша форма задается формулой
(х, y') = tX^tCGCY<g.
Мы видим, что
М%(/) = ‘СМ%(Г)С. (1)
Другими словами, матрица билинейной формы преобразуется при по-
мощи матрицы С перехода от одного базиса к другому и транспони-
рованной к ней матрицы 1С.
§ 6. МАТРИЦЫ И БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
385
Если F — свободный модуль над R с базисом {Tip .... Т1Я},
то Hom^(F, R)— также свободный модуль и имеется дуальный
базис [т]1, ..., т)я}
П* (т|;) = (>и
Это проверяется точно так же, как для векторных пространств над
полями.
Предложение 12. Пусть Е, Е — свободные модули раз-
мерности п над R и f:E%F->R — некоторая билинейная форма.
Следующие условия эквивалентны'.
Форма f — неособая слева.
Форма f — неособая справа.
Форма f — неособая.
Определитель матрицы f относительно любых базисов обра-
тим в R.
Доказательство. Предположим, что f — неособая слева. Фик-
сируем некоторый базис в Е, относительно которого будем записывать
элементы из £ в виде столбцов и рассмотрим матрицу О для /.
Тогда наша форма будет задаваться отображением
(X, Юь-э-'ХОГ,
где X, Y — столбцы с коэффициентами в R. По предположению
отображение
Xt—>‘XG
задает изоморфизм между модулем столбцов и модулем строк длины п
над R. Следовательно, матрица О обратима, так что ее определитель
есть единица в R. Обратное столь же очевидно, и мы видим, что
если det(G) есть единица, то отображение
Уь-^GY
должно быть изоморфизмом модуля столбцов на себя. Это доказывает
наше утверждение.
Исследуем теперь, как ведет себя в терминах матриц отображение,
сопряженное к данному. Пусть Е, F — свободные модули над R раз-
мерности п.
Пусть f:Ey^F¥—>R — неособая билинейная форма, и предпо-
ложим, что заданы базисы в Е и в F. Пусть Q — матрица f
относительно этих базисов и А:Е->Е—линейное отображение
с матрицей М относительно <%. Если х £ Е, у £ F и X, Y — их столбцы
относительно SA, SS', то
(Их, у) = \1ЛХ) G Y = ‘X'MGY.
386
ГЛ XIII МАТРИЦЫ и линейные отображения
Пусть N — матрица отображения ‘А относительно базиса <$'. Тогда
NY есть столбец элемента *Ау относительно SS'. Следовательно,
(х, tAy')-=tXGNY.
Отсюда заключаем, что ‘MG — GN, и так как матрица О обратима,
то мы можем выразить М через М. Получаем
Предложение 13. Пусть Е, F—свободные модули размер-
ности п над R, f-.E у^Е -> R — неособая билинейная форма, —
базисы над R в Е и F соответственно и G—матрица f относитель-
но этих базисов. Пусть А: Е-> Е — линейное отображение и М—
его матрица относительно $. Тогда матрицей относительно <$'
сопряженного к А отображения 1А будет
(G-^MG.
Следствие 1. Если G — единичная матрица, то матрица
сопряженного отображения 1А получается из матрицы отображе-
ния А переходом к транспонированной матрице.
В терминах матриц и базисов мы получаем следующую характе-
ризацию того факта, что матрица индуцирует автоморфизм формы:
Следствие 2. Сохраняя обозначения предложения 13, поло-
жим E — F и $ = !$'. Матрица М размера п^п тогда и
только тогда является матрицей автоморфизма формы f (отно-
сительно нашего базиса), когда
‘MGM = G.
В частности, если это условие удовлетворяется, то матрица М
обратима.
Доказательство. Используем определения и формулу, дока-
занную в предложении 13. Отметим, что М обратима хотя бы потому,
что ее определитель есть единица в R.
Матрица М над R называется симметрической (соответственно
кососимметрической J)), если (М = М (соответственно если ‘М = — М
и диагональные элементы в М равны 0).
Предложение 14. Пусть Е — свободный модуль размерности
п над R и У? — фиксированный базис. Отображение
f-*M%(f)
индуцирует изоморфизм между модулем симметрических били-
нейных форм на Еу^Е (соответственно модулем знакоперемен-
’) В тексте — знакопеременной что, понятно, одно и то же, когда 2 не
является делителем нуля в R. — Прим. ред.
§ 6. МАТРИЦЫ И БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
387
них форм на Е%Е) и модулем симметрических матриц разме-
ра n'/ji над R (соответственно модулем кососимметрических
матриц размера п'Хп над R).
Доказательство. Рассмотрим сначала симметрический случай.
Предположим, что форма f симметрическая. Пусть в терминах коор-
динат G = M#(f). Наша форма задается произведением lXGY, ко-
торое должно быть равно ‘YGX в силу симметричности. Однако
‘XOY можно рассматривать как матрицу размера 1X1, совпадающую
со своей транспонированной матрицей, а именно с lY‘OX. Таким
образом,
tYGX = tYtGX
для всех векторов X, Y. Отсюда следует, что G = ZG. Обратно,
очевидно, что любая симметрическая матрица определяет симметри-
ческую форму.
Что касается знакопеременных форм, то, заменяя х на хф-у
в соотношении (х, х) = 0, получим
(х, у) + (у, х) = 0.
В терминах координатных векторов X, Y и матрицы G это дает
‘XGY-^YOX = 0.
Перейдя, скажем, от второй из матриц размера 1X1- входящих
в это соотношение, к транспонированной, получим (для всех X, Y)
tXGY+tXtGY =- 0.
Следовательно, О-ф^ = 0- Кроме того, беря в качестве X любой
из единичных векторов
'(0.....0, 1, 0, . . ., 0)
и используя соотношение ‘XGX = 0, находим, что диагональные
элементы в О должны быть равны 0. Обратно, если матрица G раз-
мера n X п такова, что *О-\-О = 0 и gi{ = 0 для I = 1, . . ., п,
то непосредственно проверяется, что отображение
(X, Y)t->‘XGY
определяет знакопеременную форму. Это доказывает наше пред-
ложение.
Разумеется, если, как это обычно бывает, элемент 2 не является
делителем нуля в R, то из условия 1М =— М следует, что диаго-
нальные элементы в М должны быть равны 0. Таким образом, в этом
случае прямо из G4-zG = 0 вытекает, что форма знакопеременная.
388
ГЛ. XIII. МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
§ 7. Полуторалинейная двойственность
Существуют формы „почти" билинейные, для которых описанные
выше результаты остаются верными почти без изменений; их нужно
рассмотреть отдельно для сохранения ясности в используемых обо-
значениях.
Пусть R имеет автоморфизм периода 2. Мы будем записывать
этот автоморфизм так: (имея в виду аналогию с комплексным
сопряжением).
Следуя Бурбаки, будем говорить, что отображение
/: E%F~>R
является полуторалинейной, формой, если оно Z-билинейно и если
для х £Е, y£F и a£R мы имеем
f(ax, y) = af(x, у)
И
f(x, ay) = af(x, у).
Пусть Е, Е' — модули. Отображение <р: Е—Е' называется анти-
линейным (шш полулинейным), если оно Z-липейно и <р (ах) = ац> (х)
для всех х£Е. Таким образом, мы можем сказать, что полутора-
линейная форма линейна по своему первому аргументу и антилинейна
по второму аргументу. Пусть Hotn/?(£', Е') обозначает модуль анти-
линейных отображений Е в Е'.
Теперь мы последовательно повторим все те замечания, кото-
рые раньше были сделаны для билинейных форм.
Для полуторалинейной формы / определяем, как и прежде, пер-
пендикулярность, а также ядра справа и слева. Эти ядра являются
подмодулями, скажем, Ео и Fo, и мы получаем индуцированную
полуторалинейную форму
eieoxf/fo-+r,
которая невырождена с обеих сторон.
Пусть F—/^-модуль. Назовем его антимодулем модуль Е, адди-
тивная группа которого та же, что и у F, а операция R X F —> F
задается отображением
(a. y)v-^ay.
Имеем естественный изоморфизм /^-модулей
Нотл(^’ /?)*-* НотR (F, R).
Полуторалинейная форма /: E)(F -> R индуцирует линейное
отображение
qy E^-Hompff, R).
§ 7. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ
389
Мы говорим, что f — неособая слева, если фу—изоморфизм. Анало-
гично имеем соответствующее линейное отображение
ф': F —> Hom^ (Е, R)
модуля F в модуль, дуальный к Е, и мы говорим, что f — неособая
справа, если ф' — изоморфизм. Мы говорим, что форма f неособая,
если она неособая слева и справа.
Заметим, что наша полуторалинейная форма f может рассматри-
ваться как билинейная форма
/: EyF->R
и наши понятия неособости совместимы с соответствующими поня-
тиями, определенными раньше для билинейных форм.
Имея фиксированную неособую полуторалинейную форму на E\F,
мы получаем зависящий от этой формы изоморфизм между моду-
лем полуторалинейных форм на £' X F и модулем эндоморфизмов
модуля Е. Мы также получаем антиизоморфизм между этими моду-
лями и модулем эндоморфизмов модуля F. В частности, мы можем
ввести понятие сопряженного эндоморфизма, обозначаемого в случае
полуторалинейных форм звездочкой. Именно, пусть /: Е X F —> R —
неособая полуторалинейная форма, А: Е—>Е—некоторое линейное
отображение. Существует однозначно определенное линейное ото-
бражение
A*: F-+F,
такое, что
(Ах, у) = (х, А*у)
для всех х£Еиу£Р. Отметим, что Л* линейно, а не антилинейно.
Мы называем Л* сопряженным с А относительно нашей формы /.
Имеют место правила
(сАУ = сА*, (Л 4- В/ = Л* 4- В*, (АВ)*=В*А*
для линейных отображений А, В модуля Е в себя и с £ R.
Предположим, что E—F. Пусть /: Е X Е —> R — полуторалиней-
ная форма. Под автоморфизмом формы / мы будем понимать линей-
ное отображение Л: Е->Е, для которого
(Ах, Лу) = (х, у),
в полной аналогии с автоморфизмами для билинейных форм.
Предложение 11 П. Пусть /: E\E->R—неособая полу-
торалинейная форма, А: Е->Е — некоторое линейное отображе-
ние. Тогда А является автоморфизмом f в том и только в том
случае, если А*А = id и А обратимо.
390
ГЛ XIII МАТРИЦЫ и линейные отображения
Доказательства этого, а также всех последующих предложений,
полностью аналогичные соответствующим доказательствам из били-
нейного случая, опускаются.
Полуторалинейная форма g'. Е X Е -> R называется эрмито-
вой, если
g(x, y) = g(y, х)
для всех х, у£Е. Множество эрмитовых форм на Е будет обозна-
чаться через Ад (Е). Пусть R$— подкольцо в R, состоящее из всех
элементов, неподвижных относительно нашего автоморфизма ai—>а
(т. е. состоящее из всех элементов а £ R, таких, что а = а). Тогда Ад (£)
есть /?0-модуль.
Фиксируем некоторую эрмитову неособую форму f: (х, y)i—>(х, у}
на Е. Эндоморфизм А: Е—>Е называется эрмитовым относительно/,
если А* = А. Ясно, что множество эрмитовых эндоморфизмов
является /?0-модулем, который мы будем обозначать символом Herm (Е).
Имеет место R^-изоморфизм, зависящий от нашей фиксирован-
ной эрмитовой неособой формы, f,
Ад (Е) «-> Herm (Е)
Этот изоморфизм описывается следующим образом. Эрмитова форма g
тогда и только тогда соответствует эрмитову отображению А, когда
g(x, у)~(Лх, у)
для всех х, у£Е.
Опишем теперь связи между нашими понятиями и матрицами,
так же как это мы сделали для билинейных форм.
Начнем с полуторалинейной формы /: E'X.F^-R.
Если Е, F — свободные модули и мы, как и прежде, выбрали
в них базисы, то снова можно сопоставить нашей форме матрицу О,
и в терминах координатных векторов X, У эта полуторалинейная
форма будет задаваться отображением
(X У)^‘ХОУ,
где У — вектор, полученный из У применением нашего автоморфизма
к каждой компоненте У.
Если E=F и мы используем один и тот же базис и справа,
и слева, то в тех же обозначениях, которые использованы в фор-
муле (1), последняя для полуторалинейных форм / принимает вид
<(/) = <С’Л4|(/)С. (1 П>
Таким образом, в формуле появляется автоморфизм сопря-
жения.
§ 7. ПОЛУТОРАЛИНЕЙНАЯ ДВОЙСТВЕННОСТЬ
391
Предложение 12 П. Пусть Е, F— свободные модули раз-
мерности п над R и f: EyF->R — полуторалинейная форма.
Тогда следующие условия эквивалентны'.
Форма f — неособая слева.
Форма f — неособая справа.
Форма f— неособая.
Определитель матрицы f относительно любых базисов обра-
тим в R.
Предложение 13 П. Пусть Е, F — свободные модули раз-
мерности п над R, f: E'y^F >R — полуторалинейная форма.
Пусть <%, — базисы над R для Е и F соответственно и О —
матрица / относительно этих базисов. Пусть, наконец, А'.Е-+Е —
линейное отображение и М — его матрица относительно $. Тогда
матрицей относительно сопряженного к А отображения А*
будет
(G~')z МО.
Следствие 1. Если О — единичная матрица, то матрица
отображения А* равна ‘М.
Следствие 2. Сохраняя обозначения предложения, поло-
жим E = F и = $?' Матрица М размера пАп тогда и
только тогда является матрицей автоморфизма формы f (отно-
сительно нашего базиса), когда
fMGM = Q.
Матрица М называется эрмитовой, если 1М — М.
Пусть, как и прежде, Ro—подкольцо в R, состоящее из всех
элементов, неподвижных относительно нашего автоморфизма at—>а
(т. е. состоящее из всех элементов а £ R, таких, что а = а).
Предложение 14 П. Пусть Е — свободный модуль размер-
ности п над R и $ — его базис. Отображение
f^M^(f)
индуцирует RQ-изоморфизм между /?0-модулем эрмитовых форм
на Е и Rf^-модулем эрмитовых матриц размера пу^п над R.
Замечание. Если бы мы предположили с самого начала, что наш
автоморфизм at—заимеет период 2 или 1 (т. е. если бы мы позво-
лили ему быть тождественным), то результаты о билинейных и сим-
метрических формах стали бы частными случаями результатов этого
параграфа. Однако неудобства, которые причинила бы путаница в обо-
значениях, вполне оправдывают сделанное нами повторение.
392
ГЛ. XIII. МАТРИЦЫ-И линейные отображения
Терминология
По некоторой странной причине группа автоморфизмов симме-
трической (соответственно знакопеременной или эрмитовой) формы
на векторном пространстве называется ортогональной (соответственно
симплектической или унитарной) группой этой формы. Слово
„ортогональный" особенно неудачно, так как ортогональное отобра-
жение сохраняет не только ортогональность — оно сохраняет также
скалярное произведение, т. е. длину. Далее, слово „симплектический"
также неудачно. Дело в том, что часто рассматривают эрмитовы
формы над некоторыми телами (обладающими автоморфизмами по-
рядка 2), и их группы автоморфизмов также были названы симплек-
тическими, что создает настоящую путаницу с использованием этого
слова применительно к знакопеременным формам.
Я обсуждал с несколькими лицами вопрос, как унифицировать и
улучшить терминологию, и нам кажется, что можно было бы принять
следующие соглашения.
Как сказано в тексте, группа автоморфизмов любой формы / обо-
значается символом Aut(/).
С другой стороны, имеется стандартная форма, которая над полем
вещественных чисел выражается через координаты в виде
f(x, х) = х2Д- ... 4-^2,
над полем комплексных чисел
f(x, х) = х1х1 + ... +хпхп
и над телом кватернионов — посредством той же формулы, что и
в комплексном случае. Группу автоморфизмов этой формы следо-
вало бы называть унитарной группой и обозначать через Uп. Группы
точек из Un в поле вещественных чисел (соответственно в поле ком-
плексных чисел или в теле кватернионов) тогда обозначались бы через
t/„(R), Un(C), ' Un(K).
и эти три группы назывались бы вещественной унитарной груп-
пой (соответственно комплексной унитарной группой или кватер-
нионной унитарной группой). Аналогично группа точек из Uп
в, любом подполе или подкольце k тела кватернионов обозначалась бы
через Un(k).
Наконец, если /—стандартная знакопеременная форма, задавае-
мая матрицей
I ° ч
о/’
то ее группу автоморфизмов -можно было бы обозначать через А2/г
и называть группой знакопеременной формы или просто знакопере-
УПРАЖНЕНИЯ
393
менной группой, если нет опасности спутать ее со знакопеременной
группой перестановок. Группа точек группы знакопеременной формы
в поле k обозначалась бы тогда через А2„ (k).
Как обычно, подгруппа в Aut(/), состоящая из тех элементов,
определитель которых равен 1, обозначалась бы добавлением впереди
буквы S и называлась бы по-прежнему специальной группой. В че-
тырех стандартных случаях это дает S(7„(R), SUn(C), SU„(K),
SA2n(k).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Интерпретировать ранг матрицы А в терминах размерности образа
и ядра линейного отображения L^.
2. Пусть J — модуль над коммутативным кольцом /?. Говоря, что били-
нейное отображение <j X Я J, записываемое в виде (х, у) i—> [х, у], наде-
ляет j структурой алгебры Ли, если [х, х]=0 и
[ [*. у], г1 + [ [у. г], х] + [ [г, х], у] = О
для всех х, у,
(а) Пусть Мп (R) — кольцо матриц над R. Показать, что если х, у £ Mn(R),
то произведение
(х, у) i—> [х, у] = ху —ух
превращает Мп (/?) в алгебру Ли.
(б) Пусть J — алгебра Ли. Сопоставим всякому элементу х £ J линейное
отображение adx, задаваемое формулой (adx) (у) = [х, у]. Показать, что
adx — дифференцирование tj в себя (т. е. удовлетворяет правилу D ([х, у])=
= [£>*, уЦ-[х, Dy]).
(в) Показать, что отображение х i—> ad х является гомоморфизмом
алгебры Ли д в модуль дифференцирований д в себя *)•
3. Если задано некоторое множество многочленов {Pv(Xij)} в кольце
многочленов R [Ху] (1 <Л’, j^n), то нуль этого множества в R — это вся-
кая матрица х = (ху), такая, что x-tj6:_R и Pv (хц) =0 для всех v. Исполь-
зуя векторные обозначения, пишем (А') = (А'у). Пусть G (R) обозначает мно-
жество нулей нашего множества многочленов {/%}• Таким образом, G(R)cz
сг Мп (R), н если R' — произвольная коммутативная ассоциативная /(-алгебра,
то G (R') cz Мп (/?')• Мы будем говорить, что множество {Pv} определяет
алгебраическую группу над R, если G (/?') есть подгруппа группы GLn(R')
для всех R' (где GLn (/?') — мультипликативная группа обратимых матриц
в R’).
Например, группа матриц, удовлетворяющих уравнению 1ХХ — I п,
является алгебраической группой.
Пусть R'— R [/]—/(-алгебра, которая свободна как /(-модуль с бази-
сом {1, Z}, где /2 = 0. Обозначим через д множество матриц x£Mn(R),
таких, что In-}-tx£G (R[t]). Показать, что g — алгебра Ли. [Указание: за-
метить, что
(4 + tX) = Ру (/п) 4- grad Pv (/„) tX-
') Дифференцирования образуют алгебру Ли относительно операции
[Db D^\ — DXD2— D2DX.— Прим. ped.
394
ГЛ. XIII. МАТРИЦЫ и линейные отображения
Использовать алгебру R [t, и], где t2 = и2 = 0, чтобы показать, что если
Л>-Н-к£О(/?[/]) и fn+uy ^G (/?[«]), то [х, уЙ?-1
(Я взял предыдущее из первых четырех страниц записок Серра по груп-
пам и алгебрам Ли (S е г г е J.-P., Lie algebras and Lie groups, New York —
Amsterdam, 1965 (готовится русский перевод в изд-ве „Мир“)). За даль-
нейшей информацией, помимо записок Серра, можно обращаться к книгам
Джекобсона, Бурбаки и др.)
4. Пусть Е— конечное расширение поля k. Возьмем элемент оХ Е и
рассмотрим ^-линейное отображение /а: /? -> Е, для которого /а (х) = ах.
Показать, что след этого линейного отображения совпадает со следом Тг^ (а),
определенным в теории полей. [Указание: сначала предположить, что
£ = Л(а), взять в качестве базиса степени а и вычислить след /а относи-
тельно этого базиса. Какова будет матрица fa относительно этого базиса?)
5. Пусть Е — конечное расширение поля k. Показать, что норма (а)
равна определителю det (/а) (обозначения из предыдущего упражнения).
6. Пусть А — обратимая матрица над коммутативным кольцом R. Пока-
зать, что (ZA)-1 = Z(A~').
7. Пусть f — неособая билинейная форма на модуле Е над R. Пусть
А — /^-автоморфизм модуля Е. Показать, что (ZA)-1 = *(А-1). Доказать то же
самое в эрмитовом случае, т. е. что (А*)-1 = (А-1)*.
8. Пусть А,.Аг — строки размерности п над полем k. Пусть
А = (л,, ..., хп) и X, ..., br^k. Под системой линейных уравнений над k
понимают систему типа
А1 -А = ... , Аг-А = Ьг.
Если — ... = Ьг — 0, то говорят, что система однородная. Мы называем/г
числом неизвестных, а г — числом уравнений. Решение X однородной системы
называется тривиальным, если х> = 0, i = 1, ..., п.
(а) Показать, что однородная система из г линейных уравнений с п не-
известными при п > г всегда имеет нетривиальное решение.
(б) Пусть L — система однородных линейных уравнений над полем k,
причем k — подполе в k'. Показать, что если L имеет нетривиальное реше-
ние в k', то она имеет нетривиальное решение также в k.
9. Пусть М — матрица размера п X п над полем k. Предположим, что
tr(44A)=0 для всех матриц X размера п X п над k. Показать, что 44=0.
10. Пусть S — некоторое множество матриц размера п X п над полем /г.
Показать, что столбец X =£ 0 размерности п над k такой, что MX = X для
всех Al £ S существует в том и только в том случае, если такой столбец
существует над некоторым расширением k' поля k.
11. Пусть К — тело над полем вещественных чисел, порожденное эле-
ментами I, j, k, такими, что I2 — j2 = k2 = —1 и
ij = — ji = k, jk = — kj = Z, ki = — ik = j.
Тогда К обладает антиавтоморфизмом порядка 2, задаваемым отображением
ай —а] a2j —a^k к н> а§ — а21 — ау] —- a2k.
УПРАЖНЕНИЯ
395
Обозначим этот антиавтоморфизм так: a i—> а. Чему равно аа? Показать,
что теория эрмитовых форм может быть построена над телом К, которое
называется телом кватернионов.
12. Пусть /н, /1л — многочлены от п переменных над полем k, ко-
торое можно считать алгебраически замкнутым. Предположим, что эти мно-
гочлены порождают единичный идеал в кольце многочленов k [X,......Х„].
Выяснить, существуют ли многочлены ftp такие, что определитель
f11 f12 • • fIn
f 21 f22 • • • f 2П
f n\ f 2П2 • • • f ПП
равен 1. (Это очень интересная проблема, которая впервые возникла, когда
Серр пытался узнать, является ли всякий конечно порожденный проектив-
ный модуль над кольцом многочленов свободным. Ответ на нее до сих пор
неизвестен (при п>-3). Однако если /и, ..., /1П берутся из целостного
кольца главных идеалов, то аналогичная задача является легким упражне-
нием.)
13. Пусть А, В — квадратные матрицы одного и того же размера над
полем k. Предположим, что В неособая (т. е. обратимая). Показать, что если
t — переменная, то det(4-|-^B) является многочленом от t, старший коэф-
фициент которого есть det (В), а свободный член равен det (Л).
Глава XIV
Структура билинейных форм
§ 1. Предварительные сведения, ортогональные суммы
Цель этой главы — проникнуть несколько глубже в структурную
теорию наших трех типов форм. При этом мы будем большей частью
предполагать, что основное кольцо является полем и даже полем
характеристики 2 в симметрическом случае.
Напомним наши три определения. Пусть Е— модуль над комму-
тативным кольцом R, g: E/XE^>R— некоторое отображение. Би-
линейное отображение g мы называем симметрической формой, если
g(x, y) = g(y, х) для всех х, у£Е. Мы называем форму g зна-
копеременной, если g(x, х) = 0 и, следовательно, g(x, у) =
= — g(y, х) для всех х, у£Е. В том случае, когда R имеет авто-
морфизм а\—>а порядка 2, мы говорим, что g — эрмитова форма,
если отображение g линейно по своему первому аргументу, антили-
нейно по второму и
g(x, y) = g(y, х).
Мы будем писать g(x, у) = (х, у), если ясно, о какой форме g
идет речь. Мы также иногда будем писать g(x, у>) = х-у или
g (х, х) — х2, называя g скалярным произведением.
Если г/j, .. ., vm £ Е, то будем обозначать через .....vm)
подмодуль в Е, порожденный элементами vt.....vm.
Пусть форма g симметрическая, знакопеременная или эрмитова.
Тогда ясно, что левое ядро g равно ее правому ядру; оно будет
называться просто ядром g.
В любом из этих случаев мы будем говорить, что форма g не-
вырожденная, если ее ядро равно 0. Предположим, что Е конечно-
мерно над некоторым полем k. Тогда форма невырождена в том и
только в том случае, если она неособая, т. е. индуцирует изомор-
физм Е с его дуальным пространством (антидуальным в случае эрми-
товых форм)-.
За исключением нескольких замечаний об антилинейности из
предыдущей главы, в этой главе мы не будем использовать резуль-
татов о двойственности. Нам потребуется только двойственность над
полями, рассмотренная в гл. III. Кроме того, нам по существу не при-
§ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СУММЫ
397
дется здесь встречаться с матрицами, за исключением замечаний о
пфаффиане в § 10.
Введем еще одно обозначение. При изучении форм на векторных
пространствах мы будем часто разлагать векторное пространство
в прямые суммы ортогональных подпространств. Если Е— вектор-
ное пространство с формой g и F, F' — его подпространства, то мы
будем писать
E = F±F'
для обозначения того факта, что Е есть прямая сумма F и F' и
что F ортогонально (или перпендикулярно) F', т. е., другими сло-
вами, х у (или {х, у) = 0) для всех х£Р и y£F'. Мы в этом
случае будем говорить, что Е является ортогональной суммой F
и F'. Это не будет приводить к путанице с использованием сим-
вола в тех случаях, когда мы пишем F | р' лишь для обозна-
чения того, что F перпендикулярно F'. Из контекста всегда будет
ясно, что мы имеем в виду.
Большая часть этой главы посвящена получению определен-
ных ортогональных разложений векторного пространства с одним
из наших трех типов форм, таких, что каждое слагаемое
в сумме имеет некоторый легко распознаваемый тип.
В симметрическом и эрмитовом случаях особенно интересны пря-
мые разложения, слагаемые в которых одномерны. Так, в случае
симметрической или эрмитовой формы ( , ) мы говорим, что
{т/р .... vn]— ортогональный базис (относительно этой формы),
если (х/р х/у) = 0 для всех I Ф j. Очевидно, что всякий ортогональ-
ный базис дает такое разложение. Если форма невырожденная и
если {х/р . . ., х/„} —ортогональный базис, то непосредственно видно,
что (х/р х>(-) 4= 0 ни для какого I.
Предложение 1. Пусть Е — векторное пространство над
полем k и g—форма одного из трех указанных выше типов.
Предположим, что Е представляется в виде ортогональной суммы
Е = -L • • _L ^т-
Тогда g невырождена на Е в том и только в том случае, если
она невырождена на каждом Et. Если E°t — ядро ограничения g
на Et, то ядром g на Е будет ортогональная сумма
= ... ±t?m.
Доказательство. Элементы v, w из Е однозначно запи-
сываются в виде
х/=2^>
i-i i~i
398
ГЛ XIV. СТРУКТУРА БИЛИНЕЙНЫХ ФОРМ
где vt, Тогда
т
V W — Wi
i = l
и v-w = 0 для всех wf^E в том и только в том случае, если
.ад. — 0 для всякого 1=1...........т. Теперь наше утверждение
очевидно.
Заметим, что если Ev ..., Ет — векторные пространства над k
И gm— формы на этих пространствах, то мы можем опре-
делить форму g = gr ф . . . ф gm на прямой сумме Е = Ег ф . . . ф Ет\
а именно, если v, 'W записаны как выше, то полагаем
g(V, w) = 2 gi(Vi, ^l)-
i-1
Ясно, что при этом фактически Е = Ех ]_ ... Ет. Мы могли бы
также писать g = gx J_ ... J_ gm.
Предложение 2. Пусть E — конечномерное пространство
над полем k и g — форма на Е одного из упомянутых выше ти-
пов. Предположим, что g невырождена. Пусть F — подпростран-
ство в Е. Форма g тогда и только тогда невырождена на F,
когда F-}-F^- = E, причем невырожденность на F эквивалентна
невырожденности на Р^~.
Доказательство. Имеем (как тривиальное следствие из гл. III,
§ 5)
dim F -ф- dim F^~ = dim Е = dim (F -ф- F^) -ф- dim (р П F^~).
'Следовательно, F~]-F-^ = E тогда и только тогда, когда
dim (F П F-*-) = 0. Отсюда тотчас вытекает наше первое утверждение.
Так как F, F-^ входят в размерностное условие симметрично, то
отсюда вытекает также наше второе утверждение.
Вместо того чтобы говорить, что форма невырождена на Е, мы
будем иногда, допуская вольность, говорить, что само Е невыро-
ждено.
Пусть Е — конечномерное пространство над полем k, g — форма
одного из упомянутых выше типов и Ео—ядро этой формы. Мы полу-
чаем индуцированную форму того же самого типа
go'- £7^0 X F/Fo —> k,
поскольку g(x, у) зависит только от смежного класса х и смежного
класса у по модулю Е!у При этом g$ — невырожденная, так как ее
ядро с обеих сторон равно 0.
§ 2. квадратичные отображения
399
Пусть Е, Е'—конечномерные векторные пространства с формами
g, g' соответственно. Линейное отображение а: Е—>Е' называется
метрическим, если
g'(ox, ay)^g(x, у)
или, в других обозначениях, ох • оу = х у для всех х, у£Е. Если
отображение о—линейный метрический изоморфизм, то мы будем
говорить, что о—изометрия. Формы g', g при этом называются
изометричными (или эквивалентными).
Пусть Е, Ео обозначают то же, что и выше. Тогда мы имеем
индуцированную форму на факторпространстве Е1Е^. Если W — допол-
нительное подпространство к £0, т. е. Е = E0Q)W, то каноническое
отображение о: Е—>Е/Е0 — метрическое и индуцирует изометрию W
на Е/Еп. Это утверждение очевидно. Оно показывает, что если
E = E0Q)W' — другое разложение Е в прямую сумму, то W изо-
метрично W. Мы знаем, что пространство IT =s= Е)Ей невырождено.
Следовательно, наша форма определяет однозначно с точностью
до изометрии невырожденную форму на подпространстве, дополни-
тельном к ядру.
§ 2. Квадратичные отображения
Пусть R— коммутативное кольцо и Е, F — /^-модули. Как обычно,
будем опускать приставку R. Напомним,, что билинейное отображение
/: E'/E->F называется симметрическим, если f (х, y) = f(y, х)
для всех х, у£Е.
Будем говорить, что F не имеет 2-кручения, если для всякого
y£F, такого, что 2у = 0, мы имеем у = 0. (Это выполняется, если
элемент 2 обратим в R.)
Пусть /: E—>F—некоторое отображение. Мы будем говорить,
что f квадратично (т. е. /^-квадратично), если существуют симметри-
ческое билинейное отображение g-. Е X Е —> F и линейное отображе-
ние /г: E-+F, такие, что для всех х£Е имеем
f(x) = g(x, х) ±h{x).
Предложение 3. Предположим, что F не имеет '2-круче-
ния. Пусть /: Е —> F — квадратичное отображение, выраженное,
как выше, через симметрическое билинейное отображение g и
линейное отображение h. Тогда g, h однозначно определяются
отображением f. Для всех х, у£Е имеем
2g(x, у) = /(х + у)-/(х)-/(у).
Доказательство. Если мы вычислим f (ху)—f (х)—f (у),
то получим 2g (х, у). Если gx — симметрическое билинейное отобра-
400
ГЛ. XIV. СТРУКТУРА БИЛИНЕЙНЫХ ФОРМ
жение, /Zj—линейное отображение и /(х) = gx (х, х)Д- h{ (х), то
2g (х, y) = 2gx(x, у). Так как по предположению F не имеет 2-кру-
чения, то отсюда вытекает, что g(x, y) = gl(x, у) для всех х, у£Е
и, следовательно, g однозначно определено. Но тогда h определяется
из соотношения
h(x) = f (х) — g(x, х).
Мы будем называть g, h билинейным и линейным отображениями,
ассоциированными с /.
Для отображения f: Е—> F определим
Д/: E\E->F,
положив
Д/ (X, у) = / (х 4- у) — / (х) — / (у).
Мы буаем говорить, что / — однородное квадратичное отображение,
если оно квадратичное и если ассоциированное с ним линейное ото-
бражение равно 0. Мы будем' говорить, что модуль F однозначно
делим на 2, если для всякого z£F существует единственный эле-
мент u£F, такой, что 2u — z. (Это снова выполняется, если элемент 2
обратим в R.)
Предложение 4. Пусть f'. Е->Р — такое отображение, что
билинейно, причем модуль F однозначно делим на 2. Тогда
отображение хн->/(х) — -|-Д/(х, х) Т-линейно. Если / удовле-
творяет условию f (2х) = 4/ (х), то f — однородное квадратичное.
Доказательство. Очевидно.
Под квадратичной формой на Е понимают однородное квадра-
тичное отображение /: ЕR со значениями в R.
В дальнейшем мы в основном будем интересоваться симметри-
ческими билинейными формами. Квадратичные формы будут играть
второстепенную роль.
Рассматривая квадратичные формы в § 3—8, мы будем пред-
полагать, что k — поле характеристики =#2. В оставшейся
части главы мы будем также предполагать, что все модули
и векторные пространства конечномерны.
§ 3. Симметрические формы, ортогональные базисы
Теорема 1. Пусть Е—векторное пространство над k и
g — симметрическая форма на Е. Если dimB^-1, то в Е суще-
ствует ортогональный базис.
§ 3. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМЫ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ
401
Доказательство. Предположим сначала, что форма g не-
вырожденная, и докажем в этом случае наше утверждение по индук-
ции. Если размерность п равна 1, то утверждение очевидно.
Предположим, что п>1. Пусть •v1 £ Е— элемент, для которого
и2 =# 0 (такой элемент существует, поскольку по предположению
характеристика =/=2 и форма g ненулевая). Пусть F = ('u1) — под-
пространство, порожденное vv Тогда F невырождено и в силу пред-
ложения 2
Е = Д4-Д1.
Кроме того, dimF1- = /i—1. Пусть [v2.....vn]—ортогональный
базис в F\ Тогда элементы {г/;.....v„] попарно ортогональны.
Кроме того, они линейно независимы, так как если
«А -+-••• 4-«Л = 0,
где a^k, то, взяв скалярное произведение на v., получим a.vl — O,
откуда а,- = 0 для всех I.
Замечание. Фактически мы показали, что если g невырожденная
и элемент v £ F таков, что v2 #= 0, то можно дополнить v до орто-
гонального базиса в Е.
Предположим теперь, что форма g вырожденная. Пусть Ео — ее
ядро. Мы можем записать Е в виде прямой суммы
для некоторого подпространства W. Ограничение g на W невыро-
ждено, иначе существовал бы элемент =/= 0 в W, лежащий в ядре Е.
Следовательно, если (w,, ..., — произвольный базис Ео и
{Wj...—ортогональный базис W, то
N1.....Vr, Wj.....wn_r]
— ортогональный базис в Е, что и требовалось показать.
Следствие. Пусть {г»!......—ортогональный базис в Е.
Предположим, что f J ¥= 0 для i^_r и v2 = 0 для 1~>г. Тогда
ядро в Е равно (vrJ_v ..., г/„).
Доказательство. Очевидно.
Если .......vn]— ортогональный базис пространства Е и если
X = x}vl+ ... +xnv„, xt£k,
ТО
А'2 = Й1Х2
где а; = (vz, vt). Об этом представлении формы мы скажем, что она
приведена к диагональному виду. Непосредственно видно, что по
402
ГЛ XIV СТРУКТУРА БИЛИНЕЙНЫХ ФОРМ
отношению к ортогональному базису ассоциированная матрица формы
является диагональной матрицей, а именно
«1
а,2 0
0
0
0
§ 4. Гиперболические пространства
Пусть Е—векторное пространство над k с симметрической фор-
мой. Мы будем говорить, что Е— гиперболическая плоскость, если
форма невырождена, Е имеет размерность 2 и в Е существует элемент
w =/= 0, такой, что и?2 = 0. Мы будем говорить, что Е—гиперболи-
ческое пространство, если оно является ортогональной суммой
гиперболических плоскостей. В этом случае мы также будем говорить,
что форма на Е гиперболическая.
Пусть Е—гиперболическая плоскость с элементом w 0, для
которого ®i2 = 0. Если E = (w, и), где и — некоторый элемент из Е,
то и w Ф 0, иначе w был бы ненулевым элементом из ядра. Пусть
tv • bu = bw • и — 1, где b£k. Выберем a£k таким образом, чтобы
(aw -ф- bu)2 = 2abw и -ф- b2u2 — 0.
(Это можно сделать, поскольку для а мы получили линейное урав-
нение.) Положим v = aw V-bu. Тем самым мы нашли базис для Е,
а именно E = (w, v), такой, что
w2 — v2 = Q и w и = 1.
Относительно этого базиса матрица нашей формы имеет вид
° 1
1 0/'
Заметим, что, обратно, пространство Е, имеющее базис {w, f],
удовлетворяющий условиям w2 = v2-=0 и w-v=l, невырождено
и, следовательно, является гиперболической плоскостью. Базис {w, v},
удовлетворяющий этим соотношениям, будем называть гиперболиче-
ской парой.
§ 5. ТЕОРЕМА ВИТТА
403
Ортогональная сумма невырожденных пространств невырождена,
и, следовательно, гиперболическое пространство невырождено. Отме-
тим, что гиперболическое пространство всегда имеет четную раз-
мерность.
Лемма. Пусть Е—векторное пространство над k с невы-
рожденной симметрической формой g, F— его некоторое под-
пространство и Fo—ядро g в F, причем имеет место орто-
гональное разложение
F = F.S_U.
Пусть {Wj.....да,’ —базис в Fo. Тогда в Е существуют элементы
т/р .... vs, перпендикулярные к U, такие, что всякая пара
{да;, nJ является гиперболической парой, порождающей некото-
рую гиперболическую плоскость Pt, причем имеет место орто-
гональное разложение
••• ±л-
Доказательство. Пусть
£7, = (w2...
Тогда Ux содержится в P$®U собственным образом, так что
содержится в U^- собственным образом. Следовательно,
существует элемент ир такой, что u^U^, но их Имеем
• их 0, и значит, (wl, ut) — гиперболическая плоскость РГ
Выше мы уже видели, что можно найти элемент V; £ Рр такой, что
{Wp nJ — гиперболическая пара. Кроме того, получаем разложение
в ортогональную сумму
Pi = (w2, . . ., J Pj Д_ £7.
Ясно, что (w2, .... ws) будет ядром g в Fv и мы можем закончить
доказательство по индукции.
§ 5. Теорема Витта
Теорема 2. Пусть Е — векторное пространство над k,
g—невырожденная симметрическая форма на Е. Пусть, далее,
F, F'— подпространства в Е и о: F-+F'— изометрия. Тогда
о может быть продолжено до изометрии Е на себя.
Доказательство. Сначала сведем доказательство к случаю,
когда F невырождено.
Мы можем записать F = F0 _*lU , как в лемме из предыдущего
параграфа. Тогда <зР = F' — oF0 | oU. Кроме того, oFo = F0 будет
404
ГЛ. XIV. СТРУКТУРА БИЛИНЕЙНЫХ ФОРМ
ядром g в F'. Теперь мы можем расширить и F, и F', как в лемме,
до ортогональных сумм
и ±PS и eU ±Р{±_ ... ±Р',
соответствующих выбору некоторого базиса в Fo и образу этого
базиса в Fn. Таким образом, мы можем продолжить о до изометрии
этих расширенных пространств, являющихся уже невырожденными.
Итак, предположим, что F, F' невырождены, и будем действо-
вать шаг за шагом.
Допустим сначала, что F' = F, т. е. что о—изометрия F на себя.
Тогда мы можем продолжить о на Е, просто оставляя каждый элемент
из F-1- неподвижным.
Далее, предположим, что dim F — dim F'= 1 и что F F'.
Пусть, скажем, F = (y) и F' = (t/), где v' = <jv. Тогда tf-v'2-
Кроме того, (v, v') имеет размерность 2.
Подпространство (v, v') обладает изометрией, продолжающей о,
которая переводит v в v’ и v' в v. Если (у, v') невырождено, то
мы можем применить предыдущий шаг и завершить доказательство.
Если (v, v') вырождено, то ядро g на нем имеет размерность 1.
Пусть w — базис этого ядра. Существуют элементы a, b£k, такие,
что v’ = av -j- bw. Тогда г/2 == <22u2 и, следовательно, а= ±1. Заме-
нив w на bw, мы можем считать, что v'=av-\-w. Пусть
z — v-\-av'. Применим лемму к пространству
(w, z) = (w) | (z).
Мы найдем элемент у £ Е, для которого
y-z — Q, у2 = 0 и w-y=l.
Пространство (z, w, y) — (z) [ (w, у) невырождено как ортогональ-
ная сумма (z) и гиперболической плоскости (w, у). Оно обладает
изометрией, при которой
z^r-az, w — aw, у+-+ — ау.
Но v = -^(z— aw) отображается при этой изометрии на v'=
— ^(az -j-w). Таким образом, с этим случаем мы разделались.
Заканчиваем доказательство по индукции. В силу существования
ортогонального базиса (теорема 1) всякое подпространство F размер-
ности > 1 имеет ортогональное- разложение в сумму подпространств
меньшей размерности. Пусть F = Fj F2, где dimFj и dimF2^>l.
Тогда
oF = oFj | oF2.
§ 5. ТЕОРЕМА ВИТТА
405
Пусть о1==о|£'1—ограничение о на Fv По индукции мы можем
продолжить Oj до изометрии
Ор Е->Е.
Тогда Oj (FT) = (OjFj)-1-. Так как oF2 перпендикулярно к 0^ = 0^»
то оЛ, содержится в о^/7!). Пусть о2 = <т|/72. Тогда изометрия
о2: F2 —> o2F2 = oF2
продолжается по индукции до изометрии
о2: Fj-^FEy
Пара (оР о2) и дает нам искомую изометрию пространства Fi | Fi' = Е
на себя.
Следствие 1. Пусть Е, Е' — векторные пространства
с невырожденными симметрическими формами. Предположим,
что они изометричны. Пусть F, F' — их подпространства и
o': F —> F' — изометрия. Тогда о может быть продолжено да
изометрии Е на Е'.
Доказательство. Очевидно.
Пусть Е — векторное пространство над k с симметрической фор-
мой g. Мы будем говорить, что g—нулевая форма или что Е —
нуль-пространство, если (х, у)=0 для всех х, у£Е. Поскольку
мы предположили, что характеристика k не равна 2, то условие
х2 = 0 для всех х £ Е влечет, что g—нулевая форма. Действи-
тельно,
4х • у = (х 4- у)2 — (х — у)2.
В качестве приложений теоремы 2 мы получаем еще несколько
следствий.
Следствие 2. Пусть Е — векторное пространство с невы-
рожденной симметрической формой, W— его максимальное нуль-
подпространство и W — некоторое нуль-подпространство. Тогда
dim W' dim W и W' содержится в каком-то максимальном
нуль-подпространстве, размерность которого совпадает с dim W.
Доказательство. Тот факт, что W содержится в макси-
мальном нуль-подпространстве, следует из леммы Цорна. Предполо-
жим, что dim W dim W. Имеем изометрию W на подпространство-
в W', которая может быть продолжена до изометрии Е на себя.
Тогда о-1 (W') есть нуль-подпространство, содержащее W и, следо-
вательно, равное W, откуда dim W = dim W. Наши утверждения
следуют из симметрии.
4)6
ГЛ XIV СТРУКТУРА БИЛИНЕЙНЫХ ФОРМ
Пусть Е — векторное пространство с невырожденной симметриче-
ской формой и W— нуль-подпространство. Согласно лемме § 4, мы
можем вложить W в некоторое гиперболическое подпространство Н
в Е, размерность которого равна 2 dim W, причем W является макси-
мальным нуль-подпространством в И. Любое такое И будет назы-
ваться гиперболическим расширением W.
Следствие 3. Пусть Е — векторное пространство с невы-
рожденной симметрической формой, W и W' — максимальные
нуль-подпространства, а Н, И' — гиперболические расширения W,
W' соответственно. Тогда Н и Н' изометричны, равно как и Н^-
и Н'\
Доказательство. Имеем очевидную изометрию Н на П',
которая может быть продолжена до изометрии Е на себя. Эта изо-
метрия отображает Н на Н'\ что и требовалось.
Следствие 4. Пусть gv g2, h — симметрические формы на
векторных пространствах над полем k. Если форма gx@h изо-
метрична форме g2@h и если gv g2 невырождены, то gx изо-
метрична g2.
Доказательство. Пусть gt -г- форма на Ех, g2 — форма на Е2
и h — форма на F. Тогда имеем изометрию F@EX на F@E2. Про-
должим тождественную изометрию id: F->F до изометрии о про-
странства FQyE-i на F@E2, согласно следствию 1. Так как Е,. и
Е2—соответствующие ортогональные дополнения к F в этих двух
пространствах, то мы должны иметь о (Е^~Е2, что и доказывает
требуемое утверждение.
Пусть g— симметрическая форма на векторном пространстве Е.
Мы будем говорить, что g определенная, если g(x, х) =/= 0 для
любого х£Е, х =/= 0 (т. е. х2 =£ О, если х =£ 0).
Следствие 5. Пусть g — симметрическая форма на век-
торном пространстве. Тогда g обладает разложением в орто-
гональную сумму
g = ga®ghyp®gisS.
где gQ — нулевая форма, g—гиперболическая и gie{ — опреде-
ленная. Форма g-hyp®gdet невырожденная. Формы gQ, ghyp и gdet
однозначно определены с точностью до изометрии.
Доказательство. Разложение g = £оф£Р где g0 — нулевая
форма, a gj — невырожденная, единственно с точностью до изомет-
рии, поскольку g0 соответствует ядру g.
§ 6. ГРУППА ВИТТА
407
Мы можем поэтому предполагать, что g — невырожденная. Если
где gh— гиперболическая, gd— определенная, то gh соответствует
гиперболическому расширению максимального нуль-подпространства
и, согласно следствию 3, gh определена однозначно. Следовательно,
gd однозначно определена как ортогональное дополнение к gh. (Под
однозначной определенностью мы, разумеется, понимаем однозначную
определенность с точностью до изометрии.)
Мы сокращаем ghyp до gH и gdef до gd.
§ в. Группа Витта
Пусть g, ф — симметрические формы на векторных пространствах
над k. Мы будем говорить, что они эквивалентны, если gd изо-
метрична <pd. Читатель тотчас проверит, что это действительно отно-
шение эквивалентности. Далее, (ортогональная) сумма двух нулевых
форм есть нулевая форма, а сумма двух гиперболических форм —
гиперболическая форма. Однако сумма двух определенных форм,
разумеется, не обязательно является определенной формой. Мы будем
записывать наше отношение эквивалентности так: g~q>. Эквивалент-
ность сохраняется при ортогональных суммах и, следовательно,
классы эквивалентности симметрических форм образуют коммутатив-
ный моноид.
Теорема 3. Моноид классов эквивалентности симметриче-
ских форм (над полем k) является группой.
Доказательство. Мы должны показать, что всякий элемент
обладает аддитивным обратным. Пусть g—симметрическая форма;
мы можем считать ее определенной. Обозначим через —g форму
на Е, для которой (—§)(%, у) =— g(x, У)- Мы утверждаем, что
форма §©(—g) эквивалентна 0. Пусть Е— пространство, на кото-
ром определена форма g. Тогда форма — g определена на
Е($Е. Пусть — подпространство, состоящее из всех пар (х, х),
где х£Е. Тогда W'— нуль-пространство для g® — g. Так как
dim (£©£) = 2 dim W, то W— максимальное нуль-пространство и
форма g® — g — гиперболическая, что и требовалось показать.
Группа из теоремы 3 называется группой Витта поля k и обо-
значается через W (Е). Она важна при изучении представлений эле-
ментов поля k квадратичной формой /, порожденной g [т. е.
f(x) — g(x, х)], например, когда хотят классифицировать опреде-
ленные формы /.
Определим теперь другую группу, которая важна при более
функториальном изучении симметрических форм, например, при
408
ГЛ XIV. СТРУКТУРА БИЛИНЕЙНЫХ ФОРМ
изучении квадратичных форм, возникающих при исследовании много-
образий в топологии.
Заметим, что классы изометрии невырожденных симметрических
форм (над k) образуют моноид М (k), законом композиции в кото-
ром служит взятие ортогональной суммы. Кроме того, в нем выпол-
няется закон сокращения (следствие 4 теоремы 2). Пусть
у:
— каноническое отображение M(k) в группу Гротендика этого мо-
ноида, которую мы будем называть группой Витта—Гротендика
над k. Как мы знаем, из выполнимости закона сокращения следует,
что у инъективно.
Пусть g—-симметрическая невырожденная форма над k. Мы
определяем ее размерность dim g как размерность того простран-
ства Е, на котором она определена. Ясно, что
dim (£•©£') = dim g + dim g'.
Следовательно, можно продолжить dim до гомоморфизма
dim: WQ(k)->Z.
Этот гомоморфизм расщепляется, так как существует невырожденная
симметрическая форма размерности 1.
Пусть и^С0(й)—ядро гомоморфизма dim. Если g — невырожден-
ная симметрическая форма, то ее определителем det (g~) мы будем
считать взятый по модулю квадратов в k* определитель матрицы О,
представляющей g относительно некоторого базиса. Как элемент из
F/А*2 он однозначно определен. Положим det 0-формы равным 1.
Тогда det есть гомоморфизм
det: M(k)-^k*!k*2
и может поэтому быть продолжен до гомоморфизма, обозначаемого
по-прежнему через det, группы Витта — Гротендика:
det: ГО(й)->й7й*2,.
Некоторые другие свойства группы Витта—Гротендика приведены
в упражнениях.
£ 7. Симметрические формы над упорядоченными полями
Теорема 4 (Сильвестр). Пусть k — упорядоченное полей
Е—векторное пространство над k с невырожденной симметри-
ческой формой g. Существует целое число г^О, такое, что
каков бы ни был ортогональный базис {tj, .... для Е, среди
§ 7. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМЫ НАД УПОРЯДОЧЕННЫМИ ПОЛЯМИ 409
п элементов v2, . . ., v2n в точности г будут > 0 и в точности
п — г будут < 0.
Доказательство. Пусть о. = v2. для i — 1, . . ., п. После
изменения нумерации базисных элементов мы можем считать, что,
скажем, ах...аг> 0 и < 0 для Z > г. Пусть {Wj......®л] —
любой ортогональный базис и Ь. = м2.. Допустим, Ьх.bs > 0 и
bj < 0 для j > s. Докажем, что г — s. Действительно, достаточно
доказать, что
........™5 + 1..
линейно независимы, так как тогда г-\-п— s п, откуда и
r = s в силу симметрии. Предположим, что
V1 + ... +xrvr4-yi+1w5+1H- ... +y„w„ = 0.
Тогда
*i®i + +^г = —У5+Л+1— ••• — УЛ-
Возведение в квадрат обеих частей равенства дает
а1Х2+ ... + «^=^ + 1^ + 1 + ... +/>лу2.
Левая сторона 0, а правая сторона <^0. Следовательно, обе сто-
роны равны 0, откуда вытекает, что хг = у?- = 0, другими словами,
что наши векторы линейно независимы.
Следствие 1. Предположим, что всякий положительный
элемент в k является квадратом. Тогда существует ортого-
нальный базис {^р .... г»п} пространства Е, такой, что v2—\
для 1<г и 'V2 =—1 для i~> г, причем число г однозначно опре-
делено.
Доказательство. Разделим каждый вектор произвольного
ортогонального базиса на квадратный корень из абсолютной величины
его квадрата.
Базис, обладающий свойством, описанным в следствии, называется
ортонормальным. Если X — элемент из Е, имеющий относительно
такого базиса координаты ....хп), то
Х2 = х2+ ... ^-х2-х2+х— ... — х2.
Будем говорить, что симметрическая форма g положительно
определенная, если X2 > 0 для всех Х^Е, X =£ 0. Это имеет место
тогда и только тогда, когда в теореме 4 г~п. Мы будем говорить,
что g отрицательно определенная, если X2 < 0 для всех X £ Е,
X Ф 0.
410
ГЛ XIV. СТРУКТУРА БИЛИНЕЙНЫХ ФОРМ
Следствие 2. Векторное пространство Е обладает орто-
гональным разложением Е = Е+ | £ , таким, что g будет по-
ложительно определенной на Е+ и отрицательно определенной
на ЕЕ. Размерность Е+ {или Е~) одна и та же во всех таких
разложениях.
Предположим теперь, что форма g положительно определен-
ная и что всякий положительный элемент в k является квад-
ратом.
Определим норму элемента v£E, положив
I V | = ]fv V.
Тогда | v | > 0, если v 0. Имеем также неравенство Шварца
I V W | | V | • I 10 I
для всех V, w£E. Оно доказывается обычным способов. Разложим
0 (fi™ i bio)2 = (av ± Ью) • (av ± bw)
по билинейности и положим а = | ли | и Ь — |и|. Получим
zp 2abv • ни 21 v |21 ли |2.
Если | v | или | ли | = 0, то наше неравенство тривиально. Если ни один
из этих элементов #= 0, то разделим на | v 11 w | и получим то, что
требуется.
Из неравенства Шварца выводится неравенство треугольника
I v -4~ | -С I ® I + Iw I-
Мы предоставляем вывод читателю в качестве шаблонного упражнения.
В случае когда мы имеем положительно определенную форму,
существует канонический путь получения ортонормального базиса по-
средством индуктивного процесса, начинающегося с произвольного
базиса (л/j...л/„). Пусть
, 1
V, = л—г
1 It'd 1
Тогда л/j имеет норму 1. Положим
W2 = V2 — МК
а затем
, 1
V, = ------------------------------- ю...
г I ш2 | 2
По индукции полагаем
§ 8. АЛГЕБРА КЛИФФОРДА
411
Тогда .......т/} — ортонормальный базис. Только что описанный
индуктивный процесс известен под названием ортогонализации
Грама — Шмидта.
§ 8. Алгебра Клиффорда
Пусть Е— векторное пространство над полем k и g— симметри-
ческая форма на Е. Было бы желательно найти универсальную ал-
гебру над k, в которую можно вложить Е, и такую, что квадрат
в этой алгебре соответствует значению квадратичной формы на Е.
Более точно, под алгеброй Клиффорда формы g мы будем понимать
пару (С (g), р) — алгебру С (g) и линейное отображение р: Е~> С (g), —
обладающую следующими свойствами: (1) для всех Х£Е имеем
р(Х)2 = g {X, X)-1; (2) если ф: Е L — линейное отображение Е'
в A-алгебру L, такое, что
Ф(Х)2 = £(Х, X). 1
(1—единичный элемент в Е) для всех Х£Е, то существует одно-
значно определенный гомоморфизм алгебр
С(ф) = ф,: C(g)->L,
для которого коммутативна следующая диаграмма:
Е -£-> ОД
Согласно абстрактной чепухе'), алгебра Клиффорда формы g'
однозначно определена с точностью до единственного изоморфизма.
Кроме того, ясно, что если (С (g), р) существует, то С (g) как ал-
гебра над k порождается образом р(Е) отображения р.
Мы будем писать р = рг, если необходимо явно указать, о какой,
форме g идет речь.
Заменяя в соотношении
р(Х)2-?(Х, X). 1
X на A"-|- У, находим
р(Х)р(К) + р(Юр(*)= П-1-
Теорема 5. Пусть g — симметрическая билинейная форма
на векторном пространстве Е над k. Тогда алгебра Клиффорда
(C(g), р) существует. Отображение р инъективно, и С (g) имеет-
размерность 2п над k, где п = dim Е.
) См. стр. 126. — Прим. ргд.
412
ГЛ XIV СТРУКТУРА БИЛИНЕЙНЫХ ФОРМ
Для того чтобы доказать теорему 5, мы сначала найдем соотно-
шения, которым должны удовлетворять алгебра L и линейное отобра-
жение "ф: E->L, такое, что ipfX)2 — g(X, X) • 1. Мы будем следо-
вать рассуждениям Артина в „Геометрической алгебре”.
Пусть Sp .... Sr— подмножества заданного множества Опре-
делим их суллу (которая не будет объединением) как множество
элементов из М, содержащихся в нечетном числе множеств
i — 1, .... г.
Легко проверяются следующие правила:
(^1+ • • • +^г)-т-^г+1 = ^1+ • • • +5,и,
(S1+...+Sf)nr==(S1nD+...-HS,nD.
для любого подмножества Т в М.
Пустое множество обозначается, как обычно, через 0.
Пусть {tip .... •£»„} — ортогональный базис для Е над k. Положим
я. = т'2 и Тогда по предположению
е^. — а, и е.е е .е. — 0, если I g= j.
t i i j ' j i J
Пусть S — подмножество множества M = {1, ..., п} и zp . .., im —
элементы S, упорядоченные так, что < ... < im. Положим es =
= et . . . ei . Индукцией легко показать, что для любых подмножеств
S, Т в (1.....п}
eseT — П О П v]es+r'
stlST
где символ (s, t) по определению равен 1 при и —1 при $>А
Таким образом, правило вычисления произведения двух „одночленов”
от ех, .... еп определяется чисто комбинаторно в терминах S и Т и
заданных' нам квадратов к2....т»2. Кроме того, алгебра, порожден-
ная "ф(£), порождается элементами е{....еп.
Покджем теперь, как предыдущее комбинаторное правило позво-
ляет нам определить универсальную алгебру.
Каждому подмножеству S из (1.........п} сопоставим символ es.
Пусть С (g) — свободный модуль над k, порожденный этими симво-
лами es (S пробегает все подмножества в [1, .... п\). Тогда С (g)
имеет размерность 2" над k. Определим умножение в С (g). Для
подмножеств S, Т множества (1......п} положим
a(S, 7') = JI(S. П 4
§ 8. АЛГЕБРА КЛИФФОРДА
413
Если Sases и 2 Ьтет — элементы из C(g) с коэффициентами
s т
as, bT £ k, то определим их произведение следующим образом:
(2asesVSЬтет\ S aS^Ta(^’ es+r-
\ S ) \ Т / S, т
Мы должны показать, что это произведение ассоциативно. Для этого,
очевидно, достаточно будет доказать, что для любых подмножеств
«S, Т, R множества [1.....п]
(eseT) eR = es (eTeR)\
это последнее соотношение будет проверяться в лоб.
По определению
Приступая к доказательству, сделаем подстановку
(^г)^=П(5-0 П (/ /•) П П Vles+T+R
sSt igsHr Ц(5+Т)ПЛ
tt1 T
и перепишем правую часть в более симметричной форме.
Правая часть состоит из произведений некоторых знаков и неко-
торых квадратов. Сначала рассмотрим знаки.
Если j будет пробегать S, а затем Т, то любое j £ S П Т по-
явится дважды. Таким образом, второе произведение совпадает с произ-
ведением, взятым по j^S и J£T", другими словами, произведение,
дающее знак, может быть записано в виде
П($, оП(«- г)-
sgS sgS tZT
t£T r£R r£R
Теперь займемся произведением квадратов. Имеем
(S + Т) П/? = (5 П/?)-4- (T(]-R).
Если v принадлежит всем трем множествам S, Т, R, то v лежит
в S П Т, но не в (S П /?)4* (Т Л R)- Если v принадлежит S и Т, но
не R, то v лежит вХпЛно не в (S Л R) + (Т Л R)- Если v лежит
в S и R, но не в Т, или в Т и R, но не в 5, то v не лежит
в 5ЛТ, но лежит в (S П /?) + (Т Л R)- Наконец, если v лежит лишь
в одном из множеств S, Т, R или не лежит ни в одном из них,
то v не лежит ни в S Л Т, ни в (S Л R) + (Г Л R)- Таким образом,
последние два произведения могут быть записаны в виде произведения
по тем V, которые встречаются более чем в одном из множеств S, Т, R.
Эго произведение симметрично по S, Т. R. Из того, что мы показали,
414
ГЛ XIV СТРУКТУРА БИЛИНЕЙНЫХ ФОРМ
сразу же следует равенство
(eser) eR = es (eTeR).
Это и означает, что произведение, которое мы определили в С (g),
ассоциативно. Другие аксиомы кольца проверяются тривиально, и
элементы {es} образуют базис алгебры С(g), которая имеет поэтому
размерность 2".
Линейное отображение
р: f->C(g),
для которого р(-у = очевидно, инъективно. Будем писать
е. = Если
Х = х^г + ... 4 xnvn,
ТО
р (X)2 = (Xjgj 4- ... 4- хпеп) (XjCj 4- ... -4- хпеп) =
= №+ • • •
где —единичный элемент алгебры С (g), поскольку e^j 4- £jei = О'
для I 4 / Таким образом, наши требования, касающиеся квадратов,
удовлетворяются.
Если ф: Е —> L — любое такое линейное отображение в алгебру
над k, что ф(%)2 — g(X, X) 1, то мы можем определить кольцевой
гомоморфизм С (g) в L, для которого требуемая диаграмма комму-
тативна. Действительно, пусть 4 = ф0?.). Положим
е„ = е. . . . е.
s (1 1т
где <
< 1т—элементы множества 5. Определим
%: C(g)^L,
положив
ases i—> ages. _
Так как элементы {esj образуют базис С (g), то это отображение
однозначно определено и является линейным отображением. Замечания
в начале доказательства показывают, что это отображение является
также гомоморфизмом колец, и диаграмма
E-E^C(g)
коммутативна. Это доказывает все, что требовалось.
§ 9. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ ФОРМЫ
415
§ 9. Знакопеременные формы
'Пусть Е— векторное пространство над полем k, на которое мы
не налагаем теперь никаких ограничений. Пусть f — знакопеременная
форма на Е, т. е. билинейное отображение /: Еу^Е—>k, такое, что
)(х, х) = х2 = 0 для всех х£Е. Тогда
х у = — у х
для всех х, у£Е, что обнаруживается подстановкой (х + у) вместо х
в соотношение х2 = 0.
Как и для симметрических форм, мы определяем гиперболическую
плоскость (для знакопеременных форм) как двумерное невырожденное
пространство. (На этот раз мы автоматически получаем элемент
такой, что w2 = 0, w #= 0, так что нет надобности специально выде-
лять это.) Если Р — гиперболическая плоскость и w£P,
то в Р существует элемент у =А 0, для которого w • у =£ 0. Деля у
на константу, мы можем считать, что w у — 1. Тогда y-w = —1.
Следовательно, матрица формы относительно базиса у} имеет вид
/ ° 1 \
1 0/
Как и прежде, пара w, у называется гиперболической парой. Если
заданы двумерное векторное пространство над k с билинейной формой
и пара элементов (ж у), удовлетворяющих соотношениям
w2 = y2 = 0, y-w — —1, w • у = 1,
то легко видеть, что рассматриваемая форма знакопеременная и
(w, у) — гиперболическая плоскость для этой формы.
При заданной знакопеременной форме / на Е мы будем говорить,
что пространство Е (или /) гиперболическое, если Е является орто-
гональной суммой гиперболических плоскостей. Мы будем говорить,
что Е (или /) нулевое, если х-у — 0 для всех х, у£Е.
Теорема 6. Пусть f—знакопеременная форма на вектор-
ном пространстве Е над k. Тогда Е будет ортогональной суммой
своего ядра и гиперболического подпространства. Если Е невы-
рождено, то Е является гиперболическим пространством и его
размерность четна.
Доказательство. Дополнительное подпространство к ядру
невырождено, и, следовательно, мы можем считать, что Е невыро-
ждено. Пусть w^E, аЖО. Существует элемент у£Е, для которого
ко • у Ф 0. Тогда подпространство (ж у) невырождено, следовательно,
является гиперболической плоскостью Р. Имеем Е = Р@Р^-, и Р^-
невырождено. Заканчиваем доказательство по индукции.
416
ГЛ. XIV. СТРУКТУРА БИЛИНЕЙНЫХ ФОРМ
Следствие 1. Все знакопеременные невырожденные формы
заданной размерности над полем k изометричны.
Из теоремы 6 видно, что существует базис пространства Е, отно-
сительно которого матрица знакопеременной формы имеет вид
О 1
— 1 О
О 1
— 1 О
О 1
— 1 О
О
О
Для удобства записи мы переупорядочим базисные элементы нашей
ортогональной суммы гиперболических плоскостей таким образом,
чтобы матрица формы приняла вид
О 1Г 0\
—/г о о I,
ООО/
где 1Г—единичная матрица размера г X Матрица
( °
\-!г
называется стандартной знакопеременной матрицей.
Следствие 2. Пусть Е — векторное пространство над k
с невырожденной симметрической формой, обозначаемой через (,),
и Q — невырожденная знакопеременная форма на Е. Тогда суще-
ствуют разложение в прямую сумму Е = Е1@Е2 и симметри-
ческий автоморфизм А пространства Е (относительно (,)), обла-
дающие следующим свойством. Если х, у £Е записаны в виде
х = (х1, х2), где х{£Ех и х2£Е2,
У = (УР у2). где и 5'2 €£2-
то
Q(x, у) = (Axv у2) — (Ах2, yj).
Доказательство. Возьмем такой базис в Е, что матрица
формы Q относительно этого базиса является стандартной знакопе-
§ 10 ПФАФФИАН
417
ременной матрицей. Пусть /—симметрическая невырожденная форма
на Е, задаваемая относительно этого базиса матрицей
/° 'г\
Vr 0/-
Тогда мы получаем разложение Е в прямую сумму подпространств Ev
Е2 (соответствующих первым п и соответственно последним п коор-
динатам), такое, что
Q(x, у) = /(х1, у2) — f(x2, yj.
Так как форма (,) предполагается невырожденной, то мы можем
найти автоморфизм А, обладающий желаемым свойством, причем А
является симметрическим, поскольку форма / симметрическая.
§ 10. Пфаффиан
У знакопеременной матрицы О по определению ‘G — — G и диа-
гональные элементы равны 0 Как мы видели в гл. XIII, § 6, это
матрица знакопеременной формы Пусть G—матрица размера n X п,
где п — четное. (Для нечетного п см. упражнения)
Мы начнем с поля характеристики 0 В силу теоремы 6 суще-
ствует неособая матрица С, для которой ‘CGC будет матрицей
/ 0 1Г 0
I -1Г 0 0
\ 0 0 0
и, следовательно,
det (С)2 det (О) = 1 или 0
в соответствии с тем, тривиально ядро знакопеременной формы или
нет Таким образом, мы видим, что в любом случае det(G) является
квадратом в поле
Перейдем теперь к кольцу целых чисел Z. Пусть tl} (1 < j^n)—
n(n—1)/2 алгебраически независимых элементов над Q. Положим
ta = Q для 4=1.......п и tij = — для 4 > j. Тогда матрица
Т = —знакопеременная и, следовательно, det (Т) есть квадрат
в поле Q(/), полученном из Q присоединением всех переменных ttj.
Однако det(T) является многочленом из Z [/] и в силу однозначности
разложения на множители в Z [/} det(T) — квадрат некоторого много-
члена из Z[/]. Запишем
det (Г) = Р (О2.
418
ГЛ. XIV. СТРУКТУРА БИЛИНЕЙНЫХ ФОРМ
Многочлен Р однозначно определен с точностью до множителя ± 1.
Если мы подставим такие значения для t(j, чтобы матрица Т приняла
специальный вид
/ 0 In/2 \
\ — 1п/2 0 /
то получим, что существует однозначно определенный многочлен Р
с целочисленными коэффициентами, принимающий значение 1 для этого
специализированного множества значений (I). Мы будем называть Р
общим пфаффианом размера п и обозначать его через Pf.
Пусть R — коммутативное кольцо. Имеем гомоморфизм
И,
индуцированный однозначно определенным гомоморфизмом Z в R.
Образ общего пфаффиана размера п в R |7] будет многочленом с коэф-
фициентами в R, который мы по-прежнему обозначаем через Pf. Если
G — знакопеременная матрица с коэффициентами в R, то обозначим
через Pf(G) значение Pf (/), полученное после подстановки gtj
вместо в Pf. Так как определитель коммутирует с гомоморфизмами,
то имеет место
Теорема 7. Пусть R — коммутативное кольцо и (gtj) = G—
знакопеременная матрица с gij£R- Тогда
det(G) = (Pf(G))2.
Кроме того, для всякой матрицы С размера п X п над Р
Pf(GG'G) = det (C)Pf(G).
Доказательство. Первое утверждение уже было доказано
выше. Второе достаточно доказать над Z. Пусть элементы и^
(I, J=\......п) алгебраически независимы над Q, причем и^, 1ц
алгебраически независимы над Q. Пусть U — матрица (и/;). Тогда
Pf RJT‘U) = ± det (U) Pf (Г),
что получается немедленно взятием квадратов от обеих частей. Под-
ставим значения в U и Т, такие, что U становится единичной ма-
трицей, а Т — стандартной знакопеременной матрицей. Заключаем,
что с правой стороны должен быть знак -j-. Тем самым, как обычно,
наше утверждение справедливо для любых подстановок вместо U ма-
трицы над R и вместо Т знакопеременной матрицы над R, что и тре-
бовалось показать.
§ 11. ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ
419
§ 11. Эрмитовы формы
Пусть k0 — некоторое упорядоченное поле (подполе поля веще-
ственных чисел, если вам хочется), и пусть й = £0(/), где i — ]/" — 1 .
Тогда k обладает автоморфизмом порядка 2, неподвижным полем для
которого служит k0.
Пусть Е — конечномерное векторное пространство над k. Мы будем
рассматривать эрмитову форму на Е, т. е. отображение
Е X Е-> k,
записываемое в виде
(х, у)ь->(х, у),
которое й-линейно по своему первому аргументу, &-антилинейно по
второму аргументу и таково, что
(х, у> = <у, х)
для всех х, у^Е.
Заметим, что (х, х) £ k0 для всех х£Е. Это по существу является
причиной того, что доказательства утверждений, касающихся симме-
трических форм, сохраняются без существенных изменений в эрми-
товом случае. Мы сейчас перечислим свойства, относящиеся к этому
случаю.
Теорема 8. Существует ортогональный базис. Если форма
невырожденная, то существует целое число г)>0, такое, что,
каков бы ни был ортогональный базис {т/р ..., т/,г), среди п. эле-
ментов
г»1)...<^«.
точно г больше 0 и п— г меньше 0.
Ортогональный базис {t/j...vn}, для которого (т/г, vi)= 1 или
— 1, называется ортонормальным базисом.
Следствие 1. Предположим, что форма невырождена и что
всякий положительный элемент в k0 является квадратом. Тогда
существует ортонормальный базис.
Мы будем говорить, что эрмитова форма положительно опреде-
ленная, если (х, х) > 0 для всех х£Е. Мы будем говорить, что
она отрицательно определенная, если (х, х) < 0 для всех х^Е.
Следствие 2. Предположим, что форма невырождена.
Тогда Е допускает ортогональное разложение Е = Е+ Е~," такое,
что форма является положительно определенной на Е+ и отри-
цательно определенной на Е". Размерность Е+ (или Е~) одина-
кова во всех таких разложениях.
420
ГЛ. XIV. СТРУКТУРА БИЛИНЕЙНЫХ ФОРМ
Доказательства теоремы 8 и ее следствий идентичны доказатель-
ствам аналогичных результатов для симметрических форм и предоста-
вляются читателю.
Для любого ft-линейного отображения А: Е—>Е имеет место
поляризационное тождество, а именно
<Д(х-4-у), (х + у)> —(Д(х —у), (х —у)) = 2[(Дх, у)-]_(Ду, х)].
Если (Дх, х) = 0 для всех х, то, заменив х на 1х, получим
{Ах, у)+(Лу, х) = 0,
I {Ах, у) — z (Ду, х) = 0.
Отсюда заключаем:
если {Ах, х) = 0 для всех х, то Д = 0.
Это единственное утверждение, которое не имеет аналога в случае
симметрических форм. Наличие I при получении одного из предыду-
щих линейных уравнений существенно для вывода. На практике это
утверждение используется в комплексном случае и аналогичная ситуа-
ция встречается в вещественном случае, когда отображение А сим-
метрическое. Формулировка для симметрических отображений очевидна.
Предположим, что эрмитова форма — положительно опреде-
ленная и что всякий положительный элемент в k0 является
квадратом.
Имеет место неравенство Шварца, а именно
|(х, у)|2<(х, х)(у, у),
доказательство которого снова получается разложением
0<((ax-j-py, ахД-ру)
и подстановкой а = (у, у) и р = — (х, у).
Определим норму | х |, положив
| х | = У^х, х) .
Тогда сразу же получаем неравенство треугольника
I X + у I < I х Н-1 у I
и для а £ k равенство
| ах | = | а 11 х |.
Точно так же, как в симметрическом случае, для заданного ба-
зиса можно найти ортонормальный базис посредством индуктивного
процесса вычитания последовательных проекций. Мы предоставляем
это читателю.
§ 12 СПЕКТРАЛЬНАЯ TFOPEMA (ЭРМИТОВ СЛУЧАИ)
421
§ 12. Спектральная теорема (эрмитов случай)
В этом параграфе Е будет конечномерным векторным про-
странством над С размерности )>1, снабженным положительно
определенной эрмитовой формой (х, у) н-> (х, у).
Пусть А: Е-+Е—линейное отображение (т. е. С-линейное ото-
бражение) пространства Е в себя. Для фиксированного у £ Е ото-
бражение Xi—>(Дх, у) есть линейный функционал и, следовательно,
существует однозначно определенный элемент у* £ Е, такой, что
(Ах, у) = (х, у*)
для всех х £ Е. Определим отображение А*: Е—>Е, положив А*у=у*.
Непосредственно ясно, что отображение А* линейное; мы будем на-
зывать Д* сопряженным к А относительно нашей эрмитовой формы.
Тривиально проверяются следующие формулы для произвольных
линейных отображений А, В пространства Е в себя:
(ДН-В)*= Д*-4-В*. Д** = Д,
(аА)* = аА*, (АВ)* = В8Д*.
Линейное отображение А* называется самосопряженным (или
эрмитовым), если А* = А.
Предложение 5. Отображение А тогда и только тогда
эрмитово, когда (Ах, х) вещественно для всех х£Е.
Доказательство. Пусть А эрмитово. Тогда
(Ах, х) = (х, Ах) = (х, Ах),
откуда вытекает, что (Ах, х) вещественно. Обратно, предположим,
что (Ах, х) вещественно для всех х. Тогда
(Ах, х) = (Ах, х) — (х, Ах) = (А*х, х)
и, значит, ((Д— А*)х, х)=0 для всех х.
Следовательно, А = А* в силу поляризации.
Пусть А: Е->Е—линейное отображение, Элемент назы-
вается собственным вектором отображения А, если существует
такое Х£С, что Д£ = Х£. Если 1,^=0, то мы будем говорить, что
1 — собственное значение отображения А, принадлежащее £.
Предложение 6. Пусть А эрмитово. Тогда все собствен-
ные значения отображения А вещественны. Если £, V—собст-
венные векторы =£0, обладающие собственными значениями X, К'
соответственно, и если k=£k', то £ |
422
ГЛ XIV СТРУКТУРА БИЛИНЕЙНЫХ ФОРМ
Доказательство. Пусть к— собственное значение, принад-
лежащее собственному вектору с,Х0- Тогда (Д£, |) = (£, Д£), и эти
два числа равны соответственно £) и А (%, £). Так как |,т-0,
то А = А, т. е. к вещественно. Далее, предположим, что £, и к,
к' таковы, как описано выше. Тогда
откуда вытекает, что (Е,, Е/) = 0.
Лемма. Пусть А: Е—>Е—.линейное отображение и
Тогда у А существует по крайней мере один ненулевой собствен-
ный вектор.
Доказательство. Рассмотрим С [Д]—кольцо, порожденное
А над С. Как векторное пространство над С оно содержится в кольце
эндоморфизмов пространства Е, имеющем такую же конечную раз-
мерность, какова размерность кольца всех матриц размера п X п,
где n==dimE‘. Следовательно, существует ненулевой многочлен Р
с коэффициентами в С, для которого /э(Д) = 0. Разложим Р в про-
изведение линейных множителей
Р(Х) = (Х-А1)...(Х-Ат),
где Ау£С. Тогда (Д— kJ) . . . (Д—кт/) = 0. Следовательно, все
множители А—kJ не могут быть изоморфизмами, а потому сущест-
вует А£С, такое, что А — к!—не изоморфизм. Значит, в его ядре
имеется элемент и мы получаем, что ДЕ,— А£ = 0. Это пока-
зывает, что Е,— ненулевой собственный вектор, что и требовалось.
Спектральная теорема (эрмитов случай). Пусть Е—не-
нулевое векторное пространство над полем комплексных чисел
с положительно определенной эрмитовой формой. А: Е—>Е—эрми-
тово линейное отображение. Тогда Е обладает ортогональным
базисом, состоящим из собственных векторов А.
Доказательство. Пусть —некоторый ненулевой собст-
венный вектор с собственным значением A,t и £\ — подпространство,
порожденное Тогда А отображает E^~ в себя, поскольку
(AEj, & = {Ej, A^ = {eJ kJ^kjEj ^) = 0,
а потому АЕу- перпендикулярно £i.
Так как ^=#0, то (£р > 0, и, поскольку наша эрмитова
форма невырождена (будучи положительно определенной), имеем
E^EiQEj.
§ 13 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА (СИММЕТРИЧЕСКИЙ СЛУЧАИ)
423
Ограничение нашей формы на Е^- является положительно определен-
ным (если dimf> 1). Из предложения 5 тотчас видно, что ограни-
чение А на Е^- эрмитово. Следовательно, мы можем завершить наше
доказательство по индукции.
Следствие 1. В предположениях теоремы существует
ортонормальный базис, состоящий из собственных векторов А.
Доказательство. Разделим каждый вектор ортогонального
базиса на его норму.
Следствие 2. Пусть Е — ненулевое векторное простран-
ство над полем комплексных чисел с положительно определен-
ной эрмитовой формой /. Пусть g — другая эрмитова форма
на Е. Тогда существует базис в Е, ортогональный и для f, и
для g.
Доказательство. Будем писать /(х, у)=(х, у). Так как
форма /, будучи положительно определенной, неособая, то суще-
ствует однозначно определенное эрмитово линейное отображение А,
такое, что g(x, у) = (Дх, у) для всех х, у^Е. Применим теорему
к А и найдем описанный в ней базис, скажем (т»р ..., vn}. Пусть
Xz— собственное значение, такое, что Xi»z = Zzvz. Тогда
g(vi, Vj) = {Avit Vj) =7.1^1, v>),
а потому наш базис ортогонален также для g, что и требовалось
показать.
§ 13. Спектральная теорема (симметрический случай)
Пусть Е—векторное пространство над полем вещественных чисел,
g — симметрическая положительно определенная форма на Е. Если
А: Е—>Е— линейное отображение, то, как мы знаем, сопряженное
к нему относительно g отображение ‘А определяется условием
{Ах, у) = (х, 'Ду)
для всех х, у£Е. Мы говорим, что отображение А симметрическое,
если А — *А. Как и прежде, элемент t,^E называется собственным
вектором А, если существует число A,£R, такое, что Д£ = Х£, и
если 2,#=0, то £ называется собственным значением.
Спектральная теорема (симметрический случай). Пусть
Е — ненулевое векторное пространство над полем вещественных
чисел, А: Е->Е—симметрическое линейное отображение. Тогда Е
обладает ортогональным базисом, состоящим из собственных
векторов отображения А.
424
ГЛ. XIV. СТРУКТУРА БИЛИНЕЙНЫХ ФОРМ
Доказательство. Мы сведем теорему к эрмитову случаю.
Для этого введем комплексную оболочку (или комплексификацию)
пространства Е. Пусть
EC = E®E
-прямая сумма Е с собой. Если а~\-Ы—комплексное число, а,
b£R, и если (х, у) — элемент из Ес, где х, у£Е, то определяем
действие С на Eq формулой
(a-4-bi)(x, у) = (ах— by, bx-\-ay).
Прямое вычисление показывает, что Eq будет векторным простран-
ством над С. Если мы отождествим Е с первым слагаемым, а именно
с (f, 0), то увидим, что
Ес = £~Ь IE,
и с учетом этого отождествления определенная выше операция моти-
вируется тем фактом, что
{а -ф- bi) (х iy) = ах — by 4- i (bx -ф-ay).
Если x-)-iy£Ec, где х, у£Е, то определим Ас- Ес~+Ес, по-
ложив
/1С (х -ф- iy) = Ах -ф- 1Ау.
Тогда Ас является С-линейным отображением Ес в себя, как видно
непосредственно из определений.
Введем теперь эрмитову форму на Ес- Если
v ~ х iy, 'w = x'-iriy', где х, у, х', у' £Е,
то положим
(v, w)n = (x, x')At-(y, y/)-!ri(y, x') — i{x, у'}.
Снова непосредственно проверяется, что h — эрмитова положительно
определенная форма, так как g — симмметрическая положительно
определенная форма. Кроме того, из определений тотчас вытекает,
что отображение Ас эрмитово относительно h.
Применим спектральную теорему для эрмитовых отображений.
Мы можем найти ортогональный базис {£р ..., £„} пространства Ес
над С, состоящий из собственных векторов отображения Ас с вещест-
венными собственными значениями ......соответственно. Запишем
где xv, yv£E. По определению собственного вектора имеем
•^C^v —; ^“vSv — AVXV -ф“ ^vVv*
Но
Aclv = Axv-}~iAyv.
§ 13 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА (СИММЕТРИЧЕСКИЙ СЛУЧАИ)
425
Следовательно, Axv = Tvxv и Ayv — ‘kvyv. Среди собственных век-
торов Ур .... х„, уп отображения А заведомо имеется п линейно
независимых. Дополнительная ортогонализация Грама — Шмидта тех
из них, которые соответствуют одному и тому же собственному
значению X, приводит к искомому ортогональному базису для Е
над R. Теорема доказана.
Замечания. Спектральные теоремы справедливы над любым веще-
ственно замкнутым полем; наши доказательства сохраняются без из-
менений. Кроме того, эти доказательства разумным образом близки
к тем, которые могли бы быть даны в анализе для гильбертовых
пространств и компактных операторов. Существование собственных
значений и собственных векторов, однако, должно быть доказано
другим методом, например, с использованием теоремы Гельфанда,
которую мы фактически доказали в гл. XII, или вариационного прин-
ципа (т. е. нахождения максимума или минимума квадратичной функ-
ции, зависящей от оператора).
Следствие 1. В предположениях теоремы существует
ортонормальный базис, состоящий из собственных векторов ото-
бражения А.
Доказательство. Разделим каждый вектор ортогонального
базиса на его норму.
Следствие 2. Пусть Е — ненулевое векторное простран-
ство над полем вещественных чисел с положительно определен-
ной симметрической формой f. Пусть g— другая симметриче-
ская форма на Е. Тогда существует базис Е, ортогональный и
для f, и для g.
Доказательство. Будем писать f (х, у) = (х, у). Так как
форма /, будучи положительно определенной, неособая, то суще-
ствует однозначно определенное симметрическое линейное отображе-
ние А, такое, что g(x, у) —{Ах, у) для всех х, у£Е. Применим
к А теорему и найдем указанный в ней базис. Ясно, что это орто-
гональный базис для g (ср. аналогичное доказательство в эрмитовом
случае).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть Е— векторное пространство над полем k и g— билинейная
форма на Е. Предположим, что g (у, х) = 0 всякий раз, когда g (х, у) = О
для какой-нибудь пары х, у £ Е. Показать, что g либо симметрическая, либо
знакопеременная.
2. Указать явно, каким образом WG (k) гомоморфно отображается
на IT (k).
426
ГЛ XIV. СТРУКТУРА БИЛИНЕЙНЫХ ФОРМ
3. Показать, что группа WG(k) может быть представлена в виде гомо-
морфного образа Z \k*jk*2\. {Указание-, использовать существование ортого-
нального базиса.]
4. Пусть Е — модуль над Z свободный, размерности п>1, и пусть
f — билинейная знакопеременная форма на Е. Показать, что существуют
базис {ег} (2=1, .... п.) и целое число г, такие, что 2г X п,
е\* е2~ ^3 - е4 = • • ч е2Г — 1 * е2Г ~ аг<
где а,....ar£Z, а^Ои а/ делит а/+1 для 2=1.............г—1 и, наконец,
et. = 0 для всех других пар индексов 2 < /, Показать, что идеалы Za,
однозначно определены. [Указание-, взять гомоморфизм <ff. Е -> Е* модуля Е
в дуальный модуль над Z и рассмотреть у?(Е) как свободный подмодуль
в £*.] Обобщить на кольца главных идеалов, когда вы узнаете основную
теорему для модулей над этими кольцами.
5. Пусть Е — конечномерное пространство над /?, g— симметрическая
положительно определенная форма на Е, А — симметрический относительно g
эндоморфизм пространства Е. По определению Л > 0 означает, что {Ах, х)>0
для всех хЕЕ. Показать, что 4>0в том и только в том случае, если все
собственные значения А не меньше 0.
6. Доказать все свойства пфаффиана, сформулированные в „Геометри-
ческой алгебре", стр. 142.
7. Теорема Витта справедлива и для знакопеременных форм. Доказать
(или прочитать у Артина или Бурбаки).
8. Показать, что пфаффиан знакопеременной матрицы размера п X п
равен 0, если п нечетно.
9. Дать определение отображений степени > 2 из одного модуля в дру-
гой. \Указание-. для степени 3 рассмотреть выражение
f (х + у + г) — f (х + у) — f (х + z) — f (у + z) + f (x) + f (y) + f (г).]
Обобщить на отображения высших степеней утверждение, доказанное для
квадратичных отображений (т. е. единственность различных полилинейных
отображений, входящих в их определения).
10. (а) Пусть Е — конечномерное пространство над полем комплексных
чисел и h: Е '7 Е -> С — эрмитова форма
h (х, y) = g (х, у) + 2/ (х + у),
где /, g принимают вещественные значения. Показать, что g, f — R-били-
нейные формы: g — симметрическая и f — знакопеременная.
(б) Пусть Е — конечномерное пространство над С, g-. Е% Е -> С — R-
билинейная форма. Предположим, что для всех хЕЕ отображение
у ।—> g (х, у) С-линейно и что /?-билинейная форма
f (х, у) ~ g (х, у) — g (у, х)
вещественнозначна на £ X Е- Показать, что на Е существуют эрмитова
форма h и симметрическая С-билинейная форма ф, такие, что 22^ = /г-|-ф.
Показать, что /гиф однозначно определены.
11. Показать, что в условиях эрмитовой спектральной теоремы Е обла-
дает разложением в прямую сумму над R, Е = Р-\-1Р, таким, что Е изо-
морфно комплексной оболочке F и А индуцирует линейное симметрическое
отображение на F.
УПРАЖНЕНИЯ
427
12. Пусть Е— конечномерное пространство над полем комплексных
чисел с положительно определенной эрмитовой формой, S — некоторое мно-
жество (С-линейных) эндоморфизмов Е, не обладающее другими инвариант-
ными подпространствами, кроме 0 и £ (это означает, что если F — подпро-
странство в £ и BF а Г для всех B^S, то F = 0 или F = £). Пусть А —
эрмитово отображение £ в себя, такое, что АВ = ВА для всех В £ S. По-
казать, что А = X/ для некоторого вещественного числа X. [Указание: по-
казать, что у А имеется точно одно собственное значение. Если бы было
два собственных значения, скажем Х[ =/= \г, то можно было бы найти два
многочлена f и g с вещественными коэффициентами, для которых /(Л)=40,
g (А) =Р 0, но f (Л) g (Л) = 0. Взять в качестве £ ядро эндоморфизма g (Л)
и получить противоречие.]
13. Пусть £ обозначает то же, что и в упражнении 12, Т — С-линейное
отображение £ в себя и
Л = 1(7 +Г).
Показать, что Л эрмитово. Показать, что Т можно записать в виде A-\-iB,
где Л, В эрмитовы и однозначно определены.
14. Пусть S — коммутативное множество С-линейных эндоморфизмов
конечномерного пространства £, не имеющее инвариантного подпространства,
отличного от 0 или £. Предположим, что В* gS, как только S^S. Показать,
что всякий элемент из S имеет вид а/ для некоторого комплексного числа а
и, следовательно, £ одномерно. [Указание: пусть B0£S. Положим
л = 1(я0+в*)-
Показать, что Л = X/ для некоторого вещественного X.]
15. Эндоморфизм В пространства £ называется нормальным, если В
коммутирует с В*. Сформулировать и доказать спектральную теорему для
нормальных эндоморфизмов.
16. Пусть £ — конечномерное векторное пространство над полем веще-
ственных чисел, (,)—симметрическая положительно определенная форма
на £, Q — невырожденная знакопеременная форма на £. Показать, что суще-
ствует разложение в прямую сумму
£ = ^1 Ф
обладающее следующим свойством. Если элементы х, у £ £ записаны в виде
х—(х1,х2), где X[^£| и х2££2,
У = (У1> у2). где У1€В1 и У1СВ2,
то Й (х, у) = (л,, у2)— (х2, yj. [Указание: использовать следствие 2 из
теоремы 6. Показать, что эндоморфизм Л—положительно определенный
(см. упражнение 18), взять квадратный корень из Л и преобразовать при
его помощи прямое разложение, полученное в этом следствии.]
17. Пусть Е — векторное пространство над полем вещественных чисел
(как обычно, конечномерное). Для всякого эндоморфизма А пространства £
примем за его норму | Л | наибольшую нижнюю грань всех чисел С. для
которых | Ах | С J х |. Показать, что эта норма удовлетворяет неравенству
треугольника. Показать, что ряд
ехр (Л) = / 4- Л 4- + ...
428
ГЛ. XIV. СТРУКТУРА БИЛИНЕЙНЫХ ФОРМ
сходится и что если А коммутирует с В, то ехр (Л -ф- В) = ехр (Л) ехр (В).
Показать, что если Л достаточно близок к I, то ряд
— log (Л)
(/-Л) , (I — А)2 ,
— 1 ' 2 "Г
сходится, и если Л коммутирует с В, то
log (ЛВ) = log Л -J- log В.
18, Пусть пространство Е обладает фиксированной положительно опре-
деленной симметрической билинейной формой. Мы будем называть Е гиль-
бертовым пространством (конечномерным). Линейный автоморфизм А
пространства Е называется гильбертовым, если он является автоморфизмом
формы, т. е. ‘ЛЛ = /. В настоящих упражнениях мы будем писать Л*
вместо 'Л. Пусть Л — симметрический эндоморфизм на Е. Мы будем гово-
рить, что А—положительно определенный, если (Ах, х) > 0 для всех
х £ Е, х ф 0.
Доказать: если А — симметрический (соответственно знакопеременный),
то ехр (Л) — симметрический положительно определенный (соответственно
гильбертов). Если А — линейный автоморфизм, достаточно близкий к / и
являющийся симметрическим положительно определенным (соответственно
гильбертовым), то log Л — симметрический (соответственно знакопеременный).
19. Используя спектральную теорему, показать, что log А можно опре-
делить, когда А — симметрический положительно определенный, не обяза-
тельно близкий к /. Показать, что любой автоморфизм А пространства Е
может быть записан единственным образом в виде произведения Л = HP,
где Н — гильбертов, а Р — симметрический положительно определенный.
[Указание: заметить, что А*А — симметрический положительно определен-
ный, и взять Р=(Л*Л)'^, где квадратный корень находится с помощью спек-
тральной теоремы. Положив Н=АР~\ получить существование искомого про-
изведения. Для единственности предположить, что А — НХРХ, и положить
Н2 — РР}1. Тогда I = Н^Ну. используя равенства Р —Р, P^ = PV заклю-
чить, что Р2 = Р2. Взять log, разделить на 2 и, взяв ехр, заключить, что
р = л-]
20. (Тейт) Пусть Е, F — полные нормированные векторные простран-
ства под полем вещественных чисел и f:E->F — отображение, обладающее
следующим свойством. Существует число С, такое, что для всех х, у (-Е
имеем
1 / {х + у) — f (х) — f (у) | < С.
Показать, что существует единственное линейное отображение g: Е -> F,
для которого норма | g — f] ограничена (т. е. | g (х) — f (х) | ограничена
как функция от х). Обобщить на билинейный случай. [Указание: положить
, . .. / (2ях) I
g(x)= lim —угг2--
п -> оо J
Глава XV
Представление одного эндоморфизма
§ 1. Представления
Пусть k — коммутативное кольцо и Е— модуль над k. Как обычно,
мы обозначаем через Endft (£) кольцо /г-эндоморфизмов Е, т. е. кольцо
й-линейных отображений Е в себя.
Пусть R— некоторая ^-алгебра (задаваемая кольцевым гомомор-
физмом k-->R, который позволяет нам рассматривать R как А-модуль).
Под представлением R в Е понимают гомоморфизм /г-алгебр
/?-> Endft (£), т. е. кольцевой гомоморфизм р: R -> EndA (Е), для
которого коммутативна следующая диаграмма:
R —-> EndA (Е)
к л
k7
[Как обычно, мы рассматриваем Endj.(E') как й-алгебру; если / обо-
значает тождественное отображение модуля Е, то имеем гомоморфизм
кольца k в Endft(E), задаваемый отображением а\—>а/. Мы будем
использовать / также для обозначения единичной матрицы, когда
выбраны базисы. Что мы имеем в виду, всегда будет ясно из контекста.)
Мы встретимся в дальнейшем с несколькими примерами предста-
влений для различных типов колец (и коммутативных, и некоммута-
тивных). В этой главе все кольца будут коммутативными.
Заметим, что Е можно рассматривать как End^ (£)-модуль. Сле-
довательно, Е можно рассматривать как R-модуль, определив дей-
ствие R на Е следующим образом:
(х, ц)(—>р(х)г»,
где х £ R и v£E. Мы будем обычно писать xv вместо p(x)v.
Подгруппа F в Е, такая, что RF <z F, будет называться инва-
риантным подмодулем в Е. (Она одновременно R-инвариантна и
/г-инвариантна.) Мы будем также говорить, что она инвариантна
относительно данного представления.
Мы будем говорить, что представление неприводимо, или просто,
если Е 0 и если единственными инвариантными подмодулями
430
ГЛ XV ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОДНОГО ЭНДОМОРФИЗМА
являются 0 и Е. Неприводимым (или простым) называется в этом
случае и сам модуль Е.
Цель теории представлений состоит в том, чтобы описать струк-
туру всех представлений различных интересных колец и классифици-
ровать их неприводимые представления. В большинстве случаев мы
будем брать в качестве k поле, которое может быть, а может и не
быть алгебраически замкнутым. Трудности в доказательстве теорем
о представлениях могут поэтому лежать в сложности или кольца R,
или поля k, или модуля Е, или всех трех вместе.
Указанное выше представление р называется вполне приводимым,
или полупростым, если Е есть /^-прямая сумма /^-подмодулей Et
Е = Е,® ... ®Ет,
причем каждый Е; неприводим. Мы также говорим, что Е вполне
приводим. Неверно, что все представления вполне приводимы, и,
например, те, которые мы будем рассматривать в этой главе, как
правило, не будут такими. Некоторые типы вполне приводимых пред-
ставлений будут изучены позже.
Имеется специальный тип представлений, который будет встре-
чаться особенно часто. Пусть v£E, и пусть E = Rv. Мы пишем
также E = (v). Тогда мы говорим, что модуль Е—главный (над /?)
и что представление — главное. В этом случае множество элементов
х £ R, для которых xv = 0, будет левым идеалом а в R (очевидно).
Отображение R в Е, задаваемое правилом
х ।—> XV,
индуцирует изоморфизм /^-модулей
/?/а->£
(R рассматривается как левый модуль над собой и Ria—как фак-
тормодуль). При этом отображении единичному элементу 1 кольца R
сопоставляется образующая v модуля Е.
Примем следующее соглашение: если vv ..., vn£E, то будем
обозначать через (vr .... vn) подмодуль в Е, порожденный элемен-
тами Uj.....vn.
Пусть Е имеет некоторое разложение в прямую сумму /?-подмо-
дулей
Е = ... ®ES.
Предположим, что каждый E-t свободен и имеет размерность 1
над k. Пусть .... g§s — базисы над k для Ev ..., Es соответ-
ственно. Тогда \$х, .... $s} есть базис для Е. Пусть q>£R, ц,- —
эндоморфизмы, индуцированные <р на и Л4; — матрица ф; относи-
тельно базиса t. Тогда матрица Л1 эндоморфизма <р относительно
§ 1. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
431
.....SS s\ принимает вид
JWj 0 ... О
О М2 ... О
О ..... О
О . . . . О Я.
Про матрицу такого типа говорят, что она разлагается на блоки
/Ир .... Ms. При наличии такого разложения изучение эндомор-
физма ф или его матрицы полностью сводится (так сказать) к изуче-
нию блоков.
Это случается далеко не всегда, однако часто имеет место нечто
почти столь же хорошее. Пусть Е' — подмодуль в Е, инвариантный
относительно /?. Предположим, что имеется базис Е' над k, скажем
{п,....и что этот базис может быть дополнен до базиса
{®1.....Чя-н.........
Это всегда так, если k — поле.
Пусть ф £ R. Тогда матрица эндоморфизма <р относительно этого
базиса имеет вид
М' * \
О /И"/
Действительно, так как Е’ отображается при <р в себя, то ясно, что
мы получим ЛГ в левом верхнем углу и нулевую матрицу под ним.
Кроме того, для всякого J — 1....п мы можем записать
<pv,- = crfUt Н- ... -+- cjmvm 4- ch m+i vm+l ... ~+-cmrlvn
Транспонируя матрицу (cyZ), получаем матрицу
*
М"
стоящую справа в матрице, представляющей ср.
Рассмотрим, далее, точную последовательность
0->Е' -»Е-»Е" -»0.
Пусть т/т+1........— образы wm+1, .... vn при каноническом ото-
бражении Е->Е". Мы можем естественным образом определить ли-
нейное отображение
ф":
так чтобы q>v = (f"(v) для всехт/^Д. Тогда ясно, что матрицей для ф"
относительно базиса [vm+l.... v„} служит М".
432
ГЛ. XV. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОДНОГО ЭНДОМОРФИЗМА
§ 2. Модули над кольцами главных идеалов
В этом параграфе мы предполагаем, что R — целостное
кольцо главных идеалов. Все рассматриваемые модули и гомо-
морфизмы являются, если не оговорено противное, модулями
над R и R-гомоморфизмами.
Теоремы этого параграфа обобщают утверждения, доказанные
в гл. I для абелевых групп. Мы будем также указывать, как следует
видоизменить доказательства из гл. I, чтобы после изменения терми-
нологии получить доказательства для настоящего случая.
Пусть F— свободный модуль над R с базисом (xz}Z£Z. Тогда
мощность I однозначно определена (и называется размерностью F).
Напомним, что это доказывается, скажем, рассмотрением простого
элемента р в R и тем наблюдением, что FfpF есть векторное про-
странство над полем R/pR, размерность которого в точности равна
мощности /. Таким образом, мы можем говорить о размерности сво-
бодного модуля над R.
Теорема 1. Пусть F — свободный модуль и М — некоторый
его подмодуль. Тогда М свободен и его размерность меньше или
равна размерности F.
Доказательство. Для простоты мы дадим доказательство
для случая, когда F имеет конечный базис {xj, I = 1.........п.
Пусть Мг — пересечение М с (xv .... хТ)— модулем, порожденным
элементами х1.....хг. Тогда — М П (xz)— подмодуль в (х^,
а потому имеет вид (fljXj) для некоторого at £ R. Следовательно,
либо нулевой, либо свободный размерности 1. Предположим
по индукции, что МГ — свободный модуль размерности <^г. Пусть
а — множество, состоящее из всех элементов а £ R, таких, что суще-
ствует элемент х£М, который может быть записан в виде
х = д^Ху —. . . — |— Ьтхт —ахг+х,
где t>i£R. Тогда, очевидно, а—идеал, и, следовательно, главный
идеал, порожденный некоторым элементом аг+х. Если аг+1 = 0, то
Мг+1 — Мг и индуктивный шаг сделан. Если аг+1 ¥= 0, то пусть
элемент <w£Mr+1 таков, что его коэффициент при хг+1 равен аг+1.
Если элемент х£Л4г+1, то его коэффициент при хг+1 делится на
аг+1 и, значит, существует элемент с £ R, такой, что х — спи лежит
в Мг. Следовательно,
М = Л4г + (да).
С другой стороны, ясно, что Мг П (®) есть 0 и, следовательно, эта
сумма прямая, что и доказывает нашу теорему. Отметим, что это
доказательство с заменой простой индукции трансфинитной остается
справедливым и в бесконечном случае.
§ 2. МОДУЛИ НАД КОЛЬЦАМИ ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
433
Следствие. Всякий подмодуль Е' конечно порожденного мо-
дуля Е конечно порожденный.
Доказательство. Мы можем представить Е как фактор-
модуль свободного модуля с конечным числом образующих; если
......vn — образующие Е, то возьмем свободный модуль Р с ба-
зисом [%], ..., х„\ и отобразим xt на vt. Прообраз Е' в F свобо-
ден и конечно порожден, согласно теореме. Следовательно, Е' —
конечно порожденный модуль. Утверждение вытекает также из про-
стейших свойств нетеровых колец и модулей.
Если желать перенести на модули над кольцом главных идеалов
доказательства из гл. I, то нужно принять следующие определения.
Свободный одномерный модуль над R называется бесконечным цик-
лическим. Бесконечный циклический модуль изоморфен кольцу R,
рассматриваемому как модуль над собой. Таким образом, всякий
ненулевой подмодуль бесконечного циклического модуля является
бесконечным циклическим. Доказательство, данное в гл. I для аналога
теоремы 1, применимо теперь без дальнейших изменений.
Пусть Е—модуль. Элемент х модуля Е называется периодиче-
ским, если существует элемент а £ R, a=/=Q, для которого ах = 0.
Мы говорим, что Е — периодический модуль, если все его элементы
периодические. Обобщением конечной абелевой группы служит ко-
нечно порожденный периодический модуль.
Пусть Е — модуль. Обозначим через Et подмодуль, состоящий
из всех периодических элементов £; мы будем называть его подмо-
дулем кручения модуля Е. Если Е( — 0, то мы будем говорить, что
Е—модуль без кручения.
Теорема 2. Пусть Е—конечно порожденный модуль. Тогда
модуль Е/Е( свободный. Существует свободный подмодуль F в Е,
такой, что Е есть прямая сумма
E = Et®F.
Размерность такого подмодуля F однозначно определена.
Доказательство. Докажем сначала, что модуль E/Et без
кручения. Обозначим через х класс вычетов элемента хСЕ по мо-
дулю Et. Пусть элемент b£R, b^=0, таков, что Ьх = 0. Тогда
bx£Et и, значит, существует элемент c^R, с Ф 0, для которого
сЬх = §. Следовательно, x^Et и х = 0, что доказывает отсутствие
кручения у модуля E[Et. Этот модуль является также конечно поро-
жденным. Предположим теперь, что М—конечно порожденный модуль
без кручения. Пусть {tip ..., v„]—-максимальное множество эле-
ментов в М среди данного конечного множества образующих {ур ...
..., ут}, такое, что множество {г/г..vn} линейно независимо.
434
ГЛ XV ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОДНОГО ЭНДОМОРФИЗМА
Если у—одна из образующих, то найдутся элементы а, Ь{...bn£ R,
не все равные 0, такие, что
ay + b1vl -I- ... 4- bnvn = 0.
Тогда а ¥= 0 (иначе мы придем в противоречие с линейной незави-
симостью Vj, .... vn). Следовательно, ау лежит в (vt.........vn).
Таким образом, для каждого у = 1, .... т мы можем найти элемент
йу- £ R, aj =# 0, такой, что «ууу лежит в (vv . . ., vn). Пусть а = а} ...
... ат— произведение этих элементов. Тогда дЛ4, содержится
в (Wj.....ия) и а 4= 0. Отображение
xt—^ax
является инъективным гомоморфизмом, образ которого содержится
в свободном модуле, а потому в силу теоремы 1 свободен. Этот
образ изоморфен М, и мы заключаем, что модуль М свободен, что
и требовалось доказать.
Чтобы теперь получить подмодуль F, нам нужна лемма.
Лемма 1. Пусть Е, Е' — модули, причем модуль Е' свободен.
Пусть Е^-Е' — сюръективный гомоморфизм. Тогда существует
свободный подмодуль F в В, такой, что ограничение f на F ин-
дуцирует изоморфизм F с Е', и такой, что Е = F@K.erf.
Доказательство. Пусть
чим через xt, I £ I, элемент из
Е, для
— базис модуля Е'. Обозна-
которого f(x^ = x't. Пусть
F — подмодуль в Е, порожденный всеми элементами х:, Тогда
сразу же видно, что семейство элементов линейно независимо
и поэтому модуль F свободен. Для заданного х £ Е существуют эле-
менты a, £ R, такие, что
/(%)= 2 а Л..
Тогда х—^а^ лежит в ядре /, а потому Е = Ker /F. Ясно,
что Кег/П^ = О и, следовательно, эта сумма прямая, что и дока-
зывает лемму.
Применив лемму к гомоморфизму E->EIEt в теореме 2, получим
наше разложение Е = Et@ F. Размерность F однозначно определена,
поскольку для любого такого разложения Е в прямую сумму мо-
дуль F изоморфен Е/Е(.
Размерность свободного модуля F в теореме 2 называется рангом
модуля Е.
Чтобы получить структурную теорему для конечно порожденных
модулей над R, можно действовать дальше точно так же, как в слу-
§ 2 МОДУЛИ НАД КОЛЬЦАМИ ГЛАВНЫХ ПДРХЛОВ
435
чае абелевых групп. Мы приведем словарь, который позволит нам
перенести доказательства по существу без всяких изменений.
Пусть Е—модуль над R, х£Е. Отображение а\—>ах является
гомоморфизмом R на подмодуль, порожденный элементом х, и ядро
этого гомоморфизма является главным идеалом, порожденным неко-
торым элементом m£R. Мы будем говорить, что т—период эле-
мента х. Отметим, что период т определен однозначно с точностью
до умножения на единицу (если т Ф 0). Элемент с £ R, с #= 0, назы-
вается показателем модуля Е (соответственно элемента х), если
сЕ = 0 (соответственно сх — 0).
Пусть р — простой элемент. Обозначим через Е(р} подмодуль
в Е, состоящий из всех элементов х, обладающих показателем вида
рг(г^>1). Подмодуль, содержащийся в Е(р), называется p-под мо-
дулем в Е.
Выберем раз и навсегда некоторую систему представителей для
простых элементов кольца R (по модулю единиц). Например, если
R—кольцо многочленов от одного переменного над полем, то возь-
мем в качестве представителей неприводимые многочлены со старшим
коэффициентом 1.
Пусть m^R, т=Е0. Обозначим через Ет ядро отображения
Xi—>тх. Оно состоит из всех элементов модуля Е, имеющих пока-
затель т.
Модуль Е называется циклическим, если он изоморфен фактор-
модулю R/(a) для некоторого элемента a£R. Не теряя общности,
мы можем считать, что а является произведением простых элементов
из нашей системы представителей (если а 0). Мы могли бы сказать,
что а есть порядок нашего модуля.
Пусть гх.....rs—целые числа ^>1. Модулем типа
(рг'....X5)
называется p-модуль Е, изоморфный прямому произведению цикли-
ческих модулей R!(pri)[i = 1.....s). Если простой элемент р фи-
ксирован, то можно говорить, что модуль имеет тип (гр .... rs)
(относительно р).
Все доказательства из гл. I, § 10, проходят теперь без измене-
ний. Там, где раньше мы оперировали с величиной какого-либо
целого положительного числа т, теперь мы будем в аналогичном
рассуждении оперировать с числом простых сомножителей в простом
разложении элемента. Имея дело со степенью рг простого элемента,
можно считать, что порядок определяется числом г. Читатель прове-
рит дальше сам, что все доказательства из гл. I, § 10 теперь при-
менимы.
Однако мы будем развивать теорию заново, не предполагая ничего
известным из гл. I, § 10. Таким образом, наше изложение будет
независимым.
436
ГЛ. XV. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОДНОГО ЭНДОМОРФИЗМА
Теорема 3. Пусть Е — конечно порожденный периодический
модуль =£ 0. Тогда Е будет прямой суммой
£ = П£(Р),
р
взятой по всем простым р, таким, что Е(р)Д0. Каждый мо-
дуль Е(р) может быть записан в виде прямой суммы
где 1 V! Последовательность Vj.....vs однозначно
определена.
Доказательство. Пусть а — некоторый показатель для Е-
Допустим, что а=Ьс, где (Ь, с) = (1). Пусть х, y£R — такие эле-
менты, что
1 - хЬД ус.
Мы утверждаем, что E = EbQ)Ec. Наше первое утверждение полу-
чится затем по индукции из представления а в виде произведения
степеней простых элементов. Пусть v£E. Тогда
v = xbv-\- ycv.
Здесь xbv £ Ес, так как cxbv = xav — 0. Аналогично ycv £ Еь. На-
конец, непосредственно видно, что Eb[\Ec = Q. Следовательно,
Е есть прямая сумма Еь и Ес.
Теперь мы должны доказать, что Е(р) является прямой суммой
указанного выше вида. Будем говорить, что элементы yt....ут
некоторого модуля независимы, если, каково бы ни было соотно-
шение
al-vl+ ••• ~^атУт~ 0’
где ai £ R, мы должны иметь а;у; — 0 для всех I. (Отметим, что
независимость не означает линейной независимости.) Тотчас видно,
что элементы ур .... ут тогда и только тогда независимы, когда
модуль (ур .... ут) обладает разложением в прямую сумму
(Ут....Ут) = (У1)Ф • • ®(ут)
циклических модулей (у;), Z=l, ..., т.
Теперь нам нужен аналог леммы 1 для модулей, имеющих по-
казатель, равный степени простого элемента.
Лемма 2. Пусть Е — периодический модуль показателя
рг (г^Л), где р — некоторый простой элемент. Пусть xt£E —
элемент периода рТ, Е — ЕЦх^) и ур .... ут — независимые эле-
менты из Е. Для всякого I существует представитель у^Е
класса yt, такой, что период yt равен периоду yt. Элементы
xv ур . . ., ут независимы.
§ 2. МОДУЛИ НАД КОЛЬЦАМИ ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
437
Доказательство. Пусть элемент у£Е имеет период рп для
некоторого и у— представитель класса у в Е. Тогда рпу £ (х,)-
и, следовательно,
р”у = pscxj, c£R, р % с
для некоторого s г. Если s — r, то мы видим, что у имеет тот же
период, что и у. Если s < г, то pscxx имеет период pT~s и, сле-
довательно, у имеет период pnVT~s. Должно выполняться неравен-
ство
л Д- г — s г,
поскольку рг — показатель для Е. Таким образом, s .^-п и мы ви-
дим, что
у — ps~"cxx
есть представитель для у, период которого равен рп.
Пусть у,- — представитель для у;, имеющий тот же период. До-
кажем, что элементы хр Vj........ут независимы. Допустим, что
a, av ..., am£R такие элементы, что
tzXjД-«jVj Д- ... Д-йшут — 0.
Тогда
«1У1 Д-- атут = 0.
По предположению aiyi = 0 для всякого I. Если рг‘— период у;,
то рТ 1 делит at. Отсюда заключаем, что aiyi = G для всякого I и
что, следовательно, ах} = 0; тем самым требуемая независимость до-
казана.
Чтобы теперь получить разложение Е(р) в прямую сумму, за-
метим сперва, что модуль Е (р) — конечно порожденный. Мы можем
предполагать, не теряя общности, что Е = Е(р). Пусть хг— эле-
мент из Е, период которого рГ: таков, что число максимально.
Пусть Е — ЕЦх^). Мы утверждаем, что dim£p как векторного про-
странства над R/pR строго меньше, чем dimf^. Действительно, если
yj.....ут —линейно независимые элементы из Ер над R/pR, то-
из леммы 2 вытекает, что dim Ер т Д- 1, так как мы всегда мо-
жем найти в (хД элемент, имеющий период р и не зависимый от
У!.....ут. Следовательно, dim Ер < dim Ер. Поэтому мы можем
доказать существование разложения в прямую сумму по индукции.
Если ДДО, то существуют элементы х2, ..., х5, имеющие соответ-
ственно периоды рг2, . . ., prs и такие, что г2 Д> . .. гs. В силу
леммы 2 существуют представители х2, . . ., х5 в Е, такие, что хг-
имеет период pri и хг......xs независимы. Поскольку период ргь
438
ГЛ. XV. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОДНОГО ЭНДОМОРФИЗМА
был выбран максимальным, мы имеем неравенство Г; г2 и наше
разложение получено.
Единственность будет следствием более общей теоремы единст-
венности, которую мы сейчас сформулируем.
Теорема 4. Пусть Е — конечно порожденный периодический
модуль, Е=Т0. Тогда Е изоморфен прямой сумме ненулевых сла-
гаемых
rk^)® ••• еш
где qx....qr— ненулевые элементы из R и qx | q21 ... \ qr. По-
следовательность идеалов (qx), .. ., (qr) однозначно определена
предыдущими условиями.
Доказательство. Используя теорему 3, разложим Е в пря-
мую сумму /2-подмодулей, скажем Е(рх)@ ... ®Е(р^, а затем раз-
ложим каждый E(pt) в прямую сумму циклических подмодулей пе-
риодов ргП. Символически мы изображаем это следующей диаграм-
мой:
E(Pi)- гп < г12 < • . .
Е (Рг) Г21 < Г22 < • •
Е (Pi) rn<rt2^...
Предполагается, что горизонтальные строки имеют одинаковую длину,
причем хотя бы одна из них состоит из ненулевых элементов. В на-
чале же некоторых строк могут стоять показатели г,у, равные нулю.
Строки с исключенными из них нулями описывают типы модулей от-
носительно простых элементов, указанных слева. Показатели рас-
положены в возрастающем порядке, для всякого фиксированного
Z = 1.....I. Пусть q{....qr соответствуют столбцам этой матрицы
показателей; другими словами, положим
^1 = Р?‘Р221 • • Р?1-
Ч2=РТ^Р222 Р\1г
.................’)
Прямая сумма циклических модулей, представляемых первым
столбцом, изоморфна R/(q}). потому что, как и в случае абелевых
групп, прямая сумма циклических модулей, периоды которых взаимно
просты, также является циклическим модулем. Аналогичное замеча-
ние справедливо для каждого столбца. Заметим, кроме того, что
') Выписав последний элемент qr, мы столкнулись бы с нелепыми по-
казателями /•(>; к счастью, в явном виде они далее не выступают, так что
особой необходимости в замене индекса г не ощущается. — Прим. ред.
§ 2. МОДУЛИ НАЛ КОЛЬЦАМИ ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
439
наше доказательство в действительности располагает qt в порядке
возрастающей делимости, что и требовалось.
Теперь займемся единственностью. Пусть р — произвольный про-
стой элемент. Предположим, что E=R/(pb) для некоторого b£R,
Ь=рО. Тогда Ер есть подмодуль bR[(pb), как это следует немедленно
из однозначной разложимости на множители в R. Но ядром компо-
зиции отображений
R _> bR -> bRI(pb)
служит в точности (р). Таким образом, имеем изоморфизм
RKp)^bRI(pb).
Пусть теперь модуль Е представлен, как сказано в теореме,
в виде прямой суммы из г членов. Элемент
v = vx® . . . ®vr, Vi^RKqt),
лежит в в том и только в том случае, если pvt = 0 для всех I.
Следовательно, Ер есть прямая сумма ядер умножения на р в каж-
дом члене. Но Ер — векторное пространство над R^p), и его раз-
мерность равна, таким образом, числу членов Rl(qi), таких, что р
делит qt.
Предположим, что р — простой элемент, делящий qv а значит
и qit для всех /=1.....г. Пусть Е имеет разложение в прямую
сумму из $ членов, удовлетворяющее условиям теоремы, скажем
E=RW)® ... еR/(q').
Тогда элемент р должен делить по крайней мере г элементов
откуда г s. По симметрии r = s и р делит q'. для всех j.
Рассмотрим модуль рЕ. В силу предыдущего замечания, записав-.
qL — pbit мы будем иметь
pE^W,)® ... ®RI(br)
и b}\ ... | Ьг. Некоторые из b-t могут быть единицами, но те, кото-
рые не являются единицами, по индукции определяют свой главный
идеал однозначно. Следовательно, если (Z>]) = . ..=(£;)= 1, но
(^у+1)¥=1, то последовательность идеалов
(W •••
однозначно определена. Это доказывает наше утверждение о единст-
венности и завершает доказательство теоремы 4.
Идеалы (qx), . . ., (qr) называются инвариантами модуля Е.
Следующую теорему можно было бы рассматривать как следст-
вие теоремы 4. Мы дадим для нее независимое доказательство. Ис-
пользоваться в дальнейшем она не будет.
440
ГЛ XV. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОДНОГО ЭНДОМОРФИЗМА
Теорема 5. Пусть F— свободный модуль над R и М—его
конечно порожденный подмодуль =А0. Тогда существуют базис $
модуля F, элементы этого базиса е{......еГ и ненулевые эле-
менты Др .... ar^R, такие, что
(i) элементы а1е1, .... аТег образуют базис М над R;
(ii) аг|а/+! для 1=1, г—1.
Последовательность идеалов (аД .... (аг) однозначно определена
предыдущими условиями.
Доказательство. Пусть А, — некоторый функционал на F,
другими словами, элемент из Hom^f, R). Положим JK = T(M).
Тогда JK есть идеал в R. Выберем \ так, чтобы идеал Zj(Л4) был
максимален в множестве идеалов {/,}, т. е. чтобы в множестве {Д)
не было строго большего идеала.
Пусть А,1 (А'1) = (о^). Тогда Яр-ЛО. Действительно, в М имеется
ненулевой элемент; в выражении этого элемента через какой-нибудь
базис модуля F над R имеется ненулевая координата; беря проек-
цию на эту координату, мы получим функционал, значение которого
на М не равно 0. Пусть £ М — элемент, для которого /Ц (хт) = av
Для любого функционала g мы должны иметь Й’(лг1)^(а1) [непо-
средственно вытекает из максимальности Z,1(Af)]. Записав хг через
любой базис в F, мы увидим, что все его коэффициенты должны
делиться на av (Если некоторый коэффициент не делится на а,,
то спроектируем на этот коэффициент и получим невозможный
функционал.) Поэтому мы можем записать х1=а1е1 для некоторого
элемента et £ F.
Теперь докажем, что F есть прямая сумма
F^/^фКег^.
Так как А,^^)—1, то ясно, что R (е^ П КегА^ = 0. Кроме того, для
всякого x£F разность х — К1(х)е1 лежит в ядре А,,. Следовательно,
F есть сумма указанных подмодулей, которая должна быть прямой.
Отметим, что модуль KerZj — свободный как подмодуль свобод-
ного модуля (теорема 1). Положим
Е’1 = КегХ1 и Mj = М П Кег А.р
Тогда видно, что
М = Rx1®M1.
Таким образом, — подмодуль в причем его размерность на
единицу меньше, чем размерность модуля М. Мы можем поэтому
закончить доказательство по индукции. Читателю предлагается про-
верить справедливость утверждения (ii).
Чтобы получить единственноегь, мы должны охарактеризовать
нашу последовательность идеалов (at), .... (аг) всецело в терминах
J7 и М.
§ 2. МОДУЛИ НАД КОЛЬЦАМИ ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
44Т
Лемма 3. Пусть La — множество всех s-линейных знако-
переменных форм на F, Js—идеал в R, порожденный всеми эле-
ментами f (yt.....ys), где f£Lsa и ух....Тогда
Js = (ai • • • as)-
Доказательство. Покажем сначала, что Jscz(ax ... as).
Действительно, всякий элемент у £ М может быть записан в виде
yj = c1aJe1 -J— ... —J- crareT.
Следовательно, если у.,...и /—полилинейная знакопере-
менная форма на Р, то элемент f (Jp .... Js) равен сумме членов
вида
Ч • • • 4% • • • ЧЛЧ......Ч)-
Такой член отличен от нуля, только когда е-^, ..., е^ различны,
а в этом случае он делится на аг , .. as и, следовательно, Js содер-
жится в указанном идеале.
Обратно, покажем, что существует s-линейная знакопеременная
форма, которая дает в точности это произведение. Мы получим эту
форму с помощью определителей. Мы можем записать F в виде
прямой суммы
F = .....eT)®FT
для некоторого подмодуля Fr. Пусть /г (Z = 1, ..., г) — линейное
отображение F—>R, для которого /; (е?) = причем /(- имеет
значение 0 на Fr. Для vv .... vs £F положим
/(г/р ..., w5)==det(/z(^.)), /, /=1......s.
Тогда / — полилинейная знакопеременная форма, которая принимает
значение
/(еР ..es)= 1
и, следовательно, значение
/(o^i.......«А) = а1 ... as.
Это доказывает нашу лемму.
Единственность, утверждаемая в теореме 5, теперь очевидна, так
как прежде всего идеал (aj определен однозначно, затем идеал (а^а^
также определен однозначно и, следовательно, их частное (п2) оп-
ределено однозначно и т. д. по индукции. Теорема 5 доказана.
Мы будем называть (at), ..., (аг) инвариантами подмодуля
Л1 в F.
442
ГЛ. XV. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОДНОГО ЭНДОМОРФИЗМА
£ 3. Разложение над одним эндоморфизмом
Пусть k—поле и Е— конечномерное векторное пространство
над k, Е=Е0. Пусть A£Endft(£)— линейное отображение Е в себя,
/ — трансцендентный элемент над k. Определим некоторое представ-
ление кольца многочленов k [/] в Е. А именно: имеет место гомо-
морФизм k [/] -н> k [A]c:Endft (f),
который получается подстановкой А вместо / в многочлены. Кольцо
k [А] является подкольцом в End^fi), порожденным А, и притом
коммутативным, так как степени А коммутируют друг с другом.
Таким образом, если f (/)—многочлен и v^E, то
f (t)v = f (A) v.
Ядро гомоморфизма /(/)>—>/(А) есть главный идеал в k[t], ко-
торый =/=0, поскольку k [А] конечномерно над k. Он порождается
однозначно определенным многочленом степени >0 со старшим
коэффициентом 1. Этот многочлен будет называться минимальным
многочленом эндоморфизма А над k и будет обозначаться через
qA (/). Разумеется, он не обязательно неприводим.
Предположим, что существует элемент v£E, такой, что
Е — k [/] v — k [А] V. Это означает, что Е порождается над полем k
элементами Av .........
Мы назвали такие модули главными. Можно записать Е = Rv — (v),
где /? = £[/].
Если qA (t) = td -J- ad_xtd~' -|- ... -ф- a0, то элементы
•v, Av, . . ., Aa~1v
образуют базис для E над k. Это доказывается точно так же, как
и аналогичное утверждение для конечных расширений полей. Во-
первых, отметим, что они линейно независимы, так как любое соот-
ношение линейной зависимости над k давало бы многочлен g (t) мень-
шей степени, чем deg^4, и такой, что g(A) = 0. Во-вторых, они
порождают Е, так как любой многочлен / (/) может быть записан
в виде / (/) = S'(/) (/)-ф-г (/), где deg г < deg qA. Следовательно,
/(А) = г (А).
Ясно, что относительно этого базиса матрица эндоморфизма А
имеет следующий вид:
0 0 0 ... 0 — а0
1 0 0 ... 0 — <Zj
0 1 0 ... 0 — а2
ООО 0 —аа-ъ
0 0 0 ... 1 —
§ 3. РАЗЛОЖЕНИЕ НАЛ ОДНИМ ЭНДОМОРФИЗМОМ
443
Если модуль £' главный, то Е изоморфен фактормодулю k [t]/qА (t)
относительно отображения / (/) ь—» / (Л) v. Многочлен qA однозначно
определен эндоморфизмом Л и не зависит от выбора образующей v
модуля Е. Это по существу очевидно, так как если /р /2—два
многочлена со старшим коэффициентом 1, то модуль тогда
и только тогда изоморфен й[/]//2(/), когда /1 = /2.
Если модуль Е главный, то мы будем называть qA полиномиаль-
ным инвариантом Е относительно А, или просто инвариантом.
Теорема 6. Пусть Е—ненулевое конечномерное простран-
ство над полем k, и пусть H£Endft(£). Тогда Е обладает раз-
ложением в прямую сумму
Е = ЕХ© ...
где каждое слагаемое Et является главным k [Л]-под мод улем
с инвариантом qt Ф 0, причем
Чх\<Т1\ I 9г-
Последовательность (qlt .... qr) однозначно определяется про-
странством Е и эндоморфизмом А, и qr есть минимальный
многочлен для А.
Доказательство. Первое утверждение есть просто перефра-
зировка на другом языке структурной теоремы для модулей над
кольцами главных идеалов. Далее, ясно, что <7г(Л) = 0, так как
qi\qr для всякого I. Никакой многочлен меньшей степени, чем qr,
не может аннулировать Е, поскольку, в частности, такой многочлен
не аннулирует Ег. Таким образом, qr—минимальный многочлен.
Мы будем называть (qv ..., qr) инвариантами пары (Л, А).
Пусть E — kw, и пусть А — матрица размера п X п, которую мы
можем рассматривать как линейное отображение Е в себя. Инва-
рианты .......qr) этого линейного отображения будут называться
инвариантами матрицы А (над й).
Следствие 1. Пусть k' —расширение поля k и А —матрица
размера п^п над k. Инварианты матрицы А над k те же
самые, что и ее инварианты над k'.
Доказательство. Пусть {Up ..., и„}—базис й(/!) над k.
Тогда мы можем рассматривать его также как базис k'^ над k'.
(Единичные векторы лежат в ^-пространстве, порожденном элемен-
тами Up ..., vn; следовательно, vr..vn порождают n-мерное
пространство £/<л) над k'.) Пусть E = k^ и LA (соответственно £д) —
линейное отображение пространства Е (соответственно й/(л)), опреде-
ленное матрицей А. Матрица отображения LA относительно нашего
•444
ГЛ XV ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОДНОГО ЭНДОМОРФИЗМА
заданного базиса совпадает с матрицей отображения Ад. Мы можем
выбрать базис, который соответствует разложению
Е = £j ф ... ф Ег,
•определенному инвариантами qv .... qr. Отсюда вытекает, что инва-
рианты не изменятся, когда мы поднимем этот базис до базиса А/(л).
Следствие 2. Пусть А, В — матрицы размера п\п над
полем k и k'—расширение k. Предположим, что существует
обратимая матрица С' над k', такая, что В — САС’~Х. Тогда
существует обратимая матрица С над k, такая, что В = САС~\
Доказательство. Упражнение.
Структурная теорема для модулей над кольцами главных идеалов
дает нам два типа разложений. Один — в соответствии с инвариан-
тами, как в предыдущей теореме. Другой—-в соответствии со сте-
пенями простых элементов.
Пусть Е 0—конечномерное векторное пространство над полем k
и А: Е->Е — эндоморфизм из Endft(f). Пусть q-=qA — его мини-
мальный многочлен. Тогда q имеет разложение
q^p\' Ре/ (^>1)
в произведение степеней (различных) простых элементов. Следова-
тельно, Е есть прямая сумма подмодулей
Е--=Е (/>1)ф .. . ф£(/?Д,
где каждый аннулируется многочленом ред. Кроме того, каждый
такой подмодуль может быть представлен в виде прямой суммы под-
модулей, изоморфных k[t]!pe для некоторого неприводимого много-
члена р и некоторого целого числа е^-1.
Теорема 7. Пусть qA(t)~(t— а)е для некоторого a£k,
Предположим, что Е изоморфно k[t\l(q). Тогда Е имеет
<базис над k, такой, что относительно этого базиса матрица
.эндоморфизма А имеет вид
а 0 . . . О
1 а . . . О
О . .. 1а
§ 3. РАЗЛОЖЕНИЕ НАД ОДНИМ ЭНДОМОРФИЗМОМ
445
Доказательство. Так как £ изоморфно k[t\/q, то существует
элемент v£E, такой, что k[t]v = E. Этот элемент соответствует
единичному элементу кольца k [/] при изоморфизме
k \t\jq -> Е.
Мы утверждаем, что элементы
•v, (t — a)v, .... (t — a)e~lv,
или, что эквивалентно,
v, (А— a)v......(А — а)<-1г>,
образуют базис для Е над k. Они линейно независимы над k, так
как любое соотношение линейной зависимости давало бы соотноше-
ние линейной зависимости между
v, Av......Ae~i v
и, следовательно, давало бы многочлен g(t) степени, меньшей, чем
deg*?, такой, что g(A) = 0. Так как dim£' = e, то отсюда следует,
что наши элементы образуют базис для Е над k. Но (А — а)е = 0.
Ясно, что матрица эндоморфизма А относительно этого базиса имеет
форму, указанную в нашей теореме.
Следствие. Пусть k — алгебраически замкнутое поле, Е~
конечномерное ненулевое векторное пространство над k и
А£Епс1д,(Е). Тогда существует базис пространства Е над k,
такой, что матрица эндоморфизма А относительно этого базиса
состоит из блоков, каждый из которых имеет вид, описанный
в теореме.
О матрице, имеющей форму, описанную в предыдущем следствии,
говорят, что она имеет жорданову каноническую форму.
Замечание. Матрица (или эндоморфизм) N называется нильпо-
тентной, если существует целое число d > 0, такое, что =0.
Мы видим, что в теореме 7 или ее следствии матрица М записы-
вается в виде
M = B-\-N,
где матрица W нильпотентна. Действительно, N есть треугольная
матрица (т. е. она имеет нулевые коэффициенты на и над диагональю)
и В—диагональная матрица, диагональные элементы которой являются
корнями минимального многочлена. Такое разложение может быть
получено всякий раз, когда поле k таково, что все корни минималь-
ного многочлена лежат в k. Отметим также, что единственным слу-
чаем, когда матрица W будет нулевой, будет тот, когда все корни
минимального многочлена имеют кратность 1. В этом случае ма-
трица М является диагональной матрицей с п различными элемен-
тами диагонали, где п = dim Е — degqA.
446
ГЛ. XV. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОДНОГО ЭНДОМОРФИЗМА
£ 4. Характеристический многочлен
Пусть k — коммутативное кольцо и Е— свободный модуль раз-
мерности п над k. Рассмотрим кольцо многочленов k [4] и линейное
отображение А: Е->Е. Имеем гомоморфизм
k [/] ->k [Д],
определяемый как и выше, который переводит многочлен f (t) в f(A),
и Е превращается в модуль над кольцом R = £[/]. Пусть Л4 — любая
матрица размера п X и над R (например, матрица отображения А
относительно некоторого базиса в Е). Характеристическим много-
членом PM(t) мы называем определитель
det (t/n — М),
где 1п— единичная матрица размера п X п. Это элемент из k [/].
Кроме того, если —обратимая матрица над R, то
det (//„ — Х-1/ИХ) = det (АГ1 (tlп — M)N) = <№i (//„ — Al).
Следовательно, характеристический многочлен у матрицы N~^MN
тот же самый, что и у /И. Мы можем поэтому определить харак-
теристический многочлен отображения А (и обозначить его через РА)
как характеристический многочлен любой матрицы М, ассоциирован-
ной с А относительно некоторого базиса. (В случае Е = 0 мы по
определению считаем характеристический многочлен равным 1.)
Если <р: k—> k'— гомоморфизм коммутативных колец и Л4— ма-
трица размера п X « над k, то очевидно, что
где получается из Рм применением <р к коэффициентам Рм.
Теорема 8 (Кэли — Гамильтон). РА(Л) = 0.
Доказательство. Пусть {г>]......vn} — базис Е над k. Тогда
tvj= 2 ai^i<
4 = 1
где (а/;) = А1 — матрица отображения А относительно этого базиса.
Пусть В (0 обозначает матрицу tIn — M. Очевидно, B(t)— матрица
с коэффициентами в k[t\. Пусть B(t)—определенная в гл. XIII матрица
с коэффициентами в k [/], такая, что
В (4) B(t) = PA
§ 4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН
447
Тогда
в со в (о :
О
о
так как
vn
РА№г
РА (О
Следовательно, PA(t)E — 0, а потому Ра(А)Е = 0. Это означает,
что Рд(Л) = 0, что и требовалось показать.
Пусть теперь k — поле. Пусть Е — конечномерное векторное про-
странство над k и Я £ Endfc (£). Под собственным вектором w эндо-
морфизма А в Е понимают элемент w^E, такой, что существует
элемент h£k, для которого Aw — kw. Если w ¥= 0, то А, опреде-
ляется однозначно и называется собственным значением эндомор-
физма А. Разумеется, различные собственные векторы могут иметь
одинаковые собственные значения.
Теорема 9. Собственные значения эндоморфизма А — это
в точности корни его характеристического многочлена.
Доказательство. Пусть А,— собственное значение. Тогда
элемент А — М необратим в Endft(E) и, значит, det (Л — ?./) = 0.
Следовательно, к— корень РА. Рассуждение обратимо, тем самым
доказано и обратное утверждение.
Для упрощения обозначений мы часто будем писать А — А, вместо
А — А/.
Теорема 10. Ненулевые собственные векторы wv .... wm
отображения А. имеющие различные собственные значения, ли-
нейно независимы.
Доказательство. Предположим, что
«1^1 am-wm = 0,
где at^k, причем это самое короткое соотношение, в котором не
все а1 = 0 (в предположении, что такое существует). Тогда д; =£ 0
для всех i. Пусть Aq.....кт— собственные значения наших век-
торов. Применим к предыдущему соотношению А—Aq. Получим
соотношение
а2^2—4" amQ'm— ^1)'®т==0>
которое короче исходного соотношения, — противоречие.
448
ГЛ. XV. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОДНОГО ЭНДОМОРФИЗМА
Следствие. Если А имеет п различных собственных зна-
чений Zj..принадлежащих собственным векторам vp .... vn,
и dim£ = n, то [vP .... vn} есть базис для Е. Матрицей эндо-
морфизма А относительно этого базиса служит диагональная
матрица
\ О
О К
Предостережение. Не всегда верно, что существует базис Е,
состоящий из собственных векторов!
Замечание. Пусть k — подполе в k'. Если М — матрица над k,
то мы можем определить ее характеристический многочлен как отно-
сительно k, так и относительно k'. Очевидно, что полученные таким
путем характеристические многочлены равны. Пусть Е—векторное
пространство над k. Позже мы увидим, как расширить его до век-
торного пространства над k!. Всякое линейное отображение А про-
должается до линейного отображения расширенного пространства,
причем характеристический многочлен линейного отображения не изме-
няется. Действительно, если мы выберем базис Е над k, то
и &(л) <z k,{n'> естественным образом. Таким образом, выбор базиса
позволяет нам расширить векторное пространство, но создается впе-
чатление, что результат зависит от выбора базиса. Инвариантное
определение будет дано ниже.
Пусть Е = ЕХ@ ... ($ЕГ—представление Е в виде прямой суммы
векторных пространств над k. Пусть А £ End^ (£), причем AEt с Et
для z=l......г. Тогда А индуцирует на Et линейное отображе-
ние At. Мы можем выбрать базис для Е, состоящий из базисов для
Ех.....Ег, и тогда матрица для А будет состоять из блоков. Мы
видим, таким образом, что
Ра (О = Сп-
итак, характеристический многочлен мультипликативен на прямых
суммах.
Наше предыдущее условие AEt с: Et можно также сформулиро-
вать, сказав, что Е представимо как k [Д]-прямая сумма & [MJ-под-
модулей или как £[/]-прямая сумма k [ZJ-подмодулей. Применим это
к разложению пространства Е, даваемому теоремой 6.
§ 4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН
449
Теорема 11. Пусть Е—конечномерное векторное простран-
ство над полем k, X£Endft(£:) и qv .... qr — инварианты пары
(Е, Д). Тогда PA(t) = q1(t) ... qr(t).
Доказательство. Предположим, что Е = (гп' и что А пред-
ставляется матрицей М. Мы видели, что ни инварианты, ни харак-
теристический многочлен не изменяются, когда мы расширяем поле k
до большего поля. Следовательно, мы можем считать, что поле k
алгебраически замкнуто. Ввиду теоремы 6 мы можем предполагать,
что М имеет единственный инвариант q. Запишем
Ч (О = ('‘—а/1 • • • {t— а5)Ч
где «j....а, различны. Рассмотрим М как линейное отображение
и разложим наше векторное пространство в прямую сумму подмо-
дулей (над k [ZJ ) с инвариантами
(t~ а/».....(t — а5Л
соответственно (это есть разложение на слагаемые, соответствующие
степеням простых элементов). Для каждого из этих подмодулей мы
можем выбрать базис так, чтобы матрица индуцированного линейного
отображения имела форму, описанную в теореме 7, после чего непо-
средственно видно, что характеристический многочлен отображения,
имеющего инвариант (t—а)е, равен в точности (t—а)е. Теорема
доказана.
Следствие. Минимальный многочлен отображения А и его
характеристический многочлен имеют одни и те же неприводи-
мые множители.
Доказательство. Это вытекает из того, что в силу тео-
ремы 6 qr есть минимальный многочлен.
Обобщим наше замечание, касающееся мультипликативности харак-
теристического многочлена на прямых суммах.
Теорема 12. Пусть k — коммутативное кольцо, и пусть
в следующей диаграмме-.
Q-+E' —>Е—>Е" ->0
А' | а| А" |
Q->E' ->Е->Е''
строки являются точными последовательностями свободных мо-
дулей над k, имеющих конечную размерность. Пусть, далее,
вертикальные отображения являются k-линейными отображе-
ниями, для которых диаграмма коммутативна. Тогда
Ра(Т) = Ра' (t)PA"(t).
450
ГЛ XV ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОДНОГО ЭНДОМОРФИЗМА
Доказательство. Мы можем предполагать, что Е'— под-
модуль в Е. Выберем базис .. vm] для Е'. Пусть .... v„} —
базис для Е" и vm + x...v„ — элементы из Е, отображающиеся
на vm+1, соответственно. Тогда {-V;.vm, vm±v .... v„}
будет базисом для Е (доказательство такое же, как в теореме 3
из гл III, § 5), и мы находимся в ситуации, описанной в § 1.
Матрица для А имеет форму
М' * \
0 М")’
где М' — матрица для А' и М"—матрица для А". Взяв характери-
стический многочлен относительно этой матрицы, мы, очевидно, и
получим наше мультипликативное свойство.
Теорема 13 Пусть k — коммутативное кольцо, Е — сво-
бодный модуль размерности п над k и 4^Endft(£). Пусть
PA(t) = tn-+ Сп_х?-'+ ... +£„.
Тогда
tr(A)——cn_x и det(4) = (— 1)" Co-
Доказательство Что касается определителя, то заметим,
что Рл(0) = со. Подстановка Z = 0 в определение характеристиче-
ского многочлена через определитель доказывает, что с0 = (—1)" det А
Перейдем к следу. Пусть М — матрица, представляющая А отно-
сительно некоторого базиса, М = (а^) Рассмотрим определитель
det(//„—а^). В его разложении по первому столбцу содержится
диагональный член
(t— ап) .. . (/ — «„„),
который вносит в коэффициент при /л-1 вклад, равный
— («и + • • Н“«лп)
Никакой другой член в этом разложении ничего не добавляет к ко-
эффициенту при tn~\ так как степень t, встречающаяся в других
членах, не превосходит tn~l. Это доказывает наше утверждение,
касающееся следа.
Следствие. Пусть обозначения те же, что и в теореме 12.
Тогда
tr (А) = tr (А') + tr (4") и det (4) = det (Д') det (4").
Доказательство. Очевидно.
Дадим теперь нашим результатам интерпретацию в терминах
группы Эйлера — Гротендика.
§ 4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН
451
Пусть k — коммутативное кольцо. Рассмотрим категорию, объек-
тами которой являются пары (Е, А), где Е—й-модуль и Д£Еш14(£).
Определим морфизм
(£'. А')->(Е, Д)
как й-линейное отображение Е' —Е, для которого коммутативна
следующая диаграмма:
Е'-^>Е
А'| |д
i j.
Е'~ ->Е
Мы можем определить ядро такого морфизма снова как пару. Дей-
ствительно, пусть Еп— ядро f: Е —>Е. Тогда А отображает Ео
в себя, так как fA Ео = AfE0 = 0. Пусть Ао — ограничение А на Ео.
Пара (Ео, Ао) по определению является ядром нашего морфизма.
Будем обозначать по-прежнему через f морфизм пары (Е', А')->
-+(Е, А). Мы можем говорить о точной последовательности
(Е', А')-*(Е, А)-+(Е", А"),
понимая под этим, что точна индуцированная последовательность
Е'->Е->Е".
Мы будем также писать 0 вместо (0, 0) в соответствии с нашим
общим соглашением использовать символ 0 для всех тех вещей,
которые ведут себя подобно нулевому элементу.
Заметим, что наши пары ведут себя теперь формально как модули
и что они фактически образуют абелеву категорию.
Пусть й — поле, и пусть состоит из всех пар (Е, Д), где Е
имеет конечную размерность над й. Тогда теорема 12 утвер-
ждает, что характеристический многочлен является отобра-
жением Эйлера — Пуанкаре, определенным для всякого объекта
из нашей категории Л, со значениями в мультипликативном
моноиде многочленов со старшим коэффициентом 1. Так как
значения этого отображения лежат в моноиде, то здесь используется
несколько более общее понятие, чем введенное в гл. IV, где мы
брали значения в группе. Разумеется, когда й есть поле, что наибо-
лее часто встречается в приложениях, мы можем считать, что значе-
ния нашего отображения лежат в мультипликативной группе отличных
от нуля рациональных функций, так что применимы наши предыду-
щие рассмотрения.
Аналогичное замечание справедливо также для следа и опреде-
лителя. Если й — поле, то след есть отображение Эйлера в ад-
дитивную группу поля, а определитель — отображение Эйлера
452
ГЛ XV. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОДНОГО ЭНДОМОРФИЗМА
в мультипликативную группу поля ’). Отметим также, что все эти
отображения (подобно всем отображениям Эйлера) определены на
классах пар относительно изоморфизма и что они определены на
группе Эйлера—Гротендика.
Теорема 14. Пусть k — целостное кольцо, М— матрица
размера п\п над k и f — многочлен из А [/]. Предположим, что
PM(t) имеет разложение
п
рм (О = П (Z — az)
/ = 1
на линейные множители над k. Тогда характеристический мно-
гочлен матрицы f (?И) задается формулой
п
Pf(M) (0 = П(^ — /(«/))
г = 1
U
п п
tr(/(A4))= S/(«z). det(/(M))= ПЖ)-
i=l 1 = 1
Доказательство. Допустим сначала, что k — поле. Тогда,
используя каноническое разложение на блоки, описанное в тео-
реме 7 § 3, мы обнаруживаем, что наше утверждение совершенно
очевидно. В случае когда k — кольцо, используем стандартный прием
с подстановкой. Для этого, однако, необходимо знать, что если
X — tx-j) — матрица с алгебраически независимыми элементами над Z,
то Px(t) имеет п различных корней .....уп [в алгебраическом
замыкании поля QWL и что существует гомоморфизм
Z[x/y, ур . . yn\—>k,
отображающий X на М и ур ..., уП на а,.....а„. Но это оче-
видно для читателя, который прочитал главу о целых расширениях
колец, а читатель, который этого не сделал, может забыть об этой
части теоремы* 2).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть Т — верхняя треугольная квадратная матрица над коммутатив-
ным кольцом (т. е. все элементы под диагональю и на ней равны 0). Пока-
зать, что Т нильпотентна.
') Точнее, в мультипликативную полугруппу, так как значение опреде-
лителя может быть равно нулю. — Прим. ред.
2) Проще вложить k в поле частных. — Прим. ред.
УПРАЖНЕНИЯ
453
2. Провести непосредственно доказательство того факта, что определи-
тель матрицы
Mt * *
О М2 *
О 0 •
• * •
О 0 ... О Л4,
где каждая Л4(- — квадратная матрица, равен произведению определителей
матриц М,, ..., Ms
3. Пусть k — коммутативное кольцо и М, М'—квадратные матрицы
размера п/п над k. Показать, что характеристические многочлены матриц
ММ' и М'М равны.
4. Показать, что собственные значения матрицы
0 10 0
0 0 10
0 0 0 1
1 0 0 0.
в поле комплексных чисел равны ±1, ±1.
5. Пусть М, М' — квадратные матрицы над полем k. Пусть соответ-
ственно q, q' — их минимальные многочлены. Показать, что минимальный
многочлен матрицы
/М 0 1
\ 0 М')
равен наименьшему общему кратному q, q'.
6. Пусть А — нильпотентный эндоморфизм конечномерного векторного
пространства Е над полем k. Показать, что tr (Л) = 0.
7. Пусть R— целостное кольцо главных идеалов, Е — свободный модуль
размерности п над R и Е* = Нот^ (£, R) —его дуальный модуль. Тогда Е* —
свободный модуль размерности п. Пусть F— подмодуль в Е. Показать,
что Е /fA можно рассматривать как подмодуль в Л* и что его инварианты
те же самые, что и инварианты F в Е
8. Пусть Е — конечномерное векторное пространство над полем k и
Z£Aut^(£). Показать, что следующие условия эквивалентны:
(i) A — l-\-N, где N — нильпотентный эндоморфизм
(ii) Существует базис для Е, такой, что у матрицы эндоморфизма А
относительно этого базиса все диагональные элементы равны 1, а все эле-
менты над диагональю равны 0.
(iii) Все корни характеристического многочлена эндоморфизма А (в алге-
браическом замыкании поля k) равны 1.
9. Пусть k — поле характеристики 0 и М — матрица размера п X п над k.
Показать, что М нильпотентна в том и только в том случае, если tr (A4V) = 0
для 1 < v < п.
10. Обобщить теорему 14 на рациональные функции (вместо многочле-
нов), предполагая, что k — поле.
454
ГЛ XV. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОДНОГО ЭНДОМОРФИЗМА
11. Пусть Е — конечномерное пространство над полем A, a^k и Еа—
подпространство в Е, порожденное всеми собственными векторами данного
эндоморфизма А пространства Е, имеющими а в качестве собственного зна-
чения. Показать, что всякий ненулевой элемент из Еа является собственным
вектором эндоморфизма А с собственным значением а.
12. Пусть Е — конечномерное пространство над полем k, Л^Епб*(£)—
собственный вектор для А. Пусть элемент B^End*(£) таков, что АВ = ВА.
Показать, что Bv — также собственный вектор для А (если Bv 0) с тем же
собственным значением и что в случае алгебраически замкнутого поля k
эндоморфизмы А и В имеют общий собственный вектор.
Диагонализируемые эндоморфизмы. Пусть Е — конечномерное вектор-
ное пространство над полем k, S^End*(£). Мы говорим, что эндомор-
физм S— диагонализируемый, если существует базис для Е, состоящий
из собственных векторов S. Матрица эндоморфизма S относительно этого
базиса является диагональной матрицей.
13. (а) Если эндоморфизм S диагонализируем, то его минимальный мно-
tn
гочлен над k имеет вид q (t) = JJ (t — Xi), где A,, ..., Am — различные эле-
z = i
менты из k.
(б) Обратно, если минимальный многочлен для S имеет предыдущий
вид, то эндоморфизм S диагонализируем. [Указание: пространство может
быть разложено в прямую сумму подпространств £Аг, аннулируемых эндомор-
физмами S— А;.]
(в) Показать, что если эндоморфизм S диагонализируем и F — такое
подпространство в Е, что SF сЛ то S диагонализируем также как эндо-
морфизм F, т. е. что F имеет базис, состоящий из собственных векторов 5.
(г) Пусть S, Т — эндоморфизмы Е. Предположим, что S, Т коммути-
руют. Предположим также, что и S, и Т оба диагонализируемы. Показать,
что они одновременно диагонализируемы, т. е. что существует базис для Е,
состоящий из векторов, собственных как для S, так и для Т. [Указание: если А—
собственное значение эндоморфизма S и Е^ — подпространство в Е, состоя-
щее из всех векторов v, таких, что Sv = Av, то ТЕ, с Еу .]
14. Пусть Е — конечномерное векторное пространство над алгебраически
замкнутым полем k, А £ End* (£). Показать, что эндоморфизм А может быть
единственным образом записан в виде суммы
A = S+ N,
где S диагонализируем, N нильпотентен и SN = NS. Показать, что S, N
могут быть представлены в виде многочленов от А. [Указание: пусть
РЛ(О=П^— A.)mz— разложение Р. (t) с различными А.; Е.—ядро
А -Н..Я. ' I’ А II
tn.
(А—1. Тогда Е — прямая сумма £(-. Определить S на Е так, что на
всяком Ei будет Sv = A/v для всех v££(-. Положить N — A — S.
Показать, что S, N удовлетворяют нашим требованиям. Чтобы представить S
в виде многочлена от А, рассмотреть многочлен g (t) = ^[Si (0, где
многочлены g( (t) выбраны так, что для всякого z компонента в Е. любого
элемента vQE равна ^-.(Л)ц. Тогда S = g (Л) и М=Л—^^(Л).]
15. После того как вы прочитаете параграф о тензорных произведениях
векторных пространств, вы легко сможете сделать следующее упражнение.
Пусть Е, Е — конечномерные векторные пространства над алгабраически
УПРАЖНЕНИЯ
455
замкнутым полем k, А: Е->Е и В: F -> F—^-эндоморфизмы пространств
Е, F соответственно. Пусть
= и ^(0 = П(/-
— разложения их характеристических многочленов на различные линейные
множители. Тогда
РА ®л(0 = П(/ —
i, J
[Указание: разложить Е в прямую сумму подпространств В;, где В; — под-
пространство, аннулируемое некоторой степенью А—az. То же самое сде-
лать с F и получить разложение в прямую сумму подпространств F/ Затем
показать, что некоторая степень эндоморфизма Д0В— а, Ру аннулирует
EiQFj. Использовать тог факт, что E(g>F есть прямая сумма подпро-
странств Et^)Fj и что dimA(Bz 0 Fj) =
16. Пусть Г — свободная абелева группа размерности п>-1, Г'—ее
подгруппа, имеющая также размерность п. Пусть {vb ..., vn]—базис Г и
(»!, .... wn[—базис Г'. Запишем
wi = ZatfUj.
Показать, что индекс (Г : Г') равен абсолютной величине определителя ма-
трицы (aZ;).
17. Доказать теорему о нормальном базисе для конечного расширения
конечного поля.
18. Пусть A — (alj) — квадратная матрица размера «Xй над коммута-
тивным кольцом k, Atj — матрица, полученная вычеркиванием Z-й строки и
j-ro столбца из А. Пусть bj = (—1)‘+; det (Д,у) и В — матрица (bif). Пока-
зать, что det (В) — det (Д)"-1, сведя задачу к случаю, когда А — матрица
с переменными коэффициентами над кольцом целых чисел. Использовать
тот же метод для получения другого доказательства теоремы Гамильтона —
Кэли о том, что РА (Л) = 0.
19. Пусть (Е, Д) и (В', Д') — пары, состоящие из конечномерного век-
торного пространства над некоторым полем k и ^-эндоморфизма. Показать,
что эти пары изоморфны в том и только в том случае, если их инварианты
равны.
Глава XVI
Полилинейные произведения
§ 1. Тензорное произведение
Пусть k — коммутативное кольцо. Для модулей Е{...Еп, F
обозначим через
Ln{E.....Еп; F) .
модуль «-линейных отображений
/: Е.Х ••• XEa^F.
Напомним, что полилинейное отображение линейно над k по каждой
переменной. Мы будем использовать слова „линейное отображение"
и „гомоморфизм" как синонимы. Если не оговорено противное, то
все модули, гомоморфизмы, линейные и полилинейные отображе-
ния рассматриваются по отношению к кольцу k.
Полилинейные отображения фиксированного множества модулей
Др .... Еп можно рассматривать как объекты некоторой категории.
Действительно, если
/: Е{ X • • • X Еп -> F и g: Ех X • • • X Еп -> О
— полилинейные отображения, то мы определяем морфизм / —> g
как гомоморфизм h: F—>G, для которого коммутативна следующая
диаграмма:
у [
Е.Х ... ХЕп\
Универсальный объект этой категории называется тензорным про-
изведением модулей Ev .... Еп (над k).
Докажем теперь, что тензорное произведение существует,
и фактически построим его некоторым естественным способом. Из
абстрактной чепухи нам, разумеется, известно, что тензорное произ-
ведение однозначно определено с точностью до единственного изо-
морфизма.
Пусть М — свободный модуль, порожденный множеством всех
«-наборов (%!....xlt) (xi^El), т. е. порожденный множеством
§ 1. ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
457
Ej X X f п- Обозначим через N его подмодуль, порожденный
всеми элементами следующего вида:
(Xi.......axt, .... хп) — а{хх..........axt........х„),
где xt£E х'.£Е., a£k. Имеем каноническое вложение
f i X • • • X f
нашего множества в порожденный им свободный модуль. Взяв ком-
позицию этого отображения с каноническим отображением Л4 -> M/N
на фактормодуль, получим отображение
Ч>: frX ... XEOMIN.
Мы утверждаем, что <р полилинейно и является тензорным произве-
дением.
Что <р полилинейно, — очевидно; все было как раз приспособлено
для этой цели. Пусть
/: fjX ... Xf„->G
— полилинейное отображение. По определению свободного модуля,
порожденного множеством f j X • • X fn- имеем индуцированное
линейное отображение М -> G, для которого коммутативна следующая
диаграмма:
АХ ... Xf\< I
Так как f полилинейно, то индуцированное отображение М—>0
принимает значение 0 на N. Следовательно, в силу универсального
свойства фактормодулей это отображение может быть пропущено
через MfN и, мы имеем гомоморфизм Д: для которого
коммутативна следующая диаграмма:
fi X ••• X Еп х' /*
X у
Так как образ отображения ф порождает М/N, то индуцированное
отображение Д однозначно определено. Это доказывает все, что
нам требовалось.
Модуль М/N будет обозначаться через Еt ® ... ®Еп или также
п
через ® El. Мы построили специальное тензорное произведение
458
ГЛ XVI ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
в классе тензорных произведений относительно изоморфизма, и именно
за ним мы закрепим название тензорного произведения модулей
.......Еп. Для xt^Et будем записывать
ф(Хр .... хп} = хг® ... ®хп = х1®1г ... ®kxn.
Для всех I имеем
Xj® ... ®axt® ... ® хп = а(х1® ... ® х„),
%! ® ... ® (Xi + х') ® ... ®Хп =
= (Xj ® ... ®Х.® ... ®хп)+(*! ® ... ® х'. ® ... ® хл),
где х., x'.fE. и afk.
I 1^1
В случае двух сомножителей, скажем Е, F, всякий элемент из
Е® Е может быть записан как сумма членов х ® у с х£Е и у£Е,
поскольку такие члены порождают Е ®F над k и а (х ® у) == ах ® у
для а £ k.
Предостережение. Тензорное произведение может приводить
к полному или частичному взаимному уничтожению модулей. Возь-
мем, например, тензорное произведение над Z абелевых групп Z/mZ
и Z/rtZ, где т, п— взаимно простые целые числа, большие единицы.
Тогда тензорное произведение
7.[п2. ® IfmT. = 0.
Действительно, имеем п (х ® у) = (пх) ® у = 0 и т(х ® у) —
= х®(ту) = 0. Следовательно, х®у = 0 для всех x£Z/raZ и
y£Z/mZ. А так как элементы вида х®у порождают тензорное про-
изведение, то оно равно 0. Позднее мы найдем условия, при которых
съеданий такого рода не происходит.
Во многих дальнейших результатах мы будем утверждать суще-
ствование и единственность каких-либо линейных отображений тен-
зорного произведения. Это существование доказывается использова-
нием универсального свойства тензорного произведения, позволяющего
пропускать через него билинейные отображения. Единственность вы-
текает из того факта, что линейные отображения принимают предпи-
санное значение на элементах (скажем, для двух множителей) вида
х ® у, поскольку такие элементы порождают тензорное произведение.
Докажем ассоциативность тензорного произведения.
Предложение 1. Пусть Ev Е2, Е3 — модули. Тогда суще-
ствует однозначно определенный изоморфизм
(^1 ® ^г) ® £з —* ® (^2 ® £'з).
такой, что
(X ® у) ® Z 1-> X ® (у ® Z)
для х£ДР у £ Е2 и z£E3.
§ I. ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
459
Доказательство. Так как элементы вида (x$y)$z поро-
ждают тензорное произведение, то единственность искомого линей-
ного отображения очевидна. Чтобы доказать существование, возьмем
Отображение
Кх: Е2 X Е3 -> (Ег ® Е2) ® Е3,
такое, что hx(y, z) = (x®y)$z, очевидно, билинейно и, следова-
тельно, может быть пропущено через линейное отображение тензор-
ного произведения
^х- Е2 f 3 ~(^1 0$ ^2) ® ^3-
Отображение
^1 X (^2 ® ^з) —* (^1 ® ^2) ® Е3>
такое, что
(х, а)н->).х(а)
для х££'] и Е2® Е3, также, очевидно, билинейно, и оно пропу-
скается через, линейное отображение
® (^2 ® ^з) —* (^1 ® ^2) ® ^3’
которое и обладает требуемыми свойствами (ясно из его построения).
Предложение 2. Для всяких модулей. Е, F существует
однозначно определенный изоморфизм
Е ® F F ® Е,
такой, что х®у\—>у®х для х£Е и y£F.
Доказательство. Отображение Е'ДР^-Р^Е, такое, что
(х, у)н-> у ® х, билинейно, и оно пропускается через линейное ото-
бражение тензорного произведения Е® F, переводящее х ® у в у (g х.
Так как это последнее отображение имеет обратное (по симметрии),
то и получаем искомый изоморфизм.
Тензорное произведение обладает различными функториальными
свойствами. Во-первых, пусть
fr E'r^Et <z=1........
— набор линейных отображений. Имеем индуцированное отображение
произведения
П/(.:
Если мы возьмем композицию П/(- с каноническим отображением
в тензорное произведение, то получим индуцированное линейное ото-
бражение, которое мы можем обозначить через Т (Д../„) и для
460
ГЛ XVI ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
которого коммутативна следующая диаграмма:
£1Х ••• Х^л->^1® ®Еп
пл1 /я)
i 'к
Е, X ХЕп^Ех® . . . ®Еп.
Непосредственно проверяется, что Т функториально, а именно что
для композиции линейных отображений fi°gt (i = 1....п)
TU\°gi......fnagn) = TUv •... /JoT'Cg’i.......gJ
и
T (id, .... id) — id.
Заметим, что T(fx, ..., /п)—это однозначно определенное линейное
отображение, действие которого на элемент х'х ® ... ® х’ из
Е’х ® ... ® Е'п задается правилом
%;® ... ®х'п^>fx(x{)® ...
Мы можем рассматривать Т как отображение
Ц L(Eh Ei)->L[® Eh ® ЕЛ,
i-1 \i-l i-1 /
и читатель легко проверит, что это отображение полилинейное. Мы
выпишем в явном виде, что это означает в случае двух множителей,
когда наше отображение может быть записано так:
(/, g)^T(J, g).
Для заданных гомоморфизмов /: F' —> F и gt, g,2: Е' —> Е
Т (f, gi Л-g2) = E gj) + т (/ g2).
T (f, agx) = aT (f, gx).
В частности, выберем некоторый фиксированный модуль F и рас-
смотрим функтор х — хР (из категории модулей в категорию моду-
лей), такой, что
х (£) — F ®Е.
Тогда т для всякой пары модулей Е', Е определяет линейное ото-
бражение
т: L(E', E)-+L (т (Е'), т (£))
по формуле
T(/) = T(id, /).
Замечание. Допуская вольность в обозначениях, иногда мы будем
писать
Л® ... ®/„ вместо Т (Д, ..., fn).
§ 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
461
Это не надо путать с тензорным произведением элементов, взятым
в тензорном произведении модулей
fi)® ... ®L(E'n, Еп).
Из контекста всегда будет ясно, что мы имеем в виду.
§ 2. Основные свойства.
Самым основным соотношением, связывающим линейные отобра-
жения, билинейные отображения и тензорное произведение, является
следующее: для трех модулей Е, F, G
L(E, L(F, G)^E2(E, F; G)^L(E®F, G)
Содержащиеся здесь изоморфизмы описываются естественным образом
(1) L2(E, F; G)->L(E, L(F, G)).
Если /: E\F—>G — билинейное отображение и х£Е, то ото-
бражение
fx- F-+G,
для которого fx(y) = f(x, у), линейно. Кроме того, отображение
х\—>fx также линейно, и для получения (1) именно это отображение
и сопоставляется Д
(ii) L (Е, L (F, G)) -> L2 (Е, F- G).
Пусть q>£L(E, L(F, О)) и Д>: E\F->G — билинейное отобра-
жение, для которого
Д>(х. У) = Ф (х) (у).
Тогда ф I—> /ф определяет (ii).
Ясно, что гомоморфизмы (i) и (ii) взаимно обратны и поэтому
дают изоморфизм первых двух объектов в рамке.
(iii) L2(E, F; G)->Z.(F®F, G).
Это то отображение, которое сопоставляет каждому билинейному
отображению f индуцированное линейное отображение Д. Сопостав-
ление fi—инъективно (так как Д однозначно определяет /)
и сюръективно, так как любое линейное отображение тензорного
произведения в композиции с каноническим отображением Е X F —>
-> E®F определяет билинейное отображение на E\F.
462
ГЛ. XVI. ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Предложение 3. Пусть Е — Ц EL — прямая сумма. Имеет
i-1
место изоморфизм
F ®Е П (F ® Et)-
z-i
Доказательство. Изоморфизм задается абстрактной чепухой.
Фиксируем F и рассмотрим функтор т: X i—> F ® X. Как мы видели
выше, т линеен. Имеем проекции л;: Е Е прямой суммы Е на Eit
причем
П|ол; = л;, л;оЛ; = 0, если I j,
п
2 — id.
z=i
Применив функтор т, мы видим, что т(л;) удовлетворяют тем же
соотношениям и, следовательно, дают разложение x(E) — F®E
в прямую сумму. Отметим, что т (лг) == id ® nz.
Следствие. Пусть I — некоторое множество индексов и
Е — П Ео Имеет место изоморфизм
i<U
\Ц1 ) tv
Доказательство. Пусть 3—конечное подмножество в /.
Имеем последовательность отображений
(П X F~+ II (Et ®F)-> II (Et®F),
\i£S / <£/
первое из которых билинейно, а второе, индуцированное включе-
нием Зв/, линейно. Действительно, первое отображение очевидно.
Если Sc S', то тривиальная коммутативная диаграмма показывает,
что ограничение отображения
(II z^X^II^W)
индуцирует наше предыдущее отображение на сумме по I £ 3. Но
мы имеем вложение
(П дДхл->(П eAxf.
\ies / \zg-s' /
Следовательно, в силу согласованности отображений с такими вло-
жениями мы можем определить билинейное отображение
(П^х^Шад/7).
§ 2 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
463
а потому и линейное отображение
(П F-+11 (£,®П
\ig/ / /€/
Аналогичным образом определяется отображение в противопо-
ложном направлении, и ясно, что эти отображения взаимно обратны;
следовательно, они дают изоморфизм.
Предположим теперь, что Е — свободный модуль размерности Г
над k. Пусть {т/}—его базис. Рассмотрим F&E. Всякий элемент
из F®E может быть записан в виде суммы членов y®av, где y£F
и a£k. Однако y®av = ay®v. Далее, при суммировании таких
членов мы можем использовать линейность слева
2 (y;Gfl) = [ 2 У/)® У/€^
i-l V-l /
Следовательно, всякий элемент имеет в действительности вид y®v
с некоторым y£F.
Имеем билинейное отображение
такое, что (у, av)i—>ау, которое индуцирует линейное отображение
F ® Е -> F.
Имеем также линейное отображение F—>F®E, задаваемое формулой
yi—Ясно, что эти отображения взаимно обратны, и, следо-
вательно, имеем изоморфизм F ® Е F. Таким образом, всякий эле-
мент из F®E может быть единственным образом записан в виде
y®v, y£F.
Предложение 4. Пусть Е—свободный модуль над k с ба-
зисом Тогда всякий элемент из F®E имеет однозначное
представление вида
, 1<П
где почти все у( = 0.
Доказательство. Это тотчас вытекает из рассмотрения одно-
мерного случая и следствия предложения 1.
Следствие. Пусть Е, F — свободные модули над k с бази-
сами и соответственно. Тогда модуль E®F сво-
боден и имеет базис ® Wj}. При этом
dim (Д ® F) = (dim Е) (dim F).
Доказательство. Непосредственно вытекает из предложения.
464
ГЛ XVI. ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Мы видим, что когда модуль Е свободен над k, в тензорном
произведении не происходит никаких съеданий. Всякий элемент из
F®E может рассматриваться как „формальная" линейная комбина-
ция элементов из базиса Е с коэффициентами в F.
В частности, мы видим, что тензорное произведение k®E (или
E®k) изоморфно Е относительно соответствия х\—>х®1.
Предложение 5. Пусть Е, F—свободные модули конечной
размерности над k. Имеет место изоморфизм
Endft (Е) ® Endft (F) -> Endft (Е ® F),
являющийся однозначно определенным линейным отображением,
таким, что
f®g^T(f,g)
для f6Endk(E~) и g £Endft(F).
[Отметим, что тензорное произведение слева взято в тензорном
произведении двух модулей Endft(E) и Endft(F).]
Доказательство. Пусть {иД—базис Е и {wj — базис F.
Тогда {vt ® Wj} есть базис E®F. Для всякой пары индексов (/',/')
существуют однозначно определенные эндоморфизмы f=fit с модуляД
и g — gмодуля F, такие, что
f(vl) = vt' и /(®v)=0, если v=Fi;
g(w]) = wJ' и g(w|X) = 0, если p+J.
Далее, семейства {/. и y.,j образуют базисы для EndA (Е) и
Endft(F) соответственно. Затем
( vt'®Wj’, если (v, р.) — (i, j),
Т {f, g}('Vv®wv) | q если (v, p.) =£ (i, /).
Таким образом, семейство }Т g . есть базис для Endft (Е ® F).
Так как семейство /1 является базисом для Endft(£)®
® Endft (F), то утверждение нашего предложения становится теперь
очевидным.
Предложение 5 показывает, что двусмысленность в использовании
обозначения f®g не является на самом деле двусмысленностью
в важном частном случае свободных конечномерных модулей. Позднее
мы встретимся с важным приложением предложения 5, когда мы
будем рассматривать тензорную алгебру модуля.
Предложение 6. Пусть
О Е' Е Е"
О
§ 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
465
— точная последовательность и F— произвольный модуль. Тогда
последовательность
F® Е' -> F ® Е —> F® Е" -> О
— точная.
Доказательство. Для заданных х" £Е" и у £F существует
элемент х£Е, такой, что х" — ty(x), и, следовательно, у®х" есть
образ элемента у®х при линейном отображении
F®E-+F®E'r.
Поскольку элементы вида у®х" порождают F®E", то мы заклю-
чаем, что предыдущее линейное отображение сюръективно. Тривиально
проверяется также, что образ отображения F ® Е' —> F ® Е содер-
жится в ядре
F ® Е —> F ® Е".
Обратно, пусть / — образ отображения F ®Е’ F ® Е и
/: (F®E)/I^F®E"
— каноническое отображение. Построим линейное отображение
g: F ®Е" ->(Р ®Е)[/,
такое, что g o‘/ = id. Отсюда, очевидно, будет следовать инъектив-
ность /, чем и будет доказано искомое обратное включение.
Пусть у^Р и х"£Е". Возьмем элемент х £ Е, для которого
•ф(х) = х". Определим отображение F X Е" ->(F ® Е)/1, положив
(у, x")i—>y®x(mod/).
Мы утверждаем, что это отображение правильно определено, т. е.
не зависит от выбора элемента х, для которого ip(x) = x"- Если
ф(х1) = ’ф(х2) = х", то гр (Xj—х2) = 0, и по предположению х1—х2=
= <р(х') для некоторого х'£Е'. Тогда
У ® Xj — у ® х2 = у ® (Xj — х2) = у ® ср (х').
Это показывает, что у ® хг = у ® х2 (mod /), и доказывает, что наше
отображение правильно определено. Оно, очевидно, билинейно и,
следовательно, может быть пропущено через некоторое линейное
отображение g тензорного произведения. Очевидно, что ограничение
g-f на элементы вида yXx(modZ) тождественно. А так как эти
элементы порождают (F®E)[I, то заключаем, что f инъективно,
что и требовалось показать.
Не всегда верно, что точна последовательность
О —> F ® Е' —> F ® Е -> F ® Е" —> 0.
466
ГЛ. XVI. ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Она точна, если первая последовательность в предложении 6 рас-
щепляется, т. е., по существу, если Е есть прямая сумма Е'~ и Е".
Это тривиальное следствие предложения 3, но читателю рекоменду-
ется проследить детали, чтобы привыкнуть к формализму тензорного
произведения.
Предложение 7. Пусть а — идеал в k, Е — модуль над k.
Тогда отображение (k/aj'X Е-> Е/аЕ, индуцированное сопоста-
влением
(a, x)i—>ax(moda£), a£k, х£Е,
билинейно и индуцирует изоморфизм
(Л/а) ® Е —Е/аЕ.
Доказательство. Наше отображение (a, x)i—> ах (mod аЕ),
очевидно, индуцирует билинейное отображение k/a X Д на Е/аЕ и,
следовательно,—линейное отображение k/a.®E на Е/аЕ. Мы можем
построить обратное отображение, поскольку имеется правильно опре-
деленное линейное отображение
Е -> k/a ® Е,
такое, что xi—> 1 ® х, где 1 есть класс вычетов элемента 1 в £/а.
Ясно, что аЕ содержится в ядре этого последнего линейного ото-
бражения, и, таким образом, мы получаем гомоморфизм
Е'аЕ k’a X Е,
который, как непосредственно проверяется, является обратным по
отношению к гомоморфизму, описанному в формулировке предложения.
Сопоставление Е\—>Е[аЕ ^k[a.®E часто называется отображе-
нием редукции. В следующем параграфе мы дадим интерпретацию
этого отображения как некоторого расширения основного кольца.
§ 3. Расширение основного кольца
Пусть k — коммутативное кольцо и Е — ^-модуль. Мы акценти-
руем внимание на k, так как собираемся сейчас работать с несколь-
кими кольцами. Пусть k—>k'—гомоморфизм коммутативных колец,
так что кольцо k' является ^-алгеброй и может быть рассматриваемо
также как ^-модуль. Имеем 3-линейное отображение
k' y^E->k' ®Е,
определяемое правилом
(й, b, x)i—> ab ® х.
§ 3. РАСШИРЕНИЕ ОСНОВНОГО КОЛЬЦА
467
Оно индуцирует линейное отображение над k
k' 0 (k' ®E)-+k' ®Е
и, следовательно, й-билинейное отображение k' X 0E)-+kr ®Е.
Непосредственно проверяется, что это последнее отображение пре-
вращает k'®E в fc'-модуль, который мы будем называть расшире-
нием Е над k' и обозначать через Ек'. Мы будем также говорить,
что модуль Ек' получен расширением основного кольца от k до k'.
Пример 1. Пусть а—идеал в k и k —> k/a — канонический гомо-
морфизм. Тогда расширение Е над k/a. называется также редукцией Е
по модулю а. Эта ситуация часто встречается над кольцом целых
чисел, когда мы производим редукцию по модулю простого числа р
[т. е. по модулю простого идеала (р)].
Пример 2. Пусть k — поле и k'—его расширение. Тогда Е—век-
торное пространство над k, a Ек'—векторное пространство над k'.
Мы видим, что в терминах базиса это есть то самое расширение,
на которое мы ссылались в предыдущей главе. Этот пример будет
более подробно развит в упражнениях.
Для наглядного изображения расширения основного кольца мы
будем рисовать такие же диаграммы, как и в теории полей
Следствие предложения 4 дает нам
Предложение 8. Пусть Е — свободный модуль над k
ным модулем над k! с базисом
Мы уже использовали раньше частный случай этого предложе-
ния, когда доказывали, что размерность свободного модуля определена,
т. е. что любые два базиса имеют одинаковую мощность. Действи-
тельно, в этом случае мы производили редукцию по модулю какого-
либо максимального идеала кольца k, что позволяло свести вопрос
к случаю векторных пространств над полем.
Когда колец несколько, желательно указывать k в обозначении
тензорного произведения. Таким образом, следует писать
Ек' —k' ®E — k' 0kE.
468
ГЛ. XVI. ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Имеет место транзитивность расширения основного кольца,.
а именно если k—>k'—>k"—последовательность гомоморфизмов
коммутативных колец, то имеет место изоморфизм
k" ®hE^k“(k'®kE),
причем этот изоморфизм является изоморфизмом ^"-модулей. Дока-
зательство тривиально и предоставляется читателю.
Если Е обладает мультипликативной структурой, то мы можем
расширять основное кольцо также и для этой структуры. Пусть
/г —> Л— гомоморфизм колец, такой, что всякий элемент образа k
в А коммутирует со всеми элементами в А (т. е. некоторая
fe-алгебра). Пусть k—>k' гомоморфизм коммутативных колец. Имеем
4-линейное отображение
k' А ® k' ® А -> k' ® А,
определяемое правилом
{а, х, b, у)1—>ab®xy.
Получаем индуцированное линейное отображение над k
k' ® А ® k' ® А —> k' ® А
и, следовательно, индуцированное ^-билинейное отображение
(k' ® А) X (k' 0 А) k' ® А.
Тривиально проверяется, что закон композиции на k' ® А, который
мы только что определили, ассоциативен. В k' ® А имеется единичный
элемент, а именно 1®1. Имеется гомоморфизм кольца k' в k'® А,
задаваемый соответствием ai—>а®1. Таким образом, тотчас видно,
что k' ® А — Ak' есть ^'-алгебра. Отметим, что отображение
х ।—> 1 ® х есть гомоморфизм кольца А в k' ® А и что мы получаем
коммутативную диаграмму кольцевых гомоморфизмов
§ 4. Тензорное произведение алгебр
В предыдущих рассмотрениях ситуация была несимметричной: мы
могли иметь дело с некоммутативной алгеброй А, но k' непременно
должно было быть коммутативным. Предположим теперь, что мы
§ 4 ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ АЛГЕБР
469
имеем дело с симметричной ситуацией, когда все рассматриваемые
кольца коммутативны.
Предложение 9. В категории коммутативных колец и.
в категории коммутативных алгебр над коммутативным кольцом
существуют копроизведения. Вели k->A и k>B— два гомо-
морфизма коммутативных колец, то их копроизведение над
k — это гомоморфизм k-> А ® В, задаваемый правилом
а ।—>а® 1 = 1 & а.
Доказательство. Мы ограничим наше доказательство слу-
чаем конечных копроизведений и, следовательно, в силу индуктивных
соображений—случаем копроизведения двух кольцевых гомоморфиз-
мов А->А u k-->B (Для бесконечного случая необходим предель-
ный процесс, аналогичный использованному в доказательстве след-
ствия к предложению 3 и доступный читателю в качестве легкого
упражнения.)
Пусть А, В — коммутативные кольца с заданными кольцевыми
гомоморфизмами в некоторое коммутативное кольцо С
ср: А —> С и ф: В->С.
Тогда мы можем определить Z-билинейное отображение
АХВ->С,
положив (х, y)i—> ср (х) ф (у). Отсюда в силу свойства универсаль-
ности тензорного произведения мы получаем однозначно определен-
ный аддитивный гомоморфизм
А ®В->С,
для которого х ® у I—>ср (х) ф (у). Выше мы видели, что на А ® В
можно определить структуру кольца
(а ® Ь) (с ® d) = ас ® bd.
Тогда ясно, что наше отображение Д0В —>С является гомомор-
физмом колец. Имеем также два кольцевых гомоморфизма
A А ® В и В—+А®В,
задаваемых правилами
XI—>х®1 и yi—> 1 ® у,
причем, очевидно, А ® В порождается образами колец А и В относи-
тельно этих гомоморфизмов. Теперь непосредственно видно, что>
(Л 0 В, f, g) есть копроизведение наших колец А и В.
470
ГЛ XVI. ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Если А, В, С — й-алгебры и если <р, ф таковы, что коммута-
тивна следующая диаграмма:
С
Ак В
К Л
k
то A(gkB также есть й-алгебра (фактически это есть алгебра над й,
над А или над В, в зависимости от того, какую из этих структур
мы хотим использовать) и отображение A'£kB->-C, полученное
выше, дает гомоморфизм й-алгебр.
Любое коммутативное кольцо всегда можно рассматривать как
Z-алгебру (т. е. как алгебру над кольцом целых чисел). Таким
образом, копроизведение коммутативных колец является частным слу-
чаем копроизведения й-алгебр.
§ 5. Тензорная алгебра модуля
Пусть G — коммутативный моноид, записываемый аддитивно. Под
О-градуированным кольцом мы будем понимать кольцо А, для адди-
тивной группы которого задано представление в виде прямой суммы
л = П4
а умножение в А отображает Ar X в Лг+5 для всех г, s£G.
В частности, До—подкольцо.
Элементы из Аг называются однородными элементами степени г.
Мы построим несколько примеров градуированных колец по сле-
дующему образцу. Пусть для всякого г £ О задана абелева группа АГ
(записываемая аддитивно), и пусть для всякой пары г, s£G задано
отображение Ar\As~>Ar+s. Предположим, что определяемая этими
отображениями композиция ассоциативна и Z-билинейна. Тогда прямая
сумма А = JJ Аг является кольцом: умножение вводится очевидным
rfO
образом, а именно
Применим эти соображения к случаю, когда G — моноид натураль-
ных чисел 0, 1, 2, ... .
Пусть й обозначает, как и прежде, коммутативное кольцо, и
пусть Е — некоторый модуль (т. е. й-модуль). Для всякого целого
г _>0 положим
Г (Е) = ® £ и Т° (Е) = й.
<-1
§ 5. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА МОДУЛЯ
47 Г
Таким образом, ТГ(Е) = Е® .. . (тензорное произведение, взя-
тое г раз). Тогда Тг есть функтор, действие которого на линейные
отображения задается следующим образом. Если /: E—>F—линейное
отображение, то
Tr(f) = T(f.....f)
в смысле § 1.
Из ассоциативности тензорного произведения получаем билиней-
ные отображения
Tr (E)XTS (E)->Tr+s(E),
являющиеся ассоциативными. Посредством этих билинейных отобра-
жений мы можем на прямой сумме
СО
Г(£)=П Г(Е)
г-0
определить структуру кольца, а в действительности даже структуру
алгебры (отображая k на T°(E) = k). Мы будем называть Т (Е) тен-
зорной алгеброй модуля Е над k. В общем случае она не коммута-
тивна. Для обозначения кольцевой операции в Т (Е) мы будем писать.
х®у (X, у £ ?’(£)).
Пусть /: Е-+Р— линейное отображение. Тогда f для всякого-
г > 0 индуцирует линейное отображение
Г(/): Tr (Е) -> Г (F)
и, таким образом, индуцирует отображение на Т (Е), которое мы
будем обозначать символом Т (/). (Можно не опасаться путаницы
с отображением из § 1, которое теперь следовало бы обозначать
Г1 (/) и которое на самом деле равно /, так как Т1 (£) — £.) Ясно,
что Т (J) — это однозначно определенное линейное отображение,
такое, что для х{....хг£Е
Т • • • ®xr) = f(xl)® .. . ®f(xr).
В действительности элементы из Т1 (Е) являются образующими для Т(£)-
как алгебры над k. Мы видим, что Т (/) является гомоморфизмом
алгебр. Таким образом, Т может рассматриваться как функтор из
категории модулей в категорию градуированных алгебр, причем Т (/)
является гомоморфизмом степени 0.
В случае когда модуль Е свободен и конечномерен над k, мы
можем, используя предложение 4, полностью определить струк-
туру Т (Е). Пусть Р—некоторая алгебра над k. Мы будем гово-
рить, что Р — алгебра некоммутативных многочленов, если суще-
ствуют такие элементы у.....tn £ Р, что элементы
= . .. tir,
472
ГЛ XVI ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
где 1 образуют базис для Р над k. Мы можем назвать эти
элементы некоммутативными одночленами от (7). Как обычно,
принимается соглашение, что при г = 0 соответствующий одночлен
совпадаете единичным -элементом алгебры Р. Мы видим, что f.tn
порождают Р как алгебру над k и что Р в действительности является
градуированной алгеброй, однородная компонента Рг которой состоит
из линейных комбинаций одночленов ti .. . tir с коэффициентами
из k. Естественно сказать, что ...tn — независимые некомму-
тативные переменные 'над k.
Предложение 10. Пусть Е—свободный модуль размер-
ности п над k. Тогда алгебра Т (Е) изоморфна алгебре неком-
мутативных многочленов от п переменных над k. Другими сло-
вами, если {-Uj, ..., vn} — базис Е над k, то элементы
44(0(i») = vZi® . . . ®vir,
образуют базис ТТ (Е) и всякий элемент из Т (Е) имеет-един-
ственное представление в виде конечной суммы
(О
где почти все а(;) равны 0.
Доказательство. Это тотчас следует из предложения 4, § 2.
Теперь будет дана интерпретация тензорного произведения линей-
ных отображений в связи с понятием тензорной алгебры.
Для удобства мы до конца этого параграфа будем обозна-
чать модуль эндоморфизмов Endft (Е) через L (Е).
Образуем прямую сумму
ОО
(LT)(E) = П L(Tr(E)f
г=0
которую для краткости будем также обозначать через LT (Е). [Разу-
меется, LT (Е) не равно Endft(T(E)), так что мы должны рассматри-
вать LT как единый символ.] Определив подходящим образом умно-
жение в LT (Е), мы увидим, что LT есть функтор из категории мо-
дулей в категорию градуированных алгебр. Пусть /£ L(Tr(Е)),
g £L(TS (Е)), h £ L (Тт (Е)). Определим произведение fg^L (rr+s (Е))
как Т (/, g) в обозначениях § 1, другими словами, как однозначно
определенное линейное отображение, действие которого на элемент
х®у, где х£Тт(Е) и y£Ts(E), задается формулой
х®уь-+ f (x)®g(y).
Ввиду ассоциативности тензорного произведения тотчас получаем
ассоциативность (fg} h ~ f (ghf, кроме того, мы видим, что наше
.произведение билинейно. Следовательно, LT (Е) есть й-алгебра.
§ 6 ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
473-
Имеет место гомоморфизм алгебр
Т (L (Е)) -> LT (Е),
который в каждой размерности г задается линейным отображением
fx® ...®fr^->T(fx.................fr) = fx ... fr.
Подчеркнем специально, что тензорное произведение слева взято из
L (Е) ® . . . ® L (Е).
Отметим также, что этот гомоморфизм в общем случае не 0удет ни
сюръективным, ни инъективным. Оказывается, однако, что когда
Е—свободный конечномерный модуль над k, то этот гомоморфизм
обладает обоими этими свойствами, и, таким образом, в этом случае
нам становится ясной структура LT (Е)" как алгебры некоммутативных
многочленов, порожденной L(E). А именно, из предложения 5, § 2,
получаем
Предложение И. Пусть Е—свободный конечно.мерный
модуль над k. Тогда имеет место изоморфизм алгебр
оо
Т (L (Е)) = Т (End, (Е)) -> LT (Е) = Ц End, (Г (Е)),
г=0
задаваемый отображением
f®g*->T(J> g)-
Доказательство. В силу предложения 5 из § 2 в каждой
размерности имеет место линейный изоморфизм и ясно, что наше
отображение сохраняет умножение.
В частности, мы видим, что LT (Е)— алгебра некоммутативных
многочленов.
§ 6. Знакопеременные произведения
Напомним, что r-линейное отображение /: E' r '—> F называется
знакопеременным, если /(хр ..., хг) = 0, как только xt^=Xj для
некоторых I 4= j-
Пусть аг — подмодуль в Tr (Е), порожденный всеми элементами
вида где xt=^Xj для некоторых t =£ j. Положив
/\г (Е) — ТГ (E)!&r,
будем иметь r-линейное отображение Е(г> —> Дг (Е) (называемое кано-
ническим), получаемое из композиции
Е(г) -> Г (Е) -> Тт (Е)/аг = Дг (Е).
474
ГЛ XVI. ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Ясно, что наше отображение является знакопеременным. Более того,
оно универсально по отношению к r-линейным знакопеременным
отображениям на Е. Другими словами, если /: Е'Г! —> F такое
отображение, то существует однозначно определенное линейное ото-
бражение Д; Д'’(£)->/’, для которого коммутативна следующая
диаграмма:
/Аг(£)
£(г'\ ,
\ 1
Отображение Д существует, так как мы
индуцированное отображение ТГ(Е)—>Р,
диаграмму
можем сначала получить
делающее коммутативной
а это индуцированное отображение обращается в нуль на аг и, сле-
довательно, индуцирует Д.
Таким образом, получаем функтор Дг из категории модулей со
значениями в той же категории.
Образ элемента (Xj.....хг)££(г) при каноническом отображе-
нии в Д'(Е) будет обозначаться через хгл ... ,\хг. Этот элемент
является также образом хг ® ® хг при промежуточном гомомор-
физме Tr (Е) > Дг (£?).
Обозначим через Д (£) прямую сумму Цдг(Д). Мы превратим
г-0
Д (Е) в градуированную ^-алгебру и будем называть ее знакопере-
менной алгеброй модуля ЕСначала рассмотрим общую ситуацию
с произвольными градуированными кольцами.
Пусть снова О — аддитивный моноид и A = —О-градуиро-
ванная ft-алгебра. Предположим, что для каждого Аг задан подмо-
дуль аг, и пусть а = Цаг. Предположим, что а—идеал в А. Тогда а
rfcO
>) Более распространенным для Д (£) является название внешней ал-
гебры модуля Е. Операция умножения в ней называется обычно внешним
произведением. — Прим. ред.
§ 6. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
475
называется однородным идеалом, и мы можем определить градуиро-
ванную структуру на Л/й. Далее, билинейное отображение
X As > -^r + s
переводит flr X As и ДХа5в йг+5. Таким образом, используя пред-
ставителей из Ar, As соответственно, мы можем определить били-
нейное отображение
Arl&r X AJc.s —> Ar+s/ar+s
и, следовательно, билинейное отображение A/а X Aja -> Д/й, которое
превращает Д/а в градуированную ^-алгебру.
Применим это к Tr (Е) и введенным выше модулям йг. Если
xt = Xj (I Ф J) в произведении хг ® . X хг, то хх ® ® хг ®
лежит в ftr + J при любых 54...ys££:, и анало-
гично для произведения слева. Следовательно, прямая сумма Ц й,
есть идеал в Т (Е), и мы можем определить на Т (Е)[а структуру
^-алгебры. Произведение однородных элементов задается формулой
((%! Л ... AXr), (.VjA . . . ЛУ5))|->Х1Л . . . ЛХГЛУ1Л ... Л
Мы будем использовать символ л также для обозначения произве-
дения в Д (£). Это произведение называется знакопеременным произ-
ведением. Если х£Е и у £Е, то хлу =— улх, как это вытекает
из того факта, что (хД- у) л (х Д-у) = 0.
Заметим, что Д есть функтор из категории модулей в ка-
тегорию градуированных k-алгебр. Для всякого линейного отобра-
жения /: E—>F мы получаем отображение
Д(/): Д(Д)->Д(Л),
такое, что для хр .... хг£Е имеем
Д Л ... Л Xr) = /(Xj)A ... л/(хг).
Кроме того, Д (/) является гомоморфизмом градуированных ^-алгебр.
Предложение 12. Пусть Е — свободный модуль размер-
ности п над k. Если г > п, то f\r(E) = Q. Пусть ......v„] —
базис для Е над k. Если 1 г <^/г, то модуль /\г (Е) свободен
над k' и элементы
л ... /\ vir, Zj < ... < lr,
образуют базис для /\г (Е) над k. При этом
dim* Дг(£) = (
Доказательство. Сначала докажем наше утверждение для
г — п. Всякий элемент из Е может быть записан в виде и,
-476
ГЛ XVI полилинейные произведения
следовательно, Vj л ... порождает ДЛ(£), как это вытекает
из формулы хау —— у ах. С другой стороны, из теории опре-
делителей мы знаем, что для заданного a£k существует однозначно
определенная полилинейная знакопеременная форма fa на Е, такая,
что
.....vn) = a.
Следовательно, существует однозначно определенное линейное ото-
бражение
Лл(£)->£.
принимающее на д л ... л vn значение а. Из этого тотчас выте-
кает, что vtA ... Avn служит базисом для Дл(Е) над k.
Докажем теперь наше утверждение для 1 г п. Предположим,
что мы имеем некоторое соотношение
о=2 л • • • л %.
где Zj < ... < 1Г и а(1-) £ k. Рассмотрим любой набор из г индексов
(/) = (/,..../г), такой, что j\ < ... < jr, и обозначим через
jr+}.....jn те значения I, которые не встречаются среди (Jv . . ., jr).
Возьмем знакопеременное произведение нашего соотношения
с г’;г4]Л ••• Лг,/П- Тогда во всех членах суммы, кроме (у)-члена,
мы будем иметь знакопеременные произведения с повторяющимися
компонентами и, следовательно, получим
0 = а(у)х»Л л ... AVjr л .. . ау!п.
Перетасовывая сомножители в Vj А ... '•'vjn так, чтобы получить
г,,/. ... лт>„, мы можем только изменить знак в правой части этого
равенства. Из сказанного в начале доказательства вытекает, что
а^ — 0. Следовательно, мы доказали наше утверждение для
При г —0 мы имеем дело с пустым произведением и 1 служит
базисом для Д°(£) = k над k Случай г > п мы в качестве тривиаль-
ного упражнения предоставляем читателю.
Утверждение, касающееся размерности, тривиально, если принять
во внимание тот факт, что существует биективное соответствие между
множеством базисных элементов и подмножествами множества целых
чисел (1, .. ., п).
Замечание. Можно провести первую часть доказательства, а именно
для Д"(Е), не предполагая известным существование определителей.
Для этого нужно показать, что ал обладает в Тп (Е) одномерным
дополнительным подмодулем. Это может быть сделано достаточно
простыми средствами, что мы предоставляем читателю в качестве
упражнения. В случае когда k—поле, это упражнение совсем три-
§ 7. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
477
виально, поскольку сразу же проверяется, что vt ® ® vn не ле-
жит в ал. Этот другой подход к теореме доказывает тогда суще-
ствование определителей.
$ 7. Симметрические произведения
Пусть обозначает симметрическую группу на п символах,
действующую, скажем, на множестве целых чисел (1........п). Рас-
смотрим r-линейное отображение
/: E(r} -> Е;
оно называется симметрическим, если f (х,......xr) = f (хя ц), ...
.... х0(г)) для всех о^<$г.
Пусть Ьг — подмодуль в Tr (Е), порожденный всеми элементами
вида
Xj ® ® хг---Ха (!) ® ® Ха (г),
где Xi£E и о£Sr. Введем фактормодуль
3'(Е) = Г(Е)/Ьг
и рассмотрим прямую сумму
оо
5(Е) = Ц5Г(Е).
т в О
Непосредственно ясно, что прямая сумма
оо
ь=Пк
r = 'J
— идеал в Т (Е) и, следовательно, S (Е) — градуированная й-алгебра,
называемая симметрической алгеброй модуля Е.
Далее, каноническое отображение
E(r) —>Sr(E),
получаемое композицией отображений
Е(и -> Тт (Е) -> Г (E)l*r = (Е),
универсально для r-линейных симметрических отображений. Все это
уже должно стать для читателя шаблонным.
Отметим, что 5 — функтор из категории модулей в категорию
градуированных й-алгебр. Образ (х,....... хг) при каноническом
отображении
Е(л ->Sr(E)
будет обозначаться просто через хг ... хг.
478
ГЛ. XVI. ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Предложение 13. Пусть Е— свободный модуль размер-
ности п над k, ........— некоторый базис для Е над k.
Элементы этого базиса, рассматриваемые как элементы из S1 (Е)
в S (£'), алгебраически независимы над k, и алгебра S (Е) изо-
морфна поэтому алгебре многочленов от п переменных над k.
Доказательство. Взяв алгебраически независимые перемен-
ные .... tn над k, образуем алгебру многочленов £[7Р .... ta].
Пусть Рг — й-модуль однородных многочленов степени г. Определим
отображение Е^-+РТ следующим образом. Если Wj.....—эле-
менты из Е, которые могут быть записаны в виде
= 2 ••••'•
Y=1
то наше отображение задается правилом
(Wj .... w,) i-> (aj/j alntn) ... (arl^ arntn).
Очевидно, что это отображение полилинейно и симметрично. Следо-
вательно, оно может быть пропущено через линейное отображение
S'(Е) в Рг -.
(Е)
\р/
Из коммутативности нашей диаграммы ясно, что для всякого набора
из г целых чисел (i) —(z'i, . . ., lr) элемент . . Vir из S' (Е) отобра-
жается на Н . . . t( в Рг. Так как одночлены Л4(р (7) степени г ли-
нейно независимы над k, то одночлены M(i) (v) в S'(Е) также ли-
нейно независимы над k, и наше отображение S' (Е)—> Рг является
изоморфизмом. Тотчас проверяется, что умножение в S(E) соответ-
ствует умножению многочленов в k [/] и, следовательно, отображе-
ние 5 (Е) в алгебру многочленов, описанное выше для каждой ком-
поненты S'(Е), индуцирует изоморфизм алгебры 5 (Е) на алгебру k[t],
что и требовалось.
§ 8. Кольцо Эйлера — Гротендика
Пусть k — поле и G— группа. Под (G, k)-модулем мы будем
понимать пару (Е, р), состоящую из ^-пространства Е и гомоморфизма
р: 0->Autft(E).
Такой гомоморфизм называется также представлением G в Е. До-
пуская вольность речи, мы будем также говорить, что £-простран-
ство Е является G-модулем. Группа G действует на Е, и мы пи-
§ 8. КОЛЬЦО ЭЙЛЕРА - ГРОТЕНДИКА
479
шем ох вместо р(о)х. Поле k во всем последующем будет оста-
ваться фиксированным.
Пусть Wi(G) обозначает категорию, объектами которой являются
(G, А)-модули. Морфизмами в 2Ii(G) служат так называемые О-гомо-
морфизмы, т. е. А-линейные отображения /: E—>F, такие, что
/(ох) = о/(х).
Если Е—G-модуль и о^О, то мы имеем по определению й-авто-
морфизм о: Е —>Е. Поскольку Тг — функтор, для всякого'г имеем
индуцированный автоморфизм
Г (о): Тг (Е)->ТГ(Е),
так что Тг(£) также является G-модулем. Беря прямую сумму, мы
видим, что Т (Е) есть G-модуль и, следовательно, Т — функтор
из категории G-модулей в категорию градуированных G-модулей.
Аналогично для Дг, Sr и Д, S.
Ясно, что ядром G-гомоморфизма будет G-модуль и фактормо-
дулем G-модуля по G-подмодулю — снова G-модуль. Пусть —
множество классов (G, &)-модулей относительно G-изоморфизма. Это
множество является моноидом, сложе- не в котором представляется
на модулях прямой суммой. Имеем гомоморфизм Гротендика
у; 2Я0->/<(0)
моноида Ш10 в группу Гротендика К (О), взятую относительно точных
последовательностей (ср. также с конструкцией в гл. IV, § 3). Для
простоты мы пишем К (О) вместо К (2R0).
Если [£’] обозначает класс Е относительно изоморфизма, то будем
также писать у(Е) вместо у ([£])
Если Е, F—G-модули, то их тензорное произведение E(/tF
над k также является О-модулем. Здесь снова действие О на E(gjF
задается функториально. Для всякого о £ О существует однозначно
определенное ^-линейное отображение E(^F—>Е(£, F, такое, что для
х£Е, y£F имеем x®yi—> о (х) ® о (у). Тензорное произведение
индуцирует закон композиции на 3?iG, так как тензорные произведе-
ния G-изоморфных модулей G-изоморфны. Мы утверждаем, что
является также мультипликативным моноидом. Наш закон композиции
ассоциативен, поскольку тензорное произведение ассоциативно. Суще-
ствует единичный элемент, а именно класс модуля k над G, причем
действие О на k определяется правилом (о, а)\—>а для всех о£О
и a£k (таким образом, <м = а).
Произведение на Ш(о, очевидно, дистрибутивно относительно сло-
жения, так как тензорное произведение прямой суммы есть прямая
сумма тензорных произведений.
Наконец, поскольку E®F G-изоморфно F®E, наше умножение
в 3Ra коммутативно. Таким образом, 3RO — моноид относительно сло-
жения и коммутативный моноид относительно тензорного произведения,
480
ГЛ. XVI. ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
причем умножение в нем Z-билинейно по отношению к сложе-
нию.
Так как k — поле, то тензорное умножение точной последователь-
ности О-модулей над k на любой О-модуль над k сохраняет точность.
Благодаря этому можно определить произведение в К (О), которое
однозначно задается условием
У (Е) у (F) = у (Е ® F)
для всех G-модулей Е, F. Отсюда тривиально следует, что К (О)
есть кольцо и что у — гомоморфизм как для аддитивного, так и для
мультипликативного закона на ЭЙ0. Поэтому мы можем назвать Д’ (О)
кольцом Гротендика группы О (над k). Так как О фиксирована,
то мы будем также писать Д вместо К (О).
Если Е — О-модуль, то мы пишем К1 (Е) для обозначения эле-
мента у(Д‘(Е)), другими словами, элемента в К (О), который яв-
ляется образом при у модуля Д' (Е) или, более точно, класса этого
модуля относительно изоморфизма.
Определим теперь отображение 2К0 в кольцо степенных рядов
К. [ [/[ ], а именно отображение такое, что
X (Е) = 2 V (Е) t‘-
1=0
Так как Д°(Е) = k, то Л°(Е)=1. Следовательно, наше отображение
является на самом деле отображением в мультипликативную группу
степенных рядов, начинающихся с 1. Мы будем записывать эту группу
в виде
1 I Ш ]•
Таким образом, есть отображение
ЗКо->1-НМ [[/]].
Предложение 14, Для любых k-модулей Е, F имеет место
изоморфизм
II Д‘'(Е)® Д/(Е)-^ ДДЕфЕ).
i+ J—T
Доказательство. Доказательство предоставляется читателю
в качестве упражнения.
Следствие. Отображение описанное выше, является
гомоморфизмом Д1а в мультипликативную группу 1 -1- tK[ [И J-
Ввиду универсальности К (О) мы можем продолжить на К (О)
[или, более точно, пропустить \ через М(О)]. Индуцированное отобра-
жение на К (О) будет снова обозначаться через ht.
Обозначим через s‘ (Е) элемент y(Sl(E)) в кольце Гротендика.
§ 9. НЕКОТОРЫЕ ФУНКТОРИАЛЬНЫЕ ИЗОМОРФИЗМЫ
481
Предложение 15. Для любого G-модуля Е положим
СО
(£)= 2 ?(£)?.
1 = 0
Тогда st (£) K_t (Е) — 1.
Доказательство этого утверждения сложнее, и необходимая для
его получения техника составляет первую главу любого изложения,
имеющего дело с более глубокими аспектами только что введенных
структур.
В заключение — один пример.
Предположим, что Е одномерно над k. Тогда Х/(£) = 0 для
I > 0. Следовательно,
Kt(E)=l^-y(E)t
и
В случае когда группа G тривиальна, можно дать простое доказа-
тельство предложения 15, сведя его к одномерному случаю.
$ Р. Некоторые функториальные изоморфизмы
Начнем с одного абстрактного определения. Пусть 91, 23—две
категории. Функторы из 21 в 23 (скажем, ковариантные от одной пе-
ременной) могут рассматриваться как объекты некоторой категории,
морфизмы которой определяются следующим образом. Если L, М —
два таких функтора, то морфизм Н: L-+M— это правило, которое
каждому объекту X из 21 сопоставляет морфизм Нх. L(X)~> М (Х)
из 23, такой, что для любого морфизма /: X -> У из 21 коммутативна
следующая диаграмма:
L(X) -^+М(Х)
L(f)\ IW)
£(K)_
Мы можем поэтому говорить об изоморфизме функторов. Ниже мы
увидим примеры подобных изоморфизмов в теории тензорных произ-
ведений. Категории, рассматриваемые в наших приложениях, являются
аддитивными, т. е. в них множества морфизмов образуют аддитивные
группы, а закон композиции Z-билинеен. В этом случае функтор L
называется аддитивным, если L(j g) = L (g).
482
ГЛ. XVI. ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Пусть k—коммутативное кольцо. Мы будем рассматривать адди-
тивные функторы из категории A-модулей в себя, например, функтор
перехода к дуальному модулю
Е ।—> Е* — L (Е, k) = Homft (Е, k).
Аналогично имеем функтор от двух переменных
(Е, F)t—> L(E, F) = HomA(£', F),
который контравариантен по первому, ковариантен по второму аргу-
менту и биаддитивен.
Мы приведем несколько примеров функториальных изоморфизмов,
связанных с тензорным произведением; для этого нам будет удобно
иметь общую теорему, дающую критерий того, когда морфизм функ-
торов является на самом деле изоморфизмом.
Предложение 16. Пусть L, М — два функтора (оба ко-
вариантных или контравариантных) из категории k-модулей
в себя. Предположим, что оба функтора аддитивны. Пусть
Н: —морфизм функторов. Если НЕ: L(E)-+M(E) является
изоморфизмом для всякого одномерного свободного модуля Е над k,
то НЕ—изоморфизм для всякого конечномерного свободного мо-
дуля над k.
Доказательство. Начнем с леммы.
Лемма. Пусть Е и Et (7=1........т) — модули над некото-
рым кольцом, <р;: Et-+E и ф,-: Е—>Et— гомоморфизмы, обла-
дающие следующими свойствами:
ф. °ф. = id, ф. офу = 0 при t =f= j,
2 ф; О ф,- = id.
1-1
Тогда отображение
х^(ф1%............................ф,„х)
т
определяет изоморфизм Е на прямое произведение JJFZ, а отобра-
i=i
жение
(Х1....хт) I—> Ф1Х1 + • • • + (Ртхт
— изоморфизм прямого произведения на Е. Обратно, если мо-
дуль Е равен прямой сумме подмодулей Et (i = 1, ..., т) и если
ф,- — вложение Et в Е, а фг — проекция Е на Eit то эти отобра-
жения обладают указанными выше свойствами.
§ 9. НЕКОТОРЫЕ ФУНКТОРИАЛЬНЫЕ ИЗОМОРФИЗМЫ
483
Доказательство. Доказательство шаблонно и по существу
совпадает с доказательством предложения 2 из гл. III, § 3. Мы пре-
доставляем его читателю в качестве упражнения.
Заметим, что семейства [срг] и {фг], обладающие указанными
в лемме свойствами, ведут себя функториально: если Т—аддитивный
функтор, скажем контравариантный, то семейства {Т'СФ/)} и (ТДф,)}
также обладают этими свойствами. Аналогично, если Т — ковариант-
ный функтор.
Применим лемму, взяв в качестве модулей Et одномерные ком-
поненты, возникающие из разложения Е по какому-либо базису.
Предположим, например, что оба функтора L, /VI ковариантны. Для
всякого модуля Е имеют место коммутативная диаграмма
L (£) М (Е)
L(E.) ->Af(Ez)
и аналогичная диаграмма, получающаяся заменой <pz на ф; и обраще-
нием двух вертикальных стрелок. Следовательно, мы получаем раз-
ложение ЦЕ) в прямую сумму, определяемое отображениями А(ф;)
и L (ср;), и аналогично для /И (Е) и отображений /И (ф;) и /И(<рг).
По предположению НЕ.— изоморфизмы. Отсюда тривиально выте-
кает, что НЕ— изоморфизм. Чтобы, к примеру, доказать инъектив-
ность, запишем элемент v6L(E) в виде
г» = 5Л(<р;)-п/,
где v^LtE^. Если HEv = Q, то
и так как отображения М (<р;) дают разложение М (£) в прямую
сумму, то заключаем, что HEv. = 0 для всех I, откуда г»(. = 0 и
v — 0. Доказательство сюръективности столь же тривиально.
Если мы имеем дело с функтором от нескольких переменных,
аддитивным по каждой из них, то, сохраняя все, кроме одной,
из этих переменных фиксированными, мы можем применить преды-
дущее предложение. Именно так мы и поступаем в приводимых ниже
следствиях.
Следствие 1. Пусть Е', Е, F', F— свободные конечномер-
ные модули над k. Имеет место функториальный изоморфизм
L(E', Е) 0 L (F', F) —> L {£’ 0 F', E0F),
484
ГЛ. XVI. ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
такой, что
f®g*-*T (f, g).
Доказательство. Фиксируем Е, F', F и рассматриваем
L(E', E)®L(F', F) как функтор от одной переменной Е'. Анало-
гично рассматриваем
L(E'®F', E®F)
как функтор от Е'. Отображение / ® g ь—>7 (/, g) функториально,
и, следовательно, согласно лемме, достаточно доказать, что оно дает
изоморфизм, когда Е' имеет размерность 1. Пусть модуль Е' имеет
размерность 1. Фиксируем его и рассмотрим два выражения, фигури-
рующих в следствии как функторы от Е. Повторное применение
леммы показывает, что достаточно установить, что наше отображение
является изоморфизмом, когда Е имеет размерность 1. Аналогично
мы можем предполагать, что F, F' также имеют размерность 1.
В этом случае проверка того, что отображение является изоморфиз-
мом, тривиальна и следствие доказано.
Следствие 2. Пусть Е, F—свободные конечномерные мо-
дули. Имеет место изоморфизм
Endft (Е) ® Endft (F) -> Endft (Е ® F).
Доказательство. Частный случай следствия 1.
Отметим, что следствие 2 уже было доказано раньше, и мы
упомянули его здесь только для того, чтобы видно было, как оно
связано с принятой в этом параграфе точкой зрения.
Следствие 3. Пусть Е, F—свободные конечномерные модули
над k. Имеет место функториальный изоморфизм
E*®F-+L(E, F),
задаваемый для х*£Е* и y£F отображением
х*®у\—>Z,
где Z — такой элемент из L(E, F), что Z(x) = (x, х*) у для всех
х£Е.
Обратный изоморфизм может быть описан следующим образом.
Пусть .... —базис в £ и .... и*} — дуальный базис.
Если А — элемент из L (Е, F), то его прообразом в тензорном произ-
ведении является элемент
!»
§ 9. НЕКОТОРЫЕ ФУНКТОРИАЛЬНЫЕ ИЗОМОРФИЗМЫ
485
В частности, если E = F, то прообразом тождественного автомор-
физма id£ служит элемент
2 ®
Доказательство следствия 3 получается сведёнием к случаю,
когда оба модуля Е, F одномерны, а в этом случае утверждение
очевидно. Вывод указанной выше явной формулы для обратного
отображения предоставляется читателю в качестве упражнения.
Дифференциальные геометры очень любят изоморфизм
L(E, Е)^Е*®Е
и часто, мысля геометрически о L(E, Е), используют в записи
£*®Д, благодаря чему без всякой надобности делается ударение
на дуализации и совершенно не относящемся к делу формализме,
тогда как значительно проще работать непосредственно с L (Е, Е).
В дифференциальной геометрии обычно применяют к касатель-
ному пространству в точке многообразия различные функторы L и
элементы получаемых таким образом пространств называют тензо-
рами (типа L).
Следствие 4. Пусть Е, F — свободные конечномерные мо-
дули над k. Имеет место функториальный изоморфизм
Е? ® F* -+(Е ® F)*,
задаваемый для х*£Е* и у*£Р* отображением
х*®у*^К
где А, — такой элемент из (Е ® F)*, что
Х(х®у) = (х, х*)(у, у*)
для всех х£Е и y£F.
Доказательство. Такое же, как и выше.
Наконец, мы предлагаем в качестве упражнения следующий ре-
зультат:
Предложение 17. Пусть Е — свободный конечномерный
модуль над k. Функция следа на L (Е, Е) равна композиции двух
отображений
L(E, Е) -> Е* ® Е -> k,
где первое отображение обратно к изоморфизму, описанному
в следствии 3 предложения 16, а второе индуцировано билиней-
ным отображением
(х*, х) t—> (х, х*).
486
ГЛ. XVI. ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Именно в тех ситуациях, когда встречается след, становится
важным изоморфизм из следствия 3 и используется конечномерность Е.
Во многих же приложениях эта конечномерность не играет роли, и
тогда лучше иметь дело непосредственно с L (Е, Е).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть k — поле, k (а) — конечное расширение f (X) = Irr (a, k, X),
причем многочлен f сепарабелен, и k'—произвольное расширение над k.
Показать, что k (a) Q k' — прямая сумма полей. Показать, что если поле k'
алгебраически замкнуто, то эти поля соответствуют вложениям k (а) в k'.
2. Пусть k — поле, f (X) — неприводимый многочлен над k и
а — корень /. Показать, что k (а) 0 k' изоморфно как б'-алгебра фактор-
кольцу k’ [X]/(f (X)).
3. Доказать предложение 14, построив естественный гомоморфизм и
сравнив размерности левой и правой частей равенства.
4. Предположим, что группа G в § 8 тривиальна, и будем писать К
вместо К (1). Для х£Х положим
А, (х) VI
ф (х) = —td log A (x) = — t , ф, (х) = У ф* (х) tk.
t 1 Л} (Л)
Показать, что
ф* (х-\- у) — ф* (х) ф* (у), ф^ (ху) = ф* (х) фй (у).
5. На модуле Е над коммутативным кольцом задана билинейная форма.
Объяснить, как действует расширение основного кольца: если k -> k' — гомо-
морфизм коммутативных колец, то определить естественную билинейную
форму на Ek над k .
6. Пусть k — коммутативное кольцо. Обозначим через Lra (Е) модуль
r-линейных знакопеременных отображений 6-модуля Е в k (т. е. модуль
r-линейных знакопеременных форм на Е). Положим, далее, L°a (Е) = k и
СО
й (£) = II Lra (Е).
г=о
Показать, что Q (Е) — градуированная 6-алгебра, умножение в которой опре-
деляется следующим образом. Если a^LTa(E), ty£Lsa(E) и vb ..., vr . s —
элементы из Е, то
(со А ф) (Vj, .... vr+s) = 2M<J)<o(^i, , г»ог)ф(ца{г+1), ... , va(r+i)),
где сумма берется по всем перестановкам о множества (1, .. ,,r-|-s) таким,
что о1 < ... < от и о (г -f-1) < ... < о (г 4- s).
7. Пусть Е — свободный модуль размерности п над коммутативным
кольцом 6, f-.E^-E — линейное отображение и аг (/) = tr Лг (/), где
Л (/) — эндоморфизм Лг (Е) в себя, индуцированный /. Имеем
“о(/) = 1, a,(/) = tr/, a„(/) = det/
УПРАЖНЕНИЯ
487
и ar (f) — 0, если г > п. Показать, что
det (1 +/) = МЛ
г>0
[У казание: как обычно, доказать утверждение для случая, когда f пред-
ставляется матрицей с переменными коэффициентами над кольцом целых
чисел.] Интерпретировать аг (/) в терминах коэффициентов характеристиче-
ского многочлена отображения /.
8. Пусть Е — конечномерный свободный модуль над коммутативным
кольцом k, Е* — его дуальный модуль. Показать, что для всякого целого
г^>1/\гЕ и /\ГЕ* — модули, дуальные друг другу относительно билиней-
ного отображения, такого, что
(vx Л • • Л vr, Л ... Л v') и-> det ( (vz, t^)),
где, как обычно, v есть значение Vj на vt для v^E и v^E*.
9. В обозначениях предыдущего упражнения пусть F— другой ^-модуль,
свободный и конечномерный и /: E->F— линейное отображение. Показать,
что сопряженным к Л rf относительно билинейного отображения из преды-
дущего упражнения будет Дг(</), т. е. r-я знакопеременная степень сопря-
женного к f отображения.
10. Пусть Р — алгебра некоммутативных многочленов от п переменных
над полем k, х-:...xr — различные элементы из (т. е. линейные выра-
жения от переменных tn) и а{..........ar£k. Показать, что если
а1х1 + • • • + агХГ = °
для всех целых v = 1, ..., г, то а(-= 0 для i — 1, ..., г. [Указание', взять
гомоморфизм в алгебру коммутативных многочленов и проводить рассужде-
ния там.]
11. Пусть G— конечное множество эндоморфизмов конечномерного
векторного пространства Е над полем k. Для всякого o£G пусть са — эле-
мент из k. Показать, что если
2 саГг(а) = 0
а£О
для всех целых ri>l, то са = 0 для всех a£G. [Указание: использовать
предыдущее упражнение и предложение 11.]
12. (Стейнберг). Пусть G — конечный моноид, &[G]— моноидная
алгебра над некоторым полем k и G->End^(£)—точное (т. е. инъективное)
представление, так что мы можем отождествить G с некоторым мультипли-
кативным подмножеством в End* (£). Показать, что Тг индуцирует пред-
ставление группы G на Тг (£), откуда по линейности получается предста-
вление алгебры k [G] на Tr (Е). Показать, что если а£й[О] и Тг (а) = 0
для всех целых г^-1, то а = 0. [Указание: применить предыдущее упраж-
нение.]
13. Когда вы прочитаете главу о представлениях конечных групп, вы-
ведите из упражнения 12 следующую теорему Бернсайда. Пусть G — конеч-
ная группа, k — поле характеристики, взаимно простой с порядком G, и
Е — конечномерное (G, ^-пространство, такое, что представление группы G—
точное. Тогда всякое неприводимое представление G встречается с крат-
ностью > 1 в некоторой тензорной степени Тг (£).
Глава XVII
Полупростота
Во многих приложениях модули разлагаются в прямую сумму
простых подмодулей, и в этих случаях можно развить некую струк-
турную теорию, как в общих предпосылках, так и для специаль-
ных приложений. Настоящая глава посвящена результатам, которые
могут быть доказаны в общей ситуации. В следующей главе мы рас-
смотрим те дополнительные результаты, которые могут быть доказаны
в важном классическом частном случае.
При доказательстве теоремы плотности я более или менее следо-
вал Бурбаки.
§ 1. Матрицы и линейные отображения
над некоммутативными кольцами
В гл. XIII мы рассматривали исключительно матрицы над комму-
тативными кольцами. Для наших нынешних целей надо исследовать
более общую ситуацию.
Пусть К — кольцо. Матрица (<р^) с коэффициентами в К опре-
деляется точно так же, как мы это делали для коммутативных колец.
Произведение матриц определяется по той же самой формуле. По-
прежнему имеют место ассоциативность и дистрибутивность, в случае
когда размеры матриц таковы, что соответствующие операции для
ник определены. В частности, квадратные матрицы размера п Xп
над К образуют кольцо, обозначаемое, кдк и раньше, символом
Matn(K). Имеет место кольцевой гомоморфизм
Л"-> Mat„ (/<)
на диагональ.
Напомним, что телом называется кольцо с 1 =$= 0, в котором
всякий ненулевой элемент обладает мультипликативным обратным.
Если К—тело, то всякий ненулевой /(-модуль имеет базис и
мощности любых двух базисов равны. Доказательство такое же, как
в коммутативном случае: в рассуждениях мы нигде не использовали
коммутативности. Эта мощность по-прежнему называется размерностью
§ 1. МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
489
модуля над К, и модули над телами называются векторными про-
странствами.
Как и в коммутативном случае, мы можем всякому линейному
отображению сопоставить матрицу, зависящую от выбора конечного
базиса. Однако мы будем рассматривать несколько отличную ситуа-
цию, которая нам потребуется для приложений к полупростым
модулям.
Пусть R — кольцо, и пусть
— /^-модули, представленные в виде прямых сумм /^-модулей. Мы
хотим описать наиболее общий вид /^-гомоморфизма модуля Е в F.
Предположим сначала, что F = FX имеет одну компоненту. Пусть
Ф: Егф ...,®En-*F
— гомоморфизм и <ру-: Ej—>F— ограничение <р на слагаемое Еу.
Всякий элемент х £ Е имеет единственное представление х ™ х{ .
... -4-х„, где Xj£Ej. Мы можем поэтому сопоставить элементу х
столбец Х — *(хх, .... хи), компоненты которого лежат соответ-
ственно в Ег....Еп, а гомоморфизму <р —строку (фр .... <р„),
<Ру £ Нотл (Еу, Е). Тогда действие <р на элемент х из Е описывается
умножением матриц—строки на столбец.
Более общо, рассмотрим гомоморфизм
<р: Ej© ... фЕ^Лф ... фЕт.
Пусть Fi® ... фЕт—>EZ — проекция на z-й множитель. Мы
можем применить наше предыдущее замечание к л, <нр для каждого I.
При этом мы обнаружим, что существуют однозначно определенные
элементы <pZy £ Ношл(Еу, Fz), такие, что <р имеет матричное пред-
ставление
Фи • • • Ф1»
Л4(ф) =
Фт1 • • • Фтл
причем действие <р на элемент х
а именно
Фи • • Ф1л
задается умножением матриц,
.Фт1 • • Фтл
X
490
ГЛ. XVII. ПОЛУПРОСТОТА
Обратно, если дана матрица (<р(7) с tptj € Нотй (Е}-, F^, то
с помощью нее можно определить элемент из Нот^ДД, F). Таким
образом, мы получаем изоморфизм аддитивных групп между Hom^F, F)
и этой группой матриц.
Пусть, в частности, Е — фиксированный R-модуль и К —
= EndR(£). Тогда имеет место изоморфизм колец
ЕпбуДд*”’)—> Mat„ (К),
который всякому <р £ Епс1л сопоставляет матрицу
Фи • • • Ф1„
* >
Ф«1 • • • Фли .
определенную выше а действующую слева на столбцы из Е^
с компонентами из Е.
Замечание. Пусть Е — одномерное векторное пространство над
телом D и {т} — его базис. Для всякого а £ D существует един-
ственное О-линейное отображение /в: Е—>Е, такое, что fa (у) — a~1v.
Тогда справедливо правило
fafb = fba-
Таким образом, когда мы сопоставляем линейному отображению
матрицу, зависящую от базиса, умножение оказывается скрученным.
Тем не менее утверждение, которое мы сформулировали перед этим
замечанием, правильно! Дело в том, что, когда Е одномерно, мы
берем в Endo(Z:), а не в D. Поэтому К не изоморфно D (в не-
коммутативном случае), а антиизоморфно. Это единственный пункт,
в котором формальная элементарная теория линейных отображений
различается в коммутативном и некоммутативном случаях.
Напомним, что /^-модуль Е называется простым, если он =#0 и
не содержит подмодулей, отличных от 0 или Е.
Предложение 1. Пусть Е, F — простые R-модули. Тогда
всякий ненулевой гомоморфизм Е в F является изоморфизмом,
а кольцо End^(f) — телом.
Доказательство. Пусть /: E-+F—ненулевой гомоморфизм.
Его образ и ядро — подмодули, следовательно, равны соответ-
ственно F и 0, так что f — изоморфизм. Если Е = F, то f обратим,
что и требовалось доказать.
(Предложение 1 известно как лемма Шура.)
§ 2. УСЛОВИЯ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ПОЛУПРОСТОТУ
491
Следующее предложение полностью описывает кольцо эндомор-
физмов прямой суммы простых модулей.
Предложение 2. Пусть E = E[n^Q ... QjE^1^— прямая
сумма простых модулей, где Et между собой неизоморфны и
каждый Et повторяется в сумме п( раз. Тогда с точностью до
перестановки и изоморфизмов Ех, .... Ег (а также и их крат-
ности) однозначно определены. Кольцо EndR(£’) изоморфно кольцу
матриц вида
Мх . . . О
Л42
* . ’ »
о ... мг
где Mi — матрица размера n^ni над EndR(Ei). (Изоморфизм
этот совпадает с тем, который соответствует разложению
в прямую сумму.)
Доказательство. Последнее утверждение вытекает из наших
предыдущих рассмотрений, если принять во внимание предложение 1.
Утверждение же о простых слагаемых и их кратностях в прямых
суммах является следствием общей теоремы Жордана — Гёльдера.
В случае когда Е обладает разложением в (конечную) прямую
сумму простых подмодулей, число раз, которое простой модуль из
данного класса изоморфных модулей встречается в разложении,
будет называться кратностью этого простого модуля (или его
класса относительно изоморфизма).
Кроме того, если модуль
£ = £(")©, ...,
представлен в виде прямой суммы простых подмодулей, то мы будем
называть «1-+ ... + длиной Е. Во многих случаях мы будем
также писать
E = niEi® ... ф пГЕг = П nfii.
i-1
§ 2. Условия, определяющие полупростоту
Пусть R— кольцо. Если специально не оговаривается про-
тивное, то все модули и все гомоморфизмы в этом параграфе
предполагаются R-модулями и R-гомо морфизма ми.
Следующие условия на модуль Е эквивалентны:
492
ГЛ. XVII. ПОЛУПРОСТОТА
ПП 1. Е— сумма некоторого семейства простых подмодулей.
ПП 2. £ — прямая сумма некоторого семейства простых подмо-
дулей.
ПП 3. Всякий подмодуль F в Е является прямым слагаемым,,
т. е. существует подмодуль F', такой, что Е ~ F@ F'.
Сейчас мы докажем это.
Лемма. Пусть E=^iEi — сумма (не обязательно прямая)
Ki
простых подмодулей. Тогда существует подмножество Jtz.F
такое, что Е — прямая сумма Ц £,-.
i(j
Доказательство. Пусть J—максимальное подмножество'
в /, такое, что сумма ^Е, прямая. Мы утверждаем, что эта сумма
Jtj
в действительности равна Е. Достаточно доказать, что каждый Е:
содержится в этой сумме. Но пересечение нашей суммы с £z является
подмодулем в £г и, следовательно, равно 0 или Et. Если оно равно О,
то подмножество J немаксимально, поскольку мы можем присоеди-
нить к нему z. Следовательно, £z содержится в сумме, и наша
лемма доказана.
Лемма показывает, что ПП 1 влечет ПП 2. Чтобы убедиться,
что ПП 2 влечет ПП 3, возьмем подмодуль F и максимальное под-
множество J в /, такое, что сумма £-j-Jj£-— прямая. То же
j(J
самое рассуждение, что и выше, показывает, что эта сумма равна Е.
Чтобы доказать, что ПП 3 влечет ПП 1, докажем сначала, что>
всякий ненулевой подмодуль в Е содержит некоторый простой под-
модуль. Пусть F—ненулевой подмодуль и v£F, v =# 0. Тогда по
определению Rv—главный подмодуль и ядро гомоморфизма
R-+Rv
есть левый идеал L R- R. Следовательно, L содержится в максималь-
ном левом идеале MRR (в силу леммы Цорна). Тогда М/L есть
максимальный подмодуль в RfL (не равный /?/£.) и, следовательно,
Mv — максимальный подмодуль в Rv, не равный Rv и соответ-
ствующий M!L при изоморфизме
R;L~>Rv.
Мы можем записать Е — Mv@ М' для некоторого подмодуля М'.
Тогда Rv = Mv Q)(.M' П Rv), поскольку всякий элемент х £ Rv может
быть однозначно записан в виде суммы x = av-^-x', где a£R и
х' £ М', причем, очевидно, х'— х— av лежит в Rv. Так как Mv
максимален в Rv, то модуль М' П Rv простой, что и требовалось
установить.
§ 3. ТЕОРЕМА ПЛОТНОСТИ
493
Пусть Ео—подмодуль в Е, являющийся суммой всех простых
подмодулей модуля Е. Если Ео =/= Е, то E^E(;QF, где F =# О,
а потому существует простой подмодуль в F вопреки определению Ео.
Это доказывает, что ПП 3 влечет ПП1.
Модуль Е, удовлетворяющий нашим трем условиям, называется
полупростым.
Предложение 3. Всякий подмодуль и всякий фактормодулъ
полупростого модуля полупросты.
Доказательство. Пусть F — подмодуль и F(.—сумма всех
простых подмодулей в F. Запишем E = FOQF'O. Всякий элемент х
из F имеет единственное представление х = х0-|-х', где xQ£FQ
И х'о но х'0 = х — X(I£F. Следовательно, F есть прямая сумма
F = Fo®(FnFo).
Отсюда видно, что Fo совпадает с F, который тем самым полупрост.
Что касается фактормодуля, то запишем Е~ F@F'. Тогда F' есть
сумма своих простых подмодулей и каноническое отображение
E—>E/F индуцирует изоморфизм Д' наЕ/F. Следовательно, модуль E/F
полупрост.
§ 3. Теорема плотности
Пусть Е — полупростой /?-модуль. Обозначим через К кольцо
End^(£). Тогда Е будет также /(-модулем, причем действие К на Е
задается отображением
(ф. Х)^<р(х),
где ф £ К п х £Е. Всякий элемент а £ R посредством отображения
/а(х)е=«ах индуцирует /(-гомоморфизм /а: Е—>Е. Но именно это
и означает условие
Ф (ах) — аф (х).
Таким образом, мы получаем гомоморфизм колец
R —> End/f (£).
Возникает вопрос, насколько велик образ этого гомоморфизма.
Теорема плотности утверждает, что он весьма большой.
Лемма. Пусть Е — полупростой модуль над R, /( == Endft (£’),
/ £ EndK (Е\ х £Е, Существует элемент a£R, такой, что ах =
— / (х).
494
ГЛ. XVII. ПОЛУПРОСТОТА
Доказательство. Так как Е полупрост, то имеет место
разтожение в /^-прямую сумму
Е = Rx ф F
для некоторого подмодуля F. Пусть л: E->Rx— проекция. Тогда
и, следовательно,
/ (х) = f (лх) = л/ (х).
Это показывает, что f (х) £ Rx, что и требовалось.
Теорема плотности обобщает эту лемму на случай конечного
числа элементов из Е вместо одного. Для доказательства мы исполь-
зуем диагональный прием.
Теорема 1 (Джекобсон). Пусть Е — полупростой модуль
над R, K = FmAr(E), f £F\\Ak(E) и хр хп£Е. Тогда суще-
ствует элемент a£R, такой, что
axt = f (хг) для i — 1, .... п.
Доказательство. Пусть /<л): —>Е^—прямая степень
отображения /, так что
/<Л)(У1...уп) = (/ш .... /(>'„))•
Положим К' = EndR(Д^). Очевидно, К' есть не что иное, как
кольцо матриц с коэффициентами в К. Так как f в своем действии
на Е коммутирует с элементами из К, то непосредственно видно,
что /(л) лежит в End/f Но модуль Е^ полупростой, поэтому
в силу леммы существует элемент a^R, такой, что
(axj....ax„) = (/(xi)....
а это нам как раз и нужно было доказать.
Следствие 1. Пусть Е — конечномерное векторное прост-
ранство над алгебраически замкнутым полем k и R — подалгебра
в Endft (Е). Если Е—простой R-модуль, то R = Endft(F).
Доказательство. Мы утверждаем, что Endp (Е) = k. Во всяком
случае, End^f) есть тело К, содержащее k в качестве подкольца,
и всякий элемент из k коммутирует со всяким элементом из К. Пусть
Тогда k (а)— поле. Далее, К содержится в Endft(£) как
А-подпространство и поэтому конечномерно над k. Следовательно,
поле /г (а) конечно над k, а потому равно k, поскольку k алгеб-
раически замкнуто. Это доказывает, что End# (£) = &. Пусть теперь
{©!....т)п} —базис для Е над k и Л^Епб^(Д). Согласно теореме
плотности, существует элемент ci(^R, такой, что
avi = Avt для i = 1.....п.
§ 3. ТЕОРЕМА ПЛОТНОСТИ
495
Так как действие эндоморфизма А определяется его действием на
базис, то заключаем, что /? = Endft (Е).
Следствие 1 известно как теорема Бернсайда. Оно используется
в следующей ситуации. Пусть Е—конечномерное векторное про-
странство над полем k и О — подмоноид в OL (Е) (мультипликативный).
Под Q-инвариантным подпространством в Е понимается такое
подпространство F, что oFa.F для всех o£G. Мы будем говорить,
что пространство Е G-npocmo, если оно не содержит G-инвариантных
подпространств, отличных от 0 и самого Е, причем Е 0. Пусть
Я — k [G]— подалгебра в Endft(£), порожденная G над k. Так как
мы предположили, что G — моноид, то R состоит из линейных ком-
бинаций
2^4-
где £ k и о; £ G. Это означает, что подпространство F в Е будет
G-инвариантным в том и только в том случае, если оно /?-инва-
риантно. Следовательно, пространство Е тогда и только тогда G-npo-
сто, когда оно просто над R в том смысле, который мы рассматри-
вали выше. Мы можем поэтому переформулировать теорему Берн-
сайда следующим образом.
Следствие 2. Пусть Е — конечномерное векторное прост-
ранство над алгебраически замкнутым полем k и G — (мульти-
пликативный) подмоноид в GL (Е). Если Е G-npocmo, то k [G] =
= Endft(f).
Даже и в тех случаях, когда поле k не является алгебраически
замкнутым, мы все-таки можем получить некоторый результат. Пусть
вообще А — кольцо и Е — простой Л-модуль. Как мы видели,
End/?(E) — тело, которое мы обозначим через D, и Е — векторное
пространство над D.
Пусть R— кольцо и Е—произвольный /^-модуль. Мы будем
говорить, что Е—точный модуль, если удовлетворяется следующее
условие: соотношение ax = 0, a£R, для всех х£Е влечет а = 0.
В приложениях Е будет векторным пространством над полем k, и
мы будем иметь кольцевой гомоморфизм R в Endft(E'). Тогда Е
становится /^-модулем, точность которого имеет место тогда и только
тогда, когда этот гомоморфизм инъективен.
Следствие 3 (Теорема Веддерберна). Пусть R — кольцо
и Е—простой точный модуль над R. Предположим, что Е ко-
нечномерен над D = End7?(E’). Тогда R = TaAd(E).
Доказательство. Пусть ...........vn}—базис Е над D. Для
заданного элемента X^Endp^) в силу теоремы 1 существует эле-
мент a£R, такой, что
u.vi — Avt при i=l.......п.
496
ГЛ. XVII. ПОЛУПРОСТОТА
Следовательно, отображение /?-> Endo (£) сюръективно. Предполо-
жение, что модуль Е—точный над R, влечет, что это отображение
инъективно, и наше следствие доказано.
$ 4. Полупростые кольца
Кольцо R называется полупростым, если 1 =# 0 и R полупросто
как левый модуль над собой.
Предложение 4. Если R полупросто, то всякий R-модуль
полупрост.
Доказательство. Всякий /^-модуль является фактормодулем
свободного модуля, а свободный модуль есть прямая сумма R с собой
некоторое число раз. Чтобы завершить доказательство, мы можем
теперь применить предложение 3.
Всякий левый идеал кольца R является /^-модулем; он называется
простым, если он прост как модуль. Два идеала L, L' называются
изоморфными, если они изоморфны как модули.
Разложим теперь R в прямую сумму своих простых левых идеа-
лов и получим тем самым структурную теорему для R.
Пусть такое семейство простых левых идеалов, что ни-
какие два идеала в нем не изоморфны и всякий простой левый идеал
изоморфен одному из идеалов этого семейства. Мы будем говорить,
что это семейство является семейством представителей для классов
простых левых идеалов относительно изоморфизма.
Лемма. Пусть L — простой левый идеал и Е — простой
R-модуль. Если L неизоморфен Е, то LE = Q.
Доказательство. Имеем RLE = LE, и LE есть подмодуль
в Е, равный, следовательно, 0 или Е. Предположим, что LE — E.
Пусть элемент у £Е таков, что
Ly =/= 0.
Так как Ly — подмодуль в Е, то Ly = E. Отображение at—>ay
идеала L в Е является гомоморфизмом L в Е, сюръективным и, сле-
довательно, ненулевым. Поскольку L прост, то этот гомоморфизм
должен быть изоморфизмом.
Пусть
— сумма всех простых левых идеалов, изоморфных Аг. Из леммы
следует, что RiR-j = 0, если i Ф j. В последующем это будет по-
§ 4. ПОЛУПРОСТЫЕ КОЛЬЦА
497
стоянно использоваться. Отметим, что есть левый идеал и что /?
представляется в виде суммы
так как R— сумма простых левых идеалов. Следовательно, для
любого j £ I
Rj<=RjR = RjRjCiRj,
где первое включение справедливо, поскольку R содержит единич-
ный элемент, а последнее, — поскольку Rj есть левый идеал. Таким
образом, Rj является также правым идеалом, т. е. Rj — двусторон-
ний идеал для всякого j£I.
Мы можем представить единичный элемент 1 кольца R в виде
суммы
1 = 2 ец
где e^R^ Эта сумма на самом деле конечна, почти все е( = 0.
Пусть, скажем, ег-#= О для Z=1......s, так что
1 = ei + • • • + ез-
Пусть x£R. Запишем
х=2хг. x^Ri-
Для j — 1, ..., $ имеем = е jXj, а также
Xj = 1 • Xj = e^Xj + • • + esXj = eyxy.
Кроме того, х = ехх-\- ... -\-esx. Это доказывает, что индексов I,
отличных от 1, .... s, в сумме нет, а также, что Z-я компонента xt
элемента х однозначно определена как е{х — е^. Следовательно,
сумма ... — прямая и, кроме того, et служит еди-
ничным элементом для Rlt которое является поэтому кольцом. Так
как RfRj = 0 для Z =£ J, то мы видим, что в действительности
i-i
есть прямое произведение колец Rt.
Кольцо R называется простым, если оно полупросто и имеет
только один класс простых левых идеалов относительно изоморфизма.
Таким образом, мы доказали структурную теорему для полупростых
колец.
Теорема 2. Пусть R — полупростое кольцо. Существует
только конечное число неизоморфных простых левых идеалов.
498
ГЛ. XVII. ПОЛУПРОСТОТА
скажем L,, .... Ls. Если Ri~ L — сумма всех простых левых
L~Li
идеалов, изоморфных Lt, то Rt — двусторонний идеал, который
является также кольцом (с операциями, индуцированными R),
и кольцо R изоморфно прямому произведению
R = ti.Ri-
1=1
Каждое Rt является простым кольцом. Если ег — его единичный
элемент, то l=ej-|- ... и Ri — Re^ Далее, eiej = Q при
i #= J ’)•
Перейдем теперь к модулям.
Теорема 3. Пусть R — полупростое кольцо и Е—R-модуль
=А 0. Тогда
1=1 1-1
причем RLE— подмодуль в Е, равный сумме всех простых под-
модулей, изоморфных Lt.
Доказательство. Пусть £;- — сумма всех простых подмодулей
в Е, изоморфных Lt. Если V — простой подмодуль в Е, то RV = V
и, следовательно, Ly = У для некоторого Z. В силу предыдущей
леммы имеем Следовательно, Е есть прямая сумма Ег.Es.
Наконец, ясно, что RiE = Ei.
Следствие 1. Пусть кольцо R полупросто. Тогда всякий
простой модуль изоморфен одному из простых левых идеалов R.
Следствие 2. Простое кольцо имеет с точностью до изо-
морфизма только один простой модуль.
Оба эти следствия непосредственно вытекают из теорем 2 и 3.
§ 5. Простые кольца
Лемма. Пусть R — кольцо и ф^Епё^С/?)— гомоморфизм
кольца R, рассматриваемого как R-модуль, в себя. Тогда суще-
ствует элемент a£R, такой, что ф(х) — ха для всех х £ R.
Доказательство. Имеем ф (х) = ф (х • 1) = хф (1). Положим
а — ф (1).
') Там, где идеалы явно не указываются, мы будем называть е, идем-
потентными элементами, чтобы избежать путаницы с единицами в R. —
Прим. ред.
§ 5. ПРОСТЫЕ КОЛЬЦА
499
Теорема 4. Пусть R — простое кольцо. Тогда R— конечная
прямая сумма простых левых идеалов. В R нет двусторонних
идеалов, кроме 0 и R. Если L, М — простые левые идеалы, то
существует элемент a£R, такой, что La = M. При этом
LR = R.
Доказательство. Так как кольцо R по определению полу-
просто, то оно является прямой суммой простых левых идеалов,
скажем JJ L.. Мы можем представить 1 в виде конечной суммы
RJ
1 —2 где Тогда
т т
/?=П^ = П^
;=1 7-1
Это доказывает наше первое утверждение. Что касается второго
утверждения, то оно есть следствие третьего. Пусть, таким образом,
L — простой левый идеал. Имеем разложение в прямую сумму
R — LQL'. Пусть л: R —> L — проекция. Это /(-эндоморфизм. Пусть
М — любой другой простой левый идеал и a: L—>M — изоморфизм
(существующий по определению простого кольца). Тогда отображе-
ние о ° л: /?—>/? есть /(-эндоморфизм. В силу леммы существует эле-
мент a£R, такой, что
Оол(х) = ха для всех х £ R.
Применим это к элементу х £ L. Найдем
о (х) = ха для всех х £ L.
Отображение xi—>ха есть ненулевой /(-гомоморфизм L в М и,
следовательно, изоморфизм. Отсюда тотчас вытекает, что LR = R,
и наша теорема тем самым доказана.
Следствие. Пусть R — простое кольцо, L—его простой
левый идеал и Е — простой R-модуль. Тогда LE = E и модуль Е
точный.
Доказательство. Имеем LE=L (RE)=(LR~) E=RE=E. Допу-
стим, что аД = 0 для некоторого a£R. Тогда RaRE — RaE = 0.
Но RaR — двусторонний идеал. Следовательно, RaR = 0 и а=0.
Это доказывает, что модуль Е точный.
Теорема 5 (Риффель). Пусть R—кольцо, не содержащее
двусторонних идеалов, отличных от 0 и R. Пусть L — левый
идеал, R' = End#(E) и R" = End;?' (L). Тогда естественное ото-
бражение л: /(->/(" является изоморфизмом.
500
ГЛ. XVII. ПОЛУПРОСТОТА
Доказательство. Ядро Л — двусторонний идеал, так что.
отображение X инъективно. Так как LR— двусторонний идеал, то.
LR = R и Х(/,)Х(/?)== Х(/?). Для любых х, y£L и f£R" имеем
f(xy) = f(x)y, поскольку правое умножение на у является /^-эндо-
морфизмом L. Следовательно, Х(Л)— левый идеал в R", так что
R" = R"X (R) = R”k (L) X (/?) = X (L) X (/?) = X (/?),
что и требовалось доказать.
Теорема 5 показывает, что R можно представить как кольцо,
эндоморфизмов некоторого конечномерного модуля над телом. Обратно:
Теорема 6. Пусть D — тело, Е — конечномерное векторное-
пространство над D и R — Endo (Е). Тогда кольцо R — простое
и Е— простой R-модуль. Кроме того, D = End/?(£').
Доказательство. Покажем сначала, что Е—простой R-mo-
дуль. Пусть v£E, v 4= 0. Тогда элемент v может быть дополнен
до базиса Е над D и, значит, для заданного w £ Е существует эле-
мент a£R, такой, что av = w. Следовательно, Е не может содер-
жать никакого инвариантного подпространства, кроме 0 и самого,
себя, т. е. Е просто над R. Ясно, что Е—точный модуль над R.
Пусть (tip .... vm]— базис Е над £>. Отображение
ai—>(avj.....avm)
кольца R в Е^т) является инъективным /^-гомоморфизмом R в Е(т).
Для заданных (Wj.....wm)£E<'m'> существует элемент a£R, такой,
что ааг —Wp и, следовательно, кольцо R /^-изоморфно Е*-т\ Это
показывает, что R (как /^-модуль над собой) изоморфно прямой
сумме простых модулей, а потому полупросто. Далее, все эти про-
стые модули изоморфны друг другу и, значит, в силу теоремы 2
кольцо R простое.
Остается доказать, что O = End^(£'). Заметим, что Е—полупро-
стой модуль над D, так как в векторном пространстве всякое под-
пространство обладает дополнительным подпространством. Мы можем
поэтому применить теорему плотности (R и D теперь поменялись
ролями!). Пусть Епбд (£) и v £ Е, v 4= 0. В силу теоремы плот-
ности существует элемент a£D, такой, что q>(v) = av. Пусть w£E.
Существует элемент f£R, такой, что f(v)~w. Тогда
Ф (w) = Ф (/ (v)) = / (Ф (v)) = f (av) = af (v) — aw.
Таким образом, <f(®) = a® для всех w£E. Это означает, что ф££>,
что и завершает наше доказательство.
Теорема 7. Пусть k — поле, Е — конечномерное векторное
пространство размерности т над k и R~Endk(E). Тогда
§ 6. СБАЛАНСИРОВАННЫЕ МОДУЛИ
501’
/? — k-пространство и
dimA R = т2.
Кроме того, т есть число простых левых идеалов, содержащихся;
в произвольном разложении R в прямую сумму таких идеалов.
Доказательство. Пространство ^-эндоморфизмов й-прост-
ранства Е представляется пространством^матриц размера т У^т. над k,
так что размерность R как ^-пространства равна т2. С другой сто-
роны, доказательство теоремы 6 показывает, что R как /?-модуль-
/?-иэоморфен прямой сумме Но однозначность разложения
модуля в прямую сумму простых модулей нам известна (предложе-
ние 2 § 1), что и доказывает наше утверждение.
Мы видим, что в терминологии § 1 целое число т, о котором
идет речь в теореме 7, есть длина R.
Мы можем отождествить /? = Endft(£) с кольцом матриц Matm(Zs),
как только выбран базис Е. В этом случае мы можем взять в каче-
стве простых левых идеалов идеалы Lt (Z=l, ..., т), состоящие-
из матриц с единственным ненулевым Z-м столбцом. Элементы из Lv
выглядят, например, так:
ап 0 ... 0
<z2i 0 ... 0
ат 0 ... 0
Мы видим, что R есть прямая сумма т столбцов.
Отметим также, что теорема 6 приводит к следующему утвер-
ждению: если матрица Л1 £ Matm (k) коммутирует со всеми эле-
ментами из Matm (А), то М — скалярная матрица.
Действительно, такая матрица М может рассматриваться как
/^-эндоморфизм Е, а мы в силу теоремы 6 знаем, что всякий такой
эндоморфизм лежит в k. Разумеется, этот факт легко можно про-
верить также прямым вычислением.
£ 6. Сбалансированные модули
Пусть R — кольцо и Е—модуль. Положим R' (Е) = Endp(f) и
R" (Е) = End/?' (Е). Пусть Z: R->R"—-естественный гомоморфизм,
ври котором Xx(v) = xv для x£R и v£E. Если Я, — изоморфизм,
то мы будем говорить, что модуль Е — сбалансированный. Мы будем
говорить, что модуль Е—образующий (для /^-модулей), если всякий
модуль является гомоморфным образом (возможно, бесконечной)
502
ГЛ. XVII. ПОЛУПРОСТОТА
прямой суммы модуля Е с собой. ЕслиЕ—образующий, то существует
сюръективный гомоморфизм —> R (мы можем взять п конечным,
так как R конечно порождено одним элементом 1).
Теорема 8 (Морита). Всякий образующий Е сбалансирован
и конечно порожден над R' (Е).
Доказательство (Фейт). Докажем сначала, что для любого
модуля F модуль RQF сбалансирован. Отождествляем R и F в R@F
с подмодулями /?ф0 и Оф/7 соответственно. Для w^F пусть
т|’га: R®F-*R®F— отображение, при котором фш(х + v) = xw.
Тогда любой элемент f £ R" (R®F) коммутирует с лр л2 и с каждым
Отсюда мы тотчас заключаем, что f (хv) = f (Г) (хv) и что,
следовательно, /?фД—сбалансированный. Пусть Е—образующий
и Е^ —> R — сюръективный гомоморфизм. Так как R—свободный
модуль, то для некоторого модуля F, так что £’(/г) —
сбалансированный. Пусть g^R"(E). Тогда gW коммутирует со всяким
элементом <р = (<р(.у) из R' (Е^) (с компонентами Wij^R' (Е)) и, сле-
довательно, существует некоторый x£R, такой, что gW-Mp. Сле-
довательно, g = nx, чем доказано, что Е—сбалансированный, по-
скольку X, очевидно, инъективно.
Чтобы доказать, что Е конечно порожден над R' (£), рассмотрим
изоморфизмы аддитивных групп
/?'(£)(''>^Нот/?(Е(',), £)^Нога₽(/?, Д)фНот^(Д, Е).
Они будут также, очевидно, изоморфизмами /^'-модулей, если мы
определим операцию из R' как композицию отображений (слева).
Так как модуль Hom^(/?, Е) /^'-изоморфен g относительно отобра-
ли)
жения fit—>й(1), то Е является R -гомоморфным образом модуля R
и, следовательно, конечно порожден над R', что и доказывает теорему.
Пример. Пусть R — кольцо, не содержащее двусторонних идеа-
лов, отличных от 0 и R. Если L — левый идеал =£0, то L—обра-
зующий, так как LR = R и, следовательно, R = 2 Lat для подхо-
дящих элементов £ R. Таким образом, теорема 5 является следствием
теоремы 8.
УПРАЖНЕНИЯ
1. (а) Назовем радикалом кольца R левый идеал А\ являющийся пере-
сечением всех максимальных левых идеалов в R. Показать, что NE = 0 для
всякого простого /^-модуля Е. Показать, что N— двусторонний идеал,
(б) Показать, что радикал кольца RfN равен 0.
2. Кольцо называется артиновым, если всякая убывающая последова-
тельность левых идеалов сцгэвгЗ где а/=/=а,+1, конечна, (а) Показать,
что всякая конечномерная алгебра над полем артинова. (б) Показать,
УПРАЖНЕНИЯ
503
что если кольцо Д артиново, то всякий ненулевой левый идеал содержит
простой левый идеал, (в) Показать, что в артиновом кольце Д всякое не-
пустое множество идеалов содержит минимальный идеал.
3. Пусть R — артиново кольцо, причем его радикал равен 0. Показать,
что R полупросто. [Указание: получить вложение R в прямую сумму
Y[R/Mi, где {Л4Д—конечное множество максимальных левых идеалов.]
4. Пусть R — произвольное кольцо, М — конечно порожденный модуль
и jV — радикал в R. Показать, что если NM = М, то М = 0. [Указание:
заметить, что сохраняет силу доказательство леммы Накаямы.]
5. Пусть R — артиново кольцо. Показать, что его радикал нильпотентен,
т. е. что существует целое число г^>1, для которого Nr = 0. [Указание:
рассмотреть убывающую последовательность степеней Nr и применить лемму
Накаямы к надлежаще выбранному подмодулю в №°.]
6. Пусть R — полупростое коммутативное кольцо. Показать, что R —
прямое произведение полей.
7. Пусть R—конечномерная коммутативная алгебра над полем k. Пока-
зать, что если R не содержит нильпотентных элементов т=0, то R — полу-
простая.
8. (Колчин). Пусть £=/=0— конечномерное векторное пространство
над полем k и G — подгруппа в QL (£), такая, что всякий элемент А £ G
имеет вид /-[-N, где —нильпотентный эндоморфизм. Показать, что су-
ществует элемент v ([Е, ц=#0, такой, что Av=v для всех A £ G. [Указание:
во-первых, свести вопрос к случаю, когда k алгебраически замкнуто, пока-
зав, что задача равносильна разрешимости некоторой системы линейных
уравнений. Во-вторых, свести задачу к случаю, когда Е— простой k [GJ-
модуль. Комбинируя теорему Бернсайда с тем фактом, что
tr (Л) = tr (/) для всех Л £ О,
показать, что если A0£G, Ао — /-f-Х, то tr (NX) — 0 для всех X£Endk(E)
и, следовательно, N = 0, Л0 = Л]
9. Пусть Е — конечномерное векторное пространство над полем /г,
S — некоторое подмножество в End^ (Е) и R — 6-алгебра, порожденная эле-
ментами из 3. Доказать, что следующие условия эквивалентны: алгебра R
полупростая; Е — полупростой Д-модуль.
10. Пусть Л^Епб*(£). Эндоморфизм Л называется полу прост ым, если
множество, состоящее из одного Л, удовлетворяет условиям предыдущего
упражнения. Показать, что элемент Л из End* (Е) полупрост в том и толь-
ко в том случае, если его минимальный многочлен не имеет множителей
кратности > 1 над 6.
11. Пусть Е — конечномерное векторное пространство над полем 6,
S — коммутативное множество его эндоморфизмов и Д = 6[5]. Предполо-
жим, что алгебра R полупроста. Показать, что всякое подмножество из 5
полупросто.
12. Доказать, что Д-модуль Е тогда и только тогда является образую-
щим, когда он сбалансирован и как модуль над R' конечно порожден и
проективен.
Глава XVIII
Представления конечных групп
£ 1. Полупростота групповой алгебры
Пусть k — поле и G— группа. Образуем групповую алгебру ft[G].
Как объяснялось в гл. V, § 1, она состоит из всех формальных
линейных комбинаций
с коэффициентами a0£k, почти все из которых равны 0. Произве-
дение берется естественным образом:
( S ( 2 КА = S ад1>хат.
\a£G /\тео / д,т
Пусть Е — векторное пространство над k. Всякий гомоморфизм
алгебр
й[О]—>EndA(E)
индуцирует гомоморфизм групп
O-+Autk(E),
и таким образом, представление кольца k [G] в Е порождает пред-
ставление группы G. Если задано такое представление, то мы будем
также говорить, что k [G] или G действует на Е. Отметим, что
задание представления превращает Е в модуль над кольцом к [О].
Обратно, если задано представление группы, скажем р: G ->
—хАгРДЕ), то мы можем следующим образом продолжить р до пред-
ставления алгебры &[G], Пусть а=2°а° и х£Е. Положим
р (а) х = 2 fltjP (°)х-
Непосредственно проверяется, что этим определено продолжение р
до кольцевого гомоморфизма k [G] в Endft (Е). Мы будем говорить,
что представление р — точное на G, если отображение р: G -х Autft (Е)
инъективно. Продолжение р на k [О] может, однако, и не быть
точным.
Имея дело с фиксированным представлением группы G на Е,
мы часто будем писать ох вместо р(<т)х. Векторное пространство Е
§ I. ПОЛУПРОСТОТА ГРУППОВОЙ АЛГЕБРЫ
50&
вместе с представлением р будет называться G-модулем или G-прост-
ранством, а также (О, k)-пространством^ если нам захочется спе-
циально отметить поле k. Напомним, что если Е, F—G-модули, то
G-гомоморфизмом называется такое ^-линейное отображение /: Е —> F,
что /(ох) = о/(х) для всех х£Е и о£О.
Отметим, что ядром заданного О-гомоморфизма /: E-+F слу-
жит G-подмодуль в Е и что й-факторпространство F]f(E) допускает,
и притом единственным образом, такое действие О, что канониче-
ское отображение F~->Flf(E) является О-гомоморфизмом.
Если О действует на ^-пространствах Е и F, то мы можем
естественным образом определить действие О на Homft (Е, F). Дейст-
вительно, положим для / £ Homft (Е, F) и о £ О
(о/)(л) = а(/(г’х)).
Тогда (от) f ж о (т (/)). Чтобы не произошло путаницы с компози-
цией о и /, мы, когда нам потребуется иметь дело с такой итера-
цией, будем писать о°/ для обозначения отображения xi—>о(/(х))
и аналогично /°о. Отметим, что / является G-гомоморфизмом в том
и только в том случае, если о/ — f для всех о£О.
Пусть Е—-О-модуль. Мы будем обозначать через Е° подмодуль,
состоящий из всех элементов х£Е, таких, что ах — х для всех о^О.
Под тривиальным представлением р: О -> Autft (Е) мы будем по-
нимать представление, при котором р(О)=1. Представление три-
виально тогда и только тогда, когда ах — х для всех х£Е и всех
о^О. В этом случае мы будем также говорить, что О действует
тривиально. Это можно еще записать в виде Е — Е°.
Пусть О — конечная группа и Е—G-модуль. Мы можем опре-
делить операцию TrG: Е—>Е, являющуюся /г-гомоморфизмом,
а именно положив
Тго(х) = У, ах.
в(о
Отметим, что элементы Тг0(х) лежат в Е°, т. е. неподвижны
относительно действия всех элементов О. Действительно,
тТг0 (х)= У, г ах,
а умножение слева на т лишь переставляет элементы из О.
Если, в частности, /: E->F — /г-гомоморфизм О-модулей, то
Тг0(У): E->F является О-гомоморфизмом.
Предложение 1. Пусть О — конечная группа, Е', Е, F,
F' — О-модули и
Е' ЕFF’
506
ГЛ. XVIII. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
— k-гомоморфизмы, причем ф, ф— G-гомоморфизмы. Тогда
Тго (ф о f о ф) = ф □ Тг0 (/) о ф.
Доказательство. Имеем
Тг0 (ф ° / ° ф) = 2 о (ф о f о ф) = 2 (<*Ф) 0 («Л 0 (Оф) =
ago a£O
= ф о ( S ° ф = ф0 Тго (/) о ф.
W )
Теорема 1 (Машке). Пусть G — конечная группа по-
рядка п и k — поле, характеристика которого не делит п. Тогда
групповое кольцо k [G] полупросто.
Доказательсто. Пусть Е— G-модуль и F— G-подмодуль.
Так как k — поле, то существует 6-подпространство F', такое, что Е
будет 6-прямой суммой F и F'. Проекция на F есть 6-линейное
отображение л: E—>F. Очевидно, к(х) = х для всех x£F. По-
ложим
Ф = ^Тго (л).
Имеем два G-гомоморфизма
Q~>F~±E,
ч-
причем j — вложение и фо/ = 1с1. Отсюда вытекает, что Е есть
О-прямая сумма F и Кегф, чем и доказано, что k [G] полупросто.
Во всем последующем мы будем предполагать, что G — ко-
нечная группа и что все векторные пространства Е над k ко-
нечномерны. Через п мы обычно обозначаем порядок группы G.
Всюду предполагается, что характеристика поля k не делит п.
§ 2. Характеры
Пусть р: k [G] —> Endft (Е)— некоторое представление. Под ха-
рактером хр этого представления мы будем понимать 6-значную
функцию
Хр: 6[G]->6,
такую, что хр(«) = trр(а) для всех а£6[О]. След здесь — это след
эндоморфизма, определенный в гл. ХШ, § 2. При выбранном базисе
для Е над 6 он равен следу матрицы, представляющей р(а), т. е.
сумме ее диагональных элементов. Как мы уже видели раньше, след
не зависит от выбора базиса. Иногда мы вместо хр будем писать Хд-
Мы будем также называть Е пространством представления р.
§ 2. ХАРАКТЕРЫ
507
Под тривиальным (или единичным) характером мы будем по-
нимать характер представления группы G на ^-пространстве, равном
самому k, при котором ох — х для всех x£k. Это функция, при-
нимающая значение 1 на всех элементах из G. Мы будем обозна-
чать ее через %0, а также через 10, если нам нужно будет подчерк-
нуть зависимость от G.
Отметим, что характеры являются функциями на G и что значе-
ния характера на элементах из k [G] определяются его значениями
на О (продолжение с G на k [G] производится по ^-линейности).
Мы будем говорить, что два представления р, <р группы G на
пространствах Е, F изоморфны, если между Е и F существует
G-изоморфизм. Очевидно, что если р, <р — изоморфные представле-
ния, то их характеры равны. (Иными словами, если Е, F суть G-изо-
морфные G-пространства, то Х£ = Х/?.) Во всем дальнейшем мы
будем интересоваться только классами представлений относительно
изоморфизма.
Если Е, F—G-пространства, то их прямая сумма E@F также
является G-пространством с покомпонентным действием G. Если
где х£Е и y£F, то о(хфу) = охфоу.
Аналогично тензорное произведения Е ®k F = Е ® F есть G-прост-
ранство с действием G, задаваемым формулой о(х ® у) = ох ® оу.
Предложение 2. Для любых G-пространств Е, F
У-е“Ь Ур ~ Уефг и УеУя~Уе®р'
Доказательство. Первое соотношение выполняется ввиду
того, что матрица элемента о в представлении EQF разлагается на
блоки, соответствующие представлению в £ и представлению в F.
Что касается второго соотношения, то, как мы знаем —
базис E®F, где {г\}--базис Е и {wj — базис F над k. Пусть
(av^j—матрица элемента о относительно базиса пространства Е и
—его матрица относительно базиса пространства F. Тогда
о ® Wj) = 0Vi ® 0Wj = 2 avivv ® 2 =
v Н
= 2 ® W
V, и
По определению
S OiA;=X£(0)Xf(0)>
« j
что и доказывает наше предложение.
Пусть р: G -> AutA(£) и <р: G->Autft(F) — представления G на
Е и F соответственно. Мы определяем сумму р —I—<р как описанное
выше представление на EQ)F. Очевидно, что сумма характеров есть
508
ГЛ XVIII. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
характер суммы представлений. В частности, характеры О, ассоции-
рованные с представлениями О на ^-пространствах, образуют мо-
ноид.
Аналогично мы определяем произведение р®<р как представле-
ние, ассоциированное с тензорным произведением пространств пред-
ставления для риф соответственно. Таким образом, аддитивный мо-
ноид характеров, ассоциированных с представлениями, обладает
мультипликативной структурой, которая дистрибутивна по отноше-
нию к сложению.
До сих пор у нас фигурировало понятие характера, ассоцииро-
ванного с представлением. Естественно теперь рассматривать линей-
ные комбинации таких характеров не только с положительными
целочисленными коэффициентами. Таким образом, под (обобщенным)
характером группы G мы будем понимать всякую функцию на G,
которая может быть записана в виде линейной комбинации харак-
теров представлений с произвольными целочисленными коэффициен-
тами. Характеры, ассоциированные с представлениями, будут назы-
ваться собственными характерами. Все, что мы определили,
зависит, конечно, от поля й, и если нам будет нужно специально от-
метить поле й, мы будем к нашим высказываниям добавлять „над k“.
Заметим, что, согласно предложению 2, характеры образуют
кольцо. В дальнейшем мы будем использовать преимущественно
аддитивную, а не мультипликативную структуру.
Под простым (или неприводимым) характером группы G по-
нимают характер простого представления (т. е. характер, ассоцииро-
ванный с простым й [GJ-модулем).
Принимая во внимание теорему 1 и результаты предыдущей
главы, касающиеся структуры простых и полупростых модулей над
полупростым кольцом (гл. XVII, § 4), получаем следующее утверж-
дение.
Теорема 2. Существует лишь конечное число простых ха-
рактеров группы G (над й). Характеры представлений G являются
линейными комбинациями простых характеров с целочисленными
коэффициентами 0.
Мы будем использовать разложение полупростого кольца в пря-
мое произведение
S
й[С1 = П/<,
t = l
где каждое R, — простое кольцо. Мы имеем также соответствующее
разложение единичного элемента из й [G]
1 = Cj-J- ... .-Ь es.
§ 2. ХАРАКТЕРЫ
509
где ez— единичный элемент из Rt и e^j — Q при 14= j- Точно так
же Rfij — O при /=/=/. Отметим, что s = s(k) зависит от k.
Если Lt — какой-нибудь типический простой модуль для Rt (ска-
жем, один из простых левых идеалов), то мы обозначаем через xz
характер представления на Lz.
Заметим, что xz(a) = 0 для всех a£Rj при 14= j- Это фун-
даментальное соотношение ортогональности, и, хотя оно и оче-
видно, из него будут следовать все наши другие соотношения.
Теорема 3. Предположим, что k имеет характеристику 0.
Тогда всякий собственный характер имеет единственное пред-
ставление в виде линейной комбинации
Х = S «iXi. «i€Z, n;>0,
t=l
где Xj....х^—простые характеры G над k. Два представле-
ния изоморфны в том и только в том случае, если ассоцииро-
ванные с ними характеры равны.
Доказательство. Пусть Е—пространство представления
характера /• Тогда в силу теоремы 3 из гл. XVII, § 4,
Е II
<=1
Сумма конечная, поскольку мы неизменно предполагаем, что Е ко-
нечномерно. Так как et действует на Lt как единичный элемент, то
Xz(ez) = dhnft Lz.
Мы уже видели, что xz(e/) = 0, если 14= j. Следовательно,
X (<?z) = nt dimft Lt.
Так как dimA Z,z зависит только от структуры групповой алгебры,
то мы получили способ находить значения кратностей nt. А именно,
nt — число раз, с которым Lt входит (с точностью до изоморфизма)
в пространство представления характера х> — равно значению х(е;)’
разделенному на dimA Lt (мы находимся в характеристике 0). Это
доказывает нашу теорему.
Мы называем числа ziz, участвующие в теореме 3, кратностями
Ii в X-
В обоих следствиях мы продолжаем предполагать, что k имеет
характеристику 0.
Следствие 1. Простые характеры
Xi....Х,
как функции на О со значениями в k линейно независимы над k.
510
ГЛ. XVIII. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
Доказательство. Предположим, что = где a^k.
Применив это выражение к е2, получим
0 =(S ai-ya')(ej) = ajdimkLj.
Следовательно, = 0 для всех у.
В случае характеристики 0 мы называем размерностью соб-
ственного характера размерность ассоциированного пространства
представления.
Следствие 2. Функция dim есть гомоморфизм моноида
собственных характеров в Z.
Пример. Пусть G—циклическая группа с образующей о, порядок
которой равен простому числу р. Рассмотрим групповую алгебру Q [G].
Пусть
Тогда т/?1=г1 для любого t£G и, следовательно, = — идем-
потентный элемент. Отсюда вытекает, что е2~ е2 и — Поле
изоморфно Q. Пусть го = ое2. Тогда ыр = е2. Положим Q2 = Qe2.
Так как элемент о е2 и удовлетворяет неприводимому уравнению
Лр-1+ ... +1=0
над Q2, то Q2(w) изоморфно полю, полученному присоединением
к полю рациональных чисел примитивного корня р-й степени из еди-
ницы. Следовательно, Q [G] обладает разложением в прямое произ-
ведение
Q[G]^QXQ(+
где $—примитивный корень р-й степени из единицы.
В качестве другого примера рассмотрим любую конечную группу G.
Пусть
06G
Тогда для любого G имеем xei = ei и е^ — е^. Если мы положим
е'х ~ 1 —ev то е'х~е'х и ехе1 = е1ех = 0. Таким образом, мы полу-
чаем, что для любого поля k (характеристика которого, согласно
принятым соглашениям, не делит порядок (G : 1))
k [G] = kex X k [G] с'
является разложением в прямое произведение. В частности, предста-
вление О на самой групповой алгебре k [G] содержит одномерное
представление на компоненте kex с тривиальным характером.
§ 3. ОДНОМЕРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
511
§ 3. Одномерные представления
Допуская вольность речи, мы будем даже в случае характери-
стики р > 0 говорить, что характер одномерен, если он является
гомоморфизмом G —> k*.
Предположим, что Е— одномерное векторное пространство над k.
Пусть
р: 0->AutA(E)
— представление и {г/} — базис Е над k. Тогда для всякого o£G
имеем
ov = % (о) v,
где х(°)С^— некоторый элемент, причем х(о)=£0, так как о инду-
цирует автоморфизм пространства Е. Очевидно,
тоц = X (о) то = у (о) х (т) г/ = х (то) v
для любых о, x£G. Мы видим, что /: G—> Е’— гомоморфизм и что
наш одномерный характер является объектом той же природы, что
и характеры, которые встречались в теореме Артина в теории Галуа.
Обратно, пусть G—>k*— гомоморфизм и Е—одномерное k-
пространство с базисом {ц}. Положим о (av) = ау_ (°)v для всех
Тогда видно, что это действие G на Е определяет представление
группы G, ассоциированным характером которого будет х-
Так как группа G конечна, то
x(0)"=x(°") = x(i) = 1-
Следовательно, значениями одномерных характеров являются корни
л-й степени из единицы. Все одномерные характеры образуют группу
по умножению. Для случая, когда G — конечная абелева группа, мы
уже определили ее группу одномерных характеров в гл. I, § 11.
Теорема 4. Пусть G — конечная абелева группа. Предпо-
ложим, что поле k алгебраически замкнуто. Тогда всякое про-
стое представление группы G одномерно. Простые характеры G
являются гомоморфизмами G в k*.
Доказательство. Групповое кольцо k [G] полупросто, ком-
мутативно и является прямым произведением простых колец. Всякое
простое кольцо есть кольцо матриц над k (в силу теоремы 5 § 5
предыдущей главы) и может быть коммутативным в том и только
в том случае, если оно равно k.
Для всякого одномерного характера х группы G имеем
Х(о)"1==х(о_1)-
512
ГЛ. XVIII. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
Если k—поле комплексных чисел, то
X (°) = X (о) 1
Следствие. Пусть k — алгебраически замкнутое поле, О — ко-
нечная группа. Для любого характера х и любого o£G значе-
ние х(о) равно сумме корней из единицы с целочисленными коэф-
фициентами (т. е. с коэффициентами из Z или ZipZ в зависи-
мости от характеристики k).
Доказательство. Пусть Н—-циклическая подгруппа, поро-
жденная о. Представление G, имеющее характер X- можно, беря
ограничение, рассматривать как представление для Н. Таким образом,
наше утверждение вытекает из теоремы 4.
£ 4. Пространство функций классов
Пусть k — некоторое поле, Под функцией классов на О (над k
или со значениями в k) мы будем понимать функцию /: G — >k, такую,
что f (ото-1) = / (т) для всех о, т£О. Таким образом, функция
классов может рассматриваться как функция на классах сопряженных
элементов. Ясно, что характеры — это функции классов, так как для
квадратных матриц
1г(2ИЛ4'2И_1) = *г(2И')-
Мы всегда будем по линейности расширять область определения
функции классов до группового кольца. Если
а — У аоа
ago
и f — функция классов, то полагаем
/(«) = S
ago
Пусть о0£О. Мы пишем о~о0, если элемент o£G сопряжен
с о0, т. е. если существует элемент т, для которого о0 = тот-1.
Элемент группового кольца, имеющий вид
2 а,
О ~ а»
будет также называться классом сопряженных элементов.
Предложение 3. Пусть k — произвольное поле. Элемент
из k [G] тогда и только тогда коммутирует со всяким элементом
из G, когда он является линейной комбинацией классов сопря-
женных элементов.
§ 4. ПРОСТРАНСТВО ФУНКЦИЙ КЛАССОВ
513
Доказательство. Пусть а— 2 причем ат = та для
а£О
всех т£ G. Тогда
У, аотот-1= 2
а£О а£О
Следовательно, а0о = аа для всякого о, сопряженного с о0, а это и
означает, что мы можем записать
а = 2 ауУ ’
где сумма берется по всем классам сопряженных элементов у.
Замечание. Отметим, что классы сопряженных элементов на самом
деле образуют базис центра группового кольца Z [О] над Z и вслед-
ствие этого играют универсальную роль в теории представлений.
Отметим также, что классы сопряженных элементов линейно не-
зависимы над k и образуют базис для центра алгебры k [О] над k.
Будем отныне предполагать, что k алгебраически замкнуто.
Тогда
k [О] = П Ri
i=i
— прямое произведение простых колец и каждое R( есть алгебра
матриц над k. Центром прямого произведения, очевидно, будет про-
изведение центров сомножителей. Обозначим через kt образ k в Rt,
другими словами,
kj = ket,
где eL—единичный элемент в Rt. Тогда центр алгебры k [О] равен
также пространству
i = l
которое s-мерно над k.
Пусть L{ — типический простой левый идеал в Тогда
Ri End* (Lz).
Положим
r/; = dim* Lt.
Тогда
d^ = dimft/?z и 2 d\ — п
Имеем также разложение Rt как (О, ^-пространства в прямую сумму
R^.
514
ГЛ. XVIII. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
Введенные выше обозначения будут далее оставаться фиксиро-
ванными.
Мы можем суммировать некоторые из наших результатов следую-
щим образом.
Предложение 4. Пусть поле k алгебраически замкнуто.
Тогда число классов сопряженных элементов группы G равно
числу ее простых характеров и оба эти числа равны размер-
ности s центра групповой алгебры k [О]. Классы, сопряженных
элементов у,......у5 и идемпотентные элементы ер .... es об-
разуют базисы центра &[G].
Число элементов в у; будет обозначаться через ht, а в любом
классе сопряженных элементов у — через 7г?. Мы называем это число
порядком класса- Центр групповой алгебры будет обозначаться через
Zk(G).
Мы можем рассматривать k [G] как G-модуль. Его характер будет
называться регулярным характером-, мы будем обозначать его че-
рез хГег или, если нужно подчеркнуть зависимость от G, через га.
Представление на k [G] называется регулярным представлением.
Из нашего разложения k [GJ в прямую сумму получаем
Xreg = 2 ^ikl
i = l
Вычислим значения регулярного характера.
Предложение 5. Пусть yreg—регулярный характер. Тогда
yreg(o) = 0, если <j£G, о=А1,
Xreg (1) = U.
Доказательство. Пусть 1 = ар ..., —элементы группы G.
Они образуют базис k [G] над k. Матрица элемента 1 есть единичная
матрица размера п X и. Отсюда вытекает наше второе утверждение.
Если а 1, то умножение на о переставляет .....csn, и непосред-
ственно ясно, что все диагональные элементы в матрице, предста-
вляющей о, равны 0. Это доказывает все, что нам нужно.
Отметим, что мы имеем два естественных базиса для центра Zk(G)
групповой алгебры. Во-первых, классы сопряженных элементов
группы G. Во-вторых, элементы ер .... es (т. е. идемпотентные
элементы колец Мы хотим найти соотношения между ними, т. е.,
другими словами, хотим найти коэффициенты в выражении е; через
элементы группы. В следующем параграфе значения этих коэффи-
циентов будут интерпретированы как скалярные произведения. Это
объяснит их таинственный вид.
§ 4. ПРОСТРАНСТВО ФУНКЦИИ КЛАССОВ
515
Предложение 6. Мы снова предполагаем, что поле k
алгебраически замкнуто. Пусть
St = S axr, ах е k.
Тогда
flr=7-xreg(^T"1)=v^(T"I>-
Доказательство. Для всех т£О имеем
*reg ("Л"1) = Xreg ( >) = 2q %Xreg «"-’)•
В силу предложения 5
Xreg
С другой стороны,
xreg (лт-1) = 2 d^j Ол-1)=d^t (?№) = diM ft'1)-
Следовательно,
(т-1) =
для всех r£G. Это доказывает наше предложение.
Следствие 1. Каждый элемент et может быть выражен
через элементы группы с коэффициентами, которые лежат
в поле, порожденном над простым полем корнями т-й степени
из единицы, где т — показатель группы G.
Следствие 2. Размерности dt не делятся на характери-
стику поля k.
Доказательство. Иначе было бы ez = 0, что невозможно.
Следствие 3. Простые характеры Хр X.s линейно неза-
висимы над k.
Доказательство. Можно применить доказательство след-
ствия 1 теоремы 3, поскольку мы теперь знаем, что характеристика
не делит dt.
Следствие 4. Предположим дополнительно, что k имеет
характеристику 0. Тогда dt | п для всякого I.
Доказательство. Умножая наше выражение для et на n/d^
а также на eit получим
= 2 Х/Со”1)^-
о€О
516
ГЛ. XV1I1. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
Пусть £—примитивный корень m-й степени из единицы и Л4 — мо-
дуль над Z, порожденный конечным числом элементов £voez(v =
= 0.....т—1 и o£G). Тогда из предыдущего соотношения тот-
час видно, что умножение на n/dz отображает М в себя. В силу
определения целых элементов заключаем, что п/^ — целый элемент
над Z и, следовательно, лежит в Z, что и требовалось.
Теорема 5. Пусть поле k алгебраически замкнуто. Пусть
Zk(G)— центр алгебры А: [С?] и A'j.(G)— k-пространство функ-
ций классов на G. Тогда пространства Zk(G) и -Yft(G) дуальны
друг другу относительно спаривания
(f, а)н->/(а).
Простые характеры и идемпотентные элементы е{......es обра-
зуют ортогональные друг другу базисы. При этом
Доказательство. Формула уже была получена в ходе до-
казательства теоремы 3. Оба пространства, о которых идет речь,
имеют размерность s и dL Ф 0. Наше предложение теперь очевидно.
§ 5. Соотношения ортогональности
В этом параграфе мы будем предполагать, что поле k ал-
гебраически замкнуто.
Пусть R— подкольцо в k. Мы обозначаем через XR(G) /?-под-
модуль, порожденный над R характерами группы G. Это, таким
образом, модуль функций, являющихся линейными комбинациями
простых характеров с коэффициентами в R. Если R—простое кольцо
(т. е. кольцо целых чисел Z или кольцо целых чисел mod р, когда
k имеет характеристику р), то мы пишем вместо X R(G) просто X (G).
Определим теперь некоторое билинейное отображение на X (G) X
Х^(О). Для /, g £ X (G) положим
</. €> = 7 S
Теорема 6. Выражение (f, g) для f,g£X (G) принимает
значения в простом кольце. Простые характеры образуют орто-
нормальный базис для X (G), другими словами,
Для всякого кольца R cz k это выражение имеет единственное
продолжение до R-билинейной формы XR(G)y^ XR(fi)—> R, зада-
ваемой той же самой формулой, что и выше.
§ 5. СООТНОШЕНИЯ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ
517
Доказательство. В силу предложения 6
X; ^XT^L7-1 (а-1) (0)>
Если i #= j\ то получаем слева 0, так что Xz и X; ортогональны.
Если z = J, то получаем слева dlt а, как мы знаем из следствия 2
предложения 6, dt + 0 в k. Следовательно, (Xz> Xz)~ 1- Так как
всякий элемент из X (G) есть линейная комбинация простых харак-
теров с целочисленными коэффициентами, то значения нашего били-
нейного отображения лежат в простом кольце. Утверждение о про-
должении очевидно, и тем самым наша теорема доказана.
Предположим, что k имеет характеристику 0. Пусть т — пока-
затель группы G, и пусть R содержит корни zn-й степени из единицы.
Если R обладает автоморфизмом порядка 2, таким, что его действие
на корни из единицы есть £н-то мы будем называть такой
автоморфизм сопряжением и обозначать его через a i—>а.
Теорема 7. Пусть k имеет характеристику 0 и пусть
R — подкольцо, содержащее корни т-й степени из единицы и
обладающее сопряжением. Тогда определенная выше билинейная
форма на X (G) имеет единственное продолжение до эрмитовой
формы
Xr(G)XXr(G)^R,
задаваемой формулой
<f> =
ago
Простые характеры образуют ортонормальный базис для X R(G)
относительно этой формы.
Доказательство. В случае когда /, g лежат в X (О), ука-
занная в формулировке теоремы формула дает для выражения (/, g)
то же самое значение, что и раньше. Таким образом, продолжение
существует, и, очевидно, единственное.
Возвратимся к случаю, когда k имеет произвольную характери-
стику, взаимно простую с п.
Пусть Z (G) обозначает аддитивную группу, порожденную клас-
сами сопряженных элементов .... у, над простым кольцом.
Она имеет размерность $. Определим билинейное отображение на
Z(G)XZ(G). Если элемент a=2aoa имеет коэффициенты в про-
стом кольце, то мы обозначаем через а- элемент 2аоа-1,
518
ГЛ. XVIII. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
Предложение 7. Для a, 0£Z(G) можно определить выра-
жение (а, р) с помощью любого из следующих двух равных
между собой выражений’.
S
(а. Р> = т- Xreg (аР“) = 7 2 Xv (а) Xv (Г)-
v=l
Значения этого выражения лежат в простом кольце.
Доказательство. Каждое из этих двух выражений линейно
по обоим своим аргументам. Следовательно, чтобы доказать их ра-
венство, достаточно доказать, что они совпадут, если мы заменим а
на et и р—на элемент т из G. Но тогда наше равенство, рассма-
триваемое уже над Zk(G)y^ k[G}, эквивалентно соотношению
хгег(ед-1)= Sxv^Xv^-1)-
Так как Xv(e/) —О, за исключением v = z, то мы видим, что правая
часть равна dy/i (т-1). Таким образом, два наших выражения равны
в силу предложения 6. Тот факт, что их значения лежат в простом
кольце, вытекает из предложения 5: значения регулярного характера
на элементах группы равны 0 или п и, следовательно, в случае ха-
рактеристики 0 являются целыми числами, делящимися на п.
Как и в случае XR(G), мы будем использовать символ ZR(G)
для обозначения /^-модуля, порожденного ур ..., у5 над произволь-
ным подкольцом в k.
Лемма. Для всякого кольца R, содержащегося в k, спарива-
ние из предложения 7 имеет единственное продолжение до ото-
бражения
Zft(G)XZ(G)->/?,
которое R-линейно по своему первому аргументу. Если R со-
держит корни т-й степени из единицы, где т есть показатель
для G, а также содержит 1/п, то el^ZR(G) для всех I. По-
рядки классов не делятся на характеристику поля k, и
S
~ S Yv) Yv
V=1
Доказательство. Заметим, что ht не делится на характери-
стику, будучи индексом некоторой подгруппы в G (группы изотропии
любого элемента из у(-, причем» G действует посредством сопряжения),
и, следовательно, hL делит п. Продолжение нашего спаривания оче-
видно, поскольку Yp .... уб образуют базис для Z(G) над простым
§ 5. СООТНОШЕНИЯ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ
519
кольцом. Выражение через этот базис есть только переформули-
ровка предложения 6 в терминах рассматриваемого спаривания.
Пусть Е— свободный модуль над подкольцом R поля k. Пред-
положим, что у нас имеется симметрическая (или эрмитова) форма
V) на Е. Пусть [vj....uj—ортогональный базис для этого
модуля. Если
v = а^ -НА
где аг £ R, то мы будем называть av .... as коэффициентами
Фурье элемента v относительно этого базиса. Через значения формы
эти коэффициенты выражаются формулами
при условии, что #= 0.
В следующей теореме мы покажем, что выражение для в[ через
•у1( ..., Ys является разложением Фурье.
Теорема 8. Классы сопряженных элементов Yi...у5 об-
разуют ортогональный базис для Z(G). Имеет место соотно-
шение yi) = hl. Для всякого кольца R, содержащегося в k,
билинейное отображение из предложения 7 имеет единственное
продолжение до R-билинейного отображения
Zr(G)XZr(G)^R.
Доказательство. Применим лемму. В силу линейности фор-
мула в лемме останется справедливой, если мы заменим R на k,
а — на любой элемент из Z*(G), в частности, если мы заменим ez
на у,- Но Yi.Ys — базис Zk(G) над k. Следовательно, (у,. Y/) —
и (Yi> = 0 ПРИ что и требовалось показать.
Следствие. Пусть группа G коммутативна. Тогда
п
-~2xv(°) Xv (т'"1) —
v=l
0, если о =# т,
1, если о = т.
Доказательство. Когда G коммутативна, всякий класс со-
пряженных элементов содержит точно один элемент и число простых
характеров равно порядку группы.
Рассмотрим теперь для Z (О) случай характеристики 0, так же
как мы это делали для X (G). Пусть k имеет характеристику 0 и
R — подкольцо в k, содержащее корни m-й степени из единицы и
обладающее сопряжением. Пусть а£7л(0), а= У, аоо, где a0£R.
аёО
Положим
а= У аао-1.
а£О
520
ГЛ. XVIII. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
Теорема 9. Пусть k имеет характеристику 0, и пусть
R— подкольцо в k, содержащее корни т-й степени из единицы, и
обладающее сопряжением. Тогда спаривание из предложения 7
обладает единственным продолжением до эрмитовой формы
Zr(G)X?r(G)-+R,
задаваемой формулами
S
(а. ₽> = 7- Xreg («₽> = ТГ S Xv (а) Xv (0)-
v = l
Классы сопряженных элементов У;....у, образуют ортогональ-
ный базис для ZR(O). Если R содержит 1/п, то ev ..es лежат
в R и также образуют ортогональный базис для ZR(G). При
этом (е^ е.у = б^1п.
Доказательство. В случае когда а, р лежат в Z(G), фор-
мула, приведенная в формулировке теоремы, дает те же самые зна-
чения, что и выражение (а, р) из предложения 7. Таким образом,
продолжение существует и, очевидно, единственное. Используя вторую
формулу, определяющую скалярное произведение, и вспоминая, что
Xv(er) —0 ПРИ v ¥= Л мы видим, что (ег, е]} — 0 при I =]= j и
<ег, et} (ez) XZ (ez),
откуда и вытекает наше утверждение.
Отметим, что коэффициенты Фурье для et относительно базиса
уР .... у, одни и те же как по отношению к билинейной форме из
теоремы 8, так и по отношению к эрмитовой форме из теоремы 9.
Это следует из того факта, что ур . .., у5 лежат в Z (G) и образуют
базис для Z (G) над простым кольцом.
§ 6. Индуцированные характеры
Сохраняются обозначения предыдущего параграфа. Однако нам
не потребуются все доказанные там результаты: все что нам нужно, —
это билинейное спаривание на X (G) и его продолжение до
Xs(G)X^(G)->«.
Символ (,) может интерпретироваться и как билинейное продолже-
ние, и как эрмитово продолжение, согласно теореме 7.
Пусть 5 — подгруппа в Q. Имеется /^-линейное отображение,
называемое отображением ограничения
Res®:
§ 6. ИНДУЦИРОВАННЫЕ ХАРАКТЕРЫ
521
которое каждой функции классов на G сопоставляет ее ограничение
на S. Это гомоморфизм колец. Ограничение f на S мы иногда будем
обозначать через fs.
Определим отображение в обратную сторону
Тг*: XR{S)^XR{G),
которое мы будем называть отображением индуцирования. Именно,
если то продолжаем g до g0 на G, считая ^О(о) = 0
при и затем полагая
Tr*(g)(o) = -^iy J]g0(TOT-J).
t£G
Очевидно, Tr* (g) есть функция классов на G. Если нет необходи-
мости указывать в обозначении S или G, то мы часто будем писать g*
вместо Тг* (Д) и называть g* индуцированной функцией. Ясно, что
отображение Тг* /^-линейно.
Так как сейчас мы имеем дело с двумя группами S и О, то мы
будем обозначать скалярное произведение через (, )5 и (,)0, когда
оно берется относительно той или другой из этих групп. Следующая
теорема среди прочего показывает, что отображения ограничения и
индуцирования сопряжены друг с другом относительно нашей формы.
Теорема 10. Пусть S — подгруппа в G. Тогда справедливы
следующие правила'.
(i) {Закон взаимности Фробениуса). Для f^XR(G) и g£XR(S)
имеем
(ii) Tr*(^)/ = Tr*(g/5).
(iii) Если T gSqG— подгруппы в G, то
Тг* оТгГ = Тг£.
Go (j
(iv) Если o£G и ga определено формулой ga (та) =g (т), где
та — о-1то, то
Тг*(^) = Тг*\г).
(v) Если ф— собственный характер подгруппы S, то Тг* (ф) —
собственный характер группы G.
Доказательство. Докажем сначала (ii). Используем обозна-
чение со звездочкой. Мы должны показать, что g*f = (gf$)*. Имеем
(g(т) = ^^(ото-’Шото-1).
а £0 о
522
ГЛ. XVIII. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
Последнее из полученных выражений равно (g/sYtr'), что и доказы-
вает (ii). Теперь просуммируем по всем т из О выражения
= (ото-1)
ct£G
= ’(s4t)' S^oC^o-O/Cot-’o-1).
ogG
Ненулевой вклад в нашу двойную сумму внесут только те пары о, т,
для которых произведения вида ото-1 будут элементами из 5. Число
пар (о, т), таких, что ото'1 есть некоторый фиксированный элемент
из О, равно п (поскольку для всякого X £ G пара (о?., Х-1тА.) есть
другая такая пара, а общее число пар равно п2). Следовательно,
наше просуммированное выражение справа равно
(0: ° (SYIT S^(Z)/(V1)-
Первое правило вытекает теперь из определений скалярного произ-
ведения в G и S соответственно.
Пусть теперь g = ф — собственный характер подгруппы S и
/ = Х— простой характер группы G. Из (i) находим, что коэффи-
циенты Фурье для g* являются целыми числами ^>0. Действительно,
Res® (х) — собственный характер S. Поэтому скалярное произведение
(ф, Resg (х))$
есть целое число ^>0. Следовательно, ф* — собственный характер G,
что доказывает (v).
Для доказательства свойства транзитивности удобно ввести сле-
дующие обозначения.
Пусть (с) — множество правых смежных классов О по подгруппе S.
Для каждого смежного класса с выберем фиксированного предста-
вителя, обозначаемого через с. Таким образом, если с1, .... сг — эти
представители, то
g=Uc=USc=USc<
с с i = l
Лемма. Пусть g — некоторая функция классов на S. Тогда
Доказательство. Мы можем сумму по всем о £ G в опреде-
лении индуцированной функции разложить в двойную сумму
2 = 2 2;
ОСС o£S i = l
§ 7. ИНДУЦИРОВАННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
523
заметим при этом, что всякий член g'0(occ,c~1o~1) равен g0(c^c-1)
при о £5, поскольку g — функция классов. Следовательно, доста-
точно в сумме по всем o£S сократить множитель 1/(5 : 1), чтобы
получить выражение, указанное в лемме.
Если Т с 5 с О — подгруппы в О и
G = (j5cz, S = \jTdj
— разложения на правые смежные классы, то будет системой
представителей для правых смежных классов G по Т. Ввиду этого
свойство транзистивности (iii) очевидно.
Мы предоставим (iv) читателю в качестве упражнения (которое,
если принять во внимание лемму, тривиально).
§ 7. Индуцированные представления
Пусть G — конечная группа, 5 — ее подгруппа и F— некоторый
5-модуль. Рассмотрим категорию <?, объектами которой являются
5-гомоморфизмы ц : F—> Е модуля F в G-модули Е. (Отметим,
что всякий G-модуль можно рассматривать как 5-модуль.) Если
<р': F-^-E'—другой объект в <?, то определяем морфизм <р'—><р
в как G-гомоморфизм т]: Е7 —> Е, для которого коммутативна сле-
дующая диаграмма:
Универсальный объект в задается с точностью до однозначно
определенного G-изоморфизма. Его обозначением будет
q£:E->TrS(E).
Символ Тг призван напоминать о следе. Позже мы увидим оправда-
ние для такого обозначения.
Ниже мы докажем, что универсальный объект всегда существует.
Если : F —>Е — универсальный объект, то мы будем называть Е
индуцированным модулем. Этот модуль однозначно определен
с точностью до единственного 0-изоморфизма, для которого комму-
тативна соответствующая диаграмма. Для удобства мы выберем один
индуцированный модуль, такой, что <р—включение. Мы закрепим
тогда за этим специальным модулем Тг£(Е) название G-модуля, инду-
цированного 5-модулем F.
Пусть f:F'->F—5-гомоморфизм. Если
Ф*:/^Тг*(Г)
524
ГЛ. XVIII. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
— G-модуль, индуцированный F', то существует однозначно опреде-
ленный G-гомоморфизм Тг£ (F') —> Tr£ (F), для которого коммутативна
следующая диаграмма:
F' _J^L> Tr* (Р')
Г\ ь
v n v
F — ^Trg(f)
ф0
Это просто 0-гомоморфизм, соответствующий универсальному свойству
для S-гомоморфизма <р£ ° /, изображенного в нашей диаграмме пунк-
тирной линией. Таким образом, Тг£ есть функтор из категории
S-модулей в категорию G-модулей.
Из универсальности и единственности индуцированного модуля
мы получаем некоторые формальные свойства.
Тг£ коммутирует с прямыми суммами-, для данной прямой
суммы S = F@F'
Trg(^®F')^Trg(/WTrS(F),
причем прямая сумма справа — это G-прямая сумма.
Если f, g: F'F — S-гомоморфизмы, то
TrS(/ + £) = Trg(/) + Tr£(g).
Если T cSaG — подгруппы в О и F — Т-модуль, то
ТфТгГ(Г)^Тг£ (F).
Во всех трех случаях равенство между левой и правой частями
наших соотношений тотчас следует из единственности универсального
объекта. Проверку мы предоставим читателю.
Чтобы доказать существование индуцированного модуля, обозна-
чим через AlfHF) аддитивную группу функций f-.G~->F, удовлетво-
ряющих условию
для o£S и g^G. Определим действие G на Msa (F), положив
для о, ££ G. Ясно, что Ma (F)— О-модуль.
Предложение 8. Пусть отображение ср : F —> Ma(F) таково,
что для отображения <р(х) = <р_г будет
О при т £ S,
хх при т £ S.
Фл(Т) =
§ 7. ИНДУЦИРОВАННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
525
Тогда отображение ср есть S-гомоморфизм, объект ф : F —> Mq (F)
универсален и гомоморфизм ф инъективен. Образ ф состоит из
всех таких элементов f £ Mq (F"), что /(т) = 0 при
Доказательство. Пусть о £ S, x(^F и x£G. Тогда
(0<₽J (T) = <b (то).
Если т£5, то последнее выражение равно фох(т). Если т^5,
то то (£S и, следовательно, оба выражения фог(т) и фх(то) равны 0.
Таким образом, ф есть 5-гомоморфизм и непосредственно ясно, что
он инъективен. Далее, если f^Ma(F) таково, что /(т) = 0 для
Т(£5, то из определений следует, что / = флг, где х = /(1).
Остается доказать, что ф универсален. Чтобы это сделать, иссле-
дуем более детально структуру Mq (F).
Г
Предложение 9. Пусть G = 5сг- — разложение G на пра-
1 = 1
вые смежные классы, F{— аддитивная группа функций из Mq(F),
принимающих значение 0 на элементах ££ G, Тогда
MSQ(F)=i\7T'Fv
где прямая сумма рассматривается как абелева группа.
Доказательство. Для всякого пусть f— такая
функция, что
°' если
‘ I /(В), если l£Sct.
Очевидно, //(oct) = (cz/z)(o) для всех о £5. Непосредственно видно,
что ctfi лежит в F} и что
/=27Г'(7,/,).
Таким образом, Л4о(/) есть сумма подгрупп cf1/7!. Ясно, что эта
сумма прямая, что и требовалось.
Отметим, что^с-1...с"1} образуют систему представителей для
левых смежных классов О по 5. Действие О на Mq(F) определяется
предыдущим разложением в прямую сумму. Мы видим, что О пере-
ставляет слагаемые транзитивно. Слагаемое Fx S-изоморфно исходному
модулю F, как установлепо в предложении 8.
526
ГЛ. XVIII. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
Теорема 11. Пусть {Хр .... — некоторая система пред-
ставителей левых смежных классов О по S, Тогда существует
G-модуль Е, содержащий F в качестве S-подмодуля и такой, что
«=1
есть прямая сумма (как абелева группа). Пусть <p:F-+E—
отображение включения. Тогда <р универсально в нашей катего-
рии , т. е. Е — индуцированный модуль.
Доказательство. Обычной теоретико-множественной про-
цедурой замены Fi на F в ЛТа(Р) получаем О-модуль Е, содержа-
щий F в качестве 5-подмодуля и обладающий нужным нам разложе-
нием в прямую сумму. Пусть <р': F —> Е' — 5-гомоморфизм в G-мо-
дуль Е'. Определим отображение h: Е-+Е' правилом
Л (XjATj —|— ... -]-Z/.x/.) = Xi<p/(%|)+ ... + Х/р' (хг),
где Х[ £ F. Это отображение правильно определено, так как наша
сумма для Е—прямая. Мы должны показать, что h — О-гомоморфизм.
Пусть о£О. Тогда
оА./ = i >
где о (/)— некоторый индекс, зависящий от о, I, а тЯ1 ;— элемент
из 5, также зависящий от о, /. Имеем
h (pTiXi) = h (KadHa, i*i) = Ч («)<₽' ("Га, i xi).
Так как <р' — 5-гомоморфизм, то это выражение равно
К (I) ч ,<₽' (xi) = Gh (KiXi).
В силу линейности заключаем, что h — О-гомоморфизм, что и тре-
бовалось.
Предположим, что мы фиксировали основное поле k и рассмат-
ривали не произвольные модули, а только й-пространства, на которых
имеется представление О. Ясно, что все наши конструкции и опре-
деления применимы и в этом контексте. Поэтому, имея представление
подгруппы 5 на ^-пространстве F, мы получаем индуцированное
представление группы О на Tr^ (F).
Предложение 10. Пусть ф — характер представления под-
группы 5 на k-пространстве F, Е — пространство индуцирован-
ного представления. Тогда характер % представления на Е ра-
вен индуцированному характеру ф*. т. е. задается формулой
Х(ь) ==2ф0(^-1)>
6
§ 7. ИНДУЦИРОВАННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
527
где сумма берется по всем правым смежным классам с группы О
по S, с — фиксированный представитель для с и ^—продолже-
ние ф на О, которое получается, если положить ф0(о) = 0 для
Доказательство. Пусть {wp .. ., wm] — базис для F над k.
Мы знаем, что _
£ = Цс-1£.
Пусть о— элемент из О. Элементы [со-1те'у)(?1 у образуют базис для £
над k. __
Заметим, что coco-1 есть элемент из S, так как
Sea = Sea — Sea.
Имеем
a (co-1Wy) — с-1 (coco-1) Wy.
Пусть
(сосо-1)^
— компоненты матрицы, представляющей действие coco-1 на F отно-
сительно базиса {w,....wm}. Тогда действие о на Е задается со-
отношениями
О (CO-1Wy) = с-' У (coco-’^yW^ —
в
= 2 (сосо-1)цу
в
По определению
Х(о)= 2 2(«™o"%-
CG = C j
Но са — с в том и только в том случае, если coc-1£S. Кроме того,
•ф(СОС-1) = У (СОС-1)уу.
J
Следовательно,
Х(о) = 2%(ёоё-1),
С
что и требовалось показать.
Следующие три параграфа, которые по существу независимы
друг от друга, дают примеры индуцированных представлений.
В каждом случае мы показываем, что какие-то представления
либо индуцированы представлениями некоторых хорошо извест-
ных типов, либо являются линейными комбинациями с целочис-
ленными коэффициентами таких представлений. Самое замеча-
тельное во всех этих результатах то, что все характеры
528
ГЛ. XVIII. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
могут быть представлены как линейные комбинации индуцирован-
ных характеров, возникающих из одномерных характеров. Таким
образом, теория характеров сводится к изучению одномерных,
или абелевых характеров.
§ 8. Положительное разложение регулярного характера
Пусть О — конечная группа и k = C — поле комплексных чисел.
Пусть, далее, 10 — тривиальный характер, а га—регулярный ха-
рактер.
Предложение 11. Пусть Н — подгруппа в О, ip— харак-
тер Н, ip*—индуцированный характер. Тогда кратность харак-
тера 1Н в ip та же самая, что и кратность 1О в ip*.
Доказательство. В силу теоремы 10 (i) имеем
(Ф- =
Эти скалярные произведения как раз и являются интересующими нас
кратностями. •
Предложение 12. Регулярное представление есть пред-
ставление, индуцированное тривиальным характером на три-
виальной подгруппе группы G.
Доказательство. Это тотчас следует из определения инду-
цированного характера
Ф* (т)= 2 Фо^0'1)’
ofG
е’сли взять ip = 1 на тривиальной подгруппе.
Следствие. Кратность 1о в регулярном характере га
равна 1.
Мы исследуем теперь характер
иа — га — 1а-
Теорема 12 (Брауэр). Характер пи0 является линейной
комбинацией с целыми положительными коэффициентами харак-
теров, индуцированных одномерными характерами циклических
подгрупп группы G.
Доказательство состоит из двух предложений, дающих явное опи-
сание индуцированных характеров. Я обязан Серру приведенным да-
лее изложением работы Брауэра.
§ 8. ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ РЕГУЛЯРНОГО ХАРАКТЕРА
529
Пусть А — циклическая группа порядка а. Определим на А функ-
цию 0Л следующими условиями:
[ а, если о — образующая группы А,
0 л (о) = 1 „
(О — в противном случае.
Положим /.л = ф (а) гА — 0Л (где ф — функция Эйлера) и /.л — О,
если а = 1.
Искомый результат содержится в следующих двух предложениях.
Предложение 13. Пусть G — конечная группа порядка п.
Тогда
пи0=^А.
где сумма берется по всем циклическим подгруппам группы G.
Доказательство. Для данных функций классов /, ф на О
имеем обычное скалярное произведение
<Ф> Х>о = 7- S Ф(°)Х(о)-
(j£G
Пусть 1]? — любая функция классов на G. Тогда
(ф, я«0) = (ф, пга) — (ф, и10) =
=«ФСО — 2 Ф(°)-
ogG
С другой стороны, используя тот факт, что индуцированный харак-
тер сопряжен с ограничением, получаем
2<ф. ^) = 2<ФМ. м =
А А
= '£<$\A,<p(a)rA—QA) =
А
= ^ф(а)ф(1)— yjl аф(о) —
А Да порождает А
= «Ф(1) — 2 ф(о).
af О
Так как функции в левой и правой частях утверждаемого равенства
имеют одно и то же скалярное произведение с произвольной функ-
цией классов, то они равны. Это доказывает наше предложение.
Предложение 14. Если А =£ {1}, то Хл есть линейная ком-
бинация неприводимых нетривиальных характеров А с целыми
положительными коэффициентами.
530
ГЛ XVIII. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
Доказательство. Если А— циклическая группа простого по-
рядка, то в силу предложения 13 ХА = пиА, и наше утверждение
вытекает из стандартной структуры регулярного представления.
Чтобы доказать утверждение в общем случае, достаточно устано-
вить, что коэффициенты Фурье функции относительно характеров
степени 1 являются целыми числами ^>0. Пусть ф — характер сте-
пени 1. Взяв скалярное произведение относительно А, получим
(ф. А,л) = <р(а)ф(1) — 2 Ф(<т) =
сг-образующая
= ср(а) — 2 Ф(о) =
а-образующая
= 2 (1 —Ф(о))-
^образующая
Сумма 2ф(о), взятая по образующим А, является, с одной стороны,
целым алгебраическим числом, а с другой стороны, рациональным
числом (в силу любого из многочисленных элементарных соображе-
ний) и, следовательно, является целым рациональным, числом. Далее,
если характер ф нетривиален, то вещественные части всех чисел
1 — ф (о)
будут > 0 для о Ф id и 0 для o = id. Отсюда заключаем, что сумма
должна быть равна целому положительному числу. Если ф — три-
виальный характер, то сумма, очевидно, равна 0. Наше предложение
доказано.
§ 9. Сверхразрешимые группы
Пусть О — конечная группа. Мы будем говорить, что О сверх-
разрешима, если существует такая последовательность подгрупп
{IJcGjCGgC ... cGm = G,
что каждая подгруппа G; нормальна в G, и G;+1/G; — циклическая
группа простого порядка.
Мы знаем из теории р-групп, что всякая р-группа сверхразре-
шима и что этим свойством обладает также прямое произведение
р-группы с абелевой группой.
Предложение 15. Всякая, подгруппа. и всякая фактор-
группа сверхразрешимой группы сверхразрешимы.
Доказательство. Очевидно (использовать стандартные тео-
ремы о гомоморфизмах).
Предложение 16. Пусть G — неабелева сверхразрешимая
группа. Тогда существует нормальная абелева подгруппа, кото-
рая собственным образом содержит центр.
§ 9. СВЕРХРАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ
531
Доказательство. Пусть С—центр группы G, G — GjC,
Н—нормальная подгруппа простого порядка в О и Н—ее полный
прообраз в G при каноническом отображении G-^G/C. Если о—об-
разующая Н, то прообраз ст элемента о вместе с С порождает Н.
Следовательно, Н абелева, нормальна и собственным образом содер-
жит центр.
Теорема 13 (Бликфельд). Пусть G — сверхразрешимая
группа, k — алгебраически замкнутое поле, char k ф (G : 1), и пусть
Е — простое (G, ^-пространство. Если dim^ Е > 1, то существуют
собственная подгруппа Н в G и простое (Н, Е)-подпространство
F в Е, такие, что модуль Е индуцирован подмодулем F.
Доказательство. Так как простое представление над абеле-
вой группой одномерно, то из наших условий вытекает, что G
неабелева.
Мы дадим сначала доказательство нашей теоремы при дополни-
тельном предположении, что модуль Е — точный. (Это означает, что
из условия ах = х для всех х £ Е следует, что о — 1.) В конце мы
легко избавимся от этого ограничения.
Лемма. Пусть G — конечная группа и k — алгебраически
замкнутое поле, charfe-f(G: 1). Пусть Е—простое точное О-про-
странство над k. Предположим, что в G имеется нормальная
абелева подгруппа Н, собственным образом содержащая центр G.
Тогда существуют собственная подгруппа Нг в G, содержащая Н
и простое Нх-пространство F, такие, что Е есть индуцирован-
ный модуль модуля F с Нх на О.
Доказательство. Рассмотрим Е как 77-пространство. Оно
является прямой суммой простых 77-пространств, и так как Н абе-
лева, каждое такое простое 77-пространство одномерно.
Пусть v £ Е порождает одномерное 77-пространство и ф — его
характер. Если w £ Е также порождает одномерное //-пространство
с тем же самым характером ф, то для всех a, b£k и т £ 77 имеем
т (av -t- bw) = ф (т) (av + bw).
Обозначив через F^ подпространство в Е, порожденное всеми одно-
мерными /7-подпространствами, имеющими характер ф, получаем раз-
ложение в /7-прямую сумму
Ф
Мы утверждаем, что Е Р,,(. В противном случае пусть v£E,
и =/= 0 и o£G. Тогда по предположению о-1^ порождает одномерное
532
ГЛ XVIII ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
//-пространство, имеющее характер ф. Следовательно, для т £ Н имеем
т(о-1г») = гр (т)
(ото'1) v = оф (т) о-1п = ф (т) V.
Это показывает, что ото-1 и т одинаково действуют на элемент v
из Е. Так как Н не содержится в центре G, то существуют х£Н
и o£G, такие, что ото-1 =£ т, и мы получили противоречие с пред-
положением, что представление Е— точное.
Докажем, что G транзитивным образом переставляет про-
странства Р^.
Пусть v(^F,,.. Для любых х£Н и o£G имеем
т(<и>) = о(о-1то)г> = оф (о-1то)г> = ф0 (т) ои,
где фя—функция на Н, задаваемая правилом фа(т) = ф(о-1то). Это
показывает, что о отображает Рф в F$g. Однако в силу симметрии о-1
отображает F$g в Рф, и эти два отображения о, о-1 дают взаимно
однозначное соответствие между F$g и F$. Таким образом, G пере-
ставляет пространства {Рф}.
Пусть Er'= GF^0 — 2 оРФо Для некоторого фиксированного ф0.
Тогда Е' есть G-подпространство в Е, и так как Е предполагается
простым, то Е' = Е. Это доказывает, что пространства {Рф} пере-
ставляются транзитивно.
Пусть F = F^i для некоторого фиксированного фР F есть //-под-
пространство в Е. Пусть //j — подгруппа, состоящая из всех таких
элементов x£G, что хР — Р. Тогда Нх Ф G, так как Е=£ F^. Мы
утверждаем, что F—простое Нх-пространство и что Е есть
индуцированное пространство пространства F с Нх на G.
Чтобы это увидеть, возьмем разложение 0= \}Нус группы G
на правые смежные классы относительно подгруппы Нг. Элементы {с-1}
образуют систему представителей левых смежных классов относительно
подгруппы Яр Так как
Е = 2 о/7,
о i G
ТО
Е=^с~'Р
Мы утверждаем, что эта последняя сумма прямая и чю Р— простое
Я]-пространство.
Так как G переставляет пространства {Рф}, то по определению
есть группа изотропии элемента F при действии G на этом множе-
стве пространств, и что, следовательно, элементы орбиты — это
в точности {с~]Р}, где с пробегает все смежные классы. Таким
§ 10. ТЕОРЕМА БРАУЭРА
533
образом, пространства {с-1/7} различны, и мы имеем разложение
в прямую сумму
Е=П?1/.
Если W—собственное //j-подпространство в Л, то Иc~xWсоб-
ственное G-подпространство в Е, вопреки предположению, что Е
простое. Это доказывает наше утверждение.
Применяя теперь теорему И, заключаем, что Е — модуль, инду-
цированный F, что и доказывает теорему 13 в том случае, когда
Е —точный модуль.
Предположим теперь, что Е неточный. Пусть Go— нормальная
подгруппа в О, служащая ядром представления G->Autft(E). Поло-
жим G = G/Gq. Тогда Е дает точное представление для О. Поскольку Е
неодномерно, G неабелева и существуют собственная подгруппа Н
в О и простое //-пространство F, такие, что
E = TrJ(F).
Пусть Н— полный прообраз Н при естественном отображении G—>G.
Тогда //зэО0 и F — простое //-пространство. При действии G как
группы перестановок на множестве ^-подпространств [oF}0fO, как
мы знаем, Н есть подгруппа изотропии одного из элементов. Следо-
вательно, Н есть подгруппа изотропии в О при том же самом дей-
ствии. Снова применяя теорему 11, заключаем, что Е индуциро-
вано F, т. е.
E = Trg(F),
и тем самым теорема 13 доказана.
Следствие. Пусть G произведение р-группы и цикличе-
ской группы, k — алгебраически замкнутое поле, char k J( (G : 1).
Если Е — простое (G, k)-пространство и dimA Е > 1, то Е
индуцируется одномерным представлением некоторой подгруппы.
Доказательство. Применяем теорему шаг за шагом, исполь-
зуя транзитивность индуцированных представлений, пока не получим
одномерное представление некоторой подгруппы.
§ 10. Теорема Брауэра
Пусть k = С — поле комплексных чисел, R — некоторое подкольцо
в k. Мы будем иметь дело с кольцом XR(G), состоящим из всех
линейных комбинаций с коэффициентами в R простых характеров G
над k. (Это множество является кольцом в силу предложения 2 § 2.)
534
ГЛ. XVIII. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
Пусть Н = {//а) — фиксированное семейство подгрупп в G,
занумерованное индексами {а}, и VR(G)— аддитивная подгруппа
в XR(G), порожденная всеми функциями, которые индуцируются
функциями из XR(Hg) с На из нашего семейства. Другими словами,
Ул(О) = 2Тг"«(Хл(/7а)).
а
Мы могли бы также сказать, что V^(O)— подгруппа, порожденная
над R всеми характерами, индуцированными со всех На.
Лемма 1. V R(G) есть идеал в X#(G).
Доказательство. Это непосредственно вытекает из теоремы
Ю (ii) § 6.
Во многих приложениях семейство подгрупп будет состоять из
„элементарных" подгрупп. Пусть р — простое число. Под р-элемен-
тарной группой мы будем понимать произведение р-группы и ци-
клической группы (порядок которой может предполагаться взаимно
простым с р, поскольку мы можем включить /?-часть циклического
множителя в р-группу). Элемент о £ G называется р-регулярным,
если его период взаимно прост с р, и р-сингулярным, если его
период есть степень р. Каждый элемент x£G мы можем единствен-
ным образом представить в виде
X = от,
где элемент о /i-сингулярен, т /^-регулярен и о, т коммутируют.
Действительно, если ргт— период х, где т взаимно просто с р,
то 1 = v//-|-рт, откуда х = (xm)fl(хрГ)\ что и дает нам наше раз-
ложение. Оно, очевидно, единственно, так как множители лежат
в циклической подгруппе, порожденной х. Мы будем называть эти
два множителя р-сингулярным и р-регулярным множителями х
соответственно.
Предыдущее разложение показывает также, что имеет место
Предложение 17. Все подгруппы и факторгруппы р-элемен-
тарной группы р-элементарны. Если S — подгруппа р-злемен-
тарной группы Р Х.С, где Р —р-группа, а С — циклическая группа
взаимно простого с р порядка, то S = (S П Р) X (5 П С).
Доказательство. Очевидно.
Наша цель — показать среди прочего, что если семейство {/7а}
таково, что всякая р-элементарная подгруппа в G содержится
в некоторой На, то VR(G)= XR(G) для любого кольца R. Разу-
меется, это было бы достаточно сделать для R = 1, но для наших
целей необходимо сначала доказать этот результат, используя неко-
торое большее кольцо. Основной результат содержится в теоре-
§ 10. ТЕОРЕМА БРАУЭРА
535
мах 15 и 16, принадлежащих Брауэру. Мы дадим изложение
Брауэра — Тейта (Brauer R., Tate J., On the characters of finite
groups, Ann. of Math., 62 (1955), 1—7.)
Пусть R— кольцо Z[C], где £ — примитивный корень n-й сте-
пени из единицы. В R как Z-модуле имеется базис, а именно
1, £....где N—некоторое целое число. Это тривиальный
факт; мы можем взять в качестве N степень неприводимого многочлена
элемента £ над Q. У этого неприводимого многочлена старший коэф-
фициент равен 1 и все другие коэффициенты — целые числа, так что
тот факт, что
1, £....
образуют базис Z[£], вытекает из алгоритма Евклида. Больше ничего
об этой степени N нам знать не нужно.
Мы докажем наше утверждение сначала для только что введен-
ного кольца R. Остальное затем будет следовать из приводимой
ниже леммы.
Лемма 2. Если d£Z и постоянная функция d • 10 принад-
лежит V R, то d 10 принадлежит Уг.
Доказательство. Мы утверждаем, что 1, Z, .... линейно
независимы над Xz(G). Действительно, соотношение линейной зави-
симости давало бы
5 АГ-1
2 2 = °.
v=l у=0
где cVJ. — целые числа, не все равные 0. Но простые характеры
линейно независимы над k. Предыдущее же соотношение есть соот-
ношение между этими простыми характерами с коэффициентами в R,
и мы получаем противоречие. Мы заключаем поэтому, что
VR = Vz®V&® ...
есть прямая сумма (абелевых групп), и наша лемма доказана.
Если мы сможем доказать, что постоянная функция 1<? лежит
в Vr(G), то в силу леммы отсюда будет следовать, что она лежит
в Vz(G), и поскольку VZ(G)—идеал, Xz(G) — Vz(G).
Для доказательства нам потребуется ряд лемм.
Два элемента х, х' из G называются р-сопряженными, если их
р-регулярные множители сопряжены в обычном смысле. Ясно, что
р-сопряженность есть отношение эквивалентности; классы эквива-
лентности будут называться классами р-сопряженных элементов
или просто р-классами.
Лемма 3. Пусть f£XR(G), причем /(<j)£Z для всех o£G.
Тогда f постоянна по модулю р на каждом р-классе.
536
ГЛ. XVIII. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
Доказательство. Пусть х = ох, где элемент о р-сингуля-
рен, а т р-регулярен и о, т коммутируют. Достаточно доказать, что
/(х) = /(т) (modp).
Пусть Н— циклическая подгруппа, порожденная х. Тогда ограни-
чение f на Н может быть записано в виде
где a^R и ф•— простые характеры Н, т. е. гомоморфизмы Н в k*.
г Г рГ
Для некоторой степени рг мы имеем хр — хр, откуда фу (х) =
Г
= фу(т)₽ и, следовательно,
/(*)" е=/(т)р (mod $),
где '’Р — максимальный идеал в R, лежащий над р. А так как по
условию /(х), /(t)£Z и ’’PnZ —(р), то f (х)р ==f(x)p (mod р'.
Г
Остается заметить, что bp s/>(mod р) для любого целого числа р.
Лемма 4. Пусть т—р-регулярный элемент в G, Т—цикли-
ческая подгруппа, порожденная т, и С — подгруппа в G, состоя-
щая из всех элементов, коммутирующих с х. Пусть, далее, Р—
силовская р-подгруппа в С. Тогда существует элемент
ф £ XR (Т X Р), такой, что индуцированная функция f = ty* обла-
дает следующими свойствами-.
(1) /(O)€Z для всех o£G.
(2) /(о) = 0, если о не принадлежит p-классу элемента х.
(3) /(т) = (С:Р)=40 (modp).
Доказательство. Отметим прежде всего, что подгруппа в О,
порожденная Т и Р, является прямым произведением Т X Р- Пусть
•фр ..., фг — простые характеры циклической группы Т. Предполо-
жим, что они продолжены на Т X Р посредством композиции с про-
екцией
т х р -> т -> /г*.
Эти продолжения мы по-прежнему обозначаем через ф1......фг.
Положим
Ф = 2 Фу (Т) Фу
у=1
§ 10, ТЕОРЕМА БРАУЭРА
537
Соотношения ортогональности для простых характеров на Т пока-
зывают, что
ф (ту) = ф (т) = (Т : 1) для у е Л
ф(о) = 0, если о£ТР и о (£ хР.
Мы утверждаем, что ф* удовлетворяет нашим требованиям.
Прежде всего ясно, что ф лежит в XR(TP).
Для о £ О имеем
(о) = (ГР:1) р(о),
х g О
где р, (о)—число элементов х£О, таких, что хах~1 лежит в хР.
Число р(о) делится на (Р: 1), поскольку если элемент х из О пере-
водит о посредством сопряжения в хР, то тем же свойством обла-
дает всякий элемент из Рх. Следовательно, значения ф* лежат в Z.
Далее, ц (о) ф 0 только для р-сопряженного с т элемента о,
откуда вытекает наше условие (2).
Наконец, равенство хтх-1=ту с у£Р возможно только при
у = 1 (так как период х взаимно прост с р). Следовательно,
р(т) = (С: 1), откуда следует наше условие (3).
Лемма 5. Предположим, что семейство подгрупп {На} по-
крывает G (т. е. всякий элемент из О лежит в некоторой
подгруппе Н(1). Если f — функция классов на G, принимающая
значение в Z и такая, что все ее значения делятся на n=(G : 1),
то f принадлежит VR(G).
Доказательство. Пусть у— некоторый класс сопряженных
элементов и р взаимно просто с п. Всякий элемент из G р-регуля-
рен и все р-подгруппы в G тривиальны, так что в этом случае
р-сопряженность есть то же самое, что сопряженность. Применяя
лемму 4, мы найдем, что в VR(G) имеется функция, принимающая
значение 0 на элементах о^у и принимающая целочисленное значе-
ние, делящее п на элементах из у. Умножая эту функцию на неко-
торое целое число, мы найдем, что в V^(G) имеется функция, при-
нимающая значения п на всех элементах из у и значение 0 на всех
других элементах. Отсюда лемма следует непосредственно. -
Теорема 14 (Артин). Всякий характер группы G есть
линейная комбинация с рациональными коэффициентами характе-
ров, индуцированных с циклических подгрупп.
Доказательство. Пусть в лемме 5 {//„}—семейство цикли-
ческих подгрупп группы G. Постоянная функция п • 1о принадлежит
538
ГЛ. XVIII. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
VK(G). В силу леммы 2 эта функция принадлежит Vz(G), и, следо-
вательно, nXz(G) с: VZ(G). Таким образом,
Xz(O)c^-Vz(G),
что и доказывает теорему.
Лемма 6. Пусть р — простое число, и пусть всякая р-эле-
ментарная подгруппа группы G содержится в некоторой На.
Тогда существует функция f £V«(G), значения которой лежат
в Z м = 1 (mod рГ).
Доказательство. Применим леммы 3 и 4. Для всякого
p-класса у мы можем найти функцию из V^(G), значения кото-
рой равны 0 вне у и ф 0 mod р для элементов из у. Пусть
/= 2 гДе сумма берется по всем p-классам. Тогда f (о) ф 0 (mod р)
V ;
для всех o£G и р дает искомую функцию.
Лемма 7. Пусть р — простое число, и пусть всякая р-эле-
ментарная подгруппа группы G содержится в некоторой На.
Пусть, далее, п = порг, где п0 взаимно просто с р. Тогда по-
стоянная функция п0- 1g принадлежит V Z(G)-
Доказательство. В силу леммы 2 достаточно доказать, что
п0-1а принадлежит VR(G). Пусть f—функция из леммы 6. Тогда
по ^о = по(^с —
Так как все значения функции п0(1о— /) делятся на порг = п, то
эта функция лежит в V R(G), согласно лемме 5. С другой стороны,
nof^VR(G'), поскольку f£VR(G). Это доказывает нашу лемму.
Теорема 15 (Брауэр). Предположим, что для всякого
простого числа р любая р-элементарная подгруппа группы G
содержится в некоторой На. Тогда A'(G) = VZ(G). Всякий харак-
тер группы G есть линейная комбинация с целочисленными
коэффициентами характеров, индуцированных с подгрупп На.
Доказательство. Это непосредственное следствие леммы 7,
так как мы можем найти в VZ(O) функции п0 • 1о с п0, взаимно
простым с любым заданным простым числом.
Следствие. Функция классов f на G тогда и только тогда
принадлежит X (G), когда ее ограничение на На принадлежит
X (/7а) для каждого а.
§ 11. ПОЛЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
539
Доказательство. Предположим, что для каждого а огра-
ничение / на На есть характер на На. В силу теоремы мы можем
записать
1о = 2сатг"«ш.
а
где ca£Z и фа£ X (На). Следовательно,
а \ а/
согласно теореме 10 (ii) § 6. Поэтому если fH £Х(Н^, то / при-
надлежит X (G). Обратное, разумеется, тривиально.
Теорема 16 (Брауэр). Всякий характер на G есть линей-
ная комбинация с целочисленными коэффициентами характеров,
индуцированных одномерными характерами подгрупп.
Доказательство. В силу теоремы 15 и транзитивности инду-
цирования достаточно доказать, что всякий характер р-элементарной
группы обладает свойством, сформулированным в теореме. Но мы уже
доказали это в предыдущем параграфе (следствие теоремы 13).
§11. Поле определения представления
Пусть k — поле, О — группа и Е — ^-пространство. Предположим,
что имеется представление О на Е. Пусть k' — расширение поля k.
Тогда G действует на k' ® kE по правилу
о (a ® х) = а 0 ох
для а £ k' и х^Е. Это отображение возникает из билинейного ото-
бражения произведения k' X задаваемого соответствием
(а, х) ।—® ох.
Рассматривая E' — k'®hE как расширение Е посредством k', мы
получаем представление G на Е'.
Предложение 18. Пусть обозначения те же, что и выше.
Тогда характеры представлений группы G на Е и на Е' равны.
Доказательство. Пусть {tip ..., от} — базис Е над k. Тогда
{1 ® ........................1 ®fm}
— базис Е' над k'. Таким образом, матрицы, представляющие эле-
мент о из G относительно этих двух базисов, равны и, следова-
тельно. равны их следы.
540
ГЛ. XVIII. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
Обратно, пусть k' — поле и k—подполе. Представление Она
k'-пространстве Е' называется определимым над k, если существуют
^-пространство Е и представление О на Е, такие, что Е' О-изоморфно
k' ® kE.
Предложение 19. Пусть Е, F — пространства над k про-
стых представлений конечной группы G. Пусть k' — расшире-
ние k. Предположим, что Е, F не являются G-изо морфными.
Тогда никакая k'-простая компонента пространства Ek' не встре-
чается в разложении Fk' в прямую сумму k'-простых подпро-
странств.
Доказательство. Рассмотрим разложение
s (А)
Й[О] = П/?Ц(А)
Ц = 1
над k в прямую сумму простых колец. Не теряя общности, мы можем
предполагать, что Е, F—простые левые идеалы в k [О]: по предпо-
ложению они будут принадлежать различным множителям этого произ-
ведения. Если мы теперь возьмем тензорное произведение с k', то
получим не что иное, как k' [О]. Тем самым мы будем иметь раз-
ложение в прямое произведение над k'. Так как /?v (й) (&) = О
при v =£ р, то оно будет в действительности получаться разложением
в прямое произведение каждого множителя R^QT)
s (k) т (ц)
^[О] = П Пад*')-
Ц = 1 ( = 1
Пусть, скажем, E = LV и F ~ L^, где v р. Тогда R[lE = 0. Сле-
довательно, RniEk' — 0 для всякого 1 = 1, ..., /и(р). Отсюда выте-
кает, что никакая простая компонента в Ek' не может быть-G-изо-
морфна никакому из простых левых идеалов колец /?ц;, а это и дока-
зывает то, что нам было нужно.
Следствие, Простые характеры ............Xs(*) группы G
над k линейно независимы над любым расширением k' поля k.
Доказательство. Это тотчас вытекает из предложения и ли-
нейной независимости ^'-простых характеров над k'.
Предложения 18 и 19 являются по существу общими утвержде-
ниями совершенно абстрактной природы. В доказательстве следую-
щей теоремы используется теорема Брауэра.
Теорема 17 (Брауэр). Пусть О — конечная группа пока-
зателя т. Всякое представление G над полем комплексных чисел
(или над алгебраически замкнутым полем характеристики 0)
УПРАЖНЕНИЯ
541
определим над полем Q (Ст). где 'Qm— примитивный корень т-й
степени из единицы.
Доказательство. Пусть % — характер некоторого предста-
вления G над С, т. е. собственный характер. В силу теоремы 16 мы
можем записать
х=2<7^(ФА c^z-
где сумма берется по конечному числу подгрупп Sj и 'фу — одно-
мерный характер Sj. Ясно, что каждый характер фу определим над
Q (£т). Таким образом, определим над Q (£т) и индуцированный харак-
тер ф*. который может быть записан в виде
Ф*=2<МИ.
и
где {хц} — простые характеры О над Q (£т). Следовательно,
X — 2 ( 2 Хи-
Представление х в виде линейной комбинации простых характеров
над k единственно, и, следовательно, коэффициент
i
0. Это доказывает все, что нам было нужно.
УПРАЖНЕНИЯ
Первые упражнения посвящены соотношениям ортогональности для коэф-
фициентов матричных представлений. Эти соотношения являются несколько
более общими, чем соотношения для характеров. Доказательства не зависят
•от изложения, данного в тексте, и, следовательно, дают альтернативный под-
ход к получению тех же результатов, не зависящий от предыдущей главы.
Используются только лемма Шура и полная приводимость.
1. Пусть G — конечная группа, k — произвольное поле, Е, F — простые
(G, ^-пространства и Л — Л-линейный функционал на Е. Пусть х£Е и у£Л
Показать, что если Е, F неизоморфны, то
2 X (ох) а-1у = 0.
of О
\Указание'. для фиксированного у отображение xi—> Л (ох) о~’у является
47-гомоморфизмом Е в Л] В частности, для любого функционала ц на F
2 А(ах)н(а"1у)=0.
(J£G
2. Показать, что утверждение упражнения 1 можно применить к каждому
коэффициенту матричного представления группы G. В предположении, что
542
ГЛ. XVIII. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
k алгебраически замкнуто и имеет характеристику, не делящую порядок G,
вывести соотношение ортогональности (%, ф) = О для двух различных непри-
водимых характеров %, ф группы G над k, где скалярное произведение двух
функций /, g на G определяется формулой
</. = /(o)g'(a-1)-
ago
Как обычно, п обозначает порядок группы G.
3. Пусть k — алгебраически замкнутое поле и Е — простое (О, ^-про-
странство. Тогда любой G-эндоморфизм пространства Е равен скалярному
кратному тождественного. [Указание: тело End0 (Е) конечномерно над k
и, следовательно, совпадает с А.]
4. Пусть поле k алгебраически замкнуто, причем его характеристика не
делит порядок G, Е — векторное пространство размерности d над k.
(а) Пусть Z. — функционал на Е, £ и Endft (Е) — эндоморфизм,
для которого
Ч\, х (У) = А (у) х при всех у £ £.
Показать, что tr (<р^ = Z (х). [Указание: элемент л =# О дополнить до под-
ходящего базиса Е и вычислить след относительно этого базиса.]
(б) Пусть р: Е -> Autfcfi — простое представление группы G, и пусть х,
у £Е. Тогда характеристика поля k не делит d и
JJz(ax) о-'у = -1д,(у) х.
Указание: для фиксированного у отображение
Xi—> к(ах)с1~1у
есть G-гомоморфизм пространства Е в себя; следовательно, оно имеет вид с!
для некоторого с £ k. В действительности оно равно
2 a-'oq> оа.
afG
Для простоты мы написали а вместо р (а). След этого выражения равен,
с одной стороны, n tr ), с другой стороны, de. Выберем Л, у так, чтобы
Z (У) = 1- Это показывает, что характеристика не делит d, и, значит, с можно
выразить требуемым образом.]
(в) Если Л, ц — функционалы на £, то
Л (ах) ц (а“ !у) = К (у) ц (х).
5. (а) Пусть % — характер представления нз упражнения 4. Показать, что
(X, %) = 1. [Указание: рассматривая р как матричное представление, имеем
% = Рн + • • + Р<м-]
В частности, если Xi> .... x..s— простые характеры и если положить
di V / ч — 1
ei = ~^ 2jzi(a)a '
a£G
ТО х; (ei) = bijdt.
УПРАЖНЕНИЯ
543
(б) Считая известным, что %reg (а) = 0 для о =f= 1 и %reg (1) == п, пока-
зать, что %reg = г/Др где — размерность %г. [Указание: записать
%eg = и вычислить скалярное произведение с пользуясь соот-
ношениями ортогональности, а также определениями.] Значения характера
регулярного представления очевидны.
(в) Показать, что каждый элемент ei может быть представлен в виде
суммы классов сопряженных элементов с коэффициентами в k и, следова-
тельно, лежит в центре алгебры k [О].
(г) Пусть Е. — любое пространство представления для Х| 11 Р, — соответ-
ствующее представление G (или k [О]) на £/. Для а££[£?] пусть
р. (а): Е. -> Е.— такое отображение, что рг (а) х = ах для ecexx^ZL. Пока-
зать, что р. (г;) = id и что рг (гр = 0 при i ф j. [Указание: отображение
х f—> etx в силу (в) есть G-гомоморфизм Ej в себя , и поэтому в соответ-
ствии с упражнением 3 является скалярным кратным тождественного. Если
взять след и использовать соотношения ортогональности между простыми
характерами, то, как тривиально вычисляется, это кратное равно соответ-
ственно 1 или 0.]
(д) Показать, что ej — l.
г = 1
(е) Пусть а лежит в центре k [G]. Тогда для любого I автоморфизм р; (а)
является кратным тождественного на скажем
р.(а) = сЛ(гр = сг/й£/, c.^k.
Вывести отсюда, что а = схех cses и что, следовательно, центр Z^ [G]
групповой алгебры k [G] над k имеет размерность точно у. В частности,
имеется точно s классов сопряженных элементов уь ..., у4, которые также
образуют базис центра Zj [G], [Указание: линейная комбинация ctel-[- ...
... 4-cses действует на каждом £,• так же, как и а. Поскольку k [G] изо-
морфна прямой сумме JJ diEi, отсюда вытекает, что а равно этой линейной
комбинации.] 1
6. Пусть /—функция классов. Показать, что
/=2</. Xz)Xr
<=1
Для двух функций классов /, g вывести формулу Планшереля, а именно
</. g) = 2 (/ <хг
1=1
7. Пусть р(п обозначает представление унитарными матрицами на £z
и пусть р^ — коэффициенты этих матриц, рассматриваемые как функции
на G (г = 1, ..., s и v, ц= 1, ..., dz). Показать, что эти функции [р^] обра-
зуют ортогональный базис относительно эрмитовой метрики пространства
функций на G и что, следовательно, для любой функции f (не обязательно
функции классов) мы имеем
/ = 1 V, и
544
ГЛ. XVIII. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
8. Следующий формализм аналогичен артиновскому формализму /.-рядов
в теории чисел. (См. работу Артина „Zur Theorie der L-Reihen mit allgemei-
nen Oruppencharakteren” (А г t i n E., Collected papers, 1965), а также LangS.,
L-series of a covering, Proc. Nat. Acad. Set. USA, 1956.)
Мы рассматриваем некоторую категорию с объектами {//}. Как обычно,
мы говорим, что конечная группа G действует на U, если задан гомомор-
физм р: G -> Aut (U). При этом мы говорим, что U есть G-объект, а также,
что р есть представление G на U. Мы говорим, что G действует тривиально,
если р (G) = id. Для простоты мы будем опускать р в обозначениях. Под
G-морфизмом /: U -> V между G-объектами понимают такой морфизм, что
foa = oof для всех oQG.
Мы будем предполагать, что для всякого G-объекта U существует
объект G/G, на котором G действует тривиально, и G-морфизм Q: U->U/G,
обладающий следующим универсальным свойством. Для всякого G-морфизма
U -> V, где V — G-объект, на котором G действует тривиально, существует
однозначно определенный морфизм U^G->V, такой, что следующая диа-
грамма коммутативна:
U -> U/G
V
Тогда если /: U ->U' — произвольный G-морфизм, то существует однозначно
определенный морфизм //G: U)G ->U'/G, для которого коммутативна сле-
дующая диаграмма:
U—f—+U'
U/G-^-> U'/G
Показать, в частности, что е'сли И — нормальная подгруппа в G, то G/7/
естественным образом действует на U'H.
Пусть k — алгебраически замкнутое поле характеристики 0. Предполо-
жим, что задан некоторый функтор Е из нашей категории в категорию
конечномерных ^-пространств. Если U — объект из нашей категории и
f : U ->U' — некоторый морфизм, то получаем гомоморфизм
£(/) = /,.: E(U)->E(U').
(Читатель может иметь в виду частный случай, когда мы имеем дело
с категорией подходящих топологических пространств, а Е — гомологиче-
ский функтор некоторой данной размерности.)
Если G действует на U, то в силу функториальности мы получаем дей-
ствие G на Е (//).
Пусть U — некоторый G-объект, F: U ->U — G-морфизм и Рр (/) =
— JJ (t— а/) — характеристический многочлен линейного отображения
F*. Е (U) -> Е (U). Положим
и будем называть это выражение дзета-функцией F. Если F — тождествен-
ный морфизм, то Z/7(Z) = (1 — t}BIL!>, где В (U) обозначает dimft Е (U).
Пусть % — простой характер группы G, d% — размерность простого пред-
ставления группы G, принадлежащего х> и л = (G: 1). Определим линейное
УПРАЖНЕНИЯ
545
отображение на Е (U), положив
Xi
z(a-1)a*-
о£О
Показать, что e% — e% и что для любого положительного целого числа ц
имеет место равенство (еу о Fj'L = о F*.
Пусть (/) = JJ (t — (%)) — характеристический многочлен отобра-
жения e^oF,.. Полагаем
LF(t, х, ^/С)=П(1-₽7^0-
Показать, что логарифмическая производная этой функции равна
СО
м-1
Определяем Lp(t, у,, U/G) для произвольных характеров по линейности.
Если V=U/G, то, допуская вольность в обозначениях, мы будем также
писать L р (t, %. U/V). Тогда для любых х. 7/ имеем по определению
LP (F Х+ Z'. U/V) = Lp (t, x, U/V) Lp (t, x', U/V).
Сделаем одно дополнительное предположение.
Предположим, что характеристический многочлен отображения
равен характеристическому многочлену F/G на E(U/G). Доказать сле-
дующие утверждения:
(а) Если G = {1), то
Lp (t, 1, U/U) = Zp (t).
(б) Пусть f=F,G. Тогда
Lp(t, 1, U/V) = Zf(t).
(в) Пусть H — подгруппа в О и ф — некоторый характер Н. Пусть, далее,
W = U/Н и ф*— индуцированный характер с Н на G. Тогда
Lp (t, ф, U/W) = Lp (t, ф*, U/V).
(г) Пусть подгруппа Н нормальна в G. Тогда G/Н действует на U/Н ~ W.
Пусть ф — некоторый характер G/H, % — характер G, получаемый компози-
цией ф с каноническим отображением G -> G/Н, и <р = F/H — морфизм, инду-
цированный на U/H=W. Тогда
L* (t, ф, W/V) = Lp (t, х, U/V).
(д) Показать, что если V — U/G и В (К) = diirij, Е (V), то (1—t)Bl-v^
делит (1 — t)B (t/\ Использовать регулярный характер для получения разло-
жения (1 — t)B в произведение.
Добавление
Трансцендентность е и л
В приводимом ниже доказательстве мы следуем классическому
методу Гельфонда и Шнейдера, надлежащим образом сформулирован-
ному. Этот метод основывается на теореме о значениях функций,
удовлетворяющих дифференциальным уравнениям. Уже давно было
понято, что такие значения подчинены некоторым жестким ограни-
чениям. Здесь мы имеем дело с самым общим алгебраическим диф-
ференциальным уравнением. Литература на эту тему все еще не богата,
и большую ее часть читатель найдет в следующих монографиях:
Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа,
Гостехиздат, 1952.
Schneider Т., Enfiihrung in die transcendenten Zahlen, Springer,
Berlin, 1957.
Siegel C. L., Transcendental numbers, Ann. Math. Studies,
Princeton, 1949.
Lang S., Introduction to transcendental numbers, Addison — Wes-
ley Publ. Company, 1966.
Приложения и обобщения теоремы, сформулированной в этом доба-
влении, можно найти в двух моих статьях: Transcendental points on
group varieties, Topology, 2, (1963), 313—318, и Algebraic values of
meromorphic functions, Topology, 3, (1965), 183—191.
Мы будем предполагать, что читатель знаком с элементарными
фактами, касающимися функций комплексного переменного. Пусть f —
целая функция (т. е. функция, голоморфная на комплексной плоскости).
Мы будем говорить, что f имеет порядок если существует число
С> 1, такое, что для всех достаточно больших R при | z | <1 R имеет
место неравенство
I f (2) | < С«р.
О мероморфной функции говорят, что она имеет порядок <^р, если
она является отношением целых функций порядка <Ср.
Теорема. Пусть К — конечное расширение поля рациональных
чисел, fv .... fN — мера морфные функции порядка <^р. Предпо-
ложим, что поле К (j\.....fN) имеет степень трансцендент-
ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТЬ е И Л
547
ности 2 над К и что дифференцирование D = dfdz отображает
кольцо К [/Р .... fN\ в себя. Пусть ........ wm — различные
комплексные числа, среди которых нет полюсов функций fit
такие, что
для всех 1—1......N и v=l, .... т. Тогда т<10 р [Ад Q],
Следствие 1 (Эрмит — Линдеман). Если а — алгебраи-
ческое число (над Q), причем а=£0, то еа трансцендентно. В част-
ности, трансцендентно число л.
Доказательство. Допустим, что числа а и еа—алгебраические.
Положим К — Q (а, еа). Две функции z и ez алгебраически незави-
симы над К (тривиально), и кольцо К [z, ez], очевидно, отобража-
ется в себя при дифференцировании. Наши функции принимают алгеб-
раические значения из К в точках а, 2а...та для любого т —
противоречие. Так как е2л/ = 1, то число 2л/ трансцендентно.
Следствие 2. (Гельфонд — Шнейдер). Если а — алгеб-
раическое число #=0, 1 и если р— алгебраическое иррациональное
число, то аР = еР|ога трансцендентно.
Доказательство. Рассуждаем, как в следствии 1, рассмат-
ривая функции е& и et, которые алгебраически независимы, поскольку р
предполагается иррациональным. Чтобы получить противоречие, как
и в следствии 1, берем точки log а, 2 log а.m log а.
Прежде чем приводить основные рассуждения, доказывающие тео-
рему, мы сформулируем несколько лемм. Первые две, принадлежащие
Зигелю, относятся к целочисленным решениям линейных однородных
уравнений.
Лемма 1. Пусть
а11х1 + • • • + аХпХп — О-
Н- . .. + агпхп = О
— система линейных уравнений с целочисленными коэффициентами
atj, причем п~> г. Пусть А — такое число, что | | А для
всех I, j. Тогда существует целочисленное нетривиальное реше-
ние, для которого
| К 2 (пА)~Г.
Доказательство. Рассматриваем нашу систему линейных урав-
нений как линейное уравнение L(X) = 0, где L — линейное отобра-
жение >Z(n), определяемое матрицей из заданных коэффициентов.
Для всякого положительного числа В обозначим через Z(z,)(B) мно-
548
ДОБАВЛЕНИЕ
жество таких векторов X из что | X | В (где I X | — максимум
абсолютных значений коэффициентов вектора X). Тогда L отобра-
жает Z<n)(B) в Z<r) (пВА). Число элементов в Z<n)(B) равно (2В-\-\}п-
Найдем значение В, для которого существуют два различных эле-
мента X, Y из Z(n) (В), имекйцих один и тот же образ L(X)~L(Y).
Для этого достаточно, чтобы выполнялось неравенство (2B-j-l)n>
> (2.пВА -ф- 1)г, и, таким образом, достаточно, чтобы В = («А)г^п-0.
Берем X — Y в качестве решения нашей задачи.
Пусть К — конечное расширение поля Q и I к — целое замыкание
Z в К. Из упражнения 6 гл. IX мы знаем, что 1К — свободный модуль
над Z размерности [ЛГ: Q]. Мы считаем поле К содержащимся в поле
комплексных чисел. Если а £ К, то сопряженным с а будет элемент оа,
где о—некоторое вложение К в С. Под размером size(Al) некото-
рого множества М элементов из К мы будем понимать максимум
абсолютных величин всех сопряженных с этими элементами.
Под размером size(X) вектора Х = (хх, ..., х;!) мы будем
понимать размер множества его координат.
Пусть (Oj......0)д[—базис модуля I к над Z, и пусть а^/^;
запишем
а = «!<»[ + ама>м
Пусть со', . . ., — дуальный базис к (Op ..., относительно следа.
Тогда мы можем выразить коэффициенты (Фурье) элемента а
в виде следов
а . = Тг (асо'.).
След — это сумма по сопряженным. Следовательно, размер этих коэф-
фициентов ограничен размером а, умноженным на фиксированную
константу, зависящую от размера элементов
Лемма 2. Пусть К — конечное расширение поля Q и
аих1 + • • • + (СЛ = О-
аг1%1 + • • • + агпхп =
— система линейных уравнений с коэффициентами в I к, причем
п>г. Пусть, далее, А — такое число, что size (аг?)<^ А для всех i, j.
Тогда существует нетривиальное решение X из Iк, для которого
size (X) С] (С2пА)г/(а~г\
где Ср С2—некоторые константы, зависящие только от К.
Доказательство. Пусть Wj........... <i>lf — базис /к над Z.
Каждая компонента Xj может быть записана в виде
х j — + • • • +
ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТЬ е И Л
549
где —неизвестные, а каждый коэффициент aZ;-— в виде
а<7 — + • • +а/лмЧм’
где Если мы перемножим а ,7х;, то найдем, что наши ли-
нейные уравнения с коэффициентами из Iк эквивалентны системе
из гМ линейных уравнений от пМ неизвестных с коэффициен-
тами в Z, размеры которых ограничены константой СА, где С —
число, зависящее только от размера элементов свх и произведений
другими словами, С зависит только от К. Применяя лемму 1,
мы получаем решение в терминах и, следовательно, решение X
из I к, размер которого удовлетворяет нужной оценке.
Следующая лемма касается оценок производных. Под размером
size (Р) многочлена Р с коэффициентами в К мы будем понимать
размер множества его коэффициентов. Знаменателем для некоторого
множества элементов из К будет любое положительное целое рацио-
нальное число, произведение которого со всяким элементом из этого
множества является целым алгебраическим числом. Аналогичным обра-
зом мы определяем знаменатель для многочлена с коэффициентами в К.
Сокращенно мы обозначаем „знаменатель" через den.
Пусть
/’(7’1, .... TN) — 2ot(V)Af(V)(7')
— многочлен с комплексными коэффициентами и
<2(7',1 ..., TN) — 2£(v)M(v)(7’)
— многочлен с вещественными коэффициентами ^0. Мы будем гово-
рить, что Р до минируете я многочленом Q, если | a(V) | P(V; для
всех (v). Непосредственно проверяется, что отношение доминирования
сохраняется при сложении, умножении и взятии частных производных
по переменным 7'1.....TN.
Лемма 3. Пусть К — поле конечной степени над Q и /р . . .
•••’ /n— функции, голоморфные в некоторой окрестности точки
причем D — d/dz отображает кольцо К [fx............fN\ в себя.
Предположим также, что fi(w)£K для всех i. Тогда сущест-
вует целое число Ср обладающее следующим свойством. Пусть
Р(7\, ..., Т N)—многочлен степени г с коэффициентами в К,
и пусть f = P{fl......//V). Тогда для всех положительных це-
лых чисел k будем иметь
size (Dkf (w)) size (Р) rkk 1 Ck+r.
Кроме того, для Dkf(w) найдется знаменатель, ограниченный
величиной den(Р) Cf+r.
550
ДОБАВЛЕНИЕ
Доказательство. Существуют многочлены Pi(Tv ..., TN)
с коэффициентами в К, такие, что
Dft = Pdfv .... fN)-
Пусть h — максимум их степеней. На ..........Гд,] -имеется един-
ственное дифференцирование D, такое, что DTi — Р1(Т1......TN).
Для любого многочлена Р имеем
_ N
D (Р (7\....TN)) = 2 (£>гР) (7\......TN) • Р( (7\....TN),
i = l
где Dx.....Dn — частные производные. Многочлен Р доминируете»
многочленом
size(/’)(14-7'14-...+7'X
и каждый Pi доминируется многочленом size (Р^ (1 -ф- 7\ -ф- ... -ф- TN)1'.
Таким образом, DP доминируется многочленом
size (Р) C2r (1 4- Tj -ф- ... -ф- TN)r+l1.
По индукции находим, что DkP доминируется многочленом
size (Р) Ck3rkk! (1 _ф. 1\ 4- ... + TN)r+kh.
Подставляя вместо 7\ значения (w), получим искомую оценку
для Dkf(w). Второе утверждение, касающееся знаменателей, также
доказывается тривиальной индукцией.
Теперь мы переходим к основной части доказательства нашей
теоремы. Пусть /, g—две функции из /р ..., fN, алгебраически
независимые над К, г — положительное целое число, делящееся на 2m.
В конце доказательства мы устремим г к бесконечности.
Пусть
I, /=1
имеет коэффициенты из К. Положим n = r2/2m. Можно выбрать О'
так, чтобы они не все равнялись 0 и чтобы
DkF СО = 0
для 0<А<п и v= 1, ..., ш. Действительно, мы должны решить
систему из тп линейных уравнений от r2 = 2mn неизвестных. Заме-
тим, что
тп _____j
2тп — тп
Умножим эти уравнения на знаменатель для коэффициентов. Исполь-
зуя лемму 2 и оценку из леммы 3, мы можем на сам'ом деле взять
в качестве целые алгебраические числа, размер которых ограничен
ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТЬ е и я
551
величиной
О (r"n (пп)
при и—>со.
Так как /, g алгебраически независимы над К, то наша функция F
не равна тождественно нулю. Пусть $ — наименьшее целое число,
такое, что все производные от F вплоть до порядка s—1 обраща-
ются в нуль во всех точках w1........wm, но DSF не обращается
в нуль в одной из точек w, например в ®г Тогда s^-п. Положим
y = DsF(w1)^0.
Тогда у есть элемент из К и в силу леммы 3 имеет знаменатель,
ограниченный величиной O(Cf) при s->oo. Пусть с — этот знаме-
натель. Норма элемента су из К в Q есть тогда некоторое ненуле-
вое целое рациональное число. Всякий сопряженный с су элемент
ограничен величиной О($5у). Следовательно, мы получаем
1 < I A/q(cy) | < О (s5^®1-11 у (1)
где | у | — фиксированное абсолютное значение | у |, которое сейчас
будет оценено сверху с помощью глобальных соображений.
Пусть 0 — целая функция порядка <СР, такая, что функции 0/
и 0£ — целые, причем 0('гс'1)^О. Тогда 82rF—целая функция. Рас-
смотрим целую функцию
H(z) =
V=1
Число Н (Wj) отличается от DsF(w^) очевидным множителем, огра-
ниченным числом C4S!. В силу принципа максимума модуля его абсо-
лютное значение ограничено максимумом Н на окружности большого
радиуса R. Если мы возьмем R достаточно большим, то разности
z — wv будут иметь абсолютные значения, приблизительно равные R,
и, следовательно, на окружности радиуса R функция Н (z) будет
ограничена по абсолютной величине выражением вида
s3sc2r«P
Rms
Возьмем /? = s1/2p. Тогда получим оценку
Sms/2p
Пусть теперь г стремится к бесконечности. Тогда п и s также стре-
мятся к бесконечности. Комбинируя последнее неравенство с нера-
венством (1), мы получаем искомую оценку для т. Это завершает
доказательство.
552
ДОБАВЛЕНИЕ
Разумеется, мы не заботились особенно о степенях s, встречаю-
щихся в оценках, и число 10 может быть, очевидно, уменьшено, если
проявить несколько большее внимание к оценкам.
Теорема, которую мы доказали, должна быть лишь простейшим
результатом в далеко идущей теории, касающейся проблем степени
трансцендентности. В некотором смысле, если не делается дополни-
тельных предположений, эта теорема является наилучшей возможной.
Например, если P(f)— многочлен с целыми коэффициентами, то
будет принимать значение 1 во всех корнях Р, которые являются
алгебраическими числами. Далее, функции
, , ,2 ,п
t, ег, е‘....е‘
алгебраически независимы, но принимают значения в Q (е) для всех
целочисленных значений t.
Однако можно ожидать, что справедливы значительно более силь-
ные результаты об алгебраической независимости. Линдеман доказал,
что если, И]....ап — алгебраические числа, линейно независимые
над Q, то
еа>....еа»
алгебраически независимы.
. Более общо, Шенуэл высказал следующую гипотезу. Если cq, .. .
.. ., — комплексные числа, линейно независимые над Q, то степень
трансцендентности множества
аг.....ап, .........
должна быть >-«. (Может быть, необходимо наложить какие-то
незначительные ограничения на числа аР .... ал, которые, однако,
никак не будут влиять на приложения, поскольку все классические
числа будут допустимыми.)
Из этого результата можно было бы тотчас вывести алгебраи-
ческую независимость е и л (рассмотрев 1, 2лг, е, е2л‘), а также все
другие утверждения о независимости, касающиеся обычной экспонен-
циальной функции и логарифма, которые, чувствуется, должны быть
справедливы,’ например, утверждение, что л не может лежать в поле,
полученном присоединением к алгебраическим числам значений экспо-
ненциальной функции, взятием алгебраического замыкания и итериро-
ванием этих двух операций. Такие утверждения относятся к значениям
экспоненциальной функции, лежащим в некоторых полях степени
трансцендентности < п, и можно надеяться, что путем соответствую-
щего углубления теоремы 1 желаемые результаты будут достигнуты.
УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютное значение 322
--- р-адическое 323
— — неархимедово 322
— — тривиальное 322
Абсолютные значения зависимые 322
— — независимые 322
Абстрактная чепуха 126
Автоморфизм 23, 40
— гильбертов 428
— пары 381
— формы 389
р-адические числа 348
---целые 348
р-адическое разложение 348
--- многочлена 148
Алгебра 127
— внешняя 474
— групповая 130
• — знакопеременная 474
— Клиффорда 411
— конечно порожденная 127
— Ли 393
— многочленов 132
— моноидная 130
— некоммутативных многочленов 471
— свободная 127
— симметрическая 477
— тензорная 470
Алгебраическая независимость 133, 138
Алгебраически зависимые гомомор-
физмы 256
— независимые гомоморфизмы 259
— — множества 297
Алгебраический элемент 185
Алгебраическое замыкание поля 197
Алгоритм Евклида 141
Аннулятор 174
Антимодуль 388
Аппроксимационная теорема Арти-
на—Уэплза 324
Ассоциативность 17
Ассоциированный (об идеале) 290
Базис группы 58
— дуальный 109
Базис модуля 103
— ортогональный 397
— ортонормальный 409, 419
— трансцендентности 287
— — сепарирующий 298
Башня абелева 31
— нормальная 31
— подгрупп 31
— полей 187
— циклическая 31
Бесконечно большой 308
— малый 308
Бесконечный в точке элемент 339
Блок 431
Вектор Витта 264
Векторное пространство 105
— — конечномерное 106
Вес многочлена 155
— одночлена 155
Вещественное замыкание поля 310
Взаимно простые элементы 91
Вложение 24
— колец 78
— полей 191
Внешнее произведение 474
Внешняя алгебра 474
Встречается 138
Высота рационального числа 165
Гильбертово пространство 428
Гиперболическая пара 402, 415
— плоскость 402, 415
Гиперболическое пространство 402,.
415
— —• нулевое 415
— расширение 406
Гипотеза Шенуэла 552
Гомология 116 ,
Гомоморфизм главный 174
— группы 22
— канонический 51
— кольцевой 76
— локально нильпотентный 174
554
УКАЗАТЕЛЬ
Гомоморфизм модулей 94
— моноидов 22
•— нулевой 94
— целый 272
G-гомоморфизм 479
Граница 116
Группа 21
— абелева 18
— — конечно порожденная 61
— — свободная 57
— алгебраическая 393
— без кручения 65
— вещественная унитарная 382
— Витта 407
— Витта—Гротендика 408
- Галуа 217, 219
— — многочлена 227
— гомологий 116
— Гротендика 58
• — дуальная 66
— единиц кольца 73
— знакопеременная 392
— знакопеременной формы 392
— значений 337
— изотропии 35
— инерции 280
— кватернионная унитарная 392
— когомологий группы 255
— комплексная унитарная 392
— конечно порожденная 49
— обратимых элементов кольца 73
— определенная образующими и со-
отношениями 52
Группа ортогональная 392
— периодическая 70
— проконечная 264
— простая 124
— разложения 277
— разрешимая 32
— сверхразрешимая 530
— свободная 47
— — от кручения 65
•--сп образующими 51
— симметрическая 70
— симплектическая 392
— специальная 393
— типа (рГ' ..., Р s) 62
— унитарная 392
— циклическая 25
— Эйлера — Гротендика 121
— р-элементарная 534
р-группа 36
Групповой объект 44
Двойственность 378
Действие 32, 41
Действует 504
— тривиально 505
Делит 90
Делитель нуля 79
Дзета-функция 544
Диаграмма 11
— коммутативная 12
Дискриминант 157
Дистрибутивность 73
Дифференцирование 301
— поля над подполем 302
— тривиальное 302
Длина замкнутого комплекса 114
— модуля 125, 491
— фильтрации 125
Доминируется 549
Дуальное пространство 108
Единица 73
— левая 21
— правая 21
Единичный элемент 17
Жорданова каноническая форма 445
Закон взаимности Фробениуса 521
— композиции 17
— сокращения 59
Замкнутое подмножество спектра 292
Замкнутость относительно закона
композиции 20
Знак перестановки 70
Знакопеременная алгебра 474
Знакопеременное произведение 475
Знаменатель 549
Идеал 75
— ассоциированный с модулем 175
— главный 75
— двусторонний 75
— левый 75
— максимальный 80
— однородный 475
— правый 75
— простой 80
— — изолированный 178, 496
— соответствующий примарному под-
модулю 177
Идеалы изоморфные 496
Идемпотентный элемент 498
Изометрия 399
Изоморфизм 11, 22, 40
Инвариант 443
УКАЗАТЕЛЬ
555-
Инвариант матрицы 443
— модуля 439
— пары 443
— подмодуля 441
— полиномиальный 443
Индекс подгруппы 24
Индуцированная функция 521
Категория 39
— абелева 122
— аддитивная 121
Квадратичный символ 236
Кватернионы 394
Китайская теорема об остатках 82
Класс вычетов по модулю 78
— сопряженных элементов 512
р-класс 535
Когомологии Галуа 255
Кограница 255
Кольцо 73
— артиново 502
— главных идеалов 75
— Гротендика 480
— классов вычетов 78
— коммутативное 74
— конечно порожденное 77
— локальное 88
— многочленов 132
— нётерово 168
— нормирования 308, 338
— — определенное упорядочением
309
— отношений 85
— полупростое 496
— простое 85, 497
— с делением 73
— целое 270
— целозамкнутое 272
— целостное 79
— целостности 79
— целых чисел по модулю 81
— факториальное 89
— частных 85
— Эйлера — Гротендика 478
— G-градуированное 470
Коммутативность 18
Комплекс ацикличный 120
— замкнутый 114
— открытый 114
Комплексификация 424
Композит 187
Композиция отображений 11
Компоненты матрицы 361
•--диагональные 362
Конечный в точке элемент 339
Копроизведение 46
Корень из единицы 145, 232
------ — первообразный 145, 232
-------примитивный 145, 232
— многочлена 142
---кратный 153
— простой 204
Коцикл 255
Коэффициент линейной комбинации
100
— матрицы 361
— многочлена 132
— Фурье 519
Коядро 122
Кратность 491, 509
— корня 153
Критерий Маклейна 300
— Эйзенштейна 151
2-кручение 399
Лежит над 274, 342
Лемма Гаусса 149
— Накаямы 273
— о бабочке 122
— Цассенхауза 122
— Цорна 13
— Шура 490
Линейная комбинация 99
— независимость 100
Линейно независимые функции 237
Локальная норма 335
— степень 333
— униформизация 355
Локальный параметр 347
— след 335
Максимальное архимедово 308
Максимальный элемент 13
Матрица 361
— ассоциированная с линейным ото-
бражением 368
---с формой 384
— знакопеременная стандартная
416
— квадратная 362
— кососимметрическая 386
— нильпотентная 445
— обратная 375
— симметрическая 386
— транспонированная 362
— эрмитова 391
Многообразие 292
Многочлен 131
— аддитивный 257
— круговой 235
556
УКАЗАТЕЛЬ
Многочлен минимальный 442
— однородный 140
— от нескольких переменных 140
— редуцированный 144
— сепарабельный 204
— симметрический 155
— — элементарный 155
— характеристический 446
Множество алгебраическое 289
— индексов 12
— индуктивно упорядоченное 13
— линейно упорядоченное 13
— направленное 71
— ^-неприводимое 291
— образующих 23
— совершенно упорядоченное 13
— упорядоченное 13
— частично упорядоченное 13
G-множество 33
Модуль 93
— без кручения 433
— бесконечный циклический 433
— главный 100, 430
— градуированный 115
— дуальный 379
— индуцированный 523
— инъективный 113
— конечно порожденный 100
— конечного типа 100
— конечной длины 125
— левый 93
— не имеющий 2-кручения 399
— нётеров 166
— образующий 501
— однозначно делимый на 2 400
— периодический 433
— полупростой 493
— правый 93
— проективный 112
— сбалансированный 501
— свободный ЮЗ
— типа (р ’, ..., р s) 435
— точный 268, 495
— циклический 435
G-модуль 478, 505
(G, k)-модуль 478
Моноид 17
— абелев 18
— коммутативный 18
Мономорфизм 11
Морфизм 39
— градуированный 115
— комплексов 114
— G-множеств 34
Мультипликативно независимые эле-
менты 262
Наибольший общий делитель 90
Наименьшее общее кратное 91
Независимые некоммутативные пе-
ременные 472
— переменные 136
— элементы модуля 436
Неподвижное поле группы 219
Неприводимый элемент кольца 89
Неравенство треугольника 410, 420
— Шварца 410, 420
Несепарабельная степень 206
Нильпотентный элемент 173
Нильрадикал 173
Н. о. д 90
Н. о. к. 91
Норма 239, 327
— эндоморфизма 427
Нормализатор 28
Нормирование 322, 337
— дискретное 345, 346
— тривиальное 337
Нулевой элемент 17
Нуль многочлена 142
— множества многочленов 219
— порядка г 347
Нуль-пространство 405
Область 79
— целостности 79
Оболочка комплексная 424
Образ 11
Образующая 23, 48, 100
— группы 26
— идеала 76
— кольцевая 77
— свободная 51
Образующие и соотношения 52
Обратный предел 71
— элемент 21
---левый 21
G-объект 41
Ограничение отображения И
Однородный элемент степени 470
Одночлен 138
— примитивный 131
Одночлены некоммутативные 472
Определитель 370
— линейного отображения 377
Орбита 35
Ортогонализация Грама — Шмидта
411
Ортогональная сумма 397
Ортогональный 68
Открытое подмножество спектра 292
Отмеченный класс 189, 270
Относительный инвариант 262
указатель
557
Отношение Эрбрана 71
Отображение антилинейное 388
— биективное 11
— билинейное 68, 110
------ ассоциированное с квадратич-
ным 400
— индуцирования 521
— инъективное 11
— каноническое 28, 130
— квадратичное 399
— — однородное 400
— линейное 94
• — — ассоциированное с квадратич-
ным 400
• — — метрическое 399
— п-линейное 369
— r-линейное каноническое 473
— ограничения 520
— полилинейное 369
------знакопеременное 369
— полулинейное 388
— редукции 466
— самосопряженное 421
— симметрическое 423
— сопряженное 381
-----относительно формы 421
— сюръективное 11
— Эйлера — Пуанкаре 118
— эрмитово 421
Отрицательный элемент 307
Перестановка 22
Период 26, 435
— бесконечный 26
Периодический элемент 61, 433
Перпендикулярный 68
Подгруппа 22
— замкнутая 222
— инвариантная 27
— кручения 61
— нормальная 27
— силовская 36
— стационарная 35
— тривиальная 22
Подкольцо 74
Подмножество мультипликативное 85
— собственное 11
Подмодуль 93
— инвариантный 427
— кручения 433
— примарный 177
— принадлежащий идеалу 177
р-подмодуль 435
Подмоноид 20
Подполе максимальное архимедово
308
Подпространство G-инвариантное 495-
Подъем расширения 189
Показатель группы 26
— модуля 435
— элемента 26
Поле 74
— алгебраическое замкнутое 194
— архимедово 308
— вещественно замкнутое 309
— вещественное 309
— группы неподвижное 219
— инвариантов группы 219
— инерции 280
— конечное 208
— определения представления 539-
— отношений 87
— полное 325
— простое 85
— разложения 198, 199, 277
— совершенное 217
— частных 87
— числовое 284
Положительный элемент 307
Полупростота 488
Полюс порядка г 347
Поляризационное тождество 420
Пополнение 327
Порождает 23, 49
Порожденный 100
Порядок 26, 347
— группы 24
— класса 514
— матрицы 362
— элемента а в р 91, 148
Последовательность Коши 325
— Штурма 312
Постоянный член многочлена 139
Почти все 19
Правило Крамера 370
Правильно определено 13
Представитель смежного класса 24
Представление 427, 478
— вполне приводимое 430
— главное 430
— группы 33
— индуцированное 523
— неприводимое 427
— определимое над k 540
— полупростое 430
— простое 427
— регулярное 514
— точное 504
— тривиальное 505
Представления изоморфные 507
Призрачные компоненты 265
Примарное разложение 177
— — несократимое 178
558
указатель
Примитивный элемент 213
Принадлежащий (об идеале) 290
Принадлежит 220, 262, 351
Продолжает 191
Продолжение гомоморфизма 282
Проективный предел 71
Произведение 45
Производная многочлена 153
Прообраз 11
Простейшие дроби 145
Простой элемент 91
Пространство представления 506
— EG-простое 495
G-пространство 505
(G,k)-пространство 505
Прямая сумма 55
Прямой предел 71
Прямое произведение 45
Пфаффиан 417
— общий 418
Радикал 502
Разложение на неприводимые эле-
менты 89
— определителя 373
Разложение Тейлора 162, 163
Размер 548
— вектора 548
— матрицы 361
— многочлена 549
Размерность векторного простран-
ства 107
— расширения 286
Ранг 363
— группы 66
• — столцовый 363
— строчный 363
Расширение алгебраически свободное
297
— Галуа 219
--- абелево 224
— — циклическое 224
— конечное порожденное 188
— круговое 237
— Куммера 249
— линейно свободное 295
--- разделенное 295
— нормальное 201
— основного кольца 467
— поля 185
— — алгебраическое 185
------- бесконечное 185
— — конечное 185
— радикальное 247
— разрешимое 246
• в радикалах 247
Расширение регулярное 305
— сепарабельное 300
— сепарабельно порожденное 298
— сепарабельное 204, 206
— чисто несепарабельное 214
Рациональная функция 137
--- определенная в точке 137
р-регулярный множитель 534
р-регулярный элемент 534
Редукционный критерий 152
Редукция 467
— многочлена 136
Результат 158, 162
Ряд групп 31
Свободное множество 297
Сдвиг 34
Сепарабельный элемент 204
Силовские подгруппы 36
Символ Лежандра 236
Симметрическая алгебра 477
р-сингулярный множитель 534
• — элемент 534
Система линейных уравнений 394
------- однородная 394
Скалярное произведение 396
След 239, 363
Смежный класс 24
— — левый 24
• правый 24
Собственный вектор 421, 447
Собственное значение 421, 447
Содержание многочлена 148
Сопряжение 33, 517
Сопряженное пространство 108
Сопряженность 208
Сопряженные подмножества 34
р-сопряженный 535
Спаривание 68
Спектр 292
Спектральная теорема 421, 423
Сравнение собственное 351
Стабилизатор 35
Стандартная знакопеременная мат-
рица 416
Старший коэффициент многочлена
139
Степенной ряд 170
Степень многочлена 138
— — относительно Хп 139
--- полная 139
— несепарабельности 206
— примитивного одночлена 138
— расширения 186
— рациональной функции 165
— сепарабельная 203
УКАЗАТЕЛЬ
559
Степень трансцендентности 286
Столбец 361
Строка 361
Сумма подмножеств 412
Тело 73
— кватернионов 394
Тензор 485
Тензорная алгебра 470
Тензорное произведение 456
Теорема аппроксимационная Арти-
на — Уэплза 324
— Артина — Риса 181
— Артина — Шрейера 245
— Бернсайда 495
— Бликфельда 531
— Ведденберна 495
— Витта 403
— Гельфанда — Мазура 327—330
— Гельфонда — Шнейдера 547
— Гильберта 169
--- о нулях 290
— Джекобсона 494
— Жордана — Гёльдера 122
— Исо’сы 354
— китайская об остатках 82
— Колчина 503
— Кронекера 237
— Крулля 181
— Кэли — Гамильтона 446
— Машке 506
— Мориты 502
— Нётера 294
— Риффеля 499
— Сильвестра 408
— Стейнберга 487
— Тейта 428
— Шевалле 163
— Шрейера 124
— Штурма 312
— Эрмита — Линдемана 547
— 90 Гильберта 243
Теоремы Артина 221, 238, 257,
537
— Брауэра 528, 538, 539, 540
Тип группы 62
— модуля 435
Топология Зарисского 293
Точка поля 339
— поля Г-значная 339
--- тривиальная 339
— сектра 293
Точная последовательность 29
Транспозиция 70
Трансформирование 33
Трансцендентный 138
Универсально отталкивающий объект
47
— притягивающий объект 47
Универсальный объект 47
Уплотнение башни 32
Упорядочение 336
— индуцированное 308
— поля 307
Факторгруппа 28
Факторкольцо 76
Фактормодуль 94
Фильтрация конечная 125
— простая 125
Форма 369
— билинейная 378
---невырожденная 379
— слева 379, 380
• справа 379
--- неособая 380
---— слева 379, 380
------- справа 379, 380
— знакопеременная 369
— — нулевая 415
— квадратичная 400
— невырожденная 396
— нулевая 405
— определенная 406
— отрицательно определенная 409“
— положительно определенная 409"
— полуторалинейная 388
— — неособая 389
— слева 389
справа 389
— приведенная к диагональному ви-
ду 401
— симметрическая 381
— степени d 140
— эрмитова 390
— эрмитова отрицательно опреде-
ленная 419
— эрмитова положительно опреде-
ленная 419
Формула классов 36
— Планшереля 543
— разложения на орбиты 36
Формы изометричные 399
— эквивалентные 399, 407
Функтор 42
— аддитивный 481
— ковариантный 42
— контравариантный 43
— представляющий 43
— стирающий 42
Функционал 108
-560
УКАЗАТЕЛЬ
Функция классов 512
— Мёбиуса 236
Характер 237, 262
— единичный 507
— неприводимый 508
— обобщенный 508
— одномерный 511
— представления 506
— простой 508
— регулярный 514
— собственный 508
— тривиальный 237, 507
Характеристика кольца 84
— Эйлера — Пуанкаре 119
-Характеристический многочлен 445
Хорошо себя ведет 334
Целое замыкание кольца 271
— уравнение 269
Целые алгебраические числа 284
Целый элемент 269
Центр 28
— кольца 74
Централизатор 28
Цикл 116
Чисто несепарабельный элемент 213
Эйлерова характеристика 118
— фи-функция 82
Эквивалентные нормы 327
— точки 339
р-элементарный 534
Эндоморфизм 23, 40
— диагонализируемый 454
— знакопеременный относительно
формы 382
— кососимметрический относительно
формы 382
— нильпотентный 445
— нормальный 427
— положительно определенный 428
— симметрический относительно фор-
мы 381
• — сопряженный 389
• — Фробениуса 154
— эрмитов 390
Эпиморфизм 11
Ядро 23
— морфизма 122
— слева 68, ПО
— справа 68, НО
— формы 396
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода ................................. 5
Предисловие 7
Предварительные сведения................................ 11
Литература 14
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ГРУППЫ, КОЛЬЦА И МОДУЛИ
Глава I. Группы
§ 1. Моноиды . ..................................... 17
§ 2. Группы..................................... 21
§ 3. Циклические группы..................... 25
§ 4. Нормальные подгруппы................. 27
§ 5. Действие группы на множестве. 32
§ 6. Силовские подгруппы. 36
§ 7. Категории и функторы...........•........................ 39
§ 8. Свободные группы........................................ 47
§ 9. Прямые суммы и свободные абелевы группы .... 55
§ 10. Конечно порожденные абелевы группы...................... 61
§11. Дуальная группа......................................... 66
Упражнения.................................................... 69
Глава II. Кольца
§ 1. Кольца и гомоморфизмы. 73
§ 2. Коммутативные кольца.......... 80
§ 3. Локализация................. 85
§ 4. Кольца главных идеалов ........ 89
Упражнения.................................................... 92
Глава III. Модули
§ 1. Основные определения........................... 93
§ 2. Группа гомоморфизмов........................... 95
§ 3. Прямые произведения и суммы модулей............ 98
§ 4. Свободные модули...............................103
§ 5. Векторные пространства.........................105
§ 6. Дуальное пространство..........................108
Упражнения............................................111
Глава IV. Гомологии
§ 1. Комплексы....................................................114
§ 2. Гомологическая последовательность . 116
§ 3. Эйлерова характеристика..118
§ 4. Теорема Жордана — Гёльдера..122
Упражнения.................................................................126
Глава V. Многочлены
§ 1. Свободные алгебры..............................127
§ 2. Определение многочленов........................131
§ 3. Элементарные свойства многочленов..............136
562
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4. Алгоритм Евклида .....................141
§ 5. Простейшие дроби.......................145
§ 6. Однозначность разложения на простые множители мно-
гочленов от нескольких переменных...................148
§ 7. Критерии неприводимости.151
§ 8. Производная и кратные корни.153
§ 9. Симметрические многочлены.....155
§ 10. Результант......158
Упражнения..................................................162
Глава VI. Нётеровы кольца и модули
§ 1. Основные критерии..................................166
§ 2. Теорема Гильберта..................................169
§ 3. Степенные ряды.....................................170
§ 4. Ассоциированные простые идеалы.....................172
§ 5. Примерное разложение...............................177
Упражнения..................................................181
часть вторая
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
Глава VII. Алгебраические расширения
§ 1. Конечные и алгебраические расширения..........
§ 2. Алгебраическое замыкание ....'................
§ 3. Поля разложения и нормальные расширения.......
§ 4. Сепарабельные расширения......................
§ 5. Конечные поля.................................
§ 6. Примитивные элементы..........................
§ 7. Чисто несепарабельные расширения..............
Упражнения..........................................
185
191
198
202
208
211
213
217
Глава VIII. Теория Галуа
§ 1. Расширения Галуа............................219
§ 2. Примеры и приложения........................227
§ 3. Корни из единицы............................232
§ 4. Линейная независимость характеров...........237
§ 5. Норма и след................................239
§ 6. Циклические расширения......................243
§ 7. Разрешимые и радикальные расширения.........246
§ 8. Теория Куммера..............................248
§ 9. Уравнение Хп — а — 0........................252
§ 10. Когомологии Галуа...................... • • 255
§ 11. Алгебраическая независимость гомоморфизмов .... 256
§ 12. Теорема о нормальном базисе.................260
Упражнения........................................ 263
Глава IX. Расширения колец
§ 1. Целые расширения колец......................268
§ 2. Целые расширения Галуа......................275
§ 3. Продолжение гомоморфизмов...................282
Упражнения..........................................284
ОГЛАВЛЕНИЕ 563
Глава X. Трансцендентные расширения
§ 1. Базисы трансцендентности.......................................285
§ 2. Теорема Гильберта о нулях...............................288
§ 3. Алгебраические множества...............................290
§ 4. Теорема Нетера о нормализации.............................294
§ 5. Линейно свободные расширения...............................295
§ 6. Сепарабельные расширения -.............................298
§ 7. Дифференцирования.......................................301
Упражнения..................................................................................305
Глава XI. Вещественные поля
§ 1. Упорядоченные поля....................................................................307
§ 2. Вещественные поля.....................................................................309
§ 3. Вещественные нули и гомоморфизмы......................................................316
Упражнения ....................... 321
Глава XII. Абсолютные значения
§ 1. Определения, зависимость и независимость.......322
§ 2. Пополнения.............................325
§ 3. Конечные расширения.............................332
§ 4. Нормирования.......336
§ 5. Пополнения и нормирования.......345
§ 6. Дискретные нормирования.......346
§ 7. Нули многочленов в полных полях.350
Упражнения..................................................................................353
ЧАСТЬ третья
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Глава XIII. Матрицы и линейные отображения
§ 1. Матрицы....................................361
§ 2. Ранг матрицы...............................363
§ 3. Матрицы и линейные отображения.............364
§ 4. Определители...............................368
§ 5. Двойственность.............................378
§ 6. Матрицы и билинейные формы.................383
§ 7. Полуторалинейная двойственность............388
Упражнения..........................................393
Глава XIV. Структура билинейных форм
§ 1. Предварительные сведения, ортогональные суммы . . 396
§ 2. Квадратичные отображения......................399
§ 3. Симметрические формы, ортогональные базисы .... 400
§ 4. Гиперболические пространства..................402
§ 5. Теорема Витта.................................403
§ 6. Группа Витта..................................403
§ 7. Симметрические формы над упорядоченными полями. 408
564
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 8. Алгебра Клиффорда..............................................................411
§ 9. Знакопеременные формы.................................415
§ 10. Пфаффиан ......................................................................417
§ 11. Эрмитовы формы......................................................................419
§ 12. Спектральная теорема (эрмитов случай)........................................................421
§ 13. Спектральная теорема (симметрически i случай) . . . 423
Упражнения....................................................................................................425
Глава XV. Представление одного эндоморфизма
§ 1. Представления...............................................................................429
§ 2. Модули над кольцами главных идеалов...................................................432
§ 3. Разложение над одним эндоморфизмом.........• . 442
§ 4. Характеристический многочлен...........................................................................446
Упражнения...................................................................................................452
Глава XVI. Полилинейные произведения
§ 1. Тензорное произведение.................................................................................456
§ 2. Основные свойства......................................................................................461
§ 3. Расширение основного кольца............................................................................466
§ 4. Тензорное произведение алгебр ........................................................................ 468
§ 5. Тензорная алгебра модуля...............................................................................470
§ 6. Знакопеременные произведения...........................................................................473
§ 7. Симметрические произведения............................................................................477
§ 8. Кольцо Эйлера — Гротендика.............................................................................478
§ 9. Некоторые функториальные изоморфизмы...................................................................481
Упражнения....................................................................................................486
Глава XVII. Полупростота
§ 1. Матрицы и линейные отображения над некоммутатив-
ными кольцами 488
§ 2. Условия, определяющие полупростоту.....................................................................491
§ 3. Теорема плотности...........................................................493
§ 4. Полупростые кольца..........................................................496
§ 5. Простые кольца.........................................................................................498
§ 6. Сбалансированные модули.....................................................501
Упражнения....................................................................................................502
Глава XVIII. Представления конечных групп
§ 1. Полупростота групповой алгебры.............................................504
§ 2. Характеры.............................................506
§ 3. Одномерные представления...................................................511
§ 4. Пространство функций классов.512
§ 5. Соотношения ортогональности...................................................516
§ 6. Индуцированные характеры...................................................520
§ 7. Индуцированные представления.523
§ 8. Положительное разложение регулярного характера. 528
§ 9. Сверхразрешимые группы.............................................................530
§ 10. Теорема Брауэра..............................................................533
§ 11. Поле определения представления..539
Упражнения....................................................................................................541
Добавление. Трансцендентность е и л.....................................................................................546
Указатель...............................................................................................................553