/
Автор: Николаев А.М. Котельников В.А.
Теги: радиотехника радиоэлектроника теория электрических цепей общая радиотехника
Год: 1950
Текст
1 Ч'ДСЯ
ОСНОВЫ РАДИО
З.А.Котельников
А.М.Николаев
<
ЭД
В. А. КОТЕЛЬНИКОВ и А. М. НИКОЛАЕВ
ОСНОВЫ РАДИОТЕХНИКИ
ЧАСТЬ I
Допущено Министерством высшего образования СССР,
в качестве учебника для электротехнических
вузов и факультетов
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛИТЕРАТУРЫ
ПО ВОПРОСАМ СВЯЗИ И РАДИО
МОСКВА 1950
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга является первой частью курса «Основы
радиотехники», который в течение ряда лет читался В. А. Ко-
тельниковым на радиотехническом факультете Московского ор-
дена Ленина энергетического института имени В. М. Молотова.
Первая часть содержит введение, дающее общий краткий об-
зор радиотехники, и анализ процессов, происходящих в простей-
ших радиотехнических контурах и их элементах.
Еторая часть курса будет посвящена процессам в нелинейных
системах, а в третьей будут рассмотрены системы с распределён-
ными постоянными, четырёхполюсники и фильтры.
Расположение материала в курсах «Основы радиотехники»,
читаемых в различных втузах, различно. В данной книге мате-
риал расположен так, как это принято в Московском энергети-
ческом институте. Такое расположение позволяет начать лабо-
раторные работы по курсу почти с начала семестра и вести их с
небольшим сдвигом вслед за лекциями.
Прежде чем приступить к изложению основного материала,
авторы сочли необходимым дать во введении популярный, не пре-
тендующий на полноту и строгость, обзор основных процессов,
используемых в радиотехнике. Как показывает опыт, это облег-
чает усвоение курса. В частности, в этом обзоре дано описание
поля излучения, на котором базируется радиотехника. Авторы не
сочли возможным начать курс, не дав представления об этом
поле. Дать строгое описание поля излучения не представлялось
возможным, поскольку теория электромагнитного поля обычно
проходится во втузах позже. К тому же классическое рассмотре-
ние поля излучения из-за громоздкости математического аппара-
та весьма ненаглядно.
Для составления схем замещения в курсе используется энер-
гетический метод, базирующийся на ф-ле (2.4). Так как в рас-
пространённых учебных курсах теоретических основ электротех-
ники эта формула не доказывается, её доказательство дано в
приложении 1 к данной книге. Следует отметить, что с помощью
комплексного вектора Умова — Пойнтинга ф-ла (2.4) может быть
доказана проще и с большей общностью.
4
Глава 1
Помимо широко распространённого метода разложения моду-
лированных колебаний на простые синусоидальные составляю-
щие, в книге используется также обобщение комплексного ме-
тода на эти колебания. Ценность этого обобщения заключается
в том, что с его помощью можно ясно видеть, в каких случаях
обычный комплексный метод (который очень широко использует-
ся для приближённого рассмотрения процессов при частотной
модуляции) может быть применён для модулированных колеба-
ний.
В приложениях к книге дан справочный материал, который
должен облегчить проработку курса при практических занятиях.
Авторы выражают благодарность инж. А. И. Богацкой за
большую помощь, оказанную им в процессе написания и под-
готовки рукописи к печати, и инж. И. Н. Николаевой, проделав-
шей значительную работу по расчёту кривых, помещаемых в
книге.
При просмотре рукописи проф. И. Г. Кляцкиным, доц. Г. А. Ре-
мезом, д-ром техн, наук Н. И. Чистяковым, проф. Л. Д. Белькин-
дом, проф, А. Н. Казанцевым и другими был сделан ряд цен-
ных замечаний, за что авторы приносят глубокую благодарность.
Все замечания по книге авторы просят направлять в адрес
Связьиздата: Москва, ул. Кирова, 40.
ГЛАВА 1
ВВЕДЕНИЕ.
§ 1.1. Предмет и задачи курса.
Курс „Теоретические основы радиотехники" преследует
две цели: во-первых, дать общее представление о радиотех-
нике с тем, чтобы при дальнейшем изучении различных её
разделов в специальных курсах, уже имелось представление
о ней в целом и, во-вторых, дать теорию и описание основ-
ных процессов, широко используемых в радиотехнической
аппаратуре.
В настоящее время радиотехника занимается очень широ-
ким кругом вопросов: беспроволочной передачей телеграмм
(радиотелеграфия), звука (радиотелефония и радиовещание),
подвижных и неподвижных изображений (телевидение и фо-
тотелеграфия); передачей и приёмом сигналов, позволяющих
судну или самолёту определить своё местоположение и курс
следования (радионавигация); вопросами обнаружения в про-
странстве с помощью радиосигналов различных объектов,
как например, самолётов, судов и подводных лодок (радио-
локация); прогревом токами высокой частоты различных
предметов в целях сушки, поверхностной закалки и плавки;
использованием электрических колебаний высокой частоты в
медицине и т. д.
Для предварительного ознакомления с радиотехникой в
последующих параграфах этой главы даётся краткое описание
используемых в ней основных процессов.
§ 1.2. Первые попытки телеграфной передачи без проводов
с помощью электричества.
Развитие радиотехники началось с изобретения радиотеле-
графии А. С. Поповым в 1895 г., чему предшествовало изо-
бретение телеграфии по проводам и многочисленные безу-
спешные попытки осуществления телеграфной передачи без
проводов с помощью электричества.
Первый электромагнитный телеграфный аппарат был изо-
бретён в 1832 г. в России русским учёным Павлом Львова-
6
Глава 1
чем Шиллингом. Передача сообщений производилась путём
посылки по проводам электрических токов разного направ-
ления, причём каждой букве алфавита соответствовала опре-
делённая комбинщия посылаемых токов. На приёмном пункте
сигналы принимались по отклонению магнитной стрелки под
действием приходящего тока. Вслед за этим изобретением
появились и другие телеграфные аппараты, использующие
также магнитное действие тока.
Необходимость связывать место передачи с местом приёма,
хотя бы одним проводом (в качестве второго провода можно
использовать землю), приносила много неудобств. Поэтому
уже в сороковых годах XIX века начались попытки осуще-
ствить передачу телеграфных сигналов на расстояние без
проводов. Естественно, возник вопрос, нельзя ли для этой
цели воспользоваться электрическим или магнитным полем,
создаваемым заряжёнными телами или электромагнитами.
Однако простые рассуждения показывают, что это поле очень
быстро убывает по мере удаления от источника и поэтому
не может быть использовано для передачи сигналов на зна-
чительное расстояние. В самом деле, электрическое поле
заряжённого тела убывает обратно пропорционально квадрату
расстояния. Кроме того, это поле будет ещё дополнительно
ослабляться влиянием земли. Действительно, как известно из
основ электротехники, заряд, расположенный над землёй, бу-
дет наводить на её поверхности такой же заряд противопо-
ложного знака. В результате этого на большом расстоянии
от этих зарядов будут создаваться почти одинаковые, но
противоположные по направлению поля, что вызовет допол-
нительное ослабление результирующего поля. Расчёт показы-
вает, что это поле будет ослабляться при больших расстоя-
ниях примерно обратно пропорционально кубу расстояния
от источника. Магнитное поле от магнитов и электромагни-
тов, поскольку они обязательно имеют полюсы противополож-
ного знака, убывает столь же быстро.
Быстрое убывание напряжённости электрического и маг-
нитного поля (пропорционально кубу расстояния) привело к
провалу многочисленные попытки передачи сигналов без'про-
водов, с помощью таких полей, даже на сравнительно малые
расстояния (порядка нескольких километров).
§ 1.3. Поле излучения
Осуществить передачу сигналов без проводов на большие
расстояния оказалось возможным лишь после того, как на
основании теоретического обобщения экспериментальных дан-
цых по электричеству и магнетизму было открыто электро-
Введение
1
магнитное поле излучения, напряжённость которого убывает
в свободном пространстве пропорционально первой степени
расстояния от источника.
Как известно, перемещающееся
поле создаёт электрическое поле и
Действительно, пусть в поле
магнита (рис. 1.1) находится про-
водник АБ, расположенный пер-
пендикулярно магнитным линиям
индукции. Если этот проводник
двигать в направлении перпенди-
кулярном его оси и магнитному по-
лю со скоростью V, то в нём поя-
вится, как известно, эдс, которая
будет равна1)
в пространстве магнитное
наоборот.
А
Рис. 1.1. Возникновение эдс е в
проводе А Б и электрического
поля при движении магнитного
поля.
e=Bvl=^Hvl,
vjig. v — скорость движения,
В — индукция,
// — напряжённость магнитного
поля,
р — магнитная проницаемость,
I — длина части проводника АБ, находящейся в магнит-
ном поле.
Направление эдс можно найти по правилу правой руки.
Если предположить, что проводник будет двигаться влево,
то эдс будет направлена вверх, как это показано на рис. 1.1
стрелкой.
Если теперь, наоборот, провод оставить неподвижным, а
двигать магнит в обратную сторону (т. е. вправо), то, оче-
видно, в проводе будет наводиться та же эдс. Таким образом,
заряд q, проходя по проводнику в сторону, обратную эдс,
будет совершать работу
qe—qy-Hvl
и, следовательно, на этот заряд будет действовать сила
^-=qv-Hv,
а на единицу заряда придётся сила
E=pHv.
(1-1)
г) Здесь и ниже используется практическая система единиц. В некото-
рых, особо оговоренных, случаях в качестве единицы длины берётся не
метр, а сантиметр.
8
Глава I
Но сила на единицу электрического заряда есть напря-
жённость электрического поля. Таким образом, если магнит-
ное поле движется в
Рис. 1.2. Направление элек-
трического поля Е, возни-
кающего при движении
магнитного поля Н в на-
правлении и и направление
магнитного поля при дви-
жении электрического в
том же направлении о.
Напряжённость
магнитного поля на
некотором расстоя-
нии г от оси цилин-
дра может быть оп-
ределена по закону
полного тока на ос-
новании уравнения
2nrH=i*= qrv,
откуда
Н=£- (1-2)
направлении, перпендикулярном его си-
ловым линиям, то оно вызывает элект-
рическое поле, перпендикулярное маг-
нитному полю и движению. Напряжён-
ность этого поля будет определяться
выражением (1.1), а направление указано
на рис. 1.2 (он соответствует рис. 1.1).
Рассмотрим теперь движение элект-
рического поля. Пусть заряженный по-
ложительным электричеством бесконеч-
ный цилиндр (рис. 1.3) движется вдоль
своей оси в направлении стрелки. Пусть
заряд на единицу длины этого цилинд-
ра будет qv Тогда за единицу вре-
мени через сечение, перпендикулярное
оси цилиндра, будет проходить коли-
чество электричества q^v, т. е. будет
течь электрический ток, равный i=qyV.
Рис. 1.3. Создание движущимся электрические
полем цилиндра магнитного поля.
Направление Н может быть найдено по правилу буравчика^,
оно показано на рис. 1.3 стрелкой. Число силовых линий
электрического поля, выходящих из элемента длины цилинд-
ра Д/, будет равно
е ’
где е — диэлектрическая проницаемость среды.
Эти силовые линии на расстоянии г от оси цилиндра бу-
дут пересекать площадь д^
Введение
9
откуда напряжённость электрического поля на расстоянии г
от оси цилиндра, равная числу силовых линий на единицу
площади, будет равна
г _ Чу ______Ч1__
е 2л г Д Z е 2п г
Подставляя это выражение в (1.2), получим
H=eEv. (1.3)
Можно предположить, что это магнитное поле не прямо
вызвано током, т. е. движением заряда, а создаётся в каждой
точке электрическим полем Е, движущимся вместе с зарядом
со скоростью V. Зависимость (1.3) мы установили на частном
случае, однако, если считать, что магнитное поле всегда вы-
зывается движением электрического поля, то эта зависимость
должна сохраняться и в других случаях.
Следовательно, если электрическое поле движется в на-
правлении, перпендикулярном его силовым линиям, то оно
вызовет магнитное поле, перпендикулярное электрическому
полю и направлению движения. Напряжённость этого поля
определяется ф-лой (1.3), а направление соответствует рис. 1.2.
Таким образом, движущееся электрическое поле создаёт
магнитное поле и, наоборот, движущееся магнитное поле
создаёт электрическое.
Могут создаться такие условия, при которых электрическое
и магнитное поля, двигаясь в пространстве, будут поддержи-
вать друг друга, существуя независимо от каких-либо элект-
рических токов и зарядов. Действительно, если рассмотреть
электромагнитное поле, изображённое на рис. 1.2, в котором
электрические и магнитные составляющие перпендикулярны
друг другу и перпендикулярны направлению их движения, и
предположить, что в этом ноле магнитная составляющая под-
держивается только движением электрической составляющей
поля, то в соответствии с (1-3) её напряжённость будет
равна:
H=zEv.
Если теперь предположить, что электрическая составляю-
щая поля поддерживается только движущейся магнитной со-
ставляющей поля, то в соответствии с (1.1)
Е = р Hv — pie Ev*.
10
Глава 1
Сокращая это выражение на Е, получим, что электрическая
и магнитная составляющие поля могут существовать, под-
держивая друг друга без внешних источников, если удовлет-
воряется равенство
1 = ре “V2,
т. е., если они движутся со скоростью
!»= —4=“.
V
(1-4)
Подсчитаем эту скорость при условии, что поле распро-
страняется в вакууме.
Для вакуума:
е = е0 = 0,0886 • 10-10 Ч,
Р=Р0 = 1,256 • 10“* %,
откуда
v = 2,998 -10s — = с,
1 rot/ 1
(1.5)
т. е. скорость движения электромагнитного поля, в котором
электрическая и магнитная составляющие взаимно поддержи-
вают друг друга, должна равняться скорости света. Такое
поле, созданное с помощью движения электрических зарядов,
может существовать затем независимо от этих зарядов.
Это электромагнитное поле называется полем излучения.
Между напряжённостями электрической и магнитной со-
ставляющих поля излучения в вакууме, как это следует из
4>-л (1.1) и (1.4), существует зависимость
~ — = 1 f^ = 377 ^- = 377 ом.
Н г I/ е а/м
(1.6)
Возможность существования таких полей была доказана
Максвеллом в опубликованном в 1873 г. „Трактате по элект-
х) Условные обозначения единиц, используемые в этой книге, см. в при-
ложении 12.
Введение
II
ричеству и магнетизму" на основании теоретического обоб-
щения накопленного к тому времени экспериментального
материала» Максвелл показал также, что свет является элект-
ромагнитным полем излучения.
Работы Максвелла, касающиеся электромагнитного поля
излучения, не получили широкого распространения, пока
Г. Герц в 1888 г. не опубликовал свои, основанные на этих
работах, исследования поля излучения диполя. Герц доказал
теоретически и экспериментально, что если взять два метал-
лических шарика (рис. 1.4), соединённых проводом
(так называемый диполь), н быстро их перезаряжать, _
то вокруг такого диполя образуется поле излучения. (Г)
На рис. 1.5 изображены электрические силовые ли- у*У
яии поля, образующиеся при перезаряде диполя по
синусоидальному закону, для различных моментов
времени1). По ним можно проследить образование
поля излучения. На рис. 1.5 изображён в умень-
шенном размере тот же диполь, что и на рис. 1.4.
В момент времени, которому соответствует рис. 1.5 а,
по диполю начинает протекать синусоидальный
ток, заряжающий верхний шарик положительным за- Рис 4
рядом, а нижний — отрицательным. Эти заряды соз- Диполь,
дают вокруг диполя электрическое поле, которое бу-
дет заполнять всё большее и большее пространство вокруг
диполя по мере увеличения заряда шариков (рис. 1.5 а. б, в
и г; рис. 1.5 г соответствует максимальному заряду). Поскольку
поле диполя симметрично, на рис. 1.56, 1.5 г и последующих
изображена лишь одна четвёртая часть пространства. На этих
рисунках графически показана (кружочком на синусоиде)
величина заряда на диполе в данный момент времени.
Зарядный ток и движущееся электрическое поле создают
вокруг диполя магнитное поле, силовые линии которого пред-
ставляют ряд концентрических окружностей с центрами на
оси диполя. Сечение этих силовых линий плоскостью чертежа
показано кружочками2). Магнитное поле, заполняя простран-
ство вокруг диполя, будет, как указано выше, влиять на
образование электрического поля.
При уменьшении заряда диполя часть электрических си-
ловых линий, находящихся вблизи диполя, будет стягиваться
к нему, внешняя же часть, которая создаётся в основном
*) Эти рисунки взяты из работы Ю. И. Лещанского (см. «Труды сту-
денческого научно-технического общества МЭИ им. В. М. Молотова* 1948 г.,
вып. II).
4) В тех случаях, когда магнитные силовые линии направлены от нас,
они обозначаются крестиками, а когда к нам — точками.
12
Глава 1
движущимся магнитным полем, будет продолжать удаляться
от диполя, поддерживая этим движением, в свою очередь,
движущееся магнитное поле. В результате этого, процесса
при уменьшении заряда диполя в электрических силовых
линиях образуются выемки (рис. 1.5д'* в местах, в которых
затем получается „отрыв" силовых линий (рис. 1.5е, 1.5ж).
Появление выемок объясняется воздействием на электрическое
поле движущегося магнитного поля, которое при разряде
вблизи диполя меняет свой знак вместе с направлением тока,
что в соответствии с рис. 1.2 будет создавать составляющую
электрического поля, направленную вверх; эта составляющая
и создаст выемку. Оторвавшиеся силовые линии продолжают
вместе со связанным с ними магнитным полем удаляться от
диполя, а силовые линии, оставшиеся у диполя/стягиваются
к нему.
Когда заряд диполя станет равным нулю, электрических
силовых линий, связанных с диполем, не останется (рис. 1.5з).
Оставшиеся линии будут поддерживаться движущимся маг-
нитным полем. В следующую четверть периода, когда диполь
будет заряжаться с обратной полярностью, вокруг него снова
образуются силовые линии; при этом линии, „оторвавшиеся"
ранее, будут продолжать удаляться от диполя (рис. 1.5 и, к,
л, м). Далее, когда диполь будет разряжаться, снова будет
происходить „отрыв" силовых линий (рис. 1.5н, о, п, р) и т. д.
Процесс образования новых партий „оторвавшихся" сило-
вых линий будет происходить каждые полпериода изменения
заряда диполя. „Оторвавшиеся" силовые линии являются по-
лем излучения. Они также называются радиоволнами или
электромагнитными волнами.
Минимальное расстояние между двумя точками, удалён-
ными от диполя, в которых напряжённость поля электромаг-
нитной волны имеет одну и ту же фазу, называется длиной
волны (рис. 1.5 р). Последняя обычно обозначается буквой X.
Длина волны в вакууме связана с частотой f и периодом Т
изменения тока в диполе формулой:
Х = -- = сТ,
где
с = 2,998 • 10е м/сек — скорость света.
Чем больше размеры диполя и чем больше частота, с ко-
торой перезаряжается диполь, тем при том же токе диполя
будет больше мощность создаваемого им электромагнитного
поля излучения.
'Введение.
18
Неподвижные заряды и постоянный ток поля излучения
не создают. Оно появляется лишь при изменении тока, когда
поля, создаваемые им, начинают двигаться в пространстве.
Эксперимент и теоретические исследования показывают, что
излучение становится практически существенным, если раз-
меры диполя будут соизмеримы с длиной волны колебания.
Так, для того, чтобы иметь хорошее излучение на частоте
промышленного тока в 50 гц, которой соответствует длина
волны
к=-^- = 6-106 м=6000 км,
оО
необходимо было бы иметь диполь размером в тысячи кило-
метров. В то же время на частоте 10000 мггц = 1010 гц, что
соответствует длине волны
4^ = 0,03 ж = 3 см,
хорошее излучение может быть получено от диполя длиной
в несколько сантиметров.
Напряжённость электромагнитного поля излучения убывает
пропорционально первой степени расстояния от его источника,
а энергия поля в единице объёма убывает пропорционально
квадрату расстояния (так же, как и при распространении све-
товых колебаний). Этим электромагнитное поле излучения
выгодно отличается от электростатического и магнитостати-
ческого поля, напряжённость которых, как было указано,
убывает пропорционально кубу расстояния, а энергия — про-
порционально шестой степени расстояния.
Сказанное можно пояснить следующим образом. Возьмём
элемент поля излучения, занимающий объём (рис. 1.6)
dVi—r^d^ гхе/ф dr = r\d<^ г/ф dr.
Энергия поля в нём будет равна:
dWt = И? г?d<р dф dr,
\ 2 2 /
где £i и Hi — напряжённости электрической и магнитной со-
ставляющей поля излучения. Учитывая (1.6), получим
d =е E\r *d <р d ф dr.
Через некоторое время, двигаясь со скоростью света, это
поле займёт объём dV2, причём энергия его должна остаться
той же. Поэтому
dWi=sE\r\ d<fdifdr=d'W1=eE}r\d<fd^dr,
14
Глава 7
где Е2 — напряжённость электрической составляющей поля
в объёме dfV2. Из этого равенства с учётом (1.6) следует
Е2 Г,
Ei Ei г 2 ’
где Н2 — напряжённость магнитного поля в объёме dV2. Та-
ким образом, напряжённость поля излучения будет убывать
обратно пропорционально расстоянию.
Вследствие сравнительно слабого уменьшения напряжён-
ности электромагнитного поля излучения с расстоянием, для
передачи сигналов без проводов в радиотехнике используют
исключительно это поле. Так как это поле практически хорошо
создаётся лишь при высоких частотах, в радиотехнике для
создания поля излучения используют колебания с частотами
в диапазоне от 3-10* до З Ю10 гц.
Рис. 1.6. Ослабление поля излучения с расстоянием.
Применение столь широкого диапазона частот обусловли-
вается ещё и тем, что это облегчает, как мы увидим дальше,
разделение в приёмном устройстве колебаний большого числа
одновременно работающих радиостанций.
§ 1.4. Изобретение радио А. С. Поповым.
Первая радиотелеграфная связь
Хотя Герц и доказал экспериментально существование
полей излучения, однако он не пошёл дальше исследование'
электромагнитного поля в пределах одной комнаты. Посл>
Герца многие учёные повторяли его опыты, однако никто и >,
них не смог создать приборов, пригодных для передачи сиг
налов электромагнитным полем излучения на сколько-нибудь
значительное расстояние. Причиной этого являлись болыпи..
трудности в создании достаточно чувствительного и устойчиво
работающего прибора для обнаружения поля излучения на
значительных расстояниях от излучателя.
Изобретение радио и первые в мире радиотелеграфные
аппараты были сделаны русским учёным Александром Степа-
Введение
15
новичем Поповым. А. С. Попов родился в 1859 г. В 1882 г. он
блестяще окончил университет и в 1883 г. начал работать препо-
давателем Минной школы в Кронштадте, где и проводил свои
работы по созданию радио. Уже в 1889 г. Александр Степа-
нович Попов оценил возможности, которые открывает исполь-
зование поля излучения. Он тогда же высказал следующую
мысль: „Человеческий организм не имеет ещё такого органа
чувств, который замечал бы электрические волны в эфире;
если бы изобрести такой прибор, который заменил бы нам
электромагнитные чувства, то его можно было бы применить
к передаче сигналов на расстояние*.
Испробовав различные методы обнаружения электромагнит-
ных волн, А. С. Попов совместно со своим сотрудником
П. Н. Рыбкиным создал прибор для обнаружения слабых
электромагнитных полей излучения. Прибор регистрировал
электромагнитное поле излучения грозовых разрядов на зна-
чительных расстояниях и был назван „грозоотметчиком*.
7 мая 1895 г. на заседании Русского физико-химического
общества А. С. Попов демонстрировал это устройство, т. е.
первый в мире радиоприёмник, используемый в дальнейшем в
практической радиосвязи. День 7 мая 1895 г. и считается днём
изобретения радио.
24 марта 1896 г. на заседании того же общества А. С. По-
пов продемонстрировал первую в мире радиотелеграфную
связь на расстояние 250 м. Усовершенствуя свою аппаратуру,
А. С. Попов довёл в 1899 г. дальность передачи до 45 км.
В начале 1900 г. радиосвязь была
впервые применена практические ра-
ботах по снятию севшего на камни у
о. Гогланд броненосца „Адмирал Ап-
раксин*. Во время этой операции бла-
годаря радио удалось спасти жизнь
группе рыбаков, находившихся на
льдине, которую оторвало около
о. Лавен-Сари.
А. С. Попову за его приборы была
присуждена большая золотая медаль
Рис. 1 7 Радиопередатчик
А. С. Попова.
на Международной электротехнической выставке в Паоиже
в 1900 г. F
Схема радиоопередатчика А. С. Попова изображена на
рис. 1.7. Рассмотрим процессы в этом радиопередатчике. При
замыкании ключа К начинает работать индукционная катуш-
ка Т. Проходящий при этом по её первичной обмотке ток
от батареи Б будет намагничивать сердечник С. Это вызовет
притяжение якоря Я и размыкание им цепи, что поведёт к
16
Глава I
прекращению тока в первичной обмотке и быстрому исчез»
Иовению магнитного поля. Затем якорь Я отойдёт обратно,
цепь первичной обмотки замкнётся и процесс повторит-
ся. Он будет повторяться до тех пор, пока замкнут
Ключ К. Каждый раз при быстром исчезновении маг-
нитного поля, во вторичной обмотке, имеющей большое
количество витков, возникает значительная эдс, которая
будет’ заряжать провод Л, подвешенный на некоторой вы-
соте над землёй (так называемую антенну), и шар до
тех пор, пока не произойдёт пробой между шарами Ш1 и
Ш2 (шар Ш2 соединён с землёй). При этом шары замкнутся
ионизированным каналом искры и произойдёт разряд нако-
пившихся в антенне и земле взаимно противоположных заря-
дов. Этот разряд имеет такой же колебательной характер,
как и разряд конденсатора через катушку индуктивности.
В данном случае роль конденсатора выполняет ёмкость между
проводами антенны, а катушки индуктивности — индуктивность
этих проводов. Частота колебаний разряда определяется ин-
дуктивностью и ёмкостью проводов антенны. В передатчике
А. С. Попова она имела порядок нескольких мегагерц. Индук-
тивность индукционной кагушки не влияет на частоту коле-
баний, так как она в это время оказывается замкнутой искрой.
Пока замкнут ключ и работает индукционная катушка, в
антенне существуют периодически появляющиеся (при каж-
дом разрыве первичной обмотки индукционной катушки) за-
тухающие колебания. Происходящее при этом изменение
заряда антенны во времени показано на рис. 1.8.
Я
t
О
Рис. 1.8. Колебания заряда в антенне передатчика А. С. Попова.
Так как частота колебаний получается большой, то вокруг
антенны создаётся поле излучения. Такие радиопередатчики
получили название искровых.
Схема радиоприёмника А. С. Попова изображена на рис. 1.9.
В этом приёмнике использовался так называемый когерер—стек-
лянная трубка, наполненная металлическими опилками, в ко-
торую введены два электрода. Сопротивление опилок, нахо-
дящихся между электродами, весьма велико, поскольку
контакты между опилками плохие. Однако, если к электродам
когерера приложить напряжение высокой частоты, то сопро-
тивление опилок постоянному току резко падает, оставаясь
Введение
17
малым и по прекращении действия высокочастотного напря-
жения, так как под действием колебания высокой частоты
Происходит пробой тонких изоляционных плёнок между опил-
ками и, возможно, их сваривание. Для восстановления боль-
шого сопротивления когерер необходимо встряхнуть.
Приходящие электромагнитные колебания создают в при-
ёмной антенне (проводах, расположенных над землёй) ток
высокой частоты, который протекает через антенну А и ко-
герер в землю 3. В остальные цепи приёмника этот ток
не ответвляется, так как дроссели (катушки индуктивности)
Дх и Д3 представляют для тока высокой частоты большое
Рис. 1.9 Приёмник А. С. Попова.
реактивное сопротивление. Сопротивление когерера при про-
текании через него тока высокой частоты становится малым,
вследствие чего по цепи от левой клеммы батареи Б, через
дроссель Да, когерер, дроссель Ди обмотку электромаг-
нита Эх к правой клемме батареи Б пойдёт ток. Электромагнит
Эх замыкает с помощью контакта цепь от правой клеммы
батареи Б, через электромагнит Эа, электромагнит Э3 и кон-
такт Ла к левой клемме батареи Б. Электромагнит Э3 работает,
как электрический звонок, ударяя молоточком по когереру
и восстанавливая его высокое сопротивление. При этом ток
в цепи когерера прерывается, но возникает вновь, если высо-
кочастотные колебания продолжают действовать на антенну.
Проводимость этой цепи не восстанавливается только по
прекращении действия колебаний высокой частоты. При этом
прекращается ток через электромагнат Эх, последний разры-
вает контактом Лх цепь электромагнита Э3 и молоточек пере-
стаёт ударять по когереру.
При замыкании контакта Лх ток протекает через электро-
магнит Э2, который притягивает рычажок с пером П на конце.
Это перо, прижимаясь к движущейся бумажной ленте Л,
чертит на ней линию, длина которой будет пропорциональна
2 Осями радиотехники
18
Глава 1
времени, в течение которого замкнут контакт Таким об-
разом, нажимая ключ /С передатчика (рис. 1.7) на большее
или меньшее время, мы будем вызывать этим запись линий
большей или меньшей длины на ленте Л приёмника.
Буквы и знаки передавались с помощью комбинаций корот-
ких и длинных линий (длинная линия равна трём коротким)
по так называемой азбуке Морзе. Так например, букве А
соответствовала комбинация короткой и длинной линии. На
рис. 1.10 дана запись по этой азбуке слова „Москва".
Таким образом, А. С.
М О С К В А Попов первый открыл воз-
Рис. 1.10. Запись слова «Москва» по
азбуке Морзе.
можности, раскрывающиеся
перед техникой при исполь-
зовании электромагнитного
поля излучения, и практи-
чески реализовал их, соз-
дав первые в мире приборы
для беспроволочной связи.
Величие открытия Попова подчёркивается ещё и тем, что
исследованием электромагнитного поля излучения занимались
такие известные учёные, как Герц, Бранли, Лодж и др. Однако
ни один из них не считал возможным вынести свою аппаратуру
за пределы лаборатории и применить электромагнитные волны
для целей беспроволочной связи. Только гений великого рус-
ского учёного А. С. Попова смог поставить такую задачу и
блестяще разрешить её. Для этого А. С. Попову пришлось
провести огромную работу. В частности, он усовершенствовал
когерер, являвшийся до этого примитивным и неустойчивым
лабораторным прибором, и сделал его надёжным и весьма
чувствительным приспособлением для обнаружения колебаний
высокой частоты. А. С. Попов впервые применил автомати-
ческое встряхивание когерера для восстановления его сопроти-
вления. Он изобрёл антенну, позволившую усилить поле излу-
чения передатчика и увеличить энергию, захватываемую из
этого поля приёмником; изобрёл схему, позволившую прини-
мать и записывать слабые колебания высокой частоты. Много,
труда затратил А. С. Попов на усовершенствование конструкции
радиопередатчика в целях увеличения мощности излучаемых
им колебаний.
Осуществив первую радиосвязь, А. С. Попов заложил ос-
новы и дал повод для многочисленных дальнейших исследо-
ваний, приведших к современному развитию радиотехники.
В дальнейшем А. С. Попов продолжал усовершенствовать,
свои передатчик и приёмник, добиваясь увеличения дальности
действия и повышения надёжности радиосвязи.
Введение
19
В 1901 г. А. С. Попов был назначен профессором Электро-
технического института в Петербурге (теперь Ленинградский
электротехнический институт им. В. И. Ленина). В 1905 г.
он был выбран директором этого института. Умер А. С. По-
нов в 1906 г.
В дореволюционной России великое изобретение А. С. По-
пова не получило должного внимания и развития. Царское
правительство из-за своей недальновидности и косности не
развивало собственную радиопромышленность, а сдавало заказы
на производство радиоаппаратуры иностранным фирмам. Ино-
странные фирмы, оценив важность этого великого открытия
и выгоды, которые сулит им организация производства ра-
диоаппаратуры, приглашали А. С. Попова работать у них,
за границей, но Александр Степанович, будучи патриотом
своей Родины, ответил:
„Я русский человек и все свои знания, весь свой труд,
все свои достижения я имею право отдавать только моей
Родине. Пусть меня здесь не понимают, пусть некоторые да-
же глумятся надо мной, всё же я горд тем, что родился рус-
ским. И если не современники, то может быть потомки
наши поймут, сколь велика моя преданность нашей Родине
и как счастлив я, что не за рубежом, а в России открыто
новое средство связи®.
§ 1.5. Распространение радиоволн различной длины
Радиоволны в однородном пространстве должны распростра-
няться так же, как световые волны, т. е. прямолинейно, лишь
слегка огибая препятствия вследствие диффракции. Поэтому в
начальный период развития радиотехники считалось, что из-за
кривизны земной поверхности радиоволны не могут служить
для передачи сигналов на большие расстояния. Однако экспе-
рименты вскоре показали несостоятельность этой теории:
оказалось, что с помощью радиоволн удаётся передавать сиг-
налы далеко за горизонт. Теорию пришлось дополнить, пред-
положив, что где-то в атмосфере имеются электропроводящие
слои (так называемая ионосфера), в которых имеются ионы
и свободные электроны и что эти слои могут преломлять и
отражать радиоволны обратно на землю, позволяя им таким
образом огибать земную поверхность. Последующие исследо-
вания подтвердили правильность этого предположения.
Наличие ионосферы обусловлено,главным образом,солнеч-
ным излучением, вызывающим образование свободных элек-
тронов и ионов в стратосфере. Плотность электронов и ионов на
разных расстояниях от земли неравномерна: на опредёленных
высотах наблюдаются слои, обладающие значительно большей
2»
90
Глава 1
концентрацией электронов и ионов, чем смежные с ними слои
атмосферы.
Наибольшее значение имеют два слоя: так называемый
слой Е, находящийся на высоте 100—130 км от земной по-
верхности, и слой F на высоте 200—400 км (рис. 1.11). Вы-
сота этих слоёв и степень их ионизации зависят от освещён-
ности солнцем земли и, следовательно, претерпевают измене-
ние в течение суток, при изменении времени года, а также
с изменением солнечной активности, меняющейся примерно
с одиннадцатилетним периодом. Днём, летом и в период мак-
симальной активности солнца ионизация слоёв, как правило,
сильнее.
Рис. 1.11. Ионизированные слои.
Под действием проходящей электромагнитной волны на-
ходящиеся в ионосфере свободные электроны и ионы прихо-
дят в колебательное движение. Создаваемое ими электромаг-
нитное поле излучения взаимодействует с первоначальным
полем, вызывая изменение направления движения волны, т. е.
её преломление и отражение. В ионосфере наблюдается также
поглощение энергии волны, обусловленное столкновением ко-
леблющихся электронов и ионов с частицами газа, которым
они отдают свою энергию, полученную от электромагнитного
поля. Эта энергия превращается в энергию беспорядочного
движения молекул, т. е. в тепло. Чем больше ионизация, тем
сильнее преломляются, отражаются и поглощаются радиоволны.
Чем короче длина волны (больше частота), тем меньше ампли-
туда колебания электронов и ионов (благодаря их инерции) и
тем меньше преломление и поглощение этих волн в ионосфере.
Рассмотрим распространение волн различной длины.
Используемый в радиотехнике диапазон волн условно под-
разделяется следующим образом:
1) длинные волны .... X > 3000 м (f < 100 кгц);
2) средние волны........ 3000 ж > X > 200 м
(100 кгц </ < 1,5 мггц);
Введение
3) промежуточные волны .
4) короткие волны ....
5) ультракороткие волны:
а) метровые волны . .
б) дециметровые волны
в) сантиметровые волны
г) миллиметровые волны
200 ж > к > 50 м
(1,5 мггц </< 6 мггц)\
50 ж > к > 10 м
(6 мггц < f < 30 мггц)\
10 ж > к > 1 ж
(30 мггц < /<300 мггц)\
1 ж > к> 0,1 ж
(300 мггц </< 3000 мггц)\
10 сж > к > 1 см
(3000 мггц </< 30000 мггц)\
10 жж > к > 1 жж
(30000 мггц </< 300000 мггц)
Чем меньше угол, под которым электромагнитная волна
приходит к поверхностй ионосферы, тем сильнее волна дол»
жна преломиться, чтобы вернуться обратно на землю.
Рис. 1.12. Отражение от ионосферы длинных и средних
волн.
Длинные и средние волны возвращаются обратно на землю
при любых углах падения а на поверхность ионосферы, по»
скольку они испытывают в ионосфере сильное преломление
(рис. 1.12). Однако волны этой длины, возвратившиеся обрат»
но, бывают сильно ослаблены и рассчитывать на их приём
можно лишь ночью, когда ионизация уменьшается. Днём эти
волны распространяются за горизонт, огибая земную поверх»
ность за счёт диффракции, которая, усиливаясь с удлинением
волны, на этих волнах влияет намного сильнее, чем на волнах
более коротких.
Короткие волны преломляются ионосферой в меньшей сте»
пени, поэтому на землю возвращаются лишь те волны, кото»
рые падали на неё под достаточно большим углом а
(рис. 1.13) Волны, падающие под малым углом, будут лишь
несколько изменять направление своего движения и уйдут за
пределы земной атмосферы.
22
Глава 1
В результате этого, как видно из рис. 1.13, на некотором
расстоянии от радиостанции, где волны, идущие вдоль земной
поверхности, сильно ослабнут (точка А), приём прекратится
и окажется снова возможным лишь на некотором значитель-
ном расстоянии (точка Б), куда будут приходить волны, от-
Рис. 1.13. Отражение от ионосферы коротких волн.
ражённые от ионосферы. Участок АБ называется зоной мол-
чания. Чем короче волны, тем хуже они огибают земную
поверхность за счёт диффракции и тем ближе к радиостанции
будет граница прекращения приёма (точка А). С другой сто-
роны, более короткие волны хуже преломляются ионосферой
и поэтому граница возобновления приёма (точка Б) будет
отодвинута дальше от станции. Таким образом, с укороче-
нием волны зона молчания будет расширяться (сравните
рис. 1.13 и соответствующий более короткой волне рис. 1.14).
Зона молчания будет также расширяться при уменьшении
ионизации (например ночью).
Рис 1.14. Отражение от ионосферы коротких волн (бо--
лее коротких, чем на рис. 1.13.).
С укорочейием волны уменьшается поглощение в ионосфе-
ре, поэтому при передаче сигналов на большое расстояние.
Введение
23
стараются выбирать наиболее короткую волну из тех, кото-
рые, отразившись от ионосферы, наверняка будут преходить
в точку приёма.
Вначале дальность действия радиостанции определяли по
границе, где кончается приём радиоволн (точка А на рис. 1.13
и 1.14), предполагая, что приём не возобновится при даль-
нейшем увеличении расстояния от радиостанции. При этом
оказывалось, что чем длиннее волна, тем больше радиус дей-
ствия радиостанции. По этой причине короткие волны, как
Рис. 1.15. Прохождение ультракоротких волн через ионо-
сферу.
мало эффективные, были переданы радиолюбителям. Послед-
ние вскоре обнаружили, что с помощью коротких волн можно
передавать сигналы на очень большие расстояния при незна-
чительных мощностях передатчиков. Это дало повод провести
специальный исследования, которые показали и объяснили на-
личие зон молчания.
Ультракороткие (метровые, дециметровые и сантиметро-
вые) волны преломляются ионосферой настолько мало (рис. 1.15),
что обычно обратно на землю не возвращаются? Передача на
этих волнах может осуществляться лишь в пределах пря-
мой видимости с небольшим огибанием земной поверхности
и встречных предметов, т. е. в пределах горизонта или не-
сколько далее.
§ 1.6. Радиотелеграфия с применением электронных ламп
Искровые передатчики широко использовались до и, во вре-
мя первой мировой войны. В настоящее время они почти не
применяются. В современной радиотехнике для передачи и
приёма радиоволн применяются устройства, использующие
электронные лампы.
На рис. 1.16 изображена схема простейшего усилителя
электрических колебаний высокой частоты на трёхэлектродной
лампе. Трёхэлектродная лампа состоит из баллона, в который
24
Глава 1
Рис. 1.16. Схема усилителя на
трёхэлектродной лампе.
впаяны три изолированные друг от друга электрода и из ко-
торого удалён воздух. Один из электродов, катод К, раска-
ляется проходящим через него током от батареи Бн. Из рас-
калённого катода в окружающее пространство будут вы-
летать электроны, которые полетят на другой электрод —
анод А, поскольку последний будет иметь положитель-
ное напряжение по отношению к катоду в результате
действия батареи Ба. Между анодом и катодом распола-
гают третий электрод — сетку
С. Чем большее отрицательное
напряжение по отношению к ка-
тоду будет подано на сетку от
батареи Бе, тем сильнее она будет
отталкивать электроны, вылетев-
шие из катода, обратно, тем
меньше будет через неё проле-
тать электронов к аноду, тем
меньше будет ток, текущий че-
рез анод (анодный ток).
На сетку лампы в усилителе подают, помимо отрицатель-
ного напряжения от батареи Бс, напряжение е колебания, ко-
торое надо усилить. Это добавочное напряжение будет из-
менять напряжение сетки и тем самым менять силу анодного
тока и, следовательно, магнитный поток катушки Ь2. Маг-
нитный поток, изменяясь в такт с напряжением е и охватывая
витки катушки £2, будет наводить в них эдс с частотой, равной
частоте напряжения е.
Если контур ЦС настроить в резонанс на частоту напря-
жения е, то в нём будет течь большой ток и, следовательно.
на конденсаторе С будет большое
ние может быть в десятки раз
больше усиливаемого напряжения е.
Следует отметить, что при этом
мощность, отдаваемая источником
действующего на сетку переменно-
го напряжения, будет много меньше
мощности, выделяемой усиленными
колебаниями в контуре £2С. Дело
напряжение. Это напряже-
Рис. 1.17. Схема лампового
генератора.
в том, что напряжение на сетке
лампы не создаёт её анодный ток,
а лишь управляет им, анодный же
ток и колебания в контуре Ь2С создаются за счёт энергии,
отдаваемой батареей Ба.
Можно уподобить лампу в этой схеме ключу, замыкаю-
щему некоторую электрическую цепь. Механическая сила, при-
Введение
25
водящая в движение ключ, не создаёт электрического тока
в цепи, а лишь управляет им. Энергия, которая будет выде-
ляться в этой цепи при замыкании ключа, будет идти за счёт
эдс этой цепи и может быть много больше энергии, затра-
ченной на приведение в движение ключа, вызвавшего это за-
мыкание.
Если даваемого одной лампой усиления недостаточно, то
напряжение с конденсатора С подают на сетку другой лампы,,
включённой в такую же схему, и процесс усиления повторяют.
Такой усилитель будет хорошо усиливать лишь колебания
с частотами, близкими или равными резонансной частоте кон-
тура L^C, т. е. он будет не только усиливать, но и выделять
колебания желаемой частоты.
Рассмотренный усилитель можно использовать и как гене-
ратор колебаний высокой частоты. Для этого на сетку лампы-
вместо напряжения е нужно подать напряжение с конден-
сатора С (рис. 1.17). Если в.контуре ЦР возникнут хотя бы
ничтожные колебания, то они тотчас же передадутся на сетку
лампы и вызовут изменение анодного тока, протекающего-
через катушку индуктивности.
Это вызовет в катушке £2 эдс, которая при правильном
выборе направления витков катушек будет совпадать по фазе
с колебаниями в контуре и приведёт к тому, что эти колебания
будут усиливаться. Усиленные колебания снова передадутся
rfa сетку, вызовут изменение анодного тока и дальнейшее
увеличение колебаний в контуре и т. д. Таким образом слу-
чайно возникшие в контуре слабые колебания будут усили-
ваться до некоторой величины, определяемой типом лампы и
напряжениями батарей, питающих лампу. После этого в кон-
туре будут иметь место колебания с постоянной амплитудой’-
и частотой, равной резонансной частоте контура
fp 2тУТ£ '
Необходимые начальные колебания в контуре практически
всегда существуют под действием беспорядочного (теплового)'
движения электронов в проводниках контура и других причин..
На рис. 1.18 приведена упрощённая схема, дающая поня-
тие о работе лампового радиотелеграфного передатчика. На-
пряжение высокой частоты с колебательного контура генера-
тора Г, имеющего схему, аналогичную рис. 1.18, подаётся на
сетку лампы Л. Если ключ К разомкнут, то на сетку лампы,,
кроме колебаний высокой • частоты, подаётся отрицательное
напряжение от батареи Бе. Это напряжение должна быть на-
столько велико, чтобы электрическое поле между сеткой и
26
Глава 1
катодом не позволяло электронам долетать до анода, т. е.
чтобы анодный ток был равен нулю. Таким образом, при
разомкнутом ключе К ток в катушке и, следовательно,
эдс в катушке £2 отсутст-
вует, а следовательно, от-
сутствует и ток в антенне А.
При нажатии ключа К на
сетку лампы перестаёт пода-
ваться отрицательное нап-
ряжение от батареи Бс, ко-
Рис. 1.18. Упрощённая схема лампово-торая оказывается замкну-
го телеграфного передатчика. т0£ на сопротивленИе г. По-
этому лампа будет усили-
вать напряжение высокой частоты, подаваемое на её сетку
от генератора Г. В результате этого в катушке L2 под дей-
ствием переменного поля катушки появится эдс и по про-
водам антенны потечёт ток, создающий поле излучения.
в элементарных посылок
Рис. 1.19. Ток в антенне телеграфного передатчика при передаче
буквы «А>
При передаче буквы А, состоящей из короткой и длинной
посылки, форма кривой тока в
вать рис. 1.19.
На рис. 1.20 изображена уп-
рощённая схема, дающая поня-
тие о работе радиоприёмника
для приёма телеграфных сиг-
налов. Здесь У — усилитель вы-
сокой частоты, принцип работы
которого был описан выше. Этот
усилитель выделяет из всех ко-
лебаний, подаваемых на него из
антенны, колебания с частота-
ми, близкими к резонансной ча-
стоте контуров усилителя и уси-
ливает эти колебания. Усиленные
антенне будет соответство-
лампового телеграфного адио-
приёмника.
колебания высокой частоты по-
даются к двухэлектродной лампе — диоду Д. Диод имеет два
электрода, впаянные в баллон, из которого откачан воздух. Один
Введение
27
из электродов — катод К—раскалён проходящим через него
током от батареи Бн. Диод будет пропускать ток лишь в том
случае, когда на его электрод А, называемый анодом, будет
подано положительное напряжение по отношению к катоду,
и не будет пропускать тока, если на анод подать отрицатель-
ное напряжение, так как в этом случае излучаемые катодом
электроны будут возвращаться на катод.
Рис. 1.21. Разложение тока, текущего через дйод
при радиоприёме.
На рис. 1.21 показан ток через диод при подаче на него
•от усилителя синусоидального напряжения. Этот ток как по-
казано на рисунке, можно разложить в ряд Фурье, т. е. на
постоянную составляющую и переменные синусоидальные со-
ставляющие. Постоянная составляющая не может течь через
конденсатор и пойдет через электромагнит Э, а переменные
составляющие пойдут через конденсатор С, так как электро-
магнит будет иметь для них большое индуктивное сопротив-
ление. Под действием постоянной составляющей электромаг-
нит притянет якорь Я, в результате чего перо П прижмётся
к движущейся бумажной ленте Л и будет чертить на ней
линию.
Таким образом, каждый раз, когда на антенну будет воз-:
действовать колебание телеграфных сигналов с частотой, близ-
кой к резонансной частоте контуров усилителя, перо П будет
прижиматься к ленте и чертить на ней принятые сигналы
в виде длинных и коротких линий.
Качество работы радиотелеграфной связи -обычно характе-
ризуют скоростью передачи, которая определяется числом
элементарных посылок в секунду, причём за элементарную
посылку принимается наиболее короткая посылка. Так например,
в азбуке Морзе, где длинная посылка состоит из трёх эле-
28
Глава 1
мента рных посылок, буква А (рис. 1.13) вместе с последующей
паузой длительностью в 3 элементарные посылки будет со-
стоять из 8 элементарных посылок. Единица скорости теле-
графирования, определённая таким образом, названа бодом:
(в честь изобретателя одного из телеграфных аппаратов).
Иногда скорость телеграфирования определяют числом
международных слов в минуту, причём-за международное сло-
во условно принято слово, состоящее, вместе с последующей
паузой, разделяющей слова, из 48 элементарных посылок. Таким
образом, скорость телеграфирования в одно международное
слово в минуту будет равна
1 межд. слово/мин. =4| = 0,8бод.
DU
Скорость телеграфирования на радиотелеграфных линиях:
Советского Союза самая высокая в мире и доходит до 300—
400 слов в минуту.
Подсчитаем, чему равна длительность элементарной по-
сылки при работе со скоростью 300 слов в минуту. 300 ело»
в минуту соответствуют очевидно
300-0,8=240 бод.
Таким образом, длительность элементарной посылки пр»
этой скорости равна
^ = 0,00417 сек = 4,17 мсек.
Продолжительность длинной посылки в азбуке Морзе пр»
этой скорости будет равна 4,17-3=12,5 мсек.
Передача с такими большими скоростями осуществляется
с помощью автоматически работающей аппаратуры. В настоя-
щее время на радиоприёмных пунктах часто используются
буквопечатающие аппараты, которые, получая сигналы в виде-
длинных и коротких посылок, автоматически печатают текст
телеграммы.
Телеграфная передача на большие расстояния производится
в основном на коротких, а иногда на длинных волнах; на ма-
лые расстояния — на промежуточных волнах.
§ 1.7. Радиотелефония
На рис. 1.22 приведена упрощённая схема передачи звука
по проводам (телефония). Как видно из рисунка, схема со-
стоит из микрофона МИК, батареи Б, двухпроводной линии
(часто в качестве одного из проводов служит земля) и телефо-
на Т. Микрофон, включённый на передающем конце линии, пред-
Введение
29
ставляет капсюль, наполненной угольным порошком и закры-
тый с одной стороны мембраной Мг. При передаче речи на
мембрану действуют звуковые колебания воздуха. Под дей-
ствием колебаний воздуха мембрана начинает двигаться, что
вызывает изменение давления на угольный порошок и изме-
нение его сопротивления. Ток, текущий от батареи Б по линии,
при изменении сопротивления микрофона также будет ме-
литься по величине, причём характер этого изменения будет
соответствовать характеру звуковых волн, действующих на
мембрану микрофона.
Изменяющийся по величине ток, проходя через обмотку
•электромагнита телефона Т, находящегося на приёмном конце,
будет притягивать мембрану М2 с переменной силой, застав-
ляя её колебаться в такт колебаниям мембраны микрофона.
Колеблясь, мембрана теле-
фона вызывает колебания
воздуха, достигающие уха
слушающего.
Звуковые колебания, вы-
званные речью или музыкой,
могут быть представлены
суммой синусоидальных ко-
лебаний с частотами от 16
до 13000 гц. Для удовлет-
ворительной передачи речи
необходимо обеспечить передачу колебаний с частотами от
300 до 2400 гц, а для хорошей передачи музыки — с часто-
тами от 50 до 8000 гц.
Максимальной частоте в 8000 гц соответствует период,
равный
Мик м2
Рис. 1.22. Упрощённая схема телефон-
ной передачи по проводам.
_1_ = 0,000125 сек = 0,125 мсек.
Для передачи звука по радио меняют амплитуду тока вы-
сокой частоты в передающей антенне согласно колебанию
звука. Такое изменение амплитуды колебания высокой частоты
называется амплитудной модуляцией.
На рис. 1.23 приведена упрощённая схема, дающая понятие
о работе радиотелефонного передатчика. Она отличается от
схемы радиотелеграфного передатчика, изображённой на
рис. 1.18, тем, что на сетку лампы, дополнительно к бата-
рее Бе, даётся напряжение от трансформатора Т, которое
меняется в соответствии со звуком, действующим на мик-
рофон М.
При телеграфной передаче на сетку лампы от батареи
Бс при размыкании ключа подавалось такое отрицательное на-
30
Глава 1
А
Рис. 1.23. Упрощённая схема телефон-
ного радирпередатчика.
пряжение, что анодный ток лампы, а, следовательно, и тою
в антенне, полностью прекращался. При телефонной передаче
батарея должна быть взята меньше, а именно такой, чтобы
колебания тока лампы прекращались не полностью, а лишь-
ослаблялись. При действии звука на микрофон напряжение от
трансформатора Т, прикладываясь к напряжению батареи Б с,
будет то увеличивать, то-
уменьшать его. Соответ-
ственно ток лампы бу-
дет то увеличиваться, то-
уменьшаться и амплитуда
тока высокой частоты в-
антенне будет меняться,
таким образом, в соот-
ветствии со звуком, дей-
ствующим на микрофон.
Ток в антенне телефон-
ного передатчика изобра-
жён на рис. 1.24. Лампа
высокой частоты, назы-
Л, меняющая амплитуду колебаний
вается модулирующей лампой.
Упрощённая схема, дающая представление о работе радио-
телефонного приёмника, изображена на рис. 1.25. Она ©сли-
чается от схемы радио-
телеграфного приёмни-
ка, изображенной на
рис. 1.20, только тем,
что электромагнит Э
притягивает не якорь
пишущего рычажка, а
мембрану М. Ток через
диод, протекающий под
действием модулиро-
ванных колебаний, изо-Рис. 1.24. Ток в антенне при телефонной р».
бражённых на рис. 1.24, диопередаче.
показан на рис. 1.26.
Этот ток может быть разложен на составляющую низкой
частоты (она показана пунктиром), которая пройдёт через
электромагнит, и составляющие высокой частоты, которые
пойдут через конденсатор С. Под действием составляющей
низкой частоты электромагнит будет притягивать мембрану М с
переменной силой, соответствующей передаваемому звуку. Мем-
брана будет колебаться, создавая звуковые колебания воздуха.
Диод Д, создающий колебания низкой частоты, называют
детектором.
Введение
31
§1.8. Телевидение
м
4
Рис. 1.25. Упрошенная схе-
ма лампового телефонного-
радиоприёмцика.
енному в 1931 г, С. И. Ка- m
А. П. Константиновым. Сущ- Т
ого способа заключается в I—
Передача движущихся изображений (телевидение) осуще-
ствляется с помощью электроннолучевых трубок. Первое
предложение об использовании этих трубок для телевидения
было сделано ещё в 1907 г. преподавателем
технологического института Б. Л. Розингом.
В настоящее времй телевизионная
передача осуществляется по способу,
предложенному в 1931 г,
таевым и /
ность этого способа заключается -
следующем. Изображение И (рис. 1.27)
с пбмощью объектива О проектиру-
ется на слюдяную пластину 77, пЬме-
щённую в баллон, из которого отка-
чан воздух. На поверхности пластины,
обращённой к объективу, нанесены
мелкие крупинки металла Кр, не со-
прикасающиеся друг с другом. Когда
на крупинки попадает свет, из них выбиваются электроны, бла-
годаря чему крупинки становятся положительно заряженными
Петербургского-
Рис. 1.26. Ток через детектор при телефонной радио-
передаче.
и притягивают электроны металлического слоя С, нанесён-
ного с обратной стороны слюдяной пластины, как бы свя-
зывая их. По металлическим крупинкам пробегает электронный
луч ЭЛ, выходящий из раскалённого катода К и управляемый
электрическими или магнитными полями (на рис. 1.27 источ-
ники тока накала катода и управляющих полей не показаны).
Если крупинки, на которые попадает электронный луч, были за-
ряжены положительно, то луч их разряжает. Освободившиеся
при этом в слое С электроны создают электрический ток, про-
ходящий через сопротивление г и вызывающий на нём паде-
ние напряжения. Чем ярче свет, падающий на крупинку, тем
больший заряд получается на ней и тем больший ток пойдёт
через сопротивление г при пробегании по крупинке элек-
тронного луча.
82
Глава 1
Электронный луч обегает пластину П по строчкам, как
показано на рис. 1.28, причём Перемещение луча с конца одной
строчки в начало последующей происходит почти мгновенно
(на рисунке этот путь показан пунктиром).
Предположим, что на пластину проектируется изображение
светлой буквы Т на чёрном фоне. В этом случае закон изме-
нения напряжения и на сопротивлении г во времени будет
Рис. 1.27. Передающая телевизионная трубка»
такой, как показано на рис. 1.29. Это напряжение усиливается,
подаётся на радиопередатчик и меняет (модулирует) амплитуду
излучаемых колебаний высокой частоты. На месте приёма
колебания, принятые антенной после усиления и детектиро-
вания, принимают форму, изображённую на рис. 1.29, и пода-
Рис. 1.28. Путь, обегаемый электронным лучом при пере-
даче телевидения.
ются на управляющий электрод (сетку) электроннолучевой
трубки (рис. 1.30), меняя интенсивность электронного луча ЭЛ.
Электронный луч под действием специально создаваемых
электрических или магнитных полей обегает флюоресцирую-
Введение
щий экран Ф, нанесённый на стенку трубки, занимая в каждый
момент времени те же положения, что и электронный луч в пе-
редающей трубке. Под действием электронного луча перемен-
ной интенсивности на экране получается воспроизведение пере-
даваемого изображения.
Чем большее число строк обегает электронный луч, тем
точнее воспроизводится изображение. В настоящее время
по стандарту СССР изображение разбивается на 625 строк
и передаётся 25 изображений в секунду. Таким образом, пе-
редача одной строки занимает время
„ё = 64 • 10-’ сек = 64 мксек.
625•25
2 с трокар-
Рис. 1.29. Напряжение сигнала при передаче изображе-
ния, показанного на рис. 1.28.
Если предположить, что размер минимальной детали
изображения, которая должна быть передана, составляет
1/1000 длины строки, то мы должны передавать при пробегании
Рис. 1.30. Приёмная телевизионная трубка.
электронного луча по
этому участку импуль-
сы тока длительностью
0,064 мксек. При пере
даче по радио нужно,
чтобы такому импуль-
су соответствовало по
крайней мере несколь-
ко периодов высокой
частоты. Если предположить, например, что длительности
импульса соответствует 5 периодов высокочастотных коле-
баний, то мы получим, что частота радиостанции должна рав-
няться
что соответствует длине волны
\ _ с ___ зло8 Q Q м
I— f — .8 loa~3,»jH.
3 Основы радиотехники
34
Глава 1.
Из этого грубого расчёта видно, что современное теле-
видение может передаваться только на метровых или ещё
более коротких волнах.
В предыдущих параграфах мы видели, что минимальная
длительность телеграфной посылки при работе со скоростью
300 слов в минуту равна 4,17 мсек, а минимальный период при
передаче речи и музыки равен 0,125 мсек. Таким образом,
эти длительности соответственно в 65 000 раз и в 2000 раз
больше длительности минимального импульса при передаче
телевидения. Поэтому радиотелеграфия и радиотелефония
могут вестись на более низких частотах, т. е. на более длинных
волнах, чем телевидение.
§ 1.9. Радиолокация
Радиолокация служит для обнаружения и определения
местоположения различных объектов (самолётов, судов и т. п.),
а также для ориентации их в пространстве в любое время
независимо от состояния погоды — ночью, в туман, в дождь,
в метель и т. д. В радиолокации используются свойства пред-
метов отражать радиоволны, Впервые обнаруживал положение
морских судов с помощью радиоволн А. С. Попов ещё в 1897 г.
Тогда же им были высказаны соображения о возможности
использования этих волн для целей радиолокации.
В современной радиолокации радиоволны с помощью пово-
рачивающейся антенны посылаются узким пучком в различных
направлениях. Если на их пути попадётся какой-либо предмет,
то они отражаются от него обратно и принимаются приёмником
той же радиолокационной станции. По направлению, с которого
приходят отражённые волны (это направление определяется
положением антенны), судят о направлении на отражающий
объект, а по времени, которые затрачивает радиоволна на
прохождение пути от радиолокатора до объекта и обратно,
судят о расстоянии до него.
Для обнаружения объектов направление посылки и приёма
радиоволн всё время меняют, „обшаривая" окружающее про-
странство. Для того, чтобы облегчить определение времени
распространения волны до объекта и обратно, а также, чтобы
сэкономить енергию, передатчик радиолокатора излучает
весьма короткие импульсы — в несколько микросекунд или
даже долей микросекунды.
Для удобства создания узких направленных пучков радио-
волн, излучаемых в течение очень коротких промежутков
времени, в радиолокации используют метровые, дециметровые
и сантиметровые волны.
Введение
3$
§ 1.10. Развитие радиотехники в СССР
Радио, обязанное своим созданием великому сыну русского
народа А. С. Попову, в царской России, как уже указывалось
в § 1.4, развивалось слабо. Лишь после Великой Октябрьской
революции в нашей стране начался бурный реет радиотех-
ники.
История этого роста теснейшим образом связана с именами
В. И. Ленина и И. В. Сталина. С первых же дней установ-
ления Советской власти они оценили роль радио и использо-
вали его не только как средство связи, но и как могучее
средство агитации и пропаганды.
В. И. Ленин первый положил начало принципиально новому
использованию радио — использованию его для массового
вещания. Началом радиовещания можно считать известное
обращение Ленина „Всем, всем." по радио в первые дни суще*
ствования Советской республики, 12 ноября 1917 г., в котором
сообщалось об образовании советского правительства и о по*
беде над Керенским (Ленин, Сочинения т. 26, стр. 239, издание
четвёртое). 22 ноября 1917 г. было снова передано: „Радио
всем", в котором Ленин обращался ко „всем полковым, диви-
зионным, корпусным, армейским и другим комитетам, всем
солдатам революционной армии и матросам революционного
флота", через голову ставки, требуя начала переговоров о мире
и информируя о смещении старого главнокомандующего, не
подчинившегося правительству (Ленин, т. 26, стр. 279).
И в дальнейшем советское правительство регулярно использо-
вало в больших масштабах радио для связи с широкими мас-
сами и для политической работы среди масс.
Предвидя громадную роль, которую должно сыграть радио
в развитии нашей страны, в 1918 г. несмотря на крайне тяжёлое
положение, вызванное гражданской войной, блокадой и раз-
рухой, по инициативе В. И. Ленина были приняты постановления
правительства о централизации радиотехнического дела в руках
государства и о создании большой радиолаборатории и мастер-
ской Народного комиссариата почт и телеграфов в Нижнем
Новгороде. После создания радиолаборатории В. И. Ленин
неустанно заботился о её развитии.
Радиовещание в нашей стране имеет очень большое поли-
тическое и культурное значение. Оно начало широко разви-
ваться с 1924 г., когда И. В. Сталин подписал исторический
декрет „О частных приёмных радиостанциях", способствовав-
ший развитию широкой радиослушательской аудитории и радио-
любительства в нашей стране. В том же 1924 г. началось
регулярное высококачественное вещание через Московскую
радиостанцию, построенную А. Л. Минцем и И. Г. Кляцкиным
3*
36
Глава I
В последующие годы наша страна всё в большей и большей
степени покрывалась сетью радиостанций. Особые успехи были
достигнуты в деле сооружения мощных и сверхмощных ра-
диовещательных станций. В результате этого СССР занимает
первое место в мире как по мощности отдельных радиостанций,
так и по их суммарной мощности.
Помимо звукового, в настоящее время начинает развиваться
и телевизионное вещание. Сейчас в СССР регулярно работают
два телевизионных центра: в Москве и Ленинграде.
Большое значение для нашей страны с её необъятными
просторами имеет и радиосвязь, с помощью которой ведётся
передача телеграмм и фототелеграмм, а также осуществляются
телефонные переговоры. Наша страна имеет самую мощную
сеть радиосвязи и, как уже говорилось, скорость передачи на
наших радиотелеграфных линиях наибольшая в мире.
Радиосвязь играет незаменимую роль для связи с подвиж-
ными объектами — с морскими судами и самолётами (в настоя-
щее время все они оборудованы средствами радиосвязи). Она
широко применяется и для связи с полевыми сельскохозяй-
ственными бригадами, поездами и речными судами, улучшая
организацию работ и тем самым сильно увеличивая произво-
дительность труда. В годы Великой Отечественной войны
радиосвязь благодаря её подвижности показала своё преиму-
щество перед другими видами связи. О важности радиосвязи
неоднократно указывалось в директивах Ставки Верховного
Г лавнокомандования.
Радионавигация, позволяющая морским судам и самолётам
ориентироваться в пространстве в любое время и в любую
погоду, также широко используется в нашей стране. В деле
самолёто- и судовождения всё большее применение находит
радиолокация.
Радионавигация и радиолокация широко применяются также
в военном деле и их развитие имеет большое значение в укреп-
лении обороноспособности страны.
Радиосредства получили широкое применение и в промыш-
ленности для целей контроля, для поверхностного нагрева
деталей высокой частотой при закалке, для сушки дерева
и т. п. Большую роль в развитии этой отрасли радиотехники сыг-
рал пионер радиотехники чл-корр. АН СССР В. П. Вологдин.
Широкое развитие радиотехники в Советском союзе связано
с развитием мощной радиопромышленности, о масштабах
которой можно судить хотя бы по тому, что в соответствии
С пятилетним планом в 1950 г. ею было выпущено много сотен
тысяч шт. радиовещательных приёмников, не говоря уже о
Других многочисленных радиоприборах.
Введение
37
Ясно, что радиотехника могла получить столь большое
развитие в Советском Сорзе благодаря трудам многих радио-
специалистов, указать имена и заслуги которых в этом кратком
введении нет возможности. Однако даже при первом, весьма
беглом, знакомстве с радиотехникой необходимо хотя бы кратко
ознакомиться с рядом хорошо известных как в нашей стране,
так и за рубежом радиоспециалистов, очень многое сделавших
для развития радио в Советском Союзе и способствовавших
тому, что наша страна занимает ведущее место в этой быстро
растущей отрасли техники, открывающей всё новые и новые
возможности перед человечеством.
Научным руководителем созданной по инициативе
В. И. Ленина Нижегородской радиолаборатории был М. А. Бонч--
Бруевич (1888—1940). Под его руководством лаборатория сдела*
ла очень многое для развития радио в нашей стране, во многих
областях обогнав заграничные достижения, несмотря на труд-
ные условия работы в то время.
В дальнейшем эта лаборатория была переведена в Ленин-
град и являлась научным центром развивающейся радиопро-
мышленности. М. А. Бонч-Бруевич был избран членом-кор-
респондентом АН СССР и до самой смерти продолжал боль-
шую научную, изобретательскую и педагогическую работу.
Большую роль в развитии теории радиотехники сыграл
академик М. В. Шулейкин (1884—1939 гг.), создатель советской
школы радиоспециалистов. Его работы в области распростра-
нения радиоволн, антенн, радиоприёма имели громадное зна-
чение. Читанные им курсы по различным разделам радиотех-
ники воспитали многих радиоспециалистов, играющих ведущую
роль в развитии радиотехники.
В развитии радиотехники большое значение имеют вопросы
распространения радиоволн. Наши учёные провели большие
работы по их изучению. По вопросам распространения длинных
волн было многое сделано академиком М. В. Шулейкиным, по
распространению коротких волн чл.-корр. АН СССР А. Н. Щу-
киным и, наконец, по вопросам распространения ультракоротких
волн академиком Б. А. Введенским.
Передающие антенны, создающие поле излучения и приёмные
антенны, улавливающие энергию из этого поля, являются одним
из наиболее важных и сложных объектов радиотехники. По тео-
рии, расчёту и созданию новых типов антенн многое было
сделано академиком М. В. Шулейкиным, проф. И. Г. Кляцкиным
и чл.-корр. АН СССР А. А. Пистолькорсом.
Академик А. И. Берг, чл.-корр. АН СССР А. Л. Минц,
М. А. Бонч-Бруевич и проф. И. Г. Кляцкин сыграли весьма
значительную роль в развитии теории и методов расчёта,
а также в строительстве радиопередающих станций.
38
Глава 1
Развитие техники радиоприёма многим обязано трудам проф.
В. И. Сифорова и доктора технических наук П. Н. Куксенко.
Наконец, нельзя не отметить большие работы, которые были
проделаны в СССР по теории генерации колебаний, имеющей
большое значение для радиотехники. Для создания этой теории
потребовалось разрабатывать специальные разделы математики.
В этой области следует отметить работы академиков Л. И. Ман-
делыптама(1879—1944),Н. Д. Папалекси (1880—1947)и А. А. Ан-
дронова.
Трудно осветить в этом кратком обзоре весь комплекс работ,
проведённых в СССР по развитию радио, но уже беглое
перечисление фактов и имён говорит об их огромном объёме.
Естественно, что такая огромная работа не могла бы быть
выполнена, если бы партия, правительство и лично товарищ
Сталин, под непосредственным руководством которого разра-
батывался план развития радио, не уделяли радиотехнике столь
большого внимания. О внимании правительства к темпам дви-
жения радиотехники вперёд в нашей стране можно судить и
по тому факту, что ежегодно нескольким десяткам радиоспе-
циалистов присваиваются за выдающиеся работы звания лау-
реатов Сталинской премии.
2 мая 1945 г., в день взятия Берлина, И, В. Сталин подписал
постановление Совета Народных Комиссаров об увековечении
памяти изобретателя радио А. С. Попова и об установлении
7 мая ежегодного Дня радио. Это решение ещё раз показало,
какое значение придаёт наше правительство и лично товарищ
Сталин радиотехнике.
Более полувека прошло с тех пор, как А. С. Попов изобрёл
радио. Прошедшие годы показали, что русские учёные оказа-
лись достойными продолжателями дела своего гениального
предшественника. Несомненно, что и в будущем страна,
явившаяся родиной великого открытия, даст миру ещё много
новых открытий и разработок в этой быстро развивающейся
области техники.
§ 1.11. Содержание курса
Курс «Теоретические основы радиотехники" будет изложен
в трёх частях.
В первой части рассматриваются вопросы, касающиеся
электрических параметров деталей радиотехнических уст-
ройств — конденсаторов, катушек индуктивности и элементов
сопротивления; колебательного контура и воздействия на него
различных модулированных колебаний и импульсов; двух свя-
занных колебательных контуров и воздействия на них различных
модулированных колебаний и импульсов.
Введение
39
Во второй части курса будут рассмотрены вопросы усиления
колебаний, генерации колебаний синусоидальной и несинусои-
дальной формы и преобразования колебаний (модуляция,
детектирование, деление и умножение частоты, ограничение,
электрическое интегрирование и дифференцирование).
Наконец, в третьей части курса будут рассмотрены вопросы,
касающиеся сложных резонансных систем, применяемых на
дециметровых и сантиметровых волнах, а также вопросы,
касающиеся применяемый в радиотехнике четырёхполюсников
и фильтров.
ЛИТЕРАТУРА К 1 ГЛАВЕ
1. А. И. Берги М. И. Радовский. Изобретатель радио А. С. По-
пов. Госэнергоиздат, 1950 г.
2. С. Кин. Азбука радиотехники. Госэнергоиздат, 1939 г.
3. А. Я. Клопов. Путь в телевидение. Госэнергоиздат, 1949 г.
4. С. А. Бажанов. Что такое радиолокация. Военное издательство,
1-949 г.
5. Развитие радиотехники в СССР за 30 лет (1917—1947). Журнал
.Радиотехника* № 8, 1947 г.
6. Краткая биография М. В. Шулейкина. Журнал .Радиотехника*
№ 4, 1949 г.
7. Краткая биография М. А. Бонч-Бруевича. Журнал .Радиотех-
ника* № 2, 1950 г.
8. Краткая биография В. П. Вологдина. Журнал .Радиотехника*
№ 4, 1948 г.
9. Биография Л. И. Мандельштама. Полное собрание трудов
Л. И. Мандельштама, т. 1. Издательство АН СССР, 1948 г.
10. Краткая биография А. Л. Мннца. Журнал .Радио* № 6, 1947 Г.
ГЛАВА 2
ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
(КОНДЕНСАТОРЫ, КАТУШКИ ИНДУКТИВНОСТИ,
ЭЛЕМЕНТЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ)
§ 2.1. Вводные замечания
Изложение курса теоретических основ радиотехники мы
начнём с изучения, основных элементов радиотехнических це-
пей: конденсаторов, катушек индуктивности и элементов со-
противления, применяемых в радиотехнике.
Конденсаторы и катушки индуктивности используются для
образования колебательных контуров, необходимых для вы-
деления, усиления и генерирования колебаний различной,
частоты. Об этом уже упоминалось в § 1.3. Кроме того, кон-
денсаторы и катушки индуктивности используются и для мно-
гих других целей, которые будут ясны из дальнейших разде-
лов курса. Как велики масштабы применения этих элементов
видно хотя бы из того, что современная радиопромышленность
потребляет в сутки сотни тысяч, а иногда и миллионы конден-
саторов. Широко применяются в радиотехнике и элементы
сопротивления. Элементами сопротивления мы будем-называть
элементы электрических цепей, активная составляющая про-
водимости которых велика по сравнению с реактивной.
Все упомянутые элементы могут либо обладать постоян-
ными параметрами (ёмкостью, индуктивностью, активным со-
противлением), либо иметь такую конструкцию, которая по-
зволяет изменять эти параметры скачкообразно или плавно.
Детали с переменными параметрами необходимы для обеспе-
чения возможности изменения резонансной частоты колеба-
тельного контура (для этой цели используются конденсаторы
переменной ёмкости и катушки переменной индуктивности),
для подбора параметров цепей и т. д.
Весьма существенным является вопрос стабильности па-
раметров элементов при изменении внешних условий — в основ-
ном влажности и температуры.
Защита деталей от влаги не вызывает принципиальных за-
труднений. Для этого помещают детали в герметически
Основные элементы радиотехнических цепей
41
закрытые кожуха, покрывают их влагонепроницаемыми лаками,
применяют изоляторы из негигроскопичного материала и т. д.
Значительно труднее уменьшить нестабильность параметров,
вызванную изменением температуры. Эта нестабильность ха-
рактеризуется так называемым температурным коэффициентом
(сокращённо — ТК). Изменение ёмкости конденсатора при из-
менении температуры на будет равно
ЬС = С ТКСМ°,
где С —величина ёмкости конденсатора, ТКС — температур-
ный коэффициент ёмкости,
.рлгл_ДС 1
отсюда ТКС=-£- ур.
Температурный коэффициент индуктивности (TKL), сопро-
тивления (TKR), магнитной проницаемости (ТКр) и другие
определяются совершенно аналогичными формулами.
Особенно существенным является вопрос стабильности ре-
зонансной частоты контура, равной шр=-^== при изменении
температуры.
Действительно, определяет частоту лампового генератора
и частоту, которую будет выделять ламповый усилитель
(см. §1.6). Если вследствие изменения температуры на Д/°
ёмкость и индуктивность контура изменяются на величины
Д С и Д L, то резонансная частота контура изменится на ве-
личину, Д шр, равную
Из поЛучёйного выражения видно, что изменение резонанс-
ной .частоты пропорционально величинам температурных коэф-
фициентов ёмкости и индуктивности. Чем меньше ТКС и TKL,
тем меньше Д®р. Если величины ТКС и TKL равны по абсо-
лютной величине и противоположны по знаку, то Доу=О и ре-
42
Глава 2
зонансная частота контура не зависит от изменения темпера-
туры.
Уменьшение температурных коэффициентов достигается
соответствующим подбором материалов и конструкций деталей
(несколько подробнее об этом будет сказано ниже).
В последующих параграфах будут выведены формулы для
определения полного сопротивления конденсатора, катушки
индуктивности и элемента сопротивления на радиочастотах,
а также будут описаны их типы и конструкции.
§ 2.2. Энергетический метод определения
полного сопротивления
Параметры элементов цепей на высоких частотах могут
отличаться от их параметров на низких частотах.
Причиной этого является: частичное превращение энергии
электрического поля высокой частоты в тепловую энергию
в диэлектриках, поверхностный эффект в проводах, вихревые
токи в проводниках, вызванные высокочастотным магнитным
полем, токи смещения между отдельными частями катушек
индуктивности и элементов сопротивления и т. п. Под влия-
нием этих причин на очень высоких частотах конденсаторы,
например, могут иметь индуктивное сопротивление, а катуш-
ки индуктивности — ёмкостное.
Для определения полного сопротивления конденсатора,
катушки индуктивности, элемента сопротивления, а также
других цепей на высокой частоте, бывает удобно пользоваться
энергетическим методом, к изложению которого мы и пере-
ходим.
Можно доказать, что если к некоторой цепи, могущей
иметь любые разветвления, но не содержащей источников
энергии и элементов с переменными параметрами, подведено
синусоидальное напряжение
п= i/mcos(<»£-H) (2.1)
и под действием этого напряжения в цепи течёт ток
Z = /mcos(<of 4-'f), (2.2)
то для цепи будут справедливы следующие соотношения:
£//соз(ф-ф)== i t7m7mcos (Ф — Т) = Р, (2.3)
Основные элементы радиотехнических цепей
43
= sin(<|>-<p) =2<»(1ГЖ-1Г,), (2.4)
где Р — средняя за период мощность, поглощаемая этой
_______ цепью;
WM — средняя за период энергия магнитного поля, со-
__ зданного токами цепи;
Wa — средняя за период энергия электрического поля,
созданного напряжениями цепи;
U = — эффективное значение напряжения, действующего
на цепь;
J = — эффективное значение тока, текущего через цепь;
<|> и <р — соответственно сдвиги фаз для напряжения и тока
относительно колебания cos<ofl);
(Ф — ?) — сдвиг фаз между напряжением и током.
Выражение (2.3) определяет активную мощность, погло-
щаемую цепью; выражение (2.4) — реактивную мощность. Вы-
вод этих выражений приведён в приложении 1 в конце книги.
С помощью ф-л (2.3) и (2.4) нетрудно определить полное
сопротивление цепи Z или её проводимость Y.
Представим напряжение (2.1) и ток (2.2) в комплексной
форме:
и = 1/е‘Ф,
Здесь U и I — комплексные числа, модули которых ' соот-
ветственно равны эффективным значениям напряжения и то-
ка, а аргументы — сдвигам фаз.
Полное сопротивление цепи равно
„ _ и _
4 - I — 7 •
Умножая числитель и знаменатель на / и, раскрывая е1^-’)
до формуле Эйлера, получаем
UI cos (ф — <р) + iUI sin (<р — <р)
р •
*) Иногда сдвиг фаз отсчитывают относительно колебания sin a>t. Мы в
дальнейшем всегда сдвиг фаз будем брать по отношению к cos ®/.
44
Глава 2
Подставив вместо слагаемых числителя их значения, опре-
деляемые ф-лами (2.3) и (2.4), будем иметь
Л । ; 2ш(^- 1Г9)
/• т * /»
(2.5>
Аналогичным способом может быть найдена проводимость
цепи
V — 1 — 1 —/е* <<Р”Ф) — Wcos(<p-4/) + iWsin(<p-f)
Y — Z~U ~ (J ~ и*
откуда на основании ф-л (2.3) и (2.4)
Р_ I .• 2v(wM-W,)
и* "Г и*
(2.6>
Из ф-л (2.5) и (2.6) видно, что активные составляющие
сопротивления и проводимости любой цепи зависят от погло-
щаемой ею мощности, а реактивные составляющие — от раз-
ности магнитной и электрической энергии поля.
__Формулой (2.5) мы будем пользоваться, когда Р, WM и
Wa удобно выразить через /, а ф-лой (2.6), когда эти вели-
чины удобно выразить через U.
§ 2.3. Потери энергии в конденсаторе.
Полное сопротивление конденсатора с потерями
Прн прохождении тока высокой частоты через реальный
конденсатор часть электрической энергии превращается в
тепловую, т. е. происходит, как говорят, потеря электриче-
ской энергии. Эта потеря энергии вызывается тем, что заря-
женные атомы диэлектрика движутся под влиянием электри-
ческого поля и из-за внутреннего трения нагревают диэлек-
трик. Кроме того, некоторые потери происходят из-за нагрева
пластин конденсатора проходящим по ним током, а также
из-за того, что часть энергии электрического поля может из-
лучаться в пространство. Однако двумя последними источни-
ками потерь в большинстве случаев можно пренебречь по
сравнению с потерями в диэлектрике, которые часто бывают
весьма значительными.
Основные элементы радиотехнических цепей
45
Опыт показывает, что мощность dP, теряемая в некотором
объёме диэлектрика dV равна
dP = K<oE*dv,
где £2 —среднее значение квадрата напряжённости электри-
ческого поля в объёме dV за период,
® — угловая частота поля,
к — коэффициент, определяемый материалом диэлектри-
ка. Он может также зависеть от частоты и напряжён-
ности электрического поля (при очень больших её
значениях, близких к пробивным).
Предполагается, что электрическое поле в объёме dV од-
нородно.
Если предположить, что электрическое поле конденсатора
сосредоточено в однородном диэлектрике, то мощность, те-
ряемая в нём, очевидно, будет равна
Р = к ы ф E2dV. (2.7)
v
Интеграл берётся по всему объёму диэлектрика.
Средняя за период энергия электрического поля конден-
сатора, как известно, равна
W3= $-9е'2Е* dV=e-^ (f)E*dV= , (2.8)
V V
откуда
(И)
Здесь С — ёмкость конденсатора,
U — эффективное значение напряжения, приложенного
к конденсатору,
ев — диэлектрическая проницаемость вакуума,
е, — относительная диэлектрическая проницаемость ди-
электрика.
Из ф-л (2.7) и (2.9) получаем
P = 2<»We— =иг<оС—.
'««е, еое,
(2.1Ю)
46
Глава 2
Подставляя ф-лы (2.8) и (2.10) в (2.6) и полагая WM=Q, по-
лучим выражение для проводимости конденсатора с потерями •-
Y = <oC —+ i<»C (2.11)
е0 er
Рис. 2.1. Век-
торное изобра-
жение прово-
димости кон-
денсатора с по-
терями.
Таким образом, конденсатор с потерями имеет, кроме реак-
тивной, активную составляющую проводимости.
При заданном напряжении на конденса-
торе с увеличением частоты_увеличивается
ток через него и энергия WM магнитного
поля, вызванного этим током. Это вызывает
в соответствии с ф-лой (2.6) уменьшение
реактивной проводимости конденсатора. В ре-
зультате этого на некоторой частоте реактив-
ная проводимость конденсатора сделается
равной нулю и затем будет иметь индук-
тивный характер. Однако до частот, на ко-
торых длина волны сделается соизмеримой
с размерами пластин конденсатора, величиной
WM обычно бывает можно пренебречь по
сравнению с We и ф-ла (2.11) будет справед-
ливой. Проводимость Y и её составляющие
изображены на рис. 2.1 соответствующими
векторами. В случае отсутствия активной со-
ставляющей вектор проводимости Y был бы
сдвинут относительно действительной оси на угол 90°. В дан-
ном случае этот сдвиг меньше 90° на угол 8, называемый
углом потерь. Как видно из рисунка, угол потерь может
быть найден из следующего соотношения:
о>С—
tc8==_^ = _2L_. (2-12)
Очевидно, что сдвиг фаз между напряжением, приложен-
ным к конденсатору, и током, протекающим через него, так-
же будет меньше 90° на угол 8.
Чем больше потери энергии в конденсаторе, тем больше
активная составляющая проводимости и угол потерь. Как вид-
но из ф-лы (2.12), угол потерь определяется свойствами ди-
электрика и не зависит от формы и размеров конденсатора.
Обычно tg8 С 1.
В приложении 2 указаны значения ег и tgS некоторых ди-
электриков, используемых в радиотехнике.
Основные элементы радиотехнических цепей
47
Поскольку в таблицах обычно бывают даны значения tg8,
введём его в ф-лы (2.10) и (2.11).
Получим:
Р = 2ш lT,tg8 = £72®Ctg8,
(2-13)
Гспар uCtyS
Y = ®Ctg8 + jmC. (214)
Из ф-лы (2.14) видно, что кон-
денсатор с потерями может быть
заменён схемой из двух парал-
лельных ветвей — ветви, имеющей
активную проводимость, равную
®Ctg8, т. е. являющуюся сопротив-
лением re пар= и ветви, име-
ющей проводимость i«C, т. е. являю-
щейся конденсатором без потерь
с ёмкостью С (рис. 2.2). Эта схе-
ма называется параллельной схемой замещения конденса-
тора.
Конденсатор с потерями можно заменить и последователь-
ной схемой замещения. Для нахождения параметров этой
схемы найдём полное сопротивление конденсатора
Рнс. 2.2. Параллельная схема
замещения конденсатора с по-
терями.
7 = — = 1 .
Y wCtgS + *
Освобождаясь от мнимости в знаменателе, будем иметь
__ tgb — i _ tgS . 1 .
u>C(tg25 -f- 1) wC/7 0>C/7
(2.15)
где
СЛ=С(1 + tg28).
На основании этой формулы последовательная схема заме-
щения будет состоять из последовательно включённых кон-
денсатора без потерь с ёмкостью Сп и активного сопротив-
ления, равного
_ —-М
с шСп '
(2.16)
48
Глава 2
Последовательная схема замещения изображена на рис. 2.3.
В большинстве случаев tg8<^ 1 и Сц~С-
Иногда конденсатор характеризуют его добротностью Qc,
которая равна отношению реактивного сопротивления кон-
денсатора к активному. Таким образом,
Qc=
шС/7 1
~Гс ’
(2.17)
Если взять отношение максимальной энергии
поля конденсатора
ctj%
waM=-^- = cuz
&
к энергии, теряемой в нём за период
Рис. 2.3. После-
довательная схе-
ма замещения
конденсатора с
потерями.
то получим
2гс
«ли, поскольку со = —
№r=TP=rtAoCtg8,
W9M___ V
wr ~ TwtgS
1 =Qc
wT 2rctg& 2те
(2.17а)
О
1
Пример 2.1. Для частоты о) = 105 1/сек найти параметры параллельной
и последовательной схемы замещения конденсатора с потерями. Ёмкость
конденсатора равна С — 1000 пф, тангенс угла потерь диэлектрика tgfc = 10 8.
Решение. Для параллельной схемы замещения [см. ф-лу (2.14)]:
Г тао = —Цг = -----------------= 10е ОМ = 1 мгом, С ” 1000 пф.
спар «.CtgS ЮМОМО-.'МО"»
Для иВСЯеДовательной схемы замещения [см. ф-лу (2.15)]
tgB 1°"8 1
гс - "ЙС ° 10М0»10-“
Основные элементы радиотехнических цепей
49
Сп~ С = 1000 пф (поскольку tg2o = 10~б<^1).
Пример £2 Найти мощность потерь в конденсаторе предыдущего при-
мера, если к конденсатору приложено напряжение с частотой <*> = 106 Х/сек
и эффективным значением U = 1000 в.
решение. На основании ф-лы (2.13) имеем
Р = U^Ctgb = (103 4)2-10бЛ03-10“12-10“3 = 1 вт.
§ 2.4. Типы и конструкции конденсаторов
постоянной ёмкости
Конденсаторы обычно классифицируют по типу диэлектри-
ков, применяемых в них. Наибольшее распространение полу-
чили следующие типы конденсаторов:
а) воздушные конденсаторы (диэлектрик — воздух);
б) слюдяные конденсаторы (диэлектрик — слюда);
в) керамические конденсаторы (диэлектрик — специальная
керамика);
г) бумажные конденсаторы (диэлектрик — бумага, пропи-
танная минеральным маслом, вазелином, воском или смолами);
д) электролитические конденсаторы (диэлектрик — слой
окиси алюминия).
Воздушные конденсаторы постоянной ёмкости приме-
няются сравнительно редко из-за их громоздкости (ёмкость
на единицу объёма у них мала). Кроме того, невелика их
электрическая прочность1).
Достоинством этих конденсаторов являются ничтожно ма-
лые потери (поскольку tg8 воздуха мал) и большая стабиль-
ность ёмкости. Поэтому они применяются в качестве этало-
нов ёмкости и в колебательных контурах радиопередатчиков.
В последнее время вместо воздушных конденсаторов иногда
применяют конденсаторы газонаполненные (диэлектрик — сжа-
тый газ) и вакуумные (диэлектрик — вакуум). Эти конденса-
торы имеют повышенную электрическую прочность.
Воздушные конденсаторы обычно изготовляются в виде
системы плоских пластин, реже — в виде коаксиальных ци-
линдров. На рис. 2.4 изображён плоский воздушный конден-
сатор, на рис. 2.5 — вакуумный цилиндрический конденсатор.
Ёмкость воздушных конденсаторов бывает от нескольких пико-
фарад до тысяч пикофарад.
Слюдяные; конденсаторы применяются очень широко. Они
обладают малым углом потерь, высокой электрической проч-
*) Электрическая прочность определяется величиной пробивного напря-
жения.
4 Основы радиотехники
50
Глава 2
Рис. 2.4. Плоский воздушный конденсатор:
1 — изолятор колонок (основание), 2 — вы-
вод, 3 — пластина 1-й группы, 4 — плас-
тина 2-й группы, 5 — шайба, определяю-
щая расстояние между пластинами,
6 — стягивающая шпилька.
Рис 2 5 Вакуумный конденсатор.
ностью и хорошей ста-
бильностью ёмкости. Кон-
структивно эти конден-
саторы выполняются в
виде двух групп плоских
обкладок из свинцово-
оловянной или медной
фольги, разделённых меж-
ду собой листочками слю-
ды (рис. 2.6). Для улучше-
ния влагостойкости кон-
денсаторы помещаются в
футляр и заливаются па-
рафином или запрессо-
вываются в пластмассу.
Внешний вид конденса-
тора, запрессованного в
пластмассу, приведён на
рис. 2.7.
В слюдяных конденса-
торах, к которым предъ-
являются повышенные
требования в отношении
стабильности ёмкости, об-
кладками являются тонкие
слои серебра, нанесённые
на листочки слюды.
Ёмкость слюдяных
конденсаторов обычно
бывает от десятков пико-
фарад до единиц микро-
фарад.
Наряду со слюдяными
конденсаторами в радио-
техническую практику
всё шире внедряются ке-
рамические конденсато-
ры. Диэлектриком у этих
конденсаторов является
специальная титаносодер-
жащая керамика (тиконд,
тимаг, тидол и т. д.),
обладающая большой ди-
электрической проницае-
мостью и очень малыми
потерями.
Основные элементы радиотехнических целей
51
В последнее время
в Советском Союзе по-
лучена титанобариевая
керамика (тибар), от-
носительная диэлект-
рическая проницае-
мость которой дости-
гает 5000—10000. К со-
жалению, сравнительно
высокие потери и силь-
ная зависимость ег от
температуры и прило-
женного напряжения
пока ограничивают её
применение.
Особенность неко-
торых типов керами-
ческих конденсаторов
состоит в том, что ём-
кость их уменьшается
с увеличением темпе-
ратуры в то время, как
индуктивность катуш-
ки, ёмкость воздушных
и слюдяных конденса-
торов с увеличением
температуры растут.
Если такой керамичес-
кий конденсатор вклю-
чить в колебательный
контур, то можно до-
биться того, что ре-
зонансная частота кон-
тура почти не будет
зависеть от темпера-
туры. Во многих слу-
чаях это весьма суще?
ственно.
Конструктивно ке-
рамические конденса-
торы выполняются в
виде цилиндров и дис-
ков из керамики, на по-
верхности которых на-
носятся слои серебра,
являющиеся обкладка-
Рис. 2.6. Слюдяной конденсатор.
Рис. 2.7. Слюдяной конденсатор, запрес-
сованный в пластмассу.
Рис. 2.8. Керамические конденса-
торы.
4*
52
Глава 2
ми конденсатора. Соединение обкладок с выводами произво-
дится посредством пайки (рис. 2.8). Ёмкость керамических кон-
денсаторов бывает от единиц пикофарад до тысяч пико-
фарад.
Рис 2.9. Бумажный конденсатор
(схема намотки).
Рис. 2.10. Бумажный конденсатор
(конструкция).
изготовляют с большими значе-
Фарфоровая трубка
бумажный
конденсатор
Выводы
Бумажные конденсаторы
ниями ёмкости, чем воздушные, слюдяные или керамические.
Конденсаторы изготовляют свёртыванием в рулон двух лент
алюминиевой фольги, разделённых между собой слоями бумаги
(рис. 2.9). Алюминиевые ленты служат
обкладками конденсатора. К обеим лен-
там прикрепляют выводы. После свёр-
тывания рулона его пропитывают мас-
лом, вазелином или иным диэлектриком
и помещают в герметическую метал-
лическую коробку. Выводы из коробки
делают через стеклянные или пластмас-
совые проходные изоляторы (рис. 2.10).
Иногда намотанный рулон помещают в
фарфоровую трубку,запаянную с обоих
концов (рис. 2.11).
В электролитическом конденсаторе
диэлектриком служит тончайший слой
окиси алюминия (оксида), нанесённый хи-
мически на алюминиевый электрод (анодЧ
являющийся одной обкладкой конденса-
тора. Второй „обкладкой" служит слой электролита, сопри-
касающийся с оксидной плёнкой. Электролит находится в
алюминиевом стаканчике, изолированном от анода. Этот ста-
канчик служит выводом второй „обкладки" (рис. 2.12).
Электролит состоит из водного раствора борной кислоты
Рис. 2.11. Бумажный
конденсатор в фарфо-
ровой трубке.
Основные элементы радиотехнических цепей
53
с добавками аммиака или буры. Электрическая прочность
оксидной плёнки очень велика (миллионы вольт на сантиметр),
поэтому её можно делать очень тонкой, что, естественно, ве-
дёт к повышению ёмкости.В силу этого электролитические кон-
денсаторы обладают очень большой удельной ёмкостью на
единицу объёма. Оксидная плёнка обладает большой прочно-
стью при условии, что на анод подаётся положительный по-
тенциал, а на алюминиевый стаканчик — отрицательный. По-
этому электролитические
конденсаторы можно при-
менять только в таких це-
пях, где напряжение не ме-
няет своего знака.
Более широкое распро-
странение получили элект-
ролитические конденсаторы
несколько иной конструк-
ции, так называемые сухие
или полусухие. Они изго-
тавливаются так же, как
бумажные конденсаторы с
той лишь разницей, что од-
на лента алюминиевой фоль-
ги перед намоткой покры-
вается слоем окиси алюми-
ния. Прокладкой между
лентами служит фильтро-
вальная бумага, пропитан-
Рис. 2 12. Электролитический
конденсатор.
ная густым электролитом.
Электролитические конденсаторы обычно имеют ёмкость от
десятых микрофарад до тысяч микрофарад.
В приложении 3 приведены значения tgo и ТКС основных
типов конденсаторов постоянной ёмкости. Отметим, что угол
потерь конденсатора всегда больше угла потерь диэлектрика,
используемого в конденсаторе за счёт дополнительных потерь
в изоляторах, пластмассовой опрессовке и т. д.
В приложении 4 приведены формулы для расчёта ёмкости
плоских и цилиндрических конденсаторов.
§ 2.5. Типы конденсаторов переменной ёмкости
Конденсаторы переменной ёмкости—эго такие конденсаторы,
ёмкость которых можно плавно изменять в определённых пре-
делах. Изменение ёмкости может быть достигнуто либо из-
менением расстояния между обкладками конденсатора, либо
изменением рабочей площади обкладок. На практике чаще
54
Глава i
используют второй способ. Переменные конденсаторы бывают
обычно воздушными, с плоскими пластинами. Одной обкладкой
такого конденсатора является группа неподвижных плоских
параллельных пластин (статор), второй — группа подвижных
плоских параллельных пластин (ротор), которые могут вдви-
Рис. 2.13. Воздушный конденсатор переменной
ёмкости: 1 — ось ротора; 2 — пластина ротора;
3, 4 — скрепляющие пластины; 5 — собранный
статор; 6 — пластина статора; 7 — контактная пру-
жина токосъёма.
гаться между пластинами статора при вращении ротора кон-
денсатора, изменяя рабочую площадь и, следовательно, ём-
кость (рис. 2.13). Очевидно, что закон изменения ёмкости
конденсатора в зависимости от угла поворота ротора будет
различным при различных формах статорных и роторных
пластин. В зависимости от требований, предъявляемых к кон-
денсаторам, могут быть выбраны и осуществлены различные
законы изменения ёмкости.
Можно сделать, чтобы ёмкость С конденсатора линейно
изменялась с изменением угла <? поворота роторных пластин,
т. е., чтобы
С = a<f -J- Со,
где а — некоторая постоянная, С9 — начальная ёмкость кон-
денсатора (при <р=0).
Основные элементы радиотехнических цепей
55
Такой конденсатор называется прямоёмкостным.
Если прямоёмкостный конденсатор включить в колебатель-
ный контур, катушка индуктивности которого имеет индук-
тивность L, то резонансная частота <ор этого контура будет
зависеть от угла поворота ротора следующим образом:
1 1 1
а>„ = , = • - =-,
& LC УL -jAicp + Cq
т. е. не будет линейно изменяться с изменением угла пово-
рота ротора. Часто это бывает неудобным.
Можно так рассчитать форму пластин конденсатора,
чтобы резонансная частота колебательного контура, в кото-
рый включён конденсатор, линейно зависела от угла поворота
ротора, т. е. чтобы
= а<? -J- «)0,
где а — некоторая постоянная,
% —значение резонансной частоты контура при <р = 0.
Такой конденсатор называется прямочастотным.
Наконец, в радиотехнике часто используется так назы-
ваемый логарифмический конденсатор, закон изменения ём-
кости- которого от угла поворота ротора имеет следую-
щий вид ___________
С=Соеач>.
Кроме описанных выше трёх типов конденсаторов пере-
менной ёмкости, имеется ещё значительное количество спе-
циальных типов, однако, мы их рассматривать здесь не
будем.
В приложении 5 выведена формула, позволяющая по из-
вестному закону изменения ёмкости от угла поворота ротора
определить форму пластин конденсатора.
Если контур образован катушкой индуктивности и кон-
денсатором переменной ёмкости, то отношение максимальной
резонансной частоты контура ®макс к минимальной резонан-
сной частоте ымин равно
^макс __У ССмакс ____/ Смаке
ч>мин ~ уГЬС^~н ~~У Смин
где Сжакг — максимальная ёмкость конденсатора, — мини-
мальная ёмкость конденсатора.
Глава 2
Это отношение называется коэффициентом перекрытия ча-
стоты контура.
Кроме конденсаторов переменной ёмкости, существуют
так называемые полупеременные или подстроечные конден-
саторы. Ёмкость этих конденсаторов может меняться срав-
нительно в небольших пределах. Изменение ёмкости обычно
производят только при настройке и регулировке радиоаппара-
та^ процессе же работы отрегулированного аппарата ём-
кость подстроечных конденсаторов не меняют. Конструкции
этих конденсаторов очень разнообразны.
§ 2.6. Потери энергии в катушках индуктивности.
Полное сопротивление катушки (без учёта
электрического поля)
На высоких частотах не применяются катушки индуктив-
ности с сердечниками из стали, так как потери в сердечнике
на гистерезис и, особенно, на вихревые токи становятся
очень большими даже в том случае, если сердечник разделён
на отдельные изолированные с целью уменьшения вихревых
токов тонкие проволочки или листы. Кроме того, вихревые
токи вытесняют из стали магнитное поле высокой частоты, а
это ведёт к сильному увеличению магнитного сопротивления
сердечника.
В радиотехнике очень широкое применение нашли кату-
шки с так называемым „воздушным" магнитопроводом. Это
катушки, которые намотаны на каркасах, изготовленных из
диэлектрика, относительная магнитная проницаемость ко-
торого нг=1. Их недостаток — сравнительно малая индук-
тивность — в большинстве случаев в радиотехнике не слиш-
ком существенен, так как индуктивность обычно применяе-
мых катушек бывает невелика (особенно на коротких и уль-
тракоротких волнах).
Распространены также катушки с сердечниками из магни-
тодиэлектриков. Магнитодиэлектрики — это материалы, не
проводящие или очень плохо проводящие электрический ток
(в результате чего вихревые токи в них незначительны) и
обладающие значительной относительной магнитной проница-
емостью Hr (порядка нескольких единиц или десятков). Такие
сердечники изготовляются из тонкого порошка железа, его
сплавов или соединений, смешанного с диэлектриком, обладаю-
щим связывающими свойствами и позволяющим путём прес-
сования придавать сердечнику необходимую форму. В таком
сердечнике отдельные частицы порошка оказываются изоли-
рованными друг от друга тонкой плёнкой диэлектрика, ко-
торая препятствует прохождению вихревых токов.
Основные элементы радиотехнических цепей
57
В качестве материала для изготовления порошка исполь-
зуется магнетит (магнитная окись — закись железа), альсифер
(сплав алюминия, кремния и железа), карбонильное железо
(химически чистое железо с небольшим количеством углеро-
да). Сердечники, изготовленные из альсифера или карбониль-
ного железа, применяются на очень больших частотах (до
30—50 мггц); магнетитовые сердечники — на частотах до
10 мггц. На более высоких частотах потери в сердечнике на
вихревые токи сильно увеличиваются.
Для изготовления сердечников, работающих на сравнитель-
но небольших частотах, используется также порошок пермал-
лоя (сплав никеля с железом). Получаемый при этом материал
называется прессперм.
В приложении 6 приведена таблица основных свойств
некоторых магнитодиэлектриков.
Перейдём к определению потерь в катушках с воздушным
магнитопроводом.
Если по катушке протекает постоянный ток или ток низ-
кой частоты, то мощность, теряемая в ней, равна
Ро = А) ^0,
где /0 — ток, протекающий через катушку,
г0 = р-^?—сопротивление катушки постоянному току,
Р — удельное сопротивление материала провода,
1ЛР — длина провода,
S — поперечное сечение провода.
При повышении частоты тока потери энергии в катушке
будут возрастать благодаря поверхностному эффекту и ви-
хревым токам, наводимым в проводе обмотки магнитным по-
лем катушки.
Мощность, теряемая в проводе при протекании через
его тока, с учётом поверхностного эффекта, если провод
е пересекается внешним переменным магнитным полем,
равна
Pn~PrQF(z), (2.18)
где /—эффективное значение тока, текущего по проводу,
F(z) — коэффициент, определяемый с помощью функций
Бесселя и зависящий от параметра z, равного
(2.19)
58
Глава i
где d — диаметр провода в см,
I* — магнитная проницаемость вакуума, равная
1,256-10~8 гн!см,
^ — относительная магнитная проницаемость материа-
ла провода,
® — угловая частота тока в \}сек,
р —удельное сопротивление материала провода в ом-см.
Для технической меди при нормальной температуре
Р = 1,75-10“* ом.см; z = 0,106d//.
Для алюминия
р = 2,78-1 О' * ом.см-, z = 0,0843d/7
Для серебра
р=1,61 -10~*ом.см; 2 = 0,111 dVf.
В этих формулах d — в см и / = — в гц.
На рис. 2.14 приведена зависимость F (z) от z для
0,5 < z < 3.
Если z <^0,5, то F(z)^sl. (2.20)
Если z>3, то F(z) может быть найдена по формуле
2.21)
Если прямой провод поместить в переменное магнитное
поле, перпендикулярное к его оси, то в проводе возникнут
вихревые токи, которые вызовут потерю энергии. Мощность
потерь, вызванных вихревыми токами, равна
P4 = 4ir2r0d2№G(z), (2.22)
где № — среднее значение квадрата напряжённости магнитно-
го поля за период,
Q(z) —коэффициент, определяемый через функции Бес-
селя.
Остальные обозначения те же, что и в предыдущих форму-
лах.
Основные элементы радиотехнических целей
М
На рис. 2.14 приведена зависимость
0,5 < z < 3.
2*4
Если z<0,5, то G(z)=s-g^-.
„ \ о z->/\ Z—1
Если z_>3, то G(z)^z——§----
Q (г) от z для
к2.23)
(2.24)
Л®
Если через прямой провод, находящийся в переменном
магнитном поле, протекает ток от внешнего источника, то в
проводе будут потери,
вызванные вихревыми
токами и протекающим
в нём током от внеш-
него источника.
Рассмотрим неболь-
1,32
1,30
3,28
3,26
7.24
1,22
1,20
1,18
1,16
U4
1,12
1,10
1,08
1,06
1,04
1,02
1,00t
№(z)
0,40
0,38
0,36
034
0,32
030
0,28
0,26
0,24
0,22
0,20 /
0,18
0,16
0,14
0,12
0,10
0fi8
0,06
0,04
0,02
0,00
0 0,5 1,0 1,5 W 2.5 3,0 7
Рис. 2.15. Сложение
вихревых токов 1Л и
токов от внешнего ис-
точника 1п в проводе
обмотки.
Рис. 2.14. График для определения коэффи-
циентов, входящих в формулы для расчёта
потерь энергии в обмотках катушек.
той участок провода и выделим в нём два элемента, распо-
ложенные симметрично относительно оси провода в плоскости,
перпендикулярной направлению магнитного потока Ф (рис. 2.15).
Ток от внешнего источника in симметрично распределён
по сечению провода относительно оси последнего.
Вихревые токи 1в замыкаются в плоскостях, перпендику-
лярных плоскости поперечного сечения провода и направле-
60
Глава 2
нию магнитного потока Ф. Поэтому, если в левом элементе
ток ie будет протекать в том же направлении, что и ток 1„,
то в правом он будет течь навстречу току 1п.
Таким образом, если сопротивление каждого элемента
равно г, то мощность, теряемая в обоих элементах, равна
р=г (in 4- Q2 + г (i„ - it)2 =
= г (/л2 + 2 in ie 4- i2 4-1„2 — 2in ie 4- //) =
— 2t„2 r 4- 2te2 r.
Из этого выражения видно, что суммарная мощность в
рассмотренных элементах равна арифметической сумме потерь,
вызванных током, протекающим в проводе от внешнего
источника, и потерь, вызванных вихревыми токами. Посколь-
ку весь провод можно разбить на аналогичные элементы, то
общие потери в проводе, очевидно, будут равны арифмети-
ческой сумме потерь от внешнего тока и вихревых токов,
которые выражаются ф-лами (2.18) и (2.22).
Если провод не прямой, а свит в катушку, то мощность
потерь, вызванных протекающим через катушку током от
внешнего источника, попрежнему может быть найдена по
ф-ле (2.18).
Магнитное поле катушки, пересекая её витки, вызывает
потери на вихревые токи, которые могут быть определены
приближённо по ф-ле (2.22), поскольку радиус провода обыч-
но много меньше радиуса катушки. Однако напряжённость
магнитного поля вблизи различных витков обмотки различна,
поэтому приходится брать её среднее значение, которое
можно выразить так:
и=‘^г> (225>
где / — ток, протекающий через катушку,
п — число витков катушки,
DH — наружный диаметр намотки,
« — коэффициент, зависящий от формы катушки.
На рис. 2.16 приведены зависимости коэффициента формы
к от отношения для цилиндрических катушек с небольшой
ин
по сравнению с диаметром катушек DH толщиной намотки.
Здесь I — длина намотки в сантиметрах.
На рис. 2.17 приведены зависимости коэффициента формы
к от отношения к- и 4- (< — толщина намотки) для много-
ин ин
слойных катушек (с числом слоёв больше трёх).
Основные элементы радиотехнических цепей
61
Подставляя ф-лу (2.25) в (2.22) и учитывая (2.18), получим
следующее выражение для полной мощности потерь в прово-
де обмотки
Рпр = Рп + Рв = Р r0[ F (*) + (-^У G (г)] . (2.26)
Если магнитопровод катушки выполнен из магнитодиэлек-
трика или стали, то в нём будут создаваться дополнительные
потери. Можно по аналогии с ф-лой (2.13) для потерь в ди-
электрике записать эти потери так:
где —средняя за период энергия магнитного поля в
магнитодиэлектрике,
WM — средняя за период энергия магнитного поля всей
катушки,
•2
Глава 2
8Ж — отвлечённое число, называемое по аналогии с
диэлектриками углом потерь магнитодиэлектрика;
зависит от частоты и напряжённости магнитного поля.
Значения 8Ж для некоторых магнитодиэлектриков могут быть
найдены из приложения 6.
Рис. 2.17. Графики для опре-
деления коэффициента формы
катушки индуктивности.
Полное сопротивление ка-
тушки индуктивности может
быть найдено из ф-л (2.5) и
(2.6), поскольку они были до-
казаны для любой сложной
цепи.
Если мы в первом прибли-
жении будем считать, что
электрическое поле вокруг
катушки мало и весь ток те-
чёт по проводу, то можно по-
ложить
№,=0
и
W = —
w м 2 ’
где L—индуктивность катушки.
Поэтому сопротивление ка-
тушки для этого случая в со-
ответствии с энергетической,
ф-лой (2.5) будет равно
где
(2.28)
- Р Р ПР + Рмд
L— I* — р
? [ F (Z) + (^-)2 О (z) ] + 2<о WtgS,,,
/»
«ли, проведя сокращения,
[/ Knd \2 1
77(г)+ ("207) O(z)] + ®^^'tgV
(2.29)
Основные элементы радиотехнических цепей
6S
Величину гд называют активным сопротивлением катушки
переменному току.
Любые потери энергии, вызываемые током, протекающим
по катушке индуктивности, как, например, потери от вихре-
вых токов, наводимых полем катушки в окружающих Сё ме-
таллических предметах, будут увеличивать величину Р, a
следовательно, и сопротивление rL
На рис. 2.18 приведена
схема замещения катушки,
соответствующая ф-ле (2.28).
Если катушка не содержит
магнитодиэлектрика, то член
в ф-ле (2.29), содержащий tgS*,
будет равен нулю.
Индуктивность цилиндри-
ческой катушки с воздушным
магнитопроводом может быть
ведённой в приложении 7.
WL rL
Рис. 2.18. Схема замещения катуш-
ки индуктивности без учёта влияяия\
электрического поля.
рассчитана по ф-ле (П. 12), при
§ 2.7. Полное сопротивление катушки индуктивности
(с учётом электрического поля)
Между витками катушки индуктивности имеются ёмкости.
Через эти ёмкости будет ответвляться часть тока, текущего-
по проводу, и в разных витках катушки ток будет иметь-
различную величину. Поэтому если рассмотреть вопрос более
строго, то схема замещения катушки будет несколько отли-
чаться от изображённой на рис. 2.18. Найдём полную прово-
димость катушки с учётом этого явления.
Поскольку ток в разных витках различен, то выражение
для средней за период энергии магнитного поля катушки
мы можем записать следующим образом:
WM = ^, (2 30)
где 1ер — средняя величина эффективного значения тока в
различных витках катушки.
Энергия электрического поля вокруг катушки будет про-
порциональна квадрату напряжённости электрического поля и,
следовательно, квадрату напряжения IP на катушке. Таким
образом, можно записать
(2.31)
64
Глава 2
Величина Со, имеющая размерность ёмкости, называется
собственной или распределённой ёмкостью катушки.
В соответствии с ф-лами (2.29) и (2.13) мощность, теряемая
в проводе катушки и окружающем диэлектрике,
Р = rL 12р 4- 2шЙ^8 = rL I2cp + b»k3W9tg* =
= r£4+^C0Aetg8, (2.32)
где rL — активное сопротивление катушки переменному току
____ [см. ф-лу (2.29)],
— средняя за период энергия электрического поля в
диэлектрике катушки (в каркасе и в изоляции провода).
ivr с»иг
wa = —-------полная средняя за период энергия электриче-
ского поля катушки,
8 — угол потерь диэлектрика.
На основании (2.6) полная проводимость катушки будет
равна
V - _L_l ; 24^-Жм) =
1 ~ иг~^ и2
J2 I2
=- rL-^ + <oCoW - + i(uCo- (2.33)
Если ёмкостные токи отсутствуют, то зависимость между
током, протекающим через катушку, и напряжением на ней
определится формулой
U = 1Z = I)/ Г| + Ш2£2. (2.34)
При наличии ёмкостных токов вместо величины I в ф-ле
и2
(2.34) нужно взять 1ср, поэтому отношение —g- будет равно
= г2 + ®2L2. (2.35)
Icp
Подставляя это значение в ф-лу (2.33), получим
= ^Tr+‘c"«8 + i“c”“
--—[- от Со tg 3 Ц- i “Со = ~т" •
гL 4-1 о» L 1 0 ь 1 ° Z
(2.36)
Основные элементы радиотехнических цепей
На рис. 2.19 приведена схема замещения катушки с учё-
том ёмкости между витками, соответствующая ф-ле (2.36).
Таким образом, электрическое поле между витками вы-
звало появление на схеме заме-
щения ёмкости Со и сопротив-
ления гпар = шС^-, включён-
ных параллельно катушке.
Формула (2.36) и изображён-
ная на рис. 2.19 схема замеще-
ния являются приближёнными,
особенно для длинных катушек,
для которых выражения (2.30)
и (2.35) неточны, так как магнит-
ный поток сильно меняет свою
конфигурацию в зависимости
Рис. 2.19. Схема замещения ка-
тушки индуктивности с учетом
влияния электрического поля.
от распределения тока по виткам.
Полное сопротивление катушки с учётом ёмкостных то-
ков может быть найдено из ф-лы (2.36)
Z =
1
^5P + »C.tg8-|-i»Ca-i
г1+<»чл
Допустим, что
ri«(®^)2l
tg*8«l J
(2.37)
Тогда, пренебрегая гд по сравнению с <яЧ,* и освобождаясь
от мнимости в знаменателе, получим
(2.38)
Далее, пренебрегая выражением, стоящим в первой скобке
знаменателя ф-лы (2.38), по сравнению с выражением во вто-
рой скобке [это можно сделать на основании неравенства'
(2.37) в том случае, если величины и ®С0 сильно отли-
5 Основы вадиотехники
ее
Глава 2
чаются друг от друга], перепишем ф-лу (2.38) следующим
образом:
+ ®COtg8 J
Ti-----------------------Г ’
—г — “Со I—7-— “Со
\<о L и / \ц> L ° /
Умножая числитель и знаменатель первой и второй дроби
соответственно на (®£)2 и <о£ и обозначая
£Со=4» (2.39)
получаем окончательное выражение для полного сопротив-
ления катушки индуктивности
Величина <% называется собственной угловой частотой ка-
тушки.
Из выражения (2.40) видно, что если частота тока много
меньше собственной частоты ®0 (“2С“02)> то полное сопро-
тивление Z катушки определяется полученным ранее выра-
жением (2.28). При возрастании частоты <о будет иметь место
как бы возрастание индуктивности катушки и значительно
более резкое возрастание её активного сопротивления. Такое
изменение индуктивности и особенно активного сопротивле-
ния обычно бывает нежелательным. Поэтому собственную
ёмкость катушки Со стараются иметь возможно меньшей с
тем, чтобы собственная частота катушки ш0 была много
больше рабочей частоты.
Формула (2.40) становится неверной для частот, близких
к ®0, так как при этом величины и шС0 становятся соиз-
меримыми, что противоречит сделанному ранее допущению.
Заметим, что наличие собственной ёмкости катушек ин-
дуктивности, которая оказывается включённой параллельно
Основные элементы радиотехнических цепей
«7
конденсатору, уменьшает коэффициент перекрытия частоты
контура (см. § 2.5), так как минимальная ёмкость контура
может значительно возрасти.
При достаточно малой собственной ёмкости Со полное
сопротивление катушки можно считать примерно равным
Z^r£-|-
Иногда катушку индуктивности характеризуют её доброт-
ностью Ql , которая равна отношению реактивного сопро-
тивления катушки к активному. Таким образом,
Ql = ~ •
rL
(2.41)
Если взять отношение максимальной энергии
тушки
поля ка-
— LI2
W =-±=LF
w ММ 2
к энергии, теряемой в ней за период
TP=TPrL,
то получим
WMM _ L _ <>£ _ Ql
WT ~ TrL~2nrE “ 2я‘ •
(2.41а)
Иногда вместо величины (^вводят обратную величину
. _ 1 _ rL
dL~~ ql ~ <»L ’
(2.42)
которую называют затуханием катушки.
Пример 2.3. Многослойная катушка (рис. П. 7) имеет размеры и число
витков, указанные в примере П. 5 (см. приложение 7).
Диаметр медного провода, которым намотана катушка,
5*
d = 0,1 мм.
66
Глава 2
Найти активное сопротивление катушки переменному току на. частоте
/ = 4 мггц и добротность Ql .
Решение. Находим сопротивление катушки постоянному току
2-100-4 _
roeP $ eP =1,75-10 |0_4 =14 ом.
"Г
Определяем
*-0,106d/7 = 0,106-0,01/Пбв = 2,12.
Из графиков, изображённых на рис. 2.14, находим:
F (г)- 1,097,
G(z) = 0,202.
Определяем наружный диаметр намотки
DH «= D +1 = 2 + 0,5 = 2,5 см
И отношения
£ 0,5 Л Л
DH “2,5 “°’2
И
Этим значениям из графика на рис. 2.17 соответствует k = 15.
В соответствии с ф-лой (2.29) находим сопротивление катушки пере-
менному току
rL~r9
F(z) + G (z) I = 14 [1,097 +
\ 27>н / J L
/ 15Л00Л01у 0(202
\ 2*2,5 / J
Находим добротность катушки, учитывая, что L = 215 мкгн (см. прило-
жение 7, пример П. 5)
403
0 «£ s2k/£ _2.3,14-4-10д-215-10-д _
L~ rL rL
§ 2.8. Способы получения катушек с. малыми потерями
Как было показано, уменьшение потерь эквивалентно
уменьшению активного сопротивления и увеличивает доброт-
ность катушки. Потери в катушке с учётом поверхностного
аффекта будут, очевидно, уменьшаться с увеличением диамет-
ра провода d, так как увеличение периметра поперечного се-
чения провода, получающееся с увеличением диаметра, при-
водит к уменьшению сопротивления токам высокой частоты.
Основные элементы радиотехнических цепей
69
Рис. 2.20. Зависимость потерь в
обмотке катушек индуктивности
от диаметра провода.
частотах в отличие от посто-
Это подтверждается тем, что го в ф-ле (2.18) обратно
пропорционально d2, тогда как величина /(z) при больших г
приблизительно прямо пропорциональна z, т. е. пропорцио-
нальна d. Таким образом, мощность Рп, определяемая по
ф-ле (2.18), изменяется примерно обратно пропорциональна
диаметру провода d.
Мощность потерь на вих-
ревые токи Рв растёт прибли-
зительно прямо пропорцио-
нально диаметру провода,
что ясно из анализа ф-лы (2.22).
На рис. 2.20 показано при-
мерное изменение Рп, Р„ и
полной мощности Р„р, теря-
емой в обмотке катушки, в
зависимости от диаметра
провода d. Из графика вид-
но, что при некотором значе-
нии d мощность потерь Рпр
минимальна, а следовательно,
минимально и сопротивление
п. Это значение d называется
оптимальным диаметром про-
вода (donm).
Таким образом, на высоких
янного тока увеличение диаметра провода может привести
не к уменьшению, а к увеличению потерь, что обусловли-
вается ростом Рв с увеличением d.
Из рис. 2.20 видно также, что ориентировочно минимум
потерь имеет место при таком значении диаметра провода,
когда Рп^Рв.
Более точный результат может быть получен путём обыч-
ного нахождения минимума выражения (2.26).
Метод отыскания donm, полученный на основании такого
исследования, приведён в приложении 8.
В результате расчёта dOnm может оказаться, что намотка,
сделанная проводом оптимального диаметра, не помещается
на каркасе. В этом случае приходится уменьшать диаметр
провода, беря для него допустимое максимальное значение.
Иногда для уменьшения величины гх намотку выполняют
проводом, состоящим из отдельных тонких изолированных
жилок, перевитых между собой. Этот провод называют вы-
сокочастотным многожильным проводом. Разделение про-
вода на отдельные жилки уменьшает влияние поверхностного
Эффекта. Это происходит потому, что поверхностный эффект
слабее сказывается в проводах меньшего диаметра, поскольку
70
Глава 2
ток, протекающий в них, заполняет сечение более равномер-
но. Кроме того, разделение на изолированные жилки преграж-
дает путь вихревым токам, что также уменьшает потери.
Жилки, из которых свит высокочастотный многожильный
провод, должны быть перевиты между собой так, чтобы все
они находились в примерно равных условиях. Каждая жилка
должна идти то по поверхности жгута, то заходить внутрь.
В противном случае жилки, идущие по поверхности, имели бы
большую плотность тока по сравнению с жилками, идущими
внутри жгута, что вызвало бы увеличение потерь.
Высокочастотный многожильный провод обычно не приме-
няют на частотах, больших 1 мггц, так как на очень высоких
частотах ёмкостные проводимости между жилками становятся
настолько большими, что жилки оказываются как бы замкну-
тыми между собой и работают как один сплошной провод.
Потери в этом случае могут даже превысить потери, полу-
чающиеся. при намотке сплошным проводом, так как при этом
добавляются ещё диэлектрические потери, вызванные токами
смещения в изоляции между жилками.
Активная составляющая сопротивления катушки, намотан-
ной высокочастотным многожильным проводом (без учёта по-
терь в изоляции)’ может быть определена по формуле
п / ч । / kmm2d2 . kPntmtd2 \ । г«. . 5
rL = r0 F (z) + -^-2- + О (*) +^LkMtgiM,
\ а0 /
где d— диаметр жилки, т — число жилок, do — полный диа-
метр провода, km — коэффициент, зависящий от т. Его зна-
чения для разных т приведены в табл. 2.1. Для определения
z по ф-ле (2.19) берётся диаметр жилки.
Таблица 2.1
т 1 3 1 9 1 27 »27
кт \ 1,55 | 1 1’84 | 1,92 2
Остальные обозначения те же, что и в ф-ле (2.29).
Расчёт показывает, что при заданном наружном диаметре
потери в обмотке однослойной катушки индуктивности полу-
чаются минимальными при отношении длины намотки к
наружному диаметру равном 0,7.
Для многослойных катушек это отношение должно быть
равным 0,2-?0,5, а для катушек, помещённых в экран (см. гл. 3),
Основные элементы радиотехнических цепей
71
минимальные потери получаются при длине намотки прибли-
зительно равной наружному диаметру катушки. Однако не-
которое отступление от этих соотношений не приводит к рез-
кому увеличению потерь. Для уменьшения общих потерь в
катушке индуктивности следует также принимать меры
к уменьшению диэлектрических потерь. Этот вопрос будет
рассмотрен в следующем параграфе.
§ 2.9. Конструкции катушек постоянной индуктивности
Конструкция катушки индуктивности определяется задан-
ной величиной индуктивности, допустимыми габаритами, ве-
личиной тока, протека-
ющего через катушку,
допустимыми потерями
энергии, допустимой соб-
ственной ёмкостью, а так-
же некоторыми дополни-
тельными требованиями,
к которым можно, на-
пример, отнести требо-
вание достаточной жёст-
кости, неизменности ве-
личины индуктивности
катушки при изменении
температуры окружаю-
щей среды и т. д. Послед-
нее требование часто
оказывается решающим
при выборе конструкции
катушки.
Если величина индук-
тивности должна быть не-
большой или если при
значительной индуктив-
ности допускаются боль-
шие габариты катушки
(часто изготовление ка-
тушки больших габари-
тов вызвано необходи-
Рис. 2.21. Конструкции однослойных
катушек индуктивности.
мостью рассеяния большой мощности, выделяемой током в
катушке в виде тепла), то целесообразно применять одно-
слойные цилиндрические катушки. Эти катушки мотаются
на цилиндрическом или ребристом каркасе, а иногда и вов-
се без каркаса (в случае малого числа витков и использования
толстого провода). Применение ребристого каркаса, с кото-
п
Глава 2
рым провод соприкасается лишь на небольших участках своей
длины, позволяет уменьшить собственную ёмкость катуш-
ки и диэлектрические потери, поскольку в этом случае элек-
трическое поле почти целиком будет находиться в воздухе.
На рис. 2.21 изображено несколько типов однослойных ка-
тушек. Если провод однослойной катушки индуктивности
имеет большой диаметр (порядка сантиметра и больше), то
часто вместо сплошного провода применяют трубку. Это
уменьшает вес и даёт экономию металла, не увеличивая ак-
тивное сопротивление, поскольку при высоких частотах внутри
провода ток не течёт вследствие поверхностного эффекта.
Иногда витки катушки представляют собой слой серебра
или меди, нанесённый непосредственно на поверхность кера-
мического каркаса, обладающего малым коэффициентом ли-
нейного расширения. Это позволяет получить катушки с малым
температурным коэффициентом индуктивности (ТКХ).
Собственная ёмкость однослойных катушек весьма незна-
чительна. Приближённые теоретические расчёты, а также эк-
сперименты показывают, что ориентировочно величина соб-
ственной ёмкости однослойной катушки может быть вычислена
по формуле ________________
C0^s 0,5.0 пф,
тд& D — ямметф катушки в см.
Если нужно увеличить индуктивность катушки, сохраняя
её размеры, то приходится увеличивать число витков. При
Рис. 2.22. Неправиль-
ная двухслойная намот-
ка атушек индуктив-
ности.
цифрами обозначены
этом часто оказывается невозможным
поместить эти витки на каркасе в один
слой, не уменьшая сильно диаметра про-
вода, и приходится переходить к мно-
гослойной намотке. Однако многослой-
ная намотка обладает большей собствен-
ной ёмкостью и, следовательно, боль-
шими потерями. Наиболее неблагопри-
ятные условия, создающие наибольшую
собственную ёмкость, получаются в
двухслойной намотке, разрез которой
изображён на рис. 2.22. На этом рисунке
номера витков от начала намотки. При такой.
намотке рядом расположены витки, между которыми сущест-
вует наибольшее напряжение, что вызывает сильное увеличение
энергии электрического поля WB и в соответствии с ф-лой.
(2.31) увеличение собственной ёмкости Со. Поэтому такой
вид намотки почти не применяется.
Основные элементы радиотехнических цепей
73-
Для разнесения витков, напряжение между которыми ве-
лико, иногда применяют двухслойную намотку, располагая вит-
ки, как изображено на рис. 2.23, или трёхслойную намотку с
расположением витков, указанным на рис. 2.24. Это даёт умень-
шение энергии электрического поля и собственной ёмкости.
Так как такие обмотки можно мотать только сравнительно
толстым проводом и притом вручную, применение их очень
ограничено, хотя собственная ёмкость и невелика.
7Х911ШЗК5
f 1214Х6ХвИ0»2ХМ»в
Г X 2 X4X 6 Хв ЦОК2114
Рис. 2.23. Правильная
двухслойная намотка
катушек индуктивности.
Рис. 2.24. Правильная
трёхслойная намотка ка-
тушек индуктивности.
На рис. 2.25 изображена так называемая „плоская" намотка,
обладающая сравнительно небольшой собственной ёмкостью.
У этой намотки начальные и конечные витки отстоят далеко*
друг от друга, а напряжение между смежными витками неве-
лико, что уменьшает электрическое поле катушки. Для того,
чтобы увеличить расстояние между витками, провод при
намотке не укладывают ак-
куратно виток к витку,
а мотают „вразброс".
Рис. 2.25. Плоская намотка катушек
индуктивности
Рис. 2.26. Секционированная
намотка катушек индуктивности.
Катушки большой индуктивности часто разбивают на сек-
ции (рис. 2.26), мотая вначале полностью одну секцию, потом"
соседнюю и т. д., что также приводит к уменьшению собствен-
74
Глава 2
ной ёмкости Со, так как витки, между которыми имеется боль-
шое напряжение, оказываются далеко разнесёнными друг от
друга. Индуктивность- таких катушек может быть подсчитана
с помощью ф-лы (П. 12), приведённой в
Рис. 2.27. Сотовая на-
мотка и её развёртка.
приложении 7, по известным наружным
размерам обмотки и числу витков.
Большое распространение получили
малогабаритные многослойные катушки
сотового типа (их иногда называют „Уни-
версаль"). Преимуществом их перед
секционированными является большая
дешевизна, поскольку для них не нужен
специальный каркас и наматываются
они на автоматических или полуавто-
матических станках. На рис. 2.27 изо-
бражён наружный вид такой катушки
и представлена развёртка её намотки.
Зигзагообразное расположение витков
приводит к уменьшению собственной
ёмкости, поскольку витки катушек под-
ходят близко друг к другу лишь в мес-
тах пересечения. Индуктивность катуш-
ки сотового типа подсчитывается с по-
мощью ф-лы (П. 12).
Для уменьшения размеров катуш-
ки в настоящее время широко применяются магнитопроводы
из магнитодиэлектрика. На рис. 2.28 приведено несколько ти-
пов таких катушек.
Рис 2.28. Конструкции катушек с сердечником из магнитодиэлектрика.
На низких частотах часто используются магнитопроводы
тороидальной формы, позволяющие наиболее полно использо-
Основные элементы радиотехнических цепей
75
вать магнитные свойства магнитодиэлектрика (рис. 2.29). Для
уменьшения собственной ёмкости тороидальные многослойные
катушки часто секционируются (рис. 2.30), при этом вначале
Рис. 2.29. Тороидальная
катушка индуктивности.
наматывается полностью одна секция,
потом полностью другая и т. д.
В приложении 9 приведены значе-
ния температурного коэффициента ин-
дуктивности TKL для некоторых ти-
пов катушек индуктивности.
Рис. 2.30. Тороидальная секциониро-
ванная катушка индуктивности.
§. 2.10. Конструкция катушек переменной индуктивности
помощью переклю-
Рис. 2.31. Схема ка-
тушки со скачкооб-
разным изменением
индуктивности.
Катушки переменной индуктивности изготовляются или со
скачкообразным изменением индуктивности или с плавным
изменением её.
Скачкообразное изменение индуктивности производится
путём изменения рабочего числа витков с
•чателя (рис. 2.31).
Плавное изменение индуктивности обыч-
но осуществляется одним из следующих
•способов:
1) путём изменения взаимной индук-
тивности между двумя последовательно
включёнными катушками;
2) путём плавного изменения рабочего
числа витков с помощью щётки, скользя-
щей вдоль голого провода обмотки одно-
слойной цилиндрической катушки;
3) путём изменения сопротивления
магнитному потоку введением в катушку
сердечника из магнитодиэлектрика;
£ 4) путём изменения сопротивления магнитному потоку вве-
£дением в катушку хорошо проводящего материала.
*
76
Глава 2
На рис. 2.32 изображена конструкция так называемого
вариометра — катушки переменной индуктивности, построен-
ной по первому принципу. Максимальная индуктивность
будет в том случае, ес-
ли магнитные потоки
подвижной и непод-
вижной катушек сов-
падают по направ-
лению. Максимальная
индуктивность будет
равна
Ось
Ротор
Рис. 2.32.
Вариометр.
Статор
да направления магнитных потоков
Минимальная индуктивность равна
1*макс—~Ь ^^махсг-
где и Z2 — соот*
ветственно индуктив-
ность первой и второй
катушки,
Мжохс — максимальная
взаимная индуктив-
ность.
Минимальная ин-
дуктивность LMUH бу-
дет в том случае, ког-
катушек противоположны.
^мин Ч” ^-2
В приложении 10 приведены формулы для расчёта взаим-
ной индуктивности катушек.
Рис. 2.33. Переменная индуктивность с подвижным сердечником из
магнитодиэлектрика: 1—намотка, 2—сердечник (указаны его край-
ние положения), 3 — экран, 4 — кожух из магнитодиэлектрика.
Основные элементы радиотехнических цепей
77
На рис. 2.33 изображены катушки переменной индуктив-
ности, выполненные третьим способом. Вдвигание цилиндра
из магнитодиэлектри-
ка уменьшает сопро-
тивление магнитному
потоку катушки и тем
увеличивает её индук-
тивность.
На рис. 2.34 приве-
дена конструкция ка-
тушки переменной ин-
дуктивности, выпол*
ненной четвёртым спо-
собом. Изменение по-
ложения медного дис-
ка изменяет сопротив-
ление магнитному по-
току. Сопротивление
будет максимальным в
том случае, когда плос-
кость диска перпенди-
Рис. 2.34. Изменение индуктивности катуш-
ки с помощью медного диска: К — катуш-
ка, Д — диск, 00' -г- ось вращения диска.
кулярна к оси катушки.
Индуктивность катушки в этом случае будет минимальной. При-
чины, приводящие к изменению магнитного сопротивления, бу-
дут изложены в § 3.3 гл. 3.
§. 2.11. Схема замещения элемента сопротивления
При прохождении тока через элемент сопротивления во-
круг последнего появляется электрическое и магнитное поле.
В различных частях элемента сопротивления ток может быть
различным вследствие ответвления тока через ёмкость.
Напряжённость магнитного поля будет пропорциональна
среднему току. Поэтому средняя за период энергия магнит-
ного поля будет пропорциональна квадрату эффективного зна-
чения тока 1ср, т. е.
_ LI2
= (2.43)
где L — индуктивность элемента сопротивления.
Напряжённость электрического поля будет пропорциональ-
на напряжению на элементе сопротивления, поэтому средняя
за период энергия электрического поля будет пропорциональ-
на квадрату эффективного напряжения U2, т. е.
W, = (2.44)
78
Глава 2
где Со—некоторый коэффициент пропорциональности, называе-
мый собственной ёмкостью элемента сопротивления.
Кроме того, будет происходить потеря энергии в элементе
сопротивления. Потеря энергии в проводнике элемента со-
противления будет пропорциональна среднему квадрату эф-
фективного значения тока через сопротивление 1ср.
Мощность этих потерь будет равна
Рар=П2ср. (2.45)
Потеря энергии в диэлектрике будет
выражаться ф-лой (2.13). Суммарная
мощность потерь будет равна
р = г Яр + 2® WJi3 tg (2.46)
где k3 — отношение энергии электри-
ческого поля в диэлектрике ко всей
энергии электрического поля, 5 — угол
Рис. 2.35. Схема заме-
щ,ения элемента сопрс- потерь в. диэлектрике.
тивления. Сравнивая ф-лы (2.43), (2.44), (2.46)
с аналогичными ф-лами (2.30), (2.31),
(2.32) для катушки индуктивности, мы видим, что они тожде-
ственны. Поэтому и определяемая по ним в соответствии
с ф-лой (2.6) полная проводимость элемента сопротивления
будет тождественна с полной проводимостью катушки индук-
тивности, выраженной ф-лой (2.36), только в ней вместо гд
будет стоять величина г.
Схема замещения элемента сопротивления, вытекающая из
ф-лы (2.36), изображена на рис. 2.35. Входящие в неё величи-
ны £, Со и г определяются из ф-л (2.43) (2.44), (2.45).
§ 2.12. Конструкции элементов сопротивления
В большинстве случаев желательно, чтобы индуктивность L
и собственная ёмкость Со элемента сопротивления были по
возможности меньшими. Так как эти величины определяются
энергией магнитного и электрического поля элемента сопро-
тивления, то конструкция последнего должна быть такова,
чтобы обеспечить при данном токе и напряжении минималь-
ное значение энергии электрического и магнитного поля.
Для уменьшения собственной ёмкости Со стараются вы-
брать конструкцию элемента сопротивления, обеспечивающую-
разнос на достаточно большое расстояние точек, напряжение
между которыми велико. Для уменьшения индуктивности L
Основные элементы радиотехнических цепей
79
элемент сопротивления выполняют так, чтобы магнитные поляг
создаваемые отдельными участками провода, не складывались,,
а по возможности взаимно уничтожались.
Проволочные элементы сопротивления, работающие на вы-
соких частотах, никогда не мотаются так, как катушки индук-
тивности, так как при такой на-
мотке магнитные поля отдельных
витков складываются.
Для уменьшения индуктив-
ности L иногда применяют так
называемую бифилярную намот-
ку, при которой изолированный
прОВОД складывается вдвое, как Рис. 2.36. Бифилярная намотка'
показано на рис. 2.36, И В таком элементов сопротивления,
виде наматывается на каркас.
При такой намотке магнитные поля соседних элементов пря-
мого и обратного провода взаимно уничтожаются. Однако эта
намотка обладает большой собственной ёмкостью Со, посколь-
ку начало и конец провода, между которыми имеется большое
напряжение, расположены рядом.
Существует много способов намотки, позволяющих одно-
временно получить малую индуктивность L и малую собствен-
ную ёмкость Со. Одной из таких намоток является простая
пластинчатая намотка (рис. 2.37). При этом способе намотки
проволока наматывается в одном направлении на тонкую изо-
ляционную пластинку. Собственная ёмкость этой намотки не-
велика, так как начало и конец провода разнесены. Индук-
тивность также мала, поскольку магнитные поля от частей
витков, расположенных по обе стороны пластинки, взаимно
ослабляются.
Рис 2.37. Пластинчатая намотка
элементов сопротивления.
Рис. 2.38. Двойная пластинча-
тая намотка элементов сопро-
тивления.
Ещё большее уменьшение индуктивности получается при
двойной пластинчатой намотке (рис. 2.38), которая состоит
из двух включённых параллельно проводов, намотанных на
пластинку в разные стороны.
80
Глава 2
Уток
»Рис. 2.39. Плетёный элемент соп-
ротивления.
Весьма малы значения индуктивности и собственной ёмко-
сти у так называемой плетёной обмотки, представляющей
собой тканую ленту, основой которой является гибкая изоля-
ция, а утком—высокоомная проволока (рис. 2.39).
Кроме того, на низких час-
тотах широко применяются
так называемые остеклован-
ные проволочные сопротивле-
ния, представляющие собой
керамический цилиндр, на ко-
торый намотан провод с боль-
шим удельным сопротивлением
(обычно нихром или констан-
тан). Для предохранения на-
мотки от механических пов-
реждений поверхность сопрб-
тивления покрывается специ-
альной эмалью. Индуктивность таких сопротивлений сравни-
тельно велика.
Для того, чтобы активная составляющая г проволочных эле-
ментов сопротивлений мало зависела от частоты тока, диаметр
провода и его удельное сопротивление выбирают такими, что-
бы поверхностный эффект сказы-
•вался мало, т.е. берут провод ма-
лого диаметра с большим удель-
ным сопротивлением.
Сопротивление провода г, вхо-
дящее в схему замещения (рис.
2.35), при высокой частоте может
быть подсчитано по формуле
r=r0F(z),
где г0 — сопротивление этого про-
вода постоянному току,
F(z) берётся из графика рис.
2.14 или ф-л (2.20) и (2.21).
Непроволочные элементы соп-
ротивления обычно состоят из фар-
форовых цилиндриков, на которые
нанесён слой углерода (так назы-
ваемые углеродистые сопротивления). Концы цилиндриков
заключаются в обжимки, через которые осуществляется
электрический контакт с проводящим слоем. Иногда про-
водящий слой с целью увеличения его длины и, следова-
тельно, сопротивления делается спиральным. Внешний вид
этих сопротивлений приведён на рис. 2.40.
Основные элементы радиотехнических цепей
81
Применяются также объёмные карбокерамические сопро-
тивления, представляющие собой стержни и трубки, изготов-
ленные из глинистого материала, смешанного с графитом или
сажей, и обожжённые.
Непроволочные элементы сопротивления обладают малыми
величинами индуктивности и собственной ёмкости, однако их
активная составляющая г довольно сильно зависит от темпе-
ратуры и меняется со временем.
В приложении 11 приведены основные данные некоторых
элементов сопротивлений.
Как непроволочные, так и проволочные элементы сопро-
тивления могут быть переменными. Устройство непроволоч-
ного переменного элемента сопротивления изображало на
рис. 2.41. Проводящий слой С имеет подковообразную форму.
От концов слоя сделаны выводы Лх и Л8. По слою может пе-
ремещаться ползунок, соединённый с выводом Л2. В зависи-
мости от положения ползунка сопротивление между выводами
Лх и Л2 или Л2 и Л3 может быть различным. Аналогичным
образом устроены и проволочные переменные элементы сопро-
тивления, в которых изолированный провод с большим удель-
ным сопротивлением намотан на топкую пластинку, согнутую
в виде подковки. Ползунок движется по ребру пластинки,
где для обеспечения контакта с проводом изоляция зачищена.
Рис 2 41. Непроволочный переменный эле-
мент сопротивления
Имеются и другие конструкции переменных элементов
сопротивления, описание которых мы не приводим.
Чем большая мощность должна рассеяться в элементе
сопротивления, тем больше берутся его размеры. Часто на
элементе сопротивления указывается значение мощности, кото-
рое он может рассеять без повреждения.
в Основы радиотехники
82
Глава 2
ЛИТЕРАТУРА К 2 ГЛАВЕ
1. Пестряков В. Б. и Сачков Д. Д. Конструирование деталей и
узлов радиоаппаратуры. Госэнергоиздат, 1947.
2. Казарновский Д. М. Радиотехнические материалы и детали-
ЛКВВИА, 1950.
3. Ренне В. Т. Электрические конденсаторы. Госэнергоиздат, 1947.
4. Р а б к и н Л. И. и Ш о л ь ц Н. Н. Магнитодиэлектрики и феррока-
тушки. Госэнергоиздат, 1948.
5. Богородицкий Н. П. и Фридберг И. Д. Высокочастотные
неорганические диэлектрики. .Советское радио", 1948.
6. Андрианов К. А. и Я м а н о в С. А. Органические диэлектрики и
их применение в промышленности средств связи. Госэнергоиздат, 1949.
ГЛАВА 3
ЭКРАНИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ
ПОЛЕЙ
§ 3.1. Вводные замечания
Протекающие в цепях радиотехнических приборов токи
создают в окружающем пространстве магнитное поле, а за-
ряды, имеющиеся на отдельных частях прибора,— электриче-
ское поле. Эти электрические и магнитные поля, воздействуя
на различные элементы прибора, могут, в свою очередь, со-
здать в них нежелательные токи и напряжения, не предусмот-
ренные при конструировании, которые часто ухудшают работу
прибора, а иногда и вовсе нарушают её.
Для борьбы с этими нежелательными явлениями отдельные
цепи и элементы приборов помещают в специальные экраны,
препятствующие проникновению электрических и магнитных
полей за их пределы, как говорят, экранируют их. В следую-
щих параграфах будут разобраны различные способы экрани-
рования.
§ 3.2. Экранирование электрических полей
Пусть в некотором приборе проводящее тело А, благодаря
действию переменной синусоидальной эдс Е (рис. 3.1), будет
попеременно заряжаться положительным и отрицательным
электричеством. Вокруг него при этом будет создаваться
электрическое поле. Часть силовых линий этого поля будет
кончаться на проводнике Б, наводя на нём заряд. Заряд про-
тивоположного знака будет отводиться по проводу через
сопротивление Z в корпус прибора, где его нейтрализует за-
ряд, вызванный электродвижущей силой Е. Так как заряд
проводника А—переменный, то тело Б будет перезаряжать-
ся и через сопротивление Z будет протекать переменный
ток.
Этот процесс можно представить и иначе. Между телами
А и Б имеется некоторая ёмкость Саб- Вследствие этого в
6*
84
Глава 3
цепи, содержащей эдс Е, тело А, ёмкость Саб, тело Б, со
противление Z и корпус прибора, потечёт ток I, равный
i« Саб
Пока угловая частота ® электродвижущей силы Е мала,
сопротивление ёмкости очень велико, ток I мал и с
ним можно не считаться. С увеличением частоты • умень-
шается сопротивление ёмкости Саб и увеличивается ток. Это
может вызвать нарушение правильной работы прибора. В ра-
диотехнических приборах частоты бывают весьма большими
и поэтому с описанным явлением приходится считаться.
Если между телами Л и Б поместить проводящий лист В,
соединённый с корпусом прибора (рис. 3.2), то он будет пе-
рехватывать силовые линии, которые раньше шли от Л и Б.
Допустим, в данный момент времени тело А заряжено поло-
жительно. Тогда на листе В наведётся отрицательный заряд.
Освободившийся в листе В положительный заряд отведётся
в корпус прибора, где его нейтрализует отрицательный заряд,
отведённый электродвижущей силой из тела А. Отрицатель-
ный заряд, наведённый на листе В будет нейтрализовать
действие положительного заряда тела А на тело Б.
Рис. 3.1. Электрическое полетела А
без экрана.
В
Рис. 3.2. Действие экрана В на элек-
трическое поле тела А.
Обязательным условием экранирования является соедине-
ние листа В с корпусом. Если соединения с корпусом нет, то
освободившийся на листе положительный заряд перейдёт на
правую поверхность листа, как это показано на рис. 3.3, и
Экранирование электрических и магнитных полей
85
создаст поле, которое наведёт заряд на тело Б. Никакого
экранирования при этом не будет.
При соединении листа В с корпусом некоторое влияние
тела А на тело Б все-таки останется, во-первых, потому, что
часть силовых линий обойдёт лист В сверху и создаст не-
который заряд на теле Б. Во-вторых, ток, протекающий при
перезарядке листа В идёт двумя путями: основная часть его
проходит по листу на корпус прибора, а некоторая незначи-
тельная часть проходит на корпус через ёмкость Свб (рис. 3.2Ч
и сопротивление Z, создавая на нём падение напряжения.
Рис. 3.3. Действие изолирован-
ного экрана В на электрическое
поле тела А.
В
Рис. 3.4. Действие экрана В на
электрическое поле тела А.
Влияние первой причины легко устранить, окружив тело А
со всех сторон экраном, т. е., поместив его как бы в короб-
ку, изготовленную из хорошо проводящего ток металла
(рис. 3.4).
Влияние второй причины можно ослабить путём уменьше-
ния сопротивления экрана и проводника, соединяющего экран
с корпусом. Чем меньше это сопротивление, тем, очевидно,
ббльшая часть тока будет протекать непосредственно в кор-
пус прибора. Также можно ослабить влияние второй причины,
помещая между экраном В и телом Б ещё один экран, соеди-
нённый с корпусом.
Таким образом, для защиты от действия электрического
поля необходимо элемент схемы, вызвавший появление поля
(тело Л), или элемент, подвергающийся нежелательному воз-
действию электрического поля (тело Б), поместить в экран,
изготовленный из металла, обладающего малым удельным
сопротивлением (медь, алюминий), и надёжно соединить этот
экран с корпусом прибора. Иногда достаточно поставить
между упомянутыми элементами схемы металлическую пере-
городку, соединённую с корпусом.
86
Глава 9
§ 3.3. Экранирование магнитных полей
Рис. 3.5. Экранирование катушки К
от внешнего магнитного поля ферро-
магнитным экраном Э.
ницаемостью; часто для этого
Пусть существуют две цепи, между которыми имеется
взаимная индуктивность М, вызванная тем, что часть магнит-
ных линий индукции одной цепи будет охватывать другую. Тогда
ток I, протекающий в одной из этих цепей, будет наводить
в другой эдс, равную iо> At I. Чем выше частота <», тем больше
будет наведённая эдс. Для устранения этого явления, кото-
рое в ряде случаев бывает нежелательным, применяют экра-
нирование магнитного поля.
Существует два метода экранирования магнитных полей:
1) с помощью ферромагнитных материалов и
2) с помощью вихревых токов.
Первый способ применяется при экранировании постоянных
магнитных полей и полей низкой частоты. Второй способ даёт
хорошие результаты при экранировании полей высокой частоты.
Рассмотрим первый способ.
Пусть требуется защитить
катушку от действия внешнего
магнитного поля. Поместим эту
катушку внутри кожуха-экра-
на, изготовленного из ферро-
магнитного материала. При
этом линии индукции (рис. 3.5)
будут проходить в основном
по стенкам экрана, обладаю-
щим малым магнитным соп-
ротивлением по сравнению с
сопротивлением пространства
внутри экрана.
Линии индукции, создава-
емые током, протекающим в
катушке Д' (рис. 3.6), также
будут замыкаться через стенки
экрана, почти не выходя нару-
жу. Для лучшего экранирования
материал экрана нужно выби-
рать с большой магнитной про-
используют железо-никелевый
сплав — пермаллой, в большинстве же случаев — железо.
Для получения надёжного экранирования стенки экрана
приходится делать сравнительно толстыми с тем, чтобы
уменьшить сопротивление магнитному потоку. Иногда для
этих же целей приходится применять несколько экранов,
помещённых один внутри другого. Поэтому хорошо действую-
Экранирование электрических и магнитных полей
87
щие экраны из ферромагнитных материалов получаются срав-
нительно тяжёлыми и громоздкими.
При конструировании экранов следует обращать внимание
на то, чтобы швы и разрезы в экране не шли поперёк ожи-
даемого направления линий магнитной индукции, так как это
увеличит магнитное сопротивление стенок экрана и ухудшит,
его экранирующие свойства.
Перейдём ко второму способу экра-
нирования — экранированию с помощью
вихревых токов. Этот способ целесо-
образно применять на высоких частотах.
Представим себе замкнутое метал-
лическое кольцо, расположенное в пе-
ременном магнитном поле.
Пусть суммарный магнитный поток,
охватываемый кольцом, будет равен
0mCOS(erf + <p)
или в комплексной форме Ф.
Этот поток будет складываться
(рис. 3.7) из магнитного потока Фо, соз-
данного внешними причинами, например,
какими-либо катушками индуктивности,
и магнитного потока Ф^Л!, созданного
вихревым током I, протекающим через
кольцо. Этот ток создаётся эдс, наве-
дённой в кольце суммарным потоком
Рис. 3.6. Экранирование
поля катушки К ферро-
магнитным экраном Э.
Ф, Через L обозна-
чена индуктивность кольца.
Суммарный магнитный поток, таким образом, равен
Рис. 3.7. Экранирование
«временного магнитного
поля кольцом.
Ф = Ф04-Ф1 = Ф0-]-£1. (3.1)
Определим ток 1, протекающий в
кольце. Эдс, наводимая в кольце пото-
ком Ф, будет равна Е = — 1шф, а ток,
протекающий в кольце под действием
этой эдс будет равен
1 = Т" = ~ i<0 у-. (3.2)
где г — сопротивление кольца.
В ф-ле (3.2) индуктивность L учиты-
вать не нужно, так как создаваемая ею
противо-эдс входит в эдс Е, поскольку
она вызывается суммарным магнитным
потоком, включающим в себя и поток Фх, обязанный индуктивт
ности кольца.
88
Глава 3
Считая поток Ф, известным, мы из (3.1) и (3.2) можем найти
суммарный магнитный поток
Ф =
откуда
Фр
1 + 1-
(3.3)
Таким образом, чем больше будет отношение тем
сильнее будет ослабление магнитного поля внутри кольца
вследствие наложения на внешнее поле поля обратного на-
правления, вызванного вихревым током в кольце. С увеличением
частоты ® это ослабление будет расти. Оно будет также расти,
если уменьшать величину г, т. е. делать кольцо из материала
с
На рис. 3.8 приведена зависимость от отношения —.
Вне кольца магнитные поля как внешнее, так и вызванное то-
ком кольца будут складываться. Общая картина поля около коль-
ца изображена на рис. 3.9. Из этого рисунка видно, что кольцо
благодаря вихревым токам, протекающим в нём, не пропускает
через себя магнитное поле: оно вытесняется и огибает кольцо
снаружи.
Если на пути магнитного поля поместить лист проводящего
материала, то в нём появятся кольцевые вихревые токи и этот
Экранирование электрических и магнитных полей
89
лист мысленно можно представить состоящим из отдельных
замкнутых колец. Из сказанного выше следует, что вихревые
токи в этих кольцах будут вытеснять магнитное поле из про-
водящего листа. Картина силовых линий для этого случая
изображена на рис. 3.10. Таким образом, проводящий лист будет
являться экраном, препятствующим силовым линиям проходить
через него.
Ряс. 3.9. Экранирование перемен-
ного магнитного поля коль-
цом.
Рис. 3.10. Экрани-
рование переменно-
го магнитного поля
проводницей плас-
тинкой.
При высоких частотах вихревые токи в металле будут течь
практически лишь в поверхностном слое металла, так как
внутренние слои будут экранированы поверхностными слоями
и переменное магнитное поле проникать туда не будет. Это
явление аналогично явлению поверхностного эффекта. Умень-
шение плотности вихревых токов и напряжённости магнитного
доля до мере погружения в толщу экрана происходит по за-
иову
А = Лое
где А — плотность тока или напряжённость поля на глубине
х от поверхности экрана,
А9 — плотность тока- или напряжённость магнитного поля
на поверхности экрана,
л, — глубина погружения, на которой плотность тока идя.
напряжённость магнитного поля убывает в е раз.
90
Глава 3
Величина х0 может быть найдена по формуле
х°
где р — удельное сопротивление материала экрана,
PoPr — ег0 магнитная проницаемость.
„ . 6,67
Для технической меди х0 — -^=см,
у f
для алюминия
для серебра
Таблица 3.1
f 10 кгц \_мггц 100 мггц
*0 0,667 мм 0,0667 мм 0,00667 мм
В табл. 3.1 приведены значения х0 для технической меди
в зависимости от частоты. Из этой таблицы видно, что для
изготовления экранов на высоких частотах может быть взят
весьма тонкий материал. Эффективность экранирования от этого
не нарушится.
Из рассмотренного выше примера с кольцом следует, что
для получения лучшей экранировки следует брать материал
экрана с малым удельным сопротивлением. Для экранирования
с помощью вихревых токов катушек индуктивности последние
обычно помещают в алюминиевые или медные цилиндрические
коробки — экраны, закрытые крышкой. Переменное магнитное
поле из-за наличия в экране вихревых токов практически не
имеет возможности пройти через металл экрана и выйги
наружу. Картина поля для этого случая изображена на
рис. 3.11.
Иногда из конструктивных соображений экраны делают
прямоугольного сечения. В рассмотренных экранах допустимо
делать швы и разрезы, идущие только по направлению вихревых
токов. В этом случае не будет увеличиваться сопротивление вих-
ревым токам и экранирование будет достаточно эффективным.
Так например, разрез по линии аа* (рис. 3.12) не будет понижать
эффективность экранирования в то время, как разрез бб',
Экранирование электрических и магнитных полей
91
идущий поперёк линий вихревых токов резко ухудшит экра-
нирующие свойства Поэтому экраны для катушек индуктив-
ности обычно делают путём выдавливания, без швов по обра-
зующим цилиндра и в качестве снимающейся крышки исполь-
зуют дно цилиндра.
Рис. 3.11. Экранирова-
ние катушки К экраном
Э с помощью вихревых
токов.
Рис. 3.12. Экраниро-
вание катушки К эк-
раном Э. Разрез аа'
не нарушяет экрани-
ровку, бб'—нарушает.
Кр— крышка экрана.
Экранирование с помощью вихревых токов вызывает
потерю электромагнитной энергии вследствие перехода её
в тепло, поскольку йод действием вихревых токов экран
нагревается.
На простейшем примере экранирования кольцом выясним, от
каких факторов будет зависеть эта потеря энергии.
Из ф-л (3.2) и (3.3) получим
откуда мощность, теряемая в кольце, будет равна
(3.4)
92
Глава 3
Из этой формулы видно, что при малых значениях ®, когда
в знаменателе ф-лы (3.4) можно пренебречь «’I1 по сравнению
с г*, мощность Р меняется пропорционально ®2. На больших
частотах* когда ®а£*^>га, мощность, теряемая в кольце, почти
не зависит от частоты ®. На рис. 3.13 приведена зависимость
Р от ®.
Рассмотрим, как будет изменяться Р с изменением сопро-
тивления г кольца. При малых значениях г, когда г2<®*£*
и величиной г* в знаменателе ф-лы (3.4) можно пренебречь,
потери Р~ будут расти примерно пропорционально г.
При очень больших значениях г (когда г’ > ®а£а) знаменатель
будет увеличиваться примерно пропорционально га и потери
будут уменьшаться обратно пропорционально г.
Очевидно при некотором значении г потери будут макси-
мальны. Исследуя выражение (3.4), нетрудно найти, что мак-
симум Р будет иметь место при г=®£.На рис. 3.14 приведена
зависимость Р от г.
Из сказанного очевидно, что уменьшение сопротивления
экрана г будет, во-первых, улучшать его экранирующие свой-
ства и, во-вторых, уменьшать потерю энергии, если г<®£
(это видно из рис. 3.14).
Обычно экраны делают из меди или алюминия. Иногда
на поверхность экрана наносят слой серебра, улучшающий
экранирующие свойства и уменьшающий потерю энергии, так
как удельное сопротивление серебра примерно на 10% меньше
удельного сопротивления технической меди и его поверхность
в меньшей степени, чем у меди, покрывается плохо проводя-
щими окислами.
Применение ферромагнитных материалов для экранирования
магнитных полей высокой частоты нецелесообразно из-за боль-
Экранирование электрических и магнитных полей
93
шего сопротивления этих материалов и значительных потерь
в них.
На основании разобранного примера можно также сделать
вывод относительно потерь энергии в различных предметах,
помещённых в магнитное поле высокой частоты. Если сопро-
тивление этих предметов будет очень малым, то потери в них
будут малы, так как магнитное поле будет из них вытесняться.
Если их сопротивление будет очень велико, то потери также
будут малы, так как хотя иоле и будет пронизывать эти тела,
но вихревые токи, возникающие в них, будут малы.
При некотором среднем сопротивлении потери будут мак-
симальны. Поэтому, в целях уменьшения потерь, стараются
помещать в переменное магнитное поле тела либо из хорошего-
проводника, либо из хорошего изолятора.
Рассмотрим, как экран влияет на параметры экранируемой
катушки индуктивности.
Вследствие того, что вихревые токи, возникающие в экране,
уменьшают магнитный поток катушки, индуктивность катушки
уменьшается. Чтобы это уменьшение индуктивности не было
чрезмерным, обычно диаметр экрана берут примерно равным
удвоенному диаметру катушки. При этом индуктивность ка-
тушки уменьшается на 154-20%.
Наличие потерь в экране увеличивает активное сопротив-
ление катушки гг. Увеличение активного сопротивления гд
и уменьшение индуктивности приводят к уменьшению доброт-
ности катушки.
Собственная ёмкость катушки при помещении её в экран
возрастает вследствие того, что появляется дополнительная
ёмкость между витками катушки и экраном. Это увеличение
ёмкости тем больше, чем меньше диаметр экрана.
94
Глава 3
§ 3.4. Экранирование однопроводных и двухпроводных
линий
Пусть от некоторой синусоидальной эдс Е в нагрузку Z
течёт по проводу ток. Обратным проводом пусть служит корпус
прибора. Вокруг провода появятся электрические и магнитные
— силовые линии. Попробуем
Рис. 3.15. Экранирование провода тру-
бой. Экранировки магнитного поля
нет.
заэкранировать эти. поля с
помощью металлической
трубы, надетой на провод и
изолированной от него (рис.
3.15). Если трубу соединить-
электрически с корпусом
прибора, то осуществляется
экранировка электрического-
поля, но экранирование маг-
нитного поля не получится.
Действительно, при обходе по некоторому замкнутому контуру
(на рис. 3.15 он показан пунктиром) вокруг экранирующей
трубы мы согласно закону полного тока получим
/ Hdl = i.
(3.5)
где i — ток, охватываемый этим контуром, т. е. ток, проте-
кающий по проводу, так как общий ток, протекающий по
трубе будет равен нулю (поскольку труба соединена с кор-
пусом лишь с одного конца). Таким образом, при i #= О внешнее
магнитное поле не может равняться нулю и экранирования
магнитного поля не получится.
Некоторое экраниру-
ющее действие получится
в том случае, если соеди<
нить с корпусом оба конца
трубы. При этом по экра- f
нирующей трубе потечёт
ча.сть обратного тока и
ток i в ф-ле (3.5) будет
равен разности токов, те- Рнс 3 16 Эк анирование провоДа трубой.
кущих по проводу и по
трубе. Это вызовет умень-
шение напряжённости магнитного поля Н. Если в качестве об-
ратного провода использовать экранирующую трубу (рис. 3.16),
то ток I, равный разности токов, протекающих по проводу и по
трубе, будет равен нулю и напряжённость магнитного поля Н
вне трубы также будет равна нулю.
Экранирование злектрических и магнитных полей
95
Действительно, если предположить, что вне трубы в этом
случае имеются замкнутые линии магнитной индукции, то при
обходе по одной из них с единичным магнитным зарядом,
мы совершим некоторую работу, в то время, как согласно ф-ле
(3.5) такая работа должна быть равна нулю, так как в данном
случае i = 0.
Незамкнутых линий
магнитной индукции
внё трубы также не
может быть, поскольку
они должны были бы
замкнуться, проходя
через металл трубы, но
этого не может быть
^///////////////^
Рис. 3.17. Экранирование двух проводов
трубой.
из-за экранирующего
действия металла при высокочастотном магнитном поле.
Если прямой и обратный провод идут в одной металлической
экранирующей трубе, соединённой с корпусом (рис. 3.17),
то такая труба также будет создавать электрическую и маг-
нитную экранировку.
На практике экранирующую трубку обычно делают либо«
из свинца, покрывающего изоляцию провода, так как свинец
легко деформируется и не препятствует изгибанию провода,,
либо оплетая изоляцию провода тонкими медными или брон-
зовыми проводниками.
ГЛАВА 4
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ
КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ
$ 4.1. Вводные замечания
Последовательным колебательным контуром называют цепь,
состоящую из последовательно соединённых катушки индук-
тивности L, конденсатора С и активного сопротивления г
(рис. 4.1).
В активное сопротивление г мы будем включать активную
составляющую сопротивления катушки индуктивности и,, ак-
тивную составляющую сопротивления конденсатора гс и до-
полнительно включённое в цепь контура активное сопротив-
ление гг (если таковое имеется). Таким образом,
r = rL + гс +гг.
(4.1)
L
Рис 4.1. Схема после-
довательного колебатель-
ного контура.
Величины rL и гс берутся из последовательных схем за
мещения катушки индуктивности и конденсатора.
Последовательные колебательные кон-
туры используются в радиотехнике очень
широко, как для выделения колебаний
нужных частот, так и для увеличения
напряжения колебаний. Колебательными
эти контуры называются потому, что в
них могут существовать электрические
колебания в отсутствии внешних эдс.
Мы рассмотрим сначала воздействие
на последовательный колебательный кон-
тур непрерывных синусоидальных колебаний, затем в гл. 6 и
7—модулированных колебаний и, наконец, в гл. 8 — преры-
вистых синусоидальных колебаний и отдельных импульсов.
АЛЛММЛг
Вынужденные колебания в последовательном контуре 97
§ 4.2. Сопротивление и проводимость последовательного
колебательного контура
Пусть на последовательный колебательный контур, изобра-
жённый на рис. 4.2 и состоящий из последовательно соединён-
ных катушки индуктивности L, конденсатора С и активного
сопротивления г, воздействует эдс
e — Em cos (<о t + <э)
Рис. 4.2. Включение эдс
в последовательный ко-
лебательный контур.
Рис. 4.3. Векторная диаграм-
ма сопротивлений последова-
тельного колебательного кон-
тура.
Полное сопротивление контура (рис. 4.3) будет равно
Z = г 4- i х — Z е*₽,
(4.2)
где
х = ®£
(4.3)
Z=/ г2+ Xе,
8 — arctg-y- .
7 Основы радиотехники
(4.4)
98
Глава 4
Полная проводимость контура в комплексной форме равна
где
(4.5)
Ток, протекающий в контуре, может быть записан в ком-
плексной форме следующим образом:
I = EY = E =Е Уе'^-п ,
£
где Е — — эффективное значение эдс,
Е = Ее1<? —эффективное значение эдс
форме.
Мгновенное значение тока равно
в комплексной
i = ]/2 £ Feos (о>£-|-ф— р) = Усов («>£-}-® - р).
Как видно из этих формул, сдвиг фаз между током и эдс
равен величине р, определяемой ф-лой (4.4), а эффективное
значение тока равно I—EY.
Проследим зависимость р и У, определяющих сдвиг фаз
и величину тока, от параметров контура и частоты эдс.
С изменением индуктивности L и ёмкости С контура; а
также частоты эдс w в ф-лах (4.4) и (4.5) для р и У меняется
"только величина х. Строго говоря, с изменением частоты эдс
будет меняться и активное сопротивление контура г, однако
это изменение обычно бывает сравнительно малым и сейчас
мы не будем принимать его во внимание.
Зависимости р и У от х даны на рис. 4.4 для различных
значений величины г. Как видно из этого рисунка и ф-л (4.4)
и (4.5), при x=iO проводимость У имеет максимальное
значение, а сдвиг фаз р равен нулю. Когда х стремится к + <»,
проводимость У стремится к нулю, а сдвиг фаз р к •
Вынужденные колебания в последовательном контуре
99
Когда х стремится к — оо, проводимость У стремится к нулю,
а сдвиг фаз
Исходя из рис. 4.4
и ф-л (4.4) и (4.5),
следует ещё отме-
тить, что при малых
значениях х (когда
х < г) величины У и
сильно зависят от
г. При больших зна-
чениях х (когда х^>г)
эта зависимость вы-
ражена слабо и в ря-
де случаев величи-
ной г вообще можно
пренебречь. Кривые
а рис. 4.4 называются
резонансными кри-
выми, а кривые б
— фазовыми харак-
теристиками кон-
тура.
Если амплитуда
эдс остаётся пос-
тоянной, то ток I,
протекающий в кон-
туре, будет зави-
сеть от реактивного
сопротивления х так
же, как и проводи-
мость У.
Рис. 4.4. Зависимость модуля Y и аргумента
р полной проводимости последовательного
колебательного контура от реактивного соп-
ротивления контура х при различных зна-
чениях активного сопротивления г.
§ 4.3. Обобщённая расстройка. Относительная расстройка.
Если реактивное сопротивление колебательного контура х
равно нулю, то говорят, что контур настроен в резонанс с
частотой эдс или что в контуре наступил резонанс.
Чем больше х отличается от нуля, тем больше расстроен
контур. В качестве меры расстройки можно взять безразмер-
ную величину £, равную отношению реактивного сопротивле-
ния контура к его активному сопротивлению, т. е. величину
(4-6)
too
Глава 4
Эта величина называется обобщённой расстройкой. Она
равна нулю при резонансе.
Зависимость проводимости контура У от обобщённой рас-
стройки £ будет в соответствии с (4.5) выражаться фор-
мулой
1 е-1Р
г (1 + i f) r/'l + 5*
(4 7)
где
p = arctgt
Зависимость сдвига фаз р между эдс и током от обобщён-
ной расстройки В приведена на рис. 4.5.
Из (4.7) следует, что
Вынужденные
колебания в последовательном контуре
101
г/1 + ?
(4.»)
При резонансе 5 = 0, р = 0 и проводимость имеет максималь-
ное резонансное значение
р р
Введя эту величину в ф-лу (4.7) и (4.9), получим
102
Глава 4
Зависимость отношения У/Ур от обобщённой расстройки
приведена на рис. 4.6.
Фазовая характеристика и резонансная кривая, приведён-
ные на рис. 4.5 и 4.6, выгодно отличаются от кривых рис. 4.4
тем, что они универсальны, т. е. годятся для любого после-
довательного колебательного контура.
Если величина эдс Е не меняется, то
1 _ Y
Ip- Yp'
гд£/р = ЬУр=-р—резонансное значение тока в контуре.
Поэтому рис. 4.6 является также резонансной кривой тока
контура при постоянной величине эдс.
Исследуем более подробно величину х.
Как было указано ранее [см. ф-лу (4.3)], реактивное соп-
ротивление последовательного контура равно x = wL-
Из этого выражения видно, что при некотором значении
угловой частоты «> реактивное сопротивление обращается в
нуль, т. е. наступает резонанс. Эта частота называется угловой
резонансной частотой контура и обозначается через <ор.
Для неё справедливо следующее равенство
«>„£-------U-=0, (4.12)
р &р С '
откуда
/£С •
Резонансная частота в герцах (в периодах в секунду) равна
2ic/LC ’
___________
Как следует из ур-ния (4.12), на резонансной частоте со-
противления ёмкости и индуктивности равны по абсолютной
Вынужденные колебания в последовательном контуре 103
величине между собой. Значение этих сопротивлений при
резонансе обозначают через р. Таким образом,
Р = **>р L =
(4.13)
Величина р называется характеристическим сопротивле-
нием контура.
Произведём дальнейшие преобразования выражения (4.3)
(4.14)
Обозначим
(4-15)
Величина v называется расстройкой частоты эдс, воздей-
ствующей на контур, относительно резонансной частоты кон-
тура или просто относительной расстройкой. Относительная
расстройка иногда бывает более удобна, чем обобщённая, так
как определяется лишь соотношением между частотами.
Зависимость относительной расстройки v от отношения «
приведена на рис. 4.7. На рис. 4.8 приведена зависимость »
от — для области частот, близких к резонансной частоте кон-
тура. Из этих рисунков и ф-лы (4.15) видно,.что на частотах,
меньших резонансной частоты контура, относительная рас-
стройка отрицательна и стремится к — со, если ш стремится
к нулю. На частотах бблыпих, чем резонансная частота кон-
тура, относительная расстройка положительна и стремится к
4-оо, если «> стремится к-|~оо. Если частота эдс равна резо-
нансной частоте контура, то относительная расстройка равна
нулю.
Из ф-л (4.14) и (4.15) следует, что реактивное сопротивле-
ние контура равно
X = pv.
(4.16)
a
v
0 ъ 1, 5 г D 2 ,5
Рис. 4.7. Зависимость относительной расстройки v от— •
Пунктиром показано приближённое значение v, даваемое
2 (<о—<о0)
формулой .
ки от — вблизи резонанса. Пунктиром
показано приближённое значение v, давае-
. .2 («—!Лр)
мое формулой ч =------—.
Вынужденные колебания в последовательном контуре
105-
На рис. 4.9 приведена зависимость реактивного сопротив-
ления последовательного контура от частоты.
Найдём соотношение между обобщённой расстройкой ? и.
относительной расстройкой
На основании ф-л (4.6) и (4.16) мож-
но записать
е = — = -£- v = Qv= 4-, 4.17
г г а
где
Рис. 4.9. Зависимость ре-
(4.18); активного сопротивления
последовательного колеба-
тельного контура х от час-
тоты <0.
Величина Q, равная отношению, характеристического со-
противления контура к его активному сопротивлению, назы-
вается добротностью контура. Обратная величина d — зату-
ханием контура.
Применяемые в радиотехнической практике контуры имеют
обычно следующие значения Q:
контуры, среднего качества 50 < Q <Z 200,
контуры хорошего качества 200<^Q<^500,
контуры отличного качества Q > 500.
Зависимость сдвига фаз р проводимости Y и тока / от
относительной расстройки v можно проследить на рис. 4.5 и
4.6 и с помощью ф-л (4.8) и (4.1В, поскольку £ меняется про-
порционально V.
Чем больше добротность контура Q, тем более резко
будут меняться р и Y с изменением относительной расстрой^
ки v. Так, например, в соответствии с рис. 4.5 и 4.6 при $ = Г
отношение -г^-~0,71 и сдвиг фаз р = 45°.
гр
Если добротность контура Q = 10,то приведённые соотно-
шения будут иметь место при v = 0,1, если Q = 100, то при
v = 0,01 и т. д. Таким образом, величина Q определяет резо-
нансные свойства контура.
При вычислениях не всегда удобно пользоваться ф-лой (4.15)
для определения относительной расстройки '< Если ча-
стота эдс, воздействующей на- контур, близка к резонансной ча<-
106
Глава 4
стоте контура, то вычисление по ф-ле (4.16) может дать
большую ошибку, ибо в этом случае приходится брать раз-
ность двух близких к единице величин, каждая из которых
вычисляется обычно приближённо.
В таких случаях более удобно пользоваться приближённой
формулой. Формулу (4.15) можно переписать так
На частотах, близких к резонансу, первый множитель
приблизительно равен 2, поэтому на этих частотах
“* шр _ 2 f ip
wp fp
(4.19)
Зависимость относительной расстройки * от частоты, вы-
раженная ф-лой (4.19), изображена на рис. 4.7 и 4.8 пунктир-
ной линией.
Из рис. 4.8 и ф-л (4.15) и (4.19) легко убедиться, что,
если относительная расстройка v = 0,4, то ошибка, получаю-
щаяся при пользовании приближённой ф-лой (4.19), меньше
10%, если v=0,2, то ошибка меньше 5%, если * = 0,1, то
ошибка меньше 2,5% и т. д.
Пример 4.1. Дан последовательный контур с параметрами:
L = 100 мкгн, С = 100 пф, г = 10 ом.
Требуется найти резонансную частоту, характеристическое сопротивление
и добротность контура, а также ток, протекающий в контуре под действием
эдс е = 100 cos (10,1 • 10е/).
Решение. Резонансная угловая частота этого контура равна
= —L_ = А—--------= Ю» \1сек.
/LC /100.10-».100.10-“
Резонансная частота
fp = = ‘А. = 1,6..10вгц = 1,6 мггц
Вынужденные колебания в последовательной контуре 107
Характеристическое сопротивление равно
P = -l/I==-l/.1-W-20-e^iooo ом
1/ с 1/ 100 • 10-“
Добротность
(?=_£_= 1299 = к».
г ю
Относительная расстройка по приближённой формуле
- 10* = П|П9
<Лр 10’
Обобщённая расстройка
S = Qv = 2.
По кривым рис. 4.5 и 4.6 мы получим, что для $ = 2
Y = 0.447; 0 = 63,4° = 1,11 рад.
'р
Так как
Уо = -L — 0,1 мо,
х г
то
У = 0,447 Yp - 0,0447 мо.
Поэтому ток через контур будет равен
i = E„Y cos (<> t + <р — 0) =-
= 100 • 0,0447 cos (10,1 • lQe t —1,11) = 4,47 cos (10,1 • 104 — 1,11) a.
§ 4.4. Полоса пропускания контура
Как было показано в предыдущих параграфах, последова-
тельный колебательный контур в некоторой более или менее
узкой области частот вблизи резонанса обладает большой про-
водимостью по сравнению с проводимостью на частотах, уда-
лённых от резонанса. Это свойство колебательного контура
широко используется в радиотехнике для выделения колеба-
ний от той станции, которую хотят принять. Условно говорят,
что контур пропускает колебания на частотах, близких к
резонансу, и не пропускает на частотах, удалённых от него.
Полосой пропускания контура условились называть ту
область частот, в которой проводимость контура не меньше,
108
Глава 4
у
чем—где Yp — максимальная (резонансная) проводимость
контура.
Для этой области частот должно быть справедливо неравен-
ство
г 1
¥р V 2
На рис. 4.10 отмечены граничные частоты полосы пропуска-
ния: <о2 — верхняя граничная частота полосы пропускания,
о*! — нижняя граничная частота
полосы пропускания.
Ширина полосы пропуска-
ния, следовательно, равна
(О2 - (Dj = 2 Д<о.
На границах полосы про-
пускания справедливо равен-
ство
г ______1
(4.20)
Сравнив выражение (4.20)
ф-лой (4.11), можно сде-
Рис. 4.10. Резонансная кривая пос-
ледовательного колебательного кон-
тура, (о„ — резонансная частота, со2
И ы/— граничные частоты полосы лать вывод, _ что на верхнеи
пропускания, 2Д« — ширина полосы граничной частоте полосы про-
пропускания. пускания обобщённая расстрой-
ка $г=4-1, а на нижней гранич-
ной частоте q = — 1, откуда вытекает, что на граничных частотах
относительная расстройка равна
'i,2=±-^=±d. (4.21)
Воспользуемся приближённой ф-лой (4.19) для определе-
ния ширины полосы пропускания контура. Значение относи-
тельной расстройки для верхней граничной частоты полосы
пропускания определится из уравнения
^ = 2-^^ = 2-^Ц=^- = ~ = d. (4.22)
шр fP Q
Относительная расстройка на нижней границе полосы про-
пускания определится уравнением
>,-^2-^Z^ = 2^^-=- ~ = -d. (4.23)
™Р Jp V
Вынужденные колебания в последовательном контуре
109
Вычитая ур-ние (4.23) из ур-ния (4.22) и производя необхо-
димые преобразования, получаем
о)2 — <0j = 2 Д<о — -=<opd
или (4.24)
/2-/^-2.1/=
Таким образом, полоса пропускания последовательного ко-
лебательного контура тем больше, чем больше его резонан-
сная частота и чем меньше добротность.
Пример 4.2. Требуется найти ширину полосы пропускания контура при-
мера 4.1
Решение. В соответствии с ф-лами (4.24) полупим ширину полосы
§ 4.5. Добротность контура
Как уже упоминалось в предыдущих параграфах, величина
добротности контура характеризует его резонансные свойства..
Чем больше добротность контура, тем более резко изме-
няются проводимость и ток, протекающий в контуре, с изме-
нением частоты и тем уже полоса пропускания контура.
Добротность и затухание контура зависят от активного со-
противления г. В § 4.1 указывалось, что под сопротивлением г
подразумевается сумма активных составляющих сопротивления
катушки индуктивности и сопротивления конденсатора в по-
следовательных схемах замещения. Сопротивление гг [см.
ф-лу (4.1)] мы считаем отсутствующим.
Если известно затухание катушки и тангенс угла потерь
конденсатора, то затухание контура равно
d — dL -4—tg &, (4.25)
где db = ш L‘ — затухание
катушки, a tg 8 —тангенс угла
потерь конденсатора.
но
Глава 4
Действительно,
I tg о
г __ rL + ГС _
Р ~~ Р ~ Р
rL
Р
tgb ырС
(ОрС
“Hgs-
Здесь г с --------активная составляющая сопротивления
шр С
конденсатора в последовательной схеме замещения.
Если известна добротность катушки Ql =-~- и добротность
aL
конденсатора Qc — , то добротность контура Q определится
из равенства
_L==_L + _L
Q Ql Qc>
(4.26)
написанного на основании ф-лы (4.25).
Отметим ещё, что активное сопротивление г, от которого
зависит добротность контура, меняется, вообще говоря, с ча-
стотой. Однако при расчёте резонансных кривых величину г
считают постоянной и равной её значению на резонансной ча-
стоте. Это можно сделать потому, что в небольшой области
частот, близких к резонансной частоте контура, где сопротив-
ление контура и ток, протекающий в контуре, сильно зависят
от величины г (рис. 4.4), активное сопротивление изменяется
незначительно. На частотах же, сильно отличающихся от ре-
зонансной частоты, как было показано в конце § 4.2, проводи-
мость контура в основном определяется реактивным сопротив-
лением х и поэтому изменение г здесь можно не учитывать.
§ 4.6. Напряжение на элементах последовательного
колебательного контура
При изменении частоты электродвижущей силы, воздей-
ствующей на контур, будет изменяться падение напряжения
на конденсаторе. Uc и катушке индуктивности Ul . Исследуем
закон этого изменения.
Для этого введём понятие коэффициента передачи контура.
Под комплексным коэффициентом передачи мы будем пони-
Вынужденные колебания в последовательном контуре
111
мать отношение напряжения на конденсаторе в комплексной
форме
Uc = f/c е'Фс
или на катушке индуктивности
UL = l/t е1*2'
к электродвижущей силе, выраженной также в комплексной-
форме
Е = Ее’
Мы получим два комплексных коэффициента передачи:
1 ф
Кг = К с е‘ “с = = е* (фс
с с Е Ее'? Е
Кд = Kl е' е1 (*Ь - ”•
Е £е‘т Е
Модули комплексных коэффициентов передачи (их мы
будем называть просто коэффициентами передачи) будут равны:
^с~ е ’ ^1- Е '
а аргументы:
®с =фс — «г = — <Р-
Таким образом, коэффициенты передачи равны отношению-
напряжения на конденсаторе или катушке индуктивности к
величине эдс, а аргументы комплексного коэффициента пере-
дачи — сдвигу фаз между этими напряжениями и эдс.
Зная, как будут меняться комплексные коэффициенты,
передачи, мы сможем сказать, как будут меняться Uc и 1)д .
112
Глава 4
Начнём рассмотрение с Кс •
Напряжение на конденсаторе равно
и<-'( г< + +')•
откуда, поскольку
С мСп О) С ’
находим
Кс (1+^8) = Ксе“‘-
Аргумент Y равен — [3 [ф-ла (4.7)], а аргумент круглой
скобки 3. Поэтом}' аргумент Кс будет равён
ас = -Г-1 + г.
Отсюда видно, что сдвиг фаз ас между напряжением на
конденсаторе Uc и эдс Е меняется при изменении частоты или
параметров контура так же, как сдвиг фаз между током и
эдс, отличаясь от него на постоянный угол-^-Ч-З.
Коэффициент передачи равен модулю Кс •
Так как обычно tg23<dl,
Кс~—т-. • <4-27)
СО С 7
На резонансной частоте р = 0 и ас —аСр =—^--[-8. Коэф-
фициент передачи на резонансной частоте будет равен
_ 1 . р
ЫрС Г Шр С г
(4.28)
Таким образом, напряжение на конденсаторе при резонанс-
ной частоте в Q раз больше, чем эдс, и сдвинуто относитель-
но неё на угол.—^-4-8
Вынужденные колебания в последовательном контуре
113
Деля выражение (4.27) на (4.28), получим
(4.29)
Для области частот, близких к резонансной частоте кон-
тура, т-~1и
^V_~_Y_ = 1
КСР Yp /т+т« ’
(4.30)
т. е. в этой области с изменением 5 коэффициент передачи
будет меняться по резонансной кривой.
Для частот, удалённых от полосы пропускания контура,
в знаменателе ф-лы (4.29) можно пренебречь единицей по
сравнению с с2 и считать, что
_ 1 шр
КСр °*
Умножая числитель и знаменатель полученного равенства
и сокращая равенство на К Cp = Q, получим
(4-31)
Таким образом, на частотах, удалённых от полосы пропу-
скания, коэффициент передачи зависит только от отношения
частоты эдс к резонансной частоте контура.
Из ф-лы (4.31) видно, что при ®-*0 дс **1; при ®->оо
Кс->0.
На рис. 4.11 дана зависимость Кс от — для контура с доб-
ротностью Q = 10. Сплошная кривая 1 вычислена по точной
ф-ле (4.29), пунктирная кривая 2 по приближённой ф-ле (4.30),
S Основы радвотехавп
114
Глава 4
пригодной для области частот, близких к резонансной частоте
контура, и пунктирная кривая 3 — по приближённой ф-ле (4’.ЗГ,
пригодной для больших значений обобщённой расстройки.
На рис. 4.12 приведены аналогичные кривые для Q = 100.
В этом случае кривая /, построенная по точной формуле,
Рис. 4.11. Зависимость Кс от — для Q = 10. Кривая 1
построена по точной ф-ле (4.29). Кривая 2 построена по
приближённой ф-ле (4.30), пригодной для частот, близ-
ких к резонансу. Кривая 3 построена по приближён-
ной ф-ле (4.31).
На рис. 4.13 изображены те же кривые, но для Q = 2,5.
Из этого рисунка видно, что максимум Кс наступает на ча-
стоте несколько меньшей, чем резонансная. Это происходит
потому, что при малых значениях Q резонансная кривая про-
водимости Y получается настолько широкой, что в пределах
полосы пропускания нельзя считать множитель в ф-ле (4.29)
постоянным. Величина этого множителя на частотах,
меньших резонансной частоты контура, больше единицы. Сле-
довательно, на этих частотах кривая приподнимается, макси-
мум К с смещается влево и становится несколько больше Q*
Обычный анализ точной ф-лы (4.29) показывает, что мак-
симум наступает на частоте
® == шмакс =
1
2Q*
(4.32)
Рис. 4.12. Зависимость Кс от — для Q = 100. Кривая /
построена по точной ф-ле (4.29)^ Кривая 2 (совпадает с
кривой /) построена по приближённой ф-ле (4 30), при-
годной для частот, близких к резонансу. Кривая 3 по-
строена по приближённой ф-ле (4.31;.
Рис. 4.13. Зависимость Кс от — для Q = 2,5. Кри*
вал / построена по точной ф-ле (4.29). Кривая 2
построена по приближённой ф-ле (4.30), пригодной
д..я частот, близких к резонансу. Кривая 3 построе-
на по приближённой ф-ле (4.31).
116
Глава 4
и оказывается равным
Кс =Кс*аКс=- г-^—г=
(4.331
При Q = 100 получим: в>макс =0,999975 а> и Кг^,—
= 1,0000125 Q.
Таким образом, можно считать, что при нормальных зна-
чениях добротности максимум Кс наступит на резонансной
частоте и будет равен Q.
Аналогично исследуем коэффициент передачи /Сх.
Напряжение на катушке индуктивности равно
Ux = I(rx + i®£) = EYi<»£ (тЙг+ф
откуда
Kx = ^- = Yi®£(l-ldL)=KLt'L ,
Er
Где
</д=—V .
u>L
Аргумент Кд будет равен
ад = -₽ + ^--8д,
Где 8L = arctgrft. Обычно 4д<1, т. е. Здя^д.
Коэффициент передачи равен модулю Kz.:
Кд в Г» £ У i '+dl^Y*L. (4.34)
На резонансной частоте р=0 и ад=адр = -^—34. Коэф-
фициент передачи на резонансной частоте равен
Klp=Yp«>pL = ^ = Q.
(4.35)
Вынужденные колебания в последовательном контуре
Н7
Деля (4%34) на (4.35), получим
Y О) 1 о>
" Гр /1 + 6» шр '
(4.36)
В области частот, близких к резонансной частоте конту-
ра, —~ 1 и
Г <0-
(4-37)
т. е. с изменением 5 Kl изменяется по резонансной кривой.
В областях частот, удалённых от полосы пропускания
и
<о
откуда
(4.38)
Из ф-лы (4 38 видно, что при ш->0 Kl -» 0; при ш->-со Kl -*1
На рис. 4 14, 4.1> и 4.16 изобра/кены зависимости Kl
от — для Q=10; 100; 2,5. Сплошные кривые 1 вычислены
шр
по точной ф-ле (4.36\ пунктирные кривые 2 по ф-ле (4.37) и
пунктирные кривые 3 по ф-ле (4 38).
Из рис. 4 16 видно, что при малых значениях Q макси-
мум Kl наступает на частоте несколько большей резонансной.
Это объясняется тем, что при отношение в
ф-ле 4.36) больше едини’пы.
Обычный анализ точной ф-лы (4.36) показывает, что мак-
симум Kl наступает на частоте
(4.39)
Рис. 4.14. Зависимость Kl от — для О = 10. Кривая 1
шр
построена по точной ф-ле (4.36) Кривая 2 построена по приб-
лижен ой ф-ле (1.37), пригодной для частот, близких к резо-
нансу. Кривая 3 настроена по приближённой ф-ле (4.3Ь).
1 построена по точной ф-ле (4.36). Кривая 2 (совпадает с
кривой 1) построена по приближённой ф-ле(4.37), пригоц-
ной'для частот, близких к резонансу Кривая 3 построе-
на по приближённой ф-ле 4.38).
Вынужденные колебания в последовательном контуре П9
и оказывается равным
/’Ct Az, яакс
Q
~ тЬ
(4.40)
Из ф-л (4.39) и (4.40) видно, при нормальных значениях Q
(порядка ста) можно с достаточной точностью считать
и Кьмаке = $.
Рис. 4.16. Зависимость Kl от — для Q = 2,5. Кри-
вая 1 построена по точной ф-ле (4.36). Кривая 2 по-
строена по приближённой ф-ле (4.37), пригодной
для частот, близких к резонансу. Кривая 3 построе-
на по приближённой ф-ле (4.38).
Пэимер 4.3. В колебательном контуре с параметрами, приведёнными в
примере 4.1, действует эдс в виде последовательности половинок синусоиды
(см. рис. 4.17) с основной частотой Требуется найти напряжение на
конденсаторе контура.
Решение. Аналитически с помощью ряда Фурье заданная эдс може*
быть выражена так1):
е = 129 Г1 4- — cos <D01 + A cos 2(1>(/ - cos 4<d0 t 4--1 =>
те | 2 3 10 I
== 31,8 4- 50 cos <d0 / 4- 21,2 cos 2u>01 - 4,24 cos 4ш01 Ч-...
Применяя принцип наложения (суперпозиции), мы найдём напряжения
на конденсаторе отдельно для различных составляющих и затем полученные
значения сложим. Для постоянной составляющей (ш = 0) согласно сказанному
выше
КСо«1.
1) См. К, А. Круг. Основы электротехники, т. 2, стр. 239—240, изд. 1946 г.
120
Гмл 4
Для частоты <ое, являющейся резонансной, на основании ф-лы (428) мо-
лучим
Ко».-= Q- к», “с» + »«--=-
И
j *
Кс.. - Кер - 100е 2-
На частоте 2ше получим
£ = Q =100 /2 - -Ц =150.
у 2 /
При такам £ можно считать, чю
ф-лой (4.31). Мы получим
тс
— и пользоваться
приближённой
Аргумент КС2(О0 будет отличаться от КСр на — р, поэтому
Аналогично
Рис. 4,17. Временная диаграмма эдс
примера 4.3.
KC4w “ е
е
По полученным коэффициентам
Частот напряжения на конденсаторе.
усиления ндйдём составляющие разных
Сложив их, будем иметь:
Uc — 31,8 4- 50 КСшл ^coso)0/ — 4- 21,2 KC2u>it cos (2о>е/ — тс) —
— 4,24 К £4^ cos (4u>01 — тс) + ... — 31,8 4- 5000 cos — JL. j —
— 7,07 cos 2<»0 1 4- 0,283 cos 4<i>e t 4- ...
Таким образом, несмотря на то, что эдс в контуре не синусоидальна,
напряжение на конденсаторе будет почти синусоидальным, поскольку ампли-
туда первой гармоники напряжения много больше, чем амплитуды высших
гармоник.
Вынужденные колебания в последовательном контуре
121
§ 4.7< Энергетические соотношения в колебательном контуре
при резонансе
Пусть в контуре действует эдс с частотой, равной резо-
нансной частоте контура
e = £OTcos (<о/ -}-?).
Тогда ток в контуре будет равен
Z=/да cos (<о/+ <[>),
где
г ____________________________Em
‘m r ‘
Мощность, переходящая в контуре в тепло, равна
Рт = гр = rl„ COS2 (о>р t 4- ср) = rim 4" + 4" COS 2t + $] •
4.41)
Мощность, отдаваемая источником эдс,
^эдс = ^ = ^т/тс°8\шрг> + ^ = г/m COS2
Таким образом, мощность, отдаваемая источником эдс, це-
ликом переходит в тепло.
Энергия магнитного поля катушки индуктивности равна
£/а Z./2 LI2 Г 1 1 1
WM =-у = COS2 (со^ 4~ ср) =— 4--J- cos 2(со/4-ср)| .
14.42)
Напряжение на конденсаторе определяется следующим
образом:
sin (со i 4-ср)
(поскольку напряжение на конденсаторе отстаёт на 90° от
тока, протекающего через него1.
Энергия электрического поля конденсатора равна
ѓà dm Um à 1
IF, —-----= —sin2 (со 14- =р'= — —
* 2 2ф2С* ° 1 т 2 [2
— ^-cos2(®/4-<P)
(4.43)
' 2 1 \
так как ч>р — .
122
Глава 4
Общая энергия электрического и магнитного поля, равная
(4.44)
всё время остаётся постоянной.
В момент, когда 4 = 0, WM = 0 — вся энергия поля сосре-
доточена в конденсаторе. Через четверть периода нс = 0,
1Л7э = 0 —вся энергия поля будет сосредоточена в катушке
индуктивности.
Поскольку энергия поля остаётся постоянной, источник
эдс не расходует мощность на её изменение и, как мы видели,
мощность эдс идёт на покрытие потерь энергии, переходящей
в тепло.
Энергия, переходящая в тепло, в течение периода будет
равна
_г_
9
Г г/2
\PTdt=-^-T, (4.45)
_ т
2
откуда
LIm
Щ'э + ~ _ L _~Т L _ £
~~ rl2m — гТ 2кг ’
—т
ИЛИ
W9 + WM_ Q
U/f 2ге
(4.46)
Таким образом, отношение энергии, запасённой в поле
колебательного контура при резонансе к энергии, которая
тратится в контуре за период, целиком определяется доб-
ротностью контура.
ГЛАВА 5
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ КОНТУРАХ
§ 5.1. Вводные замечания
Последовательный колебательный контур, свойства кото-
рого были изучены в предыдущей главе, имеет в узкой поло-
се частот вблизи резонанса относительно большую проводи-
мость, т. е. малое сопротивление. В радиотехнических схемах
часто бывает необходимо использовать резонансные системы,
которые имели бы в узкой полосе частот относительно большое
сопротивление. Таким свойством обладают параллельные коле-
бательные контуры.
Рис. 5.1. Схемы параллельных контуров: а — про-
стой параллельный контур, б — контур с двумя кон-
денсаторами, в— контур с двумя индуктивностями.
Нами будут исследованы три вида контуров, наиболее часто
встречающихся в радиотехнической практике:
а) простой параллельный контур (рис. 5.1а),
б) параллельный контур с двумя конденсаторами (рис. 5.16),
в) параллельный контур с двумя индуктивностями (рис. 5Je).
Контуры двух последних видов мы будем также называть,
сложными параллельными контурами.
124
Глава 5
Сопротивление этих контуров нетрудно вычислить обыч-
ным методом теории переменных токов, однако получаемые
при этом формулы оказываются неудобными для практиче-
ских расчётов и анализа из-за их сложности и громоздкости.
В радиотехнике применяются более прооые, приближённые
формулы, которые, однако в большинстве случаев практики
дают необходимую точность.
§ 5.2. Реактивное сопротивление параллельных
контуров без потерь
Все схемы, приведённые на рис. 5.1, могут быть сведены
к обобщённой схеме, показанной на рис. 5 2.
Полное сопротивление этой схемы между точками А и В
равно
7 _ __ (б + 1 (^2 "I" 1 /Г 1\
Zj + Z2 “ +
Наша задача — найти зависимость этого сопротивления от
частоты. Для упрощения исследования предположим вначале,
что
I *11» (5.2а)
|х2|»г2, (5.2б)
I хг 4- х21 » гг + г2 (5.2в)
Рис. 5.2. Обоб-
щённая схема
параллельного
кон1ура.
и пренебрежём величинами г, и г2, т. е. бу-
дем исследовать контуры без активных сопро-
тивлений.
Тогда полное сопротивление будет равно:
Z^ix = i
*1*2
Х| +
(5-3)
Для простого параллельного контура ^рис.
5. 1а) получим
где ш =-----Т—-----резонансная угловая частота контура.
Изобразить эгу зависимость на графике можно следующим
образом (рис. 5.3). Сначала строится зависимость знаменателя
Вынужденные колебания в параллельных контурах
125
выражения (5.4^ от частоты. Он изменяется от частоты так
же, как относительная расстройка v
выражения (5.4) от частоты не зависит.
ный —1/ —» на знаменатель,
г С2
На рис. 5.3 приведена опре-
делённая таким образом за-
висимость реактивного со-
противления х от часто 1ы.
Из этого рисунка так же,
как из выражения (5.4),
видно, что на частоте шр
знаменатель выражения (5.4)
обращается в нуль, а реак-
тивное сопротивление кон-
тура становится равным
х= + со, т. е. наступает па-
раллельный резонанс — ре-
зонанс токов.
Из рис 5.3 также видно,
что при 0<о>< (з)р сопро-
тивление контура имеет ин-
дуктивный характер (х^>0),
а при ш tn — ёмкостный
(х<0).
Для параллельного кон-
тура с двумя конденса-
торами (рис. 5.16)
1
х =
(рис 4.7). Числитель
Деля числитель, рав-
искомую зависимость.
получим
Рис.
простого
потерь.
5.3. Реактивное сопротивление
параллельного контура без
Числитель и знаменатель
ф-лы (5.4).
111______1
С2 СгС2
1
г 1
---------г
х <0 С]
!____1
I <оС2
О) С2
(О л
х ш С
(5-5)
где С = — полная емкость, получаемая при последо-
вательном обходе контура.
Произведя преобразования, аналогичные сделанным выше,
выражение (5.5) можно переписать в виде
1
О)
О)’
р
(D
О) С2
с
CiC|
Р
X = —
£
О)д
<Ор ш
126
Глава 5
где о)р
__1
/лГс
— резонансная угловая частота всего контура,
ш'р = ——=— резонансная угловая частота левой ветви
контура.
На рис. 5.4 приведена зависимость от частоты числителя
и знаменателя выражения (5.5), а
тивления параллельного контура
также реактивного сопро-
с двумя конденсаторами.
Отметим, что при ю->0
числитель выражения (5.5)
стремится к о0» знамена-
тель — к —со,х—► — оо.
Действительно, если час-
тота очень мала, то в вы-
ражении (5.5) можно пре-
небречь первыми членами
числителя и знаменателя по
сравнению со вторыми.
Тогда
1
ы* С(С2 _________с
__ 1 шС1С2 ’
ш с
Рис. 5.4. Реактивное сопротивление „ _ „ А
параллельного контура с двумя ёмкое- откуда ВИДНО, ЧТО при «и—* О
тями, без потерь. Числитель и знамена- X -> — со.
тель ф-лы (5.5). На частоте о/, числитель
выражения (5.5) обращается в нуль, т. е. наступает последова-
тельный резонанс (резонанс напряжений) левой ветви
контура. При этом реактивное сопротивление контура х = 0
На частоте и>р обращается в нуль знаменатель, т. е. насту-
пает общий параллельный резонанс. Реактивное сопротивле-
ние контура на этой частоте равно ± со.
Так как для данной схемы всегда С<^СЪ то в параллель-
ном контуре с двумя конденсаторами частота последователь-
ного резонанса всегда меньше частоты параллельного резонанса,
т. е. <ор<о)р.
При 0 <«<«>;, реактивное сопротивление параллельного
контура с двумя конденсаторами имеет ёмкостный характер,
при о>р — индуктивный и при <о>а>р — снова ёмкост-
ный.
Для параллельного контура с двумя индуктивностями
5.1в)
Вынужденные колебания в параллельных контурах
127
(“i-i—4-) -г.
ж _ V----------с‘ > =.-------_Е, (5.в)
ш Li 4- <о L.-тг- ш L------тг-
* • “ <оСх <оСх
где L — Ц 4- — полная индуктивность, получаемая при по-
следовательном обходе контура.
Выражение (5.6) можно переписать и так
ш, (5,6а)
где «,
5.5. Реактивное еопротивленве
РИСа
параллельного контура с хвумя индук-
тивностями без потерь. Чисднтеаь н
знаменатель ф-лы (5.6).
==== — резонансная угловая частота всего контура,
= __— резонансная угловая частота левой ветви
г LiCf
контура.
На рис. 5.5 изображена
зависимость от частоты чис-
лителя и знаменателя вы-
ражения (5.6), а также
(сплошной линией) реактив-
ного сопротивления парал-
лельного контура с двумя
индуктивностями.
На частоте числитель
выражения (5.6) обращается
в нуль, т. е. наступает пос-
ледовательный резонанс ле-
вой ветви контура. Реак-
тивное сопротивление кон-
тура при этом равно нулю.
На частоте обращается
в нуль знаменатель выра-
жения (5.6), т. е. наступает
общий параллельный резонанс. Реактивное сопротивление-
контура на этой частоте равно ± со.
Так как для этой схемы всегда L>Li, то в параллельном
контуре с двумя индуктивностями частота последовательного
резонанса всег ад больше частоты параллельного резонанс*,
128
Глава 5
При 0<ш<ш, реактивное сопротивление такого контура
имеет индуктивный характер, при — ёмкостный и
при — снова индуктивный.
Рис. S.6. Изменение реактивного сопротивления различим* цепей
без потерь.
На рис. 5.6 приведены графики и формулы, показывающие
изменение реактивного сопротивления х с частотой для раз-
личных схем. При этом предполагается, что активные сопро-
тивления равны нулю.
Вынужденные колебания в параллельных контурах
129
Исходя из этого рисунка, можно для всех изображён-
ных на не л cxeivi сформулировать следующие общие поло-
жения:
1) с увеличением частоты со приращение реактивного со-
противления х, с учётом его знака, всегда положительно (за
исключением скачков с + сс на — оо), т. е. всегда ^>0;
2) число элементов схемы на единицу больше числа резо-
нансов;
3) если через схему может пройти постоянный ток, то при
о, = 0 х = 0 и при увеличении частоты первым резонансом
будет параллельный. Если постоянный ток пройти не может,
то при ю = 0 х = — оо и первььм резонансом будет последо-
вательный резонанс. В дальнейшем резонансы чередуются;
4) отношение реактивных сопротивлений двух схем, имею-
щих одинаковые частоты последовательных резонансов и оди-
наковые частоты параллельных резонансов, есть величина
постоянная. Действительно, второй множитель выражений
для х фис. 5.6) зависит только от резонансных частот и со.
Если резонансные частоты двух схем одинаковы, то одинако-
выми будут и эти множители, и отношение реактивных сопро-
тивлений даст постоянную величину, ибо при делении вторые
множители сократятся.
Укажем без доказательства, что высказанные здесь поло-
жения, кроме положения 2, справедливы для любых цепей,
составленных целиком из реактивных элементов.
Положение 2 для общего случая может быть сформулиро-
вано так:
Цепь с любыми заданными п резонансами (при чередова-
нии последовательных резонансов с параллельными) может
быть составлена из п-ф-1 реактивных элементов. С меньшим
числОхМ элементов осуществить такую цепь нельзя, с большим
можно.
Пр1мер 5.1. Требуекя найти величины элементов параллельного контура,-
который должен иметь параллельный резонанс на частоте 1 мггц и по-
следовательный на частоте = 0,5 мггц
Полная индуктивность контура L равна 100 мкгн.
Решение. Поскольку параллельный резонанс наступает на частоте
более высокой, чем последовательный, то контур должен иметь два конден-
сатора (рис. 5 6). Вся индуктивность контура сосредоточена в поэтому
Ly = L = 10“4 гн.
По условию имеем
<•>_ = = 2л fn = 2- 10е 1 !срк.
9 Основы радиотехники
130
Глава 5
Отсюда
с - “ W-L-W =253 10“’ * = 253 "*
Далее по условию
=------1 = 2л fD = 2л • 0,5 • 106 \/сек’,
/ 2-А р
откуда
С = 1_____________1_______
1 ~ 10-Мп2. 0,25 • 1G12
= 1012 • 10‘12#= 1012 пф.
Поскольку полная ёмкость кснгура
то
С =
^2
С, = _££1_ = 253 • 1012 = ^37 пф.
С]—С 1012-253
§ 5.3. Сопротивление параллельных контуров
с потерями
Для контуров с потерями, изображённых на рис. 5.1, по-
лученные в предыдущем параграфе законы изменения сопро-
тивления контура от частоты будут справедливы только на
тех частотах, где выполняются условия (5.2).
Эти условия не будут выполняться, во-первых, тогда,
когда реактивные сопротивления ветвей хг или х2 (рис. 5.2)
будут малы или соизмеримы с активными сопротивлениями
гх или г2 и, во-вторых, когда сумма лу-рХг будет мала или
соизмерима с гх + г2.
Разберём первый случай. В рассмотренных нами контурах
он будет иметь место на очень малых частотах в ветвях,
содержащих только катушку индуктивности. В этом случае
х = будет мало. Затем он будет иметь место на очень
высоких частотах в ветвях, содержащих только конденсатор.
Здесь х = также мало. Наконец, он будет иметь место
на частотах, близких к резонансной частоте для ветвей, со-
стоящих из последовательно включённых катушек индуктив-
ности и конденсаторов. В рассмотренном случае сопротивление
одной ветви (с малым х) обычно много меньше сопротивления
другой ветви. Пусть, например, малым будет сопротивление
правой ветви (Z2). Тогда, пренебрегая в знаменателе выраже-
ния (5.1) величиной Z2, по сравнению с Zb и сокращая на Zx,
получим
Z=biZ2 = г2 + 1*2
Вынужденные колебания в параллельных контурах
131
Действуя этим методом, для схемы, изображённой на
рис. 5.1 в для малых частот, мы получим
Z ~ Z2 = г2 il,) L2
и для частот, близких к частоте ,
г M-i
z~zi= гх 4- i (<0 ----j .
Аналогичные простые выражения мы получим и для дру-
гих схем рис. 5.1 в тех случаях, когда частота такова, что
сопротивление одной ветви много меньше, чем другой.
Ввиду простоты этого случая, останавливаться на нём мы
не будем и перейдём ко второму случаю, когда мала сумма
Хх+^2» но выполняются условия (5.2а) и (5 2б>.
В этом случае в числителе ф-лы (5.Г можно пренебречь
величинами гх и г2 и написать
Z^
— XjX2 ___
(П + r2) + > (*i -i- x2) ~
—X.X.,
(5.7)
Здесь. r=r1-'-r2— полное активное сопротивление, получаю-
щееся при последовательном обходе контура,
= Xi 4- х2 — полное реактивное сопротивление, по-
лучающееся при последовательном обходе контура.
Как нетрудно убедиться, для простого параллельного кон-
тура (рис. 5.1а) в ф-ле (5.7) нужно положить:
£. — и С == С?о.
Для параллельного контура с двумя ёмкостями (рис. 5Л6).
Для параллельного
(рис. 5.1 в)
контура с двумя индуктивностями
L = L1-\-L2 и C"=Cj.
Введённая здесь величина L называется полной индуктив-
ностью параллельного контура, а величина С — полной ём-
костью.
Формулу (5.7) можно записать иначе.
Так как реактивные сопротивления правой и левой веТвн
в узкой области частот, близких к частоте юр =
9*
1__
y’LC >
изме-
132
Глава 5
няются незначительно, а на частоте они равны друг другу
по абсолютной величине и противоположны по знаку, то
можно считать, что в этой области
и
Х1 ~ х2 ~ х1р — х2
2 2 2
Х^Х2 Xfp — Х2р — Х1>2р*
(5.8)
Здесь х1р и х2р значения величин и х2 на частоте об-
щего параллельного резонанса шр. Для простого контура вы-
ражение (5.8) справедливо в широком диапазоне частот.
Знаменатель выражения (5.7) совпадает с выражением (4.2)
для сопротивления последовательного контура. Поэтому,
применяя обозначения, введённые в § 4.3, перепишем
ф-лу (5.7) так:
где
B = Qv, p = arctg$
1
(J) = ___
р /LC
(5.9а)
На частоте общего параллельного резонанса обобщённая
расстройка В равна нулю, а сопротивление параллельных кон-
туров чисто активно и равно
х2
7 р 1 &Р
Lp — Kce——
(5.10)
Это сопротивление называется резонансным сопротивле-
нием параллельного контура.
Разделив (5.9) на (5.10), получим
Z _ е-Ф
— /Т+F *
(5.1 П
Вынужденные колебания в параллельных контурах
133
Отношение же модуля Z к Ra равно
z 1
^~/Г+Т2 ‘
(5.12
Сравнивая ф-лы (5.11) и (5.12) с ф-лами (4.10) и (4.11), ви-
дим, что вблизи частоты общего параллельного резонанса
(резонанса токов) полное сопротивление параллельных кон-
туров всех типов зависит от обобщённой расстройки £, а сле-
довательно, и от частоты ю так же, как проводимость после-
довательного контура, изученная нами в гл. 4. Поэтому
детально изучать выражения (5 11) и (5.12) мы не будем.
Отметим, что выражения (4.10) и (4.11) справедливы для
любой частоты, выражения же (5.11) и (5.12) — только для об-
ласти частот, близких к <ор.
Разложим полное сопротивление контура вблизи параллель-
ного резонанса на активную и реактивную составляющие.
На основании ф-лы (5.11) можно записать
(5.13)
Освобождаясь от мнимости в знаменателе, получим
где
от обобщённой расстройки построенные на основании
X/R^R/R^Z/Re
Рис. 5.7. Зависимость полного сопротивления Z, его активной составляющей R и реак-
тивной составляющей X от обобщённой расстройки вблизи параллельного резонанса.
Вынужденные колебания в параллельных контурах
135
ф-л (5.14), (5.15) и (5.12). Из рисунка видно, что реактивная
составляющая сопротивления имеет экстремумы при £ = ± 1.
Поскольку проводимость последовательного колебатель-
ного контура выражается ф-лой (4.10), аналогичной ф-ле (5.11),
эту проводимость можно подобным же образом разбить на
активную и реактивную составляющие, которые будут опре-
деляться формулами и графиками, аналогичными (5.14), (5.15)
и рис. 5.7.
В простом параллельном контуре (рис. 5.1а) [х1р| = |х2р| = р.
Поэтому на основании ф-лы (5.10) резонансное сопротивление
такого контура равно
= v = Qp = Q2/' = 7^- (5-16)
Поскольку обычно в контурах добротность Q порядка ста,
а характеристическое сопротивление р порядка сотен или
тысяч ом, то Rce простых параллельных контуров имеет по-
рядок десятков или сотен тысяч ом.
В сложных параллельных контурах х2 содержит лишь часть
ёмкостного или индуктивного сопротивления контура, поэтому
величина xlP = и Ra в этих случаях будет всегда меньше,
чем в простом параллельном контуре (при одинаковых зна-
чениях L, С и г).
Сложные контуры обычно применяются в тех случаях,
когда необходимо уменьшить резонансное сопротивление при
неизменных параметрах L, С и г или, когда в параллельном
контуре необходимо на некоторой частоте ®>р получить очень
малое сопротивление.
Обозначим
(5.17)
где __
Р = = —Цг = Л/~ Л-
г р шРс У с ’
L—полная индуктивность контура,
С —полная ёмкость контура.
Тогда для контура с двумя катушками индуктивности
рис. 5.1в) получим
_ 1-2 _ ^2
? upL L •
(5.18)
136
Глава 5
Для контура с двумя конденсаторами
(5.19)
Введя параметр р, мы можем в ф-ле (5.10) для Ra любого
параллельного контура заменить xi,2, на р2р2 и получить
R* = = Q?P2 = W = ~^Р2- <5-20>
Сравнивая ф-лы (5.16) и (5 20), видим, что резонансное
сопротивление сложных контуров отличается от резонансного
сопротивления простого контура в р2 раз,
причём р всегда меньше единицы.
1 I Если к контуру, изображённому на
sr* рис. 5.8, подключиться в точках А и 5, то
у у мы будем иметь простой параллельный
= = С, контур. Если подключиться к части катуш-
ки индуктивности, то получим сложный па-
---г-—' раллельный контур с двумя индуктивностями.
На основании изложенного выше легко убе-
диться в том, что если точку подключения
А' перемещать по катушке вниз, то резо-
нансное сопротивление контура между точка-
ми А' и Л будет уменьшаться, частота общего
Рис. 5.8. Слож-
ный параллельный
контур, в котором,
изменяя место при-
соединения зажима
Л' к катушке ин-
дуктивности, мож-
но менять /?«? и
частоту последо-
вательного резо-
параллельного резонанса оставаться не-
изменной, а частота резонанса напряжений
левой ветви о)р уменьшаться,
На рис. 5.9, 5.10 и 5.11 приведены за-
коны изменения модуля Z полного сопро-
тивления контуров в зависимости от отно-
шения Кривые построены в предпо-
ложении, что параметры L, С и г одинаковы для всех трёх
типов контуров, коэффициент р для сложных контуров равен
0,36, добротность контуров Q = 20 (Q взято меньше обычного,
нанса , остав-
ляя постоянной ча-
стоту параллель-
ного резонанса.
Рис 5.9. Зависимость полного сопротивления простого
а)
параллельного контура от при Q=20, р=500. Кривая
1 построена по точной формуле. Кривая 2 (она практичес-
ки совпадает с кривой 7) построена по приближённой
ф-ле (5.12), справедливой вблизи параллельного резонанса.
Кривая 3 построена по ф-ле (5.4), не учитывающей
потери.
Рис. 5.10. Зависимость полного сопротивления парал-
(О
лельного контура с двумя конденсаторами от — при
Q—20, р=500 и р=0;36. Кривая 1 построена по точной
фррмуле. Кривая 2 построена по приближённой
ф-ле (5.12), справедливой вблизи параллельного резонанса.
Кривая 3 построена по ф-ле (5.5), не учитывающей потери.
138
Глава 5
-чтобы сделать рисунок более наглядным), р = 500 ом. Как
видно из рисунков, значения резонансного сопротивления раз-
личны для простого и сложных контуров, хотя параметры L, С
игу них одинаковы. На этих же рисунках пунктиром показаны
значения Z, полученные по приближённым формулам. Как видно
из этих рисунков, несмотря на то, что Q было взято зани-
женным, совпадение кривых получается достаточно хорошим.
Рис. 5.11. Зависимость полного сопротивления парал-
(D
лельного контура с двумя индуктивностями от — при
<?=20, р =500 и р=0,36. Кривая 1 построена по точной
формуле. Кривая 2построена по приближённой ф-ле (5.12),
справедливой вблизи резонанса. Кривая 3 построена по
ф-ле (5.6), не учитывающей потери.
В заключение этого параграфа отметим, что параллельный
резонанс не всегда наступает точно при частоте =^1_-. Это
видно из выражения (5.1). На частоте знаменатель этого
выражения является действительной величиной, а числитель
имеет мнимую составляющую, равную
i (fiX2p + r2xlp) = i x2p (г, - r2).
Так как эта мнимая составляющая обычно мала, то на
практике считают, что параллельный резонанс наступает на
1
частоте и>_ = г — , это упрощает расчетные формулы.
р у LC
Если в контуре гг=г2, то параллельный резонанс наступит точ-
но на частоте ю„= .
Вынужденные колебания в параллельных контурах
139
Приме? 5.2. Найти частоты, на которых полное сопротивление контура,
изображённого на рис. 5.1в, будет активным и величины сопротивления, со-
ответствующие этим частотам, если Lr = 0,25 мгн; L2 = 0,75 л<гн;С1= 1000 пф;
г1 = ^ом; г2 = 2ом.
Решение. Сопротивление контура будет активным на частотах:
а) очень малых, где сопротивление будет равно г2 = 2 ом‘
б) на частоте параллельного резонанса, равной
?__= _______* =_____ 1 — = 106 II сек.
^LC /(L1A-L2)C1 / (0,25 - 0,75) • 10“3-1000-10“12
/ 1С<5 \
Up = “^7 = = 159 000 гц = 159 кгц] •
Сопротивление контура на этой частоте равно
Л-?2П <0^2 1012-0,752-10-6 , _
Rn, ~ = _£_Л = ----------------= 112 500 ом = 112,о ком;
^тг2 Гх+г2 3+2
в) на частоте последовательного резонанса, равной
, _ 1
'"р~ уГЦс,
— 1 = 2-10е 1/сек
У0,25 • 10"3- ЮОО-Ю-12
, «>„ 2-106
/_ = —=------------ = 318 000 гц = 318 кгц
р 2" 2 к
Сопротивление контура на этой частоте равно rY = 3 ом.
П)имгр 5.3. Найти область частот, для которых контур примера 5.2 бу-
дет иметь полное сопротивление Z > 50 000 ом.
Решение. Эта область частот лежит очевидно вблизи частоты парал-
лельного резонанса, где в соответствии с ф-лой (5.12)
Z __ 1
" ) TTF
Из этой формулы получаем, что на границах искомой области должно
выполняться равенство
112 500 \2—1
50 000 /
(величина R& взята из примера 5.2).
Далее, в соответствии с ф-лами (5.9а) находим
L\ + L-2
С.
-1 Г (0,25 + 0,75)-10“3
Г 1000-10“12
= 1000 ом,
Р
Г,+Г2
1000
3 + 2
140
Глава 5
и относительную расстройку на границах искомой области:
На основании ф-лы (4.19) определяем границы области
ч = vf—fp '
fp
откуда
f = fp + /р-2_ = 159 000 ± 159 000 i’01'10"* = (159 000 ± 803) гц
(значение fp взято из примера 5.2).
Таким образом, искомая область будет заключаться между частотами
(159 000 — 803) гц < f < (159 000 + 803) гц.
§ 5.4. Параллельная схема замещения
Иногда при исследовании радиотехнических схем, вклю-
чающих параллельные контуры, удобно пользоваться парал-
лельной схемой замещения, которая справедлива для частот,
близких к резонансной частоте контура.
На основании (5.7) можно записать, что проводимость па-
раллельного контура
Г . . О)А _______ . 1
—хгх2 1 <0 С (—х*х£
Рис. 5.12. Параллельный контур и его параллель-
ная схема замещения.
Вблизи параллельного резонанса можно приближённо по-
ложить
= р2 р2= pi.
Вынужденные колебания в параллельных контурах
141
Подстаъляя эту величину в формулу для Y, получим
у = —-L i ш— - i ----- (5.21)
R<z 1 р2 <»Lp2 • v '
Здесь L и С — полные индуктивность и ёмкость контура.
Такой проводимостью обладает схема, состоящая из трёх
параллельных ветвей: активного сопротивления , конденса-
Q
тора с ёмкостью и индуктивности Lp2 (рис. 5.12). Эта схе-
ма называется параллельной схемой замещения. Она будет
иметь ту же проводимость, а следовательно, и сопротивление,
что и любой параллельный контур вблизи частоты параллель-
ного резонанса.
§ 5.5. Соотношения между токами при параллельном
резонансе
Если к параллельному контуру приложить напряжение U,
частота которого равна резонансной частоте контура, то ток
в неразветвлённой цепи (рис. 5.13) будет равен
II II * h ъ 1 с J
Ток, протекающий в левой ветви, равен ±
I — и ’’ р-
1—n + ixjp’ ( 7 т 'Y'
ток в правой ветви 1 1 \ &
I =—и 1 L JJ
2 г2 -Н i х2р
Поскольку х1р = — х2р, Рис. 5.13. Токи в па-
I - и 2 Г2-1Х1р раллельном контуре.
Эффективные значения токов соответственно будут равны
V r^x\ lxIpl
г и ~~ U
2 ’
(5.22)
так как
2 о 2 2
/'1 < Xip И Г2 « Xtp.
142
Глава 5
Из выражений (5.22) следует, что при резонансе токи в
ветвях параллельного контура примерно равны по величи-
не и в
-1 = JfieL =2£_=Qn
I г г *
раз больше, чем ток, протекающий в неразветвлённой цепи.
Здесь р сответствует ф-лам (5.17), (5.18) и (5.19).
Для простого параллельного контура р=1. Поэтому
т е. токи в ветвях в Q раз больше тока в неразветвлённой
цепи.
Рис. 5.14. Векторная диаграмма для токов и напряжений
в параллельном контуре при резонансе для случая 10 и
П = г2.
На рис. 5.14 приведена векторная диаграмма параллель-
ного контура с двумя катушками индуктивности для случая,
когда <и = а>р, pQ — Ю и Г1=г2-
§ 5.6. Подключение параллельного контура
к генератору
В радиотехнике часто подключают параллельный контур
к генератору так, как это изображено на рис. 5.15, где R —
активное сопротивление.
Вынужденные колебания в параллельных контурах
143
Найдём коэффициент передачи для такого включения,
понимая под ним величину
К=
и.
Е
где U —напряжение на контуре, Е — эдс.
Смысл коэффициента передачи был рассмотрен в § 4.6_
Ток в неразветвлённой цепи контура будет равен
Я + Z’
где Z — полное сопротивление контура,
откуда
U=Z1=^E
И
Рис. 5.15. Схема
включения параллель^
ного контура.
(5.23)
При Z»/? в знаменателе полученного выражения можно
пренебречь R и считать, что
К~1.
С уменьшением Z модуль К будет уменьшаться.
Наибольший интерес представляют обычно большие зна-
чения К, которые имеют место па частотах, близких к ча-
стоте параллельного резонанса. Для этих частот мы можем,,
учтя ф-лу (5.13), переписать выражение (5.23) следующим
образом:
Rce
Rce
iz __ _______________________________
п । R& R-{-Roe-}-i£R
K ‘ 1 -ь i;
На резонансной частоте £=0 и резонансное
коэффициента передачи будет равно
(5.24)
значение
__ L- _ Rc£ _ 1
^р~^р~ R + R<x ~ , I # •
1-г /?»
(5.25)
144
Глава 5
Зависимость Кп от -5— изображена на рис. 5.16. При
D
-о—=0, К„—1, с увеличением R Ко будет уменьшаться.
<\а? ** и
Деля (5.24) на (5.25), получим
К _ 1 __ 1 _ 1
R ~l + iS' Ц-iQV
Здесь
?'=_Д—е= —L— Qv=Q'v,
R + , । Rce_
R
где Q' = —Q
1 । *\о?
1-1 R~
(5.26)
(5.27)
приведённая добротность.
Сравнивая выражение (5.26) с (4.10) и (5.11), мы видим,
что в области частот, близких к частоте параллельного резо-
нанса К меняется с изменением $ так же, как проводимость
последовательного колебательного контура или сопротивле-
ние параллельного вблизи резонанса токов. При вычислениях
здесь необходимо лишь вместо добротности контура Q брать
приведённую добротность Q' , которая всегда меньше Q, Та-
ким образом, резонансная кривая коэффициента усиления
будет шире, чем резонансная кривая контура.
Зависимость отношения -Я-от р— изображена на рис. 5.Г6.
Вынужденные колебания в параллельных контурах
145
Чем больше /?, тем ближе Q' к Q
При уменьшении R Q'->0.
Полученные здесь выводы справедливы как для простого,
так и для сложного параллельного контура, поскольку
ф-ла (5.13), которой мы пользовались для получения выраже-
ний (5.24), (5.25) и (5.26), справедлива для любых параллель-
ных контуров.
Пример 5.4. Найти Кр и полосу пропускания для схемы, изображённой
на рис. 5.15. Считать, что R = 2820 ом и вместо простого параллельного
контура 5 схему включен сложный контур с параметрами, приведёнными
в примере 5.2.
Решение 1. По ф-ле (5.25) определяем Кр
КР = R~ = 2 820 = °’8’
1+/?7 1 + 112500
2. Находим добротность контура
р <>,£ ^(£1 + £г) 1040.25+ 0,75)-10-
Q = —------=---------г^руз 3+2 Я®-
По ф-ле (5.27) находим приведённую добротность
Q'-----Q = 112 500 •200=40-
1 + /? 1 + 2 820
3. На осйованин ф-лы (4.24) определяем пЬлдсу пропусками»:
2d&>' = =25-10* 1/еек.
1Q Основы радиотехники
ГЛАВА 6
АМПЛИТУДНО-МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ИХ
ВОЗДЕЙСТВИЕ НА КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ КОНТУРЫ
§ 6.1. Вводные замечания
Во введении указывалось, что для радиосвязи необходи-
мо использовать колебания высокой час юты, так как при
этом легко создать пиле излучения, необходимое для беспро-
волочной передачи энергии на большие расстояния.
Для того, чтобы с помощью колебаний высокой частоты
передавать на расстояние колебания более низких частот
(например звуковые колебания), прибегают к модуляции, т. е.
изменению колебаний высокой частоты.
При амплитудной модуляции амплитуда колебаний вы-
сокой частоты изменяется во времени по тому же закону,
по которому изменяется передаваемый сигнал. Такие колеба-
ния называются амплитудно-модулированными колебаниями.
Частота и сдвиг фаз при этом остаются постоянным».
При передаче низкочастотного колебания 5 (/) амплитуд-
но-модулированное колебание (AM колебание) будет иметь
следующий вид:
u= Um(t) cos + <р0)=Uс [1 + aS (t j] cos (uot + <?0), (6.1)
где Uc и a\— некоторые постоянные. Значение а выбирается
так, чтобы при любом t величина [l-]-aS(/)] была положи-
тельной.
Если колебание S(0 может быть представлено суммой
синусоидальных колебаний то выражение (6.1) можно запи-
сать так:
п
a=Uc 11+ У Мк cos (2^+Фх)1 cos (<oof + <р0).
L К-1 J
(6-2)
AM колебания и их воздействие на колебательные контуры
147
Величины 2Х называются угловыми частотами модуляции,
<оо—угловой несущей частотой, Фк и <р0 — их сдвигами фаз,
Мк— парциальными коэффициентами модуляции.
Амплитудно-модулированное колебание (6.1) может быть
изображено с помсщью временной диаграммы, на которой по
оси абсцисс отложено время t, а по оси ординат величина
и (рис. 6.1). При построении такой диаграммы удобно сначала
изобразить кривые.-|- Um(t) и — Эти кривые изображены
z/r
Рис. 6.1s Амплитудно-модулированное колебание
u=Um (t) cos (шо/ + <ро).
Vm (Z) и — Um (/) — огибающие.
на рис. 6.1 пунктиром. Они называются огибающими ампли-
тудно-модулированного колебания. Колебание и будет ка-
саться огибающих в моменты времени t, когда
cos (<V + ?o)= + 1.
§ 6.2. Коэффициенты модуляции
AM колебание, помимо парциальных коэффициентов моду-
ляции, характеризуют ещё коэффициентом модуляции вверх
М =
в и с
(6.3)
и коэффициентом модуляции вниз
М = .
« Uc
ю»
(6.4)
148
Глава 6
Здесь Ue и UH — максимальные отклонения амплитуды
вверх и вниз от её среднего значения Uc . ВеличиныUe, Uhh
Uс показаны на рис. 6.1.
Если UH=Ue, то модуляция называется симметричной и
можно говорить просто о коэффициенте модуляции
М=М=МН.
В частном случае, когда передаваемое колебание синусои-
дально, сумма в выражении (6.2) будет содержать лишь один
член
u=Uc [14-М1со8(21<4-Ф1)]со8(ш0<+?0). (6.5)
При этом
Ue=UH=Uc Mlt
модуляция симметрична и коэффициент модуляции равен
парциальному коэффициенту модуляции
Пример 6.1. Найти коэффициенты модуляции колебания
«—(100+30 cos 2 t+20 cos 3 2 0 cos <»01.
Решение. Имеем Uc —100 в. При t=0 будем иметь
ламе—100+30+20=150 в,
откуда
Ов=Сг,п.макс — 50 8.
При 2Тт=п будем иметь
т мин == 100—30—2Оа=5О в,
откуда
UH=UC-Um мин—50 в.
Модуляция симметричная, М—-^-=0,5 или 50%. Парциальные коэф-
100
фициенты модуляции:
30
для частоты 2 Afs =——=0,3,
20
для частоты 3Q =0,2.
§ 6.3. Обобщение комплексного метода на ДМ колебания
Перейдём к анализу воздействия AM колебаний на коле-
бательные контуры и элементы этих контуров. Посмотрим,
можно ли для нахождения токов и напряжений в цепях, на
. W колебания и их воздействие на колебательные контуры 149
которые воздействуют AM колебания, пользоваться обычным
комплексным методом.
Рассмотрим вначале воздействие AM колебаний на конден-
сатор.
Пусть к конденсатору С приложено AM напряжение
«=Um(t)cos(<o0t р<р0).
Как известно, ток, протекающий через конденсатор, равен
г. du
i = С-^-, или в нашем случае
» = с cos (ШО t + <р0) - <в0 CUm (Osifi («01 + тД
Запишем этот ток в комплексной форме
1 = -7=- С—т-^}- е u0CUm(t)e^° + -*}
Y2 at 1 /2 0 mV '
или
1 = CU+i%CU, (6.6)
где U = Um (0 е'“'’ — напряжение AM колебания в ком-
плексной форме.
D 1 dUm (Л
Величина ’ характеризует относительную
скорость изменения амплитуды напряжения.
Обозначим её
= 1 dum (t)
um(t) ' dt
(6-7)
После этого можем окончательно
ние (6.6) в виде
переписать выраже-
I = UYC
где
Yc = 7„С + iw0 С
(6.8)
150
Глава 6
Амплитуда тока будет равна
/.(0=Wc
где
Yc = cy -Ь«>2.
(6.9)
Формула (6.8) показывает, что если амплитуда напряжения,
воздействующего на конденсатор, меняется, то проводимость
Yc будет иметь активную составляющую gc = yaC.
Эта активная составляющая положительна, когда ампли-
туда напряжения возрастает, и отрицательна, когда амплитуда
напряжения убывает.
Если в ф-лах (6.8) и (6.9) можно пренебречь по сравне-
нию с %, то соотношение между током и напряжением ста-
новится таким же, как в обычном комплексном методе.
Выясним, когда это имеет место. Для этого найдём поря-
док величины 7В.
Возьмём простейшее амплитудно-модулированное колеба-
ние (6.5). Амплитуда этого колебания равна
откуда
^(0=^11+4008(2^ + ®!)],
= - Ue 2Х 4 sin (2Х t Ч-ФО
— Qj Al, sin (2, t + Фг)
*1“ 1 -f- M1cos(Qtr + Ф,)‘
Максимальное значение может быть найдено обычным
образом. Это значение равно
Tu хаке — _ г
у 1 - Atf
Минимальное значение уа равняется этому же выражению
с обратным знаком.
При М1 = 1 jKa»se = °°. Это получается потому, что при
таком коэффициенте модуляции в некоторые моменты вре-
мени амплитуда Um(t) становится равной нулю.
В табл. 6.1 приведены величины тижояс, подсчитанные
для различных значений коэффициента модуляции Mt. Как
видно из таблицы, максимальное значение величины то одно-
го порядка с модулирующей частотой 2lt если не близко
к единице. Модулирующая частота 21 обычно в десятки и
сотни раз меньше высокой частоты %, поэтому почти всегда
AM колебания и их воздействие на колебательные контуры
151
Таблица 6.1
At, 0,2 0,4 0,6 0,8 0,9 0,95
Чи макс 0,2042, 0,4362, 0,752, 1,332, 2,062, 3,042,
в ф-ле (6.9) можно пренебречь по сравнению с и ампли-
туду тока, протекающего через конденсатор при воздействии
на него амплитудно-модулированных колебаний определять
по формуле
Аналогичным способом можно рассмотреть воздействие
AM колебаний на индуктивность.
Пусть через цепь, состоящею из индуктивности L и актив-
ного сопротивления г, протекает модулированный по ампли-
туде ток
i = /OT(/)cos(<»0^ + <f>0). (6.10)
Найдём падение напряжения на этой цепи. Оно равно
и = ri + L
di
~dt '
Рассуждая аналогично предыдущему, получим, что иско-
мое напряжение в комплексной форме будет равно
U = \ZL,
где I — ток (6.10) в комплексной форме,
Il = г 4-i<o0A,
_______1
" lm«) ' di •
(6.П)
(6.12)
Отсюда амплитуда напряжения будет равна
где
(6.13)
Zz. = /(r+ +
152
Глава 6
Формула (611) показывает, что, если амплитуда тока, про-
текающего через индуктивность, меняется, то сопротивле-
ние Zl имеет дополнительную активную составляющую, рав-
ную 7^1. Эта активная составляющая положительна, когда
амплитуда тока возрастает, и отрицательна, когда амплитуда
убывает.
Так же, как и для конденсатора, в случае, если мало,
активной составляющей, обусловленной переменной амплиту-
дой, можно пренебречь и находить падение напряжения на
катушке Индуктивности обычным комплексным методом.
Отметим ещё, что при малом ?z можно считать, что для рас-
смотренной цепи Действительно, в этом случае можно
считать, что Zl постоянно и на основании ур-ния (6.13) за-
писать
dUm(t) dlm(t).
dt ~L dt ’
деля это выражение на (6.13), получим
Энергия, которая как бы тратится в активном сопротивле-
нии за время от tr zlq t2, будет равна приращению сред-
ней энергии магнитного поля катушки за это время.
Действительно, эта энергия равна
С /ВЛ f 1
ytLPdt = т = =
Л G ^1
= 4
где WM = ----средняя за период энергия магнитного
поля катушки.
Совершенно аналогично можно показать, что энергия,
которая как бы тратится в активной проводимости увС кон-
денсатора за некоторое время от до t2, равна приращению
средней энергии поля конденсатора за это время.
Наконец, если AM ток I протекает через активное сопро-
тивление г, то, как легко убедиться, во всех случаях спра-
ведливо равенство
U = lr,
где U — падение напряжения на сопротивлении г.
Применим полученные выражения для отыскания тока
в неразветвлённой цепи параллельного колебательного кон-
AM колебания и их воздействие на колебательные контуры
153
тура при воздействии, на него AM напряжения. Выведенные
здесь формулы будут нам нужны при исследовании генера-
тора синусоидальных колебаний.
Пусть одна ветвь контура со-
держит индуктивность L и активное
сопротивление г, а другая — ёмкость
С. При этом мы считаем для нросто-
ты, что в ёмкостной ветви нет актив-
ного сопротивления. Это допущение
не изменяет окончательных формул.
В этом случае с учётом ф-л (6.8) и
(6.11) схема замещения контура бу-
дет соответствовать рис. 6.2.
Пусть на контур действует AM
напряжение
K = ^m(Ocos(<o0f4-<p0)
т
Рис. 6.2. Схема замещения
параллельного колебательно-
го контура при амплитудно-
модулированных колебаниях.
и контур настроен в резонанс на частоту »0. Сопротивление
вместе взятых левой и средней ветвей, в соответствии
с ф-лой (5.10) будет равно
х1,2р ___ (“о ^)*
г + ~li L — г + 1UL ’
поскольку для индуктивной ветви, как было показано, можно
считать т^Тц. Сопротивление правой ветви равно g-
Ток I, протекающий через неразветвлённую цепь контура,
будет равен
1 =____и_
и
1
Г + 7а L 'tuP
Преобразуем это выражение:
I = и I____________________|______
2L_ + U27u с.
"ов
Здесь было учтено, что
7а
ШО£
= С,так как
1
Тс
и
Z.2
ЧТО
=•/?<£.
154
Глава 6
Из полученного выражения следует, что ток будет в фазе
с напряжением и что его амплитуда будет равна
/ (f\ Uт (О \ТТ 1 dU т (f) Um(t) I dUm (t)
Таким образом, ток в неразветвлённой цепи,
равен __________________________________________
dt
(6-14)
контура
|9r dUm
(6.15)
Пример 6.2. Требуется найти ток в неразветвлённой ветви параллельного
контура с параметрами: L = 1 мгн\ С= 1000 пф\ г = 10 ом, при воздей-
ствии на него колебания
и = 100 (1 + 0,5 cos 104 /) cos 10е t в.
Решение. Резонансная угловая частота контура равна
1 1
-u r .— ------ 10* 11сек.
LC
Таким образом, контур настроен на несущую частоту, поэтому ток через
контур можно определить по ф-ле (6.15). Сначала находим
100..Ю-.о
и затем
i = + 0,5cos 10*/) - 2 • 1000-10-»*. 100-0,5-10* sin 10« /Jcos 10*/-
-= 10”’ (1 4- 0,5 cos 104/ — sin 104/)cos 10е t(a.J
Как видно из этого примера, огибающая колебания тока
в неразветвлённой части контура сильно отличается от оги-
бающей колебания напряжения (на член sin 104£). Это отли-
чие создалось за счёт дополнительных активных составляю-
щих, появляющихся при модуляции. В данном примере эти
составляющие влияли очень заметно потому, что резонансное
сопротивление параллельного контура сильно зависит от ак-
тивных составляющих сопротивления в его ветвях.
§ 6.4. Разложение AM колебания на колебания
несущей и боковых частот
Как было показано, для нахождения токов и напряжений
в цепях, на которые воздействуют AM колебания, не всег-
да возможно пользоваться обычным комплексным методом,
вследствие чего вычисления усложняются.
AM колебания и их воздействие на колебательные контуры
155
Для облегчения исследований часто AM колебание раскла-
дывают на сумму простых синусоидальных колебаний с по-
стоянными амплитудами, а затем, пользуясь методом нало-
жения (суперпозиции), находят токи и напряжения.
Произведём это разложение. Возьмём выражение (6.5) для
простейшего амплитудно-модулированного колебания и пре-
образуем его
и —Uс [l-f-M1cos(S1^-|-®1)] cos (% t 4- <р0) =
=UC {cos (&ot 4- ф0) + cos [(ш0 4- 2J t + <р0 4- Ф4 4-
4-cos [(«>0-2,)^- Ф1]},
(6.16)
так как известно, что
cos (&i£ 4"®i)cos (u’o^ 4" ?о) ~ cos («>ot 4- % + ^1^4~ф1) 4-
4- 4 cos(o>0f + <ро- — ф1)-
Таким образом, простейшее AM колебание (6.5) может
быть представлено суммой трёх синусоидальных колебаний
с постоянными амплитудами, частотами и сдвигами фаз.
Угловые частоты о>0 4 и “о — называются соответ-
ственно верхней и нижней боковыми угловыми частотами.
Сложное амплитудно-модулированное колебание (6.2) так-
же может быть разложено на сумму простых синусоидальных
колебаний методом, аналогичным предыдущему:
п
S Мксс
№1
П
=ис
№=1
П .
u=Ut
COS (а>о^+<Ро) + S COS (2/-|-Фк) cos (о\/4<ро) =
№ 1
=ис < cos 4-<р0) 4-cos [(в>о4-2к)^4-?о4-ф«]4-
№1
+£тcos 1(%-2кК4-?о-фЯ
1 J
(6-17)
Из этого выражения видно, что AM колебание может
быть представлено суммой п колебаний верхних боковых ча-
стот <»0-f-2K, п колебаний нижних боковых частот <о0 — 2К и
одного колебания несущей частоты ш0.
156
Глава 6
Разложение AM колебания на сумму простых синусоидаль-
ных колебаний имеет очень большое значение в радиотехнике-
Впервые оно было произведено для электрических колебаний
М. В. Шулейкиным в 1916 г.
Пример 6*3. Дано амплитудно-модулированное колебание
u = 10о[ 1 + 0,8 cos ( 403 /+—) +0,4cos( 3-103 /+ -1) I cos ( 105/ + -?-
L \ 8/ \ 4/J \ 4,
Представить его в виде суммы простых синусоидальных колебаний.
На основании ф-лы (6.17) получаем
и = 100 cos ( 10sZ + + 40 cos ( 1.01-104 + +
+ 40 cos
0,S9-105/+— ) + 20cos ( 1,03-10»/ + -1) + 20cos0,97-104.
8 / \ 2 J
§ 6.5. Спектральная диаграмма AM колебания
Сложное колебание, разлагающееся на синусоидалыше
составляющие, в ряде случаев удобно изображать с помощью
ис
&2
Ф1
MiUc Мгис
Рис. 6.4. Спектральная диаграмма ампли-
тудно-модулированного колебания. Моду-
ляция производится колебанием, спект-
ральная диаграмма которого изображена
на рис. 6.3.
Рис. 6.3. Спектральная диа-
грамма колебания
Г 2
u=Uc 1 + 2 Мк cos(Q« / 4-
+ Ф»)
так называемой спектральной диаграммы. На этой диаграмме
каждая синусоидальная составляющая сложного колебания
изображается отрезком (начинающимся на оси абсцисс), длина
которого пропорциональна амплитуде синусоидального коле-
AM колебания и их воздействие на колебательные контуры
157
бания. Расстояние от отрезка до оси ординат пропорциональ-
но частоте колебания. Значение сдвига фаз каждого колеба-
ния в случае необходимости пишется возле соответствующего
отрезка.
На рис. 6.3 изображена спектральная диаграмма колебания
[2
1 +^^соз(2Л 4-(К)
к 1
(6.18)
AM колебание, ампли-
туда которого изменяется
согласно этому выраже-
нию, имеет спектральную
диаграмму, изображён-
ную на рис. 6.4. Спек-
тральная диаграмма AM
колебания (6.16) приведе-
на на рис. 6.5.
Из рассмотрения спек-
тральных диаграмм вид-
но, что отрезки, соответ-
ствующие колебаниям
боковых частот, лежат по-
Рис. 6.5. Спектральная диаграмма колеба-
ния
и = Uc [ 1 + Aft cos (2,Z + Ф,)] cos(o0f <pe).
парно симметрично относительно отрезка, соответствующего
колебанию несущей частоты.
§ 6.6. Распределение несущих частот радиостанций
с амплитудной модуляцией
На земном шаре одновременно работает огромное число
радиостанций с амплитудной модуляцией. Радиоприёмное
устройство выделяет с помощью резонансных систем из всех
колебаний, наведённых в антенне, колебания несущей и боко-
вых частот той станции, которую желательно принять.
Для того, чтобы эта задача могла быть осуществлена с
помощью резонансных систем, необходимо несущие частоты
станций выбирать так, чтобы спектр частот одной станции
не накладывался на спектр частот другой, соседней по частоте
станции. Это иллюстрируется рис. 6.6, на котором изобра-
жены спектральные диаграммы трёх радиостанций. Станции
/ и II можно принять раздельно, отделив их спектры с по-
мощью резонансных систем. Станции II и III раздельно, обыч-
ным методом, принять не удастся, так как их спектры частично
наложены друг на друга.
158
Глава 6
Из сказанного вытекает следующее правило: для преду-
преждения взаимных помех несущие частоты соседних по
частоте станций нужно выбират ь так, чтобы разность между эти-
ми частотами была не
меньше удвоенной мак-
симальной частоты мо-
дуляции. Обычно эту
разность берут нес-
колько больше удво-
енной максимальной
модулирующей часто-
ты, чтобы резонанс*
। ные системы, приём-
_ с е „ ников были в состо-
Рис. 6.6. Спектральные диаграммы ампли- пячлрлитк смрж-
тудно-модулированных колебаний от трёх янии разделить смеж
станций. Спектры станций // и III наклады- ные боковые частоты
ваются друг на друга. соседних по частоте
станций.
Исходя из этих соображений, обычно разность между не-
сущими частотами двух соседних по частоте телефонных
станций с амплитудной модуляцией берут порядка 10 кгц.
§ 6.7. Векторная диаграмма AM колебания
Амплитудно-модулированное колебание можно изобразить
и с помощью векторной диаграммы.
Возьмём сначала колебание с постоянной амплитудой
a = (7mcos(<o0^+<p0).
Это колебание можно представить проекцией вектора Um,
вращающегося против часовой стрелки с угловой скоростью
«0 на горизонтальную ось проекций (рис. 6.7). В момент .вре-
мени t = 0 Ректор должен составлять с осью проекций угол <р0.
Однако удобнее представить вектор Um неподвижным, а
ось проекций вращающейся по часовой орелке с угловой
скоростью в>0. Угол между вектором Um и горизонтальной осью
в этом случае должен быть равен «р», а угол между горизон-
тальной осью и вращающейся ос$>ю проекций равен в>а^
(рис 6.8).
AM колебание также может быть представлено вектор-
ными диаграммами, изображёнными на рис. 6.7 и 6.8 с той
лишь разницей, что длина вектора Um должна меняться во
времени в соответствии с изменением амплитуды колебаний
высокой частоты.
AM колебания и их воздействие на колебательные контуры
159'
Рассмотрим векторную диаграмму колебаний несущей и.
боковых частот AM колебаний (6.16), считая, что ось проек-
ций будет вращаться по часовой стрелке с угловой скоростью'
<оо, равной несущей частоте,
составляя с горизонтальной
Рис. 6.7. Векторная диаграм-
ма ацп/!итудно-модулированно-
го колебания. Ось проекций
неподвижна.
Рис. 6.8. Векторная диаграмма амп-
литудно-модулированного колебания.
Ось нроеьций вращается с угловой
СК0р0С'1ЬЮ <1)0.
осью угол <oof (рис. 6.9). На диаграмме О А — вектор колебания
несущей частоты. Этот вектор неподвижен, длина его равна Uc
он составляет с горизонтальной
Вектор колебания верх-
ней боковой частоты дол-
жен быть таким, чтобы его
проекция на вращающуюся
ось была равна колебанию
верхней боковой частоты,
т. е. величине
осью угол
<Ро-
Поэтому длина вектора
должна равняться величине
77
Uс -тг, ион должен состав- _ _ _ D
2 Рис. 6.9. Векторная диаграмма коле-
лять с осью проекций угол баний несущей (ОД,) и боковых (ОВ и
Тс?о_1~ Ф1)- Так как ОС) частот.
ось проекций отклонена от
горизонтальной оси по часовой стрелке на угол <%£, то вектор
колебания верхней боковой частоты должен быть отклонён от
горизонтальной оси против часовой стрелки на угол
Таким образом, в момент времени t = 0 он будет составлять
160
Глава 6
с горизонтальной осью угол <р0 + Ф1 и вращаться против
часовой стрелки с угловой скоростью 2Ь Этот вектор изо-
бражён на рис. €.9 отрезком ОВ.
Проекция вектора колебания нижней боковой частоты на
вращающуюся ось проекций должна быть равна
Uc "«cos [b-S^ + cpo-Oi].
Таким образом, вектор должен иметь длину Uc и со-
ставлять с осью проекций угол (<и0— 2iK + ?o — а с гори-
зонтальной осью угол — <?0 — Фх. В момент времени t = 0
он •будет составлять с горизонтальной осью угол <?0— и
вращаться по часовой стрелке с угловой частотой 2V Вектор
колебания нижней боковой частоты изображён на рис. 6.9
отрезком ОС.
Как видно из рис. 6.9, Векторы боковых частот будут вра-
щаться в разные стороны, всегда располагаясь симметрично
Относительно вектора колебания несущей частоты.
На рис. 6.10 представлена сумма векторов колебаний не-
сущей (вектор ОА) и боковых частот (векторы АВ и АС) для
моментов времени, отличающихся на 1/8 иериода модулирую-
AM колебания и их воздействие на колебательные контуры
161
щей частоты В отличие от
ров, изображающих колебания
из точки О в точку А, Как
видно из рисунка, результи-
рующий вектор OD всё время
сохраняет своё направление,
совпадающее с направлением
вектора колебания несущей
частоты, изменяя лишь свою
длину.
На рис. 6.11 изображена
векторная диаграмма колеба-
ния, амплитуда которого ме-
няется в соответствии с ф-лой
(6.18). Спектральная диаграм-
ма этого колебания пред-
ставлена на рис. 6.4. В этом
случае векторы колебаний бо-
ковых частот будут вращаться
с угловыми скоростями и
22 и в любой момент времени
располагаться симметрично от-
носительно вектора колеба-
ния несущей частоты. Резуль-
тирующий векгор здесь так
же, как в предыдущем слу-
рис. 679 здесь начала векто-
боковых частот, перенесены
Рис. 6.11. Векторная диаграмма сло-
жения колебаний несущей и боко-
вых частот при модуляции двумя
частотами.
чае, будет всё время сохранять своё направление, совпадающее
с направлением вектора колебания несущей частоты.
§ 6.8. Воздействие AM напряжения на цепь с комплексной
проводимостью (общий случай)
Определим ток i в цепи с комплексной проводимостью
Y(o)\ величина которой зависит от частоты, при действии на
цепь AM напряжения и.
Для определения тока воспользуемся принципом наложения,
для чего: 1) представим AM напряжение в виде суммы сину-
соидальных напряжений с постоянными частотами, амплиту-
дами и сдвигами фаз, 2) найдём составляющие тока, получаю-
щиеся при воздействии на рассматриваемую цепь каждого
из этих напряжений в отдельности и затем 3) найдём общий
ток, как сумму его составляющих.
Пусть к цепи приложено AM напряжение (6.16)
« = и С [1 + Afi cos (2^ + ф1)] cos (“</ + То) = и с cos (o)0f <р0) 4-
+ и с cos [(ш0+ 2Х) t + ?0 + Фх] + Ус у1 cos [S- 2Х) Н- ?о-ф1Ь
(1 Основы радиотехники
162
Глава 6
Комплексная амплитуда1) составляющей этого напряжения
частоты будет равна
Uc е*%
составляющей боковой частоты <п0 + 2Х
Uc е1 (То + ф.)
и боковой частоты «>0—2Х
Uc фе:
Пусть проводимость цепи на частотах «>0, a>04-2i,®0 —
будет соответственно равна:
Y(o>0) = Уо е"Ь;
У(ш0 + 21) = Ле’ч-’;
Y(<o0-e1)=y_1eH-‘.
Тогда комплексные амплитуды тока от перечисленных вы-
ше составляющих напряжения соответственно будут равны:
на частоте <и0
Ic eia°=t/f е‘*°У(и>0)^[/г Уое!<?° + Н (6.19)
на частоте % 2Х
=UC ^еХ-Ро + Ф.) у (шо + 20^ Uc ^1у1е'(то + Ф. + Ц (6.20)
Л Z
на частоте (п0 — 2Х
7_1 eia~1=Uc фе‘<то- *.) Y(и>0— 2,)=^ ^У^еИто-Ф + Ф-ПХб.г!)
Ток i в цепи будет состоять из суммы токов с указанны-
ми комплексными амплитудами и частотами
i = 1С cos («)014-a0) + 7X cos [(<i)0 + 2i) t + aj +
+ 7-1 cos [(% - 2X) t + a_t], (6.22)
*) Комплексной амплитудой синусоидального колебания
Um cos (<ЛО t + 90)
мы будем называть величину
Um = t/mei To=/2U,
ГД€ и = иё = и-~- ё
/2
—выражение этого колебания в комплексной форме.
AM колебания и их воздействие на колебательные контуры 163
где, как видно из выражений (6.19), (6.20) и (6.21):
1с = ис Уо ао = 4' фо >
«^СРо + Фх + Ф!-
7_t = t7f^y_i й_1 = %-Ф1 + ф_1 .
Чтобы представить себе изменение тока (6.22), изобразим
его на векторной диаграмме.
Рис. 6.12. Векторная диаграмма сложения колебаний тока
несущей и боковых частот при воздействии синусоидаль-
ного AM колебания на цепь, проводимость которой
различна для этих частот. ОА — вектор колебания
несущей, АВ и АС — векторы колебаний боковых
частот, OD — результирующий вектор в момент
АВ', AC', OD' — то же, в момент времени /2-
Если принять, что ось проекций будет вращаться с угло-
вой скоростью о)0 и составлят ь с горизонтальной осью угол—о)0£,
то вектор О А на рис. 6.12 будет изображать колебание
несущей частоты. Он будет неподвижен относительно гори-
зонтальной оси и составляет с ней угол %. Длина этого век.
тора равна /0. АВ и АС — векторы колебаний верхней и ниж-
ней боковых частот.
11*
164
Глава 6
Длины этих векторов соответственно равны f\ и /_ь а углы,
которые они составляют с горизонтальной осью в момент вре-
мени t=tlf равны 2/i 4-ац и — Вектор АВ будет вра-
щаться с угловой скоростью против часовой стрелки, вектор
АС с той же скоростью по часовой стрелке.
Суммарное колебание тока в момент tx будет изобра-
жаться вектором OD. ______
Векторы АВ', АС и OD' представляют те же колебания
для некоторого момента времени £2>£ь при этом векторы
колебаний боковых частот успели повернуться в разных на-
правлениях на один и тот же угол 2t(f2 — Л). Можно убедить-
ся, что при таком вращении векторов АВ и АС конец
результирующего вектора
липсу.
Рис. 6.13. Амплитуда Im(t) и
сдвиг фаз <p(Z) результирующего
тока, соответствующего вектор-
ной диаграмме рис. 6.12.
проекций равен
OD и горизонтальной осью,
DO будет перемещаться по эл-
Направление вектора AD бу-
дет совпадать с направлением
большой полуоси эллипса тог-
да, когда векторы колебаний
боковых частот, вращаясь, сов-
падут по направлению. Длина
большой полуоси эллипса, оче-
видно, будет равна
Направление вектора AD будет
совпадать с направлением ма-
лой полуоси эллипса тогда, ког-
да векторы боковых частот при-
мут противоположные направ-
ления. Длина малой полуоси
поэтому будет равна —/-J.
Ток i определится проекци-
ей вектора OD на вращающую-
ся ось проекций. Обозначая
длину вектора OD через Im(f)
(так как она будет зависеть от
времени) и учитывая, что угол
между этим вектором и осью
где ср(£) — угол между вектором
можно записать, что
* = 4n(^'OS [°></+ ?(01-
Таким образом, ток i будет иметь переменную амплитуду
Im(t) и переменный сдвиг фаз <р(/).
На рис. 6 13 изображена, зависимость Im(t) и <?(t) от вре-
мени, построенная на основании векторной диаграммы рис. 6.12.
AM колебания и их воздействие на колебательные контуры
165
Как видно из рисунка, амплитуда тока в этом случае ме*
няется несинусоидально, т. е. закон амплитудной модуляции
тока будет искажённым по сравнению с законом модуляции
напряжения. Кроме того, этот ток, в отличие от напряжения,
действующего на схему, имеет переменный, зависящий от
времени сдвиг фаз
В более сложных случаях, когда напряжение, воздейству-
ющее на цепь с комплексной проводимостью, модулировано
несколькими частотами, наблюдаются аналогичные явления.
Im(t} и в этом случае также могут быть определены гра*
фически аналогичным методом.
§ 6.9. Воздействие AM напряжения на цепь, проводимость
которой имеет симметричные значения относительно
несущей частоты
Рассмотрим воздействие амплитудно-модулированного на*
пряжения на цепь, проводимость которой для несущей и бо*
ковых частот AM колебания соответственно равна;
Y(%) - Yoeia°
Y(o>0 + 2К) = yKei(“j+a«>
Y(a>0—2К) =
(6.23)
Такой проводимостью обладают многие цепи и в том чи-
сле колебательные контуры при условии, что их резонансная
частота <ор равна несущей частоте % (см. § 4.3 и § 5.3).
Рассмотрим сначала простейший случай, когда напряжение
равно
и=ис [1 4-^008(2/ + ®1)]cos(U>0^+ cos(<V + <р0)Ч-
+ и с cos [(«><,+2^ + ?0 + фх] + Uc -f COS [S - QJt +
+ ?о-Ф1]. (6.24)
Учтя выражение (6.23), определим ток, протекающий в цепи,
Очевидно он будет равен
i=Y0Uc cos(«>0^ + % + %'' 4- YiUc cos[(<»0 + QJt 4- <p0 4~ фх 4“
+ «0 4- ax] 4- Y.Uc Q COS[K - 2^ 4- ?0 - Фх 4- a0 - aj =
= Y0Uc (cos(a>0^ + <PO 4- a0) 4- cos [(<-% 4- 2X)£ 4- ?0 4- a0 4.
4- (Ф14- “1)1 +-£4 c°s[4-21)* 4- ?o + «о - (Ф14- *1)1),
166
Глава 6
Сравнивая это выражение с (6.16), можно видеть, что оно
сведётся к следующему:
i—Ic [1 + + Oi)]cos(o>0f 4- ?о)-
Здесь
Ic = YOUC
Таким образом, в этом случае ток также будет AM колебанием,
среднее значение амплитуды которого /А будет определяться
проводимостью на частоте несущей. Коэффициент модуляции
тока будет больше, чем коэффициент модуляции напряжения,
если модуль проводимости на боковой частоте Ух будет боль-
ше, чем модуль проводимости на несущей частоте Уо. Это
объясняется тем, что в этом случае • колебания боковых
частот будут увеличиваться в большее число раз, чем коле-
бание несущей частоты. Если У1<У0, то картина будет
обратной.
Сдвиг фаз высокочастотного колебания тока относительно
высокочастотного колебания напряжения <ро — <р0 = “о равен
аргументу проводимости на несущей частоте.
Наконец, сдвиг фаз модулирующего колебания тока по
отношению к сдвигу фаз модулирующего колебания напря-
жения Ф1 — равен разности аргументов проводимости
на верхней боковой частоте (а0 -ф а2) и на несущей частоте (а0).
AM колебания и их воздействие на колебательные контуры
167
Если к рассматриваемой цепи приложено напряжение, мо-
дулированное одновременно несколькими частотами, то ана-
логично предыдущему можно показать, что ток будет равен
п
i=Ic [1+ £ M^cos(2K t +®'«)]cos(«>o^4- ?o).
№1
(6.25)
Здесь
(6.25a)
Ф« = Фк + ««
<?o=?o + ao
Из выражений (6.24) и (6.25) видно, что в данном случае
ток будет AM колебанием с постоянным сдвигом фаз. Пар-
циальные коэффициенты модуляции тока М'к будут отличаться
от соответствующих парциальных коэффициентов модуляции
напряжения Мк в уА- раз, а огибающие различных частот
модуляции, которые в сумме дают огибающую амплитуд тока,
будут сдвинуты относительно соответствующих огибающих , на-
пряжения на углы ак, причём эти сдвиги фаз различны для
разных частот модуляции Sre. Это приведёт к тому, что оги-
бающая амплитуд тока не будет соответствовать огибающей
амплитуд напряжения, т. е. появятся искажения. „Вписанные"
между огибающими колебания высокой частоты тока и на-
пряжения буду г сдвинуты друг относительно друга на угол а0.
§ 6.10. Обобщение результатов, полученных
в предыдущих параграфах
В предыдущих параграфах этой главы мы определяли ток,
протекающий через некоторую цепь с заданной комплексной
проводимостью при воздействии на эту цепь AM напряжения.
Часто бывает нужно решить обратную задачу: при известном
168
Глава 6
AM токе, протекающем по некоторой цепи, требуется найти
падение напряжения на этой цепи.
Эту задачу можно решать совершенно аналогично преды-
дущей. Ток разлагают на составляющие несущей и боковых ча-
стот, а затем умножают составляющие тока, выраженные в ком-
плексной форме на полное сопротивление цепи (вместо прово-
димости), выраженное также в комплексной форме и взятое
для соответствующих частот. Полученные падения напряжения
складывают или с помощью векторной диаграммы или, пере-
ведя их в мгновенные значения, аналитически.
Таким образом, в этом случае вся математическая проце-
дура остаётся прежней, но вместо напряжений будут токи,
вместо проводимостей — сопротивления и вместо токов —на-
пряжения.
Полученные в предыдущих параграфах общие результаты
справедливы и для данного случая. В частности, если через
цепь с комплексным сопротивлением, различным для несущей
и боковых частот, протекает амплитудно-модулированный ток
1=1 с [1 M1cos(21!‘4-O1)]cos(w0!‘4-C?o).
то в общем случае конец вектора падения напряжения на
этой цепи будет перемещаться по эллипсу аналогично
рис. 6.12.
Аналогично § 6.9 можно показать, что если ток
i=Ic [1+ S MKcos(2^ 4- Ok)]cos(<o0^ -|- <р0)
К-1
протекает по сопротивлению, величина которого для несущей
и боковых частот соответственно равна:
Z(a>0) = Z0elao,
Z«+ 2K)=ZKe1(a» + “«),
Z(<n0 — 2K)=Z„el(a“-a't),
то падение напряжения на нём будет равно:
a=Uc [1+2 MkCos(2,/+®к)] cos («>,/ +<ро), (6.26)
№1
где
Uс —ZOIC, Мк= ~z^MK ,
Фя=Ф«+а«, <ро=?и+
AM колебания и их воздействие на колебательные контуры
169-
Иногда бывает нужно найти падение напряжения на неко-
тором сопротивлении под действием амплитудно-модулирован-
ной эдс. В этом случае сначала находят напряжение U на
этом сопротивлении под действием синусоидальной немодули-
рованной эдс Е и вводят понятие комплексного коэффициента
передачи
к(«>)=4-
Комплексный коэффициент передачи, вообще говоря, бу-
дет зависеть от частоты электродвижущей силы.
Чтобы найти падение напряжения под действием ампли-
тудно-модулированной эдс, её разлагают на составляющие
несущей и боковых частот, затем, умножая эти составляю-
щие, выраженные в комплексной форме, на комплексные ко-
эффициенты передачи для соответствующих частот, находят
составляющие падения напряжения. Полученные падения на-
пряжения складывают и находят результирующее напряжение.
Таким образом, в этом случае вся математическая процедура
остаётся прежней, только вместо напряжений берутся эдс,
вместо проводимостей — комплексные коэффициенты передачи
и вместо токов — падения напряжения.
§ 6.11. Воздействие AM эдс на последовательный
колебательный контур
Найдём ток в последовательном колебательном контуре
(рис. 6.14) и напряжения на его элементах при воздействии
на контур амплитудно-модулированной эдс, несущая частота
которой % равна резонансной частоте контура (%.
Пусть эдс равна
е = Ес [ 1 + МеК cos (Sx t + Фк) ] cos (<V + <f>0). (6.27)
№ 1
Проводимость контура для несущей частоты будет равна
YS) = -r, (6-28
для к-fi верхней боковой частоты
1 ~
YЧ + 2К) = =Г 6 (6.29)
г I/ 1 + =«
170
Глава 6
и для яг-й нижней боковой частоты
(6.30)
Рис. 6.14. Последователь-
ный колебательный контур.
Здесь
- Ф* =2Q^+^'^ = 2Q %- ;
U= Qv_K=2Q = -2Q ,
?«= arctg^
Р-« = arctg$-«= - arctg£K.
Поскольку
----к И р« — Р-« ,
выражения (6.29) и (6.30) можно записать так:
(6.31)
Таким образом, рассматриваемая нами задача является
частным случаем задачи, рассмотренной в § 6.9, и выражение
для тока может быть непосредственно получено из выраже-
ния (6.25).
Для данного случая будем иметь:
Uс = Ес,
ао — 0, ак-------------.
AM колебания и их воздействие на колебательные контуры
171
Поэтому ток в контуре будет равен:
Xcos (<></ 4- %),
где __________________________
рх = arctg Q^-.
(6.32)
Сравнивая ф-лы (6.27) и (6.32),
мы видим, что, чем больше Q и
, тем сильнее ослабляются пар-
циальные коэффициенты модуляции
тока MiK по сравнению с парци-
альными коэффициентами модуля-
ции эдс МеК и тем больше от-
стают по фазе синусоидальные со-
ставляющие огибающей тока по
отношению к эдс.
Эти явления происходят пото-
Рис. 6.15. Эдс и ток в после-
довательном колебательном
контуре. Ме1 = 0,8; 6 = 1.
му, что проводимость контура
на боковых частотах меньше, чем
на несущей частоте и колебания
Соковых частот ослабляются кон-
туром и сдвигаются по фазе относительно колебания не-
сущей частоты.
Если боковые частоты лежат на границах полосы пропу-
скания, где = = 1, то
1
Mj-к
мек
-L = 0,707
/2
и
— arctg 1 = 45°.
На рис. 6.15 изображены временные диаграммы эдс и тока
Для случая, когда Ме1 = 0,8 и 51=Q~-=1.
172
Глава 6
На рис. 6.16 приведены векторные
построенные для того же случая.
диаграммы эдс и токай
боковых частот эдс и тока в последовательном контуре.
Ме1 = 0,8; 6 = 1.
На рис. 6.17 а приведена временная диаграмма эдс
2
е = Ес [ 1 + J] МеК cos (2К t + Фк)] cos (<V 4- <р0),
причём
22 = 22п Ф1 = Ф2 = 0,
Ме1 = 0,8, Ме2 = 0,5.
На рис. 6.17 б, в, г изображены временные диаграммы тока
„ 22, t л 22,
для случаев, когда = ч и t2 = Ч соответственно рав-
ны 0,5 и 1 (рис. 6.17 б) 1 и 2 (рис. 6.17 в) и 2 и 4 (рис. 6.17 г).
Из рисунков видно, что чем больше значения относитель-
ных расстроек и $2, т. е. чем больше добротность контура
или модулирующие частоты, тем сильнее отличается форма
огибающей тока от огибающей эдс. Это объясняется тем,
что разные боковые частоты по-разному ослабляются конту-
ром и приобретают различные сдвиги фаз, в резулыате чего
форма огибающей тока получается искажённой, что не имело
ДМ колебания и их воздействие на колебательные контуры
173
места при модуляции одной час-
тотой (рис. 6.15). Во всех слу-
чаях, когда такие искажения не-
желательны, приходится искус-
ственно уменьшать добротность
контура и расширять этим его
полосу пропускания.
Найдём напряжение на кон-
денсаторе и катушке индук-
тивности контура. Это можно
сделать, определив падение на-
пряжения на этих элементах под
действием тока контура (6.32)
или воспользовавшись введённы-
ми в § 4.6 коэффициентами пе*
редачи и непосредственно по ним
найти эти напряжения в соот-
ветствии с § 6.10.
Мы проведём исследование
первым способом.
Сопротивление конденсатора
равно
.1 1
Zc = — 1 = —р е
(OU О) С
Поскольку 2Х ^0> модуль
этого сопротивления можно
принять одинаковым для не-
сущей и для боковых частот
и равным
Zc==^C-
Аргумент этого сопротивле-
ния практически постоянен и
равен—~ , поэтому а0 -------
вате; ьн ; м колебательном контуре
а) эдс с параметрами:
Q2 = 2Qn Ф1= Ф2 =0, Ме1 = 0,8,:
Л1е2 = 0,5;
б) ток при = 0,5 и ^2=1;
в) ток при $1 = 1 и $2 = 2;
г) т ок при $! = 2 и $2 = 4.
ах = 0.
174
Глава 6
Таким образом, напряжение на конденсаторе равно:
п
К=1
cos(SK £4-Фк —8Х)
или
У cos (ш/
i То
ис - QE<
К = 1
соз(2к^+Фк —?к)
X sin (<% 14- %).
Отсюда видно, что среднее значение напряжения будет
в Q раз больше среднего значения эдс. Огибающая напряже-
ния на конденсаторе будет повторять огибающую тока с её
искажениями, а вписанная в огибающую напряжения сину-
соида будет отставать о г тока и эдс на 90°.
Сопротивление катушки индуктивности равно
. к
Zl = = шЬе 2 .
Для данного случая можно принять модуль сопро-
тивления одинаковым для несущей и боковых частот и рав-
ным a>tfL.
В данном случае а0 = у и а« = 0.
Поэтому по аналогии с формулой для ис можно написать:
Таким образом, отличается от ис лишь сдвигом фаз.
вписанного колебания на 180°.
AM колебания и их воздействие на колебательные контуры
175
Если контур не настроен точно в резонанс на частоту эдс,
т. е. если о)0 то сопротивление контура для верхней и
нижней боковых чзстот будет различным. Этот случай ана-
логичен случаю, разобранному в § 6.8. Здесь форма огибающей
тока не будет соответствовать форме огибающей эдс и впи-
санная синусоида будет иметь переменный сдвиг фаз.
Явления искажения AM колебаний в контуре можно объ-
яснить и энергетически. Средняя энергия поля индуктивности
контура определяется амплитудой тока. Поскольку ампли-
туда напряжения на конденсаторе при не очень быстрых изме-
нениях амплитуды тока меняется пропорционально последней,
что было показано в этом параграфе, а также в § 6.3, то энер-
гия электрического поля конденсатора также определяется
амплитудой тока. Поэтому чок может возрасти лишь тогда,
когда будет увеличена энергия поля контура. Как мы видели
в § 4.7, эта энергия для контура с нормальным Q много
больше энергии, отдаваемой источником эдс за период. По-
этому увеличивающаяся эдс не в состоянии быстро увеличить
энергию поля контура и, следовательно, амплитуда тока кон-
тура будет в своём нарастании запаздывать по отношению
к амплитуде эдс. Эю мы и наблюдаем на рис. 6.15 и 6.17.
При уменьшении эдс энергия поля контура не может сразу
израсходоваться, поскольку, как было показано в § 4.7, по-
теря энергии в контуре за период при нормальном Q много
меньше запасённой в нём энергии поля. Таким образом, умень-
шение энергии и уменьшение амплитуды тока будет также
запаздывать по отношению к уменьшению амплитуды эдс.
Эти процессы и приводят к отставанию в изменении ампли-
туды тока по отношению к амплитуде эдс и к уменьшению
коэффициента модуляции тока. Чем быстрее меняется ампли-
туда, т. е. чем больше и чем больше запасённая энергия
поля по отношению к подводимой или теряемой энергии за
период, т. е. чем больше Q, тем сильнее будут сказываться
эти явления.
Пример 6.4. На последовательный колебательный контур действует
AM эдс е = 0,2 (1 + 0,8 cos 1041) cos 106Л
Резонансная частота контура равна несущей частоте эдс.
Чему должна быть равна добротность контура Q, чтобы коэффициент
модуляции напряжения на конденсаторе (Ми) отличался не более, чем на 100/а
от коэффициента модуляции эдс (Ме).
Решение. На основании (^.30) для области частот, близких к резонанс-
ной частоте контура, справедливо равенство:
Кс (wo) = «ср
Кс («„ - 20 = Кс (<><>+ 2,) - ,
176
Глава 6
где р = о 2 + Qj ~ 0>°) = О
* " W W0 V <*>0 ’
Поэтому по аналогии с ф-лой (6.25а)
ах лл (О)о + Qi) .. 1 __п о КЛ
1Аа - Ме Кс ((О|)) - Ме 7-р^ -0.9 Ме,
откуда _____ г
? = 1Z— _ 1 = 0,484 = — Q,
V 0,9» 1 “о
0,484.10е
Й = -2Л1И = 24-2’
§ 6.12. Воздействие AM напряжения на параллельный
колебательный контур
Рассмотрим, к1к будет изменяться напряжение на парал-
лельном контуре, если через нерззветвлённую цепь его
протекает амплитудно-модулированный ток
п
I = 1с [ 1 + 2 MiK cos (2К t + Фк)] cos (0>0^ + ?0) (6.33)
к = 1
и контур настроен в резонанс на частоту о)0. В предыдущем
параграфе мы отыскивали ток, умножая составляющие эдс
(6.27) на проводимости последовательного контура. Сейчас нам
нужно для отыскания напряжения на контуре умножить
составляющие тока (6.33) на сопротивления параллельного
контура, выражения для которых совершенно аналогичны
'(см. § 5-3) выражениям для проводимостей последовательного
контура. По этим причинам результат получается совершенно
•идентичный предыдущему.
Нетрудно доказать, рассуждая так же, как в § 6.11, что
где Rce — резонансное сопротивление контура,
Q — его добротность
^=arctg(Q
AM колебания и их воздействие на колебательные контуры
177
Формула (6.34) совершенно аналогична ф-ле (6.32). Поэто-
му всё сказанное в предыдущем параграфе о токе в после-
довательном контуре при воздействии на контур амплитудно-
модулированной эдс может быть полностью отнесено к на-
пряжению на параллельном контуре при прохождении через
него амплитудно-модулированного тока.
Теперь рассмотрим, как будет изменяться ток в нераз-
ветвлённой цепи параллельного контура, если к контуру
приложено амплйтудно-модулированное напряжение
п
и =UC [ 1 + £ Мик cos (2„ н- фк)] cos (% 14- <РО)
к=1
и контур настроен на несущую частоту этого колебания.
Проводимость параллельного контура для несущей и бо-
ковых частот на основании ф-л (5.11) равна:
¥<»°+а-> = = тЬ
v(««—s«)= Z(„o_o,) _ «7 К>+Е« е “
где
= ₽« = arctg£K.
Выражение для тока в этом случае согласно ф-ле (6.25)
будет иметь вид
п __________
l+Q2(-^)2MUKcos(SKf +
(6.35)
+Фк+ ?«)]cos (ш0 ^4-<р0).
Из этой формулы следует, что парциальные коэффициенты
модуляции тока, протекающего в неразветвлённой цепи, в дан-
ном случае будут больше парциальных коэффициентов модуля-
-|/ /22к\2
ции напряжения, приложенного к контуру в у 1
12 Основы радиотехни
178
Главй б
раз. Составляющие огибающей амплитуд тока будут опере-
жать соответствующие напряжения на углы
Если коэффициент модуляции напряжения МиК достаточно
велик, то может получиться так, что величина М1К будет
больше единицы. При этом амплитуды боковых частот будут
больше половины амплитуды несущей.
На рис. 6.18 приведена векторная диаграмма для такого
случая при модуляции одной частотой. Как видно из этого
рисунка, равнодействующая векторов боковых частот в не-
которые моменты времени будет больше вектора несущей
и будет направлена в противоположную ему сторону. В это
время направление резуль-
тирующего вектора будет
также обратно вектору не-
сущей.
Рис. 6.18. Векторная диаграмма
тока в неразветвлённой ветви па-
раллельного колебательного кон-
тура при AfZ1 > 1.
Рис. 6.19. Временная диаграмма напря-
жения и тока в параллельном колеба-
тельном контуре при
Ми1=0,8, е1=1, MZ1 = 1,13.
При такой модуляции результирующий вектор будет
дважды за период менять своё направление на 180°.
На рис. 6.19 приведены временные диаграммы напряжения
и тока для аналогичного случая. Они построены в предполо-
жении, что коэффициент модуляции напряжения
Ми1 = 80% и $1=Q-±J-=1,
тогда
= =0,8. -/2=1,13.
AM колебания и их воздействие на колебательные контуры
179
Как видно из этого рисунка, ток на участках АВ и CD
меняет свою фазу на противоположную.
На рис. 6.20 приведены
временное диаграммы нап-
ряжения и тока для случая,
когда напряжение модули-
ровано одновременно двумя
частотами: 21 и Q2 = 2Qlt
причём
ф1==ф2==0, Мв1=0,8, Мв2=0,5.
I
Рис. 6.20. Временные диаграммы напряжения и тока в параллельном коле-
бательном контуре:
а) напряжение с параметрами: Q2 = 2Qn Ф2 = Ф1 = 0, Ми1 = 0,8,
Afua = 0,5;
б) ток при = 0,5 и $2 = 1;
в) ток при = 1 и $2 = 2;
г) ток при $! = 2 и ?2 = 4.
На рис. 6.20 а изображена временная диаграмма напряже-
ния, а на других рисунках временные диаграммы тока для
случаев, когда и $2 соответственно равны 0,5 и 1 (рис. 6.20 d),
1 и 2 (рис. 6.20 а) и 2 и 4 (рис. 6.20 г)..
12*
180
Глава 6
Получающиеся искажения в форме огибающей могут быть
уменьшены путём уменьшения обобщённых расстроек, для
чего необходимо уменьшать добротность контура.
Увеличение коэффициента модуляции тока в параллельном
контуре также можно объяснить, исходя из энергетических
соображений. В случае параллельного контура средняя энер-
гия поля конденсатора и поля катушки определяется ампли-
тудой напряжения на контуре. Таким образом, изменение
энергии поля контура будет соответствовать изменению ампли-
туды напряжения на нём. Когда амплитуда напряжения растёт,
потребление энергии контуром должно расти, так как подво-
димая энергия в это время будет идти не только на покры-
тие потерь, но и на увеличение поля. Благодаря этому при
увеличении напряжения ток в неразветвлённой цепи больше,
чем при уменьшении его, когда энергия, поля уменьшается
и требуется подводить к контуру меньше энергии.
При быстром уменьшении амплитуды напряжения на кон-
туре может оказаться, что будет освобождаться настолько
много энергии, запасённой в поле, что она не успеет тратиться
на покрытие потерь в контуре и начнёт отдаваться во внешнюю
цепь. При этом фаза тока должна сделаться обратной фазе
напряжения. Это явление можно наблюдать на рис. 6.19 на
участках АВ и CD,
В заключение отметим, что полученная в этом параграфе
ф-ла (6.35) для тойа в параллельном контуре идентична ранее
полученной ф-ле (6.15) для этого же случая.
§ 6.13. Условие отсутствия искажений модуляции
В предыдущих параграфах мы видели, что модуляция
тока в некоторой цепи может оказаться искажённой по
отношению к модуляции напряжения, действующего на неё.
Искажений модуляции не будет, если для несущей и бо-
ковых частот проводимость цепи будет соответствовать фор-
муле _________________________
¥ (о)) = Уо е1
(6.36.
где Уо, а0 и т — любые постоянные, а ю0 — частота несущей.
Действительно, в этом случае
¥(<о0) = У0е>%
Y(a>0-f-2J= Уое!<“»+М,
Y(<o0-SK) = yoe1^-2^)>
откуда в соответствии с ф-лой (6.23) YK = Уо и ак = 2кт.
AM колебания и их воздействие на колебательные контуры
181
Поэтому при воздействии на такую цепь напряжения
п
u = Um (Z)cos + ?0) = Uc [1 + 5] Мксс~ (2^4-Фк)] cos (ш0 f+?0)
№1
(6.37)
в соответствии с ф-лой (6.25) ток будет равен
п
i=Y0Uc [1+ S Mkcos(2^+<M-2„t)] c?s(<V+?04-а0) =
К —1
= YOUC
п 1
1+ 5] cos[2«(£-|-х)-|-Фкcos(«>o/-|- ?о+а°)
к=1 J
Сличив это выражение с (6.37), можем написать
i = Yq Um (t + т) cos (<o01 + cpo + a0).
(6.38)
Как видно из этого выражения, искажения модуляции тока
действительно не будет, огибающая тока лишь умножится на
постоянную величину Уо и сдвинется по времени на величин
ну т, а колебание высокой частоты сдвинется но фазе на ве-
личину а0. Таким образом, если для несущей и боковых час-
тот модулированного колебания проводимость соответствует
ф-ле (6.36), т. е. модуль проводимости для всех частот оди-
наков, а аргумент меняется линейно с частотой, то модуля-
ция не будет искажена.
Это справедливо не только для проводимости, но, как не-
трудно доказать аналогичным способом, и для сопротивлений
и коэффициентов передачи.
§ 6.14. Мощность AM колебаний
Найдём мощность, выделяемую AM током
ie/m(0cOS(<o0^+?)
в сопротивлении г.
Эта мощность в момент времени t будет равна Р = ri2.
Если считать, что за время периода высокой частоты т
амплитуда колебания Im(t) будет меняться мало, то средняя
мощность за период высокочастотного колебания будет опре-
182
Глава 6
делиться так же, как и для колебания с постоянной ампли
тудой, и будет равна
(6.39)
Величина Рх меняется с изменением амплитуды тока и в
разные моменты времени будет различна.
Если модуляция происходит по периодическому закону,
то можно говорить о средней мощности за период модуля-
ции Т.
Она будет равна:
г/2
тс
2
(6.40)
где /^ — среднеквадратичное значение Im(t) за период мо-
дуляции. При периодической модуляции можно записать
п
1 + X cos (« 2 t + Ф« )
№•1
— -у- — основная частота модуляции,
Мк — парциальные коэффициенты модуляции,
1с — амплитуда несущей частоты.
Из теории рядов Фурье следует, что
откуда
(6.41)
AM колебания и их воздействие на колебательные контуры 183
Таким образом, с увеличением коэффициентов модуляции
мощность будет расти.
При модуляции одной частотой (п = 1) с коэффициентом
модуляции Mi = 1 мощность будет равна
т. е. будет в полтора раза больше, чем мощность, соответ-
ствующая колебанию несущей частоты.
ГЛАВА VII
ЧАСТОТНО-МОДУЛИРОВАННЫЕ И ФАЗОВО-МОДУЛИРО-
ВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ИХ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ КОНТУРЫ
§ 7.1. Вводные замечания
В настоящее время наряду с амплитудной модуляцией
получила распространение и частотная модуляция (ЧМ), поз-
воляющая улучшить качество радиопередачи. При частотной
модуляции в соответствии с передаваемым сообщением (на-
пример звуком) меняется частота колебания, амплитуда же
его остаётся постоянной.
Рис. 7.1. Упрощённая схе-
ма генератора с частотной
модуляцией.
Для получения частотной модуля-
ции можно параллельно колебатель-
ному контуру генератора высокой час-
тоты (рис. 7.1) подключить конденса-
торный микрофон. Этот микрофон со-
стоит из тонкой мембраны М, отде-
лённой узким воздушным промежут-
ком от неподвижной пластины П.
Под действием звуковой волны мем-
брана микрофона колеблется и ём-
кость между мембраной и неподвиж-
ной пластиной периодически изменяется. От этого изменяется
в соответствии со звуковыми колебаниями общая ёмкость
контура, а следовательно, и частота генерируемых коле-
баний.
Кроме частотной модуляции, применяется также и фазо-
вая модуляция, при которой сдвиг фаз колебания высокой
частоты изменяется по закону изменения модулирую-
щего колебания, амплитуда же колебания остаётся посто-
янной.
В следующих параграфах будет более подробно рассмот-
рена частотная и фазовая модуляция.
ЧМ и ФМ колебания и их воздействие на колебательные контуры 185
§ 7.2. Частота колебания
Рассмотрим колебание
и = Um cos [% t4- <р (£)],
(7.1)
где ш0—постоянная величина.
Аргумент косинуса (7.1) называется фазой колебания, ве-
личина же <р(£) представляет собой сдвиг фазы этого колеба-
ния по отношению к cos«>0^ (сокращённо — просто сдвиг
фаз).
Как известно, частотой колебания называют количество
полных периодов колебания за единицу времени.
Угловой частотой называют величину в 2к раз большую
Она равняется числу радиан, на которое изменится аргумент
косинуса колебания, т. е. фаза за единицу времени. Таким
образом, угловая частота равняется приращению фазы коле-
бания Д [<й0 t -Ь Т (0] за некоторое время Д£, поделённому на
это время, т. е. величине
ш_ А [ш0 /-t-<Р (Q]
At
Если фаза колебания изменяется неравномерно (то быстрее,
то медленнее), то частота будет переменной. В этом случае
для определения угловой частоты ш следует брать отрезок
Д£ достаточно малым, чтобы можно было считать на его
протяжении изменение фазы равномерным. Ещё более точный
результат мы получим, если будем в выражении для ш стре-
мить Д t к нулю. Тогда получим для угловой частоты выра-
жение
d [<оо 14- <? (/)] </<?(?)
w_ dt ~ 0 ‘ ~ЧГ
Таким образом, угловая частота колебания равна произ-
водной его фазы по времени. Если в колебании (7.1) сдвиг
фаз <р(£) величина постоянная, то согласно выражению (7.2)
угловая частота этого колебания будет равна %.
Частота колебания будет в 2 я раз меньше, поскольку
колебание совершает полный цикл при изменении фазы, т. е.
аргумент на 2 к.
186
Глава 7
Частота колебания (7.1.) равна
ю _ мо____________।____1 _ f j___________1 d <i(t)
d 2я 2n 2~. dt 1 2~ dt
(7.3)
где
/_________________________ шо
^0“ 2л •
На рис. 7.2а пунктиром показано колебание Umcos®0t
и сплошной линией колебание (7.1), на рис. 7.26—сдвиг фаз
между этими колебаниями <p(Z). Как видно из этого рисунка,
на тех участках, где <p(f) растёт, период колебания (7.1) умень-
шается, и частота его возрастает. На тех участках, где <р(0
уменьшается, частота колебания также уменьшается. Это
согласуется с ф-лой (7.3).
Рис. 7.2л: 1_синусоидальное колебание с переменной частотой,
2—синусоидальное колебание с постоянной частотой.
б—сдвиг фаз колебания 1.
Если задана угловая частота колебания и, то в общем
случае колебание может быть записано так:
u=Umcos^u> dt. (J-ty
В правильности этого выражения легко убедиться, опре-
делив угловую частоту этого колебания путём дифференци-
рования его фазы, т. е. ^wdt по времени.
ЧМ и ФМ колебания и их воздействие на колебательные контуры 187
Из сказанного можно сделать вывод, что если сдвиг фаз
колебания меняется, то будет меняться его частота и, наобо-
рот, если частота колебания переменна, то сдвиг фаз будет
также меняться.
Пример 7.1. Дано колебание u=Umcos [(а/+&) /+с].
Требуется найти его угловую частоту.
Решение. Угловая частота этого колебания согласно
ф-ле (7.2) будет равна
<>= d\(at+b)t+c\ ^at+at+b=<2at-\-b.
Пример 7.2. Частота синусоидального колебания равна
f=\ 000 000+10 000 cos 10001 гц, амплитуда 100 в.
Требуется записать аналитическое выражение этого колебания.
Решение. Угловая частота колебания будет равна
ш=2л: 10е + 2 к 104 cos 2тс Ю31,
откуда колебание согласно ф-ле (7.4) запишется так:
u=rmcosГ <о Л=1С0cos (2л 1G® t + sin 2л 103/+<р0) =
J 2т:«103
= 100 cos (2 it 1061 + 10 sin 2tc 1031 + cp0),
где <p0—произвольная постоянная.
§ 7.3. Частотно-модулированные колебания
Колебание называют частотно-модулированным (ЧМ),
если частота его изменяется пропорционально передаваемому
колебанию (например звуковому) £(/). Следовательно, угло-
вая частота такого колебания должна равняться
<1>=<л (f)=<D0-|-aS (t),
где <ю0 и а — некоторые постоянные, которые выбираются
так, чтобы частота о> изменялась в желаемых пределах.
Аналитическое выражение для ЧМ колебания в соот-
ветствии с ф-лой (7.4) 6} дет иметь следующий вид:
«=t/mcos J [<»04-aS(^)]tft=[/mcos[<V-|-a j S(t) Л+<р0],
(7-5)
где <р0 — произвольная постоянная.
188
Глава 7
Сравнивая выражения (7.1) и (7.5), мы видим, что сдвиг
фаз данного колебания будет равен
?W=afS(0^+<P0. (7.6)
ЧМ колебание характеризуется частотным отклонением и
индексом модуляции.
Если обозначить через fMaKC максимальную частоту, а
через fMUH её минимальное значение, то средняя частота бу-
дет равна
f__ /макс + /мин
/с 2
Частотным отклонением1) называют максимальное откло-
нение частоты от её среднего значения. Таким образом ча-
стотное отклонение будет равно
макс
с ____ /макс — /мин
мин
(7.7)
2
Аналогичные определения употребляют и для угловых
частот.
Обозначим через ?Лакс максимальный и через умин ми-
нимальный сдвиг фаз некоторого колебания. В этом случае
средний сдвиг фаз будет равен
___ <Рмакс + фмин
тс— 2 *
Индексом модуляции называют максимальное отклонение
сдвига фаз колебания от его среднего значения <рс.
Таким образом, индекс модуляции будет равен
_ гп ____ 7 макс ~ 4>мин (7 8\
^ = (?макс— ?,=?, "" ----------2------ ’ 7
Пример 7.3. Найти частотное отклонение и индекс модуляции колебания
в пример 7.2.
*) Иногда в литературе вместо „частотного отклонения" употребляют
термин „девиация частоты".
ЧМ и ФМ колебания и их воздействие на колебательные контуры 189
Решение. Согласно ф-ле (7.7) частотное отклонение будет равно:
д/макс /мин _ 1 010 000—990 000 _ |оооо2^.
Индекс модуляции согласно ф-ле (7.8) будет равен
т= ®макс ^мин _ (10 + ?о) (~~ 10 4~ ?р) —ю
2 2
Рассмотрим ЧМ передачу простого синусоидального
колебания с частотой и сдвигом фаз ФР При передаче та-
кого колебания угловая частота ЧМ колебания должна
меняться по следующему закону:
= Д о)1 cos (&\ t -|- ®j).
(7.9)
Величина Д^ согласно определению есть частотное откло-
нение. Это частотное отклонение тем больше, чем больше
амплитуда передаваемого колебания.
Само частотно-модулированное (ЧМ) колебание на осно-
вании выражения (7.4) запишется следующим образом:
w=(7mcos sin^H^-Ho].
(7.Ю)
Индекс модуляции этого колебания равен
На рис. 7.2 а (сплошная линия) приведена временная диа-
грамма такого колебания.
Если 5 (£) — сумма простых синусоидальных колебаний, то
изменение частоты будет происходить по закону:
п
и) = шо+ 2 Ди)кС°8(2«^+Ф*).
№ 1
(7.Н)
Величины Дшк мы назовём парциальными частотными откло-
нениями на частотах 2„.
190
Глава 7
Само колебание будет записано так:
u=U mcos Л шо о * sin (®«^ + Ф«) “Ь ?о г L к=1 * J
(7.12)
Величины мы назовём парциальными индексами мо-
дуляции.
§ 7.4. Фазово-модулированные колебания
Фазово-модулированным (ФМ) колебанием называют ко-
лебание, сдвиг фаз которого изменяется пропорционально
передаваемому колебанию S(0- В выражении (7.1) мы дол-
жны, следовательно, положить
?(Q=?o + aS(O, (7.13)
где <р0 и а — постоянные величины.
Аналитическое выражение ФМ колебания будет иметь
следующий вид:
u=Um со8[ш0^ + а5(0+?0]. (7.14)
ФМ колебания так же, как и колебания, модулированные
но частоте, характеризуются частотным отклонением и ин-
дексом модуляции, которые определяются так же, как и при
ЧМ.
Если S(f) простое синусоидальное колебание с частотой
21 и начальной фазой Фп то выражение (7.14) перепишется
так:
u=umcos[u>0t 4- /П1 cos (2^ + Ф1) + ?0]. (7.15)
Частота этого колебания будет равна
<1)=(в0 — zni2isin (21Н~Ф1). (7-16)
При фазовой модуляции индекс модуляции тх пропорцио-
нален только амплитуде передаваемого сигнала. Частотное
отклонение при фазовой модуляции, как это видно из (7.7),
равно _____________
До>1=/п121. (7.17
ЧМ и ФМ колебания и их воздействие на колебательные контуры 191
Если 3(0 — сумма простых синусоидальных колебаний,
то вместо выражения (7.15) мы должны записать следующее:
u=f/mcos
п
<М + X sin (2^ “Г ф«) + ?о •
K=i J
(7-18)
Как при частотной, так и при фазовой модуляции ампли-
туда остаётся постоянной, изменяются же частота и сдвиг
фаз. Разница между ними заключается в том, что в одном
случае пропорционально передаваемому колебанию S(t) изме-
няется частота, а в другом сдвиг фаз.
Вследствие этого при ЧМ частотное отклонение изменяет-
ся пропорционально амплитуде передаваемого колебания
(например звука), а индекс модуляции изменяется пропорци-
онально амплитуде и обратно пропорционально частоте пере-
даваемого сигнала.
При ФМ частотное отклонение пропорционально ампли-
туде и частоте передаваемого колебания, а индекс модуля-
ции зависит только от его амплитуды.
Встречаются случаи, когда одновременно с изменением
частоты изменяется и амплитуда колебания. Такая модуляция
называется смешанной. Смешанная модуляция тока, например,
получалась у нас при воздействии амплитудно-модулирован-
ного напряжения на комплексное сопротивление, величина
которого различна для верхних и нижних боковых частот
(см. § 6.8).
Пример 7.4. Передаётся звуковое колебание
и = 10 cos 10001 + 2 cos (3000 t 4- 0,5).
Требуется записать ЧМ и ФМ колебания при такой передаче, если их
средняя частота должна быть равна 100 мггц.
Решение. 1. При ФМ искомое колебание будет определяться ф-лой
(7.14)
и = Um cos {2z 1081 + а [ 10 cos 1000/ + 2 cos (3000/ 4- 0,5)]},
где а — некоторый коэффициент пропорциональности.
2. При ЧМ искомое колебание будет определяться по ф-ле (7.5)
и = Um cos {2п \Wt-b [10- IO’8 sin 1000/ + 2/3 -10“3 sin (3000/ 4- 0,5) + ?01 Ь
где b и <?0 — некоторые постоянные.
§ 7.5. Векторные диаграммы ЧМ и ФМ колебаний
Рассмотрим векторную диаграмму колебания, модулиро-
ванного по частоте или по фазе. Аналитически такое коле-
бание может быть записано так:
« = Um cos [ш014-<р (0]. (7.19)
192
Глава 7
Это колебание можно представить с помощью вектора,
который, вращаясь, должен давать проекцию на ось проекций,
равную и. Для этого вектор, изображающий колебание (7.6),
должен иметь длину, равную Um, и составлять сосью проек-
ций угол со0 £-J-(рис. 7.3). Если ось проекций вращать по
Рис. 7.3. Векторная диаграмма ЧМ и ФМ колебания.
часовой стрелке так, чтобы она составляла с горизонтальной
осью угол то вектор, изображающий колебание, должен
составлять с горизонтальной осью угол <р(£). Так как при
Рис. 7.4. Векторная диаграмма ЧМ и ФМ ко-
лебания. т—индекс модуляции.
ЧМ и ФМ сдвиг фаз
ср(^) меняется, а амп-
литуда колебаний ос-
таётся постоянной, то-
на векторной диаграм-
ме вектор такого ко-
лебания будет иметь
постоянную длину и
переменное направле-
ние. Как следует из
определения индекса
модуляции (см. § 7.3),
вектор, изображаю-
щий ЧМ и ФМ колеба-
ние, будет качаться,
отклоняясь от среднего значения вправо и влево на угол,
равный индексу модуляции т (рис. 7.4).
§ 7.6. Преимущества частотной и фазовой модуляции
перед амплитудной
Основное преимущество колебаний, модулированных по
частоте или по фазе по сравнению с амплитудно-модулиро-
ванными колебаниями, заключается в том, что они меньше
подвержены влиянию помех при радиоприёме. Покажем это
для простейшего случая.
ЧМ и ФМ колебания и их воздействие на колебательные контуры 193
Пусть на некоторое синусоидальное колебание, переда-
ваемое радиостанцией,
ис = Ue cos (о>014- <?₽)
накладывается другое постороннее колебание
«„ = fJ„cos (М+
причём Un < ис-
Векторная диаграмма этих колебаний и их суммы показана
на рис. 7.5. На этом рисунке_ОЛ — вектор колебания ие,
А6 —вектор колебания «„ и ОБ — вектор их суммарного ко-
лебания.
Поскольку было принято, что ось проекций вращается по
часовой стрелке с угловой скоростью ш0, вектор ОА будет
неподвижным, а вектор АБ— вращающимся с угловой ско-
ростью ш0.
Как видно из этой векторной диаграммы, суммарное коле-
бание будет модулировано по амплитуде, причём коэффициент
модуляции будет равен
Кроме того, будет про-
исходить модуляция по час-
тоте и фазе с индексом мо-
дуляции шп, который может
быть найден следующим об-
разом:
Sin 771п = ^^7Пя.
Угловая частота моду-
ляции будет равна шя— <и0.
Если суммарное колеба-
ние ис + ип будет воздейст-
вовать на приёмник, пред-
назначенный для телефон-
ного приёма AM колебаний,
то он при этом будет вос-
Рис. 7.5. Сложение колебания сигнала и
помехи. ОА—вектор колебания сигнала.
АБ—вектор колебания помехи. ОБ—век-
тор суммарного колебания.
производить звук с часто-
той u)n— ш0 и с амплитудой, пропорциональной коэффициенту
модуляции, т. е. Мп. Если колебание ис-\-ип будет воздей-
ствовать на телефонный приёмник, предназначенный для
приёма ЧМ или ФМ колебаний, то он будет воспроизводить
13 Основы раднотехннкн
194
Глава 7
звук с той же частотой, а амплитуда этого звука будет про-
порциональна индексу модуляции, т. е. величине тп.
Радиоприёмники для приёма ЧМ и ФМ колебаний делаются
так, что они реагируют на изменение частоты или сдвига
фаз приходящих колебаний и не реагируют на изменение их
амплитуды.
Таким образом, постороннее колебание ип, наложившись
на колебание сигнала ис принимаемой радиостанции, создаст
дополнительный не передававшийся звук, мешающий нормаль-
ному приёму, т.е. окажет мешающее действие. Для того,
чтобы оценить это мешающее действие предположим, что
приёмник, предназначенный для приёма AM колебаний при
максимальной громкости передаваемого звука (когда коэффици-
ент модуляции принимаемого колебания равен единице), создаёт
звуковое колебание с амплитудой А. Тогда под действием
колебания помехи ип он создаст звук во столько раз мень-
ший, во сколько раз Мп меньше 1, т.е. звук с амплитудой
АМп=А^. (7.20)
ис
Пусть приёмник для приёма ЧМ или ФМ колебаний при
максимальной громкости нормально передаваемого звука
создаёт ту же амплитуду звукового колебания А, причём
максимальному звуку соответствует индекс модуляции, рав-
ный тм. Тогда под действием помехи ип приёмник воспроиз-
ведёт звук с амплитудой во столько раз меньшей А, во
сколько раз тп меньше тм, т. е. звук с амплитудой
А — = А — —
тм ис тм
(7.21)
Сравнивая выражение (7.20) с выражением (7.21), мы ви-
дим, что при одинаковых прочих условиях приёмник для
приёма ЧМ или ФМ будет воспроизводить звук от помехи
в тм раз слабее, чем при амплитудной модуляции. По-
этому, чем больше тм, тем слабее будет звук от помехи
и тем больше будет преимущество ЧМ и ФМ (при помехе
рассмотренного типа) по сравнению с амплитудной модуля-
цией.
Мы рассмотрели простейший вид помехи в виде синусо-
идального колебания. При более сложных помехах ЧМ и ФМ
имеет также преимущество перед амплитудной модуляцией.
Однако и ЧМ и ФМ имеют недостатки, благодаря которым,
их применение не всегда оказывается целесообразным.
Об основном недостатке модуляций этого вида мы будем
говорить в следующем параграфе.
ЧМ и ФМ колебания и их воздействие на колебательные контуры 195
7.7 . Разложение ЧМ и ФМ колебаний на колебания
несущей и боковых частот
Для нахождения тока под действием амплитудно-модули-
рованного напряжения мы разлагали последнее на простые
синусоидальные колебания, амплитуды и частоты которых
постоянны (см. § 6.4).
Проделаем то же для ЧМ и ФМ колебаний. Эти коле-
бания могут быть представлены так:
« = t/OTCOS [ы>0 -г-<Р (0]- (7.22)
Разлагая это выражение по формуле косинуса суммы, мы
получим
u = Um cos ср (t) cos о)01 — Um sin (f) sin o)0t. (7.23)
Таким образом, колебание и может быть всегда разло-
жено на два AM высокочастотных колебания с амплитудами
Um c°st? (О и ^msin<p(0.
При медленном изменении v (t) эти амплитуды изменяются
сравнительно медленно.
Полученные AM колебания могут быть разложены в свою
очередь на колебания несущих и боковых частот, методом,
уже известным нам по гл. 6. Для этого требуется l/OTcoscp(^
и Um sin <р (t) представить в виде сумм синусоидальных коле-
баний. Однако в общем случае последнее представляет боль-
шие математические трудности. Поэтому мы произведём
такое разложение для наиболее простого случая, когда пе-
редаваемое колебание, например звук, синусоидально.
В этом случае ЧМ и ФМ колебание может быть записа-
но так:
и = Um cos [u>014- sin (2j t ф- Oj) + ®0]. (7.24)
Разница между ЧМ и ФМ будет лишь в величине и
сдвиге фаз Фх. Разложим выражение (7.24) также по формуле
косинуса суммы. Беря за первое слагаемое аргумента вели-
чину /nxsin(Sx^ ф-Фх) и за второе величину о>01 ф- ®0, получим
и = Um cos [тт?! sin (2Х t ф- Фх)] cos (w01 ф- <?0) —
— Um sin [тпх sin (2Х t ф- Фх)] sin (о>01 ф- ®0). (7.25)
Амплитуда каждого из полученных колебаний изменяется
периодически и поэтому может быть представлена с помощью
ряда Фурье в виде суммы простых синусоидальных колебаний.
13*
196
Глава 7
После этого будет нетрудно разложить каждое AM колеба-
ние на несущую и боковые частоты. Однако разложение этих
колебаний в ряд Фурье представляет известную математиче-
скую трудность, так как встречающиеся интегралы не берутся
элементарно и приводятся к функциям Бесселя. Поэтому
сначала мы рассмотрим самый простой случай, положив
1.
При этом можно считать, что
cos [mx sin (2Х t + Фх)] 1,
sin [mx sin (2Х t -j- Фх)] тг sin (2Х£ + Фх)
и выражение (7.25) записать так:
и = Um cos [ш01 + /пх sin (Sx t + Фх) + <р0]
Um cos («>01 + <р0) — sin (2Х t + Фх) sin (а>01 -|- <р0) =
= 1/OTCOS((00 t + <?о) 4- ^^y^.COS + Si) * + Фо + ф1] — ^7’26^
_ ^cos [(ш0 — 21) + <Ро - Ф1].
I-------1----------------------------------------------
Отсюда видно, что ЧМ и ФМ колебание с индексом мо-
дуляции тх < 1 может быть представлено так же, как и коле-
бание синусоидально модулированное по амплитуде ввиде сум-
мы колебаний несущей и двух боковых частот, причём отли-
чие этого разложения от разложения AM колебания состоит
в том, что перед колебанием нижней боковой частоты стоит
знак „минус", а не „плюс". Если индекс модуляции мал (/nx<^ 1),
то на векторной диаграмме можно проследить образование
ЧМ и ФМ колебания из колебаний несущей и боковых частот.
На рис. 7.6 вектор ОА изображает колебание несущей ча-
стоты. Он имеет постоянную длину Um и составляет с гори-
зонтальной осью постоянный угол <р0, поскольку ось проекций
вращается с угловой скоростью <о0. Вектор верхней боковой
частоты АВ будет вращаться против часовой стрелки с угло-
вой частотой 2Х, составляя с вектором несущей в момент времени
t = 0 угол Фх. Вектор нижней боковой- частоты АС будет вра-
щаться по часовой стрелке и будет составлять с вектором
несущей при t = 0 угол — Фх л, поскольку в выражении (7.26)
колебание, соответствующее этому вектору, имеет знак „ми-
нус". Как видно из рис. 7.6, равнодействующая векторов бо-
ковых частот будет всегда перпендикулярна вектору несущей
(в отличие от амплитудной модуляции, где она совпадала с
вектором несущей) и будет менять свою длину. Равнодей-
ЧМ и ФМ колебания и их воздействие на колебательные контуры 197
ствующий вектор OD будет своим концом перемещаться по
линии DE, меняя свой угол, как это и должно быть у ЧМ и
ФМ колебания.
Как видно из рис. 7.6 длина результирующего вектора
будет несколько меняться. Это не соответствует действитель-
ности и является результатом не-
точности произведённого выше при- -
ближённого разложения ЧМ коле- z
бания.
При использовании точного раз-
ложения колебания длина резуль- 7 /\ .
тирующего вектора на векторной / X/
диаграмме будет неизменна. Чем / / ™
меньше т1( тем точнее приближён- / /
ное выражение, а следовательно, / /
и построенная на основании его //
векторная диаграмма. [/
Для точного разложения ЧМ и 1/\<р
ФМ колебания на сумму простых ——
синусоидальных колебаний при лю-
бом значении индекса модуляции w
mx воспользуемся формулой / 0
elm, sin ж, = У Jn (От1) ei пхЛу,
л ——со
Рис. 7.6. Векторная диаграмма
колебаний несущей и боковых
частот при ЧМ и ФМ для слу-
чая т < 1. О А—вектор колеба-
ния несущей частоты, ОВ и
ОС — векторы колебаний боко-
вых частот. OD — результи-
рующий вектор.
где Jn(z«i) функция Бесселя и-го
порядка от /Пр Обозначив £?г /с-|-Ф1=
= хг, перепишем выражение (7.24):
и = Um cos (u>o t 4~ sin Xi + <p0) =
= Um Re [е! (“о ' + ". sin А + = Um Re [е1 w+ e,mj iIn =
r +oo J
= Um Re [e> + F.) 2j„(/nx) e« ] =
4-oo л=ж—oo
= Re Jn (/flj eI (о>о/+лх, + J _
Л=. — oo J
4-oo
= S Re (ml) e1 + ?o)J =
Л oo
+oo
= Jn (/»1) COS (a>0 t 4- ЛХх4- <p0).
Л-—OO
x) См., например, Кузьмин P. О. .Бесселевы функции", ОНТИ, 1935 г.,
CTp, 1 •
198
Глава 7
Подставляя вместо Xi его значение, получим:
» = {7mcos [ш0 + sin (21^4-01) + ®0] =
4-©о
= Vm X J» (OT1) COS Кш0 4- tl 21) 14- n Ф1 4- <Po].
n= — oo
(7.27)
На рис. 7.7 и 7.8 приведена зависимость J„(m) для неко-
торых л1).
Рис. 7.7. Бесселевы функции: нулевого порядка—J0(m)n первого
порядка —Ji (т).
Из теории функций Бесселя известно, что при п> (//1x4-1)
значения функций Бесселя J„(/«i) очень быстро убывают с
ростом п.
Кроме того, известно, что
J_n(/n1) = Jn (/Пх) при чётном п,
3-п(т^ = — J„(/Wi) при нечётном п.
На основании изложенного можно сделать следующие
выводы:
1) ЧМ и ФМ колебания в случае модуляции одной частотой
2хмогут быть представлены в виде суммы колебаний несущей
9иПодробные таблицы функций Бесселя приведены в книге В. Н. Фа-
деевой и М. К. Бабурина .Таблицы функций Бесселя целых номеров", Гос-
техиздат, ИЗО г..
ЧМ и ФМ колебания и их воздействие на колебательные контуры 199
частоты о)0 и боковых частот <о0 ± п2ъ расположенных симмет-
рично относительно несущей частоты. Соседние боковые
частоты отличаются друг от друга на величину 21Ф
2) Амплитуда каждой из составляющих равна при
чётном п колебания верхних и нижних боковых частот имеют
Рис. 7.8. Бесселевы функции: второго порядка — J2 (ти), третьего
порядка — J3 (ти), восьмого порядка—J8 (m), шестнадцатого по-
рядка — J1G (ttz).
3) Теоретически количество колебаний боковых частот беско-
нечно велико, однако, поскольку, начиная с п = m1 + 1 ампли-
туды боковых частот с ростом п резко убывают, на практике
можно считать, что число боковых частот равно 2(тх4- 1) (учи-
тывая боковые частоты, расположенные по обе стороны от
несущей). Таким образом, полоса частот, занимаемая радиостан-
цией с частотной или фазовой модуляцией, практически равна
22i(/TZi 1) = 2(Д(О1 —21).
(7.28)
Отсюда следует, что при ЧМ и ФМ несущие частоты ра-
диостанций во избежание взаимных помех должны отличаться
друг от друга на величину большую, чем 221(тп1-]-1).
При AM во избежание помех расстояние между несущими
частотами станций должно было быть больше 22х.
Таким образом (при /и^!)1), число ЧМ и ФМ станций
х) пг1 обычно делают больше 1, чтобы получить преимущество в защите
от помех по отношению к AM.
200
Глава 7
в том же диапазоне будет меньше, чем число AM станций.
Эта особенность ЧМ и ФМ является основным их недо-
статком, по причине которого данные виды модуляции (для
телефонной передачи) применяются в основном лишь на
ультракоротких волнах, где частотный спектр ещё не насыщен
станциями.
Колебание, модулированное по частоте или фазе одновре-
менно двумя частотами и 22> может быть записано так:
и = C/mcos[o)0^ + Фх) + m2sin(22^ фг) + ?ol- (7.29)
Такое колебание также может быть разложено на состав-
ляющие несущей и боковых частот. Можно показать анало-
гично предыдущему (из-за громоздкости мы вывода приводить
не будем), что в разложении будут составляющие со следую-
щими частотами и амплитудами:
1) несущая частота ш0 с амплитудой V
2) боковые частоты <о0 ± л2х с амплитудами
3) боковые частоты и>0 ± «22 с амплитудами U
4) боковые частоты ®0 + рЗг ± <?22 с амплитудами
где р и q — любые целые числа.
Ширина полосы частот, занимаемая этим колебанием,
может быть принята равной 2(До> + 22), где Ди> — частотное
отклонение, 22 — наибольшая из модулирующих частот.
При (/«!m2)< 1 колебание (7.29) может быть легко раз-
ложено на колебания несущей и боковых частот приближённым
методом, аналогичным применявшемуся нами в случае
ри модуляции одной частотой.
§ 7.8. Спектральные диаграммы ЧМ и ФМ колебаний
ЧМ и ФМ колебания так же, как и AM колебание (см. § 6.5),
могут быть изображены с помощью спектральной диаграммы.
На рис. 7.9 изображена спектральная диаграмма колебания,
индекс модуляции которого от1 = 0,2. Диаграмма построена
согласно разложению (7.26). Нижняя боковая частота изображе-
на отрезком, отложенным вниз. Это обозначает, что перед
колебанием с этой частотой стоит знак минус.
На рис. 7.9 так же, как из выражения (7.26), видно, что
полоса частот такого колебания равна 2SX, т. е. та же, что и при
амплитудной модуляции.
На рис. 7.10 изображена спектральная диаграмма колебания,
индекс модуляции которого /nx=4. Э га спектральная диаграмма
ЧМ и ФМ колебания и их воздействие на колебательные контуры 201
изменением амплитуды и частоты
построена на основании точного разложения (7.27). Полоса
частот такого колебания примерно равна 221(/п14- 1) = 102t.
Для упрощения чертежа все амплитуды на этом и последую-
щих рисунках изображены положительными.
Посмотрим, как будут изменяться спектральные диаграммы
ЧМ и ФМ колебаний с
модулирующего сигнала.
На рис. 7.11 приведе-
ны спектральные диаг-
раммы ЧМ и ФМ коле-
баний для случая, когда
частота модулирующего
колебания неизменна и
меняется лишь его амп-
литуда.
Из рис. 7.11 видно,
что с увеличением ампли-
туды модулирующего ко-
лебания полоса частот ЧМ и ФМ колебания расширяется (верх-
няя диаграмма соответствует минимальной амплитуде, ниж-
няя— максимальной). На этой диаграмме стрелками показа-
на величина 221(/п14-1), принятая нами за полосу частот,
занимаемую ФМ и ЧМ колебанием.
-------------
mUf^ u9 Ci
2 $Р0-ф>
Рис. 7.9. Спектральная диаграмма ЧМ и
ФМ колебаний при m <1.
Рис. 7.10. Спектральная диаграмма ЧМ и ФМ колебаний при т*=4.
Рисунок 7.12 показывает, как изменяются спектральные диа-
граммы ЧМ и ФМ колебаний, если амплитуда модулирующего
колебания остаётся постоянной, а меняется модулирующая
частота. При частотной модуляции неизменной амплитуде
соответствует неизменное частотное отклонение Дю, при
фазовой модуляции — неизменный индекс модуляции
Таким образом, с уменьшением модулирующей частоты
в случае частотной модуляции (левый столбец диаграмм)
увеличивается количество составляющих боковых частот, но
полоса частот колебания остаётся примерно постоянной.
202
Глава 7
В случае фазовой модуляции (правый столбец диаграмм)
с уменьшением модулирующей частоты уменьшается полоса
частот, количество же составляющих боковых частот остаётся
неизменным.
Ч.М.и Ф.М.
т,-}&
Рис. 7.11. Спектральные диаграммы ЧМ и ФМ колебаний при разных т.
Как видно из этого рисунка, при малых частотах моду-
ляции (например при = 1 кгц) индекс модуляции для ЧМ
получается больше, чем для ФМ (при ЧМ /пх = 16, при ФМ
/^ = 2).
§ 7.9. Воздействие ЧМ и ФМ напряжения на цепи
с комплексной проводимостью
Для нахождения тока, который будет течь через цепь
с комплексной проводимостью под действием ЧМ или ФМ
напряжения, можно поступить так же, как мы поступали в слу-
чае амплитудной модуляции: 1) разложить напряжение на
S)
аб| 10кг. -м « я” m,»2
0<4 1
0,2 1 1 1 1 1
(л)о 1Л 2Л
б) 0.4 0.2- I .1 7| I Окгь 1 Г f КВ- £ |е д Д з s » с
С 2 2в ' гл л
0) Q4M- Юкги ”** **” mt»3 0t6 0^- Af"^16keu ' .ill lllllllllll lib _XJ. V <PM. /n,*Z Л/-^-41г»ц 1 CJ
(ja 2Л CO 2Л H ilt
Рис. 7.12. a, б, а, г — спектральные диаграммы ЧМ колебания при из-
менении 2,; д, е, ж, з — спектральные диаграммы ФМ колебания при
изменении 2Х.
204
Глава 7
составляющие несущей и боковых частот, амплитуды и частоты
которых постоянны; 2) найти токи от каждой состав-
ляющей напряжения обычным комплексным методом; 3) сло-
жить полученные токи. Суммарный ток будет равен иско-
мому.
Однако этот метод из-за большого количества боковых
частот при ЧМ или ФМ часто оказывается слишком громоздким,
и к нему прибегают лишь тогда, когда нужно получить точный
результат.
Поэтому мы его в общем виде рассматривать не будем,
а остановимся в этом параграфе на наиболее простом, но
важном случае. В следующем параграфе мы рассмотрим общий
приближённый метод исследования схем при ЧМ и ФМ.
Пусть проводимость цепи определяется выражением
Y(o>) = Уое iK“ ~ + в»1, (7.30)
где Уо, ®0, т и % — любые действительные числа. Воздействие
AM напряжения на цепь с такой проводимостью рассмот-
рено в § 6.13.
В соответствии с ф-лами (7.22) и (7.23) ЧМ или ФМ коле-<
бание
K = t/mcos[<D0rt-<pW] (7.31)
может быть представлено суммой двух AM колебаний. Ток
от этих колебаний при заданной проводимости в соответствии
с изложенным в § 6.13 будет равен
i = У0(/т cos + x)cos(«)0^4- a0) —
— Y0Um sin? (t + -u)sin(o)0i? + a0),
откуда _____________________
* = V^cos W -r + x) + ®ol • (7,32>
Таким образом, для случая проводимости-(7.30) искажения
модуляции не будет: кривая модуляции, определяемая
лишь сдвинется по времени на величину t и колебание тока
будет иметь добавочный постоянный сдвиг фаз а0 по отношению
к напряжению. Этот результат совпадает с результатом, полу-
ченным в § 6.13 для AM.
Случай, когда проводимость цепи для несущей и боковых
частот имеет одно и то же значение, т. е. когда
Y=yoele’, (7.33)
ЧМ и ФМ колебания и их воздействие на колебательные контуры 205
где Уо и % — постоянные величины, является частным случаем
проводимости (7.30) при т = 0.
В этом случае амплитуда тока будет в Уо раз больше
амплитуды напряжения и ток будет сдвинут по фазе на посто-
янную величину а0 по отношению к напряжению.
Всё сказанное в этом параграфе справедливо и для
смешанно-модулированных колебаний, для которых Um вели-
чина переменная.
Действительно, ф-лы (7.23) и (7.32), как нетрудно убедиться,
верны и для переменного Um.
Совершенно аналогично надо поступать, если нужно по току
найти напряжение, или по напряжению на входе схемы найти
напряжение на её выходе, только в этих случаях вместо про-
водимости нужно брать соответственно сопротивление или
коэффициент передачи.
Чтобы избежать искажений модулированных колебаний,
обычно стремятся создать цепи, которые удовлетворяли бы
приведённым здесь условиям, т. е. такие цепи, которые в по-
лосе частот колебаний имеют сдвиг фаз, линейно зависящий
от частоты, и модули проводимости, сопротивления или коэф-
фициента передачи, не зависящие от частоты.
Пример 75. Фазово-модулированное напряжение
и = lOcospO8/ + l,5cos^l0000/-h + -3-je
действует на индуктивность L = 1 мкгн. Найти ток в этой индуктивности.
Решение. Частотное отклонение для данного случая будет равно
Дю = mQ = 1,5.10 000 = 15 000 Усек.
Поэтому можно считать, что полоса, занимаемая частотами этого коле-
бания, равна
2(Д<о -I- 2) = 50 000 Чсек,
откуда крайние частоты, колебаниями которых мы ещё не пренебрегаем, будут
иметь значение
IO8 ± _1_, 50000 = (100000 000 ± 25 000) Чсек.
Ясно, что проводимость индуктивности для всех частот в этих сравни-
тельно узких пределах может считаться постоянной и равной
= Ьо£ = 108.10-8 е 2 = 10~*е 2 •
Поэтому для данного случая можно положить в ф-ле (7.30)
“ <о0£ = Ю-’’ т=°> “о — — “2“.
206
Глава 7
откуда в соответствии с ф-лой (7.32) получим
i = O.lcos 108/ + l,5cosl 1000W + +
ТС
б
Пример 7.6. Через цепь, состоящую из последовательно включённых
активного сопротивления г = 100 ом и конденсатора С=200 пф протекает ток
i = 0,lcos(5- 107/ + 3cos 5*108/) а.
Найти падение напряжения на этой цепи.
Решение. В этом случае требуется составляющие тока умножить на
сопротивление цепи.
Как нетрудно убедиться, сопротивление для всех частот колебания
тока может быть в этом примере принято равным:
.1 .1
7((в)= г — i = 100 — i 200-10"125’107 = 100—100 * е
откуда, действуя аналогично примеру 7.5, получим искомое падение напря-
жения
и = 10 cost 5’107/ + 3 cos 5‘103/ — ) в.
Пример 7.7. Частотно-модулированная эдс
и = 10cos|\o8Z + I,5cos^l0000/ у
действует в последовательном колебательном контуре. Контур имеет угловую
резонансную частоту <ор = 108 1/сек и добротность Q = 500. Найти напряже-
ние на катушке индуктивности.
Решение. Для нахождения напряжения на индуктивности надо состав-
ляющие эдс множить на коэффициент передачи контура, который для частот,
близких к резонансной, может быть в соответствии с изложенным в § 4.6
записан так:
где ₽ = arctg £ и £ = 2Q .
По условию несущая частота равна резонансной. Как было показано
в примере 7.5, крайняя учитываемая нами боковая частота отстоит от резо-
нансной на 250001/сек. Отсюда длд крайних учитываемых боковых частот
5 =’±2-500---iQ8— = 0,25; $2 = 0,0625.
Пренебрегая 51 по сравнению с 1 в знаменателе и полагая приближённо
0= arctg£«£, мы получим
К(о>) = 500е
ЧМ и ФМ колебания и их воздействие на колебательные контуры 207
Таким образом, выражение для К(о>) будет подобно ф-ле (7.30). В данном
случае т = — Ю"5 и аргумент коэффициента усиления на несущей частоте
те
а0 в “2“- Следовательно, напряжение на индуктивности будет равно
иЛ=500-10-cos |108Z + l,5cosp0 000(/ — 10“5) + -^-j + =»
Г I те \ 2 1
=5000cos|108/ + l,5cosl 10 000Z - 0,1 + -^ I + -£- те I в.
Из этой формулы видно, что частота напряжения ис будет несколько от-
личаться от частоты эдс, запаздывая в своём изменении от последней на
10“б сек, что составляет сдвиг фаз в колебании частоты в 0,1 рад или в 5,7°.
§ 7.10. Приближённый метод исследования схем при частотной
и фазовой модуляции
В предыдущем параграфе мы рассмотрели ряд частных
случаев цепей, не искажающих модуляции, исследование
которых при ЧМ и ФМ не представляет труда. Однако эти
случаи далеко не исчерпывают встречающихся на практике.
Поэтому мы рассмотрим ещё один приближённый метод
исследования, пригодный как при исследовании ЧМ и ФМ,
так и смешанно-модулированных колебаний.
Пусть дано смешанно-модулированное колебание
u=Um (0 cos [<V+<pB(0], (7.34)
которое действует на конденсатор с ёмкостью С. Ток через
конденсатор будет равен
l=C g =С cos [<o0f + <р„(01 +
+ CUm(t) [ш0 + • sin [«)0f + ?а(0].
Поскольку выражение
. rf<pu(Z)
°>о+ -d£-=0)«
представляет частоту напряжения, мы можем, действуя совер-
шенно аналогично § 6.3, записать выражение тока в комплекс-
ной форме так:
1=YCU. (7.35)
Здесь U = е 1<р“^ — напряжение (7.34) в комплексной
форме ______________________________________
¥с 4- , (7.35а)
208
Глава 7
v =-J— dU”M
*“ Um(t) dt ’
(7.36)
(7.37)
p=arctg^-=|--arctg2j.
Эти выражения отличаются от (6.8) и (6.7) § 6.3 лишь тем,
что вместо «)0 здесь стоит <ов, которое может быть перемен-
ным.
На основании выражения (7.35) мгновенное значение тока
может быть записано и так:
i=V С£/ж(0cos fo/4-?B(i) -J-₽].
Следует отметить, что угловая частота тока будет равна
I I ш _1_?Ф
“о + ° + dt ’
т. е. будет отличаться от угловой частоты напряжения на
величину
В случае, если можно считать
Yc=i«)BC. (7.38)
В этом случае величина р будет мало отличаться от и/2,
rfB „
величина будет мала и можно считать «>/=<»„•
Совершенно аналогично, если через индуктивность Ь течёт
смешанно-модулированный ток
/=/т(ОсозМ+?Д0], (7.39)
то падение напряжения на индуктивности будет равно
cosk^+^o]-
— sin
где
®/=O)o+^2-
9М а ФМ колебания и их воздействие на колебательные контуры 2QI
Это напряжение в комплексной форме представится в виде
U=Zl I.
(7.40)
где
_____1
»-/m(0 dt ’
(7.41)
(7.42)
₽= arctg£!=4- arctg Д
Мгновенное значение падения напряжения на основании
(7.40) может быть записано и так:
U=V 7? + <“J cos 1<V+?X0 + ₽J.
В случае, если то можно величиной 7, пренебречь!
В этом случае
ZL =i^L (7.43)
и частоты тока и напряжения будут практически одинаковы.
При прохождении тока (7.39) через активное сопротивление г
падение напряжения на нём будет равно
Иг=гг=г/Л(<) cos [<»of+<pX0]
или в комплексной форме
U=rl. 7.44)
Таким образом, если f то при частотной и смешанной
.модуляции можно пользоваться соотношениями. (7.38), (7.43) и
(7.44), которыми мы пользовались для немодулированных
колебаний. При этом частоты тока будут примерно равны
частотам напряжений. Из этого следует, что при условии
7 «о все соотношения, выведенные для немодулированных
24 Основы радвотехввкв
21®
Глава Т
колебаний, будут пригодны и для модулированных, только в
этом случае частота колебаний <о может быть переменной.
Воспользуемся сказанным для нахождения тока в после-
довательном колебательном контуре при воздействии на него
ЧМ эдс.
Пусть ЧМ или ФМ эдс
е = Ет cos [<V]4- т1 sin (2^ Фх) + <p0]
воздействует на резонансный контур.
В комплексной форме ток в этом контуре для случая
немодулированных колебаний согласно (4.7) будет равен
Ее"1?
(7.45)
l=Y(<i>)E=-
г
(7-46)
,а ’
где
p=arctgQv=arctgQ (£-—2е).
Мгновенное значение тока будет равно
Ет
гп
i= —
г
cos [<0</ + Ш1 sin (2^ + ФЛ 4- <РО—Р]
’р
(7-47)
Согласно сказанному выше, можно считать, что этот
результат получится приближённо и при эдс, данной выра-
жением (7.45), если в ф-лы (7.46) и (7.47) подставить частоту
a>=<i)e=(u0 wtj 2j cos (2xf 4- Фх).
При этом мы получим, как это следует из ф-л (7.47) и
(7.46), что амплитуда тока и его сдвиг фаз р по отношению
к эдс будут переменными величинами. Следовательно, в
данном случае и ъ не будут равны нулю и выражение (7.47)
будет давать лишь приближённое значение тока.
Частота тока также приближённо будет равна
dt
(7.48)
Приведённый здесь метод нахождения г эка становится
особенно наглядным, если рассмотрение вести графически.
Такое рассмотрение мы проведём на числовом примере и
на нём же покажем, как можно оценить ошибку, получаю-
щуюся из-за пренебрежения величинами т; и ?в.
ЧМ и ФМ колебания и их воздействие на колебательные контуры 211
Пример 7А Пусть эдс е=10 cos (1,015« 10*/ + 10 sin 104/) действует на
контур с параметрами: <ор«=«107, Q=100, г=10 ом, £=100 мкгн, С» 100 пф.
Требуется найти ток в контуре.
Угловая частота заданной эдс равна
1,015-10* + 105cosl04t
Она будет изменяться в пределах от 1,005.10* до 1,025-10* и, следова-
эельно, будет всегда близка к угловой резонансной частоте контура «р.
Резонансная кривая для тока может быть поэтому построена по формуле
Она дана на рис. 7.13а.
Ue
Ue
. - , teen
W21,03-Ю10 1 2 3 4 5 6 7 8*10
0.991 1
0^8 ЦЮ,
~5
1
2
6)
7 10'
'tcek
Рис. 7.13/ Приближённое определение
амплитуды тока при воздействии ЧМ
эдс на последовательный колебатель-
ный контур:
о) резонансная кривая контура,
о) зависимость угловой частоты
от времени.
в) зависимость амплитуды тока
виконтуре Im от времени.
На рис. 7.136"дан график изменения во времени. Этот график повёрнут
для удобства построения на 90°. Снося для различных значений времени
величину на график 7.13а, мы по нему можем найти амплитуду тока Im
и построить её как функцию времени. На рис. 7.13а пунктиром показано
для примера построение графика зависимости Im от t для моментов времени
/=0; 10“4; 1,5.10"4 и ЗЛО"4 сек.
Надо помнить, что последний график будет давать не мгновенные
значения тока, а амплитуды, т. е. огибающую колебаний тока.
На рис. 7.14а дана зависимость угла сдвига фаз между током и напря-
жением от угловой частоты <ое, определённая по формуле
г «р
И*
212
Глава 7
На рис. 7.140 дана зависимость о»е от t (график повёрнут на 90®) и на
рис. 7.14а — построенная графически на основании рис. 7.14а и 7.14а зави-
симость р от t.
В соответствии с ф-лой (7.48) угловая частота тока будет отличаться
rfB
от угловой частоты напряжения на величину — .
Как видно из рис. 7.14а, максимальное отклонение угловой частоты тока
от угловой частоты напряжения будет при
f=2,3«10“4 и /=3,9-10“4 сек.
Это отклонение частоты будет равно (рис. 7.14а)
0,4
± у = ± 4000 рад!сек9
т. е. будет составлять примерно 0,04 % от несущей частоты и 4% от частот-
ного отклонения. Полученный нами результат является приближённым,
поскольку ток в контуре будет модулирован по амплитуде, а мы не учитывал!
влияние амплитудной модуляции. Найдём порядок величины погрешности,
вызванной этим обстоятельством.
9
9
9
1,5
1,0
0,5
0,98 . 0.
0£9Д
flpaS.
\коз
1,02 С04г1(Г
____45
1,0
tee*
1 2 3 а '5 'б ’но'4
, 1,01.
ШГ
2
3
И
S
Рис. 7.14. Приближенное оп-
ределение сдвига фаз тока
при воздействии ЧМ эдс на
последовательный колеба-
тельный контур:
а) фазовая характеристика кон-
тура,
б) зависимость угловой часто-
ты эдс от времени,
в) зависимость сдвига фаз р
между током и эдс от вре-
мени.
о
Из рис. 7.13а видно, что максимальное значение у будет около момента
2-10“4. Из этого рисунка также видно, что в этот момент
dlm 0,59
в2е |q-*4 в2950 а!сек и /деа0,45а,
ЧМ м ФМ колебания и их воздействие на колебательные контуры 213
откуда
dim
~dt 2950
^=#в0Л5я6550 1/с^’
В этот момент времени в контуре появится дополнительное последова-
тельное сопротивление
7/£=6550-100-10-в=0,655 ом.
Поскольку угловая частота тока мало отличается от угловой частоты
|дс, а последняя от ыр9 можно считать, что амплитуда тока в конденсаторе
будет в соответствии с (7.38) равна
Im^^p^Ucm'
Из этой формулы мы имеем
лиСт
dt
Ла — тг ~
и Ст
Сопротивление конденсатора будет в соответствии с (7.35а) равно
1______— i«)C
^с= 7вС+1шС С2+®2 С2
Поскольку в данном случае
Ъ* « " « "р И a>pL=-^,
то
Zc----~ *—---------VL - >— •
<0 p C topC <*pC
Таким образом, в контуре появится в момент времени 2’10~* сек допол-
нительное последовательное активное сопротивление, приблизительно равное
2 7/1=2.6550-100-10“в=),31 Ом.
В момент времени (=4,2.10-* сек, как легко видеть из рис. 7.13а, мы
будем иметь
7/= — 6550 1/сек
и дополнительное активное сопротивление —1,31 ом.
Таким образом, активное сопротивление контура будет колебаться в
пределах от 10+1,31 = 11,31 ом, до 10 — 1,31=8,69 ом.
Для этих двух крайних значений сопротивления резонансные кривее
даны на рис. 7.15, а фазовые характеристики на рис. 7.16.
Таким образом, для моментов времени, когда 1т росло и 7/ достигало
максимума, мы должны были бы пользоваться кривыми для г= 11,31 ом,
а для момента времени, когда 1т падало и 7/ достигало минимума—кривыми
для г=8,69 ом. В остальные моменты времени надо было пользоваться проме-
жуточными кривыми.
Как видно из этих кривых, при максимальном и минимальном значениях
71» которые соответствуют примерно угловой частоте 1,01-10-’, ошибка в
определении 1т и р достигает 5°/0.
214
Глава 7
Для частот более близких к кривые расходятся больше, но зато при
этих значениях абсолютное значение ?/ меньше.
В тех случаях, когда такие ошибки недопустимы, можно результат
уточнить, определив из полученной нами приближенной кривой для /-
величину 7/, как функцию времени, и на основании этого вносить каждый
раз при определении 1т и 0 поправки в резонансную кривую и фазовую
характеристику.
Рис. 7.16. Крайние значения фазовой
характеристики для примера 7.8.
Из рассмотренного примера видно, что при воздействии
на резонансный контур ЧМ эдс амплитуда тока в контуре, а
следовательно, и амплитуды напряжения на индуктивности и
ёмкости будут меняться. Этим пользуются при приёме ЧМ
колебаний для превращения их в колебания с переменной
амплитудой, которые затем детектируются обычным способом.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 7
И. С. Гоноровский. Частотная модуляция и её применение. Связь*
нздат, 1948.
ГЛАВА 8
ВОЗДЕЙСТВИЕ ИМПУЛЬСОВ НА КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ
КОНТУРЫ. МЕТОД СПЕКТРАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 8.1. Вводные замечания
В предыдущих главах мы рассматривали процессы, проис-
ходящие в колебательных контурах и их элементах при воз-
действии на них периодических колебаний.
Однако не менее важным и необходимым является изуче-
ние процессов, происходящих в колебательных контурах при
воздействии на них разнообразных импульсов, а также при
подключении к ним постоя иного или переменного напряжения.
Этим вопросам посвящена настоящая глава.
Процессы, рассматриваемые в этой главе, можно исследо-
вать с помощью дифференциальных уравнений, операторным
методом и методом спектральных функций, называемым часто
методом интеграла Фурье.
§ 8.2. Собственные колебания в колебательном
контуре
Вначале мы рассмотрим нестационарные процессы, происхо-
дящие при воздействии на контур постоянных и переменных
напряжений с помощью дифференциальных уравнений.
На основании второго закона Кирхгофа можно для контура,
состоящего из последовательно включённых L, С, г и эдс e(t)
написать дифференциальное уравнение
Lw+ri + uc =еЮ>
где i — ток в контуре, ис — напряжение на конденсаторе кон-
тура. duc
Ток через конденсатор равен i = С г
откуда
di „ d*uc
dt “ G di* ’
216
Глава 8
Подставляя эти значения в дифференциальное уравнение
и деля его на LC = Д-, получим
на LC = А, получим
“р
d*ur г
+”₽“=-"PW-
(84)
Как известно, для нахождения общего решения этого
уравнения достаточно найти его частное решение и сложить
с общим решением аналогичного уравнения без правой части:
^+т^- + »Х = о. (81а>
Последнее уравнение будет соответствовать случаю, когда
эдс равна нулю.
Общее решение ур-ния (8.1а) будем искать в виде
Uc = В е-в< cos -|- ф). (8.2)
Подставим это значение ис в ур-ние (8.1а). После группи-
рования членов и сокращения на множитель Ве-в/ получим:
ш2 __ _£_а _j_ ш2 ) cos (а>/ + ф) +
4- ^2а а>с-j- ше ) sin (<ое t + ф) = 0.
Это уравнение будет удовлетворяться для любых значе-
ний t только тогда, когда
а2 — а>2------С- а -4- а>2 = 0
с L р
2<ыс =о,
откуда получим
__ г _
a~2L ~ 2Q
и
(8.3)
Ц)2—
р 4L»
Ц)2 — (0^ ттгг
Р Р 4Q1
= а)
1
4Q* *
(8.4)
Воздействие импульсов на колебательные контуры
217
Таким образом, при отсутствии внешних эдс в колеба-
тельном контуре напряжение ис будет изменяться в соответ
ствии с ф-лой (8.2',, в которой и а определяются парамет-
рами контура, а величины В и ф могут быть любыми и будут,
очевидно, определяться причинами, создавшими колебания
в контуре.
Полученные колебания называются собственными колеба-
ниями контура, а частота и>е — частотой собственных коле-
баний.
Ток в контуре будет равен
i = С = — СВ a e~ai cos (o>et 4- ф) —
— СВ e~at (ocsin (о>/ 4- ф).
Для контуров с нормальной добротностью (Qm 100) можно
считать:
____£_ = J-«1
<«е <ьр 2Ltop 2Q
Поэтому для этих контуров собственные колебания можно
приближённо записать так:
ис = В e-e/ cos (<>, 14- Ф)
i = — шрСВ е~at sin (<ар 14- ф)
(8.6)
В дальнейшем мы будем рассматривать только контуры о
нормальной добротностью.
Как видно из ур-ний (8.6), амплитуда собственных колебаний
уменьшается по показательному закону и становится равной
нулю через бесконечно большое время. Условно называют
временем затухания собственных колебаний время, в течение
которого амплитуда колебаний уменьшается в 10 раз (рис. 8.1).
Найдём это время. В момент времени t = Q амплитуда ис
будет равна В. В момент т3, соответствующий затуханию соб-
ственных колебаний в 10 раз, амплитуда «с должна быть
равна
В е^ = 0,1 В,
откуда, сокращая на В и, беря натуральный логарифм от
равой и левой части равенства, получим
— ас, = In 0,1 = -2,3.
218
Гмм <
Следовательно,
s = 2^_4,6-b-43^ . <8'7’
3 я * Г top
Чем больше добротность контура, тем больше будет
Иногда для характеристики затухания собственных коле-
баний вводят понятие логарифмического декремента затухания,
Рис. 8.1. Собственные колебания в последовательном
контуре.
цодразумевая под ним натуральный логарифм отношения ам-
плитуд собственных колебаний через период (рис. 8.1). Таким
образом, логарифмический декремент затухания будет равен
, . «е _пТ
8 = In--~аГ>
tfl+T)
или, поскольку период собственных колебаний
у _ 2к 2к
Воздействие mmgлесов м колебательные контуры 119
Разберём физику процессов при собственных колебаниях
в контуре.
Рассмотрение начнём с момента, когда i = 0. В этом слу-
чае «с=#0 и вся энергия в контуре будет сосредоточена в
конденсаторе. Конденсатор начнёт разряжаться и ток будет
увеличиваться. Этот процесс будет продолжаться до тех пор,
пока конденсатор не разрядится полностью. В этот момент
вся энергия поля конденсатора перейдёт в энергию поля ка-
тушки за исключением, обычно небольшой, доли энергии,
которая перейдёт в тепло, нагревая сопротивление г. Ток
при этом не прекратится, а будет поддерживаться эдс индук-
тивности и будет заряжать конденсатор с обратной полярно-
стью. Этот процесс заряда будет продолжаться до тех пор,
пока вся энергия магнитного поля не перейдёт в энергию
доля конденсатора (опять за исключением некоторой доли
энергии, которая перейдёт в тепло). После этого конденсатор
снова начнёт разряжаться и будет создавать ток, направление
которого будет обратно первоначальному. Этот процесс будет
повторяться бесконечное число раз, но с каждым разом ам-
плитуда колебаний будет уменьшаться, так как энергия поля
будет постепенно переходить в тепло
Скорость затухания колебаний, характеризуемая логариф-
мическим декрементом, будет тем больше, чем больше будет
отношение потери энергии за период к общей энергии, запа-
сённой в поле контура. Как мы видели в § 4.7, это отноше-
ние обратно пропорционально добротности контура. Этим и
объясняется связь добротности и логарифмического декре-
мента.
§ 8.3. Нестационарные процессы в колебательном
контуре
Рассмотрим ряд частных случаев:
а) Разряд конденсатора
Пусть конденсатор в схеме рис. 8.2
был заряжен до величины Uo. В момент
t = Q был замкнут ключ К и начался
разряд конденсатора. В этом случае
e(f) = O. Поэтому ток и напряжение
на конденсаторе будут соответствовать
выражениям (8 6). Найдём для этого
случая значения В и ф.
Так как заряд на конденсаторе и
ток через катушку индуктивности из-
Рис. 8.2 Схема разряда
конденсатора в после-
довательном контуре.
мениться мгновенно не могут, то в начальный момент при
220
Глава 8
Uс — i — 0. Подставляя эти значения в (8.6) и, полагая
t — 0, получим
В cos ф = Uа,
— <о/,СВзшф = 0,
откуда
Ф = о, в = и0.
Таким образом,
«с = Uо cos Up t,
i = — Шр CU0 e-"* sin wp t.
Физика процесса для этого случая полностью соответ-
ствует случаю, рассмотренному в предыдущем параграфе.
б) Включение постоянной эдс
Пусть
е (t) = 0 при t 0
и
е (t) — Е — const при t > 0.
Подставляя это значение в ур-ние (8.1), получим частное
решение для />0:
«с = Е, i — 0.
С учётом (8.6) общее решение будет следующим:
ис = Е -f- В e~"*cos(<»p 14- ф),
i = — шр СВ e-e/ sin (<ор t -f- ф).
Если до момента времени t = 0 заряда на конденсаторе
и тока в контуре не было, то при t = 0:
«с = 0 = Е В cos ф,
i = 0 = — <*>рСВ sin ф,
откуда
ф = 0,
В = — Е.
Таким образом, для данного случая:
ис = Е — Е e-e/ cosfflpf |
i = шр СЕ е-*' sin a>pt |
(8.8)
Воздействие импульсов на колебательные контуры
224
Эти значения напряжения и тока изображены на рис. 8.3.
Как видим из формул и этого рисунка, в конце концов, когда
затухнут собственные колебания, мы будем иметь:
ледовательном контуре при включении постоянной эдс.
Следует отметить, что через полпериода собственных
колебаний «с ~ 2Е, т. е. напряжение на конденсаторе
вдвое больше эдс. Это обстоятельство в ряде случаев при-
ходится учитывать, так как такое повышение напряжения
может привести к пробою конденсатора. Причина этого явле-
ния заключается в том, что пока uc < Е разность этих напря-
жений вызывает рост тока. Затем, когда ис=Е, ток не мо-
жет сразу прекратиться и поддерживаемый эдс индуктив-
ности, течёт в том же направлении, продолжая- заряжать
конденсатор до значений напряжения бблыпих Е. Поскольку
конденсатор оказывается заряженным до ис>Е, он начи-
нает разряжаться. Это вызывает собственные колебания в
контуре.
222
Глава S
в) Включение синусоидальной эдс с частотой
близкой к ч>р
В данном случае
e(t)=Q при
и
e(f)s-Emco$(<i>0f4-?) при f>0.
В качестве частного решения ур-ния (8.1) возьмём «с и i,
соответствующие установившемуся режиму при данной эдс
(см. §§ 4.3 и 4.6).
В качестве общего решения этого уравнения без правой
части возьмём выражение (8.6). Тогда общее решение ур-ния
(8.1) с правой частью будет равно сумме этих решений, т. е.
«с со8<шо* + <Р — - J — Р)+5е~'««(а»/ + Ф);
cos<^ + ? — ₽)— юрСВе *rsin(a>p^ + ф),
где
Если до включения эдс колебаний в контуре не было, то
при f=0
ис = 0=—®Ет cos (<р — Tj- — pi -f- В cos ф;
1=0= cos (? — ₽) — ю СВ sin ф.
'•У1 + 5§
Деля второе уравнение на юрС и заменяя cos(<p — Р) на
sin (ф — -у — Р), получим два уравнения:
cos (т - у - Р)= - В cos ф;
sin (<р -у - р)= - В sin ф.
К 1 Т «о
Из этих уравнений следует, что
Ф = ф+-£-₽;
д _ QEm
~/Г+ё|’
Воздействие импульсов на колебательные контуры 22в
Поэтому искомое решение будет:
uc = ,5^= sin(wof-Н — 3)— г^=Ц- е a/sini<o/H-<p—р;
V1+S2
»=—_-^=^cos(<V + 4= — 0)-лГ~—2 е "/cos (<0^ + * ~Р)-
'Vl+tf rVl+tf
(8-9)
Рассмотрим сначала случай, когда a>u = и>д. При этом ^=0,-
Р=0 и поэтому
«с = Q£m(l — е sin (a>ot + <?)•
(8.10)
Z=^L(I _e-“')cos(^ + ?).
(8.П)
Временная диаграмма для тока i изображена на рис. 8.4.
Из формул и рисунка видно, что сначала амплитуды на-
пряжения и тока равны нулю, затем они постепенно нарастают
и стремятся к величинам QEm и соответственно.
Амплитуды нарастают не мгновенно, так как энергия маг-
нитного поля катушки индуктивности и электрического поля1
конденсатора контура накапливается постепенно.
На рис. 8.5a показано изменение энергии магнитного поля1
на рис. 85#—изменение энергии электрического
ПОЛЯ W, =—2— •
Как видно из этих рисунков, через каждые четверть пе
риода энергия магнитного поля превращается в энергию элек-
трического поля и наоборот. При этом общая энергия W
постепенно увеличивается. Этот процесс можно представить
так: первая полуволна эдс вызывает полуволну тока, которая
заряжает конденсатор до некоторой величины и в нём на-
капливается некоторая энергия. Затем конденсатор начинает
разряжаться, создавая ток в обратном направлении. Эдс в это
224
Глава 8
время также меняет направление и опять действует в на-
правлении тока, увеличивая его. Таким образом, за вторую
полуволну ток будет создаваться и напряжением на конден-
саторе и эдс и будет больше, чем в первой полуволне.
Больше будет и энергия магнитного поля, связанная с этим
Рис. 8.4. Нарастание колебаний тока в последовательном
контуре при включении синусоидальной эдс с резо-
нансной частотой.
£ Q
= 4,6 — = 4,6 —. — время нарастания.
током. За эту полуволну тока конденсатор зарядится до
большей величины, чем за предыдущую. Накопленная в нём
энергия также будет больше. В эту энергию перейдёт энер-
гия магнитного поля и добавочная энергия, отданная эдс.
Следующая полуволна по этим же причинам будет ещё боль-
ше и т. д. Таким образом, колебания в контуре будут посте-
пенно увеличиваться, однако это увеличение не будет бес-
предельным, так как с ростом амплитуды тока будет увели-
чиваться потеря энергии на нагревание сопротивления г, и при
некотором значении амплитуды тока последняя перестанет
нарастать, так как вся энергия, отдаваемая эдс, будет ухо-
дить на покрытие потерь энергии.
На практике условно считают процесс установившимся не
при /=оо, а тогда, когда амплитуда тока 1т достигает 0,9 от
значения, имеющего место при t=oo (рис. 8.4), т. е., когда
/« = ^(l-e‘*z)=0,9^.
Рис. 8.5. Нарастание магнитной энергии \\'м и
электрической энергии в последовательном
контуре при включении синусоидальной эдс
с резонансной! частотой
Рис. 8.6. Нарастание амплитуды тока в последовательных
контурах, отличающихся друг от друга сопротивлением
г при включении па них синусоидальной эдс с резонан-
сной частотой.
J5 Основы радиотехники
Глава 8
Отсюда нетрудно найти время установления (время нара-
стания) тока:
=—=4,6- =4,6-- . (8РЧ
Отметим, что ~н=ъ3 (см. ф-лу 8.7).
На рис. 8.6 приведена зависимость амплитуды тока 1т о г
времени,построенная для
различных значений со-
противленияг. Изрисунка
также, как из ф-лы (8.12),
видно, что чем меньше г
(больше Q), тем больше
время установления тл. В
начальные моменты вре-
мени закон изменения ам-
плитуды тока не зависит
от г, так как потери энер-
гии в контуре при этом
ещё невелики в силу ма-
лости тока и вся энер-
гия, отдаваемая эдс, идёт
на создание энергии по-
ля.
Рис. 8.7. Вентерная дшнрамма колебаний
в последовательном контуре при включении
синусоидальной эдс с частотой
ОА—вектор вынужденных колебаний; ОВ,
ОВ', ОВ" и OB'" — векторы собственных
колебаний для трёх последовательных мо-
ментов _времени, начиная с момента вклю-
чения; ВА В'А В"А и В"’А—векторы со-
ответствующих результирующих колебаний.
Теперь рассмотрим
случай,когда частота под-
водимой эдс о)0 не рав-
на резонансной частоте
контура о)р. Для этого
случая нами было полу-
чено следующее выраже-
ние (8.9) для тока:
*= 'Т/тЦг'cos 4 ? ~ "Ат e~*'cos
Построим векторную диаграмму этого колебания. Пусть
ось проекций вращается против часовой стрелки со скоро-
стью о)о. Тогда первая слагающая тока будет изображена
вектором ОА, длина которого равна величине
Ещ
а угол между ним и горизонтальной осью равен ? — 3 (рис. 8.7)
Воздействие импульсов на колебательные контуры 22/
Если предположить, что то вторая составляющая
изобразится вектором ОВ, вращающимся против часовой
стрелки со скоростью — и>0 (знак минус перед второй со-
ставляющей отброшен).
В момент времени £=0 вектор ОВ будет совпадать с век-
тором ОА по величине и направлению. С течением времени
длина вектора ОВ будет уменьшаться по показательному за-
кону. Следовательно, конец вектора будет скользить по ло-
гарифмической спирали. Результирующим вектором будет
вектор В А, В'А, В" А и т. д. Длина его пропорциональна
амплитуде тока.
Рис. 8.8. Ток в последовательном контуре при вклю-
чении синусоидальной эдс с частотой w0 Он
соответствует векторной диаграмме рис. «.7.
На рис. 8.8 изображена временная диаграмма тока, по-
строенная на основании векторной диаграммы рис. 8.7.
На рис. 8.9 показан закон изменения амплитуды тока Im от
времени для двух различных значений частоты о)0. Из рисун-
ка видно, что чем меньше разница между частотами <оо и ,
Em
тем меньше отклонения амплитуды от величины ----—---
и тем, естественно, меньше частота <’>7, — <%, с которой про-
исходят эти отклонения.
г) Выключение синусоидальной эдс
Рассмотрим, как будет изменяться ток в контуре, если
синусоидальная эдс внезапно стала равной нулю.
В этом случае, начиная с момента выключения, скажем
с / = 0, эдс в контуре станет равной нулю и в нём будут
15*
228
Глава 8
происходить собственные колебания, причём в начальный мо-
мент этих колебаний Ис и i будут такие же, как и в послед-
ний момент до выключения эдс. Таким образом, сдвиг фаз и
амплитуда собственных колебаний в начальный момент будут
примерно такие же, какие были до момента выключения.
Рис. 8.9. Амплитуда тока в последовательном кон-
туре при включении синусоидальной эдс с частотой
-• <0р и с частотой b)2^-(£>pt причём
На рис. 8.10 изображены колебания i при выключении в мо-
мент t=0 синусоидальной эдс. Время затухания этих коле-
баний определяется ф-лой (8.7).
д) Воздействие телеграфных сигналов на после-
довательный колебательный контур
Рассмотрим воздействие на колебательный контур теле-
графных сигналов, причём предположим, что частота этих
сигналов равна резонансной частоте контура.
Если к контуру приложена эдс, временная диаграмма ко-
торой изображена на рис. 8.11а, то в соответствии с изло-
женным выше, ток, протекающий через контур, будет изме-
няться по закону, приведённому на рис. 8.116. Очевидно, что
огибающая амплитуд тока, тем меньше будет отличаться от
огибающей амплитуд напряжения чем меньше добротность
контура Q (сравните рис. 8.11# и 8.Не). При большом Q сиг-
налы могут полностью слиться. Поэтому иногда бывает не-
обходимо для обеспечения достаточно малого времени уста-
новления и затухания брать Q не слишком большим.
Подведём итоги.
i
Рис. 8.10. Ток в последовательном контуре при выключении
синусоидальной эдс.
Рис. 8.11. а) Эдс телеграфных сигналов,
б) ток от этой эдс в последовательном контуре с добротностью Q]
в) то же, в контуре с добротностью Q2 < Qi-
230
Глава 8
При отсутствии внешней эдс в контуре в нём могут су-
ществовать собственные колебания [ф-ла 8.6)], амплитуда и
сдвиг фаз которых определяются запасом энергии в поле
конденсатора и катушки индуктивности в начальный момент.
Этот случай мы имели при разряде конденсатора и выклю-
чении синусоидальной эдс.
При наличии внешней постоянной или синусоидальной эдс,
в контуре будут существовать вынужденные колебания,
соответствующие установившемуся режиму, и собственные
колебания. При этом амплитуда и сдвиг фаз собственных ко-
лебаний должны быть такими, чтобы в момент появления эдс,
энергия поля конденсатора и катушки индуктивности рав-
нялась нулю, т. е. чтобы /гс = 0и Л=0 (если до появления эдс
колебаний в контуре не было). Этот случай был рассмотрен
в п. б) (включение постоянной эдс) и п. в) (включение синусои-
дальной эдс).
Пример 8.1. На контур действует импульс эдс с постоянной амплитудой
и резонансной частотой 1000 мггц. Длительность импульса 1 мксек. Требует-
ся подобрать добротность контура такой, чтобы за время действия импуль-
са амплитуда колебания в нём нарастала до 0,9 от установившегося значе-
ния.
Решение. В данном случае, очевидно, время нарастания должно
равняться длительности импульса, т. е. 1 мксек. По ф-ле (8.12) получим:
10“б-27Z. 103
Q-d-—Тб—
§ 8. 4. Разложение в ряд Фурье периодической
последовательности импульсов
Для исследования процессов в колебательном контуре мы
разлагали модулированные колебания на синусоидальные со-
ставляющие. Теперь сделаем то же с импульсами. При этом
мы будем пользоваться рядом Фурье в комплексной форме,
который вначале и выведем.
Представим периодическую функцию Ф(^) с периодом Т
в виде ряда Фурье
ос
Ф (г)=^-}-£(Сk cos k<2t + Sk sin kQt), (8.13),
где
Д L
9 f 9 \
Ck— - J Ф(^)соз k 2 t dt; Sft= ~ J Ф (f) sin k 2 t dt (8.14)
- - г '
Воздействие импульсов на колебательные контуры *_31
Ряд (8.13) можно представить в таком виде:
. со
Ф(О=у+S ^cos(*2Z + ?ft). (8.15)
Л-1
Выразим коэффициенты Sk и Ck через Ak и <$k.
.Для этого перепишем ряд (8.15) в развёрнутой форме:
A
Ф(/)^-9 J \ (Ak e°s yk c°s k 21 —- Ak 5in <?k sin k 2 t). (8.16)
fe-i
Из сравнения выражений (8.13) и (8.16) видно, что
^о = ^*о
^COS'^C,
sin
Ряд (8.15) может быть записан и в комплексной форме:
(8.17)
Г/?~-k
Ф(0= ~ Re^ Afcei(*'~Z: /<’ = ф-< Re
(8.18)
где ,\к = Ake—комплексная амплитуда колебания k-й гармо-
ники. Модуль Aft равен амплитуде, а аргумент — сдвигу фаз
этого колебания.
Так как
АЛе*-’'- A_fte 2 Re (АЛ. ei/wz),
,дс. -i?
A_ft=Afte Ч
го ряд (8.18) можно записать в виде
+ °°
Ф(0=4 2 Айе*й<
k — — оа
(8.19
Выведем формулу, позволяющую определить комплексную
амплитуду k-н гармоники Ak непосредственно по функции Ф (t).
Комплексная амплитуда равна
А*=А*е''* =Aft(cos®ft -! isin?J.
232
Глава 3
На основании ф-л (8.17) и (8.14) это выражение можно
подвергнуть следующему преобразованию:
т
2
А*= Ck — iSk=~ $[®(t)coskQt-i$(t)sinkQt}dt =
1 _ г
2
L
2.
= 7 J ф (О (cos & 2 — i sin k 2t) dt.
1 —L
2
На основании формулы Эйлера
т
9 \
_ г
2
Обозначив здесь £2=о), получим
г
2.
А(«>)=Л J 0(()e-ie'd(.
' _ L
2
(8.20.
(8.21)
Здесь А(и>) —комплексная амплитуда колебания с частотой
w=kQ, т. е. 4-й гармоники.
Разложим в ряд Фурье бесконечную периодическую после-
довательность импульсов
Ф(0=..• F (t l- 2Т) 4- F (t Н- Т)+F (О-J-F (t-Т)+F (t — 2Т) +...
= (8.22)
m = — ос
Импульсы /?(/t-j-2T), F(t — Т), F(t), F(t — T)..., составляю-
щие последовательность, идентичны по форме и сдвинуты
по времени друг от друга на Т. Эти имульсы изображены на
рис. 8.12 а, б, ву гу ду а их сумма, т. е. последовательность Ф(/%
на рис. 8.12е.
Воздействие импульсов на колебательные контуры
233-
Найдём комплексные амплитуды составляющих ряда Фурье
этой последовательности. На основании ф-лы (8.21) мы полу-
чим:
(8.23)
2 - оо
Т т=*—»=
т
Рис. 8.12. Импульсы F (t + гпГ) и их периодическая сумма Ф(/).
Введём новую переменную интегрирования
x—t тТ.
При этом t=x — тТ и верхний предел интегрирования будет
т т
равен -- тТ, нижний - --\-тпТ.
234 Глава 8
С учётом значения новой переменной, можно написать:
ik ~тГ
£—;<>/ ico (_r—пТ') _-Q—ho.r — е~‘(оЛе 7 — i»».r
Поскольку’ ei/fm2"=l, так как km — целое число, имеем
______________________________£> - i<”.v
Учитывая это, получим
тГ
А (<•>)=! v у Л(х)е i-'t/.v.
Раскрывая эту сумму, будем иметь:
А <•>)
— 1,5 Г - 0,5 7
+ ( /-'(л-)е-!<-^л-+ ( Л(л)е •'dx
—2*^5 Г - -1.5 Т
0,57' 1,5 Г 2,57'
f f(xje i,,)Xdx-{- j А(л0е ’о>л^л'+ j F (x) e -i,,>x dx~-....
—0,5 T 0,5 T 1,5 7'
В квадратных скобках этого выражения записаны члены
суммы, для которых т= — 2; —1; 0; 1; 2.
Очевидно, что то же выражение можно переписать в виде
А (<*>)=|г f Л(х) e-i'” v dx.
Поскольку определённый интеграл не зависит от перемен-
ной интегрирования, на основании последней формулы можно
записать:
A(<»)=|lJ F(t)e~Mdt.
(8.24)
Как доказывается, интеграл (8.24) будет существовать, если
функция F(t} удовлетворяет условиям Дирихле во всяком
конечном промежутке и существует интеграл вида
j
(8.26^
Воздействие импульсов на колебательные контуры
§ 8.5. Спектральные функции импульсов
Назовём спектральной функцией импульса F(f) выражение
Gr^)=^ F (f) er'(nt dt.
(8.26)
Эта функция зависит только от формы импульса F (t) и
частоты о).
Зная спектральную функцию импульса F(t), легко найти
на основании ф-лы (Ь.24) выражение для комплексной ампли-
туды:
AA; = A(u>)=yG/.(w)= ^G/.(co),
}F(t)
Рис. 8.13. 11рямоу1 ильный им-
пульс.
(8.27)
где u)=/e£, 2 = у , А/г—комплексные амплитуды гармоник ряда
Фурье для последовательности импульсов F(t) с любым
периодом следования Т. Как видно из выражения (8.27),
зависимость комплексных амп-
литуд гармоник от частоты пол-
ностью определяется спектраль-
ной функцией импульса, т. с.
формой одиночного импульса по-
следовательности. Период следо-
вания Т влияет лишь как посто-
янный множитель, одинаковый
для всех гармоник.
В этом параграфе мы найдёхМ
спектральные функции ряда наи-
более важных для радиотех-
ники импульсов. При этом в
первом примере выясним подроб
следовательности импульсов от периода Т.
зависимость спектра по-
а) Прямоугольные импульсы
Найдём спектральную функцию импульса, изображённого
на рис. 8.13 и соответствующего уравнению:
F(t) = B при— .у <Г <С ^7
F (t)=0 при t < — или t > ~
(8.28)
236
Глава 8
В соответствии с ф-лой (8.26) имеем:
оо 2
Gf («>)=• j F(t)e~Mdt= J O e-Mdt--
___________ — 00 — oo
T
"^2 oo
-(-J Be-Wdi+ J 0-e~wd^=
“ г + T
X- iw^Tl sin <I) 9- Л _
2 + e 2J=2B (8.29)
Рис. 8.15. Последовательность прямоугольных импульсов.
Выражение (8.29) даёт неопределённость при ю = 0. Эта
неопределённость легко раскрывается, если заменить синус
для малого <<> его аргументом. Получим Gf(0) = Bt.
Воздействие импульсов на колебательные контуры
Построим спектральную диаграмму для изображённой
на рис. 8.15 периодической последовательности таких им-
пульсов.
Отрезки, характе-
ризующие амплитуды
синусоидальных со-
ставляющих, будут от-
стоять друг от друга
по угловой частоте на
величину <2 = ~~ , где
7—период повторения
импульсов. Длина от-
резка, характеризую-
щая амплитуду /е-й гар-
моники, будет на ос-
новании ф-лы (8.27)
пропорциональна мо-
дулю спектральной
функции на этой ча-
стоте умножен-
ному на величину
2
i~f'
Поэтому для по-
строения спектральной
диаграммы удобно по-
строить сначала за-
Рпс. 8.16. Спектральные диаграммы последо-
вательности прямоугольных импульсов: а) для
импульсов рис. 8.15; б) для тех же импульсов,
ио с вдвое большим периодом повторения по
сравнению с а\ в) для тех же импульсов, по
с периодом повторения вчетверо больше, чем
в случае а.
висимость пропзведе-
о
ния ~~ от частоты
<•>, которая будет оги-
бающей отрезков, со-
ставляющих спектраль-
ную диаграмму.
На рис. 8.16л изображена спектральная диаграмма этой
периодической последовательности импульсов для Т= 4 т.
Сдвиги фаз групп гармоник указаны сверху.
На рис. 8 16с? показана спектральная диаграмма последова-
тельности тех же импульсов, но для Т=8 т. Как видно из
рис. 8.16^ и ф-лы (8.27), амплитуды всех составляющих и
расстояния между ними уменьшились вдвое.
На рис. 8.16а приведена спектральная диаграмма для
последовательности тех же импульсов, но для Т= 16т. При
этом амплитуды всех составляющих и расстояния между ними
уменьшились ещё в два раза.
238 Глава 8
Если Т-> со, то импульсы последовательности (8.22), для
которых т положительно, сдвинутся в —со, а импульсы, для
которых т отрицательно, в -J- со и останется лишь один
импульс, для которого /п=0.
С другой стороны при Т -* со амплитуды гармоник ряда
Фурье и разность между частотами соседних гармоник будут
бесконечно малыми. Таким образом, одиночный импульс
может быть представлен бесконечной суммой синусоидальных
колебаний с бесконечно малыми амплитудами и бесконечно
близкими частотами.
Пример 8.2. Требуется найти амплитуду и сдвиг фаз тысячной гармоники
последовательности импульсов, изображённой на рис. 8.15, при условии, что
В=1000, т=1 мксек и 7=10 мсек.
Решение. Угловая частота тысячной гармоники будет равна
о- 2~
(о -- k^=k = 1 000 Тотуо^-=6,28 • 105.
Комплексная амплитуда согласно ф-ле (8.29) будет равна
sin со 5- о
Д (6,28-105)=2Zi --?- - =
<0 Т
sin 6,28-105- — -8 о
= 2-1000 ----------? —~---=0,64 sin 0,314=0,2.
6,28-Ю3 10-10-3
Таким образом, амплитуда гармоники будет равна 0,2, а сдвиг фаз равен
нулю.
б) Импульсы высокой частоты
Найдём выражение спектральной функции импульса высокой
частоты через спектральную функцию его огибающей.
Пусть дан импульс
/W=f(0cos(w0^+?), (8.30)
причём спектральная функция огибающей имеет вид
G? («>)= J F (t)e~Mdt. (8.31)
— оо
Найдём спектральную функцию G До>) импульса f(t).
По ф-ле (8.26) имеем
6/(ш) = f f(t)eimtdt= j F (t) cos (ю01 -J- <p) e dt.
Воздействие импульсов на колебательные контуры
239*
Учитывая, что
cos (<о0^ 4" ?) = т [ei(a>u/ *)],
получим
Gz(<o)=|- [ Fit) |ei(«/ + ?-“')-i_eib»^-;
— оо
У ' J F(t) e - 1 - “)z dt -h j F (0 e ‘‘ dt.
Первый интеграл этого выражения отличается от выраже-
ния (8.31) тем, что в нём вместо <о стоит разность <о — (о0.
Следовательно, он будет равен СДш —<о0). Аналогично второй
интеграл будет равен G^(<o L(00), поэтому
Pi? р - i ?
G/ (0)) "у С/г (со - 0)0) -!-------------— Qf (о) 4- (d0).
(8.32)-
Во втором члене этой формулы аргумент при положитель-
ных значениях <о будет всегда больше <оо и, как мы увидим
из дальнейшего, Gf стремится к нулю с увеличением аргу-
мента. Поэтому при достаточно большом о)о вторым членом
выражения (8.32) можно пренебречь и считать
р i?
Gz -^-Gf^—%).
(8.33>
в) Импульсы высокой частоты с прямоугольной
огибающей
Найдём спектральную функцию импульса, изображённого
на рис. 8.17 и соответствующего уравнению
f(t) = B COS (o>0!f -у ®) при — J < t < J
f{t)=O при £<—у и t 1
(8.34)
Такие импульсы излучаются радиотелеграфными и радио-
локационными передатчиками.
240
Глава 8
Этот импульс может быть представлен ф-лой (8.30), если
F (t) будет соответствовать ур-нию (8.28). Поэтому в соответ-
ствии с ф-лами (8.32) и (8.29) получим
sin (<о - «0) 2 _ Sin (о - ш0) у
—-— ------е1- -,L В---•---- е-
ш + <о0
(О --- СО0
(8.35)
fttl
При достаточно большой
<«о и «)>0 будем приближён-
но считать в соответствии с
(8.33)
(8.36)
Рис. 8.17. Высокочастотный импульс На рис. 8.18 изображены
с прямоугольной огибающей. модули слагаемых выражения
(8.35) при <о0 = ~ . Как видно
из этого рисунка, уже при данном о>о можно пренебречь вто-
рым членом. При больших значениях <о0 кривая, соответству-
ющая первому члену, сдвинется вправо, а соответствующая
второму члену — влево, и вторым членом можно будет пре-
небречь с ещё большим основанием.
Рис. 8.18. Модули слагаемых спектральной функции высокочастотного им-
пульса с прямоугольной огибающей (рис. 8.17).
г) Экспоненциальный импульс
Найдём спектральную функцию импульса, которому соот-
ветствует уравнение показательной функции
Воздействие импульсов на колебательные контуры
241
F(O=Be-»' при *>0 1
F(0=0 при £<0 )
(8.37)
Такой импульс' изображён на рис. 8.19.
Рис. 8.19. Экспоненциальный импульс.
В соответствии с ф-лой (8.26)
4-оо О оо
Gy»(<o)= J F(Oe-‘“Mf= J 0-е-‘“<^+ J =
— oo — oo 0
p Ге-(• + !«) И
=B e-(.+i.)<^=B
J ( — (a-f-io») J
0 0
Модуль числителя e-e/ при подстановке верхнего предела
будет равен нулю. Подставляя нижний предел, получим
(8.38)
Это выражение соответствует резонансной кривой колеба-
тельного контура, если положить $=^-. „Полоса пропуска-
ния** этой резонансной кривой равна 2a.
Модуль Gf(<o) представлен на рис. 8.20.
Высокочастотный импульс, изображённый на рис. 8.21 с
огибающей (8.37), запишется так:
/(£)=Be_a/cos(<V-]-<p) ПРИ ^>0 1
f(t)=Q при £<0 /
16 Основы радиотехники
(8.39)
Воздействие импульсов на колебательные контуры
243
В соответствии с ф-лами (8.32) и (8.38) спектральная
функция этого импульса будет равна:
G/(o>)
Be1?
Н (“> — ы0)]
в 1?
2S е .
Be"1? _
2 [° + > (ш + “о)]
в -1?
О. е
(8.40)
При ®0 а можно принять
(8.41)
На рис. 8.22 представлены отдельно модули слагаемых
спектральной функции (8.40). Они меняются, как видно из
ф-лы (8.40), по резонансным кривым, имеющим полосу 2 а.
На этом рисунке взят случай, когда <»0 = 22а.
Искровые радиопередатчики, к которым относился и
передатчик А. С. Попова, излучают последовательность таких
импульсов. При сравнительно большом а спектр этой после-
довательности получается широким, что заставляет такие
радиостанции сильно разносить по частоте друг от друга.
Это является одним из наиболее существенных недостатков
искровых радиостанций.
д) Колоколообразный импульс
Рассмотрим спектральную функцию так называемых коло-
колообразных импульсов, встречающихся в радиотехнике.
Этот импульс выражается аналитически так:
Г(Л=Ве
Графически он представлен на рис. 8.23.
1в«
(8.42)
244
Глава 8
Как видно из рис. 8.23 и выражения (8.42), величина с
является шириной импульса, взятой на уровне
(т \«
Т | _ 1
. х/ = Ве 4 «0,78В,
а В — максимальной высотой импульса при t = 0.
Спектральная функция этого импульса равна
G?(o>) = I Be x e * dt —
T -(-)* 7° - (-Г
= В I e x cos w t dt-\- iB I e x' sin ® t dt.
—oo
Второй интеграл этого вы-
ражения равен нулю, по-
скольку подинтегральная
функция нечётная. Первый
интеграл элементарно не бе-
рётся. На основании таблицы
интегралов х) получим
(то)*
Gf(a>) = )/теВ хе 4 .
(8.43)
Эта спектральная функция
изображена на рис. 8.24.
Сравнивая выражения (8.42)
и (8.43), мы видим, что эта
спектральная функция будет
иметь такую же колоколо-
образную форму, что и импульс.
Высокочастотный импульс, имеющий колоколообразную
огибающую (рис. 8.25)
f(tj = Be т cos(<u0^ -|- <р)
(8.44)
*) См. Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений»,
стр. 194. Гостехиздат, 1948 г.
Воздействие импульсов на колебательные контуры
245
лри достаточно большом ш0, в соответствии с ф-лой (8.33)
будет иметь спектральную функцию
Эта функция изображена на рис. 8.26.
е)Короткий импульс произвольной формы
Найдём спектральную функцию короткого импульса
произвольной формы, длящегося отрезок времени от-~
до
Для него
- 2
G/ш) = J F(0e - Mdt = J F(Oe - w dt.
—oo x
2
246
Глава 8
Если в области интересующих нас частот о> -i- илит<^1
то в интервале интегрирования можно принять
e-l“'^e0= 1
2
G/ш) = \F(t)dt = S,
~ "2
(8.46)
где S—площадь импульса.
Из этой формулы
видно, что спектральная
функция такого импульса
постоянна в области час-
тот, для которых справед-
ливо неравенство <а
ж) Суммарный им-
пульс
Выразим спектральную
Рис. 8.25. Высокочастотный импульс с функцию суммарного им-
колоколообразной огибающей. пульса
F.O = W + W) (8-47)
через спектральные функции импульсов его составляющих
ед и ед).
Подставляя (8.47) в выра-
жение (8.26), получим
4-оо 4-оо
=J ^(Ое" ia‘dt + J ед)е" Mdt =
—oo —oo
0
Рис. 8.26. Модуль спектральной
функции высокочастотного импуль-
са -с колоколообразной огибающей
(рис. 8.25) при достаточно высокой
несущей частоте <ов.
= Сл(ш)+Сл>(о>), (8.48)
Воздействие импульсов на колебательные контуры
247
где Gf,(a>) и С^,(о>)—спектральные функции импульсов Fx(f) и
F2(t). Очевидно, что полученное соотношение можно обобщить
« на сумму из произвольно большого числа импульсов.
з) Сдвинутый по времени импульс
Пусть нам известна спектральная функция (ш) импульса
F(t). Посмотрим, как она изменится, если импульс сдвинуть
по времени на т. Спектральная функция сдвинутого импульса
€удет равна
+оо
Gff/_x)(<u)= J F(f — х)е "
—оо
Введём новую переменную
X == t — Т.
Тогда
t = х + х,
dt = dx
н
+оо
^_^)=^Р(х)е-{ш(х + ^х =
—оо
= e-,<otJ F(x)e~iaxdx.
—оо
Поскольку
J Г(х)е " “°* dx = J F(Oe "iat dt = Gr(<)(«),
— 00 — OO
можно написать
= (8.49)
и) Импульсы из отрезков полинома
Рассмотрим импульс
при |
Д0 = О п.ри /<С4 или t~^>t2. J
(8.50)
248
Глава 8
Спектральная функция этого импульса равна
G» = ^antne"Mdt.
Беря этот интеграл по частям, получим
л п! *1п~к
Gr(®) — 2jOn (n _ ky (i<|))fc + i е
k - о 4 '
п
( *
Истолкуем полученную формулу, k-я производная F(t)
будет равна
Fw(t) = ап (П-к)Т tn~* ПРИ < *< *2.
Л*)(£) = О при t<^tx или £>£2.
Таким образом,
ап 7гЧ^п'к = F+ °) - - °) = A
V»
где 4-0)—значение Л*>(/) для t несколько большего 4,
Л*>(4— 0) — значение F^(t) для t несколько меньшего tx
(в данном случае F^(ti— 0) = 0). Таким образом, величина
будет равна скачку F^(t) при переходе через мо-
мент t = tv
Аналогично
«п к = 4- 0) - FW(f2 - 0) = ДF^(t2).
где (t2 — 0) — значение F^(t) при t несколько меньшем t2
и Л*)(<2 4-0)—значение F^(t) при t несколько большем tt.
Величина ДЛ*>(^2) будет равна скачку F^(t) при переходе через
момент t = t2.
Подставляя эти значения в выражение (8.51), получим
с/») - 4^+£ 4FI”(/l) • <8'52>
Л-0 Л-0
Воздействие импульсов на колебательные контуры
249
Таким образом, при импульсе (8.50) спектр будет состоять
из суммы слагаемых, определяемых скачками функции F(t)
и её производных. Множители е-1®'1 и е-1ш/* в выражении
(8.52) так же, как и при сдвиге импульса (см. этот параграф
случай взй), характеризуют изменения спектра, происходящие
оттого, что данный скачок произошёл не при f = 0.
Спектральная функция от скачка самой функции F(t) бу-
дет иметь вид , т. е. будет убывать обратно пропорцио-
нально ш. Спектральная функция от скачка первой произвол-
л р*
ной импульса будет иметь вид , т. е. будет убывать
обратно пропорционально <о2. Спектральная функция от скач-
ка второй производной будет убывать обратно пропорцио-
нально и»3 и т. д.
Обобщим полученный здесь результат. Если импульс бу-
дет состоять из отрезков полиномов, то его можно предста-
вить как сумму импульсов вида (8.50) с различными п, tt
и t2. Поэтому спектральная функция такого импульса будет
равна сумме спектральных функций вида (8.52).
Таким образом, если импульс состоит из отрезков поли-
номов и функция, его изображающая, а также её производные
имеют скачки в точках tm(rn = 1, 2,.. .р), спектральная функ-
ция такого импульса будет равна
Р оо
т-1 Л-0
(8.53)
где (tm)—скачок «-й производной при переходе через мо-
мент tm.
Пример &3. Требуется найти спектральную функцию импульса:
F (/) = at при 0 < t < т
и F (/) = 0 при t < 0 или t > т.
Решение. Воспользуемся выражением (8.53). Скачки функции и её
производных могут быть при t = 0 и t = т.
При t = 0, скачок функции Д F (0) = 0, скачок производной Д F' (0) = а.
При t = т, скачок функции Д F (т) = — а т, скачок её производной
Д F'fc) = — а.
Поэтому
а
(П7
Gf(<o) =
а т i сот__________ а i «от
i со (i со)1
250
Глава 8
к) Импульсы включения
В заключение найдём ещё спектральные функции импуль-
сов включения.
При включении постоянного тока или постоянного напря-
жения приходится иметь дело с импульсом
F (t) = В при t. >0 1
F(t) = O при t <
(8.54)
Непосредственно интегрированием получить спектральную
функцию для этого случая не удаётся, поскольку тут. не
удовлетворяется условие (8.25). Однако, если в импульсе
(8.37) стремить а к нулю, то в пределе мы придём к интере-
сующему нас импульсу (8.54).
Очевидно при этом предельном переходе спектральная
функция импульса (8.37) будет стремиться к спектральным
функциям импульса (8.54). Таким образом, искомая спектраль-
ная функция получится из выражения (8.38), если стремить а
к нулю, и будет равна
Gf№ = T^
(8.55)
При включении синусоидального колебания приходится
иметь дело с импульсом
f(t) = Bcos(y0t н<р) при t ' >о !
/(/) = 0 при t < со J
(8.56)
В этом случае опять не удовлетворяется условие (8.25).
Поэтому спектральную функцию приходится искать, стремя в
спектральной функции (8.38) импульса (8.39) а к нулю. Проде-
лав это, мы получаем
Оу (<•>) — Шо) 4" i (<» 4- <oe) ~ j (ш — <оо) ’
(8.57)
Полученные в этом параграфе спектральные функции и
соответствующие им импульсы сведены в табл. 8.1.
Воздействие импульсов на колебательные контуры
251
Т аблица 8.1
Сводка спектральных функций
Импульс | Спектральная функция
оо 1. F (f)=Re 1 (ш) е *“ ‘d <о =... о (8.60)1) ОО -1 f Gf(a>)e 1MZrf<o...(8.61)*) 2« J — oo Gf(<o)- J Л(0е_,*^Г...(8.2^ — оо
2. F(/)=B при F (/)—0 при / < — -L или *>y--- <8.28) Рис. 8.13 sin to — Gf(/)=2B —2 (8.29 Рис. 8.14
3. cos (ш0 /+<?)... <8.30) G/ (“) - V GF (“ “о) + л p-i? + — Gf (О> + а>о)‘ • • (8.32} При достаточно большом <ов О/Н® ^Gf(<» - «.„)... (8.33)
4. /(0=Bcos(<o0 ^-?) при /(/)=0 при t < — у или <>y--- (8.34) Рис. 8.17 А) Доказательство общих ф*л (8.6 sin (ш - <»0)4 GM=B — e1’ 4- 7 to — to0 sin (<> + <oo)^- + В £_e-|!f(8.35) to + to0 При достаточно большом ш0 sin («о — to0)~ Gf (<o) ® В e-1’... 7 to — too (8.36) Рис. 8.18 Ю) и (8.61) дано в § 8.6.
Глава 8
Таблица 8.1 (Продолжение)
Сводка спектральных функций
Импульс I Спектральная функция
5. /?(^)=Ве”в/ при t> 0; F(0=0 при /<0... (8.37) Рис. 8.19 GF (<») = — Я “ (8.38) Рис. 8.20
6. е ”e* cos (<о0 /+<р) при Г t \ Be1’ /V ' 2 [а 4- i (а> — <o0)J
t> 0; /(Л=0 при /<0 ...(8.39) Л-е1’’ + Ве~у 2а 2 [а + i (<о + to0)] . to —toQ а
Рис. 8.21 В e-i(P + (8.40) 1 + ^ <> + <>» а При достаточно большом О,М. ' 2 [а + i (о - <о0)] В eh> = — (8.41) а Рис. 8.22
7. F(Q=Be ... (8.42)
Рис. 8.23
_ (т<0)>
Gf («>) = /« В те 4 ...(8.43
Рис. 8.24
-(-V
8. ' х' cos (<о01 + <?)...
(8.44)
Рис. 8.25
[т (<> — <о0)Р
ОД<1>)«-1_у лВте^е 4
(8.45)
(при достаточно большом ш0)
Рис. 8.26
Воздействие импульсов на* колебательные контуры
25В
Таблица 8.1 (Продолжение
Сводка спектральных функций
Импульс 1 Спектральная функция
9. /7(/)=0 при i <— 2- или А “2 Gf(<d)= С F(f)dt = S = const...
V ю| а (8-46 2 (при to ) т
to. />(0=Л (/)+/?, (О-..(8.47) 6^ + р (<о) = Gp (f) + Gp (0... (8.48)
11. F(t—x) Gp(t _x)(«>)=е-GF(0(o>) ...(8.49)
12. F(f) из отрезков полинома. m-1Л-0 (8.58) где im — момент разрыва F (/) или её производных величина скачка &-й производной F(f) в момент tm
13. F(f)=B, при />0; GF(<.)= А = (8.55) 1«
F(/)=0, при /<0... (8.54) D = — при сх —► 0 а + 1«
254
Глава 8
Таблица 8.1 (Продолжение)
Сводка спектральных функций
Импульс
Спектральная функция
5 е1’’ В е—|<р
-к-е -о-с
14. cos (о>о/+<Р) при t>Q, ------- 4- — =
1 (ш — <ов) 1 (<» + <»#)
/(0=0 при/<0 (8.56)
_ е1<р — е-1’’
—-----2------- -t- —----------- при <z-*0
а + i(«>—<оо) а + i(<i>+<o#)
(8.57)
При достаточно большом а>,
6 eiv 5 Jf
G (Л« 2 = 2
? i(<i> —we) а 4-i (">—<“#)
при а ->• 0
§ 8.6. Отыскание импульса по его спектральной
функции
В ряде случаев бывает известна спектральная функция »
необходимо найти по ней выражение для импульса, т. е.
решить задачу, обратную той, которой мы занимались в § 8.5.
Зная спектральную функцию импульсов Gf(Z) и угловук>
частоту их повторения 2 = у-, можно найти комплексные
амплитуды последовательности этих импульсов и саму после-
довательность Ф(().
Пользуясь ф-лами (8.18) и (8.27), получим
+ °° л °° Gf (0)—
Ф(0 = F{tVmT)= ^- + Re£ Aftett«=——- 4-
m=>—оо fe-1
co
4-Re£ GH£2)|e'*2'.
k-i
(8.58)
Если теперь, сохраняя форму импульса неизменной, умень-
шать частоту их повторения, стремя её к нулю, то Т будет
расти импульсы будут раздвигаться и при конечных значе-
ниях t останется один импульс, для которого m = 0. Осталь-
ные импульсы сдвинутся в 4-00 и — со.
Воздействие импульсов на колебательные контуры
255*
Таким образом, для конечных t
+ оо
НтФ(£) = Пт VF(t \-m,T) = F(t).
2—>0 Г—*оо —©о
Посмотрим, к чему будет стремиться правая часть выра-
жения (8.58) при 2—>0. Обозначая = мы можем за-
писать
О
Gf (0) — + 00
Ф (0 =---+ Re 2 V 6/ К) е ‘ “* * Ь+1- )=
Л=1
Gf(°) 7 , “
=----S/(^)(^+i-^), (8.59)
Л-1
где
f(u>) = GF^)elat.
Если стремить 2 к нулю, то левая часть этого равенства,
как мы говорили, будет стремиться к F(t), первый член пра-
вой части вместе с 2 будет стремиться к нулю, сумма, стоя-
щая в правой части, будет стремиться к определённому инте-
гралу, пределами которого будут крайние значения и>к в сумме,
т. е. нижним пределом будет «>! = 2 (он стремится к нулю),
а верхним +<х>. Таким образом
ОО
Jim Ф (0 = F (Z) = Re j f (w) d <л.
Подставляя значение /(ш), получим
ОО
F (t) = Re -i- f GF (<o) e1 *°' d<o.
(8.60>.
Если вместо ф-лы (8.18) для определения Ф(£) воспользо-
ваться ф-лой (8.19), то мы после аналогичных рассуждений
получим
оо
Е(0 = 4т ( Од(ш)е'“Уш.
Zrt и
— оо
(8.61)"
256
Глава 8
Выражениями (8.60) и (8.61) пользуются для отыскания
импульсов по их спектральным функциям, если их нельзя
отыскать непосредственно из табл. 8.1.
Совокупность интегралов (8.26) и (8.60) или выражений
(8.53) и (8.61) называется интегралом Фурье.
§ 8.7. Нахождение токов и напряжений методом
спектральных функций
Пусть некоторый импульс напряжения u(t) действует на
«цепь с комплексной проводимостью Y («), зависящей от час-
тоты. Найдём ток в этой цепи.
Для отыскания тока создадим мысленно последователь-
ность из импульсов u(t), следующих друг за другом с угло-
вой частотой 2. Эта последовательность будет периодической
функцией времени и поэтому может быть представлена рядом
Фурье; k-я гармоника этого ряда будет иметь угловую часто-
ту ад = k 2 и комплексную амплитуду в соответствии с ф-лой
(8.27), равную
0в(й2)4,
где Gu(k 2)—спектральная функция импульса и (f). Под дейст-
вием созданной периодической последовательности импульсов
напряжений в цепи создаётся периодическая последователь-
ность импульсов тока; k-я гармоника этой последовательности
будет иметь также частоту ™ = k 2 и комплексную амплитуду
Gz(fc2)4 = Y(fe2)Ge(fc2)
где Gz (k 2) — спектральная функция импульса тока. Получен-
ное равенство справедливо для любых k и 2.
Поэтому ____________________
Gz(e>) = Y(a))Ge (<•»). (8.62)
С помощью этой формулы можно по спектральной функ-
ции импульса напряжения найти спектральную функцию им-
пульса тока, а по ней с помощью ф-лы (8.60) или таблицы
спектральных функций и сам ток.
На основании сказанного можно сделать следующие вы-
воды:
1) проводимость цепи, известная для всех частот, пол-
ностью определяет нестационарный ток в этой цепи при воз-
действии на неё импульса напряжения;
2) нестационарный ток в цепи при воздействии на неё
Воздействие импульсов на колебательные контуры
257
известного импульса напряжения полностью определяет про-
водимость цепи для всех частот.
Действительно, по импульсам напряжения и тока можно
найти Gz(w) и Gu(<u) и затем определить
Рассуждая совершенно аналогично, можно получить сле-
дующую зависимость
Gu (ш) =Z(w)G/(u>), (8.63)
где Gu (®) — спектральная функция импульса напряжения на
сопротивлении Z(u>), получившегося под действием импульса
тока со спектральной функцией СДш).
Если импульс эдс e(t) действует в некоторой цепи, комп-
лексный коэффициент передачи которой К (<»), то спектраль-
ная функция напряжения соответствующего этому коэффи-
циенту передачи будет равна
G„ (ю) = К (<») Gg (<>). (8.64)
где Ge(o>) спектральная функция импульса эдс.
Выводы, которые мы сделали относительно проводимости,
полностью будут соответствовать сопротивлению и коэффи-
циенту передачи.
Описанный метод нахождения токов и напряжений назы-
вается методом спектральных функций или методом интегра-
ла Фурье.
Отметим ещё, что в ряде случаев при включении постоян-
ного или синусоидального напряжения или тока, спектраль-
ные функции которых при некоторых частотах имеют бес-
конечное значение [см. выражения (8.55) и (8.57)], мы получаем
спектральные функции, имеющие такж.е бесконечные значения
на некоторых частотах. В этом случае отыскивать значения
импульсов по их спектральным функциям с помощью инте-
гралов (8.61) или (8.60) нельзя, так как подинтегральные
функции будут уходить в бесконечность. В этих случаях надо
вместо импульсов (8.54) и (8.56) рассматривать импульсы (8.37)
и (8.39), спектральные функции которых конечны, и затем в
полученном решении а стремить к нулю, как это, например,
будет сделано в § 8.9 6.
В заключение параграфа разберём простейший пример,
при решении которого используется метод спектральных
функций.
17 Основы радиотехник!
258
Глава 8
Пример 8.4. Постоянна? эдс Е в момент времени t — 0 подключается
к цепи, состоящей из последовательно соединённых активного сопротивле-
ния г и конденсатора С. Найти ток I в этой цепи.
Решение 1. Проводимость цепи равна
--------
2. Спектральную функцию эдс Е, включаемой в момент t = 0, находим
в табл. 8.1. Она равна
Е
G- ((d) = -г— .
* v ' 10)
3. Находим спектральную функцию тока :
О/ (<->) - Y (ш) G»-------Ц------• -Л- -
г + ТТс
Е
Е г
“ 1 “ 1
-£-+ *<>>• 7с+1а*
Сравнивая полученную спектральную функцию с табличными, мы видим,
что она соответствует импульсу Бе с той лишь разницей, что вместо
Е 1
величин В и а у нас стоят соответственно величины — и .
„ £ 1
Таким образом, полагая В = у и а = ^ , мы получим
t
Е гС
i •= — е при t > О,
i «= 0 при t < 0.
§ 8.8. Приближённое рассмотрение воздействия импульсов
на колебательный контур
Рассмотрим воздействие импульса эдс e(f) на последова-
тельный колебательный контур. Спектральная функция тока
в контуре при этом будет равна
ОД») —Y(») ОДш),
где ОД») — спектральная функция эдс e(t), Y(w) — проводи-
мость контура.
Воздействие импульсов на колебательные контуры
259
Как известно, проводимость последовательного контура с
нормальной добротностью очень сильно возрастает в узкой
области вблизи резонансной частоты. В ряде случаев спект-
ральная функция Ge (<i>) будет мало меняться в этой узкой
области частот и может быть в ней приближённо принята
равной
Ов(ш)^Ов(шр)е'% (8.65)
где <р —аргумент бДо»,,).
В области, далёкой от резонанса, Y(iu) мало. Поэтому на
частотах этой области в ряде случаев спектральная функция
ОДш) будет также малой и будет мало влиять на значение
тока. В этих случаях величина ОДш), для частот, далёких
от резонанса, значения не имеет и может быть приближённо
принята также равной выражению (8.65). Таким образом, в
этих случаях для всех частот можно принять
ОД<»)^У(ш)(7Д ei<? = , (8-66)
где проводимость Y (о>) взята по ф-ле (4.7).
Полагая
5= Q ,
что справедливо в области, близкой к резонансу, мы получим
. “о г, . ,
Gg (<>,) еУ _ 2Qr
г[1+Ь2£
Сравнивая эту спектральную функцию с выражением (6)
табл. 8.1, мы видим, что, если положить
и
2<? 2L
В = Q (ш ) — Q (ш ) = 2?!^
Qr \шр) д ’
17*
'260
Глава S
то спектральная функция тока будет совпадать с табличной
и, следовательно, ток будет равен
i = Be_,z cos(io0£ -j- <р) = e"4 cos (u>pt -|- ?)
при t > 0
i = 0 при t < 0.
(8.67)
Таким образом, в рассмотренном случае под действием
импульса ток в контуре будет иметь вид собственных коле-
баний, начальная амплитуда которых будет определяться
модулем спектральной функции эдс на резонансной частоте,
а сдвиг фаз будет равен аргументу этой спектральной функ-
ции также на резонансной частоте.
Спектральная функция напряжения на конденсаторе кон-
тура будет равна
Guc(^)=Gi (<") j^c •
(8.68)
Если СДю) имеет относительно большие значения лишь
вблизи резонансной частоты, то можно считать, что для этих
значений
-i—
1 112
-- = —— £
i С i top С topC
В этом случае, принимая во внимание (8.66), получим
G (со) — е'У е ‘2
u“c' ' г(1 + i5)o>pC ’
откуда, рассуждая аналогично предыдущему, получим
«с ~ Ge (<ор) е "в/ cos (<»/ + ср — у
(8.69)
Совершенно аналогичные рассуждения дают для напряже-
ния на катушке индуктивности формулу
“д ~ Ge (<“Р) е~ cos (о/ + ср 4- ~
(8.70)
Воздействие импульсов на колебательные контуры
261
В качестве примера рассмотрим случай включения постоян-
ной эдс в контур, который мы рассматривали в § 8.36.
Для этого случая, в соответствии с выражением 13 табл. 8.1,
получим
откуда в соответствии с ф-лой (8.67)
Е
, л I » к \
I— -£ e~*'cos I wp t ——j,
, 1
или, поскольку 4>pL = ,
i= и>рСЕ e~e/sin»»pt
Этот результат сходится с результатом, полученным ранее
[см. ф-лу (8.8)].
Если мы для данного случая попытаемся найти «с , поль-
зуясь ф-лой (8.69), то придём к неверному выводу. Причина
этого заключается в том, что в данном случае Ge(<i>)—►=»
при <и—>-0. Поэтому, несмотря на то, что Y(<o) стремится при
этом к нулю, Gt(«*) будет оставаться конечной величиной,
a GUc(«>) в соответствии с ф-лой (8.68) будет стремиться
к бесконечности. При таких условиях со значениями спект-
ральной функции на малых частотах надо считаться и нельзя
считать Ge (»») постоянной величиной для всех ш, как мы
сделали при выводе.
В этом случае, а также в случаях включения в последо-
вательный колебательный контур синусоидальных эдс с ча-
стотами, близкими к шр (когда нельзя бывает считать постоян-
ной спектральную функцию в области, близкой к резо-
нансу), необходимо при подсчёте учитывать изменение ОД»») с
частотой.
Покажем ещё, как, пользуясь аналогиями, можно с по-
мощью понятия спектральной функции исследовать нестацио-
нарные процессы.
В качестве примера найдём напряжение и на параллель-
ном контуре при пропускании через его неразветвлённую
цепь тока:
ImcosЫ4-?) при f>0,
/==.0 при ^<0,
262
Глава 8
причём частота <оо близка к частоте параллельного резо-
нанса.
Поскольку это колебание тока идентично колебанию эдс
в § 8.3в, то спектральная функция этого тока Gz(<o) будет
отличаться от спектральной функции эдс § 8.3в — G,(<o) толь-
ко тем, что вместо Ет в ней. будет стоять 1т. Выражение
сопротивления параллельного контура Z(o>) при том же Q и шр
вблизи параллельного резонанса идентично выражению про-
водимости последовательного колебательного контура ¥(<»),
только вместо резонансной проводимости Yp = -— в него бу-
дет входить резонансное сопротивление Zp= Ra- Поэтому
спектральная функция тока в § 8.3в, равная
Y(«>) Ge(<o),
аналогична спектральной функции напряжения на параллель-
ном контуре, которая равна
Отсюда видно, что напряжение на параллельном контуре
будет меняться аналогично току в выражении (8.9), в кото-
ром надо только заменить у- на Ra и Ет на 1т. При этом
получим
D Г D J
ц= -S=^cos(<V+<?-p) - cos («>/+?-₽).
У 1 + «о V 1 + *о
Таким образом, всё сказанное в § 8.Зв о токе может
быть перенесено для данного случая на напряжение и.
Пример 8.5. На последовательный колебательный контур с парамет
рами L = 1 мгн, С = 1000 пф, г = 10 ом действует эдс е = 100 в при
—10“7 < /< 10 “7. Требуется найти ток в контуре и напряжение на конден-
саторе и индуктивности, а также время затухания колебаний.
Решение. Найдём резонансную угловую частоту контура:
ас —7= « г -- — «10е 1/сек.
р -/ТС /10“М000 10"12
Воздействие импульсов на колебательные контуры
263
Добротность контура
<*PL 10е-10”»
г “ 10
«100.
ю '
J 100Л-2-10-».
В данном случае т<ор = 2-10“7- 10е = 0,2 1.
Поэтому приближённо можно считать, что импульс короткий и спект-
ральная функция в соответствии с табл. 8.1 равна
Отсюда, пользуясь ф-лами (8.67), (8.69) и (8.70), получим:
I » е 2Q cos (а>у + <р) =»
- 10< t
« ^q~-~з~‘ е 210 cos 10е/= 2-10"1 е 510/coslOe/a при/>0;
»р t
и L’=a>pе 2Q cos (у*+?** “i-) ~
= 10».210-» e"S10'cos ) = — 20 e"51<W sin IWe;
«c= 20 e-S 10 *sin 10е/ в.
Время затухания в соответствии с ф-лой (8.7) будет равно
100
х3 — 4,6 jgj* = 4,6-10“* сек.
§ 8.9. Воздействие непериодических колебаний
на цепь с идеальной резонансной кривой
Для уменьшения искажений, получающихся при прохож-
дении модулированных колебаний через резонансные системы,
последние стремятся выполнять так, чтобы их коэффициент
передачи был одинаков для несущей и боковых частот. Кроме
того, для лучшего выделения принимаемой станции доби-
ваются того, чтобы коэффициент передачи приближался к ну-
264
Глава 8
лю на частотах, лежащих за пределами полосы частот при-
нимаемой станции.
Идеальной резонансной кривой является кривая, изобра-
жённая на рис. 8.27. Здесь коэффициент передачи постоянен
и равен К=/(ре‘<{' в пределах полосы <»р — Д®, ®р-|-Д® и равен
нулю за пределами этой полосы.
Рис. 8.27. Идеальная резонансная кривая.
Несмотря на то, что создать устройство с такой резонанс-
ной кривой невозможно, мы всё же рассмотрим процессы,
происходящие в нём под воздействием непериодических коле-
баний, поскольку процессы в реальных системах, обладающих
похожими резонансными кривыми, будут аналогичными.
Рассмотрим воздействие различных эдс на такую систему.
а) Воздействие эдс с постоянной спектраль-
ной функцией
Если ширина полосы
2Д«) фр,
то во многих случаях можно считать, что спектральная
функция эдс в этих пределах постоянна и равна
6г(о,)=Ое(и,р)е|¥ .
Спектральная функция напряжения на выходе системы
в этом случае будет равна
(ш)=К Ge (®)=Кр е!* Ge (wp) ev,
при
Шр — Д<о Шр -L Д<о,
И
G„ (о>)=0
Воздействие импульсов на колебательные контуры
265
при
а> ч>р — Дш и ® > шр 4“
Напряжение, соответствующее этой спектральной функции,
будет в соответствии с (8.60) равно
со Шр 4- Да»
u=Re J GB (<о) da> = Re J Кр Ot fap) е^* + • ele,/ da>.
О а»р — Да»
Учитывая, что
ец-1> + <р) ew_cos
получим
и>р 4- Да»
ц=Кр G‘K У СО8И4-Ф4-<Р)</<О. (8.72)
*р - Да»
Находящийся в этой формуле интеграл рарен
Г sin (ш/ 4- Ф 4- у)1щр + А<°. —
L t Ja> =а>р _ Дш
sin [(юр 4- Да>) t 4- ф 4- ?] — sin [(а>р — Д<о) t 4- ф 4- ср]_
~ t ~
2cos ((рр / 4- ф + ?) sin Дср/
= t
Подставляя это значение интеграла в выражение (8.72),
получим
«= f , p ’ —— COS (u>p 14- <P 4- Ф). (8.73)
Это колебание изображено на рис. 8.28.
Как видно из этого рисунка, чем шире полоса* Дш, тем уже
и выше будет импульс.
б) Воздействие включающейся и выклю-
чающейся синусоидальной эдс
Рассмотрим процессы, происходящие при включении на
рассматриваемое в этом параграфе идеализированное устрой-
ство синусоидальной эдс:
e=£mcos(u>/,^4~?) ПРИ ^>0,
е—Ъ при t<^Q.
266
Глава 8
Спектральная функция такой эдс будет
/ \ Ет е
rW— 2 ’i(o) —<ор)
В этом случае при определении напряжения подинтеграль-
ная функция будет уходить в бесконечность и интеграл взят
быть не может. Поэтому мы в соответствии с рекомендацией,
данной в § 8.7, возьмём
г (ю) 2 (<о — <Ор)
и будем стремить а к нулю.
Рис. 8. 28. Колебание на выходе устрой-
ства с идеальной резонансной кривой
(рис. 8.27) при воздействии на него эдс с
равномерной спектральной функцией.
При этом спектральная функция выходного напряжения
равна
°«ПРИ - Дш < ю < ШР + А®.
Ge(o>)=0 при Дш или ш^>ш^-]-Дш.
Найдём выходное напряжение и:
СО »р + А»
1 Р Е к С + ?)
a_ReljG.(.)e-^—^Re J --е«Л,
О — Ли»
Произведём замену переменной, положив
(О — (0^=>Х,
Воздействие импульсов на колебательные контуры
267
тогда
B_^Re J
—Да,
ei (х/ + «р t + ф + ф)
а 4-
Дао
EmKp f
2л J
— Дш
д cos (xt 4- 4- ф 4. у)
а1 4- л1
dx-\-
. EmKp С х sin (xt 4- <*pt 4- Ф 4- <?) ,
4 ~— I ---------z——5-------ах=
' 2тс J а1 4- л1
— Да»
= -^cos(«/+t + T)
— Да»
Дш
(»/+♦ + ?) У“ЙЭ‘*'+
— Дш
Да»
I Е/пКд » , । . . » С х sin xt i I
+ cos («>/ + ф +<p) J а, + л, - dx +
— Дш
Дш
+ sin (yt + Ф + <?) J* 4^- dx. (8.74)
— Дш
Второй и четвёртый интегралы этой суммы равны нулю,
так как их подинтегральные функции нечётные.
Подинтегральная функция первого интеграла при а->0 имеет
существенные значения лишь при малых х. В этом случае
cosx£ss 1 и первый интеграл равен
Дш
arct$»-т~ •
—Дш
Легко видеть, что этот интеграл стремится к « при а->0.
В третьем интеграле можно сразу положить а=0, поскольку
при этом подинтегральная функция не обращается в беско-
нечность:
Да» д® Да, Дш/
rfx=s С ( ™*-dx=2 f »dy=2SiA«>t
J a 4” J x J J У
-Дш — Дш О О
Здесь y=xt и через Si Д«>^ обозначен интегральный синус
от величины Интегральным синусом называют величину
интеграла
268
Глава 8
_ f sin у у
Si®= J -y-dy.
который не выражается через элементарные функции и вели-
чины которого даются в таблицах. На рис. 8.29 дан гра-
фик Si v.
Рис. 8.29. Интегральный синус
V
Siv=[-^y.dy.
о3 У
Подставляя полученные значения в (8.74), будем иметь
и=ЕтКр (у -г -7 Si До»*) cos (ш/ + ф + ?)•
(8.75)
Полученная зависимость выходного напряжения от времени
изображена на рис. 8.30.
При выключении эдс мы будем иметь:
e=£mcos(«>/-b®) при
в=0 при t > 0.
Воздействие импульсой на колебательные контуры
269
Чтобы свести рассмотрение к уже известному случаю,
будем считать, что
е—е' + е",
причём
е' = Em cos («о/ + ?) ПРИ любом t,
е”=—Етcos(<o t4-?) при t>О,
е"=0 при t<0.
Рис. 8.20. Колебания на выходе
устройства с идеальной резонансной
кривой (рис. 8.2/) при включении на
него синусоидальной эдс.
Рис. 8.31. Колебание на выходе
устройства с идеальной резонансной
кривой при выключении синусои-
дальной эдс.
Напряжение на выходе можно в этом случае считать со-
стоящим из суммы напряжений: и' от е' и и" от е". От ег
будем иметь
U' = EmKp COS (V + ф + <Р);
от е" в соответствии с ф-лой (8.75)
и" = - + |si Дш/) cos (<»/ + ф + ?).
Следовательно,
«==«' + — -^Si Дш/) cos (о>/-ф-ф +<р).
На рис. 8.31 изображено изменение напряжения и в этом
случае.
270
Глав» 8
Из ф-лы (8.75), пользуясь графиком или таблицами инте-
грального синуса, можно найти время нарастания амплитуды
от 0,1 до 0,9 амплитуды в установившемся режиме. Это время
получается равным
5,64
2Д<« ’
(8.75а)
где 2До> — полоса пропускания.
Время затухания амплитуды с 0,9 до 0,1 амплитуды уста-
новившегося режима при выключении эдс будет равно так-
же величине v
Для колебательного контура мы имели
В соответствии с ф-лой (4.24) полоса пропускания контура
равна
2Д“=^’
откуда для простого контура получим
4,6
т = т =--------
* > 2Д<О •
(8.76)
Как видно из ф-л (8.75а) и (8.76), время нарастания и зату-
хания колебаний в обоих случаях целиком определяется
полосой пропускания. Этот закон зависимости времени нарас-
тания и затухания от полосы пропускания справедлив и для
других, не рассмотренных здесь резонансных систем. Дело
в том, что полоса пропускания влияет на спектральную
функцию, а последняя определяет нарастание и затухание
колебаний.
В рассмотренных в этом параграфе случаях колебание и на
выходе системы (как видно, например, из рис. 8.30) появляется
раньше, чем включилась эдс. Это, конечно, невозможно и
показывает, что систему с идеальной резонансной кривой
осуществить нельзя.
Воздействие импульсов на колебательные контуры
271
§ 8.10. Определение энергии, выделяемой импульсом,
с помощью его спектральной функции
Если через сопротивление г протекает импульс тока i, то
энергия, выделяемая в сопротивлении, будет равна
оо оо
J i?rdt—r J Mt.
—‘ oo — oo
Если на сопротивлении г создаётся падение напряжения в,
то энергия, выделяемая в сопротивлении, равна
ОО со
[ ~r dt= у- J &dt.
— со — оо
Таким образом, если имеется импульс F(t), то энергия,
выделяемая им, будет пропорциональна величине
J F*(t)dt.
— оо
Найдём связь этого интеграла со спектральной функцией
Gf(w) импульса F(t).
Возьмём сначала периодическую последовательность Ф(/)
таких импульсов и представим её рядом Фурье
+ ОО
Ф(0= £ F (/+даТ)=т+Асоа(2< + <р1) + Лсо8(22^-Н1)4-.‘.
т— — со
Эффективное значение колебания Ф (t) равно
(8.77)
С другой стороны, эффективное значение может быть выра-
жено, как известно, так:
(8.Т8)
272
Глава 8
На основании равенства выражений (8.77) и (8.78) можно
записать, что
г
J Ф’(0Л = т(4-)’+г S
_ г к-1
2
Подставим в это уравнение вместо амплитуд Ао и Ak
выражение через спектральную функцию [см. ф-лу (8.27)
ИХ
Ф2 (t)dt = T
оо
+ т S
К-1
Gf(0) у- Г
2 ~
О 1а
Gf(*2)-±j
2
_ °* (°) . у 2 0^2).
Т “Г 2j ----------т----•
К-1
Если теперь стремить период Т колебания Ф (£) к бес-
конечности, то
г
2 оо
J Ф«(0Л—У F*(t)dt,
Т —©о
” Т
g&o>
величина -у— будет стремиться к нулю, а сумма
оо _ оо
V 2G|(A2) 1 V р2г, Оч о 1 С r2, V .
7, -----7=---GfJiU) 2->— J Gf(a>)da>,
Таким образом, окончательно можем записать:
J $ G^d®.
—со О
(8.79)
Следовательно, энергия, выделяемая в сопротивлении при
воздействии на него некоторого импульса, будет пропорцио-
Воздействие импульсов на колебательные контуры
273
нальна площади под кривой квадрата модуля спектральной
функции этого импульса.
§ 8.11. Помехи радиоприёму
Как было показано в § 8.5, импульсы тока и напряжения
имеют спектральные функции, которые простираются до
бесконечных частот. Если такой импульс воздействует на
резонансный контур, то в нём, в соответствии с ф-лой (8.67),
возникнут колебания, величина которых будет пропорциональ-
на значению спектральной функции импульса на резонансной
частоте контура. Эти колебания, накладываясь на сигналы,
будут искажать их, вызывая в телефонном радиоприёмнике
трески, при телеграфии неправильную запись и т. д. На прак-
тике импульсов, создающих такие помехи, очень много: та-
кими импульсами являются все включения и выключения на-
пряжения в электроустановках, перерывы тока при переклю-
чениях и т. д. Кроме помех, создаваемых импульсами разно-
образных электрических установок (эти помехи называются
промышленными или индустриальными), имеются ещё помехи,
создаваемые импульсами электрических атмосферных разрядов
во время гроз (эти помехи называются атмосферными).
Выясним, отчего будет зависеть степень воздействия
импульсов помехи на контур.
Максимальная амплитуда напряжения на катушке индук-
тивности или конденсаторе контура от импульса помехи в
соответствии с ф-лами (8.70) и (8.69) будет равна
где «>р — резонансная угловая частота контура,
Ge(o>p) —спектральная функция импульса эдс в контуре.
Если в этом контуре будет действовать эдс сигнала с
амплитудой Ет и угловой частотой ь>р, то на катушке и кон-
денсаторе амплитуда колебания от сигнала будет равна QEm.
Отношение амплитуды колебания от импульса помехи к
амплитуде колебания от сигнала будет равно
<a/?:(tt>) = 2 Да> -%(й),) , (8.80)
2Д u> = — полоса пропускания контура.
Чем уже полоса пропускания контура, тем при про-
чих равных условиях меньше будет сказываться помеха.
Однако, как известно, чрезмерно сужать полосу .для умень-
шения помех нельзя, так как это вызовет искажение сигнала.
28 Основы радиотехники
274
Глава 8
Посмотрим, как будут сказываться помехи на устройстве
с идеальной резонансной кривой, которое было рассмотрено
в § 8.9.
В соответствии с ф-лой (8.73) максимальная амплитуда
напряжения от помехи в этом случае будет равна
2 Кр Ge (ofr) До
ТС ’
в чём легко убедиться, раскрывая неопределённость при t=0.
Амплитуда от эдс сигнала Ет в данном случае равна К.рЕт,
откуда отношение максимальной амплитуды помехи к ампли-
.туде сигнала будет равно
2 Ди Og (to,)
*
(8.81)
Это отношение также уменыпется с уменьшением полосы
пропускания, равной в данном случае величине 2Д«>.
G(w) уменьшается с увеличением частоты (см. табл. 8.1),
поэтому помехи [см. ф-лы (8.80) и (8.81)] сказываются тем мень-
ше, чем выше резонансная частота. Наиболее медленное умень-
шение помех с увеличением частоты будет наблюдаться при
помехах в виде коротких импульсов, для которых G(o>) будет
оставаться постоянным, пока частота <*> не станет соизмери-
. 1
мой с — .
т
Такие помехи наиболее опасны на высоких частотах.
При помехах в виде импульсов, у которых имеются раз-
рывы, как это следует из ф-лы (8.53), G(o>) будет убывать
обратно пропорционально <*>. Примерно по этому закону убы-
вают большинство индустриальных помех и атмосферные по-
мехи. Если импульсы имеют разрывы лишь в производных,
то в соответствии с ф-лой (8.53) их спектральные функции
убывают тем быстрее, чем на более высоких производ-
ных будут разрывы. Поэтому для уменьшения помех жела-
тельно, чтобы токи в электрических приборах изменялись
плавно, без скачков и по возможности без скачков в произ-
водных.
ГЛАВА /А
СВЯЗАННЫЕ КОНТУРЫ
§9.1. Вводные замечания. Примеры связанных контуров.
Типы связи.
В радиотехнике, кроме одиночных колебательных конту-
ров, широкое применение находят так называемые связанные
контуры. Эти контуры позволяют получить более совершен-
ные резонансные кривые.
Рис. 9.1 Примеры связанных контуров:
а) трансформаторная связь, б) ёмкостная, в) индуктивная, г) ёмкостная,
о) гальваническая или реостатная, е) комбинированная.
Связанными называются контуры, взаимно влияющие
друг на друга.
J8*
276 Глава 9
Наибольшее распространение получили системы из двух
связанных контуров. Поэтому в настоящей главе мы будем
рассматривать только такие системы.
На рис. 9.1 изображено несколько схем связанных конту-
ров.
Условимся называть контур, в котором включена эдс,
первым, а связанный с ним — вторым.
Оба контура — первый и второй —могут быть колебатель-
ными (рис. 9.1 а,г, д,е), в ряде случаев колебательным яв-
ляется лишь один контур (рис. 9.1 б), а бывает и так, что оба
контура, образующие систему, — неколебательные (рис. 9.1 в)
Приведёнными рисунками далеко не исчерпывается всё разно-
образие применяемых схем.
Элемент, входящий как в первый, так и во второй контур,
называется элементом связи. Связь между контурами, изо-
бражёнными на рис. 9.1а, называется индуктивной или транс-
форматорной, связь, показанная на рис. 9.1 в, — автотрансфор-
маторной; на рис. 9 16 и г —ёмкостной; на рис. 9.16 —ре-
остатной или гальванической и на рис. 9.1 е — комбинирован-
ной трансформаторно-ёмкостной связью.
Целью настоящей главы является изучение законов из-
менения напряжений, токов и мощностей, выделяющихся в
контурах при изменении параметров контуров и связи между
ними, а также при воздействии на них различных эдс. В главе
будут рассмотрены как вынужденные колебания, так и не-
стационарные явления.
§ 9.2. Схемы замещения первого и второго контура
Для создания общей теории, пригодной для любых типов
связанных контуров и любого вида
Рис. 9 2. Обобщённая схема связанных
контуров.
связи, заменим четырёх-
полюсники, обведённые
на рис. 9.1г и е пункти-
ром, Т-образной схемой
замещения, что, как из-
вестно, всегда можно сде-
лать. Тогда все схемы,
изображённые на рис. 9.1,
могут быть сведены к
схеме, приведённой на
рис. 9.2.
Найдём токи п It,
текущие в первом и втором контурах этой схемы. Для
этого составим уравнения Кирхгофа для обоих контуров,
Связанные контуры
277
считая эдс в первом контуре синусоидальной и режим уста-
новившимся:
E1==Z, h + ZHh-M,
О =Znla-Zr(I1-I2).
Находя из этих уравнений токи, получим:
— Ei „
Zi__________
- z;: ztz.
Z1
здесь Zi=Z, -j-Ze — суммарное сопротивление, получающееся
при обходе первого контура;
Z2=zn+Z<. — суммарное сопротивление, получающееся
при обходе второго контура.
Сопротивления Zb Z2 и 1е могут быть легко найдены не-
посредственно из схем контуров.
Для определения сопротивления Zx необходимо разомкнуть
второй контур в том месте, где протекает ток 12, т. е.- схему
рис. 9.1г разомкнуть в ветви r2, L2„ но не в ветви С"- схему
рис. 9.1 е в ветви Сц г2, но не в ветви Се. Тогда при обходе
первого контура мы получим сопротивление Zx (рис. 9.2). Так
например, для схемы, изображённой на рис. 9.1 е, мы получим
Zi^ т*х i i L, — i —л-.
1 j 1 1 co Cc
Аналогично для нахождения сопротивления Z2 необходи-
мо разомкнуть первый контур в том месте, где протекает ток
lj. После этого нужно обойти второй контур. Сопротивление,
получающееся при его обходе, будет сопротивлением Z^ Для
схемы, изображённой на рис. 9.1 е,
Для определения сопротивления Ze, называемого сопро-
тивлением связи, необходимо разомкнуть второй контур в том
месте, где протекает ток 12, тогда отношение напряжения в
этом разрыве к току h первого контура будет равно сопро-
тивлению связи Ze.
Справедливость сказанного очевидна для схемы, изобра-
жённой на рис. 9.2. Следовательно, этот способ применим
278
Глава 9
для любых других схем связанных контуров, поскольку они
сводятся также к ней.
В схеме, изображённой на рис. 9.1 е,
Z.=i шМ — i —,
где М — взаимная индуктивность между катушками и 1^.
Пример 9.1 Найти Zlt Z2 и Zf для схемы, изображённой на рис. 9.1а.
Решение. Для определения Zt размыкаем второй контур в ветви
га, £2- Тогда
Zj—гj + i о» Lj i ——- ,
со
где
С -С' 4-
с’-с + сТТс^-
Для определения Za размыкаем первый контур в ветви г1У £г. Об-
ходя второй контур, будем иметь
1
Z2=rа + io> £а — i ——
со Ga
где
C2=C' +
CcC9
Cc + C'
Найдём напряжение Ur на конденсаторе С9 (оно же приложено к по-
следовательно соединённым конденсаторам Сс и С") при разорванной вет-
ви га, £2:
Напряжение и2Хг в разрыве второго контура равно напряжению на
конденсаторе С":
~+i * \(^L+C'+c"] ,v
Связанные контуры
279
Отсюда сопротивление связи будет равно
i-C'+С") '
Перейдём к схемам замещения контуров.
Составим последовательный контур, содержащий (рис. 9.3)
эдс Е, сопротивление Zu в которое входят все сопротивле-
ния первого контура, и сопротивление
Рис. 9.3. Схема замещения
первого контура. — вноси-
мое сопротивление в первый
контур.
Ej
^2
которое называется сопротивле-
нием, вносимым в первый контур.
Тогда ток в этом контуре будет
равен
В соответствии с ур-нием (9.1) такой же ток полу-
чается в первом контуре в системе связанных контуров.
Полученная схема (рис. 9.3) называется схемой замещения
первого контура.
В ней вносимое сопротивление Z, искусственно заменяет
влияние тока второго контура на ток первого. Составим схе-
му (рис. 9.4), состоящую из эдс
(9.4)
(она называется эдс, вносимой во второй контур), сопротивления
Za, содержащего все сопротивления, входящие во второй
контур, и сопротивления
z*
7' — _Л
^2 “ Zi 9
(9-5)
которое называется сопротивлением, вносимым во второй кон-
тур.
280
Глава 9
Тогда ток в этом контуре будет равен
/ _?£. F
I Е*
Z2 + z2 7____________
Zj
В соответствии с ур-нием (9.2) такой же ток получается
во втором контуре системы связанных' контуров. Полученная
схема (рис. 9.4) называется схемой замещения второго контура.
В ней вносимая эдс Е2 и вносимое сопротивление Z2 искус-
ственно заменяют влияние тока первого контура на ток вто-
рого.
Рис. 9.4. Схема ^амещения вто-
рого контура. Е 2— вносимая во
второй контур эдс, — сопро-
тивление, вносимое во второй
контур.
Рис. 9.5. Схема замещения
второго контура. Е2Г — на-
ведённая во втором конту-
ре эдс.
Иногда для определения тока второго контура используют
иную схему замещения, состоящую из эдс
Е2 = 2Д' (9.6>
(она называется эдс, наведённой во втором контуре), и сопро-
тивления Z2 (рис. 9.5). Ток в этой схеме будет равен
’2 ~ Z2 — Z, ’
т. е. в соответствии с ур-нием (9.2) равен току второго кон-
тура системы связанных контуров. Эта схема более проста,
но в ряде случаев ею пользоваться бывает неудобно, посколь-
ку при изменении Z, в этой схеме замещения будет меняться
не только сопротивление контура, но и эдс Е2, так как в неё
входит ток I,, определяемый ф-лой (9.1) и зависящий от Zj.
Связанные контуры
281
Для анализа процессов в связанных контурах примем, что
Z1 = r1 + ix1
Zj = гя + i хг
~ * хс
(9.7}
Таким образом, мы для упрощения анализа будем считать,
что сопротивление связи 1е не имеет активной составляющей.
Это не приведёт к существенной погрешности при практиче-
ских расчётах, поскольку обычно хс бывает величиной того
же порядка, что г\ и г2, а активная составляющая ге, если
она специально не увеличена, бывает в десятки и сотни раз
меньше хе, т. е. много меньше г, и г2. Схему рис. 9.1д,
редко встречающуюся в радиоустройствах, мы рассматривать,
таким образом, не будем.
Найдём выражения для вносимых Сопротивлений Z, и Z2 и
вносимой эдс Е'2 с учётом обозначений (9.7).
Сопротивление, вносимое в первый контур, равно
Z2 х2 х2 х2
~ =-----—= r2 2 с 2 -- ri+ i x't, (9.8)
Z2 r, 4- i x2 r2 +x2 r2 4- x2
r't называется вносимым активным сопротивлением, х\ — вно-
симым реактивным сопротивлением.
Введём обозначение
Тогда
I 2
*1 = — х2 f2.
(9.9)
(9.10)
Аналогично
Z2 = ^2 + 1 х2>
(9.Н)
(9.12)
282
Глава 9
где
ха=
(9.13)
(9.14)
(9.15)
Эффективное значение вносимой эдс £г на основании (9.4)
равно
(9.16)
Наконец, из ур-ния (9.2) следует, что эффективное значе-
ние тока /2, протекающего во втором контуре, равно
(9.17)
Рис. 9.7. Развёрнутая схема заме-
щения второго контура. г2 и х2 — ак-
тивное и реактивное сопротивления
второго контура; г2' и л2'—* вноси-
мые во второй контур активное и
реактивное сопротивления; Е2— вно-
симая во второй контур эдс.
Рис. 9.6. Развёрнутая схема заме-
щения первого контура. и хг — ак-
тивное и реактивное сопротивления
первого контура; гх' и л/ —вносимые
в первый контур активное и реактив-
ное сопротивления.
На рис. 9.6 и 9.7 представлены развёрнутые схемы заме-
щения первого и второго контура, построенные на основании
материала данного параграфа.
ввязанные контуры
283
§ 9.3. Резонансы в связанных контурах
При изменении параметров связанных контуров, либо ча-
стоты эдс, в первом или втором контуре, а иногда и одно-
временно в обоих могут иметь место резонансы.
Резонанс может наступить в схеме замещения первого
контура. В этом случае
*i + *i = 0. (9.18)
Если это условие удовлетворяется, то говорят, что в си-
стеме связанных контуров наступил первый частичный резо-
нанс.
Далее резонанс может наступить в схеме замещения вто-
рого контура, при этом
х2 %2 = 0. (9.19)
Если это условие удовлетворяется, то говорят, что в си-
стеме связанных контуров наступил второй частичный резо-
нанс.
Может иметь место такое состояние системы, когда
оба контура — первый и второй — настроены в резонанс с ча-
стотой эдс, т. е. когда одновременно выполняются условия
х2 = 0
(9.20)
а, следовательно, в соответствии с ф-лами (9.11) и (9.14)
условия
Xi = 0,
Х2 = 0.
Это состояние называется полным резонансом. При полном
резонансе, очевидно, одновременно будут иметь место и пер-
вый и второй частичные резонансы.
Наконец, при одновременном выполнении условий
Xi4-xi=0
rl~ г{
(9.21)
в системе имеет место так называемый оптимальный или
сложный резонанс. Как будет показано ниже, при оптималь-
284
Глава 9
ном резонансе ток /2 во втором контуре при заданных Е19 гу
и г2 достигает максимально возможного значения.
На основании равенств (9.21), (9.10) и (9.11) можно за-
писать
Х1— Х1 — *2 720
Г1=п = га^о
(9.22)
где ”[2о — значение при оптимальном резонансе.
Найдём значение ?! при оптимальном резонансе. Оно на
основании ф-л (9.15) и (9.22) будет равно
__ Хе ________ Хс Хс 72Т___________________________1
Принимая это во внимание, в соответствии с ф-лами (9.13),
(9.14) и (9.22) получим:
' _ г„2______ _ v
*2----*1110— 2
72О
Г2 — Г1 710---2* Га‘
720
Таким образом, если удовлетворяются условия (9.21), то
одновременно будут выполняться условия
ХзН- ^2 9
Г2=Гз
(9.23)
Аналогичным способом можно показать, что при выполне-
нии условий (9.23) выполняются условия (9.21), т. е. те и дру-
гие являются условиями наличия оптимального резонанса.
При оптимальном резонансе существуют одновременно первый
и второй частичные резонансы.
§ 9.4. Энергетические соотношения в связанных контурах
Найдём мощность, отбираемую от источника эдс и расхо-
дуемую в первом и втором контуре.
Мощность Ръ расходуемая в первом контуре, равна
Р1=/1Гр
(9.24)
Связанные контуры
28&
Мощность Ps, расходуемая во втором контуре, равна
Pt = I22r2
(9.25)
или с учётом (9.17) и (9.1Q)
п т 1 2 г 2 *
----11 72 г2— • 1 г 1 •
Таким образом, мощность, фактически расходуемая во
втором контуре, численно равна мощности, которая как бы
теряется на вносимом активном сопротивлении в схеме заме-
щения первого контура
Полная мощность, отдаваемая источником эдс и расходуе-
мая в обоих контурах, равна
Р = л + ^-
(9.26)
Найдём максимальную мощность, которая может быть пе-
редана во вторичный контур при заданных величинах Е± и гг.
Ио схеме замещения первого контура (рис. 9.6) видно, что.
«?2
р г 2 ' _____1______ '
1 1-(п+г;г+(^+^)2 1 ’
Очевидно, что чем меньше величина (хх )2, тем боль-
ше мощность Р2. Выберем параметры контуров так, чтобы
выполнялось условие
X1-}-xi = 0, (9.27)
т. е. чтобы наступил первый частичный резонанс. При этом
Рг — Ргм —
Ej r'l
01+ r 'i )*
(9.28)
Зависимость Рг* от — показана на рис. 9.8. Как нетрудно
Г1
убедиться, Ргм с изменением rt достигает максимума при
Г1 = Гн
Таким образом, при заданных величинах £i и г максцмаль
286
Глава 9
ная мощность, передаваемая во второй контур, будет при
оптимальном резонансе. Она равна
Рис. 9.8. Мощность Р2м, передаваемая
во второй контур при первом час-
тичном резонансе, как функция ~~
Р 2мм ~~
(9.29}
Из этого уравнения, учи-
тывая ф лу (9.25), нетрудно
определить ток, который при
этом будет протекать во вто-
ром контуре. Он равен
(9.30)
Это выражение определяет максимально возможный ток,
могущий протекать во втором контуре при заданных Elt гх
и г2. Он получается при оптимальном резонансе.
Коэффициентом полезного действия первого контура на-
зывают величину
_ = Р» = Р» = ziri = r'i
р Р1+Р» ifa+fy} rj+q
Из рис. 9.8 и 9.9, а также из ф-лы 9.30 видно, что при
оптимальном резонансе, когда мощность Р8 — максимальна,
Связанные контуры
287
т) = 0,5. При дальнейшем увеличении связи между контурами,
т. е.х с ростом величины г\, мощность Р2 начинает падать,
а кпд т) продолжает расти.
Пример 9.2. Связанные контуры, изображённые на рис. 9.1 а, имеют,
следующие данные:
Lj = 4 мгн;
Cj = 280 пф;
г± = 20 ом;
М = 40 мкгн;
L2 — 1 мгн;
С2 = 900 пф
г2 = 10 ом.
В первый контур включена эдс, эффективное значение которой £7=10 б,
а частота <о = 10е 1/сек. Требуется: 1) найти мощность Р2, выделяющуюся
во втором контуре, 2) определить, как нужно изменить и М, чтобы мощ-
ность, передаваемая во второй контур, стала максимальной, 3) определить,
чему равна эта мощность.
Решение 1. Находим хс, х19 х2, и г\:
хс — со М = 10е-40-10"® = 40 ом,
1
= <» 4
— = 10е • 4 • 10"’ —_________5-------= 430 ом,
cCi 10®.280-10"12
х2 «= <d£2 — - Ю® • 1 • 10"3— 1ов.9оо.1О-12 --“110ол<г
2 х2с 40*
12 = rf = 10*4-110»
х, = — 72*2 = —0,131 (—110) — 14,4 ом,
г[ = 72 г, — 0,131 • 10 = 1,31 ом.
2. Определяем ток в первом контуре:
____________________________________10____________
К(ri+ rl)2 + (Xi+xtf К(20 4- 1.31)» 4- (430 4- 14,4)*
— 0,0225 а = 22,5 ма.
3. Находим мощность во втором донтуре:
Р, = /2 г' = о,0225* • 1,31 -- 0,000662 вт = 0,662 мет.
4. Определяем 7 |о »
2 _ П _ 22= 2
720- 77 “ 10
288
Глава 9
С другой стороны
2 (<*М0)»
720 “ г2 , -2
г2 "Г* х2
где Мо — взаимная индуктивность при оптимальном резонансе.
Таким образом,
(<> М9)* = if0 (г^ + 4) = 2 (10« + 110») - 24 400 олг*.
Отсюда
><24 400
Мо = —|Q5— = 156-10“6 гн = ХЪ&мкгк.
5. Находим jq и q при М = Л40:
х\ = —720 х2 = — 2 (—110) = 220 ом,
Г1 = 720 г» = 6=20 ом.
6. Находим значение xt й Сх при оптимальном резонансе:
= — х\ = —220 ом.
ПОСКОЛЬКУ Х2 = О) Lx — —— ,
(О С ।
имеем
-4- - - xt = 4000 4- 220 = 4 220 ом.
(Исюда
С1 = 4220 со = 4220-10е = 237 ’ 10~1S = 237
7. Определяем ток в первом контуре при оптимальном резонансе:
r Е Е АЛС
6+6 2г, 40
8. Находим максимальную мощность, передаваемую во второй контур
при оптимальном резонансе:
Р*мм = Il • r'i = 0,25*-20 = 1,25 вт
ИЛИ
£« 10» 4
PtMM ~ 4г,= 80 =1,25 вж‘
Пример 9Л, Найти кпд первого контура для двух случаев, разобранных
в предыдущем примере.
Связанные контуры
Ж
Решение. В первом случае кпд т) равен
1,31
20+ 1,31
= 0,0615.
Во втором случае имеет место оптимальный резонанс и
т] = 0,5.
§ 9.5. Резонансные явления в связанных контурах
при изменении хх
Рассмотрим, как будут меняться проводимости связанных
контуров, а следовательно, и токи в контурах при измене-
нии реактивного сопротивления первого контура хх.
Ток первого контура равен
Ii= YuEj,
где ¥ь — проводимость схемы замещения первичного кон-
тура. На основании рис. 9.6 она равна:
'l3~z ri + r‘t + —
1 z2
= (rx + rj)(l +1$1э) ’ (9 32>
где
Сравнивая эту формулу с ф-лой (4.7) для проводимости
последовательного колебательного контура, мы видим, что
она точно такая же, только вместо обобщённой расстройки 6
стоит эквивалентная обобщённая расстройка первого кон-
тура 51» и вместо сопротивления контура г стоит эквивалент-
ное сопротивление первого контура rx -f- г,. Отсюда следует,
что зависимости модуля и аргумента. Yi, от 51» и rx-|-ri бу-
дут такие же, как и для последовательного колебательйого
(9 Осяовы радлотехаиш
2)0
Глава 9
контура и будут соответствовать ф-лам (4.9) и (4.8) и рис. 4.6
и 4.5.
При 51» — 0, х±-1-Xi = 0 и наступает первый частичный
резонанс. В этом случае проводимость Yi» максимальна,
активна и равна
(9.33)
Зависимость У jap от дана на рис. 9.10. Как видно из
этого рисунка и ф-лы (9.33), с увеличением rit которое рас-
связи
У 1»р
тёт с увеличением
между контурами,
уменьшается.
Рис. 9.10. Зависимость проводимости
схемы замещения первого контура
П'.
при первом частичном резонансе от—
обоб-
Выразим 51» через
щённую расстройку первого
контура 51 = 7-.
Зависимость этой расст-
ройки от различных фак-
торов детально исследова-
лась в § 4.3.
Имеем:
Г1
Учитывая, что
x't -^2 72
у. у % г
— Х2 12 Г2
х„ rt
где 51 = — обобщённая расстройка второго контура, по-
лучим ____________________________
(9.34)
Связанные контуры
291
Таким образом, £1Э будет меняться линейно с изменением
При = 0 $1э будет меняться пропорционально Вр Зависи-
мость У19 от для этого случая изображена на рис. 9.11,
Рис. 9.11. Резонансные кривые проводимости схемы замещения
ервого контура У1Э для разных ~~ при $8=0. Точками на
кривых обозначены границы полосы пропускания.
зи между контурами, резонансные значения проводимости
уменьшаются и резонансные кривые расширяются, поскольку
г.
меняется в 1-}- ——раз медленнее, чем
Границам полосы пропускания, определённым из резонанс-
ной кривой так же, как это делалось для одиночного
контура, будет соответствовать
т. е.
19*
Й92
Глава 9
Отсюда ширина полосы пропускания, выраженная в обоб-
щённой расстройке первого контура будет равна
(9.35)
Границы полосы пропускания отмечены на кривых рис. 9.11
Точками.
Эта деформация резонансных кривых может быть наглядно
объяснена тем, что с увеличением связи увеличивается экви-
валентное активное сопротивление схемы замещения первого
контура Г1 + г'1.
Если Е2 #= 0, то зависимости от и, следовательно, Уь
от будут такие же, только из всех значений надо будет
9
вычитать постоянную величину ?2 21. Это поведёт к тому,
Что все кривые сдвинутся на ?2 21 и резонанс наступит при
£1 = £2— • Если ?2>0, сдвиг будет вправо, если же 52<Г0,
Г1
То сдвиг будет влево. Этот сдвиг при постоянном $2 будет
личением связи между контурами.
На рис. 9.12 представлена зависимость У1Э от при $2= 2
Для различных значений yi . Сдвиг резонансных кривых с уве-
личением связи можно наглядно объяснить тем, что при этом
увеличивается вносимое реактивное сопротивление, которое
приходится при резонансе компенсировать реактивным сопро-
тивлением первого контура.
Аргумент Yi, аналогично аргументу проводимости после-
довательного колебательного контура равен
— Pis = — arctg = — arctg
(9.36)
Связанные контуры
293
Подробно его мы исследовать не будем, это можно сделать
аналогично предыдущему.
Перейдём к изучению зависимости тока второго контура
от хг. Ток второго контура определяется выражением (9.2),
которое можно переписать в виде
к — Y12Ei,
где
(9.37)
(9.38)
Рис. 9.12. Резонансные кривые проводимости схемы замещения
первого контура для разных — при 62=2. Точками на кри-
г 1
вых обозначены границы полосы пропускания.
Величину Y12 мы назовём взаимной проводимостью между
контурами. Отметим, что если эдс Е2 будет действовать во
втором контуре, то ток в первом контуре 1Х, исходя из сооб-
ражений симметрии, может быть выражен также ф-лой (9.2).,
в которой надо будет поменять местами индексы 1 и 2
I —V F — zcE2
*1— "исг—-------•
294
Глава 9
Отсюда следует, что Y21 = Y12. Это оправдывает название
„взаимная проводимость".
Поскольку ток 12 пропорционален Y12, мы будем в дальней-
шем изучать зависимость Y12 от хх.
Поделив числитель и знаменатель ф-лы (9.38) на получим
Zc
у _ X
*12-------Z2
z —
Д2
или, если принять во внимание обозначение (9.32),
г Zc л/
12 7~ т1э •
Д2
(9.39)
Поскольку 1С и Z2 от хх не зависят, Y12 будет меняться
с изменением и £х так же, как Yis, отличаясь от него на
постоянный множитель
±iv
Z^ i ZqQ
Za r2 4- i x2
(9.40)
где
p2 = arctg = arctg ?2,
'2
(9.41)
Y — —
12 7. •
A2
В (9.40) знак(4*) берётся при хс>0, что может иметь место
при связи индуктивного характера; знак (—) берётся при
xc<Z0, т. е. при связи ёмкостного характера.
Из выражения (9.39) следует, что аргумент Y12 будет
меняться с изменением хг и так же, как аргумент Yf,, от-
личаясь от него на постоянную величину ±у~ ?2- Модуль Y12
будет меняться так же, как модуль Yi,, отличаясь от него на
постоянный множитель f2.
Из сказанного следует, что максимум У12 при изменении
будет наступать одновременно с максимумом Yt9, т. е. при
первом частичном резонансе. Найдём значение этого максиму-
ма У12л .
Связанные контуры
295
При первом частичном резонансе
Y1 эр = ~
откуда
Y12M — Т2 У1 эр — -
или, поскольку на основании ф-лы (9.10)
2
72 =
12*
1
(9.42)
Зависимость Yi2m от —L изображена на рис. 9.13.
ri
Как видно из этого рисунка и ф-лы (9.42), Y12M будет иметь
максимум
Y12мм - 1
2/7?^
при
Рис.9.13. Зависимость модуля взаимной
проводимости У12ж при первом частич-
Поскольку мы уже при-
няли, что существует первый
частичный резонанс, то яс-
но, что У12ММ будет насту-
пать при оптимальном ре-
зонансе.
Ток во втором контуре в
п
ном резонансе от — или при втором
г 2
г2
частичном резонансе от—
этом случае будет равен
(9.43)
296
Глава 9
что соответствует максимально возможному току во втором
контуре [см. ф-лу (9.30)], наступающему при оптимальном
резонансе.
г\
Зависимости Y12 от для случая $2 = 0 ПРИ различных
даны на рис. 9.14.
Рис. 9.14. Резонансные кривые взаимной проводимости для
ных
ГУ
Г1
при изменении £х и ?2 = 0 (или для
изменении ?2 и = 0).
г2'
разных — ,
Г 2
раз-
при
Эги кривые отличаются от соответствующих
кривых
рис. 9.11 лишь постоянными множителями т2 = |/ поэто-
му их ширина будет та же, что и кривых У1Э (рис. 9.11)-
Как видно из рис. 9.14, резонансная кривая У12 с увеличением
(т. е. с увеличением связи) сначала резко возрастает, поч-
ти не расширяясь. При —— = 1 кривая достигает максимума^
При этом она в соответствии с ф-лой (9.35) расширится вдвое-
Затем резонансное значение У12м постепенно уменьшается, в
то время, как ширина кривой продолжает увеличиваться.
Связанные контуры
297'
Уменьшение Y12M с увеличением связи при объяс-
няется тем, что при этом вносимое активное сопротивление в
первый контур г, сильно снижает ток и это уменьшает,
несмотря на увеличение связи, мощность, передаваемую в»
второй контур.
В случае, если t2 0, кривые У12 будут сдвигаться в сторону
так же, как и кривые Y\3, на величину $2 —~ • Зависимость
У12 от при различных для$2= 2 изображена на рис. 9.15.
Эти кривые соответствуют кривым для Уь (рис. 9.12.)
§ 9.6. Резонансные явления в связанных
контурах при изменении х2
В этом параграфе мы исследуем зависимость взаимной пре
водимости ¥12 от х2 или, что то же, от $2 = ~ .
а
298
.Глава 9
Величина Y12 определяется ф-лой (9.38). Как видно из этой
формулы, Za влияет на Y12, точно так же, как 7^.
Отсюда следует, что зависимость Y12 от ?2 = — будет та-
кая же, как и изученная в предыдущем параграфе зависимость
Y12 от = Таким образом, полученные ранее результаты
могут быть распространены на данный случай.
Учитывая сказанное, мы не будем проводить дополнитель-
ные исследования, а сформулируем лишь выводы, исходя из
данных предыдущего параграфа.
К12 изменяется в зависимости от $2 в соответствии с
рис. 9.14 и 9.15. В этих рисунках нужно только у ?2, и и
поменять индексы 1 на 2 и 2 на 1.
Максимальное значение У12 при изменении х2 наступает
ири втором частичном резонансе, когда
х2 Х2 = О,
или, что то же, когда
Эго следует и непосредственно из схемы замещения вто-
рого контура, изображённой на рис. 9.7.
Максимальное значение определяется формулой
(9.44)
(она аналогична ф-ле (9.42)] и зависит от —— так, как
показано на рис. 9.13, в котором для данного случая надо
^*1 ^*2
вместо —— подставить ——
г2
Максимальное значение У^м будет наступать при-~вЬ
Связанные контуры
299
т. е. когда будут соблюдаться условия (9.23) оптимального
резонанса и будет равно
V — *
z у г 1 Гп
что соответствует ф-ле (9.43).
Ширина полосы пропускания резонансной кривой, выра-
женная в обобщённой расстройке, равняется
(Гп \
[см. ф-лу (9.35)] и увеличивается с увеличением —— Это
Г 2
объясняется увеличением активного сопротивления в схеме
замещения второго контура с увеличением связи (рис. 9.7).
Система связанных контуров, в которой меняется х2, ис-
пользуется при измерении частоты тока резонансным методом.
Этот метод заключается в следующем: с катушкой индук-
тивности, в которой протекает ток измеряемой частоты, ин-
дуктивно связывается последовательный колебательной кон-
тур—так называемый волномер. Ток, протекающий в этом
контуре, может быть измерен с помощью термопары с галь-
ванометром (рис. 9.16). Изменяя ёмкость переменного конден-
сатора контура, т. е. х2, добиваются максимального показания
гальванометра. Это будет при втором частичном резонансе.
Если связь между контурами доста-
точно мала, то можно пренебречь
вносимым реактивным сопротивле-
нием Х2 и считать, что максимум на-
ступит при х2=0- Зная индуктив-
ность и ёмкость контура, нетрудно
определить частоту, при которой это
ТоН измеряемой Волномер
частоты У_____________
Рис. 9.16. Схема резонанс-
ного волномера, индуктивно
связанного с цепью тока
измеряемой частоты.
'Гальванометр
имеет место, т. е. частоту измеряе-
мого тока.
При сильной связи вносимое реак-
тивное сопротивление будет сме-
щать положение максимума, а вно-
симое активное сопротивление будет расширять полосу про-
пускания контура, что приведёт к уменьшению точности оп-
ределения положения максимума.
Точность измерения частоты с помощью волномера дости-
гает 0,1%.
Изменение Yia и тока первого контура h в зависимости от
$2 мы исследовать не будем. Отметим только, что в этом слу-
300
Глава 9
чае токи 1Х и 12 будут меняться неодинаково, поскольку соот-
ношение между этими токами будет зависеть от величины
[см. ф-лу (9.2)j и, следовательно, будет меняться с измене-
нием 62.
§ 9.7. Резонансные явления в связанных контурах
при изменении и х2
В предыдущих параграфах рассматривалась зависимость
взаимной проводимости Y12 порознь от 61 и от 62. Обобщим
полученные ранее результаты, рассмотрев ¥12 как функцию
двух переменных 6j и 62.
Для этого запишем выражение взаимной проводимости в
несколько иной по сравнению с употреблявшейся ранее форме:
у ____ i I Хе |___________
ZA — Z* (1 -|- i 6i) r2 (1 + i 62) + xj
_________dr i 2Л ______________
“ 1+Л’ —6i6a+ i(6i + 6a)~
__ _______2 Л У12ЛСЛС_______ g * 2 ₽”) /Q
/(i + л* - 6x6,)»+(Si + 6ap •
Здесь A = — так называемый фактор связи,
V Г1Г2
pia - arctg j + ^2^5,
(9.46)
Отсюда
Ла = 2Л .
/ (1 + Л’ — 6162)’ + (61 -I- 6a)’
(9.47)
Анализ этой формулы проведём графически.
Рассмотрим поверхность, которая получится, если, задав-
шись величиной А построить в прямоугольных координатах
зависимость тД” - от 6Х и 62.
* 12ММ
Для того, чтобы представить форму этой поверхности,
можно для определённого А построить в прямоугольных ко-
Связанные контуры
301
ординатах 5Х и $2 ряд горизонталей, каждая из которых являет-
ся геометрическим местом точек, соответствующих одинако-
во
вым отношениям -у----.
Г12ММ
Эти линии являются проекциями сечения рассматриваемой
поверх ности плоскостями, параллельными плоскости 51( £2-
На рис. 9.17, 9.18, 9.19 и 9.20 изображены семейства этих
линий для случаев, когда А =0,5; 1; 2; 4. Около каждой го-
ризонтали указано соответствующее ей значение отношения
Из рассмотрения рисунков видно, что при А =0,5 и 4 = 1
рассматриваемая поверхность имеет вид холма с довольно
плоской (особенно при Л=1) вершиной и крутыми склонами,
которые делаются всё более и более пологими при увеличе-
нии и $2- При А=2 и А=4 поверхность имеет вид двух
холмов, разделённых седловиной.
302
Глава 9
Как видно из этих рисунков, У12 не может достигнуть
значения У12жж ни при каких и ?2, если А < 1.
Причиной этого является то, что при А < 1 связь между
контурами настолько слаба, что оптимальный резонанс не-
возможен ни при каких значениях и £2.
Действительно,
где
r'i = r2il,
2
72 =
, X2
Г1 < =г\А2.
ra
Следовательно
Таким образом, при Л < 1 всегда ri<rx и оптимальный
резонанс невозможен.
Как видно из рис. 9.17 — 9.20, при Л —1 оптимальный ре-
зонанс будет в одной точке при — S2 = 0. При А > 1 опти-
мальный резонанс получается в двух точках.
Связанные контуры
303
Покажем, как с помощью семейств горизонталей рис. 9.17,
9.18, 9.19, 9.20 можно определить зависимость отношения
.Л1-— от и с2 для любого случая.
* 12 Л€М
Рис. 9.19. Горизонтали поверхности, дающей з< висимость отношения
от и Е2 при А = 2.
Предположим, что мы изменяем реактивное сопротивление
первого контура xlt оставляя неизменными параметры второго
контура. Тогда будет переменной величиной, а ?2— постоян-
ной. Пусть £2 = -|-3,5 и А = 1. Обратимся к рис. 9.18. Изме-
нению соответствует перемещение по линии аа', парал-
лельной оси абсцисс. При движении слева направо, т. е. от
отрицательных значений к положительным, пересекаются
линии уровня, соответствующие всё большим и большим зна-
чениям отношения , что соответствует как бы подъёму
* 12 мм
по склону резонансной кривой. При несколько большем
нуля, достигается максимальное значение ^0,51 (это
112ММ
будет первый частичный резонанс) и затем начинается спуск.
Точки, в которых при движении вдоль оси достигаются
304
Глава 9
Г12 л
максимальные значения -v -, т.е. наступает первый частич-
I12 ЛСМ
ный резонанс, соединены на рисунках линией.
Аналогичным способом можно проследить зависимость
у
v—12 от L ПРИ заданных Е, и <4. При этом мы имеем дело с движе-
Г12 ЛСМ
нием по линии, параллельной сси ординат, например по линии
bb' на рис. 9.19, соответствующей £х=7,4 и А = 2. В этом случае
у
максимальное значение v 12 - наступит при L = —0,55 и бу-
< 12 ММ
дет равно 0,5. В этой точке наступит второй частичный резо-
нанс. Точки, в которых будет наступать второй частичный
резонанс, на рисунках также соединены линией.
В начале координат (£х= 0 и $2= 0) наступает полный резо-
нанс. В точках, для которых р^12 =1 наступает оптимальный
резонанс. Через эти точки проходят линии первого частичного
и второго частичного резонансов, т.е. в них существует од-
новременно по три резонанса.
§ 9.8. Резонансные явления в связанных контурах
при изменении частоты эдс (один из контуров
неколебательный, а другой колебательный)
Рассмотрим, как будет меняться взаимная проводимость
YX2 с изменением частоты эдс, если один из контуров неко-
лебательный, а другой — колебательный.
Предположим вначале, что колебательным является первый
контур. Можно считать в этом случае, что при изменении
частоты в области, близкой к резонансу, будет изменяться
лишь Вх, а ?2 будет оставаться примерно постоянным. Это пред-
положение справедливо потому, что полоса частот вблизи ре-
зонанса, в которой величина YX2 имеет существенное значение,
невелика и изменения х2 в этой полосе частот соответственно
малы.
На основании сказанного, для определения Y12 можно вос-
пользоваться выражениями § 9.5, положив в них
£ = = Q vx ж Qx —~ ,
ri Шр1
где гх и хх — активная и реактивная составляющие сопротив-
ления первого контура при разомкнутом втором
контуре;
Qi — добротность первого контура при разомкнутом
втором;
<о01 — резонансная частота первого контура при разом-
кнутом втором.
Рис. 9.20. Горизонтали поверхности, дающей зависимость отношения Y^/Y^mm от и 62 ПРИ Л
20 Основы радиотехники
306
Глава 9
Из этого выражениям также из рис. 9.15 и §9.5 следует,
что У12 будет меняться с частотой по резонансной кривой
последовательного контура. Максимальное значение У12 насту-
пает на частоте, определяемой уравнением
Е __ П ^ (<° “pl) ___ е
Ч — 41 ---------«2
“pl
откуда частота равна
(9.48)
Таким образом, она будет тем больше отличаться от
чем больше расстройка второго контура 52> чем больше связь
ri
между контурами, определяемая параметром — и чем меньше
добротность первого контура Qt.
Ширина резонансной кривой будет определяться уравне-
нием
2 Д5Х= 51 - ~
Шр1
где «1 и Si—значения на границах полосы пропускания,
а ш” и и>' — соответствующие им частоты. Из этого равенства
следует, что
ЛА / / / f i I Г1 Юр*
2 Д CO — СО — СО — I 1 -I- — I = ——--------------
Qi \ 1 rt) Qla ’
(9.49)
где Q13 — эквивалентная добротность первого контура с учё-
том связи:
Qla = —
1 । ri
(9.50)
Как видно из ф-лы (9.49), с увеличением — , т. е. с увели-
ri
чением связи между контурами, ширина полосы пропускания
растёт.
Связанные контуры
307
Рост ширины полосы и уменьшение <21Э при увеличении
связи можно объяснить увеличением активного сопротивле-
ния в схеме замещения первого контура, за счёт вносимого
активного сопротивления.
Максимальное значение проводимости У12мм с увеличением
у- (т. е. с увеличением связи), вначале увеличивается до-
стигает наибольшей величины при у = 1 и затем умень-
шается.
Фазовая характеристика в этом случае будет также соот-
ветствовать фазовой характеристике последовательного коле-
бательного контура, имеющего добротность Q13, если доба-
вить к ней в соответствии с § 9.5 постоянную величину
± j — ?2, где р2 = arctg $2-
Если колебательным является второй контур, а первый
неколебательный, то мы будем считать меняющимся лишь х2.
Этот случай сведётся к случаю, рассмотренному в § 9.6.
Поскольку, как было показано, Y12 зависит от и х2 одина-
ково, всё сказанное выше для случая, когда колебательным
являлся первый контур, будет справедливо и здесь, нужно
лишь во всех приведённых в этом параграфе формулах сме-
нить индексы 1 на 2 и 2 на 1.
Укажем ещё, что величину связи между контурами обыч-
но берут не слишком большой, чтобы не увеличивать значи-
тельно полосы пропускания
и не слишком малой, чтобы г, м г2
не снижать максимального зна- г—WA—~\ ——Г
чения взаимной проводимости. Jol, r<JL А
г(/ r2\ S-7 лК ।
Значение — или — , равное |____________2? __________ I
/*1Д '2 /
0,25, позволяет получить удов-
летворительное компромис- Рис- 9.21. Схема к примеру 9.4.
сное решение. В этом случае
полоса пропускания на 25% больше полосы пропускания оди-
ночного колебательного контура, а максимальное значение У12
составляет 80% от У12жж.
Пример9.4. Схема, изображённая на рис. 9.21, имеет следующие данные:
£х = L2 = 1 мгн, С = 1000 пф, г\ - 9000 ом, г2 = 10 ом.
20»
308
Глава 9
Требуется: найти взаимную индуктивность Мо, при которой коэффициент
Uc
усиления схемы К g" будет максимальным (Uс—эффективное значение на-
пряжения на конденсаторе С), величину коэффициента усиления и полосу
пропускания, получающуюся при этом.
Решение. 1. Резонансная частота второго контура равна
шрг “ //Тс' = /Ю-МО’-Нгй" = 10’ Х,сек'
2. Добротность второго контура равна
Q2 = ^ = io^2 = io°
3. Примем хг и Si постоянными и равными их значениям на частоте (ор2,
поскольку резонансная кривая расположена вблизи этой частоты.
Получим
xi — М = 10е-Ю"8 « 1000 ом,
4. Найдём частоту оптимального резонанса» при которой ток во втором
U с
контуре и коэффициент передачи К = -jf будут максимальными:
/
<> = “Р2 1 + - 10» fl + Q;!1..1 • 1 - 1,00055 • 10» Цсек.
Как видим, эта частота будет отличаться всего лишь на 0,055% от о)р2.
Го
Здесь было принято —г « 1, поскольку расчёт вёлся для оптимального ре-
г2
зонанса.
5. Найдём хс из равенства
х2
, 2 *с
г2 = 71 П = ”2 , г2 П -
Г1 + Х1
поскольку расчёт ведётся для оптимального резонанса.
Получим
Хс Д ( Г1 + х1) 9000
(9« . 10е + 10е) = 302 ом.
6. Находим MQ из равенства
откуда
хс = (оМ0 » ир2 Мо,
М, = = 302 • Г0-» гн = 302 мкгн.
Связанные контуры
309
7. Найдём К. Напряжение на конденсаторе равно:
„EY J
откуда
-1=.. 1 1_______________________________. 1
Е 2 /ггг2 С 2 /г\г2
2 /9000-10 * 10е-1000-10“12
8. Полоса пропускания равна
2A“=bf(1+Ta)=lS(1 + 1)=2000° 1/cw
2Д/-1^-2°°^!.=3200 гц.
J 2 к 6,28
§ 9.9. Резонансные явления в связанных колебательных
контурах при изменении частоты эдс (контуры без потерь)
В этом и последующих параграфах мы рассмотрим, как
будет изменяться Yia при изменении частоты эдс <о, если оба
контура колебательные.
При изменении частоты ш происходит одновременное
изменение реактивного сопротивления обоих контуров и
сопротивления связи, что сильно усложняет исследование.
Взаимная проводимость [см. ф-лу (9.38)] равна
у ______Ze_____ 1 X?__________
“ Z1Z2 - Zc (n + i -4) (r2 + i x2) + x 2
__________________ixc__________________
Г1Га - XjX2 + x2c + i (rjXjs + raXj) ‘
(9.51)
Для первого приближённого исследования мы будем
считать, что контуры не имеют потерь, т. е. положим, что
rt=r?=0.
310
Глава 9
При этом
Г______________1 АГС
12 ~ . 2
(9.52)
Такое допущение не приведёт к существенным ошибкам,
если
| — Х±Х2 4~ Х% I | ГгХ2 + г2х11
И . 21
I — хгх2 + Хс I » ГуГ2.
Можно ожидать, что эти условия будут удовлетворяться
в широком диапазоне частот, поскольку для нормальных
контуров
kJ
и
I Х2 I Г2»
за исключением областей частот вблизи резонансов.
Исследуем графически, как будет изменяться модуль
дроби (9.52) с частотой. Для колебательных контуров:
(О (Рв>
Х2=р2>2; V2=——
Здесь <ор1—резонансная частота первого контура,
ШР2—резонансная частота второго контура.
На рис. 9.22а изображены кривые зависимости xltx2n xfxt
ОТ О), причём УСЛОВНО ПРИНЯТО, ЧТО ®pi<Z®p2-
Если u»pi^>«>p2> то характер зависимости окажется тот же,
только индексы 1 и 2 поменяются местами.
На рис. 9.23а приведены кривые зависимости х1(х2 и ххх2
от ш для случая, когда а)р1=(»/,2=<0/, .
Предположим вначале, что связь индуктивная или авто-
трансформаторная, т. е. что
х =о>Л1
или
xc=«>Lc.
Тогда зависимость х2 от частоты будет квадратичная.
Она также изображена на рис. 9.22а и 9.23а. На рис. 9.226 и
9.236 изображены кривые зависимости знаменателя ф-лы (9.52)
от частоты для случаев, когда a)pi=0)/>2* (Для компакт-
ности рисунков знаменатель отложен с обратным знаком.)
Из рисунков видно, что знаменатель обращается в нуль
на частотах «>а и wb, для которых х2 = ххх2. Эти частоты
называются частотами связи. Даже в том случае, j-согда
Рис. 9.22. Зависимость составляющих ф-лы (9.52) и мо-
дуля взаимной проводимости от частоты при индуктивной
связи и разных резонансных частотах контуров; <оа и
—частоты связи.
Рис. 9.23. Зависимость составляющих ф-лы (9.52) и мо-
дуля взаимной проводимости от частоты при индуктивной
связи и одинаковых резонансных частотах контуров;
<оа и — частоты связи.
ввязанные контуры
313
резонансные частоты обоих контуров равны, существуют две
частоты связи. Как видно из рис. 9.22 и 9.23, одна из этих
частот всегда меньше обеих резонансных частот контуров, а
другая всегда больше. Чем меньше связь между контурами,
тем меньше х? и тем ближе частоты связи к резонансным
частотам контуров. Теперь нетрудно построить зависимость
взаимной проводимости от частоты. На рис. 9.225 и 9.235
пунктиром построены кривые зависимости числителя и знаме-
нателя ф-лы (9.52) от частоты для случая индуктивной или
автотрансформаторной связи, а сплошной линией — кривые
зависимости модуля взаимной проводимости от о>. На частотах
связи взаимная проводимость обращается в бесконечность.
В реальных контурах это не будет иметь места, поскольку
знаменатель ф-лы (9.51) не будет равен нулю из-за наличия
сопротивлений гх и г2.
Для ёмкостной связи, когда
X =----
С <0 Се
зависимости будут аналогичными.
На рис. 9.24а изображены значения xtx2 и х?, а на рис. 9.245-
значения числителя и знаменателя ф-лы (9.52) и У12 для слу-
чая ёмкостной связи. Аналогичные зависимости будут иметь
место и при комбинированной связи.
На основании рассмотренного можно сделать следующие
выводы:
Если в системе двух связанных колебательных контуров
ri и г2 равны нулю, то Yn обращается в бесконечность на двух
частотах, называемых частотами связи. Одна из этих частот
всегда меньше обеих резонансных частот отдельных контуров,
а другая всегда больше. Если хс -► 0, частоты связи стремятся
к резонансным частотам контуров.
Найдём математическое выражение для частот связи. Для
этого найдём корни уравнения
Хс—XjX2=0.
В частном случае
xf=<o Lc
и уравнение запишется так:
(u)Lc)2 —p1v1p2v2=0.
Проводя дальнейшие преобразования, будем иметь
Ш С----- Шр1 L1 Шр2 ^-2
Рис. 9.24. Зависимость составляющих ф-лы (9.52) и мо-
дуля взаимной проводимости от частоты при ёмкостной
связи и разных резонансных частотах контуров; <оа и
частоты связи.
Связанные контуры
315
Здесь Lj и L2 соответственно индуктивности первого и
второго контуров.
Разделив уравнение на LXL2, получим
где
=0,
(9.53)
^kl —
Величина ^называется коэффициентом индуктивной связи.
После раскрытия скобок и приведения подобных членов,
придём к биквадратному уравнению:
<04(1 —kl) — <О2 (шр1 + 0^2) Шр2Шр2 = 0
Корни этого уравнения равны.
2 "rf + “>,! т/(<°Р1 + - 4 С1 ~ (9 541
2(1 -k2L) ( '
Если резонансные частоты обоих контуров одинаковы, т. е.
то
(Upi=V=u,p>
(9.55)
Отрицательные корни мы отбрасываем.
Величина ki, не может быть больше 1, поскольку всегда
и 1^2 Lc.
Из ф-лы (9.54) следует, что при kb -* 1
2 2
, “PI ШР2
U)Z -► -х------
A 2 । 2
О)* - оо.
При ki. -* 0, как мы уже установили раньше, <»Л и
стремятся к резонансным частотам контуров.
316
Глава 9
В случае трансформаторной связи хс=и>М, и мы получим
те же соотношения только в них следует положить
kL=-^L=.
Для ёмкостной связи
X==_J__
с 0)Сс •
(9.56)
В этом случае, рассуждая аналогично предыдущему, мы
получим для частот связи следующее выражение
2 I 2
2 + ЮР2
Ъ 2
“>,1(1-^).
(9.57)
Здесь обозначено
(9.58)
При контурах, для которых a>pl=<i>p2=U)p, получим
и>о, Ь=шрУ 1 + kc.
(9.59)
Если fee-* О, то, как было установлено раньше, частоты
связи будут стремиться к резонансным частотам кон,ура.
Если kc-* 1 (fee не может быть больше единицы), то <ов->0,
а °>*-*(<"₽! + >!)•
Введённые здесь величины fez, и kc, названные коэффици-
ентами связи, можно в общем виде выразить так:
(9.60)
где хк1 и хж2—полные, одноимённые с хс реактивные составляю-
щие сопротивления первого и второго контуров (т. е. индук-
тивные сопротивления при связи индуктивного характера и
ёмкостные при связи ёмкостного характера).
Связанные контуры
317
В справедливости этой формулы легко убедиться, сличая
её с ф-лами (9.53), (9.56) и (9.58).
Для комбинированной связи можно провести аналогичное
исследование.
§ 9.10. Резонансные явления в связанных колебательных
контурах при изменении частоты эдс (слабая связь и сильно
отличающиеся резонансные частоты)
Рассмотрим, как будет меняться взаимная проводимость
У12 с изменением частоты эдс, если связь между контурами
слабая и резонансные частоты контуров сильно отличаются
друг от друга.
Прежде всего заметим, что при слабой связи изменение вно-
симого сопротивления с частотой в области частот, близких
к резонансным частотам контуров, ничтожно, а частоты связи
примерно равны резонансным частотам контуров.
На этих частотах нельзя пренебрегать активными сопро-
тивлениями, но -можно считать, что в узкой области частот,
близких к <вр1 реактивное сопротивление второго контура,
Рис. 9.25 Зависимость модуля взаимной проводимости
от частоты, построенная с учетом активных сопротивле-
ний г\ и г2.
поскольку его резонансная частота сильно отличается от <»р1,
примерно постоянно и равно х2р1, а в области частот, близких
к «“рг, реактивное Сопротивление первого контура примерно
постоянно и равно х1р2.
Таким образом, мы будем считать, что в области частот,
близких к <ор1:
в e2=^a=const,
*2
318
Глава 9
а в области частот, близких к wp2:
еа=<?а2%~^2),
$1=£iA2=const.
r 1
В этих случаях исследование и его результаты будут
полностью идентичны с § 9.8, и мы получим две резонансные
кривые, сходные с резонансными кривыми одиночного контура.
Одна из этих кривых будет в области, близкой ка>р1, а другая
в области, близкой к шр2.
Для остальной области частот можно принять г1=г2=0.
На рис. 9.25 приведена зависимость У12 от <о для случая,
когда гх и г2 не равны нулю.
§ 9.11. Резонансные явления в связанных колебательных
контурах при изменении частоты эдс (контуры одинаковые)
В практике часто встречается случай, когда первый и
второй контуры имеют одну и ту же резонансную частоту
и одну и ту же добротность (заметим, что это может иметь
место и при разных контурах, если L1C1=L2C2 и — — —) .
Г1 Г2'
В данном параграфе мы рассмотрим этот случай.
Если
и
то
°>pi=V=U)p
Qi=Qa=Q,
и ф-ла (9.47) принимает следующий вид:
У1а__=_________2А_______
У12 ММ /(1 +дг—е»)2+4 5’
(9.61)
Для анализа этой формулы, исследуем квадрат её знаме-
нателя, обозначив его через В2:
£2 = ^ +2(1 - Д2)52+(14-Л2)2. (9.62)
Зависимость В2 от t будет симметрична относительно оси
ординат, поскольку в уравнение входят чётные степени L
Связанные контуры
319
Найдём производную -jy и, приравняв её нулю, определим
точки экстремумов
^у=4 ? + 4 5(1 - Л2) = 0.
Первый корень этого уравнения
5=0,
второй и третий ________________
ь=±Уа^Т.
Второй и третий корни существуют при А 1.
Нетрудно показать, что при 5=0
а при
В2=(14-Л2)2,
£=+/Л2—1,
В2=4Л2.
Таким образом, при А < 1, с изменением $ от — оо до у ос
В2 будет меняться от -|- оо до минимального значения, при
$=0 равного (1 -f- Л2)2, и затем симметрично до + оо. При
Л > 1 В2 будет меняться от 4- оо до первого экстремума
при £=—УAz— 1, где В2=4Л2. Затем В2 будет увеличиваться,
принимая значение (l-j-Л2)2' при следующем экстремуме,
наступающем при £ = 0. Отметим, что при Л > 1 всегда
(1 4~ Л2)2 ^>4Л2. Затем В2 будет меняться симметрично, умень-
шаясь до значения 4Л2 при £=-]-)/ Л2 — 1 и дальше, увели-
чиваясь до4~оо.х
На рис. 9.26 а и 9.27 а изображена зависимость В2 от 5
для Л < 1 и для Л > 1. При Л < 1 В2 будет иметь один ми-
нимум, а при Л > 1 — два.
Мы будем считать, что в области, близкой к резонансу,
х. и Л мало меняются с изменением частоты. В этом случае
у
v—— будет меняться с частотой обратно пропорционально
Г12 Мм
величине В.
у
На рис. 9. 266 изображена зависимость -v 12 от 5 для Л < 1
*12 ММ
и на рис. 9.276 для Л>1. Экстремальные значения ука-
заны на этих рисунках. Зависимость ~12 от 5, т. е. от
ги мм
320
Глава 9
частоты, будет одногорбой при факторе связи меньшем или рав-
ном единице и двугорбой при А > 1. При А > 1 максимальные
значения У12 равны У12лм<, т- е« значениям взаимной проводи-
мости при оптимальном резонансе.
Рис. 9.26. Характер зависимости
знаменателя ф-лы (9.61) и отно-
шения К1а/К12ЛМ< от обобщённой
расстройки 6 для Д<1.
Рис. 9.27 Характер зависимости
знаменателя ф-лы (9,61) и отношения
^12/^12** от обобщённой расстрой-
ки 6 для Д> 1.
у
На рис. 9.28 приведены зависимости отношения у 18 от
£ для разных значений фактора связи.
Двугорбые резонансные кривые, получающиеся при Л>1,
характерны тем, что все максимальные значения отношения
одинаковы и равны единице. Чем больше фактор связи А,
* 12 мм »
ввязанные контуры
321
тем больше значения Е, при которых наступает максимум, и тем
меньше значение взаимной проводимости на резонансной ча-
стоте (при Е=0).
По сравнению с резонансной кривой одиночного контура
(она изображена на рис. 9.28 пунктиром) резонансные кри-
вые связанных контуров при факторе связи, близком к еди-
нице, обладают более равномерной зависимостью взаимной
Рис. 9.28 Семейство резонансных кривых двух связанных оди-
наковых контуров. Пунктиром изображена резонансная кривая
последовательного контура.
проводимости от Е в полосе пропускания, что уменьшает ис-
кажения при прохождении через связанные контуры модули-
рованных колебаний. За границами полосы пропускания вза-
имная проводимость уменьшается более резко, чем проводи-
мость одиночного контура. Это способствует лучшему выделе-
нию принимаемой станции.
Однако максимальная взаимная проводимость свя-
занных контуров меньше максимальной проводимости одиноч-
ного контура. Действительно,
Y12mm~ 2 /77“ '
Если r1=r2=r> то У12мм=~^р- Максимальная же проводи-
мость одиночного контура Yp
21 Основы радиотехники
322
Глава 9
Поэтому при одной и той же величине эдс ток во втором
контуре системы связанных контуров меньше тока, протекаю-
щего в одиночном последовательном контуре.
Фазовая характеристика для взаимной проводимости систе-
мы двух связанных контуров определится из ф-лы (9.45).
Для рассматриваемого случая, когда $i=£2=£, эта характе-
ристика определится формулой
± 2 ± 2 arctg ц.
Зависимость р12 от $ для ряда значений А дана на рис. 9.29.
Как видно из этого рисунка, при Л=1 фазовая характери-
стика в широком диапазоне (от £=—1,5 до 5=+1,5) почти
линейна. В §6.13 было показано, что такая линейная фазовая
характеристика не даёт искажений. При Д=0,5; 2 и 4 фазовая
характеристика менее линейна- На этом рисунке пунктиром
показана для сравнения фазовая характеристика последова-
тельного колебательного контура.
Пример. 9.5. Известны следующие данные системы связанных контуров,
изображённой на рис. 9.1 а: = С2 = 120 пф, fPi = fPa = =
465 кгц\ L] = L\ Qi х= Q9 = Q.
Требуется найти Lt М и Q, необходимые для того, чтобы взаимная про-
водимость на несущей и крайних боковых частотах амплитудао-модулирован-
ной эдс, включённой в первый контур, отличалась в раза от Yi9MM.
Несущая частота равна резонансной. Максимальная частота модуляции рав-
на 6 кгц.
Р ешение. 1. Определяем индуктивность
L = 4л*/р*С = 39,5-465‘-106-120-10-:|1 = 0,975-10“’ гн — 0,975 мгн.
2. Определяем фактор связи А из условия:
У.ц, _ 24_________L_.
К12жм-1+Л« /Т’ ’
откуда А «= 2,415.
ввязанные контуры
323
3. Находим обобщённую расстройку 5 на крайних боковых частотах
из условия:
___________2А_______ ____1
Уимм ~ /(i +л»—ё»)»Т4ё» ” /Т
Рис. 9.29. Семействофазовых характеристик двух связанных одина-,
ковых контуров. Пунктиром изображена фазовая характеристика
последовательного контура.
4. Определяем добротность Q.
По условию на крайней боковой частоте, для которой f— fp = 6QQQ гц
^=^ = 3,1,
jp
откуда
11*
0_—=
3,1-465-10» , „
2-6-10» ”12С-
324
Глава 9
5. Находим г из формулы Q = -у—:
<ол£ 6,28*465-Ю’-О,975-10“»
г— Q — 12о =23,8 ом.
6. Определяем хе из формулы А = /—— = ~7~~ :
V riri г
хс = Аг = 2,415-23,8 = 57,3 ом.
7. Определяем Л4:
хе яв <»рМ,
откуда
хе 57,3
М =в — = 6,28-465-10s- =19>6-10~вг«= 19,6 мкгн.
§ 9.12. Резонансные явления в связанных контурах
при изменении частоты эдс
(общий случай при близких частотах связи)
В этом параграфе мы рассмотрим зависимость Уи от ш
при любых контурах в области частот» охватывающей резо-
нансные частоты а>р1 и о>р2. При этом мы будем полагать
эту область настолько узкой, что в ней можно считать при-
ближённо х,_=const и применять для расстроек приближённые
формулы. При этих условиях и Еа будут меняться с изме-
нением ш в соответствии с формулами:
2 (" — <“pi)
—Q2
2 (<> - o>pa )
“pi
(9.63)
а величина Д=-^== будет постоянной.
У nr,
Исследованние мы проведём, пользуясь зависимостью Ya
от и 5,, даваемой ф-лой (9.47), и построенными по ней
рис. 9.17, 9.18, 9.19 и 9.20.
Связанные контуры
325
С увеличением ш Ех и Еа будут расти. Исключив из ра-
венств (9.63) частоту <о, получим
“pi Qi t | f) 2 (“pi — <Qpa)
«p. ’ + “p2
(9.64)
Это — уравнение прямой на плоскости Ех и Еа. Величина
^£1—равна тангенсу угла наклона прямой к оси Ех; вто-
“р2 VI
рой член уравнения показывает, насколько прямая сдвинута
от начала координат в вертикальном направлении.
По этой прямой будет двигаться точка при изменении <о.
Рассмотрим сначала случай, исследованный уже раньше,
когда
Qi — Qt
и
V = v •
При втом Ех=Еа и точка будет двигаться по прямой, про-
ходящей через начало координат и идущей под углом 45°
к осям (прямые се* на рис. 9.17, 9.18 и 9.19). В этом случае
при А < 1 (рис.-9.17 и 9.18) с увеличением ш мы, двигаясь по
прямой слева направо, будем получать сначала увеличение Ки,
затем при Ех = Еа = О наступит максимум и дальше Yu будет
уменьшаться. Это даст одногорбую кривую изменения Yu от <о.
Если А > 1 (рис. 9.19 или 9.20), то при движении по той же
прямой мы получим двугорбую кривую.
Пусть далее:
Pl Pi
Qi 4s Qa-
Уравнение прямой тогда запишется так:
t ——Е
Sa- Qi51.
В данном случае прямая пройдёт через начало координат
под углом, отличным от 45°. Если фактор связи А меньше или
равен единице, то резонансные кривые будут одногорбыми.
Если А > 1, то кривые будут двугорбыми, симметричными, но
326
Глава 9
Y
максимальное значение отношения ту- ’* будет обязательно
‘it мм
меньше единицы, поскольку прямая не пройдёт через верши-
ны ,холмов*.
Пусть:
V ¥= ,
Qi_= Qi.
“р» “pi *
Уравнение прямой тогда запишется следующим образом:
«з=^ + С2^
— тр« )•
“pl
Эта прямая проходит под углом 45° выше начала коорди-
нат (если <ор1 > «>р2) или ниже (если <»pi<C0)p2)'
В этом случае резонансные кривые будут также симмет-
у
ричными, но максимальные значения отношения у 11 - всегда
‘ и ММ
будут меньше 1 (это можно проследить, например, по пря-
мым ее' на рис. 9.17 и 9.20). В этом случае даже при А < 1
кривые могут оказаться двугорбыми.
Пусть, наконец,
«>р1 ¥= <“р2
и
“pl “pl
В этом случае прямая проходит выше или ниже начала
координат под углом, отличным от 45° (например прямые ff
на рис. 9.17 и 9.20). Резонансные кривые получаются при этом
несимметричными, максимумы взаимной проводимости неодина-
ковыми. В этом случае один из максимумов может достигать
значения YaMM (отношение у*'11- =1). Так же, как и в преды-
дущем случае, при Д<1 резонансные кривые могут оказаться
двугорбыми, но несимметричными.
Из. рассмотренных в этом параграфе примеров видны пре-
имущества системы двух связанных контуров с Qt=Qa и
• Только В этом случае К12 достигает максимальных
возможных значений Уимм при симметричной кривой.
Связанные контуры
327
Кроме того, для этого случая прямая проходит через вер-
шины „холмов" и небольшое смещение её при изменении
параметров контуров будет мало сказываться на кривой изме-
нения Yu от ш. В других же случаях прямая проходит по
склонам „холмов", где крутизна довольно велика. Поэтому
те же небольшие смещения прямой вызовут намного большие
изменения кривой К1а, что бывает нежелательно.
§ 9.13. Воздействие модулированных колебаний
на системы связанных контуров
Кратко поясним, каким образом можно найти ток во вто-
ром контуре системы связанных контуров, если в первый кон-
тур включена амплитудно-модулированная эдс. В параграфах
9.8 и 9.10 мы показали, что в ряде случаев резонансные кривые
взаимной проводимости подобны резонансной кривой одиночного
последовательного контура. В этих случаях и ток, протекаю-
щий во втором контуре будет иметь такой же характер,
как ток, протекающий в одиночном последовательно.м кон-
туре при воздействии на него амплитудно-модулированной
эдс (см. гл. 6).
Если резонансные кривые связанных контуров отличаются
от резонансной кривой одиночного контура, но симметричны,
то ток может быть найден способом, аналогичным приведён-
ному в § 6.9, где подробно рассматривалось воздействие
модулированного напряжения на цепь с проводимостью, зна-
чения которой симметричны относительно частоты «у Для на-
хождения тока 1а в связанных контурах необходимо, конечно,
умножать эдс на взаимную проводимость ¥1а (в § 6.9 мы имели
дело с простой проводимостью). Заметим, что при двугор-
бой резонансной кривой взаимная проводимость для несущей
частоты может оказаться меньше, чем для боковых частот.
Это приведёт к увеличению коэффициента модуляции тока по
сравнению с коэффициентом модуляции эдс. Может иметь
место и такой случай, когда амплитуды колебаний боковых
частот тока станут больше половины амплитуды колебания
несущей частоты, т. е. наступит перемодуляция.
При частотной и фазовой модуляции для связанных конту-
ров полностью применимы методы исследования, изложенные
в гл. 7.
§ 9.14. Воздействие импульсов на связанные
одинаковые контуры
В этом параграфе мы рассмотрим воздействие импульсов
на связанные контуры.
Сначала подробно исследуем нестационарные процессы в
328
Глава 9
двух одинаковых связанных контурах, поскольку такая си-
стема особенно часто применяется на практике.
С целью облегчения исследования преобразуем выражение
(9.45) для взаимной проводимости, считая параметры обоих
контуров одинаковыми (Lj. = La = L; Ci = С2 = С; rt = ra = г) и
отбрасывая знак ± как несущественный в данном случае. В ре-
зультате получим
V — *1 2Л _ • А 1 1
“ *2г * (1 4-i5)»+A» — 1 г 'l+i(e + A) ' l+i(5-A)*
Иначе это можно записать в виде
1
у ________1__________________
’» “2r [1 + i($ - А)] 2г [1+ i (6 + А)] ’
в чём нетрудно убедиться, приведя эти дроби к общему зна-
менателю и сложив их.
Далее обозначим
(D-----(О
г =
J- А = О2(<в~ М
“я 1 ' ' ШР
<&pL 2 (<о — <о')_<о'£ 2 (<о — <о') 2 (<о — <о')
Г <&о Г о/ о/
где
<о' = <ор
(9.65)
Таким образом, Г — обобщённая расстройка
с резонансной частотой <о', сопротивлением г
носгью L
Совершенно аналогично обозначим
V' = 5 - А = = Q
для контура
и индуктив-
2 (<о — о>")
(О'
(О
где
(О =(0р
(9.66)
V' — обобщённая расстройка для контура с резонансной ча-
стотой о>", сопротивлением г и индуктивностью L Подстав-
ляя 5' и V' в выражение для Y12, получим
V — 1Г 1 л 1
12 ~ 2 [г (1 + i 5") r(l +ir) ] •
(9.67)
Связанные контуры
329
Таким образом, взаимную проводимость двух связанных
одинаковых контуров, имеющих сопротивление г, индуктив-
ность L, резонансную частоту <вр и добротность Q можно
представить, как полуразность проводимостей двух колеба-
тельных контуров с сопротивлениями г, индуктивностями L и
резонансными частотами <о" и <«' (см. 9.65 и 9.66).
Выясним, чем характерны частоты ш' и <о". Для этого вы.
разим отношение через коэффициент связи.
При индуктивной связи (хс=
(9.68)
(мы берём значение хе на резонансной частоте, считая его
примерно постоянным в пределах полосы пропускания).
При ёмкостной связи
Таким образом, получаем:
""=“.(> + 4)
(9.70)
где k=ki или k=kc.
На основании ф-л (9.55) и (9.59) мы получим при малом k
следующие выражения для частот связи:
для индуктивной и трансформаторной связи и
для ёмкостной связи.
Из сравнения этих выражений с (9.70) мы видим, что ча-
стоты «>' и ш" являются частотами связи.
330
Гллвл 9
Если в первом контуре будет действовать эдс e(t) со спект-
ральной функцией Ge (<о), то спектральная функция тока
во втором контуре будет равна
G ,(<>)' 1
Г(1 +!?')]•
Поэтому ток, текущий во втором контуре, будет равен
(9-71)
где i"—ток, соответствующий спектральной функции
G* (м)
г(1 +1$”)’
т.е. ток, который потечёт под действием эдс e(f\ в последо-
вательном колебательном контуре с сопротивлением г, индук-
тивностью L и резонансной частотой «>"; ток, соответствую-
щий спектральной функции
Gg (<*)
г (1 + i 5') ’
т.е. ток, который потечёт под действием эдс e(t) в последо-
вательном колебательном контуре с сопротивлением г, индук-
тивностью L и резонансной частотой и/. Токи i' и i" мы
можем найти для ряда случаев, пользуясь гл. 8, а, зная i' и
Г', мы сразу найдём ток г2.
Для отыскания тока первого контура исследуем прово-
димость схемы замещения этого контура Y1S. Она выражается
ф-лой (9.32). Действуя совершенно аналогично предыдущему
и принимая во внимание, что контуры одинаковы, мы её мо-
жем представить в виде
у ___±Г 1__________1 1
19 2[ r(l + i г (1 + i S') J ’
(9.72)
где обозначения те же, что и в предыдущих формулах
этого параграфа.
ввязанные кантуры
331
Отыскивая ток в первом контуре ilf под действием импуль-
са эдс e(t), мы, действуя совершенно аналогично предыду-
щему, получим
(9.73)
Здесь Г и i" те же, что и в ф-ле (9.71).
При выводе этих формул, мы пользовались приближённой
формулой для расстроек и считали А постоянным, что спра-
ведливо только вблизи резонансной частоты. При частотах,
сильно отличающихся от резонансной, эти формулы неточны,
однако, спектральная функция тока на таких частотах мала
и поэтому допущенная неточность незначительно влияет на
общий ток.
На основании полученных общих положений разберём ряд
частных случаев.
а) Собственные колебания в двух связанных
одинаковых контурах
Если в связанных одинаковых контурах действовал импульс
эдс, то по прекращении действия этого импульса в контурах
могут совершаться собственные колебания. На основании
ф-л (9.71) и (9.72) эти колебания будут состоять из алгебраи-
ческой суммы колебаний I' и I", получающихся в двух про-
стых колебательных контурах под действием такой же эдс.
Колебания в простых последовательных контурах после пре-
кращения действия в них эдс определяются выражением (8.6).
Отсюда с учётом сказанного выше о токах V и I" следует,
что собственные колебания в одинаковых связанных контурах
будут определяться выражениями:
4 = у B"e-e/ cos (ш" ^4* Ф") + В’ e-e/ cos (ш7-|- ф')>
ia = у В"е_,/ cos (u>"f-J- ф") — у В’ е~л1 cos (ш' £-|- ф')»
где а — £, ш> и ш" — частоты связи, В', В", ф' и опреде-
ляются внешними' воздействиями, создавшими собственные
колебания.
332
Глава 9
б) Воздействие короткого импульса на
одинаковые связанные контуры
Найдём вначале токи V и i", получающиеся при воздей-
ствии короткого импульса на контуры с резонансными часто-
тами ш' и <>", равными частотам связи и одинаковыми г и L.
Учитывая, что в данном случае (см. табл. 8.1)
Gr((o) = S,
где S — площадь импульса, мы будем иметь
Ge(*P) = ST
«р = 0.
На основании ф-лы (8.67) получим
i = -j- е ‘ cos ш г,
г =-j- е~" cos <о г,
где
а== 21‘
Поэтому
1 5
4 = j (»" + i') — 2Le~al (cos+ cos 0
н
1 S
4 = -п (i" — i') = ът e-e/ (cos <о" t — cos «*' t).
Отсюда, используя формулы тригонометрии и ф-лы (9.70),
получим
• 5 „л. to"— to' , ш" 4- to' ,
11 = ~Г e * cos-о---* C0S--f— * =
(9.74)
= e~at cos t cos wp t.
Аналогично
4 = -j- e~e' sin^£t sin <»p t. (9.75)
На рис. 9.30 а тл. в изображены временные диаграммы для
полученных значений 4 и соответственно. Из этих рисунков
Связанные контуры
333
видно, что в первый момент сразу возникают колебания в
первом контуре, при этом ток 4 равен нулю. Затем амплитуда
тока 4 падает, а ток 4 растёт.
В тот момент, когда амплитуда тока 4 достигает макси-
мума, амплитуда тока становится равной нулю. Затем
амплитуда тока 4 начинает возрастать, а 4 падать.
Рис. 9.30. Зависимость тока в первом и втором контурах
при воздействии на систему связанных контуров короткого
импульса.
При этом процессе происходит непрерывный переход
энергии из одного контура в другой. В тот момент, когда
энергия в первом контуре максимальна, энергия во втором
контуре равна нулю.
Чем больше связь между контурами, тем быстрее проис-
ходит переход энергии из одного контура в другой, т. е. тем
больше частота биений между колебаниями с частотами
и о>". Чем больше добротность контуров, тем медленнее
затухают амплитуды колебаний.
Эти процессы можно объяснить так: при воздействии
короткого импульса в первом контуре сразу возникают ко-
334
Глава 9
лебания с частотой (так же, как в одиночном контуре).
Колебания во втором контуре ещё не возникли вследствие
его инерционности, поэтому второй кон-
а) ‘ Е.г тур на первый контур вначале не влия-
ет. Однако во втором контуре сразу
же возникает эдс, которая для случая
п12 . индуктивной связи будет приблизитель-
J Т — но равна
Еа = i<i>pAflx.
б)
!г
h
Рис. 9.31. Векторные
диаграммы, поясняющие
зависимости рис. 9.30,
построенные для случая
индуктивной связи.
Под действием этой синусоидальной
эдс колебания во втором контуре начи-
нают постепенно нарастать. Возника-
ющий ток 12 будет совпадать по фазе
с эдс Е2. Этот ток будет в свою очередь
наводить в первом контуре эдс ₽х.
На векторной диаграмме рис. 9.31а
изображены векторы 1Х, Е2, 12 и Ех в
начале процесса (для момента а на вре-
менной диаграмме рис. 9.30). Из век-
торной диаграммы видно, что эдс Ех
будет в противофазе с током 1Х, сле-
довательно, ток h будет уменьшаться
этой эдс. Ток 12 будет в фазе с эдс Е2
и будет увеличиваться.
Через некоторое время векторная
диаграмма примет вид, изображённый
на рис. 9.31tf. Он соответствует моменту
б на рис. 9.30. На этой диаграмме ток 12
возрос благодаря действию эдс Е2. Воз-
росла и вызванная им эдс Ех. Ток 1Х
под действием эдс Ех уменьшился.
Уменьшилась и связанная с ним эдс Е2.
Далее процесс будет продолжаться
в том же направлении и через некото-
рое время мы получим некоторую ди-
аграмму рис. 9.31 в, на которой ток 1х,
а следовательно, и эдс Е2 равны нулю.
Эта диаграмма соответствует моменту
в на рис. 9.30.
Затем эдс Ех будет создавать ток
в первом контуре 1х в фазе с собой,
т.е. в противофазе первоначальному на-
правлению тока 1Х (рис. 9.31г, соответствующий моменту г).
Перемена сдвига фаз тока 1х вызовет перемену сдвига фаз
Связанные клнтуры
335.
создаваемой им эдс Еа. Эта эдс станет в противофазе с током
1а и начнёт его уменьшать. Теперь 1а и Ех будут уменьшаться,
а 11 и Е, увеличиваться.
Это будет продолжаться пока 12 и Ех не сделаются равными
нулю (рис. 9.310), после чего It, а следовательно, и Ех пере-
менят сдвиг фаз на противоположный (рис. 9.31е). При этом
Ej окажется в противофазе с К и начнёт его уменьшать, а
I, окажется в фазе с Еа и будет увеличиваться.
Таким образом,колебания поочерёдно нарастают то в одном,
то в другом контуре. При этом энергия колебаний посте-
пенно, переходя в тепло, теряется в активных сопротивлениях
контуров.
в) Включение и выключение синусоидаль-
ной эдс с частотой <ор в системе связанных
одинаковых контуров
рассмотрим ток г2 в системе одинаковых связанных кон-
туров, если в первый контур в момент i = 0 включается сину-
соидальная эдс с частотой <о0, равной резонансной частоте
контуров шр. Таким образом, в данном случае:
е = Emcos(<o0t + <р) при t > О,
е=0
при t < 0.
Ток it найдём по ф-ле (9.71). В ней Г равняется току,
текущему под действием эдс е в последовательном колеба-
тельном контуре с резонансной частотой ш*. В соответствии
с ф-лой (8.9) этот ток равен
cos + <? —₽')— е cos (w't + <р — Р')
где
V = QV = =
Г (o' г V 0 '
« = 2Г> ₽'= arctg V.
Учитывая ф-лу (9.65) и принимая во внимание, что «>0 = wpr
получим S' = А; Р' = arctg/l;
[cos(<n0f -J- ? - р") - е •'cos(o>"f + <р - р")
где
336
Глава 9
2(ш0 — to") 2L ( ,,х
--L-2-77—- — ----(ШП — °> );
<•>" г \ о />
Рис. 9.32. Треуголь-
ник, поясняющий пре-
образования, произ-
водимые с ф-лой(9.76).
P'=arctg А.
р" = arctgS".
Учитывая ф-лу (9.65), получим
Г = — А,
Р" = — Р' = — arctg Д.
Ток во втором контуре равен
1% = -2~ - 1 ) =
= _ V'/fei-jJsin ₽'sin(w0£ 4- <р)-
— е
= -gmsin Р' 2°^
r/T+7iL1 — е sin р'
sin (ш0£ + ®).
Из треугольника, изображённого на рис. 9.32, видно, что
sin Р' =
А
/Гн*’
Учитывая это, получим
sin(b *+P')]
1 -е ’ sinp' JsinbH- ?)•
(9.76)
На рис. 9.33 изображена зависимость Z2 от t. Как видно
из рисунка и приведённой формулы, амплитуда тока возрастает,
начиная с нуля, и совершает затухающие колебания около
установившегося значения, равного
_±_-тв 2А
г ' 1 + А* — • 1+А1 •
ввязанные контуры
337
Чем больше величина « = тем быстрее затухают
эти колебания и наступает установившийся режим.
Рассмотрим закон изменения тока 4 во втором контуре,
если действовавшая в первом контуре синусоидальная эдс е
с частотой, равной резонансной частоте контуров, в момент
времени t —0 внезапно станет равной нулю, т. е.
e = Em cos(w0£ + <р0) при t < О,
е = 0 при t > 0.
Решая эту задачу методом, аналогичным предыдущему,
получим
Г Е A .Siflfe < + ?' )
4 = 4-(Г-О=_^ . -Л-е-*'--^--------------------------— sin(u>0^-J-?)
Временная диаграмма
4 для этого случая дана
на рис. 9.34.
Таким образом, ток 4
в момент выключения эдс
будет иметь амплитуду и
сдвиг фаз такие же, как
и до выключения. Затем
он будет меняться так же,
как и при воздействии
короткого импульса, при-
чём в системе будут со-
вершаться собственные
колебания.
При воздействии на
систему контуров сину-
соидальных импульсов с
прямоугольной огибаю-
щей в момент появления
импульса процессы будут
происходить такие, как
при включении синусои-
дальной эдс, а в момент
окончания такие, как при
выключении синусоидаль-
ной эдс. Для того, чтобы
22 Основы радиотехники
(9.77)
Рис. 9.33. Зависимость тока во втором
контуре от времени при включении в пер-
вый контур синусоидальной эдс.
33»
Глава 9
импульс не сильно искажался, необходимо брать А и Q не
слишком большими, т. е. брать систему с резонансной кривой,
не имеющей большого провала в середине и е достаточно
широкой полосой пропускания.
В соответствии с рис.
9.33 и 9.34 время нараста-
ния колебаний с 0,1 до 0,9
установившейся амплитуды
при А = 1 будет опреде-
ляться выражением
Рис. 9.34. Зависимость тока во втором
контуре от времени при выключении
синусоидальной эдс из первого кон-
тура
3.1Q = 4,5.
2Д(о ’
(9.78)
где 2Ди> —полоса резонан-
сной кривой при 4 = 1,
взятая на уровне
Ла =
Уцмм yf 2
Время затухания коле-
баний амплитуды с (\9 до
0,1 от установившейся бу-
дет выражаться этой же
формулой.
Сравнивая эту формулу
с ф-лами (8.75) и (8.76), да-
ющими зависимость времени
нарастания от полосы пропускания для одиночного контура
и для устройства с идеальной резонансной кривой, мы видим,
что соотношения получаются примерно одинаковыми.
§ 9.15. Воздействие импульсов на связанные контуры
(общий случай)
Докажем вначале, что любую резонансную кривую системы
связанных контуров можно представить в виде суммы двух
простейших резонансных кривых, подобных резонансной кривой
одиночного контура.
Возьмём выражение для взаимной проводимости
’12— ZjZa-Zc’ •
Связанные контуры
98S
Обозначим р = io>. Тогда для случая индуктивной или
трансформаторной связи:
Zc = pLc или Ze — рМ,
A = r1-4-pL14- -lc-
Z2 = rt + pLa + .
Подставим эти значения в ф-лу (9.38):
pL
Y — .с. ______
+ pli + (r2 + pL2 4- — p*L*
Умножив числитель и знаменатель на , , ,?* . , где
)
L
kL — —у^=, раскрыв скобки и сделав приведение подобных
у
членов, получим
Y ___________________P‘TJ^T?_____________________
Р‘+р° т-^5- м + -Л + +
---------------------------- (9 79)
+р-------------+7^Г
Здесь обозначено
а1=^Г; = а* = ~эц; ^2 = /Ы;
А(р) и В(р)— полиномы от р.
Разложим знаменатель полученного выражения на множи-
тели:
В(р) = (Р — pi)(p —р2)(р —Рз)(Р —Ре), (9-80)
где plt р2, рз, Ре — корни уравнения В(р) = 0.
Попытаемся найти эти корни, предположив, что они комп-
лексные. Расчёт покажет справедливость этого предположения.
Поскольку коэффициенты при степенях р действительные, то
корни уравнения будут попарно сопряжёнными.
22*
340
Глава 9
Обозначим:
Pi = — “e — 1%,
Рз = — аа + К
Рз = — “» —i<0*
А = — «» + Ч
(9.81)
Подставляя эти величины в правую часть равенства (9.80),
раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых
степеняхр в правой и левой частях равенства, получим четыре
уравнения, из которых можно определить %, <%, аь, ыь,
! _д2 (а1 + ®») — аа + аЬ
(wpi + шрг + + 4аоай + а’ + а’
(л1Шр2 + а2Шр1) = ааш1 + ль°>а + аЛ(а<г + ab)
-—1 , о> 2 (В 2 = а>2ц)2 I а2ш2 I а2 ш2 I а2а2
|__р р2 а Ь ' а о 1 о а > а о
(9.82)
Точное решение этих уравнений в общем виде получить
здесь не удастся, так как они сводятся к полному уравнению
четвёртой степени. Приближённое решение получить нетруд-
но, если пренебречь во втором и четвёртом уравнениях
членами, содержащими а, и найти из них о>а и »>ь. Это пренеб-
режение можно сделать, так как
'2__ _ ______1_
52 " 4<?i
«1.
Кроме того, как мы увидим, аа и аь имеют тот же порядок
величины, что и ах и a <oa и <оь тот же порядок, что
и>! и ш,.
Покажем, что при этом пренебрежении ша и шь будут равны
частотам связи. Действительно, при таком пренебрежении ша
и a>ft будут соответствовать случаю контуров с Гх = г2 = 0.
В этом случае, как видно из первого и третьего уравнений,
Связанные контуры
341
ал= а*=0. Таким образом, здесь iwe и iu>d будут корнями урав-
нения В(р) = 0 и, следовательно, при частотах о>а и
YM=co. Но частоты, при которых ¥1а = оо, если положить
ra = г2 = 0, мы называли в § 9.9 частотами связи. Поскольку
частоты связи мы уже отыскивали в § 9.9 и подробно тамг
исследовали, здесь мы их снова искать не будем. Отметим
только, что частоты связи имеют тот же порядок величины,,
что и частоты и шР2.
Из первого и третьего уравнений, пренебрегая в третьем
величиной aaaft (ав-|-«4), получим:
и
(9.83)
Из этих уравнений видно, что аа и аь имеют тот же поря-
док, что ах и а2.
Заметим, что при kb -* 0 we и соответственно стремятся
к “>1 и <v> ла - “1 И аь - а2-
Как известно, выражение (9.79) для взаимной проводимости
всегда можно разложить на простые дроби:
। Аа । А3 I __ At____________
Р — Pi Р-Pi "Г Р — Р» 1 Р-Р1~ “а + + <>«)
______Аз________|_ ______Л, । _______At______
“а + К" — “а) I" ab + К0» + шь)______________________' аЬ + >(“ —
+
(9.84)
Коэффициенты Alt Аа, Аа,
формулам:
At могут быть определены по
А =
1 В'(Р1) ’
А - А<Р») -
г~ В’(р,) ’
А —
л'(А)
А — Л(Р4)
Здесь А(р) — числитель ф-лы (9.79). В знаменателях стоят
начения производной при р =/>f, р =ра и т. д. Если зату-
М2
Глава 9
хания ав и невелики, то в интересующей нас области
частот, близких- к частотам связи u>e и %, можно соответст-
венно пренебречь первым и третьим членами суммы (9.84)
оо сравнению со вторым и четвёртым, и считать взаимную
проводимость приближённо равной
Таким образом, мы показали, что любую резонансную кривую
системы связанных колебательных контуров можно предста-
вить в виде суммы двух резонансных кривых, подобных кривым
одиночного контура. Поэтому процессы, возникающие в коле-
бательных связанных контурах, при воздействии на них
импульсов эдс можно рассматривать как сумму процессов,
происходящих в одиночных колебательных контурах, резо-
нансные частоты которых равны частотам связи, а затухания
определяются из выражений (9.83).
Это исследование мы провели для индуктивной связи.
Подобное же исследование можно провести и для ёмкостной
связи между контурами. Оно даёт аналогичные результаты.
Рассмотренный случай не охватывает систем, состоящих
аз колебательного и апериодического контура. Однако, как
было показано в § 9.8, резонансные кривые этих систем
соответствуют резонансным кривым последовательных коле-
бательных контуров, поэтому и воздействие импульсов на них
будет таким же, как и на последовательные контуры.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ф-л (23), (2.4)
Равенство (2.3) вытекает непосредственно из закона сохранения энергии,
поскольку величина 17/cos (ф—<р) = —cos (ф — <р), как известно, есть
средняя за период мощность, отдаваемая в цепи.
Справедливость равенства (2.4) мы также докажем, исходя из закона
сохранения энергии.
Пусть наша цепь разбита на W ветвей и пусть в к-й ветви ток равен
i<,=/KcosH + <P(C),
а напряжение на ней равно
«к = и К COS (<at + фк).
Введём мысленно в к-ю ветвь электродвижущую силу
«к = Uп cos (<»t + фк— — Uк cos (<«/ 4- фж).
Тогда при сохранении прежнего тока через эту ветвь напряжение на
ней будет равно
тс
и'к = *к+ UK = UK COS (со/ + фк—-у )’
т. е. оно будет иметь прежнюю амплитуду и будет сдвинуто на 90° по фазе
по отношению к первоначальному напряжению
Введём аналогичные эдс и в другие ветви. Тогда, при сохранении преж-
них токов, напряжения на ветвях будут иметь первоначальную амплитуду
и будут сдвинуты по фазе на 90° по отношению к первоначальным напря-
жениям. Очевидно, что при этом ток, подводимый ко всей цепи, также оста-
нется первоначальным, а подводимое напряжение сдвинется на 90° и будет
равно
а' - Um cos (vt + ф
На основании закона сохранения энергии средняя за период мощность,
подводимая ко всей цепи, равна сумме средних мощностей, подводимых
к её ветвям.
344
Приложение I
Таким образом, при введённых эдс
= Um cos (<о/ + ф — -у )Im cos (<о/ 4- <р) =
N
^-^-ит1т cos (ф — у — <Р) = -ylVajSinOp — <р)= ^и'к iK. <ПЛ
К — 1
Здесь черта над выражением показывает, что берётся среднее значе-
ние этого выражения за период. При определении среднего значения учиты-
валось, что всегда
cos (<о/ 4- a) COS (to/ 4- Р) = — COS (а — 0). (П.2)
Раскроем произведение и 'к iK:
N
, di* V d4 1 Г.
ак *= гк^к 4е fa 4" MKt fa 4“ ск J
I — 1
= ГК1К COS (at + <?к) + аЬкГк COS (at + ?к + -у)+
N
+ Zj a MKtI{ COS (at + <f{ 4- у ) + £££ IK COS (at + <pK — y)
I — 1 *
где rKt LK и CK—активное сопротивление, индуктивность и ёмкость в я>й
ветви, MKi — взаимная индуктивность между к-й и Z-й ветвями.
Напряжение ик будет отличаться от и^ тем, что его составляющие бу-
тс
дут сдвинуты на угол — , поэтому оно будет равно
, тс
= rK IK cos (<о/ 4- <рх — -у) + ^LKIK cos (о>/ 4- <рх> 4-
N
+ S <* MK1 II COS (to/ + <pz ) — Ik COS (to/ + (px).
I- 1
Умножая эту величину на «IK cos (to/ 4- и б£ря среднее за. период,
от произведения, мы, учитывая ф-лу (П«2), получим
_____N _____________
aM^iAt ~2^2'
1-t
откуда
N 7 N N Г" N
== tol LkI% 4- £ I — ~2шС * (Л.З).
V’1 /eml / *-1
Приложение 2
345
Как известно, энергия магнитного поля, создаваемая токами ветвей, равна?
Л Н М
Wm = "у L*% + 4”
№1 №-1 Z-l
и энергия электрического поля ветвей равна
N N
v ус«“ск у ч
= 2j ~2— - ^2^ cos* + +&?’
Ж— f к—1
/Х
где ис* = cos (<о/ 4- ) — напряжение на конденсаторе к-й ветви.
Учитывая это, а также выражения (П.1) и (П.3), получим
4rUmfm sin (ф - -IF,),
что и требовалось доказать.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ЗНАЧЕНИЯ е, И tgfc ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ДИЭЛЕКТРИКОВ,
ПРИМЕНЯЕМЫХ В РАДИОТЕХНИКЕ
№ пп. Наименование диэлектрика tg ЬХЮ< (на радио- частотах)
1 Слюда мусковит 64-7 14-3
2 Слюда флогопит 5-7-6 104-50
3 Микалекс 7,5 154-30
4 Тиконд Т-80 • . ► . . 754-80 34-5
5 Тиконд Т-60 55-т-бО 34-5
6 Тиконд Т-30 25-г-ЗО 54-9
7 Тиконд Т-25 254-30 34-5
В Термоконд ТК-М 204-25 34-5
•346
Приложение J
№ пп. Наименование диэлектрика ег tg&XlO* (на радио- частотах)
9 Термоконд ТК-П * 154-20 34-5
10 Алюминоксид 104-11 14-4
11 Тибар 10004-6000 1504-200
12 Г етинакс 74-8 6004-800
13 Пирофиллит 5,54-6,0 604-70
14 Радиофарфор 6,04-6,5 304-35
15 Радиостеатит 6,04-6,5 44-6
16 Кварц плавленый 3,5 <3
17 Полистирол около 2,5 1,54-3
18 Полиэтилен 2,3 24-5
19 Эскапон • . 2,74-3,4 6 4-10
20 Полихлорвинил 3,14-3,4 200
21 Полиметилметакрилат [плексиглас) . 3,54-3,6 2004-600
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
ЗНАЧЕНИЯ ГАС И tgi ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ КОНДЕНСАТОРОВ
ПОСТОЯННОЙ ЁМКОСТИ
№ пп. Наименование конденсаторов ГАС х10е tg& Х10< (на ра- диоча- стотах)
1 Конденсаторы воздушные +(24200)4
2 Конденсаторы слюдяные типа КСО
группа А > ±200
группа Б ±200 (30-г 50)
группа В .... : ±100
группа Г ± 50
3 Конденсаторыслюдяцые (серебрёная слюда) + 80 (20-5-30)
г) В зависимости от коэффициентов линейного расширения материалов,
идущих на изготовление конденсатора. ГАС-^-Ю-8 для конденсаторов,
изготовленных изинварас.керамической изоляцией.
Приложение 4
347
Л пп. Наименование конденсаторов ТКСХЮ® tg& Х104 (на ра- диоча- стотах)
4 Конденсаторы керамические
группа Д (диэл.-тиконд Т-80, окрас- ка красная) —(730±70)
группа Ж (диэл.-тиконд Т-60, окрас- ка оранжевая) - (570 ±70)
группа К (диэл.-тиконд Т-30, окрас- ка жёлтая) —(300±50)
группа Л (диэл.-тиконд Т-25, окрас- ка зелёная) —(130±50) (2~10)
группа М (диэл.-термоконд ТК-М, окраска голубая) -( 50±30)
группа Р (диэл.-термоконд ТК-П, окраска серая) +( 30 ±30)
группа С(диэл.-алюминоксид, окрас- ка синяя)..... +(120±30) 14-5
5 Конденсаторы бумажные +(2504-2500) 1004-500
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
ЁМКОСТЬ плоского И ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО КОНДЕНСАТОРОВ
Ёмкость Плоского конденсатора с параллельными пластинами (рис. П. 1
может быть вычислена по формуле
ел е_ S
C-V-H-1). (П.4)
где С — ёмкость конденсатора в фарадах,
е° в 4я с1 * 1&Ф1СМ я 0,08855 • 10’11 ф/см — диэлектрическая проница-
емость вакуума (с — скорость света),
ел —относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика, ис-
пользуемого в кон^енсатоое,
рабочая площадь одной -пластины в еле1 заштрихована на рис. П.1)
348
Приложение 4
d — расстояние между соседними пластинами в см,
п — число пластин конденсатора.
Ёмкость цилиндрического конденсатора, т. е. конденсатора, состоящего
из двух коаксиальных цилиндров (рис. П.2), определяется по формуле
2к£0е,/
С= R
In —
(П.5>
т де I — рабочая длина конденсатора в см (рис. П. 2),
R— внутренний радиус внешнего цилиндра 1
г > в одинаковых единицах.
г — внешний радиус внутреннего цилиндра )
Остальные обозначения те же, что в ф-ле (П.4)»
Рис. П.1. Плоский конденсатор.
Пример ПЛ. Определить ёмкость плоского конденсатора, изображён-
ного на рис. П.1, если а = 20 мм, b = 30 мм, число пластин п = 10. В каче-
стве диэлектрика использована слюда мусковит (ел =6,5) толщиной d= 0,1 мм.
Решение. Находим рабочую площадь пластины:
S « ab = 20 - 30 - 600 мм* « 6 см*.
По ф-ле (П. 4) определяем ёмкость
eoerS , 0.08855-10“11-6,5-6
= ---------(М>-1)
= 3100.10-« 0-3100 пф.
Приложение 5
349
Примёр П.2. Определить ёмкость цилиндрического конденсатора, изоб-
ражённого на рис. П.2, если R — 8 мм, г = 7 мм, Z «= 40 мм. Диэлектрик —
тиковд Т-60 (ег = 60).
Рис. ГЪ2. Цилиндрический конденсатор.
Решение. Ёмкость вычисляем по ф-ле (П.5)
„ 2«eoerZ 2-3,14-0,08855 • 10“ 60-4 „
С =----=------------------g---------- « 10~*ф = 1000 пф.
In— In-у
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
РАСЧЁТ ФОРМЫ ПЛАСТИН КОНДЕНСАТОРОВ ПЕРЕМЕННОЙ
ЁМКОСТИ
Если конденсатор переменной ёмкости имеет конструкцию, подобную
изображённой на рис. 2.13, то рабочая площадь пластины конденсатора
может быть найдена из выражения (П.4). Она будет равна
еоег(п —1) •
Если повернуть ротор конденсатора на угол d ср, то площадь S получит
приращение
dS =
C'(<f)d .
eeer(n —1) d<f‘
(П.6)
где
гха dC^
C <?)----d^~-
С другой стороны, из рис. П.З видно, что если пренебречь накрест
заштрихованной площадью, то
dS = -~(r*-r^d<f, (П.7)
тде г — длина радиус-вектора пластины ротора,
г0 — радиус внутреннего выреза статорных пластин, который делается,
•чтобы пропустить ось ротора.
350
Приложение 5
Приращение площади dS в этой формуле берём по абсолютной дели-
чине потому, что для некоторых типов конденсаторов (например для пря-
мочастотного) оно может быть отрицательным (с увеличением <р площадь
уменьшается), в то время как правая часть равенства (П.7) всегда положи-
тельна.
Приравнивая друг другу выражения (П.6 и (П.7) и сокращая их на
получим
—'о) =
<ЦС' (у)|
еоег(л—1)
откуда
tf |С'(у)|
в,ег(л—1)
(П-8)
Рис. П.З. Изменение рабочей площа-
ди переменного конденсатора при пово-
роте ротора
Таким образом, найдя произ-
водную заданной функции С (ср) и
подставив значение | С' (ср) | в ф-лу
(П.8), получим уравнение в поляр-
ных координатах, дающее воз-
можность построить контур под-
вижной пластины.
Неподвижные пластины обыч-
но выбираются такой формы,,
чтобы они целиком покрывали под-
вижные пластины при полностью*
введённом роторе.
Ниже приведены формулы за-
висимости ёмкости от угла пово-
рота, выраженные через Со и
(Со — минимальная, а — макси-
мальная ёмкость конденсатора}
для некоторых типов конденса-
торов.
Прямоёмкостный конденсатор
С (ср) = (См—Со) 4-
(П.9>
Прямочастотный конденсатор
(П.10>
Логарифмический конденсатор
? 1 См
— In
С(<р)=Сое *
(П.11>
Пример П.3. Рассчитать форму пластин логарифмического конденса-
тора, максимальная ёмкость которого должна быть равной См = 500 пф,
а минимальная Св = 50 пф. Рабочее напряжение 250 в.
Приложение 5
351
Решение. Зависимость ёмкости логарифмического конденсатора от
угла поворота ротора выражается ф-лой (П.11):
<р с ? 500
-- 1п
* СА -12 * 50 -12 ОЛЗЗф
С(<р) = С.е *-50.10 е -50-10 л ' 4 ф.
Находим С' (ф):
-12 О.732<Р -12 0,732 ?
С' (<?) = 50.10 0,732 е - 36,6 10 е
Величина d — расстояние между пластинами и г0 — радиус выреза в
статорных пластинах выбираются, исходя из пробивного напряжения, или,
если оно невелико, из конструктивных соображений. Необходимо выбирать
эти величины такими, чтобы при возможных вибрациях и деформации пла-
стин не происходило замыкания между ними и изменения ёмкости конден-
сатора на недопустимую величину.
Кроме того, при величине г0, близкой к радиусу оси ротора, начальная
ёмкость Со (ёмкость при полностью выведенных подвижных пластинах) мо-
жет быть большой, что часто недопустимо.
Задавшись г0 = 0,8 см и d = 0,1 см, получим
1 / 2d I С' (у)|
Г“|/ еоег(л—1)
2-0,1-36,6-10 12 е°!782 т
0,08855-1 (л — 1) +0,8
82,6 е0Л32’
л—1
Подберём число пластин л.
Число пластин выбирается таким, чтобы
конденсатор имел габариты, позволяющие
удобно поместить его на шасси радиоаппа-
рата. При большом числе пластин конден-
сатор будет иметь большой размер вдоль
оси, при малой — большой размер в плос-
кости, перпендикулярной оси.
Зададимся п = 10. В этом случае плас-
тины займут вдоль оси расстояние порядка
(п — 1) d = (10 — 1) 0,1 =0,9 см,
а максимальный радиус пластины (при
<р = к) будет равен
+0,64.
Рис. П.4. Форма пластин ро-
тора логарифмического конден-
сатора примера П.З.
г макс
82,6 е0,732 ’
10—1
+0,64
826
V+0,64
= 9)6 см.
Конденсатор при этом получается очень громоздким. Зададимся, п = 40.-
Тогда размер по оси будет примерно равным
(п - 1) d = (40 —1> 0,1 = 3;9 см,
а максимальный радиус пластины
г макс— у 39 4“0,64=4>67 см.
352
Приложение 5
В этом случае размеры вдоль оси и по радиусу соизмеримы.
Поэтому окончательно принимаем п — 40. Расчёт радиусов подвижной
жпластины производим по формуле:
82,6 0,732 *
зГе +°’64 =
2,12 е0,732 ’ 4-0,64.
Результаты расчёта сводим в табл. П.1.
Таблица П.1
г 0 18° 36° 54° 72° 90°
<?, рад 0 те То к 2 То 3То к 4 То к 5 То
г, мм 16,6 18,2 20,0 22,1 24,4 27,1
7° 108° 126° 154° 162° 180°
?, рад К 6 00 те 7 То 1 00 те 9 То те
1 г, мм 1 30,1 33,6 37,5 41,8 46,7
Форма пластины ротора «этого конденсатора приведена на рис. П.4.
Приложение 5
353
ПРИЛОЖЕНИЕ 6
ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ НЕКОТОРЫХ ОТЕЧЕСТВЕННЫХ
МАГНИТОДИЭЛЕКТРИКОВ
(os книги Л. И. Рабкина и Н. А, Шольц 9Магнитодиэлектрики
и феррокатушки*, М.-Л., Госэнергоиздат, 1948 г.)
с в г Наименова- ние материала Относительная магнитная прони- цаемость р-г Температурный коэффициент ма- гнитной прони- цаемости ТЯргХЮ® Составляющие потерь Примерный диа- пазон частот, в котором приме- няется магнито- диэлектрик
«• о X £ о О X с о.
1 Магнетит прессо- ванный 6-г9 +(100-5-150) 1,0 10,0 0,5 100 кгц — 10 мггц
2 Карбониль- ное желе- зо прессо- ванное 8 4-9 + 10 0,4 3,0 0,4 100 кгц — 40 мггц
3 Альсифер ВЧ-20 . . 174-21 —20 1,0 15,0 1,0 10 кгц —100 кгц
4 Альсифер РЧ-9 . . 84-10 —10 0,8 4,0 0,6 100 кгц — 10 мггц
5 Альсифер РЧ-6 . . 54-6 — 4 — 2,0 — 100 кгц — 50 мггц
6 Прессперм ВЧ-20 . . 174-21 +20 1,0 15,0 1,0 10 кгц —100 кгц
‘8»Ж-Р*^+Р//+Рл.
где Н и /— напряжённость и частота магнитного поля (И — в эрстедах, /—в
герцах).
Пример П.4
Требуется найти tgfc* для альсифера РЧ-9при 1 мггц и малой] напря-.
жённости|магнитного поля.
Решение
tg^=pA^+p//+prt“0,8-10-’0+4-10->.10e+0,6-10-’=4,6-10-*.
23 Ооговы радвотвхввкв
354
Приложенье 7
ПРИЛОЖЕНИЕ 7
РАСЧЁТ ИНДУКТИВНОСТИ КАТУШЕК
Формулы для определения индуктивности различных катушек с воз-
душным магнитопроводом могут быть приведены к виду
(ПЛ2
где L —-индуктивность катушки в генри,
— коэффициент, зависящий от соотношения размеров и формы ка-
р
Рис. П.5. График для определения индуктив»
ности катушек.
Формула (П.12) справедлива для случая, когда ток равномерно запол-
няет всё сечение намотки. Поправки, учитывающие неравномерное распре-
деление тока, имеющее место тогда, когда медь провода неполностью за-
полняет сечение намотки или когда из-за поверхностного эффекта ток не
заполняет равномерно сечения провода обычно бывают малыми и в боль-
шинстве случаев их не учитывают.
Приложение 7
355
На рис. П. 5 и П. 6 приведены графики для определения £в.
На графиках
t
D
где t — толщина намотки в сантиметрах (рис. П. 7),
Рис. П.6. График для определения индуктив-
ности катушек
D — средний диаметр намотки в сантиметрах и
I
а== D
где I — размер намотки вдоль оси в сантиметрах.
Если намотка однослойная (рис. П. 8), то отношение -р- мало и можно
считать р =0, если спиральная (рис. П.9), тожможно считать а = 0.
13*
Рис» П.7. Обозначения размеров намотки ка-
тушки индуктивности.
тивности.
Рис. П.9. Спиральная катушка индук-
тивности.
Приложение 8
357
Пример П. 5. Катушка (рис. П. 7) имеет следующие размеры: t =>0,5 еж,
/ => од см, D = 2 см, число витков п — 100.
Определить индуктивность катушки.
Решение. Найдём величины р и а:
t 0’5 ЛИГ
J = D в 2 “°»251
1 i0’4 Ла
ав D ” 2 в0,2*
Этим значениям р и а соответствует £0 = 10,75.
Поэтому
L = £0Dn»-10-> = 10,75-2-КН-Ю”’ =- 21,5-10“5 гн = 215 мкгн.
ПРИЛОЖЕНИЕ 8
НАХОЖДЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ДИАМЕТРА ПРОВОДА КАТУШКИ
Нахождение donm производят в следующей последовательности:
1. По известным размерам катушки и известному числу витков находят
для заданной частоты f величину
где а= (для технической меди а=0,10б/7)-
Остальные обозначения те же, что в ф-ле (2.25).
2. По известной величине ф находим z (рис. П. 10).
z
3. Находим оптимальный диаметр провода dQnm=— .
Пример П. 6. Найти оптимальный диаметр провода катушки, данные
которой и рабочая частота приведены в примерах П. 5 и 2.3.
Решение. 1. Определяем а:
а-ОЛОб/У=0,106/440^=212.
Находим ф:
( кп V ( 15-100 у
4~\2aDH) ~ \2-212-2,5/ ~2,
3. По графику, изображённому на рис. П. 10, находим, что
£=1,69.
4. Определяем оптимальный диаметр
donm в & =' 212 СЛ<=0,08 мм.
Рис. П.10. График для определения оптимального диаметра провода.
Приложение 9
359
Таким образом, диаметр провода катушки надо несколько уменьшить.
Расчёт будет справедлив лишь в том случае, если при намотке катушки
проводом меньшего диаметра» размеры её сохранятся прежними. Для это*
го, очевидно, надо взять провод с более толстой изоляцией.
ПРИЛОЖЕНИЕ 9
СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ TKL НЕКОТОРЫХ ТИПОВ КАТУШЕК
ИНДУКТИВНОСТИ
(из книги В. Б. Пестрякова и Д, Д. Сачкова .Конструирование деталей
и узлов радиоаппаратуры* М.-Л., Госэнергоиздат, 1947 г.
Ко пп. Тип намотки и конструктивные особенности । TKLX108
1 Катушки многослойные типа «Универсаль* на гети- наксовых или бумажных каркасах 100-200
2 Катушки однослойные на гетинаксовых или бумажных каркасах • ...... 80 — 150
3 Катушки однослойные на керамических каркасах . . 40-г 80
4 Катушки однослойные на каркасах из высокочастот* ных диэлектриков. Витки катушек представляют со- бой слой металла, нанесённый на каркас и прочно связанный с ним 10-г 20
5 Катушки однослойные бескаркасные .... ... 50— 80
ПРИЛОЖЕНИЕ 10
РАСЧЁТ ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТИ КАТУШЕК
1. Взаимная индуктивность двух коаксиальных колец
Если диаметры колец соответственно равны Dr и а расстояние
между плоскостями колец равно г (рис. П. 11), то взаимную индуктивность М
определяют по формуле ___
(П.13)
Коэффициент 3 определяют из графика, приведенного на рис. П 12.
На графике
(Д2+Д1)2
2. Взаимная индуктивность двух коаксиальных катушек.
Если числа витков катушек соответственно равны лх и л2, то взаимную
индуктивность М определяют по формуле:
М-п^Му, (П.14)
360
Приложение 19
где Мср — среднее значение взаимной индуктивности отдельных витков пер-
вой и второй катушки.
Если наибольшее расстояние между витками каждой из катушек много
меньше, чем расстояние между катушками, то все витки каждой катушки
будут находиться примерно в одинаковых условиях и Мср можно вычислить
по ф-ле (ПЛЗ), взяв данные ------ ------ --------
средних витков катушек.
Если это условие не удовлетворяется, то
каждую катушку мысленно разбивают на не-
сколько частей, вычисляют по ф-ле (ПЛЗ) вза-
имную индуктивность средних витков частей
первой и второй катушек (во всех комбина-
циях) и определяют Мср как среднее арифме-
тическое из полученных значений.
Пример П. 7. Определить взаимную индуктив-
ность катушек, обмотки которых изображены
на рис. ПЛЗ. Число витков катушек л1=л2=100.
Решение. Из рис. ПЛЗ определяем:
£\=£)t=2 см,
г=2 см.
Находим rx и ra:
Рис. П.11. Обозначения
размеров, необходимых для
определения взаимной ин-
дуктивности двух коакси-
альных колец.
л,-
- |/2<+ £±^-2.83 «л,.
уТТЕЕЕУ - у2.+ £=г -2 ...
Отсюда "тг=0,707.
~1
Из графика, изображённого на рис. П. 12, находим р « 0,7
Определяем Мср.
и
M=ntn2 Affp=100-100.1,4-10“’-= 14.10“® мкгн.
Пример П. 8. Определить взаимную индуктивность катушек, обмотки
которых изображены на рис. ПЛ4. Число витков левой катушки л1=300,
число витков правой катушки zi2=200.
Решение. Разобьём левую катушку на три части, а правую на две,
как показано на рис. ПЛ4. Средние витки этих частей обозначены на ри-
сунке цифрами. Необходимые размеры будем брать непосредственно из ри-
сунка.
Рис. П.12. График для определения взаимной
индуктивности двух коаксиальных колец.
20 мм
Рис. П.13. Намотка
катушек примера П.7.
Рис. П.14. Намотка катушек
примера П.8.
362
Приложение 10
Для витков 1.1 и 2.1 имеЬм:
£>!—3 см; D2=5 см; г—3 см,
откуда
/1=5 см; /1=3,16 см; =0,632;
Р-=1,06 и Л411-ц=4,1-10“f гн.
Длй витков 1.1 и 2.2:
£>!=3 см; D2=3 см; г~=3 см,
откуда
Мц.и» 2,1-10”* гн.
Для витков 1.2 и 2.1:
D1==3 см; Da=5 см; г=2 см,
откуда
Ali2e2i ==й7,75“-10*’ гн.
Для витков 1.2 и 2.2:
Z>L=3 см; Z>2=3 см; г=2 см,
откуда
Л112_м=4,65- 10“ • гн.
Для витков 1.3 и 2.1:
Dx=3 см; Z)2=5 см;г=\ см,
откуда
М18_л=14,3’10“* гн.
Для витков 1.3 и 2.2:
Z)1=3 см; D2—3 см; г=1 см,
Мм_и-12,4-10~* гн.
Находим среднее значение
„ + ^11-12 + M12-J1 Ч'Л118_22 + М1,_21 + М18_м
g
4,1+24+7,754-4,65+14,3+12,4 ..................
в-----------------7---------------• 10“ *=7,55-10“ • гн.
Прллоявеяяе 19
363
Наконец, по ф*яе (TL14) находим взаимную индуктивность катушек:
Ai=nxntAfcp-apO-200-7^510“’=453-10_* г«=453мкгн.
3. Взаимная индуктивность двух коаксиальных цилиндрических
катушек малой толщины (рис. П.15).
Рис. П.15. Обозначения размеров, необходимых для
определения взаимной индуктивности.
Расчёт взаимной индуктивности в этом случае может быть произведён
по формуле
М =0,617
D? Dl
1т
Mi + Mt I nrn2-\Q~9 гн,
J
(П.15)
где л, и л2 — числа витков катушек;
364
Ядосмодде 10
Dlt Ds (Dj < Ds), mt I, rlt rit xt у — размеры, указанные на рисунках;
1 / V X \ & 1 \
*2 = "2” ( — ~5~ 1 ’ Я2= 8 I 3—4 d2 ) • (П.16)
\ Г1 г2 / \ и1 /
Все размеры берутся в сантиметрах.
Если середины намоток обеих катушек совпадают (рис. П.16), т<
ф-ла (П.15) упрощается и приобретает следующий вид:
Dt Г
Л1=9,87— 1 +
8 g*
/«
3-4
Di
•!()’• гл,
где I и т попрежнему размеры намоток вдоль оси (Z < т)9
Dt и Dt — средние диаметры намоток (Dx < Dj),
Dl+m*.
Рис. П.16. Обозначения размеров, необходимых для определе-
ния взаимной индуктивности.
В большинстве случаев вторым членом, стоящим в квадратных скобкам
|ф-лы (П.15)], можно пренебречь.
Пример П.9. Определить взаимную индуктивность двух коаксиальным
цилиндрических катушек (рис. П.15), если
/хх=80; £>х=4 см; 1^4 см; л=4 см,
гц«120; Dj=6 см; т—6 см; у=Ю см.
Приложены 19
365
Решение. Находим
ю«+-^- = 10,45 см-.
8 / у х \ 8 / 10 4 \ „„
*1= D? ( /•» ' П )= 6» I 10,45 “ 5 ) -0,0349:
2 \ < / \ /
^=/=4;
1 / У * \ 1/10 4 \
*2=~^\7f “ Tf / ~ 10,45® ) ’
Я1 =
D*l
~8~
Р
3-4-j-
О,
8 \ 41 /
8;
затем по ф-ле (П.15) определяем М. При этом
произведением k2 q2 пренебрегаем по сравне-
нию с
Л< =0,617 —2- (kxqx + ferfaj-nt/h-io =
4»-6‘
=0,617 -ГТ- 0,0349-4-80-120-10"»=
4*0
=19,8-Ю“® г«=19,8 мкгн.
4. Взаимная индуктивность катушек,
вращающихся одна в другой (рис. П.17)
Можно приближённо считать, что взаим-
ная индуктивность М меняется по закону:
Л1=МЛсо8<р, (П.17)
Рис. П.17. Катушки с пере-
менной взаимной индуктив-
ностью (внутренняя катуш-
ка может вращаться во-
круг оси О).
где Мм— максимальная взаимная индуктивность (при ?=0), определяемая
одним из приведённых выше способов, — угол между осями катушек.
366
Приложение 10
ПРИЛОЖЕНИЕ 1Г
ОСНОВНЫЕ ДАННЫЕ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ ЭЛЕМЕНТОВ
СОПРОТИВЛЕНИЯ
№ пп. Наименование сопротивления Диапазон номиналь- ных величин сопротивле- ний, ом Температур- ный коэффи- циент TKRX103
1 Остеклованные нихромовые 0,34-50000 0,14-0,4
2 Остеклованные константановые 0,34-50000 0,05
3 Углеродистые (типа ВС) 504-10» 0,6-=-2,0
4 Карбокерамические 5 4-10 000 0,7 —1,5-
ПРИЛОЖЕНИЕ 12
СОКРАЩЁННЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ОСНОВНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
И МАГНИТНЫХ ВЕЛИЧИН, ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ В КНИГЕ
№ пп. Название величин Единица изме- рения (практическая) Сокращённое обозначение
1 Сила тока • ... ампер а
2 Напряжение вольт &
3 Сопротивление ом ом
4 Проводимость МО МО
5 Мощность ватт вт
6 Ёмкость фарада Ф
7 Индуктивность и взаимная индуктив-
ность генри гн
8 Частота • . герц гц
9 Напряжённость магнитного поля . . ампервиток на а/м
метр
Приложение 12
367
Наименования кратных и дольных единиц образуются путём примене-
ния приставок, указанных в нижеследующей таблице:
Наимено- вание Отношение к главной единице Сокращён* ное обозна- чение Наимено- вание Отношение к главной единице Сокращён- ное обозна- чение
ттико io-*» п дека 10 дк
мано 10“’ н гекто 10» г
микро 10“® мк кило 10’ к
милли 10“’ м мега 10® мг
санти 10“’ с гига 10’ г
деци 10-1 д тера 101» т
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ...................................................... 3
Глава 1. Введение
§1.1. Предмет и задачи курса...................................... S
§1.2. Первые попытки телеграфной передачи без проводов с помощью
электричества .................................................... 5
§ 1.3. Поле излучения............................................ 6
§ 1.4. Изобретение радио А. С. Поповым. Первая радиотелеграфная
связь............................................................ 14
§ 1.5. Распространение радиоволн различной длины................. 19
§ 1.6. Радиотелеграфия с применением электронных ламп............. 23
§ 1.7. Радиотелефония............................................. 28
§ 1.8. Телевидение ............................................... 31
§ 1.9. Радиолокация .... *........................................ 34
§ 1.10. Развитие радиотехники в СССР.............................. 35
§ 1.11. Содержание курса ......................................... 38
Глава 2. Основные элементы радиотехнических цепей (конденса-
торы, катушки индуктивности, элементы сопротивления)
§2.1. Вводные замечания........................................... 40
§ 2.2. Энергетический метод определения полного сопротивления . . 42
§ 2.3. Потери энергии в конденсаторе. Полное сопротивление кон-
денсатора с потерями............................................... 44
§2.4. Типы и конструкции конденсаторов постоянной ёмкости .... 49
§ 2.5. Типы конденсаторов переменной ёмкости....................... 53
§ 2.6. Потери энергии в катушках индуктивности. Полное сопротивле-
ние катушки (без учёта электрического поля) /...................... 56
§ 2<7. Полное сопротивление катушки индуктивности (с учётом элек-
трического» поля) . ............................................... 63
§ 2.8. Способы получения катушек с малыми потерями................. 68
§ 2.9 Конструкции катушек постоянной индуктивности................ 71
§ 2.10. Конструкции катушек переменной индуктивности.............. 75
§ 2.11. Схема замещения элемента сопротивления..................... 77
§ 2.12. Конструкции элементов сопротивления ....................... 78
Оглавление
369
Глава 3. Экранирование электрических и магнитных полей
§3.1. Вводные замечания.......................................... 83-
§ 3.2. Экранирование электрических полей .......................... 83
§ 3.3. Экранирование магнитных полей............................... 86
§ 3.4. Экранирование однопроводных и двухпроводных линий .... 94
Глава 4. Вынужденные колебания в последовательном колеба-
тельном контуре
§4.1. Вводные замечания......................................• . . 96-
§ 4.2. Сопротивление и проводимость последовательного колебатель-
ного контура...................................................... 97
§ 4.3. Обобщённая расстройка. Относительная расстройка............. 99
§ 4.4. Полоса пропускания контура................................. 107
§ 4.5. Добротность контура.........................................109
§ 4.6. Напряжение на элементах последовательного колебательного кон-
тура ..............................................................ПО
§ 4.7. Энергетические соотношения в колебательном контуре при резо-
нансе ........................................................... 121
Глава 5. Вынужденные колебания в параллельных колебательных
контурах
§5.1. Вводные замечания...........................................123
§ 5.2. Реактивное сопротивление параллельных контуров без потерь . 124
§ 5.3. Сопротивление параллельных контуров с потерями..............130
§ 5.4. Параллельная схема замещения................................140
§ 5.5. Соотношения между токами при параллельном резонансе ... 141
§ 5.6. Подключение параллельного контура к генератору..............14?
Глава 6. Амплитудко-модулированные колебания и их
воздействие на колебательные контуры
§6.1. Вводные замечания........................................ . 146-
§ 6.2. Коэффициенты модуляции.................................... 147
§ 6.3. Обобщение комплексного метода на AM колебания...............148
§ 6.4. Разложение AM колебания на колебания несущей и боковых
частот........................................................... 154
§ 6.5. Спектральная диаграмма AM колебания.........................156
§ 6.6. Распределение несущих частот радиостанций с амплитудной моду-
ляцией ...........................................................157
§ 6.7. Векторная диаграмма AM колебания....................158
§ 6.8. Воздействие AM напряжения на цепь с комплексной проводи-
мостью (общий случай)............................................ 161
§ 6.9. Воздействие AM напряжения на цепь, проводимость которой
имеет симметричные значения относительно несущей частоты . 165
§ 6.10. Обобщение результатов, полученных в предыдущих параграфах 167
§ 6.11. Воздействие AM эдс на последовательный колебательный кон-
тур .......................................................... 169-1
24 Основы радиотехники
370
Оглавление
§ 6.12. Воздействие AM напряжения на параллельный колебательный
контур...........................................................176
§ 6.13. Условие отсутствия искажений модуляции...................180
§ 6.14. Мощность AM колебаний....................................181
Глава 7. Частотно-модулированные и фазово-модулированные
колебания и их воздействие на колебательные контуры
§7.1. Вводные замечания.........................................184
§ 7.2. Частота колебания.........................................185
§ 7.3. Частотно-модулированные колебания.........................187
§ 7.4. Фазово-модулированные колебания...........................190
§ 7.5. Векторные диаграммы ЧМ и ФМ колебаний.....................191
§ 7.6. Преимущество частотной и фазовой модуляции перед ампли-
тудной .............................................. ......... 192
§ 7.7. Разложение ЧМ и ФМ колебаний на колебания несущей и
боковых частот . ................................................195
§ 7.8. Спектральные диаграммы ЧМ и ФМ колебаний .... * ... 200
§ 7.9. Воздействие ЧМ и ФМ напряжения на цепи с комплексной
проводимостью................................................... 202
§ 7.10. Приближённый метод исследования схем при частотной и фазо-
вой модуляции....................................................207
Г л а в а 8. Воздействие импульсов на колебательные контуры
Метод спектральных функций
§ 8.1. Вводные замечания.........................................215
§ 8.2. Собственные колебания в колебательном контуре.............215
§ 8.3. Нестационарные процессы в колебательном контуре . . . . ’ . 219
§ 8.4. Разложение в ряд Фурье периодической последовательности им-
пульсов .........................................................230
§ 8.5. Спектральные функции импульсов............................235
§ 8.6. Отыскание импульса по его спектральной функции............254
§ 8.7. Нахождение токов и напряжений методом спектральных функ-
ций .............................................................256
§ 8.8. Приближённое рассмотрение воздействия импульсов на колеба-
тельный контур.............................................* . . 258
§ 8.9. Воздействие непериодических колебаний на цепь с идеальной ре-
зонансной кривой...........................................* . . 263
§ 8.10. Определение энергии, выделяемой импульсом, с помощью его
спектральной функции ...........................................271
§ 8.11. Помехи радиоприёму.......................................273
Глава 9. Связанные контуры
§91. Вводные замечания. Примеры связанных контуров. Типы связи. 275
§ 9.2. Схемы замещения первого и второго контура.................276
§ 9.3. Резонансы в связанных контурах ....................‘. . . . 283
Оглавление 371
§ 9 4. Энергетические соотношения в связанных контурах..........284
§ 9.5» Резонансные явления в связанных контурах при изменении xt . 289
§ 9.6. Резонансные явления в связанных контурах при изменении xt . 297
§ 9.7. Резонансные явления в связанных контурах при изменении
хг и xt..........................................................300
§ 9.8. Резонансные явления в связанных контурах при изменении час-
тоты эдс (один из контуров неколебательный, а другой —
колебательный) . . . . ..........................................304
$ 9.9. Резонансные явления в связанных колебательных контурах при
изменении частоты эдс (контуры без потерь).......................309
§ 9.10» Резонансные явления в связанных колебательных контурах
при изменении частоты эдс (слабая связь и сильно отлича-
ющиеся резонансные частоты) •....................................317
§ 9.11. Резонансные явления в связанных колебательных контурах при
изменении частоты эдс (контуры одинаковые)..................... 318
§ 9.12. Резонансные явления в связанных колебательных контурах при
изменении частоты эд1 (общий случай при близких частотах
связи) • ... ................................................. 324
§ 9.13. Воздействие модулированных колебаний на систему связанных
контуров.........................................................327
§ 9.14. Воздействие импульсов на связанные одинаковые контуры . • 327
§ 9.15. Воздействие импульсов на связанные контуры (общий случай) 338
Приложение 1. Доказательство ф-л (2.3), (2.4).................. 343
Пр иложение 2. Значения ег и tg$ для некоторых диэлектриков,
применяемых в радиотехнике .................................... е 345
П риложение 3. Значения ТКС и, tgS для некоторых типов кон-
денсаторов постоянной ёмкости....................................346
Приложение 4. Ёмкость плоского и цилиндрического конден-
саторов^ ...................................................... 347
Приложение 5. Расчёт формы пластин конденсаторов переменной
ёмкости........................*............................... 349
Приложение 6. Основные параметры некоторых отечественных
магнитодиэлектриков..............................................353
Приложение 7. Расчёт индуктивности катушек....................• . 354
Приложение 8. Нахождение оптимального диаметра провода
катушки....................».....................................357
П риложение 9. Средние значения TKL некоторых типов катушек
инду ктивности.................ч . . . .....................• . • 359
Приложение 10. Расчёт взаимной индуктивности катушек . ,;i 359
Приложение 11. Основные данные некоторых типов элементов
сопротивления.................................................. 366
Приложение 12. Сокращённые обозначения основных электриче-
ских и магнитных величин, встречающихся в книге..................366
Отв. редактор Н. И. Чистяков
Редактор А. X. Якобсон
Техн, редактор Г. М. Морозова.
Л-150509 Сдано в набор 1/VHI 1950 г.
Подписано к печати 26/Х 1950 г.
Тираж 15000. Бумага 60x92» доля
23,25 печ. л. + 1 вклейка = 11,63
бум. л. 20,12 авт. л. 24,71 уч.-изд. л.
Заказ изд. 4014. Зак. тип. 1317.
Цена 14 р. 10 коп. в переплете.
20-я тип. «Союзполяграфпрома»
Гл авполигр афиздата
при Совете Министров СССР
Москва, Ново-Алексеевская, 52.
Рис 1.5 Поле излучения диполя