Оглавление
Предисловие......... еее ооо оооеововеньно.. б
Глава 1. Теория множеств и кризис оснований мате-
матики...... еее ооо оеоюеноно»е LQ
$1.1. Три кризиса оснований математики 10
51.2. Арифметизация математики . 11
$1.3. Элементы теории множеств 12
$1.4. Соответствия и функции . 13
$1.5. Бинарные отношения 15
$1.6. Числовые множества, 17
$1.7. Парадоксы теории множеств . 19
Глава 2. Интуиционизм ..... еее нонов. 20
$2.1. Интуиционистская критика классической мате-
матики 20
$2.2. Элементы интуиционистской математики 22
$2.3. Свободно становящиеся последовательности 23
§2.4. Потоки и виды . 26
52.5. Интуиционизм и логика 28
Глава 3. Элементы классической логики ........... 32
53.1. Алфавит, буква, слово 33
$3.2. Алгебра высказываний 34
33.3. Классическое исчисление высказываний . 40
33.4. Элементарные языки и алгебраические системы 49
$3.5. Классическая логика предикатов 93
$3.6. Классическое исчисление предикатов . 55
$3.7. Теорема Гёделя о полноте классического исчисле-
ния предикатов 60
Глава 4. Интуиционистское исчисление высказыва-
54.1. Исчисление Колмогорова. 65
54.2. Интуиционистское, минимальное и позитивное
исчисления 67
34.3. Исчисление задач по Колмогорову 70
54.4. Простые импликации 71
3

Глава 5. Псевдобулевы алгебры ........ у... 74
35.1. Логические матрицы и оценки............ 74
§5.2. Решетки и псевдобулевы алгебры .......... 77
$5.3. Операции над псевдобулевыми алгебрами ..... 84
55.4. Гомоморфизмы псевдобулевых алгебр ....... 88
Глава 6. Исследование ИИВ с помощью псевдобуле-
вых алгебр........... еее ооненое 90
56.1. Псевдобулевы алгебры как модели ИИВ...... 90
56.2. Нетабличность ИИВ .... еее... 96
36.3. Теорема Гливенко ...... еее еее. 97
56.4. Характеристические формулы............ 100
§6.5. AnreOpa JImHmeHOayMa.............06.. 102
56.6. Свойство дизъюнктивности ИИВ .......... 106
Глава 7. Модели Крипке для логики высказываний 110
$7.1. Алгебра открытых множеств ............ 110
57.2. Пропозициональные модели Крипке ........ 112
$7.3. Операции над шкалами Крипке........... 116
57.4. Полнота ИЙВ относительно моделей Крипке ... 118
Глава 8. Интуиционистское исчисление предикатов
(ИИП)....... еее вое новновие 125
38.1. Интуиционизм и элементарные языки ....... 125
38.2. Схемы аксиом и правила вывода ИИП....... 126
58.3. Погружение классического исчисления предика-
TOB B MHTYHMIMMOHMCTKOe ..........2.0 22 130
Глава 9. Модели Крипке для логики предикатов... 135
59.1. Интуиционистские модели Крипке для логики
предикатов ... 1. 1 we еее. 135
39.2. Полнота ИЙП относительно моделей Крипке ... 139
39.3. Интуиционистские теории .............. 145
59.4. Теории и модели с равенством............ 148
39.5. Свойства дизъюнктивности и экзистенциально-
сти ИЙИП . еее еее еее. 151
Литература. ....... еее ево ооо вооон scees 156
Предметный указатель ........ еее ное 158

Предисловие
«Обывательское» представление об интуиционизме, как пра-
вило, состоит в том, что интуиционисты — это такие странные
люди, которые запрещают себе пользоваться в рассуждениях
логическим законом исключенного третьего и критикуют дру-
гих, когда те делают это. Однако близкое и детальное знаком-
ство с интуиционизмом приводит к мысли, что интуиционист-
ский взгляд на математику является более реалистичным по
сравнению с традиционным, классическим.
Интуиционистское направление в математике начало скла-
дываться в начале ХХ века как результат предпринятой гол-
ландским математиком Л. Э. Я. Брауэром критики классиче-
ской математики и логики в связи с обнаружением теоретико-
множественных парадоксов. Философские и методологические
предпосылки интиуиционизма изложены в книге А. Гейтинга,
[11], где, в частности, говорится:
«К интуиционистам мы относим тех математиков, которые
принимают следующие два принципа:
1. Математика обладает не только чисто формальным, но и
содержательным значением.
2. Математические предметы непосредственно постигаются
мыслящим духом; следовательно, математическое познание не
зависит от опыта».
Первый принцип противопоставляет интуиционизм форма-
лизму — другому направлению в основаниях математики,
программа которого была выдвинута немецким математиком
Д. Гильбертом. Целью этой программы было доказательство
непротиворечивости математики точным математическим спо-
собом, для чего применялся метод формализации математиче-
ских теорий, состоящий в том, что математические утвержде-
ния записываются на подходящем формальном языке и таким
образом заменяются на последовательности символов, а мате-
матические рассуждения представляются как последовательно-
сти утверждений, построенные в соответствии с формальными
о

логическими правилами. С формалистской точки зрения мате-
матика представляет собой совокупность предложений форма-
лизованного языка, выводимых из некоторой системы аксиом,
причем выбор аксиом произволен и подчиняется лишь более или
менее условным соображениям практического удобства, а так-
же обязательному требованию непротиворечивости. При этом
вопрос об истинности или ложности математических суждений
не имеет смысла: можно говорить лишь об их доказуемости или
опровержимости на основе аксиом.
Таким образом, первый из перечисленных принципов инту-
иционизма признает за математикой существование предмета
исследования, однако второй принцип объявляет его исключи-
тельно продуктом мышления, отрицая какой бы то ни было
объективный, независимый от мышления характер математи-
ческих предметов.
Отвергая связь истинности математических суждений с
опытом, в качестве единственного критерия истинности в ма-
тематике Брауэр провозглашает интуицию. При этом, как ука-
зывает Гейтинг [11, с. 20|, брауэровскую интуицию не следует
понимать в каком-то «мистическом» смысле. Речь идет лишь о
том, что согласно концепции Брауэра математические объекты
рождены человеческой мыслью, и потому истинность суждений
о них полностью определяется представлениями об этих объек-
тах того математика, в сознании которого сложились эти объек-
ты. Строго говоря, с точки зрения интуиционизма сколько мате-
матиков — столько и математик. Однако в силу каких-то общих
свойств человеческого мышления возможно образование в со-
знании разных людей сходных математических понятий. К ним
относится, например, понятие натурального числа. Отправля-
ясь от этого понятия, на основе интуиционистских представле-
ний может быть развита своеобразная математическая теория.
Объектами исследования в интуиционистской математи-
ке являются прежде всего конструктивные объекты (напри-
мер, натуральные и рациональные числа) и заданные подхо-
дящим образом конечные совокупности конструктивных объ-
ектов. Своеобразным объектом исследования являются также
так называемые свободно становящиеся (или бесконечно про-
должающиеся) последовательности. Такую последовательность
6

можно представлять себе как эффективно заданную функцию,
определенную на натуральных числах и принимающую в ка-
честве значений конструктивные объекты. При этом эффек-
тивность в интуиционизме никак не уточняется и может пони-
маться довольно широко. Так, свободно становящуюся после-
довательность можно задавать алгоритмом, а можно каждое
последующее ее значение определять бросанием монеты. Олд-
нако в любом случае мы должны учитывать, что в каждый
момент нам известен лишь конечный начальный отрезок после-
довательности, и в своих рассуждениях мы не имеем права счи-
тать, что нам дана вся последовательность в целом. В этом про-
является отказ от использования абстракиии актуальной бес-
конечности, состоящей в отвлечении от принципиальной неза-
вершаемости неограниченно продолжаемых процессов и рас-
смотрении воображаемых результатов этих процессов как акту-
альных, завершенных объектов. Эта абстракция лежит в осно-
ве теоретико-множественного построения математики. Вместо
нее в интуиционистской математике используется более скром-
ная абстракция потенциальной осуществимости, состоящая в
идеализации, допускающей неограниченное продолжение про-
цесса получения значений последовательности. Систематиче-
ское изложение идей интуиционизма и некоторых разделов ин-
туиционистской математики содержится в книге Гейтинга, [12].
Философские предпосылки интуиционизма оказались
неприемлемыми для значительной части математиков и были
подвергнуты обоснованной критике. Так, А. Н. Колмогоров
в предисловии к книге [11| пишет: «Мы не можем согла-
ситься, что математические объекты являются продуктом
конструктивной деятельности духа. Для нас математические
объекты являются абстракциями реально существующих форм
независимой от нашего духа действительности.»
Все же интуиционистская критика оказалась весьма пло-
дотворной для математики в целом, так как привлекла вни-
мание к проблемам конструктивного образования абстрактных
математических понятий и к вопросу о границах применимо-
сти классической логики. С точки зрения интуиционизма как
конструирование математических объектов, так и рассуждения
о них должны подчиняться критерию интуитивной ясности и
7

убедительности. Касаясь отношений между математикой и ло-
гикой, Гейтинг [11, с. 22] указывает, что в интуиционистской ма-
тематике умозаключения не производятся по заранее установ-
ленным правилам (как в формалистской концепции Гильбер-
та), т. е. не фиксируется какая-либо априорная логическая си-
стема. Убедительность каждого логического шага, должна про-
веряться непосредственно в соответствии с интуицией. Однако
это не исключает существования общих правил, по которым из
одних истинных математических предложений интуитивно яс-
ным путем получаются другие истинные математические пред-
ложения. Таким образом, имеет смысл говорить об интуици-
онистской логике как о совокупности интуитивно примлемых
способов математических умозаключений. Основоположник ин-
туиционизма Брауэр предпринял анализ принципов аристоте-
левской логики и пришел к выводу, что применимость закона,
исключенного третьего не во всех случаях можно считать оче-
ВИДНОЙ.
Начиная с работ советских математиков А. Н. Колмогоро-
ва и В. И. Гливенко и голландского математика А. Гейтинга,
относящихся к концу 20-х — началу 30-х годов ХХ века, боль-
шое внимание уделяется построению и исследованию логиче-
ских и логико-математических формальных систем, коррект-
ных с точки зрения интуиционизма. По мере развития матема-
тики и математической логики исследования по интуиционист-
ской логике не только не теряли свою актуальность, но, на-
против, наполнялись новым содержанием. Так, еще в 30-е годы
ХХ века Колмогоров [25] показал, что интуиционистская логи-
Ka имеет реальный смысл, не связанный с философскими уста-
новками Брауэра, если рассматривать ее как логику решения
задач. В 40-е годы ХХ века американский логик и математик
С. К. Клини предложил интерпретацию ряда специфических
интуиционистских понятий на основе разработанных к тому
времени концепций теории алгоритмов. Введенное им понятие
рекурсивной реализуемости [24], [6, 882] послужило отправной
точкой для разработки конструктивной математики, начатой в
50-е годы ХХ века советским математиком А. А. Марковым.
Наконец, исследования последней четверти ХХ века в области
теоретического программирования выявили особую роль инту-
8

иционистской логики в вопросах синтеза программ, поскольку
использование этой логики в математических построениях поз-
воляет сделать явными их алгоритмические, вычислительные
аспекты. Поэтому интуиционистская логика является одним из
важных и актуальных направлений современной математиче-
СКОЙ ЛОГИКИ.
Настоящая книга написана на основе специальных курсов,
читавшихся авторами на механико-математическом и философ-
ском факультетах Московского Государственного Университета
имени М. В. Ломоносова. Она состоит из девяти глав. В гла-
ве 1 кратко излагается сущность кризиса оснований матема-
тики, вызванного обнаружением парадоксов в наивной теории
множеств. Глава 2 посвящена основам интуиционизма как од-
ного из направлений выхода из кризиса. Предваряя построение
интуиционистской логики, в главе 3 рассматриваются основные
понятия и конструкции, относящиеся к классической логике.
В главе 4 вводятся интуиционистские пропозициональные ис-
числения. В главе 5 излагается теория псевдобулевых алгебр,
которая затем в главе 6 применяется для исследования инту-
иционистского исчисления высказываний. В главе 7 вводятся
модели Крипке для логики высказываний и доказывается пол-
нота интуиционистского исчисления высказываний относитель-
но семантики Крипке. В главе 8 вводится интуиционистское ис-
числение предикатов. В главе 9 вводятся модели Крипке для
логики предикатов и доказывается полнота интуиционистского
исчисления предикатов относительно семантики Крипке.
Книга предназначена для студентов и аспирантов, а также
специалистов по математической логике, информатике и кибер-
нетике.
В дальнейшем употребляется следующая общепринятая
символика для замены слов и словосочетаний естественного
языка: — — «есть по определению»; У — «для всех»; Я — «суще-
ствует»; < — «тогда и только тогда, когда»; --: =... — «если
., TO...>; & — «mu»; V — «или». Символ Ш означает конец
доказательства.
Авторы будут признательны читателям, сообщившим о за:
меченных опечатках, ошибках и других погрешностях по адресу
veplisko@yandex.ru uu valkhakhanian@mtu-net.ru.

Глава 1
Теория множеств и кризис
оснований математики
Возникновение интуиционизма связано с кризисом в основа-
ниях математики, который был вызван обнаружением в конце
ХХ - начале ХХ веков противоречий в канторовской теории
множеств.
81.1. Три кризиса оснований математики
Слово «кризис» означает резкий крутой перелом, вызван-
ный тяжелым положением. В истории математики насчитыва-
ют три так называемых кризиса оснований математики. При
этом под основаниями математики понимается совокупность
понятий, концепций и методов, с помощью которых строятся
различные математические дисциплины, а также комплекс ма-
тематических и философских теорий и направлений, посвящен-
ных исследованию этих понятий, концепций и методов.
Первый кризис оснований математики произошел в У веке
до н. э. и был связан с обнаружением несоизмеримости сторо-
ны квадрата и его диагонали. Тяжесть положения определялась
тем, что до того математики знали только целые и дробные
числа, и считалось, что с их помощью можно выразить длину
любого отрезка. Крутой перелом выразился в признании суще-
ствования чисел, которые впоследствии были названы ирраци-
ональными.
Второй кризис оснований математики развернулся на рубе-
же ХУП - ХУШ веков и был порожден противоречивыми ре-
зультатами в исчислении бесконечно малых в силу неудовлетво-
рительного обоснования исходных понятий и принципов: одни
математики считали бесконечно малые нулями и отбрасывали
их при вычислениях, другие считали, что все же они отличны
от нуля хотя и на очень малую величину. Стремясь преодолеть
10

этот кризис, французский математик О. Л. Коши разработал
теорию пределов.
Третий кризис оснований математики начался на рубеже
ХХ - ХХ веков и, как отмечается в [3], до сих пор не преоде-
лен. Он связан с проникновением в математику методов теории
множеств и обнаружением противоречий в этой теории.
81.2. Арифметизация математики
Математический анализ как раздел математики начал скла-
дываться в трудах английского физика и математика И. Нью-
тона, немецкого философа, математика и физика Г. В. Лейб-
ница и других ученых ХУП - ХУШ вв. Как отмечается в [3],
под впечатлением мощи и плодотворности исчисления беско-
нечно малых большинство математиков активно применяли его
методы, не задумываясь над тем, насколько прочна его осно-
ва. Внедрение в математику повышенной строгости началось
лишь в ДХ веке. Как уже отмечалось, Коши разработал тео-
рию пределов. Чешский математик и философ Б. Больцано
выдвинул идею арифметической теории действительных чисел.
Эта идея была систематически разработана немецким матема-
тиком К. Т. В. Вейерштрассом, который начал так называемую
арифметизацию математики, состоящую в сведении принци-
пов математического анализа к простейшим арифметическим
понятиям. Эта деятельность была продолжена немецкими ма-
тематиками Л. Кронекером, Ю. В. Р. Дедекиндом и Г. Кан-
тором. В результате арифметизации анализа все его основные
понятия были сведены к рассмотрению натуральных чисел и
бесконечных систем натуральных чисел. Как отмечается в |3],
«это упрочение основ было настолько успешным, что Пуанка-
рев 1900 г. ... смог гордо заявить, что математика уже обрела
совершенно прочный и надежный фундамент». Глубокое иссле-
дование исходных понятий математического анализа было свя-
зано с развитием теории множеств, созданной Кантором. Эта,
теория явилась совершенно новой областью математических ис-
следований, удовлетворяющей самым суровым требованиям к
строгости.
11

81.3. Элементы теории множеств
На начальном этапе своего развития теория множеств опи-
ралась на интуитивные представления о множествах, и ныне
этот этап характеризуется как наивная теория множеств. Со-
гласно Кантору множество — это любое объединение в одно
целое определенных объектов, которые называются элемента-
ми этого множества. Множество, элементами которого являют-
ся объекты а1, а2,..., обозначается {а1, а2,... }. Если х являет-
ся элементом множества 4, пишут 1 Е А. В противном случае
пишут 1 # А. Множества А и В считаются равными (А = В),
если Ух (т Е А>тТЕВ). Если Ух (тЕ АЗхеЕ В), говорят, что
А является подмножеством множества В или что А включено
в В. Семейство всех подмножеств множества А обозначается
Р(А). Если, АСВи А? В, то А называют собственным, под-
множеством множества В, а В — собственным расширением
множества А, и пишут АС В.
Один из основных приемов наивной теории множеств —
принцип свертывания (или принцип абстракции), согласно ко-
торому для всякого свойства Ф(1х), которым произвольный объ-
ект 1 может обладать или не обладать, существует множество,
обозначаемое {х | Ф(т)}, элементами которого являются те и
только те объекты х, которые обладают свойством Ф(т). С по-
мощью принципа свертывания легко доказывается существова-
ние пустого множества: @ = {т | хх}.
Множество
АЧВ = {1 | тЕАУХхЕВ}
называется оббединением множеств ДА и В. Пересечением мно-
жеств Аи В называется множество
АПВ = {| тЕА&ХЕВ}.
Разностью множеств Аи В называется множество
А\В={х|хЕА&ТЯ В}.
Порядок элементов в двухэлементном множестве {a,b} He
играет роли: {а,6} = {Б, а}. Один из способов определения упо-
рядоченной пары был предложен польским математиком К. Ку-
ратовским: упорядоченная пара (а, 5) определяется как множе-
12

ство {{а}, {а,6}}. Для любого п > 2 можно индуктивно опреде-
лить упорядоченный набор (кортеж) (а1,..., ав) длины п:
(ао, а1,...,@т) — (ао, (а1,...,@п)).
Прямым (или декартовым) произведением множеств Аи В
называется множество
АхВ = {(а,5) | «аЕ А&ЬЕВ}.
Аналогично определяется прямое произведение множеств
А1, А2,..., Ап как множество
Ах А2х-..-х А, = {(а1,...,@п)|а1 Е А1, а2Е Ад,..., щЕ Ав}.
Если А! = А 2 =... = Ап, то множество Ал х Азх-.-х Аи назы-
вается декартовой степенью множества А и обозначается А”.
81.4. Соответствия и функции
Соответствием между множествами Аи В называется лю-
бое множество а С Ах В. Областью определения соответствия
С называется множество
D(G) = {x | dy (x,y) € G}.
Множеством значений соответствия С называется множество
E(G) = {у | 35 (x,y) € G}.
Обратным соответствием для соответствия С называется со-
ответствие
G* = {(z,y) | (y,x) € G}
между множествами В и А. Если С — соответствие между мно-
жествами Ди В, а Г — соответствие между множествами В и
С, то их произведением (или композицией) называется соответ-
ствие
СоЕ= {(т,2) | Зу[(х, у) ЕС & (9,2) ЕЁ]}
между множествами Аи С.
Соответствие С между множествами Аи В называется
инбективным соответствием, или инбекцией, если
Ут1, 12, у [((21, у) ЕС & (2, Y) Е С) => 11 = т2];
13

тотальным или всюду определенным соответствием, если
D(G) = A;
CLOPSEKMUBHDIM соответствием, или сюрзекцией, если
E(G) = B;
функциональным соответствием, или функцией из А в В,
если
Ух, ул, у2 [((5, у1) ЕС & (5, у2) Е С) = y1 = yo].
Функцию /[ из А в В обозначают так: } : А -› В. Если
(ху) Е }, пишут у = К(т). Тотальная функция }: А -› В
называется отображением А в В. Тотальная и сюръективная
функция } : А -+ В называется отображением А на В.
Соответствие С между множествами А и В называется
взаимно-однозначным соответствием или биекцией, если оно
функционально, инъективно, тотально и сюръективно. Мно-
жества А и В называются равномошными, если существует
взаимно-однозначное соответствие между Аи В. Чтобы выра-
зить, что А и В равномощны, пишут А ^-> В. Равномощные
множества называются также эквивалентными.
Согласно Кантору, под кардинальным числом или мошно-
стью множества, А понимается то общее, что присуще всем мно-
жествам, эквивалентным множеству А. Независимо от способа
представления того абстрактного объекта, который называет-
ся кардинальным числом, фундаментальное значение имеет то,
что два множества А и В имеют одну и ту же мощность, если и
только если они эквивалентны. Мощность множества А обозна-
чается |А|. Если множество А равномощно некоторому подмно-
жеству множества В, пишут |А| < |В|. Если А и В не равно-
мощны и выполнено неравенство |А| < |В|, то пишут |А| < |В|.
Предложение 1 (теорема Кантора). Для любого множества
А выполняется условие |А| < [Р(А)|.
„Доказательство. Фунция д : А + Р(А) такая, что 9(1) = {т},
устанавливает взаимно-однозначное соответствие между Аи
подмножеством Р(А), состоящим из всех одноэлементных под-
множеств М, так что |А| < |Р(А)|. Покажем, что |А| 52 [Р(А)|.
Пусть } — какая-либо функция из Ав Р(А), и пусть
5 ={х|хЕА&хЯя fi(x)}.
14

Очевидно, что 5 € Р(А). Покажем, что 5 #@ Е(}). Пусть
f(s) = 5 для некоторого 3 Е А. Простые рассуждения пока-
зывают, что в этом случае предположения $ €C Sus ¢ S o6a
ведут к противоречию. Таким образом, не существует взаимно-
однозначного соответствия между Аи Р(А) O
$1.5. Бинарные отношения
Когда множества, А и В совпадают, соответствие между Аи
В называется бинарным отношением на А. Если К — бинарное
отношение на А, то вместо (тх,у) Е В пишут хВу. Бинарное
отношение К на множестве А называется:
рефлексивным, если
(Ут е А) (х,х) Е В;
иррефлексивным, если
(Ут еЕ А) (х,х)@ В;
симметричным, если
(Va,y € A) |(z,y) Е В => (у,1) ЕЕ}
антисимметричным, если
(Ух уЕ А) [((5, у) е В & (у,1) Е В) =1=1]
транзитивным, если
(Ух, у,2Е А) [((х, у) Е В& (у, 2) Е В) = (1,2) ЕВ.
Бинарное отношение на непустом множестве А называет-
ся отношением эквивалентности, или эквивалентностьью, ес-
ли оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Эквивалент-
ность обозначают символом ^^. Классом эквивалентиности эле-
мента х € A по отношению эквивалентности ^^ на множестве
А называется множество [т|., = {у | х > у}. Множество всех
классов эквивалентности элементов множества А по отношению
эквивалентности ^^ называется фактор-множеством множе-
ства А по отношению эквивалентности -> и обозначается А/...
Очевидно, что классы эквивалентности обладают следующими
свойствами:
хе 1].
15

rv y = [rl~ = [У],
tey => [z]~O[yl~ = 0.
Таким образом, множество 4 разбивается на непересекающиеся
классы эквивалентности по =>.
Бинарное отношение называется отношением предпорядка,
или предпорядком, если оно рефлексивно и транзитивно. Пред-
порядок обозначают символом <. Отношение предпорядка на-
зывается отношением частичного порядка, или частичным, по-
рядком, если оно антисимметрично. Непустое множество А с
заданным на нем частичным порядком называется частично
упорядоченным.
Предложение 2. Пусть < — предпорядок на множестве А.
Тогда отношение >, определенное так:
т -у= [1 зу&у< 1], (1.1)
является эквивалентностью на А. Если для любых ту Е А
положить
[2], < [9]. = 2 <Уу, (1.2)
то отношение < на множестве А/., является частичным, по-
рядком.
Доказательство. Рефлексивность отношения г следует из ре-
флексивности исходного отношения < на А. Симметричность
отношения ^^ вытекает из определения (1.1). Транзитивность
отношения ^^ следует из транзитивности отношения < на А.
Таким образом, ^^ является эквивалентностью на А.
Из транзитивности исходного отношения < на множестве А
следует, что если х <уихт-т', уу, тот’ < у. Поэтому
определение (1.2) отношения < на А/., является корректным в
том смысле, что для любых классов эквивалентности а, БЕ А/.,
неравенство а < 6 не зависит от выбора представителей в а и 6.
Рефлексивность и транзитивность отношения < на А/„, следует
непосредственно из аналогичных свойств исходного отношения
< на множестве А. Антисимметричность отношения < на А/.,
доказывается так: если [rz]. < [y|~ u [yl~ < [1], ror < yu
у < г всилу определения (1.2), а тогда в силу определения (1.1)
ху т.е. [1], = [9]... Таким образом, отношение < на А/.,
является частичным порядком. 0
16

81.6. Числовые множества
К концу ХХ века наивная теория множеств стала играть
в математике роль своеобразного стандарта, в соответствии с
которым любой математический объект можно определить как
подходящее множество. Натуральные числа можно определить
так: 0 — 0; если число п уже определено, то п+1 = пЦ{п}. По-
сле этого натуральный ряд можно охарактеризовать как наи-
меньшее по включению множество М, которое содержит (@ и
вместе с каждым элементом 1 содержит множество {х}. На та-
ком определении натурального ряда основан принцип индук-
ции. Всякая тотальная функция / : М -+ А называется последо-
вательностью (элементов множества, А). В этом случае вместо
1(п) обычно пишут м». Множество называется счетным, если
оно равномошно множеству М. На множестве М естественным
образом определяется операция сложения.
Теперь мы можем в рамках теории множеств ввести целые
числа. На множестве М? определим отношение эквивалентно-
сти ^^ следующим образом: (а, 6) ^> (с, 4) = а=а=ь-с. В каж-
дом классе эквивалентности есть ровно одна пара вида (п, 0)
или (0,1). Для натурального числа К положим К = [(К,0)].,,
—К = [(0,К)|-,. Элементами фактор-множества М? /., будут мно-
жества вида Ки —К. Они называются целыми числами. На, мно-
жестве всех целых чисел Й, естественным образом определяются
операции сложения, вычитания и умножения.
Целые числа вида К (К Е М) находятся в естественном
взаимно-однозначном соответствии с натуральными числами.
Целое число К считается представителем натурального числа
Кв {, и в этом смысле всякое натуральное число является це-
лым числом. Множество всех целых чисел вида К также будем
обозначать М.
На множестве Z x (N \ {0}) определим отношение эквива-
лентности -> следующим образом: (а,6) -> (c,d) = a-d=b-c.
В каждом классе эквивалентности есть ровно одна такая па-
ра (К,п), что целые числа К и п взаимно просты. Элементы
фактор-множества (Я х (М\{0}))/._, называются рациональны-
ми числами.
Рациональные числа вида [(К, 1)|., находятся в естественном
17

взаимно-однозначном соответствии с целыми числами. Можно
считать рациональное число этого вида представителем цело-
го числа К в множестве рациональных чисел, и в этом смысле
всякое целое число является рациональным числом. Множество
всех рациональныых чисел вида [(К,1)]., также будем обозна-
чать Z.
На множестве всех рациональных чисел О нетрудно опреде-
лить операции сложения, вычитания, умножения и деления на
число, отличное от 0, а также естественный порядок <.
Для определения действительных чисел в рамках теории
множеств применялись различные конструкции. Рассмотрим
одну из них, предложенную Кантором. Последовательность ра-
циональных чисел г: М -› О называется фундаментальной,
если для любого положительного рационального числа, = суще-
ствует такое натуральное число п:, что для всех п, т > пе вы-
полняется неравенство |г„ —Тт| < =. Последовательность раци-
ональных чисел г называется нульпоследовательностью, если
для любого положительного рационального числа, = существует
такое натуральное число п:, что для всех п > п: выполняется
неравенство |[т„| < =. Две фундаментальные последовательно-
сти рациональных чисел г и $ называются эквивалентными,
если их разность является нульпоследовательностью. Каждый
класс эквивалентности называется действительным числом, а
всякая фундаментальная последовательность из этого класса
называется представителем этого действительного числа. Мно-
жество всех действительных чисел обозначается В.. Естестве-
ным образом определяются сумма и произведение двух действи-
тельных чисел.
Пусть р Е О. Тогда последовательность г, определяемая как
'n = р для любого п Е М, очевидно, является фундаменталь-
ной. Класс эквивалентности, содержащий эту последователь-
ность, можно считать представителем рационального числа, р в
множестве всех действительных чисел.
Поскольку понятие функции из В, в В, определяется в рам-
ках теории множеств, имеется возможность развивать матема-
тический анализ и другие разделы математики на основе теории
множеств.
18

$1.7. Парадоксы теории множеств
Таким образом, математический анализ и основанные на нем
разделы математики были сведены к теории множеств и, как
казалось, получили единое и прочное обоснование. Поэтому об-
наружение противоречий в теории множеств явилось драмати-
ческим событием в истории математики. Рассмотрим два таких
противоречия.
Парадокс Кантора. Пусть М — множество всех множеств.
По теореме Кантора (предложение 1) |М| < |Р(М)|. Но М
содержит в себе все множества, так что Р(М) С М. Значит,
Р(М)| < |М|. Получили противоречие.
Как отмечается в |3], этот парадокс был известен самому
Кантору еще в 1899 г., но был опубликован лишь в 1932 г.
(см. [15]).
Парадокс Рассела. Пусть Т = {х | тех} т.е. хЕТетех.
Взяв здесь Т в качестве х, получаем ТЕТ + Т@Т. Это также
противоречие.
Этот парадокс был обнаружен английским математиком, ло-
гиком и философом Б. Расселом в 1902 г. и был опубликован
им в 1903 г. (см. [26]).
Обнаружение парадоксов в канторовской теории множеств
вызвало третий кризис оснований математики. Поиски выхода
из него оказались мощным стимулом для исследований по акси-
оматизации теории множеств и математической логике. С этим
связано и оформление интуиционистского направления в мате-
матике.
Упражнения
1. Доказать, что если АСВССи|А| = |С|, то |В| = |CI.
2. Доказать теорему Кантора — Берниитейна:
|A| < |B] &|B| < |A| = |A| = |BI.
3. Доказать, что множество Р;»(А) всех конечных подмно-
жеств счетного множетва, А счетно.
4. Доказать, что множество Р(М) несчетно.
19

Глава 2
Интуиционизм
Аксиоматизация теории множеств, начатая Цермело, слу-
жила ответом на вопрос «Что делать?», обычно возникающий
в кризисной ситуации. Ответ на другой вопрос «Кто виноват?»
также интересовал математиков. Неожиданная попытка ответа
на него привела к возникновению интуиционистского направ-
ления в математике.
82.1. Интуиционистская критика классиче-
ской математики
Парадоксы теории множеств свидетельствуют о неблагопо-
лучии классической математики в целом. Еще задолго до их
обнаружения высказывались сомнения в обоснованности неко-
торых методов образования математических понятий и спосо-
бов рассуждения о них. В частности, обсуждался статус суще-
ствования в математике. В связи с любым определением возни-
кает вопрос о существовании объекта, удовлетворяющего это-
му определению. Обычно этот вопрос решается указанием та-
кого объекта. Однако в математике известны «теоремы чисто-
го существования», когда доказывается существование объек-
та без предъявления способа его построения (например, дока-
зательство существования трансцендентных чисел, основанное
на счетности множества всех алгебраических чисел, а также
многие доказательства, использующие аксиому выбора). В ак-
сиоматических теориях существование объекта с данным свой-
ством считается доказанным, если предположение о его несуще-
ствовании ведет к противоречию. Такие доказательства, в клас-
сической математике высоко ценились за их остроумие.
Признание построения объекта единственно законным спо-
собом доказательства существования является характерной
особенностью интуиционизма — направления в математике,
признающего единственным критерием правомерности тех или
20

иных методов их интуитивную убедительность. Интуиционист-
ские идеи высказывались еще Л. Кронекером и ЖК. А. Пуанкаре,
однако тогда они относились к философии математики и не во-
площались в конкретные математические построения. Так, Пу-
анкаре настаивал на «изначальной интуиции» математической
индукции, которая является проявлением некоторых свойств
нашего разума. Однако он признавал доказательство непроти-
воречивости доказательством существования. Для Кронекера,
характерно признание доказательства существования объекта
только с помощью построения. При этом он считал, что этот
объект существует сам по себе и лишь копируется нами.
Явно и последовательно взгляды интуиционистов были
сформулированы в диссертации Л. Э. Я. Брауэра «Об осно-
ваниях математики», опубликованной в 1907 г. на голландском
языке. Касаясь философии математики, Брауэр заявляет, что
чистая математика представляет собой свободное творчество
разума и не имеет никакого отношения к опыту. Наблюдение
правильно повторяющейся последовательности событий может
привести к образованию некоторой математической системы,
однако в современной чистой математике, напротив, чаще все-
го образуются абстрактные математические системы, которы-
ми затем пользуются другие науки для приведения в систему
результатов наблюдений с целью достижения большей ясности.
Деятельность Брауэра не ограничилась лишь философски-
ми рассуждениями. Начиная с работы «Основание теории мно-
жеств, независимое от логического закона исключенного тре-
тьего», опубликованной в 1918 - 1919 гг. (см. [13]), Брауэром
велась разработка совершенно нового подхода к обоснованию
анализа и теории множеств. Признавая «изначальную интуи-
цию» натурального числа, интуиционизм рассматривает ариф-
метику как основу всей математики. При этом отвергается как
интуитивно ясное представление о континууме в виде геомет-
рического пространства, характерное для древнегреческой ма-
тематики.
Рассмотрим некоторые примеры конкретной реализации
идей интуиционизма при построении математических теорий.
21

§2.2. Элементы интуиционистской матема-
тики
Согласно интуиционистской доктрине математические объ-
екты порождаются человеческим сознанием, поэтому истин-
ность суждений о них определяется представлениями об этих
объектах того математика, в сознании которого они возникли.
В силу некоторых общих свойств человеческого мышления воз-
можно образование в сознании разных людей одинаковых ма-
тематических понятий. К ним относится изначальная интуиция
натурального числа, или построение его по математической ин-
дукции. Построение натурального числа п состоит в последо-
вательном построении натуральных чисел от 1 до п. Процесс
построения натуральных чисел можно фиксировать в матери-
эльной форме. Например, с каждым шагом построения мы мо-
жем связывать написание палочки [ на бумаге. Тогда слово [
будет отождествляться с числом 1, слово ПЦ — с числом 2, и
т. д. Такой взгляд позволяет пользоваться в доказательствах
методом индукции. Пусть Р(х) — такое свойство натуральных
чисел, что Р(1) истинно, и с помощью некоторого рассуждения
можно заключить, что из Р(п) следует Р(п’), где п’ — чис-
ло, построенное на следующем шаге после п. Теперь, если т —
произвольное натуральное число, мы знаем, что в процессе по-
строения чисел от 1 до т на каждом шаге сохраняется свойство
Р, следовательно, Р(т) истинно.
С точки зрения интуиционизма построение математических
объектов и рассуждения о них должны подчиняться критерию
интуитивной ясности и убедительности. В конкретных матема-
тических конструкциях интуиционизм проявляется в отказе от
рассмотрения бесконечной совокупности как данной в завер-
шенном виде. В интуиционистской математике бесконечность
рассматривается лишь как становящаяся, или потенциальная.
Так, натуральный ряд в интуиционисткой математике рассмал-
ривается не как завершенная совокупность, а лишь как процесс
построения натуральных чисел, начиная с 1.
Отправляясь от понятия натурального числа, на основе ин-
туиционистских представлений можно развивать своеобразную
математическую теорию. Не представляет труда построение це-
22

лых и рациональных чисел. Отрицательные целые числа можно
отождествлять со словами вида —п, где п — натуральное число,
О можно отождествить с пустым словом. Нетрудно с помощью
подходящих алгоритмов над словами определить операции сло-
жения и вычитания целых чисел. Рациональные числа можно
отождествить с несократимыми дробями вида т/п, где т —
целое, а п — натуральное число. Алгоритмически определяют-
ся арифметические операции на рациональных числах. Теперь
можно, подражая классической теории, строить интуиционист-
скую теорию действительных чисел.
82.3. Свободно становящиеся последователь-
ности
Пусть задано некоторое правило последовательного постро-
ения рациональных чисел: на первом шаге строится число т1, на
втором — число го, и т. д. В таком случае будем говорить, что
лана последовательность г. При этом правило построения Ти
может быть произвольным: число г„ может строиться посред-
ством некоторого алгоритма или выбираться случайно. Главная
особенность интуиционистского понимания последовательности
состоит в том, что гарантирована возможность неограниченно-
го ее продолжения, причем сама последовательность никогда не
бывает дана в готовом виде: нам может быть задан только ко-
нечный ее отрезок. В этом смысле последовательность являет-
ся потеничально бесконечной. В интуиционистской математике
для таких последовательностей используется термин «свободно
становящаяся последовательность».
Последовательность рациональных чисел г называется фун-
даментальной, если для каждого натурального числа К мы мо-
жем найти натуральное число 79 такое, что для всех т, п > по
выполняется неравенство |Ги — Гт| < z. Например, последова-
тельность ти = on является фундаментальной последователь-
ностью. Действительно, для любого данного К в качестве по
можно взять наименьшее число п такое, что 2” > К. Рассмот-
рим последовательность ди, определяемую следующим образом:
если п-й знак после запятой в десятичном разложении числа 7
есть 9 первого вхождения последовательности 0123456789 в это
23

разложение, то 4» = 1; в противном случае д» = =. Очевидно,
что последовательность 4„ отличается от последовательности
т» не более чем одним членом, но пока мы не знаем, встречает-
ся ли последовательность 0123456789 в десятичном разложении
числа л, мы не можем найти такое по, что для всех т, п > по
выполняется неравенство |4» — 4т| < >: Следовательно, мы не
имеем права утверждать, что последовательность ди является
фундаментальной.
Даже при случайном выборе членов последовательности ги,
можно позаботиться, чтобы эта, последовательность была фун-
даментальной. Рассмотрим, например, такую последователь-
ность а. Для построения а1 следует бросить монету и в ка-
честве а1 взять середину левой или правой половины отрезка
[0,1] в зависимости от того, выпали «орел» или «решка». Таким
образом, если выпал «орел», мы полагаем а1 = 43 если же вы-
пала «решка», полагаем а1 = 3. На каждом дальнейшем шаге
построения последовательности а будем поступать аналогично.
А именно, если при построении числа а„ был выбран отрезок
р, а], то для построения числа ои-+1 следует бросить монету, вы-
брать левую или правую половину отрезка [р, 49| в зависимости
от того, выпали «орел» или «решка», и в качестве а„+1 взять
середину выбранного отрезка. Очевидно, что для любых пи т
выполняется |0 — An+m| < ==, так что последовательность су
является фундаментальной.
Фундаментальная последовательность рациональных чисел
называется действительным числовым генератором. Будем
считать, что два действительных числовых генератора а = ап и
b = by, совпадают, и писать а = 6, если для любого натурального
К мы можем найти такое по, что для всех п > по выполняется
неравенство [ап — | < +. Нетрудно проверить, что отношение
совпадения между действительными числовыми генераторами
является рефлексивным, симметричным и транзитивным (см.
упражнение 1).
Неравенство действительных числовых генераторов а и 6
означает, что предположение а = 6 ведет к противоречию, и
обозначается а = 6. Более сильное различие между действи-
тельными числовыми генераторами выражается в следующем
понятии. Говорят, что числовые генераторы а и 6 отделены, и
24

пишут а36, если можно найти такие п и К, что для любого р > п
выполняется неравенство |а» — 6»| > +. Условие аб влечет
а 72 6. Обратное, вообще говоря, неверно. Можно привести при-
мер такого числового генератора, а, что а 72 0 (здесь 0 — после-
довательность, все члены которой равны 0), однако утвержде-
ние а#0 остается недоказанным. Идея построения этого при-
мера основана на так называемых «исторических аргументах
Брауэра», которые он изложил в докладе на 10-м Международ-
ном философском конгрессе в Амстердаме в 1948 г. (см [14]|).
Представим себе, что имеется некий творческий субъект, зани-
мающийся решением математических проблем, идеализирован-
ный в том смысле, что он потенциально бессмертен и облада-
ет неограниченными способностями, позволяющими ему рано
или поздно решить любую проблему (в качестве такого субъек-
та можно вообразить все человечество в целом). Зафиксируем
некоторую пока что нерешенную математическую проблему Ф
и определим числовой генератор а следующим образом. Фикси-
руем некоторую неограниченно продолжаемую дискретную по-
следовательность моментов времени 0,1,2,.... Например, это
может быть отсчет дней, начиная с некоторого фиксированного
дня. Значение а„ будет определяться в момент п согласно сле-
дующему правилу: если к моменту времени п наш творческий
субъект еще не решил проблему Ф, полагаем аи = oni если же
он решил проблему Ф в момент т < п, полагаем ап = oa Оче-
видно, что условие а = 0 означало бы, что проблема Ф никогда,
не будет решена, а это противоречит нашим представлениям
о способностях творческого субъекта. Поэтому а = 0, причем
этот факт мы установили уже в начальный момент. С другой
стороны, истинность утверждения а#0 означает, что мы можем
указать такие п и К, что для любого р > п выполняется нера-
венство ар > т. Отсюда следует, что проблема, Ф будет решена
до момента 4 такого, что 29 < К. Но очевидно, что такое 4 нам
станет известно только тогда, когда, проблема, Ф будет решена, а
в начальный момент мы его указать не можем. Таким образом,
в начальный момент утверждение а -2 0 истинно, а а#0 — нет.
Сравнивая понятие действительного числового генератора
с классическим понятием действительного числа по Кантору,
можно заметить, что каждый действительный числовой ге-
25

нератор является представителем некоторого действительного
числа, причем совпадающие генераторы представляют одно и
то же число. Приведенный выше пример последовательности
сх показывает, что в принципе ни одно действительное число
из отрезка [0,1] не может быть исключено из рассмотрения.
В этом смысле интуиционистский континуум, представленный
действительными числовыми генераторами, ничуть не беднее
континуума обычных действительных чисел. Однако важно,
что в рассуждениях о действительном числовом генераторе мы
должны исходить из того, что нам задан только начальный его
фрагмент, и все выводы должны делаться на основе лишь той
информации, которая содержится в этом фрагменте, и не зави-
сеть от возможных его продолжений.
Хотелось бы определить интуиционистское действительное
число как класс эквивалентности действительных числовых ге-
нераторов по отношению совпадения. В связи с этим уместно
коснуться интуиционистских взглядов на понятие множества.
$2.4. Потоки и виды
С точки зрения интуиционизма приемлемы следующие два
способа определения множества: 1) посредством задания спо-
соба, порождения его элементов; 2) посредством указания свой-
ства, которое характеризует элементы множества. Первый спо-
соб задания множеств уточняется с помощью понятия потока.
Говорят, что задан поток М, если, во-первых, указан закон по-
тока А, с помощью которого строятся конечные последователь-
ности натуральных чисел, и, во-вторых, указан дополнителъ-
ный закон Г, который каждой конечной последовательности,
построенной в соответствии с законом Л, сопоставляет некото-
рый математический объект. При этом закон потока Л делит ко-
нечные последовательности натуральных чисел на допустимые
и недопустимые и должен удовлетворять следующим условиям:
1) для любого натурального числа К этот закон позволяет
установить, является ли оно членом допустимой одноэлемент-
ной последовательности;
2) если допустима последовательность ао, @1,...,@п, @п-+1, ТО
допустима и последовательность а0,а1,..., ап;
26

3) если дана допустимая последовательность ао, а1,..., ап,
то закон Л позволяет для любого натурального числа, К решить,
является ли допустимой последовательность а9, а1,...,@п, К;
4) для любой допустимой последовательности а0,а1,...,@п
можно найти хотя бы одно натуральное число К такое, что по-
следовательность а0, а1,..., ап, К является допустимой.
Свободно становящаяся последовательность называется до-
пустимой, если каждый начальный ее фрагмент допустим со-
гласно закону потока Л.
Пусть а — допустимая свободно становящаяся последова-
тельность, и пусть 6» есть объект, сопоставляемый дополни-
тельным законом Г конечной последовательности а1,..., @. То-
гда свободно становящаяся последовательность 61, 62,... назы-
вается элементом потока М.
Поток, элементами которого являются действительные чис-
ловые генераторы, можно определить следующим образом.
Пусть фиксирован некоторый эффективный пересчет всех ра-
циональных чисел т1,72,.... Закон потока А зададим так:
1) каждое натуральное число образует допустимую одно-
членную последовательность;
2) если последовательность а1,...,@и допустима, то после-
довательность а1,..., ап, К является допустимой тогда и только
тогда, когда, Га, — Тк| < эт.
Дополнительный закон Г сопоставляет допустимой последо-
вательности а1,..., аи рациональное число Га,. Очевидно, что
все элементы этого потока являются действительными число-
выми генераторами, и, обратно, для любого действительного
числового генератора можно построить элемент этого потока,
представляющий то же действительное число.
Если множество определяется посредством указания свой-
ства, характеризующего элементы этого множества, то соответ-
ствующее свойство называется видом, а всякий объект, облада-
ющий этим свойством, называется членом данного вида. Оче-
видно, можно рассматривать вид, состоящий в совпадении дей-
ствительного числового генератора с данным действительным
числовым генератором. Такой вид называется действительным
числом, а всякий его член — представителем этого действитель-
ного числа.
27

§2.5. Интуиционизм и логика
Касаясь вопроса о соотношении интуиционистской матемал-
ки и логики А. Гейтинг [11] указывает: «Умозаключения инту-
иционистской математики не производятся по твердо установ-
ленным предписаниям, которые можно было бы объединить в
логическую систему, наоборот, очевидность всякого отдельного
вывода испытывается непосредственно». Таким образом, инту-
иционистская математика, не пользуется какой-либо априорной
логической системой. Единственным критерием правильности
рассуждения является интуитивная ясность каждого логиче-
ского шага. Однако это не исключает существования некоторых
общих правил, по которым из одних математических утвер-
ждений интуитивно ясным путем получаются другие утвер-
ждения. Выявление и изучение таких правил составляет пред-
мет интуиционистской логики, являющейся важным разделом
современной математической логики. Одним из естественных
путей построения интуиционистской логики является критиче-
ский анализ классической логики и выявление тех ее принци-
пов, которые приемлемы интуиционистски.
В 1908 г. появилась работа Л. Э. Я. Брауэра «Недостовер-
ность логических принципов» (на голландском языке). В ней
отмечалось, что правила классической логики, дошедшие до нас
от Аристотеля (ТУ век до н. э.), абстрагированы от обращения с
конечными совокупностями. Забывая об этом, впоследствии эту
логику ошибочно приняли за нечто первичное по отношению к
математике и в конце концов стали применять ее без какого-
либо оправдания к математике бесконечных множеств. Прин-
ципом классической логики, который Брауэр не принимает для
бесконечных множеств, является закон исключенного третье-
го: «Для любого высказывания Ф, либо Ф, либо не Ф». Пусть Ф
есть высказывание «Существует элемент множества 0), облада-
ющий свойством Р», причем свойство Р таково, что для любого
элемента из 2) мы можем определить, обладает ли он свойством
Р. Тогда «не Ф» эквивалентно утверждению «Каждый элемент
из D не обладает свойством Р». Если 0) — конечное множество,
то в принципе можно обследовать по очереди все его элементы
и либо найти элемент, обладающий свойством Р, либо убедить-
28

ся, что все элементы не обладают свойством Р, так что в этом
случае справедлив закон исключенного третьего. Если же Р
бесконечно, то принципиально невозможно закончить исследо-
вание всех его элементов. Для некоторых множеств Ш) и свойств
Р мы можем найти элемент, обладающий свойством Р, или, на-
против, доказать посредством математического рассуждения,
что каждый элемент множества ПР не обладает свойством Р
(как, например, с помощью известного рассуждения доказыва-
ется, что не существует таких натуральных чисел т и п, что
т? = 212). Однако нет никакой уверенности в существовании
такого решения вопроса об истинности утверждения Ф в общем
случае. Правда, можно было бы считать, что всякая пробле-
ма разрешима «в принципе», но это означало бы привлечение
философских допущений, что в математике делать не принято.
При построении логики несколько иной, чем в традицион-
ной, классической логике, смысл интуиционисты придают ис-
ходным логическим понятиям. В традиционной логике выска-
зывание понимается как такое предложение, которое может
быть истинным или ложным, так что истинностное значение
есть непременный атрибут всякого высказывания. Интуицио-
нистский взгляд на истинность высказывания представляется
более соответствующим математической практике. С точки зре-
ния интуиционизма, истинность высказывания связана с воз-
можностью его доказательства. Таким образом, высказывание
считается истинным, если имеется его доказательство. Чтобы
избежать ассоциаций с доказательствами в формальных тео-
риях, вместо термина «доказательство» мы будем употреблять
термин «обоснование».
В контексте такой трактовки истинности высказывания по-
нимаются и традиционные логические операции: конбюнкция
&, соответствующая союзу «и», дизбзюнкиия \, соответствую-
щая союзу «или», импликаиия >, соответствующая обороту
«Если ..., то ...». Так, высказывание Ф & У считается истинным
тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания Ф и Ф,
т.е. мы располагаем обоснованием каждого из этих высказыва-
ний. Высказывание Ф \/ № считается истинным тогда и только
тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний Ф и W, T. e.
мы располагаем обоснованием высказывания Ф или обосновани-
29

ем высказывания Ф. Высказывание Ф > У считается истинным
тогда и только тогда, когда имеется некий общий метод, поз-
воляющий любое обоснование высказывания Ф преобразовать в
обоснование высказывания \.
Интуиционистская трактовка квантора существования IZ,
соответствующего обороту «Существует х такой, что ...», и
квантора всеобщности Ух, соответствующего обороту «Для
всех х ...», состоит в следующем. Пусть Ф(х) — некоторое свой-
ство, которым могут обладать или не обладать объекты под-
ходящим образом заданного множества. Тогда высказывание
3х Ф(х) считается истинным, если для некоторого конкретного
объекта а из рассматриваемого множества мы имеем обосно-
вание высказывания Ф(а). Высказывание Ух Ф(х) считается ис-
тинным, если имеется общий метод, позволяющий для любого
конкретного объекта а из рассматриваемого множества полу-
чить обоснование высказывания Ф(а).
Понятие ложного высказывания не является самостоятель-
ным в интуиционисткой логике: высказывание Ф считается лож-
ным, если нам удалось доказать высказывание Ф > 1, где | —
некоторое абсурдное высказывание (например, 0 = 1), заведо-
мо не имеющее обоснования. Высказывание Ф > | называется
отрицанием высказывания Ф и обозначается —Ф. Очевидно, что
если высказывание Ф истинно, то его отрицание —Ф не может
быть истинным.
Таким образом, в отличие от класической логики, где каж-
дое высказывание либо истинно, либо ложно, в интуиционист-
ской логике высказывания подразделяются на три класса: ис-
тинные, ложные и все прочие, или непроверенные, при этом
только принадлежность высказывания к одному из первых двух
классов является окончательной, а всякое непроверенное вы-
сказывание с течением времени в результате исследовательской
деятельности человека может перейти в разряд истинных (если
удастся доказать его) или в разряд ложных (если удастся его
опровергнуть, т. е. доказать истинность отрицания этого выска-
зывания).
Мы видим, что интуиционистское понимание некоторых ви-
дов высказываний существенно отличается от классического.
Пусть, например, высказывание имеет вид Ф \/-—Ф. Если Ф — ис-
30

тинное высказывание, например, 0=0, то высказывание Ф \/ —Ф
также истинно. Аналогично, высказывание Ф\/—Ф истинно, если
Ф — ложное высказывание, например, 0=1. Если же Ф — непро-
веренное высказывание (такое высказывание нетрудно найти в
современной научной литературе, где формулируются нерешен-
ные математические проблемы), то мы не можем утверждать,
что высказывание Ф \ —Ф истинно. Но с классической точки
зрения это высказывание истинно, правда, единственным аргу-
ментом здесь является сомнительный тезис, что такое выска-
зывание «истинно всегда».
Рассмотрим еще один хрестоматийный пример математи-
ческого доказательства, которое неприемлемо с интуиционист-
ской точки зрения. Этот пример приводится в книге А. Г. Дра-
галина [8] со ссылкой на ван Далена [27].
Теорема 1. Существуют иррациональные числа а и 6 такие,
что число а? рационально.
/2
Доказательство. Рассмотрим число У2’’. Если оно рацио-
2
нально, то можно взять а = V2, b = \/2. Если же число V2
2
2
иррационально, можно взять а = V2 ,b = V2. Takum o6pa3om,
в любом случае нужные а и 6 существуют. CJ
Это доказательство является ярким образцом доказатель-
ства «чистого существования», и для интуициониста, очевидно,
оно неприемлемо. К счастью, для рассматриваемой теоремы
имеется и другое, более глубокое доказательство, показываю-
2
щее, что число У2’” иррационально, так что искомые числа
V2
таковы: а = /2 ‚6 = \/2.
Упражнения
1. Доказать, что отношение совпадения между числовыми
генераторами является отношением эквивалентности.
2. Доказать, что если а, 6, с — действительные числовые ге-
нераторы, и а, 6 = с, то айс.
3. Доказать, что если а, 6 — действительные числовые гене-
раторы, и а#6, то для любого действительного числового
генератора, с имеет место айс или 6с.
31

Глава 3
Элементы классической логики
Логика как наука о законах и формах рассуждений возник-
ла в странах Древнего Востока — Китае и Индии. В основе
современной классической логики лежит формальная тради-
ционная логика, разработка, которой была начата древнегрече-
ским ученым Аристотелем в [У веке до н. э. Им была разра-
ботана первая формализация рассуждений в виде силлогизмов.
В ХУП веке логика признается как рабочий инструмент всех
других наук и практики, поскольку она принуждает к строгим
формулировкам мысли. Г. Лейбниц выдвинул идею построения
универсального символического языка для записи суждений и
формулирования логических принципов в виде правил, позво-
ляющих строить содержательные рассуждения подобно мате-
матическим вычислениям. Тогда, по мнению Лейбница, вместо
того, чтобы спорить, ученые скажут: «давайте вычислим» (по
латыни — «са]сиетолз» ). Лейбниц считается основоположником
математической логики. В ХХ веке появились первые научные
работы по алгебраизации традиционной формальной логики.
Английский математик и логик Дж. Буль обнаружил аналогии
между алгеброй и логикой, в результате чего им были разрабо-
таны основы алгебры логики, в которой законы арифметики и
правила арифметических действий переносятся на логические
операции над высказываниями. Независимо от него к сходным
идеям пришел шотландский математик и логик О. де Морган.
Важным шагом в развитии математической логики явилась ак-
сиоматизация логики и арифметики, предпринятая немецким
математиком и логиком Ф. Л. Г. Фреге. Мощным стимулом
для формирования современного облика математической логи-
ки и ее развития послужили исследования, проводимые в русле
осуществления выдвинутой Д. Гильбертом программы обосно-
вания математики с целью спасения последней от парадоксов.
Суть этой программы состояла в строгой формализации мате-
матических теорий и изучении формальных доказательств.
32

83.1. Алфавит, буква, слово
Математическая логика в основном занимается изучени-
ем математических рассуждений. В математике рассуждения
обычно оформляются в виде математических текстов. Поэтому
будет уместно рассмотреть некоторые общие понятия, относя-
щиеся к письменным математическим языкам.
Элементарные знаки, из которых состоит текст, называются
буквами. При использовании того или иного значка в качестве
буквы нас не интересуют части этого значка, а лишь этот знак
в целом. При выборе букв необходимо быть уверенным в том,
что всякий раз, рассматривая любые две написанные буквы, мы
сможем определить, одинаковы эти буквы или различны.
Алфавит — это конечный список букв. Слово в данном ал-
фавите — конечная последовательность букв этого алфавита.
Слово ХУ, полученное приписыванием справа к слову Х слова
У, называется произведением слов Х и У. Операция произве-
дения слов ассоциативна, но не коммутативна. Слово Х назы-
вается началом слова У, если существует такое слово #, что
У = ХА. Слово Х называется кониом слова У, если существу-
eT Takoe COBO Z, uTO Y = ZX.
Отметим следующие очевидные факты:
® если Х и У — начала слова /, то Х — начало слова У или
У — начало слова Х;
® если Х и У — концы слова (, то Х — конец слова У или
У — конец слова Х.
Говорят, что слово Х входит в слово У, если существуют
такие слова 0 и У, что У = 0 ХУ. Слово 0 называется левым
крылом данного вхождения слова Х в слово У, а\У — правым
крылом этого вхождения. Различные вхождения слова, Х в сло-
во У различаются левыми и правыми крыльями этих вхожде-
НИЙ.
Пусть слово Х входит в слово У, и пусть ( — произволь-
ное слово. Зафиксируем некоторое вхождение слова Х в У, т.е.
представление слова У в виде ИХУ. Тогда слово UZV называ-
ется результатом замены данного вхождения слова Х в слово
У на слово Z.
33

$3.2. Алгебра высказываний
Высказывания и логические операции. Математиче-
ская логика математическими методами изучает математиче-
ские рассуждения. Всякое рассуждение состоит в последова-
тельном переходе от одного суждения к другому. Материаль-
ным выражением суждения является предложение того или
иного языка.
Высказывание — это повествовательное предложение, для
которого имеет смысл говорить о его истинности или ложности.
Этим высказывания отличаются, например, от повелительных
или вопросительных предложений. Если высказывание истин-
но, говорят, что его истинностное значение есть «истина», а
если высказывание ложно, то его истинностное значение есть
«ложъ». Истинностные значения «истина» и «ложь» мы будем
обозначать числами 1 и 0 соответственно.
Из одних высказываний различными способами можно стро-
ить новые, более сложные высказывания. Логическая опера-
ция — это такой способ построения сложного высказывания
из данных высказываний, при котором истинностное значение
сложного высказывания полностью определяется истинностны-
ми значениями данных высказываний. Для каждой логической
операции зависимость истинностного значения полученного с
ее помошью сложного высказывания от истинностных значе-
ний исходных высказываний можно задать с помощью табли-
цы. Одноместная операция -—1 (отрицание), двухместные опера-
ции & (конбюнкция), У (диззюнкция), > (импликация) задают-
ся следующими таблицами:
А | А В VB > В
0 1 0 1
1 0 1 1
1 0
1 1 Логические операции —1, &, \/, > называются пропозициональны-
ми операциями, а, символы, используемые для их обозначения —
пропозициональными, связками.
—А читается как «Неверно, что 4», А& В — как «А и В»,
А\УВ - как «А или В», АВ - как «Если А, то В».
34

Пропозициональные формулы. Алфавит языка логики
высказываний состоит из символов Р, —, &, \, 2, (,). Слова
(Р), (РР), (РРР),... будем называть пропозициональными пе-
ременными, и обозначать соответственно Ру, Ро, Рз,.... В свою
очередь, вместо Ру, Ро, Рз,... будем иногда писать Р, ©, В.....
Понятие пропозициональной формулы определяется индук-
тивно следующим образом.
1. Всякая пропозициональная переменная есть формула (та-
кая формула называется атомом).
2. Если А — формула, то слово (—А) считается формулой.
3. Если Аи В — формулы, то слова (АЛВ), гделЕ {&,\,2},
считаются формулами.
Сущность этого определения состоит в том, что слово в ал-
фавите языка логики высказываний считается формулой, ес-
ли и только если этот факт может быть обоснован с помощью
пунктов 1 — 3 приведенного определения. Докажем, например,
что слово (Ро (-0())) является формулой. Согласно пункту 1
данного определения переменные Р и (© являются формулами.
Согласно пункту 2 слово (—(@)) является формулой. Наконец,
согласно пункту 3 слово (Ро (-@)) также является формулой.
Вообще, слово А в алфавите языка логики высказываний
является формулой тогда, и только тогда, когда существует ко-
нечная последовательность слов А1,..., Ап такая, что для каж-
дого 1 =1,...,П слово А; либо получено по правилу 1, т. е. яв-
ляется пропозициональной переменной, либо получается из од-
ного или двух предшествующих слов по правилу 2 или 3, и при
этом Д„ совпадает с А. Такую последовательность можно рас-
сматривать как историю построения формулы А в соответствии
с правилами 1 - 3. Например, следующая последовательность
представляет историю построения формулы (Ро (-@)):
1) Р (получено по правилу 1);
2) © (получено по правилу 1);
3) (-©@) (получено по правилу 2 из слова 2));
4) (Ро (-0)) (получено по правилу 3 из слов 1} иЗ)).
Индуктивный характер определения формулы позволяет ис-
пользовать в доказательствах метод индукиии по построению
формулы: если требуется доказать, что все формулы обладают
данным свойством, то для этого достаточно установить, что
30

a) каждый атом обладает данным свойством;
6) если слово А обладает данным свойством, то слово (—А)
обладает данным свойством;
в) если слова А и В обладают данным свойством, то слова
(А& В), (АУВ), (АР В) обладают данным свойством.
Чтобы доказать, что некоторое слово Х не является фор-
мулой, достаточно найти такое свойство, которым слово Х не
обладает, а все формулы им обладают, причем последний факт
может быть доказан индукцией по построению формулы. До-
кажем, например, что слово ((Р) > —(РР)) не является фор-
мулой. Для этого рассмотрим свойство слов в алфавите язы-
ка логики высказываний, состоящее в том, что количество ле-
вых скобок в слове равно суммарному количеству вхождений
переменных и логических связок в это слово. Заметим, что в
слове ((Р) > —(РР)) есть два вхождения переменных и два
вхождения логических связок, так что суммарное количество
вхождений переменных и логических связок равно четырем, а
левых скобок всего три, и это слово не обладает рассматрива-
емым свойством. Докажем, что любая формула обладает этим
свойством. Каждый атом содержит одну левую скобку и од-
но вхождение переменной, следовательно, обладает рассматри-
ваемым свойством. Пусть слово А обладает рассматриваемым
свойством. В слове (—А) количество левых скобок на единицу
больше, чем в А, количество переменных такое же, как и в слове
А, а количество логических связок на единицу больше, чем в А.
Следовательно, и в слове (—.А) количество левых скобок равно
суммарному количеству вхождений переменных и логических
связок, так что оно обладает рассматриваемым свойством. Ана-
логично доказывается, что слово вида (АЛВ), где Л есть &, У
или > обладает рассматриваемым свойством, если слова Аи В
обладают этим свойством.
В дальнейшем формулу ((А 2 В)&(В О А)) будем обо-
значать (А = В). Будем говорить, что формула А является
подформулой формулы В, если А входит в В.
Практически, записывая формулы, мы будем опускать неко-
торые скобки, рассматривая полученные выражения как сокра-
щенные записи исходных формул. В частности, мы не будем пи-
сать внешние скобки у формул, а также вместо подформул вида,
36

(-С') будем писать —С. Дальнейшая экономия скобок возмож-
на, если принять соглашение о том, какие логические операции
«сильнее» в том смысле, в каком, например, в школьной ал-
гебре операция умножения «сильнее» операции сложения. Для
этого расположим логические символы в следующем порядке:
—, &,\, 2, =, и будем считать, что из всех возможных в первую
очередь выполняется та операция, которая в этом списке стоит
левее, а из нескольких одинаковых операций выполняется та,
которая встречается в выражении раньше. Например, формулу
(((Ру 2 Р>2) & (Рз > Ра)) > ((-Р2) У Ра))
МОЖНО сокращенно записать так:
(P, о Р2) & (Рз о P4) D AP, V Ра.
Если ДА — пропозициональная формула, не содержащая
переменных, отличных от Р!,...,Р„, будем обозначать ее
А(Р,...,Р»). Пусть В1,..., В» — произвольные формулы. По-
средством А(В1,...,В„) будем обозначать результат одновре-
менной замены в А всех вхождений переменных Ру,...,Рь
на формулы В1,..., Ви соответственно. Будем говорить, что
формула А(В1,...,В») получается подстановкой в А формул
В1,..., Ви вместо переменных Р1,..., Ри» соответственно.
Истинностные таблицы. Пусть У = {Ри, Ро,...} — мно-
жество всех пропозициональных переменных. Оценкой называ-
ется произвольное отображение д : У -+ {0,1}. Индукцией по
построению формулы А определим значение 9(А) формулы A
при оценке 9. Для любого атома А значение 9(А) задано оцен-
кой 9. Положим 9(—-А) = —(9(А)), 9(АЛВ) = 9(А)Лд(В), где ^—
любой из логических символов &, \/, 2, а значения правой ча:
сти равенств вычисляется в соответствии с приведенными выше
таблицами для каждой логической операции.
Нетрудно доказать, что значение формулы А при оценке 9
зависит только от значений оценки 4 на переменных, входящих
в А. Таким образом, для определения значения формулы А при
данной оценке достаточно знать лишь значения этой оценки на
переменных, входящих в АД. Это позволяет представлять зави-
симость значения формулы от оценки в виде так называемой
истинностной таблицы.
37

Пусть О1,..., О», — некоторый список переменных, включа-
ющий все переменные, входящие в формулу А. Истинностной
таблицей формулы А над списком (1,..., С. называется таб-
лица следующего вида:
С: |... | | А СУ] eee An (и
Кроме заголовка, эта, таблица содержит 2” строк, в которых вы-
писаны все различные наборы нулей и единиц @1...@п и зна-
чения а Е {0,1} формулы А при оценке, сопоставляющей пере-
менным (@1,..., Си соответственно значения а1,..., От.
Общезначимые пропозициональные формулы. Тав-
тология (общезначимая формула, тождественно истинная
формула) — это пропозициональная формула, значение кото-
рой при любой оценке равно 1. Истинностная таблица, тавто-
логии обладает тем свойством, что в ее последнем столбце во
всех строках стоит 1. Каждая тавтология является схемой ис-
тинных высказываний и в этом смысле выражает некоторый
логический закон. Вот некоторые логические законы: Р У AP
(закон исключенного третьего); ——Р = Р (закон двойного от-
рицания); (РО 0) = (-@ D -Р) (закон контрапозиции).
Множество всех тавтологий разрешимо в том смысле, что
существует алгоритм, позволяющий по произвольной пропози-
циональной формуле узнать, является ли она тавтологией: ал-
горитм проверки пропозициональных формул на предмет обла-
дания свойством быть тавтологией состоит в построении истин-
ностной таблицы формулы и изучении столбца ее значений.
Выполнимость и логическое следование. Множество
пропозициональных формул Г называется выполнимым, если
существует оценка, при которой все формулы из Г принима-
ют значение 1. Невыполнимое множество формул называется
несовместным.
Говорят, что пропозициональная формула Ё логически сле-
дует из множества пропозициональных формул Г, и пишут
Г | РЁ, если 9(Р) = 1 для любой оценки 9, при которой все
38

формулы из Г принимают значение 1. Если Г = {Ё1,..., Е},
то вместо ГЕ РЁ пишут ЁР1,..., № ЕР.
Теорема 2. Каковы бы ни были формулы ЁЕ1,..., РЕ», Е, имеет
место
Е1,..., № ЕЁ (3.1)
тогда и только тогда, когда формула
FL &...&F, DF (3.2)
является тавтологией.
Доказательство. Пусть имеет место (3.1), и 9 — произволь-
ная оценка. Если при этой оценке хотя бы одна из формул
F,,..., Fy, принимает значение 0, то формула (3.2) принимает
значение 1. Если же все формулы Ё1,...,Ё» принимают зна-
чение 1, то 9(Р) = 1 в силу (3.1), и формула (3.2) принимает
значение 1. Таким образом, при любой оценке формула (3.2)
принимает значение 1, т. е. является тавтологией.
Пусть формула (3.2) является тавтологией, и пусть 9 — та-
кая оценка, при которой все формулы Ё1,...,ЁЕ» принимают
значение 1. Так как при этой оценке формула (3.2) принимает
значение 1, то необходимо 9(Р) = 1. Таким образом, 9(ЁР) = 1
для любой оценки 49, при которой все формулы Ё1,..., Ри при-
нимают значение 1, т. е. имеет место (3.1). oO
Теорема 3. Каковы бы ни были множество пропозициональ-
ных формул Г и формула Е, имеет место Г Е Е тогда и
только тогда, когда множество ГЦ {-Е} несовместно.
„Доказательство. Пусть ГЕ Р. Если множество ГИ {-Ё} вы-
полнимо, то при некоторой оценке д все формулы из Г прини-
мают значение 1 и 9(—Р) = 1, т. е. 9(Р) = 0, что невозможно.
Значит, множество ГЦ {-Р} несовместно.
Пусть множество Г Ц {—Ё} несовместно. Докажем Г Е Р.
Пусть 9 — такая оценка, при которой все формулы из Г при-
нимают значение 1. Тогда 9(ЁЕ) = 1, ибо в противном случае
9(-Е2) = 1, и множество ГИ {-ЁЕ} выполнимо. Значит, 9(Р) = 1
для любой оценки 9, при которой все формулы из Г принимают
значение 1, т.е. ГЕР. oO
39

$3.3. Классическое исчисление высказыва-
НИЙ
Путем построения истинностной таблицы для пропозицио-
нальной формулы можно проверить, является ли эта формула
общезначимой. Однако представляет интерес и другой способ
описания общезначимых формул — с помощью исчисления. Бо-
лее того, при рассмотрении неклассических логических систем
описание их с помощью исчислений в ряде случаев представля-
ется наиболее естественным и единственно возможным.
Общее понятие исчисления. Пусть >») — некоторый ал-
фавит, т. е. список символов, называемых буквами. Конечная
последовательность букв этого алфавита называется словом в
алфавите >». Исчисление в алфавите >»; задается путем указания
аксиом — некоторых выделенных слов в алфавите >: — и пра-
вил вывода, позволяющих из одного или нескольких слов в ал-
фавите >, получать новые слова в алфавите ». Вывод в данном
исчислении — это конечная последовательность слов \)1,..., Иж
в алфавите © такая, что для каждого 1 =1,..., п слово и»; либо
является аксиомой, либо получается из каких-нибудь предше-
ствующих слов этой последовательности по одному из правил
вывода. Говорят, что слово 1 в алфавите >, выводимо в данном
исчислении, если существует вывод, оканчивающийся словом \.
Вывод из множества слов Г (так называемого множества,
гипотез) в данном исчислении — это конечная последователь-
НОСТЬ СЛОВ и1,....Ии В алфавите >; такая, что для каждого
=1,..., П слово их либо является аксиомой, либо является ги-
потезой (т. е. принадлежит множеству Г), либо получается из
каких-нибудь предшествующих слов этой последовательности
по одному из правил вывода. Говорят, что слово 1 в алфавите
>, выводимо из множества Г в данном исчислении, если суще-
ствует вывод из Г, оканчивающийся словом 1.
В дальнейшем мы будем рассматривать так называемые про-
позициональные исчисления. Это исчисления в алфавите логи-
ки высказываний, аксиомы которых суть пропозициональные
формулы, а правила вывода позволяют из формул получать
только формулы. Таким образом, в пропозициональном исчис-
лении могут выводиться только пропозициональные формулы.
40

Аксиомы классического исчисления высказываний.
Аксиомами классического исчисления высказываний будем на-
зывать пропозициональные формулы любого из следующих ви-
дов, где А, В, С — произвольные формулы:
1.ADd(BD A);
2. (AD B)D((AD(BDC))D(ADC));
3. A& BDA;
4. А& ВОВ;
5. AD (BD A&B);
6. ADAVB;
7. BD AVB;
8. (ADC)D((BDC)D(AVBDOC));
9. (AD B)D((AD-B) DA);
10. --АРА.
Выражения 1 - 10 называются схемами аксиом классическо-
го исчисления высказываний. Единственным правилом вывода,
классического исчисления высказываний является правило мо-
дус поненс (то4из ропепз; сокращенно: МР):
A ADB
B
Это правило позволяет из формул Аи А В получить форму-
лу В. Будем говорить, что формула В является непосредствен-
ным следствием формул Ди АР В.
Выводом в исчислении высказываний считается такая конеч-
ная последовательность формул А1,..., Ап, в которой каждая
формула является либо аксиомой, либо непосредственным след-
ствием каких-нибудь двух предшествующих формул. Формула
А выводима в исчислении высказываний, если существует вы-
вод, оканчивающийся формулой А; в этом случае будем писать
НА.
Al

Теорема 4. Какова бы ни была формула А, формула АЗ А
выводима в классическом исчислении высказываний.
Доказательство. Выводом формулы А 2 А является следую-
щая последовательность формул:
1. (А Dd (A D A)) D (A D (A D A) D A)) D (A D A))
(аксиома, 2);
2. А> (АРА) (аксиома 1);
3. (А> (АРА) 24А)) 2 (АРА) (получена по правилу МР
из формул Ти 2);
4. А ((АРА) РА) (аксиома 1);
5. АЗ А (получено по правилу МР из формул 3 и 4). 0
Предложение 3. Если пропозициональное исчисление содеф-
жит стемы аксиом 1, 8 и правило МР, то, какова бы ни была
формула А, в этом исчислении выводима формула АЗ А.
Доказательство. Построенный при доказательстве теоремы 4
вывод формулы А 2 А в классическом исчислении высказы-
ваний будет выводом в любом пропозициональном исчислении,
которое содержит схемы аксиом 1, 2 и правило МР. CJ
Имеет место следующее правило подстановки:
Предложение 4. Если выводима формула А(Ру,...,Рь), то
выводима формула А(В1,..., В»), каковы бы ни были формулы
By,..., Bn.
Доказательство. Пусть А1,....Ак — вывод формулы
А(Р!,...,Р»). Во все формулы из этого вывода подставим
формулы В1,...,В„ вместо переменных Р1,...,Р». Очевид-
но, что при этом каждая аксиома преобразуется в аксиому
же, а непосредственное следствие исходных формул — в
непосредственное следствие соответствующих преобразован-
ных формул. Таким образом мы получим вывод формулы
А(Ви,..., В»). O
Пусть Г — некоторое множество формул (будем называть
их гипотезами). Выводом из Г называется конечная последова-
тельность формул Д1,..., Аи, в которой каждая формула либо
42

является аксиомой, либо принадлежит множеству Г, либо явля-
ется непосредственным следствием двух предшествующих фор-
мул. Говорят, что формула А выводима из Г и пишут Г | А, если
существует вывод из Г, оканчивающийся формулой А. Всякий
вывод в исчислении высказываний является выводом из пустого
множества, гипотез, поэтому Е А означает то же, чтои (| А.
Отметим некоторые очевидные свойства отношения выводи-
мости | (см. упражнение 1):
монотонность: если Г—-ДАиГС А, то АЕ Д;
транзитивность: если ГЕ А, и А | В для любой формулы
ВЕГ, то АНА;
компактность: если Г | А, то существует конечное множе-
ство А С Г такое, что А | А.
Теорема о дедукции. Следующая теорема называется
теоремой о дедукиии.
Теорема 5. Каковы бы ни были множество формул Г и фор-
мулы А, В, имеет место ГОА} Е BS>TFADB.
Доказательство. Пусть А1,..., А» — вывод В из ГО{А}. Ин-
дукцией по 1 докажем, что ГЕ АО А; для 1 =1...., п. Если
i = 1, to А; — либо аксиома, либо гипотеза из Г, либо фор-
мула А. Если А; — аксиома или гипотеза из Г, то следующая
последовательность является выводом А А; из Г:
1. А; 2 (АРА); (аксиома 1);
2. А; (аксиома или гипотеза,);
3. АО А,; (получено по правилу МР из1и2).
Если же А; совпадает с А, то построенный выше вывод
АРА является выводом А 2 А; из Г. Допустим, что для неко-
торого К < п формулы А А; (1=1,..., Е —1) выводимы из Г.
Докажем, что формула А 2 Ак выводима из Г. Если Ак — акси-
ома или гипотеза, из ГО {А}, утверждение доказывается, как в
случае 1 = 1. Пусть Ак — непосредственное следствие формулы
А; и формулы А; (вида А; > Ак), где$, 1 < К. По индуктивному
предположению,
TFAD Ai, TFAD (A; ») Ax). (3.3)
Следующая последовательность является выводом А О Ак из
множества {А А; А (А; 2 Ак)}:
43

1. (АРА) 2 (АР (А; 2 Аь)) 2 (АР Аь)) (аксиома 2);
2. АА, (гипотеза);
3. (АР (А; 2 Ак)) 2 (АР А» (получено по МР изТи 2);
4. А (А; 2 Ак) (гипотеза):
5. А Ак (получено по правилу МР us 3 u 4).
Таким образом, {А A;,A D (А; 2 Ак Е АР Ах. Отсюда
и из (3.3) в силу транзитивности вытекает ГЕ А А+, чтои
требовалось. Так как АД» есть В, то ГЕНА В. Ц
Предложение 5. Если исчисление содержит стемы аксиом
1 и 2, и МР — единственное правило вывода, то для этого
исчисления верна теорема о дедукици.
Доказательство. Если пропозициональное исчисление содер-
жит схемы аксиом 1 и 2 и единственным правилом вывода яв-
ляется МР, то для этого исчисления остается в силе доказатель-
ство теоремы 5. LJ
Множество формул Г называется противоречивым, если су-
ществует такая формула В, что ГЕ Ви ГЕ -В. В против-
ном случае Г называется непротиворечивым. Если множество
Г противоречиво, то любое его расширение также противоречи-
во, а любое подмножество непротиворечивого множества непро-
тиворечиво.
Теорема 6 (принцип приведения к абсурду). Если ГО {А} —
противоречивое множество формул, то ГЕ —А.
„Доказательство. Пусть ГО {А} ЕВиГои{А} | 7B. Тогда по
теореме 5
ГНАРЗВ; ГНАЗ-В. (3.4)
С помощью аксиомы 9 легко доказать {Ао В, А-В} Е AA.
Отсюда и из (3.4) в силу транзитивности выводимости вытекает
ГЕН —4, что и требовалось. Ч
Предложение 6. Если исчисление содержит стему аксиом
9 и для этого исчисления верна теорема о дедукиии, то для
этого исчисления верен принцип приведения к абсурду.
44

Доказательство. Если пропозициональное исчисление содер-
жит схему аксиом 9 и для этого исчисления верна, теорема о
дедукции, то для этого исчисления остается в силе доказатель-
ство теоремы 6. Ш
Производные правила вывода. Теорема о дедукции и
принцип приведения к абсурду суть примеры так называемых
производных правил вывода
ГНА ... СЕ А,
AFB
утверждающих, что если Г1 | А1,...,Г, | Ар, то А Е В. Вот
еще одно полезное производное правило вывода — правило сил-
логизма:
TFAD,DB TFBDC
TKEADC
Оно легко обосновывается с помощью теоремы о дедукции.
Теорема 7. Имеют место следующие производные правила
вывода:
введение конбзюнкиии Г r А Ат В (-> &);
TEA&B TEA&B
yOanenue KoNoIONKYUU A, aS (& —),
введение диззюнкиии т а ‚Г г В (— №);
даление дизюнкции Г? Ar? TBre (У >);
у 4 ‚АУВЕС
введение импликации РН (—D);
удаление импликации pra r4 >В (2—5);
ГАНВ ГАЕ-В
введение отрицания ГЕ-А (
> -);
даление отрицания PoArB LT AAr AB (
У BUS TFA
4).
45

„Доказательство. Правило (—+ &) обосновывается с помощью
аксиомы 5, правила (& -›) — с помощью аксиом 3 и 4. Правила
(> М) обосновываются с помощью аксиом 6 и 7. Правило (У ->)
называется правилом доказательства разбором случаев и обос-
новываются с помощью аксиомы 8. Правило (——) — это тео-
рема о дедукции. Правило (2-»›) по существу есть правило МР.
Правило (—› —) — это принцип приведения к абсурду. Правило
(- >) называется правилом доказательства от противного и
обосновывается с помощью правила (-» —) и аксиомы 10. O
Теорема 8. Множество пропозициональных формул Г npomu-
воречиво тогда и только тогда, когда любая формула выводима
из Г.
Доказательство. Пусть множество пропозициональных фор-
мул Г противоречиво, и пусть А — произвольная формула. Оче-
видно, что множество ГЦ {-А} противоречиво. Тогда в силу
правила (— —+) имеет место Г | А. Обратно, пусть любая фор-
мула выводима из Г. В частности, какова, бы ни была формула
А, имеет место ГЕ АиГ| —А, а это означает, что множество
Г противоречиво. м
Корректность классического исчисления высказыва-
ний. Важность рассмотрения и изучения классического исчис-
ления высказываний обусловлена следующей теоремой.
Теорема 9 (теорема о корректности). Какова бы ни была фор-
мула А, если | А, то А является тавтологией.
Доказательство. Каждая аксиома классического исчисления
высказываний является тавтологией (см. упражнение 2). Оче-
видно, что если формулы Аи А > В — тавтологии, то и В явля-
ется тавтологией. Поэтому, если дан вывод А1,..., А формулы
А в классическом исчислении высказываний, то индукцией по
$ нетрудно доказать, что каждая формула А; в этом выводе
является тавтологией, в частности, А — последняя формула в
этом выводе. LJ
Таким образом, построение вывода формулы в классическом
исчислении высказываний является одним из способов доказа-
тельства того факта, что эта формула является тавтологией.
46

Теорема 10 (обобщенная теорема, о корректности). Каковы бы
ни были множество формул Г и формула А, если ГЕ А, то
TEA.
Доказательство. Пусть Г | А. В силу свойства компактности
отношения выводимости существует конечное множество А С Г
такое, что А | А. Пусть А = {А+1,...,А»}!. Применяя п раз
теорему о дедукции, получаем Н А! 2 (..- 2 (Айро 4)...).
В силу теоремы 9 формула
A; D(---D (An DA)...) (3.5)
является тавтологией. Докажем, что Г Е А. Пусть 9 — такая
оценка, при которой все формулы из Г принимают значение 1.
В частности, 9(А;) =1(1=1.,...,п). Так как формула (3.5) яв-
ляется тавтологией, то она принимает значение 1 при оценке д.
Отсюда, и из истинностной таблицы для импликации получаем
9(А) = 1, что и требовалось доказать. С
Теорема 11. Всякое выполнимое множество формул непро-
тиворечиво.
Доказательство. Пусть множество формул Г выполнимо. Это
означает, что существует оценка }, при которой все формулы из
Г принимают значение 1. Допустим, что множество Г противо-
речиво, т. е. ГЕ Ви ГЕ —В для некоторой формулы ВБ. Тогда
в силу обобщенной теоремы о корректности Г = Ви ГЕ -8В.
Следовательно, }(В) =Т1и /(—В) = 1, что невозможно. Полу-
ченное противоречие показывает, что на самом деле множество
Г непротиворечиво. Ш
Полнота классического исчисления высказываний.
Меожество пропозициональных формул Г называется макси-
мальным непротиворечивым множеством, если Г непротиворе-
чиво, но всякое собственное расширение А > Г противоречиво.
Нетрудно доказать, что всякое максимальное непротиворечивое
множество Г обладает следующими свойствами:
Г замкнуто относительно выводимости: ГЕ А = АЕГ;
Г полно в том смысле, что для любой формулы А имеет
место А ЕГ или (—А) Е Г.
47

Всякое непротиворечивое множество Г можно расширить
до максимального непротиворечивого множеств. Это делает-
ся следующим образом. Множество всех формул счетно. Пусть
Ао, А1,... — пересчет всех формул. Индукцией по п определя-
ется множество Ав: Ао = Г;
А... — А; О {А;}, если А; Ц {А;} непротиворечиво;
1] А; в противном случае.
CO
Положим А = (.) А;. Нетрудно доказать, что A — максималь-
i=1
ное непротиворечивое расширение множества Г.
Любое максимальное непротиворечивое множество А вы-
полнимо: если оценка д определена так, что 9(Р;) =1<-Р; ЕД,
то индукцией по построению нетрудно доказать, что для любой
формулы А выполняется условие 9(А) =1- АЕАД.
Теорема 12. Бсякое непротиворечивое множество пропози-
циональных формул выполнимо.
Доказательство. Пусть Г — непротиворечивое множество
формул. Его можно расширить до максимального непротиво-
речивого множества формул А, которое выполнимо, т. е. су-
ществует оценка д, при которой все формулы из А принимают
значение 1. В частности, при этой оценке д все формулы из Г
принимают значение 1, т. е. множество Г выполнимо. LJ
Теорема 13 (обобщенная теорема о полноте). Каковы бы ни
были множество формул Г и формула А,
ГЕАЗГНА.
„Доказательство. Пусть Г Е А. Тогда по теореме 3 множество
Го{-А} несовместно. Отсюда и из теоремы 12 следует, что оно
противоречиво. Но тогда по правилу (— —*) ГНА. 0
Теорема 14 (теорема о полноте). Всякая тавтология выводи-
ма в классическом исчислении высказываний.
Доказательство. Пусть А — тавтология. Тогда множество
{-А} невыполнимо. По теореме 12 оно противоречиво. Но тогда
Н А по правилу (— -›), что и требовалось доказать. O
48

83.4. Элементарные языки и алгебраические
системы
Переменная — это выражение, служащее для обозначения
произвольного объекта из фиксированного множества, назы-
ваемого областью возможных значений этой переменной. Об-
ласть определения переменной у будем обозначать О(и). Если
переменная 9 употребляется так, что допускается подстановка
вместо нее имен (т. е. обозначений) объектов из О\(%), то эта
переменная называется свободной. Если же по смыслу выра-
жения, содержащего переменную, подстановка вместо нее имен
объектов недопустима, то эта переменная называется связан-
ной. В одном выражении одна и та же переменная может упо-
требляться одновременно как свободная и как связанная, так
что следует говорить о свободных и связанных вхтождениях пе-
ременной.
Выражение, содержащее свободные вхождения переменных
и превращающееся в имя некоторого объекта или высказывание
при подстановке вместо свободных вхождений каждой перемен-
ной 1 имени какого-либо объекта из О(у), называется именной
формой или, соответственно, высказывательной формой. Пере-
менные, имеющие свободные вхождения в именную или выска-
зывательную форму, называются ее параметрами. Именную
или высказывательную форму называют п-местной, если она
содержит ровно п параметров. В частности, можно говорить
и о 0-местных именных и высказывательных формах, понимая
под ними соответственно имена и высказывания.
Для К-местной именной или высказывательной формы с па-
раметрами 11,...,Хк употребляют обозначение Р(х1,..., тк).
Тогда, если а1,..., ак — имена объектов из О(1т1),...,О(ть) со-
ответственно, то через Р(а1,..., ак) обозначается выражение,
полученное из Р(11,..., Тк) подстановкой а1,..., ак соответ-
ственно вместо свободных вхождений т1,...,Хк.
Над высказывательными формами можно совершать ло-
гические операции. Абсолютно ясен смысл высказывательных
форм —., А & В, АМВ, А > В, если Аи В — высказывательные
формы. Наряду с этими операциями в математической логике
рассматриваются кванторы, позволяющие из данной высказы-
49

вательной формы получать высказывательную форму с мень-
шим числом параметров, в частности, из одноместной выска-
зывательной формы — высказывание. Квантор всеобщностми
позволяет из высказывательной формы А(х) с единственным
параметром х получить высказывание «Для всех х верно, что
А(х)», обозначаемое Ух А(х). Высказывание Ут А(х) считается
истинным тогда и только тогда, когда А(а) истинно для лю-
бого а е О(т). Квантор существования позволяет из выска-
зывательной формы А(15) с единственным параметром х полу-
чить высказывание «Существует такой т, что А(т)», обознача-
емое 3х А(х). Высказывание 3х А(т) считается истинным тогда
и только тогда, когда найдется такой объект а Е П(т), что uc-
тинно А(а). Кванторы \х и 3х можно применять и к высказы-
вательным формам вида А(т,у,...), содержащим наряду ст
параметры у,..., в результате чего получается высказыватель-
ная форма с параметрами у,....
В грамматике используются понятия субъекта и предика-
та. Суббект — это то, о чем говорится в предложении, а пре-
дикат выражает то, что говорится о субъекте. В математиче-
ской логике используется более широкая трактовка субъектно-
предикатной структуры предложения. Прежде всего, в качестве
субъектов данного предложения мы можем выделить одно или
несколько имен каких-либо предметов, входящих в это предло-
жение. Заменив затем выделенные имена на переменные, мы
получим высказывательную форму, «в чистом виде» выража-
ющую то, что говорится о субъекте или субъектах. Эту выска-
зывательную форму тоже называют предикатом.
Со всякой высказывательной формой А(х1,...,х») связана
функция, которая значениям а1,...,ап параметров т1,..., Хи
сопоставляет высказывание А(а1,..., ав). Так мы приходим к
представлению о предикате как о функции, значениями кото-
рой являются высказывания. Наконец, если не различать вы-
сказывания, имеющие одно и то же истинностное значение, то
получаем следующее определение предиката: К-местным npe-
дикатом на множестве М называется произвольная функция
P: M* — {0,1}.
Чтобы сделать математические утверждения точными ма-
тематическими объектами, в математической логике использу-
50

ются искусственные языки. Мы будем рассматривать элемен-
тарные языки. Элементарный язык задается сигнатурой — на-
бором ® = (Сп, РЕп, Рт), где Сп — множество констант, Еп —
множество функциональных символов, Рт — множество преди-
катных символов. При этом с каждым функциональным и пре-
дикатным символом связано натуральное число — количество
аргументов (или валентность) этого символа. Валентность лю-
бого функционального символа положительна, а предикатный
символ может иметь и нулевую валентность. Функциональный
или предикатный символ валентности К называют К-местным.
Во всяком элементарном языке имеется счетный набор перемен-
ных то, х1,т2,.... Элементарный язык с сигнатурой будем
называть языком 40.
Из переменных, констант, функциональных и предикатных
символов с помощью скобок (, }, запятых и логических символов
—, &, М, 2, \, 3 строятся термы и формулы. Определение терма
носит индуктивный характер:
1) каждая переменная есть терм;
2) каждая константа, есть терм;
3) если f есть К-местный функциональный символ, а
1,...,& — термы, то выражение ][(#,..., к) есть терм.
Атомные формулы (или атомы) — это выражения вида
Р(Н,...,#), где Р есть К-местный предикатный символ (К > 1),
ан,..., & — термы. Формулы определяются индуктивно:
1) каждый атом есть формула;
2) если Ф — формула, то -Ф — формула;
3) если Фи Ф — формулы, то (Ф& $), (ФУФ), (ФОТ) —
формулы;
4) если Ф — формула, х — переменная, то УхтФ и 3хФ —
формулы.
Символы —, &, У, > называются логическими связками, а 3
и \ — кванторами. В формулах вида Зт Ф и УтФ выражение Ух
или 4х называется кванторной приставкой, а, формула Ф — об-
ластью действия соответствующей кванторной приставки. Вы-
ражение Ф = Ф будет использоваться как сокращенное обозна-
чение формулы (Ф > $) & (Ф > $). Логической длиной форму-
лы назовем общее количество входящих в нее логических связок
и кванторов.
ol

Вхождение переменной т в формулу Ф называется связан-
ным, если оно входит в кванторную приставку Ух или 4х или в
область действия такой кванторной приставки. Вхождение пе-
ременной, не являющееся связанным, называется свободным.
Если переменная 9 имеет свободные вхождения в формулу Ф,
будем говорить, что о — параметр формулы Ф. Формула, не
имеющая параметров, называется замкнутой формулой или
высказыванием. Пусть %1,...,\и — все параметры формулы Ф.
В этом случае высказывание \У%1...\%„ Ф будем называть уни-
версальным замыканием формулы Ф.
Индуктивное определение формулы дает возможность ис-
пользовать в доказательствах принцип индукции по построе-
нию формулы.
Пусть даны различные переменные х1,...,хк и (не обяза-
тельно различные) термы Н,...,. Через ФН /11,...,щ/хи|
будем обозначать результат одновременной подстановки в фор-
мулу Ф термов #,..., вместо свободных вхождений пере-
менных 11,..., Тк соответственно. Нетрудно заметить, что ес-
ли Ф не содержит свободных вхождений переменных 11,...,Хк
(в частности, если она замкнута), то ФН /т1,..., ш/хи| совпал
дает с Ф.
Имея в виду дальнейшую подстановку термов &1,..., &к вме-
сто 11,..., Хк в формулу Ф, иногда для этой формулы употреб-
ляют обозначение Ф(х1,..., тк), а для Olt; /21,...,tn/xn| — 060-
значение Ф({1,...,&%).
Обычно при записи формул опускают внешние скобки.
Дальнейшая экономия скобок возможна, если принять согла-
шение о том, какие логические операции «сильнее». Для это-
го расположим логические символы в следующем порядке:
\, 3, —, &, М, > и будем считать, что из всех возможных в первую
очередь выполняется та операция, которая в этом списке стоит
раньше. Например, формулу
Ух ((—-Р(х)) D (Ay Q(z, y) V (R(x) & P(y))))
МОЖНО сокращенно записать так:
Ух (—Р(т) D sy Q(z, y) V R(x) & Ply)),
а выражение
Ух -Р(т) D Ay Q(z, y) V R(x) & Ply))
52

является сокращенной записью формулы
(Ух (-Р(2)) > (Ay Q(z, y) V (R(x) & P(y)))).
При построении логико-математического языка обычно под-
разумевается некоторый смысл составляющих его символов, од-
нако мы вправе рассматривать и другие интерпретации этого
языка. Чтобы задать интерпретацию языка ® = (Сп, F'n, Pr),
нужно
1) зафиксировать непустое множество М — основное мно-
жеством или носитель интерпретации;
2) каждой константе с Е Сп сопоставить некоторый элемент
СЕ М — значение константы с в данной интерпретации;
3) каждому (К-местному) функциональному символу } Е Ёп
сопоставить некоторую (Ё-местную) функцию }: М к, М-
значение функционального символа, } в данной интерпретации;
4) каждому (К-местному) предикатному символу РЕ РГ со-
поставить некоторый (К-местный) предикат Р: M* — {0,1} —
значение предикатного символа Р в данной интерпретации. Ес-
ли Р есть 0-местный предикатный символ, то ему сопоставля-
ется значение 0 или 1.
Непустое множество М, рассматриваемое вместе с интерпре-
тацией на нем всех символов сигнатуры ®, называется алгебра-
ической системой сигнатуры @ и обозначается (М, ©). Множе-
ство М называют носителем алгебраической системы (М, ®).
Мошностью алгебраической системы называется мощность ее
носителя.
§3.5. Классическая логика предикатов
Пусть фиксирована, алгебраическая система 9% = (М,0).
Наряду с сигнатурой О = (Сп, Еп, Рт) рассмотрим сигнатуру
0’, полученную добавлением к множеству С’ имен всех элемен-
тов множества М. Индукцией по построению терма, $ сигнатуры
@’, не содержащего переменных, определим значение {| Е М
терма & в ЭХ:
1) если & — константа с Е Ст, то { =;
2) если + — константа, т Е М, то [| = т;
3) если { имеет вид ](&1,...,), то [Й = f([til,..-, [tn]).
93

Индукцией по логической длине высказывания Ф сигнатуры
@’ определяется его истинностиное значение [®] € {0,1} B Mt.
Если Ф — атом Р(Н,...,&), то [Ф| = Р([@]|,..., в). Если Ф
имеет вид —Ф или (У: ЛФ.о), где ЛЕ {&,\,2}, то Ф] определя-
ется в соответствии с истинностной таблицей для и Л. Если Ф
имеет вид 3х Ф(т), то для любого т Е М определено значение
[9 (т)| высказывания Ф(т,). Тогда,
Ф] =1= (3теЕ М) [Ф(т)] = 1.
Аналогично, если Ф имеет вид \х Ф, то
Ф] =1= (УтеЕ М) № (т)] = 1.
Поскольку любое высказывание Ф языка (2) является высказы-
ванием языка ©’, то определено его истинностное значение в
ЭД. Будем говорить, что высказывание Ф истинно в ЭХ и пи-
сать 9% | Ф, если [Ф] = 1. В противном случае будем говорить,
что Ф ложно в ЭХ и писать ЭХ р Ф.
Высказывание Ф называется выполнимым, если существует
такая алгебраическая система ЭХ, что ЭХ Е Ф; в этом случае
ЭД называется моделью высказывания Ф. Множество высказы-
ваний Г называется выполнимым, если существует такая ал-
гебраическая система ЭХ, что (УФ Е Г)ЭЖ Е $; в этом случае
алгебраическую систему ЭХ называют моделью множества Г и
пишут 9% | Г.
Высказывание Ф языка 4“) называется общезначимым, ес-
ли ЭХ Е Ф для любой системы 9Э\Х сигнатуры ®. Фор-
мула Ф(т1,...,х.), содержащая лишь свободные переменные
т1,..., Хип, называется общезначимой, если для любой алгебраи-
ческой системы ЭХ = (М, $) и любых ту,..., Пи Е М имеет ме-
сто ЭХ Е Ф(ту,..., т»). Очевидно, что формула Ф(х1,..., тп)
общезначима тогда и только тогда, когда общезначимо ее уни-
версальное замыкание.
Элементарной теорией называется произвольное множе-
ство высказываний некоторого элементарного языка. Высказы-
вания, составляющие теорию, называются ее аксиомами. Тео-
рия называется совместной, если она имеет модель. В против-
ном случае теория называется несовместной.
Говорят, что высказывание Ф языка “ логически следует из
множества высказываний Т языка ®, и пишут Т | Ф, если Ф
54

истинно во всякой модели множества ТГ. В этом случае выска-
зывание Ф называется логическим следствием множества вы-
сказываний Т. Теоремами элементарной теории Тв языке 4) на-
зываются высказывания языка 4), которые логически следуют
из Г. Таким образом, теорема данной теории ТГ — это высказы-
вание, истинное во всех моделях теории ТГ. Нетрудно доказать,
что высказывание Ф является теоремой теории Т` тогда и только
тогда, когда при добавлении аксиомы —Ф к теории Т' получается
несовместная теория.
83.6. Классическое исчисление предикатов
Обычно установление факта, что данное утверждение логи-
чески следует из аксиом теории, достигается путем некоторого
рассуждения. Такое рассуждение называют доказательством,
а полученное с его помощью следствие из аксиом — теоремой.
В случае элементарных теорий методы доказательства можно
полностью обозреть и систематизироваль. Это делается с помо-
щью исчисления предикатов.
Аксиомы и правила вывода классического исчисле-
ния предикатов. Пусть фиксирован элементарный язык 4.
Классическое исчисление предикатов в языке 4} задается сле-
дующим набором схем аксиом:
AD(BD A);
(AD B)D(AD(BDC))D(ADOC));
AX& BOA;
А&В В;
ADd(BDAK&B);
ADAVB;
BOXAVB;
(ADC)D((BDC)D
(АРВ) 2 ((AD-B)
10. -7AA 5 A;
11. Vu A(v) D A(t);
12. A(t) D Au A(v).
В схемах 1 - 10 4, В, С — произвольные формулы языка 42.
В схемах 11 и 12 А(у) — формула языка ©, у — переменная, # —
терм языка ®, свободный для о в А(ц), т. е. никакое свободное
(AVBDC));
> 7A);
SOON RWN PE
05

вхождение у в А() не находится в области действия квантора
по переменной, входящей в &.
Правила вывода классического исчисления предикатов:
(I) A,ADB (
modus ponens unmu MP);
(IT) {7s (удаление квантора существования);
(ПТ) ВАТ (введение квантора всеобщности).
Правила (П) и (Ш) называют правилами Бернайса. В этих
правилах Аи В — формулы языка &, о — переменная, не име-
ющая свободных вхождений в В. Условимся говорить, что при-
менение этих правил связывает переменную ч.
Выводом в исчислении предикатов называется конечная по-
следовательность формул Ф1,...,Ф„ такая, что для каждого
+ =1,..., п формула Ф; либо есть аксиома, либо получается
из одной или двух предыдущих формул по одному из правил
вывода. Говорят, что формула Ф выводима в исчислении пре-
дикатов и пишут | Ф, если существует вывод, оканчивающийся
формулой Ф.
Пусть Г — некоторое множество формул языка 4, которые
условно будем называть гипотезами. Квазивыводом из Г назы-
вается конечная последовательность формул Ф1,...,Фи„ такая,
что для каждого 1 = 1,...,П формула Ф; либо есть аксиома,
либо есть гипотеза, либо получается из одной или двух преды-
дущих формул по одному из правил вывода. Для квазивывода,
Ф1,..., Фи и для каждого 1 = 1,...,П определим по индукции
множество А(Ф;) С Г:
1) если Ф; — аксиома, то Д(Ф;) = 0;
2) если Ф; — гипотеза, то А(Ф;) = {Ф;};
3) если Ф; получена по правилу МР из Фу и Ф;, то
A(®;) = A(x) U A(O);
4) если Ф; получена по правилу (II) или (Т]) из Фу, то
A(®;) = A(®,).
Если гипотеза Ф принадлежит множеству А(Ф;), будем го-
ворить, что в данном квазивыводе формула Ф; зависит от Ф.
Выводом из Г называется квазивывод из Г, в котором вся-
кое применение правила (П) или (Ш) к формуле Ф; связывает
56

переменную, не входящую свободно ни в одну из формул из мно-
жества А(Ф;). Говорят, что формула Ф выводима из Г и пишут
ГЕ Ф, если существует вывод из Г, оканчивающийся форму-
лой Ф.
Нетрудно проверить, что каждая аксиома классического ис-
числения предикатов общезначима, и при применении правил
вывода к общезначимым формулам получается общезначимая
формула. Поэтому имеет место следующая теорема о коррект-
ности классического исчисления предикатов:
Теорема 15. Всякая формула, выводимая в классическом UC-
числении предикатов, общезначима.
Теорема о дедукции. Следующая теорема называется
теоремой о дедукиии для исчисления предикатов.
Теорема 16. Каковы бы ни были множество формул Г и фор-
мулы Ф, Ф, если ГО {Ф} Е Ф, тоГЕФОФ.
Доказательство. Сначала отметим одно свойство выводимо-
сти. Пусть имеется вывод Ф1,...,Ф,„ формулы $ из множества
Г, в котором WV не зависит от гипотезы Ф Е Г. Вычеркнем из
этого вывода все формулы Ф;, для которых Ф Е Д(Ф;). Нетруд-
но проверить, что получившаяся последовательность формул
является выводом формулы Ф из множества Г \ {Ф}, причем в
этом выводе каждая формула зависит от тех же гипотез, что и
в исходном выводе.
Приступим к доказательству теоремы. Пусть ®),...,®, —
вывод формулы Ф из ГО {Ф}. Положим A’(®;) = A(®;) OT.
По индукции докажем, что для любого 1 =1,...,п существует
вывод из Г формулы Ф 2 Ф,, в котором Ф › Ф,; не зависит
от гипотез, не входящих в Д’(Ф;). Сначала рассмотрим случай,
когда в выводе Ф1,...,Ф„ формула Ф; не зависит от Ф. Тогда,
как мы только что заметили, существует вывод формулы Ф); из
Г, в котором Ф; зависит от тех же гипотез, что и в исходном
выводе. Продолжим этот вывод до вывода формулы Ф 2 Ф,;
из Г: ..., Ф; (зависит от Д(Ф;)); Ф; > (Ф 2 ©) (аксиома 1);
Ф › $, (получено по правилу МР, зависит от А(Ф;)).
Если Ф; есть формула Ф, то, как и в доказательстве теоре-
мы 4, строится вывод формулы Ф _ Ф, который является также
выводом из Г.
57

Перейдем к общему случаю. Если 1 = 1, то Ф; либо является
аксиомой или принадлежит множеству Г, либо совпадает с Ф.
Во всех случаях утверждение доказано выше.
Пусть 1 = +1, и для каждого 1 < К существует вывод из Г
формулы Ф 2 Ф;, в котором эта формула не зависит от гипотез,
не входящих в А’(Ф.). В случаях, когда формула Ф; является
аксиомой или гипотезой из Го {Ф}, утверждение уже доказано.
Рассмотрим случай, когда в исходном выводе формулы Ф из
Го {Ф} формула Ф; получена по одному из правил вывода.
Случай, когда Ф; получена по правилу МР из Ф; и Фу, при-
чем 7, < Ки Ф; имеет вид Ф; 2 Ф;, рассматривается точно так
же, как в доказательстве теоремы о дедукции для исчисления
высказываний (теорема 5).
Пусть формула Ф; получена по правилу (П) из формулы
Ф; (7 < К). В этом случае Ф; имеет вид Ф’_ ФТ, а Ф; име
ет вид ЗФ’. Ф, где Ф'’и Ф — формулы языка 0, и — пе-
ременная, не имеющая свободных вхождений в Ф. При этом
д($;) = А(Ф;). Случай, когда Ф; не зависит от Ф, уже рас-
смотрен, поэтому будем считать, что Ф; зависит от Ф. Следова-
тельно, Ф; также зависит от Ф. Отсюда и из определения вы-
вода из гипотез вытекает, что Ф и все формулы из множества
Д’(Ф;) не содержат свободных вхождений %. По индуктивному
предположению существует вывод из Г формулы Ф 2 Ф, (т. е.
Ф > (ФТ), в котором Ф 2 Ф,; не зависит от гипотез, не
входящих в А’(Ф,). Продолжим его до вывода из Г формулы
Ф 2 $, (т. е. Ф2 (3%$Ф' 2 Ф)), в котором Ф 2 Ф,; не зависит от
гипотез, не входящих в A’(®;):
.... ФО (Ф’) ТФ) (зависит только от А’(Ф;));... [вывод форму-
лы Ф’2 (ФОТ) из формулы Ф 2 (Ф' 2 ТФ) средствами исчис-
ления высказываний]; Ф’2 (ФОТ) (зависит только от А’(Ф,));
dv ®’ (Ф 2 $) (получено по правилу (П), зависит только от
Д’($;));... Вывод Ф > (ЗиФ’ > №) из формулы Зи Ф' 2 (ФО Ф)
средствами исчисления высказываний|; Ф > (3иФ’ Dd Ф) (зави-
сит только от А’(Ф;) = Д'(Ф,)).
Таким образом, случай, когда формула Ф; получена по правилу
(П), полностью рассмотрен.
Пусть формула Ф; получена по правилу (Ш) из формулы
Ф, (1 < К). В этом случае Ф; имеет вид Ф 2 Ф’', а Ф; имеет вид
08

U Dd Vu ®’, roe Ф'и Ф — формулы языка ®, о — переменная, не
имеющая свободных вхождений в Ф. При этом A(®;) = А(Ф;).
Случай, когда Ф; не зависит от Ф, уже рассмотрен, поэтому
будем считать, что Ф; зависит от Ф. Следовательно, Ф; также
зависит от Ф. Отсюда и из определения вывода из гипотез вы-
текает, что Ф и все формулы из А’(Ф,;) не содержат свободных
вхождений %. По индуктивному предположению существует вы-
вод из Г формулы Ф ^ Ф, (т. е. формулы ®Ф 2 (VU D ®’)), в
котором Ф ^_ Ф,; не зависит от гипотез, не входящих в А’(Ф,).
Продолжим его до вывода из Г формулы Ф 2 Ф, (т. е. формулы
Ф> (ФО \$Ф')), в котором Ф 2 Ф, не зависит от гипотез, не
входящих в А'(Ф;):
... [вывод из Г формулы Ф 2 (Фо G’)|; Ф2 (ОФ) (за-
висит только от А’(Ф,;)); ... [вывод формулы @&WV 2 Ф’ из
формулы Ф 2 (9 2 Ф’) средствами исчисления высказываний];
® & VU _ Ф' (зависит только от A’(®;)); B& VU > ЧиФ' (полу-
чено по правилу (Ш), зависит только от Д'’($Ф;)); ... [вывод
Ф > (2 \Ф') из формулы Ф&ТХ 2 УФ’ средствами ис-
числения высказываний|; Ф 2 (Ф > УФ’) (зависит только от
д(Ф;) = A'(;)).
Таким образом, случай, когда формула Ф; получена по прави-
лу (Ш), также полностью рассмотрен. O
Рассмотрим одно применение теоремы о дедукции.
Теорема 17 (обобщенная теорема от корректности). Каковы
бы ни были множество высказываний Г и высказывание Ф, ес-
ли ГЕХФ, то ГЕФ.
Доказательство. Пусть Г Е Ф. Тогда существует конечное мно-
жество А = {Фу1,...,Ф‚} С Г такое, что А | Ф. Применяя п раз
теорему о дедукции, получаем | ®; D (... Dd (®, D ®)...). Bew-
лу теоремы о корректности исчисления предикатов (теорема 15)
формула
®, D(...D (®, D®)...) (3.6)
общезначима. Докажем, что Г — ®. Пусть ЭХ — модель множе-
ства Г. Тогда все формулы Ф1,...,Ф„ истинны в алгебраической
системе ЭХ. Так как кроме того общезначимая формула (3.6) ис-
тинна в ЭХ, то, очевидно, формула Ф также истинна в 5. м
59

§3.7. Теорема Гёделя о полноте классическо-
го исчисления предикатов
Расширения непротиворечивых теорий. Множество
формул Г называется противоречивым, если существует такая
формула Ф, что ГЕ Фи ГЕ -Ф. В противном случае Г назы-
вается непротиворечивым. Нетрудно доказать, что Г противо-
речиво тогда и только тогда, когда УФ [Г Е $]. Зафиксируем
замкнутую формулу Ф и через | обозначим формулу Ф & -Ф.
Очевидно, что множество Г противоречиво тогда и только то-
гда, когда Г | 1. Таким образом, вместо «множество Г проти-
воречиво» можно писать Г | 1. Нетрудно доказать (см. упраж-
нение 4), что для классического исчисления предикатов имеет
место правило доказательства от противного
TU{AV}JELSTEY.
Теорема 18. Пусть Го, Г1, Г2,... — непротиворечивые мно-
жества высказываний языка @, причем
Гос Г: С Г2С... С Гь С ГС ....
CO
Тогда множество Г = (.) Г, непротиворечиво.
n=1
Доказательство. Пусть множество Г противоречиво. Тогда
противоречиво некоторое конечное его подмножество А С Г.
Очевидно, что А С Г; для некоторого п. Следовательно, мно-
жество Г, противоречиво, что невозможно по условию. Значит,
на самом деле множество Г непротиворечиво. О
Множество высказываний Г языка “) будем называть мак-
симальным непротиворечивым множеством, если Г непроти-
воречиво, но любое собственное его расширение противоречиво.
Нетрудно доказать, что всякое максимальное непротиворечивое
множество высказываний Г обладает следующими свойствами:
1) Г полно в том смысле, что для любого высказывание Ф
языка “ имеет место либо Ф Ее Г, либо (—Ф) Е Г;
2) Г замкнуто относительно выводимости в том смысле, что
каково бы ни было высказывание Ф языка (0, если Г Е Ф, то
ФЕГ.
60

Теорема 19. Если множество высказываний Г языка ‘2 непро-
тиворечиво, то существует максимальное непротиворечивое
множество высказываний Г’ языка @ такое, что ГС Г".
Доказательство. Будем считать, что сигнатура (2 не более чем
счетна. Тогда множество всех высказываний языка () счетно.
Зафиксируем пересчет Фо, Ф1,$2,... этого множества. Опреде-
лим последовательность непротиворечивых множеств высказы-
ваний Го, Г1, Г2,.... Положим Го = Г. Пусть непротиворечивое
множество высказываний Г„ уже определено. Если Г, И —Фи,
положим Ги! = Г, Ч {Фи}; в противном случае Ги: = Ги.
Нетрудно доказать, что в любом случае множество Г„+1 непро-
тиворечиво. Таким образом, мы получили последовательность
непротиворечивых множеств высказываний Го, Г1, Г2,..., при-
чем Г сГ: СГС... СГ, С Ги С .... По теореме 18 мно-
CoO
»#ecTBO I’ = (J) [, непротиворечиво. Из построения множеств
n=1
Г» видно, что Г’ является максимальным непротиворечивым
множеством. LJ
Множество высказываний Г языка 4) будем называть насы-
щенным, если всякий раз, когда формула вида ЗиФ(у) выводима
из Г, имеет место ГЕ Ф(с) для некоторой константы с из 9.
Теорема 20. Пусть Г — непротиворечивое множество вы-
сказываний языка @, а сигнатура О’ получена добавлением, к ©)
счетного множества дополнительных констант. Тогда суще-
ствует максимальное непротиворечивое насыщенное множе-
ство высказываний Г’ языка О’ такое, что ГС Г".
Доказательство. Пусть сигнатура ©’ получена добавлением к
? множества дополнительных констант М = {со, 1, с2,...}.
Множество высказываний вида ЗиФ языка ©’ счетно. Зафик-
сируем некоторый пересчет таких высказываний:
JupPo, Зи Фут, Зу2Фо, .... (3.7)
Определим последовательность множеств Го, Г1, Г2,..., причем
Ги (п =0,1,2,...) будет максимальным множеством высказы-
ваний в синатуре ®„, полученной добавлением к §) лишь ко-
нечного числа констант из М. При этом в ходе построения по-
61

следовательности Го, Г1, Г2,... некоторые формулы из после-
довательности (3.7) будут вычеркиваться. Положим No = 9,
Го — максимальное непротиворечивое расширение множества Г
в языке {2о, существующее в силу теоремы 19. Пусть максималь-
ное непротиворечивое множество высказываний Ги в языке
построено, и 4%Ф(у) — первая еще не вычеркнутая формула
языка ®„ из последовательности (3.7) такая, что Г, | Av®(v).
Пусть с — первая константа из М, не встречающаяся в Ги ив
Ф( у). Пусть О„+1 — сигнатура, полученная добавлением к О»
константы с. Нетрудно доказать, что множество высказываний
Г, U {®(c)} в языке О„+1 непротиворечиво. В качестве Ги+1
возьмем максимальное непротиворечивое расширение множе-
ства Г, Ч {Ф(с)} в языке О„+1, существующее в силу теоре-
мы 19. Последовательность Го, Г1, Г2,... построена. Положим
CO CO
QO’ = () 9, Г’ = (] Г.. Нетрудно доказать, что I’ — maxcu-
мальное непротиворечивое насыщенное множество. Ш
Совместность непротиворечивых теорий. Докажем,
что любая непротиворечивая элементарная теория имеет мо-
дель.
Теорема 21. Для любого максимального непротивофечивого
насыщенного множества высказываний существует модель.
Доказательство. Пусть Г — максимальное непротиворечивое
насыщенное множество высказываний языка, = (Сп, F'n, Pr).
Определим интерпретацию ЭХ. Ее носитель — множество М
всех термов языка (2, не содержащих переменных. Для се Сп,
реЕЕп, РЕРтиц...., Е М положим
Cc; f(ti,...,tn) = f(ti,.--, tn);
P(ti,...,t) =15 P(th,...,tn) ET.
Индукцией по логической длине высказывания Ф языка 2
нетрудно доказать, что 9 Е Ф <> Ф Е Г. Следовательно, 9%
является моделью множества Г. 0
Теорема 22. Любое непротиворечивое множество высказы-
ваний имеет модель.
62

Доказательство. Пусть Г — непротиворечивое множество вы-
сказываний языка (). В силу теоремы 20 существует такое мак-
симальное непротиворечивое насыщенное множество высказы-
ваний Г’ сигнатуры Я’, полученной добавлением к О счетного
множества дополнительных констант, что Г С Г’. По теоре-
ме 21 существует модель ЭХ’ множества Г’. Это интерпретация
языка @'. Рассмотрим интерпретацию ЭХ языка ® с тем же но-
сителем, что и ЭХ’, в котором символы из ® интерпретируются
точно так же, как и в ЭХ’. Иными словами, ЭХ — это по сути
та же интерпретация 9%’, в которой нас не интересуют значе-
ния символов, не входящих в сигнатуру “. Можно доказаль,
что всякое высказывание языка () истинно в интерпретации SM
тогда и только тогда, когда оно истинно в интерпретации 9)..
Так как все высказывания из Г истинны в 9)’, то они истинны
ив ЭХ. Значит, ЭХ — модель множества, Г. CJ
Теорема 23 (теорема, Гёделя о полноте). Любая общезначимая
формула выводима в исчислении предикатов.
Доказательство. Пусть Ф — общезначимая формула. Если в
ней есть свободные переменные %1,...,%и, то замкнутая фор-
мула, Уу1...\„иФ, которую мы обозначим через Ф, также об-
щезначима. Докажем | Ф. Допустим противное, т. е. что И Ф.
Тогда в силу правила доказательства от противного множество
{—$ } непротиворечиво. По теореме 22 оно имеет модель. В этой
модели формула Ф ложна, что противоречит ее общезначимо-
сти. Значит, | \91...\УопФ, а тогда | Ф. O
Теорема 24. В исчислении предикатов выводимы все общезна-
чимые формулы и только они.
Доказательство. Это утверждение вытекает из теоремы 23 и
теоремы о корректности исчисления предикатов (теорема 15).
0
Теорема 25 (обобщенная теорема Гёделя о полноте). Пусть
Г — произвольное множество высказываний языка ®, Ф — вы-
сказывание языка ®, причем Г | Ф. Тогда ГЕ Ф.
63

„Доказательство. Пусть Г | Ф. Допустим, что Г И Ф. Тогда в
силу правила доказательства от противного множество ГУ{—Ф}
непротиворечиво. По теореме 22 оно имеет модель УХ, так что
ЭХ ЕГи ЖЖ | -Ф. С другой стороны, если 9% | Г, то 9 | Ф,
ибо Г Е Ф. Полученное противоречие показывает, что на самом
деле ГЕ Ф. м
Теорема 26. Высказывание Ф логически следует из множе-
ства высказываний Г тогда и только тогда, когда Ф выводит-
ся из Г.
Доказательство. Это утверждение вытекает из теоремы 25 и
обобщенной теоремы о корректности исчисления предикатов
(теорема, 17). Ч
Упражнения
1. Доказать, что соответствие Г Е А обладает свойствами
монотонности, транзитивности и компактности.
2. Доказать, что каждая аксиома классического исчисления
высказываний является тавтологией.
3. Доказать теорему о корректности классического исчисле-
ния предикатов.
4. Доказать, что для классического исчисления предикатов
справедливо правило доказательства от противного.
5. Построить выводы в классическом исчислении предикатов
формул Р(у) D Q(y) u Vz P(x) > Ух О(х) из множества
runotes {Vz (P(x) D> Q(z))}.
6. Доказать локальную теорему Мальцева: если любое ко-
нечное подмножество множества высказываний Г выпол-
нимо, то Г выполнимо.
7. Доказать теорему Мальцева о компактности: каковы бы
ни были множество высказываний Г и высказывание Ф,
если Г Е Ф, то А Е= Ф для некоторого конечного подмно-
жества АС Г.
64

Глава 4
Интуиционистское исчисление
высказываний (ИИВ)
84.1. Исчисление Колмогорова
Первая попытка построения системы аксиом интуиционист-
ской логики была предпринята А. Н. Колмогоровым [5]. Он ис-
ходил из предложенной Д. Гильбертом [21| системы классиче-
ской логики высказываний, состоящей из следующих схем ак-
CHOM:
Г1. А (ВА);
Г2. (А (A> B)) > (АРВ);
T3.(AD(BDC))D(BD(ADC));
l4.(BDC)D((AD B)D(ADC));
5. AD (AA D B);
6. (AD B)D((7AAD B)DB).
Другие законы классической логики высказываний могут
быть получены из аксиом с помощью правила МР. Исчисление,
задаваемое схемами аксиом Г1 - Гб вместе с правилом МР, бу-
дем называть исчислением Гильберта. Подвергая эту систему
аксиом критическому анализу с интуиционистской точки зре-
ния, А. Н. Колмогоров приходит к системе аксиом интуицио-
нистской логики, состоящей из схем аксиом Г1 - Г4 исчисления
Гильберта, а также следующей схемы аксиом:
(A > B) D> ((АР-В) 2—4).
Таким образом, исчисление Колмогорова имеет следующие схе-
мы аксиом:
K1. AD (BD A);
К2. (АЗ (АРВ) > (АРВ);
K3. (AD (BDC))D(BD(ADOC));
K4. (BD C)D((AD B) D(ADOC));
K5. (A D> B) D ((АЗ-В) 5—4).
Единственным правилом вывода является МР.
69

Аксиомы исчисления Колмогорова являются схемами ин-
туиционистски истинных высказываний. Рассмотрим, напри-
мер, схему К1. Покажем, что для любых Аи В высказывание
A > (ВА) интуиционистски истинно, т. е. существует общий
метод получения обоснования для В _ А, если дано обоснова-
ние для А. Пусть дано обоснование а для А. Обоснованием для
В > А может служить операция, которая любое обоснование
для В преобразует в имеющееся у нас обоснование а для А.
Аналогичными рассуждениями нетрудно показать, что схемы
K2 — K5 приемлемы с интуиционистской точки зрения.
Правило МР сохраняет интуиционистскую истинность: если
высказывания Аи А 2 В истинны, т. е. даны обоснование для
А и общий метод, позволяющий получить обоснование для В
из любого обоснования для А, то истинно и высказывание В.
Поэтому все формулы, выводимые в исчислении Колмогорова,
являются схемами интуиционистски истинных высказываний.
По поводу аксиомы Г5 А. Н. Колмогоров пишет, что хотя
критика Бруаэра не коснулась ее, тем не менее она «не имеет
и не может иметь интуитивных оснований как утверждающая
нечто о последствиях невозможного: мы обязаны признать В,
если признали ложным истинное суждение А» 65, П, 84]. Ак-
сиома Гб по существу выражает закон исключенного третьего:
каково бы ни было высказывание А, если в качестве В взять
А\У-А, то очевидно, что из интуиционистской истинности вы-
сказывания Г5 вытекает интуиционистская истинность выска-
зывания АД \ —А, что, как мы знаем, имеет место не для всех
высказываний А. Позже мы строго докажем, что аксиомы Г5 и
Гб невыводимы в исчислении Колмогорова.
Можно доказать, что для исчислений Гильберта и Колмо-
горова имеет место теорема о дедукции: если ГИ {А} | В, то
ГЕ А > В. Для этих исчислений верен также принцип при-
ведения к абсурду: если множество ГЦ {А} противоречиво, то
Г | -4. Нетрудно доказать, что всякая формула, выводимая
в исчислении Колмогорова, выводима и в исчислении Гильбер-
та. Очевидно, что для этого достаточно доказать выводимость
аксиомы К5 в исчислении Гильберта (см. упражнение 1).
66

$4.2. Интуиционистское, минимальное и по-
зитивное исчисления
Исчисление Колмогорова явилось первой аксиоматизацией
интуиционистской логики высказываний. Позднее другие систе-
мы аксиом были предложены В. И. Гливенко [17], А. Гейтингом
[20], Г. Генценом [16], [6, 877|. Они эквивалентны между собой
в том смысле, что из них выводимы одни и те же формулы, и
эквивалентны системе Гейтинга:
W1.AD(B2 A);
W2.(AD> B) Dd ((AD(BDC)) D(ADC));
U3. AX BDA;
И4. А& ВОВ;
M5. AD, (BDA&KB);
YW6. AD AVB;
U7. BD AVB;
M8. (ADC)D((BDC)D(AVBDC));
M9. (A> B) Dd ((AD-B) D 7A);
W10. AD (AAD B).
Эти схемы аксиом вместе с правилом МР задают интуицио-
нистское исчисление высказываний (ИИВ).
Мы видим, что схема аксиом И10 — это отвергнутая Кол-
могоровым схема аксиом Г5 исчисления Гильберта. Все же она
включена в систему постулатов исчисления, называемого инту-
иционистским. В пользу этого можно привести такое расужде-
ние. Пусть дано обоснование для высказывания А. 'Тогда в каче-
стве обоснования для высказывания —А 2 В можно взять про-
извольное общее правило, поскольку оно должно применяться
только в случае, когда дано обоснование для высказывания —А,
однако, имея обоснование для высказывания А, мы можем быть
уверены, что наше обоснование для высказывания —А 2 В ни-
когда не будет использовано. Те, кого такое обоснование удовле-
творяет, могут пользоваться ИИВ. Остальные должны доволь-
ствоваться минимальным исчислением, введенным И. Юхансо-
ном [23]. Оно задается схемами аксиом И1 - И9. Если из ми-
нимального исчисления исключить схему аксиом И9, то полу-
чится позитивное исчисление, рассмотренное Д. Гильбертом и
П. Бернайсом [4].
67

Для рассматриваемых исчислений имеет место правило под-
становки (предложение 4). Так как в интуиционистском, мини-
мальном и позитивном исчислениях есть схемы аксиом И] и И2,
а единственное правило вывода — МР, то в силу предложения
5 для этих исчислений верна теорема о дедукции. Присутствие
схемы аксмиом И9 в интуиционистском и минимальном исчис-
лениях позволяет утверждать в силу предложения 6, что для
этих исчислений верен принцип приведения к абсурду. Более
того, для ИЙВ верны все производные правила вывода, сфор-
мулированные в теореме 7, за исключением правила удаления
отрицания (— -+).
Формулы А и В назовем эквивалентными в данном исчисле-
нии, если выводима формула А = В. Для рассматриваемых ис-
числений имеет место теорема об эквивалентной замене: если
формула В получена заменой в формуле А некоторого вхожде-
ния подформулы С на эквивалентную ей формулу О, то Аи В
эквивалентны (см. упражнение 2). Очевидно, что эквивалент-
ные формулы одновременно выводимы или невыводимы.
Соотношение между исчислением Колмогорова и минималь-
ным исчислением выражается следующими двумя фактами:
1) всякая формула, выводимая в исчислении Колмогорова, вы-
водима и в минимальном исчислении; 2) всякая формула, со-
держащая только логические связки 2 и — и выводимая в ми-
нимальном исчислении, выводима и в исчислении Колмогорова.
Таким образом, исчисление Колмогорова — это импликативно-
негативный фрагмент минимального исчисления (см. [10]).
Рассмотрим соотношение между минимальным и позитив-
ным исчислением. Пусть А — пропозициональная формула, L —
переменная, не входящая в А. Через А, обозначим результат
последовательной замены в А подформул вида —В на ВО 1.
Формулу А! назовем 1-образом формулы А.
Предложение 7. Формула А выводима в минимальном ис-
числении тогда и только тогда, когда ее | -образ А! выводим
в позитивном исчислении.
Доказательство. Тот факт, что если формула А выводима в
минимальном исчислении, то ее | -образ А! выводим в пози-
тивном исчислении, доказывается индукцией по длине вывода
68

формулы А в минимальном исчислении с учетом следующих
замечаний. Во-первых, [-образ всякой аксиомы минимального
исчисления является аксиомой позитивного исчисления. Дей-
ствительно, [-образ любой из аксиом И1 - И8 имеет ту же ло-
гическую форму и является аксиомой позитивного исчисления.
1-образ аксиомы И9 имеет вид
(ААВ, ) 2 (ALD (BL DL)) D (ALD L)),
т. е. получается по схеме аксиом И2. Во-вторых, если формула
В получена по правилу МР из формул А и А 2 В, то В, по-
лучается по правилу МР из формул А! и (АЗ В)1, имеющей
вид А, 2 В,.. Отсюда следует, что если в выводе формулы А
в минимальном исчислении каждую формулу заменить на ее
[-образ, то получится вывод формулы А| в позитивном исчис-
лении.
Докажем теперь, что если формула А! выводима в пози-
тивном исчислении, то формула А выводима в минимальном
исчислении. Для этого заметим, что если формула Аг выводи-
ма в позитивном исчислении, то она выводима и в минимальном
исчислении. Поскольку для рассматриваемых исчислений име-
ет место правило подстановки, то в минимальном исчислении
выводима и формула А-_(,-,), полученная подстановкой в Ат
формулы —(-1 2 +1) вместо переменной 1. Нетрудно доказать,
что какова бы ни была формула В, формулы В 2 (21) и
—В эквивалентны в минимальном исчислении. Следовательно
в силу теоремы об эквивалентной замене формулы А- (1-1) эк-
вивалентны в минимальном исчислении, поэтому, если в мини-
мальном исчислении выводима формула А- (1-1), то выводима
и формула А. О
Предложение 8. Формула Р > (-Р > Q) невыводима в ми-
нимальном исчислении.
Доказательство. |-образ рассматриваемой формулы есть
формула Ро ((Ро 1) 20), очевидно, не являющаяся тавто-
логией классической логики. Но в позитивном исчислении вы-
водятся только тавтологии. Следовательно, |[-образ формулы
РО (-Р о О) невыводим в позитивном исчислении, и в силу
предложения 7 сама эта формула невыводима в минимальном
исчислении. LJ
69

84.3. Исчисление задач по Колмогорову
ИИВ возникло в результате пересмотра классической логи-
ки с интуиционистской точки зрения. Попытка дать истолкова-
ние интуиционистской логики в рамках обычных математиче-
ских понятий была предпринята А. Н. Колмогоровым [25]. Он
предложил рассматривать пропозициональные формулы как
схемы типов задач. При этом понятия «задачи» и «решения
задачи» считаются общеизвестными и никак не уточняются.
Пропозициональные переменные интерпретируются как пере-
менные по задачам, а логические операции — как способы по-
лучения новых задач из уже имеющихся: задача, Д & В состоит
в том, чтобы решить обе задачи Д и В; задача А \/ В состоит в
том, чтобы решить хотя бы одну из задач А и В; задача А В
состоит в том, чтобы свести задачу В к задаче Д; задача —А
состоит в том, чтобы, предположив, что дано решение задачи
А, прийти к противоречию.
Всякая пропозициональная формула Е(Р/,..., Рь) является
схемой типов задач, которая превращается в конкретную за-
дачу, коль скоро переменные Р]1,..., Р» интерпретируются как
конкретные задачи. Общезначимость пропозициональной фор-
мулы понимается как существование общего метода решения
задач данного типа. Таким образом, закон исключенного тре-
тьего Р \ -Р не является законом логики задач: общезначи-
мость этой формулы означала бы существование общего мето-
да, позволяющего для любой конкретной задачи либо найти ее
решение, либо привести к противоречию предположение о су-
ществовании ее решения. Поскольку такой метод вряд ли воз-
можен, формулу Р\ -Р нельзя признать общезначимой. В то
же время формулы, выводимые в ИЙВ, оказываются общезна-
чимыми. Тем самым получена интерпретация этого исчисления
как логики задач.
Найденная интерпретация интуиционистской логики выска-
зываний имела важное методологическое значение. В рамках
хотя и не вполне точных, но все же понятных любому матема-
тику понятий «задачи» и «решения задачи» была обоснована
необходимость рассмотрения логических систем, не содержа-
щих закона исключенного третьего.
70

§4.4. Простые импликации
Простой конзюнкиией называется конъюнкция формул ви-
да 1) Р; п) -Р; iii) P > Q; iv) PD QVR; v) P&QD R;
vi) (P > Q) D R, rae P,Q, R — пропозициональные перемен-
ные. Простой импликацией называется формула вида А 21,
где А — простая конъюнкция, 2 — переменная.
Посредством ИИВ+А(Р1,...,Р») обозначим исчисление, ак-
сиомами которого являются аксиомы ИИВ, а также формулы
вида А(В1,...,В„), полученные подстановкой в А(Р!,...,Рь)
любых формул ВБ1,...,Би вместо переменных Р1,..., Ри». Бу-
дем говорить, что формулы РЕ и С дедуктивно эквивалентны в
ИИВ, если ИИВ+Е {Е С и ИИВ+С [ РГ. Очевидно, что если Е
и С дедуктивно эквивалентны, то ИЙВЕ Е ИИВЕ С.
Теорема 27. Всякая пропозициональная формула дедуктивно
эквивалентна в ИИВ некоторой простой импликаимим.
Доказательство. Всем подформулам С формулы РЁ сопоста-
вим различные переменные Рс, при этом пусть Ре совпадает
с а, если С — переменная. Индукцией по построению С опре-
делим формулы КТ(С) и К ` (С). Если С — атом, то К*(С) и
К (С) есть а 2 С. Пусть С имеет вид АЛВ, где Л есть & или
\, и формулы К"(А), К`(А), КТ(В), К (В) уже определены.
Тогда
КТ(С) = К"(А) & К"(В) & (РААРв > Рб),
К (<) = K (А)&К (В) & (Ре РААРВ).
Если С имеет вид А В, то
Kk*(G) = К (А)& К"(В)& (РАЗ Рв) > Рб),
К` (С) = К"(А)&К (В) & (Рес > (РАЗ Рв)).
Наконец, если С имеет вид —А, то
Kt(G) 5 K7 (A) & (-РА > Рб),
К (С) = KtT(A) & (Ре >-РА).
Лемма 1. Какова бы ни была подформула с формулы Е,
1) Kt(G) +} GD Po; 2) К (С)Е РСС.
71

Доказательство. Утверждения 1) и 2) доказываются одновре-
менно индукцией по построению подформулы С. Если С — пе-
ременная, то утверждения 1) и 2) очевидны. Пусть С имеет
вид А > В, причем КТ(А) Е А РА, К`(А) Е Pa D A,
К*(В)Е Во Рв, К `(В)Е Рвр В. Тогда утверждение 1) име-
et sun. K~(A)& K*(B)&((Pa D Ps) > Ра) Е (АР В) 2 Ре.
В силу теоремы о дедукции для его доказательства достаточно
показать, что из множества
Г = {К (А)& К"(В)& ((РА — Рв) — Ре), А ») В}
выводится Ре. Для этого достаточно доказать Г Е РА 2 РВ.
В силу теоремы о дедукции для этого достаточно из множества
A = {K7~(A)& K*t(B) & (РА Рв) 2 Ре), АР В, Рад} вывести
Pg. Tak Kak по предположению КТ(В) | ВО РВ, то достаточ-
но показать, что А Е В, для чего достаточно проверить, что
А НА. Так как по предположению К” (А) Н РА А, то до-
статочно убедиться, что А | РА, что очевидно. Аналогично до-
казывается утверждение 2), а также рассматриваются случаи,
когда С имеет вид АЛВ, где Л есть & или \, или —А. CJ
Следствие 1. КТ(Р) НЕО Ре.
Доказательство. Это утверждение немедленно вытекает из
леммы 1, когда (С есть РЁ. 0
Лемма 2. ИИВ+(К*(Р) 2 Рь) ЕЕ.
Доказательство. Аксиомой исчисления ИИВ+(К\(КР) 2 Ре)
является формула, полученная подстановкой в К"(Р) > Pr
вместо каждой переменной Рс подформулы С формулы РЁ. При
такой подстановке КТ(ЁР) превращается в конъюнкцию формул
вида Н 2 Н, а Ре превращается в РГ. Теперь очевидно, что ГР
выводима в рассматриваемом исчислении. О
Из следствия 1 и леммы 2 вытекает, что РЕ дедуктивно эк-
вивалентна, формуле К*(ЁР) 2 Ре. Осталось доказать, что по-
следняя дедуктивно эквивалентна в ИЙВ простой импликации.
Заметим, что КТ(Ё) есть конъюнкция формул вида 1) РОР;
2) P > 7AQ; 3) AP D> Q; 4) P&Q D R; 5) P D Q&R;
6) PD QVR; 7) PVQDR; 8) (PDQ)DR; 9) PI (QD R),
72

гле Р,О, В — переменные. Каждая формула вида 5) эквива-
лентна в ИИВ (РО 0) &(Р > В). Каждая формула вида 7)
эквивалентна формуле (Ро В) & (© > В). Каждая формула
вида 9) эквивалентна в ИИВ формуле Р&О 2 В. Заменим в
К\*(Р) конъюнктивные члены вида 5), 7), 9) на только что ука-
занные эквивалентные им формулы. Получим формулу вида
К’(Р), эквивалентную формуле К\(Р). Очевидно, что форму-
ла К’(Р) > Ре дедуктивно эквивалентна Р.
Пусть | — пропозициональная переменная, не входящая в
К’(ЕР). Заменим в К’(Р) каждый конъюнктивный член вида 2)
на P& QD {[ и каждый конъюнктивный член вида 3) на фор-
мулу (РО) 2 9; кроме того добавим в К’(Р) конъюнктив-
ный член —1. Полученная формула К”(Р) является простой
конъюнкцией, а формула К”(Р) > Ре — простой импликацией.
Докажем, что К’(Р) > Реи К"(Р) 2 Ре дедуктивно эквива-
лентны.
Докажем, что MMB+K"(F) > Pr + K'(F) > Ре. Подста-
вим —(Р 2 Р) вместо 1 в К"(Р) > Ре. Получим аксиому
рассматриваемого исчисления. При этом каждая формула вида
P&Q 1 перейдет в формулу Р&@ 2 —(РОР), эквивалент-
ную формуле Р > —0, а каждая формула вида (Ро 1) 2 @
перейдет в формулу (Ро -(РОР)) 2 0, эквивалентную фор-
муле ~P о 0; наконец, формула —-1 перейдет в выводимую
формулу -—(РОР). oO
Упражнения
1. Доказать, что аксиома К5 исчисления Колмогорова выво-
дима в исчислении Гильберта.
2. Доказать, что для ИИВ имеет место теорема об эквива-
лентной замене.
3. Доказать, что каковы бы ни были пропозициональные
формулы А и В, следующие формулы выводимы в ИИВ:
A D> 2A; 7-(-7A D A); 277A D AA; 7A(A&-A);
(-АУВ) 2 (АРВ); 7(AV B) D (AA&-B);
(AA &AB) > -7A(AV B); (AAV AB) > (А&В);
(A > B) > (AB D-7AA); (AD -=7AB)D(BD—-A).
73

Глава 5
Псевдобулевы алгебры
85.1. Логические матрицы и оценки
Логической матрицей назовем набор
М = (М, 1,-,+, +, >>),
где М — непустое множество (носитель матрицы М), 1Е М,
^^ — одноместная, а -, +, —+ — двухместные операции на М,
причем для любых элементов т, у Е М выполняются условия:
1) если 1 -х=1, тох = 1;
2) если х y=yonr=i1,T0Or=y.
В дальнейшем элементы множества М будем называть элемен-
тами логической матрицы М и иногда будем писать х Е М
вместо т Е М.
Оценкой в логической матрице М называется произвольная
функция, которая каждой пропозициональной переменной со-
поставляет некоторый элемент множества М. Всякую оценку
{ можно продолжить на множество всех пропозициональных
формул, положив
КА&вВ) = ХА). (В);
f(AV B) = f(A) + f(B);
КАР В) = ХА) > КВ);
К-А) == Х(А).
Будем говорить, что формула А истинна в логической мат-
рице М, если /(А) = 1, какова, бы ни была оценка ] в М. Если
же для некоторой оценки } имеет место }(А) = 1, то говорят,
что формула А опровергается в матрице М, а матрица М на-
зывается контрмоделью для этой формулы.
Логическая матрица М называется моделью данного про-
позиционального исчисления, если все формулы, выводимые в
этом исчислении, истинны в матрице М. Логическая матрица
К
К
74

называется точной моделью данного исчисления, если в этом
исчислении выводимы те и только те формулы, которые истин-
ны в этой матрипе.
Теорема 28. Шусть пропозициональное исчисление таково,
что его единственным правилом вывода является МР. Тогда
логическая матрица М является моделью этого исчисления,
если и только если все его аксиомы истинны в М.
Доказательство. Пусть логическая матрица М является мо-
делью данного пропозиционального исчисления. Поскольку все
аксиомы этого исчисления выводимы в нем, они истинны в М
по определению модели. Обратно, пусть в логической матри-
це М истинны все аксиомы пропозиционального исчисления, в
котором единственным правилом вывода является МР, и пусть
А1,..., Аи — некоторый вывод в этом исчислении. Индукцией
по 1 докажем, что для любого 1 =1,...,п формула А; истинна в
матрице М. При 1 = 1 формула Д; является аксиомой и истинна,
в М по условию. Пусть для некоторого К < п каждая из формул
А; при 1 < К истинна в М. Докажем, что формула Ах также
истинна в М. Если формула Ак является аксиомой, то она ис-
тинна в М по условию. Если же Ах получена по правилу МР из
формул Аи Ат, где [, т < К, причем Ат имеет вид Ау D Ax, TO
по индуктивному предположению для любой оценки } имеет ме-
cto f(Ay) =1и (Ат) = (Аи) > Л(Аь) = 1- Л(Аь) = 1. Отсю-
да и из определения логической матрицы следует, что f( Az) = 1
для любой оценки /[, т. е. формула Ак истинна в матрице М.
Таким образом, любая формула, выводимая в данном исчисле-
нии, истинна в матрице М. Значит, М является моделью этого
исчисления. С
Моделью ИИВ является, например, логическая матрица,
1
М) — ({o,5,1} toe),
т. у= шщ(т, у); c+ y = max(z, у);
roya 1, emu xr<y, r=1->0= 1, ecnu x = 0,
J) y, ecm x > y; 7 | 0, ecau x 4 0.
где
19

Предложение 9. Формула (РОО) 2 ((-Р> 0) 2 9) невы-
водима в ИЙВ.
Доказательство. Рассмотрим такую оценку {в М1, что
Г(Р) = f(Q) = 5.
Вычисления показывают (см. упражнение 1), что значение рас-
сматриваемой формулы при этой оценке равно 5, следователь-
но, эта формула не истинна в модели М1 ИИВ и потому невы-
водима в этом исчислении. 0
Следствие 2. Формула (РЭО) ((-Р > 0) 2 0) невыводи-
ма в исчислении Колмогорова.
Доказательство. Утверждение следует из предложения 9 и то-
го факта, что всякая формула, выводимая в исчислении Кол-
могорова, выводима и в ИИВ. LJ
Таким образом, аксиома Гб исчисления Гильберта невыво-
дима в исчислении Колмогорова.
Заметим также, что при любой такой оценке f B My, uTo
f(P) = 5, 1(@) = 1, формула
(-Р5 -9) 5 (9ЭР)
принимает значение 5; при таких оценках формулы Р\У-Ри
iAP > P также принимают значение с. Значит, все эти фор-
мулы также невыводимы в итуиционистском исчислении выска-
зываний.
Вот еще один пример модели ИИВ:
Mo — ({0,1}2 0 {1},1,-,+, >, >),
где
1-а =а-1 = а; 1+а =а+1=1; 1 а=аа—>1=1; -1= (0,0)
(здесь а — произвольный элемент матрицы М2), а операции над
элементами вида (а, 65), геа, 6 Е {0,1}, определяются так:
(a1, 61) - (a2, b2) = (min(aj, a2), min(by, b2));
(a1, 61) + (a2, b2) = (max(ay, a2), max(bj, b2));
76

~ (a,b) = 1, если а == 0;
о (1 —а,1-—6), если а #0 или #0
(a1, b1) — (a2, b2) = y(~ (a1, b1) + (a2, b2)),
где y(a) = 1], если x = (1,1),
METS) ecnn x % (1,1).
Нетрудно проверить, например, что если }(Р) = (0,1), то
при такой оценке { формула —Р V —--Р принимает значение
(1,1). Значит, она не истинна в модели М5 ИИВ и невыводима
в этом исчислении.
85.2. Решетки и псевдобулевы алгебры
Пусть на непустом множестве М задан частичный поря-
док <. Это означает, что выполняются следующие аксиомы:
Al. Vala < а| (рефлексивность);
A2. Va,b[a< b&b<a>a=b)] (anmucummempuunocmd);
АЗ. Уа, 6, са < 6 &6 < с-а< с (транзитивность).
Пусть А — непустое подмножество частично упорядоченного
множества М. Элемент а Е А называется наибольшим, элемен-
том множества А, если (Ух Е А)х < а. Элемент а Е А называ-
ется наименьшим элементом множества А, если (Ух Е Ала < т.
Нетрудно доказать, что в любом непустом множестве содержит-
ся не более чем один наибольший элемент и не более чем один
наименьший элемент (см. упражнение 2).
Вертней гранью пары элементов а, 6 частично упорядоченно-
го множества М называется всякий такой элемент с, чтоа < си
Ь < с. Если множество всех верхних граней пары элементов а,6
непусто и содержит наименьший элемент, то этот элемент на-
зывается точной верхней гранью пары а, 6 и обозначается а + 6.
Нижней гранью пары элементов а,6 частично упорядоченного
множества М называется всякий такой элемент с, что с аи
с < 6. Если множество всех нижних граней пары элементов а,6
непусто и содержит наибольший элемент, то этот элемент на-
зывается точной нижней гранью пары а, 6 и обозначается а. 6.
Частично упорядоченное множество М, в котором для лю-
бой пары элементов а, 6 существуют их точная верхняя грань
а+б и точная нижняя грань а.6, называется решеткой. Таким
77

образом, в каждой решетке определены двухместные операции
+ и -, причем выполняются условия А1 - АЗ, а также следую-
щие аксиомы:
A4. Уа, 6 [а <а + 5;
Ad. Va,b[b << a+);
A6. Va,b,cla<c&b<c>a+b<c);
A7. Va, b[a-b < al;
A8. Va, b[a-b < 5);
AQ. Va,b,cle<a&c<b>c<a-)l.
Предложение 10. В каждой решетке для любых элементов
а, 6, с, а выполняются следующие условия:
1. a+b = b+a; a-b = b-a; a+(b+c) = (a+b)+c; a-(b-c) = (a-b)-c
(коммутативность и ассоциативность операций - U -);
2. enuaxbuc<d, moat+c<b+dua-c<b-d (mono-
тонность операций - и -);
3. a-(a+b) =a; (а: +6 =Ь (законы поглощения).
Доказательство. Докажем коммутативность операции +.
В силу Аба < ВБ -+а, в силу А4 6 < {+ а. Отсюда и из Аб
получаем
ат < В+ а. (5.1)
В силу АБ 6 < а ЪЁ4+ Ь в силу Ада < а-+ 6. Отсюда и из Аб
получаем
+ а <а- 5. (5.2)
Из (5.1), (5.2) и А2 получаем а+ 6 =б-а.
Докажем коммутативность операции -. В силу АЗ а. < Ь, в
силу АТа-6 < а. Отсюда и из А9 получаем
a-b<b-a. (5.3)
Совершенно аналогично доказывается
b-a<a-b. (5.4)
M3 (5.3), (5.4) wu A2 nonyuaem a-b=b-a.
78

Докажем ассоциативность оперции +. В силу А4
а<а-+ 6
а-+ь < (а-+ 5) + с.
Отсюда и из АЗ получаем
а < (а-+ Ь) + с. (5.5)
В силу А5 6 <а-НЬ, а так как а + 6 < (а 65) + с, то из АЗ
получаем
Ь < (а-+ Ь) + с. (5.6)
В силу А5 с < (а-+ 65) + с. Отсюда и из (5.6) и Аб получаем
+ с < (а-+ 5) + с. Наконец, из этого равенства и (5.5) в силу Аб
получаем
а + (6+ с) < (а-+ 5) + с. (5.7)
Аналогично доказывается, что (а - 5) с <а-+ (6 - с). Отсюда
и из (5.7) в силу А2 получается (а + 5) се=а- (6 +с).
Ассоциативность операции - доказывается аналогично. Та-
ким образом, утверждение 1) можно считать доказанным.
Докажем монотонность операции +. Пусть а < 6, с < 4.
Так как в силу Ади А5 В < 6+ 4 ид < 6 + 4, то по свойству
транзитивности а < 6+аис < Б-+ 4. Отсюда в силу Аб получаем
a+c<6+d.
Аналогично доказывается монотонность операции : (см.
упражнение 3). Утверждение 2) также можно считать доказан-
ным.
Докажем закон поглощения а: (а +5) =а. В силу АТ
а: (а-+ 5) < а. (5.8)
В силу АТа < а, ав силу А4 а < а- 6. Отсюда и из А9 вытекает
а <а: (а-+5). (5.9)
ИЗ 5.8 и 5.9 в силу А2 вытекает а: (а-+ 5) =а.
Аналогично доказывается закон поглощения (а. 65) + b = 6.
Таким образом, и утверждение 3) можно считать доказанным.
0
79

Решетка называется дистрибутивной, если для любых ее
элементов а, 6, с выполняется условие а: (6 + с) = (а-5) + (а: с).
Предложение 11. В каждой дистрибутивной решетке для
любых элементов а, 6, с выполняется условие
а- (6. с) = (а+ 5). (а+ с).
Доказательство. В силу дистрибутивности имеем
(а) : (а + с) = ((а-+5) -а) + (а-+ 5). с)). (5.10)
В силу закона поглощения и дистрибутивности
((а-+5) -а) + ((а- 5) - с)) =а- ((а- с) + ($ -с)). (5.11)
В силу ассоциативности
а + ((а-с) + (- с)) = (а- (а: с))- 66: с). (5.12)
Наконец, в силу закона поглощения
(а+ (а: с)) + (6: с) =а+ СЪ: с). (5.13)
Из равенств (5.10)-—(5.13) вытекает доказываемое утверждение.
oO
Псевдодополнением элемента а относительно элемента, 6 в
данной решетке называется наибольший элемент в множестве
{с | а-с < 6}. Псевдодополнение элемента, а относительно 6,
если оно сущестуует, обозначается а -› 6. Решетка, в которой
для любых элементов а и 6 существует элемент а -+ 6, назы-
вается импликативной решеткой. Таким образом, в каждой
импликативной решетке определена двухместная операция -»,
выполняются условия А1 - А9, а также следующие аксиомы:
A10. Va, b[a- (a >65) <[
All. Va,b,cla-c<b>c<a-— Bj.
Предложение 12. В каждой импликативной решетке есть
наибольший элемент.
Доказательство. Пусть а — произвольный элемент данной им-
пликативной решетки. Докажем, что а —› а — наибольший эле-
мент в данной решетке. Пусть 6 — произвольный элемент ре-
шетки. Тогда в силу АЗ Ь-а < а. Отсюда и из А11 получаем
Ь < (а а), что и требовалось доказать. O
80

Через 1 обозначим наибольший элемент импликативной ре-
шетки.
Теорема 29. Каждая импликативная решетка является дис-
трибутивной решеткой.
Доказательство. Пусть а,6,с — произвольные элементы дан-
ной импликативной решетки. Докажем, что
a-(b+c)=a-b+a-c. (5.14)
Ilyctp d=a-b+a-c. Tornaaa:-b<dscuny A4. Отсюда следует
b<a-—dscuny А!1. Аналогично доказываются неравенства
ас < 4ис<а -> 4. Тогда 6+ с <а + 4в силу Аб. Отсюда и
из А1 получаем в силу утверждения 2 из предложения 4, что
а. (ВБ с) <а: (а > 4),
и далее в силу А10а-(а —+ 4) < 4. Отсюда в силу транзитивности
отношения < получаем
а. (В+ с) < 4. (5.15)
Далее, так как 6 < 6+ с, тоа-6 <а- (6+ с), а так как с < В+ с,
тоа-с <а: (6 - с). Отсюда получаем в силу Аб
d=a-b+a-c<a-(b+c). (5.16)
Из (5.15) и (5.16) получаем (5.14). oO
Предложение 13. В каждой импликативной решетке вы-
полняются следующие условия:
1. Va,b,cla<b>b—-c<a-—c];
Va,b,cla<b>c-a<c— 5);
Va,b,cla<b—->c=>a-b<cl;
Va,bla>b=1Ssa< J);
У 6 6 < а—> 6];
Va,b,cla—>b< ((a- (b—c)) — (a 0);
Va,bla<b—a-)b];
So я № OS B®
Va,b,cla > c< (bc) > (a+b—- 0).
81

Доказательство. 1. Пусть a,b,c — произвольные элементы
данной импликативной решетки, причем а < 6. Тогда в силу мо-
нотонности операции : и А10 имеем а - (6 + с) <Ь: (6 -› с) < с,
а значит (6 -› с) -а < с, откуда получаем 6 + с За св
силу А11.
2. Пусть а,6,с — произвольные элементы данной импли-
кативной решетки, причем а < 6. Тогда в силу А10 имеем
(с + а) - с <а < 6, откуда получаем с › а < с-+Фв силу А11.
3. Пусть а, 6, с — произвольные элементы данной имплика-
тивной решетки. Если а < 6 -+ с, то в силу монотонности опе-
рации : и аксиомы А10 имеем а-6 <Ь: (6 -› с) < с, т.е. а-6 < с.
Обратно, если а. < с, тта<6-+ св силу А11.
4. Пусть а, 6 — произвольные элементы данной импликатив-
ной решетки. Тогда, если а —› 6 = 1, тоа:1 < 6 в силу АТО, т. е.
а < 6. Обратно, если а < 6, тоа-1 <, и в силу А11 получаем
1 <a — 6, откуда следует а -› 6 = 1, ибо 1 — наибольший
элемент.
5. Пусть а, 6 — произвольные элементы. Так как 6 -а < 6, то
в силу А11 получаем 6 < а-› 6.
6. Пусть а, 6, с — произвольные элементы. В силу А11 доста-
точно доказать, что
(а—6) - (а (6 —с)) За с,
а, для этого достаточно доказать (а + 6) - (а —* (6 —› с)) -а < с.
Последнее утверждение вытекает из следующих неравенств:
(a — b)-(a— (b—c))-a<(a—})b)-a<b (5.17)
в силу коммутативности операции -, а также аксиом А7 и А10;
(а—6) - (а (6 —›с))-а< (а 6 -—+с))-а<В-с (5.18)
в силу аксиом АЗ и А10;
(a — b)-(a— (b—c))-a<b- (bc) <c (5.19)
B Custy akcuom AQ u Al0.
7. Пусть а, 6 — произвольные элементы. Так как а-6 <а-6,
то в силу А11 получаем а < В + а- 6, что и требовалось.
8. Пусть а, 6, с — произвольные элементы. Очевидны следу-
ющие неравенства:
а: (а с) - (6 — с) <а- (а-+ с) <с (5.20)
82

в силу в аксиом АТи А10;
Ь- (а—> с) - (6 с) ЗЫ: (6 с) <с (5.21)
в силу коммутативности операции . и аксиом А8 и А10. Из (5.20)
и (5.21) в силу коммутативности операции ‹ и А11 вытекают
неравенства
а < (ас) - ($6 > с) с (5.22)
< (ас) - (6 с) с. (5.23)
Из (5.22) и (5.23) в силу аксиомы Аб получаем
а-+ь < (а -+ с) : (6 > с) с,
откуда в силу 3 имеем
(а-+5) - (ас) - (6 с) <с
и далее в силу 3
(а— с) - (6 с) <а+ь с
(а— с) < (6 > с) > (а+6-— с),
что и требовалось. LJ
Импликативная решетка называется псевдобулевой алгеброй
или алгеброй Гейтинга, если в ней есть наименьший элемент,
который мы будем обозначать 0. Псевдодополнением элемента а
данной псевдобулевой алгебры называется элемент а -+ 0, обо-
значаемый -- а. Таким образом, в каждой псевдобулевой алгеб-
ре есть элемент 0 и определена одноместная операция ^^, причем
выполняются условия А1 - А11, а также следующие аксиомы:
А12. Уа [0 < а];
A13. Va[~ a=a-— 0].
Заметим, что в любой псевдобулевой алгебре -- а = 1 тогда,
и только тогда, когда а = 0. Действительно, из аксиомы А13
получаем, что ^^ 0 есть элемент 0 -» 0, который, как мы уста-
новили ранее, равен 1. Обратно, пусть а = 1, т.е.а—0=1.
Но тогда из аксиомы А10 следует, что а < 0, т.е. а = 0.
Если в псевдобулевой алгебре выполняется условие
Valat+ ~a= ll,
то такая алгебра называется булевой алгеброй.
83

§5.3. Операции над псевдобулевыми алгеб-
рами
Рассмотрим некоторые способы построения новых псевдобу-
левых алгебр из уже имеющихся.
Прямые произведения псевдобулевых алгебр. Пусть
Аи В — непустые множества с заданными на них частичными
порядками <ди < в соответственно. На прямом произведении
Ах В этих множеств определим бинарное отношение <, для
произвольных пар (а1,61) и (42,52) из Ах В положив
[(а1,61) < (а2, 52)]| = [ar <4 a2 & by <B yg].
Множество Ах В с таким отношением < назовем прямым про-
изведением частично упорядоченных множеств АД и В.
Теорема 30. Если частично упорядоченные множества А ци
В являются псевдобулевымми алгебрами, то ит прямое произ-
ведение также является псевдобулевой алгеброй.
Доказательство. Проверим, что < — частичный порядок.
Пусть (а, 6) Е Ах В. Так как для Аи В выполнена аксиома
А1, тоа <даиф <в 6. Отсюда следует (а,6) < (а,65) в силу
определения <. Таким образом, аксиома А1 выполнена.
Пусть (а1,61) и (а2,65) — элементы из Ах В, причем
(ал, 61) < (а2,652), т.е. а1 <д аз ив! <в 6», и (а2, 52) < (a1, 61),
т.е. а2 Здати 62 Зв 61. Так как для Аи В выполнена аксиома
А2, то отсюда следует а1 = а2, 61 = 6, т.е. (а1,61) = (а2, 62).
Таким образом, аксиома А2 выполнена.
Пусть (а1,61), (а2, 62) и (аз, 63) — элементы из Ах В, причем
(а1,61) < (а2, 52), т.е. а1 <да2 ив! <в о, и (а2, 62) < (аз,63),
Т. е. а2 <дази 62 <рв 63. Так как для Аи В выполнена аксиома
АЗ, то отсюда следует а1 <лд аз, 61 <в 63, т. е. (а1, 61) < (аз, 63).
Таким образом, аксиома АЗ выполнена.
Покажем, что Ах В является решеткой. Так как Аи В — ре-
шетки, в них определены операции - и ., удовлетворяющие ак-
сиомам А4 - А9. Для произвольных элементов (а1, 61) и (а2, be)
множества Ах В положим (a4, by) + (a2, 65) = (ay + a2, 61 + 65);
(ал, 61): (42, 62) = (ал : а2, 61 - 62). Проверим, что для таких опе-
раций + и : выполняются аксиомы А4 - А9.
84

Пусть (а1,61) и (а2, 62) — элементы из Ах В. Так как для А
и В выполнена аксиома А4, то а1 <да1+а2>, 61 <в 61 - 65, т. е.
(а1, 61) < (а1 + а2,61 + 52) = (а1, 61) + (а2,62). Таким образом,
аксиома А4 выполнена.
Аналогично доказывается, что выполняется аксиома А5.
Пусть (41,61), (42,62) u (a3,b3) — произвольные элементы
из Ах В, причем (а1,61) < (a3, 63), T. €. a1 <a a3 u by <B bs,
и (42,62) < (аз, 63), т. е. а2 <Аази 65 <в 6:3. Так как для А
и В выполнена аксиома Аб, то отсюда следует а1 + а2 <л а3,
61 65 <в 6:3, т.е. (а1,61) + (а2, 62) = (а1 + а2, 61 +65) < (аз, 63).
Таким образом, аксиома Аб выполнена.
Пусть (а1,61) и (42,62) — элементы из Ах В. Так как для
А и В выполнена аксиома АТ, то а1 : а2 <Ад a1, 01 - bo <B ba,
т.е. (а1, 61) - (42,52) = (а1 - а2, 61 - 65) < (а1,651). Таким образом,
аксиома АТ выполнена.
Аналогично доказывается, что выполняется аксиома А8.
Пусть (а1,61), (42, 62) и (аз, 63) — элементы из Ах В, причем
(аз, 63) < (а1, 61), т.е. аз <дати 63 <в В, и (аз, 63) < (а2,62),
Т. е. аз <да2и 6з <в 6>. Так как для Аи В выполнена аксиома
А9, то отсюда следует аз <да - а2, 63 <B by - bo, т. е.
(аз, 6з) < (а1 -а2,61 : 62) = (а1, 61) - (а2, 62).
Таким образом, аксиома А9 выполнена.
Покажем, что Ах В является импликативной решеткой. Так
как Аи В — импликативные решетки, в них определена, опера-
ция —, удовлетворяющая аксиомам А10 и А11. Для произволь-
ных элементов (а1,61) и (42,62) из — множества Ах В положим
(ал, 61) — (42,62) = (а1 — а2, 61 —› 62). Проверим, что для такой
операции —+ выполняются аксиомы А10 и А11.
Пусть (ал, 61) и (а2, 62) — произвольные элементы множества
Ах В. Так как для множеств А и В выполнена аксиома A10,
то а1 : (а1 —? G2) <A Qo, 01 - (by — be) <в 65. Отсюда следует
(а1, 61). ((а1, 61) — (а2,62)) =
= (a1 - (a1 — a2), bi - (by — b2)) < (a2, ba).
Таким образом, аксиома А10 выполнена.
Пусть (а1,61), (а2, 65) и (аз, 63) — элементы множества Ах В,
причем (а1, 61): (аз,63) < (42,652), т. е. а1-аз <А а2, 1 63 <в 62.
89

Так как для Аи В выполнена аксиома А11, то отсюда следует
аз <Аа1 -> а2, 63 <B bi — bo, T. €.
(a3, 63) < (a1 — a2, b1 — be) = (a1, b1) — (а2, 62).
Таким образом, аксиома А11 выполнена.
Покажем, что Ах В является псевдобулевой алгеброй. Так
как Аи В — псевдобулевы алгебры, в них есть наименьшие эле-
менты Ол и Ов и определена, операция ^^, так что выполняются
аксиомы А12 и А1З. Пусть 0 = (0д,Ов) и -> (a,b) = (~4 a, ~B D)
для любого (а,5) е Ах В. Проверим, что для элемента, 0 и опе-
рации ^^ выполняются аксиомы А12 и А13.
Пусть (а, 5) Е Ах В. Так как для Аи В выполнена аксиома
Al2, Tro O04 <4 a, Op <p b, T. e. O = (04,08) < (a,b). Takum
образом, аксиома А12 выполнена.
Пусть (а, 5) Е Ах В. Так как для Аи В выполнена аксиома
Al3, TO~ga=a—-O0ygurpb=b-— 0z,T.e.
~ (a,b) = (~4 a,~B 6b) = (a > 04,6 — Og) =
= (a,b) — (04,08) = (a, b) —> 0.
Таким образом, аксиома А13 выполнена. Ч
Прямое произведение А1 х... х А, любого конечного чис-
ла псевдобулевых алгебр А1,..., А» определяется аналогично и
оказывается псевдобулевой алгеброй. В частности, для любой
псевдобулевой алгебры А и любого натурального п > 2 можно
построить псевдобулеву алгебру А” как алгебру А! х...х Аш,
гле А! =... = А. = А.
Операция Г. Пусть множество 4 с отношением < д являет-
ся псевдобулевой алгеброй, и пусть и @ А. На множестве AU{w}
определим отношение <, положив для любых а, БЕ ДА: а < и,
если а = 1 аз -а<ЦльЬ; и < 1.
Очевидно, что так определенное отношение < является ча-
стичным порядком, при этом 1 — наибольший элемент, а если
|А| > 1, то 0 — наименьший элемент.
Для каждого а Е А положим (а) = а, если а 2 1, иу(а) =,
если а = 1. Зададим на множестве В = АЦ {и} операции +, -,
—, > следующими таблицами:
86

tay |y=1 y=7(v) ху | y=1 y=r7(v)
х = 1 (т Ач) х=1 1 (х-ду)
х = (и) 1 urav «£=7(u) | 7(и-ду) Yu-ar)
r+y y=1 y=y7v
r=] | 1 ae) wen} naa) mm er &
e=y(u)| 1 y(utav) ~AU, Ana T= ¥(u).
Множество АЦ {и} с операциями +, -, -», ~ является псевдо-
булевой алгеброй. Обозначим ее Г(А). Заметим, что в ней
Va,blat+b=1> (a=1Vb=1)). (5.24)
Алгебры, в которых выполняется это условие, играют суще-
ственную роль при доказательстве следующего факта, впервые
сформулированного К. Гёделем [18|: дизъюнкция АУ В выводи-
ма в ИИВ тогда и только тогда, когда одна из формул ДА и В вы-
водима в ИИВ (это будет доказано в $ 6.6). Следуя В. А. Янко-
ву [7], псевдобулеву алгебру, удовлетворяющую условию (5.24),
будем называть гёделевой. Заметим, что если в псевдобулевой
алгебре существует элемент, наибольший среди элементов, от-
личных от 1 (такой элемент будем называть гёделевым), то эта
алгебра является гёделевой. Если гёделев элемент существует,
то он единственный. Таким образом, всякая алгебра вида Г(А)
является гёделевой, причем и) — ее гёделев элемент. Нетрудно
доказать, что в любой конечной гёделевой псевдобулевой алгеб-
ре существует гёделев элемент.
Определим последовательность псевдобулевых алгебр Jn
следующим образом. Пусть Л = {0,1} — двухэлементная псев-
добулева алгебра. Если алгебра Л„_1 уже определена, положим
Л» = Г(/?_1). При этом в качестве гёделева, элемента, алгебры
ли. возьмем число п + 1. Таким образом, Л! — это трехэлемент-
ная псевдобулева, алгебра с элементами 0 < 2 < 1, а алгебра, „Ло
содержит 10 элементов: (0,0), (0,2), (0,1), (2,0), (2,2), (2,1), (1,0),
(1,2), (1,1), 3, причем элемент (1,1) является наибольшим, а, эле-
мент 3 — наибольший среди всех отличных от (1,1) элементов.
Алгебры из последовательности /Л„ были введены С. Яськов-
ским [22| и называются алгебрами Ясъковского.
87

85.4. Гомоморфизмы псевдобулевых алгебр
Пусть А и В — псевдобулевы алгебры. Отображение
р: АВ
называется гомоморфизмом из А в В, если для любых аб Е А
выполняются условия: ф(а-6) = ф(а)-ф(5); ф(а-Ь) = y(a)+y(b);
ф(а — 6) = g(a) —> (5); ф(>> а) == фа). Если при этом ф —
взаимно-однозначное отображение, то ф называется изоморфиз-
мом алгебр А и В.
Заметим, что если ф — гомоморфизм, то ф(1Т д) = 1в. Дей-
ствительно, Y(l4) = y(a — a) = ф(а) —* ф(а) = 1в. Отсюда
следует, что для любых а, 6 Е А выполняется условие
a <b= ф(а) < Ф(5).
Действительно, если а < 6, тоа —+ 6 = 1 д. Тогда
ф(а) — Ф(Ъ) = pla >65) = v(1a) = 12,
значит, ф(а) < ф(Ь).
Пусть ф — гомоморфизм алгебры А на алгебру В. В этом
случае будем говорить, что В — гомоморфный образ алгебры А.
Пусть { — оценка в алгебре В. Тогда можно задать такую оцен-
ку дв алгебре А, что ф(9(Р;)) = К(Р;) для любой переменной Р).
Будем говорить, что оценка д согласована с Г иф.
Предложение 14. ШГусть ф — гомоморфизм псевдобулевой
алгебры А на псевдобулеву алгебру В, } — оценка в В а9 —
оценка в А, согласованная с риф. Тогда p(g(F)) = f(F) для
любой формулы Е.
Доказательство. Индукция по построению Ё'. Если Е — пере-
менная, то доказываемое равенство вытекает из согласованно-
сти дс риф.
Пусть Е имеет вид —С, причем для С доказываемое равен-
ство верно, т. е. ф(9(С’)) = }(С). Тогда
Ф(9(Е)) = plg(7G)) = v(~ g(G)) =
=~ 9(9(G)) =~ f(G) = f(4G) = f(F),
т.е. доказываемое равенство верно и для ГК. Пусть Ё имеет вид
С &Н, причем $(9(С)) = f(G), o(g(H)) = Г(Н). Тогда
Ф(9(Е)) = Ф(9(С&Н)) = (9 (С) -9(Н)) =
88

= $(9(С)) - Ф(9(Н)) = (С). КН) = (С&Н) = ХЕ),
что и требовалось доказать. Аналогично рассматриваются слу-
чаи, когда Ё имеет вид С УН или СОН. 0
Предложение 15. Если алгебра В — гомоморфный образ ал-
гебры А, и пропозициональная формула Е истинна в алгебре
А, то Е истинна в алгебре В.
Доказательство. Пусть ф — гомоморфизм алгебры А на алгеб-
ру В, и пусть формула РЁ истинна в А. Докажем, что РЁ истинна
в В. Пусть ] — оценка в В. Докажем, ato f(F) = 1g. Paccmor-
рим оценку дв А, согласованную с фи. Тогда в силу предло-
жения 14 выполняется равенство ф(9(Р)) = }(Р). Но 9(Ё) = 1А,
следовательно, /(Р) = 1 в, что и требовалось доказать. м
Пусть А — псевдобулева алгебра. Определим отображение ф
алгебры Г(А) на алгебру А так: ф(а) = а, еслиае A; p(w) = 1.
Рутинная проверка показывает, что ф — гомоморфизм Г(А)
на А. Из предложения 15 следует, что всякая формула, истин-
ная в Г(А), истинна и в А. Следовательно, если формула Е
опровергается в А, то она опровергается и в Г(А). Пусть { —
такая оценка в А, что {(Р) 7 1. Так как А С Г(А), то f может
рассматриваться как оценка д в Г(А). Очевидно, что оценка д
согласована с риф. В силу предожения 14 ф(9(ЁР)) = f(F). Or-
сюда следует 9(Р) = 1. Мы доказали следующее утверждение.
Предложение 16. Каковы бы ни были псевдобулева алгебра
А и поропозициональная формула Е, если Е опровергается в А
оценкой }, то Е опровергается в Г(А) той же оценкой.
Упражнения
1. Найти значение аксиомы Гб исчисления Гильберта в ло-
гической матрице М! при оценке {(Р) = f(Q) = 5.
2. Доказать, что в любом непустом множестве содержится не
более чем один наибольший элемент и не более чем один
наименьший элемент.
3. Доказать, что в любой решетке операция : монотонна: ес-
лиа < фис < 4, тоа-с<Ь: 4.
89

Глава 6
Исследование ИИВ с помощью
псевдобулевых алгебр
86.1. Псевдобулевы алгебры как модели
ИИВ
Предложение 17. Всякая псевдобулева алгебра является ло-
гической матрицей.
Доказательство. В любой псевдобулевой алгебре есть наи-
больший элемент 1 и определены двухместные операции ., +, —›
и одноместная операция ^^. Проверим, что для любых ее эле-
ментов т, у выполнены следующие условия из определения ло-
гической матрицы:
1) если 1 -т=1, тот = 1;
2) если х у=у>т=1, тт =у.
Пусть 1 — элемент данной алгебры, причем 1 -»› х = 1. Тогда
в силу аксиомы А10 имеем 1 = 1. (1 +5) < т, те. 1<х, а
значит, 1 = 1. Условие 1) доказано.
Пусть ху таковы, что х + у = у > т = 1. Тогда в силу
утверждения 4 из предложения 13 имеем т < уиу < т, что дает
х = увсилу аксиомы А2. Таким образом, условие 2) выполнено.
CO
Следующее утверждение называется теоремой о коррект-
ности ИЙВ относительно псевдобулевых алгебр.
Теорема 31. Всякая псевдобулева алгебра является моделью
ИИВ.
Доказательство. В силу теоремы 28 достаточно доказать, что
все аксиомы ИИВ истинны в любой псевдобулевой алгебре.
Пусть A,B,C — произвольные формулы, } — произвольная
оценка в некоторой псевдобулевой алгебре М, причем
КА) = а, КВ) =6, КС) = с.
90

Тогда имеем:
(АР (ВА)) =а-+ (6 а) =1
в силу утверждений 65 и 4 из предложения 13, и аксиома И1
истинна в М;
f((A 3 B) > (АР (В5С)) 5 (А50))) =
= (a 5) — (а > (6 — с)) — (а с)) =1
в силу утверждений 6 и 4 из предложения 13, и аксиома И2
истинна в М;
Г(А& ВА) =а.6 > а=1
в силу аксиомы АТ и утверждения 4 из предложения 13, и ак-
сиома ИЗ истинна в М;
f(A& BD B)=a-b>b=1
в силу аксиомы А8 и утверждения 4 из предложения 13, и ак-
сиома И4 истинна в М;
(А (ВРА&В)) =а- (6 а-6) =1
в силу утверждений 7 и 4 из предложения 13, и аксиома И5
истинна в М;
f(AD AVB)=a7>a+b=1
в силу аксиомы А4 и утверждения 4 из предложения 13, и ак-
сиома Иб6б истинна в М;
(В АУВ) =Б>а+ь=1
в силу аксиомы А5 и утверждения 4 из предложения 13, и ак-
сиома ИТ истинна в М;
(АРС) 2 ((В>С)2(АМВЬОС))) =
= (а с) —> (6 -+ с) > (а +6 с) =1
91

в силу утверждений 4 и 8 из предложения 13, и аксиома И8
истинна в М;
(АВ) 5 (А-В) 5-А) =
= (a— b) —> ((а > (6 —>0)) > (a> 0)) = 1
в силу утверждений 6 и 4 из предложения 13, и аксиома V9
истинна в М;
f(A D (AAD B)) =a-— ((a-> 0) > b) = 1
в силу утверждения 4 из предложения 13, так как в силу А10и
А12 а: (а—+0) < 0 < Ь, и аксиома И1О истинна в М. O
Теорема 32. Пусть М = (М,1,-, +, -», >) — логическая мат-
рица. Определим на множестве М бинарное отношение <, по-
ложчив
e<yeroyeH=l.
Если логическая матрица М — modend unmyuuuonucmcKoeo uc-
числения высказываний, mo (M,<,-,+,—-,~) — псевдобулева
алгебра.
Доказательство. Проверим, что отношение < и операции
., +, —>, ^^ удовлетворяют аксиомам псевдобулевой алгебры А1 -—
А13.
Al. Докажем, что для любого элемента а Е М имеет место
а За, т.е. а + а = 1. Для этого заметим, что формула РОР
выводима в интуиционистском исчислении высказываний. Сле-
довательно, она истинна в М при оценке } такой, что /(Р) =а.
Тогда }(РОР) =а-а = 1, что и требовалось доказать.
А2. Докажем, что для любых а, 6 Е М выполнено условие:
если а < БВ (т.е. а 6 =1) ив <а (т.е. 6 — а=1), тоа =6. Но
это следует из определения логической матрицы.
АЗ. Докажем, что для любых а, 6, с Е М выполнено условие:
если а < 6 (т.е. а 6 = 1) и < с (т.е. 6 > с=1), тоа <с
(т.е. а + с=1). Для этого заметим, что формула
(PDQ)D((QD R)D (PD R))
92

выводима в интуиционистском исчислении высказываний. Сле-
довательно, она истинна в М при оценке } такой, что }(Р) =а,
f(Q) =), f(R) =c. Тогда
ГР 9) 5 (9>ЮР(РОВ))) =
= (а—6) — ((6 + с) > (a> c)) = 1.
Так как а -› Ь = 1, то из определения логической матрицы
следует (Ъ —+ с) — (a > c) = 1, a Tak kak b > c = 1, To u3 Toro
же определения следует а -+ с = 1, что и требовалось доказать.
А4. Докажем, что для любых а, 6 Е М имеет место а < а- 6,
те. а + а + 6 = 1. Для этого заметим, что формула Ро РУО
выводима в интуиционистском исчислении высказываний. Сле-
довательно, она истинна в М при оценке } такой, что }(Р) =а,
f(Q) = 6. Тогда
(РОРУО) =а>а+ь=1,
что и требовалось доказать.
А5. Тот факт, что для любых а, Е М имеет место Ь < а- 6,
те. 6 + а+Ь = 1, доказывается теми же рассуждениями,
что применялись при рассмотрении аксиомы А4, только теперь
следует взять формулу Я 2 РУО.
Аб. Докажем, что для любых а, 6, сЕ М выполнено условие:
если а < с (те. аз с=1) ив <с (т.е. БВ > с=1), тта-+ в <с
(т.е. ан + с = 1). Для этого заметим, что формула
(PD R)D(QD R)D(PVQD BR))
выводима в интуиционистском исчислении высказываний. Сле-
довательно, она истинна в М при оценке } такой, что }(Р) =а,
f(Q) = 6, Г(В) = с. Тогда
(РВ) 2 (922 (РУФОВ))) =
= (a> 0) > ((b 0) 3 (a+b 0) =1
Так как а + с = 1, то из определения логической матрицы
следует (Ъ > c) — (a+b — c) = 1, а так как 6 + с = 1, то из
того же определения следует а -+ В + с = 1, что и требовалось
доказаль.
АТ. Докажем, что для любых а, БЕ М имеет место а: 6 < а,
т.е. а: + а = 1. Для этого заметим, что формула РООР
93

выводима в интуиционистском исчислении высказываний. Сле-
довательно, она истинна в М при оценке } такой, что }(Р) =а,
f(Q) = 6. Тогда
f(P&QDP)=a-b-a=l,
что и требовалось доказать.
А8. Тот факт, что для любых а, 6 Е М имеет место а -6 < 6,
т. е.
a-b—b=1,
доказывается теми же рассуждениями, что применялись при
рассмотрении аксиомы АТ, только теперь следует взять фор-
мулу РОО.
А9. Докажем, что для любых а, 6, сЕ М выполнено условие:
если с <а (т.е. с а=1) ис<Ь (т.е. св =1), тос <а-6
(т.е. с›+а-6 =1). Для этого заметим, что формула
(RD P)D(RDQ)D(RDP&Q))
выводима в интуиционистском исчислении высказываний. Сле-
довательно, она истинна в М при оценке } такой, что }(Р) =а,
f(Q) =), f(R) =c. Тогда
f(RDP)D(RDQ)D(RDP&Q)))=
= (c > a) > ((c > b) > (ca - b)) = 1.
Так как с — a = 1, то из определения логической матрицы
следует (с — Ь) -+ (с + а-6) = 1, а так как с —+ 6 = 1, то из
того же определения следует с + а-6 = 1, что и требовалось
доказать.
А10. Тот факт, что для любых а, 6 Е М имеет место
а: (а— 6) <Б,
т.е. а- (а +5) —+ 6 = 1, доказывается теми же рассуждениями,
что применялись при рассмотрении аксиомы А4, только теперь
следует взять формулу Р& (РОО). О (см. упражнение 1).
А11. Докажем, что для любых а,6, с Е М выполнено усло-
вие: если
а:с<Ь
(т.е. а-с 6 = 1), тос За (т.е. с -+ (а +65) =1). Для этого
заметим, что формула (Р& ВО) 2 (В 2 (РЭО)) выводима
94

в интуиционистском исчислении высказываний. Следовательно,
она истинна в М при оценке ] такой, что f(P) =a, f(Q) = J,
(В) = с. Тогда
f((P& RD Q) > (RD (PD Q))) =
= (a-c— b) > (c—> (а —5)) = 1.
Так как а. с -› 6 = 1, то из определения логической матрицы
следует с —+ (а -› 65) = 1, что и требовалось доказать.
А12. Докажем, что в импликативной решетке (М, <, -, +, —>)
есть наименьший элемент. Пусть 6 Е М. Положим
0 =6б. > 6
и покажем, что 0 — наименьший элемент. Последнее означает,
что для любого а Е М имеет место 0 < а, т. е. (6. —- 6) ~a=1.
Заметим, что формула (© & AQ > Р выводима в интуиционист-
ском исчислении высказываний. Следовательно, она истинна
в М при оценке } такой, что }(Р) = а, 1(9) = 6. Тогда
f(Q& AQ D P) = (b- ~ b) а = 1, что и требовалось дока-
зать.
А13. Докажем, что для любого а Е М имеет место
-^а=а-0,
т.е. -а=а- (5. >65). Заметим, что формула,
uP 5 (PDQ&-Q)
выводима в интуиционистском исчислении высказываний. Сле-
довательно, она истинна в М при оценке } такой, что }(Р) =а,
f(Q) = 6. Тогда
(РО (Р29&-9)) = а - (а (b-~ b)) = 1,
откуда, следует
-а<а-+ (6. >65). (6.1)
Анадогично, принимая во внимание выводимость формулы
(P>Q&-Q) Dd -P,
получаем а + (5: > 6) <-> а. Отсюда и из (6.1), в силу аксиомы
А2, следует > а =а -+ (6: -> Б), те. ма =а -> 0, что и
требовалось доказать. м
95

836.2. Нетабличность ИИВ
Пропозициональное исчисление называется табличным, ес-
ли существует конечная точная модель этого исчисления, т. е.
такая конечная логическая матрица, в которой истинны те и
только те пропозициональные формулы, которые выводимы в
этом исчислении. Примером табличного исчисления является
классическое исчисление высказываний: его точная модель —
двухэлементная алгебра Яськовского „Ло = {0,1} с отношением
порядка 0 < 1 (см. упражнение 2).
Теорема 33. ИИВ не является табличным.
Доказательство. Приведем доказательство этой теоремы,
предложенное К. Гёделем [19]. Последовательность алгебр Ги
определим так: Го = о; если алгебра L,_ 1 уже определена, то
[т = Г(Ги—1) получается добавлением к Г„_1 гёделева элемен-
та и». Таким образом, L, — линейно упорядоченное множество
{0, м1,... 6, 1}, причем элементы перечислены здесь в поряд-
ке отношения <. Рассмотрим формулу
Е. = \/ (РР,
0<7<1<п-+1
построенную из переменных ВЫ, Р1,..., Ри», Рь+1. Пусть } —
оценка в Г„ такая, что }(В) = 0; Г(Р;) = w (1 <: <п;
(Ри) = 1. Очевидно, что если j < i, TO
F(Pi D Pj) = КР.) > КР; = ГР) #1.
Но тогда }(Е») = и = 1. Значит, формула ЁЕ„ опровергается в
псевдобулевой алгебре Г[Г.„ и потому невыводима в ЙИВ.
Допустим, что существует логическая матрица М, являю-
щаяся точной моделью ИИВ. В силу теоремы 32 можно считать
М псевдобулевой алгеброй. Пусть в ней п- 1 элементов (п > 1).
Тогда для произвольной оценки /[ в алгебре М найдутся такие
ти 1, что 0 < у <: <п+1и КР.) = f(P;) = а для некото-
рого а Е М. Тогда }(Р; 2 Р;) = Е(Р;) > КР;) =а>а=1.
Следовательно, один из дизъюнктивных членов в Ри принимает
значение 1 при оценке }. Но тогда и /(Е») = 1, т.е. Е» истинна
в М. Поскольку М — точная модель ИИЙВ, то Р» выводима, но
это невозможно, как было показано выше. Таким образом, не
существует конечной точной модели ИИВ. С
96

86.3. Теорема Гливенко
Всякая формула, выводимая в ИИВ, выводима и в класси-
ческом исчислении высказываний. Обратное неверно: формулы
РУ-Ри --РоР выводимы в классическом исчислении вы-
сказываний, но не выводимы в ИЙВ. Следующая теорема уста-
навливает связь между выводимостью в классическом и инту-
иционистском исчислениях высказываний.
Теорема 34 (теорема Гливенко). Если пропозициональная
формула Е выводима в классическом исчислении высказыва-
ний, то формула —-Е выводима в ИИВ.
Доказательство. Заметим, что если формула Е выводима в
ИИВ, то —--Е также выводима. Отсюда следует, что если Е —
аксиома классического исчисления высказываний, полученная
по одной из схем 1 -— 9, то --ЁР выводима в ИИВ. Пусть Ё полу-
чена, по схеме 10 классического исчисления высказываний, т. е.
имеет вид ——С' 2 С. Докажем, что —-—(—--С' 2 С’) выводима в
ИИВ. В силу принципа приведения к абсурду достаточно до-
казать выводимость противоречия из —(——С' 2 С). В качестве
противоречия можно выбрать —С и —-С. Доказательство выво-
димости обеих этих формул из гипотезы —(—=С' 2 С’) является
несложным упражнением. Таким образом, если Е — аксиома
классического исчисления высказываний, то формула —-Е вы-
водима в ИИВ.
Лемма 3. Если формулы ——(@ > Н) и --С выводимы в ИИВ,
то формула —Н также выводима в ИИВ.
Доказательство. Покажем, что
{-=(@ — H),7=73G} FF AA.
Для этого достаточно убедиться, что в ИЙВ выводимо проти-
воречие из гипотез
4-(G > H),77G, 7H.
Очевидно, что из этих гипотез выводима формула ——(@ 2 Н).
Покажем, что из этих гипотез выводима также и формула
97

—(< > Н). Для этого в силу принципа приведения к абсур-
ду достаточно проверить, что выводится противоречие из ги-
notes —-—{@ D H),7~7G,7AH,G D> H. Очевидно, что из этого
множества выводима формула —Н. С другой стороны, дважды
применяя правило контрапозиции, из формулы С > Н можно
вывести ——С о —-Н, а из нее и гипотезы ——С — формулу
——Я. О
Теперь теорема, Гливенко легко доказывается индукцией по
длине вывода формулы РГ в классическом исчислении высказы-
ваний (см. упражнение 3). oO
Следующая теорема, доказанная В. А. Янковым [7|, дает
необходимое и достаточное условие того, что при добавлении к
ИИВ новой схемы аксиом получается классическое исчисление
высказываний.
Теорема 35. Какова бы ни была формула Е, исчисление
ИИВ-+Е эквивалентно классическому исчислению высказыва-
ний тогда и только тогда, когда выполнены следующие усло-
вия:
1) формула Е выводима в классическом исчислении выска-
зываний;
2) формула Е опровергается в алгебре Ясъковского Л.
Доказательство. Пусть исчисление ИИВ-+Е эквивалентно
классическому исчислению высказываний. Тогда, в частности,
формула Г выводима в классическом исчислении высказыва-
ний, так что условие 1) выполнено. С другой стороны, если бы
формула ЁР была истинна в алгебре „Л, то и все формулы, выво-
димые в классическом исчислении высказываний, были бы ис-
тинны в этой алгебре, что неверно, так как, например, формула
РУ-Р опровергается в алгебре Л. Таким образом, условие 2)
также выполнено.
Пусть для формулы Р(Р!,...,Р»), не содержащей перемен-
ных, отличных от Р1,...,Ри, выполнены условия 1} и 2), т. е.
эта формула выводима в классическом исчислении высказыва-
ний, но опровергается в алгебре „Л, т. е. для некоторой оценки
Т в алгебре „Л! имеет место 1(ЕР(Ри,...,Р»)) = 1. Очевидно,
что /(Е(Р!,...,Р»)) = 0, ибо иначе }(--Р(Р!,...,Р»ь)) = 0,
98

что невозможно, так как в силу теоремы Гливенко (теорема,
34) формула ——ЕР(Р1,...,Р»ь) выводима в ИИВ, а потому ис-
тинна в алгебре Л1. Докажем, что исчисление ИИВ-+Р экви-
валентно классическому исчислению высказываний. Для этого
достаточно доказать, что в этом исчислении выводима формула
iAP DP.
Алгебра, Л! состоит из элементов 0,2,1, перечисленных в том
порядке, как они упорядочены в алгебре Л. Каждому элементу
а Е 1 сопоставим формулу Ел: пусть Ро есть 1, Е1 есть Ги Fo
есть Р, где | обозначает формулу —(Р ОР), а Г — формулу
POP.
Лемма 4. Каковы бы ни были аб Е Л, в ИЙВ чз гипотезы
——Р выводимы формулы Fy = Fog, Fao Fy = Fasb, 20e 0 —
любая из логических связок &,\, 2, а* — соответствующая
ей операция псевдобулевой алгебры ., +, >.
Доказательство. Требуется доказать, что из гипотезы —-Р
выводимы следующие формулы:
-Ё=Т; 2) -Г= А; 3) -Р = 1; 4) 1& Е =;
5) 1&Т = 1; 6) 1&Р = 1; 7) Т& 1 = 1; 8) Т&ТЕТ;
9) Т&Р=. Р; ») P&lL=1;11) P&T=P;12) P&P=P;
13) 14) LVT=T;15) LVP=P;16) TVL=T;
17) ТУТ = т. 18) TVP=T;19) PVL=P; 20) PVT =T;
21) PVP=P; 22) LD L=T; 23) LD T=T;
24) 1D P=T;25)TDL=A71; 26) TD T=T;
27) TD P=P; 28) PO L=1;29) PO T=T;
30) PD P=T.
Все эти формулы, кроме 3) и 28), выводятся без использова-
ния гипотезы —-Р (см. упражнение 4). Докажем выводимость
формулы 3). Сначала, докажем, что —-=Р Е -Ро (1. В силу тео-
ремы о дедукции достаточно убедиться, что —-Р, -РЕ 1, что
само по себе очевидно. Очевидно также, что —=Р К о -Р.
Докажем выводимость формулы 28). Сначала докажем, что
—=Р Е (РО) 2 1. В силу теоремы о дедукции достаточ-
но убедиться, что -"Р,Р о 1 Е 1. Для этого заметим, что
дважды применив к формуле Р > 1 правило контрапозиции,
получим формулу —--—Р 2 ——41, которая эквивалентна формуле
99

—=Р 2 1. Tenepp | получается из этой формулы и гипотезы
——Р по правилу МР. м
Вернемся к доказательству теоремы. С помощью леммы 4
индукцией по построению формулы Е(Р,...,Рь) доказывает-
ся выводимость —-Р + F(Fy,,...,Fa,) = Fa, roe aj = f(Pi)
( = 1...., п), а = /(Р(Рь,...,Р»)). Отсюда следует, что
F (Fy ,,---,Fa,) | a7P о Ел. Формула Е(ЁЕа,,...,Еа,) являет-
ся аксиомой исчисления ИИВ-+Р, а Е есть Р. Таким образом,
мы получаем, что в указанном исчислении выводима формула
—=Р о Р, что и требовалось доказать. Ш
86.4. Характеристические формулы
Пусть А — конечная гёделева псевдобулева алгебра. Это зна-
чит, что в ней есть гёделев элемент &. Каждому элементу а е А
сопоставим пропозициональную переменную Р.. Посредством
К(А) обозначим формулу
/\ (-Р, = Р.а) & /\ (Pa & Py = Pav) &
аеА а, БЕ А
& A (Pa \ Рь = Pio) & | (Pa > Рь = Py»):
а, БЕ А а, БЕ А
Предложение 18. Пусть Е — пропозициональная формула,
f — оценка в алгебре А, и пусть (Е) = 4. Пусть Е; — форму-
ла, полученная подстановкой в Е переменной Рь вместо каж-
дой переменной Р, где а = }(Р). Тогда К(А) Е (Е; = Ра).
Доказательство. Индукция по построению РГ. Пусть Е есть Р,
причем }(Р) = а. Тогда РГ; есть Ра, и доказываемое утвер-
ждение очевидно. Пусть Р имеет вид —С, причем для С’ до-
казываемое утверждение верно, т. е. из К KA (С; = Рис)).
Очевидно, что Р; есть —С';, и }(Е) => КС). В силу тео-
ремы об эквивалентной замене А(А) | в Е =
К(А) Е Е; = -Рис). С другой стороны, в К(А) есть конъ-
юнктивный член —Р+(с) = Р.. (а), т. е. Ра) = Рик), Так что
К(А) Е Е; = Рик), что и требовалось доказать. Совершенно
аналогично рассматривается случай, когда Е имеет вид САН,
где Си Н — формулы, ЛЕ {&,\,25}. 0
Ра), т. е.
100

Формула К(А) 2 Р,,, которую мы обозначим y(A), Ha3bIBa-
ется характеристической формулой для алгебры А. Это поня-
тие ввел В. А. Янков [7]. Он же доказал следующую теорему.
Теорема 36. Какова бы ни была конечная гёделева псевдобу-
лева алгебра А, 1} формула x(A) опровергается в А; 2) если
формула Е опровергается в А, то ИИВ+Е | x(A).
„Доказательство. 1) Рассмотрим такую оценку } в А, что
1(Р.) = а для любого а Е А. Очевидно, что }(х(А)) = w. Cue-
довательно, х(А) опровергается в А.
2) Пусть формула РГ опровергается в А, т. е. существует
такая оценка } в А, что }(ЁР) = а #* 1. Формула Е; явля-
ется аксиомой исчисления ИЙВ-+РЕ. В силу предложения 18
К(А) | Е; = Ра. Отсюда вытекает, что К(А), ЕР; Е Ра. Так
как 4 2 1, то 4 < в, и4 -› ци = 1. Это означает, что в К(А)
есть конъюнктивный член Ру > Р, = Р!. Нов К(А) есть также
конъюнктивный член Р! > Р, = Р/, так что {К(А), Е;} Н Ру, а
значит {А (А), Е;} | (РР). Отсюда следует К(А), Е; Е Р,,
и далее по теореме о дедукции Е; Е К(А) 2 Р,, что и требова-
лось доказать. LJ
Теорема 36 имеет следующее применение. Свойство пропо-
зициональных формул будем называть интуиционистским, ес-
ли множество формул, обладающих этим свойством, замкнуто
относительно правила подстановки и выводимости в ИИВ.
Теорема 37. Пусть А — конечная гёделева псевдобулева ал-
гебра. Если существует формула, опровержимая в алгебре А,
которая обладает данным интуиционистским свойством, то
этим интуиционистским свойством, обладает формула х(А).
Доказательство. Пусть А — конечная гёделева псевдобулева,
алгебра. Допустим, что некоторая формула Ё обладает этим
свойством и опровержима в алгебре А. Тогда по определению
интуиционистского свойства всякая формула, выводимая в ис-
числении ИЙИВ+Р, также обладает данным свойством. В част-
ности, в силу теоремы 36 формула х(А) обладает данным ин-
туиционистским свойством. м
101

86.5. Алгебра Линденбаума
Пусть 1 — произвольное пропозициональное исчисление. Бу-
дем предполагать только, что множество выводимых в этом ис-
числении формул замкнуто относительно правила МР. Для про-
извольных формул РЕ и С будем писать Е < С, если формула
Е С выводима в исчислении 7.
Предложение 19. Если в исчислении Т выводимы все форму-
лы вида
ADA
(AD B)D((BDC)D(ADOC)),
то отношение < является отношением предпорядка на мно-
JICECINGE всеф пропозициональных формул.
Доказательство. Из выводимости формулы А 2 А следует,
что А < А для любой формулы 4, так что отношение < ре-
флексивно. Если 4 < Ви В < С, то формулы А2Ви ВС
выводимы в исчислении 7. Отсюда и из выводимости формулы
(AD B)D(BDC)D(ADOC))
следует, что выводима формула A 2 С, т.е. А < С, так что
отношение < транзитивно. LJ
По определению, формулы РЕ и С эквивалентны в исчисле-
нии 1 (Е т С), если в 7 выводимы формулы Е Си СР.
Так как < — предпорядок, то в силу предложения 2 отношение
^--т является отношением эквивалентности на множестве всех
пропозициональных формул. Следовательно, множество всех
формул разбивается на, классы эквивалентности. Через |Ё] бу-
дем обозначать класс эквивалентности, которому принадлежит
ЕР, а множество всех классов эквивалентности обозначим Г(Т).
Положим [Е] <т [С|, если Е < С, т. е. формула Р D С выво-
дима в исчислении 21. В силу предложения 2 так определенное
отношение < является отношением частичного порядка на мно-
жестве Г(Т).
102

Cuenya [2], mHoxecrBo Г(Т), рассматриваемое вместе с отно-
шением <т будем называть алгеброй Линденбаума для исчис-
ления 7. Мы займемся изучением алгебры Г = [(Т), когда 7 —
это ИЙВ. В этом случае вместо <т будем писать просто <.
Теорема 38. Множество Ё с отношением < является псев-
добулевой алгеброй, причем
[Е [<] = Е &4}; [Е] + [<] = КУ}; [Е] > [G] = [F > G];
< [Е] = ГЕ 0 = Р&-Р|.
Доказательство. Проверим, что для <, -, +, -», ^>, 0 выполне-
ны аксиомы псевдобулевой алгебры. Мы уже установили, что
< — частичный порядок, так что аксиомы А1 - АЗ выполнены.
Проверим другие аксиомы.
А4. Пусть а, 6 Е Г. Тогда а = [Е], 6 = [С] для некоторых
формул Р, С, иа < а- 6 означает НЕ ЕО Е\УС, что, очевидно,
имеет место. Таким образом, и аксиома А4 выполнена.
Выполнимость аксиомы А5 доказывается аналогично с ис-
пользованием выводимости формулы а 2 ЕУС.
Аб. Пусть а, 6, се Г. Тогда а = [ЕР], 6 = [С|, с = [Н]| для
некоторых формул Р, С и Н. Пустьа < сте Е ЕОН,и
< сте. ЕСН. Используя аксиому И&8, нетрудно показать,
что в этом случае формула Е\УС 2 Н выводима в ИИВ, а тогда
а+ь= [РУС] < [Н] = с.
Таким образом, аксиома Аб также выполнена.
АТ. Пусть а, 6 Е Г. Тогда а = [Е], 6 = [С] для некоторых
формул РГ, С, иа- 6 < а означает Е Е &С 2 Ё, что, очевидно,
имеет место. Таким образом, и аксиома А7 выполнена.
Выполнимость аксиомы А8 доказывается аналогично с ис-
пользованием выводимости формулы F & GD G.
А9. Пусть а, 6, с Е Г. Тогда а = [Е], 6 = [(|, с = [Н]| для
некоторых Р, С и Н. Пусть с <а, т.е. НОР, ис< т.е.
+ НС. Используя аксиому И5, нетрудно показаль, что в этом
случае из гипотезы Н выводима формула Р & С, откуда в силу
теоремы дедукции следует, что выводима формула Но Е&С,
т.е. с = [Н]| < [Е & С] =а-6. Таким образом, аксиома А9 также
выполнена.
103

А10. Пустьа, 6 Е Г. Тогда а = [Е], 6 = [С] для некоторых РК,
С, иа: (а +6) < 6 означает
НЕР&(ЕЭС)С,
что очевидно имеет место. Таким образом, и аксиома А10 вы-
полнена.
А11. Пусть а, 5,сЕ Г. Тогда а = [Е], 6 = [С], с = [Н] для
некоторых РГР, С и Н. Пусть а-с< 6, т.е. НЕ& НО С. В этом
случае, очевидно, | Но (ЕС), что означает с < (а 6).
Таким образом, аксиома А11 также выполнена.
А12. Пусть а Е Г, причем а = [Е]. Тогда 0 < а означает
выводимость формулы Р &-Р о РЁ, что очевидно имеет место.
Таким образом, аксиома А12 выполнена.
А13. Пусть а Е Г. Тогда а = |Ё| для некоторой формулы
Е, ила =а -+ 0 означает, что -Р > Е о Р&-Р, т. е.
Н-Ео (Ео Р&-Р) и| (ЕО Р&-Р) 2 -Е, что очевидно
имеет место. Таким образом, для любого элемента а Е Г имеет
место > а =а -+ 0, и аксиома А13 выполнена. С
Заметим, что наибольшим элементом 1г алгебры Г явля-
ется класс [Ро Р}|, состоящий из всех формул, выводимых в
ИИВ. Действительно, все выводимые формулы, очевидно, эк-
вивалентны друг другу и потому образуют один класс эквива-
лентности [РО Р]. Кроме того, какова бы ни была формула F,
формула Р > (РЭР) выводима, следовательно, [ЕР] < [РОР|.
Канонической оценкой в алгебре Г, назовем такую оценку,
которая каждой переменной Р; сопоставляет класс эквивалент-
ности [Р;.
Предложение 20. ПЛусть р — каноническая оценка в алгебре
Линденбаума Г. Тогда для любой пропозициональной формулы
Г выполняется равенство (РЁ) = [Е].
Доказательство. Индукция по построению формулы РГ. Если
Е есть переменная, то доказываемое равенство выполняется в
силу определения канонической оценки. Пусть формула ГР име-
ет вид —С, и допустим, что для формулы С доказываемое ра-
венство верно, т. е. (С) = [С]. Тогда
fo(F) = fo(>G@) =~ (fo(G)) =~ [G] = [-G] = [FI
104

т. е. доказываемое равенство верно и для формулы ЁР. Пусть
формула Г имеет вид С & Н, причем fo(G) = [G], fo( 7) = [A].
Тогда
fol) = fo(G & 1) = fo(G) - fo(H) = [G]-|H] = |G & A] = [F,
что и требовалось доказать. Совершенно аналогично рассмат-
риваются случаи, когда ЕР имеет вид СУ Н или (ЭН. O
Предложение 21. Пропозициональная формула Е выводима
в ИИВ тогда и только тогда, когда для канонической оценки fo
в алгебре Линденбаума Г, выполняется равенство (РЁ) = 11.
Доказательство. Утверждение, что для выводимой формулы
ЕР имеет место (РГ) = 11, вытекает из того факта, что любая
выводимая формула истинна в любой псевдобулевой алгебре.
Докажем обратное утверждение. Из предложения 20 вытекает
fo(F) = [Е |, поэтому, если (ЁР) = 11, то [Е] = 1, те. Е
принадлежит классу, состоящему из выводимых формул, сле-
довательно, формула Е выводима. LJ
Теорема 39. Алгебра Линденбаума является точной моделью
ИИВ.
Доказательство. Требуется доказать, что в ИЙИВ выводимы те
и только те формулы, которые истинны в алгебре Г... Пусть фор-
мула Е выводима. Тогда она истинна в любой псевдобулевой
алгебре, в частности, в алгебре Г,. Обратно, пусть формула F
истинна в алгебре Г. Тогда формула Е принимает значение 1г
при любой оценке в алгебре Г, в частности, для канонической
оценки о имеем №(ЁР) = 1. В силу предложения 21 это озна-
чает, что формула Р выводима. О
Из теоремы 39 вытекает следующая теорема о полноте
ИИВ относительно псевдобулевых алгебр.
Теорема 40. Если пропозициональная формула истинна в лю-
бой псевдобулевой алгебре, то эта формула выводима в ИИВ.
Доказательство. Если пропозициональная формула истинна в
любой псевдобулевой алгебре, то эта формула истинна в алгебре
Линденбаума, и в силу теоремы 39 выводима в ИИВ. С
105

Теорема 40 и теорема о корректности ИИВ относитель-
но псевдобулевых алгебр (теорема 31) вместе дают следующее
утверждение.
Теорема 41. Пропозициональная формула выводима в ИИВ
тогда и только тогда, когда эта формула истинна в любой
псевдобулевой алгебуе.
Для алгебры Линденбаума, Г, можно построить алгебру Г(Г,).
При этом, в силу построения алгебры Г(Г,), ее наибольшим эле-
ментом является 1г. Так как Г, С Г(Г,), то каноническую оцен-
ку Го в алгебре Г, можно рассматривать и как оценку в алгебре
Г(Г.).
Предложение 22. Пропозициональная формула Е выводима
в ИИВ тогда и только тогда, когда для канонической оценки
fo 6 anze6pe T(L) выполняется равенство (РЁ) = 1.
Доказательство. Утверждение, что для выводимой формулы
Г имеет место (РГ) = 1, вытекает из того факта, что лю-
бая выводимая формула истинна в любой псевдобулевой алгеб-
ре. Докажем обратное утверждение. Пусть для канонической
оценки /о в алгебре Г(Г) выполняется равенство ю(Ё) = 1г.
Допустим, однако, что формула РЁ невыводима. В этом случае,
в силу предложения 21, формула Е опровергается в алгебре
Г, канонической оценкой р. Но тогда, в силу предложения 16,
формула ГР опровергается в алгебре Г(Г,) той же оценкой о, что
противоречит условию (ГР) = 11. 0
86.6. Свойство дизъюнктивности ИИВ
Свойство дизбюнктивности пропозиционального исчисле-
ния означает, что из выводимости в этом исчислении формулы
вида ЕР \У С вытекает выводимость одной из формул Е и С.
Следующая теорема была впервые без доказательства, сформу-
лирована К. Гёделем [18].
Теорема 42. ИИВ обладает свойством диззюнктивносты.
Доказательство. Пусть формула Е\УС выводима в ИИВ. Тогда
в силу предложения 22 имеет место д(Ё\УС) = 1. для канони-
ческой оценки }о в алгебре Г(Г,), где Г, — алгебра Линденбаума.
106

Так как алгебра Г(Г) является гёделевой, то либо №(Р) = 11,
либо (С) = 1:. В первом случае в силу предложения 22 фор-
мула ГР выводима в ИИВ, во втором — формула С выводима в
силу того же предложения.
Приведем другое доказательство свойства дизъюнктивности
для ИИВ. Определим понятие «пропозициональная формула А
реализуема», обозначаемое г А, индукцией по построению фор-
мулы А (здесь Е означает выводимость в ИЙИВ):
® никакая переменная не реализуема;
ег(А&В) = ГА&г В};
е г(А\УВ) = [(тА& ЕА)У(гВ& ЕВ)}];
ег(А ОВ) = [(гГА& НЕА) = гв};
e r—A = [неверно, что (г А& Е А)].
Предложение 23. Если Е А, тогА.
Доказательство. Применяем индукцию по выводу формулы А
в ИЙВ. Сначала докажем, что все аксиомы реализуемы.
И1. А2 (ВА). Реализуемость этой формулы означает
ГА& НА) = [(ЕВ& ЕВ) = гА.. Истинность этого утвер-
ждения очевидна. Действительно, если г А & Г АигВ& Е В,
то ГА.
И?2. (АЗ В) > ((АЗ(ВС)) > (АРС)). Реализуемость
этой формулы означает, что еслиг (АО В)& Е (АРВ), т. е.
ГА НАЗГгВ]|& Е (АРВ), (6.2)
r(AD(BDC)&F(AD(BDOC)), Te.
rA&FASr(BodCc)|& F(AD(BDOC)), (6.3)
. гА& НА, (6.4)
то гС. Из условий (6.2) и (6.4) следует
гВ& ЕВ. (6.5)
Из (6.3) и (6.4) следуетг (ВОС), т. е.
гВв&НВ=гС. (6.6)
107

Из (6.5) и (6.6) следует гС, что и требовалось доказать.
ИЗ. А&В 2 А. Реализуемость этой формулы означает
ГА&гВ& Е (А& В]]| = гА, что очевидно.
И4. A&B > В. Реализуемость этой формулы означает
гА&гВ& Е (А& В)| = кВ, что также очевидно.
ИБ. А> (ВА&В). Реализуемость этой формулы означа-
ет, что еслигА& ГЕ АигВ& [ В, тог А&г В, что очевидно.
Иб. А > АУ В. Реализуемость этой формулы означает, что
если г А & | А, то (гГА& НА) У(гВ& ЕВ), что очевидно.
Ит. В > А\ В. Реализуемость этой формулы означает, что
если г В & | В, то (rA& ЕА)У(гВ& Е В), что также оче-
видно.
M8.(A>C)D((B DC) D(AVB DC)). Реализуемость этой
формулы означает, что если
РГА ЕА-гС] & Е (АРС), (6.7)
ГВ & Е В = гС] & Е (ВС) (6.8)
КА НА) УгВ& НВ & Н(АУВ), (6.9)
тогС. Из (6.9) следует г А & | AunurB& +t В. В первом слу-
чае с помощью (6.7), а во втором — с помощью (6.8) получаем
г (С, что и требовалось доказать.
N9. (A D B) D ((A D 7B) D —А). Реализуемость этой фор-
мулы означает, что если
ГА НА-гВ|& | (АВ) (6.10)
А & + А г-В] & Е (А-В), (6.11)
то неверно, что г А & [ А. Из (6.10) имеем | (А B), aus (6.11)
имеем Е (А > -В), так что очевидно, что формула А невыво-
дима, и условие г 4 & | А действительно не выполнено.
И10. А (-А р В). Реализуемость этой формулы означает,
что если
гА& НА (6.12)
г-4 & Н-А, (6.13)
108

то гВ, что очевидно выполнено, ибо условия (6.12) и (6.13)
несовместны.
Таким образом, мы доказали, что все аксиомы ИИВ реали-
зуемы. Докажем теперь корректность правила МР: если выво-
димые формулы Аи А 2 В обе реализуемы, то формула В
реализуема. Реализуемость и выводимость формулы А означа-
ет, что имеет место г А & [Е А. Реализуемость формулы Ао В
означает г ДА & Е А = г В, так что очевидно г В, что и требова-
лось доказать. С]
Теперь дизъюнктивность ИЙВ доказывается следующим об-
разом. Пусть формула А\ В выводима в ИИВ. В силу предло-
жения 23 эта формула реализуема, т. е. имеет место г А& НА
или г В & | В. В первом случае получаем выводимость форму-
лы Д, во втором — выводимость формулы В. Ч
Упражнения
1. Пусть логическая матрица М — модель ИИВ. Определим
на ней бинарное отношение <, положив
х<у=т->у=1.
Доказать, что в этом случае выполняется аксиома А10
псевдобулевой алгебры.
2. Доказать, что алгебра Яськовского Ло является точной мо-
делью классического исчисления высказываний.
3. Завершить доказательство теоремы Гливенко.
4. Пусть | обозначает формулу —(Р 2 Р), а ТГ — форму-
лу РОР. Доказать, что в ИИВ выводимы следующие
формулы: —Ё = Т; =Г = 1; 1 &4 = 1; L&T = I;
1&Р=Ет; Т&% 1 =; Т&Т=+Т; Т&РЕР; Р&1=+ т;
Р&Г=Р; РХРЕР; Ут =+ 1; 1УТЕ;ЕТ; 1УР=Р;
ТУ =Т; ТУТ =Т; ТУРЕТ; РУт=Р: РУТЕТ;
РУР=Р; о =Т; Г ОоТ=Г ГОР =+Т;
Ге =+ НЫЕ; ТОТ =+ГТГ ГоР=Р); РОТ =+Т;
РОР=Е;Т.
109

Глава 7
Модели Крипке для логики
высказываний
$7.1. Алгебра открытых множеств
Топологическим пространством называется непустое мно-
жество М, рассматриваемое вместе с некоторой системой 7 его
подмножеств, удовлетворяющей условиям
1) МЕТ, 0ЕТ;
2) объединение всякого множества, элементов 7 является
элементом 7;
3) пересечение любых двух элементов 7 является элемен-
том 7.
Подмножества М, входящие в 7, называются открытыми
множествами. Если Х С М, то объединение всех открытых
подмножеств Х открыто. Это множество называется внутрен-
ностью множества Х и обозначается [пЕ(Х). Очевидно, что
Int(X ) является наибольшим по включению открытым множе-
ством, содержащимся в Х.
Теорема 43. Пусть М — топологическое пространство с си-
стемой открытых множеств Т. На множестве Т определим
отношение <, положив Х < У = ХХ СУ. Тогда множество
Т с отношением < является псевдобулевой алгеброй.
Доказательство. Очевидно, что отношение < является ча-
стичным порядком на множестве 7. Для любых множеств
Хх, УЕ Т, очевидно, существуют их точная верхняя грань ХЦУ
и точная нижняя грань Х ПУ, принадлежащие семейству 7.
Псевдодополнением открытого множества Х относительно от-
крытого множества У, по определению, является наибольшее
по включению открытое множество { такое, что ХПИ СУ.
Покажем, что такое множество существует для любых Х,У:
это множество [1% (Х ЧУ), где Х = М \ Х- дополнение множе-
ства Х. Во-первых, требуется доказать, что [11 (ХОУ)ПХ СУ.
110

Пусть х Е [пКХОУ)ПХ. Тогда х Е тЕКХ ЦУ), следовательно,
тЕ ХОХУ, ибо любое множество включает свою внутренность.
Кроме того, х Е Х. Отсюда получаем т Е У. Таким образом,
любой элемент множества [1#(Х 0 У) принадлежит множеству
У, и включение [1(Х ОУ) ПХ СУ доказано.
Докажем теперь, что [1(Х Ц У) есть наибольшее по вклю-
чению среди таких открытых множеств #, что X MZ C Y.
Итак, пусть / — открытое множество и Х ПЕ С У. Так как
множество {2 открыто, то, в силу определения внутренности,
достаточно доказать, что Й © ХОУ. Пусть z € Z. Ecnm z € X,
то 5 Е ХПА С У, следовательно, ё Е УС ХОУ, т.е.2 Е ХУ.
Если же 2 @ Х, то снова 2 Е Х ОУ. Таким образом, любой
элемент множества, Й принадлежит множеству Х ОУ, и вклю-
чение { С ХОУ доказано, а значит, доказано и включение
й С пКХ ЧУ). Наименьшим элементом в семействе 7 явля-
ется, очевидно, пустое множество, а псевдодополнением откры-
того множества, Х является [п (Х).
Таким образом, семейство 7 всех открытых множеств то-
пологического пространства М, рассматриваемое как частично
упорядоченное множество с отношением С, является псевдобу-
левой алгеброй, причем операции определены так:
X+Y=XUY,X-Y=Xny,
X + Y =Int(X UY), ~ X = Int(X), 0= 90.
О
Рассмотрим пример топологического пространства. Пусть
М -— частично упорядоченное множество с отношением поряд-
ка <. Подмножество Х множества М назовем открытым, если
(УхуЕ М) ЕХ&х <у=зуеЕ Х]. Очевидно, что пустое мно-
жество и множество М являются открытыми подмножествами.
Объединение любого семейства открытых подмножеств также
является открытым подмножеством. Наконец, пересечение лю-
бых двух открытых подмножеств открыто. Таким образом, ча-
стично упорядоченное множество М, рассматриваемое вместе с
семейством 7 всех его открытых подмножеств, является топо-
логическим пространством, а семейство 7 является псевдобу-
левой алгеброй с указанными выше операциями.
111

$7.2. Пропозициональные модели Крипке
Модель Крипке — это набор К = (К, =, |=), где (К, =) — ча-
стично упорядоченное множество, называемое шкалой Крипке,
а |- — соответствие между КА и множеством всех переменных та-
кое, что если а || Риа < 6, то ВЕР. Соответствие || называет-
ся оценкой. Интуитивный смысл моделей Крипке соответствует
интуиционистским представлениям о становящемся характере
истинности высказывания. А именно, элементы множества К
можно трактовать как «моменты времени», причем а = В озна-
чает, что момент о предшествует моменту 6. При этом моменты
времени следует понимать не в «физическом», а, так сказать,
в «логическом» смысле: каждый момент времени характеризу-
ется состоянием знаний в этот момент. Поэтому шкала Крип-
ке («временная шкала»), вообще говоря, не является линейно
упорядоченным множеством, ибо в будущем развитие знаний
может пойти разными путями. Выражение а || Р читается «a
вынуждает Р» или «Р истинно в момент а». Интуитивно а || P
означает, что в момент а утверждение Р является доказанным,
а, условие, что если а || Риа < 0, то В! Р, выражает принцип
сохранения истинности.
На, основе соответствия || определяется соответствие между
множеством К и множеством всех формул, также обозначае-
мое |=. Соответствие с || А задается индукцией по построению
формулы А. Для переменной А оно уже определено. Далее по-
лагаем:
а |+ (А& В) = «|+ Аба! В]; “а! (АУВ) = «Е А\уа1 В]
а |+ (АР В) =УВ [а = В = (ВИ АУВНВ}
а |Е —А = УВ [а < В = BI Al.
Определение с || А для & и \У вполне отвечает интуицио-
нистскому пониманию этих операций. Определение этого соот-
ветствия для > UW —, если и не совсем адекватно интуиционист-
скому пониманию этих операций, все же согласовано с ним: если
в момент а дано обоснование для А 2 В, то в любой момент,
когда будет получено обоснование для А, мы можем получить
обоснование для В. Аналогично, если в момент а дано обосно-
112

вание для —А, то никогда в будущем не будет получено обосно-
вание для А.
Через /(А) обозначим множество {и Е К | а Н А}. Гово-
рят, что формула А истинна в модели К, если /(А) = К. Если
формула А истинна в модели Крипке K, последняя называется
моделью для А; в противном случае К; называется контрмоде-
лью для А.
Предложение 24. Какова бы ни была фомула А, множество
(А) является открытым подмноэкеством частично упоря-
доченного множества К.
Доказательство. Требуется доказать, что если а || Аиа 5 р,
то В |Е А. Индукция по построению А. Если А — переменная,
то утверждение имеет место по определению оценки. Пусть А
имеет вид В & С, причем f(B) u }(С) — открытые множества.
Очевидно, что }(А) = }(В) п КС), и (А) открыто как пере-
сечение двух открытых множеств. Пусть А имеет вид ВУС,
причем }(В) и }(С) — открытые множества. Очевидно, что
f(A) = (В) КС), и (А) открыто как объединение открытых
множеств. Пусть А имеет вид В 2 С, причем }(В) и КС) —
открытые множества. Пусть © || А, т. е.
Ул [а < у = 7 В или НС], (7.1)
и а < 2. Требуется доказать, что У [8 x y> (YF BV yIE CI.
Пусть 6 = 7. Тогда а < 7, и в силу (7.1) 7 И В или у Е С, что
и требовалось доказать. Пусть, наконец, формула А имеет вид
—В. Пусть а |{ А, т. е.
Vylaxy> IF BI, (7.2)
ua = 2. Требуется доказать, что В |+ А, т.е. У [В <= УИ В.
Итак, пусть В = 7. Тогда a < 7, и в силу (7.2) выполняется
у |! В, что и требовалось доказать. 0
Таким образом, для любой формулы А множество f(A) oT-
крыто, т. е. является элементом псевдобулевой алгебры откры-
тых подмножеств множества К.
Теорема 44. Для любых пропозициональных формул А, В вы-
полняются условия:
Г(АУ В) = (А) + КВ), КА& В) = КА). F(R),
113

f(A D> B) = f(A) > ХВ), Ала) => КА),
2de +,:,—,~ — операции в псевдобулевой алгебре открытых
подмножеств множества К.
Доказательство. Очевидно, что
(АУ В) = КА) о (В) = ДА) + ХВ);
Г(А& В) = ДА) ПАВ) = ХА). ХВ).
Докажем, что /(А 2 В) = /(А) > f(B) = Int(f(A) U f(B)).
Сначала докажем включение f(A > B) C Int(f(A) U f(B)). I
теореме 24, множество }(А В) открыто, поэтому достаточно
доказать, что (АЖ В) с КА) оч КВ). Пусть а е КАР В),
т.е. о || А В. Это означает, что
Мл [ < у = (УИ АУУ В].
Так как отношение ~< рефлексивно, то отсюда следует, что ли-
бо о | А, и тогда а е f(A) C f(A) 9 КВ), либо а 1 В, и
тогда © € (В) с (А) о КВ). Значит, если а € f(A D B), To
а Е }(А)ОХ(В), и включение }(А 2 В) < КА) О Л(В) д } доказано,
а значит, доказано и включение }(А 2 В) С [п (} f(A) U f(B)).
Докажем обратное включение Int(f(A) U f(B)) C f(A D B).
Ilycts a € Int(f(A) U КВ)). Докажем, что а € f(A D B),
те. а |+ А В. Это означает, что для любого 6 Е К тако-
го, что © < 6, выполняется условие 0 И А, т.е. ВЕ f(A), или
В В, т.е. ВЕ Х(В). Итак, пусть а 5 В. Так как множество
Int(f(A)Uf(B)) orkpsrro, ro 6 € Int(f(A)Uf(B)) C f(A)Uf(B),
т. е. действительно В Е }(А) или GB € f(B), 4r0 u TpeboBasocb
доказать.
Докажем теперь, что }(—А) ==> }(А) = тЕТ(А)). Сначала
докажем включение /(—-А) С ["КК(А)). Согласно теореме 24,
множество }(—А) открыто, поэтому достаточно доказать, что
1(-А) с К(А). Пусть а Е }(—А), т. е. и Е ЗА. Это означает,
auto Vy[a x7 => УИ 4]. Так как отношение < рефлексивно, то
отсюда, в частности следует, что а |! Aua € Х(А). Значит, если
а Е }(-А), тоае (А), и включение /(-А) С }(А) доказано,
а значит, доказано и включение /(—-А) © Ги К(А)). Докажем
обратное включение [14 ({(А)) С }(—А). Пусть а Е мККА)).
Докажем, что а Е }(—А), т. е. а Е -А. Это означает, что для
114

любого 0 Е К такого, что a = 6, выполняется условие В И А,
т.е. Ве }(А). Итак, пусть а < 6. Так как множество [тЕ(](А)
открыто, то ВЕ 1 (}(А)) © (А), т. е. действительно 6 € f(A),
что и требовалось доказать. CJ
Таким образом, если дана модель К = (К, =,!+), то с ней
естественным образом связаны псевдобулева алгебра, открытых
подмножеств частично упорядоченного множества КА и есте-
ственная оценка { в этой алгебре. При этом, как видно из тео-
ремы 44, значение произвольной формулы А при этой оценке
есть в точности множество }(А), состоящее из всех тех элемен-
тов © Е К, для которых выполняется условие а || А. Отсюда, в
частности, вытекает следующая теорема.
Теорема 45. Формула истинна в модели КЮ = (К, =)|) то-
гда и только тогда, когда она принимает значение 1 в псевдо-
булевой алгебре открытых подмножеств множества К при
естественной оценке.
Мы видим, что семантика Крипке является в некотором
смысле частным случаем алгебраической семантики, основан-
ной на псевдобулевых алгебрах. Установленная связь между
моделями Крипке и псевдобулевыми алгебрами позволяет полу-
чить некоторые важные теоремы, касающиеся семантики Крип-
ке, используя аналогичные результаты о псевдобулевых алгеб-
рах. Докажем теорему о корректности ИИВ относительно мо-
делей Крипке.
Теорема 46. Если пропозициональная формула А выводима в
ИИВ, то А истинна в любой модели Крипке.
Доказательство. Пусть формула А выводима в ИИВ, и пусть
дана модель К = (К, <,||). В силу теоремы о корректности
ИИВ относительно псевдобулевых алгебр (теорема 31), форму-
ла, А истинна в любой псевдобулевой алгебре при любой оценке,
в частности, формула А принимает значение 1 в псевдобулевой
алгебре открытых подмножеств множества А при оценке {. В
силу теоремы 45 в этом случае формула А истинна в модели K,
что и требовалось доказаль. CJ
115

87.3. Операции над шкалами Крипке
Рассмотрим две операции над шкалами Крипке. Суммой
К1 + К2 двух непересекающихся частично упорядоченных мно-
жеств Ат и К2 с отношениями порядка <1 и <2 назовем их
объединение А = К! Ц А>, упорядоченное следующим отноше-
нием: 1 < у < (Е {1,2}) туЕ К; &т <; у. Очевидно, что
такое отношение < является частичным порядком на К.
Теорема 47. Псевдобулева алгебра открытых подмножеств
суммы частично упорядоченных множеств Кл и К2 изоморф-
на прямому произведению алгебр открытых подмножеств
множеств К1 и И2.
Доказательство. Пусть К — сумма частично упорядоченных
множеств Ат и К2. Алгебру открытых подмножеств множества
К1 обозначим через Ал, а алгебру открытых подмножеств мно-
жества К2 — через 42. Если Х — открытое подмножество мно-
жества К, то очевидно, что Х1 = ХПА! есть открытое подмно-
жество множества Ат, а Х2 = ХПА2 — открытое подмножество
множества К2. Положим ф(Х) = (Х1, Х2). Убедимся, что ф —
изоморфизм семейства открытых подмножеств множества К
и частично упорядоченного множества А1 х 42. Очевидно, что
ф — взаимно однозначное соответствие между указанными мно-
жествами. Проверим, что отображение ф сохраняет порядок.
Пусть Х, У — открытые подмножества множества А, тогда
ХхХ<УуУзхсУу<|[ХПЕА, СУПЕ;:, ХПК-СУПК). | +
$ [Х, < И, Х2 < У] © (Х,, Х2) < (1, У2) $ Ф(Х) < (У),
что и требовалось доказать. О
По аналогии с суммой двух непересекающихся частично упо-
рядоченных множеств определяется сумма А\ +... + Ки по-
парно непересекающихся частично упорядоченных множеств
Kky,..., Kn. Цсевдобулева алгебра открытых подмножеств сум-
мы частично упорядоченных множеств А1,..., А» изоморфна
прямому произведению А1х...х Ди, где А; — алгебра открытых
подмножеств множества Ах; (1=1,...,п).
116

Если К — частично упорядоченное множество, то через К”
обозначим множество КЦ {ао}, где оо & К, упорядоченное сле-
дующим образом: для элементов из К сохраняется тот же по-
рядок, что и в упорядоченном множестве К, и считается, что
оо < т для любого т Е К'’. Очевидно, что А’ также является
частично упорядоченным множеством.
Теорема 48. Пусть А — алгебра открытых подмножеств ча-
стично упорядоченного множества К. Тогда алгебра откры-
тых подмножеств множества К’ изоморфна алгебре Г(А).
Доказательство. Очевидно, что открытыми подмножествами
множества К’ являются все открытые подмножества множества
К, а также само множество К’, которое является наибольшим
элементом в алгебре А’ открытых подмножеств множества ИА’.
При этом множество А оказывается гёделевым элементом этой
алгебры. Пусть &х — гёделев элемент алгебры А. Рассмотрим
отображение ф : А’ -› Г(А), определяемое следующим образом:
Х, если Х СК,
Ф(Х) = { цы, если Х =К,
К, если Х =К..
Очевидно, что ф является изоморфизмом алгебр А’ и Г(А). OF
Рассмотрим следующую последовательность шкал Крипке
К» (п = 0,1,2,...). Пусть Ко — одноэлементное частично-
упорядоченное множество. Если К„_1 уже определено, рас-
смотрим п попарно непересекающихся частично упорядочен-
ных множеств К1_|,...,К”_|, изоморфных множеству Ки_1,
и положим Ки = (КЛ +...+К? 1).
Теорема 49. Каково бы ни было натуральное число п, алгеб-
ра открытых подмножеств частично упорядоченного множе-
ства Ки изоморфна алгебре Ясъковского „ы.
Доказательство. Индукция по п. Пусть п = 0. Алгебра откры-
тых подмножеств одноэлементного множества КА состоит из эле-
ментов 0 = (и 1 = К, причем 0 < 1. Очевидно, что эта, алгеб-
ра изоморфна двухэлементной алгебре Яськовского Ло. Пред-
положим, что алгебра открытых подмножеств частично упо-
рядоченного множества А„_1 изоморфна алгебре Яськовского
117

Jn—1, WU докажем, что алгебра открытых подмножеств частично
) )
упорядоченного множества К„ изоморфна алгебре Яськовского
п. В силу теоремы 47 алгебра открытых подмножеств частично
упорядоченного множества К1_+...+К”_/| изоморфна алгеб-
ре /7_1, а тогда по теореме 48 алгебра открытых подмножеств
— 1 п /
частично упорядоченного множества Ки, = (К„_1+...+КАП_1)
изоморфна алгебре Г(.]7_ 1), т. е. алгебре Л», что и требовалось
доказать. CJ
87.4. Полнота ИИВ относительно моделей
Крипке
Пусть Е — простая импликация А 2 7, где ( — переменная,
К — простая конъюнкция, т. е. конъюнкция формул вида 1) Р;
и) -Р; ш) Ро; м) РРОУВ у) РОВ; м) (РУО)ЬЭВ,
rae P,Q, R — переменные. Рангом простой импликации Ё назо-
вем количество конъюнктивных членов вида \1) в простой конъ-
юнкции А. Модель Крипке К, будем называть строгой контр-
моделью для простой импликации ЁР’, если К Е К, КЮ И.
Напомним, что последовательность шкал Крипке А» опре-
деляется следующим образом: Ко — одноэлементное частично
упорядоченное множество; Ки+1 = (Ки-+...+ Кр)".
se
n+1
Теорема 50. Пусть Е — простая импликация, d — ee pane.
Тогда либо формула Е выводима в ИИВ, либо существует
строгая контрмодель для Е на шкале Крипке Ка.
Доказательство. Пусть з — количество переменных в простой
импликации Е. Будем доказывать утверждение индукцией по
числу т = а+ 3.
Пусть т = 1. Это означает, что 4 = 0, т.е. в А нет конъюнк-
тивных членов вида, \1), и $ = 1, т. е. в Е используется только
одна переменная Й. Возможны два, случая: 1) в К есть конъ-
юнктивный член вида 1), т. е. 7; 2) в К нет конъюнктивных
членов вида 1). В первом случае Е выводима в ИИВ. Во вто-
ром случае модель Крипке на шкале Ко = {оо}, где ao И 2,
является строгой контрмоделью для Р.
118

Допустим, что утверждение верно для т < К, и докажем
его для т = К +1. Пусть РЁ — простая импликация ранга, 4, и
она содержит $ переменных, так что 4 + $ = К + 1. Рассмотрим
случай, когда в К нет конъюнктивных членов вида 1). Пусть
(P, > Q1) D Ri,.-.,(Pa D Qa) D Ra
CYTb BC€ KOHbIOHKTUBHEIe WJIeHbI BUA vi) B K. Ecnu 1 < 7 < d, To
через А? обозначим простую конъюнкцию, полученную вычер-
киванием из К конъюнктивного члена (Р; > @;) 2 А,. Через
Е? обозначим простую импликацию Р; & (©; D R;)&K ID Q;.
Очевидно, что для каждого 1 = 1,...,А ранг Ё7 равен d — 1,
а количество переменных равно $, так что для этой формулы
параметр т равен АК, и можно воспользоваться индуктивным
предположением: либо Е? выводима в ИИВ, либо существует
строгая контрмодель для ЕР] на шкале Ка_1.
Рассмотрим случай, когда для некоторого 1 = 1,...,а фор-
мула Е7 выводима в ИИВ.
Лемма 5. Каково бы ни было 1 =1,...,4, если Е? выводима в
HUB, moF~ R;& KID Z.
Доказательство. Докажем, что в интуиционистском исчисле-
нии высказываний выводима импликация Р 2 (В; & KI D Z).
Учитывая строение формулы ЕЁ и теорему о дедукции, доста-
точно доказать, что
((P; DQ;)D Rj) & KIDZ, R;&KI+Z.
Но это очевидно, так как В. | (P; D Q;) D Rj.
Докажем, что в интуиционистском исчислении высказыва-
ний выводима импликация (В; & К? ОА) 2 РЕ. Учитывая стро-
ение формулы Ё и теорему о дедукции, достаточно доказать,
что
R;& K! D Z, ((P} 2 Qj) D Rj) & KI + Z. (7.3)
Заметим, что формула Р; & (@; > В;) эквивалентна в ИИВ
формуле Р; & ((Р; > @;) > В, так что из выводимости форму-
лы ЁЕ7 вытекает Р; & ((Р >29) 2 В) &К?Н О, Отсюда и из
теоремы о дедукции вытекает ((Р; > ©9;) 2 В; & К?ЕР; 2 0..
Значит, ((Р; 29; 2 В, & К?Е В,. Отсюда немедленно следу-
ет (7.3). O
119

Итак, формула РЁ эквивалентна простой импликации
В;& К] 2 #. Очевидно, что ранг формулы В; & KI D Z pa-
вен 4 - 1, а количество переменных в ней не превосходит $,
так что показатель т для этой формулы не превосходит К, и
для нее верно доказываемое утверждение: либо она выводима в
интуиционистском исчислении высказываний, либо существует
строгая контрмодель для Е на шкале Крипке Аад_1. В первом
случае в силу леммы 5 формула Е также выводима в интуицио-
нистском исчислении высказываний, и доказываемое утвержде-
ние для нее верно. Если же для формулы А; & К J > # имеется
строгая контрмодель K на шкале Крипке Ка_1, то К является
также строгой контрмоделью для формулы РГ. Действительно,
tak kak R;+ (P; DQ;)D Rj uKE(R;& KI), ro
KEK,K EZ. (7.4)
Определим модель Крипке К’ на шкале
Ka = (Ka-1+...+ Ka-1)’
d
с наименьшим элементом со следующим образом. Если а — эле-
мент шкалы Кд, отличный от ао, то он принадлежит одному из
слагаемых Ад_1. Полагаем с |Е Р в модели К’,, если и только это
условие выполняется в модели К. Положим 00 + Р-%КЕР
для каждой переменной Р. Докажем, что для любой пропозици-
ональной формулы А выполняется условие: К’ Е ASK E A.
Заметим, что К’ | А означает со || А, так что из К’ Е А следу-
ет К | А. Поэтому достаточно доказать, что КЮ | A > ag lk A.
Если ДА — пропозициональная переменная, то это утверждение
вытекает из определения модели ХК’. Рассмотрим случай, когда
формула А имеет вид В & С, причем для формул В и С выпол-
няются условия
КЕВ- що 1! В; КЕС = о ЕС. (7.5)
Пусть К Е (В&С). Тогда КЮ Е ВиК ЕЕ С, следовательно,
со Е Виоо НС, т.е. оо |+ (В&С), что и требовалось доказать.
Аналогично рассматривается случай, когда 4 имеет вид ВУС
для некоторых формул В и С. Рассмотрим случай, когда А
имеет вид В > С, причем выполняются условия (7.5). Пусть
КЕ (ВО). (7.6)
120

Докажем, что оо + (ВОС), т. е. ВЕ В = ВЕ С для любого
элемента 0 шкалы Ка. Это утверждение очевидно, если 2 = об.
Пусть оо | В. Тогда КЮ Е В ив силу (7.6) КЮ Е С, а тогда в
силу (7.5) о | С, что и требовалось доказать. Случай, когда
А имеет вид —В, рассматривается аналогично.
В силу только что доказанного из (7.4) следует К’ Е Ки
К’ № 2, т. е. К’ является строгой контрмоделью для РГ.
Рассмотрим случай, когда не существует такого 1 =1,..., 4,
что формула Е? выводима в интуиционистском исчислении вы-
сказываний. Тогда для каждой из формул Е? существует стро-
гая контрмодель Х,; на шкале Крипке Ад_1. Заметим, что шка-
ла каждой модели К; имеет наименьший элемент &@;, причем
aj Ik Pj, aj IF (Qj D Ri), aj Ik K4, aj |W Q;. (7.7)
Зададим модель Крипке К = (К! +.--+Ка)’ на шкале Крип-
ке Ка с наименьшим элементом оао. Если а — элемент шкалы
Ка, отличный от @0, то он принадлежит шкале одного из сла-
гаемых ^.;. Полагаем а |Е Р в модели К, если и только это
условие выполняется в модели К,;. Положим ао ! Р для любой
переменной Р. Докажем, что К; является строгой контрмоделью
для формулы Кой, т.е. о || К ис |! Е. Последнее условие
очевидно выполнено. Докажем, что оо || К. Сначала покажем,
что для любого конъюнктивного члена G вида П)-у) простой
конъюнкции КА имеет место К Е С. Пусть, например, формула
С! имеет вид Ш). Докажем, что об + С, т. е. УВ |ВЕР=ВНЕО.
Условие 6 |+ Р = В1 О очевидно выполнено, если В = apo.
Если же 0 не совпадает с оо и принадлежит шкале модели
К,, то это условие выполнено в силу (7.7) и того факта, что
а; < Ви С является конъюнктивным членом формулы К7.
Аналогично рассматриваются другие случаи. Докажем теперь,
что оо IF (Pr D Qs) > В») для любого К = 1,...,4а. Пусть
число К фиксировано. 'Гребуется доказать, что для любого в
выполнено условие: если В! (РЕ Ок), то В! Ву. Это условие
выполнено, если 0 = оо. Действительно, как следует из (7.7),
ак № (РЕЖ Ок), следовательно, со |! (Ре Оь). Если же В He
совпадает с о и принадлежит шкале модели К; для / 2 К, то
это условие выполнено в силу (7.7) и того факта, что а; < Ви
(РЕ> Оь) > В» является конъюнктивным членом формулы К7.
Пусть 6 принадлежит шкале модели Кх, так что ак = GB. Отсю-
121

да следует, что В! Ри ВЕ (Ок В»). Пусть B lk (Pe D Qz).
Тогда очевидно 0 |+ Оки далее 0 |+ Ву, что и требовалось до-
казать. Таким образом, случай, когда в К нет конъюнктивных
членов вида 1), полностью рассмотрен.
Теперь рассмотрим случай, когда в А есть конъюнктив-
ный член вида 1). Пусть это переменная Р. Если переменная
Р совпадает с переменной #, то простая импликация Е выво-
дима, и утверждение доказано. Если переменная Р отлична от
д и не входит в другие конъюктивные члены из А, то форму-
ла ЕР дедуктивно эквивалентна простой импликации К’ 7,
гле А’ — простая конъюнкция, полученная вычеркиванием
из К конъюнктивного члена Р. Заметим, что а(ЁР’) = а(Г),
s(F’) = s(F) — 1, так что для формулы Ё’ значение параметра
т равно К, и можно применить индуктивное предположение:
либо формула Е’ выводима, либо для нее существует строгая
контрмодель K Ha шкале Крипке Ка с наименьшим элементом
о. В первом случае формула РЁ также выводима, а во втором в
модели К, можно положить © || Р и получить строгую контр-
модель для простой импликации F’.
Рассмотрим случай, когда Р входит и в другие конъюнктив-
ные члены из К. Если она входит в конъюнктивный член вида
1), тов К есть конъюнктивные члены Ри -Р, а тогда формула
РГ выводима. Пусть Р входит в конъюнктивный член вида 1).
Тогда с точностью до порядка конъюнктивных членов в К есть
подформула Р & (РОО) или Р& (ФР). Первая эквивалент-
на формуле Р & (), вторая — формуле Р. Сделав эквивалентную
замену, мы получим простую конъюнкцию К’, в которой коли-
чество конъюнктивных членов, содержащих переменную Р, на
единицу меньше, чем в А.
Если Р входит в конъюнктивный член вида у), то с точно-
стью до порядка конъюнктивных членов в К есть подформула
Р&(Р&О 2 В, или Р&(О&РО В), или Р& (9& ЕР).
Первые две из них эквивалентны формуле Р & (Q D R), a Tpe-
тья — формуле Р. Сделав эквивалентную замену, мы и в этом
случае получим простую конъюнкцию К’, в которой количество
конъюнктивных членов, содержащих переменную Р, на едини-
цу меньше, чем в К.
Если Р входит в конъюнктивный член вида \1), то с точно-
122

стью до порядка конъюнктивных членов в К есть подформула
P&((PDQ)DR), P&((QD P)D R) um P&((QDR)DP).
Первая эквивалентна формуле Р& (9 2 В), вторая эквива-
лентна формуле Р & В, а третья — формуле Р. Сделав эквива-
лентную замену, мы снова получим простую конъюнкцию К’,
в которой количество конъюнктивных членов, содержащих пе-
ременную Р, на единицу меньше, чем в К.
Наконец, рассмотрим случай, когда Р входит в конъюнк-
тивный член вида 1\). Тогда с точностью до порядка конъюнк-
тивных членов в К есть подформула Р&(Р > QV R), umm
P&(Q> PVR), um P&(Q > RV P). Bropas u tperba dopmy-
лы эквивалентны формуле Р. Сделав эквивалентную замену,
мы получим простую конъюнкцию К’, в которой количество
конъюнктивных членов, содержащих переменную Р, на едини-
цу меньше, чем в К. Первая формула эквивалентна формуле
Р&(О\УЕ). Сделав в РЁ эквивалентную замену, мы получим
формулу вида Р& (ОУВ)&К' 2 2, где К’ — простая конъ-
юнкция. Проделав эту процедуру со всеми конъюнктивными
членами из К вида Р&(Р > О\УВ),, мы получим формулу
вида
P & (Pi, V Pj) &...& (Pi, V Pim) &K' D Z, (7.8)
где А’ — простая конъюнкция. Эта формула эквивалентна в
интуиционистском исчислении высказываний конъюнкции про-
стых импликаций
P& Py, &...& Py, &K' DZ, (7.9)
где Кр Е {1», р} (р = 1....,т), причем переменная Р имеет
единственное вхождение в эту формулу. Каждая формула (7.9)
дедуктивно эквивалентна формуле
Py, &...& Py,, & K' D Z, (7.10)
в которой переменных на одну меньше, чем в простой импли-
кации К, а ранг тот же, поэтому можно применить индуктив-
ное предположение: каждая из формул (7.10) либо выводима,
в интуиционистском исчислении высказываний, либо для нее
существует строгая контрмодель на шкале Крипке Ка с наи-
меньшим элементом оо. Если все формулы (7.10) выводимы,
то очевидно выводима и формула ГР. Допустим, что какая-то
123

из формул (7.10) невыводима. Тогда для этой формулы суще-
ствует строгая контрмодель Х; на шкале Ка. Для этой модели
выполняются условия од || Рь, (р=1,..., т), мо НК’, м Й 7.
Положим оо || Р. Очевидно, что в полученной модели посылка
формулы (7.8) истинна в момент оо, а заключение не истин-
но. Но поскольку посылка формулы (7.8) эквивалентна простой
конъюнкции К, то од || К, а так как оо ! 7, то К — строгая
контрмодель для простой импликации Г. м
Пропозициональное исчисление называется разрешимым,
если существует алгоритм, который по любой пропозициональ-
ной формуле позволяет установить, выводима ли эта формула,
в данном исчислении.
Теорема 51. Интуииционистское исчисление высказываний
разрешимо.
Доказательство. Пусть дана пропозициональная формула А.
В силу теоремы 27 она дедуктивно эквивалентна простой им-
пликации ЕЁ, которая строится эффективно по формуле А.
Пусть 4 — ранг простой импликации Р. Число 4 можно вы-
числить, имея формулу ЕР. Если формула К истинна в алгебре
Яськовского „Ла, то она, а следовательно и формула А, выводима
в ИИВ, ибо в противном случае она опровергалась бы в алгебре
а в силу теоремы 49. Если же формула Е опровергается в ал-
гебре „Ла, то она невыводима, следовательно, и формула А невы-
водима в интуиционистском исчислении высказываний. С
Упражнения
1. Построить контрмодели для формул РУ -Р, -РОР,
“AP V —P, (P 3 Q)V(Q D P), (P DQ) D P) DP,
(PQ) > (“PV Q).
2. Применить описанную в этой главе технику для выяв-
ления выводимости в ИЙВ следующих формул или по-
строения контрмоделей для них: —(РУ О) 2 (-Р&-0),
AP &Q) 5 (PV Q), (-P VQ) 5 (PD Q).
124

Глава 8
Интуиционистское исчисление
предикатов (ИИП)
38.1. Интуиционизм и элементарные языки
Прежде чем приступить к разработке интуиционистской ло-
гики предикатов, нужно осмыслить, что такое элементарный
язык с интуиционистской точки зрения. Нет проблем с рас-
смотрением какой-нибудь непустой предметной области М как
множества, заданного правилом порождения его элементов или
свойством, выделяющим его элементы среди элементов друго-
го, ранее заданного множества. Не вызывает трудностей и по-
пытка дать имена некоторым элементам М. А как трактовать
понятие предиката, заданного на М? Вспомним определение по-
нятия предиката в классической логике. В $ 3.4 мы рассмат-
ривали несколько возможных вариантов такого определения.
Во-первых, предикат можно трактовать как высказывательную
форму Р(11,...,1п), и при этом с ним связана функция, со-
поставляющая каждому набору а1,..., а» значений свободных
переменных 21,...,Х„ высказывание Р(а1,..., ав). Такое пони-
мание предиката вполне приемлемо с точки зрения интуици-
онизма. Но затем, рассматривая лишь истинностные значения
высказываний Р(а1,..., ап), мы приходили к пониманию пре-
диката как произвольной функции, принимающей значения 1
(«истина») и 0 («ложь»). Этот шаг интуиционистски неприем-
лем уже потому, что истинностное значение не является обя-
зательным атрибутом произвольного высказывания, ведь, как
мы знаем, бывают и непроверенные высказывания. При этом
мы не можем ввести в рассмотрение непроверенность как тре-
тье истинностное значение, ибо это состояние высказывания,
вообще говоря, является временным. Итак, мы должны остано-
виться на трактовке предиката как высказывательной формы,
записанной на подходящем языке, понятном с интуиционист-
125

ской точки зрения.
Больше трудностей возникает при рассмотрении понятия
произвольной функции. Мы говорим, что задана п-местная
функция /] на М, если каждому набору а1,..., а. элементов М
сопоставлен элемент из М, обозначаемый }(а1,..., ав). Интуи-
ционистски это означает, что имеется общее правило, сопостав-
ляющее каждому набору а1,..., аи элемент ](а1,..., ап). Ины-
ми словами, можно рассматривать только функции, для кото-
рых имеется правило их вычисления. Однако возможно дру-
гое представление о произвольной функции, которого мы будем
придерживаться. Вместо п-местной функции ] будем рассмат-
ривать (п + 1)-местный предикат Е(т1,..., Хи, 9), означающий
1 (т1,..., п) = 9. Так понятие функции перестает быть исход-
ным, а сводится к понятию предиката. Поэтому в рамках интуи-
ционистской логики мы будем рассматривать лишь элементар-
ные языки, сигнатура которых не содержит функциональных
символов.
Интуиционистская интерпретация элементарного языка 2
состоит в выборе непустой предметной области М и сопостав-
лении константам из ‘) элементов из М, а предикатным сим-
волам — высказывательных форм с соответствующим числом
параметров, записанных на подходящем понятном языке. Тогда,
каждая замкнутая формула сигнатуры “ превращается в вы-
сказывание, интуиционистсткий смысл которого определяется
интуиционистстким пониманием логических связок и кванто-
ров.
Приведенное описание интуиционистской семантики элемен-
тарных языков ни в коем случае нельзя считать математиче-
ски строгим. Можно сказать, что у нас есть лишь интуитивное
понимание интуиционистской семантики элементарных языков.
Тем не менее, таких представлений достаточно, чтобы начать
разработку формальных систем интуиционистской логики пре-
дикатов.
838.2. Схемы аксиом и правила вывода MUTT
Пусть фиксирована сигнатура “), содержащая лишь KOH-
станты и предикатные символы. Интуиционистское исчисле-
126

ние предикатов (ИИП) в сигнатуре ® задается следующими
схемами аксиом:
1. АР(ВЬА);};
(AD B)D(AD(BDC))D(ADOC));
A&B> A;
A&BDB;
ADd(BDA&B);
ADAVB;
BDAVB;
(A> C) > ((B 5 C)
9. (ADB)D(AD-B
10. ADd(-~ADB);
11. Vu A(v) 2 A(t);
12. A(t) D AvA(v).
B cxemax 11 u 12 A(v) — формула языка О, у — переменная,
t — терм, свободный для ув А(9). Правила вывода ИИП:
ААВ
(в (
CANO Wd
(AVBDC));
> >A);
>
)
modus ponens; МР);
(IT) АРВ (удаление квантора существования);
(ПТ) АТ (введение квантора всеобщности).
В правилах (П) и (Т]) В не содержит свободных вхождений V.
В дальнейшем ИЙП в сигнатуре {2 будем обозначать посред-
ством ИИПо, а запись ИЙП без указания сигнатуры будем упо-
треблять в том случае, если сигнатура может быть произволь-
ной или определяется из контекста.
Как и для классического исчисления предикатов, определя-
ются понятия квазивывода и вывода из гипотез. Для ИИП име-
ет место теорема о дедукиим: каковы бы ни были множество
формул Г и формулы Ф, Ф, если Го{Ф} | ХФ, то ГЕ ФО $. Эта
теорема, доказывается дословно так же, как и теорема, о дедук-
ции для классического исчисления предикатов (теорема 16).
Пусть фиксирована интерпретация языка (2). Тогда аксио-
мы ИИП становятся интуиционистски истинными высказыва-
ниями или высказывательными формами, замыкания которых
кванторами всеобщности по всем параметрам интуиционистски
истинны в этой интерпретации, а правила вывода сохраняют
интуиционистскую истинность. Для схем аксиом 1 - 10 этот
факт отмечался при рассмотрении ИИВ. Рассмотрим схему 11.
127

Пусть А(%) содержит свободно лишь %, а $ — константа с. В дан-
ной интерпретации А(%) задает одноместный предикат Р(%), а
значением с является элемент т Е М. Истинность формулы
Vu A(v) > А(К означает существование общего метода, позво-
ляющего любое обоснование для Уу Р(и) преобразовать в обос-
нование для Р(т). Пусть дано обоснование для УуР(и), т. е.
общий метод, позволяющий для любого а Е М получить обос-
нование для Р(а). Применим этот метод к т и получим обос-
нования для Р(т), что и требовалось. В общем случае А(у) мо-
жет содержать свободные переменные, отличные от %, а терм
{ может быть переменной и. Пусть и1,..., Шк — все парамет-
ры формулы Уи А(и) > А(®. Требуется доказать, что формула
Уи... Ушь (Уо А(%) > А()) истинна в любой интерпретации.
Пусть фиксирована интерпретация языка “). Придадим пере-
менным 11,..., шк значения из предметной области. Тогда A(v)
превратится в одноместный предикат Р(%), а значением терма,
{ будет элемент т. Выше был описан метод, позволяющий из
обоснования для У Р(%) получить обоснование для Р(т). Сле-
довательно, высказывание Уи ...Ушь (Уу А(%) > А({)) интуи-
ционистски ИСТИННО.
Нетрудно провести аналогичные рассуждения, показываю-
щие, что схема 12 также является схемой интуиционистски ис-
тинных высказываний или тождественно истинных высказы-
вательных форм (см. упражнение 1). Правило МР, очевидно,
сохраняет интуиционистсткую истинность. Покажем, что пра-
вило (1) сохраняет интуиционистскую истинность. Пусть вы-
сказывание Уиш1...\Ушь Мо (А(%) 2 В), где ил,... шк — все па-
раметры формулы А(и) > В, отличные от 9, интуиционистски
истинно в данной интерпретации. Докажем, что высказывание
Уил ...Ушь (Зи АО В) (8.1)
также истинно в этой интерпретации. Придадим переменным
ил,.... Шк произвольные значения т1,...,Тьк из предметной
области. Тогда формула А(и) превратится в некоторый одно-
местный предикат P(v), а формула В — в некоторое выска-
зывание (). Докажем, что истинно высказывание Ju P(v) D Q.
Для этого надо описать общий метод, который позволяет из лю-
бого обоснования высказывания 3% Р(у) получить обоснование
высказывания О. Итак, пусть дано обоснование высказывания
128

dv P(v). Dro o3HayaeT, YTO TaH некоторый элемент т из пред-
метной области и обоснование высказывания Р(т). В силу ис-
тинности высказывания \Уи1...\Ушь Уи (А(%) 2 В), можно найти
обоснование высказывания Р(т) > ©. Теперь, имея обоснова-
ние высказывания Р(т), мы получаем обоснование высказы-
вания (©), что и требовалось. В приведенном рассуждении опи-
санное обоснование высказывания Jv P(v) > О не зависело от
элементов т1,..., Тк, так что истинность высказывания (8.1)
доказана.
Совершенно аналогично доказывается, что правило (1]) со-
храняет интуиционистскую истинность (см. упражнение 2).
Рассмотрим одну общую конструкцию. Пусть ® — сигнал
тура, содержащая константу с. Через О’ обозначим сигнатуру,
полученную удалением с из 12.
Предложение 25. Пусть Ф1,...,Ф„,Ф — вывод в ИИПо фор-
мулы Ф из множества Г, состоящего из высказываний, не со-
держащих константу с, и пусть ш — переменная, не втодя-
шая ни в одну из формул этого вывода. В каждой формуле Ф
из этого вывода заменим все вхождения с на ш, и полученную
формулу обозначим Ф°. Тогда Ф?,...,Ф°,Ф° — вывод в ИЙПо,
формулы Ф° из Г.
Доказательство. Очевидно, что если Ф Е Г, то Ф° совпадает
с 3. Если У — аксиома ИИПо, входящая в данный вывод, то
Ф° — аксиома ИИПо.. Действительно, если аксиома Ф получе-
Ha по одной из схем аксиом 1 - 10, то $° является аксиомой,
полученной по той же схеме. Например, если Ф получена по
схеме аксиом 1 и имеет вид А > (ВО А), то Ф° имеет вид
А° 2 (В°2 4А°). Если Ф получена по схеме аксиом 11 и имеет
Bug Vu A(v) > A(t), roe ¢t — переменная или константа, отлич-
Has OT c, TO V° umeer Bug Vu A°(v) > А°($) и является аксиомой
ИИПо,. Если Ф umeet sug Vu A(v) D A(c), To V° umeer Bug
Vu A°(v) > А°(ш) и также является аксиомой ИИПо,, так как
в 4°(%) нет кванторов по 1, и потому и свободна для % в этой
формуле. Аналогично доказывается, что если Ф получена по
схеме аксиом 12, то $° получается по той же схеме. Если фор-
мула Ф получена по правилу МР из формул Ф' и Ф' $, то 4°
получается по тому же правилу из Ф” и формулы (Ф’ 2 W)°,
129

имеющей вид VW’? > U°. Ecnu dopmyna V umeet Bug du A(v) > В
и получена по правилу удаления квантора существования из
формулы $’ вида А(%) > В, то 4Ф° имеет Bug A°(v) D Bou
получается по тому же правилу из формулы $”, имеющей вид
A°(v) > В°. Аналогично доказывается, что если формула V
получена по правилу введения квантора всеобщности из фор-
мулы $’, то Ф° получается по тому же правилу из формулы
Ф”. Теперь доказательство предложения завершается неслож-
ной индукцией по длине вывода формулы Ф из Гв ИИПо. ПШ
88.3. Погружение классического исчисления
предикатов в интуиционисткое
Пусть фиксирован элементарный язык сигнатуры 4. Индук-
цией по построению для каждой формулы А определим форму-
лу А*. Если А — атом, то А* есть --А. Если А имеет вид ВАС,
где ЛЕ {&,\, 2}, то А* есть -=(В*ЛС*). Если А имеет вид —В,
то А* есть —В*. Если А имеет вид кхВ, где кЕ {\,3}, то А*
есть --^кхВ».
Теорема 52. Формула А выводима в классическом исчислении
предикатов тогда и только тогда, когда формула А* выводима
в ИИП.
Доказательство. Если формула А* выводима в интуиционист-
ском исчислении предикатов, то она выводима в классическом
исчислении предикатов. Формулы А и А* эквивалентны в клас-
сическом исчислении предикатов. Следовательно, формула А
также выводима в классическом исчислении предикатов. Та-
ким образом, если формула А* выводима в интуиционистском
исчислении предикатов, то формула А выводима в классиче-
ском исчислении предикатов.
Докажем, что если формула А выводима в классическом
исчислении предикатов, то формула А* выводима в интуици-
онистском исчислении предикатов. Пусть Б1,....Ви — вывод
формулы А в классическом исчислении предикатов. Докажем,
что для любой формулы ВБ; формула Б; выводима в интуици-
онистском исчислении предикатов. Для этого достаточно пока-
зать, что: 1) для любой аксиомы В классического исчисления
130

предикатов формула В* выводима в интуиционистском исчис-
лении предикатов; 2) если формула В получена по правилу МР
из формул С и О, и формулы С” и ШО* выводимы в интуици-
онистском исчислении предикатов, то формула В* выводима в
интуиционистском исчислении предикатов; 3) если формула В
получена по одному из правил Бернайса из формулы С, и фор-
мула С* выводима в интуиционистском исчислении предикатов,
то формула В* выводима в интуиционистском исчислении пре-
дикатов.
Пусть В — аксиома, полученная по какой-нибудь схеме клас-
сического исчисления высказываний. Это означает, что В полу-
чается подстановкой формул Ф,... языка (2) в пропозициональ-
ную тавтологию А(Р,...), и В имеет вид А(Ф,...). Формула
В* имеет вид А*(Ф*,...), где А*(Р,...) — пропозициональная
формула, полученная из формулы А навешиванием двойного
отрицания —— на каждую подформулу формулы А, не начи-
нающуюся с символа —. Формула А* имеет вид ——С, где С —
тавтология. Так как формула С выводима в классическом ис-
числении высказываний, то в силу теоремы Гливенко формула
——С,, т. е. А*, выводима в ИИВ. Отсюда следует, что формула
А*(Ф*,...), т. е. В*, выводима в интуиционистском исчислении
предикатов.
Пусть В — аксиома вида У А(%) > A(t), rae t — TepM, cBo-
бодный для 9 в А(%). Тогда В* есть ——(——\М A*(v) > А*(1).
Так как в интуиционистском исчислении предикатов выводима,
любая формула вида Ф > —-Ф, то достаточно доказать выво-
димость в интуиционистском исчислении предикатов формулы
——\Мо А*(%) > А*(®. Для этого в силу допустимости правила
силлогизма достаточно доказать выводимость в интуиционист-
ском исчислении предикатов формул
——\Мо A*(v) D Vu A*(v) (8.2)
Vu A*(v) > A*(t). (8.3)
Формула (8.3) является аксиомой интуиционистского исчисле-
ния предикатов. Докажем выводимость формулы (8.2). Для
этого в силу теоремы о дедукции достаточно вывести форму-
ny Vu А*(%) из гипотезы ——\0 4*(%), для чего в силу правила
131

\У-введения достаточно вывести из той же гипотезы формулу
А*(%). Формула А*(и) имеет вид —С'(%) для некоторой формулы
С (и). Поэтому требуется доказать выводимость формулы —С (5)
из гипотезы ——Уи —-С(у). Для этого в силу правила приведе-
ния к абсурду достаточно доказать противоречивость множе-
ства Г = {—=\о-—С(и), С(и)}. Для этого в свою очередь доста-
точно доказать выводимость из Г формулы —Уи —С(), для чего
в силу правила приведения к абсурду достаточно доказать про-
тиворечивость множества А = {—=\М-—С(и), C(v), Vu 7C(v) }.
Но очевидно, что из А выводима формула —С(о) по правилу
У-удаления, так что множество А действительно противоречи-
во. Таким образом, мы доказали, что формула ВБ* выводима в
интуиционистском исчислении предикатов.
Пусть В есть аксиома вида A(t) > AvA(v), roe t — TepM,
свободный для переменной у в формуле А(%). Тогда ВБ» есть
формула ——(А*(®) > —=ЗА*(%)). Так как в ИЙП выводима
любая формула вида Ф > —-Ф, то достаточно доказать выво-
димость в интуиционистском исчислении предикатов формулы
A*(t) > -—Э4А*(5). По той же причине в силу правила сил-
логизма для этого досточно доказать выводимость формулы
A*(t) > Зи А*(%), которая является аксиомой. Таким образом,
мы доказали, что если В есть аксиома вида А(®) > ЗиА(), то
формула В* выводима в интуиционистском исчислении преди-
катов.
Пусть формула В получена по правилу МР из формул С и
Со В, причем формулы С* и (СО В)* выводимы в интуици-
онистском исчислении предикатов. Докажем, что формула В*
также выводима в интуиционистском исчислении предикатов.
Формула (С В)* имеет вид ——(С* 2 В»). Если мы докажем
выводимость формулы С” 2 В» в интуиционистском исчисле-
нии предикатов из формулы ——(С* 2 ВБ»), то будет доказана,
и выводимость формулы ВБ*. Заметим, что формула ВБ» имеет
вид —) для некоторой формулы О. Мы докажем, что из фор-
мулы ——(С* 2 В»), т. е. -—(С* > -0), выводима формула
С*оО В+, т.е. С* 2 —О. В силу теоремы о дедукции и принци-
па приведения к абсурду достаточно доказать, что множество
Г = {-—(С* > -Б), С*, )} противоречиво. Для этого, в свою
очередь, достаточно доказать, что из множества Г выводима,
132

формула —(С* > 7D), ana чего, в силу правила приведения
к абсурду, достаточно доказать противоречивость множества
A = {--(C* D> 7D), C*, D, C* > -В}. Но очевидно, что из
ДА выводимы формулы Д и —О, так что множество А действи-
тельно противоречиво. Таким образом, мы доказали, что если
формула В получена по правилу МР из формул Си СО В, и
при этом формулы С* и (Со В)* выводимы в интуиционист-
ском исчислении предикатов, то Б* также выводима в интуи-
ционистском исчислении предикатов.
Пусть формула В имеет вид С’ 2 Уи А(и) и получена по пра-
вилу Бернайса из формулы С 2 А(%), так что формула С не
содержит свободных вхождений переменной 9. Предположим,
что формула (С D А(%))* выводима в интуиционистском исчис-
лении предикатов, и докажем, что формула Б* также выводима
в ИИП. Формула (С 2 А(%))* имеет вид ——(С* > А*(у)). До-
кажем, что из этой формулы выводима формула С* 2 А*(%).
Заметим, что формула А*(и) имеет вид —О(%) для некоторой
формулы О(у). Таким образом, нам требуется доказать выво-
димость формулы С* 2 —О(%) из гипотезы ——(С* D 7AD(v)).
В силу теоремы о дедукции и правила приведения к абсур-
ду для этого достаточно доказать противоречивость множества
Г = {-=(С* 5 -(%)), C*, О(5)}. Для этого достаточно до-
казать выводимость из Г формулы —(С* > —0(%)), для чего
в свою очередь достаточно доказать противоречивость множе-
ства А = {—-—=(С* > -Б()), С*, О(), С* > -О(%)}. Но очевид-
но, что из А выводятся формулы О(%) и —О\(%), так что мно-
жество А действительно противоречиво. Таким образом, если
формула ——(С* 2 А*(%)) выводима в интуиционистском исчис-
лении предикатов, то формула С* D A*(v) также выводима.
Применяя к ней то же правило Бернайса, получим формулу
С* 2 Уи А*(). Очевидно, что из этой формулы выводима фор-
мула ——(С* > Уи А*()), которая и есть формула B*.
Пусть формула В имеет вид Зи А(%) > С и получена по пра-
вилу Бернайса из формулы А(%) 2 С, так что формула С не
содержит свободных вхождений переменной 9%. Предположим,
что формула (А(%у) 2 С)* выводима в интуиционистском ис-
числении предикатов, и докажем, что формула В* также вы-
водима в интуиционистском исчислении предикатов. Формула
133

(A(v) > С)* имеет вид ——(А*(5) > С*). Докажем, что из этой
формулы выводима формула А*(%) 2 С*. Заметим, что С име-
ет вид —D для некоторой формулы Д, не содержащей свободно
переменную +. Таким образом, требуется доказать выводимость
A*(v) > =D из гипотезы ——(А*() > —-0). В силу теоремы о де-
дукции и правила приведения к абсурду достаточно доказать
противоречивость множества, Г = {——(.А*(%) > -Б), А*(,), О}.
Для этого достаточно доказать выводимость из Г формулы
—(А*(%) > -0), для чего в свою очередь достаточно доказать
противоречивость множества,
A= {7(A*(v) 5 7D), A*(v), D, A*(v) D 7D}.
Очевидно, что из А выводятся формулы О и —), так что А
противоречиво. Таким образом, если формула ——(.А* (и) > —0)
выводима в ИИП, то формула А*(%) > —-О также выводима.
Применяя к ней то же правило Бернайса, получим формулу
dv A*(v) > AD. Дважды применяя закон контрапозиции, полу-
чаем выводимость формулы ——З%А*(и) > —---0, из которой
очевидно выводима формула ——3 А*(и) D AD, tT. e. формула
——З А*() 2 С*, которая и есть В*. oO
Упражнения
1. Доказать, что всякое высказывание вида А(с) > Зи А(5),
где с — константа, истинно с интуционистской точки зре-
НИЯ.
2. Доказать, что если высказывание У (В > А(у)) истинно
с интуционистской точки зрения, то истинно и высказы-
вание В > Уи А()).
3. Доказать, что если в ИИП ГО {А(%)} | В, причем у не
входит свободно в В и формулы из Г, то ГУ {3% А(у)} Е В.
4. Доказать, что если в ИИП ГЕ А(%), причем у не входит
свободно в формулы из Г, то + Vu A(v).
5. Доказать, что каковы бы ни были формула А, переменная
% и формула В, не содержащая свободных вхождений у,
следующие формулы выводимы в ИИП: Зю-—А D —\ А;
—З АО Чи-А; Уо-А о -3% А; Vu (A D B) D (AVA D B);
(du AD B) DVu(AD B); Su(AD B)D (WAD B).
134

Глава 9
Модели Крипке для логики
предикатов
89.1. Интуиционистские модели Крипке для
логики предикатов
Пусть {) — элементарный язык без функциональных симво-
лов. Модель Крипке для языка ® — это набор К = (К, =, О, |),
где (К, =) — частично упорядоченное множество (ижала Крип-
ке), ) — функция, каждому а Е К сопоставляющая непустое
множество До, причем ДП.» С Дв, если а = В. Если ® содер-
жит константу с, то ей сопоставляется объект с, который при-
надлежит любому множеству До для а Е К. В дальнейшем с
отождествляется с элементом с. Наконец, || — некоторое соот-
ветствие между множеством К и множеством всех атомов ви-
да Р(а1,... ап), где Р есть (п-местный) предикатный символ
сигнатуры О, аа1,..., а» — элементы множества () Де, обла-
ack
дающее тем свойством, что если а Е К, Р(а1,..., ап) — атом
указанного вида, и а |Е Р(а1,..., ав), то {а1,..., и} © Ра, и
если с = 6, то В! Р(а1,... ап). Соответствие |+ называется
оценкой атомов в данной модели Крипке. Как и в случае моде-
лей Крипке для логики высказываний, с |+ Р(а1,..., ап) чита-
ется «© вынуждает Р(а1,..., ав)» или «Р(а1,..., ав) истинно
в момент а».
Интуитивный смысл моделей Крипке для логики предика-
тов аналогичен смыслу моделей Крипке для логики высказы-
ваний. Элементы множества К можно трактовать как моменты
времени. Множество До можно понимать как множество объ-
ектов, построенных к моменту а или доступных для исследо-
вания в этот момент. Условие & < В => Пы © Пв означает,
что имеющиеся в данный момент объекты в будущем не исче-
зают, а остаются доступными для исследования. Интуитивно
а |Е Р(а1,..., ап) означает, что к моменту а доказано утвер-
135

ждение Р(а1,..., ав), причем доказанные утверждения остают-
ся таковыми и в будущем, так что имеет место принцип сохра-
нения истинности.
Соответствие || между К и множеством атомов расширяется
до соответствия || между К и множеством высказываний сле-
дующим образом. Пусть а Е К, а А — высказывание сигнатуры
<), расширенной за счет констант для обозначения всех элемен-
тов Да. Соответствие а || А задается индукцией по логической
длине А. Для атомов оно уже определено. Далее полагаем:
о! (А& В) = а Е Аиа НВ}
alk (AV B) = [а Е А или а Е В];
а |= (АР В) = (В; а) ВУ А или ВН В};
а |Е —А = (УВ > а) ВИА;
alk du A(v) = (da € Da) a lk A(a);
alt Vu A(v) = (VB = a) (Va € Dg) B Ik A(a).
Здесь В > а означает а = В, а А(а) есть результат подстановки
константы а вместо переменной у в формулу А(ц).
Определение а || А для пропозициональных связок не от-
личается от определения в случае моделей Крипке для логики
высказываний. Определение этого соответствия для квантора
существования вполне отвечает интуиционистскому его пони-
манию. Определение для квантора всеобщности также согласо-
вано с ним: если в момент &с дано обоснование для У А(%), то в
любой момент в будущем для любого доступного в тот момент
объекта а мы можем получить обоснование для А(а).
Говорят, что формула А истинна в модели К = (К, <,О,1Н),
и пишут ХК; Е А, если для любого а Е К имеет место а || А.
Если формула А не истинна в модели Крипке К, т. е. КЮ № А,
то Л; называют контромоделью для А.
Имеет место следующая теорема о корректности ИИП от-
носительно моделей Крипке:
Теорема 53. Если замкнутая формула языка ® выводима в
ИИП, то она истинна в любой модели Крипке для языка %.
Доказательство. Мы докажем более общее утверждение: ес-
ли формула выводима в ИЙП, то ее универсальное замыкание
истинно в любой модели Крипке. Очевидно, что достаточно до-
казать, что универсальное замыкание любой аксиомы истинно
136

в любой модели Крипке, и проверить, что правила вывода со-
храняют это свойство.
Пусть Ф(51,...,2.) — формула с параметрами х1,..., Тв, по-
лученная по одной из схем аксиом 1 - 10. Требуется доказать,
что для любой модели К = (К, =<,О,|) и любого < Е К имеет
место а || Ух1...Ути Ф(х1,...,2п). Для этого достаточно убе-
диться, что для любого а Е К и любых а1,..., ап Е Да имеет
место © |+ Ф(а1,..., ап). Но Ф(а1,..., ав) получена по той же
схеме аксиом, что и Ф(х1,..., 2), иа | Ф(а1,..., ап) следует
из корректности ИЙВ относительно моделей Крипке.
Рассмотрим формулу Уи Ф(%,2х1,...,2%) 2 P(t, 21,...,2n),
полученную по схеме аксиом 11, где 11,...,т„ — список пе-
ременных, включающий все параметры рассматриваемой фор-
мулы. Если $ — переменная, можно считать, что она входит
в этот список. Требуется доказать, что для любых модели
К = (К, =, О,Н) иаЕ К имеет место
alk Vr ,...Vatn (Vu ®(u, 21,...,2n) D B(t, 21,.-.-,2n)),
т. е. что для любого с Е К и любых а1,... , ап Е Ва имеет место
о || (Уч Ф(у,ал,..., аи) 2 Ф(а, а1,..., ап)), где а — значение тер-
ма #. Формулу Ф(ч, а1,... ап.) обозначим А(%). Требуется дока-
saTb a lk (Vu A(v) D> A(a)), T.e. (VB = a) [8B IK Vu A(v) V6 Ik A(a)].
Пусть В > au GB lt Vu A(v). Последнее означает в частности, что
ВЕ А(а), что и требовалось доказать.
Аналогично рассматривается формула
Ф(Ьт1,..., тп) 2 Зо Ф(9,11,..., тп),
полученная по схеме аксиом 12.
Tot факт, что правило МР сохраняет доказываемое свойство
формул, довольно очевиден. Рассмотрим другие правила.
Пусть формула Зи Ф(%,х1,...,2.) 2 №(11,...,7Х.) получена
по правилу (П) из формулы Ф(%,х1,...,2%и) 2 $(11,..., тп), где
т1,...,Хи — все параметры рассматриваемых формул, отлич-
ные от у, ит не входит свободно в Ф(т1,...,2п). Предположим,
что для любой модели Крипке ХК; = (К, <, О,!+) и любого а Е К
имеет место
alk Vrz...VtnVu (®(v, 21,...,2n) D № (11,...,50)). (9.1)
Докажем, что для любого а Е К имеет место
о |Е Ут1...Ухь (3% Ф( у, х1,..., 2.) 2 $(11,...,20)).
137

Это означает, что для любого а Е И и любых а1,..., ап Е Do
имеет место
a lk du ®(v, a1,...,an) D V(a1,..., Gn).
Пусть 6 > аи В! З%Ф(ч,а1,... ап), т. е. В! Ф(а, а1,..., ав)
для некоторого а Е Ов. Но из (9.1) следует, что
В! (Ф(а, а1,..., ав) 2 Ф(ал,...,@т)),
так что В |Е Ф(а1,..., ап), что и требовалось доказать.
Аналогично рассматривается правило (П]).
О
Пример. Докажем, что формула —-\х (Р(х) У -Р(х)) не вы-
водится в ИЙП, построив контрмодель для этой формулы. По-
ложим К = М, причем т = п = т < п для любых тп Е №.
Пусть О» = {0,...,п}. Положим т |+ Р(п) = т > п. Допу-
стим, что
ОЕ ——\х (Р(<) У -Р(1)). (9.2)
В силу определения отношения || для отрицания (9.2) означает,
что (Ут Е М) т И —Ух (Р(х) У-Р(т)). В частности,
ОХ —Ух (Р(х) У-Р(х)).
Это означает, что т |+ Ух (Р(т)У-Р(т)) для некоторого т Е М.
Отсюда и из определения соответствия || для квантора всеобщ-
ности следует т |+ Р(т)\У-Р(т), так как т Е Дю. В силу опре-
деления отношения || для дизъюнкции это означает, что либо
1) т Е Р(т), либо 2) т! -Р(т). Однако ни то, ни другое не
имеет места. Действительно, условие 1) не выполняется в силу
определения отношения |+ для атомов. Докажем, что условие 2)
также не выполняется. Допустим противное, т. е. т lk ~P(m).
В силу определения отношения || для отрицания это означает,
что (Уп > т)п / Р(т). Но это не так, ибо т + 11+ Р(т). Та-
ким образом, предположение (9.2) приводит к противоречию.
Значит,
ОЙ ——\х (Р(х) У -Р(1)),
и построенная модель Крипке является контрмоделью для рас-
сматриваемой формулы.
138

§9.2. Полнота ИИП относительно моделей
Крипке
Пусть дан элементарный язык Ём, не содержащий функ-
циональных символов и содержащий счетное множество кон-
стант /(. Множество высказываний Г языка Ly называется
М-насыщенным, если
1) Г непротиворечиво: не существует такой формулы Ф, что
Г Фи ГЕ -Ф, где | означает выводимость в ИИП;
2) Г замкнуто относительно выводимости в ИЙП: каково бы
ни было высказывание Ф языка Ём, если ГЕ Ф, то ФЕ Г;
3) Г обладает свойством диззюнктивности: каковы бы ни
были высказывания Ф и Ф, если (ФУФ) Е Г, тоФ Е Гили Ф Е Г;
4) Г обладает свойством экзистенциальности: каково бы ни
было высказывание вида 3иФ(%), если оно принадлежит множе-
ству Г, то Ф(с) Е Г для некоторой константы се М.
Предложение 26. [Густь М — не более чем счетное мно-
жество констант, М’ — его расширение за счет добавления
счетного множества дополнительных констант {с1, с2,...}.
Каковы бы ни были множество высказываний Г и высказыва-
ние Ф языка Гм, если Г ИФ, то сушествует М'-насыщенное
множество высказываний Г’ языка Гм, такое, что Г С Г' и
ФЕГ..
Доказательство. Так как сигнатура языка См, счетна, мно-
жество всех формул этого языка счетно. Будем считать, что
нам даны последовательность всех экзистенциальных высказы-
ваний языка Ём!
Эко Фо (50), Эи1 $1 (91), Эу2Ф2 (92), ... (9.3)
и последовательность всех дизъюнктивных высказываний язы-
ка L М!
/ /
Wo VU, Ui V Uy, Vov W,.... (9.4)
Индукцией по п определим множество высказываний Г.
При построении каждого из множеств Г„ будет рассматривать-
ся одна из формул последовательности (9.3) или последователь-
ности (9.4). Поэтому на каждом шаге будет существовать бес-
конечно много еще не рассмотренных формул в каждой из этих
139

последовательностей. Кроме того в формулах каждого из мно-
жеств Г, будет использоваться лишь конечное число дополни-
тельных констант с1,с2,....
Положим Го = Г. Допустим, что для некоторого п множе-
ство Г, определено, и определим множество Ги 1.
Случай 1. п четно. В последовательности (9.3) найдем пер-
вое еше не рассмотренное высказывание ЗиФ() такое, что
Г» | 3$ (о). Пусть с — первая константа из последовательности
Ст, С2,..., Которая не встречается в формулах из Ги и в рассмат-
риваемой формуле ЗФ (и). Положим Ги1 = Ги Ч {№ (с}}.
Случай 2. п нечетно. В последовательности (9.4) найдем
первое еще не рассмотренное высказывание V V {’ такое, что
Г, | ФУФ.. Если Гь о {Ф} И Ф, положим Ги = Гь О {$}.
В противном случае положим Ги1 = Ги Ц {$}.
CoO
Положим Г’ = |) Г» и докажем, что Г’р— искомое мно-
n=0
жество. Во-первых, докажем, что Г’И Ф. Заметим, что для
этого достаточно убедиться, что Г, И Ф для любого п. До-
кажем это индукцией по п. При п = 0 утверждение следует
из определения множества Го и условия предложения. Допу-
стим, что для некоторого п имеет место Г. И Ф, и докажем, что
Г»+1 ИФ. Допустим, что Ги+1 Е Ф, и рассмотрим два случая в
зависимости от того, п четно или нечетно. Пусть п четно. То-
гда Ги = Ги Ч {$ (с)}, причем Г, | ЗФ (и), а константа с не
встречается в Ф(%) и формулах из Г». Таким образом, по пред-
положению Ги Ц {Ф(с)} Е ХФ. По теореме о дедукции существует
вывод из Г, формулы Ф(с) 2 Ф. Заменим всюду в этом выво-
де каждое вхождение константы с на переменную и, которая не
встречается ни в одной из формул этого вывода. В силу предло-
жения 25 мы получим вывод из Г, формулы (и) > Ф. Отсюда
следует Г, Е ЗФ (и) 2 Ф, а так как Г, | ЭЗ9Ф(), то Г, Е Ф, что
противоречит индуктивному предположению. Если п нечетно,
и Га = Г, 4{\%}, причем Г, 4{% } И Ф, то доказываемое утвер-
ждение очевидно. Рассмотрим случай, когда Ги+1 = Ги Ц {№},
причем Г, + ФУТФ’и
Ги {9} $. (9.5)
Предположив, что Ги Ц {$} | Ф, и учитывая (9.5), по прави-
лу (У -+) получаем Г, у {УФ} Е Фи далее Г„ | Ф, что
140

противоречит индуктивному предположению.
Из доказанного следует, что множество Г’ непротиворечи-
во. Таким образом, выполнено условие 1) из определения М-
насыщенного множества. Докажем, что выполнено условие 2).
Допустим Г’Е Ф и докажем, что Ф © Г’. Очевидно, что Ги | $
для некоторого 7. Тогда Г; | ФУ ФТ для всех $ > т. Следо-
вательно, на некотором нечетном шаге построения последова-
тельности Г, формула Ф попадет в Г’. Выполнимость условия
3) очевидна: если Ф УФ" е Г’, то Г’Е ФУ\УФ,, и на некото-
ром нечетном шаге построения последовательности Ги одна из
формул УФ и W’ попадет в Г’. Докажем выполнимость условия
4). Пусть формула 3% Ф(%) принадлежит множеству Г’. Тогда
Pm / du V(v) для некоторого т и Г; Е Зи Ф(и) для всех $ > т.
Следовательно, на некотором четном шаге построения после-
довательности Г, формула Ф(с) попадет в Г’. Таким образом,
множество Г’ является М-насыщенным, причем Ф @ Г". м
Теорема 54. Если множество высказываний Г языка Ly яв-
ляется М-насыщенным, то существует модель Крипке К, та-
кая, что для любого высказывания Ф языка [м выполнено усло-
вие КЕФ-ФЕГ.
Доказательство. Последовательность множеств констант Ми
определим индуктивно: Мо = М, а М;+1 получается добавлени-
ем к М; счетного множества новых констант. Построим модель
Крипке Х.. Пусть К — семейство всех множеств А таких, что
1) А состоит из замкнутых формул некоторого языка Ём;;
2) А является М;-насыщенным;
3) TCA.
Jina A,A’ € K nonoxum A x A’ = АС А. Путь АЕК
является М;-насыщенным. Тогда полагаем Ол = М, и если
Р(с1,...,Ссп) — атомная формула, с константами с1,...,Сп Е М;,
положим
А!НР(с1,..., с.) = Р(с1,..., Сп) Е А.
Таким образом, построена модель Крипке K = (K, x, D,|F). Ho-
кажем, что для любого А Е К выполнено условие: если А яв-
ляется М;-насыщенным, то для любого высказывания $ языка
Ln,
a
ДЕФ => ФЕД. (9.6)
141

Индукция по логической длине Ф. Для атома Ф (9.6) выполнено
по определению |+. Пусть (9.6) выполнено, когда, Ф есть Ф или
Ф’. Докажем, что это условие выполнено, когда Ф есть VU & UV’.
Имеем:
ДНУ & 9’ => ДЕФидАНУ" = ФЕДИХ' ЕД ©
=> АЕФи АНТ] © [АЕ & У] 6 Ф& ХЕ ДА.
Докажем, что (9.6) выполнено, когда Ф есть VW V UV’:
АЕФУТХ' = [АНХ или АНУ] >
> ФЕД или Ф'ЕД]| SUVWEA.
Последняя равносильность основана на замкнутости А относи-
тельно выводимости и свойстве дизъюнктивности для А.
Докажем, что (9.6) выполнено, когда Ф есть Ф 2 W’:
ДНУ" < (УА' 5 АА ХФ = АНХ] >
<= (УА’2 А) ЕД’ = 9 ЕД] ФОТ ЕДА.
В последней равносильности импликация справа налево осно-
вана на замкнутости А относительно выводимости. Докажем
импликацию слева направо. Пусть
VWA'DA)VEAN swe’, (9.7)
но условие Ф D> W’ € A He Bemmonneno. Torna AU{WU} UV’. B cu-
лу предложения 26 существует М; + 1-насыщенное множество Д'
такое, что А С ДА’, UW € A’, Ho VW’ © А.. Значит, условие (9.7)
также не выполнено.
Случай, когда формула Ф есть —Ф рассматривается анало-
ГИЧНО.
Пусть дана формула Ф(и) с единственной свободной пере-
менной 9%. Тогда для любой константы с формула Ф(с) замкну-
та. Допустим, что (9.6) выполнено, когда, Ф есть Ф(с). Докажем,
что это условие выполнено, когда Ф есть Зи Ф(и):
A lk Ju U(v) & (Sc € Da) [A lk Vi(c)] &
< (de € Da) [V(c) € A] & Av V(v) € A.
Последняя равносильность основана на замкнутости А относи-
тельно выводимости и свойстве экзистенциальности для АД.
142

Докажем, что (9.6) выполнено, когда Ф есть Уи Ф(и):
A lk Vu U(v) & (VA" D A) (We € Da’) [A Е Ф(<]] &
(VA' D A) (Ve € Da’) [V(c) € A] & Vu V(v) € A.
В последней равносильности импликация справа налево осно-
вана на замкнутости А относительно выводимости. Докажем
импликацию слева направо. Пусть
(VA‘ D A) (Ve € Da’) № (с) Е Al, (9.8)
но при этом условие У Ф (и) Е А не выполнено. Тогда
Ab Vu V(v). (9.9)
В этом случае А И Ф(с) для любой константы с Е Mj4,1 \ Mj.
Действительно, если существует вывод Ф(с) из Д, то, заменив
в нем все вхождения с на переменную и, не встречающуюся
в этом выводе, в силу предложения 25 получим вывод из А
формулы (и) и затем получим А | Уи Ф(и), откуда нетрудно
получить А | Уи Ф(5), что противоречит условию (9.9). Таким
образом, если с Е М; 1 \ Мь, то А И Ф(с). В силу предложе-
ния 26 существует М; +2-насыщенное множество А’ такое, что
ACA’ uV(c) ¢ А’. Значит, условие (9.8) не выполнено вопреки
предположению.
Таким образом, (9.6) выполняется для любого М;-
насыщенного множества, А Е К и любого высказывания Ф язы-
ка [м,. В частности, имеем Г |+ Ф <> ФЕТ, каково бы ни
было высказывание Ф языка [м. Для завершения доказатель-
ства теоремы остается заметить, что Г — наименьший элемент
шкалы модели К, так что ГЕФ®КЕ Ф. oO
Теорема 55. Для любого непротиворечивого множество вы-
сказываний существует модель Крипке.
Доказательство. Пусть Г — непротиворечивое множество
высказываний сигнатуры 42). Тогда найдется высказывание
Ф, невыводимое из Г. В силу теоремы 26 существует М-
насыщенное множество высказываний Г’ сигнатуры 2’, полу-
ченной добавлением к {2 счетного множества дополнительных
констант, такое, что Г С Г’. По теореме 54 существует модель
Крипке Х; для множества Г’. Так как Г С Г’, то К — модель
Крипке для множества Г. LJ
143

Пусть Г — некоторое множество высказываний элементар-
ного языка, Ф — некоторое высказывание этого языка. Будем
говорить, что Ф логически следует из Г и писать Г | Ф, ес-
ли в любой модели Крипке для языка (), в которой истинны
все высказывания из Г, высказывание Ф также истинно. Имеет
место следующая обобщенная теорема о корректности ИИП
относительно моделей Крипке.
Теорема 56. Каковы бы ни были множество высказываний Г
и высказывание Ф языка О, если ГЕ ХФ, то ГЕФ.
Доказательство. Пусть Г Е Ф. Тогда существует конечное мно-
жество А = {Ф1,...,Ф,} С Г такое, что А | Ф. Применяя п раз
теорему о дедукции, получаем | Ф!: 2 (... 2 (Фи о ®)...).
В силу теоремы о корректности ИЙИП (теорема 53) формула
$. > (...5 ($. 55$)...) (9.10)
истинна в любой модели Крипке. Докажем, что Г | Ф. Пусть
К — модель Крипке для языка ®, в которой истинны все вы-
сказывания из Г. Тогда все формулы Ф1,...,Фи истинны в мо-
дели К. Так как кроме того формула (9.10) истинна в модели
К, то формула Ф также истинна в модели К. CJ
Обобщенная теорема о полноте интуиционистского исчис-
ления предикатов относительно моделей Крипке формулирует-
ся так:
Теорема 57. Каковы бы ни были множество высказываний Г
и высказывание Ф языка ®, если Г Е Ф, то ГЕФ.
Доказательство. Докажем, что если Г И Ф, то Г Е Ф. По-
следнее означает, что существует такая модель Крипке Х; для
языка {7}, что КЮ ЕГ (т.е. в К истинны все высказывания из Г),
но К № Ф. Итак, пусть ГИ Ф, и пусть М’ получено добавлением
к множеству констант М языка “) счетного множества новых
констант. В силу предложения 26 существует М’-насыщенное
расширение Г’ множества Г такое, что Ф @ Г’. По теореме 54
существует модель Крипке Х; такая, что К Е ХФ < ФЕ Г, како-
во бы ни было высказывание Ф языка Ly. Tax xak I CI”, ro
отсюда следует, что К Е Г, а так как Ф # Г’, то К; № Ф. Значит,
К, — искомая модель. С
144

Теоремы 56 и 57 вместе дают следующее утверждение:
Теорема 58. Каковы бы ни были множество высказываний
Г и высказывание Ф языка О, имеет место Г Е Ф тогда и
только тогда, когда Г | Ф.
Если множество высказываний Г языка © пусто, то Г Е Ф
означает, что высказывание Ф истинно в любой модели Крипке
для языка ®), а Г | Ф означает выводимость высказывания Ф.
Если в теореме 58 положить Г пустым, получается следующая
теорема о полноте ИИП относительно моделей Крипке:
Теорема 59. Если высказывание Ф языка истинно в любой
модели Крипке для языка ®, то Ф выводимо в ИИЦ.
Теорема о полноте ИИП относительно моделей Крипке вме-
сте с теоремой о корректности ИЙИП относительно моделей
Крипке (теорема 53) дают следующее утверждение:
Теорема 60. Высказывание Ф языка выводимо в ИИП тогда
и только тогда, когда Ф истинно в любой модели Крипке для
языка &.
89.3. Интуиционистские теории
В классической математической логике элементарной тео-
рией называется произвольное множество Г высказываний дан-
ного элементарного языка Г. Интуитивно Т понимается как
множество аксиом, а теоремами теории Г считаются логические
следствия из Т. В силу теоремы Г6деля о полноте классическо-
го исчисления предикатов (теорема, 26) теоремы теории Т — это
в точности все высказывания, выводимые из Т в классическом
исчислении предикатов.
Следуя этой идее, мы можем определить интуиционистскую
теорию как произвольное множество Т высказываний данного
интуиционистского элементарного языка, а ее теоремами счи-
тать такие высказывания Ф, что имеет место Т Е Ф в смысле
логического следования, определяемого через модели Крипке.
В силу теоремы 57 теоремами интуиционистской теории Т яв-
ляются в точности все высказыания, выводимые из Т в ИИП.
Интуиционистская теория называется противоречивой, ес-
ли существует такое высказывание Ф, что оно и его отрицание
145

—Ф оба являются теоремами этой теории; в противном случае
теория называется непротиворечивой. Нетрудно убедиться, что
теория противоречива тогда и только тогда, когда всякое вы-
сказывание является ее теоремой. Из доказательства теоремы
о полноте интуиционистского исчисления предикатов следует,
что для всякой непротиворечивой теории Т существует модель
Крипке K такая, что © Е Т. Такая модель Крипке К; называ-
ется моделью теории ТГ.
Говорят, что теория ТГ обладает свойством диззюнктивно-
сти, если из того, что высказывание вида Ф \ \ является тео-
ремой теории Т’, следует, что хотя бы одно из высказываний Ф
и WV является теоремой этой теории. Теория Т обладает свой-
ством экзистенииальности, если из того, что высказывание
вида 3 Ф(у) является теоремой теории Т, следует, что суще-
ствует константа, с такая, что высказывание Ф(с) является тео-
ремой этой теории. Очевидно, что имеет смысл говорить об эк-
зистенциальности теории Т только в том случае, когда язык
этой теории содержит хотя бы одну константу.
Пусть К1 = (Ка, 51, ОУН) и К2 = (Ко, 52, 0*,|-2) — моде-
ли Крипке, причем К1 ПК.) = 0. Их суммой называется модель
К = (К, =, О»), где
ekK=k,U Kg;
e a < В тогда и только тогда, когда для некоторого $ Е {1,2}
имеет место о (Е А; ВЕ К,, и при этом а =; 2;
® если ое К;, гдезЕ {1,2}, то Da = Dt;
® еслиаЕ К;, гдезЕ {1,2}, то для произвольного атома, А
имеет место с || А тогда и только тогда, когда, © |; А.
Сумма моделей К1 и К.2 обозначается К1 + К2. Очевидно, что
для любого высказывания Ф
(Ki, +К2) ЕФ® К Е Фик ЕФ.
Отсюда следует, что сумма двух моделей теории Т также явля-
ется моделью этой теории.
Сумма »` К; любого семейства, моделей Крипке {К; |1 Е Г}
iel
определяется аналогично. И в этом случае, если все К; (1Е Г)
146

являются моделями теории Т, то > К; также является моделью
ЕТ
этой теории.
Для произвольной модели Крипке К; = (К, =,О,|Н) для язы-
ка Гм, где М 2 0, определяется модель К’ = (К’, =’, О’, Е’)
следующим образом:
e K'=K U {ao}, rue ao ¢ K;
® оо <’ а для любого а Е К’; если а, ВЕ К, то а =’ В тогда
и только тогда, когда а = 0;
e Dy = По, если а Е К, а О., состоит из значений всех
констант в модели К, иными словами, О, = {< |сЕ М};
е если © Е К, то для произвольного атома А имеет место
о |-’А тогда и только тогда, когда © || А; оо ||’ А тогда и
только тогда, когда, © Е А.
Теорема 61. Если класс моделей теории Т замкнут относи-
тельно операции ', то теория Т обладает свойствами дизс-
юнктивности и экзистенииальностыи.
Доказательство. Пусть класс моделей теории Т замкнут отно-
сительно операции '. Как отмечалось выше, он замкнут и отно-
сительно операции суммирования. Докажем, что теория Т об-
ладает свойством дизъюнктивности. Пусть Г Е А\УВ. Докажем,
что имеет место ГЕ А или ТЕ В. Допустим противное: ГИ Аи
ТИ В. Как следует из доказательства теоремы о полноте ИЙП
относительно моделей Крипке (теорема 57), существуют такие
модели К1 и К теории Т, что К: № А, К2 Ё В. Это означает,
что в шкалах моделей К1 и К2 существуют элементы а1 и a2
соответственно такие, что а1 |! А, а2 |! В. Рассмотрим модель
Крипке К = (К! + К2)', которая очевидно является моделью
теории ТГ. Пусть ао — наименьший элемент шкалы модели К.
Тогда со |! АУ В, так как оо | АД, ибо ap < опиа! И А, а
также со |! В, ибо мо = а2 и а2 И! В. Это противоречит тому,
что ^; — модель, а АУ В — теорема теории Т.
Докажем, что теория Т обладает также свойством экзи-
стенциальности. Пусть Т Е Зо А(5). Докажем, что имеет место
ТЕА(с) для некоторой константы с Е М, где М — множество
147

всех констант языка, теории Т. Допустим противное: ТИ А(с)
для любой константы с Е М. Тогда для любой константы с е М
существует такая модель Крипке Хс теории Т, что Кс 2 А(с).
Это означает, что в шкале модели Кс существует элемент ас та-
кой, что с № А(с). Рассмотрим модель Крипке К = (»` Кс)’,
сЕМ
которая очевидно является моделью теории Т. Пусть оо — наи-
меньший элемент шкалы модели К. Тогда со |! Зи А(%), так
как Ди = М, но 0% И А(с) для любой константы с Е М, ибо
Qo <асиас Й А(с). Это противоречит тому, что К; — модель,
a Jv A(v) — теорема, теории Т. О
89.4. Теории и модели с равенством
При формализации математических теорий обычно исполь-
зуется предикат равенства =. Однако, если в элементарном язы-
ке имеется предикатный символ =, то в моделях Крипке мы
вовсе не обязаны интерпретировать его именно как равенство.
Модель Крипке К = (К, =,ШО,|Е) для языка сигнатуры 2 U {=}
будем называть нормальной, если для любого & Е И и любых
аб Е Да имеет место а |Е а = 6 тогда и только тогда, когда
действительно а = 6.
Через Е9(О) обозначим следующее множество высказыва-
ний сигнатуры @ Ц {=}:
Eql. Va (x = 2);
Eq2. Va Vy (2 =y Dy =2);
Eq3. Ve Vy Vz (2 =y&y=2zD2=2);
Eg4. Va Vy (2 = y V mx = y);
Eq(P). V21...V2n Vy1..-Vyn (41 = yr & ...& Ln = Yn D
> (P(z1,..-,2n) D Plyi,..-,Zy)))
для каждого (п-местного) предикатного символа Р сигнату-
ры 40.
148

Теорема 62. Каково бы ни было множество высказываний
Г сигнатуры @ Ц {=}, оно имеет нормальную модель Крипке
тогда и только тогда, когда существует модель Крипке для
множества ГУ Е 4(®).
Доказательство. Допустим, что множество высказываний Г в
сигнатуре 9Ц{=} имеет нормальную модель Крипке К.. Очевид-
но, что все высказывания из Ё49() истинны в любой нормаль-
ной модели Крипке, в частности, в модели К. Следовательно,
К является моделью множества Г Ц Е4(®).
Обратно, допустим, что существует модель Крипке для
Гу Еа(9). Следовательно, множество ГЦ Еа(®) непротиворе-
чиво, и в силу предложения 26 его можно расширить до насы-
щенного множества высказываний Гу в сигнатуре со счетным
множеством констант Мо = {с9, 8, с9,...}. Применим к Го кон-
струкцию из доказательства теоремы 54 для построения моде-
ли Крипке Х,, в которой истинны в точности все высказывания
из Го. Элементами К являются М;-насыщенные ($ = 0,1,2,...)
множества, высказываний, где М; = M;_,U {ch, ci, ch,...}. Ecan
А ЕК есть М;-насыщенное множество, будем говорить, что А
принадлежит уровню $.
Построим нормальную модель Крипке КЛ для Г следующим
образом. Индукцией по 1 преобразуем все насыщенные множе-
ства 1-го уровня, входящие в К. При 1 = 0 единственным таким
множеством является Го. Определим на множестве Мо бинар-
ное отношение = так: если аб Е Мо, то а = В тогда и только
тогда, когда а = Бе Го. Так как в К истинны высказывания
Еа1 - Еа3, то = — отношение эквивалентности на Мо. Более
того, так как для каждого предикатного символа, Р! в К, истин-
но высказывание Еа(Р), то из а1 ® 61,... , ап ® В, следует, что
для любого АЕК
P(ay,...,€n) EAS P(bi,...,bn) € A.
Заметим также, что в силу истинности в К; высказывания Ед4,
если а 28 6, то -а =6БЕ А, каково бы ни было АЕ К.
Множество Мо разбивается на классы эквивалентности по
отношению А. Выберем в каждом из них по одному предста-
вителю и заменим во всех формулах, входящих хотя бы в одно
из множеств А Е КА каждую константу из Мо на выбранный
149

представитель из того класса, в который эта константа входит,
и оставим в каждом из М; только эти выбранные представи-
тели. После такого преобразования окажется, что на нулевом
уровне истинны только такие высказывания вида а = 6, где
действительно а и 6 совпадают. При этом каждое из множеств
ДА только уменьшится, но порядок по включению между ними
сохранится.
Подробно рассмотрим случай 1 = 1. Зафиксируем какое-
нибудь насыщенное множество уровня 1 из К. Обозначим его
Г:. Определим на уже преобразованном множестве М1 бинар-
ное отношение =, положив, что для а, 6 Е М1 имеет место а = В
тогда и только тогда, когда а = БЕ Г1. Так как в К истинны
высказывания Еа1 -— Еа3, то = — отношение эквивалентности
на М1. Более того, так как для каждого предикатного символа
РвК истинно высказывание Еа(Р), то из а1 = 61,... , @п ®
следует, что если Г1 С АД, то
P(ay,..-,€n) EC AS P(by,...,bn) E A.
Заметим также, что в силу истинности в К высказывания Еа4
в этом случае из а 2 В следует, что -а =6Е А. Множество М1
разбивается на классы эквивалентности по отношению &. Вы-
берем в каждом из них по одному представителю, причем этим
представителем пусть будет элемент из М0, если таковой там
есть; в противном случае пусть представителем будет констан-
та с’ с наименьшим нижним индексом 7. Заменим во всех фор-
мулах, входящих хотя бы в одно из множеств А 2 Г! каждую
константу из М1 на выбранный представитель из того класса,
в который эта константа входит, и оставим в его предметной
области М; только эти выбранные представители.
Проделаем эту процедуру со всеми множествами Г1 первого
уровня. Докажем, что если А Е К является расширением мно-
жеств Г! и Г\ первого уровня, то в результате преобразований,
связанных с этими множествами, из А получается одно и то же
множество. Для этого достаточно убедиться, что невозможен
случай, когда для некоторых аб Е М! имеет место одновре-
менно а =БЕГ! и -а =65Е Г\. Но это действительно так, ибо
в противном случае получилось бы, что одновременно а = БЕ А
и -а =БЕ А. Значит, описанное преобразование корректно.
После такого преобразования окажется, что на первом
150

уровне истинны только такие высказывания вида а = 6, где
действительно а и 6 совпадают. При этом множества высших
уровней из К только уменьшатся, но порядок по включению
между ними сохранится.
Проделав эту процедуру для всех 1 = 0,1,2,..., мы получим
нормальную модель для ГОЕа(®), а следовательно и для Г, что
и требовалось доказать. Ш
Исчисление, полученное добавлением к ИИПо множества
аксиом Е4(®), называется ИЙПо с разрешимым равенством.
Теорема 63. Если множество замкнутых формул Г сигна-
туры @ Ц {=} непротиворечиво в ИИПо с разрешимым равен-
ством, то Г имеет нормальную модель Крипке.
Доказательство. Так как в ИИПо с разрешимым равенством
из множества высказываний Г не выводится противоречие, то
множество высказываний ГОЕа(®) непротиворечиво в обычном
смысле. В силу теоремы 55 для множества ГО Ё4(®) существу-
ет модель Крипке, а тогда по теореме 62 множество Г имеет
нормальную модель. м
89.5. Свойства дизъюнктивности и экзистен-
циальности ИИП
Пусть фиксирована сигнатура (), содержащая лишь констан-
ты и предикатные символы. В силу теоремы о корректности
ИИП относительно моделей Крипке (теорема 53) любая модель
Крипке является моделью пустой теории Т', т. е. теории, не со-
держащей ни одной аксиомы. Теоремами этой теории являются
в точности все высказывания, выводимые в ИЙП. Очевидно,
что класс моделей теории Т замкнут относительно операции '.
Поэтому из теоремы 61 следует, что ИИП обладает свойством
дизъюнктивности: если в этом исчислении выводимо высказы-
вание языка () вида А \/ В, то выводима хотя одна из формул
Аи В. Если же язык ® содержит хотя бы одну константу, то
из теоремы 61 следует, что ИИП обладает также и свойством
экзистенциальности: если высказывание вида 3% А(у) выводимо
151

в ИИП, то для некоторой константы с высказывание А(с) вы-
водимо в ИЙП. Приведем другое доказательство этих свойств
для ИИП, использующее понятие реализуемости, которое при-
менялось в $ 6.6 при доказательстве свойства дизъюнктивности
для ИИВ (теорема 42).
Теорема 64. Если сигнатура ‘) содержит хотя бы одну кон-
станту, то ИИПо обладает свойствами диззюнктивности, и
экзистенциальности.
Доказательство. Определим понятие «высказывание АД язы-
ка (2) реализуемо», обозначаемое г А, индукцией по логической
длине А (здесь Е означает выводимость в ИЙП]:
® никакое атомное высказывание не реализуемо;
ег(А&В) = ГА&ЕВ};
er(AVB)=H[(rA& FA)V(TrB& FB);
er(ADB)=[(rA& FA) SrBi;
е г-—Д = Неверно, что (r A & F A);
e rVv A(v) = [r A(c) aaa m060% KOHCTaHTHI Cc curHaTyppI 2];
e rdv A(v) = [(r A(c) & Е А(с)) для некоторой константы с
сигнатуры ®].
Предложение 27. Каково бы ни было высказывание А языка
(0, если Е А, тогА.
Доказательство. Поскольку даже в выводе высказывания мо-
гут встречаться формулы со свободными переменными, что-
бы использовать индукцию по выводу формулы А в ИЙП мы
будем доказывать более сильное утверждение: если формула
А(%1,..., п) с параметрами %1,...,%„ выводима в ИЙП, то реа-
лизуемо высказывание А(с1,...,Си), каковы бы ни были кон-
станты с1,....си сигнатуры ©. Сначала докажем, что этим
свойством обладают все аксиомы. Будем считать, что подста-
новка произвольных констант вместо параметров каждой из
рассматриваемых аксиом уже произведена. Схемы аксиом 1 —
10 ИИП совпадают со схемами И1 - И10 ИИЬ, и доказательство
152

реализуемости замкнутых аксиом, полученных по этим схемам,
проводится, как в доказательстве теоремы 42.
Рассмотрим схемы аксиом 11 и 12.
11. Vv A(v) > А(с), где с — произвольная константа сигна-
туры 2. Реализуемость этого высказывания означает, что если
высказывание У А(%) реализуемо и выводимо, то г А(с), но это
очевидно, ибо реализуемость Уо А(%) как раз и означает реали-
зуемость А(с) для любой константы с.
12. А(с) > З9 А(и), где с — произвольная константа сигна-
туры 2. Реализуемость этого высказывания означает, что если
r A(c) ut A(c), ror A(c’) & Н А(с’) для некоторой константы с’,
что очевидно, если в качестве с’ взять с.
Корректность правила МР устанавливается так же, как
в доказательстве теоремы 42. Докажем корректность правил
Бернайса. Рассмотрим правило удаления квантора существо-
вания. Пусть это правило применяется к выводимой формуле
A(v) > В, где В — высказывание. Предположим, что для нее
верно доказываемое утверждение, которое означает
гА(с)& НА(с) =гВ (9.11)
для любой константы с. Требуется доказать реализуемость вы-
сказывания Зо А(%) > В. Она означает, что если г А(с) & ЕН А(с)
для некоторой константы с, и | Зи А(и), тог В, но это очевидно
в силу (9.11).
Докажем корректность правила введения квантора, всеобщ-
ности. Пусть это правило применяется к выводимой формуле
В > А(%), где В — высказывание. Предположим, что для нее
верно доказываемое утверждение, которое означает
гВ& ЕВ-гА(с) (9.12)
для любой константы с. Требуется доказать реализуемость вы-
сказывания В > Уи А(ч). Она означает, что если г В & [ В, то
гУо А(у), т.е. гА(с) для любой константы с, но это очевидно в
силу (9.12). 0
Теперь свойство дизъюнктивности ИИП доказывается сле-
дующим образом. Пусть высказывание А\ В выводимо в ИЙП.
В силу предложения 27 это высказывание реализуемо, т. е. име-
ет место г А& [| А илигВ & Е В. В первом случае получаем
153

выводимость высказывания А, во втором — выводимость вы-
сказывания В.
Докажем свойство экзистенциальности ИЙП. Пусть выска-
зывание 3 А(у) выводимо в ИИП. В силу предложения 27 это
высказывание реализуемо, т. е. имеет место г А(с) & Е А(с) для
некоторой константы с, но тогда выводима формула А(с), что
и требовалось доказать. LJ
Мы доказали свойство дизъюнктивности для ИИПо только
в случае, когда сигнатура, {2 содержит хотя бы одну константу.
Оказывается, это ограничение несущественно.
Теорема 65. ИЙП в любой сигнатуре \} обладает свойством
диззюнктивности.
Доказательство. Если сигнатура 4) содержит хотя бы одну
константу, доказываемое утверждение следует из теоремы 64.
Пусть сигнатура {2 не содержит констант. Добавим к ней кон-
станту с и получим сигнатуру О’. Допустим, что имеется вы-
вод высказывания А \ В в ИИПо. Этот вывод является выво-
дом того же высказывания в ИИПо. Так как по теореме 64 это
исчисление обладает свойством дизъюнктивности, то имеется
вывод в этом исчислении хотя бы одной из формул А и В. За-
меним в формулах из этого вывода все вхождения константы
с на переменную 1, не входящую ни в одну из этих формул.
В силу предложения 25 получится вывод формулы 4‘ или В“
в ИИПо. Но А и В — высказывания языка (2) и потому не со-
держат вхождений константы с, так что 4° и В° совпадают с А
и В соответственно. Следовательно, одно из высказываний Аи
В выводимо в ИИПо. С
В заключение установим еще один любопытный факт, каса-
ющийся ИИП.
Теорема 66. Пусть сигнатура ® не содержит констант. То-
гда высказывание вида Зи А(у) выводимо в ИИПо, если и толъ-
ко если в этом исчислении выводимо высказывание Уи А(у).
„Доказательство. Пусть дан вывод ...,/и А(у) высказыва-
Hua Vu A(v) B ИИПо. Продолжим его следующим образом:
...,Vu A(v), Vu A(v) > А(%) (аксиома 11), А(%) (по правилу МР),
154

A(v) > Зо А(%) (аксиома 12), Зо А(у) (по правилу МР). Полу-
чился вывод формулы Зи А(%). Таким образом, мы доказали,
что высказывание 3 А(у) выводимо в ИИП, если выводимо вы-
cka3biBaHue Vu A(v).
Докажем обратное утверждение. Пусть высказывание
Зи А(%) выводимо в ИИПо. Тогда это высказывание выводимо в
ИИП5, полученной добавлением к ® константы с. В силу теоре-
мы 64 ИИПо обладает свойством экзистенциальности, следова-
тельно, высказывание А(с) выводимо в ИИПо, т. е. существует
вывод этого высказывания в ИИПо. Пусть и — переменная, не
входящая ни в одну из формул этого вывода. В каждой форму-
ле из этого вывода заменим все вхождения константы с на Ww.
В силу предложения 25 мы получим вывод ..., А(ш) формулы
А(ш) в ИИПо. Зафиксируем некоторую замкнутую аксиому В
ИИПо и продолжим этот вывод следующим образом: ...,А(),
А(ш) > (ВО А(и)) (аксиома 1), В 2 А(и) (по правилу МР),
В 2 \ш А(и) (по правилу введения квантора всеобщности), В
(аксиома), Уи А(ш) (по правилу МР), Уш А(и) > А(%) (аксио-
ma 11), Vw A(w) > Уи А(%) (по правилу введения квантора все-
общности), Уо А(%) (по правилу МР). Получился вывод форму-
лы \о А(%), что и требовалось. 0
Заметим, что в теореме 66 существенно требование, чтобы
сигнатура ® не содержала, констант. Так, если, например, сиг-
натура () содержит константу с и одноместный предикатный
символ Р, то формула 3% (Р(с) > Р(%)) выводима в ИЙПо, од-
нако формула \ (Р(с) > Р(®)) невыводима.
Упражнения
1. С помощью подходящих контрмоделей доказать, что сле-
дующие формулы невыводимы в ИЙП:
—Ух —Р(х) 2 3х Р(т); (Р D Ar Q(az)) D Ar (P D Q(z));
Wa P(x) > 3х -Р(т); -3х-Р(1) D Va P(x);
Ух (Р(х) У-Р(1)) & --3х Р(т) 2 3х Р(т).
2. Доказать, что если существует модель Крипке К, такая,
что для любого высказывания Ф из множества высказы-
ваний Г языка Г. м выполнено условие K = Ф & @ ET, ro
множество Г является М-насыщенным.
155

Литература [1] А. В. Идельсон и Г. Е. Минц, ред. Математическая тео- рия логического вывода. Наука, М., 1967.
[2] Е. Расёва, и Р. Сикорский. Математика метаматемати- [3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
156
ки. Наука, М., 1972.
А. Френкель и И. Бар-Хиллел. Основания теории мно-
жеств. Мир, М., 1966.
Д. Гильберт и П. Бернайс. Основания математики. Ло-
гические исчисления и формализация арифметики. Наука,
M., 1979.
A. H. Колмогоров. О принципе етйит поп аафит. Мате-
матический сборник, 32:646-667, 1925. См. также [9], с.
45-69.
С. К. Клини. Введение в метаматематику. ИЛ, М., 1957.
В. А. Янков. О связи между выводимостью в интуцио-
нистском исчислении высказываний и конечными импли-
кативными структурами. Доклады Академии наук СССР,
151:1293-1294, 1963.
А. Г. Драгалин. Математический интуиционизм. Введе-
ние в теорию доказательств. Наука, М., 1970.
А. Н. Колмогоров. Избранные труды. Математика и ме-
таника. Наука, М., 1985.
В.Е. Плиско. Исчисление А. Н. Колмогорова как фрагмент
минимального исчисления. Успехи математических наук,
43:79-91, 1988.
А. Гейтинг. Обзор исследований по основаниям матема-
тики. ОНТИ, М.; Л., 1936.
А. Гейтинг. Интуиционизм. Мир, М., 1965.
L. E. J. Brouwer. Begriindung der Mengenlehre unabhangig
vom logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten. I und II.
Verhandelingen der Koninklijke Akad. van Wetenschappen te
Amsterdam (eerste sectie), 12, 1918-1919.
L. E. J. Brouwer. Consciousness, philosophy and mathematics.
Proc. X Internat. Congress Philosophy, pp. 1235-1249, 1948.
G. Cantor. Gesammelte Abhandlungen mathematischen und
philosophischen Inhalts. Berlin, 1932.

[16]
[17]
[18]
[19]
[20]
[21]
[22]
[23]
[24]
[25]
[26]
[27]
G. Gentzen. Untersuchungen tiber das logische Schliessen. I,
II. Mathematische Zeitschrift, 39:176—210, 405-431, 1934-1935.
Русский перевод [1], с. 9-74.
V. I. Glivenko. Sur quelques points de la logique de M.
Brouwer. Bulletin Classe des Sciences Academie Royal
Belgique, Série 5, 15:183-188, 1929.
K. Godel. Eine Interpretation des intuitionistischen
Aussagenkalkiils. Ergebnisse eines mathematischen
Kolloquiums, 4:40, 1933.
K. Godel. Zur intuitionistischen Aussagenkalkiil. Ergebnisse
eines mathematischen Kolloquiums, 4:39—40, 1933.
A. Heyting. Die formalen Regeln der intuitionistischen
Logik. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der
Wissenschaften. Physikalisch-mathematische Klasse, pp. 42-
52, 1930.
D. Hilbert. Die logischen Grundlagen der Mathematik.
Mathematische Annalen, 88:151-165, 1923.
S. Jaskowski. Recherches sur le systeme de Is logique
intuitioniste. Actes du Congrés International de Philosophie
Scientifique, VI, Philosophie des mathématique. Actualités
scientifique et industrielle, 393:58-61, 1936.
I. Johansson. Der Minimalkalkiil, ein reduzierte
intuitionistischer Formalismus. Compositio Mathematica,
4:119-136, 1937.
S. C. Kleene. On the interpretation of intuitionistic number
theory. Journal of Symbolic Logic, 10:109-124, 1945.
A. N. Kolmogorov. Zur Deutung der intuitionistischen Logik.
Mathematische Zeitschrift, 35:58-65, 1932. Pycckuli nepeBoy
[9], с. 142-148.
B. Russell. The principles of mathematics. London, 1903.
D. van Dalen. Lectures on intuitionism. Lect. Notes Math.,
337:1-94, 1973.
157

Предметный указатель
Аксиомы ИИВ 67 — Крипке 112, 134
— ИИП 127 — — нормальная 147
Алгебра булева, 83
— Линденбаума 103 Наивная теория множеств 12
— открытых множеств 110
— псевдобулева 83 Операция Г 86
— — гёделева 87 —' 117
— Яськовского 88 Отношение 15
— антисимметричное 15
Гомоморфизм 88 — иррефлексивное 15
Гомоморфный образ 88 — предпорядка 16
Грань верхняя 77 — рефлексивное 15
— нижняя 77 — симметричное 15
— транзитивное 15
Изоморфизм 88 — частичного порядка, 16
ИИВ 67 — эквивалентности 15
ИИП 127 Отображение 14
— с разрешимым равенством 150 — на 14
Интуиционистское исчисление Оценка 36, 73, 112
высказываний 67
— — предикатов 127 Парадокс Кантора 19
Исчисление Гильберта 65 — Рассела 19
— Колмогорова 65 Параметр формулы 51
— минимальное 67 — формы 48
— позитивное 68 Переменная 48, 50
— табличное 98 — свободная 48, 51
— связанная 48, 51
Контрмодель 73, 134 Подмножество 12
— строгая 117 — собственное 12
Последовательность 17
Логическая матрица 73 — фундаментальная 18
Логическое следствие 54, 143 Правила Бернайса 55
Правило вывода 38
Множество 12 — — производное 43
— открытое 110 Предикат 49
— счетное 17 Предикатный символ 50
— формул непротиворечивое 42 Предпорядок 16
Модель 53, 73 Принцип абстракции 12
158

— приведения к абсурду 43
— свертывания 12
— сохранения истинности 112
Произведение соответствий 13
Простая импликация 70
— конъюнкция 70
Прямое произведение 13, 83
Псевдодополнение 83
— относительное 79
Разрешимость ИЙВ 124
Ранг простой импликации 118
Расширение множества 12
— — собственное 12
Решетка 77
— дистрибутивная 79
— импликативная 80
Свободно становящаяся последо-
вательность 6, 7
Свойство дизъюнктивности 106,
138, 145, 151
— экзистенциальности 138, 145,
151
Сигнатура 50
Соответствие 13
— взаимно-однозначное 14
— всюду определенное 14
— инъективное 13
— обратное 13
— сюръективное 14
— тотальное 14
— функциональное 14
Сумма шкал Крипке 116
— моделей Крипке 145
Сюръекция 14
Теорема, 54
— Гливенко 99
— Кантора 14
— о дедукции 41, 57, 127
— — корректности ИИВ 91, 115
— — — ИИП 135
— — — — обобщенная 142
— — — классического исчисления
высказываний 45
— — — — — — — обобщенная 46
— — полноте ИИВ 105, 118
— — — ИИП 144
— — — — обобщенная 143
— — — классического исчисления
высказываний 47
— — — — — — — обобщенная 47
— об эквивалентной замене 68
Теория элементарная 54
— — несовместная 54
— — совместная 54
Tepm 50
Упорядоченная пара 12
Фактор-множество 15
Формализм 5, 6
Формула 50
— атомная 50
— замкнутая 51
— пропозициональная 34
— реализуемая 107, 151
Функциональный символ 50
Функция 14
Частичный порядок 16
Числа действительные 18
— натуральные 17
— рациональные 17
— целые 17
Шкала Крипке 112, 134
Эквивалентность 15
Элемент гбёделев 87
— множества, 12
Элементарная теория 54, 144
Элементарный язык 50, 126
159

YAK 510.24
Интуиционистская логика / В. Е. Плиско,
В. Х. Хаханян. — М.: Изд-во при мех.-мат. ф-те МГУ,
2009. — 159 с.
В книге систематически излагаются основные сведения, относя-
щиеся к интуиционистской логике: мотивировка построения интуи-
ционистской логики в виде исчисления Гейтинга, псевдобулевы ал-
гебры и модели Крипке как аппарат исследования интуиционистских
логических и логико-математических систем. Часть представленно-
го в книге материала ранее излагалась только в журнальных ста-
тьях. Книга написана на основе специальных курсов, читавшихся
авторами в течение ряда лет на механико-математическом и фило-
софском факультетах Московского Государственного Университета,
имени М. В. Ломоносова. Для чтения книги не требуется никаких
предварительных знаний: все необходимые сведения из математиче-
ской логики излагаются в книге. Книга может служить для перво-
начального ознакомления с вопросами оснований математики, а так-
же классической и неклассической математической логикой. Книга,
предназначена для студентов и аспирантов, а также специалистов по
математической логике, информатике и кибернетике.
(© В.Е. Плиско, В. Х. Хаханян

Учебное издание
Интуиционистская логика
В. Е. Плиско, В. Х. Хаханян
Оригинал-макет изготовлен издательской группой
метанико-математического факультета МГУ
Полписано в печаль 23.11.2009 г.
Формат 60х90 1/16. Объем 10 п.л.
Заказ 23 Тираж 100 экз.
Отпечатано на типографском оборудовании механико-мате-
матического факультета МГУ
119992, г. Москва, Ленинские горы, д. 1.