/
Автор: Драгалин А.Г.
Теги: анализ философия математика естественные науки философия математики
Год: 1979
Текст
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
ЛОГИКА ИНТУИЦИОНИЗМ
И ОСНОВАНИЯ ВВЕДЕНИЕ
МАТЕМАТИКИ В ТЕОРИЮ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ
А. Г. ДРАГАЛИН
МОСКВА «НАУКА» МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1979 1979
22.12
Д72
УДК 517
Альберт Григорьевич Дрмалин
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНТУИЦИОНИЗМ
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ
(Серия: «Математическая логика и основания математики»)
ИБ 11194
М., 1979 г., 256 стр.
Редактор В. В. Допченпо
Технический редактор В. Н. Нондакова
Корректоры Г. С. Вайсберг, Т. А. Панькова, Г. В. Подвольская
Сдано в набор 18.05.79. Подписано к печати 29.08.79. Т-16136.
Бумага 84х108«/а2. тип. М 1. Обыкновенная гарнитура. Высокая печать.
Условн. печ. п. 13,44. Уч.-изд. л. 14,13. Тираж 6700 экз. Заказ JM4 1878.
Цена книги 1 р. 20 к.
Ивдатепьство «Наука»
Главная редакция фивико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
2-я тип. из-ва «Наука» 121099, Москва. Г-99, Шубинский пер, 10
д
20203—136
053@2)-79
¦70-79 1702020000
I Главная редакция
физнко-математичеекой литературы
издательства «Наука», 1979
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 7
Часть 1
Логика 11
1. Неформальные пояснения 11
2. Интуиционистская логика предикатов 19
3. Исчисление секвенций 23
4. Некоторые результаты относительно интуиционист-
интуиционистской логики предикатов 28
5. Классическое исчисление секвенций 30
6. Формальные аксиоматические теории 32
7. Библиографические замечания 34
Часть 2
Арифметика 36
1. Аналитический язык 36
2. Основные арифметические теории 39
3. Негативная интерпретация 44
4. Формальный тезис Чёрча 48
5. Рекурсивная реализуемость по К лини 52
6. Рекурсивная реализуемость и свойства эффективности
логических связок в НА 60
7. Принцип конструктивного подбора (принцип Марко-
Маркова) и принцип Р 61
8. Дополнительные результаты 66
9. Семантика реализуемости для логики предикатов 72
10. Дополнительные библиографические замечания ... 74
Часть 3
Алгебраические модели 76
1. Псевдобулевы алгебры, топологические пространства 76
2. Алгебры с пополнением, шкалы Бета — Крипке . . 87
3. Приложения к логике высказываний. Интуиционист-
Интуиционистская логика не является конечнозначной 96
4. Модели Бета — Крипке, алгебраические и топологи-
топологические модели 99
5. Теоремы о полноте 120
СОДЕРЖАНИЕ
6. Приложения к интуиционистской арифметике, опера-
операция Сморинского 140
7. Метод реализуемости и теория интуиционистских
моделей 145
8. Семантика де Йонга 152
9. Дополнительные библиографические замечания . . . 153
Часть 4
Анализ 154
1. Теория FIM, обзор результатов 154
2. Схема Крипке 163
3. Теория IDB(U) 168
4. Теория CS 173
5. Теория LS беззаконных последовательностей .... 175
6. Примеры моделей 178
Часть 5
Устранимость сечения в интуиционистской простой теории
типов в форме исчисления секвенций с объемностью . . . 187
Дополнение А
Алгебраический подход к моделям типа реализуемости .... 210
Дополнение Б
Усиленная форма теоремы о нормализации 223
Литература , . . . . 240
Именной указатель 251
Предметный указатель 252
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящее время в математической логике большое
внимание уделяется исследованию неклассических логик.
Многозначные логики высказываний уже довольно давно
и весьма успешно применяются в теоретической кибер-
кибернетике. Модальные логики находят интересные примене-
применения в теоретическом программировании. Неклассические
логики используются в теории вычислений, инфор-
информатике, при описании систем эвристического программи-
программирования.
Особенно важной из неклассических логик является,
несомненно, интуиционистская логика. Прежде всего,
само введение этой логики имеет глубокое и интересное
философское обоснование, связанное с интуиционистской
критикой классической математики, выдвинутой Брау-
эром. Кроме того, интуиционистская догика — пожалуй,
единственная из неклассических логик, в рамках которой
действительно фактически производилась достаточно глу-
глубокая разработка многих разделов математики. Интуи-
Интуиционистская логика лежит в основе построения многих
математических.теорий, базирующихся на различных кон-
концепциях конструктивности в математике, и позволяет
тонко и точно анализировать трудный и важный вопрос
о характере существования объектов исследования в ма-
математике. Накопленный здесь опыт свидетельствует
о поразительном разнообразии возможных оттенков и
вариантов различения эффективности в математике.
Представление о практических попытках построения
математических теорий на базе интуиционистской логики
при том или ином понимании конструктивности можно
получить из сводных монографий, например, Г е и т и н-
г а [3], Г у д с т е й на [1], Бишопа [1], Мартин-
Л ё ф а [3], К у ш н е р а [1]. В последней монографии
систематически отражены результаты исследований со-
ПРЕДИСЛОВИЕ
ветской школы конструктивной математики, работающей
под руководством чл.-корр. АН СССР А. А. Маркова.
Цель этой небольшой книги — изложить важнейшие
из методов теории доказательств в интуиционистской
логике. Эта теория сейчас не менее богата методами и
результатами, чем, например, пользующаяся заслужен-
заслуженной известностью классическая теория моделей. Автор
стремился познакомить читателя с основными аксиома-
аксиоматическими теориями, основанными на интуиционистской
логике, и их особенностями, часто весьма непривычными
даже для специалиста-логика, но привыкшего иметь дело
с классической логикой. Можно надеяться, что и специа-
специалист по неклассическим логикам обнаружит в книге
некоторые новые результаты и методы.
Автор прилагал усилия, чтобы сделать изложение
доступным для возможно более широкого круга читателей.
От читателя требуется определенная математическая
культура и готовность терпеливо восполнять недостаю-
недостающие рутинные шаги в многочисленных индуктивных дока-
доказательствах. Что касается логики, то достаточно владеть
вводным в классическую математическую логику курсом.
Учебник М енд е л'ьсо на [1], например, содержит все не-
необходимые сведения. Знакомство с литературой по интуи-
интуиционистской логике, в особенности с книгой Г е и т и н г а
[3] и К л и н и и В е с л и [1], является желательным,
но не необходимым. Возможно, при первом чтении книги
читатель пожелает получить представление о различных
интуиционистских теориях и способах их исследования и
при этом избежать длинных и утомительных доказательств.
В такой ситуации можно ограничиться чтением объясни-
объяснительного текста, определений и формулировок теорем,
а часть пятую и оба дополнения можно опустить. Однако
для более полного овладения предметом следует, конечно,
тщательно проработать доказательства. Книга не содер-
содержит специальных упражнений, но построена так, что
проведение всех рутинных деталей составляет определен-
определенную самостоятельную работу, являющуюся органической
частью тщательного изучения книги. Автор надеется, что
овладение материалом книги подведет читателя к само-
самостоятельным исследованиям в рассматриваемой области
и позволит ему ориентироваться в журнальной литера-
литературе по специальности.
ПРЕДИСЛОВИЕ
9
При написании книги некоторая проблема состояла
в выборе стиля изложения: если излагаются и изучаются
различные теории конструктивности в математике, то
должен ли сам автор придерживаться в этом изложении
некоторой, конструктивной точки зрения? Был выбран
компромиссный путь. Изложение принципиально не свя-
связано с какими-либо ограничениями и временами является
обычным теоретико-множественным рассуждением, таким
же, какие употребляются при изложении «обыкновенных»
содержательных математических теорий вроде тополо-
топологии или теории меры. Вместе с тем автор старался, по
возможности, избегать неконструктивных способов рас-
рассуждения и в особенно ответственных случаях (см., на-
например, ч. 5) эта тема специально обсуждается и при-
прилагаются особые усилия. Тем не менее никак нельзя
сказать, что все изложение в книге выдержано в некоторых
идейно последовательных интуиционистских рамках —
возможно, потому, что автор знаком со многими интерес-
интересными интуиционистскими концепциями и искренне не
знает, какой из них отдать предпочтение. Мы предпочтем
изучать сами эти концепции аксиоматическим методом.
Во всяком случае, читатель, если того пожелает, всегда
может считать, что книга представляет собой «взгляд на
конструктивную математику с точки зрения классичес-
классической», хотя такое мнение и не отразит полностью стрем-
стремления автора не избегать теоретико-множественного из-
изложения, но и не искать его там, где без него можно легко
обойтись.
В книге частично представлено содержание нескольких
курсов по интуиционистской математике, которые автор
читал в течение ряда лет на механико-математическом
факультете МГУ. Книга содержит пять частей и два допол-
дополнения. В первой части излагаются чисто синтаксические
методы исследования интуиционистской логики предика-
предикатов, основанные на теореме Генцена об устранении сече-
сечения. В частности, доказана теорема Харропа о свойствах
дизъюнктивности и экзистенциальности логики предикатов.
Более сильный алгоритмический вариант теоремы Ген-
цена с гораздо более сложным доказательством вынесен
в дополнение Б. Во второй части, посвященной интуи-
интуиционистской арифметике, основным инструментом иссле-
исследования является принадлежащий Клини метод реализуе-
10
ПРЕДИСЛОВИЕ
мости. Здесь автор стремился подчеркнуть возможность
принципиально различных алгоритмических истолкова-
истолкований логических связок. В третьей части рассматривается
тео.рия алгебраических моделей интуиционистской логи-
логики и, в частности, доказываются теоремы о полноте для
различных вариантов таких моделей. Вновь на примере
интуиционистской арифметики показывается полезность
введенных понятий для исследования конкретных теорий.
В четвертой части, относящейся к интуиционистскому
анализу, основное внимание уделено обсуждению прин-
принципов интуиционистского анализа и обзору современных
результатов в этой области. Превосходное изложение
двух моделей типа реализуемости для анализа можно
найти в монографии Клини и Весли [1]. Мы
приводим две алгебраические модели для различ-
различных вариантов интуиционистского анализа. Наконец,
в пятой части алгебраические модели используются
для решения важной задачи синтаксического характера:
теоремы об устранении сечения в интуиционистской ло-
логике высокого порядка. Показано, что решение этой задачи
принципиально не может быть достигнуто элементарными
синтаксическими методами. В дополнении А описывается
класс структур, позволяющий с единых алгебраических
позиций рассмотреть как алгебраические модели, так и
модели типа реализуемости.
Знак о в тексте отмечает начало доказательства, а
знак Ц — его окончание. Знаки ^, =4-, ¦Н' заменяют сло-
словесные обороты: «есть по определению», «если. . ., то. . .»,
«тогда и только тогда» соответственно.
Автор благодарит своего учителя А. А. Маркова за
внимание к своей работе, а слушателей своих спецкурсов
за их постоянный энтузиазм и ценные замечания. При
подготовке рукописи к печати мне помогали И. А. Лома-
Ломакина, Ю. В. Гавриленко, Е. С. Божич, которым автор
выражает свою искреннюю признательность.
А. Г. Драгалин
ЧА СТЬ 1
ЛОГИКА
Мы начинаем с неформального обсуждения интуицио-
интуиционистской логики и семантики. Далее приводятся две
формы интуиционистского исчисления предикатов. На-
Наконец, формулируется исчисление предикатов в форме
исчисления секвенций Генцена и затем, доказав допусти-
допустимость в этой системе правила сечения, мы устанавливаем
его эквивалентность с первоначальными исчислениями.
Это позволяет получить первые точные результаты отно-
относительно интуиционистской логики: невыводимость зако-
закона исключенного третьего, свойства дизъюнктивности и
экзистенциальности.
1. Неформальные пояснения. Допустим, что мы инте-
интересуемся смыслом утверждений некоторой области мате-
математики. Общий подход математической логики состоит
в том, что следует, прежде всего, фиксировать некоторый
логико-математический язык Й, формулы которого и будут
выражать суждения и отношения рассматриваемой обла-
области математики. Сейчас для нас не важны детали строе-
строения Q. Предположим, что Й содержит некоторый класс
атомарных формул, из которых обычным образом стро-
строятся сложные формулы с помощью логических связок Д
(конъюнкция, «и»), V (дизъюнкция, «или»), Z) (имплика-
(импликация, «если, то»), константы _]_ («ложь») и кванторов V
(общность, «для всех»), 3 (существование, «существует»).
Отрицание ~^ ф определяется стандартным образом через
импликацию и «ложь», а именно, "^ <р есть по определению
(Ф ID J_). Язык может содержать несколько сортов
переменных, каждый сорт переменных рассматривается
как пробегающий некоторую область объектов данного
сорта. Вхождения переменных в формулу обычным обра-
образом делятся на свободные и связанные; переменные, входя-
входящие в формулу свободно, называются ее параметрами.
Формула рассматривается как выражающая некоторое
параметрическое суждение, т. е. утверждение в рассмат-
рассматриваемой области математики, зависящее от значений
12
ЛОГИКА
14. 1
параметров. Если приписать параметрам формулы объек-
объекты из соответствующих областей, то формула будет зада-
задавать некоторое конкретное математическое высказывание.
Как говорят, формула определяет высказывателъную
форму. В частности, если формула является предложе-
предложением, т. е. вовсе не содержит параметров, то она выражает
конкретное высказывание. Формулу, всем параметрам
которой яриписаны объекты соответствующих областей,
назовем оцененной формулой. Можно, естественно, рас-
рассматривать и частично оцененные формулы, в которой
лишь части параметров составлены объекты. Частично
оцененная формула определяет высказывательную форму,
зависящую от оставшихся параметров.
Обычно трудной проблемой является способ описания
того, «что выражают формулы данного языка», т. е. каким
именно образом следует сопоставить формуле высказыва-
высказывательную форму. Трудность состоит в том, что объекты
исследования математической теории часто составляют
бесконечную совокупность, неясен статус существования
этих объектов и т. п. Для обычных математических
теорий таких, как арифметика, анализ, теория мно-
множеств, как известно, невозможно задать эффективную
процедуру, позволяющую по предложению языка
выяснить, задает ли это предложение истинное или
ложное высказывание. Приходится ограничиваться фор-
формулировкой некоторых общих принципов, семантических
соглашений, которым должно удовлетворять наше пони-
понимание формул языка. Совокупность семантических со-
соглашений составляет то, что называется семантикой
языка. Семантика развитых математических теорий
таких, как анализ или теория множеств, по необходимости
является недостаточно ясной и носит отчасти философ-
философский характер. Однако, исходя из семантических согла-
соглашений, можно уже точно формулировать некоторые
формальные аксиоматические теории. Если признать, что
аксиомы и правила вывода аксиоматической теории Т
согласованы со всеми семантическими требованиями
семантики языка Q, то можно признать, что формулы,
выводимые в Т, отражают по крайней мере некоторый
фрагмент содержательной математической теории. Теорию
Т можно затем подвергнуть точному математическому ис-
исследованию и, таким образом, судить об особенностях
1]
НЕФОРМАЛЬНЫЕ ПОЯСНЕНИЯ
13
семантики самого языка Q. Такой метод формализации
широко распространен в математической логике, и мы
будем систематически его использовать при исследовании
классической и интуиционистской семантик.
Опишем теперь неформально некоторые семантические
соглашения, характерные именно для интуиционистского
понимания суждений. С интуиционистской точки зрения
каждая формула представляет собой неполное
сообщение о некотором выполненном построении. Напри-
Например, формула вида Эяср (х) сообщает, что
(i) можно указать объект а того сорта, который пробе-
пробегает переменная х;
(ii) доказать, что верно <р (а), т. е. выполнить построение,
связанное с оцененной формулой ср (а).
Формула вида Зху(х) считается истинной, только если
предъявлено построение, удовлетворяющее условиям (i)
и (ii).
Более подробно, с каждой истинной оцененной форму-
формулой ф мы связываем некоторую конструкцию к, являю-
являющуюся «полным подтверждением ср». При этом к должно
удовлетворять некоторым естественным условиям в зави-
зависимости от строения ф.
1) Если ф — конъюнкция, ф = (фх Д ф2), то к под-
подтверждает ф тогда и только тогда, когда из к можно
извлечь конструкции кг и к2, подтверждающие <рх и ф2
соответственно. В некотором смысле к задает упорядочен-
упорядоченный набор, состоящий из ^ и fca.
2) к подтверждает (фх V Фа) в точности тогда, когда
из к можно извлечь информацию о том, какой именно из
членов q>i дизъюнкции истинен, и конструкцию кг, под-
подтверждающую этот член ф{. Таким образом, конструкция к
должна определять упорядоченный набор (i, fo), где i = 1
или i = 2.
3) к подтверждает импликацию (фх 1Э ф2) в точности
тогда, когда к задает общий способ, позволяющий по вся-
всякой конструкции 11г подтверждающей фх, отыскивать
конструкцию Z2, подтверждающую ф2.
4) Константа _]_ не имеет никакой конструкции, ее
подтверждающей. Роль этой константы проявляется в том,
что она связана определенными семантическими соглаше-
соглашениями с конструкциями, подтверждающими другие логи-
логические связки. Например, всегда имеется некоторая три-
ЛОГИКА
(Ч. 1
виальная конструкция, подтверждающая импликацию
вида (_|_ГЭф).
5) к подтверждает Вхц>1 (х) в точности тогда, когда к
определяет, для какого именно объекта а имеет место
Фх (а), и задает конструкцию klf подтверждающую фх (а).
Таким образом, конструкция к должна естественно опре-
определять упорядоченный набор (а, кг).
6) к подтверждает Ухщ (х), если к задает общий спо-
способ, позволяющий для всякого объекта а отыскивать
подтверждение ка суждения фх (а).
Разумеется, приведенные нами пояснения 1) — 6)
отнюдь не составляют строгого математического определе-
определения отношения «к подтверждает <р». Во-первых, недоста-
недостаточно уточнено само понятие конструкции, во-вторых,
явно нуждаются в уточнении слова, намекающие на эф-
эффективность построений типа «можно извлечь информа-
информацию», «задаем общий способ» и т. п. Наконец — и это
составляет, по-видимому, главную сложность — пояс-
пояснения 1) — 6) содержат круг. Так, поясняя истинность
формулы Ухц>х(х), мы неформально использовали утвер-
утверждение типа общности. То же относится к импликации
и другим логическим связкам.
Можно заподозрить, что различные исследователи бу-
будут по-разному уточнять семантические требования 1) — 6)
и, таким образом, получать различные семантики одного
и того же языка. Как мы увидим далее, дело именно так
и обстоит. Возможен весьма богатый спектр различных
форм интуиционистских и конструктивных семантик.
В качестве самого крайнего случая рассмотрим попыт-
попытку толкования 1) — 6) с точки зрения исследователя, при-
придерживающегося традиционного теоретико-множествен-
теоретико-множественного взгляда на основания математики. Такой математик
сразу же заметит, что нетрудно сопоставить каждой оце-
оцененной формуле ф некоторое истинностное значение
z (ф) строгой математической индукцией по построе-
построению формулы ф. Значением z (<р) будет либо 0 — «ложь»,
либо 1 — «истина», и «вычисление» z (ф) идет в соответ-
соответствии с обычным классическим пониманием связок:
z (<Px Л Фа) = min (z (<Pi)' 2(фг)); г (J_) = 0;
z (<Pi V Фа) = max (z (ф^, z (cp2));
z (Ухц> (x)) = min {z (ф (a)) | a (< U} и т. д.
i]
НЕФОРМАЛЬНЫЕ ПОЯСНЕНИЯ
15
Теперь объявим единицу 1 конструкцией, подтвержда-
подтверждающей ф тогда и только тогда, когда z (ф) = 1. Можно
убедиться, что требования 1) — 6) выполняются, если
слова, намекающие на эффективность построений, толко-
толковать просто как утверждения о существовании с наивной
теоретико-множественной точки зрения. Например, если
z (фх ID ф2) = 1, то по всякой конструкции, подтвержда-
подтверждающей <pj (а это может быть только 1), можно указать кон-
конструкцию, подтверждающую ф2 (а именно, следует взять
единицу). Мы видим, что классическая семантика, оказы-
оказывается, удовлетворяет интуиционистским семантическим
требованиям!
Причина недоразумения состоит в том, что обычно
интуиционист вовсе не склонен толковать эффективность
теоретико-множественно. В этом смысле приведенное выше
толкование является вырожденным, «нестандартным».
Если утверждается существование конструкции, то пред-
предполагается, что онтологически имеется потенциально осу-
осуществимый процесс построения этой конструкции. Таким
образом, в рамках математической теории должны при-
приниматься во внимание возможности субъектов-исследова-
субъектов-исследователей. Эту философскую идею можно уточнять многими
неэквивалентными способами с помощью дальнейших
семантических соглашений. Например, с конструктивной
точки зрения, если установлена истинность арифметиче-
арифметического суждения вида УхЭг/Ф (х, у), где переменные х ж у
пробегают натуральные числа, то необходимо должна
существовать общерекурсивная функция, выдающая по
каждому х соответствующее у. Конструктивно мы трак-
трактуем слова «имеется общий способ» как «имеется вычисли-
вычислимая, в частности, общерекурсивная функция». Такое
толкование приводит к семантике, существенно отличной
от классической, так как нетрудно привести пример истин-
истинного классически арифметического предложения вида
УжЗг/ф (х, у) такого, что нужной общерекурсивной функ-
функции не существует.
Попробуем, не уточняя пока наших семантических
требований, пояснить ситуацию на следующем простом
примере (ван Дален [2]).
Теорема. Существуют два иррациональных
действительных числа а и b такие, что аь рацио-
рационально.
16
ЛОГИКА
[Ч. 1
первое. Рассмотрим
Доказательство
число \^2 2. Если это число рационально, то теорема
доказана: достаточно положить а = Yi, Ъ — У 2. Если:
же у 2 2 иррационально, то нужные а и Ъ вновь можно
найти. А именно, достаточно взять а — Уъ и Ь =
Тогдааь = (|/Г2)^ = (/2J = 2. Таким образом, при
любых обстоятельствах нужные а и Ъ существуют.
Теорема доказана.
Доказательство второе. В силу одного
очень глубокого результата А. О. Гельфонда из иррацио-
иррациональности У2 следует трансцендентность и, следовательно,
иррациональность У 2 2. Таким образом, можно взять
а =1^2 2, Ъ = У~2. Теорема доказана.
Первое доказательство весьма кратко, но обладает не-
неприятной особенностью: проделав его, мы так и не выяс-
выясним, чему же, собственно, равны а и Ь. Были предложены
альтернативы для их выбора, но из доказательства нико-
никоим образом нельзя извлечь, какую именно альтернативу
следует выбрать. Это типичный образец доказательства
«чистого» существования, характерного для классической
математики. Причина неэффективности состоит в том,
что в доказательстве использован разбор случаев:
У2 2 иррационально или У2 рационально,
и, хотя и не видно, какой именно из случаев имеет
место, классически несомненно, что дизъюнкция все же
верна — она имеет вид закона исключенного третьего
A\J ~~\А. Второе доказательство несравненно сложнее,
оно использует некоторые глубокие факты, но зато позво-
позволяет указать истинный член этой дизъюнкции и тем са-
самым исключить неэффективный разбор случаев.
Мы ожидаем,что «настоящее» интуиционистское пони-
понимание логических связок таково, что из доказательства
истинности суждения всегда можно извлечь способ по- -
строения объектов, существование которых утверждается.
Так, если в конкретной ситуации мы признали истин-
истинность дизъюнкции (ф V 'Ф)» то конструкция, подтвержда-
подтверждающая это суждение, должна давать способ указания истин-
истинного члена этой дизъюнкции. С этой точки зрения дизъюнк-
1]
НЕФОРМАЛЬНЫЕ ПОЯСНЕНИЯ
17
цию вида (ф V | ф) можно признать подтвержденной не
для любого предложения ф, а лишь для такого, для которого
известно, что именно имеет место ф или не-ф. В то же вре-
время нетрудно обосновать истинность суждения | | (ф V
| ф). Действительно, гипотеза |(ф V |ф) немедленно
ведет к противоречию. В самом деле, если допустить еще
Ф, то было бы (ф\/ | ф), вопреки гипотезе. Следовательно,
имеет место ~~] ф. Но если ~\ ф, то вновь имеем (ф V П ф)*
вопреки гипотезе. Следовательно, | ]ф, т. е.~^ф ID _|_.
Из |ф и |фИ)_[_ заключаем, что _[_. Таким образом,
допустив —} (ф V П ф). выводим J_, т. е. П (ф V П ф) 1Э ±,
-т. е. ~~| ~~| (ф V "П ф)- Итак, Н ~1 (ф V ~Лф) всегда истинно,
а (ф V I ф) может быть и не истинно (по крайней мере
для некоторых интуиционистских семантик). Это свиде-
свидетельствует о том, что закон снятия двойного отрицания
| | ф ID Ф также не всегда приемлем с интуиционистской
точки зрения. Для доказательства j | г|з достаточно уметь
привести к противоречию гипотезу |т|>, в то время как
для доказательства -ф может оказаться необходимым оты-
отыскать способы построения некоторых сложных объектов.
С интуиционистской точки зрения это далеко не одно и
то же.
Если язык Й снабжен некоторой интуиционистской
семантикой, интуиционистским способом понимания, то
про некоторые предложения этого языка мы можем утвер-
утверждать, что они истинны, про некоторые можем утвер-
утверждать, что они ложны, т. е. истинно их отрицание, а неко-
некоторые являются неустановленными к настоящему времени.
Это не означает, что наша логика становится трехзначной
со значениями «истина», «ложь» и «не установлено» (поз-
(позже—см. с. 97, п. 3.1 — мы точно установим, что она не трех-
трехзначна и даже не конечнозначна), так как три значения
здесь неравноправны: объем истинных и ложных сужде-
суждений со временем увеличивается, в то время как объем
неустановленных суждений убывает.
Например, если Ф — простое арифметическое предло-
предложение, выражающее нерешенную математическую проб-
проблему (большая теорема Ферма!), то ф не установлено
и интуиционистски естественно считать, что (ф V I ф)
также не установлено (хотя классически это очень даже
установленное истинное суждение!) на том основании,
что не имеется эффективного способа установления истин-
ЛОГИКА
[Ч. 1
ного члена этой дизъюнкции. Конечно, такой способ может
быть открыт завтра и (ф V I ф) перекочует в разряд
истинных суждений.
Может показаться, что такой подход делает нашу ма-
математику крайне сложной и субъективной: мы ставим
в зависимость математическую теорию от возможностей
субъекта-исследователя, которые к тому же зависят от
времени. То, что сегодня не истинно, не обязательно яв-
является ложным — оно может быть неустановленным и
может стать истинным завтра. Ситуация действительно
много сложнее, чем в классической математике, но возмож-
возможности построения приемлемых интуиционистских матема,-
тических теорий все же имеются. Прежде всего, мы отно-
относим собственно к интуиционистской математике только
истинные суждения языка Q. Далее, мы отказываемся
от'обозрения всего множества истинных суждений ввиду
обычно крайней неопределенности этого множества. Все,
на что мы рассчитываем,— это формулировать некоторые
общие принципы, согласованные с семантическими
требованиями, и получить из них математические след-
следствия.
Когда мы говорим, что суждение (ср Ny' 1 ф) не установ-
установлено, это — не математическое утверждение и ценность его
для математической теории состоит лишь в том, что такие
примеры показывают, что неразумно включать закон
(ф V "Нф) Для всех ф в качестве общего логического прин-
принципа в нашу теорию, так как мы не желаем включать
в теорию неустановленные факты.
Кроме того, в интуиционистской математике, так же
как и в классической, используются некоторые сущест-
существенные идеализации. Мы принимаем принцип сохран-
сохранности, состоящий в том, что если истинность некоторого
суждения обнаружена, то оно остается истинным и в
будущем. Принимается и принцип потенциальной осу-
осуществимости, состоящий в том, что исследователь отвле-
отвлекается от ограниченности своих ресурсов в пространстве
и во времени. Считается, например, что для всякого
натурального числа п осуществимо большее натуральное
число п -\- 1. В то же время использование теоретико-
множественной абстракции актуальной бесконечности
ограничивается в интуиционистской математике требо-
требованиями эффективности.
2]
ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
Следует сразу отметить, что возможны различные ин-
интуиционистские семантики одного и того же языка ?2 и,
следовательно, различные математические теории одной и
той же области математики. Такая сложная ситуация
является ценой, которую мы платим за более тонкий (по
сравнению с классической математикой) анализ эффек-
эффективности в математике.
2. Интуиционистская логика предикатов. Мы начнем
с формулировки общих логических принципов, приемле-
приемлемых с интуиционистской точки зрения.
Рассмотрим сначала классическое исчисление преди-
предикатов для формул в языке Q. Исчисление СРС содержит
следующие хорошо известные аксиомы и правила вывода:
1) Ф Z) (Ч> Z) ф);
2) (ср ZD № 3 Л)) 3 ((ф 3t)D(9D г\)У,
3) q>Z)(l>Z)<pA!>); 4) ср А ^ Z) ср; 5)Д
6) <ф => л) =)((!>=> л) =) (ф v ф => *!)
)\/ 8)
10)
12)
13)
14)
1 1(
Ф [x
Vx(ij
Ф 3
p 3'
10:
H*)
ф;
d 3.
з <
11) V хф Z)
:)) ZD {
v) з (
1fV> '
Ф 3 Va
Элгф (x)
P
Ф (^ 1
^ («)):
=)Ф);
0;
15)^ ; «)
Здесь в схемах аксиом и правилах вывода фигурируют
формулы языка Q. Мы пользуемся обычными правилами
сокращенного написания формул: не пишем внешние
скобки, конъюнкция и дизъюнкция считаются связыва-
связывающими сильнее, чем импликация. Через ц> (х \ t) обозна-
обозначается результат подстановки терма t вместо всех сво-
свободных вхождений переменной х в формулу ф. При
этом предполагается, что производится переименование
связанных переменных формулы ф, если параметры {попа-
{попадают в область действия кванторов ф. Вообще, на протя-
протяженности всей книги мы будем систематически отождест-
отождествлять формулы, отличающиеся лишь переименованием
связанных переменных, и, в частности, в выводах свободно
заменяем такие формулы друг на друга. Так как язык Q
может содержать несколько сортов переменных, следует
отметить, что переменная х и терм t в схемах 11) и 13)
имеют один и тот же сорт. В схемах 12) и 14), как обычно,
2o
Логика
14. 1
2]
интуиционистская Логика предикатов
21
формула ср не содержит свободно переменной х. Напомним,
что ~^ф есть сокращение для (ф Z)J_). Далее, схема акси-
аксиом 9) является лишней — она выводится с помощью 10)
и остальных аксиом.
Анализ логических принципов СРС с точки зрения
предыдущего обсуждения показывает, что среди них
лишь один вызывает сомнения. А именно, это схема
аксиом 10) — закон снятия двойного отрицания. Рассмот-
Рассмотрим поэтому исчисление НРС {исчисление предикатов
Рейтинга, интуиционистское исчисление предикатов),
получающееся из СРС выбрасыванием схемы 10). Схема 9)
при этом остается и уже является существенно необхо-
необходимой.
Набором формул назовем конечное множество формул
языка Q, в котором, однако, допускаются повторения
формул. Таким образом, порядок формул в наборе Г
несуществен, но для каждой формулы указано, в сколь-
скольких экземплярах она присутствует в Г. В соответствии
с этим следует понимать отношения и операции с набо-
наборами. Так, отношение Г с: Д, где Г и Д — наборы, озна-
означает, что всякая формула <р, входящая в Г, входит и в Д,
причем Д содержит не меньшее количество экземпляров
формулы ф, чем Г. При объединении Г (J Д наборов коли-
количество экземпляров каждой формулы суммируется.
Объединение Г (J Д мы будем кратко записывать в виде
ГА. Таким образом, ГА и АГ есть один и тот же набор.
Набор фГ получается из Г присоединением одного эк-
экземпляра формулы ф.
Будем употреблять обозначение PC в качестве общего
названия одного из исчислений СРС или НРС. Если Г —
набор формул и ф — формула, то запись Г |— ф (читается
«из Г выводима ф») или, более подробно, PC,Г (— ф,
означает, что ф можно вывести из списка формул Г с по-
помощью схем аксиом и правил вывода исчисления PC,
причем не применяя правило обобщения 16) по отноше-
отношению к параметрам Г.
2.1. Теорема о дедукции. Для данного
исчисления PC в языке Q имеем
Гф |- ф 4Ф Г Ь- (ф Z) 1|з).
Доказательство этой теоремы, пригодное как для СРС,
так и для НРС, можно найти в любом учебнике математи-
математической логики, см., например, Мендельсон [1],
К л и н и [2].
Приведем теперь еще одну эквивалентную формулиров-
формулировку СРС и НРС, часто более удобную в доказательствах.
Мы будем ссылаться на эту формулировку как на CPQ
и НРСХ. Начнем с СРСХ, Это исчисление содержит следую-
следующие схемы аксиом и правила вывода:
2)
; 5)
; 3).
р; 6)
913D0
7) ф:
9) ф:
И) J_
14)
Ф
п; Ф=)т)
10)
)<p; 12)
ф ZD
ф
15)
¦ ; 13) УаярЗф(а:|0;
•ф (х) ZD ф .
Эоп|э (х) Z) ф
16)
Здесь в схемах 14) и 15), как обычно, ф не содержит сво-
свободно переменную х.
Интуиционистское исчисление HPCj получается из
СРСХ путем удаления правила вывода 12).
2.2. Формулировки СРС и СРС^ равно как и форму-
формулировки НРС и НРС1( эквивалентны в том смысле, что
всякая формула выводима в PC тогда и только тогда,
когда она выводима в РСХ.
Рутинное доказательство этой теоремы состоит в непо-
непосредственной проверке того, что аксиомы и правила вы-
вывода одной системы допустимы в другой системе. Мы остав-
оставляем эту проверку читателю в качестве упражнения.
Для облегчения выполнения этого упражнения приведем
все же несколько результатов о выводимости в PCj.
2.2.1. 1—Ф з ф.
Е> ф ID ф /\ ф — аксиома 7), ф Д ф ZD ф — аксиома 5),
ф Zj ф — с помощью 2). Ц
2.2.2. НФЗ(^ЗФ).
> ф Д if Z3 Ф — аксиома 5), ф ZD (я|> ZD ф) — ввиду 3). Q
2.2.3. ^
ZD (^ ZD ф) — ввиду 2.2.2, применяем 1). ?
ЛОГИКА
Сч. 1
3]
ИСЧИСЛЕНИЕ СЕКВЕНЦИЙ
23
2.2.4. фЗ(^Э r))/i|) 3 (Ф 3 Л).
> Ф 3 ('Ф 3 г)) — дано, ф Д хр 3 Л — ввиду 4),
^Лф^фА^ — аксиома 6), тр Д ф 3 Ц — ввиду 2),
ф 3 (ф 3 tj) — ввиду 3). ?
2.2.5. НфЗA|)ЗфЛ1))-
>Ф Д •ф Z) Ф Д^ — ввиду 2.2.1, ф 3 (г}> 1Э Ф Л Ф) —
с помощью 3). Ц
2.2.6. Ь-ФЛ^З^.
>f Д фЗф- аксиома 5), ф Д г|) 3 г|> Л Ф — акси-
аксиома 6), ф Д -ф 3 г(> — ввиду 2). Q]
2.2.7. (Ф 3 г|>), (ф 1Э т))/ф 3 Ф Д т].
1>ф 3 Oi Зф Дт]) — ввиду 2.2.5, ф 3 Ф — дано,
Ф 3 (г] 3 г|> Д г)) — ввиду 2), г] 3 (ф 3 'ф Д "Л) — ввиду
2.2.4, _ф з Ц — дано, ф 3 (ф 3 "ф Д ii) — ввиду 2),
фДфЗ'фД'П — ввиду 4), ф 3 ф Д Ф — аксиома 7),
ф 3 'Ф Л ч ~ согласно 2). Q
2.2.8. (ф 3 Ф), (ф 3 (я|> 3 т)))/Ф 3 Ц.
\> Ф 3 (tj> 3 ti) — дано, if) 3 (ф 3 il) — ввиду 2.2.4,
ф 3 V — Дано, ф 3 (ф 3 11) — ввиду 2), ф Д ф 3 г] —
ввиду 4), фЗфД ф — аксиома 7), фЗг] — согласно 2). Q
2.2.9. Ь- (ф 3 (ф 3 т])) 3 ((Ф 3 if) 3 (Ф 3 г,)).
> Положим S = ((ф 3 (^ 3 л)) Л (Ф =) Ф)) Л Ф-
5 3 Ф — ввиду 2.2.6, S 3 (Ф 3 (ф 3 т))) Д (ф 3 ф) —
аксиома 5), (ф 3 (ф 3 т))) Д (ф 3 ф) 3 (ф 3 ($ 3 т)))—
аксиома 5), 5 D 'ф D ("I D *))) - из предыдущего с по-
помощью 2), S 3 Ьр 3 11) — из предыдущего с помощью
2.2.8, S 3 (ф 3 ф) — так как 5 3 (ф 3 (ф 3 т])) Д
(Ф =)ф) и (ф 3 (ф 3 т))) Д (ф 3 ф) 3 (Ф 3 ф), 5 3 ф
— изб'Зф и >S D (ф D f) с помощью 2.2.8,
S ZD Ц — из ^Зф и 5 D (f D 1) с помощью 2.2.8.
Теперь, применяя к S ZD Ц правило 3) несколько раз,
получим результат. Q
2.2.10. |-фГ)ПфЗф).
> ~1 Ф 3 (Ф 3 JJ - ввиду 2.2.1, ф 3 П Ф 3 JJ -
ввиду 2.2.4, ф Д j ф 3 J_ — с помощью 4), J_ Зф — акси-
аксиома 11), фДПфЭ'!'- с помощью 2), ф 3 Г | ф Dtp) -
ввиду 3). ?
2.2.11. НППППФЗФ).
>П(ППф=эф)ДфЗф-см. 2.2.6, фзППф з
Ф) - см. 2.2.2, П П ~1 Ф => Ф) Л Ф => П ~1 Ф =) ф) - :
с помощью 2), П ( П^П_Ф 3 ф) Д Ф 3 ((~\ П Ф Зф) 3 X) —
это аксиома 5), ~~]( | 1ф 3 ф) Д Ф 3 _L — из предыду-
предыдущего с помощью 2.2.8, | (~| ~]ф^ф)^)Пф — приме-
применяя 3)ЛПП<Р Зф)ЛПф 3 ПФ - ем. 2.2.6, -|ф =5
(ППФ^Ф)- ввиду 2.2.10, ~|(~1ПфЗф)Л~1фЗ
(~1Лф1Эф) —с помощью 2),ПППфЗф)Лф^
((П Ф ID ф) 3 J^) — это аксиома 5), Л ( "П Ф ^ ф) Л
ПфЭ1-из предыдущего с помощью 2.2.8,
ПППфЗф) 3 (Л Ф 3 1У- применяя 3), Л (Л Л Ф 3
Ф) 3 _|_ — из выведенных | (Л Лф^ф)^ЛФи
Л (Л Л Ф ^ Ф) =5 (Л Ф ^ J_) с помощью 2.2.8. П
3. Исчисление секвенций. Приведем еще формулировку
исчисления предикатов в форме исчисления секвенций.
Секвенцией назовем фигуру вида Г -*¦ А, где Г и А — на-
наборы формул. Каждой секвенции стандартным образом со-
сопоставим формулу — формульный образ данной секвенции.
А именно, если дана секвенция S вида фх . . . ф„ ->- ^ . . .
фт, то ей сопоставляется формула б6, имеющая вид
Т Л Ф1 Л • • • Лфп => 4>i V • • • V фт V -Ь
Здесь ~у = (_[_ 3 _|_) — «стандартная истина». Порядок
формул слева и справа несуществен. В частности, если
правая часть секвенции пуста (т — 0), то 5Ф эквивалентна
в логике предикатов формуле Л (ф1 Л • • • ЛФ«)- Пустая
секвенция ->- имеет в качестве формульного образа фор-
формулу Т 3 J_, эквивалентную JL-
Исчисление GHPG (интуиционистское исчисление
предикатов в форме исчисления секвенций, исчисление
предикатов в стиле Генцена) приспособлено для вывода
секвенций. Оно содержит аксиомы следующих двух ви-
видов: фГ -»- Аф, где ф — атомарная формула языка Q,
и _[_ Г -> А. Заметим, что J_ не считается атомарной фор-
формулой (это — логическая константа). Правила вывода
исчисления построены весьма симметрично и вводят ло-
логические связки слева и справа:
(Л-)
(V-)
v ч>) г - д
Г - Д (ф V W '
24
ЛОГИКА
[Ч. 1
3]
ИСЧИСЛЕНИЕ СЕКВЕНЦИЙ
25
(V-)
vzif) (x) "ф
Ф(У)Г
Эгф (ж) Г
(*)Г
(ж) Г
-»д
-*д
-»д
-*А
>*(?/)
(-3)
(X)
х) ^ (О
Г -» ДЗхф (jc)
В правиле (—>¦ V) набор Г не содержит свободно пере-
переменной у, в правилеC ->) наборы Г и Л не содержат сво-
свободно переменной у и (у = х или х — не параметр ty (у)).
Обозначение ty (t) есть сокращение для ty (х | г). Обратите
внимание, что в правилах (—>¦ ZD) и (-»- V) набор Д стоит
в заключении правила, но не в его посылке. Это харак-
характерная черта интуиционистской логики секвенций. В пра-
правиле (ID—»-) главная формула заключения повторяется
в левой посылке.
Запись f— S означает, что секвенция S выводима
(в данном случае в исчислении GHPC).
Вывод оформляется в виде дерева. Высота вывода
есть количество секвенций в самой длинной ветви.
Следующая теорема утверждает эквивалентность
GHPG и НРС.
3.1. Если секвенция S выводима в GHPC, то ее фор-
формульный образ S® выводим в НРС. Обратно, если S0
выводится в НРС, то S выводится в GHPC.
Доказательство первой части этой теоремы проводится
без труда индукцией по построению вывода S в GHPC.
Необходимо проверить только, что формульные образы
аксиом и правил вывода GHPC допустимы в НРС. Рутин-
Рутинная эта проверка предоставляется читателю. Доказатель-
Доказательство второй части теоремы распадается в серию лемм, от-
юсящихся к выводимости в GHPC.
3,1.1. Если выводима секвенция S, то выводима и сек
венция S (х | it), причем с помощью вывода той же самой
высоты.
О Пусть дан вывод секвенции S, произведем в этом
выводе замену свободных вхождений параметра х на терм t
(переименовывая, разумеется, в случае необходимости
связанные переменные и собственные переменные вывода
Sf собственными называются переменные, используемые
явно в правилах (-> V) и (Э->)в качестве у). Индукцией
по построению вывода убедимся, что в результате полу-
получится вывод секвенции S (x \t).
3.1.2. Если выводима секвенция Г ->- Д _]_, то выводима
и секвенция Г—* Д, причем с помощью вывода той же
высоты.
О Двигаясь снизу вверх в данном выводе Г -> Д _[_,
будем вычеркивать все вхождения J_ справа, происходя-
происходящие в выводе из-за указанного вхождения _]_ в послед-
последнюю секвенцию. Индукцией по построению вывода убе-
убедимся, что в результате этой процедуры получится вывод
секвенции Г -> Д. Q
3.1.3. (Допустимость правила добавления.) Из выво-
выводимости Г -> Д следует выводимость ГП —*¦ ДФ, причем
с помощью вывода той же высоты.
1> Индукцией по построению вывода Г -*¦ Д. При рас-
рассмотрении случая, когда Г -> Д получено по правилам
(-»-V) или C->), используем 3.1.1. Q)
3.1.4. {Обратимость некоторых правил вывода.) Все
правила вывода GHPC, кроме (Ц)->), (—*- ID) и (-»-V),
обратимы, т. е. из выводимости заключения каждого из
правил следует выводимость любой из посылок. Что ка-
касается правила (Z)->), то из выводимости заключения
этого правила следует выводимость правой посылки п|;Г ->
Д. Более того, во всех случаях вывод посылки имеет
высоту, не превосходящую высоты вывода заключения.
[> Для правил (V ->) и (-> 3) это следует из 3.1.3. Для
каждого из остальных правил лемму следует доказывать
отдельно индукцией по построению вывода заключения
правила. Q
3.1.5. (Допустимость правила сокращения.) Следу-
Следующие правила допустимы в GHPC:
Г—> Aqxp ффГ —>Д
Г -> Дер ' срГ^Д '
Более того, заключение можно вывести с помощью вывода,
высота которого не превосходит высоты вывода посылки.
\> Доказательство ведем индукцией по построению фор-
формулы ср, при фиксированной же формуле ср используем
индукцию по высоте вывода посылки. Рассмотрим только
случай, когда ср есть импликация: ср = (т|э 3 Ц)- Если
Г —>¦ Дфф есть аксиома, то Г-> Дер — также аксиома и
утверждение доказано. То же относится и к секвенции
вида фсрГ —>- Д. Далее, если Г —>¦ Дфф (соответственно
ФфГ ->- Д) получена по правилу вывода, не относящемуся
26
ЛОГИКА
[Ч. 1
к явно выписанным ф, то следует, пользуясь предположе-
предположением индукции, произвести сокращение ц> в посылках и,
применив то же правило, получить секвенцию Г -> Аф
(соответственно фГ -> Л). Пусть ффГ —>¦ Д получена по
правилу (з ->), относящемуся к рассматриваемым фор-
формулам. В посылках этого последнего правила стоят
секвенции (ij) ZD лХ'Ф ID ц) Г ->-яр и (ij) Э 4) 4Г -+ Д,
По индуктивному предположению из первой секвенции
получим (if ID ц) Г —v и|). Из второй секвенции с помощью
3.1.4 получим г]Г]Г ->Ди затем по индуктивному предпо-
предположению rjF -> Д. Отсюда по правилу C ->-) выведем
(ф 13 11) Г -^ Д.
Наконец, пусть Г -> Дфф получена по правилу (-*- _j),
относящемуся к ф. Тогда посылка имеет вид грГ -*- т) и
из нее непосредственно по (->-ZD) получим Г->(т|з Z) f]). ?
3.1.6. (Допустимость правила сечения, так называе-
называемая основная теорема Генцена.) Следующее правило вы-
вывода, называемое сечением, допустимо в GHPC:
Г-^Аср; срП->Ф
ГП-^ДФ
[> Пусть даны выводы секвенций Г -> Дф и фП —*~ Ф
в GHPC. Припишем этой паре выводов тройку натураль-
натуральных чисел (к, I, т), где к — логическая сложность фор-
формулы ф, т. е. количество знаков Д \/ и V3, участвующих
в построении ф из атомарных формул, I — высота вывода
Г ->¦ Дф и т — высота вывода фП -*- Ф. Доказательство
выводимости заключения ведем индукцией по величине к,
при фиксированном к — индукцией по величине Z, а при
фиксированных к и I — индукцией по величине т. Фак-
Фактически для доказательства следует указать, каким обра-
образом следует заменить данное сечение фигурой вывода без
сечений или по крайней мере фигурой вывода с сечениями
меньшего веса (к, I, т).
Разберем случаи строения данной пары выводов.
1) Одна из посылок сечения есть аксиома. Тогда заклю-
заключение нетрудно вывести в GHPC. Например, если ф —
атомарная формула и Г = фГ", так что Г -> Дф есть акси-
аксиома, то ГП -> ДФ получается из данного фП ->¦ Ф по пра-
правилу добавления 3.1.3.
2) Одна из посылок сечения получена по правилу, не
относящемуся к выделенной формуле ф: Тогда следует
з]
ИСЧИСЛЕНИЕ СЕКВЕНЦИЙ
27
применить сечение к посылкам этого правила (при этом
уменьшается I или т), а затем применить то же самое
правило.
3) Не имеют места случаи 1) и 2), и, следовательно,
каждая из посылок получена по правилу вывода, вводя-
вводящему формулу ф. Здесь следует действовать различным
образом в зависимости от строения формулы ф. Мы раз-
разберем лишь три случая, оставляя остальные читателю.
Ф = (ф ID ц)- Данное сечение имеет вид
ГП-^ДФ
мы преобразуем эту фигуру к виду
ГП-^Дф; фГ-^т
ГГП^ДтГ, т
ГГПП-*
1
]П-^Ф
ДФ
Здесь верхнее сечение имеет меньшую высоту правого
вывода, а два нижних сечения применяются к формулам
меньшей логической сложности, так что по индуктивному
предположению эти сечения допустимы. Двойная черта
означает здесь и далее серию применений правил сокра-
сокращения и добавления. Эти правила допустимы согласно
3.1.3 и 3.1.5.
Ф = Vxi|> (x). Данное сечение имеет вид
Г—1|)(У) Vat (х) ф (t) П -* Ф
(х)
(х) П — Ф
" ГП -» ДФ
Мы преобразуем эту фигуру к виду
Г -»Д Уяф (i); Угф (х) ф (t) П ¦
ГГП-^ДФ
ГП-*ДФ '
Здесь верхнее сечение имеет меньшую высоту правого
вывода, а нижнее применяется к формуле меньшей слож-
сложности. Вывод Г -> т|э (t) получается из Г —>- if (у) с помощью
3.1.1.
28
ЛОГИКА
14. 1
ПРИЛОЖЕНИЯ УСТРАНИМОСТИ СЕЧЕНИЯ
29
= Зля]) (х). Данное сечение
(х) ф (О
(ж)
>(y)Ti-><t>
П -> ф
ГП-»ДФ
преобразуем к виду
ГП -> АЩ (t) ф (t) П -* Ф
ГПП -» ДФФ
ГП-^ДФ ' П
3.1.7. Для всякой формулы ф в GHPC выводима секвен-
секвенция ф -у ф.
|> Индукцией по построению ф. Q
3.1.8. Если ф выводится в НРС, то секвенция -у ф
выводится в GHPG.
t> Индукцией по построению вывода формулы ф в НРС.
Ключевым моментом доказательства является рассмотре-
рассмотрение правила 15): пусть выведены секвенции -> ф и
-*¦ (ф ZD ф), требуется вывести в GHPC секвенцию -у ф.
Сначала выведем секвенцию (фИ)ф)ф-»-ф, затем, при-
применяя сечение 3.1.6 с —у(ф!Эф), получим ф-> ф и,
наконец, применяя сечение с -у ф и ф -у ф, выведем сек-
секвенцию ->-ф. ?
Теперь, владея результатами 3.1.1 — 3.1.8, нетрудно
установить и вторую часть теоремы 3.1 и полностью завер-
завершить ее доказательство. Мы оставляем читателю детали.
4. Некоторые результаты относительно интуициони-
интуиционистской логики предикатов. Замечательная симметрия
системы GHPC позволяет нам без труда получить первые
результаты об интуиционистской логике предикатов.
4.1. Пусть р — атомарная формула. Тогда формулы
р V ~~\р и ППР DP невыводимы в НРС.
О Предположим, например, что р \/ ~~\р выводится
в НРС. Тогда -у р V ~~\Р выводится в GHPC. Но тогда
необходимо выводится и -у р~~\р. Последняя же секвен-
секвенция может быть выведена лишь из р —у J_, а эта секвен-
секвенция явно невыводима в GHPC. Подобный непосредствен-
непосредственный анализ позволяет установить и невыводимость
Множество формул X языка Q назовем полным в смысле
Харропа, если выполняются следующие четыре условия:
1) если (ф Д ф) 6 X, то ф е X и ф 6 X;
2) если (ф Z) ф) е -Х", то ф б X;
3) если Ужф (х) ? X, то ф (?) G ЗГ для всякого терма t
языка Q;
4) никакая формула вида (ф V ф) или 3 Щ> (х) не при-
принадлежит множеству X.
Например, пустое множество является полным в
смысле Харропа, множество всех формул, не содержа-
содержащих V и 3, также полно в смысле Харропа.
Секвенцию вида Г -> ДП назовем секвенцией Харропа
по отношению к множеству X, полному в смысле Харропа,
если
(i) всякий элемент Г принадлежит X;
(ii) ДП — непустой набор формул;
(iii) всякий элемент Д есть формула, начинающаяся
с существования.
Заметим, что Д или П по отдельности могут быть и
пустыми.
4.2. (Теорема Харропа.) Пусть X — множество фор-
формул, полное в смысле Харропа. Пусть Г -»- ДП есть сек-
секвенция Харропа по отношению к X и Т -*¦ ДП выводится
в GHPC. Тогда имеет место один из следующих случаев:
a) существует формула ф из набора П такая, что
секвенция Г -*- ф выводима в GHPC, или
b) существуют формула Зжф (х) из набора Д и терм t
такие, что в GHPG выводима секвенция Г ->-ф (t).
[> Индукцией по высоте вывода Г -> ДП в GHPC.
Заметим, что, так как Г -v ДП есть секвенция Харропа,
она не может быть получена по правилам (\/~»")» C->).
Мы разберем только случай, когда Г -> ДП получена по
правилу (->-3), оставляя проверку остальных возможно-
возможностей читателю. В этом случае Г -> ДП может иметь один
из следующих видов: Г ->- Д' Зжф (х)П, где Д = Д'Зяф (х),
или Г -у ДП' Заф (х), где П = П' Заф (х).
В первом варианте представим посылку в виде секвен-
секвенции Харропа Г->Д"П", где Д" = Д = Д'Зжф (х) и
П" = Пф (t), и применим к Г -*- Д"П" индуктивное пред-
предположение. Здесь имеются четыре возможности: 1) най-
найдутся формула Зуц (у) из Д' и терм г такие, что \— Г ->
-*¦ Л (г); 2) найдется терм г такой, что \— Г ->¦ ф (г);
30
ЛОГИКА
[Ч. 1
КЛАССИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ СЕКВЕНЦИЙ
31
3) найдется формула г] из П такая, что f—Г->-г);4)[—Г->
tj) (?). Мы видим, что для всех четырех возможностей
выполняется заключение теоремы Харропа.
Если же Г ->- ДП имеет вид Г -+¦ ДП'За^э (х), то нред-
ставим посылку в виде секвенции Г -*¦ А"П", где А" —
А и П" = П'Здаф (x)i|) (t), после чего применим индук-
индуктивное предположение. П
4.3. (Свойство диаъюнктивности НРС.) Если в НРС
(—Ф \/Ф> т0 в НРС [—ф или |—и|).
4.4. (Свойство экзистенционалъности НРС.) .?е./ш в НРС
\— Злл|) (ж), то найдется терм t такой, что в НРС(—ip (?).
t> 4.3 и 4.4 суть непосредственные следствия 4.2 (и
3.1.8). В качестве X следует взять пустое множество. Ц
Обращаем внимание, что факты 4.2—4.4 характерны
именно для интуиционистского исчисления предикатов.
Так, в СРС \~p\Z~\ р для атомарной формулы р, но,
конечно, не имеет места ни |—р, ни (— \р. Содержательно
в пользу, например, 4.3 можно привести следующий довод.
Пусть мы доказали в логике предикатов ф \/ ч|>. То, что
доказательство происходило в логике предикатов, озна-
означает, что мы не использовали никакой информации о со-
содержании суждений ф или т}э, а руководствовались только
логической формой этих суждений. В то же время дока-
доказательство было интуиционистским, т. е. в принципе
должен быть способ распознавания истинного члена дизъ-
дизъюнкции ф V 'Ф- Но каким может быть такой способ, если
содержание ни ф, ни i/з не принималось во внимание?
Фактически мы должны доказать предварительно либо ф,
либо ip\
Точные результаты 4.1—4.4 свидетельствуют в пользу
того, что исчисление НРС выбрано удачно. Все принципы
НРС выглядят довольно убедительными с точки зрения
интуиционистской математики. Следующая интересная
проблема состоит в исследовании полноты НРС.
Не пропустили ли мы какие-нибудь важные общие прин-
принципы, которые следует присоединить к нашей логике?
Как мы увидим далее (с. 72,120), этот тонкий вопрос
допускает различные решения в зависимости от уточне-
уточнения постановки вопроса о полноте НРС.
5. Классическое исчисление секвенций. Приведем для
полноты картины формулировку классического исчисле-
исчисления секвенций GCPC, аналогичного GHPC. Для GCPC
удобно изменить несколько язык Q. А именно, вместо
логической константы _|_ («ложь») мы будем в GCPC
употреблять логическую связку | (отрицание, «не»).
Исчисление GCPC содержит схему аксиом следующего
вида: фГ ->- Аф, где ф — атомарная формула языка Q.
Правила вывода вводят логические связки слева и спра-
справа, в том числе и связку |:
Аф
'(*)Г-»А
(_>Z>)
(-V)
Г-»Д(фЭ1
фГ-*А
Г -* Дг|? (у)
v "'' Ухг|>(х)Г->Д ;
Здесь в правиле (-*-V) наборы Г и Ане содержат свободно
переменной у. Остальные правила вывода (Д -*-), (—>- Д),
(V ->-), (-*- V)? C -»-), (-*¦ 3) имеют тот же вид, что и
в GHPC.
Имеет место факт, аналогичный 3.1, об эквивалентно-
эквивалентности GCPC и СРС. Разумеется, при построении формульного
образа S® классической секвенции S формулу вида |ф
следует переводить как(ф!Э_|_). Обратно, константу J_
можно изображать в GCPC в виде формулы ф Д ~|ср
с некоторой фиксированной атомарной формулой ф.
Доказательство эквивалентности GCPC и СРС можно про-
провести аналогично плану, намеченному в 3.1.1—3.1.8.
Основным моментом является доказательство допустимо-
допустимости в GCPC правила сечения (см. 3.1.6). В связи с 3.1.4
отметим, что в GCPC все правила вывода обрати-
обратимы. Мы оставляем эти доказательства читателю в каче-
качестве очень полезного, хотя и громоздкого упражнения.
Ценным свойством исчислений GHPC и GCPC является
свойство подформулъности: все формулы в посылках пра-
правил вывода этих исчислений составлены из подформул
формул заключения. Это сильно облегчает поиск вывода
Данной секвенции и является источником получения мно-
многих результатов. Например, если в рассматриваемых
исчислениях секвенций выбросить четыре правила
вывода, относящиеся к кванторам, то несложный анализ
оставшихся исчислений (исчислений высказываний в фор-
форме исчисления секвенций) позволяет найти эффективный
32
ЛОГИКА
[Ч. 1
6]
ФОРМАЛЬНЫЕ АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
33
способ установления выводимости произвольной секвен-
секвенции в данном исчислении. Таким образом, классическое
и интуиционистское исчисления высказываний оказыва-
оказываются разрешимыми. Хорошо известно, что соответству-
соответствующие исчисления предикатов неразрешимы. Тем не
менее формулировка исчислений в форме исчислений сек-
секвенции и здесь приводит к интересным результатам.
Заметим, что все рассуждения пп. 3—5 носили эле-
элементарно-комбинаторный характер и приемлемы одина-
одинаково как с интуиционистской, так и с традиционной клас-
классической точек зрения. Использование множеств в теоре-
теореме Харропа не является существенным: в интересны*
случаях всегда можно ограничиться конкретными про-
простыми множествами X (например, X = 0). Перед нами --
образец исследования интуиционистской логики скром-
скромными средствами, математика этого исследования ней-
нейтральна, приемлема и с классической и с интуицио-
интуиционистской позиций.
6. Формальные аксиоматические теории. Формальная
аксиоматическая теория (мы будем часто опускать один
или оба из этих эпитетов) определяется набором из трех
объектов:
Т = <Q, I, A>,
где Q — логико-математический язык; I — логика тео-
теории — мы будем рассматривать всего две логики, GPC и
НРС, и в соответствии с этим подразделять теории на
классические и интуиционистские; А — некоторое мно-
множество предложений (т. е. замкнутых формул языка Q),
называемое множеством нелогических аксиом теории Т.
Описывая нелогические аксиомы теории, мы будем часто
приводить незамкнутые формулы. В этом случае всегда
имеется в виду, что следует взять замыкание рассматри-
рассматриваемых формул кванторами общности.
Если Г — набор формул, а <р — формула в Q, то за-
запись Т, Г |— ср (читается «в теории Г из Г выводится ф»)
означает, что существует конечное подмножество A' czA
такое, что в исчислении I имеет место А'Т |— ср (см. с. 20).
Если Г пусто, получаем понятие выводимости в теории
Т \— ср. Упоминание о теории слева опускаем, если ясно,
о какой теории идет речь.
Теория Т, по определению, непротиворечива, если
неверно, что Т\— _]_. Секвенция Г -*- А выводима в Т,
если в Т выводим ее формульный образ, что, конечно,
эквивалентно выводимости Г, Г [—А.
В связи с интуиционистской логикой полезно не-
несколько обобщить понятие формальной аксиоматической
теории. А именно, составная формальная аксиоматиче-
аксиоматическая теория определяется набором четырех объектов:
Т = <Й, I, А, ВУ,
где Q, I — как и раньше, язык и логика соответственно,
& А та. В — два множества предложений языка Q. Предло-
Предложения из А называются позитивными нелогическими акси-
аксиомами, а предложения из В — негативными нелогиче-
нелогическими аксиомами. Если В = 0, то мы отождествляем Т
с простой теорией <Q, I, A).
Мы говорим, что формула ср выводится в составной
теории Т, и пишем Т\— ср, если существуют конечные под-
подмножества А' с: А, В' ^ В такие, что секвенция А'-+¦
В'ц> выводится в логическом исчислении I, Формула ф
отвергается в Т (записываем Т —С ф), если существуют
конечные подмножества 4'с4,В'сВ такие, что сек-
секвенция ц>А' -*¦ В' выводится в логическом исчислении I.
Для простой теории понятие выводимости, как нетрудно
видеть, совпадает с ранее данным, а Г —С ф равносильно
гь-Пф-
Составная теория непротиворечива, если для всех ко-
конечных A' CZ А и В' с: В секвенция А' ->- В' не выво-
выводится в I. Очевидно, что для простой теории это понятие
совпадает с данным ранее. В подразумеваемой интер-
интерпретации формулы, выводимые в теории,— это истинные
формулы (хотя, конечно, может быть, и не все истины
выводимы в теории), а формулы, отвергаемые в Г,— это
заведомо не истинные формулы теории. Последнее, одна-
однако, отнюдь не означает, что отвергаемые формулы ложны
в том смысле, что отрицание их истинно. В интуиционист-
интуиционистской модели истинности, как мы увидим далее, вполне
возможны ситуации, когда ф и ~~1ф одновременно не явля-
являются истинными. На содержательном уровне мы эту си-
ситуацию уже обсуждали в п. 1.
Для классической же теории понятие составной аксио-
аксиоматической теории неинтересно — оно легко сводится
2 А, Г, Драгалин
34
ЛОГИКА
[Ч. 1
7]
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
35
к понятию простой теории. А именно, если для данной
классической составной теории Т = (Q,CPC,A,B} опре-
определить
в- = Лф I ф 6 В) и г = <о, срс, а и в->,
то отношение Т\— ф совпадает с Т' |— ф,а Г —С ф экви-
эквивалентно 21' |— 1 ф.
Мы используем понятие составной формальной аксио-
аксиоматической теории в теории интуиционистских моделей.
7. Библиографические замечания. Хорошее обсужде-
обсуждение метода формализации в математической логике, про-
программы Гильберта обоснования математики, финитных
методов в математике можно найти во вводных главах
известных учебников Клини [2] и Н о в и к о в а [2].
Элементы классической семантики и теории моделей
изложены во многих книгах, например, в стандартном
учебнике Мендельсона [1]. Интуиционистскую
критику классического теоретико-множественного под-
подхода к математике и обсуждение особенностей интуицио-
интуиционистской математики можно найти в книгах Рейтин-
Рейтинга [3] в К л и н и и Весли [1], где можно найти
библиографию ранней литературы по интуиционизму,
в том числе обсуждение пионерских работ основателя
интуиционистского направления в математике — Брау-
эра. Конструктивное направление в математике является
с нашей точки зрения разновидностью интуиционизма.
Подробное обсуждение конструктивной концепции можно
найти в статьях Маркова [1], [2] и Ш а н и н а [1].
Систематическое построение обширных разделов матема-
математики с конструктивных позиций различного рода можно
найти в монографиях Рейтинга [3],Бишопа [1],
Кушнера [1], Гудстейна [1], Мартин-
Лёфа [3], Фан ДиньЗиеу [1]. В книге Клини
и Весли [ 1] фрагмент интуиционистского математическо-
математического анализа, включая знаменитую теорему Брауэра о веере,
проведен в рамках некоторой формальной аксиоматической
теории FIM. Другие важные формализации интуиционист-
интуиционистской математики имеются в статьях Крайзела и
Трулстры [ЦиМайхилла [2], [3].
Современное обсуждение важнейших интуиционист-
интуиционистских принципов можно найти в работах ван Далена
[2] и Трулстры [11. Сборник Трулстры [61
содержит весьма содержательный обзор современных ме-
методов исследования интуиционистских теорий, а также
обширную библиографию по математике интуиционизма
вплоть до 1973 г. Дальнейшая информация по теории
доказательств может быть найдена в обзоре Минца [2].
Формулировка интуиционистской логики предикатов
была предложена Рейтингом [1]в 1930 г. Наша
формулировка СРС и НРС близка к предложенным в учеб-
учебниках Клини [1]иМендельсона [2]. Формули-
Формулировка типа СРСХ и НРСХ восходит к работе Г ё д е л я
[3] 1958 г. и является ее некоторым упрощением (см. так-
также Драгалин [6], п. 8.3). Формулировка исчисления
секвенций и теорема об устранении сечения принадлежат
Г е н ц е н у [1] A934 г.). Наша формулировка GHPC
и GCPC близка к исчислению G3 в книге Клини [2],
но удобнее для поиска вывода, так как мы секвенцию
трактуем как множество с повторениями и поэтому пра-
правило сокращения у нас не получается автоматически.
Наше доказательство допустимости сечения отлично от
приведенного в книге Клини [2] и приспособлено
непосредственно к нашим исчислениям.
Теорема Харропа была установлена Харропом
[1] в 1960 г., но частные ее случаи восходят к работам
Гёделя. Исчисления секвенций применяются для полу-
получения результатов типа теоремы Харропа, но для более
широких систем таких, как арифметика или анализ, в ра-
работах Скарпеллини [2], [3] и Хинаты [1].
Другой способ установления теоремы Харропа с помощью
так называемого метода реализуемости по Клини исполь-
используется в работах Клини [4] — [6], Фридмана
[1], Майхилла [5]. Устранение сечения и его при-
приложения в системах натурального вывода Генцена — эти
системы мы здесь использовать не будем — можно найти
в работах П р а в и ц а [3], Джервела [1], М а р-
тин-Лёфа [1], [2], Т р у л с т р ы [6], Полерса
[1], Т е й т а [2]. Об устранении сечения в логике высо-
высокого порядка см. работы Т е й т а [1], П р а в и ц а [2],
Такахаси [1] — [3], Жирара [1], Осваль-
Освальда [1], [2], Буххольца [1], Драгалина
[12]. Понятие составной аксиоматической теории сфор-
сформулировано в работах Драгалина [3], [10].
ЧАСТЬ 2
АРИФМЕТИКА
Чтобы получить некоторое представление о том, на-
насколько интуиционистская математическая теория может
отличаться от классической, каким образом требования
эффективности можно отражать внутри теории, мы изу-
изучим некоторые формальные теории арифметики с интуи-
интуиционистской логикой. Эффективность в таких теориях мы
будем трактовать как алгоритмичность. Такой подход
характерен для конструктивного направления в матема-
математике как разновидности интуиционизма.
Мы увидим, что возможно много неэквивалентных под-
подходов уточнения идеи эффективности. Некоторые из этих
подходов противоречат друг другу, хотя каждый в
отдельности естествен и непротиворечив. Более того, полу-
получаемые теории эквивалентны в том смысле, что допуска-
допускают взаимную интерпретацию друг в друге. Основной
инструмент исследования в этом параграфе — разработан-
разработанный Клини метод реализуемости.
1. Аналитический язык. Пусть фиксировано конеч-
конечное, может быть, и пустое множество U, элементы которо-
которого назовем сортами функциональных переменных. Можно
считать, что U — это множество натуральных чисел. Фик-
Фиксируем некоторое счетное множество переменных для
натуральных чисел (числовых переменных). Мы будем обоз-
обозначать элементы этого множества через х, у, z, . . . Кро-
Кроме того, для каждого k ? U фиксируем счетное множест-
множество переменных для функций сорта k: a", pft, ук, а\, . . .
В подразумеваемой интерпретации значениями перемен-
переменной являются некоторые одноместные функции из нату-
натуральных чисел в натуральные числа, определенные для
всех натуральных чисел.
Введем понятие примитивно рекурсивной (п. р.) фун-
функции и примитивно рекурсивного (п. р.) описания. Каж-
Каждое п. р. описание представляет собой кортеж из > 3 чле-
членов: (к, I, р, . . .), где к, I — натуральные числа, а
АНАЛИТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК
37
р — в свою очередь кортеж (кг, . . ., кт} членов U,
ki ? U, причем возможно, что т = 0, т. е. кортеж р пуст. Пара
(I, р) называется типом п. р. описания, число I — коли-
количеством числовых аргументных мест, а число т — коли-
количеством функциональных аргументных мест. Кортеж р
называется распределением функциональных аргумент-
аргументных мест по сортам.
Понятие примитивно рекурсивного описания вводится
индуктивно, при этом каждому п. р. описанию одновре-
одновременно сопоставляется функция — примитивно рекур-
рекурсивная функция, имеющая данное описание. Следующие
пять пунктов составляют базис этого определения:
1) <1, 1, <»,*¦(*) =* + 1;
2) <2, 1, <&», F(x,a) = а(х),
здесь к ? U и а — переменная сорта к;
3) <3, 1, < », F(x) = х\
4) <4, 1, < >, ту, F(x) = т,
здесь т — произвольное натуральное число;
5) <5, 0, <й>, те>, F{a) = m,
здесь к ? U, а — переменная сорта к, т — произволь-
произвольное натуральное число.
Индуктивный шаг определения п. р. описания состав-
составляют следующие четыре пункта:
6) Пусть I > 0, 1 < ilr . . ., it < I, К б U, . . ., кт е
U; пусть дано п. р. описание g типа <Z, <Jeh, . . ., &jm>>*
причем g сопоставлена функция G. Тогда можно опреде-
определить новое п. р. описание
<6, I, (К, . . ., кту, g, it, . . ., is, fu • • •> /m>»
которому сопоставляется функция
F(xt, . . ., хи ах, . . ., ата) =G(xh, . . ., xif, ah, . . -,ajm).
Здесь аг — переменная сорта А{.
7) Пусть g — п. р. описание типа {I, <fcj, . . ., &m>>i
причем 1^>0; пусть h — п. р. описание типа (р, Ох,..., «s>>.
Тогда можно определить новое п. р. описание
<7, l+p — 1, <*!, • . ., кт, nv ..., л,>, g,h>, которому
сопоставляется функция
F(xu . . ., хг_1? уг, . . .,, j/p, аъ . . ., ат, р\, . . ., Р«) ~=
G(H( P p) * a )
yv,
xx,
а
38
АРИФМЕТИКА
|Ч. 2
Здесь функциональные переменные имеют соответствую-
соответствующие сорта.
8) Пусть g — п. р. описание тина <2, < >> и т —
натуральное число. Тогда можно образовать новое п. р.
описание <8, 1, < >, g, m), которому сопоставляется функ-
функция F, удовлетворяющая тождествам
F@) =m;F(x + l) = G(z,F(x)).
9) Пусть h — п. р. описание типа (т, (кг, . . ., kn}}
и g — п. р. описание типа (т + 2, (кг, . . ., &„>>. Тогда
можно определить новое п. р. описание <9, т -f- I, <Alr.. .
• • ч &n>i ?> hy, которому сопоставляется функция F,
удовлетворяющая следующим тождествам:
. . ., ап) =
х
и . . ., ап);
хь . . ., хт,
F(x + l, xt, . . ., х
G(x, F(x, хъ ..., xm, au . . ., an), xv . . ., xm, аъ . . ., an)>
Определение примитивно рекурсивного описания за-
закончено.
Числовые термы языка An(U) определим индуктивно:
1) константа 0 есть числовой терм;
2) числовая переменная х есть числовой терм;
3) если р есть примитивно рекурсивное описание типа
(I, (къ . . ., кт)У и /1? . . ., ti суть числовые термы, а
а1( . . ., ат — переменные для функций, причем щ —
переменная сорта ки то выражение р (flt . . ., tu аъ
.. ., ат) есть числовой терм.
В дальнейшем, когда речь идет об аналитическом язы-
языке, числовые термы мы будем называть просто термами.
Функциональные же термы языка An(U) суть по определе-
определению просто переменные для функций.
Через t(x\ г) мы, аналогично п. 2 ч. 1, будем обозначать
результат подстановки терма г в терм t вместо всех
вхождений переменной х в терм t. Такой же смысл имеет
и обозначение ?(а|Р), где а и 0— две переменные для
функций одного и того же сорта. Введем естественные со-
сокращенные обозначения для термов специального вида:
S(x) ^ х + 1 ^ <1, 1, < » (х); ф) ф <2,1, <А» (х, а),
где а — переменная сорта к.
Атомарные формулы языка An (U) имеют вид (t — г),
где t и г ~ числовые термы. Разумеется, здесь = является
ОСНОВНЫЕ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
формальным знаком языка An (U) и его следует отличать
от употребления равенства в тексте для содержа-
содержательного сообщения о совпадении объектов. Фор-
Формулы языка An (U) строятся из атомарных обычным об-
образом с помощью констант и связок логики предикатов:
Д V ZD J_ V 3. При этом кванторы УиЗ употебляются
как по числовым переменным, так и по переменным для
функций всех имеющихся сортов.
Описание языка Ап(Е/) закончено. An (С/)—много-
(С/)—многосортный аналитический язык, количество сортов перемен-
переменных зависит от U. Особенно важен случай, когда U —
одноэлементное множество, т. е. имеется всего один сорт
переменных для функций. Такой язык мы будем обозна-
обозначать через An, опуская обозначение одноэлементного
множества U, и называть просто аналитическим языком.
Многосортный арифметический язык A(U) отличается
от An(U) лишь тем, что в A(U) кванторы V и 3 приме-
применяются только к числовым переменным. Переменные для
функций в A(U) играют роль неопределенных констант
для функций. Особенно важен случай, когда U пусто, т. е.
переменных для функций нет вовсе. Такой язык мы обоз-
обозначим через А и будем называть просто арифметическим
языком.
Термы типа 0, «SO, SS0, . . ., когда они встречаются
в формулах и термах, мы будем отождествять с соответ-
соответствующими натуральными числами 0л 12 2^ . . .
2. Основные арифметические теории. Сформулируем
теперь аксиоматическую теорию, предназначенную для
описания обширного фрагмента классической арифметики.
Мы обозначим эту теорию через FA(E/)— «классическая
формальная арифметика в языке А([/)». Логика ?A(U) —
классическая логика предикатов СРС, сформулированная
для языка А(?7). В качестве нелогических аксиом FA(i7)
следует взять замыкания кванторами общности следую-
следующих формул:
1) х = х;
2) ж — y/\x = z^Dy = z;
3) х — у Z) Sx = Sy;
4) х = у ID ф) = a(y)i
5) -| Sx « 0;
6) Sx = Sy Z) x = у;
АРИФМЕТИКА
{Ч. 2
7) определяющие аксиомы для примитивно рекурсив-
рекурсивных описаний, т. е. для каждого п. р. описания (кроме 1)
и 2)) следует в качестве аксиомы взять определяющее тож-
тождество соответствующей примитивно рекурсивной функ-
функции, например,
<3, 1, <»(*) = хх <5,0, ф, 2> (а) = SSOt
<8,1, < >, g, 2> @) = SS0,
<8,1, < >, g, 2> (Sx) - g(x, <8,1,<>, g, 2> (*))
и т. д., все эти аксиомы имеют вид равенств;
8) следующая схема аксиом Ind (принцип полной ма-
математической индукции, формальная индукция):
<р@) Д Ух(ф) 3 фE*)) Z) У*Ф(г).
Определение FA(U) закончено. Классическая формаль-
формальная арифметика FA есть по определению система FA(U)
для случая, когда множество U пусто. FA — теория в
арифметическом языке А. Аксиома 4) при этом^ естес»<
венно, исключается из списка ее нелогических аксиом^
а в аксиомах 7) употребляются лишь описания, не содер-
содержащие аргументов для функций. Напомним» что кванторы
для переменных по функциям в языке A(U) отсутствуют.
Интуиционистская формальная арифметика НА(?/)
(арифметика Рейтинга) отличается лишь в одном отно-
отношении от классической теории FA(U): а именно, в НА(С7)
используется интуиционистское исчисление предикатов
НРС вместо классического СРС. НА есть по определению
система НА(?7) при пустом U.
2.1. НА(*7) [-ф=4 FA(*7) \- ф.
О Всякий вывод HA(CZ) (— ф есть одновременно и вы-
вывод в FA(?7), так как НРС есть часть исчисления СРС. []]
Таким образом, НА есть подсистема FA с точки зрения
выводимости. Тем не менее многие обычные арифметичес-
арифметические факты выводятся в НА так же успешно, как и в FA.
Мы будем предполагать, что читатель имеет определенный
опыт построения формальных выводов в FA (опыт этот
можно почерпнуть в стандартных учебниках Мен-
Мендельсона [1] или К л и н и [2], причем в последнем
автор специально отмечает интуиционистский характер
выводов) и не будем вдаваться в подробности, если со-
содержательное доказательство непосредственно перево-
2]
ОСНОВНЫЕ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
41
дится в интуиционистский вывод. При этом специальные
усилия будут прилагаться, чтобы в содержательных рас-
рассуждениях не использовать без необходимости законы
классической логики типа снятия двойного отрицания
или закона исключенного третьего. Подробную сводку
формул, выводимых в НРС, можно найти в §§ 26 — 35
книги К л и н и [2].
Отметим специально некоторые свойства равенства и
эквивалентности. Определим обычным образом:
(<р = ф) =М<Р => ф) Д СФ Z) Ф).
(а = Р) ^ V*(a(s) = р(*)).
2.2. Пусть t, r, s — термы или функциональные пе-
переменные (не обязательно одного сорта).
Тогда в RA(U):
1) t = t;
2) t = r ID г = f,
3) t — r /\r — s^D t = s.
[> Это — непосредственное следствие аксиом равен-
равенства 1) — 4). П
2.3. Пусть р — п. р. описание; тогда в HA(U) вы-
выводятся следующие правила замены:
1) х = у Z) р(. • -» х, . . .) = р(. ¦ ., У,. • •);
2) а = р Z) р(. ¦ ., «, • • •) = Р(- ¦ •. Р.- • •)•
|> Индукцией по длине п. р. описания р. Пусть, на-
например, р — <8, 1, < >, g, т)>. Покажем
Уху(х = у Z) р(х) = р(у)).
Обозначим эту формулу через УхуОр(х, у) и для ее вы-
вывода воспользуемся формальной индукцией по х. Следует
вывести
у),
у)
у)).
A)
B)
Для вывода A) применим формальную индукцию по у.
Таким образом, необходимо вывести -ф@, 0) и Vy(ty@, у) ZD
я|>@, Sy)). Для получения г])@, 0) заметим, что имеет
место р@) =*р@) ввиду 2.2. Для доказательства второй
формулы установим Уг/г(з(О, Sг/), что непосредственно сле-
следует из~]@ = Sy). Итак, A) установлено.
Для вывода B) допустим
. У) C)
АРИФМЕТИКА
[Ч. 2
и докажем Vip!p(Sz, у) формальной индукцией по у. Не-
Необходимо установить ty{Sz, 0) и Vy(ty(Sz, у) Z) ty(Sx, Sy)).
ty(Sx, 0) немедленно следует из ~~\ (Sz — 0). Для доказа-
доказательства второй формулы достаточно установить Vyty(Sx,
Sy). Допустим Sx f= Sy и выведем p(Sx) *= p(Sy). По
свойству р имеем
p(Sx) ~ g(z, p{x)),
p(Sy) — g(y,
Из Sx *= Sy следует x = у и, ввиду C), р(х) = />(i/). Так
как g имеет более короткое описание, чем р, то по индук-
индуктивному предположению отсюда g(x, р(х)) = g(y, p(y))
и с помощью 2.2 отсюда p(Sx) = p(Sy). Ц
2.4. Пусть t — терм, z, у, z — числовые переменные,
а, Р, у — переменные для функций одного сорта. Тогда
в HA(tf):
1) * - у 13 t(z | х) = *(* | у);
2) а = Р =) *(? I «) = *(? ! Р).
[> Индукцией по построению t с использованием 2.3.Ц
2.5. Пусть ф — формула, х, у, z — числовые перемен-
переменные, а а, Р, у — переменные для функций одного сорта.
Тогда в HA(U):
1) х = г/ Z) (<p(z | ж) = ф(г | у));
2) а - Р Г) (ФG I а) = ф(? I P))-
О Индукцией по построению ф. В атомарном случае
используем 2.2 и 2.4. Ц
Богатый набор п. р. описаний позволяет преобразо-
преобразовать всякий терм к некоторому нормальному виду.
2.6. Пусть t — терм и хг, . . ., хп, аъ . . ., ат —
список различных переменных такой, что все параметры t
находятся в этом списке. Тогда найдется п. р. описа-
описание р такое, что в HA(U)
р{хх, . . ., zn, ах, . . ., ат) = t.
t> Индукцией по построению L Суть дела состоит в том,
что подстановка выражается через примитивно рекурсив-
рекурсивные операции п. 1. [П
В системе НА имеются широкие возможности для оп-
определения примитивно рекурсивных операций над нату-
натуральными числами и доказательства их элементарных
свойств. Приведем некоторые определения. Фиксируем
2)
ОСНОВНЫЕ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
43
взаимно однозначное примитивно рекурсивное соответ-
соответствие между парами натуральных чисел и натуральными
числами. Пусть числам х и у соответствует число j{zt у).
Например, в НА можно определить терм j(x, у) =
(max2 (х, у) + у) + (т&х(х, у) — х) и соответствующие
обратные операции ]х и /2, так, что в НА:
Цх, у).
h(i& у)) — х\ h(j{x, у))
ДО, 0) = 0; * < ]{х, у); у
Далее, нумерация ге-ок чисел может быть введена, на-
например, следующим образом: vx(a;) = х, \2{хп #г) —
j{xu x2), и при п > 1 vn+1 (х0, хи . . ., хп) = j(xot
vn (хъ . . ., хп)) с соответствующими обратными функциями
«"(Vnfo, . . ., Хп)) = Xi,
где п > 1, 1 <^ i <ъ п. Можно определить взаимно одно-
однозначное соответствие между натуральными числами и все-
всеми кортежами натуральных чисел. А именно, набору чи-
чисел хг, . . ., хп (п ;> 1) сопоставим число /(« — 1,
vn{xi, . . ., хп)) + 1, которое обозначим через (хъ . . ., аг„>;
пустому кортежу,, не содержащему членов,— число < > =
0. Таким образом, натуральные числа в зависимости от
способа кодирования можно отождествлять с парами, с
тройками и с произвольными кортежами натуральных
чисел. Пусть z * у — операция соединения кортежей:
<*ъ . . ., хту * <#!, . . ., уп) = <arlt . . ., хт, уъ . . ., уп).
Двуместная операция [х]г «высекает» элемент кортежа х:
1{х0, . . ., zn-t)>\z = xz при z < n (заметим, что здесь ну-
нумерация элементов кортежа начинается с нуля, а не с еди-
единицы). Операция Ш х определяет длину кортежа: 1Ь0 = 0,
lh «ж0, . . ., «„_!» = п.
Нам понадобится еще операция почленного соедине-
соединения кортежей. По данным числам хг и х2 определим число
х = щ(хи z2), где х = <г/0, • • -i Ут-i), т = max(lh хъ
1Ьж2), ук = ]{х\, х]), причем х\ = [хх\к, если к < Ш хг
(в противном случае х\ = 0), и, аналогично, х\ = [х^,
если k<lhx2. Можно определить и естественные обрат-
обратные операции. Так, если z = <г/0, . . .г ут-{>, то поло-
44
АРИФМЕТИКА
[Ч. 2
жим 6? (я?) = ф!(уо), • • •! Ь! (Ут-г)), где i = 1, |2. Опе-
Операция уп почленного соединения более чем двух кортежей
определяется аналогично.
В НА(?/) можно определять и функциональные сим-
символы, имеющие аргументами переменные для функций.
Так, «функция-обрезок»
а (ж) = <а@), аA), . . ., а(х - 1)>
определяется с помощью примитивной рекурсии как терм
от а и ж:
а@) = 0, ~a(Sx) = а (ж) * <а(ж)>.
Подобным образом можно ввести термы с параметрами а
а х типа
Мы не будем останавливаться на точных формулировках
и доказательствах элементарных свойств этих термов
(некоторые подробности можно найти у К л и н и и
В если [1] и К лин и [2]).
3. Негативная интерпретация. Анализ принципов, по-
положенных в основу НА, показывает, что все они, по-види-
по-видимому, приемлемы с интуиционистской точки зрения.
Формулы НА выражают суждения о конструктивных объ-
объектах, а способы рассуждения согласуются с эффектив-
эффективным пониманием логических связок. Выводы НА прием-
приемлемы и с классической точки зрения просто потому, что
НА — часть FA. В этом смысле на НА можно смотреть как
на нейтральную теорию, и если некоторое предложе-
предложение выведено в НА, то можно считать, что такое предло-
предложение выведено особенно надежно, доказано финитно.
Можно считать, что непротиворечивость системы НА
очевидна в силу самой содержательной интерпретации
этой теории.
Заметим сразу же, что это отнюдь не единственная
разумная точка зрения. Можно считать, что надежный
финитный смысл могут иметь только арифметические
суждения ограниченной сложности. Особенно интересно
рассмотреть здесь крайний случай, когда приемлемыми
считаются лишь бескванторные арифметические формулы.
НЕГАТИВНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
45
Б качестве формальной теории тогда следует рассмотреть те-
теорию PRA — примитивно рекурсивную арифметику4 бес-
бескванторный фрагмент теории НА. Оказывается, что нео-
неожиданно обширную часть математики можно рассматривать
уже в PRA, см. по этому поводу работы Гудстейна [1]
и Минца [3]. С другой стороны, можно пытаться рас-
расширять НА, сохраняя ее финитный и нейтральный харак-
характер, например, таким образом, чтобы иметь возможность
вывести непротиворечивость НА в расширенной теории.
Варианты такого расширения с помощью различных прин-
принципов типа трансфинитной индукции восходят к Ген-
цену [2], [3] (см. также Скарпеллини [Ъ]х Д р а-
г а л и н [1], [8]). По поводу конструктивного истолкования
сложных арифметических суждений см. также Мар-
Марков [3], Шанин [2], [3], Минц [13. Однако в этом
параграфе мы будем считать базисными именно выводы
в НА, отождествляя такие выводы с «финитными» выво-
выводами.
Термин же «конструктивное рассуждение» мы будем
употреблять в более расплывчатом смысле для обозна-
обозначения нескольких содержательных рассуждений в самой
этой книге, которые, хотя, может быть, и не формализу-
формализуются естественно в НА, тем не менее удовлетворяют мно-
многим условиям конструктивности — не используют закона
исключенного третьего, указывают способ построения
объектов, существование которых утверждается, и т. п.
Не будем и пытаться очертить метаматематически объем
этого понятия, предоставляя читателю самому судить
о степени конструктивности тех рассуждений^ которые мы
называем конструктивными.
Оказывается, что имеется естественная интерпретация
классической арифметики FA в НА, восходящая к К о л-
могорову [1J и Гёделю [1]. Формулу языка А
назовем бескванторной, если она не содержит вхождений
V и 3, негативной — если она не содержит V и 3 (но мо-
может содержать V), и почти негативной — если формула
не содержит \/ и содержит 3 только в комбинации с ато-
атомарной формулой, т. е. всякое вхождение существования
в почти негативную формулу (если таковое имеется) име-
имеет вид Эжх3а;2. . Зхпу, где ср — атомарная формула.
3.1. Если ф — бескванторная формула, то в НА име-
имеем ф V ~1 ф » ~1~1 ф 3 ф.
46
АРИФМЕТИКА
[Ч. 2
Е> Вначале с помощью формальной индукции устано-
установим
Уху{х = y\J~]x = У) и Vzi/( ~] ~~1 * = i/ ^ж = #)>
откуда утверждение следует для атомарных формул, а за-
затем воспользуемся содержательной индукцией по построе-
построению ф. Q
3.2. .йЪш ф — негативная формула, то в НА ~~|~~1ф И) Ф-
О Индукцией по построению ф. Для атомарного слу-
случая используем 3.1. Далее воспользуемся следующими
формулами, выводимыми в НРС:
. П
Заметим, что в НРС выводится импликация | ]Vaap 3
Va; | |ср, но не выводится, вообще говоря, обратная им-
импликация Уж 1 | Ф 3 1 "П ^жф, поэтому в доказательстве
3.2 приходится использовать несколько более сложную эк-
эквивалентность.
Определим «классические» логические связки — дизъюнк-
дизъюнкцию и существование — следующим образом:
Для всякой формулы ф через фс обозначим результат за-
замены всех связок V и 3 на их классические варианты, фс
назовем негативной интерпретацией ф. Очевидно, фс —
всегда негативная формула.
3.3. FA f— ф ^= фс.
|> Очевидной индукцией по построению ф. С точки
зрения классической логики классические и обычные связ-
связки эквивалентны. Q
3.4. FA |- ф Н> НА 1- фс.
|> Индукцией по построению вывода FA (— ф. Удобно
рассмотреть формулировку СРСХ. Специфическое правило
~1 |ф/ф после перевода приобретает вид "] |фс/<рс и следует
из 3.2 и негативности фс. Рассмотрим еще только кван-
торное правило: 1|э(ж) 3 ф/ЗаяК») 3 ф, где х — не пара-
параметр ф. После перевода оно приобретает вид %(х) 3
ф/П V "~1 ij)c(a;) з фс и оказывается допустимым в НРСХ.
3]
НЕГАТИВНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
47
Действительно, в НРСХ из досылки выводим Зжг|)с(з:) 3 фс;
отсюда по законам НРСг имеем "~lVa: ~^ i)>c (ж) з "ПП Фс
и остается воспользоваться 3.2. Ц
3.5. РАЬф<^НАНфс.
> Ввиду 3.3 и 3.4. П
3.6. Если'ц) — негативная формула, то
ГА |- ф 44 НА f- ф.
3.7. FA непротиворечива тогда и только тогда, когда
непротиворечива теория НА.
Результаты 3.5 — 3.7 показывают, что FA интерпрети-
интерпретируется в НА, причем в FA и в НА доказуемы одни и те же
негативные формулы. Можно сказать и так, что все, что
доказуемо классически, доказуемо и интуиционистски,
только связки V и 3 следует понимать при этом «класси-
«классически» (изменение, несущественное с классической точки
зрения!). Система НА только по видимости слабее FAT
фактически, она способна выразить все возможности FA
и, кроме того, имеет дополнительные логические связки V
и 3, позволяющие выражать «конструктивное существова-
существование». Классические связки \JC и Эс не являются необхо-
необходимыми и выражаются через остальные. Значение получен-
полученной интерпретации выходит далеко за рамки формальной
арифметики. Современное исследование показывает, что
интуиционистские теории гораздо более разнообразно и
гибко изучают эффективность в математике, чем их клас-
классические аналоги. Многие классические понятия нетри-
нетривиально разветвляются в интуиционистской теории на
несколько неэквивалентных (ср. Бишоп [1], К у ш-
нер [11, Фан Динь Зиеу [1]). В то же время клас-
классические теории часто содержатся в соответствующих ин-
интуиционистских в качестве некоторого негативного фраг-
фрагмента. О распространении негативной интерпретации на
теорию множеств и теорию типов см. М а й х и л л [4],
Поуэлл [5], Фридман [2]. Принципиальное значе-
значение имеет рассматриваемая интерпретация и для теории
доказательств. Так, если считать непротиворечивость НА
надежно установленной, непротиворечивость классичес-
классической теории FA уже может быть установлена с помощью
финитного рассуждения пп. 3.4—3.7. Дальнейшее об-
обсуждение этой темы можно найти в книге К Л и н и [21,
§ 81.
48
АРИФМЕТИКА
[Ч 2
4. Формальный тезис Чёрча. Займемся теперь суще-
существенно интуиционистскими формальными теориями, не
допускающими присоединения закона исключенного
третьего.
Далее мы будем пользоваться элементарными свойст-
свойствами примитивно рекурсивных функций и отношений, не
выводя их фактически в НА. Предполагается, что чита-
читатель имеет определенный опыт в технике вывода, и мы иг-
игнорируем формальные выводы в тех случаях, когда извест-
известные элементарные доказательства непосредственно форма-
формализуются в НА. В более сложных случаях мы будем
приводить более или менее подробное содержательное
рассуждение, оставляя его формализацию читателю.
Особенно важны примитивно рекурсивный предикат
Клини Тп(е, хг, . . ., xm z) (см., например, Мендель-
Мендельсон [1], с. 267, или Клини [2], с. 250) и примитивно
рекурсивная операция Uz. Напомним, что если е есть но-
номер частично рекурсивной функции {е} от п аргументов,
то Тп (е, хъ . . ., хп, z) имеет место тогда и только тогда,
когда z есть кортеж, естественно кодирующий полный
процесс вычисления значения {?}{хх, . . ., хп) = у. В
этом случае у = Uz, т. е. U по протоколу z полного про-
процесса вычисления выдает результат вычисления. В НА
предикат Тп естественно изображается атомарной форму-
формулой, a U — некоторым термом с единственным парамет-
параметром. Все обычные свойства Тпъ U могут быть выведены в
НА. Например, единственность процесса вычисления вы-
выражается формулой, выводимой в НА:
Тп(е, хг, . . ., хп, zj) Д Тп{е, х±, . . ., хп, z2) Z) zx = za.
В НА можно ввести естественные сокращения
{e}(xt, . . ., хп) = у ^ 3z (Тп(е, х1у. . .,xn,z)/\Uz = у);
\{е){х^ . . ., хп) -? Зу({в}(ж!, . . ., хп) = у).
Теперь мы в состоянии рассмотреть некоторые схемы
аксиом, отражающие конструктивную специфику понима-
понимания логических связок и расходящиеся с классической
семантикой. Наибоее замечательный из них — формаль-
формальный тезис Чёрча
СТ: Vx3y<p(x, у)Г)ЭеУхЗу({е}(х) = у Д
у)),
4]
ФОРМАЛЬНЫЙ ТЕЗИС ЧЁРЧА
49
здесь формула ф(ж, у) — формула языка А (а не А{17)\).
СТ утверждает, что если верно, что для всякого х сущест-
существует у, удовлетворяющее некоторому отношению у(х, у),
то существует общекурсивная функция, выдающая по х
это у.
Более слабый вариант этого принципа требует един-
единственности в посылке
СТ!: Уж3'г/Ф(ж, у) ID 1еУхЗу({е}(х) = у Д <р (х, у))
с тем же ограничением на формулу <р(#, у). Здесь квантор
3! (читается «существует и единственное») определяется
обычным образом:
3!от](ж) ^ Зщ(х) Д Уху(ф) Д 1\(У)^>Х = У)-
Следующий результат показывает, что уже СТ! про-
противоречит классической математике.
4.1. В НА + СТ! имеем
ИУагПЭуЩх, х, у)\/ -ПЭуГЛз, х, у)).
> Допустим Vx(-} ЗуТ1 (х, х, у)У ~\ ~] 3yTt(x, x, у)).
Определим $(х, z) ^ ((z = 0 Д ~] ~] ЗуТ1 (х, х, у)) V (z =
1 Д П ЗуТ1!^, х, у))). Из допущения следует Va;3!z
¦ф(ж, z). Ввиду СТ! найдется е такое, что Vxjz({e}(x) =
z Д ty(x, z)). Из свойств -ф следует, что для всякого х
{е}{х) = 0\/ {е}(х) = 1 и, кроме того,
{е}(х) = 1 = ЗуТг(х, х, у).
По данному е построим натуральное / такое, что
!{/}(*) == {е}(х) = 1
(здесь мы используем выводимость в НА элементарных
свойств предиката 7\). Отсюда
3yTt(f,x, у) ==-[ЗуТ^х, х, у).
Подставляя сюда вместо х число /, немедленно получаем
противоречие. f7]
Полученный результат позволяет другим способом
установить невыводимость некоторых формул в НРС
(см п. 3.4 ч. 1). Пусть р — атомарная формула НРС.
4.2. Если НА + СТ! непротиворечива (а позже мы
установим, что непротиворечивость этой теории следует
50
АРИФМЕТИКА
[Ч. 2
из непротиворечивости НА), то формулы р \/ \ р,
~~}р V ~~| ~~\р, ~~\ ~~\р ID р не выводятся в НРС.
О Если бы, например, ~~| р \/ ~~\ ~~] р выводилась в НРС,
то, повторяя этот вывод в языке А, мы вывели бы в НА
ПЗуЫх, х, jjviia»^, х, у)),
а затем и Vs(~~] ЗуТ^х, х, у)\/ ~| ~| З^ (х, х, у)), что давало
бы противоречие с 4.1. Для доказательства невыводимости
~~!H,PlDp следует в качестве р взять"~~| ЗуУ1(а;, х, у)\/
| | ЗуТг(х, х, у) и воспользоваться тем, что тогда ~П ~П р
выводится в НРС, а р не выводится. П
4.3. Возьмем г|з(а;, z), какв доказательстве 4.1. Тогдаиз
факта, доказанного в 4.1, следует, что в НА + СТ! имеет
место одновременно | Vx3zty(x, z) и Wx | ] 3zi|)(:e, z).
Отсюда и из непротиворечивости НА + СТ! следует, что
Ух —\ -| ц(х) Z) ~| ~~| Уапф)
не выводится в НРС для атомарной предикатной буквы
т](дг) (см. замечание на с. 46).
Несколько более тщательное рассуждение, аналогич-
аналогичное 4.1, показывает, что в НА + СТ! выводится одновре-
одновременно
~~| V#3zij5c (х, г)иУж"|П Эгфс (z, z).
Если положить ф ^ V#3zi|3c (ar, z), то в НА + СТ! выво-
выводится одновременно <рс и "~^ ф, так что невыводимо фс =
"П ~1 Ф- Негативная интерпретация не эквивалентна, во-
вообще говоря, двойному отрицанию первоначальной фор-
формулы.
Отмеченные факты показывают, что теория НА -f- СТ!
уже весьма непохожа на классическую теорию FA. Мы
покажем тем не менее, что эта теория, подобно FA, ин-
интерпретируется в НА. Однако, теперь эта интерпретация
должна учитывать неклассический характер логических
связок. Мы впервые сталкиваемся с необходимостью по-
построения неклассической модели для теории НА + СТ!.
Мы построим эту модель сразу для теории с более мощным
вариантом тезиса Чёрча, утверждающим существование
и частично определенных алгоритмов. Такого рода прин-
принцип имеет вид'СТ (а|), ф):
, у)) => 3tVxty(x) =) Зу({е}(х) = у Д
Фг У)))
41
ФОРМАЛЬНЫЙ ТЕЗИС ЧЁРЧА
51
и утверждает, что существует частично рекурсивная функ-
функция {е}, которая определена по крайней мере на всех х,
для которых '^{хI и для каждого такого х выдает у такое,
что у{х, у).
Однако, при некоторых я|з и ф принцип СТ (г|5, ф) п р о-
тиворечит НА.
4.4. Пусть у(х) ** {ЗуТ^х, х, у) у ~] ЗуТ1 (х, х, у)),
4>(х, у)^((у>0/\ Тх{х, х, у^ 1')) V (У = О Д 1 ^2/
Тг{х, х, у))). Тогда НА Н П СТ (% ф).
р> Действительно, легко видеть5 что
Vx(ty(x) ID Эг/Ф(ж, у)).
Если допустить СТ (я|з, ф), то отсюда найдется е такое, что
из г|)(а;) следует Зу({е}(х) = у Д ф(жэ у)). Но V^ П ~~]Ц(х)>
так что Va: J J Зу({в}(х) —У/\ ф(х, у)). Выберем /так j что
\{f}(x) = {е}(х) = 0. Тогда П ' (Ж*) = dvTi(x, x~x у),
т. е.
ni(^, х, у).
Заменяя х на /, получим противоречие. Ц
Можно привести и интуитивные аргументы, показы-
показывающие, что СТ (чр, ф) неприемлем, по крайней мере, для
некоторых г|з. В самом деле, требуемого алгоритма может
и не существовать в тех случаях, когда установление свой-
свойства ij) (x) само требует отыскания некоторых конструктив-
конструктивных объектов. Тогда для вычисления у такого, что ф (х, у),
на вход алгоритму {е} следует подавать не только х, но
и эти конструктивные объекты, без них же нет никаких
оснований надеяться вычислить нужное у. Так, в примере
4.4 нетрудно построить алгоритм, который выдает у по
заданному жи по указанию, какой из членов дизъ-
дизъюнкции 1|? (х) верен. Построить же алгоритм, который вы-
выдает у по одному только х, как было показано, невоз-
невозможно.
Мы рассмотрим два принципа, получающиеся ограни-
ограничением класса формул яр в СТ (яр, ф). Схема пСТ состоит из
всех примеров СТ A|з, ф), где формула яр начинается
с отрицания. Схема ЕСТ состоит из всех примеров
СТ (яр, ф), где яр — почти негативная формула.
Как мы увидим далее, обе схемы EGT и пСТ уже совме-
совместны с НА.
52
АРИФМЕТИКА
[Ч. 2
i]
РЕКУРСИВНАЯ РЕАЛИЗУЕМОСТЬ ПО КЛИНИ
53
5. Рекурсивная реализуемость по Клинн. Будем счи-
считать до конца этой части, что все наши арифметические
теории формулируются в языке А, т. е. без переменных для
функций. Начнем с изучения теории НА + ЕСТ. Сопо- ',
ставим с каждой формулой ф почти негативную формулу
(агф) (читается «х реализует формулу ф»). Здесь х — чис- •
ловая переменная, формула (агф) содержит те же парамет-
параметры, что и ф, и, кроме того, может быть, еще параметр х. ,
Определяем (жгф) индукцией по построению форму- '
лы ф:
1) хг (t = г) =±? (t = г);
2) хг (ф Д 1|з) ^ (jtx) гф Д (j2x) nj>;
3) хг (ф\/ Ф) ^(Jix = 03 (JiJzx) гф) Д (]\х ^OD
4) хг (ф Z) ф) ^ V? (упр 3 З^х (ж, у, v)) Д
Vyz (г/гф Д Гх (ж, у, z) 3 (*7z) np);
5) жг J_ ^ Jj
6) хгУуЦ (у) ^ Уг/ЗгГх (ж, у, z) Д Vyz G\ (х, у, z) =Э
(Кг) пр (г/));.
7) жгЗуф (г/) =±? (/» п|) (/2ж).
Определим еще формулу гф (читатется «ф реализуемо»):
гф ^? Зж (да-ф).
Интуитивно, хщ имеет место в точности тогда, когда х
есть полный набор конструкций, нужный для обоснования
ф с алгоритмической, конструктивной точки зрения. На-
Например, хг (ф ZD 1|э) означает, что {ж} есть алгоритм,
перерабатывающий всякую реализацию ф в реализацию 1|з.
Если xr3yty (у), то jtx реализует ij) (/2ж), т. е. х определяет
как тот член, который «существует», так и реализацию
утверждения я|) от этого члена. Определение реализуемости
близко следует неформальному обсуждению смысла инту-
интуиционистских логических связок в п. 1 ч. 1, но отличается
от него, по крайней мере, в двух отношениях. Во-первых,
эффективность уточняется в алгоритмическом стиле. Во-
вторых, реализация формулы содержит все же не всю под-
подразумеваемую информацию о формуле. Если хг (ф Z) tf),
то х определяет алгоритм, необходимый для конструктив-
конструктивного обоснования формулы (ф ZD 1|э), но х не определяет
упомянутого в п. 1 ч. 1 доказательства того, что этот ал-
алгоритм работает, как нужно. Такое доказательство должно
быть проведено некоторыми средствами, неуточняемыми
в рамках определения реализуемости. Тем не менее это
определение оказывается согласованным с принципами
НА. Точнее, имеет место следующий факт: если ф — пред-
предложение НА и НА + ЕСТ |— ф, то существет натураль-
натуральное п такое, что НА |— пгц>.
Рассмотрим некоторую формализацию теории частично
рекурсивных функций. Введем понятие частично рекур-
рекурсивного (ч. р.) терма индуктивно:
1) константа 0 и числовая переменная суть ч. р. термы;
2) если р есть п. р. описание типа <Z, < >> (т. е. без ар-
аргументов для функций) и ti, . . ., tl суть ч. р. термы, то
р fo, . . ., ti) есть ч. р. терм;
3) если t, tu . . ., ti суть ч. р. термы, то {t} (tlt . . ., t{)
есть ч. р. терм.
Частично рекурсивный терм назовем примитивно ре-
рекурсивным, если в его определении не фигурирует п. 3);
такие термы суть в точности термы языка А.
Конечно, ч. р. термы не фигурируют в языке А, однако
для каждого ч. р. терма t можно определить формулу (t = у)
как сокращение некоторой арифметической формулы.
Это определение проводится индукцией по построению t;
случай, когда t имеет вид, например, {tx} (t2, t3),
трактуется следующим образом: ({^} (t2, t3) = у) ^=
ЗУгУгУз ((<i = Ух) А (<« = Vi) А (<з = Уз) А Ы (У* Уз) = V),
здесь (ti = yi) определены на предыдущем этаде индук-
индукции (ср. сокращение на с. 48).
Далее определим (ср. К л и н и [2], с. 292)
t =
y);
(t = у Д г = у);
((t = y)==(r = у)).
Теперь можно доказывать в НА обычные факты отно-
относительно частично рекурсивных функций. Упомянем не-
некоторые из них без доказательства.
5.1. Пусть t — ч. р. терм и хъ . . ., хп — список раз-
различных переменных, среди которых имеются все параметры
t. Тогда может быть построено натуральное п такое,
что в НА выводимо t ~ {п} (ж1? . . ., хп).
5.2. Пусть t — замкнутый ч. р. терм, причем зна-
значение его определено и есть натуральное число п. Тогда в НА
выводится t = п.
54
АРИФМЕТИКА
14. 2
Ь]
РЕКУРСИВНАЯ РЕАЛИЗУЕМОСТЬ ПО КЛИНИ
55
5.3. Пусть t — ч. р. терм их — переменная. Тогда
может быть построен примитивно рекурсив-
рекурсивный терм tv содержащий те же параметры, что и t,
кроме х, и такой, что в НА выводится {^} (х) ~ t.
Последний результат есть формализация так называе-
называемой ?™-теоремы Клини (К л и н и [2], с. 305, 306). Мы
будем обозначать терм tx через (Axt) или Ах. t. Заметим, что,
хотя терм t есть ч. р. терм и, вообще говоря, в язык А не вхо-
входит, терм Axt — уже вполне законный терм языка А. На-
Назовем ч. р. терм t всюду определенным или общерекурсив-
общерекурсивным, если его значение определено при всякой замене его
параметров числами.
Теперь мы можем формулировать наш вариант тео-
теоремы о согласованности реализуемости с арифметикой.
5.4. Если НА + ЕСТ (— ср, то может быть построен
общерекурсивный ч. р, терм t, содержащий только те
параметры, которые входят в ф, и такой, что НА |—
О Индукцией по построению вывода НА + ЕСТ )— <р.
Необходимо построить соответствующий терм для всех
аксиом НА + ЕСТ и для каждого правила вывода пока-
показать, как нужно определить термы для заключения, имея
термы для посылок. Логику предикатов удобно взять
в форме НРСХ. Мы опишем соответствующие термы для всех
аксиом и правил вывода, а вывод в НА наметим лишь
для Ind и ЕСТ. Заинтересованному читателю весьма ре-
рекомендуем восстановить все детали доказательства. Ч. р.
термы, построенные для посылок правил вывода,обозначим
через (и л
Правила логики:
1) ф, ф 3 Ч>/Ч>; {г} @;
2) ф з> Ч>, Ч> з п/ф 3 ч; AaJW ({<} (ж));
3) ф Д г|) ID ц/ф 3 ft 3 т|); АхАу {t}(j {х, у));
4) ф 3 (ф 3 л)/ф Л 1> 3 -п; A* {{t} (jtx)} (j2x);
5) ф Л У 3 ф; Axjjx;
6) ф Д -ф 3 ф Д ф; Axj (/gar, jtx)\
7) ф 3 Ф Д Ф; Лж/ {х, х);
8) ф Z3 у\, *|> 3 л/ф V 'Ф 3 т];
построим ч. р. терм s, зависящий от тех же параметров,
что и ф V Ф 3 т], и такой, что {$} @, ж) ~ {t} <jjzx) и
{s} (Sz, x) ~ {r} {Uhx) (причем, если, например, !{s}@,
х), то совсем не требуется, чтобы было !{г) (/2/2ж)); искомая
реализация имеет вид Лж {s} (у^ж, х);
9) ФЗФ V*; Л«/@, / (*, 0));
10) ф V "Ф 3 -Ч» V Ф; Лж / A — у^, / (/a/jar,
11) _L 3 Ф; ЛжО;
13) УжФ з ф (* 11)\ Ay- {у} @;
14) ф 3 Ц (ж)/ф 3 Vanp (ж); ЛуЛж {« (ж)} (у);
15) ф (аг) 3 ф/Эгф (аг) 3 ф; Лг/ {* (* 1 hv)} (м
16) ф (х | 0 3 Эжф; Лг/. /(*, у).
Аксиомы арифметики. Для всех таких ак-
аксиом, имеющих вид равенства, в качестве t возьмем 0.
Для аксиом, имеющих вид импликации, возьмем терм
ЛхО.
Остается проверить схему индукции и принцип ЕСТ.
Для принципа индукции ф @) Д Уа; (ф (х) з Ф (Sx)) з
У#ф (х) построим натуральное п так, что
{п} (и, х, у) ~ {{;>} (х)} (у).
Далее с помощью примитивной рекурсии определим на-
натуральное т таким образом, что
{т} (и, 0) ~ 7\ (и);
{т} (и, х + 1) ~ {п} (и, х, {т} (и, ж)).
Окончательно результирующая реализация Ind имеет
вид
ЛиЛж {т} {и, х).
В самом деле, пусть и реализует посылку Ind, тогда
(jju) гф @) и (/аи) rVx (ф (ж) 3 Ф {Sx)), т. е. {]\и} (ж) г
(ф {х) 3 Ф {Sx)). Необходимо установить, что Лж {т} (и, х)
реализует Ужф (ж). С этой целью индукцией по ж дока-
докажем, что {т} {и, х) реализует ф {х). Но {т} {и, 0) = fxu,
так что для ж — 0 утверждение доказано. Пусть {лг} (и, ж)
Гф (ж); установим, что {т} {и, Sx) гф {Sx). Но {т} {и, Sx) ~
{п} {и, х, {т} {и, ж)) ~ {{j2u} {х)}{{т} (и, ж)), что по
вышеуказанному свойству {]\и} (ж) как раз п дает иско-
искомое утверждение.
Перед проверкой ЕСТ установим некоторые вспомо-
вспомогательные факты.
56
Ь]
рекурсивная реализуемость по клинй
57
АРИФМЕТИКА
[Ч. 2
5.4.1. В НА
(г ~~\ ф) == Vtc (хг ~~] ф) = У/х ~
5.4.2. Пусть ф — негативная формула, тогда суще-
существует натуральное п такое, что в НА
(ИГф) = Гф = <р.
О Обозначим соответствующее га через га [ф]. Строим
число те [ф] и вывод эквивалентностей индукцией по по-
построению ф:
в [< = г] = О, га [ф Д -ф] = / (и [ф], и [ф]),
п [ф Ю ip] = Лж. n [t|)], re [_[_] = 0, п [ Угф] = Лж. и [г[>1.
[
Рассмотрим случай индукции, когда ф = (-ф ZD rj)- Пусть
гц>, например, zrtp. Покажем, что га [ф] гф. С этой целью
допустим г/гф и установим {п [ф]} (у) щ. Ввиду хг (ф)
имеем {я} (у) гт), так что nq и, следовательно, по индук-
индуктивному предположению, т] и га [т]] щ. Но га [ф] = Лжга [tjI,
так что {те [ф1} (г/) = га [t]J реализует tj. Итак, те [ф] г ф.
Покажем, что отсюда в свою очередь следует ф. Допустим
г|) и установим Т]. Если ojj, то те [ар] гф (по индуктивному
предположению), а тогда {п [ф]} (ге [яр]) гу\, т. е. гт] и, зна-
значит, т]. Остается из ф вывести гф. Достаточно, допустив ф,
получить га [ф] гф. Пусть г/гф; покажем {те [ф!} (у) гг\. Но
{те [ф]} (у) = га [т|]. Если г/гф, то 7"ф и, значит, ф. А отсюда
ввиду ф, имеем ц, что дает /г [т]] гт]. Ц
5.4.3. Пусть ф — почти негативная формула. Тогда
существует ч. р. терм t, содержащий лишь те параметры,
которые имеются в ц>, и такой, что в НА
гф = Зу {{t = у) Л {УЩ)).
О Обозначим соответствующий терм через t (ц>). Стро-
Строим t (ф) индукцией по построению ф:
t и = г] = 0; t
г [3*4?! = / @,
л Ч>1 = 1 (* 1
1; t Щ = 0;
[*]);
= Ля*
Ввиду почти негативности, в комбинации Зят|з формула
$ атомарна, поэтому можно построитьч. р. терм цх$, вы-
выдающий наименьшее х, удовлетворяющее равенству 1р,
если такое х существует, и не определенный в противном
случае. ]~\
Рассмотрим теперь принцип ЕСТ:
Уж ()ф (х) ID Э#Ф (х, у)) ID
ЭеУх ft (x) эЗу(Г, (е, x,v)/\y (x, Uv))).
Мы записали его в эквивалентной форме, более удобной
для проверки. Здесь |ф (х) — почти негативная формула,
так что согласно 5.4.3 можно найти соответствующий
терм t (x).
Далее, если urVx (ф (х) Ц) 3]/ф (#, у)), то
{u} (x) rto(x) 13 Зг/Ф (х, у)).
Поэтому, если п|з (х), то найдется у, t (х) = у яуг'*р (х)
и отсюда {{и} (х)} (у) гВу ф (х, у), что дает
Ш4 (^)> (Ю) ГФ (х, U ({{и} (ж)
Определим ч. р. термы
г, (и) ^ Л^ ({{ц} И} (t (x))),
rt(u) ^ Axj, ({{и} (х)} (t (x))).
Из отмеченного выше следует, что из игУ/х ()ф Z)
Ф (ж, у)) и п|? (ж) следует !{гх (w)} (ж), !{г2 (и)} (х) и
{rx (u)} (аг) гф {х, {г2 (и)} (ж)).
Определим теперь натуральное число А так, что
\{А} (е, х) = \{е) (х);
{А} (е, я) = z 3 Z\ (e, x, z).
Теперь мы можем написать терм, реализующий ЕСТ:
Aw./ (AxAw.j (/ @, fa (в)} И), {^} (г2 (и), х)), г2 (и)).
Проверка того, что этот терм удовлетворяет условиям тео-
теоремы, непосредственна и опирается на вышеупомянутые
свойства гх (и), г2 (и), А.
Доказательство 5.4 закончено. Отметим, что парал-
параллельно доказательству выводимости в НА формулы Зг/
((* = У) Л (УГЧ>)) нам необходимо установить еще и не-
некоторый содержательный факт, а именно, общерекурсив-
ность t. Это установление фактически сводится к тому,
что мы на каждом этапе индукции по построению вывода
повторяем содержательно формальное доказательство
58
АРИФМЕТИКА
?4. 2
РЕКУРСИВНАЯ РЕАЛИЗУЕМОСТЬ ПО КЛИНИ
59
Зу (t — у), которое нам приходится проводить 6 процессе
вывода в НА для вышеупомянутой формулы. ?3
5.5. Следствие. Если НА + ЕСТ (— ф, то
НА f- пр.
5.6. Если ф — негативная формула, то
НА + ЕСТ \- ф <н> НА (- Ф-
[> С помощью 5.5 и 5.4.2. Q
5.7. НА + ЕСТ непротиворечива тогда и только тог-
тогда, когда непротиворечива НА.
Сравните 5.5—5.7 и 3.5—3.7. Мы видим, что «арифме-
«арифметика реализуемости» НА + ЕСТ, так же как и FA, интер-
интерпретируется в НА, причем негативные формулы в НА,
FA и НА + ЕСТ выводятся одни и те же. Различие в по-
понимании логических связок в различных теориях не ска-
сказывается, если отсутствуют «существенно конструктив-
конструктивные» связки — дизъюнкция и существование. Попутно
мы построили погружающую операцию, позволяющую
интерпретировать сугубо конструктивную теорию НА +
ЕСТ в нейтральной теории НА.
Следующая теорема оправдывает название «арифме-
«арифметика реализуемости» за теорией НА -f- ЕСТ.
5.8. 1) В НА + ЕСТ выводится ф = гф для всякой
формулы ф.
2) Если к НА присоединить в качестве схемы аксиом
ф = гф для всех формул ф, то принцип ЕСТ выводится
в полученной теории.
О 1) доказывается индукцией по построению ф. Когда
Ф начинается с квантора общности V, используем прин-
принцип СТ. В случае же, когда ф имеет вид импликации, ис-
используется полный принцип ЕСТ. При этом существенно,
что формула вида (атф) является почти негатив-
негативной.
2) Так как НА + ЕСТ \- ЕСТ, то НА |- г (ЕСТ) со-
согласно 5.5. ?
5.9. НА + ЕСТ |- пСТ.
Е> Достаточно показать, что в НА + ЕСТ всякая
формула, начинающаяся с отрицания, эквивалентна
почти негативной. Используем 5.8, Ц> = Зу (yrty), ~~\ty ==
Vj/ | (г/п|)), и справа стоит почти негативная форму-
формула, п
Отметим далее свойства дизъюнктивностии экзистенци-
экзистенциальное™ НА + ЕСТ.
5.10. Пусть ф V'Ф — предложение А, |— означает вы-
выводимость в НА -f- ЕСТ. Тогда из \— ф \/ «р следует \— ф
или \— ф.
Пусть НА + ЕСТ |— ф V г|>. Ввиду 5.4 может быть по-
построен замкнутый общерекурсивный терм t такой, что в
НА имеем Зу {(t = у) /\уг (ф \/"ф))- Так как t общере-
курсивен, то можно вычислить натуральное число п — его
значение. Ввиду 5.2 в НА выводится* = гг. Отсюда в НА |—
пг(ф\/ф). Далее рассмотрим случаи j-ji = 0 или
/г/г ф 0. Пусть, например, ]гп = 0, тогда НА f— ]гп — 0
и из определения хг (ф \/ \\>) непосредственно НА (—
(Jihn) ГФ- Согласно 5.8 тогда НА + ЕСТ |— ф. Ц
5.11. Пусть Ээт|з (х) — предложение А и |—означает
выводимость в НА + ЕСТ. Тогда, если f— Зэтр (х), то су-
существует натуральное п, для которого \—*|> (п).
О Аналогично 5.10. П
Разумеется, для формул с параметрами подобные
свойства, вообще говоря, неверны. Например, выводится
формулах = 0 V ~| х = 0 (см. 3.1), но, конечно, нельзя
вывести в отдельности х = 0 или | х = 0. Полученные ре-
результаты сходны с пп. 4.3и4.4ч. 1, и их интуиционистскую
приемлемость можно обосновать следующим образом:
если мы интуиционистски вывели предложение -Цхур (х),
то это — некоторое конкретное сообщение, относящееся
к теории чисел. Эффективное понимание квантора суще-
существования предполагает, что можно найти натуральное п
такое, что ¦$ (п).
Если формальная теория не удовлетворяет свойствам
типа 5.10, 5.11, то это не означает, что теория неприем-
неприемлема с интуиционистской точки зрения — она может быть
просто существенно неполна. Однако, наличие свойств
дизъюнктивностии экзистенциальности является некото-
некоторым доводом, указывающим на существенно интуиционист-
интуиционистский характер теории. Во главу угла интуиционистская
математика ставит «эффективное понимание» логических
связок, и указанные теоремы являются одним из подтверж-
подтверждений этой эффективности. Нашей же задачей является
обсуждение и уточнение идеи эффективности в математиче-
математических теориях.
60
АРИФМЕТИКА
[Ч. 2
7]
ПРИНЦИП КОНСТРУКТИВНОГО ПОДБОРА
61
Вот еще одна типичная теорема, свидетельствующая об
эффективном характере НА + ЕСТ.
5.12. Пусть УхЗу Ц> (х, у) — предложение А, |
выводимость в НА + ЕСТ. Тогда из |— УхЗу <р (х, у) сле-
следует, что существует натуральное га такое, что
\- УхЗу ({те} И=!(ЛФ (ж> У))-
?> Если f— УхЗу ф (х, у), то ввиду СТ [— ЗеУхЗу
({е} (х) = у Д <р (х, у)). Остается воспользоваться 5.11. Q
6. Рекурсивная реализуемость и свойства эффективности
логических связок в НА. Для нейтральной теории НА фак-
факты типа 5.10—5.12, свидетельствующие об эффективном
характере логических связок, также имеют место, но дока-
доказательство их иное (так как нельзя воспользоваться ЕСТ и
теоремой 5.8). Следует модифицировать понятие реализуе-
реализуемости таким образом, чтобы из реализуемости формулы
следовала она сама. Мы воспользуемся модификацией
одной конструкции К л и н и [4] — [6].
А именно, определим формулу (хггср) индукцией по по-
построению ф совершенно аналогично (хгц>) в п. 5. Все пунк-
пункты этой индукции будут иметь тот же вид, что в п. 5 (с за-
заменой г на гг), за одним единственным исключением: слу-
случай импликации приобретает вид
хгх (<р Z) ф) ^ (Ф => ф) Л Vy (уг,у Z) =lvTx (x, у, v)) Л
Vyz (yrl4> Д Тг (х, y,z)ZD{Uz) r$).
Таким образом, по сравнению с хг (ф ID ty) добавляется
конъюнктивно член (ф И) *ф). Поэтому формула (атхф) уже
не является почти негативной.
В утверждениях 6.1— 6.5 ниже знак (— означает вы-
выводимость в НА.
• \ Л Л. I I ¦ / "
t> Индукцией по построению ф. Ц
6.2. Если [— ф, то существует общерекурсивный ч. р.
терм t такой, что \— Зу ((t = у) Д (г/^ф)).
О Аналогично 5.4; фактически нужно использовать
те же термы, что и в доказательстве 5.4. [П
6.3. Если (— ф V i|), где ф, ib замкнуты, то\— т или
[> Пусть |— ср \/ гр. Ввиду 6.2 найдется общерекурсив-
общерекурсивный терм t такой, что в НА имеем By ((t = у) Д угх (ф V
i|))). Так как t общерекурсивен, то можно вычислить его
значение те. Ввиду 5.2 \— t = п и отсюда гега (ф \/ ty). Рас-
Рассмотрим случаи ;\ге = 0 или /хге ^ 0- Пусть, например,
/цП =^= 0, тогда \—jjH Ф 0 и из определения непосредственно
(—/2/2>vyi]). Ввиду 6.1 отсюда \— яр. Ц
6.4. Если [— Зжгр (ж), гЗе Зтф (ж) замкнуто, то сущест-
существует натуральное п, для которого \—г|) (те).
6.5. ?"слц |— УагЭг/ф (ж, i/), У^Эу Ф (х, у) замкнуто, то
существует натуральное те такое, что [— УхЭг/ ({га} (ж) =
у А ф (*1 г/))-
О Пусть 1— УжЗг/ Ф (х, у). Ввиду 6.2 отсюда |— Зе (t =
е А е^УжЭг/ф (ж, г/)). Ввиду 6.4 найдется натуральное
т, 1— тг^хЗу ф (ж, г/). По определению реализуемости
отсюда \- УхЗу ({т} (х) = у Д 71г/т-1ф (ж, /2г/)). Ввиду 6.1
отсюда 1— УжЗг/ ({»г} (ж) = у Д ф (ж, /2г/)). Достаточно те-
теперь определить и, так, чтобы
|- {те} (х) ~ U {{т} (х)). П
7. Принцип конструктивного подбора (принцип Мар-
Маркова) и принцип Р. А. А. Марков в лекциях 1952—53 гг.
предложил в качестве принципа, приемлемого с конструк-
конструктивной точки зрения, утверждение, которое в нашем язы-
языке может быть записано следующим образом:
М: Ух (Ф (яг) V П Ф («)) Д ~| П Э* Ф (ж) :э 3*ф И-
В пользу приемлемости этого принципа можно привести
следующий довод (ср. Марков [1]): допустим посылки
М и укажем способ разыскания х такого, что ф (х). С этой
целью бу,гем постепенно порождать натуральные числа
0, 1, 2, ... и для каждого га проверять ф (га) или ~~| ф (те)
(это осуществимо ввиду гипотезы Ух (ф (х) V ~~| ф (ж))).
Если ф (п), то нужное п = х найдено. Наш процесс не
может продолжаться безгранично, иначе было бы | За;
ф(з:), в то время как по допущению | |3жф(х). Сле-
Следовательно, процесс закончится (это —главный момент
рассуждения!); когда он закончится, мы и найдем нужное х.
Принцип Маркова нашел широкое применение, особен-
особенно в работах советской школы конструктивной матема-
математики, см., например, К у ш н е р [1]. Логические аспекты
этого принципа широко исследовались методами теории дока-
доказательств (Драгалин [1], Трулстра [6]). Фак-
Фактически различные аналоги этого принципа привлекали
внимание специалистов еще и до точной формулировки
62
АРИФМЕТИКА
[Ч. 3
его А. А. Марковым (Новиков [1], Б р а у э р [1], [3]),
причем формулировались доводы в пользу как его прием-
приемлемости, так и неприемлемости в различных ситуациях.
Обобщение принципа Маркова для предикатов, опреде-
определяемых по индукции, и приложения этого обобщения к
проблемам теории доказательств можно найти в работе
Драгалина [8]. Здесь мы исследуем этот принцип в
рамках формальной арифметики.
Рассмотрим более слабую версию принципа Маркова:
где ф — бескванторная формула. М влечет М~ ввиду 3.1.
7.1. В НА + СТ! принципы М и М~ эквивалентны.
t> Допустим Va: (ф (ж) \/ Л Ф (х)) и ~] ~] Эх ф (х) и уста-
установим 3#ф (х). Положим
г|) (х, z) ^ (z = О Д ф (*)) V (* = 1 Л Л Ф (*))•
Из допущения имеем Vxjlzty (х, г). Ввиду СТ! найдется е
такое, что V#3z ({е} (х) = z Д i|) (ж, г)). Из допущений
получаем ~| ~~\ 3xv (Tt (e, x, v) Д Uv = 0), т. е.
Л Л 3w (Тг (е, j\w, /» Д Uhw = 0).
Применяя М~, заключаем, что найдется w = / (а;, у)
такое, что Тг (е, х, v) и С/у = 0. Для этого х и имеем ф (х). Г]
7.2. Б НА + М~ принципы ЕСТ и пСТ эквивалентны.
О См. 5.9. Чтобы вывести ЕСТ из пСТ, достаточно за-
заметить, что в присутствии М~ всякая почти негативная
формула эквивалентна негативной, так как
Э*(* = г) = И Л 3* (« = г) = ~1 V* Л С = г).
Далее используем 3.2. Г]
В теории НА + ЕСТ + М (= НА + пСТ + М~) есте-
естественно формализуются все основные результаты, полу-
полученные в рамках конструктивного анализа в стиле школы
Маркова. Эта теория интерпретируется в FA.
7.3. Если НА + ЕСТ + М |— ф, то может быть по-
построен общерекурсивный терм t, содержащий только те
параметры, которые входят в ф, и такой, что FA |— Зу
(С = у) A tow))-
Г> Дословно повторяет 5.4. Использование FA вместо
НА позволяет установить реализуемость принципа М~
(см. 5.1). Для реализации ~| ~| 3#ф (х) 3 3#ф (х) возьмем
ЩРИНЦИП КОНСТРУКТИВНОГО ПОДБОРА
63
терм A.y.j @, \ixq>), где \ixq> — «наименьшее х такое, что
Ф» — есть ч. р. терм, определяемый бескванторной фор-
формулой ф. Если уг | [ Зжф, то 1 | Зжф и в клас-
классической теории FA имеем Зжф и, значит, определено
ф. ?
С помощью 3.5 и 5.4.2 отсюда нетрудно получить
7.4. Если ф — негативная формула, то
НА + ЕСТ + М 1- ф #=> НА |- ф.
7.5. Если НА — непротиворечивая теория1 то НА +
ЕСТ + М также непротиворечива.
Рассмотрим теперь принцип Р, являющийся в неко-
некотором смысле альтернативой к М:
Р: (Л* ID ЗУ Ф (У)) 13 Эг/ (~N> ID Ф (y))s
где г|5 не содержит свободно у.
В пользу этого принцина можно привести следующую
интуитивную аргументацию. Можно допустить, что все
алгоритмы, нужные для конструктивного обоснования фор-
формул, берутся из некоторого заранее заданного семейства.
Это семейство достаточно богато, чтобы «обеспечить» ал-
алгоритмами все аксиомы и правила вывода НА, но все же
состоит далеко не из всех алгоритмов. Например, в нашем
семействе может быть заранее обеспечена всюду опре-
определенность на объектах нужных типов. Такой подход мо-
может быть приемлем с некоторой «узкоконструктивной»
точки зрения, когда считается интуитивно неясным ничем
не ограниченное понятие общерекурсивной функции.
В этой ситуации, если реализована посылка Р, нужное
у может быть получено непосредственно применением
к этой реализации тривиальной реализации формулы |i|).
Эти рассуждения находятся, однако, в конфликте с ар-
аргументацией в пользу М, где процесс проверки ф @)j
ф A), ... ничем заранее не ограничен.
Следующая лемма является точным выражением этого
конфликта.
7.6. В НА + СТ! принципы РиМ" несовместны.
О Если М~, то, в частности,
Уж П 1 3yTt (х, х, у) Z) Зу Тх (х, х у)).
Ввиду Р отсюда получаем
Vxly П Л 3yTt {х, х, у) ZD 2\ (x, xt у)).
64
АРИФМЕТИКА
[Ч. 2
Вновь пользуясь М , отсюда выводим
ЧхЪ (Эт/27! (ж, х, у) z» Тх (х, ж, г)).
Далее по законам логики
Уж (ВуТг (х, х, у) V Л Зу 2\ (ж, а:, у)),
что противоречит GT! (см. 4.1). [П
Таким образом, теории НА + пСТ + М и НА + пСТ +
Р противоречат друг другу. Тем не менее сама по себе
вторая теория ничуть не хуже первой. В частности, она
интерпретируется в НА. Для установления этого мы вве-
введем еще один вид реализуемости.
Пусть ф — формула А; определим формулу (жеф) с
единственным параметром х, которую можно читать как
«ж есть возможный кандидат в реализации для ср», индук-
индукцией по построению q>:
1) же (t = г) =?? (ж = ж);
2) же (ф Д Ц) *? (]\хщ) Д
3) хг (ф V Ч>) =*? Ш&)Щ) Л
4) хг (<р Z) i|)) ^ У У (г/еф Z) 3z ({я} (г/) =гД гег|э));
5) хг _|_ =^= (ж = ж);
6) жвУуф (у) ^= УуЭг ({ж} (у) = z Д Уу (гор (у)));
7) же ЗИ> (У) ^ Vy (^ж еф (у)).
1.1 Л. Для всякой формулы ф может быть определено
натуральное п такое, что НА |— (/геф).
?> Индукцией по построению ф. Ср. с леммой п. 5.4.2. Ц
Теперь определим нашу модифицированную реализа-
реализацию.
1) жг2 [t = г) ^ (* = г);
2) ^Г2
3) хгг
(ф Л 'Ф) ^
(Ф V 1>) ^
(/1Яг =0
(ф V
(Ж
Д
Д
) Д
0 Z)
5)
Д
(уг,ф Д Тх {х, у, г) 3 (C/z)
6) жгаУуМр {у) ^ жеУугр (у) д
V (
7) «
l х)
ПРИНЦИП КОНСТРУКТИВНОГО ПОДБОРА
65
Как видно, отличие от реализуемости г состоит в допол-
дополнительном требовании (жеф) для некоторых видов фор-
формулы ф.
7.7.2. В НА имеем (ят2ф) ID (жеф).
[> Непосредственной индукцией по построению ф. Ц
Нас будет интересовать теория НА + пСТ + Р.
Отметим предварительно
7.7.3. В НА + Р принципы СТ и пСТ эквивалентны.
[> Очевидно, из пСТ следует СТ (и даже в НА). Об-
Обратно, допустим СТ. Если допустить посылку пСТ
вида Уж (П$ {х) ZJ Зу ф (х, у)), то ввиду Р отсюда
УжЭу ( Ity (ж) ID Ф (ж, у)). Остается воспользоваться
принципом СТ. Ц
Основной факт относительно реализуемости г2 выра-
выражается следующей теоремой.
7.8. Если НА + пСТ + Р |— ф, то может быть по-
построен общерекурсивный терм t, содержащий только па-
параметры ф, такой, что НА (— Зу ((t — у) Д (уг2(р)).
[> Нужный терм t строим индукцией по построению вы-
вывода НА + пСТ + Р |— ф аналогично доказательству 5.4.
Фактически предлагаемые в доказательстве 5.4 термы нуж
но лишь немного подправить, чтобы они оказались воз-
возможными кандидатами в реализацию г2. Например, для
аксиомы 9) ф ZD ф V 'Ф вместо терма Ax.j @, / (х, 0)) сле-
следует взять Ax.j @, / (ж, га [i|)J)) (терм re [г|з] строится в 7.7.1).
Принцип СТ рассматривается аналогично ЕСТ (рассмат-
(рассматривать пСТ отдельно нет необходимости ввиду 7.7.3).
Остановимся подробнее на принципе Р. Пусть
игъ (П'Ф И> Зуф (у))- Если~~1г|5 реализуемого Лхдг2 ~\ -ф
(напомним, что \ty == (if) ZD J_))- Кроме того, независимо
от реализуемости | г|5 всегда АжОе""!^. Так какие (~~1я|з ID
Зу Ф (у)), то всегда определено {и} (ЛжО). Если же ~~]я|э
реализуемо, то дополнительно имеем {и} (ЛжО) га3уф (у)
и в этом случае Д ({и} (ЛжО)) тур (/2 ({и} (Лж 0))). При
нашем допущении мы можем реализовать Зу (ПФ ID ф (у))
термом t (и) ±? / (Лу;*! ({и} (Лж0)),/2({и} (ЛжО))). Дейст-
Действительно, как отмечено выше, из ш-2 (~]"Ф ~—> Зуф (у)) сле-
следует, что определено число р = {и} (ЛжО). Необходимо
показать, что Аи.]г (р) r2 (~~\ty ZD Ц> (/гР))- Пусть vn^^p',
покажем, что {j^p) гаф (J2p)- Но это следует из рассужде-
рассуждений гыле. Теперь в качестве реализации Р можно вчять
терм Aut(u). \^]
3 А. Г. Драга-мип
66
АРИФМЕТИКА
[Ч. 2
7.9. Если ф — негативная формула, то существует
натуральное п такое, что в НА
(wyp) = г2ф = ф.
> См. 5.4.2. ?
7.10. Если ф — негативная формула, то
НА + пСТ + Р[-ф^НАЬф-
7.11. Если НА непротиворечива, то непротиворечива и
теория НА + пСТ + Р.
8. Дополнительные результаты. Мы рассмотрели серию
интуиционистских формальных аксиоматических теорий:
1) НА + «нейтральная арифметика»;
2) FA — «классическая арифметика»;
3) НА -f- ЕСТ — «арифметика реализуемости»;
4) НА + ЕСТ + М — «традиционный конструктивизм»;
5) НА + пСТ + Р — «нетрадиционный конструкти-
конструктивизм».
Можно сказать, что теории 2) — 5) отражают различ-
различные способы понимания логических связок: 2) — теория
с классической логикой, а 4) и 5) отражают различные
варианты конструктивного, алгоритмического понима-
понимания. При этом варианты 4) и 5) противоречат друг другу!
Это не мешает всем нашим теориям интерпретироваться
в самой бедной нейтральной теории НА. Если представить
себе математика, который придерживается принципов
одной из этих теорий в качестве «подлинно истинных»
(для классически настроенного математика это может
быть FA, для конструктивиста — теория 4) или 5)), то
он может вполне воспринимать и теоремы другой теории,
но косвенно, через соответствующую интерпретацию.
Интересный класс составляют негативные формулы. Тео-
Теоремы, имеющие негативный вид, одинаковы во всех тео-
теориях и в этом смысле «нейтральны», «не содержат кон-
конструктивной задачи».
Наш вывод состоит в том, что не существует одного вы-
выделенного конструктивного или интуиционистского пони-
понимания логических связок. Скорее, следует говорить о це-
целом спектре семантик с различными оттенками эффектив-
эффективности. Классическая теория FA и конструктивная НА +
ЕСТ + м — всего лишь разные полюсы в этом спектре.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
67
Мы значительно укрепимся в этой мысли, когда перейдем
к изучению теорий интуиционистского анализа, где воз-
возможности различных пониманий еще гораздо разнооб-
разнообразнее.
8.1. Теории с интуиционистской логикой 1), 3) —
5) обладают свойствами дизъюнктивно emu r и экзистен-
циалъпости.
[> Для теорий 1) и 3) мы проверили это в пп. 5.10—
5.12 и 6.3—6.5. Для теорий 4) и 5) достаточно модифи-
модифицировать их основные реализуемости г и г2 в стиле п. 6.
Мы ограничимся этими краткими замечаниями. Q)
Мы ввели несколько вариантов тезиса Чёрча. Нетруд-
Нетрудно усмотреть, что в НА имеют место импликации:
ЕСТ з пСТ з СТ 3 СТ!.
Следующий результат принадлежит Лифшицу [1].
8.2. Существует такой пример схемы СТ, который не
выводится в НА + СТ!.
О Доказательство Лифшица основано на специаль-
специальном понятии реализуемости. Положим
(х е vv) ^ (х < hy) A Hi Ш (*)•
Далее индукцией по построению формулы определим:
1) xrs(t =r)^(t= r);
2) «гэ(ф Д Ч>) ^ (jix)rsq> Д (/„ж) r3ij>;
3) ет3(ф V 1>) ^ Эу (у б Vxj Д Чу (у б К,3
(ни = о =ЯШУ8ф) Л {кУчФ 0 =) {ьнуУМ;
4) ат3(ф 3 *)=*= У У (yrsq> 3 ЭгТ1! (х, у, z)) Д
Vyz (уг3ф Д Тг (х, у, z) D (С7г)г3-ф);
5) xr3 J_ ^= _1_;
6) хггУуЦ (у) =5= Уг/ЭгТ1! (х, г/, г) Д
Vpz {Т^х, у, z) 3 {Щ г3 ф (у));
7) хгМ (у) ^ Зу (у б Fx) Д
г3ф =^= Зх (ат3ф).
Таким образом, отличие от реализуемости г относится
лишь к дизъюнкции и существованию.
Далее доказывается теорема корректности типа 5.4.
Здесь она звучит следующим образом:
68
АРИФМЕТИКА
[Ч. 2
8.2.1. Если НА + СТ! |— ф, то может быть построен
ч. р. терм t такой, что FA (— Зу ((t = у) /\ Узф)-
Доказывается теорема индукцией по построению вы-
вывода НА + СТ! (— ф аналогично 5.4. Среди логических
постулатов (в формулировке НРСХ) отличным от 5.4 обра-
образом трактуются лишь постулаты, относящиеся к дизъ-
дизъюнкции и существованию. Мы рассмотрим их последова-
последовательно, доказывая попутно необходимые вспомогательные
факты. При этом мы перейдем на несколько более бег-
беглый стиль изложения, чем в доказательстве 5.4.
Мы начнем с леммы
8.2.2. По всякой формуле ф может быть построен
ч. р. терм t (у), содержащий, кроме параметров ф, только
еще новую переменную у, такой, что в FA имеем
3z (z 6 У у) Л Vz (z 6 Vv =Э (zr 3Ф)) Z) 3 у) ((t(y) = и)Л(ет8ф)).
О Индукцией по построению ф. Обозначим соответ-
соответствующий терм через t [ф] (у), вместо Vv будем писать
V [у]. Вместо явного определения Т [ц>] (у) будем иногда
просто описывать, как нужно вычислять t [ф] (у).
ф = (я|з Д т]). По данному у найдем эффективно (ис-
(используя утверждение 8.2.3 ниже) уг и уг так, что
= {/iz I z 6
= {/sz
7
Затем положим t [ф] (г/) = / {t Щ (*/L), t [ц] (г/2)).
8.2.3. Пусть а и у таковы, что (Vz ? 7 [г/]) \{а) (z).
Тогда можно алгоритмически указать уг,
VlyJ ={{a}(z) \zeV[yi]}.
t> Из определения V [у] и я следует, что для всех z име-
имеем ! {a} (z) \/\{hy} (z)- Определим общерекурсивную
функцию / (it) следующим образом: начнем применять од-
одновременно {a} (z) и {]\у} (z). Если первым применится
{а}(г), то / (z) ={а}(г) + 1- Если же первым приме-
применится {]\у} (г), то / (z) = 0. Пусть 6 = max / (и). Опре-
(n)).
делим ч. р. функцию {й}так, что
! {d} (z) = (Vi» < /rf) (!{/,»} (n) V / (n) - 0
V
Теперь достаточно положить уг = jf F, с?).Г]
8]
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
69
ф =s (ф \/ т^). По I/ найдем эффективно (с помощью
утверждения 8.2.4 ниже) уг такое, что
V [У1] = U {V [z] | z б 7 [у]}.
Остается положить г/х = t [ф] (г/).
8.2.4. i7o i/ можно алгоритмически указать уг такое,
что V[yj] = U {V[z] |z6 7ty]}.
[> Определим ч. р. функцию {<i}, так, что
! {d} (п) = (VA < Л») ('{/2г/} (Л) V № < n) VK/2^} ("))•
Положим а = max (ДА). Остается положить ух =/ (a, d).
Ф = (t D1!)' Пусть дано у; определим ч. р. функцию
{d} таким образом, чтобы из (V& 6 V [у]) \{к} (а) следо-
следовало V [{d} (а)] = {{к} (а) \ к ? V [у]}. Для построения
такого d следует использовать 8.2.5 ниже. Далее опре-
определим {t [Ф] (у)} (a) ^t[T\] ({d} (a)). ?
8.2.5. Можно построить ч. р. функцию f (у, а) такую,
что из (У/с 6 V [у]) \{к) (а) следует, что определено
ух =f(y,a)uV [Vl] = {{к} (а) \ к е V [у]}.
[> Если а удовлетворяет указанному условно, то для
всякого к [{к} (а) или !{/2г/} (к). Определим общерекур-
общерекурсивную функцию / (к): одновременно применяем {к} (а) и
{hy} (&)• Если сначала применяется {к} (а), то поло-
положим f (к) = {к} (а) + 1; если же первым применяется
ihy) (&)» т0 / W = 0- Пусть Ъ = max / (к). Определим
{h} так, что
! {h} (n) = (VA < ]\у) {\{Uy} {k)
(к)).
Остается положить yt —j (b, h). Ц
Ф = _[_. t [Ф] (у) = 0.
ф = Уагф (х). Определим ч. р. функцию {d} таким об-
образом, чтобы из (Ук ? V [у])\ {к} (а) следовало \{d) (a)
и V [{d} (а)] = {{к} (а) \ к ^ V [у]}. Это делается с по-
помощью 8.2.5. Затем определим h так, что {К) (а) с^
t [я|э (a)] ({d} (а)), и положим tYVx ij: (х)] (у) = h.
ф = Эж'Ф (ж). По данному I/ найдем уг таким образом,
чтобы V [yj] = U {V [к] | к е Т7 [у]} (см. 8.2.4). Положим
* [3 а^ (ж)] (j/) - Vl.
Лемма 8.2.2 доказана. Q
Продолжим доказательство 8.2.1,
70
АРИФМЕТИКА
[Ч. 2
Правило ср Z) Т» "ФЗ'П/фХ/'Ф ^>J}- Допустим
У<га (ф ZDT1), У%г3 (я|э ZD ц), y3rs (ф \/"Ф)- впишем проце-
процедуру для отыскания i/4, 1/4г3т].
Вначале установим еще две леммы.
8.2.6. По данным уг и у2 можно алгоритмически найти
у3 и г/4 так,что
v [Уз] = v [У1] n v Ы, v [yi] = v [У1] и v ы. ?
8.2.7. По всякому конечному множеству F, заданному
списком своих членов, можно алгоритмически указать у
такое, что V [у] = F.
Более педантичная «арифметизированная» формули-
формулировка этого свойства такова: в FA выводится
JhVxiy (у = {h} (х) Д Vz (z 6 7„ =
3/ (/ < lh x Д z = [x];)).
По поводу обозначений см. с. 43. П
Теперь, используя 8.2.3, 8.2.6 и 8.2.7, построим уь и
у6 так, что
7 Ы = {* | / @, п) б V foal},
F Ы = {/> | /in =? 0, /г 6 F [уа]>.
Затем с помощью 8.2.8 строим г/7 и г/8,
^ ГЫ = {{Уг) (») I и б V [у5]},
Затем с помощью 8.2.6
Fly,] =7W U F[y8].
И, наконец, по лемме 8.2.2 г/4 = t h\] (y9).
Правило я|э (х) 3 'п/Зж'ф (ж) ^з т]. Пусть для всякого ж
имеем d/J^a:) г3 (ч|) (ж) ID tj), и пусть г/а^з Загф (ж); укажем
способ отыскания y3i г/3г3т]. Определим (8.2.3) г/4'так, что
У tyj = {{{j/i} 0»} (/i^) | и 6 V [г/2]}. Затем по лемме
8.2.2 положим у3 = t [t|I (г/4).
Последний принцип, реализуемость которого следует
проверить, — это схема СТ!:
У:гЭ!г/Ф(я, у) Z) ЭгЛЛгЭг B1! (и, ж, z) Д qffo
Пусть а реализует посылку. Тогда для всякого х
U({a} (х)) г3Зг/Ф (х, у)х
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Уз ((а> (ж)) гз Vyi?2( Ф (я. J/i) Д Ф (ж, i/2) Z)
Для всякого х определим Ьх так, что (8.2.3)
V [Ъх] = {/,п | п е F [7l ({а}
Анализируя реализуемости, нетрудно установить, что для
каждого ж множество V [Ьх] содержит в точности один
элемент. А тогда можно эффективно разыскать эти эле-
элементы, т. е. можно построить ч. р. функцию {d} так, что
для всякого х {d} (х) ? V [Ьх]. Действительно, V [Ьх] =
{& I k < hbx A 1 ЮФх} (Щ- Для получения {d} (x) мы
включаем одновременно {]фх) (к) для всех к ^ j1bx и
ждем, пока применятся все алгоритмы, кроме одного.
Соответствующее к и следует взять в качестве {d} (x).
Найденное d и нужно взять в качестве того, которое
требуется в заключении принципа СТ!. Остальную часть
реализуемости уже нетрудно сконструировать стандарт-
стандартными приемами (ср., например, доказательство 5.4). Теоре-
Теорема о корректности 8.2.1 доказана. Ц
Для доказательства 8.2 остается еще привести пример
схемы СТ, нереализуемый в смысле г3. Мы покажем, что
нереализуемо даже следующее легкое следствие СТ:
Уаг(ф (я) V Ф W) 3 ЗиУяЗг G\ (и, х, z) Д
(JJz = 0 =) Ф (я)) Д {игфО^Ъ (х))),
где
Ф (ж) ^ ~~1 ЗгГх (/с, ж, z),
^ (ж) ^ П Зг^ (те, ж, z);
здесь к ж т задают номера рекурсивно перечислимых, но
рекурсивно неотделимых множеств. Так как наши множе-
множества А = {х | 3z7\ (к, х, z)} и В = {х | Зг^ (та, ж, z)}
не пересекаются, то с классической точки зрения (в теории
FA) Ух (ф (ж) \/ г|) (х)). Для всякого х можно алгорит-
алгоритмически указать dx такое, что
!К) @) = \{к} (х), {dx} (Sz) = 0,
и, аналогично, *
!{рж} @) = !{m}(*), {Px} (Sz) =0.
Далее определим qx так, что
V Ш = {/ @, и) | п 6 7 [/ @, dx)]}f
Vlrx] ={/A,п) | n 6 V [/ @,, px)]}.
72
АРИФМЕТИКА
[[Ч. 2
Наконец, sx определяется так, что V [s^\ = V [дх] \J
V [гх]. Тогда для всякого х sxrs (ф (х) \ty (х)) и мы ви-
видим, что посылка изучаемого принципа г3-реализуема.
Реализуемость же заключения означает возможность ре-
рекурсивного пополнения множеств А и В.
Теорема 8.2 доказана. Ц
9. Семантика реализуемости для логики предикатов.
Особый интерес реализуемости г с точки зрения конструк-
конструктивной математики наводит на мысль определить семан-
семантику формул логики высказываний на основе этой реали-
реализуемости. Пусть F [ри . . ., рп] — формула логики выска-
высказываний, где рх, . . ., рп — полный список всех ее про-
пропозициональных переменных. Будем говорить, что эта фор-
формула тождественно реализуема, если существует алгоритм
9J, перерабатывающий всякий набор замкнутых ариф-
арифметических формул фх, . . ., ф„ в натуральное число п =
5t (<Pi, * • ., фи), реализующее арифметическую формулу
F (фи . . ., фя!, т. е. такое, что формула nrF [фх, . . ., ф„]
истинна. Разумеется, это понятие уже неэлементарное,
семантическое и зависит от способа понимания арифмети-
арифметических суждений. Начиная с этого места и до конца пунк-
пункта, мы не будем ограничиваться содержательно финитными
способами рассуждения и будем традиционно применять
теоретико-множественную терминологию и классическую
логику.
Пусть LR — множество всех тождественно реализуе-
реализуемых формул логики высказываний. Нетрудно видеть, что
LR содержит все бескванторные формулы, выводимые
в HPG, замкнуто относительно подстановки и правила
Ф5 ф ZD 'ф/'Ф- Множества формул логики высказываний,
обладающие этими тремя свойствами, называются супер-
суперинтуиционистскими логиками (в другой терминологии —
промежуточными логиками). Итак^ LR — промежуточная
логика. Неизвестно, разрешимо ли множество LR. Однако,
если (ф V i>) fc LR, то ф ? LR или -ф ? LR (Кипнис
[1]). Как заметил Дж. Роуз [1] в 1953 г., LR — соб-
собственное расширение интуиционистской логики выска-
высказываний. Обширный разрешимый подкласс LR, содержа-
содержащий большое количество формул, невыводимых в НРС,
указывает Варпаховский [1].
9]
СЕМАНТИКА РЕАЛИЗУЕМОСТИ
73
Аналогичное понятие тождественной реализуемости
можно ввести и для формул логики предикатов. Однако
это множество устроено гораздо сложнее. О р е в к о в
[1] привел пример тождественно реализуемой формулы
логики предикатов, невыводимой в CPG (всякая формула
LR заведомо является тавтологией). П л и с к о [1], [2]
показал, что множество тождественно реализуемых фор-
формул логики предикатов не является перечислимым (и даже
не определяется арифметической формулой).
Таким образом, НРС с точки зрения тождественной
реализуемости оказывается неполной логикой.
Имеются и общие результаты, восходящие к Гёделю
и показывающие, что всякая семантика логики пре-
предикатов, основанная на конструктивной точке зрения,
необходимо неполна. См. по этому поводу К р а й з е л [3],
Л е й в а н т [2].
Приведем построенный Цейтиным [1] пример
формулы, принадлежащей LR, но не выводимой в НРС
(невыводимость доказывается на с. 97):
1 {рх А Ръ) A (~1pi ^?iV ft) Л (^Р2 з & V ft) =)
( Pi => 9i) V П Рг 3 ft) V С\Р* ^ qx) V П/>2 => ?*)•
Фактически можно указать одно конкретное натуральное
число, которое реализует любой арифметический при-
пример вышеуказанной формулы. Как говорят, формула Цей-
тина допускает постоянную реализацию. Возможно, что все
формулы LR допускают постоянную реализацию. Для
формул логики предикатов это не так, что следует из вы-
вышеупомянутых работ Плиско. Следующая формула Я н-
к о в а [1] является тавтологией, но не принадлежит LR
(см. также Кипнис [2]):
(с\-\ pz>p)z>r )
Приведем здесь рассуждение, подтверждающее тожде-
тождественную реализуемость формулы Цейтина. Подставим
вместо р±, р%, qu g2 соответственно арифметические пред-
предложения ф!, ф2, -фи -ф2. Допустим, что и реализует посылку
полученной формулы. Тогда
щ = U (и) г —| (фг Д ф8),
Щ = Л/а {и) г П <Pi 3 *i V ^«)»
Щ = hh (и) г П Ф2 3 -Фх V ^)-
74
АРИФМЕТИКА
[Ч. 2
Заметим, что невозможно одновременно |!и2} @) и
~~| \{и3} @). Действительно, Н !{uj @) влечет, что ^ ф^ не-
нереализуемо, в то время как реализуемо | (фх Д ф2)- Сле-
Следовательно, !{и2} @) или !{и3} @). Рассмотрим ч. р.
функцию / (и2, "з)> которая производит следующее вы-
вычисление: включаем одновременно {и2} @) и {и3} @)- Если
первым применится {и2} @), разбираем два случая:
• a) /i ({щ} @)) =0, тогда / (u2, и3) =/ A, /^ ({и2} @)));
Ь) h ({«2} @)) ^0, тогда / (и2, и3) =/ B, /2/2 ({и2} @))).
Если первым применяется {и3} @), то вновь разбираем
два случая: а) Д ({и3} @)) = 0, тогда / (щ, us) =
ГC, Щ ({«3} @))); Ь)А ({и3} @)) ^ 0, тогда / (щ, иа) =
/D, Ы2({«з}@)))- Таким образом, /i(/(u2, u3)) указывает,
какой из конъюнктивных членов заключения будет реа-
реализуем, а /2 (/ (u2, u3)) выдает реализацию соответствую-
соответствующего i|)j. Aw./ (]\hui hhu) есть конкретное натуральное
число, с помощью которого уже нетрудно сконструировать
реализацию всей формулы.
Обратим внимание, что доказательство тождественной
реализуемости формулы Цейтина не было вполне интуи-
интуиционистским: утверждая 1{щ} @) или \{и3} @), мы вос-
воспользовались содержательно принципом Маркова. Все
известные примеры формул LR, невыводимых в НРС,
таковы, что доказательство их тождественной реализуе-
реализуемости использует принцип Маркова. Неизвестно, является
ли это обстоятельство неизбежным.
10. Дополнительные библиографические замечания.
Выразительные возможности аналитического языка тра-
традиционно были1 предметомj исследования дескриптивной
теории множеств, теории алгоритмов, аксиоматической
теории множеств. По поводу^сведений о современном со-
состоянии этих исследований см. Шенфилд [1], Род-
Роджерс [1], Кановей [1], [2], Любецкий [1],
Й е х [1].
Система интуиционистской арифметики, только в тех-
технических деталях отличающаяся от"нашей системы НА,
была сформулирована Рейтингом [2] в 1930 г. Ис-
Исследование системы термов для примитивно рекурсивных
функций можно найти, например, в работе К л и н и [3].
Метод реализуемости был предложен К лини [1]
в 1945 г. и со временем стал одним из важнейших методов
10]
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
75
исследования интуиционистских теорий. Вот некоторые
из более современных работ, связанных с реализуемостью:
К л и н и [4] — [6], Клинии Вес ли [1], Фрид-
Фридман [1], М а их и л л [5], Т е й т [21, К р а й з е л
и Трулстра [1], Т р у л с4т р а [51, [6], Бизон
[1], [2], Гудмен [1].
К л и н и [2] (§ 82) предложил свое понятие реализуе-
реализуемости как содержательное отношение. Наша формализо-
формализованная версия и результаты пп. 5.4 —5.12 долгое время
относились к фольклору предмета (часть этого фольклора
нашла свое отражение в работе Трулстры [5]). Ре-
Результаты 5.10—5.12 указывают на полезность формали-
формализации отношения реализуемости. Некоторая версия прин-
принципа Р упоминается в работе Драгалина [2], где
вводится и реализуемость, аналогичная г2, но основанная
на теории примитивно рекурсивных функционалов ко-
конечного типа. Теоретико-модельное исследование прин-
принципа Р проведено в статье Сморинского [1]. Невы-
Невыводимость М~ в НА установлена Крайзелом [2]
в 1959 г. (резюме). Неэквивалентность М и М~ доказана
Сморинским [1]. Реализация интуиционистского
анализа со свойствами, аналогичными г2, приведена в кни-
книге Клини иВесли [1], § 10 и далее. Фридман
[3] показал, что в арифметических теориях дизъюнктивное
свойство влечет экзистенциальное. В е с л и [1], [2] ис-
использует принцип, аналогичный Р, но в языке анализа,
для обоснования аргументов Брауэра, зависящих от ре-
решения проблем (Г е й т и н г [3], с. 143).
ЧАСТЬ 3
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
В этой части мы введем и изучим теоретический ин-
инструмент для исследования формальных аксиоматических
теорий с интуиционистской логикой — алгебраические
модели различных типов. При этом спектр таких моделей
куда богаче, чем в случае классической логики. Централь-
Центральным фактом общей теории являются теоремы о полноте,
аналогичные известной теореме Гёделя о полноте клас-
классического исчисления предикатов. Мы будем доказывать
существование моделей самых узких классов — моделей
Кринке, топологических моделей. В приложениях же бу-
будут использоваться конкретные модели и более общего ви-
вида: ВК-модели и алгебраические модели в широком смыс-
смысле этого слова.
1. Псевдсбулевы алгебры, топологические простран-
пространства.
1.1. Назовем пропозициональной логической матрицей
(или просто матрицей) структуру вида
м = {В, в0, д+> V+- з\ ±+>,
где В — непустое множество истинностных значений
матрицы М, Во cz В — множество выделенных значений,
Д+, V+i Z3+ — двуместные операции на В, _1_+ — эле-
элемент В, Эти операции назовем так же, как и логические
связки: конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией и
«ложью» и будем опускать плюс вверху, если нет опасности
смешения с логическими связками.
Пусть F [р1, . . ., р^\ — формула логики высказы-
высказываний {пропозициональная формула) и рг, . . ., рп — пол-
полный список всех ее атомарных подформул (пропозицио-
(пропозициональных переменных). Результат замещения F [alt . . .
. . ., ап] всех пропозициональных переменных элемента-
элементами В назовем формулой, оцененной в М, или просто оце-
оцененной формулой.
1]
ПСЁВДОБУЛЁВЫ АЛГЕБРЫ
11
Для каждой оцененной формулы F естественно опре-
определено ее значение\\ F \\ — элемент множества В, получаю-
получающийся после вычисления логических связок F по прави-
правилам алгебры М.
Будем говорить, что матрица М согласована с логикой
высказываний НРС (или с какой-нибудь другой логикой
высказываний), если для всякой формулы F, выводимой
в нашей логике, при произвольной ее оценке F' получаю-
получающееся значение || F' || оказывается выделенным в матри-
матрице М.
1.2. Мы заинтересованы в отыскании широкого клас-
класса логических матриц, согласованных с интуиционист-
интуиционистским исчислением высказываний. Важный класс таких
матриц составляют псевдобулевы алгебры (п. б. а.), в
другой терминологии — алгебры Брауэра. Напомним их
определение.
Пусть <5, «О — множество с заданным на нем отно-
отношением, причем выполняются следующие девять условий:
1) а ^ а;
2) а^Ъ/\Ь<^с^аКс\
для любых двух элементов а и Ъ существует третий эле-
элемент а /\Ъ, называемый точной нижней гранью или конъ-
конъюнкцией а и & и такой, что
3) а Д Ь < я, а Д Ъ < Ъ;
4) с <. а, с < Ъ =4- с <, а /\ Ь;
для любых двух элементов а и b существует третий эле-
элемент а \/ Ь, называемый точной верхней гранью или дизъ-
дизъюнкцией а и Ь и такой, что
5) а < а V Ь, Ъ s^ a \/ b;
6) а<с, 6<,с==>а\/&<,с;
для любых двух элементов а и Ъ существует третий эле-
элемент (a ZD b), называемый импликацией от а к & и такой,
что
7) а Д (a Z) Ь) < Ь;
8) с /\а<ь =» с < (а 3 &);
существует элемент _[_ («ложь» или «нуль» алгебры) такой,
что для всех а
9) J_ < a.
Тогда {В, <;> называется псевдобулевой алгеброй.
Выполнение 1), 2) означает, что <^ есть квазиупоря-
доченное множество (к.у.м.). Указанные свойства позволя-
позволяют ввести на В отношение естественной эквивалентности.
78
АЛГЕБРАИ*ГЕС1ШЕ МОДЕЛИ
Обычно (см., например, Расёва и Сикорский [1])
псевдобулевой алгеброй называют не (В, ^>, а резуль-
результат факторизации В по отношению естественной эквива-
эквивалентности:
(о = Ь) =-= (а < Ъ) Д (Ь < а).
Нам, однако, удобнее не проводить эту факторизацию, а
рассматривать операции с точностью до естественной
экивалентности. Естественная эквивалентность совпадает
с равенством, если {В, <^> есть частично упорядоченное
множество {ч. у. м.), т. е. если иза^би&^а следует
сов падение а и Ъ.
Выполнение 3) — 6) вместе с 1), 2) означает, что
(В, ^} есть решетка. Хорошо известно, что элементы
а Д Ь, а V Ъ, удовлетворяющие условиям 3) — 6), опре-
определяются единственным образом (с точностью до ес-
естественной эквивалентности, разумеется). Условия 7) —
8) совместно с предыдущими означают, что (В, <.> есть
импликативная решетка, операция (a Z) Ъ) условиями
7) — 8) определяется однозначно. Всякая импликативная
решетка дистрибутивна, т. е. выполняются естественные
эквивалентности
а/\{Ь\/с) =
(a Д с)
а V (Ъ А с) = (« V Ъ) Д (« V <0-
Наконец, условие 9) обеспечивает псевдобулевость ал-
алгебры. Элемент ~J~ = (_j_ ID J_) называется «истиной»
или «единицей» алгебры. Имеем а ^ ~]~ для всех элемен-
элементов алгебры. П. б. а. называется булевой алгеброй, если
дополнительно выполняется условие
Ю) «\/(о1) = Т-
Отношение ^ назовем основным отношением (естествен-
(естественным упорядочением) алгебры. Естественное упорядочение
определяется операциями решетки:
Здесь = — отношение естественной эквивалентности.
Как следует из 1) — 9), всякая п.б.а. автоматически
порождает пропозициональную логическую матрицу {В,
Т> Д, Vi 3, _L> с единственным выделенным значением Т~.
ПСЕВДОБУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
79
Когда говорят об изоморфизмах, гомоморфизмах л.б.а.
и т. д., имеют в виду отображения, сохраняющие все
операции этой матрицы. Известно, что п.б.а. можно оп-
определить, не прибегая явно к основному отношению
(Расёва иСикорский [1], с. 148). Оказывается,
что эта матрица всегда согласована с инту-
интуиционистской логикой высказываний. Если п.б.а. яв-
является булевой алгеброй, то она согласована с класси-
классической логикой высказываний. Это нетрудно показать
индукцией по построению вывода формулы в бескван-
бескванторной части НРСа (или CPClt см. также Расёва
и Сикорский [1], где имеются и другие элементар-
элементарные сведения о п.б.а. и б.а.).
Ценным свойством матрицы п.б.а. является то, что она
полностью определяется своим основным отношением
квазиупорядочения.
Пример 1. Следующие конечные частично упоря-
упорядоченные множества определяют псевдобулевы алгебры
(проверьте!):
Т жТ tT
1
а)
При этом а) и Ь) суть булевы алгебры.
Пример 2. а) не является решеткой, Ь) и с) — ре-
решетки, но не дистрибутивные.
V
Пример 3. а) Множество натуральных чисел с ес-
естественным порядком образует дистрибутивную, но не
импликативную решетку (отсутствует О ГЭ 0); Ь) множе-
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
14. 3
ство отрицательных целых чисел с естественным поряд-
порядком образует импликативную решетку, но не п.б.а.
Пример 4. а) n-элементарная цепная п.б.а, Цп за-
задается конечным множеством {0,1, . . ,,п — 1} натураль-
натуральных чисел с естественным порядком. Здесь J_ = 0, ~\~ =
п — 1, а /\ b = min (a, b), а \/ Ъ = max (a, b). Далее,
если а <^ Ъ, то (a ZD Ъ) — ~\; если же а > Ь, то (a Z) 6) =
= Ъ. Ц2 совпадает с алгеброй из примера 1а), Ц3 —
с алгеброй примера 1с).
Ь) По двум алгебрам (Вх, <д>, <Я2, <^2> можно обра-
образовать их прямое произведение, т. е. множество упорядо-
упорядоченных пар Вг X В2 с основным отношением
(°д. а2) < (*i, Ь2) 44- К < i&i) Л (а2 < 2&2)-
Это также будет п.б.а., причем операции определяются
почленно, например,
(йь а2) V (&х. 6г) = К V *i, Й2 V Ь,).
Так, в обозначениях примера 1с) п.б.а. Ц3 X Ц3 имеет вид
k-L)
Если Q с: В, то элемент а ? В называется точной
нижней гранью, пересечением или конъюнкцией элементов
Q (обозначается через Д Q), если
a) с ^=фа^с;!
b) (V с 6 0(d < с) =» d < a.
Аналогично, элемент b ? В называется точной верхней
гранью, объединением или дизъюнкцией элементов Q (обоз-
(обозначается через \/ Q), если
a) с € Q =? с < 6;
b) (Vc 6 <?)(с < d)) -» & < А.
Так, очевидно, а Д Ь = Д {а, 6}, a\/^ = VK ^}-
Для пустого множества положим Д0 = T>V0 — J_-
Точные грани бесконечных множеств в псевдобулевой
алгебре не всегда существуют, но если точная грань дан-
ПСЕВДОБУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
81
ного множества существует, то она единственна (конечно,
с точностью до естественной эквивалентности в псевдобу-
псевдобулевой алгебре). П.б.а. называется полной, если для
любого подмножества элементов алгебры существуют точ-
точная верхняя и нижняя грани.
1.3. Пусть X — некоторое множество, РХ — множе-
множество всех его подмножеств. Будем рассматривать РХ как
алгебру <РХ, с;>, взяв в качестве основного отношения
отношение теоретико-множественного включения:
(х
¦ х
Ъ) для a, b ? РХ.
Нетрудно убедиться, что {РХ, cz> является полной псев-
псевдобулевой алгеброй. Основные операции в этой алгебре
вычисляются по следующим хорошо известным правилам:
а Д 6 = s f| b = {х \ х ? а /\ х ? b},
a ID Ъ = {х б X | х (< а
х
если Q cz: РХ, то
V Q = U Q =
Л <? = П <? =
Т =*,
J_ = 0;
б X | (
е х | (
e »)}.
Замечание. Если мы придерживаемся класси-
классической метаматематики, то легко видеть, что (РХ, сг>
является даже полной булевой алгеброй. Действительно,
а \/ ~| а = a (J (X \ а) = X = ~р. Однако, если вести
рассуждения, оставаясь в рамках интуиционистской ло-
логики, то последний вывод нельзя сделать в общем случае.
Если х ? X, то х g a \J (X \ а) эквивалентно утверж-
утверждению х ^а \/х (? а и с интуиционистской точки зрения
нет оснований считать, что это утверждение (представляю-
(представляющее собой форму закона исключенного третьего) верно
в общем случае. Но и в рамках интуиционистского рас-
рассмотрения <РХ, cz> является псевдобулевой алгеброй,
причем импликацию следует определять именно так, как
82
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[Ч. 3
это сделано выше, а не, скажем, в виде {a ZD Ь) = (X \
a) U Ъ, что эквивалентно нашему определению с
классической, но отнюдь не с интуиционистской точки
зрения. Разумеется, в некоторых частных случаях можно
и интуиционистски убедиться, что (РХ, с:> является буле-
булевой алгеброй, например, если X — конечное, заданное
явным списком множество.
1.4. Рассмотрим хорошо известную топологическую
конструкцию, позволяющую строить новые псевдобулевы
алгебры.
Назовем топологической псевдобулевой алгеброй
(т. п. б. а.) алгебру вида А = (В, ^, Г>, где (В, «О есть
п.б.а. Операции этой п.б.а. обозначим через Д V ^3 _L
Т ~1- Далее, I есть одноместная операция на В, называе-
называемая операцией взятия внутренности. Мы предполагаем,
что эта операция удовлетворяет следующим условиям:
1) 1а < а;
2) На = 1а;
3) I (а /\Ь) = 1а Д 1Ь.
Кроме того, мы, конечно, предполагаем, что I определена
корректно по отношению к естественной эквивалентности
алгебры В, т. е. если а эквивалентно Ъ, то и 1а необходи-
необходимо экивалентно 1Ь. Подобные обстоятельства мы не будем
специально оговаривать впредь.
Так как а Д Ь = Ь 44 л ^ Ь, то из указанных свойств
легко следует свойство монотонности:
4) а < Ъ =4- 1а < 1Ь.
Часто еще дополнительно требуют от операции взятия
внутренности выполнения следующего условия:
5) IT = Т,
которое называется условием полной открытости. Мы
не будем в общем случае предполагать, что оно имеет
место.
Элемент а ? В называется открытым, если Та = а.
Множество всех открытых элементов В обозначим через
О (В). Значение топологических псевдобулевых алгебр
для наших целей определяется следующей теоремой:
Пусть А = <jB, <^, T) есть т. п. б. а. Тогда множест-
множество О (В) открытых элементов В вместе с порядком <^,
индуцированным из алгебры А, образует псевдобулеву
алгебру А0 = <О (В), <>.
ПСЕВДОБУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ
83
Основные операции А0 вычисляются следующим обра-
образом:
а Д° Ъ =а/\Ь, а\/°Ь = a\J b, a ID0 Ъ = I (a 3 Ъ),
Далее, если ^сО (В) и в А существует пересечение /\ Q,
то в А0 также существует пересечение Д° 0 = 1 (Д О).
Если в А существует объединение V Q, то в А° также
существует объединение \/°О = V Q.
В частности, если А удовлетворяет условию полной
открытости, то ~\~° = Т- Если <jB,^> — полная п.б.а.,
то А0 также есть полная п.б.а.
О Доказательство состоит в элементарной проверке
свойств 1) — 9) псевдобулевой алгебры. Например, свой-
свойство 8) приобретает вид с Д а <^ Ъ =$> с ^ I (a ZD Ь), где
а, Ъ, с — открытые элементы В. Оно немедленно следует
из с <; a ZD Ъ и свойства монотонности операции -Г. Ц
Если в т.п.б.а. А = <#, <;, J> структура {В, <^ >
оказывается булевой алгеброй, то А называется тополо-
топологической булевой алгеброй (т.б.а.) (Расёва и Си-
к о р с к и й [1], с. 190). Разумеется, А0 при этом может
и не быть булевой алгеброй. В булевой алгебре операция
импликации выражается через дизъюнкцию и отрица-
отрицание, так что вЛ°в этом случае a ZD0 Ъ = I (~| a\/ b).
Можно показать (классически), что всякая п.б.а. изо-
изоморфна псевдобулевой алгебре вида А0, где А — некото-
некоторая подходящая топологическая булева алгебра (Расё-
ваи Сикорский [1], с. 153).
1.5. На практике т.п.б.а. задают чаще не с помощью
операции I взятия внутренности, а через семейство своих
открытых элементов. А именно, т.п.б.а. задается набором
{В, ^, <S>, где {В, «О есть п.б.а. и <S cz В — семейство
элементов В, называемое семейством открытых элементов
А. При этом выполняются следующие условия:
1') для всякого а ^В существует объединение \/ {Ь 6
S | Ъ «^ а) и это объединение принадлежит S;
2') a, b^S =» о /\Ь б 5.
Если {В, <,> — полная п.б.а., то условие 1') может быть
формулировано более просто:
1") если S' с S, то (V S") б S. Эквивалентность
обоих определений т.п.б.а. следует из утверждений:
84
алгебраические Модели
[ч. з
1]
ПСЕВДОБУЯЕВЫ АЛГЕБРЫ
85
a) Если (В, <J, 1} — т.п.б.а., то множество S =
= О (В) = {а ? В | 1а = а} удовлетворяет условиям 1'), 2'),
причем 1а = V {Ь ? S \ b ^ а).
b) .Если. <jB, ^, S) удовлетворяет условиям 1'), 2'),
то операция I, заданная правилом 1а = V {Ь ? S \ Ь <
а}, удовлетворяет всем условиям 1) — 3) операции
взятия внутренности, причем b ? S <?Ф (J6 = Ь).
c) В условиях Ь) имеем 1~]~ = ~f фф \/ S = "]~ •
О Непосредственно проверяется. Покажем, например,
что в Ь) операция J удовлетворяет условию I (а Д Ь) =
Та Д J&. Неравенство V {с 6 ^ I с <, а Л &) <* (с ?
S | с «^ а} очевидно, так как каждое слагаемое слева
встречается и справа. Отсюда I (« Д 6)< 1а. Подобным
образом 1(аД6)< Ib, что и дает 1(аД6)< .Га Д J&.
Докажем обратное неравенство. Если с, d ? S, с <, я,
d < 6, то с Д d < а Д Ь, так что с Д d < \/ {/ 6 «S | / <
а Д 6} = X (а Д Ь). Отсюда с < d ZD I {а Д 6). Сум-
Суммируя слева по всем с ? 5, с ^ а, получим Та ^ d ZJ
I (а Д &). Следовательно, d ^ 1а <^ I (а Д &). Далее,
d ^ la ID J (а Д 6). Теперь суммируем слева по всем
d б S, d < 6. Отсюда Ib ^ 1а ^ I (а А Ъ), что и дает
Ja Д Хй < J (а Д 6). ?
Заметим, что J_ 6 ^, так как _L = V{&6<S|&< J_}-
Часто т.п.б.а. ¦{В, <,, ?> задают, определяя не все
семейство открытых элементов, а лишь так называемый
базис открытых элементов. А именно, подмножество
50С|? называется базисом открытых элементов т.п.б.а.
¦(В, <;, S), если всякий элемент а ? S представляется
как объединение элементов So, т. е. (Va ? S) (Э^ с:
^о)(а — V Si)- $о может состоять далеко не из всех
открытых элементов, например, вполне возможно, J_ (?
So, хотя J_ G S, так так }_ — \/ 0.
1.6. Важнейшим частным случаем т.п.б.а. является
топологическое пространство. Топологическое простран-
пространство задается набором Т = {X, S), где X есть множество,
называемое множеством точек пространства Т, и S —
семейство подмножеств X такое, что
1) 0 е s, х е 5;
2) а, & е 5 -» а П & 6 S;
(U Q — теоретико-множественное объединение). Множе-
Множество S называется топологией пространства Т.
Топологическое пространство стандартным образом за-
задает полную т.п.б.а. в смысле п. 1.5, а именно, (РХ, cz,
5>, т. е. топология S есть как раз семейство всех от-
открытых подмножеств X. Ввиду 1) операция взятия внут-
внутренности в топологическом пространстве удовлетворяет
условию полной открытости. Полную псевдобулеву ал-
алгебру всех открытых подмножеств топологического про-
пространства Т обозначим через О (Т); имеем О (Т) = <S, c>.
В соответствии с пп. 1.3 и 1.4 основные операции в этой
алгебре определяются следующим образом:
а Д 6 = а П ^ а\/ b = a I] b,
a^b = {x^X\{^d^ S){x 6 d, d П a Q 6)},
П a = {* 6 * I Cd 6 S)(x 6 d, d П « = 0)},
если Q^S, то \/Q={JQ = {x?X\Cd? Q)(x 6 d)},
Д Q = I (П 0) = {^ 6 X| C d 6 5) (x € d, d <= П 0}-
В стиле п. 1.3 эти рассмотрения имеют смысл и в рамках
интуиционистской метаматематики.
Замечание. В определении a zd b, ~~\ a, /\Q
можно заменить S на ^о, где So — базис открытых под-
подмножеств топологического пространства.
Приведем еще известный признак того, что некоторое
семейство So cz PX определяет базис топологии.
Теорема Пусть X — множество и So cz PX —
семейство его подмножеств, удовлетворяющее следующим,
двум условиям:
a) U So = X;
b) если х ?а ? So, х ? & 6 So, то существует а ? Ло,
х g d cz а П &•
jB этол случае семейство всевозможных объединений эле-
элементов Sо образует топологию на множестве X. Послед-
Последнее означает, что S = {а ? PX | C<Si cz 50) (a — LJ^i)}
удовлетворяет условиям 1) — 3) топологического прост-
пространства. Ц
Утверждение, что О (Г) есть полная псевдобу-
псевдобулева алгебра, восходит к Лукасевичу и Тар -
с к о м у [1].
1.7. Укажем два вида топологических пространств,
играющих существенную роль в дальнейшем.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[Ч. 3
Пример 5. Пусть / — фиксированное множество
индексов. Рассмотрим множество Ja всех функций, оп-
определенных на натуральных числах и со значениями в /.
Обозначим через /* множество конечных кортежей эле-
элементов из /. Можно считать, что если р ? /*, то р есть
функция, определенная на конечном начальном отрезке
натурального ряда р = <р @), . . .,р (п — 1)>, где р (i) ?
/. Мы рассматриваем также пустой кортеж < > —
нигде не определенную функцию. Пусть а ? /ш, р ? /*.
Будем говорить, что а проходит через р, и писать
а ? р, если р = (р @), . . ., р (п — 1)> и а @) = р @),
. . ., а (и. — 1) = р (п — 1). Каждому кортежу р мы со-
сопоставим множество [р] с: /» всех функций, проходящих
через р. В частности, [<>] = /. Семейство всех [р] для
Р 6 J* удовлетворяет условию теоремы п. 1.6 выше и
поэтому образует базис некоторой топологии.
Полученное топологическое пространство назовем
(обобщенным) пространством Бэра. Множества вида
[р] (р ? /*) называются каноническими окрестностями
этого пространства. Подмножество a cz /<° является от-
открытым, если из а 6 а следует, что найдется натураль-
натуральное п такое, что для всех |3 ? /<° из а @) = C @),
. . ., а (п — 1) = р (п — 1) следует |3 ? а.
В частности, если / = {0, 1}, то /"> называется прост-
пространством Кантора или кантороеым дисконтинуумом и
обозначается через if05. Если / = о> есть множество всех
натуральных чисел, то /w называется пространством Бэра
и обозначается через Ва.
Пример 6. Пусть (М, <^> — произвольное ква-
квазиупорядочение (т. е. выполняются условия 1) и 2) п. 1.2).
Каждому элементу х ? М сопоставим множество [х] =
= {у ? М | у ^ ж} — острый конус, порожденный я.
Семейство острых конусов вновь удовлетворяет критерию
п. 1.6 и поэтому задает базис некоторой топологии. Эта
топология называется порядковой топологией на М.
Подмножество а с: М открыто в этой топологии тогда
и только тогда, когда
(Уху ?М)(х 6 а, у < х =» у ? а).
Определенное таким образом топологическое пространство
обозначим через К (М, ^). Естественным образом можно
рассмотреть полную псевдобулеву алгебру всех открытых
2]
АЛГЕБРЫ С ПОПОЛНЕНИЕМ
87
множеств этого топологического пространства, эту алгеб-
алгебру назовем алгеброй Крипке и обозначим через OK (M,
<;). В этой ситуации структуру <Af, О часто называют
шкалой Крипке или логическим остовом. Крипке [1]
использовал (неявным образом) алгебру OK (M, «Q для
построения моделей интуиционистских теорий.
Для порядковой топологии характерно следующее
свойство, не имеющее места в общем случае: пересечение
произвольного семейства открытых множеств вновь от-
открыто .
Основные операции над открытыми множествами в по-
порядковой топологии имеют следующий вид:
U f\V = U f\V, U\/V=U\JV, ± = 0, Т = М,
U ZD V = {х 6 М | (У у < х)(у (.U^yt V)},
Если Q с О (М), тоД(?= n<?.V<2=U(? (теоретико-
множественные пересечения и объединения).
2. Алгебры с пополнением, шкалы Бета—Крипке.
Теория, развитая в предыдущем пункте, снабдила нас
богатым запасом логических матриц, согласованных с
интуиционистской логикой высказываний. Тем не менее
нам нужны еще некоторые конструкции для построения
п.б.а.
Пусть дана псевдобулева алгебра А = <М", <>. Пусть
jr>. м -> М — отображение элементов алгебры. Будем
говорить, что D есть оператор типа замыкания на А, если
для всех элементов М выполняются условия:
1) а <; Da;
2) а < Ъ =*> Da < Db;
3) DDa = Da.
Заметим, что в силу 1) условие 3) можно эквивалент-
эквивалентным образом записать в виде
3') DDa <Da.
Элемент а ? М назовем полным, если а — Da. Множество
всех полных элементов М обозначим через С (М).
2.1. Если D — оператор типа замыкания, то
(i) D (а Д Ь)< Da Д Db;
(ii) а, Ъ 6 С (М) =ф D (а Д Ь) = а Д Ь;
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[Ч. 3
(lil) а е С (М) =4» D (а Д Ь) < а Д D6.
>(i) а Д Ь < а; D (а Д 6) < D (а);
аналогично, D (a /\ b) ^ D (Ь); отсюда
D {а Д Ь)< 1> (а) Д Z> (Ь).
(ii) Ввиду (i) имеем Z) (а Д i) < В (а) Д D (Ь) =
а /\ Ь. Обратное очевидно: а /\ b ^ D (а /\ Ь).
(iii) а Д 6 < а; D (a ,/\b) ^ D (а) = а. Кроме того,
из" а Д 6 ^ & следует D (a /\b) ^ D (Ь), что и дает
.D (а Д &) < а Д -D (&)• О
2.2. ?сли 2> — оператор типа замыкания, то следую-
следующие три условия эквивалентны:
(i) а е С (М), а < ?> (&) =*¦ а < D (а Д Ь);
(ii) а б С (М) =» а Д -D (Ь) =В(вД6);
(ш) а, 6 € С (М) =Ф (а 3 Ь) = Х> (а 13 Ь).
[> (i) =ф (ii). Пусть имеет место (i), и пусть а ? С (М).
Ввиду 2.1 (iii) достаточно установить D (а Д &) > а Д
-D &. Очевидо, а Д Db ^ D&. Кроме того, по 2.1 (ii)
a /\Db (.С (М). Ввиду (i) тогда а Д D& < 1> (а Д
D6 Д 6), но ввиду b ^ ПЬ а Д Db Д & = а Д 6. Та-
Таким образом, а Д D& ^ D (о Д &).
(ii) =4* (iii). Пусть имеет место (ii), и пусть a, b ?
С (М); покажем В (О *) < (О Ь). С этой целью дос-
достаточно установить а Д В (о i)< &. Согласно (ii)
аДВ(оЬ) = В(яД(аЗ &)). Но а Д (а з Ь) < &,
так что а /\ D (a ZD b) ^ Db = b.
(iii) =?> (i). Пусть имеет место (iii) — установим (i).
Пусть а ? С (М) и а < Х>6; покажем а < D (а Д &).
Очевидно, о Д 6 < В (о Д J). Отсюда b ^ (a ZD D {а /\
Ь)) и, далее,
Db^D(aZ) D{a Д 6)).
Используя (iii), заключаем
а Д 1>5 < 1> (а Д &).
Но из а <; D& следует а Д Х>6 = с, так что
а < 1> (а Д 6). ?
2]
АЛГЕБРЫ С ПОПОЛНЕНИЕМ
89
2.3. Если D— оператор типа замыкания, то следую-
следующие два условия эквивалентны:
(i) Da Д Db = D (а Д 6);
(ii) 6 б С (М) =» (a ID 6) = I> (a ZD Ь).
t> (i) =Ф (ii). Допустим (i), и пусть b ? С (М). Уста-
Установим D (a ID b) <; (а D&). Достаточно вывести а Д
Л(ОЧ<М Для этого, в свою очередь, достаточно
вывести Da /\ D (a 'Z) b) <^ b. Но ввиду (i) это неравенст-
неравенство равносильно
В(аД(а^ Ь)) < Ъ.
Но а Д (а ID Ь) ^ &, так что достаточно установить
Db ^ 6, что очевидно ввиду Ъ ? С (М).
(ii) =ф (i). Ввиду 2.1 (i) достаточно, допустив (ii),
вывести Da Д Db < D(a /\b). Имеем
а Д Ъ < D (а Д Ъ); а < & з В (а Д 6);
< Л (Ь 3 i> (а Д 6)) = (Ь 3 В (а Д 6));
К йа D В (а Д i);
< Z> A>а ID D (а Д Ь)) = (Da з -D (а Д &));
Ва/\ ВЬ ^ В (а/\Ъ). П
Оператор типа замыкания D на псевдобулевой алгебре
А назовем оператором типа пополнения, если для всяких
а ? С (М), b ?М имеем
4) а < Х>& =Ф а < Z) (а Д Ъ).
Лемма 2.2 указывает эквивалентные формы этого усло-
условия. В силу 2.1 (iii) в заключении этого условия можно
писать а = D (а Д Ъ).
Для проверки условия 4) достаточно проверить вы-
выполнение более сильного условия
4') Da Д Db < D [а Д Ь).
В силу 2.1 (i) условие 4') эквивалентно выполнению равен-
равенства Da Д i>6 = D (а /\ Ь). Лемма 2.3 описывает экви-
эквивалентные формы 4').
Замечание. Следующий пример показывает, что
условия 4) и 4'), вообще говоря, не эквивалентны. Пусть
X = {а, Ь}. Превратим X в топологическое пространство
go
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[Ч. 3
2]
АЛГЕБРЫ С ПОПОЛНЕНИЕМ
91
(«дискретное двоеточие»), объявив открытыми множества
0, {а}, {Ъ}, {а, Ь).
Пусть А = О (X) — псевдобулева алгебра всех открытых
множеств X. Определим оператор D следующим образом:
П0 = 0,П{а} = П{Ь} = В {а, Ь} = {а, Ъ).
Непосредственно проверяется, что D есть оператор типа
пополнения на А, тем не менее
D {а) П П {Ь} = {а, Ь}, D ({a} f] {Ь}) = D 0 =0.
Следующая теорема указывает на назначение операто-
операторов типа пополнения.
2.4. Пусть на псевдобулевой алгебре А = (М, <;)
задан оператор D: М -*• М типа пополнения. Тогда мно-
множество С (М) полных элементов М вместе с порядком ^
алгебры А образует псевдобулеву алгебру А+ = <С(Ж), ^>.
Основные операции А+ вычисляются следующим образом:
а/\+Ъ = а /\Ъ, a\f+b = D (a \/ b), «ID+ Ь = a Z) Ь,
± D(±) (
Далее, если Q cz С (М) и в А существует пересечение
Д Q, то в А+ также существует пересечение и /\+Q =
f\Q. Если в А существует объединение\j Q, то в А +
также существует объединение и \' + Q — D (\/ Q).
В частности, если А — полная п.б.а., то А+ — также
полная п.б.а.
(Ср. вычисление операций в А+ и т.п.б.а. в п. 1.4.)
t> Непосредственной проверкой девяти аксиом п.б.а.
в п. 1. Заметим, что ввиду свойства 2) п. 2 оператор D
согласован с естественной эквивалентностью. Проверим
свойства бесконечных операций. Пусть существует Д Q,
Q cz С (М); покажем, что Д О полно, т. е. D (Д Q) <1
Д Q. Если а ? Q, то из Д Q < а следует D (Д 0 <
Da — а. Поэтому D (Д Q) «^ Д (?• Отсюда тривиаль-
тривиально д+<? = д<?.
Проверим V+<? = D (V 0- Если а б <?> то иза<
V Q очевидно а ^ I) (\/ Q). Пусть с ^ а для всех а ?
(?, причем с 6 С (М). Тогда с ^ у Q в А и поэтому
с = Dc < 1> (V (?) = V +С- П
2.5. Применения теоремы 2.4 мы начнем с рассмотре-
рассмотрения одного важного класса алгебраических моделей,
допускающих хорошее интуитивное обоснование.
Пусть (М, =§^> —непустое множество с заданным на
нем отношением. Эту структуру назовем квазиупорядоче-
квазиупорядочением, если для всех а, Ъ ? М имеем: a) a <J а; Ь) а^ Ь,
Ь <^ с =4> а <^ с.
Обозначим через РМ множество всех подмножеств
М. Квазиупорядочение на М стандартным образом инду-
индуцирует квазиупорядочение на РМ, которое мы также
обозначим через <^. А именно, для ?', S ? РМ
S' < S ^ (Уа е S) C6 б S') (Ъ < а).
ВК-шкала (т. е. Бета —Крипке шкала) задается набором
<М, ^, ()>. Здесь М — непустое множество, элементы
которого называются разнообразно, в зависимости от
интерпретации М, точками, моментами, возможными
мирами, вынуждающими условиями. Отношение ^ оп-
определяет на М квазиупорядочение. Это отношение назы-
называется отношением достижимости, отношением информа-
информативности. Если а <^ Ъ, то будем говорить, что а информа-
информативнее Ъ или что момент а позднее момента Ъ. Q есть функ-
функция, определенная на М; если а б М, то Q (а) сг РМ,
т. е. является семейством: подмножеств М. Если S б
Q (а), то мы говорим, что S есть путь, выходящий из мо-
момента а. При этом функции Q удовлетворяет следующим
условиям:
1°. (VS б Q (а)) 1Ъ (Ъ б S).
2°. Ь б S б Q (а) =Ф {1а' б S)(a' < Z> Д а' < а).
3°. а' < а =ф (V5" б Q (а'))C ^ б <? («))(¦?' < 5).
4°. а' б 5 б Q (а) =» C5' б Q (a'))(S < 5').
Описание ВК-шкалы закончено.
Употребляются и усиления этих условий, например,
2°°. Ъ б S б (? (а) =» Ь < а.
3°°. а' < а =ф <?(«') Q^(o).
Квазиупорядочение на М позволяет ввести на М по-
порядковую топологию (пример б п. 1.7), а функция Q поз-
позволяет определить на множестве открытых подмножеств
М операцию пополнения следующим образом: если U с:
М открыто, то
DU = {а б М | (V5 б Q (а))C Ь б 5)(Ь б ?0},
т. е. а принадлежит пополнению U, если на всяком пути,
выходящем из а, найдется элемент Ъ, принадлежащий^?/.
92
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[Ч. 3
2]
АЛГЕБРЫ С ПОПОЛНЕНИЕМ
93
Таким образом, операция пополнения D порождает
согласно 2.4 полную псевдобулеву алгебру (OK (М, <^))+
из алгебры Крипке OK (M, <Q. Мы обозначим эту алгебру
через ВК (М, ^, 0 и назовем алгеброй Бета—Крипке,
порожденной шкалой (М, ^, Q).
О Проверим, что D удовлетворяет условиям 1) — 3),
4') выше. Прежде всего, DU открыто. Действительно,
если а б DU и а' < й, то а' f DU. В самом деле, если
S' б Q {а'), то согласно 3° найдется S б Q (a), S' < S.
Так как а б DU, то найдется Ъ б S, Ъ б U. Из S' <; S
следует, что найдется Ь' ? S', Ь' <^ Ъ. Отсюда Ъ' б U,
ввиду открытости U и b б U, что и доказывает а' б DU.
U cz 1Ш. Пусть а б ?/ и 5 € (? (а), тогда ввиду 1°
и 2° найдется с' б 5, а' «^ а. Ввиду открытости U, а' б
U, что и доказывает а ? DU.
U с F => 1> С/ Q Z>F. Пусть а € #^, 5 6 С (а).
Тогда найдется b ? S, b б U и, ввиду С/ QV, Ь (< У.
Таким образом, Ь ? 1>F.
DDC/ Q 1>С/. Пусть а ? DDU; докажем а ? DU. Пусть
? ? ?> (а); найдем сначала Ъ' (•_ S, Ь' ? 2>f/. Ввиду 4°
существует S' ^Q (&'), S <; 5'. Из Ь' ? DC/ следует, что
существует 6" ? <S", Ь" (^ U. Но ввиду 5 ^ <S" найдется
b ? S, Ъ < 6". Так как С/ открыто, то b {• U. Итак,
(V5 € Q (о))C & € ^) (Ь € СО, т. е. а е ^>^
^ (U П ^) = -° (и) Г\ D (V). Введем импликацию
(U ZJ V) в порядковой топологии (пример б п. 1). Ввиду
2.3 достаточно показать, что D {U Z) V) с: (U 3 V), если
U открыто, а V полно. Пусть а 6 & (У Z) V); для дока-
доказательства а ? (U ZD V) возьмем произвольный эле-
элемент а' ^ а, а' ? С/ и установим а' ? У. Ввиду полноты
У достаточно показать, что для всякого пути S' ?Q (a')
найдется элемент Ъ' ? S', 6' ? У. Пусть 5" f (? (a').
Ввиду 3° найдется S ?Q(a), S' < S. Так как а ? 2> (С/ Z)
У), то найдется b б S, Ъ ? (С/ 3 У). Ввиду 5' < 5
найдется Ъ" ? S", 6" < Ь. Ввиду 2° найдется Ъ' ? ?',
Ь' < Ь", Ь' < а'. Тогда ^(PdF) и 6' б С т. е.
V 6 F. ?
Опишем правила вычисления основных псевдобуле-
псевдобулевых операций в ВК-алгебре:
а € (U ZD V) & (V6 < а) (Ь б V =» Ь 6 У);
1 - {а 6 АГ | Q (а) = 0}; J = М;
а б П ?/ Ф» (VK а)(Ь 6 U =» (? F) - 0).
Если (? — семейство полных элементов, то
Л<?=
и д у = и п V;
а 6 (С/ V У) ^ (V5 6 <? (а))(ЭЬ
6 С/ V Ь € У);
Элементы множества _[_ называются странными мирами.
Шкала, не содержащая странных миров, т. е. миров а,
Q (а) — 0> называется нормальной.
Пример 1. Пусть 7V — множество всех кортежей
натуральных чисел; определим на iV^ упорядочение, по-
положив а^ Ь^рЭс (а = Ък) (обозначения см. на с. 43—44),
т. е. более информативными являются более длинные
кортежи. Пусть а — функция из натуральных чисел в
натуральные, т. е. элемент пространства Бэра Ва.
Будем говорить, что а проходит через кортеж а, и писать
а б я7 если существует натуральное п такое, что
а (п) = а, т. е. а = <а @), а A), . . ., а (п — 1)>. Для
данного а через Saобозначим множество всех «обрезков» а,
Sa = {а (п) \ п — натуральное число}, и, далее,
SZ = {Ь | Ъ б Sa, Ъ < а}.
Пусть теперь М — стандартно вложенное поддерево
N, т. е. a) M Q N; Ь) < > б М; с) а * х б М => а б М.
Например, множество 50 всех бинарных кортежей (со-
(составленных из 0 и 1) является стандартно вложенным под-
поддеревом N.
Для данного М и а ^ М определим Q (а):
0 (а) = {Э*ПМ |«65W, «ба}-
Тем самым определена шкала (М, <, Q}, которую мы
назовем шкалой Бета. Соответствующая п.б. а. ВК (М, ^ ,
Q) использовалась (неявным образом) Бетом для постро-
построения моделей логики предикатов (см. Бет [Ц, с. 447,
Гжегорчик [1]). Проверка выполнения условий
1° — 4° непосредственна.
Пример 2. Всегда можно наделить произвольное
квазиупорядочение <Ж, ^) тривиальной структурой
путей, считая, что Q (а) есть одноэлементное множество
94
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[Ч. 3
2]
АЛГЕБРЫ С ПОПОЛНЕНИЕМ
95
{а}. Тогда оператор пополнения тривиален, DU — U,
и алгебра ВК совпадает с алгеброй шкалы Крипке.
Пример 3. Пусть <Л/, <1) — произвольное квази-
квазиупорядочение. Если a ? M, то обозначим [а] = {Ь ?
М | Ъ ^ а} {острый конус, порожденный элементом а).
Определим теперь Q (а) = {[b] | b < а}. Легко проверить,
что для <М, <;, Q) вновь выполняются условия 1° —
4°. Убедимся, что эта ВК -шкала задает булеву алгеб-
алгебру. Пусть U czM — полный элемент; покажем, что U \/
"^ U = М, т. е. что для всех а (Ух <; а)(Э*/<^ ж)(г/ 6
U или г/ 6 П ?0- Пусть х <^ а; разберем две исчер-
исчерпывающие возможности: а) существует у <J х, у ? U —
тогда утверждение доказано; Ь) для всех у <^ х, у ([• U —
тогда по определению # б ~~| С/ и вновь утверждение
доказано (заметим, что в этом маленьком рассуждении мы
существенно использовали закон исключенного третьего).
Полученную булеву алгебру ВК (М, ^, Q) назовем ал-
алгеброй Макнейла и обозначим через MN (М, <^.), так как
в этом частном случае наше построение совпадает с его
конструкцией полных булевых алгебр (см., например,
И е х [II, п. 16, с. 51).
Следующие два результата характеризуют универсаль-
универсальность введенных нами понятий.
2.6. Произвольная полная псевдобулева алгебра предста-
вима в виде алгебры полных} элементов с операцией" по-
пополнения на открытых множествах некоторой шкалы
Крипке. При этом операция пополнения удовлетворяет
равенствам
В(хПу) = ПхП Dy, D @) = 0.
t> Пусть А =а <S, <;> — полная псевдобулева алгеб-
алгебра. Пусть W — произвольный базис А, т.е. семейство
ненулевых элементов В такое, что всякий элемент В
представим"в виде объединения элементов W (при этом
нуль алгебры J_ представляется объединением пустого
множества элементов W). Например, можно взять W =
В \ {Х}. Рассмотрим теперь шкалу Крипке (W, «О
и определим операцию пополнения D на открытых элемен-
элементах соответствующей порядковой топологии, т. е. на эле-
элементах ОК(ИЛ, -sQ. А именно, для открытого х czW
определим 1>х — {а ? W | а"* < \/ х}; здесь \/ х — объ-
объединение в алгебре А. Нетрудно проверить выполнение
условий 1) — 4') для операции пополнения. Остановимся
на проверке 4'), т. е. D (х [} у) = D (x) f]D (у). Соглас-
го 2.3 достаточно убедиться, что если х открыто, а у пол-
полно в OK(PF, <), то
D (x id у) cz (x ID у);
здесь {хиу) = {a ?W \(Vb^a)(b ?хч>Ь?у)} —
стандартная импликация в шкале Крипке. Пусть
а б D (x Z) у) и b ^ a, b ? х. Покажем, что b б у.
Из а 6 D [x ZD у) и b < а следует Ъ = Ъ Д V {d I d 6
\d\/d\d^b d(
Д
b, d
(у) \/{A\(y)/\^
Здесь мы воспользовались дистрибутивностью (а Д
(V х)) = V {а Д Ъ \ Ъ ? х}) (см. Расёва и Сикорс-
к и й [1], с. 160) и открытостью множества (х ID у)- Но
ввиду b ? х имеем
{d < Ъ | d е {х ID у)} = {d < Ь \d б г/}.
Таким образом, & = V {^ I d < ^» ^ 6 J/} ^ Х/У- Но г/ —
полный элемент, так что из 6 < \/2/ следует & ? у.
Остается заметить, что алгебра полных элементов
OK (W, «Q+ изоморфна А. А именно, изоморфизм ф:
А ->- OK (PF, ^)+ задается соотношением ф (а) = {& G
W | 6 < а}. П
2.7. Псевдобулева алгебра всех открытых подмно-
подмножеств топологического пространства может быть пред-
представлена как алгебра полных элементов нормальной
ЪК-шкалы.
О Пусть Т = (X, П> — топологическое простран-
пространство. Тогда <П, Q> есть полная п.б.а. О (Т). Пусть W —
произвольный базис О (Т) (определение см. в доказатель-
доказательстве п. 2.6). Подмножество Sc(F назовем базисом точки
а б X, если
(i) U € S =4- « € U;
(ii) 7бП, а 6 F^O^GSXE/^ V).
Будем говорить, что базис ? точки а содержится в откры-
открытом множестве U б П, если а ? ?/ и F cz ?/ для всех
F б 5. Для U б W через () (?/) обозначим множество
всех базисов для всех точек U, содержащихся в U. Лег-
Легко проверить, что Q имеет свойства 1° — 4° структуры
путей для шкалы Крипке (W, <^>. Рассмотрим 3°. Пусть
t? 5" 6 Q (u')i тогда 6" е <? (^)- Для доказатель-
доказатель" {V
, 6 Q ()i д е <? () Д
ства 4° допустим U' ? S ?Q (U). Положим 5" = {V (¦
96
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[Ч. 3
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЛОГИКЕ ВЫСКАЗЫВАНИИ
97
S | V cz ?/'}. Тогда <S" есть базис той же точки, что и
S, и S' 6 Q (U'), причем, очевидно, S <^ S'.
Итак, можно рассмотреть алгебру В = ВК (W, сг,
Q), так как Q порождает стандартную операцию попол-
пополнения на OK (W, cz). А именно,
Dx = {U 6 W | (V5 6 Q (U))C V 6 S)(V 6 *)}.
Мы утверждаем, что Dx — {U \ U ^W, U cz (J ж}.
В самом деле, пусть С/ cz U х, S ?Q (U). Тогда S есть
базис некоторой точки а ? V. Из ?/ cz (J а; следует, что
найдется V ? х, а ? V'. Так как ? — базис, то найдет-
найдется F б S, V сУ'. Так как ж открыто (элемент OK (PF,
сг)), то F б х. Обратно, пусть неверно, что U cz \J x.
Тогда найдется точка а ^ U, а (? [J ж. Возьмем базис <5
точки а, содержащийся в U. Очевидно (VF ? S) (V § х).
Теперь изоморфизм алгебр О (Т) и В строится так же,
как в доказательстве п. 2.6: <р (U) = {V ? W | V cz U}.
Нормальность шкалы следует из того, что каждый эле-
элемент есть непустое открытое множество.
3. Приложения к логике высказывания. Интуицио-
Интуиционистская логика не является конечнозначной. Имеющийся
запас логических матриц позволяет нам легко доказывать,
что некоторые формулы невыводимы в интуиционистской
логике высказываний. Достаточно для испытуемой фор-
формулы подобрать псевдобулеву алгебру и приписать про-
пропозициональным переменным формулы элементы этой ал-
алгебры (оценить ее переменные, см. с. 77) таким образом,
чтобы в результате ее значение оказалось отличным от
единицы 7" алгебры. Тогда из согласованности п.б.а.
вытекает, что испытуемая формула невыводима.
Пример 1. Рассмотрим следующее двуэлементное
множество:
т
как ч.у.м., где 1 <^ 2. Будем рассматривать это мно-
множество как шкалу Крипке с соответствующей алгеброй
ОК({1, 2}, =sQ. Припишем переменной р элемент {1}—
открытое множество порядковой топологии. Тогда зна-
значения формул р V I Р» I |Р 3 р отличны от единицы
(единицей служит все пространство {1, 2}, в то время как
непосредственным вычислением по правилам п. 1, пример
6, убеждаемся, что 2 не принадлежит значению формул).
Более подробно,
= 0, Нр V Пр11 ={1},
И П Пр11 -U. 2}, || пПрзр|| -{1}.
Пример 2. Рассмотрим следующее четырехэлемен-
тное множество {а, Ъ, с, d}, частично упорядоченное, как
указано на рисунке (меньшие элементы стоят выше):
Припишем значения переменных
II Р II - {а}, || ? || = {&}, II г || = {с}.
q V г) '-^> (П Р 3 q) \/ (~~}p ZDr) ||,
мула невыводима в НРС.
Пример 3. Следующая шкала Крипке:
следующим образом:
Тогда d $ || (~] Р 3
так что эта фор-
форс оценкой 11^11 = {«}, ||р2|| = {^}, II?! 11 = {а, Ъ, d},
II Чг II = {fli c, d) позволяет установить невыводимость фор-
формулы Цейтина (см. с. 73). Подбор соответствующей шка-
шкалы Крипке сильно облегчается, если принять во внимание
интуитивную интерпретацию моделей Бета—Крипке, ко-
которую мы обсудим ниже (см. с. 115). Теорема о полноте
(замечание 1 к теореме 5.1 ниже) показывает, в частности,
что любая невыводимая формула логики высказываний
опровержима на некоторой конечной шкале Крипке.
Следующий результат принадлежит Г ё д е л ю 12].
3.1. Не существует конечной логической матрицы
М = {В, Во, Д, \Д ID, _L> такой, что множество всех
4 А. Г. Драгалин
98
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[Ч. 3
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
99
формул, выводимых в интуиционистской логике высказы-
высказываний, было бы в точности равно множеству всех формул,
принимающих в М выделенное^значение при любой оценке.
[> Для каждого натурального п ~^> 1 рассмотрим фор-
формулу Рп = V (Рг = Pi) от пропозициональных пе-
ременных рг, . . .,рп. Каждая формула Рп невыводима
r HPC. В самом деле, она опровергается в цепной п.б.а.
Цп+i (см. п. 1, пример 4а)), если оценить || рг\\ = (i — 1).
Допустим теперь, что существует конечная матрица М
такая, что множество В ее элементов со; ержит п элементов.
Так как Р„+\ невыводима, то при некоторой оценке в М
значение || Рп+11| (? Во. В множестве В только п элементов, а
в Рп+1 имеется (п + 1) переменных, поэтому найдутся рк и рг
такие, что || рк. || = || pt ||. Рассмотрим формулу Р,т, по-
полученную заменой вхождений рк в Рп+1 на ph Очевидно,
II Pn+i II = II Piui ||. Но Рп-п содержит дизъюнктивный
член pi = pi и поэтому выводима. Но тогда должно быть
II Pn+i II t So, и мы приходим к противоречию. Q
3.2. Покажем, что, в отличие от классической ло-
логики, все связки /\, \/, Ц}, J_ в интуиционистском исчис-
исчислении высказываний независимы.
[> Пусть ф — произвольная формула, построенная
только с помощью связок Д, V> 3- Тогда J_ = <р не вы-
выводится. В самом деле, эта эквивалентность опровергает-
опровергается на алгебре Ц2, если всем переменным ф приписать зна-
значение 1.
Пусть теперь ф составлена из Д ZD _[_• Тогда р\' q =
Ф не выводится. В самом деле, эта эквивалентность оп-
опровергается на алгебре п. 1, пример Id), если оценить
\\ Р \\ = li II Я\\ = 2 и значение ||г|| = 1 для остальных
переменных. Тогда слева от эквивалентности будет стоять
со, в то время как справа ввиду отсутствия \/ не может
получиться со.
Пусть теперь формула ф составлена с помощью связок
V. ZD, _|_- Тогда формула р Д q = ф не выводится, так
как опровергается на алгебре Ц2 X Ця при оценке || р || =
(Т, «). II? II = (_L T) и || г || - (J_, t) (см. п. 1, пример
4Ь)). Тогда || р Д?|| = (j_) с0)> а все значения, которые
могут принимать подформулы ф справа, суть
(т. т), (т.
, ±), а, т). а. ±)-
Наконец, рассмотрим формулу ф, построенную с по-
помощью связок Д \ ±_. Тогда формула (р "D q) = ф не
выводится, так как опровергается на алгебре Ц3 X Ц3
при оценке \\p\\ = (Т, со), |[д|| = (со, ю) и || г || = (со, со)
для остальных переменных ?-. Тогда \\ р 3 ?|| = (со,
~У~), а все значения, которые могут принимать подформулы
Ф справа, суть (~j~, у), (у, со), (со, со), (J_, J_). Г]
В этой книге нас главным образом интересуют приклад-
прикладные интуиционистские теории, арифметика, анализ, ло-
логика предикатов, поэтому мы ограничимся этими краткими
сведениями о выводимости в логике высказываний.
В настоящее время теория суперинтуиционистских логик
высказываний интенсивно изучается, здесь получено много
глубоких результатов. Упомянем некоторые из современных
исследований: Кузнецов [1], [2], Кузнецов и
Г е р ч и у [1], Я н к о в [1], [2], Р а ц а [1], Макси-
Максимова [1], [2], Ше хтман [1] — [3], Э с а к и а [1],
Соболев [II, [2], Г у р е в и ч [1], Г а б б а й [1].
4. Модели Бета — Крипке, алгебраические и тополо-
топологические модели.
4.1. Опишем теперь класс интуиционистских моде-
моделей, приспособленных к языкам с кванторами. Мы рас-
рассматриваем обычные логико-математические языки, мо-
может быть, с многими сортами переменных. Каждый такой
язык Q задается набором
Q = (V, Cnst, Fn, Pr>,
где V — непустое множество сортов переменных, для
каждого сорта к. ? V фиксирован счетный набор перемен-
переменных сорта к: хк, ук, z*, . . . Cnst — множество констант
языка, считается, что каждой константе приписан опре-
определенный сорт. Fn — множество функциональных симво-
символов языка, каждый функциональный символ имеет неко-
некоторое количество, большее нуля, аргументных мест, причем
каждое аргументное место имеет определенный сорт.
Из переменных, констант и функциональных символов мож-
можно конструировать термы языка. Каждый терм имеет опре-
определенный сорт. Рг — непустое множество предикатных
символов языка. Каждый предикатный символ имеет не-
некоторое количество (;> 0) аргументных мест, причем
каждое аргументное место имеет определенный сорт.
100
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[Ч. 3
Атомарные формулы языка получаются путем замещения
в предикатных символах аргументных мест термами соот-
соответствующих сортов. Равенство в языке отдельно не
выделяется: оно может присутствовать для некоторых
сортов переменных в качестве рядового предикатного
символа. Формулы строятся из атомарных обычным об-
образом с помощью логических связок Д, \Д ZD, _[_, V, 9,
кванторы употребляются по всем сортам переменных. Ло-
Логическая константа _|_ в множество Cnst констант языка
не входит. Мощность языка есть по определению
максимум счетной мощности и мощности прямого объеди-
объединения множеств V, Cnst, Fn, Pr. Таким образом, мощность
языка всегда бесконечна.
При изучении теорий с классической логикой иногда
мы будем вместо J_ употреблять одноместную логическую
связку | — отрицание. При наличии J_ отрицание вы-
выражаем стандартным образом: ~j <р =^ (ср Z) J_).
Типичным примером языка рассматриваемого типа
является язык An (U) п. 1 ч. 2.
Мы начнем с введения некоторого чрезвычайно общего
понятия алгебраической модели для данного языка. Фак-
Фактически эта общая алгебраическая конструкция приме-
применима не только к интуиционистской логике. Алгебраиче-
Алгебраическую модель можно рассматривать, если задана подходя-
подходящая логическая матрица ее истинностных значений.
4.2. Алгебраическая модель для языка Q определяется
набором А = E, D, R, Cnst, Fn, Рг>. Здесь В — полная
псевдобулева алгебра, называемая алгеброй истинност-
истинностных значений модели, D — семейство предметных облас-
областей модели, т. е. D есть функция, перерабатывающая
каждый сорт я языка Q в некоторое множество ВЛ —
множество предметных объектов данного сорта {пред-
{предметная область).
R есть трехместная функция, перерабатывающая сорт
я языка Q и предметные объекты р, q ? Dn в элемент
R (я, р, q) ? В. Предполагается, что R удовлетворяет
следующим условиям:
1) R (я, р, q) < R (л, р, р);
2) Л (я, р, q) - R (я, q, p);
3) R (я, qu q2) Д R (я, q2, q3) Д R (я, qu q3);
4) У {R(n, q, q)\q(zDn) = J.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
101
Если известно, о каком сорте я идет речь, мы будем писать
просто || р ~ q || вместо R (я, р, q) и || q \\ вместо R (я, q,
q). Элемент R (я, р, q), интуитивно говоря, оценивает
«степень равенства» объектов р и д. Условия 2) и 3) при
этом соответствуют симметричности и транзитивности
равенства. Условие рефлексивности в этих терминах мож-
можно было бы записать в виде R (я, д, д) — ~~[~. Вместо него
мы используем более слабьте условия 1) и 4). Можно считать,
что || q || — R (я, д, q) есть «мера (область) определенности»
объекта q. Может оказаться, например, что в некоторой
модели || q\\ = Т для всех q fe Dn. В такой ситуации мы
говорим, что наша модель имеет постоянную предметную
область сорта я. В интуиционистской теории моделей су-
существенную роль играют модели с непостоянной предмет-
предметной областью.
Функцию R мы назовем степенью равенства в модели.
Для данных р, q ? D* определим (р, q)B = \/ {а (•
В | р есть q}. Таким образом, если р совпадает с q, то
(р, q)e — Г? если же Р пе совпадает с q, то (р, q)B = J_.
Наше косвенное определение (р, q)B связано с желанием
избежать употребления закона исключенного третьего в
метаматематике.
Во всякой модели можно тривиальным образом опреде-
определить степень равенства по совпадению, положив R (я, р,
q) = (p, g)j9. Все условия 1) — 4) при этом выполняются
автоматически.
Менее тривиальный способ введения R — через меру
определенности. При этом сначала задают R (я, q, q) для
всех q G Оя таким образом, чтобы выполнялось условие
4), а затем определяют для произвольных p,q?Dn:
R (я, p,q)=R (я, р, р) Д R (я, q, q) Д (р, q)B.
Условия 1) — 4) при этом можно доказать (и без использо-
использования закона исключенного третьего). При этом способе
задания R если р и g различны, то R (я, р, q) —= __|_.
Заметим, что мы не исключаем случая пустой предмет-
предметной области, Dn = у' для некоторого сорта я. Однако, из
условия 4) следует, что в этом случае алгебра В тривиаль-
тривиальна, l = Т-
Функция Cnst сопоставляет каждой константе с сорта
я языка Q некоторый предметный объект с = Cnst (с) ?
D-. При этом
5) R (я, с, с) - у.
1U2
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
L'l. 3
Из условия 5) следует 4), если язык Q содержит хотя бы
одну константу рассматриваемого сорта п.
Функция Fn приписывает значение функциональным
символам языка Q. Пусть / — к-местный функциональный
символ языка и аргументные места / имеют сорта
п1: . . ., rt.v соответственно, а сам символ / имеет сорт л.
Пусть qx, , . . , qi, q — предметные объекты, g4 (: Dn ,
<??Д-. Тогда определено значение Fn (/, qx, . . ., qk,
q) d В. Функция Fn должна еще удовлетворять условиям,
выражающим некоторые алгебраические варианты всюду
определенности, единственности и согласованности с ра-
равенством для /:
6) II ft || \ ••• Д II №11 < VIFn (/, qu ..., qk, g)| g ? Dn);
7) II gi ~ q[ II Л •¦• All ?* - ?* II A Fn (f, 9» •••> ?*,?) A
Fn {f, qx, . . ., q't, q') < \\ q ~ q \\ ;
8) ||g~?4l A II ?i II A - A II 4k\\J\
Fn (/, ?!,..., дц-, q) < Fn (/, gl7 . . . , qu q').
В важном частном случае, когда R вводится через меру
определенности, условие 8) выполняется автоматически.
Часто функция Fn задается операторным образом.
А именно, задается функция F*, которая каждому функцио-
функциональному символу / языка сопоставляет отображе-
отображение / = F* (/) типа Dni X ... X D4. -> DA. Если F*
задано, то Fn определяется канонически следующим
образом:
Fn (/, fr,..., q», q)=R (л, F* (/) (glf . . . , gft), g),
т. e. Fn (/, qu . . . , qk, q) = || f (g1; . . . , qh.) ~ g || .
Чтобы Fn удовлетворяла требованиям 6) — 8), доста-
достаточно, чтобы F* удовлетворяла следующим условиям:
б')
7')
Л- Л11?»
II / (?i, •
?*
<
/
Фактически, если Fn задается операторным образом, вмес-
вместо 6') мы будем требовать выполнения более сильного
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
103
условия:
6") II
А- А
Далее, если Р — предикатный символ языка Q, аргу-
аргументные места которого имеют сорта я15 . . . , я к соответ-
соответственно, и qt, . . . , qk — предметные объекты, gj ? D^.,
то определено значение Рг (Р, дг, . . . , qk) ? В. Никаких
дополнительных условий на функцию Рг не накладыва-
накладывается.
Определение алгебраической модели закончено.
4.3. Если задана алгебраическая модель А, то можно
приписать определенные значения замкнутым термам и
формулам языка Q. Рассмотрим язык Q', полученный из
Q путем добавления к последнему некоторого множества
новых констант. А именно, для каждого сорта п добавим
в качестве новых констант сорта л все элементы множества
Dji. Точнее, к Si следует добавлять не сами предметные
объекты, а их имена, и добавляемые имена должны быть
отличны от уже имеющихся констант языка Q. Исключе-
Исключение составляют предметные объекты, сопоставляемые в А
константам языка й,— их имена можно отождествить с
самими этими константами. Обозначим язык Q' через
& [А].
Замкнутые термы и формулы языка Q [А]
назовем термами и формулами, оцененными в А. Можно
представлять себе, что оцененные выражения получаются
из обычных путем замещения в последних некоторых
параметров предметными объектами А.
Значения в модели приписываются именно оцененным
формулам и термам. Разумеется, замкнутые выражения
языка Q по определению являются оцененными.
4.4. Пусть t — оцененный терм сорта п и q ?Dn.
Определим \\ t — g|| ? В — «истинностное значение того,
что t изображает объект q» — индукцией по построению t.
1) Если t есть предметный объект, то значение || t ~- q\\
задано в модели А.
2) Если с — константа языка м с — Cnst (с) — предмет-
предметный объект, соответствующий в модели константе с, то
по определению \\ с — q\\ — || с — q\\.
3) Пусть оцененный терм t имеет вид / (?х, . . . , h),
где / — функциональный символ языка, t; — оцененный
104
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
L4. ::
терм сорта щ. Положим
II * ~ д|| = V {Fn (f, ?i, • • ¦, q>.-, q) /\II h ~ qx\\ д ... д
\\tk~qk\\ \qi?Dni, . . . , qk?Dnk}.
Определим, далее, меру определенности оцененного терма
11*11 =V{ll*~gll \q?D«}.
Заметим, что в случае, когда t есть предметный объект, это
определение согласуется с данным в п. 4.2, так как ввиду
1) п. 4.2 имеем || р ~ р || = V { II Р ~ ? II I ? € #л}-
Докажем теперь несколько элементарных свойств
отношения || t ¦— q || .
4.4.1. ||*~р|| MU~g||<||p~g||.
О Индукцией по построению ?. Если if есть объект, то
неравенство следует из требований 1) — 3) п. 4.2 на отно-
отношение || р — q\\ . Пусть t = f (tx, . . ., tk). Мы ограни-
ограничимся рассмотрением случая к -—¦ 2. Тогда для доказатель-
доказательства неравенства достаточно показать, что для всяких
?i, Ъ. 6 Dni и g2, q% 6 О„г имеем
Fn (/, q,, q2, р) Д ll*i ~ Qi II /\ II *а — <72II Л
Fn (/, qx, ?j, g) /\ || ^ ~ q{ || Д || ?2 ~ g3 ||< || p ~ q ||.
Ho
Д || tx
gi || по индуктивному
П
p gx || Д || x gi || < || gx gi || по индуктивному
предположению. Аналогично для q2 и q . Поэтому левую
часть можно умножить на || qx — q\ \\ /\ || q2 ~ q' \\ . После
этого остается воспользоваться свойством 7) в и. 4.2. Ц
Если в этой лемме выбрать р совпадающим с q, то полу-
получим:
4.4.2. ||; ~ р || < || р ||.
Далее,
4.4.3. Пусть t — оцененный терм сорта л и qlt
. . . , qn — список предметных объектов, содержащий все
объекты, встречающиеся в t. Тогда || qx || Д ... Д || qn \\ ^
11*11 •
1> Индукцией по построению t. Если i — константа
языка, то || t\\ = у. Если ? есть предметный объект, то
утверждение очевидно, так как || t \\ встречается как сом-
сомножитель в левой части. Пусть t имеет вид / (il5 . . . , U).
Вновь ограничимся случаем к = 2. По индуктивному
предположению \\qx || Д ... Д || дя|| < || ц]\ для i = 1, 2,
так что достаточно показать || tx \\ Д [| t21| < || * || . Так как
11
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
105
II *i II = V { II *i ~ Pi II I Pi}, т0 достаточно установить, что
для всяких рх ? Dni и р2 € -Dns имеем || ix —• рх \\ Д
II *2 — Рг II ^ II / (*и *г) II • Но согласно определению
выражения справа достаточно показать, что
11*1 ~Plll Д 11*8 ~.Р» IK
V{Fn(/, Pl, p2, g) Л 11*1
Pi II Д
- Р2I
что равносильно
р2 IK
Pill Д11*2
{Fn (/, рх,
~Р2|
ъ, q) |
Д
Согласно 4.4.2 || t{ — Pi II ^ II P-i II ^ так что левая часть
искомого неравенства может быть пересечена с Ц^НД
|| р21| . После этого остается воспользоваться свойством
6) в п. 4.2. П
4.4.4. ||i~p|| Д||р~д||<1И~д||.
О Индукцией по построению t. Если t есть объект, то
это следует из требований 1) —3) в п. 4.2. Пусть t —
f (tu . . . , tx)- Рассмотрим случай к = 2. Из определения
II * — Р II и II * — q II в этом случае следует, что достаточно
установить, что для произвольных qx, q2 соответствующих
сортов
|| р ~ q || Д Fn (f,ju q2, р) Д II *i ~ ?i II /\ II *я — ?* II <
Fn (/, qx, g2, g) Д || tx ~ qx \\ Д || t2 ~ g21| .
Ho || i; ~ д^ || «S^ || g,; || ввиду 4.4.2. Поэтому левая часть без
изменения может быть пересечена с || qx \\ Д || д21| . После
этого достаточно воспользоваться условием 8) п. 4.2. Г~\
Лемма ниже обеспечивает возможность «заменять рав-
равное на равное» в оцененных термах.
4.4.5.
a) ||*~р| <|()||
b) Н*~Р A
О Оба неравенства доказываем одновременной индук-
индукцией по построению оцененного терма г (t). Если г (t) не
содержит фактически вхождений t, то г (?) совпадает с
г (р) и оба неравенства тривиальны. Пусть г (?) есть в
точности t и г (р) есть р. Тогда первое неравенство приобре-
приобретает вид
106
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
,4. 3
и следует из 4.4.1. Второе же неравенство
следует из 4.4.4. Пусть, наконец, г (t) = / (tx (t), . . .,
tk(t)). Как всегда, рассмотрим лишь случай к = 2.
По определению
II г (t) ~ д || = V {Fn (/, ql7 ga, q) Д II *i (*) ~ ?! II Л
(р) ~ q || = \/ {Fn (/, ?1, 9а, ?) Л II 'i (р)
II Л
к
Поэтому для установления, например, \\ t — р || Д
|| г (t) — (/11411 г(р)— q\\ достаточно показать, что для
всяких qu q2
* ~ р II ЛII *i (*)
II ЛII h (*)
II *1 (Р)
?a IK
?1 II Л I
что следует из индуктивного предположения. Ц
Если Fn задается операторным образом, то для каждого
оцененного терма t естественным образом определено
значение 1. С помощью условий 6") и 7') в п. 4.2 нетрудно
показать индукцией по построению оцененного терма t
равенство
4.4.6. ||*~д||=||7~?||.
4.5. Определим теперь истинностное значение произ-
произвольной оцененной формулы ф индукцией по построению ф:
1) если ф есть атомарная формула и имеет вид
Р (*i. • • • , h), то || Ф || = V {Рг (Р, 3i, ¦ ¦ • , Ян) Л
и
- Л
в частности, если t\ суть предметные объекты, t{ есть pit то
H^(pi,.--, р*н = пpiн Л---Л НрИ1
2) IK Л л II = II* II ЛII л II;
3) II* V л II = IIФII VII л II;
4) ||*Z) ли =||*|| 31| лII;
5) II ±11 = J_;
6) || Vrty(x)\\ = .Д{11?Н=)||*(д)|
7) || 3^ (х) || = V { II ?Н Л II * (?) II
4J
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
107
здесь справа используются операции алгебры В. Заметим
своеобразную трактовку кванторов. Если предметная
область Dn постоянна, то пункты, относящиеся к кванто-
кванторам, приобретают более стандартный вид:
6') ||У*гН*)||= Д{11*(?I1 1?бЛл};
7') и ]з*(*)|| - v{ll*(?)ll иеад
Следующая лемма выражает возможность заменять в
оцененной формуле равные объекты равными.
4.5.1. Пусть t — оцененный терм, q — объект сорта,
совпадающего с сортом t. Пусть г|> (t) — оцененная форму-
формула. Тогда
a) ||*~р11 АН*(*IКН*(рI1;
b) ll*~p||/\ll*(p)IKII*(f)ll.
t> Индукцией по построению формулы г|) докажем оба
неравенства одновременно. Начнем со случая, когда
ty[t) — атомарная формула и имеет вид Р (t± (t), t2 (t)),
где Р — предикатный символ. Необходимо показать,
например, \\ t ~ р \\ /\\\ Р (Ч (t), f2 (*)) IK II ^ (*i (P).
t2 (р))
II h (*)
Но || Р (t, (
Qi II Д II h (t)
?2
) || = V {ft (P, qu q2) Д
4i, Q2}, так что нужно пока-
покаII Д II h ()
р || Д Рг (Р, q,, q2) Д || t, {t) ~ qx || /\ || t2 (t)
() II всву
зать || f р || Д Р (, q,, q2) Д || , {) qx || \
Чч II 411 Р {Ч (Р)> Ч (Р)) II Для всяких qu g2 соответствую-
соответствующих сортов. Мы покажем, что левая часть этого неравенст-
неравенства меньше или равна даже одного слагаемого в правой
части, а именно,
Рг (Р, ?!, ?я) Д II Ч (р) ~ ?! || Д || Ч (р) ~ ?а || .
Но это следует непосредственно из 4.4.5, так как
II* - р II АII 'i @ ~ Чх \\< ll*i (p) ~ ?i II •
Пусть г|з (t) имеет теперь вид импликации, г|з (t) есть
Ц (t) ID I (t). Необходимо показать || t ~ р || Д || г) (р) ID
1(РIК1И (*)=)i(i)ll, т. е.
II* ~ Р II А 1И (Р) ^ 5 (Р) II А II Л (*) II < II I (t) || •
Но || * ~ р || Д II л (*) II 4 II Л (Р) II п0 индуктивному пред-
предположению, так что левую часть можно пересечь с || г\ (р) ||.
Далее, во всякой псевдобулевой алгебре || ц (р) \\ /\
|[ Л (р) ^> &(Р)Н%11 ? (р) II' так что левую часть полученного
неравенства можно без ее изменения пересечь и с |j \ (р) \\ .
После этого || t ~ р || Д || т) (р) =) | (р) || Д || г] (*) || Д
108
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[Ч. 3
II "Л (р) II Л II ? (Р) II ^ II ? (*) II следует из индуктивного
предположения: \\ t ~ р || /\ [| I (р) || < || \ (t) || .
Остальные случаи индукции предоставляются читате-
читателю. ?
Факт согласованности алгебраических моделей с ин-
интуиционистской логикой выражается следующей теоремой.
4.5.2. (Теорема о корректности алгебраических моде-
моделей.) Пусть <р — формула языка Я и Q — {д1; . . . , д„} —
конечное множество предметных объектов. Обозначим
\\Q\\ = II 9i II Л ••• А II 5" II > пРичем для пустого Q положим
\\Q\\ ~ ~\~. Пусть ф' — оцененная формула, получающаяся
заменой параметров ц> элементами Q. Тогда, если ср выво-
выводится в НРС, то || Q || <^ || ф' || .
В частности, если ф — предложение Q, то из выводи-
выводимости ф следует || ср | J = "[ ~.
Далее, если все предметные области модели постоянны,
то всегда \\Q\\ = ~р и из выводимости ф просто следует
О Индукцией по построению вывода ср в HPCj.
Все постулаты, не относящиеся к кванторам, следуют
из того, что всякая псевдобулева алгебра согласована с
интуиционистской логикой высказываний. Некоторая спе-
специфика модели проявляется лишь в обращении с || Q || .
Используем следующую лемму, позволяющую сокращать
множество || Q \\ , вычеркивая неиспользуемые элементы.
4.5.2.1. Пусть ср' — формула, оцененная элементами
Q, и пусть для всех qt -D.t имеем || Q (J {q} || ^ || ф' || .
Тогда Н^П^Нф'Н-
[> Это следует из нашего требования 4) в п. 4.2:
\/{И?П \4h.Da) = T- ?
Рассмотрим теперь для примера правило вывода
ф (X, у), ф (Ж, г/) 3 1р (Ж) / Яр (Х).
По индуктивному предположению || р || Д || д|| <; || ф (р,
?) II и || р || /\ || q ||< || Ф (р, g) Z) гр (р) || . По законам
п.б.а. отсюда заключаем || р\\ Д || q\\ -^ || гр (р) || и, восполь-
воспользовавшись леммой, || р || <; || i|> (р) || •
Рассмотрим постулаты, относящиеся к кванторам.
Пусть дана аксиома яр (t) ZD Jxxp (x). Необходимо устано-
установить || Q || < || гр' (*') ^ Jxip' (х) || . Ввиду 4.4.3 || Q \\ <
|| Г || , так что достаточно показать || t' || -^ || гр' (t1) Z)
4]
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
109
агф' (х) || или || *' || /\ || гр' ({') || < || Зогф' (х) || . Но
' II — V { II t" ~ Р II I P € Dn), так что достаточно по-
показать
II *' ~ р II АIIV (О II < V {II ч II АIIV (?) II I ? t я*}
для всех p?Dn. Ввиду 4.5.1 и 4.4.2 \\ f — р \\ /\
' () Ц||' || < || || эму мы достиг
p?
II'Ф' (р) Ци||*' ~ р
нем цели, если покажем
| р || ; поэтому мы достиг-
достигA
Последнее же очевидно, так как элемент слева фигурирует
в качестве слагаемого и справа.
Рассмотрим теперь аксиому Ужгр (х) ZJ г|з @- Необхо-
Необходимо установить ||(> || «J| Ухгр' (ж) ZD гр' (i;) || или || Q \\ Д
|| Уягр' И||<||гр'(Г)||. Имеем || <? ||< ||«'II и || t' \\ -
V { IM' — Р II I P € Т)Л), поэтому достаточно для каж-
каждого р € -Оя установить|| Q \\ Д || t' ~р || /\|| Ужгр' (ж) || <
|| гр' (?) || . Но из определения имеем || Улгр' (ж) || <5
(II Р II 13 || Ч1' (р) II )) так чт0 достаточно j оказать || ? ~
Р II Л (ИР 11=3 lit' (P)ll) <IK' (ОН- Имеем || *'~
РН<;11Р||И ||р||Д(||р|| ZD ||гр' (р) || ) ^ || гр' (р)|| . На-
ше неравенство следует из \\t' — Р II Д II 'Ф' (р) 11^
|| гр' (t')\\ , что в свою очередь следует из 4.5.1.
Рассмотрим теперь правило
гр (х) ID г] / Эпр (х) Z) т],
где, как обычно, Г[ не содержит свободно х. По индуктивно-
индуктивному предположению || Q \\ Д || q \\ <^ \\ гр' (g) 31 ц' \\ ¦ По за-
законам п.б.а. отсюда || q \\ Д || гр' (q) |К (II <? II 3 || л' II )•
Взяв слева объединение по всем q ?Г)Я, получим
|| Эпр' (х) || <^ (|| Q || "D11| V II) и вновь по законам п.б.а.
непчн *п|>'(я)=>тГ||. п
4.6. Пусть дана модель для языка Q. Оцененная фор-
формула ф называется истинной в модели А, если || д5 || Д
¦•• Л II Яп\\ <=, II Ц> II. гДе Чи • • • 1 Яп — полный список всех
предметных объектов, встречающихся в ф.
В частности, если ф — предложение Q (а значит, вовсе
не содержит предметных объектов), то ф истинно в А тогда
и только тогда, когда || ф || = Т-
Рассмотрим теперь составную аксиоматическую теорию
G в языке Q. Пусть Е — множество ее позитивных аксиом
и F — множество ее негативных аксиом.
110
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[Ч. 3
Будем говорить, что модель А есть модель для теории
G, если
a) ф ? Е =? || ф || = ~]~, т. е. все позитивные аксиомы
истинны в А;
b) для любого конечного набора фь . . . , ц>п негатив-
негативных аксиом из || ф! || V ¦¦¦ VII Фп II = Т следует, что
~~|~ = J_, т. е. что алгебра истинностных значений А три-
тривиальна.
Заметим, что из наличия модели теории G еще не сле-
следует, что эта теория непротиворечива. Если G имеет
модель А ив этой модели J_ =?= ~[ ~, то отсюда уже вытекает,
что G — непротиворечивая теория.
Наиболее важным является, конечно, понятие модели
для простой аксиоматической теории. Оно получается,
если оставить лишь пункт а) в предыдущем определении.
Следующий факт является непосредственным следст-
следствием 4.5.2.
4.6.1. Если G — простая теория и G |— я|;, а \\>' получа-
получается из "ф заменой всех параметров \р предметными объекта-
объектами соответствующих сортов, то оцененная формула i|/
истинна во всякой модели теории G.
Отсюда вытекает обычный способ установления н е-
выводимости некоторых предложений в G: доста-
достаточно подобрать модель для G, в которой интересующее
нас предложение не истинно.
4.7. Конкретные виды моделей интуиционистской логи-
логики получаются путем специализации псевдобулевых ал-
алгебр истинностных значений.
Например, в качестве алгебры истинностных значений
можно взять алгебру О (Г) всех открытых подмножеств
топологического пространства Т. Такие модели называют
топологическими. Впрочем, по традиции, топологическими
моделями мы далее будем называть несколько более узкий
класс моделей. А именно, мы будем дополнительно пред-
предполагать:
что Т непусто, т. е. алгебра О (Т) нетривиальна;
все предметные области постоянны;
степень равенства определяется по совпадению;
функциональные символы задаются операторным обра-
образом.
Значением || ф || оцененной формулы в топологической
модели является открытое подмножество пространства Т.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
111
Если и — точка пространства Т, то определим отноше-
отношение вынуждения: и |[— ф -±^ и ? || ф || (читается «и вынуж-
вынуждает нас признать, что имеет место ф» или, иначе, «в мо-
момент и имеет место ф»). Операции над истинностными
значениями п. 1.6 можно сформулировать в терминах
вынуждения:
4.7.1. 1) и ||-ф Л ^ & (г* 1|— Ф) /\ (и [I— -ф);
2) и ||- ф V У & (" \\~ ср) V (и \\- Ф);
3) и ||— ф ZD i|? <Н> существует открытое множество d,
и t d, такое, что (Уу 6 d) (у \\— ф н> v \\— xp);
и
\
4) и A— | ф 4=» существует открытое множество
? d, такое, что (У у ? d) ~| (у ||— ф);
5) и ||— _|_ всегда ложно;
6) и
?d, такое
7) и
З
л;
ф (х) 44- существует открытое множество d,
что (Уу б d) (Уд ? Вл) (у ||— ф (д));
7) и ||- 1хц (х) ^ (Зд € Dn) (и \\- Ф (д)).
Здесь ясно видно, что вынуждение «очень похоже» на
обычное определение истинности в классической модели,
хотя имеет и важные отличия в случае импликации, отри-
отрицания и всеобщности.
Значения атомарных формул находятся по правилу
4.7.2. ||Р(?17 . . . , г,) || = Рг(РЛ1; . . ., 7,)-
4.8. Второй важный частный случай алгебраических
моделей — модели Крипке (К р и п к е [1]). Этот вид мо-
моделей отличается рядом особенностей, которые мы и пере-
перечислим. В качестве алгебры истинностных значений берет-
берется алгебра Крипке OK (M, <^). Предполагается, что
множество М непусто, так что алгебра Крипке нетривиаль-
нетривиальна. Степень равенства в моделях Крипке задается через
меру определенности, а предметные области часто бывают
существенно непостоянными.
Мера определенности в моделях Крипке задается сле-
следующим образом. Для каждого сорта я и точки и ? М
задается непустое^множество U (я, и) cr Dn (область
предметных объектов, известных к моменту и). При этом
функция U удовлетворяет следующему условию:
у < и =4> U (я, и) с: U (я, у).
После этого положим \\ q\\ = {и ? М \ q ? U (я, и)}. Вы-
Вышеуказанное условие обеспечивает открытость ||д||-
112
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
14. 3
Степень равенства в нашем случае будет определяться
следующим образом:
II Р ~ Q Ik- {и t М | р ? U (л, и), р есть q).
Функция Fn в моделях Крипке также задается специ-
специальным образом. Сначала задается функция F, сопоставля-
сопоставляющая каждому функциональному символу / и момен-
моменту и t M некоторое отображение fu = F (/, и) типа
U (п1? и) X ... X U (jtfe, и) —> U (л, и). При этом на F на-
накладывается следующее ограничение: если v <^ и и ^ 6
?У (П{, и), то
/ ( 1 , ?fr)
(здесь / (и, д^, . . . , qk)^ /и (дг, . . . , qk)). После этого
определим Fn (f, q1: . . . , qh-, q) = {и | / (it, ?1, . . .,
?*) = ?}•
Этот способ определения Fn напоминает операторный
способ п. 4.2 с тем существенным отличием, однако, что
функция / здесь зависит от и ? М. Условия 6) — 8)
п. 4.2 при этом выполняются автоматически.
Пусть V — оцененный терм или оцененная формула и
qx, . . . , qk — точный список всех предметных объектов,
встречающихся в V. Положим по определению [V] =
II 9ill П ¦¦• П II Ян II • и 6 W\ читается как «V оценено в
моменти». В частности, если этот список пуст, то [V] = М.
Если t есть предметный объект, то [it] = || t\\; если t есть
/fo,..., tm), то [t] = UJ П ¦•• П IU.
Если и б (г), то можно естественно определить значе-
значение терма t в момедт и индукцией по определению t:
a) если t — предметный объект, то tu = t;
b) если t — константа, то 1и ----- 1;
c) если t есть / (i1? . . . , tm), то
1и =--/ (и, ?!,..., 7т).
Теперь мы можем выразить || ( — д|| в терминах 1и.
4.8.1. и е II i ~ ? 11 ФФ- " 6 ffl Л «и = ?¦
Здесь равенство справа означает совпадение объектов.
Лемма доказывается непосредственной индукцией по по-
построению терма t.
Используя эту лемму, установим
4.8.2. ||?|j —[t] для всякого оцененного терма t
4]
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
113
Далее, если определить отношение вынуждения, как в
п. 4.7, и ||— ф 4=ь и ? || ф || , то операции над истинностны-
истинностными значениями в модели Крипке можно сформулировать
следующим образом:
4.8.3.
1) и |r- P (tu . .., tlt) 44 и 6 [P{h, . . . , tk)] Дыб
Pr(P, tlu, . . . , 7ku);
2) и |ь Ф д Ф ^ (" Ih ф) А (»Ih- *);
3) it |i- ф V 'Ф 44 (u jr- ф) V (»II- Ч>);
4) и И— ф Z) Ч> 44 (Уу < и) (у ||— ф =4 у ||— г|5);
5) и |н П ф <& (Vi; < и) п (у !Ь- ф);
6) w-1|— _L всегда ложно;
7) и ||- УЖф (ж) 44 (Vi> < и) (Уд е t/ (я, У)) (V \\- ф (?));
8) и ||~ Зо;ф (ж) 44 C? 6 *У (я, и)) (it ||- ср (?)).
Следующее хорошо известное свойство вынуждения
выражает открытость истинностного значения:
4.8.4. v <; и, и \\— ф =ф у ||— ф.
Общая теорема о корректности 4.5.2 для моделей
Крипке приобретает следующий вид:
4.8.5. Если НРС |— ф и ф' — оцененная формула, по-
получающаяся заменой параметров ф предметными объекта-
объектами модели Крипке, то из и ? [ф'] следует и ||— ф'.
Оговорка it ? [ф'], конечно, существенна.
4.9. Наконец, третий вид алгебраических моделей,
который мы специально рассмотрим,— это ВК-модели
(Бета — Крипке модели).
В качестве алгебры истинностных значений на этот раз
берется алгебра ВК-шкалы <М, <,, Q). Мы не предпола-
предполагаем, вообще говоря, что множество М непусто.
Степень равенства в .BJt-модели задается через меру
определенности. Мера же определенности задается следу-
следующим образом. Для каждого сорта л и точки и ? М опре-
определяется множество U (я, и) с: Dn (область предметных
объектов, известных к моменту и). При этом, как и в
п. 4.8, выполняется условие
v <; и =» U (я, и) cr U (л, у)
и, кроме того, условие
(Уи б м) (V5 € <? («))
з? (?
(я, у)).
114
ЛЛГЕБРАИЧКСКИЕ МОДЕЛИ
Ч. 3
После этого определим | q | = {и ? M \ q б U (я, it)},
II д и = п | q | = {и е м | <ys еQ (и)) (Эу б5) (? t г/ (л, у»}.
Наши условия обеспечивают выполнение условия 4) п. 4.2.
Заметим, что мы отнюдь не исключаем наличия в рас-
рассматриваемой ВК-шкале странных, миров, Q (и) =¦¦ 0.
Функция Fn в ВК-моделях, аналогично моделям Крип-
ке, задается специальным образом. Сначала задается
функция F, сопоставляющая каждому функциональному
символу / и моменту и некоторое частичное отобра-
отображение fu = F (/, и). Область определения /„включена
в множество U (nlt и) X ... X U (як, и), а область значе-
значений включена в множество U (я, и). При этом на fu накла-
накладываются следующие условия:
a) если г;^ми определено значение / (и, gl5 . . ., gfe),
то определено и значение / (v, qlf . . ., gj,.) и, кроме того,
/ (", ?!,••-, Qk) = / (у, q-L, • . ., Ы;
b) если и?М, S ? Q (и), qi^U (ях, и), . . ., qk ?
С/ (я,,, it), то существует v ? S такое, что определено
/ (у, q1, . . ., дк). После этого определим Fn (/, qt, . . . ,
g*, g) = {и 6 M | (V5 ?Q (и)) (Bv e 5) (/ (y, gl5 . . ., 9,) =
g)}. Условия 6) — 8) п. 4.2 на Fn при этом выполня-
выполняются.
Для задания Рг сначала определяют открытое мно-
множество Pr(P, g1( ..., д^)), а затем задается полное мно-
жество
Рг(Р, ?1,...,?k)
Вновь полошим и ||— ф ¦?=> и ? || ср || и сформулируем
основные свойства отношения вынуждения в ВК-моделях.
4.9.1.
1) «¦ II- ф Л Ф ** (м Ih- ф) Л (« Ih- *);
2) и 1Ь Ф V * ^ (V5 6 <? (и))
3) и |h- Ф 3 * ^» (Vi? < и) (у ||-
4) " Ih- 1 44- <? (и) = 0;
5) в ||- 1 Ф <4 (Уу < и) (v |f- Ф
6) и |h Удар (х) о (Уу ^ и) (Уд е
7) и |[- Эхф (ж) фф (У5 б (? (и)) (Э
(Зд 6
Зу С 5) (
=ф у If- t|
Ф V
(? (у) = 0);
(я, у)) (у IH ф (д));
е 5)
(л, v)) (v |h ср (д)).
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
115
Следующие две формулы выражают открытость и
полноту || ф || в терминах вынуждения:
4.9.2. v <; и, и\\— ф ==> v |— ф.
4.9.3. (VS б <? (м)) (Зу б 5) (у |h Ф) =* и |h Ф-
Заметим, что модели Крипке являются частным слу-
случаем ВК-моделей. Другой частный случай — модели Бета
(см. Бет [1], Трулстра [7], Крипке |1]). Они
получаются, если взять алгебру шкалы Бета в качестве
алгебры истинностных значений и, кроме того, наложить
еще некоторые другие традиционные ограничения (модели
Бета обычно рассматриваются с постоянными предметными
областями, с операторным способом определения значений
функциональных символов и т. п.).
Наш подход позволяет естественно рассмотреть некото-
некоторые обобщения моделей Крипке и моделей Бета как ВК-
модели специального вида. Например, можно рассматри-
рассматривать модели Крипке и Бета со странными мирами. Согласно
4.9.1 в странном мире имеет место _{_, а следовательно, и
любая оцененная формула. Такие обобщенные модели Бета
и Крипке с успехом использовались для получения
интуиционистских вариантов теоремы о полноте
(см. Вельд ман [1], Лопес-Эскобар и
Вельдман [1], де Сварт [1] — [3], Т р у л с т-
р а [7]). В статье Т р у л с т р ы [7] странные миры названы
взрывающимися (exploded).
Мы не будем воспроизводить доказательства вышеупо-
вышеупомянутых интуиционистских результатов. Вместо этого в
п. 5 ниже мы дадим классические доказательства полноты
интуиционистской логики. Эти доказательства используют
метаматематически закон исключенного третьего, но по-
позволяют получить доказательство существования весьма
просто устроенных интуиционистских моделей. Интуицио-
Интуиционистское доказательство полноты в нашей версии и для
более общей логики мы отложим до части 5.
4.10. Читатель, возможно, уже ощутил большую есте-
естественность определения вынуждения в моделях Бета —
Крипке.
Опишем теперь некоторую философскую интерпрета-
интерпретацию понятия истинности в ВК-моделях. В несколько менее
общей ситуации она обсуждалась в работах Крипке
[1] и Гжегорчика [1], [2]. Конечно, такого рода
интерпретация не лишена элемента произвольности; ве-
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[Ч. 3
роятно, возможны и другие толкования вводимых струк-
структур. Тем не менее она служит хорошим эвристическим
средством отыскания новых математических фактов и
проливает свет на значение теории интуиционистских
моделей.
Итак, пусть дана некоторая ВК-модель. Будем интер-
интерпретировать моменты структуры как Еокможные состояния
знания некоторого познающего субъекта. Субъект видит,
что в настоящий момент он находится в состоянии и —
это его «реальный мир». В этом мире имеется определенная
информация о модели: имеются объекты D(n, и), которые
он «экспериментально обнаружил» к моменту и, относитель-
относительно обнаруженных объектов известны первоначальные
факты вида и ? Fv(P, qu . . . , qt), кроме того, над обна-
обнаруженными объектами иногда можно произвести преобра-
преобразования вида / {и, qr, . . . , qn) = q.
Если v ^ и, то состояние v можно рассматривать как
иилее позднее, как результат развития и. Соответственно
информация, приписанная v, является расширением ин-
информации и. Точно это выражается условиями открыт* cut
предикатов на ВК-модели. Мы считаем, что со временем най-
найденная информация не теряется, а может лишь приобре-
приобретаться. Это есть выражение принципа сохранности, о
котором шла речь в неформальной дискуссии п. 1 ч. 1. Для
состояния и все состояния v <. и являются «возможными
мирами», в которые и может попасть в процессе позна-
познания. Субъекту известна структура (М, <^, Q} и известно,
что из любого данного мира v развитие идет льшь по
одному из путей S ? Q (v), однако неизвестно, по
какому именно пути пойдет это развитие.
Условие п. 4.9 показывает, что, находясь в мире и, субъ-
субъект может быть уверен, что при любом развитии событий
обязательно будет обнаружен предметный объект. Это
условие гарантирует непустоту области исследования. При
этом в момент и, может быть, инеизвестно, каков
именно этот объект,— это зависит от того, по какому
именно пути, выходящему из и, пойдет развитие.
Условие на Рл гласит, что операции нашей модели всюду
определены в том смысле, что если их аргументы известны
в момент и, то при любом развитии событий, вдоль любого
пути, выходящего из и, будет определено значение. Однако
вновь нельзя сказать в момент и, чему это значе-
4J
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
117
ние равно,— это зависит от конкретного пути развития
исследования.
В соответствии с этой концепцией \\ t — q\\ — это
множество тех миров, в которых можно гарантировать, что
со временем значение t определится и будет равно q, a
|| if || есть множество миров, в которых можно гарантиро-
гарантировать, что значение t будет определено. С этой точки зрения
4.4.2 выражает очевидный факт: если в мире и известно, что
сбудет обязательно определено и его значение будет р, то
можно гарантировать, что предмет р будет непременно
обнаружен. Факт 4.4.3 выражает всюду определенность
наших термов, его можно интерпретировать так: если в
некоторый момент можно с уверенностью утверждать, что
аргументы терма обязательно будут найдены, то в этот же
момент можно гарантировать и определенность самого
терма.
В каком случае субъект, находящийся в ситуации и,
может признать суждение ср истинным? Мы будем записы-
записывать это обстоятельство в виде и \\— ср. Например, когда
можно утверждать и \\— ip Z) чна основании информации,
имеющейся в и? Если и\\—т], то, конечно, и ||—я|э Z) Л- А
если неверно и \\— г) и неверно и ||— гр? В общем случае нет
оснований утверждать и ||— 1|з Ц> ц\ В самом деле, может
оказаться, что для всех v <^ и неверно v \\— т), в то время
как для некоторого v ? S ?Q (и), v <^ и, имеем v ||— г|).
Тогда в этот момент г; отношение v \\— ty Ц) ч, очевидно,
ложно. Оказалось бы, что мы признаем и \\— ф Z) ч> но
отрицаем v ||— гр з ч Для v ? S б Q (и). Это не согласу-
согласуется с принципом сохранности: мы желаем, чтобы установ-
установленный в момент и факт оставался верным при любом даль-
дальнейшем развитии событий. Правильноеопределение дается
условием 4.9.1, 3) определения вынуждения. В момент
и истинно суждение ipZ) Ц, если для всякого г; ^ и, для
которого v ||— 4>) необходимо v \\— т].
Согласно 4.9.1, 2) определения вынуждения и ||— (ф V т)
означает, что на любом пути, выходящем из ы, мы обязатель-
обязательно встретим момент, когда будет истинно *ф или т|. Таким
образом, можно гарантировать истинность -ф или ч, хотя в
момент и, может быть, и нельзя узнать, что именно истин-
истинно: -ф или г\, так как на одном пути развития исследования
это может быть яр, а на другом ц. Аналогична ситуация с
и |[_ Зл-ф (х) (п. 7) определения), что означает, что в буду-
118
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[Ч. 3
щем непременно найдется объект q, для которого \|? (д),
хотя в момент и, может быть, принципиально невозможно
сказать, каков этот объект.
Факт 4.9.2 показывает, что наше определение истинности
удовлетворительно. Если суждение истинно в некотором
мире, то оно истинно и в любом более позднем возможном
мире (принцип сохранности). Если при любом возможном
развитии данного состояния знания и можно утверждать
некоторое суждение, то это означает, что информации, уже
имеющийся в и, достаточно, чтобы утверждать суждение
(факт 4.9.3). Факт 4.5.2 показывает, что определенная та-
таким образом истинность согласована с интуиционистской
логикой предикатов. В следующем пункте мы покажем,
что эта истинность адекватна интуиционистской логике.
Становится понятным, в частности, почему может ока-
оказаться в некотором мире не истинным закон исключенного
третьего ср \/ | ср: вполне может оказаться, что не и |= ср,
в то время как для некоторого v <; и v ||— ср. Мы рекомен-
рекомендуем читателю в свете развитой концепции вернуться к
примерам моделей Крипке для логики высказываний,
приведенным в п. 3.
Роль конструкции, подтверждающей суждение ср, «реа-
«реализации», играет в этой концепции момент и, и ||— ср, точ-
точнее, информация о ср, содержащаяся в и.
Пример 1. Рассмотрим следующие четыре модели
Крипке. Моменты обозначены точками, причем точки,
стоящие выше, информативнее. Рядом с каждым моментом
приписаны область предметов, известных к этому моменту,
и те атомарные формулы, которые истинны в этот момент.
а) В этой модели не истинна формула
Ух (Р (х) V Q)
{формула Гжегорчика).
УхР (x) \/ Q
W
Нетрудно проверить (классически), что формула Гже-
Гжегорчика истинна во всякой модели Крипке с постоян-
постоянной областью.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
119
Ь) В этой модели не является истинным принцип
Маркова,
Ух (Р{х)\/ Л Р (х)) Д1П ЗхР (х) ZD ЗхР (х).
с) В этой модели обе формулы
Ух (Р (х)\/^Р (х)) и ~)Ух {Р (х) V П
не являются истинными.
с!) В этой модели формула ~~| Vx (Р (х) \/ ~~] Р (х))
является^и с т и н н о и.
,1>г} P(p),P(q)
(P,qj P(p)
Чр}
Пример 2. Модели Бета (Бет [1]) суть ВК-моде-
ли, в которых {М, <, Q) есть шкала Бета (пример 1 п. 2)
и предметная область постоянна. Нетривиальная структу-
структура путей моделей Бета позволяет обходиться постоян-
постоянной областью.
Пусть, например, М есть множество Б„ всех бинарных
кортежей, постоянная предметная область есть множество
со всех натуральных чисел. Односортныйязык Q содержит
всего одну одноместную предикатную букву Р. Определим
функцию Рг(Р, п) следующим образом, а б Pr (P, п) в
точности тогда, когда а = Ь * d, где длина Ъ равна п, а
кортеж d содержит по крайней мере одну единицу.
Тогда для всякого кортежа а длины п вдоль пути: а,
а * <0>,
<00), ...— имеем а * <0 . . .
120
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[Ч. Л
ТЕОРЕМЫ О ПОЛНОТЕ
121
в то же время для всякого b <^ a b * <1> ? Рг(/\ п). Та-
Таким образом, в этой модели истинна формула '"'"] Vx
(Р (х) v Л р (*))¦
Пример 3. С помощью результата п. 2.7 легко пока-
показать, что всякая топологическая модель изоморфна в
естественном смысле некоторой ВК-модели, канонически
определяемой по данной топологической модели. Момента-
Моментами этой ВК-модели являются открытые множества —
элементы некоторого фиксированного базиса топологиче-
топологического пространства, а пути образуют базисы точек этого
пространства. Отношение а |[— ср в ВК-модели означает,
что а есть элемент базиса и a cz || ср || , где || ср || — значение
оцененной формулы в топологической модели.
При конкретном выборе пространства топологическая
модель с постоянной предметной областью имеет в качестве
соответствующей ей изоморфной ВК-модели модель Бета.
Пусть Кш — пространство Кантора (п. 1, пример 5).
Семейство множеств вида {а | а ? Ка, а ? а} (здесь а —
произвольный бинарный кортеж, обозначение а ? а
см. в п. 2, пример 1) образует базис W пространства Кш.
Допуская некоторую небрежность, мы элементы W будем
отождествлять с соответствующими кортежами. Тогда на
путь Q (а), который согласно п. 2.7 есть семейство элемен-
элементов базиса W, можно смотреть как на семейство кортежей.
Само же W тождественно с множеством Во всех бинарных
кортежей. Каждый путь S ? Q (а) взаимно однозначно
определяет путь в шкале Бета {Во, <^, Q).
Мы видим, что отношение а \\~- ср в топологической моде-
модели (а — элемент базиса W) совпадает с отношением а \\— ср
в модели Бета (а — кортеж) при вышеуказанном отождест-
отождествлении. Точно так же топологическая модель, определяе-
определяемая пространством Бэра В1*, может быть отождествлена с
моделью Бета, логический остов которой есть множество
N всех кортежей натуральных чисел.
Обратно, всякая шкала Бета определяет топологиче-
топологическое пространство — подмножество Ва. А именно, это
пространство всех путей этой шкалы. Точками пространст-
пространства являются пути, а кортежи составляют базис «старых»
множеств.
5. Теоремы о полноте. Квазиупорядоченное множество
{М, <;> называется частично упорядоченным (ч.у.м.), если
выполняется закон антисимметричности: а ^ b, b ^ а =ф
а — Ь, где равенство означает совпадение объектов.
Частично упорядоченное множество назовем деревом, если
дополнительно выполняется следующее свойство: а ^ Ь,
а <; d =ф b <^ d или d ^ b. В нашем определении дерево
ветвится в меньшую сторону: меньшие элементы находятся
в дереве «выше». Мы говорим, что дерево высоты до со,
если для всякого а ? М множество {Ъ ? М \ а «^ Ъ)
конечно. Количество элементов в этом множестве без еди-
единицы называется ярусом элемента а. Мы говорим, что
Ъ непосредственно выше а, и пишем b <^ а, если b ^ а ж
для всякого d ? М имеем b^d^a=^b = d или d — а.
Мощностью ветвления момента а назовем мощность множе-
множества {Ь | b <^ а). Мощность ветвления <Ж\ ^> есть по
определению верхняя грань мощностей ветвления всех его
моментов. Элемент а ч.у.м. М назовем корнем, если b ^ a
для всех b ? М. Если корень существует, то он, очевидно,
единствен. Существенным результатом этого пункта явля-
является следующая теорема.
5.1. (Теорема о полноте для моделей Крипке.) Если
(вообще говоря, составная) аксиоматическая теория Т е
языке ?1 непротиворечива, то для нее существует модель
Крипке.
Далее, логический остов этой модели есть дерево с кор-
корнем высоты до со и с мощностью ветвления не выше мощнос-
мощности языка У. Мощности всех предметных областей этой
модели также не превышают мощности языка Q. Далее,
если й — язык счетной мощности, то можно выбрать
модель с мощностью ветвления логического остова ^ 2.
О Мы ограничимся случаем, когда Q. — язык с одним
сортом объектов и имеет счетную мощность. Распростра-
Распространение доказательства на общий случай довольно рутинно.
Если сортов несколько, то вместо одного множества кон-
констант ниже следует взять несколько множеств, для каж-
каждого сорта свое. Если язык несчетной мощности, то следует
вполне упорядочить все объекты языка и использовать
трансфинитные индукции вместо обычных.
Положим V0 — Cnst — множество всех констант языка
Q. Для каждого п^>0 фиксируем; счетное множество кон-
констант Vn, причем Vi f) Vj = 0 при i^j. Определим
последовательность языков Qn, положив Qo = Q, и ??n+i
122
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[Ч. 3
ТЕОРЕМЫ О ПОЛНОТЕ
123
получается из Qn добавлением множества Уп+1 в качестве
множества дополнительных констант. Через Qa обозначим
язык, получающийся из Q добавлением всего множества
V = (Jn Vn новых констант.
Пусть G — некоторое исчисление секвенций в языке
&ы (определение секвенции см. в п. 3 ч. 1). Предположим,
что все аксиомы и правила вывода GHPC допустимы в G
и, кроме того, в G допустимы следующие правила сокраще-
сокращения, добавления и опускания лжи:
Дсрф
¦A.L
фГ
фГ
Дф
Например, в качестве G можно взять само исчисление
GHPC (см. ч. 1, пп. 3.3.2, 3.3.3, 3.3.5) или некоторое
его расширение. Допустимость правила сечения (ч. 1,
п. 3.3.6) в исчислении G заранее не предполага-
предполагается.
Если К, L — два множества формул Qa, то К [— +L
означает, что существуют конечные подмножества Г cz К
и Д с: L такие, что Г -> Д выводится в G.
Наша теорема 5.1 будет следовать из следующей фунда-
фундаментальной леммы.
5.1.1. Пусть К, L — два множества предложений язы-
языка Q и неверно К \— +L. Тогда существует модель Крипке
для языка Q, такая, что все формулы из К истинны в этой
модели, а дизъюнкция любого конечного множества формул
из L не истинна в этой модели.
Дополнительно можно потребовать, чтобы эта модель
удовлетворяла требованиям второго и третьего абзацев
теоремы 5.1.
Действительно, пусть 5.1.1 доказана. Возьмем в каче-
качестве G следующее исчисление: Г -> Д выводится в G в
точности тогда, когда формульный образ этой секвенции
(ч. 1, п. 3) выводится в НРС. Пусть К — множество пози-
позитивных аксиом Т, a L — множество негативных аксиом Т.
Условие, что не К |— +L, в этом случае как раз означает
непротиворечивость Т, и мы немедленно получаем теорему.
Лемма 5.1.1 позволяет также дать новое, семантическое
доказательство допустимости сечения в GHPC (ч. 1,
п. 3.3.6).
5.1.2. Сечение допустимо в GHPC.
О Допустим, что в GHPC выводятся секвенции фГ —>
Л и Г —*- Дф, но не выводится секвенция Г —> Д.
Замещая параметры этих секвенций различными констан-
константами, можно добиться, чтобы все формулы — члены этих
секвенций уже не содержали свободных переменных.
Возьмем в качестве G исчисление GHPC и рассмотрим
модель А из леммы 5.1.1. для Г и Д в качестве К и L
соответственно. Так как Г -> Дф, фГ -> Д выводимы в
GHPC, то их формульные образы выводимы в НРС и по
теореме о корректности 4.5.2 истинны в А. Но тогда по
правилам вычисления истинности во всякой ВК-модели
нетрудно увидеть, что формульный образ Г —> Д также ис-
истинен в А. Это, однако, противоречит выбору модели А. Ц
Итак, будем доказывать лемму 5.1.1.
Местом назовем кортеж вида {К, S, i}, где R, S —
множества предложений языка Q^ Место назовем совмест-
совместным, если неверно, что R \— +S. Совместное место (R, S, г>
назовем полным, если выполняются следующие девять
условий:
6 R =» Ф 6 R и я|) 6 R;
^5=»фб<5 или я|) (• S;
R или я|э б R;
s и я|) б S-,
6 ^ =Ф ф
е s =*. Ф
6 R и не
(J R
замкнутого
1) (Ф Л
2) (фД
3) (ф V
4) (ф V
5) (ф ID
6) Vxq>(x) (- R
терма t языка ?2г
7) З-^ф (ж) ? R
d из Vi]
8) Э^ф {х) б S
терма t языка Q{;
9) J_ 6 S.
Следующая лемма о пополнении носит технический
характер.
5.1.3. Если место <i?, S, ?> совместно, то найдется
полное место {R', S', i + 1> такое, что R cz R\ S cz S'.
[> С помощью довольно громоздкого, но достаточно
стандартного процесса пополнения Генкина — Хазенъе-
гера. Мы оформим этот процесс следующим образом. Назо-
Назовем нумерованной парой языка Qk всякое множество *F
троек вида <ге, /, ф>, где п ~ натуральное число, / = О
- Ф (t) б R для всякого
ф (d)
=> ф (t)
R Для некоторой константы
S для всякого замкнутого
124
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[Ч. 3
5]
ТЕОРЕМЫ О ПОЛНОТЕ
125
или / = 1, ф — предложение й^, причем выполняются
условия:
a) <«i, А, ф1> 6 У, <Щ, /2, ф2) G ?, ^ = п2 =ф Д =
/2 и фх = ф2;
b) существует лишь конечное число нечетных п таких,
что <га, /", ф> е ^5
c) неверно, что {ф | Jn ({п, 0, ф> ? Чг)} |— + {ф I 3«
«и, 1, Ф>€ЧГ)}.
Каждая нумерованная пара языка Q], определяет не-
некоторое совместное место. А именно, если определить
и
г« = {ф|Эд«п, о,
= {Ф | эй «и, 1,
то это будет место Dго, Y1, /с). Далее, если и = <га, /,
ф)^^, то число п назовем очередью элемента и ? W.
Очередь уже полностью определяет / и ф в данной тройке.
Очередным назовем элемент и ? Ч1" с наименьшей очередью.
По условию, 4я содержит лишь конечное число элементов
с нечетной очередью. Определим натуральное число W
следующим образом. Если W не содержит элементов с
нечетной очередью, то положим4я = 0; если же 2т — 1 —
наибольшая нечетная очередь в Ч*", то положим W = т.
Приступим к доказательству леммы. Пусть дано сов-
совместное место (i?, S, i). Построим нумерованную пару W1
такую, что ?? = R, W\ = S [J {±}, Ф = 0, перенумеро-
перенумеровав все формулы кз II, S [j {_j_} четными числами. Далее,
индуктивно определим последовательность Ч^, ^2, ^3, ...
нумерованных пар языка Qi+1 таким образом, что каждое
множество формул Ч^ [j XY) содержит лишь конечное
множество констант из Fi+1. Заметим, что это верно по
отношению к^!, так как R, S— из языка ?2^ и констант из
F{+1 не содержат вовсе.
Пусть уже построена нумерованная пара 4яп; покажем,
как следует определить W„+1. Пусть (т, j, ф> есть очеред-
очередной элемент Тп. ?n+i получается из Wn \ {(т, /, ф>} путем
добавления некоторого конечного количества троек. Сна-
Сначала добавим тройку <2 Wn + 1, /, ф), а затем разберем
случаи в зависимости от строения / и ср. Пусть Q =
CPn \ «m, /, ф») [J {<2>г. + 1, /, Ф».
1) j = 0, ф = (фх Д ф2), тогда
^n+i = Q U «2 f „ + 3, 0, ф1>, <2 ?п + 5, 0, ф2>}.
2) / = 1, ф = (ф1 Д Ф2). Заметим, что не может быть
одновременно
?»ь+^и {ф2},
так как тогда было бы
П h + ^п
(ввиду (фг Д ф2) б ^^ вопреки совместности места <?",
^, i). Пусть неверно Wl \- + W[n [j {ф,}. Определим
n-f 3, 1
здесь / = 1 или j = 2.
3) / — 0, ф = (фх \/ ф3). Заметим, что не может быть
одновременно
{Ф:> U ^п|-+^
{ф2} U ^п (- + П,
так как тогда ^ !— + Wl (ввиду (фх V ф2) € ??). Пусть
неверно {ф,} (J ?^ [- + Yi, где j = 1 или / = 2. Опреде-
Определим ?п+1 = (? U «2 Фп + 3, 0, 9i>}.
4) / = 1, ф == (фх V Фг), тогда
^т+1 = {<2?„+ 3, 1, ф1>, <2?„+ 5, 1, ф2» [J Q.
5) / = 0, Ф = (ф1 Z) ф2). Если {ф2} у т; b + Yi, то
Yn+1 = Q. В противном случае ?п+1 = B (J «2 Y„ + 3, 0,
ф2»-
6) / = 0, ф = Ужфх (х). Пусть tx, . . . , tn ~ первые п
замкнутых термов языка Йи1. Тогда
^+i = Q U «2 (Фп + /) + 3, 0, ф1 (*;)> | / =1, . . . , „}.
7) / = 0, ф = За-Фх {х). Выберем первую константу
а б Fi+i, не встречающуюся в ?' |J "Ч1^. Положим
4Vi = CU {<2fn + 3, 0, ф1(а)>}.
8) / = 1, ф = Эяф! (х). Пусть tu . . . , tn — первые п
замкнутых термов языка й{+1. Тогда
^n+i = Q IJ «2 <Ъп + /) + 3, 1, ф1 (fy)> | / = 1, . . . , п}.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[М. 3
9) Если / и ф не имеют ни одного из видов, упомянутых
в пп. 1) — 8), то определим ^n+i = Q.
Теперь остается положить
я1 =
l, sr =
Заметим, что ?" cz ^n+i, ^« ? Ч^+1 и каждое из
мест (Ч*1",^, i+ 1> совместно, откуда и следует совмест-
совместность (R', S', I + 1>. Нетрудно убедиться, что это место
является полным. Проверим, например, выполнение ус-
условия 5) полноты. Пусть (ф Ц) r\) f_ R' и r\R' |\ +S'.
Установим ц ? R'. По определению R' найдется п такое,
что (-ф 3 ц) 6 ^п, т. е. (т, О, i|> Z) т] > 6 4V Увеличи-
Увеличивая, в случае необходимости, номер ft, можно добиться,
чтобы (т, О, \jj Ц) т)) была очередной тройкой Чгп. Заме-
Заметим, что т]1?" [\ +ЧГТ^, так как в противном случае было бы
r]R' |— +5". Тогда, согласно построению, г) ? ЧСц, т. е.
г) ? /?'. Лемма 5.1.3. доказана. Ц
Пусть р = (i?, S, i> — произвольное полное место.
Пару (/, ф), где ф — предложение Qi, а / = 0 или / = 1,
назовем р~критической в следующих трех случаях:
1)<Р = №ЗТ|), DOil)^, т,^Д, /=0;
2) ф = <у Z) Л), 0Ф => Ч) 6 5, ; = 1;
3) ф = V;n|> (ж), Уа:ф (ж) ? S, ] = 1.
Множество всех /з-критических пар обозначим через Wp.
Для каждого элемента i; g PFP определим некоторое
полное место р [v] в соответствии с упомянутыми выше
случаями следующим образом:
1) v = @, i|) Z) л), №=)Т1NЛ, П^д- Ввиду пол-
полноты r\R \— +5 и отсюда, ввиду совместности (R, S, i),
Л Р\ +1|з. Рассмотрим место </?, \jj, i> и в качестве р [и]
возьмем пополнение этого места согласно лемме: р [v] =
= </?',5', i+ 1>, Д с Д', ipG5'.
2) у = A, tf> ZD т])> (f D i) t 5. Ввиду совместности
<i?, 5, i>5 ^^ 1— +T1 не выполняется. Возьмем в качестве
р [v] пополнение места <{г|)} (J R, {ц}, ?>•
3) у = <1, Vxip (x)), Vij) (ж) 6 S. Выберем константу
a g Vuj. Она не встречается в R и в ajj (ж), поэтому не
выполняется R |— +aJ.1 («) (ввиду совместности <i?, 5, i>).
Совместное место <Д, t|) (a), i + 1> пополним в соответ-
5J
ТЕОРЕМЫ О ПОЛНОТЕ
127
ствии с 5.1.3 до полного места <#', 5', i + 2>. Его и
возьмем в качестве р [у].
Рассмотрим теперь множество TV всех кортежей на-
натуральных чисел с естественным частичным упорядоче-
упорядочением
а <^ & =±? Зс (а — 6 * с).
Это есть дерево с мощностью ветвления со и с корнем ( ).
Определим функцию h так, что область определения h
есть стандартно вложенное поддерево М дерева N. Струк-
Структура (М, <;) и будет логическим остовом будущей модели
Крипке А.
Значение h (а) определим индукцией по длине кор-
кортежа а. Рассмотрим место {К, L, 0). Оно является по
условию совместным, так что по лемме 5.1.3 его можно
расширить до полного места (Къ Ьг, 1>, где К Q Klt
L cz Lx. Положим по определению h (( )) — (Klt Lx, 1>.
Пусть уже задано множество кортежей а длины <;«,
на которых определена функция h, и определено значение
h {а) для каждого кортежа из этого множества. Пусть
Ь = а * <&> — кортеж длины (п + 1). Чтобы h (b) было
определено, необходимо, чтобы было определено h (a) = р,
р было полным местом и Wp =jt= 0. В указанной ситуации
пусть v0, yl5 . . ., У);,... — некоторый пересчет множества Wp
без повторений (это может быть конечная или бесконеч-
бесконечная последовательность). Положим h (а * {к}) = р [vk].
Таким образом, h (а * </с» определено лишь для тех к,
для которых существует yft.
Индуктивное определение функции h закончено.
Обозначим через М область определения h. Если
а ? М и h (a) = {R, S, г), то положим a0 = R и а1 = S.
Если ф — предложение языка Qa, то определим два мно-
множества кортежей:
- {а
= {a
М
(Y6 < а) (Ь 6
Если t — замкнутый терм Qa, то определим а ? || 11| ф=>
/i(a) ={R, S, i} и ^ является замкнутым термом язы-
языка Q|. Обозначим через Тт множество всех замкнутых
термов языка Ои и V = [JnFn.
Следующая лемма описывает нужные нам свойства этих
множеств. Операции и отношения рассматриваются в пол-
128
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[Ч. Я
ТЕОРЕМЫ О ПОЛНОТЕ
129
ной псевдобулевой алгебре OK (A/, «Q. Вид этих опера-
операций приведен в п. 1, пример 6. Напомним, что основное
отношение порядка в этой алгебре есть отношение теоре-
теоретико-множественного включения.
5.1.4. Имеем
2)
3)
4)
5)
6)
9)
10)
11)
12)
lit Л
II til +
II tV
!l t ll+
tlh
vJt
Л 111'
113^
V(IM
¦n II-
¦ д и
ЛН
VII"
311'
Mil
-II з
(*) II"
II A
OltlhA
л ll+ < II t /
< II t Г V
n ll+< II t \
ni'1*'1!!^:1
-< л {iui
II t (c) ll+ 1 l
¦< V {II с II
lit Wll+ \t
II л II";
\ л ll+;
II л II-;
/ л 11+;
эл1Р;
! 3 111 @11-
= 6 v) < и v
Л Ht (с) II-
? Tm} < || 3
1 t ? Tm};
тчН ( т\ 1 f ~>r*
T^ \ 1 11 J
1 с ? V);
\x-fy (ж)||+.
Если свойства 1) — 12) выполняются, то мы будем
говорить, что функции || 11|, || ф ||~, || ф || + образуют по-
полуоценку в алгебре 0К(М, <L).
П
ф
установим а
ф
По по-
поцу р
[> 1) Пусть а ф
строению h имеем b ^а =+¦ a0 CZ Ь°. Поэтому если Ъ <^ а,
Ъ ? М, то ф ? Ь° и, следовательно, ф (? Ь1 ввиду сов-
совместности h (b). Это и означает а 6 II ф II +-
2) Пусть а ? || яр Д л Ц-> т- е- (t Л Л) 6 «°. Ввиду
h () 0 ° || ||
) у | р Д л Ц> (t Л Л)
полноты h (а) тогда яр ? а0, л ? а°, т. е. а ? || яр ||-f)
3) Пусть я ?||«р|| + и а ? || т)||+. Для доказательства
а ? || яр Д т] ||+ возьмем произвольное b <^ а, Ъ ? Л/.
Тогда, если (i|) Д т|) ? Ь1, то ввиду полноты h (b) было бы
ty ? Ь1 или г) ? Ь1. Мы имели бы в первом случае -ф (• Ь°
и t 6 &1, а во втором т] g i>° и т) Ь1
в силу совместности h (b).
4) Пусть а б II t Л Л II"' т- е>
0
что невозможно
(t V Л) 6 а0. Ввиду
0
t Л
полноты h (а) тогда "ф ? а0 или т| g а0, т. е. а G || ij) ||~ (J
II Л И"-
5) Пусть a 6l|t|)|l+ U Ih 1Г. например, oGHtll+.
Для доказательства а (• \\ я|з V г) ||+ рассмотрим b ? М,
b <J а и установим (t V л) € ^1- Действительно, если бы
(t V Л) 6 Ь1, то ввиду полноты h (b) было бы i|) ^ &1
и т] ? &1. Но из а (• || г|> ||+ следует Up G 6°, что невозможно
ввиду совместности h (b).
6) Необходимо показать || i|) Z) л II" S || t Н+ ^ II Л 1Г-
По свойству импликации в псевдобулевой алгебре это
равносильно включению || г|з Ц) г] ||~ f] \\ -ф ||+ с: || г\ \\~,
Пусть а ? || г|) ПЭ г] ||- и a g || г|) ||+; необходимо показать
а 6 II Л Н~5 т- е- Л 6 а°- Если допустить, что г] (f a°, то
ввиду (•»]) ID л) ? а0 пара @, я]э 3 т]) становится h (а)-кри-
тической. Тогда по построению функции h найдется
Ъ G M, b «^ а, такое, что rp f 61. Но это противоречит
утверждению а 6 || г|) ||+.
7) Пусть а? || ijj ||- 3 || ^ ||+. Установим, что
а ? || 1|э 3 Л Н+- Предположим противное, т. е. что най-
найдется Ъ <^ а, (я|з 3 л) 6 &г. Тогда пара A, i|j 3 л) является
h (Ь)-критической и поэтому найдется Ьх ^ Ь, г|) ? bj,
Л ? &1. Тогда &i6lltll~- Кроме того, из допущения
получаем 6а б II t II" 3 || Л П+- По свойству импликации
отсюда fej ? || л II+. чт0 невозможно ввиду л d &i-
8) Действительно, || J_ ||~ Q || J_ ||+ = 0, так как
ввиду полноты J_ G а1 для всех а ? М.
9) Необходимо показать, что
(х) Г С (|| 11| 3 || t (t) II")
для всех ? ? Тт. Это равносильно включению | t ()f)
II * II с II t @ И"- Пусть Va^t> (лг) 6 а° и а е II t II- Тогда
гр (i) t »° ввиду полноты /г. (а), т.е. а ? |j яр (i) ||-.
10) Пусть а б (II с || 3 || t (с) Н+) Для Всех с 6 ^! уста-
установим а ? || Vn|3 (ж) ||+. Предположим противное. Тогда
найдется b <^. a, b ? М, Ухгр (ж) ? Ь1. В этом случае
пара A, Vanp (ж)) является Л (Ь)-критической и по построе-
построению функции h найдется Ъх <^ b и с ? V, Ьх ? || с ||, так,
что яр (с) ? Ь\. По допущению 6Х ? (|| с || з II t (c) Н+)?
что дает Ьг ? || яр (с) ||+. Последнее же невозможно ввиду
t (с) б bi-
bill) Если а ? || Зяф (*) ||~, т. е. Злдр (ж) ? а0, то ввиду
полноты места h (а) найдется константа с ? V, а 6 II с||,
яр (с) ? а0. Тогда а ? || с || Д || яр (с) ||~, т. е. а ? |J {|| с || Д
lit {с) II- 1^?У}.
12) Достаточно показать, что для всякого t ? Tm
11 * || П II t (Oil* ^ II 3af (ж) || + . Пусть а ?|| i|| и
а ? || up (t) ||+. Если а § \\ Э^чр (х) ||+, то найдется й ^ а,
5 А. Г. Драгалин
130
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[Ч. 3
5]
ТЕОРЕМЫ О ПОЛНОТЕ
131
(х) ? Ь1. Ввиду полноты h (b) тогда г|э (t) ? 6х, что
невозможно, так как а ? || n|j (?) ||+. Ц
Определим теперь искомую модель А. В качестве
структуры возможных миров возьмем {М, ^). Если а ? М
и /г (а) = (i?, 5, г>, то определим предметную область
U (л, а) как множество всех выражений вида <г>, где 2 —
замкнутый терм языка Q*.
Для каждого функционального символа / языка Q
если а ? М и <^>, . . ., <?„> ? G (я, а), то определим
f (я, <*!>, . . .,<*„» = /(tx, • • -.О)-
Каждой константе с языка сопоставим предметный объект
<с> модели.
Наконец, если Р — предикатный символ языка Q,
а ? М, <?х>, . . ., <?n> ? с7 (л, а), то определим
абРг(Р, <*х>, . . ., <fn» ^ Р (it, . . ., tn) 6 а».
Тем самым модель Крипке А полностью определена,
причем, как легко видеть, она удовлетворяет условиям
второго абзаца теоремы 5.1.
Для доказательства того, что А — искомая модель,
установим следующую лемму.
5.1.5. Пусть ф — формула, оцененная в модели А, и
ф* — предложение Яш, получающееся из ф стиранием
угловых скобок < >. Тогда || ф* ||~ <С II Ф II ^ II Ф* Н+-
[> Непосредственной индукцией по построению фор-
формулы ф с использованием 5.1.4. Если ф атомарна, то по
определению || <р || = || Ф* ||". Далее разберем лишь случаи
импликации и всеобщности.
Ф = Щ И) т)). Используем 5.1.4 и индуктивное пред-
пред| * * || * ||+ || * || || ||
положение, |
|| у] || = || г|> Z)
Ф = Уя|> (
Тт} < Д {||
{|| 1
| г|>
Z) т) || < || \р*
< || ф* ||- Z) II Л* |1+ <
|| V^* (ж) II" < Д {II* II
|| IDH ф «О) II I <О 6 О
П {
ID || ц
* ||-
<
Z)
Z) i ||
II Ч>* @ II
У
(х)
Если теперь ф — позитивная аксиома теории, то
Ф б < >° и поэтому || Ф II" = Т = -^> т- е-> ввВДу || ф ||~ Q
|| ф ||, формула ф истинна в модели А. Если же ф — не-
негативная аксиома, то ф ? ( У1 и поэтому < > (? || ф || + и,
значит, ввиду || <р || с; || ф ||+, ф не истинна в момент < ).
Отсюда, если фх V • ¦ • V Фп — дизъюнкция негативных
аксиом, то эта дизъюнкция не истинна в момент < ).
Итак, А есть модель нашей теории.
Для окончания доказательства 5.1.1 (а также 5.1) оста-
остается еще только установить, что если Q — язык счетной
мощности, то можно выбрать логический остов с мощ-
мощностью ветвления <12.
Две ВК-модели А1 и А2 для одного и того же языка Q
назовем равносильными относительно моментов ах и а2,
где а-г есть момент А-и если, во-первых, их предметные
области в эти моменты совпадают, т. е. U (л, аг) = U (л, аа)
для всех сортов п языка Q, и, во-вторых, для всякой фор-
формулы ф, оцененной в момент ах, имеем ах \\— ф 44- fl2 ||~ ф>
где слева — вынуждение в модели Аи а справа — в А2.
5.1.6. (Лемма о сокращении ветвления.) Пусть А —
модель Крипке для языка Q., логический остов которой
есть дерево высоты до а с корнем и с не более чем счетной
мощностью ветвления. Тогда существует модель Крипке
А', логический остов которой есть дерево высоты до со
с корнем и с мощностью ветвления <^ 2, равносильная мо-
модели А {относительно корней деревьев).
[> Пусть N — множество всех кортежей натуральных
чисел. Определим на N упорядочение а ^ Ъ ^= Зс (а =
b * с) (обозначения см. на с. 43). Указанный порядок
превращает Л^ в дерево высоты до со и со счетной мощ-
мощностью ветвления в каждый момент. При этом ?>«<а
означает, что b получается из а приписыванием одного
члена справа. Корнем N является пустой набор 0 = < ).
Ясно, что всякое дерево высоты до со и со счетной мощ-
мощностью ветвления может быть изоморфно погружено в N,
поэтому мы будем считать, что логический остов А есть
поддерево М, стандартно вложенное в N (см. п. 2, при-
пример 1, с. 93).
Пусть 0* означает кортеж длины к, составленный
лишь из нулей. В частности, 0° = < ). Обозначим через Е
множество упорядоченных пар вида (а, Ъ), где a, b ? N
и Ъ составлен лишь из нулей и единиц {бинарный кортеж).
Определим на Е частичный порядок, положив
{а', Ь') < {а, Ь) 4=> а' < а и Ъ' < Ъ.
Набор (а, Ь) назовем отмеченным, если Ъ оканчивается
единицей, т. е. Ъ = Ъх * <1>. Далее, кортеж а ? М на-
назовем перспективным, если существует натуральное к
132
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[Ч. 3
такое, что а * <&> б М. Для всякого перспективного
а ? М фиксируем функцию ha, определенную на множе-
множестве со всех натуральных чисел, причем такую, что об-
область изменения ha есть множество {к | а * <&> б М)
и, наконец, каждое значение к функция ha принимает
бесконечное количество раз, т. е. из а * (к} б М сле-
следует, что имеется бесконечно много т, для которых
ha (m) = к.
Пусть (а, Ъ) б Е — отмеченный набор. Будем гово-
говорить, что (а', Ъ') есть продолжение (а, Ъ), если а перспек-
перспективно и существуют натуральные т is. s такие, что
a) а' = а * (ha (то)>;
b) V = & * 0m * <1> * 0s;
c) если а' не перспективно, то s = 0.
Далее, для каждого натурального га определим мно-
множество EnczE индуктивно. Если < > б М — не пер-
перспективный кортеж, то Ео = {(( >, <1>) }. Если же
< > — перспективный кортеж, то Ео — {(< >,<1> * 0s) |
s? о}. Определим теперь Еп+1 как множество всех про-
продолжений всех отмеченных наборов (а, Ь) б Еп, где а
перспективно. Положим М' = ип?п с ?. Частичный
порядок на М' по определению индуцируется порядком
на Е.
Отметим простые свойства М'.
5.1.6.1. Если (а, Ъ) б М', то Ъ начинается с единицы
(т. е. самый левый член кортежа Ь есть единица) и содер-
содержит ровно In а + 1 единиц (lh a — длина кортежа а).
Если а не перспективно, то b оканчивается единицей.
t> Индукцией по длине а. Ц
5.1.6.2. Пусть К, 6) б М' и (а„ 6 * О8) б М'. Тогда
% = а2 и, кроме того, для всякого &3, b^ b3, существует
в точности одно а3 такое, что (а3, Ь3) б М' и для этого а3
верно аг ^ а3.
Е> Индукцией г.о количеству единиц в Ь. Если в b со-
содержится одна единица, то согласно 5.1.6.1 аг = а2 = < >.
Пусть Ъ имеет не менее 2 единиц. Тогда Ъ = &' * <1>*
0т * <1> * 0й. По определению М' тогда (йх, Ь) есть
продолжение Сйо, &'* <1» и (аа, Ь) есть продолжение
(«а, &' * <1». По индуктивному предположению
а'г — «а == я'. По определению продолжения тогда
аг = аг = а' * (ha'(m)}. Пусть теперь b ^ b3. Если ко-
количество единиц в Ъ и Ьа совпадает, то Ь = Ьа * 0* и, по-
5]
ТЕОРЕМЫ О ПОЛНОТЕ
133
вторяя предыдущее рассуждение, убедимся, что можно
взять а3 = ах = а2. Если же в Ь3 строго меньше единиц,
то V <^ Ь3. Используя индуктивное предположение для Ъ',
убедимся, что существует в точности одно а3, (а3, Ь3) ? М',
и для этого я3 имеем ах <^ а{ ^ а3. [П
5.1.6.3. Пусть (а1; &а), (а2, &2) б М'. Тогда
и, кроме того,
К, &i) < («2, ьг) ^ ьх < ь2.
[> Это следствие 5.1.6.1 и 5.1.6.2. Ц
5.1.6.4. ЛГ' представляет собой дерево высоты до со
с мощностью ветвления ^ 2. Это дерево изоморфно ча-
частично упорядоченному множеству бинарных кортежей
{Ъ | За ((а, Ъ) б М')).
С>См. 5.1.6.2 и 5.1.6.3. ?
5.1.6.5. Если а б М, то существует Ь, (а, 6) б АГ.
Если (а, 6) б АГ', то а б АГ.
О Индукцией по длине a. Qj
5.1.6.6. Пусть (а, Ь) б ЛГ, % < а, а: б АГ. Тогда
существует Ъх ^ &, (аь 6Х) б АГ.
[> Рассмотрим сначала случай, когда ах = а * (/с).
Тогда а перспективно и & имеет вид b = &' * <1> * 0т.
Выберем и > m, /io (и) = А:. Пусть Ъг = Ъ * 0™ * <1>.
Тогда йх <; Ъ и (а1; i>a) есть продолжение (а, Ь), так что
Общий случай % ^ а разбирается индукцией по ве-
величине (lh ах — lh а). Мы представляем ах = а2 * <А:>,
где я2 ^ а. По индуктивному предположению для а2
найдется Ь2 <^ а, (а2, Ь2) б М'. Переход от а2 к ах осуще-
осуществляется с помощью вышеприведенного рассуждения. Q
Пусть U — открытое множество порядковой тополо-
топологии М, т. е. U б ОК (АГ, ^); определим элемент
w [U] б OK (AT, <Q следующим образом:
(а, Ъ) б н> [?/] =» (а, Ь) б АГ' Д а б ^.
5.1.6.7. Отображение ы;: ОК (АГ, <) -*- ОК (АГ', <)
есть изоморфное вложение (инъекция, мономорфизм)
п.б.а. ОК (М, <;) в OK (M', «^), сохраняющее бесконеч-
бесконечные объединения и пересечения.
134
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[Ч. 3
5]
теоремы б Полноте
1354
1> Прежде всего, w [U] открыто. В самом деле, если
(а, Ъ) ?w [U] и (ах, Ьх) <; (а, Ь), то из открытости V
следует ах ? U и, значит, {ах, Ьг) ? w [U].
Очевидно, w [0] = 0. Далее, w [М] = М'. Если
U, V 6 ОК (Л/, ^) и С/су, то легко видеть из опреде-
определения, что w [U] С. w [V]. Обратно, если w [U] cr w [V],
то U с V. Действительно, если а ? U, то (а, Ъ) ? w [U]
для некоторого Ь (см. 5.1.6.5). Тогда (a, b) ? w [V] и,
следовательно, а ? V.
Пусть ?/, F? OK (Ж", О; покажем, что
DivlV].
Если (а, Ъ) б ttf [U Z) F] и (a, fr)fu; [tf], то (а, Ь) ?
ы> [F]. В самом .деле, из допущений имеем а ? (U 3 У)
и а ? ?/, тогда а ? F, т. е. (а, Ь) ? и? [F]. Обратно, пусть
(a, i)f ю [С/"] 3 м> IV]. Для доказательства (а, &) ?
[CflDF] нужно установить а 6 (С^ Z) F). Возьмем
произвольное аг < а, ах ? ?/, и покажем % ? F. Со-
Согласно 5.1.6.6 существует bt < 6, (а2, bj) g M'. Тогда
(olt ^ewIW и (о,, Ьа) 6 ы? [?/] ZD ы? IV], т. е. (а1; &J g
w [F]; значит, ах ^ V.
Пусть теперь {U} | / ? /} — семейство элементов
OK (M, <). Докажем
ИЛ {#;!/
Пересечение в алгебре OK (M', -^) есть просто теоретико-
множественное пересечение. Для (а, Ъ) ? М'
(а, b)?w[f) {U}\ j 6 /}] ФФ V/ (а 6 ^i) ФФ
V/ ((а, Ь) е w [U;]) & (а, Ь) 6 П {^ t^l I / 6 /}•
Наконец, докажем
»W/{Ui |/6/}] = V{^t^] 1/6/}.
Объединение в наших алгебрах также совпадает с теоре-
теоретико-множественным объединением. Для (а, Ъ) ? М'
имеем
(а, &) 6 w f U {Uj\ / € /}] ** 3/ (а 6 f/j) 44-
3/ ((а, 6N» [?/,]) о (а, 6) 6 U {» W,] | / 6 /}• П
Опишем теперь искомую модель Крипке А', В качестве
ее логического остова возьмем М'. Предметные области
зададим правилом U (л, (а, Ь)) = U (л, а); функции,
соответствующие функциональным и предикатным сим-
символам,— правилами:
/ (К &), ?ъ • • •, 9п) = / К ?i, • • ., ?п),
(а, 6)^Й(Р, qx, . . ., g>n) = а^?т(Р, qx, . . ., qn),
здесь справа стоят соответствующие объекты модели А.
5.1.6.8. Если ф — формула, оцененная в.момент (а, Ъ)
модели А', то
(а, Ъ) ||— ф 44 а \\— ф.
{> Если || ф || — значение оцененной формулы в А,
а II Ф W — ее значение в А', то индукцией по построению ф
установим
Для доказательства используем 5.1.6.7 и алгебраическую
трактовку логических связок в модели Крипке (с. 87).
Отметим еще, что непосредственно из определения для
всякого оцененного терма t имеем || 11|' = w [|| 11|]. PJ
Из этой последней леммы непосредственно следует, что
модель А' равносильна А. Лемма 5.1.6 доказана. ?
Замечание. Наша конструкция дает беско-
бесконечный логический остов с мощностью ветвления <^2,
даже если первоначальная шкала была конечной. Можно
построить примеры теорий (даже в логике высказываний),
имеющих конечные модели Крипке, но не имеющих ко-
конечных моделей с мощностью ветвления <;2. Применяя
лемму 5.1.6 к уже построенной модели, мы полностью за-
завершаем доказательство леммы 5.1.1 и, тем самым, теоре-
теоремы 5.1. Ц
Замечание 1. Если данная теория содержит
конечное число бескванторных аксиом, развитый метод
доказательства позволяет доказать существование к о-
н е ч н о й модели Крипке (т. е. модели с конечным ло-
логическим остовом).
Это обстоятельство дает доказательство разрешимости
интуиционистской логики высказываний (см. также об-
обсуждение на с. 32). Для данной формулы достаточно одно-
одновременно систематически искать ее вывод в интуиционист-
интуиционистской логике высказываний и подбирать конечную модель,
на которой эта формула опровергается. Один из этих
136
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[Ч
ТЕОРЕМЫ О ПОЛНОТЕ
137
процессов обязательно закончится в силу теоремы о пол-
полноте, и мы узнаем, выводима данная формула или нет.
Замечание 2. Пусть К и L — два множества
предложений, причем для всякой формулы ср ? L невер-
неверно, что К f— ф в HPG. Тогда может быть построена мо-
модель А, в которой все формулы из К истинны и ни одна
из формул L не истинна, однако эта модель может быть
без корня. Например, если К = {р V q}, L = {р, q},
то можно в качестве А взять следующую модель с логиче-
логическим остовом из двух несравнимых элементов:
V7 . *9
Рассмотрим составную аксиоматическую теорию Т с мно-
множеством позитивных аксиом К и с множеством негатив-
негативных аксиом L. Вышеприведенная модель А н е явля-
является моделью теории Т, так как дизъюнкция двух нега-
негативных аксиом р и q истинна в этой модели (хотя ни одна
из негативных аксиом в отдельности и не истинна в мо-
модели А\). Теория Г вообще не имеет модели Крипке,
так как противоречива (см. обсуждение на с. 110).
Займемся теперь существованием топологических мо-
моделей.
5.2. (Теорема о полноте для топологических моделей.)
Если (вообще говоря, составная) аксиоматическая теория
непротиворечива, то для нее существует топологическая
модель.
Пусть I — множество, имеющее мощность языка тео-
теории. Тогда в качестве топологического пространства моде-
модели можно взять обобщенное пространство Бэра /ш
и модель можно выбрать с мощностью предметных облас-
областей, не превосходящих мощности языка теории.
[> Так же как и в доказательстве теоремы 5.1, мы огра-
ограничимся случаем, когда Q — язык счетной мощности
с одним сортом объектов. Распространение нашего доказа-
доказательства на общий случай является довольно громоздким,
но не сложным теоретико-множественным упражнением.
И само доказательство параллельно доказательству тео-
теоремы 5.1, но теперь мы не будем интересоваться устра-
устранением сечения и поэтому опустим упоминание о систе-
системе G.
Итак, дана непротиворечивая теория в языке Q. с ин-
интуиционистской логикой, множеством позитивных ак-
аксиом if и негативных аксиом L. Непротиворечивость озна-
означает, что неверно К \— L (выводимость в HPG).
Так же как в доказательство 5.1, введем семейства
констант Fo = Const, Vn, V = |Jn Vn и последователь-
последовательность расширяющихся языков Q{, ?2Ш. Далее введем
понятие места, совместного места, полного места так же,
как в доказательстве 5.1, заменяя только выводимость
R \— +S на R [— S в НРС. Согласно 5.1.3 каждое сов-
совместное место р в языке fi{ может быть стандартным об-
образом расширено до полного места р* в языке ?2i+1.
Для каждого полного места р рассмотрим, как и в до-
доказательстве 5.1, множество Wv всех р-критических пар.
Для каждого элемента v ? Wp определим полное место
p[v].
Рассмотрим теперь множество N всех кортежей нату-
натуральных чисел с естественным частичным порядком.
Определим функцию /г всюду на N. Значение h (a)
определим индукцией по длине кортежа а. Пусть
Пусть уже определено значение h (а) для всех кортежей а
длины <^ п. Для данного кортежа а длины п рассмотрим
полное место р = h (а). Пусть р0, р1? . . ., рп, • • • — не-
некоторый пересчет множества {р [v] | v ? Wp} \J {p*},
может быть, с повторениями, так что указанная последо-
последовательность бесконечна. Предположим еще, что р0 = р* —
стандартное расширение места р в следующий язык в со-
соответствии с леммой 5.1.3. Определим, для каждого нату-
натурального k, h (а* <&» = рк. Индуктивное определение
функции h закончено.
Если а (• N и h (а) = </?, S, i), то положим а0 = R
и а1 = S. Если ф — предложение языка ?2Ш, то опреде-
определим два открытых множества пространства Бэра Ва:
II Ф ||- = {а | In (ф 6 а (иH}:
|| Ф ||+ = {а | 3* (V6 < а (п)) (Ф
Напомним, что а, (п) есть кортеж из N:
138
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[Ч. 3
ТЕОРЕМЫ О ПОЛНОТЕ
139
5.2.1. Утверждение 5.1.4 имеет место и при новом
определении || ср ||~, || ф ||+ с той лишь разницей, что вы-
вычисления следует производить в псевдобулевой алгебре
открытых множеств пространства Бэра В® и в нашем
случае \\t\\ = "J" = Вы для всякого замкнутого терма t
языка 0ш.
Короче говоря, |[ <р ||~, || ф ||+ образуют полуоценку в ал-
алгебре О {В®).
1) Если ф ? а (п)° иК« (п)> Ф 6 Ь1, то необходимо
Ф ? Ь° и место h (b) оказалось бы несовместным, что не-
невозможно.
2) Если а ? || ty Д ч II". т0_ (Ф Л *)) 6 а_(гаH. Ввиду
полноты Л (а (га)) тогда ф ? а (п)° и f] ? а (п)°, т. е.
« 6 II -Ф И" и а б II т) Ц-.
3) Если a?i|tp|| + и а?11л11+> т0 Для некоторого п
имеем (Vbs^a (га))^^1 Д т]^1). Если же допустить, что
для некоторого 6 ^ а (га) имеет место (tp /\ т^) ^ &1, то
ввиду полноты h (b) необходимо ip ? Ь1 или л ? &1, что
невозможно. Таким образом, a ? || ф Д л [| +.
4) Если (*|) V т)) ? а (гаH, то ввиду полноты h (of (п))
необходимо ij) ? а (гаH или rjf а (гаH, т. е. a ? || ф II" IJ
И II-.
5) Пусть a?||i|)|| + U II г] ||+,_ например, а?||*];||+.
Тогда для некоторого п (V6 <^ a (n)) (tp f? &1). Если бы
для некоторого Ъ ^ a (га) было (i|> \/ rl) € Ь1, то ввиду
полноты h(b) необходимо Sp? 61 и л 6 &1» что невозможно.
Таким образом, a ? || *|> V л ||+.
6) Для доказательства || г|> 3 Л jl~ ?z Н"Ф Н+ИЗ || л II"
достаточно установить || -ф Z) Л ||~ П 1|ф||+?|| Л ||~- Пусть
(Ч> 3 Л) б а (гаH и, кроме того, ip ^ Ъ1 для всех 6 <^ а (п).
Если допустить теперь, что г] (f a (гаH, то пара @, г|э ZD т])
оказывается « (а (га))-критической. Тогда в силу кон-
конструкции h найдется b <J a (и) Такое, что ijj g 61, что не-
невозможно. Таким образом, tj (^ а (иH, т. е. a ? |j tj || ~.
7) Допустим аб(||*М|-3||11||+), а €11 Ф 3 л Н+ и
получим противоречие. Так как множество || (ф ||~ ZD || т] Н+
открыто, найдется натуральное п такое, что для всех р
из Р (п) = of (га) следует Р 6 ПЧ> 1Г Z) II т] ||+. Возьмем та-
такое п и заметим, что ввиду a € II t|> ID tj ||+ найдется
b <; a (re), (ij? 3 Г[) б Ь1. Это означает, что пара A, ф ZD ц)
является /г (&)-критической. В силу конструкции h най-
найдется &i ^ Ь, "ф 6 Ь", т] 6 &!• Очевидно, Ьх ^ а (и),
поэтому существует р g JS00, р (п) — a (n), P (m) = t>x для
некоторого т > и и, кроме того, Р (тп + к) = 0, т. е.
р (т + &) = &i * О11 для всех А;. Так как г|> ? frj, то
г|) ^ р (т)°, т. е. РбП^Н". Кроме того, по выбору п
и ввиду р (и) = а (га) имеем Р ? (|| t|) ||~ ZZ) II "П II+)- Отсюда
немедленно Р ? || т) ||+. Это означает, что для некоторого
натурального s имеем (Vb<C P (s)) (л € ^х)- Увеличивая,
в случае необходимости, s, можно считать, что s ^> т.
Но тогда Р (s) = &! * 0fc и, ввиду конструкции h,
Р (тI Q p (sI. Но л ? &i = Р (тI, и мы приходим к про-
противоречию.
8) II _1_ II" S II _1_ Н+ = 0» так как _L € а1 Для всех а
ввиду полноты h (a).
9) Достаточно показать, что ||V:nJ) (x) \\~ S || i|) (fj ||~
для всех t ? Tm. Пусть для некоторого raV xi|) (x) ? a (ra)°.
Увеличивая п, мы будем получать полное место га (а (га))
во все более широком языке. Если фиксировать t ? Tm,
то при достаточно большом га терм t окажется термом
языка полного места га (а (п)). Ввиду полноты га (а (п))
тогда из Уал|> (х) ? a (ra)° следует я|з (i) ? a (n)°, т. е.
«6114» (*IГ-
10) Допустим a ? Д {|| ф (с) ||+ | с ? V), а $ ||V яф(я:)|Г
и получим противоречие. Из первой гипотезы следует, что
найдется натуральное га такое, что для всех р из р (га) =
п (га) следует р ? Д {||г|> (с) ||+ | c^V}. Согласно вто-
второму допущению найдется b •<. a (n), Уагф (х) ? Ъ1. Пара
A, V ал|з (ж)) является h (Ь)-критической. Согласно опреде-
определению га тогда найдется Ьг «^ fe и с ? V так, что i|) (с) ? Ь\.
Выберем функцию р таким образом, чтобы d (га) = р (га)
и р (т) = Ъг для некоторого т > га и, кроме того,
Р (т + к) = 0 для всех fe, т. е. Р (т + fe) = 6г * 0*.
Тогда для всех s > т имеем i|? (с) ? р (sI, откуда следует,
что р (?||я|; (с) ||+, что противоречит а (га) = Р (га) и вы-
выбору п.
11) Пусть a ? || 3 xty (ж) ||~, т. е. Зая|> (ж) ? a (ra)° для
некоторого га. Ввиду полноты га (а (га)) тогда найдется
c?F, -ф(с)?а(га)°, т. е. a 6 II * (с) |Г-
140
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
. з
12) Пусть t ? Tm; установим || г|) (t) ||+ cz || Эагф (г) ||+.
Пусть а ? [| г|) (t) ||+, тогда существует тг такое, что
(V& ^ ее (п)) (я|5 (г) (? 61). Увеличивая п, всегда можно
добиться, чтобы терм t принадлежал языку полного места
h (а (п)). Если теперь допустить, что существует b ^ а (п),
Згф (х) ? Ь1, то ввиду полноты h (b) необходимо -ф (t) ? б1,
что невозможно. Таким образом, (?b ^ а, («)) (Вхтр (a;) ? &1),
т. е. «Ш^(*I1+- D
Определим теперь искомую топологическую модель Л.
В качестве топологического пространства возьмем про-
пространство Бэра Вт. Постоянную предметную область Dn
определим как множество всех выражений вида (?)> где
t — замкнутый терм языка QM. Для каждого функцио-
функционального символа / языка Q определим соответствующую
функцию в модели
J ««!>, . . .,<*„» =</&,. • .,*п)>.
Наконец, определим значение каждого предикатного сим-
символа — открытое цодмножество Вш:
Тем самым модель Л полностью определена. Остается
показать, что она является моделью данной теории.
Это следует из леммы
5.2.2. Пусть q> — формула, оцененная в модели А и
Ф* — предложение Qa, получающееся из ф стиранием
угловых скобок <, >. Тогда || ф* ||~ <^ || ф || ^ || Ф* ||+-
|> Используем 5.2.1, см. доказательство 5.1.5. Q
Если ф — позитивная аксиома, то ф t (( »°i поэтому
II ф 1Г = Т и> следовательно, || ф || = "J". Если же ф —
негативная аксиома, то ф ? (< УI. Пусть ос0 (п) — 0 для
всех п, тогда ао(?||ф||+ и поэтому а0 6 II Ф II- Этим до-
доказано, что А есть модель нашей теории. Q
В соответствии с обсуждением в примере 3 п. 5 (с. 120)
всякая топологическая модель с про стран ctbolw Бэра может
быть отождествлена с некоторой моделью Бета. Таким
образом, из теоремы 5.2 следует
5.3. Всякая непротиворечивая теория в языке счетной
мощности имеет модель Бета. Ц
6. Приложения к интуиционистской арифметике, опе-
операция Сморинского. Покажем, как можно использовать
развитые алгебраические методы для исследования выво-
Н] ПРИЛОЖЕНИЯ К ИНТУИЦИОНИСТСКОЙ АРИФМЕТИКЕ 141
димости в НА. В частности, мы получим другие доказа-
доказательства для некоторых из результатов ч. 2.
Модели Крипке для НА имеют некоторую специфику.
В НА выводится разрешимость равенства НА J— Уху
(х = у V | х = у). Поэтому, если в модели М теории НА
неверно а \\— (q1 = q2) для некоторых объектов qu
q2 6 U (а), то a j]— | (q1 = q2). Тогда отношение
(q1 т^ q2) 44 a |j— (<7X = q2) является отношением эквива-
эквивалентности в предметной области каждого из миров и это
отношение сохраняется в более поздние моменты.
Отождествляя в каждом из миров эквивалентные объекты,
мы получим модель М' для НА, в которой равенство
в модели означает просто совпадение объектов. В этой
модели с «настоящим» равенством в каждый момент а вы-
вынуждаются в точности те же оцененные формулы, которые
вынуждаются в а и в модели М. В этом смысле модели М
и М' эквивалентны.
Далее, если М — модель НА, то предметная область
U (а) момента а этой модели содержит предмет 0, соответ-
соответствующий константе 0 ^языка, и различные пред-
предметные объекты 50, SS0, . . . Переименовывая предметы
областей модели, мы будем считать, что эти предметные
объекты суть просто натуральные числа 0, 1, 2, ... Они
образуют стандартную часть области U (а). Разумеется,
стандартная часть, вообще говоря, отнюдь не исчерпывает
всей области U (а) даже в модели с настоящим равенством.
Но все функциональные символы НА переводят стандарт-
стандартную часть в себя.
До конца этого пункта под моделью НА мы будем
понимать модель Крипке теории НА, модель с корнем,
с настоящим равенством и с множеством со всех нату-
натуральных чисел в качестве стандартной части каждой
области.
Из теоремы 5.1 и рассуждений выше следует, что всякая
непротиворечивая (составная) аксиоматическая теория Т,
содержащая все нелогические аксиомы НА в качестве
позитивных аксиом, имеет модель в только что указанном
смысле.
Пусть дано семейство {Мг \ i (• 1} моделей НА. Опре-
Определим новую модель М = BaMi)' с помощью операции
Сморинского. А именно, в качестве логического остова М
возьмем прямое объединение логических остовов всех Мг
142
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
PI. 3
S]
ПРИЛОЖЕНИЯ К ИНТУИЦИОНИСТСКОЙ АРИФМЕТИКЕ 143
и добавим еще новый наибольший элемент а0 в качестве
корня:
Моменты, принадлежащие различным М^, таким образом,
остаются несравнимыми. Предметные области и функцио-
функциональные символы модели М в моменты, относящиеся
к модели Мь определяются так же, как они определялись
в Мг. Что касается корня а0, то в качестве предметной
области а0 мы возьмем стандартное множество со всех
натуральных чисел и функциональные символы на со
определим стандартным образом.
6.1. Ключевой факт состоит в том, что если все Mi суть
модели НА, то М = {2цМ\)' есть также модель НА.
[> Непосредственно проверяем все нелогические ак-
аксиомы НА в модели М. Q
Теперь можно приступить к доказательству некоторых
утверждений относительно выводимости в НА.
6.2. (Свойство экзистенциальности НА.) Пусть ф (х)—
формула НА с единственным параметром х, причем
НА |— Зжф (х). Тогда найдется натуральное п такое, что
НА |- ф (в).
t> Пусть НА |— Э# Ф (х), и допустим противное, т. е.
что для всех п неверно, что НА |— ф (п). Тогда для каж-
каждого п найдется модель Мп для НА такая, что в корне Ъп
модели Мп не вынуждается ф (п). Рассмотрим модель
М = (?пМпу. Тогда для корня а0 модели М имеем
Vra ~~] (а0 \\— ф (п)), т. е. неверно, что ао\\— 3#ф (я). Послед-
Последнее противоречит, однако, допущению НА |— 3#ф (х). ГП
6.3. (Свойство /•изъюнктивности НА.) Пусть ц>, -ф —
предложения НА и НА |— ф \/ "ф. Тогда НА |— ф или
НА[-г|з.
[> Аналогично 6.2. | |
6.4. Пусть ф (х) — формула с единственным параме-
параметром х, причем Vra (НА |— ф (п) V |qp (n)). Тогда сле-
следующие три утверждения эквивалентны:
Ч)ЯА\- ПП З^ф (х) з 3*Ф («);
2) НА Н Зу ПЛ Зхф (х) з ф (у));
3) НА (- З^ф (ж) VVO<PW-
[> 3) =ф> 2) =#¦ 1) легко выводится в НА. Покажем
1) =Ф 3). Допустим 1). Если для некоторого ?г НА [— ф (тг) V
Vx ]ф(ж), то 3) устанавливается тривиально. Пред-
Предположим поэтому, что для всякого п неверно НА |— ф (п) V
Vx | ф (х). Тогда неверно НА |— \х ] ф (х) и для
всякого п неверно НА |— ф (п). Ввиду 6.3 и того, что
НА |—• ф (п) \/ |ф (га), заключаем отсюда, что для всех п
имеем НА |— 1 ф (га). Найдем теперь модель М° такую,
что в ее корне b неверно &||— Vx | ф (х). Последнее озна-
означает, что найдутся Ъг <^ Ъ и объект q модели М° такие,
что &! ||— | ф (<?) не имеет места. Это же в свою очередь
означает, что для некоторого Ь2 <^ Ьг имеет место
^2 II— Ф (q)i т- е> ^2 II— Э^Ф (х). Рассмотрим модель М*,
получающуюся из М° ограничением логического остова
множеством {Ь3 \ Ь3 ^ Ь2}. Тогда Ь2 — корень М* и в М*
имеем Ь2 ||— З^ф (х). Рассмотрим модель М =¦ (М*)'; пусть
а0 — корень М. Тогда а0 |j— ~~] ~~\ З^ф (х). Используя
НА [— ~"| ~Л Эхф (х) 3 Зяф (х), заключаем, что а0 ||— 3«ф (х)
и, значит, найдется натуральное п такое, что ао||—ф {«)•
С другой стороны, из НА (— ~~\ ф (п) следует а0 \\— ~~\ ф (п),
и мы приходим к противоречию. Ц
6.5. (Невыводимость принципа Маркова.) Существует
бескванторная формула ф (х) с единственным парамет-
параметром х такая, что в НА не выводится | I З^Ф (х) Ц)
ф {х).
[> Согласно классической теореме Гёделя о неполноте
существует бескванторная формула ф (х) такая, что даже
в классической арифметике не выводятся формулы
Vx | ф (х) и Зхф (х) (в классической системе FA эти фор-
формулы эквивалентны отрицанию друг друга). Остается
воспользоваться 6.4 и 6.3. Ц
По контрасту с этим результатом можно показать, что
«правило Маркова» в НА допустимо.
6.6. Пусть ф (х) — формула с единственным параме-
параметром х и такая, что Vra (НА |— ф (п) \/ | ф (га)) и
НА [~ "Л Jx<p (я). Тогда НА [— Зяф (ж).
О Из НА [— Л I Э^Ф (х) следует, что в стандартной
классической модели арифметики истинно утверждение
З^ф (х), т. е. найдется натуральное п, для которого ис-
истинно ф (га). Из допущений следует, что для этого га имеем
144
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[Ч. 3
НА (— ф (п) V ~\ ф (п), т. е., согласно 6.3, НА (— ф (га)
или НА |— |ф (га). Но вторая возможность не осуществ-
осуществляется, так как из НА f— H Ф (") следовала бы классиче-
классическая истинность утверждения И Ф (")• Таким образом,
НА (- ф (п), т. е. НА |- Зжф (ж). Q
Невыводимость принципа Р (см. с. 63) следует из
утверждения
6.7. Можно найти предложение ц> и формулу \р (у)
с единственным параметром у такие, что в НА не вы-
выводится
П Ф 3 ЭДО (У)) 3 Эу П Ф 3 t|> (г/)).
|> Выберем бескванторные формулы г] (ж), ? (ж) таким
образом, что
a) \хг] (ж) и ~~1 Ужт) (ж) невыводимы в FA;
b) формулу Ужт] (ж) Д ~] Эж? (ж) можно без противоре-
противоречия присоединить к FA;
c) формулу Ужт) (ж) Д 3#? (х) также можно без про-
противоречия присоединить к FA.
Существование таких формул легко следует из клас-
классической теоремы Гёделя о неполноте. В самом деле,
формула ConFA, выражающая непротиворечивость клас-
классической арифметики FA, имеет как раз вид Ужт] (ж) и
удовлетворяет условию а). В качестве Уж? (х) можно
взять формулу СоП(ра+сопРА), выражающую непротиворе-
непротиворечивость теории FA + Сопра-
Далее, положим
ф
(ж).
*? (х)) V (У = 1 Д Зж? (ж)),
Пусть Nt есть классическая модель теории FA +
Ужт] (ж) Д Зж? (ж), iV3 есть классическая модель теории
FA -J- | ущ (х) и, наконец, N3 — классическая модель
Ужт] (ж) Д П Зж? (ж).
Рассмотрим модель , Крипке М — {Nx + N2 + -Л^з)'-
Если а0 — корень М, то а0 (— | Ф 3 Зз/"ф (г/), однако
неверно а0 If— Эг/ ("~]ф 3 t (у)).
Заметим, что в НА формула | ф эквивалентна
Ужт) (ж). П
Тем не менее принцип Р имеет место в НА в виде пра-
правила вывода,
МЕТОД РЕАЛИЗУЕМОСТИ
145
6.8. Пусть ф — предложение uty (у) — формула с един-
единственным параметром у. Пусть имеет место НА |— 1 ф Z)
ЗИ> (у). Тогда НА f- By П Ф =31|> (у)).
t> Допустим, что имеет место допущение, а заключе*
ние неверно. Тогда для каждого п неверно НА |— | ф 3
¦ф (п). По теореме о полноте, для каждого п найдется
модель Мп с корнем Ъп такая, что Ьп ||— | ф, и неверно,
что bn\\— ij) (п). Рассмотрим модель М = Bхп,Мп)' с кор-
корнем а0. Очевидно, ао\\— ]ф. Из допущения следует, что
а0 \\— 3j/i|) (у), а это означает, что найдется натуральное
п такое, что а0 ||— ty (п). Но в этом случае, ввиду Ъп ^ а0,
имеем 6П|(—я])(п), что невозможно по построению. Ц
Следующий факт показывает, что так называемый
принцип наименьшего числа не выводится в НА.
6.9. Может быть построена формула ф (ж) с одним
параметром ж такая, что в НА не выводится
ЗжФ (х) 3 Зж (Ф (ж) Д У у (у < ж 3 Л Ф (У))).
[> Пусть г|> (у)— бескванторная формула такая, что
как 3yty (у), так и ~~] Эуф (у) не выводятся в FA. Пусть
iVx — классическая модель теории FA + Зуф (у) ш N2 —
классическая модель теории FA + | Зг/^ (у). Рассмо-
Рассмотрим модель М — (N± + N%)'. Положим
V (^ = 1 Л П Зг/я|з (г/)) V *=2.
Ф (х) ^= (х = О Д
Очевидно, НА |— ф B), так что ао\\— Зжф (х) (здесь а0,
как всегда,— корень М). Если же а0 \\— Зж (ф (ж) Д
У у {у <^ ж ~э ~~1ф (?/))> то Для некоторого п было бы
«о 11— Ф (») и а0 |[— Уг/ (у < га Ц) П Ф Ш- Но из ао \\~ Ф («)
непосредственно следует, что п равно 0, 1 или 2. Более
внимательный анализ модели М показывает, что вынуж-
дения а0 ||— ф @) и ct0 |[—^— ср A) неверны, так что остается
лишь возможность п — 2. Но неверно также а0 ||— |ф A),
(у <^ 2 Z) ~|ф (г/)). Отсюда еле-
h y ( < |ф ())
Ь- Зж (ф (ж) Д Уг/ (у < ж 3
- ?
поэтому неверно а0
дует, что неверно а0
7. Метод реализуемости и теория интуиционистских
моделей. Методы теории моделей позволили нам получить
интересные синтаксические результаты, относящиеся
к формальной теории НА. При этом, хотя результаты фор-
формулируются конструктивно и весьма элементарно, методы
доказательства являются классическими, теоретико-мно~
146
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[Ч. 3
жественными. Мы укажем, однако, способ конструктивного
доказательства утверждений 6.2—6.9, основанный на
методе, аналогичном методу штрих-реализуемости К л и-
н и [4]. При этом теоретико-множественные рассуждения
п. 6 будут играть существенную эвристическую роль,
помогая подобрать подходящее понятие реализуемости.
Мы начнем с анализа утверждения 6.9. .Рассмотрим
семейство {Mj | / ? /} всех счетных классических
моделей FA. Каждая такая модель рассматривается как
модель Крипке с единственным возможным миром и
имеется в виду, что в каждом классе изоморфных моделей
выбирается единственный представитель в качестве Mj,
так что мощность нашего семейства ограничена. Пусть
М = BцМ])' и а0 — корень М. Если ф — предложение
НА, то обозначим г4ф =^= а0 ||— ср.
Замечательно, что отношение ri допускает следующее
синтаксическое описание:
7.1.1. 1) r4 (t = г) <=? (t = г) истинно;
2) г4 (г|) Д т|) ФФ г4ф Д г4т|;
3) г4 (ф V 1) «* Г4* V W,
4) г4 (яр ID л) ** М> =» г4т|) Д FA |- Цр ZD т|;
5) r4 _L 44 J_;
6) r4Van|> (х) ^Vn (г4ф (и)) Д FA J- Уяф (ж);
7) г4Зж1|) (ж) 44 Зге (г4ф (/г)).
[> Докажем, например, 4). а0 |(— (ф ID л) ^ (V& <^ «о)
(fe ||— if =ф 6 ||— г]). Если Ъ = а0, то правая часть означает
а утверждение что д / M \\M \
\\~ т),
|0, р
г4я[? =Фг4т1> а утверждение, что для всех / Mj \\ф =Ф Mj \\~ т),
в силу известной теоремы о полноте классического исчис-
исчисления предикатов равносильно FA |— (ф ID r\). | |
Далее имеем
7.1.2. НА )— ф =» г4ф =» FA f— ф.
[> Первая импликация следует из того, что М есть
модель НА (см. 6.1), вторая же — из того, что если
«о ||— ф, то для всех / Mj ||— ф. Ц
Теперь наш конструктивный подход состоит в том,
чтобы рассматривать 7.1.1 как самостоятель-
самостоятельное определение отношения г4ф индукцией по построе-
построению ф без упоминания о моделях Крипке. При этом 7.1.2
можно доказать, также не используя модели,— первую
МЕТОД РЕАЛИЗУЕМОСТИ
147
импликацию индукцией по построению вывода НА [— ф,
а]|вторую импликацию — индукцией по построению ф.
В доказательстве 6.9 использовалась некоторая модель
Крипке. Вместо нее можно использовать и нашу модель М.
Это дает ключ к конструктивному доказательству 6.9,
а именно, следует проверить, что формула, невыводимость
которой утверждается, нереализуема в смысле отноше-
отношения г4, и воспользоваться 7.1.2. Это проверяется непо-
непосредственно. Например, неверно, что г4ф @) следует из
того, что НА \— ф @) = Зг/'ф (у), и в FA невыводима
формула Эг/я|з (у) (вновь используя 7.1.2).
Итак, если в доказательстве используется некоторая
модель М, то мы пытаемся конструктивно описать отно-
отношение ао\\— ф и используем это отношение вместо самой
модели. Иногда, как это и было сделано выше, первона-
первоначальную модель удобно несколько модифицировать. За-
Заметим, что, в отличие от реализуемости г в ч. 2, г4 есть
содержательное отношение, а не формула НА. Впрочем,
формализация этого отношения в НА непосредственна.
В качестве следующего примера рассмотрим утвер-
утверждение 6.8. Фиксируем предложение ф, фигурирующее
в формулировке 6.8. Далее, рассмотрим семейство всех
моделей Крипке, в которых имеет место |ф, и определим
М = BijMj)'. Отношение а0 \\— ф допускает конструктив-
конструктивную формулировку: ключевые эквивалентности имеют сле-
следующий вид:
а0 Н-'ЧЯЭЛ^ (во1Ы>=*<Мг-т1) Д НА h П ф Г) (V =) Ч);
а0 ||- V^t (x) ^ Vrc (о0 ||- Ир (п)) Д НА |~ П Ф =) Угф(*);
а0 \\— _]_ всегда ложно.
Однако построение модели М невозможно, если
НА \—¦ | 1 ф, так как в этом случае не существует ни одна
из моделей Mj. Само же утверждение 6.8, конечно, верно
и в этом случае (и даже тривиально). Поэтому использо-
использование отношения а0 \\— ц требует неконструктивного раз-
разбора случаев: НА |— | | ф или неверно, что НА |— ] | ф.
Мы избежим этого неинтуиционистского шага, дав неза-
независимое определение релятивизированной реализуемости:
1) r5 (t - г) ^ НА |- П Ф з (t = г);
2) гБ №Д1)- г5-ф Д r5ri;
148
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
14. 3
V г61\;
|з =» гьх\) Д НА
ц> 3
3) гъ (о|)
4) гъ (г|)
5) г61Ы1ф;
6) г6Уая|) (ж) ^ Упг5я|) W
7) r5lx*p (х) фф Зиг51р (и).
Связь этого отношения реализуется с вынужденней в мо-
модели М дается леммой
7.2.1. ?сш неверно, что НА |— ) j ф, zreo г5г|) 44 а0 ||— ij;.
iibiw же НА (— ~Й I Ф> тео Г5а1) тождественно верно для
всякого предложения tJ>.
[> Оба утверждения леммы доказываются индукцией
по построению предложения ij:. Q
Теперь, однако, нет необходимости прибегать к этой
связи, нужные свойства г5 можно доказать и непосред-
непосредственно.
7.2.2. г5я|> =4 НА |- ~| ф 3 4>.
О Индукцией по построению tp. Ц
7.2.3. Если НА (—г|> u ij/ получается в результате за-
замещения параметров ij) числами, то гъ^''.
t> Индукцией по построению вывода НА j— г|з. Q
Теперь 6.8 доказывается непосредственно. Из НА |—
П Ф Z) Зуф (г/) следует г„ П ф Z) ЗДО &)) G.2.3). Кроме
того, г5 | ф. В самом деле, если г5ф, то НА (— ] ф 3 Ф
G.2.2), т. е. НА (— j ] ф, что и означает r5j_. Отсюда
Г5^УФ (i') и! значит, найдется п такае, что r5oj> (w). Отсюда
HAH Лф=)^ (и).
7.3. Наметим теперь некоторую общую теорию реа-
реализуемости.
Предикат Т, определенный на множестве предложений,
назовем r-предикатом (предикатом типа реализуемости),
если
(i) на н ф =ф ^ф;
(ii) Гф, Г (ф I] f) =Ф fij) для всяких предложений
ф, Я|5.
Например, следующие предикаты являются г-предика-
тами:
г6ф всегда истинно;
г7ф 44 НА |— ф;
г8ф 44 FA [— ф.
Мы укажем две операции, позволяющие строить новые
r-предикаты по заданным. Пусть {Тг}х=1 — семейство
Метод реализуемости
149
r-предикатов. Определим предикат Г = П^, положив
Ту = (Vi е I) Т{ц. В случае / = 0 имеем П^^ = г6 —
тождественно истинный предикат.
Далее, пусть А — высказывание и Г — г-предикат.
Пусть А — предикат, заданный на множестве замкнутых
атомарных формул НА. Допустим, что
a) Л =4 Лф =4 Т(р для всех замкнутых атомарных фор-
формул НА;
b) Л =4 Т (JJ;
c) если ф — атомарная замкнутая истинная формула,
то. Лф;
d) если ф — атомарная замкнутая ложная формула
и Лф, то Л.
В этой ситуации определим новый предикат S = S (Л,
А, Т) на множестве предложений НА индукцией по по-
построению предложения ф:
1) 5ф 44 Лф, здесь ф — атомарная замкнутая формула;
2) S (Ф Д 1>) <* 5ф Д <*|>;
3) S (Ф V 1>) «* ?ф V *%
4) 5 (ф 3 Ч>) «4 Eф =4 5ф) Д Г (ф 3 4>);
5) S J_ 44 Л;
6) 5УхФ (ж) 44 Уи^Ф (и) Д Г (V-гф (ж));
7) S3xq> (х) ФФ Эи-5ф (п).
7.3.1. Яф =4 Гф.
[> Индукцией по построению предложения ф. Г]
7.3.2. 5 (ф (?) ^ ф (п)), г^е п есть значение постоянного
терма t.
[> Индукцией по построению ф. FJ
7.3.3. S (J_ 3 Ф).
[> Индукцией по построению ф. Ц
7.3.4. Пусть ф — формула НА такая, что НА (— ф,
и ф' получается из ф замещением всех параметров нату-
натуральными числами. Тогда 5ф'.
t> Это утверждение доказывается непосредственной ин-
индукцией по построению вывода НА j— ф- О
7.3.5. S — S (Л, Л, Т) есть г-предикат.
[> Это следствие 7.3.4 и определения S от имплика-
импликации. ?
7.4. Теперь нетрудно подобрать подходящую реали-
реализуемость для доказательства 6.2 и 6.3. Пусть Ко означает
150
[АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[Ч. 3
ложное высказывание и аоц> «в- (ср истинно) для всякой
атомарной замкнутой формулы ср. Положим г9 = S (А,о,
«о, г,).
Пусть НА [— 3#Ф (ж), где З^ф (х) — замкнутая фор-
формула. Тогда rs C#Ф (х)) G.3.5). По определению га най-
найдется п такое, что г9 ф (п). Отсюда г7 ф(«) G.3.1), т. е.
НА |— ф (и). Аналогично докажем, что если НА |— ф \/ if
для замкнутых ф и \р, то НА (— ф или НА |— яр.
Реализуемость г9 есть не что иное, как так называе-
называемый штрих А ц е л а [1].
К л и н и [4] для доказательства утверждений типа
6.2 и 6.3 использовал другой вид реализуемости. В наших
обозначениях реализуемость Клини может быть форму-
формулирована следующим образом:
1) r10 (t =r) <н> (t = г) истинно;
2) г10 (ф Д 1>) <& г1Оф Д гиур;
3) г10 (Ф V 40 <* (г1Оф ДНАЬ- Ф) V (гю* А НА Н^р);
4) г10 (ф з 1>) ^ (г1Оф А НА Н- ф) =* гю^;
5) '"ю _L всегда ложно;
6) г10 Уалр (ж) 44- Vn r10 яр (п);
7) г103^ ip (ж) ^ Зга (г1Ояр (в) А НА \-~ яр (в)).
Простая связь между га и г10 дается леммой
7.4.1. г9 ф <Н> г10 Ф А НА (— ф.
1> Индукцией по построению ф. Ц
7.5. Для доказательства 6.4 и 6.5 достаточно устано-
установить при допущениях 6.4 импликацию 1) =ф> 3), так как
остальные рассуждения в 6.4 и 6.5 конструктивны.
Фиксируем формулу ф (х) с единственным парамет-
параметром х такую, что Уп (НА h Ф (л) V П Ч> (п)) и
НА ]— ] ] Izq* (x) ZJ 3 яф (х). Докажем, что НА [— Зжф (х)
или НА (— Ух ~1 ф (л:).
Пусть Хх есть высказывание НА)— Ух | ф (ж) и гп\|з 4=>
НА |—• 3 ^ф (ж) Z) ip. Определим r12 = S (Кг, ги, ги).
Заметим, что г12 "П I З^Ф (ж). Действительно, очевидно,
НА |— 3 х ф (х) Z) ~\ ~1 З^Ф (ж). Кроме того, г12 "^ Зжф (ж) =^>
НА |— \х ~\ ф (х). Последнее доказываем следующим
образом. Если г12 ~] 3 .?ф (о:), то G.3.1) НА (— У^ф (ж) ZD
3 хф (ж), что и дает НА \— Ух ~] ф (х). Далее,
ввиду НА Ь- 1 П 3 xq> (x) Z) Зжф (ж), 7.3.4 и преды-
предыдущего замечания имеем г1й Зжф (х). Это означает, что
МЕТОД РЕАЛИЗУЕМОСТИ
151
наймется п такое, чтог12ф(и). Ввиду НА (—ф (п) \/ ~~\ ф (п)
и 7.4 имеем две возможности: НА |— ф (п) — и тогда наше
утверждение доказано — или НА |— "^ ф (п). Во втором
случае имеем г12 ~~\ ф (п) и, значит, г12ф (п) =4- г12 _[_. В
силу г12ф (п) отсюда г12 _|_, т. е. НА (— Уж ~| ф (ж).
7.6. Доказательство утверждения 6.6, данное в п. 6,
конечно, не может удовлетворить интуициониста. Ему
это доказательство кажется тавтологией: искомое утвер-
утверждение доказывается с помощью аналогичного же утвер-
утверждения, используемого в классической метаматематике!
Теперь мы в состоянии предложить доказательство, ос-
основанное на иных идеях.
Фиксируем формулу ф (х) с единственным параметром х
такую, что для всех п имеем НА |- 9 (п) V П 9 (п) и
НА |— ~] ~~1 Зжф(ж). Докажем, что НА \— Ф(и) для не-
некоторого п.
Пусть Х2 есть высказывание Jn (НА |— ф (п)) и ^ярФФ
(яр истинно) V Х2 для всякой замкнутой атомарной фор-
формулы ip. Определим r13 = S (Ji2, alt re). Эта реализуе-
реализуемость отличается от стандартного определения истинно-
истинности по Тарскому лишь в пунктах, относящихся к атомар-
атомарным формулам и лжи.
Для доказательства искомого утверждения достаточно
установить г13 _|_. Так как НА |— ~~| Ух~~] ф (х), то г13
~1 Ух ~~\ ф (ж), т. е. г13 Ух ~\ ф (х) =ф r13 J_- Поэтому до-
достаточно показать r13 Va; | ф (х). Возьмем произвольное
п и покажем г13~~] ф(»), т. е. что г13ф(га) =5>ri3 J_. По ус-
условию и ввиду 7.4 для данного и имеем две возможности:
НА |— ф (п) или НА |— I ф (п). В первом случае r13 J_
непосредственно по определению. Во втором случае из
НА (— "П ф (п) следует искомое г13~~| ф (п).
Предыдущее рассуждение устанавливает, в частности,
тривиальность отношения г13: г13тр верно для всякого пред-
предложения яр. Тем не менее приведенное нами интуиционист-
интуиционистское доказательство утверждения 6.6, использующее г13,
отнюдь нетривиально!
Более ранние (и более сложные) варианты интуицио-
интуиционистского анализа утверждения 6.6 можно найти в стать-
статьях Новикова [1]и Драгалина [1].
7.7. Наметим еще коротко конструктивную версию
доказательства утверждения 6.7. Мы фиксируем форму-
формулы т] (х) и ? (х), удовлетворяющие требованиям а) — с)
152
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
[Ч. 3
в указанном выше доказательстве, и построим конкретные
формулы фиф (у), как там указано. Определим
ги I 4Ф (FA f- И V^T) (z) 3 Е) Л
(FA (- V*ri (ж) Л I* S (*) => 6) Л
(FA |_ Vxt| (*) Д ~| 3*С (ж) =3 I),
после чего положим г16 = S (Ко, а0, гы). Далее последо-
последовательно установим
7.7.1. 1)-}гиУхг\(х);
2) г1В (УщЦх) =) Э*С (х) V ~1 Зх t (x));
3) г1
15уПф|(!/))
[> Наметим лишь доказательство 4). Допустим г15Чу
(~] ф ZD'ф(г/))- Тогда найдется натуральное га такое, что
ri& (~|ф ib 'Ф (и)). Отсюда и из определения ф и я|) (у)
имеем
FA
FA
я) Л ~| Ж (х) =) П Ф 3 tp (и)),
г т) (ж) Л ~1 3*С (х) Z) и = 1.
Отсюда в свою очередь следует, что и фактически п = 1,
так как в противном случае FA |— |(Var) (ж) Д "~| Э^^(ж))
вопреки выбору г) (х) и ? (ж). Аналогично, изучая выво-
выводимость
FA Ь Уж л (х) Д 3*? WDA<pDt (л)),
мы получаем п — 0, что и дает противоречие. Ц
8. Семантика де Йонга. Аналогично семантике реа-
реализуемости (п. 9 ч. 2) можно определить естественную се-
семантику формул логики высказываний на основе формаль-
ной'теории НА. Пусть F [рх,. . ., рп] — формула логики
высказываний, где рг,. . ., рп — полный список всех ее
пропозициональных переменных. Будем говорить, что
эта формула истинна по де Йонгу, если для всякого набо-
набора замкнутых арифметических формул фХ). . ., фп соот-
соответствующее арифметическое предложение F [ф1(. . ., фп1
выводимо в НА.
Д е Й о'н г [1] в 1970 г. показал, что формулы, ис-
истинные по де Йонгу, суть в точности формулы, выводимые
91
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
153
в логике высказываний. Таким образом, логика высказы-
высказываний полна [относительно семантики де Йонга.
Оригинальное доказательство де Йонга, основанное на
методе реализуемости, до сих пор не опубликовано и из-
известно из препринтов. Подробное рассмотрение теоремы
де Йонга для логики высказываний, вариаций и усилений
этой теоремы, основанное на теоретико-модельных рас-
рассмотрениях, можно найти в статье Сморинско-
го [1].
Аналогичное понятие истинности по де Йонгу можно
ввести и для формул логики предикатов. Как показал
Л е й в а н т [1], логика предикатов также оказывается
полной относительно этой семантики.
9. Дополнительные библиографические замечания. Ма-
Материал п. 1 довольно стандартен. Дополнительные сведе-
сведения на темы этого пункта можно найти в монографии Р а-
сёвой и Сикорского [1], Даммета [1] и
статьях К р и п к е [1], Фиттинга [1] иТома-
с о н а [1]. Алгебры с пополнением определены в
статье Драгалина [91. Сходная структура с ак-
аксиомой 4') и D 0 = 0 предложена Гротендиком (см.
Шломюк [1])в теории топосов. Шкалы Бета и Крип-
ке введены в классических работах Бета [1J, К р и п-
к е [1]. ВК-шкалы и ВК-модели определены в работе
Драгалина [101. Теоремы о полноте для интуицио-
интуиционистского исчисления предикатов в различных формах
доказывались многими авторами, начиная с Б е т a [1J
и К р и п к е [1], см., например, Т о м а с о н [1], Ш ю т-
те [II, Такахаси [2J. Наша версия теоремы 5.1
следует изложению Драгалина [4] и является усо-
усовершенствованием этого изложения. Оттуда же взята и
лемма 5.1.6. Наша форма теоремы 5.2 является, по-види-
по-видимому, новой. Теоремы п. 6 и операция B1)' принадлежат
Сморинскому [1]. Метод п. 7 и большинство ре-
ализуемостей этого пункта изложены в работе Дра-
Драгалина [141.
ЧАСТЬ 4
АНАЛИЗ
В этой части мы подробно сформулируем наиболее из-
известные формальные теории для описания интуиционист-
интуиционистских свободно становящихся последовательностей. При
этом мы уделим специальное внимание разъяснению инту-
интуитивного смысла аксиом теорий и дадим обзор важнейших
математических результатов, к ним относящихся. Эта
часть носит, в основном, обзорный характер, но все же
в конце раздела мы приводим примеры двух ВК-моде-
лей для беззаконных последовательностей и для после-
последовательностей в стиле Клини и Весли [1].
1. Теория FIM, обзор результатов. Интуиционистский
анализ отличается от интуиционистской арифметики,
прежде всего, наличием новых объектов исследования.
Кроме натуральных чисел, в анализе появляются так на-
называемые последовательности выбора (в другой термино-
терминологии — свободно становящиеся последовательности) —
объекты исследования, не имеющие непосредственных ана-
аналогов в конструктивной или классической математике.
В первом приближении свободно становящуюся последо-
последовательность можно охарактеризовать как функцию, пере-
перерабатывающую объекты одного типа в объекты другого
типа. При этом предполагается, что коль скоро определен
входной объект свободно становящейся последователь-
последовательности, то может быть эффективно найден и резуль-
результат переработки. С другой стороны, исследователю, мо-
может быть, и неизвестен полностью закон образования
свободно становящейся последовательности. Эта «неиз-
«неизвестность» отражена в специальных аксиомах теорий и
в значительной степени определяет специфически интуи-
интуиционистский характер рассмотрений.
Мы ограничимся изучением лишь свободно становя-
становящихся последовательностей, перерабатывающих натураль-
натуральные числа в натуральные. Все наши формальные теории
будут формулироваться в языках An (U) (с. 38), где U — ко-
11
ТЕОРИЯ FIM, ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ
155
печное множество различных сортов свободно становящих-
становящихся последовательностей. Слово функция мы употреб-
употребляем как собирательное наименование различных видов
свободно становящихся последовательностей. Некоторые
сорта функций будут иметь специальные наименования,
например, функции, заданные законом (или конструктива
ные функции, lawlike functions — Крайзел, Тру л-
с т р а [1], Трулстра [1]), беззаконные функции
(lawless functions — К р а й з"е л [5]). Нашей задачей
является построение интерпретаций теорий, большинство
из которых не допускают моделей в классическом пони-
понимании этого слова. Так, если переменная'а'пробегает без-
беззаконные функции, то в теории ЬЭ^формулировка'кото-
рой будет дана ниже, одновременно выводимы
V а ~~\ Ух (а (х) = 0) и ~~| Уа9ж (а (х) Ф 0). Никакая сово-
совокупность функций не может в классическом смысле удовлет-
удовлетворять двум этим условиям. Нельзя указать~и совокуп-
совокупность общерекурсивных функций, для~"~которых бы эти
условия имели место в традиционном конструктивном смы-
смысле. Поэтому наша интерпретация по необходимости ис-
использует некоторое неклассическое толкование логичес-
логических связок. ^"*
Мы начнем с формулировки и обсуждения формальной
теории FTM (The Foundations of Intuitionistic Mathema-
Mathematics) Клини и Весли [11. FIM формулируется
в языке An, т. е. с единственным сортом переменных для
функций. Нелогические аксиомы FIM делятся на группы.
1.1. Арифметические аксиомы. Это аксиомы теории
НА (U), где U"— одноэлементное множество. В частно-
частности, имеется схема аксиом индукции:
Ind. ф @) Д Ух (ф (х) ZD Ф [Sx)) 7Э Ух ф (х),
где ф (х) — произвольная формула языка FIM, а также
закон согласованности функций с равенством:
Eq. i=yD« {х) =аГ(у).
1.2. Примитивно рекурсивная замкнутость. Это сле-
следующая схема аксиом:
PRC. ЧаУя (а (х) = t (x)),
где t (x) — произвольный терм языка, не содержащий а.
Эта схема утверждает, что любая примитивно рекурсив^
156
АНАЛИЗ
[Ч. 4
ная комбинация функций нашей теории вновь является
функцией нашей теории. Если ввести сокращение
а = \xt (x) d=p \fx (a (x) = t (ж)),
го схема PRC может быть записана в виде За (а =
hxt(z)). Собственно, в книге Клини и Весли [1]
схема PRC отдельно не формулируется. Она выводится
из логических постулатов, поскольку в книге Клини
и Весли [II выражения вида l.xt (они называются
функторами, термами для функций) непосредственно вве-
введены в язык. Нам, однако, для сравнения различных тео-
теорий удобно иметь специальную схему аксиом, выражаю-
выражающую замкнутость функций относительно примитивно ре-
рекурсивных операции.
В нашем языке функторы можно использовать только
в комбинации (а = F), где F — функтор, расшифровы-
расшифровывая эту комбинацию, как указано выше. Например, вве-
введем сокращение ф)ж ^= ly$ (j (x, у)). Тогда комбинация
(а = (Р)ж) есть сокращение для формулы У у (а (у) =
Р(/ (*У)))
Р(/ (,У)))
Схемы Eq и PRC позволяют вывести в FIM ключевое
свойство этого сокращения: 9! ос (а = F), где F — произ-
произвольный функтор, не содержащий а. *
Теория, основанная на схемах аксиом групп 1.1 и
1.2, составляет подсистему FIM, которая имеет специаль-
специальное название РгАп (читается «примитивно рекурсивный
анализ»). С помощью схемы PRC в этой теории обеспечи-
обеспечивается существование примитивно рекурсивных функций.
1.3. Схема выбора:
AC-NC. УяЭрф (х, р) Z3 ЭаУхЭт (? = (а)х Д Ф (*, у))-
Эта схема утверждает, что если для всякого х существует
р, удовлетворяющее условию ф (х, р), то существует еди-
единая функция а такая, что для всех х имеем ф (х, (а)х).
Если ввести «сокращение»
ф (х, (а)в) ^ Эт (у = (о)х Д Ф («I Y».
то схему AC-NC можно записать в более естественном
виде:
УяЭрФ (х, Р)*=) ЭаУяф (х, (а)х).
Такое сокращение, строго говоря, некорректно, так как
по сокращенной записи несокращенная восстанавливает-
1]
ТЕОРИЯ PIM, ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ
157
ся неоднозначно, тем не менее мы будем использовать
иногда такую нестрогую запись, особенно в доказатель-
доказательствах и дополнительных разъяснениях.
В теории РгАп из схемы AC-NC можно вывести сле-
следующие более слабые, но гораздо более употребительные
схемы:
AC-NN.
AC-NN!.
х, у) ZD
(х, у) Z
х, а (х));
(х, а (х)).
Теория РгАп + AC-NN! имеет специальное название
EL («элементарный анализ»).
Имеется еще естественная схема выбора — так назы-
называемая схема зависимого выбора:
DC-C. Уа1р> (а, р) z>
(а = (Р)о Д
((p)x(P)Sl)).
Здесь ф ((Р)л, (P)sm) следует понимать, конечно, как сок-
сокращение для Эт6 (у = (р)ж Д б = (P)Sx Д Ф (у, б)).
В РгАп из DC-C выводится AC-NC, однако в состав FIM
мы включ i м в качестве схемы аксиом именно AC-NC,
а не DC-C. Фактически DC-C выводится в FIM, но с ис-
использованием аксиом группы 1.5 ниже, а нас часто бу-
будет интересовать фрагмент FIM, не содержащий этой
последней группы аксиом.
1.4. Вар-индукция. Теория FIM содержит в качестве
схемы аксиом следующий принцип разрешимой бар-ин-
бар-индукции:
BID. Ух (Ф (х) V И Ф (*)) Д Va3 жФ (а (х)) Д
Ух (Ф (х) 3 ч|> (х)) Д Ух (Уг/я|) (х*у) 3 1> («)) 3^@).
Напомним, что а (х) = (а @), а A),. . ., а (х — 1)) и
х = <ж> — номер одночленного кортежа, состоящего
ИЗ X.
Мотивировка этого важного индуктивного принципа
подробно обсуждается в книге Клини и Весли
[Ц, § 6. Принцип BID существенно используется в дока-
доказательстве такой важной теоремы, как теорема о веере
(Клини и Весли [1], п. 6.10, утверждение *26.7, а;
п. 7.5, утверждение *27.10; п. 7.4, утверждение *27.8).
Следствием BId является и то, что не все функции
являются общерекурсивными. Точнее, если ввести
158
АНАЛИЗ
[Ч. 4
сокращение
GR (а) ^ ЗуУхЪ (Тг(у, x,z) /\Uz = а (х))
(читается «а — общерекурсивная функция»), то в РгАп +
В1ц можно вывести | Va GR (а) (Клини иВес-
л и [1], п. 9.3, лемма 9.8 и следствие 9.9). В то же время
теория FIM без принципа BID совместна с утвержде-
утверждением Va GR (a) (это следует из того, что реализуемость
по Клини и В е с л и [II, §§ 8,9, без BID может быть
осуществлена с использованием только общерекурсив-
общерекурсивных функций).
Заметим, что, хотя в FIM и выводится j Va GR (a),
тем не менее в FIM не выводится 3a | GR (а).
Московакис [1] показала, что с FIM совместно
утверждение Va ] |GR(a), а Клини [5] доказал,
что если в FIM выводится предложение вида Эаф (а),
то необходимо выводится и За (GR (а) Д ср (а)).
Теория РгАп + AC-NC + BId имеет специальное на-
название BSK («базисная система Клини»).
Имеется и более сильный вариант схемы бар-индук-
бар-индукции — так называемая монотонная бар-индукция:
BIM. УхУу (ф (х) Z) Ф (х * у)) Д Уа1хц> (а (х)) Д
Ух (ф (х) Ц) Ц> (х)) Д Ух (УуЦ (х * у) ID t|> (х)) ID гДО),
отличающаяся лишь первой посылкой от BIq. В теории
РгАп из В1м следует BId, обратный же вывод монотонно-
монотонного принципа из разрешимого требует использования
принципа BG-N, который формулируется ниже в группе
аксиом 1.5 (см. Клини и Весли [II, п. 7.6, утвер-
утверждение *27.13).
1.5. Принцип непрерывности Брауэра. Сделаем пред-
предварительно несколько неформальных замечаний. Функ-
Функцию а назовем стабильной, если для всех х и у из a (x) Ф О
следует а (х * у) = а (х), и запирающей, если для вся-
всякой функции Р найдется х такое, что а (Р (х)) Ф 0. Ста-
Стабильные запирающие функции назовем непрерывными
функционалами, класс всех непрерывных функционалов
обозначим через1 Ко. Если a ? Ко, то можно естественно
определить действие*а на функции. А именно, обозна-
обозначим через а (Р) натуральное число у такое, что для неко-
некоторого z имеем у + 1 = a @ (z)). Ввиду запираемости
ТЕОРИЯ ИМ, ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ
159
а такое z необходимо найдется, а ввиду стабильности у
де зависит от выбора z и определяется только функцией р.
Таким образом, a ? Ко действительно может рассмат-
рассматриваться как функционал в традиционном смысле этого
слова, причем этот функционал непрерывен, если входные
функции Р рассматривать как элементы топологического
пространства Бэра В®. Непрерывность а проявляется
в том, что значение a (P) определяется уже по некоторо-
некоторому конечному фрагменту р (z) функции р.
Если р — произвольная функция, то определим функ-
функцию у = х * р следующим образом: если у <С Ш х, то
у {у) = [х]у, если же у > Ш х, то у (у) = р (у — lh x).
Если на р .смотреть как на последовательность натураль-
натуральных чисел, то х * р получается из р «наращиванием»
слева кортежа х в качестве набора первых членов последо-
последовательности.
Введенное обозначение позволяет естественно опреде-
определить действие непрерывного функционала как оператора.
А именно, обозначим через (a | р) функцию у такую, что
для всякого натурального v имеем у (v) = a (v * Р).
Этот оператор также непрерывен в том смысле, что для
каждого v значение у (v) зависит лишь от конечного фраг-
фрагмента р (но этот фрагмент зависит от и).
Эти понятия легко формализуются в языке анализа.
Введем обозначения
a ? Ко — Ко (а) — Уху (а (х) Ф 0 ^ а (х * у) = a (x)) Д
_
(у = а (р)) - Ъ (Sy = a (P (z)))-L
(у = {а | р)) ^ V^3z (S (у (v)) = a (v * р (z))).
Следующие два факта выражают однозначную опре-
определенность непрерывных функционалов. А именно:
1) в РгАп выводится
а6^о=)УрЗ!г/(г/ = а (р));
2) в EL выводится
ae#0:DVp3!Y(Y = (a | P)).
Теперь мы можем сформулировать принцип непрерыв-
непрерывности Брауэра для функций
ВС-С. УаЗрф (а, р) ^ {Эу б Ко) Vc«p (а, у \ а).
160
АНАЛИЗ
[Ч. 4
ТЕОРИЯ FIM, ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ
161
Более развернутая запись заключения этой схемы имеет
вид
ЗУ (V 6 К0 Д Va36 F = G | а) Д ср (а, б))).
В EL из ВС-С следует вариант принципа непрерывности,
называемый принципом Брауэра для чисел:
BC-N. УаЗ^Ф (а, х) ZD C? € #о) Vacp (а, v (а))
(см. Клини и Весли [1], п. 7.2, утверждение
*27.2). В свою очередь из BC-N в теории РгАп можно
вывести слабый принцип непрерывности, не содержащий
упоминания о непрерывных функционалах (см. Кли-
Клини и Весли [1], п. 7.7, утверждение *27.15):
WC-N.
(а, х)
ф(у) = а (у) Z) <р (р, х)).
Смысл принципа непрерывности состоит, коротко го-
говоря, в том, что наши функции не полностью известны ис-
исследователю. Точнее, среди наших функций имеются и
такие, относительно которых неизвестен закон их обра-
образования, и все, что мы о них знаем,— это последователь-
последовательно получаемые их значения а @), а A),. . . В такой си-
ситуации, если для всякого а эффективно можно указать х
такое, что <р (а, х), то это возможно лишь в случае, когда х
фактически определяется уже некоторым конечным фраг-
фрагментом о (z) функции а, что, в некоторой точной формеа
и утверждает схема BC-N. Можно сказать, что принцип
непрерывности есть попытка точно выразить идею Брау-
Брауэра, предлагавшего рассматривать интуиционистский кон-
континуум не как завершенную совокупность функций, а
как «среду свободного становления» (ср. также обсужде-
обсуждение Клини и Весли [1J, п. 7.1). Принцип непре-
непрерывности противоречит классической математике; уже
к теории РгАп + WC-N нельзя без противоречия присое-
присоединить закон исключенного третьего. Более того, в
РгАп + WC-N можно подобрать контрпримеры к многим
законам классической логики предикатов, невыводимым
интуиционистски (Клини и Весли [1], пп. 7.9—
7.12).
1.6. Теперь мы можем закончить формулировку теории
FIM. FIM — теория в языке анализа An. В наших обозна-
обозначениях
FIM = РгАп + AC-NC + BID + ВС-С.
В монографии Клини и В ic л и [1], гл. III и IX,
показано, что в теории FIM могут быть выведены все ос-
основные факты интуиционистского анализа Брауэра, вклю-
включая теорему о веере и теорему о равномерной непрерыв-
непрерывности вещественных функций. Фактически при этом до-
достаточно использовать более скромную теорию
РгАп + AC-NN + BID + BC-N.
Основной метаматематический результат Клини и
Весли [1] состоит в построении интерпретации типа
реализуемости для теории FIM в теории BSK. Тем самым
финитно доказана непротиворечивость теории FIM отно-
относительно BSK. Теория BSK допускает стандартную клас-
классическую модель, в которой функции интерпретируются
просто как теоретико-множественные объекты. Таким обра-
образом, установлена непротиворечивость специфически интуи-
интуиционистской теории FIM с классической точки зрения. Из
работы Клини [5] следует, что FIM обладает свойствами
дизъюнктивности и экзистенциальности.
Возможности опровержения законов классической ло-
логики предикатов в FIM и в смежных теориях исследова-
исследовались Гарговым [1].
Большое количество вариантов аксиом анализа порож-
порождает и большое количество трудных и интересных проб-
проблем , касающихся взаимоотношений этих вариантов. Боль-
Большая часть возникающих здесь вопросов еще не получила
решения. Например, требуется доказать, что, кроме явно
отмеченных тривиальных соотношений, между перечис-
перечисленными принципами нет иных логических связей, —
допустим, показать, что в РгАп + AC-NC + BID не вы-
выводится В1М. Ховард и Крайзел [1] показали^
что
РгАп + AC-NC + В1М + WC-N |- BC-N.
Требуется установить, что эта выводимость не имеет ме-
места, если заменить В1м на BId. Важными вариантами схем
выбора АС и схем непрерывности ВС являются такие,
в посылке которых стоит вместо существования 3 суще-
существование с единственностью Э!, например,
ВС-С!. УаЭфф (а, Р) Z) ЗуУаф (ал Y | «)•
6 А. Г. Драгалин
162
АНАЛИЗ
14. 4
Такие принципы в некотором отношении «гораздо кон-
конструктивнее», чем оригинальные схемы аксиом. Серия
проблем состоит в том, чтобы показать, что принципы
с единственностью существенно слабее, чем оригинальные
принципы. Например, верно ли, что в теории РгАп +
AC-NN + BID + ВС-С! не выводится AC-NC? Заме-
Заметим, что EL + ВС-С \— AC-NC. Другая серия задач —
показать, что схемы аксиом, в которых не допускаются
свободные переменные по функциям, существенно слабее
неограниченных принципов.
Принципиальная ценность решения такого рода проб-
проблем состоит в том, что при их решении приходится
конструктировать специальные понятия неклассической
истинности — интуиционистские модели^ в которых вы-
выполняется большинство интуиционистских законов, за ис-
исключением одного из ниху который имеет место только
в ослабленной форме. Интуиционистская теория Призва-
Призвана отражать некоторую идею эффективного построения в
математике. Предлагаемая модель обеспечивает эту эф-
эффективность в «чуть-чуть ослабленной» форме. Тем самым
мы яснее представляем себе весь богатый спектр различ-
различных видов «эффективного существования» в математике.
Например, М о с к о в а к и с [21 и Кроль [1] — [5]
построили несколько топологических моделей анализа,
из которых, в частности, следует, что если к BSK при-
присоединить BIM, BC-N! и BC-N без параметров, то прин-
принцип BC-N все же не выводится. Кроме того, если к
BSK присоединить В1М и BC-N, то ВС-С все же не
выводится.
Интересно исследовать также взаимоотношения ана-
анализа с дополнительными интуиционистскими принципа-
принципами. Например, вариант тезиса Чёрча вида Va GR (a)
просто опровергается в FIM, как мы указывали выше. Тем
не менее некоторая сильная форма тезиса Чёрча все же
совместна с FIM (Скарпеллини [41; сама модель
в более общей форме построена ранее в работе Драга-
л и н а [61, но эта форма тезиса Чёрча в указанной работе
не отмечена). А именно, по всякой формуле ф (а) может
быть построен частично рекурсивный терм ?ф (х), содер-
содержащий в качестве параметров х и все параметры формулы
Ф (а), кроме а (в том числе и все функциональные пара-
параметры ф)а причем следующая схема аксиом (при всех
2] СХЕМА КРИПКЕ 163
Ф (а)) совместна с FIM:
CTR. Эаф (а) Г) За (ф (а) Д УхЗу (у = ^ (ж) Д у =
а (ж))).
Это значит, что если существует а такое, что ф (а), то
это а может быть найдено алгоритмически относительно
параметров ф. Отсюда, в частности, следует совместность
схемы
ЗаФ (a) Z) За (GR (а) Дср(а)),
где ф (а) содержит единственный функциональ-
функциональный параметр а. В работе К л и н и [5] исследовано взаи-
взаимоотношение FIM с принципом Маркова —• этот принцип
не зависит от FIM. Актуальной задачей является уста-
установление точных взаимоотношений между ними. В сбор-
сборнике Трулстры [61 можно найти изложение мето-
методов доказательств и описание многих известных резуль-
результатов.
Обозначим через EL0 классический формальный анализ,
т. е. теорию EL, снабженную не интуиционистской, а
классической логикой. В работах Левина [1] — [3]
и К а н о в е я [11, [2] взаимоотношение различных вари-
вариантов схем выбора АС с EL0 исследовано очень подробно.
Например, из результатов Кановея следует, что после при-
присоединения к EL0 схемы AC-NC, схемы DC-C без параметров
и фрагмента схемы DC-C ограниченной сложности най-
найдется все же невыводимый пример схемы DC-C (большей
сложности).
Обзор многочисленных вариантов интуиционистских
принципов можно найти в работе Крайзела и
Трулстры [1J.
2. Схема Крипке. Рассмотрим следующие три схемы
аксиом в языке FIM:
KS+. За C* а(х) ф 0 ~ <р);
KS. За ((Уж а(ж)> 0 = ~] Ф) Д (Эж а(ж) ф 0 г> <р));
KS-. За (Уж а(ж) = 0 = ~| ф).
164
АНАЛИЗ
t4
Здесь ф — произвольная формула, не содержащая свобод-
свободно а. Легко видеть, что в РгАп имеем KS+ ID KS ZD
ks-.
Схема KS была предложена Кринке в качестве форма-
формализации теории Брауэра для последовательностей, зави-
зависящих от решения проблем (Б р а у э р [2], см. также
Гейтинг [3], с. 143—145).
Приведем аргументы в пользу схемы KS+, следуя
(приблизительно) изложению Рейтинга [3]. Пусть
дано предложение ф. Развернем в соответствии с этим
предложением построение некоторой свободно становя-
становящейся последовательности а следующим образом. Фик-
Фиксируем некоторую дискретную последовательность мо-
моментов времени 0, 1, 2,. . ., потенциально стремящуюся
неограниченно в будущее. Например, это может быть от-
отсчет дней, начиная с некоторого фиксированного дня.
Значения а(ге) будем вычислять последовательно — зна-
значение а (п) будет отыскиваться в момент п — согласно
следующему правилу. Если к моменту п доказано утвер-
утверждение ф, то положим а (п) =1. В противном "случае
положим а (п) = 0. В частности, если в некоторый момент
п доказано утверждение ~~1 ф, то для всех больших момен-
моментов т автоматически следует положить а (т) = 0. Эта
последовательность а и будет искомой. В самом деле, если
Зж а (х) Ф 0, то это означает, что в некоторый момент
было доказано ф и, следовательно, имеет место ф. Обрат-
Обратно, если имеет место ф, то, при некотором естественном с ин-
интуиционистской точки зрения понимании, это означает,
что ф доказано в некоторый момент времени п и, следо-
следовательно, а (п) = 1, т. е. 3# а (х) Ф 0.
Сразу видно, что приведенная выше аргументация со-
содержит много весьма непривычных с'точки зрения тра-
традиционной теоретико-множественной математики эле-
элементов. Во-первых, последовательность а, построенная
выше, таинственным образом зависит от течения времени,
от исторической ситуации, в силу которойтбудет"или не
будет доказано ф. По этой причине метод Брауэра
[2J называют также «историческими аргументами Брауэра».
Далее, построение а зависит от творческой деятельности
некоторого субъекта (или субъектов), который занимается
доказательством суждений. Относительно этого «творя-
«творящего субъекта» неявно делаются некоторые идеализирую-
2]
СХЕМА КРИПКЕ
165
щие предположения. При построении а, например, ис-
используется разбор случаев и, следовательно, предпола-
предполагается, что в каждый момент можно эффективно выяснить,
доказано или не доказано суждение ф. Творящий субъект
предполагается потенциально бессмертным, продолжаю-
продолжающим свою деятельность в любой момент времени. Впро-
Впрочем, это последнее предположение не особенно удиви-
удивительно с традиционных позиций, оно родственно идеали-
зациям типа абстракции потенциальной бесконечности,
в силу которой натуральный ряд рассматривается как
потенциально бесконечная совокупность.
Исторические аргументы Брауэра имеют важные след-
следствия для анализа, и поэтому были предприняты интен-
интенсивные попытки формализовать теорию творящего субъек-
субъекта (см., например, К р а й з е л [4], Майхилл [1] —
[3], Трулстра [2], ван Роотселаар [1],
ван Дален [1]). Схема Крипке (опубликованная
в работе Майхилла [1]) является одним из самых
удачных предложений такой формализации. Она позво-
позволяет получить все требуемые следствия (фактически для
этого достаточно уже KS~), близко соответствует ориги-
оригинальным рассуждениям Брауэра и не требует расширении
аналитического языка новыми предикатами (например,
предикатами, выражающими доказуемость суждений тво-
творящим субъектом; о таких предикатах см. в а н Роот-
Роотселаар [1], ван Дален [1]), имеющими весьма
экзотическую семантику.
В качестве следствия схемы Крипке отметим опровер-
опровержение некоторого варианта принципа Маркова.
2.1. В теории РгАп + BC-N! + KS~ выводится
-} У а П -] Эж а (ж) ф 0 Z) Зж а (ж) ф 0).
[> Допустим противное, и пусть
П И Зга (ж) Ф 0 Z) Зх а (х) Ф 0.
Согласно KS~ найдем р такое, что
Уж р (х) = 0 =5 П Vra (x) = 0.
Рассмотрим функцию у = kx (а (х) + |3 (х)). Если
Угу (х) = 0, то Ужа (х) = 0 и Ух$ (х) = 0, что невоз-
невозможно. Поэтому ~~1 Ужу (ж) = 0, т. е. ~~| ~1 Бху(х) Ф 0.
Пользуясь допущением, отсюда Зху(х) Ф 0. Тогда для
166
АНАЛИЗ
[Ч. 4
этого ж а (ж) ф О или 0 (ж) ^ 0. В первом случае
Эх а(ж) ф 0 и, значит, ~~| Ужа (ж) = 0, во втором случае
Уж a(x) — 0. Таким образом, мы получим
Va (Уж a (x) = 0 V V* a (ж) = 0).
Однако хорошо известно, что это последнее утверждение
опровергается с помощью BC-N! (К лини и Вес-
ли [1], п. 7.10, утверждение * 27.17). ? -
Далее, с помощью схемы Крипке можно вывести суще-
существование нерекурсивной функции и, более того, уста-
установить невозможность нумерации функций натуральными
числами.
2.2. Пусть ф (z, x, у) — формула аналитического язы-
языка. Тогда в PrAn + AC-NC + KS" имеем
За"""] ЗгУжу (а (ж) = у = ц> (z, ж, у)).
[> Используя KS~, заключаем
УжЗ<х(Угаа(ге) = 0 == ~~| Упц>(х, j (х, л),0)).
С помощью AC-NC отсюда следует, что найдется функция a
такая, что
Уж (Vna (/ {ж, «)) = 0 = -] Vmp (ж, у (ж, л), 0)).
Покажем, что эта функция искомая. Предположим про-
противное, и пусть для некоторого z
Уху (а (ж) = у = Ф (z, ж, у)).
Тогда Vrca (у (Ж) п)) = 0 = Угсф (z, у (ж, n)t о). Отсюда по
выбору a
Уж (Утр(г, / (ж, л), 0) == И Утр (ж, у (ж, л), 0)).
Подставляя ж = z, немедленно получаем противоречие. Г~)
2.3. fi PrAn + AC-NC -f KS- выводится
3a —| GR (а).
[> Это следствие 2.2. Достаточно положить
Ф (ж, у, z) ^= Зу B1! (z, ж, у) Д Uv = у). Г]
Схема Крипке обладает большой дедуктивной силой.
В теории PrAn + AC-NC + KS~ можно интерпретировать
классический анализ EL0. Эта тема обсуждается в работах
Майхилла [2] и Бернини [1]. Кратко идею интер-
интерпретации можно пояснить следующим образом: погружение
СХЕМА КРИПКЕ
167
EL0 в интуиционистскую теорию следует проводить с по-
помощью негативной интерпретации Гёделя, при этом пред-
предварительно EL0 следует сформулировать в терминах мно-
множеств натуральных чисел, а не функций. С классической
точки зрения обе формулировки эквивалентны, так как
множества можно изображать функциями (характери-
(характеристическими функциями множеств), а функции — множе-
множествами (множествами пар). При формулировке в терми-
терминах множеств аксиома AC-NN заменяется аксиомой свер-
свертывания
что имеет существенное значение при негативной интер-
интерпретации. При интерпретации предикат ж ? X изобра-
изображается отношением ~| ~~| Зп (a (j (ж, п)) ф 0) и для дока-
доказательства существования а, изображающего множество
X, как раз и используется схема KS~.
Теперь мы подходим к самому драматическому момен-
моменту в истории схемы Крипке — схема KS~ несовместна
с FIM!
2.4. Теория EL + ВС-С + KS~ противоречива.
?> Согласно KS~
УаЗР {Ух р (ж) - 0 = -| Уж а (ж) = 0).
Далее, согласно ВС-С найдется у ? Ко такое, что для
всякого a
Уж (у | а) (х) = 0 = П Уж а (ж) = 0.
Положим а0 = ХжО и ро == (у \ а0). Тогда ~~] Уж|30 (ж) = 0.
Допустим, что для некоторого z j30 (z) = Sn ^> 0. Так как
po = (<y | a0), то это означает, что найдется v такое, что
у (z*d0 (v)) = SSn. Определим теперь функцию а± так,
чтобы a0 (v) = ax{v) и ax{v) = 1. Так как a0 (v) = ах {v),
то (у | а0) (z) = (у | ах) (z) = Sn. По свойству у, так как
Эг ({у | ax) (z) Ф 0), получаем Уж аг (ж) = 0, что абсурд-
абсурдно ввиду а, (у) = 1. Таким образом, сделанное допущение
неверно и Уг р0 (г) = 0. Но это противоречит отмечен-
отмеченному перед допущением свойству |J0. Q
Полученный результат убеждает нас в том, что после-
последовательности, удовлетворяющие схеме Крипке, образуют
другой класс последовательностей, отличный от того
класса, который изучает теория FIM. Схема KS посту-
168
АНАЛИЗ
[Ч 4
лирует некоторый новый способ образования функций,
и нельзя ожидать, что эти новые функции обязательно
удовлетворяют всем ранее формулированным принципам.
М а й х и л л [2] предложил теорию
М - РгАп + AC-NG + BID + BC-N -f KS
в качестве формализации свойств класса функций, удов-
удовлетворяющих схеме Кринке (функции М называют иног-
иногда «эмпирическими», в отличие от «математических»
функций FIM (М а й х и л л [2], [3])). Естественно также
рассмотреть более слабую и более сильную теории М~
и М+, получающиеся из М заменой KS на KS~ и KS+
соответственно. Основная особенность М по сравнению
с FIM — замена принципа ВС-С теории FIM на более сла-
слабый принцип BC-N и, конечно, добавление схемы Кринке.
Полученная теория М и даже М~ очень полно отражают
все основные особенности интуиционистского анализа
Брауэра. Ослабление принципа ВС-С не мешает провести
все существенные теоремы анализа (так как для этого до-
достаточна схема BC-N, см. Клини и Весли A],
с. 104), а наличие схемы Крипке позволяет воспроизве-
воспроизвести и все исторические аргументы Брауэра.
Весьма нетривиальным оказалось доказательство не-
непротиворечивости М средствами классической математи-
математики. Основываясь на идеях Скотта [1], [2], М о с к о-
в а к и с [23 предложила модель для фрагмента теории М+
со схемой BC-N! вместо BC-N. Непротиворечивость М +
установил Кроль [2], [5]. Он же показал, что М+ обла-
обладает свойствами дизъюнктивности и экзистенциальное™,
а также (Кроль [4]) неэквивалентность схем KS+ и
KS.
Отметим также, что Весли [2] предложил некото-
некоторое ослабление схемы KS, достаточное для получения ос-
основных аналитических следствий исторических аргумен-
аргументов Брауэра и в то же время совместное с FIM.
3. Теория IDB (U). Это теория со многими сортами
функциональных переменных. Один из сортов выдет
лен, и объекты этого сорта мы будем называть конст-
конструктивными функциями или функциями, заданными
законом. Функциональные переменные этого выделенного
сорта мы будем обозначать латинскими буквами а, Ъ, с,
3]
ТЕОРИЯ IDB (U)
169
d,. . . Параметры по натуральным числам и конструктив-
конструктивным функциям мы будем называть конструктивными
параметрами, остальные функциональные параметры —
собственными. В обозначении IDB (U) через U обозначе-
обозначено конечное множество сортов собственных пе-
переменных. В частности, если U пусто, мы получим тео-
теорию ШБ, содержащую только два сорта переменных —
для чисел и для конструктивных функций.
Существенные аксиомы теории ШВ(?/) относятся к кон-
конструктивным функциям, а остальные сорта переменных
остаются, в сущности, неопределенными, что связано с тем,
что теория IDB (U) служит базисом для рассмотрения
различных видов последовательностей, которые мы ниже
будем описывать с помощью расширений теории IDB (U)
новыми аксиомами.
Интуитивно функция задана законом, если имеется
точное конечное предписание для вычисления любого ее
значения и это предписание полностью известно исследо-
исследователю. В духе современной теории вычислимых функций
имеется естественное делание отождествить функции, за-
заданные законом, с общерекурсивными функциями. Заме-
Заметим сразу же, что такое отождествление вполне возможно
(и к теории IDB (U) можно без противоречия присоеди-
присоединить аксиому, утверждающую, что все конструктивные
функции общерекурсивны), но в рамках IDB (U) такое
отождествление вовсе не является необходимым.
Напротив, можно рассмотреть стандартную классичес-
классическую модель IDB (U), в которой «конструктивные» функ-
функции — это просто все теоретико-множественные функции.
Роль конструктивных функций как «заданных законом»
проявляется в их отношении к другим сортам функций.
Эта роль формализуется в виде точных законов в тео-
теориях — расширениях IDB (U), например, в CS или LS
ниже.
Язык IDB (U) есть расширение многосортного языка
анализа. А именно, добавляется одна одноместная пре-
предикатная буква К (а), аргументное место которой можно
замещать переменными для конструктивных
функций. К (а) читается как «а есть непрерывный функ-
функционал» или ш есть непрерывный оператор» и часто будет
записываться в виде а ? К. Замысел состоит в том, чтобы
aj(< К означало то же самое, что а ? Ко в теории FIM,
170
АНАЛИЗ
[Ч. 4
но лишь для конструктивных функций. Ясное определение,
данное в FIM для а ? Ко, в теории IDB (U) непригодно
из-за того, что конструктивные функции могут не удовлет-
удовлетворять, например, аксиоме бар-индукции. Поэтому при-
приходится дать самостоятельное индуктивное опи-
описание класса К, не обращающееся к другим видам после-
последовательностей. Это описание восходит к Брауэру и
формализовано в работах Крайзела и Тру л-
с т р ы [1], Трулстры [1]. Само название IDB —
аббревиатура с английского языка («индуктивное опре-
определение Брауэра»).
Переходим к точному описанию теории IDB (?/).
3.1. Во-первых, аксиомами IDB (U) являются все
арифметические аксиомы, включая все примеры схем
аксиом равенства Eq и индукции Ind в нашем языке
(см. с. 155).
3.2. Аксиома примитивно рекурсивной замкнутости
для конструктивных функций имеет вид
PRC-кон. ЗаУх (а (х) = t (x)),
где t (х) — произвольный терм языка, не содержащий а
и содержащий только конструктивные пара-
параметры.
Эта схема утверждает, что любая примитивно рекурсив-
рекурсивная комбинация конструктивных функций вновь являет-
является конструктивной функцией. Ограничение на параметры
вполне естественно: комбинация собственных функций
может оказаться и неконструктивной.
Функторные обозначения а = Хх t(x) мы используем
так же, как в п. 1 этой части.
3.3. Аксиомы для непрерывных операторов:
1) а = kcSy Z)a?K;
2) а @) = 0 Д УхЪ (Ь = Ху а(х*у) Z) Ь 6 К) Z) а 6 К;
3) Уау (а = XxSy Z) Ф (а)) Д
(Va б К) (а @) = 0 Л Vzb F = Хуа (х * у) Z) <р (Ь)) =)
Ф (а)) 3 (Va € К) Ф (а).
Аксиомы 1) — 3) выражают в нашем языке индуктивное
определение класса К функций, заданных законом. Ак-
Аксиома 1) — базис этой индукции: если а есть функция-
константа, отличная от нуля, то а ? К. Аксиома 2) —
ТЕОРИЯ IDB (U)
171
шаг индукции: если а @) = 0 и для любой «сдвинутой»
функции Ъ =?= Хуа (х * у) уже установлено b ? К, то
а ? К. Удобно представлять себе (с помощью принятой
нами нумерации кортежей натуральными числами), что
функция а ? К определена на кортежах натуральных
чисел. Второй пункт определения класса К говорит, что
для выяснения а ^ К ъ случае a @) = 0 достаточно ус-
установить бесконечный набор «посылок»
1уа (б * у) ? К, Хуа A * у) 6 К,. . .
Определение класса К — пример так называемого об-
общего индуктивного определения. Это единственное общее
индуктивное определение, которое нам понадобится. Лег-
Легко указать теоретико-множественную трактовку опреде-
определения класса К. А именно, класс X конструктивных
функций назовем замкнутым, если для X выполняются
аксиомы 1) и 2) с заменой К на X. Нетрудно показать, что
пересечение любого семейства замкнутых классов есть
вновь замкнутый класс. В качестве К следует взять пере-
пересечение всех замкнутых классов. Интуиционистское об-
обсуждение общих индуктивных определений см. в статье
Трулстры [1].
Индуктивный характер определения К предполагает
возможность использовать в доказательствах принцип
индукции по определению К, который состоит в следую-
следующем. Пусть ф (а) — свойство конструктивных функций,
относительно которого установлено:
(i) все функции-константы, отличные от нуля, удовлет-
удовлетворяют ф;
(ii) если а ? К, а @) = 0 и всякая «сдвинутая» функ-
функция Ъ = Ху а(х * у) удовлетворяет ф, то отсюда следует,
что и а удовлетворяет ф;
тогда отсюда можно заключить, что при всяком а ? К
имеет место ф (а).
Аксиома 3) как раз и выражает этот индуктивный прин-
принцип отражающий ту .идею, что класс К получен «только
с помощью индуктивных пунктов 1), 2) и никак иначе»,
т. е. является минимальным замкнутым классом.
С помощью индукции по определению а ? К из ак-
аксиом 3.1—3.3 выводится следующее объемное свойство
класса К:
з.зл. я е ^ ль = о ь е ^.
172
АНАЛИЗ
14. 4
Напомним, что b = а означает V# (b (х) = а (х)).
Далее индуктивно легко вывести стабильность и запирае-
мость функций из К:
3.3.2. а е К Д а (х) ф 0_з а{х* у) = а (х);
3.3.3. а е Я ID УРЗ* a (Р (ж)) # 0.
Заметим, что в 3.3.3 р может быть функциональной пере-
переменной любого сорта (не обязательно конструктивной).
Другим приложением индукции по определению К
является следующий «принцип индуктивного спуска»,
напоминающий разрешимую бар-индукцию BId:
3.3.4. а 6 К Д Ух (а (х) ф 0 3 Ф (*)) Д
V* (У г/ <р(х*у)и<Р (*)) 3 ф @).
С> Определим формулу
ф (а) — У я (Уг/ (а (у) ф 0 3 Ф (х * у)) Д
У я (Уг/ ф (ж * z * г/) 3 ф {х * z)) 3 ф (х)).
"Ф (я)
индукцией по определению
Докажем (Уа 6
а 6 К. ?
3.4. Схема выбора. Это следующая схема аксиом:
AG-NC-KOH, УжЗяф(ж, a) Z) З&Уя ф(я, (fc)x),
где формула ф (х, а) содержит лишь конструктивные па-
параметры. Если для каждого числа х можно найти кон-
конструктивную функцию а, удовлетворяющую некоторому
условию, не зависящему от неконструктивных параметров,
то существует конструктивная функция Ь, ко-
кодирующая такие а для каждого х.
Определение IDB (U) закончено. IDB есть теория
IDB (U) в случае пустого U.
Непосредственным следствием схемы выбора являет-
является следующая схема:
AC-NN-кон. УяЗг/ ф (х, у) 3 BaVx ц> (х, а (ж)),
где формула ф (х, у) содержит лишь конструктивные па-
параметры. Сокращения (у = а (Р)) и (у = (а | |3)) мы вве-
введем так же, как в п. 1.4. Чтобы эти «равенства» имели
свойства настоящих равенств, необходимо установить
свойства типа однозначной определенности.
: 3.4.1. В IDB (U)
Это следствие стабильности и запираемости а (• К. \ |
4]
ТЕОРИЯ CS
3.4.2. В IDB {U)
а 6 К з V63!c (с = (а \ Ъ)).
г> Пусть а ? К. Фиксируем Ъ. Согласно 3.4.1
Vt> 3! и> (w = а ф * Ъ)). Здесь мы использовали PRC-
кон для образования функции v * Ъ. Применяя АС-
NN-кон, найдем искомую функцию с. Q
Заметим, что, вообще говоря, невозможно вывести
а ? К 3 УрЗ!у (у = (а | Р)) для других сортов функций,
Некоторые виды функций могут оказаться бедными, не-
незамкнутыми относительно непрерывных операций. Лем-
Лемма 3.4.2 показывает, что конструктивные функции замк-
замкнуты относительно таких операций.
4. Теория CS. Это теория в языке ЮВ (?/), где U —
одноэлементное множество, т. е. кроме конструктивных
функций в теории имеется еще ровно один вид собствен-
собственных функций. Переменные по собственным функциям мы
будем обозначать греческими буквами а, Р, у, б,. . . Тео-
Теория CS предложена Крайзелом (см. описание в работах:
Трулстра [1], Крайзел и Трулстра [1];
наше описание отличается некоторыми техническими де-
деталями). Сформулируем аксиомы CS.
4.1. Прежде всего это аксиомы IDB (U).
4.2. Схема примитивно рекурсивной замкнутости:
PRC-соб. ЗаУх (а (х) = t (x)),
где t (x) — произвольный терм теории, не содержащий
переменной а (однако он вполне может содержать другие
неконструктивные параметры).
С помощью этой схемы легко вывести, что конструк-
конструктивные функции составляют часть семейства собственных
функций. Точнее,
4.2.1. Уа За (а = а).
4.3. Схема выбора имеет вид
AC-NC-соб. УжЭаф (ж, а) 3 ЗРУ*ф(ж, ф)х).
Здесь, как обычно, ф (х, ф)х) следует понимать как сок-
сокращение для 3Y {у = (Р)* Д Ф (ж. 7)). а 7 = (Р)* озна-
означает У#G (у) = Р 0 {%¦> У)))- Эта схема позволяет обыч-
обычным образом вывести схему выбора для чисел:
AC-NN-соб. Уа;Эг/ф(ж, у) 3 ЗаУа:ф(а;, а (х)).
174
АНАЛИЗ
[Ч. 4
В свою очередь эта последняя схема используется для
доказательства замкнутости собственных функций отно-
относительности непрерывных операций:
4.3.1. «e^D VP3!Y(V = (а
4.4. Принцип аналитического задания имеет вид
А. Ф (а) 3 (За 6 К) By (а = (а | у) Д У рФ(а | Р)),
где ф (а) — произвольная формула, содержащая, кроме а,
лишь конструктивные параметры.
Эта принципиальная аксиома отражает то обстоятель-
обстоятельство, что закон образования собственной функции а из-
известен исследователю не полностью, а лишь «с точностью
до конструктивного непрерывного оператора». Если ис-
исследователь установил конкретный факт ф (а) относи-
относительно некоторой функции а, то факт ф имеет место и для
целого «пучка» функций, похожих на а. Точнее, если ф(а),
то существует конструктивный оператор а ?
К такой, что а есть образ этого оператора, а = (а | у),
и имеет место ф (б) для всех б, б = (а|Р). Вместе с а
свойством ф автоматически обладают и все функции (о | Р)
при возможных р. Невозможно установить какое-либо
конкретное свойство одной-единственной индивидуальной
существенно неконструктивной последовательности.
4.5. Принцип непрерывности имеет вид
ВС-С-соб. УаЭР ф(а, р) 13 (За е К) Уа <р(а, (а | а)).
Здесь ф (а, Р) кроме аир содержит лишь конструктив-
конструктивные параметры. Зато и в заключении утверждается суще-
существование не просто непрерывного функционала, а кон-
конструктивного непрерывного функционала.
4.6. Схема выбора для конструктивных функций:
BC-F.
ф(а, a) D (ЗЬ 6 К) ЭсУа <р(а, (с)Ь(а)).
Здесь а — единственный неконструктивный параметр фор-
формулы ф (а, а). В этой аксиоме выражена определенная спе-
специфика функций, заданных законом. Если УаЭаф(а, а),
то должен быть способ, указывающий конструктивный
объект а для произвольной функции а. Закон образования
5]
ТЕОРИЯ LS
175
а, по крайней мере для некоторых а, может быть и совсем
неизвестен исследователю. Следовательно, этот способ
должен указывать а фактически уже по конечному отрез-
отрезку а: для всякого а можно отыскать конечный фрагмент
а (п), зная который, уже можно целиком вычислить а та-
такое, что ф (а, а). Это и выражает заключение схемы BC-F.
Эта схема принципиально отличается от ВС-С-соб, где
каждое значение Р (т) вычисляется по конечному отрез-
отрезку а, причем требуемый отрезок а существенно зависит
от т.
Разумеется, выражение ф (а, (с)ца)) следует расшиф-
расшифровать стандартным образом, чтобы оно превратилось
в формулу нашего языка: ф (a, (c)t>(«)) =^ 3dy (у =
Ь (а) Д d = (с)у Д Ф (а, d)).
Определение Со закончено. Мы не стремились дать
минимальные варианты аксиом. Например, вместо AC-NC-
соб достаточно было взять AC-NN'.-соб, а затем AC-NC-соб
уже выводится с помощью ВС-С-соб и А.
Крайзел иТрулстра [1] показали, что все
схемы аксиом FIM выводимы в CS. Отсюда, в частности,
следует, что если формула ф не содержит переменных для
конструктивных функций и выводима в FIM, то она вы-
выводится и в CS. Известен и обратный результат, принад-
принадлежащий Трулстре (хотя его доказательство, по-видимо-
по-видимому, еще не опубликовано): если формула ф без конструк-
конструктивных функций выводима в CS, то она выводима и в
FIM. Таким образом, в некотором отношении CS есть кон-
консервативное расширение FIM. (В статье Крайзела
иТрулстры [1] приводится ошибочный контрпри-
контрпример к этому утверждению.)
С другой стороны, в статье Крайзела и Трулстры при-
приводится некоторая интерпретация CS в IDB. Тем самым
доказывается непротиворечивость CS относительно IDB.
Последняя же теория допускает стандартную классиче-
классическую модель.
5. Теория LS беззаконных последовательностей. Язы-
Языки теорий LS и CS совпадают. Однако собственные функ-
функции LS имеют совсем иные свойства, чем собственные
функции CS.
Аксиомы LS делятся на группы.
5.1. Прежде всего это аксиомы IDB (U).
176
АНАЛИЗ
[Ч. 4
5.2. Аксиома существования беззаконных последова-
последовательностей:
Уж За (а ? #)•
Здесь а ? х =5= а (lh ж) — ж. Аксиома гласит, что для
всякого кортежа х существует функция а, начинающаяся
с этого кортежа.
5.3. Определим
(а ф аи . . ., а„) ^ а ф ах Д . . . Д а ^ ап.
Следующая схема аксиом может быть названа принципом
полной неопределенности:
Ф (а, а1? . . ., а„) /\ (а ф аг, . . ., ап) id
Л Л1 " n)
Ф (Р, «!, . . ., ап))).
Здесь все неконструктивные параметры формулы ф (а,
alt . . ., ап) суть а, ах, . . ., ап. Если оц отсутствуют, то
в схеме аксиом следует опустить конъюнктивные члены
(а ф ах, . . ., ап) яффа^., ., а„).
Аксиома гласит, что если а отлична от остальных без-
беззаконных последовательностей, упоминающихся в усло-
условии ф, то все, что известно относительно а,— это некото-
некоторое ее начало х. Рассмотрим частный случай этой схемы,
когда параметры аа, . . ., ап отсутствуют:
Ф (а) Z) Зх (а 6 х Д (VP € *)ф (Р)).
Сразу видно, что схема напоминает принцип аналитиче-
аналитического задания А теории CS, но выражает гораздо более
сильную неопределенность: если установлен факт ф (а)
относительно беззаконной последовательности а, то факт ф
имеет место и для всего семейства функций {3, где р ? х.
Кортеж х определяется по свойству ф. Таким образом,
невозможно доказать какой-либо факт относительно а,
который не определялся бы уже начальным отрезком а.
Интуитивно в каждый момент исследователю известен
только конечный отрезок функции а «и ничего более»
относительно закона образования а.
5.4. Принцип разрешимости:
У ар (а = р V « Ф Р).
ТЕОРИЯ LS
177
Аргументировать в пользу этой аксиомы можно сле-
следующим образом. Беззаконную последовательность мож-
можно представлять себе в виде некоторого источника, по-
порождающего числа, причем закон образования этих чисел
совершенно неизвестен исследователю. Если а и Р задаются
одним и тем же источником, то а = р. Если же аир задаются
разными источниками, то исследователь принципиаль-
принципиально не имеет возможности установить а = Р, а это с интуи-
интуиционистской точки зрения естественно толковать как от-
отрицание а = р.
5.5. Определим ф (а0, . . ., ап) ^ Д (щф otj).
i
Теория LS содержит следующий принцип непрерывности
BC-N-LS:
Уа0 . . . а„ (Ф (а0, . . ., ап) 3 Зжф (а„, . . ., а„, х)) Ц)
(За 6 К) Уа0. . . ап(ф (а0, . . ., ап) Z) Ф (а0, . . ., ап,
a (vn(a0, . . ., а
Здесь а0, . . ., ап— единственные неконструктивные
параметры ф. При п — 0 посылки Ф (а„, . . ., а„) следу-
следует опустить. Формулу ф (а0, . . ., ап, a (vn (а0, . . ., а„)))
следует расшифровать стандартно:
Зу (у = a (vn (о0, . . ., ап)) Д ф (а0) . . ., а„, у)).
Однако толкование равенства у = a (vn (а0, . , ., ап)) уже
требует осторожности. Его не следует понимать,
например, как
Зу (Y = vn(a0, . . ., an)),
где vn(a0, . . ., an) = Xxvn(<x0(x), . . ., an(x)) есть
естественное склеивание нескольких функций в одну.
Дело в том, что в LS отсутствует схема PRC примитив-
примитивно рекурсивной замкнутости для собственных функций,
так что мы не в состоянии доказать существование у =
\п (а0, . . ., ап). Более того, с помощью 5.3 легко дока-
доказать, что схема PRC неверна даже в простейших случаях.
Например, в LS У р ~| ЗаУя (а (х) = р (ж)-Р (х)). Ин-
Интуитивно это совершенно ясно: последовательность р2 уже
не беззаконна, о ней кое-что известно, а именно, что она
есть квадрат другой последовательности! Поэтому мы ис-
истолкуем у = а (\п(а0, . . ., а„)) непосредственно в тер-
178
АНАЛИЗ
[Ч. 4
минах начальных отрезков а0, . . ., ап. Положим
у = a (vn(a0, . . ., ап))=^
Зг (Sy = a (vn (a0 (z), . . . ап (г)))).
5.6. Аксиома выбора для конструктивных функций
имеет вид
BC-F-LS. Va, . . . ап
(а
„,
а„, Ъ))
(аа, . . ., ап)
V
ая (=j*= (а0) . .
(а0, . . ., ап,
Определение теории LS закончено.
Теория LS предложена Крайзелом [1], [5], ак-
аксиома непрерывности приводится нами с исправлением
Трулстры [4]. Термин «беззаконная последователь-
последовательность» принадлежит Гёделю, Крайзел употреблял термин
«абсолютно свободно становящаяся последовательность».
К р а й э е л [1] показал, что LS полна по отношению к ло-
логике высказываний в следующем смысле: если формула
логики высказываний не выводится в НРС, то некоторый
ее пример опровергается в LS. В [5] Крайзел намечает
интерпретацию LS в IDB, что дает непротиворечивость
LS относительно IDB.
Отметим, что беззаконные последовательности теории
LS имеют так называемый «антисоциальный» статус (см.
Трулстра [3]), состоящий в том, что две такие пос-
последовательности либо равны, либо совершенно не зависят
друг от друга. Это обстоятельство отражено в аксиоме раз-
разрешимости 5.4 и в приставках типа (а Ф ах, . . ., а„) и
Ф (а0, . . ., а„) аксиом 5.3 и 5.6. В работе Д р а г а л и-
н а [6] предложен некоторый теоретико-модельный ана-
анализ этого явления, в частности, указаны различные виды
антисоциальных последовательностей, рассматриваются
одновременно в рамках одной теории социальные виды
функций (такие, как собственные CS-функции) и антисо-
антисоциальные — типа функций LS.
6. Примеры моделей. В этом разделе мы приведем и
обсудим несколько просто формулируемых примеров мо-
моделей для теорий интуиционистского анализа.
Вообще, в литературе имеется довольно много различ-
различных интерпретаций теорий FIM, CS, LS и их модифика-
модификаций, см., например, Клини иВесли [1], М о с к о-
ПРИМЕРЫ МОДЕЛЕЙ
179
вакис [1], [2], Скотт [1], [2], К р о л ь [1] - 15],
Крайзел и Трулстра [1], С к а р п е л л и н и
[1], [4], Ершов [11, Драгалин [5] — [7], ван
Дален [1], ван Хувен [1].
Гораздо менее исследовалось строение всего спектра
различных видов интуиционистских последовательностей.
Трулстра [3] предложил схему построения целого
класса различных видов функций. Идея состоит в том,
чтобы, отправляясь от беззаконных последовательностей,
получать остальные функции как результат действия не-
непрерывных операторов на уже полученные функции. В ра-
работах Трулстры [4], ван Далена иТрул-
стры [1] были сделаны попытки уточнить эти идеи,
построив конкретные формальные теории, призванные от-
отразить способы описания функций, но таким способом не
удалось получить, например, теории CS, что связано со
сложностью описания в схеме Трулстры социальных видов
функций.
! Приводимые ниже примеры являются методической
обработкой моделей из работы Драгалина [10].
6.1. Определим ВК-модель для языка LS следующим
образом.
Для сорта собственных переменных a, р, у, ... фик-
фиксируем стандартное счетное семейство новых констант
а, р, у, . . ., которые назовем символами функций или
каналами. Каналы мы рассматриваем как разрешимое
семейство конструктивных объектов, например, как се-
семейство натуральных чисел специального вида.
Момент t есть по определению вычислимая функция,
определенная на каналах "и перерабатывающая каждый
канал в натуральное число. При этом должно выполнять-
выполняться следующее условие: для всякого натурального т най-
найдутся канал а и натуральное п такие, что t (a) = m * п.
Интуитивно t есть информация о начальных фрагмен-
фрагментах каналов: t (a) = п следует читать как «а изображает
функцию, начинающуюся с кортежа и», т. е. a ? ге или
a (lh n) = п. Наложенное условие означает, что имеются
каналы, начинающиеся с любого наперед заданного кор-
кортежа.
Отношение упорядочения на множестве моментов за-
задается естественным образом: t' «^ t <н- для всякого кана-
180
АНАЛИЗ
{Ч. 4
ла a, t' (а) э*(а), где отношение i2j означает отношение
продолжения кортежей
х = у ^р 3z (х = у * z).
Пусть F — функция, сопоставляющая каждому кана-
каналу а некоторую функцию F (а) из натуральных чисел
в натуральные. Множество S моментов назовем путем
с пределом F, если, во-первых, t ? S =4 F (a) ? t (а) для
всякого канала а и, во-вторых, для всякого конечного
списка каналов аи . . ., ак и всякого семейства корте-
кортежей п17 . . ., щ такого, что F (щ) ?щ, найдется момент
t ? S такой, что t («х) э Щ, • ¦ •, t (ufc) = »)f. Легко ви-
видеть, что для данного S существует только один предел
F. Множество S моментов назовем путем, если существу-
существует F такое, что S есть путь с пределом F.
Теперь для данного момента t определим множество
путей Q (t), выходящих из t. А именно, S ?Q (t) & S
есть путь и для всякого f ? S t' ^ t.
Тем самым полностью определена шкала Бета —
Крипке.
Далее, сорту натуральных чисел в качестве объектной
области мы сопоставим множество со натуральных чисел.
При этом константе 0языка сопоставим, конечно, число 0.
Сорту конструктивных функций мы сопоставим множест-
множество всех теоретико-множественных функций. Сорту
же собственных функций мы сопоставим множество ка-
каналов.
Пусть / — функциональный символ языка LS и qy,
. . ., gn, m — предметные объекты соответствующих сор-
сортов. Определим открытое множество моментов | / (q±,
. . ., qn) ~ т |. А именно, t ? | / (ft, . . ., qn) ~ т | <н-
для всякого пути S ? Q (t) с пределом F после замены
каждого канала а, входящего в / (дх, . . ., qn), на функ-
функцию F (а) можно вычислить соответствующую примитив-
примитивно рекурсивную функцию f (gx, . . ., qn) и ее значение ока-
оказывается равным т. Более конструктивно это же опреде-
определение можно сформулировать следующим образом: t ?
I / (?и • • ч Qn) ~ т I 44 можно завершить вычисле-
н06 / ilii • • ч Qn) на основании только той информации
о каналах, которая заключена в t, и полученное значение
равно т (напомним, что для вычисления значения при-
примитивно рекурсивной функции требуется лишь началь-
6]
ПРИМЕРЫ МОДЕЛЕЙ
181
ный отрезок ее функциональных аргументов). Далее, оп-
определим стандартно t 6 II / (?i, • • •, <7«) ~ т II ^ (VS ?
Q (t))Ctf 6 S)(t' ? |/ (qt, . . ., qn) ~ т\). Если щ и пг -
два натуральных числа, то || пх = п2 \\ есть все множество
моментов или пустое множество в зависимости от того,
совпадают или различны числа пг и ге2.
Наконец, если А есть теоретико-числовая функция
(объект сорта конструктивных функций в нашей модели),
то t ?|| К (А) || 44 А есть непрерывный функционал.
Тем самым мы полностью определили модель язы-
языка LS.
Отметим основные свойства отношения вынуждения
?|p-<p:±?i?|[(p||, где ф — оцененная формула языка:
1) t ||- (г = s) 44 (VS 6 0 @) О*' 6 S) (информа-
(информация о каналах, заключенная в t', достаточна для вычисле-
вычисления значений оцененных термов г и s, и эти значения ока-
оказываются равными);
2) t |(— К (А) 44 А есть непрерывный функционал;
3) t \\- Ф д Ф 44 (* ||— ф) л (* 1Ь- Ч>);
4) t II- ф V ч> «* (vs e <? (t)) (Bf e sw \\- Ф) у
(t' \\- щ))\
5) f ||- (Ф з Ф) 44 (W < t)(t' ||- ф =4 *' ||- W;
6) i ||— J_ всегда ложно;
7) ? ||— Уиф (и) 44 для всех объектов q соответствующего
сорта t |f- ф (q);
8) t и- эшр (u) 44 (vs e <? (t))Cf e 5) a? (f и- ф (?)).
Мы будем писать \\— ф, если всякий момент t вынужда-
вынуждает ф. Если ф содержит параметры, то истинность \\— ф оз-
означает, как обычно, истинность замыкания формулы ф
кванторами общности.
6.1.1. Пусть t\\—y (&!, . . ., cim), где аь . . ., ат — спи-
список различных каналов, содержащий все каналы, встре-
встречающиеся в ф. Пусть *pit . . ., J3m — список различных
каналов и t' — момент такой, что t' (fij) э t (а^) для
всех ] = 1, . . ., т. Тогда t' \\- Ф фх, . . ., jjm).
О Индукцией по построению ф (ах, . . ., ат). Q
6.1.2. Следствие. Если оцененная формула ф
не содержит каналов, то t |f— ф <=? ||— ф.
6.1.3. Аксиомы IDB (U) выполняются в нашей моде-
модели, их истинность связана с тем, что соответствующие
принципы верны метаматематически.
182
АНАЛИЗ
[Ч. 4
Пусть, например, нужно доказать истинность аксио-
аксиомы индукции. Допустим t ||— ф @) /\ Ух (ф (х) 3<р (Sx))
и покажем t \— Уху (х). С этой целью установим, что для
всех натуральных п t\\— ф (п). Это же последнее утверж-
утверждение доказывается без труда с помощью содержательной
индукции по п с использованием допущения.
Некоторую специфику представляет только проверка
схемы выбора AC-NC-koh теории ШВ (С/), что связано
с особым толкованием существования в нашей, модели.
Пусть t |f— У^Заф {х, а). Тогда для всякого натураль-
натурального п t \\— Э«Ф (п, а). Отсюда следует, что для всякого
пути S ? (? (t) найдутся момент t' ? S и функция Ап та-
такие, что t' |f— ф (п, Ап). Так как ф (п, Л„) не содержит
каналов (в схеме AC-NC-koh формула ф (х, а) содержит
лишь конструктивные переменные!), то [[— ф (п, Ап). Вы-
Выберем внешним образом функцию В так, что (В)п = Ап
для всех п. Тогда \\— Уа;ф (х, (В)х).
6.1.4. Проверим теперь собственно аксиомы LS. Ак-
Аксиома существования 5.2 Ух За (а ? х) выполняется
тривиально вследствие нашего определения моментов тео-
теории. Аксиома разрешимости 5.4 также имеет место. Дей-
Действительно, t |f— a = J3, если аир совпадают, и t \\-* а Ф
Р, если аир различны, так как в этом последнем слу-
случае ни при каком t невозможно t \\— Ух (а (х) = Р (х)),
в чем легко убедиться, выбрав подходящее п и расширив
момент t до момента t' ^ t таким образом, чтобы [t' (а))п ф
It' (P)]n.
Рассмотрим принцип полной неопределенности 5.3. •
Пусть t |f— Ф (а, аи . . ., а„) и t \\- (а ф а1? . . ., а„).
Тогда канал а отличен от каналов alt . . ., an. Возьмем
t' 6 S 6 Q [t), и пусть п = 4' (а). Тогда t' |f— a 6 «• Кро-
Кроме того, если взять любой канал р, отличный от аг, . . ., ап
и такой, что t' |f— Р ^ п (что равносильно f' (Р) = t' (a)), то
согласно 6.1.1 имеем t' |f— ф (|3, alt . . ., ап). Таким обра-
образом,
*|f-3*(a6»A VP (Р.6 * Л (Р =? ах, • • •, «пK
Ф (Р, olf . . ., а„))).
Тем самым истинность 5.3 установлена.
ПРИМЕРЫ МОДЕЛЕЙ
183
Принцип непрерывности 5.5:
Va0 . . . ап(ф (а0, . . ., an) Z) Э^Ф (а0, . . ., а„, ж)) 3
(За 6 -^) Va0 . . . ап {ф (а0, . . ., an) Z)
Эг/z Eг/ = а (vn (a0 (z), . . ., ап (г))) Д <р (а0, . . ., а„, у)))
также выполняется в нашей модели. Что же касается ак-
аксиомы выбора для конструктивных функций 5.6, то она
может и не выполняться в нашей простой модели. Тем не
менее в рассматриваемой модели истинны многие специфи-
специфически интуиционистские факты теории беззаконных пос-
последовательностей.
Например, следующие две формулы истинны в нашей
модели одновременно:
Va ~1 Ух (а (х) =0) и ~] УаЗж (а (х) ф 0).
Никакая совокупность функций не может в классическом
смысле удовлетворять двум этим условиям.
Таким образом, ВК-модели могут быть с успехом при-
применены при анализе интуиционистских теорий.
6.2. Приведем еще пример модели для языка FIM.
Эта модель предназначена быть моделью теории последо-
последовательностей в стиле Клини и Весли.
Множество моментов этой модели есть просто множест-
множество всех натуральных чисел. На этом множестве определим
порядок, соответствующий упорядочению кортежей: х<^.у
=^ х э у =^= 3z (х = у * z).
Пусть F — функция из натуральных чисел в нату-
натуральные. Множество S моментов назовем путем с преде-
пределом F, если, jio-первых, t б S =*> F ? t (т. е. для некото-
некоторого п t = F (п)) и, во-вторых, для всякого п найдется
t 6 S, t з F (п). Легко видеть, что для данного S су-
существует только один предел F. Множество S моментов
назовем путем, если существует функция F такая, что
S есть путь с пределом F.
Теперь для данного момента t определим множество
путей Q (t), выходящих из t. А именно, S 6 Q (t) -fv- S есть
путь и t' э t для всякого t' 6 S. Тем самым мы опреде-
определили некоторую шкалу Бета — Крипке.
Далее, опишем объектные области модели. Сорту на-
натуральных чисел в качестве объектной области мы со-
сопоставим множество со натуральных чисел, константе 0
языка сопоставим число 0. Сорту собственных функций
184
АНАЛИЗ
[Ч. 4
языка FIM мы сопоставим множество U такое, что если
q ? U, то q есть функция двух аргументов, причем
1) область определения Dom q с со X со, а в качестве
значений q принимает натуральные числа, Rang q cr a»;
2) (t, п) б Dom q, t' < t =Ф q (t, n) = q (f, n);
3) для всякого пути S, q ? U, и всякого натурального
n существует t 6 S такое, что (t, n) ? Dom q. Неформаль-
Неформально говоря, объект q ? U изображает некоторую свободно
становящуюся последовательность а такую, что в момент
t известны лишь значения а (п), для которых (t, n) ?
Dom q и а (п) = q (t, n). Условия, наложенные на об-
область U, обеспечивают, что все значения а становятся
известными вдоль всякого пути. В каждый же данный мо-
момент t известен лишь фрагмент qt функции а, где qt {n) =
q (t, n).
Пусть / — функциональный символ языка FIM и q1, . .,
qn — предметные объекты соответствующих сортов.
Определим открытое множество моментов | / (qu . . .,
qn) ~ т |, где т — натуральное число. А именно,
* 6 I / (?1> • • •» Чп) ~ т I <Н- можно завершить вычисле-
вычисление примитивно рекурсивной функции/ (q1, . . ., qn), имея
только фрагменты qu неизвестных функций <ft.
Далее стандартно определим
*€ II/(ft, • •-, qJ~m\\*
qj |)
Как и раньше, || пх = п21| есть все множество моментов
или пустое множество в зависимости от того, совпадают
или различны числа пх и щ.
Тем самым определена некоторая ВК-модель для язы-
языка FIM.
6.2.1. Наша новая модель резко отличается по своим
свойствам от модели п. 6.1. Например, собственные функ-
функции модели п. 6.2 замкнуты относительно примитивно ре-
рекурсивных операций. Точнее, для всякого терма г (х)
языка FIM истинна формула 3aVx (а (х) — г (х)). Это —
схема PRC п. 1.2. А именно, |[— Vx (q (x) — г (ж)), где
q (t, n) = т -н- в момент t определено значение оцененно-
оцененного терма г (п) и это значение равно т (в противном слу-
случае q (t, n) не определено).
6.2.2. Можно предложить иную интерпретацию нашей
модели. Припишем каждой оцененной формуле открытое
ПРИМЕРЫ МОДЕЛЕЙ
185
подмножество пространства Бэра В® по правилу
II ф II = {/ е в« | э» ((/ б п) д (»II- ф))}-
Тем самым возникает некоторая топологическая модель
для языка FIM, которая по существу совпадает с тополо-
топологической моделью, предложенной Московакис [2].
Московакис проверила, что в этой модели истинны
все аксиомы FIM, за исключением принципа непрерыв-
непрерывности Брауэра ВС-С. Принцип непрерывности выполня-
выполняется в этой модели только в форме BC-N и то лишь в огра-
ограниченной форме: с посылкой вида Va ЭЬф (а, х) или с по-
посылкой вида УаЭ^Ф (а, х), но в случае, если эта посылка
не содержит функциональных параметров. Как показали
Кроль [1] и в а н Дален [1], полный принцип
BC-N не имеет места в этой модели.
6.2.3. Особый интерес модель п. 6.2 представляет вви-
ввиду истинности в ней схемы Крипке в сильной форме KS+
(см. п. 2). А именно, \\— 3xq (х) Ф 0 == <р, где объект q
определяется следующим образом. Пусть t — момент и
к = lh t — его длина. Рассмотрим члены [t]0, [t]lt . . .,
[t]k-i кортежа t. Положим q (t, i) = 0, где i <^ к, если
неверно <[*]„, . . ., Uh-i> \\— ф. Положим q (t, i) = 1,
если <U]0, . . ., [?]{_!> \\— <p. Для i > к значение q (t, i)
не определено.
6.2.4. Наше представление топологической модели в
форме ВК-модели заметно облегчает исследование интуи-
интуиционистских принципов. В качестве примера рассмотрим
проверку истинности принципа непрерывности в следую-
следующей форме:
УаЭ'.хф (а, х) 3 Va3zzVp (а (г) = Р (*) Z) Ф (Р, х)).
Пусть t \\— УаЗ!яф (а, х); покажем, что t вынуждает зак-
заключение принципа. Непосредственно из допущения сле-
следует, что для t' ^ t имеем
Vg (V5 6 Q (*')) О*' 6 S) Вт (t" |h ф (q, m)), A)
Vqmn (f |h Ф (q, m) Д t' \\- ф (q, n) =Ф т = n). B)
Возьмем произвольный функциональный объект q0 и ус-
установим
* lh ЭжгУР (q0 B) = Р {z) ID Ф (Р, х)).
186
АНАЛИЗ
. 4
Предположим, что это не так. Тогда найдется путь So ?
Q (t) такой, что для всех t' ? So и всех натуральных т, п
неверно, что
*' Ih- VP (q0 (п) = р (n) Z) Ф ф, т)).
Согласно A) найдутся *„ ? ?0 и то0 такие, что
h Ih ф (q0, mQ). C)
По допущению для всех п и Г ? 50 неверно Г |(— V0 (g0 (re) =
Р (п) ZD Ф (Р, /га0)). Отсюда следует, что можно най-
найти три последовательности {*,,},, {^.},, {Чк)}: таКие,
что для всех к имеем tk ? So, th+l < tbl ^ < tk, дли-
длина ^ (как кортежа натуральных чисел) > & и, наконец,
h |h- ?а- (к) = q0 (к), в то время как неверно, что ti II—'
Ф (ft, ш0).
Пусть & > 0. Заметим, что не может быть (VS f. (? (ti))
(dt ? ?)(? |h- Ф (ft, /»0))v, так как тогда было бы tjc |h-
Ф (ft, ^o)- Поэтому найдется путь S* 6 Q (Q такой
что для всех t" е ^ неверно t" \\- Ф (^., т0). С другой
стороны, ввиду A) найдутся tl ? Si л тк такие, что ti |f—
Ф (ft, "г»)- Очевидно, что тогда wft ^ т0 и ^ ^ гА..
Сконструируем теперь объект q следующим образом.
Вдоль пути So в каждый момент tk о функции q имеется
лишь информация, совпадающая с первыми к значениями
функции q0 вдоль пути So. Далее, для четного к строим
функцию? так, чтобы t"k \\~ д = q0 и для нечетного к бы-
было tk |h~ q = ft- Возможность такого построения связана
с тем, что tx \\~ qk (к) = q0 (к). Напомним, что (а = р) =-
Ух (а (х) = р (х)). Согласно A) найдутся некоторое
U и т так, что ta \\- ф (?, т). Если взять четное к > s, то
отсюда *; ||— ф (д0, то), что ввиду B) дает т = го0. Если
же взять нечетное А > s, то из t"k\\-q = qh. получим t"k ||—
Ф (ft, »г), что вновь ввиду B) дает т = гщ. Но тк ф
т0, и мы приходим к противоречию.
ЧАСТЬ 5
УСТРАНИМОСТЬ СЕЧЕНИЯ
В ИНТУИЦИОНИСТКОЙ ПРОСТОЙ ТЕОРИИ
ТИПОВ В ФОРМЕ ИСЧИСЛЕНИЯ СЕКВЕНЦИЙ
С ОБЪЕМНОСТЬЮ
В качестве приложения алгебраических методов мы да-
дадим детальное доказательство устранимости сечения в ин-
интуиционистской простой теории типов с правилом объем-
объемности (экстенсиональности). Теория будет задана при
этом в форме генценовского исчисления секвенций. Ре-
Результат такого типа получен Такахаси [3J. Наша си-
система отличается от теории Такахаси только наличием
полного набора логических связок, но предлагаемое дока-
доказательство существенно иное и с интуиционистской точки
зрения имеет ряд важных преимуществ.
Как известно, обычные методы доказательства устра-
устранимости сечения, например, типа, приведенного нами
в первой части, оказываются непригодными для логик
высокого порядка. Причиной является непредика-
непредикативный характер таких исчислений, в которых вмес-
вместо параметров формул в определенных случаях разреша-
разрешается подставлять термы, более сложные, чем сами исход-
исходные формулы. Из-за этого основная индукция по логиче-
логической сложности главной формулы сечения разрушается
и доказательство не проходит. Т а к е у т и [1] показал,
что это обстоятельство не случайно: доказав устранимость
сечения в простой теории типов, можно уже элементарно
доказать непротиворечивость простой теории типов с ак-
аксиомой бесконечности. Простая теория типов с аксиомой
бесконечности — очень обширная теория, естественно фор-
формализующая практически все разделы «работающей» клас-
классической математики. Таким образом, в силу известной
теоремы Гёделя, само доказательство устранимости сече-
сечения не может быть элементарным — более того, оно не мо-
может быть даже проведено средствами такой сильной тео-
теории, как простая теория типов с аксиомой бесконечности.
Доказательство устранимости сечения представляет по-
поэтому замечательный пример весьма неэлементарного
доказательства просто формулируемого синтаксического
утверждения,; | представляющего несомненный интерес.
188
СЕЧЕНИЕ В ПРОСТОЙ ТЕОРИИ ТИПОВ
[Ч. 5
С точки зрения оснований математики принципиальный
интерес приобретает анализ формы этого доказательства.
Методы доказательства устранимости сечения в не-
непредикативных теориях появились сравнительно недавно
(см., например, Т е й т [1], П р а в и ц [2], Т а к а х а-
с и [1]). Метаматематика этих первых доказательств бы-
была существенно классическая, теоретико-множественная
с применением закона исключенного третьего. Пример та-
такого доказательства для теории определимых множеств
с бесконечнопосылочным правилом обобщения можно най-
найти также в работе Драгалина [12]. Позже Жирар
[1] предложил новый метод доказательства устранимости
сечения в интуиционистских теориях, не требующий при-
применения закона исключенного третьего. П р а в и ц [3] и
М а р т и н-Л ё ф [2] приложили этот метод для доказа-
доказательства устранимости сечения в интуиционистской логи-
логике второго порядка в форме натурального вывода.
Предлагаемое ниже доказательство (Драгалин [9])
устранимости сечения, конечно, неэлементарно, что и
невозможно в силу вышеупомянутого результата Такеути
(мы дадим доказательство этого последнего результата в
п.4 ниже), но все же не использует закона исключенного
третьего и протекает в рамках интуиционистской теории
видов. Точнее, можно показать, что доказательство устра-
устранимости сечения из выводов ограниченной сложности само
формализуется в интуиционистской простой теории типов
с аксиомой бесконечности. В этом смысле предлагаемое
доказательство — в стиле Жирара [1], а не Т а к а
х а с и [3]. Мы проводим доказательство в стиле Жирара —
Мартин-Лёфа — Правица для обычного исчисления секвен-
секвенций, а не для натурального вывода или систем типа секвен-
секвенциальной системы Шютте (см., например, Освальд
[2], Б у х х о л ь ц [1]), метод доказательства распрост-
распространен на теорию с правилом объемности и, наконец, наше
доказательство имеет специальную алгебраическую фор-
форму. В действительности строится конкретная модель для
рассматриваемого исчисления такая, что из истинности
секвенции в этой модели следует ее выводимость без се-
сечений. Логика модели образует алгебру с пополнением,
так что модель является примером применения алгебр с
пополнением в конкретных исследованиях по теории ин-
интуиционистского вывода. Кроме того, если в исчислении
Ч. 5]
СЕЧЕНИЕ В ПРОСТОЙ ТЕОРИИ ТИПОВ
189
отсутствуют связки V' 3 (а они выражаются через ос-
остальные связки, см. ниже п. 4), то наша алгебра образу-
образует модель Крипке и мы получаем в качестве побочного ре-
результата интуиционистское доказательство следующего
варианта теории о полноте: если секвенция верна во вся-
всякой модели Крипке (или хотя бы только в нашей выделен-
выделенной модели), то она выводима (и даже без сечений).
1. Определим язык нашей теории.
1.1. Индуктивное определение типов:
1) 0 и 1 суть типы;
2) если ть . . ., тп суть типы, то (тх, . . ., тп) есть тип
(п > 1). х
1.2. Для каждого типа т мы фиксируем бесконечное
множество Утх переменных типа т.
1.3. Для каждого типа т язык может содержать неко-
некоторое, может быть и пустое, множество констант типа т.
Кроме того, язык содержит особую константу _|_ типа 1 —
«ложь».
Что касается функциональных символов, то наш язык
содержит лишь функциональные символы типа 0, все
аргументные места которых имеют тип 0.
Наконец, язык содержит некоторое, может быть и пус-
пустое, множество предикатных символов, аргументные места
которых имеют тип 0.
1.4. Индуктивное определение терма типа т:
1) переменная типа т есть терм типа т;
2) константа типа т есть терм типа т;
3) если tx, . . .,tn суть термы типа 0 и / — га-местный
функциональный символ, то f {tx, . . .,tn) есть терм
типа 0;
4) если tlt . . ., *„ суть термы типа 0 и Р — «-местный
предикатный символ, то Р {tu . . ., tn) есть терм типа 1;
5) если ф, "ф — термы типа 1, то (<р Д ^) есть терм
типа 1;
6) если ф, я|) — термы типа 1, то (ф V 'Ф) есть теРм
типа 1;
7) если ф, t|) — термы типа 1, то (<pDf) есть терм
типа 1;
?8) если х — переменная некоторого типа и ф — терм
типа*1, то Уяф_есть терм типа 1;
190
СЕЧЕНИЕ В ПРОСТОЙ ТЕОРИИ ТИПОВ
[Ч. 5
9) если х — переменная некоторого типа и (р — терм
типа 1, то Зщ есть терм типа 1;
10) если хг, . . ., хп суть различные переменные типов
тх, . . ., тп соответственно и ф — терм типа 1, то "кхг . . .
х„<р есть терм типа (тг, . . ., тп);
И) если I — терм типа (т^, ..., тп) и /1( ...,/„ — тер-
термы типов xlt . . ., тп соответственно, то Aи ...,/„ ? 0 есть
терм типа 1.
Определение терма закончено.
Обычным образом классифицируем переменные в тер-
терме на свободные и связанные, считая, что «кванторные
приставки» V#, 3#, "kxi . . . хп связывают соответствую-
соответствующие переменные.
Мы систематически не будем различать термы, отли-
отличающиеся лишь переименованием связанных переменных,
и, в частности, в выводах свободно заменяем такие термы
друг на друга.
Выражение {1){хг, . . ., хп \ lt, . . ., ln) означает резуль-
результат одновременной подстановки вместо свободных вхож-
вхождений переменных хи . . ., хп (переменные предполагают-
предполагаются различными) термов 1г, . . ., 1п соответственно. При
этом переменная х\ и терм 1{ имеют одинаковый тип. Мы
считаем, что при такой подстановке производится в не-
необходимых случаях автоматическое переименование свя-
связанных переменных терма I. Рассматриваемое выражение
мы сокращаем до I (хх, . . ., хп \ 1Х, . . ., Zn) или даже до
I (/]_, . . ., /„), если упоминание о переменных хг, . . .,
хп несущественно.
1.5. Термы типа 1 назовем формулами. Формула на-
называется предложением, если она не содержит свободных
переменных. Множество термов типа т обозначим через
Ттт. Набор формул есть по определению неупорядочен-
неупорядоченное конечное (может быть, и пустое) множество формул,
в котором, однако, допускается повторение нескольких
экземпляров одной и той же формулы. Секвенция есть фи-
фигура вида Г -*¦ ф, где Г — набор и ф — формула.
2. Опишем систему интуиционистской простой тео-
теории типов.
2.1. Аксиомы системьГимеют один из'видов:
где
ф -*¦ ф ИЛИ J_
— произвольная формула.
ф,
Ч. 5]
СЕЧЕНИЕ В ПРОСТОЙ ТЕОРИИ ТИПОВ
191
Правила вывода системы делятся на следующие
группы:
2.2. Основные логические правила:
(ФЛ
(фЛ1
(фУ1
г-
(ФЭЧ
Уа;ф(
Ф
Ч>)Г-т, '
*г—ч .
«Г-Н.Ц '
-»г); 1{эг —»Ti
»г-ч
-»ф; oj?r —»Tj
,)Г-»Т1
± .
Ф '
Ф(*)-»Л .
а:)Г^Т1 '
г—(фЛ*) '
г-»*
(->=))
(з->)
C-*)
(->0 г
Здесь предполагаются выполненными некоторые обычные
условия. Так, в правилах (-»- V) и C -»-) переменная х
не входит свободно в Г и т). В правилах (V -*-) и (—*• 3)
переменная х и терм t имеют одинаковый тип. Перемен-
Переменные Xj_, . . ., хп в правилах (?-»-) и (->- ^) различны, и
каждая переменная ^ имеет тот же тип, что и терм ?j.
2.3. Правило объемности (экстенсиональности) (ср.
Такахаси [3]):
ф
(*
г
(*1,....
1,..., tn
—* ф (Sll
х„
.«я
l*t,
*п)
ф)
.*п)
••л
где / есть переменная или константа типа (т17 . . ., т„),
причем по крайней мере одно из т^ не равно нулю. Далее,
если Ti = 0, то ti совпадает с г\. Список il7 . . ., im есть
полный список всех индексов i таких, что т^ Ф 0. Если
г* = 1, то «Sii есть секвенция ^Г -*¦ Г{, a S2i есть секвен-
192
СЕЧЕНИЕ В ПРОСТОЙ ТЕОРИИ ТИПОВ
[Ч. 5
Ч. 5]
СЕЧЕНИЕ В ПРОСТОЙ ТЕОРИИ ТИПОВ
193
ция г4Г -> ti. Наконец, если т{ = (аь . . ., ак), то Sri есть
секвенция
a S2i есть секвенция
(xlt. . .,**GrO Г->(*!,. . .,z*6«i),
где хг, . . ., Хк — список различных переменных, не вхо-
входящих свободно в п, tu Г, типов ах, . . ., afc соответст-
соответственно.
2.4. Основные структурные правила:
w-ifeb
(st)
2.5. Единственное дополнительное структурное пра-
правило — сечение:
(cut)
Г-хр;
ГП-»т)
Формулировка системы закончена.
2.6. Если секвенция S выводима в этой системе, то мы
будем писать \— S; если же S можно вывести без употреб-
употребления правила сечения, то мы будем писать |—+ <S.
Основной результат этой части можно формулировать
следующим образом: для всякой секвенции S, если [— S,
то |—+ S.
3. В нашей системе вместо переменных типа 1 разреша-
разрешается подставлять произвольные формулы рассматриваемо-
рассматриваемого языка. Это обстоятельство сказывается, например, в
формулировке правил (V ->) и (-> 3), если х — перемен-
переменная типа 1.
Как заметил Правиц [1], в такого рода системах
связки Д, \/, 3, J_ можно выразить через Z) и V. А имен-
именно, если х — переменная типа 1иу- переменная произ-
произвольного типа, то можно положить
(ф Л Ч>) =^ V* ((ф Z) (ф Z) х)) Z) х);
(ф V Ч>)
((ф
х) ZD х));
ж);
J_ =^
Если рассмотреть фрагмент нашего языка, не содержащий
Д, V> 3, JL» а затем ввести эти связки с помощью выше-
вышеуказанных определений, то все правила, касающиеся
вновь определенных связок, можно вывести как допусти-
допустимые правила в сокращенной системе. В полном же нашем
языке вышеуказанные соотношения можно просто вывес-
вывести как эквивалентности. Мы все же предпочли систему
с полным набором логических связок с целью более ясно-
ясного выявления алгебраических аспектов нашего доказа-
доказательства.
4. Наметим теперь доказательство результата Такеу-
ти. Предположим, что уже доказана устранимость сечения
в нашем исчислении.
Фиксируем двуместный предикатный символ Р (х°,
у0) и обозначим через .F замкнутую формулу, выражающую,
что Р (х°, у0) задает строгое линейное упорядочение объ-
объектов типа 0 без наибольшего элемента. Формула F содер-
содержит лишь предикатный символ Р и кванторы только по
переменным типа 0.
Если формула ф выводима в теории типов с аксиомой
бесконечности, то секвенция F —>- ф выводима в нашей си-
системе, так как аксиома бесконечности следует из F. В част-
частности, если теория типов с аксиомой бесконечности про-
противоречива, то в нашей системе выводится F —>- _[_, а зна-
значит, выводится и без сечения. Но F — формула первого
порядка, так что вывод без сечений секвенции F -> J_ ав-
автоматически оказывается выводом в обыкновенном исчис-
исчислении предикатов первого порядка. Оказывается, таким
образом, что обычная теория первого порядка с аксиомой
F противоречива.
С другой стороны, существует весьма элементарное до-
доказательство непротиворечивости такой простой теории,
как элементарная теория с аксиомой F (например, см.
К л и н и [2], § 79). Таким образом, мы получаем эле-
элементарное доказательство непротиворечивости простой
теории типов относительно теоремы об устранении сече-
сечения.
5. Модельной структурой назовем набор А = {В,
{Ux}xy, где В — полная псевдобулева алгебра, Uo — не-
непустое множество, Uxci В и для каждого типах = (tj,. . .,
7 А. Г. Драгалин
194
СЕЧЕНИЕ В ПРОСТОЙ ТЕОРЖИ ТИПОВ
[Ч. 5
. . ., т„) Ux есть подмножество множества всех отображе-
отображений вида
uXi х ... х иХп -> в.
5.1. Если р, q? Ux, то определим объект | р = q J
индукцией по построению типа т:
1) т = 0, тогда j р = q | есть единица (наибольший
элемент) В в случае совпадения р и q и нуль алгебры 2?
в противном случае.
2) т = 1, тогда | р = ^ | = (р <-> q), где
и Z), Л ~~ операции в псевдобулевой алгебре 5.
3) т = (Ti, • • •, тп), тогда
I Р = Я I ^ Л {Р (Pi. • • •. Рп) <^q (Pi, • • -i J»n) J
где пересечение (нижняя грань) берется в смысле алгеб-
алгебры В.
5.2. Модельную структуру А назовем экстенсиональ-
экстенсиональной, если для т = (т1? . . ., тп), р ? Ux, Pi, q\ 6 Ux. име-
имеет место
I Л = 9i I Л • • • Л I Рп = Qn I Л P 0>i. • • -.
где ^ — естественное частичное упорядочение в алгеб-
алгебре В.
5.3. Лемма. В экстенсиональной модельной струк-
структуре имеют место следующие свойства отношения
\Р = Ч\-
a) I Р — Р I есть единица алгебры В;
b) \р = ? | = \q = р |;
c) 1р = в1Л1г = '-К1р = '-1;
d) I ;> = g I Л Л (I Pi = ft ! 11 < * < n) Л
( )
P (Л. • • •'
Непосредственной индукцией.
. . ., qn).
5.4. Для данной модельной структуры Л естественно
определяется понятие оцененного терма или А-терма.
А именно, мы расширяем наш язык, добавив к нему для
ч. 5]
СЕЧЕНИЕ В ПРОСТОЙ ТЕОРИИ ТИПОВ
195
каждого типа т все элементы области Ux в качестве новых
констант типа т. Заметим, что мы предполагем, что вновь
введенные константы отличны от остальных элементов
языка. Затем определяем понятие терма типа т в расши-
расширенном таким образом языке индуктивно, как в п. 1.4,—
это и будут .4-термы. Можно представлять себе, что .4-тер-
.4-термы получаются из обычных термов путем замещения в
последних некоторых параметров объектами областей Ur.
Подобным образом вводится понятие А-секвенции, со-
составленной из А-формул.
5.5. Будем говорить, что модельная структура А спе-
специализирована для нашего языка, если
a) каждой константе / типа т сопоставлен некоторый
элемент / б Ux;
b) каждому n-местному функциональному символу /
сопоставлена га-местная функция f:U0X...xU0^-
c) каждому n-местному предикатному символу Р со-
сопоставлена га-местная функция Р: Uo X . . . х Uo-+ В.
Указанное сопоставление называется специализацией
структуры.
5.6. Если дана специализированная структура, то
можно естественно определить частичную функцию, со-
сопоставляющую некоторым замкнутым Л-термам значение.
При этом, если t есть замкнутый .4-терм типа т и значение
| t | этого терма определено, то необходимо | t | ? Ux.
Определение | t \ проводится индукцией по построе-
построению терма t (см. п. 1.4) и содержит следующие индуктив-
индуктивные пункты:
1) Значение определяется лишь для замкнутых А -тер-
-термов и не определено для переменных.
2) Если t есть константа языка типа т, то в соответст-
соответствии со специализацией структуры положим \ t \ = 1.
Если t ? Ux, то положим \t] = t.
з) \f(tlt..., *„) i = f (Mil—, \tn I).
4) \P(h, . . ., tn) | =Р(|*! |, . . ., \tn |).
5) | ф Д ч> I = I ф I \ 14>|.
)|Фф| Ч
8) i Vx<p i = л {I ф (* I g) 11 q e
196
СЕЧЕНИЕ В ПРОСТОЙ ТЕОРИИ ТИПОВ
[Ч. 5
9) (IP(!7) I \q?r}
10) | Ххг . . . xnq> | есть функция q,
q: UXl X . . . X Ur^ ->¦ B,
(где переменная хц типа т,) такая, что для всяких q\ б Ux.
1 (ft, • • •, Чп) = I Ф (*1, • • •, х* I ?!,•¦•, ?п) I-
При этом значение | %х1 . . . хп(р [ считается определен-
определенным, если определены все значения |ф(з;1, . . ., хп \ qx, . . .,
qn) | и, кроме того, q б Ux, где т = (tj, . . ., т„).
11) Mi, ..., «„€* I = 1ИA*1 I, ¦ • ., |*« I).
При этом для определенности сложного терма необхо-
необходимо, чтобы были определены значения его соответствую-
соответствующих частей и, кроме того, значение сложного терма попа-
попадало в соответствующую область. Например, в 6) значение
I ф V Ф I считается определенным тогда и только тогда,
когда определены значения | ф | и | ф [ и, кроме того,
I Ф I V 1*Р I б &i' В 8) значение | Ухц> | определено тогда
и только тогда, когда для всякого q б Ux определено зна-
значение | ф (ж | q) | и, кроме того,
\{\v(x\q) I \q^ux}^ut.
Модельную структуру, специализированную для язы-
языка, назовем моделью, если значение | t \ оказывается оп-
определенным для всякого замкнутого .4-терма.
Естественно определяется и значение | S [ замкнутой
Л-секвенции. Именно, значение секвенции щ, . . ., ф„-»-п
есть по определению значение формулы фх Д . . .
Л Фп => л-
5.7. Теорема. Пусть дана экстенсиональная мо-
модель А. Пусть S — секвенция, |— S и S' — замкнутая сек-
секвенция, получающаяся из S замещением всех свободных пе-
переменных S объектами А соответствующих типов. Тог-
Тогда | 5" | есть единица псевдобулевой алгебры модели.
Этот хорошо известный факт доказывается индукцией
по построению вывода f— S секвенции S. Заметим, что
в этой теореме имеется в виду выводимость в п о л н о й
системе с сечением.
6. Приступим теперь к определению конкретной мо-
модельной структуры А, которая и будет единственной су-
существенной для дальнейшего.
Ч. 5]
СЕЧЕНИЕ В ПРОСТОЙ ТЕОРИИ ТИПОВ
197
Обозначим через N множество всех наборов формул
в смысле п. 1.5. Определим на N частичный порядок <;,
положив Г <^ А; если A cz Г как множества с повторе-
повторениями, т. е. если, во-первых, каждая формула из А вхо-
входит и в Г и, во-вторых, если А содержит к экземпляров
формулы ф, а Г содержит I экземпляров формулы ф, то
необходимо к^ I.
Множество X, X с: N, назовем полным, если X удов-
удовлетворяет следующим условиям:
1) 1 6 X;
2) Г б X =» ФГ 6 X;
3) ффГ б X =» фГ ? X;
4) г|)Г б X; f-+ (Г ^ Ф) =» (q> ZD $ )Т б X;
5) ФГ б X ^ (Ф Д т|,)Г б X;
6) фГ б X, чрГ б X =» (Ф V 40 Г € X;
7) ф{ж М)Гб Х^ УхфГ б X;
8) пусть а; — переменная типа т, не встречающаяся
свободно в Г и такая, что для всякой переменной у типа
т ф (х | у)Т б X, тогда 3:прГ б X;
9) ф fo, . . ., хп Mi, • • •, *П)Г б ЗГ -» (*i, . . ., *п б
^гх . . . хиф) Г б X.
Можно заметить, что пересечение любого семейства
полных множеств вновь оказывается полным и что само
множество N является полным. Отсюда следует, что для
всякого множества X сг N существует наименьшее пол-
полное множество DX, X cz DX(аименно, пересечение всех
полных множеств, содержащих X).
Таким образом, возникает набор М = <iV, <^, D),
который, как оказывается, образует алгебру с пополне-
пополнением, заданную порядковой топологией (п. 2 ч. 3).
Действительно, нужно проверить, что операция D
удовлетворяет условиям 1) — 4') п. 2 ч 3. При этом не-
нетривиальной является лишь проверка условия 4')Т
Для двух открытых элементов X, Y c*N операция
импликации (X ^DY) определяется согласно п. 2 ч. 3, при-
пример 6 как (X Г5 Y) = {Г б N \ (VA < Г)(А б X -» А б Y)}.
По лемме 2.3 ч. 3 для проверки условия 4') достаточно убе-
убедиться, что элемент (X -*¦ Y) будет полным в М для вся-
всяких полного Y и открытого X. С этой целью следует про-
198
СЕЧЕНИЕ В ПРОСТОЙ ТЕОРИИ ТИПОВ
[Ч. 5
Ч. 5]
СЕЧЕНИЕ В ПРОСТОЙ ТЕОРИИ ТИПОВ
199
верить, что для (X ~j Y) выполняются сформулированные
выше условия 1) — 10).'Проверим, например, выполнение
условия 4).
Пусть *фГ ? AцЛ и \—+ Г -> ф; установим, что
(ф ID Ф)Г ? (X з Y). С этой целью возьмем произволь
ное Д < (ф ГЗ $)Т, Д ? X, и покажем Д f Y. Выб-
Выбранное нами Д необходимо имеет вид (ф 23 т^ГД'. Имеем
•ф (ф 13 ф)ГД' ? X ввиду открытости X и Д 6 -У. Из г|?Г ?
(X 13 У) тогда следует, что т|) (ф 13 ф)ГД' ? У. Кроме
того, из |—+ Г -> ф, очевидно, (—+ (ф з 'ф)ГД' ->¦ ф. Так
как У — полный элемент и, следовательно, удовлетворя-
удовлетворяет условию 4), отсюда (ф Z) 'ФХф D ф)ГД' ? Y. А ввиду
условия З4) настоящего пункта (ф 13 Ч))ГД' 6 У, т. е. Д ? У,
что и требовалось доказать.
Псевдобулеву алгебру полных подмножеств N мы
обозначим через #.
6.1. Например, для всякой формулы ф множество X =
{Г | f—+ Г -»- ф} является элементом алгебры Л. Про-
Проверка условий полноты непосредственна. Этот элемент
удовлетворяет, очевидно, следующим условиям:
a) ф е X:
b) Те Х=ФН+Г->ф.
6.2. Можно дать представление и для наименьшего
элемента алгебры, D @), а именно, X) @) = {Г | [—+ Г ->-
L>
2) т = 1. Тогда
Г).
>
Действительно, D @) cz (Г [ [—+ Г ->- J_}, так как
D (С^) — наименьший элемент алгебры. Обратное вклю-
включение доказывается индукцией по построению вывода
f—+ Г -> _[_ секвенции Г -»-_[_.
7. Припишем теперь каждой формуле ф два элемента
алгебры Б — нижнее и верхнее значения формулы фв5.
По определению
|ф 1" =
|ф 1+ = { Ф}
Кроме того, для всяких двух термов t ж г типа т опре-
определим значение \ t — г ] ° индукцией по построению
типа т.
1) т = 0. Тогда | t = г |° есть единица алгебры Д в
случае совпадения if и г и нуль в случае, если t и г раз-
различны,
3) т = (тх, . . ., тп). Тогда j t = г |° есть Д {| xlt . . .,
in € г I" Z) | ai, . . ., zn e t I + I «i 6 VrT>, . . ., xn e
VrM Д Д {| xlt . . ., zn 6 t \ - 3 I a?lt . . ., zn 6 г | +
I xi 6 VrTl » • • м % 6 Vrtn} (определение множества VrT
см. в п. 1.2).
7.1. Пусть Г ? | т] |~\ Тогда для всякой форму-
формулы t, и всякого набора Д из j— + 14ГД —>- ? следует
Н+гД+?.
Фиксируем формулу л. Определим множество X набо-
наборов следующим образом: Г ? X -н. для всякой формулы ?
и всякого набора Д из |—+ т]ГД-»- ? следует J—+ ГД -»- ?. Мы
утверждаем, что
a) г) ? X. В самом деле, если \—+ т]Г)Д -> ?, то (п. 2.4)
Н+т]Д^?.
b) X — полное множество. Проверим выполнение всех
условий п.6.
1) _1_ 6 X, так как всегда [—+ _[_ Д ->- ? (посылка
[—+T]_J_ Д Д -> ? здесь не используется).
2) Пусть Г ^ X; покажем фГ ? X. Пусть (—+ т]фГД -»-
?, тогда из Г g X сразу следует ]—+ фГД —>-1, (взяв в ка-
качестве «нового» Д набор фД).
3) Пусть ффГ ? X; проверим фГ ? X. Если f—+ лфГД ->
?, ioJ-~+ т]ффГД -> ? и \—+ ффГД —> ? (ввиду ффГ б X).
Отсюда (—+ фГД -> g.
4) Пусть г|>Г ? X и |—+ Г ->- ф. Установим (ф Z3 "ф)Г G
X. Пусть |—+ т) (ф з 1|з)ГА _» g. Тогда |—+ тL>Г (ф 13
г|?) Д -> С и из -фГ ? X следует (—+ г|зГ (<р Z) i|>) Д -»- ?.
Из данного (—+ Г ^-ф, очевидно, f— + Г (ф з if) А -> ф.
Отсюда (по правилу (и -*-) п. 2.2) |—+ (<р 3 ^>) Г (ф ZD
г|з) Д -»- ?, что дает |—+ (ф 3 $) ГД -»- ?.
5) Пусть фГ ^ X; покажем (ф Д г|з) Г (< X. Пусть
Рч(фЛЧ>) га ->¦ &• Тогда Ь+ ^фГ (ф Л-ф)Д ->С и
из фГ ^ X имеем j—+ фГ (ф Д о|з) Д ->- ?. Отсюда (по пра-
правилу (Д ->-) п. 2.2) |—+ (ф Д Мр)Г (ф Д г|)) Д -»- ?, что дает
6) Пусть фГ е X и г|зГ 6 X; покажем (<р V Ч>) г 6 X.
Пусть |— + т] (ф V ^) ГД -> ?. Тогда Н+ "ПфГ (ф V ¦ф) А ->
?. Из фГ ? X следует ]—+ фГ (ф V г|э) А -»- ?. Аналогич-
200
СЕЧЕНИЕ В ПРОСТОЙ ТЕОРИИ ТИПОВ
t4.
но установим |—+ г|>Г (ф V Ф) А ""*" ?« Отсюда (по правилу
(V -*) п. 2.2) h+ (ф V Ф) Г (Ф V Ф) А -* ? и, далее,
|-+ (Ф V Ф) ГА -> ?.
7) Пусть ф (а; | t) Г ? X; установим УжфГ ? X. Допус-
Допустим [—+ г] УгфГД -> ?. Тогда |—+ т]ф (а; | t) Г УяфЛ -> ? и
из ф (х | i) Г б X имеем |—+ ф (ж| ?) ГУяфД ->- ?. Отсюда
(по правилу (V -*-)п. 2.2) |—+ УакрГУжфД ->- ? и, далее,
|—+ УагфГД ->-?.
8) Пусть ф (х\ у) Г б X для всякой переменной г/ типа,
совпадающего с типом переменной х. Покажем ЗхфГ б X.
Пусть |—+г|ЗжфГА —> ?. Выберем переменную у, не вхо-
входящую свободно в рассматриваемую секвенцию. Имеем
[— + ф (х | г/) Г ЗагфАт] ->- С- Ввиду ф (х | у) Г б X отсюда
|—+ ф (х | у) Г З^фА -v ?. Отсюда (по правилу (Э ->)
п. 2.2) |—+ Зг/ф (ж | у) ГЗяфЛ -»- ?. Ввиду нашего согла-
соглашения о свободном переименовании связанных перемен-
переменных (п. 1.4) отсюда \—+ 3 яфГЗ ?фД -»- ? и, далее,
(-+ ЗхфГД -9- ?.
9) Пусть ф (жх, . . ., жп | *!, . . ., tn) T (¦ X; докажем
(h, ...,*„ 6 ^ ... xnq>) F ?Х. Пусть (—+ т] (ix, . . .,
fn 6 А.^ ... жпф) ГА -> t- Тогда |—+ лф (жх, . . .,
^n Ui, •• -,tn) Г (fi,..., tn^Xxt... xn(f)A-*-t. По до-
допущению отсюда [—+ ф (ж | ?) Г (? ? ^жпф) А -> ^. Отсю-
Отсюда по правилу (? ->-) п. 2.2 и затем по правилу сокращения
|—+ (tt, . . ., tn? Ъху . . . xn(f) ГА —»- Z,. Утверждение Ь) до-
доказано. Из а) и Ь) и минимальности | г\ |~ следует | т\ \~ с^
X, что и доказывает лемму. Q
8. Теорема. Выполняются следующие пятнадцать
условий:
1) I ф Г < I ф 1+;
2) 1ф Л ¦* Г < I ф Г Л I * Г;
3) 1ф |+л И 1+< 1фЛЧ> 1+;
4) I ф V ^ Г < 1ф Г V I * \-г
5) I ф 1+ V И 1+ < I ф V ^ 1+;
6) | ф з -ф г < I ф |+ з | -ф Г;
7) |ф Г=)|я|) |+<|фз-Ф|+;
8) | ± Г = I JL 1+ < I ф Г;
9) I УхФ Г< Д{|Ф(ж Ю Г |*
Ю) Л { I Ф (« I ») 1+ I У 6 Vr-} <
11) | 3 хФ |- < V { I Ф (*\У) Г |У €
Ч. 5]
СЕЧЕНИЕ В ПРОСТОЙ ТЕОРИИ ТИПОВ
201
1 . . . Ж«ф Г<
12) \/{1ф
13) !«!,.. .
14) | ф (xj, . . ., хп\ h, . . ., «вI+< 1*1, . . ., «„бЯ^х...
¦^пф Г;
15) если /есть переменная или константа типа (т1т . . .,
т„), то для всяких ti, ri типа Т| имеем /\ {| ^ =
ri|°|l<i<n}A|tl, . . .,fn€/ Г< |rlt . . -,rne/|+.
О 1) Очевидно, ввиду минимальности и п. 6.1.
2)'Из определений Ф б I Ф Г- Ввиду 5) п.6 отсюда
(ф Л 'Ф) б I ф Г- Подобным образом (ф Д ч|)) б I 'ф Г- От-
Отсюда (ф Д^) е |ф|~Л |ФГ, т. е. | ф Д-ф |"< |ф Г Д
It Г-
3) Если Г б j ф |+, то |—+ Г ->-ф. Аналогично, если
Г (• | г)) |+, то |—+ Г -^-ф. Таким образом, из Г б | ф |+ Д
| я)) |+ следует |—+ Г ->ф Дф (по правилу (-*-Д)
п. 2.2), т. е. Г б'| ф At |+.
4) Из определения Ф б | ф Г, Ф 61 Ф Г- Н° I Ф Г <~
| фр \/ | грр и | г]> Г с|ф|~\/|ф|~, так что ф и г]> принад-
принадлежат | ф Г \/ | "ф |~, т. е. согласно 6) п. 6 тогда (ф V ф) G
| г V I Г | V t Г < I Г V I Г
Ф
г
| ф Г \/ | ф |, )
V It Г, т. е. | ф V t Г < I ф Г V I
г
5) Если А б | ф |+, то ]—+ А ->-ф и (по правилу (-> V)
п. 2.2) \—+ А ->-ф Vя!3' Таким образом, | ф |+ cz \ ф \/
\\> |+. Аналогично, | г|з [+ Q | ф \/ г|з |.+. Но тогда
|Ф |+V It l+e 1 ф V4> 1+-
6) Достаточно показать, что (ф Z) t) б I Ф |+ Z) 11 Г-
Согласно определению импликации в В (см. п. 6) с этой
целью рассмотрим набор (ф Ц) г])) А б I Ф |+ и покажем
(ф 3 t) А б 11 Г- Из допущения следует |—+ (ф D ф)А ->¦
ф. Кроме того, t б 11 Г И5 значит (п. 6.2), i|? (ф Z) t) А б
| ty р." Согласно 4) п. 6 отсюда (ф ID t) (ф i> t) А б 11Г
и ввиду 3) п. 6 (ф Г) t) А б ! t Г-
7) Пусть Г ? |ф Р '.D | Ф |+. Так как ф б I ф Г> то
фГ б I Ф Г и отсюда фГ б 11 1+* Из определений тогда
Ь-+ фГ ->-г|\ Но тогда (по правилу (->Z)) п. 2.2) (—+ Г ->
(Ф Z) V), т.'е. Г б I ф D t 1+-
г 8) Очевидно ввиду п. 6.2.
9) Имеем ф (х \ t) б I ф (ж I i) p. Согласно 7) п. 6 тог-
тогда Ужф б 1Ф {х | t) р. Отсюда Уху б Д {| Ф (х \ t) \~\t б
202
СЕЧЕНИЕ В ПРОСТОЙ ТЕОРИИ ТИПОВ
[Ч. 5
10) Пусть Г б Д {| ф (х \у) |+ | у б VrT}. Выберем пе-
переменную г/, отличную от всех свободных переменных Г и
ф. По допущению Г б | ф (х | у) |+, т. е. f— + Г -*~q> (x \ у).
Тогда (по правилу (-v V) п. 2.2) |—-+ Г -у Vy ф (ж | г/). Вви-
Ввиду нашего соглашения относительно свободного переиме-
переименования связанных переменных (п. 1.4) |—+ Г -*- Ужф, т. е.
г е. I у*ф |+.
И) Пусть X = V {I Ф (* I У) Г | 2/ е VrT}. Так как
Ф (х I У) б I ф (# I У) Г» то ввиду 8) п. 6 имеем Эжф б X,
т. е. \3х ф Г С X.
12) Если Г б | Ф (ж | t) |+, то f-+ Г -+¦ ф (ж | ?) и (по
правилу (-^3) п. 2.2) [— + Г -*-Зжф, т. е. Г 6 I За: ф |+.
Таким образом, для любого t б Тт*|ф (x\t) \+ ci | Зжф|+.
Но тогда V {I Ф (х 10 l+ \t б Tm} с | ЭжФ |+.
13) Из определений ф (хг, . . ., хп | tt, . . ., tn) б
| ф(ж1(. . ., жп| *l5 . . ., *П)Г- Но согласно 9) п. 6 тогда
(*i, . . ., t,l(i%x1 . . . хпц>) б |ф (ж15 . . ., т„| «1, . . ., 2Я) р.
14) Пусть Г 61 Ф (^i, • • ¦, хп\ *!,..., О'1+. т.е.К+Г->
Ф (а^, . . ., хп | *ь . . ., *„). Тогда (по правилу (-^б)
п. 2.2) f-+ Г -*(flt ...,*„ 6 Я^! .. .жпФ), т. е. Гб I *i,...,
«п б ^ «1- • • хп ф 1+-
15) Предположим для простоты записи и = 1. Необхо-
Необходимо показать | ^ = rj ° Д | ^ б / Г < I ri G / |+.w Здесь
/ —переменная или константа типа т, т = (тх). Разберем
случаи в зависимости от вида т^.
т-л = 0. Если t-L и rt не совпадают, то \tt = гг |° есть
нуль В и неравенство очевидно. Если же tt совпадает с г1?
то | tj = r1 |° есть единица и наше неравенство превращает-
превращается в | ^i б /Г ^ \ty б / 1+! уже отмеченное в случае 1) до-
доказываемой теоремы.
х1 = 1. Тогда \t, - Г! |° = (| *! Г =) | Г! |+) Л (КГ =3
| fj |+). Пусть Г б \h = rt |° и Г б |*i б / Г- Очевидно,
^Г б |*i Г и пГ б |г2 Г- Ввиду Г б \h = п |° отсюда ^Г б
| гх |+ и гхГ б |*i |+, что дает I—+ ^Г -*-гх и |—+ ^ Г ~^
*х. По правилу объемности (п. 2.3) отсюда [— + (^ б ЛГ-^
(rj б Л- По лемме п. 7.1 из Г б I h б / Г следует |—+ Г -v
(rj б /)• Таким образом, Г б I гг б / !+-
^i = (аи • • м °к)- Вновь для простоты записи положим
к =1. Имеем *х =^1° = К{\Х^М~ ~D \х б rx|+ |a?€ Vrc'}/\
Д{| а- б г, Г => I « 6 «1 1+ I ж б Vr"'}. Пусть Г б |<i = гх| °
и Г б I *i б / I • Выберем переменную т, не входящую
Ч. 5]
СЕЧЕНИЕ В^ПРОСТОЙ ТЕОРИИ ТИПОВ
203
в рассматриваемые термы. Очевидноа (х б *i) Г б I % fc" *i Г
и (х b rt) Г b \x b ^i Г- Ввиду Г б |*i = гх |° отсюда
(* b *i) Г fc I ж fc rx |+ и (ж ь гх) Г б I « б *i |+- Отсюда
Н+ (* б *i) Г -*-(* б /i)t H+ (*_б гх) Г + (* б *i). По пра-
правилу объемности (п. 2.3) отсюда |—+ (^ б/) Г -^(гх fc/).
По лемме п. 7.1 ввиду Г б | *i fc / Г тогда |—+ Г -»- (rx fc /)г
т. е. Г fc |гхб/ |+- LJ
Доказанная теорема показывает, что введенные нами
операции | ф | и | ф |+ образуют по терминологии Т а к а-
х а с и [3] полуоценку (ср. с. 128). Теорема позволяет вос-
воспользоваться готовым алгебраическим методом Т а к а х а-
с и 13]! модифицированный вариант которого мы и воспро-
воспроизведем в пп. 9—12. Конкретные особенности именно нашей
полуоценки начинают играть роль лишь с п. 13г где наше
рассуждение опять отлично от использованного в вышеупо-
вышеупомянутой работе. Именно,^ путем построения специальной
полуоценки п. 8 мы избегаем неинтуиционистского рас-
рассуждения от противного.
9. Определим семейство объектных областей {Ux}x ин-
индукцией по построению типа г. В действительности мы бу-
будем одновременно определять три вида объектов:
a) множество С/т;
b) функцию | р — q | вида Ux x Ux -+В;
c) бинарное отношение р ж t между элементами Ux и
термами типа г.
При этом функция | р = q | окажется той же, что и
в п. 5.1.
1) % = 0. Uo есть множество всех объектов вида [*],
где* — произвольный терм типа 0. | It] = [г] | есть еди-
единица илинуль алгебры В в зависимости от того, совпадают
или различны термы * и г. Отношение U] да г имеет место
тогда и только Torflaj когда * и г совпадают.
2) т = 1. Если X б В ж ф — формулах то положим
X да ф по определению^ если | q>|~ <^ X ^ | Ф |+. Далее,
X б U1 тогда и только тогда! когда X fc В и существует
формула ф такаяг что X да ф. Наконец, положим | X =
Y | ±р (X «-* Y) в алгебре В^(см. п. 5.1).
3) т = (тх,. . .jtn). Пусть десть функция вида UXi х . . .
X UXn -*В я t — терм типа т. Будем считать q z& t,
если для всяких ^1 б UXl, . . .t qn б Ux и для всяких термов
204
СЕЛЕНИЕ В ПРОСТОЙ ТЕОРИИ ТИПОВ
1СЧ.
• • •> tn таких^ что ft я^
Я (?l! • ' -1 in)
имеем
(tU . . .г tn б t)
в смысле предыдущего пункта.
В качестве Ux возьмем множество функций q вида
UZl х . . . X Ux -+-В, которые, во-nepBHXj экстенсио-
экстенсиональны,, т. е. для всяких ft, . . .4 qn, plt . . ., рпъ В выпол-
выполняется неравенство
|Рх = Si | Л • • • Л \Рп = Чп I Л Я (ffn • • • х ЯпХ
Я (Pi> • • м Рп)ж
и, во-BTOpHXj для каждого q ? Ux найдется терм t типа т
такой, что q я^ t.
Наконец, если q, r G Ux, то определим
I Я = г I ^ Л U (?i. • • •! 0n) ^ r (ft, . . ., qn) |
Яг ? UXl,. . ., qn e C/tn}.
Таким образом, определена модельная структура
(В, {Ux}). Из определений непосредственно ясно, что она
является экстенсиональной в смысле п. 5.2.
10. Пусть х — тип, тогда
a) если / — переменная или константа типа тг то най-
найдется элемент q ? Ux такой, что q -^ /;
b) если р, q ? Ux, t, r ? TmT, причем р ш t и q zzz r, то
\Р =JK \t =г |°.
|>Оба утверждения леммы будем доказывать одновре-
одновременно индукцией по построению типа т.
т -0.
a) Возьмем q = [/].
b) Еслир ш t is. q ж г,то р — It], q = [г] и | р — q \ =
11 = г |° из определений п. 7 и п. 9.
т =1.
a) Возьмемх например, g = | / |~, тогда, согласно 2)
п. 9 и 1) п. 8, дда/.
b) Из ^ ж { и g ж г следует | i Г < р ^ | ^|+ и |r |~ ^
в<|г|+. Отсюда (pZ3?)< (|* |~Z) | г |+) и (jd
i5) ^ (I г Г Z) | ^ |+). Из определений имеем \р = q \ ^
I* =г|°.
Ч. 5]
СЕЧЕНИЕ BJIPOCTOH ТЕОРИИ ТИПОВ
205
а) Определим предварительно функцию
q': UXl X . . . X UXn ->?,
положив
Я' (ffi, • • ., 9n) = V { I 'l. • • •• *n 6 / Г I «i € TmTi, ft ж Ь}.
Эта функция4 однако, вообще говоря, не экстенсиональна.
Поэтому мы возьмем в качестве искомой другую функцию
q, определив
Я (ft. • • ¦, Яп) = V {в' (Ри • • •, Рп) А
Ail » =P* I lPi€ ^т,-}.
Положим далее для упрощения записи п = 1. Функция
q уже экстенсиональна. В самом деле,
\Pi=9i\A ЯЫ = iPi = ?i I А V (l?i =Pi I А
q'(pi) I Pi e г/t,} =
Здесь мы воспользовались п. 5.3. Покажем тенерь, что
^ ж /. Возьмем произвольные дх ? ?/тц rx t TmTl, дг ш гг
и покажем q (^х) л? (гх ^ /). С этой целью необходимо уста-
установить
Но g(ft) =V{l?i PilA
Pi I A I'i б / Г I Л 6 г/г„ «i 6 Tm% Pl » ^}. Отсюда
I rx e / Г < I ?! = 9s I A I ri 6 / Г < Я (Si) ВВИДУ ft »
rx. Кроме того, если ^ js flt то
I?! =Pl I A 1*1 6/ Г< |Г!б/|+.
Действительно, | qt = px \^\rx — tx |°tno индуктивному
предположению леммы, а 1 rx = 1г |° Д |fx ? / Г ^
ввиду 15) п. 8 и п. 5.3. Отсюда непосредственно
Ь) Пусть f ^ f i 5 ~ >"• Возьмем произвольную пере-
переменную хг ? Vr1. По индуктивному предположению леммы
найдется q1 ? UXl, q1 ж хх. Тогда р (ft) ж (жх 6 t) и g (ft) »
(xt <с г). Рассуждая, как и в случае т =1, Ь), установим
(Р Ы з g (ft)) < I «i € * Г 3 lii € г |+. Но | р = g |<
206
СЕЧЕНИЕ В ПРОСТОЙ ТЕОРИИ ТИПОВ
. 5
Р (?i) =3 д (ft) (см. п. 5.1), так что
I р = ч I ч I «1 е * г z> i xx e r |+.
Аналогично, | р = ? | ^, | a* fc г Г =) | жх (; ? |+. Так как
переменная ^ npoH3BOflbHaj то из определения 3) п. 7
1р =я\< \t =МЛ
11. Специализируем теперь нашу модельную структу-
структуру (п. 9).
Каждой константе / типа т нашего языка сопоставим
элемент / ? Ux, / да /, построенный в доказательстве лем-
леммы п. 10.
Каждому га-местному функциональному символу /
сопоставим функцию /, положив
t ш, ¦ •., ад,= [/(*и- • -lUi-
Каждому «-местному предикатному символу Р сопо-
сопоставим функцию Р, положив
Р (I*iJ, • • -1 [*»D =\P(hi-- -i У Г-
Тем самым согласно п. 5.6 возникает частичная функ-
функция, сопоставляющая значение замкнутым Л-термам. Мы
покажем ниже (п. 12), что эта функция определена для
всякого терма и, таким образом, определенная в п. 9 и
п. 11 специализированная модельная структура является
моделью.
12. Теорема. Пусть t — терм, xt, . . ., хп — спи-
список различных переменных, среди членов которого содер-
содержатся все свободные переменные t. Пусть q'x, . . ., q'n и
ql, . . ., q'n — два списка объектов типов, соответствую-
соответствующих списку переменных. Пусть ?х, . . ., tn — список термов
такой, что ql да t\, q\ да ^ для i = 1, . . . , п. Пусть
t' и t" — оцененные термы:
t' = t (xu . . ., хп | qi, . . ., q»),
t" = t (xj, . . ., xn \ql j . . ., g?).
Пусть t* = t (Zi, . . ., xn \tu . . .j tn).
Тогда
а) значения \t' |, \t"\ определены;
4. 5]
СЕЧЕНИЕ В ПРОСТОЙ ТЕОРИИ ТИПОВ
207
b) \t' I да * *, \t" | да **;
c)A?=i|gi = ?П<| К I = I f" II-
О Индукцией по построению t в соответствии с п. 1.4.
1) Если ? есть переменная, t = ж,, то ?' = q{ и Г = q\
и утверждения теоремы тривиальны.
2) Если"? есть константа языка, t = /, то ?' = ?" = ?
и значение | t | определено (п. 5.6).
3) t типа 0, t = f(rx, . . ., гц), утверждение очевидно
из определений (см. 3) п. 5.6 и п. 9).
4) t = Р (гх, . . ., Г(г), где Р — ^-местный предикат-
предикатный символ и rl5 . . ., г;г типа 0. Утверждение следует из
определений (п. 9 и п. 11) и утверждения 1) теоремы п. 8.
5—7) строения t согласно п. 1.4 рассматриваются сход-
сходным образом. Пусть, например, t =(ц> Z3 41)- Тогда \t'\ =
|ф' 7D ф' | = (| ф' | ZD I^'D- Последнее значение опреде-
определено, так как по индуктивному предположению определе-
определены | ф' | и |i[/|. Кроме того, из | ф' | да ф* и | •ф' | да; о]з*
следует | Ф* Г < | ф' | < I Ф* 1+ и I V Г < I V I <
| г|)* |+. Отсюда, используя утверждения 6) и 7) теоре-
теоремы п. 8, имеем | ф* 3 i])* Г < | ф* |+ Z) | ty* Г < | ф' | 3
1^'!^ |ф* Г =) I Ч1* 1+ ^ I г15* =5ilJ* I +» что доказывает
| ф' =) Ч1' I ~ (ф* 3 Ч1*) и устанавливает | ф' ZD "Ф' | б Ux,
т. е. определенность | ф' ~j i|)' |.
Подобным образом, | t" \ (• U1) \ t" | « г*. Пусть здесь
и ниже s ^ /\Г-1 | ql = ql |. По индуктивному предполо-
предположению s < | | ф' | = | ф" | | и s < | |i|/ | = | я|)" I |. Но
по определению (п. 5.1)
I I ф' I = I ф" 1 I = (I ф' I =) 1ф" I) А (I ф" I =Л ф'1)
и аналогично для | | ij)' | = |я|/ | |. Отсюда с помощью
несложных алгебраических выкладок
*< |Aф' |=о W I) =Aфз №" I) I»'
т. е. s < | I*' 1 = I «" 1 !•
Случаи 8), 9) строения t рассматриваются сходным об-
образом. Пусть, например, t = З^ф- Тогда |?'| =
\/{|ф'(ж | q) \\qftUx). Последняя верхняя грань суще-
существует, так как по индуктивному предположению опреде-
определены все | ф' (х | q) | и наша псевдобулева алгебра В
полная. Если q f Ux, то по определению Ux (п. 9) найдется
терм г типа т, g да г. По индуктивному предположению
208 СЕЧЕНИЕ В ПРОСТОЙ ТЕОРИИ ТИПОВ [Ч. 5
| ф' (х | q) | та ф* (х | г), т. е.
|ф*(*И Г< |Ф'(«1?) К 1Ф*(*М |+.
Согласно 11) и 12) п. 5.8, далее,
(* I?) I \
V (I Ф*
г) |+ | г б
<
Здесь мы использовали еще, что для всякой переменной
у б VrT существует q б Е/т, q та у (лемма п. 10). Таким
образом, доказано \t' \та t* и установлена определен-
определенность | t \. Подобным образом \t" | б #i, \t" | л; ?*.
По индуктивному предположению для всякого элемен-
элемента д б Щ
s = s Л ] ? = д К ! I ф' (х | д) | = | ф" (х | q) | |
Отсюда с помощью несложных преобразований в нашей
псевдобулевой алгебре s ^ \ | Зжф' | = |axpw | |.
10) Пусть t = %ух. . . г/тф. Для простоты записи мы
положим далее т = 1. Пусть хг — переменная типа тх.
Определим функцию q': U%\ -^-В, положив для всякого
Чх б UXl q' (qj) = |ф' (уг\ qt) |. Заметим, что по'индуктив-
ному предположению | ф' (у1 \ gx) | определено при
всяком q1 (- UXl. Кроме того, по пункту с) индуктивного
предположения теоремы функция q экстенсиональна
в смысле п. 9.
Покажем, что q' m t*. Возьмем произвольные элемен-
элементы qt б UXi и гг б TraTi, qx •zz rx, установим q' (qj) ^i
(г, б t*), т. e.
Действительно, в силу утверждений 13) и 14) теоремы
п. 5.8 и индуктивного предположения получим
I г, б ^х<Р* Г < I Ф* (Pi I rt) [' < |Ф' (Уг I ft) |<
Ф
<
П>1) Г < I гх б Я,
Это указывает, что q' б Ux и, таким образом, определено
| *' | = ?' и | i' | « **. Докажем s < | ?' = д"|.' С этой
целью достаточно показать, что для всякого fqt б UXl
s^ I Q' (?i) =?"(?i)ll- Но это следует из индуктивного
4.5]
СЕЧЕНИЕ В ПРОСТОЙ ТЕОРИИ ТИПОВ
209
предположения:
s < s Л Ift = <7« I < I I ф' (ft I ft) I = I Ф" (ft I ft) 1 I =
I?'(ft) =9*(ft)]-
11) Пусть ^ = (r1;. . ., г^ б г)- В качестве значения
положим | t' I = I r 'I (I ri |, . . ., \r'k\). Заметим, что \t'\
определено и | t' \ б Uu так как по индуктивному предпо-
предположению определены все \г\ \ и \ г' \. \ t' \ tz, t* следует
непосредственно из индуктивного предположения | г' | i=z
г*, | rl | та г*и того, что | г' | принадлежит объектной
области и, следовательно, есть экстенсиональная функция
(см. п. 9). Подобным образом установим \t"\ ж t*.
s^.\\t'\ = \f\\ следует из индуктивного предпо-
предположения, экстенсиональности | г'|, | г" | и свойств равен-
равенства п. 5.3.
13. Пусть 5 — секвенция вида Г ->- г\, где Г есть набор
ф17 . . ., ф„. Выберем для каждой свободной переменной х
типа т секвенции 5 некоторый объект q б Ux, g та х (лем-
(лемма п. 10). Пусть S' есть результат замещения всех пара-
параметров 'соответствующими объектами. Таким образом, 5'
есть замкнутая .4-секвенция. Согласно п. 12 определено
значение | S" |. Если теперь |— 5, то ввиду п. 5.7 это зна-
значение | S' | равно единице алгебры В. Это означает, что
имеет место включение
1 <piI Л • • • Л 1фп IG IV I-
Заметим, далее, что Г б | ф(| при каждом i. В самом деле,
Фг б |ф*Г и> следовательно, Г б I ф{ |~, так как Г ^ ф{.
Но | ф^| та ф4 (ввиду п. 12), так что | ф4|~ < | фЦ. Ввиду
вышеупомянутого включения отсюда Г б h'l- Но | г\'\ та
ц, так что |т}'| <^ h I+- Таким образом, Г б I Ц Г, что
означает (— +Г -»- г\.
14. Теорема. Если S — секвенция и \— S, то
ДОПОЛНЕНИЕ А
АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ПОДХОД К МОДЕЛЯМ
ТИПА РЕАЛИЗУЕМОСТИ
При исследовании интуиционистских теорий мы упо-
употребляли два вида структур — модели типа реализуемости
г, гх— ги и алгебраические модели типа ВК-моделей, то-
топологических моделей и т. п. Естественно попытаться рас-
рассматривать модели того и другого типа с некоторой единой
алгебраической точки зрения. Такой подход имеет важ-
важные преимущества. Например, возникает возможность ис-
использовать общие алгебраические конструкции такие, как
прямое произведение, предел прямого и обратного спект-
спектров, ультрапроизведение, для построения «гибридных» мо-
моделей из данных моделей типа реализуемости и моделей
типа моделей Крипке.
Алгебраическое исследование моделей типа реализуе-
реализуемости приводит к рассмотрению существенно неполных
псевдобулевых алгебр, нижние и верхние грани в которых
заведомо существуют лишь для некоторых семейств эле-
элементов, определяемых структурой языка теории. Поэтому
необходимо предложить систематические методы построе-
построения и изучения таких неполных алгебр. Ниже мы предло-
предложим некоторый вариант такого рассмотрения (Драга-
лин [11]), несколько напоминающий цилиндрические ал-
алгебры Генкина и Тарского [1] или полиадиче-
полиадические алгебры Халмоша [1]и рассмотрим важнейшие
реализуемости.
1. Функциональная псевдобулева алгебра задается
набором (В, D, F>, где В — псевдобулева алгебра (алгеб-
(алгебра истинностных значений), D есть двуместная функция
с непустой областью определения и со значениями в ал-
алгебре В. Непустое множество V = {я | 3? ((я, a) g
Dom D)} мы назовем множеством сортов объектов ал-
алгебры^ Для каждого я ? V множество Dn = {q | (я, q) (•
Dom D) назовем предметной (или объектной) областью
сорта я. Мы требуем, чтобы области Х^для различных сор-
сортов я не пересекались. Тогда для каждого объекта q ? Dn
МОДЕЛИ ТИПА РЕАЛИЗУЕМОСТИ
211
однозначно определена область определенности объекта
q, \\ q \\ = D (я, q). При этом (как ивп. 4. 2 ч. 3) мы требу-
требуем выполнения условия непустоты предметной области:
A) V (II9II 1гел*> = Т.
Для всех я 6 У слева стоит объединение в алгебре В (тре-
(требуется, чтобы оно существовало), а справа — единица ал-
алгебры В. Далее, F есть семейство функций, называемое се-
семейством форм функциональной п.б.а. Элемент / 6 F
представляет собой функцию нескольких аргументов, при-
причем каждому аргументному месту приписан определенный
сорт — элемент множества V. Если / 6 F — п-местная
функция, a ?i, . . ., qn—объекты соответствующих сортов,
то значение / (q±, . . ., qn) есть элемент алгебры В. Множе-
Множество F может содержать и 0-местные функции, которые мы
отождествляем с элементами алгебры В.
Мы требуем, чтобы семейство F обладало следующими
свойствами:
(ii) F замкнуто относительно операций:
a) добавления фиктивного аргумента;
b) перестановки аргументов;
c) отождествления аргументов.
(iii) F содержит нуль и единицу алгебры В в качестве
0-местных функций.
(iv) F замкнуто относительно псевдобулевых операций
Л» V> 3. Это означает, например, что если /, g &F суть
две формы с одинаковым набором аргументных мест, то
существует функция h с тем же набором аргументных мест
такая, что для всяких объектов glt . . ., qn соответствую-
соответствующих сортов h (qu . . ., qn) = / (qt, . . ., qn) /\g (?i, • • •> Qn)-
Мы обозначим h — / /\ g. Подобным образом требуется
существование форм /V ё и / 3 g-
(v) Множество F замкнуто относительно взятия верх-
верхних и нижних граней. Это означает следующее. Пусть
/ t F, f — f (xlt . . ., xn). Фиксируем некоторое аргумент-
аргументное место Xi сорта я. В дальнейшем для простоты записи
положим i = 1 (общее определение аналогично). Тогда
требуется, чтобы существовали функции g, h ?F от аргу-
аргументов х2, . . ., хп такие, что для всяких объектов q2,..., qn
соответствующих сортов
g (й, • • ., Яп) = Л (II ЧII 3 / (<?. V* • • •> ffn) I Я 6 Dn},
h (q2, . . ., ?n) = V {II Я II Л / (в. ft. • • м ffn) I ? 6 Dn}f
212
ДОПОЛНЕНИЕ А
МОДЕЛИ ТИПА РЕАЛИЗУЕМОСТИ
213
т. е. мы требуем, в частности, чтобы существовали соответ-
соответствующие пересечения и объединения в алгебре В.
Неформально мы будем писать
g (жа, . . ., хп) = Vxf (х, х2, . . ., хп),
h (х2, . . ., хп) = 3xf (х, х2, . . ., хп).
Определение функциональной псевдобулевой алгебры за-
закончено.
Заметим, что не требуется, чтобы п.б.а. В была
полной, достаточно, чтобы множество форм было замкнуто
относительно взятия граней.
2. Мы рассматриваем обычные логико-математические
языки такие, как в п. 4 ч. 3, с тем упрощением, что в язы-
языках теперь мы не допускаем функциональных символов.
Как известно, всякая теория в языке с функциональными
символами может быть эквивалентным образом сформули-
сформулирована и в языке без функциональных символов (см. К л и-
н и [2], § 74, пример 11). С другой стороны, излагаемую
ниже теорию можно приспособить и к языкам с функцио-
функциональными символами, но мы не будем этим заниматься,
чтобы не загромождать основную идею конструкции.
Итак, каждый язык задается набором
Q = <F, Cnst, Pr>
сортов переменных, констант и предикатных символов.
Функциональная алгебраическая модель для языка Q
определяется набором
А = <5, D, F, Cnst,
где набор <Б, D, F) образует функциональную псевдобу-
псевдобулеву алгебру. Функция Cnst сопоставляет каждой констан-
константе с сорта я предметный объект с = Cnst (с), с ?Dn,
|| с || = ~]~. При этом предполагается, что область сортов
объектов V, определяемая функцией D, совпадает с мно-
множеством сортов переменных языка п. Далее, если Р —
предикатный символ языка Q, то функция Рг сопостав-
сопоставляет Р элемент F с тем же набором аргументов: \\ Р \\ —
= Рг (Р) 6 F.
От множества форм модели А мы требуем выполнения
дополнительного свойства замкнутости:
(vi) F замкнуто относительно фиксации аргумента объ-
объектами вида с, где с ? Cnst. Это означает, что если
/ 6 F, f = f (xi, xu xn), с ? Cnst, Xi и с имеют один и тот же
сорт, то существует функция g ? F такая, что
ё (Зъ • • -, ?i-i, 3i+i. • • •, In) =/ (?i> . . ., с, . . ., qn)
для всех qj соответствующих сортов.
3. Если задана функциональная алгебраическая мо-
модель А языка Q, то можно определить значение в модели
для всякой формулы языка Q. Значением || Ф || формулы <р
будет некоторая форма функциональной псевдобулевой
алгебры, || ф || 6 F. Заметим, что, в отличие от алгебраиче-
алгебраических моделей п. 4.12 ч. 3, значение приписывается не оце-
оцененным формулам, а просто формулам языка Q,b том чис-
числе формулам с параметрами.
Для определения значения формулы в модели будем
помечать аргументные места форм переменными языка Q.
С этой целью линейно упорядочим все переменные языка
Q каким-либо фиксированным способом. Если дана форму-
формула ср, то все ее параметры выпишем в список хх, . . ., хп
в вышеупомянутом линейном порядке. В качестве значе-
значения формуле ф будет сопоставляться формула / ? F имен-
именно от аргументов xv . . ., хп.
Теперь определим значение ||ф|| индукцией по построе-
построению ф.
1) Если ф — атомарная формула вида Р (иъ , . ., ип),
где щ— переменные или константы, a xv . . ., х^ — стан-
стандартный список параметров ф, то || Р (ut, . . ., ип) || есть
форма от аргументов хг, . . ., х^, получающаяся из || Р ||
с помощью тривиальных операций (ii), (vi) над аргумен-
аргументами || Р Ц.
А именно, если заместить ы17 . . ., ип соответствующими
объектами qu . . ., qn (при этом переменным xt, . . .,«*»
как входящим в список их, . . ., ип, автоматически сопо-
сопоставляются некоторые объекты q[, . . ., qjc), то в алгебре В
|| Р К, . . ., un)|| (?i, . . ., q'k) = || Р || (9lI . . ., qn).
Значение формы слева мы будем кратко записывать
в виде
\\Pteu ¦••,&) Не в.
2) Значение || _|_ || есть нуль алгебры В.
214
ДОПОЛНЕНИЕ А
3) Если ф имеет вид (ty/\ц), (ty V' Л)> (Ф^)Г|), то
форму || ф|| вычисляем следующим образом. Сначала най-
найдем \\ty\\ и IJ т) ||. Затем с помощью тривиальных опера-
операций перестановки и добавления фиктивных аргументов
(см. (ii)) получим из ||я|)|| и || т) || формы Д (а^, . . ., хп)
и/2 (а^, ...,?„) от параметров формулы ф и, наконец, вы-
вычислим || ф || как форму Д /\ /2, /2 V /2 или Д ZD /2-
4) Если ф имеет вид Уа:т|з (а;) или Зхц (х), то опреде-
определим || ф || = Vx|| aj) (x) || или соответственно || ф || =
Зх\\ Tj (а) ||.
Точнее, если х не является параметром ip (x), то поло-
положим || Уад|; (х) || —1| -ф (х) ||. Если же х есть параметр ij; (ж),
то форма || ij) (ж) || зависит от х как от аргументного места
и согласно (v) п. 2 определена форма Vx || ij) (#) ||, которую
мы и назначим значением формулы Ух т|з (ж).
Если ф — предложение языка Q, то форма || ф || оказы-
оказывается 0-местной, т. е. является элементом алгебры В.
Предложение ф назовем истинным в модели А, если
II ФII = Т- Далее, понятие модели А для теории G может
быть определено так же, как в п. 4.6 ч. 3 определялась
алгебраическая модель для теории G.
4. Заметим, что алгебраическая модель для языка Q
(без функциональных символов):
(В,Ъ, Cnst, Рг>
с полной псевдобулевой алгеброй В в качестве алгебры
истинностных значений может рассматриваться как част-
частный случай функциональной алгебраической модели.
А именно, образуем функциональную алгебраическую
модель
(В, D, F,Cmt, Pr>,
сохранив те же В, D, Gnsl и взяв в качестве F множество
всех функций / (хг, . . ., хп) с аргументными местами соот-
соответствующих сортов и значениями в В. Приписание значе-
значений предикатным символам при этом осуществляется
естественно:
..., qn)
(см. д. 4.2 ч. 3).
МОДЕЛИ ТИПА РЕАЛИЗУЕМОСТИ
215
С помощью непосредственной индукции легко показать,
что значение || <р (gt, . . ., gn) || формы || ф (хъ . . ., хп)\\
в функциональной алгебре совпадает со значением оценен-
оцененной формулы ф (дг, . . ., qn) в исходной алгебраической мо-
модели. В частности, если ф — предложение языка Q, то зна-
значения ф в функциональной и исходной алгебраической мо-
моделях совпадают.
5. Аналогом теоремы о корректности п. 4.5.2 ч. 3 яв-
является здесь следующая
Теорема. Если А — функциональная алгебраиче-
алгебраическая модель для языка Q, ф — формула Q, выводимая в
НРС, а ф' — предложение, получающееся путем замыка-
замыкания ф кванторами общности, то || ф' II ~ Т-
О Индукцией по построению вывода формулы ф в
НРС15 ср. с доказательством п. 4.5.2 ч.З. ?
6. Далее мы рассмотрим различные виды реализуемо-
реализуемости в языке арифметики. Сам язык НА при этом следует
модифицировать, чтобы избежать употребления функцио-
функциональных символов. Это делается с помощью стандартной
процедуры (К л и н и [2], § 74): каждому re-местному функ-
функциональному символу / (xj, . . ., хп) сопоставляется (п + 1)-
местный предикатный символ (у = / (хг, . . ., хп)) и все
аксиомы, относящиеся к этому функциональному симво-
символу, естественным образом заменяются на аксиомы, относя-
относящиеся к предикатному символу. Соответственно несколько
изменяются и другие аксиомы. Например, принцип ариф-
арифметической индукции приобретает вид
Ф @) Д Vxy (Ф (х) Д {V = Sx) 3 Ф (у)) =3 У*Ф (х).
Мы считаем, что наш язык (мы его по-прежнему будем обо-
обозначать через НА) имеет один сорт переменных х, у, z,...
для натуральных чисел и семейство констант 0, 1, 2, ...
для каждого натурального числа.
Все функциональные алгебраические модели для язы-
языка НА, которые мы рассмотрим ниже, будут иметь одну
и ту же объектную область, т. е. в моделях А = (В, D,
F, Cnst, Рг) функция D будет одной и той же. А именно,
для единственного сорта я объектная область Dn состоит,
во-первых, из всех констант 0, 1,2, ... для натуральпых
чисел*и, во-вторых, из счетного семейства символов [х],
216
ДОПОЛНЕНИЕ А
[у], [z], . . ., которые мы будем называть каналами. Интуи-
Интуитивно говоря, канал изображает константу — натураль-
натуральное число, «о котором ничего неизвестно». Если q^DA,
то для всех моделей ниже \\q\\ — ~f, так что мы не будем
упоминать об области определенности объекта.
Функция Gnst во всех моделях ниже определяется три-
тривиальным образом: константе п языка сопоставляется
объект т? ? jDjj.
Таким образом, в рассматриваемых примерах модель
задается определением В, F и Рг.
Оцененное выражение (например, оцененная формула)—
это, как всегда, выражение, в котором все параметры за-
замещены объектами из Dn.
7. Определим теперь модель, соответствующую ре-
рекурсивной реализуемости г Клини (см. п. 5 ч. 2).
7.1. Если ф — формула, а х — переменная, то выра-
выражение жф назовем видом. Здесь х играет роль квантора,
так что переменная х в щ связана, остальные параметры
формулы ф остаются в хф свободными. Мы, как всегда,
отождествляем выражения, отличающиеся только пере-
переименованием связанных переменных. Выражение ху(х)
можно читать как «множество тех натуральных чисел х,
для которых ф (х)».
Если1 Зф — вид, at — терм (т. е. переменная или кон-
константа), то через (Ьгщ) обозначим формулу ф (х \ f) — ре-
результат подстановки вместо свободных вхождений х в ф
терма t.
Пусть а, Ъ — виды, е — новая переменная. Обозначим
через R [а, Ь, е] арифметическую формулу
Vu ((иеа) ID 3zv (Т (е, и, z) /\ (v = Uz) Д (v e &))).
Сделаем некоторый неформальный комментарий. Пусть
а есть х ф (х, у) и Ъ есть w ty (w, у). Вид щ (х, у) можно
рассматривать как обозначение арифметически выразимой
функции, задающей для каждого натурального у множест-
множество {х | ф (х, у)}. Формула R [а, Ь, е] утверждает, что е есть
номер частично рекурсивной функции {е} такой, что (при
фиксированных у) для всякого элемента и ? щ(х, у) оп-
определено значение {е}(и) и {е}(и) ? w i|) (w, у).
7.2. В качестве алгебры^Л ^истинностных значений
возьмем множество всех оцененных видов.
МОДЕЛИ ТИПА РЕАЛИЗУЕМОСТИ
217
Множество форм F задается множеством всех видов.
При этом вид щ мы канонически рассматриваем как функ-
функцию от cbohXj параметров. А именно, если параметрам
хх, . . ., хп вида |ф (хъ . . ., хп, х) приписать значения
?i> • • •» ?п из Dn, то автоматически определяется некото-
pbriij элемент J5 — элемент хф (q±, . . ., qn, x), получен-
полученный замещением параметров соответствующими объектами.
Мы говорим, что каждый вид задает форму относительно
операции замещения параметров.
Если ф (жц . . ., хп) — атомарная формула, то ее зна-
значением мы объявим вид w ф (х-у, . . ., хп), где w — новая
переменная, отличная от всех параметров хг, . . ., хп
формулы ф (агц . . ., хп).
Для окончания построения модели нам еще следует оп-
определить на В структуру псевдобулевой алгебры. С этой
целью достаточно (см. п. 1 ч. 3) определить естественное
упорядочение <^ на множестве В.
Пусть а = а {[хг], . . ., [хп]) и Ъ = Ъ {[хг], . . ., [хп]) —
два элемента В. Здесь [xj, . . ., [хп] — полный список
каналов, встречающихся в а и Ъ. Выберем новые перемен-
переменные х{, . . ., Хп и положим а' = а (х[, . . ., Хп), Ь' =
Ь (х{, . . ., Хп). Мы будем говорить, что а', Ъ' получают-
получаются из а, Ъ путем согласованного превращения каналов в пе-
переменные; а', Ъ' уже суть виды.
Определим теперь а ^ Ъ тогда и только тогда, когда су-
существует общерекурсивный ч.р. терм t, содержащий толь-
только те параметры, которые входят в виды а', Ь', и такой,
что НА |— Зе ((t = е) /\ В [а', Ь', е]), ср. с формулиров-
формулировкой п. 5.4 ч. 2.
Далее следует проверить, что В действительно образу-
образует псевдобулеву алгебру, а множество форм F удовлетво-
удовлетворяет всем требуемым условиям. Мы ограничимся некото-
некоторыми указаниями, а именно, опишем, как можно произ-
производить псевдобулевы операции над формами, включая
операции «взятия кванторов» ((v) п. 1):
a f\b = e3uf((e
а V b =» eluv((e
/ (и, v)) Д (иеа) Д (veb));
j (и, v)) Д (m=Od (vea)) Д
(и ф О ID (i?eb)));
= е (Уи ((ига) ZD 3zT (в, u, z)) Д
Уигу ((иеа) /\Т (е, и, z) /\v = Uz ID (web)));
218
[ДОПОЛНЕНИЕ А
~~] а = ё Уи ~~] (иеа);
±=ё@ = 1);
Уха = ё (VxlzT (е, х, z) Д \fxzu (Т (е, х, z) Д
(и — llz) ZD (иеа));
Бха = ё Зхи ((е = / (и, х)) Д (иеа)).
Разумеется, эти операции определены не однозначно, а
с точностью до естественной эквивалентности в алгебре В
(см. п. 1 ч. 3). Например, используя вместо / (и, v) функ-
функцию 2"-3"в предыдущих определениях, мы получим экви-
эквивалентные определения операций.
7.3. Бросается в глаза явное сходство операций в ал-
алгебре В с определением реализуемости п. 5 ч. 2. Это сход-
сходство, конечно, не случайно. Точным выражением этой
связи является следующая
7.3.1. Лемма. Если ф — формула НА, х — пере-
переменная, не встречающаяся в ф, то значением || ф || формулы
Ф в нашей модели является (с точностью до естественной
эквивалентности) форма, заданная видом % (%rq>).
[> Непосредственной индукцией по построению ф. Д
Из этой леммы следует
7.3.2. Теорема. Если ф — предложение НА, то
Этот результат характеризует истинные формулы на-
нашей модели — это в точности предложения, реализуе-
реализуемость которых выводима в НА.
7.4. Сам К_л и н пЛ 12], § 82, определял реализуе-
реализуемость атф не как формулу языка, а как содержательное
отношение между числом х и параметрами ф, сопоставляе-
сопоставляемое формуле ф индукцией по построению ф. Нетрудно^со-
ответствующим^ образом модифицировать модель п. 7.2.
А именно, на множестве В отношение а <^ Ъ зададим сле-
следующим образом: а ^ Ь <н- существует общерекурсивный
ч. р. терм t такой, что формула, полученная из Be ((t = е) Д
R [а', Ъ', е\) замыканием кванторами общности, истин-
истинна в стандартной арифметической модели. В этой модифи-
модификации определение псевдобулевых операций и лемма 7.3.1
сохраняются, а теорема 7.3.2 приобретает вид:
7.4.1. Если ф — предложение НА, то
истинно) 4=7-1| ф || = Т-
МОДЕЛИ ТИПА РЕАЛИЗУЕМОСТИ
219
8. Определим теперь модель, соответствующую реали-
реализуемости Лифшица г3 (см. ч. 2, п. 8.2). Напомним обозна-
обозначение
(х 6 У у) ^ (х < j,y) Д -] !{/2 у} (х).
Определим вид V (у) =^= х (х ? Vy).
Вид а назовем правильным, если может быть построен
ч. р. терм t (у), содержащий, кроме параметров а, только
еще новую переменную у, такой, что в FA выводима фор-
формула
3z(zeF (у)) Д Vz((zeV (у)) ZD (zeo)) Z)
M(t (у) = v) Д (vea))
(ср. с формулировкой' п. 8.2.2 ч. 2).
Оцененный вид а назовем правильным, если правиль-
правильным оказывается вид а', полученный из а путем превраще-
превращения каналов в переменные.
В качестве алгебры Вг истинностных значений мы возь-
возьмем теперь множество всех правильных оцененных
видов. Это собственное подмножество алгебры В п. 7.2.
Основное отношение <1 мы' определим следующим обра-
образом: а <1 Ь <г? существует ч.р. терм t, содержащий только
те параметры, которые встречаются в видах а', Ь' (полу-
(полученных из а, Ъ путем согласованного превращения ка-
каналов в переменные), и такой, что
FA|-3e((t = е) /\ R la', Ь',е]).
Множество форм задается множеством всех правильных
видов — каждый вид задает форму относительно опера-
операции замещения параметров.
Псевдобулевы операции над формами определяются
так же, как в п. 7.2, за исключением дизъюнкции и суще-
существования. Их следует определить следующим образом:
а\/Ъ=ё Cy(yeV(e)) Д Vy((ysV(e)) Z)
3vw((y = j (v, и»)) Д (v = 0 Z) ичю) Д (v ф О Г) wtb))));
Эха = ё (Jy (yeV(e)) Д Vj/ ((yeV(e)) ZD
З^За: ((у = j (v, x)) Д vm ))).
Значение атомарной формулы определяется так же, как
в п. 7.2. Аналогично п. 7.3.1 значением || ф|| арифметиче-
220
ДОПОЛНЕНИЕ А
ской формулы оказывается вид х (ат3ф), а для предложе-
предложения ф имеем || ф || = у 44- FA \— г3ц>.
9. Каждую формальную теорию, например НА, можно
рассматривать как функциональную алгебраическую мо-
модель. По существу это — известная алгебра Линденбау-
ма — Тарского.
В "качестве алгебры В истинностных значений следует
взять просто множество всех оцененных формул, а в каче-
качестве множества F форм — множество всех формул. Каждая
формула задает форму относительно операции замещения
параметров.
Основное отношение на В определяется очевидным об-
образом: а < &ФФ НА \— ar Z) Ь\ где, как всегда, а', Ъ' по-
получены из а, Ъ путем согласованного превращения кана-
каналов в переменные. Псевдобулевы операции над формами
при этом будут совпадать с синтаксическими операциями
над соответствующими формулами.
Если определить || ф || = ф для атомарных формул, то
для всякого предложения -ф будем иметь || ф|| = ~]~ 4Ф
НА|—ф.
10. Однако можно определить и гораздо более интерес-
интересные и неожиданные модели НА, где в качестве форм будут
фигурировать формулы. Для всякой арифметической фор-
формулы ф через Рг (ф) обозначим формулу с теми же парамет-
параметрами, что и у ф, содержательный смысл которой можно
пояснить следующим образом: Рг (ф) утверждает, что в ис-
исчислении НА выводится замкнутая формула ср, полученная
из ф'замещением ее параметров натуральными числами из
некоторого списка у. С внешней точки зрения у есть пол-
полный список всех параметров ф. Формула Рг (ф)"*строится
стандартным образом по формуле ф, с подробностями
можно ознакомиться, например, по статье Ф е ф е р м а-
н а [1]. Для_всякой формулы ф через Дф обозначим фор-
формулу ф Д Рг (ф)-
В качестве алгебры В возьмем вновь множество всех
оцененных формул, а в качестве множества F форм — мно-
множество всех формул, но теперь основное отношение опре-
определим иначе:
а < Ъ 4Ф НА |- П«' Z) V.
МОДЕЛИ ТИПА РЕАЛИЗУЕМОСТИ
221
Для атомарных формул положим || Ф || = ф-
Псевдобулевы операции в этой модели определяются
следующим образом (здесь слева стоит знак операции в на-
нашей модели, а справа — формула, являющаяся значением):
(ф) V D0 = О ф V ОЧ>);
(ф) = П Dp);
(ф) = (Уа:ф);
зх (Ф) = (Эх п ф);
± - @ = 1).
Реализуемость, соответствующая этой модели, была ис-
использована Бизоном [1]. Связь с реализуемостью
Бизона выражается эквивалентностью:
<р
= Т ^ НА \- фрг.
11. Рассмотрим еще модель, соответствующую штрих-
реализуемости К л и н и [4].
Множество F форм будет теперь определяться множест-
множеством всех пар <ф, г|>>, где ф и -ф суть арифметические фор-
формулы, каждый параметр i|> есть и параметр ф, и выполня-
выполняется еще следующее свойство: если у — полный список
всех параметров ф, а п — список натуральных чисел, со-
содержащий столько же членов, сколько членов в у, то из
истинности замкнутой формулы -ф (у | п) (в стандартной
арифметической модели) следует НА |—• ф (у \п).
В качестве алгебры В истинностных значений возьмем
множество всех] оцененных пар <ф, г|)>, удовлетворяющих
вышеуказанному условию. Каждая пара формул <ф, \J)>
задает форму относительно операции одновременного за-
замещения параметров в ф и *ф.
Определим основное отношение ^ на В. Пусть <ф1? tf>1>,
<ф2, i]j2> б В, а <ф1, г|з;>, <ф;, г|>2> суть формы, получающие-
получающиеся путем превращения каналов в переменные. Положим
<фи ^i> ^ <Фз. "Фг) тогда и только тогда, когда, во-первых,
ЛА f_ <pj з фг и, во-вторых, формула гра 3 г|J истинна
222
ДОПОЛНЕНИЕ А
(в стандартной арифметической модели), т. е. истинно ее
замыкание кванторами общности.
Операции на В определяются следующим образом:
<<Pi, ti> А <ф2. ¦Фа) = <Ф1 Д Фя, ^i Л 1[>2>;
<Фь Фх> V <ф2, ^2> = <Ф1 V Фа. ¦Фх V Фа>;
<Ф_1_=Э Фя, ^"(Фа Z) Ф2O\ М>1
ф, Рг П ф) Л (* =) Рг @ =
Рг (Ужф) Л
<Ф2.
J_ = <0 = 1, 0 = 1>.
Для атомарных формул определим значение Ц ф || =
<ф, Ф>.
В терминологии К л и н и [4] связь между нашей мо-
моделью и реализуемостью может быть выражена следующим
образом:
Дизъюнктивное свойство НА может быть доказано с по-
помощью нашей модели следующим образом. Пусть НА |—
Ф1V Ф21 гДе Фи Фг— замкнутые формулы. Тогда
II Ф1 V Фа II = Т- Но || фг V Фа II = <Ф1 V Фг, ti V Ч'г)»
где || ц>11| = <ф1? ч(з1> и || ф31| = <ф2, 4j>2X причем ^ и а|J —
замкнутые формулы. Так как \\(рг \/ ф2|| = ~р, то tp1 \/ i|?2
истинна, а следовательно, истинна одна из формул г^ или
¦ф2. Пусть, например, истина г)^. По свойству пары (фь гр1>
тогда НА |— фх.
ДОПОЛН.ЕНИЕ Б
УСИЛЕННАЯ ФОРМА ТЕОРЕМЫ
О НОРМАЛИЗАЦИИ
Как известно, Генцен в своей классической работе [1]
предложил формулировку классического и интуицио-
интуиционистского исчисления предикатов в форме исчисления
секвенций и доказал, что каждый вывод в этом исчислении
может быть приведен к так называемой нормальной форме,
не содержащей правила сечения. Фактически Генцен
предлагает некоторую конкретную и весьма естественную
систему редукций выводов и показывает, что для каждого
вывода можно подобрать конечную последовательность ре-
редукций из этой системы, приводящую первоначальный вы-
вывод в вывод с той же последней секвенцией, но уже без се-
чешш. Таким образом, описывается некоторый способ
приведения каждого вывода к нормальной форме, отлич-
отличный от тривиального перебора.
П р а в и ц [1] получил аналогичные результаты для
исчисления натуральных выводов Генцена. Затем П р а-
в и ц у [3J для исчисления натуральных выводов удалось
получить даже более сильный результат; а именно, оказа-
оказалось, что для системы редукций Правица всякий натураль-
натуральный вывод приводится к нормальному виду произвольной
последовательностью редукций. Основываясь на возмож-
возможности погружения натуральных выводов в секвециальные,
Ц у к е р [1] предложил,^некоторую_ систему редукций
для исчисления секвенций и показал, что для фрагмента
исчисления секвенций без дизъюнкции и существования
имеет место аналогичная сильная теорема о нормализации
(см. также П о т т и н г е р [1 ]). Что касается полного исчис-
исчисления секвенций, то Цукер привел конкретный пример
бесконечной последовательности редукций (из предло-
предложенного им набора редукций), не ведущий к нормаль-
нормальному выводу.
Ниже мы приведем доказательство того, что сильная
теорема о нормализации имеет место и по отношению
к первоначальной системе редукций Генцена (Драга-
лин [13]).
224
ДОПОЛНЕНИЕ Б
1. Для простоты мы будем рассматривать ниже одно-
сортные языки без функциональных символов. Каждый
такой язык определяется парой Q = <(IndQ, Рг^}, где
1пAй — множество (может быть, и пустое) индивидных сим-
символов или констант языка, а Рг& — непустое множество
предикатных символов.
1.1. Атомарные формулы языка имеют вид Р (щ, . . .,
ип), где Р — n-местный предикатный символ языка,
а иг — переменные или константы языка. Формулы языка
строятся обычным образом из атомарных с помощью свя-
связок д, V» =э, П. V, 3.
Множество формул языка ^'обозначим через Fm [Q],
множество всех предложений, т. е. замкнутых формул, обо-
обозначим через St [Q]. Мы систематически отождествляем
формулы, отличающиеся лишь переименованием связан-
связанных переменных.
Множества Inda, Ргй мы считаем не более чем счетными.
Для данного языка й и множества констант В через Q (В)
обозначим язык, получающийся из й путем присоедине-
присоединения констант из В в качестве новых индивидных символов.
Набор есть по определению конечное множество фор-
формул. При этом набор Г трактуется как множество с по-
повторениями, т. е. порядок формул в Г роли не играет, но
одна и та же формула может входить в Г в нескольких эк-
экземплярах. Пустое множество есть также набор.
Секвенция есть по определению фигура вида Г —>¦ Д,
где Г и А — наборы. Секвенция называется интуицио-
интуиционистской, если А пусто или состоит самое большее из од-
одной формулы.
1.2. Пусть фиксирован некоторый язык Q. Аксиома
есть по определению секвенция вида ф ->¦ ср, где ср ? Fm[Q].
1.3. Правила вывода делятся на группы:
1.3.1. Логические правила вывода:
(Л-+)
(V-*)
(ф
(ф
<
Л'
л
рГ
ФГ
ф) Г
г|з) Г
— Д;
->Д /
->Д» ^ •
-*Д
-»Д '
фГ-*Д
(-V)
г
г
V -
(.УСИЛЕННАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ
225
(=)->)
(V-)
C-)
(-
фг
х) Г -» А
Ф (i) Г -> Д
Г —* А
(-V)
Г
Г-
(и)
с обычными ограничениями на переменные.
1.3.2. Основные структурные правила вывода:
Д
г-
ФфГ
-»Дф
Дфф
' фГ-» Д ' v ; Г-»Дф '
1.3.3. Дополнительное структурное правило — сечениев
(cut)
ГП-^ДФ
1.4. Древовидные выводы в системе 1.2—1.3 называ-
называются LK-выводами (классическими выводами). Если вы-
вывод состоит лишь из интуиционистских секвенций, мы
назовем его LI-выводом (интуиционистским выводом).
Правило вывода (ID -*-) подобрано как раз таким образом,
чтобы это определение согласовалось с обычным.
В рассуждениях дальше через L обозначим одно из
исчислений LK или LI. Запись L [— (Г-»-А) означает,
что Г ->- А выводима в L. Запись L \—+ (Г ->- А) озна-
означает, что секвенция Г -*¦ А выводима в L без употребле-
употребления правила (cut).
1.5. Мы желаем показать1что из L |— (Г —> А) следует
L |—+ (Г —у А) и, более того, что существует некоторый
стандартный и конкретный набор редукций выводов
такой, что произвольная последовательность этих редук-
редукций, примененная к данному выводу с сечениями, не-
необходимо приводит к выводу этой же секвенции без сече-
сечений. В этом и состоит сильная теорема о нормализации.
Точную формулировку см. в п. 4.1.
"^ 2. Опишем некоторые вспомогательные понятия,
относящиеся к строению выводов и способам их записи.
8 А. Г. Драга лип
226
ДОПОЛНЕНИЕ1Б
УСИЛЕННАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ
227
2.1. Правило сечения назовем дополнительным, а все
остальные правила — основными. Основной формулой ло-
логического правила вывода называется формула, которая
вводится в заключении этого правила. Те формулы, ко-
которые явно выписаны в посылках логического правила
вывода и участвуют в построении основной формулы, на-
называются боковыми формулами данного правила вывода.
Основной формулой и боковыми формулами структурных
правил является формула^ф (в обозначениях 1.3.2 и 1.3.3).
Так, правило сечения не имеет вхождений основной фор-
формулы в заключение, но обязательно имеет вхождения
боковых формул в^каждую из посылок.
Переменная х в правилах (->V) и C -*-) называется
собственной переменной данного правила. Переменная
или константа и в правилах (V —у) и (—»-3) называется
основным термом данного правила.
2.2. Название правила вывода есть фигура, указанная
в 1.3 перед каждым из правил вывода, и, кроме того, не-
некоторая дополнительная стандартная информация, а
именно:
a) указание основной и боковых вхождений формул в
данном правиле вывода;
b) в случае V- и 3-правил — указание вхождений соб-
собственных переменных и основных термов данного правила
вывода.
Правило вывода рассматривается всегда вместе со
своим названием. Практически, однако, при написании
правил вывода мы будем обыкновенно опускать названия
или записывать их неполно,, например, в виде (->-3),
(V -»-)> (си^) и т. п.
Правило вывода:
с названием q мы часто будем записывать линейно в виде
(S^ SJSq), для краткости опуская часто название q,
а также внешние скобки. Подобным образом и для правил
с одной посылкой.
2.3. Понятие вывода в системе L секвенции S в этом
стиле определяется индуктивно следующим образом:
а) если S есть аксиома, то 5 есть L-вывод секвен-
секвенции S;
Ь) если пи . . ., я„. суть L-выводы секвенций St,. . .,
Sn соответственно и El7 .. ., SJSq) есть правило
вывода (причем, в случае LI, S является интуиционист-
интуиционистской секвенцией), то выражение (ях, . . ., nn/Sq) есть
L-вывод секвенции S.
2.4. Совокупность всех вхождений названий правил
вывода в данный вывод л называется анализом вывода.
Таким образом, согласно 2.3, всякий вывод содержит и
некоторый фиксированный анализ.
Однако при практическом написании выводов мы будем
обыкновенно опускать анализ вывода или записывать
его неполно.
Если я есть вывод секвенции S, то сам этот вывод
будем записывать в виде (я: S) или просто я: S. Таким
образом, по определению, л — (л : S) и эту запись следует
отличать от записи типа (я/S), которая означает, что вы-
вывод (nlS) оканчивается правилом вывода с одной посылкой
и имеет выводом-посылкой вывод я.
При рассмотрении последнего правила вывода данного
вывода я удобно одновременно рассматривать случай,
когда это последнее правило имеет две посылки или одну
посылку. В таких случаях мы используем запись вида
л = (ях, <я2>/5д). Здесь л2 заключено в угловые скобки,
чтобы напомнить, что мы исследуем обе возможности, ког-
когда рассматриваемое правило является двупосылочным или
однопосылочным (и тогда, конечно, я2 отсутствует).
2.5. Подвывод лг данного вывода я есть по определению
вхождение вывода лх в вывод я. Собственная переменная
вывода я — это переменная, которая фигурирует в ка-
качестве собственной переменной одного из правил выво-
вывода я. Мы систематически отождествляем выводы, отли-
отличающиеся переименованием собственных переменных.
В дальнейшем при манипуляциях с выводами считаем,
что необходимые переименования производятся везде,
где в них возникает необходимость. Удобно, например,
считать, что в рассматриваемых выводах! собственные
переменные, относящиеся к различным правилам, раз-
различны, что каждая собственная переменная встречается
только выше того правила, где она нужна, и т. п. Мы'не
будем явно оговаривать подобного рода требования.
Естественным Щ образом определяется подстановка
(я (хх, . . ., хп | tx,. . ., ?„)) термов tx, . . ., tn вместо списка
8»
228
ДОПОЛНЕНИЕ Б
различных переменных хг,. . ,,хп. При этом собствен-
собственные переменные я надлежит предварительно переимено-
переименовать, чтобы они отличались от всех переменных х\ и всех
переменных, встречающихся в списке tlt. . ., tn. Если это
не вызывает недоразумений, результат подстановки будет
сокращенно обозначаться через я (tx, . . .,?„).
2.6. Следуя Генцену, мы опускаем последовательность
применений основных структурных правил, отмечая их
присутствие двойной чертой.
Например, вывод
(я: фтГ ->-Д //фГ ->Дф)
оканчивается серией сокращений (st -v) и правилом до-
добавления (-v ad). Порядок применения этих структур-
структурных правил несуществен.
3. В этом разделе мы определим отношение между
выводами, которое мы будем обозначать в виде я ^> а
и читать: я редуцируется за один шаг в вывод а. Для ис-
истинности я ^> а необходимо, чтобы вывод я^содержал
правило сечения. При этом вывод а получается из я при-
применением одного из нижеследующих правил редукции.
3.1. Мы начнем с перечисления примитивных'правил
редукции. В этом случае вывод я необходимо оканчивает-
оканчивается сечением и именно это последнее сечение подвергается
преобразованию. Итак, пусть вывод я имеет вид
(я': Г -+ АФ", я": ф П -^ Ф/ГП -^ ДФ (cut)).
В зависимости от строения выводов я', я" можно приме-
применить любую из следующего ниже списка примитивных
рекурсий для получения вывода а, я > о\
3.1.1. Аксиомная редукция может быть применена,
если один из выводов, я' или я", является аксиомой.
В результате этой редукции последнее сечение исчезает.
Например, если я': ф -»-ф, то я следует преобразовать
в вывод
(я": фтП -^Ф // фП ->Ф).
3.1.2. Редукция перестановки правил применяется,
когда по крайней мере один из выводов, я' или я», окан-
оканчивается основным правилом q с основной формулой, от-
отличной от экземпляров основной формулы ф в рассматри-
рассматриваемом сечении. Редукция состоит в том, что сечение с
УСИЛЕННАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ
229
формулой ф следует применить сначала к посылкам пра-
правила q, а уже затем применить правило q.
Например, если
я' = (а': Г' -». Л'фп, а": Г" ->А"фп/Г -»- Дфпд),
то первоначальный вывод следует преобразовать к виду
(а': Г -»-ДУ\ я": ФтП -> Ф/ГП -»-Д'Ф (cut)),
(or": Г" -^Д'У\ п": ФтП ->-Ф/Г"П ->
Д"Ф (cut))/rn _». ДФ?.
Некоторое своеобразие возможно в случае, если вывод
я' оканчивается правилом (~Z) -»-). Например, пусть
я' = (а': Г ->ар, <f: лГ' ->Ф/(ф 3 л) Г' -> <р (^ +)),
здесь п = 1. Тогда вывод я следует преобразовать к виду
(а': Г' -н-ф // Г'П -*ф),
(о": т)Г -»-ф, я": ф^П -^Ф/г]ГП -^
Ф (cut))/(t ^ Tj) Г'П -»-Ф (Z) -v).
3.1.3. Редукция добавления применяется, когда по
крайней мере один из выводов, я' или я", оканчивается
правилом добавления (ad), вводящим основную формулу
последнего сечения. Редукция состоит в том, что сечение
следует применить к посылке добавления. Если же в по-
посылке добавления формула сечения отсутствует, то по-
последнее сечение исчезает. Например, если к ^> 0 и
я" = (о*: ф*П -+ФГу*+1П ^Ф (ad -»-)),
то результирующий вывод имеет вид
я': Г ->Афп, а": Ф*П ^-Ф/ГП ^
Если же
„• = (о»: П ^Ф/фП ^Ф (ad'-»-)),
ДФ.
(cut).
то результат имеет вид
а": П -»Ф//ГП
3.1.4. Редукция сокращения применяется, когда по
крайней мере один из выводов, я' или я", оканчивается пра-
правилом сокращения (st), которое относится к основной фор-
формуле рассматриваемого сечения. Редукция состоит в том,
что сечение следует применить к посылке сокращения.
УСИЛЕННАЯ НОРМАЛИЗАЦИИ
231
230
РДОПОЛНЕНИЕ Б
Например, если
я' = (а': Г
Acp"(-vst)),
то результирующий вывод имеет вид
а': Г -ч-Дф"*1, я": ФтП -^Ф/ГП
АФ (cut).
3.1.5. Редукция переброса применяется, когда по край-
крайней мере один из выводов, л' или я", оканчивается основ-
основным логическим правилом q, вводящим основную формулу
Ф сечения, причем в заключении правила q имеются и дру-
другие экземпляры формулы ф, относящиеся"к последнему
сечению. Редукция состоит в том, что последнее сечение
расщепляется на два вида сечений. Сначала следует при-
применить сечение с формулой Ф к'посылкам правила q, затем
применить^к результату логическое правило q, а затем
вновь применить сечение ко вновь появившейся форму-
формуле ф.
"" Пусть, например, я' = '(а': Г -> А'<р*ГГ-+ Дф*+М,
где k ]> 0, q — основное логическое правило с основной
формулой ф. Тогда данный вывод я следует преобразовать
к виду
П -*-Ф/Г'П
(((о-': Г' -*Д'ф
ДФ<7), (я":
л"
А'Ф (cut))/m
АФ.
3.1.6. Редукция вилки применяется, когда в последнем
сечении вывода лГимеем т = п == 1 и каждый из выводов
л', я" получен по основному логическому правилу, вводя-
вводящему основную'формулу ф. Редукция состоит в том, что
сечение следует применить к посылкам последних правил
л' и л". В отличие от всех других видов редукций, здесь
вновь получепные сечения имеют~основной~формулой^не
Ф, а некоторые другие формулы. Вид редукции~зависит
от внешнего логического знака формулы ф. Это может быть
один из' символов Д, \/, ~), ~1, V, Ц. Таким образом,
имеется всего шесть видов редукции вилки.
Рассмотрим примеры редукций вилки.
3.1.6.1. Д-вилка. ф = (if) Д т}),
„' = (а': Г
я" = E:-фП
А-ф, ог*:Г-
Д л) П
(Д -»)).
L
Результат имеет вид
„': г -*2Л^' 0: "Фп ->ф/ТП -> ДФ (cut).
3.1.6.2. \/-вилка' Ф = (^ V ii).
п' = (о': Г _> Atj/Г -^ А (г|) V Л) (-»-V)).
я" = (б': фП -*Ф, б": т)П -*-Ф/(Н> V1!) П ~
(V
Результат: ^
а': Г ->¦ Ат), 6": т)П -»- Ф/ГП -»- ДФ (cut).
3.1.6.3. Г (=)
я. = (б':П
Результат:
(№'• П ->Ф'-ф, о"': -фГ -»- Дт)/ПГ -»- АФ'л (cut)), б": ^П -+
цо . -> тр. V/nnr дф'ф" (Cut))//nr -* ДФ'Ф".
3.1.6.4. "]-вилка, ф =
" = (б': П
дф (cut)>
Результат: д
3.1.6.5. V-вилка, ф =
я' = (а' (х): Г -+¦ Aip (х)/Г ^ АУг/гр (у)(-*-V)),
(cut)
я" -(б: i
Результату ^^ ^^ g_^ ^ д _^
3.1.6.6 3-вилка, ф = Зжгр (х),
я' = (а': Г ->Дар (О/Г -»- ДЗугр(у) (-»-Э)),
я" = (б (ж): ар (х) П -^Ф/Эглр(г/)П ^-Ф C -»¦)).
Результат:
а': Г
АФ
3.2. Если теперь я — произвольный вывод, содержащий
вхождение правила сечения, то применение правила ре-
редукции состоит в том, что в я выбирается некоторый под-
вывод, оканчивающийся сечением, и к этому подвыводу
232
ДОПОЛНЕНИЕ Б
УСИЛЕННАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ
233
применяется одно из примитивных правил редук-
редукции п. 3.1. Результаты замены этого подвывода его редук-
редукцией и образуют вывод а такой, что я _> о.
3.3. Заметим, что если и _> а, то и и о суть выводы од-
одной и той же секвенции. Кроме того, для каждого вывода
я существует лишь конечное число выводов а таких, что
4. Вывод п назовем нормалъным1 если для всякого
вывода а не имеет места я ^> о.
Лемма. Вывод тогда и только тогда нормален, ког-
когда он не содержит сечений.
j> Если вывод не содержит сечений, то он тривиально
нормален. Пусть, обратно, вывод я нормален и содержит
сечения. Выберем подвывод яа вывода я такой, что %
оканчивается сечением и посылки пг уже сечений не со-
содержат.
Из содержания п. 3.1 можно усмотреть, что к выводу
Jtj применимо одно из примитивных правил редукций.
Достаточно рассмотреть случаи, когда а) одна из посылок
лг есть аксиома; Ь) одна из посылок получена по правилу,
не относящемуся к основной формуле сечения; с) одна
из посылок лг получена по основному структурному пра-
правилу, вводящему основную формулу сечения; d) одна из
посылок Пх получена по основному логическому правилу,
вводящему основную формулу сечения, причем эта по-
посылка содержит и другие экземпляры основной формулы
сечения; е) в ях можно применить редукцию вилки. Эти
случаи исчерпывают все возможности строения пг. Таким
образом, нормальный вывод не может содержать сече-
сечений. Ц
4.1. Рассмотрим теперь исчисление Red, в котором
будут выводится L-выводы.
1) Аксиомами Red являются нормальные L-выводы.
2) Пусть я — не нормальный L-вывод и nlt. . ., пп —
полный список всех выводов таких, что я ^> я*. Тогда
(Ях,. . ., яп/я) есть правило вывода Red. :
L-вывод назовем редуктивным, если я выводится в
системе Red.
Теперь можно уточнить, что является основной зада-
задачей. А именно, мы стремимся показать, что всякий вывод
является редуктивным.
Заметим, что по всякому редуктивному выводу я
соответствующий вывод в Red восстанавливается факти-
фактически однозначно.
4.2. Следующие три леммы отмечают простейшие свой-
свойства редукций.
4.2.1. Пусть вывод я оканчивается основным прави-
правилом я = (я1<я2>/>?д). Пусть я ^> <т. Тогда а оканчи-
оканчивается тем*же правилом а = (о\, <cr2>/5g), причем в точ-
точности для одной из посылок я* имеем П{ ^> а*, в то время
как для другой посылки я, = о^.
4.2.2. Пусть вывод я = (я1( (it^lSq) оканчивается
основным правилом, причем я15 п редуктивны. - Тогда
я — также редуктивный вывод.
О Индукцией по сумме сложностей выводов пг и яг
в исчислении Red. Используется 4.2.1. Q
4.2.3. Пусть я —"вывод, х — переменная и t — терм.
Пусть я (х | t) > а. Тогда существует вывод 6 такой,
что я ^> б, 6 (х \ t) =сг, вя)>6 есть редукция того же
вида, что и я (х \ t) ^> о*.
О Сначала следует рассмотреть случай примитивной
редукции п(х | t) j> а. Здесь нужное б находится не-
непосредственным рассмотрением видов редукций. Далее
применяем несложную индукцию по построению я. ?]
5. Рассмотрим теперь исчисление Ind, в котором бу-
будут выводиться L-выводы.
1) Аксиомами Ind являются L-выводы, являющиеся
аксиомами L.
2) Пусть я = (л1? (n2y!Sq) оканчивается основным пра-
правилом q. Тогда (я17 (я2)/я) есть правило вывода Ind.
3) Пусть я = (яц я2/<5 (cut)) оканчивается правилом
сечения. Пусть, далее, аг,. . .,ап — полный список всех
L-выводов таких, что я ^> а*. Тогда (о^,. . ., ап1я) есть
правило вывода Ind.
"L-вывод назовем индуктивным, если он выводится в
исчислении Ind. Заметим, что, как и в случае редуктив-
ных выводов, по всякому индуктивному выводу соответ-
соответствующий вывод в Ind восстанавливается фактически одно-
однозначно. Это позволяет, в частности, корректно опреде-
определить индуктивную сложность ind (я) для индуктивного
вывода я — количество вершин дерева вывода в исчис-
исчислении Ind для вывода я.
234
ДОПОЛНЕНИЕ В
5.1. Всякий индуктивный вывод является и редук-
тивнъш.
|> Индукцией по ind (я). Если я — аксиома, то п —
нормальный, а следовательно, и редуктивный вывод.
Если я оканчивается основным правилом, то посылки я
имеют меньшую индуктивную сложность и достаточно
использовать лемму 4.2.2. Пусть я оканчивается сечением
и (ох,. . ., <т„/я) — правило вывода Ind. Для доказатель-
доказательства редуктивности я, согласно 4.1, достаточно установить,
что все Oi редуктивны. Но это непосредственно следует из
индуктивного предположения индукции по ind (я). Д
5.2. Следующие пять лемм описывают простейшие
свойства индуктивных выводов.
5.2.1. Пусть я = (ях, (n2}/Sq) оканчивается основным
правилом. Тогда я индуктивен в том и только в том слу-
случае, когда индуктивны ях и я2, причем ind (nt) <C
ind (я) и ind (я2) < ind (я).
[> Это следствие определения индуктивности. Ц
5.2.2. Если я индуктивен и я > <т, то а также
индуктивен и ind (a) < ind (я).
D> Индукцией по величине ind (я). Если я — аксио-
аксиома, то я ^> а невозможно. Пусть я = (л1? (n^y/Sq) окан-
оканчивается основным правилом и я ^> а. Согласно 4.2.1
тогда а = (ох, (a2y/Sq) и, например, ях > о\, я2 = сг2-
По индуктивному предположению, at и а2 индуктивны,
причем ind (o^) < ind (щ). По определению индуктивно-
индуктивности тогда or индуктивен и ind (cr) = ind (o^) + ind (cr2) +
+ 1 < ind (я). Пусть, наконец, я оканчивается се-
сечением и я выводится в Ind по правилу (а1?. . ., ап/п).
Тогда из я ^> а следует, что а = с,- для некоторого j
и утверждение леммы очевидно из определений. [^\
" 5.2.3. Вывод п индуктивен тогда и только тогда,
когда для всякого о из я ^> а следует, что а индуктивен.
О В одну сторону, утверждение следует из 5.2.2.
Обратно, допустим, что для всякого о* из я ^> а следует,
что о* — индуктивный вывод. Индуктивность я установим
индукцией по построению я.
Если я — аксиома, то я индуктивен. Пусть я оканчи-
оканчивается основным правилом: я = (ях, <я2>/5д). Пусть щ >
Су. Тогда я > (а1, (nz)/Sq). Так как (ах, <я2) /Sq) —
индуктивный по допущению вывод, то и стх индуктивен
(см. 5.2.1). Таким образом, для всякого ах из^щ ^> ах
УСИЛЕННАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ
235
следует индуктивность ох. Отсюда щ индуктивен nojaH-
дуктивному предположению. Аналогично установим ин-
индуктивность я2. Ввиду 5.2.1 отсюда следует индуктив-
индуктивность л.
Наконец, индуктивность я в случае, когда я оканчи-
оканчивается сечением, вытекает непосредственно из допуще-
допущения. [J
5.Z. I. Всякий нор мольный вывод индуктивен.
[> Нормальный вывод я не содержит сечений (см. 4.0).
Индуктивность такого вывода докажем непосредственной
индукцией по построению я с использованием леммы
5.2.1. а
5.2.Ь. Пусть я — индуктивный вывод, х — переменная
и t — терм. Тогда вывод 6 = я {х \ t) также индуктивен
и ind (б) = ind (я).
[> Индукцией по ind (я). Пусть} например^ я оканчи-
оканчивается сечением. Будем обозначать штрихом результат
подстановки {x\t). Тогда, если о^,. . .,ат — полный спи-
список всех выводов таких, что я ^> Oj, то alt. . ,,а'т — пол-
полный список всех выводов таких, что я' ^> а\ (мы исполь-
используем лемму 4.2.3). Утверждение следует из индуктивного
предположения. \^_
5.3. Введенная индуктивная сложность, как показано
в 5.2, уменьшается при произвольной редукции, умень-
уменьшается при переходе к посылкам основного правила вы-
вывода и сохраняется при подстановках.
Так как, кроме того, всякий индуктивный вывод ре-
дуктивен, то для решения основной задачи 4.1 достаточ-
достаточно показать, что всякий вывод индуктивен.
Ввиду леммы 5.2.1 достаточно доказать следующее ут-
утверждение: если вывод я = (я1? nJS (cut)) оканчивается
сечением и я2, я2 — индуктивные выводы, то я — также
индуктивный вывод.
6. Рассмотрим некоторые понятия, относящиеся к
выводам с сечениями. Назовем фигурой сечения или просто
фигурой всякий выводг оканчивающийся сечением, т. е.
вывод вида
я = {щ: Г _». Аф^ яа: <рт П ->Ф/ГД ->-ПФ (cut)).
Формула ф называется основной формулой, а пх и я2 —
посылками фигуры.
236
ДОПОЛНЕНИЕ^
Редукцию я ^> о фигуры назовем дальней редукцией,
если она не является примитивной, т. е. не затрагивает
последнего сечения, а относится к посылкам. В этом слу-
случае о также является фигурой с той же основной форму-
формулой. Вывод о назовем фрагментом редукции я ^> о".
Редукцию л ^> о фигуры я назовем финальной, если
она является примитивной и в результате редукции по-
последнее сечение исчезает. Это в точности редукции ви-
вида 3.1.1 или 3.1.3 в вырожденных случаях, когда сечение
исчезает.
Редукцию я ~^> а фигуры я назовем простой, если она
примитивна и не финальна, а кроме того, отлична от ре-
редукции вилки 3.1.6. Результат о простой редукции уже
не обязательно является фигурой. Однако в результате
простой редукции в составе результата а появляется од-
одна или несколько фигур, которых не было в первоначаль-
первоначальном выводе я. Эти фигуры назовем фрагментами редукции
я _> о.
Пусть, например, фигура я имеет вид
я = (я': Г -> Дф;'+1, я": фтП -^Ф/ГД ->ПФ (cut)),,
причем к ^> 0 и я' оканчивается логическим правилом,
вводящим ср:
я' = (а': Г -+ ДУ/Г -+Ayk+1q).
В этом случае к я можно применить простую редукцию
переброса 3.1.5 и получить вывод а, я ^> о:
(((„': Г' -+А'у\ я": <ртП -»-Ф/Г'П ->
Д'Ф (cut))/rn -+ ДФд), (я»: фтП ->Ф)/ГПП ->-
ДФФ (cut))//rn -у ДФ.
Следующие две фигуры:
а': Г' -> ДУ, я»: ф"Т1 -^Ф/Г'П -* Д'Ф (cut),
а также
(((о': Г' -> ДУ, я»: ф™П ->Ф/Г'П ->Д'Ф (cut))/ITI -»-
ДФд), (я": фтП ->Ф)/ГПП -^ ДФФ (cut))
являются фрагментами этой редукции.
Наконец, редукцию п ^> о фигуры я назовем главной^
если это есть примитивная редукция вилки. В этом слу-
УСИЛЕННАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ
237
чае вновь полученные фигуры сечения (эти фигуры будут
уже с другими основными формулами) также назовем
фрагментами редукции я ^> а.
Фрагмент редукции, в состав которого не входят дру-
другие фрагменты этой редукции, мы назовем верхним. В про-
противном случае фрагмент называется нижним. Так, в выше-
вышеприведенном примере первый фрагмент является верхним,
а второй — нижним, так как второй фрагмент содер-
содержит в своем составе первый. Таким образом, все редукции
фигур сечения мы подразделяем на четыре непересекаю-
непересекающихся класса: дальние, финальные, простые и главные ре-
редукции. В результате нефинальной редукции фигуры
возникают новые фигуры, называемые фрагментами перво-
первоначальной фигуры. В случае дальней и простой редук-
редукций фрагменты имеют ту же основную формулу, что и
первоначальная фигура. Фрагменты главной редукции
имеют другие основные формулы. Результат нефинальной
редукции получается из нижнего фрагмента с помощью
серии основных структурных правил.
6.1. Рассмотрим фигуру
я = [щ: I\ -v Д1ф"", я2: ф™«Га
(cut)).
Будем говорить, что индекс посылки Я{ равен нулю, если
Wj =1 и вывод щ оканчивается основным логическим
правилом, вводящим основную формулу ф. В остальных
случаях индекс посылки Яг считаем равным единице.
Индекс посылки обозначим через а (щ). Индексом фигуры
назовем сумму индексов посылок а (я) = а (п^ + а (я2).
Таким образом, а (я) может принимать в качестве значе-
значений только 0, 1 или 2.
Если посылки я индуктивны, то весом фигуры я на-
назовем натуральное число Ъ (я) = ind (ях) + iud (я2)-
Наконец, если фигура я имеет индуктивные посылки,
то сложностью фигуры назовем ординальное число h (я) <
Зсо. А именно, h (я) = а (я)-со + Ь (я). Сложность оп-
определена для всякой фигуры с индуктивными посылками.
Такую фигуру мы назовем правильной.
6.2. Докажем несколько лемм, относящихся к правиль-
правильным фигурам.
6.2.1. Результат финальной редукции правильной фи-
фигуры есть индуктивный вывод.
238
ДОПОЛНЕНИЕ В
t> Очевидно, так как в этом случае результат полу-
получается из индуктивной посылки первоначальной фигуры
с помощью основных правил (см. 5.2.1). Q
6.2.2. Пусть я ^> а — простая или дальняя редук-
редукция, а а' — ее верхний фрагмент. Тогда, если я — пра-
правильная фигура, то о' — также правильная фигура и
h (о') < h (я).
t> Следует убедиться, что а (о') ^ а (я) и Ъ (а') <
Ъ (я). Первый факт связан с тем, что если индекс неко-
некоторой посылки равен нулю, то эта посылка может участво-
участвовать только в редукции вилки и поэтому не меняется в ре-
результате простой редукции. Для доказательства второго
факта используем свойства 5.2—5.3 индуктивной слож-
сложности. Ц
6.2.3. Если все верхние фрагменты простой редукции
правильной фигуры индуктивны, то нижний фрагмент
этой редукции есть правильная фигура сложности, мень-
меньшей, чем сложность исходной фигуры.
t> Речь может идти лишь о редукции переброса
п. 3.1.5. Рассмотрение этой редукции показывает, что посыл-
посылки нижнего фрагмента получаются с помощью основных
правил из верхних фрагментов, так что из условия леммы и
5.2.1 следует, что эти посылки индуктивны, а, следователь-
следовательно, нижний фрагмент есть правильная фигура. Далее,
индекс посылки нижнего фрагмента, содержащей в качест-
качестве подвыводов верхние фрагменты, равен нулю, в то время
как индекс соответствующей посылки исходной фигуры
равен единице (для применения редукции переброса не-
необходимо, чтобы в соответствующей посылке исходной
фигуры было несколько экземпляров основной формулы,
а это влечет, что индекс упомянутой посылки равен еди-
единице). Тогда индекс нижнего фрагмента оказывается мень-
меньше, , чем индекс исходной фигуры, так что и сложность
нижнего фрагмента ниже. Ц
6.2.4. Если я — правильная фигура с основной фор-
формулой ф, то л (х\ t) есть правильная фигура с основной
формулой (f(x 11) и с той же сложностью, что и п.
?> Это следствие леммы 5.2.5. Ц
7. Теорема.
тивна.
Всякая правильная фигура индук-
УСИЛЕННАЯ НОРМАЛИЗАЦИЯ
239
О По определению индуктивного вывода достаточно
установить, что для всякой правильной фигуры я если
я > а есть редукция я, то а - индуктивный вывод. Это
утверждение* будем доказывать индукцией по логической
сложности основной формулы я т. е. индукцией по коли-
количеству знаков Д, V, =>, П, V, 3 в основной формуле
я При фиксированной логической сложности основной
формулы я используем индукцию по сложности правиль-
правильной фигуры я. Случаи финальной, дальней и простои^ре-
простои^редукций трактуются с помощью лемм 6.2.1— b.z.d. индук
щш по логической сложности используется лишь в слу-
случае главной редукции к > о. Здесь следует заметить что
фрагменты главной редукции имеют основные формулы
меньшей логической сложности При рассмотрении V-
и 3-вилок используется лемма 6.Z.4. LJ
7.1. Т е о р е м а. Всякий вывод редуктивен.
> Ввиду 7 5.3 и 4.1. ?
ЛИТЕРАТУРА
Ац
1.
Бе
1.
Бе
1.
Би
1.
2.
3.
4.
5.
Би
1.
Бр
1.
2.
3.
Ва
1
э л (Aczel P.H.G.)
Saturated intuitionistic theories.— In: Contributions to mathe-
mathematical logic, ed. by H. A. Schmidt et al.— Amsterdam, 1969,
p. 1—11.
p н и н и (Bernini S.)
A very strong intuitionistic theory.— Studia Logica, 1976, 35,
№ 4, p. 377-385.
т (Beth E. W.)
The foundations of mathematics.—Amsterdam, 1959.
зон (Beeson M.)
The nonderivability in intuitionistic formal system of theorems
onfthe continuity of effective operations.— J. Symbolic Logic,
1975, 40, p. 321—346.
Derived rules of inference related to the continuity of effective
operations.— J. Symbolic Logic, 1976, 41, p. 328—337.
Principles of continuous choice and continuity of functions in
formal systems for constructive mathematics.— Ann. Math. Lo-
Logic, 1977, 12, № 3, p. 249—322.
A type-free Godel interpretation.— J. Symbolic Logic, 1978,
43, № 2, p. 213-227.
Some relations between classical and constructive mathematics.—
J. Symbolic Logic, 1978, 43, № 2, p. 228—246.
ш о п (Bishop E.)
Foundations of constructive analysis.— N. Y.: McGraw-Hill
Co., 1967.
а у э р (Brouwer L.E.J.)
. Consciousness, philosophy and mathematics.— Proc. X Intern.
Congress Philosophy, Amsterdam, 1948, p. 1235—1249.
. De non-aequivalentie van de constructieve en de negatieve orde-
rellatie in net continuum.— Indag. math., 1949, 11, p. 1—17.
. An example of contradictory in classical theory of functions.—
Proc. Akad. Amsterdam, Ser. A, 57, p. 204—206; Indag. math.,
1954, 16, p. 204—206.
x x о л ь ц (Buchholz W.)
. Ein ausgezeichnetes Modell fur die intuitionistische Typenlo-
gik.—Arch. math. Logik Grundlagenforsch., 1975, 17,
S. 55—60.
рпаховский Ф. Л.
Об одном классе реализуемых формул логики высказываний.—
Зап. научн. семинаров Лопингр. отд. матем. ин-та АН СССР,
1972, 20, с. 8—23.
ЛИТЕРАТУРА
241
Вельдман (Veldman W.)
1. An intuitionistic completeness theorem for intuitionistic predi-
predicate logic— J. Symbolic Logic, 1976, 41, № 1, p. 159—166.
В е с л и (Vesley R. E.)
1. A palatable substitute for Kripke's schema.— In: Intuitionism
and proof theory. Proc. of the summer conference at Buffalo,
N. Y., 1968. Amsterdam, 1970, p. 197—207.
2. Choice sequences and Markov's principle.— Compositio math.,
1972, 24, p. 33-53.
Г а б б а й (Gabbay D. M.)
1. On some new intuitionistic propositional connectivies I.— Stu-
diajlogica, 1977, 36, № 1—2, p. 127—139.
Г а р г о в Г. К.
1. Интуиционистский анализ и промежуточные логики.— ДАН
СССР, 1975, 224, № 6, с. 1245.
Г е й т и н г (Heyting A.)
1. Die formalen Regeln der intu'tionistischen Logik.— Sitzungs-
ber. preuss. Akad. Wiss., Berlin, 1930, S. 42—56.
2. Die formalen Regeln der mtuitionistischen Mathematik.— Sit-
zungsber preuss. Akad. Wiss., Berlin, 1930, S. 57—71, 158—
169.
3. Интуиционизм.— M.: Мир, 1965.
Генки н, Тарский (Henkin L., Tarski A.)
1. Cylindric algebras.— In: Lattice theory. Proc. of symp. in
pure math., 1961, 2. Providence, R. I., p. 83—113.
Г е н ц е н (Gentzen G.)
1. Исследования логических выводов.— В кн.: Математическая
теория логического вывода. М.: Наука, 1967, с. 9—76.
2. Непротиворечивость частной теории чисел.— В кн.: Мате-
Математическая теория логического вывода. М.: Наука, 1967,
с. 77—153.
3. Новое изложение доказательства непротиворечивости для
частной теории чисел.— В кн.: Математическая теория логиче-
логического вывода. М.: Наука, 1967, с. 154—191.
Г ё д е л ь (Godel К.)
1. Zur intuitionistischen Arithmetik und Zahlentheorie.— Ergeb-
nisse eines math. Roll., 1931—1932, S. 34—38.
2. Zum intuitionistischen Aussagenkalkiil.— Akad. der Wiss. in
Wien, math.-naturwiss. Klasse, Anzeiger, 1932, 69, S. 65—66.
3. Об одном еще не использованном расширении финитной точки
зрения.— В кн.: Математическая теория логического вывода.
М.: Наука, 1967, с. 499—510.
Гжегорчик (Grzegorczyk A.)
1. A philosophically plausible formal interpretation of intuitio-
intuitionistic logic— Indag. math., 1964, 26, p. 596—601.
2. Assertions depending on time and corresponding logical calcu-
calculi.— Composito math., 1968, 20, p. 83—87.
Г уд мен (Goodman N. D.)
1. Relativized realizability in intuitionistic arithmetic of all
finite types.— J. Symbolic Logic, 1978, 43, № 1, p. 23—44.
Гудстейн (Goodstein R. L.)
1. Рекурсивный математический анализ.—М.: Наука, 1970.
242
ЛИТЕРАТУРА
Г у р е в и ч (Gurevich Y.)
1. Intuitionistic logic with strong negation.— Studia Logica, 1977,
36, p. 49—59.
Дален ван (van Dalen D.)
1. An interpretation of intuitionistic analysis.— Ann. Math. Lo-
Logic, 1978, 13, p. 1—43.
2. Lectures on intuitionism.— Lect. Notes Math., 1973, 337,
p. 1—94.
Дален ван, Трулстра (van Dalen D., Troelstra A. S.)
1. Projections of lawless sequences.— In: Intutitionism and proof
theory. Proc. of the summer conference at Buffalo, N. Y., 1968,
Amsterdam, 1970, p. 163—186.
Д а м м е т (Dummet M.)
1. Elements of intuitionism.— Oxford: Oxford Press, 1978.
Д же рве л (Jervell H. R.)
I. A normalform in first-order arithmetic.— Proc. of the second
Scand Logic Symp., ed. J. E. Fenstad, 1971, p. 93—108.
Драгалин А. Г.
1. К обоснованию принципа конструктивного подбора
А. А. Маркова.— ДАН СССР, 1967, 177, с. 13—16.
2. Вычислимость примитивно-рекурсивных термов конечного
типа и примитивно-рекурсивная реализуемость.— Зап. научн.
семин. Ленингр. отд. матем. ин-та АН СССР, 1968, 8, с. 32—45.
3. Сложные аксиоматические теории и полнота интуиционист-
интуиционистского исчисления предикатов.— Тезисы конф. педвузов центр,
зоны РСФСР, Иваново, 1970, с. 8—10.
4. К интуиционистской теории моделей.— В кн.: История и
методология естественных наук, вып. XIV. Математика и
механика. М.: Изд. МГУ, 1973, с. 106—126.
5. Constructive mathematics and models of constructive theori-
theories.— In: Logic, Methodology and Philosophy of Science IV
(ed. P. Suppes etc.). Amsterdam, 1973, p. 111—128.
6. Конструктивные модели теорий интуиционистских последо-
последовательностей выбора.— В кн.: Исследования по формализо-
формализованным языкам и неклассическим логикам. М.: Наука, 1974.
с. 214—252.
7. Конструктивная модель интуиционистского анализа.—¦
г' В кн.: Философия и логика. М.: Наука, 1974, с. 55—78.
8. Полнота арифметики с конструктивным правилом бесконеч-
бесконечной индукции.— В кн.: Теория алгоритмов и машинная
логика. М.: ВЦ АН СССР, 1974, с. 14—33.
9. Алгебраические модели интуиционистской логики.— В кн.:
Теория логического вывода, ч. 1 (тезисы докладов Всесоюз-
Всесоюзного симпозиума, Москва, март 25—27 1974). М.: АН СССР,
Ин-т философии, 1974, с. 29—32.
10. Алгебраические модели интуиционистских теорий.— В кн.:
Логический вывод. М.: Наука, 1979, с. 206—244.
II. Функциональные алгебраические модели.—В кн.: Семиотика
и информатика. М.: ВИНИТИ, вып. 13, с. 188—199.
12. Устранение сечения в теории определимых множеств нату-
натуральных чисел.— В кн.: Теория множеств и топология.
Ижевск, 1977, с. 27—W.
ЛИТЕРАТУРА
243
13. Сильная теорема о нормализации выводов в исчислении
секвенций Генцена.— В кн.: Исследования по теории ?алго-
1 ритмов и математической логике. М.: Наука, 1979, с. 26—39.
14.1 New kinds of readability.— In: VI Intern. Congress for Logic,
Methodology and Philosophy of Science (Gannover, august
1979), abstracts. Gannover, 1979.
Ершов Ю. Л.
1.0 модели G теории ВВ..—ДАН СССР, 1974, 217, №5,
с. 1004—1006.
Жирар (G i r a r d J. Y.)
1. Une extension de Г interpretation de Godel а Г analyse.— Proc.
of the second Scand. Logic Symp., ed. J. E. Fenstad, 1971,
p. 63—92.
Й e x (Jech T. Y.)
1. Теория множеств и метод Ферсинга.— М.: Мир, 1973.
Й о н г д е (de Jongh D.H.J.)
1. The maximality of the intuitionistic predicate calculus with
respect to Heyting's arithmetic (abstract).— J. Symbolic Logic,
1970, 35, p. 606.
Кановей В. Г.
1. Определимость с помощью степеней конструктивности.—
В кн.: Исследования по теории множеств п неклассическим ло-
логикам. М.: Наука, 1976, с. 5—95.
2. О непустоте классов в аксиоматической теории множеств.—
ИАН СССР, сер. матем., 1978, 42, № 2, с. 550—579.
К и п н и с М.. М.
1. Об одном свойстве пропозициональных формул.— ДАН
СССР, 1967, 174, № 2, с. 277—278.
2. О реализациях предикатных формул.— Зап. научн. семина-
семинаров Ленингр. отд. матем. ин-та АН СССР, 1971, 20, с. 40—48.
К л и н и (Kleene S. С.)
1. On the interpretation of intutionistic number theory.— J. Sym-
Symbolic Logic, 1945, 10, p. 109—124.
2. Введение в метаматематику.— M.: ИЛ, 1957.
3. Extension of an effectively generated class of functions by enu-
enumeration.— Colloq. Math., 1958, 6, p. 67—78.
4. Disjunction and existence under implication in elementary
intuitionistic formalism.—J. Symbolic Logic, 1962, 27, p. 11 —
18. Добавление.— Там же, 1963, 28, с. 154—156.
5. Constructive functions in F1M.— in: Logic, Methodology and
Philosophy of Sciences III. Amsterdam, 1968, p. 137—144.
6. Formalized recursive functionals and formalized realizability.—
Mem. Amer. Math. Soc, 1969.
Клини, Весли (Kleene S. C, Vesley R. E.)
1. Основания интуиционистской математики.— М.: Наука, 1978.
Колмогоров А. Н.
1. Zur Deutung der intuitionistichen Logik.— Math. Z., 1932,
35, S. 58—65.
К р а й з е л (Kreisel G.)
1. A remark on free choice sequences and the topological comple-
completeness proofs.— J. Symbolic Logic, 1958, 23, p. 369—388.
244
ЛИТЕРАТУРА
2. The non-deriyability of ~~| (x)A (x) -» (Ex)A (x), A primitive
recursive, in intutitionistic formal systems (резюме).— J. Sym-
Symbolic Logic, 1959, 23, p. 456—457.
3. On weak completeness of intutionistic predicate logic.— J. Sym-
Symbolic Logic, 1959, 23, p. 456—457.
4. Informal rigour and completeness proofs,— In: Problems in the
philosophy of mathematics. Amsterdam, 1967, p. 138—186.
5. Lawless sequences of natural numbers.— Compositio math.,
1968, 20, p. 222—248.
Крайзел, Трулстра (Kreisel G., Troelstra A. S.)
. 1. Formal systems for some branches of intutionistic analysis.—
Ann. Math. Logic, 1970, 1, p. 229—387.
Кринке (Kripke S. A.)
1. Semantical analysis of intutionistic logic I.— In: Formal sys-
systems and recursive functions. Amsterdam, 1965, p. 92—129.
Кроль М. Д.
1. К топологическим моделям интуиционистского анализа. Один
контпример.— Матем. заметки, 1976, 19, № 6, с. 859—862.
2. Дизъюнктивное и экзистенциальное свойство интуиционист-
интуиционистского анализа со схемой Крипке.— ДАН СССР, 1977, 234,
№ 4, с. 750-753.
3. Об экзистенциальном свойстве интуиционистского анализа со
схемой Крипке.— Деп. ВИНИТИ, 1977, № 1895-77, с. 1—50.
4. Различные варианты схемы Крипке в интуиционистском ана-
анализе.— ДАН СССР, 1978, 239, № 5, с. 1048—1051.
5. A topological model for intuitionistic analysis with Kripke's
scheme.—Z. math. Logik Grundl. Math., 1978, 24, p. 427—436.
Кузнецов А. В.
1. О функциональной выразимости в суперинтуиционистских
логиках.— Матем. исследования, Кишинев, 1971, 6, № 4,
с. 75—122.
2. О суперинтуиционистских логиках.— Матем. исследования,
Кишинев, 1975, 10, № 2, с. 150—158.
Кузнецов А. В., Г е р ч и у В. Я.
1. О суперинтуиционистских логиках и финитной аппроксими-
аппроксимируемости.—ДАН СССР, 1970, 195, № 5, с. 1029—1032.
К у ш н е р Б. А.
1. Лекции по конструктивному математическому анализу.—
М.: Наука, 1973.
Левин А. М.
1. Аксиома выбора в классическом анализе.— Вести. МГУ,
сер. матем. мех., 1975, № 4, с. 59—65.
2. Сравнение различных форм аксиомы выбора в классическом
анализе.— ДАН СССР, 1975, 225, № 4, с. 759—763.
3. Об одном фрагменте классического анализа.— Вестн. МГУ,
сер. матем. мех., 1978, № 1, с. 3—9.
Л е й в а н т (Leivant D.)
1. Absolutness of intuitionstic logic.— Report ZW 45/75, Math.
Centrum, Amsterdam, May 1975.
2. Failure of completeness properties of intuitionistic predicate
logic for constructive models.— Ann. Sci. Univ. Clermont Math.,
1976, 13, p. 93—107.
ЛИТЕРАТУРА
245
Л и ф ш и ц В. A. (Lifscliitz Y. А.)
1.'СТ0 is strongerjtlan CT0!. — Report of Brigham Young Univ.,
Provo, Utah 84602, 1976.
Лопес-Эскобар, Вель'дман (Lopez-Escobar G. ft.,
Veldman W.)
1. Intiuitionistic completeness of a restrieted second-order logic —
Lect. Notes Math., 1Э75, 500, p. 198—232.
Лукасевич, Тарский (Lukasiewicz J., Tarski A.)
1. Untersuchungen iiber den Ausssagenkalkiil.— C. r. Soc. Sci.
Lettres Varsovie, Cl. Ill, 1930, 23, S. 30—50.
ЛюбецкийВ. А.
1. Случайные последовательности чисел и Л2-множества.— В кн.:
Исследования по теории множеств и некласснческим логикам.
М.: Наука, 1976, с. 96-122.
М а й х и л л (Myhill J.)
1. Notes towards an axiomatization of intuitionistic analysis.—
Logique et Analyse, 1967, 35, p. 280—297.
2. Formal systems of intuitionistic analysis I.— In: Logic, Metho-
Methodology and Philosophy of Science III. Amsterdam, 1968,
p. 161—178.
3. Formal systems of intuitionistic analysis II.— In: Intuitionism
and proof theory. Proc. of the summer conference at Buffalo,
N. Y., 1968. Amsterdam, 1970, p. 151—162.
4. Embedding classical type theory.— Proc. Symp. Pure Math.,
1971, 13, № 1, p. 267—270. Errata.— Lect. Notes Math., 1972,
274, p. 92.
5. Some properties of intuitionistic Zermelo — Fraenkel set theo-
theory.— Lect. Notes Math., 1973, 337, p. 206—231.
6. Constructive set theory. — J. Symbolic Logic, 1975, 40,
p. 347—382.
Максимова Л. Л.
1. Предтабличные суперинтуиционистские логики. — Алгебра и
логика, 1972, 11, с. 558—570.
2. Теорема Крейга в суперинтуиционистских логиках и амаль-
амальгамируемые многообразия псевдобулевых алгебр.— Алгебра
и логика, 1977, 16, с. 643^681.
Марков А. А.
1. О конструктивной математике.— Тр. матем. ин-та АН СССР
им. В. А.Стеклова, 67. М.: Изд. АН СССР, 1962, с. 8—14.
2. О логике конструктивной математики.— Вестн. МГУ, сер.
матем. мех., 1970, № 2, с. 7—29.
3. Essai de construction d'une logique de la mathematique con-
constructive.— Revue internationale de Phil., 1971, 25, p. 477 —
507.
Мартин-Лёф (Martin-Lof Per)
1. Hauptsatz for the intuitionistic theory of iterated indiductive
definitions.— Proc. of the second Scand. Logic. Symp., ed.
J. E. Fenstad, 1971, p. 179—216.
2. Hauptsatz for the intutionistic theory of species.— Proc. of
the second Scand. Logic Symp., ed. J. E. Fenstad, 1971, p. 217 —
233.
3. Очерки по конструктивной математике.— M.: Мир, 1975.
246
{ЛИТЕРАТУРА
Мендельсон (Mendelson E.)
1. Введение в математическую логику.— М.: Наука, 1976.
Минц Г. Е.
1. Трансфинитные развертки арифметических формул.— Зап.
научн. семинаров Ленингр.отд. матем. ин-та АН СССР, 1975,
49, с. 51—66.
2. Теория доказательств (Арифметика и анализ).— Итоги науки
и техники, сер. Алгебра. Топология. Геометрия, ВИНИТИ,
1975, 13.
3. Что можно сделать в ПРА.— Зан. научн. семинаров Ленингр.
отд. матем. ин-та АН СССР, 1976, 60, с. 93—102.
Московакис (Moschovakis J. R.)
1. Can there be no nonrecursive functions? — J. Symbolic Logic,
1971, 36, № 2, p. 309—315.
2. A topological interpretation of second order intuitionistic arith-
arithmetic— Compositio math., 1973, 26, p. 261—275.
Новиков II. С.
1. On the consistency of certain logical calculus.— Матем. сб.,
1943, 12 E4), с. 231-261.
2. Элементы математической логики.— М.: Наука, 1974.
Оревков В. П.
1. Связь конструктивной общезначимости с выводимостью в
классическом исчислении предикатов. — Всесоюзный симпозиум
L но математической логике(тезисыдокладов,2—7 июня 1969 г.).
Алма-Ата, 1969, с. 35.
Освальд (Osswald H.)
1. Vollstandigkeit und Schnittelimination in der intuitionisti-
schen Typelogik.— Manusripta math., 1972, 6, S. 17—31.
2. Ein syntaktischer Beweis fiir die Zulassigkeit der Schnittregel
im Kalkiil von Schiitte fur die intuitionistische Typenlogik.—
Manuscripta math., 1973, 8, S. 243—249.
П л и с к о В. А.
1. Неарифметичность класса реализуемых предикатных фор-
формул.— ИАН СССР, сер. матем., 1977, 41, с. 483—502.
2. Некоторые варианты понятия реализуемости для предикатных
формул.— ИАН СССР, сер. матем., 1978, 42, № 3, с. 636 —
653.
П о л е р с (Pohlers W.)
1. Ein starker Normalisationssatz fiir die intuitionistische Typen-
theorie.— Manuscripta math., 1973, 8, S. 371—387.
Поттингер (Pottinger G.)
1. Normalization as a homomorphie image of cut-elimination.—
Ann. Math. Logic, 1977, 12, № 3, p. 323—357.
П о у э л л (Powell W. С.)
1. Extending Godel negative interpretation to ZF.— J. Symbolic
Logic, 1975, 40, p^ 221—229.
Л р а в "и ц (Prawitz D.)
1. " ' - ' ••
1. Natural deduction.— Almquist & Wiksell, Stokholm, 1965.
2. Completeness and Hauptsatz for second order logic.— Theoria,
1967, 33, p. 246—258.
3. Ideas and results of proof theory.— Proc. of the second Scand.
Logic Symp., ed. J. E. Fenstad, 1971, p. 235—307.
ЛИТЕРАТУРА
247
Расёва, Сикорский (Rasiowa H., Sikorski R.)
1. Математика метаматематики.— М.: Наука, 1972.
Р а ц а М. Ф.
1. О функциональной полноте в некоторых логиках, промежу-
промежуточных между классической и интуиционистской.— Матем.
исследования, Кишинев, 1970, 5, № 4, с. 171—176.
Роджерс (Rogers H., Jr.)
1. Теория рекурсивных функций и аффективная вычислимость.
М.: Мир, 1972.
Роотселаар ван (Rootselaar van В.)
1. On subjective mathematical assertions.— In: Intuitionism and
proof theory. Proc. of the summer conference at Buffalo, N. Y.,
1968. Amsterdam, 1970, p. 187—196.
Роуз (Rose Gene F.)
1. Propositional calculus and realizability.— Trans. Amer. Math.
Soc, 1953, 75, p. 1—19.
С в а р т (Swart de H.)
1. Another intuitionistic completeness proof.— J. Symbolic Logic,
1976, 41, № 3, p. 644-662.
2. An intuitionistically plausible interpretation of intuitionistie
logic— J. Symbolic Logic, 1977, 42, № 4, p. 564—578.
3. First steps in intuitionistic model theory.— J. Symbolic Logic,
1978, 43, № 1, p. 3-12.
Скарпеллини (Scarpellini B.)
1. A model for intuitionistic analysis.— Commentarii Math.
Helvetici, 1970, 45, p. 440—471.
2. Proof theory and intutionistic systems.— Lect. Notes Math.,
1971, p. 212.
3. Induction and transfinite induction in intuitionistic systems.—
Ann. Math. Logic, 1972, 4, p. 173—227.
4. A new realizability notion for intuitionistic analysis.— Z. math.
Logik Grundl. Math., 1977, 23, p. 137-167.
Скотт (Scott D.)
1. Extending the topological interpretation to intuitionistic ana-
analysis.— Compositio math., 1968, 20, p. 194—220.
2. Extending the topological interpretation to intuitionistic ana-
analysis II.— In: Intuitionism and proof theory. Proc. of the sum-
summer conference at Buffalo, N. Y., 1968. Amsterdam, 1970,
p. 235—255.
Сморинский (Smorynski С. А.)
1. Application of Kripke models.— In: Metamathematical inve-
investigation in intuitionistic arithmetic and analysis (ed. A. S. Tro-
elstra).— Lect. Notes Math., 1973, 344, p. 324—391.
Соболев С. К.
1. Об интуиционистском исчислении высказываний с квантора-
кванторами.— Матем. заметки, 1977, 22, с. 69—76.
2.ГО конечномерных суперинтуиционистских логиках.— ИАН
СССР, сер. матем., 1977, 41, № 5.
Такахаси (Takahashi M.)
1. A proof of cut-elimination theorem in simple type theory.—
J. Math. Soc. Japan, 1967, 19, p. 399—410.
248
ЛИТЕРАТУРА
2. A system of simple type theory of Gentzen style with inference
of extensionality and the cut-elimination in it.— Comment.
math. Univ. St. Pauli, 1970, 18, p. 129-147.
3. Cut-elimination theorem and Brouwerian-valued models for
intuitionistic type theory.— Comment, math. Univ. St. Pauli,
1971, 19, p. 55-72.
T а к е у т и (Takeuti G.)
1. On the fundamental conjecture of GLC I, II.— J. Math. Soc.
Japan, 1955, 7, № 3, p. 249-275; № 4, p. 394-408.
T e S т (Tait W.)
1. A non-constructive proof of Gentzen's Hauptsatz for second
order predicate logic— Bull. Amer. Math. Soc, 1966, 72,
p. 980—983.
2. A realizahility interpretation of the theory of species.— Lect.
Notes Math., 1975, 453, p. 240—251.
T о м а с о н (Thomason R. H.)
1. On the strong semantical completeness of the intuitionistic
predicate calculus.— J. Symbolic Logic, 1968, 33, p. 1—7.
Трулстра (Troelstra A. S.)
1. The theory of choice sequences.— In: Proc. of congr. logic,
method and phil. of sci. III. Amsterdam, 1968, p. 201—233.
2. Principles of intuitionism.— Lect. Notes Math., 1969, 95.
3. Informal theory of choice sequences.— Studia Logica, 1969, 25,
p. 31-54.
4. Notes on the intuitionistic theory of choice sequences III.—
Indag. math., 1970, 32, p. 245—252.
5. Notions of realizability for intuitionistic arithmetic and intui-
intuitionistic arithmetic in all finite types.— Proc. of the second
Scand. Logic. Symp., ed. J. E. Fenstad, 1971, p. 339—405.
6. Metamathematical investigation of intuitionistic arithmetic
and analysis (ed.).— Lect. Notes Math., 1973, 344.
7. Completeness and validity for intuitionistic predicate logic.— In:
Colloq. int. log. Clermont-Ferrand, 1975. Paris, 1977, p. 35—98.
Фан Динь Зиеу
1. Некоторые вопросы конструктивного функционального ана-
анализа.— Тр. матем. ин-та АН СССР им. Б. А. Стеклова, 114.
М.: Наука, 1970.
Феферман (Feferman S.)
1. Arithmetization of metamathematics in general setting.—
Fundamenta math., 1960, 49, p. 35—92.
Ф и т т и н г (Fitting M.)
1. Intuitionistic logic model theory and forcing.— Amsterdam:
North-Holland Publishing. Co., 1969.
Фридман (Friedman H.)
1. Some applications of Kleene's methods for intuitionistic sys-
systems.— Lect. Notes Math., 1973, 337, p. 113—170.
2. The consistency of classical set theory relative to a set with
intuitionistic logic—J. Symbolic Logic, 1973, 38, p. 315—319.
3. The disjunction property implies the numerical existence pro-
property.— Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1975, 72, p. 2877—2878.
4. Set-theoretic foundations for constructive analysis.— Ann.
Math., 1977, 105, № 1, p. 1-28.
ЛИТЕРАТУРА
249
5. On the derivability of instantiation properties.— J. Symbolic
Logic, 1977, 42, № 4, p. 506—514.
X а л м о ш (Halmos P.)
1. The basic concepts of algebraic logic— Amer. Math. Monthly,
1956, 63, p. 363—387.
Xappon (Harrop R.)
1. Concerning formulas of types A ^ B\J C, A -» 3xB (x) in
intuitionistic formal systems.— J. Symbolic Logic, 1960, 25,
p. 27—32.
X и н а т a (Hinata S.)
1. A normalization theorem in formal theories of natural numbers. —
J. Math. Soc Japan, 1977, 29, p. 327-340.
Ховард, Крайзел (Howard W. A., Kreisel G.)
1. Transfinite induction and bar induction to types zero and one,
and the role of continyity in intuitionistic analysis.— J. Sym-
Symbolic Logic, 1966, 31, № 2, p. 325—358.
Хувен ван (van der Hoeven G. F.)
1. Models for LS projected from a single lawless sequence and
Dragalin's elimination translation.— Univ. of Amsterdam dept.
of math., report 78-10, 1978.
Цейин Г.С.
1. О дизъюнктивном ранге формул конструктивной арифмети-
арифметики.— Зап. научн. семинаров Ленингр. отд. матем. ин-та АН
СССР, 1968, 8, с 260—271.
Ц у к е р (Zucker J.)
1. The correspondence between cut-elimination and normaliza-
normalization.— Ann. Math. Log., 1974, 7, № 1, p. 1—112.
Ш а н и н Н. A.
1. Конструктивные вещественные числа и конструктивные функ-
функциональные пространства.— Тр. матем. ин-та АН СССР
им. В. А. Стеклова, 67. М.: Изд. АН СССР, 1962, с. 15—294.
2. Об иерархии способов понимания суждений в конструктивной
математике.— Тр. матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова,
129. М.: Наука, 1973, с. 203—266.
3. О кванторе предельной осуществимости.— Зап. научн. семи-
семинаров Ленингр. отд. матем. ин-та АН СССР, 1976, 60,
с. 209—220.
Ш е н ф и л д (Shoenfield J. R.)
1. Математическая логика.— М.: Наука, 1975.
Шехтиан В. Б.
1. О неполных логиках высказываний.— ДАН СССР, 1977, 235,
№ 3, с. 542-545.
2. Лестница Ригера — Нишимуры.— ДАН СССР, 1978, 241,
№ 6, с. 1288—1291.
0. Неразрешимое суперинтуиционистское исчисление высказы-
высказываний.— ДАН СССР, 1978, 240, № 3, с. 549—552.
Шломюк (Schlomiuk D.)
1. Topos di Grothendieck e topos di Lawvere e Tiemey.— Rend.
Math., 1974, 7, № 3—4.
Ill ю т т e (Schiitte K.)
1. Полные системы модальной и интуиционистской логики.—
В кн.: Ф е й с Р. Модальная логика. М.: Наука, 1974, с. 324—
421.
250
ЛИТЕРАТУРА
Э с а к и а Л. Л.
1. О модальных «напарниках» суперинтуиционистских логик.—
VII Всесоюзн. симп. по логике (тезисы), Киев, 1976, с. 135—
136.
Я н к о в В. А.
1. О реализуемых формулах логики высказываний.— ДАН
СССР, 1963, 151, №5, с. 1035—1037.
2. Об исчислении слабого закона исключенного третьего.— ИАН
СССР, сер. матем.,1968, 32, № 5, с. 1044—1051.
3. Построение последовательности сильно независимых супер-
суперинтуиционистских пропозициональных исчислений,— ДАН
СССР, 1968, 181, № 1, с. 33—34.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Ацел (Aczel P. H. G) 150, 240
Бернини (Bernini S.) 166, 24"
Бег (Beth Е. W.) 91, 93, 99, 113,
115, 119, 120, 153, 240
Бизон (Beeson M.) 75, 221, 240
Бишоп (Bishop E.), 7, 34, 47, 240
Брауэр (Brouwer L. E. J.), 7,
34, 62, 158. 159, 164, 170, 240
Буххольц (Buchholz W.) 35, 188,
240
Бэр (Baer R.) 86, 93, 120
Варпаховский Ф. Л. 72, 240
Вельдман (Weldman W.) 115, 241,
244
Веспи (Vcsley R. Е.) 8, 10, 44,
75, 154—157, 168, 178, 241, 243
Габбай (Gabbay D. М.) 99, 241
Гаргов Г. К. 161, 241
Гейтинг (Heytlng A.) 7, 8, 20,
34, 35, 40, 74, 75, 164, 241
Гельфонд А. О. 16
Генкин (Henkin L.) 123, 210, 241
Генцен (Gentzen (т.) 9, 26, 35,
45, 223, 228, 241
Герчиу В. Я. 99, 244
ГёДель (Godel К.) 35, 45, 73, 97,
178, 241'
Гвдегорчик (Grzegorczyk A.) 93,
115, 118, 241
Гротендик (Grothendieck A.) 153
Гудмен (Goodmand N. D.) 75,
241
Гудстейн (Goodstein R. L.) 7,
34, 45, 241
Гуревич (Gurevich Y.) 99, 241
Далон ван (van Dalen D.) 15,
35, 165, 179, 185, 242
Даммет (Dummet M.) 153, 242
Джервел (Jervell H. R.) 35,
242
Драгалин А. Г. 35, 45, 61, 62,
75, 151, 153, 162, 178, 179,
188, 210, 223, 242
Ершов Ю- Л. 179, 243
Жирар (Girard J. Y.) 35, 188,
243
Йех (Jech T. Y.) 74, 94, 243
Йонг де (de Jongh D. H. J.)
152, 243
Кановей В. Г. 74, 163, 243
Кантор (Cantor G.) 86, 120
Кипнио М. М. 72, 73, 243
Клини (Kleene S. С.) 8—10, 20,
34, 35, 40, 41, 44, 47, 48, 60,
74, 75, 146, 150, 154 — 158,
163, 178, 218, 221, 243
Колмогорова. Н. 45, 243
Крайзел (Kreisel G.) 34, 73, 75,
155, 161, 163, 165, 170, 173,
175, 178, 179, 243, 244, 249
Крипке (KripkeS. A.) 87, 91, 02,
97, 99, 111, 113, 115, 1?'
153, 163, 164, 244.
Кроль М. Д. 162, 179, 185, 244
Кузнецов А. В. 99, 244
Кушнер Б. А. 7, 34, 47, 61, 244
Левин А. М. 163, 244
Лейвант (Leivant D.) 73, 153,
244
Лифшиц (Lifschitz V. A.) 67, 244
Лопес-Эскобар (Lopez-Escobar
G. К.) 115, 244
Лукасевич (Lukasiewicz J.)
85, 245
Любецкий В. А. 74, 245
Майхилл (Myhill J.) 34, 47, 75,
165, 166, 168, 245
Макнейл (MacNeille H.) 94
Максимова Л. Л. 99, 245
Марков А. А. 8, 10, 34, 45, 61,
62, 118, 163, 165, 245
Мартин-Лёф (Martin-LOf Per),
7, 34, 35, 188, 245
Мендельсон (Mendelson E.) 8, 20,
34, 35, 40, 48, 245
Минц Г. Е. 35, 45, 245
Московакис (Moschovakis J. R.)
158, 162, 168, 178, 185, 246
Новиков П. С. 34, 62, 151, 246
Оревков В. П. 73, 246
Освальд (Osswald H.) 35, 188,
246
Плиско В. Е. 7 3, 246
Полерс (Pohlers W.) 35, 246
Поттингер (Pottinger G.) 223, 246
Поуэлл (Powell W. С.) 47, 246
252
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Правиц (Prawitz D.) 35 188, 192,
223, 246
Расёва (Rasiowa H.) 79, 83, 95,
153, 246
Раца М. Ф. 99, 246
Роджерс (Rogers H. Jr.) 74, 2'S
Роотселаар ван (Rootselaar van В.)
165, 247
Роуз (Rose Gene P.) 72, 247
Сварт де (Swart de H.) 115, 247
Сикорский (Sikorskl R.) 79, 83,
95, 153, 246
Скарпеллини (Scarpelllni В.) 35,
45, 162, 179, 247
Скотт (Scott D.) 168, 179, 247
Сморинский (Smorynski С. А.)
75, 141, 153, 247
Соболев С. К. 99, 247
Такахаси (Takahashi M.) 35,
153, 187, 188, 191, 203, 247
Такеути (Takeutl G.) 187, 188,
247
Тарокий (Tarski A.) 85. 151, 210,
220, 241, 245
Тейт (Tait W.) 35, 75, 188, 248
Томасон (Thomason R. Н.) 153,
248
Трулстра (Troelstra A. S.) 34, 35,
61, 75, 115, 155, 163, 165, 170,
171, 173, 175, 178, 179, 242,
243, 248
Фан Динь Зиеу 34, 47, 248
Феферман (Feferman S.) 220, 248
Фиттинг (Fitting M.) 153, 248
Фридман (Friedman H.) 47, 75,
248
Хазонъегер (Hasenjaeger Гг.) 123
Халмош (Halmos P.) 210, 248
Харроп (Harrop R.) 9, 29, 35,
248
Хината (Hinata S.) 35, 249
Ховард (Howard W. А.) 161, 249
Хувен ван (van der Hoeven G. F.)
179, 249
Пейтин Г. С. 73, 97, 249
Цукер (Zucker J.) 223, 249
Шанин Н. А. 34, 45, 249
Шенфилд (Schoenfield .I. R.) 74,
249
Шехтман В. Б. 99, 249
Шломюк (Schlomiuk D.) 153,
249
Шютте (SchiitteK.) 153, 188, 249
Эсакиа Л. Л. 99, 249
Янков В. А. 73, 99, 249
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аксиома свертывания 167
Аксиомы негативные 33
— нелогические 32
— определяющие для примитивно
рекурсивных описаний 40
— позитивные 33
Алгебра истинностных значений
100, 210
Алгебраическая модель для языка
100
Анализ вывода 227
Аргументные места 37
— — функциональные 37
— — числовые 37
Арифметика 39
— Гейтинга 40
— примитивно рекурсивная 45
— формальная интуиционистская
40
— — классическая 4 0
Базис открытых элементов 84
— точки У5
Базисная система Клини 158
Бар-индукция 157
— монотонная 158
— разрешимая 157
Бета'— Крипк,е алгебра 92
— модель ИЗ
— шкала 91
Бета модель 115
— шкала 93
Бинарный кортеж 93, 119, 131
Боковая формула логического
дравила 226
Брауэра алгебры 77
Булева алгебра 78
Бэра пространство (обобщенное)
86
Верхний фрагмент редукции 237
Вес фигуры 237
Балтия внутренности операция
82
Вид 216
— правильный 219
Возможный кандидат в реали-
реализации 64
Выбора схема 156, 172, 173,
174
Вывод 226
— индуктивный 233
— интуиционистский 22Г>
— классический 225
— нормальный 232
— редуктивный 232
Выводимая в теории формула 32,
33
— секвенция 33
Выделенное значение матрицы 76
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
253
Вынуждение 111 113
Высказывательная форма 12
Высота вывода 24
Дерево 121
— высоты до а 121
Дизъюнктивное™ свойство исчи-
исчисления 30, 59, 67, 142
Дизъюнкция 11, 77, 80
Дискретное двоеточие 90
Достижимости отношение 91
Единица алгебры 78
Естественная эквивалентность 78
Естественное упорядочение 78
Зависимого выбора схема 157
Значение оцененного терма 106,
195
— — ~ в момент 112
— оцененной формулы 77, 106
— формулы 77, 106, 213
Импликация 11
Индекс фигуры 237
Инпуктивная сложность вывода
233
Индукция формальная 40
Интерпретация негативная 46
Интуиционистская простая тео-
теория типов 190
Информативности отношение 91
Истинная в модели формула 109
Истинностное значение матрицы
76
Истинность по де Йонгу 152
«Исторические аргументы Брау-
Брауэра» 164
Исчисление предикатов Гейтин-
Гейтинга 20
— секвенций 23
Канал 179, 216
Каноническая окрестность 86
Кантора пространство 86
Классический формальный ана-
анализ 163
Константа неопределенная 39
— языка 99. 189, 224
Конструктивного подбора прин-
принцип 61
Конструктивное рассуждение 4 5
Конструкция 13
Конус острый 86, 94
Конъюнкция 11, 77, 80
Корень частично упорядоченно-
упорядоченного множества 121
Кортеж бинарный РЗ, 119, Ш
Крипке алгебра 87
— модель 111
— шкала 87
Критическая пара 126
Логическая сложность формулы
26, 239
Логический остов 87
Макнейла алгебра 94
Маркова правило 143
— принцип 61, 119, 143
Матрица пропозициональная ло-
логическая 76
—, согласованная с логикой 77
Мера определенности терма 104
Место полное 123
—совместное 123
Мир взрывающийся 115
— возможный 91
— нормальный 93
— странный 93, 114
Множество квазиупорядоченное
(к.у.м.) 77, 91
— частично упорядоченное
(ч.у.м.) 78, 120
Модель для теории 110, 196
— ВК 113
Модельная структура 193
— — специализированная 195
— — экстенсиональная 194
Момент более поздний 91
— шкалы 91
Монотонности свойство 82
Мощность ветвления 121
— языка 100
Набор формул 20, 190, 224
Название правила вывода 226
«Непосредственно выше» отноше-
отношение 121
Непрерывный функционал 158,
169
Непротиворечивая теория 33
Нижний фрагмент редукции 237
Нуль алгебры 77
Нумерованная пара языка 124
Область определенности объекта
101, 114, 211
Обратимость правила вывода 25
Общее индуктивное определение
171
Объединение множества в решет-
решетке 80
Объектные области 100, 203, 210
Оператор типа замыкания 87
— — пополнения 89
Операторный способ задания
функций 102
Операция Сморинского 141
Основная формула логического
правила 226
— — фигуры сечения 235
Основное отношение 7 8
Основной терм правила 226
Острый конус 86, 94
Отвергаемая ъ теории формула
33
Открытое подмножество 85
Открытый элемент алгебры 82
Отмеченный набор 131
Отношение вынуждения 111, 113
Уцененная формула 12, 7', 96,
103, 216
оцененный терм 103, 194
Оценка в данный момент 112
Очередь элемента 124
Параметр 11, 100
Переменная И, 99, 189
— пропозициональная 7 8
254
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
255
Переменная свободная 11
— связанная 11
Пересечение множества в решет-
решетке 80
Перспективный кортеж 131
Подвывод 227
Подформульности свойство 31
Полная алгебра 81
Полное множество 197
— — в смысле Харропа 29
Полной открытости условие 82
Полный элемент алгебры 87
Полуоценка 128, 203
Порядковая топология 86
Последовательность беззаконная
175, 176
— выбора 154
Постоянная предметная область
101
Посылки фигуры сечения 235
Потенциальной осуществимости
принцип 18
Правило введения символа 23
— вывода 23, 191, 224
— — дополнительное 192, 225,
226
— — логическое 224
— — основное 101, 192, 225,
226
— — структурное 225
¦— объемности (экстенсионально-
(экстенсиональности) 191
— редукции 228, 231
— — примитивное 228
— сечения 26, 192 225
— сокращения 25, 192, 225
Правильная фигура 237
Предикат типа реализуемости
148
Предикатный символ языка 99,
189, 224
Предикатов логика 20
— — Гейтинга 20
— — интуиционистская 20
Предложение 12, 190, 224
Предметная область 110, 210
Предметный объект 100
— — известный к моменту 111,
113
Примитивно рекурсивная замкну-
замкнутость 155
— — функция 36
Примитивно рекурсивное описа-
описание 36
Примитивно рекурсивный ана-
анализ 156
Принцип аналитического зада-
задания 174
•~ Брауэра 159
— — для функций 159
— — для чисел 160
— индукции по определению К
171
— Маркова 61, 143
— наименьшего числа 145
•— неопределенности 176
— непрерывности Брауэра 158,
174, 177
— — слабый 160
Принцип полной математической
индукции 40
— разрешимости 176
— сохранности 18
— Р 63, 144
Продолжение набора 132
Промежуточная логика 72
Прямое произведение алгебр 80
Псевдобулева алгебра 77
Путь шкалы 91
— —, выходящий из момента 91
Равенство в языке 100
Разрешимость исчисления высказы-
высказываний 32, 135
Распределение аргументных мест 37
Реализуемости метод 36, 146
Реализуемость рекурсивная по Кли-
ни 52
— тождественная 72
Редукция аксиомная 228
— вилки 230
— главная 236
— дальняя 236
— добавления 229
— переброса 230
— перестановки правил 228
— простая 236
— сокращения 229
— финальная 236
Решетка 7 8
— дистрибутивная 78
— имшшкативная 78
Свободно становящаяся последова-
последовательность 154
Связки логические «классические» 46
Секвенций исчисление 23
Секвенция 23, 190, 224
— интуиционистская 224
— Харропа 29
Семантика 12
— де Йонга 152
— реализуемости 72
Семантическое соглашение 12
Семейство открытых элементов 83
Сечение 26
Символ функции 179
Сложность фигуры 237
Собственная переменная вывода 24.
227
— — правила вывода 24, 226
Собственный параметр 169
Сорт переменных 36, 99
Сохранности принцип 18
Специализация модельной структу-
структуры 195
Стандартная часть предметной об-
области 141
Стандартно вложенное поддерево 93
Степень равенства в модели 101
— — по совпадению 101
— через меру определенности 101
Странный мир 93, 114
Суперинтуиционистская логика 72
Схема Крипке 163
Тезис Чёрча формальный 48
Теорема Генцена о допустимости
сечения 26
Теорема о дедукции 20
— Харропа 29
Теория интуиционистская 32
— классическая 32
— формальная аксиоматическая 32
— — — простая 34
— — ¦— составная 33
Терм 38, 99, 189
— для функций 38, 156
— общерекурсивный 54
— примитивно рекурсивный 53
— функциональный 38
— частично рекурсивный 53
— числовой 38
— языка 99
Тип 189
— примитивно рекурсивного описа-
описания 37
Топологическая булева алгебра 83
— модель 110
— псевдобулева алгебра 82
Топологическое пространство 84
Точка топологического пространства
84
— шкалы 91
Точная верхняя грань множества в
решетке 77, 80
— нижняя грань множества в ре-
решетке 77, 80
Тривиальная Структура путей 93
Условие вынуждающее 91
Фигура сечения 235
Финитное доказательство 44
Финитный вывод 45
Форма 211
Формула 11, 39, 100, 190, 224
— атомарная 11, 38, 100, 224
— бескванторная 45
— Гжегорчика 118
— негативная 45
I. Названия формальных теорий
Формула оцененная 12, 77, 96,103, 216
— почти негативная 45
— пропозициональная 77
— Цейтина 73
— Янкова 73
Формульный образ секвенции. 23
Фрагменты редукции 236
Функтор 156
Функциональная алгебраическая
модель 212
— псевдобулева алгебра 210
Функциональный символ языка 99,
189
Функция 155
— беззаконная 155, 176
—, заданная законом 155, 168
— запирающая 158
— конструктивная 155, 168
—, проходящая через кортеж 86, 93
— собственная 173
— стабильная 158
Цепная псевдобулева алгебра 80
Штрих Ацела 150
Штрих-реализуемость 146
Экзистенциальности свойство исчи-
исчисления 30, 59, 67, 142
Элементарный анализ 157
Язык 11
— аналитический 39
— арифметический 39
— логико-математический 11, 99
— многосортный аналитический 39
— — арифметический 39
Ярус элемента дерева 121
ВК-алгебра 91
ВК-модель 113
ВК-шкала 91
СРС 19
НРС 20
PC 20
CPCi 21
HPCi 21
Г, НРС 23
НСРС 31
ГА 39
НА (У) 40
НА 40
PRA 45
LR 72
LS 155, 175
РгАп 156
FIM 34, 154, 155, 160 EL 157
FA A0 39 BSK 158
2. Названия аксиом и правил вывода
EL0 163
М 168
IDB Ш) 168
CS 173
LK 225
LI 225
Red 232
Ind 233
СТ 48
СТ! 49
СТ (ф, <р) 50
пСТ 51
ЕСТ 51
М 61
М- 62
Р 63
Ind 40, 155
Eq 155
PRG 155
AC-NC 156
AC-NN 157
AC-NN! 157
DC-G 157
256 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
BID 157 PRC-соб. 173 (-*ГЭ) 23, 31, 191, 225
BIM 158 AC-NC-соб. 173 (->¦ J-) 191
ВС-С 159 AC-NN-соб. 173 (*->) 24, 31, 191, 225
BC-N 160 A 174 <-»*) 24, 31, 191, 225
WC-N 160 ВС-С-соб. 174 (Э-*) 24, 191, 225
BC-C! 161 BC-F 174 (->3) 24, 191, 225
CTR 163 BC-N-LS 177 (<?->¦) 191
KS+ 163 BC-F-LS 178 (-»e) 191
KS 163 (Л—) 23, 191, 224 (~\—) 31, 225
KS- 163 (—Л) 23, 191, 224 (-*П) 31, 225
PRC-кон. 170 (V->) 23, 191, 224 (ad) 192, 225
AC-NC-koh. 172 (-*V) 23, 191, 224 (st) 192, 225
AC-NN-koh. 172 C-*) 23, 31, 191, 225 (cut) 192, 225
3. Обозначения формул и термов
Ф (х | t) 19 v 43 <-xri^ 60
i, V, г 36 _? (хЕф) 64
Ок, C , Y 36 6j 43 (жР1ф) 64
1 ( (ж | г) 38 а (ж) 44 (жг„ф) 67
t (а | Р) 38 2г<ж« <*> 44 x&Vy 67
S (ж) 38 Щ<ха <») 44 Г»Ч> 67
а (ж) 38 Фс 46 а ер 86, 93
« = г) 38 Tn(e,xi xn,z) 48 J157
Ф =•* 41 {е\ 48 X • а 159
ос = Э 41 Uz 48 ае.Ко 158, 159
Их, у) 43 {„} (зс, хп) = у 48 а<|3) 159
- Н{*\ " Це>(Ж(,...,х„) 48 («IP) 159
] }, (х) 43 3, (х) 49 " к (а) 169
vn 43 (жгф) 62 аеК 169
] .? 43 гФ 52 (а^а, ап) 176
. (хг «_> 43 (/ = !/) 53 ^(а.,...,ап) 177
. О 43 И 53 а, 3, Y.- 179
х * у 43 A <* г) 53 кф_ 216
1 Ыг 43 Лкг 54 Рг (ф) 220
I Ш (зс) 43 (ЛхО 54 ОФ 220
4. Реализуемости
(жгф) 52 г< 146 m 150
I гф 52 гв 147 Пг 150
j. (зсг,ф) 60 г» 148 Ги 151
(жеф) 64 гт 148 ги 151
1 жг2ф) 64 re 148 г« 152
(*тур) 67 г, 149 S (Л, А, Т) 149
2 г,ф 67 По 150 IIjTj 148