ЗБІРНИК
ЗАВДАНЬ ДЛЯ ЕКЗАМЕНУ
З МАТЕМАТИКИ НА АТЕСТАТ
ПРО СЕРЕДНЮ ОСВІТУ
Частина2. ГЕОМЕТРІЯ
1
1
1
\ \
. \
-І • \ -
•' \
1 1
1 |
1 і
1
'
-1
^< 1 1
\
\
\
1_' ~\
"
1
1
L
1 _
-
І-4 -1
—

Г.М. Литвиненко, Л.Я. Федченко, В.О. Швець
Збірник
завдань для екзамену
з математики на атестат
про середню освіту
Частина II
ГЕОМЕТРІЯ
Затверджено Міністерством освіти України

Затверджено Міністерством освіти України
(наказ Міносвіти України №334 від 31.10.1996 р.)
© Г.М. Литвиненко, Л.Я. Федченко, В.О. Швець
© ВНТЛ, 1997 (видання українською мовою)
ISBN 966-7148-35-1
ВНТЛ — Видавництво науково-технічної літератури
290007, м.Львів, а/с 1173
тел. (0322) 728073
e-mail: vntl@litech.lviv.ua
http:/ /www.litech.lviv. ua/"vntl

Розділ І. ПРЯМІ ТА ПЛОЩИНИ В ПРОСТОРІ
1. Аксіоми, паралельність і перпендикулярність у просторі
1. Завдання обов'язкового рівня (ЛіЯа 1 — 36)
1. а) Дві прямі а і Ь паралельні прямій с. Яке взаємне розміщення прямих а і Ь ?
А) перетинаються; Б^ паралельні; В) мимобіжні.
б) Через три точки проведені дві різні площини. Як розміщені ці точки?
А) лежать на одній прямій; Б) не лежать на одній прямій.
2. а) Прямі а.Ьіс попарно перетинаються. Скільки різних площин можна провести через ці прямі?
А) одну; Б) дві; В) три; Г) жодної; Д) інша відповідь.
б) Дано дві прямі а і Ь. що перетинаються. Через точку А, яка лежить на прямій а, проведена
пряма с паралельно прямій Ь. Скільки різних площин можна провести через ці прямі?
А) одну; Б) дві; В) три; Г) жодної; Д) інша відповідь.
3. а) Скільки всього різних площин можна провести через три точки, якщо вони лежать на одній
прямій?
А) одну; Б) дві; В) нескінченну кількість.
б) Скільки різних площин можна провести через пряму?
А) дві; Б) одну: В) нескінченну кількість.
А ,С
4. а)
б)
Сторона АВ паралелограма ABCD лежить
на площині а, а сторона CD не лежить на
ній. Як розміщена пряма CD відносно
площини а?.
A) перетинає площину;
Б) лежить на площині;
B) паралельна до площини;
Г) перпендикулярна до площини.
5. а) .М
7
JM
б)
Прямокутник ABCD і трапеція ADMN
(AD — основа трапеції) не лежать в одній
площині. Як розміщені прямі MN і ВС ?
A) прямі мимобіжні;
Б) прямі паралельні;
B) прямі перетинаються.
М
В
'D
Точка М не лежить у площині трикутника
ABC. Яке взаємне розміщення прямих МА
ІВС?
A) паралельні;
Б) мимобіжні;
B) перетинаються.
Точка М не належить площині
чотирикутника ABCD. Яке взаємне розміщення
прямих MD і ВС?
A) мимобіжні;
Б) перетинаються;
B) паралельні.
6. а) У просторі дано пряму а і точку М. Скільки існує різних прямих, які проходять через М і
паралельні а?
А) жодної; Б) одна; В) безліч; Г) жодної або одна; Д) одна або безліч.

б) Дано площину о і точку М поза нею. Скільки всього існує різних прямих, які проходять через
М і паралельні площині а?
А) жодної; Б) одна; В) безліч; Г) інша відповідь; Д) одна або безліч.
а) Точки А, В, С і D не лежать в одній площині. Яке взаємне розміщення прямих АВ і CD?
А) перетинаються; Б) паралельні; В) мимобіжні; Г) лежать в одній площині.
б) Дві вершини і точка перетину діагоналей паралелограма лежать у площині о. Яке взаємне
розміщення двох інших вершин паралелограма відносно площини а?
А) одна лежить, а інша не лежить у площині; Б) обидві лежать в площині або обидві не лежать
у площині; В) інша відповідь.
2)
б)
Точки А і В розміщені в одній із
паралельних площин, С і D — в іншій. Відрізки АС
і BD перетинаються в точці М. Як
розміщені прямі АВ і CD?
A) перетинаються;
Б) паралельні;
B) мимобіжні.
а)
Через точку О, розміщену між
паралельними площинами а і Р проведено дві прямі,
які перетинають площини в точках А і Av
В і В,. Як розміщені прямі АВ і А^ВХ?
А) паралельні;
Б) перетинаються;
3) мимобіжні.
б) й п
—
С,
С
В
На малюнку ЛЛ,Н CCV AAX\\BBV
ВВ{ = CCt. Доведіть, що В,С, = ВС.
На малюнку А,С = АС, А^^ІАС,
В,А, = ВА, ВД || ВА. Доведіть, що
CCt\\BB,.
а) Точка S знаходиться поза площиною трикутника ABC. ТочкиЛ,, Blt C, відповідно є серединами
відрізків'SA, SB, SC. Визначіть взаємне розміщення площин ABC і А1ВІСІ.
А) паралельні; Б) співпадають; В) перетинаються.
б) У тетраедрі SKMN F — середина MN, Р — середина SN, О — середина KN. Визначіть взаємне
розміщення площин KSM і OPF.
А) перетинаються; Б) паралельні; В) співпадають.
а) Пряма а не лежить у площині а. Скільки всього різних прямих, які мимобіжні з прямою а,
проходить через точку, взяту в площині о?
А) жодної; Б) одна; В) безліч; Г) жодної або безліч.
б) Три вершини паралелограма лежать у площині а. Як розміщена четверта вершина паралелограма
відносно площини а?
А) лежить у площині а; Б) не лежить у площині а.
а) Діагональ і сторона трапеції паралельні площині а. Як розміщені площина а і площина, в якій
лежить трапеція?
А) перетинаються; Б) паралельні; В) співпадають.

б) Дано дві мимобіжні прямі а і *. Точки А і В лежать на прямій а, точки С і D — на прямій *. Яке
взаємне розміщення прямих АС і BD?
А) паралельні; Б) мимобіжні; В) перетинаються.
13. а) Дано дві мимобіжні прямі а і Ь. Скільки всього існує різних площин, які проходять через а і
паралельні прямій Ь ?
А) дві; Б) одна; В) жодної; Г) безліч; Д) жодної або безліч.
б) Дано дві площини ос і р, які перетинаються. Точка М не належить жодній із них. Скільки існує
прямих, які проходять через М і паралельні а і З?
А) жодної; Б) одна; В) безліч; Г) жодної або одна; Д) жодної або безліч.
14. а) Пряма а паралельна прямій Ь, а пряма Ь перетинається з площиною а. Яке взаємне розміщення
прямої а і площини а?
А) перетинаються; Б) паралельні; В) інша відповідь.
б) Площина а паралельна прямій Ь, а пряма Ь паралельна площині у. відмінної від а. Яке взаємне
розміщення площин а і у?
А) перетинаються; Б) паралельні; В) інша відповідь.
16. а) Площини а і Р перетинаються по прямій с. У площині о проведено пряму а, яка паралельна
прямій с. Яке взаємне розміщення прямої а і площини Р?
А) пряма а перетинає площину Р; Б) пряма а лежить у площині Р; В) пряма а паралельна
площині р.
б) Трикутники ABC і AJffl лежать у різних площинах. Точки М і N — середини сторін АС і ВС
трикутника ABC. Яке взаємне розміщення прямої MN і площини трикутника ABD?
Аї-'пряма MN паралельна площині ABD; Б) пряма MN перетинає площину ABD.
16. а) Скільки всього існує різних площин, які проходять через пряму і точку в просторі?
А) одна; Б) безліч; В) дві; Г) одна або безліч.
б) Дано площину а і пряму а, яка їй не належить. Скільки всього існує різних площин, які
проходять через а і паралельні площині а?
А) безліч; Б) дві; В) одна або жодної.
17. а) Дано дві Паралельні площини а і р. Точка М не лежить ні на одній із них. Скільки всього існує
прями*. які про*одять через М і паралельні площині о і Р?
А) одна: Б) дві; В) безліч.
б) Відомо, що пряма а паралельна прямій Ь, а пряма b паралельна площині у. Яке взаємне розміщення
прямої а і площини у?
А) паралельні; Б) перетинаються; В) інша відповідь.
18. а) Відомо, що пряма а перпендикулярна до площини р, а площина Р паралельна до прямої с. Яке
взаємне розміщення прямих а і с?
А) перпендикулярні; Б) паралельні; В)-*шмобіжні; Г) інша відповідь.
б) Відомо, що пряма а перпендикулярна до прямої Ь, а пряма Ь паралельна прямій с. Яке взаємне
розміщення прямих й і €?
А) паралельні; B)t мимобіжні; В) перпендикулярні; Г) інша відповідь.
*9. а) Вкажіть, яким граням куба ABCDAlBlClDl паралельна пряма Л,В,?
A) ABCD; DDlC\C, Б) AAlDlD; BB^p, В) BiClDlAl; ADDlAl; Г) інша відповідь.
б) Дано куб ABCDAlBlClDv Точки М і К — середини відрізків АВ1 і В,С. Як розміщена пряма
МК відносно площини грані ABCD?
А) перетинає грань; Б) перпендикулярна до грані; В) паралельна грані; Г) лежить у площині
грані.
20. а) Дано пряму а і точку М. Скільки існує різних прямих, які проходять через Af, перетинають
пряму а і перпендикулярні до неї?
А) жодної; Б) одна; В) безліч; Г) жодної або безліч; Д) одна або безліч.
б) Дані точка ЛІ і площина а, Скільки існує площин, які проходять через М і перпендикулярні до а?
А) жодної; Б) одна; В) безліч; Г) жодної або безліч; Д) одна або жодної.
J5

21. а) Пряма MB перпендикулярна до сторін АВ і ВС трикутника ABC. Яким є трикутник MBD, де
D — довільна точка сторони АС?
А) прямокутний; Б) гострокутний; В) тупокутний.
б) Пряма КО перпендикулярна до діагоналей-ДС і BD квадратаАВЄО, які перетикаються в,точці О.
Яким є трикутник КОМ, де М — довільна точка АВ?
А) гострокутний; Б) прямокутний; В) тупокутний.
22. а) Площина а перпендикулярна до прямоїЬ, а прямай паралельнадірямій с. Яке взаємне розміщення
площини а і прямої с?
А) паралельні; Б) перпендикулярні; В) інша відповідь; Г) паралельні або перетинаються.
б) Площина а паралельна прямій Ь, а пряма b перпендикулярна до площини <р. Яке взаємне
розміщення площин а і ф?
А) паралельні; Б) перпендикулярні; В) інша відповідь; Г) паралельні або перетинаються.
23. а) До площини квадрата ABCD проведено перпендикуляр SB. Точка S сполучена з вершиною А
квадрата. Визначте, яким є трикутник SAD.
А) прямокутний; Б) гострокутний; В) тупокутний.
б) Дано прямокутний трикутник ABC з прямим кутом С. ВМ — перпендикуляр до площини
трикутника ABC. Визначте, яким є трикутник МАС.
А) тупокутний; Б) прямокутний; В) гострокутний.
24. а) Кут ABC — лінійний кут двогранного кута з ребром т. Яке взаємне розміщення прямої т і
площини ABC?
А) пряма і площина паралельні; Б) пряма і площина перпендикулярні; В) пряма m лежить у
площині.
б) Кут MKN — лінійний кут двогранного кута з ребром с. Яке взаємне розміщення площини MKN
і прямої с?
А) пряма лежить у площині; Б) пряма паралельна площині; В) пряма перпендикулярна до
площини.
26. а) Відомо, що площина а перпендикулярна до прямої Ь, а пряма Ь перпендикулярна до площини у.
Яке взаємне розміщення площин а і у?
А) паралельні; Б) співпадають; В) перетинаються.
б) Відомо, що пряма а перпендикулярна до прямої Ь, а пряма Ь перпендикулярна до площини ф.
Яке взаємне розміщення прямої а і площини ф?
А) паралельні; Б) перпендикулярні; В) інша відповідь.
26. а) Дано три різні площини а, Р і ф. Відомо, що а перпендикулярна до Р, а Р перпендикулярь-і до
ф. Яке взаємне розміщення площин а і ф?
А) перпендикулярні; Б) паралельні; В) інша відповідь.
б) Прямі а і b перпендикулярні до площини а. Яке взаємне розміщення прямих?
А) паралельні; Б) перпендикулярні; В) мимобіжні.
27. а) С б) В С
На малюнку площина а паралельна
стороні АВ трикутника ABC і перетинає його
сторони в точках М і К. М — середина
АС. Знайти МК, якщо АВ - 20 см.
А) 40 см; Б) 10 см; В) 5 см.
На малюнку площина а, паралельна основі
трапеції, перетинає сторони АВ і CD в
точках М і К відповідно. М — середина
АВ. AD- 10 см, ВС = 4 см. Знайти МК.
А) 8 см; Б) 7 см; В) 14 см.
ft

28. а) Кінці ребер куба, які виходять із одної вершини, сполучено відрізками. Площа трикутника,
який утворився при цьому, дорівнює -Jl2cM2. Знайдіть довжину ребра куба.
А) 2^2см: Б) 4^2см; В) 2-^3 см; Г) інша відповідь.
б) Із точки поза даною площиною проведено до неї перпендикуляр довжиною 6 см і похилу довжиною
9 см. Знайдіть довжину проекції перпендикуляра на похилу.
А) З-х/2 см; Б) 4 см; В) 6-^2 см; Г) інша відповідь.
29. а) Із точки А до площини проведено перпендикуляр і похилу, довжина якої 20 см. Кут між похилою
і площиною 60°. Знайдіть довжину перпендикуляра.
А) 10 см; Б) Юл/2 см; В) Ю^/зсм; T)-Jw см; Д) інша відповідь.
б) Із точки М до площини проведено перпендикуляр і похилу, кут між якими 60°. Знайдіть довжину
похилої, якщо довжина перпендикуляра 20 см.
А) 20-^2 см; Б) Ю-^Зсм; В) 20-^3 см; Г) 40 см; Д) інша відповідь.
30. а) Двогранний кут дорівнює 45*. Н'і одній із граней дано точку, яка знаходиться на відстані 8 см
від другої грані. Знайдіть відстань від цієї точки до ребра кута.
А) 8^2 см; Б) 4-^2 см; В) 8 см; Г) 4 см; Д) інша відповідь.
б) Точка, взята на одній із граней двогранного кута, знаходиться від ребра на відстані в 2 рази
більшій, ніж від другої грані. Знайдіть величину двогранного кута.
A) 90°: Б) 45°; В) 60°; Г) 30°; Д) інша відповідь.
31. а) Відстань від точки М до сторін квадрата дорівнює 13 .см. Знайдіть відстань від точки М до
площини квадрата, якщо сторона квадрата дорівнює 10 см.
А) 8 см; Б) 11 см; В) 12 см; Г ) 14 см; Д) 15 см.
б) Відстань від точки М до всіх вершин квадрата дорівнює 5 см. Знайдіть відстань від точки М до
площини квадрата, якщо діагональ квадрата дорівнює 6 см.
А) 3 см; Б) 4 см; В) 2 см; Г) 5 см; Д) 8 см.
32. а) Точка О — центр квадрата зі стороною 4 см. АО — пряма, що перпендикулярна до площини
квадрата; АО = 2-$2 см. Знайдіть відстань від точки А до вершин квадрата.
А)-4 cm; Б) 4^2 см; В) 8^2~ см; Г) інша відповідь.
б) Точка О — вдентр квадрата ABCD. ОМ — перпендикуляр до площини ABCD, АВ = 8 см. Пряма
МА нахилена до площини квадрата під кутом 60°. Знайдіть відстань між точками М і В.
А) 2-^2 см; Б) 8-J2cm; В) 4-^2см; Г) інша відповідь.
33. а) Сторони трикутника ABC дорівдюють 10 см, 17 см і 21 см. Із вершини більшого кута трикутника
до його площини проведено перпендикуляр AD, якийдорізнк»15 см. Знайдіть відстань від
точки D до сторони ВС трикутника.
A)v241 см; Б) 17 см; В) інша відповідь.
б) ABCD — прямокутник, МА — перпендикуляр до площини прямокутника, ZMCA = 60°,
DC = 3 см, СВ = 4 см. Зжшяіть площу трикутника МВС.
А) 4-М ся?; ВшШсм2; В) інша відповідь.
34. а) Точка О — центр правильного трикутника ABC, ОМ — перпендикуляр до площини ABC і
ОМ= S
см, АВ ='3-у[зсм. Знайдіть кут нахилу МА до площини трикутника ABC
А) 60°; Б) 30°; В) 45°; Г) інша відповідь.
б) ABCD — прямокутник, МА — перпендикуляр до площини ABCD, DC =,/2 см, СВ = 1 см,
ZMCA = 30°. Знайдіть МА.
л/з
А) 1 см. Б) т[зсм; В) см; Г) інша відповідь.
36. а) Дано трикутник ABC. Площина а, паралельна прямій АВ, перетинає сторону АС в точці К, а
сторону ВС — у точці ЛІ Знайдіть АВ, якщо КС = 12 см, АС = 18 см, KM = 36 см.
А) 24 см; Б) 54 см; В) 18 см; Г) інша відповідь.
7

б) Дві паралельні площини а і Р перетинають сторону ВА кута ABC в точках D і £>,, а сторону ВС
відповідно в точках Е і £,. Знайдіть довжину DE, якщо SZ) = 12см, BDt = [8см:
D,£, = 54 см.
А) 36 см; Б) 24 ом; В) 18 см; Г) інша відповідь.
36. а) До площини квадрата ABCD проведено перпендикуляр DM. Сторона квадрата дорівнює 5 см.
Знайдіть довжину проекції похилої MB.
А) 5^2 • см; Б) 5 см; В) 7 см; Г) інша відповідь.
б) До площини квадрата ABCD проведено перпендикуляр DM довжиною 12 см. Сторона квадрата
дорівнює 5 см. Знайдіть довжини похилих МА і МС.
А) 15 см; Б) 13 см; В) 12 см; Г) інша відповідь.
2. Завдання підвищеного рівня (№№ 37 — 118)
37. а.) Доведіть, що коли діагоналі чотирикутника перетинаються, то його вершини лежать в одній площині.
б) Точка С лежить на прямій АВ, точка D не лежить на прямій АВ. Доведіть, що площина ABD і
площина CDB співпадають.
38. а) Дано дві різні прямі, які перетинаються в точці А. Доведіть, що всі прямі, які перетинають
обидві дані прямі і не проходять через точку А, лежать в одній площині.
б) Дано дві прямі а і Ь, які перетинаються. Точки А і Л, лежать на прямій а, а точки В і В, на
прямій Ь. Доведіть, що прямі АВ і AtBt лежать в одній площині.
39. а) Точки А, В, С не лежать на одній прямій. МєАВ. КєАС. ХеМК. Доведіть, що точка X
лежить у площині ABC.
б) Прямі а і Ь перетинаються в точці О. А є a; Be b; Yє АВ. Доведіть, що прямі а і b та точка У
лежать в одній площині.
40. а) Прямі а і Ь перетинаються. Доведіть, що всі прямі, які паралельні прямій Ь і перетинають
пряму а. лежать в одній площині,
б/ Доведіть, що всі прямі, які проходять через дану точку паралельно даній площині, лежать в
одній площині.
41. а) Сторони АВ і ВС паралелограма ABCD перетинають площину а. Доведіть, що прямі AD і DC
також перетинають площину а.
б) Трикутники ABC і ABD не лежать в одній площині. Доведіть, що будь-яка пряма, яка паралельна
відрізку CD, перетинає площини даних трикутників.
42. а) Доведіть, що середини сторін просторового чотирикутника є вершинами перелелограма.
б) Точка ЛІ не лежить у площині трапеції ABCD з основою AD. Доведіть, що пряма AD паралельна
площині ВМС.
43. а) Доведіть, що відрізки, які сполучають середини протилежних ребер тетраедра, перетинаються
і точкою перетину діляться навпіл.
б) Доведіть, що площина а, яка проходить через середини двох ребер основи тетраедра і вершину,
що не належить його основі, паралельна третьому ребру основи тетраедра.
44. а) Через вершину А ромба ABCD проведено пряму а, яка паралельна діагоналі BD. Доведіть, що
прямі а і CD перетинаються.
б) Через вершину С ромба ABCD проведено пряму Ь, яка не лежить у площині ромба, а через
вершину А — пряму а, яка паралельна діагоналі BD. Доведіть, що прямі а і Ь мимобіжні.
45. а) Доведіть, що всі різні прямі, які перетинають одну із двох мимобіжних прямих і паралельні
другій, лежать в одній площині.
б) Площина а і пряма а, яка не лежить на ній, паралельні одній і тій же ж прямій Ь. Доведіть, що
є || а.
46. a) ABCD — паралелограм. Площина а проходить через його вершини А і В і не проходить через
вершину С. Доведіть, що CD ||а.
б) Доведіть, що коли площина перетинає площину трапеції по прямій, яка містить її середню
лінію, то вона паралельна основі трапеції.
47. а) Площини а і р перетинаються по прямій АВ. Пряма а паралельна як площині а, так і площині
р. Доведіть, що прямі а і АВ паралельні.
8

б) Площина а паралельна стороні ВС трикутника ABC і проходить через середину сторони АВ.
Доведіть, що площина а проходить також через середину сторони АС.
48. а) Через точку перетину діагоналей паралелограма ABCD проведена пряма ОМ так, що точка М
не належить площині паралелограма, МА = МС і MB = MD. Доведіть, що пряма ОМ
перпендикулярна до площини паралелограма,
б).Пряма AM перпендикулярна до площини квадрата ABCD, діагоналі якого перетинаються в
точці О. Доведіть, що пряма BD перпендикулярна до площини АМО.
49. а) Доведіть, що коли дві площини а і Р перпендикулярні до прямої а, то вони паралельні.
б) У тетраедрі ABCD точка М — середина ВС, АВ = AC, DB = DC. Доведіть, що площина трикутника
ADM перпендикулярна до ВС.
50. а) Три відрізки A^AV BxBr С{С2 не лежать в одній площині, перетинаються в точці О і цією
точкою діляться навпіл. Доведіть, що площини AlBlCl і Д2В2С9 паралельні.
б) Доведіть, що через дві мимобіжні прямі можна провести паралельні площини.
51. a) ABCD — паралелограм, BE і FD — перпендикуляри до площини ABC. Доведіть, що площини
ABE і DFC паралельні.
б) ABCD — паралелограм, AN і СК — перпендикуляри до площини ABC. Доведіть, що площини
ADN і КВС паралельні.
52. а) Площини а і (3 паралельні до площини у. Доведіть, що площини а і Р паралельні.
б) Доведіть, що площина, яка проходить через середини ребер АВ, АС і AD тетраедра ABCD
паралельна площині BCD.
53. а) Відрізок ВМ перпендикулярний до площини прямокутника ABCD. Доведіть, що пряма CD
перпендикулярна до площини МВС.
б) Точка S рівновіддалена від вершин прямокутного трикутника і не лежить у площині цього
трикутника. Доведіть, що пряма SM, де М — середина гіпотенузи, перпендикулярна до площини
цього трикутника. р
54. а) _ б)
ABCD — квадрат, АЕ — перпендикуляр
до площини квадрата. К є BE. Чому
дорівнює кут між ВС і АК?
ABCD — квадрат, АЕ — перпендикуляр
до площини квадрата. М є СЕ. Знайдіть
кут між BD і AM.
55. а) Пряма ОК перпендикулярна до площини ромба, діагоналі якого перетинаються в точці О.
Доведіть, що відстані від точки К до всіх прямих, які містять сторони ромба, рівні між собою.
б) Через вершину В ромба ABCD проведена пряма ВМ, яка перпендикулярна до його площини.
Доведіть, що відстані від точки ЛІ до прямих, які містять сторони ромба AD і DC, рівні між собою.
56. а) Точка М не лежить у площині трикутника ABC і знаходиться на відстанях МК і MD від катетів
ВА і ВС прямокутного трикутника ABC, MO — перпендикуляр до площини цього трикутника.
Доведіть, що чотирикутник BKOD — прямокутник.
б) Точка М знаходиться на однаковій відстані від сторін кута ABC і не належить його площині.
Доведіть, що її ортогональна проекція належить бісектрисі цього кута, якщо вона знаходиться
у внутрішній площині кута.
57. а) Доведіть, що в правильній чотирикутній піраміді бічне ребро перпендикулярне до більшої діагоналі
основи, яка його не перетинає.
б) Доведіть, що в правильній трикутній піраміді бічне ребро утворює прямий кут із стороною
основи, яка його не перетинає.
58. а) У правильній трикутній піраміді SABC через бічне ребро SC і висоту SO піраміди проведено
площину а. Доведіть, що площина а перпендикулярна до площини SAB.
9

б) Доведіть, що площина, яка проходить через висоту правильної чотирикутної піраміди і висоту
бічної грані, перпендикулярна до площини цієї бічної грані.
59. а) Точка М знаходиться поза площиною квадрата ABCD на однаковій відстані від усіх вершин.
Визначте взаємне розміщення площин АМС і BDM.
б) Із вершин квадрата ABCD проведено перпендикуляри BBV DDf, AAV Визначте взаємне
розміщення площин ABBt і AtDDr.
60. а) Перпендикулярні площини а і В перетинаються по прямій а. В площині а проведена пряма,
перпендикулярна прямій а. Доведіть, що ця пряма перпендикулярна і до площини В.
б) Площини а і В перпендикулярні. Через точку Т площинна проведено пряму, яка перпендикулярна
до площини В. Доведіть, що ця пряма лежить у площині а.
61. а) Неперпендикулярні площини а і В перетинаються по прямій MN. У площині В із точки А
проведено перпендикуляр АВ до прямої MN і з цієї ж точки А проведено перпендикуляр АС до
площини ос. Чи правильним є твердження, що ZABC — лінійний кут двогранного кута MN.
б) У тетраедрі SABC всі ребра рівні, точка М — середина ребра АС. Доведіть, що ZSMB —
лінійний кут двогранного кута АС.
62. а) Доведіть, що діагональ будь-якого паралелепіпеда менша суми трьох ребер, які мають спільну
вершину.
б) Доведіть, що сума квадратів чотирьох діагоналей будь-якого паралелепіпеда дорівнює сумі
квадратів дванадцяти його ребер.
63. а) Прямі а і Ь паралельні. Точки А і В лежать на прямій а, а точки С і D — на прямій Ь. Доведіть,
що прямі АС і BD лежать в одній площині.
б) Прямі АВ і CD не лежать в одній площині. Доведіть, що прямі АС і BD не лежать в одній площині.
64. а) Доведіть, що основа висоти піраміди збігається з центром кола, описаного навколо основи,
якщо бічні ребра піраміди рівні.
б) Доведіть, що основа висоти піраміди збігається з центром кола, вписаного в основу даної
піраміди, якщо двогранні кути при основі рівні.
65. а) Доведіть, що основа висоти піраміди збігається з центром кола, вписаного в основу даної
піраміди, якщо кути між висотою піраміди і висотою кожної бічної грані рівні".
б) Доведіть, що основа внсотн піраміди збігається з центром кола, описаного навколо основи
піраміди, якщо її бічні ребра однаково нахилені до площини основи.
66. а) Доведіть, що основа висоти піраміди збігається з центром кола, описаного навколо основи,
якщо бічні ребра утворюють рівні кути з висотою піраміди.
б) Доведіть, що основа висоти піраміди збігається з центром кола, вписаного в основу даної
піраміди, якщо кути між висотою піраміди і кожною бічною гранню рівні.
67. а) Доведіть, що переріз, проведений у правильній чотирикутній призмі, через середини двох суміжних
ребер основи паралельно бічним ребрам, є прямокутником.
б) Доведіть, що переріз, проведений у кубі ABCDAlBlClDi через середини двох суміжних ребер
АВ і AD паралельно діагональному перерізу BDDlBl є прямокутником.
68. а) Доведіть, що в правильній трикутній піраміді протилежні ребра взаємно перпендикулярні.
б) Із центра О квадрата ABCD проведено до його площини перпендикуляр ОК. Доведіть, що
пряма АК перпендикулярна до діагоналі BD квадрата.
69. а) Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди перпендикулярне до однієї із діагоналей основи. Доведіть.
б) Із вершини В ромба ABCD проведено до його площини перпендикуляр ВМ і точка Af сполучена
з D. Доведіть, що DM LAC.
70. а) Доведіть, що коли площина і пряма, яка не лежить у цій площині, паралельні одній і тій же
площині, то вони паралельні між собою.
б) Через точки А і А{, взяті поза площиною, проведено прямі АВ і АС. паралельні відповідно
прямим АуВх і Л,Ср В, С, В,, С, — точки перетину відповідних прямих з даною площиною.
Доведіть, що прямі ВС і ВІСІ паралельні між собою.
71. а) Доведіть, що пряма, яка проходить через середини відрізків АВ і ВС паралельна прямій, яка
проходить через середини відрізків AD і CD, або збігається з нею.
б) Доведіть, що коли одна із двох паралельних прямих, розміщених поза даною площиною, паралельна
даній площині, то і друга пряма паралельна цій плошчкі.
10

72. а) Із середини М сторони АВ правильного трикутника ABC проведено до площини трикутника
перпендикуляр MN; точка N сполучена з С. Доведіть, що CN А. АВ.
6) Доведіть, що діагональ B,D правильної чотирикутної призми ABCDAlB1ClDl перпендикулярна
діагоналі АС основи.
73. а) Куб перетинається шющиноюсс, яка проходить через реброАЛ, і точкуМ, взяту на ребрі B,CS
Доведіть, що лінія перетину площини а і площини грані B,BCCj паралельна ребру АЛ,.
б) Через кожну пару протилежних бічних ребер паралелепіпеда проведено площини. Доведіть, що
лінія перетину них площин паралельна бічним ребрам піраміди.
74. а) Через середини бічних ребер трикутної піраміди проведено площину. Доведіть, що вона
паралельна площині основи піраміди.
б) Дано прямокутний паралелепіпед ABCDAxBlClDl. Через протилежні ребра АВ і DtCt. DC і
А1ВІ нижньої і верхньої основ проведено площини. Чи правильним є твердження, що лінія
перетину цих площин паралельна площинам верхньої і нижньої основ паралелепіпеда.
75. а) Основа прямої призми — прямокутний трикутник. Через бічне ребро, що сполучає вершини
прямих кутів основ і середину гіпотенузи нижньої осноаи, проведено площину. Доведіть, шо
лінія перетину цієї площини з бічною гранню паралельна вказаним бічним ребрам.
б) Через середини двох ребер основи правильної трикутної піраміди проведено площину паралельно
бічним ребрам. Доведіть, що ця площина перетинає дві бічні грані піраміди по прямих, які
паралельні між собою.
76. а) Ь точкк О перетину діагоналей прямокутника до площини цього прямокутника проведено
перпендикуляр. Доведіть, що довільна точка цього перпендикуляра рівновіддалена від вершин
прямокутника.
6) Якщо із двох точок, які знаходяться на різних відстанях від площини, провести дві рівні похилі,
то проекція на цю площину тої похилої буде більша, яка проведена із точки, що знаходиться
ближче до площини. Доведіть.
77. а) В основі піраміди лежить прямокутник. Одне бічне ребро його перпендикулярне до площини
основи. Доведіть, що всі бічні грані піраміди — прямокутні трикутники.
б) В основі піраміди лежить квадрат. Одне бічне ребро його перпендикулярне до площини основи.
Доведіть, шо всі бічні грані піраміди — прямокутні трикутники.
78. а) Із точки до площини проведено дві похилі, що утворюють з цією площиною кути, сума яких
дорівнює 90*. Доведіть, що проекції похилих на дану площину відносяться між собою, як квадрати
довжин похилих.
б) Сума кутів між похилими і перпендикуляром, проведеними з однієї точки, дорівнює 90°. Доведіть,
що відношення квадратів похилих дорівнює відношенню їх проекцій.
79. а,) Доведіть, що відстань від середини відрізка до площини, яка ного не перетинає, дорівнює
півсумі відстаней від кінців відрізка до цієї площини.
б) Доведіть, що відстань від середини відрізка до площини, яка його перетинає, дорівнює модулю
піврізниці відстаней від кінців відрізка до цієї площини.
80. а) Доведіть, що коли дві площини, які перетинаються, перпендикулярні до третьої, то пряма їх
перетину перпендикулярна до цієї площини.
б) Три площини попарно перпендикулярні. Доведіть, що прямі їх перетину також попарно
перпендикулярні.
81. а) Із точки до площини проведено дві похилі, довжини яких відносяться як 5 : 6. Знайдіть відстань
від точки до площини, якщо відповідні проекції похилих дорівнюють 4 см і 3-J3CM.
б) із даної точки до площини проведено дві похилі, різниця довжин яких дорівнює 6 см. їх проекції
на цю площину дорівнюють 27 см і 15 см. Знайдіть відстань від даної точки до площини.
82. а) Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 12 см. Поза площиною трикутника дано точку,
яка знаходиться на відстані 10 см від кожної його вершини. Знайдіть відстань від цієї точки до
площини трикутника.
б) Знайдіть відстань від точки М до площини рівнобедреного трикутника ABC, знаючи, що
2
АВ = ВС = 13 см, АС — Ю смл а точка Af віддалена від кожної сторони трикутника на 8—см.
з
1!

83. а) У рівнобедреному трикутнику кут при вершині дорівнює 120°, а бічні сторони — 10 см. Поза
трикутником дано точку, яка віддалена від усіх його вершин на 26 см. Знайдіть відстань від цієї
точки до площини трикутника.
б) Основа і висота рівнобедреного трикутника дорівнюють 4 см. Дана точка знаходиться на відстані
6 см від площини трикутника і на однаковій відстані від його вершин. Знайдіть цю відстань.
84. а) Діагоналі ромба дорівнюють 12 см і \6см. Точка М, знаходиться поза площиною ромба і
віддалена від усіх сторін ромба на 8 см. Знайдіть відстань від точки М до площини ромба.
б) Точка М, рівновіддалена від сторін ромба і знаходиться на відстані 2 см від площини ромба.
Знайдіть відстань від точки М до сторін ромба, якщо його діагоналі дорівнюють 12 см і 16 см.
85. а) Із деякої точки простору проведені до даної площини перпендикуляр, що дорівнює 12 см. і
похила, що дорівнює 13 см. Обчисліть проекцію перпендикуляра на похилу.
б) Із деякої точки простору проведені до даної площини перпендикуляр, що дорівнює 12 см. і похила,
проекція якої на дану площину дорівнює 5 см. Обчисліть проекцію перпендикуляра на похилу.
86. а) Із точки М, взятої поза площиною (3, проведено дві похилі, що дорівнюють 37 см і 13 см.
Проекції цих похилих відносяться як 7 : 1. Знайдіть відстань від точки М до площини.
б) Із точки, взятої поза площиною а на відстані 12 см. проведено дві похилі, що дорівнюють 37 см
і 13 см. Знайдіть відношення проекцій цих похилих на площину а.
87. а) Рівнобічна трапеція, периметр якої дорівнює 48 см, а гострий кут — 60°, лежить у площині а.
Точка, рівновіддалена від усіх сторін трапеції, знаходиться на відстані 3 см від площини а.
Знайдіть відстань від цієї точки до сторін трапеції.
б) Трапеція вписана в коло, причому менша її основа, що дорівнює 16 см. стягує j^yry в 60°. На
відстані 12 см від площини трапеції знаходиться точка, рівновіддалена від всіх вершин трапеції.
Знайдіть відстані від цієї точки до вершин трапеції.
88. а) Із точки А, взятої поза площиною а, проведено до неї рівні похилі АВ і АС. Відстань ВС між
основами похилих дорівнює 10 см. Кут між ВС і АВ дорівнює 60°, кут між ВС і проекцією
похилої АВ на площину а — 30°. Знайдіть відстань від точки А до площини а.
б) Із точки до площини проведено дві похилі. Довжина першої похилої дорівнює 13 см, а довжина
її проекції — 5 см. Кут між проекціями похилих дорівнює 120°, а довжина відрізка, що сполучає
основи похилих, — 19 см. Знайдіть довжину другої похилої.
89. и) У трикутникуЛВС сторонаЛВ = 15 см, АС = 13 см, СВ = 14 см. Із вершини,Л провеаен > до його
площини перпендикуляр, який дорівнює 16 см. Знайдіть відстань від його кінців до сто' >ни ВС.
б) Сторони трикутника дорівнюють 17, 15 і 8 см. Через вершину А меншого kvth три. утинка
проведена пряма AM, перпендикулярна яо його площини. Знайдіть відстань від точк, М до
прямої, яка містить меншу сторону трикутника, коли відомо, що AM = 20 см.
90. а) Катети прямокутного трикутника дорівнюють 18см і 32см. До площини трикутника із середини
гіпотенузи проведено перпендикуляр, який дорівнює 12 см. Знайдіть відстань від к;нців
перпендикуляра до катетів.
б) Із вершини гострого кута прямокутного трикутника ABC (ZC = 90° ) проведено перпендикуляр
ADn.o його площини. Знайдіть відстані від точки Одо вершин В і С, якщоЛС = 15 см. ВС =* 8 см.
AD= 12 см.
91. а) Через вершину прямого кута С прямокутного трикутника ABC до його площини проведене.
перпендикуляр CD, що дорівнює 1 дм. Знайдіть площу трикутника ADB, якщо АС = 3 дм
ВС = 2 дм.
б) У трикутникуЛСВ ZC = 90°, АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ — медіана. Через вершинуС проведено
пряму СК перпендикулярно до площини трикутника ABC, причому СК= 12 см. Знайдіть KM.
92. а) До площини прямокутника ABCD через його вершину D проведено перпендикуляр DK, кінець
якого К віддалений від сторони АВ на 2,4 см, від сторони ВС — на 2.8 см, від вершини В — на
3.6 см. Знайдіть DK
б) Через вершину А прямокутника ABCD проведена пряма АК, яка перпендикулярна до площини
прямокутника. KD = 6 см, KB = 7 см, КС = 9 см. Знайдіть відстань від точки К до площини
прямокутника ABCD.
93. а) У прямокутному трикутнику ABC кут А дорівнює 30°, більший катет — 6 см. Із вериги
гострого кута В проведено перпендикуляр ВК = 2-^/6 см до площини трикутника. Знаййть
відстань від точки К до катета АС.
12

б) Із вершини прямого кута прямокутного трикутника проведено перпендикуляр до площини
трикутника. Гіпотенуза трикутника дорівнює 12 см, а один із гострих кутів — 60°. Знайдіть
відстань від верхнього кінця перпендикуляра до вершин гострих кутів трикутника, якщо довжина
перпендикуляра дорівнює 8 см.
94. а) Точка М знаходиться на однаковій відстані від всіх сторін правильного трикутника зі стороною
12 см і віддалена від площини трикутника на 6 см. Знайдіть відстані від точки М до сторін
трикутника.
б) Точка М рівновіддалена від сторін правильного трикутника і знаходиться на відстані 6-^3 см
від площини трикутника. Кут між перпендикуляром і похилою, проведеними із точки М до
площини цього трикутника, дорівнює 60°. Знайдіть сторону цього трикутника.
95. а) Дано трикутник зі сторонами 26 см, 28 см і ЗО см. Точка М віддалена від усіх сторін трикутника
на 17 см і проектується у внутрішню точку трикутника. Знайдіть відстань від точки М до
площини трикутника.
б) Дано трикутник зі сторонами 20 см, 65 см і 75 см. Точка М знаходиться на однаковій відстані
від сторін трикутника. Із точки М опущено перпендикуляр до площини трикутника, довжина
якого дорівнює 4 см. Знайдіть відстань від точки М до сторін трикутника.
96. а) Сторони трикутника дорівнюють 20 см, 65 см і 75 см. Із вершини більшого кута трикутника
до його площини проведено перпендикуляр, довжина якого — 60 см. Знайдіть відстань від
кінців перпендикуляра до більшої сторони трикутника.
б) Сторони трикутника дорівнюють 14 см, 16 см і 6 см. Із вершини більшого кута трикутника до
його площини проведено перпендикуляр. Відстань від верхнього кінця перпендикуляра до
більшої сторони дорівнює 5уЗсл«. Знайдіть довжину цього перпендикуляра.
97. а) АВС — правильний трикутник, О — його центр, ОМ — перпендикуляр до площини АВС.
ОМ = 1 см. Сторона трикутника дорівнює 3 см. Знайдіть відстані від точки М до вершин
трикутника.
б) ABCD — квадрат зі стороною, яка дорівнює -J2cm. О — точка пере'тину діагоналей, ОЕ —
перпендикуляр до площини АВС, ОЕ = ^/з" см. Знайдіть відстані від точки £ до вершин квадрата.
98. а) Периметр правильного трикутника дорівнює Зб-Js см, а відстані від деякої точки до кожної із
сторін трикутника — 10 см. Знайдіть відстань від цієї точки до площини трикутника.
б) Площа правильного трикутника дорівнює 108^3 см2. Точка віддалена від площини трикутника
на 8 ом і рівновіддалена від його сторін. Знайдіть відстані від^цієї точки до сторін трикутника.
99. а) Сторони трикутника дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см.. Точка простору віддалена від кожної
сторони цього трикутника на 5 см. Знайдіть відстань від цієї точки до площини трикутника.
б) Сторони трикутника дорівнюють 36 см, 25 см і 29 см. Відстань від деякої точки до площини
трикутника дорівнює 15 см. Відстані від цієї точки до сторін трикутника рівні. Знайдіть ці
відстані.
100. аЛ-'Ортогональною проекцією трикутника, площа якого дорівнює 48 см2, є трикутник зі сторонами
14 см, 16 см і 6 см. Обчисліть кут між площиною цього трикутника і площиною його проекції.
б) Ортогональною проекцією даного трикутника є трикутник зі сторонами 13 см. 14 см і 15 см
Площина трикутника утворює з площиною проекції кут 60°. Обчисліть площу даного трикутника,
101. а) Площа ромба дорівнює 120 см2, а його сторона — 12 см. Точка М віддалена від усіх сторін
ромба на 13 см. Знайдіть відстань від точки М до площини ромба.
б) Одна із діагоналей ромба дорівнює 40 см, а його площа — 600 см2. Відстань від точки
простору, рівновіддаленої від сторін ромба, до площини ромба дорівнює 16 см. Знайдіть відстані
від цієї точки до сторін ромба.
102. а) Рівнобедрені трикутники мають спільну основу довжиною 16 см, а їх площини утворюють
між собою кут 60°. Бічна сторона одного трикутника дорівнює 17 см, а бічні сторони другого
трикутника взаємно перпендикулярні. Знайдіть відстань між вершинами трикутників.
б) Рівнобедрені трикутники мають спільну основу, що дорівнює 16 см. Відстань між вершинами
цих трикутників дорівнює 13 см. Бічна сторона одного трикутника — 17 см. Другий трикутник
— прямокутний. Знайдіть кут між площинами цих трикутників.
103. aj Площа рівностороннього трикутника дорівнює 27-^см2. Знайдіть відстань між площиною
трикутника і точкою, яка віддалена від кожної із його вершин на 10 см.
13

б) Висота рівностороннього трикутника дорівнює 9 см. Точка знаходиться на відстані 8 см від
площини трикутника і рівновіддалена від його вершин. Знайдіть відстані від цієї точки до
вершин трикутника.
104. а) Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 14 і 50 см, а бічна сторона — 30 см. Знайдіть відстань
від площини трапеції до точки, віддаленої від кожної із її вершин на 65 см.
б) Більша основа рівнобічної трапеції дорівнює 50 см, а її діагоналі перпендикулярні до бічних
сторін. Точка віддалена від площини трапеції на відстань 60 см і рівновіддалена від її вершин.
Знайдіть відстані від цієї точки до вершин трапеції.
105. а) Периметр рівнобедреного трикутника-дорівнює 128 см, а медіана, проведена до основи, дорівнює
32 см. Відстані від точки простору до вершин трикутника дорівнюють по 65 см. Знайдіть
відстань від цієї точки до площини даного трикутника.
б) Площа рівнобедреного трикутника дорівнює 768 см2. а його основа — 48 см. Точка простору
знаходиться на відстані 60 см від площини трикутника і рівновіддалена від усіх його вершин.
Знайдіть відстані від цієї точки до вершин трикутника.
106. а) Із точки до площини проведено дві похилі, які дорівнюють — Зу2 см кожна. Кут між похилими
60°, а кут між їх проекціями — прямий. Знайдіть відстань від цієї точки до площини.
б) Із точки до площини проведено дві похилі, кут між якими дорівнює 60°, а кут між їх проекціями
— 90°. Довжини проекцій похилих на площину дорівнюють — 3 см кожна. Знайдіть відстань
від точки до площини.
107. а) Із точки А, що знаходиться на відстані 6ч]3 см від площини, проведено до цієї площини похилі
АВ і АС під кутом 30° до неї. їх проекції утворюють кут 120°. Знайдіть ВС.
б) Із точки до площини проведено дві похилі до неї. Довжина однієї із них дорівнює 12^/2 см, а
довжина її проекції — 8 см. Кут між проекціями похилих дорівнює 60°, а довжина відрізка, що
сполучає основи похилих, дорівнює 7 см. Знайдіть довжину другої похилої.
108. а) Із точки, що знаходиться на відстані 4 см від площини, проведено до цієї площини дві похилі
довжиною 5 см і A-Jscm. Кут між проекціями цих похилих дорівнює 60°. Знайдіть відстань
між основами похилих.
б) Із точки, що знаходиться на відстані 12 см від площини, проведено до цієї площини дві похилі
довжиною 13 см і 20 см. Відстань між основами похилих дорівнює 19 см. Знайдіть кут між
проекціями цих похилих.
109. а) Із точки, що знаходиться на відстані 24 см від площини, проведено до неї дві похилі, кут між
якими 90°. Проекції цих похилих на площину дорівнюють 18 см і 32 см. Знайдіть відстань між
основами похилих.
б) Із точки, віддаленої від площини на 12 см. проведено до неї дві похилі довжиною 13 см і
\2-J2 см. Кут між проекціями цих похилих на площину дорівнює 90°. Знайдіть відстань між
основами похилих.
110. а) Кінці відрізка, довжина якого дорівнює 24 см. належать двом перпендикулярним площинам.
Відстані від кінців відрізка до лінії перетину даних площин відповідно дорівнюють 12 см і
\2-J2cm. Обчисліть кути, утворені відрізком з цими площинами.
б) Із кінців відрізка, що належать двом перпендикулярним площинам, до лінії перетину даних
площин проведено перпендикуляри, що дорівнюють A-J2.CM і 4 см. Відстань між основами
перпендикулярів дорівнює 4 см. Обчисліть кути, утворені відрізком з цими площинами.
111. а) Із кінців відрізка, що належать двом взаємно перпендикулярним площинам, до лінії перетину
даних площин проведено перпендикуляри, відстань між основами яких дорінює Зсм. Проекції
відрізка на ці площини дорівнюють 3-J2CM і 3-43см. Обчисліть кути, утворені відрізком з
даними площинами.
б) Кінці відрізка довжиною 6см належать двом взаємно перпендикулярним площинам. Проекція
відрізка на одну із площин дорівнює 3-J3 см, а відстань від його кінця до другої площини —
3-J2.CM. Обчисліть кути, утворені відрізком з цими площинами.
112. а) Відрізок довжиною 25 см опирається кінцями на дві взаємно перпендикулярні площини. Відстані
від кінців відрізка до площин дорівнюють 15 см і 16 см. Знайдіть проекції відрізка на кожну із
площин.
14

б) Відрізок довжиною 25 см опирається кінцями на дві взаємно перпендикулярні площини. Проекції
відрізка на ці площини дорівнюють V369 см і 20 см. Знайдіть відстані від кінців відрізка до
даних площин.
113. а) Кінці відрізка лежать у двох взаємно перпендикулярних площинах. Проекції відрізка на кожну
із площин відповідно дорівнюють -J369 см і 20 см. Відстань між основами перпендикулярів,
проведених із кінців відрізка до площин, дорівнює 12 см. Знайдіть довжину даного відрізка.
б) Із кінців відрізка, що лежать у двох взаємно перпендикулярних площинах, проведено
перпендикуляри до цих площин, довжини яких відповідно дорівнюють 16 см і 15 см. Відстань між
основами цих перпендикулярів дорівнює 12 см. Знайдіть довжину даного відрізка.
114. а) Із точки до площини правильного трикутника зі стороною 8-^3 см проведено перпендикуляр
довжиною 5 см. Основою перпендикуляра є одна із вершин трикутника. Знайдіть відстань від
точки до сторони трикутника, яка не містить основи перпендикуляра.
б) ІЗ ТОЧКИ ДО ПЛОЩИНИ ПраВИЛЬНОГО ТрИКуТНИКа Проведено Перпендикуляр ДОВЖИНОЮ -JfflCM.
Основою перпендикуляра є одна із вершин трикутника. Відстань від точки до сторони
трикутника, яка не містить основу перпендикуляра, дорівнює 12 см. Знайдіть відстані від
даної точки до інших вершин трикутника.
115. а) Із точки до площини прямокутника зі сторонами 9 см і 12 см, проведено перпендикуляр,
основою якого є одна із вершин прямокутника. Відстань від протилежної вершини прямокутника
до цієї точки дорівнює 39 см. Знайдіть відстань від даної точки до площини прямокутника.
б) Із точки до площини прямокутника зі сторонами 6 см і 8 см, проведено перпендикуляр
довжиною 24 см. Основа перпендикуляра — вершина одного із кутів прямокутника. Знайдіть
відстань від даної точки до протилежної' вершини прямокутника.
116. а.) У прямокутній трапеції ABCD бічні сторони — 24 см і 25 см, а більша діагональ BD є
бісектрисою прямого кута. Із вершини тупого кута С до площини трапеції проведено
перпендикуляр СМ довжиною 7-JiScm. Знайти відстань від точки М до вершини А.
б) Із точки до площини прямокутної трапеції, менша основа якої дорівнює 20 см, бічна сторона
— 25 см, а менша діагональ є бісектрисою прямого кута, проведено перпендикуляр. Основа
перпендикуляра — вершина гострого кута трапеції. Відстань від даної точки до вершини
протилежного прямого кута трапеції дорівнює 45 см. Знайдіть відстань від цієї точки до
площини трапеції.
117. а) Вершина С рівностороннього трикутника ABC. сторона якого 8 см. віддалена від площини a
на відстань 2-^Зсм. Обчисліть кут між площинами трикутника ABC і а. якщо сторона АВ
лежить у площині а.
б) Сторона АС рівностороннього трикутника ABC лежить у площині р, а основа перпендикуляра,
проведеного із точки В до площини р, віддалена від сторони АС на 6 см. Обчисліть кут між
площинами трикутника ABC і р, якщо АВ = 8-Jscm.
118. а) Через гіпотенузу АВ прямокутного рівнобедреного трикутника ABC проведено площину р під
кутом 45° до площини трикутника. Обчисліть кути нахилу катетів трикутника ABC до площини р.
б) Через сторону АВ рівностороннього трикутника ABC проведено площину а під кутом 60° до
його площини. Обчисліть кути нахилу двох сторін трикутника ABC до площини а.
3. Завдання поглибленого рівня (№№ 119 — 185)
119. а) Пряма а паралельна до площини а. Через точки А і В прямої а проведено паралельні прямі,
які перетинають площинуа у точкахАх і В, відповідно. Знайдіть площу чотирикутника ААХВХВ,
якщо .4,£, = 13 см, ААХ= 14 см, АХВ= 15 см.
б) Пряма а паралельна до площини а. Через точки А і В прямої а проведено паралельні
прямі, які перетинають площинуа в точкахЛ, і В, відповідно. Знайдіть площу чотирикутника
АА1ВІВ. якшо АХВХ = 17 см, АВ{ - 10 см, ВВХ = 21 см.
120. а) Дано трикутник ABC, в якому АВ= 9 см, ВС = 12 см, АС = 15 см. На стороні АВ взято точку
М так, щоЛМ : MB = 2:1. Через точку ЛІ проведено площину, яка паралельна до сторониЛС
і перетинає сторону ВС в точці К. Знайдіть площу трикутника МВК.
б) Дано трикутник ABC, в якому АВ = 16 см, АС = 12 см, ВС = 20 см. На стороні АВ взято
точку ЛІ так, щоВМ : МА = 3:1. Через точкуМ проведено площину, яка перетинає сторону/4С
15

в точці К. Знайдіть площу трикутника АМК, коли відомо, що дана площина паралельна
ВС.
121. а) Пряма не лежить у площині і паралельна до двох прямих цієї площини. Знайдіть відстань від
цієї прямої до площини, якщо вона віддалена від однієї із прямих на відстань 10 см, а від
другої — на 17 см, відстань між прямими площини дорівнює 21 см.
б) Пряма не лежить у площині і паралельна до двох прямих цієї площини, відстань між якими
дорівнює 14 см. Знайдіть відстань від цієї прямої до площини, якщо вона віддалена від однієї
із прямих на відстань 13 см, а від другої — на 15 см.
122. а) Точка лежить поза площиною прямого кута і знаходиться на відстані 8 см від кожної із сторін
цього кута. Знайдіть відстань до вершини цього кута, якщо точка віддалена від площини на
відстань 2-J7 см.
б) Точка лежить поза площиною прямого кута і знаходиться на відстані 10 см від його вершини
і від кожної із сторін цього кута на відстань 8 см. Знайдіть відстань від цієї точки до площини
даного кута.
123. а) Кінці відрізка довжиною 10 см лежать на двох взаємно перпендикулярних площинах. Цей
відрізок утворює з площинами кути 30° і 45". Визначте відстань між основами перпендикулярів,
опущених із кінців даного відрізка на лінію перетину площин.
б) Відрізок сполучає точки А і В, що лежать на двох взаємно перпендикулярних площинах, і
утворює з однією із них кут 45°. Один із кінців відрізка знаходиться на відстані 2-J2CM від цієї
площини. Частина лінії перетину площин, що знаходиться між перпендикулярами, опущеними
на неї із кінців даного відрізка, дорівнює 2 см. Знайдіть кут між відрізком і другою площиною.
124. а) Дві паралельні прямі АВ і CD лежать у двох площинах, що перетинаються під кутом 60°.
Точки А і D віддалені від лінії перетину площин на відстані 8 см і 3 см. Знайдіть відстань від
площини ABD до лінії перетину даних площин.
б) Дано двогранний кут величиною 30° і дві прямі в його гранях, кожна із яких паралельна до
ребра двогранного кута. Ці прямі знаходяться на відстані 1 см і V3см від ребра. Доведіть, що
ці прямі належать одній площині і знайдіть відстань від ребра двогранного кута до неї.
125. а) Із точки М — середини бічної сторони АВ рівнобедреної трапеції ABCD до її площини
проведено перпендикуляр МК, що дорівнює 8 см. Знайдіть відстань від точки К до діагоналі
АС, якщо АВ = ВС = 24 см і ZABC = 120°.
б) Із точки Е — середини меншої основи ВС рівнобічної трапеції ABCD до її площини проведено
перпендикуляр ЕР, що дорівнює 4 см. Знайдіть відстань від точки Р до діагоналі АС, якщо
АВ = ВС = 12 см, ZABC = 120°.
126. а) Площі двох рівнобедрених трикутників відповідно дорівнюють 15 см2 і 40 см2. Трикутники
мають спільну основу, довжина якої 10см. Кут між площинами цих трикутників дорівнює 60°.
Знайдіть відстань між прямою, що містить спільну основу, і прямою, яка проходить через
вершини трикутників.
б) Площі двох рівнобедрених трикутників дорівнюють 48 см2 і 90 см2. Спільна основа цих
трикутників має довжину 12 см. Відстань між вершинами цих трикутників 13 см. Знайдіть
відстань між прямою, яка містить спільну основу, і прямою, яка проходить через вершини
трикутників.
127. а) На площині дано трапецію і точку поза нею, яка віддалена від кожної із сторін трапеції на
відстань 13 см. Знайдіть відстань від цієї точки до площини трапеції, якщо бічні сторони
трапеції дорівнюють 6 см і 8 см, а більша основа — 10 см.
б) На площині дано трапецію і точку поза нею. Прямі, які проходять через цю точку і вершини
трапеції, утворюють з її площиною кути, що дорівнюють 45°. Знайдіть відстань від цієї точки
до площини трапеції, якщо один із її кутів дорівнює 60°, а діагональ, яка виходить із вершини
цього кута, — 3V3 см.
128. а) Із точки, яка віддалена від площини на 24 см, проведено дві похилі, кут між якими 90°.
Проекції цих похилих на площину дорівнюють 18 см і 32 см. Знайдіть відстань від цієї точки
до прямої, яка проходить через основи похилих.
б) Із точки, яка віддалена від площини на 12сж, проведено дві похилі до неї, довжини яких 13 см
і \2-J2~cm. Кут між проекціями цих похилих дорівнює 90°. Знайдіть відстань від цієї точки до
прямої, що проходить через основи похилих.
16

129. а) У рівнобедреному трикутнику кут при вершині дорівнює 120°, а бічні сторони — 10 см. Поза
трикутником дано точку, яка віддалена від усіх його вершин на 26 см. Знайдіть відстань від
цієї точки до площини трикутника.
б) Середня лінія рівностороннього трикутника дорівнює 2-Jscm. Відстань від точки простору до
вершин трикутника дорівнює 5 см. Знайдіть відстань від цієї точки до площини трикутника.
130. а) Доведіть, що відстань від центра правильного трикутника до даної площини а дорівнює
середньому арифметичному відстаней від вершин цього трикутника до цієї площини, якщо
вершини трикутника не належать їй.
б) Доведіть, що суми відстаней від протилежних вершин паралелограма до даної площини,
однакові між собою, якщо вершини паралелограма не належать їй.
131. а) Сторона ромба дорівнює 6 см, а один із кутів — 120°. Із точки, що ділить одну із сторін ромба
у відношенні 2:1, рахуючи від вершини тупого кута, проведено перпендикуляр до площини
ромба довжиною 4 см. Знайдіть відстань від другого кінця перпендикуляра до більшої діагоналі
ромба.
б) Менша сторона паралелограма дорівнює 16 см, а один із кутів — 30°. Із точки, яка ділить його
більшу діагональ у відношенні 3:1, проведено перпендикуляр довжиною 8 см. Знайдіть відстань
від іншого кінця перпендикуляра до більших сторін паралелограма.
132. а) Із деякої точки простору до площини ромба, сторона якого дорівнює 5 см, а менша діагональ
— 6 см, проведено перпендикуляр. Основа перпендикуляра — вершина гострого кута ромба.
Відстань від цієї точки до вершини другого гострого кута дорівнює П см. Знайдіть відстань від
даної точки до прямої, що містить меншу діагональ ромба.
б) Із деякої точки простору до площини ромба, сторона якого дорівнює 13 см, а більша діагональ
— 24 см, проведено перпендикуляр, довжина якого 24 см. Основою його є вершина тупого
кута ромба. Обчисліть відстань від даної точки до прямої, що містить більшу діагональ ромба.
133. а) Сторони прямокутника дорівнюють 9 см і 12 см. Із середини більшої сторони прямокутника
проведено перпендикуляр до його площини довжиною 4,8 см. Знайдіть відстань від кінця
цього перпендикуляра до однієї із діагоналей.
б) До площини прямокутника із середини більшої сторони проведено перпендикуляр. Його кінець
віддалений від однієї із діагоналей на відстань 30 ом. Знайдіть довжину перпендикуляра, якщо
сторони прямокутника дорівнюють 45 см і 60 см.
134. а) Точка М знаходиться на відстані 3 см від кожної із вершин паралелограма, сторони якого
відносяться як 2:1. Знайдіть площу цього паралелограма, якщо відстань від точки М до
площини паралелограма дорівнює 2 см.
б) Точка М знаходиться на відстані 15 см від кожної сторони паралелограма і на відстані 9 см від
його площини. Знайдіть площу цього паралелограма, якщо його діагоналі відносяться як 3 : 4.
135. а) Дано паралелограм ABCD і точка S поза площиною паралелограма. АВ = 20 см, АС = 32 см,
SB = 9 см, причому площини SAB і SBC перпендикулярні до площини ABCD. Знайдіть відстань
від точки S до АС, коли відомо, що Z.BAC = /LCAD.
б) Дано паралелограм ABCD і точка S поза площиною паралелограма. АВ = 15 см, AD = 20 см.
SB = 9 см, причому площини SAB і SBC перпендикулярні до площини паралелограма. Знайдіть
відстань від точки S до АС, коли відомо, що АС = BD.
136. а} Діагоналі ромба дорівнюють 12 см і 16 см. Деяка точка поза ромбом, віддалена від усіх його
сторін на 8 см. Знайдіть відстань від цієї точки до площини ромба.
б) Трапеція вписана в коло, причому менша її основа, що дорівнює 5^/7 см, стягує дугу в 60°. На
відстані 15 см від площини трапеції знаходиться точка, рівновіддалена від усіх вершин трапеції.
Знайдіть відстані від цієї точки до вершин трапеції.
137. а) Ребро куба дорівнює а. Знайдіть найкоротшу відстань між діагоналлю куба і діагоналлю
основи куба, яка з нею мимобіжна.
б) Ребро правильного тетраедра дорівнює а. Знайдіть відстань між двома ребрами тетраедра, які
є мимобіжними.
138. а) Деяка точка рівновіддалена від сторін правильного трикутника на 49 см. Периметр трикутника
дорівнює 144 см. Знайдіть відстань від цієї точки до площини трикутника.
б) Периметр рівностороннього трикутника — 27 см. Деяка точка рівновіддалена від вершин
трикутника на 14 см. Знайдіть відстань від цієї точки до площини трикутника.
17

139- а) Сторони трикутника 15 см, 15 см і 24 см. На якій відстані від площини трикутника розміщена
точха. що знаходиться на відстані 32,5 см від кожної із його вершин?
б) Сторони трикутника 9 см, 10 см і 11 см. Із вершини кута, що лежить напроти сторони
довжиною 10 см, проведено перпендикуляр довжиною 7 см. Знайдіть відстань від кінців
перпендикуляра до протилежної сторони.
140. а) Всередині тригранного кута з прямими плоскими кутами взято точку. Знайдіть відстань від
цієї точки до вершини тригранного кута, якщо вона віддалена від ребер відповідно на 20 см,
31 см, 33 см.
б) Всередині тригранного кута з плоскими кутами 90°, 90° і 120° взято точку, яка віддалена від
його граней відповідно на 15см, 12 см і 12 см. Знайдіть відстань від цієї точки до вершини кута.
141. а) Дано паралелепіпед ABCDAlBlClDl з бічним ребром АД, = а, яке утворює з основою ABCD
кут <р. Знайдіть відстань між ребрами В1С1 і CD.
б) Дано призму ABCAlBlCl з бічним ребром ССХ, що дорівнює b і утворює з основою кут а.
Знайдіть відстань між ребрами А1В1 і ВС.
142. а) Дві прямі належать двом перпендикулярним площинам, паралельні прямій перетину площин
і віддалені від неї на 5 см і 12 см. Доведіть, що через дані прямі можна провести площину і
знайдіть відстань до неї від лінії перетину даних площин.
б) Дві прямі, відстань між якими 17 см, належать двом перпендикулярним площинам і паралельні
до прямої перетину цих площин. Відстань від однієї із даних прямих до прямої перетину
площин дорівнює 8 см. Доведіть, що через дані прямі можна провести площину і обчисліть
відстань від неї до лінії перетину даних площин.
143. а) Прямокутник ABCD зі сторонами 15 см і 20 см перегнули по діагоналі АС так, що площини
ABC і ACD перпендикулярні. Знайдіть відстань між точками В і D.
б) Прямокутник MNPF зі сторонами 80 см і 60 см перегнули по діагоналі так, що площини MNP
і MPF перпендикулярні. Знайдіть відстань між точками N і F.
144 а) Із даної точки до площини проведено дві різні похилі. Кут між похилими дорівнює 60°, а кут між
проекціями — прямий. Доведіть, що кожна із цих похилих утворює із площиною кут 45°.
б) Доведіть, що коли в тригранного кута два плоских гострих кути однакові, то проекція їх
спільної сторони на протилежну грань буде бісектрисою третього плоского кута.
145. а) На ребрі двогранного кута величиною 60° взято відрізок довжиною 4-^2 см. Із його кінців у
різних гранях проведено перпендикуляри до ребра довжиною 3 см і 8 см. Знайдіть довжину
відрізка, який сполучає інші кінці цих перпендикулярів.
б) Відрізок довжиною 6^2 см лежить на ребрі двогранного кута, величина якого 120°. Із його
кінців у кожній грані проведено перпендикуляри до ребра довжиною 3 см і 5 см. Знайдіть
довжину відрізка, який сполучає інші кінці цих перпендикулярів.
146. а) Відстань між паралельними прямими, що лежать у гранях двогранного кута, дорівнює 7 см.
Вони віддалені від його ребра на 3 см і 5 см. Знайдіть величину цього двогранного кута.
б) Величина двогранного кута 60°. Дві прямі, що лежать у гранях цього кута, паралельні і
знаходяться від його ребра на відстані А см і 2 см. Знайдіть відстань між цими прямими.
147. а) Середня лінія рівностороннього трикутника дорівнює 4^/3 см. Відстань від точки простору до
вершин трикутника дорівнює 10 см. Знайдіть відстань від цієї точки до площини трикутника.
б) Периметр правильного трикутника дорівнює 9-Jscm. Точка знаходиться на відстані 4 см від
площини трикутника і на однаковій відстані від усіх його вершин. Знайдіть ці відстані.
148. а) Відстань від точки до площини дорівнює 4 см. Із цієї точки проведено дві похилі, довжини
яких 5 см і 4-Jb~cM. Кут між проекціями цих похилих дорівнює 60°. Знайдіть відстань між
основами цих похилих.
б) Відстань від точки до площини дорівнює 12 см. Із цієї точки проведено дві похилі, довжини
яких 13 см і 20 см. Відстань між основами похилих дорівнює 19 см. Обчисліть кут між
проекціями цих похилих.
149. а) Ортогональною проекцією прямокутника, сторони якого 8 см і 9 см, є чотирикутник, площа
якого дорівнює 36 см2. Обчисліть кут між площинами цих чотирикутників. Чи може дана
проекція бути квадратом?
б) Ортогональна проекція прямокутника, сторони якого 8 см і 6 см, нахилена до площини
прямокутника під кутом 60°. Знайдіть площу проекції. Чи може дана проекція бути квадратом?
18

150. а) Квадрат і прямокутник, площі яких відповідно дорівнюють 64 см2 і 120 см2, мають спільну
сторону. Кут між їх площинами 60°. Знайдіть відстань між стороною квадрата і стороною
прямокутника, що паралельні між собою.
б) Квадрат і прямокутник, площі яких відповідно дорівнюють 64 см2 і 24 см2, мають спільну
сторону. Відстань між стороною квадрата і стороною прямокутника, що паралельні між собою,
дорівнює 7 см. Обчисліть кут між площинами квадрата і прямокутника.
151. а) Із деякої точки простору до площини прямокутного трикутника, площа якого дорівнює 216 см2,
а один із катетів — 24 см, проведено перпендикуляр. Основа цього перпендикуляра належить
іншому катету. Відстаю від даної точки до даного катета і гіпотенузи дорівнюють 17 см.
Знайдіть відстань від даної точки до площини даного трикутника.
б) Із деякої точки простору до площини прямокутного трикутника, площа якого 294 см2, а один
із катетів — 28 см, проведено перпендикуляр,, довжина якого 9 см. Основа перпендикуляра
лежить на гіпотенузі. Відстані від даної точки до катетів однакові. Знайдіть ці відстані.
152. а) Площа ромба дорівнює 120 см2, а його сторона — 12 см. Точка простору рівновіддалена від
сторін цього ромба на ІЗ см. Обчисліть відстань від цієї точки до площини ромба.
б) Одна із діагоналей ромба дорівнює 40 см, а його площа — 600 см2. Відстань від деякої точки
простору до площини ромба дорівнює І беж. Відстані від даної точки до кожної сторони ромба
однакові. Знайдіть цю відстань.
153. а} Ортогональною проекцією правильного трикутника на площину, що містить одну із його
вершин, є рівнобедрений трикутник з бічною стороною ЗуіЗсл*. Сторона правильного
трикутника дорівнює 12 см. Обчисліть кут між площинами цих трикутників, якщо одна' сторона
трикутника паралельна площині проекції.
б) Основа рівнобедреного трикутника паралельна площині, а його ортогональна проекція на цю
площину — рівносторонній трикутник. Обчисліть кут між площинами трикутників, якщо
основа і бічна сторона рівнобедреного' трикутника відповідно дорівнюють 12 см і 6-^5см.
154. а) Відрізок лежить в одній із двох перпендикулярних площин і не перетинає другу. Кінці цього
відрізка віддалені від прямої перетину цих площин на відстані 5 см і 9 см. Один кінець відрізка
віддалений від прямої, що лежить у другій площині і паралельна прямій перетину площин, на
15 см. Знайдіть відстані від другого кінця і середини відрізка до цієї прямої.
6} Відрізок лежить в одній із двох перпендикулярних площин і не перетинає другу. Кінці відрізка
віддалені від прямої, що- лежить у другій площині і паралельна прямій перетину цих площин,
на 25 см і 26 см. Один кінець відрізка віддалений від прямої перетину площин на 7 см.
Знайдіть відстані від другого кінця і середини відрізка до прямої перетину площин.
155. а) У прямокутному трикутнику перпендикуляр, проведений із вершини прямого кута, ділить
гіпотенузу на відрізки 9 см і 16 см. Точка простору віддалена від кожної сторони трикутника
на 13 см. Обчисліть відстань від цієї точки до площини трикутника.
б) У прямокутному трикутнику бісектриса прямого- кута ділить гіпотенузу на відрізки 20 см і
15см. Відстань вія деякої точки простору до площини трикутника дорівнює 24сж. Відстані від
цієї точки до кожної сторони трикутника однакові. Обчисліть їх.
156. сі'Ортогональною проекцією даного трикутника є прямокутний трикутник, гіпотенуза якого
дорівнює 15 см і катет 9 см. Кут між площинами цих трикутників дорівнює 30°. Знайдіть
площу даного трикутника. Чи може даний трикутник бути правильним?
б) Ортогонального проекцією даного трикутника, площа якого дорівнює 36-^3 см2, є прямокутний
трикутник, катет якого 12 єм, а медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює 7,5 см. Обчисліть
кут між площинами цих трикутників. Чи може даний трикутник бути правильним?
157. а) Ортогональною проекцією чотирикутника, площа якого дорівнює 144 см2, є прямокутник,
діагональ якого дорівнює -JlAbcM, а одна із сторін — 8 см. Обчисліть кут між площинами
прямокутника та даного чотирикутника. Чи може даний чотирикутник бути квадратом?
б) Ортогональною проекцією чотирикутника є прямокутник, сторони якого дорівнюють 16- см і
18 см. Кут між площинами даного чотирикутника і прямокутника дорівнює 60°. Знайдіть
шгощу даного чотирикутника. Чи може він бути квадратом?
15$. о) У рівнобічній трапеції основи відповідно дорівнюють 8 см і 18 см. Деяка точка простору
рівновіддалена від кожної сторони цкї трапеції на' 10 см. Обчисліть відстань, від цієї точки до
площини трапеції.
19

б) У прямокутній трапеції основи дорівнюють 10 см і 15 см. Відстань від деякої точки простору
до площини трапеції дорівнює 8 см. Відстані від цієї точки до кожної сторони трапеції однакові.
Знайдіть ці відстані.
159. а) У прямокутному трикутнику перпендикуляр, проведений із вершини прямого Кута, дорівнює
24 см і ділить гіпотенузу у відношенні 9:16. Відстань від точки простору до вершин трикутника
дорівнює 65 см. Знайдіть відстань від даної точки до площини цього трикутника.
б) У прямокутному трикутнику перпендикуляр, проведений із вершини прямого кута, дорівнює
24 см і ділить гіпотенузу на відрізки, різниця між якими — 14 см. Деяка точка простору
знаходиться на відстані 60 см від площини трикутника і на однаковій відстані від його вершин.
Знайдіть цю відстань.
160. а) Ортогональною проекцією трапеції, площа якої дорівнює 80 см2. є рівнобічна трапеція з
основами 7 см і 13 см і бічною стороною 5 см. Обчисліть кут між площинами трапеції та її проекції.
б) Ортогональною проекцією трапеції є рівнобічна трапеція з основами 7 см і 25 см і діагоналями,
що перпендикулярні до бічних сторін. Кут між площинами цих трапецій дорівнює 60°. Обчисліть
площу даної трапеції.
161. а) Із деякої точки простору до площини трикутника, сторони якого дорівнюють 32 см, 40 см і
48 см, проведено перпендикуляр, довжина якого 18 см. Основа перпендикуляра належить
стороні трикутника, що дорівнює 40 см, а дві інші сторони рівновіддалені від даної точки.
Обчисліть відстань від даної точки до інших сторін трикутника.
б) Із деякої точки простору до площини трикутника, сторони якого дорівнюють 15 см, 21 см і
24 см, проведено перпендикуляр. Основа цього перпендикуляра належить стороні, що дорівнює
24 см, а дві інші сторони рівновіддалені від даної точки на 10 aw. Обчисліть відстань від цієї
точки до площини трикутника.
162. а) Діагональ квадрата дорівнює 10у2 см. Деяка точка простору рівновіддалена від кожної сторони
квадрата на 13 см. Обчисліть відстань від даної точки до площини цього квадрата.
б) Площа квадрата дорівнює 100 см2. Відстань від деякої точки простору до площини квадрата
дорівнює 12 см. Відстані від даної точки до кожної сторони квадрата однакові. Знайдіть цю
відстань.
163. а) Відрізки двох прямих лежать між двома паралельними площинами і відповідно дорівнюють
ЗО см і 26 см, а їх проекції на одну із цих площин відносяться як 9 : 5. Знайдіть відстань між
цими площинами.
б) Відрізки двох прямих лежать між паралельними площинами і відносяться як 15 : 13, а їх
проекції на одну із цих площин відповідно дорівнюють 18 сж і 10 см. Обчисліть відстань між
площинами.
164. а) Ортогональною проекцією даного трикутника є трикутник зі сторонами 13 см, 14 см і 15 см.
Кут між площинами цих трикутників дорівнює 60°. Знайдіть площу даного трикутника. Чи
може він бути правильним?
б) Ортогональною проекцією даного трикутника, площа якого дорівнює 48^3 см2, є трикутник зі
сторонами 14 см, 16 см і 6 см. Обчисліть кут між площинами цих трикутників. Чи може даний
трикутник бути правильним?
165. а) Із деякої точки простору до площини правильного трикутника, площа якого дорівнює 108-^3 см2;
проведено перпендикуляр, основа якого належить одній із сторін трикутника, а дві інші сторони
однаково віддалені від даної точки. Обчисліть ці відстані, якщо відстань від точки до площини
трикутника дорівнює 12 см.
б) Із деякої точки простору до площини правильного трикутника, площа якого 192^3 см2,
проведено перпендикуляр, основа якого лежить на одній із сторін трикутника. Відстань від
цієї точки до двох інших сторін даного трикутника дорівнює 13 см. Знайдіть відстань від даної
точки до площини трикутника.
166. а) У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 48 см, а бічна сторона — 40 см. Відрізки, що
сполучають точку простору з вершинами цього трикутника, дорівнюють 65 см. Знайдіть відстань
від цієї точки до площини трикутника.
б) У рівнобедреному трикутнику основа і висота, проведена до основи, відповідно дорівнюють
48 см і 32 см. Дана точка простору лежить на відстані 60 см від площини трикутника і на
однаковій відстані від його вершин. Знайдіть цю відстань.
20

167. а) Із деякої точки до площини рівнобедреного трикутника, основа якого ЗО см, а площа —
300 см2, проведено перпендикуляр довжиною 5 см. Основа перпендикуляра належить основі
трикутника, а бічні сторони його рівновіддалені від цієї точки. Обчисліть ці відстані.
б) Із деякої точки до площини рівнобедреного трикутника, площа якого 300 см2, проведено
перпендикуляр. Основа перпендикуляра лежить на основі трикутника. Відстані відданої точки
до бічних сторін трикутника дорівнюють 13 .см. Обчисліть відстань від точки до площини
трикутника, якщо висота трикутника, проведена до основи, дорівнює 20 см.
168. а) У рівнобедреному трикутнику бічна сторона відноситься до основи як 5 : 6. Через вершини
трикутника і центр вписаного кола проведено паралельні прямі, що перетинають деяку площину,
яка з трикутником немає спільних точок. Довжини відрізків від кінців основи трикутника до
площини дорівнюють 52 см і 14 см, а від третьої вершини — 25 см. Знайдіть довжину відрізка
від центра вписаного кола до цієї площини.
б) У рівнобедреному трикутнику бічна сторона відноситься до основи як 7 : 6. Дано площину,
що не перетинає цей трикутник. Через вершини трикутника і центр вписаного в нього кола
проведено паралельні прямі, що перетинають площину. Знайдіть довжину відрізка від третьої
вершини до площини, коли довжини відрізків від вершин основи трикутника до площини
дорівнюють 40 см і 24 см, а від центра вписаного кола — 38 см.
169. а) Із точки до площини проведено дві похилі, довжини яких 25 см і ЗО см. Різниця проекцій цих
похилих на площину дорівнює 11 см. Обчисліть відстань від даної точки до площини.
б) Із точки до площини проведено дві похилі, різниця між якими дорівнює 5 см. Проекції цих
похилих на площину відповідно дорівнюють 18 см і 7 см. Обчисліть відстань відданої точки до
площини.
170. а) Площа рівнобедреного трикутника дорівнює 1200 см2, а його основа — 60 см. Точка простору
віддалена від кожної сторони трикутника на 39 см. Знайдіть відстань від цієї точки до площини
трикутника.
б) Площа рівнобедреного трикутника дорівнює 1200 см2, а його висота, проведена до основи,
дорівнює 40 см. Відстань від деякої точки простору до площини трикутника дорівнює 36 см,
а відстані від цієї точки до сторін трикутника однакові. Обчисліть цю відстань.
171. а) Два рівнобедрені трикутники мають спільну основу, а їх площини утворюють між собою кут
60°. Спільна їх основа дорівнює 16 см. Бічна сторона одного трикутника дорівнює 17 см, а
бічні сторони другого — взаємно перпендикулярні. Обчисліть відстань між вершинами
трикутників.
б) Два рівнобедрені трикутники мають спільну основу, що дорівнює 16 см. Відстань між вершинами
цих трикутників — 13 см. Бічна сторона одного трикутника дорівнює 17 см. Другий трикутник
— прямокутний. Обчисліть кут між площинами цих трикутників.
172. а) Із точки простору до площини прямокутної трапеції, більша основа якої дорівнює 24 см, а
більша бічна сторона — 25 см, проведено перпендикуляр, довжина якого 7-JiEcm. Основа
перпендикуляра — вершина тупого кута трапеції, більша діагональ якої є бісектрисою прямого
кута. Обчисліть відстань від даної точки до вершини другого прямого кута.
б) Із точки простору до площини прямокутної трапеції, менша основа якої 20 см, а бічна сторона —
25 см, проведено перпендикуляр. Основа перпендикуляра — вершина гострого кута трапеції,
менша діагональ якої є бісектрисою прямого кута. Відстань від даної точки до вершини другого
прямого кута дорівнює 45 см. Обчисліть відстань від цієї точки до площини трапеції.
173. а) Із точки D, що лежить на гіпотенузі АВ прямокутного трикутника ABC, проведено відрізок
DM довжиною 9 см перпендикулярно до площини трикутника. Перпендикуляри, проведені із
точки М на катети трикутника ABC, нахилені до площини трикутника під кутом 45°. Знайдіть
відстань від точки М до вершини прямого кута трикутника ABC.
б) Із точки D, що лежить на гіпотенузі АВ прямокутного трикутника ABC і віддалена від вершини
прямого кута на 9-J2 см, проведено перпендикуляр DK до площини трикутника.
Перпендикуляри, проведені із точки К на катети трикутника ABC, нахилені до площини трикутника під
кутом 45°. Знайдіть відстань від вершини прямого кута трикутника ABC до точки К.
174. а) У ромбі зі стороною 10-J3 см і кутом 60° через вершину гострого кута проведено площину на
відстані 9 см від усіх точок його меншої діагоналі. Знайдіть проекції діагоналей ромба на цю площину.
б) У ромбі зі стороною 10д/з см і кутом 120° через вершину тупого кута проведено площину на відстані
3-Jscm від усіх точок його більшої діагоналі. Знайдіть проекції діагоналей ромба на цю площину.
21

175. а) У прямокутному трикутнику з катетами 15 см і 20 см із вершини прямого кута проведено
перпендикуляр до площини трикутника довжиною 5 см. Знайдіть відстань від кінців цього
перпендикуляра до прямої, що містить гіпотенузу.
6) У прямокутному трикутнику з катетом 15 см і гіпотенузою 25 см. із вершини прямого кута
проведено перпендикуляр до площини трикутника довжиною 5 см. Знайдіть відстань від кінців
цього перпендикуляра до прямої, що містить гіпотенузу.
176. а) У паралелограмі ABCD діагональне дорівнює 3-J21CM. Через вершину В проведено площину
на відстані 5 см від діагоналі АС. Проекції сторін ВС і АВ на цю площину дорівнюють відповідно
12 см і 9 см. Знайдіть довжину діагоналі BD.
б) У паралелограмі ABCD діагональ BD дорівнює 19 см. Через вершину В проведено площину
на відстані 5 см від діагоналі АС. Проекції сторін ВС і АВ на цю площину дорівнюють відповідно
12 см і 9 см. Знайдіть довжину діагоналі АС.
177. а) Основи трапеції дорівнюють 36 см і 24 см. Через більшу основу трапеції проведено площину
на відстані 12 см від точки перетину її діагоналей. Знайдіть відстань від меншої основи трапеції
до цієї площини.
б) Основи трапеції дорівнюють 18 см. і 12 см. Через більшу основу трапеції проведено площину
на відстані 10 см від меншої основи трапеції. Знайдіть відстань від точки перетину діагоналей
трапеції до цієї площини.
178. а) Із точки А до площини а під кутом 45* проведено похилу АВ. У площині а проведено пряму
ВС, яка утворює кут 45° з проекцією похилої АВ на площину а. Знайдіть відстань від точки А
до прямої ВС і кут між прямими АВ і ВС, якщо АВ дорівнює 12 см.
б) Із точки А під кутом 45" до площини а проведено похилу АВ. У площині а проведено пряму
ВС, яка утворює кут 45° з проекцією похилої АВ на площину а. Основа перпендикуляра,
опущеного із точки А на площину, віддалена від прямої ВС на 6 см. Знайдіть довжину похилої
АВ і кут між прямими АВ і ВС.
179. а) У круг радіуса 8 см вписано прямокутний трикутник, гострий кут якого дорівнює 30°. Із
центра круга О проведено перпендикуляр ОК довжиною 3 см до площини круга. Знайдіть
відстань від точкн К до катетів трикутника.
б) Прямокутний трикутник з гіпотенузою 32 см і гострим кутом 60° вписано в круг. Із центра
круга О проведено перпендикуляр ОМ довжиною 6 см до площини круга. Знайдіть відстань
від точки М до катетів трикутника.
180. а) Три площини паралельні. Одна пряма перетинає їх у точках Л,, А2, Л3; друга пряма — у
точках В,, Вт В3. Відомо, що АХА2 = 4 см, В2В3 = 9 см, А^А3 = ВХВ2. Знайдіть довжини
відрізків АХА3 і В,В3.
б) Три площини паралельні. Одна пряма перетинаєїху точкахВ,, В2, В3, друга —у точках С,, С2,
С3. Відомо, що ВуВ2 = 4 см. С2С3 =16 см, В^^ = CtC2- Знайдіть довжини відрізків B.kB~ і CjC3.
181. а) У трикутнику ABC АВ = 25 см, АС = 17 см, ВС = 26 см. До площини трикутника через
вершину А проведено похилу, що утворює зі сторонами АВ і АС однакові кути. Проекція цієї
похилої перетинає ВС в точці Е. Знайдіть довжину АЕ.
б) У трикутнику MNK МК = 34 см, MN = 50 см, NK = 52 см. Через вершину М до площини
трикутника проведено похилу, проекція якої перетинає KN в точці В. Похила утворює зі
сторонами MN і МК однакові кути. Знайдіть довжину MB.
182. а) Однакові рівнобедрені трикутники ABC і BCD мають спільну основу'ВС, а їх площини
утворюють кут 120°. Знайдіть бічні сторони трикутників ABC і BCD, якщо їх основи дорівнюють
З см. а відстань між точками А і D —- -JiEcm.
б) Однакові рівнобедрені трикутники MNK і MKL мають спільну основу МК, а їх площини
утворюють кут 60°. Знайдіть бічні сторони трикутників MNK і MKL, якщо їх основи дорівнюють
по 3 см, а відстань між точками NIL — -J^cm.
183. а) Із центра О квадрата ABCD, діагональ якого дорівнює 16-^2 см, проведено відрізок OF
перпендикулярно до площини квадрата. Площина, проведена через пряму DC і точку F, утворює
з площиною квадрата кут 60°. Знайдіть проекцію відрізка OF на площину DFC.
б) Із центра О квадрата ABCD проведено перпендикуляр ОМ до його площини. Площина, проведена
через точку М і пряму АВ, утворює з площиною квадрата кут 60°. Проекція відрізка ОМ на
площину АВМ дорівнює 6 см. Знайдіть діагональ квадрата.
22

184. а) У грані двогранного кута проведена пряма, яка утворює з другою його гранню кут 30°, а з
ребром двогранного кута кут 45*. Яка величина двогранного кута?
б) В одній із граней двогранного кута, що дорівнює 45°, проведена пряма, яка утворює з другою
гранню кут 30°. Знайдіть величину кута, який утворює пряма з ребром двогранного кута.
185. а) Якщо точка рівновіддалена від двох сторін трикутника і перпендикуляр, проведений через цю
точку до площини трикутника, перетинає третю сторону, то основа цього перпендикуляра
належить бісектрисі кута, протилежної третій стороні. Доведіть це.
б) Якщо точка рівновіддалена від двох вершин трикутника і перпендикуляр, проведений через
цю точку до площини трикутника, проходить через третю вершину, то даний трикутник
рівнобедрений. Доведіть це.
186. а)
§ 2. Геометричні побудови
1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 186 — 213)
б)
Дано зображання иарал&иеттгеда
ABCDAtBvCtDt. Побудуйте:
І) лінію перєтаву шквдда BtBD і ABC;
2} точку перетину прямої MN з плохци-
иош ABC.
Дано, зображення тетраедра. Побудуйте:
1) лінію перетину площин ADN і ВІК,;
2.')) точжу перетику прямої KL з пшояданейг
ABC,
1ST. а)
Зробіть рисунок іі ювудуйгсге течку иере^
тину прямої MN зі шжявдшда ABC, якщо
пряма MN не шршшяша до ребра: АВ.
б)
ять рисунок ї
тину прямої KF з;
se точку пере^
тАЖ.
1S8. а)
6}
era рисунок іі гозіущуйте течку пере-
иривкй EF з- гокидиеш© ABC
Зроїть рисунок і дабудуйге точжу
перетину прямої PQ з- площиною ABC.
23

189. a) D
6)
Побудуйте лінію перетину площин АВВ1 і
5,0,0 в кубі ABCDAlBlClDl.
Побудуйте лінію перетину площин AMD і
CDB трикутної піраміди DABC.
190. а) в
б)
Дано прямокутний паралелепіпед. Як
розміщена пряма АВ відносно грані DCClDl?
191. а)
В
Дано трикутну піраміду ABCD. Як
розміщені прямі AD і ВС?
б)
А~^77
Точки А, С, М, Р лежать у площині a, a
точка В а а. Причому точки Р і М лежать
у різних півплощинах відносно прямої АС.
Побудуйте точку перетину прямої MP з
площиною ABC.
Точки А, С, Е, F лежать у площині a, a
точка В а а. Побудуйте точку перетину
прямої EF з площиною ABC, якщо прямі
EF і АС не паралельні.
192. а)
б)
Промені МК і MP перетинають площину
а, яка паралельна площині р, у точках А і
В відповідно, причому промінь МК
перетинає площину Р у точці Л,.
Побудуйте точку В, перетину площини р і променя
MP.
Площини а і Р паралельні. Відрізок АВ
розміщений у площині а. Через його кінці
і точку К, що лежить між площинами,
проведено прямі. Пряма ВК перетинає
площину р у точці £,. Побудуйте точку
А, перетину прямої АК і площини р.
24

193. а) У просторі точка М не належить прямій а. Проведіть через точку М пряму, паралельну до
даної прямої.
б) У просторі точка N не належить прямій /. Через цю точку проведіть пряму, що перпендикулярна
до даної.
194. а) Через дану точку М, що не належить площині а, проведіть пряму, паралельну а.
б) Через дану точку М, що не належить прямій а, проведіть площину, паралельну а.
195. а) Побудуйте лінійний кут двогранного кута при одній із сторін основи правильної чотирикутної
піраміди.
б) Побудуйте лінійний кут двогранного кута при одному із бічних ребер правильної чотирикутної
піраміди.
196. а) Дано тетраедр ABCD і точки ЛІ і N, що належать відповідно ребрам DC \АВ. Побудуйте лінію
перетину площин АВМ і DCN.
б) Дано куб ABCDAiB{CiDl. Побудуйте лінію перетину площин АА1С1 і BBftv
197. а) Дано рівносторонній трикутник ABC і точку М, що не належить його площині. Через точку ЛІ
і точку А проведіть площину а, так, щоб лінія перетину площин ABC і а ділила відрізок ВС
навпіл.
б) Дано правильний трикутник ABC і точку М, що не належить його площині. Через точки М і
А проведіть площину а, так, щоб лінія перетину площин ABC і а ділила кут ВАС навпіл.
198. а) В основі трикутної піраміди лежить прямокутний трикутник. Грань, що містить гіпотенузу,
перпендикулярна до площини основи. Побудуйте кути нахилу граней, які містять катети, до
площини основи.
б) В основі піраміди правильний трикутник, одне із бічних ребер перпендикулярне до площини
основи. Побудуйте кут нахилу грані, що не містить перпендикулярне ребро, до площини
основи.
199. а) Побудуйте у рівнобедреній трапеції зображення висот, проведених із вершин тупих кутів.
б) Трикутник AlBlCl є паралельною проекцією рівностороннього трикутника ABC на площину
а. Побудуйте проекції на площину а прямих, перпендикулярних до сторін трикутника ABC, і
проведених через точку М, взяту на стороні трикутника ABC
200. а) Еліпс з центром О, є паралельною проекцією кола з центром О на площину. Побудуйте
зображення квадрата, вписаного в коло.
б) Еліпс з центром О, є паралельною проекцією кола з центром О на площину. Побудуйте
зображення квадрата, описаного навколо кола.
201. а) Еліпс, центр якого на рисунку не вказано, є проекцією кола. Як на малюнку проекції знайти
положення центра кола, що проектується?
б) На площині дано зображення кола і його центра О, пряма а, що не перетинає кола і точка М,
що не належить прямій а і колу. Побудуйте зображення перпендикуляра, опущеного із точки
М на пряму а.
202. а) Дано квадратABCD. Із вершиниЛ проведено перпендикулярААХ до його площини. Побудуйте
кут між АВ і /1,0, де О — точка перетину діагоналей квадрата.
б) Катет АС трикутника ABC (Z.C = 90° ) лежить у площині а, точка В не належить площині а.
Трикутник АВХС — ортогональна проекція даного трикутника на площину а. Побудуйте кут
між прямими АВ{ і ВС при умові, шо другий катет не перпендикулярний до площини а.
203. а) Сторони АВ і АС трикутника ABC паралельні площині а і точка М не належить площині а.
Побудуйте проекцію точки М на площину а, якщо:
1) вона належить одній із сторін трикутника ABC;
2) вона належить одній із медіан трикутника.
б) Дано точки А і В, що не лежать у площині а і знаходяться на різній відстані від неї. Побудуйте:
1) точку перетину прямої АВ і площини а;
2) ортогональну проекцію точки М (М є АВ ) на площину а.
204. а) Дано три промені, що мають спільний початок і не лежать в одній площині. Скільки різних
площин можна провести так, щоб у кожній площині лежало по два із даних променів?
б) Дано чотири промені, які мають спільний початок, причому жодні три із них не лежать в одній
площині. Скільки різних площин можна провести так, щоб у кожній площині лежало по два із
даних променів?
25

205. а) Точка В відрізка АВ лежить у площині а. Через точку А проведено пряму, що перетинає
площину а в точці Л,. Через середину відрізка АВ (точку С ) проведено пряму с, паралельно
до AAt. Побудуйте точку перетину прямої с і площини а.
б) Точка В відрізка АВ лежить у площині а. Через точку А проведено пряму, що перетинає
площину а у точці Л,. Через точку С, що ділить відрізок АВ у відношенні 1 : 3 від вершини
А, проведено пряму с паралельно AAV Побудуйте точку перетину прямої с і площини а.
206. а)
А,
А
і
і
D)
V
Вкажіть спільний перпендикуляр між двома мимобіжними прямими,
q що містять ребра куба ААХ і BtC:
а)Л,С,;б) АВ,- в) ЛС,; г) Л,ВГ
б) Вкажіть найкоротшу відстань між діагоналями AD, і В,С протилежних граней куба:
a) DtBr б) АС; в) Л,В,; г) Л,С.
207. а) Дано паралелепіпед ABCDAlB^ClDv Точка М належить ребру АА{, точка N належить ребру
DDy Побудуйте точку перетину прямої MN з площиною ABC, якщо AM : МАХ = 5:1,
DN: ND{ = 2:3.
б) Дано тетраедр ABCD. Точка М належить ребру AD, а точка N ребру BD. Побудуйте точку
перетину прямої MN з площиною ABC, якщо AM : MD = 4:3, BN : ND =3:1.
208. а) Дано квадрат ABCD, точка К лежить на стороні CD. Точка Z не належить площині квадрата.
Пряма KZ перпендикулярна до площини ABC. Проведіть перпендикуляри із точки Z до всіх
сторін квадрата і до його діагоналей.
б) Дано ромб з гострим кутом Л, що дорівнює 60°. Точка Р не належить площині ромба ABCD.
Пряма PD перпендикулярна до площини ABC. Проведіть перпендикуляри із точки Р до сторін
ромба.
209. а) Побудуйте переріз правильної чотирикутної піраміди SABCD площиною, що проходить через
SB і розбиває піраміду на дві фігури з рівними об'ємами.
б) Побудуйте переріз правильної чотирикутної піраміди SABCD площиною, що проходить через
АВ і точку М ребра SC, МС : MS = 2 : 1.
210. а) Побудуйте переріз тетраедра ABCD площиною, що проходить через ребро DC і точку перетину
медіан грані ABC.
б) Побудуйте переріз куба ABCDAtBlCiDl площиною, що проходить через ребро АВ і точку
перетину діагоналей грані AlBlClDl.
211. а) Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через кінці трьох ребер, які виходять
із одної вершини.
б) Дано піраміду SABCD і точку- М на ребрі SA. Побудуйте переріз піраміди площиною, що
проходить через точку М і паралельна площині ABC, якщо AM : MS =1:2.
212. а) Побудуйте осьовий переріз циліндра, що проходить, через дану точку кола основи.
б) Побудуйте осьовий переріз конуса, що проходить через дану твірну.
213. а) Побудуйте переріз правильної трикутної піраміди МАВС (точка М — вершина піраміди)
площиною, що проходить через середини ребер ВС і CM і центр основи ABC
б) На зображенні куба вказати одне із можливих розміщень трьох точок так, щоб при проведенні
через них площини в перерізі утворився правильний трикутник.
2. Завдання підвищеного рівня (№№ 214 — 251)
214. а) У прямокутному паралелепіпеді ABCDAlB{ClDl основа — квадрат. Точки Р і М — середини
сторін АВ і AD відповідно. Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через
ці точки, перпендикулярно до площини ABC.
б) У прямокутному паралелепіпеді ABCDAlBlC{Dl з основою ABCD точки К і N — середини
ребер D{Ct і DXD відповідно. Побудуйте переріз паралелепіпеда площиною, що проходить
через ці точки, перпендикулярно до площини £)£),С,.
26

215. а) Побудуйте переріз правильної зрізаної чотирикутної піраміди площиною, що проходить через
ребро основи і середину її висоти. Визначте вид перерізу.
б) Побудуйте переріз правильної зрізаної чотирикутної піраміди ABCDAlBlClDl площиною, що
проходить через ребро ВС і середину ребра DDV Визначте вид перерізу.
216. а) Побудуйте переріз куба площиною, заданою прямою а і точкою М, яка належить одному з
бічних ребер, при умові, що пряма о лежить у площині нижньої основи, але її не перетинає,
крім цього, ця пряма не паралельна жодному з ребер основи, якщо точка М ділить ребро у
співвідношенні 1 : 3, рахуючи від основи.
б) Побудуйте переріз куба площиною, заданою точкою, що належить верхній основі куба і
прямій, що лежить у площині нижньої основи куба і не перетинає його.
217. а) Побудуйте переріз призми ABCbAyBxCxD{ площиною, що проходить через точки М, N \Р, де М
належить гран/ ААХСХС, & N — грані ААХВХВ. Р — ребру СВ. MN не паралельна площині ABC.
б) Побудуйте переріз піраміди DABC площиною, що проходить через точки М, N, Р. де М і N
належать граням DA С і ADB відповідно, точка Р належить ребру СВ. причому MN не паралельна
площині ABC.
218. а) У тетраедрі DABC точка М належить ребру BD. Побудуйте переріз тетраедра площиною, що
проходить через точку М і паралельна ребрам AD і ВС. Визначте- вид перерізу.
б) У тетраедрі DABC точка £ належить ребру АС. Побудуйте переріз тетраедра площиною, яка
проходить через точку Е і паралельна ребрам AD і ВС. Визначте вид'перерізу.
219. а) На зображенні прямокутного паралелепіпеда ABCDAXВ,C,D( вкажіть спільний перпендикуляр
прямих AXDX і ВВу
б) На зображенні прямокутного паралелепіпеда ABCDAXB{CXDX вкажіть спільний перпендикуляр
прямих DC і В,С,.
220. а) Побудувати спільний перпендикуляр бічного ребра куба і діагоналі основи, які мимобіжні між
собою.
б) Побудувати спільний перпендикуляр мимобіжних діагоналей, які мимобіжні між собою, двох
граней куба, що не перетинаються.
221. а) Дано паралелепіпед ABCDAXBXCXDX, М \ N — середини ребер DC і АХВХ. Побудуйте точки
перетину прямих AM і AN з площиною грані ВВХСХС.
б) Дано паралелепіпед ABCDAXBXCXDX\ М. N. Р — точки, що належать його ребрам: М є DDX,
N еВВх, Рє ССХ. Побудуйте точки перетину прямих MP і MN з площиною ABCD. (Площина
MPN не паралельна площині ABCD).
222. а) Дано паралелепіпед/АВСС^В,^/)!; М і N — точки, що лежать на середині ребер DC і АХВХ.
Побудуйте лінію перетину площин AMN і ВВХСХС.
б) Дано паралелепіпед ABCDAxBxCfDx: М, N і Р — точки, що належать його ребрам: М є DDX;
N є ВВХ: Р є ССХ. Побудуйте лінію перетину площин MNP і ABCD. причому площини MNP
і ABC не паралельні.
223. а) Побудуйте на зображенні ромба зображення його висоти, якщо кут ромба дорівнює 45°.
б) Побудуйте на зображенні ромба зображення його висоти, якщо кут ромба дорівнює 60°.
224. а) Дано точки /1,, В, (знаходяться на різних відстанях від площини а) та їх проекції Л9 і В9 на
площину а. Побудуйте точку перетину прямої АХВХ з площиною а.
б) Дано точки А{. В,, С{, що не лежать на одній прямій, і їх проекції А,, В2, С, на площину а.
Побудуйте лінію перетину площини AlBlCl з площиною а.
225. а) Побудуйте довільний паралелограм AlBiCiDl і, взявши його за паралельну проекцію квадрата
ABCD, побудуйте проекцію прямої, що проходить через точку М, розташовану на стороні АВ
так, що ЗАМ = MB, і утворює кут 45° зі стороною АВ.
б) Позначте три довільні точки А{, В,, Сх, що не лежать на одній прямій і, визначивши ці точки
як паралельні проекції вершин/1. В, С правильного шестикутникаABCDEF, побудуйте проекцію
цього шестикутника.
226. а) Дано паралельні прямі а і b і точку А, що не належить цим прямим. Через точку А проведіть
площину, паралельну кожній з даних прямих.
б) Дано мимобіжні прямі а та b і точку А, що не належить жодній з них. Через точку А провести
площину, паралельну прямим а і Ь.
27

227. а) В основі паралелепіпеда лежить квадрат. Бічне ребро ААХ утворює рівні кути зі сторонами А В
і AD основи. Побудуйте лінійні кути двогранних кутів при сторонах основи АВ і AD.
б) В основі паралелепіпеда лежить ромб ABCD з гострим кутом при вершині А. Бічне ребро ААХ
утворює рівні кути зі сторонами АВ і AD основи. Побудуйте ортогональну проекцію ребра
ААХ на площину основи.
228. а) Точки М і N належать бічним граням трикутної піраміди SABC. Побудуйте точку перетину
прямої MN з площиною ABC при умові, що MN не паралельна площині ABC.
б) Точки М і N належать граням SAB та SAC трикутної піраміди SABC. Побудуйте точку
перетину прямої MN з площиною SBC.
229. а) На зображенні прямої чотирикутної призми ABCDAXBXCXDX позначено точку К, що належить
грані ААХВХВ. Точка Z належить грані 6В,С,С. Побудуйте точку перетину прямої KZ з
площиною нижньої основи.
б) На зображенні прямої чотирикутної призми ABCDAXBXCXDX позначено точку К, що належить
грані ААХВХВ і Z і грані ВВХСХС. Побудуйте точку перетину прямої KZ з площиною грані
DDXCXC.
230. а) Дано прямий паралелепіпед. Побудуйте кут нахилу його більшої діагоналі до площин бічних
граней.
б) Побудуйте кути нахилу діагоналі прямокутного паралелепіпеда до його граней.
231. а) Точки А і В належать внутрішнім областям бічних суміжних граней чотирикутної призми.
Побудуйте точку перетину прямої АВ з площиною нижньої основи.
б) Точки М і N належать внутрішнім областям суміжних бічних граней трикутної призми.
Побудуйте точку перетину прямої MN з площиною нижньої основи.
232. а) Точки А і В знаходяться на двох несуміжних ребрах чотирикутної призми. Побудуйте точку
перетину прямої АВ з площиною, що проходить через два інших бічних ребра.
б) Точки М і N знаходяться на двох несуміжних ребрах чотирикутної піраміди. Побудуйте точку
перетину прямої MN з площиною, проведеною через два інших ребра.
233. а) Дано твірні циліндра АА{, ВВХ, ССХ, DDV Побудуйте точку перетину прямої DDX і площини,
що проходить через дані точки М, N, Р. які належать відповідно твірним ААХ, ВВХ, ССХ.
б) Дано твірні конуса ОА, ОВ, ОС, 0D. Побудуйте точку перетину прямої 0D і площини, що
проходить через дані точки М, Т, К, які належать відповідно твірним ОА, ОВ. ОС, причому
площина МТК не паралельна а.
234. а) Пряма а перетинає бічну поверхню циліндра. Точки Q і R належать прямій a, a Q, і Rx — їх
ортогональні проекції на площину основи циліндра. Побудуйте точку перетину прямої а з
бічною поверхнею циліндра.
б) Пряма а перетинає бічну поверхню конуса. Точки Q і R належать прямій a, a Q, і R% — їх
центральні проекції з центром S на площину основи конуса. Побудуйте точки перетину прямої
а з бічною поверхнею конуса.
235. а) Дано зображення ромба, в якого одна з діагоналей дорівнює стороні. Побудуйте зображення
висот ромба, що проходять через його центр.
б) У правильній трикутній піраміді SABC плоский кут при вершині — гострий. Побудуйте кут
між стороною АС основи і площиною бічної грані SBC.
236. а) У паралелепіпеді ABCDAXBXCXDX точка М — середина ребра В,С,. Побудуйте переріз цього
паралелепіпеда площиною, що проходить через точку М і ребро DC.
б) У паралелепіпеді ABCDAtBxCxDx точка М — середина ребра В,С, . Побудуйте переріз цього
паралелепіпеда площиною, що проходить через точку М і ребро ААХ.
237. а.) Через середину М ребра АВ куба ABCDAXBXCXDX провести переріз цього куба площиною,
перпендикулярною до прямої АС. Визначте вид многокутника, який утворився в перерізі.
б) Довжини ребер тетраедра ABCS рівні. Побудуйте переріз цього тетраедра площиною, що
проходить через середину ребра АВ і перпендикулярна до цього ребра. Визначте вид
многокутника, який утворився в перерізі.
238. а) Побудуйте переріз правильної трикутної піраміди площиною, що проходить через центр основи
піраміди паралельно бічній грані піраміди.
б) Побудуйте переріз правильної чотирикутної піраміди SABCD площиною, що проходить через
медіану АК бічної грані ASB і перпендикулярна до площини основи.
28

239. а) Побудуйте переріз правильної шестикутної піраміди площиною, що проходить через середину
бічного ребра паралельно стороні основи і перпендикулярно до площини основи піраміди.
б) Побудуйте переріз правильної шестикутної призми площиною, що проходить через більшу
діагональ основи під кутом а до площини основи.
240. а) Побудуйте переріз тетраедра ABCD площиною, що проходить через точку перетину медіан
грані BCD паралельно грані ACD.
б) О — точка перерізу медіан грані BCD тетраедра ABCD. Побудуйте переріз тетраедра площиною,
що проходить через середину ребра АС і паралельна площині ADO.
241. а) Побудуйте переріз тетраедра площиною, що проходить через середини ребер AD і CD і
внутрішню точку Р ребра ВС.
б) Побудуйте переріз тетраедра DABC площиною, що проходить через точки М і N ребер CD і
СВ відповідно, паралельно АС.
242. а) Дано пряму чотирикутну призму, основа якої — паралелограм з гострим кутом А, що дорівнює
60°. У даній призмі точки Е, F, Н відповідно середини ребер AD, DC, DDV Побудуйте переріз
призми площиною, що проходить через дані точки. Чи є в умові задачі зайві дані?
б) У кубі ABCDAlB^CiDi точки О, Т, К— відповідно середини ребер В,С,, ВС, АВ. Побудуйте
переріз куба площиною, що проходить через дані точки, якщо довжина діагоналей основи
куба 4 V2 см. Чи є зайві дані в задачі?
243. а) Побудуйте і визначте вид перерізу правильної трикутної зрізаної піраміди площиною, що
проходить через апофему бічної грані, що сполучає середини верхньої і нижньої основ, і
середину сторони верхньої основи, які мимобіжні між собою.
б) Побудуйте і визначте вид перерізу правильної трикутної зрізаної піраміди площиною, яка
проходить через сторону нижньої основи і середину сторони верхньої основи, які мимобіжні
між собою.
244. а) Ребро куба дорівнює а. Визначте площу перерізу, що проходить через діагоналі двох суміжних
його граней.
б) Ребро куба дорівнює а. Визначте площу перерізу, що проходить через діагоналі паралельних
граней.
245. а) У тетраедрі DABC проведіть переріз через медіану CM грані CAB паралельно ребру AD.
Знайдіть площу перерізу, якщо кожне ребро, тетраедра дорівнює а.
б) Побудуйте переріз правильного тетраедра DABC площиною, що проходить через точку М
ребра АВ- паралельно грані DAC. Знайдіть площу перерізу, якщо AM : MB = 1 : 3 і АВ = а.
246. а) На зображенні прямокутного паралелепіпеда ABCDAlB[ClDl побудувати його переріз
площиною, що проходить через середини ребер АВ, ААХ і CD. Визначте вид перерізу.
б) Побудуйте переріз куба площиною, що проходить через середини ребер АВ, ВСІ DDV Визначте
вид перерізу.
247. а) Побудувати переріз куба ABCDAiBiClDi площиною, що проходить через вершини А і С і
середину ребра AtBt точку М. Визначити вид перерізу.
б) Побудувати переріз правильного тетраедра DABC площиною, що проходить через середини
ребер AD і АВ — точки М і N. паралельно ребру ВС. Визначити вид перерізу.
248. а) Основаю піраміди SABCD є ромб з кутом А, що дорівнює 120°. Висотою піраміди є ребро SA.
Побудуйте зображення лінійних кутів двогранних кутів при сторонах основи.
б) Висотою піраміди PABCD є ребро PC, а основою — рівнобічна трапеція ABCD. Побудуйте
зображення лінійного кута при ребрі AD, якщо AD \ \ ВС.
249. а) У піраміді одна з граней перпендикулярна до площини основи. Побудуйте зображення лінійних
кутів при сторонах основи, якщо основою піраміди є квадрат.
б) У піраміді одна з граней перпендикулярна до площини основи. Побудуйте зображення лінійних
кутів при сторонах основи, якщо в основі піраміди лежить правильний трикутник.
250. а) У правильній чотирикутній піраміді побудуйте переріз площиною, що проходить через середини
суміжних бічних ребер, перпендикулярно до площини основи.
б) У правильній трикутній піраміді побудуйте переріз площиною, що проходить через середини
бічних ребер, перпендикулярно до площини основи.
29

251. Побудуйте переріз призми площиною, що проходить через точки, вказані иа рисунку.
а)
6)
3. Завдання поглибленого рівня (№№ 252 — 265)
252. а) Побудуйте і визначте вид перерізу прямої чотирикутної призми ABCDAlBlC1Dl площиною,
що проходить через точки Bv С і іЧ,, якщо AD і ВС не паралельні.
б) Побудуйте і визначте вид перерізу прямої чотирикутної призми ABCDAlB1ClDl площиною,
що проходить через точки С,, В, і точку К, що лежить на ребрі DC.
253. а) Побудуйте переріз піраміди SABCD площиною, що проходить через точку М, яка лежить на
бічному ребрі AS і паралельна площині грані SBC.
б) Побудуйте переріз піраміди SABCDE площиною, що проходить через діагональ основи AD і
паралельна бічному ребру SE.
254. а) Побудуйте переріз куба ABCDAjBlClDl площиною, що проходить через діагональ основи АС
і паралельна діагоналі В,/) куба. Обчисліть площу перерізу, якщо ребро куба дорівнює а.
б) Побудуйте переріз куба ABCDAlBlClDl площиною, що проходить через діагональ куба BXD
і паралельна діагоналі основи АС. Обчисліть площу перерізу, якщо ребро куба дорівнює а.
255. а) Довжини ребер тетраедра ABCD однакові. Побудуйте переріз цього тетраедра площиною, що
проходить через середину ребра АВ і перпендикулярна цьому ребру. Визначте вид утвореного
перерізу.
б) Довжини ребер тетраедра KCDM однакові. Побудуйте переріз цього тетраедра площиною, що
проходить через середину ребра DM і перпендикулярна до ребра CM. Визначте вид одержаного
перерізу:
256. а) У правильній чотирикутній піраміді SABCD (S — її вершина) проведіть переріз через середину
ребра SC і пряму РК, розміщену в площині основи ABCD і паралельну її діагоналі BD.
б) У правильній чотирикутній піраміді SABCD (S — її вершина) проведіть переріз через середини
ребер SA, СВ і CD.
257. а) Побудуйте переріз чотирикутної призми ABCDAlBlClDl площиною, що проходить через точки
ЛІ, N і Р. які належать ребрам BBV CCl і AD, причому ВМ : CN =1:3.
б) Побудуйте переріз чотирикутної призми ABCDAlBlClDt площиною, що проходить через ребро
В1С1 і вершину А.
258. а) Побудуйте переріз чотирикутної призми ABCDAlBlClDl площиною, що проходить через
точки ЛІ, N іР, які належать відповідно ребрам AAV DDV CC{, причому MA : ND: РС= 1 : 3 : 1.
б) Побудуйте переріз чотирикутної піраміди площиною, що проходить через три точки, які належать
трьом її бічним ребрам.
259. а) Побудуйте переріз даної п'ятикутної призми. ABCDEAlBlClDlEl площиною, що проходить
через точки М, N, Р (М належить ребру EEV N — ребру CCr P належить грані АА1ВХВ).
б) Побудуйте переріз п'ятикутної піраміди SABCDE площиною, що проходить через сторону
основи піраміди АВ і точку N на ребрі SD.
260. а) Побудуйте переріз правильної трикутної піраміди площиною, що проходить через центр основи
паралельно бічній грані піраміди.
б) Побудуйте переріз правильної чотирикутної піраміди SABCD площиною, що проходить через
медіану АК бічної грані ASB і перпендикулярна до площини основи.
ЗО

261. а) Побудуйте переріз правильної чотирикутної піраміди SABCD площиною, що проходить через
середини М і N ребер АВ і ВС основи ABCD і середину Р ребра SD.
б) Побудуйте переріз правильної чотирикутної піраміди SABCD площиною, що проходить через
середини М і N ребер АВ і ВС основи ABCD і паралельна ребру SB.
262. а) На ребрах-АВ і ВС куба ABCDA1BiClDl дано точки М і N, які ділять ці ребра навпіл.
Побудуйте переріз куба площиною, що проходить через точки М і N паралельно діагоналі AtD
грані куба.
б) На ребрах AD і DC куба ABCDAlBlClDl дано точки К і Р, які ділять ці ребра навпіл.
Побудуйте переріз куба площиною, що проходить через точки К і Р паралельно діагоналі BCt
грані ВВуСхС.
263. а) Побудуйте переріз прямої чотирикутної призми ABCDAJBlClDl площиною, що проходить
через точку А і точки М і N, які лежать відповідно на ребрах ВВІ і DDt, якщо АВ і CD не
паралельні і ВМ : DN =1:3.
б) Побудуйте переріз прямої чотирикутної призми ABCDAxBlClDl площиною, що проходить
через точки М, N і К, які лежать відповідно на ребрах AAV DDt і CCt.
264. а) Побудуйте спільний перпендикуляр діагоналі BtD куба ABCDAlBfClDl і ребра AAV яке не
перетинає цю діагональ.
б) У кубі ABCDAtBlCiDl побудуйте спільний перпендикуляр між діагоналлю бічної грані AtB і
відрізком MN, де М — середина AtDt, N — середина AD.
265. а) Дві прямі АС і АВ, то перетинаються, перетинають бічну поверхню циліндра у точках В і С.
Точка А, — ортогональна проекція точки А на площину основи циліндра. Побудуйте лінію
перетину площини основи циліндра з площиною перерізу ABC.
б) Дві прямі АВ і АС, що перетинаються, перетинають бічну поверхню конуса в точках В і С.
Точка At — центральна проекція з центром S точки А на площину основи конуса. Побудувати
лінію перетину площини основи конуса з площиною перерізу ABC.
ЗІ

Розділ II. КООРДИНАТИ І ВЕКТОРИ В ПРОСТОРІ
1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 266 — 287)
266. а) Знайдіть відстань від точки Жі; 2; 3) до початку координат.
A) -Jl2; Б) -Jl3; В) -Jl4; Г) інша відповідь.
б) Знайдіть відстань між точками А(—\; 1; -1) і В(-1; 0; -2).
А) л/2; Б) 2; В) 2л/2; Г) інша відповідь.
267. а) На осі Ох знайдіть точку, рівновіддалену від точок А(\; 2; 2) і В(-2; 1; 4).
А) (-1; 0; 0); Б) (-2; 0; 0); В) (2; 0; 0); Г) інша відповідь.
б) На осі Оу знайдіть точку, рівновіддалену від точок А(-2; 1; 4) і В{\\ 2; 2).
А) (0; 6; 0); Б) (0; -6; 0); В) (0; 4; 0); Г) інша відповідь.
268. а) У трикутнику ABC А( 2; 1; 3), В(2; 1; 5), С(0; 1; 1). Знайдіть довжину медіани AM.
А) 1; Б) 2; В) 2,5; Г) 0,5; Д) інша відповідь.
б) У трикутнику ABC А(2; 1; 3), В( 2; 1; 5), С(0; 1; 1). Знайдіть довжину медіани CM.
А) 4\2; Б) 2л/2; В) Vl3~; Г) VU): Д) інша відповідь.
269. а) На осі абсцис знайдіть точку М, відстань від якої до точки Л(3; -3; 0) дорівнює 5.
А) (-1; 0; 0); Б) (-1; 7; 0); В) (7; 0; 0); Г) (7; 0; 0) і (-1; 0; 0); Д) інша відповідь.
б) На осі ординат знайдіть точку М, відстань від якої до точки А(Л; 3; 0) дорівнює 5.
А) (0; 0: 0); Б) (0; -6: 0): В) (0: 6: 0) та (0: 0; 0); Г) (6; 0: 0); Д) інша відповідь.
270. а) Вектор, довжина якого дорівнює 3, має однакові координати. Знайдіть координати вектора.
A) (1; 1; 1) або (-1; -1; -І); Б) (л/З; л/З; л/з) або (-л/З; -л/З; -л/З);
B) (3-УЗ; Зл/3; 3>/з) або (~3>/3; -3>/3; -Зл/з); Г) інша відповідь.
б) Вектор, довжина якого дорівнює 3V3, має рівні координати. Знайдіть координати вектора.
А) (-3; -3; -3) або (3; 3; 3); Б) (-Зл/З; -Зл/З; -3>/з) або (3>/3; 3>/3; 3>/з); В) інша
відповідь.
271. а) Знайдіть довжину вектора АВ, якщо А(-\; 1; -1) і В(—1; 1; -1).
A) -J2; Б) 2; В) 2-^2; Г) інша відповідь.
б) Знайдіть довжину вектора ОА, де О — початок координат і Л(і; 2; 2).
А) 2; Б) 3; В) 4; Г) інша відповідь.
272. а) Яка з точок М є серединою відрізка АВ, якщо Д(1; —І; -1); В(1; — 1; 1)?
А) М(2; -2; 0); Б) М(1; -1; 0); В) М(-\; 1; 1); Г) інша відповідь.
б) Знайдіть координати вектора ВА, якщо А (0; 1; -1) і В(1; -1; 0).
А) (1; 0; -1); Б) (-1; 2; -1); В) (1; -2; 1); Г) інша відповідь.
273. а) Від точка А відкладено вектор АВ = а. Знайдіть координати точки В. якшо А(-\\ 5; 0),
а (І; -3:0).
А) (2: 2: 0); Б) (0; 8; 0); В) (0; 2; 0Х
б) Від точки А відкладено вектор АВ = а. Знайдіть координати точки В, якщо А(-2; 7; 0),
а (-2; -5; 0).
А) (-4; -12; 0); Б) (0; 2; 0); В) (0; -2; 0).
274. а) Дано вектори а (4; -2; -4) та Ь(6; -3; 2). Обчисліть fa - ЬІ .
А) 41; Б) 33; В) інша відповідь.
б) Дано вектори a (4; -2; -4) та Ь(6; -3; 2). Обчисліть 2a -b\.
A) V41;B) V89;B) -Лоб.
32

275. а) Дано вектори а (-2; 2; -3) та 6(3; 1; 2). Знайдіть S = 2a + 36.
А) 1(5; 5; 0); Б) S(5; 7; 0); В) 1(4; 5; -1); Г) інша відповідь.
б) Дано вектори а (4; -4; 2) та 6(3; 2; 2). Знайдіть S = 0,5а + 26.
А) 1(8; 2; -5); Б) 1(8; -2; 5); В) S(8; 2; 5); Г) інша відповідь.
276. а) Знайдіть довжину вектора S = -2а, якщо а (1; 2; 2).
А) 4; Б) 6; В) 8; Г) інша відповідь.
б) Знайдіть довжину вектора S = -36, якщо 6(2; 2; -1).
А) 6; Б) 9; В) 12; Г) інша відповідь.
277. а) Дано точки Л(1; 0; 2),В(3;п; 5), С(2; 2;0),/)(5; 4; /и). При яких значеннях т in вектори АВ
і CD — колінеарні?
4 9 12
А) п■ = —; т = —; Б) п = —; т = —; В) п = 0,2; т = 0,5; Г) інша відповідь.
3 2 3 3
б) Дано вектор а (І; 2; 3). Знайдіть на площині ху колінеарний до нього вектор з початком у
точці іЧ(—1; — 1; -1) і кінцем у точці В.
ОІ; Б) АвІ-; -; її; В) ~КвІ-; -■ о]; Г)
А) АЩ ; -; 0 |; Б) АВ\ -; -; 1 |; В) АВ\ -; -; 0 |; Г) інша відповідь.
І 2 2
278. а) Чи колінеарні вектори а(2; 3; 8) та 6(-4; 6; -16)?
А) так; Б) ні; В) визначити неможливо.
б) Чи колінеарні вектори /и(8; 3; -2) і п(16; 6; -4)?
А) так; Б) ні; В) визначити неможливо.
279. Знайдіть значення т і п, при яких дані вектори колінеарні:
а) а(15;/и; 1) і 6(18; 12; п).
5
А) т= 10 і п = -; Б) т = 10 і п = 1,2; В) т = 14,5 і /г = 1,2.
6
б) сіт; 0,4; -1) і d
--;п;5І.
І 2 J
А) т = 0,1 і /г = -2; Б) m = 0,1 і п = -0,08; В) т = 2,5 і п = -2.
280. Чи лежать точки А, В і С на одній прямій:
а) Л(3; -7 ;8), В(-5; 4; 1), С(27; -40; 29)?
А) так; Б) ні; В) визначити неможливо.
б) Л(-5; 7; 12), В(4; -8; 3), С(13; -23; -6)?
А) так; Б) ні; В) визначити неможливо.
281. а) Чи перпендикулярні вектори а(2; 3; 6) і 6(3; 2; -1)?
А) так; BJ ні;*,В) визначити неможливо.
б) Чи перпендикулярні вектори т(І; 1; -2) і /г(2; 2; 2)?
А) так; Б) ні; В) визначити неможливо.
282. а) При якому значенні z вектори а (6; 0; 12) і 6 (-8; 13; z) перпендикулярні?
А) -4; Б) 4; В) 5.
б) При якому значенні х вектори а (6; 0; 12) і 60с; 13; 4) перпендикулярні?
А) 8; Б) 106; В) -8.
283. а) У трикутнику ABC Л(2; 1; 3), В(1; 1; 4;), С(0; 1; 3). Чи перпендикулярні вектори А~В і CM,
де М — середина відрізка АВ?
А) так; Б) ні; В) визначити неможливо.
33

б) yj-рикутнику ABC A(A; 2; 10), В(10; -2; 8), С(-2; 0; 6). Чи перпендикулярні вектори AM
ВС, де М — середина відрізка ВС?
А) так; Б) ні; В) визначити неможливо.
284. а) Дано вектори а(2; —1; 4) і Ь(5; 3; х). При якому значенні х а-Ь = 19?
7
А)3;Б)0;В) -.
4
б) Дано вектори а(0; у; 5) і 6(-3; -2; 1). При якому значенні у а-Ь — -З?
А) 5; Б) 4; В) 0.
286. а) Дано вектори а (3; — 1; 2) і Ь(—1; -5; 7). Знайдіть а -6.
А) 6; Б) 16; В) 22.
б) Дано вектор а(5; 6; 3). Знайдіть а-а.
А) -2: Б) 70: В) інша відповідь.
286. а) Дано вектори а(3; -1; 5) і Ь(-2; -3; 0). З'ясуйте, який кут між векторами а і Ь.
А) гострий; Б) тупий; В) прямий; Г) визначити неможливо.
б) Дано вектори а (4; —3; 7) і с(—1; —3; 2). З'ясуйте, який кут між векторами а і с.
А) гострий; Б) тупий; В) прямий; Г) визначити неможливо.
287. Дано точки Л(8; -2; 5), В(2; 3; 7), С(-3; 9; 4), D(3; 4; 2). Чи рівні вектори.
а) АВ і CD?
А) визначити неможливо; Б) так; В) ні; Г) інша відповідь.
б) ~АВ і ~Ь~С ?
А) так; Б) ні; В) визначити неможливо; Г) інша відповідь.
2. Завдання підвищеного рівня (№№ 288 — 327)
288. а) Дано паралелепіпед ABCDAlBlClDl. Вкажіть вектор, що дорівнює сумі
B~A + A~C + AlDl + C~B + ~DA + D~C.
б) Дано паралелепіпед ABCDAlBlClDv Вкажіть вектор, що дорівнює сумі
СВ+Ш + ШІ+А^ВІ + Щі +~ЩІЗ.
289. а) Точки М і N — середини паралельних сторін АВ і CD трапеції ABCD. Точка О не иалежить
площині ABC. Виразіть вектор ОМ —ON через вектори AD і ВС.
б) Точка М — середина сторони АВ паралелограма ABCD. Виразіть вектор SC-SD через
вектор ВМ, де S — довільна точка простору.
290. а) Дано тетраедр ABCD, СК = KB, AD = а, АВ = їі, АС = с, К— внутрішня точка ребра СВ.
Виразіть вектор DK через вектори а, Ь і с.
б) Дано паралелепіпед ABCDAlBlClDl, BlAl=a, BlCl=b, ВхВ = с. Виразіть вектор ЩМ
через вектори а, b і с, якщо М — точка перетину відрізків АС і BD.
291 а) Обчисліть кут між векторами а = /л - 2/г - р та 6 = m - 2/г + р, де m, n, p — одиничні взаємно
перпендикулярні вектори.
б) Обчисліть кут між векторами с та р = 12а + 46 - Зс, де а, b, c — одиничні взаємно
перпендикулярні вектори.
л _ _ _
292. а) Дано: alb, а±с, (£, с] = 60°, Н = М = с = 1. Обчисліть скалярний добуток Г а + ї1 • І а + Зеї.
Л Л Л
б.)Дано: fa,bJ = fa,cJ = fb,cj = 60o. Обчисліть скалярний добуток la + 261-lc-a), якщо
34

293, а) Обчисліть довжину вектора 2а + 36, якщо в (1; 1; -1), 6(2; 0; 0).
б) Обчисліть довжину вектора 2а + 36, якщо а(3; 1; 0), 6(0; 1; -1).
294 а) Дано куб ABCDAlB{ClDl. Обчисліть кут між векторами 6С, і ВК, де К— середина ребра
DDX.
б) Дано Ky6ABCDAlBlClDl. Обчисліть кут між векторами BDt і ЛІД,, де ЛІ — середина ребраЛ/).
295 а) М і N — середини ребер BtB і AlDl куба ABCDAlBlClDl, ребро якого дорівнює 2а. Знайдіть
довжину MN.
б) Відрізки АВ, АС і AD взаємно перпендикулярні. М — середина CD. Знайдіть довжину ВМ,
якщо АВ = Ь, АС = с, AD = а.
296. а) Дано: У = 13; І6І = 19; \а + бі = 24. Обчисліть \а - 6І.
б) Дано: У = 11; |б| = 23; |а - 6І = 30. Обчисліть |а + 6І.
297. aj Вектори а і 6 перпендикулярні, причому a = 5, 61= 12. Обчисліть \а + Ь.
б) Вектори а і b перпендикулярні, причому \а\ = 9, \b\ = 12. Обчисліть a - 61.
298. а) При яких значеннях /и і я вектори а (—1; 4; —2) і 6(-3; /и; п ) колінеарні?
б) Вектори а{п ; -2; 1) і 6( л; 1; —я) перпендикулярні. Знайдіть я.
299. а) Чи перпендикулярний вектор АВ, деЛ(-1; 5; -2),В(0"; 3; 4) і площина 2х - Лу + 12z - 1 =0?
Чому?
б) Чи паралельний вектор АВ, де Л(2; 0; -3) і В(4; -3; 2), площині х + 4# + 2z - 1 = 0? Чому?
300. а) Перевірте колінеарність векторів а(3; —1; 2) і 6(-9; 3; -6). Встановіть:
а) який із них довший і в скільки разів,
б) як вони напрямлені — однаково чи протилежно?
б) Дано точки Л(5; -4; 2), В(5; -7; 8), С(2; 2; -7), £>(-!; 5; -10). Покажіть, що вектори DB і G4
колінеарні; встановіть, як вони напрямлені — однаково чи протилежно.
301. а) Знайдіть координати кінців відрізка, який точками С(2; 0; 2) і /)(5; -2; 0) поділено на три рівні
частини.
б) Знайдіть координати кінців відрізка, який точками С(3; 4; 3) і /)(2; 5; 4) поділено на три рівні
частини.
302. а) Точки Л(3; 1; 8), В(4; 7; 1), С(3; 5; -8) — вершини паралелограмаЛВСО. Знайдіть координати
вершини D.
б) Точки Л(4; 2; -1), С(-4; 2; 1), £>(7; -3; 4) — вершини паралелограма ABCD. Знайдіть
координати вершини В.
303. а) Кінці відрізка Ж5; -2; 1) і В(5; 3; 6). Знайдіть точку, симетричну середині відрізка відносно
площини xz.
б) Кінці відрізка /1(7; -3; 4) і В(6; 7; 8). Знайдіть точку, симетричну середині відрізка відносно
площини ху.
304. а) Точка М(2; 6; 3) — середина відрізка, кінці якого знаходяться на осі Ох і в площині yz.
Знайдіть координати кінців і довжину відрізка.
б) Точка Л1(2; 8; 5) —■ середина відрізка, кінці якого знаходяться на осі Ог і в площині ху.
Знайдіть координати кінців і довжину відрізка.
305. а) У ААВС, де Л(3; 0; -4) і Л1(5; 4; -3) — середина АВ, Р — середина АС. Знайдіть довжину
вектора PN, де N — середина ВС.
б) У трикутнику ABC, точка N (1; 3; 4) — середина ВС; Р{2; 7; -1) — середина АС. Знайдіть
координати вектора АВ.
306. а) При паралельному перенесенні точка А(2; 1; —1) переходить у точкуi4t(l; -1; 0). В яку точку
переходить точка М, що симетрична точці А відносно початку координат?
б) При паралельному перенесенні точка А(2; 1; -1) переходить у точку Л4(1; -1; 0). В яку точку
переходить точка М, що симетрична точці А відносно площини хОу?
35

307. а) При якому значенні п площина х - Ту - .Зг + 8 = 0 паралельна вектору »(—1; 2; п)?
б) При яких значеннях а і Ь площина ах + by — 2z + 7 = 0 перпендикулярна до вектора
й(3; -4; 1)?
308. а) Дано точки Л(1; 4; 8) і В(-4; 0; 3). Під яким кутом відрізок АВ видно із'початку координат?
б) Дано точки і4(2; -4; 6) і В(4; 4; 2). Під яким кутом видно відрізок MB із початку координат,
якщо М — середина відрізка АВ?
309. а) Обчисліть площу паралелограма, побудованого на векторах а (8; 4; 1) і 6(2; -2; 1).
б.) Обчисліть площу паралелограма, побудованого на векторах АВ(3; 0; -4) і ЛС(0; 5; 0).
310. а) Обчисліть площу трикутника ABC, якщо А(9; 0; 2); В(6; 0; -2); С(0; 3; 0).
б) Обчисліть площу паралелограма ABCD, якщо координати трьох його вершин: А(9; 0; 2),
В(6; 0; -2), С(0; 3; 0).
311. а) Доведіть, що точкиі4(2; 4; —4), В(1; 1; —3), С(—2; 0; 5),D(-l; 3; 4) є вершинами паралелограма
ABCD.
б) Доведіть, що точки Ж-4; -8; 8), В(-2; -2; 6), С(4; 0; -10), D(2; -6; -8) є вершинами
паралелограма ABCD.
312. Доведіть, що чотирикутник ABCD є ромбом, коли:
а) Л(6; 7; 8), В(8; 2; 6), С(4; 3; 2), D(2; 8; 4);
б) Л(0; 2; 0) В(1; 0: 0), С(2; 0; 2), D(l; 2; 2).
313. а.) Знайдіть довжину діагоналі ЯО паралелограма ABCZ), якщо Л(1; —3; 0),В(—2; 4; І), С(—3;1;1).
б) Знайдіть довжину діагоналі АС, паралелограма ABCD, якщоЖ2; -6; 0),В(-4; 8; 2),/)(0; -12; 0).
314. а) Знайдіть довжину медіани ВВ1 трикутника з вершинами Л(4;«0; -8), В(2; 0; 3), С(16; 2; 8).
б) Дано вершини трикутника ABC: Л(-2; 0; 1), В(8; -4; 9), С(-1; 2; 3). Знайдіть довжину
медіани, проведеної з вершини С.
315. а) На осі аплікат знайдіть точку А, рівновіддалену від точок М(-2; 3; 5) і N(2>; —5; 1).
б) На осі абсцис знайдіть точку, рівновіддалену від точок А( 1; 2; 2) і В(-2; 1; 4).
316. а) ТочкиЖЗ; —6; 2) іЛ, симетричні відносно координатної площини уОг. Знайдіть відстань ААу
б) Точка В, симетрична точці В(3; —4; 7) відносно координатної площини хОг. Знайдіть відстань
ВВ,.
317. а) На які частини площина хОу ділить відрізок з кінцями А(\; 2; 6) і В(7; 11; -12)?
б) На які частини площина хОг ділить відрізок з кінцями А(4; -12; 5) і В( 13; 8; -7)?
318. а) Доведіть, що трикутник з вершинами А(7; 1; -5), В(4; -3; -4), С(1; 3; -2) — рівнобедрений.
б) Доведіть, що трикутник з вершинами А(3; -2; 1), В(-2; 1; 3), С(1; 3; -2) — рівносторонній.
319. a J Доведіть, що трикутник з вершинами А(1; 0; 1), В(1; 1; 0) і С(1; 1; 1) — йрямоярішй.
Знайдіть відстань від початку координат до центра кола, описаного навколо цього трикутника.
б) Доведіть, що трикутник з вершинами А(2; 0; 5), В(3; 4; 0) і С(2; 4; 0) прямокутний. Знайдіть
•відстань від початку координат до центра кола, описаного навколо цього трикутника.
320. а) Знайдіть кут між стороною АС і медіаною ВВ1 трикутника ABC, якщо Л(3; 5; 0), В(0; -6; 0)
і С(3; 1; 0).
б) Знайдіть кут між стороною АС і медіаною ВМ трикутника ABC, якщоЖ-3; -5; 1), В(-4; -1; -2)
і С(3; 3; 1).
321. Дано трикутник ABC. Знайдіть:
а) зовнішній кут при вершині В, якщо В(2; -1; -1), А(2; 2; -4) і С(3; -1; -2);
б) зовнішній кут при вершині А, якщо Л(2; —2; —3), В(4; -2; -1) і С(2; 2; 1).
322. Дано три точки Ж0; 1; -1), В(1; -1; 2), С(3; 1; 0):
а) обчисліть косинус кута С трикутника ABC;
б) обчисліть косинус кута А трикутника ABC.
323. Складіть рівняння сфери, яка:
а) проходить через початок координат, а центр її знаходиться у точці 0(4; —4; 2);
б) проходить через точку Л(2; -1; -3), а центр її знаходиться у точці С(3; -2; 1).
324. а) Дано чотири точки Ж0; 1; 1), В(1; 1; 2), С(2; -2; 2) і 0(2; -3; 1). Знайдіть кут між векторами
АВ і CD.
36

б) Дано точки Д(0; 1; -1), В(1; -1; 2), С(3; 1; 0), £>(2; 1; 1). Знайдіть кут між векторами ВС і
~AD.
325 Нехай О — центр правильного шестикутника ABCDEF. Доведіть:
а)~АВ-~ВС = Ш; б) А~В-DC = А~0.
326. а) У тетраедрі ABCD точка М — середина ребра ВС. Виразіть через вектори b = АВ, с = АС,
а = AD вектор DM.
б) У тетраедрі ABCD точка К — середина ребра DC. Виразіть через вектори b = АВ, с = АС,
а = AD, вектор ВК.
327. Дано прямокутний паралелепіпед ABCDAlBlClDl. Доведіть:
а)\СА + СЩ = \СА-СЩ; б) ІЛ^-Ш\ = Ш + СС\І.
37

Розділ III. МНОГОГРАННИКИ
§1. Призма
1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 328 — 343)
328. а) Основа прямої трикутної призми — прямокутний трикутник з катетами 3 см і 4 см. Висота
призми 10 см. Знайдіть площу повної поверхні призми.
А) 126 см2: Б) 120 см2; В) інша відповідь.
б) Основа прямої трикутної призми — прямокутний трикутник з катетом 5 см і гіпотенузою
13 см. Висота призми — 8 см. Знайдіть площу повної поверхні призми.
А) 270 см2; Б) 240 см2; В) інша відповідь.
329. а) Знайдіть об'єм прямокутного паралелепіпеда, якщо сторони основ 2 см і 3 см, а діагональ
паралелепіпеда — у38ом.
А) ЗО см3; Б) 6л/5Їслі3; В) інша відповідь.
б) В основі прямокутного паралелепіпеда лежить квадрат зі стороною, що дорівнює 1 см. Діагональ
паралелепіпеда — см. Знайдіть об'єм.
А) 2 At3; Б) 2уІ2см3; В) інша відповідь.
330. а) Основа прямокутного паралелепіпеда — квадрат. Знайдіть об'єм цього паралелепіпеда, якщо
висота його 6 см, а діагональ паралелепіпеда утворює і площиною основи кут 45°.
А) 36 см3; Б) 108 см3; В) інша відповідь.
б) Основою прямокутного паралелепіпеда є квадрат. Діагональ бічної грані паралелепіпеда, що
дорівнює 8 см, утворює з площиною основи кут 30°. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.
А) 192 см3; Б) 32л/з см3; В) інша відповідь.
331. а) Знайдіть об'єм прямокутного паралелепіпеда, якщо сторони основи 6 см і 8 см, а його діагональ
нахилена до площини основи під кутом 45°.
А) 480 см3; Б) 96л/7 см3; В) інша відповідь.
б) Основою прямокутного паралелепіпеда є квадрат зі стороною -J2cm. Знайдіть об'єм цього
паралелепіпеда, якщо його діагональ утворює з площиною кут 45°.
А) 8 см3; Б) 8V2 см3; В) інша відповідь.
332. а) Площа поверхні куба — 150 м2. Знайдіть його об'єм.
А) 125 см3; Б) 25 см3; В) інша відповідь.
б) Площа поверхні куба — 96 см2. Знайдіть ребро куба.
А) 16 см; Б) 4 см; В) інша відповідь.
333. а) Діагональ куба дорівнює 6 см. Знайдіть площу його однієї грані.
А) 54 см2; Б) 18 см2; В) інша відповідь.
б) Площа повної поверхні куба дорівнює 3 см2. Знайдіть довжину діагоналі грані куба.
1
А) 1 см; Б) —7=см; В) інша відповідь.
V2
334. а) Знайдіть площу діагонального перерізу прямокутного паралелепіпеда, висота якого дорівнює
12 см, а сторони основи — 8 см і 6 см.
А) 120 см2; Б) 60 см2; В) інша відповідь.
б) Площа діагонального перерізу прямокутного паралелепіпеда дорівнює 35 см2. Знайдіть площу
бічної поверхні паралелепіпеда, якщо сторони основи — 3 см і 4 см.
А) 98 см2; Б) 49 см2; В) інша відповідь.
335. а) В основі призми лежить трикутник зі сторонами 7 см, 5 см і 6 см. Висота призми — 4 см.
Знайдіть об'єм призми.
А) 24 V6 см3; Б) 12-^6 см3; В) інша відповідь.
38

б) В основі призми лежить ромб зі стороною 5 см і гострим кутом 30°. Висота призми — 6 см.
Знайдіть об'єм призми.
75
А) —см3; Б) 75 см3; В) інша відповідь.
2
386. а) В основі призми лежить рівносторонній трикутник, площа якого 9V3 см2. Знайдіть об'єм
призми, якщо її висота в V3 раз більша, ніж сторони основи.
А) 162 см3; Б) 54-Уз см3; В) інша відповідь.
б) В основі призми лежить рівносторонній трикутник із стороною 4 см. Знайдіть висоту призми,
якщо її об'єм 64V3 см3.
А) 8 см; Б) 8>/з см; В) інша відповідь.
337. а) Об'єм прямої призми, основа якої — правильний трикутник, дорівнює 18 V3cAt3, а її висота
— 8 см. Знайдіть сторону основи призми.
З
А) "г-сд*; Б) 3 см; В) інша відповідь.
V2
б) Всі ребра прямої трикутної призми мають довжину 2V3 см. Знайдіть об'єм призми.
А) 18 см3; Б) 18>/з см3; В) інша відповідь.
338. а) Кімната має розміри 10 м, 6,5 м, 4 м. Обчисліть площу стін, які необхідно побілити, якщо
площа вікон і дверей становить 0,2 площі стін.
А) 100 At2; Б) 106 At2; В) 112 лі2; Г) інша відповідь.
б) Веранда має розміри 10 At, 2 At, 4 At. Обчисліть площу заскленої частини веранди, якщо вона
становить 0,6 площі стін.
А) 57,6 ж2; Б) 72 At2; В) інша відповідь.
339. а) Знайдіть тангенс кута між діагоналлю куба і площиною однієї з його граней.
г ^2
А) 1; Б) л/2; В) ; Г) інша відповідь.
2
б) Знайдіть кут нахилу діагоналі бічної грані куба до площини основи.
А) 60°; Б) 30°; В) 45°; Г) інша відповідь.
340. а) В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з основами 4 CAt і 10 сж і бічною стороною
5 см. Бічне ребро призми — 10 см. Обчисліть повну поверхню призми.
А) 170 CAt2; Б) 176 см2; В) 186 см2; Г) 190 сж2; Д) інша відповідь.
б) В основі прямої призми лежить прямокутник із стороною 6 CAt і діагоналлю 10 CAt. Бічне ребро
призми — 10 CAt. Обчисліть повну поверхню призми.
А) 140 CAt2; Б) 146 CAt2; В) 280 см2; Г) 70 см2; Д) інша відповідь.
341. а) В основі прямої призми лежить ромб, діагоналі якого дорівнюють 6 сж і 8 см, а бічне ребро —
20 сж. Обчисліть об'єм призми.
А) 960 сж3; Б) 320 см3; В) 240 см3; Г) 480 см3; В) інша відповідь.
б) В основі прямої призми лежить прямокутник із сторонами 8 сж і 6 сж. Бічне ребро призми
дорівнює 10 сж. Обчисліть об'єм призми.
А) 240 сж3; Б) 480 см3; В) 960 см3.
342. а) Основа прямої призми — трикутник зі сторонами 5 см, 5 сж та 6 см, діагональ меншої бічної
грані утворює кут 45* з бічним ребром. Знайдіть об'єм призми.
А) 60 сж3; Б) 220-Д см3; В) інша відповідь.
б) Сторони основи прямого паралелепіпеда дорівнюють 7 см і -Ji8cm і утворюють кут 45°, а
менша діагональ — кут 45° з площиною основи. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.
А) 63 см3; Б) 63л/2 сж3; В) інша відповідь.
39

343. а) У правильній трикутній призмі діагональ бічної грані утворює із стороною основи кут 30° і
дорівнює 4 см. Знайдіть об'єм призми.
А) 6ч/з см3; Б) 2т/з см3; В) інша відповідь.
б) Основа прямого паралелепіпеда — ромб із стороною 6 см та кутом 60°. Менша діагональ
паралелепіпеда нахилена до основи під кутом 45°. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.
А) 108 см3; Б) 108-/3 см3; В) інша відповідь.
2. Завдання підвищеного рівня (№№ 344 — 399)
344. а) Ребро куба дорівнює а. Знайдіть відстань від вершини куба до його діагоналі.
б) Ребро куба дорівнює а. Знайдіть відстань від діагоналі до ребра, яке її не перетинає.
345. а) Сторони основи прямокутного паралелепіпеда відносяться як 1 : 7, довжини діагоналей бічних
граней дорівнюють 13 см та 37 см. Визначте площу повної поверхні паралелепіпеда.
б) Довжина діагоналі прямокутного паралелепіпеда — 57 см, його розміри відносяться як
6 :10:15. Визначте площу повної поверхні паралелепіпеда.
346. а) Довжина діагоналі прямокутного паралелепіпеда більша від його розмірів на 20 см, 9 см та
5 см. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.
б) Довжина бічного ребра прямокутного паралелепіпеда — 6 см, довжина діагоналі паралелепіпеда
в 2 рази менша від периметра основи. Визначте об'єм паралелепіпеда.
347. а) Знайдіть відношення об'єму куба до об'єму правильного тетраедра, ребро якого дорівнює
діагоналі куба.
б) Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює 13 см, а діагоналі його бічних граней —
4V10 см і 3V17см. Визначте об'єм паралелепіпеда.
348. а) Основа прямого"паралелепіпеда — ромб з гострим кутом 60° і більшою діагоналлю см;
менша діагональ паралелепіпеда утворює з площиною основи кут 45°. Знайдіть бічну поверхню
паралелепіпеда.
б) Кут між діагоналями основи прямокутного паралелепіпеда дорівнює 30°. Діагональ
паралелепіпеда утворює з площиною основи кут 60°. Знайдіть висоту паралелепіпеда, якщо об'єм дорівнює 18 см3.
349. а) Сторони основи прямокутного паралелепіпеда (2 - V2) см і (2 + V2) см, а його діагональ
нахилена до основи під кутом 60°. Знайдіть бічну поверхню паралелепіпеда.
б) Оснйвою прямого паралелепіпеда є ромб, діагоналі якого відносяться як. 5 : 2. Знаючи, що
діагоналі паралелепіпеда дорівнюють 17 дм і 10 дм, визначте об'єм паралелепіпеда.
350. а) У прямокутному паралелепіпеді діагональ d утворює з площиною основи кут а, а з площиною
бічної грані кут р. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.
б) Кут між двома діагоналями основи прямокутного паралелепіпеда дорівнює а. Діагональ
паралелепіпеда дорівнює І і утворює з площиною основи кут р. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.
351. а) У прямокутному паралелепіпеді діагональ d утворює з основою кут р. Кут між діагоналлю
основи і її стороною а. Визначте бічну поверхню паралелепіпеда.
б) У прямокутному паралелепіпеді діагональ d нахилена до площини основи під кутом р. Кут
між діагоналями основи дорівнює а. Знайдіть бічну поверхню паралелепіпеда.
352. б) Основою прямого паралелепіпеда є ромб. Площі діагональних перерізів дорівнюють 6 см2 і
8 см2. Знайдіть площу бічної поверхні паралелепіпеда.
б) Знайдіть об'єм прямого паралелепіпеда, знаючи, що висота його дорівнює V3 см, а діагоналі
утворюють з основою кути 45° і 60°, і основою є ромб.
353. а) У прямому паралелепіпеді сторони основи 10 см і 17 см, одна з діагоналей основи дорівнює
21 см. Більша діагональ паралелепіпеда — 29 см. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.
б) У прямому паралелепіпеді сторони основи дорівнюють 2V2 см і 5 см і утворюють кут 45°,
менша діагональ паралелепіпеда дорівнює 7 см. Визначте його повну поверхню.
354. а) Основою прямого паралелепіпеда є ромб, площі діагональних перерізів якого дорівнюють S і
Q. Знайдіть площу бічної поверхні паралелепіпеда.
б) Площі трьох граней прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 20 см2, 28 см2 і 35 см2. Знайдіть
об'єм паралелепіпеда.
40

Збб. о) В основі прямого паралелепіпеда лежить ромб з гострим кутом у. Діагональ бічної грані
нахилена до площини основи під кутом а, а площа цієї грані Q. Знайдіть повну поверхню
цього паралелепіпеда.
б) В основі прямої призми лежить ромб з більшою діагоналлю І. Через цю діагональ і вершину
верхньої основи призми проведено площину, яка перетинає дві суміжні бічні грані призми по
прямих, що утворюють між собою кут а, а з площиною основи кут р. Знайдіть бічну поверхню
призми.
356. а) Бічна поверхня правильної чотирикутної призми дорівнює 32 см2, а повна поверхня — 40 см2.
Знайдіть висоту призми.
б) Визначте повну поверхню призми, бічні грані якої є квадратами, а її основою є правильний
трикутник, описаний навколо кола радіуса г.
357. а) Площина, що проходить через сторону основи правильної трикутної призми і середину
протилежного ребра, утворює з основою кут 45°. Сторона основи дорівнює а. Обчисліть
площу бічної поверхні призми.
б) Через діагональ нижньої і вершину верхньої основи правильної чотирикутної призми проведено
площину, яка перетинає дві суміжні бічні грані призми по прямих, що утворюють між собою
кут 60°. Обчисліть бічну поверхню призми, якшо сторона основи дорівнює а.
358. а) У правильній трикутній призмі діагональ бічної грані нахилена до площини основи під кутом
а. Обчисліть площу повної поверхні, якщо площа основи дорівнює S.
б) У правильній чотирикутній призмі діагональ бічної грані нахилена до площини основи під
кутом р. Обчисліть площу повної поверхні, якщо площа основи дорівнює Q.
359. а) Бічне ребро правильної трикутної призми дорівнює висоті основи, а площа перерізу, проведеного
через це бічне ребро і висоту основи, дорівнює Q. Обчисліть об'єм призми.
б) Площі бічних граней прямої трикутної призми дорівнюють 13 ж2, 14 ж2 і 15 ж2, а бічне ребро
її — І. Обчисліть об'єм призми.
360. а) Діагональ бічної грані правильної трикутної призми дорівнює d і утворює з площиною основи
кут а. Обчисліть бічну поверхню призми.
б) Діагональ бічної грані правильної трикутної призми утворює з бічним ребом кут р. Радіус
кола, описаного навколо бічної грані, дорівнює R. Обчисліть бічну поверхню призми.
361. а) Діагональ правильної чотирикутної призми дорівнює І і утворює з площиною основи кут р.
Визначте площу бічної поверхні призми.
б) У правильній чотирикутній призмі висота дорівнює Н. Діагональ призми утворює з бічним
ребром кут у. Обчисліть площу бічної поверхні призми.
362. а) У прямій трикутній призмі сторони основи дорівнюють 10 см, 17 см і 21 см. Площа перерізу,
проведеного через бічне ребро і меншу висоту основи, — 72 см2. Знайдіть бічну поверхню призми.
б) У прямій трикутній призмі сторони основи відносяться як 17 : 10 : 9, а бічне ребро
дорівнює 16 см. Повна поверхня цієї призми дорівнює 1440 см2. Знайдіть її бічну поверхню.
363. а) В основі прямої призми лежить паралелограм зі сторонами 3V2 см і V 2 см та кутом, 45°.
Площа бічної поверхні призми в 4 рази більша від площі її основи. Знайдіть висоту призми.
б) В основі прямої призми лежить рівнобедрений прямокутний трикутник, площа якого —18 см2.
Знайдіть площу бічної поверхні призми, якщо її висота дорівнює (2 - V2 ) см.
364. а) Площа найбільшого діагонального перерізу правильної шестикутної призми дорівнює 1 м2.
Обчисліть бічну поверхню призми.
б) У правильній шестикутній призмі велика діагональ дорівнює 4V3 см і нахилена до основи під
кутом 60°. Знайдіть площу повної поверхні призми.
365. а) У правильній трикутній призмі сума ребер, що виходять з однієї вершини, дорівнює 2 см. При
якій величині кута, утвореного діагоналлю бічної грані з площиною основи призми, площа
бічної поверхні буде найбільшою?
б) У правильній чотирикутній призмі периметр діагонального перерізу дорівнює 6 см. При якій
величині кута, утвореного діагоналлю призми з її площиною основи, об'єм призми буде
найбільшим?
366. а) У правильній трикутній призмі довжина діагоналі бічної грані дорівнює V3cw. При якій
довжині висоти призми об'єм її буде найбільшим?
41

б) У правильній чотирикутній призмі довжина діагоналі дорівнює 2V3 см. При якій довжині
висоти об'єм призми буде найбільшим?
367. а) Діагональ правильної чотирикутної призми нахилена до площини основи під кутом 60°. Знайдіть
площу перерізу, що проходить через сторону нижньої основи і протилежну сторону верхньої
основи, якщо діагональ основи дорівнює 4V2 см.
б) У правильній чотирикутній призмі через діагональ основи проведено переріз паралельно
діагоналі призми. Знайдіть площу перерізу, якщо сторона основи призми дорівнює 2 см, а її
висота — 4 см.
368. а) В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з гострим кутом 60° і бічною стороною
4 см. Діагоналі трапеції є бісектрисами гострих кутів. Діагональ призми нахилена до площини
основи під кутом 45°. Знайдіть об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить прямокутна трапеція з тупим кутом 120° і меншою основою
З см. Діагональ трапеції є бісектрисою гострого кута. Більша діагональ призми утворює з
площиною основи кут 45°. Знайдіть об'єм призми.
369. а) В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція, в якої діагональ дорівнює а і кут між
діагоналлю і більшою основою дорівнює а. Діагональ призми нахилена до основи під кутом р.
Знайдіть об'єм призми.
б) Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині. Діагональ грані,
протилежної до даного кута, дорівнює І і утворює з площиною основи кут р. Знайдіть об'єм призми.
370. а) В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник з гострим кутом а і площею S.
Діагональ грані, що містить катет, прилеглий до цього кута, нахилена до площини основи
призми під кутом р. Знайдіть об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить ромб зі стороною а і гострим кутом а. Більша діагональ
призми нахилена до площини основи під кутом р. Обчисліть об'єм призми.
371. а) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з бічною стороною Ь. Дві рівні бічні
грані утворюють між собою кут р. Через діагоналі цих граней проведено площину, що утворює
з площиною основи кут а. Знайдіть об'єм цієї призми.
б) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник. Дві діагоналі суміжних бічних
граней, що мають спільну вершину, дорівнюють І і утворюють між собою кут а. Площина, що
проходить через ці діагоналі, нахилена до площини основи під кутом р. Знайдіть об'єм призми.
372. а) Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник з основою, шо дорівнює а і кутом при
вершині а. Переріз, проведений через дану сторону основи і протилежну вершину другої
основи, утворює з основою кут ф. Знайдіть об'єм призми.
б) Основа прямої призми — трикутник, дві сторони якого дорівнюють Ь, а кут між ними а.
Через одну з даних сторін основи і протилежну вершину другої основи проведено переріз,
який утворює з основою призми кут ф. Знайдіть об'єм призми.
373. а) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині і радіусом
описаного кола R. Діагональ бічної грані, що містить бічну сторону цього трикутника, утворює
з площиною основи кут р. Знайдіть об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом р при основі і радіусом
вписаного кола г. Діагональ бічної грані, що містить основу цього трикутника, утворює кут а
з площиною основи призми. Знайдіть об'єм призми.
374. а) Основа прямої призми — ромб зі стороною а, кут між площинами двох бічних граней дорівнює
ф (ф < 90°), більша діагональ призми утворює з площиною основи кут р. Знайдіть об'єм призми.
б) Основою прямої призми ABCAlBlCl є прямокутний трикутник ABC з гіпотенузою АВ = с і
ZA = а. Площина, що проходить через АС і Bv утворює з площиною основи кут ф. Знайдіть
об'єм призми.
375. а) В основі прямої призми лежить ромб з більшою діагоналлю /. Через цю діагональ і вершину
верхньої основи призми проведено площину, яка перетинає дві суміжні бічні граиі призми по
прямих, що утворюють з площиною основи кут Р, а з цією діагоналлю кут а. Знайдіть бічну
поверхню призми.
б) В основі прямої призми лежить ромб з меншою діагоналлю d. Через цю діагональ і вершину
верхньої основи проведено площину, яка перетинає дві суміжні бічні грані по прямих, кут між
якими дорівнює Р і утворює з площиною основи кут а. Знайдіть об'єм призми.
42

376. а) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом р при вершині. Діагональ
бічної грані, що містить бічну сторону цього трикутника, дорівнює d і утворює з площиною
основи кут у. Обчисліть об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом у при основі. Діагональ
бічної грані, що містить основу цього трикутника, дорівнює І і утворює з площиною основи
призми кут р. Визначте об'єм призми.
377. а) Основою прямої призми є прямокутний трикутник з гострим кутом а і гіпотенузою с. Діагональ
бічної грані, що містить гіпотенузу, утворює з площиною основи кут р. Знайдіть об'єм призми.
б> В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник з гострим кутом у. Діагональ бічної
грані, що містить гіпотенузу, дорівнює d і утворює з площиною основи кут р. Знайдіть об'єм
призми.
378. а) В основі прямої призми лежить трикутник з кутами а і Р і радіусом описаного кола R.
Діагональ бічної грані, що містить сторону, до якої дані кути прилягають, утворює з площиною
основи кут у. Знайдіть об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить трикутник з кутами а і р. Діагональ бічної грані, що містить
сторону, для якої дані кути є прилеглими, дорівнює d і утворює з площиною основи кут у.
Знайдіть об'єм призми.
379. а) В основі прямої призми лежить проямокутник з кутом а між діагоналями. Діагональ призми
дорівнює / і утворює з площиною основи кут у. Обчисліть об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить прямокутник з діагоналлю d, яка утворює із стороною основи
кут у. Діагональ призми утворює з площиною основи кут а. Визначте об'єм призми.
380. а) В основі прямої призми лежить ромб. Більша діагональ призми дорівнює d і нахилена до
площини основи під кутом ф, а менша — утворює з бічним ребром кут а. Обчисліть об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить прямокутник, діагоналі якого утворюють між собою кут ф.
Діагональ однієї з бічних граней дорівнює b і утворює з площиною основи кут а. Обчисліть об'єм призми.
381. а) В основі прямої призми лежить ромб з більшою діагоналлю d. Більша діагональ призми утворює
3 площиною основи кут у, а менша — кут а. Знайдіть об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить ромб з тупим кутом р і меншою діагоналлю/. Більша діагональ
призми нахилена до площини основи під кутом а. Знайдіть бічну поверхню призми.
382. а) В.основі прямої призми лежить прямокутна трапеція з гострим кутом а. Більша діагональ
трапеції дорівнює І і є бісектрисою гострого кута. Більша діагональ призми утворює з площиною
основи кут р. Визначте об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить прямокутна трапеція з тупим кутом р. Менша діагональ
трапеції є бісектрисою тупого кута. Менша діагональ призми дорівнює d і утворює з площиною
основи кут а. Визначте об'єм призми.
383. а) В основі прямої призми лежить ромб зі стороною а і гострим кутом а. Переріз призми площиною,
проведеною через більшу діагональ однієї основи і протилежну сторону другої основи, є
прямокутним трикутником. Обчисліть об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить ромб з меншою діагоналлю, що дорівнює а і гострим кутом
2а. Через меншу діагональ нижньої основи і протилежну вершину другої основи проведено
переріз призми площиною. Перерізом є рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині.
Визначте об'єм призми.
384. а) Основою призми є трикутник, в якого одна сторона дорівнює 2 см, а дві інші по 3 см, бічне ребро
дорівнює 4 см і утворює з площиною основи кут 45°. Визначте ребро куба рівновеликого призмі.
б) Основою призми є трикутник, в- якого сторони дорівнюють 3 см, 5 см, 7 см. Бічне ребро
довжиною 8 см утворює з площиною основи кут 60°. Обчисліть об'єм призми.
385. а) Бічне ребро похилої трикутної призми дорівнює беж, дві бічні грані її взаємно перпендикулярні
і мають площі 24 см2 і ЗО см%. Знайдіть об'єм призми.
б) Сторони перпендикулярного перерізу, що перетинає всі ребра похилого паралелепіпеда,
дорівнюють 3 смЛ 4 см і утворюють між собою кут 30°. Знайдіть об'єм паралелепіпеда, якщо
його бічне ребро дорівнює 10 см.
386. а) Основа похилої призми — рівнобічна трапеція з гострим кутом 60° і паралельними сторонами
4 см і 8 см, бічна сторона цієї трапеції є ортогональною проекцією одного з бічних ребер
призми. Знайдіть об'єм призми, якщо бічне ребро дорівнює 5 см.
43

б) Основа призми — правильний трикутник зі стороною 4 см, бічне ребро дорівнює 6 см і
утворює з площиною основи кут 60°. Знайдіть об'єм призми.
387. а) Основою призми є квадрат зі стороною л/4-л/З см. Одна з бічних граней — також квадрат,
а інша — ромб з кутом 60°. Знайдіть повну поверхню призми.
б) Основою похилої призми є правильний трикутник із стороною 3 см. Одна з бічних граней —
квадрат, а дві інші — паралелограми. їх спільне бічне ребро утворює із сторонами основи
кути по 30°. Знайдіть повну поверхню призми.
388. а) Основою похилого паралелепіпеда є паралелограм ABCD, в якого АВ = 3 дм, AD = 7 дм і
BD = 6 дм. Діагональний переріз ААХС{С перпендикулярний до площини основи і його площа
дорівнює 1 м2. Обчисліть об'єм паралелепіпеда.
б) Дві бічні грані похилої трикутної призми взаємно перпендикулярні, а їх спільне ребро дорівнює
24 см і віддалене від двох інших бічних ребер на 12 см і 35 см. Обчисліть бічну поверхню цієї
призми.
389. а) Основа похилого паралелепіпеда — квадрат зі стороною а, одна з вершин другої основи
проектується в центр цього квадрата. Висота паралелепіпеда дорівнює Н. Знайдіть бічну
поверхню паралелепіпеда.
б) Основи паралелепіпеда — квадрати зі стороною Ь, а всі бічні грані — ромби. Одна з вершин
верхньої основи однаково віддалена від всіх вершин нижньої основи. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.
390. а) У правильній трикутній призмі проведено площину через бічне ребро перпендикулярно до
протилежної бічної грані. Обчисліть повну поверхню призми, якщо площа перерізу дорівнює
4.2V3 см2. а сторона основи призми — 6 см.
б) Основою прямої призми є прямокутний трикутник з катетами 6 дм і 8 дм. Через гіпотенузу
однієї основи і вершину прямого кута другої основи проведено площину. Обчисліть об'єм
призми, якщо площа перерізу дорівнює V1201 дм2.
391. а) Основою прямої призми є трикутник, сторони якого 5 см, 5 см, 6 см. Висота призми дорівнює
більшій висоті цього трикутника. Знайдіть об'єм призми.
б) Висота прямої трикутної призми дорівнює 5 м, її об'єм — 24 м3. Площі бічних граней відносяться
як 17 : 17 : 16. Знайдіть сторони основи.
392. а) В основі похилої призми лежить паралелограм зі сторонами 6 дм і 12 дм і гострим кутом 60°.
Бічне ребро призми дорівнює 14 дм і утворює з площиною основи кут 30°. Обчисліть об'єм
призми.
б) У похилій трикутній призмі сторони основи дорівнюють 4 см, 13 см, 15 см. Бічне ребро
10V2 см нахилене до площини основи під кутом 45°. Обчисліть об'єм призми.
393. а) Основою похилого паралелепіпеда є ромб, сторона якого дорівнює 60 см. Площина діагонального
перерізу, що проходить через більшу діагональ основи, перпендикулярна до площини основи.
Площа цього перерізу дорівнює 72 дм2. Знайдіть меншу діагональ основи, якщо бічне ребро
паралелепіпеда дорівнює 80 см і утворює з площиною основи кут 60°.
б) Основою похилого паралелепіпеда є ромб, менша діагональ якого дорівнює 60 см. Площа
діагонального перерізу, що проходить через більшу діагональ і перпендикулярно до площини
основи, дорівнює 72 дм2. Знайдіть сторону основи паралелепіпеда, якщо бічне ребро його
дорівнює 80 см і нахилене до площини основи під кутом 60°.
394. а) Повна поверхня прямокутного паралелепіпеда, основою якого є квадрат, дорівнює 264 см2.
Знайдіть сторону основи паралелепіпеда, якщо його висота дорівнює 8 см.
б) Розміри прямокутного паралелепіпеда відносяться як 1 : 2 : 3. Повна поверхня паралелепіпеда
дорівнює 352 см2. Знайдіть його розміри.
395. а) Основою прямого паралелепіпеда є ромб, площа якого дорівнює 60 см2. Площа діагональних
перерізів паралелепіпеда 72 см2 і 60 см2. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.
б) Основою прямого паралелепіпеда є паралелограм, один з кутів якого дорівнює 30°. Площа
основи дорівнює 16 дм2. Площі бічних граней паралелепіпеда дорівнюють 24 дм2 і 48 дм2.
Знайдіть об'єм паралелепіпеда.
396. а) Переріз прямокутного паралелепіпеда, проведеного через діагональ нижньої основи і кінець
протилежного бічного ребра верхньої основи, утворює з площиною основи кут ф. Знайдіть
44

об'єм паралелепіпеда, якщо діагональ основи має довжину d і утворює з однією із сторін
основи кут а.
б) Сторони основи прямого паралелепіпеда мають довжину а і утворюють кут а з діагоналлю
основи. Переріз, проведений через діагональ нижньої основи і кінець протилежного бічного
ребра верхньої основи, утворює з площиною основи кут ф. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.
397. а) Основою прямого паралелепіпеда є паралелограм, в якого одна з діагоналей дорівнює 17 см,
а сторони дорівнюють 9 см і 10см. Площа повної поверхні паралелепіпеда — 334 см2. Визначте
його об'єм.
б) У прямому паралелепіпеді сторони основи дорівнюють 3 см і 4 см, а кут між ними 60°.
Визначте об'єм цього паралелепіпеда, якщо площа його бічної поверхні — 220 см2.
398. а) Основою прямої призми є ромб. Висота і діагоналі призми дорівнюють 40 см, 41 см і 50 см.
Знайдіть площу бічної поверхні призми.
б) Основа прямої призми — трапеція, в якої паралельні сторони 9 см і 39 см. Три бічні грані
призми — квадрати. Знайдіть повну поверхню призми.
399. а) В основі прямої призми — ромб зі стороною а і гострим кутом а. Через меншу діагональ
нижньої основи і вершину гострого кута верхньої основи проведено переріз, який утворює з
площиною основи кут ф . Знайдіть об'єм призми.
б) В основі прямої призми — ромб з меншою діагоналлю й і гострим кутом а. Через більшу
діагональ нижньої основи і вершину тупого кута верхньої основи проведено переріз, який
утворює з площиною основи кут ф . Знайдіть об'єм призми.
3. Завдання поглибленого рівня (№№ 400 — 417)
400. а) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник. Дві діагоналі, що перетинаються,
двох однакових бічних граней призми утворюють між собою кут р. Через ці діагоналі проведено
площину, яка утворює з плошиною основи кут ф. Діагональ третьої бічної грані дорівнює /.
Знайдіть об'єм призми.
б) У верхній основі призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині. Через цю
вершину і основу трикутника, що є нижньою основою призми, проведено площину, яка утворює
з нею кут ф. Знайдіть об'єм призми, якщо діагональ бічної грані, що містить основу
рівнобедреного трикутника, дорівнює й.
401. а) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом р при вершині. Діагоналі
двох бічних граней, що містять сторони цього кута, нахилені до площини основи під кутом ф.
Діагональ третьої бічної грані дорівнює І. Визначте об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при основі. Діагональ
бічної грані, що містить основу цього трикутника, нахилена до його площини під кутом ф.
Діагоналі двох інших бічних граней дорівнюють й. Визначте об'єм призми.
402. а) Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник, основа якого — см, а кут при
ній 45°. Знайдіть об'єм призми, якщо її бічна поверхня дорівнює сумі площ основ.
б) Всі ребра прямої трикутної призми мають однакову довжину. Площа повної поверхні призми
дорівнює (4+8-/3) см. Знайдіть площу її основи.
403. а) В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник з кутом р. Діагональ бічної грані, що
містить гіпотенузу даного трикутника, утворює з його площиною кут ф. Діагональ бічної
грані, що містить прилеглий до кута Р катет, дорівнює І. Визначте об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник з кутом а. Діагональ бічної грані, що
містить протилежний до цього кута катет, нахилена до площини основи під кутом ф. Діагональ
бічної грані, що містить гіпотенузу даного трикутника, дорівнює d. Визначте об'єм призми.
404. а) В основі прямої призми лежить прямокутник. Діагональ призми утворює з площиною основи
кут а, а діагональ однієї з бічних граней дорівнює І і утворює з площиною основи кут ф.
Знайдіть об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить прямокутник. Діагональ призми дорівнює d і утворює з
площиною основи кут р, а діагональ однієї з бічних граней нахилена до площини основи під
кутом ф. Обчисліть об'єм призми.
45

405. а) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з основою а і кутом а при вершині.
Площа перерізу, що проходить через бічну сторону нижньої основи та протилежну вершину
основи, утворює з основою кут ф. Знайдіть об'єм призми.
б) Висота прямої призми, в основі якої лежить рівнобедрений трикутник з кутом Р при вершині,
дорівнює Н. Площина перерізу, що проходить через бічну сторону нижньої основи і протилежну
вершину верхньої основи, утворює з площиною основи кут ф. Знайдіть об'єм призми.
406. а) Площі двох граней прямокутного паралелепіпеда відносяться як 2 : 5. Діагоналі цих граней
10 см і 17 см. Знайдіть площу повної поверхні паралелепіпеда.
б) Площі діагональних перерізів похилого паралелепіпеда 105 см2 і 135 см2, площі бічних граней
відносяться як 4 : 7. Знайдіть площу бічної поверхні.
407. а) В основі прямої призми лежить ромб зі стороною а. Діагоналі призми утворюють з площиною
основи кути а і р. Знайдіть об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить ромб, менша діагональ якого дорівнює d. Більша діагональ призми
утворює з площиною основи кут ф, а діагональ бічної грані — кут р. Знайдіть об'єм призми.
408. а) В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною с і гострим кутом а,
причому діагоналі трапеції перпендикулярні до бічних сторін. Діагональ призми утворює з
площиною основи кут р. Знайдіть об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною й і тупим кутом Р,
причому діагоналі трапеції взаємно перпендикулярні. Діагональ призми нахилена до площини
основи під кутом ф. Знайдіть об'єм призми.
409. а) В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з гострим кутом а і меншою основою а.
Діагоналі трапеції є бісектрисами гострих кутів. Діагональ призми нахилена до площини основи
під кутом ф. Знайдіть об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить прямокутна трапеція з тупим кутом Р і більшою основою Ь.
Діагональ трапеції є бісектрисою тупого кута, менша діагональ призми утворює з площиною
основи кут ф. Знайдіть об'єм призми.
410. а) Основою правильної призми є шестикутник із стороною 3 дм; висота призми дорівнює 13 дм.
Знайдіть площу перерізу, проведеного через дві протилежні сторони верхньої і нижньої основ
призми.
б) Правильна шестикутна призма, в якої бічні грані — квадрати, перетинається площиною, що
проходить через сторони нижньої основи і протилежну їй сторону верхньої основи. Сторона
основи дорівнює 5 дм. Знайдіть площу утвореного перерізу.
411. а) Площа бічної поверхні правильної шестикутної призми дорівнює Q. Знайдіть площу перерізу
призми площиною, що перпендикулярна до більшої діагоналі основи і ділить її у відношенні 1:1.
б) Бічна грань правильної шестикутної призми — квадрат, що має периметр 8 см. Знайдіть
площу перерізу, проведеного через діагоналі паралельних бічних граней призми.
412. а) Основа призми АВСАІВІС1 — правильний трикутник ABC. Вершина А, проектується в центр
нижньої основи. Доведіть, що бічне ребро АЛ, утворює зі сторонами основи АВ і АС рівні кути.
б) Основа призми АВСА1В1С1 — правильний трикутник ABC. Бічне ребро АЛ, утворює зі
сторонами основи АВ і АС рівні кути. Доведіть, що проекція вершини А, лежить на бісектрисі
кута ВАС.
413. а) Основою похилої призми є правильний трикутник із стороною, що дорівнює а. Довжина
бічного ребра Ь, а одне з бічних ребер утворює з прилеглими сторонами кути 45". Знайдіть
об'єм призми.
б) Основою похилої призми ABCAlBlCl є правильний трикутник ABC із стороною а. Вершина
А, проектується в центр нижньої основи, а ребро АА, нахилене до площини основи під кутом
60°. Знайдіть бічну поверхню призми.
414. а) Основою похилого паралелепіпеда є ромб ABCD зі стороною, що дорівнює о, і гострим кутом
60°. Ребро АА1 також дорівнює а і утворює з ребрами АВ і AD кути 45°. Визначте об'єм
паралелепіпеда.
б) Основа призми — паралелограм з гострим кутом, що дорівнює а. Бічне ребро проходить
через вершину даного кута а, дорівнює b і утворює з прилеглими сторонами рівні кути,
кожний з яких дорівнює р. Знайдіть висоту призми.
46

415. а) У похилій трикутній призмі дві бічні грані взаємно перпендикулярні, а їх спільне ребро має
довжину 24 ж і віддалене від двох інших ребер на відстань 12л і 35 м. Обчисліть площу бічної
поверхні призми.
б) Відстані між бічними ребрами похилої трикутної призми дорівнюють 10 см, 10 см і 12 см.
Бічне ребро має довжину 15 см, довжина його проекції на площину основи — 9 см. Обчисліть
площу повної поверхні призми.
416. а) У зрізаному паралелепіпеді три бічні ребра мають довжини 15 см, 23 см, 18 см відповідно.
Визначте четверте бічне ребро.
б) У зрізаній правильній чотирикутній призмі сторона основи дорівнює а; з бічних ребер — два
суміжних мають довжину Ь, два інших — довжину с. Визначте об'єм і бічну поверхню цієї
зрізаної призми.
417. а) Основа прямої зрізаної призми — прямокутний трикутник ABC, в якому катет АС — 15 см і
катет ВС = 20 см. Бічні ребра ВВХ і ССу мають по 10 см, а ААХ = 18 см. Визначте об'єм і
повну поверхню цієї зрізаної призми.
б) У прямій трикутній зрізаній призмі бічні ребра дорівнюють 17 см, 25 см і 30 см, а відстані між ними
відповідно — 18 см, 20 смх 34 см. Визначте об'єм і площу бічної поверхні цієї зрізаної призми.
§ 2. Піраміда
1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 418 — 440)
418. а) Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4 см і утворює з площиною основи
кут 60°. Знайдіть об'єм піраміди.
А) —-—см3; Б) 16 см3; В) інша відповідь.
б) Довжина сторони основи правильної чотирикутної піраміди — 6 см, а бічне ребро утворює з
площиною основи кут 30°. Знайдіть об'єм піраміди.
А) 12^3 см3; Б) Зб-Уб см3; В) інша відповідь.
419. а) Апофема правильної трикутної піраміди дорівнює 6 см, а радіус кола, вписаного в її основу,
дорівнює см. Обчисліть бічну поверхню піраміди.
А) 36 см2; Б) 54 см2; В) 72 см2; Г) 108 см2; Д) інша відповідь.
б) Радіус кола, описаного навколо основи правильної чотирикутної піраміди, дорівнює 3V2 см,
а апофема — 10 см. Обчисліть бічну поверхню піраміди.
А) 90 см2; Б) 180 см2; В) 360 см2; Г) інша відповідь.
420. а) Висота правильної трикутної піраміди дорівнює 4V3 см, а висота її" основи — 2V3 см.
Обчисліть об'єм піраміди.
А) 48 см3; Б) 16 см3; В) 24 см3; Г) 18 см3; Д) інша відповідь.
б) Основа піраміди — прямокутний трикутник з катетами 6 см і 8 см. Висота піраміди
дорівнює 10 см. Обчисліть об'єм піраміди.
А) 120 см3; Б) 480 см3; В) 80 см3; Г) 240 см3; Д) інша відповідь.
421. а) Знайдіть об'єм правильної чотирикутної піраміди, бічне ребро якої дорівнює 12 см і утворює
з площиною основи кут 60".
А) 144-/3 см3; Б) 36ч/з см3; В) інша відповідь.
б) Знайдіть об'єм правильної чотирикутної піраміди, діагональ основи якої дорівнює 4 см, а бічне
ребро утворює з площиною основи кут 45°.
1
А) 16 см3; Б) 5~~ см3; В) інша відповідь.
З
422. а) Висота правильної трикутної піраміди дорівнює 2V3 см. Двогранний кут при основі дорівнює
45°. Знайдіть об'єм піраміди.
А) 72 см3; Б) 216 см3; В) інша відповідь.
47

б) Висота правильної трикутної піраміди дорівнює 2V3 см. Двогранний кут при основі дорівнює
60°. Знайдіть об'єм піраміди.
о о /о"
A) 96V3 см3; Б) см3; В) інша відповідь.
З
423. а) Апофема правильної трикутної піраміди дорівнює 6 см, а плоский кут при вершині 90°. Знайдіть
площу бічної поверхні піраміди.
А) 54 см2; Б) 108 см2; В) інша відповідь.
б) Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4 см, а плоский кут при вершині
60°. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
/- 16
A) 16V3 см2; Б) —= см2; В) інша відповідь.
V3
424. а) Плоский кут при вершині правильної трикутної піраміди дорівнює 60°, а бічне ребро — 6 см.
Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
А) 27-/3 см2; Б) 27 см2; В) інша відповідь.
б) Плоский кут при вершині правильної чотирикутної піраміди дорівнює 45°, а бічне ребро —
8 см. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
A) 32-^2 см2; Б) 64^2 см2; В) інша відповідь.
425. а) В основі піраміди лежить трикутник із сторонами 4 см, 5 см і 7 см. Висота піраміди
дорівнює 12 см. Обчисліть об'єм піраміди.
А) І6ч/3 см3; Б) 48-/3 см3; В) інша відповідь.
б) Основа піраміди — прямокутний трикутник з гіпотенузою 12 смї гострим кутом 60°. Знайдіть
об'єм піраміди, якщо висота її дорівнює 10 см.
А) 180-/3 см3; Б) 60л/з см3; В) інша відповідь.
426. а) Основа піраміди — прямокутник із сторонами 8 см і 6 см. Дві бічні грані піраміди
перпендикулярні до площини основи. Найбільше бічне ребро нахилене до площини основи під кутом
60°. Знайдіть об'єм піраміди.
А) 144-/3 см3; Б) 144 см3; В) інша відповідь.
б) Основа піраміди — прямокутник із сторонами 4 см і 3 см. Дві бічні грані піраміди
перпендикулярні до площини основи. Найбільше бічне ребро нахилене до площини основи під
кутом 30°. Знайдіть об'єм піраміди.
А) 84ч/з см3; Б) 84 см3; В) інша відповідь.
427. а) В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з катетом 6см і гіпотенузою 12 см. Знайдіть
об'єм піраміди, якщо всі бічні ребра нахилені до площини основи під кутом 30°.
А) 216 см3; Б) 72 см3; В) інша відповідь.
б) В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з гіпотенузою 12 см і гострим кутом 30°.
Знайдіть об'єм піраміди, якщо всі бічні ребра нахилені до площини основи під кутом 45°.
А) 72V3 см3; Б) 72 см3; В) інша відповідь.
428. а) Основою піраміди є ромб з гострим кутом 30° і стороною 4 см. Обчисліть об'єм піраміди, якщо
довжина її висоти 15 см.
A) 40V3 см3; Б) 40 см3; В) інша відповідь.
б) Основою піраміди є ромб з діагоналями 6 см і 9 см. Знайдіть об'єм піраміди, якщо її висота
дорівнює 11 см.
А) 99 см3; Б) 297 см3; В) інша відповідь.
429. а) Основою піраміди є прямокутник зі сторонами 6 см і 15 см. Висота піраміди дорівнює 4 см і
проходить через точку перетину діагоналей основи. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
А) 126 см3; Б) 150 см3; В) інша відповідь.
48

б) Основою піраміди є прямокутник зі сторонами 12-/2 см і 8-^2 см. Висота піраміди дорівнює
4 см і проходить через точку перетину діагоналей основи. Обчисліть котангенси кутів нахилу
бічних граней до площини основи.
Q /о" ^K-J*)
А) і -Я; Б) 3-У2 і V2 ; В) і 2-^2; Г) інша відповідь.
2 2
430. а) В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з катетом 8 см. Основа висоти піраміди —
центр описаного кола з радіусом 5 см. Знайдіть об'єм піраміди, якщо її висота — 7 см.
А) 56 см3; Б) 112 елі3; В) інша відповідь.
б) В основі піраміди лежить прямокутник із стороною 6 см. Основа висоти піраміди — центр
описаного кола з радіусом 5 см. Знайдіть об'єм піраміди, якщо її висота дорівнює 9 см.
А) 144 см3; Б) 432 см3; В) інша відповідь.
431. а) У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро довжиною 5 см утворює з площиною основи
кут 45°. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
А) 25л/2 см2; Б) 25 см2; В) інша відповідь.
б) У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро довжиною 5 см утворює з площиною основи
кут 45°. Знайдіть тангенс кута нахилу бічної грані до площини основи.
А)л/2~; Б) 2; В) 2-^2 ; Г) інша відповідь.
432. а) Висота правильної трикутної піраміди дорівнює 6V3 см. Сторона основи піраміди — 4 см.
Знайдіть об'єм піраміди.
А) 24 см3; Б) 72 см3; В) інша відповідь.
б) Знаючи сторону основи а = 9 см і бічне ребро b = 6 см, знайдіть висоту правильної трикутної
піраміди.
А) 3 см; Б) V63 см; В) інша відповідь.
433. а) У скільки разів збільшиться бічна поверхня правильної трикутної піраміди, якщо сторони
основи збільшити у 2 рази, а апофему — в 3 рази?
А) 6; Б) 12; В) інша відповідь.
б) У скільки разів збільшиться об'єм чотирикутної правильної піраміди, якщо сторону основи
збільшити в 3 рази, а висоту — в 2 рази?
А) 8; Б) 18; В) інша відповідь.
434. а) Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 6см, а бічне ребро утворює з площиною
основи кут 45°. Знайдіть об'єм піраміди.
А) 72 см3; Б) 18 см3; В) інша відповідь; Г) 54 см3.
б) Висота правильної трикутної піраміди 2V3 см, а бічне ребро утворює з площиною основи кут
45°. Знайдіть об'єм піраміди.
А) 72 см3; Б) 18 см3; В) інша відповідь.
435. а) Висота правильної чотирикутної піраміди — 7 см, а сторона основи — 8 см. Знайдіть бічне
ребро піраміди.
А) 9 см; Б) 8 см; В) інша відповідь.
б) Основою піраміди є прямокутник із сторонами 18 см і 24 см. Кожне з бічних ребер
дорівнює 25 см. Знайдіть об'єм піраміди.
А) 2880 см3; Б) 8640 см3; В) інша відповідь.
436. а) Площі основи та бічної поверхні правильної чотирикутної піраміди дорівнюють відповідно
36 см2 та 60 см2. Знайдіть апофему цієї піраміди.
А) 5 см; Б) 2,5 см; В) інша відповідь.
б) Об'єм правильної чотирикутної піраміди — 48 см3, а висота — 4 см. Знайдіть сторону основи
цієї піраміди.
А) 36 см; Б) 6 см; В) інша відповідь.
49

437. а) Бічна грань правильної чотирикутної піраміди нахилена до площини основи під кутом 60°.
Площа основи піраміди — 16 см2. Знайдіть апофему піраміди.
4
А) 4 см; Б) —;~ см; В) інша відповідь.
б) Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 3 см. Бічна грань нахилена до площини
основи під кутом 45". Знайдіть сторону основи піраміди.
А) 3 см; Б) 6 см; В) інша відповідь.
438. а) Апофема бічної грані правильної чотирикутної піраміди дорівнює уЗ см, а кут між апофемою
бічної грані і площиною основи 60*. Знайдіть об'єм піраміди.
А) 1,5 см3; Б) 3 см3; В) інша відповідь.
б) Апофема бічної грані правильної чотирикутної піраміди утворює з висотою піраміди кут 60".
Знайдіть об'єм піраміди, якщо довжина сторони основи 6уЗ см.
А) 108 см3; Б) 36у5 см3; В) інша відповідь.
439. а) У правильній чотирикутній піраміді ребро основи дорівнює Зуб см. Об'єм піраміди
дорівнює 54 см3. Знайдіть висоту піраміди.
А) 6 см; Б) 3 см; В) інша відповідь.
б) Знайдіть сторону основи правильної чотирикутної піраміди, якщо її бічне ребро утворює з
площиною основи кут 45°, а плоша діагонального перерізу дорівнює 36 см2.
А) 6 см; Б) уб см; В) інша відповідь.
440. а) Обчисліть об'єм піраміди, основою якої є прямокутник із сторонами 4 дм і 3 дм, а кожне
бічне ребро дорівнює 6,5 дм.
А) 72 дм3; Б) 24 дм3; В) інша відповідь.
б) Обчисліть об'єм піраміди, основою якої є прямокутник із сторонами &см і беж, а кожне бічне
ребро дорівнює ІЗ см.
А) 576 см3; Б) 192 см3; В) інша відповідь.
2. Завдання підвищеного рівня (№№ 441 — 495)
441. а) Обчисліть об'єм і повну поверхню правильного тетраедра, якщо радіус кола, описаного навколо
його грані, дорівнює R.
б) Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює а, а двогранний кут при основі — а.
Визначте об'єм і повну поверхню піраміди.
442. а) Апофема правильної трикутної піраміди дорівнює /, а двогранний кут при ребрі основи — ос
Знайдіть бічну поверхню піраміди.
б) Діагональ основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює т, а двогранний кут при ребрі
основи — а. Визначте бічну поверхню піраміди.
443. а) Відстань від основи висоти правильної чотирикутної піраміди до її бічного ребра дорівнює а,
а її бічне ребро утворює з площиною основи кут р. Знайдіть бічне ребро піраміди.
б) Знайдіть бічне ребро правильної трикутної піраміди, висота якої дорівнює h; а двогранний кут
при стороні основи дорівнює а.
444. а) Діагональ квадрата, що лежить в основі правильної чотирикутної піраміди» дорівнює її бічному
ребру і дорівнює 4 см. Знайдіть об'єм піраміди.
б) Сторона основи правильної трикутної піраміда дорівнює 1 см, а площа її бічної поверхні —
З см2. Знайдіть об'єм піраміди.
445. а) У правильній трикутній піраміді бічне ребро дорівнює Ь, а плоский кут нрв вершині — р\
Знайдіть площу повної поверхні піраміди.
б) У правильній трикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює а. Визначте площу бічної
поверхні піраміди, якщо радіус кола, описаного навколо бічної грані, дорівнює R.
446. а) У правильній трикутній піраміді апофема дорівнює І і утворює з висотою- піраміди кут р\
Визначте об'єм піраміди.
50

6) У правильній трикутній піраміді бічне ребро дорівнює b і утворює з висотою піраміди кут а.
Визначте об'єм піраміди.
447. а) У правильній трикутній піраміді бічна грань утворює з площиною основи кут а. Визначте
об'єм піраміди, якщо радіус кола, описаного навколо її основи, дорівнює R.
б) У правильній трикутній піраміді бічне ребро утворює з площиною основи кут {$. Визначте
об'єм піраміди, якщо радіус кола, вписаного в її основу, дорівнює т.
448. а) У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро утворює зі стороною основи кут р. Визначте
бічну поверхню піраміди, якщо радіус кола, вписаного в бічну грань, дорівнює г.
б) У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро утворює зі стороною основи кут р. Відрізок,
що сполучає центр вписаного в бічну грань кола, з вершиною основи цієї грані, дорівнює І.
Визначте бічну поверхню піраміди.
449. а) У правильній трикутній піраміді двогранний кут при основі дорівнює а. Визначте повну поверхню
піраміди, якщо відстань від основи її висоти до бічної грані дорівнює а.
б) У правильній трикутній піраміді двогранний кут при основі дорівнює а. Відрізок, який сполучає
середину висоти піраміди з серединою апофеми, дорівнює а. Визначте об'єм піраміди.
450. а) У правильній трикутній піраміді висота утворює з площиною бічної грані кут р. Відстань від
середини висоти до бічної грані дорівнює Ь. Визначте об'єм піраміди.
б) У правильній трикутній піраміді висота утворює з площиною бічної грані кут р. Визначте
повну поверхню піраміди, якщо відстань від основи висоти до бічної грані дорівнює Ь.
451. а) У правильній трикутній піраміді апофема утворює з її висотою кут а. Визначте повну поверхню
піраміди, якщо відрізок, що сполучає основу висоти з серединою апофеми, дорівнює Ь.
б). У правильній трикутній піраміді бічне ребро утворює з висотою кут а. Визначте об'єм піраміди,
якщо відстань від середини висоти до бічного ребра дорівнює а.
452. а) У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює а. Визначте бічну
поверхню піраміди, якщо радіус кола, описаного навколо бічної грані, дорівнює R.
б) У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює а. Відрізок, що сполучає
центр кола, описаного навколо бічної грані, з серединою бічного ребра цієї грані, дорівнює d.
Визначте бічну поверхню піраміди.
453. а) У правильній чотирикутній піраміді бічна грань нахилена до площини основи Під кутом р.
Відрізок, що сполучає середину висоти піраміди з серединою апофеми, дорівнює т. Визначте
об'єм піраміди.
б) У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро утворює з площиною основи кут р. Відрізок,
що сполучає середину висоти піраміди з серединою бічного ребра, дорівнює т. Визначте
об'єм піраміди.
454. а) У правильній чотирикутні? піраміді бічне ребро утворює з висотою кута. Відрізок, що сполучає
основу висоти з серединою бічного ребра, дорівнює а. Визначте об'єм піраміди.
б) У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро утворює з висотою кут а. Відстань від середини
висоти піраміди до бічного ребра дорівнює d. Визначте об'єм піраміди.
455. а) У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро утворює з площиною основи кут а. Відстань
від середини висоти піраміди до бічного ребра дорівнює Ь. Визначте об'єм піраміди.
б) У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро утворює з висотою кут а. Відрізок, що сполучає
середину висоти піраміди з серединою бічного ребра, дорівнює а. Визначте об'єм піраміди.
456. а) У правильній чотирикутній піраміді двогранний кут при основі дорівнює а. Визначте повну
поверхню піраміди, якщо відстань від основи її висоти до бічної грані дорівнює d.
б) У правильній чотирикутній піраміді висота утворює з бічною гранню кут р. Відстань віл
середини висоти піраміди до бічної грані дорівнює т. Визначте об'єм піраміди.
457. а) У правильній чотирикутній піраміді бічна грань утворює з площиною основи кут а. Відріг
що сполучає середину висоти піраміди з серединою апофеми, дорівнює а. Визначте об'єм пірамь-
б) У правильній чотирикутній піраміді висота утворює з бічною гранню кут р. Відрізок, шг
сполучає основу висоти з серединою апофеми, дорівнює Ь. Визначте повну поверхню пірамід;1,.
458. а) У правильній чотирикутній піраміді кут між апофемою і площиною основи дорівнює а. Бісектриса
цього кута перетинає висоту піраміди в точці, яка розміщена на відстані d від апофеми.
Визначте бічну поверхню піраміди.
51

б) У правильній чотирикутній піраміді апофема утворює з висотою кут р. Серединний
перпендикуляр, проведений до апофеми, перетинає висоту піраміди в точці, що знаходиться на відстані
/ від вершини піраміди. Визначте бічну поверхню піраміди.
459. а) У правильній чотирикутній піраміді кут між бічним ребром і площиною основи дорівнює р.
Бісектриса цього кута перетинає висоту піраміди в точці, яка знаходиться на відстані b від
бічного ребра. Визначте об'єм піраміди.
б) У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро утворює з висотою піраміди кут а.
Перпендикуляр, проведений до середини бічного ребра, перетинає висоту піраміди в точці, що
знаходиться на відстані d від вершини- основи. Визначте об'єм піраміди.
460. а) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині і бічною стороною
Ь. Визначте об'єм піраміди, якщо всі її бічні ребра нахилені до основи під кутом р.
б) В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з катетом а і прилеглим гострим кутом р.
Визначте об'єм піраміди, якщо всі бічні ребра піраміди нахилені до її основи під кутом а.
461. а) Основою піраміди є прямокутний трикутник з гострим кутом а. Висота піраміди дорівнює Н.
Кожне бічне ребро утворює з її основою кут р. Знайдіть об'єм піраміди.
б) Основою піраміди є прямокутний трикутник з гострим кутом р г гіпотенузою с. Кожне бічне
ребро утворює з основою кут а. Знайдіть об'єм піраміди.
462. а) Основою піраміди є прямокутний трикутник з гострим кутом а і гіпотенузою с. Кожна бічна
грань нахилена до основи піраміди під кутом р. Знайдіть бічну поверхню піраміди.
б) Основою піраміди є прямокутний трикутник з гострим кутом а і катетом Ь, прилеглим до
нього..Кожна бічна грань нахилена до основи піраміди під кутом р. Знайдіть бічну поверхню
піраміди.
463. а) В основі піраміди лежить ромб, більша діагональ якого дорівнює d, а гострий кут — а. Бічні
грані піраміди нахилені до основи під кутом р. Знайдіть об'єм піраміди.
б) В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з катетом а і протилежним кутом а. Бічні
ребра піраміди утворюють з- основою кут <р. Знайдіть об'єм піраміди.
464. а) Основа піраміди — ромб зі стороною а і гострим кутом а. Бічні грані піраміди нахилені до
основи під кутом р. Знайдіть бічну поверхню піраміди.
б) Основа піраміди — ромб зі стороною b і тупим кутом р. Бічні грані піраміди нахилені до
основи під кутом а. Знайдіть бічну поверхню піраміди.
465. а) Основою піраміди є трикутник зі сторонами 4 см. 13 см і 15 см. Висота цієї піраміди Проходить
через вершину меншого кута основи. Відстань від вершини піраміди до прямої, що містить
меншу сторону основи, дорівнює 37 см. Знайдіть об'єм піраміди.
б) Основою піраміди є трикутник ABC, сторони якого АВ = 20 см, АС — 29 см, ВС = 21 см.
Грані DAB і DAC перпендикулярні до основи, а грань DBC утворює з нею кут 60". Знайдіть
об'єм піраміди.
466. а) Основою піраміди є трикутник із сторонами 13 см, 15 см і 14 см. Бічні грані, що містять
сторони 13 см і 15 см, перпендикулярні до основи. Знайдіть бічну поверхню піраміди, якщо її
висота дорівнює 9 см.
б) Основою піраміди є трикутник із сторонами 11 см. 24 см і 31 см. Бічна грань, що містить
найменшу сторону основи, перпендикулярна до основи, а протилежне до цієї сторони ребро
утворює з основою кут 30°. Знайдіть площу цієї грані.
467. а) Основа піраміди — рівнобедрений прямокутний трикутник з гіпотенузою с. Бічна грань, що
містить гіпотенузу, перпендикулярна до основи піраміди, а бічне ребро, що не належить цій
грані, нахилене до основи під кутом а. Знайдіть об'єм піраміди.
б) Бічна грань чотирикутної піраміди, в основі якої лежить квадрат, перпендикулярна до основи.
Протилежна бічна грань нахилена до основи під кутом а. Знайдіть об'єм піраміди, якщо
діагональ квадрата дорівнює d.
468. а) Основою піраміди є правильний трикутник. Дві бічні грані піраміди перпендикулярні до основи,
а третя — нахилена до неї під кутом а. Висота піраміди дорівнює Н. Визначте бічну поверхню
піраміди.
б) Основою піраміди є правильний трикутник із сторонами а. Дві бічні грані піраміди
перпендикулярні до основи, а третя — нахилена до неї під кутом р. Визначте бічну поверхню піраміди.
52

469. а) Основою піраміди є прямокутний трикутник з катетом b і прилеглим до нього гострим кутом
р. Дві бічні грані, що містять катети цього трикутника, перпендикулярні до основи, а третя —
нахилена до неї під кутом а. Визначте бічну поверхню піраміди.
б) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом р при основі і радіусом вписаного
кола г. Дві нерівні бічні грані перпендикулярні до основи, а третя — нахилена до неї під кутом
а. Визначте об'єм піраміди.
470. а) Основою піраміди є прямокутний трикутник з гіпотенузою с і гострим кутом а. Дві бічні
грані, що містять сторони цього кута, перпендикулярні до основи, а третя — нахилена до неї
під кутом р. Визначте бічну поверхню піраміди.
б) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом ос при вершині і радіусом описаного
кола R. Дві бічні грані, які містять сторони цього кута, перпендикулярні до основи, а третя —
нахилена до неї під кутом р. Визначте об'єм піраміди.
471. а) В основі піраміди лежить правильний трикутник. Дві бічні грані піраміди перпендикулярні до
основи, а третя — утворює з нею кут а. Відстань від основи висоти піраміди до третьої бічної
грані дорівнює й. Визначте об'єм піраміди.
б) В основі піраміди лежить правильний трикутник. Дві бічні грані піраміди перпендикулярні до
основи, а третя — утворює з висотою піраміди кут у. Відстань від середини висоти піраміди до
третьої бічної грані дорівнює /. Визначте об'єм піраміди.
472. а) Основа піраміди — квадрат. Дві суміжні бічні грані перпендикулярні до основи, а дві інші —
нахилені до неї під кутом у. Рівні бічні ребра піраміди дорівнюють Ь. Знайдіть об'єм піраміди.
б) Основа піраміди — прямокутник. Дві бічні грані піраміди містять її висоту, яка дорівнює Н, а
дві інші — нахилені до основи під кутами а і р. Знайдіть об'єм піраміди.
473. а) Основа піраміди — квадрат із стороною а. Дві суміжні бічні грані піраміди перпендикулярні
до основи, а дві інші нахилені під кутом а. Знайдіть бічну поверхню піраміди.
б) Основа піраміди — квадрат. Дві суміжні бічні грані перпендикулярні до основи, а дві інші —
нахилені під кутом р. Висота піраміди дорівнює Н. Знайдіть бічну поверхню піраміди.
474. а) В основі піраміди лежить ромб із стороною а і гострим кутом а. Дві бічні грані піраміди, що
містять сторони цього кута, перпендикулярні до основи, а дві інші нахилені під кутом р до
основи. Знайдіть бічну поверхню піраміди.
б) В основі піраміди лежить ромб із стороною а і тупим кутом р. Дві бічні грані піраміди, що
містять сторони цього кута, перпендикулярні до основи, а дві інші — нахилені до неї під кутом
a. Знайдіть бічну поверхню піраміди.
475. а) Основа піраміди — прямокутний трикутник з гіпотенузою с і гострим кутом а. Бічна грань,
що містить катет, протилежний до даного кута, перпендикулярна до неї, а дві інші — нахилені
до неї під кутом р. Визначте об'єм піраміди.
б) Основа піраміди — прямокутний трикутник з гострим кутом р і прилеглим до нього катетом
b. Бічна грань, що містить гіпотенузу, перпендикулярна до основи, а дві інші — нахилені до
неї під кутом а. Знайдіть об'єм піраміди.
476. а) Основа піраміди — прямокутний трикутник з гострим кутом а. Бічна грань, що містить
гіпотенузу, перпендикулярна до основи, а дві інші — нахилені до неї під кутом р. Висота
піраміди дорівнює И. Знайдіть об'єм піраміди.
б) Основа піраміди — прямокутний трикутник з гострим кутом р. Висота цього трикутника,
проведена до гіпотенузи, дорівнює h. Бічна грань, що містить катет, прилеглий до даного кута,
перпендикулярна до основи, а дві інші — нахилені до неї під кутом а. Знайдіть об'єм піраміди.
477. а) Основа піраміди — прямокутний трикутник з гострим кутом р і протилежним катетом а.
Бічна грань, що містить даний катет, перпендикулярна до основи, а дві інші — нахилені до неї
під кутом а. Знайдіть об'єм піраміди.
б) Основа піраміди — рівнобедрений трикутник з основою а і кутом а при основі. Бічна грань
піраміди, що містить основу цього трикутника, перпендикулярна до основи, а дві інші —
нахилені до неї під кутом р. Знайдіть об'єм піраміди.
478. а) Основою піраміди є правильний трикутник, площа якого дорівнює S. Одна бічна грань піраміди
перпендикулярна до основи, а дві інші — нахилені до неї під кутом а. Визначте об'єм піраміди.
б) Основою піраміди є правильний трикутник. Одна бічна грань піраміди має площу Q і
перпендикулярна до основи. Дві інші бічні грані піраміди нахилені до неї під кутом р. Визначте об'єм
піраміди.
53

479. а) Основою піраміди є прямокутний трикутник з гіпотенузою с і гострим кутом а Бічна грань,
що містить гіпотенузу, перпендикулярна до основи, а дві інші — нахилені до неї під кутом р.
Визначте об'єм піраміди.
6) Основою піраміди є рівнобедрений трикутн-ик з бічною стороною b і кутом р при вершині.
Бічна грань піраміди, шо містить бічну сторону цього трикутника, перпендикулярна до основи,
а дві інші — нахилені до неї під кутом а. Визначте об'єм піраміди.
480. а) Основою піраміди є рівнобедрений трикутник з основою а і кутом а при вершині. Бічна грань,
що містить основу цього трикутника, перпендикулярна до основи, а дві інші — нахилені до неї
під кутом р. Визначте бічну поверхню піраміди.
б) Основою піраміди є рівнобедрений трикутник з бічною стороною Ь і кутом р при основі. Бічна
грань, що містить бічну сторону цього трикутника, перпендикулярна до основи, а дві інші —
нахилені до неї під кутом а. Визначте бічну поверхню піраміди.
481. а) Основою піраміди є прямокутний трикутник з гіпотенузою с і гострим кутром р. Бічна грань,
що містить гіпотенузу, перпендикулярна до основи, а дві інші — нахилені до неї під кутом а.
Визначте бічну поверхню піраміди.
б) Основою піраміди є прямокутний трикутник з катетом а і прилеглим до нього гострим кутом
а. Бічна грань, що містить інший катет цього трикутника, перпендикулярна до неї, а дві інші
— нахилені до основи під кутом р. Визначте бічну поверхню піраміди.
482. а) Основа піраміди — правильний трикутник із стороною а. Одна бічна грань піраміди
перпендикулярна до основи, а дві інші — нахилені до неї під кутом р. Знайдіть бічну поверхню піраміди.
б) Основа піраміди — правильний трикутник. Одна бічна грань піраміди перпендикулярна до
основи, а дві інші — нахилені до неї під кутом р. Висота піраміди дорівнює Н. Знайдіть бічну
поверхню піраміди.
483. а) Основа піраміди — рівнобедрений трикутник з кутом р при вершині. Дві бічні грані піраміди,
що містять сторони цього кута, перпендикулярні до основи, а третя — нахилена до неї під
кутом а. Відстань від основи висоти.до третьої бічної грані дорівнює й. Знайдіть об'єм піраміди.
б) Основа піраміди — рівнобедрений трикутник з кутом а при основі. Дві бічні грані піраміди,
що містять сторони цього кута, перпендикулярні до неї, а третя нахилена до неї під кутом р.
Відстань від основи висоти піраміди до третьої бічної грані дорівнює /. Знайдіть об'єм піраміди.
484. а) Основа піраміди — ромб з гострим кутом а. Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього
кута, перпендикулярні до основи. Дві інші бічні грані нахилені до неї під кутом |3, а відстань
від основи висоти піраміди до цих граней дорівнює й. Визначте об'єм піраміди.
б) Основа піраміди — ромб з тупим кутом р. Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього
кута, перпендикулярні до основи. Дві інші бічні грані нахилені до неї під кутом сс, а відстань
від середини висоти піраміди до цих граней дорівнює й. Визначте об'єм піраміди.
485. а) Основою піраміди є рівнобедрений трикутник з кутом а при основі. Бічна грань, яка містить
бічну сторону цього трикутника, перпендикулярна до основи, а дві інші — нахилені до неї під
кутом р. Висота піраміди дорівнює Н. Визначте об'єм піраміди.
б) Основою піраміди є рівнобедрений трикутник з бічною стороною b і кутом Р при вершині.
Бічна грань, що містить основу цього трикутника, перпендикулярна до основи піраміди, а дві
інші —<■ нахилені до неї під кутом а. Визначте об'єм піраміди.
486. а) Основою піраміди є прямокутний трикутник з гострим кутом а. Дві бічні грані піраміди, що
містять сторони цього кута, перпендикулярні до основи, а третя — нахилена до неї під кутом
р. Відстань від основи висоти піраміди до третьої бічної грані дорівнює d. Визначте об'єм
піраміди.
б) Основою піраміди є прямокутний трикутник з гострим кутом р. Дві бічні грані піраміди, що
містять катети цього трикутника, перпендикулярні до основи, а третя — нахилена до неї під
кутом а. Відстань від середини висоти піраміди до третьої бічної грані дорівнює /. Визначте
об'єм піраміди.
487. а) Кожне бічне бічне ребро піраміди дорівнює 2V41 см. Основа піраміди — прямокутний
трикутник з катетами 12 см і 16 см. Обчисліть об'єм піраміди.
б) Визначте повну поверхню правильної трикутної зрізаної піраміди, бічне ребро якої
дорівнює 10 см, а сторони основ — 18 см і 6 см.
54

488. а) Основою піраміди є рівнобедрений трикутник ABC з основою АС = 70 см, бічною стороною
АВ = 37см. Ребро піраміди, що проходить через вершину В, перпендикулярне до площини
основи і дорівнює 16 см. Обчисліть бічну поверхню піраміди.
б) Основою піраміди DABC є трикутник із стороною АС = 13 см; АВ = 15 см; СВ = 14 см. Бічне ребро
DA перпендикулярне до площини основи і дорівнює 9 см. Знайдіть площу повної поверхні піраміди.
489. а) Основою піраміди є трикутник із сторонами 13 дм, 20 дм, 21 дм. Обчисліть об'єм піраміди,
якщо двогранні кути при основі мають по 30°.
б) Повна поверхня правильної чотирикутної піраміди дорівнює 108 см2. Двогранний кут при
основі дорівнює 60°. Обчисліть об'єм піраміди.
490. а) Діагоналі основ правильної чотирикутної зрізаної піраміди дорівнюють 6 елі 2 см, а двогранний
кут при ребрі більшої основи — 60°. Знайдіть площу бічної поверхні зрізаної піраміди.
б) Сторони основ правильної трикутної зрізаної піраміди дорівнюють 4 см і 3 см, а двогранний
кут при ребрі більшої основи — 45°. Знайдіть площу бічної поверхні зрізаної піраміди.
491. а) Сторони основ правильної зрізаної трикутної піраміди дорівнюють 2 см і 6 см. Бічна грань
утворює з більшою основою кут 60°. Знайдіть висоту піраміди.
б) Сторони основ правильної зрізаної трикутної піраміди — 4 дм і 1 дм, а бічне ребро — 2 дм.
Знайдіть висоту піраміди.
492. а) Площі основ правильної трикутної зрізаної піраміди — 75V3 м2 і 12 V3 м2, а висота повної
о
піраміди — 6_ м. Визначте об'єм зрізаної піраміди.
б) Знайдіть об'єм правильної чотирикутної зрізаної піраміди, сторони основи якої дорівнюють
4 дм і 8 дм, а діагональ — 11 дм.
493. а) Сторони основ правильної зрізаної трикутної піраміди відносяться як 1 : 2, висота піраміди
дорівнює 3 см, бічне ребро утворює з більшою основою кут 45°. Знайдіть площі основ піраміди.
б) Сторони основ правильної чотирикутної зрізаної піраміди дорівнюють 4 см і 2 см, а гострик
кут бічної грані — 60°. Знайдіть висоту зрізаної піраміди.
494. а) У правильній зрізаній чотирикутній піраміді сторона верхньої основи дорівнює 3 см, а бічне
ребро довжиною 5 см нахилене до більшої основи під кутом 45°. Знайдіть об'єм зрізап
піраміди.
б) У правильній зрізаній трикутній піраміді сторона нижньої основи дорівнює 15 см, а бічік
ребро довжиною 8 см нахилене під кутом 30° до основи піраміди. Знайдіть об'єм зрізаної
піраміди.
495. а) Висота правильної чотирикутної зрізаної піраміди дорівнює 4 см, сторони основ — 2 см і 8 см.
Знайдіть площу діагонального перерізу.
б) Сторони основ правильної зрізаної трикутної піраміди — 4 дм і 1 дм. Бічне ребро 2 дм.
Знайдіть висоту піраміди.
3. Завдання поглибленого рівня (№№ 496 — 531)
496. а) У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює а. Знайдіть об'єм
піраміди, якщо її висота дорівнює Н.
б) У правильній трикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює р. Знайдіть об'єм піраміди,
якщо її висота дорівнює А.
497. а) Знайдіть повну поверхню правильної трикутної піраміди за даним її об'ємом V і кутом а між
бічною гранню і площиною основи.
б) У правильній чотирикутній піраміді висота дорівнює h і утворює з апофемою кут а. Знайдіть
повну поверхню піраміди.
498. а) У правильній трикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює а, а радіус кола, описаного
навколо бічної грані, дорівнює R. Знайдіть об'єм піраміди.
б) У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює р, а радіус кола,
описаного навколо бічної грані, дорівнює R. Обчисліть об'єм піраміди.
499. а) У правильній чотирикутній піраміді двогранний кут при бічному ребрі дорівнює а. Знайдіть
об'єм піраміди, якщо її висота дорівнює Н.
55

б) У правильній трикутній піраміді двогранний кут при бічному ребрі дорівнює р. Знайдіть об'єм
піраміди, якщо висота піраміди дорівнює h.
500. а) У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює а. Знайдіть об'єм
піраміди, якщо її бічне ребро дорівнює Ь.
б) У правильній трикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює р. Знайдіть об'єм піраміди,
якщо її бічне ребро дорівнює /.
501. а) У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро дорівнює Ь, а двогранний кут при основі — а.
Знайдіть повну поверхню піраміди.
б) У правильній трикутній піраміді бічне ребро дорівнює т, а двогранний кут при основі — р.
Знайдіть повну поверхню піраміди.
502. а) Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює а. Кут між суміжними бічними
гранями дорівнює сс. Знайдіть бічну поверхню піраміди.
б) Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює а, а площа бічної поверхні — S.
Знайдіть кут між суміжними бічними гранями.
503. а) У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро дорівнює Ь, а бічна грань нахилена до площини
основи під кутом а. Визначте об'єм піраміди.
б) У правильній трикутній піраміді бічне ребро дорівнює /, а бічна грань нахилена до площини
основи під кутом р. Знайдіть об'єм піраміди.
504. а)У правильній чотирикутній піраміді апофема дорівнює І, а бічне ребро утворює з площиною
основи кут р. Знайдіть об'єм піраміди.
б) У правильній трикутній піраміді апофема дорівнює h, а бічне ребро утворює з площиною
основи кут а. Знайдіть об'єм піраміди.
505. а) У правильній чотирикутній піраміді двогранний кут при основі дорівнює а. Через сторону
основи проведено площину під кутом ф до основи (а > ф). Знайдіть площу перерізу, якщо
висота піраміди дорівнює h.
б) У правильній чотирикутній піраміді бічна грань нахилена до площини основи під кутом р.
Через сторону основи проведено площину, перпендикулярну до протилежної бічної грані.
Знайдіть площу перерізу, якщо радіус вписаної кулі дорівнює г.
506. а) Знайдіть об'єм правильної трикутної піраміди, якщо площина, що проходить через сторону
основи а і середину її висоти нахилена до основи під кутом ф.
б) Знайдіть бічну поверхню правильної трикутної піраміди, якщо площина, що проходить через
сторону основи а і середину її висоти, нахилена до основи під кутом ф.
507. а) У правильній чотирикутній піраміді SABCD сторона основи дорівнює 4 см. Через сторону CD
основи проведено переріз, який перетинає грань SAB по середній лінії трикутника SAB.
Площа перерізу дорівнює 18 см2. Знайдіть об'єм піраміди SABCD.
б) У правильній чотирикутній піраміді SABCD площина, проведена через сторону AD
перпендикулярно до грані SBC, ділить цю грань на дві рівновеликі частини. Знайдіть площу повної
поверхні піраміди, якщо AD = а.
508. а) Визначити бічну поверхню правильної шестикутної піраміди, якщо сторона основи дорівнює
а, а бічна грань рівновелика діагональному перерізу, проведеному через діаметр основи.
б) Основою піраміди є правильний шестикутник із стороною а; одне з бічних ребер
перпендикулярне до площини основи і дорівнює стороні основи. Визначте площу бічної поверхні цієї піраміди.
509. а)Е основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині. Дві рівні бічні
грані перпендикулярні до площини основи, а третя — нахилена до неї під кутом р. Визначте
площу повної поверхні піраміди, якщо менше бічне ребро дорівнює d.
б) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом р при основі. Дві бічні грані, що
містять сторони цього кута, перпендикулярні до площини основи, а третя — нахилена до неї
під кутом а. Визначте площу повної поверхні піраміди, якщо менше бічне ребро дорівнює /.
510. а) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом р при вершині. Радіус описаного
навколо нього кола дорівнює R. Дві рівні бічні грані перпендикулярні до основи, а третя грань
нахилена до неї під кутом а. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
б) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при основі. Радіус вписаного в
нього кола дорівнює г. Дві рівні бічні грані перпендикулярні до основи, а третя грань нахилена
до неї під кутом р. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
56

511. а) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині. Дві рівні бічні грані
піраміди перпендикулярні до основи, а третя грань нахилена до неї під кутом р. Визначте
об'єм піраміди, якщо її більше бічне ребро дорівнює Ь.
б) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом р при основі. Дві рівні бічні грані
піраміди перпендикулярні до основи. Більше бічне ребро піраміди утворює з основою кут ос.
Визначте об'єм піраміди, якщо відстань від її вершини до основи рівнобедреного трикутника
дорівнює /.
512. а) В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з кутом а. Дві бічні грані, що містять
сторони цього кута, перпендикулярні до основи, а третя грань нахилена до неї під кутом р.
Знайдіть об'єм піраміди, якщо більше бічне ребро дорівнює /.
б) В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з кутом р. Дві бічні грані, що містять
катети, перпендикулярні до основи, а третя грань нахилена до неї під кутом а. Знайдіть об'єм
піраміди, якщо бічне ребро, що містить вершину даного кута р, дорівнює Ь.
513. а) В основі піраміди лежить прямокутний трикутник. Дві бічні грані, що містять сторони гострого
кута цього трикутника, перпендикулярні до основи. Найменше бічне ребро піраміди дорівнює
/, а два інші бічні ребра нахилені до площини основи під кутами а і Р (а < р). Обчисліть об'єм
піраміди.
б) В основі піраміди лежить прямокутний трикутник. Дві бічні грані, що містять гіпотенузу і
катет цього трикутника, перпендикулярні до площини основи. Найменше бічне ребро утворює
з двома іншими бічними ребрами кутисе і р (а > р). Обчисліть об'єм піраміди, якщо найбільше
бічне ребро дорівнює й.
514. а) В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з кутом а. Дві бічні грані, що містять
сторони цього кута, перпендикулярні до основи, а третя — нахилена до неї під кутом р.
Визначте повну поверхню піраміди, якщо найменше бічне ребро дорівнює /.
б) В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з кутом р. Дві бічні грані, що містять
катети цього трикутника, перпендикулярні до основи, а третя грань нахилена до неї під кутом
а. Визначте повну поверхню піраміди, якщо найменше бічне ребро дорівнює d.
515. а) В основі піраміди лежить квадрат. Дві бічні суміжні грані піраміди перпендикулярні до основи,
а дві інші — нахилені до неї під кутом ф. Визначте об'єм піраміди, якщо найбільше бічне
ребро дорівнює І.
б) В основі піраміди лежить правильний трикутник. Дві бічні грані перпендикулярні до основи,
а третя — нахилена до неї під кутом ф. Визначте об'єм піраміди, якщо найбільше бічне ребро
дорівнює /.
516. а) В основі піраміди лежить прямокутник. Дві суміжні бічні грані піраміди перпендикулярні до
основи, а дві інші — нахилені до неї під кутами а і р (а > р). Визначте бічну поверхню
піраміди, якщо висота піраміди дорівнює h.
б) В основі піраміди лежить прямокутник. Дві суміжні бічні грані піраміди перпендикулярні до
площини основи, а найбільше бічне ребро дорівнює І і утворює із сторонами основи відповідно
кути ос і Р (а < р). Визначте площу бічної поверхні піраміди.
517. а) В основі піраміди лежить ромб. Дві суміжні бічні грані її перпендикулярні до площини основи
і утворюють між собою тупий кут а, а дві інші бічні грані нахилені до основи під кутом р.
Визначте площу бічної поверхні піраміди, якщо висота піраміди дорівнює h.
б) В основі піраміди лежить ромб, більша діагональ якого дорівнює /. Дві суміжні бічні грані
піраміди перпендикулярні до основи і утворюють між собою гострий кут р, а дві інші бічні
грані утворюють з основою кут а. Визначте площу бічної поверхні піраміди.
518. а) Основа піраміди — паралелограм з гострим кутом 30° і сторонами 32 см і 70 см. Бічне ребро
довжиною 12 см перпендикулярне до основи. Знайдіть площу поверхні піраміди,
б) Основа піраміди — ромб з діагоналями 30 см і 40 см. Бічне ребро довжиною 18 см
перпендикулярне до основи. Знайдіть площу поверхні піраміди.
519. а) В основі піраміди лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною с і гострим кутом а. Всі бічні
грані піраміди нахилені до основи під кутом р. Знайдіть об'єм піраміди.
б) В основі піраміди лежить прямокутна трапеція з більшою бічною стороною d і гострим кутом
р. Всі бічні грані піраміди нахилені до основи під кутом а. Знайдіть об'єм піраміди.
57

520. а) В основі піраміди лежить рівнобедрена трапеція з бічною стороною с і гострим кутом «. Бічна
грань піраміди, що містить більшу основу трапеції, перпендикулярна до основи піраміди, а три
інші грані нахилені до неї під кутом р. Знайдіть об'єм піраміди.
б) В основі піраміди лежить прямокутна трапеція з більшою бічною стороною d і гострим кутом
З- Бічна грань піраміди, що містить більшу основу трапеції, перпендикулярна до основи, а три
інші нахилені до неї під кутом а. Знайдіть об'єм піраміди.
521. а) Основа піраміди — трапеція, в якої паралельні сторони — ЗО см і 48 см, а висота — ІЗ см.
Довжина кожного бічного ребра піраміди — 65 см. Знайдіть об'єм піраміди.
б) Основа піраміди — трапеція, в якої одна з бічних сторін — ІЗ см, а паралельні сторони
дорівнюють 5 см і 45 см. Двогранні кути при основі рівні між собою Висота піраміди — 8 см.
Знайдіть площу поверхні піраміди.
522. а) Площі основ зрізаної піраміди дорівнюють І8 м2 і 128 лг. Визначте площу паралельного
перерізу, який ділить висоту у відношенні 2 ■ 3, починаючи від меншої основи.
б) Висоту зрізаної піраміди поділено на три рівні частини і чеггез точки поділу проведено площини,
паралельні основам. Визначте площі одержаних перерізів, якщо площі основ 32 м2 і 2 м2.
523. а) У правильній трикутній зрізаній піраміді сторони основ дорівнюють 8 м і 5 м. а висота — 3 м.
Проведіть переріз через сторону нижньої основи і протилежну їй вершину верхньої основи.
Визначте площу перерізу.
б) У правильній чотирикутній зрізаній піраміді сторони основ дорівнюють 6 см і 8 см, а бічне
ребро — 10 см. Проведіть переріз через кінець діагоналі меншої основи перпендикулярно до
цієї діагоналі і визначте його площу.
524. а) У правильній чотирикутній зрізаній піраміді апофема і сторони основ відносяться як 5:8. 2,
З
а об'єм — 1 — м*. Визначте в повну поверхню,.
4
б) Визначте об'єм правильної трикутної зрізаної піраміди, в якої сторони основ — ЗО м і 20 м,
а площа бічної поверхні рівновелика сумі площ основ.
525.. а) Бічна грань правильної зрізаної чотирикутної піраміди нахилена до більшої основи під кутом
а. Площа нижньої основи піраміди в дев'ять разиз більша за площу верхньої основи,, а її обгєм:
дорівнює V. Знайдіть бічну поверхню піраміди.
6) Знайдіть об'єм правильної зрізаної чотирикутної піраміди, якщо, сторони основ дорівнюють а
і b Іа > Й, а гострий кут бічної грані дорівню* о.
526. а) Площі основ і діагонального перерізу правильної' чотирикутної зрізаної піраміда відповідно
дорівнюють 16 <?jm2. 324 йм2 і 88 дм2. Знайдіть площу бічної поверхні зрізаиої піраміди.
б) Площі основ травильної чотирикутної зрізаної' иірамщи 72' см3- ї 392 см?- шита найменшого
осьового перерізу — 60 єм?. Знайдіть, площу бічної поверхні зрізаної піраміди.
527. а} Основи зрізаної піраміди — квадрата зі сторонами S см ї 4 см* одна з бічних граней —
рівішбАчна трапеція, що керяениикуліяірва до основ, а протилежна до неї грань утворює з
основою кут 60". Знайдагь шгощу бічної иове|Шй зрізаиої піршеди..
б) Площі основ зрізаної піраміди відносяться як І : 4. Більша основа — ромб з діагоналями &дм
іі Ш &м.. ©дає з бічних ребер вершендакулирне до основа і дорівнює 7 дт. Знайдіть шгощу
поверхти цієї піраміда..
52&. а)Плота бічної поверхні правильна* трикутної шрамщи дорівнює J8-rf3 см?,. я шовний поверхні
— 27V3> єм?. Вижату піраміди тодегени на три рйші частини іі через точки гаюдішу проведено,
перерізи паралельно, основі. Вгонакге об'єм зрізаної шраиіди, обмежений щйют иараугельними
перерізамії.
й) Стицони основ правильної зрізаної чотирикутної піраміди дорівнюють 24 єм і 12 єя, а висота
— 36 єм. Через точку перетину діагоналей ирстедаяа площину параледьлв основам піраміди.
Знайдіть об"єм зрізаної траміии, обмежений цш» перерізом і нижньою' ошсдаода.
529. aj. Довжини сторін основ, і висота правильна* чотирикутної зрізаної піраміди відносяться як
S :. © : 2.. Пикмжи бікної' таверзшаї — 3 Йм2'. Знайдіть, швдиіу. повної поверхні.
6} Сторони основ правильної шестикутної зрізаної трамдаг дорівнюють 5 см і І f єм. Відстань
між паралельними сторонами основ, що не лежать- в одній грані, — 1:9 см. Знайдіть площу
поверхні зрізаної піраміди.
5S

530. а)В основі піраміди лежить правильний трикутник. Одна з бічних граней — рівнобедрений
трикутник, перпендикулярний до основи. При якій довжині сторін основи площа, кожної з
двох інших бічних граней буде найбільшою, якщо найбільше бічне ребро — •Ял?
б) В основі піраміди лежить ромб з кутом ЗО*. Дві бічні грані, що утворюють тупий двогранний
кут, перпендикулярні до основи. Якою повинна бути довжина сторони ромба, щоб площа
кожної з двох інших бічних граней була найбільшою, якщо більше бічие ребро дорівнює
& дм>
531. а) Правильна п'ятикутна піраміда SABCDE перетинається площиною, що проходить через вершини
А і С основи і середини ребер SD і SE. Знайдіть площу перерізу, якщо ребро основи піраміди
дорівнює q, а бічне ребро — Ь.
б) Через вершину правильної л-кутної піраміди і через дві вершини многокутника, що лежать в
основі, до площини основи під кутом а проведено площину, що розтинає основу на два
многокутники, які мають відповідно (г + 2) вершин і (п - г) вершин г < . Знайдіть
об єм піраміди, якщо спільна сторона цих двох многокутників дорівнює Ь.
59

Розділ IV. ТІЛА ОБЕРТАННЯ
1. Завдання обов'язкового рівня (№№ 532 — 550)
532. а) Осьовий переріз циліндра — квадрат, діагональ якого дорівнює 4-^2 см. Обчисліть об'єм циліндра.
А) 48 см3; Б) 32л см3: В) 96л см3; Г) інша відповідь.
б) Осьовий переріз циліндра — прямокутник, діагональ якого дорівнює см і утворює з
основою кут 30°. Обчисліть об'єм циліндра.
А)72л/3 л см°; Б) 72 см3; В) 72л/з см3; Г) інша відповідь.
533. а) Осьовим перерізом циліндра є квадрат із стороною 8 см. Обчисліть бічну поверхню циліндра.
А) 32-^2 л см2; Б) 32-^2 см2; В) 32 см2; Г) 32я см2; Д) інша відповідь.
б) Осьовим перерізом циліндра є квадрат, площа якого дорівнює 16 см2. Обчисліть повну поверхню
циліндра.
А) 48 см2; Б) 48я см2; В) 24л см2; Г) 96л см2; Д) інша відповідь.
534. а) 3 1,1 м2 заліза виготовили циліндричну трубу діаметром 0,5 м. Знайдіть довжину труби.
А) =0,5 м; Б) =0,7л; В) 0,9 ж; Г) інша відповідь.
б) Скільки квадратних метрів листового заліза потрібно для виготовлення труби довжиною 4 м
і діаметром 200 см?
А) 12,56 м2; Б) 50,24 м2; В) інша відповідь.
535. а) Площа бічної поверхні циліндра — 24л см2, а його об'єм дорівнює 48л см3. Знайдіть його висоту.
А) 4 см; Б) 3 см; В) інша відповідь.
б) Об'єм циліндра — 8лл/5 см3, а його висота 2л/5 см. Знайдіть діагональ осьового перерізу.
А) 6 см; Б) 8 см; В) інша відповідь.
6
536. а) Площа осьового перерізу циліндра дорівнює — см2. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра.
А) 12 см2; Б) 6 см2; В) інша відповідь.
б) Площа бічної поверхні циліндра дорівнює 16л см2. Знайдіть площу осьового перерізу циліндра.
А) 16 см2; Б) 8 см2; В) інша відповідь.
537. а) Осьовим перерізом циліндра є прямокутник, площа якого 72 см2. Знайдіть об'єм циліндра,
якщо радіус основи дорівнює 3 см.
А) 108 см3; Б) 108л см3; В) 72л см3; Г) інша відповідь.
б) Осьовим перерізом циліндра є прямокутник, площа якого дорівнює 54 см2. Знайдіть об'єм
циліндра, якщо його висота — 9 см.
А) 81л см3; Б) 81 см3; Г) 72л см3; Д) інша відповідь.
538. а) Площа основи конуса дорівнює 36 см2, а його твірна — 10 см. Обчисліть бічну поверхню
конуса.
А) 120 см2; Б) 60л см2; В) 60 см2; Г) 120л см2; Д) інша відповідь.
б) Осьовий переріз конуса — правильний трикутник, сторона якого дорівнює 6 см. Обчисліть
бічну поверхню конуса.
А) 36л см2; Б) 18 см2; В) 18л см2; Г) 12л см2; Д) інша відповідь.
539. а) Осьовим перерізом конуса є правильний трикутник. Твірна конуса дорівнює 6V3 см. Знайдіть
висоту конуса.
А) 3 см; Б) 3V3 см; В) 18 см; Г) інша відповідь.
б) Осьовим перерізом конуса є правильний трикутник. Висота конуса дорівнює 9 см. Знайдіть
довжину твірної конуса.
А) 18 см; Б) 6V3 см; В) 18V3 см; Г) інша відповідь.
540. а) Осьовим перерізом конуса є рівнобедрений трикутник з кутом при вершині 120° і бічною
стороною 8 см. Обчисліть радіус основи конуса.
А) 4 см; Б) 4V3 см; В) 8 см; Г) інша відповідь.
60

б) Осьовим перерізом конуса є рівнобедрений трикутник. Твірна конуса нахилена до його основи
під кутом 30°. Обчисліть радіус основи конуса, якщо його висота дорівнює см.
А) 12 см; Б) 4 см; В) 4V3 см; Г) інша відповідь.
541. а) Твірна конуса дорівнює 14 см, кут при вершині осьового перерізу дорівнює 60°. Знайдіть
повну поверхню конуса.
А) 147я см2; Б) 147 см2; В) інша відповідь.
б) Твірна конуса дорівнює 8 см і утворює з площиною основи кут, що дорівнює 60°. Знайдіть
повну поверхню конуса.
А) 48я см2; Б) 48 см2; В) інша відповідь.
542. а) Твірна конуса утворює з площиною основи кут 45°, висота конуса дорівнює 3V2 см. Знайдіть
бічну поверхню конуса.
А) 18я см2; Б) 18у2 я см2; В) 18V3n см2; Г) інша відповідь.
б) Твірна конуса утворює з площиною основи кут 60° і дорівнює 6V3 см. Знайдіть об'єм конуса.
A) 81V3n см3; Б) 8Ія см3; В) 243я см3; Г) інша відповідь.
543. а) Площа бічної поверхні конуса — 260тс см2. Твірна цього конуса дорівнює 26 см. Обчисліть
синус кута між твірною і висотою конуса.
5 1
А) —; Б) —; В) інша відповідь.
13 2
б) Площа бічної поверхні конуса — 21я см2, а довжина твірної — 7 см. Знайдіть площу основи
конуса.
А) 9я см2; Б) Зя см2; В) інша відповідь.
544. а) Твірна конуса — 10 см. Знайдіть об'єм конуса, якщо його висота — 8 см.
А) 96я см3; Б) 288я см3; В) інша відповідь.
б) Твірна конуса 10 см. Знайдіть об'єм конуса, якщо діаметр основи дорівнює 16 см.
А) 64я см3; Б) 192 см3; В) інша відповідь.
545. а) Осьовий переріз конуса — прямокутний трикутник, з гіпотенузою — 12 см. Знайдіть об'єм
конуса.
А) 72я см3; Б) 216 см3; В) інша відповідь.
б) Осьовий переріз конуса — прямокутний трикутник з катетом 6 см. Знайдіть об'єм конуса.
А) 144л/2 см3; Б) 432л/2 см3; В) інша відповідь.
546. а) У скільки раізв збільшиться площа бічної поверхні конуса, якщо радіус його основи збільшити
у 3 рази, а твірну — у 2 рази?
А) у 6 разів; Б) у 18 разів; В) інша відповідь.
б) У скільки раізв збільшиться об'єм конуса, якщо радіус його основи збільшити у 4 рази, а
висоту — в 2 рази.
А) у 32 рази; Б) у 8 разів; В) інша відповідь.
547. а) Знайдіть об'єм конуса, висота якого дорівнює 9 см, а довжина кола основи — см.
А) 48я см?; Б) 144я см3; В) 72я см3; Г) інша відповідь.
б) Об'єм конуса дорівнює 1,5я см3, а його висота — 2 см. Знайдіть тангенс кута між висотою і
твірною конуса.
,- 1
A) V6 ; Б) —рг; В) інша відповідь,
л/б
548. а) Об'єми двох куль відносяться як 27 : 64. Як відносяться площі їх поверхонь?
А) 9 : 16; Б) 4 : 5; В) 3 :8; Г) інша відповідь.
б) Площі поверхонь двох куль відносяться як 9 : 16. Як відносяться об'єми куль?
А) 21 : 56; Б) 27 : 64; В) 3 : 4; Г) інша відповідь.
61

549. а) Знайдіть діаметр кулі, якщо » об'єм дорівнює ємг.
А) 8^2 см; Б) 16^2 см; В) 16 см; Г) інша, відповідь.
б) Площа поверхні однієї кулі дорівнює 393 см3. Знайдіть площу поверхні іншої кулі, у якої
радіус у рази менший, ніж у даної.
А) 131 см2; Б) 131V3 см2; В) інша відповідь.
550. а) У скільки разів збільшиться об'єм кулі, якщо її радїус збільшити у 3 рази?
А) у 9 разів; Б) у 27 разів; В) у 6 разів; Г) інша відповідь.
б) У скільки разів потрібно збільшити радіус кулі, щоб її об'єм збільшився в 8 разів?
А) у 2 рази; Б) у 4 рази; В) у 8 разів; Г) інша відповідь.
2. Завдання підвищеного рівна ( №№ 551 — 598 )
551. а) У циліндрі на відстані 8 см від його осі і паралельно до неї проведено переріз, діагональ якого
дорівнює 13 см. Обчисліть радіус основи циліндра, якщо його висота дорівнює 5 см
б) У циліндрі паралельно до його осі проведено переріз, діагональ якого дорівнює 17 см. Висота
циліндра — 15 см, а радіус основи — 5 см. На якій відстані від осі проведено цей переріз?
552. а) У циліндрі паралельно до його осі проведено переріз, діагональ якого утворює з площиною
нижньої основи кут <р. Цей переріз перетинає основу по хорді, яка стягує дугу а. Визначте
бічну поверхню циліндра, якщо радіус його основи дорівнює R.
б) У нижній основі циліндра проведена хорда, довжина якої дорівнює а. Ця хорда стягує дугу а.
Відрізок, який сполучає центр верхньої основи з серединою проведеної хорди, утворює з
площиною основи кут ч>. Визначте бічну поверхню циліндра.
553. а} У циліндрі паралельно його осі проведено площину. Вона перетинає основу по хорді, яку
видно із центра цієї основи під кутом а. Діагональ утвореного перерізу дорівнює Ь і нахилена
до основи під кутом (J. Визначте об'єм циліндра.
б) У циліндрі відрізок, який сполучає центр верхньої основи з точкою кола нижньої основи,
нахилений до основи під кутом а. Визначте об'єм циліндра, якщо відстань від центра нижньої
основи до середини цього відрізка дорівнює а.
554. а) Площа бічної поверхні циліндра дорівнює половині площі його повної поверхні. Знаючи, що
діагональ осьового перерізу дорівнює 5 см, знайдіть повну поверхню циліндра.
б) Два циліндри мають однакові основи. Об'єм першого циліндра дорівнює 7,5 дм3, а його висота
— 21 см. Висота другого циліндра дорівнює 7 см. Чому дорівнює об'єм другого циліндра?
555. а) У циліндрі паралельно його осі проведено площину, яка перетинає основу по хордам, які
стягують дуги а. Визначте площу перерізу, якщо відрізок, який сполучає центр верхньої
основи з серединою хорди нижньої основи, дорівнює / і утворює з площиною основи кут р.
б) У циліндрі з основою радіуса R паралельно до його осі проведено площину. Вона перетинає
нижню основу по хорді-, яку видно з центра цієї основи під кутом 2а. Відрізок, який з'єднує
центр верхньої основи циліндра з точкою кола нижньої основи утворює з площиною основи
кут (3,. Визначте площу перерізу.
556. а) У нижній основі циліндра проведено хорду, яка знаходиться на відстані m від центра нижньої
основи. її видно із цього, центра під кутом р\ Відрізок, який сполучає центр верхньої основи з
точкою кола нижньої основи, утворює з площиною нижньої основи кут а. Знайдіть площу
бічної поверхні циліндра.
б) У нижній основі циліндра проведено хорду, яка знаходиться на відстані d від центра верхньої
основи. Із центра нижньої основи її видно під кутом (ft. Відрізок, який сполучає центр верхньої
основи з точкою кола нижньої основи, утворює з нижньою основою кут а. Знайдіть площу
бічної поверхні циліндра.
557. а) Циліндр перетнуто площиною, паралельною осі так,, що в перерізі утворився квадрат з діагоналлю —
а см. Переріз відтинає від кола основи дугу в> &F. Знайдіть площу повної поверхні циліндра.
б) Циліндр- перетнуто площиною, паралельною осі. Діагональ перерізу вдвічі більша, від радіуса
основи, що дорівнює R. Знайдіть площу повної поверхні циліндра, якщо переріз відтинає від
кола основи його чверть.
62

558. а) Діагональ осьового перерізу циліндра нахилена до площини основи під кутом а. Знайдіть
об'єм циліндра, якщо периметр осьового перерізу дорівнює Р.
б) Діагоналі осьового перерізу циліндра перетинаються під кутом а. Периметр перерізу дорівнює
Р. Знайдіть об'єм циліндра.
559. а) В основі циліндра проведено хорду, що стягує дугу о. Відрізок, який сполучає центр іншої
основи з серединою цієї хорди, дорівнює І і утворює з площиною основи кут р. Визначте об'єм
циліндра.
б) В основі циліндра проведено хорду, яку видно із центра цієї основи під кутом р. Відстань від
центра до хорди дорівнює d. Відрізок, який сполучає центр однієї основи з точкою кола іншої
основи, утворює з площиною основи кут а. Визначте об'єм циліндра.
560. а) Паралельно осі циліндра проведено площину, яка перетинає основу по хорді, що стягує дугу
р. Визначте площу бічної поверхні циліндра, якщо діагональ перерізу дорівнює а і утворює з
площиною основи кут а.
б) Паралельно осі циліндра проведено площину, яка перетинає основу по хорді, довжина якої а.
Ця хорда стягує дугу а. Визначте об'єм циліндра, якщо діагональ утвореного перерізу нахилена
до основи під кутом р.
561. а) Паралельно осі циліндра проведено площину, що відтинає від кола основи дугу а. Діагональ
утвореного перерізу нахилена до основи під кутом р. Визначте площу перерізу, якщо радіус
циліндра дорівнює R.
б) Паралельно осі циліндра проведено площину, яка відтинає від кола основи дугу р. Відрізок,
який сполучає центр основи циліндра з точкою кола іншої основи, дорівнює а і утворює з
площиною основи кут а. Визначте площу перерізу.
562. а) Паралельно осі циліндра, на відстані d від неї, проведено площину, яка відтинає від основи
дугу р. Діагональ утвореного перерізу нахилена до площини основи під кутом а. Визначте
площу бічної поверхні циліндра.
б) Паралельно осі циліндра проведено площину, яка відтинає від кола основи дугу а. Діагональ
утвореного перерізу дорівнює / і нахилена до площини основи під кутом р. Визначте об'єм
циліндра.
563. а) Паралельно осі циліндра проведено площину. Вона перетинає основу по хорді, яка стягує
дугу 2а. Діагональ перерізу утворює з площиною основи кут р, а його площа дорівнює S.
Визначте площу основи циліндра.
б) Паралельно осі циліндра, бічна поверхня якого дорівнює Q, проведено площину. Діагональ
утвореного перерізу нахилена до площини основи під кутом р. Визначте площу перерізу,
якщо відрізок, який сполучає центр основи циліндра з точкою кола іншої основи, утворює з
площиною основи кут а.
564. а) У циліндрі паралельно о;\ проведено площину, що перетинає нижню осноьу по хорді, яку
видно із центра цієї основи під кутом а. Знайдіть радіус основи циліндра, якщо площа перерізу
дорівнює Q, а кут між його діагоналлю і твірною циліндра дорівнює р.
б) У циліндрі паралельно осі проведено площину, що перетинає нижню основу по хорді, яку
видно із центра цієї основи під кутом р. Відрізок, який сполучає центр верхньої основи циліндра
з точкою кола нижньої основи, утворює з площиною основи кут а. Знайдіть радіус основи
циліндра, якщо площа перерізу S.
565. а) Паралельно осі циліндра проведено площину, що перетинає нижню основу по хорді, яку
видно із центра цієї основи під кутом 2а. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, якщо діагоналі
утвореного перерізу дорівнює т і нахилена до площини основи циліндра під кутом р.
б) Довжина хорди нижньої основи циліндра, яку видно із центра цієї основи під кутом 2а,
дорівнює Ь. Відрізок, який сполучає середину цієї хорди з центром верхньої основи, утворює
з площиною основи кут р. Визначте площу бічної поверхні циліндра.
566 а) У циліндрі, паралельно його осі, проведено площину, що перетинає нижню основу по хорді,
яку видно із центра цієї основи під кутом 2а. Діагональ утвореного перерізу нахилена до площини
основи циліндра під кутом р. Визначте об'єм циліндра, якщо площа перерізу дорівнює Q
б) Паралельно осі циліндра проведено площину, що відтинає від кола основи дугу 2р. Діагональ
утвореного перерізу нахилена до площини основи циліндра під кутом а. Визначте площу
перерізу, якщо об'єм циліндра дорівнює V.
63

567. а) Знайдіть найбільший об'єм циліндра, площа повної поверхні якого дорівнює 54іс см2, якщо
довжина радіуса основи R належить [2; 4].
б) Знайдіть найменшу площу повної поверхні циліндра, якщо його об'єм дорівнює 16л см3, а
довжина радіуса основи R належить [1; 4].
568. а) Осьовим перерізом конуса є прямокутний трикутник, периметр якого дорівнює 16(2 + V2 ) см.
Знайдіть площу повної поверхні цього конуса.
б) Хорда в основі конуса дорівнює т і її видно з центра основи під кутом р. Знайдіть висоту
конуса, якщо його твірна нахилена до основи під кутом а.
569. а) Кут при вершині осьового перерізу конуса дорівнює 2р. Периметр осьового перерізу 2р. Знайдіть
висоту конуса.
б) Висота конуса дорівнює h. Кут при вершині осьового перерізу 2а. Знайдіть периметр осьового
перерізу.
570. а) В основі конуса проведено хорду, яку видно із центра основи під кутом а, а із вершини
конуса — під кутом ф. Визначте бічну поверхню конуса, якщо його радіус дорівнює R.
б) В основі конуса проведено хорду, яку видно із центра основи під кутом а, а із вершини
конуса — під кутом ф. Визначте бічну поверхню конуса, якщо відрізок, який сполучає вершину
конуса з серединою цієї хорди, дорівнює І.
571. а) Із центра основи конуса до твірної проведено перпендикуляр, який утворює з висотою кут р.
Твірна конуса дорівнює І. Визначте об'єм конуса.
б) Хорда основи конуса дорівнює а і стягує дугу а. Відрізок, який сполучає вершину конуса із
серединою хорди нахилений до основи під кутом ф. Визначте об'єм конуса.
572. а) Через вершину конуса з основою радіуса R, проведено площину, що перетинає його основу по
хорді, яку видно із центра основи під кутом а, а з вершини — під кутом р. Визначте площу
перерізу.
б) Через дві твірні конуса, кут між якими р, проведено площину. Площа бічної поверхні конуса
дорівнює S. Визначте площу перерізу, якщо твірна конуса утворює з висотою кут а.
573. а) Через вершину конуса проведено площину під кутом 45е до площини основи. Ця площина
перетинає основу по хорді, відстань до якої від вершини 6 см. Знайдіть об'єм конуса, якщо
довжина радіуса — 5 см.
б) Через дві твірні конуса проведено площину, яка перетинає основу по хорді довжиною 8 см.
Ця площина утворює з основою кут 60°. Обчисліть об'єм конуса, якщо радіус основи дорівнює 5 см.
574. а) Твірна зрізаного конуса нахилена до площини більшої основи під кутом а. Радіуси основ R і
r ( R > г). Знайдіть площу бічної поверхні зрізаного конуса.
б) Твірна зрізаного конуса нахилена до площини більшої основи під кутом а. Знайдіть об'єм
конуса, якщо радіуси основ R і г ( R > г ).
575. а) Радіуси основ зрізаного конуса R і г, де R > г, а твірна утворює з площиною основи кут 45°.
Знайдіть площу бічної поверхні зрізаного конуса.
б) Твірна зрізаного конуса утворює з площиною основи кут 60°, радіуси основ R і г, де R > г.
Знайдіть площу бічної поверхні зрізаного конуса.
576. а) У зрізаному конусі діагоналі осьового перерізу взаємно перпендикулярні, а твірна / утворює
з площиною більшої основи кут а. Знайдіть площу бічної поверхні конуса.
б) У зрізаному конусі висота дорівнює h. Твірна нахилена до площини більшої основи під кутом
а і перпендикулярна до діагоналі осьового перерізу. Знайдіть площу бічної поверхні зрізаного
конуса.
577. а,) Твірна зрізаного конуса дорівнює 5 см, а радіуси основ — З см і 6 см. Знайдіть площу
осьового перерізу.
б) Радіуси основ зрізаного конуса — 3 дм і 7 дм, твірна — 5 дм. Знайдіть площу осьового перерізу.
578. а) Площі основ зрізаного конуса — 4 ж2 і 16 м2. Через середину висоти проведено площину
паралельно основі. Знайдіть площу перерізу.
б) Площі основ зрізаного конуса М і т. Знайдіть площу середнього перерізу, паралельного
основі.
579. а) Радіуси основ зрізаного конуса — 11 см і Ібсж, твірна — 13 см. Знайдіть відстань від центра
меншої основи до точки кола більшої.
64

б) Твірна зрізаного конуса дорівнює 2а і нахилена до основи під кутом 60°. Радіус однієї основи
вдвічі більший від радіуса другої основи. Знайдіть кожен із радіусів.
580. а) Через вершину конуса проведено площину перерізу під кутом 45° до основи. Ця площина
перетинає основу по хорді, яку видно із центра основи під кутом 60° Знайдіть об'єм конуса,
якщо відстань від центра основи до хорди дорівнює 6 см.
б) Через вершину конуса проведено площину під кутом 45° до основи. Площина перетинає
основу по хорді, що дорівнює радіусу основи конуса. Визначте об'єм конуса, якщо відстань від
його вершини до хорди дорівнює 6 см.
581. а) Визначте об'єм конуса, якщо в його основі хорда а стягує дугу а, а кут між твірною і висотою
конуса дорівнює р.
б) Кут між твірною і основою конуса дорівнює а, хорду основи видно із його вершини під кутом
р. Знайдіть об'єм конуса, якщо довжина хорди дорівнює т.
582. а) Твірна конуса утворює з його основою кут 30°. Визначте об'єм конуса, якщо площа перерізу,
що проходить через твірні, кут між якими 120°, дорівнює 4V3 см3.
б) Площина перерізу, що проходить через вершину конуса, перетинає його основу по хорді.
Твірна конуса утворює з хордою кут 30°, а з висотою конуса кут 60°. Знайдіть об'єм конуса,
якщо площа перерізу дорівнює 16V3 см3.
583. а) Через дві твірні конуса, кут між якими дорівнює р, проведено переріз, який перетинає основу
по хорді довжиною а. Знайдіть об'єм конуса, якщо твірна нахилена до площини його основи
під кутом а.
б) Площина перерізу, що проходить через вершину конуса, перетинає його основу по хорді.
Твірна конуса утворює з хордою кут, що дорівнює а, а з висотою конуса — у. Знайдіть об'єм
конуса, якщо площа перерізу дорівнює М.
584. а) Через вершину конуса проведено площину, яка перетинає основу конуса по хорді. Цю хорду
видно із центра основи під кутом 60°. Відстань від центра основи до середини висоти перерізу
дорівнює 4 см. Знайдіть, під яким кутом площина перерізу нахилена до площини основи, якщо
радіус основи конуса дорівнює 8 см.
б) Через дві твірні конуса проведено площину, яка перетинає основу конуса по хорді довжиною
8 см. Хорда відтинає від кола основи дугу в 60°. Площа утвореного перерізу дорівнює 32 см2.
Обчисліть кут між площиною перерізу і площиною основи конуса.
585. а) У конусі з центру основи до твірної проведено перпендикуляр, який нахилений до площини
основи під кутом а. Знайдіть об'єм конуса, якщо довжина перпендикуляра дорівнює а.
б) Відрізок, який сполучає центр основи конуса з серединою твірної, нахилений до площини
основи під кутом а. Довжина цього відрізка дорівнює т. Знайдіть повну поверхню конуса.
586. а) Площа бічної поверхні конуса втричі більша від площі основи. Знайдіть об'єм конуса, якшо
радіус основи 2 см.
б) Осьовим перерізом конуса є рівносторонній трикутник. Знайдіть діаметр основи, якщо площа
повної поверхні конуса дорівнює ЗбЗті см2.
587. а) Через вершину конуса проведено площину, що перетинає основу по хорді, яка стягує дугу в
90°. Знайдіть площу повної поверхні конуса, якщо його твірна дорівнює І, а кут у перерізі при
вершині конуса дорівнює 60°.
б) Через вершину конуса проведено плошину, що відтинає від кола основи його чверть. Знайдіть
площу повної поверхні конуса, якщо радіус основи дорівнює R, а кут у перерізі при вершині
конуса дорівнює 60°.
588. а) Переріз кулі площиною, .що знаходиться на відстані 12 см від її центра, має площу 25л см2.
Визначте площу поверхні кулі.
б) Площина перетинає сферу. Діаметр сфери, проведений в одну із точок перерізу, має довжину
дм і утворює з площиною кут 45°. Знайдіть довжину лінії перетину.
589. а) Лінія перетину сфери і площини, віддаленої від центра сфери на 8 см, має довжину 12л см.
Знайдіть площу поверхні сфери.
б) Площина перетинає кулю. Діаметр, проведений в одну із точок лінії перетину, утворює з
площиною кут 45°. Знайдіть площу перерізу, якщо діаметр кулі дорівнює 4>/з см.
65

590. а) Зовнішній діаметр порожнистої кулі — 18 см, товщина стінок — 3 см. Знайдіть об'єм стінок.
б) Внутрішній діаметр порожнистої кулі — 8 см, а зовнішній — 10 см. Знайдіть об'єм стінок.
591. а) Радіуси двох куль — 25 дм і 29 дм, а відстань між "їх центрами — 36 дм. Визначте довжину
лінії, по якій перетинаються їх поверхні.
б) Радіуси двох куль дорівнюють 13 см і 15 см, а відстань між їх центрами — 14 см. Знайдіть
довжину лінії, по якій перетинаються їх поверхні.
592. а) Сторони трикутника 13 см, 14 см і 15 см. Знайдіть відстань від площини трикутника до
центра кулі, яка дотикається до всіх сторін трикутника. Радіус кулі — 5 см.
б) Діагоналі ромба — 15 см і 20 см. Куля дотикається до всіх його сторін. Радіус кулі — 10 см
Знайдіть відстань від площини ромба до центра кулі.
593 а) Визначте об'єм меншого кульового сектора кулі, якщо радіус кола його основи дорівнює
60 см, а радіус кулі — 75 см.
б) Знайдіть об'єм меншого кульового сегмента, якщо радіус кола його основи дорівнює 20 см, а
радіус кулі дорівнює 25 см.
594. а) Радіус кулі дорівнює R. Визначте об'єм кульового сектора, якщо дуга в осьовому перерізі
сектора дорівнює 90°.
б) Радіус кулі дорівнює R. Визначте об'єм кульового сектора, якщо дуга в осьовому перерізі
сектора дорівнює 60°.
595. а) Радіус кулі дорівнює R, а діаметр її перерізу площиною — а. Знайдіть поверхню меншого
сферичного сегмента.
б) Радіус кулі дорівнює R, а дуга кульового сегменту дорівнює а. Знайдіть поверхню меншого
сферичного сегменту.
596. а) Радіуси основ кульового пояса дорівнюють 3 ж і 4 ж, а радіус кулі — 5 ж. Визначте об'єм
кульового пояса, якщо паралельні площини, які перетинають кулю, розмішені по один бік від
центра кулі.
б) Радіуси основ кульового пояса дорівнюють 3 ж і 4 ж. а радіус кулі — 5 ж. Визначте об'єм
кульового пояса, якщо паралельні площини, які перетинають кулю, розмішені по різні боки
від центра кулі.
597. а) Радіуси основ кульового пояса дорівнюють 10 см і 12 см, а його висота — 11 см. Знайдіть
поверхню сферичного пояса, якщо паралельні площини, які перетинають кулю розміщені по
різні боки від центра кулі.
б) Перерізи кулі двома паралельними площинами, між якими лежить центр кулі, мають площі
144л см2 і 25л см2. Знайдіть площу поверхні кулі, якщо відстань між паралельними площинами
дорівнює 17 см.
598. а) Радіус кулі дорівнює 15сж. Визначте частину її поверхні, яку видно із точки, віддаленої від
центра на 25 см.
б) На якій відстані від центра кулі радіусом 12сж повинна знаходитися точка, яка світиться,
щоб вона освітлювала — її поверхні?
3. Завдання поглибленого рівня (№№ 599 — 614)
599. а) Знайдіть радіуси основ зрізаного конуса, якщо його бічна поверхня дорівнює 208я см2. твірна
— 13 см. а висота — 5 см.
б) Твірна зрізаного конуса дорівнює 8 см і нахилена до площини основи під кутом 60°. Діагональ
осьового перерізу ділить цей кут навпіл. Знайдіть площу повної поверхні зрізаного конуса.
600. а) У рівносторонньому циліндрі, радіус основи якого дорівнює R, через точку кола верхньої
основи і точку кола нижньої основи проведено пряму, яка нахилена до площини основи під
кутом а. Знайдіть відстань цієї прямої до осі циліндра.
б) Радіус основи рівностороннього циліндра дорівнює R. Через точку кола верхньої основи і
точку кола нижньої основи проведено пряму. Відстань від цієї прямої до осі циліндра дорівнює
Ь. Зн я йдіть кут нахилу цієї прямої до площини основи циліндра
601. а) Хорда основи циліндра дорівнює а і стягує дугу кола основи величиною а. Площа перерізу,
проведеного через цю хорду перпендикулярно до площини основи, дорівнює S. Знайдіть площу
повної поверхні циліндра.
66

б) Хорда основи циліндра стягує дугу основи, яка дорівнює а. Площа бічної поверхні циліндра
дорівнює Q. Знайдіть площу перерізу, проведеного через дану хорду паралельно осі циліндра.
602. а) У циліндрі паралельно його осі проведено площину, що перетинає його нижню основу по
хорді, яку видно із центра цієї основи під кутом р. Відрізок, який сполучає центр верхньої
основи циліндра з серединою хорди нижньої основи, нахилений до площини нижньої основи
під кутом ф. Знайдіть площу перерізу, діагональ якого дорівнює d.
б) У циліндрі паралельно його осі і на відстані d від неї проведено площину, що перетинає його
нижню основу по хорді, яку видно із центра верхньої основи під кутом ф. Відрізок, що сполучає
центр верхньої основи з точкою кола нижньої основи, утворює з площиною основи кут а.
Знайдіть площу перерізу.
603. а) У циліндрі паралельно його осі проведено площину, що перетинає нижню основу по хорді Ь,
яку видно із центра верхньої основи під кутом ф. Діагоналі перерізу утворюють між собою кут
а. Знайдіть об'єм циліндра.
б) У циліндрі паралельно його осі проведено площину, що перетинає нижню основу по хорді а.
Діагональ перерізу нахилена до площини основи під кутом р. Відрізок, який сполучає центр
верхньої основи з серединою хорди нижньої основи, утворює з площиною нижньої основи кут
ф. Знайдіть об'єм циліндра.
604. а) У циліндрі паралельно його осі, проведено площину, що перетинає нижню основу по хорді,
яка стягує дугу а. Цю хорду видно із центра верхньої основи під кутом ф. Знайдіть площу
перерізу, якщо радіус циліндра дорівнює R.
б) У циліндрі паралельно його осі, проведено площину, що перетинає нижню основу по хорді,
яку видно із центра верхньої основи під кутом а, а з центра нижньої основи під кутом р.
Знайдіть площу перерізу, якщо висота циліндра Н.
605. а) Розгорткою бічної поверхні циліндра є прямокутник, одна із сторін якого вдвічі більша від
другої. Бічна поверхня циліндра дорівнює 20 дм2. Визначте його повну поверхню, якщо твірна
циліндра — менша сторона його розгортки.
б) Знайдіть бічну поверхню циліндра, висота якого дорівнює 5 см, якщо при збільшенні .його
висоти на 4 см, об'єм збільшується на 36я см3.
606. а) Повна поверхня циліндра дорівнює 105я см3, а бічна поверхня — 80л см2. Знайдіть об єм
циліндра.
б) Знайдіть діагональ осьового перерізу циліндра, знаючи, що об'єм циліндра дорівнює 240л см".
а бічна поверхня — 120тс см2.
607. а) Визначте повну поверхню зрізаного конуса, діагоналі осьового перерізу якого взаємно
перпендикулярні, твірна нахилена до площини основи під кутом 60°, а висота дорівнює 6 см.
б) У зрізаному конусі висота дорівнює 5 см, його твірна утворює з площиною нижньої основи
кут 60°. і перпендикулярна до діагоналі осьового перерізу, шо проходить через верхній кінець
твірної. Визначте бічну поверхню зрізаного конуса.
608. а) У зрізаному конусі, відношення площ основ якого дорівнює 4, твірна довжиною 4 см нахилена
до площини основи під кутом ЗО*. Визначте об'єм цього конуса.
б) Діагональ осьового перерізу зрізаного конуса ділиться віссю на відрізки 11 —см та 3— см.
Знаючи, що твірна дорівнює 13 см, визначте його об'єм. ^ З
609. а) Твірна конуса дорівнює ■А см. Знайдіть площу повної поверхні конуса, якщо кут при
І я
вершині осьового перерізу конуса прямий.
б) Осьовий переріз конуса — рівносторонній трикутник. Площа повної поверхні конуса дорівнює
18 см2. Знайдіть площу основи.
610. а) Площа основи конуса — 9я см2, повна поверхня — 24л см2. Знайдіть об'єм конуса.
б) Висота і твірна конуса відносяться як 4 ; 5, а об'єм конуса дорівнює 96я см3. Знайдіть иі-го
повну поверхню.
611. а) Через дві твірні конуса проведено площину, що нахилена до площини основи під кутом а. Ця
площина перетинає основу конуса по хорді, яку видно із центра його основи під кутом ^>.
Знайдіть об'єм конуса, якщо його твірна дорівнює /.
67

б) Через вершину конуса проведено площину, яка утворює з площиною основи кут ф. Ця площина
перетинає основу конуса по хорді, яку видно із його вершини під кутом р. Знайдіть бічну
поверхню конуса, якщо його висота дорівнює h.
612. а) Площа основи конуса дорівнює Q, кут нахилу твірної до площини основи — ф. Знайдіть
площу перерізу, проведеного через дві твірні, кут між якими дорівнює р.
б) Площа бічної поверхні конуса відноситься до площі його основи як т : п, висота конуса
дорівнює h. Знайдіть площу осьового перерізу конуса.
613. а) У зрізаному конусі висота, твірна і бічна поверхня дорівнюють відповідно Н, L\ S. Визначте
площу осьового перерізу.
б) У зрізаному конусі визначте площу осьового перерізу, якщо площі основ дорівнюють Q і q, a
площа бічної поверхні — S.
614. а) У зрізаному конусі твірна дорівнює 5 см, а радіуси основ — 6 см і 10 см. Знайдіть радіус
циліндра такої ж висоти, повна поверхня якого рівновелика бічній поверхні даного зрізаного
конуса.
б) У зрізаному конусі твірна дорівнює 10 см, а радіуси основ — І см і 7 см. Знайдіть радіус
основи циліндра такої ж висоти, повна поверхня якого рівновелика повній поверхні зрізаного
конуса.
68

Розділ V. КОМБІНАЦІЇ ТІЛ
Завдання підвищеного рівня (№№ 615 — 637)
615. а) Центри граней правильного октаедра є вершинами куба. Знайдіть відношення об'ємів октаедра
і куба.
б) Центри граней куба є вершинами правильного октаедра. Знайдіть відношення об'ємів куба і
октаедра.
616. а) Навколо правильної чотирикутної призми описано сферу. Радіус сфери, проведений до вершини
призми, утворює з бічним ребром кут у. Визначте площу поверхні сфери, якщо бічне ребро
призми дорівнює а.
б) Навколо правильної трикутної призми описано кулю. Радіус кулі, проведений до вершини
призми, утворює з бічним ребром кут у. Визначте об'єм кулі, якщо бічне ребро призми дорівнює Ь.
617. а) Навколо правильної чотирикутної призми описано кулю радіуса R. Радіус кулі, проведений до
вершини призми, утворює з площиною основи кут у. Визначте бічну поверхню призми.
б) Навколо правильної трикутної призми описано кулю радіуса R. Радіус кулі, проведений до
вершини призми, утворює з площиною її основи кут у. Знайдіть об'єм призми.
618. а) У циліндр вписано правильну трикутну призму, а в призму — циліндр. Знайдіть відношення
об'ємів циліндрів.
б) У правильну трикутну призму вписано циліндр, а в циліндр — правильну трикутну призму.
Знайдіть відношення об'ємів призм.
619. а) Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник з кутом Р при вершині. Діагональ бічної
грані, що містить основу цього трикутника, дорівнює а і нахилена до площини основи під
кутом а. Визначте бічну поверхню циліндра, описаного навколо призми.
б) Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник з кутом а при основі. Діагональ бічної
грані, що містить бічну сторону цього трикутника, дорівнює Ь і нахилена до площини основи
під кутом р. Визначте бічну поверхню циліндра, вписаного в дану призму.
620. а) В основі прямої призми лежить прямокутник, діагональ якого утворює з більшою стороною
кут у. Діагональ бічної грані призми, що містить меншу сторону прямокутника, дорівнює сі і
утворює з площиною основи кут а. Визначте бічну поверхню циліндра, описаного навколо
даної призми
б) Основою прямої призми є ромб з гострим кутом ос. Діагональ бічної грані дорівнює / і утворює
з площиною основи кут р. Знайдіть бічну поверхню циліндра, вписаного в дану призму.
621. а) Основою прямої призми є рівнобедрена трапеція з гострим кутом ос. Діагональ трапеції є
бісектрисою гострого кута. Діагональ бічної грані, що містить бічну сторону трапеції, дорівнює
І і утворює з площиною основи куту. Визначте об'єм циліндра, описаного навколо даної призми
б) У пряму призму, основою якої є рівнобедрена трапеція з тупим кутом р, вписано циліндр.
Діагональ бічної грані, що містить бічну сторону трапеції, дорівнює а і нахилена до площини
основи під кутом у. Визначте об'єм циліндра.
622. а) Основа прямої призми — прямокутник зі стороною а і кутом ос, який утворює ця сторона з
діагоналлю прямокутника. Діагональ призми утворює з площиною основи кут р. Визначте
об'єм циліндра, описаного навколо даної призми.
б) Основа прямої призми — ромб зі стороною а і кутом Р, який утворює ця сторона з більшою
діагоналлю ромба. Менша діагональ призми утворює з площиною основи кут ос. Визнайте
об'єм циліндра, вписаного в цю призму.
623. а) Осноза прямої призми — рівнобедрений трикутник з кутом Р (гострим) при вершині. Діагональ
грані, що проходить через бічну сторону трикутника, дорівнює а і нахилена до основи під
кутом а. Визначте бічну поверхню циліндра, вписаного в дану призму.
б) Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник з кутом а при основі. Діагональ грані, що
проходить через основу трикутника, дорівнює / і нахилена до основи під кутом р. Визначте
бічну поверхню циліндра, описаного навколо даної призми.
624. а) У кулю вписано правильну чотирикутну піраміду, сторона основи якої дорівнює а. Визначте
поверхню кулі, якщо бічне ребро піраміди нахилене до основи під кутом ф.
б) У кулю вписано правильну трикутну піраміду, висота якої дорівнює А. Визначте об'єм кулі,
якщо бічне ребро піраміди нахилене до основи під кутом р.
69

625. a) 3 точки Р поверхні кулі проведено три рівні хорди PA, PB і PC під кутом 60* одна до одної.
Знайдіть радіус кулі, якщо відстань від точки Р до площини ABC дорівнює d.
б) 3 точки Р поверхні кулі проведено три рівні хорди під кутом 90* одна до одної. Знайдіть їх
довжину, якщо радіус кулі дорівнює R.
626. а) У правильній чотирикутній піраміді двогранний кут при основі дорівнює а. Визначте площу
бічної поверхні піраміди, якщо радіус вписаної в неї кулі дорівнює г.
б) У правильній трикутній піраміді бічиа грань нахилена до основи гід кутом <р. Визначте площу
бічної поверхні піраміди, якщо радіус кулі, вписаної в піраміду, дорівнює R.
627. а) У правильній трикутній піраміді бічне ребро дорівнює Ь і нахилене до основи під кутом а.
Знайдіть площу поверхні сфери, описаної навколо даної піраміди.
б) У правильній чотирикутній піраміді висота дорівнює Н, а бічне ребро нахилене до основи під
кутом р. Знайдіть площу поверхні сфери, описаної навколо даної піраміди.
628. а) У правильній трикутній піраміді бічне ребро утворює з площиною основи кут а. Знайдіть
об'єм піраміди, якщо радіус описаної кулі дорівнює R.
б) У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює а. Знайдіть площу
повної поверхні вписаного конуса, якщо площа основи піраміди дорівнює Q.
629. а) У правильній трикутній піраміді сторона основи дорівнює а, а плоский кут при вершині — 0
Визначте площу бічної поверхні конуса, вписаного з піраміду.
б) У правильній чотирикутній піраміді сторона основи дорівнює а. а плоский кут при вершині —
а. Визначте об'єм конуса, вписаного в піраміду.
630. а) У правильній трикутній піраміді апофема дорівнює ти, а плоский кут при вершині — p". Визначте
об'єм конуса, вписаного в піраміду
б) У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює а. Визначте площу
бічної поверхні конуса, описаного навколо піраміди, якщо її висота дорівнює Н.
631. а) У правильній трикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює а. Знайдіть повну поверхню
вписаного конуса, якщо площа основи піраміди — S
6) У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро утворює з основою кут В. Знайдіть об'єм
піраміди, якщо радіус описаної кулі дорівнює R.
632. а) Твірна конуса нахилена до площини основи під кутом <р. Відстань від вершини конуса до
центра вписаної в нього кулі дорівнює d. Визначте площу бічної поверхні конуса.
б) Кут між твірною конуса і його висотою дорівнює В. Відстань від центра описаної навколо
конуса кулі до основи його висоти дорівнює І. Визначте площу бічної поверхні конуса.
633. а) У кулі радіуса R просвердлено циліндричний отвір, вісь якого проходить через центр кулі, а
діаметр основи циліндра дорівнює радіусу кулі. Обчисліть об'єм частини кулі, що залишилася.
б) Конус вписано в кулю, радіус якої дорівнює R. Знайдіть площу бічної поверхні конуса, якщо
кут при вершині його осьового перерізу дорівнює а.
634. а) Прямокутний трикутник, катети якого 12 см і 16 см. обертається навколо гіпотенузи Знайдіть
площу поверхні тіла обертання та його об'єм.
б) Рівнобедрений трикутник з кутом при вершині 120" і бічною стороною 20 см обертається
навколо основи. Знайдіть площу поверхні та об'єм тіла обертання.
635. а) Трикутник зі сторонами 13 см, 14 см і 15 см обертається навколо сторони 14 см. Знайдіть
площу поверхні та об'єм тіла обертання.
б) Рівнобедрений трикутник, основа якого 16 см і бічна сторона — 10 см. обертається навколо
бічної сторони. Знайдіть площу поверхні та об'єм тіла обертання.
636. а) Рівнобедрений трикутник з бічною стороною, що дорівнює 20 см і основою — 10 еи, обертається
навколо осі, яка містить його основу. Знайдіть об'єм тіла обертання.
б) Прямокутний трикутник, катети якого 10 см і 15 см, обертається навколо осі, що містить
його гіпотенузу. Знайдіть об'єм тіла обертання.
637. а) Прямокутний трикутник з катетом а і прилеглим до нього кутом 60" обертається навколо осі,
що містить гіпотенузу. Знайдіть площу поверхні тіла обертання
б) Рівнобедрений трикутник з основою а і протилежним до неї кутом 120" обертається навколо
осі, що містить основу. Знайдіть площу поверхні тіла обертання.
70

Завдання поглибленого рівня (№№ 638 — 710)
638. а) Знайдіть об'єм правильної трикутної призми, якщо радіус описаної навколо неї сфери дорівнює
R. Цей радіус, проведений до вершини призми, утворює кут ф з бічною гранню, що містить цю
вершину.
б) Знайдіть об'єм правильної чотирикутної призми, якщо радіус описаної навколо неї кулі дорівнює
R. Цей радіус, проведений до вершини призми, утворює кут <р з бічною гранню, що містить цю
вершину.
639. а) У кулю радіуса R вписано призму, в основі якої лежить прямокутний трикутник з гострим
кутом а. Діагональ бічної грані, яка містить катет, прилеглий до цього кута, утворює з основою
кут р. Знайдіть об'єм призми.
б) В основі призми лежить прямокутний трикутник з катетом Ь і протилежним кутом р\ Діагональ
граиі, яка містить цей катет, нахилена до основи під кутом ф. Знайдіть площу поверхні описаної
сфери.
640. а) У кулю радіуса R вписано призму, в основі якої лежить прямокутний трикутник з гострим
кутом р. Діагональ бічної граиі, яка містить катет, протилежний до цього кута, утворює з
площиною основи кут а. Знайдіть об'єм призми.
б) В основі призми лежить прямокутний трикутник з катетом а і прилеглим кутом а. Діагональ
грані, яка містить цей катет, утворює з площиною основи кут р. Знайдіть об'єм кулі, описаної
навколо цієї призми.
641. а) У кулю радіуса R вписано прямокутний паралелепіпед, основою якого є квадрат зі стороною
а. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.
б) У пряму призму, основою якої є прямокутний трикутник з кутом а і гіпотенузою с. вписано
сферу. Знайдіть об'єм призми.
642. а) В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник з кутом а. Через протилежний катет
нижньої основи і вершину кута а проведено переріз, який утворює з площиною основи кут ф.
Перпендикуляр, проведений з вершини кута а нижньої основи до перерізу, дорівнює а. Знайдіть
об'єм циліндра, описаного навколо цієї призми.
б) В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник з кутом р. Через протилежний до
кута Р катет нижньої основи і вершину кута Р верхньої основи проведено переріз.
Перпендикуляр, проведений з вершини кута Р нижньої основи до цього перерізу, дорівнює Ь І утворює
з площиною основи кут ф. Знайдіть бічну поверхню циліндра, описаного навколо призми.
643. а) У кулю радіуса R вписано прямокутний паралелепіпед, діагональ якого утворює з меншою
бічною гранию кут а. Діагональ основи паралелепіпеда утворює з більшою стороною основи
кут р. Знайдіть бічну поверхню паралелепіпеда.
б) У кулю вписано прямокутний паралелепіпед, діагональ якого утворює з більшою бічною гранню
кут р, кут між діагоналями основи паралелепіпеда дорівнює ф. Знайдіть поверхню кулі, якщо
висота паралелепіпеда дорівнює Н.
644. а) У кулю вписано правильну трикутну призму. Радіус кулі дорівнює 3V3 см. При якій довжині
висоти призми об'єм її буде найбільшим?
б) У кулю радіуса V3см вписано правильну чотирикутну призму. Якою повинна бути довжина
висоти призми, щоб її об'єм був найбільшим?
64Б. а) У правильній трикутній призмі через сторону нижньої основи і протилежну вершину верхньої
основи проведено переріз. З вершини, що не належить цій стороні, до площини перерізу
проведено перпендикуляр, який дорівнює а і утворює з площиною нижньої основи кут ф.
Знайдіть об'єм циліндра, вписаного в дану призму.
б) У правильній трикутній призмі через діагоналі, що належать бічним граням і перетинаються б
площині верхньої основи, проведено переріз. З вершини, яка ие належить перерізу, проведено
перпендикуляр довжиною Ь до площини цього перерізу. Він утворює з бічним ребром, що проходить
через цю вершину, кут а. Знайдіть бічну поверхню циліндра, описаного навколо даної призми
646. а) У правильній трикутній призмі через сторону нижньої основи і протилежну вершину верхньої
основи проведено переріз, який утворює з площиною основи кут а. Площа перерізу дорівнює
S. Знайдіть бічиу поверхню циліндра, описаного навколо даної призми.
71

б) У правильній трикутній призмі через дві діагоналі двох бічних граней, що перетинаються,
проведено переріз, який утворює з основою кутр. Площа перерізу дорівнює Q. Знайдіть об'єм
циліндра, вписаного в дану призму.
647. а) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині. Діагоналі
двох рівних бічних граней, що мають спільну вершину, утворюють між собою кут р. Знайдіть
об'єм призми, якщо радіус циліндра, описаного навколо призми, дорівнює R.
б) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом Р при основі. Діагоналі двох
рівних бічних граней, що мають спільну вершину, утворюють між собою кута. Знайдіть об'єм
призми, якщо радіус циліндра, вписаного в призм/, дорівнює г.
648. а) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом Р при вершині. Через дві
рівні діагоналі двох бічних граней, кут ьїж якими дорівнює а, проведено переріз, площа якого
дорівнює S. Знайдіть об'єм циліндра, описаного навколо даної призми.
б) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при основі. Через дві
діагоналі рівних бічних граней проведено переріз, площа якого дорівнює Q. Кут між цими
діагоналями дорівнює р. Знайдіть бічну поверхню циліндра, вписаного в призму.
649. а) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом а прн вершині. Через
основу трикутника нижньої грані і протилежну вершину верхньої грані проведено переріз,
який, утворює з площиною основи призми кут ф. Перпендикуляр, проведений з вершини
нижньої основи, що не належить даному перерізу, до цього перерізу, дорівнює Ь. Знайдіть
бічну поверхню циліндра, описаного навколо даної призми.
б) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом р при основі. Через діагоналі
двох рівних бічних граней, що перетинаються у вершині верхньої грані, проведено переріз.
Перпендикуляр, проведений з вершини нижньої основи призми, яка не належить даному
перерізу, до цього перерізу, нахилений до площини основи під кутом <р і дорівнює а. Знайдіть
об'єм циліндра, вписаного в дану призму.
650. а) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині. Діагональ грані,
що містить сторону основи цього трикутника, нахилена до площини основи під кутом ф . Знайдіть
бічну поверхню призми, якщо радіус циліндра, описаного навколо даної призми, дорівнює R.
б) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом р при основі. Діагональ
грані, що містить бічну сторону цього трикутника, нахилена до площини основи під кутом а.
Знайдіть бічну поверхню призми, якщо радіус вписаного в неї циліндра дорівнює г.
651. а) В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник з гострим кутом а. Через діагоналі
двох бічних граней, що містять сторони кута а, проведено переріз, площа якого S. Кут між
цими діагоналями дорівнює р. Знайдіть об'єм циліндра, описаного навколо даної призми.
б) В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник з кутом р. Через діагоналі двох
бічних граней, що містять сторони кута р, проведено переріз, площа якого Q. Кут між цими
діагоналями дорівнює а. Знайдіть бічну поверхню циліндра, вписаного в дану призму.
652. а) В основі прямої призми лежить трикутник з кутами а і р. Діагональ грані, що містить сторону,
прилеглу до даних кутів, утворює з площиною основи кутф. Знайдіть об'єм циліндра, описаного
навколо даної призми. Висота призми дорівнює Н.
б) В основі прямої призми лежить трикутник зі стороною а і прилеглими до неї кутами а і р.
Діагональ грані, що містить дану сторону, утворює з бічним ребром призми кут ф. Знайдіть
бічну поверхню циліндра, описаного навколо цієї призми.
653. а) В основі прямої призми лежить трикутник зі стороною с і прилеглими кутами Р і а. Діагональ
грані, що містить дану сторону, нахилена до площини основи під кутом ф. Знайдіть об'єм
циліндра, вписаного в дану призму.
б) В основі прямої призми лежить трикутник з кутами а і ф. Діагональ грані, що містить прилеглу
до даних кутів сторону, дорівнює Ь і утворює з площиною основи кут р. Знайдіть бічну
поверхню циліндра, вписаного в дану призму.
654. а) У циліндр вписано прямокутний паралелепіпед, більша сторона основи якого дорівнює а.
Діагональ паралелепіпеда утворює з його більшою бічною гранню кут р, а з площиною основи
кут а. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра.
б) У циліндр вписано прямокутний паралелепіпед, діагональ якого дорівнює d і утворює з меншою
бічною гранню кут р. Визначте об'єм циліндра, якщо діагональ основи паралелепіпеда утворює
з більшою стороною основи кут а.
72

655. а) Основа прямої призми — прямокутник з кутом ф між діагоналями. Діагональ однієї з бічних
граней утворює з основою кут р, а діагональ суміжної з нею бічної грані дорівнює т. Обчисліть
бічну поверхню циліндра, описаного навколо даної призми.
б) Основою прямої призми є ромб з гострим кутом ф. Менша діагональ призми нахилена до її
основи під кутом а, а більша діагональ дорівнює d. Обчисліть бічну поверхню циліндра,
вписаного в дану призму.
656. а) В основі прямої призми лежить ромб з тупим кутом р. Переріз, проведений через більшу
діагональ нижньої основи і протилежну вершину верхньої основи, нахилений до основи під
кутом ф. Площа перерізу дорівнює Q. Знайдіть об'єм циліндра, вписаного в дану призму.
б) В основі прямої призми лежить прямокутник з кутом а між діагоналлю і більшою стороною.
Діагональ меншої бічної грані утворює з основою кутф. Площа діагонального перерізу дорівнює
Q. Знайдіть об'єм циліндра, описаного навколо даної призми.
657. а) В основі прямої призми лежить ромб з тупим кутом р. Переріз, проведений через більшу
діагональ нижньої основи і протилежну вершину верхньої основи, нахилений до основи під
кутом ф. Площа перерізу — S. Знайдіть бічну поверхню циліндра, вписаного в дану призму.
б) В основі прямої призми лежить прямокутник з кутом а між діагоналями. Діагональ меншої
бічної грані утворює з основою кут ф. Діагональ призми дорівнює /. Знайдіть бічну поверхню
циліндра, описаного навколо призми.
658. а) У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро нахилене до основи під кутом а. Обчисліть
об'єм піраміди, якщо радіус кулі, описаної навколо неї, дорівнює R.
б) У правильній трикутній піраміді бічне ребро утворює з основою кут р. Обчисліть об'єм
піраміди, якщо радіус кулі, описаної навколо неї, дорівнює R.
659. а) У правильній чотирикутній піраміді двогранний кут при основі дорівнює а. Знайдіть повну
поверхню піраміди, якщо радіус кулі, вписаної в неї, дорівнює г.
б) У правильній трикутній піраміді бічна грань нахилена до основи під кутом р. Знайдіть повну
поверхню піраміди, якщо радіус кулі, вписаної в неї, дорівнює г.
660. а)У правильній трикутній піраміді відстань від центра вписаної в неї кулі до сторони основи
дорівнює d. Визначте повну поверхню піраміди, якщо її бічна грань нахилена до основи під
кутом ф.
б) У правильній трикутній піраміді відстань від центра описаної навколо неї кулі до бічного
ребра дорівнює /. Визначте повну поверхню піраміди, якщо її бічні ребра нахилені до основи
під кутом р.
661. а) У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює а. Знайдіть об'єм
піраміди, якщо радіус кулі, описаної навколо неї, дорівнює R.
б) У правильній трикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює р. Знайдіть об'єм піраміди,
якщо радіус кулі, описаної навколо неї, дорівнює R.
662. а) У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює а. Знайдіть поверхню
піраміди, якщо радіус кулі, вписаної в неї, дорівнює г.
б) У правильній трикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює р. Знайдіть поверхню
піраміди, якщо радіус кулі, вписаної в неї, дорівнює г.
663. а) У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює р. Знайдіть об'єм
піраміди, якщо радіус описаної навколо неї кулі дорівнює R.
б) У правильній трикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює а. Знайдіть об'єм піраміди,
якщо радіус описаної навколо неї кулі дорівнює R.
664. а) Плоский кут при вершині правильної трикутної піраміди дорівнює а. Радіус кола, описаного
навколо бічної грані, дорівнює R. Знайдіть об'єм описаної кулі.
б) Плоский кут при вершині правильної чотирикутної піраміди дорівнює а. Радіус кола, описаного
навколо бічної грані, дорівнює R. Знайдіть об'єм описаної.кулі.
665. а) Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює а. Бічне ребро нахилене до основи
під кутом а. Знайдіть об'єм вписаної кулі.
б) Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює Ь. Кут нахилу бічного ребра до
основи дорівнює р. Знайдіть об'єм вписаної кулі.
666. а) Апофема правильної трикутної піраміди дорівнює h. Бічне ребро утворює з висотою кут а.
Знайдіть об'єм описаної кулі.
73

б) Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює d. Бічне ребро утворює з висотою кут р.
Знайдіть об'єм описаної кулі.
667. а) У кулю радіуса R вписано правильну трикутну піраміду з пллским :сутом при вершині, що
дорівнює а. Знайдіть об'єм піраміди.
б) У кулю радіуса R вписано правильну чотирикутну піраміду з пл■■; ким кутом при вершині, що
дорівнює а. Знайдіть об'єм пірамід;-..
668. а) У кулю радіуса R вписано правильну трикутну піраміду, бічні грані якої нахилені під кутом а
до основи. Знайдіть площу повної поверхні піраміди.
б) У кулю радіуса R вписано правильну чотирикутну піраміду, бічні грамі якої утворюють кут р
з основою. Знайдіть площу повної поверхні піраміди.
669. а) Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює Н. Плоский .кут при вершині дорівнює а.
Знайдіть площу поверхні описаної кулі.
б) Висота правильної трикутної піраміди дорівнює h, плоский кут при вершині дорівнює р.
Знайдіть площу поверхні вписаної сфери.
670. а) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при сенові. Всі бічні ребра
піраміди-нахилені до площини основи під кутом р. Обчисліть об'єм піраміди, якщо радіус кулі,
описаної навколо неї, дорівнює R.
б) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом р при вершині. Всі бічні грані
піраміди нахилені до площини основи під кутом а. Обчисліть об'єм піраміди, якщо радіус кулі,
вписаної в неї, дорівнює г.
671. а) У рівнобедреній трапеції діагональ перпендикулярна до бічної сторони. Бічна сторона дорівнює
а і утворює з більшою основою кут а. Визначте об'єм тіла, утвореного при обертанні трапеції
навколо більшої основи.
б) Рівнобедрена трапеція, менша основа і бічна сторона якої дорівнюють а, а кут при більшій
основі а, обертається навколо меншої основи. Знайдіть об'єм тіла обертання.
672. а) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині. Дві рівні бічні
грані піраміди перпендикулярні до площини основи, а третя бічна грань утворює з нею кут ер.
Знайдіть об'єм піраміди, якщо радіус вписаної в неї кулі дорівнює т.
б) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом р при основі. Дві рівні бічні грані
піраміди перпендикулярні до площини основи, а третя бічна грань утворює з нею кут а.
Знайдіть об'єм піраміди, якщо радіус описаної навколо неї кулі дорівнює R.
673. а) У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює ф. Знайдіть об'єм
піраміди, якщо радіус вписаної кулі дорівнює г.
б) У правильній трикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює р. Знайдіть об'єм піраміди,
якщо радіус вписаної в неї кулі дорівнює г.
674. а) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при основі і радіусом вписаного
кола г. Знайдіть об'єм описаної навколо піраміди кулі, якщо бічні ребра піраміди нахилені під
кутом ф до основи.
б) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутомР при основі і радіусом описаного кола
R. Знайдіть об'єм вписаної кулі, якщо кожна бічна грань піраміди утворює з основою кут ф.
675. а) В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з гострим кутом а. Всі бічні грані піраміди
утворюють з площиною основи кутр. В цю піраміду вписано кулю. Відстань від центра кулі до
вершини піраміди дорівнює т. Знайдіть об'єм піраміди.
б) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при основі. Бічні грані нахилені
до площини основи під кутом р. В цю піраміду вписано кулю, відстань від центра кулі до
основи рівнобедреного трикутника дорівнює І. Знайдіть об'єм піраміди.
676. а) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з бічною стороною b і кутом при вершині
а. Всі бічні грані нахилені під кутом р до основи. Знайдіть об'єм вписаної кулі.
б) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник, сторона основи якого дорівнює а і кут при
основі р. Всі бічні грані нахилені під кутом ф до основи. Знайдіть площу поверхні вписаної кулі
677. а) В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з кутом а. Всі бічні ребра піраміди нахилені
до площини основи під кутом р. Знайдіть об'єм піраміди, якщо радіус кулі, описаної навколо
неї, дорівнює R
б) В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з кутом р. Всі бічні грані піраміди нахилені до
площини основи під кутом а. Знайдіть об'єм піраміди, якщо радіус кулі, вписаної в неї, дорівнює г.
74

67Ь. а) В основі піраміди .if-жить прямокутний --икутлик з гострим кутом а. Всі бічні ребра рівні.
Навколо піраміди описано кулю. 11? ;т'~ кулі належить висоті піраміди. Відстань вій центра
кулі до основи висоти піраміди дорівнює /'. Знайдіть об'єм піраміди, якщо кут нахилу бічного
ребра до площини основи піраміди дорівнює р.
б) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині. Всі бічні ребра
рівні. Вони утворюють з площиною основи кут р. Навколо піраміди описано кулю. Центр кулі
належить висоті піраміди. Відстань від центра кулі до основи висоти піраміди дорівнює d.
Знайдіть об'єм піраміди.
679. а) В основі чотирикутної піраміди лежить ромб з тупим кутом р. Всі бічні грані піраміди нахилені
до площини основи під кутом ф. Знайдіть об'єм піраміди, якщо відстань від центра вписаної
кулі до вершини піраміди дорівнює d.
б) В основі чотирикутної піраміди лежить прямокутник з кутом ф між діагоналями. Всі бічні
ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом а. Знайдіть об'єм піраміди, якщо відстань
від центра описаної кулі до основи висоти піраміди дорівнює І.
680. а) Основа піраміди — ромб з гострим кутом а, двогранні кути при основі ф. Знайдіть об'єм
піраміди, якщо радіус вписаної кулі г.
б) Основа піраміди — ромб з тупим кутом р\ двогранні кути при основі а. Знайдіть об'єм піраміди,
якщо радіус вписаної кулі дорівнює г.
681. а) Основа піраміди — рівнобічна трапеція з основами а і Ь; двогранні кути при основі ф. Знайдіть
об'єм вписаної кулі.
б) Основа піраміди — прямокутна трапеція з основами а і Ь; двогранні кути при основі а.
Знайдіть об'єм вписаної кулі.
682. а) У кулю вписано правильну трикутну піраміду. Якою повинна бути довжина висоти піраміди,
щоб об'єм піраміди був найбільшим, якщо радіус кулі дорівнює 3 см?
б) У кулю радіуса 6 см вписано правильну чотирикутну піраміду. Якою повинна бути величина
висоти піраміди, щоб її об'єм був найбільшим?
683. а) У конус вписано піраміду, основа якої — прямокутний трикутник. Бічна грань, що проходить
через один з катетів, утворює з площиною основи кут а. Знайдіть об'єм піраміди, якщо твігч..
конуса дорівнює І і нахилена до площини основи під кутом р.
б) Радіус основи конуса дорівнює г, а твірна нахилена до площини основи під кутом ф. Навколо
цього конуса описано піраміду, в основі якої — прямокутний трикутник з гострим кутом а
Визначте об'єм і бічну поверхню піраміди.
684. а) У правильній чотирикутній піраміді апофема дорівнює І, а плоский кут при вершині — а.
Знайдіть об'єм конуса, описаного навколо піраміди.
б) У правильній трикутній піраміді апофемл чорівнює т, а плоский кут при вершині —р. Знайдіть
об'єм конуса, вписаного в піраміду.
685. а) У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює а. Визначте повну
поверхню.конуса, описаного навколо піраміди, якщо її висота дорівнює Н.
б) У правильній трикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює р. Визначте повну поверхню
конуса, вписаного в піраміду, якщо її висота дорівнює h.
686. а) У правильній чотирикутній піраміді відстань від середини висоти піраміди до бічної грані
дорівнює d. Знайдіть повну поверхню вписаного в піраміду конуса, твірна якого нахилена до
площини основи під кутом а.
б) У правильній чотирикутній піраміді відстань від середини висоти піраміди до бічного ребра
дорівнює /. Знайдіть повну поверхню описаного навколо піраміди конуса, твірна якого нахилена
до площини основи під кутом р.
687. а) Повна поверхня конуса дорівнює S. Твірна його нахилена до площини основи під кутої* f..
Обчисліть об'єм правильної шестикутної піраміди, вписаної в цей конус.
б) У конус, об'єм якого дорівнює V, вписано правильну п'ятикутну піраміду. Знайдіть об'єм піраміди.
688. а) Основа піраміди — рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині. Всі бічні ребра піраміди рівні.
Бічна грань піраміди, яка містить основу рівнобедреного трикутника, утворює з площиною основи
кут ф. Знайдіть бічну поверхню конуса, описаного навколо піраміди, висота якої дорівнює Н.
75

б) Основа піраміди — рівнобедреник трикутник з кутом р при основі. Всі бічні грані нахилені до
площини основи під однаковим кутом. Бічне ребро, яке містить вершину даного рівнобедреного
трикутника, нахилене до площини основи піраміди під кутом ф. Знайдіть бічну поверхню
конуса, вписаного в цю піраміду, висота якої доріпнює h.
689. а) Радіус основи конуса дорівнює R, а кут при вершині осьового перерізу — а. Знайдіть об'єм
правильної трикутної піраміди, описаної навколо Korvca
б) У правильну трикутну піраміду вписано конус. Знайдіть об'єм конуса, якщо ребро піраміди
дорівнює / і плоский кут при ueh'!'!i4i піраміди — а.
690. а) У конус вписано правильну чотирикутну піраміду, висота якої дорівнює 2 V2 см, а плоский
кут при вершині — а. Знайдіть об'єм конуса.
б) У конус вписано правильну шестикутну піраміду з висотою 4 см і плоским кутом при вершині
а. Знайдіть повну поверхню конуса.
691. а) В основі конуса проведено хорду довжиною Ь, яку вндно з вершини під кутом р. Кут при
вершині осьового перерізу дорівнює ф. Знайдіть площу поверхні, вписаної в конус сфери.
б) В основі конуса проведено хорду, яка знаходиться на відстані b від центра основи. Твірна
конуса нахилена до основи під кутом ф. Знайдіть об'єм описаної кулі, якщо хорду видно з
вершини конуса під кутом р.
692. а) В основі конуса проведено хорду довжиною а, яку видно з центра основи під кутом а. Твірна
конуса нахилена до основи під кутом ф. Знайдіть об'єм описаної кулі.
б) В основі конуса проведено хорду довжиною Ь, яку видно з центра основи під кутом р. Кут при
вершині осьового перерізу конуса дорівнює а. Знайдіть об'єм описаної кулі.
693. су У кулю, ;..юща поверхні якої S, вписано конус. Кут між твірною конуса і площиною основи
дорівнює а. Визначте площу повної поверхні конуса.
б) Радіус вписаної в конус кулі дорівнює г, а твірна конуса нахилена до площини основи під
кутом а. Визначте площу повної поверхні конуса.
694. а) Твірна конуса нахилена до площини основи під кутом ф. Відстань від вершини конуса до
центра вписаної в нього кулі дорівнює d. Обчисліть повну поверхню конуса.
б) Кут між твірною конуса і його висотою дорівнює р. Відстань від центра описаної навколо
конуса кулі до основи висоти дорівнює /. Обчисліть повну поверхню конуса.
695. а) У конус вписано кулю радіуса г. Твірна конуса нахилена до площини основи під кутом а.
Знайдіть об'єм конуса.
б) Навколо кулі описано зрізаний конус, в якого твірна нахилена до основи під кутом а. Визначте
повну поверхню зрізаного конуса, якщо радіус кулі дорівнює г.
696. а) У зрізаний конус вписано кулю радіуса г. Твірна конуса нахилена до площини основи під
кутом а. Знайдіть об'єм зрізаного конуса.
б) Навколо кулі описано зрізаний конус, площа осьового перерізу якого S, гострий кут перерізу —
а. Знайдіть об'єм кулі.
697. а) У зрізаний конус вписано кулю радіуса г. Твірна конуса нахилена до основи під кутом а.
Знайдіть бічну поверхню зрізаного конуса.
б) У кулю радіуса R вписано зрізаний конус. Основи зрізаного конуса відтинають від кулі два
сегменти з дугами в осьовому перерізі, які дорівнюють відповідно а і р. Знайдіть бічну поверхню
зрізаного конуса.
698. а) Радіуси основ зрізаного конуса дорівнюють 24 см і 15 см, а його висота — 27 см. Знайдіть
радіус описаної кулі.
б) Навколо кулі радіуса 6 см описано зрізаний конус, радіуси основ якого відносяться як 4 : 9.
Знайдіть бічну поверхню зрізаного конуса.
699. а) У циліндр, що вписаний у кулю, вписано кулю. Знайдіть відношення площ поверхонь і об'ємів
цих куль.
б) У конус вписано кулю. Відношення об'ємів конуса і кулі дорівнює 2. Знайдіть відношення
площ повної поверхні конуса і кулі.
700. а) У нижній основі циліндра проведено хорду довжиною а, яку видно з центра цієї основи під
кутом а. Відрізок, який сполучає центр верхньої основи з точкою кола нижньої основи, утворює
з площиною основи кут ф. Знайдіть об'єм описаної навколо циліндра кулі.
76

б) У нижній основі циліндра проведено хорду довжиною а, яку видно з центра основи під кутом
Р- Відрізок, що сполучає центр верхньої основи з серединою цієї хорди, утворює з основою
кут ф. Знайдіть площу поверхні описаної навколо циліндра сфери.
701. а) У прямий круговий конус вписано кулю, радіус якої дорівнює 1 ж. Знайдіть кут між твірною
конуса і його основою, при якому об'єм цього конуса найменший.
б) Знайдіть найбільший об'єм конуса, вписаного в кулю, якщо радіус кулі дорівнює 1 м і осьовий
переріз конуса — гострокутний трикутник.
702. а) Рівнобедрений трикутник, основа якого дорівнює а і гострий кут при вершині дорівнює р,
обертається навколо прямої, що лежить у площині трикутника і проходить через вершину
кута Р перпендикулярно до його бічної сторони. Знайдіть об'єм тіла обертання.
б) Рівнобедрений трикутник, бічна сторона якого дорівнює Ь, а кут при основі — а, обертається
навколо прямої, що лежить у площині трикутника і проходить через вершину кута а
перпендикулярно до його основи. Знайдіть об'єм тіла обертання.
703. а) Рівнобедрений трикутник, основа якого а і гострий кут при вершині а, обертається навколо
осі, що лежить у площині трикутника, проходить через його вершину і перпендикулярна до
бічної сторони. Знайдіть площу поверхні тіла обертання.
б) Рівнобедрений трикутник, бічна сторона якого b і кут при основі р, обертається навколо осі,
що лежить у площині трикутника, проходить через вершину кута при основі і
перпендикулярна до бічної сторони, що проходить через цю вершину. Знайдіть поверхню тіла обертання.
704. а) Прямокутний трикутник з гострим кутом а і протилежним катетом а обертається навколо
прямої, що лежить у площині трикутника і проходить через вершину даного кута
перпендикулярно до гіпотенузи. Знайдіть об'єм тіла обертання.
б) Прямокутний трикутник з гострим кутом р і гіпотенузою с обертається навколо прямої, що
лежить у площині трикутника і проходить через вершину прямого кута перпендикулярно до
його бісектриси. Обчисліть об'єм тіла обертання.
705. а) Прямокутний трикутник з катетом а і прилеглим до нього кутом 60° обертається навколо осі,
що проходить через вершину даного гострого кута перпендикулярно до катета. Знайдіть площу
поверхні тіла обертання.
б) Прямокутний трикутник з катетом а і прилеглим до нього кутом 30° обертається навколо осі,
що проходить через вершину даного кута перпендикулярно до гіпотенузи. Знайдіть площу
поверхні тіла обертання.
706. а) Трикутник зі сторонами 12 см, 17 см і 15 см обертається навколо меншої сторони. Знайдіть
площу поверхні тіла обертання.
б) Трикутник зі сторонами 20 см, 37 см і 51 см обертається навколо більшої сторони. Знайдіть
площу поверхні тіла обертання.
707. а) У трикутнику відомі сторона с і два прилеглі гострі кути, які дорівнюють а і р. Цей трикутник
обертається навколо прямої, що проходить через вершину третього кута паралельно відомій
стороні. Визначте об'єм тіла обертання.
б) У трикутнику відома сторона а і прилеглі до неї два гострих кути, що дорівнюють а і р. Цей
трикутник обертається навколо прямої, яка лежить у площині трикутника і проходить через
вершину третього кута перпендикулярно до його бісектриси. Визначте об'єм тіла обертання.
708. а) Паралелограм, в якого сторони — 21 см і 89 см, а діагоналі відносяться як 41 : 50, обертається
навколо меншої сторони. Визначте об'єм тіла обертання.
б) Паралелограм, сторони якого 17 сж і 28 см, а сума діагоналей — 64 сж,- обертається навколо
більшої сторони. Знайдіть площу поверхні тіла обертання.
709. а) Ромб зі стороною а і гострим кутом а обертається навколо осі, що проходить через вершину
гострого кута перпендикулярно до його сторони. Знайдіть площу поверхні тіла обертання.
б) Ромб зі стороною b і тупим кутом р обертається навколо осі, що проходить через вершину
гострого кута перпендикулярно до його сторони. Знайдіть об'єм тіла обертання.
710. а) Квадрат зі стороною и—g"CM обертається навколо діагоналі. Знайдіть об'єм тіла обертання.
V 8я
/— 60
б) Ромб з діагоналями VI5 см і — см обертається навколо більшої діагоналі. Знайдіть об'єм
тіла обертання. п
77

ЗМІСТ
Розділ І. ПРЯМІ ТА ПЛОЩИНИ В ПРОСТОРІ
§1. Аксіоми, паралельність і перпендикулярність у просторі З
1. Завдання обов'язкового рівня З
2. Завдання підвищеного рівня 8
3. Завдання поглибленого рівня 15
§ 2. Геометричні побудови 23
1. Завдання обов'язкового рівня 23
2. Завдання підвищеного рівня 26
3. Завдання поглибленого рівня ЗО
Розділ II. КООРДИНАТИ І ВЕКТОРИ В ПРОСТОРІ
1. Завдання обов'язкового рівня 32
2. Завдання підвищеного рівня 34
Розділ III. МНОГОГРАННИКИ
§1. Призма 38
1. Завдання обов'язкового рівня 38
2. Завдання підвищеного рівня 40
3. Завдання поглибленого рівня 45
§2. Піраміда 47
1. Завдання обов'язкового рівня 47
2. Завдання підвищеного рівня 50
3. Завдання поглибленого рівня 55
Розділ IV. ТІЛА ОБЕРТАННЯ
1. Завдання обов'язкового рівня 60
2. Завдання підвищеного рівня 62
3. Завдання поглибленого рівня 66
Розділ V. КОМБІНАЦІЇ ТІЛ
1. Завдання підвищеного рівня 69
2. Завдання поглибленого рівня 71