•ЛИЛ

.V







I

I

I

ПОДОБИЯ



и

И МОДЕЛИРОВАНИЯ

4 |

Г Т. 1

<111

>» л .

-г :

г?:/,'

' г.*

О

*2.

•1

Т >>

и?»

‘V

р. >

г.к

Ь.

Л

;й

•.

,<•

.; 1

ж

Хк^^гф'р1'1
' ь,-|

Ч!)

^.;4









'.V

ч
;-А

Я?



.и’-'''



-Л? V

I/



!<

*Г . .^



к*Д'

>•-

V/;? /

* }• • •

•??;1
'1'-0

Ч/

., ' •/ <Г л । ??/*



• • .





1’^

* Л

и-^1

/<

ВИ,..

ЦПУ

’ГО

1 I .	-' ’ *

ч /’4Г 1

<!г'&



Л



ЙИ
;Г

•• ч •»

г/ г *

•!<ж

?•. О.г' ;'.гИ1

г*

РГаЧГ

И :г.

•‘Я.



к

С



7 >'. '<• 5 к

К

;х

;.. V ‘

*.‘Р
> *

;У\-ГЛ









’. 'Г '•' •

V

‘ :? ч ТН к ММ }<’-.;
Ч‘* V	1\?И ।

>

г« кРл

ллк.'^





-5^и^^'гЛ-5-<Ь. .»-•:• -••;•.;.'





/Д

’-.Г'•>,.ч
Ъ'!Л 1; 1
2ч  .











В.А. Веников

ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ

И МОДЕЛИРОВАНИЯ

(ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЗАДАЧАМ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКИ)

ИЗДАНИЕ 2-Е, ДОПОЛНЕННОЕ И ПЕРЕРАБОТАННОЕ

Допущено Министерством высшего и среднего специального
образования СССР в качестве учебного пособия для
студентов электроэнергетических специальностей вузов

НОСОВА „ВЫСШАЯ ШКОЛА* 1 9 7 в
6П2

В29

УД К 621.311(0-75)

Рецензент — Д°кт- техн

наук. проф. Л. П. Веретенников

Веников В. А.

В29 Теория подобия и моделирования (применительно к
задачам электроэнергетики). Учеб, пособие для вузов.
Изд. 2-е, доп. и перераб. М„ «Высш, школа», 1976.

479 с. с ил.

Материал книги отвечает курсам «Кибернетика электрических систем»,
«Теория эксперимента», «Моделирование электрических систем», «Применение
теории вероятностей в электроэнергетике». Книга содержит основы теории и
рекомендации практических применений при постановке экспериментов в на-
туре и на физических, аналоговых, цифровых, математических моделях и
методов планирования экспериментов, их обобщений применительно к зада-
чам энергетики, рассматриваемой как большая искусственная система.

Книга предназначена для студентов вузов электроэнергетических специ-
альностей. Оиа может быть полезна инженерам, аспирантам и научным ра-
ботникам других специальностей, намеревающимся применять описанные
методы.

В 303И~403
001(01)—76

110-76

6П2

© Издательство «Высшая школа», 1976.
ПРЕДИСЛОВИЕ

Второе переработанное издание учебного пособия предназначается
для студентов специальностей «Кибернетика электрических систем»
(0304), «Электрические системы и сети» (0302) и ряда других спе-
циальностей (0303, 0302, 0650 и др.), где имеются обязательные или
факультативные курсы, или разделы курсов, посвященные подобию,
моделированию, теории эксперимента и т. п.

Книга является учебным пособием для ряда специальностей,
имеющих различное число часов на этот курс. Поэтому изложение
материала построено так, чтобы отдельные части книги можно бы-
ло бы читать независимо. Так, например, введения, освещающего
проблему подобия и моделирования, достаточно для получения
представлений в общем плане. Далее эти положения повторяются
уже в практическом инженерном аспекте. Такое частично концент-
рическое изложение облегчает проработку отдельных тем и дает
возможность пользоваться книгой при проведении студентами науч-
ных работ.

Это обстоятельство очень важно, так как новые условия работы
в вузе предусматривают широкое развитие активности в научно-ис-
следовательской деятельности студентов: самостоятельное изучение
некоторых, формально выходящих за рамки программ вопросов и
творческое решение отдельных задач, а также ознакомление со
смежными проблемами и с подходом к их рассмотрению в погранич-
ных областях знаний. Уделяя теперь таким задачам гораздо боль-
шее внимание, чем это делалось ранее в регламентированных тра-
диционных курсах, приходится несколько отходить от обычного
изложения, расширяя рамки пособия разделами, обеспечивающи-
ми самостоятельное изучение.

Полное содержание книги является обязательным минимумом
при сдаче кандидатских экзаменов по указанному выше научному
профилю.

Разумеется, автор не мог полностью охватить новые быстрораз-
вивающиеся проблемы физического, математического и функцио-
нально-кибернетического моделирования. Литература, перечень ко-
торой дан по главам, может дополнить изложение тех или иных
вопросов и облегчить самостоятельное изучение, Автор считаетнеоб-
ратить внимание читателей на то
подобия, несмотря на их
дований, не являются

„ „„.черкнуть, что этот перечень отнюдь^

““«"“обширной литературы но	й «минаров, статьи),

которой он пользовался (труды ^аРру авТор не мог загромож;
Подстрочными ссылками на } назначение книги. Исторический
дать изложение, УЧИТЬ'Х« характеризует только наиболее
обзор, не претендуя «Д^ия проблемы. Автор старался везде об-
существенные этапы развития	сами По себе методы теории

......	на то что я научн0.техничесКих иссле.

самодовлеющими и не могут
дований, не	решения конкретных задач.

содержать рецепту рун пГнове создаются методы, приемы,

Ге»

д У “““ ₽о 6	I лТр “вТя и я у н и » е р с а л ь н ы и воз-

можностн их поистине безграничны.	читавшихся ав

Настоящая работа, отражающая курсы лекции, читавши ся ав
тором в МЭИ и в ряде вузов, стремится наряду с ознакомлением
читателя с классическим наследием в этой области показать пути
творческого применения теории подобия, которая для современного
инженера-исследователя особенно важна тем, что, являясь основой
моделирования и натурного эксперимента, указывает пути обработ-

, относящихся
ы с л е м е т о-

ки опытов и расчетов.

В заключение автор считает своим приятным долгом отметить
внимание, проявленное к книге научно-технической обществен-
ностью в лице НТОЭиЭП, организовавшего в Московском доме нл«
учно-технической пропаганды широкое обсуждение книги, При этом
были высказаны очень ценные замечания. Дополняя предисловие
первого издания, автор благодарит рецензента рукописи Л. П. Ве-

ретенникова и выражает свою искреннюю признательность
Ю. Н, Астахову, Г. В. Веникову, А. М. Кулиеву, Р. Г. Савченко, пре-
доставившим в распоряжение автора материалы своих исследова-
ний и помогавшим ему при отработке второго издания.

Автор благодарит доктора философских наук И. Б. Новика за
™°РДеское обсУждение многих философских вопросов подобия и
моделирования, нашедшее отражение в книге
японскийПТы™епЗОг издзнияпкниги на английский, румынский,
харест)"" X	<Ло"№ч). акад. Димо (Бг

тых автором с признательностью0 ВСтаЛИ РЯД эа"е,авий' ПР»»Я-
были приняты и попечммр о ' $ этом п-ане с благодарностью
и М. Кариу“.Г“ п “Т”™'	от А. И. Берга.

сообщать1 ”ЗДа"И" "«“
школа»’ ’ еглинна

за

сч

А. В. Чичинадзе,
_ пппП	-13’ В’ И. Идель-

г, проявивших внимание к этому труду

1ЯЛЯ и иг»	_______

Я ул.

л 90/1 а ему 0 них по адресу:
, издательство «Высшая

о

Автор
ВВЕДЕНИЕ

§ В.1.	ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ. МЕСТО КУРСА
В ОБРАЗОВАНИИ ИНЖЕНЕРА

Теория подобия и моделирования является большим разделом
(иногда выделенным в самостоятельный курс) научной дисциплины
«Кибернетика электрических систем».

Кибернетика — наука о целеустремленном оптимальном управ-
лении развивающимися и саморазвивающимися большими система-
ми, применительно к энергетике изучающая закономерности опти-
мального управления ее развитием и функционированием. В слож-
ной большой системе энергетики отдельные элементы и подсистемы,
взаимодействуя между собой, создают весьма глубокие внутренние
связи. Эти связи не позволяют расчленять систему на независимые
составляющие и при определении ее характеристик не дают воз-
можности изменять влияющие факторы по одному, применяя при-
вычный для электриков метод наложения (суперпозиции). Энерге-
тическая (более узко — электроэнергетическая) или электрическая
система, рассматриваемая в целом, обладает новыми качествами,
не свойственными отдельным ее подсистемам и элементам; она тре-
бует при решении задач планирования, проектирования и управле-
ния применения специальных кибернетических методов и
приемов.

Всем процессам, происходящим в электроэнергетических, как и
любых сложных, системах, свойственны общие признаки;

—	наличие цели и оптимизации, отраженной в алгоритме управ-
ления;

	— отыскание тех или иных условий оптимальности;

—	управление на основе приема информации и ее обработки;

—	корректировка управления в соответствии с действием обрат-
ных связей;

—	учет взаимодействия данной системы с внешней средой, в ря-
де случаев рассматриваемой как источник случайных помех;
_ отражение вероятностных факторов, влияющих в процессах
развития и функционирования “К1еи^еские системы становятся все
По мере своего Разввтп „ прогнозировании, планировании,
более и более сложными. При ^Д^ыХания оптимальных ре-
функционировании возни ЗЗАТКИ и,нформации. Все электриче-
шений на основе пРие“^ уютР^ и управляются по принципу ©брат-
ские системы автомат!	УебРителей, случайные колебания

нои связи. Тол 1КИ наг пчеСких и атмосферных факторов —
"се Рто неИчтоВиноЯеН1как источники случайных помех, которыми так-
же занимается кибернетика. Осуществление управления в электри-
ческих системах происходит на основе переработки принятой ин-
формации в соответствии с определенными правилами решения той
или иной задачи или группы задач определенного целеустремленно-
го управления сложной системой. Такие правила, называемые алго-
ритмом управления, необходимы инженеру, управляющему
электрической системой с помощью информации, получаемой не-
посредственно от системы, или информации, переработанной вы-

ритмом управления

числительными машинами.

Крупнейшим недостатком науки об электрических системах до сих пор яв-
лялась разобщенность методологии при подходе к изучаемым явлениям: упро-
щенная формализация в одних случаях и недостаточно глубокий учет физики
явлений в других. Применение кибернетики к изучению электрических систем и
к управлению ими позволяет систематизировать, обобщать и закономерно фор-
мализовать подход к исследованию происходящих в электрических системах
разнообразных явлений. Выявляя в них общее, можно наметить пути обобщен-
ного подхода и найти наиболее целесообразные решения, обеспечиваемые при-
менением вычислительной техники.

Кибернетика как научно-техническая дисциплина содержит общую теорию
работы автоматизированных и самонастраивающихся электрических систем. Эти
системы должны работать так, чтобы иметь оптимальные показатели в смысле
их экономичности и наилучших технико-экономических показателей. Они должны
обеспечивать высокую надежность работы, качество вырабатываемой энергии
и обслуживания потребителей.

Огромная роль формализации задач, математических методов и
вычислительной техники, однако, не означает, что только они и со-

ставляют содержание кибернетики. Не меньшее значение имеет
проникновение в физику происходящих в сложной системе процес-
сов. Их многообразие требует обобщенного подхода. Эксперимент,
становящийся все более сложным, требует специальных при-
емов постановки и обобщения результатов. Отсюда
комНТониСмани°ибХОДИМЬ1МИ модели И моделиРование В самом широ-
базы для количАетр °СН0ВЫ интеРпРетаВДи полученных фактов -

ДЛЯ шественного описания.

°^разом> оказывается важнейшей состав-
иескХко рХлм	“сто, которая распадается на

•генные особенности К этп™ми”лам ,™б0И’ "° и“ею“»их опреде-

1-	Теория поло б и ЯР ? вносятся следующие:

ских, экономических и пм 0 А е л и Р о в а н и я физиче-
вает, как в каждом явлении . д р У г я х явлений. Она показы-
6	Д М ЯВЛении наит« наиболее общие черты, как нуж-

ио Других явлений. Она показы-
но планировать и ставить эксперименты и как - -

данные любого эксперимента (физического, математиТескп?™®3'"’
ленного). К этому же разделу относится конструипова.шр п’ МЫС'
ных моделей, служащих основой изучения сложных систем Р ИЧ"

2.	Основы применения вычислитель ни/
матИческих машин для исследования разви™^'
эксплуатации электрических систем. Этот оазпеп „ И
сается методики исследования электрических систем с помп
установок математического моделирования и с помощью цифоо^
вычислительных машин (ЦВМ), которые после разработки алгопвт
мов, программ и их апробации (сопоставлением с эксперимента п. ’
ными данными или специальными тестами) становятся математике
СНИМИ цифровыми моделями.	,ИЧе’

З.	Теория информации о режимах систем Сюпа
входят исследование и разработка способов получения от системы
сведений относительно ее работы в нормальном режиме когда
системе происходят различные малые отклонения. Для управления
и регулирования системы надо иметь определенные сведения о про
исходящих в ней отклонениях, с тем чтобы соответствующие регу
лирующие устройства могли надлежащим образом реагировать на
это «дыхание системы».

Этот же раздел изучает характеристики процессов во время ава-
рий и занимается вопросами тех показателей, согласно которым
могут обеспечиваться оптимальные условия работы существующей
системы и ее развития при необходимом качестве энергии и доста-
точной надежности работы системы.

4.	Теория режимов автоматически управляе-
мой сложной системы. Здесь изучаются различные методы
управления системой, включая кибернетические. Не касаясь вопро-
сов конструкции тех или иных регулирующих и управляющих
устройств, в этом разделе внимание сосредоточивается на изучении
таких методов использования информации, при которых обеспечи-
вались бы самонастройка и самоуправление управляющих уста-
новок.

Данная книга посвящена изложению вопросов только первого
раздела.

§ В.2. ПОДОБИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ

В НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

XX век характеризуется быстрым развитием всех отраслей науки и
тем несомненным фактом, что наука становится непосредственной
производительной силой. Вместе с тем бурное развитие науки при-
водит к непомерному росту тех сведений (информации), которые
нужно воспринять специалисту при изучении предметов, не только
непосредственно относящихся к области его специализации, но и
находящихся в смежных областях науки. Огромный рост количе-
ства информации был бы катастрофическим для дальнейшего раз-
вития человеческого познания, если бы вместе с расширением и уг-
яснее и яснее не проявлялись бы тенденции к

дублением наук все —

их синтезу и не создавались бы новые возможности автоматизации
хранения и передачи информации. В настоящее время выявились
новые пути выполнения вспомогательных операций, автоматизи-
рующих многие процессы умственного труда. Таким образом, ока-
зывается возможным автоматизировать и этот вид человеческой
деятельности, сосредоточивая внимание на наиболее творческой и

существенной ее части.	ия элементов умственной деятель-

Синтез знании и авто “т^ем обобщающих наук и появлени-
ности связань1с быстрь . РиН. кибернетики, топологии, теории гра-
ем новых на^'н“у^оК/м синтезе /наук большую роль играют

фов и др. .

математика и примыкающие к ней полностью или частично мате-
матизированные науки и отдельные дисциплины. Большая роль
аналитических методов в общей системе научных исследований все

более подтверждается теми открытиями, которые, как говорят, де-
лаются «на кончике пера», т. е. как будто бы чисто умозрительно.
Однако было бы совершенно неправильно забывать то обстоятель-
ство, что самая абстрактная теория обобщает практический опыт,
что в любой, даже отвлеченной, теории критерием истины является
опыт, практика, в том или ином виде специально поставленный
эксперимент. Даже те науки, которые называют «отвлеченными»,
«чистыми», в конечном счете возникли и выросли на базе экспери-
мента, обеспечивающего их фактическим материалом — явно или
неявно — на той или иной стадии их формирования. Быстрое, пло-
дотворное, действительно целенаправленное развитие новых наук,
новых научных дисциплин или их разделов и в дальнейшем воз-
можно только в том случае, если «рука об руку» с анализом будут
применяться и совершенствоваться экспериментальные методы.

Чем быстрее развивается теория и больше накапливается науч-
ной информации, тем быстрее должны развиваться эксперименталь-
ные методы и тем более тонкими, изящными и обобщающими они
должны быть. Как и прежде, эксперимент остается и всегда оста-
нется существеннейшим инструментом познания. Вот почему теория
подобия, теория (и практика) моделирования в их новом, широком,
смысле, позволяющие концентрировать информацию и являющиеся
обоснованием эксперимента, дающие направления для постановки
опытов и указывающие закономерности их обобщения, получили
именно сейчас особое значение. Подобие и моделирование облегча-
ют единое описание процессов в самых различных сферах природы.
Они приобретают большую роль в теории познания, облегчая пони-
мание ленинской идеи о совмещении двух принципов диалектики —
принципа развития и принципа единства мира.

Закономерное обобщение результатов единичного явления на
широкие группы подобных явлений, которое позволяет сделать те-
ория подобия необходимо в естественных и особенно технических
науках. Подобие начинает рассматриваться все в более и более

ПЛане> когда множество объектов объединяются в группы
д вольно сложным признакам, а не только по условиям пропор-
г .
циональности сходных величин, как это постулировалось при про-
стейшем подходе. Моделирование в различных его видах (в том
числе и новых — аналоговых, кибернетических и др.) становится
основой для исследований и самых разнообразных экспериментов,
не только физических, но также математических и мысленных
Теория подобия и теория моделирования, таким образом, все в
большей степени становятся мощным инструментом исследований
во всех областях знаний от уровня микромира до космических
уровней. Области, которые охватывает теория подобия, меняются.
Меняется и само понятие моделирования. Эта «нестационарность»
понятия вполне закономерна, ибо действительно жизненными яв-
ляются только те отрасли науки, центр интереса которых переме-
щается и изменяется с течением времени. Таковы быстро развиваю-
щиеся методы подобия моделирования, планирования эксперимен-
та. Познакомить с ними студента, инженера, научного работника —
таковы задачи настоящей книги.

§ В.З. ТЕОРИЯ И ЭКСПЕРИМЕНТ В ПОЗНАНИИ

Общая задача теории подобия и теории моделирования — это вы-
работка методологии, направленной на упорядочение получения и
обработки информации об объектах, существующих вне нашего
сознания и взаимодействующих между собой и внешней средой.
Развитие всякой науки, тем более физических наук, являющихся
основой для так называемых технических дисциплин, всегда начи-
нается с того или иного экспериментального исследования. Далее
на основе обобщения опытных данных развивается теория. От на-
блюдения и эксперимента к теоретическому мышлению, а затем к
специально организованным производственным процессам — таков
путь научно-технического развития. «От живого созерцания к
абстрактному мышлению и от него к практике — таков диалектиче-
ский путь познания истины, познания объективной реальности» *.

Указанное положение не противоречит тому, что в развитии нау-
ки большую роль играли, играют и будут играть научные гипотезы,
т. е. определенные предсказания, основывающиеся сначала на очень
небольшом количестве опытных данных, некоторых тонких наблю-
дениях и догадках. Иногда гипотезы опережают возможности экспе-
риментальных исследований, как это было, например, с гипотезой
об атомах, которая в древней философии носила скорее поэтический
характер и была проверена только спустя много веков после ее за-
рождения.

Быстрая и полная проверка выдвигаемых гипотез, их отсев или
утверждение и перевод в теорию могут быть сделаны только после
закономерно обобщенного и обычно специально поставленного
эксперимента. Характеризуя этот процесс уточнения, «очищения»
гипотез, Ф. Энгельс писал: «Формой развития естествознания, по-
скольку оно мыслит, является гипотеза. Наблюдение открывает

* В. И. Ленин. Поли. собр. соч., т. 29, стр. 152—153.
• делающий невозможным прежний способ
какой-нибудь новый факт д.	*	самой уппе. с ЭТОго

объяснения фактов, 0ТН0СЯ1^	н0ВЫХ способах объяснения, опи-

момента возникает потреби виченное количество фактов и ка-
рающаяся сперва только н Р материал приводит к очищению
блюдений. Дальнейший оп I нРсправляет другие, пока, на-
этих гипотез, устраняет одни из них, и Р^^

конец, не будет установле	чистом виде для закона,

„,™ ждать, пока иа«р“ * лор «мсляшее нселедова-
™,	ОД»“,	н»’«а но получил» бь, закона»

Быстро получить Обобщенный опытный материал возможно, если
правильно поставить опыты и обработать их результаты, что опять-
таки обеспечивается с помощью теории подобия и моделирования.
При определении, формулировании и проверке правильности гипо-
тез большое значение в качестве метода суждения имеет аналогия.

Аналогией вообще в логическом смысле называют суждение о
каком-либо частичном сходстве двух объектов, позволяющее на
основании сходства рассматриваемых объектов в каком-либо отно-
шении сделать вывод об их сходстве в других отношениях. В прак-
тике научных и тем более научно-технических исследований следу-
ет рассматривать аналогию в качестве разновидности подобия, а
реализацию аналогии —в качестве метода моделирования. В соот-
ветствии с этим в книге будет говориться об аналоговом по-
добии и аналоговом моделировании и о методике
применения их в научном и практическом исследованиях. Теорети-
ческое научно-познавательное значение аналогии заключается в ее

связи с какой-либо гипотезой, выдвигаемой для объяснения изучае-
мых явлений. Основой этой связи всегда служит практика, опыт,
так как гипотетические суждения нельзя продуктивно получить
только на основе абстрактных философских принципов. Современ-
ная научная гипотеза создается, как правило, именно по аналогии
тЯХВТНЫМИ на пРактике научными положениями. Аналогия,
ми И гЬяит!»™’’ связывает гипотезу с экспериментальными данны-
и аналогии отп^ДаЮЩИМИ ™ жизненность- Физические гипотезы
мир должны ипи М ЮЩИе реальныи- объективно существующий
Хя некотооьшМ:;ь,недосРедгтвенную наглядность, или Тво-
мам. Эти установки, структуры '"схемы 6 облег	СТруКТураМ и Схе’

и логические постооения ’ хемы’ облегчающие рассуждения
ты, которые уточняют приполуП™?°ЛЯ“ЮШИе ПР°ВОДИТЬ эксперимен-
энспериментом в шшюипмЛ' влении> называются моделями. Под
зованная процедура постановкиЛе В0НЙ,маетСя специально органи-
мых в лаборатории в условиях ня эРаботки наблюдений, проводи-
«эг пассивный эксХимент УРЫ ИЛИ пр0изволс-я Р™.
за протеканием явления

или производства. Различа-

. --.-™ ЯИ,1СНИЯ И а к;ив°и^ИЙСЯ Т0ЛЬК0 к наблюдению
вмешательство в ход процессов н ? ’ допУскающий некоторое
наблюдення. Разновидной ЭКСПеХВеТСТВеНН° ^^низующий
—----------.	тью эксперимента являются мысленно

Ю	алектика природы. Господ итиздат, 1965, стр. 207.
воспроизводимые опыты, называемые мысленным экспериментом.

моделью при мысленном эксперименте понимают некоторые
логические построения, наборы формул, алгоритмы для расчетов
на ЦВМ и просто рассуждения, оперирующие предполагаемыми,
паже и не обязательно осуществимыми зависимостями и соотноше-
ниями. Мысленный эксперимент, являющийся технически неосущест-
вленной или даже вообще неосуществимой процедурой, является
логической аналогией реального опыта. Примером могут служить
мысленные эксперименты В. Гайзенберга, обосновывающие невоз-
можность одновременного точного определения координат микро-
частицы и т. д. Такие эксперименты, представляя собой только
логические операции, не могут являться тем «критерием истины»,
каким является специально поставленный физический эксперимент
или обработанные результаты натурных наблюдений. Поэтому раз-
витие мысленного эксперимента, связанное с глубоким проникно-
вением в физику явлений, в той или иной мере основывается на ра-
нее осуществленных физических опытах. Однако научные теории и
методы становятся все менее наглядными в непосредственном, чув-
ственном понимании наглядности. Мысленный эксперимент и мыс-
ленные модели применяют абстрактные понятия математики, такие,
как многомерные пространства, построенные по аналогии с мате-
риальным трехмерным пространством, и т. д. В этих условиях по-
явились соображения о том, что время, когда познание мира и
исследование происходящих в нем явлений нуждались в реальном
эксперименте, моделировании, обработке данных на основе теории
подобия с учетом математики для описания объективно сущест-
вующей действительности, теперь прошло. Это было якобы время
«детского возраста» науки. Физические и даже технические иссле-
дования в их принципиальных построениях, по мнению этих теоре-
тиков, теперь могут быть сведены только к математическим иссле-
дованиям, которые, являясь свободным продуктом человеческого
разума, не нуждаются ни в модельных, ни в натурных эксперимен-
тах, ни в каких-либо аналогиях.

Крупнейший английский физик Дирак утверждал, что достоинства той или
иной математической теории определяются в первую очередь ее «изяществом*
и «красотой». Физика при таком подходе представляется как свод неких отвле-
ченных представлений, которые, так же как, например, игра в шахматы, должны
удовлетворять определенным правилам. Упрощенно связывая понятия моделей
и моделирования только с наглядностью и отмечая ненаглядность современных
физических теорий, иногда считают закономерным отказ от моделей, не понимая
того, что понятия моделей и наглядности изменяются и развиваются. Так, на-
пример, общеизвестно, что если в XIX в. наглядность связывалась только с ме-
ханическими представлениями, то теперь часто механические явления объясня-
ются через электрические и т. д.

Немецкий физик Венцзеккер и некоторые другие неоднократно высказывали
мысль, что мир можно познать исключительно аналитически, не прибегая к опы-
там, на основе некой системы аксиом. Английский физик А. Эддингтон утверждал,,
что, хотя выводы физики н астрономии действительно вытекают из обобщения
опытно полученных данных, подлинная наука начинается тогда, когда разум
предписывает законы природе, а не заимствует их у нее. Он считал, что фунда-
ментальные законы и константы физики могут быть установлены из чисто тео-
ретико-познавательных соображений, совершенно независимо от опыта, и что
человек только «отвоевал у природы то, что он в нее вложил». Весьма похожие
соображения высказывались астрономом Э. Милном, также считавшим законы
природы субъективными построениями. Известный ученый Карнап утверждай
что в логическом анализе должна рассматриваться система научных понятий,
сводящихся к системе протокольных предложений, которые отнюдь не основаны
на свойствах природы, не нуждаются в каком-либо опытном обосновании и не
должны соответствовать реальному миру. Они должны сравниваться только с
другими предположениями такого же рода, а не «с опытом», «миром» или чем-
либо подобным. Таким образом, формализация и математизация физики — яв-
ленив само по себе прогрессивное и положительное может приводить к идеа*
диетическому преувеличению значения отвлеченных логических построении и
гиперболизации роли математики. Соображения о ненужности моделирования и
вообще снижении роли эксперимента в технических исследованиях высказывают
и некоторые инженеры, противопоставляющие роль вычислительной техники и
формализованного анализа эксперименту.

В действительности же эксперимент для инженера или физика
не только облегчает подход к изучению той или иной проблемы, но
и является средством непосредственного решения технических за-
дач. Его роль значительнее, так как он часто еще и помогает найти
наилучший подход к аналитическому решению. Недооценка роли
экспериментальных данных в синтезе знаний приводит к частым
ошибкам в оценке новых фактических данных и к задержке внедре-
ния новых разработок.

Именно эксперименты подсказывают ход аналитических реше-
ний в развитии теории и путей внедрения новых разработок. Все
математические понятия, даже, казалось бы, совершенно абстракт-
ные, в конечном счете отражают количественные и пространствен-
но-временные соотношения реального мира. Как бы ни были инте-
ресны и «красивы» отвлеченные математические построения, для
фактического решения практических вопросов всегда требуется
эксперимент, хот я иногда необходимость в нем не проявляется явно.

Итак, физическое экспериментирование, практическое воспроиз-
ведение исследуемых явлений на моделях представляет собой ре-
альную основу научного и тем более инженерно-научного творче-
ства. В общих чертах соотношение между экспериментом и теори-
ей, рассмотренное применительно к физике и технике, присуще
любому научному исследованию.

В некоторых случаях при соблюдении специальных условий, обе-
спечивающих «чистый» ход процесса, эксперимент может быть так-
же непосредственным критерием истинности для теоретического
познания. Сила эксперимента — в реальной действительности, в
ооъективном значении его конечных результатов, «Практика выше
(теоретического) познания, — подчеркивал В. И. Ленин, — ибо она
ет не только достоинство всеобщности, но и непосредственной

 Но надо подчеркнуть, что эксперимент может
пп . твенное значение в той или иной области науки только
мент никпгЛ.ЬН0И еГ° обРаботке и обобщении. Единичный экспери-
тезн ппгн,^а Не может быть решающим для подтверждения гипо-
Р рки теории. Поэтому нельзя согласиться и с переоценкой

‘В. И. Ленин. Поли. собр. соч., т. 29, стр. 195.
роли физического эксперимента для естествознания, которую допу
окает так называемая неопозитивистская философия по существV
отрицающая теорию и сводящая всю науку к некоторому набопу
экспериментальных фактов. Борьба за правильную оценку экспери-
мента составляет часть той борьбы, которая ведется в физике и
теории познания между материализмом и идеализмом во всех его
разновидностях. Эта идеологическая борьба получает определенные
отголоски и в постановке научно-технических исследований, влияя
на практические выводы. Поэтому и инженер-исследователь, и ин-
женер-практик должны быть знакомы с элементами современной
методологии теории познания и, в частности, не должны забывать
основного положения материалистической философии: именно
экспериментальное исследование, опыт, практика являются крите-
риями истины. Из сказанного должно быть ясно, почему вопросам
правильной постановки опытов и их обработке следует уделять до-
статочно много внимания в образовании инженера, который должен
владеть современной методологией технических наук.

§ В 4. МОДЕЛИ И ИХ ГОЛЬ В ИЗУЧЕНИИ
СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

Определяя гносеологическую роль подобия и моделирования, т. е.
их значение в процессе познания, необходимо прежде всего от-
влечься от имеющегося в науке и технике многообразия моделей.
Нужно выделить то общее, что присуще всем моделям. Это общее
заключается в наличии некой структуры (статической или динами-
ческой, материальной или мысленной), которая действительно по^
добна, или рассматривается в качестве подобной, структуре другой
системы. Модель, таким образом, — это естественный или
искусственный объект, находящийся в со от в е тс Т’
вин с изучаемым объектом или, точнее, с какой-либо из
его сторон. В процессе изучения модель служит относительно само-
стоятельным «квазиобъектом», позволяющим получить при иссл(

довании некоторые знания о нем самом.

В общетеоретическом смысле моделирование означает осущест-
вление каким-либо способом отображения или„ воспроизведения
действительности для изучения имеющихся в ней объективных за
кономерностей. Обобщенно моделирование определяется как метод
опосредствованного познания, при котором изучаемый объект (ори
гинал) находится в некотором соответствии с другим объектом (мо-
делью), причем объект-модель способен в том или ином отношении
замещать оригинал на некоторых стадиях познавательного провес -
са. Стадии познания, на которых может происходить такая замена
равно как и формы соответствия модели и оригинала, моги
различны. Исходя из понятия отображения, принятого в теори
знания, можно определить два характерных вида моделирования.

1.	Моделирование как познавательный пр и
жащий переработку информации, поступающей из внсшн[	’

нем явлениях. В результате этой информации в

о происходящих в
сознании появляются образы, имеющие определенное сходство с
соответствующими объектами. Сумма этих образов позволяет вы-
являть свойства изучаемых объектов и их взаимодействие. Матема-
тическая запись, составленная на основании суммы образов и со-
держащая описание динамики физических или других (например,
экономических) закономерностей, и есть модель.

2.	Моделирование как создание некой системы — си-
стемы-модели (второй системы), имеющей определенное сходство с
системой-оригиналом (первой системой). Две эти материально реа-
лизованные системы, из которых одна рассматривается как отобра-
жение другой, связаны соотношениями подобия. Отображение
одной системы в другой в этом случае является следствием выяв-
ления сложных зависимостей между двумя системами, отраженных
в соотношениях подобия, а не результатом непосредственного изу-
чения поступающей информации.

В первом случае моделирование носит мысленный харак-
тер, во втором — материальный, поскольку его реализация
требует создания специальных установок, воспроизводящих иссле-

дуемую систему.

Понятие моделирования тесно связано с понятием информации,
характеризующей воздействия (которые получают система и ее от-
дельные элементы), а также происходящие в результате этих воз-
действий изменения состояния системы, определяемые, вообще го-
воря, всегда во времени и в пространстве, но иногда рассматривае-
мые или только во времени, или только в пространстве.

Информация — это содержание воздействия, его величина, изме-

пол-

нение в пространстве и во времени, взятые в отрыве от первичного
носителя воздействия и от его энергетических свойств. Овладение
информацией невозможно без применения моделирования в том
или ином виде. Это объясняется прежде всего следующим. Чтобы
выявить физическое воздействие, его нужно в течение некоторого
промежутка времени запомнить, т. е. отразить в структуре воспри-
нимающей системы. Модели в этом смысле можно дать приведенное
выше общее определение как структуры, в которой отражено изме-
нение физического воздействия во времени и в пространстве (
ная модель), в частном случае>— или только во времени, или толь-
ко в пространстве (неполная модель).

Обширная информация о происходящих явлениях при изучении
методами моделирования должна быть упорядочена. Это осу-
ществляется с помощью теории подобия, позволяющей по заданным
характеристикам одного явления судить о больших группах явле-
ний, в том или ином смысле подобных первому явлению. Подобие
явлений означает, что данные о протекании процессов, полученные
при изучении одного явления, можно распространить на все явле-
ния, подобные данному. При этом, однако, необходимо учитывать,
что модель не дает и не должна давать подобия абсолютно всех
процессов, содержащихся в явлении или так или иначе связанных
с ним. Модель обеспечивает подобие только тех процессов, которые
удовлетворяют критериям подобия, найденным на основе
теории подобия. Поэтому выше и было сказано «в том или м
смысле подобны». Характеристики любого явления в Лупп Т
добных явлении можно получить некоторым преобразованием «
рактеристики другого - подобного - явления (в простейшем Х
н это изменение масштабов).	^ЛУ‘

чае

Теория подобия применяется:

а)	при аналитическом отыскании зависимостей, соотношений и
решений конкретных задач;

б)	при обработке результатов экспериментальных исследований
и испытаний различных технических устройств в тех случаях, когда
результаты представлены в обобщенных «критериальных» зависи-
мостях;

в)	при создании моделей, т. е, установок, воспроизводящих яв-
ления в других установках (оригиналах), обычно больших по вели-
чине или более сложных по структуре и более дорогих, чем модели.

Здесь проявляется особая роль моделей, предназначенных для
изучения сложных больших систем, эксперименты в которых за-
труднительны или даже невозможны, если они могут нанести какой-
либо вред изучаемой системе. При моделировании сложных систем
исключительно важно положение о том, что подобие отдельных под-
систем обеспечивает (при соблюдении определенных условий, см.
гл. II, III) подобие всей сложной системы. Это означает, что опыт-
ное изучение сложной системы можно начинать раньше, чем уста-
новлено ее математическое описание как сложной системы, т. е. при
описании только по элементам.

Особая роль методов подобия и моделирования в изучении слож-
ных систем связана еще и с тем, что эти методы по своей природе,
своим свойствам нацелены именно на выделение из сложной систе-
мы того, что является самым важным при изучении (в данной кон-
кретной постановке задачи) ее свойств. Любая системами даже, бо-
лее того, любое явление связано с бесконечной гаммой различных
процессов, любая естественная система всегда нелинейна. Попытки
ее познания для активного вмешательства в происходящие процес-
сы (в чем и состоит задача технических наук) невозможны без
создания модели, всегда упрощенной по сравнению с бесконечной
глубиной оригинала, но упрощенной так, чтобы сохранять те сто-
роны явления, которые существенны в данной теоретической или
практической проблеме.	.

Теория подобия и основанное на ней моделирование имеют г.}
бокие связи с теорией познания и всеми естественными науками,
так как при установлении подобия в явлениях одной физической
природы вскрывают глубокие зависимости качественных сторон яв-
лений от количественных.

Возможность установить подобие между разнородными по 'Рл
ческой природе явлениями также не случайна. В природе вокд
вие ее материального единства имеются общие для всех
ных разновидностей материи и ее разнообразных проявлении к а
чественные отношения и пространственные формы. Это ПОЗВ(^
обобщать процесс познания, отвлекаясь от деталей, содерж
в полном комплексе качеств вещей, от происходящих процессов, и
изображать те или иные их стороны математически в виде функци-
ональных связей, дифференциальных уравнений.

Применение тождественного математического аппарата в разных отраслях
науки, разных дисциплинах (например, единый подход к колебаниям и волнам
различной физической природы) не является делом просто! о «удооства» или
теоретического произвола, умения «красиво» выбрать уравнения, как это пыта-
ются изображать некоторые физики и математики, стоящие на субъективистских
позициях. В сущности, на такой же субъективистской позиции находятся и те,
кто отвергает единый подход к явлениям разной природы, утверждая, что он
является чисто формальным, основанным якобы на «только формальной» анало-
гичности математического аппарата. Ответ на этот вопрос с позиций диалекти-
ческого материализма уже давно с исчерпывающей ясностью дан В. И. Лениным.
Рассматривая борьбу физиков Л. Больцмана и Э. Маха — сторонника «феномено-
логической» физики — и касаясь вопроса об аналогичности дифференциальных
уравнений, которыми оперируют в различных разделах физики, В. И. Ленин
писал: «Единство природы обнаруживается в «поразительной аналогичности»
дифференциальных уравнений, относящихся к разным областям явлений» *. Дей-
ствительно, развитие физики подтверждало и подтверждает, что единство при-
роды, единство многих закономерностей объективных процессов, происходящих
при различных видах движения материи, описывается одинаковыми уравнения-
ми. Так, например, в колебаниях маятника и колебаниях в электрическом кон-
туре, в распространении упругих волн и распространении электромагнитных волн
имеется общность, позволяющая создать единое учение о колебаниях и волнах
с общим математическим аппаратом, лежащим в основе этого учения. Таким
образом, в общности подхода к явлениям природы, имеющейся у теории подобия
и моделирования, есть глубокий смысл и большое познавательное значение, ко-
торые не всегда оцениваются правильно. Между тем метод моделирования
превращается в один из универсальных методов познания, применяемых во всех
современных науках, как естественных, так и общественных, как теоретических,
так и экспериментальных, технических, которые все больше и больше обраща-
ются к изучению сложных систем. Однако свою роль этот метод может
выполнить только при правильной его оценке, методологически закономерном
применении основных понятий и процедур.

в

§

И ТЕОРИИ ЭКСПЕРИМЕНТА

Для пояснения введенного выше понятия «модель» необходимо
коснуться истории развития теории эксперимента. Понятие «мо-
дель» возникло именно в процессе опытного изучения мира, а само
слово «модель» произошло от латинских слов тодиз, тос1и1и$, озна-
чающих меру, образ, способ. Первоначальное развитие модели по-
лучили в строительном искусстве. Различные вещи, сделанные на
основе каких-либо измерений, воспроизводящие что-либо или яв-
ляющиеся прообразом чего-то, какими-то образцами для других
вещей, стали называть моделями. Во всех языках вслед за латин-
ски^ появились соответствующие слова: гпобеПо — в итальянском,
гпоаеПе во французском, тобе! — в английском, тодеП — немец-
ком, модель — русском. В научном обиходе сло^во «модель» упот-
ребляется широко и не всегда достаточно определенно. Однако в
основном ему придают двоякий смысл. Во-первых, под моделью
понимают образец чего-либо или структуру (мысленно или мате-

• В. И Ленин. Поля. собр. соч., т. 18, стр. 306.
риально созданную), представляющую в удобной для восприятия
форме состояние подлежащей изучению системы. Во-вторых при
теоретическом подходе под моделью понимают изображение изу-
чаемой системы, явления или некоторых процессов. Это изображе-
ние (модель), построенное с помощью других явлений, более при-
вычных и лучше изученных, облегчает понимание исследуемых яв-
лений. В качестве простейшего примера можно привести хорошо
известную модель эфира или модель электрического тока, представ-
ленного в виде жидкости. Понятие модели здесь в значительной

мерс совпадает с понятием аналогии, причем появилась даже тен-
денция считать аналогию общим случаем модели, что неправильно,
так как аналогия отражает только условные, часто поверхностные
соотношения, в то время как физическая модель выявляет причин-
ные связи и в этом смысле является более общей.

Рост многообразия форм моделей и моделирования все более

затрудняет краткое единое определение понятия модели *. Наибо-
лее удачным здесь может быть определение модели как любого
объекта (явления, процесса, установки, знакового образования), на-
ходящегося в отношении подобия к моделируемому объекту.

Таким образом, понятие модели всегда требует введения по-
нятия подобия. Первоначально заимствованное из геометрии,
это понятие получило в дальнейшем более широкий смысл и стало
определяться как взаимно однозначное соответствие между объек-
тами. При практическом инженерном применении предполагается,
что функции перехода от параметров, характеризующих (в том или
ином смысле) один из объектов, к параметрам, характеризующим
другой объект, известны. Математические описания, если они име-
ются, могут быть сделаны тождественными.

Учение о подобии и моделировании начало создаваться более четырехсот
лет тому назад. Уже в середине XV в. обоснованием методов моделирования
занимается Леонардо да Винчи. «Говорят, — пишет он, — что маленькие модели
ни в одном своем действии не соответствуют эффекту больших. Здесь я намерен
показать, что это заключение ложно...». Далее он пытается вывести общие ана-
литические закономерности и приводит многочисленные примеры. Так, рассмат-
ривая бурение дерева, он устанавливает соотношения между площадью, силой
и количеством дерева, удаляемого буравами разных размеров. Не различая
достаточно механического и геометрического подобия, Леонардо в своих рабо-
тах не получает общих законов подобия, но тем не менее делает серьезные шаги
в направлении их создания. Одновременно он пользуется и аналогиями. «Напи-
ши о плавании под водой и получишь летание птицы по воздуху», рекомендует
он, тут же, впрочем, обращая внимание на необходимость проверки: «...движет-
ся ли конец крыла птицы так же, как и рука пловца». Он предлагает создавать
стеклянные модели глаз, стеклянную модель, позволяющую «наблюдать сквозь
стекло, что делает кровь в сердце, когда она сжимает его выходых В ЭТИХП^2
далеко по времени отстоящих от нас работах ставится актуальный с?гон
вопрос о соотношении опыта и теории, о необходимости проверки и ооо ше
результатов опыта и его роли в познании. «Опыт — посредник между иск.) <
природой и родом человеческим — учит нас тому, что совершает среди . чю
природа, понуждаемая необходимостью, и что она не может совершать
как тому учит разум...».

* Именно поэтому в книге дается ряд определении, отражающих раз.......,ы

пекты моделирования.
Вопоосы подобия в связи с созданием различных конструкции и их модели-
рованием часто возникают в XVI—XVII вв. Галилей в своем сочинении «Разго-
новы о двух новых науках» пишет, что учению о подобии стали уделять много
внимания в XVII в, когда в Венеции стали сооружать галеры, имевшие боль-
шие чем раньше, размеры. Подпорки, выбранные исходя из геометрического
подобия оказались непрочными, и размеры их пришлось корректировать на
основе физических соотношений. «Прочность подобных тел не сохраняет того
же отношения, которое существует между величиной тел», — констатировал Га-
лилей. Марнотт в 1679 г. в трактате о соударяющихся телах занимался вопроса-
ми теории механического подобия, развивая идеи Леонардо и Галилея.

Первые строгие научные формулировки условий подобия и уточнения этого
понятия были даны применительно к механическому движению в конце XVII в.
Ньютоном в работе «Математические начала натуральной философии». В этой
работе рассматриваются движения материальных тел и устанавливаются законы
их подобия. Прямая теорема подобия и основные положения подобия, сформу-
лированные Ньютоном, заложили основы современного учения о подобии, указав
свойства подобных механических систем и критерии, характеризующие движение
систем, подобие которых обеспечено (первая теорема подобия). Ньютон открыл
пути применения подобия и моделирования для обоснования теоретических по-
ложений. К этому мысленному, или аналоговому, как его сейчас обычно назы-
вают, подобию относятся, например, построения наглядной механической модели
для объяснения световых явлений (корпускулярная теория света), математиче-
ской модели для объяснения явления тяготения и др. Работы Ньютона по теории
подобия и моделирования долгое время не получали дальнейшего развития и не
находили практических применений, хотя в начале XVIII в. во Франции и дру-
гих странах ставились многочисленные опыты на моделях арок и проверялись
различные гипотезы работы их свода.

Одним из первых теоретически обоснованно применил статическое подобие
при разработке проекта арочного моста через Неву пролетом 300 м известный
русский изобретатель И. П. Кулибин. Свои исследования он проводил на дере-
вянных моделях в 7ю натуральной величины весом свыше 5 тс (модели эти были
построены и испытаны в 1775—1776 гг. в Петербурге); в них было впервые
учтено, что изменение линейных размеров в /г раз меняет собственный вес в /г3
раз, а площади поперечных сечений элементов — в к2 раз. И. П. Кулибин уста-
новил, что модели в 1//г натуральной величины имеют напряжения от собствен-
ного веса в к раз меньше, чем напряжения в оригинале. Обеспечение подобия
влияния собственного веса в модели возможно при некой дополнительной нагруз-
ке. Действующая на мост полезная нагрузка должна быть в к2 раз меньше. Эти
положения И. П. Кулибина об условиях подобия были проверены и одобрены
Л. Эйлером. Предложенный И. П. Кулибиным метод моделирования собственного
веса конструкции соответствует современному способу «догрузки» моделей в
центрифугах. В дальнейшем появление новых материалов и конструкций потре-
бовало более точных ответов на многие вопросы, связанные с применением мо-
делей в инженерной практике, и теория подобия получила дальнейшее развитие.

В 1822 г. появилась работа Фурье «Аналитическая теория теплопроводно-
сти», в которой было показано, что члены уравнений, описывающих физические
явления, всегда имеют одинаковую размерность. Это свойство получило название

В 3 Ф ЬЛлоЛИ вРавила размерной однородности уравнений математи-
ИЗИКИ>^ 1848 г. Бертран, пользуясь методом подобных преобразований,
гпагг / И г ИаИ °Лее °$щие свойства подобных механических движений и указал
г сУществлеиия подобия сложного механического движения, четко сфор-
посвяшринД0 птТ НИС ° наличии критериев подобия. Вскоре появился ряд работ.
Так Кгп-и	ложению теории подобия к различным механическим явлениям,

уравнений	Законы звУк°вых явлений в геометрически подобных телах из

динамических яв тенийУПфнНХ Тел; Гельмгольи получил условия подобия гидро-
случай линамииргипгт ’ ^иллипс распространил законы колебаний мостов на
случаи динамической нагрузки.

дованию^ уппггиу ^иР„пиче& опубликовал первую работу, посвященную иссле-
сформулировал	В ге^метРически подобных телах, а несколько позднее

Ь 1878* г. Бертоан ги ПОдобиж Упругих тел (обратная теорема подобия).

Р Р доказал, что, пользуясь правилом размерной однородности
18
Физ” инами неизвестны. Математическая зависимость меж-IV тВЯЗИ между этими
должна быть зависимостью между безразмерными комплексами™составленными
^ указанных величин. Бертран показал, что такие зависимости получДинр Л,
частных случаев, распространяются на группы подобных явлений УРяд Работ
.освященных законам подобия, опубликовал В. Л. Кирпичев, который на 0™
анализа дифференциальных уравнении установил закон механического подобия
при упругих деформациях Он детально рассмотрел вопросы учета собственного
веса конструкции, сил инерции и сформулировал правила моделирования при-
годные в артиллерийском деле и строительстве.	* 1

В дальнейшем учение о подобии стало распространяться как на величины
и пронесСЬ1 одной физической природы, так на величины и процессы, различа-
ющиеся по своей природе, но имеющие определенную аналогию или хотя бы
какое-то математическое соответствие. При этом стали различать математи-
ческое подобие и аналоговое. Развитие теории подобия шло двумя
путями, основой которых был анализ: 1) уравнений, математически описывающих
изучаемые явления; 2) размерностей физических величин, характеризующих эти
явления.

Первое направление получило название анализа уравнений, второе — анали-
за размерностей. Первое направление разрабатывалось преимущественно в на-
шей стране, второму было уделено большое внимание за рубежом. В результате
этих исследований условия подобия н закономерности моделирования стали
устанавливать на основе анализа уравнений, пользуясь прямой (иначе называе-
мой первой) и обратной теоремами подобия *, а также л-теоремой (иначе назы-
ваемой второй теоремой подобия). л-Теорема, являющаяся основой анализа
размерностей, утверждает, что результаты любого физического эксперимента
могут составить некоторые безразмерные комбинации величин, участвующих в
изучаемом процессе (они обозначались через л, откуда следует название теоре-
мы). Соотношения и функциональные зависимости, которые характеризуют про-
цесс и представляются в виде безразмерных л-величин— критериев подобия,
оказываются при этом справедливыми не только для данного процесса, ио и для
всех процессов, имеющих численно такие же критерии подобия. л-Теорема стро-
го выведена как следствие из теоремы, которую А. Федерман доказал в 1911 г.
Несколько позже, в 1914 г., л-теорема была доказана при некоторых частных
предположениях Букингемом. Далее в более общем виде л-теорема была сфор-
мулирована Т. А. Афанасьевой-Эренфест, Эта же теорема рассмотрена в работе
Н. Г. Чеботарева и в целом ряде работ других авторов.

В 1931 г. М. В. Кирпичевым и А. А. Гухманом сформулирована так называ-
емая обратная (или третья) теорема подобия, устанавливающая условия, необ-
ходимые и достаточные для обеспечения подобия групп явлений. Рейнольдс,
Нуссельт и ряд других исследователей предложили методы установления подо-
бия и критериальной обработки результатов исследований применительно к
задачам гидромеханики. В 30-х годах нашего столетия М. В. Кирпичев,
М. А. Михеев, П. К. Конаков и другие разрабатывали вопросы применения тео-
рии подобия в теплотехнике.

Л. И. Седов в 1943 г. выпустил неоднократно переиздававшуюся работу»
посвященную применению методов подобия и размерности, в механике, в кото-
рой касается движения тел в жидкости, движения кораблей и аэростатов, моде-
лирования взрыва и использования теории подобия при решении некоторых
задач астрофизики. Применение методов теории подобия и анализа размерно-
стей к электромеханическим задачам освещалось в 30—40-х годах в ряде работ
(К. М. Поливанов, С. М. Брагин и др.). В 40—60-х годах в статьях и монографии
автора настоящей книги были рассмотрены особенности применения теории
подобия для сложных систем, составленных из отдельных подсистем и систем с
параметрами, имеющими вероятностный характер и содержащими нелинейности,
В качестве критерия подобия для нелинейных систем было введено новое тре-
бование одинаковости относительных характеристик нелинейных процессов, ео-

* Само применение термина «теоремы» вызывало дискуссии см. примечание
па стр. 51.
X ~ гтппмпмрнирм поедложенных пяти дополнительных положений
ЯЙУДЙ"«»»"«“•««—	д,;

распространяющие	Кипко А В Иванов-Смоленскии, Ю. Н. Астахов

пеегР?4ЗР±нТмх Р Г Савченко Г В Веников. Л. М. Кулиев и др.

Л- ^Исследования, расширяющие' возможности «ория подобия	задачах эко-

номики проводились в последнее время Ю. Н. Астаховы^ , д. Карасе-
вым и др Задачи корабельной энергетики решались Л. П. Веретенниковым,
И ^аТту "^“обоснованию нелинейного подобия в задачах строительной меха-
ники провел В Б Геронимус, давший ряд предложении по осуществлению не-
линейного подобия. АВ. Чичинадзе, Э. Д. Браун и другие провели исследова-
ния по моделированию трения и износа, создав в этой области новое научное
направление Оригинальная постановка задачи о нелинейном подобии и модели-
ровании принадлежит В. М. Брейтману, предполагавшему обойти возникающие
при этом трудности, установив сначала условия подобия в «малом», т. е. рас-
пространив положения подобия на дифференциальные соотношения, при которых
всегда будет иметь место линейность. Далее, проинтегрировав полученные для
«малого/ критерии подобия, можно создать новые системы (новые пространст-
ва). «интегральные в целом», и, исследуя их, получить определенные характери-
стики исходных нелинейных систем. Метод этот, впрочем, еще не доведен пол-
ностью до практических приложений, и области его рационального применения
не выявлены.

Высказывались интересные соображения о возможности получения подобия
на основе системы физических величин, которая базируется только на двух
основных единицах — длине и времени, рассматриваемых каждая в трех коор-,
динатах (Д. Браун, Ди-Бартини и др.).

В настоящее время актуальнейшей проблемой является развитие теории
подобия применительно к задачам больших, сложных, неоднородных систем.

Все сказанное ранее относилось к общей теории подобия и моделированию.
Однако следует отметить, что аналоговое моделирование с его особенностями
стимулировало самостоятельные теоретические разработки. К ним надо отнести
опубликованную еше в 1922 г. Н. Н. Павловским теорию электрогидродинами-
ческих аналогий (так называемую теорию ЭГДА). Этой работой были заложены
основы математического моделирования различных полей в сплошных средах.
Дальнейшему развитию электромоделирования способствовала работа С. А. Герш-
горина (1926 г.), предложившего применять электрические сетки для решения
большого класса задач гидродинамики, теплопередачи, теории упругости, элект-
рических, магнитных полей и т. д. Теория электрической сетки используется при
создании специальных приборов — электроинтеграторов, составленных из пас-

сивных электрических элементов. Большие работы по теории моделирования раз-
личных полей проводил начиная с 1936 г. Л И. Гутенмахер. Много внимания он
уделял теории моделей, содержащих активные элементы, источники энергии,
^силптели- Эти модели основаны на электромеханических аналогиях, которые
сначала разрабатывались для внедрения в механику методов, анализа электри-
ческих пепеи. Далее с помощью электромеханических аналогий стали изучаться
самые различные динамические системы. Математическое моделирование, осно-
вывавшееся сначала исключительно на моделях-аналогах, начало пере-
ходить «структурным	"

_	моделям. В них, не подыскивая аналога всему

п У . му процессу, непрерывно воспроизводят отдельные математические опе-
р и, соответствующие тем, которые указаны в подлежащем решению исходном
сследоваНия полей стали проводить на моделях, выполненных в
К «иг. ИЛИ жидких проводников специально подобранной конфигурации.

п^С*ТгЯ’ иапРимеР, так называемые электролитические ванны, создание
жений В гй?п5»гВаЛ° РазРа$отки конструкций и некоторых теоретических поло-
хов М к?азРаботке21етоД°в аналогового моделирования участвовали Г. Е. Пу-
П М Че^и др. Г А' Гамб^ев> И. М. Тетельбаум, Н. В. Корольков,
как ^^о^амИаналогпвпг^бпп \М0ДелиР°ва-ине, ранее рассматривавшиеся только
десятилетие самостоят^п. «п Д?$ИЯ И моделиР°ван,,Я» приобрели за последнее
ваться от понятий ' ппи1?'”34^' 3деСЬ °ДН0 напРавлен«е начало разви-
> одо 5ии дифференциальных уравнений, математически
ияггл	------г1, «неое*

я и сближаться с теорией по-

е, при
призна-
стало

объединения групп
пев П. А. Табаке и др.). Начало разрабатыватьс
доб’ия так называемое условное (эквивалентное) по то би <
котором объекты или явления группируются по некоторым характерны ч
кам. Эквивалентное подобие алгоритмов и самообучающихся моделей
связываться с построением управляющих машин (В. Т Кулик и до) '

При решении ряда физических задач стали применяться различного пода
математические приемы, примыкающие к методам моделирования, например кон-
формные отображения, впервые упомянутые как основа для установления подо-
бия еще в работах Д. Максвелла (1881 г.) и позднее нашедшие развитие в
работах Н. Е. Жуковского, Н. Н. Павловского, Р. Ферстера, П. Ф Фильчакова
Ю. Г. Толстова и др. Ряд исследований ведется в отношении методологии мате-
матического и аналогового моделирования электрических систем (Д, А. Город-
ский, П. С. Жданов, Д. И. Азарьев, Н. И. Соколов, И. А. Груздев и др.). В ре-
зультате этих работ появляются расчетные столы при различном представлении
на них элементов электрических систем. Так, генераторы представляют или &
виде источников э. д. с., величина н фаза которых изменяются оператором, или

в виде автоматических расчетных моделей (самоуправляющихся
станций), иногда неудачно называемых динамическими. В последние годы были
созданы новые типы расчетных столов, на которых моделируемая система с ее
генераторами и двигателями представляется на структурной аналого-
вой модели. Весьма удачными оказались установки для изучения переход-
ных процессов, сочетающие принципы аналогового подобия и математического
моделирования, на ЦВМ. Среди различных конструкций этого типа можно упо-
мянуть гибридные универсальные машины (фирма «АШ» — США), расчетные
модели («На1еЬ» — Япония), установку «Дельта», созданную во ВНИИЭ
Я. Н. Лугинским, и др. В связи с этим актуальным стало нахождение лучших
способов преобразования уравнений системы, подлежащей исследованию.

Как видно из сказанного, в настоящее время в понятия подобия и модели-
рования стало вкладываться несравненно более широкое содержание, чем это

было раньше. В современных научных исследованиях под моделью стали пони-
мать также и совокупности различных гипотез, позволяющих не только получать
наглядное описание уже известных качеств изучаемого предмета, ио и предска-
моделях, например

зывать новые. В этом смысле говорят о мысленных

моделях строения ядра и т. д. Появилось понятие информационного моделиро-
вания, не воспроизводящего изучаемый объект, ио определенным образом соби-
рающего сведения о нем и систематизирующего их так, чтобы можно было не
только описывать известные свойства, но и предсказывать поведение объекта в

различных условиях. При таком подходе мозг человека может рассматриваться
-	- модель. Эта «модель»



подчеркивается, что в

как универсальная ж л
осуществляет не только статическое освоение поступающей информации, н
динамически преобразует ее, развивая в соответствии с заложенными в йен
возможностями. В ряде работ (В. М. Глушкова и Др.

универсальности мозга человека заключается одна из важнейших сторон е
способности к безграничному познанию окружающего мира. В этом аспекте
современные ЦВМ стали с методологической точки зрения рассматриваться как
инструмент информационного моделирования, поскольку в них может накапли-
ваться и динамически перерабатываться любая информация* В последнее вре
в научном познании все большее значение приобретает к и б е р и е т и ч е с к о
моделирование, которое не стремится к выявлению какого-ли 0 с _
в отношении внутренних свойств моделируемых объектов. При таком моде Р
вании, разрабатываемом применительно к большим техническим с .

В. А. Вениковым, О. А. Сухановым, В. А. Щербиной и др., п Р ” 3" * & Л вхо-
добия служит наличие изофункционализма, т. е. одинаковых Ф^нк	пои

Дах и выходах некого «черного ящика». Модель, так же как и р ’
кибернетическом моделировании реагирует на внешние воздеиств ,. < .. .
функциональные зависимости служат определенным выражение ! и ц
ойъ₽ктч олнако внутренний причинный механизм связи явления с его сущностью
ооъекта, одна ? ..лпепиоовании может быть неизвестен.

при кибернетическом моделированш	Штоф*. Г.

при ^^Хеметоаологи^ских работ (И. Б. Новик, В А. Штофф, Г. Клаус
и ™ ) подчеркивается, что моделирование является определенной ступенью в
развитии научного познания на пути его углубления от внешнего к внутреннему,
ст явления к сущности, от явления более простого к явлениям, более сложным.
Рассмотрение вопросов синтеза знания в свете метода моделей оправдывается
тем что моделирование не только способствует созданию единого языка науки,
но и отражает в конечном счете внутреннее содержание моделируемых явлений.
А это позволяет подойти к проблеме научных знании, исходя из материалисти-

ческого принципа — единства природы.

Теория подобия и теория моделирования, как это указы-
валось выше, п о сути дела, являются методологией экспери-
мента. Они указывают, как ставить эксперимент и как обрабатывать его
данные, чтобы получить результат, не только достоверный в ^данном частном
случае, но и распространяющийся на группу подобных явлении. Однако теория
эксперимента развивалась и развивается еще по двум направлениям. Одно из
них можно назвать обработкой данных и характеризовать как методику расчета
и построения достоверных характеристик на основе опытных данных, неизбежно
имеющих погрешности, отражающиеся, в частности, в «разбросе» опытных точек.
Другое направление, называемое теорией планирования экспериментов, можно
определить как методику проведения наблюдений за явлениями (пассивный экс-
перимент) и одновременно такую стимуляцию изучаемых явлений (активный
эксперимент), которая позволила бы наиболее быстро, с меньшим числом опы-
тов найти наиболее характерные зависимости или точки (активный — экстремаль-
ный эксперимент).

Первое направление, связанное с именем Лагранжа и других уче-
ных, развивалось с начала XIX в. и получило широкое применение при такой
обработке результатов измерений, при которой учитывается их статистический ха-
рактер и обеспечивается наилучшее приближение к истинным значениям пара-
метров по результатам измерений, имеющих различные ошибки, в том числе
случайные. Эти ошибки должны исключаться соответствующими методами.

Второе направление появилось в 40—50-х годах. Начало ему поло-
жили работы Фишера, Бокса и Уильсона и многих других исследователей. К их
числу надо отнести и ряд работ отечественных авторов (В. В. Налимова,
Г. К. Круга, Ю. П. Адлера и др.). В разрабатываемых при этом проблемах цент-
ральное место заняли вопросы организации опытов при учете не одного, как это
делалось раньше, а многих влияющих факторов. Такой многофакторный
эксперимент должен проводиться согласно четкой схеме, предусматриваю-
щей,^в частности, экстремальный и вероятностный подходы к исследованиям.

Экстремальный подход, направленный на быстрое выявление наиболее су-
щественных характеристик и их точек, предлагает проводить опыты в любой
сложной, нелинейной системе, сначала находя линейное ее приближение. При
этом зависимости, отражающие малые участки изучаемой функции, линеаризуют-
ся, экспериментальные точки выбираются и изменяются «по градиенту». Затем
учитывается, что выявляемые соотношения в действительности нелинейны и долж-
ны представляться полиномами высоких порядков.

Вероятностный подход к учету влияющих факторов в теории планирования
эксперимента оказался существенно отличным от принятого при обработке
п^НЕЫл пассивного эксперимента. При активном эксперименте исследователь не
т СЛу1аиНЬ1е вероятностные — ситуации, а, напротив, искусственно
ГЗК сФ°РмиР°валась новая идея расширения возможностей опыта,
В специальнп разработанных приемах, а также опубликованная в
с. ных трудах по теории эксперимента, получившая название рандоми-

•

активно™. °-^гп!пМ’ ДЛЯ ВТ0Р0Г0 направления оказались наиболее существенными
ктивность зксдеримента, его многофакторность, а также стратегия проведения

* ХРогТХйСяЧИХ7еДеНИе В РУССКИЙ научный язык производной от анг-
-Х теомин Л,	ненужным, но не может не привести его, так как

т термин, к сожалению, уже применяется в литературе.
Цифровая
модель

Макет

Аналоговая
модель

Фотооптическая
модель

Механическая
модель

Степень обоснован
наста и применения

Функциональное
кибернетическое
моделирование,
моделирование
сложных систем,
электрических
систем

Моделирование гидро-
динамических, аэроди-
намических , тепло -
вых явлений

Математическое
обоснование
теории подобий

Основы
теории подобий

Первые теоремы
о подобии

Область наглядности
и прямых аналогов

XV XV/ XV// XVIII XIX XX

Время I век}

Рис. В.1. Развитие методов моделирования

опытов, при которой выявляются характерные для данных явлений точки в
условиях искусственно созданных вероятностных ситуаций.

Из сказанного следует, что установление подобия явлений, различные пути
их моделирования, обработка результатов экспериментов, планирование экспери-
ментов — все это, по сути дела, единая методология эксперимента. Правда, в
настоящее время это единство плохо отражено в практике исследователей и в
литературе. Так, в работах по теории планирования эксперимента обычно даже
не упоминается о теории подобия, о возможности и целесообразности обобщен
ного представления результатов опытов в виде взаимозависимостей критериев
подобия. В свою очередь несомненно, что постановка исследований с помощью
моделей — моделирование — должна была бы при проведении опытов ори
ентироваться на активные эксперименты, используя теорию их планирования.
Необходим синтез этих направлений.

Практика моделирования, в которой эта теория пока недостаточно исш ль-
зуется, имеет свою многовековую историю, восходящую к XV в., к уже упоми-
навшимся именам Леонардо да Винчи и Галилея. Эти ученые применяли методы
моделирования в самой простейшей форме, обосновывая их прямой аналогией >
наглядными соотношениями.

Теоретическая обоснованность методов моделирования непрерывно развива
лась (рис. В.1). Ньютоном, Фурье и Бертраном были заложены начала современ-
ной теории подобия, сформулированы основные положения, касающиеся поста
новки опытов на моделях. С середины XIX в. успехи моделирования были ^вя-
заны с развитием физических, технических, а в последнее время и экон*, мических
наук. Проникновение в них методов теории подобия и моделирования можно
условно характеризовать кривой Л, показывающей, как эти методы все больше
и больше служили основой экспериментального изучения сложных систем. Одна-
ко в ряде научных областей, например в биологии, медицине, химии и др., моде-
лирование не получило пока еще ни достаточно полного теоретического обосно-
вания, ни того широкого развития, в котором эти дисциплины нуждаются. Со-
временное развитие моделирования в этих областях можно характеризовать
участком 1—1 кривой В. Модель при этом раоматривается пока только как
нечто внешне или в лучшем случае функционально похожее на оригинал. Тако-
вы. например, модели мыши и черепахи, созданные Шеноном и Уолтером. Эти
кибернетические модели не воспроизводят каких-либо физических или физиоло-
гических процессов и не отражают (количественных соотношений, но дают внеш-
нюю похожесть функций. Модели, например, отыскивают себе «пищу» (для
моделей это магнит или источник света), запоминают к ней дорогу, т. е. качест-
венно (без количественных соотношений) моделируют некоторые функции
живого организма. В рассматриваемых моделях Шеннон и Уолтер как бы
возвращаются (разумеется, на новом уровне) к представлениям Леонардо да
Винчи, воспроизводя в своих моделях некоторые функции живых существ. Мо-
дели отражают взаимодействие живого организма с внешней средой, его спо-
собность реагировать на те или иные раздражения. Однако реальные живые
существа и их поведение значительно сложнее. Они определяются не только
внешними условиями и функциональными связями. Живые существа, кроме
того, концентрируют, перерабатывают и воспроизводят при размножении поток
информации, как приобретенной в ходе индивидуального развития, так и полу-
ченной от предков, т. е. информации, накопленной в процессе исторического
развития вида.

Метод, который до настоящего времени был основным при моделировании
сложных процессов, отличался функциональным подходом к задачам.
Одиако при моделировании «живого» необходимо учесть, что функциональный
подход выделяет только свойства отдельной стороны изучаемого сложного
явления. А у последнего имеется множество функций, отраженных в ряде про-
цессов. Можно получить в модели многофункционального явления схожие по
отдельным функциям процессы, не имея подобия в целом, подобия во всей сово-
купности функций.

Но даже при таком ограниченном подходе современное биологическое моде-
лирование все еще несовершенно из-за отсутствия тех количественных характе-
ристик, которые придали бы ему большую определенность, ввели его в общее
русло единых и целенаправленных методов моделирования.

К сожалению, изучая живую природу с помощью физических методов, иссле-
дователь пока не всегда может найти достаточно надежные математические
соотношения между параметрами и зафиксировать с их помощью те физические
или физико-химические законы, которые управляют сложной живой системой.
Однако не следует делать вывод, что в биологическое моделирование нельзя
ввести математические критериальные соотношения. В задачах медицины моде-
лирование, применяя вычислительные машины, начинает переходить от первых
опытов к решению практических задач, выявляются возможности применения
моделирования в генетике, во всяком случае в том ее разделе, который получил
название инженерной генетики. Таким образом, действительно можно ожидать,
что аллюр кривой В (рис. В.1), отражающий моделирование в историческом
плане и прогнозирующий его будущее, далее будет очень быстрым (отре-
зок 1—2}.

Возвращаясь вновь к кривой А (рис. В.1), можно заметить, что столь успеш-
но и, казалось бы, эффективно совершенствовавшиеся методы моделирования
далеко не сразу получили признание; как правило, они встречались сначала
недоверием. Здесь поучительным историческим примером недооценки роли моде-
лирования может служить гибель броненосца «Кэптен», построенного в 1870 г.
В то время английские ученые-кораблестроители Фруд и Рид создали теорию
моделирования кораблей, кстати сказать, потом существенно развитую в нашей
стране акад. А Н. Крыловым. На основе экспериментов на моделях теория про-
исходящих явлений уточнялась и давала полную картину поведения «натуры».
Исследования модели показали, что броненосец должен опрокинуться даже при
24
„„большом волнении. Специалисты Адмиралтейства и₽

серьезным доказательством. При выходе в море «Кэптен» при мзделиР°»а||"<=
«пояка погибли. Мемориальная доска, установлениГа" бгт перевернулся и 523
осуждение лордов Адмиралтейства, не поверивших ученымТиГп СИМВ0ЛИЭИРУет
° ечной моделью».	Е х ученым и их опытам с «игру-

Не столь трагичная, но неприятная ошибка, совеопшниза „

тоебовала смены всех окон нового 60-этажного здания о ? Наше в₽вмя' по'
Хшлась в 7 'млн. долл. Как надо передела?! окна V»» , . Бостоне (США> и
тания модели здания в аэродинамической трубе выявивши! тщвтельные испы-
Гы" нагрузок на стены и указавшие, как и^равнТ прТс^°ХТ™ГТР°'
своевременно не прибегших к моделированию. Однако, несмотр!" н а
недоверия, а иногда даже и противодействия внеппениш	случаи

давно стали применяться во многих областях техники. Их пртаенил^нХХ^
при сооружении железнодорожных мостов Д. И. Журавский Ранее адя опреде^
Ления размеров составных частей ферм мостов применялись упрощенные приемы
и все раскосы и тяжи каждой фермы моста делались одного и того же размеоа
Выводы о том, что их нагрузки неодинаковы, сначала казались неправдоподоб-
ными и были проверены на модели из металлической проволоки. На этой
модели оказалось возможным, проводя смычком от скрипки по проволокам моде-
ли, расположенным вблизи опоры фермы, получать более высокий тон, чем на
проволоках, расположенных в середине; следовательно, оказалось ясно, что
первые нужно натянуть значительно сильнее вторых.

Моделирование широко применялось в строительстве и артиллерии
(В. Л. Кирпичев), а далее при изучении работы самых различных технических
установок, гидравлических сооружений, строительных конструкций. На моделях
стали изучать течение водных потоков, различные гидродинамические явления,
происходящие при мощных взрывах, и даже явления, происходящие при земле-
трясениях (имитируя с помощью специальной вибрационной платформы коле-
бания земной поверхности). При этом для отработки антисейсмичности конст-
рукций модель иногда имеет далеко не маленькие размеры: площадь ее достигает
20 м2, а вес конструкции доходит до 30 тс.

Модель дает возможность наблюдать такие явления, как извержение вулка-
на, возникновение и исчезновение горных систем. Модели гор при этом выполня-
ются из фотоупругих материалов, которые при сжатии окрашиваются. По цвету
того или иного участка можно судить о величинах приложенных сил и их рас-
пределении. Такие эксперименты позволяют в ряде случаев получить практически
важные сведения, например установить, где заложены полезные ископае-
мые, и т. д.

Рассматривая моделирование в историческом разрезе, можно заметить, что,
хотя теоретическое обоснование условий подобия шло от физики и ф и з и ч е-
с к о г о моделирования, в дальнейшем при развитии аналогового, а
затем и математического моделирования о их физическом проис
хождении стали забывать. Этому способствовало и то оостоятельство, что ана
лотовые модели стали применяться давно, выступая в качестве некоторых на
глядных образов изучаемых объектов. Поскольку именно механические модели
обладали наибольшей наглядностью, то появилось стремление все немеханич
ские явления сводить к механическим, более привычным, и более изученным,
в XVIII в. физики для объяснения^ электрических и оптических явле"ии вв л
механические модели в виде колебаний некой «эфирнои матер >. лпп-
широко применявший модели для объяснения электромагнитных явл >
черкивал не только наглядность, которую дает модель, но и ее гипотв™’
свойства, позволяющие объяснить механизм явления до выраоотки ат
зрелой теории. Например, такими моделями, основанными на аналоганиш?
свойствами электромагнитных процессов и свойствами несжигаемой
стали модели и уравнения электромагнитного поля, вытек' анные 0 на1Ичии
аналогий, и т. д Э. Резерфорд, экспериментально получив данные
ядра в атомах, выдвинул смелую гипотезу об аналг	МНогие доугие

системы, создав свою знаменитую планетарную модель ато поактике науч
модели. Можно было бы привести еще много примере> ,	р ими пр0?е.

кого исследования наряду с физическими моделяк , Р ,стпатйВно-мето-
кание процессов в других масштабах, появлялись код
дические (моделирование жидкостью электромагнитных явлений) и модели
эвристические, предназначенные для первоначального, хотя бы и неполного,
объяснения физических явлений. Все эти модели в той или инои степени обычно
имели сходство в математическом описании происходящих процессов. На таких
моделях широко воспроизводились аналогии между законами, выражающими
различные физические явления. Например, на электрической модели, представля-
ющей закон Ома, стали изображать закон Фурье для теплового потока и закон
Дарси для фильтрации жидкости. Такой подход заложил основы современного
аналогового моделирования. В дальнейшем, когда развитие физических знаний
пошло по пути все большей математизации и уменьшения наглядности, возмож-
ность механического представления физических процессов стала уменьшаться и
даже иногда исключаться. Эта ненаглядность стала рассматриваться некоторыми
физиками как неизбежная плата за интеллектуальный выигрыш, связанный с
пониманием. Изложенные в § В.2 точки зрения о научных теориях как логиче-
ских построениях, основанных на отвлеченных аксиомах, тоже в той или иной
мере связаны с концепцией ненаглядности. Однако в действительности это
означает, что не моделирование и не модели становятся ненужными, а подход к
их применению требует определенных обобщений. При решении конкретных
задач, выдвигаемых научной практикой, и особенно при решении технических
задач значение модели не уменьшается, а возрастает. В теоретической (в том
числе современной) атомной физике с ее глубокой математизацией аналоговое
моделирование оказалось полезнейшим инструментом при изучении ядерных
превращений. Так, Нильс Бор, изучая механизм передачи энергии в атоме, пред-
ложил в качестве модели возбужденного ядра атома подогретую каплю: ока-
залось, что можно сопоставить испарение и радиоактивность. Ведь в ядре тоже
есть силы, цементирующие между собой его части. И прежде чем нейтрон, про-
тон или альфа-частица вылетят наружу, они должны преодолеть эти силы. Так
появилась мысленная модель атома, которую Бор, стремясь к еще
большей наглядности, дополнил моделью вещественной. В чашеобразное углуб-
ление стола он поместил стальные шары. Сами собой они не могли оттуда выка-
титься. Но если послать в углубление еще один шар, то все остальные начинали
очень быстро двигаться в чаше, а иногда один из них выскакивал наружу. Та-
кая модель-аналог, несмотря на простоту, помогла при описании цепной реакции.
Пользуясь ею, удалось, например, получить вывод о возможности самопроиз-
вольного распада тяжелых ядер; далее были указаны гипотетические свойства
изотопа урана-235 с нечетным числом протонов и нейтронов (вероятность его
деления гораздо выше, нежели более распространенного урана-238). Оба пред-
сказания вскоре блестяще подтвердились.

Иногда говорят: «Аналогия — не доказательство», «Модели нельзя верить»...
Но в действительности исследователи никогда и не стремятся только таким
путем доказать что-нибудь. Здесь вполне достаточно того, что уловленное
сходство дает могучий импульс творчеству и указывает, по какому пути идти в
поисках решения. Аналогия способна скачком выводить мысль на новые, неиз-
веданные орбиты,„ и безусловно правильно положение о том, что аналогия, если
обращаться с ней с должной осторожностью, — наиболее простой и понятный
тяТЬ 07 С72Р0Г0 к н°вому. Но всякая аналогия имеет определенные границы,
истинно новое никогда не содержится в старом, и, познавая законы природы,
следует учиться видеть не столько старое в новом, сколько новое в старом *.

,.нас1оящемУ времени, когда вычислительные машины усовершенствовались
и стали обладать огромным быстродействием и памятью, математическое моде-
лирование получило мощный инструмент. Появилась возможность решать многие
недоступные ранее задачи. Однако, чтобы найти ответы на поставленные вопро-
сы, требуется не одно решение, а целая цепочка промежуточных решений. Пути
реше.шя здесь неоднозначны и цели можно достигнуть, только просматривая
разные решения. Одних математических методов и совершенной вычислительной
техники недостаточно. Неизбежно в сложных ситуациях, таких, как, например,
глобальное планирование в масштабах отрасли или государства, планирование
военных и политических акций, создание систем социальных мероприятий и т. д.,
привлечение к решению интуитивного фактора. Поэтому вместе с математически-

Д. И. Блохинцев, «Техника молодежи», 1974, № 4.
Математическая

мя и экономико-математическими стали пазник

цель которых-использование опыта и таля^ Я и эвристичРеи
„ости, скрытые в человеческом интеллекте со человека. ОбъепИн”е
машины быстро выполнять логические и апи(Ьм1..С"особно«ью	Воэм°ж-

чить так называемую имитационную матем^ическию"^ .можно ЛЬНой
ставляет собой совокупность математической мод?” модеЛ1>- Эта мо*лк П0Лу’
(или планируемый) экономический, производстве™,^ имит«РУющей и±я ред’
процесс, группы экспертов, участвующих в пл!нипп^ Или какой-либоУ л “Ый
магического обеспечения, позволяющего эксперта^ вести И спевд^ьногоТтЙ
между собой.	" ам вести диалог с

Математическая цифровая модели	"

цию человеку не только в виде таблиц или лент е Щожет выдавать инЛпп,.
удобной, более наглядной форме. Это могут быть няппСЯМИ рядов ДиФр. но₽и
представления. Обратная связь машины и УЧТелоТек;НмХТРоечТ*ИКИ" объемные
просто и наглядно — с помощью светового пера что ”Существ™ться оч“®
корректировать вводимую в ЦВМ информацию ’ позволяет непрерывна

Область применения математически формализованных

расширяется: в экономике, биологии, медицине, историчёсКИт°ДеЛеЙ все вРемя
венных науках, т. е. в самых разнообразных процессах Других °бщест-
как правило, описание такого рода процессов и е з а м к оказалось, что
сутствуют «свободные параметры» или функции котовые «»°’ 8 моделях при-
гими словами, такие процессы должны управляться че10пеиА?.Ределены- ДРУ-
проблема моделирования комплекса «человек — машина» с„	" возникает

«модели человеческих функций». Таким образом сложностьражением в нем
объектов, которые могут изучаться методами моделирования в теХ?ТН',СТЬ
чески не ограничены. Модели этих объектов выполняются физиче™ “РаКТН‘
магическими, а также комбинированными. В последнее десятилетне Мате’
сооружения исследовались на моделях. Например гидРХер^ крупныв
(плотины, каналы, гидротурбины для таких станций, как Волжская ГЭС® и?
еВ;яИ'г^НИНадрВр°ЛГ0ГраДСКаЯ ГЭС> БРатская ГЭС, Красноярская ГЭС Астан’
ская ГЭС в АРЕ и др.) исследовались на физических моделях изображающих
в уменьшенном масштабе эти грандиозные сооружения. Большое зн/чени™
сооружения электрических систем и дальних электропередач имели исследования
их режимов на физических моделях, создаваемых в стадии проектирования и
позволяющих проверить теоретические положения, лежащие в основе расчетов и
и т л п различных Регулирующих устройств, аппаратуры, релейной защиты
,ЩД- Пр1 С03Дании и совершенствовании межконтинентальных и космических
ческих наФизических моделях успешно проводились исследования аэродинами-
ческих свойств ракет, влияния ионизации воздуха впереди головной части раке-

ты и т. д.

Широко распространенные специальные модели, обычно выполняемые в виде
сочетания физической и математической моделей с натурными приборами, стали
применяться для наладки приборов управления и тренировки персонала, управ-
ляющего различными сложными объектами. В первом случае эти модели стали
называться испытательными стендами, а во втором — тренажерами. Тренажеры,
применяются для обучения различного эксплуатационного персонала; особое
значение они имеют при подготовке летчиков, подводников, космонавтов. Несом-
ненно, что в будущем тренажеры должны найти применение и при подготовке
персонала для энергосистем.

Обычно приборы и органы управления в тренажерах сохраняются нормаль-
ными, применяемыми в практике. Воздействие на эти приборы преобразуется в
импульсы, моделирующие поведение управляемого объекта. Например, тренаже-
ры для летчиков воспроизводят у обучаемого все физические ощущения, связан-
ные с полетом в любом направлении, подъемом, спуском.

Моделирование очень важно еще и для того, чтобы опередить практику.
В качестве примера такого опережающего действия моделирования можно при-
вести следующие факты. Когда первая в мире электропередача 500 кВ только
проектировалась—на модели уже была изучена ее работа, первый пассажирский
сверхзвуковой самолет еще только создавался, а его будущие пилоты уже ^про-
водили тренировки по управлению машиной. «Водить» еще не построенный са-
молет они учились на модели-стенде. Он являлся копией кабины летчиков с о
технике. Физи-

-(-₽ми приборами устройствами управления и связи. Имелся также пульт, с ко-
топо о = задавать условия «полета» и контролировать действия
Экипажа Телевизионная аппаратура, магнитофоны, блоки имитации тряски
предназначались для создания соответствующей «летной» обстановки.

Мозгом	являлась вычислительная машина решавшая диффе-

ренциальные уравнения движения самолета. В процессе работы электронные
модели по необходимости включали -магнитофоны блоки имитации тряски и т. д.

Многообразно применение моделирования в военной технике. Физи-
ческое моделирование военных действий - это хорошо известные маневры, в
которых моделируются применение оружия и взаимодействие с противником.
В математических моделях для имитации процессов управления войсками при-
меняют вычислительные машины, в которые поступают данные математического
описания боевых действий. При этом используются методы теории вероятности,
случайных процессов, игр, массового обслуживания, а также линейного и нели-

пенного программирования.

В последнее время особое значение приобрело моделирование биологических
и физиологических процессов. Так, создаются протезы тех или иных органов
человека, управляемые биотоками. Разраоатываются установки, моделирующие
условия, необходимые для развития живых тканей и организмов.

Некоторые функции человеческого мозга и нервной системы моделируются с
помощью специальных моделей (функциональных или, как их иначе называют,
кибернетических). Не отражая внутренней структуры объекта, такие модели в
определенных условиях воспроизводят его функции. Например, модели сердца и
легких, выполняющие некоторые функции этих органов, применяются во время
операций.

Большое развитие получает новая наука — бионика, в которой значитель-
ную роль играет кибернетическое — функциональное — моделиро-
вание живых организмов, осуществляемое средствами современной электроники.

Интересной возможностью физического моделирования является использова-
ние в качестве модели живого организма быстроразмножающихся организмов,
например на мухах можно проследить влияние космического полета на условия
жизни и, сопоставив эти условия с родственным поколением, находящимся на
Земле, получить модель для проверки так называемой биологической
теории относительности.

Перечень осуществленных моделей и возможностей моделирования можно
было бы еще расширить. Однако это не входит в задачи настоящего раздела, в
котором краткая характеристика развития методов теории подобия и осуществ-
ления* различных моделей давалась преимущественно в историческом плане для
общей оценки состояния и возможностей метода.

В заключение еще раз подчеркнем познавательную роль мо-
дели и моделирования при решении задач, связанных с синтезом наук. Моде-
лирование, рассматриваемое в гносеологическом плане, не только отражает
общность единичных явлений внутри какой-либо области исследо-
вании, но помогает найти и отразить то общее, что имеется в разных областях,
и объединить эти различные области. Модель, моделирование и теория подобия
являются важными факторами в процессе построения общей теории (основанной
ципчинь1°ТДеЛЬНЫХ гипотез и теоРий) и 6 конечном счете создания научной дис-
чаЛ^^Г^ те,ория подобия’ таким Образом, могут существенно облег-
м«ода।	бГ°’ ЧТ° имее.тся в Разных наУКах- По мере развития

получаемы» г .?• п7 Я Ф°РМЫ моделей видоизменяются и обобщается трактовка
получаемых с их помощью результатов.

которым3являетсяд ^Р^дает Данное выше определение моделирования,
о осА с	6 метод ^сРедствованного практического или теоретиче-

иного или опытного оперирования объектом. При этом используется
находящийсяНвИкаком либо°сГЫЙ искусственнь‘а ВЛи естественный «квазиобъект»,
и называемый мопепЛл объективном соответствии с познаваемым объектом
являемся< то что Xс . °™Овным Яством и характерным признаком 'модели
при исследовании ^ф^ц^о^Т"	™ т/,еделет ™1ах и давать
Моделирование, таким образом, требует объективного соответствия с изу-
чаемым объектом и возможности замещения его не всегда и во всем, а только
на определенных этапах исследования. Модель, какой бы она ни была, должна
обладать способностью в ходе исследования давать некоторую, допускающую
проверку информацию. Моделирование требует формулировки некоторых правил
перевода информации, полученной при изучении на модели, в информацию о
самом моделируемом объекте. Эти правила в конечном счете ведут к требованию
соответствия математических соотношений (критериев подобия) у модели и ори-
гинала.

§ В.	6. ВИДЫ ПОДОБИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЯ,
ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ

Перейдем теперь к классификации методов подобия и моделирова-
ния, необходимой как для общей оценки методов, так и для их
практического использования. Сразу же заметим, что, к сожалению,
нет не только единой, общепринятой классификации методов моде-
лирования, но нет и единых определений понятия модели. Это объ-
ясняется прежде всего многообразием конкретных форм моделиро-
вания, используемых в общетеоретических, научных, технических и
других разработках и исследованиях. Принимая за исходное более
или менее общее определение, приведенное в начале § В.4, можно
в качестве основной классификации принять схему, представленную
на рис. В.2, сводящую воедино различные точки зрения и подходы,
имеющиеся в литературе, и по возможности их согласовывающую.

Условившись связать понятие модели с понятием подобия, мож-
но принять, что каждому виду подобия отвечает соответствующий
вид моделирования. В этом смысле классификация и подобия, и
моделирования будет полностью идентичной, хотя далее моделиро-
вание часто будет рассматриваться как практический аппарат, ко-
торый создается на основе подобия.

Моделирование в учебной и научной практике применяется в
основном для решения двух групп задач: обучения и иссле-
дований, направленных на разработку или расширение теории и
на отыскание ответов на практические вопросы. В задачу обучения
входят вопросы применения моделей и моделирования для уясне-
ния физических законов, рассмотрения действия новых разработок
и установок, тренировки персонала действующих производственных
объектов.

Исследовательские задачи, решаемые с помощью моделей, мож-
но разделить на четыре подгруппы:

1.	Прямые задачи анализа, при решении которых исследуемая
система задается параметрами своих элементов и параметрами
исходного режима, структурой или уравнениями. Требуется опреде-
лить реакцию системы на действующие силы.

2.	Обратные задачи анализа, которые по известной реакции си-
стемы требуют найти силы (возмущения), заставившие рассматри-
ваемую систему прийти к данному состоянию и вызвавшие данную
реакцию.

3.	Задачи синтеза, иногда называемые инверсными задачами,
требующие нахождения таких параметров, при которых процессы




Рис. В.2. Основная классификация методов моделирования и подобия
в системе будут иметь желательный по каким-либо соображениям
характер. Процессы могут быть описаны дифференциальными урав-
нениями или охарактеризованы некоторыми выходными данными.

4.	Индуктивные задачи, решение которых имеет целью проверку
гипотез, уточнение уравнений, описывающих процессы, происходя-
щие в системе, выяснение свойств элементов. К этой же груин< за-
дач следует отнести проверку, или, как говорят, апробацию про
грамм (алгоритмов) для расчетов на ЦВМ, что особенно необходи-
мо в условиях широкого применения ЦВМ для избежания ошибок.

Классифицируя подобие и моделирование по видам и группам,
целесообразно прежде всего разделить их по признакам полноты
и точности воспроизведения изучаемых процессов. Последнее осо-
бенно важно, так как теория подобия и основанное на ней модели-
рование не могут с абсолютной полнотой воспроизводить все сторо-
ны и детали изучаемых явлений. Абсолютное подобие мо-
жет мыслиться только отвлеченно и не может быть реализовано,
так как это означало бы тождество, т. е. замену одного объекта или
явления другим, точно таким же. Практические цели, преследуемые
при решениях научных и технических задач, требуют применения
моделирования в случаях, когда модель хорошо отражает изучае-
мый объект (оригинал) только в отношении тех явлений или
входящих в эти явления процессов, которые существенны в д а н-
ном исследовании, при данной постановке зада-
ч и. Таким образом, модель — это неполная копия объекта. Чтобы
подчеркнуть это обстоятельство, иногда говорят, что «точная мо-
дель не нужна, а слишком неточная бесполезна, при точной модели
нет подобия, а есть тождество».

Таким образом, подобие и моделирование, которые представ-
ляют практический интерес, могут быть разделены на три (А, Б, В)
способа (рис. В.2).

А. Способ полного моделирования и полного
подобия, при котором обеспечено подобие движения материи в
основных формах ее существования, т. е. во времени и пространстве.
Иначе говоря, процессы, характеризующие изучаемые явления, по-
добно изменяются во времени и в пространстве. Полное подобие и
соответственно полное моделирование математически характери-
зуются следующим соотношением параметров модели (х) и ориги-
нала (у):

где т; — масштабный коэффициент, который обычно является по-
стоянной величиной, но в частном случае может быть и
переменной, зависящей от режима, времени или коор-
динат пространства;

Ю — параметры системы или ее режима:

=	У2’-

Уъ—р

причем /х, 1У> 1г — геометрические размеры; I — время.
Б. Способ неполного (частичного, локального, функцио-
нального) моделирования и, соответственно, подо-
б и я при которых протекание всех основных процессов, характери-
зующих изучаемое явление, подобно только частично (или только
во времени, или только в пространстве). В первом случае

Ук—р

а во втором случае

При функциональном моделировании подобие
устанавливается между некоторыми функциями или обобщенными
характеристиками, которые в модели и оригинале имеют определен-
ное соответствие.

В. Способ приближенного моделирования, свя-
занный с приближенным подобием, при котором некоторые факто-
ры, имеющие незначительное влияние на протекание изучаемого
(в данной постановке задачи) процесса, моделируются приближен-
но или совсем не моделируются. Между некоторыми параметрами
систем или некоторыми параметрами их режимов при этом может .
не существовать соотношений подобия и х^т^ или же х^т^у^
Это заведомо вызывает погрешность, которая должна быть оценена
тем или иным способом.

Необходимо обратить внимание на то, что: а) приближенное
моделирование может быть кан полным, так и неполным; б) для при-
ближенного моделирования характерно не то, что оно не дает абсо-
лютного подобия оригиналу (его не дает ни один вид моделирова-
ния), а то, что при его реализации имеются сознательно допускае-
мые и оцениваемые погрешности, связанные как с упрощением фи-
зических представлений, так и с отклонением значений параметров
системы.

Каждый из рассмотренных трех способов подобия и моделиро-
вания может быть разделен на три вида: I — мысленное, иде-
ально-теоретическое, моделирование; II — мысленное анали-
тическое моделирование, использующее ту .или иную аппарату-
ру для подтверждения своих отвлеченных представлений. Это
могут быть расчеты на ЦВМ, аналоги, иллюстрирующие мысленно
созданные положения; III — материальное, реально-практи-
ческое, или вещественно-агрегатное, моделирование. Вид моделиро-
вания II является промежуточным между I и III видами.

Из сказанного видно, что цель всех приведенных здесь способов
и видов моделирования — изучить реальный объект (натуру или
оригинал). Рассмотренные способы моделирования основаны на
применении некоего вспомогательного (промежуточного) искусст-
венного или естественного объекта-модели, обладающего опреде-
ленны ль свойствами, главнейшими из которых нужно считать:

а) некоторое объективное соответствие с изучаемым объектом
(оригиналом);
I

б) возможность замещения оригинала на некоторых этапах ис
следования;

4

в) возможность получения в результате проведенного на моде-
ли исследования определенных сведений (информации) об и • ти-
мом объекте (оригинале).	’

Эти свойства справедливы для всех видов моделей, их групп и
подгрупп (о них будет далее говориться). Как мысленное (1 II)
так и материальное (III) моделирования могут быть либо детерми-
нированными (а), отражающими детерминированные процессы с
однозначно определенными причинами и их следствиями, либо
стохастическими (р), отражающими вероятностные события'. В по-

следнем случае модели не отражают ход отдельного события, но
позволяют находить средний, суммарный результат некоторого чис-
ла однородных случайных явлений. Подобие и моделирование мо-
гут быть обобщенными (у), т. е. отражать явления оригинала с той
или иной условностью. Подобие и моделирование любого вида (I, II,
III, А, Б, В, а, р, у) могут реализоваться в натуральном времени*
(/1) и во времени, измененном относительно натурального (^2), при
изучении линейных систем, параметры которых не зависят от пара-
метров их режима (от текущих переменных), и систем нелинейных.
При установлении подобия в тех и других системах имеются неко-
торые особенности, но отнюдь не возникает тех часто непреодоли-
мых трудностей, с которыми сталкивается математика при решении
нелинейных задач **. Во всех видах подобия и моделирования, рас-
сматриваемых далее, могут быть как линейные, так и нелинейные
задачи, вследствие чего они специально не классифицируются по
этому признаку. Подобие может быть реализовано при обычном,
основанном на простых физических и логических представлениях
подходе (в некоторых работах его называют «классическим»), ког-
да каждому параметру системы и происходящему процессу в одной
системе соответствуют параметр и процесс в подобной системе или
группе систем. Однако допустимо и не отыскивать явного соответ-
ствия «по параметрам», понимая подобие более широко и менее
определенно. В этом случае к подобию относятся схожие результа-
ты, выявляемые в виде каких-то в том или ином смысле одинаковых
функций, например «интегральных» эффектов, наличия групп, схо-
жих по каким-то признакам, соответственных реакций, похожего
взаимодействия объекта с окружающей средой и т, д. Такого рода

*	Автор обращает внимание читателей на недопустимость применения ветре 1аю-
щегося в литературе бессмысленного термина «реальный масштао времени'.
Масштаб — отвлеченное число	которое всегда реально.

*	Под нелинейными понимаются задачи, связанные с исследованием нелине
систем, т. е. систем, свойства которых зависят от их состояния — режима. V
линейные системы не могут исследоваться методом наложения (сугер 4	'

Происходящие в них процессы описываются нелинейными ДИФФ '
ними уравнениями, в которых зависимые переменные (параметры Рп
их производные возведены в степень выше первой или входя! в- в .

дений. В тех случаях, когда (параметры системы являются функцией незави
симой переменной (времени, пространства), система и, соответстве о, ур
некие считаются линейными с переменными параметрами.
виды

вине рис

. „любия п моделирования стали широко развиваться получив
®" т ] \боб ценного 9интегрального. эквивалентного, кибернети-
вполне укладываются в единую теорию „о.
чобия и моделирования, как это и будет показано далее.

Основные виды моделирования — мысленное и материальное
распадаются на ряд групп и подгрупп, показанных в мижнеи поло-
вине рис В 2. Приведенная выше основная классифика-
ция дает оценку подобия и моделирования, исходя из методологи-
ческих соображений. Она отвечает на вопрос, какие виды подобия
„ соответствующего им моделирования могут быть методически ис-
пользованы для решения различных задач. К условиям подобия и
осуществления моделирования в этих задачах можно также приме-
нить отраслевую классификацию, основывающуюся на
различии научных дисциплин или технических отраслей. Например,
говоря о подобии в механике, рассматривают подобие скоростей и
ускорений твердых тел, жидкостей или газов в какой-либо системе.
При этом выделяют кинематическое подобие — при подобии скоро-
стей элементов системы, динамическое подооие — при подобии сил,

вызывающих подобные движения, материальное подобие — при по-
добии перемещающихся масс. Системы, подобные кинематически,
материально и динамически, называют механически подобными в
целом. Подобие температур и распределения тепловых потоков на-
зывают тепловым подобием. Аналогично вводятся понятия гидроди-
намического и аэродинамического подобия. Об электрическом подо-
бии говорят при подобии электрических и магнитных полей, напря-
жений, токов и мощностей в соответственных элементах изучаемых
электрических систем. Электрически подобные системы, имеющие
элементы, взаимно перемещающиеся в подобные интервалы време-
ни на подобные расстояния, называют электродинамически подоб-
ными. Можно говорить также о подобии электронно-ионных
процессов, процессов электромагнитного излучения, подобии мак-
роскопических процессов, определяемых на основе подобия микро-
процессов, и т. д.

В настоящей главе будут рассмотрены примеры только основ-
нон классификации (см. § В.7). Примеры, отвечающие отраслевой
классификации, будут приведены в гл. IV, иллюстрирующей прак-
тику моделирования.

Моделирование во всех его видах и формах должно осущест-
^стйЬ^ипажиСИ0Ве некотоРых математических соотношений,'' коли-
Оляяк/ КСДРУЮЩИХ условия подобия,— критериев подобия.
подобия Поэтом^ случаях м°Делирования удается найти критерии
«7»т"п» пн'.,"”0™ ГОВОрят 0 критериальных и не-
л Р н н Р и и л ь н ы х моделях

говор», мж>ем<

• ЖЯЖгде 1,0,13 кртерии "адо61”'
пользоваться словесными н впрсдь до их установления следует
возможно скорее перейти кУиоп1ВИЯМН подобия> стремясь, однако,
' ' ереити к количественно выраженным критериям.

где пока критерии подобия
Эти количественные выражения критериев могут быть различны
Ми — начиная от простейших соотношений, вытекающих из элемен
тарных характеристик процесса, до критериев, определенных в со-
ответствии с теорией подобия. Термины «иекритериальиые» и кри-
териальные» модели широко применять поэтому не рекомендуется.

Необходимо иметь в виду, что вся классификация подобия и мо
делироваиия проводится исходя из постановки задачи
При этом одна и та же система или какой-либо параметр системы
могут рассматриваться и моделироваться или как нелинейные (за
висящие от параметров режима), или как линейные. Одну и ту же
модель можно отнести к разным группам классификации, и в этом
смысле схема, показанная на рис. В.2, условна.

§ В.7.	ПРИМЕРЫ ОБЩЕЙ КЛАССИФИКАЦИИ
ПОДОБИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЯ

Проиллюстрируем примерами классификацию, показанную на
рис. В.2, где представлены различные виды подобия и моделирова-
ния, которые сводятся к шести группам и двадцати подгруппам.
Условная нумерация, принятая в соответствии с этой классифика-
цией, может быть следующей: буквы (Л, Б, В), римские цифры
(/, /Л ///), греческие и латинские буквы (а, р, у, /2) и русские
(а, б, в, г) буквы, отвечающие подгруппам, наконец, номера (/—6),
указывающие группы, характеризуют вид моделирования. Напри-
мер, 4, III, р/2, 5-п будет означать: полное, материальное, стохасти-
ческое моделирование в измененном времени, физическое, времен-
ное моделирование.

1.	Наглядное моделирование. К 1-й группе моделирования следу-
ет отнести различные мысленные представления (гипотезы) в фор-
ме тех или иных воображаемых

моделей (1.а). К ним могут быть
отнесены, например, известные
планетарные модели атомов (Ре-
зерфорд, Бор) или молекул (Бер-
нал), причем для них могут соз-
даваться модели в виде нагляд-
ных аналогов (1.6) типа показан-
ного на рис. В.З. Эти модели, соз-
даваемые как мысленные, иде-
альные, могут быть реализованы
в виде вещественных соотноше-
нии, подкрепляющих идеальные,
мысленные соотношения чувст-
венно воспринимаемыми построе-
ниями. К таким построениям от-
носятся и макеты (1.в), обычно
являющиеся геометрическими ко-
пиями изучаемого или проекти-
руемого объекта. Они начинают

Рис. В.З. Модель молекулы
широко применяться, в частности, в виде фотографии, выполненных
в разных проекциях и заменяющих рабочие чертежи.

Деревянные модели церквей и башен, на основе которых проводилось стро-
ительство, известны очень давно. В XVII в. ученый монах Арсений Суханов при-
вез патриарху Никону модели иерусалимских храмов, в храме Василия Блажен-
ного были найдены макеты, которыми пользовались зодчие, создавая реальные
конструкции. У современных архитекторов имеются не только такого рода при-
митивные макеты, но и специальные приооры — м а кетоскопы (рис. В.4, а).
В них применяется принцип так называемой «камеры-обскура», т. е. безлинзовой
камеры с отверстием — объективом малого диаметра /, затвором 2 в виде обык-
новенной задвижки и приспособления для перемотки пленки 3. Точка съемки
выбирается с помощью перископического устройства или оптического прибора
типа медицинского эндоскопа. В выбранное место ставят аппарат и снимают
макеты (рис. В.4, б), которые обычно выполняются в масштабе 1 : 1000 или
1 . 2000. Макетоскоп дает практически неограниченную глубину резкости: рас-
стояние от объектива до элементов макета может быть от 1 см до нескольких
метров при больших углах съемки. При этом не искажается перспектива, что
очень важно для архитектуры.

Снимки макета и построенной в дальнейшем натуры, выполненные с «одной»
точки, имеют полное сходство: дома, автомобили, деревья на макете выглядят,
как на «живой» улице. «Проехавшись» с таким аппаратом по «городу» будуще-

а — общий

Рис. 8 4. Макетирование архитектурных ансамблей:
вид И схема' ««"вияI макетоскопа; б - архитектурный ансамбль
ра для фоюграфирования макетов-макетоскопом



снятый аппа-


Рис. В.5. Модель процес-
са перевозок в виде де-
рева (графа):

а — карта дорог, по кото-
рым осуществляются пере-
возки; б — пространствен-
но-временная. графовая мо-
дель транспортной сети

го, можно получить полную картину в виде набора фотографий или в виде ки-
нофильма.

Создание проектировщиками пространственных моделей различного рода
компоновок (например, оборудования в цехах станций или заводов) называется
объемным проектированием.

Оно находит широкое применение в различных отраслях промышленного и
гражданского строительства, оказываясь особенно эффективным при сооружении
сложных объектов. Объемное восприятие чертежей существенно различно в за-
висимости от опыта человека, его состояния и ряда субъективных качеств. Эту
разницу в восприятии, часто являющуюся причиной ошибок, снимает объемное
проектирование, исключая незаметные на первый взгляд ошибки проектировщика,
приводящие при реализации проекта к большим потерям средств. Так, напри-
мер, отсутствие какого-либо второстепенного размера приводит к потере време-
ни, затрате излишних материалов. Ошибки в расположении оборудования могут
привести к выходу его из строя при заводских испытаниях. Объемный проект —
макет в виде пространственной модели — более нагляден. Он исключает сбороч-
но-монтажные чертежи вместе с возможными ошибками. В этом случае не
чертежи, а фотографии макета и его узлов составляют проектную документацию.
Метод объемного проектирования имеет еще два важных преимущества: 1) спо-
собствует внедрению индустриальных методов строительства; 2) позволяет
готовить персонал будущего предприятия до окончания строительства» давая воз-
можность ознакомиться рабочим с оборудованием на объемной модели. Метод
объемного проектирования имеет ряд разновидностей, к одной из них относится
цветовое проектирование, когда на пространственно-подобных моделях (макетах)
изучаются условия освещения тех или иных объектов.

2.	Символическое (знаковое) моделирование. Оно предусматри-
вает прежде всего упорядоченную запись (2.а), к которой относит-
ся, например, выполнение географических карт, химических моде-
лей, представленных в виде условных знаков, отображающих со-
стояние поверхности планеты или соотношение элементов во время
химических реакций. Различные знаковые, как и вообще мыслен-
ные, модели оказываются весьма ценными еще и потому, что дают
физическую интерпретацию абстрактных математических операций.
К знаковым моделям относятся разнообразные знаковые построе-
ния и записи различных операций, основанные на топологии (2.6)
и теории графов (2.в). Например, знаковыми моделями являются
так называемые ^деревья графов», которые символически изобра-
жают различного рода состояния систем и происходящие в этих си-
стемах процессы (рис. В.5).

Пример. Покажем применение графовой модели.

Пусть из различных городов (рис. В.5, а) хь х2, ..., х5 в одно и то же
место назначения у отправляются автомашины. Если Х\ — х$ дорога, соединя-
ющая города Х\ и х^, то — продолжительность переезда по ней из Х{ в х^,
— количество автомашин, которое может пропустить эта дорога за единицу
времени (в случае отсутствия дороги с»2 = 0), Сц количество автомашин, ко-
торое может одновременно находиться в городе х,;	— первоначальное число

автомашин в Хг (рис. В 5, б). _Как надо организовать движение, чтобы в течение
промежутка времени 0 в пункт у прибыло возможно больше машин?

Определим транспортную сеть, множеством вершин которой служит декар-
тово произведение	__

х=(хь х2, ..., //)(0, 1, 2,	0).

Для вершины Х|(/) = (Х1, /) определим дуги [х<(0, ^ (/ + /<>)] с пропускной
способностью Сц и дуги [х<(/), Хг(^+1)] с пропускной способностью Сц; обозна-
чим через <р[Х|(/), хД/ —Л-;)] количество автомашин, выезжающих из города Х{
в момент I и направляющихся в х$. При этом ф[хД/), х»(/+1)] — количество ав-
томашин, остающихся в х»- в момент I. Соединим вход хо с каждой из вершин
хДО) дугой пропускной способностью а вершины #(1), */(2),	у(0)—

дугами с бесконечно большой пропускной способностью; при этом наибольший
поток определит оптимальное использование дорог.

Условное подобие (2. г) устанавливается тогда, когда обычным
путем не удается найти математически выраженные критерии подо-
бия, но по некоторым показателям (например, по словесным описа-
ниям, равноотстоящим от некоторого уровня отсчетам каких-либо
значений и т. д.) из объектов формируются «подобные группы».
Критерии подобия здесь получаются необычные, а подобные группы
хотя и выделяются, но условно.

3.	Математическое мысленное моделирование. Сюда относятся
модели, являющиеся средством связи теории с объективной дейст-
вительностью, средством для проверки теории. Они способствуют
установлению связи между логическим и чувственным и должны
подкрепить абстрактное мышление привычными образами, которые,
помогая воспринять и проанализировать явления, могут явиться
источником идей для новых исследований. Здесь прежде всего мож-
но назвать хорошо знакомые электротехникам схемы замещения
За) различных элементов электрических систем — генераторов,
трансформаторов, линий передач. Они математически отражают
уравнения и их физическую интерпретацию с помощью простейших
объектов, ранее хорошо изученных.

одна"сторона яьпеичч . иь(-рсальны. в них обычно выделяется какая-либо
мого процесса Так И акие'ли$° соотношения, существенные для изучае-
щается цепочечной схемой МС^’ Ког?а протяженная линия электропередачи заме-
жения и тока вдсль	п^авильно отражается распределение напря-

*	* Одпаио Распространение фронта волн напряжений
Рис. В.6. Модели (схемы замещения) синхронного генератора в раз-
ные моменты времени и отвечающие им электромагнитные поля:
б начальный момент /=0; в, 2-—момент />0; д, е — момент /=оо. Сопро-
"	г

тивления: хц(1 реакции якоря,	сверх переходное, х^ — переходное, —

синхронное, х —рассеяния обмотки статора, х —то же, ротора(1— то же
1	°2

демпферной продольной

и токов не может быть отражено в такой схеме или отражено только условно.
Например, сложный процесс постепенного изменения магнитного поля и тока во
время переходного процесса в синхронном генераторе (в частности, при коротком
замыкании) можно представить для ряда характерных моментов времени схема-
ми замещения, показывающими значения индуктивного сопротивления генерато-
ра. Так, для начала процесса, когда изменяющееся поле статора наводит токи в
обмотке возбуждения и демпферных обмотках и при этом поле статора не про-
никает в тело ротора (рис. В.6, а), синхронная машина характеризуется схемой
замещения, показанной на рис. В.6, б, дающей на входе — зажимах 1, 2 — зна-
чение индуктивного сопротивления х^". Затем, когда влияние токов в демпфер-
ных обмотках становится меиее значительным и не может препятствовать ча-
стичному проникновению поля статора в тело ротора (рис. В.6, в), генератор
характеризуется значением Ха' (рис. В.6, г). Далее, при установившемся режиме,
когда реакция статора проявляется полностью (рис. В.6, д), генератор характе-
ризуется сопротивлением х^ (рис. В.6, е). Те или иные схемы замещения либо
расчетные схемы могут строиться не только для непосредственно изучаемой си-
стемы, характеризующейся значениями переменных, представленных как функ-
ции времени и выраженных обычно в полярных или в декартовых координатах,
но и для преобразованной системы. Например, при изучении различного рода
плоскопараллельных полей широко практикуется переход от изучаемого поля
к новому, математически полученному в результате так называемого конформ-
ного преобразования. Если можно, мысленно моделируя или аналитически иссле-
дуя, получить характеристики для конформно преобразованного поля, более
удобного для изучения, и найти условия перехода от преобразованного поля к
исходному, подлежащему изучению, то задачу, поставленную при изучении поля,
можно считать решенной.

математическим мысленным моделям можно отнести алгорит-
мы и программы, составленные для вычислительных машин. Эти
программы в условных знаках отражают (моделируют) определен-
ные процессы, описанные дифференциальными уравнениями, поло-
женными в основу алгоритмов (З.б).
Рис.	В.7. Экономическая

модель и ее место в общей
схеме процесса управления
производством

В этом смысле и стопку перфокарт, в которых пробили отвер-
стия символы математических операций, можно рассматривать
как математическую мысленную модель. Примером математиче-
ского мысленного моделирования могут быть также экономические
модели (З.в). Эти модели уже играют и, несомненно, будут играть
еще большую роль в экономике, хотя вопрос об их построении с
учетом принципов теории подобия еще подлежит разработке.

Одна из моделей такого рода представлена в виде схемы на рис. В.7. На
этой схеме блок «Условия производства» изображает производственные мощно-
сти, ресурсы всех видов, потребности в продукте данного производства и т. д.
Сплошная линия / означает, что имеется некий аппарат учета и передачи инфор-
мации об условиях производства. Блок «Модель» содержит тот комплекс дан-
ных, которыми в конечном счете руководствуются при управлении. На основе
данных, полученных в модели, орган управления, содержащийся в следующем
блоке, выносит решения и вырабатывает стратегию, которая отражена в блоке
«План», На основе плана и осуществляется процесс производства. Линия 2 от-
ражает те операции, с помощью которых план доводится до исполнителей
(людей, механизмов, машин). Пунктир а означает необходимость корректиров-
ки, вызванной неадекватностью реального процесса производства его описанию
в плане. Пунктир б выявляет степень соответствия реального процесса про-
изводства плану, а блок, обозначенный знаком «~», указывает на необходи-
мость проведения корреляции между ними. Процесс производства зависит от ря-
да дополнительных условий (линия в), в то же время результаты производствен-
ного процесса оказывают определенное воздействие на эти условия, что в свою
очередь влияет на управление (блок г, линия г).

4.	Натурное моделирование. Под этим видом моделирования по-
нимаются исследования «на натуре», т. е. в природе, при специаль-
но подобранных подобных условиях. При натурном моделировании
в объект, подлежащий исследованию, не вносят специальных изме-
нений. Например, не создают специальных установок, как это дела-

я при физическом или математическом моделировании. Но обя-
зательным для этого вида моделирования, как и для любого дру-
гого, является требование обработки результатов экспериментов с
ш>мощы° теории подобия (применение критериальной обработки).
ТУ' Ч1Ь натурного моделирования условно делятся на подгруппы.*
ак, эксперимент, проводимый во время производственного процес-
1 на действующем предприятии (4.а), может рассматриваться как
40
модель, отвечающая непосредственным задачам самого поои-июп
ства, его развития и совершенствования.	1

Возникнув как метод опытного исследования из потребностей
материального производства тогда, когда еще не существовала
наука, и пройдя долгий путь развития и совершенствования, про-
изводственный эксперимент применяется в настоящее время парал-
лельно с естественнонаучным экспериментом, являясь важнейшей
составной частью и одной из форм научного исследования. Произ-
водственный эксперимент обладает диалектической двойствен-
ностью: с одной стороны, прямой зависимостью от производствен-
ного процесса, с другой — непосредственным соприкосновением с
наукой и ее специфическими методами исследования. Это единство
теории и практики, науки и производства характерно для производ-
ственного эксперимента, имеющего большое значение в теории по-
знания.

Производственный эксперимент Имеет четыре особенности: 1) непосредствен-
но связывает человека с объективным миром, включаясь в производственный
процесс, в акт воздействия человека на природу, в результате которого прове-
ренные на практике теории и идеи претворяются в жизнь, становясь действи-
тельностью. Именно это и делает производственный эксперимент тем практиче-
ским критерием, которым пользуется человек для того, чтобы установить
ложность либо истинность той или иной мысли, технической идеи; 2) полностью
раскрывает революционно-преобразовательную роль познания, выявляет воз-
можность овладения силами природы и на основе этого расширяет и углубляет
знания об объективной действительности; 3) выявляет положение о роли прак-
тики как критерия истины и об относительности практики, ее способности к не-
прерывному расширению; 4) показывает, что только историческое рассмотрение
материально-производственной деятельности человека и близко примыкающей к
ней практики производственного экспериментирования дает возможность глубоко
проникнуть в законы познания, вскрыть материальную основу активности чело-
веческого мышления, его постоянную связь и зависимость от объективного мира
во всем его многообразии.

Связь научного эксперимента и научно-исследовательской рабо-
ты можно охарактеризовать следующими соображениями. Каждая
научная работа, преследующая решение той или иной практической
задачи, должна пройти три последовательных этана: 1) поисковое
научное исследование, 2) получение технического результата, 3) до-
ведение этого результата до формы, приемлемой для производства.
На первых двух этапах задачи решаются преимущественно прове-
дением теоретических и лабораторных исследований, направленных
на общее решение проблемы. При этом сознательно пренебрегают
рядом параметров, которые существенны в условиях производства,
но излишне осложняют разработку теоретических основ изучаемых
процессов. Разумеется, технический результат научного исследова-
ния необходимо как можно быстрее внедрить в производство. Одна-
ко между научными разработками и внедрением их в практику
нередко бывает большой разрыв. Здесь вступает в силу ряд фак-
торов, которые па первой стадии исследований не принимались
во внимание, а в дальнейшем стали определять процесс внедрения
и получения производственных результатов. Происходит своеобраз-
ное движение познания от абстрактного к конкретному. Создавае-
ггловиях технологический процесс является

МЫ" В ^мошспе идеальным, ибо в нем концентрируется прежде
НИе’ п11СмопИтРХТёемниТть>> ход создаваемого процесса. Технологи-
которые мо7„т/7Лёоляшийся на стадии лабораторного исследова-

X,	”в,,зей и отношений, существующих н

ния. не вк™ев дельности. Производственный эксперимент рас-
новые факторы и условия и создавая
воХожноёть перехода от абстрактного к конкретному. В производ-
сХном эксперименте отражаются многочисленные стороны пред-
метаН познанные в их единстве, обеспечивается качественный ска-
чок при котором мышление углубляется в сущность предмета.

Примером производственного эксперимента в энергетике могут
служить опыты, проведенные в энергосистемах по определению
пределов устойчивости, пропускной способности электропередач,
качества напряжения и т. д.

Моделирование путем обработки и обоощения сведении о явле-
ниях или отдельных процессах, происходящих в натуре (4.6), при-
меняется также весьма широко. Это, например, натурное геологи-
ческое моделирование, которое применяется при прогнозе динами-
ки изменения берегов рек, морей, водохранилищ. При этом для ма-
лоизученных участков побережья используются данные о других
исследованных в течение длительного времени участках берегов,
физически подобных первым участкам. Участки, данные о которых
заносят в специальные альбомы, позволяющие на основе критери-
ев подобия подобрать подходящую модель и пересчитать с учетом
масштабов происходившие изменения, прогнозируя по прошлому
будущее, называют природными моделями. На рис. В.2 в качестве
разновидности натурного моделирования, в сущности мало отлича-
ющеюся от производственного эксперимента (4.а) и от моделиро-
вания, основанного на обобщении натурных данных (4.6), приведе-
но моделирование путем обобщения производственного опыта (4.в).
Отличие здесь состоит в том, что вместо специально организован-
ного в производственных условиях эксперимента пользуются имею-
щимся материалом, обобщая его с помощью теории подобия и об-
?яТ™ВаЯ В с^ствующих критериальных соотношениях. Здесь,
быть И В производственном эксперименте, полезным может
чаёмого ппоХ°я моделиР°ва^> когда для характеристики изу-
ные функции ТеМ ИЛИ ИНЫМ ПутеМ находят некоторые обобщен-
ризуется прежде вс^глЛтР°ВаНИе’ ^Т0Т вид моделирования характе-
новках, обладающих ЧТ° Исследования проводятся на уста-
ностью' или хотя бы 'р с ическим поДобием, т. е. сохраняющих тол*
влено полное или НР, вном ПРИР°ДУ явлений. Если осущест-
соответственно подобие ‘ ЛНОе Физическое моделирование и
получить ке	х„а₽атеР"™кам модели можно

ные коэффициенты Физиче^л нала пеРесчетом через масштаб-
42 Д нты. Физическое моделирование может быть вре-
Рис. В.8. Физическая модель морской бухты

менным (5.а), при котором исследуются только процессы, протека-
ющие во времени, например изменение тока в электрической цепи
при каких-либо переходных процессах.

Оно может быть и полным пространственно-временным (5.6),
применяемым, например, для изучения нестационарных течений
рек, морей, каналов, гидравлических сооружений (рис. В.8) или
исследования на моделях антенн влияния окружающей среды на
излучение радиоволн в пространстве (рис. В.9).

Физические пространственные модели (5.в) предназначены для
изучения процессов, действие которых не рассматривается во
времени. Они изучают только установившиеся состояния (режи-
мы), или «замороженные» процессы, отвечающие какому-то мо-
менту времени. Примерами здесь могут <быть подобие распределе-
ния токов «в электрической сети или распределения магнитных и
электрических полей в магнитопроводах и воздушном зазоре элек-
трической машины, картина пространственного поля вокруг прово-
да линии передачи и т. д.

6. Аналогово-цифровое моделирование. При этом виде моделирО’
вания, иногда называемым математическим и имеющим многочис-
ленные разновидности, физика исследуемого процесса не сохраня-
ется. Моделирование основывается на изоморфизме уравнений, т. е.
их способности описывать различные по своей природе явления и
выявлять различные функциональные связи, используя изофункцио-
нализм уравнений (способность описывать отдельные стороны
поведения систем без полного описания всего поведения). Эту
группу моделирования можно разделить на следующие четыре под-
группы:

6.а) Аналоговое моделирование (прямое) использует прямую,
непосредственную аналогию между величинами, присущими одно-
му явлению, и формально такими же и также входящими в урав-
Рис. В.9. Физическая модель антенны, предназначенная для
изучения условий распространения радиоволн

нения процессов величинами, присущими другому явлению. Движе-
ние маятника и колебания корабля на волнах или изменения элек-
трического тока в цепи, содержащей емкость и индуктивность,—
простейшие примеры аналоговых моделей.

При структурном аналоговом моделировании воспроизводится

не весь процесс в целом, а отдельные математические операции,
которые выполняют элементы модели. Проведение таких операций
в определенной последовательности, достигаемой соответствующим
соединением отдельных аналоговых элементов структурной схе-
мы, позволяет получить математическую структурную модель,
составленную из отдельных вычислительных элементов непрерыв-
ного типа.

6.6)	Цифровое моделирование основывается на элементах, про-
изводящих математические операции дискретно. Цифровые модели
могут иметь своей базой обычные вычислительные машины общего
назначения. Говорить о том, что с помощью этой машины создается
цифровая модель явления, разумеется, можно только весьма услов-
но, о разработанный алгоритм, программа, 'вводимая в машину
перфоленты (или как-либо иначе), и критериальная

Ь П0ЛУченнь1х результатов — все это позволяет считать комп-
яялеуиаЛГгтРЛ™ ~\пРогРамма ~ ввод — машина — вывод» моделью
говымёИ	СТВ0? адфровых моделей по сравнению с анало-

ся их большая точность. Цифровые модели могут
44
быть специализированными, предназначенными для решения шжо
торых конкретных задач.

6.в) Гибридное моделирование является сочетанием моделей
упомянутых выше и выполненных в виде соединения непрерывных
элементов: аналоговой модели и специализированных цифровых
машин. В такой комбинации используются положительные специ-
фические свойства аналоговых моделей (наглядность, простота на-
бора схемы, быстродействие) и цифровых машин (точность, хране-
ние в памяти нужных данных, результатов анализа и т. д’). Гиб-
ридные модели выполняются и выпускаются фирмами в различных
исполнениях. Они широко применяются в различных отраслях науки
и техники.

6.г) Под фунциональным, или кибернетическим, моделировани-
ем понимают весьма широкую группу задач и методов их решений
при весьма широком подходе к исследованиям. Если физические и
отчасти математические модели стремятся выяснить связь количе-
ственной и качественной сторон явления, раскрывая структуру яв-
ления и на базе этого выясняя функцию, то кибернетическая модель
предусматривает моделирование функции функцией. Она является
только изофункциональной моделью, не стремящейся вскрыть ни
подобия физики, ни подобия структуры внутри модели.

Наиболее характерной особенностью кибернетического модели-
рования является прежде всего стремление раскрыть внешние фун-
кциональные зависимости системы от среды, абстрагируя при этом
познание от вещественных субстратов в моделируемых объектах и
от внутренних причинных связей. В кибернетическом моделирова-
нии, таким образом, центральное место занимает характеристика
поведения сложной динамической системы в определенной среде. В
соответствии с этим специфический подход и задачи кибернетиче-
ского моделирования можно считать в какой-то мере совпадающими
с подходом и задачами функционального моделирования или даже
являющимися его частным случаем. Для функциональных моделей
характерно рассмотрение развития системы без анализа внутрен-
них причинных связей, только в плане уравновешивания ее со сре-
дой с учетом механизма обратных связей. Так, кибернетическая мо-
дель птицы может не содержать самого характерного для птицы —
крыльев. Вместо этого определенная функция птицы — способность
летать — может моделироваться действием пропеллера, а при по-
лете могут создаваться некоторые зависимости от внешней среды,
моделирующие условия полета, например влияние ветра и т. д.
Многие модели можно считать разновидностями кибернетического
моделирования. Например, бионические модели, где может частич-
но раскрываться структура живой модели и именно через это рас-
крытие «функция «живого» искусственно может воспроизводиться
в «мертвом» агрегате». Специфику кибернетических моделей можно
охарактеризовать тем, что в них объекты отражаются главным об-
разом исходя из информационных процессов и процессов управ-
ления,
Для кибернетики характерны модели управления, в которых с помощью
электронных машин подбираются параметры входа, позволяющие поддерживать
заданное значение выхода. При этом электронные машины, осуществляющие под-
бор параметров входа и сопоставление их с параметрами выхода системы, вос-
производят одну из возможных структур того класса, к которому принадлежит
н структура самой системы.

Д ля'функционального метода кибернетики характерна также модель, по-
строенная на концепции «черного ящика», когда внутреннее содержание системы
неизвестно а описание ее поведения в меняющейся среде связывается с двумя
группами параметров — входа (управляющие воздействия информации сре-
ты| и выхода (исполнительные реакции системы). При этом выход рассматри-
вается как функция входа. Причем зависимость выхода от входа может в общем
случае обнаруживаться чисто эмпирическим, статистическим путем, методом
«проб и ошибок». Модель, составленная из цепочки «черных ящиков», для каж-
дого из которых известны входы и выходы, но неизвестны внутренние процессы,
может быть сведена к «серому ящику», полупрозрачному, поскольку имеется не-
которая внутренняя информация.

При вероятностном кибернетическом модели-
ровании может быть создана «игровая модель», построенная на
основе теории игр, представляющей изучаемые процессы в виде
взаимодействия двух или нескольких участвующих в процессе сто-
рон («игроков»). На основе теории вероятностей модель отражает
характер течения процесса («конфликтные ситуации»). С помощью
методов теории игр строятся модели экономических и технологиче-
ских процессов.

Для кибернетического моделирования существенно единство
функционального подхода и оптимизации как средства получения
данных для наилучшего управления системой. Технической предпо-
сылкой кибернетического моделирования сложных динамических
систем являются быстродействующие электронные машины, позво-
ляющие решать многие задачи управления за приемлемый для хо-
да данного процесса отрезок времени, связать теорию моделирова-
ния с теорией оптимального управления.

Иногда возникает вопрос: а не противоречат ли все остальные методы
моделирования кибернетическому моделированию или не более ли исчерпываю-
щим, чем все они, является «черный ящик» кибернетической модели; не надо ли
классификацию моделей строить иначе, идя от модели кибернетической, и не мо-
жет ли эта модель дать объяснения всему происходящему в природе, в челове-
ческом обществе с помощью универсальных правил, вытекающих из математики
и кибернетики?

уг»?™,бЫ все явления природы, определяющие физические, химические и
тРк X	Не были бы неисчерпаемыми и если бы все сведения о них,

Фопм/чизонян,.! иеИИЯ 0 человеческом обществе, могли бы быть полностью
вХ воппое < И п	В вычислительную машину, то тогда на указанный

н™ стороны	ответить положительно. Однако это не так. С од-

можем знатг всего ит' РРоцесс познания, а с другой — мы не знаем и не
сделать все что может ^0ЖИ(< получить от машины. Очевидно, что она может
мачизовано? Ня -тс, ЫТЬ Ф0Рмали30ва|ю. Но что именно может быть фор-
?а“рнм исс1едоваНиПиРТИПИаЛЬН° °тветить иельзя- Чтобы пояснить это,
/ившеи«^ полносХ Фог^я У',Н0И матема™ческой школы Д. Гильберта, стре-
из заранее и навсегда' з^данноТ математикУ- т- е- вывести все ее положения
вала эти аксиомы как в> пиж/ии истемы аксиом. Школа Гильберта рассматри-
ствительности а являющихся • е ('имволов> не отражающих объективной дей-
ииями в известном смысле УПЯ ппс,ЬК0 .НеКИМИ знаками- Некоторыми исследова-
ось св<-сти геометрию и математический анализ к
46
а и и и успешно

арифметике целых положи гельных чисел и для последней построить конечную
систему аксиом (4 Казалось, что поставленная задача формализации успешн
решена. Однако в 1931 г. принадлежащий к этой же школе английский мате',а
тик К. Гедель доказал следующую теорему, состоящую из четыре» чяет₽щ
1) если дана система аксиом Л, то всегда возможно, прибегая лишь к понятиям
входящим в нее, построить по меньшей мере одну теорему Т такую что рр
нельзя при помощи системы аксиом А ни доказать, ни опровергнуть 2) следо-
вательно, всегда можно подобрать новую аксиому а так, что, присоединив' ее к
системе А и получив расширенную систему аксиом Л + а, можно обязательно с
ее помощью либо доказать, либо опровергнуть теорему Т; 3) однако тогда в
расширенной системе аксиом Л + д можно, не прибегая к каким-либо посторон-
ним понятиям, обязательно построить по меньшей мере одну теорему Г, кото-
рая не доказывается и, не опровергается в системе Л 4-а'. Присоединяя все новые
и новые аксиомы а, а'у ..., ап, этот процесс можно продолжать беспредельно'
4) среди недоказуемых и неопровергаемых в системе А аксиом Т имеется аксио-
ма т, гласящая, что система Л логически непротиворечива. Иначе говоря, дока-
зано, что при помощи одной лишь системы аксиом арифметики нельзя доказать

или опровергнуть ее логическую непротиворечивость, т. е. нельзя получить уве-
ренность в том, что когда-либо, продолжая делать из этой системы аксиом все
новые и новые выводы, получая все новые и новые теоремы, не придем к пол-

ному противоречию.

Таким образом, оказалось, что школе математиков-формалистов не удалось
доказать возможности свести всю математику к конечной, независимой от неис-
черпаемой, вечно развивающейся действительности к наперед заданной системе
застывших понятий.

Исследования показали, что математика, как и всякое другое знание, не-
избежно неполна в том смысле, что она только приближенно отражает матери-
альную действительность реального мира и что вместе с этим она способна к
дальнейшему развитию, в процессе которого может расширяться и уточняться
отражение этой действительности. Оказалось, что проверка логической непроти-
воречивости математики невозможна, если не соотносить в том или ином виде,
на том или ином этапе развития математику с практикой, если не сличать ее
аксиомы с данными действительного мира. Это утверждение о невозможности
свести математику к заранее данной конечной логической системе не содержит
каких-либо элементов агностицизма.

Следовательно, нельзя считать сколько-нибудь основательной
тенденцию отказа от эксперимента и от различных видов модели-
рования. Именно различных, так как при невозможности формали-
зации математики, что было показано выше, и тем более при не-
возможности формализации физики, что противоречило бы основ-
ным положениям материалистической теории познания, метод ки-
бернетического моделирования, несмотря на его огромное значение
в науке, не может оцениваться как универсальный, самодовлеющий
метод. Он может и должен рассматриваться только как один из
приемов научного познания, применяющийся наряду с другими
методами исследования, в том числе и методами моделирования,
показанными на схеме (см. рис. В.2) и описанными в настоящей
работе.
Глава I

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ

§ 1.1. ПОДОБИЕ И ЕГО ВИДЫ

Изучение свойств подобных явлении и методы устзновления по-
добия составляют содержание теории подобия. Прежде чем перей-
ти к конкретизации сформулированного во введении понятия по-
добия явлений, условимся в дальнейшем под явлением понимать
совокупность процессов, т. е. изменений, происходящих в той или
иной системе. Эти изменения данного состояния, или режима
системы (процессы), происходящие во времени и пространстве, ха-
рактеризуются некоторыми показателями, называемыми текущими
переменными, переменными параметрами, обобщенными координа-
тами. Будем их называть далее параметрами процесса. Эти про-
цессы происходят в системе, состоящей из элементов, которые ха-
рактеризуются своими параметрами, называемыми параметрами
системы.

При исследовании механических явлений параметрами процессов являются
величины сил, скоростей, ускорений, а параметрами элементов — массы тел, ко-
эффициенты трения, вязкости жидкости и т. п. Для электрической системы
параметры процессов — это значения мощностей, токов, напряжений и частоты,
а параметры системы — величины сопротивлений, проводимостей, коэффициен-
тов трансформации и т. п.

Системы, в которых параметры неизменны в течение всего изу-
чаемого процесса или изменяются независимо от его протекания,
называются соответственно линейными системами или системами
с переменными параметрами. Системы, у которых хотя бы один па-
раметр изменяется в функции одного или нескольких параметров
процесса, называются нелинейными.

математического описания процессов необходимо ввести си-
} 00Рдинат’ в которой записывается выражение процесса,
собой ? ДРедставляемое системой уравнений, связывающих между
поопесЛ^пя^пи151 пРоцесса и параметры системы. Форма уравнений
задачи и выбпянил'’0 зависимости от вида системы, поставленной
задачи и выбранной системы координат.

рые мог’-Лб^ыт?1^ РассматРивается как комплекс процессов, кото-
проиессон и гишп уРавнениями’ связывающими параметры

Р ><. ры системы, записанными в выбранной системе
48
координат. Если наиболее су-
щественные с точки зрения по-
ставленной задачи процессы
подобны, то явления или систе-
мы считаются подобными.

Процессы будут подобны
друг другу, если существует
некоторое соответствие сходст-
венных величин рассматривае-
мых систем: положения точек,
геометрических размеров, па-
раметров систем и параметрон
процессов.

Понятия сходственных то-
чек и сходственных величин,
известные из геометрии, значи-
тельно сложнее в теории подо-
бия физических явлений. В

Рис. 1.1. Подобие аффинное (а) и
геометрическое (б)

этом случае сходственными точками пространства, времени и пара-
метров процесса будут такие величины, при которых их значениям
в одной системе будут так или иначе соответствовать значения в
другой (частный случай этого соответствия — пропорциональность).

Геометрическое соответствие материальных систем означает, что все про-
странственные координаты одной системы пропорциональны сходственным про-
странственным координатам второй системы *. Математически это условие в де-
картовых координатах записывается следующим образом:

= пгх\ — ту\ = тг,

где X/,	Хг, Vг, 2г — координаты сходственных точек рассматриваемых

систем; тх, ту, т2— коэффициенты подобия, или масштабы.

При неравенстве масштабов по координатным осям, т. е. при тх=^ту^тг,
осуществляется так называемое аффинное подобие (рис. 1.1). В этом
случае геометрические фигуры как бы деформируются (круг, растягиваясь, пре-
вращается в эллипс и т. д.).

Обычно соотношение подобия имеет вид

= т1,

(1-1)

где Р;,	— сходственные параметры процессов и элементов рас-

сматриваемых систем; Шг— коэффициент подобия, или масштаб,
сходственных параметров.

Величина является в большинстве случаев постоянной, однако в неко-
торых рассматриваемых далее случаях соответствие между сходственными ве-
личинами может устанавливаться при переменных масштабах, например завися-
щих от какого-либо параметра процесса. Это будут особые случаи подобия
(нелинейное, квазиподобие и т. д.).

* Геометрическое подобие в сложных явлениях имеет аналогию с подобием гео-
метрических фигур, требующим равенства соответственных углов и отношений
сходственных длин.
Пои отыскании условий реализации подобия его виды можно
5-точнить в соответствии с задачами практики и с той классифика-
ппрй котовая была дана во введении.

Напомним что полное тождество явлений в пространстве и во
времени получаемое после изменения масштаба, свойственно а б-
солютному подобию, которое представляет собой аостракт-
ное понятие, реализуемое только умозрительно (в геометрических
построениях и отдельных видах математического подобия). Как
правило, при изучении физических явлений и решении технических
задач исследователь не имеет дело со сходными во всех дета-
лях явлениями. Поэтому практика применения теории подооия со-
средоточивает внимание на понятиях практического (полного,
неполного и приближенного) подобия.

Полное подобие* — подобие протекания во времени и в про-
странстве основных процессов, т. е. тех процессов, которые
достаточно полно (для целей данного исследования) опре-
деляют изучаемое явление. Здесь подчеркивается, что речь идет
именно об основных, т. е. имеющих для данной конкретной задачи
существенное значение, процессах.

Например, можно считать, что у синхронных генераторов электромеха-
нические явления имеют полное подобие, если все процессы из-
менений во времени токов, напряжений, вращающих моментов и изменения во
времени и в пространстве распределения магнитных и электрических полей отли-
чаются только масштабами. При этом, однако, шумы, нагревы или механические
напряжения отдельных деталей могут быть неподобными, так как они заведомо
не оказывают существенного влияния на подобие подлежащих исследованию
электромеханических явлений.

Неполное подобие — подобие протекания процессов толь-
ко во времени или только в пространстве.

Так, электромеханические процессы в синхронных генераторах могут быть
подобны во времени, но пространственное (геометрическое) подобие полей внут-
ри машины может при этом отсутствовать. Это не искажает подобия переходных
и установившихся режимов в электрической системе.

Приближенное подобие, которое может быть как пол-
ным, так и неполным, характеризуется упрощающими допущения-
ми, заведомо приводящими к искажениям, заранее
оцениваемым как допустимые на основании дополнительных
аналитических или экспериментальных исследований.

Примером приближенного подобия является нахождение условий подобия
^яераторов на основании упрощенных уравнений, не учитывающих апериодиче-
у э оставляющую тока статора и периодическую составляющую тока ротора.

Но всех перечисленных видах подобия предполагается, что в течение всего

ВиаеМ0Г° *Р°цесса Физическая природа участвующих элементов не из-
ия. подобие можно установить и в более сложных случаях, например

Ф 11 о ух и м и ч е с к и х превращения х. Можно говорить о различ-
а видах функционального подобия, например о частичном подобии некоторых
проявлении процессов, в целом неподобных.	~ '

Слово «практическое» здесь и далее опускается.
50
§12. СВОЙСТВА. ПОДОБНЫХ ЯВЛЕНИЙ.

ТЕОРЕМЫ О ПОДОБИИ

Подобию во всех его видах свойственны некоторые общие зако-
номерности, которые принято называть первой и второй теоре-
мами подобия и дополнительными положениями к ним*. Дополни-
тельные положения необходимы при исследовании подобия явлений
в сложных, нелинейных, в том или ином смысле неоднородных или
стохастических системах. Обе теоремы устанавливают соотношения
между параметрами подобных явлений, не указывая способов реа-
лизации подобия при построении моделей. Ответ на последний во-
прос дает третья теорема подобия, или обратная теорема. Она
определяет условия, необходимые и достаточные для того, чтобы
явления оказались подобными, требуя подобия условий
однозначности ** и такого подбора параметров, при которых крите-
рии подобия, содержащие начальные и граничные условия, стано-
вятся одинаковыми.

А. Первая теорема

Явления, подобные в том или ином смысле (физически, математи-
чески, кибернетически и т. д.), имеют некоторые одинаковые со-
четания параметров, называемые критериями подобия. Рассмотрим
различные варианты и условия применения первой теоремы. До-
пустим, что изучаются два процесса, описываемые уравнениями,
члены которых являются однородными функциями параметров или
их производных:

для первого процесса



?1 "Ь ' “Ь

(1.2)

где

/ (Т*р    1 Рпд'
для второго процесса

(1-3)

(1.4)

*	Известны соображения относительно того» что только вторая теорема подо-
бия может рассматриваться как теорема в том смысле, в каком это понятие
употребляется в математике, а первая и третья теоремы являются только
некими правилами, способствующими выявлению и установлению подооия.
Не вступая в дискуссию по этому поводу, оставляем введенную еще пью го
ном терминологию в отношении первой теоремы и сохраняем предложенное
М. В. Кирпичевым и А. А. Гухманом название третьей теоремы. Говоря о трех
теоремах подобия, мы добавляем к ним дополнительные положения, сформу-
лированные и доказанные автором настоящей книги.

*	* Условия однозначности выделяют конкретный процесс из возможного п
образин процессов, определяемых каким-либо дифференциальным уравнением
(из класса процессов).


где

фу=/^(/?Р ^?2> • • • ’ ^т)'

(1-5)

Упявнения (1.2) „ (1.4) можно привести к безразмерному виду
Л—г X *.	1А 1 Д * А у	р	\

делением на п-й член:

п—1

(1.4а)

0.

В уравнениях (1.3) и (1.5) Р1 и К\, Р% и Т?2, •••, Рт и Рт сходст-
венные параметры, причем поскольку процессы подобны, то

р^~ГТ1^Р^ Р2 — /722^?2» • ♦ • ’ Рщ

(1.6)

После подстановки этих соотношений в уравнение (1.3) можно
вследствие однородности функции <р;- вынести масштабы *
ть т2, тт в соответствующих степенях за знак функции в виде
общего множителя:

— / (^1» • • • » Рщ) — / (гИ1/?1, . . . » Ш{пР^гг^\
/^=ЛГФ7,

или

= где у==1, 2,..., п.

При подстановке (1.8) в уравнение (1.2а) получим

1	. ДГ1 ф1 1 ^2	$2 _|_ I Мп-\ фл-1 П

+	• фл +мГ-^ + ’"+“-^Г=0

(1.7)

(1.8)

(1.26)

Напомним, что вследствие однородности уравнения (1.2) общие
множители Л7,- для каждого члена <ру равны, т. е.

Л^! — ^1=^ •  = Д(я;

Л(Ж=Л(2/^л=-..^^_1/^я=1.	(1.9)

Следовательно, уравнения (1.26) и (1.4а) оказываются тождест-
®енньши. ^то означает, что между соответствующими членами
ур внении (1.2а) и (1.4а) существуют соотношения:

Л1=__Ф2_.	. Тл -1 _ Фл-1	п 1т

ФЛ ?л Фл ......................... (1Л0)

* Йжду°ШпХетоамИУ “а^табами. бУД^ точно таким же, как и соотношение
может быт1 игплш г Т0РЬ1м эти масштабы относятся. Это обстоятельство
м 4ЖСТ быть использовано при нахождении условий подобия.
Обобщая полученные результаты на х подобных процессов, по
думаем

?<2)

--Шет, 5=1, 2,..., п,
»п

где Нет означает: «соответственно одинаково для всех рассмат-
риваемых процессов».

Критерии подобия. Выявленные выше отношения членов урав-
нения, представляющие собой безразмерные комбинации парамет-
ров, численно одинаковые для всех подобных процессов, называ-
ются критериями подобия.

Обозначая критерии подобия буквой зт, можно дать краткую
формулировку прямой, или первой, теоремы: у всех подобных яв-
лений л = 1с1ет. Это достаточное условие, выявляющее существо-
вание подобия. Описанное выше выявление критериев подобия, со-
держащее операции (1.8)4-(1.11), называют нахождением крите-
риев подобия путем анализа уравнений процесса (см. § 1.3).

Преобразование критериев. Практически важное свойство кри-
териев подобия заключается в следующем: критерии подобия лю-
бого явления могут преобразовываться в критерии другой формы,
получаемые за счет операций перемножения или деления критери-
ев, возведения их в степень или умножения на любой постоянный
коэффициент к. В самом деле, если какие-либо значения л^ = 1беш>
Лм4 = 1с1ет являются критериями, то в соответствии с определением
подобия

лйлЛ+> = 1деп1; лк/лк+1 = Нет;

1/л* = 1(1ет; &гц = 1дет.

Если уравнения (1.2), (1.4) характеризуют протекание процес-
са во времени и в пространстве с доступной и необходимой для
данного исследования полнотой, то в этом случае система крите-
риев (1.11) достаточна для полного подобия. Если уравнения (1.2),
(1.4) характеризуют протекание процесса только во времени или
только в пространстве, то уравнения (1.11) являются критериями
неполного подобия. Если уравнения (1.2), (1.4), прежде чем нахо*
дить из них критерии, упростить (отбросить какие-то заведомо
влияющие факторы, допустить отклонение параметров системы
и т. д.), то найденные из этих уравнений критерии (1.11) будут
критериями приближенного подобия.

Подобие процессов, описываемых уравнениями, содержащими
неоднородные функции (трансцендентные, сложные и т. д.). Для
таких условий масштабный коэффициент нельзя вынести за знак
функций и преобразование, аналогичное (1.7), оказывается невоз-
можным. Если при этом подобие процессов существует, то аргумен-
ты неоднородных функций должны быть равны и являться также
критериями подобия.
Например, для

у. 8П1 аху и Фу = К 81 п А X У

подобие процессов требует равенства

(1.12)

Ес пи в аргумент неоднородной функции входит сумма, напри-
мер аУл-+//или А+Х+У, то все слагаемые должны быть соответ-
ственно одинаковы.	. .

Подобие процессов, описываемых интегральными и дифференци-
альными уравнениями. Соотношения пропорциональности, исполь-
зуемые при установлении подобия, справедливы па любых (малых
и больших) участках изменения исследуемых функций. Поэтому,
если в членах исходных уравнений (1.2) и (1.4) содержатся сим-
волы дифференцирования и интегрирования, то (поскольку они не
имеют размерности) при нахождении условий подобия их можно

опустить:

аП(тхХ)_ х и Г т ^х = тх

с! (пгУ)п т( <11 о	Л

или



пгххс1 (туу)— тхту ^хду.

Отсюда появляется правило интегральных аналогов, согласно
которому при установлении условий подобия в уравнениях, исполь-
зуемых для выявления подобия, можно заменить дп/дхп на 1/хп,
(* хйу на ху, т. е. отбросить все символы дифференцирования и ин-
тегрирования.

В соответствии с этим при нахождении критериев подобия символ у2 —
о2	а2

дх2 + ~^у2 + ~д*2 ’ ГДе Х' У' г~ пространственные координаты, при

условии соблюдения геометрического подобия может быть заменен на I//2

*аРактеРныи размер. Символ ^гас! соответственно заменяется на 1// фу

^гао на I//2 и т. д.	’

Б. Вторая теорема

всякое пллмл/, ЗВеСТНаЯ та,кже под названием л-теоремы, гласит:
ределенной гиХРавНлНие ^шзического процесса, записанное в оп-
межди кпитепияи6 и^и^' может быть представлено зависимостью
Р	Т- е- УРавнением, связывающим без-

раметров НЬ1' ^У^нные из участвующих в процессе па-
кости Стеоремы. ДОнавпозволяет ра^смотренные "Римеры показывают возмож-
сократив их число с т разменыСВоего, р°да заменУ переменных,
тем са:дым перейти к записи уоавнений4™ Д° т~1г безразмерных величин, и
«том весьма упрощается обпаботк^пР°Рессов в критериальной форме. При
г	' а.лигических и экспериментальных исследо-


эаний, так как связи между безразмерными л-критериями подобия, как ппапилп
выявляются проще, чем связи между обычными именованными величин и, ’

Но не только этим определяется значение п-теоремы: весьма слпХт,,,
что согласно ее выводам переход к безразмерным соотношениям (связывающим
критерии) позволяет распространять результаты аналитического или экспрпимри
тального исследования, проведенного применительно к конкретному явлении» н )
целый ряд подобных явлений. При этом можно находить критериальные соотно-
шения, не имея математического описания процесса в виде уравнения а шчч
только все участвующие в процессе величины и их размерности.

Пусть существующие связи между параметрами процесса и па-
раметрами элементов системы, в которой этот процесс протекает,
можно представить так:

/(^1»	, Рт) = 0.	(1.13)

Для удобства последующих выкладок будем считать, что

1 'С 5 т.

Зависимость (1.13), до тех пор пока она учитывает все связи
между входящими в нее величинами, т. е. является полной зависи-
мостью^ не может изменяться при любом изменении единиц изме-
рения физических величин. Это очевидное правило нарушается, ес-
ли уравнение отражает не все зависимости между переменными,
а только некоторые частные зависимости, справедливые при опре-
деленных условиях. Так, если часть величин в уравнении (1.13)
считать постоянными, то, определив их величину применительно к
какому-либо частному случаю, можно записать уравнение в виде

/0% Лз’ А^) = 0, где /< = соп81.

Это уравнение будет неполным, зависящим от системы единиц,
но переходящим в полное, если раскрыть функциональную связь:

В качестве простейшего примера можно привести известное уравнение Гей-
Люссака, связывающее объем газа V и температуру 0:

Это уравнение будет неполным, зависящим от системы единиц, если под К
понимать некоторую постоянную численную величину. Однако оно перейдет в
полное уравнение, если, раскрыв зависимость К от давления р и универсальной
газовой постоянной записать

7=(/?//>)0.

Не вдаваясь в подробности многочисленных дискуссий по этому вопросу,
укажем, что любое неполное уравнение становится полным, если рассматривать
коэффициент пропорциональности как величину, имеющую размерность и изме-
няющуюся при изменении единиц измерения. Все полные уравнения удовлетворя-
ют принципу однородности, требующему, чтобы все члены ф; физическою урав-
нения имели одинаковую размерность.

31-Теорема касается только процессов, отражаемых полными
Уравнениями и записанных в определенной системе единиц.

Уравнение (1.13) полное, а следовательно, и однородное, поэто-
му все входящие в него параметры можно выразить в относитель-
55
выбранных величин
же размерности, что
следующим образом:

ных единицах, т. е. в долях от некоторых
р. Рп • ?от, имеющих соответственно те
и Л Ру. .... Рт- Тогда (1.13) можно записать

Однако не все величины Р01, Р02, Рот можно выбирать про-
извольно. Например, выбрав величины, измеряющие ток и напря-
жение уже нельзя произвольно выбрать величину, измеряющую
сопротивление или мощность. Можно установить, какое количество
независимых величин Роь Рок выбирается из общего множества
величин Ли, .<•, Рот, и найти способ выбора остальных, рассмотрев
формулы размерностей всех величин, входящих в соотношение
(1.14).	/1

Каждую величину, входящую в уравнение (1.14), можно пред-
ставить в виде произведения ее числового значения * {Р} на еди-
ницу измерения [р] данной величины:

Пусть в выбранной системе единиц имеется к = д основных еди-
ниц измерения. Обозначая их через а, Ь, с, д, запишем выраже-
ния единиц измерения всех участвующих величин, т. е, их формулы
размерностей:





где а, р,..., —некие числа.

. Сделанное выше предположение, что единицы измерения
бой из этих Деи3ииИСИМЫ’ 03начает- что Формула размерностей лю-
<>ои ИЗ ЭТИХ единиц не может быть

“шЕТ >"“оже""я ”™ деления) „з формул раз-
и.п?.аЛ”““ЫХ ед",|иц' ПР“ ”«“ «я незнвн-
«ля О, составленного•• и7п™‘;азатсл^й Х.т7	0Д"0Г° °"Редм"‘

из показателей, степени основных (1,

представлена как комбинация

единиц, входящих в (1.15).

Л)

5

применяться в дальнейшем.принята $°рма запися без скобок, которая и будет

>ффициеиты при неизвестных™ показатели степени рассматриваются как ко-
56


Порядок определителя Р не превышает числа основных единиц (в нашем
случае д). Число независимых единиц Л, с помощью которых измеряются вели-
чины [ро*Ь не может быть больше д. Однако возможны случаи, когда к^.д. При
этом число независимых единиц можно найти, последовательно рассмотрев опре-
делители порядка (д 1)-го, (9—2)-го и т. д. Число независимых единиц равно
порядку того определителя, который первым окажется не равным нулю

Дальнейшие рассуждения будем вести применительно к случаю *, когда
к^д-

Поскольку к единиц измерения величин Р$ являются независи-
мыми, то остальные т—к единиц и соответственно величин [Ро]
будут являться их функциями, т. е. .

[Рой+1] Фл-н([Ро1]> [РозЬ • • •’ 1Ро<1’ • • •» [Ро^])?

[Ро$] 4\ ([Ро1Ь [РозЬ • • •’ [Ро/]> • • •> [Рой])’
[Рот] Ф/тг([Р()1]> [Рог]”**’ [Ро/]»»*-’ [Рой])’

(1.16)

Покажем, что это действительно так. Для этого прологарифми-
руем первые к уравнений (1.15), в результате чего получим систе-
му к линейных уравнений с постоянными коэффициентами:

Ь [р01] = а11п к] + ?1 Ь [&] Н-Ь1п [д]\ '

1п [Р02] = «21п[а] + Р21п [&] -к^1п[7];

1п [ Рш]=1п [я] + в1п РН-------Ь 1п М;

1п [ Рол] = 1п [а] + ₽* 1п р] -+ 1п [д]. .

(1.17}

Решая эту систему относительно 1п.[а], 1п[Ь], ..., 1пр] и потен-
цируя полученные выражения, находим:

[«]=[Р01]Ап/о [Р02]А1,/о • • • ШАп/° • • • 1МА‘1Р;

[^]=[^1]А,,/О 1а>2]а”/0- • <ША«/О • • • [а^1Ай2/0;	(1-18)

[Р02 1А2л/о • •	- • • ЫА**'

Здесь

а1 И1 ' ‘ '’1

(1.18д)

— определитель И-го порядка, составленный из коэффициентов си-
стемы (1.17); Ли, Л2!, .... Лаг, А12, Л22,	А2; Жа, Л2а, .... Лаа —

адъюнкты элементов определителя О (первый индекс соответству-
ст номеру строки, второй — номеру столбца).

Подставив выражения (1Л8) в последние —к уравнений си-
стемы (1.15) от (&+1)-го до т-го, получим т—к выражений для
величин, участвующих в процессе и представленных теперь че-
рез произвольно выбранные (ранее) величины роь •••» Рол. Гак, на-

Случай к<д будет разобран в дальнейшем на примере.
пример, для роп+1 будем иметь

г I Г м в* + 11 & • * • [ Раъ

[№+11==и,°1 1	,

 • [р0*+1] ° •

 -[рол+1^

(1.186)

к 2

Птя любой величины от Роа-н ДО Ро™, т- е- Для Роз, где 5 =
_ Л т МОЖно записать соответствующие выражения. Далее
-юсле гоуппировки в правых частях величин с одинаковыми пиж-
после грут } основании (1.186) запишем
«ними индексами на основами 1	/

15*	2.9

15	к8

5 •••Рой °

Легко видеть, что (1.19) имеет точно такую же структуру, что
и (1.16), причем, например, для [/Л)5]

/?5

«5 =

> • • • 1

Значения величин где /—1, . ••> 5 — ^+1,	полученные при

преобразовании (1.186), могут быть легко найдены из определителя (1.18а)
после замены в нем /-й строки на строку, составленную из показателей степени
а/, Д/...Ь' величин [Р0.]8=*+1.т [см. (1.16)}.

Если средн т участвующих в уравнении (1.14) величин РОь ..., Рот имеет-
ся к независимых (Роь . Ли> Л>*), выбираемых произвольно, то осталь-
ные т—к величин (Лм-и, ..., Роя, . *.» Аэт) являются согласно (1.16) произве-
дениями выбранных независимых величин в соответствующих степенях а/, ..,
..., где	т.

С учетом (1.16) можно переписать (1.14) в виде

Поскольку 1г независимых величин Р$ выбираются произвольно,
то можно принять, что

^01~	&02 — Р2', Р^к = Рк.

При этом (1,14) примет вид, отвечающий
выше второй теореме подобия;

сформулированной

/1(1, 1,..., 1, Яр лт_А) —О,	(1.21)

• д. зщчепия Л),..., лт_&критерии подобия:


Величины а', р', .... е' показывают, какой показатель степени
(критериальный показатель) имеет та или иная величина, входя-
щая в критерий подобия.

Единицы измерения числителей и знаменателей всех критериев,
равны, так как

или

Подставляя в записанное равенство основные единицы измере-
ний, получим	..	)“’..	.. .<?51)^ .. .

.. .(а“*6₽Л. ..<?**)Ч откуда следует, что

(1.23)

Полученные выше к соотношений (1.23) дают связь между из-
вестными показателями размерности основных единиц измерения
(а),	а8) и искомыми критериальными показателями (а'.. V)-

Очевидно, что можно найти их численные значения непосред-
ственно из системы уравнений (1.23) или, как было показано вы-
ше, из (1.18а) и (1.20).

Приведенный анализ показывает, что физический процесс ма-
тематически отражается функцией т—к безразмерных соотноше-
ний— критериев подобия л. Всякое уравнение, дающее связь меж-
ду т участвующими величинами, представленное в критериальной
форме (1.21), будучи разрешено относительно какого-либо крите-
рия подобия (например, ли), позволяет выразить его как функцию
т—к—1 критериев подобия:

л 1—-	л 9 л з,. • • $

(1.24)

Значения критериев л являются одинаковыми для любого ко-
личества подобных процессов, протекающих в разных системах»
сходственные параметры которых пропорциональны*.

В самом деле, исходное соотношение (1.14) не накладывает ни-
каких ограничений на значения Р\, Р\о> Р2, Р^ и т. д, Следователь*

Напомним, что пропорциональность параметров — это частный случай подо-
бия, Вообще говоря, необходимо только некоторое, так или иначе определен-
ное соответствие между параметрами подобных (в широком смысле! систем
,о пплирсса параметры которого	Т?2 — т2Р2 ..., оче-

виА Ясправе1аивь,Р все выкладки и все соотношения
(1.14)’—(1.24), если только

/?10 = Ш1)°10’ А>20 = т2^С>20 и т- д-

К Р и т е р и а л ь н о е у р а в н е н и е. Соотношение вида

Л1 = Ф(Л2> Я3, * ' ' ’

представляющее собой математическую формулировку л-теоремы,
называется критериальным уравнением. Оно показывает, что один
из щ-А критериев подобия является функцией остальных т-к-\
критериев; Таким образом, число величин, определяющих характер
процесса при критериальной форме записи, уменьшается на &+1.
Независимых критериев оказывается т & —1. В данном случае
это л2, лз, .... лт-к. Л)—Зависимый критерии, при соблюдении не-
зависимых критериев выполняющийся автоматически.

В. Третья теорема

Эта теорема формулирует условия, необходимые и доста-
точные для практической реализации подобия. Согласно форму-
лировке, данной Кирпичевым — Гухманом, она утверждает: для
подобия явлений должны быть соответственно одинаковыми опре-
деляющие критерии подобия и подобны условия однозначности.

При этом под определяющими критериями понимаются крите-
рии, содержащие те параметры процессов и -системы, которые в дан-
ной задаче можно считать независимыми (время, длина и т. д.);
под условиями однозначности понимается группа параметров, зна-
чения которых, заданные в виде чисел или функциональных зави-
симостей, выделяют из всего возможного многообразия явлений
данного вида конкретное явление (подробнее см. гл. III).

Другие формулировки теорем о подобии. Иногда оказывается более удобным
пользоваться первой теоремой о подобии в следующей формулировке:
необходимым условием подобия двух систем является равенство соответствую-
щих критериев подобия этих систем, составленных из параметров процесса и па-
раметров систем.

Вторая теорема о подобии формулируется так: функциональная
зависимость между характеризующими процесс величинами может быть при оп-
УСЛОвиях приставлена в виде зависимости между составленными из
них критериями подобия [типа (1.24)].

« о Лт^формулйр°^ка исчеркивает, что именно первая теорема выявляет
- !	. не необх°димые и достаточные) свойства подобных си-

как неготовая гпТпм!К°ВЫе критеРин подобия, которые иногда рассматриваются
тов. сушественныуДп чЯ Мер9 отноше11ня интенсивности двух физических эффек-
роь Лвгопой трсгрм Я ТЛеАуеМ0Г0 пРоцесса *. В приведенной выше формули-
огранич -ний и РГ ооРащается внимание на необходимость учета принятых
ВИЯ существования подобия^™^" аНаЛИза размерностей не выявляются усло-

• М.

А д'г сУ’.РЛ11 пев' Теория подобия. Изд-во АН СССР, 1953,
У Введение в теорию подобия. «Высшая школа», 1963.

а также
1.3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ О ПОДОБИИ

д Первое дополнительное положение.
О подобии сложных систем

Первое дополнительное положение имеет следующую основную
формулировку: подобие (~) сложных систем (А^В), состоящих иэ
нескольких подсистем, соответственно подобных в отдельности
а"^ Ь", ...), обеспечивается подобием всех сходственных эле-
ментов, являющихся общими для подсистем (рис. 1.2). Общая часть
подсистем может при этом рассматриваться как самостоятельная
система, число критериев подобия которой может определяться
согласно л-теореме, а условия создания подобия — согласно треть-
ей теореме.

Справедливость данного положения покажем на примере сложной системы,
состоящей из двух подсистем. На рис. 1.2 показаны две (Л, В) такие системы,
включающие подсистемы а', а" и соответственно Ь', Ь". В системе А происходят
процессы, характеризуемые некоторым уравнением

+ ?2 + 'Робщ + ?общ +	= °-

Для процессов в системе В аналогично запишем

Ф^ + Фг + Фобд + Фобщ + Ф1 = О-

(1.25а)

(1.256)

Упрощая задачу*, предположим, что часть членов уравнений (1.25а) и

(1.256), обозначенных через

2, отражают только процессы

в подсистемах о!, Ь'.

Система А	Система &

Рис. 1.2. Подобие сложных систем

* Ничего не изменилось бы в приведенных рассуждениях, если бы системы А, В,
подсистемы а, Ь и связи представить дифференциальными уравнениями.
Взаимосвязям подсистем отвечают ?общ> ?общ и тобщ» тобщ нак°нец, части
<ф", ф" относятся только к подсистемам а", Ь", Рассматривая А, В как единые си-
стемы, будем иметь четыре критерия подобия;

То	4*2	^общ	^обш	,

—- —-щ;	=	= л2,

<Г1	Ф1	?>	’Ь

?обЩ Фобш .	._

?1' Ф1 ?1

Устанавливая подобие подсистем с и Ь , а и Ь по отдельности, получаем
только три первых критерия:

?2	+2	*Ь____

“ =	,	~ Я1>	„	~	„	>

?1	Ф1	?1	Т1

'	'	*	<17

?ОбЩ Тобщ / ^общ тобщ г

—- = —— = ^ —— = —т~=яз-

?1	11	?1 п

Дополнительным условием, которое обеспечивает подобие связей подсистем
(или, что одно и то же, подобие всех сходственных элементов, являющихся
общими для подсистем), будет подобие граничных условий у систем А и В.
В самом деле, при реализации упомянутого выше условия «пограничного» подо-
бия появятся три следующих условия, выраженные в критериальной форме;

^общ Фобщ	?общ 4*общ

;	=	~	~	= яб»

Ф1	^общ тобщ

^общ ^общ

=	= л?.

п	п	*

?!	+2

Эти три критерия легко преобразовать, получив критерий лц. В самом деле,

/ *

У1 _ я5

ф'	Л7

п

^общ	Л5

	=	' Я 5 = Я 4.

?общ	Л7

Это подтверждает сформулированное выше условие подобия.

Первое дополнительное положение иногда удобно сформулиро-
вать в следующей форме: две независимые системы (а', а"), по от-
дельности подобные двум другим (д', Ь") системам, будучи сходст-
венно соединены друг с другом (см. рис. 1.2) через третьи системы
(с, д), образуют две новые, сложные системы (А и В), которые бу-
дут подобны, если только соединяющие системы подобны друг другу
(с подобна д). При этом в соединяющие системы входят как общие
элементы соединяемых систем, так и элементы, относящиеся только
к системам соединения.

Из приведенной формулировки следует, что если в какой-либо
системе-модели присоединить натуральные устройства регуляторов,
защитные и измерительные приборы и другую аппаратуру, то си*
стема-модель, включающая эти устройства, будет подобна системе*
62
оригиналу при условии со-
хранения подобными усло-
вий их присоединения. Часто
подобие условий присоеди-
нения выдерживается толь-
ко приближенно, обеспечи-
вая подобие потребляемой
мощности и тех входных дан-
ных, которые являются наи-
более существенными для
конкретного изучаемого про-
цесса.

Следствие первого дополни-
тельного положения. Подобные
сложные системы остаются подоб-
ными после любых упрощении, ес-
ли только эти упрощения были
проведены в системах (Д п В)
соответственно одинаково.

Упрощения сложных систем
оказываются совершенно необхо-

Рис. 1.3. Подобие трех (а, б, в) нелинейных
зависимостей при выражении их через ба-
зисный параметр и представлении на обоб-
щенной (г) характеристике (Р*»):

Р*н=Р/Рб, Р*ГР?Р/б

димыми для построения практической теории их работы и для моделирования.
Как правило, преобразования, существенно упрощающие изучаемые системы,
приводят к искажению процессов, протекающих в этих системах; так, в динами-
ческих системах замена двух или нескольких элементов одним (эквивалентиро-
вание) приводит к уменьшению числа степеней свободы и т. д.

В настоящее время еще не разработаны общие приемы, с помощью которых
было бы возможно с заданной степенью точности упрощать исследуемые систе-
мы. Поэтому реализации в модели упрощенного представления системы должна
предшествовать оценка упрощающих преобразований в системе-оригинале. Здесь
возможна как расчетная оценка упрощений, так и экспериментальная проверка;

существенным для производственных систем оказывается также опыт эксплуата-
ции. Следствие первого дополнительного положения позволяет представлять на
модели упрощенные системы, и, наоборот, по опытам на полных и упрощенных
системах, поставленных на моделях, можно судить о влиянии упрощений на про-

цессы, происходящие в оригинале.

Б. Второе дополнительное положение.
О подобии нелинейных систем

Все теоремы :и условия подобия, справедливые для систем различ-
ной сложности, могут быть распространены на линейные системы
или 'системы с переменными параметрами, если выполняются ус-
ловия совпадения относительных характеристик сходственных па-
раметров, являющихся нелинейными или переменными. Относитель
ная характеристика, пример которой показан на рис. I. , имеет
вид



где
ные

величины со звездочкой - относительные значения, выражен-
в долях от некоторого характерного базисною п р

Ра (Рб).
т.	нпппрггя которые в предположении о линейности характе-

Рассмотрнм Два процесса, которые и

ризуются уравнениями

' *	- - -	/ / \ I 1 I •

Т1 (К1,

р2

* Л *

^А» •

процессы

В критериальной форме ,
Для любого критерия л справедливо соотношение

имеют выражение /(ль Л2, ...,

Л/и—А’

т_____
/

______ГП	
я /г	п

а-

а Р	гу ш гу т

К1тП2т..-Кк	Р1 Р2

о тг р нелинейны т. е	и ?Пре-

Предположим, ЧТО /?тп И Рт НеЛИНСИНЫ, 1.	т\

образовав к безразмерному виду, имеем:

Лот = '(>*о(/?*()у?б и /’т = '?*о( *1' 6'

В силу наличия подобия характеристик 7? б/Рб Рт!Рп
Ф*о(/?»’)=<Р*о(Л) подобие не нарушается.

тп

и, следовательно, при

Сложные нелинейные системы. Можно распространить пользо-
вание относительными характеристиками 'нелинейных параметров
на более сложные системы с несколькими нелинейными параметра-
ми. Так, предположим, что т параметров исследуемого процесса
связаны друг с другом зависимостями:

(1.26а)

• ♦ • !

• ♦ >

Для каждого нелинейного параметра выберем некоторую ха-
рактерную величину, в долях от которой представим зависимости
(1.26а). Пусть эти характерные величины имеют значения:

Рю — /ю 20’ ^30’ • • * ’	^20’

^20^/20^ 10’ ^30’• • ” ^то) ^30’
А>тО==/то(^1О> ^20>---’ Р(т^о) Р

(1.266)

Тогда из (1.26а) и (1.266) получим:

ИЛИ Р*1 = /*1Р*2^

(1.26в)

(т—1)0

ИЛИ Р*2

Легко показать, что для любых подобных систем аналогичными
преобразованиями можно получить соотношения типа (1.26в) и тем
самым обеспечить подобие сложных систем, имеющих любые
нелинейности параметров.

Нелинейные преобразования при совпадении относительных
характеристик. Идея представлять нелинейные зависимости от-
Ь4
носительными характеристиками весьма плодотворна. На ней, в
частности, основываются так называемые нелинейно подобные пре-
образования. Пусть т величин (хь х2, %з, ...» %т) одной системы
(X) связаны с величинами (у\, у2, ут) другой системы (У)
функциональными соотношениями, отвечающими нелинейно подоб-
ному преобразованию вида:

*1=Ш; Ф1=^1(Ур у2,..О

=	^ = ^2(Ур У2>-^ Ут),

тУ т' Ф/п	(.У V ^2’* • •? Ут)'

Эти преобразования могут быть реализованы как нелинейно подоб-
ные, если для систем X и У выполняется условие фг = 1йеш, где
г-=1, 2, т, Оно выполняется, если для характерных величин
фго и Хго, 1, 2, т будет справедливо:

—	—	(#10> #20>»*’> УтоУ,

^20 = '?20У20’ ^20“ ^20 (^10» У<№ • • •» У т$У

^тО {^тоУтО' УтО ^'гио(У1О’ У20’• * • ’ Ут^)*

Полученные преобразования легко представить в виде относи-
тельных характеристик

.... -5!_=4_. Л-, ;=!, 2........ те

хю Фю Ум) хю Фи Ую
или

(1.26г)

Таким образом, возможен нелинейный переход от системы X к
системе У.

Нелинейные пространственные преобразова-
ния. Нелинейным преобразованием является, в частности, переход
от одной области пространства V], ограниченной поверхностью 51,
к другой области У2, ограниченной поверхностью 52. Эти области
будут нелинейно подобными, если каждой точке (х\, у\, 21) на по-
верхности 51 можно с помощью преобразования (1.26г) найти соот-
ветствующую точку (х2, у2, 22) на поверхности 52.

Если функции преобразования имеют постоянные значения
фх2 = ^.х = соп81, фу2=ту = сопз1, фг2 = тг—сопз1, причем тх#=
то области V] и У2 и соответственно поверхности 5; и
52 будут аффинно подобными, а при тх = ту = т2 они превратятся
в геометрически подобные области.

В. Третье дополнительное положение.

О подобии анизотропных иди неоднородных систем

Условия подобия, справедливые для изотропных систем, которые
характеризуются одинаковостью физических свойств (электропро-
водность, теплопроводность, упругость и т. п.) по всем координа-

3—580

65
там

тям (х и г) внутри данной системы, могут быть распространены
и на анизотропные системы, имеющие неодинаковые свойства по
различном направлениям. При этом относительные анизотропии
в сравниваемых системах должны быть соответственно одинаковы.
Условия подобия, справедливые для однородных систем, могут быть
распространены и н! неоднородные в том или ином смысле систе-
мы ести только относительная неоднородность в сравниваемых си-

стемах соответственно одинакова.

В свою очередь, однородные системы или их элементы обладают
одинаковыми по величине физическими параметрами. Например,
однородная линия электропередачи имеет по всей длине один и тот
же диаметр проводов, одно и то же расстояние между проводами
и т. д.; неоднородная линия имеет различные величины сходствен-

ных параметров.

Если система обладает неоднородностью, зависящем от пара-
метров процесса (или анизотропией), то ее можно рассматривать
как нелинейную систему с параметрами, изменяющимися во вре-
мени и в пространстве или только в пространстве. Третье дополни-
тельное положение в этом случае не является принципиально от-
личным от второго.

Подход к установлению условий подобия систем, обладающих
неоднородностью и анизотропией, остается в любом случае таким
же, как и подход к нелинейным системам.

Г. Четвертое дополнительное положение.

О подобии физических явлений
при отсутствии геометрического подобия

В системах, геометрически не подобных, но имеющих нелинейное
подобие пространства (подобных, например, аффинно), процессы
могут быть физически подобны, имея в сходственных точках
пространства подобные изменения параметров процесса.

Здесь различаются два случая:

Нелинейные пространственные преобразования. Предположим,
что распределения полей в области и соответственно в области
2 могут быть представлены непрерывными функциями

гх) и Р2=/\,(х2, г/2, г2),

ь	— пространственные координаты области 1А- Хо и

КХ±аС™ Ч““""ейно "одоб'«й о«ласС™у,ь Хг' У
мк р * ие полеи подобно соответствующему

сираведлгао емтаэдеяТ “ок™и™ш ™ек областей V

распреде-

1 и У2

Р2 = <р2Р

где

’ЬМИ*!, г/р г,).
Представляя записанную выше связь в виде относительных ха*
рактеристик, получаем

где

— ^2^20’ Ф*2 = ’ЫФ20’ Р*1 = Р\1Руу

Таким образом, процессы, не удовлетворяющие условию
— трР[, могут оказаться подобными при установлении между их
переменными Р2 и Рх нелинейной связи Р*2 = ф2^*ь

Нелинейное подобие какого-либо явления другому явлению оз-
начает нелинейно подобное преобразование величин, характеризу-
ющих первое явление.

Преобразование переменных полей в нелинейных пространствах
при нелинейной гомохронности. Кроме нелинейного подобия про-
странственного распределения полей возможно и нелинейное пре-
образование временных функций, осуществляемое введением нели-
нейных масштабов времени. При этом время протекания процесса
1\ в первой системе будет связано с временем во второй системе
соотношением

где Р1 — функция преобразования времени, или функция нелиней-
ной гомохронности.

Если ввести некоторые базисные значения времени (Ло, Ло)» в
долях от которого вести исчисление, то будет справедливо соотно-
шение

где

При принятых выше условиях некоторая непрерывная во вре-
мени и в пространстве функция

Ур ^р Л

может быть связана с другой функцией

Р2 — р2	^/2» ^2» ^2)

соотношением

Р2 = ф2(Р1) или	=

где ф2 или Р^1 — функция нелинейного преобразования.

При наличии такой связи имеет место пространственно-времен-
ное нелинейное подобие, частным случаем которого является аф-
финное подобие пространства.
. Пятое дополнительное положение.

Об условиях подобия при вероятностном характере
изучаемых явлений

Все теоремы и условия подобия, относящиеся к детерминированно
заданным системам, будут справедливы для стохастически опреде-
ленных систем при условии совпадения у этих систем плотностей
вероятностей сходственных параметров, представленных в виде от-
носительных характеристик. При этом дисперсии и математические
ожидания всех параметров (с учетом масштабов) должны быть у
подобных систем одинаковыми. Дополнительным условием подобия
является выполнение требования физической реализуемости сход-
ственной корреляции между стохастически заданными параметра-
ми, входящими в условия однозначности.

Можно упрощенно показать правильность * пятого дополнительного положе-
ния, вводя в условия подобия детерминированных систем относительные стоха-
стические характеристики соответствующих параметров. Наличие стохастических
зависимостей при этом можно рассматривать как появление своего рода нелиней-
ностей и на этой основе распространять на данный случай выводы второго до-
полнительного положения.

Е. Некоторые особые виды подобия

В процессе развития и совершенствования методов и средств по-
знания моделирование, как научное понятие и как рабочая мето-
дология исследователя, приобретает новые формы и подвергается
обобщению. Так, подобие распространяется на различные явле-
ния, по обычным представлениям неподобные. Считают подобными
явления, описанные не одинаковыми, а только в том или ином смыс-
ле эквивалентными уравнениями, причем эта эквивалентность
может достигаться искусственно за -счет нелинейно подобных пре-
образований параметров уравнений. Методы подобия при этом на-
чинают применяться уже не только как средство, направляющее
постановку эксперимента и облегчающее обработку его результа-
тов, но и как средство, облегчающее решение уравнений.
9*

Иногда авюры, рассматривающие и вводящие в научный обиход эти новые
< осе быг. виды подобия, претендуют на совсем новую (в отличие от обычной,
которую они называют «классической») теорию подобия, что неправильно, так как
все виды подобия и моделирования должны базироваться на основах теории
подобия, используя критериальные зависимости, которые в этих «особых» слу-
чаях или скрываются за новой терминологией, или за недостаточно глубоким
проникновением в суть проблемы. Сказанное отнюдь не означает, что теория по-
* должна совершенствоваться и развиваться. Напротив, такое развитие

Квазиподобие, Обычно при установлении подобия рассматриваются такие
кото^ые хаРаюеризуются одинаковыми по форме дифференциальными
имеют одинаковую природу описываемых явлений (физическое
датирование) или отличаются друг от друга природой явлений (аналоговое

Веников. Подобие

Более строгое доказательство имеется в работе: Г. В. Веников. Подобие
ст хаотически определенных физических систем. «Известия АН СССР Энерге-
тика и транспорт», 1968, № 1.	’	
моделирование). Однако первая теорема о подобии справедлива и в более
.сложных случаях, когда уравнения процессов неодинаковы, но введение пере-
менных масштабов для параметров исследуемых процессов, времени или
пространства (или одновременно для параметров, времени и пространства) дает
возможность установить соответствие между процессами оригинала и модели.
Разумеется, выбор любого, в том числе и переменного, масштаба фактический —
«материальный» — процесс не изменяет, но его восприятие исследователем
после корректировки переменным масштабом изменяется в нужном направлении

Вернемся снова к рассмотрению уравнений (1.2) и (1.4). Предположим, что
в (1.4) отсутствует член Ф] и, следовательно, после приведения уравнения к
безразмерному виду получается на один критерий меньше, чем в уравнении (1.2),
Предположим, что формально выбором переменного масштаба для одной или
нескольких величин в (1.5) можно так воздействовать на член Ф^ФП, чтобы

?1/'Рл + 'Р;/?я = Ф;/Фя.

Тогда уравнение (1.2) и формально преобразованное введением переменного
масштаба уравнение (1.4) будут состоять из одинаковых членов, что обеспечит
подобие восприятия процессов, описанных уравнением (1.4), процесс
сам, описанным уравнением (1.2). Иногда при этом сами масштабы играют роль
критериев подобия, обнаруживая подобие явлений.

В понятие квазиподобия можно включить и все виды нелинейного подобия,
условия которого определяются основными теоремами о подобии и вторым до-
полнительным положением.

Эквивалентное подобие. В последнее время в различных случаях пользуются
понятием эквивалентного подобия, при котором решения различных уравнений
при определенных преобразованиях, например выборе нелинейных масштабов
для параметров процесса, выражаются одинаковыми функциями. Здесь, таким
образом, сочетаются нелинейное подобие и квазиподобие. Результаты переработ-
ки информации о процессах также в каком-то определенном смысле могут быть
одинаковыми. Рядом таких преобразований стали пользоваться очень широко,
выявляя эквивалентность сравнением результатов переработки исходной инфор-
мации. В частности, вводится понятие подобия алгоритмов, устанавливаемого на
основе сопоставления выраженных в относительной безразмерной форме реше-
ний, которые получаются по этим алгоритмам. Если решения, полученные по
сравниваемым алгоритмам, отличаются на некоторую величину, несущественную
в данной задаче, то можно говорить о приближенном эквивалентном подобии.
Иногда можно воспользоваться численными критериями подобия (1.13). Сформу-
лируем положение об эквивалентном подобии алгоритмов: алгоритмы эквива-
лентны, если эквивалентны в том или ином смысле результаты переработки ин-
формации по этим алгоритмам.

Положения об эквивалентном моделировании и его критериях разработаны
еще недостаточно и нуждаются в уточнениях. Однако безусловно, что при со-
ставлении алгоритмов и тем более при сопоставлении их между собой необходи-
мо представление всех исследуемых зависимостей в критериальном виде.

Функциональное подобие. Этот вид подобия считается обеспеченном, если
-сопоставляемые объекты обладают в том или ином смысле одинаковыми функ-
циями, имея даже и неодинаковые по своей природе внутренние связи. Наличие
определенных, хотя и не всегда сформулированных математически, показателей
позволяет распространить на эти случаи две теоремы о подобии и отыскивать
подобие у функций, заданных как входы и выходы «черного ящика» и обобщен-
ных в виде безразмерных величин. Дальнейшее развитие функционального подо-
бия приводит к новому, более сложному его виду — подобию кибернети-
ческому.

Кибернетическое подобие. Обычно понимается как наиболее широкий вид
подобия, условием которого является требование, чтобы подобные объекты обла-
дали подобной реакцией на изменения внешней среды и подобной структурой
управления при помощи эффекта всех существенных для изучаемого явления об-
ратных связей.

Иногда в литературе, говоря о функциональном и кибернетическом подобии,
ограничиваются чисто качественным подходом. Так, для самолета, рассматривав-
........ как модель птицы, существенно, что он обладает свойством летать; мышь
Шеннона подо^ а настоящей мыши способностью передвигаться и отыскивать
электрический или магнитный эквивалент сала. Здесь часто критерии подобия (в
смысле формулировок, которые дают теоремы о подобии) совершенно не выяв-
“ются Однако при дальнейшем развитии функционального и киоернетического
подобия необходимо переходить к количественной оценке изучаемых явлений, что,
в частности требует применения теории подобия, двух ее теорем и дополнитель-
ных положений, а также введения безразмерных относительных критериев. Их
Форма на разных этапах развития методов функционального и кибернетического
подобия может быть различна. Иногда кибернетическое подобие разделяют на
функциональное и структурное. Однако кибернетические задачи не имеют своей
конечной целью выявление структур, которые если и рассматриваются, то только
как вспомогательное средство для исследования функций. Поэтому в основу ки-
бернетического подобия естественно положить концепцию «черного ящика», не
стремясь к раскрытию его структуры. Заметим, что поскольку кибернетическое
подобие оперирует с обобщенным понятием информации, то оказывается воз-
можным выделить в нем информационное подобие. Под этим видом
подобия обычно понимают подобие отдельных этапов переработки информации
при одинаковом количестве осведомляющей информации и коэффициентов ее
полезности.

Интегральное подобие. Выше упоминалось, что обычное или, как его иногда
называют, «классическое» понятие подобия претерпело ряд изменений. Так, в
последнее время появились понятия нелинейного подобия и нелинейных преобра-
зований пространства, условно-подобных процессов (квазиподобие), а также ки-
бернетического подобия, которое требует подобных реакций на изменение внеш-
ней среды при подобном действии обратных связей. Интегральное подобие было
предложено для исследований нелинейных систем и систем с переменными пара-
метрами. Здесь для установления подобия существенны не соотношения между
текущими (мгновенными) значениями параметров изучаемых процессов, т. е. не
соотношения между отдельными величинами («точками»), характеризующими
процесс, а соотношения между их функциями («областями») или функционалами.
Под функционалом понимается числовая функция, определенная на некотором
пространстве. Это переменная величина, зависящая от функции (линии) или не-
скольких функций. Примером функционала может быть площадь, ограниченная
замкнутой кривой заданной длины, или работа силового поля вдоль того или
иного пути и т. д. В качестве математического аппарата интегрального подобия
применяется функциональный анализ, для которого характерны рассмотрение
явлений на бесконечно малых пространствах, представленных, например, функ-
циями последовательностей, и проведение операций над элементами таких про-
странств. Эти пространства, или области, при интегральном подобии можно
искусственно сконструировать исходя из параметров рассматриваемой системы и
происходящих в ней процессов. Как области их нужно определять по интеграль-
ным показателям, полученным на основе характеристик систем. Понятие функции
области при описании физических явлений является более гибким, чем обычное
понятие функции точки, (При экспериментах, в сущности, никогда не наблю-
Даегся функций точек, а всегда среднее от этих функций в некоторой малой
о ласти ) Все это делает метод интегрального подобия весьма перспективным,
днако пока практическая неразработанность затрудняет его применение. Очень
ру о можно пояснить идею метода на примере сопоставления электродинамиче-
п	Не П° ток?м и полям, а по выделяющемуся теплу в одной системе и

$ и. десь подобие устанавливается на основе простейших интегральных
] показателей. Выделяющееся тепло является как бы некоторой новой
ле °сСоыюшенияП(^Д^пЯеМЫХг систем, которые могут быть неподобными в смыс-
ПОЛЯЛПИт к ИПА * и Ду токами, полями и т. д.). Пример этот, конечно, только
нее по 4ятемйтипСНТеГраЛЬН0Г0 подобия> так как оно несравненно глубже и слож-
нее по математическому аппарату.	7

нат	ЧГ° интегрйльное подобие означ.ает введение новых коорди-

п псРеменных> ДЛЯ рассмотрения явлений. Именно в этих новых
другу ТеооемыЛплппГие интегРальные функции оказываются подобными друг

р Д ия при интегральном подобии также применяются, но они
70
требуют не пропорциональности параметров режима, а соотношения между функ-
ционалами (областями). На основе подобия интегральных функций могут не
только устанавливаться общие свойства интегрально подобных систем, но и
уточняться некоторые свойства конкретных систем с выявлением соотношений
между обычными («точечными») параметрами. Важно, что эти методы прило-
жимы и к системам, обладающим нелинейностью, для которых установление по-
добия представляет определенные трудности.

§ 1.4. СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТЕРИЕВ
ПОДОБИЯ

В соответствии с приведенными в § 1.2 теоремами подобия Крите-
рии подобия определяются в основном двумя способами.

Первый заключается в приведении уравнений физического
процесса к безразмерному виду; следовательно, чтобы применять
его, нужно иметь уравнения исследуемого процесса.

Второй способ базируется на применении л-теоремы. Им мож-
но пользоваться и в случаях, когда известны только параметры,
участвующие в исследуемом процессе, а уравнения процесса неиз-
вестны.

На практике пользуются также третьим способом относи-
тельных единиц, являющимся модификацией этих двух спосо-
бов. При этом все параметры выражаются в долях от определен-
ным образом выбранных базисных величин. Наиболее существен-
ные параметры, выраженные в долях от базисных, можно
рассматривать как своего рода критерии подобия, действующие в
данных конкретных условиях. Рассмотрим определение критериев
подобия указанными способами.

А. Определение критериев подобия путем приведения
уравнения к безразмерному виду
(способ интегральных аналогов)

Данный способ является наиболее простым и поэтому часто при-
меняется на практике. Он основывается на известном свойстве фи-
зических уравнений, которое состоит в том, что все члены уравне-
ния физического процесса имеют одинаковые размерности относи-
тельно основных единиц измерения. Напомним, что рассматривае-
мый способ применяется не только к алгебраическим, но также
дифференциальным и интегральным уравнениям, поскольку опера-
ции дифференцирования и интегрирования не влияют на однород-
ность уравнения. Наличие в уравнении физического процесса не-
однородных функций не влияет на однородность уравнения в целом,
поскольку по отношению к размерным членам уравнения неодно-
родные функции представляют собой безразмерные коэффициен-
ты. Очевидно, что уравнение после деления на любой из его чле-
нов приводится к безразмерному виду. Опуская в полученных без-
оазмерных членах уравнения символы дифференцирования и
интегрирования, а также исключая из записи имеющиеся неодно-
родные функции, можно полученные таким образом выражения
Ом первую теорему) считать критериями подобия.

В общем случае уравнение физического процесса имеет вид

(1-27)

где	рт) - однородная функция параметров

элементов системы, а также и параметров процесса и их произ-
водных.

При этом число полученных (посредством деления на один из
членов) из уравнения (1.27) критериев на единицу меньше числа
членов уравнения, т. е. равно п—1. Форма записи этих критериев
различна в зависимости от того, на какой из членов уравнения
делятся остальные члены. Число Ру возможных форм записи
(л—1)-го критерия равно числу членов уравнения:

Если в уравнении процесса имеются неоднородные функции, то
к критериям, найденным путем деления на один из членов уравне-
ния, необходимо добавить еще а критериев — аргументов неодно-
родных функций. В дальнейшем изложении критерии, полученные
посредством операции деления, будем называть основными, а кри-
терии, включающие аргументы неоднородных функций,— дополни-
тельными.

Таким образом, для определения основных критериев подобия
из уравнения, содержащего п членов, в какой-либо из п возможных
форм записи необходимо произвести деление членов уравнения на
какой-либо из них, отбросив затем символы дифференцирования и
интегрирования, а также неоднородные функции. К полученным в
результате этих операций п—1 основным критериям необходимо
присовокупить а дополнительных критериев — аргументов, входя-
щих в члены* уравнения неоднородных функций. Общее число кри-
териев К, найденных способом интегральных аналогов, будет

Х=(л^1)+а.	(1.29)

В качестве примера рассмотрим определение критериев подобия для случая
вынужденных механических колебаний с демпфированием. Пусть груз массой М/
рис. А) колеблется на пружине жесткостью с, причем при перемещении его на
расстояние / в вязкой среде появляется сила сопротивления, пропорциональная
корости V . гс== ду. На груз действует возмущающая сила	ы1. Диф-

ференциальное уравнение имеет вид

4- К'41141 4- с1 = Г з!п ш/.

Разделив все члены

Ньютона	два

уравнения на первый член, получим известный критерий
критерия, определяющие связь коэффициентов К, с, Мд
и времени /:

Л/2	Щ	с(2

Я1 = ЯМе-	, Л<2—	, я3=—,

а также дополнительный критерий (гомохронно-
сти) Л4=яно = <оЛ Последний критерий имеет
смысл только при условии, что воспроизводится
изменение силы именно по синусоидальному
Закону.

Заметим, что согласно второму дополнению о
подобии (см. § 1.3,Б) подобие не нарушится, если
дюбые участвующие в процессе параметры систе-
мы (коэффициенты К$) будут нелинейны при оди-
наковых соответственно относительных характе-
ристиках в модели и оригинале.

С

Рис. 1.4, Подобие механи-
ческой системы;

с — жесткость пружины, Г* —
сила, создающая возмущение,
/=«. — сила сопротивления

Б. Определение критериев подобия на основе
анализа размерностей (л-теоремы)

Для определения критериев с помощью л-теоремы необходимо:

1)	выявление т параметров Ръ Р2, Рь ...» Рк> Р$> Рт, ко-
торые характеризуют изучаемый процесс;

2)	составление матрицы размерностей т параметров;

3)	установление числа к независимых между собой параметров;

4)	представление описания изучаемого явления в критериаль-
ной форме (1.21);

5)	составление выражений пг—к критериев подобия во всех
формах записи.

Рассмотрим подробнее перечисленные операции, иллюстрируя их ранее при-
веденным примером нахождения критериев подобия механических колебаний.

Участвующих величин будет семь (т=7):

Р1 = Л4/, р2 = ш; Р3 = Р; Р4 —

Р$ =	Р$~с\ Рч ~

Функциональная зависимость, подлежащая исследованию, имеет вид

Р» Л 0 — 0.

(1.30)

Выберем три (6 = 3) независимых единицы применительно к системе измере-
ний ЬМТ. Пусть Р1=М/, Р2 = <оо, Р$=Ро> Тогда на основании (1.30) система
уравнений (Ы5) примет вид:

[Л4У] - [адТО

[<о] = [Л!]0[Л]0[Г]-1;

[5] = ри][г][тг2.

Остальные четыре (т=7) уравнения имеют вид:

[/]-[Л1]0[г][Т]0;

[/(] = [Л4][Д]0[Г]-1;

И^ладоИ]-2;
Проверим правильность сделанного выбора числа независимых параметров
(ЬЗ), составив матрицу размерностей уравнений (1.3):

т. е. ^1-3^0, следовательно, значение к = 3 выбрано правильно и величины
т, со, Р действительно независимы.

Нахождение критериев подобия заключается в определении формы записи
их согласно уравнению (1.22) и далее в отыскании значений показателей степени

•••»	•••» ^5 *

Применительно к данному примеру будем иметь:

_ [Л . „____________________________ГАГ] .

Л] —	,	,	, > я2	,	,	, '

„_____________и . п____________________и

Лз —	,	,	, > Л4 —	,	(	.

Определить значения а5, у', ..., можно двумя путями

1. В соответствии с (1.18) необходимо составить определитель О порядка А
из размерностей параметров, участвующих в процессе. Найти согласно (1.20)
определители а затем определить

Р; ... ;	= 2)^/1).

В данном случае запишем

1 0	0

0 0—1

1 1 — 2
0 1	0

1 0 —1

1 0 — 2

0 0	1

После проведения указанных операций найдем численные значения:

$ простых случаях, к которым относится рассматриваемый пример» ока-
зывается более удобным другой путь, не требующий операций с определителями,
ыражая все величины, входящие в критерии подобия, через основные единицы
измерения и переходя от (1.22) к (1.23), найдем из простейших уравнений пока-
затели размерностей а', ...,	.
Для рассматриваемого примера

откуда, приравнивая показатели
лителе и знаменателе, получим:

одноименных основных величин, стоящих в чис-

1 = при [Д];

О == а; + 1;	= — 1 при [Л4];

0 = — Рг — 2; 0' = — 2 при [Т].

Аналогично,

Л2= ____________ .

[2И]ак-[Г]_₽к[Л1]₽’к[Д]ел:'[Г]“25к

Далее, приравнивая показатели при [Д], имеем ^к,=0, следовательно,

“ ?№ ~ ~~ 1 •

Точно так же
„_____________________________ГА4][Г]-2_________

Л3 ~~	/	Л	,	•

Очевидно, С = 0, — 0' — 2?' = —2; 0' = 2; а' + $' = 1; а = 1.

Согласно выражению для

	[П	
л4 — л /______________/	/________/

а, —0/	Ь -2$,

[Л1] 1[Т] '[Л4] <[Д] '[Г]	(

имеем:

6/ = 0;	= 0» 0^ = 0; — 3/ — 2^=1; 3/ =я= —1.

Следовательно, как первый, так и второй путь приводят к совершенно оди-
наковым критериям подобия процесса:

Л4/о>2	/<	С

«1 ?=--—— ; Я2 = ~ I л3 —	1 9‘ > л4 —

Полученные критерии можно преобразовать по форме и сделать эквивалент-
ными по записи найденным ранее при анализе уравнения движения. Поскольку
любые произведения критериев есть также критерии, запишем:

9	ф2/2Г П2	,

к ' 4	М}1	1	ЛЬ

2	Сю2/2	с/2	,

я^='лъ^' = 1ГГ = ,^3•
я

Пои весьма громоздких выражениях и очень большом количе-
стве участвующих величин первый путь нахождения критериев бо-
лее целесообразен, так как позволяет осуществить формализацию,
составить программы и применить ЦВМ.

Рассмотрим один из возможных вариантов структурной схемы программы
(оис 1 5) В качестве исходных данных используется полная матрица размерно-
ИЛ|| размеров тХд. Счет начинается с вычисления определителей 9-го по-
стен маразм и	возможны два случая: либо существует хотя бы

пялка	блок /. одесь возможны	\

один определитель	либо все определители Г>ч=О(/г«7).

В первом случае осуществляется переход к вычислениям по программе бло-
ка //, которая позволяет вычислить определители й для всех	Затем

вычисляются значения показателей степени а, ... 0, ...,	... (блок III)

• ?

для всех форм записи с выдачей их на печать.

Во втором случае осуществляется переход к вычислениям по программе
блока /К, согласно которой выявляются все не равные нулю определители
/л_1)-го порядка (Р7"1)- $ отличие от блока I программа блока IV содержит

подпрограмму вычисления определителей, составленных из столбцов частичной
матрицы ||В||, Перебор столбцов каждой частичной матрицы ||В|| ведется до тех
пор, пока не встретится определитель, не равный нулю. Если такой определитель
найден, то 1. Если же все определители Ря-^0, то к<д— 1,

При ^=<7—1 по программе блока V вычисляются определители

для	0. Блок V аналогично блоку IV содержит подпрограмму перебора

определителей.
Дальнейший расчет производится по программе блока Ш. При к <а—\
и т. д. последовательность расчета остается той же, что и ранее, с той лишьпаз-
ницеи, что программы последующих блоков должны осуществлять вычисление
определителей каждый раз на порядок ниже предыдущего с учетом размеров
частичной матрицы ЦВ||. В предельном случае расчет по правой ветви заканчи-
вается вычислением определителей /)2 и О 25 второго порядка, после чего следует
расчет опять по программе блока III.

Конкретные значения т и д определяются кругом задач, наиболее характер-
ных для данной ооласти исследований. Наибольшее значение <? = 6 при использо-
вании Международной системы единиц (СИ), а значение т может быть любым.
Однако в практически встречающихся случаях т=10-?-15, если учитывать только
параметры, имеющие неодинаковые размерности. Практически достаточной
является программа, составленная для = 5 и т=15.

Итак, с помощью ЦВМ можно в любых сложных задачах быстро опреде-
лять все возможные формы записи т— к критериев подобия.

В. Определение критериев подобия применением
системы относительных единиц*

Возможность применения этого способа определения критериев
подобия вытекает из следующего утверждения, которое является
следствием основных теорем подобия: если параметры, характери-
зующие одно явление (Р/), выражены в долях от некоторых
определенным образом выбранных базисных величин (Ра'). а для
второго явления сходственные параметры (Р^) выражены в долях
от базисных (Рб27) величин, выбранных таким же образом, то при
равенстве относительных значений сходственных параметров
(Р^ = Р//Р^' = Р^Рчь) первое и второе явления могут быть
подобны.

Пусть имеется явление, которое описывается в общем виде урав-
нением

Выразим параметры Рь Рт в относительных единицах, при-
няв за базисные соответственно Рщ, Рта. Согласно л-теореме
только часть характеризующих явление параметров, а именно
являются независимыми, остальные же т—к параметров зависимы.

* Идея этого метода заключается в том, чтобы для каждого изучаемого явления
построить свою систему измерений, например для синхронной машины время
отсчитывать не в секундах, а в долях от синхронной скорости, и т. д. А ожно
при изучении колебаний (см. стр. 72) ввести, например, вместо I величину
т = /УЛ7ЛЪ, записав уравнение движения в безразмерном виде:

<Р1 к (И

+ V ах

где = ю

С

В некоторых работах хорошо известные преобразования такого ₽°да
называть «нормализацией уравнений», преобразованные параметр	.

(т вместо I и т. д.) - «естественными координатами» исследование
записанных в системе относительных единиц, ~ «фракционным ана.тизом»
и т. д„ пытаясь этим новым терминам придать какой-.го особый смысл, «дна
ко все свойства этих в ряде случаев весьма удобных и по. ‘
ниц обусловлены только свойствами системы относительных ед

П
Аналогичное утверждение, конечно, справедливо и для базисных
величин, поскольку их размерности совпадают с размерностями
соответствующих параметров. Поэтому из /и базисных величин
только А’ величин, соответствующих независимым параметрам, мо-
гут быть выбраны произвольно. При этом необходимо, чтобы ос-
тальные т—е базисных величин удовлетворяли соотношениям типа
(1	। (1.20). т. е. чтобы построение системы базисных величин

отвечало пост роению той системы единиц, в которой измерены
участвующие в явлении величины (Р)> а следовательно, и базисные
величины.

При этом:

1)	если в принятой системе единиц имеется к основных единиц,
то нельзя выбирать независимо более базисных величин;

2)	если в явлении участвует более к взаимосвязанных величин,
то не всякие к базисных величин могут быть выбраны независимо.
Признаком независимости величин является равенство нулю опре-
делителя (составленного из показателей размерностей этих вели-
чин ।:

3)	если нет равного нулю определителя к-го -порядка, то коли-
чество независимых базисных величин должно быть меньше к, что
также устанавливается с помощью соответствующего определителя
,к—1)-го порядка.

Из сказанного вытекает последовательность определения крите-
риев подобия, выраженных в относительных единицах:

1)	выбор к независимых базисных величин, соответствующих
принятой системе измерения;

2)	проверка правильности выбора базисных величин путем вы-
явления числа независимых между собой параметров и выбора од-
ной из возможных комбинаций;

3)	определение пг—к зависимых базисных величин исследуемо-
го процесса;

4)	запись всех т параметров исследуемого процесса в относи-
тельных единицах.

Число критериев подобия, получаемых данным способом, равно
чи< лу безразмерных параметров т—к.

Следовательно, только равенства всех параметров, выраженных
в . <но<-цельных единицах, еще недостаточно для того, чтобы име-
ло ь подобие явл ний. Поэтому выраженные в относительных еди-
ницих параметры становятся критериями подобия только при со-
лю ении указанных выше дополнительных условий, накладывае-
мых на выпор оазисных величин.

I. Особениости определения критериальных
и ма<ли/абных соотношений при нелинейности,
н* । породности и анизотропии

Дополнительные

к,,,..	. сложения о подобии распространяют действие

необход! пп«а ВСе РассмотРеннь1е случаи, позволяя находить
. *• я практики соотношения. Формулировка условий
Рис. 1.6. Примеры не-
линейного подобия:
а__геометрическая фи-

гура (треугольник); б —
нелинейно подобный де-
фор М и Р о в а II н ы й	гр е -

угольник; в — цилиндр,
г__нелинейно подобное

цилиндру тело

подобия может быть дана в следующей форме: если нелинейные
дифференциальные уравнения описывают процессы в нелинейно по-
добных системах, то эти уравнения могут быть представлены так,
что: а) нелинейные параметры выражаются относительными харак-
теристиками, причем критерии подобия, найденные обычным поряд-
ком, будут соответственно одинаковы; б) нелинейные относитель-
ные параметры явлений удовлетворяют тождественным замкнутым
системам уравнений, записанным в нелинейно относительной форме.

В случае «а» дифференциальные уравнения подобных процессов
должны иметь одинаковую форму записи, а их нелинейные пара-
метры, входящие в соответствующие члены уравнений и выражен-
ные в относительных единицах, должны быть соответственно оди-
наковы. Эти нелинейные параметры могут быть представлены отно-
сительными характеристиками тр(Р*). Если характеристики выра-
жены графически, то они должны быть полностью идентичны. При
представлении их в виде ряда (полинома) необходимо каждый
член его (кроме нулевого) рассматривать как дополнительный
критерий подобия. Для того чтобы убедиться в наличии подобия,
нужно сначала, считая уравнения линейными, найти критерии по-
добия, а затем проверить тождественность относительных характе-
ристик нелинейных параметров или совпадение дополнительных
критериев.

В случае «б» уравнения могут и не содержать нелинейных па-
раметров, но должны принадлежать к различным классам и иметь
различное буквенное выражение. Чтобы выявить подобие, требу-
ется нелинейно подобное преобразование.

примера нелинейное пространственное
(рис. 1.6, а) являются нелинеин

'[ соответствуют точкам

Приведем в качестве поясняющего
подобие (рис. 1.6). Отрезки линий гд — й
ственными линиям — *2 (рис. 1.6, 6). Точки ц, ёь ’П
/2. ёъ //г- Уравнение для в1— й
уравнение для е2 — '2

(2)

Преобразуя уравнение (1) из области Л к области Б с помощью нелинейной
преобразующей функции *, получим

+ Гу —

где А] и }’1 — преобразованные в область Б значения хь у\.
Приближая (1) к форме (2), получим

ф> нкции нелинейного преобразования, обеспечивающие подобие нелинейных фи-
гур, имеют вид:

»

Рх = 2/] ЛХ1 и Бу = 2/)А/1 •

Придавая X] и у\ некоторые конкретные безразмерные значения, можно рас-
сматривать полученные соотношения как критерии подобия. Таким образом, ко-
ординаты точек фигур, показанных на рис. 1.6, а, б, нелинейно связаны соотно-
шениями:

^2 = Фх2^Ь ^2 = Фу2«/1,

где Фл-2 = Лг(*1> У1)',

<Ь/2 — ?У (х1>



В данном случае

х2 = 2]/ хб

^2 = 2]/71-

Таким образом, устанавливается подобие (нелинейное) между такими «не-
похожими фигурами, как цилиндр и тело, показанное на рис. 1.6, а.

Другим примером нахождения критериев подобия при нелинейности могут
быть рассмотренные ранее вынужденные механические колебания с демпфиро-
ванием. Предположим, что коэффициент демпфирования К нелинейно зависит
от V:



Предположим также, что эта нелинейная характеристика задана графически.
'$ 13ическнх и практических соображений установим некоторые характерные
(Оол-.^ные) значения |/< = Л6( 1/=Иб). Рассмотрение нелинейной характеристики,
ГТ' явленной в отосительных единицах, указывает на наличие дополнительно-
го (о-го) критерия подобия, учитывающего нелинейность:

При другом подходе зависимость /<=Пц)
многочлена вида	’

представлена в виде степенного

К = Ко — К\у + К^2 — К3^3...( — 1)пКг1уп

(1.32)

* Выполняется подстановка Х^х^; У{=ух)Р

80
>

система Ь, С; 3 — изгиб нагруженной балки

Рис. 17 К определению критериев квазиподобия-
/ — система Д, /?, С; 2	«л.

Учет подобия нелинейности сводится
нительных критериев, найденных из (1.32)

теперь к требованию, чтобы п допол-
были соответственно одинаковы:

я5 — XIV — 1бет, Я51 = ^2 = 1(1еп1,..., л" = Кпуп = Нет .

Всякое искажение характеристики К* = <р(о*),
=<Р(У*) и оригинала Л*о=ф(у*)*
подобии. Это искажение означает, что часть дополнительных критериев не
удовлетворяется.	и 1	8

ках модели К

*м

т. е. различие в характеристи-
приводит к погрешностям в

Д. Критерии особых видов подобия

Как отмечалось выше, особые виды подобия пока еще недостаточно
изучены * и основные теоремы и дополнительные положения о по-
добии не всегда удается применить. Поэтому интерес пред-
ставляют частные приемы, рассматриваемые ниже.

Определение критериев квазиподобия. Пусть имеются три систе-
мы (две электрические и одна механическая). Процессы, происхо-
дящие в системе 1 (рис. 1.7, а), как это следует из схем и уравне-
ний, нельзя подбором неизменных параметров сделать подобными
процессам, происходящим в системах 2 и 3 (рис. 1.7, б, в).

В самом деле, уравнения процессов (см. рис. 1.7) имеют вид:
для системы 1

для системы 2

(1.33а)

(1.336)

для системы 3

<Ру
(1Х2

(1.33в)

При изучении особых
теория подобия.

видов подобия в большей степени должна применяться
Примем коэффициент пересчета времени при переходе от счете,
мы / к системе 2

где а= Т/2.

Проделав

Для величины С? примем переменный масштаб
т<3(/) = О2/|21 = "г'?е“'’

опыт с системой / и далее перестроив полученную

кпивмо (Л=/(Л), с помощью масштабов и построим зависи-
мость 02=Ш), которая определяет поведение системы.

В системе 3 аналогом времени является изменение геометриче-
ской координаты х, = т(/,, а аналогом заряда <Э1 — прогиб оалки у.

кривую 41 =

При этом

у.

Покажем методику определения переменных масштабов на при-
мере подобия систем 1 и 3:

х=Е^, У'^^ЕдО^

где Е1 и Рд неизвестны.

Подставив записанные выше значения в

(1.33в), получим

^2(Лэ(?1)
г/ (1ХР^



Примем сначала для времени постоянный масштаб, т. е. =
= еъг\$\. = т1 = 1211\. В этом случае



где К=Р1(Е^.

Далее после элементарных преобразований получим

Л

2йГо сК^
РдсН\ (11\

&+“;Ф -»

Чтобы последнее уравнение стало почленно равно уравнению
(1.33а), необходимо иметь:

2^0

<И\Рд

(1.34а)

(1.346)

Из (1.34а) находится переменный масштаб:
Ец~тце0{',
I

где	1 (*0—по<-тоянная величина, зависящая от начальных

условий а — Т/2.

Из уравнения (1.346) с учетом (1.34а) можно найти критерий
_________ т(К .

подобия -	—---1с1еш, позволяющий установить, что

ЦС^~~Г

масштаб времени имеет значение

П1/-—1/ (~Гс--ао) ~7^-=СОП8{.

г \ кСг ) Р

Особенностью критерия яч является наличие коэффициента пре-
образования, устанавливающего зависимость между временем I в
одном уравнении и смещением у в другом. В связи с введением
нелинейного преобразования физически разнородных уравнений
в критерий подобия вошли величины обоих сопоставляемых урав-
нений. Можно заметить, что реализация подобия в ряде случаев
возможна при уравнениях вида

д\;‘с1хп-\-'Ь1 IX)=0;

(1.35)

с1пу с1хп

И=о,

где гр1 и г|‘2 — различные функции х. Введение масштабного соот-
ношения вида /7Тф(х) =ф1 (х)/\р2(х) обеспечивает взаимосвязь про-
цессов.

Другим простейшим примером может быть переход от изобра-
жения на шаре к изображению на плоскости, т. е. превращение
глобуса в карту. Представление об этой процедуре можно получить,
положив глобус южным полюсом на плоскость (рис. 1.8). Затем
через северный полюс и каждую точку южного полушария следует
провести прямые линии. Контуры островов, морей, рек, изображен-
ные на глобусе, будут спроецированы в контуры островов, морей и
рек на плоскости. Нетрудно убедиться, что при этом виде подобия,
называемом в геодезии стереографической проекцией,
сохраняются равными углы (но не длины!) между кривыми на по-
верхности земного шара и соответствующими кривыми на карте.

В сущности та же самая идея используется при установлении
подобия различного вида физических полей с помощью их кон-
формного преобразова ния. Так, при экспериментальном
исследовании объемного поля возникают большие трудности, кото-
рые можно снять, заменив объемное поле плоскопараллельны 1
установив взаимное соответствие значений конформно отображен-
ных полей, как это было сделано выше при превращении глобуса
в карту.

В соответствии с высказанными соображениями квазиподобие
Можно определить как наличие взаимного соответствия между урав-
нениями объекта и некоторыми уравнениями, имеющими среди сво-
Рис. 1.8. Конформное подобие между
глобусом и картой

их решений такие, которые
можно интерпретировать
(после тех или иных преоб-
разований) как уравнения,
объекта.

Заметим, что на основе
такого рода квазианалого-
вого подобия строятся уст-
ройства, называемые квази-
аналоговыми моделями, не-
обходимость в построении
которых возникает тогда,
когда не могут быть пост-
роены устройства прямой
аналогии. Разновидность
квазианалогового подобия
применяется как средство,
облегчающее математиче-
ское решение дифференци-
альных уравнений.

Определение критериев
эквивалентного подобия. До-

пустим, что исследованию
подлежит процесс, описываемый не имеющим в явной форме реше-
ния параметрическим уравнением *

(12х]с1х2-\-Ь(х) с1х]с1х-\-а1 (г) л=0.

(1.36)

В соответствии со вторым дополнительным положением о подо-
бии введением переменного масштаба для перехода от т к у можно
превратить это уравнение в интегрирующееся линейное уравнение
вида

(Г-х!с1 у2 ф- В(1х!с1 у + Ах=0.

Если г/н (т) = у, то это означает, что г/ = ф (т), а также

(1.37)

(1.38)

с1у~'Ь (т) с1х,

или д,х

Ш<1у.

Переход от (1.36) к (1.37) выполняется, если определена функ-
ция ф(т) и заданы ограничения на выбор коэффициентов А и В.
Подходя к осуществлению этого перехода как к преобразованию
подобия, необходимо провести несколько последовательных опера-
ций, обеспечивающих: введение нелинейного масштаба независи-
мой переменной; формирование упрощенного уравнения системы-
модели через введение масштабов моделирования его коэффициен-

П,дробнее см.: Д. И. Лукашевич"

«еиНЛЫХ диФФеРенциальных уравнений методом подобия? Сб
МИКИ и прочности», т. ХИ, Рига, 1966.

), К. К. Таби с. Преобразование обык-
тов, нахождение эквивалентного решения
на оригинал.

Рассмотрим эти операции.

Введем некоторые дополнительные

:(1.38):

и распространение его

учетом

соотношения с

Сделав соответствующие подстановки в (1.36), получим
_^2л; I 4 + 6 ('т)’ф	. а (т)

,-с	42	аУ ф2 Х

(1.39)

Уравнение (1.39) будет описывать процессы в модели, т е. будет
относиться к классу уравнений (1.36), если только будут выполне-
ны условия а(х)/^2 = А; —(И	следовательно, Ф(г)=

^2	1 4 ’

=—~ С	ах-\-С. Это означает, что введение нелинейного

/л Л

масштаба независимой переменной позволяет перейти к упрощен-
ной модели, уравнение которой имеет интеграл, определенный в яв-
ном виде. При этом

1 а (т)

У А	2 У а (т)

6(т)

У Л(т)

(1.40)

г

Таким образом, (1.37) можно рассматривать как модель (1.36),
если введение нелинейного масштаба приводит к уравнению связи

/л Л

Переменные коэффициенты А и В должны подчиняться соотно-
шению (1.40). Теперь можно найти эквивалентное решение х(т)
определив значение х:

(1-41)

В качестве примера рассмотрим систему, описываемую урав-
нением

0.

(1.36а)

При
/? |/д= —3//2, полученном на
к эквивалентно подобному урав-

и соотношении коэффициентов
основании (1.40), можно прийти

нению

(Рх'с1у2 — Ых/Лу + 2х=0.

(1.37а)

Решение (1.3/а) имеет вид уравнения (1.41).
Принимая во внимание, что

— 1пт, т=е^,

2

получим общее решение для моделируемой системы (1.36а).

Приведенный пример показывает, что эквивалентное подобие,
осуществляемое посредством введения нелинейного масштаба пре-
образования независимой переменной и наложения ограничений на
коэффициенты в модели, в ряде случаев может быть выполнено
относительно легко и использовано как для создания линейных
моделей нелинейных процессов, так и для получения аналитиче-
ским путем «подобных решений» для нелинейных уравнений.

Определение критериев кибернетического подобия. Кибернети-
ческое (а также функциональное, информационное и др.) подобие
может иметь весьма абстрактный характер, поскольку получает
критериальные связи на основе операций со сколь угодно сложны-
ми функциями, в том числе и не всегда реализующими те или иные
формально фиксированные выражения. Понятие подобия часто мо-
жет идти не от физической системы, а от логических и функцио-
нальных характеристик изучаемых объектов. Оперируя с «черными
ящиками» как с основной базой для определения подобия, необхо-

димо найти критерии

информации, поступаю-
щей для переработки, и информации выходной. Обозначим для по-
добны?’ систем через Д- количество полезно перерабатываемой в /-й
истеме информации, где / = 1, ..., т, /г- — полезные преобразующие
свои( гва алгоритма восприятия информации, заключенные в осве-
домляющем сообщении; л,- — коэффициент полезности сообщения.
Некие функции Ф/<, где Ы

характеризуют при этом во вре-
— М Г1ространстве функционирование подобных систем (/=
~/лГип” .К0Т0РЬ1е должны отвечать условию ФА= (Ф1/Фб1) X
ими р ',2)-1ает, где Фб —характерное значение базисной функ-
мн о подобии11 СпГВИИ С пРиведеннь1ми выше теоремами и положения-
"тх якн»?1* к1|беР"етически подобные системы (1 = 1, 2) бу-
требует игоп< 1пВаТ' СЯ кРитеРием л1_=б//2= Иет. Этот критерий
сообщений причем”1 •/Ь/,/°СТИя10Ле3и0Й инФ0Рма1‘ии осведомляющих
буд т устанякпиг, Л,/Л27,(1ет- Критерии вида П2=Л,/12=1ает
ной 'информации. Кроте°ТоХМЯ °СеХ 9ТаП°В пРеобРазования вход-
гомохронности

неин у или аффинного

__ в условия подобия войдут критерии
2 1с1ет и показатели геометрического

, г/’ — пространственного подобия.

ли-




При моделировании процессов с участием живых организмов
(человека, животных) можно ввести коэффициенты, отражающие
субъективные особенности Л Приводимые выше .критериальные вё
личины могут быть найдены в полном соответствии С И сложенными
выше приемами определения критериев подобия при отсутствии
уравнении процесса, но при наличии достаточных данных для про-
ведения анализа размерностей величин, участвующих в процес-
се. Но даже и при отсутствии такой возможности количественные
соотношения могут и должны быть введены в условия модели-
рования.

Так, при кибернетическом моделировании птицы самолетом
можно оценить подобие движения, сопоставляя скорости движения
самолета без встречного ветра (^о) и при встречном ветре (цТ
с соответствующими скоростями движения птицы и вводя критерий

=—-—— = л = 1 бет.

Можно ввести количественные критерии подобия, исходя, напри-
мер из относительной устойчивости (по отношению к внешней сре-
де) объекта — оригинала и соответственно устойчивости его кибер-
нетической .модели. Можно в ряде случаев оперировать с интенсив-
ностью поиска, с вероятностными характеристиками получаемых
на моделях результатов. Таковы модели черепахи или мыши, кото-
рые ищут «кибернетическую пищу» и т. д. Наконец, если в кибер-
нетической модели представлены цепочки управления и цепочка
обратных связей, то в каждой из них при подобии соблюдаются
критерии подобия типа Ф* = Мет. Таким образом, и при кибернети-
ческом моделировании необходимо стремиться к полному примене-
нию теории подобия и получению количественных характеристик.
выявляемых на базе основных теорем и дополнительных положений
о подобии.

Определение критериев условного или априорного подобия **„
Объединение в подобные (условно) группы некоторых явлений,
процессов, информационных данных производится <без математиче-
ского их описания и без получения обычных критериев подобия.
Условными критериями подобия здесь могут быть: а) корреляции
явлений (объединенных в группы), оцененных определенными по-
казателями; б) близость к некоторому общему для объединяемых
явлений уровню; в) наличие одинаковых или относительно ма
отличающихся коэффициентов ассоциации (см. §4.12).

3. Б. Голем бо, Г. В. Веников. Вопросы построения автоматизирован-
ных систем Управления производством. Со. «Итоги науки. Гехническая и

нетика», т. 4, ВИНИТИ. 1972.

Г- К. Круг. Н. С. Дьякова. Априорное моделирование сложных
Цессов. Сборник докладов научно-технической конференции
1969 гг.). МЭИ, 1970.
го в «малом», т. е

Опоелеление критериев интегрального подобия. Как и при обыч-
ном потобнп* критерии могут быть получены двумя способами:
”(способ анализа размерностей для процесса, рассматриваемо-
го в «малом», т. с. на интервале весьма малых изменении искомых
величин, характеризующихся дифференциалами с последующим
интегрированием критериев «в малом» и переходом, таким образом,
к интегральным критериям — к критериям «в целом», б) способом
ана7иза дифференциальных уравнений рассматриваемого явления
и такого преобразования этих уравнений, в результате которого
можно получить интегральные критерии подобия. При этом для лю-
бых линейных систем все положения л-теоремы остаются в силе .не-
зависимо от диапазона рассмотрения явлений «в малом» или «в це-

лом».

Все нелинейные задачи при рассмотрении явлении «в малом»
становятся линейными, и вопрос об учете нелинейности параметров
системы снимается. При определении критериев анализом размер-
ностей л-теорема применяется к явлениям «в малом», что не тре-
бует каких-либо специальных доказательств.

При определении интегральных критериев подобия способом
анализа дифференциальных уравнений возможны различные пути
получения их. Однако в основном операции сводятся к следующе-
му: дифференциальное уравнение приводится к безразмерному ви-
ду, для чего все его члены делятся на один .из них, особо фикси-
рованный. При этом способ интегральных аналогов применяется с
той особенностью, что в каждом безразмерном комплексе, полу-
ченном таким путем, оставляется символ дифференцирования, а ос-
тальные заменяются конечными разностями. Полученные инте-
гральные критерии могут быть применены и для моделирования
исследуемого процесса с учетом, однако, той особенности, что эти
критерии действуют только на интервале времени А/.

нтегр; 7ЬНО€ подобие не следует рассматривать как не имеющее ничего об-
ш о < о Зычным подобием, хотя и в своих основах и в технике нахождения
и исп< .. з< гания критериев подобия оно имеет особенности Подробнее можно
позналрмться в ряде работ В. М. Брейтмана. См например его работу
«Подобие физических явлений с геометрической точки зрения»^Научные лоУ
клад.; высшей школы. Энергетика», 1958, № 1	зрения». «Научные до-
Глава Н

ОСНОВНЫЕ КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ
ПРИМЕНЯЕМЫЕ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ
ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКИ

§ 2.1. ОБЩИЕ КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ,
ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИХ И ТЕПЛОВЫХ ЯВЛЕНИЙ

Задачи электроэнергетики требуют рассмотрения не только вопро-
сов, связанных с электромагнитными и электромеханическими яв-
лениями, .но и с чисто механическими, гидромеханическими и тепло-
выми явлениями. Поэтому в начале настоящей главы покажем, как
определяются общие критерии подобия, относящиеся к упомянутыми
выше вопросам, проиллюстрировав разные способы их получения.

А. Механические м

?г.

ления

Основной критерий подобия механического движения — крите-
рий гомохронности лно, показывающий, как связаны скоро-

сти у, длины I и масштабы времени подобно перемещающихся тел,
получим из анализа уравнения г) — сИ1сИ. Отсюда следует, что лно =
при вращательном движении лно=<о/. Критерий подобия
Движений материальных точек массой М под действием приложен-
ных к ним сил определяется из уравнения, записанного для каж-
дой материальной точки:	Этот критерий, называемый

критерием Ньютона, имеет вид лкте=К/2/(^гО- В случае враща-

тельного движения вокруг неподвижной осп под действием момен-

та ЛТвр из уравнения Л4№= —
1

где <р — угловое сме-

о

и /

щение, /0 — момент инерции, учитывая критерий гомохронности. по-
дучаем критерий в другой форме:

^вр/('^0(у ) •
ным силам

Рассмотренные критерии предполагают, что к материальным
точкам одной системы приложены силы, параллельные сходствен-
ным силам приложенным к сходственным материальным точкам
другой, подобной, системы. При наличии сил связей между ними
должны существовать аналогичные соотношения. С этими крите-
риями связано правило: если скорости, приобретенные телами с
разной массой, перемещающимися на одинаковые расстояния, рав-
ны. то действующие силы прямо пропорциональны их массам. По-
добие перемещений под действием сил тяжести определяется из

уравнения

Е = Мд(121№2, или =

откуда л — Г^Е.

После умножения значения л на квадрат критерия гомохронно-
сти получаем критерий Фруда:



Критерий, характеризующий соотношение между упругими си-
лами в подобных системах, определяется из ряда известных соот-
ношений: с одной стороны, /?=еВ/2, где е — относительное удлине-
ние, Е — модуль упругости (модуль Юнга), I — линейный размер;
с другой стороны, /7=7И/-^-=р/3 — = р/2^2, где р— плотность
материала. Из этих двух соотношений получаем

Л = рц2/г/? = -Ц2/(г2:/р),

или после извлечения корня из обеих частей последнего равенства
находим критерий Коши:

Са ----------

V о^/р

Ъ. 1 идрочеханические и тепловые явления

У?,идем основные критерии методом анализа размерностей, проил-
люстрировав здесь и его применение.

со скоплДТ16 жидкости в тРУбе диаметром б/, длиной I происходит
'чд'	плО1носгь жидкости равна р, вязкость характери-

------- .*1ен20м Р» падение давления на рассматриваемом

участке трубы АЛ Следовательно

Выпишем в СИ размерности
величин:

всех участвующих в процессе

7 Ш. / —[1], =	ц = [Л4][у'}—1	1

Д/- = [Л1][7]-2[/.]-!, р=[ЛГ][1]--з
Согласно (1.23) найдем .при тпех осилпот

параметрах процесса три критерия подобия п ‘^^’ичинах и шести
видно, требует соблюдая „Некого пЙия; Кр” '‘Р""-

л1=^//==1бет.

Второй критерий устанавливает соотношение

[[^[Т] а;[Л1]р;[гГРЧд]-₽Чл1]^[А]’3< ’

Приравнивая показатели степени одноименных величин по
лучим:

для [А]:

!=«/—р;~з?;;

для [Г]:

о=

для [Л/]:

Из этих уравнений находим:

«/ = — 1;

Следовательно,

с!	(IV р

Л2=---------= —— .

V-1р.р—1	{Л

Этот критерий называется критерием Рейнольдса: Л2=лПе

Третий критерий требует, чтобы

др,

*Ь	"	-	""	——  	’	•>

V °₽(?рР|Ер	[Д]“₽	|<Г**

Также приравнивая показатели степени, получим уравнения:
Для [1]:

— 1 — а.р — рр — 3?р;

для [Л4]:

1 = рР_Ьчр»

Для [Г]:

— 2= — ар — рр,

01 куда находим:

ар = 2,
Полученное соотношение лз —Д/>/т,2р
Эйлера: лз = лЕи.

Таким образом, изучаемое движение

называется критерием

жидкости будет иметь

функциональную зависимость

Иногда в литературе описывают определение критериев подо-
бия методом анализа размерностей на основе непосредственных
рассуждений, которые привели к (1.22). Покажем это на приме-
ре * изучения процесса теплоотдачи от круглой трубы, имеющей
диаметр (1 к поперечно омывающему ее потоку жидкости. Участ-
вующие величины: а, %, с1, с, ц, р, где а — коэффициент теплоотда-
чи от поверхности трубы к жидкости, Л. — коэффициент теплопро-
водности, р — плотность.

Выпишем размерности участвующих величин в системе единиц
ЬМТ®, принятых за независимые:

а=[Г]-3[6]-1рИ];	® = [2.][7’]"1;

г/=[А];	Р = [Л1][2.]-3,

где 0 — температура.

При шести участвующих в процессе величинах (т=6) и четы-
рех независимых размерностях (& = 4) число определяющих процесс
критериев подобия должно быть равно двум.

Сопоставляя размерности участвующих в процессе величин, лег-
ко заметить, что [Х]=[«И и, следовательно, один из двух критери-
ев подобия может быть сразу же определен в виде безразмерного
соотношения



называемого критерием Нуссельта: Я1 = лМи.

Далее, принимая, что [а] и [г/] (или [Л] и И, что допустимо)
являются независимыми, и дополняя их двумя независимыми ве-
личина ии ([у] и [ц]), запишем размерность еще одной зависимой
величины через размерности зависимых величин: И, [у], [ц], [а],
читывая, что [0] не входит в размерность {р] и только единствен-
ный раз входит в [а], запишем р#=ф1(а) [а также р=/=<р2(а)], а сле-
г'гнчтп110’ величины а должны быть исключены из дальнейшего
рассмотрения.

кРитеРий подобия должен зависеть от соотношения
размерностей величин

!>] — [</]•	[|л]г, Где а'э р',

- неизвестные показатели степеней, входящие в критерий.

ственное использованиТ^равнения^Тз?^ Же МеНее желателен’ чем непосред-
более уверенно.	я	из которого результат получается
Сопоставляя размерности эти*

к	1 ИХ ВеЛИЧИН, МОЖНО СЛелятк шIпгъп

что данное соотношение действительно только в том случае когда

формулу

величины

X [Л77'-Ч-1Г,
Следовательно,

образуют

чему

соответствует

вида [7ИА“3] = [А]а' [Л7’~1|р'



откуда получается найденный ранее критерий Рейнольдса л, =
2 Ке

ЯКе = р^//|1.

Из соотношения [Х]=[аИ получаем критерий Нуссельта-.

Л

Изучаемый процесс может быть, следовательно, полностью ха
рактери.эоваться двумя безразмерными критериями;

Этот вывод соответствует л-теореме, так как число участвующих
в процессе величин ш = 6, причем независимыми размерностями
обладают четыре величины & = 4, откуда число критериев подобия

т — р = 6 — 4=2.

Ограничимся получением приведенных выше критериев. Осталь-
ные критерии подобия механических, гидромеханических и тепло-
вых явлений представим в одной табл. 2.1 без вывода. Перейдем
к определению общих критериев подобия электрических явлений,
применяемых при решении задач электроэнергетики.

§ 2.2.	КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Задачу определения критериев подобия электрических явлений
можно разделить на две задачи в зависимости от того, какой вид
подобия нас интересует: общую задачу — определение критери-
ев полного подобия (во времени и пространстве) электромагнитных
полей и частную задачу — определение критериев неполного
подобия (во времени), т. е. подобия электрических цепей. Начнем
рассмотрение со второй, более простой, задачи.

А. Критерий подобия цепей

с сосредоточенными постоянными параметрами

Дифференциальное уравнение переходного процесса в простейшей
электрической цепи с сосредоточенными параметрами (сопротивле-
нием и индуктивностью Л) при включении ее на напряжение и
имеет вид

и =	(2.1)
Название критерия

Выражение

Критерий гомохронности, характеризуют™
однородность процессов во времени

Критерий Ньютона

VI

его = [Но]

Г/2

----= Мет = [Не]

Критерий Фруда

V2

— = 1дет = [Ег]

Критерий Эйлера

—— = 1<5еп1 = [Ей]

Критерий Рейнольдса, характеризующий
процессы в несжимаемой жидкости

Критерий Архимеда, характеризующий про-
цессы движения жидкости при различной
ее плотности —ускорение силы тяже-
сти, уо — коэффициент кинематической
вязкости)

Р^/	г,

-----= 1(1ещ = [Не]

,^3 Р — Ро -л г л л

—— • -----------= 1деш = [Аг]

V? Ро

Критерий Грасгофа для процессов движе-
ния жидкости при различной ее темпера-
туре и различных коэффициентах объем-
ного расширения ((3 — коэффициент объ-
емного расширения, Д0 — разность меж-
ду характерными температурами жидко-
сти и стенки). Если задана не температу-
ра стенки, а плотность теплового потока

4 с на стенке, то Д0= —— .где % — коэф-

Л

фициент теплопроводности

р73

р0-------Дб = 1с1еш = [ О г]

*о

Критерий Маха—отношение местной ско-
рости потока и,- к скорости звука цзв в
той же точке потока

Критерий Жуковского

—— — 1бет = [М]

^ЗВ

70*	Г7н1

----= 1беп1 — [2п]

Критерий Кнудсена — отношение средней
длины свободного пробега молекул /о к
характерному размеру I

Критерий Фурье (а=)„/сру — коэффициент
температуропроводности; сР — коэффи-
циент теплоемкости; у —удельный вес)

Критерий Пекле для движущейся жидко-
' ।г. заданным тепловым состоянием

= 1бет — [Кп]

а1

— 1бет = [Ео]

VI

— тбет = [Ре]

Критерий Нуссельта (а — коэффициент теп
лоотдачи)

= 1ёеп1 = [Ми]

Критерий Кирпичева
теплопередачи)

(1г — коэффициент

Л/

—— = 1бет = [Ю]
Продолжение табл. 2.1

II а з в 1 н и < * к р и те р н я

Ныр »жспис

Критерии Прандтля

Критерий Био
(а0 — постоянная

1(1(11) = [Рг]

[Ра] = Шет — СгРг

Стефана Больцмана,

О — температура)

Критерий Релея (произведение двух крите-
риев: Грасгофа и Прандтля)

Способом интегральных аналогов из уравнения (2.1), содержа-
щего три члена, получим, очевидно, два критерия подобия. Число
форм записи будет три. Применение л-теоремы также дает два кри-
терия (ш—/г = 5—3 = 2) в восьми формах записи (/?л=8).

Одна из форм записи двух критериев подобия данного процес-
са соответствует делению уравнения на 'второй член и имеет вид

=	п2=Ь1^1.

Согласно второй теореме подобия можно записать критериаль-
ное уравнение Л1 = /(л2).

Критерий Л2 целесообразно переписать в виде



где Ть= Ь/К— постоянная времени цепи К, Ь.
Рассматривая две цепи, в которых

Ть111\^ = тт и /Х/С=то

из выражения для лг получим

тт = тп

т. е. для соблюдения критерия лг величина масштаба времени гщ
должна быть согласована с величиной г (или наоборот).

Критерий Л1 в данном случае не является определяющим и ис-
пользуется лишь для установления масштаба токов, поскольку



При этом для двух подобных .процессов имеем

или т1

Критерий ль выполняющийся автоматически при соблюдении
лг, показывает также, что ток, выраженный в долях о г установив-
шегося тока, в сходственные моменты времени численно одинаков
во всех цепях, имеющих одинаковый критерий л2-
Рассмотрим более общий случай. Найдем критерий подобия для
процесса, происходящего при включении на напряжение и нераз-
ветв теином цепи, содержащей сосредоточенные параметры 7^, и
С. Процесс характеризуется дифференциальным уравнением

(2.2)

Из уравнения (2.2) способом интегральных аналогов получим
три критерия подобия в четырех Формах записи. Определение кри-
териев подобия на базе л-теоремы дает 7(л=3 и Рл— 15. Если в
качестве независимых параметров выбрать, как и ранее, г, 7? и 7,
то на основе л-теоремы получим одну из возможных форм записи
трех критериев подобия *:

я3=Р>Ср=Тс1Р (2.3)

При делении (2.2) на четвертый член найдем:

Л2 = 7.//?7



(2.3а)

Таким образом, в (2.3) и (2.3а) первые два критерия совпада-
ют а л3 и лзх обратно пропорциональны друг другу. Для подобия
процессов в цепях 7?, А, С необходимо и достаточно равенство лишь
двух критериев, например л2 и лз. При этом критерий Л1 выполня-
ется автоматически, поскольку

Л1—У (л2, ^)*

Все сделанные выводы в соответствии с первым дополнитель-
ным положением распространяются на сколь угодно сложную цепь,
если только все отдельные участки этой цепи будут соответствен-
но подобны и соединены друг с другом подобным образом.

Выше не было сделано каких-либо оговорок относительно ха-
рактера величины и приложенной э. д. с. Если эта э. д. с. неизмен-
на по величине (постоянный ток), то никаких критериев, дополняю-
щи полученные ранее, не появится. Если эта э. д. с. будет менять-
ся по какому-либо заданному закону, то согласно второму
дополнительному положению относительные характеристики долж-
ы быть соответственно одинаковы. Это требование, выраженное
математически <и*у=-и 2=1(1ет), будет дополнительным критерием
подобия. В частности, при трансцендентных функциях их аргумен-
ты должны быть одинаковы. Например, при синусоидальной или
любой периодической ** э. д. с.

—ц>2/2=ш7=л Но	бет.

• а данного следует правило: подобие цепей с сосредоточен-
ными постоянными параметрами требует одинаковых критериев

Ь !>итерий Л1 ’ называю! также относительным током, а Лг и л3 — относитель-
ными п /иными времени.

Любую периодичность э. д. с. можно представить как сумму гармоник.
подобия — относительных постоянных времени всех элементов; при
этом в случае периодически изменяющихся э. д. с. дополнительны м
условием (критерием) будет (о/ = 1с1ет. При любом изменении
э. д. с. их относительные характеристики должны быть соответст-
ственно одинаковы.

Б. Сравнение способов определения
критериев подобия электрических цепей

Проанализируем преимущества и недостатки основных способов
определения критериев подобия применительно к рассмотренному
случаю. Дифференциальное уравнение процесса (2.2) имеет число
членов п=4. Предположим, что и=Н зш со/, тогда число аргументов
неоднородных функций а=1. Следовательно, при использовании
способа интегральных аналогов необходимо получить четыре кри-
терия подобия:

^_1) + бг = (4__1)+1=4,

из которых три являются основными и один — дополнительным.

Число форм записи основных критериев подобия Ру равно четы-
рем, так как Ру = п. Дополнительный же критерий подобия имеет
единственную форму записи.

Критерии подобия рассматриваемого процесса, полученные спо-
собом интегральных аналогов и из уравнения (2.2) в различных
формах записи, приведены в правой части табл. 2.2. Первая форма
записи основных критериев соответствует делению каждого члена
уравнения (<р>) на первый его член (<Р1), вторая — на второй (ф2),
и т. д.

Возможные формы записи критериев подобия могут быть определены на
базе л-теоремы. Для этого необходимо знать размерности параметров I, и, Р, Ь,
С, I, о) в единицах Си (<? = 4):

[/] = [АОЛЮГО/Ц;

[и] = [Л2Л11Г-3/-1];

[Д] = [Л2ЛП7’-3/-2];

[А] = [А2Л41Г-2/-2];

[С] = [А-2Л1-1П/2];

[/] = [ ДОД/07'1/0];

[а>] = [АОуИОГ-1/О].

Полная матрица размерностей ||Л|| размером 7X4 имеет вид

1МП=

О
9
)

9

-3

— 3

— 2

(2.4)

— 1

— 2

— 2

— 1

2

О

О

О

О

О

О

4—580
Для выявления числа А* независимых между собой параметров определим
ранг матрицы |М||. Наибольший порядок определителей, которые можно соста-
вить ИЗ строк этой матрицы, равен числу основных единиц (7 = 4). Общее коли-
честно определителей четвертого порядка, составленных пз семи строк данной
матриц и. ра! но числу сочетаний из семи строк по четыре:

-------- =35.

’	4! (7 - 4)1

Все 35 определителей четвертого порядка равны нулю *. Следовательно, ранг
матрицы и соответственно число независимых параметров должны быть
меньше четырех (/'<7).

Анализ определителей третьего порядка (7—1=3), составленных из столб-
цов частичных матриц ||Д|| размером 3X4, показывает, что существуют опреде-
лители третьего порядка, не равные нулю. Рассмотрим, например, частичную
матрицу, составленную из в горой, третьей и пятой строк полной матрицы:

— 3 - 1

-3 —2

(2.5)

— 2 — 1

Из четырех столбцов этой частичной матрицы можно составить два не
равных нулю определителя третьего порядка. Это даст нам основание заключить,
чп' ранг матрицы равен трем и, следовательно, число независимых парамет-
ров А’ = 3. Поэтому число критериев подобия Л’к согласно л-тсореме равно

у.=7-3 = 4.

Анализ размерностей позволяет установить число независимых между собой
параметров и число форм записи Г к критериев подобия. В данном случае /?=3,
число форм записи равно количеству комбинаций, состоящих из трех парамет-
ров, ранг матрицы размерностей, размер которой 3X4, равен трем.

Анализ матрицы размерностей параметров I, и, позволяет найти определи-
тели третьего порядка, составленные из се столбцов, равные нулю. Следова-
тельно, ранг этой матрицы меньше трех и параметры 7, и. $ не являются неза-
висимыми между собой; значит, эта комбинация параметров не является осно-
ва в формы записи.

Рассмотрев аналогично все возможные 35 матриц (С73 = 35) размером 3X4,
каждая из которых соответствует комбинации трех параметров, найдем, что
только 22 частичных матрицы имеют ранг, равный трем. Таким образом, среди
тридцати пяти комбинаций трех параметров двадцать две комбинации состоят
из независимых между собой параметров и, следовательно, четыре полученных
на базе л-теоремы критерия подобия имеют 22 формы записи.

В левой части табл. 2.2 в качестве примера приведены выражения критериев
подобия, полученные на базе л-теоремы для четырех форм записи, которые со-
поставляются с формами записи критериев, определенных способом интеграль-
ных аналогов. Габл. 2.3 подтверждает положение о том, что критерии подобия,
полученные непосредственно из уравнения (способом интегральных аналогов),
в общем случае являются степенными функциями критериев, полученных на
базе л-теоремы, и лишь в частном случае совпадают с последними.

Таким образом, применение л-теоремы позволяет отыскивать те критерии,
>ые составляют фундамент всех остальных и, следовательно, наиболее интс-
от экспериментатора. Кроме того, как видно из примера, способ интс-
ых ан. гов не дает непосредственно критериев, соп а пленных из парамет-
ров. входящих в аргументы неоднородных функций; эти критерии получаются с
помощью л-теоремы наравне с остальными. Далее, при применении способа ин-
тыральных аналогов не уд;я гея выявить парамелры, независимые между собой,
и, следовательно, установить, какие масштабы можно выбрать Произвольно.

Реком '4 чилалч.'ва самому у< нгься в этом.
ТАБЛИЦА 2.2
ТАБЛ И Ц А 2.3

О

Число форм
записи

ц 51П	= I

<11

11

В заключение заметим, что в каждом конкретном случае иссле-
дователь, конечно, должен выбрать тот способ, применение которо-
го наиболее целесообразно для установления критериев подобия
анализируемого явления.	Р

В. Подобие цепей, имеющих взаимно индуктивную связь

Рассмотрим схему простейшей цепи
контуров, один из которых имеет

(рис. 2.1), состоящую из двух
параметры /?1, и включается на

ис. 2.1 Цепь с взаимоиндукцией

постоянное напряжение и, а
второй короткозамкнут и ха-
рактеризуется параметрами /?2
и Лг- Коэффициент взаимоин-
дукции между контурами обо-
значен через Л1)2. В целом схе-
ма представляет собой систе-
му, состоящую из двух подси-
стем (контуров 1 и 2). Соглас-
но первому дополнительному
положению системы подобны,
если соответственно подобны составляющие их подсистемы. Таким
образом, необходимо найти критерии подобия каждой из подсистем
(контуров).

Разделив соответственно на 1^ и /2/?2 уравнения

п —	—к /И 12 —- - ;

Л1

и применяя способ интегральных
дим пять критериев подобия:

аналогов, нахо-

где Т— АТ12/7?1, ТМ2 = ^12/^2 ~ постоянные времени взаимоин-
дукции соответственно контуров 7 и 2.

Устанавливая критерии подобия с помощью
л-теоремы, необходимо принять во внимание все параметры, ха-
рактеризующие элементы подсистем и процессы, протекающие в
них, т. е. для первого контура —12, /?ь	М12, /; для второго

контура — /ь г2, Т?2, 12, ЛГ12, /.

Число независимых параметров для каждого из контуров равно
трем, а число форм записи 7^1 = 21,	10*. Выбираем, как и ра-

нее, в качестве независимых параметров й, /?1, I для первого кон-
тура и /2, /?2, / для второго. При этом получим семь критериев по-
добия:

При этом лз=л3л4, а Я5=лбл7. Остальные критерии (л?, л|, лч
совпадают с соответствующими критериями, полученными на базе
л-теоремы (ль л2, Л5). Запишем критериальные уравнения, соот-
ветствующие контурам 1 и 2:

* Рекомендуем читателю в качестве упражнения

самому определить числа
Выражение критерия л?, эквивалентного критерию тц, можно
подставить в первое критериальное уравнение. В итоге получим
критериальное уравнение для системы в целом:

Л1=-/’ (#2» Л3,

Таким образом, Зля иодооия процессов в простейших цепях со
взаимоиндукцией необходимо и достаточно равенство четырех оп-
ределяю щих критериев:

-ТТГ 	 -	Т_М± . г 	 ^2 . „ _  Г	9
Ло   1		

Полученные критерии подобия останутся справедливыми
и в случае сложной разветвлен ной цепи, содержа-
щей любое количество взаимных индуктивностей и любое число ис-
точников питания. Всякая разветвленная цепь, подобная другой
разветвленной цепи той же конфигурации, может быть составлена
из подобных между собой контуров. Действующие в данной цепи
э. д. с. (напряжения) при этом должны находиться в таких же,
соотношениях, какие имеются в цепи, подобной данной. При этом
пропорциональные изменения значений всех э. д. с. данной цепи
влияют на масштаб токов, не -меняя подобия процессов.

В случае активных цепей принципиальный подход к
определению условий подобия остается тем же, только вводится
требование — установить соотношения пропорцио-
н а льност и между активными элементами многополюсников. Эти
соотношения должны быть такими же, как и соотношения между
внешними э. д. с. пассивных цепей.

Таким образом, подобные разветвленные цепи (многополюсни-
ки) должны обладать следующими свойствами: 'Соответственно оди-
наковой конфигурацией, равными относительными постоянными
времени у соответственных ветвей многополюсника, пропорциональ-
ностью всех э. д. с. и токов одного многополюсника соответствую-
щим э. д. с. и токам другого многополюсника.

Г. Подобие цепей с сосредоточенными
переменными (или нелинейными) параметрами

параметрами

нлнпрныа В^°РОМУ Дополнительному положению особенность уста-
п^'аметпями°ВИИ подобия цепей с переменными или нелинейными
-к'*/ требованию !*=/(/*) ='Мет или
К трег^1;ю	другого параметра (С, д и т. д.) -

изменяется ^п^пИ^леНН7е Р?ссУждения на случаи, когда параметр
— мож^ - МУ ('в общем случае непериодическому) закону
цепей с пеоемрнным 1ЮЧИТЬ’ ЧТ° дополиительньвм условием подобия
иого их изменения "араМетРаМи будет одинаковость относитель-
во времени. Соответствующие этому условию
критерии подобия в каждом конкретном случае могут быть полу-
чены любыми из способов, изложенных ранее.

Частным случаем цепей с переменными параметрами можно
считать нелинейные цепи, или цепи с нелинейными параметрами.
Согласно второму дополнительному положению здесь необходимо
совпадение относительной характеристики	ЧТо, в свою

очередь, эквивалентно требованию равенства критериев лао= .. =•
=ла , получаемых при представлении нелинейной зависимости в
виде ряда и характеризующих подобие изменения переменного па-
раметра Ьд (см. § 1.3, Б). Очевидно, что данный вывод можно рас-
пространить и на цепи, содержащие любые переменные параметры
например нелинейные активные сопротивления, нелинейные взаимо-
индуктивности и т. п. Разумеется, что при установлении подобия
цепей, содержащих катушки индуктивности со стальным сердечни-
ком, можно оперировать и характеристикой (//*).

Д. Подобие цепей с взаимно перемещающимися контурами.

Электрические машины

Пусть имеется электрическая установка, схема которой представ-
лена на рис. 2.2. Здесь два индуктивно связанных электрических
контура взаимно перемещаются по заданному закону со скоростью
V. Величина коэффициента взаимоиндукции Л1]2 при этом изменяет-
ся. Как известно, полученные при условии Л412=соп81 критерии подо-
бия обусловливают равенство относительных постоянных времени
(Т*ь и Т^м} контуров 1 и 2. В случае цепей с М12=/(1) эти условия,
как и в случае цепей с и=/(/), дополняются требованием относи-
тельно одинакового изменения данного параметра во времени, т. е.

= Меш.

Соответствующие этому требованию критерии подобия при за-
данном (аналитически или графически) законе изменения МХ2 мож-
но получить любым из известных способов. При линейном харак-
тере изменения М12 по закону

Д4 ]9 = Д /о —

вместо критериев

л3=Л112/(/?1/) и лб= И12/(/?у),

найденных при Л112=сопз1, получим критерии, которые характери-
зуют подобие изменения 7412 во времени:

Лз=/И120/№^);	=

Яб==ЛГ120/(/?2/); Лб^Л//?2.

Нетрудно показать, что выполнение этих критериев обеспечива-
ет совпадение относительных характеристик: ЛК12=/(М- Выводы
можно распространить и на случаи изменения каких-либо других
параметров в функции скорости перемещения контуров.
В рассмотренном случае пред-
полагалось отсутствие обратного
воздействия электрического со-
стояния цепи на механическое,
т. е. скорость перемещения при-
нималась независимой от взаи-
модействия токов, протекающих
по контурам. При этом подобие
электрических процессов в дан-
ных цепях определялось критерп-

о

М.+ дм
д

Рис. 2.3. Цепь с динамическими
параметрами



Рис. 2.2, Цепи с взаимно перемещаю-
щимися индуктивно связанными кон-
турами

ями подобия вида 7\ь = 1с1ет и дополнительным условием /И* 12 =
=/(?) =1с1ет.

При установлении критериев подобия цепей с динамическими
параметрами, т. е. цепей, электрическое состояние которых связа-
но с механическим, необходимо дополнительно рассмотреть урав-
нения, характеризующие взаимосвязь этих состояний. Подходя к
установлению критериев подобия на основе второго дополнитель-
ного положения, сначала определяют критерии подобия, предпола-
гая, что динамические параметры не изменяются. Далее найденные
критерии дополняются условиями, характеризующими подобие из-
менения переменных параметров.

Рассмотрим цепь, состоящую из трех электрических контуров,
обладающих активными сопротивлениями 7?1,	/?3, индуктивно-

стями Ль Л2, Лз и взаимоиндуктивностямй ЛЛг, М13, Л123 (рис. 2.3).
Пуль два электрических контура 1 и 2, жестко связанные между
собой, перемещаются относительно контура 3, вращаясь под дей-
ствием некоторого постоянного по величине механического момента
- с угловой скоростью со. Это перемещение приводит к изменению
всех индуктивностей и взаимоиндуктивностей. Принимая за обоб-
щенную геометрическую координату угол б поворота оси контура /
относительно некоторой условно выбранной оси отсчета можем
записать:

И13 = /1(6); Л7и = /2(8); Ж12=/3(8);
11=?! 18); 12=?2(8); 13=?3(8),
где вид функций /ь (рь ср2, ср3 зависит от геометрических пара
метров связанных контуров. Дифференциальные уравнения, ха-
рактеризующие электрическое состояние системы, имеют вил:

= /1/?! -ф — (Л1/14- ^12^4“ М13/3);	(2.6)

а1

е2 = Ч^2^Г~ (^2^4"-^2144"	(-.7)

( V С*

<?3 = 4^3 + “ (^з4 4~ ^314 4- ^324)*	|2.8)

Дифференциальные уравнения, характеризующие перемещение
контуров, можно записать в обычной форме:



Мы — Мэ —

(2.9,

где / — момент инерции вращающихся контуров 1 и 2; Мм—-внеш-
ний механический момент; Мэ —электромагнитный момент, дей-
ствующий между неподвижным контуром 3 и перемещающимися
относительно него контурами 1 и 2, причем

а дУ7	.

с11 дш (1Ъ

(2.10)

ДМ —вращающий момент, обусловленный трением (№>—энергия
магнитного поля системы).

Пз уравнений (2.6) 4-(2.10), полностью описывающих относи-
тельное движение контуров и протекающие в них электромагнитные
процессы, находим критерии подобия способом интегральных ана-
логов в предположении постоянства динамических параметров.

При делении уравнений (2.6), (2.7) и (2.8) на вторые члены
получим по четыре критерия подобия из каждого уравнения.

Л113 Сз .

—~ • — 1 Ц4 — ~х	 . ’

/?1Г	/1	'1

2И01 о 12	-9оз Сз .

—— . ——; Л4 =----------• — >

#21 /о	12

Л1з1 /1 . Л‘з ^32	*2

---- . ---, Л4 —------— • —	•

^3	^3^ ;з

Уравнения (2.9) и (2.10) при делении соответственно на Л/м и
дают следующие критерии подобия:
Соотношения подобия можно получить и на основании л-теоремы и первого
дополнительного положения. При этом необходимо рассматривать 6 как размер-
яю величину, считая ее пятой основной единицей измерения. В данном случае
формулы размерностей Лк, ЛЬ, ДЛ1, Л о в СП имеют следующий вид:

[Им] = [2ЛШГ-2/05-1] = [мэ] = [ДЛ4];

[7] = [7ЛМ1ГО/О&-2];

[ш] = [Л0Л40Г-1/051].

Общее количество критериев, которые могут быть получены на базе
я-теоремы.

причем Г г = Г_2 = /\.3 = 40, а /?_4 = 38.

Найденные критерии (2.11) и (2.12) должны быть дополнены кри-
териями, характеризующими подобие переменных параметров —
индуктивностей и взаимоиндуктивностей. Требование равенства по-
следних критериев эквивалентно дополнительному условию—со-
впадению относительных характеристик:





?з (У;

•1К1з=ф1 (8,); 4->2з = т|2 (8,); ^И,12='|’з(У.

Таким образом, основой для установления условий подобия це-
пей с как угодно меняющимися параметрами является второе до-
полнительное положение, позволяющее распространить условие
подобия цепей с постоянными параметрами на цепи с переменными
параметрами.

Е. Подобие цепей с распределенными параметрами

Наиболее характерными цепями этого типа являются дальние ли-
нии электропередач, линии связи, волноводы и т. п. Отвлекаясь от
вопросов геометрического подобия и пренебрегая излучением энер-
гии в пространство, можно свести описание задачи к решению из-
вестных уравнений однородной линии:

(2.13)

нт.- гИпап//аВЛСНИй Данных уравнений предполагалась неизмен-
во впемрииМ^а линии (сопротивления, емкости, проводимости)
вых ^поопесглй°^л П^ЩеНИе влолне правомерно при анализе волно-
темпеоатупы пппигК°ЛЬК^’ напРимеР» изменение сопротивления от
тромагнитныу ппп ходит несоизмеримо медленнее протекания ал№*
да^	ПоэтомУ схема замещения, отвечающая

, представляет собой цепь с постоянными пара-
106	г
метрами и, следовательно, в нахождении критериев подобия не бу-
дет ничего принципиально нового.

Уравнения (2.13) способом интегральных аналогов пошоляюг
получить четыре критерия подобия:

Согласно второй теореме, один из них, например можно < чи
тать неопределяющим, поскольку

Я1=/(л2, л3, л4).	(2.15)

Следовательно, для подобия рассматриваемых цепей необходимо и доста-
точно, чтобы были одинаковы относительные постоянные времени 7\г, Т„с и
выполнялось условие Л4 = 1дет. Выражения (2.14) дают возможность получить
соотношения, необходимые для определения масштабов:

/п,-





тот(

тп1\гтрпг0 = 1.

При этом масштабы независимых параметров (ти, тн, то, пц) можно вы-
брать произвольно, а остальные масштабы определить из соотношений (2.16).
Выражения критериев подобия могут быть получены и на базе л-теоремы.
В табл. 2.4 они приведены для трех форм записи, которые сопоставляются с
формами записи критериев, определенных способом интегральных аналогов. Всего
возможных форм записи будет 45 и сопоставление можно было бы продолжить
и для остальных 42 форм записи.

При выявлении физических свойств подобных явлений целесооб-
разно преобразовать исходные критерии к такому виду, который
наиболее ярко характеризовал бы изучаемую сторону явления. Так,
например, умножая левую и правую части критериального уравне-

. ... .

ния (2.15) на	и принимая во внимание, что для линии

без потерь ее волновое сопротивление



получим уравнение

из которого следует, что процесс может характеризоваться соотно-
шением

л4=/2(л2, лэ).	(2.15а)

Умножив обе части уравнения (2.15а) на )Ал2л3, получим
д чнтывая то. что скорость движения импульса по линии без
потерь г»=1/)<7С и время пробега импульса от начала до конца
линии т = —, определяем

V

Г,=—= /з(Я2' яз)=/з(7'*Ь

(2.17)

Очевидно, что при одинаковых относительных постоянных вре-
мени Т*с У подобных линий относительное время пробега им-
пульса соответственно одинаково и не зависит от величины и
формы импульса.

Пользуясь выражением для скорости распространения импульса вдоль линии
без потерь, с учетом (2.16) можно записать

1/У ~гщтс = \1т^Гт^т0 = ггц^

ИЛИ

= (т///П/) 1/2.

Следовательно, при /п< = 1 одинаковые скорости распространения импульсов
по двум линиям могут быть получены лишь при одинаковых длинах этих линий
(т. е. Изменение масштаба времени позволяет иметь подобие скоростей
распространения при различных длинах линий. В свою очередь, используя
выражение для волнового сопротивления линии без потерь, записанного в виде

= V С , и принимая во внимание соотношения (2.16), получаем масштаб
волновых сопротивлений

т\ = I ть!тс = У т^т11тот1 =

= т^пц.

Если устанавливаются условия подобия линий электропередач переменного
тока, то, согласно второму дополнительному положению, кроме полученных выше
критериев (Л], Лг, Лз, Л4) необходимо соблюсти критерий гомохронности Л5=аЯ.
В этом случае целесообразно записать критерии Лг и Лз в принятых для цепей
переменного тока символах, для чего необходимо умножить их на критерий Л51

^2 — ^2*^5 :=

Л3 Я3Л5 —	а»/ —

О/ ЛсО

При рассмотрении процессов, протекающих в дальних линиях,
можно при необходимости учесть изменение параметров во време-
ни. Так, можно учесть изменение сопротивления от нагрева прово-
дов, проводимости, состояния погоды и т. п. Условия подобия при
этом устанавливаются в соответствии со вторым дополнительным
положением.

становление подобия процессов в трансформаторах, электри-
ческих машинах и других устройствах с распределенными по длине
параметрами при подходе с точки зрения подобия цепей произво-
лен точно так же, как и установление подобия линий электропе-
редач, 1и закон распределения параметров (схема замещения)
вестей.
1

и <и

2 ® 5
§ 2.3. КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛЕН

В данном параграфе изложенными ранее способами определяются
критерии подобия электромагнитных полей в различных средах
(диэлектриках, проводниках вакууме и т. п.) с учетом анизотро,пии
в неоднородности, а также взаимного перемещения среды и поля.
В .последующем полученные критерии будут применяться для ана-
лиза условий полного подобия конкретных явлений.

А. Подобие полек в однородной, изотропной среде

Протекание электромагнитных процессов во времени и в простран-
стве описывается в общем случае системой уравнений Максвелла.
Эти уравнения для однородной, изотропной среды имеют вид:

го1/?г = 8; хо1Е——дВ!д1; ШV В = 0; <Пу/)=р;

Ь =	+ Ё>=гЁ\ В=^Н,

(2.18)

где Н — напряженность магнитного поля; 6 — плотность тока; Е—
напряженность электрического поля; В — магнитная индукция;
В — электрическое смещение; р — объемная плотность заряда; у—
удельная проводимость среды; V — скорость движения зарядов*
8 —диэлектрическая проницаемость среды; ц— магнитная прони-
цаемость среды; I— время.

Плотность тока б в системе (2.18) для общности выражена в
виде суммы трех составляющих: уЕ, дЕ/д1, ру—плотности токов
проводимости, смещения, переноса (конвекции).

При этом надо иметь в виду, что первая и третья составляющие могут ино-
гда решающим образом проявляться одновременно в одной и той же точке про-
странства (например, на ленте транспортера генератора Ван-де-Граафа), но все
же часто одной из них можно пренебречь. Две первые слагающие обычно одно-
временно проявляются в полупроводящей среде. В хорошо проводящих средах
можно пренебречь второй составляющей по сравнению с первой, а при исследо-
вании изолирующих веществ пренебрежение первой составляющей не ведет к
заметным погрешностям.

Система уравнений (2.18) в совокупности с заданными условия-
ми однозначности является полной системой, т. е. позволяет одно-
начно определить состояние электромагнитного поля в каждой
точке пространства и в каждый момент времени, характеризуемое
зависимостями

Н — / (•*,	/) И	у, г, I).

однозначности включают в себя геометриче-
е параметры исследуемой системы, физические параметры среды
тгрХ' начальнь,е условия (Е = Е0 и Я=Яо) при /=0 во всех
х системы, а также краевые условия на ее границах.

ма	ческое подобие характеризуется равенством

метрических параметров по трем осям координат:

но

тх — ту = тг ~ /п/Ф
Если данное равенство для двух исследуемых систем выдержа-
но, то и электромагнитные поля этих систем будут геометрически
подобны. Масштаб т/при установлении подобия двух систем
удобно вычислять как отношение двух сходственных характерных
геометрических размеров. За характерные обычно принимают ра з-
меры, отражающие конфигурацию системы (ширину полюса элек-
тромагнита, диаметр расточки статора генератора и т. п.). После
выбора характерных размеров для двух систем определяют масштаб

т1

Л//

где /1 и /2 — характерный и сходственный характерный размеры си-
стем 1 и 2.

Критерии подобия электромагнитного поля в однородной изо-
тропной среде могут быть получены способом интегральных анало-
гов непосредственно из уравнений системы (2.18). Однако удобнее
получить их, предварительно подставив выражения б, Т) и В в
первые четыре уравнения, для того чтобы эти уравнения содержали
лишь два параметра процесса, а именно Н и Е, поскольку изме-
нения Н и Ё во времени и пространстве полностью характеризуют
состояние электромагнитного поля. После такой подстановки по-
лучим:

го1Н=уЕ ~{-е(дЕ/д1) + р^;	(2.18а)

го! Е — — ^дН 1д1\	(2.186)

сНу Н =0;

(Пу Е= р/е.

(2.18в)
(2.18г)

Соотношения (2.18а) и (2.186) являются основными уравнения-
ми электромагнитного поля, а уравнения (2.18в) и (2.18г), не со-
держащие переменного параметра I,— вспомогательными, характе-
ризующими состояние системы. При решении основных уравнений
соотношение (2.18в) играет роль начальных условий интегрирова-
ния, а уравнение (2.18г) служит для определения величины р.
Для получения критериев подобия электромагнитного поля доста-
точно решения только основных уравнений. Применяя способ ин-
тегральных аналогов, из первого уравнения получим три критерия
подобия (КУ1 = 3) в четырех формах записи (ЕУ1 = 4), а из второ-
го— один критерий (КУ2=1)_в двух_формах записи (Д72=2). Ин-
тегральными аналогами го! Я и го( Ё являются соответственно вы-
ражения — и — , где / — характерный геометрический размер.

I I

При форме записи, соответствующей делению уравнений (2.18а)
и (2.186) на их левые части, получаем следующие критерии по-
добия:

(2.19)
Аналогичные критерии подобия можно получить и из ^рассмот-
рения уравнений Максвелла, записанных в интегральной форме.

Критерии (2.19) при условии соблюдения геометрического по-
добия можно свести к двум. Так,

—л2.

Это легко показать, если подставить вместо V и р их аналоги
<’=/  и р^гЕ/1.

Определив из я# значение Е/Н и подставив его в яд и тс/. по-
лучим:

, лп = Нг-^-. —.	(2.19а)

у/ Ло	/2 Л2

Учитывая, что в (2.19а) сомножитель 1/л2 определяет только
масштаб процесса и может быть опущен, окончательно запишем:

е '	№ Р-УР	м.у/2

п1=-; я,1=[1е	лп = —

(2.196)

Если для нахождения критериев использовать также и уравне-
ние (2.18г), то можно получить еще один критерий:

= 1бет.

Легко проверить, что данный критерий может быть получен не-
1 щственно из основного уравнения (2.18а), если принять

ъ=д1/дЕ

^е™™1'ТеЛЬН0’ при делении четвертого члена этого уравнения
на третий получим

Лз=(рОД(// =

ется^ишни^пп^п подтвеРждает то, что уравнение (2.18г) явля-
ного потя метолом ахождении критериев подобия электромагнит-
ного поля методом интегральных аналогов.

Анализируя совокупность параметоон Н Р с .	» .

нии критериев подобия ня	°В	е’ Iх’ 9’	1 ПРИ определе-

параметров	четыре явлЯ1ХоТ“Ь1. легко видеть, что из этих девяти

лич .0 <Ьо»м ,-п»? Являются независимыми (4 = 4). При этом * =5, а
тателю.	а И ПЯТИ кРитеРиев подобия предоставляем подсчитать чи-

В практике исследований
кую, которая наилучшим образом

18К, ДЛЯ -------

-- э, р«=0) целесообразно выбр

из возможных форм записи необходимо выбрать
ромагничногс) пом /’пМ0Жет 0тРазнть свойства данной среды.
0) целесообразно выбпатьАфорем7ИзКа3пйс?ЛКгУМе И В03духе (пРн у = 0’
форму записи, соответствующую системе
независимых параметров /7, е, I, I.

Из этих пяти критериев три (Лз, л4 и Л5) должны быть отброшены, посколь-
ку у, р и / равны нулю. Кроме того, т=Ь, й=4 и, следовательно, кт —2. Из
оставшихся двух критериев один является определяющим (например, л2), чему
соответствует критериальное уравнение

(2.20)

Л1 = /1 (Лг) или

При наличии же в указанных средах зарядов (у=0, но р#=0, о#=0) имеем

Л| —	* Л4 >	ИЛИ

Е&1	/ р.г1~	р/^ VI .

777"	’ Н1 ’ I )'

Подобие поля в полупроводящей среде (при р=0, у=0) можно
устанавливать, пользуясь формой записи (2.20). Учитывая, что кри-
терии Л4 и Л5 должны быть отброшены, получим критериальное
уравнение

Рассматривая проводящую среду (при е=0, р=0, у=0), необ-
ходимо в форме записи (2.20) исключить еще и критерий Лз. При
этом

или

Л1—/4 Оъ)*

(2.20а)

Полученные критерии подобия могут применяться в виде соот-
ношений между масштабами. На основе (2.19а) можно записать
их в следующем виде:

= 1; 1.

На основе (2.20) запишем:

-1 -1 -1 -1 . )

шЕ — тнт1 Ш1 ;	гп[ тг	I ^2“Ь

тг — т^т,; т,,= тнт~\ т(\	—	I

При использовании такого рода соотношении нужно иметь в ви-
ду все те замечания, которые были сделаны ранее по повод , фор-
мы записи критериев подобия для конкретных случаев.
Частным случаев полученных результатов является^ известная теорема подо-
бия магнитов и электромагнитов, называемая теоремой Кельвина. Эта теорема
утверждает что все одинаково намагниченные, геометрически подобные магниты
дают в соответственных точках пространства одинаковые напряженности поля.
Теорем э Кетьвнна хорошо подтверждается опытом, давая лишь небольшие от-
ступления за счет неоднородности материала или различных условий закалки
магнитов.

Критерии п о д о б и я электромагнитных полей, с оз да-
в а е м ы е периодическими переменными токами частотой о =
= 2л/, остаются темп же [см. (2.20) и (2.20а)], но их следует дополнить крите-
рием гомохронностн Лб=&)/. При этом критерии подобия имеют следующий вид:

е

> Л3 ==

уч>-

(2.22)

л4 =

• Л5 —	, Лб

/<о

Критерии подобия, отвечающие (2. 196), имеют вид

Я11 ~	’

= р.е/2<о2.

(2.22а)

Подводя итоги рассмотренному, можно сказать, что электромаг-
нитные поля в однородных изотропных средах подобны, если суще-
ствует геометрическое подобие систем и определяющие критерии
подобия равны в сходственных точках пространства и в сходствен-
ные моменты времени.

Б. Подобие полей в неоднородной и анизотропной среде

словия подобия в случае неоднородных и анизотропных сред дол-
жны устанавливаться в соответствии с третьим и четвертым допол-
нительными положениями (см. гл. I, § 1.3, В, Г).

Подобие электромагнитных процессов в анизотропных средах
устанавливается с учетом того, что их физические свойства харак-
теризуются тензорами ег-л или вместо скалярных величин е или
р. характеризующих изотропную среду. Выбирая оси координат
обладающими с главными направлениями осей тензоров, можно
ль каждой оси установить свой геометрический масштаб т1 х->
т1у' 11 съои масштаб при измерении физических параметров
^и,г,и К Усть эти различные масштабы приняты для ц равными
еометрические размеры сравниваемых систем
находятся в принятом соотношении:

у1~т^у2‘ г1~ГП1 <?2.
Г? »

. ,	т1уфтп1г, то геометрическое подобие отсут-

ствует. Из критерия подобия

л = ру/2//,
который в данном случае должен остаться справедливым, с учетом
изменения масштабов вдоль любой оси следует, что



Следовательно, для получения подобия величины вдоль осей
х, уу г должны быть обратно пропорциональны квадрату геометри-
ческих размеров вдоль соответствующих осей.

Рассмотрим подобие электромагнитных явлений в случае ани-
зотропной среды, свойства которой в различных точках простран-
ства различны. Физические параметры I), Е, Н и В подобны только
вдоль осей х, у, г. Полагая, что физические параметры рассматри-
ваемой системы линейны, можно выразить И через Е. Аналогичные
соотношения могут быть, конечно, записаны и для составляющих
П и Е по осям. Так, например,

— “31 х -'3'2 у + е33^ г*

Коэффициенты 8гй. в этом преобразовании являются составляю-
щими симметричного тензора.

В случае прямолинейной анизотропии, когда оси анизотропии
совпадают с выбранной для анализа прямоугольной системой ко-
ординат, выражение для диэлектрической проницаемости может
быть представлено тензором второго ранга

ег О О

О еу О

О 0 е

Уравнение поля в этом случае можно записать следующим об-
разом:

О



или

д!у В

(Пу е ^гад <р

О,

где ф — потенциал точки созданного в данной среде электрического
поля.

Покажем, что среда (или установка — некоторое сооружение,
содержащее комплексную среду) с анизотропными свойствами, ха-
рактеризуемыми значениями 8уь е2ь может быть подобна другой
среде, имеющей другие анизотропные свойства и другие геометри-
ческие размеры, «е отвечающие условиям геометрического подобия.
Пусть для этой новой среды физические параметры вдоль главных
осей ех2, еУ2, 8г2- В этом случае должно иметься указанное выше
соотношение между геометрическими координатами: ласшгиб гео-
метрических преобразовании должен быть различен по различным
осям. Деформация эта должна быть такой, чтобы

<Р1 = (Х’ У’ г)=т^2(тхх2у туУ2> тгг2\

Для первой установки, подобие которой отыскивается, уравне-
ние поля имеет вид

Для второй установки, которая должна быть подобна первой,
уравнение поля с учетом масштабных коэффициентов т может быть
записано так:

или

Эти уравнения могут быть переписаны:

Они будут тождественны, если выполняются условия

и соответственно

Кром

ТОГО, в подобных системах существует соотношение

Ч 2габ = &габ

причем

и соответственно

^^1^=кгс1ххс1ух

с18^~ргс1Х2ауг

где кг — орт оси г.

116
Очевидно, что можно записать соотношения:

ех ^гад	с1хх(1ух\

О 21

е2 &гад <р2г/52 = е22т(р-^- ах2с!у2.

О22

Согласно полученным соотношениям
но записать в другом виде:

последние уравнения мож-

откуда

е2 §гад<р2б/52 = ег2т?

гг\^у^х1

е22ех1еУ1

д2\тутх

Г/Х//1/1,

Приведенный анализ показывает, что поле в одной анизотроп-
ной среде (или сооружении), имеющей параметры ехЬ еУь е2Ь по-
добно полю в другой анизотропной среде с параметрами 8Х2, ер2, ег2
если геометрические координаты подобных точек, т. е. точек, в ко-
торых подобны потенциальные функции (ф1 = /пфф2), находятся в
определенных сотношениях, установленных из анализа условий по-
добия. Этим подтверждается и другое важное положение теории
подобия электрических явлений: поля, действующие в изотропной
среде, могут быть подобны полям, действующим в анизотропной
среде, при специальном выборе масштабов пространственных коор-
динат и отказе от соблюдения геометрического подобия. В этом
случае координаты Х\, у\, зц точки с потенциалом ф1 = тфф2, отвеча-
ющей условиям физического подобия, находятся в следующих со-
отношениях с координатами х2, у2, ^2-

причем У— е1 — физический параметр.

В случае плоскопараллельного поля соотношения упрощаются,
так как их приходится устанавливать только между двумя коор-
динатами, при этом 81 пропорционально корню квадратному из со-
ответствующей пары составляющих е.

При анализе подобия полей в телах, имеющих аксиальную ани-
зотропию, оказывается удобно выбрать оси анизотропии, совме-
щенные с цилиндрическими осями координат. При этом для подоб-
ных плоскопараллельных полей имеется связь между радиусам 1
'Т и /2 и физическими параметрами:

ГХ = ПЦГ2

Кроме того, должно существовать соотношение

^а!^/-1. (®а2^/2)

Шет.
Рис. 2,4. Подобие электрических полей в изотропных м анизотроп-
ных средах

В частном случае, когда одно из сопоставляемых полей дейст-
вует в изотропной, а другое — в анизотропной среде, необходимо,
чтобы	_____

гх = тгг2 Уеа1/еа2; Уеа1ег1 = е2.

Приведенными выше соотношениями теории подобия может иллюстрировать-
ся подобие полей двух систем геометрически подобных проводников. Пусть пер-
вая система имеет цилиндрические проводники диаметром <1. Вторая пара про-
водников. подобие полей которых отыскивается, имеет эллиптическое сечение.
Большая полуось эллипса в тх раз больше диаметра д, проводника первой
системы проводников, а меньшая ось эллипса равна диаметру проводников. При
каких условиях поля этих двух геометрически неподобных систем могут быть
подобны?

Согласно теории подобия электрических явлений можно утверждать, что
подобие здесь может быть получено в том случае, если пространство между
двумя проводниками второй системы, имеющей проводники эллиптического се-
чения, заполнить анизотропным диэлектриком, при этом необходимо получить
соотношение

Расстояние между проводниками второй системы, очевидно, должно быть в
т* раз больше, чем расстояние между проводниками первой системы (рис. 2.4).

Изложенную теорию подобия можно применить при рассмотрении подобия
полей электрических аппаратов и машин, где исходят из следующей системы
уравнений:

дЕг	_	дЕу	_	аНх	дН	дН

ду	дг	(11	ду	дг

_	ЭЕ?,	_ _ (Шу_	дН_	дН_

дг	дх	~	11 (И ’ дг ~~ дх =

дЕу _ дЕ*

дх ду ~ 1Х ас

Часто практический интерес представляет
шении остальных двух предполагают, что

дН	дН _ *

дх	ду *

составляющая Нх, причем в отно-

Можно также принять, что

Ну = Нг~Ъ.

Ех — Еу — 0;	= Ъу == 0.

после допущении,

Тогда система уравнений переходит в упрошенную кптопяя
шХГподобиТ”Х Зада4у' М0ЖеТ бЫТЬ испольэоваиз для установления соотно-

= о-	, аНУ . дНУ п дНУ

<}Х	Ос дг	дх *
в случае дисперсии магнитной проницаемости для /-Л гармоники нами»™
„ости и соответственно индукции магнитного поля существует опт,
комплексная магнитная проницаемость	1 дслешыя

Н-к — Ик — /Р-к •

В этом случае необходимо требовать осуществления подобия для каждой
гармоники в отдельности, налагая соответствующие условия на геометрические4
размеры и материал. Легко видеть, что при этом осуществить подобие можно
только приближенно и для очень узкого диапазона частот, обеспечив одинаковую
зависимость проницаемости от частоты:



В. Подобие движущихся электромагнитных полей
(электродинамическое подобие)

Для практических задач особое значение имеет установление подо-
бия явлений, происходящих при взаимном перемещении распреде-
ленного в пространстве электромагнитного поля и различного рода
диэлектриков и проводников или при взаимном перемещении рас-
пределенной проводящей среды и диэлектриков.

В случае движущейся диэлектрической среды уравнения Мак-
свелла могут быть записаны следующим образом:

го! Н — дО[д1\

(2.23)

го!/: — — дВ)дВ,

(2.24)

(2.25)



^ = р.НЦ-[щ^]/С2.	(2.26)

Сведя уравнения (2.23) 4- (2.26) к двум, содержащим Н и Е,
способом интегральных аналогов получим шесть критериев подобия.

(2.27)

л2 = е|И)///;	(2.28)

п3=^Е1.’(С2Ш);	(2-‘29)

ла = ^Е1/(С41>.Н(У,	(2.30)

л5=11Я//(«);	(2-31>

л6=-д//(С2/).	(~32>

В случае движения проводящих сред система исходных уравне
ний может быть записана так:

го<77=7; ГО(Г=-дВ/Й;	(2.33)

;=у(^+[^]);	(2.34)

В ~ рЯЧ- [ ^Ё]!С2.	(2.З..»
Аналогично, сводя уравнения (2.33) . (2.35) к дв^м, получаем

выражения для критериев подобия:

щ=уЕ11Н\	(2.36)

=	(2.37)

л3=у^//(С2//);	(2.38)

л4==р.////(^);	(2.39)

л5=^//(С2/).	(2.40)

Таким образом, для установления подобия явлений, связанных
с электродинамикой неподвижных и подвижных сред, существуют
критерии полного подобия, отражающие условия геометрического
подобия, и критерии неполного подобия, действующие в случаях,
когда геометрическое подобие нарушается. Сводки основных крите-
риев электрического подобия и основных масштабов при электро-
магнитном подобии приведены в табл. 2.5 и 2.6 соответственно.

Все критерии электродинамического подобия остаются справед-
ливыми при нелинейных или переменных параметрах, если соблю-
дено условие индентичности относительных характеристик этих па-
раметров.

§ 2.4. О СООТНОШЕНИИ МЕЖДУ ПОДОБИЕМ ПОЛЕЙ
И ПОДОБИЕМ ЦЕПЕЙ

При рассмотрении первой теоремы подобия и критериев подобия
различных электрических и электромагнитных явлений была при-
ведена резкая, хотя и несколько искусственная, градация, при этом
к подобию явлений подходили или как к подобию полей, или как
к подобию цепей. Подобие полей предполагало существование гео-
метрического подобия (в реальном или «деформированном» — в
случае той или иной анизотропии — пространстве). Подобие цепей
рассматривалось вне зависимости от наличия пространственного
подобия. Разумеется, условия подобия тех или иных электриче-
ских остановок находятся легче, если подходить к подобию явле-
нии исходя из упрощенного их представления (в виде подобия це-
пеи)- оказывается, что и при этом (иногда) можно найти оп-
ределенное геометрическое соответствие между сходственными
точками электромагнитных полей тех установок, подобие которых
Л ? Ь исхо^я из подобия цепей. Разумеется, это справедли-
во только в случае, если установки имеют аналогичную конфигура-
^ию’ а не являются только схемами замещения. Например, в двух
„^^е1РИЧ1'ски непод°6ных электрических машинах, подобие про-
ов в которых определено исходя из эквивалентных схем за-

И паРа^етРов соответствующих им цепей, можно найти
„ ения аффинного подобия. При замещении машины дрос-
: ьнои катушкой, изображающей пли говорить о такого ро-
да соотношениях можно только сугубо условно. Справедливость об-
120
Название критерия

Его выражение

КрИТСр^Й ГОМОХрОННОС III

Основной критерий подобия электро-
магнитных явлений

Критерии подобия цепей с сосредото-
ченными или распределенными по-
стоянными (в последнем случае
параметры берутся на единицу
длины)

Дополнительное условие подобия це-
пей с распределенными параметра-
ми

Л1 =

[Но] — <й^ = I йет

Р-У/2	е

Мет; Л2 = — := Мет

г	У*

~ ~— = Мет

а Ва1

КсРъ!? == Мет

Критерий подобия цепей с взаимо-
индукцией при разном масштабе
токов во взаимосвязанных цепях

Критерий подобия цепей с взаимоин-
дукцией при одинаковом масштабе
токов во взаимосвязанных цепях

== Мет; л*



= Мет

Г*аь ~ ~~7— == Мет и Т =
ао	В Л	°а

Критерий нелинейного или неодно-
родного подобия [при нелинейности
параметра Лх~Ц)(Пу), где Пъ(х),
— характерные размеры]

В&1

= Мет

Критерий подобия процессов при не-
линейных магнитных материалах
(идентичность относительных ха-
рактеристик). Здесь ц—магнитная
проницаемость, Н — напряженность
поля

П*х = <Р (П+{/) или = Мет

или р.* = / (//)$ = Мет

Критерий электродинамического по-
добия

Критерий Гартмана (Во— характер-
ное значение магнитной индукции,
Рэ — удельная электрическая про-
водимость, Цвяз.дин — динамиче-
ский коэффициент вязкости)

Магнитное число Рейнольдса (ц*—
относительная магнитная прони-
цаемость, г»о — характерное значе-
ние скорости жидкости, =4лХ
Х10~7 г/м3—магнитная проницае-
мость вакуума)

Магнитное число Прандтля

(М-вяз.дин — кинематический коэф-
фициент вязкости)

Число Стюарта (ро — плотность жид-
кости)

= [Ееот]

^,,р!:Рэ»иВЯЗ. 1ИН	[Р Г/П

Г*

уоРо

ратного положения, т. е. утверждения, что подобие полей «м*
с геометрическим подобием цепей обеспечивает полное подобие
тановок, не нуждается в доказательстве. Полное подобие в е пГ.
йдметров и физических переменных обеспечивается, согласно пеп
вой теореме подобия, при удовлетворении критериев электномя?
нитного подобия. Следовательно, и подобие цепей тпеб™ш
подобия только части этих величин, заведомо обеспечиваете ппи
соблюдении подобия полей.	г”

Рассмотрим некоторые геометрические соотношения, характепи-
зующие цепи, содержащие индуктивность и активное сопротив-
ление.

Выражение для индуктивности в общем случае имеет ви 1

[1 С05

к



(2.41)

е Л

В случае цепи низкой частоты эго выражение записывается сле-
дующим образом:

Алгке

е л

Активное сопротивление цепи

Следовательно, при удовлетворении критерия подобия и соответ-
ственно одинаковых значениях Л/(Д7) фиксируются некоторые со-
отношения между геометрическими размерами подобных цепей:

(2.42)

Для конкретных установок, имеющих подобные цепи, выраже-
ния эти можно раскрыть следующим образом: можно выявить аф-
финные соотношения между геометрически неподобными полями,
отвечающими подобным цепям. Раскрыть связь между геометриче-
ским и размерами и критериями подобия в общем виде не предста г
гнется возможным ,и нахождение аффинных соотношен: й между
пространственными размерами и электрическими параметрами, вхо-
дящими в критерии подобия, следув! делать применительно к кон-
кретным случаям. Однако, не вдаваясь здесь в детали вопроса, от-
метим, что подобие полей можно установить и в геометрически не-
подобных машинах, не имеющих подобия параметров, выбранных
исходя из подобия цепей
Глава III

МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК ОСНОВА ЭКСПЕРИМЕНТА,
ЕГО ОРГАНИЗАЦИЯ И ОБРАБОТКА

§ 3.1. УСЛОВИЯ ПОЛУЧЕНИЯ МОДЕЛИ.

ПРИМЕНЕНИЕ ОБРАТНОЙ, ИЛИ ТРЕТЬЕЙ
ТЕОРЕМЫ ПОДОБИЯ

Моделирование— это процесс создания или отыскания в природе
некого объекта, замещающего исследуемый объект. Этот промежу-
точный объект (модель), применяемый при исследованиях, может
быть реальным (материальным) объектом той же или другой при-
роды (физическая или аналоговая модель), что и изучаемый объ-
ект (оригинал). Он может быть только мысленным объектом, вос-

что и изучаемый объ-

производящим объект исследования с помощью логических постро-

ении, математических выкладок (математическая
Промежуточный объект (или квазиобъект)

модель).

замещающий объект

подлежащий исследованию (оригинал), может давать надежные
сведения об изучаемом объекте, если он будет его мо-
дель ю. Для этого прежде всего необходимо, чтобы он был подо-
бен изучаемому объекту. Это значит, что его параметры и парамет-
ры оригинала должны находиться в некоторых, вполне определен-
ных соотношениях, вытекающих

бен изучаемому

если

мо-

у	-	------ из первой теоремы о подобии

к,.>игерии подобия одинаковы), а описание изучаемого объекта в
^°?.Гветс1ВИ12 5° ВТ0Р011 теоремой подобия должно проводиться с
«л ПТ° °$(>бШ'еиных параметров (критериальные зависимости).

теоремы определили только соотношения между

чт- г. пДг^И заведом? подобных явлений. Как же установить и со-
 папг.гхпИте явлении» т- е- осуществить моделирование? Ответ на
ном чэкпйлм^аеТ Установленная. М. В. Кирпичевы-м и А. А. Гухма-
’	рпоеть, названная ими обратной или третьей теоремой

зо.м: необходим ?бв1чио * формулируется следующим обра-
’	и и достал очными условиями для создания по-

только соотношения между

и А. А. Гухма-

жны удовлетворять тождеСтЛ	искомые относительные величины

соблюдении условий олилЧ^^ВеВН0 замкнутым системам уравнений при
А И условии однолнаеиости, написанных в относительной форме.
добия являются соответствие (в
простейшем случае пропорцио-
нальность *) сходственных пара-
метров, входящих в условия од-
нозначности, и равенство опреде-
ляющих критериев подобия (со-
держащих условия однозначно-
сти) .

Напомним понятие условий
однозначности. Дифференциаль-
ное уравнение в общем виде опи-
сывает бесконечное множество
процессов, относящихся к данно-
му классу. Так, например, урав-
нение

Рис. 3.1. Влияние начальных ус-
ловий



описывающее изменение тока во времени, дает решения, показан-
ные на рис. 3.1.

Условия однозначности определяют индивидуальные особенно-
сти процесса, выделяя из многообразия процессов данного класса
конкретный. К ним относятся факторы п условия, не зависящие от
механизма самого явления:

а)	геометрические свойства системы, в которой протекает про-
цесс;

б)	физические параметры среды и тел, образующих систему;

в)	начальное состояние системы (начальные условия);

г)	условия на границах системы (граничные или краевые ус-
ловия) ;

д)	взаимодействие объекта и внешней среды.

В каждом конкретном случае условия однозначности могут быть
различны в зависимости от рода решаемой задачи и вида уравне-
ния. Так, для выделения определенного процесса из совокупности
процессов, описываемых приведенным выше уравнением, достаточ-
но задать параметры 7?. и начальные условия: 1=10 при 1=1о.
В задачах, связанных с полным подобием, однозначность процессов
определяется не только начальными условиями, но и свойствами
среды, геометрическими свойствами системы и граничными условия-
ми. Третья теорема подобия относится не только к полному, но и к
неполному подобию, когда процессы рассматриваются или только
во времени, или только в пространстве. Начальные и граничные
условия в этом случае могут также определяться или только как
временные, или только как пространственные **.

*	Может осуществляться нелинейное подобие, когда требование пропорциональ-
ности заменяется требованием нелинейного соответствия величин, входящих в
условия однозначности (связанных нелинейным преобразованием). Об этом
см. второе дополнительное положение, стр. 63.

*	* Иногда ошибочно полагают, что третья теорема о подобия всегда требует гео-
метрического подобия.
Справедливость положении, высказанных в формулировке тре-
тьей теоремы, может быть показана следующим образом. Пусть
имеется два процесса, дифференциальные } равнения которых бук-
венно одинаковы. Очевидно, что у них одинаковое число участвую-
щих параметров (щ), число независимых параметров (А) и число
критериев подобия (ш—А’), полученных на базе л-теоремы. Соглас-
но определению подобия, простейшим необходимым условием его
существования является наличие пропорциональности между всеми
сходственными параметрами:



где Р;- и — сходственные Ле параметры соответственно первого
и второго процессов; — масштаб Лх параметров.

Из сказанного следует, что у подобных явлений на коэффициен-
ты пропорциональности между сходственными параметрами (мас-
штабами) накладываются определенные ограничения. Они заклю-
чаются в том, что не все, а только А масштабов (ть т2, ть)
можно выбрать произвольно, независимо от остальных
(тА+1, тт). Математически эти условия выражаются в равенст-
ве единице т—к соотношений между масштабами:

т(к+У)

(3.2)

В свою очередь, указанные соотношения после простых преоб-
разовании приводят к равенству т—к критериев подобия. Дейст-
гтирип?’ заменив масштабы в уравнениях (3.2) отношениями сход-
В^«Ь1Х параметров (3.1) и перенеся в правые части равенств
(6.2) параметры второго процесса 7?г-, получим:

---— ^+1____% к+1	„

ох,	~-------х— или Л1 = 1с1еп1;

к

-— или л
к

к

= Шет.

остальных™ авТтомРатичеХН соб™^ Критериев является функцией
образом, очевидно, что равенства^"7 Т, ”Х раБенСтае' ТаКИМ
стаючно для	нства т к—1 критериев вполне до-

ность получения полобиЛ°ЗМОЖНОСТИ подобия процессов. Возмож-
когда -ооОднЛ	П/0ГЛаСН0 третьей теореме реализуется,

^ие условии однозначности выделяет из бесконечного
126
множества процессов, которым соответствует данная Опл.ъ
альное уравнение, те конкретнее процессе?

ходимо ооеспечить. Это {ребование и содержится в третьей
подобия.

теореме

Величины, характеризующие однозначность процесса обчза
тельно входят в уравнение, если оно полное. Если иметь это в виду
то можно при практическом пользовании третьей теоремой не ого-
варивать специально требования закрепления условий опнознагшп
ст,и, т. е. их пропорциональности. Можно считать, что величины
отвечающие условиям однозначности, удовлетворяют условию
(3.1) и их масштаб может быть установлен согласно (3.1) и (3.2).
Тогда можно пояснить третью теорему так: подобие любых двух
систем может быть создано при пропорциональности всех сходст-

венных величин в этих системах и равенстве (т—к—1) критериев
подобия, определенных согласно л-теореме, из полного уравнения
(или полной системы уравнений) процесса.

При моделировании иногда бывает затруднительно применить
д-теорему для установления количества критериев, обеспечиваю-
щих подобие. Но и в этих случаях необходимо стремиться к поста-
новке задачи в духе третьей теоремы подобия, устанавливая усло-
вия однозначности и критерии подобия путем логического анализа
и контрольных (поисковых) экспериментов. Таким должно быть
применение теории подобия при биологическом моделировании, ис-
следовании процессов в живых организмах, кибернетическом моде-

лировании и т. д.

При изучении всех этих проблем методом моделирования не
обязательно предъявлять к первоначальному математическому
описанию (системе исходных уравнений) требования доказанности
существования и единственности решения, как это делается в тео-
рии дифференциальных уравнений, оперирующей только с уравне-
ниями, для которых это доказано.

Известно, что во многих случаях, когда условия существования
и единственности математических решений не доказаны, физиче-
ские решения существуют. Поэтому моделирование вполне удовле-
творяется опытной проверкой.

Вопрос о математической корректности поставленной задачи в
исследованиях, проводимых методом моделирования, может быть
сведен только к установлению начальных п граничных условий с
концентрацией внимания на опытной проверке *. В дальнейшем при
обработке результатов исследований и создании или уточнении со-
ответствующих аналитических методов последователь, выступая в
роли математика, может заняться проблемами корректности, суще-

пытаясь
инстру-

* Авторы ряда работ допускают принципиальную ошибку,
рассматривать моделирование и модели как некий математический
мент. Пренебрегая физической стороной дела, они концентрируют внимание на
математической строгости исходных положений, корректност, точности реше-
ний именно в математическом смысле, что по отношению к физическому и в

определенной мере аналоговому моделированию ошибочно.
ствованпя, единственности, переходя из области эксперимента в
область теории.

Применение третьей теоремы о подобии при нелинейности. ДЛя
созтания нелинейного подобия одного явления другому следует
прежде всего попытаться представить его буквенно теми же ура®-
нениями, изменением масштабов выявить равенство критериев по-
добия и этим показать наличие скрытого подобия. Нелинейные
параметры при этом должны быть представлены сначала как по-
стоянные. а далее в форме относительных характеристик, которые
в случае подобия должны быть тождественны мп. При отсутствии
подобия необходимо изменять параметры, добиваясь (равенства
критериев подобия и тождественности нелинейных характеристик.
При уравнениях разного класса (разных буквенно) или при урав-
нениях, содержащих сложные зависимости (влияние нескольких
параметров, нелинейности и т. д.), следует применять нелинейно-
подобные преобразования. Однако метод тождественности относи-
тельных характеристик нелинейных элементов и в этом случае дей-
ствует в полной мере. Таким образом, второе дополнительное поло-
жение является существенным дополнением также и к третьей
теореме подобия. Сформулированное ранее для линейных систем
оно позволяет выявить подобие или установить необходимые и до-
статочные его условия и при явлениях, протекающих практически в
любых нелинейных системах.

§3.2. ТОЧНОСТЬ МОДЕЛИРОВАНИЯ.

ПОСТАНОВКА И ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТА

рактическое применение теории подобия и моделирования требу-
ет оценки точности этих методов и одновременно уточнения методов
и приемов обработки экспериментальных данных. Изучение любого
физического явления связано с экспериментальными и аналитиче-
скими исследованиями, проводимыми совместно или поочередно и
-ХуИМН° Д°П0Л1Ня Ю„Щ|Ими Друг друга. На каждой стадии
/ ' ПВП'?°В ис^леД°|Вапий возникает вопрос о точности получаемых
кг• зависимости от общих целей исследования и кон-
опимяилп ДЭЧ 1ОЧНОСТЬ Должна быть разной. Нельзя, например,
татбчну пГ^ДХадитЬЛ оценке точности результатов эксперимен-
шичччгск'гш млДОВаНИИ ? реалы-юй системе, результатов опытов на
ния соответсттТ^И системы и результатов численного реше-
В пеовом	систе,мы Дифференциальных уравнений.

Физическая/мптрп ЭТ° конкРетное сложное явление, во втором —
ния а в тпрткрм Ь’ воспРо'изв°ДЯ1Цая определенные стороны явле-
.•изическир чпт/ги математвческая модель, отражающая те общие
лизания этой млпр’ КО1ОРЬ1М подчинено явление, и численная реа-
ьопросы обработкиЛоезучк^Де ЧеМ иепосРеДс„тве1Шо рассматривать
и шея ня	У;1ьтатов последований и их точности, оста-

новимся де некоторых общих соображениях.

ния, а в третьем
Для исследований, которые предпринимает инженер, характер-
на взаимная связь экспериментальных и аналитических методов
изучения физических явлений и практическое использов а
н и е полученных результатов с оценкой т о чн ости и с с л е д о
ваний. Многие объекты этого изучения оказываются весьма
сложными и по количеству зависимостей, и по их характеру. С л о ж-
ные системы, как правило, обладают такими глубокими внут-
ренними связями, которые не позволяют расчленять систему на
независимые составляющие и при определении ее характеристик
применять в той или иной форме метод наложения, изменяя влия-
ющие факторы «по одному». Поэтому при изучении явлений, про-
текающих в таких системах, особую ценность представляет натур-
ный, или модельный, эксперимент. Эксперименты по своей поста-
новке и способам их поведения могут быть пассивными, когда
исследователь наблюдает за процессом, не вмешиваясь в его про-
текание, а затем, по окончании, применяет специальные методы для
обработки его результатов. Активные эксперименты прово-
дятся согласно такой схеме постановки опытов, которая предусмат-
ривала бы определенную последовательность изменения влияющих
факторов, формализацию априорных сведений, имеющихся в начале-
эксперимента, и применение ряда других приемов, в целом назы-
ваемых планированием эксперимента.

Изучение результатов эксперимента и последующее за ним ана-
литическое исследование, в свою очередь, дают основания к поста-
новке нового уточняющего эксперимента и т. д. Так, последователь-
ное повторение эксперимента и анализа углубляет познание суще-
ства изучаемых явлений. При этом надежнее и ценнее всего,
особенно на ранней стадии процесса изучения, оказывается экспе-
римент, проведенный в натуре — в оригинале, т. е. в той матери-
альной системе, которая подлежит изучению. Произвольно вызывая
в системе интересующие явления, можно каждый раз наблюдать
и изучать их протекание в естественных условиях и в натуральном
масштабе. Однако такие эксперименты в ряде случаев очень доро-
ги и сложны, так как нарушают нормальную эксплуатацию системы
на более или менее продолжительный период. Время подготовки
эксперимента и проведения различных мероприятий по обеспечению
безопасности зачастую значительно превосходит время самого экс-
перимента. Надежность работы системы в период проведения экс-
перимента, как правило, сильно снижается. Кроме того, многие
явления, близкие к аварийным, могут протекать настолько бурнох
что ставят исследуемую систему в тяжелые условия, грозят насто-
ящими авариями и разрушениями аппаратуры. Уже только пс
этим причинам количество таких экспериментов в сложных систе-
мах обычно весьма ограничено и их проводят только в качестве
контрольных.

При определении свойств вновь проектируемой системы прове
денпе эксперимента в натуральном масштабе обычно невозможно
Построение материальной системы в уменьшенном масштабе, по-
добной оригиналу и относительно недорогой, в которой интересую-
5—580	12$
П1ИР 1Г1С явления будут протекать подобно явлениям в спстеме-орн-
„ зчтем изучение этих явлений на полученной таким обра-
зом'уотелн является за гачей метода моделирования, позволяющего
относительно легко преодолеть указанные трудности. Этими про-
стыми соображениями можно объяснить причины широкого при-
менения моделирования как метода изучения сложных явлении во
многих областях современной техники.

.Моделирование, так же как и эксперимент в
р е а л ь н о й с и с т е м е, к о н е ч н о, не исключает а н а л и-
ческое исследование, а, наоборот, дает материал для более
точного математического анализа, подооно тому, как анализ, в
свою очередь, позволяет уточнить эксперимент. Сравнение же яв-
лений в модели и оригинале с результатами соответствующего ана-
лиза позволяет уточнить условия моделирования, обеспечивая
повышение точности воспроизведения явления не только в качест-
венном. но и в количественном отношении.

Решать возникающие в сложных системах задачи чисто анали-

тическим путем часто затруднительно и даже невозможно из-за
большого количества переменных и сложности (нелинейные харак-
теристики, дискретность и т. д.) некоторых зависимостей. Иногда
математической формулировки задачи вообще нет, так как иссле-

дуемое явление настолько сложно, что для него пока нет достаточ-
но полного описания протекания его процессов. Наконец, аналитп-
тическое решение нуждается в проверке экспериментом в натуре
или на модели. Последнее проще, дешевле, удобнее при исследо-
ваниях влияния вариаций различных параметров элементов систе-
мы, схемы их соединения и других факторов, влияющих на проте-
кание процесса. Сказанное выше можно резюмировать следующим
образом.

Методы моделирования основываются на теории подобия, кото-
рая базируется на трех основных теоремах и пяти дополнительных
положениях. Прежде чем приступить к созданию какой-либо моде-
111, необходимо найди критерии подобия для процессов, протекаю-
щих в оригинале, и выделить из их числа определяющие критерии.
При этом, если с точки зрения математики безразлично, какой из
а’—^-критериев подобия, полученных на базе

а не предпо-

л-теоре>мы, считать
определяющим, то, приступая к моделированию физических явле-
нии, к созданию моделей, необходимо подходить к выбору опреде-
яюи*и критериев, учитывая возможности их практической реали-
-ЩЩ'п на модели. Естественно при этом, что критерии, содержащие
, , ’ ’ параметры процесса, являются следствием, а не предпо-
‘ \ наличия подобия и должны рассматриваться как функции

•и «К1Т1 ЮШ,ИХ кР1ИеРиев. Определяющие критерии подобия долж-
, -^ставле,1ы из заданных параметров элементов системы и
- л вя ,:ых параметров процесса (например, времени).

ю||(.г. 1И	1	11 идо о и я, как уже упоминалось, двояка.

паоамЛпм’ «ЛХ помо1цью определяются масштабы, связывающие
ъ-пи 'ч гнх г™еЛИ И ор”гинала> Во-вторых, на основе анализа кри-
териалььых соотношений выявляются

наиболее характерные свой-
ства моделируемого явления. Критерии могут быть найдены .11160
с помощью л-теоремы (тогда ие требуется знать уравнения процес-
са, а лишь необходимо выявить все участвующие парами।[ил), либо
с помощью метода интегральных аналогов. В иосл&ДНбМ слуги
нужно знать уравнение процесса. Не является ли это парадокса ль
ным? Можно ли уточнять уравнение, производя опыты на мол -ля
созданных на базе критериев, полученных из тою же уравнения?
Да, можно. Опыты па модели, основанные па теории подобия, мо-
гут уточнять уравнения той системы, по элементам которой были
найдены критерии подобия до этих опытов. Здесь природа явления,
воспроизводимая на модели, снимает математическую абстракцию
исходного уравнения и дает возможность исследователю проник-
нуть в существо процесса. Однако степень точности воспроизведе-
ния физических явлений на моделях может быть различной. ()на
определяется прежде всего степенью полноты имеющихся знаний
об оригинале и теми задачами, которые ставит перед собой иссле-
дователь. Кроме того, она определяется конкретными возможностя-
ми. отвечающими данному уровню развития науки и техники..
Абсолютно точная модель, так же как и абсолютное подобие, яв-
ляется математической абстракцией. Это значит, что модель и
отображаемый при ее помощи объект находятся в
отношении сходства, а не тождества. Это значит так-
же, что модель в .каком-то одном отношении подобна моделируемой
системе, а в другом отношении отлична, и притом обязательно
отлична, от этой системы. Более того, существование каких-то
определенных различий между моделью и оригиналом является
непременным условием тех функций, которые она выполняет, об-
легчая познание явления. Именно потому, что модель в какой-то
степени отлична от оригинала, создается возможность отыскивать
и выделять определенные, наиболее существенные связи и отноше-
ния, подсказывать определенные решения, более легко и доступно
видоизменять условия, словом, действовать с моделью так, как
нельзя или затруднительно действовать с оригиналом. Но чрезмер-
ные различия между моделью и оригиналом также лишают модель
ее познавательного значения. Иными словами, когда модель ста-
новится «слишком точной», она теряет свой смысл, перестает быть
моделью; когда же она несовершенна — она источник ошибок. Как
иногда образно говорят: «слишком близкая к натуре модель бес-
плодна, а слишком отдаленная — вводит в заблуждение». Таким
образом, в соответствии с поставленной задачей из возможных
методов полного, неполного или приближенного подобия и соответ-
ствующего ему полного, неполного и приближенного моделирова-
ния следует выбрать метод, наилучшим образом отвечающий и
задачам исследования, и возможностям исследователя.

При получении на основе моделирования характеристик тех илт
иных явлений необходимо учитывать факторы, обусловлив нощие?
расхождение результатов, получаемых в модели и оригинале:

1) погрешности определения отдельных параметров, вхо 1ящих
в критерии подобия;
2) неточности

3) погрешности в

исходного математического описания явления;
почучен'ии критериев подобия за счет заведо.
о;	. -	• . явлан1|Я при его изучении;

4 " с “чайные отклонения параметров оригинала и модели от
Пр''5?7Тгр(ешностаЬ'провйдения опытов, отклонения фактических
параметров режима от расчетных и т. Д-,

% погрешности обработки результатов опытов.

Необходимо подчеркнуть, что все эти факторы действуют не
только в модели, но и в оригинале, т. е. при проведении опытов и

непосредственно в натуре.

§ 3 3 ПОГРЕШНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОТДЕЛЬНЫХ
ПАРАМЕТРОВ, ВХОДЯЩИХ В КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ

При проведении любых экспериментов как в натуре, так и на моде-
ли экспериментатор должен считаться с тем обстоятельством, что
все параметры исходной натуральной системы-оригинала, равно
как и параметры его модели, могут быть определены и установле-
ны только с какой-то (в большинстве случаев не очень высокой)
степенью точности.

Экспериментатору обычно приходится оперировать с исходны-

ми данными двух видов: параметрами систем ы  О|р и г и н а-
лай е е э л е м е н т о в, которые должны быть в соответствую-
щем масштабе воспроизведены на модели; параметрами
режима, которые входят в начальные условия и тем самым оп-
ределяют протекание процесса. Исходные параметры системы-ори-
гинала и ее режима могут быть получены на основании расчета
или опыта. Как в том, так и в другом случае имеются расхождения
с действительностью. При этом, как правило, экспериментальные
данные, полученные опытным путем в натуре, при достаточно тща-
тельной их постановке оказываются более достоверными, чем рас-
четные. Вывести какие-либо общие закономерности, касающиеся
фактической точности расчетов, далеко не всегда представ-
ляется возможным и такую оценку обычно приходится делать для
конкретных условий.	н

значения паоямртпт Р3 В та >Л’ I сопоставлены расчетные и экспериментальные
чеиия вассматгшняиуг ТЯП0®ь1Х турбогенераторов, причем экспериментальные зна-
кам». Как видно и- ЛгпиК более Достоверные, близкие к «идеальным величи-
Следует отметит! ЦЫ> погРешностн могут достигать больших величин.

машин ХУщХ характера:1ЮСТИ 8 °Пределенин параметров электрических
гили-ат вся	П в^ияни^°В ДЛЯ РазличнЬ1Х машин одного и того же типа могут

даться п 8 влияния целого ряда технологических факторов

на 20% н

ды V Межвузоигипй ипаЛ!л «-яои нии, а. и. нотапкип. докла-
рованяю Применение пи(Ь^НЦИИ П° ФизическомУ и математическому моде-
р менение цифрового моделирования. МЭИ 1968
б)	при опытном определении одного и того же параметра синхронного гене-
ратора различными методами отличие значений параметров составляет пример-
но ±20% *;

в)	случайные ошибки эксперимента при многократном его повторении для

определения одного и того же параметра одним и тем же методом могут состав-
лять около 15—.30% **.

Моделирование энергетической системы, осуществляемое на ос-
новании задаваемых расчетных значений параметров и характери-
стик ее элементов, будет, очевидно, также иметь достаточно боль-
шие погрешности.

В процессе измерений физических величин (на
модели и в оригинале) могут иметь место четыре вида погрешно-
стей:

1)	ошибки чувствительных элементов измерительных устройств;

2)	неточности отражения реакции чувствительного элемента
в индикаторе;

3)	неправильная фиксация показаний прибора наблюдателем —
человеком или автоматическим регистрирующим устройством.

Эти три вида погрешностей приводят к ошибкам, имеющим две
составляющие: случайную и систематическую. Относи-
тельный вес каждой из этих составляющих зависит от применяемых
приборов и условий эксперимента;

4)	искажения информации в каналах связи, если последние
используются.

Случайная ошибка приводит к тому, что при последовательных
измерениях одной и той же постоянной величины получаются раз-
личные значения.

Случайная ошибка выявляется и определяется по величине в
результате ряда измерений и специальной их обработки методами
теории вероятностей и математической статистики.

Систематическая ошибка проявляется в виде отклонения сред-
него значения любого числа последовательных отсчетов от извест-
ного точного значения.

Систематическая ошибка обнаруживается при проверках при-
бора и устраняется путем калибровки пли ремонта входящих в из-
мерительную систему устройств.

Для уменьшения неточностей экспериментов, вообще говоря,
необходимо повышение тщательности измерений и в опытах на мо-
дели, многократное повторение опытов и надлежащая обработка
их результатов. Однако при измерениях необходимо знать жела-
тельную точность определения численного значения измеряемой
величины, так как стремление к чрезмерно повышенной точности

*	В. Д. Гарде. Анализ требований к параметрам основного электрического
оборудования по условиям работы энергосистем. Реферат кандидатской дис-
сертации, МЭИ, 1968.

*	* С, С. Беггулян, А. М. Кулиев, И. Р. Мамедов. Статистическая
оценка погрешностей результатов некоторых методов опытного определения
параметров синхронных машин. Ученые записки. АзИНЕФТЕХИМ им. М. Азяз-
бекова, 1973, № 4.
реактивные сопротивления генераторов, отн. ед.; Т— постоянные времени, с; б, —погрешность
измерении и увеличению числа
повторных измерений может
быть излишним.

Предположим, что выбран-
ная аппаратура обеспечивает
желательную точность изме-
ряемой величины, по при изме-
рениях имеет место целый ряд
явлений, вызывающих откло-
нения получаемых значений от
истинной величины. Можно
предположить, что получаемые
ошибки носят случайный ха-
рактер. Случайные погрешно-
сти измерений в большинстве
случаев подчиняются закону

Рис. 3.2. Гистограмма, полученная
при измерениях:

пО— число отсчетов, проведенных с за-
данной точностью (с точностью до интер-
вала ДИо)

нормального распределения и
не могут быть исключены опы-
том. Установим количество измерений, обеспечивающее желатель-
ную точность результата. Предположим, что измеряется некоторая
неизвестная величина О. При этом значения отсчетов отличаются на
некоторые отклонения АП. После того как все замеры будут зафик-
сированы, результат можно представить как выборку из некоторой
генеральной совокупности. Отложим на осн абсцисс небольшие
равные интервалы, в которых отклонения будут лежать в пределах

—/Л: = Д1)о, а по оси ординат — число отсчетов Ир, полученных в
интервале АПо- Таким образом, построим гистограмму, изображен-
ную на рис. 3.2. При этом чем больше отсчетов будет взято, тем
меньший интервал А/)о может быть выбран п в пределе гистограм-
ма превратится в некоторую плавную кривую распределения.

В математической статистике изучается большое число различ-
ных распределений. Будем рассматривать пока только одно распре-
деление— нормальную кривую ошибок, обычно называемую рас-
пределением Гаусса. Формула для этого распределения часто выво-
дится * на основе следующих двух допущений:

1)	ошибка любого измерения представляет собой результат
большого числа очень малых ошибок, распределенных случайным
образом;

2)	положительные и отрицательные отклонения относительно
истинного значения равновероятны.

Принимая указанные допущения, можно несколькими способа-
ми получить выражение для частоты появления отклонения как
функции величины отклонения:

(3.3)

где у — частота появления некоторого отклонения параметра \Г>
относительно точного его значения цр; уо — частота появления ну-

4 X. Шенк. Теория инженерного эксперимента. «Мир», 1972.
Рис. 3.3. Плотность нормального распределе-
ния показаний прибора РПр.‘

левого отклонения;

некоторая постоянная
характеризующая дан’
ное нормальное рас.'
пределение, называе-
мая модулем или по-
казателем точности.

Полагая, что у0 и и
— постоянные, и строя
зависимость у = ^у)\
получаем связь у и ДО*
изображенную на рис
3.3. Функция (3.3) и ее

±ДО — отклонения от истинного значения	кривая непрерывны

т. е. они описывают со-
вокупность. содержащую бесконечное множество измерении. Это
так называемая генеральная совокупность, из которой для иссле-
дования берутся некоторые конечные выборки. Генеральная сово-
купность охватывает все множество отклонений для данного опы-
та. Математическое выражение для площади А под кривой опреде-

ляется выражением

Л=2	(3.4)

о7

Определенный интеграл такого типа можно вычислить либо
найти в таблице интегралов:

Д = (Уп/т])г/о.	(3.5)

Удоб воспринять площадь А равной единице. Тогда у0|/Лл//т] = 1
и Уо-Л/Ул;. В результате формула (3.3) принимает следующий

^ = (ч//л)е-^=.	(36)

При этом у имеет размер-
ность т], а размерность т] об-
ратна размерности О.

Величина у не совсем
удобна для практических
применений, которые почти
во всех случаях требуют оп-
ределен!; я вероятности появ-
ления отклонения любой
данной величины. Суммар-
ная площадь под кривой за-
висимости у от ДЛ) охваты-
вает все отклонения для
данною прибора, и ее чис-
ленное значение равно еди-
136 I ! ЯIII I А: 3

Рис. 3.4. Плотность нормального норми-
рованного распределения */==/(ДГ>)
площадь А, ограниченная кривой н ±ДОо.
Равии вероятности того, что измеряемая ве-
личина находится в этих пределах
нице. Вероятность появления отклонения, лежащего в интервале от
—ЛРо до + ДЬ>о, равна площади под кривой нормального расппече
ления, ограниченной интервалом ±ДЭ0 (рис. 3 4)' Вепо
ятность эта может быть представлена выражением	’



-ДРо

Согласно выражению (3.7) вероятность любого отклонения оп-
ределяется при условии, что: 1) отклонения показаний данного
прибора распределены по нормальному закону; 2) для данного
прибора можно найти значение тр Однако интеграл вероятности
ошибки вычислить трудно и обычно пользуются таблицами. Чтобы
таблица была компактной, формулу (3.7) представляют в виде

(ПДО)

(3.8)

—т^О

где —вероятность того, что данное отклонение будет лежать
в интервале от -Ьт]ДРо до —т]Д/)о. Значения интеграла вероятно-
сти, вычисленные по формуле (3.8), приведены в табл. 3.2.

ТАБЛИЦА 3.2



Л] др

Рг4ДР



7]ДР

0,00	0,000	0,477

0,05	0,056	0,50

0,10	0,113	0,55

0,15	0,168	0,60

0,20	0,223	0,65

0,25	0,276	0,70

0,30	0,329	0,707

0,35	0,379	0,75

0,40	0,428	0,80

0,45	0,476	0,85

0,500 (Ф)	0,90	0,797

0,521	0,95	0,821

0,563	1,00	0,843

0,604	1,10	0,880

0,642	1,20	0,910

0,678	1,30	0,934

0,682 (а)	1,40	0,952

0,711	1,50	0,966

0,742	2,00	0,995

0,771	со	1,000

Пример. Предположим, что показания вольтметра относительно 1000 В рас-
пределены по нормальному закону при показателе ц = 0,04 В-1. Если при этом
напряжении берется выборка, содержащая 20 отсчетов, то спрашивается, какое
число отсчетов будет находиться в интервале 990—1010 В.

Поскольку величина Д7)= ±103, то цДР = 0,04 • 10=0,4. Согласно табл. 3.2
находим, что Р7 д/)— вероятность нахождения отсчета в этом интервале — соста •
вит 0,428. Следовательно, можно ожидать, что из 20 отсчетов 20-0,428=8,59 9
будут находиться в искомом интервале. Однако выборка (20 отсчетов) невелика
и вместо 8—9 можно получить 7—8 или 10—11 таких отсчетов.

Точность системы измерений удобно выражать некоторым чис-
лом пли показателем точности. Рассмотрим два таких показателя,
каждый из которых указывает, с какой точностью прибор может
измерять требуемую величину.
ни я

2 пппияя квадрату среднего квадратического отклоые-
д"спеРс'У ’ У ' определяется как квадратный корень из сумыы I
квадратов ^ех отклонений, разделенной на общее число отклоне- ;
нии:

Для нормированного нормального распределения

<х>

//=

= С ус!ьО= 1,0.

и п -

— ОО

После подстановки в формулу (3.9) последних соотношений и
выражения (3.6) получаем

о = /—М	дП2е-^^др .	(3.10)

\ У" Л ' \	/

V '	\-СО	/

Выражение (3.10) можно упростить, снова обратившись к таб-
лице определенных интегралов, в результате получим

О==1//2П	(3.11)

п т)п=0,707. Вероятность того, что отклонения будут находиться в
пределах ±ро, определяется из табл. 3.2 и составляет 68,2%. Оче-
видно, что формула (3.9) для среднего квадратического отклонения
справедлива в случае любого распределения, а не только нормаль-
ного. Однако значение вероятности, равное 0,682, будет получено
только в том случае, когда отклонения показаний прибора подчи-
няются нормальному закону.

2. Вероятная ошибка Ф. Эта величина определяется как
отклонение, при котором в интервале ±Ф находится ровно полови-
ГП пЯСгпп^В0КУП'Н0С™' Из табл- 32 ввдно" что в случае нормально-
го распределения	1

Ф=0,477/т)	(3.12)

ет 50^ЯТНОСТЬ каХ0Ж'П,ения отклонений в интервале ±Ф составля-

са?.;?иаТкаоЯдномухКа 1^^”®^ область отклонений при «шан-
'/1Т.мнения поевнппй и? оз'И4ча^т, что вероятность появления
нения, меньшего Ф * Г0 Равпа вероятно'сти появления откло-

В случае нормального
отклонжие и вероятная ошибка
•Зная один из эт”

ра^ пределения среднее квадратическое
этиу ппи -л .,	1 связаны простым соотношением,

а гелей или т|, можно найти другие показа-
тели. Для рассмотренного выше примера можно найти среднеквад-
ратическое отклонение сг = 0,7()7/т]= 17,7 В и вероятную ошибку
ср = 0,477/т)12 В. Если необходимо найти численное значение
некоторой величины /), вероятная ошибка которой должна равнять-
ся 80, то можно утверждать, что паи вероятнейшим значением вели-
чины О является ее среднее арифметическое из частных значений,
полученных при п измерениях:

(3.12а)

где — /’-е значение величины В, причем /=>1, п.

Вероятная ошибка о* значения /)* при средней квадратической
ошибке или среднем квадратическом отклонении ряда измерений
с определяется по формуле

о' |/ п

1,48е0.

Значение о2 называется дисперсией и определяется выраже-
нием

Из теории вероятностей известно, что при .нормальном распре-
делении случайной величины в пределах изменения ДР=!±Зо пло-
щадь, ограниченная кривой у={(ДР) и осью абсцисс, пропорцио-
нальна 99,7% всех возможных случайных погрешностей. Следова-
тельно, вероятность того, что погрешность по абсолютному
значению окажется больше Зег, будет обычно меньше трех случаев
на 1000 измерений, откуда следует правило «трех сигма»: средняя
квадратическая ошибка ряда измерений составляет приблизитель-
но 7з максимального значения ошибки, т. е.

$ ашах/^

ИЛИ оП11„^Зт.

Предельной ошибкой Отах, которую можно допустить при изме-
рениях, обычно задаются исходя из условий измерений и точности
измерительного устройства.

Зная а* и а, определяем необходимое число измерений:

и — или и—9»95 (<?тах,

Пусть, например, требуется определить необходимое число повторных изме-
рений тока в цепи, если требуемая вероятная ошибка ео измерений должна
ставлять 0,01 мкА. Применяемый прибор имеет шкалу, одно деление коюрои
соответствует 0,01 мкА, а по предварительным опытам можно заключить, что
переменность режима дает ошибки при определении тока в цепи, находящиеся в
пределах ±0,04 мкА. Полагая, что предельная ошибка не может быть оолее
0,1 мкА, находим необходимое число испытаний:

п =0,05 (0,1 0,01)2 = 5.
Иногда * для определения необходимого числа испытаний п
колеблющейся (варьирующей) величины оперируют с коэффициен-
том вариации ув. показывающим, в каком диапазоне (обычно вы-
раженном в процентах) меняется эта величина. При этом /г =
= 3,84 у; %/(Д%)2. Здесь допускаемый предел отклонения опреде-
ляется как

д% —	причем ув°о = 100а//?*,

где /Л определено согласно (3.12а).

Например, если нагрузка потребителя колеблется в пределах ±15%(ув =
= 15%), а допускаемый предел отклонения должен быть До=1О%, то число не-
обходимых испытаний

п = 3,84(15/10)2 = 8,64^9.

Полную погрешность (Д2), получающуюся при модели-
ровании, часто выражают в виде суммы погрешностей измерений
(Лиам), погрешностей, обусловленных неточностями примененных
критериев подобия и воспроизведения их на модели (Двоспр), и
теоретическими погрешностями, связанными с принципиальными
упрощениями и неточностями математического описания (ДтеОр).

Максимальное значение модуля полной погреш-
ности можно определить как сумму модулей максимальных зна-
чений погрешностей **;

шах

шах

воспр |тах

теор |тах*

Однако практически вычислять максимальную погрешность
так нельзя, поскольку маловероятно, чтобы все ее составляющие
одновременно получили максимальные значения одного знака.
К определению этой погрешности при предположении, что ее со-
ставляющие распределяются по нормальному закону, следует при-
менить известную в теории вероятностей теорему Ляпунова, кото-
рая утверждает, что при достаточно широких предположениях
относительно законов распределения случайных величии с увеличе-
нием числа этих величин закон распределения их суммы всегда
удет стремиться к нормальному. Поэтому можно утверждать что
полная погрешность Д2 должна рассматриваться как величина
СпЛчип3подчиняющаяся нормальному закону распределения.
} аЕ' 7 Дратическая суммарная ошибка будет определяться

изм

геор*

печхпЗтУт.т п. .	1 ей моделей можно округлить

этому к о «теп и ш	называемому критерию ничтожности. Согласно

ому критерию при определении

Ох по (3.14) можно пренебречь

1958.	Математическая ста।попка в технике. «Советская наука»,

X" МензГчпд ППИКДС а П ° Ж К 0 В- В--исЛительная техника
140
теМп слагаемыми, сумма квадратов которых не превышает ’/э ква-
драта слагаемого. Например, пусть

„ _ 1/ 2 . 2 	2

52--Г 01-[-О2-Г-О3.	(3.15)

Если <52 + 4 <4/9, то <з2 < У10/3= 1,0546. Нетрудно заметить,
что пренебрежение величиной а2+^з в данном случае приведет
к появлению относительной погрешности в определении не пре-
вышающей 5,5%. При вероятностных расчетах такая величина
вполне допустима. Следовательно, при наличии под корнем двух
слагаемых слагаемым, не превышающим !/э другого, можно прене-
брегать.

Используя правило «трех сигма», уравнение (3.14) можно пред-
ставить в виде

I Дизм1гпах4~ I Авоспр |тах~{- I Дтеор'тах 3.	(3.16/

В инженерной практике для характеристики точности работы
аналоговых вычислительных блоков чаще всего используется сред-
неквадратическая погрешность.

Существуют способы расчета среднеквадратических инструмен-
тальных погрешностей вычислительных блоков на стадии их про-
ектирования. Полученные в результате экспериментов величины
следует оценивать путем сравнения их с такими же расчетными
данными с помощью принятых в теории вероятностей доверитель-
ных интервалов. Экспериментальные величины будут тем ближе к
расчетным, чем строже поставлен эксперимент, т. е. чем точнее
соблюдены при постановке опыта условия, положенные в основу
приведенных выше формул.

Среднеквадратическую погрешность последовательно соединен-
ных вычислительных блоков аналоговых моделей рекомендуется
вычислять, полагая, что полная погрешность предыдущего
(т—1)-го вычислительного блока является источником трансфор-
маторной погрешности последующего ш-го блока. Для аналоговых
моделей рекомендуется рассматривать погрешности воспроизведе-
ния как трансформаторные погрешности, появление которых обус-
ловлено трансформацией через вычислительный блок погрешнее гей
исходных данных.

Измерительные погрешности обычно рассматривают как инстру-
ментальные погрешности, появляющиеся из-за неточного изготов-
ления отдельных деталей элементов вычислительного олока или
из-за изменения параметров в связи со старением и влиянием внеш-
них условии.

Если вычислительный блок имеет п входов, то суммарная
среднеквадратическая трансформаторная погрешность вычисли-
тельного блока
По этой же формуле следует вычислять и суммарные средне-
квадратическне теоретическую (ах)теор 11 ил стр) ментальную
(ах),1П погрешности вычислительного блока, если в олоке имеется
несколько причин появления этих погрешностей.

Следуя правилу «трех сигма» и переходя от среднеквадратиче-
ских к максимальным погрешностям, получим

(3.17)

Выражение (3.17) позволяет определить среднеквадратические
значения суммарных трансформаторной (сх)Тр, теоретической
(аг)теор и инструментальной (ох)ин погрешностей. Подставляя их в
(3.16), получим выражение для полной среднеквадрэтической по-
грешности вычислительного блока:

Здесь т

Зполн

/ч
тах/

(3.18)

количество входов в вычислительный

блок; (Д2у )тах

максимальное значение трансформаторной погрешности по /-му
входу; // — количество причин, порождающих теоретическую по-
грешность; (Агатах—максимальное значение теоретической по-

грешности по д-й причине: I — количество
инструментальную погрешность; (Аг )тах
/ V

причин, порождающих
— максимальное зн а че-

ние инструментальной ошибки по &-й причине.

Зная погрешность Ополн одного или всего комплекса решающих
данную задачу вычислительных блоков и пределы шкалы 2тах,
нетрудно (пользуясь известными из теории погрешностей соотно-
шениями) перейти от среднеквадратической погрешности к сред-
ней а осолютной и средней приведенной *.

«рпа^СТеМаТИЧеС ногрешности измерений особенно заметно про-
сятся впняги11 не лаго.пРИЯТНЬ1Х условиях. К этим условиям отно-
пепат^пм ги.т$ПеШНей сРеды па показания прибора (влияние тем-
сточнетвп ^Ружающе™ воздуха, магнитных полей и т. д.)
Л ™с ° условии наблюдений при опытах и т. : “
условийТнаблюления^еШНОСТИ могул быть учтены и исключены из
тически потное г В каждом отдельном случае измерений. Прак-
н Хравд^ °вЮЧеИИе с™™ских ошибок требует
прЛ и внесеГ попр^Т:	И ДЛЯ

сушествадшХТряда^^	сильных влияний, допуская

но учесть и исключить^ГХтанХ ЗГ°СТеЙ>

стно-

пепо-

п. Принципиально

я. При проведении опыта

ДЛИН- ^тематическая статистика в технике. «Советская наука»,
Рассмотрим наиболее характерные систематические погрешно
сти —— погрешности электроизмерительных приборо-в, возникающие
ПОД воздействием неблагоприятных факторов. В табл. 3.3 приведе-
ны основные и дополнительные погрешности наиболее часто ис-
пользуемых приборов.

Если предположить, что воздействуют все неблагоприятные
влияния, вызывающие дополнительные погрешности электроизме-
рительных приборов, и при этом все погрешности имеют одинако-
вый знак, то максимально возможная погрешность (связанная
только с качеством приборов) для приборов кл. 0,5 составляет
б-у-7%, кл. 0,2—1,5%, кл. 0,1 — 1%. Поскольку вероятность одно-
временного проявления погрешностей от всех неблагоприятных
воздействий с одинаковым знаком мала, то погрешность прямого
измерения может быть принята равной четырехкратной величине1
основной погрешности электроизмерительного прибора.

Большое значение при исследованиях на модели имеет получе-
ние вероятной ошибки при косвенных измерениях и определении
критериальных зависимостей на основании ряда измеренных ве-
личин.

3.4. ТОЧНОСТЬ ВОСПРОИЗВЕДЕНИЯ КРИТЕРИЕВ
ПОДОБИЯ

Требования, предъявляемые к точности результатов исследовании,
проводимых с помощью моделей, различны в зависимости от по-
ставленных задач и характера исследований. Исследования, каса-
ющиеся проектных разработок, а также оценки и относительного
сопоставления вариантов, не требуют высокой точности результа-
тов. Однако точность результатов имеет весьма большое значение,
если исследования проводятся применительно к конкретной схеме,
а полученные результаты необходимо распространить на оригинал.

Постоянные параметры, входящие в тот или иной критерий по-
добия, оказывают различное влияние на результат исследования в
зависимости от характера изучаемого явления. В одном случае
точность воспроизведения критерия будет оказывать решающее
влияние на характер изучаемого процесса; в другом случае упомя-
нутый критерий может воспроизводиться приближенно без ущерба
для точности получаемого результата; в третьем случае параметры,
входящие в критерий, могут не моделироваться вовсе, так как дан-
ный критерий не будет оказывать никакого влияния на протекание
изучаемого процесса. Поэтому при установлении условий подооия
и осуществлении моделирования для решения инженерных задач
существенной оказывается не вся совокупность процессов, с вязан-
ных с данным явлением, а только главные процессы, играющие
важную роль в работе изучаемого аппарата, машины и т. д. Всяко^
подобие сложного комплексного явления, существенное в гехниче
ских задачах, всегда является в какой-то степени приолижешвм.

Случаи, когда при установлении подобия основных процессов
комплексного явления делаются какие-либо допущения, заведомо



приводящие к некоторым неточностям в воспроизведении именно
этих главных (основных) процессов, должны рассматриваться как
случаи приближенного подобия.

Первоначально на основе статистического анализа критериалг
ных соотношений (подробно см. § 3.9 и 3.10) получаем критериаль-
ное уравнение репрессии и с помощью стандартизированных коэф-
фициентов регрессии этого уравнения устанавливаем степень

влияния отклонения численного значения каждого критерия подо-
бия на исследуемый процесс. Полученная информация позволяет
объективно решить вопрос о необходимой точности воспроизведе-
ния критериев подобия, соответствующей их степени влияния на
исследуемый процесс.

Например, для зависимости бщах —Цлт,	Дз) критериальное уравнение ре-

грессии (см. далее § 3.10) имеет вид

&тах = 76,09 + 1,316л! -0,683Л2-

В данном случае наибольшее влияние на 6тах оказывает критерий ль не-
сколько меньшее — л2 и очень слабое — лз, который при наличии коэффициента
0,02 оказался статистически не значимым и не вошел в критериальное уравнение
регрессии. Знаки коэффициентов критериального уравнения регрессии показыва-
ют, в каком направлении критерии подобия влияют на бтах. Таким образом,
анализируя стандартизированные коэффициенты критериального уравнения ре-
грессии, можно определить, какие из критериев подобия следует воспроизводить
с высокой степенью точности при изучении того или иного процесса.

Подобие и моделирование всегда осуществляются с той или
иной степенью точности. Пусть в оригинале зависимость какой-ли-
бо переменной величины х от другой переменной / изображается в
виде

В модели аналогичная зависимость выглядит следующим обра-
зом:

где Дх—погрешность моделирования, зависящая от факторов,
обусловливающих ту или иную величину погрешности.

К этим факторам относятся неточности, обусловленные:

1)	определением или заданием параметров оригинала, входя-
щих в критерии подобия, и воспроизведением параметров на моде-
ли. Этого вида неточности можно свести к некоторым суммарным
неточностям вое пр о из ведения критериев подобия;

2)	погрешностями измерений при проведении опытов. Величина
этих погрешностей может быть уменьшена многократным повторе-
нием измерений, .выбором приборов надлежащей точности;

3)	наличием факторов, иначе проявляющихся в опытах на мо-
дели, чем в опытах на натуре, изменяющих параметры исследуе-
мых установок. Так, например, характеристика намагничивания
модели может быть иной, чем в оригинале, зависимости потерь от
час готы могут быть искажены и т. д. Влияние этих факторов можег
привести к тому, что результирующие зависимости, полученные на
ип™1Н । \'1\т отличаться от аналогичных зависимостей, получен-

на главные пронессы, т

. е’о'теым учетом в модели факторов, заведомо влияющих
на главные процессы, т. е. осуществлением приближенного модели-
рования вместо моделирования точного. Приближенное моделнро-
вание имеет место, например, при осуществлении моделирования
электр веских систем на основе критериев подобия, найденных по
упрощенным уравнениям переходного процесса с оторошс шыми
^ленами рб, т. е. при некотором искажении апериодической
составляющей тока статора и периодичес кой составляющей сока

ротора.

Первые три вида неточностей проявляются как при полном, так
и при приближенном подобии и моделировании, четвертый влд не-
точностей характерен только для приближенного подобия. Рассмот-
рим неточности в определении (задании) параметров, входящих в
критерии подобия, и их влияние на критерии подобия. Обозначим
через Л, В, С, О некоторые физические параметры, определяющие
величины критериев. Пусть идеальные значения этих величин
например значения, отвечающие некоторым расчетным величинам,’
в оригинале будут Лор, />’р, С‘,р, Рор,.. ..

Соответствующие им величины в модели запишутся как

где тЛ) и т. д. — масштабные коэффициенты.

Фл ические величины (обозначим их индексом «ф») этик па-
раметров и в модели, и в оригинале отличаются от величин опре-
деленных соотношениями (3.19):	’ Р

Лф=Дм(1±«|

где « = дД/Дм,
причем АЛ, АВ и т. д.

»	—относительные

“Р'ь»ю ™ “ т/'~абсодю™ые погрешности.

Критерии подобия согласно § 1.4 Б могут быть
3 рроизяедевия величин пира^р’,, возХиных

погрешности,

представлены
в степени:

пени.

^МГДйЛс)1',
показатели (положительные

п отрицательные) сте-

Назовем критерии подоби

ЮЩИХ ПОГреШН'н Т1Й СР П|ЦМи ,, >	-

«ритерии будут одинаковым ’ ““'алЬ1,ыми критериями. Идеальные
Фактические критерии /яо₽ Д?'1'1 М0ДеЛ11’ так и для оригишала.

у модели и оршщ ,	определенные с ,

критерия л:	’	и отличаются от

из идеальных (не пме-

с учетом погреш-

идеального

145
где характеризует погрешность в определении критериев подобия

Выясним зависимость величины погрешности от погреши ос ти
в определении параметров модели и оригинала. Для этого за>пиш< I
критерий подобия, выразив его один раз через фактические (с уче-
том погрешностей) параметры модели, а другой раз — через фак-
тические параметры оригинала.

Выражая критерий через фактические параметры оригинал I.
имеем

лУ = [Лор(1 + 8°др)]’ [Лор(1 + 8‘АР)]3'.. ,[Л(1 + о??)Г' =

л (1 ± 8лр)“' (1 + 327 '. . . (1 ±

(3.20)

Выражая аналогично критерий подобия через параметры моде-
ли, находим

л^ = л(1 + «)“'(! +	±8^'.	(3.21]

Разделив ЛфР на л," и преобразовав полученное выражение
согласно известным приемам операций с малыми величинами, по-
лучим число показывающее, во сколько раз критерий, опреде-
ленный по фактическим параметрам модели, больше критерия, оп-
ределенного по фактическим параметрам оригинала:

(3.22)

где Е означает суммирование погрешностей оригинала и модели.

Если бы были известны величины относительных погрешностей
модели и оригинала и их знак, то величины 1^6 должны были бы
определяться как алгебраические с учетом знаков погрешностей.
Наихудший случай — наименьшая точность в воспроизведении кри-
терия и наибольшая погрешность моделирования — будет, очевид-
но, получаться, если принять, что все погрешности имеют одина-
ковый знак. Анализ выражения, полученного для определения
показывает, что надо как можно больше уменьшить погрешности
на модели у тех величин, которые входят в критерии подобия с
наивысшим показателем степени. Так, например, погрешность
приближенном критерии электромеханического подобия	и

имеет значение

7 40

откуда очевидно, чго точность определения значения Т$ в ори 11-
пале и точность установки значения 7'в модели должны • .
выше, чем точность определения п установки величины постоянной
инерции Г/.
Итеальным моделированием оыло бы мо дели ров ание, при кото-
ром погрешность 6 как в модели, так и в оригинале отсутствовала
бы. Наличие погрешностей приводит к тому, что при л=абет, т. е.
при инвариантности идеального критерия подобия, результаты
фактически произведенных на модели опытов получаются неодно-
значными. Эта неоднозначность, или «разброс» в результатах опы-
тов. связана не только с моделированием. Опыты на ряде устано-
вок в натуре или на одной установке, но в различных условиях,
дают неоднозначную зависимость.

Рассмотрим, например, зависимость времени Л, отвечающего
наибольшему значению угла вылета синхронной машины при кача-
ниях. от величины критерия приближенного электромеханического
подобия:

Предположим, что опыт проделан с разными машинами и на
каждой машине повторен несколько раз. Для идеальных машин (с
идеальными параметрами) имело бы место расхождение в резуль-
татах различных опытов только за счет приближенности указанного
критерия. Практически при достаточно больших и малых
этот разброс не был бы заметен и зависимость

(•, =/ (Г/Л)

графически выражалась бы только одной характеристикой. В дей-
ствительности же указанная зависимость выражается некоторой
зоной характеристик и, проводя тот или иной опыт, можно опреде-
лить величину разброса в характеристиках, полученных для ориги-
нала:	г

Г = (1 ±*7ор)/(1 ± З^о)2

1 -4- ?°Р

1 ± О/

гао-

Аналогичное расхождение критериев
тому, что характеристики	2^о)

"рос. Величина разбросов в этом случае

подобия приводило бы к
также имели бы раз-

?:м

осов необходимо по-

Для получения подобия в характере разбр
чтобь^ор—Ч*м пЛ Г==^М’ ДЛЯ Уничтожеиия 'разброса необходимо,
"Хода к и ПтРпа'КТИЧески требование почти никогда не
ТХХХ ХЛГ'В0ДИТ \Т°МУ’ ЧТ0’ как бы тщательно ни бы-
результаташ! ’ Расхожбение между получаемыми на ней
Необходимо с^ми11еГаТаМи' полУчаемыми в натуре, неизбежны.

полное — «иде-
оценить их разброс. Заметим

а к тому, чтобы правильно
И чьи повтоиении	ЧТ° разбРос неизбежно должен быть

янстао исходных парааХвов^имекмш^^”0 еСЛИ учесть непосто-
По вероятным лбреш.носб... Щ стохастический хаоактер.
Должна, по сути дела, оцениваться

тям в параметрах оригинала и модели

точность моделирования.
з 5. СЛУЧАЙНЫЕ ФАКТОРЫ И ВЫЗЫВАЕМЫЕ
ИМИ ПОГРЕШНОСТИ

Воспроизведя на модели какой-либо режим, существующий в ори-
гинале, необходимо учесть то обстоятельство, что не все параметры
оригинала достаточно точно известны, что они не постоянны и из-
меняются во времени и что при протекании моделируемого процес-
са может действовать ряд дополнительных факторов. Так, напри-
мер, изображая на модели короткое замыкание, приходится счи-
таться с тем, что сопротивление дуги в месте короткого замыкания,
являясь случайной величиной, может отличаться от расчетного зна-
чения; аналогично этому, режим работы нагрузки в момент аварии
может отличаться от режима, принятого при моделировании за
исходный; отличаться от расчетных могут и величины токов воз-
буждения. На аварию, воспроизводимую на модели, в действитель-
ной системе может влиять также и характер погоды (дуга,
кор он иров ание проводов). Поэтому, точно воспроизводя на модели
все расчетные параметры оригинала, нельзя ожидать обязательно-

го совпадения результатов, полученных на модели и в оригинале.

В любой сложной системе большинство параметров, имеющих
тенденцию к вероятностному изменению, будут изменяться в зави-
симости от времени и, возможно, еще от каких-либо иных факторов
(рис. 3.5). Это, например, может быть весьма резко выраженная
зависимость [Л2 = <р(т)] или настолько слабая [Л1 = ср(т)], что данный
параметр для большинства исследований можно принять не зави-
сящим от -г. Непостоянство случайно изменяющихся параметров,

входящих в критерии подобия, приводит к тому, что критерии по-
добия также оказываются подверженными случайным вариациям.

При этом представляются
делении вероятностей
появления тех илп
иных значений крите-
риев подобия при раз-
личных распределени-
ях формирующих их
параметров.

В математическом
плане постановка сво-
дится к следующему:

а) параметры, вхо-
дящие в критерий по-
добия, являются слу-
чайными величинами,
подчиненными опреде-
ленным законам рас-
пределения и пред-
ставляющими систему
случайных величин;

интересными закономерности в распре-

Рис. 3.5. Характер изменения параметров и
и л-2 в зависимости от времени т и влияющего
фактора х
б) критерии подобия являются функциями этих случайных ве-
личин *:

Для удобства выражение (3.23) можно представить в виде

т

Таким образом, следует проанализировать зависимость вида

Лл=_/г (^1’	2’ • • • ’

Функция распределения системы случайных величин представ-
ляет собой многомерную область:

Р< Рз ?т

— ОО — ОО	—ОО

.	(3.24)

Плотность вероятности распределения системы случайных вели-
чин может быть получена из выражения (3.24):

/(Л, Л,..., РИ)=^’Г(Р1> Р2>..., Рт)!(дР} др.2... дРт).

В общем виде функция распределения критерия подобия в этой
постановке выражается зависимостью

ФЫ = ^---р(Р1; Л,..., Рт)с1РхР2.. .<1Рт.	(325)

в анали-

о

задачей

Определение закона распределения критериев подобия
О "накоМ^аНе [СМ‘ (3‘25)] ЯВЛЯеТСЯ д“о сложной
сительно \яяес^СННЬ1е РезУльтаты Для конкретных случаев отно-
исследования ня	пРоаеДя расчетные экспериментальные

входя Л Гкрите^й подХЫ^СЛУЧаЙНЫЙ параметР Р'' ..........Рт’

щимся по некотппРп.мл/ □ ИЯ’ П|ри ЭТ(Ж пРеДполагается изменяю-
ел тайные значения этих^яп расп₽еделения вероятностей. Далее,
для кпитеппя ппппг ТПХ паРаметров подставляются

в результате многокп011136716"1516704 его„ случайная реализация,
случайных значений и наЫазчов₽ИСЛеНИЙ Ф0РмиРУется “а«|1В
плотность распределения функции критерия подо-

в выражение

* в более Общем случае,
подобия являются фуп
150

который в данном случае
кциеи случайных процессов.

не рассматрива

ется,

критерии


Название

Критерий Ньютона

Критерии Кирпичева

Критерий Фурье

Критерий Эйлера

Критерий Рейнольдса

Критерии:

цепей с распределенными
параметрами

электромагнитных явле-
ний

электромагнитного подо-
бия движущейся среды

Подобие цепей с взаимоиндук-
цией

Критерии, предложенные

В. А. Вениковым:

подобия процессов при не-
линейности параметров
электродинамического по-
добия

при бл и же н н о го электро-
магнитного и электродина-
мического подобия

Ъ/Т* =

Выражение

Формализо-
ванное
вредегавлспис

Характер кривой
распре ю 1(41111
вер<41 гное гей
Лчя исследования были взяты типовые критерии подобия, ука-
зание в первой и второй графе табл. 3.4. При этом параметры,
входящие в критерии, представлялись с помощью нормального
пли равномерного законов распределения на основе известных ал-

горптмов:

Р/=Ло(1+о,зЗдЛл);

Р^—Р’м [ 1 + Д^/о 1)1»

где ДЛо —Допуск на параметр в относительных единицах; —
случайное число из последовательности псевдослучайных чисел,
распределенных по нормальному закону с параметрами 714 = 0;
о=1; еф — случайное число из последовательности псевдослучай-
ных чисел, распределенных по равномерному закону в интервале
(0,1).

Расчеты проводились на ЦВМ с помощью программных датчи-

ков случайных чисел.

В табл. 3.4 приведены результаты расчетов по определению
плотности распределения вероятностей критериев подобия при нор-
мальном законе распределения параметров Рг, входящих в крите-
рии подобия. Для удобства анализа полученных распределений
математические ожидания Рг- брались равными единице, а допуски
на параметр в относительных единицах кРщ— равными 0,2.

Характеристики табл. 3.4 показывают, что максимумы кривых
распределения вероятностей сдвинуты всегда влево * (асимметрия
кривых распределения положительна), причем в ряде случаев зна-
чительно. На степень смещения максимума кривой распределения
влияет допуск в относительных единицах, т. е. \Р^ или же О/Р{0.
Для исследования этого влияния были проведены расчеты при
Д то — 0,1 и ДР,о=.О,3. Результаты расчетов показывают, что при
увеличении ДРг0 максимумы кривых распределений еще больше
смещаются влево.

пптЭиИи!^ЧеСКИе КрИВЫе Ра'сп1Ределения вероятностей параметров,
ний ня лимйчтм аТ^ре,> И В |РезУльтате экспериментальных исследова-
асимметпию 4тпСК°И модели’ как пРавило, имеют положительную
тем что^в бппипи СДВИГ максимумов кривых влево объясняется
являются (Ьмнгнм--Нстве слУчаев результаты экспериментов также
ЩЙХ д:СНХХоИВ"ееСКОЛЬКИХ СЛуЧаЙНЫХ велич™’ соотаетстаую-
вероятаосз^йвдТпешгеГпоп’об410 характеР кРи,вых распределения
распределения параметров	Зависит н от законов

зателей степени («' V ’ ' идищих

Г	9 Г > ••• ) у 1! |

распределения критериев подобия (типа табл,
а) структуре критерия подобия;

в критерии, и наличия пока-
)У параметров.

3.4) позволяет при

г. .	-- - известных:

Распределения параметров> ^ящиГв'
При построении гис

Средняя линйя’гйстограмиы параметров делили,
И» » «> »н -.ала) проведена через „ентр поля

[>ь на 17 интервалов.

разброса (т. е.

ре-
бия; в) допуске а параметр Д/\о, не проводя дополнительных
расчетов, судить о характере кривой распределения вероятностей
основных критериев подобия.

§ 3.6. ДОСТОВЕРНОСТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Пятое дополнение о подобии, касающееся стохастически определен-
ных систем *, позволяет распространять методы моделирования на
случаи вариации параметров системы относительно их «идеальных»
значений, полученных при детерминированном задании исходных
данных. При моделировании систем, имеющих такие параметры,
появляется вопрос о достоверности получаемых результатов. Этот
вопрос возникает при всех видах моделирования: физическом, ана-
логовом и математическом. При этом неизбежно приходится рас-
сматривать и эффективность результатов, получаемых при том или
ином виде моделирования, т. е., по сути дела, определять «надеж-
ность» и «устойчивость» этих оценок с учетом особенностей данно-
го вида моделирования.

Для современных расчетных и экспериментальных методов
исследования характерен переход от детерминированного изолиро-
ванного анализа отдельных составляющих результирующей погреш-
ности к совокупному статистическому учету накопленных ошибок.
Если в случае детерминированного подхода ошибка рассматривает-
ся как катастрофическое отклонение от принятого представления
об идеальном, то вероятностно-статистический подход предполага-
ет интерпретацию погрешностей как некоторых реакций моделиру-
ющей структуры, вообще говоря, свойственных ее реальному пове-
дению и являющихся не столько отклонением от нормы, сколько
шагом статистического приближения к норме. Однако характер
этого приближения тесно связан со спецификой материальной реа-
лизации модели и различным образом проявляется при экспери-
ментальных (натурных) исследованиях.

Из сказанного следует, что к оценке точности результатов экс-
периментальных исследований реальной системы, опытов на физи-
ческой модели, процедуры моделирования на АВМ и численного
решения системы уравнений, описывающих исследуемый процесс,
необходим различный подход. В первом случае (натура) речь идет
о конкретном сложном явлении, во втором (модель) —о физическом
воспроизведении определенных сторон явления на основе теории
подобия стохастически определенных систем (моделируемых в со-
ответствии с пятым дополнительным положением), в третьем
(АВМ)—о воспроизведении математических закономерностей,
отраженных в уравнениях описываемого процесса, в четвертом
(ЦВМ) -- о численной интерпретации этих закономерностей.

Применительно к вычислительным системам подобный подход
означает, что все флуктуации нормального хода вычислительного
7 Г. В. Веников. Об оценке достоверности результатов моделирования с уче-
том стохастических факторов. «.Известия АН СССР. Энергетика и транспорт»,
1967, № 5.
процесса могут интерпретироваться как ошибки замены (аппрокси-
мации) идеальной вычислительной структуры на реальную. При
этом понятие структуры охватывает все способы взаимодействия
элементов, обеспечивающих заданную реализацию^ (например, ма-
шинная .вычислительная структура является отображением иде-
ального вычислительного процесса при реализации е1О на конкрет-
ной ЦВМ и характеризуется соответствующим алгоритмом). Про-
цесс решения в этом случае представляется как осуществление
процедуры вычислений 1лп с целью преобразования некоторого
множества входных данных Мп в окончательный результат Рп, ко-

торый при п—>со асимптотически стремится к «точному» решению.

Эксперименты, проводимые в любых подобных системах (нату-
ра, АВМ, ЦВМ, физические модели), принципиально не обеспечи-
вают строгой однозначности результатов даже при реализации
полного подобия. Это обусловливается тем, что абсолютное тожде-
ство конкретных явлений, представленных в различных простран-
ственно-временных областях, являясь математической абстракцией,
отсутствует в реальных задачах. Дифференциальное уравнение,

описывая закон протекания множества сходных явлений, представ-
ляет собой математическую модель некоторого усредненного явле-
ния; конкретные ее реализации даже в пределах одной и той же
моделирующей структуры различаются между собой вследствие
стохастических вариаций физического воспроизведения коэффици-
ентов уравнения. Характер исследуемого процесса во многих слу-
чаях зависит от условий, связанных с предысторией относительно
рассматриваемого момента времени /о» принимаемого за начальный.
Эти условия в итоге приводят к тому, что процесс в системе соответ-

ственно оказывается случайной функцией. При аналоговом моде-
лировании могут появляться специфические погрешности. Напри-
мер, при исследованиях на АВМ устойчивости каких-либо систем
их дифференциальные уравнения в окрестности границы устойчи-
вслелствие влияния паразитных параметров усилите-
<паРазитиых емкостей в цепях обратных связей и т. д.)

скпч прнтитЦврТВеНН0 отличвыми От получаемых при аналитиче-
ссловчям	устойчивос™ системы согласно известным

ных условий пршр3 тре^ется’ чтобы при малых вариациях началь-
бескоХ ном нит МаЛ° отличалось от невозмущенного

Решения на АВМ^тпрг6 вРеменн» т0 для получения устойчивого

на всем

временном интер-

п -	- $го означает, чтс

Ляпунову, на некоторых интервалах
р шеиие с приемлемой точностью. В

папамеаСТОЛЬК0 чУв^твительны к измене»

АВА4 оказывает “иНозм^Х^08’ ЧТ° П°ЛуЧеНИе ₽“я "а

что в системах неустойчивых

по

может иметь место машинное

то же время устойчивые

по

ных САУ €и4длчтиациона?^ная мет°Дика
н.п </131 И, нып. 65, 1967.

исследования устойчивости линей-
Так, при нулевых
уравнением вида

начальных условиях

исследование

движения,

описанного

Кй-х^сЦР- — Ах + В

при Х=Ю> /1—0,96, В 0,12 дает результаты, свидетельствующие о неустойчи-
вости системы по Ляпунову. Однако в интервале ОС^Ю на АВМ можно ш.
лучить устойчивое решение, если погрешность в установке параметров достигает
несколько (2—3) процентов. Аналог ично можно указать на многочисленные
случаи, когда для систем, чувствительных к флуктуациям, малые погрешности
в начальных условиях вызывают такое усиление колебательных компонент, что
решение на АВМ дает результат, искаженный по сравнению с ходом единичного
процесса, наблюдавшегося в натуре.

Еще одной причиной получения расходящихся машинных решений при моде-
лировании дифференциальных уравнений, описывающих сходящийся процесс,
может явиться структурная неустойчивость самой модели. Эта неустойчивость
обуславливается наличием в моделирующей структуре более простых, реализую-
щих решение конечных уравнений таким методом подбора корней, в котором не
обеспечена сходимость процесса подбора. При этом переход от уравнений не-
прерывной физической системы к приведенным уравнениям сопровождается
утратой сведений о составе и структуре системы, в связи с чем оказываются
возможными случаи, когда приведенное дифференциальное уравнение не описы-
вает фактического поведения системы: из двух систем с абсолютно одинаковыми
приведенными дифференциальными уравнениями, удовлетворяющими существую-
щим критериям устойчивости (основанным на исследовании этих уравнений),
одна может быть устойчивой, а другая — неустойчивой. Результаты машинного
решения в данном случае зависят от того, есть ли в реальной структурной схеме
только устойчивые кольца конечных зависимостей или имеется хотя бы одно
неустойчивое кольцо. При этом критерии устойчивости непрерывных систем, фор-
мулирующие условия устойчивости, необходимые и достаточные для систем с
некольцевой структурой, для систем с кольцевой структурой оказываются необ-
ходимыми, но не достаточными.

Параметры, входящие в тот или иной критерий подобия, оказы-
вают различное влияние на результаты отображения процесса в
модели: в одних случаях точность получения критерия имеет реша-
ющее значение для правильного воспроизведения процесса, в дру-
гих— те же критерии могут быть приближенными. В то же время
погрешности моделирования, связанные со стохастическим разбро-
сом параметров модели и оригинала (реальная точность задания
исходных данных, изменение параметров вследствие изменения ре-
жима, зависимость параметров системы и параметров режима от
случайных факторов, имеющих различное проявление в оригинале
и в модели и т. п.), являются неизбежными. Кроме того, параметры
моделируемой системы, равно как и параметры режима этой систе-
мы, практически не могут быть воспроизведены в моделирующих
объектах с высокой точностью (порядка 2—3%). Например, при
моделировании сложных комплексов электроэнергетического обес
печения различных объектов па динамических (физических) моде-
лях отношение Р/х (критерий подобия) во многих случаях превы-
шает аналогичное отношение в оригинале в 2—3 раза; даже в спе-
циализированных установках не удается получить погрешность
менее 10—20%.
При моделировании стохастически определенных физических
систем с целью оценки их эффективности возникает вощрос о досто-
верности полученных результатов. Ответ па этот вопрос можно по-
лучить, проводя случайные вариации учитываемых при моделирова-
нии факторов. Оценка погрешностей прогнозирования поведения
сложной системы Л, получающей возмущающие воздействия, может
производиться по экспериментальным данным о поведении другой
стохастически определенной системы В, в том или ином смысле по*
добной первой, и необходимой точности (допустимой погрешности)
воспроизведения отдельных критериев подобия при заданной вероят-
ности ошибки прогнозирования. Такие оценки требуют не только
анализа стохастической природы явлений, определенных статисти-
ческими характеристиками их индивидуального появления и коли-
чественного проявления, но и выявления значимости объективно
необходимой замены точного моделирования приближенным с точ-
ки зрения результирующей эффективности теоретико-эксперимен-
тального исследования.

Исследование возможностей прогнозирования характеристик системы А по
результатам эксперимента (моделирования) в системе В (и, в частности, при
определенных условиях эксплуатации для Л = В) осуществляется в предположе-
нии о наличии случайных возмущающих воздействий, объективно существующих
как в системе А, так и в системе В, и сходственных в смысле их статистического
подобия. Совокупным проявлением этих возмущений, соответствующим образом
преобразованных оператором системы, являются в соответствии с условием
подобия Л и В и второй теоремой подобия случайные вариации обобщенного
функционала Ч':

'' ОИ, ^2> • • • > Лд—/?).

При этом на основании третьей теоремы подобия существуют такие обоб-
щенные параметры (критерии подобия) .., лп_А, т. е.

г(<Л, ^2

нов М-'-»> « 1.™*' соответственные параметры (переменные) моделируе-
мом (Л, 4-а) ,1 моделирующей (В; 1 = систем и их режимов,

что

___Цр___1(0

X. ....

ф“ “еиы? ~ °"₽ед“еНВДМ °бразом «“бранные безразмерные

л,

числовые коэф-

ее в ( груктуре В в предположении о

7 УРЫ (процесса)4 Л^путем отображений^ эффективности моделирования СТРУК‘
наличии существенно влияюших ее В стРУктУРе В в предположении о
тичностей систем А и В (пгтр^пи ^АетеРминиРоваино проявляющихся) неиден-

где	о

• » п1—1»

• * * >

ирующихси аргументов О,	подобия суть функции случайно варь-

• Ег	’	» п. При другой интерпретации функцио-
нальных соотношений подобия можно воспользоваться представлением о пеке,
’ором гиперпространстве критериев подобия {л}, для которого ™ц^ств^

с {л} такое, что

ла

ЛБ — ЛБ(Л1, Л2,	Лл_!,).

в этом случае вероятностная оценка обобщенного подобия сводится к . П'е
делению числовых характеристик случайного процесса блуждания изображаю
щен точки и стохастического по амплитуде и фазе вектора обобщенного крите-
рия подобия лБ =Чг(ль л2, ..Лп-к) в некоторой области р многомерного
пространства частных критериев Л],	Лп—а. Границы области р определяют-

ся допустимой погрешностью окончательного результата прогнозирования. Веро-
ятность пребывания точки р. в области р, т. е. рс:р(Л1, .лп-а),

где р=р(ль л2, .... лп—а)— область допустимого изменения лБ ; IV'(|т0)</Не-
вероятность того, что фактическая точка траектории конца лБ находится в окре-
стности точки ро; л Б0 — начальный вектор лБ , соответствующий детерми-

нированному заданию исходных данных при полном моделировании; р0— началь-
ная точка траектории конца лБ (по условию, цоср).

При этом Р(л Б0) определится как

ро) ^/Л|^/Ло, ♦ • • ,	1 л—а»

где ль л2, • • •
Х^Л[ . . . с1Лп — к

, Лп-а — частные критерии подобия; Р(ль лп-к, ро)Х
— вероятность того, что траектория, начинающаяся в точке Цо,

находится в области параметров

Лд,0 < Л] < Л1,0 Ч-^Ль Л2,о < Ло < Ло,о ( <1Л_’,

Л(л-*),О < Л^-к < П(п-к),0 + Л^п-к-

При нормальном законе распределения вероятность того, что лБ будет на-
ходиться в заданных пределах [а, >	1, т. е. что а_<лБ<р те, определится как

1 ( 1	—Л1[лБ]\ Г —лЦлз] \|

Р (а_ < л^ < Рк) — ~~ ф |	~ I . —	11

2 | \ ] 2-а[лБ] / V I 2а [ЛБ] /)
где Ф — интеграл вероятности; М [лБ ] — математическое ожидание лБ , о[лБ]
среднеквадратичное отклонение, для которого можно записать

ЭФ’ (Л1 [л 1 ], А! [л2], > • •. А? [ля_а])

— частная производная л

д'Г
где

точке соответствующей значениям параметров А1[л и*
ючье.	корреляции между критериями подобия

-среднеквадратичные отклонения значений л, и

распределения вариации исходных ^рч.оЧ -
априорно заданных или экспериментально определенных,	('4' цруп При

может быть выполнена методом	К

статистического моделирования по
предъявляемые к то шочли

по параметру л3-

А]; г,р — коэффициент

М[л2], ..

А1[Лп-

При произвольных законах

этом устанавливается либо вероятность

Допуска, либо (при заданном

Допуска. Последующий анализ результатов
зволяег обоснованно сформулировать требования
измерения отдельных параметров и воспроизведения их на физической модели с
учетом допустимой (определяемой задачами конкретного исследования) погрещ.

НОСТ11.

Обычно в практических приложениях оценка достоверности ре-
зультатов моделирования с учетом погрешностей задания и воспро-
изведения критериев подобия при статистических их вариациях
сводится к двум задачам:

а)	оценка погрешности реализации приближенного моделиро-

вания вместо точного;

б)	оценка влияния стохастических вариаций критериев подобия.

Подобие и моделирование всегда осуществляются с той или
иной степенью точности. Даже в предположении детермннпрованно
определенных параметров при любом моделировании не могут не

иметь места расхождения в характеристиках модели и оригинала.
Поэтому все исследования, при которых установление подобия
комплексного явления делается на основе каких-либо допущений,
заведомо приводящих к погрешностям в воспроизведении именно
этих главных (определяющих) процессов, должны рассматриваться
как исследования, основанные на приближенном подобии. Если в

оригинале какой-либо параметр а представляется в виде функции
С1=/(х), то на модели аналогичная зависимость с учетом погреш-
ностей моделирования имеет вид функции а2±Аа — ((х)

где вел 11-

чина ±Ла зависит от всего многообразия сопутствующих процеду-
ре моделирования факторов. Если величины аг- входящие в

относящийся к оригиналу критерий подобия, определяются на осно-
вании расчета проектируемой системы, то в этом случае они могут
рассматриваться как «идеальные» величины, не содержащие пер-
вичных погрешностей, т. е. представляющие собой, по сути дела,
математическое ожидание соответствующего параметра Л1[цг-]. Если
значения /И[пг] получаются из опыта путем намерений
жат некоторую ошибку в определении параметра Д7

то они сод ер-
; на модели

этот параметр воспроизводится с некоторой результирующей по-
грешностью >

шпхии'0Т^Я НЭ Т° ЧТ° исследовании реальных (существую-
щих) систем ИСТИПНое значение величин

ствиянеизввстно, с помощью коэффициента иесоответ-
его на\)еальной>етАеЛИГЬ °„ТКЛ0'ненИе процесса при воспроизведении
цесса соответстр\чптеЮЩеИ П01'Решно0сти модели относительно про-
необходимо знать точность'1 пшХ<нЙ>> МВД®ЛИ’ При этом’ °'1'нг";0’
измерительных средств ()ПРп?п ’е11ен|1Ь1х методов последования н
мально топчстимпгп перируя величинами заданного макси-
пдДимхь в . ”х кХшпТ процвсса’ можно установить до-
иостей 'жхледоХия оЙ;;^:Г а ’‘еС0ОТВетс™-
модели и предельно допустимых --
величин, входящих в критерии подобия

залаинои К^ы‘пмнаи1таЛЬ“0Й модели> 11е бУДет превышать
-.чины. Прииципналыто возможно и решение обратной

входящих в критерий по-

с учетом погреш-

ат погрешностей воспроизведения

пе ир е ш 1 госте й в осп р о из в е д ей 11 я

при которых отклонение

3


нахождения расхождения процесса

задачи

а данным по -

систем

Р* альпоп М(>:1('чн
о сравнению с процессом в «идеальной» модели по

грешностям воспроизведения моделируемых величин. В евч г<
этим следует отметить, что при моделировании реальных систем
отклонение коэффициента несоответствия от единицы больше чем
при моделировании проектируемых систем, поскольку на неточность
воспроизведения модели накладывается еще неточность определе-
ния соответствующих величин оригинала.

При строгом равенстве критериев подобия коэффициент несоот-
ветствия должен быть равен единице. Это не значит, однако, что
единственным способом удовлетворения указанных условий являет-

ся равенство нулю всех входящих в коэффициент относительных
погрешностей. Возможны такие комбинации погрешностей и их
знаков, при которых коэффициент несоответствия будет равен или
весьма близок к единице. Анализ структуры коэффициента несоот-
ветствия в каждом отдельном случае может подсказать пути в от-
ношении выбора методов и аппаратуры экспериментального иссле-
дования.

При оценке численного значения коэффициента несоответствия проще всего
ориентироваться на наихудший случай, т. е. на случай, приводящий к наиболь-
шему отклонению рассчитываемого параметра — критерия подобия. Это заведо-
мо преувеличивает отклонение коэффициента несоответствия от единицы, так как
в реальных условиях такое сочетание погрешностей не является наиболее веро-
ятным. Рассматриваемый подход позволяет лишь оценить границы изменения
коэффициента несоответствия. Кроме того, разброс результатов опытов при
инвариантности идеального критерия подобия связан не только с особенностями
самого процесса моделирования, но и с тем, что опыты на ряде установок в
натуре или даже на одной и той же установке, но в различных условиях дают
неоднозначные результаты. Существенно и то, что расхождения между расчет-
ными и экспериментально определенными параметрами могут достигать пример-
но нескольких десятков процентов.

В связи с этим необходимо более подробно остановиться на вопросе оценки
погрешности моделирования. Обычно при оценке погрешности функции прибли-
женных аргументов непрерывная дифференцируемая функция

•••> А'п), в которой точное значение аргумента в точке .И(х'ь л 2. •••» заме
няется приближенным М(лд 4- Дад, + Д*2, •••»	+ ДХп), представляется в

виде

У =	х2,

п

1=]

памиЛХ‘ ~ ошибки в определении к, < = 1....К принимаемые малыми

Пренебрегая членами второго и высшего порядков, можно записать

(3.26)

ве.шчп-

п
откуда коэффицнен г

несоответствия

(3.27)

участвующих величин.

л __показатели степени при соответствующих членах критерия подобия

ЛГ]’’ представления критерия подобия в виде степенной зависимости);
а относительные погрешности величин, входящих в числитель и знамена-
тель выражения для критерия подобия соответственно.

Подобный подход оправдан при малых изменениях

Однако предположение о малых погрешностях определения и воспроизведения

параметров критерия подобия достаточно часто не соответствует действительно-
сти. Поэтому представляется целесообразным для решения рассматриваемой
задачи воспользоваться методикой определения зависимости относительного
изменения функции Д(ль л2, ...» Лп—л) при относительных изменениях ее аргу-
ментов ль л’2, ..., лп-к без наложения условия малости приращения аргумен-
тов. Предполагается лишь, что вид исследуемой функциональной зависимости не

изменения функции Г(Л1, л2, ..

изменяется в результате изменения величины аргументов и зависимость является
непрерывной пункцией аргументов. Так, например, если критериальная функция
Р,=я1/л2, то абсолютнее приращение функции, вызванное изменением ее аргу-

мечта.

3Р- Л Лп Л-1 Л9 ,

что после соответствующих алгебраических преобразований дает

выражение

ДЛ. = (Л21Л! — Л1ДЛ2) [(Л2 + ДЛг) Я2] .

Переходя к относительным погрешностям, можно записать

В/7, = (0Л1 — ВЛ2)'(1 + 0Ло).

В частности, для малых приращений аргумента л2(|6л2| <С1)
— ВЛ2.

(3.28)

Аналогично могут быть получены выражения погрешностей
критериальных функций (табл. 3.5).	н

Преобразование выражений для коэффициентов подобия в

"с±Я?НИЯ^ позволяет получить при расчетах, выполняемых с
дует однако отметите НЫХ Факторов’ Достаточно достоверные результаты. Сле-
ки допусков’по* няибп’’тй^°иа-'В ЭТ0М слУчае обычно применяемая методика оцен-
лишь границы ичмрнрни - олагопРиятному сочетанию параметров может дать
наиболее вероятных з^чениях^г1/1 ПСДобия’ но не Дает никакой информации о
терес.	’ приставляющих наибольший практический ин-

и для любых

соответствии с

ное дщгжГг.ие' Доя! м?делиРования процессы пли некое обобщен'
\'рав гением Результаты п^МЫ хаРактеРизУется критериальным
пепиментяткт,^ Ы любь1х экспериментов (
3' ются кпит расчетов, проводимых на ЦВМ)
результатам пРИЗЛЬНЬ1МИ за'виси,мостями. Однако
г • <>^’латов в смысле их совпадения
повторяемости получается г Депия

* Р а 5 4 '•ни н» ЕЫ п о л н енны е и а ЦВ М -
попадающим в ппепопм	’ нРнщ>дят к результатам, всегда

зультатоз В такого попя п!р Ш экспериментально полученных ре-
лютаая поыоряе!Мость"пеяшиЧеТаХ оказЬ1'вает,ся обеспеченной абсо-

I исходных параметров	ПрИ детеРМИ1Н'иР*ова.нном зада-

160	1 Результаты, получаемые на АВМ, имеют

в том числе и экс-
т акж е х а р актери 
оценка точности

с неким эталоном и в смысле
различной; так, численные решения
приводят к результатам, всегда
Относительная погрешность 1г

Критериальная
функция *2

точное выражение 5л

приближеннее

выражение

< О

_л

п1

± ал/

1п Л/

У с‘„ (5Я;)'
/-1

ВЛп *’1   оЛ;

— !п (1 -Ь аЪл;)

п1Л[

81П Л/

С08 Л/

4 V •

а 1

аге (о- д.

примечание.

2 вес Л/ СО8

(Л/	Л/) ВЛ/

при | Дл/ | ' л

с Р— сочетания из а по
а

( — Л/ 12 *#) 1я<
при | Дл, | < л

(Л/ 1л а) Вл?

величина этого разброса .может быть в
специальными мерами. Исследования на
ВИСП1М0СТИ от характера с

терпи подобия, дают сдвиги максимума

Довольно заметный разброс, максимум гистограммы
статочио хорошо совпадает с Решением полученпш.	а

физической моделл з э
отклонения параметров, »м"“й2Х
т гистограммы в сторону
меньших или больших значений исследуемого параметр'

6—580
Рис. 3.6. Интегральные функции результа-
тов исследования:

- на ЦВМ; 2 — на АВМ; 3'. 3" — зона резуль-
татов, полученных на физических моделях; 4 —
на натуре

дельных случаях этого
сдвига может и ве быть,
но, как правило, физиче-
ская модель дает более
низкий максимум, неже-
ли математическая мо-
дель. Это объясняется
большим приближением к
физической природе яв-
ления и меньшей точно-
стью воспроизведения ис-
ходных параметров. Ре-
альная исследуемая си-
стема дает, как правило,
наименее четкий макси-
мум, допуская в отдель-
ных случаях резкие от-
клонения параметра от
«идеального» расчетного

значения. Если результаты исследований на ЦВМ, АВМ и физиче-
ской модели (рис. 3.6 ) представить в виде интегральных функции
распределения, то результаты будут отличны от результатов, полу-
ченных в натуре.

На рис. 3.7, а показан ход кривых распределения, полученных
на модели и в натуре. Сдвиг точек В и С относительно А зависит
соответственно от характера воспроизведения критериев подобия.
Величина КСр, характеризующая сдвиг кривой по сравнению с
идеальным расчетным случаем, часто бывает такой, как показано
на рис. 3./, б. Значение КСр является функцией критерия подобия,
наиболее сильно характеризующего изучаемый процесс.

На рис. 3.8 приведены гистограммы результатов решений при
различном их выполнении. Численное решение на ЦВМ дает пол-
н-'ю^ повтоРяемость, при детерминированном задании исходных
параметров на АВМ получается заметный разброс, причем макси-

ияние точности воспроизведения критериев подобия на характер
с-сопг	функции распределения-

авленне ха^еристик Физи= моделей 3, 3„ „	б ~ вМе зна.

И9	‘ РИЛ подобия на сдвиг характеристик
т, %

Рис. 3.8. Гистограммы результатов исследования:

/ — ЦВМ; 2 —АВМ; 3', 3" — физическая модель; 4 — реальная иссле-
дуемая система (оригинал)

мум гистограммы совпадает обычно с максимумом, полученным
на ЦВМ. Исследования на физической модели дают различные
сдвиги максимума гистограмм в зависимости от характера пара-
метров, входящих в критерии подобия. Реальная система дает, как
правило, меньшую четкость кривой распределения.

Применение изложенного вероятностного подхода позволяет
получить несравненно более надежные и практически важные ре-
зультаты, чем щри обычном «детерминистском» подходе. Проведен-
ные исследования показали необходимость учета и того обсто$
тельства, что расчет, проведенный для детерминированно задан-
ных параметров, как правило, не дает совпадения с единичным
опытом.

Результаты опытов на физической модели обычно оывают • ’ви-
нуты» на гистограмме и дают большую повторяемость для несколь-
ко иного, чем расчетное значение, параметра х. Из анализа нгсто-
грамм можно сделать выводы о том, сколько опыюв на модели
гарантируют совпадение с натурой, можно проанализировать при-
чины расхождения гистограмм при различных исходных условияд
и сдвига их характеристик относительно друг друга. Так им обра-
зом, облегчается анализ результатов, получаемых на физических и
математических моделях и при натурных экспериментах. Только на
основе вероятностного подхода и возможно сопостав ние получа-
емых результатов с результатами, соответствующими случаю де-
терминированно заданных исходных параметров.
я с твит кривых распределе-
факторов, влияющих нанапр]1мер путем анализа за-
ТП различными п\ распределения от допусков
-а максимума '<Р' в0,‘ Р Это позволяет установить,
оиня исходных данныл.	с большой точ-

на точное». зада	трь1 целесообразно^^^^^^ .результатам на-

какие именно р ь требуемое П111 ' тесно связано с после-
костью. чт°б“нП°;? выяснение этого вопроса тесно абсолютных
турНЫ\м влияния кРптер"е1еления. Наконец, «а основами
«ржичин на характер кривой растр«	количество : опытов,

Хоного анДиза може^ ^хдаим0 провести, чтобы

Выявление

кия, можно вес

в иск мости

сдвига

тууных испытании

дованпем

по-

которое в тех или

лучить требуемую достоверность результата.

Проведенные исследования показывают принципиальную не-
правильность подхода к аналоговым и тем более к физическим мо-
делям как к расчетным установкам. Их следует рассматривать как

определенное так или иначе отражающее стохастическую природу
воХоизв’еление натуры и соответственно оценивать полу-
чающиеся результаты. При этом имеется возможность установить
статт тпческое соответствие между моделью и натурой для более

глубокого анализа физической сущности рассматриваемых явлений.
Принципиально возможно также учесть объективно существующие
статистические закономерности, с тем чтобы результаты моделиро-
вания давали статистически подобные с натурным экспериментом
результаты при использовании моделей с различными физическими

характеристиками и параметрами.

Таким образом, единичное экспериментальное исследование,
поставленное на одном объекте, например на модели, не обязатель-

но должно давать совпадение с экспериментальным исследованием,

поставленным на другом подобном объекте (оригинале)

0ПРедеЛ6ННЬ1х по данной модели и данно-
об	ооязательно существовать некоторый разброс,

модели и овипглйчТИС1сИЧ€СК0^ П'РИР?ДОЙ физических параметров
мостей по°вг 7яг-т\а" ^оличественный учет статистических зависи-
сущих модечи	ТЬ влияние стохастических факторов, при-

измер ия и воспроизв^тгия4^	требования к точности

ХктивноВХ^7Я1ЦИХ В выРажение 1ля
ииьективно заданных

посколь-

на модели различных параметров

, критерия подобия), а при
^,Р„„НОСТ?Х (что может быть обусловлено,

например, спецификой физической реализации модели)
точность получаемого при моделировании результата и возможные
отклонения параметров реальной системы, синтезируемой по ре-
зультатам физического моделирования.

оценить

§ 3.7. НЕТОЧНОСТИ, СВЯЗАННЫЕ С ПРИБЛИЖЕННОСТЬЮ
МОДЕЛИРОВАНИЯ, И ПОГРЕШНОСТИ
ВОСПРОИЗВЕДЕНИЯ КРИ ГЕРИЕВ ПОДОБИЯ

Неточности, вносимые в критерии подобия при расчете, конструнр0'
нии модельного оборудования, являются причн-

вании и


Зтах

Рис. 3.9. Поле корреляции для зависимости дтак =
= /(Л1)

ной появления одной группы погрешностей. Другую группу погреш-
ностей составляют неточности методики постановки модельного
эксперимента на действующей модели. К этой группе относятся
погрешности, связанные с упрощением (объединением, эквивален-
тированием) частей энергосистемы, с невозможностью плавного
изменения параметров модельных элементов, с нарушением крите-
риев подобия и т. д.

Для оценки погрешностей моделирования, связанных^ неточно-
стью воспроизведения критериев подобия (по каким-либо из пере-
численных причин), представляется целесообразным изучение ха-
рактера связи между исследуемым процессом и отклонениями
критериев подобия и определение количественных соотношений
между ними. Например, исследуем влияние на вылет угла синхрон-
ного генератора при коротком замыкании в начале линии (система
«станция — шины») изменения критериев подобия:

л; = л:г//?г; л2 = Ял!хл; л§ — ТДо-

При этом необходимо определить зависимости:

8тах = /Ы: 8шах = /(Я2); 8тах = /(Яз)‘

Вариация критериев подобия производилась изменением зьа 1е
ний параметров, входящих в критерий подоопя, методом скт.^т
ческих испытаний.	.

На основе проведенных исследований рассматриваемые < ->*
мости представлены в виде полей корреляции, показана д
рис. 3.9, 3.10, 3.11. С помощью корреляционного анализа получены
количественные соотношения для этих зависимостей в в -
нений регрессии:

«ти=69,93+0,117л,; «„,,=81.41 —86,6л,;	=77,12—-.-лз-
По условиям выполнения
подобия процесса необходц.
мо в модели получить сле-
дующие численные значения
критериев подобия:

51,77; л, = 0,059;
л,=0,512,

О

При отличии численного
значения этих критериев от
заданных значении по при-
веденным уравнениям рег-
рессии можно оценить полу-
чаемую на модели погреш-

Рис. 3.10. Поле корреляции для завися- НОСТЬ.

мости дюах=/(л2)	Для одновременной оцен-

ки неточности всех критери’
ев подобия можно получить уравнение регрессии для зависимости
(см. § 3.9 и 3.10)

гпах

•^2’

Особенно существенными являются погрешности, вызванные
применением приближенного моделирования, осуществление кото-
рого невозможно без проверки. Выявление погрешностей прибли-
женного моделирования идет по двум взаимно корректирующим
друг друга путям. Первый путь — проверка опытом на основе по-
следовательного моделирования, второй — аналитическое исследо-
вание влияния отброшенных факторов. Прежде чем окончательно
воспроизводить какой-либо процесс оригинала, на модели следует
провести серию опытов с разным сочетанием величин, входящих в
приолиженные критерии подобия.

Например, опыты по определению изменения угла б (вызванно-
го коротким замыканием синхронного генератора), проводимые на
основе приближенного критерия

= 1бет,

повторяются при разных значениях Т

ной ппспаппп?РИИ Л1 УД^летворяется. Одновременно в определен-
охватить чон^Т1ЛЬН0СТИ’ Уста™в~й так, чтобы возможно шире
бия В паннпм Рп?0ЯТНЬ1Х ВЛМЯН1НЯ> меняют другие критерии подо-
Дс шом случае можно изменять критерий

/ и 7ц0, которые сочетаются

= А7ос = Шегп.

ЯРУГОГО^ИЛИ	за;ви'с'им°сть одного критерия от

временные величины евязывающую наиболее существенные
ригерии, найдем максимальное значение
1ьь
угла в зависимости
величин критери-
ев подобия. Затем
можно установить
зоны заметной по-
грешности. Эти зоны
необходимо исклю-
чить (считать «за-
ппетными») при мо-
делировании. На
рис. 3.12 показаны
такие зоны в виде
зависимостей неко-
торого характерного
параметра бтах/бо —
= 6* от критерия
до"1 при различных
постоянных значени-
ях критерия Ль В
области Г (при по-
стоянном значении
л/) и в области Г'
(при постоянном
значении л/') сред-
нее значение бщах/бо
остается постоян-

ным.

Необходимо с т ь
экстраполяции обыч-
но вытекает из не-
возможности вос-
произвести на моде-
ли любые значения
величин, входящих в
критерии. При этом
опыты на модели не
могут считаться до-
стоверными, под-

Рис. 3.11. Поле корреляции для зависимости бтах =
=/(л3)

Рис. 3.12. Проверка приближенной зависимости
от критериев подобия 6*=гДлг)~1 при разлил

НЫХ Л1

тверждающими точ-
ность II ВОЗМОЖНОСТЬ
приближенного мо-

делирования, пока	Области Л . Д"-запретные

не будут проведены	,

аналитические исследования уравнении, положенных в основу
ближенных критериев подобия, пли пока не будет проведено пс^.।
дование на максимум правдоподобия полученных результатов 1 
§ 3.8). Двойная проверка последовательным моделированием
анализом уравнений моделируемой системы позволяет увер н
выявить возможности приближенного моделировании.
§ 3.8. 1ВТ0М01ЫЬН0( ть

Ппп постановке и обработке опытов важно учитывать, что в раз.
^чных отраслях техники встречаются явления (процессы), кото-
рые называются автомодельными. В этом случае при моделИрова.
НИИ фХХх явлений можно не соблюдать точно, или даже
вообше не соблютать, критерии подобия.

Автомодельность какого-либо явления означает автоматическое
сохранение его подобия исходному явлению (оригиналу) независи-
мо от абсолютных величин параметров элементов той системы, в
которой данное явление протекает.

Поясним это, рассмотрев включение цепи Яь 11 на постоянное напряже-
ние 61. Происходящий процесс описывается уравнением

бг1 = '1^1 +

Критерии подобия этого процесса имеют вид.

л' = /] (бч#?1); л2 = А (^ЯГ1).

причем

Л1= /(л2).

Для подобия какого-либо второго процесса первому (исходному) необходи-
мо, чтобы определяющие критерии в сходственные моменты времени были равны,
т. е. чтобы

При любых наперед заданных значениях 12 и /?2 всегда можно удовлетво-
рить этим условиям соответствующим выбором величины /2 и, следовательно,

т» — Л/*2-

Очевидно, что если

=* или тсЛт I #=1,
то и

т» — тп тпс+ 1.

времени рассматри

параметров элемеи-

Таким образом, при соответствующем выборе масштаба
ваемые два процесса будут подобны при любых значениях _________1__

тов второй системы (/?2 и 12). Отметим, что величина еще одного параметра
второй системы, а именно С2, никакого влияния иа подобие процессов не оказы-
вает, поскольку она входит в иеопределяющий критерий. Следовательно, величи-
а ог может быть любой, что также соответствует и тому, что С/2 входит в
систему независимых параметров второго процесса.

весе»1пЮ/быХ зиачеииях параметров элементов системы (И, Н, I) про-
считать яктг,^г.п! оказываются подобными. Следовательно, эти процессы можно
наложенные дел^ными При этом необходимо, однако, учитывать ограничения
наложенные иа выбор масштаба времени т,.

не могутУбыть"попнпсть ЧТ° процессы- протекающие, например, в цепях /?. I, С,
тов системы (6 Р I с\ аВ10М0Дельиьшя> поскольку число параметров элемен-
адедовательно на выкоп* Твышае1 ЧИСЛо «зависимых параметров (*=3), а
второй системы бхпет и»? личииы масштаба одного из параметров элементов
торой системы будут наложены определенные ограничения.

условис'4 И3 ^°РмалЬ11ых признаков автомодельност" являет я

т».с <

те тлс- число параметров элементов системы.

168
Автомодельность в любом случае можно установить пповопя
нализ выражений (1.18а), (1.20) и (1.23).	’ Пр°В0Л"

2 Покажем это на примере уравнения физического процесса со-
держащего два члена (п = 2). Процессы, описываемые таким урав-
нением, заведомо автомодельны. В самом деле, имеем п— 1 = 1,
т е. число критериев подобия должно быть равно единице, и этот
единственный критерий численно равен единице. Поскольку крите-
рий один» то и т—/г=1. Зная общее число параметров т, опреде-
ляем количество независимых параметров к. Для получения крите-
рия эти к независимых параметров могут быть выбраны из т=Л?4- 1
параметров произвольно, поскольку ни один из определителей
Л-го порядка, составленный из строк полной матрицы размерностей
(1.18а), не равен нулю. Количество определителей к-го порядка,
которые можно составить из строк этой матрицы, равно числу со-
четаний из т строк по к = т— 1:

Ст —/п!,'[А! (ш —	— т.

Ни один из т определителей не ра>вен нулю.

Любой из параметров, входящих в двучленное уравнение, мо-
жет быть выражен согласно (1.16) через остальные параметры.

Выразив единицы измерения всех параметров через основные и
перейдя к уравнениям вида (1.23), получим, что все их к определи-
телей типа (1.20) не равны нулю. Следовательно, суммарное число
определителей, не равных нулю, составит к4-1 =т.

Поскольку из гп параметров по крайней мере два являются па-
раметрами процесса, то это означает, что процессы, описываемые
двучленными уравнениями, всегда автомодельны.

Приведенные выше соображения можно проиллюстрировать на примере
уравнения второго закона Ньютона

/ = ма-дл2.

Уравнение содержит два члена (п=2), четыре параметра (Д А1, /, I), т. е.
т=4, и если оно записано в СИ, то ч = 3. Согласно первой теореме число крите-
риев подобия п—1 = 1. Этот единственный критерий

л = АП (/Г-’)=1.

Так как критерий подобия один, то и число т — к обязано быт р
единице; следовательно, число независимых параметров к—3. Покажем, ч -
действительно можно выбрать произвольно. Запишем формулы размер

всех параметров:

(/1 = [А111(^Ч7']-2:



[Г] = [.11)4б) [Г]1-

Составим далее матрицу размерностей:

11-2

1	0	0

0	1	о

О	О	1
Легко подсчитать, что общее количество определителей третьего порядка,
составленных из строк этой матрицы.

= 4! [31(4 —3)!] = 4;

ни один из них не равен нулю потому, что ни один из них не содержит строку,
являющуюся чиненной комбинацией двух остальных. Таким образом, любые три
из четырех параметров могут быть выбраны в качестве независимых, в том числе
и параметры системы Г и М, т. е. процессы, описываемые уравнением второго
закона Ньютона, подобны при любых значениях / и М и. следовательно, автомо-
дельны.

Критерии подобия автомодельных процессов при модели-
ровании служат не для расчета величин параметров элементов
модели, а лишь для определения масштабов при любых зна-
чениях параметров элементов модели.

§ 3.9.	ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Экспериментальные исследования, проводимые как в натуре, так
и на моделях, должны быть предварительно тщательно продуманы
не только в отношении порядка их проведения, но и в отношении
выбора способов обработки результатов, оформляемых в виде свя-
зи между критериями подобия. Обработка полученных данных
должна, как правило, проводиться в критериальной форме.
При этом следует заметить, что термин «д ан н ы е» относится ко
всем материалам, накапливающимся у экспериментатора по окон-
чании опыта. Это могут быть таблицы записей, осциллограммы,
ленты регистрирующих приборов, записи на магнитных лентах, фо-
тоснимки и т. д. Однако эта информация — только «сырые» не-
обработанные данные. Обработанные данные составляет
та же информация после выполнения над ней таких математиче-
ских операций, как построение графиков, пересчет в относительные
единицы, выявление функциональных зависимостей и их математи-
ческое (аналитическое) представление в виде буквенных выраже-
нии (формул). При конструировании этих выражений причинная
зависимость может быть достаточно ясной, а может быть и мало
аметнои. В одних случаях она определяется сразу же при построе-
ппмчТл ИКа’ а В ДРУГИХ случаях для ее определения требуется
выявлять13 статист11ческие критерии значимости и
слсчаях аличие совокупности ошибок. Однако во всех
в ы б л п V Ре^льта ге эксперимента получают некоторую конечную
выбопкя Хм °тсчетов из бесконечной совокупности. Чем больше
ной совокупности*6 66 расП|ределение к распределению генерале-

след' ГГХжич ЗКСИ $°РМЫ при отсутствии других соображений
обладающую на^большГ^”^10 зави'сим°сть у = АхтЦ'\'р, как
17о Д Щ}ю наибольшей простотой и гибкостью (возможностью
пьирования значений коэффициен-
вЭР и показателей для отдельных ин-
^еовалов), причем следует вводить в
ту степенную форму не отдельные
именованные величины, а критериаль-
ые значения или, в крайнем случае,
значения, представленные в относи-
тельных единицах. Метод дальнейшей
конкретизации такого рода выраже-
ний, т. е. определения значений их па-
раметров, заключается в следующем:

1.	Получив путем предварительного
анализа степенную зависимость меж-

Рис. 3.13. Логарифмическая
зависимость критериев по-
добия

ду критериями подобия лх=Д л Г л",

необходимо так построить методику проведения экспериментов,
чтобы для каждого постоянного значения определяющего критерия
Л2 найти достаточно большой ряд значений неопределяющего кри-
терия лх в зависимости только от одного определяющего крите-

рия Ль

2.	Полученные экспериментальные данные следует представить
графически в логарифмической анаморфозе, либо на логарифмиче-
ской бумаге, либо на миллиметровке; в последнем случае по осям
координат откладывают логарифмы величин (рис. 3.13). Если меж-
ду критериями Их и яд действительно имеет место степенная зави-
симость, то в логарифмической анаморфозе все экспериментальные
точки (для каждого постоянного значения л20 укладываются на
одну прямую:

А + т Яр

где А^ — Ал^.

3.	Далее определяется величина показателя т как тангенс угла
наклона полученной прямой линии к оси абсцисс:

т=1^^=1>/а;

где а и Ь находятся непосредственно масштабной линейкой.

4.	Величина коэффициента Д определяется для ряда значений
(не менее трех):

к

где /V — число значений л.г.

Если степенная форма критериального уравнения дает неудовле-
творительные результаты, то задача конкретизации формы этою
уравнения сводится к подбору типа эмпирической формулы у—/(х),
последующему определению значений ее параметров по метолу
наименьших квадратов и проверке полученной формулы. При под-
боре типа эмпирической формулы рекомендуется руководствовать-
ся следующими соображениями:
Рис. 3.14. Характерный
график обратно пропор-
циональной связи

Рис. 3.15. Типичные гра-
фики экспоненциальной
зависимости

1.	Табличные значения переменных х и у наносят на график и
по общему виду графика подбирают тип формулы.

2.	Для зависимости типа обратной пропорциональности
(рис. 3.14) выбирают формулу дробно-линейного вида (Л<С);

у = (Ах Д- В)/(Сх Д- ।.

3.	Если процесс является затухающим, то пробуют одну из экс-
поненциальных зависимостей, 1 или 2 (рис. 3.15).

4.	Если процесс является периодическим (рис. 3.16), то пробу-
ют тригонометрическую зависимость

у = А 51П (аД-2лх.Т),

или тригонометрический ряд

*/ = А)Д“ А с°5 ~—-г -4? со$2 -у Д- •••-]- Д/51П —- Д-

Здесь 71=3,14.

~г Вп 5Ш 2------1- • • • .

Г 1

5.	В более общем случае, когда нельзя сделать предположений
относительно ожидаемой после обработки аналитической формы,
у	функцию представляют в виде от-

Рис 3.16. Примерные за-
висимости периодиче-
ского процесса с перио-
дом Т

резков степенного ряда полиномов
той или иной степени, т. е. так назы-
ваемым уравнением регрессии, пред-
ставленным в виде ряда

У =	Д- У Ьк ^ху Д- 2 Ьах2 Д-

Д-...,	(3.29)

где у — исследуемый параметр; х
влияющие параметры; Ьо, к и ко*
Ьц — коэффициенты регрессии, ко-
торые обычно находят методом наи-
меньших квадратов. В частном слу-
чае для получения формулы применяют многочлен

У = -Л +	+ Сх2 3  ---(-

При этом начитают проверку с многочлена первой или втооой
степени. Если она не удовлетворяется, то повышают степень много-
члена. Подобрав тип эмпирической формулы, определяют числен-
ные значения ее буквенных параметров по методу наименьших
квадратов.

1.	Если формула нелинейна относительно параметров, то она
должна быть приведена к линейному виду путем соответствующего
преобразования (или разложения в ряд), в частности:

для дробно-линейной зависимости

Ах -ф В — В)у~Сху,
для экспоненциальной зависимости

1п 1п —— — т 4- п 1п х

«/о - У
или

1п 1п —= т-|-п 1п х,

У

Где т = 1п «; п — постоянная величина;

для тригонометрической зависимости

2лх  . • 2лх
а соз------, рзш----=у,

т	т

где

а = Лз1па; ^=,Асоза.

2. Подставляя в полученную формулу поочередно все табч 14-
ные значения х* и у,- (где 1 = 1, 2, ...), для определения буквенных
параметров А, В, С найдем г линейных условных уравнении вида
/(х„ А, В, С, ...) =у,-, которые могут быть представлены как

а,«-фд/п-фс,да4----~е‘'

где а„ а, — коэффициенты условных уравнений, полу час 1ые; в
результате подстановки табличных значении х, и у<, и, с, ь.

вестные буквенные параметры эмпирической формулы.	а.

3. Для определения неизвестных буквенных параме р
вим нормальные уравнения:

+ —	+ — а‘с1~\	= ~а&’

и V а Д- 4- Й-ф ® Н----------= - Ь,1‘'

И У «А -ф V V Ь(С, -ф К' 2 Н- • ' ' = - Г;/‘"

4 Коэффициенты нормальных уравнений проверим
образом:
а)	вычислим сумму коэффициентов условных уравнении:
5; =Я/ + + С1 4	+

б)	проверим равенства:

у	V а 1Ь1+а1с1 -----Ь ~	= 2 а '>

V а. Ь[ + Е 4-1 Ь>С‘4--Н - Ь‘^ = ^Ь181'

у а,с,+V 4- 2 <4 4- • • • 4-	=2 с,5,..

Получив указанным путем численные значения параметров
эмпирической формулы, проверим удовлетворительность формулы.
Для этого:	„

а)путем подстановки табличных значении Хг в формулу найдем
вычисленные значения у^;

б) определим среднюю квадратическую ошибку на единицу веса
80 = Г - (У1-У:е)2.!(г~8^

ил.и среднее абсолютное отклонение

Ъ=2АУ1~ У1с)/Г’

где г — число табличных значений; 5 — число параметров.

Если величины ор и б находятся в пределах абсолютной величи-
ны допустимых ошибок у,, то формула является удовлетворитель-
ной.

Пример. Произвести подбор эмпирической формулы, аппроксимирующей
табл. 3.6.

ТАБЛИЦА 3.6

X	0	0,5	1,0	1,5	2,0
У	7,0	4,8	2,8	1,4	0

вой ™ТВе ™"а ЭмпиРическ°й формулы принимаем сначала многочлен пер-
У — А + Вх.

для и В   Н61 ° та^личные значения, получаем условные уравнения
Л = 7,0, Д+0,5В = 4,8; Л 4-В = 2,8; А + 1,5В = 1,4; А +2В = 0.

Составляем нормальные уравнения:

5Д+5В= 16,0; 5А +7,5В = 7,3

ПР»Т»™	„авнот16; ’

5*‘ + ».<'-О+М> + <1+О.5 + 4.8)+(, + ,+2Л) + (1 + 1]6+,л) +

+ (1 +2) = 26,0;

‘+м+,.3_0.5(1 +0>6	, +, +2

[74	+2(1+2) =19,8.
решая нормальные уравнения, полу-
чим:	л = 6,68; В = -3,48,

основании чего запишем эмпирическую
формулу (кривая /, на рис. 3.17)
$	у = 6,68 — 3,48х.

Подставив в полученную формулу зна-
х (табл. 3.7), определим вычислеи-
че”‘ значения Ус и отклонения.

“ Отсюда находим 2(у- ус)2=0,3636.

Средняя квадратическая ошибка на еди-
ницу веса_______________

„ о = У О,3636/(5 — 2) = О,348.

Среднее абсолютное отклонение

» — ГО З9 + О ,14 + 0,40 + 0,06 + 0,28).'5=

1	=0,240.

ТАБЛИЦА 3.7

Рис. 3.17. Получение эмпириче-
ских формул:

1 — у=6,68—3.48Х; 2 — ^—7.00—4.74x4-

4-О.бЗх2

х	«С	У~«с	(у-усУ
0	+6,68	+0,32	0,1020
0,5	+4,94	—0,14	0,0196
1,0	+3,20	—0,40	0,1600
1,5	+ 1,46	—0,06	0,0036
2,0	-0,28	+0,28	0,0784

ТАБЛИЦА 3.8

X	У	у-ус	(У-УСУ
0	7,0	0	0
0,5	4,79	+0,01	0,0001
1,0	2,89	-0,09	0,0081
1,5	1,30	+0,10	0,0100
2,0	0,04	-0,04	0,0016

Полученные величины показывают, что формула подобрана неудовлетвори-
тельно, так как табличные значения даны с точностью до 0,1, а средняя квадра-
тическая ошибка на единицу веса значительно больше 0,1.

Аналогично проверяем многочлен второй степени вида
у ~ А + Вх + Сх2.

Подставляя в него табличные значения х и у, получаем условные уравнения:

А = 7,0; А + 0.5В + 0,25С = 4,8; А + В + С = 2,8;

А + 1,5В + 2,25С = 1,4; А + 2В + 4С = 0.

Составляем нормальные уравнения:

5А + 5В+7,5(7 = 16,0;

5x4 + 7,5В + 12,56? = 7,3;

7,5А+ 12,5В+ 22,1256? = 7,15.

Проверяем коэффициенты нормальных уравнений:

5 + 5 + 7,5-4- 16,0 = (1 + 7,0) + (1 +0,5 + 0,25 + 4,8) + (1 + 1 + 1 + 2,8) +
+ (1 + 1,5 + 2,25 + 1,4) + (1 + 2 + 4) = 33,5;

5 + 7,5 + 12,5 + 7,3 = 0,5(1 + 0,5 + 0,25 + 4,8) + (1 + 1 + 1+2,8)+ 1,5Х
Х(1 + 1,5 +2,25 +1,4) + 2(1 +2 + 4) = 32,3;

7.5+ 12,5 + 22,125 + 7,15 = 0,25(1	0,5 + 0,25 + 4,8) + (1 + I + 1 +2,6) +

+ 2,25(1 + 1,5 + 2,25+ 1.4) +4(1 + 2 + 4) = 49,275.
Решая нормальные уравнения. находим.

А = 7,00; В = — 4,74; С = 0,63,

на основании чего записываем эмпирическую формулу
у = 7,00 — 4,74х + 0,63

Подставляя в нее значения х, получаем табл. 3.8.

Средняя квадратическая ошибка на единиц; веса
о0= > 0.0198 (5 — 3) = 0,0995.

Среднее абсолютное отклонение

8 =(0 + 0,01 +0,09 +0,10 +0,04) 5 = 0,048.

Можно остановиться на эмпирической формуле
у = 7,00 - 4,74л- + 0,63x2,
как вполне удовлетворительной (рис. 3.17, кривая 2).

Наиболее целесообразно иметь аналитическое описание в
критериального уравнения регрессии:	Де

Ъ =/ (л2, л3,..., л„_Л) =-- Ьо + V Ь.П1 +
/ ~2
т—т~к

+ У	л> + 2 ь“я' + •  • ’	(З.зо)

где Ьх, Ьц, Ьц — оценки коэффициентов уравнения (3.30), близкие
к истинным значениям коэффициентов, определяемым по следую-
щим формулам:

ол,- — „	дядя, —	а-г2

г.-0	•	’	г-0	0Л1	—

л — вектор, координатами которого являются нормированные кри-
терии подобия исследуемого процесса.

Весовые значения коэффициентов уравнения регрессии (3.30)
показывают, как влияют на л( остальные критерия! подобия и их
совокупности.

данных1"отиоеп^г^С,Сии.вЫводится на основании статистических
тате пассивного бЫТЬ полУчены двумя способами: в резуль-
го епХба зХпт У"°того ^Р^ента. Выбор того иж дно-
костей, имеющихся V МсспРеТН° По<?тав-’,&|1|,ОЙ задачи и от воэмож-
коэффициентов упзнивиССЛеДОВатеЛЯ‘ При пеРвом способе оценки
либо корреляционногоИЯ р^гресспи (3.30) определяются методами
симости ОТ законов пТ; ‘Iй.60 регрессионного анализа (в зави-
бия). При втором спогпгределення 'веР'°ятностей критериев подо-
обработкой резузьтатон е Э™ оценкя находятся статистической
Рией планир^ания :^?"ЫТ0В’ проведенных в соответствии с тео-

В проц«се экспепим1РИМе1,Та <см- * 3.10).

пырять точност^паоамртп^111’4-!100’1^0153'11"’' часто приходится
сопоставлять параметры мп?00' воспР°нэведенных на модели, и
юдели и оригинала. При этом значитель-
Хответ
Формула

Рис 3.20. Номограмма для определения постоянной времени Т по осцпллограм
мам процесса нарастания и затухания

«5ю пользу могут принести номограммы представленные на
рис. 3.18, 3.19, 3.20.

Показанная на рис. 3.18 номограмма дает возможность по двум
замерах! экспоненциально затухающей величины (например, тока)
1 2 Л2 — и определить постоянную времени Т процесса.

гтляии2',С аналогичная номограмма позволяет определить по-
Еспи «е попМеН ' дв-х экспоненциально затухающих процессов.

=г^В°п 2роцессе (О/х!о=Л*1, а во втором процессе
и тот же момент *' **/’ дричем х‘(0 11 -"МО определены в один
(х, легко опселети?ьМеНИ$ная отношение и в момент времени
цёсса (модади и орипшГта?Ьр Бременп для од,ного и другого про-
Иногда вочш.кЛ ж РазУм^ся, при а=1 всегда Т^Т2.
мени какой-либо цепи^о и™^ет°СТЬ В 0Г1ределеннн постоянной вре-
кону Х!=.г, 11 _1 звестнЬ1М значениям нарастающей по за-
х«г(е~'*уг)=л, ветиипим •эВе'1ИЧННЬ1 11 спадающей по закону
времени /, и Г2, в которые опоепр3^^	х<а/х2 и моменты

(рис. 3.20) найти постоянную Делены х‘ и хъ легко по -номограмме
могут быть весьма полезнпУм г, Бр®меня процесса. Номограммы
ных данных; имц можно ..ри обРаботке (аппроксимации) опыт-
пеня нелинейности пюопееЛп*6 ПОЛЬЗОваться для выявления сте-
которых отклоняются от линей |вротекающ'их в цепях, параметры
• П0С1[юени л п ь"^я|1о.
в заключение заметим, что в тех случаях, когда эксперимен-
тальные данные получены с весьма существенными погрешностями
., расхождениями, исследователю, создающему гипотегу явления
я его математическое описание, приходится делать выбор из мно-
жества возможных описании (гипотез), не противоречащих полу-
ченным экспериментальным результатам—данным измерений.

В этом случае решающее значение в планировании эксперимен-
та и обработке его данных приобретает принцип максимума
правдоподобия: наилучшим описанием явления будет то, ко-
торое дает наибольшую вероятность получить в результате измере-
ний именно те значения, которые фактически получены.

Не касаясь здесь деталей этого 'важного вопроса, изложение ко-
торого можно найти в специальной литературе*, заметим, что этот
принцип приходится применять и в тех случаях, когда нельзя непо-
средственно получать в эксперименте подлежащие изучению величи-
ны, а удается только получить некоторые их функции, зависящие от
ряда других параметров.

Принцип максимума правдоподобия отражает стремление иссле-
дователя выбрать такую гипотезу, при которой (предполагая, что
выбранное описание истинно) вероятность получить в процессе из-
мерения фактически наблюдавшиеся величины была бы максималь-
ной. При пользовании методом правдоподобия вероятность получе-
ния различных результатов наблюдения дается некоторой функцией
распределения. Теоретические распределения, выдвигаемые в каче-
стве гипотез, основанных на предшествующих сериях измерений,
требуют обязательной проверки. Они могут также выводиться мате-
матически, исходя из природы исследуемых случайных величин пли
из связи рассматриваемых величин с другими, распределение кото-
рых известно. Специально разработанная методология позволяет в
каждом конкретном случае найти функцию правдоподобия и доста-
точно уверенно планировать и обрабатывать опыты даже в сложных
случаях.

§ 3.10. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Выше отмечалось, что планирование экспериментов приобретает все
большое и большее значение при постановке исследований, направ-
ленных на изучение сложных систем и различных многофакторных
объектов. Повышение эффективности эксперимента особенно акту-
ально в связи с тем, что в настоящее время многие эксперименталь
ные научные исследования проводятся настолько хаотично, что их
коэффцщ1ент полезного действия оказывается очень невысоким. На-
пример, известный английский ученый Д. Берналл оценивал его

* 11 II. Клепиков, С. Н. Соколов. Анализ и планирование эксперимен-
тов методом максимума правдоподобия. «Наука», 1964; Под ред I. К Кру-
га. Некоторые вопросы математического описания многофакторных процес-
сов. Труды МЭИ, вып. 51, 1963.
„ 90. Меж ту тем четко провести эксперимент, объективно оценить
сведения об изучаемом процессе и распространить материал, полу,
чснный в одном исследовании, на серию других исследовании мож.
но только* том случае, если эти экспериментальные .исследования
будут правильно пбставлены, а их обработка выполнена при обоб-
щенном подходе. Без этого единичным эксперимент или ряд такцх
экспериментов будет иметь очень малую ценность, низкий к. п. д.;
время и средства, потраченные на их проведение, не смогут быть
оправданы.

Планирование экспериментов предусматривает включение в
практику исследователя способов, позволяющих увеличивать эф-
фективность от наблюдений, проводимых при относительно «бед-
ной> статистике, получать наглядную интерпретацию результатов
и наилучшим образом оценивать случайные и систематические
ошибки.

Планирование экспериментов обычно рассматривается а лите-
ратуре как самостоятельная теория, оперирующая с достаточно
сложным математическим аппаратом, имеющая свою терминологию,
часто затрудняющую использование ее выводов широким кругом
инженеров.

Применение методов планирования эксперимента в практике
инженерных исследований может быть облегчено и расширено,
если учесть, что цели, которые ставятся при планировании экспе-
римента, н задачи, которые с помощью его решаются, во многом
совпадают с целями и задачами, разрешаемыми методами теории
подобия и моделирования. Именно теория подобия, являющая-
ся расширенной теорией эксперимента, ставит своей
задачей так обобщить опытные данные, чтобы любой единичный

мысленной), мог бы
на неограниченно
в соответствии с крите-
признаются подобными

и получение

закономер-
информацип

эксперимент (физический или математический), проведенный на
какой-либо модели (материальной или
быть закономерно перенесен
большой класс явлений, которые
риями, вытекающими из теории подобия,
данному явлению.

Обработка результатов исследований
ных данных и сведений при относительно неполной
также выполняются методами теории подобия.

усложнении энергетических объектов все большее значение
мопк^-ьГ ^величение надежности результатов, получаемых с по-
метотон^т^^1^16111^ Здесь ис'слеД°вания, проведенные на базе
ческого •чггп^п" полсбня. с одновременным применением статнстн-
высить ун^пр|Л1гМеНТа НЭ вь1чпслительных машинах, позволяют по-
тально вы'яд1яр«? заключений о свойствах объектов, эксперимен-
ских аналоговых На натУРе’ физических моделях, математнчес-
экспернменты) оделях разного рода и на ЦВМ (математические
ментальныхНИметотлпеНЦ1!И С11Нтеза теоретических наук и эксперп-
объединени< Указывают на безусловно целесообразное

Динение методов теории подобия и модели-
А «ЭД
„ ц я, являющихся уже много лет испытанным средством ин*
Г 0 0 пного исследования, с относительно недавно зародившейся ме-
^гпей планирования экспериментов и проведеипч их
< экстремальных, отвечающих принципу максимума правлопо-
ка1 я Несомненно, что такой синтез будет плодотворен и приведет
большому расширению возможностей как теории планирования
экспериментов, так и развивающихся методов теории подобия и
моделирования.

В настоящем .разделе книги автору не удалось в связи с недо-
статочной проработанностью вопроса дать теорию плакирования
эксперимента в полностью органической связи с теорией подобия
Б общем виде. Приведенный материал указывает только на те пути,
по которым надо идти, реализуя упомянутое единство подхода в
конкретных случаях.

Планирование экспериментов отводит математическим методам
активную роль. Здесь статистические методы используются на всех
этапах исследования при формализации априорных сведений перед
постановкой опытов; при выборе факторов, влияющих на свойства,
и самих свойств, подлежащих изучению; при постановке экспери-
мента и обработке его результатов; при принятии решений, т. е. на
промежуточных этапах, и в конце всей работы. Способы планиро-
вания экспериментов весьма разнообразны. Весьма эффективно
они применяются при решении так называемых экстремальных
задач. В этих задачах предполагается, что параметр оптимизации
(например, то свойство, которое необходимо оптимизировать) свя-
зан с факторами, влияющими на изменение изучаемого свойства,

каким-то математическим выражением.

Экстремальный эксперимент требует, чтобы при минимальном
количестве опытов, варьируя значения независимых переменных
чо специально сформированным правилам, найти область оптиму-
ма и получить ее математическую модель. Подход здесь чисто ки-
бернетический. Весь процесс влияния факторов на свойства пред-
ставляется в виде «черного ящика», и экспериментатор на первом
этапе исследования, по сути дела, абстрагируетсяот ту
я и з м а явления, от механизма влияния факторов. Он лишь м
н я е т входы в «черный я щ и к» и соответственно этому по-
лучает разные выходы из ящика. На рис. 3.21 показаны подходы к
экспер1пменталыюму изучению самых различных сложных сис .

Схема решения задачи в общем виде предполагает вначале
’людения над влиянием факторов на параметр оптимизации.
Тем поиск связи между ними. Связь эта, выявляемая в Р >• '
опытов, обычно представляется в виде приведенного в §  „
Чечня регрессии

0 = А>-|- 2 М/ + Е+ 2 ьчх' + ' • • •	(3‘3а

. ("вязь между исследуемым параметром у и	п

^траМи х, представляется в виде некоторой Д^^ На пз-

1Н*ь х^, ...), расположенной в многомерном про
Рис. 3.21. Схема экспериментального изучения сложных систем:
а — принципиальный подход: б — понмецы
мнение любого влияющего параметра х,- функция откликается
нменемпем У- Поэтому величина у называется поверхностью откли-
ка функцией отклика или просто откликом. Функция отклика пои
ЭТОМ записывается в виде отрезка степенного ряда.

Решается задача поэтапно, и в этом — основной принцип метода
планирования экспериментов. На первом этапе, варьируя в каж-
дом опыте сразу все независимые переменные (что уже само по
себе во много раз уменьшает объем экспериментальной работы),
исследователь ищет лишь направление движения к области опти-
мума. Поверхность отклика при этом исследуется только на не-
большом участке, в линейном приближении. В дальнейшем на каж-
дом этапе в соответствии с результатами, полученными на преды-
дущих этапах, ставится небольшая серия опытов, результаты кото-
/ рых вместе с интуитивными решениями определяют следующий
шаг. Эта процедура заканчивается в области оптимума, где ста-
вится значительно большая серия опытов, и поверхность отклика
в области оптимума описывают уже нелинейными функциями.
Получающиеся в результате уравнения регрессии служат матема-
тическими моделями. По величине коэффициентов этих уравнений,
как правило, можно судить об эффектах — степени влияния — соот-
ветствующих факторов и их взаимодействий.

Статистическая значимость коэффициентов свидетельствует о
значимости соответствующих эффектов. Такой целенаправленный
подход к исследованию значительно эффективнее проведения ис-
следования на основе проб и ошибок пли иа основе только опыта
и интуиции.

Основная идея метода планирования — возможность целена-
правленного оптимального управлении экспериментом при непол-
ном знании механизма изучаемого явления — отвечает идеям ки-
бернетического подхода, предусматривающего формализацию не-
творческой части труда исследователя. В основе теории планирова
ния эксперимента лежат методы регрессионного и дисперсионного
анализа.

Регрессионный анализ позволяет представлять резуль-
п*т эксперимента в виде функциональной зависимости типа ( .	•

Для применения методов регрессионного анализа иеооходп

чоденше следующих условий: значения изучаемых пар-Р
процесса (переменных) в каждом опыте следует считать независи
нормально распределенными случайными веЛ11ЧП ’ [ЧНЫК
а>. что ошибка в параметрах системы, начальных и граничны
п |\0В11ЯХ пренебрежимо мала по сравнению с ошио	опы-

^.‘  процесса; дисперсии параметров системы при п р ° лпыты д0_
с‘.. к опыту следует считать однородными, полага ,

‘>1|(>чно хорошо повторяются.	„.„илгкИМ мето-

До ^“еперсион н ый анализ является стати с	схммариой

д'’ с помощью которого производи гея разло анализа прн-
м..и1еРС1111 на составляющие. Методы дисперсной* дисперси-
о ипЮ1СЯ в Условиях неоднородности. Пути применениядне
О|,ного анализа 1фн планнр^анПи экспериментов показан
4 99 В зависимости от числа источников дисперсии различаю,-
р,1С ??якто ный и многофакторный дисперсионный
0ДН ФР П1ппи постановке опытов реализуются все возможные
аНаЛЛ П^ти уровни, задаваемых выбранной схемой эксперимента,
совок) пностн	ф и к а ц ц я х дисперсионного анализа

ГсзХх н "пол н ь.х классификаций дисперсионного
?нат’1за .реализуются не все возможные совокупности условий. а
ек ?топая их часть, и, следовательно, производится сокращение пе-
ребор вариантов. Это сокращение может быть осуществлено слу-
чайным образом или в соответствии с некоторыми строгими прави-
лами. При случайном сокращении говорят о классификациях с
огпаничениями на случайность «рандомизации». Рандомизаци-
ей* эксперимента называют сознательное проведение запланиро-
ванных опытов в случайной последовательности, с тем чтобы
исключить влияние систематических ошибок, вызванных внешними
условиями.

В теории планирования эксперимента широко пользуются поня-
тием матриц планирования эксперимента, т. е. таолицами, в кото-
рых записаны кодированные значения факторов. Каждый столбец
в этой таблице (матрице планирования) называется вектор-столб-
цом. Если сумма почленных произведений любых двух вектор-
столбцов матрицы равна нулю, то говорят об ортогональности
матрицы планирования. Если точки в матрице планирования подби-
раются так, что точность предсказания значений параметра опти-
мизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента
и не зависит от направления, то это свойство называется ротота-
бельностью. Комбинация факторов, влияющих на проведение экс-
перимента, называется уровнем факторов. Если число факторов /г
известно, то можно найти число опытов /V, необходимое для реали-
зация всех возможных сочетаний уровней факторов. Это число
определяется формулой где р- число уровней.

•эксперимент, при котором реализуются все возможные сочета-
'ровней факторов, называется полным факторным эксперимен-
с- а..1СТ° П)РИМ6НЯЮТСЯ так называемые дробные реплики от пол-
но факторного эксперимента, которыми пользуются в тех случаях,
ХГДа ”ужН0 ПОЛУЧНТЬ линейное приближение некоторого неболь-
е...р '' А* 0 повеРхнос'ги отклика вместо всей поверхности. При
огпаничпт! Т1Ша задач1И’ например, для трех факторов можно
фактошн чхДГЬ1РЬМЯ г,пытами> если в планировании для полного
факторов X х ппиРИМИ!Та ТИПа 22 П1РОИЗвеДение двух влияющих
Факторов х^ приравнять третьему фактору хц.

^оделей.НЦе.т^7оГгЧ ШИ^ОКО применяются при получении линейных
ЧИС 1а факторов Н “^11Ость Их П|Р'”'менения возрастает с ростом
го 15 влияющих *якт<Чп^Р’ ПР'И иослеД°вании явления, содержаще-
2000 раз В теопии В’ числ'° опытов сокращается более чем я
	‘ ниРования эксперимента вводится понятие

применяют чн'И | И^еНТа вместо русского слона «случайность»

'	1,1,1 гермии «Рапёот» — отсюда «рандомизация*-
| Факторные планы |
Рис. 3.22. Дисперсионный анализ и планирование эксперимента
У

Рис. 3.23. Определение непланированным и планированным эксперимен-
том экстремального значения 1/тах:

1,2, 4~ области пробного отклика в первом опыте (а); 5, 6, 7, 8 — то же,
во втором опыте (5), Эти же области показаны отдельно (а, б)

степеней свободы, под которым понимается разность между числом
опытов и числом коэффициентов, которые уже вычислены по ре-
зультатам этих опытов независимо друг от друга. Например, при
полном факторном эксперименте, когда число опытов Д/ = р,! = 23,
число степеней свободы будет IV—к— 1 =8—3— 1 =4. Обычно прове-
лве :1кС11еР‘1ментов пРедполагзет поочередное изменение влияю-
щих параметров, что ведет к нерациональному расходованию вре-
3.23) неспелая отысканпи экстремального значения у (рис.
в „ ' тель,, начиная с точки уо, будет поочередно зада-
я значениямих2, х2 , ... и при каждом значении х2 проводить

9КСчТТпТДЛЯ1Рядазначе»»й хЬ X?............

периментов^'вообюе3^11 ''"Формацип> полученная после таких экс-
«ак относится к об1астиПРЛДпСТаВЛЯеГ п1Рактического интереса, так
того, получая значения Д ?К°" °Т оптимальных условий. Кроме
«проскочить» точку экстремума у исследоватеЛь может и вообще
рашоналнзируетсяУлеч^и3 плааиР0Вания экспериментов их ХОД
небольшая серияиз четы бразом- Вбл»3ч точки уп ставится
186	I четырех (область а иа рнс. 3.23) опытов. Цель
этих опытов —еще не поиск, а предварительное отыскание на-
травления поиска. При этом исследователь неизвестную по-
верхность отклика на небольшом участке вблизи точки у0 аппрок-
симирует плоскостью и находит коэффициенты регрессии выражения

У ~ 4" &1Х1 4“ У1Х2-

Получив это приближенное уравнение, исследователь далее может
найти его градиент, установить направление а, в котором надо дви-
гаться из области а (рис. 3.23, а). Сделав несколько опытов в этом
направлении (осуществив, как говорят, крутое восхождение по
поверхности отклика в направлении градиента линейного прибли-
жения), исследователь выбирает новую исходную точку у5, возле
которой вновь ставит аналогичную серию из четырех опытов, рас-
считывает коэффициенты нового линейного приближения, теперь
уже вблизи точки у\ (у=Ьо -т-Ь/х^ + Ьъ'хъ), и осуществляет движе-
ние по градиенту этого уравнения, т. е. по направлению р из облас-
ти б (рис. 3.23, б). Направление градиента линейного приближения
геометрически представляет собой в данном случае прямую, пер-
пендикулярную изолиниям, т. е. это самый крутой склон (кратчай-
ший путь), ведущий от данной точки к вершине. Для поверхности
отклика, показанной на рис. 3.23, оказалось достаточным проведе-
ние двух серий опытов, чтобы при крутом восхождении найти
Утах — экстремум. Естественно, что чем больше факторов варьиру-
ется, тем эффективнее применение методов планирования экспери-
ментов.

Рассмотренный подход был предложен в 1951 г. американским
химиком и математиком Боксом и получил широкое применение в
исследованиях по химии, металлургии и других областях техники.
Разумеется, что изложенное здесь дает только основную идею пла-
нирования эксперимента, получившую сейчас широкое развитие в
ряде работ.

Общая схема планирования экспериментов для решения экстре-
мальных задач состоит из следующих этапов: 1) постановка зада-
чи; 2) выбор параметра оптимизации; 3) выбор факторов; 4) со-
составление линейного плана; 5) реализация линейного плана и
построение линейной модели; 6) поиск области экстремума; 7) опи-
сание области экстремума; 8) интерпретация результатов.

Остановимся несколько подробней на главнейших этапах.

Постановка задачи. Решение задачи начинается с ее формули-
ровки. Исследователь должен иметь ясное, четкое, однозначное
представление о цели работы. Желательно, чтобы цель исследова-
ния была сформулирована количественно, так как планирование
экспериментов связано прежде всего с установлением кол и-
чест вен пых связей между входными и выходными парамет-
рами изучаемой системы; разумеется, обьект обследования должен
быть управляемым.

Выбор параметра оптимизации. Одним из наиболее ответствен-
ных этапов является выбор параметра оптимизации. Он должен
Удовлетворять ряду требований. Желательно, чтобы параметр оп-
химизации был однозначным, характеризовался числами деистви-
тёзьно определял оптимум. Надо стремиться к тому, чтобы пара-
метр бьёз только один, имел ясный физический смысл и оценивался
с максимальной статистической эффективностью (последнее поз.в0-
ляе•сократить до минимума чисто параллельных опытов).

Простейший случай имеет место, когда заранее известен и сам
параметр и то его'значение. к которому следует стремиться. При
этом иногда приходится видоизменять вид параметра (например,
переходить от его натуральных значении к логарифмам, ооратным
величинам и пр.). Если значение параметра, к которому следует
стремиться, неизвестно, все же следует пытаться установить огра-
ничения его величины хотя бы с одной стороны

Иногда параметр оптимизации приходится изменять из-за тех-
нических трудностей, связанных, например, с отсутствием необхо-
димых методик или достоверных методов оценки. В этих условиях
можно применять параметры, дающие косвенные оценки, но поиск
экстремума становится во многом интуитивным, а интерпретация
результатов усложняется.

Часто возникают трудности в количественной оценке параметра
оптимизации Тогда можно использовать суоъективные ранговые
параметры, такие, например, как сорт, балл, класс и др. Некоторые
методы планирования экспериментов вообще не требуют количест-
венных оценок параметра оптимизации.

Выбор факторов. Не менее сложен этап выбора факторов, влия-
ющих на изменение параметра оптимизации. Если при постановке
задачи пропустить какой-нибудь сильно влияющий фактор, то вся
работа окажется бесполезной. Поэтому' при планировании экспери-
ментов необходимо включать в план исследования все факторы,
которые, по мнению экспериментатора, могут влиять на параметр
оптимизации. Часто выбранных факторов оказывается очень много;
если число их превышает 10, то возникает задача отсеивания
незначимых факторов. Некоторые существующие в настоя-
щее время способы отсеивания будут рассмотрены дальше. Пока
же будем полагать, что факторы, влияющие на параметр оптимиза-
ции, удалось выбрать без отсеивания.

Факторы, которые по тем или иным причинам невозможно
учесть в эксперименте, необходимо в течение всех опытов стаби-
лизировать на постоянных уровнях.

*	'Ч1 -• званием, предъявляемым к факторам, является

гЛпз^иЖноеть их взаимозаменяемости. Взаимозаменяемость не
купнлгтн °П^СКаТЬ даже для любых факторов из общей сово-

ФактоРы> рекомендуется учитывать область, ограиичп-
имели ктёчрёт1ЮЖ110е ваРьиРование- Желательно, чтобы факторы
возможно I пгпЯ1еННуЮ °Це1Пж’ Х0Тя 11лаП1,ро«адт экспериментов

II згте'в! |б<  н?К010Рь,е факторы представлены качественно,
новной оргнЛ Факто,ров для каждого из них устанавливают ое-
бирать таким обпазом^т'Л1 ваРЬ11Р°'вания- Последние следует вы-
Р , чтобы их величина не превышала удвоенной
ьь
ТАБЛИЦА 3.9

Уровень	Факторы (код)		
		X,	*3

Основной уровень (0)	0,40	840	60
Интервалы варьирования (Дх.)	0,15	100	60
Верхний уровень ( + 1)	0,55	940	120
Нижний уровень (—1)	0,25	740	0

среднеквадратичной ошибки в определении данного фактора. Усло-
вия проведения опытов при изменении факторов можно представить
в табл. 3.9.

Таблицы, аналогичные табл. 3.9, являются типичными, причем
факторы здесь закодированы. При этом кодировании осуществля-
ется перенос начала координат в центр (основной уровень) экспе-
римента и выбор масштаба с учетом интервала варьирования фак-
торов Ах,. Кодированные значения факторов х, связаны с натураль-
ными х,о соотношением х; = (хг±х,0)/Ах,.

Составление линейного плана. Следующий этап планирования
экспериментов — составление линейного плана, реализация опытов
которого преследует цель отыскания пока еще не оптимума, а лишь
направления к нему.

Допустим, что в задаче варьируются только два фактора — Х1
и х2, причем каждый на двух уровнях: +1 и —1. Все возможные
комбинации факторов будут исчерпаны в четырех опытах
(табл. 3.10). Линейный план, или линейная модель, характеризуется
варьированием факторов на двух уровнях. Если число факторов
каждого уровня равно двум, то реализуется полный фактор-
ный эксперимент типа 2*.

ТАБЛИЦА 3.10

Номер опыта	Фактор				Кодовое обоз- начение строк	У
	-Го		V.	X, X.		

У1

У2

Уз

У4

Табл. 3.10 называется матрицей планирования полного фактор-
ного эксперимента типа 22. Во втором столбце приведены значения
фиктивной переменной х0= + 1 (ее оценка дает величину свободно-
го члена Ьо в уравнении регрессии); в третьем и четвертом — значе-
ния переменных X) и х2 (эти два столбца и образуют собственно
планирование); в пятом столбце — значения парного взаимоденст-
вия г. г, Первая строка соответствует первому опыту, в котором
оба фактора находятся на верхнем уровне; вторая строка -второ.
му опыту где фактор лд принимает значение нижнего уровня, а

А2 результатам четырех опытов (седьмой столбец табл. 3.10)
можно вычислить четыре коэффициента регрессии уравнения;

У = /’0 4* ^1Л'1 + ^2Х2 И- ’Л'1Л'2-

Рассматриваемую матрицу планирования можно записать со-
кращенно (шестой столбец), при этом факторы обозначаются по-
следовательно буквами а и Ь. Тогда символику можно расшифро-
вать так; для первого опыта аЬ обозначает, что оба фактора взяты
на уровне 4-1; для второго опыта Ь — что только дд взят на уровне
4-1, лд принимает в этом случае значение —1 и т. д.; символ (1)
означает, что в данном опыте все факторы должны быть на нижнем
уровне. Таким образом, матрицу табл. 3.10 можно записать как
аЬ, Ь, а, (I).

Как отмечалось выше, техника полного факторного эксперимента с варьиро-
ванием факторов на двух уровнях сводится к реализации 2* опытов, где к —
число факторов. Для построения матрицы полного факторного эксперимента при
любом к дважды повторяется матрица планирования для случая к—) (сначала
при значении А-го фактора на верхнем уровне, а затем на нижнем). Последова-
тельное достраивание матриц при увеличении к от 2 до 5 показано в табл. 3.11.
Первые четыре (отчеркнутые) опыта представляют собой матрицу типа 23, ана-

логичную матрице, представленной в табл. 3.7. Далее они еще раз повторены,
а в столбце лд для матрицы типа 2- проставлены четыре знака « + », для вто-
рой— четыре знака «—». Таким образом, отчеркнутые восемь опытов представ-
ляют собой уже матрицу планирования типа 23. Далее процедура повторяется
вплоть до построения матрицы типа 25. Матрицы можно записывать и сокращен-
но. Например, матрицу 23 (табл. 3.11) можно записать строкой:

акс, Ьс, ас, с, аЬ, Ь, а.

ТАБЛИЦА 3 11
Легко видеть, что с ростом числа факторов число опытов в ноч-
ном факторном эксперименте быстро возрастает. Гак при ич-х
факторах следует поставить 23 = 8 опытов, при 5 факторах —2В 32
опыта, а при 8 —уже 28 = 256 опытов. В то же время, планируя
эксперимент, исследователь может не знать заранее, в какой части
изучаемой поверхности отклика находится искомый оптимум. По-
этому, начиная исследование, целесообразно получить информа
цию при !М'Н<нпмальнои затрате труда на проведение экспериментов,
хотя, возможно, эта информация и не будет точной. В связи с этим
вначале стремятся ограничиться лишь линейным описанием локаль-
ной поверхности отклика, используя дробные реплики, позволяющие
упростить первые этапы исследования, сократить число опытов.

Для построения дробных реплик используют матрицы полного
факторного эксперимента. Дробные реплики получают делением
числа опытов соответствующего полного факторного эксперимента
на число, кратное двум. Так, например, получают ’/2 реплики (по-
луреплпку), ’А реплики (четвертьреплнку), ’/в реплики и т. д.

Однако механически распределять строки матрицы на группы,
например делить ее на две части, нельзя. Дробные реплики состав-
ляют заменой некоторых эффектов взаимодействия новыми незави-
симыми переменными. Эти реплики связаны с планированием типа
2а~р, где р — число линейных членов, приравненных эффектам
взаимодействий. Тогда, если, например, полный факторный экспе-
римент типа 2е включает 64 опыта, то полуреплика содержит
26-1=|32 опыта, четвертьреплика — 26-2= 16 опытов, ‘/в реплики —
2е 3=8 опытов и т. д.

Пример. Предположим, что изучается влияние трех факторов: х(, х2, х3.
Полный факторный эксперимент 23 должен включать 8 опытов. Но исследовате-
ли на первом Э1апе хотели бы постав1нь возможно меньшее число опытов. Тогда
можно взять планирование типа 22 (см. табл. 3.10) и взаимодействие Х]Х2 при-
равнять третьему фактору х3 (тем более, что имеются соображения о значительно
более сильном влиянии хь х2, чем их взаимодействия). Тогда блдет потучеиа
матрица планирования типа 23-1 (табл. 3 12). Элементы этой матрицы в точности
равны элементам матрицы в табл. 3.10. Однако опыты здесь надо ставить с
включением третьего фактора Хз. В первом опыте все факторы будут на верхнем
уровне; во втором: х2— на верхнем, а х, и Хз—на нижнем и т. д. _

Пользуясь таким планированием, можно оценить свободный член &о и три
коэффициента регрессии при линейных членах: &>,	Причем линейные эф-

фекты не могут быть здесь оценены независимо от парных взаимодействии, так
как столбцы для линейных членов и парных произведений неразличимы, если,

ТАБЛИЦА 3.12						
Номер опыта	-*0				Кодовое Обоз- начение строк	
1	+	±	I	±	Г	Й  3	1	+	—	-	а  4	I	±	-	+	С	М						
к стопбцам указанным в таблице, вычислить столбец
ЙЙА совпадет со столбцом Х2.

Принципиальное отличие полного факторного
,к пе п мента от дробных реплик заключается таким образом
в том что в первом случае все линейные эффекты и взаимодействия
любого порядка оцениваются независимо а во втором случае не-
которые эффекты обязательно смешаны. Число линейных эффектов,
которое не смешано в данной дробной реплике, называется ее раз-
решающей способностью.

Прямая оценка разрешающей способности данных реплик при
наличии большого числа факторов затруднена, так как приходится
перебирать большое число эффектов и их взаимодействий. Поэтому
дробные реплики обычно задают с помощью специальных так на-
зываемых генерирующих соотношений. Эти соотношения показыва-
ют, какие из взаимодействий приняты незначимыми и заменены в
матрице планирования новыми факторами. Например, в рассмотрен-
ном случае планирование 23-1 задано генерирующим соотношением
х3=Х|Х2. Это означает, что фактор Хз занимает в матрице столбец,
соответствующий взаимодействию Х|Х2.

Генерирующие соотношения позволяют получить все оценки.
Для этого надо умножить обе части генерирующего соотношения
на новую независимую переменную. При этом произведение факто-
ра на самого себя принято считать равным единице. Б результате
получается так называемый определяющий контраст, который в
данном случае представляет собой

Х3	Х|Хд—Х^ХоХ^} 1 —Х^ХуХ^.

По определяющему контрасту далее находят

все

„ .	.	.	- ----— совместные

нкн для данной дробной реплики. При этом каждую независи-
мую переменную умножают на определяющий контраст и если в
етг« и >™С™ полученного соотношения какой-либо фактор встреча-
ется четное число раз, его заменяют на единицу.	Р

шести (ЪяктпХХ р0Лее СЛожный случай. Изучается влияние
Ф Р ешено реализовать '/в реплики типа 26-3. Эта реп-

ТАБЛИЦА 3.13
лика включает восемь опытов (табл. 3.13). Матрица планирования
составляется в этом случае следующим образом.

Восемь опытов представляют собой полный факторный экспери-
мент 23. Поэтому для первых трех факторов (Х14-х3) в таблице
записана матрица 23 (столбцы 34-5). Оставшиеся три фактора
(х44-хв) приравнены к тем или иным взаимодействиям. По имев-
шимся априорным сведениям фактор хь приравнен взаимодействию
Х[Х3 (столбец 6), фактор х5 — взаимодействию х2х3 (столбец 7),
фактор х6 — взаимодействию х}х2х3 (столбец 8). Кодовая запись
данного плана произведена в столбце 9.

Таким образом, генерирующие соотношения выбранного плани-
рования запишем как

х4=х1х3; х5=х2х3, хе=х1х2х3.

Соответственно представим определяющие контрасты:

1 —Х^Х3Х^^ 1 —Х2Х3ХБ, 1—Х1Х2Х3ХБ«

Умножая определяющие контрасты сначала попарно, а затем
по три, получаем обобщающий определяющий контраст:

1  х 1X3X4 = Х2Х3ХБ = Х(Х2Х3Х6 = Х1Х2Х4Х5 - - Х2Х4ХБ = Х1Х3Х6 = Х3Х4ХБ ХБ.

Следовательно, в данном случае совместные оценки, например
для линейных коэффициентов регрессии, будут * следующими:

’ ₽1 + Рз4~Г ?56 + ?236 Н" ?245‘>

Ь2 —’ ₽2 + ?35 + ₽46 + ₽136 + Р145!

&3 —’ Г*3 + ₽14 + ₽25 + Р126 + С456:

&4 —* р4~Ь Р13 "Ь ?26 ~Н ®35бЧ~ Р125»

^5 ~’ ₽б + Р16 + Р23 + Р124”!- ?346>

^6 ~» ₽6 4" Р15 + Р24 + Рз45 + Р123-

Планирование считается оптимальным, если оно связа-
но с проведением несложных вычислений и позволяет получать не-
зависимые оценки коэффициентов регрессии, определяемые с оди-
наковой дисперсией. Важно также, чтобы дисперсии параметра оп-
тимизации, предсказываемого уравнением регрессии, не зависели
от вращения системы координат в центре плана. Перечисленным
условиям отвечает планирование, обладающее свойствами ортого-
нальности и ротатабельности. В случае дробных реплик и при пол-
ном факторном эксперименте

",	0 при /=/=/; Д,

^х;пх7„=	.	. и^х/я=0.

При 1=]	п-1

Здесь I, ]=®, 1, 2..к; к—число факторов; К— число опытов

в матрице планирования; п — номер опыта.

“ При пренебрежении эффектами взаимодействия выше тройных.
7—580
------------ свидетельствуют о том, что планирование

Приведенные условия с» -л резк0 облегчает вычислитель-
в данном случае °Р„ * положены симметрично относительно
ную работу), все Фак™рь циентЫ регрессии оцениваются с ми-
центра эксперимента и ко Ф4 ^г0 это планирование является так-
нимальной дисперсией. тате чего информация, содержащаяся
же и ротатабельным в р у.	<<размазана» по гиперсфере от-

в уравнении РегРес^"”’р ®“ентаР а предсказанные значения пара-
носительно центра э Р « мннимальнь1е дисперсии в различных
пространства, причем на равных расстояниях
от центра экс"®Р"”'\7альяостиС"и₽Сротатабельности одновременно
сдоХХют то™- плТы™ервот? порядка.

^ Расчет коэффициентов регрессии и определение их доверитель-
ных интервалов По результатам опытов, проведенных в соответст-
вии с матрицей планирования, можно подсчитать коэффициенты
регрессии линейного уравнения, описывающего поверхность откли-
ка в локальном участке вблизи выбранного основного уровня, по

формуле

х1пУп! Н1

Л“1

где х<п —значение х, в п-м опыте; уп— значение .параметра опти-
мизации в том же опыте.

Таким образом, способ расчета коэффициентов очень прост:
столбцу у следует приписать знаки соответствующего столбца хг-,
сложить все значения параметров оптимизации со своими знаками
и результат разделить на число опытов матрицы планирования.

Пусть, например, в случае восьми опытов согласно полурепли-
ке 24~' будем иметь матрицу планирования (табл. 3.14).

ТАБЛИЦА 3 14

Номер опыта	Хо	X,		ЛГя	хл		х<	У
1  2  3 4  5 б  7  8	4’ + 4* + + + 4“ +	1 + 1 + 1 + 1 +	11++11++	1111++++	1 ++1 + 11 +	64 130  95  90  81  69  36  100
Тогда найдем коэффициенты Ьц а=(-~-1)64п~<-г1)130-|-(-1)95+(+1)90+(-1)81ч.(-Ц)б9-К— 1 )36+( +1) 100__						

8

= 14,1;
- 64 — 130 + 95 + 9(1 — 81 — 69 + 36 + 100

2----------------------------------------------= - 2,9;

.	_ 64 - 130 - 95 - 90 + 81 4- 69 + 36 + 100

’3---------------------------------------------= - И ,6;

-64 + 130 + 95 — 90 + 81 — 69 - 36+ 100 1О ,

>4=--------------------------------------------= 18,4;

О

	64 + 130 + 95 + 90 + 81 + 69 + 36 + 100	,

'о —	а---------------------- = 00,1.

Аналогично можно было бы рассчитать и эффекты при парных
взаимодействиях (для этого в матрицу планирования следовало
бы добавить столбцы соответствующих взаимодействий).

После расчета коэффициентов регрессии следует прежде всего
проверить их статистическую значимость. С этой целью рассчиты-
вают доверительные интервалы коэффициентов регрессии (Ай;),
которые в случае планов первого порядка равны для всех коэффи-
циентов.

В общем случае дисперсия, характеризующая ошибку в опреде-
лении коэффициентов регрессии

8Ъ=82-^т,

м

где $|—дисперсия	опытов; 82-=~	причем $„=

и = 1
т

— —-—"X1АУи,1 — Уи)2~ оценка дисперсии в точках опыта; уи=
т — 1

1=1
т

=	1/и,	— среднее значение результатов; т — число повторных

/-1

серий опытов.

При этом следует проверить предпосылки регрессионного ана-
лиза об однородности выборочных дисперсий 82, т. е., используя
критерий Кохрена, вычислить

/IV

и = 1

Если вычисленное значение Стах окажется меньше значения
^кр, найденного по таблице (табл. VIII, стр. 479*) для = т—1 и
/2=А(, то гипотеза об однородности дисперсии принимается.

В некоторых случаях проведения только одной серии опытов
дисперсия ошибки может быть принята в каких-то процентных от-
ношениях от коэффициента Ьо (например, 5%' Ьо).

* Н. В. Смирнов и И. В. Дун ин-Барковский. «Курс теории в,
роягностей и математической статистики для технических приложений». «Нас
Ка», 1969; в дальнейшем изложении этого раздела будут даны ссылки на
табл. V и VI этой книги. Эти таблицы имеются и в других руководствах по
теории вероятности и математической статистики.
Доверительный интервал для коэффициентов регрессии
д^=±/сЛ'5м,

" Гтии-лрнтя (может находиться по известным таб-
где/с - критерии значимости, т. е. вероятность практически
невозможных событий (обычно принимается равным 0,05 или 0,01),
Л'1<оэ^	считатЬ статистически сачи-

мым: если его абсолютное значение равно или превышает величину
Д°?т»	уравнения регрессии. После вычисления

коэффициентов регрессии и проверки их значимости проводят ста-
тистический анализ уравнения регрессии. С этой целью проверяют
гипотезу об адекватности данного уравнения, т. е.
ищут ответ на вопрос, соответствует ли полученное линейное урав-
нение изучаемому явлению или необходима более сложная модель.

Дисперсия неадекватности (5ад2) служит количест-
венным показателем адекватности уравнения

5ад = 2	Ра” - Уп Экеп№ -*—!)•

П=~1

Здесь Упрасч — значение параметра оптимизации в п-м опыте,
предсказанное уравнением регрессии; уЭТЭксп — значение параметра
в том же опыте, определенное экспериментально. В знаменателе
выражения — число степеней свободы при определении диспер-
сии неадекватности.

Схема расчета дисперсии неадекватности для рассматриваемой
задачи приведена в табл. 3.15.

ТАБЛИЦА 3.15

Номер опыта	у п эксп	*л расч	1^1 расчел эксп	1«'1’-<!'л расчел эксп’’
1	64	65	1	1
2	130	130	0	о
3	95	96	1	1
4	90	87	3	9
5	81	79	2	4
6	69	70	1	
7	36	36	о	1
8	100	101	1	1
V							—		
««				17

Дисперсия неадекватности
52*—17/(8 —4 —1)^5,7

* Сы табл V, стр. 471, а также сноску на стр. 195.

196
Гипотезу об адекватности проверяют с помощью
шера (Е-критерия):

критерия Фи-

ррасч с2 /Г>2
. /2 — ад/*^ у 1

где и ^2 —число степеней свободы при определении дисперсий
неадекватности (оад) и опыта (5Р).

Гипотеза об адекватности линейной модели может быть приня-
та, если расчетное значение Е-критерия (Евасч) не превышает его
табличного значения Ета6л, которое имеется в специальных табли-
цах для выбранного уровня значимости. Для рассмотренного слу-
чая имеем

Н:а1б = 5,7/5= 1,14.

При 5%-ном уровне значимости (а=0,05) табличное значение
Р-критерия Рздб = 3,24. Так как Ерасч < ЕТа6л, то гипотеза об адек-
ватности линейного уравнения не отвергается, и его можно исполь-
зовать для следующих этапов планирования, в частности для по-
иска направления движения по градиенту к оптимуму. В против-
ном случае его нужно было бы дополнить членами высшего по-
рядка.

Адекватность линейного уравнения можно прове-
рить и другим способом. Свободный член уравнения регрессии
является, по сути дела, оценкой результата опыта на основном
уровне, когда все остальные факторы исключены. Поэтому, сделав
соответствующий опыт, можно сравнить его результат с величиной
свободного члена, т. е. проверить гипотезу о равенстве нулю суммы
коэффициентов при квадратичных членах (нуль-гипотезу). Нуль-
гипотеза может быть принята, если разность |Ь0—'/о| не превышает
среднеквадратичной ошибки эксперимента. Значимость этого раз-
личия иногда проверяется сопоставлением с критерием Стьюдента:

I Ьй-уй |

Рассмотрим теперь развитие экспериментально-статистических
методов при одновременном применении теории подобия. Матема-
тическое описание в обобщенном (критериальном) виде позволяет
переносить полученные результаты на ряд подобных процессов.

Предположим, что имеется какой-либо физический процесс,
представленный зависимостью

/(Рр Р2,..., Рк......Л.---. Л»)=0-

Один из параметров этой зависимости может представлять
собой целевую функцию процесса. Согласно § 4.1, Б определим
критерии подобия данного процесса. При этом характеристика про-
цесса будет иметь вид

Л1 = Ф(Л2’ Л3’ • • • •ЛТЯ—*)•
С тПри”е!^	планирования экеперимен-

та, пату^им кр итери а льное уравнение регрессии внДа
т—&

• ’ Л

1=2

т-*	т-*

+ М^/4-	 • •’

<=2

7=2

гле т —общее число изучаемых параметров; к — число независи-

мых параметров.

Особенности применения экспериментально-статистических ме-
тодов к исследованию критериальных соотношений в основном свя-
заны с тем, что в данном случае исследователь имеет де-
ло не с отдельными факторами, как обычно, а с
обобщенными.

Применение традиционных экспериментально-статистических
методов, основанных на результатах наблюдений, не вызывает осо-
бых затруднений, так как в этом случае регистрируются не значе-
ния отдельных факторов, а значения критериев подобия. Если даже
определение численных значений критериев подобия аналитическим
способом невозможно, то при регистрации отдельных факторов оно
не вызывает затруднений.

Применение методов факторного планирования эксперимента,
однако, несколько усложняет положение в том отношении, что
нельзя задавать шаг варьирования критериям
подобия независимо от шага варьирования факторов, вхо-
дящих в эти критерии. При этом может быть использован один из
двух путей: 1) многократно промоделировать случайным образом
факторы процесса в заданных пределах варьирования и для каж-
дой случайной реализации вычислить значения критериев подобия,
затем определить шаг варьирования критериев подобия; 2) задать
шаг варьирования факторам процесса и на основе этого определить
значения шага варьирования критериев подобия.

Пример. Рассмотри
(угла сдвига э. д. с д
раметров системы:

м изменение параметра
синхронного генератора)

режима электрической системы
в зависимости от изменений па-

» = /(хг, «г, хл, гм, Г7),

активиост^статошт К — генеРат0Ра относительно напряжения шин; хР —ре-
линии; «„-активное сппп™ИОе сопРотивление статора; х„ — реактивность
буждеиия при разомкнутой иепиегНИС линн~; — постоянная времени цепи воз-
Параметры системы мог,™ л4гатора’ Т] ~ постоянная инерции

быть представлены в виде критериев подобия;

Л1 = хг/Яг; п2 = Ял/хл; л3 = Ту/Г^.
В этом случае рассматриваемая зависимость будет иметь вид

6 = /(Ль л2, я3).

Если для предыдущей зависимости применить метод полного факторного
эксперимента (ПФЭ), то число опытов будет равно А/=2'=64 (г—число пене
меиных).

При использовании критериев подобия потребуется постановка всего восьми
опытов При выборе шага варьирования критериев используется первый из ука-
занных путей. За базовые (номинальные) значения параметров и критериев
принимаются следующие величины: х* = 0,346; Я* =0,0069;	х*=1,б9;

7?л = °»И Гй0 = 5,2с; 7”*= 13,8 с; л* = 51,77; я2 =0,059; Лд = 0,512.

Шаг варьирования параметров: Ахг= ±20; Д/?г= ±20; Дхл = ±5- Д/?„»
= ±20; ДГас= ±10; ДГ<ю= ±10%.

Средний шаг варьирования критериев был выбран ±25% для л, и ±15%
ДЛЯ Л2, Лз.

Согласно методам теории планирования эксперимента была составлена мат-
рица планирования эксперимента (табл. 3.16) для одной из серий опытов.

Эта матрица отличается от обычной тем, что в ней указаны не только зна-
чения критериев подобия, но и значения параметров, соответствующих данному
численному значению критериев подобия. При этом шаг отклонения критериев
подобия задавался с помощью вариации параметров, входящих в них.

В соответствии с теорией планирования эксперимента и с учетом особенно-
стей получения критериального уравнения регрессии проведены одна серия и два
дублирования опытов. Проводилась проверка однородности оценок дисперсии:

О — <?2
ишах — °шпах

52

Ввиду того, что значение Отах=0,414 оказалось меньше критического (таб-
личного) <?кр=0,5157, можно сделать вывод о воспроизводимости опытов. В со-
ответствии с матрицей планирования были проведены все опыты (расчеты) и
определено критериальное уравнение регрессии в виде

®тах = 76,09 + 1,316Л! — 0,683л2 + 0,02я3 — 0,0055я1Я2 +

+ 0,0065Л1Я3 — 0,004п2п3 + 0,00075Я1Я>л3.

При проверке коэффициентов уравнения регрессии иа значимость была ис-
пользована дисперсия, обусловленная статистической по природе зависимостью
Доверительный интервал для коэффициентов регрессии получился равным
Ай. = 0,212.

Так как коэффициенты регрессии при л3, Л1Л2, Л1Л3, л2л3, Л1Л2я3 оказались
незначимыми, то уравнение можно переписать:

Втад = 76,09 + 1,316л! — 0,683я2.

Полученное выражение с помощью критерия Фишера проверялось на
адекватность. При этом дисперсия неадекватности получилась равной о 1Д-
=0.000986.	.	л «гп.сч- пш-эя»

Сформулированный для данной задачи критерии Фишера (г 0 04
оказался много меньше табличного Ета6л, т. е. полученная математическая мо-
дель адекватно представляет собой исследуемую зависимость. Опуская все
промежуточные результаты вычислений и статистических проверо , пр
окончательно полученное критериальное уравнение регрессии вида

«шах = 76,336 + о, 131Я1 — 102,5л2 — 1,87я3 +
			—.	•			3		—		  стах	
хг				х л	О			
39,22 (—)			0,05	(-)	0,437 (—)			75,43
0,3099	0,0079		0,8749	1,7307	14,1	5,693		
64,72 (+)			0,05	(-)	0,437 (—)			78,47
0,3793	0,0059		0,8749	1,7307	14,1	5,693		
39,22	(-)		0,068(4-)		0,437 (—)			73,40
0,3099	0,0079		0,1133	1,6816	14,1	5,693		
64,72 (+)			0,068 (+)		0,437	(-)		
								76,38
0,3793	0,0059	0,1133		1,6816	14,1	5,693		
39,22 (-)			0,051 (	-)	0,589(4-)			75,18
0,3099	0,0079	0,8749		1,7307	14,58	4,974		
64,72(+)			0,05 (-	-)	0,589(4-)			78,18
0,3793	0,0059	0,08749		1,7307	14,58		4,974		
39,22 (	-)		0,068(4-)		0,589(4-)			
0,3099	0,0079	0,1133		1,6816	14,58		4,974		73,18
64,72(-|-)			0,068 (4-)		0,589(4-)			
0,3793	0,0059	0,1133		1,6816	14,58		4,974		76,10
Как отмечалось выше применен»» ™  критериального уравнения регрессии е к°рРеляционного анализа для получения вызывает затруднений т е как «л принципиально в методическом плане не Добия и целевой функции при естес-Х» ре.г,^тРнРУЮтся значения критериев по- случае на ЦВМ эта флуктуация ^твеИнои флуктуации в системе. В данном испытании	Давалась с помощью метода статистических  ния регрессии для одного и того ж₽Т?»ЭМИ полУчено Два критериальных уравне- этвд уравнений дают хорошие совл-дени^8 ’<3УЛЬта1Ы' полученные на основе 200	СН,,Я								
Рис. 3.24. Схема электрической системы, состоящей из двух
эквивалентных генераторов, работающих на общую нагрузку

Рис. 3.25. Схема замещения электрической системы (см.
рис. 3.24), учитывающая поперечные проводимости линии и
трансформаторов

В качестве другого примера рассмотрим применение статистического метода
факторного планирования эксперимента и расчета к оценке статической устой-
чивости электрических систем.

Проведение расчетов устойчивости в условиях изменения параметров и ре-
жимов систем необходимо в силу того, что исходные данные о параметрах схемы
известны с относительно небольшой точностью. Если при этом учесть и возмож-
ные случайные отклонения нагрузок от заданных величин, то можно с уверен-
ностью сказать, что результаты одиночного расчета устойчивости не могут быть
достоверными, а являются условными.

Применение статистического метода факторного планирования эксперимента
или расчета позволило оценить влияние неточности задания параметров иа ве-
личину коэффициента запаса статической устойчивости системы.

Вопрос учета неточности задания исходных данных системы является акту-
альным. Имеющиеся в литературе сведения по этому вопросу не дают наглядной
зависимости коэффициента запаса от параметров при одновременном их изме-
нении.

Поставленную задачу можно удовлетворительно решить, применяя стати-
стические методы. Рассмотрим систему, содержащую два эквивалентных генера-
тора, работающих на общую нагрузку (рис. 3.24). Схема замещения системы, где
учтены проводимости трансформаторов и линии, а нагрузка представлена посто-
янными сопротивлениями, приведена на рис. 3.25.

Режимы системы, представленной на рнс. 3.24, можно рассчитать, воспользо-
вавшись выражения.ми:

Рх — Е\уп 81П «и + Е\ЕЦ№ 51П (В12 — а12);

Р2 = Е2У22 51П «22 — Е\Е<}У\й 81П (812 + Я1’),

где /?,, Е2 — э. д. с. эквивалентных станций, принимаемые неизменными; уи, "-г.
Ун—модули собственных и взаимных проводимостей; Иц. «22>_«12 углы, до-
полняющие аргументы сооственных и взаи шых проводимостей; оц относи-
тельный угол между векторами э. д. с. станций.

Если для оценки статической устойчивости воспользоваться пре
критерием 4Р/(1^2=0, то в системе, приведенной на рис. 3.24, можно иаити пре-

дел по мощности

Лпред =	5'П аИ +
и коэффициент запаса по статической устойчивости

А'а = (^1пРед — РЦ0)]/Р1(01 •

где Ли»— активная мощность, выдаваемая первой станцией в исходном нор-
мальном режиме.

Если исходные данные параметров схемы и режима системы достоверно из-
вестны. то определение коэффициента запаса Л'з не представляет труда. О допу-
стимости рассматриваемого режима судят по величине коэффициента запаса, ко-
торый должен быть не ниже рекомендуемых значений.

Поскольку исходные данные режима и параметров системы известны лишь
приближенно, то приходится проводить серию расчетов, для того чтобы найти
влияние тех или иных параметров на искомые величины Рщред и Кз, а также
отклонение их от значений, соответствующих принятым параметрам. Естественно,
что при проведении подобных расчетов для каждого из варьируемых параметров
приходится принимать как минимум три значения; в этом случае общее число
расчетов составит 3/?, где к — число варьируемых параметров.

Получаемые при этом результаты дают возможность оценить влияние лишь
одного параметра на искомые величины. Это создает определенные трудности в
оценке устойчивости даже простой системы (рис. 3.25), поскольку оправданным
можно считать предположение об одновременном отклонении нескольких исход-
ных данных от заданных величин. Однако можно прн этом проследить влияние
такого одновременного отклонения, воспользовавшись уравнениями регрессии
типа (3.30), полученными на основе статистического метода планирования экспе-
римента (расчета).

Параметры могут либо изменяться из-за неточности задания исходных дан-
ных, либо варьироваться с целью выявления изменения этих величин на стати-
ческую устойчивость. Прн малых отклонениях независимых переменных изучае-
мую функцию можно согласно (3.29) представить в первом приближении линей-
ной зависимостью

л=6

</ = *о+	(3-31)

1=1

Программа эксперимента (илн расчета) задается табл. 3.17.

ТАБЛИЦА 3.17

Вариант	Фактор						Выхолкай функция	
					Б с~| ДГ 2 ДГ д	X в "ДГ|ЛВ	Р,е	^1пред
2	—	1	+	+	+	4-	0,681	0,881  3	+	_	Т	“	+	—	0,527	0,782  4	—	_ Т	7	-	+0,141	0,762  5	+	.	1	+	—	—	(1,745	0,910  6	—	1	_	+	—	—	0,778	0,958  7	+	_	_	~	~	+	0,351	0,842  8	_	_	_	7	+	—	0,488	0,775  		 		 +	+	+	0,629	0,884								

Применим изложенный ранее метоп V

от параметров электрической системыТис й? Т за»«™моетен Р„,р.и и Рю
метров были приняты проводимости тпансЛЙ В качестве переменных пара-
линин, напряжение на нагрузке ее актиии * маторов, реактивное сопротивление
1 у акгивная и реактивная мощное!и.
сделать вывод об

“ „7=.?

анализа использовать уравнение (3 31)	4 И пля дальие1,шсго

в резуХТ^^ыГ^^авва1»»»’?;» Я,'.”	“Р""

(даны а табд. 3.17). Прн зто„ вредны н,мХ"„"

нимались в соответствии с табл 3,18.	раметров при-

ТАБЛИЦА 3.18

Параметр	Пределы нзменеиня	Фактор	Границы изменения	
			х,-+1	Х(.—1

Проводимость линии у„

Проводимость линии ус

Сопротивление линии х0

Напряжение на шинах нагрузки (7Н
Активная мощность нагрузки Ра
Реактивная мощность нагрузки фн

± 25%	Х1	0,033	0,02
± 25%	Х2	0,109	0,065
± ю%	Хз	0,39	0,31
± 5%	х4	1,05	0,95
± 5%	Х5	3,86	3,48
± 5%	хе	2,38	2,16

По значениям Рю для всех вариантов планирования расчета был найден
критерий Стьюдента /с=2,37 и были вычислены коэффициенты 5,;

*о = О,542;	^=—0,02;	52 = 0,042;	Ь3 = -0,018;

й4 = 0,166;	Л5 = 0,039;	* *6=—0,092.

Так как погрешность расчета была оценена в 5% (5„ — 5% от Ьо), то дове-
рительный предел для коэффициентов

дл. = ,С А_ = 2>37 °-05-°^— = 0.023,

т. е. все найденные коэффициенты, кроме 1>, и Ь3, значимы, так как|*(|>Д&<,
причем 1=/=1, <У=3.	,в

В результате получаем уравнение

р10 = 0,542 + 0,042X0 + 0,166х4 + 0,039х5 - 0,092х6,	(3-32)

адекватное истинной зависимости Р, от выделенных параметров х2, х<, *. Ч в
Аналогично было получено уравнение регрессии для Р)Пред.

Р111рел = 0,849 + 0,059х4—0,031X5

(3.33)

В эгом уравнении Ьъ= -0,031 совпадает с предельным значением по крите-
рию Стьюдента	возможность в общем случае выявить пере-

X равнения (3.32) и (ЗЗо) даю*	_ р	также найти зави-

менные параметры, существенно влияющие *о параметров, что нельзя было
симость изменения их как функцию всех значимых параметр
сделать другим путем.	____. най,еад предельные отклоне-

Приняв в уравнениях (3.32) и (3 33) а;-± А^етров" (ем. таол. 3.18).
пня величин при принятых пределах изменены * р
Глава IV

ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ
И КРИТЕРИАЛЬНОЙ ОБРАБОТКИ В РАЗЛИЧНЫХ
Н.КУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ

4.1	. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В настоящей главе показаны конкретные возможности метода
подобия и моделирования. Приводимые здесь примеры от-
носятся как непосредственно к изучению процессов в элементах
электроэнергетических систем (в машинах, заземлителях и др.), так
и к решению некоторых, казалось бы, отдаленных от них задач.
При той роли, которую в настоящее время играет энергетика в на-
учно-техническом прогрессе, такие задачи, как, например, ее влия-
ние на геофизические процессы, влияние электрических полей на
различные биологические явления и многие другие, становятся все
более актуальными именно для энергетиков. Однако далеко не во
всех упоминаемых областях возможности моделирования исполь-
зуются достаточно полно. Трудности его внедрения, видимо, неиз-
бежные и связанные с недостаточным пониманием метода, повто-
ряют то положение, которое было в 30—40-х годах, когда большин-
ство специалистов полагало, что методы моделирования, уже
широко применявшиеся в задачах механики и теплотехники, не-
приложимы к электро- и энергосистемам. В 40-50-х годах многие
специалисты считали, что эти методы, примененные в энергетике,
не могут быть пригодны для изучения сложных нелинейных задач
(например, описания процессов, происходящих в цепях со сталью,
связанных с короной на проводах электропередач), однако, их
применяют теперь, хотя и критикуют за недостаточную точность.
1аких мнений, опровергаемых ходом развития науки, было и будет
много Поэтому и в тех задачах, где методология подобия и моде-
лирования пока не применяется, надо стимулировать работу в на-
правлении их внедрения. В этом плане и ведется изложение в на-
стоящей главе
§	4.2. ПОДОБИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН

мощью подобия устанавливаются улучшенные конструкции машин'
их размеры, выявляются оптимальные серии и т д • У аШИН’

2)	задачи по созданию конструктивно и прин-
ципиально новых машин, которые имеют новые решения с
использованием новых, еще не изученных на практике физических
принципов.	Н чехлил

Обе эти группы задач требуют установления полного подо-
бия, учитывающего распределения электромагнитных полей;

3)	задачи, для решения которых необходимо
изучение временных процессов в машинах, включенных
в какие-либо системы (электроэнергетические, системы электропри-
вода). Для решения такого рода задач вполне достаточно установ-
ления неполного подобия. Физическое (динамическое) моде-
лирование электрических систем, широко применяемое в настоящее
время, требует только подобия цепей. Однако для его осуществле-
ния приходится специально конструировать электрические машины-
модели, удовлетворяя требованиям, вытекающим из условий подо-
бия. Изучение процессов, протекающих во времени (особенно
связанных с электроэнергетическими системами и системами элект-
ропривода), широко проводится путем аналогового моделирования.
В настоящем разделе кратко коснемся этой большой группы задач.

Подобие синхронных и других машин, рассматриваемое с точ-
ки зрения подобия цепей. Это подобие является неполным. Оно обе-
спечивается, если удовлетворяются система критериев подобия
цепей при характерных положениях ротора и дополнительные кри-
терии, требующие одинаковых относительных изменений взаимо-
индуктивностей контуров при изменении электрического угла, ха-
рактеризующего положение ротора по отношению к статору

Между критериями подобия бесколлекторных электрических
машин и их размерами имеется определенная связь. При сохране-
нии частоты (/=сопз0 физическое подобие моделей как элементов
системы может быть получено только при отклонении от геоме р
ческого подобия ,в пределах полюсного деления.

На рис. 4.1 представлена созданная в МЭИ динам"^Еа"..^.
дель гидрогенератора, удовлетворяющая указанным вЬШе
риям подобия и пригодная для моделирования различных гвдроге
нераторов, в том числе и быстроходных, Открывая шльшие
возможности для исследования процессов, пр 	количеет-

системах, такие модели оказываются непрш пн,.ТрН>> электри-
венного исследования электромагнитных по. е
ческих машин-орнгиналов.
Рис. 4.1. Попереч-
ный разрез уни-
версальной дина-
мической модели
синхронного гид-
рогенератора

15 кВ А,
1000 об/мин,
50 Гц

Методы физического моделирования можно успешно применять
и для исследования внутренних электромагнитных процессов, для
чего требуется подобие электромагнитных полей.

Вопросы неполного подобия синхронных машин, применяемых
в физических моделях, будут рассмотрены в гл. V, где приводится
теория и практика моделирования.

Подобие коллекторных машин. Рассмотрим более подробно ус-
ловия неполного подобия коллекторных машин. Установим крите-
рии подобия переходных процессов в машинах постоянного тока с
независимым возбуждением *. Эти критерии с практически доста-
точной точностью можно найти из двух дифференциальных урав-
нений, отражающих электромагнитные и электромеханические про-
цессы:

и—охр (/в)=

.1йы1ы]<и — 7ИН0Мш=47/ — /2/?,

где 4/ напряжение на якоре; ы — скорость вращения якоря; /в—
ток возбуждения; Ь и /? суммарные индуктивность п сопротивле-
ние цепи якоря, / ток якоря; /Йном— номинальное значение вра-
щающего момента.

Разделив первое уравнение на //?, а второе — на 47/, найдем ин-
тегральные аналоги, на основании которых устанавливаем, что оп-

Этим же методом могут быть решены задачи для любых систем возбуждения.
208
ределяющих критериев будет три:

Л1=и)(р(/в)/{/;

Я2 = ^0“’иом/(РИ1)1/)=Т у//=Т.у;

Яз=1/(^)==Г.Д,

мошность_В-7»2ЛЬН/Р СК°РОСТЬ вращения’ ^вом-номинальная
мощность,* й •'о® Пом/Рвом — величина, характеризующая инерци-
онные свойства якоря электродвигателя и привода

Первый критерий приближенно (без учета свободных токов в
обмотке возбуждения) характеризующий размагничивающее дей-
ствие якоря, может быть записан как

Я1==‘Ииом77^-ф(/в//Ном.В).

и ном

где Е э. д. с., соответствующая нормальному току возбуждения*,
фО'вЛном.в) —функция, представляющая собой относительную ха-
рактеристику холостого хода и отражающая свойства магнитной
цепи двигателя.

Выбор масштабов для величин / и ы производится на основании
дополнительных критериев подобия:

//?/(/=Иеш; ш/ш110ы = 1с1егп.

Характеристика механического момента Л4*м в функции ы/ыном
должна быть тождественно одинаковой >в модели и оригинале; кро-
ме того, должно иметь место соотношение П/Пиом=1бет, где И —
подведенное к двигателю напряжение.

Если одновременно учитывать переходные процессы в обмотке
возбуждения, то необходимо дополнить критерии подобия условием

где Ьв и Ев — индуктивность и сопротивление обмотки возбуж-
дения.

В этом случае было бы более рационально вернуться к общим,
более строгим критериям подобия магнитосвязанных коэффициен-
тов взаимоиндукции М перемещающихся контуром (см. § 2.1). вво-
дя условия

Ж/(/?в/)=1'дет; Л1/(/?/)=1с1ет

и принимая ы= \Ц.

Следует иметь в виду, что переходные электромагнитные про-
цессы в двигателе имеют две стадии. В первой стадии на протека-
ние процесса решающее влияние оказывают индуктивности рассея
ния и вихревые токи. Во второй стадии более существенны в зимо
индуктивность между обмотками, реакция якоря и эффект н <_
ЩеНПодобие электромагнитных полей в электрических машинах.
Электромагнитные процессы в электрических машинах они ыва!
ся в общем случае системой уравнений Максвелла:
го! Н =	-4-дО/д/у,

ю(Е--=К2( — дВ!дЕ,

в которых при
текаюших при

исследовании всех процессов, кроме волновых, про-
высоких частотах, можно не учитывать плотности

тока смещения.

д!Э]д1=е.дЕ]д1 = ^.

Если изготовить модель некоторой электрической машины, гео-
метрически подобной оригиналу, т. е. связать все линейные разме-
ры модели /м со сходственными размерами оригинала I г соотно-
шением

Г=т//ор,

где те, —масштаб линейных размеров, то соотношения между
масштабами других величин можно установить путем сопоставле-
ния сходственных уравнений Максвелла, записанных, например, в
прямоугольной системе координат для модели и оригинала. Для
этого при помощи масштабов нужно связать величины, характери-
зующие элементарный объем модели, с величинами оригинала и
потребовать, чтобы процессы в модели и оригинале были подобны.
Если пренебречь токами смещения и изготовить модель и оригинал
из одинаковых материалов, обладающих в сходственных элемен-
тарных объемах и в сходственных направлениях одними и теми же
физическими свойствами, то можно найти соотношения между
масштабами величин, характеризующих электромагнитные процес-
сы в элементарном объеме, и масштабом линейных размеров:

т{ — т21; тн = \\	— тр.= 1; тЕ = т]-;	—

Для машин, в которых существуют периодически изменяющиеся
поля, масштаб частоты (без учета токов смещения)

т{= 1/т(= \/т]

(обозначения см. в габл.4.1).

Соотношения между масштабами обеспечивают подобие маг-
.и) полей и токов во всех контурах геометрически подобных,
ы < ины. электрических машин (модели и оригинала), изготов-
в пНпп^тп1я,^тпИНЛКОгЬ1Х матеРиал«в, одинаково ориентированных
кл а е (тРеб°вание одинаковой ориентации относится толь-
ко к анизотропным материалам).

3$Разом’ ДЛЯ п2лУчення подобия магнитных полей и по-
депи 'ш*мсиитИ 1°К°В не°6ХОдимо при переходе от оригинала к мо-
нения ли X аСТ°Т^ °бРатно пропорционально квадрату изме-
ненным пазмепам П^111ОС1И 1ОКа — обратно пропорционально ли-
	‘ Р  Ри зтом в случае применения одинаковых
ТАБЛИЦА 4.1

Величины	Формулы для пересчета	Формулы зля масштаба	
Линейный размер в пре- делах полюсного деле- ния	7м =	т,	
Частота	/м = т//°Р  7м =  Г = т}^ Е* = тгС°₽ Ям = тнН°9  ?М = т1у°Р  лм = тяп°₽	1	
Время		т,~ п?  т1 1	«2
Плотность тока		т> —	=  И/ 1	-т1
Напряженность элект- рического поля  Напряженность магнит- ного поля  Электрическая проводи- мость  Магнитная	проницае-  мость  Скорость вращения		5  д  II ,э _э э 1? Л 'К 1 1 1 5 ’	«л
Расчетный диаметр	Ом = трС'Р	тР рор	т(
Магнитное напряжение	= трГ™	ТПр~ ТП{ дмдаор	
Ток	1к = т{1°9	"1'~ аор®м	ГП[
Магнитный поток  Напряжение (э. д. с.)  Вращающий момент	Фм = тфФор 77м = тгС7°Р Л1м = тм.Иор	щф = т\ р* = ’^Р’ ' р°  1 Рм т п = 	  \ Р"	д°Р  р  \2  ] т[
Мощности н потерн	П" = тоРор	к	рор  / аи^ \	т1  рм
Сопротивления электри- ческих цепей	2м = тг2ор	тг - \ лор '	А’Рщ,

материалов в модели и оригинале напряженности магнитного ноля
в сходственных точках окажутся одинаковыми

* Толщины материалов, применяемых в модели,кд“ *ерамЫ обмоточной меди и
ее линейным размерам. Это относится как	Зд13лей

электротехнической стали, так и к размер	1 >
Рис 4.2. Электрические машины, геометрически подобные в пределах
полюсного деления:

а — оригинал; б — модель

Особенности моделирования многополюсных электрических ма-
шин. При моделировании многополюсных бесколлекторных элект-
рических машин (синхронных, асинхронных) не всегда необходимо
выполнять модель с тем же числом полюсов, что и в оригинале,
т. е. полностью геометрически подобной оригиналу (рис. 4.2).
В синхронных машинах с целым числом пазов на полюс и фазу в
статоре ? и в асинхронных машинах с фазным ротором, имеющих
целое число пазов на полюс и фазу в роторе и статоре (<71 и <72 —
целые числа), напряженности магнитного поля и плотности тока
в сходственных точках любой пары полюсных делений получаются
в любой момент времени одинаковыми. Картина магнитного поля
и плотностей токов повторяется через каждые два полюса. По-
этому модель таких машин может быть выполнена с меньшим чис-
лом полюсов и даже двухполюсной, если удастся достаточно полно
выдержать геометрическое подобие в пределах одного полюсного
деления (т. е. обеспечить подобие интересующих в данном исследо-
вании явлений):

2рм>2.

Если на статоре имеется обмотка с дробным числом пазов на
полюс и фазу

— ^14*с1Мр

пппгтг>йп1ЦСЛОа числ0> — правильная несократимая дробь, то
мотки °бмотка Располагается на сЦ полюсах. Структура об-
д х следующих полюсов повторяет структуру обмотки
ПМЮС0В Тогда в а““РО«иой машине" фазным
ротором при целом числе пазов на полюс и фазу в роторе (д2-
бо 6езЧИлГмш1ю'гшгГСИНтХрОННОЙ машине с демпферной обмоткой ли-
имеет пепиопФвРп» °ТКИ’ стрУКтУра обмоток ротора которых
ноете/токов повтпп«°^ЮСНЬ1Х деле,1ия' магнитное поле и поле плот-
‘ в покоряются через каждые сЦ или 2с?1 (при с!1 нечет-
пом) полюсов. Поэтому,
для того чтобы иметь в
модели поле, подобное по-
лю в оригинале, достаточ-
но воспроизвести в моде-
ли (или 2<А) соседних
полюсных делений. Сле-
довательно, при четном
(1\ модель может иметь
минимальное число полю-
сов 2рм = с?[; при нечетном
б/1 — минимальное число
полюсов будет 2рм = 2с?ь

Число пазов на полюс
и фазу необходимо при-
нять таким же, как и в
оригинале.

Асинхронная машина

Рис. 4.3. Статическая модель явнополюсной
машины для продольных полей:
а -провода продольной обмотки; э - электро-
магнитные экраны

с короткозамкнутой обмоткой на роторе (с беличьей клеткой) мо-
жет иметь модель с минимальным числом полюсов и пазов на ро-
торе:

2рм=2р0₽/а1:

Если высшие и низшие гармонические составляющие поля не
принимаются во внимание или могут быть воспроизведены прибли-
женно, т. е. если моделируется только основное магнитное поле,
то модель во всех случаях может быть выполнена двухполюсной:

2/7“ >2.

Однако при изменении числа полюсов модели по сравнению
с числом полюсов оригинала изменяется геометрический угол, со-
ответствующий полюсному делению 360°/2. При изменении числа
полюсов следует оценить погрешности, связанные с отклонением от
геометрического подобия в пределах полюсного деления, и в случае
необходимости принять специальные меры к их уменьшению.

Статические модели электрических машин могут выполнять-
ся однополюсными, если их снабдить экранами, внутренняя поверх-
ность которых совпадает с нейтральной линией междуполюсного
пространства (рис. 4.3). В такой статической модели удается по-
лучить полное геометрическое подобие в пределах одного полюсно-
го деления.

Масштабы подобия. Предположим теперь, что число пар полю-
сов в модели принято равным при числе пар полюсов в ориги-
нале р°₽. Связь между линейными размерами модели и оригинала
в пределах полюсного деления характеризуется масшта ом
п1{: т-ч = гщт,01' — полюсное деление модели; 1ы=т1рр расчетная
длина модели и т. д. При этом, как показано ранее, масштаоы час-
тоты и времени должны быть выбраны из условия т, гг '
т„_. кяк обычно масштаб линейных размеров меньше единицы

получается больше единица,	ЛППоп₽пяртся с учетом

нхю частоту*. Скорость вращения моде	т„= (р0₽/рм)	—

изменения числа пар полюсов п“=шпп ₽, где тп /и )
МаСш^ень^^^ТрасчетаогоЯДиаметра модеЛИ П° сРаВнеНИЮ С ,раС'

Уменьшение расчеши, од ЛЛПУ,„ЯРТГЯ более значительным (при
четным диаметром оригинала получапределах полюс-
рор>рм), чем уменьшение линейных размеров в }
ного деления:

П" = тоО'"\

где шп= (Рм/Р°₽)т1 — масштаб расчетного диаметра.

При определении масштабов интегральных величин ток

/=рл^,

5

магнитного напряжения

магнитного потока

Е = [ Н^Ц
1

Ф = [ 8^5,
5

напряжения

и некоторых других величин следует исходить из того, что интегри-
рование в модели и оригинале производится по сходственным объ-
емам, поверхностям и линиям. Формулы для определения масшта-
бов интегральных величин сведены в табл. 4.1. Там же приводятся
масштабы для величин, характеризующих электромагнитные про-
цессы в элементарном объеме машины, причем приняты следующие
обозначения: рм, р°₽— число пар полюсов соответственно в модели
и оригинале; ам, а°₽ — число параллельных ветвей в обмотках со-
ответственно модели и оригинала; О1м, а?ор— число последователь-
ных витков в обмотке, приходящихся на один полюс соответствен-
но модели и оригинала.

Число витков на полюс в модели может быть изменено по срав-
1 1ю с числом витков на полюс в оригинале только в тех случаях,
когда потери, связанные с вытеснением тока в проводниках обмотки
ригинала, относительно малы и их влияние на исследуемые про-

ЙмоаеЛ°=	М°Жет потребоваться изготовление увеличен-

ным моделей, которые будут испытываться при пониженной частоте.
цессы несущественно. При изменении числа витков ... г
потребовать, чтобы форма катушек мппр™ X Витков необходимо
ме катушек „рипЛа" к

такими же, как в катушках оригинала.	потери в них были

Связь между подобием цепей и полей

нено 'подобие полей, обычно соответствует ппИ™ Которои сохРа‘
зрения подобия цепей. Действительно, в этом случ^дл^ моп™"
и оригинала удовлетворяются критерии подобия ! всех концов-
г,-/л„=((1ет; ^Мл = (бет;	или Г/^Иет.

В системе относительных единиц сопротивления

гинала получаются одинаковыми:

модели и ори-

%м  1 номх   тутг
(7м	ти '

ном	“

Критерий для постоянной инерции

1 ном* ____ ор

~ ’

6/ор
ном

Г,-	ог>2 п2

—=—— • — = Мегп,
/	5	I

где

ОВ2=ВЧ=(р1)<Р, 8=рР, п=/1р=\1(рР)-, Р=(=\//г
удовлетворяется только при

/2/ = 1(1е1П.

Полученное соотношение можно выразить и через частоту:

Т}/=р/=1бет.

Если число полюсов в модели меньше, чем это следует из ус-
ловия, т. е.

оруср

Дм<- —
/’м

то необходимое увеличение постоянной инерции можно получить
с помощью маховика на валу ротора модели.

р*/°*1/

При /;«>р°7ор//м

модель можно использовать только для исследования элек >омаг
нитных переходных процессов (без учета изменения скорости вра-

ана-

Сеточные модели. Для исследования полей в синхронных и дру
гих электрических машинах могут быть успешно применены зн
лотовые модели, выполненные в виде сеток из активных . Р
лений со включенными в узлы емкостями. Сеточные . <. '
точно точны и устойчивы. Они дают хорошо повторяюши >• I •
Считая поле машины плоскопараллельным и Р- '
электропроводность различных частей электрических машин име-
ется только в направлении продольной оси машин, уравнение для
векторного потенциала запишем в виде

— -ЛтоР(*. У' ')ОР«	С4-1)

дх \ р. дх ] ' ду \ р ду ' д{

где ц — электрическая проводимость и магнитная проницаемость
среды оригинала; »СТоР (х, у, 0- плотность тока сторонних ис-
точников оригинала, зависящая от координат и времени.

Для проводящей среды, образованной из элементов, рассеиваю-
щих и накапливающих энергию, можно записать аналогичное урав-
нение в дифференциальной форме:

.^+_2_/2-.^=С-^-/стор(х, у, /)м, (4.2)
дхД ₽ дх) ду \ Р ду /	, 01

где с и р —удельная емкость и удельная проводимость поверхност-
ного слоя среды; 1СТоР (х, У, Ом —плотность тока сторонних источ-
ников модели, зависящая от координат и времени.

Из уравнений (4.1) и (4.2) можно получить критериальные
уравнения подобия:

------=—-—=1(1ет;
п----о

Н^ор'оР

(4.3)

Р'2мс

где /ор и /м — условные единицы длины соответственно оригинала
и модели.

Для выполнения условий (4.3) необходимо также соблюдение
соответствия относительных нелинейных характеристик оригинала
и модели (например, р.(Д») =<р,(6*), где — относительная маг-
нитная напряженность, б, — относительная плотность тока в ис-
следуемой точке модели). Относительные величины определяются
как частные от деления действительных величин на базисные, на-
пример ц* = р./ц6, причем базисные значения ре, 6б, Рб и т. д. долж-
ны удовлетворять уравнениям (4.3). Для уравнения (4.2) легко
на ти аналог в виде сетки активных сопротивлений и включенных
в узлы этой сетки конденсаторов. В этом случае все уравнения и
величины выражаются в конечно-разностном виде.

одель синхронной явнополюсной машины для исследования
Плг^°В вшегоСя Рсжима выполняется в виде сетки сопротивлений.

*нности пР°хожДения магнитных потоков по сердечникам ма-
шины позволяют существенно упростить моделирующую сетку.
Полностью двумерная сетка выполняется только в зоне между по-
люсами (число полюсов в модели равно двум); зубцы и ярма ста-
I„„а И . Э(Ги.п0-™са ротора выполняются в виде сосредоточенных
,и р т1 влении Это весьма существенное упрощение не приводит
216
Сетка сопротивлений

Рис. 4.4. Часть сеточной модели, предназначенной для моделирова-
ния переходных процессов:

/?г - сопротивление воздушного зазора; /^-сопротивление пазового рас-

сеяния статора; п. —сопротивление наконечника полюса, , Р —
п!ф п2ф

сопротивления, отражающие проводимость паза статора / и ротора 2; /?
сопротивление зубца ротора; — сопротивление зубца статора (нелинейное)

к большим ошибкам, если принять, что потоки в зубцах и ярмах
с допустимой точностью проходят соответственно в радиальном и
тангенциальном направлениях. В зоне воздушного зазора, доста-
точно удаленной от края полюсного наконечника, сетка выполняет-
ся одномерной, так как магнитный поток в этой зоне ориентирован
радиально. Характеристика (/*=/(/) нелинейна и поэтому часть
сопротивлений сетки берутся нелинейными, совпадающими с ха-
рактеристиками намагничивания (Ф. =/(/’*)) соответствующих

участков сердечников статора и ротора.

Демпферная система в модели воспроизводится конденсатора-
ми (рис. 4.4), соответствующими демпферным стержням (Сст) и
участкам короткозамыкающих колец или сегментов (Ск). Емкости,
заранее рассчитанные по соответствующим соотношениям, соеди-
нены согласно схеме замещения с сопротивлениями /?л, Атж.

(значения их пояснены на рис. 4.1). Ток в модели (/о.в~ ими-
тирующий ток обмотки возбуждения) задается с помощью стабили-
заторов токов. Они распределены на статоре в виде двух синусоид
(рис. 4.5), оси которых совпадают с осями Л и д. Суммарный гок
по двум осям соответствует намагничивающей силе первой г р

ники статора при заданном токе. *

Используя данные прямых измерении токов и напряжении на
модели, можно определить все величины, необходимые для расче-
Рис. 4.5. Вводы токов
в модели:
т — полюсное деление;
/	— тон обмотки воз-

о-в

Суждения; /^	/^—сла-

гающие тока статора

та электрической машины (индукции, потоки
л потокосцепления, напряженности, намагни-
чивающие силы, коэффициенты само- и взаи-
моиндукций и т. д.). Обычно число величин,
измеряемых на модели, довольно велико, и
для сокращения времени обработки результа-
тов применяются ЦВМ.

Задача нахождения всех величин, опреде-
ляющих магнитное поле машины, может быть
решена, если заданы намагничивающие силы
статора ми ротора Е? и угол сдвига между ни-
ми у. Обычно бывает известной только первая
из этих величин, и приходится решать обрат-
ную задачу: при заданных размерах, обмоточ-
ных данных, характере нелинейностей, токе /,
напряжении на зажимах машины Ц и коэффи-
циенте мощности нагрузки созср найти намаг-
ничивающую силу Еч и внутренний угол сдви-
га у. Такого рода задача может быть решена
с помощью описанной сеточной модели, соче-
таемой с элементами аналоговой вычислитель-

ной машины. Комбинируя блоки АВМ на модели, можно решать
разнообразные задачи, например исследовать распределение полей
в машине при переходных процессах. При этом в любой произволь-
ный момент времени переходный процесс может быть остановлен и
произведены измерения всех потоков, индукций, намагничивающих
сил в модели синхронной машины. Непрерывно фиксируя и обра-
батывая с помощью блоков АВМ данные измерений в течение пе-

реходного процесса, можно получить различные характеристики и
параметры синхронной машины с учетом насыщения.

Нс касаясь деталей, которые можно найти в специальной лите-
ратуре *, отметим, что сеточная модель позволяет воспроизвести
магнитную систему синхронной машины с учетом насыщения сер-
дечников в удобном для исследования, легко трансформируемом
виде; модель получается относительно недорогой по стоимости и
и по габаритам. Эта модель позволяет определить все
мяш Нь1’ -‘'Рактеризующие магнитное состояние электрической
машины, ее характеристики и параметры

лИиеиноИстиТгМ°и ЛИР°,ванИе электрических машин при учете не-
подобия кв'ачистя И Упоминалось, что определяющий критерий
подооия квазистационарных полей-----	- 1	1

д~ записанный	ПОЛеИ В геометрически подобных сре-

т, процесса I липой ,епенноГо комплекса, включающею часто-
ту процесса /, линеиныи размер I, магнитную проницаемость р и

А. В Иванов- Смоленский Н А к

Датирование переходных процессов синхронной3 « 7* ° ®’ Матема'1и‘‘сское мо-
том нелинейных свойств элементен инхРоннон явиополюснои машины с уче-
Эиертика и транспортж, ™№6 МагНИ™ои СИСтемы- «Известия АН СССР.
электропроводность X, т. е.

Л1 — /=1(1еп1,

- будет справедлив в любых нелинейных, неоднородных средах ппи
соблюдении некоторых дополнительных условий. Модечировани,
электрических машин при учете нелинейности, основывающееся а
критерии может осуществляться при изменении линейных рз
меров и сохранении параметров ц и X. При изменении част >ты кри-
терии «1 может быть распространен на геометрически подобные
ферромагнитные конструкции, в которых проявляются неоднород-
ность нелинейная анизотропия и гистерезис магнитной проницаемо-
сти. Дополнительные условия при этом сводятся к следующему

1)	к совпадению относительных зависимостей диагональных
компонент тензора магнитной проницаемости от проекций началь-
ной намагниченности и истории изменения проекций напряженно-
сти на оси анизотропии во всех сходственных точках ферромагнит-
ных сред модели и оригинала:



= Нй А/*ь А/*2. Н*з, /*о2, /*оз, х*1, х*2, х»3] = 1(1ет, (4.4)

где; означает, что величина определена с учетом истории ее
изменения,

2)	к равенству углов между ортами выбранной системы коорди-
нат и осями анизотропии в модели и оригинале, при котором обе-
спечивается совпадение компонент относительных тензоров прони-
цаемости в этой системе:

,---,	3 з	г___,

1с1епг,	(4-й)

'	1=16=1

3)	к выполнению еще одного критерия:
л2=у7/у-’=1дет.

Тензор магнитной проницаемости в соотношении (4 4) является
однозначной функцией координат, начальной нама!ничен.
истории изменения напряженности Н только при Р ’	Р '

магнитной вязкостью в ферромагнитной сРе	У н0'м д0.

(в ферромагнитных средах подобны лишь при д . лпапазоне
лущении о пренебрежении магнитной вязкостью . том
частот, в котором осуществляется модел [рован . магнитная вяз-
тальных исследований свидетельствует ,	‘ ппоявляется

кость ферромагнитных материалов в ела ы.	ситьных полях

по крайней мере до 10 кГц. Магнитная вязко; ть в ^^лироГа-
вообще не была обнаружена. На этом б еРии магнитной
нии может быть принято допущение о пренс р и,=/(Я.),
вязкостью. Построенные на рис	I $ 1 3 Бк подтверждают

где //8,	— характерные точки (см. гл. , § • .

сказанное.
Рнс. 4.6. Относительная характеристика намагничивания

Имеющиеся на рис. 4.6 небольшие расхождения можно объяс-
нить неоднородностью материала и проявлением магнитной вязко-
сти. Но эти расхождения так малы, что ими, а следовательно, и
магнитной вязкостью в исследованном диапазоне частот можно
пренебречь.

Экспериментально была подтверждена также достаточно высо-
кая точность моделирования электромагнитных процессов в мас-
сивных ферромагнитных роторах асинхронных двигателей. Эти эк-
спериментальные исследования доказывают справедливость сфор-
мулированных ранее условий подобия электромагнитных полей в
элем« нтах, включающих сильно насыщенные ферромагнитные сре-
ды, при возможности пренебрежения магнитной вязкостью.

лей Т жЛпг<^1,ИРОВании квазистаиионарных электромагнитных по-
магнитнойРвячклНИТНЫХ спеД^лМ0ЖН0 не считаться с проявлением
том что кпитепм^н Д° с $0 к^ц- Дополнительное положение о
полей в чинейтГм? подо^ия квазистационарных электромагнитных
ные спелы млжн сРедах могут быть распространены на нелиней-
менять ппи'моле пип ЧИТать зкспериментально доказанным и при-

Конформ'ные ФизичТскиеЛмодеХлиЛо1нИме<КИХ
электромагнитных пооиесспв Одним из путей исследования
метод конйюпмн..™ пп . е °В В электРических машинах является

Р РеобРазования области поля. Этот метод ши-
220
роко используется при расчете магнитных и электрических полей,
границы которых имеют сложную конфигурацию. В этом случае
математическое описание сложного поля, не поддающегося анали-
тическому исследованию, сводится к более простому описанию. Та-
кой подход используется, в частности, для расчета магнитных двух-
мерных полей в локальных объемах электрических машин: поля
в зазоре при двух- и односторонней зубчатости, поля в зазоре явно-
полюсной машины и т. д. Известно также использование метода
конформных преобразований при математическом моделировании
полей в электрических машинах.

Создание конформной модели состоит из нескольких этапов.

1.	С помощью аналитической функции /о₽=ехр6 область пло-
скопараллельного поля оригинала (рис. 4.7, а) отображается в виде
конечной полосы на комплексную плоскость Л с сохранением числа
периодов изменения поля рор (рис. 4.7, б). Размеры областей поля
оригинала и отображенного на полосу поля в плоскости 1\ связаны
соотношением

/1 = 1п70Р,

где ^=^ + 7^; Г1=еор.

2.	С помощью формулы	полученное в плоскости б поле

отображается на плоскость /г в виде конечной полосы с числом
периодов поля модели р” (рис. 4.7. в). Для этого необходимо при-
нять, что

Ь1 = р°р/Р"=\/к.

В ПЛОСКОСТИ ^2 к ПОЛЮ
рм осуществляется на

3.	Обратный переход от поля на полосе
мтечп ня птоскости 2м с числом периодов
основе зависимое и 7м = ехр,2 (рис. 4.7, г). Для полюсного деления

модели справедлива зависимость

4 = А>160рехрЛ/Л.

4	При необходимости размеры модели могут быть уменьшены
так, как это показано на рис. 4.7, д. При этом все масштабы мо-
делирования определяются по формулам, полученным для геомет-
рически подобных моделей.

Моделирование с помощью конформного преобразования позво-
ляет построить модель для двухмерного поля в активной зоне элек-
трической машины. Для зоны лобовых частей, имеющих сложное
трехмерное строение, применяются приближенные приемы преоб-
разования, позволяющие построить картину поля.

Конформная физическая модель представляет собой реальную
электрическую машину, выполненную из тех же материалов, что и
оригинал, и имеющую длину /м=/°г Параметры модели и машины-
оригинала связаны вполне определенными соотношениями. В двух-
мерной области в токовых и бестоковых зонах модели сохраняются
потенциалы и потоки, если точечные или линейные токи в сходст-

венных точках (/, 2, 3, 4 и т. д. на рис. 4.7) имеют одинаковую
величину. В конформных моделях сохраняются магнитные прово-
димости Х=<р/ф, индуктивности обмоток на единицу длины по оси
машины Ь = взаимоиндуктивности и т. д.

Поверхностная плотность тока при переходе к другому числу
периодов поля изменяется. Объемная плотность тока также изме-

няется, поскольку при конформном преобразовании в зависимости
оадиуса изменяются сечения проводов катушки в пазу. Практи-
чески оказывается возможным выполнить обмотку проводом одного
сечения и сохранить неизменными потери в проводах

Область применения конформных моделей. Конформные модели
мппМ™ННЫМ ПО с₽авнению с оригиналом числом периодов поля
шииях и °льзовать'ся ПРИ исследовании полей в электрических ма-
шинах и их элементах.

ФектыК<вН линрй^1Х МОДелях вполне точно воспроизводятся все эф-
Йек“ивеской непи П^ ЛИЖеНН“- М°ДОЛИ ПОДобны’ ка“ элементы
взаимоиндуктивности И М^АТбыть ГХ СОХраняют'ся индуктивности,
ления и ПОСТОЯННК1Р «>, Ут быть сохранены омические сопротпв-
магничивания могет ^МСНИ’ ^отеРи в стали и характеристики на-
откр^аеГвозмож^е Р0НЗВ0ДИТЬСЯ «Шественным путем. Это
дин	моделей в

сложных°элеТтроТаДгТиИтнь^	исследовании

I оцессов в электрических машинах и
их элементах, а также в
качестве динамических
моделей в электрических
системах.

Моделирование в за-
дачах синтеза. Для иссле-
дования электрических
машин и электромехани-
ческих устройств необхо-
димо решать задачи ана-
лиза и синтеза.

Задачи анализа
(рис. 4.8, а, сплошные
стрелки) сводятся к опре-
делению свойств и пока-
зателей, если известны
конструктивные и физиче-
ские признаки. При этом
обычно осуществляется
переход к параметрам,

а)

Рис. 4.8. Схема

исследования

обобщенно характеризующим

материальный объект и входящим в
систему интегрально-дифференциальных и алгебраических уравне-
ний, описывающих его свойства, а также к параметрам, характери-
зующим технико-экономические показатели объекта.

Решение задачи синтеза (рис. 4.8, а, штриховые стрел-
ки) предполагает определение наилучших в некотором смысле кон-

структивных признаков синтезируемого объекта по заданной сово-
купности его эксплуатационных свойств и технико-экономических
показателей.

Задача синтеза сложнее задачи анализа даже в тех случаях,
когда структура объекта известна. Это объясняется тем, что элек-

тромеханические уравнения, применяемые при проектировании, не-
линейны и не решаются аналитически. Трудности порождаются
также большим числом факторов, которые необходимо учитывать,
и неоднозначностью решения любой задачи синтеза. Здесь часто
не удается эффективно использовать мощные средства вычисли-
тельной техники, поэтому затраты времени и средств становятся
недопустимо высокими. Это часто приводит к принятию недостаточ-
но обоснованных решений и снижению качества проектирования.

Следовательно, широко используемые математические модели
электромеханических объектов (уравнения динамики, уравнения,
связывающие физические признаки с параметрами,— «уравнения
проектирования» и т. п.) оказываются неприспособленными для
решения задач синтеза. В связи с этим возникает задача пере-
строения моделей, приведения их к виду, максимально при-
способленному к решению задач синтеза (рис. 4.8, б). При этом
модели должны строиться на основе уравнений, связывающих па-
раметры оптимизации, или величин, на которые в процессе снн1 <а
накладываются ограничения (}), с величинами, измененными при
решении задачи синтеза (А), т. е. алгебраических уравнений вида

У=/(Л).	(А)

Чтобы преобразовать модель электромеханических объектов к
виду (А), исходную модель объекта (систему исходных уравнении,
аналоговую модель, физическую модель и т. п.) следует подверг-
нуть ряду целенаправленных испытаний, в каждом из которых
(опыте) задается в соответствии с выбранным планом эксперимен-
та набор независимых переменных X и отыскиваются значения У.
Обработка результатов дает

Л	Я	"	2

у=в0+V у вцх1х} 4---------------Н В“Х[ ’

й	‘=1	'“1

/>1 . .

где Во,	Вц — коэффициенты; (, / — номера независимых

переменных; п — число независимых переменных.

Указанная процедура перестроения моделей электромеханиче-
ских объектов оказалась весьма эффективной при решении целого
ряда разнообразных задач электромеханики. К ним относятся: изу-
чение универсальной динамической модели шагового привода, изу-
чение асинхронного электропривода при учете электромагнитных
переходных процессов, изучение сельсинов и т. д.

§ 4.3. ВЫТЕСНЕНИЕ ТОКА В ПРОВОДАХ И ШИНАХ

Изучение этого явления имеет большое значение при конструиро-
вании шинопроводов, электрических машин и аппаратов. Соотно-
шения, вытекающие из теории подобия, могут быть здесь с успехом
применены. Рассмотрим 'провода, выполненные из немагнитного
материала. Состояние цепи в целом характеризуется одним безраз-
мерным критерием, который легко определяется при помощи л-тео-
ремы или способа интегральных аналогов:

или	5—) .

5	\ Р }	\ Р /

-педовательно, явление вытеснения тока, характеризующееся
» а анием сопротивления с увеличением частоты и сечения про-
~ 4 1 а> может давать одинаковый эффект в проводниках подоб-
ной формы, но разных размеров. Исследуемое явление полностью
характеризуется выведенными двумя основными критериями подо-
бия пространственных электромагнитных процессов. Причем кри-
ИЯ	характеризующий токи смещения и

-	’ мож'  быть опущен, если частота проходящего по про-

подобия^а Не СЛИШКОМ велика- Тогда остается единственное условие

<,>Ну50 = 1дет.

т,	синусоидальное изменение тока; масштаб времени

‘	° няться с изменением частоты согласно критерию

224
со/ = 1с1ет, характерный размер
сечения 50 = /2. Следовательно,
изменения сечения провода или
частоты одинаково влияют на эф-
фект вытеснения тока. Одинаково
влияют на исследуемый процесс
и величины ц н у. Полученные ре-
зультаты можно распространить
и на системы проводников. Так,
например, для двух тонких тру-
бок, из которых одна является
прямым проводом, а другая — об-
ратным,

Критериальные характе-
параллельных трубчатых
проводов

=	(4.6)

где 6 — толщина трубки. Предпо-
лагается, что материал трубок
немагнитный (ц=1).

Экспериментально полученная в каком-либо конкретном случае
зависимость (4.6) справедлива для любых геометрически подоб-
ных трубок, геометрически подобно расположенных в пространстве.
Графически эта зависимость показана на рис. 4.9. Каждая кривая
в плоскости / соответствует определенным отношениям 26/^ и
, где (1о/2 — радиус трубки, а Г>0 — расстояние между труб-
но
ками. Зависимости, охватывающие любые геометрические соотно-

шения, можно представить в виде некоторых поверхностей, распо-
ложенных в системе координат ^2-; 6 ]//7р; /?_//?_. здесь

До

весьма наглядны преимущества критериальных зависимостей, по-
зволяющих по одному эксперименту судить о свойствах целого
ряда различных, но подобных между собой конструкций. Получен-
ные условия подобия можно применить и к катушкам индуктивно-
сти. При этом в условия геометрического подобия должны входить
диаметр провода, шаг намотки, диаметр катушки и расстояние меж-
ду слоями намотки. При повышении частоты междувитковая ем-
кость катушек оказывается уже весьма заметной, и критерий, учи-
тывающий токи смещения, казалось бы, не всегда можно отбрасы-
вать. Практически бывает затруднительно удовлетворить обоим
критериям подобия. В этом обычно и нет необходимости, так как,
несмотря на значительную разницу в величине емкости, катушки
разных размеров при разных частотах могут иметь одинаковое
отношение сопротивлений //?- • Приведенные соображения
относились к случаю, когда оригинал и соответственно модель не
имеют частей, у которых	При учете этой зависимости

дополнительным условием (см. гл. I, стр. 63) будет соблюде-
ние у модели и оригинала одинаковости относительных характе-
225
ристик

[Х# = /(Л7.) = 1бет.

Дчя тех случаев, когда необходимо учитывать стальные кон-
струкции вблизи токоподвода, требование одинаковых относитель-
ных характеристик ри модели и оригинала запишется в в де

— 1дет,

Нн-1

где к и А+1—-пара точек пространства модели или оригинала.

Это требование легко выполняется при пренебрежении измене-
нием магнитной проницаемости от частоты. Однако для его выпол-
нения необходимо соблюдение масштабов токов

= 7^ор7м//ор‘

Масштаб сопротивлений модели и оригинала обратно пропор-
ционален линейному масштабу:

7?м/7? ор —хы!х^—7ор//ы.

Для моделирования явлений, появляющихся в различного рода
экранирующих конструкциях, в модели устанавливаются располо-
женные параллельно проводнику с током стальные пластины, по-
добранные так, чтобы их параметры отвечали критериям подобия.
По результатам измерения в модели можно построить зависимость,
пользуясь которой можно определить вносимое сталью сопротивле-
ние Я: *

где I— длина; Н — расстояние от пластины до проводника; 2с? —
ширина стальной пластины; / — частота тока в проводнике.

График, построенный по приведенной зависимости, позволяет
определять потери в стальном листе, над которым проходит оди-
ночный проводник с током.

В случае двух проводников с токами Л и /2, расположенными
один над другим, потери определяются как



р16—м°Щности потерь от проводников с токами /1 и А;

2е мощность потерь от фиктивного проводника с током /Л =
НИКЯ Чня 1?^СХ°ЛгЖеННОГ° На Расстоянии X ОТ поверхности провод-
одну СТ0ПОНу-+«—б^Ре1СЯ’ еСЛИ ТОКИ В пРоводниках направлены в

Лпя пппЗл’р ? ПРИ пРоти'вс>ПОложном направлении токов.

Д я пределения х служат кривые

ности пта^тины ло^н пв°Й пластинь1; а и — расстояния по поверх-
ности пластины до первого и в горою проводников

22Ь
Аналогично можно оп-
ределить потери и в слу-
чае большего числа про-
водников.

Примером исследова-
ния электромагнитных
устройств, содержащих
ферромагнитные элемен-
ты, является трехфазный
токопровод с опорной и
ограждающей конструк-
цией *. Физическая мо-

дель токопровода такого Рис- 4 10- Физическая модель токопровода
типа для генераторов про-

мышленной частоты мощностью 60 МВт показана на рис 4 10

Опорная и ограждающая конструкция токопровода оригинала
состоит из профильного проката: швеллеров равнобоких Отопков
Материал ферромагнитной конструкции-СтЗ Каждая фаза токо-
провода .выполнена из двух алюминиевых швеллеров с удельной
электрической проводимостью у=35,2-106 1/Ом-м при 20° С. Ис-
следование на модели предполагало моделирование лишь электро-
магнитных процессов в токопроводе.

Модель и оригинал изготовлены из одних и тех же материалов.
Наиболее рациональной с точки зрения конструктивного выполне-
ния модели оказалась частота /=1 МГц. При этом масштабы пере-
хода от модели к оригиналу для частоты, геометрических размеров,
тока, напряжения, мощностей и сопротивлений имеют соответствен-

но значения: Щу—20, гп1 = т1= 1/У~т^=0,2236, ти—\, т5=

= тр=гП()=Л/]Гту=0,223б, тг=тг=тЛ. = У =4,472. Номи-
нальный ток оригинала /ор=8000 А.

На модели исследовались различные случаи, важные для про-
ектирования мощных токопроводов: 1) на модель сверху одет
П-образный кожух из стали, причем в кожухе поверхностный эф-
фект проявляется резко; 2) изолирующие прокладки вынуты, и
между отдельными ферромагнитными элементами создан надеж-
ный электрический контакт; этот случай приближенно соответствует
сварке ферромагнитных элементов в оригинале; 3) между ферро-
магнитными элементами создан надежный электрический контакт,

и на модель сверху надет вплотную П-образный кожух из стали
и т. д. Результаты исследования показали возможность достаточно
точного физического моделирования сложных электромагнитных
устройств с ферромагнитными элементами на повышенной частоте.

Аналоговое моделирование электрических характеристик токо-
проводов может осуществляться согласно схеме, показанной на

Петровский. Исследование на физической модели '‘°Щ‘фГО трех-
токопровода. «Известия АН СССР. Энергетика и транспорт», 19/0.

* В. II.
фазного
№ 6.
Рис. 4.11. Электрическая модель токопровода

пис. 4.11. Трехфазные экранированные токопроводы с дискретным
подводом тока моделируются стеклянным диском Д, покрытым с
двух сторон листами проводящей бумаги Б толщиной п, которые
плотно соединяются или склеиваются между собой по краям диска.
На верхний лист накладываются электроды, моделирующие элемен-
ты сечений проводников и экранов. К каждому электроду при-
соединен конденсатор Со. Другие обкладки конденсаторов при-
соединены к шинам или Д/г- Шины Ш\, относящиеся к япро-
к водникам, получают питание от источника, а шины Д/г, относящиеся
к экранам, не несущим рабочий ток, не соединяются с источником
г питания. Если экраны разных фаз соединены между собой на обоих
концах, то относящиеся к их моделям шины Д/г соединяются меж-
ду собой. При отсутствии соединения экранов хотя бы на одном
конце соответствующие шины Д/г остаются свободными, т. е. не
соединяются ни с источником, ни с другими шинами. Нижний лист
бумаги моделирует внешнее пространство, занятое магнитным по-
лем токопровода, включая бесконечно удаленную точку, которая
на модели совпадает с центром нижнего круга.

В качестве источника питания модели используется генератор
токов звуковых частот ЗГ. Для получения трехфазного тока в схе-
му установки добавлено специальное фазоповорачивающее уст-
ройство Ф

На прямолинейном участке токопровода длиной I, где магнит-
ное поле можно считать плоскопараллельным, составляющая на-
пряженности электрического поля в проводящей среде, равная
падению приложенного к токопроводу напряжения й на единицу
его длины, имеет вид

А (I Р	.	.

-с=—- =----------(Нургаб А — Ек,

I	р.	"

(4.6)

где р и р удельное сопротивление и магнитная

_ ----- проницаемость

ности^тектпичр жп/	~вихревая составляющая напряжен-

изведению игповпй поля' Равная при синусоидальном токе про-
угловой частоты на векторный потенциал.

ное к мололи С гвячяцИСТОЧНИКа ТОКа ЗВуковой частоты, приложеп-
’	0 с потенииалом С70 поверхности бумаги в
месте подвода тока формулой

у6/мт=	<Пу8га<А+А.	(4.7)

ГДе Р—ГЛЬНОе сопРот,1вление проводящей бумаги (модели^

Из сопоставления выражений (4.6) и (4.7) следует, что ' ‘

1=^1^ 1=к^,

ш==к^	р = ^рД5м/с0.

Критериальное соотношение для масштабов имеет вид

^рЦку.кюкг) — 1.	(4.

жен^юФФИЦНеНТ П0Д°бИЯ П° сопРотивлению удовлетворяет выра-
к2~кц1к [ — кшк^1шы.

Один из коэффициентов ки или может быть выбран произ-
вольно.	г 1

Напряжения между элементами сечений проводников и экранов
и центром нижнего круга определяют средние значения напряжен-
ностей Е электрического поля и плотностей тока д в этих участках
сечений, так как 6—Ё/р.

Потери 'мощности в каком-либо отдельном элементе токопрово-
да, проводнике, экране и любой другой металлической части мож-
но выразить приближенно:

(4.9)

Здесь Ц — ток, протекающий по каждой из п одинаковых площадок,
на которые разделено поперечное сечение элемента; На — напря-
жение, измеренное на соответствующем конденсаторе.

Потери мощности в единице длины токопровода равны сумме
потерь (4.9) во всех его металлических частях.

Погрешности моделирования определяются погрешностями изме-
рительных приборов, несовершенством ввода тока в области моде-
ли, изображающие токопроводящие части, неоднородностью и не-
стабильностью сопротивления бумаги.

§ 4.4. ПРОЦЕССЫ В ЗАЗЕМЛИТЕЛЯХ

При моделировании заземлителей критерии подобия сводятся к
условиям геометрического подобия и соблюдению основных крите-
риев подобия электромагнитных процессов:

р.у/2//=1с1ет; е/(у/) = 1бет....	(4.1 )

На работу заземлителя часто весьма существенно влияет на-
грев почвы; это особенно «аметно при больших значениях тока,

229
когда вокруг заземлителя может оказаться плохо проводящий слой
земчи При исследованиях этого явления на модели необходимо
прежде всего найти критерии подобия теплового процесса.

Р Йз Ровного уравнения стационарного температурного поля
имеем

Шу щаб 6= — Е2/(^р),

гле е — эчектрическая напряженность поля; А — удельная тепло-
пДводность грунта; р-удельное электрическое сопротивление
ГРУПраи наличии геометрического подобия интегральным аналогом
Й1У стаде является 0//2; величина Е2 имеет своим интегральным
аналогом выражение Е2Ц2. В этом случае единственный критерии

подобия термического процесса

л1 = рХ6//72=1'(1ет.

(4.Н)

В критерии Л1 отсутствует характерный размер I. Следователь-
но, при осуществлении термического подобия можно оперировать
заземлителями любых размеров: температура будет пропорцио-
нальна квадрату подведенного напряжения. Величина напряжения,
которое можно допустить при заданной температуре и данных р
и Л, легко находится из (4.11):

/лГ

Критерии подобия установившегося теплового режима, проис-
ходящего при изменении напряжения, подведенного к заземлителю,
находим из уравнения

СМ 1(11 — (В у (X §таб &)—Е21\>,
откуда (кроме полученного ранее критерия ль определяющего ус-
тановившийся режим) получаем критерий, характеризующий ско-
рость изменения теплового поля. Его можно рассматривать как
своего рода относительную постоянную времени:

л2 = рС0/2//72/,

или

где Тт= СЙД — тепловая постоянная времени.

торымТможно хапяктТРеНЫ ,простейшие соотношения подобия, ко-
немся более сложных сл^Гтак пр'и	ТеПерЬ К°С‘

жащей явно выраженные, конечного оазмепя ЖДН°И СР6Де’ С°ДеР‘
ми параметрами 1» с а оне2н0го размера области с различны-
Шие из краевых щювий Пве^0^0 ВВеСТИ кРитеРии’ вытекаю-
отсутствуют свободны, пг Редлолагая- что на границах областей
отсутствуют сторонние 1окВиРкНОСТНЬ1е заРяды’ а внутри областей
вать следуЮщимРобразом: ’ рабВЫе условия можно сформулиро-
230
1)	условие непрерывности нормальной состэвляюшрй
электрического смещения О„еЕ „а границе

ей+1 (^а+1)п	ей(/:й)я=0;

2)	условие непрерывности тангенциальной составляющей векто
ра напряженности электрического поля	щеи векто-

(^А+1)/	—О»

3)	условие непрерывности нормальной составляющей плотности
тока

(/а+1)п (/',а)п = (-^а+1)л/Ра+1 = (^"а)п/Ра=0;

4)	условие непрерывности тангенциальной составляющей плот-
ности тока

(Л+1)<  (Е1/+г)1 рй   ра

(Л)<	Рл+1	(Ек)1	ра+1

Приведенные краевые условия требуют, чтобы

е*/еа = ’<1ет; рк/ра=16ст,

где ер и р<?—параметры соответственных областей, принятые за
основу отсчета.

Иначе говоря, масштабы диэлектрической постоянной и прово-
димости по всему моделируемому пространству должны быть по-
стоянными.

Кроме приведенных критериев подобия, не связанных с условия-
ми однозначности, необходимо ввести определяющие критерии, по-
лучаемые при рассмотрении процессов на электроде заземлителя,
к которому приложено заданное напряжение [/(/). Из многочис-
ленных исследований известно, что если градиент электрического
поля Земли, возрастая, достигает определенного значения Ещ>
(пробивной градиент грунта), то характер прохождения тока изме-
няется и взамен тока проводимости возникает искровой процесс.
Упрощенная трактовка этого процесса состоит в том, что вся об-
ласть, охваченная искровым процессом («искровая зона»), счита-
ется идеально проводящей, т. е. потенциал на ее границах прирав-
нивается к потенциалу находящегося внутри этой области электро-
да. Границы искровой зоны определяются значением градиента
электрического поля

^=/Р=^ир.

где / — модуль плотности тока на поверхности искровой зоны.

Критерий подобия

лд=/р/(РЕ11р)=1’<1еш.

Если внести потенциал (напряжение) на поверхность искровои
зоны, го можно записать

лв=г//(/^1р)=1ёет.
е’ &

С помощью безразмерного множителя преобразования _22_
можно получить критерий пересчета напряжения на заземлителе:
лс==67/(/р) = 1(1ет.

Можно считать, что в сосредоточенном заземлителе и электрод,
и границы искровой зоны имеют заданный, приложенный извне
потенциал Е'(Г)- Это дает возможность говорить о кажущемся уве-
личении размеров электрода или об эффективных размерах элек-
,ГЮйа„а"ЧРе "ой™ ‘деТ°°приОТпр»гяже„Ном электроде, например
при заземлителе в виде проложенного в земле длинного провода
(противовеса). В этом случае потенциал изменяется во времени и
по длине провода вследствие волнового процесса. В соответствии
с принятой упрощенной схемой эффективный размер проводника
(в данном случае — диаметр искровои зоны) зависит от напряже-
ния и также изменяется по длине и во времени. Критерии Лл и яс
соблюдаются для любой пары сходственных элементов двух подоб-
ных заземлителей, в частности для точек приложения тока и на-
пряжения. Напряжение, которое должно быть приложено к модели
для соблюдения подобия, определяется именно этими критериями.
Соответствующая величина тока находится согласно лс-

Критериальное уравнение для протяженных заземлителей в од-
нородной среде имеет вид

-^- = Ф _!₽	1„\ .

'₽

* ^пР

где /.], /.2, ^*з — отношения всех геометрических размеров электро-
дов заземлителя к одному размеру 1а, условно принятому за ха-
рактеристический, т. е. 1п=1^1а,

Если заземлитель находится в неоднородной среде — грунте,
состоящем из нескольких зон с различными параметрами, то кри-
териальное уравнение имеет вид

'Р

—, —, —1р - I / ЯО яо др) я?)	\

и из ШЛИ я РИаЛЬН“е Уравнения можно было бы получить
1 / , 7 РазмеРностеи восьми физических величин (ц, е, р,
ряемых’с помо! РаКТерИЗуЮЩИХ г,Р0Це<:сь1 в заземлителе и изме-
нен ом) что на пгн ТЫРех единий измерения (метр, секунда, ам-
сХрщ/н’ыГкритерия ИИ 3г’'ГеОреМЫ П°Д°бия Да"Т -тыре’рас-
венной модолирующе™ заземлителей возможно создание искусст-
металлическйх частиц (рР с 4 НаппимГ"”" ® СР^У М°ДеЛ"
электрик может имет.	НапРнмеР- искусственный ди-

Р может иметь моделированную эквивалентную диэлектри-
ческую проницаемость

е9кВ~ [ 1 + (4«/VЛ’—1.) [А- (4аЛг-и

®л + 2/]

Здесь и — величина электрической поляризуе-
мости частицы, которая зависит от ее геомет-
рической конфигурации и размеров. Так, а =
= /?3 в случае шарика диаметром /?, а»0,425/?3
в случае диска малой по сравнению с диа-
метром 7? толщиной и а = 0,082 с?3 для квадра-
та со стороной д.\ 1\/ — число металлических
частиц в единице объема; ед — диэлектриче-
ская проницаемость материала, в которой по-
мещаются металлические частицы, т. е. про-
ницаемость естественной среды модели.

Аналогично можно найти рэкв и цэкв и та-
ким образом моделировать растекание тока в
любых средах.

В процессе моделирования можно применить

ном заземлителе, в качестве которого может быть принят заземли-
тель в виде квадратного контура со стороной У5, равновеликий
по площади 5 действительному заземлителю. Базисный заземли-
тель выполняется из проводника, диаметр с1 которого равен диамет-
ру действительного проводника, а его ось находится на поверхно-
сти земли (/г=0).

При записи в относительных единицах уравнения для опреде-
ления сопротивления заземлителя и напряжения прикосновения
приобретают вид:

Рис. 4.12. Эквива-
лентная среда с
диэлектрической
постоянной еакв:
0=2/? — диаметр
вкрапленных /'/ча-
стиц

понятие о базис-

71 Р/Рб, ///б)=0;

//Л. Р/Рб. //4]=0.

Для подобия заземлителей необходимо, чтобы соблюдалось по-
стоянство в модели ив натуре относительных величин:

_— Мет; —=Шегп; —=1бет: -5-=Шет; -^-=1дст
(С3-Сгх)6	Я6	Ре	'б

и выполнялся критерий подобия.

В качестве базисного может быть принят линейный размер, ха-
рактеризующий протяженность заземлителя по горизонтали, а
именно длина стороны базисного заземлителя ]/5.

Геометрическое подобие заземлителей (модели и натуры) пол
ностью определяется постоянством отношений всех линейных раз-
меров к базисному:

А,'/5; 1/^8, К11У8, Л'/5)-Шет.
На основе теории подобия и физического моделирования мо-
жет быть найдено * сопротивление любого сложного заземлителя.

А>==Д(р//5) Ом,

где л— безразмерная величина, зависящая от относительных раз-
меров и конфигурации заземлителя, определяемая методом моде-
лирования; Т 5 =/-базисный, характеристический линеиныи
Ра3НаРпример, сопротивление вертикального проводника длиной I

4

1п----

ал

2л

1п

2л/ а I

— ₽ А
— ~т

Сопротивление горизонтального проводника длиной ]/5

Сопротивление сложных заземлителей всегда находится между
предельными значениями

ИЛИ

^мин Л < Лб'

На основании критерия подобия	= 1<1ет сопротивление

сложного заземлителя может быть найдено как часть максималь-
ного сопротивления базисного заземлителя:

А’=/?6д=—лбд,
^5

откуда

Ибд = Л.

™ГЖт“Ь ,Е“ГДа М'"ЬШе единицы> оп-

8 4 6 уЖ1®^|ние полупроводниковых

нию моделиромнНияЬпо\С\1аН°В'ПеНИЮ критеРиев подобия и примене-
__________	"“’и проводников, в практике инженера появи-

пряженне нрикосновени^^нсо^нХ Растеканию сложных заземлителей п на-

” Л Г Нагорных любезно просмо^	’969’ № 8‘

что автор выпажает ему свою глубокую благоХность™ 3амеЧаНЯЙ' За
234
лись в начале 60-х годов. Дальнейшее расширение работ по пои
менению методов подобия касалось учета ряда факторов (темпеоа
туры, влияния переходных процессов), а также расшотрени не
только единичного прибора, но и сложных схем Системы дийиьё
ренциальных уравнении, описывающих физические явления в полу-
проводниках, не могут быть решены в общем виде, однако они
вполне успешно могут быть применены для определения критериев
подобия. Для основных процессов движения носителей заряда в
полупроводниках можно записать следующую систему уравнений

д<
дп
~дГ

!_<цу7-

*р ч р

л — л0 , 1 ,. -

—------1--

_ ТП Ч

Л=ЧУ-РрЕ — дОр егад р;
Ул=ЧУ-пПЁ+дВп цгаб га;

(4Л2)

(4.13)

(4.14)
(4.15
(4.16)

р~ Уп'

<ИуЕ=—Ч— (р —	7УО) или	—2..	(4.17)

Ее0	Е60

В этих уравнения обозначено: р, п — соответственно концентра-
ции дырок и электронов; р0, п0—равновесные концентрации дырок
и электронов; тр, хп — времена жизни носителей; д— заряд носи-
теля; /р, /п—плотности дырочного и электронного токов; цР, цп—
подвижности дырок и электронов; Е — напряженность электриче-
ского поля; Др, Е)п — коэффициенты диффузии дырок и электронов;
е, ео — диэлектрические проницаемости — относительная (материа-
ла) и вакуума; Аф, Ма— концентрации ионизированных доноров и
акцепторов; р — плотность объемного заряда; ф— потенциал.

Граничные условия для системы уравнений (4.12)-У (4.17) зада-
ются значениями концентраций, токов носителей, потенциала. На-
пример, на границе раздела «-полупроводник —металл в случае
диффузионного тока дырок

где V — внешняя нормаль к поверхности раздела; — скорость по-
верхностной рекомбинации.

Граничные (краевые) условия на р-га-переходе

Ч^ п

р=роехр —- .

где Дп — напряжение на р-га-пере.ходе; к в — постоянная Больцма
па; — абсолютная температура.

Для определения критериев подобия в соответствии с § пр
образуем исходные уравнения, представив их как проекции на од

235
ну из пространственных осей [/], отнеся величины / к характер-
ному линейному размеру (например, или к дли о, ' ой длине
базы полупроводникового прибора, или к Д1 ФФу имеющие
Ьр, или к’длине Дебая 1Л); время (/] —к тР;• вел1”ин“’ ™
размерность тока,—к сходственной плотности дырочно

В результате при	и М^р0 уравнения принимают сле-

дующую безразмерную форму:

др,
д(,
дГ
дР,
др

-ЕР,

«О# \

5рЙ)

Л7* Ор

где

]0р

( /ОртР
' Я Ро1о

др, .

дР, '

д /, •
дР,

(4-18)

дл;

Е	Р

7"; Р*=Т

Ео	Ро

-; А=-; А
«о ТР

I

1о

Р,п=ехР^^

Я

п

/

У, = —;	—относительные переменные.

* 1о

В соответствии с характером решаемых задач граничные и на-
чальные условия могут видоизменяться.

Критерии подобия в системе безразмерных уравнений получа-
ются в виде коэффициентов, стоящих перед относительными пере-
менными. Так, из этих уравнений получаем шесть следующих кри-
териев подобия:

Л)р’о	ё,010	/ортп

^1 ТГ ’ ^2 —	»	~~----- »

ЯРоОь	'(о	ЯРо^о

Я Рок	8р10	п0	(4-19)

л4-------! Лс=--------: лк—------.

Ееой’,о	Е)р	р0

Критерии эти целесообразно несколько преобразовать и ввести
для них единые обозначения.

Определяющими критериями комплексного типа будут критерии,
•,^ТКа1ЦИе условия однозначности. Например, л5 —критерий по-
6	* «л , _____	ерхностях полупроводников.

. еляемыми сериями комплексного типа, содержащими
кХепииЫлппТМеННЬ1е величины *о. будут, например, ль л2.
{ Р д ия плотностеи дырочных токов, электрических и
вевидеВЫХ П°ЛеЙ В Г1ОЛ*пР°волниках (пРи 6к = сопз1) представим
я2=лГ1Л8; Л^лр?2, где Л7 = /0/Ар; Л8=/0/Ао.

Условия подобия сформулируются следующим Образом-
1. Электронно-дырочные переходы должны быть геометоичесг 1
подобны, т. е. должны выполняться условия: Т. = Иегп У*=1бепг
л? —1оеш; Л8=1с1ет и т п. Критерии геометрического подобия дают
возможность установить геометрические масштабы подобных полу-
проводниковых приборов. Эти величины показывают также, что
подобными могут быть только полупроводниковые приборы с про-
порциональными диффузионными и дебаевскими длинами.

2.	Необходимо подобие начальных условий. Так, например, из
условия л6 = 1(1ет видно, что для подобия полупроводниковых при-
боров необходимо, чтобы отношение равновесных концентраций
носителей заряда было одинаковым.

3.	Необходимо подобие граничных условий, т. е. л5=ц1ет,
И*п=1с1ет и т. д. Видно, что условием подобия является пропор-
циональность скоростей поверхностной рекомбинации для электро-
нов и дырок. Критерий б/*п=1бет дает возможность определить
масштаб потенциала и температуры, а масштаб времени находится
из условия /. = 1с1ет

4.	Если физические 'свойства полупроводников зависят от па-

раметр'ов происходящих процессов, то

в соответствии со вторым

дополнительным положением подобия нужно требовать подобия
их относительного изменения.

Выполнение этих условий приводит к обеспечению подобия и
соответственно соблюдению соотношений лп = 14ет для всех кри-
териев.

Большой практический интерес представляют вопросы прибли-
женного подобия, когда приведенные выше условия выполняются
только частично.

Подобие электронных процессов в р-л-переходах. Особенно
ценным при использовании теории подобия к р-п-переходам явля-
ется возможность установления общего интеграла исходных урав-
нений в форме функциональной связи. Исследуя задачи полупро-
водниковой электроники в обобщенных переменных, можно не
только облегчить их аналитическое решение (вследствие уменьше-
ния числа параметров), но и обобщить свойства полупроводнико-
вых приборов. Так, рассматривая известную задачу о зависимости
тока р-п-перехода от приложенного к нему напряжения, при неко-
торых допущениях получим для определения плотности дырочного
тока через переход (х=0) следующее выражение:

щ=л7(ехрС/*п—-1)»

которое можно при дальнейшем обобщении и уточнении использо-
вать для установления условий подобия вольт-амперных характе-
рце шк различных р-п-переходов. При 0я- = к1еш такими усло^ ми
будут Л7 = 1с1ет, и.п=Иет. Это позволяет, зная вольт-амперную
характеристику очного р-п-перехода, получить вольт-амперную
хэрактеристикх другого, подобного ему р-п-перехода. ьсли же
строить вольт-амперные характеристики в координатах

то при л7=1(1егп в первом приближении они совпадут для различ-
ных р-п-пеоеходов.

Таким путем можно обобщать различные экспериментальные
данные. Например, зависимость дифференциальной емкости С
р-п-перехода от напряжения при одной и той же температуре ио-
лх’чается для различных образцов в виде единственной прямой
(в логарифмическом масштабе), т. е. дает совпадение всех графи-
ков С,=/(0г). Подобие р-п-переходов проявляется тем самым для
различных полупроводников, отличающихся размерами и парамет-

рами.

Обработка экспериментальных данных в критериальном виде
позволяет осуществлять физическое моделирование полупроводни-
ковых приборов и обобщать натурные данные, не только предска-
зывая характер протекания процессов при различных режимах
работы, но и выявляя новые свойства.

Полученные критерии подобия могут успешно применяться и
при всех видах моделирования полупроводниковых приборов. Рас-
смотрим моделирование полупроводниковых приборов на примере
сплавного транзистора (рис. 4.13). В области базы при отсутствии
электрического поля и малом уровне инжекции уравнения
(4.12) ч- (4.17) переходят в уравнение

Г2р

др
д1

(4.20)

на

Уравнение (4.20) при осевой симметрии транзистора
делнруется сеткой, одна ячейка которой показана
элементы сетки имеют следующие параметры;

легко мо-
рис. 4.14.

2г0	2го + Лг Л

• д> ____

Т *\	-----—------

“	2г0-Л,

Л,
л!

хГ° %	РЯо

1м __ Лм /м

/ ~ Ор>х ’ ~ ’

Д/ соответственно; Го_радналь.
чина; —время на модели’	постоянная для всей сетки вели-

ЛОГИЙ (для случаяС?эсевой™мметЭТИМИ Уравнениями система ана-
при кт=11х=И)

дает соотгюшени1РИИ ПОЛ'упРов°ДНИКового прибора
пых носителей, электрически п- Между Распределением неоснов-
Уравнение (4 20) воспппия ЛеМ И сеточн°й моделью.

сетке при С/л=0. Для задания НЭ постРоенной таким путем
ответствующие эмиттеру и кодпектп^ условнй У3-™ сетки, со-
нное источниками питаниямиТРУ’ СОединяют<я непосредст-
233
Рис 4.13. Сплавной транзистор:

/ — моделируемая область, 2 — эмиттер, 3__

коллектор, 7 — вывод базы; су, Ш1 — тепловые
потери; (1, Л — размеры

Рис. 4.14. Элемент сеточной
модели

Аналогично может быть построена сетка для моделирования
электрического поля, определяемого уравнением

= — р/е.

Исследования электрических процессов, проведенные на мо-
делях. В результате исследований был получен ряд новых дан-
ных, хотя изучение отдельных процессов проводилось пока в
основном без применения всей системы критериев подобия, но и это
позволило выявить характер распределения-носителей в области ба-
зы, соотношения диаметров коллектора и эмиттера при разной
глубине его вплавления.

Преимущества применения метода подобия проявляются при
исследовании связи скорости поверхностной рекомбинации 50, ко-
эффициентов усиления р, диффузии О и толщины базы А/. Поль-
зуясь критерием подобия л5, удалось значительно сократить
число исследований. При изучении объемной рекомбинации в ка-
честве критерия подобия принимается Л|. При рассмотрении влия-
ния сопротивления базы (например, от А/) пользуются критерием
подобия л4. Для исследования систем с пространственным заря-
дом, например распределения поля в области электронно-дырочно-
го перехода с учетом поверхностных зарядов, применяются крите-
рии ПОДО-бИЯ Лй И Яб-

Возможности методов подобия и моделирования при исследова-
нии полупроводниковых материалов хорошо выявляются при рас-
смотрении тепловой зависимости решеточной теплоемкости кристал-
лов и экспериментальном определении температуры Дебая. При
этом пользуются критериальной формой температурной зависимо-
сти теплоемкости:

с*—/7(Ве),

где с. = с/спе; ссе— теплоемкость при так называемой температуре
Дебая 0ое; Ое = 0л70ое.
Исследования показывают 'ио для большой 'РУ™^^™;

бая, вычисленной теоретически, со значением бое, найденным опыт
НЫ Применение метода подобия исключает необходимость проведе-
ниязависимости с(бк) Для всех .вешеств. входящих в
данную группу подобных кристаллов, и позволяет сравнительно
просто усыновить для теплопроводности решетки (в приближении,
отвечающем теории Дебая), что температурная зависимость фор-
м\ тпоуется в безразмерном виде кзк х*ь ( е) 

 Исследование режимов работы полупроводниковых термосопро-
тивлений (термисторов). Здесь представляет интерес величина ко-
эффициента рассеяния

Н=Р!>,<

(4.21)

где Р — полная мощность, рассеиваемая в стационарном режиме
при прохождении через кристалл электрического тока: б« средне-
объемная температура перегрева кристалла относительно среды.

Анализ Н успешно выполняется с помощью аппарата теории
подобия. Система первоначальных величин здесь такова: 0 — тем-
пература перегрева элементарного объема кристалла; гх'о— удель-
ная мощность тепловых потерь в кристалле; х— удельная тепло-
проводность; а — коэффициент теплообмена излучением поверхно-
сти кристалла со средой. Поскольку в термисторах кристалл часто
имеет цилиндрическую форму и его диаметр значительно меньше
длины, то геометрическими параметрами будут радиус образца а
и радиальная координата г.

Безразмерные обобщенные параметры процесса:

лг=аа/х; л'3=г/а,

где л2 так называемый критерий Био: Л2/==[В1].

С7едовательно,	л3) или

6—(да^/х)/7^, Лз).

сообраТяХТмож™"Х2?ь о6т"< “потому*ДУ” "3 *“аи,еских
е®=(®ой2/х)<р(л2).

О рассматриваемом случае величина р <

к единице длины) равна г,*™СЛИЧ а Р (мощность, отнесенная
ченные выражения в (4 2Н няй ГДе	Подставляя полу-

\ придем

^*/<?[В1]

или

240

н*~	1МВ1]=?[В1].
Полученное соотношение определяет методику, по которой поп
жны выполняться экспериментальные исследования ра^мотоенно
го процесса; при этом результаты опыта с одним из X™
могут быть обобщены на группы процессов .в подобных прибора™

Рассмотрим простои кристаллический образец, предположив
что процессы в нем рассматриваются при условии ек>6пе когда
квантовые эффекты несущественны. При этом с помощью анализа
размерностей получим связь величин: яь=ЦМ0, 9о, а, 6К) где Мп —
масса атома; — заряд иона; а — постоянная решетки.

Считаем температуру 6 основной единицей. На основании (1.22)
используя методику анализа размерностей (см. § 1 4 Б) при четы-
рех основных единицах измерения, составляем один безразмерный
степенной комплекс:	1

* = 1^1/(1^Г'пГ1а1г |^|”).

Далее после решения уравнений для показателей степени размер-
ности и преобразований получим

(422)
где — безразмерный коэффициент (называемый иногда муль-
типликативной постоянной), определяемый по экспериментальным
данным для каждого конкретного вещества.

Следовательно, приближенно можно принять

Влияние температуры. Применяя тот же аппарат теории размер-
ности, можно получить соотношения, устанавливающие зависимость
между параметрами, характеризующими теплопроводность решетки
кристаллов и/, при различных температурах. Опять-таки
основываясь на простой модели одновалентного ионного кристал-
ла, полагаем, что при температуре кристалла, равной температуре
Дебая, теплопроводность решетки можно найти с помощью сле-
дующего соотношения:

^=С2д30/М°0-5а^ЬСе,

где С2 — некоторая безразмерная постоянная.

Сопоставив этот результат с уравнением (4.22), замечаем, что
при рассмотрении явления теплопроводности решетки кристаллов
в дебаевском приближении существенными величинами для про-
цесса являются хпе, 0ое, 0к, причем

х1 = хВеД(ек/0ве)=хсЛ(Ое) или

Число Ое является критерием, значения которого разграничи-
вают области с различными законами для теплопроводности ре-
шетки кристаллов. Если Бе^1 (область высоких температур), го
выполняются классические законы теплопроводности. Прн е
(область низких температур) реализуются квантовые законы теп-
лопроводности.	«из логичные им позволяют

Приведенные выше	находить неиз-

по данным, полученным для как° _ подобным видом химиче-
вестные параметры других кр лприменений метода
скпх связей и решетки. Среди многочислен	гСледования с его

подобия в этой области можно также указать на иссл д
помощью переходных процессов.

§ 1.6. МОДЕЛИРОВАНИЕ

УСТРОЙСТВ И ПОСТОЯННЫХ МАГНИТОВ

Ппи исследовании широкой группы электротехнических устройств,
к которой оросятся не только магниты и электромагниты но так-
же всевозможные реакторы и дроссельные усилители, с большим
Хехом применяется физическое и аналоговое моделирование, сни-
мающее многие трудности, возникающие при чисто аналитическом

В условиях линейности подобие магнитов и электромагнитов
определяется теоремой Кельвина: одинаково намагниченные гео-
метрически подобные магниты дают в сходственных точках прост-
ранства одинаковые напряженности.

Эту теорему можно рассматривать как следствие критерия по-
добия Л1 = ру/0//= Мет при ц=соп8(. Однако условие р, = соП8( не
отвечает большинству практических задач, рассматривающих цепи
со сталью при	=уаг. В настоящее время электрические

цепи со сталью являются составной частью большинства схем ав-
томатического регулирования и контроля. Теория таких цепей за
последнее время получила большое развитие. Однако в изучении
электромагнитных процессов большая роль принадлежит теории
подобия и моделирования.

Физическое моделирование предусматривает исследование элек-
трической цепи на модели, подобной оригиналу. При соблюдении
полного подобия это сводится к геометрическому подобию рассмат-
риваемых устройств, подобию начальных и граничных условий и
равенству относительных характеристик переменных, существен-
ных для рассматриваемого явления. Если осуществить физическое
моделирование затруднительно, то следует оценить влияние раз-
личных факторов на рассматриваемое явление, используя соотно-
шения подобия.	?

гтЛ. Ряде случаев при рассмотрении конкретного устройства со

Ю можно 0 легчить задачу и не моделировать отдельные про-
ана шз₽ КОТОРЫХ на основные величины невелико. Так, при
ми явпяютгя \-С° €ТЭЛЬЮ’ К°ГДа ОС.НОВНЬ1МН исследуемыми величина-
ДИТЬ ьасппепепХтр вет,вях йепей, часто нет необходимости нахо-
При этом можно пт магннтиого тюля по сечению магнитопровода,
дукцию измененирРИНЯТЬ яеК0т0РУю среднюю эквивалентную ин-
напряжение на ияж пТ°Р°И л° вРемени определит действительное
каждой из обмоток .магнитного элемента. Дейст-
242
вительныи магнитопровод можно заменить эквивалентным V ко-
торого поперечное сечение одинаково по всей средней длине маг-
нитной силовой линии, а характеристика намагничивания та же
что и у реального сердечника. В ряде случаев можно не моделиро-
вать скин-эффект, магнитные потери, вязкость, потоки рассеяния
и т. п. Указанные процессы в модели не будут полностью идентич-
ными оригиналу. Отказ от учета отдельных физических процессов
при рассмотрении какого-либо основного явления, т е переход к
приближенному моделированию, должен .быть оценен для каждого
конкретного случая.

Моделирование сложных электромагнитных цепей со сталью на
основе уравнения цепей. В этом случае для сложной электрической
цепи »аписываются следующие соотношения:

/=₽

У Ъ* = 0;	(4.23а)

7 = 1

<423б)

7=1

где I,, У] — ток /’-й ветви и напряжение на ее концах; А=1, 2,
3, ..., §—1; п=1, 2, 3, ..., р—^+1; р, § — количество ветвей и узлов
рассматриваемой схемы.

В общем случае любая ветвь может содержать источники э. д. с.,
активное, индуктивное и емкостное линейные сопротивления обмот-
ки на имеющихся в цепи нелинейных элементах. Напряжение на
концах /’-й ветви находится по следующему выражению:

СХД	'“'У V

Н=т	8=а

+ V	/2 V и,5 §1п ы+ф5).	(4-23в)

Л=1	5=1

где 7? у, Ь], С] — активное сопротивление, индуктивность и емкость;
— количество витков /’-й ветви на магнитном элементе Л; 5л

поперечное сечение магнитопровода элемента Л; мгновенное
а

значение индукции в элементе й; У ~	г/у581п(«>5/4-ф5) — сум-

5=1

ма источников э. д. с. в /’-й ветви; тп — количество нелинейных эле-
ментов в схеме; а — количество э. д. с. в схеме; действующее
значение напряжения источника, включенного в /’-ю цепь, е>8. фа
угловая частота и фазовый угол источника.

В любом магнитопроводе элемента Л индукция связана с тока-
ми отдельных ветвей цепи соотношением
Значение индукции из выражения (4.24) можно ввести в
(4 23в), тогда



У—а

_|__1_ С I.сП -4- /2 V Ц-5 • 5’п	+

л л

Представим соотношения (4.23а) в безразмерной форме. Выбе-
рем базисными величинами действующие значения напряжения
б'а источника а с угловой частотой оа и активное сопротивление
р-й ветви 7?р. Умножив (4.236) на КР и поделив его на 1!а, получим

)-р

2 /*;*==0-

(4-26)

Разделив все члены выражения (4.236) на Ыа, получим относи-
тельную форму системы уравнений для независимых контуров:

2^и=0.	(4.27)

;-1

Примем в качестве основного т-й магнитный элемент с попереч-
ным сечением магнитопровода 8т и средней длиной магнитной сило-
вой линии, равной 1т, у которого главной будем считать обмотку в
р-й ветви. После преобразований (4.25) можно привести к безраз-
мерной форме:

+	+ А'.с; У //е + /2 У 81П (ш,56 + фя) +

Л+т	5^1

А»=т
।	]Ъ.

рт

«>а

‘“а*-)

и

___1___ п __ ш^рт8^б .

^с^р ' 1т^Р

Т|— 1/а'^Р'п . . _'/Яр
1тПрНь' *’ Уа •

(4.29)
При одинаковых схемах узловые и контурные уравнения моде-
ли и оригинала будут совпадать. Условием подобия электромаг-
нитных явлений в этих схемах будет равенство коэффициентов
уравнений (4.29) модели и оригинала. Необходимо также, чтобы
магнитопроводы оригинала и модели имели одинаковые от-
носительные кривые намагничивания:

Р-*л=<₽(//*л) = 1<1ет.	(4.30)

На основании (4.29) и (4.30) формулируются условия построе-
ния модели:

схема модели должна быть такой же, как и схема оригинала;

в сходственных ветвях должны быть одинаковые относительные
действующие значения напряжения источников э. д. с. с равными
относительными угловыми частотами и фазовыми углами, а также
одинаковые относительные активные, индуктивные п емкостные
сопротивления;

сходственные магнитные элементы модели должны иметь маг-
нитопроводы из того же материала, что и оригинал; размеры маг-
нитопровода должны быть такими, чтобы отношения их попереч-
ных сечений и средних длин к сечению и средней длине основного
магнитопровода были одинаковыми со сходственными отношения-
ми в оригинале; обмотки магнитных элементов должны иметь рав-
ные отношения сходственных витков отдельных элементов к коли-
честву витков главной обмотки основного магнитного элемента;

конструктивное выполнение основного магнитопровода должно
обеспечивать необходимые пределы изменения величин р и ту

Выполняя модель согласно изложенным рекомендациям, полу-
чаем возможность находить зависимость , определяющую токи в
цепи с учетом влияния многих факторов и в том числе нелинейных
элементов:

= (/?*;-!, Хс), ^3’	'1'3» Р’

где /— 1, 2, 3,5 = 1, 2, 3,..., а—1.

Если в рассматриваемой цепи контур подмагничивается постоян-
ным током, то уравнение этого контура следует рассматривать от-
дельно:

/ <у 4-V *ук8н‘т а- г .1^44—+

*у-’~ Яу ' М От 1Гут5т/Л М т'^ут

1	Л-1

+?

Здесь

/уЛуЛ. /у^рт  Т __ ЕУ~*Гуя,/^ ;

гу ц/ ’3/п о ц4	т	ртЕу

и а"рт	Крю ут
1У_—Э. д. с. и переменная составляющая тока в цепи управ-
ЛеИТаким образом, подобие цепей подмагничивания постоянным
током характеризуется тремя обобщенными пеР^ентшми: оте.оси-
тельной постоянной времени линейной части цепи Ту^^с^-
пенью подмагничивания т и степенью компенсации гармонических
С0Сфизич™ моделирование требует определения критериев по-
добия, обычно отыскиваемых при некоторых допущениях, упроща-
ющих форму записи уравнений. Так. при создании модели для изу-
чения динамики электромагнитов переменного тока принимают, что:

1)	параметр Ь полностью характеризует индуктивность катуш-
ки с учетом потоков рассеяния;

2)	активное сопротивление /? включает как омическое сопротив-
ление катушки, так и эквивалентное сопротивление, отвечающее
потерям в магнитопроводе;

3)	нелинейность параметров Ли/? учитывается зависимостью
от тока (/) и размеров (х, у, г):	х, у, г) и /?=<р(Л х, у, г),

относительные характеристики которых должны быть соответствен-
но одинаковы в модели и оригинале;

4)	экранирующие короткозамкнутые витки не влияют на тяго-
вую силу, развиваемую электромагнитом.

При исследовании статических режимов реальный электромаг-
нит обычно заменяют эквивалентным, принимая, что:

1)	поперечное сечение сердечника неизменно по средней длине
силовых линий;

2)	индукция постоянна во всех точках;

3)	поток рассеяния и потери в стали отсутствуют;

4)	подобие нелинейности кривой намагничивания учитывается
относительной характеристикой р* | Н* | =Мет.

Условия подобия динамических процессов в электромагнитах
переменного тока требуют соблюдения равенства в модели и ориги-
нале следующих критериев подобия:

а) относительной постоянной времени цепи катушки

Л1 ~	=и)^-б/А*б=Иет;

ме2Ро2ЙХ2в^^ЬЗОваяия затРаченной при включении

л2=т1.=«>Гкр/б/?б//72=1(1ет;

нита е ЬН°Й СИЛЫ инеРЦии подвижных частей электромаг-

л3=М,	= Иегп;

г) относительной силы трения
Д) относительных геометрических размеров

гф=г//6=к|еП1;

,в) начального фазового угла напряжения

ж) критерия гомохронности

л6=и1/=1(1ет.

Здесь С/б, «-действующее значение и угловая частота напря-
жения, подводимого к цепи катушки; /?б, 16 - омическое сопротив-
ление цепи катушки и базисная индуктивность; Ркр —значение про-
тиводействующей силы в критической точке; т — масса подвижных
элементов электромагнита; коэффициент трения; /б, д, г —ба-
зисный размер и некоторые характерные размеры магнитной систе-
мы в направлениях осей у и г; I — время.

Кроме выполнения приведенных критериев для подобия элект-
ромагнитов в динамическом режиме требуется совпадение относи-
тельных характеристик противодействующих сил:

=^пр/Лр= ? (^и)=Мет,

где Кпр — текущее значение противодействующей силы; /*п —отно-
сительные значения перемещения.

Подобие электромагнитов переменного тока при статических
режимах обеспечивается при соблюдении следующих критериев:

а)	'индуктивного сопротивления катушки

Л!=шго25стр6/(/ст/?б) = Мет;

б)	напряженности магнитного поля

л2=/У,=У/6^/(/?6/еЛб)=Иет;

в)	активного сопротивления /?а экранирующих короткозамкну-
тых витков ВУЭ

л з==Ме т;

г)	относительного конечного зазора
л4=д/к=двк/4т=^ет;

д)	отношения неэкранированной и экранированной чаете
люса

л5=5119/59 = 1беш;

е) критерия гомохронности

ш/=1бет.

В последних выражениях: ш — числе’	основного

Зет- длина средней магнитной силовой линии и сечен
полюса магнитопровода; ре и Не — базисные значения магнитной
проницаемости и напряженности поля; Дбк--конечный[ а а _ р от
«залипания»; 5пЭ, 5Э —площади неэкранированнои и экранирован-
ной частей полюса.	—	— ,;Яагп

Кооме того как указано выше, должно быть ц. И77*/ шеш.

Некоторые 'особенности условий подобия электромагнитных ап-
паратов Электромагнитные аппараты, контакторы, реле и другие
«X быть прЛставлевы упрошенной механической характерно™-
имеющей даа прямолинейных участка: до н «осле
замыкания контактов. Полученные выше выражения критериев по-
добия можно уточнить, введя в них значения: б.о « б.,- относи-
тельные значения хода якоря контактов, ^*о, А*г от но и ьные
коэффициенты крутизны участков механической характеристики,
Е.г=<г(/.п) Обычно вводятся также относительные размеры маг-
нитопровода: ^=с/а; г.=б/а; Д.=А/ЛК, где Ь, с-ширина окна,
занятого катушкой, толщина пакета; А, Лк высота внедрения сер-
дечника в катушку и высота намотки катушки.

Выбирая базисные значения нелинейных параметров, всегда
можно добиться тождественности их относительных характеристик
(Л., /?*, р.). Обычно удобно за базисное сопротивление принимать
активное сопротивление цепи катушки, за базисный размер — ши-
рину основного полюса; базисную индуктивность следует подгонять,
рассчитывая (для Ш-образных магнитных систем) по формуле

Л6 = Л^р0да25сг/а,

где Ль= 1,14-1,5.

При выборе величин ре и Не необходимо иметь в виду, что зна-
чения соответствующих параметров зависят от материала магнито-
провода, значения конечного зазора Абк, а также от качества шли-
фовки рабочей поверхности и изменения магнитных свойств мате-

риала сердечника в результате технологической обработки.

При исследовании динамических и статических характеристик
электромагнитов, в частности контакторов переменного тока, на
физической модели в зависимости от конкретных условий могут
намиЛекиЯТЫ Те НЛИ ННЬ1е упрощения. Так, при моделировании ди-
оь-Химя^ЖИМаВ прямоходных контакторов за неизменные
модели следует п^^еТРЫ ^б’ й’1оГда остальные параметры
числовые кпитепия^ЛИРОВаТЬ’ С ТеМ что$ы менять соответствующие
числовые критериальные величины. Это изменение может
Литься, например, следующим образом:

произво-

Критериальная ве-
личина

Изменяемый пара-
метр

♦ ’’!* 'М*	С)*	В*! у* г*

Ъ т	е	ро ко кх во 81 с ь

В* А* а
(Ла

практически иезначительно^по™1 НЫХ у,стР0Й,с'гвах влияние фения
рактерислию^евехоХх пп^ ЭТ°МУ МОЖ'Н'° считать. что (?«0. Ха-
переходных процессов можно сравнивать при едина-
ковых а. При (Приближенном подобии наибольшую точность

ет соблюдать в установке значений Т и м Р ? °<ть следу-

Моделирование постоянных магнит*ов. Аналитически" расчеГпо
стоянных магнитов вызывает значительные трудности которые мо
гут быть преодолены при пользовании методами моделирования
При аналоговом (см. табл. 4.1) моделирован™ поля постоянного
магнита критерии подобия и моделирующего его поля токов ™ыс°
кидаются на основе уравнений Лапласа, определяющих магнитное
поле в окружающем магнит пространстве .и поле токов в проводя-
щей среде:	Е

& (Н?ы) , 02 ф?м)

0Х2



— 0; д2(а<Рэ) 02 (а?э) ~
дх1 0И

где <рм магнитный скалярный потенциал; <рэ — электрический по-
тенциал.

На основе анализа записанных уравнений, вводя в них масшта-
бы физических параметров, получим критерии подобия:

где /м — единица длины натуры; /э — единица длины модели (при
условии, что внешняя среда изотропна).

Выразив все величины натуры через величины модели и масшта-
бы, подставим их в уравнение магнитного поля:

02 ат (т у)	02ст (т ®)

------- —-I----——- = 0

0 ИХ) д

Очевидно, что для подобия необходимо соблюдение критериаль-
ных соотношений

т„т	К™

 , =т или —5-

оу

т —г = 1дегп

Этот же критерий подобия можно выразить и через напряжен-
ность поля:

—=1дет.

При нелинейных средах необходимо обеспечить равенство отно-
сительных характеристик размагничивания материала псхюшшо
магнита В. (Я*) и относительных внешних характеристик Л (Л.Iне
линейных активных двухполюсников, заменяющих

нелинейной среды.	иЯгнп.

Задачи, связанные с исследованием систем с П(>сто5,»»“^
тами могут быть отнесены к краевым задачам со статическими
полями, магнит представляет собой область пространства, запол-
ТАБЛИЦА 42

Поле токов в проводвшей среде

Линейная среда

] = сЕ

Е = — 8га(5?
го1 Е = О
(Ну 7 = 0
с^2 *У = О

Нелинейная

(Ну ] = о (Ну Е
°=/(В)
оа . г-

<Ну ! = о (Ну Е + Е —- (Ну Е

Ос,

Анизотропная

О = Е (х, у, г)

<Ну / = о (Ну Е + Е ^га(1 о

Магнитостатическое поле

В = уН

Н = — &гас1?м
го1 Н = О
(НуВ = О
р?2?м = 0

среда

(Ну В = р (1IV Н

(НуВ = |л(Ну Н + Н -^-(НуН

среда

р= Р(х, у, г)
(Ну В = р (Ну И + И §га(1 р

ценную поляризованным ферродиэлектриком — активной средой,

являющейся источником магнитного напряжения. Эта область про-

странства с активной нелинейной средой окружена пространством
с пассивной линейной (воздух) или нелинейной (арматура магни-

та) средой.

Обычно при всех исследованиях систем с постоянными магни-

тами принимается, что удельной характеристикой магнитной среды
является спинка предельной петли гистерезиса материала постоян-
ного магнита. В любой точке внутри постоянного магнита векторы

В тл Н принимаются коллинеарными. В каждом элементарном объ-
еме поле считается равномерным, а направление векторов намагни-
ченности— параллельным образующим этих объемов. Такие же до-

пущения принимаются при создании электрических моделей осе-
симметричных систем с постоянными магнитами.

Осуществление рассмотренной электрической аналогии постоян-
ного магнита требует создания проводящей нелинейной среды,
воиства которой в сходственных точках были бы подобны свойст-
вам нелинейной магнитной среды (магнита). Необходимо также
ать проводящую линейную электрическую среду моделирую-
Ху ™“1е%магаит "1ней'<от "душное	Пол.

сплошной - чектпи оЛУТ”ПОДОбНЫ (та$л- 4 * * *-2)• Однако реализация
делах нелинейными СК°И“ ,средЬ1 с вменяющимися в широких пре-
нитных 1 тепиачои СД01)Ствами' отражающими многообразие маг-
Поэтому при ”ан’алоРгеоГо\Се₽меЗНЫе ТеХНИЧеСКНе ТРУДНОСТН-
сплошную среду сеткой ° ,модел,|Р°ванин заменяют
внешние характеристики ' Инейных активных двухполюсников,
делах. Характеристики//(/Т нелинейных ЗМеНЯТЬ В ШИР°'КПХ 1пре‘
' ») нелинейных активных двухполюсни-
250
Рис. 4.15. По-
стоянный маг-
нит

Рис. 4.16 Электрическая
модель постоянного маг-
нита

ков и удельное сопротивление окружающей линейной среды (элек-
троинтегратора) выбираются так, чтобы отвечать выявленным
критериям подобия *.

Моделирование постоянного осесимметричного магнита можно осуществлять
цепочкой нелинейных активных двухполюсников. При этом магнит как бы раз-
бивается на ряд последовательно включенных объемов, магнитное состояние
которых моделируется соответствующим нелинейным элементом в модели. Маг-
нитное состояние каждого объема определяется своей рабочей точкой на спинке
петли гистерезиса. Рабочие точки электрических нелинейных элементов устанав-
ливаются в модели автоматически, при этом распределение электрических потен-
циалов и токов в модели сразу дает решение задачи.

Рабочее поле электроинтегратора, отвечаюшее окружающему магнит про-
странству, может быть либо сплошной средой (электролитическая ванна, полу-
проводящая бумага), либо сеткой пассивных сопротивлений.

Достоинством моделей — сплошных сред — является возможность получения
трехмерного геометрического подобия модели и натуры. Недостатками их явля-
ются громоздкость оборудования, относительно невысокая точность, необходи-
мость применения только переменных токов для исключения погрешностей от
поляризации.

При осуществлении электрической модели постоянного маг-
нита (рис. 4.15) обычно применяют нелинейные активные двухполюсники,
внешние характеристики /(17) которых подобны кривым размагничивания Ф(Дм)
магнитной цепи. Аналогом постоянного магнита может являться кремниевый
фотодиод, работающий в вентильном режиме: при освещении он становится
источником э. д. с. с нелинейным внутренним сопротивлением и его внешняя
характеристика	по конфигурации подобна кривой Ф(С’м) магнита

(рис. 4.16), Изменением светового потока V последовательного и параллель-
ного сопротивлений, включенных на выходе фотодиода ФД, а также введе-
нием источника э. д. с. Дем можно в широких пределах изменять масштаб и
форму выходной характеристики. Магнитная система при этом может быть раз-
бита на участки, которым в модели должны соответствовать нелинейные элемен-
ты. Зная длину и сечение элементарных объемов, по известной кривой в (п)
размагничивания материала магнита легко построить зависимости магнитного
состояния Ф,(С/М1) этих объемов. Затем следует ввести масштабы подобия
Щц = Пм/17, ти = ро/а, т1=1м1(а. Масштаб подобия тг=Ф/1 находят из равен-
ства т1=кик^кь которое вытекает из подобия уравнений натуры и модели.
Определив масштабы подобия, можно перейти от зависимостей Ф<(Дм<) к зави-
симостям /(И), по которым настраивают нелинейные элементы. Настроенные
нелинейные элементы подключаются к рабочему полю обычного электроинтегра-
тора, моделирующего пространство, окружающее магнит.

* В. В. Коген-Далин, В. Л. Шатуновский. Об ^ект.Р“^'к^
делированип систем с постоянными магнитами «Известия АН СССР энерге-
тика и транспорт», 1965, № 6.
§ 4 7. ПОДОБИЕ Э.1ЕКТР01Ш0-ИО1ШЫХ ПРОЦЕССОВ

Теория подобия дает возможность, не интегрируя уравнения, обна-
руживать взаимозависимости между параметрами процесса и эле-
ментами системы. Рассмотрим 1несколько характерных случаев 'при-
менения подобия и моделирования.

Ток термоэлектронной эмиссии. К двум находящимся в вакууме
пластинам достаточно больших размеров, отстоящим друг от друга
на расстоянии I, подводится постоянное напряжение (7. Пластина,
имеющая отрицательный потенциал, накалена, и от нее к положи-
тельно заряженной пластине проходит ток плотностью /. Примем,
что эта плотность тока, значительно меньшая плотности тока насы-
щения, является функцией только электрического поля. Решая за-
дачу путем анализа размерностей, необходимо располагать доста-
точными опытными данными, чтобы правильно установить величины,
влияющие на ход процесса. Предположим, что найдены влияющие
величины, устанавливающие зависимость плотности тока / от под-
веденного напряжения И, от диэлектрической проницаемости среды
е. заряда д0, массы т электрона и от расстояния I между электрода-
ми. Из шести влияющих параметров четыре являются независимы-
ми. Следовательно, имеем два критерия подобия Л1 и л2, которые
можно согласно § 4.1, Б записать в виде, соответствующем незави-
симым параметрам е, до, пг, I:

я1 — —;—-—;—-—!

“1 ₽1 ЪЛ

» Чот 1

СГ

Л2 ——~~ >
“2 $2

I т /

откуда можно найти степени	где л=1, 2.

В итоге критерии Л! и л2 принимают вид:

^\=]Уе.тд1о/д20; п2=:1Л/дй.

°™а™и "-Горемы можно утверждать, что данное явление
не.ХстРи рГрРИЗ°ВаТЬСЯ связью Л*=КИ"2). причем вид функции
ноет! тока в чяни’ поставив несколько опытов по определению плот-
— -РЯ-

л = уТ7^=е /7о/т.

подходя к изучению

теоретических или

™ « Р^ьтат значительно быстрее, если,
чкспотВЛеИИЯ "а (>С|1ов;,1|ии предварительных
влияющим фактором являе^ся^м^Лп11'^ ИССЛелсгваи'нй. знать, что
ношение. Тогда при пяти рлнип Заряд и масса электрона, а их от-
с-имых рем же пХом ?пазч Xх величннах « четырех .пезавв-
выйлг Г немом сразу находим один критерий, равпосиль-


Задача становится еще более опп₽п₽пйчИпг,
явления известны уравнения п ’ И ДЛя изУча(,мого
ких уравнений можно записать в следующем видеТ^ СИСТвМУ Та’

/=(^/М/)п'^0,

где 7(Х = сЛуе^'=гс11^гас1/7,

тс1и!сИ=.д^Е.

Тогда -]=((1ЦсИ)^6\м&зби-, -т(аЧ/аР)=Чо&^и откуда
находим интегральные аналоги и получаем критерии:	*

л1 = /^/(е6г); л2=тР/(еС№).

В случае установившегося режима (,при постоянных V и /) мож-
но исключить время /=л1е(//(//). Подставив значение I в выраже-
ние Л2, получим	1

^трР/^^д.)

или, объединив оба критерия в один, найдем

Л =	1/л,л=е Vд0/тСГ3'2Ц]Р),

что совпадает с л/.

Приемы теории подобия можно с успехом применять и для бо-
ле сложных случаев. Так, например, электроды могут иметь
любую форму. Такое усложнение делает невозможным получение
аналитического решения путем непосредственного интегрирования
уравнений, но не мешает найти условия подобия.

Электрические поля в ионизированных облучением газах.
Моделирование и использование соотношений теории подобия
для изучения воздействия у-излучения и других видов ионизирую-
щих излучений на электротехнические устройства позволяют выя-
вить искажения электрических полей объемными зарядами, возни-
кающими в диэлектрике. Эти явления существенны, так как могут
привести к нарушению работы изоляции, измерительных приборов,
элементов автоматических, телеметрических, радиоэлектронных
систем. Видимо, учет их существен для явлений, связанных с коро-
ной проводов линий передач, открытой дутой, пробоем разрядных
промежутков п т. д.

При облучении газообразного диэлектрика
у-лучамы или рентгеновскими лучами (этот пример типичен для
такого рода задач) процессы, происходящие в ионизированной оо
лучением среде, можно описать системой дифференциальных урав-
нений, учитывающей процессы рекомбинации, дрейфа и диффузии
ионов:

дп/д/ ==	- (1ря+ «_ - сПV &п+Ё) -ф 2)+ + д 1V щж! п +; (4.32)

дп/д1 =	- ауп+п_ + ЛV (^п_Е) + О- Л V 8га<1(4-33)
61V Е — р/е = (?о/е) (п+ —

(4.34)

гм И.-,™ Мр ионов, Т=-

в единице объема за единицу 3Рем *	.	__коэффициент ое-

налы а м< щ чостн и-изиРУ«°п ^-ЭощентрацТиХв Л
комбинации в обычном ’ 5ъема- е и — коэффициенты,
ответствмощего знака в единице ооъема, ь+ и ь чу*- ,, /->
характеризующие подвижности соответствующих ионов, О+и О—
1 >эФФиниенты диффузии ионов соответствующего знака; Е — на-

^нность Электрического поля; е- диэлектрическая проницае-
" сть; р— объемная плотность электрического заряда, д0 заряд
°ДН4нат^и№еРреешение нелинейных дифференциальных уравне-
ний в четных производных [см. (4.32)4-(4.34)] затруднительно
даже при простой форме электродов. Задача существенно упроща-
ется если прибетнуть к методам подобия и моделирова-
нию Можно получить критерии подобия, выразив в относительны <
единицах все переменные величины, входящие в уравнения.

Пл.	П—

п.-= —
по	п0

2У;

1.=—,

Ео 1о



где п0, Л'о, Ео, 1о — соответствующие характерные значения (под I
подразумевается любая линейная координата).

арактерное значение времени /о введем несколько позднее.
В качестве /о можно взять любой линейный размер исследуемого
объекта; напряженность Ео очевидным образом связана с 67 0 и 1о'.

— ± б/0//0

(знак в этом выражении выбирается в зависимости от того, какое
анравление Е удобнее принять за положительное). Выбор харак-
терной величины концентрации ионов По целесообразно связать с
ходом процесса, ориентируясь на какой-либо случай, допускающий
аналитическое решение. Удобным для этой цели является устано-
ь. вшиися режим при отсутствии электрического поля и при равно-

" _РаспР^делДнии в пространстве ионизирующею фактора
ппчл'^мтТпт0.118 ‘ Этом во всем пространстве концентрации
пзвнойр -ий Э" И ОТРИЦ! ТР'1Ь11Ь’Х ионов одинаковы и определяются
значение ю И№1изацией и рекомбинацией. Равновесное
значение	СМ'	можно принять за характерное

ны концентпани ''V граад\ПРи таком выборе и0 относитель-
жаться чисчямм ™ *+ И П*~ в 60ЛЬШИ11Стве случаев будут выра-
(4 32) —(4 34) 1|’;,-1гп1Ме'Я1ЧЬ1МИ С единицез- Заменим в уравнениях

!Ъ‘ ’А

“1/У	п»ЛУ™"''»вЬКр„териев,,ОД06т.	ГЛ'"“

2д4
-А±^р •

------_ 1 1 *-2 —	—	~ ,

1О Г Л^Ир	/^Цр

-г _
5То —	-

С/Ое

— ; Л4 =----- +	; л5 =----Оу

/о/МзЛр

1 (4.35)

Однако з таком .вире критерии не обладают физической
настью. Лучшее физическое истолкование получается если
критериев подобия (4.35) преобразсвать следующим’образом:

нагляд-

систему

Я(А= Я7=й.= !^=

Я1	Л2

1	арЕ	Л4	Г) .

я8=—л9=—=—
Л1Л3	^ое+	Л1

(4.36)

яю

Л5

Л2

о

Здесь буквами и а, обозначены критерии, содержащие лишь
постоянные, характеризующие среду (^0, 5+, е, аР), а буквами
М, О„+ и — критерии, включающие величины, которые характе-
ризуют внешние воздействия, мощность ионизирующего фактора
^о и напряжение 1У0.

Критерий Лб='М можно назвать главным критерием подобия
для электрических полей в ионизированном облучением газе, так
как в него входят почти все определяющие процесс величины.
Критерий лв можно считать относительным коэффициентом реком-
бинации, так как только в него входит коэффициент рекомбинации
ар. Критерии лэ и лю являются как бы относительными коэффици-
ентами диффузии. Они отчетливо показывают, что влияние диффу-
зии уменьшается с ростом напряжения.

В случае физического моделирования условиями по-
добия рассматриваемых полей будут, очевидно:

1)	геометрическое подобие систем электродов натуры и модели;

2)	равенство относительных потенциалов на электродах нату-
ры и модели: (<рА)м=(<р.4)н;

3)	соблюдение критериев подобия (4.36) для натуры и модели.

Следствием указанных условий будет подобие пространственно-
го распределения и изменения во времени ионизирующих факторов.
В любой точке рассматриваемой области пространства и в любой
момент времени исследуемого промежутка должно быть

[АМ*.-	=

где левая часть записана в относительных единицах модели, а пра-
вая часть — в относительны'; единицах натуры.

При математическом моделировании основой для решения за-
дачи являются преобразованные уравнения (4.32) —(4.34), а также
граничные и начальные условия, записанные в относительны'
«шах. Замена натуральных величин

критериев подобия здесь, как и в других задачах, лает со. ьшую
“вЕ'К". задачах прикладной электроники. Дли
анализа работы и конструировании различных	“Р’"ер"И

поюбня отыскивают с учетом искажения поля объемными заряда-
м? граничных и краевых условий (потенциалов на проводящих
э ектродах поверхностях раздела диэлектрических и магнитных
сред и т д) Обычно вводится требование, геометрического подобия
оригинала и модели, но здесь не исключено применение нелинейных
и в частности, аффинных преобразований.

Если имеются нелинейные .параметры (е, ц) У электрических и
магнитных сред, то наиболее существенные нелинейные характери-
стики, приведенные к относительной форме, должны быть тождест-
венны у модели и у оригинала:

и./р.6 = рж=1бет, е/ей = еж=йет,
где ре и ее — характерные базисные значения.

Для установления критериев подобия необходимо написать си-
стему дифференциальных уравнений изучаемых процессов. Первые
два уравнения —это известные волновые уравнения электроднна-

мики:
V2/	!- . ^-= _р0(р;+0Д+/стор);	(4.37)  с/
<4-38)  №	*0
к-
(Ну Л0; Е— — &габ<р	,  V2	Л	Л1

где , векторный потенциал поля; — скорость света; е0 и ио—
электрическая и магнитная проницаемости вакуума; р — плотность
объемного электрического заряда; V — скорость движения электри-

ности ччргтпт’ ° удельная проводимость; Е — вектор напряжен-
зависяшегп пт пСК0Г° поля’ /стор—плотность стороннего (т. е. не
пиал поля 'РассматРиваемого поля) тока; <р — скалярный потен-

Далее запишем уравнение дивергенции объемного заряда:
(1Ь'рг>=-ар/Л.	Г4ОО)

> равнение движения мектронк представим в форме ‘	'

(4.40)

где та в е0 — масса покоя
магнитного поля.

и заряд электрона; В — вектор индукции
Па основе полученных соотношений можно определять «ип.
подобия, пригодные для тех или иных конкретных слу Г'
например, рассматривая уравнение (4.37), найдем критерии .подо!

л,-—;	=	=

А тор	Ос гор

1	И-оУстор^-

лз—~» л =--------------- ;

Ус гор Ус гор	Д

вместо (4.37) запишем критериальное уравнение

(4.41)

л = ф(л1, л,, л3), т. е.

Л 1!М2)	[//(г*,/), зЩ//ст„р), /7стор]. (4.42)

Таким образом, подобие процесса определяется из (4 37) тре-
бованиями:

Лч^Ийет, л2 = 1ёет, л3 = (бет.

Уравнение (4.38) дает дополнительно новый критерий, который,
однако, выполняется при соблюдении всех остальных:

л = р/2/г=»бет.

Прежде чем находить критерии из уравнения (4 39), учтем, что
после интегрирования его по объему V, ограниченному изнутри
поверхностью катода Ркат и извне произвольной поверхностью Е,
охватывающей Ткят,

/каг(^аг, /)=	- ( -^йУ.	(4.43)

г

Тогда обычным путем получим два критерия, один из которых
л —/ (о/) = (беги

не даст чего-либо нового, кроме требования г.'Д'о=соп$(, т. е. во всех
подобных процессах скорость движения электрона, выраженная в
долях от скорости света, должна быть одинакова, или скорости дви-
жения электронов не моделируются, а другой критерии

л4=/каг ./(Р®Я = 1бет.

Уравнение (4 10) дает только один новый критерий:
л5 = т/?/'и0^10ет.	,4-44

Таким образом, подобие обеспечивается при соблюдении пяти
критериев и требования о/со = соп5(. Кроме этого, должнь	1

блюдены критерии о)( = (с1епт и дополнительные крю
дают граничные условия. Разумеется, такое нахождение к
подобия носит преимущественно методический характе. .
НИИ практических задач нужно принимать вытекающие из сути зада-
чи упрощения, например, не учитывая волновых явлении, считать
изучаемые процессы квазистационарными, ^Л^аря чему можно
без ущерба для точности нарушать критерии //(/о0). При отказе от
воспроизведения релятивистских эффектов можно отбросить крпте-
р^//Х) и При отыскании .подобия только в установивших-
ся'режимах можно пойти на еще большие упрощения. Таким обрд-
зом здесь как и в других задачах, методами теории подобия
счедует пользоваться, исходя из конкретных задач. Полученные
критерии никоим образом не должны рассматриваться как готовые
Формулы, предназначенные для механического пользования ими;
как в рассмотренном случае, так и в других, они вполне пригодны
при математическом моделировании электромагнитных полей и то-

ков в различных установках.

Подобие и моделирование явлений короны. В задачах, связан-
ных с проектированием и эксплуатацией линий электропередач,
большое значение имеют исследования короны, возникающей на
проводах высоковольтных линий. Критерии подобия здесь следует
отыскивать на основе математических соотношений, учитывающих

все влияющие факторы, которые проявляются в сложных процес-
сах, связанных с явлением короны, а не только исходя из геометри-
ческого подобия.

В литературе появилось много предложений по использованию
условий подобия для постановки экспериментов, пересчета величин
потерь, замеренных в одних условиях, на другие. Критерии получа-
ются из основных уравнений, описывающих явление короны, приве-
денных, как обычно, к безразмерному виду делением каждого урав-
нения на один из его членов. Не приводя выводов, напомним, что,
используя уравнения короны, предложенные О. Майером, были
получены* соотношения, на основе которых утверждается, что для
любого момента времени процессы короны на разных проводах по-
добны, если соблюдаются критерии подобия:

л. = Мет;’л2=---------1--

1	г~—

Г еоа>

' Ро>
или л2-----------

#тах^/Е

^^-максимальный заРяд: Ян —начальный заряд.

р 1г/₽Л^НИИ кР"1еРия указывает, что при сохранении величины
этом лолжЯ Д0Л™ изменяться с изменением частоты. При
нирующей системы и еспечено геометрическое подобие всей коро-
вижиости ионор И и жл?ЖНЫ быть С0ХРанечы неизменными под-
менялось а т Коэффициент их рекомбинации так, чтобы не
снялось ^тах/г/Е, т. е. должны соблюдаться критерий

лз—//г0=1(1ет

•В А Веников Теория подобия и моделирование. <Высшая школа,, 1966.
258
и критерии гомохронности

л4=ш/ = 1(1ет,

причем

где (М —напряжение, приложенное на коронирующем проводе-
с/н — начальное напряжение короны.

Критерий Л4 показывает, что при изменении частоты ш подве-
денного напряжения Р нужно менять масштаб .времени, сохраняя
<о/ = 1бет. При моделировании короны в натуральном времени (без
изменения частоты) необходимо для сохранения критериев л! и л2
нарушать критерий лз, отказываясь от геометрического подобия
Уравнения короны можно записать в критери-
альной форме следующим образом:

^..//г0=«р1(Л1, л2, л3, л4);

АриЛ/(е0«>)==<Р2(я1, л2, л3, л4);

(/а..<=<р3(Л1, л2, л3, л4),

(4-45)

где — радиус, определяющий положение ионов в момент т; г0 —
радиус коронирующего провода; 1г — коэффициент, характеризую-
щий подвижность ионов в разных условиях; рШг— плотность объем-
ного заряда ионов.

Критериальные соотношения применяют для обработки резуль-
татов самых различных опытов. Так, например, с их помощью осу-
ществляется пересчет потерь на корону определенных на линии
с проводами радиусом г{ при частоте и зарядах на проводе
на линию с проводами радиусом г2 при частоте 12-

Общее критериальное соотношение для потерь имеет вид

Р

к+ РЕо

л2, л3, л41 .

В частных случаях, учитывая данные опыта, можно использо-
вать выражение

Г-АУ“а'	п,

\ /1 /	\ Г-2 ) Дн1 /

где <Х1, аг. оз — показатель степени, отражающий условия исследуе-
мых процессов для конкретных случаев; Р* — кратность перена-
пряжений.

На основе теории подобия могут быть получены и другие
зависимости. Так, иногда рекомендуется относительная характе-
ристика короны Р* — Р/Рб или Р=/(СРЬрС^, где ^=^^00.35^-^,
(70 —напряжение короны.

Как показывают рис. 4.17 и табл. 4.3, приведенная выше фор-
мула действительно дает хорошие результаты.

9*

253
Рис. 4.17. Обобщенная
характеристика потерь
мощности на корону для
условий хорошей пого-
ды:

1 ; у-2°; X -з ; о — 4°;
®—5’; Д—6 : V—7': ▼ —8;

Л —!>

Провод	г0. СМ	г
Одиночный АСУ-400	1,465	0,98
Одиночный	1,385	1,02
Одиночный	1,585	1,075
Одиночный АСО-700	1,855	1,03
Расщепленный 2ХАСО-500/400	1,51	0,806
Расщепленный ЗУ21/500	1,05	1,0
Расщепленный 4x21/280	1,05	1,0
Расщепленный ЗХАСУ-400/400	1,465	1,0

Весьма полезна критериальная обработка и при определении
других экспериментальных данных по коронирующим линиям. Од-
нако здесь не будем касаться этого вопроса, рассмотренного в
специальной литературе *. Заметим только, что полученные крите-
рии подобия и вспомогательные соотношения в первом приближе-
ние пригодны для математического моделирования явления короны
 , я по (роения физических моделей. Однако действительно уве-
ренное моделирование будет возможно только при дальнейшем
уточнении подобия физики происходящих явлений. Следует иметь в
ВИД', что сложность и многогранность группы процессов, которые
объединяются под общим понятием корона, требуют учета ббль-
н>-го (е.тва влияющих факторов, чем это делалось до сих пор,

В И Левитов Корона переменного тока. «Энергия», 1969.

260
когда исследователи стремились получить результат «удобный»
для математической интерпретации. В частности, необходимо учи-
тывать то обстоятельство, чго объемный заряд в зоне иошпапин
распределяется в виде волн, форма которых меняется во времени.
" то двигкение волн весьма сложное: часть зарядов совершает по-
ступательно-возвратное движение, происходит возврат части ионов
к проводу и процесс рекомбинации ионов; при этом существенное
значение имеет то обстоятельство, что заряд коронирующей систе-
мы сосредоточивается не только на поверхности провода но и в
некотором изменяющемся объеме около провода. На все эти про-
цессы влияют не только те факторы, которые учитываются в со-
временной теории короны, но и многие другие — такие, как состав
воздуха в данный момент времени и его движение, обусловленное
посторонними причинами (ветер), изменение распределения тем-
пературы около нагретого провода, наличие в пространстве, где

развивается корона, внешних ионизирующих частиц в виде у-облу-
ченин и т. д. Поэтому все соотношения, необходимые для модели-
рования и подобных пересчетов, следовало бы получать
как вероятностные, рассматривая возникающие здесь поля,
как действующие в неоднородной, анизотропной среде, причем па-
раметры ее Пх являются не только функцией координат, но носят
вероятностный характер

ли)
о

о

Ли)

где Л 2, з(^) —плотность распределения случайной величины.

Такой подход должен заменить современный детерминирован
ный, при котором незакономерно стремятся к полному совпадению
заранее известных данных единичного эксперимента. Рассмотрен-
ный путь еще требует разработки, но можно с уверенностью ут-
верждать, что только он откроет практические воз-
можности установления соотношений подобия
короны и других электронно-ионных явлений. Так, на основе ве-
роятностных критериальных зависимостей должна исследоваться
открытая дуга, появляющаяся при перекрытиях изоляции на высо-
ковольтных линиях передач.

При экспериментальных исследованиях на физических моделях
моделирование может облегчаться различными вспомогать ть-
н ы м и приемам и, направленными на изменение начального на-
пряжения, вызывающего возникновение короны или дуги при пере-
крытиях. Например, одним из таких приемов является подключен:!*
накаленной проволочки, позволяющей легко управлять искровыми
промежутками и т. д. Особое внимание должно быть ооращеио на
моделирование явлений, связанных с молнией и реализации и гро
зозащиты. До сих пор в этой области исследователи не применяют
теорию подобия в ее полной интерпретации (с учетом подобия сре-
ды, где развивается разряд) в вероятностном аспекте, ораними-
ваясь геометрическими соотношениями, примитивными макетами,
заведомо не могущими дать удовлетворительных результатов, ри
моделировании грозозащиты подстанций и обработке результатов
исследований должны выбираться (например, согласно методу
Монте-Карло) случайные параметры для каждого разряда. При
физическом моделировании подбор вероятностных характер! стик,
подлежащих реализации, следует вести на ЦВМ. При этом долж-
на моделироваться не только геометрия сооружения и
защищающих его устройств, но и окружающая среда с изме-
нением состава воздуха, если модель выполняется в закрытом по-
мещении. Рассмотрение этих еще не решенных задач стоит на по-
вестке дня.

§ 4>. МОДЕЛИРОВАНИЕ В СВЕТОТЕХНИКЕ

Моделирование в задачах оптики и светотехники только начинает-
ся. Исследование светотехнических и оптических устройств, прово-
дящееся на макетах, не является моделированием, поскольку мо-
дель и натура в этих случаях тождественны, а следовательно, обоб-
щения исследования не получается: не применяются теории подобия
и критериальные соотношения, которые могли бы позволить это
сделать.

Между тем и производство, и эксплуатация световых приборов
к требуют такого изучения вариантов их оптической части, при ко-
тором расчеты сочетаются с моделированием.

Ряд работ, выполненных в последние годы, показывает возмож-
ности создания моделей, позволяющих на одной установке выявить
оптические устройства, наилучшим образом удовлетворяющие тех-
ническим условиям.

Физическое моделирование. Оно осуществляется воспроизведе-
нием на установке-модели, приспособленной для проведения экспе-
риментального исследования светового (оптического) подобия изу-
аемыз устройств. Подобие натуры и модели, подразумевающее
>В1 адение в определенном масштабе их кривых светораспределе-
ния, обеспечивается тождественностью углов внешнего простран-
ства а, 5 и одинаковостью структуры световых пучков натуры и
модели. Светотехническое подобие реализуется при расстояниях,
чиная с которых все лучи элементарных отображений займут
- 'тг '/ пР'1Мерно неизменное положение относительно друг друга
и относительно оси оптического устройства.	*

светотехнический^ гео“етрическое подобие не является условием
из за оазличия п одсиия, натУРы и модели. Это важно, так как
ЯРКОСТИ светящих тел, а также неиз-
ческое подобие не л _раве^‘ ,ва Угловых размеров полное геометри-
че ,е подобие не может быть обеспечено.

Основной критерий светотехнического подо-
моделщимее^вид3 °ГН°Ве аНализа УРавнений силы света натуры и

п = ?В8К)1.
Масштабные соотношения подчиняются условию
т9твт8тк1т1=\,

коэффициент заполнения"0/—силаТсвета.МеИТ°В отражателей: К —
позволяет иметь6утташэв^	П° форме и Размерам,

ческие устройств! имеюш^ра^

заданному.	1	силы света, подобное

чем"ХИнаТп^е™ХХ““ХСЯЯ зам	Г™' "₽"'

зеркальной полосой, вращаемой вокруг осн симметрии в“вд"
моделирования преломляющего устройства вращается непрозрач-
ный колпак, на котором имеется меридиональный вырез, закрывае-
мый набором преломляющих элементов.

Модели выполняются на основе критерия подобия

л = Рм^м 2 Д2?Д25«/(2л/уИв).

Этот критерий указывает, что зеркальный отражатель модели,
образованный вращающейся меридиональной полосой угловой ши-
рины Дф, светотехнически будет подобен натуре, если за период
времени I средняя сила света, посылаемая им по направлению а.
равна силе света сплошного отражателя с коэффициентом отраже^
ния, равным рыДф/2л.

Критерию подобия удовлетворяют модели с плоской меридио-’
калькой полосой! определенной угловой ширины Дф<ра, где ра =
=	— максимальный размер светлой части сплошного отражателя.

Моделями другого вида являются каркасные модели, имеющие
каркас для крепления оптических элементов несимметричного све-
тораспределения. Каркасные модели со сменными оптическими
элементами применяются при определении профильной кривой оп-
тического устройства в какой-либо секущей плоскости, например
для люминесцентного светильника в плоскости, перпендикулярной

осям ламп (в поперечной плоскости). При моделировании люмине-
сцентных светильников часто применяют систему относительны'
единиц, базисными единицами в которой являются максимальны,
значения сил света люминесцентных ламп модели натуры

Цилиндрические зеркальные отражатели люмпнесцетных све-
тильников имеют светлую часть в виде прямоугольника, »ы(
На которого для разных направлений а зависит от их Фор‘мь* в
перечной плоскости, длина же постоянна и равна длине ла«"^
Подобие кривых силы света обеспечивается геометрическ.им подо^
бием профильных кривых оптических устройств натуры и модели

и модели

согласно выражениям

при	(4-461

А Г._ Р^м	'‘‘ч
где йа. Л™-высота проекции светлой части зеркальных зон натуры
и модепи- Ге ^—средние радиус-векторы тех же зон, р, рм«
коэффициенты отражения; (I, <Д,-диаметры люминесцентных ламп.

Изменение силы света здесь обусловливается двумя факторами,
проективным сокращением светлой части (сова) и краевым эффек-
том те сокращением длины светлой части за счет ее движения по
поверхности отражателя в сторону движения наблюдателя. Со-
кращение длины светлой части для зон отражателен модели и на-
Э?ры при геометрическом их подобии определяется согласно соот-

ношению

За = 50 (1 — а е) соз а.

(4-47)

гдс 5 площадь светлой части отражателя по направлению а-0 ;
а__текущая угловая координата; е —угловой размер осветителя
в продольной плоскости.

Согласно выражениям (4.46) и (4.47). светотехническое подо-
бие люминесцентных светильников реализуется при геометриче-
ском подобии в профильной плоскости, а также прн равенстве .длин
оптического устройства и ламп в модели и оригинале.

Критериальные соотношения, приведенные .выше, служат осно-
вой и для аналогового моделирования, при котором каждому эле-
менту оптического устройства натуры указывается соответствую-
щий элемент модели, так что процессы в них описываются одним
и тем же уравнением. Прн реализации оптико-электрической ана-
логии первично упавшие на отражатель световые потоки моделиру-
ются значениями токов источников питания, оптические характе-
ристики и геометрические данные отражателя — проводимостями
электрической цепи, значения потоков многократных отражений —
величинами напряжений между узлами электрической схемы и
землей. .

Структурное моделирование. Оптические устройства могут Мо-
делироваться на основе структурного подобия, т. е. прн расчлене-
нии уравнений на отдельные математические операции и воспро-
изведении этих операций на соответствующих элементах аналоговой
модели, математические операции которой далее синтезируются и
дают решение уравнений, описывающих изучаемый процесс. Так,,
при допущении о точечной малости светящего тела светораспреде-
ление симметричного зеркального светильника описывается систе-
мой дифференциальных уравнений

— =

<1<1

<1<4

? ± а

(^св —/л)в ып а ’

(4.48)

г>Д( иг » полярные координаты точек поверхности отражателя;
по7втЛ^ИЦНе/Т отРажения; /---сила света светильника по «а-
ча сила света лампы по тому же направлению.
нейных функций (§а, Д = ?/Л951по Б= 1

?	' ’ ~П 7~\ Г7 ' * Двумя

„	-	Мсв — <л)а 51П п	*

НвГ=^^

роиства, заданной кривой светораспределения и заданном источни-
ке света методом последовательных приближений. При этом ос-
новой алгоритма являются аналитические методы расчета площади
светлой части и, следовательно, расчета силы света отдельных зон
оптического устройства. Однако в этом случае должны быть опре-
делены численные способы автоматического заполнения заданной
кривой светораспределения зональными кривыми.

Расчет яркости и площади светлой части зон оптического уст-
ройства можно сделать с помощью аналитических функций р(а)
и п(а) установления зависимости числа светлых ячеек от величины
угла а. Условие заполнения заданной кривой силы света заключа-
ется в том, что сумма зональных кривых Щ(а) должна давать
функцию, близкую к необходимой кривой силы света /(а). Следо-
вательно, по любому направлению должно удовлетворяться нера-
венство

I =П

I (сП — V I. (а)

где п— число зон; е — заданная погрешность.

Получающиеся при этом радиус-векторы г, соответствующие уг-
лам <р, определяют искомый профиль оптического устройства.

Оценка аппроксимации заданной кривой силы света /(а) в не
котором фиксированном диапазоне углов о функциями 1Л(и) про-
водится на основе метода наименьших квадратов. При этом наилуч-
шее приближение к/(а) будет соответствовать минимальной сумме

вида

(4.49)

где а, Ь - выбранный интервал направлений приближения; Л
число суммирующих зональных кривых.	„

Моделирование может применяться очень широко, сейчас оно
обычно проводится для определения неооходимои точности изго-
товления оптических устройств (исходя из заданного р |
вых светораспределения), оценки влияния РасФ^У^рОнВа7Ождения
товой пучок и определения допустимых их в . . ’овагели стре-
дейстзительного светового центра светильника. “р?Огп?шнХ при
мя гея учесть и скорректировать технологические погрешности пр
конструировании световых прпооров.

§ 4.9. МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ ЭНЕРГИИ
Различные методы моделирования, показанные на пне 4
ко применяющиеся при решении радиотехнических зЕ'ч ’ ,""Р°‘
как физические модели так и оачлнцны₽ И задач, включают
дующие когерентные и некогерен^	МОДеЛН’ ИСП0Л1-

Применяются также аналого-качественные " зв^ковь,е В0ЛПЬ1-
лпрование в плоской водянсГв^^

волны поперечного типа, отвечающие упавнемчя^ го„Г У ВДаЮТСЯ
гидромеханического потенциала скоростей, подобных упавХиям
ерца. В рассматриваемом случае решение задач распространения
радиоволн является приближенным и не может дать уверенно™
количественного подобия.	уверенного

Установки для моделирования. Общий вид такой установки
показан на рис. 4.19. Количественные данные относительно рас-
сеяния радиоволн могут быть получены моделированием с помощью
звуковых волн, техника создания и приема которых разработана
достаточно хорошо. Однако обычно звуковые волны являются про-
дольными колебаниями и явления рассеяния моделируют рассея-
ние радиоволн только в некотором приближении. Если поляриза-
ционные явления несущественны (например, при больших размерах
рассеивателя по сравнению с длиной волны), для моделирования
применяют ультразвук. Основным преимуществом этого примене-
ния являются относительно малые размеры моделей, определяемые

тем, что скорость распространения ультразвука намного меньше
скорости распространения радиоволн *.

Модель, выполненная на ультразвуке, похожа на установку
(рис. 4.19), содержащую вместо механического возбудителя квар-
цевый. Образование поперечных звуковых волн при распростране-
нии в трубах подобно образованию электрических волн в волново-
дах, причем размеры сечения труб должны быть сравнимы с дли-
ной волны. Установки, работающие на частотах, близких к 10 кГц,
позволяют визуально наблюдать прохождение волн через линзы
различного типа других устройств, подобных радиотехническим.

Физическое моделирование. При изучении явлений излучения,
рассеяния и дифракции радиоволн с начала XX в. применяв с1
физическое моделирование. Оно широко применяется при изучении
диаграмм рассеяния различных радиолокационных целей. Моде т ।
рование является основным методом лабораторных исследовании.
Для получения квазиплоской волны длиной Л расстояние до из
меряемого объекта размером Ь должно удовлетворять условию



или, если ввести обозначение Ах—АД, т0

• Е. Н. М а й з е л ь и В.
сеяния радиолокационных

А. Торгова нов Измерение характеристик рас-
целей. «Советское радио», 19/2.
Источник сбапа

Рис. 4.19. Измерительная установка для изучения
образования волн (водяная ванна)

При /,л = соп81 необ-
ходимое расстояние,
пропорциональное дли-
не волны, уменьшается,
позволяя работать на
волнах, более коротких,
чем рабочая, п выпол-
нять псследогания в
помещении. При этом
моделировать можно не
тотько конфигурацию
поля, но также уровни
мощности и электро-
магнитные свойства си-
стемы, в том числе ин-
тенсивность падающего
и отраженного полей.
Однако получаемая
при этом модель слож-
на, поэтому в диапазо-
не СВЧ практически
моделируется лишь
конфигурация поля. Ве-
личины напряженно-
стей полей или мощно-

стей в этом случае определяются косвенными методами.

Модели заданной радиосистемы обычно создаются
на основе линейных уравнений Максвелла при исключении таких
нелинейностей, как ионосфера, ферромагнетики и т. д. Условия по-
добия при этом устанавливаются для систем с линейными средами,
параметры которых могут быть как однородными, так и неоднород-
ными. Здесь следует применять дополнения о подобии, расширяю-
щие все выводы и распространяющие их на любые нелинейные

случаи.

Рассмотрим условия этектродинамического подобия, при кото-
рых величины векторов электромагнитного поля в каждой точке
пространства модели отличаются от этих величин в соответствую-
щей точке оригинала только постоянным численным множителем,
ри получении условий подобия будем исходить из уравнений
Максвелла

го( Еф- у-дН ,010;

(4.50)

го1/У —	уЁ=О.	(4.51)

--’1 // 1 1 маГ11,1тная п диэлектрическая проницаемости среды;
но”у - провод имос гГсрРедЧьк К0Г° И магнйтаого полей «ютветстхвен-

2Ъ8
Воспользуемся равенствами

Е==еЁ^ Н=НН0-,	|

е = е0-/е; ? = ИЛп; у = у0$; / =	,	(4.52;

о^п3дес? С°’ ^п’ Хр’ Хт’ 5'/ " 7’~Ч11сла, определяющие переменные
поля в системе, в которой единичными величинами (масштабами)
являются е, К, е0, ц0, То, /о и (0.	’

Подставляя (4.52) в (4.51), получим-

пяД + а-^-^О;

оТ

гоШ0-^ =>5Е0=О,

(4.53)

где а=^- . — ;

*о I	/о Л Уо 0 л '

Для подобия электродинамических систем необходимо и доста-
точно, чтобы коэффициенты ахт, рхе и 65 были в обоих случаях
одинаковы.

Если ограничиться рассмотрением монохроматических колеба-
ний, за масштаб времени взять период колебаний т и выразить его
через частоту /, то условия подобия можно записать в виде

р.//0л//=сопь); е//0//й = соп81; у/(//Л=сог.81,	(4.54)

откуда после преобразований для модели (м) можно получить:

^(/4)2=е^(А, Аы)2;	|

!^(//о)2=^^1А./0м)2; I

/	/м	(	(4.55)

V-	I

/	/м	I

Эти условия должны \ цовлетворяться во всем пространстве,
т. е. в телах и в среде, в которой находятся тела. Заманчиво
применить в качестве среды в пространстве модели диэлектрик с
высокой диэлектрической проницаемостью е, например вод; или
твердый диэлектрик. Однако из-за потерь в воде измерения дела-
ются неточными, а измерения с твердым диэлектриком практиче-
ски трудновыполнимы п поэтому измерения на моделях всегда
производятся в воздухе. Если средой в натуре и на модели являет-
ся воздух, то в среде удовлетворяются условия е = Гм и ,11= цм- Это
означает, что и для модели должны удовлетворяться такие же
условия. Учитывая эти требования, можно уточнить систему урав-
нений (4.55) для условий подобия модели в воздухе:

е'=ем;	/ы//—47ом- __

В этом случае два последних соотношения (4.55) удов
ются автоматически.
Выражения (4.56) позволяют У^рждать что ю
модели будут совпадать с измерения и ' & материала, и по
производятся при частоте,

проводимостью V- Гл?^™ДпПР^”^е”пебро,алюминий, настоль-
:~=^»ж^=^₽е-

л//=лмДм=^ега’

Т е отношения масштабов электрического и магнитного .полей в
обеих системах равны, хотя к и е могут быть не равны Лм и ем
соответственно. Учитывая это, можно записать

ш10 (е - /У/10)=‘Мом (ем - Ум/^м)-	<4-57)

Это выражение в радиотехническом моделировании широко ис-
пользуется. Из него следует, что

У/“=Т>ы = 1бет.

(4.58)

Моделирование материалов с потерями. Оно требует специаль-
ного подбора проводимостей и применяется редко. Однако модели,
покрытые поглощающим материалом, дают удовлетворительную
для практики точность. При измерениях в диапазоне волн вне резо-
нансной области радиопоглощающего материала, покрывающего
модель, достаточно, чтобы коэффициенты отражения поглощающих
материалов модели и оригинала Кот совпадали при всех углах па-
дения.

При равенстве коэффициентов Кот совпадают амплитудные и
обычно фазовые диаграммы.

Моделирование, осуществляемое с помощью волн оптического
1 1 азона, позволяет получать приближенные сведения об отдель-
нг оаметрах полей и поэтому широко применяется для решения
час т сы. задач, например световые волны применяются для на-
э-.дения мест максимального отражения радиоволн.

ич’т\'леме^Ир0ВаНИе И под°бие антенн. Подобие электромагнитных

. - ш антенн характеризуется критериями, определяющими
ое^ии -пл^РХМаГНИТН°е подобие (см' гл- П- Однако при рассмот-
реть поп'ш - Л /чения и пРотекания токов смещения можно опус-
тить первый критерии, .исходя из условия <о211 е/2= [<1ет и условия
теиХдо6иГГг”ИРтКТОГ0 "одо"н”- Из заппеаниого выше кри-
меток™ппппХ”’ ЧТ° Периоды 1 с°бст,венных колебаний гео-
ьх антенн, выполненных из одного материала
270
и находящихся в одной и той же среде, пропорциональны геомет-
Лк^С//ИтМ-м3^,еРпМ ЭТИХ антенн: ПРИ одинаковых ц и е должно
быть ЦТ Мет. Если практически удовлетворить требованиям вы
текающим из критериев подобия, затруднительно, то, выявив зави-
симость электрических парамеров от геометрических размеров этих
антенн, можно свести .влияние геометрических размеров на проте-
кание процесса к влиянию их на величины электрических парамет-
ров. Это вполне допустимо, так как антенна отличается от любой
другой электрической цепи только способностью рассеивать зна-
чительную часть своей энергии при излучении электромагнитных
волн. Поскольку геометрическая форма антенны бывает весьма
сложной, то может показаться затруднительным получить какую-
либо математическую зависимость. В действительности же самая
сложная антенна является комбинацией простых элементов, кото-
рые и существенны с точки зрения установления подобия. Так. ис-
следуя формулы емкости различных антенн, приходим к следую-
щему простому правилу: отношение статических емкостей геометри-
чески подобных антенн равно отношению их геометрических
размеров:

С^/т^С,.

Для индуктивности и взаимной индуктивности можно вывести
такое же правило. Размеры появляются в формулах для М и 1
всегда в виде отношений; влияние изменения размеров отражается
только множителем лщ— коэффициентом геометрического подобия
Это правило применимо к антеннам любой формы.

Если учесть изменение сопротивления при высокой частоте и
влияние скин-эффекта на индуктивность и сопротивление антенны,
то в коэффициент подобия т{ нужно ввести поправочный множи-
тель. Однако при определенных условиях эти поправки могут быть
ничтожно малыми. Возьмем, например, формулу для определения
индуктивности круглого провода, .имеющего длину I и диаметр сече-
ния с1. Уменьшение индуктивности вследствие действия магнитного
поля внутри проводника

= — 0,5|4 (1 — / рл/4/2/2^).

Для провода с коэффициентом гги имеем

дД,= — 0,5р/ [1 — рл/сР/2рт*] тЬ

Изменение индуктивности при изменении частоты выражается
нелинейной функцией от Щ(. Только для проводов, у которых

с1.2=с1х1 У

ЛЬ пропорционально /Щ, так что АЕ2—ЛЬЦпц.

Излучение антенн является самой .важной характеристикой
с точки зрения радиотехники: Мощность излучения антенны
где сожитель 5х называете, <опР°"

В зт^е от акп шого ^противтени^оно «^Хснна.Егозави-
^противленмя матерела из	д , ?ометрической формы ан-

ТМОСТЬ ОТ ДЛИНЫ Л из »У час

тенны лпишетея как

Л*

иП! Г,

где /-ток в нижке* части антенны; Л — геометрическая высота
антенны.	,

Однако 12^0^=!/^, следовательно.

5x2= -ГТ

.2

Невидно что V антенны любого типа распределение тока не
вменится если все ее геометрические размеры изменяются про-
ЛС'РВ™знНа°чен:1я эффективной емкости Сэф и эффективной индук-
тивное и Ем антенны, потучаем возможность применить формулу
Томсона для вычисления частот /о собственных колебании антенных
контуров Для рационально сконструированной антенны сопротив-
ление излучения 5;. составляет преобладающую часть ее полного со-
противления. Пренебрегая влиянием активного сопротивления,
найдем для антенны 1

/01=1 (АЭфСэф)-1 —5х (4АэФ

Собственная частота колебаний какой-либо антенны 2, подоб-
ной антенне 1. выражается формулой

у02 —	ер

Моделирование распространения радиоволн. Расчет распрост-
ранения радиоволн вдоль земной поверхности с учетом искажений,
вызванных отдельными препятствиями, чрезвычайно сложен, а при
препятствиях произвольной формы вообще вряд ли может быть
произведен. Поэтому здесь весьма эффективны моделирование и
экспериментальные исследования в натуре с последующим пересче-
т .* РезУ тьтатов согласно соотношениям подобия. При ц=1 для
2. еспеч^ния подобия условий распространения необходимо, чтобы
вс э емен^ов рассматриваемой системы, включая и препятст-
вия, выполнялись словия:

=Иет; о>Г2у = к1еп1.

НяЛг«РГер’ еСЛИ геометРические размеры и д пша волны изме-
о// = 1беп1, при $ = с1сп1
/у=1(1ет, или у »=:1|гт.
Рис. 4.20. Схема экспериментальных
исследований распространения элект-
ромагнитных волн

Чтобы сохранить подобие при
уменьшении размеров, следует
увеличить частоту и проводи-
мость.

Опыты, поставленные при соб-
людении указанных соотношений,
позволяют выяснить влияние та-
ких важных факторов, как ампли-
тудные характеристики и искаже-
ние фазовой структуры электро-
магнитного поля в пространстве,
обусловленное конечной проводи-
мостью и электрической неодно-
родностью земли и геометричес-

кими неоднородностями на трассе распространения радиоволн.

Примером проведения специальных экспериментальных иссле-
довании распространения радиоволн и последующих пересчетов
результатов исходя из соотношений подобия могут служить опыты,
проводимые на установке (рис. 4.20). Генератор'Г, создающий ко-
лебания частотой /=3000 мГц, присоединен к излучающей антенне
Л1. Эга антенна, а также антенна А2, находящаяся в точке наблю-
дения, и контрольная .43 изготовлены из медного провода и имеют
размеры, соответствующие четверти волны; они расположены лад
алюминиевой поверхностью /7, явтяюшейся трассой распростране-
ния волн. Из алюминия .выполнен и полусферический «холм" —
препятствие Пр. Влияние этого препятствия на фазовую структуру
распространяющегося поля изучается с помощью смесительного
устройства С, фазовращателя Ф и измерителя И Сигналы от ан-
тенн А2 и А3 поступают в смесительное устройство, а фазовраща-
тель позволяет совмещать сигналы от антенн Д2 и .43 по фазе. При-
меняя компенсационный метот измерения и компенсируя с помощью
фазовращателя амплитуды сигналов до минимума, модно по из-
мерительному приборе найти величину изменения фазы Д<р и ус-
тановить влияние на распространение волн расстояния х между
приемником А2 и холмом, а также влияние величины холма. По-
лученные результаты легко распространяются на ряд подобных
объектов, причем частота, при которой проводятся эксперименты,
выбирается с учетом материалов модели. Так, при изучении вл я-
ния электрических неоднородностей почвы опыты, поставленные на
почвах, имеющих эквивалентную проводимость у=1,2-10 при
частоте 300 мГц. после пересчета согласно соотношениям подо ия
хорошо совпадали с экспериментально найденными условиям:'
пространения радиоволн над почвами с проводимостью у=4-10,
т. е. при ту=тш=300, при частоте мГц.

Методы теории подобия и моделирования могут применяться
не только при изучении распространения сигналов и их искажении
под влиянием тех или иных факторов, но и при исследован. ..
редачи энергии на расстояние без проводов.
Моделирование радиоаппаратных	преобразователей

могут -быть представлены в вид ппиподы* в энергию сигнала
энергии сигнала одной ФизпУ,е упрощенно предположить, что
другой физической природьь	УД, прОСТРаН€Тва, которое

преобразователь не ограничен [ ооп„',„пй Жуикции, т. е. он схпре-
еЛу необходимо для выполнения заданной	по

деляет собой идеальную термодинамикескую^. ни энергией, ни
цам которой нет обмена с окру пяпаметпа преобразователя
массой. В качестве	™ еХ" внутренней энергии

(системы )может быть при	. энергии системы можно

ЧГ. В этом случае »змеж»«“’нЯ обобшетооП силы Р, соот-
представить в виде прои Л	изменение обобщенного за-

ветствующей физической природы на изменение

ряда



(4.59)

Рассматривая в качестве определяющих параметров обобщен-
ные силы, можно записать выражения вида

с,или	(4.60)

где с..— обобщенная жесткость системы; обобщенное сопро-
тивление системы; Л — поток обобщенного заряда системы.

Так как при прохождении через систему информации (ее преоб-
разовании, генерировании или других процессах) происходит из-
менение внутренней энергии системы, то для рабочей модели в ка-
честве обобщенной силы можно выбрать количество информации
С. Соответствующая математическая модель может быть представ-
лена в виде двухмерного матричного поля. Параметры модели вы-
бираются так, чтобы получить в результате безразмерную инфор-
мационную единицу. Если в матричную модель ввести физические
параметры, с которыми обычно оперирует конструктор (параметры
материалов, величину энергии сообщения, мощность), то такого
рода модель можно назвать энергетическим полем конструкции и
энергетическим объемом конструкции. Разделив модель энергетиче-
ского поля конструкции на соответствующее ему матричное поле,
получим удельную энергетическую характеристику (в Дж/логон
или 1 логон), которая может быть использована при сравнении
и оценке конструкций различных информационных устройств. Со-
ппнп,0 аиалогичной методике на основе выражения (4.50) можно
?ЛЯ констРУК1ОРа параметры: обобщенный энер-
в лжпспякЦИ0НИЬ1И заряд $ (Дж/бит), имеющий смысл «цены»
емный^чяпя1т ТНИЦу информации; обобщенный энергообъ-
гии и хапактепиХиип’-ПТЮЩИЙ смысл „объемной плотности эчер-
многие дпгтирРпяп ЩИ" ФизичесКие свойства материала, а также
раметры. Находя такого рода параметры, конст-
рии радио^паратостроеиия^СбХ^^^	моделирования в тео-

т. 7. «Энергия», 1973.	ИК ^,,беРнетпка на службу коммунизму*,
руктор может объективно оценивать модели систем по их ин*оо
мационно-энергетическим показателям	инфор-

 На основе соотношений (4.60) можно получить ряд параметпов

Э н е „ г°"Т₽“чее е кТ„С: КОНСТИ'К™«“= характер^,™ ’сиетеЦ ’
энергетические соотношения в конструкции
Энергия сообщения IV'с только в идеальном случае равна энергии
потребляемой от первичных источников питания В бедных
условиях необходимо учитывать, что т] —коэффициент преобразо-
вания (коэффициент полезного действия), он всегда меньше ели
ницы, поэтому	А

ПТ

(4.61)

где С —количество информации, бит; 1ГП — энергия источников пи-
тания, Дж; (~) — обобщенный энергоинформационный заряд систе-
мы, Дж/бит; -гр — коэффициент преобразования (-го преобразова-
теля.

Из (4.61) следует, что количество информации в системе тем
больше, чем больше энергии потребляет система, чем меньше обоб-
щенный энергоинформационный заряд системы, чем больше коэф-
фициент преобразования и чем меньше элементарных последова-
тельно соединенных преобразователей. Достоинства многих элект-
росистем, ,в том числе радиоаппаратуры, можно характеризовать
числом ее элементарных ячеек. Из приведенного выражения сле-
дует, что по энергетическим соображениям большое количество по-
следовательных преобразований нецелесообразно.

Весовые и объемные соотношения в конструк-
ции. Величина энергии сообщения пли количества информации
может быть связана с весовыми или объемными характеристиками
реальных материалов выражениями

О=\УсКо или У=\\'\К^,

в которых коэффициенты /\с и определяют весовые или объем-
ные размеры данного материала, непосредственно обеспечивающе-
го преобразование информации.

В реальных условиях в эти уравнения включаются различные
коэффициенты, учитывающие конкретные конструктивные харак-
теристики:

0=С(^КсПК1 или У=С(^КГПК{,

где С — вес аппарата, Н; Ка— «вес» единицы энергии в данном
материале, Н/Дж; I’ —объем системы, м3; А’г — «объем» единицы
энергии в данном материале, м3/Дж; А, — безразмерные коэффици-
енты совершенства используемого материала по весовым и объем-
ным параметрам и совершенства принятого конструктивного ре
шения.

Интересные для практики соотношения иногда получают, ис-
пользуя метод неполных интегральных аналогов. В этом случае ос-
новой дтя рассмотрения состояния конструкции являются не
новой Д.|Я расе	хпянненпе полной энергии систе-

дифференпиальные уравнения, а \равне	произведения

„м _о Можно представить величину IV, в виде произведения
п сумм обобщенной силы х,- на сопряженный с нею заряд
б) П -б Так как каждая х, является функцией не только
Йпр«?о1нею заряда, но и функцией всех остальных зарядов
Гкоотинат) конструкции, то обобщенная сила	чю дает

;к<пор.ДИнат) ^^ате1ЬН0 разлелив последнее выражение на
каждый из его членов, можно получить критерии подобия.

В сттчае когда .в качестве определяющих-величин принимаются
энергия источников питания, энергия сообщения и энергия потерь,
а в качестве обобщенных сил-объем, количество информации и
поверхность, на основе (4.62) получается 15 критериев, объединяе-
мых в пять групп: объемные, информационные, поверхностные,
энергетические и комбинированные. Для -каждой Л-й группы будет
справедливо условие лг =Л1 лз •

Если в качестве определяющих величин взять полную энергию
системы, энергию собственно конструкции, энергию потерь и энер-
гию сообщения, а в качестве обобщенных сил — такие определяю-
щие конструкцию параметры, как стоимость /?, объем V, количество
информации С, поверхность 5, то будет существовать группа ид
18 критериев, аналогичных предыдущим, которая включает новые
критерии — экономические. В этом случае, как и в предыдущем,
часть полученных критериев будет эвристическими критериями
оценки качества компоновки, широко используемыми на практике..
В каждой новой группе б>дет также справедливо условие Иг =
= Л1 Лз.

§ 4 10. ТЕПЛОВЫЕ ПРОЦЕССЫ

Общим условием подобия тепловых процессов является соблюдение
критериев*

Рг=~’ Ре=— ; Ии ; Рг=-^
а	Ха

(4.62)

впе ени ПпСХ°ЛСТБеННЫХ точек 11 в 1юбые сходственные моменты
СК'Я 1, видон меня 1 пРактических задач часть критериев епуска-
тептовых пежимг м” ^ак’ при изУчен‘”и только установившихся
подвХой с«м ?мг .	°'ПуСТИТЬ ПерБЫЙ критерий. В случае не-

физических свойств спелы °(Г^Второй кРнтеРнй. Неизменность
бывать ломедю;Г^!Хй’ВЯЗКОСТЬ’ ПЛОТНОСТЬ) позволяет ”е У4»’

Ж4ня, «м принято в теп ютехнике’ РГ ПРандтль Здесь критерии по-
иу-науи ченых и обозначены снмвот’-мТ^"1^ “ гияРодииамик«, названы
нм ,.Н11Я- й — коэффициент темнен-те- п Нача-'1ЬНЬ1Х 6УКС их фамилии.

- ы . -скорХть X-коХн^^"Р^Дностщ а — коэффициент
Ц-хнт ,.и,. метической вязкости 1Ф Ш'ент тецюпроводности; у0— колрфн-
Рис. 4.21. Примеры тепловой неоднородности установки

В ряде практически важных случаев задача установления кри-
терия подобия связана с наличием неоднородной и анизотропной
среды. Коэффициент теплопроводности X в этом случае является
тензором. В большинстве случаев можно считать, что неоднород-
ность имеет место только по двум (рис. 4 21, а, б) или трем (рис.
4.21, в, г) направлениям. Совмещая с ними направления коорди-
натных осей, можем записать основное уравнение теплового состоя-
ния рассматриваемой конструкции, нагреваемой электрическим
током;

су =У0	+ 61V (Л рдаб 91,	14.63)

где с — удельная теплоемкость; 0 — температура, отсчитанная от
температуры окружающей среды как от нуля; к— тензор теплопро-
водности с главными составляющими по координатным осям:

Лг; ё=ёо (1 + рб)—тепло, выделяемо^ в единице объема,
причем	— удельные потери мощности в установившемся

режиме при 0 = 0; р— температурный коэффициент изменения элек-
трического сопротивления.

В прямоугольной системе координат уравнение (4.63) принима-
ет вид

Приводя его к безразмерному виду, получаем следующие кри-
терии подобия:

Таким образом, геометрическое подобие и здесь не является
обязательным условием (г/(/=#л'/г/). Однако отсутствие геометри-
ческого подобия корректируется требованием

которое равносильно введению новых координат:

у' = у V Л.г, Кг ~	~ Т КиКс-

Отсутствие геометрического подобия может быть скор] сктиро
вано соответственным подбором значений теплопроводно^ и пс
главным осям.
В условиях геометрической (г/г/^=л7//) и структурной
несимметрии полученные критерии подобия лу и л2
не меняют своего содержания. Критерии

л2=Гт//=7'.т,

где Гт___постоянная времени теплового процесса; Г*т — относи-

тельная постоянная времени.

Критерий Л[ дает возможность установить связь температуры
, количеством выделяющегося тепла и масштаб температуры.

Кроме того, должно быть соблюдено подобие условий теплоот-
д чи на граничной поверхности:

а,/0//Х/=1бет,

где а, и м — коэффициент теплоотдачи и теплопроводность окру-
жающей среды; индекс I принимает значение х, у или 2 в зависи-
мости от того, какая поверхность рассматривается.

При отсутствии геометрического подобия этот критерий видоиз-
меняется:

а,- ргаб 6/(Х,-6)=1бет.

Рассмотренные методы определения критериев подобия остают-
ся справедливыми при нелинейности параметров моделируемых
систем. При этом необходимо дополнительно учитывать только не-
постоянство /, ИЛИ С, используя зависимости ’к/Ът = Ч>№1$т) или
С!СГ =<р(0/0т), которые должны быть соответственно одинаковыми
у подобных процессов.

В качестве примера рассмотрим .нагревание и охлажде-
ние голого провода воздушной линии. Критерии подобия можно
найти, исходя из уравнения

М?о (1 +	= су 1/076 + аМ,

где с —удельная теплоемкость материала провода; Уо —объем
привода.

интсгРальнЫе аналоги делением всех членов уравнения
на аЪ(1а1, определяем

Щ=Р^ат86).
Для круглого провода

ат(5 I

4 >ме того, должно быть соблюдено условие

/0 = (бет.

с нтомЯо—'г1	В "ЭТ°М УраВНенИ11 характеризуются коэф-

- ‘ а™ к. "й01 ’СВ0ЙСТВ среяы: температуры
В -шнего диаметпя , И 6 рометРического давления, а также от
шнего диаметра и состояния поверхности провода.
Если рассматриваются процессы пг™™™

п неизменном состоянии среды то тог™™ ЩИе при заДанном
коэффициенты теплоотдачинахош.Х Т'™ пэтРсбов^ь, чтобы
шении	находились в определенном соотно-

ат2^ат1—Шет	(4 64

2пХТн^~п₽и ,вме”™"

&®//Ро=1(1ет и а/Д=Шет,

г^е б ~ ПЛ0ТН0СТЬ; а —скорость движения этого вещества- ц0 —ко-
эффициент вязкости вещества (в нашем случае воздуха) 'или по-
верить соблюдение условия (4.64) экспериментально '

Зти критерии устанавливаются на основе теории пограничного
слоя, согласно которой сложное явление теплоотдачи сводится
к более простому явлению —теплопроводности тонкого слоя воз-
духа, окружающего поверхность провода.

Тепловые процессы, происходящие в электрических кабелях.
Рассмотрим эти процессы в качестве другого примера. В общем
случае полное тепловое подобие кабелей достигается в результате
соблюдения следующих критериев:

гГ'	'I  1 _	С1X {	,

1 *Т=---= 1оет или----=----.—= Шет;

*	‘V Р

ш/ >,=ц1ет; щ/, а = Шет.

Связь масштаба температур и количества выделяющегося тепла
(мощности) определяется из соотношения

И),'((?</)=Шет.

Согласно первому критерию теплопроводность, теплоемкость и
геометрические размеры должны быть такими, чтобы относитель-
ная тепловая постоянная времени была одинаково!! у двух рассмат-
риваемых кабелей. Если кабели находятся в различных средах, то
необходимо удовлетворить также критериям

г/ц/'и0 = !()е1п и !А(^с/А=1с1еп1.

Для получения подобия кабеля необходимо обеспечить «.овла-
дение критериев .в модели и оригинале.

При решении некоторых практических задач иногда можно ис-
ходить из упрощенных представлений. Так, если два кабеля, между
которыми устанавливается подобие, находятся в неподвижном воз
духе, то можно приближенно считать, что тепло ог оболочки к е
ля отводится только путем конвекции. Далее, отказываясь
метрического подобия и считая, что изометрические линии совп
ют с жилой кабеля и его оболочкой, можно отыскивать приолижен
вые критерии подобия на основании приближенных формул. При
этом условия

Л1==а1у х=1с1еп1 И а/,'а2==7’*т = 1(1еп1

могут не соблюдаться, а основное уравнение теплоотдачи приводит
нас к критерию подобия

о е Л(!

л==~0^==~1^' 1-И^в ’

где /?г — резх льтирх ющее тепловое сопротивление.

Те мпературы оболочек у двух кабелей находятся

в соотношении

61/6>2=С1А?т1/(О2/<’т2)-

Чгобы получить тепловое подобие при неустановившихся про-
цессах следхет выбирать масштабы времени на основе критерия
Т,т=1с1егг При приближенном подходе можно выбирать масштаб
времени из условия

Т^'т^ТчЦ,

Где Тт — результирующие тепловые постоянные времени, характе-
ризующие скорость изменения температур .во всей массе кабеля.

Условия подобия можно получить и на базе л-теоремы. Если
приближенно считать, что тетоотдача происходит только путем
конвекции, и принять, что теплопроводность свинцовой оболочки
бесконечно велика, то можно отразить в критерии лг свойства ок-
ружающей среды и изоляции кабеля. В этом случае под X следует
понимать коэффициент теплопроводности изоляции Тогда получа-
ем два критерия подобия:

Л1==6о/(л^габ 6); л2 = ас//л.

Связь между критериями может быть представлена в следующем
виде:

Если два кабеля имеют полное геометрическое подобие, то мож-
но записать

ёгаб 0 = е, а,

I. е иметь только один критерий подобия.

тпяи. ь«пДОВаНИе твпловых процессов в электрических машинах и
пассмотлм^уаХ’ г)Т° Исследование может проводиться с помощью
рассмотренных приемов определения критериев подобия.

рь/в ста^ьных^г”0” реж1ме под°бие распределения темпера-
/ры ь стальных частях какой-либо машин
установить на основании уравнения

ы или аппарата можно

I	<*()

ЙХ-’	ду2

д-’б

дг-

(4.651


где Х*, Лг — значения коэффици-
ентов теплопроводности вдоль осей;
Ф — коэффициент, зависящий от
частоты I, а также от материала и
толщины стальных листов; В — маг
нптная индукция.

На рис. 4.22 показана исследуе-
мая конструкция. Величина ХЛ, ха-
рактеризующая теплопроводность
поперек листов, учитывает и тепло-
проводность изолирующего слоя.
При этом величины теплопроводно-
сти стали и изолирующего слоя по-
добных машин (1 и 2) должны на-
ходиться в соотношении

Рис. 4.22. Пример тептовои
анизотропии дня электромаг-
нитной системы

(Лс г/ ^из)2 — ( Д т/^'из)1'

Распределение температур в обмотках можно описать уравне-
нием, аналогичным (4.65), но имеющим в правой части )2р. Крите-
рии, определяющие подобие распределения температур, запишут-
ся так:

Хгв

= 1бет;

Мет; —-—=1бет.



Должны быть соблюдены также условия

>ч/

У2	 1	>^2	. ,

— тает и —-—= и1еп1.

х-	\гх-

Кроме того, необходимо обеспечить подобие условий теплоот-
дачи на поверхности и установить связь масштаба температуры и
мощности теряемой на 'Нагревание железа и обмоток машины. При
этом можно воспользоваться уравнением

а=05

где Се — тепловой поток, приходящийся на единицу поверхности
и рассеиваемый в окружающей среде; 0] — температура поверх-
ности.

Если воздух или масло, охлаждающие аппарат, имеют выну,
денное движение, то подобие процесса тетоотдачи устанавливает-
ся критериями

Л] = а/ Х; ^2==г^ а''

В частном случае критерии геометрического подобия можно за
писать в виде
Подставляя в критериальное уравнение значения критериев.

получаем

_ у / б».........) или « = «„'•?

/.	'' \1у........... М	а '

Д1я обеспечения подобия необходимо, чтобы ат удовлетворяло
соотношению"а^сцп^еш, а относительная функция <р была по-
сто“ во всем диапазоне изменения температуры, давления и
скопости воздуха обдувающего установку. Соотношения, анало-
гичные выражению аЛлф, могут быть получены и при отступле-
нии от геометрического подобия. При наличии естественной цирку-
ляции охлаждающей среды, например в трансформаторах с естест-
венной циркуляцией масла, скорость охлаждающей среды зависит
ст превышения температуры поверхности над температурой окру-
жающей среды. В этом случае коэффициент теплоотдачи

а=(Х/Л /(вдаро).

где величины у, Цо, Н (удельный вес, коэффициент объемного рас-
ширения и вязкость) характеризуют свойства среды.

Перегревы активных частей в геометрически подобных моделях.
Не менее важно для правильного выбора размеров конструкции
модели иметь представление о перегреве ее активных частей. Выше
было показано, что плотности токов в модели получаются больши-
ми, чем в оригинале:



Потери в пределах полюсного деления модели пропорциональны
ее полюсному делению:

Д1рм = щ;Д1р°₽.

Поверхность охлаждения в пределах полюсного деления модели

$охя-/?&Рл.

Потери, приходящиеся на единицу охлаждающей поверхности,
Д^ = Д^м/5”л = д^р//п,

='и,ачЮемв оригинале' УМеНЬШенными Размерами (т,<1) 66л ь-
ее поТюсномуЯдечению,то пепел1*™ В М0ДеЛН /из пропорциональной
будет таким	В изоляции модели

Дбм = дрм =	т,деор = Д6„Р.

ратур междуЛнутренними^н8 раВП0Й мере и к перепадам темпе-
ников, проводов и других детачейУ ЧтпМИ СЛ0ЯМИ КатУшек> сердеч-
^2	' ' алеи- Что касается перепада темпера-
туры от наружных поверхностей нагретых частей к охлаждающему
воздуху, то этот перепад был бы в 1/т, раз больше, если бы ско
рость воздуха была прежней. Имея в виду, что окружная скопость
ротора в модели в 1/т, раз больше, чем в оригинале, и, следов,
тельно, примерно во столько же раз больше скорости перемещения
охлаждающего воздуха, можно предположить, что и этот перепал
температур возрастет меньше чем в 1/т, раз. Таким образом при
сохранении в модели подобной конструкции системы охлаждения
можно ожидать лишь незначительного увеличения общего перепа-
да температуры (от нагретых частей к охлаждающему воздуху) по
сравнению с перепадом температур в оригинале.

К тому же выводу можно прийти, обратив внимание на то. что
машинные постоянные модели и оригинала одинаковы:

С А =--------~----------= С'дР,

лмвм лорвор

где

дм = — у)2=/м, причем /м=-^-т,/о₽/°р = Аор.

Система охлаждения модели, предназначаемой для использова-
ния в кратковременных режимах, может быть упрощена путем
устранения радиальных каналов, вентиляторов, воздухонаправляю-
щих щитов и других деталей.

Физические модели топок. Рассмотрим конкретный пример *
сложной физической модели, предназначенной для моделирования
распределения локальных тепловых нагрузок топочных экранов,
оценим влияние на это распределение компоновки и мощности го-
релок, а также способов подачи в топку воздуха. Решение таких
задач .может проводиться на ф и з и ч е с ко й огневой модели
топки, ограждающие стенки которой составлены из автономных
водоохлаждаемых панелей-калориметров.

Условия подобия процессов в модели и образце устанавливают-
ся из рассмотрения основных уравнений движения, уравнении со-
хранения массы и энергии, а также уравнений теплообмена с уче-
том значимости тех или иных факторов. Анализ уравнений показы-
вает, что в модели и оригинале должны выполняться условия
подобия:

1)	кинематического — одинаковость траектории движе-
ния газа и топлива;

2)	динамического —одинаковость отношении поверхност-
ных и объемных сил;

А ф р о с и м о в а. А. С. И с-
моделях. «Электрические стан-

А. А. Шатиль, М. А. Поляцкин, В Н.
с е р л и и. Об исследовании топок на огневых
цин», 1970, № 9.
г0_ одинаковость отношений характер-
(смешения) тд к времени пребывания т„

3)	диффузионного
ного времени диффузии

4)	кинетического—^Д"ВВ1’'°В”СТЬ времени пребывания т,
ного времени химической реакции тк ।

<Тк°5ТЙПп=л оотбм е н н о г о - одинаковость отношений

отношении Характер-

п

локаль-



ны.\ тепловых потоков	геометрического подобия

омХ°а Лол"" пр₽в одинаковых газообразных топливах и от.
оригинала и	1	„,.х точКах потоков.

Н°1	требует одинаковости отношений кол ичеств

движения “или моментов количества движения) в сходствен-
ны.с*чеш ях Образца и модели. При одинаковом отношении сход-
ственных площадей (например, сечений горелок, топок) это легко
выполнить. В случае сжигания твердого или жидкого топлива не-
обходимо также соблюсти одинаковость отношении инерционных,
центробежных и гравитационных сил, а также сил аэродинамиче-
ского сопротивления, приложенных к частицам топлива в модели
и оригинале.

Отношения этих сил характеризуются критериями Фруда

([Ег!=«>част/&Я’) И Стокса ^81]

Ал-

*^част

Рг
гчаст

В указанных критериях: ючаст — скорость частиц

топлива; д — ус-

корение силы тяжести; /? — радиус кривизны траектории частиц;
ф — коэффициент аэродинамического сопротивления частиц; Дх—
характерный размер вдоль траектории; йЧаст — диаметр частиц; рг
и рЧагт — плотности газового потока и частиц. В некоторых случаях
достаточным условием является обеспечение больших значений
критерия [81] (малая относительная скорость пЧаст между газовым
потоком и частицами) и критерия [Ег] (пренебрежимо малая роль
силы тяжести по сравнению с кинетической энергией частиц).

При сжигании пылевидного топлива существенно соотношение
между силами аэродинамического сопротивления и центробежными
силами, характеризуемое относительным временем сепарации Тсп>
которое примерно пропорционально отношению /?/п?часТ. Это сле-
™ ги РассмотРеН1*я равновесия центробежных и аэродинамиче-
ских сил,описанного уравнением

Лб/3
р	- част

I част------------

О

_част _л. част у част

к ---------------

чае сж и г я н я /1П 1 е,т) автоматически выполняется в ел у-
топлива и соблюприи°0браЗНОГО <илн испаренного жидкого)
пиленного жидкого тг Первых ДВУХ условий. При сжигании рас-
ПЛ1,ва лимитирующим является испарение
капель. Здесь необходимо соблюдать одинаковость отпопк

мени испарения т« к времени пребывания т,|т

гний вре-

И>'т).

Время испарения пропорционально </;аст, Ь „ 1де
^п7.п2НСТаН7 ,,СпаРення; ^-характерный размер топкГт.™
чтобы°М’ Пр” СЖ1,ГаНН’1 ж,,дкого топлива необходимо обеспечить.

^час-еччаст/Л А = (бегл.

Соблюдение этого условия в модели и образце в принципе воз-
можно. Средний размер капель пропорционален квадратному коп-
ню из диаметра сопла форсунки г/с. Если последний пропорциона-
лен диаметру горелки (по условию пропорциональности расходов
воздуха и топлива) пли (вследствие геометрического подобия) ха-
рактерному размеру Е, то можно ввести условие

“’частАК —'бет.

Однако в малой модели трудно изготовить модельную форсунку
с производительностью, которая в 100 раз меньше, чем у натурной.
При этом резко бы уменьшилось число [Ре] для истечения топлива
из форсунки и условия подобия нарушились. Поэтому при модели-
ровании мазутной топки для уменьшения ее размеров целесообраз-
но использовать более легкое топливо—дизельное топливо, керо-
син и т. п.

При сжигании пылевидного топлива безразмерное время диффу-
зии для топки в целом

Т д.к — ^час^част/^^’

где И — коэффициент диффузии, который при соблюдении первых
двух условий подобия можно считать одинаковым.

Четвертое условие (тк.п=1бет) может быть удовлетворено лишь
в случае повышения температуры в модели по сравнению с темпе-
ратурой в оригинале. Так, если принять, что время реакции про-
порционально еЕКТ, а температура равна 2000 К, то при масштабе
моделирования 1:10 (т. е. при уменьшении времени пребывания гп
в 10 раз) для соблюдения Тк.п=1беп1 необходимо повысить темпера-
туру процесса в зоне активного выгорания топлива примерно на
200 К. Осуществить это трудно и не очень нужно, так как в боль-
шинстве практически важных случаев сжигания топлива (газооб-
разное и жидкое топливо, высокореакционное пылевидное топливо)
процесс горения протекает в диффузионной области, а кинетическое
«сопротивление» ткп для всей топки в целом мало.

Пятое условие тесно связано с первыми четырьмя, и в случае
их соблюдения оно было бы приближенно выполнено, так как по-
добие распределения локальных тепловых потоков может иметь
место лишь тогда, когда ход изменения температуры и концентра-
ций в водоохлаждаемой модели и оригинале одинаков.
Рис. 4 23 Моделируемая область
(конструктивное выполнение)

Приведеннып анализ условии
моделирования топок показывает,
что соблюдение одинаковой аэроди-
намической картины в модели и об-
разце, а также условии смешения
возможно в огневой модели. Соблю-
дения четвертого условия в боль-
шинстве случаев не требуется, так
как температура процесса даже в
водоохлаждаемой огневой модели
так же высока, как и в образце. Пя-
тое условие практически выполнимо,

если удовлетворяются все предыдущие условия.

Таким образом, изучение топок вполне
на огневых водоохлаждаемых модели.

возможно
при сжигании

в них природного газа.

В случае сжигания в модели и оригинале одинакового га-
зообразного топлива перечисленные пять условии моделиро-
вания можно заменить следующими, практически легко выполни-

мыми:

1)	геометрическое подобие;

2)	достаточно большое число [Ке] (в горелке Ке>5-1(г);

3)	одинаковость температуры воздуха;

4)	одинаковость коэффициента избытка воздуха;

5)	одинаковость температу ры на выходе из топки (0о = 1()ет).
Условие пятое в сочетании со вторым ставит ограничение масшта-
бу моделирования. Расчетные оценки показывают, что более чем
десятикратное уменьшение огневой модели по сравнению с ориги-
налом может заметно исказить подобие процессов в них.

Аналоговые модели процесса нагрева элементов конструкции.
Такого рода модели широко распространены для исследования теп-

ловых процессов в отдельных конструкциях и электрических маши-
нах в целом. Типичной задачей является определение нагрева
стержня обмотки (рис. 4.23) электрической машины (короткозамк-
нутого ротора асинхронного двигателя) или какой-либо другой;
. сото рода исследования имеют большое значение. Пусковые то-
ки, протекающие в короткозамкнутых обмотках ротора асинхрон-
ных и синхронных машин, достигают больших значений. При частых
и затяжных пусках это может вызвать недопустимые перегревы,
разрушение обмотки и аварию машины.

никяЛг^пН™. хаРактер распределения перегревов в области сердеч-
анзлитичсстСтеРжень обмотки, не позволяет определить его
метолы ит мрт Р шению задачи могут быть привлечены численные
модел. ос ания р1 Теории п°Д°бия и физического или аналогового
‘р '	ассмотрим применение последних *, используя

процесса нагревания Стержня1 ^Известия мГггго П~воб,,я 11 моделирование
1967, № 2.	вестия АН СССР. Энергетика и транспорт».
ИВА При исследовании принимаются следующие доптаешю ™“''

1)	передача тепла по длине стеожня	сТ

свести задачу к двухмерной и не дает существенной ошибки X
определении среднего перегрева стержня:	«шиоки при

2)	распределение температуры по всему сечению стержня диа-
метром <4 равномерно в связи с высоким значением коэффициента
теплопроводности лс материала стержня;

3)	стержень расположен на глубине Но в закрытом пазу и зна-
чение коэффициента ас одинаково по всей его поверхности. По-
скольку при наличии шлица основная часть тепла будет по-прежне-
му отводиться к сердечнику, это допущение также оправдано;

4)	токи, протекающие в соседних стержнях, одинаковы. Для
успокоительных обмоток явнополюсных синхронных машин такое
допущение не всегда близко к действительности, однако во избежа-
ние излишнего усложнения задачи его целесообразно принять. При
необходимости аналогично можно моделировать весь полюс;

5)	потери в стали сердечника пренебрежимо малы.

Взяв за основу изложенные предпосылки, можно выделить для
моделирования область, отвечающую половине полюсного деления
Тс/2, представленную на рис. 4.23 заштрихованной площадью. Раз-
мер области в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка,
примем равным 1 см. Формальное подобие уравнений, описываю-
щих тепловые процессы в натуре и электрические процессы в мо-
дели, устанавливается с помощью основных уравнений процесса.
Так, нестационарное распределение перегревов в стали сердечника
определяется дифференциальным уравнением Фурье

де=(сжЛж)(^/^).

где сж, Дж/°С-см3; А», Вт/°С • см — удельная теплоемкость и коэф-
фициент теплопроводности стали сердечника, которое при переходе
к конечно-разностному представлению в случае двухмерного поля
и квадратной сетки с размером ячейки й принимает вид

91 + в2 + Оз + - 460=( сх/12Ю ((4.66)

Аналогичным уравнением описывается распределение потенциа-
лов в узлах электрической сетки КС:

(4.67)

Ф1 + <?2 + + ?4 — 4% —

Кпжпомг УЗЛУ пространственной сетки в исследуемой области
должен соответствовать определенный узел электрической сетки

<1" ^Чипеисятоо С моделирует тепловую емкость стержня, - пр
тепловым еоп^влевввм »а по-

верхностях стержня и сердечника.	уравнений

Сопоставление уравнении (4.66) и (4.67)., а также ур подо.
нагрева и закон а Ома позволяет установить общие критерт а

287
Рис. 4 24. Моделируемая область
(прс-транственная ч электриче-
ская сетки)

бия тепловых (т) и электрических
(?) процессов:

(4.68)

и (,7?э) = 6 ^/<4	(4.69)

и составить таблицу аналогии
(табл. 4.4). Согласно (4.68) и
(4.69) независимыми могут быть
масштабные коэффициенты толь-
ко для трех величин. Свооода вы-
бора этих основных масштабных
коэффициентов ограничена усло-
вием—ни один из них не может
быть выражен через два осталь-
ных коэффициента.

Если задаться масштабными
коэффициентами для напряжения
/пи=н/0, емкости 1П( =Сг,/Ст и
сопротивления «гн = /?.,//?т, то
масштабные коэффициенты для
времени и тока будут соответст-
венно равны:

т,=1^=тсп1я-,	(^—ти'тк.	(4.70)

При выборе масштабных коэффициентов следует учитывать, что
наибольшее ожидаемое напряжение на модели должно составлять
примерно 1% напряжения источника питания и не превышать но-
минального напряжения конденсаторов.

ТАБЛИЦА 44

Тенэ'Вйя величина	Обоз- наче- ние	Раз- мер- НССТ»	Электрическая величина	Обозна- чение	Раз- мер- ность	Млсш тай- ный коВффм- циен г

Перегрев		9	°С	Напряжение (раз-	и(Ау)	в	ти = и/0
				ность потенциалов)			
™ \ 1 тепла		Ф	Вт	Ток	1	А	т, = //(?
Тепловая	емкость	Сг	Дж/°С Электрическая ем-		Сэ	Ф	тс =
Тепловое чеиие	сопротив-	/?г	сс;вт	КОСТЬ  Электрическое сопро-		Ом	= Сэ1Сг т,. —
Время		1	с	тивление  Время		с	=  т, =

н ЭВИ Л лля моделвРования используется готовая сетка, то в (4 70)
циент: тк илиТ °Ы1Ь ВЬ!браН ТОЛЬко °Д11Н масштабный коэффи-
Погрешность моделирования процесса нагрева стержня сила
дывается из погрешности, вносимой заменой сплошной среды сет
кой с сосредоточенными параметрами, неточности задания пара-
метров модели и ошибок, допущенных при измерениях.

§ 4.11.	МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕОФИЗИЧЕСКИХ
(ГЕОГРАФИЧЕСКИХ, АТМОСФЕРНЫХ,
ГЕОЛОГИЧЕСКИХ И Т. И.) ПРОЦЕССОВ

Большие масштабы современной техники, соизмеримые с масшта-
бами геофизических и даже космических явлений, вызывают у
исследователя-энергетика определенный интерес к методологиче-
скому подходу моделирования в космологии и геофизике. Подчерк-
нем, что задачи космологии, являющейся самой большой из всех
больших систем, которые может себе сегодня представить исследо-
ватель, имеют принципиальное значение для подхода к моделиро-
ванию тех сложных систем, с которыми уже имеет дело современ-
ный инженер. В таких системах также полностью не очевидны те
предпосылки, которые должны быть положены в основу моделиро-
вания, и в какой-то мере (в миниатюре конечно) так же, как и в
космологии, приходится распространять проверенное изве-
стное на неизвестное. В космологии как научной дисципли-
не теоретико-познавательной установкой, определяющей направле-
ние исследования, принимается* принцип экстраполя-
бельности, который можно сформулировать следующим обра-
зом: Вселенная, взятая как целое, — это уникальный объект науч-
ного познания. Но она постижима на уровне знаний, являющихся
синтезом земного опыта, обоснованных лабораторными эксперимен-
тами, подтвержденными, в свою очередь, ограниченными астроно-
мическими наблюдениями (проведенными практически в пределах
солнечной системы). Нет никаких оснований думать о невозмож-
ности применять принципы моделирования, пользуясь законами,
раскрываемыми локальной физикой и некоторыми общими закона-
ми макрофизики, для которых пока не выявлено никаких реальных
границ применимости. Эти законы могут быть, видимо, приняты за
основу при изучении крупномасштабных процессов, так как всякое
макро- и мегаявление в конечном счете — совокупность микрояв-
лений. Таким образом, есть все основания полагать, что существует
принципиальная возможность моделирования структуры практиче-
ски любого космического феномена вплоть до Вселенной в целом.
Следовательно, при моделировании больших систем
космологии, геофизики и т. д. оправдан индуктивно-экстра-
поляционный подход, который в настоящее время ш п в
космологических теориях. В общеметодологическом план , лав

• Здесь при характеристике проблем космологического моделирования _
вана работа- А. Турсунов. Методологическая дилемма научной космато
гни (о двух подходах к моделированию Вселенной). Р

1970, № 4.

284
10—580
« пт/птияртгя н том что он связывает
достоинство такого подхода заключается в том,
Ф,,О6«Х^ оснОБОй'экётраполяцпТзиання об одной ^предмет-
ной области на другую (не обязательно кач“™енн“ "°?во°е"гносео-
вон) является материальное единство мира, находящее свое гносео
“К выражение в принципе «а»а«а’ал»ы’Х ёекото
С теоретико-познавательной точки зрения продукты ^Р6™4^0^
миппения обладают имманентной э к с т р а п о л я о е л ь
ностью ибо они как таковые не являются просто краткими запи-
сями данных чувственных восприятий и по своему объективному
содержанию, или, иначе говоря, по «информационной емкости»,
превосходят первоначальные эмпирические данные. Отсюда два
аспекта гносеологической функции теоретического знания, преду-
сматривающие возможность далеко идущей экстраполяции.

1)	систематизация и объяснение эмпирических данных и пред-
сказание (в рамках первоначального круга явлений) неизвестных
ранее связей;

2)	распространение за рамки эмпирических данных (по объему
сферы применимости) и объяснение не только того круга явлений,
к которому она относится, но и явлений соседних с ним предметных
областей.

При этом следует иметь в виду, что пределы расширения теоре-
тического знания сначала неопределенны и интуитивны; они не име-
ют априорных гарантий в том, что экстраполяция их на новую дей-
ствительность оправдает себя и приведет к объективно-истинному
знанию. Следовательно, здесь критерием обоснованности или несо-
стоятельности является только научная п р а к т и к а, позво-
ляющая установить предметную истинность полученного этим кос-
венным способом знания. Метод экстраполяции имеет двуединый
характер: одновременно служит и познавательным приемом и опре-
деленной научной гипотезой о подобии исследуемых явлений явле-
ниям уже изученным.

В процессе познания при любых его реализациях, включая и мо-
делирование, происходит связывание неизвестного с известным.
Новое знание, полученное на базе экстраполяции старого, может
ыть относительно истинным или даже просто заблуждением, но в
’	” СЛ- Чае °н° необходимо как своеобразный опорный пункт на

и 0бнапХеиТеИ Экспансии мышления в глубь еще не опознанного
ВЫН ЖИРНЫ я его П0ДЛИНН°Й природы. «Мы просто обязаны, мы
более шипокиа яР°стРанять все то, что уже знаем, на как можно
Опасно? Да'ненадежно^дГн'о8 33 ПределЫ уже постигнутого,
пресса. Хотя этот тт, ’ ^а’ *° ведь Эт0 единственный путь про-
птодотворной Кон₽ еясен> только на нем наука оказывается
масшЗГылак	.А” СК93ать: «Когда переходишь к

ничего об этом не знаем»ЖВепн^ВДаТЬ ЧСГ° угодно’ поскольку мы
науке», — писал Фейнман * И* ’ Н° ТЗК°е огРаничение ~ это конец

	фепнман . Именно на основе таких или близких

2	аН Характер физических законов. «Наука», 1968, стр. 181.
растре-

создании и последующем теоретическом анализе мыс”
ли идеализированного объекта.	юи

моде-

При создании моделей Вселенной принимают постулат относи
тельно глобальной однородности и изотропности, дающий возмож

ность говорить о структуре Вселенной в целом

В методологии научного знания приняты гносеологическая ппа-
вомерность и эвристическое значение лого или иного упрощения
как необходимого элемента познания любой сложно
организованной системы.

При космологическом моделировании упрощающее предположе-
ние об однородности и изотропности пространственной структуры
исследуемой модели вполне законная научно-познавательная
процедура. Эта идеализация, как и любая абстракция, имеет пре-
ходящий характер. По мере накопления научной информации сте-
пень первоначальной идеализации понижается: историческая линия
развития познания объекта является при этом асимптотой, идущей
от более сильных (грубых) к менее сильным идеализациям.

Рассмотренные общие соображения, как уже отмечалось выше,
имеют определенное методологическое значение и для «земных»
задач моделирования больших систем. Тот же принцип создания
гипотетической модели «первой очереди» и дальнейшего ее уточне-
ния по мере накапливания фактов и развития теории будет широко
применяться при исследовании любых больших систем. Применяют-
ся, или во всяком случае должны применяться, эти методы при
географическом, геофизическом, геологическом моделировании.
Здесь теория подобия еще не подошла к использо-
ванию критериев подобия. Так, в географии применяют
метод выделения «сходных или аналогичных сочетаний природных
ресурсов» или районов со сходными комплексами природных и
экономических ресурсов в процессе типологического районирования.
Несомненно, что более радикальным здесь было бы получение и
применение критериев подобия, но эта работа еще ждет своего вы-
полнения.

В экономической географии используются как модели ориги-
нальные, так и модели, заимствованные из смежных наук (эконо-
мики, социологии, демографии, геологии и т. д.). Первые из них мо-
гут быть представлены экономико-географическими моделями раз
личных производственно-территориальных комплексов (например,
общеэкономическая карта, система экономико-математических мо
делей районного комплекса). Модели заимствованные ли о ,кп0‘
зуются непосредственно (транспортно-производственные 3‘
размещения отрасли хозяйства), либо трансформируются в
ветствии с экономико-географическои сущностью мо с ~
объекта. Так, для моделирования межрайонных С1К7^’ к'аЖдый
ся межотраслевой пространственный баланс, в к Р пополнен
районный блок производства и распределения про ту

матрицей районных ресурсов.

10*
О
с
X
о

воэ^пиом ХИЧЭЭЬИфГ^О^ И.ЭГОИ ЗННИО^ЭЕС

-.. чинчЕти^олийиэд-оннэвюсоасиойц

_	во^311"1'0* '"^НЭУНЧ 1Ч1ЭЯГМ-ИЕЭЕ0И; Э.ЧНИЭЧОО

и ип и н е л й о и о н иэнэу.н	_______



шзляйэпэчг ишпэьифиПоэьозтионохс

ЬИ х1Ч1Г1ЕЭП1№1110би инне;иирл1о нонче енйол«Ш1|
с,п п>дгс1 эннгтдодо . оэьифт! юэ |-очииоиоя<

0ОЕГХ1П М1ИМ1 Ч ТНЕ I И1. ГЧЕ

МО.11 ,1111’ПВ \11Ш

Рис. 4.25. Классификация моделирования в задачах географии
Классификация методов моделирования в гепт а,
щая общей классификации моделей рассматп^?""’ Отвечаю'
фикация приведена на рис. 4.25. ГеографичкиКласси'
р О в а н и е, как и в общем случае, разделяется здесь нЯМ„°^Л и'
шие группы моделирования — идеальное (мысленное? Две боль'
альное.	4 елейное) и матери-

В экономической географии начинает
натурное моделирование, при котором для прогнозе
вития или анализа современного состояния какого-либо^ раз’
ственного комплекса используются данные о географическом
довании, проведенном по другим комплексам, подобным ?еппом^
Подобие комплексов устанавливается по подобию их ппиоодн^
или экономических условии и ресурсов (порознь или в целом по
всей интегральной сумме географических условий). Например поо
гноз развития Кузбасса как угольно-металлургической базы[стоя
ны во многом опирается на опыт развития Донбасса однако этт
опыт окажется уже недостаточным для прогноза развития Печор-
ского бассейна.	р

Рассматриваемый метод в литературе называется анализом
аналогичных ареалов. К этому виду моделирования, иногда назы-
ваемому методом обобщенных переменных, относятся работы по
экономико-географическому обобщению результатов освоения но-
вых территорий или развития тех или иных локальных и районных
комплексов, а также и непосредственный экономико-географиче-
ский эксперимент. Опять-таки полноценное «критериальное» при-
менение теории подобия здесь ждет еще своих исследователей.

Классификация моделей экономической географии, которая вы-
ступает как частная классификация по сравнению с приведенной
выше, может предусматривать деление моделей на логические, гра-
фические и математические.

Содержательный аспект географических моделей, определяю-
щий правильное их использование, предусматривает следующее!
структурная модель раскрывает важнейшие связи со-
ставляющих элементов моделируемого объекта или системы;

функциональная модель имитирует основные процессы
и поведение объекта (системы) и представляет аналог кибернетиче
ского «черного ящика», структура которого не раскрывается,

синтетическая (структурно-функциональная) модель
воспроизводит и структуру, и поведение моделируемых

Географические модели можно
территориальные (карты экономического и межраионн р н м0.
рования, модели размещения отраслей	е' балансы.

Дели производственно-экономические (меже> р • 1П,роизвод-
ехемы функционирования народного хозяис ,
етвенной структуры и др.).	на: а) модели

Функциональные модели подразд - модели роста
экономического роста (линейные корреляционные^ страны,
Национального дохода и прочих экон№??5??ного анализа сельско-
Эк°номического района; модели многофакг р
„ л.^ппчгтва и ДР ), б) модели территориального
хозяйственного пропзводСосновньРх грузопотоков> схемы генерали-
зова1нны"Нгр>?Ьпотоков..математические модели

производстве»-

НЫС иРнТеСтСиВч е с к и7?к о н о идеографические (ма
тематические и картографические) модели при этом представлены
эн^ргопроизводственными моделями, в качестве которых чаще все-
го выступают системы моделей, адекватные моделируемому объек-
ту (системе): математическая модель энергопроизводственного
цикла, система моделей районного комплекса или промышленного
узла, территориальная модель производительных сил и т. д.

Важными признаками моделей, используемых в экономической
географии, являются: а) постановка в статической или динамиче-
ской форме; б) экстремальность (модели неоптимизируемые и мо-
дели экстремальные): в) прогнозность (модели отчетные, плановые
и собственно прогнозные).

Производственные эксперименты в экономической географии.
Эти эксперименты очень затруднены. Заменить их может система
структурных, функциональных и энергопроизводительных моделей,
позволяющая выявлять .оптимальные условия функционирования
производственно-территориальных комплексов.

Для географических моделей очень характерны упрощения
объектов с отбрасыванием ненужных сведений при выделении наи-
более существенных свойств.

Масштабные соотношения делают объекты удобными
для обозрения. Так, меняя масштаб времени, можно ускорять про-
цессы, для наблюдения за которыми не хватает жизни человека,
а иногда и времени существования человечества.

Трн возможности, которые представляют модели, — упрос-
тить, уменьшить (или увеличить) объект исследования и
ускорить (или замедлить) процесс — и обеспечили развитие
географического моделирования. Например, упрощение объекта
очень часто производится одновременно с обобщением, выявлением
существенных сторон его, а это означает не только отбрасывание

?жны сведений, но и получение новых. Из сказанного очевид-
го’аЛшт ™€НН° М0Д€ЛИР°вание явилось, .ПО сути дела, основой гео-
графии как науки.

ке и к^ео^аЛ!^^66 решается задача. относящаяся и к техни-
ки Толы « мппни’~ кон'стРУирование систем с нужными свойства-
нения спелы°делнрование больших систем может выявить те изме-
»==? =
нием свойств Рлпк и ( оптимальны,м сочета-
В географии рез^о возпас^етТсп^Т^ В Э™Х Задачах и пооб1Де
тельной же больше с^тановитД я С Те“’ ЧТ0 эта наУка из °™са-
взаимоотношения. Новый	связд ”

294	в развитии этой нау-
ки заключается в том, что анализ приполнпх
во всяком случае должен становиться осно™* И СТанови^я или
крупных технических сооружений, функциоХ ° , Г,роектиР™ания
зано с воздействием на природу. Неразумие с?гКоторых “я-
станнии, не всегда правильное осушение X Р еЛЬство гидро-
ние —результат отставания именно в чтпА напротив. обводне-
Переход от анализа к управлению ландша(ЪтЯмиНаучНОЙ области.
методы в географии, среди которых модели™! порождае'г новые
первом месте. Здесь основное требование — э Ш'е нахо,ДИтся на
сти моделей, становящихся из описательных п!сЧР^ЛИЧеНИе ТОЧНо'
от статических моделей к динамическим ДопопХт ’ И пеРехоД
ет моделирование физико-географических ппип/ Но Усложня-
модействпе компонентов различной природы (живых ВЗаИ'
а также необходимость включения в модель социальных"еЖ™ь,х)>

Возникает проблема, которую необходимо решить причем
приступить к составлению уравнений и созданию модели Это П1ю
блема измерения. Например, процессы прироста зеленой пХхно
сти растении измеряются в квадратных сантиметрах, а воздХгвия
человека—в кубометрах перемещенного грунта. Необходимо сле-
довательно, наити коэффициенты, устанавливающие эн ев сети
ческий или вещественный эквивалент процессов раз-
личной природы. Гак, площадь зеленых листьев может быть
заменена массой синтезируемой за единицу времени углекислоты
или в конечном счете количеством энергии, затрачиваемой на фото-
синтез. Таким образом, все участвующие в исследовании величины
выражаются в единицах потоков энергии и связываются уравнения-
ми баланса. Однако вопрос относительно превращений веществ и
энергии с изменением структуры и организованности требует при
создании моделей этого типа специального анализа.

Объективная проверка географических моделей трудна прежде
всего потому, что только очень небольшая часть изучаемых явле-
ний проявляется в пределах жизни человека или даже жизни цело-
го поколения людей. Некоторый выход из этого затруднения дает

исследование, когда при массовом явлении, с не1^™рь™вя"рвда-
ряющпмися вариациями, временные ряды чисел з „

наблюдений (измерений), сделанных »	Х~"

важно только быть уверенным, что все нзу *	(тожде-

системы, например ледники, управляются	разные систе-

ствениой) программой. Это позволяет рассматривать разны
мы как варианты одной и той же системы что и греоу
вычисления количества пеРедаваемоИ””Хах информации в систе-

Количественное представление о и	другие показатели

ме дают также коэффициенты корреляц ‘ й статистике; они
плотности связи, используемые в матема «лОЛ11ЧесТвенная харак-
решают, по существу, ту же самую задачу.	объекта к другомV,

терпстпка разнообразия, переданного -	. информации в ши-

остается той же, и ее можно назвать	в теоретическом

роком смысле, причем понятие «разно р<
плане соответствует понятию «информа
Ряс. 4.26. Модели деревьев в опыте с
моделированием урагана

Однако информация, н-
исчерпываясь количеством,
Р еет и содержательную
сторону Именно качествен-
ная содержательная сторона
информации связана с фак-
торами, которые решают 1М
образом влияют на протека-
ние физических процессов.
Все математические методы,
которые описывают не свя-
зи, а форму зависимости
между переменными, реша-

ют задачу моделиро-
вания качественной стороны передачи инфор-
мации. Здесь большой выбор средств: алгебраические п диффе-
ренциальные уравнения, уравнения регрессии, графики, матрицы,
высказывания формальной логики. Этими средствами можно во
времени, в реальном или условном пространстве состояний пока-

зать процессы в природной системе.

Модели, описывающие процессы управления, которые соверша-
ются в географических системах, не дают полного представления
об изучаемых объектах, если затрагивают только информационную
сторону явлений. Превращения вещества и энергии не сводятся
только к информации. Для достаточно полного описания объекта
природы необходимо, чтобы модель имела шесть составляющих —
три статические и три динамические: структурные информационные,
энергетические и вещественные (связи), прихода-расхода энергии,
прихода-расхода вещества, управления (см. классификацию на
рис. 4.25).

Мсделироваиие атмосферных явлений. Моделирование урага-
нов. Аэродинамические модели позволяют вести различные иссле-
дования. Интересным примером может служить исследование ура-
гана, который повалил в лесах Шотландии более 4 млн. деревьев.
Сначала опыты проводились с настоящими деревьями, помещенны-
ми большую аэродинамическую трубу. После этого была продол-
же] р опта на моделях, построенных с применением критериев
изР«епнпй\ЧпТ0Г0 ПОДОбИЯ- Был создан <<лес» ь- 300 выполненных
8см Пюи мтпВ°Л0КН <<де'ЭИЬЬев:*> высотой 12 диаметром кроны
™ В03Душн°Г° ПОТГ1Ка ОКОз‘° 25 М/с в аэродпнами-
... . тР)бе создавался эффект урагана (рис 4 26) "Лес» быт

ПЛЭТф0|'Ме' 32 «4ева» нХоны
в стволах деревь я и в- явипИ измеРЯ1г напряжения, возникающие
Ь- тр^лесны^’ пооЬ-екиЛпппгч1Д ^аНе° Не ИЗвестннх эффектов.
Г ш..1 тное дей( ъие ь^тпаРи прп-ДаЖ€ гРог','*'Нки усиливают
мест дорог необходимо пв< - и ” одс?дк°й леса, выбирая
м- -.и^ваш -	™«тематические расчет

яедовало изучение не механизма * ЯВЛеннп- именно урага-
механизма происходящего явления,

2#6
ег0 проявлений — в данном слу-
чае влияния на лес. Более глубо-
кое и далеко идущее изучение
кредусматривает рассмотрение
широкого комплекса атмосфер-
ных явлений. Примером этого
Может быть обща я (глобаль
на я) модель циркуляции
земной атмосферы. Эта
математическая модель отражает
в исходных уравнениях различ-
ные физические процессы, проис-
ходящие в атмосфере, — переда-
ча энергии вследствие солнечно-
го излучения, воздействия земли,
турбулентности, конвекции и т. д.
Предполагается, что атмосфера
насыщена водяным паром и мож-
но находить условия его конден-
сации. При этом и ряде других
допущений составляется основ-
ная система дифференциальных
уравнений атмосферы. Система
уравнений в частных производ-
ных сводится далее к уравнениям
в конечных разностях, представ-
ляющих процессы как в прост-
ранстве, так и во времени. Для
погоды в глобальном масштабе

Рис. 4.27. Фотография урагана

аппроксимирования условий
уравнения решают в каждой

точке пересечения горизонтальной и вертикальной сетки, представ-
ляющей собой линии широты и долготы. Решение системы уравне-
нии проводится более чем для 15000 точек сетки. Причем за 5 с

находятся данные, содержащие скорость^кствТ н ’во времени,
температуру и т. д., представляемые в ро ^Р^. решение дЛЯ вре-
Приблизительно 40 000 чисел представ процесса. Поскольку
менного шага, отвечающего 360 с реаль паботает от нескольких
математическая модель для каждого опы?' количества данных
часов до сотен часов, то обработка бол^ Современные вычис-
представляет собой значительную про ‘ операций в секун-
лительные машины, выполняющие до ппПВОдится и моделнрова-
ДУ, справляются с такой задачей.	фактического состояния

ние в реальном времени, когда резу	я какого-то мот

атмосферы могут быть введены Б тьтат'для последующего
времени, а она может выдать резу- *ьная машина р
времени. Следовательно, если выч ’ дить вычисления, Р
Достаточно быстро, то она может пр ая Кратковременн про^
жаюцШе фактическое состояние, т. ’ блк>дать часовое или у
воз на будущее. Модель позволяет  я системы УР
изменение атмосферы. Полученные р	297
Рис. 4.28. К созданию матема-
тической модели урагана:
а — фиксация перемещений на кар-
те; б — проекция на глобус

дают характеристики атмосферы. Значения ее параметрон (давле-
ния, температуры и др.) могут быть найдены для любого момента
времени в любом месте исследуемого пространства. Так, может
быть описано какое-либо конкретное явление, например сфотогра-
фированный со спутника ураган (рис. 4.27). Цифровые данные,
полученные от ЦВМ с помощью специального проекционного уст-
ройства, переводятся в непрерывное графическое изображение,
которое может быть перемещающимся, отражающим движение со-
ответствующих изотерм (рис. 4.28, а). Это движение можно спроек-
тировать на глобус (рис. 4.28, б), придав математической модели
наглядность физической модели, показывающей движение фронтов
воздуха, циклонов и антициклонов. Описанная модель может быть
непосредственно связана с натурой, при этом она будет получать с
помощью телепередачи данные о состоянии атмосферы в различ-
ных точках планеты*. Эти данные, отработанные и дополненные
вычислениями, с помощью того же проекционного устройства могут
. в ь данные о фактическом состоянии атмосферы и происходя-
щих в ней изменений. Модель и оригинал оказываются связанными
Друг с другом в процессе своего функционирования.

• еологическое подобие и применение природных аналогов. Рас-
про I рання теорию подобия и моделирования на новую область

зНтюХгр МгпЩ. АиЛъГГое п КСАЕ О1оЬа| Оепега’ агсиШюп Моде! оГ 1Ье
иПтюМеп Моп(Ыу ХУеаШег Реущху Уо!ите 95, 7 Зи|у 1967.

298
- моделирование геологических процессов с помощью наивных
моделей, необходимо уточнить ряд терминов в их приложени
геологическим объектам.	ю'^женип к

Подобие геологических процессов и явлекий _ геологнчеаяа.
^'^_„ЖДСТаВЛЯеТ °°б°й Чотый СЛУЧаЙ приближено
полного подобия, при котором протекание (проявление) во време-
ни процессов оказывается приближенно пропорциональным по
наиболее существенным характеристикам.

При геологическом моделировании наиболее существенной ха
рактеристикой моделей является то, что они и з б и р а те л ь но по-
добны,^ т. е. подобны по отношению к оригиналам лишь в
некоторой части признаков: выступая в качестве носителя избира-
тельного подобия, модель в некотором отношении сходна и подоб-
на моделируемой системе, а в другом отношении — отлична от нее.

Из сказанного следует общая характеристика моделей, приме-
няемых в геологии: модель—материальная или логическая
(мысленная) категория, между свойствами которой и свойствами
геологического процесса, явления или образования имеется
Приближенное подобие существенных и обобщен-
ных характеристик, допускающее трансформацию свойств мо-
дели на объект (и наоборот). Термин «аналог» в геологическом мо-
делировании имеет особый смысл. Аналогом называют базу для
аналогии, материальную или мысленную категорию, между свойст-
вами которой и свойствами объекта существует частичное подобие.

Таким образом, модель н рассматриваемом понимании —это
усовершенствованный аналог. Все функции моделей одновремен-
но являются и функциями аналоговых моделей, или «аналогов».
В приложении к геологическим объектам целесообразно выделить
три категории моделей: натурные, лабораторные, знаковые или ло-
гические (см. введение и гл. I).

Натурные модели являются такими природными комплек-
сами, особенности и поведение которых во времени достаточно
изучены для того, чтобы можно было установить их аналогию (по-
добие) с другими природными комплексами. В качестве натурных
аналоговых моделей могут служить любые геологические объекты
участок побережья моря или водохранилища— для прогноза абра-
зионных процессов, оползень для прогноза интенсивности ополз
невых подвижек на склоне — рудная залежь, шахта, скважина.

склон, терраса, речная долина и т. д.

Натурные модели имеют свои особенности:	ппп1|РГГы

1)	воспроизводят в неискаженном виде геологические процессы
и явления орнгянала (натуры), Д^твне	я лог” че

объекте прогноза (модели). В отличие 01 ла р'	1 объекта

ских моделей натурная модель не «беднее» модеД1'Р^^еГ^Холо-
а «богаче» его. Так, на участке-аналоге „(натурной модел гео о
гическпе процессы во всем своем многообразии уже проявились,
объекте прогноза они только ожидаются;	объект так

2)	облегчают интерпретацию свойств моде
как масштаб подобия близок к единице,
3)	не позволяют существенно воздействовать «а ход и условия
ПР°Метаод натурного моделирования представляет со-
бой комплекс исследований объекта н его природной модели, вы-
полненный в объеме и последовательности• Д^Хбооо?
вода полученных выводов с модели -на объект, или «аоборот .

Принципиальная возможность подобия натурных моделей слож-
ных геологических процессов и явлений обосновывается постулатом
«однородного в целом, неоднородного в точке» геологического про-
цесса Длительное протекание геологических процессов и неодно-
кратное изменение условий среды приводят 1 «неоднородности в
точке» геологических образований. Однако длительность и разнооб-
разие изменений создают многочисленные статистические ситуации,
итогом которых является появление осредненных качеств. Эти об-
общенные качества и обусловливают «однородность в целом».
Так, сравнивая два пласта песка, легко обнаружить различие форм,
размеров, состава частиц в соответственных точках пространства.
Но указанное не исключает сходства обобщенных качеств — мощ-
ности, форм залегания, механического состава -и т. д.

Геологическое подобие — это выявление сходства существенных,
обобщенных качеств (однородного в целом) при несхожести част-
ностей (неоднородного в точке).

Со сказанным связаны условия натурного моделирования, осно-
вой которых является тезис: у геологических процессов и явлений,
нет особенностей, которые могли бы исключить применение к ним
теорем физического подобия и дополнительных положений.

Сложность вывода критериев подобия для многофакторных
геологических процессов связана с трудностями выявления в до-
статочно конкретной форме взаимодействующих факторов.

В интерпретации к геологическим объектам сущность второй
теоремы излагается так: подобные геологические явления, процес-
сы, образования характеризуются качественными оценками или
уравнениями, в которые входят критерии геологического подобия.
аКи Уравнения являются прогнозными в пределах границ, между
с^и влияние ^существенных факторов не установлено.

необхп'пимл° пРеТЬеИ Те°РеМе под°бия Для реализации подобия
однозначности'31^НСТВ° кРитеРиев подобия, содержащих условия
дится к тпе6ппТи пРимен™ьно к геологическим процессам ово-
территопи? готИЮ „подобия пространственных характеристик
рИИ ’	' °РОИ пРоявляется процесс геологической исто-

=. в;

мерной геологии. «Известия :нни теории физического подобия в инже-
вузов ’еология и разведка», 1964, № 4

«Яш
ТАБЛИЦА 4.5

Наименование фактора	Представляющий показатель	Обозначение	Размерность

Энергия волнения и при- бойного потока  Потери волновой энер-	Энергия волн на внешнем крае отмели  Ширина отмели	э  1	ЛЮГ-з
гин на отмели	*	о		
Сопротивляемость по-	Угол сдвига и объемный		Нет
род размыву	вес грунта		
Вес и потенциальная	Высота берега н ускорение		I СТ—2
энергия сопротивле-	силы тяжести		
ния размыву обваль- ных масс в одном цик- ле обрушения			
Профиль склона	Уклон (крутизна) склона	/	Нет
Извилистость береговой	Коэффициент извилистости		
линии	(отношение длины бере- говой линии к ее проек- ции)  Коэффициент аккумуляции (отношение объема отло- жившихся пород к объ-		V
Аккумуляция и а носов на отмели		*о	

ему размытых)

3)	исходные условия (профиль склона и свойства пород до на-
чала переработки), а также продолжительность процессов;

4)	соотношения между энергией волн, разрушающих берег, и
потенциальной энергией сил сопротивления массива пород раз-
мыву.

К натурному геологическому моделированию прибегают при
большой сложности и недостаточной исследованности процесса,
когда дифференциальное уравнение не может быть составлено или
требует столь существенных упрощений, что становится ненадеж-
но. Анализ размерности поэтому является основным в натурном

моделировании.

Покажем, как принято получать критерии подобия применитель-
но .к моделированию берегов водохранилищ. В табл. приведен
перечень важнейших факторов, представляющих их показателе

’взаХ^вязь между показателями, диеюда ми
приведенные в табл. 4.5, а прогнозируемой	%

отмели I) записывается в критериальной форме согласно § 1.4, о
и выражению (1.22), откуда находим критерии

Я1=Э/(/А).	(471а)

Безразмерные показатели также выступают в
риев:

л2=ф; л3=*;	л5=20.

качестве крите-

(4.716)
Одесский Государственный Университет
им. И. И. Л1ечникова

Проблемная научно-исследовательская лаборатория (ин-
женерной геологии побережья моря и водохранилищ)
Трехмерный аналог

для прогнозов переработки берегов водохранилищ № 4
инженерно-геологическая карта

Масштаб I : 5000

Рис. (4129. Образец альбо-
ма натурных аналогов

Для отыскания условий
'подобия
Альбом К» I «Лёссовые берега»

Тип берега по морфологической класси-
фикации — 1

Зона водохранилища верховая

О 50 100м

I-----1____I

Ведущие физико-геологические процес-
сы абразии

Динамический тип берега —склон плато
с большой мощностью делювия

Принадлежность к динамической систе-
ме — участки с отрицательным балансом
наносов

Параметры, входящие в критерий подо-
бия и пересчетные формулы

Наименование	Индекс

Энергия волнения, тыс. тс-м	Э

Приведенная высота берега, м	&б

Объемный вес грунта, тс/м3	1

Угол сдвига, град.	Ф

Коэффициент аккумуляции в
зоне волнового воздействия

Ширина абразивной отмели, м /’0’"
Линейный размыв, м	5*0*”

Ширина склона в зоне волно- <1а
вого воздействия, м

Глубина на внешнем крае от- Н
мели, м

Глубина открытого моря, м Нт

г

Количественные критерии геологического подобия

Геометрическое подобие
профиля склона

Гидродинамическое подо-
бие

Подобие вещественного со-
става

Подобие аккумулятивных
процессов

Геометрическое подобие
формы береговой линии

К1 = -4- = 0,048
%

ф = 25°19'

20 = 0,32

/=1,10
п и р „ ч е с к о й п р о вер к о к Д«'	„ спец,Галвнь1е

““^оны^шмеТ-иатурные аналоги, содержащие критерии гео-
альбомы моделей иу\япактепИ,Стики условий однозначности
оЕ««го "жХЕ По данным, приведенным в
ал™е, образец которого показан на рис 4.29, выбирается подхо-
дящий натурный аналог. Затем данные об изменениях, происхо-
дивших с этим натурным аналогом в течение ряда лет, пересчиты-
ваются в соответствии с масштабами (при учете критериев подо-
бия) на исследуемый объект. Такой же пересчет опытных данных
о существующих энергосистемах и создание их натурных карт бы-
ли предложены кафедрой электрических систем МЭИ для проекти-
рования и прогнозирования работы энергосистем.

Существенно, что применение количественных критериев подо-
бия подводит к решению другой важной задачи — повышению
эффективности использования быстро растущей информации о
геологических процессах и явлениях. Появляется возможность
внести в «память» электронных информационно-логических машин
описание большого количества натурных моделей и далее идти по

х а р а к-

от о п и-

пути объединения физического (натурного) модел'иро1вания и ма-
тематического моделирования. Именно такой путь в данной отрас-
ли, как и в других отраслях, наиболее перспективен. Дальнейшее
развитие геологии и геохимии как науки
теризуется продолжающимся переходом
сате л ын о го метода к причинному.

мяпкн^еСпЬ1’ “аювд1е в результате вазимодействия гидротер-
переносомР1н1™-Р°В С ГОРНЫМИ породами, обычно сопровождаются
рассматривает^теопия ввщества’ оби1ие закономерности которого
нестационарных прадессоТ тепло	приРодных

взаимосвязанного процесса является “^сообменз как единого,
вых задач к современной геологии из наиболее актуаль-
рования6™Н™Д3Х 0°Х1,ВаеТСЯ МеТ°Д комплексного модели-
моделей процесса позволяющих'7^1° мате1латиче,ских и физических
иных химических реакций ₽^!атЬ вероятность тех или
моделирования может успешно гтимИЗИЧ6СК°Г° И мат&матического
не разведки и подсчета пвомышпои еняться в современной практи-
нефти и газа, так же как для изучен^ запасов термальных вод,
тяных и газовых месторождений НарядуТэтим °бвод'не'ния неФ’
__________	р ду с этим представляется

В. Н Кочергин, О. А Б я

екой	межГуХ

магическому моделированию. МЭИ,
304
возможность моделирования задач тепло- и массообмена паство
рами (расплавами) и различными капиллярно-пористыми тепами
в промышленности и технике (металлургия, технология сушки/
Геологическое моделирование несомненно найдет также широкое
применение при решении задач «глубинной теплоэнергетики». Есть
достаточно обоснованные предложения создать с помощью взрывов
в скважинах мощные подземные источники тепла («котлы») на
глубинах до 10 км. Такие котлы могут дать огромные количества
перегретой воды и пара и смогут питать геотермальные электро-
станции большой мощности. Однако прежде чем начать добычу
глубинного тепла, надо подсчитать его запасы. Но методов анали-
тических расчетов здесь пока не существует, и только моделирова-
ние процессов фильтрации и теплообмена позволит решать задачи
такого рода.

§ 4.12.	МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ
(ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕМЕНТАХ СТРОИТЕЛЬНЫХ
КОНСТРУКЦИЙ, ТРЕНИЯ и т. д.)

Подобие и различные виды моделирования уже давно находят при-
менение (рис. 4.30) в строительстве и при изучении различных ме-
ханических конструкций. Обычно считают, что к физическому мо-
делированию при проектировании строительных конструкций *
целесообразно прибегать при:

а)	выявлении обшего характера работы системы под нагруз-
кой;

б)	проверке правильности принятого метода расчета;

в)	определении расчетных величин напряжений, усилий и де-
формаций при отсутствии или чрезмерной сложности аналитиче-
ского расчета, заменяемого экспериментальным исследованием на

модели.

В зависимости от стадии проектирования и задачи выбирают
наиболее целесообразный тип и масштаб модели. В практике изу-
чения строительных конструкций считают, что при правильно вы-
бранных масштабах и хорошо поставленной методике и технике
моделирования погрешность при определении деформации и усилии
составляет: для стержневых систем ±3%; для пластин ± /о, для
пространственных систем ± (Ю-г-20) %.

Указанная точность вполне устраивает инженерную практику.
Как показывает отечественный и зарубежный опыт, применение
моделирования позволяет выбрать оптимальное конструктив
решение и благодаря этому достигнуть экономии в СТР0*”^
от 5 до 10%. Стоимость же самого моделирования не превышав
0,5—1% от стоимости строительства. Эти преимущества моде Р
вания даюг основания более широкого внедрения ег Р '
проектирования. Обычно методами моделирования I а с

Д. А. Пит л юк. Расчет строительных конструкций на основе моделирования.
Стройиздат, 1965.
Решение задач механики методами моделирования

может выполняться и^ппо^” к'он'стРуктивная схема. Модель
'Лоо до '/50. На стадии выпои 380лЬ11ог° материала в масштабе от
статические и динамические свойств’аб°ЧИХ Ч6Ртежей оцениваются
Дель в этих случаях часто вып «инструкции на модели. Мо-
менты „ умы1„ «ас™бе“/,™Г?Г “ "эсштабе *Раг'
женин иногда испытываются в масштабе™?'™/ у™кальных сооРу'
305	сштаое /з—Ч5. Материал модели
подбирается в соответствии с критериями теории подобия В слл/ча₽
проверки метода расчета модель может иметь произвольный матепи
ал и масштаб.	««ыери-

Преимущество метода физического моделирования— это то
что эксперимент на модели требует сравнительно небольших уси-
лий и незначительного времени. Он сводится к созданию на соору-
жении различных нагрузок, .предусмотренных программой исследо-
ваний, и к выполнению соответствующих измерений (снятию отсче-
тов). Приборы и приспособления предварительно тарируются, а
для материалов, из которых изготовляется модель, определяются
механические характеристики. Проводить опыты следует после тща-
тельной подготовки, используя теорию планирования эксперимен-
та (см. гл. III).

Переход от модели к натуре осуществляется простым умноже-
нием результатов эксперимента на соответствующие масштабы.
Условия подобия, положенные в основу исследований, позволяют
не только перейти от модели к натуре, но и распространить резуль-
таты единичного эксперимента на всю группу подобных явлений.
После выбора критериев подобия и составления выражений, связы-
вающих масштабы (их называют иногда индикаторами подобия),
можно применить полученные результаты для любого обобщения
любого расчета или натурных испытаний. Эта важная возможность
методологии теории подобия не должна упускаться.

В нелинейных задачах для таких обобщений надо применять
дополнительное положение о подобии систем с нелинейными пара-
метрами.

В качестве примера рассмотрим задачу об изгибе балки на упругом основа-
нии при произвольно распределенной нагрузке. Исходное уравнение, определяю-
щее моделируемый процесс,

Д4ш/Дх4 + ^«/(Е/) = ^/(^), (4.72)

Где ш —прогиб балки; х — текущая координата вдоль оси балки; К—коэффи-
циент отпора основания; Е—модуль упругости материала балки; I момент

инерции сечеиия балки.	„ . , 2_п.

Граничные условия запишутся для левого конца при х— 0: е>—0, а а/ах ,
для правого конца при х=1: со = 0, ^2ю/йх2=0.

Начальные условия отсутствуют, если рассматривается статически у -

Предельные условия по геометрии, а^0.2/, где а наибольший размер
чения балки; по прогибам ш^1/4а.

Введем масштабные преобразования’

“н = 7СИ = ткКы> ЕИ — тЕЕК’
1И = т/1м; х„ = тххм; цИ = теёы-

(4.73)

Соотношение (4.72) после подстановки в него (4.73) даст
тш1т* = т^т^/(тЕСд = те1(тЕт/)-

Разделив все части этого равенства на та /тЛ получим систему индика

ткт*/(тЕт1) = 1; тет4/(тштЕтг) = I-

Граничные условия дополнительных изменений в эту систему не вносят.
(474ч связывают шесть масштабов (тш, тй, тг, тг, тх,тК).

и.»	~ "" Тогаа

та н тК определятся из (4.74).	«

тш = тгт^тЕт,}, тк = *Ет!1т<-

Из масштабных соотношений следует, что при решении данной

Из масштаоных сое	быть нзг0Т0ВЛена из про-
задачи модель балки може ________ I. пппи5щ.пп.

И31воль'ного материала

и может иметь п р о изволь-

П|ри этом симметрия относительно

ное очертание сечения,
плоскости изгиба должна быть сохранена.

Ис^ользи результаты эксперимента на модели балки, можно
через масштабы подобия найти значения прогибов в балке другого
сечения пролета или материала. Методика применения приближен-
ного и нелинейного подобия в строительных задачах практически

еще не развита, но она, несомненно, должна получить применение и
позволить решать с помощью моделей большое количество более
сложных задач проектирования. Такие задачи возникают в тех слу-
чаях, когда конструкция сложная, ее элементы работают на изгиб
и кручение и в них имеются поступательное и вращательное сме-
щения.

Условия подобия и физического моделирования опоры воздуш-
ной линии электропередачи. Рассмотрим случай сооружения ее из
однородного материала. Упругие свойства этого материала опреде-
ляются двумя параметрами: модулем упругости Е и коэффициен-
том Пуассона о. Для геометрически подобных конструкций все
размеры можно выразить через некоторый характерный размер,
например высоту к. Если в интересующих нас процессах существен
вес опоры, то должен участвовать и удельный вес ее материала:

влияющих иа

гдеР~ плотность материала; ускорение силы тяжести.

яаваг лт-СЗ частеи ОПОРЫ надо учесть действие нагрузок, пере-
нагрузки
нагрузок определяется силой Г. То?“а „а^ет^в В"еШНИ
рассматриваемое явление, оказывается цХ-| " ’
а=3теНЫХ Параметров можно выХ 7 .. ___
рые можно наЙтГм базГл-теоре^ Д'ВЗ Кр'ИТерид подобия, кото-

шесть: Е, а, И, р, д, Р. Из

ать три независимых

я1 —я^рЦЕР).

Кроме того, имеем

л3—а.
гели две опоры изготовлены мо ~

(Д1-Е2, р!=р2), то для механиир^3 °ДНОГ0 и того же материала
некие критерия §Л = 1<1ет. В обнич^0 ,П0Д°бия необходимо выпол-
ва размеров (тождественности^ п Х УСЛовиях это требует равенст-
ствует, то для удовлетворения т равенств'0 размеров отсут-
308	'Ри ерия Л1 необходимо взять раз-
личным материал опор либо изменить («моделировать») силу тяже
сти. Для этого разработаны так называемые центробежные
машины, создающие искусственное воздействие (центробежными
силами) на испытуемую модель конструкции, которая вращается
на этой машине с постоянной угловой скоростью. При достаточно
малых размерах опоры по сравнению с радиусам вращения центро-
бежные силы инерции элементов модели можно считать параллель-
ными. Изменяя угловую скорость вращения, можно получать любые
значения ускорения ^Подобие распределения напряжений е, воз-
никающих при упругой деформации конструкции опоры под дейст-
вием заданных нагрузок, определяется соблюдением всех трех
критериев. Отношение е)Е является безразмерной величиной и его
можно выразить в критериальной форме:

е/Е=/[а, Е/^/г), Е/(ЕН)2].

Если обе опоры выполнены из одного и того же .материала, то
напряжения в их сходственных точках одинаковы. Если величины
внешних нагрузок значительно больше собственного веса конструк-
ции, то можно отбросить параметр у, а вместе с ннм и критерий
подобия ль В этом случае имеем только два критерия подобия:

л2 = Е/(ЕЕ2); л§=о,
а критериальное уравнение имеет вид

е)Е=/\Е](ЕК}2, а],

откуда следует, что для осуществления подобия с со-
хранением свойств материалов внешние нагруз-
ки необходимо изменять пропорционально квад-
рату линейных размеров. Изменение длины какого-либо
элемента опоры при увеличении нагрузок определяется соотноше-

нием

М1К=/\у1г1Е, РЦЕК2), о].

Величина А///г уменьшается при увеличении модуля упругости,,
т, е. при использовании более жесткого материала. Для геометри-
чески подобных опор, изготовленных из одного и того же материя
ла, соотношение

Е1/{ЕП1)=Р2](Е1&)=соп8(,

а критерий уН/Е уменьшается одновременно с уменьшением 'Р^13
ров опоры и, следовательно, механическое подооие^РУ^0
ЖЖ

И *=а"я теория с
применяется в практических задачах.	„г^лечпванпи таких

Методы подобия можно применять и при исследманпл^а »
сложных и мало изученных явлении, как «пляска проводов
«бегущие волны» на проводах,
теризуется уравнением

Их появление математически харак-

Ру

дР

<г-у _С_+я-^—

аЛ-'2	5/0	<^2

1о
-М
25/.Л

с1х,



где ж —текущее значение переменной (ось
ленчем провела); у-отклонение «ровола отт

ЕЫШе »!>в"м,№61' "аЙДЯ
еГО™"“ьные аиалопг, легко получить критерии подобия;

я,=^Ч7(х=/Л яг=Г/(И?).

Здесь также в ряде случаев целесообразно применение центро-
бежной машины. Наблюдение за происходящими явлениями мож-
но провести при помощи стробоскопической установки. Вопросам
механического моделирования и, в частности, моделирования меха-
нических конструкций электротехнических сооружений посвящен
ряд специальных работ. Здесь коснемся этих вопросов только в по-
рядке ознакомления с задачей.

Моделирование влияния сейсмических явлений. Моделирование
осуществляется на так называемых вибростендах, которые созда-
ют толчки определенной (например, синусоидальной) или случай-
ной формы. Испытания на вибростендах могут сочетаться с испы-
таниями на центробежных машинах.

Таким образом, строительные конструкции, энергетические ус-
тановки, электроаппаратура проверяются на сейсмос той кость,
причем конструирование моделей, обработка и сопоставление полу-
ченных результатов с данными натуры должны вестись с обязатель-
ным применением теории подобия. В исследованиях учитываются
степени свободы оригинала, собственные частоты, коэффициенты.
™)0< значение такие испытания должны иметь для атомных
опасХт^п11* СТаТ,Й’ оборудоваине которых по условиям без-
ваться кя;°-:ЖНОбЬ,ТЬ весьма сейсмостойким. Толчки могут зада-
праждениях ?Ха₽ИНЫе ичстагистиче°кие, действующие в трех на-
ция котовые пппиее"НЯХ И ,пол'нс>стью 'воспроизводящие те явле-

МехаХЛлТ СХОДЯТ лри землетрясениях.

В модели выпоелнёнПиРЯЖеНИЯ В° вРа^аю^ся частях моделей,
критерия №, механически?Э ПОВЬ1шенной частоте при сохранении
Л}чаются значительно бочкР . НЫХ С'ИЛ ПО
механическая прочность воашяю! вМ В 0|риги.нале- В Ряде случаев
возможность ее осуществления Щихся частей модели определяет
ханических напряжений ёщ^еТрРадеЩГ?оП°'ХХОЛ К пересЧетУ ,ме'
дем механические напряжения Р Де °Т °Ригинала к модели, пай-
лу (в «вигах йиах) ГЬ,	полюсов к обе-
да	К). Прешолож„М| что 11рммах по,юс.
кого деления все размеры модели подобны размепзм оп«г
Тогда угонная скорость вращения модели Р Р оригинала

„м___ 60/М ,,М X"

/Ду - /\ у ------- ----

рм х;р

Рор /м

рм /°Р

КуР"Р

где Ху кратность угонной скорости вращения.
Вес полюса модели

—---о ПУ .

К^т2 *

^-К7

Центробежная сила полюса модели при угонной скорости
СпМ = (/<У7/<ОуР)2(р°₽/рМ)С?Р.

Сечение деталей крепления полюса модели
$“=т&р.

Механические напряжения в деталях крепления полюса модели
получаются значительно большими, чем в оригинале:

м

М ЪП

О» =------

ом

х;
к?

* Л°Р

--------а°Р

Р т1

При моделировании гидрогенераторов эти напряжения могут
быть снижены при выборе небольших по сравнению с оригиналом
значений кратности угонной скорости Ку. Так, при Ху= 1,2 и
/Сур = 2,4 напряжения снижаются в четыре раза. При небольшом
числе полюсов, когда нельзя считать радиус центра тяжести полю-
сов пропорциональным расчетному диаметру, напряжения в модели
получаются несколько меньшими.

Напряжения в ободе ротора возрастают в рор/рм раз меньше,
чем напряжения в деталях крепления полюсов, и в первом прибли-
жении не зависят от числа полюсов в модели.

Приведенные соображения необходимо иметь в виду при выбо-
ре масштабов моделирования.

Моделирование механических сетей. Моделирование такого
рода сетей в различных вариантах представляет интерес для энер-
гетических и некоторых других инженерных конструкций, хотя при-
веденные далее результаты были получены для сетеи, которые яв-
ляются орудием рыболовства. При этом предполагается, чго.

а)	сеть представляет собой комплекс сложных конструкции,
соединенных гибкими связями;

б)	способ ее изготовления не определяет форму и положе
потоке жидкости, при движении она легко деформируется,
в) жидкость при движении протекает через ячеи

Эти особенности предопределяют неооходимость дополнитель о
го требования подобия (по сравнению с классическим	дви-

жения твердого тела в жидкости) — требование Д 4 1
1	лчпЛПк.п и натуоой в потоке жидкости. При опреде-
принимаемой моделью ^итаегся весомой, идеально гибкой,
леиип условии подобия птпедьные нити и узлы, а сеть как еди-
При этом моде лиру юте:	лия приложенные к сети, и

"и"ЫГТеТкш'Гпри иолелиромшИ! условия подобия определяются
Х«я размерностей. Система параметров включает при

этом следующие величины:

ц /—характерный линейный размер сети, м,

2)	а — шаг ячеи, м;

3)	</ —диаметр нитки, м;

4)	^ — коэффициент укрута нитки, характеризующий влияние
неровности ее поверхности;

5)	у*_объемный вес нити в данной среде, определяемый вы-

ражением

У'=У0~^Ус=(Ро—^р)^.

где у0 — объемный вес нити данного вида, кге/м3; у — удельный вес
материала нити, кге/м3; ус — объемный вес среды, кге/м3; р0—-
плотность нити, кгс-с2/м4; §—ускорение силы тяжести, м/с2;

6)	е — относительная деформация нити;

7)	щ и «2 — коэффициенты посадки сети;

8)	I — характерное время, с;

9)	р — плотность среды, кг/с/м4;

10)	р— вязкость среды, кг-с/м2;

И) V характерная скорость среды, м/с. В качестве таковой
принимается скорость, учитывающая поджатие потока
в ячеях сети:



Го — сплошность

[де скорость установившегося движения-
рыболоююп сети (гаюшешщ площади ниток	,площад„

^"о —(г//ц)(1/и1И2);

12) Я—Действующая сила (кгс).

условий^ изации подобия необходимо выполнение следующих

"“^Начачь^^	Ге°МетрИЧесКИ П'ОД&6‘

потоков должны быть тожд^твеХ'/м?71” Модельног° и натурного
бом заданных величин.	ими, отличаясь только маошга-

ДОЛЖНЫ Соблюл?т|.го ,. „

. ,	известные критерии:

I) 1Ре]^/в/увМе1п;

И) [5Ь]-=?///== Мет;
и критерии, специфичные для данного явления:

л1=а//=Мет; л2=^//=Иет; л3=5=1(1еп1;

Л4==е==1бет. ЯБ=рг,2Ду./) = Мет>

Анализ уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости по
называет, что лолжвы соблюдаться известные условия	"о?

[8Ь]=йет; [Еи]=Шет; [Ег]=Мет; [Ке]=Шет,

причем условие Эйлера [Еи]=1бет, обычно учитываемое при нали-
чии кавитации, в рассматриваемом случае несущественно. Эти кри-
терии должны действовать совместно с критериями, получаемыми
из уравнения движения гибкой, растяжимой нити, записанного
следующим образом:

р0=ди/д1=Р-\- /дг/дз,

где ро плотность нити; и и дй!д1— скорость и ускорение беско-
нечно малого элемента нити; Р— удельная сила, действующая на
бесконечно малый элемент массы нити; — относительная растя-
жимость нити; т—натяжение нити на единицу площади ее сечения;
5 — длина дуги. В отношении силы применяется дополнительная
гипотеза

Г=-^- СЛ(Рг, Ке) + -^-

Полное моделирование связано с трудностями, которые практи-
чески непреодолимы. Альтернативой является приближенное подо-
бие и моделирование.

Приближенное подобие позволяет иметь компромиссные усло-
вия, при которых эксперимент с моделями дает возможность пра-
вильно воспроизвести в главном изучаемое явление. Поскольку
характерным линейным размером является размер ячеи, делается
вывод, что условие й//=1бет выполнять не обязательно, эо ее то-
го, нарушение указанного условия следует рассматривать как це-
лесообразную меру для уменьшения масштабного эффекта, так
как при этом сближаются величины Ке для модели и натуры. При
использовании натурного материала для изготовления модели удо-
влетворяется условие ^Меш. а в случае испытания такой модели
при натурной скорости удовлетворяется также условие Ке- йет.
Однако такой опыт сопряжен с большими усилиями в ^перимен-
тальной установке и нагрузками на модели, так как в э о -
масштаб усилий Ся равен квадрату линейного «^штаба
можно также выполнение условия Ке н1ет при н ‘ ь соот.
модели сети, у которой д и а больше, чем в натуре а ^^ОС^ЛСО°ВНЯ
Бедственно меньше натурной. Вместе с тем н ру .	- в на.

й//=1т1ет вызывает изменение подобия веса

тУРе-	313
турных исследований.	„7а11ЯУ механики и строительства.

Аналоговое мОАелирование.. задачах "“е^™еок„еРммел.и ,,3.
Для неследоваипн широк р . углам1| поворота в изгибающи-
гибаемого стержня . Св „	лпруется активным электри-

ки моментами по концам с р т ‘ четырехполюсника легко
ческв» ’<™Р«"0^Хс?на мект;"че?кой модели-анало-
гепоиотеюшй быстро построить эпюры изгибающих иомен™.
В оме работ предлагаются различные схемы замещения изгибае-
мо?” стержня. Электрические модели стержня выполняются как на
постоянном, так и на переменном токе.

Схемы замещения на переменном токе имеют некоторые
преимущества, так как могут быть составлены из реактивных эле-
ментов одного знака (обычно из емкостей).

Вибрирующие стержневые системы, подверженные различного
рода периодическим внешним воздействиям, также моделируются
электрической цепью в виде трехполюсника ’, детальное исследо-
вание физических процессов в котором позволяет делать выводы о
природе процессов в механических системах.

Моделирование трения. Теория подобия в последнее время по-
служила основой для разработки нового подхода к решению слож-
ных инженерных задач, возникающих при изучении тепловой дина-
мики трения. При моделировании этих сложных процессов исполь-
зуется молекулярно-механическая теория трения ***.

Представления о природе трения, которые претерпевали изме-
нения в связи с достижениями науки о природе твердых тел, значи-
тельно обновлены в последние годы в связи с ростом скоростей
движения транспортных средств и необходимостью создания для
них совершенной тормозной техники. Объясняется это тем, что при
трении различные явления взаимно влияют друг на друга:’ взаимо-
хччеткп6 ” следУющее за ним разрушение одних контактирующих
ными	ТеЛ СОчетаются с механическими и усталост-

не« идет 1^ис1Яг^ИтзпНаК0Г1ЛвНИеМ де*ектов) ДРУ™Х участков. Про-
ра?простпанени^ тРппеП|РтРЬ1'ВН°’л сопРовожДаясь выделением и
вани'я и разрушения п ТепЛ0 обРазУется вследствие деформиро-
пера^раРв 3Те Хия с7ПО'В Т°НК°Г° 11овеРх'Ностного слоя" Тем-
ных устройств достигает с временных тяжелоиагруженных тормоз -
например металлокерамики "ератУрь1 пдавления слабого элемента,

Р ллокерамики, и составляет 1000° С и более. В началь-

шеиию задач изгиба плоских*Х1п»°^„ИСе,яедоваиия электрических цепей к ре-
“Г Е Пухов, П М ХКчХеуТ0^.Жа^ВЬр? систем- «Электричество», 1953. № 9.

системы к электрической цепи согг™,„/&ИВеДеИИе ви6РиРУющей стержневой

•»» дК°ю "'^«технического института т 79^' юги ’Рехполюсииков. Известия Том-

А В Ч и чин а дзе, Э Д к п я V и

динамики трения. Сборник «КибепыХ-ь. вопросу моделирования тепловой
«Энергия,, 1&72	1 ™<*Риетика на службу коммунизму», т. VII.
ный момент торможения остальной пб'КАч»

имеет температуру на несколько сотен градустамщ'/ь?'0 ЭЛемента
возникает крайняя неравномерность нагрева по толщин?’вГТОМУ
вне дискретности контакта резко изменяется темпер?™
участков поверхности, и в результате .возникают снача ла иапояТ
ния термоупругости, а далее термо пластичности котот.е «п,
на режим контактирования и определяют характер изнтеа

Процесс трения характеризуется тремя группами взаи
мосвязанных явлении: взаимодействием контактирующих "овеп?
ностеи; изменениями, .происходящими в материалах пары тоХ
при взаимодействии; разрушением поверхностей (износом) Оче
видно, что при рассмотрении явлений первой группы применимы
методы механики, в частности динамики; для анализа явлений
второй группы — методы теплофизики и мехапохимиц (т. е. поверх-
ностных явлений и материаловедения); при рассмотрении явлений
третьей группы — методы теории термоупругости и термопластич-
ности.

Трудность моделирования трения заключается в том, что необ-
ходимо рассматривать сумму взаимосвязанных процессов; при
этом некоторые процессы имеют нелинейные зависимости от опре-
деляющих параметров, а для некоторых процессов аналитических
зависимостей нет до сих пор *. Поэтому для моделирования трения
может быть .использован единственно возможный метод теории
подобия — метод анализа размерностей, учитывающий имеющуюся
статистику опытных данных. На рис. 4.31 представлены схемы ос-
новных физических моделей трения. Рис. 4.31, а показывает модель
пары трения с геометрическими размерами элементов (11, У2—
объемы; Ла1 и Да2— номинальные .площади трения) и с динамиче-
скими параметрами режима трения (1Ущ.— работа, пц, гп2 масса,
V — скорость, со — ускорение, / — время, Р — нагрузка). В общем
случае номинальные поверхности трения элементов пары различа-
ются, и это учитывается коэффициентом взаимного перекрыт <я
Л'вз. Характерный размер контактирующих тел учитывается пара-
метрами 51 и 52, которые определяются как частное от деления
взаимной площади поверхности (Да 1,2) на соответствующий ооъем
элемента.с б представлена модель макРотепл°обРарОва"12-’
теплопроводности и теплоотдачи в окружающую СР1^; '
но то, что тепловой поток, генерируемым трением Ра^дел^
между элементами пары в соответствии с коэ4 Ф „ гу_
деления тепловых потоков ат.п- Процессы тепл "Р. . пенты теп-
лируются такими параметрами, как А2, з1ФФ	_

лопроводностп, <?1, <?2, сз —удельные тепл	’ внещней

плотности, а процессы теплоотдачи -	Хпературных по-

теплоотдачи (щ, о2). Эти процессы'	‘ окружающей среды,

лей в элементах пары трения и температуры окру

------------	с. п Кпягн Моделирование коэффициента виеш-
* Л. В. Чичннадзе, Э. Д- Б Р а У •	«Наука». 1965.

него трения. Сборник «Теория треню Р	•
Рис. 4.31. Физические предпосылки моделирования трения



Температурные поля в элементах пары в общем случае зависят
от времени трения. Модель контактирования шероховатой поверх-
ности на примере номинальной площади трения Ла1 показана на
рис. 4.31, в. Как известно, касание поверхностей дискретно и при
трении необходимо различать три площади: Да], Ааг — номиналь-
ную. ЛС1, Лс2 — контурную площадь касания и 5АЛГ — фактическую
площадь как сумму элементарных пятен касания. Первая площадь
является заданным параметром, а остальные две образуются при
трении под нагрузкой в зависимости от шероховатости поверхности
и механических свойств материалов пары.

На номинальной поверхности имеет место средняя температура
оверхности трения, а температура вспышки .возникает на факти-
^к°м пятне касания. При износе контурные зоны касания пере-
мещаются по номинальной поверхности.

Н мопрпЛЬ, ‘4икР0К0НтактиРования изображена на рис. 4.31, г.
г2_радиусыТр'^ ^икРошеРоховатость каждого из элементов (гь
На микровыст пя Н°И неР°Внос™> ^1, И? — высоты неровностей),
ра вспышки. На <Ъппми°ДЯЩИХСЯ в кон'гакте, возникает температу-
оказывают влияние- п нРование контакта при деформациях трения
“ « то*Тов ™ерк,|<х:™« пле»«". образуемые на каждом
этих пленок т /т’ я теризУемые сопротивлением разрушению
и	у"руг,,е " пластические П,. П,

являются при высоких темпемттоахт’°ВЧ (""лел""е обычно про-
температуры в кажпг.м «с . пСратурах^' $ти свойства зависят ог
1 ,ры в каждом из элементов пары (максимальная являет-

ЛО
ся суммой средней температуры поверхности 01( 02 и температуры
вспышки 0ВСп) и градиента температуры дй^дГЦ, дО2/дП2.

Во многих случаях на трение и износ существенно влияют мак-
ро- и микрокоробление элементов пары трения, вызываемое тем-
пературным градиентом. Поэтому необходимым оказывается учет
термических коэффициентов линейного расширения материалов
О1 и а2.

Физическая сущность явления такова, что размеры (например,
длина) трущихся тел и пути трения оказывают различное воздей-
ствие. Поэтому характерный размер тел учитывается параметром
51 и 52, имеющим размерность, отличную от размерности пути
трения, который является отношением теплоотдающей поверхно-
сти к теплопоглощаемому объему каждого из элементов пары.

Как показано в общей теории подобия, концентрировать внима-
ние необходимо на определяющих параметрах, которые содержатся
в краевых условиях задачи и имеют решающее воздействие на
процесс. Другие параметры, являющиеся фактическими следствия-
ми первых, называются неопределяющими параметрами. Их учет
не дает новых критериальных соотношений, так как каждый не-
определенный критерии — однозначная функция совокупности оп-
ределяющих критериев (они составляются только из определяющих
параметров).

Для рассмотрения трения целесообразно остановиться на такой
системе, где основными единицами являются единицы массы, дли-
ны, времени и температуры. При помощи этой системы выразим
параметры в безразмерной форме. Произведя анализ полученных
выражений, найдем безразмерные критерии:

теплофизический критерий *

>1,2,3	8га^е1.2 ?

^1,2,3₽1,2,3

критерий теплопередачи

а12 1>з/з(де12),/2
Я2“~ЙГ ’ Р2 ’

физико-механический критерии

^1,2Т11Л1.2 . Р2& .
ЗТо —	’

^1,2^1,2,3	«

критерий макро- и микрогеометрии контактирования

5,2	/1,2^’.

^4 ~ я * а 1

А>1.2	Л1.2

* Здесь и ниже коэффициенты с двойным или тройным
на необходимость учета соответствующих взаимодо с У
динамически» критерии

1/Д0| ,2

Л5 = т1,21Оа1.2	р^~

не-

На лабораторных испытаниях фрикционных пар проведены ре-

Ш“ГОПРН“““№Р"Р™*““	1Ре‘

™еХ™ё^™р«в моделирования кратконремениого

СТ°“ГХё«" кри^еГмодеХ^нт ’ стационарного тре-

НН54) моделирование при стационарном режиме эффективного зна-
чения коэффициента трения нестационарного режима

Выражения коэффициента трения для наиболее общего случая
имеют вид	, .

^=У(Яр ^2’ Я3> Л4’ I

Для получения на моделях такого же коэффициента трения,
как и в натурном узле трения, необходимо, чтобы значения л,-кри-
териев подобия в модели и оригинале были равны. Приравнивая
критерии, характеризующие модель (со штрихом), к критериям,
характеризующим натуру (без штриха), найдем систему уравне-
ний, которые должны быть решены совместно:

Л1 Яр Я2— Л3, Яз — Я3> Л4 — Я4, Л5-

Совместное решение указанных выражений позволяет получить
для одноименных величин модели и оригинала значения масшта-
бов (работы трения, нагрузки, скорости, продолжительности тре-
ния и т. д.)	г

ычм? стоящее время при моделировании наиболее перспектив-
стей Мятрм^4 внеШнего тРения является метод теории размерно-
но описывает модель’? как правило, значительно менее пол-
в.— ' О';

раметры физической моделТ*™ Практически все необходимые па-
териальные3 соотнош^ позволил получить к р и-
трения. Для ояпедел * Н1Я’ о®°бщаю|дие явления
СНТ от е.ю«бГ„ТХХоКР'г“ вид которых зави-
тая с помощью анализа мя™. ЫЛа Использована методика, даю-
ное решение критерия льнг г Ц РазмеРН0Стей .на ЦВМ единствен-
роваш при РазлХх*нач?ль\ыхВ V НИЯ- Р‘ Шен"е Задачи ^Дели-
купность частных решений ппо У'-тлнях позволило найти сово-
Динамики трения.	многофакторной системы тепловой

>6шеиия были выполнены А. В. Чичинадзе
Метод построения и решения критериальных уравнений был
успешно применен для выявления масштабных факторов в отдеть
ных задачах тепловой динамики трения

Моделирование коэффициента и трения износа проводилось на
большом количестве образцов различных конструкций тормозов
работающих в режиме однократного торможения.

Для моделирования работы колодочного железнодорожного
тормоза, в котором чугунная колодка контактирует с бандажной
сталью колеса вагона, были получены формулы, показывающие со-
отношения модельной и натурной нагрузок, скоростей и т д Рас-
чет масштабных коэффициентов перехода от моделей тормозов,
работающих в режимах единичных торможений, к тормозам, при-
меняемым на практике, в настоящее время внедрен в проектирова-
ние. Также успешно решается задача моделирования повторно-
кратковременного режима, при котором происходит постепенное
накопление тепла (тормоза подъемно-транспортных машин, сухие
зубчатые передачи и т. д.). При решении этой задачи были исполь-
зованы оба возможных варианта — моделирование каждого цикла
(нагрев — остывание) и моделирование на аффинноподобном об-
разце интегрального эффекта — среднего нагрева.

Моделирование при помощи роликовой аналогии коэффициен-
та полезного действия редуктора сухого трения в зависимости от
момента на входном валу дало результаты, в которых колебание
отношений коэффициентов полезного действия модели и оригинала
(натуры) не превышало 10%.

Ежегодно вследствие абразивного износа выходит из строя обо-
рудование шахт, электростанций и т. п. При этом виде износа на
поверхностях контактируют частицы транспортируемого материа-
ла. Контакт бывает весьма кратковременным. Но и для таких ус-
ловий погрешность моделирования не превышает 20%.

Приведенные примеры показывают, что методы моделирования,
базирующиеся на теории размерностей, дают возможность с до-
пустимой для практических целей погрешностью находить масш-
табные коэффициенты перехода от модели к натуре, т. е. осуществ-
лять модели для решения любых задач трения и износа.

§ 4.13. ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ В ЕГО РАЗЛИЧНЫХ ВАРИАЦИЯХ

Приведенные в § 4.1 и 4.11 примеры не исчеРпываю\всвх в^т°ен-’
ностей современного моделирования, для которого хаР‘' Р
денция неуклонного роста многообразия его Ф°Р”- РИСсле-
приемы моделирования используются в экспеРв“® ' ппоектИрО.
дованиях и теоретических разработках, в техн . гак силь-
ванпн и абстрактных логических схемах. Все эт Р казывается
но отличаются друг от друга, что в литератур	Утрехтском

сомнение в оправданности объединения и..	• МОдели в

международном коллоквиуме на тему « он
тпрвных и социальных науках». Л. Апостел
математических, естественньг*	ния моделей в эмпирических

отмечал трудности едии°™ нри объясняется тем обстоятельством,
сами операции^ мдалиро.ания а современной науке все более
обобщаются.	к матеМатическому моделированию.

Это относится пРежд	развиваются прикладные математи-

В настоящее вре“я вуетРся техника вычислительных машин.
ЭтсКспо“о™“ует еще более разнообразным применениям матема.
тескнх даей под которыми обобщенно понимаются математи-
™’^““гы любого «А и исполнения, находящиеся е таком
акп-ветствии с реальным-- исследуемым- объектом (урагана-
лом), которое обеспечило бы получение полезных сведении об этом
объекта

Выполнение математических моделей зависит от природы ис-
следуемого объекта и от задач, подлежащих решению.

Математические модели отвечают классификации, приведенной
во введении (ом. рис. В.2). Любые виды рассматриваемых моделей
имеют своей задачей изучение, интерпретацию, прогнозирование
явлений. Весьма важной является возможность воспроизводить яв-
ления на математических моделях, причем на их разновидности —
иммитационных моделях—отражаются процессы, «разом-
кнутые» участием человека. При современном развитии техники
вычислительные машины и их комплексы, составляющие матери-

альиую основу математических моделей, должны включать устрой-
ства обработки данных — процессоры, блоки памяти, устройства
ввода — вывода, различные устройства связи и отображения ин-
формации и т. д. Вычислительные задачи, решаемые комплексом,
распадаются на большое число про-
ем их очепепиХта11 ПИ,ЕОК всех вычислительных задач с указани-
в ЦВМ. ВРпроцессеХабеоть!°11ВГМСч ДЛЯ НИХ обоРУдования вводится
ливается график ихтиолнтш По^Т анали3иРУются и устанав-
выполнеиие одних запяи и ал™’ МеРе того как заканчивается
других, происходя,^е„рЛ„УЩеСТШЯтя пеР“°Д к выполнению
средств с целью обеспГу о 1/Р	^-1 С Я технических

кого времени и приемлемых МрпА^аЛЛН°Г0 использования машин-
Само управление работой ЦВМ^тп °бслУживан«я потребителей,
обеспечивающих планирование АпРЛУе\ специальных программ,
распределение, управление очрп операций> их Диспетчеризацию и
задач- —

п ,ГРУП"Ы машин вместе с устолйотГ*>аММ’ °6еспечивающий рибо-
ТРпЖет быть назван цифровой модел^*** ввода и вывода данных,
состоит НТ математических моде чей °’т°ТН0СЯЩеЙСЯ К классУ ма‘
состоит из трех основных элементов / Г я ”одель (рис. 4.32)
-—	 устройства, преобразую-

“ “«-"РОЯ.ЯН», «Изве-
Рис. 4.32. Цифровая модель

щего характеристику, заданную в виде кривых, системы уравнений
или аналогового сигнала, получаемого от объекта изучения, в циф-
ровой код; 2 ЦВМ, работающей соответственно составленным
программам и подпрограммам; 3 — устройства, преобразующего
выдаваемую ЦВМ информацию из дискретной формы в непрерыв-
ную аналоговую. Таким боразом, цифровая модель действует как
функциональная модель, выходные данные которой дают
сведения о функционировании изучаемого объекта.

Точность результатов цифрового моделирования зависит от
адекватности математического описания реально происходящим
явлениям, от степени абстракции при составлении этого описания.

Давая данные об изучаемом объекте, сама цифровая модель не
имеет никаких свойств, присущих этому объекту. Данные модели
относятся непосредственно к тому и только тому объекту, парамет-
ры которого введены в программу, однако обработка результатов
в критериальной форме и возможность быстрых вариаций пара-
метров и начальных условий позволяет рассматривать исследова-
ния на цифровой модели не просто как расчет, но именно как
особый вид моделирования с сохранением всех его эвристиче-
ских возможностей. Если в процессе решений участвуют не только
цифровые, но и аналоговые машины, т. е. устройство 2 комбини-
рован н о е, то модель называется гибридной.

Развитие различных видоизменений обобщенных математиче-
ских моделей имеет по крайней мере четыре направления. Первое
из них характеризуется тенденцией к распространению понятия
подобия на явления, которые описываются не одинаковыми, а эк-
вивалентными в каком-либо смысле уравнения-
м и. Для второго характерно отсутствие полного математического
описания при наличии некоторой качественно схожей ин-
формации, позволяющей сгруппировать явление в условно-
подобные группы. В третьем опенка подобия проводится по алго-
ритму переработки информации и конечному совпадению
результатов, получаемых в виде выходной информации при
одинаковых исходных данных (входной информации). В четвертом
можно рассматривать чисто математическое подобие, заключаю-
щееся в таком преобразовании дифференциальных уравнении, ко-
торое позволяет из разных по форме уравнении полу
чать одинаковый р е з у л ь т а т. Все эти направления мож-
но отнести к математическому подобию и, соответственно, . д
рованию При этом явления считаются подобными, если имеют ка-
кие-либо общие в том или ином смысле характеристики, в частно-
сти если они описываются уравнениями, эквивалентными другдру-
Гу в каком-либо заданном	0^НестиРтакЫназываемые услов-

валентного моделирования можно^отнести^ к в а 3 и а н а л 0 г 0 в ы е
ные модели. Важным виде м Д вероятностные мод е ли,
модели, введенные Г Е. П}- г’ПолРЯком, связанные с пробле-
предложенные В 1 Кулике ,	кибернетические

Вениковым,’О. А. Сухановым и др.,

°б Д^^современноге ^одхода"^ магматическому моделированию
хапак^ерна и другая тенденция, связанная с применением статисти-
чХх методов Эти методы позволяют по наблюдениям за пове-
™ем системы получать представление о ее динамических свой-
ствах и описывать их в математической форме. Ясно, что такое ма-
тематическое описание совсем не обязательно будет отражать
внутреннюю структуру моделируемого объекта и совпадать по фор-
ме'с «истинным» уравнением (математическим описанием) объек-
та: оно. как и при кибернетическом моделировании, будет ограни-
чиваться функциональным подобием. Желательно при моделирова-
нии оперировать с математическим описанием явления в наиболее
простом виде, но, конечно, без потери информации о поведении
изучаемого объекта. Реализацию математического описания этого
вида в конкретном моделирующем устройстве оказывается жела-
тельным получить с минимумом сложности (количество решающих
элементов, объем памяти и т. д.). Отсюда появляется эквива-.
лентное моделирование.

Такого рода предложений по модификации методов подобия и
- 1роь 1ния оказывается очень много. Однако могут быть пред-
л ы и новые Рассмотрим некоторые из них, наиболее характер-
ные и существенные	н г

ничримпгл^е моделирование- Теория подобия выделяет из неогра-
жие между	”Влений некоторые, в том или ином смысле схо-

безразмерными ХТчТнам и* ^к^и™0 0 д н н а к ° в ы м и
бия.	личинам и — критериями подо-

(УравнениюИп^оцессов)Я и°иМатематическому описанию явления
неявной —только качествриип • разм^Рности его параметров. При
весных описаниях объектов	например при ело-

ле мнениях, оценках повепйН|ДКИХ Т° хаРактеристнках, в том чне-
можна группировка явлений В»^“Т/“МНИЯХ также воз-
"Н Одна гру^ при ^	груп-

пе л^ью другой. ‘ ет служить некой у с л о в н о й мо-
зиакам. Рассмотрим в качеств* пРОводиться по различным при-

0 из множества объекТов ^ИМвРа Три слУчая

рых находится ряд признаков с°7ДВЛЯЮтся гРуппы, внутри кото-

отсчета (в частном случа\ИДДД,00ГСТОащИ(‘ от некоторого уровня
322	друг от Друга), объединяются в группы;
3) объекты объединяются по признаку наиболее близких коэф-
фициентов ассоциации у каких-либо параметров этих объектов.
Идентификация группируемых объектов выделяет при этом некие
общие черты, наличие которых и определяет условное подобие

При объединении в группы большого количества объектов (и)
могут возникнуть затруднения в непосредственной оценке каждого
из них друг с другом пли с каким-либо эталоном. Можно сократить
количество таких оценок, применяя иерархические схемы последо-
вательно с определенной стратегией и производя группировки, ос-
нованные на измерении сходства между эталонным образцом, бли-
зостью цели пли состояния.

Трем указанным выше случаям можно указать три соответст-
венных пути:

1.	Пусть основной характеристикой будет степень статистиче-
ской зависимости между объектами множества. Разбиение множе-
ства должно быть проведено так, чтобы объекты внутри групп
были коррелированы сильно, а между группами — слабо. Корреля-
ционная матрица исходного множества может при этом составлять-
ся исходя из выражения

(4-75)

где р;л — коэффициент корреляции между объектами / и к; х^,
Хц1 — 1-е наблюдение над объектами / и к соответственно; х^, хк—
оценки средней выборки для объектов у и к', п — количество наблю-
дений

2.	Группировку можно провести, основываясь на геометриче-
ском расстоянии между объектами. Если представить в многомер-
ном пространстве п показателей Р;, /'==!, —. п. т0 соответствующие
точки будут иметь координаты (Хд, х>2, —. -^ъ). Расстояния а меж-
ду точками / и к находятся согласно выражению

Своего рода критерием подобия здесь будет с!л. Значение (1*
желательно нормировать, для чего значение каждого наблюдения
следует разделить на его среднеквадратичную ошиоку ил I .
ский корень третьего выборочного момента.	пг,пткя

Пусть исходные данные приведены в виде матрицы порядка
(пХа), / й строкой которой является зектор Р, (хщхг,_•••.. > -
Вектор Р} представляет собой вектор наблюдения ш д/-	.	’

Тогда разбиение объектов на группы превращается в Ранение
матрицы х на вектор-строкн. Представим исходное ‘
выборку из неизвестной генеральной совокупности. Построй

323
П*
сгему координат так, чтобы центром выборки являлся нуль-вектор
Тогда общая матрица рассеивания п точек

л

где штрихом обозначена операция транспонирования.

Теперь пусть исходное множество каким-то образом разбито на
тп гр\пп с П|, П2, ... , Пщ объектами в соответствующих группах:

т

Тогда вектор-строки Р&, I—1, .... будут представлять объекты
в группе Гк. Определим матрицу рассеивания внутри каждой груп-
пы Гк:

^к^(Р1к-СкГ(Р1к-С„),

гп„ г.—вектор центра группы Гк.

Общая внутригрупповая матрица рассеивания

й=1

а междугрупповая матрица рассеивания

В —П>РкСк.

Следовательно, для каждого разбиения п объектов на т групп
получим матрицу

8 = +	(4.77)

Так как матрица рассеивания исходных данных не изменяется,
то в целях создания изолированных групп необходимо минимизи-
ровать И7 в выражении (4.77), что эквивалентно максимизации В.

Процедуры вычисления коэффициента корреляции и расстояния
между объектами очень похожи друг на друга. Только надо иметь
в виду, что максимальному расстоянию соответствует минимальное
значение коэффициента корреляции, и наоборот.

3.	Применение так называемого коэффициента ассоциации так-
же позволяет создать условно-подобные группы. Пусть, например,
^оуется создать такие группы для выявления связи между асинх-
ляпииМПп^ИМ°М гсиераторов в системе и повреждениями их изо-
юазличных энрпг^ ВЫ6ОРКУ’ напРимеР< иля 500 генераторов из
Бежимо л нппмтпк ис.тем 5" 011РеДеленным сроком эксплуатации и
жима на пвр гпуп°И Ра$Оты- Разделим выборку по условиям ре-
жим и генепатооь^нрТ/3 генеРатоРы. имевшие асинхронный ре-
ми 1’и 0 соответственно неаВШпее еГ°’ Обозначим эти условия цифра-
ляции генепятлппи по ' ”а ОСНОвании исследования состояния изо-
ляции генераторов разделим выборку снова на две группы: на
324
генераторы с нарушенной изоляцией и
их через 1, 0 соответственно. Результаты

Объект

с нормальной. Обозначим
сведем в таблицу:

I О

Объект I			п>
0	пЧ	пч	п)

«1 П,

где п объем выборки; / — наличие асинхронного режима у —
повреждение изоляции; п1} - количество генераторов, имевших
асинхронный режим и испорченную изоляцию; «ц, —количество ге-
нераторов, имевших асинхронный режим и нормальную изоляцию

•1о найденным показателям можно определить коэффициенты
ассоциации, которые выражаются, вообще говоря, различно. При-
ведем три варианта таких коэффициентов.

1.	Коэффициент Сокала и Миченера

5 = т/(т-\-п)=т/п, 0<5<1.

Здесь т = п1уД-п1}-, и^п^Д-п^.

2.	Коэффициент Джаккарда



3.	Коэффициент Кульсинского

5 =	—2п1г/), 0<5<оо.

Близкие значения коэффициентов будут служить основанием
для формирования групп.

Группы, полученные описанным способом и отвечающие «оди-
наковым» признакам, можно считать условно-подобными. При
этом группирование основывается на принятии подходящего кри-
терия и составлении матрицы попарного подобия (под
матрицей подобия будем понимать любую из матриц корреляций,
расстояний или ассоциаций). Критерий группирования выбирается
исходя из требований решаемой задачи и представляет собой функ-
цию одного из вышеприведенных коэффициентов. Например, кри-
терием может явиться функция двух аргументов:

В=В(р, р'),	Н-78)

где р — средний коэффициент корреляции между объектами пред-
полагаемой группы; р' — средний коэффициент корреляции между
объектами данной группы и всеми объектами других групп.

Другим критерием может быть выражение (4.,5).

Многие методы группирования основываются на предваритель-
ном разбиении исходного множества на всевозможные группы с
последующим выбором того разбиения, для которого критерии
группирования принимает свое оптимальное значение. Количества
всевозможных разбиении п
по рекуррентной формуле

Р(п, т>= т

объектов на т групп можно вычислить

т—1

"-V

1^1

т\.

(4-79)

«и пязличных разбиений п объектов на г
где Р(п, 0 — количество различны н

групп;

10	П7-3- 7- 12 получим соответственно:

^Жр^'ерз.ннтеяьж,
„КХ хТХ'ество 1ы«»й полувае™ огром-
““	"™ПЯ₽Г

тических соображений ограничить границы поиска, отбрасывая за-
ведомо «плохие, разбиения. Но для этого необ одимо наличие до-
статочной априорной информации об исходных данных.

Ма1 пирование. Эта разновидность моделирования начинает
применяться в новых аспектах, например для компоновки сложных
сооружений, таких, как оборудование станций, подстанций. Фото-
графии макетов, выполненные в различных проекциях, несравненно^
более удобны в практике монтажной работы и исключают ошибки
хак в чертежах, так и при монтаже. Макеты могут выполняться в

увеличенном масштабе, примером чего могут служить схемы и кон-
струкции электронных иикроустройств. При создании диспетчер-
ских щитов выполняют варианты макетов секций в виде набора
отдельных элементов на планшете. Выполнение рабочих чертежей
заменяется раскладкой секций элементов мнемосхемы объекта и
последующ! и фотографированием (рис. 4.33).

Применение описанного метода сокращает затраты времени в
3—4 эаза по сравнению с выполнением рабочих чертежей. При
этом исключаются ошибки в чертежах, связанные с неправильным
э ражен ем отдельных элементов, становится ненужным копи-
рование, которое также дает дополнительные ошибки
статт^прА Ип°ТКрЬ1ТЬ1е РаСпРеделительные устройства (ОРУ)
труднее тановит/^п пРотяженнь1ми> сложными и громоздкими. Все
р.д ее становится оценить схемные взаимосвязи каждого яппяпа-
та и эксплуатационные свойства гпэх/ ^аимосонзи каждого аппара
и конствуктш ну < -АО оиства с помощью схем коммутации
чают эту задачу НаппимрпНИИ Пакеты протяженных ОРУ облег-
ром 3X4,6 м2 пЬзвоз-,?™еАРп^МаКеТ подстанции 380/220 кВ разме-
никами и конструкторами и в^ес^Тяп^’0 ШЖДу эксплУатаци0Н’
структур аппаратов может по ^и7т Р Д усовеРшенствований. Кон-
ниц, установить погреби :тьв^пп^ "РеДСТав^не об их размете
стало объ д нятьсгс Хамм^Т^ ДЛЯ °РУ- Матирование
мощью можно полУчатьРи30бпв. с их по-
ствуют только в виде абстрактногоНрланаСипУКЦИЙ’ КОТОрЫе суще/
32§	плана или системы уравнении
Рис. 4.33. Макет производственного сооружения

Так, вычислительная машина, получившая информацию о том, как
должен выглядеть предмет, рассчитывает его «интерференционную
систему», указывая, каким образом будет отражаться от него свет
в трехмерном пространстве. Затем с помощью монохроматического
лазерного луча создается его объемное изображение. На основа-
нии этого изображения на материальном макете объекта анализи-
руются объемные планы машин, зданий, конструкций до нх реаль-
ного осуществления без выполнения рабочих чертежей. Способ
применим также для приведения очень больших или очень малень-
ких объектов к любому' удобному масштабу. Возможно сое гниение
ЦВМ с чертежныи устройством, которое не занимается расчетами,
а только выполняет приказы; машина при этом будет считывать
записанную на магнитной ленте информацию, расшифровывать и
преобразовывать ее в электрические импульсы, управляющие само-
писцами, которые будут выполнять нужные графики. Система,
позволяя получать изображение на экране, решает проблему не-
посредственного общения человека с машиной.

В самом деле, при наличии такого экрана инженер оказывается
в прямой связи с ЦВМ; он может вмешаться в ее работу в любой
момент, изменить исходные данные, вернуться назад. Дальнейшее
- -пчтнию ЦВМ. имеющих «органы
развитие метода приводит	щие элементы'

речи и слуха»; содержащие след позволяющий получить изобра-

1. Экран (выходное устроис П ОННОЛУчевая трубка, обло-
жение схем, букв и цифр. Это • р  программы направ-
няюшче пластины которой 1Вспышка повто-
]ЯЮТ пуиок атектронов на од У наблюдателю изображение каза-
ряетея с такой_астото •	ф „ли букв трубка снабже-

Г«“оМ"“рХ"уюУШ»» я,ы« машины , пень сиааоа.
НеТХет^оГк7рХш>>Я осуществляющий связь между экра-
Н°М3 ОПишущРаОя’ машинка и функциональный блок, позволяющие
отдавать команды. Функциональный блок может вести большое
число программ (примерно 32X256). Именно этот блок позволяет
оператору получить на экране изображение, менять его ракурсы.
Он может также вводить в него новые элементы, выполнять раз-
личные математические операции.

Существуют устройства, которые вычерчивают с точностью до
десятой доли миллиметра различные кривые, делают микрофиль-
мы, переносят изображения на светочувствительную бумагу. «Све-
товой карандаш» настолько повышает быстроту действия установ-
ки, что у человека возникает ощущение, будто он рисует на экране.

Преимущество ЦВМ с экраном — возможность выбора наилуч-
шего решения и получение его графического изображения. Напри-
мер, для исследования группы элементов цепи, которые должны
ь гь (вязаны между собой в определенном порядке, инженер вво-
дит эти элементы в машину, дает ей команду соединить их после
а э“ране появляется готовая схема, причем все соединения
будут сделаны наиболее рационально.

решенТя0иНпо^ирЬ1б0ра оптпмального по каким-либо критериям
жен»я™ св„"7ффе™	еГ° ^Фи-еского „зебра-

передач и т. т Каптя мр Р 1боре тРасс- дорог, линий электро-
,а трасса (она хранится в пам' , по которой должна быть проложе-
инженер наносит ее участкДТппм ВМ)- проеШ<руется на экран;
чивая кривые, уточняя обърм Н «Дорабатывает» трассу, вычер-
ту, размеры и профиль. ЦВМ ппиД™^ работ’ опреДОляя ее высо-
-рунта, стоимость работ МожпД ЭТ°М УЧИТЬ1Вает характеристики
^«зые пять-де^Х''0“заать Ф"а™. рас«„тав ,1а ЦВМ
вид в перспективе. Автоп ппорктя ТГИ И показывая на экране ее
просматривая ее. * Удет «двигаться» вдоль трассы,

с ЦВМ оказалось весьма эффек-
бкчпия НЭ 5кране> затем, пользуясь В’ НЖенер воспроизводит вид
груз» орИЛагает к какой-то точке ^лавиатУр°й функционального
ны н/ппВь1ХОДИОе устройство тут ж₽ п струкции определенную на-
сколД ж5'нин’ возникающц Дз оказь1вает на экране величи-
сколько набросков одного и того К°"СТрУКции- Можно делать не-
того же объекта. При этом ни себе.
стоимость, ни время, потраченные на проектирование, не увепп-
чатся.

Еще одной областью применения «электронного чертежника»
становится архитектура. Однако, если принять во внимание все
многочисленные критерии, такие, например, как эстетика, противо-
пожарная безопасность, звукоизоляция, отопление, вентиляция
и т. д., которые должны учитываться при проектировании здания,
то задача в конечном счете может быть разрешена толь-
ко человеком. ЦВМ лишь уточнит взаимосвязи между этими
критериями, выявит, не являются ли они взаимоисключающими,
м, наконец, покажет на экране планы здания.

Разновидностью математических моделей могут стать чувствен-
но-наглядные модели, если они иллюстрируются каким-либо мате-
матическим построением. К такому моделированию относятся, на-
пример, известные планетарные модели атомов (Резерфорда и
Бора), модели молекул. К этой же группе моделей относятся раз-
личные гипотетические расчеты, реализуемые в виде тех или иных
наглядных построений, например описание энергетического спектра
кристаллов, где используют геометрические образы. Создание гео-
метрических образов, описывающих энергетический спектр кри-
сталлов, затруднено, так как оно происходит не в обычном прост-
ранстве, а в импульсном, точка в котором соответствует не коорди-
нате частицы, а ее импульсу. (Напомним, что импульс — величина
векторная; три его проекции откладываются на осях прямоуголь-
ной «импульсной» системы координат.)

Энергию квазичастицы — сложную, периодическую функцию
импульса — изображают, рассчитывая значение ее, и через точки
импульсного пространства, в которых энергия равна заданному
значению, проводят поверхность. Так получается наглядная модель
поверхностей равной энергии. Поверхности, которые «огоражива-
ют» часть импульсного пространства, занятую электронами в ос-
новном состоянии, называются поверхностями Ферми. Эти поверх-
ности непохожи друг на друга. У одних металлов они напоминают
бильярдные шары (К, На, КЬ, Сз), у других, например свинца*
(рис. 4.34), они весьма замысловатой формы. Диаметр замкнутой
траектории электрона зависит от величины магнитного поля. По
величине этого поля, при которой исчезает резонанс, можно непо-
средственно измерять размеры траектории, получая диаметры по-
верхности Ферми, связанные друг с другом определенными законо-
мерностями подобия. Меняя направление магнитного поля и выби-
рая пластины, различным образом ориентированные относительно
кристаллографических осей, можно получить макет поверхности
Ферми.

Дальнейшее свое развитие макетирование получает тогда, ког-
да оно вливается в физическое моделирование, делаясь его состав-
ной частью. При этом основой модельного исследования оказыва-

* М. А з б е л ь, М. Каганов, И. Лифшиц. Электроны проводимости в
металлах — квазичастицы. «Наука и жизнь», 1970, № 9
Рис. 4.34. Модель части поверхности
Ферми дтя свинца

ется синтетический под-
ход при котором геометрия
отражает главные свойства па-
раметров элементов и таким
обтазом понимается в широком
обобщенном смысле. Для эле-
ктрических, радиоэлектронных
устройств создание геометриче-
ского подобия понимается как
определение некоторых экви-
потенциальных границ обоб-
щенного пространства, в кото-
ром действуют обобщенные си-
лы, как результат действия
обобщенных энергий с \ четом
энергетического состояния дан-
ного объекта или области.
Иногда в литературе упоми-
нается о парадоксальной воз-
можности использования в ка-

честве основной единицы только одной длины (вместо, например,
длины, массы и времени). Такое явление следует, однако, рассмат-
ривать как закономерное отражение сущности предметов в геомет-
рической форме. В этом случае решение ряда физических задач мо-
жет быть сведено к чисто геометрическим. Это можно проиллюстри-
ровать на примере компоновки обобщенных геометрических моде-
лей элементов и подсистем электронного и энергетического обору-
дования в системе Для того чтобы свести результаты действия е
пространстве обобщенных сил различной физической природы к
геометр, ческим понятиям, пользуются относительной величиной —
отношением данной обобщенной силы к ее минимально допметимо-

з ачению Тс да вместо геометрии элемента или подсистемы
тлппй п! " атРивать геометрическую область пространства, в ко-
Такое пвепс г г св0' тействие соответствующие обобщенные силы,
новки ,	<Я1- пг>?Ие Очень плодотворно при решении задач компо-

и подсистемами " тя” пРенебРегать связями между элементами
взаимного наложении задачУ конструирования к компоновке без
рнческих моделей плоских или объемных обобщенных геомет-
Щая совоюпность’цщчог^пяНпаЯаГеОМеТр’1ЧеСКая модель« отражаю-
ростить решение широкого шУтГ,46011^ свойств, позволяет уп-
элепрониьи и энергетики	ЯСса инженеРн°-технических задач

^казианалоговые модели

ческого подобия является эквип°яИп'13. РаЗНОВ1|ДН0С1е1“' математи-
чивающее подобные резхлг,я,,,	1 нтпое подобие, обеспе-

. им, что аналоговые моде п ”РГИ НСПОДО$НЬ1Х уравнениях. За-

ы Уравнения модели и соответет^ 1ЛОГО»04 подобие требуют, что-
ДР'' АРуг,	соотвстствующего проц.сса были подобны

830
У квазианалоговых

моделей уравнения мо-
делирующего устрой-
ства и уравнения моде-
лируемого объекта не
подобны друг другу
(см. стр. 322 и класси-
фикацию моделей —
стр. 30). В теории
аналоговых моделей о
подобии судят по вы-
полнению критериев
подобия. В основу тео-

Рис. 4.35. Общие структурные схемы моделирую-
щи систем:

а — аналоговых; б — квазианалоговых первого рода; в —
квазианалоговых второго рода

рии квэзизнзлоговых моделей положено более общее понятие об

эквивалентности получаемых результатов. Призна-
ки, которые позволяют судить о математической эквивалентности

объекта и модели, называются критериями эквивалентности.

При определенных допущениях моделируемый объект можно
описать алгебраическими, дифференциальными, интегральными
или иными уравнениями. Математические модели являются моде-

лями не самих объектов, а соответствующих уравнений Для таких
моделей объектами моделирования служат математические урав-
нения и отдельные операции. С учетом сказанного понятие о квази-
аналоговой модели сводится к следхющему: квазианалоговая мо-
дель каких-либо уравнений (а) — это аналоговая модель иных
уравнений (б), частично не подобных заданным, но таких, чтобы

при выполнении критериев эквивалентности все или некоторые из
параметров процессов, отвечающих искомым неизвестным систе-
мам уравнений (б), совпали с неизвестными исходных уравнений
(а). Если при этом в процессе исследования не требуется исполь-
зование неизвестных, входящих в моделируемые уравнения (б), то
квазианалоговая модель по своим свойствам практически будет
мало отличаться от аналоговой (рис. 4.35, а). Такая модель назы-
вается квазианалоговой моделью первого рода пли неуравновеши-
ваемой моделью (рис. 4.35, б).

Если для реализации моделирования используются получаемые
из (б) величины, то для нахождения искомых неизвестных органи-
зуют процесс п а в но в е ш и в а н и я модел и.

Используемая при этом модель называется квазианалоговой
моделью второго рода или уравновешиваемой моделью (рис. 4.35, в).

Модели второго рода должны состоять из двух основных частей,
а именно: из собственно модели или квазианалога (А.4) и из час-
ти, предназначенной для реализации процесса уравновешивания,
называемой устройством уравновешивания (Д5).

Аналоговые и квазианалоговые модели первого рода это си-
стемы без обратны связей, а второго рода это системы с обрат-
ной связью в виде устройств уравновешивания, как э )ка: 
на рис. 4.35, а. б, в (в соответствии с этим рисунком можно соста-
вить уравнения моделей).
о,.пЛ моте пи запишем в виде
Уравнение неуравновешиваемои моде.

В (7, Я)=0.

7 /у И И Н=(Г С), можно переписать:

Учитывая, 2-(ХЩ и

уравиишя уравновешиваемой модели в соответствии с ее струя-
турой можно представить в виде.

С(7. Н, Ф)=0; 29(Ф,	^ = 0’

из которых первое будем называть уравнением квазианалога, а
второе — уравнением устройства уравновешивания.

Назначение квазианалога состоит в том, чтобы после ввода из-
вестных векторов Л С и определенного уравновешивающего век-
тора Ф получить искомый вектор X Устройство уравновешивания
служит для преобразований векторов 2 и И в вектор Ф.

Вее сказанное выше иллюстрируется схемами рис. 4.35 где приняты обо
значения: \ к б —векторы искомых н заданных величин для аналоговой систе
мы; компоненты Р имеют характер возмущающих функций (при Р=0 вектор
А'=0). А — аналоговая модель оператора, определяющего связи между X и
I и Н — векторы величин, получаемых и вводимых в квазианалоговые системы;
В —аналоговая модель оператора, определяющего связи между 2 и И в случае
квазианалоговой системы первого рода; С — аналоговая модель оператора, опре
являющего связи между 2. Н и вектором Ф уравновешивающих величин, вводи
мых в квазианалог КА; й — аналоговая модель оператора, определяющего связи
между 2, Н и Ф для устройства уравновешивания УУ.

Составляющими вектора Н должны быть вектор Р и, в общем случае, неко-

торый вектор с компонентами, определяемыми независимо от 2, т. е. согласие
6=Л(/) где к известный оператор, / — известный вектор величин. Вектор 2
может содержать кроме X вектор вспомогательных неизвестных У и в случае
моделей второго рода еще и другую информацию (например, вектор невязок е),
и'тт’п Л/^Я УпРавле™я устройством уравновешивания. Таким образом,
вектор /; = (/-, С), а вектор 2= (А, У;, или 2= (2, У, е).

пассмотпении ^“ентов-..ВЬ1бнРаемых для реализации систем А, В, С я О при
не име т ппиннипн: * своиств как аналоговых, так и квазианалоговых моделей
и дискретного Возможен 1пучаГ'ютм'п'п?\МсГУТ бЫТЬ непРеРывного Действия
менты обоих типов т е коХя йЛо7 Д любой из систем применяются
рвдная.	’	Да квазнаналоговая модель выполняется как

эле
гиб-

как

укаГывалось°ранее вьк?Хть ^Т°ДЬ1 Теории п°Добия могут,
операции, а именно пои ппр л качестве чисто математическом
НЫХ для получения оешннХ бразовании Уравнений, предназначен
тельно или даже в рассматривало ₽ преобРазования затрудни
отношения величин исходно асмом случае невозможно. При этом
ванного уравнения (котопие°/РИВ<еНИЯ К веЛ1,ЧИнам преобразо-
ван между \казанными Пр„‘ °Г!>Т быть опРеД^лены из выражении
подобия. Чтобы явления ояш^И^аМИ^ являются коэффициентами
ым 'равнениями, были поп ^Ь1Ваемь,е исходным и преобразован

..довлетворять некоторым нс™*?11’ коэФФИ1*иенты подобия должны
тать критериями. У " иям подобия, которые можно счи-

Зб2
Порядок преобразования дифференциальных уравнений ппи
этом таков:	п1’и

а)	записывается исходное (преобразуемое) уравнение-

б)	принимается (выбирается) преобразованное уравнение-

в)	на основе совместного анализа обоих уравнений устанавли
ваются условия их подобия;

г)	из условий подобия определяются соотношения подобия (кри-
терии), дающие связь между параметрами обоих уравнений.

Из соотношений подобия получаются условия, при выполнении
которых уравнения становятся взаимно преобразуемыми. Невоз-
можность преобразования выявляется в процессе нахождения ус-
ловий подобия.	3

Рассмотрим некоторые примеры преобразований.

Пример. При изучении явления проникновения электромагнитной волны в
цилиндрическом проводе получено уравнение

а2Е1<1г2 + (\1г)-(аЕ1йг) — аЕ = 0.	(1)

Для решения поставленной задачи это уравнение путем замены переменных
преобразуется в уравнение Бесселя:

<&Е’1Л& + (1 /6) (ЛЕ'№) + Е' = 0.	(2)

Чтобы определить выражения, связывающие аргументы г и 5 и искомые
функции Е и Е', применим методы теории подобия.

Принимаем обозначения для коэффициентов подобия:

Кт = г/Ь — сопзЦ Ке = Е/Е’ = сопзк

В исходном уравнении заменим переменные, при этом получим

Ке

К2Г

сРЕ' КЕ	1

+ К2Г	5

ЛЕ'
аг

КЕаЕ' =0.

Если процессы,
быть тождественны.

описываемые уравнениями, подобны, то уравнения должны
На основе этого требования получим условие подобия

Ке!Кт= — Кел-

Из последнего условия вытекает, что для преобразования уравнения (1) а
уравнение (2) величина Ке может быть выбрана произвольно (в том числе
КЕ = 1), а величины Кт и § должны иметь значения:

к, = 1/1Л- а ; е = г1Кг = гУ-а .

В практике преобразований дифференциальных уравнений в частные произ
водные известны случаи, когда условия подобия выбираются различными в на
правлении различных осей координатной системы. Коэффициенты подобия длин
и других величин могут быть при этом различными в зависимости от направ-
ЛеН"пример. При исследовании нестационарного теплового процесса в анизо-
тропном цилиндре получено уравнение

дТ д-Т	+	= -«>+С-?

~ ’ дг + г дг2 + г2 '	дг-

где коэффициенты теплопроводности А постоянны, но разли
осей.
,аТт диено не только решение этого уравнения в

Из-за последнего условия за^Дм„делир0ванпг. Наиболее удобное решение
аналитическом виде, но ^ене^моЛ^	замены переменных

» ^ние теплопроводности:

Э2Г	д-Гм -

и * м -----. -------г *-гм л о

+ Агм 2	~ г~и	их~м

от,

дТк
дгх

д?Гх



Лгм = '«м =	~ Хм’

ше*ии° дТнной^адачи^иеобходимо выбрать отдельно коэффициенты подобия
длины В теплопроводности в направлении осей Принимаем.

К = — = сопэ1; Ка = а ам = сопзС К2—г гы — сопэ1;
Ги

КГ = Т/Тк = сопа»; КХг = /, Хи = сопм; /<Ха = Хв/Ам = сопзГ;

Ки = /-гГ^и = сопэ(; Лш = и, ом = солеи Кс — С!СЫ — сопв1;

К( = 1 1Х — С0П8(.

Подставляя принятые выражения в исходное уравнение, получим

ЛГ^Г	>-гм дТи КХгКт.	^гм		Кт Х’м	
	г„ дгм ' Юг Лгм	^2М		К-гп к2„		— 4- с*<Х2м
	д?Ти  +	Г" > гм		 — _		, КСКТ “Г  к.	См Л/ о(м	

Из сопоставления соответствующих уравнений получаем условия подобия:

Кг	К* К*>~ К( 

5 Д ин ат:	эФФ"Чиентов подобия для нзотропизирующего преобразования

А.

^оЛм

где К	г лг

произвольно.^Выбор ТосталЬьныХбРкоэЛЛа 3аДаиных гРаничных условий или
условии	альных коэффициентов должен быть сделан на основе

Если заданы граничные \г^п^

уженным методом они мог'ут бьГт! ^НИзотРО11"°й области, то из-
Р^зованисн (изотропизиропанной! >Р,КДе’,'гни границах пре-
В Рассмотренных слми^ 1 ’ уГ)--‘<чи.

Шаты1 /1ИС’1ами- Однако в^лракпже^п Н1 ПОдлб1|я были чосто-
чаев л Х УРавиений путем Замены про ПреобразОБ;1ния дифферен-

0 отношения вепичин исходного м.РеМСННих п болиииистве слу-

ЗЛ	ДН0ГО УРавнснпя к величинам преоб-
разованного уравнения не являются постоянными, а зависят от
каком-либо (или каких-либо) переменной. Как показывают приве-
денные ниже примеры, и в этих случаях к преобразованию диф-
ференциальных уравнений может быть применен метод, использую-
щий приемы теории подооия. необходимо применить методы нели-
нейного подобия, когда коэффициенты подобия являются перемен
ными величинами.

Пример. Проверим возможность преобразования уравнения
а2у,:дх2 +-\%хау ах + Оу со&2 х ~ о

(путем замены переменных) в уравнение

й2д/д&2 + ад = 0.

Легко убедиться, что применением постоянных коэффициентов подобия про-
извести преобразование не удается. Поэтому выбираем другие коэффициенты
подобия:

Кх — ХЦ = / (О; Ку = у. Д = СОП51.

Тогда, согласно правилам замены переменных,
Лу _ Ку	ад .

ах	ах<а\	а&

а2 у_______ку д^ Ку д-х д^

ах2 ~ (дх.аь)2 д& ~ (дх д^у ' аг2 ' д-

На основе этих соотношений исходное уравнение может быть представлено
в окончательном виде:

Ку д2^	_ Ку а2х	_^П_+ Ку _ . _^Д_ +

(дх/д-У2	' др (дх.д^2	' др	' д^	лхщ аг

+ Л'уаТ1Соэ2х = 0.

Сопоставляя исходное и окончательное уравнения, получим условия подобия.

<, Хр _ Ку д-*

Ку соз-х;^х аха. (ах^}3

Теперь можно найти решение:

= = ± 81П х.

Коэффициент подобия Ку может быть выбран произвольно в том числе и
К„=1 В этом случае между физическими явлениями существует нелинейное
П°Д При преобразовании дифференциальных ура=ш в методов аф^ХгГи
возникает необходимость одновременного использования методов

“"мер	»Р«овраз»а»»я >та.не«»й меж»» реш»,ь

пресбр..»»™» »»*»	™

кг = —— = /1 и); л,и =
г м

/ (г): Кс~ /з(г)-
Остальные коэффициенты подобияо принимаем тзиими^е.^к^пр^решеиии
предыдущего примера. Тогда, согласно пр

иметь:

дТ __ Кт дГМ-;

дг (1Г (1Тщ <^М

дЧ Кт	__Кт_— .

дг* ~<аг1агку ’ дг2н (аг/агяГ д/я

дТм .
дгм

&Т	Кт	д2Лм	. д2Г	_ Кт	. д2Тм_

да2	X2	да2 ог К2г дгм

После замены переменных получим

КиКт , &ТК КиКт сРг у дТы К^Кт .	. дТм

аг^'* дг2м (^7д/м)3 аг^ гм дг» кгаг/агы г* ог^

КиКт^н д1Тя КиКу^ д?Г„ „	, КсКт дТм

+ —7-Г7--—Г- + —^“хгм—Т"= -Лш“м+	ьм .

Далее определим условия подобия:

К иКт КиКт гкКугК1 (рг К)лКт К^гКт	КсКт

(аг/а гм)2 ~ Кгаг1агм~(аг;аГк)з '	=	= =КШ= .

Условие

к^кт1(к2к1) = к^Кг/к;

не может быть выполнено, так как

Кг = /1 (г),
а все остальные коэффициенты в этом выражении приняты постоянными
Глава V

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ,
В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ
д

ПРОИСХОДЯЩИХ

СИСТЕМАХ

§ 5.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Энергетическая система, осуществляющая выработку, преобразова-
ние, передачу, распределение и потребление энергии, является си-
стемой, состоящей из ряда взаимосвязанных подсистем, содержа-
щих многочисленные элементы. Система в целом приобретает
свойства, не присущие отдельным подсистемам и тем более их эле-
ментам. Развитие системы и ее функционирование происходит в
условиях целенаправленного стремления к оптимизации ее по ряду
показателей. Все это дает основания характеризовать энергетиче-
скую систему как большую сложную систему киберне-
тического типа.

Методы анализа таких систем очень громоздки. Для их практи-
ческого выполнения нужны многие допущения, которые могут вне-
сти существенные искажения. Методы расчета, применяемые для
практических целей, требуют экспериментальной проверки. Для
того, чтобы иметь возможность быстро оценивать работоспособ-
ность, эффективность и надежность новой аппаратуры, новых уст-
ройств, проверять новые теории, новые методы и оценивать допу-
щения и предпосылки существующих методов, нужна возможность
экспериментов в системе, позволяющей имитировать любые режи-
мы, воспроизводить любые аварии, наблюдать и выявлять их по-
следствия. Возможности проведения экспериментов в реальном про-
мышленной системе очень ограничены. Те наблюдения за «естест-
венно» происходящими авариями или в редких случаях «специаль-
но производимыми» в системах должны подвергаться обработке и
представляться в критериальных зависимостях,
распространяющих данные единичного (и, как следует из сказан-
ного выше, обычно уникального) опыта на целый ряд (класс) по-
добных систем и условий. Однако затруднительность и принципи-
альная ограниченность возможности	^^опХГс-

заставляют «н^^меСвоего рода «подопытному животному»,
циально созданной систем*? 'свое )	ет быть только фнзиче.

Очевидно, экспериментальной систем

ская модель.	"приставляет собой миниа-

Физическая модем 3^гмис"^	она „меет в

тюрную копию физически Р а‘	элементов энергосистемы —

СОРИББ М= Х^Хгоси“Х“ всегда четко форму-
№ зХ. который будет решаться с помощью данной
моделн^^то^вьшвляет те части энергосистемы, которые должны
быть ^воспроизведены на модели с наибольшей полнотой и точ-
ностьютребуемыми теорией (условия соблюдения критериев по-
добия) и практической необходимостью. Например, если физиче-
ская модель сооружается для изучения переходных процессов, про-
текающих в электрической части системы, то тепловая и гидравли-
ческая части системы (котлы, паровые турбины, напорные трубо-
проводы, гидротурбины и т. п.) могут моделироваться приближен-
но с помощью математических моделей.

Модели энергосистем, включающие в себя наряду с физически
моделированными элементами и математические модели отдель-
ных элементов энергосистем, иногда называют электродинамиче-
скими моделями. Они нашли большое распространение на практи-
ке. В электродинамических моделях моделируются только основ-
ные элементы, составляющие силовую часть системы. Все
вспомогательные элементы, такие, как релейная защита, регуля-
торы возбуждения частоты, обменной мощности и др, устанавли-
ваются на модели непосредственно натуральными (немоделирован-
ными). Поэтому в отношении эти?; элементов не возникает пробле-
мы точности их воспроизведения. О с н о в н ой задачей физиче-
сведен1й<°пеп=аИ,,Я энергетпческнх систем является получение
тического описян^ДЯЩИХ процессах с целью уточнения их матема-
чисченного исслечовя ДаЛее с помо1йью этого описания проведение

Телях (АВМ)’ матема-
вых моделях (ГЦАМ) (ЦВЛМ или гибридных цифро-аналого-

6 ’ ’ -Д-Ж

«Р»стик	>’«’«<«« ха рак-

характеристик, влияния состава’ напрИмеР изучение их частотных
Ри тех или иных изменениях в наг|Р??КИ’ поведения регуляторов
вторых, это проверка теоретических пп.Т ИЛ” СХемах систем; во-
ззв	р Чесм,х вожений, допущений и при-
ближений, принимаемых в различных аналитических методах рас-
чета. Так проводились весьма многочисленные и разнообразие
работы этого рода К ним относится уточнение методики расчёта
динамическом устойчивости в смысле дополнения ее учетом X
ния моментов, создаваемых апериодической слагающей тока ста-
тора и периодической слагающей тока ротора, влиянием насыще-
ния, уточнением методов расчета статической устойчивости и т д
Далее следует упомянуть проверку, настройку, регулировку уст-
ройств и аппаратов нового типа: релейных защит, регуляторов воз-
буждения систем автоматического управления (включения резер-
вов и пр.) в условиях нормальных и аварийных режимов электро-
станций и электропередач. В качестве примера можно привести
исследование регуляторов сильного действия, теоретическая раз-
работка которых, практическая наладка и регулировка были про-
изведены на электродинамической модели МЭИ, благодаря чему
не потребовалось большого количества дорогостоящих опытов не-
посредственно на мощной Волжской ГЭС им. В. И. Ленина, где
были впоследствии установлены эти регуляторы. Другим примером
может служить исследование релейной защиты для электропере-
дачи от той же ГЭС в Москву.

Разрабатывавшиеся различными организациями макеты много-
численных установок релейных защит проходили предварительные
испытания на модели. В процессе этих испытаний было опробовано
несколько десятков вариантов различных устройств, воспроизведе-
но несколько сотен аварийных режимов и снято около 10 тыс. ос-
цилограмм, повторявших различные аварийные режимы и позво-
лявших изучать поведение релейных защит в условиях, подобных
тем, которые имеют место в натуре. После отбора макеты допол-
нительно дорабатывались и далее, переработанные с учетом требо-
ваний наилучшего их конструктивного выполнения, повторно испы-
тывались. После отработки заводом опытные образцы релейных
защит на основе испытанных макетов вновь испытывались на мо-
дели, затем с учетом всех выявившихся конструктивных недочетов
производилась окончательная отработка промышленных образцов.
Таков путь использования электродинамической модели при окон-
чательной отработке различного рода новых установок.

Исследования, направленные на уточнение конструкции и от
дельных параметров элементов сооружаемых электропередг । и
проверку их работы в системе, также с успехом можно проводить
на модели. В качестве примера можно привести эксперименталь-
ное изучение параметров успокоительных систем у явнополюсных
синхронных машин и их влияние на устойчивость, характер ка л
ниц и условий самовозбуждения машин. В отдельных случая'
моделях целесообразно проведение исследовании режимов>_Р
ходны.х Процессов в некоторых конкретных системах' в
параметрами. К такого рода	Тру-

дившимся на электродинамической модели 2 В Ш1внкпй пОЯВ1я1о-
гпх организаций, относятся работы, связанные с	жеН11|-,

щихся в переходных процессах динамическг х р р
обмоток испытаний схем
оценкой эффективности демпферных^^^^^ ;еренапряжений на
самосинхронизации и схем	* „сь „ проводятся различного

конденсаторах. На моделях пр	пределов устойчивости тех

рода контрольные’опыта по > напр„Рер, уточнялись предель-
«худа -—режимах
“ "у«ёб»ыеХ'задачи. Модели могут Сыть широко использованы в
,„гатнч "“',х задачах рассматривающих взаимодействие человека
ГоаХчното рода устройств, машин, автоматов. На моделях шн-
Цодатомтся демонстрация различных переходных процессов и
аварийных режимов, выполняются учебные работы по ликвидации
аварийных режимов, воспроизводимых на модели, и таким обра-
зом осуществляются и обучение студентов, и тренировка персонала
электрических станций и систем.

Рекомендуется следующий порядок исследований различного
рода новых задач: прежде всего сооружается специальная модель,
параметры которой устанавливаются такими, чтобы критерии по-
добия модели были соответственно одинаковыми с критериями по-
добия оригинала. Возможны случаи, когда модель специально не
сооружается, при этом используются какие-либо подходящие уста-
новки, а эксперимент ставится так, чтобы приблизиться к подобию
процесса.

Выбор критериев подобия требует предварительной оцен-
ки параметров, входящих в эти критерии, и выяснения тех крите-
риев, которые играют решающую роль в протекании данного про-
цесса, и тех, которые могут рассматриваться как второстепенные,
ак, например, при исследовании статической устойчивости актив-
ное сопротивление статора и соответственно критерии г)х не игра-
наобоплтК,Щт И роли' рп 1|ССЛеДовании динамической устойчивости,
ределяя хамктТи?'111 ‘П,°ГД,а М0Жет играть Реющую роль, оп-
можение). ' Р енении ск°рости ротора (ускорение или тор-
тогда, когда выбоанн п!п модели Должны начинаться только
явлений. Далее состщшляется	Д^ленная гипотеза

туру. Одновременно с составам™ М0ДеЛи’ воспроизводящая на-
го в исследованиях оборудования выб^' И выбоРом участвующе-
торых учитываются как порт.^26ираются масштабы, при до-
оборудования. Неудачный выб<^'°ВКа 3аДачи, так и возможности
И}, что оборудование моделей изм^ °В М0Жет привести к то-
Например, начнут сказываться и-, Л™1 СВ°И расчетные параметры,
водящие к изменению активных е„ Отдельных элементов, при-
нелинейности индуктивностей °вротИвле,И|й, будут проявляться
жащими сталь, ит.д.д0Жг90’ р дставленных катушками, содер-

предшестаоватьУ1щательваНи'0, пР°вод^оли/ на мо-
ров модели	1 дательная проверка всех парамет-

340
Следующим этапом исследования является проверка работы
оборудования модели „о отдельным частям. Обычно поведение от
дельных элементов системы при тех или иных режимах достаточно
хорошо известно и, проделав опыты с отдельными элементами
можно сопоставить их результаты с результатами аналогичных
опытов, проделанных над оригиналом. Это могут быть результаты
специально поставленных опытов или результаты, по пленные н?
основе ранее поставленных исследований. Гак, отдельно исстеду
ются характеристики генератора, его выбег при сбросе нагрузки
при коротком замыкании, определяются потери в трансформато-
рах, снимаются характеристики линий электропередачи с установ-
ками компенсации, разрядниками, реакторами. Только после того
как получена полная уверенность, что все элементы модели в от-
дельности подобны соответственным элементам оригинала, можно
собрать модель в целом, соблюдая граничные условия при соедине-
нии ее отдельных элементов. Другими словами, нужно установить
исходные режимы, надлежащие начальные моменты на валу моде-
лей турбо- и гидрогенераторов, проверить зависимости этих момен-
тов от скорости, установить начальные значения токов, напряже-
ний и углов во всех элементах моделируемых систем.

Дальнейшим этапом исследования является проведение экспе-
риментов. Этот этап должен, как правило, содержать серию опы-
тов, проводимых на модели с обязательной вариацией ее па-
раметров около параметров оригинала. Таким путем выявля-
ются определенные зависимости и устанавливается тенденция
влияния того или иного параметра.

Обычно при исследовании наибольший интерес представляют
какие-то определенные зависимости, например характеристика пе-
редаваемой по линии мощности, полученная в условиях медленного
изменения нагрузки (статическая устойчивость), или характеристи-
ка предельной передаваемой мощности, определенная в условиях
той или иной аварии (при коротких замыканиях). Изучению могут
также подвергаться режимы системы при асинхронном ходе, ресин-
хронизации и т д. Во всех этих случаях решающее влияние имеют
различные критерии подобия. Поэтому предварительными псс.
ваниями, экспериментальным и теоретическим анализом неоох< и-
мо установить, какие именно критерии должны быть обесп
особо тщательно, а для каких можно допустить те или иные откло
нения. Постановка опытов должна осуществляться в соответствии
с теорией планирования эксперимента (см. гл. III), а обраоотка ег
результатов содержать анализ критериальных
ляющих обобщенные (критериальные)
ющие результаты каждого опыта на группы п<.ц - жцзи-
В ответственных случаях одновременно с исследованиями на^физи
ческн.х моделях должны проводиться аналити _	- на1птя.

Разумеется, и экспериментальные (если возможной и
ческие исследования должны сопоставлятыс р ‘ е 11ченти-
тов в системах, примем	,™ о₽пЫ™ на

«ровання в реальных системах заставляют пр
«х. параметр»

«»й"7рХму 6ыть“ е может; асе они должны взаимно дополнять
“"сЕр. модели должна соответствовать структуре реальной
стрхктхрд моде.111 Д	какой это необходимо

энергосистемы лишь в той мере, в	аигпрпиментпп

для проведения данного круга экспериментов.
Чодел! могут выполняться с .измененным масштабом времени и
частотой отличной от частоты оригинала. В этом случае .приходит-
ся моделировать вспомогательные элементы моделей, что органичн-
вает возможности их применения. Преимущественное распросттра.не-
ние поэтому получили модели, выполненные .на частоте оригинала.
С большей полнотой и точностью на модели должны отражаться
только те части реальной системы (электрической станции, линии
электропередач и т. д.), которые подлежат более углубленному ис-
следованию. Те же части системы, которые в данном исследовании
играют второстепенную роль, можно моделировать приближенно,
объединяя их в более крупные звенья, т. е. эквивалентируя их.

Техническая оснащенность электродинамической модели долж-
на позволять изменять параметры и характеристики при переходе
от исследования одной схемы к исследованию другой.

На основе высказанных соображений выбирается структура обо-
рудования электродинамических моделей энергетических систем
(рис. 5.1). В состав модели входят модели;

1)	синхронных гидро- и турбогенераторов (см. гл. П IV) пер-
вичных двигателей, систем возбуждения (В1, В2, ВЗ) и силовых
трансформаторов;

2)	высоковольтных линий электропередач переменного тока
' 1) подпорными синхронными компенсаторами (СА'1 СК2 СКЗ\
а^ДроГ^)1; ПРОДОЛЬНОЙ компенсации (УПК) и шунтирующих ре-
тановкалш^МЛЭПП Г|°стоянного тока с преобразовательными ус-
ций? (МЛЭПТ) (выпрямительных и инверторных подстан-

4) комплексных нагрузок энергосистем (ВКШ)

регенераторов в модели'Т^жно^ть таким*1083"^’ Колич€сТВО турбо- и гид-
соот«ошение ТЭС и ГЭС в	МОдель могла отражать

Возможность представлять иа модельэнеРгосистемах. Желательно иметь
ряд станций, объединенных в один коупны&ЬНЫе электРические станции или же
* “ .г5«еРаторами п«>ловинной мУош±^3еЛ’ П0 “еньшей мере двумя мо-
неннрЛеЛЬН°Й Работы генераторов Наиболее пп ДЛЯ обеспечения исследовании
н». шкалы мощностей модельные гсиЛее ПР°СТ° этого можно достичь приме-
равным двум (Д', 2Л'. 4Л' и т д ) генераторов с Коэффициентом нарастания,
определении общего

иные вРи<5лиженно оценить масштаЩмопспип60™3 генеРаторов для модели
систем ДпппПа3°И изменени« масштаба паесмпР°ВаНИЯ П0 м°Шности и необхо-
соотв >» кжащих исследованию иа модели ь?СВ возм°жные схемы энерго-
ш и я™ предельным — наибольшему НИХ следУет выбрать схемы,
В'Л - лирования по мощности Пусть и на|,меньшему— значениям мас-
"П~ ...Л	полагается моделировать кпупМеР’ В |<ачестве одной 113

ощностыо станций 50 мтн кВт и крупную энергосистему с уста
342	ли ПР" сРеднем со5<р=0,85 пример-


я X
«, „ кВА

дальнюю линию электропередачис”с“вляет )0 млн кВ-А. В двух точках
стему. >стаи‘лвленна"	' промежуточные отборы мощности по

и'тьнеи . 1ЭП осуществляются <	х в даниых точках энергосистем

(V млн. кВА ^Г-н—-Лляемые для моделей энергосистем синхрон-
- тавляет 0,Ь—0./ млн. кот из мп1Пность 2—30 кВт Предельная мощ
ные генераторы обычно'Рассчитаны "а/™ а превышать 60 кВ А. так как
ность для этих генераторов, д. . р ДоЗДКИ ДРЯ лабораторных установок
Г^'чощмстГмодТтХх генераторов 30 кВ А для моделирования передающей
П -с”о млн кВ.А) потребовалось бы четыре -“Г^вТ^ри^и^Х^А

к штаб моделирования по мощности те=5 10 кВ А_ оригинала/кВ-Д
м дети Однако при такой величине т5. присоединенные к ЛЭП в точках про-
межуточных отборов энергосистемы, должны моделироваться модельными гене
гаторами мощностью менее 2 кВ А. Такие маломощные машины при использо-
вании в модели стандартной частоты 50 Гц, как правило, применяются лишь
д, я изучения общесистемных вопросов (например, модель в Центральном науч-
но, сследовательском управлении во Франции). Поскольку' мощность, потребляе-
мая измерительными приборами, составляет 0,3—0,5 кВт, т. е. 15—25% номи-
нальной мощности, то изучаемые процессы могут за счет этого искажаться.
С данной точки зрения минимальная мощность модельных генераторов состав-
ляет 2—3 кВ А. Исходя из этого при необходимости моделировать энергосисте-
мы в точках отборов масштаб моделирования по мощности должен быть умень-
шен до величины примерно I : 105 кВ-А. Но .при таком масштабе передающая
система мощностью 60 млн. кВ А должна моделироваться мощностью 600 кВ-А,
т е 20 генераторами мощностью по 30 кВ А, что явно нецелесообразно. Оче-
видно, в данном случае систему следует моделировать шинами бесконечной
мощности *.

Рассмотренный пример показывает подход к определению диапазона изме-
нения масштаба моделирования по мощности, который является единым для всей
модели, и выбор всего оборудования производится с учетом этого масштаба.

К каждой мотели генератора присоединяется модель первичного двигателя
(п ювол или гидравлической турбины), а также модель системы возбуждения.
На электродинамических моделях число модельных трансформаторов соответст-
нзппЯЧжУиОГ/9чЕаТщсВпКаК пРавило' трансформаторы повышают генераторное
9МП в,м„(23( 400,В> до напряжения модели линий электропередачи (500-
сщвляюшие ЛеобпйИнРпп входящ,,е в состав электродинамической модели и пред-
500—750 кВ Пи и К чечиые схемы, моделируют дальние линии напряжением
иеУ ечХ схемами? я отТ’ НаПрЯЖеНИем ^-200 кВ) моделируются не
Модели линий э’’1рктпйп₽1ЬНЫМИ Звеньями или П-образными схемами).
«Цитирующих пеактогюн У Редач пеРеменного тока оснащаются моделями
тей и моделями хстяппвпЗУ чнсле ". хправляемых) соответствующих мощ-
«тепень компенсации в пределах 20-7о''ОНЧп0сМПе,,Саи""’ позволяюЩей изменять
саттров (мощностью 3—5 К кН . Ду 7/1 4нсло модельных синхронных компен-
тронные компенсаторы обычно' М,1™РУ,ОШИХ подпорные и внутрисистемные

Г при необход.”иощи йспотьзовяТ^ЛеТСЯ °Т ЧСТЫрех До Деся™' что позво'
гех станций, моде пирование которых момн ‘'ачеслве м°Делей гидрогенераторов
' и модельные генераторы моделтны* ° осуществлять приближенно. Так же
Статические). реактивной мощности Щрщ'Р',ИНИе '<™пенсаторы и источники
мордХф:^	к модслям линни

ановкам переменного*1 тока^че^еТ г' 'л/°Ка "Р11СоеД||ня1отся к моделирующим
«ь - напряжения к ним подкис’ччютстра"сФ°Рмат<’ры. Со стороны
V (выпрямительных и иивертопныуТ Я модели преобразовательных подстав
линии постоянно т<ч,а По 1рМеЖДУ котоРим|1 ВИЛЮчается собственно
" *еилю Ц| бочечными схемами м*”ЯЯ В°' пР°изводит провода реальной
схемами Модель электропередачи постоянного тока

Ши пми (конечной мощности

“* .'<М,И„ считать неизменными^'тр!?,ТС1Я ШМИЬ1, частотУ и напряжение ко-

44	в теченн<? изучаемых процессов
оснащается моделями сглаживающих реакторов и сетевых

гармоник.	ри сетевых фильтров высших

Оборудование комплексной нагрузки выбипает.-я

ного отображения в модели структуоы нагпетк!. п» " 113,.УСЛОВИЯ наиболее пол-
ной составляющей является аХронная	мп?” знеРгосистемы. Осн. в

асинхронными двигателями серий АК и А мощностью по? 8-20 пРТНЫМ1;
мые ими во вращение машины-опудия ими™™,™-,.., " Щ кВт. Приводи-
тока, нагруженными регулируемыми сопротивлениям^^СвдТна????0?
представляется синхронными генераторами (типа ГГТ>‘ п»Лп ₽ нагрузка

режиме. Ое.е,,™»..	„К"" ' ₽а\

паораннымн стандартными лампами накаливания; бытовая нагрузка- провоз
ными реостатами. Для моделирования ртутно-выпрямительной нагрузки обыХ
используются стандартные установки. Силовые цепи всех элементов модели
комплексной нагрузки выводятся на коммутационный щит нагрузки где на би
раются схемы узлов нагрузки и присоединяются г. стороне низшего напряжения
.рансформаторов нагрузки. Цепи всех трансформаторов модели со стороны выс-
шего напряжения выведены на коммутационные панели, в которых размещают-
ся измерительные трансформаторы тока и напряжения, а также контакторы
имитирующие высоковольтные выключатели. Контакторы установленные на
коммутационных панелях, предназначены для осуществления включений н от-
ключений в цепях модельных генераторов, синхронных компенсаторов, транс-
форматоров нагрузки, шин бесконечной мощности и участков линий электро-
передач. С коммутационных панелей кабели выводятся на высоковольтный
коммутационный щит, где набирается исследуемая на модели схема

Управляется электродинамическая модель с главного щита управления, где
устанавливаются регуляторы возбуждения, модели регуляторов скорости пер-
вичных двигателей с блоками питания для них, осциллографы и пульты точных
приборов.

§ 5.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ АГРЕГАТОВ

ФИЗИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Моделирование первичных двигателей. В большинстве исследо-
ваний, проводимых на электродинамических моделях энергетиче-
ских систем, необходимо моделировать первичные двигатели (тур-
бины и системы их регулирования). В переходном электромехани-
ческом процессе в системе могут возникнуть изменения скорости
вращения агрегатов, что приводит к изменению механического мо-
мента турбин. При изменениях впуска энергоносителя возникает
переходный процесс в напорных трубопроводах ГЭС, в паровых
котлах ТЭС. Эти явления должны быть отражены в модели. Воз-
можны два пути моделирования первичных двигателей: физическое
п аналоговое.	„ ,,	,

Физическое моделирование первичных двигателей. В этом слу-
чае синхронные генераторы модели приводятся во вращение
дельными турбинами малой мощности. Схема гстаноьк.'1’1)Ми^] ‘
рующей гидроагрегаты электродинамической модели . - ,  Р
ставлепа на рис. 5.2. Турбины могут регулироваться как аРУчн>^
так и с помощью автоматических регуляторов скорост™Р^ТРЫ
которых можно изменять. Для моделированияI явленш гид^
ского удара в напорных трубопроводах Разной длины предусмотр^
специальный трубопровод различнон констру кц п ‘ .1ОДОбпаны.
или упругого шланга, параметры которою спец
Рис 5.2. Общая схе-
ма гидравлической
части модели гидро-
энергетической си-
стемы:

/ _ турбина активно-ре-
активного типа

= I /	—	‘'чиспюп-

ющая труба: 3 — гене-
ратор (Р„ =16 кВт. м =
== 1000 об/мин); 4 — колон-
ка системы пегулирова
ния турбины; 5 — слив-
ной резервуар: 6 — на-
сосы с электроприводом;
7 — напорный трубопрг
вод; 8—сливная тру-
ба: 9 — подающие тру-
пы: 10— напорный бак.
11 — ресизер; 12 — зме-
евик напорного трубо
провода

колесами малой

При моделировании гидротурбин рабочими
мощности подобия можно достигнуть, выполняя следующие ус-

ловия:

«« (/>°₽/а)м)2 К(Лг°р/лгМ)3;

] ‘Нор/Ны;

/ИО₽ = Д/М (1У*/ВЫ)3Н°Р/Н”,

где Р—мощность; П —диаметр рабочего колеса; Н — напор; п
число оборотов в минуту; А1 — момент.

При выполнении модельной турбины в соответствии с этими ус-
ловиями будет моделирована натурная турбина такого же типа и
быстроходности. При необходимости моделировать турбину друго-
го типа нужно соответственно заменить и модельное рабочее коле-
со. Однако существуют возможности приближенного моделирова-
ния турбин различных типов одним рабочим колесом, при которых
используется то обстоятельство, что моментные характеристики
рабочего колеса изменяются при изменении напора. Зависимость
моментных характеристик М„ от напора //* (рис. 5.3) показывает,
что можно подобрать условия, при которых характеристики мо-
дельной турбины будут близки характеристикам натурного агрега-
та. Изменение моментных характеристик возможно также путем
установки колец сопротивления перед обтекателем рабочего ко-
леса.	г

Моделирование риуляторов скорости натурных турбин различ-
пХ \ Г Т₽ебует изме«еиия параметров регулятора модели. Сге-
прсдеча аи"0МеР"0СТИ ре,улиРоваП11я варьируется в определенных
н?ю Хм у ИЗМенения коэффициента обратной связи. Постоян-
Хных шайб.Ге₽В°М0Т0Ра М°Ж1Ю Регулировать установкой дрос-
34Ь
Рис. 5.3. Изменение механи-
ческого момента Л1. неболь-
шой радиально-осевой тур-
бины с рабочим колесом
РО-11 (а=20 мм) при раз-
личных относительных на-
порах Н.

При физическом моделировании первичных двигателей гидро-
станций можно получить достаточно хорошее соответствие натуре.
Однако при этом получаются установки, дорогие и сложные в экс-
плуатации, и поэтому более широкое распространение получили
модели-аналоги, в которых турбина имитируется электродвига-
телем.

Моделирование (приближенное) первичных двигателей на ос-
нове моделей-аналогов, выполненных с помощью электропривода.
При замене турбины моделью-аналогом подобие переходных элек-
тромеханических процессов обеспечивается подобием граничных
условий на валу агрегата. Таким граничным условием является
вращающий момент модели турбины: для подобия необходимо, что-
бы относительные моменты турбины и ее модели во всех изучаемых
процессах были одинаковы:

Л/, = 10ет.

Подобие момента гидротурбин. На рис. 5.4 представлены зави-
симости момента (ЛЬ) радиально-осевой турбины от скорости вра
тения (о») и открытия (р) регулирующего органа (направляю-
щего аппарата) при постоянном напоре. Как видно из рисунка,
момент турбины падает прн увеличении скорости, что является ре-
зультатом 'изменения условий обтекания лопастей рабочего колеса.
Кроме того, наклон характеристик уменьшается при снижении
пости турбины (при закрытии регулирующего органа). В переход-
ных режимах электрических систем отклонения скорости вращени
от синхронной не первышают 20—30%'. В этом диапазоне
но-скоростные характеристики при исследовании режимов Р
чсеких систем могут быть аппроксимированы прямыми, касатель-
ными в точке номинальной скорости. При этом уравнение момент-
,„.пм НЯ ппс. 5.4) можно записать
м характеристики сверх"»» -рпвая на Р"

в ^ледуюшем виде:

(•5.1)



„.„/„ны- а и в —постоянные ко-
где относительный момент Н> • ОТНОС|ИТелЬные еди-
эффнциенты; ю.-относнпль.	н спнх ная скорость).

ННЦИ ПрРисНЯ5Ь4 след^Ьчто коэффициенты а и р связаны сотно-
шениеи	а=1 + ?.	(5-2)

^ттан'Хна^Хе^	"рИ и’зменен™

-мошкХ ^фбины еняется пронзительно пропорционально
момен сХетствующему номинальной скорости. Следователь-
ч0 семейсшо моментно корсетных характеристик может быть по-
лучено из уравнения

/|Ьт=Л1*о (а —?*»*)>

(5.3)

где М„о — момент т’рбины при номинальной скорости (со»—1).

В уравнении (5.3) коэффициент при скорости
к?

равен тангенсу угла наклона характеристик и называется коэффи-
циентом саморегулирования турбины.

Моментно-скоростные характеристики, аналогичные показанным
на рис. 5.4, справедливы также для ковшовых (активных) турбин
и для поворотно-лопастных турбин, у которых одновременно с из-
менением открытия направляющего аппарата изменяется угол раз-
ворота лопастей рабочего колеса. Следовательно, для этой группы
турбин также справедливо уравнение (5.3).

Несколько иной вид имеют моментно-скоростные характеристи-
ки [	/(ш,)] пропеллерных турбин (рис. 5.5). Однако в интере-

стГп^еМ На' ‘нте^вале скоростей эти характеристики можно пред-

ПплпНиЯЛЫМИ И моделиР“ьать так, как это указано выше.
снабХтЛ ТМеНТа "ар0ВЫХ Турбин' ПаРОвые турбины обычно
терые могут оХР°ДеИС ВУЮ1ЦИМИ системами регулирования, ко-
механических пенс™ значительное влияние на протекание электро-
РоперегЧревгИтглиРппнДНЫХ ироцессов в электрической системе. Па-
отбопа (на теплосЬикашло^"6 экон°мич,ость агрегата или камеры
Дина пику регулирования ТУР ”1ах^’ окавывают влияние на
выхтурби*.	’ Сущег ‘венную при моделировании паро-

ЧВ»	,жн р ,)тьлен«; н₽скР01мегНиЯг с.-ема Г1аР°иои турбины. Турбину

_• ТИ ВЫ1 л о (УВД) и НИЗКОП <чНП\Я ТеН’ моменгы которых суммируются

' -е ; от КэтлаЧоету™ <Ла,1ления ПаР темнера гурой Оо п-д
г/Л1е“ чсРез °«фС*ой объем V „Л- Р‘‘Д| читальные клапаны турбины КД/
ЧВД с выхода ЧВД пар направляетерванный входными паропроводами, в
348	с‘ - ь паровой объем, образованный лноо
Рис. 5.5. Моментно-скоростные	р,1с. 5.6. Схема паровой турбины

характеристики пропеллерной

гидротурбины

пароперегревателем (в конденсационных турбинах), либо камерой отбора (для
турбин с отбором пара). Затем через клапан КЛ2 он поступает на вход ЧНД
и с выхода ее в конденсатор К. Изменение открытия клапанов КЛ1 (рч) и КЛ2
(р2) осуществляется регулятором скорости РС. На схеме ие показаны предо-
хранительные и сбросные клапаны, сбрасывающие пар при аварийном закрытии
главных клапанов.

Моментно-скоростные характеристики паровых турбин аналогичны характе-
ристикам, показанным иа рис. 5.4, с тем лишь отличием, что они еще больше
приближаются к прямым. Поэтому они также могут быть представлены уравне-
нием (5.3). Входящий в это уравнение момент при номинальной скорости М.о
является суммой двух моментов:

М*о = ЛГ1 + Л12.	(5 ♦)

где Л4] — момент, развиваемый ЧВД, составляет (0,25-т-0,5)Л1*о; ЛЬ— момент

ЧНД.

Моменты Л4, и М2 можно считать пропорциональными расходам пара, про-
ходящего через соответствующие части турбины:

(55)

М-1 = ъаг.	(5-б)

Относительный расход Т1 определяется разностью давлений Р| и Р2 в паро-
вых объемах У1 и 14:

^=КНР1-/<ВР2.	<5 7)

Расход у2 определяется давлением Р2 и положением р2 клапана КЛ2.

'У2~Р-2Л3?-	*

положения

В свою очередь, давление зависит от соотношения Расходов и	не

клапанов. Однако вследствие аккумул щии лара в объемах , а '
могут изменяться мгновенно. Так, при изменении открытия р, клапана Л
изменение дав тения Р, определяется дифференциальным уравнением

= нРо - VI = нЛ) ~

Изменение давления Р2 зависит от разности расходов у. н

Т,аРч1^ = VI —

Если приближенно принять у2~Я, то

Т2ЛР2 (Н = К1\Р\ — (К12 -I- О

(.5,9)

(5.10)

349
Г. 11 То называются поста-
-....* "|-й5 « г‘ ""



малыюн скорости:	р,_у<].1Ро) + о^2^2-

.1Г,о = а1<А11^1

р „ Р, определяются уравнениями паровых
Входящие в (5.П) давления Л	Р

„	,со>н<5 10).	 о» /5 ю) можно наити зависимость

Там™ образом, на основе УРавнен,'“,,ующИХ'клапанов. Эти уравнения оп-
« »«Г«« " “"'"«'	„.э уравнения (5.3) г, (5 4) хоэфф.щяеит

ЕЯ?!	" °'7 “ **

ооооиппвания турбин. При моделировании

Электропривод для м	к моделН определяются видом

первичных двигателей Р	,ИССледуемых переходных пронес-

з’Х". реша^ые «а медалях. можно

УСЛГ°е?»ТГгр^«К«“Т₽сяПпроцеееы, в которых не тре-
буГтся учитывать изменения скорости и влияние
регуляторов, например при исследовании кратковременных
(длительностью в несколько сотых долей секунды) электромагнит-
ных процессов, в течение которых скорость не успевает заметно
измениться. В этом случае в качестве первичного двигателя можно
использовать любой привод, обеспечивающий необходимую мощ-
ность и скорость вращения.

Ко второй группе относятся процессы, в .которых измене-
ния скорости имеют конечную величину, но регуляторы ско-
рости по тем или иным причинам не вступают в работу. В качест-
ве примера можно привести процессы качания генераторов при
сравнительно небольших толчках, когда колебания скорости не вы-
ходят из пределов зон нечувствительности регуляторов, или срав-
нительно кратковременные процессы, на которые регуляторы вслед-
твие их инерционности не успевают оказывать влияния. В этих
 чаях первичный двигатель достаточно отразить моментно-ско-
ростными характеристиками турбины.

гИпии?РеТЬеЙ гРУппе бедует отнести процессы, связанные с
мзмЛМрИи®°™ушениями в системе, приводящими к большим
в пял1 си ия₽п пСК°Р0СТИ‘ $ Этом случае оказывают большое,
ния турб и пля^!°Щее’ влияние Действия системы регулирова-
В качестве при? леняе гидравлического Удара в трубопроводах,
цессы регулирования ча^тоть/Тп^™ асинхРОННЫе Режимы, про-
последние могут оказать Л ” токов мощности в системах. На
паровых котлов ТЭС (пп Ущественное влияние характеристики
В э?ом слуОчТаеОВнужНо ^чТтТв™? в™ ” " П )‘ °чеБ,1Д”°’ ЧТ°
ноге двигателя учИтывать весь комплекс первич-
"ИЯ электрочемваХкш^прХ’с’соГмоЛ'™ 3аДаЧИ моделиРова‘
-оо„ио могут примР «-в Р^ч
вания первичных двигателей К настоя-
щему времени разработано много раз-
личных систем моделирования первич-
ных двигателей. Их можно свести к не-
скольким типам.

Наиболее простым является моде-
лирование турбины двигате-
лем постоянного тока с неза-
висимым возбуждением. Принципиаль-

ная схема модели показана на рис. 5.7. Рис. 5.7. Схема э.тектроприво-

Первичный двигатель синхронного да с Двигателем постоянного
генератора МГ представлен двигате- тока иезависимого возбуждения
лем Д, имеющим постоянное возбужде-

ние. Якорь двигателя питается от мощного источника с напряжени-
ем С/. Известно, что момент двигателя пропорционален произведе-
нию потока возбуждения Ф на ток якоря I

МЯ=КФ1.

(5.12)

Ток якоря определяется выражением

/ = (7/-А.()//?,

(5.13)

где /? — сопротивление цепи якоря; Ед — э. д. с. двигателя, пропор-
циональная потоку возбуждения и скорости вращения двигателя:

Ел=К1Фш*.

(5.14)

Подставляя (5.13) и (5.14) в (5.12), получаем уравнение мо-
мента двигателя

Л1д=А'ФОД-(^1Ф2//?)«>.,	(5.15)

или в относительных единицах

7И »д=А1Д* — Вы*.

(5.16)

Уравнение (5.16) аналогично уравнению момента для пропел-
лерных турбин (5.4). Чтобы добиться полного подобия моментов
турбины и двигателя, необходимо:

1)	регулировать напряжение источника питания V так, чтооы
оно было пропорционально моменту Л1*о:

2)	обеспечивать равенство коэффициентов, входящих в урав-
нения (5.10) и (5.4), т. е.

5 = В; Л = а.	(5.18)

Как следует из формулы (5.15), коэффициент В обратно про
чорционален сопротивлению якорной цепи /?• При сопротивлении
А равном естественному сопротивлению якоря, коэффициент са-
морегулирования двигателя В в несколько раз превышает 0. что-
Рис. 5.8. Схема электропри-

вода
ного

с двигателем постоян-
тока параллельного
возбуждения

бы снизить В, нужно ввести в цепь яко-
ря дополнительное сопротивление. Этот
способ, однако, неудобен тем, что на
дополнительном сопротивлении рассеи-
вается значительная мощность, равная
примерно мощности двигателя и имею-
щая величину от нескольких киловатт
до нескольких десятков киловатт. При
этом реостат сильно нагревается и ме-
няет свое сопротивление; кроме того,
завышается мощность источника пита-
ния. Вследствие этих причин более ши-
рокое применение нашли другие спосо-
бы снижения В.

Первый способ заключается
в том, что вводится отрицательная обратная связь по току якоря
т. е. источник питания регулируется таким образом, что напряже-
ние I) имеет составляющую, пропорциональную току:

в том



При подстановке этого выражения в (5.13) получаем уравне-
ние тока якоря

/=(670-ад+Кь

(5.19)

из которого следует, что введение отрицательной связи по току эк-
вивалентно увеличению сопротивления якорной цепи.

Второй способ заключается во введении положительной об-
ратной связи по скорости вращения двигателя. При этом напря-
жение источника V регулируется так, что оно имеет составляю-
щую, пропорциональную скорости:

У*=Кшч>».

Подставляя последнее выражение в (5.16), получаем
Л7»д= АК«о—(В — Кт А)ш«,

(5.20)

откуда, приравнивая коэффициент при скорости коэффициенту са-
морегулирования турбины р, находим необходимую величину ко-
эффициента обратной связи:

КШ=(В~^/А.	(5.21)

»^?^И( аННай модель позволяет имитировать моментно-скоростные
мопрг^^пиплв™11 пропеллеРНЫх турбин, у которых коэффициент са-
зу^ и Ля шли Не зави'сит от режима. Однако ее часто исполь-
небрегают и-=риТВаНИ д 2УР6ИН Д₽УГИХ типов- ПРИ этом пРе'
ваясь ня тлм М Коэ^ФИЦ)Иента саморегулирования, основы-
влияние ’ ЧТ° °Н В НекотоРых случаях оказывает малое
Рис. 5.9. Схема электропри-
вода с асинхронным двига-
телем

Рис. 5.10. Моментные ха-
рактеристики асинхрон-
ного двигателя

Рассмотрим теперь модели, обеспечивающие переменный
коэффициент саморегулирования. Упрощенная схема
одного из вариантов таких моделей представлена на рис 5 8 В от-
личие от предыдущей схемы здесь ток возбуждения регулируется
пропорционально напряжению источника питания. Система описы-
вается следующими уравнениями:

Мп = КФ1\ / =	- |

= Ф = 7<'1/; 1—1Л1г,	/	(5.22)

где I — ток возбуждения двигателя; предполагается, что двигатель
работает на линейном участке характеристики намагничивания.

Решая систему уравнений (5.22), получаем выражение для мо-
мента

7Ид=-^_ (1 -

4	г/? \ г )

или в относительных единицах

(5.23)

(5.24)

Полученное выражение аналогично уравнению момента для тур-
бин (5.3). Для обеспечения подобия моментно-скоростных характе-
ристик необходимо выполнить условия (5.18), причем подгонка
коэффициента В может осуществляться введением или дополни-
тельного сопротивления, или обратной связи по току.

Для обеспечения полного подобия момента необходимо, кроме
того, .выполнить условие



(5.25)

Другой способ моделирования турбины предусматривает вы-
полнение привода на основе асинхронного дви-
гателя с фазным ротором (рис. 5.9). Двигатель Л питается
от источника трехфазного регулируемого напряжения. Последова-
тельно с роторными обмотками включены добавочные сопротивле-
ния /?. Моментные характеристики асинхронного двигателя в за-
12-580	353
на рис 5 Ю Характеристики,
висимостн от скорости ПР//"" напряжения источника питания
построенные при разных •	синхронной скорости (данного

Г, пересекаются в осью ® вв^рообразно. При коротко-
двнгателя) н Р^одя™Хкое скольжение двигателя невелико и
замкнутом роторе КР (.ораздо круче, чем у турбин). Вводя
характеристики «дУ\Хе сопротивления, можно увеличивать кри-
в цепь ротора сбавочные сопро^	ну характеристик в такой

тическое скольжение и У , характеристикам турбин.

мере, чтобы обеспечить под°б	Р момента двигателя про-

Как известно, макс^яаХения на зажимах статора, следова-
~Е”^ё»отоЛмоментно скоростных характеристик (на оинеи-
НОМ участке) можно описать уравнением

м,л=и2 (А-в^).

(5.26)

Как следует из (5.26), для обеспечения подобия моментно-ско-
ростных Зктеристик необходимо выполнить условие (5.18), при-
чем синения наклона характеристик можно достичь не только
введением сопротивлений в цепь ротора, но и введением в эту цепь
трехфазной коллекторной машины последовательного возбужде-
ния. Для обеспечения полного подобия момента необходимо, кроме
того, осуществлять регулирование напряжения источника питания
в соответствии с законом

и=Юи.о.

Рассмотренные способы моделирования позволяют осущест-
влять подобие моментно-скоростных характеристик за счет исполь-
зования естественных характеристик двигателя, включенного в ту
или иную систему электропривода. П р и во ды моделей могут
выполняться как замкнутые системы регулиро-
вания, воспроизводящие вращающий момент по заданному за-
кону. Здесь примером может быть привод с двигателем независи-
мого возбуждения (см. рис. 5.7). Как следует из уравнения (5.12),
'нт двигателя в этой системе пропорционален току якоря /
якСпг?!^ВаЯСЬ На ЭТОМ свовстве> МОЖНО выполнить источник питания

Ри цепи I ак следящую систему регулирования тока. На вход
ный момепт^п^ П°СТуПае7 СИГН8Л УпРавления, пропорциональ-
ством в солтнртг ИНЫ’ 'выРабатьгваемь1Й счетно-решающим устрой-
нивается с сигняплИ С заданными Уравнениями. Этот сигнал срав-
существует рХХТ^^^0 Элемента ТОка ^оря. Если
стема изменяет ток якооя'лоуказанных сигналов, то следящая си-
образом, ток. а следоватрп1 ТеХ П°Р’ ПОка оно не исчезнет. Таким
сигналу управления. ЬН°’ И Момент всегДа пропорциональны

Преимущество этого метоля срр™,

характеристиками любого вида; однако ТцмЛ°М’ ЧТ° можно строить привод с
большем (по сравнению с другими) игп еется и недостаток, заключающийся в
оборудования.	у ' использовании количества счетно-решающего
Рис. 5.11. Схема модели турбины

Рис. 5.12. Схема блока мо-
дели турбины (МТ), пред-
назначенного для моделиро-
вания гидротурбин

Описанные методы касались осуществления моментио-скоростиых хапакте-
ристик. Рассмотрим теперь моделирование турбины в целом на примере систе-
мы привода с одновременным регулированием как тока якоря, так и тока
возбуждения двигателя, упрощенная схема которой приведена на рис 5 8 Более
полная структурная схема модели представлена на рис. 5 11. Модель состоит
из двигателя Д и питающего генератора Г Напряжение генератора и ток воз-
буждения двигателя регулируются усилителем мощности УМ, в качестве кото-
рого используется либо электромашиннын усилитель, либо управляемый тнра-
тронный выпрямитель. Для уменьшения наклона моментио-скоростиых характе-
ристик двигателя используется отрицательная обратная связь по току, которая
вводится с помощью противовключенной сериесной обмотки генератора ш
Окончательная подгонка коэффициента саморегулирования двигателя и измене-
ние его в некоторых пределах осуществляются с помощью регулируемой обрат-
ной связи по скорости, которая вводится иа вход УМ от датчика скорости —
тахогенератора ТХ. Блок Н отрабатывает изменение давления Др. Согласно
условию подобия момента (5.25) токи возбуждения генератора и двигателя
должны регулироваться пропорционально уМ,й. Сигнал, пропорциональный
УЛДо, вырабатывается блоком модели турбины МТ и подается на вход УМ. Мо-
дель обеспечивает воспроизведение характеристик турбин при действии регуля-
тора скорости, представленного блоком РС. Структура блока МТ показана на
рис. 5.12. Блок построен из элементов, применяемых в математических машинах
непрерывного действия, и содержит функциональные преобразователи для вос-
произведения функций [(ц, ф) и )/х и блоки перемножения БП. В результате
преобразования входных напряжений, пропорциональных величинам р, ф, Л,
блок выдает сигналы, пропорциональные М„о и УМ.о. В качестве одной из про-
межуточных величин образуется напряжение, пропорциональное расходу ч. ко-
торое используется как входной сигнал модели напорного трубопровода.

Схема блока МТ, предназначенного для моделирования паровых турбин,
представлена на рис. 5.13. Блок содержит три операционных усилителя У1,	•

УЗ, блок перемножения БП и функциональный блок корня. На входы подаются
напряжения щ и р2, пропорциональные открытию регулирующих клапанов, и
напряжение Др0, соответствующее отклонению давления в котле. Усилители
и У2 работают в режиме интегрирования и обеспечивают решение дифференци-
альных уравнений паровых объемов. Усилитель УЗ выполняет опера ик> 
рования в соответствии с уравнением момента. Параметры сопрот в	ми

костей, используемые в схеме, определяются в соответствии
коэффициентов и постоянных времени, входящих в уравнения.

Рнс. 5.13. Схема бло-
ка модели турбины,
предназначенного для
моделирования паро-
вых турбин
бины



Моделирование регулято-
ров скорости. Регуляторы ско-
постп турбины предназначены
Р™ первичного регулирования
частоты при колебаниях на-
грузки в системе, а также для
предотвращения опасного раз-
гона агрегатов при аварийных
сбросах мощности. Регулятор
состоит из измерительного эле-
мента скорости, в качестве ко-
торого обычно используется
центробежный маятник, систе-
мы гидроусилителей (сервомо-

торов), воспринимающих пере-
мещение муфты маятника и пе-

процессов. Кроме> того. „

устройство, позволяющее изменять уставку регулятора (миы

МеСОСТОЯТ И3 элементов> «пирую-
щих каждую из указанных частей и соответственно соединенных

между собой.

Принципиальная схема модели регулятора гидротурбины пред-
ставлена на рис. 5.14. Центробежный маятник моделируется тахо-
генератором 7Х. Напряжение 7Х сравнивается с постоянным на-
пряжением, и их разность, пропорциональная отклонению .скорости
от заданной, подается на вход операционного усилителя <У/, ра-
ботающего .в режиме интегрирования благодаря наличию емкости
С в цепи обратной связи. При отклонении скорости от заданной
напряжение на выходе усилителя начнет изменяться со скоростью,
пропорциональной этому отклонению, подобно тому, как сервомо-
тор регулятора турбины движется со скоростью, пропорциональной
отктонению золотника, смещаемого центробежным маятником. По
Мере роста напряжения на выходе усилителя увеличивается сигнал
жесткой обратной связи, снимаемый с потенциометра /?)К и пода-
г вход усилителя. Наконец, наступает момент, когда епг-
гп'тЛ3 И°й €ВЯЗН полностью компенсирует входное воздействие
п₽пргЛ2^Ь1гЛаХ0ГенеР^°Ра и напряжение на выходе усилителя

>| • ' и Яться Таким образом, моделируется влияние жест-
возврашает зотптми’ Которая п0 МеРе перемещения сервомотора
ла под поошенк <рпК В среднее положение, прекращая доступ мас-
нию скорости вращХТсоответаГ0ДЗря 5ТОМУ кажД°мУ отклоне-
сервомотопа Всоответствует определенное перемещение
менение напряжения усилитеТя^уТ С{дрвомотоРа соответствует из-
воздействие гибкой (так нячкш ^епочка Си, моделирует
которая вырабатывает исчезаютиТ™3°ДР°МН°Й) об'ратной свяЗП’
ощии импульс, замедляющий движе-
ние сервомотора, благодаря чему обеспечивяйтга „„ -
чество переходного процесса. Описываемая мг неоох°лимое не-
основные нелинейности регулятора.	ЛЬ позволяет учесть

Моделирование парогенераторов (котлыи ппи<,
раторов на переходные процессы обусловлено тем чтТ в^ереход'
ном процессе может значительно измениться нлрузка туобЕны
следовательно, и котла, что .в свою очередыприведет к Изменению
давления и температуры вырабатываемого пара и повлияет
мощность турбины. Например, при значительно л (5-10%') набппД
мощности в системе, который воспринимается в основном тупби
нами регулирующей станции, давление котлов этой станции может
упасть на 15—30 /0, что, во-первых, замедлит процесс набора мощ-
ности, во вторых, может быть опасным для турбин При этом всту-
пают® работу автоматические устройства котельной, регулирующие
темп набора мощности так, чтобы обезопасить турбины. Особенно
сильно переходные процессы сказываются на построении ТЭС по
блочной схеме «котел ту р1 ина». Приведенный пример показыва-
ет, что учет влияния котла невозможен б«з учета
его регулирующих систем. При осуществлении моделирова-
ния парогенератора с учетом изменений параметров пара в пе-
реходных режимах можно в первом приближении пренебречь влия-
нием некоторых вспомогательных систем (регулирования уровня
воды в барабане, регулирования разрежения в топке и т. д.). Си-
стемы регулирования температуры пара современных котлов спо-
собны поддерживать температуру в течение переходного режима с
точностью 1—2%. Поэтому основным параметром, который может
меняться в сравнительно широких пределах и оказывать влияние
на мощность турбины, является давление острого пара. Эти допу-
щения позволяют представить котел в виде двух основных частей:
парообразующей части системы и системы регулирования процесса
горения. Парообразующая часть воспринимает тепло, образующее-
ся в топке. При увеличении воспринимаемого теплового потока
(тепловой нагрузки) и постоянном расходе пара теплосодержание
и, следовательно, давченпе пара возрастают со скоростью, про
порциональной приращению тепловой нагрузки. Аналогично этому
при увеличении расхода пара (паровой нагрузки) давление падает.
Скорость изменения давления при разбалансе тепловой н паровой
нагрузок пропорциональна этому разбалансу, причем коэффициент
пропорциональности (постоянная времени) определяется ак у. у
лирующей способностью котла, т. е. свойством лиоо	’

либо отдавать тепловую энергию, содержащуюся в мае
иИРПроце^™зменения давленяяРпри&шженно'отти.'ывается двффе-
ренцпальным уравнением

где ТР — постоянная времени разгона котла по давлению, имею-
щая величину 150- 300 с; р — относительное давление,

тепловая и паровая нагрузка.
„ пплпессз горения опре-

С ист ем а рег у л_« р0В а НлИяюЩе?ося в топке. Она содержит
; В“.Д Подачи топлива. Регулятор топлива
давление пара, а также некоторые другие
давление п ................... импцльс	на

деляет количество тепла, 1
регулятор топлива и систему
реагирует на расход и	" ‘.г,кции) и дает импульс на уве-

параметры	Ьосле пола,,, импульса,

личение или у меньше	рнное запаздыванием в системе

спустя	тапловой нагрузки Про-

может быть описан уравнением

(Г^+ПМ^е-^дСР),	(5-28)

где 7,-постоянная времени (составляет 5-60 с и зависит от типа
системы топливопередачп, вида регулирования в топлива); т-вре-
мя «чяиого» запаздывания (составляет 0-6 о в зависимости от
конструкции и вида топлива); рв — положение органа, регулирую-
щего подачу топлива; р-—-символ дифференцирования.

Моделирование электрических машин. Требования к физическим
моделям электрических машин, трансформаторов, реакторов и т. д.
определяются областью применения моделей в зависимо-
сти от того, используются они для преимущественного изучения про-
цессов в электрических системах, рассматриваемых как сложные
электромеханические цепи, или для изучения процессов внутри ма
шин и аппаратов.

При моделировании электрической машины как элемента элек-
трической системы наиболее важно, осуществляя неполное
подобие, обеспечить подобие процессов и установившихся режи-
мов во времени, т. е. потребовать, чтобы сходственные величины,
характеризующие процессы в электрических цепях машины и по-
ложение ее ротора в пространстве (токи, напряжения, мощности,
вращающие моменты, электрический угол), в модели и оригинале
би/пелОул то,ЛЬКо ^асштабами. Для осуществления такого подо-
тевии сстЛ'1^0’ чтобь1 в модели и оригинале были одинаковы кри-
трическими и Л₽у«ЮЩИе опРеделеннь1е соотношения между элек-
вок в эти кцитрпИНИЧе°КИА И паРаметРаМ1И моделируемых устано-
машины 7	Не ВХОДЯТ ^метрические размеры

вея&ь^ с*™ "м"«™ь'е "арамет₽ы сушест’
И при некоторой другой чяДпеНЫ КЭК при частоте оригинала, так
масштабом времени* Ппи Те С С0ХРаненным или измененным
чрезвычайно трудно олнгтпрм°даЛИроВанНи электрических машин
сов получить пространетвсннп₽ННО сгпод°бием временных процес-
и тепловых полей, а такж₽ п®Д°бие магнитных, электрических
Деформаций. Это объясняется г° Ие механических напряжений и
.-------- еТСЯ главиь1м образом тем, что при со-

В Дальнейшем более поп г, пл

масштабов времени и частоты, ка^наибтше6™ “оделиРование с сохранением
358	наиболее удобное для практических целей
здании модели электрической машины не удается г™
метрическое подобие модели и оригинала Не Д» сохранить гео-
нию подобия полей, можно при создании таких моХ^рибеТ
к искусственным способам изменения параметров модели- включяД
последовательно с обмотками машины дополнительные’иХтив
ные и активные сопротивления, уменьшать активные сопротимения
цепи путем введения коллекторных машин постоянного тока с по
следовательным .возбуждением (последовательных компенсаторов
активного сопротивления).	Егоров

Для исследования электромагнитных, тепловых, механических
процессов внутри машины необходимо обеспечить подобие сходст-
венных величин, характеризующих состояние и изменение соответ-
ствующих полей в пространстве и во времени. При этом критерии
подобия, обеспечивающие полное подобие электромагнитных по-
лей, одновременно обеспечивают и подобие машины как элемента
электрической цепи. Для общего случая эти критерии могут быть
получены из уравнений Максвелла. Однако, как показывает ана-
лиз критериев подобия полей, создание универсальной модели прак-
тически почти невозможно. Это заставляет исследователей прибе-
гать к неполному моделированию, при котором подобие менее
существенных в данном исследовании полей нарушается.

При моделировании электрической машины как элемента элект-
рической цепи подобие может быть не только неполным, не воспро-
изводящим подобия полей, но и приближенным-, например, в та-
ких моделях может быть не полностью отражено влияние на па-
раметры изменения частоты или насыщения. Приближенным яв-
ляется и моделирование, при котором подобие устанавливается не
между мгновенными значениями величин, а между их осредненны-
ми величинами или их огибающими. Не полностью могут быть
отражены те или иные процессы, например потери в отдельных
обмотках, действие вихревых токов на изучаемое магнитное по-
ле и т. д.

В моделях машин .и аппаратов, предназначенных для исследо-
вания полей, критерии подобия непосредственно содержат соотно-
шения между геометрическими размерами модели и оригинала.
Однако и при этом требование геометрического подобия не всегда
является обязательным: так, возможно введение аффинных соотно-
шений между геометрическими характеристиками модели и ори-
ИНМалые электрические машины в качестве моделей. При реше-
нии различных технических задач особенно ПРИ
риментальных исследований .в лаборатории с р	машин

электрических машин, приходится учитывать, что п р ых 0_
и трансформаторов, а также характер ПРОТ® >гт1Д1ашин
цессов в них в сильной степени зависят от	подоб-

Рассмотрим для упрощения рассуждени , различной мощ-
ные в пределах одного полюсного	машин раз=

ности, и примем приближенно, что пл	м заэОпе и в сер-

шины и плотность магнитного потока в воздушном зазоре сер

{К>У
Рис. 5.15. Геометрически по-
добные машины в пределах
одного полюсного деления

дечннке— величины постоянные, не
зависящие от мощности машины (рис.
5.15). При этих допущениях имеем за-
висимости, представленные в табл. 5.1,
где р — число пар полюсов. Таким об
разом, сравнивая параметры машин,
имеющих мощность порядка сотен ты-
сяч киловольт-ампер (оригинал), и ма-
шин, имеющих мощность порядка де-
сятков киловольт-ампер (модель), при
одинаковой угловой скорости получим
следующие соотношения:

л-м/х°₽~ 1; Л,М/7?°Р^ Ю; 7'"/Г;р^0,1;

Л7Лр=о,1.

Следовательно, при уменьшении
геометрических размеров машины зна-
чения индуктивных сопротивлений при-
мерно остаются постоянными, а значе-
ния активных сопротивлений возра-
стают.

Сопоставляя такие же машины, но
при р°1’=304-40 и рм = 2->3, находим:

Гм/7ор=0,2; Т" ГТ?=0,2.

Относительные характеристики холостого хода у всех машин
ние между параметрами больших и малых машин сведется к раз-
ине между параметрами больших и малых машин сведется к раз-
личию между /?ор. Г?, Тор (системы) и /?м, Г”, Тм (модели из
малых машин).

При выводе этих зависимостей предполагалось, что все соотно-
шения между размерами в пределах одного полюсного деления ос-
таются постоянными. Предполагается также, что как для больших,

" "ЭЛЫХ машин применены одинаковые материалы, оди-
шиной ₽г тношение между сечением обмоточного провода и тол-
констр\'ктивнн'Л^ЦИл и т> п- $ реально 'выполняемых машинах
к	ражения " Ливания экономики приводят

ричеекое подобие ™ппелелах"\п<’0Т“0Ше“''": "аРушается геомет-
другие магнитные мятоп Делах полюсного деления, применяются
«а и индукции. В табл₽ 5 2Ыппи€впп°ЛЬК° изменяются плотности то-
крупного гидрогенератора и нрП ДиТСя сопоставление параметров

Все сказанное вышеРо,синхронной машины.

рам. если / — линейный оячм ” г рав110и меРе и к трансформато-
матора.	Р р еометрически подобного трансфор-

югичной лабораторнойЖмашианыаМеТ"РаМИ ,Крупной машины и ана-
Р орнои машины той же физической природы при-
ТАБЛИЦА 5.1

Параметры

Соотношения

Расчетная длина  Расчетный диаметр  Размеры магнитопровода в пределах	1  Р = 1р Пропорциональны /
полюсного деления	
Сечения магнитопровода и катушек в	< (1
пределах полюсного деления	
Сечения эффективных проводов	<	рР
Число витков на параллельную ветвь	XV
Угловая геометрическая скорость вра-	О
тения	
Угловая электрическая скорость враще-	ш =
НИЯ	
Магнитный поток	Ф = Р
Ток	
Напряжение	XV  Ц. = И’фсп = да/2(о
Мощность	5 = Н2р2 = 02/20
Вращающий момент	м = пр^= т?
Омическое сопротивление	/? ~ 	  Р1
Индуктивные сопротивления (при часто-	л 1  х =ш да2—
те якоря)	р
Постоянные времени	Т = “4г = 1 ыД
Постоянная инерции	г, = и = м
Сопротивления в относительных едини-	/X „	/7?  х*~ и ’	и
цах	

водит в ряде случаев к качественным изменениям в характере
протекания переходных процессов. Это может быть показано на
примере короткого замыкания синхронного генератора (рис. 5.16).
Скорость вращения ротора мощной, полностью возбужденной ма-
шины, работающей через реактивное сопротивление на сеть бес-
конечной мощности, при коротком замыкании вблизи ее зажимов
в первые мгновения увеличивается (рис. 5.16, я). Машина малой
мощности, работающая в тех же условиях, первоначально тормозит-
ся (рис. 5.16, б). Торможение машины связано главным образом
с наличием больших активных сопротивлений в обмотках статора
и ротора. Влияние апериодической составляющей тока статора рез-
ко возрастает с уменьшением мощности машины, сказываясь тем
больше, чем меньше постоянная инерции и чем больше отношение
активного сопротивления цепи статора к ее реактивному сопрогнв-

лению (г/л).
ТАБЛИЦА В8

400 В; 1000 об/мин
Рис. 5.16. Осциллограммы изменений угла б напряжения (7Г и то-
ка /г после внезапного короткого замыкания синхронной машины:
а — для крупной машины; б — для малой машины

Таким образом, возможности применения типовой синхронной
машины в качестве физической модели весьма ограничены. Они мо-
гут быть расширены путем применения искусственных мер: введе-
ния в цепь обмоток дополнительных индуктивных сопротивлений
и специальных коллекторных машин, позволяющих уменьшить ак-
тивные сопротивления цепи, установки дополнительных маховиков
и др. Эти меры, однако, оказываются недостаточными, если необ-
ходимо изменять соотношения между сопротивлениями взаимоин-
дукции хаа и хад или моделировать .влияние демпферных обмоток.
Значительное искусственное уменьшение (в 5—10 раз) активного
сопротивления цепей переменного тока нельзя осуществить с до-
статочной сочностью. Этим обстоятельством также ограничиваются
возможности применения малых типовых машин в качестве мо-
делей

Во всех перечисленных и во многих других случаях, когда от
моделирования требуется достаточно высокая точность, физиче-
ская модель машины должна быть спроектирована специально. При
исследовании полей это всегда необходимо. Сказанное выше отно-
сится и к трансформаторам малой мощности, применяемым в ка-
честве моделей.
япрктпических машин. Приступая к опре-

Подобие синхронных электричес	нужно выбрать 1ГСХод_

делению критериев подооия н необходимо стремиться пе-
нею систему уравнении, чншвая^	времени.

луч₽^и

следуюшсй систе"ой у₽ав-
нений:

для цепи статора

1(5.29)

I!С = 'Л + — [О с^а 4" с ь‘ь 4" *с + сп' К Н- 1 с л' д ] ’

где /н —ток ротора; (д— ток демпферной обмотки;

для цепи ротора

=	+	+	(5.30)

для цепи демпферной обмотки

(5.31)

для электромагнитного момента

М =—
3	<11 дз дъ ’

где &=(1Ы(И — скольжение;

+- ^1^М^ь+МКс1с1^Мча1а1^М^ь1^Млс1с1-, (5.32)

Для относительного движения ротора

Л^о/л2+/иэ=л1Л1^дЛ^лр	(533/

В формулах (5.291 — ^441

ность М являются функциями индуктиВ1юс'гь Ь И вза'Имоиндуктив-
функциями магнитной проник™6"™ Р°Т0Ра в пространстве и
от среднего значения напряженийР’ в,свою очередь зависяшей
*\е ма1н,нтной цепи машины Обы™ П0,ЛЯ На том или ином участ-
ит во внимание действительный0 И5следованиях не прини-
а ограничиваются топ. «пи Д ФУнкиий ц(//), 1(6) и
пп?*?ВНОСТИ междУ обмоткамиЧХМп"ервой гаРмоники взаимо-
рои гармоники индуктивностей обм/Л?^!." ротоРа и учетом вто-
остей обмоток статора и ротора. Но и при
этих упрощениях аналитическое решение окятыпяат™
сложным. Стремление упростить дифференциальные урави™
«Т/То) пр’ше"™"ю Рам|1™'« систем координат (4 , о ".

Для установления подобия нет надобности решать диЛЛепен
циальные уравнения или вводить какие-либо ограничения. Устано-
вив условия подобия на основании уравнений (5 29) — (5 33)
статочно точных и наиболее простых с точки зрения записи и
выяснения физической природы процессов, получим критерии по-
добия, включающие основные электрические параметры обмоток
(М, 1, /?) и параметры, характеризующие инерцию ротора (/0).
Параметры синхронной машины обычно даются заводом примени-
тельно к системе с1, д, 0. Их можно ввести в критерии подобия,
определенные на основе исходных уравнений. Уравнения
(5.29) — (5.33) справедливы не только для синхронных, но и для
асинхронных машин (если предположить на роторе три замкнутые
обмотки), а также для трансформаторов (если предположить, что
ротор неподвижен).

Условия подобия, определяемые общими урав-
нениями взаимно перемещающихся магнитносвя-
занных цепей, можно сформулировать в трех положениях:

1.	Для каждой из магнитносвязанных цепей машины (обмоток
статора возбуждения, демпферной) отношение полной индуктивно-
сти к активному сопротивлению должно быть одинаковым в моде-
ли и в оригинале, если процессы рассматриваются в одном и том
же масштабе времени:

Л//?—Шеш.

Если масштаб времени для модели изменяется, то единица изме-
рения времени (масштаб времени) должна быть прямо пропорцио-|
нальна величине постоянной времени. В этом случае

7'* = 1//?/=Шеш.

(5.34)

2.	Аналогичному соотношению должны удовлетворять и взаи-
мен ндуктивности:

М,аЬ=МвЬ№<А = Ше ш; УИ*а6=МаЬ!(/??) = Шет,

где и Яъ — суммарные сопротивления магнитносвязанных цепей.

Из "равнений (5% и (5 33) видно, что в —^"пошешн
ры которых различны во величине, но УлотлеХ₽^гя то,Х ч"с-
™ (5.34) и (5.35). „ротекаюов.е вровксы отличаются^только^
штабами переменных., УР“"е“'1'еп(1, „ишины, если удовлетворены
тельный критерии. Для люоои цепи
критерии (5.34) и (5.35),

— = 1деп1 или —----------Шет.

г/?

А1Э8 ЛМ

РЕ I

«2Л У*	3

Отношение электромагнитной

мощности в активном сопротивлении этой цепи дол
Однако это условие не является
наковымумодолниу о^инала^	(5	35)	выполнены,	то

определяющим. Если требе <е возбужДения ток, обеспечи-
всегда можно У^ано™™ ® ° вия. Это условие, таким образом,
вающий соблюдение 9 У н маСштабов переменных.

может служить для 0ПРвде; требование, вытекающее из урав-
3 Должно удовлетворяться тре

нения (5.33),

Если значение 6 в

У08/(^2)=Мет-

модели и в оригинале одинаково, то это ус-

ловие сводится к требованию

УМ.о=Г7/(^2)-1(1ет.

Из последнего уравнения вытекает еще одно требование: раз-
личные механические потери в машине-модели должны составлять
такую же долю от полной мощности, какую составляют те же поте-
ри в машине-оригинале.

Индуктивность Ь и взаимоиндуктивность М изменяются при из-
менении положения ротора:

М=/(8).

Если зависимости ^=7Итах/(8/8гаах) и Ь=Ьт^/ (8/8тах) в модели
такие же, как и в оригинале, то подобие всех пространственных
гармонических обеспечено.

Аналогично для получения подобия в отношении эффекта на-
сыщения необходимо обеспечить в модели такие же характери-
стики

Н=Нгаах/ (//1гоах); 1 = 1^/ (//Ггаах),
как и в оригинале.

выпяж» °ДЯ К паРаметРам> принятым .в теории двух реакций, и
иТ лоихопим"”дуктивноста и взаимоиндуктивности через Ъ, Ц
веских машин	ЗЭПИСИ закона подоби* 9лектРи-

Добны, если этГма^нинь)11 и°мЦреССЫ В ЭлектРических машинах по-
Л1.о. одинаковые отнХельнырТп°ДИНаКОВЬ1е вел™™ь1, Тя, М*а1>,
чальные режимы. Учитывая топки ТеР” мощности и подобные на-
димую ротором э. д с	КО пеР3Ую гармоническую, наво-

работу' машины можно обесп’ри^ влияние эффекта насыщения на
характеристике холостого хлпо Ь "ри одинаковой относительной
Мое насыщенное значение г позволяющей получить необходи-
насыщения на ха, специально мп^аВПИГеЛЬН0 небольшое влияние
насыщения на сопротивление пя ЖеТ Ие моделироваться. Влияние
о^тМЛИНДукции Фаз Маь должно^*™* *б_и на сопротивление

ПпМИДТак как обычно завод таких5 провеРено Дополнительными
Преобразуя основные кои?Д ИХ ДЭНных не дает.

вместо! иМ значений	<5'34> подсга'

366	' Л'ч, и учитывая, что лю-
бая комбинация из критериев подобия (отношение, произведение
и т. д.) также является критерием подобия, приходим к‘выводу
что отношения ха /хл- ха"1ха-, Х^, Хаа/х, и / д. должны 3
одинаковы в модели и оригинале.

Из условия гомохронности (со/^дет) следует, что изменять
масштаб времени при исследовании процессов, происходящих в ма-
шинах переменного тока, можно только одновременно с изменени-
ем частоты.

В наиболее общем виде можно указать три определяющих
критерия подобия электрических систем с вм еща-
ющимися машинами:

1)	критерий электромагнитных и электрических скоростей Г.=
= к1ет;

2)	критерий механической скорости 7'т, = 1(1ет;

3)	критерий гомохронности /, = 1с1ет, или дополнительный кри-
терий, необходимый для установления масштаба.

Эти критерии, записанные в относительных единицах* *, позво-
ляют выяснить возможности и приближенного моделирования, и
изменения масштаба переменных 1 и (/ в магнитносвязанных цепях
вместо изменения полного сопротивления и т. д. Особенно позезны
они в тех случаях, когда моделируются машины и аппараты, еще
недостаточно хорошо изученные.

Как упоминалось выше, получить в машинах-моделях малой
мощности те же отношения Л/?//Лсо//?, что и в мощных машинах,
весьма затруднительно. Изменять частоту так, чтобы обеспечить
одинаковое значение со/ в модели и в оригинале, также может быть
затруднительно. Однако оказывается возможным получать прибли-
женное подобие процессов, изменяя масштабы времени с нарушени-
ем критерия гомохронности.

Предположим, что изучается изменение во времени токов, напряжении и
магнитных потоков. Характер изменения этих величин при любых дроце.ах
известен. Так, например, на основании опыт! и анализа можно утверждать, что
значение тока в любой обмотке синхронной машины может быть представлен^
выражением вида **

I = Ло + А 61П К + <Р1 + ?1) + Л2 Э1П (2шг + <р2 + тЭ +   • + 5>е ‘‘Г' Ч"

_|_	+ ... + Г>1е-‘/Гс15>пН + ф; + ?!) +	02 5111	+

4- ф' +	03 5Ш (Зш/ + Фз + Т3) + • • • -

а следовательно, при <о>- = ео0 имеем	//Г0=-ЙГ. причал Т

Это и=е!-ть критерии прполиженного электромеханического подобия.

* В качестве основных, базисных,	"Родна механич"-пая

ческ-пе величины (например, мощность н напряжение) и

(синхронная скорость вращения).	точько качественные сооноше-

* Приведенные здесь выражения хаРак^Р2Х1Рнных параметров.

идя Между отдельными составляющим» 1 
Возможности изменения постоянных времени путем изменения
масштабов времени оказываются ограниченными необходимостью
потоби .начатых условий. Подобие начальных режимов требует
павенств соответственных значений углов расхождения по фазе
э Г с различных машин системы (б”=б<-) и углов сдвига токов
по отношению к э. д. с. А это можно .получить только -при равенстве
значений параметра ^х соответствующих цепей статора у мо-
дели и оригинала. Следовательно, изменяя масштаб времени, мож-
но допустить изменение лишь тех постоянных времени, которые
зависят от параметров цепей ротора.

Изменяя в модели постоянную времени цепей ротора за счет
изменения масштаба времени, но сохраняя абсолютные значения
постоянных времени цепей статора, получаем возможность осуще-
ствить подобие начальных условий, но вынуждены допустить иска-
жения скорости изменения тех составляющих, затухание которых
зависит от постоянных времени статора. Так, будут искажены
апериодические составляющие токов статорных цепей и периоди-
ческие составляющие токов роторных цепей. Это приведет к неко-
торому искажению э. д. с., наводимых пульсирующими магнитными
потоками. Кроме того, несколько исказится значение э. д. с., обус-
ловленной дополнительной скоростью, которую .ротор получает при
качаниях. В самом деле, э. д. с.	1

б = ы=<1)сфЛ'Л.

ггпаЧМпНеННе масШтаба времени и абсолютной скорости изменения
)гла 6 отвечает изменению доли составляющей э д с обтсчов
ленной дополнительной скоростью	’ У

Для выяснения допускаемой неточности етпЛил о™.

МИ синхронной машины, предложенными Паркомг Горевым°ЛЬЗ°ВаТЬСЯ
(^/^М) РП ~ 1 =	_ /^]//Им;

еа=^~~^р) [°(р) Е° -	- ^Р V + 6);

=Р'4+м7) +*аР а+в)-

где М. - механический момент на валу машины;

уравнения-

(5.36)

(5.37)

'</ = [О(р)Е(

При одной обмотке

о~^]/^(р); /?==

возбуждения и оТСуТСТвии

-'^1*9(р).

демпферных цепей

1+рТ ’ хо (Р) = хч\ О (р) ___1

,	Р /, новое значение которого

р —Р1Ш,.
Рис. 5.17. Характер про-
цессов в модели и ори-
гинале:

I — оригинал; Т^=4 с; То=
=6 с; /==50 Гц; // — при-
ближенное моделирование:
7^=1 с; Го=3 с, /=50 Гц;
/// — моделирование с из-
менением частоты;	с;

70=3 с; /'=100 Гц (штрихо-
вой линией показаны значе-
ния переменных при соот-
ветствующем изменении
масштаба времени)

Предположим далее, что в соответствии с критерием приближенного подо-
бия постоянная инерция Тизменена в ш,2 раз и ее новое значение?^ = Г7т2

Подставим новые значения р', Т/ и Т в уравнения (5.36) и (5 37) Легко
видеть, что такая подстановка вызовет только искажение членов р8, и
перед которыми появится множитель 1/т(. Это, в свою очередь, приводит к
неточному воспроизведению в модели влияния дополнительной скорости враще-
ния ротора рб и влияния периодической составляющей тока ротора рфа и
апериодической составляющей тока статора /?<|ч на характер изменения угла во
времени 6=/:(() и характер изменения токов статора (ст и ротора /рот
(рис. 5.17). Большое количество опытов и расчетов показало, что это влияние
ничтожно мало, если значение х//? для цепи статора достаточно велико (поряд-
ка 100). Влияние заметно только при малых значениях х/Р, оно тем больше, чем
меньше абсолютные значения постоянной времени ротора Т и постоянной инер-
ции Т.,. Это положение иллюстрирует рис. 5.18, где показано изменение угла при
различных значениях постоянных инерции и постоянных времени, причем пара-
метры подобраны так, что соблюдается условие = (дет.

Рис. 5.18. Проверка точности прибли-
женного моделирования:

кривые /. II. Ш при -г/Я=16 и Т«—0.3.
кривые 2. 3 при хй=160 и ТлТа‘—в;3.
конные / И. Ш (штриховые линии) и
2,Р 3 (пунктирные линии) - приближенный
расчет (без учета Р6 и ₽Ф). Ы-нвые I II
III (сплошные линии) и кривые А

(штрих-пунктирные линии) расчет
Рис. 5.19. Характер процессов при моде-
лировании с изменением частоты

имеют слишком малые значения и их

Следовательно, приближен
нос моделирование почти всегда
осуществимо. Его нельзя осуЩе.
ствлять только в редко встречаю
щихся в практике случаях — при
введении в цепь статора большою
активного сопротивления или ис-
следовании процессов в сравни
тсльно маломощных генераторах,
связанных протяженной кабель-
ной сетью.

Моделирование при по-
вышенной частоте (рис,
5.19). Иными словами, это
моделирование при электри-
ческой скорости вращения
генераторов модели, боль
шей, чем скорость вращения
генераторов оригинала; оно
позволяет удобно осущест-
влять требования критериев
электромагнитной Т=
= ю1/7? = 1с!еп1, электриче-
ской Г=(оС/6 = 1с1ет и меха-
нической 7\* = 1с1ет скоро-
стей.

У нормальных машин ма-
лой мощности параметры Т
трудно увеличивать. При по-

вышенной скорости вращения указанные критерии обеспечиваются
сравнительно легко. Так как при увеличении частоты процессы в
модели протекают быстрее, чем в оригинале, то необходимо моде-
лировать и граничные условия, изменяя соответственно выдержки
врел ени реле, скорости отключения и т. д. Возможности моделиро-
вания машин с увеличением скорости вращения ограничиваются в
связи с возрастанием постоянной инерции, которая (при выражении
пЛТН0СтТеЛЬИЫ^ единицах) пропорциональна квадрату числа
Р ов. аким^образом, значение не может быть выбрано
поучить тпр!'ЭТИХ Со°бражений с учетом необходимости
ли и оригин ?Ю(1ппеСЯ С00ТНоШения между сопротивлениями моде-
орошения межп^ РДДеляЮтСя число оборотов, число полюсов и со-
диаметром ротора и °е™Гдл	рРязмерами (например, между

нерационально еще и потомч чт ' Вь|бнРать большое значение
ванне ряда побочных явлений 7п^РИ ЭТ°М Услож,1яется моделпро-
вихревых токов, на тренир*«И ^по,тери мощности на гистерезис, от
Делировдние, охватывают^ Т’ Д’ ’ затРУд,,яется комплексное мо-
пропегсами процессы в прп ’ напРимер> наряду с электрическим»
некие нормальных измопи?,ВИЧНОМ двигателе; исключается приме
моделировании системы пт1Ьн5‘1х приборов, аппаратов, реле. Г1|’и
системы шин бесконечной мощности требуются
370
специальные мощные источники питание г

при моделировании с большим повышением частоты можн™™’
к машинам-моделям очень малых габаоитов ит°ть1 можно перейти
этом трудности (малые выдержки воемЛш тп В03н"^'«П1ие при
трение оУ воздух „ т. д.)

лирования.	ил чк" ооов моде-

Генератор-модель, построенный на повышенной частоте дол
жен быть сконструирован так, чтобы его воздушный зазор мог лег
ко изменяться. Переменными могут быть сделаны реактивные со
противления рассеяния статора и ротора. Такая конструкция по-
зволяет быстро изменять реактивные сопротивлени модели
Наибольшие трудности при повышенной частоте 'представляет мо-
делирование потерь мощности на гистерезис и от вихревых токов
которые приблизительно находятся в следующих соотношениях с
мощностью и ее частотой:

△Лис = V /Р\ А^виХр = Р.

Условия подобия здесь можно выдерживать путем улучшения
качества стали и уменьшения ее листов.

Некоторые практические вопросы моделирования синхронных
машин. Если определяющие критерии подобия у модели и ориги-
нала соответственно одинаковы, то всегда можно так подобрать
базисные условия, чтобы получить равенство долевых параметров
и тождественность уравнений при выражении величин в относитель-
ных единицах.

Пусть, например, один синхронный генератор имеет синхронное
реактивное сопротивление 200%' и активное сопротивление 3%, а
другой генератор — реактивное сопротивление 100% и активное
сопротивление 1,5%'. Критерий х//? = 1йет при этом удовлетворен.
Если у первого генератора выбрать Рб=0,5Рв, то параметры пер-
вого и второго генератора в относительных единицах одинаковы.
В этом случае режим полной нагрузки для второго генератора со-
ответствует режиму половинной нагрузки для первого генератора.

Техника нахождения условий подобия. Она сводится к следую-
щему. Записываем уравнения модели и оригинала, принимая за
базисные величины их номинальные мощности и токи и считая,
частоты их равны. Выражая параметры модели через параметр 4
оригинала, получаем:

^ы=.ткР°р; х^т^; Мы=тмМор-

Надлежащим образом подбирая параметры и масштабы^пере-
менных, можем сделать уравнения для м0^е^‘ ‘ Р южной спсте-
ственными. Следует заметить, что у всех элементов <Хковь1м", но
мы масштабы времени и мощности долж ь _ могут иметь
на разных ступенях трансформации токи и р’ сицьн0 изменению
разные масштабы. Изменение масшт Р	сопротивлений

коэффициента трансформации или изм не I данноч сяучае не-
соответствующей части системы. 1 о у
б оказываются несущественными, то
проеы геометрического подоои ^ ^^о^ поЯучены ли нужные со-
в конечном счете совершенноое	маш„НЬ1.модели или извне,

отношения параметров «внрР „с1е^ котОрые можно включать
с помошыо дополнительных } I Так11МН дополнительны-
последовательно в цепь.этой мМ

МИ У<тро&,ствам" позволяющий изменять подведенное к ста-
1) трансформатор, по значения активных и реактивных
тор- напряжение и приведе
сопротивлении; ,ЛОТ....1КИ позволяющие изменять реактивные
2) ^тения^ассеяния обмоток статора и ротора;

С0"з? имгать, позволяющие ..менять активные сопротивления
с Р „тлпГн статора и их постоянные времени;

^ГсХесньп коллекторный генератор или специальная элект-
ронная установка, создающая отрицательное активное сопротив-

Допотнптельные устройства могут быть не только электриче-
скими Возможно, например, применение и специальных механиче-
ские установок, искусственно уменьшающих трение, улучшающих
охлаждение и т д. Разумеется, применение люоого дополнительного
устройства возможно только при условии, что процессы, проис-
ходящие в нем, не искажают основных процессов, происходящих
в модели.

Проектирование физических моделей синхронных машин. Рас-
сматриваемое проектирование может основываться на двух под-
ходах:

1) заданы критерии физического подобия, которым удовлетво-
ряет оригинал и должна удовлетворять физическая модель. Не-
обходимо определить размеры модели:	хг/хп;

.) заданы размеры оригинала, необходимо определить размеры
физической модели.

Обе эти задачи могут быть решены, если выявись основные со-
гии™РН°СТИ Не геометРнчески подобных, а физически подобных
сип .ронных машин.

критерияТмГппппЛиЫ Фи31,чес1:ая модель удовлетворяла основным
размерами и мп/’ °НИ Д0ЛЙ НЫ $Ь1ТЬ 'связаны с геометрическими
бХ модетьяыкТ™ МаШНН системои уравнений. При разра-
следует предусмотг/тХр0ННЫХ машин Для большей универсальности
неявнополюсного исполнения*3'0 /ааИМ03д леьяемые РОТПРЫ явно- и
лирования при заданном	РагшиРяет возможности моде-

возможностиРдолжны бХ Машин- В ильной машине по
ч? ш, в частности корпус/ ИсПользовань1 стандартные узлы и де-
демпферной обмотки вопя. И п°дшипннк°вые щиты. Конструкция
стержней, если это погребете °ОСГ1еЧ-ИВаль част11чное выключение
наций в параметрах дем ... 4-Для °браз&вания различных комби
нои осям машины, а таХР”°И обмотки по продольной п попереч-
мотки только в пределах си пппе'1ИНСИ"е стержней демпферной об-
струкции необходимо позаботи*^*1* полюеов. При разработке кон-
37^	ться °б удобстве отсоединения
Рис. 5.20. Общий вид (разрез) МГ-15-1000

дисков, которые насаживаются на вал машины для увеличения
махового момента ротора.

В качестве примера рассмотрим конструкцию одного из модельных син-
хронных генераторов типа МЭЛ МГ-15-1000 (рис. 5.20) * Он моделирует чвно-
полюсные гидрогенераторы любой мощности и скорости вращения. Изменение'
параметров модели в соответствии с условиями подобия осуществляется нт
введением дополнительных устройств, располагающихся вне машины, или заме-
ной (возможность которой предусмотрена при разраоогке конструкции) н м
торых частей внх'трн самой машины. Для увеличения индуктивных сопротие
нип рассеяния в цепь обмотки якоря и обмотки возбуждения вводятся дополни-
тельные индуктивные сопротивления с низкими потерями порядка 1 &%. Прово
димость полей рассеяния изменяется также путем замены магнитных клиньев
между полюсными наконечниками. Удобство и быстрота замены того р
модели ротором с другим воздушным зазором или возможность смыцени)
на некоторый угол, предусмотренная в конструкции модели, позволяет ш V .
другие значения индуктивных сопротивлений взаимоиндукции с..| и /
коительная обмотка моделей разборная. Стержни соединят» ге
кающими сегментами или кольцами при помощи гаек. е тнь с » | » с
сечением могут быть заменены	ВмХ короткозамымющт.х

ЩКМИ выточку, ИЛИ изготовленными ИЗ латуни.	, ОеИ При

колец могут быть установлены сегменты по поперечно	я п стерж1 н

моделировании генератора без успокоительной он У

♦ Сокращение ДУГ-15 1000 означает: модельный парогенератор
15 кВ А, 1000 об/мин.

Рис. 5.21. Схема модели

агрегата

синхронного

генератора:

/ — модель первичного дви-
гателя (турбины); 2 —син-
хронный генератор (мо-
дель); 3 — обмотка возбуж-
дения; 4— дополнительные
сопротивления (индуктив-
ности и взаимоиндуктивно
сти) статора; 5 — трансфор-
матор-модель, имеющий
переменный коэффициент
трансформации 6 —до-

полнительное сопротнвле
иие цепи возбуждения воз

будителя;

М — дополни-

тельные диски для увеличе-
ння инерции ротора син-
хронного генератора; е3 —
напряжение возбудителя;

— дополнительная ин
дуктивность в цепи возбуж-
дения возбудителя; р —
цепи подключения регуля-
тора возбуждения; 7 — воз-
будитель; 8 — дополнитель-
ная индуктивность; 9 — до-
полнительное сопротивление;
10 — дополнительное пере-
магничивающее устройство
для перемагничивания стали
сериесного генератора и пре
образователя; // —якорь се-
риесного генератора; 12 —
якорь преобразователя;
13 — двигатель, вращающий
с постоянной скоростью
преобразователь и компен-

Сатор; 14 — обмотка
буждения сериесного

ратора;

буждення

15 — обмотка

воз-
ген е-

воз-

преобразователя

короткозамыкающие кольца.

Регулятор

и

Проводимость для полей рассеяния и частотные
характеристики успокоительной обмотки изменяются путем смены магнитных

клиньев и немагнитных прокладок. Момент инерции регулируется установкой
различного числа дисков маховика. Эта операция не требует разборки агрегата,
так как снятые с маховика диски закрепляются на специальной стойке. Заметим,
что изменение реактивных сопротивлений модельных генераторов можно осу-
ществлять с помощью дополнительного подмагничивания и
Насыщения стали одного или нескольких участков магнитной цепи синхронной
машины. Так осуществляется регулируемое снижение сопротивлений взаимо-
индукции между ротором и статором в обеих осях. При этом изменяются все
параметры машины, зависящие от хал и хач, в функции тока подмагничивания.

Влияние подмагничивания на характеристики синхронной машины в опреде-
ленной мере аналогично влиянию увеличения воздушного зазора, но обеспечи-
вает более плавное регулирование реактивных сопротивлений и создает ряд
других преимуществ, важных в лабораторных условиях.

Недостатком регулирования параметров модельных синхронных машин
является некоторое искажение относительных характеристик холостого хода
возрастающее по мере увеличения тока в обмотке подмагничивания.

В табл. 5.3 приведены основные технические данные моделей синхронных
машин МЭИ.

Моделирование системы возбуждения и регуляторов возбужде-
ния. Практически при создании моделей систем возбуждения хр>п-
ных синхронных машин приходится исходить из следующих с
ражений. Обычно размеры генератора .выбираются из условия
375
Рис. 5.22. Общий вид модели агрегата

обеспечения без компенсации критерия га[хаа 1(1ет, где га ак-
тивное сопротивление статора, определенное с учетом добавочных
потерь короткого замыкания. При этом в цепи обмотки возбужде-
ния оказывается избыточное сопротивление, которое компенсиру-
ется специальной коллекторной машиной или какой-либо электрон-
ной установкой. Эти компенсаторы активного сопротивления (КАС)
должны обладать быстродействием и линейными харатеристиками,
с тем чтобы их включение не приводило к сколько-нибудь сущест-
венным искажениям моделируемых процессов. Уменьшение в 2—3
раза сопротивления обмотки возбуждения получается вполне на-
дежным. Включением в обмотку возбуждения дополнительных со-

противлений со специально подобранными частотными характери-
стиками и выбранной степенью компенсации (из условия получения
необходимого омического сопротивления) одновременно удается
также получить подобие для сопротивлений обратной последова-
тельности г2 и л2, а при полной демпферной обмотке — также и
подобие частотных характеристик по осям с/ и 9

С учетом всех высказанных положений была
генератора, схема которого

создана * модель

показана на рис. 5.21, а общий вид —

" 5 23 СХеМЭ ВОзбУждения генератора СВ-1500
«ид-.тельства на имя В А Ко

• Веникова № 88435, 87724.

Авторские
37Ь
Рис. 5.24. Прин-
нипиальная схе-
ма системы воз-
буждения модели

МГ 15-1000:

В — во >будитель м »
дель; Др—ьнеаш
альиый допилин’’ пь-
ный реактор л л»
увеличения п, тсви
ной времени
кн возбужден и в, ,
бу дителя; Ш — па-
раллельная <1'*М<ГПИ
возбудителя; Н -
независимая /миг
ка возбудителя й,

— ДОПОЛНИ 1*_, >нъ<-
обмотки вол»' ', кл<
ния; Л —Пр. < Ард.
зоватеть напряже-
ния, К—компенса-
тор активного ц>-
противления

на рис. 5.22. В модели имеются дополнительные устройства для
компенсации сопротивления (компенсатор в цепи возбуждения син-
хронном машины) и для преобразования напряжения возбудителя,
(преобразователь). Этих устройств нет в оригинале (рис. 5.23).
Назначение преобразователя (рис. 5.21, 5.24) состоит в том, чтобы
вводить в цепь обмотки возбуждения синхронного генератора мо-
дели отрицательное активное сопротивление и преобразовывать
постоянный ток относительно высокого напряжения (ц), получае-
мый от возбудителя, в постоянный ток более низкого напряжения
(1'2), которым должна питаться обмотка возбуждения генератора
модели.

Агрегат состоит из двух машин постоянного тока, преобразователя и ком-
пенсатора, характеристики которых за счет действия специального перемагничи-
вающего устройства 6 можно считать идеально линейными. Якори этих машин
(рис. 5.21) включены последовательно н дают на выходе (в точках а' — а"} некс-
торую э д. с. 6)2, зависящую от тока /2, протекающего в так называемой неза-
висимой обмотке 9, и от тока ц, протекающего в последовательной обмотке 1>:

6]2 =	+ 62 = ^1'1 + Л2<2>

где

А1 = С0П8(, А,2 = соп5*-

Дифференциальное уравнение напряжений для контура обмотки возбужде-
ния генератора, включающего якори компенсатора и преооразовате.тя, запишет-
ся так:

С12 = С] + 62 = й7"Ю +

где	— часть е|2,

ниональная току й; 7-1

пропорциональная току	“ часть пропор

— полная индуктивность контура; По- естественное

омическое сопротивление контура.

Если пренебречь запаздыванием
писать в другой форме:

в контуре тока, то уравнение можно пере-

е<2 = А3е3 = йп + ^‘1 !&•

дптеля (бз —э. д. с. модели возбудите. >	» компенсации.

=Г|0—Л) — сопротивление контура тока ц с у

модели возбу-
коитура); И =
во-первых, что омическое сопротивлс-
Анализ этого уравнения	до величины	во-вторых, что в ко,,,

иие контчра г,, как бы )Мсньшплоеь до	н запаздывания в контуре тока ,2

т твводиТсяэ.д. с. е,, которую "Рн отсУс * д модели возбуд11теля ез н_
Цкно счи^ьл;сР*я°врсмеии цепи возбуждения возрастает от величин,,,
до *|)	„гг,Ргат того пли иного исполнения, который

Таким образом, специальный агрб азователь-компенсатор». играет одновре-
в датьнейшем будем называть «пре I * постоянного тока и компенсатора со-
меино роль своего рода транец^.

противления цепи возбуждения.

"ие""(Электронно-ионный. Возбудитель в случае необ-
™пиой"™егаа может быть спроектирован так. чтобы потребляв-
^аним в любом .режиме мощность удовлетворяла условиям
потобня. что особенно важно для возбудителя на валу генератора.
Величина тока в мезависимой обмотке 9 агрегата 10 может регу-
лироваться активным сопротивлением, а индуктивность дополни-
тельным реактором. Регулировка необходима при изменении посто-
янной времени обмотки возбуждения или параметров генератора.
Величина тока возбудителя г'з регулируется сопротивлением.

Применение сериесного генератора — весьма простой и надеж-
ный способ получения отрицательного сопротивления. Но для этого
сериесный генератор должен отвечать следующим требованиям в
переходных процессах:

1)	характеристика холостого хода его должна быть прямоли-
нейной в пределах возможного изменения тока в цепи. Это требо-
вание приводит к необходимости применять дополнительные пере-
магничивающие устройства (6 — на рис. 5.21) и выполнять генера-
тор с весьма большими габаритами;

2)	величина дополнительной э. д. с. Де0, обусловленной налипн-
ет гистерезисной петли в характеристике и=Н1) (рис. 5.25) не
должна быть значительной в рабочих пределах от /щщ до (тах; ’

3)	изменение напряжения на
выводах генератора должно точ-
но следовать за соответствующи-
ми изменениями тока в цепи. За-
паздывание напряжения, обус-
ловленное вихревыми токами в

магнитной

цепи генератора,
Должно быть ничтожно малым по

сравнению с временем протекания
процесса;

4)	скорость двигателя 12, вра-
щающего сериесный генератор 10,
Должна быть постоянной, так как
иначе значение отрицательного
онротивления будет изменяться
'Ропорционально изменению ско-
рости.
Рис. 5.26. Принципиальная схема спе-
циального сериесного генератора для
компенсации активного сопротивле-
ния:

/, // — сериесные обмотки возбуждения;
1.2 — вспомогательные обмотки, включен-
ные навстречу; 3 — питание высокой ча-
стотой

Все сформулированные требования относятся и к преобразова-
телю.	г г

Обычные сериесные генераторы рассматриваемым требованиям
не удовлетворяют. Особенно неприятным является влияние гисте-
резисной петли. В связи с этим была предложена * схематически
показанная на рис. 5.26 специальная конструкция сериесного гене-
ратора с обмоткой, питаемой от дополнительного устройства (6 —
на рис. 5.21) током высокой частоты и перемагничивающей сталь
статора. В указанной конструкции было полностью устранено вли-
яние добавочной э. д. с.

Отрицательное сопротивление может создаваться не только при
помощи коллекторного генератора. Для этой цели успешно приме-
няются и электронные устройства.

Для правильного отражения процессов в системе возбуждения
необходимо обеспечить подобие электромагнитных процессов во
взаимосвязанных контурах системы возбуждения:

1	. Согласно теории подобия для сохранения масштаба времени
необходимо, чтобы для всех обмоток возбуждения

А„/г„—1с1еш;	(5.38)

Л^„/(4/т)=Ие1П.

(5.39)

Если предположить, что потоки рассеяния как в оригинале, так
и в модели невелики по сравнению с потоком взаимоиндукции, то
можно считать, что всегда	и принимать во внима-

ние только первый критерий.

2	Поскольку схема позволяет моделировать только возбудите-
ли, в которых реакцией и падением напряжения в цепи якоря мож-
но пренебречь, достаточно дополнительно потребовать, чтооы иц: -
ки якоря возбудителя модели были расположены на ге^е;Р"7;К0“
нейтрали и его относительная характеристика холостого хода сов-
падала с характеристикой оригинала (рис. 5.27).

ВД = /Ш = МеП1

Авторское свидетельство на

имя В. А. Веникова № 93817
или

ФА=/Ш=Мет’

(5.40)

где О'» — напряжение на якоре возбудителя при холостом ходе,
1в-ток любой обмотки возбуждения; с-характерная точка ха-
рактеристики.

Из критериев вида (5.40) вытекают основные соотношения, кото-
рые необходимо иметь в виду при расчете модели возбудителя. При
выборе числа витков обмоток возбуждения и их сопротивлений
следует исходить из заданных напряжений на обмотках. Соотноше-
ния между числами витков ш обмоток модели и оригинала могут
быть различными:

О’л/и’т =# ^!т'т -

(5.41)

Соотношение между м. д. с. обмоток модели в номинальном ре-
жиме должно быть таким же, как в оригинале:

= Е°р/Р" = тР,

(5-42)

Г ПР Р(Р. Р м

™ ’ с ~~ ' Д’ С'' С00ТВСТСТВУюШ’1е характерной точке ха-
рактеристики намагничивания (рис. 5.27); тР~ масштаб м. д. с.
тения кпи1ипаН'НЫХ постояиных времени обмоток модели сопротив-
должны н1хоти’ткаК ЭТ° Следует И3 «оставления критериев (5.38),
должны находиться в определенном отношении-

(5.43)

ткт^^/г«.

’ СТеСТВеННО, ЧТО ДЛЯ пбюгг>	<

вообще для всех мапнитноснячвозбУждения возбудителя, как
должны быть выбраны один я™ ЫХ КОНТУРОВ. масштабы мощности
ний найдены исходя из запячЛ^'ЛИ’ 3 масштвбы токов и напряже-
прИ'Нятыми числами витков. *Х СООтношенпй между м. д. с. п
Хилтах*--™

Проектировать модель возбудителя плоше чг.<

Поскольку оси всех обмоток возбудителя неподвижны в пространстве “д™
увеличения постоянных времени обмоток возбуждения можно применять вып₽
сенным за пределы машины неподвижный регулируемый реактор До обмотки
которого включаются последовательно с обмотками возбуждения Эффект „их
ревых токов массивных частей возбудителя-оригинала может быть моде чипе
ван при помощи дополнительной короткозамкнутой обмотки, охватывающей
полюса модели возбудителя и сердечник реактора. Эффект вихревых токов не
посредственно в массивных частях возбудителя может быть при этом занижен
ным. Если эффект реакции якоря н падения напряжения в цепи якоря воэоу-
дителя не моделируется, то в качестве модели возбудителя может быть исполь-
зована несколько переделанная нормальная машина постоянного тока небольшой
мощности. Относительные характеристики намагничивания такой машины и
мощных возбудителей практически совпадают.

Номинальное напряжение возбудителя должно быть выбрано пз условия
совпадения относительных характеристик холостого хода.

Если необходимо моделировать возбудители с шихтованным сердечником
статора, то сердечник модели возбудителя также желательно выполнить шихто-
ванным. Если постоянная времени контуров вихревых токов модели с массив-
ной станиной мала по сравнению с постоянными времени обмоток возбуждения,
то шихтованный сердечник не обязателен.

Применяемая в модели МЭИ модель возбудителя МПН-28.5 переделана из
нормальной машины постоянного тока типа ПН-28.5 завода «Электросила*
(бпом=230 В; /пом=8,7 А; Лшм=2 кВт. лпОм = 1430 об/мин).

Для изменения постоянных времени обмотки возбуждения возбудителя
МПН-28,5 служит реактор ДПН-28,5. Магнитопровод реактора имеет регулируе-
мый воздушный зазор, что позволяет изменять магнитное сопротивление (/?«=
= и12Д-) сердечника, а следовательно, и индуктивность включенных катушек
реактора. Характеристика намагничивания реактора практически подобна харак-
теристике намагничивания МПН-28,5

Подобие и моделирование регулятора возбуждения. Присоеди-
нять к модели электрической системы регуляторы возбуждения же-
лательно по возможности! такие, которые должны работать в систе-
ме-оригинале (натуральные). Однако условия работы мотели на-
кладывают определенные ограничения на свойства присоединяемых
регуляторов. Эти ограничения должны рассматриваться как гранич-
ные условия подобие которых обязательно для возможности уста-
новления подобия всей! системы, регулируемой тайным

Граничные условия подобия регуляторов могут оыть приолпженно
сведены к требованиям обеспечения подобия на входе иI выход -

Вход регулятора. Напряжение на входе ,регу ля ор
ходе .. нормально»

или форсировке должно быть таким же, как в орг. Р,нале
чески достаточно удовлетворить равенству в модели и оригинале
X“одного пз указанны/ выше напряжений. одновременно по-

требовав, чтобы

/,ах=<Р(^/*вх) = 1с1е1П.

(5.44)

В граничные условия подобия Рв^ля^и%
условия подобия трансформаторов напряжена	1	$


ристик:

^^/(ад-Шет;
/.„=/(/.,)=Шет,

(5.45)

. „ Г и П относят ток к первичной или вторичной обмот-
где индексы I и II относ т	I тоебовать, чтобы потреб-

кам трансформатора. Крол 	,регулятора модели

м"а.этих трансформаторов „
Хм Режиме работы генератора не вызывало бы заметного уве-
личенпя потерь в модели.

В случае большой потребляемой мощности на входе регулято-
ра-оригинала необходимо как условие граничного подобия ввести
требования

А в< =/((/.) = Мет; Р.вх=/(/.)=Шет.	(5.46)

В условие подобия измерительных трансфор-
маторов, присоединенных к регулятору, должно было бы вхо-
дить требование идентичности постоянных времени первичной и
вторичной обмоток трансформаторов:

Т'»1 = 1дет; 7\ц=1дет.

(5.47)

Однако соблюдение этого требования имеет смысл только при
запаздывании в регуляторе, соизмеримом с указанными постоян-
ными времени. Если постоянная запаздывания в регуляторе
тЗ>/1^Гц, то соблюдение критериев (5.47) не обязательно. Если
это неравенство не соблюдается, то необходимо увеличить постоян-
ную времени измерительных трансформаторов модели, включив в
его первичную или вторичную обмотку индуктивность.

. ПИ РегУлятора. Для обеспечения подобия работы
вне а Именно ппп°л Необходимо выполнить второе граничное усло-
тор’работает ниХпТ режима на выходе регулятора. Если регуля-
то подобие работы	НЭ ОС11ОВ'ПУЮ обмотку возбуждения,

п«тоя11ныеРВреМе„„\с^(°ГегТце°Пи™(™Л>ЬКО усЛОМ'И' ЧТ0
Ь'выхИ мощность на выхпД р Ц (твп), напряжение выхода
ли и в оригинале:	Де сао’гвет'ствен1но одинаковы в моде-

Лвя~14ет; ^*вых-/(/.В14Х) = ((1еп1; рвых = 1с|ет.	(5.48)

отаосится°кТребоваиия^3по^ ЧТ° перВ0е из условии (5.48)
одним из критериев ее подобия^ системи возбуждения, являясь
ранее Соблюдение первого условий Мй\РОС УЖе быЛ Рассм0ГРеП
ню сводится к требованию Х, ИЯ  является обязательным,
осуществляется моделирований СТва постоянных времени, если не
382	С нзмене,нием масштаба времени
При изменении масштаба времени первое условие
ет вид	1 с условие (5.48) прннима-

ЛЛ-Мет; Гт/г2 = Ыещ,
ста/ющ^^н^	за„азЯЫЕан„е а тог„„.

Соблюдение условия тождественности мощности Р ~р /р
выдаваемой регулятором, является обязательным только мя во,":
будителя с последовательным или параллельным возбуждением
Очевидно, что соблюдение условия Р,„-|<1ет требует и*и уста'
ковки на модели нового силового элемента, или выделения из всей
мощности силового элемента часта мощности, направляемой на
питание обмотки при одновременном поглощении другой части
мощности в активном сопротивлении, непосредственно не участвую-
щем в работе основной схемы. Практически это может осущест-
вляться включением выхода силового элемента регулятора через
делитель напряжения (см. выше). Включение через делитель на-
пряжения не меняет скорости нарастания тока в обмотке возбужде-
ния, и первое условие сохраняется. Рассматриваемая схема вклю-
чения не воспроизводит достаточно точно влияния свободных токов,
появляющихся в обмотке возбуждения, на регулятор, что является
известным ее недостатком. Действие силового элемента регулятора,
включенного через делитель напряжения на обмотку возбуждения,
не будет чем-либо отличаться от действия силового элемента регу-
лятора, непосредственно подключенного к обмотке возбуждения ге-
нератора. Обратное же действие изменений тока (вследствие каких-
либо изменений в обмотке возбудителя) будет сказываться на си-
ловом элементе регулятора меньше. Подобия реакции регулятора
на внешнее возмущение не будет. Поскольку последнее обстоятель-
ство в большинстве случаев несущественно, то данная схема может
применяться почти без всяких ограничений. Второе условие (5.48),
требующее идентичности нагрузочных характеристик силового эле-
мента, сводится к требованию относительно одинаковых нелиней-
ности и падения напряжения. Этим условием работа всего регуля-
тора в целом, разумеется, не характеризуется. При испытании
натурного регулятора для проверки его действия достаточно потре-
бовать, чтобы в режимах холостого хода, нормальной раооты и
форсировки в обмотке возбуждения генератора-модели протекал
бы такой же относительный ток, как и в обмотке ^буждения ге
непатора-оригинала (остальные обмотки возбуж дения возоудите. я,
к^оме^мотк,,. „„темой от регулятора, должны ^Разомкнуты).

Р Рассмотренные условия подобия на входе н выходе Р
т. е. его граничные условия, должны соблюдаться.как в
когда в модель включается натуральный регулятор,
ях, когда регулятор моделируется вде и выходе

Полное подобие регулятора, кроме подойия на твенности
его, требует в качестве осязательного у ' иентов регуля-
структурной схемы регулятора и подобия всех элементов регу
тора.
, - пет штора может получаться при ца.

Приближенное пооооие ? Центов цО при соблюоении пособия
рушении подобия ОГ°С{Ь"Ы*„ ' соединенных элементов регуля-
действия цепочки последовательно

тора.	запаздывание в одном элементе не отвеча-

Так. нап'Рпме^®ЕЛ" можно осуществлять приближенное подо-
ет условию т.п='Щегп, т

бие. получая т.„+т.п+1	' ач„ связанные с проблемами ки-

Таким же путем Р^Тэлектрическими системами. Одной „3
бернетического УпРав‘	является развитие метода синтеза и

ближайших задач это  структурных схем электрических
на его основе разработка^а^их Хлексные регуляторы, дейст-
вХиеХвременно на систему возбуждения, первичный двига-
теТ. устройства, улучшающие режим и меняющие свои парамет-
ры и настройку в зависимости не только от настоящего состояния
режима, но и от будущего его протекания, предугаданного
анализирующими устройствами кибернетических регуляторов.

Моделирование трансформаторов. При неполном моделировании
энергосистем, когда изучается только протекание процессов во вре-
мени, снимается вопрос о пространственных размерах трансформа-
тора-модели и влиянии геометрических соотношений и конструкции
на электрические параметры и процессы. В условия подобия вхо-
дят только параметры трансформаторов, рассматриваемые как
сосредоточенные. Критерии могут быть получены непосредственно
нз уравнения трансформатора:

/?л+Л-^-+Л1^-=0;	+	(5.49)

01	01	01

На основе способа интегральных аналогов получаем:

1 ' _А_ ।	14--^—I —

А?]/	/?[/ \ *1 )	/?г/ \ *2 /

Эти уравнения можно переписать иначе:

14-7*1	=0;

Очевидно, чго при условии
/.2/А?2/=-К1ет, а также при

1 + Т4”ТП-1 1=0.

7*1=71// = 71/А>1/=к1ет

7‘12 -	= Нет; 721=М/(Н21) = Иет

И 7*2 —

(5.50)

процессы подобны.

приведеннЦРвы^усл^ям паРаметРы которых удовлетворяют
веденных токов пешвпй „ Я ’’ В€ЛИЧИ,на пб равная отношению при-
словия, как и следовало МТД °бМ0Т0К' од™ акова. Найденные
ляющих критериев подоби о* И,^аТЬ’ ничем не отличаются от опреде
и могут быть, по аналогии ’ 3 0ЛуЧеННЫХ для электричсскпх машин,
форматоров. Т|рансфопмйтАп.а1ПИ<аНЫ ДЛя миогообмогочи1ых транс-
подобны при,нестационарных ’ удовлет,воРЯЮШ'ие этим критериям,
Вместо определяющих критериев П „

-рии для индуктивностей рассеяния: 1 ° можно написать крпте-

’'.1.=11.Лед=Мега; Т.^иМл=!л^

первый из которых получается яы™™.,

(5.50)	из первого. Вместо последних кюитеоиря гретьего кРитерия
ны следующие:	*едних критериев могут быть записа-

А1О/Л1 = 1(1ет и А2о//И=1бет.

Если явления, происходящие в трансфовматопр го „
сердечником, не представляют интерна,Т оТато™
чтобы сумма этих критериев была постоянна:	потребовать,

Ьк)М—(/.!□ + /,2о)/Л1=1бет или хй/х,х=1бет;
сумма критериев для активных сопротивлений

гк11 М =(/?! 7?.,) 1/М = 1(1е пт,
или при одинаковых частотах

15.51)

гк!хр-—-Мет.	(5.52)

К этим определяющим критериям трансформатора нужно доба-
вить дополнительные критерии, выполнение которых также необ-
ходимо:

1)	постоянство относительных электрических потерь или отно-
сительного сопротивления короткого замыкания

2	2

о Рэ Рэ1+Рэ2 Рл + Р2‘2_

/Аэ —-----------------=-----------— г*к.

$НОМ	^НОМ	“НОМ

Этот критерий удобнее записать в виде
х*р.=(Л»р./г*л) г*л=1(1ет;

,5.53)

2)	постоянство относительных магнитных потерь при номиналь-
ном напряжении

— Р м/^нчм-

Этот критерий после умножения на (5.53) записывается в виде
Р.мл»,х=Ме1п;	(°-54)

3)	подобие относительных характеристик холостого хода
^0=/(Л,) = 1с!ет.

Критерии подобия для^многообмоточных^^
писываются аналогично Уравнения	ь3°пнсаны для

изменении Критерии (5.51) и (о.52) должны бы г
всех возможных сочетании оомоток.

гк (тЯ)/^=Не ш; л-к (тП),^ - йкш,

эн.з
_иные к первичной обмотке сопро-
обмоток прй ра~ых

^ЛХ'яодололнитель’

НО потребовать выполнения опр д
х0/л-,=^’еп1-

ня базе полеченных критериев модель трансфор-

Создаваемая на базе по - ,тельн0 меныпую, чем мощность
матора. имеющая м°Щн^жна иметь и значительно меньшие раз-
оривши а. р. меетс ’	*-р, Из соображений, высказанных

меры (приблизнтельн ’	' о ПОЛное относительное реак-

для ™еРЗ™Ра-Х*"°т-а;ХХ;ора мало зависит от его мощно-

В03'
растает с уменьшением мощности и размеров.

/?% = 1\рш/2)-

где / — характерный размер.

Намагничивающий ток трансформатора

4%	5/(р/Н0М/),

где /ном—плотность тока при номинальной нагрузке.

Постоянная времени Т=®В/В с уменьшением размеров падает,
так как магнитная индукция В одинакова в модели и оригинале
(условие В = 1бет необходимо для правильного отражения условий
насыщения).

Таким образом, получить трансформатор-модель уменьшенных
размеров мощности, но удовлетворяющий критериям подобия, ока-
зыва 1 ся возможным только при увеличении частоты. При неизмен-
ной частоте уменьшать активное сопротивление трансформатора
во^т°кг«и31ИВаЯ его геометРические размеры. Однако это при-
хвелпчрииш НИЮ номинальн°й плотности тока в его обмотках и к
добия гоанс(ЪппмятАЧИВаЮЩеГ-° тока- Лля выполнения условия по-
приходится идти ня чР0В малои мощности при неизменной частоте
вая сопротивления' ^промиссные решения, искусственно увеличи-
пуская некоторое увелицРНИЯ За СЧеТ внешних сопротивлений и до-
разно применение Уав ни® наМагничивающих токов. Целесооб-
Обычно проектированиеРмодалиь1ТеРОВ ВМеСТ° тРансФ°Рмат0Р0В-
трудняется необходимостью п? ' силовых трансформаторов за-
относительных характепистик-ДН°ВреМеНН0 обеслечить совпадение
тельных потерь короткого чям^°Л0СТ0ГЯ хода и Равенство относи-
Чить совпадение потерь копп ЫКания- Как правило, удается полу-
токов.холостого хода для НОми°1°пЛ.аМ.ЫКаНИЯ лящь при равенстве
модель трансформатора можрт^ЛЬНЫХ напРяжений. Однако такая
учении динамической устойчив ЫТЬ С успехом использована при

У °ичив°сти электропередач.



с
§ 5.4. ФИЗИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЛИНИЙ ПЕРЕДАЧ
ПЕРЕМЕННОГО И ПОСТОЯННОГО ТОКА

Линии электропередачи в физических моделях электрических си
стем можно осуществлять или в виде физически подобных умень
шейных моделей, копирующих провода и изоляторы линии-натуоы
и, следовательно имеющих распределенные по длине параметпы
или в виде квазифизпческпх линий, представленных цепочечными
схемами замещения. Критерии подобия, на основании котопых ли-
нию электропередачи можно изобразить геометрически подобной
моделью, могут быть получены из общих критериев подобия отра-
жающих подобие электромагнитных полей (см. гл. II стр 106)

Построение геометрически подобной модели линии требует уве-
личения частоты и изменения физических свойств окружающей сре-
ды и материалов. Это создает трудности и ограничивает возможно-
сти моделирования линий геометрически подобными линиями-моде-
лями.

Однако такие модели создаются. В качестве примера можно
привести физическую модель линии 750—1200 кВ, предназначенную
для проводившихся в МЭИ исследований полуразомкнутых управ-
ляемых электропередач большой длины (до 2500—3500 км).

Модель состоит из трехфазной линии длиной 21 м с манганино-
выми проводами 0 2 мм, расположенными по вершинам равносто-
роннего треугольника со стороной 10 см. В центре треугольника
фазных проводов установлен нулевой провод. С одной стороны к
линии подсоединен трехфазный ламповый высокочастотный генера-
тор, а с другой — трехфазная симметричная нагрузка.

Трехфазный генератор имеет следующие параметры: частота —
5,73 МГц, междуфазное напряжение — 75 В (фазные векторы на-
пряжений сдвинуты относительно друг друга на 120°), мощность —
40 Вт на фазу. Выводы генератора подключены непосредственно
к фазам линии, а нулевой вывод — к нулевому проводу линии. В ка-
честве нагрузки использованы активные сопротивления соответст-
вующей мощности, подключаемые непосредственно к проводам ли-
нии, соединенным по схеме «звезда». Нулевая точка «звезды» под-
соединена к нулевому проводу линии. Кроме упомянутых основных
элементов модель обеспечена измерительными устройства мп я
измерения напряжения и тока вдоль линии. Датчики напряжения
и тока основаны соответственно на использовании электростатиче-
ской и электромагнитной связи, благодаря чему нсключшотс
посредственный контакт с проводами, а следовательно >•
ся влияние измерительных приборов на режим . р	'

Полный выбор параметров модели и ее конструкции оазпруетс
на анализе методами теории подобия.	можно

Собственную индуктивность провода Ькк ПР1 ‘ гЬопмх те
определить по известной из теоретической электротехники формуле

Ала = {21п(1/га) + лЛЧ Ю-4.
. „ —относительная магнитная про-
где г* - диаметр Л-го провода;

люм "арь‘п₽тодовя"* "ри“"'же""0
можно вычислить по формуле

УИяЛ=21п(1/5) 10-4,

здесь 5 — расстояние между Р написать и для емкости, исхо-

Аналогичные соотношения	ического расположения и

дя из размеров проводник , ' любого провода в системе
свойств окружающей сред. . частичные емкОсти. Таким образом,
мяВ°о°ХЖём“сгей системы проводов необходимо, чтобы все
"ётичпые"мюсти модели были подобны частичным емкостям ори-
гинала т. е. чтобы имело место соотношение

тсС^=С^.

При этом каждый из проводников моделируемой системы про-
водов нужно изображать отдельной цепочкой, содержащей опреде-
ленное количество ячеек, каждая из которых состоит из катушек
индуктивности и катушек взаимоиндуктивности, связывающих дан-
ную ячейку с другими цепочками, изображающими соответствую-
щие провода. Кроме того, в каждой ячейке должны быть присоеди-
нены конденсаторы, имитирующие взаимную емкость между дан-
ным проводом и другими проводами. Влияние земли при этом
учитывается введением условных отображающих проводов, как это
принимается в работах Карсона, Поллячека, Марголина. Вопрос о
количестве ячеек, изображающих линию заданной длины, будет
?авиен^РпНтДаЛее’ Причем будет показано- что количество ячеек
Ганн’й модели0’ “ ПР°ЦеССЫ ПРедполагае™ рассматривать на
°Ри™^Иал,анепо1Щщц:О^енно отпаж ”‘ЦеПОЧке изображается линия-
рах цепочки гео ио?сажающая в электрических парамет-
ные сопротивленияР(2 ие Размеры данной линии, а не ее расчет-
отражается созданием'пяпя ДР‘ ' влияние земли в этом случае
соответствует отражающему 7Д?Л“ЫХы Цепочек; каждая из них
связываются со всеми цепочкамтГи^б ИнДУктивно и емкостно они
РУемой линии, а активно - мр ’ изобРа»ающими провода модели-
2“ С!1Ку' из°бражающую 3 Ду образуя пространствен-
ен Рассматриваемой цепочки мог\7т^КТНВНЫе СОпР°тивления кату-
частоты имитируя соответствую!^1 Зависеть 01 величины тока или
земли. Получаемая при этом м!	3ави.Симость сопротивления

проводной Передачи непосредственнГ КаК0Й’Либ° сложной много-
Ь1“ ГВвлении на фазу и позволяетоппр1 Значеиия эквивалентных
вателтн™^ сопР°Тивления прямой	активные, реактив-

ьательностеи.	Прямои’ обратной и нулевой последо-

388
Будучи очень удобной для исследования конструкции и режи-
мов линии, модель пока не дает возможности исследовать одновре-
менно и режимы генераторов, присоединенных к передающему „
приемному концам линии. Поэтому обычно при моделировании ,2
прибегают к изменению частоты как средству моделирования отка-
зываясь от осуществления геометрически подобных моделей линии
с распределенными по длине параметрами. Модели длинных пиний
создают в виде цепочечных схем замещения. Физические процессы
происходящие в цепочечной модели, принципиально отличны от
процессов, происходящих в линии. Пространство, окружающее ли-
нию, и процессы, происходящие в нем, при изображении линии
цепочечной схемой не моделируются, и поэтому7 говорить о време-
ни распространения волн в модели-цепочке и сравнивать это время
с соответствующим временем линии-оригинала, имеющей распреде-
ленные по длине параметры, можно только условно. Так, импульс
напряжения, поданный на начало цепочечной линии-модели, дохо-
дит до конца цепочки практически мгновенно. Однако если под ско-
ростью распространения понимать скорость распространения неко-
торого среднего значения импульса, то можно, так же как и в слу»
чае реальной линии, говорить о скорости распространения волн токл
и напряжения в реальной линии и ее цепочечной модели.

Параметры цепочки, изображающей линию. Определение моя
но проводить или непосредственно из геометрических размеров ли-

нии-оригинала, или из ее эквивалентных электрических параметров,
отвечающих схеме замещения. В первом случае трехфазная линия
моделируется без определения ее эквивалентных «трехфазных» па-
раметров (выраженных погонными значениями /?, О, Ь, С на фазу)
непосредственно по геометрическим размерам и параметрам мате-
риала проводов. Во втором случае предполагается, что все погон-
ные параметры линии известны как для прямой, так и для нулевой
последовательности. Цепочечная модель при этом строится с отра-
жением в каждой ее ячейке величины известных расчетных (погод-
ных) параметров индуктивности, емкости, активного сопротивле-
ния, утечки. Сопротивление нулевой последовательности, заранее
определенное по расчетным формулам для оригинала и пересчитан-
ное согласно масштабу, в этом случае моделируется при помощи
сопротивления (активного и реактивного), введенного в нулевой
провод цепочечной модели и условно изображающего сопротивле
ние земли. Нулевой провод, так же как и фазные провода, при этом
состоит из отдельных ячеек, содержащих индуктивность и активное
сопротивление. Емкость линии передачи имитируется конденсатора-
ми, соединяющими между собой ячейки отдельных фаз, каждую
цепочечную ячейку и провод, имитирующий землю.	ППпобия

Критерии подобия линии электропередач. Критерии н^ооия
можно найти воспользовавшись выражением индуктивности каждо-

го провода моделируемой электропередачи.

/У/	г	\

Дь+л/„	 • • +-И-^+ •  •+1"	/17
„„ъ П Я иного Л-го провода; Мпъ —
где - собствениая адиппикДоводов, рассматриваемых как
взаимоиндуктивность любой пар г

двухпроводные линии.	я пОДобия собственной индуктив-

Следовательно, для п •. знаЧений токов I, 1ъ, протекаю-
ности необходимо иметь, подоои	ТОков, например систе-

ших по проводам (т. е.	ечнроватьСя соответствующей си-

Л<"« » "М°бМ С°бСТ°еН-

НИХ индуктивностей Ькк-

ть1.кк=^к\ т1Л1лк = ^^к<

,,е тг — масштаб индуктивностей и взаимоиндуктивностеи.

При этом нет надобности пользоваться формулами для опреде-
ления эквивалентных параметров схем замещения линии. Эти пара-
метры на осуществленной модели получаются автоматически, они
будут подобны соответствующим параметрам оригинала.

В некоторых случаях такой подход к моделированию может
быть исключительно полезным. Так, при исследовании какой-либо
передачи сложной конфигурации, эквивалентные параметры кото-
рой еще не известны, можно получить модель, построенную на осно-
ве заданного расположения проводов электропередачи и правильно
отражающую сопротивления всех последовательностей. Следует за-
метить, что при практическом осуществлении такой модели встре-
чаются трудности, которые решаются или некоторым упрощением
схемы, или объединением нескольких взаимоиндуктивностеи в одну
катушку.

Критерии подобия находятся и иначе, исходя из значений погон-
ных параметров:

д

——Мет, — =!бет; —у=к1ет;	Мет.

ности М^Нмеж^^понТ100™ инд^ктивностн взаимоиндуктив-
отнесены к единице ддины^я п И ПРОВОДИМОСТИ с в оригинале
доточенным элементам ичпКп МОделн ~ к соответствующим сосре-
Элементы эти должны быть садХпХ^43™ ЛИНИИ длиной /д-
отразить параметры как ппямпй Зруировани Так- чтобы правильно
линии.	РЫ Как прямои’ так и нулевой последовательности

ржеиием ее неполнофазньи режимов осРедачи с правильным от-
ряди катушек самоиндукции (7 1 и осуществляется с помощью
всеми проводами данной цепи (А В г?ИМОиндукцпи (^12) между

с )> а также взаимои»»,,./ ’ ’ и ПаРаллельных цепей (А'
=Дам„ „	(ЗД между “фазными

Риторы. 6 'Р“У Ь-28Т Н"огда применяются
Моастя п^НЬ1'' Р'Ж»”ОВ Линий ВЫпОаяиЧаСТ0К ДЛЯ исследования
С'(.!РТ.к ,УИ,'-"В ЛИНИН (и, I, с ' еТСЯ Следующим образом:
« ’ЮТЯ Ре™;'рамнаХоя™"

390	’ ^стоящими из стального
Рис. 5.28. Один нз вариантов упрощенной схемы цепочечной модели линии, позво-
ляющий моделировать неполнофазные режимы

сердечника с воздушным зазором и расположенными на них катуш!
ками, относящимися как к первой, так и ко второй линиям
(рис. 5.29).

Катушки а, Ь и с первой линии при протекании по ним состав-
ляющих токов положительной и отрицательной последовательно-
стей (сбалансированные составляющие) имеют только поля рас-
сеяния (не создают общего потока в сердечнике) и моделируют
активные и реактивные сопротивления данных участков при трех-
11 двухфазных режимах. Катушки аь Ь\, сь а\,	с}, ах, сь

расположенные на втором сердечнике, имеют в этих режимах весь-
ма малую реактивность рассеяния. При протекании по первой ли-
иии составляющих токов нулевой последовательности появляется

Рис. 5.29. Выполнение участка для исследования неполнофазных ре-
жимов лнннй электропередач
Рис. 5.30 Схема цепочечной модели линий электропередачи

смыкающийся ПО сердечнику поток, приводящий к соответствую'
ще«Увеличению реактивности составляющей тока до величины
У" одной цепи. При протекании токов второй линии ее состав-
Л'тощие токов нулевой последовательности дополнительно увеличи-
вают поток в первом сердечнике, тем самым увеличивая индуктив-
ное сопротивление составляющих токов нулевой последовательно-
сти первой линии до величины Хоп, соответствующей работе двух
параллельных линии. Точно так же протекают явления и на второй
линии с соответствующими для нее катушками и сердечниками.

Подбором величины воздушных зазоров и числа витков в ка-
тушках получаются соотношения реактивностей такие же, как в
действительной двухцепной передаче:

1)	для токов положительной и отрицательной последовательно-
стей XI =х2= (0.2804-0,300) Ом/км;

2)	для токов нулевой последовательности при раздельной рабо-
те линий хо!= (0,754-0,90) Ом/км;

3)	д;я токов нулевой последовательности при связанной рабо-
те двух линии хоп= (0,84-1,25) Ом/км.

в5попЖ?3'Чае ПараметРы цепочки, изображающей линию пе-
иыми нГединииНуапГпДНТ В 0ПРеделенн™ соотношении с удель-
дачи:	еДИНЙЦУ 0 паРаметрами натуральной линии пере-

^(0)7д, V&=]''

Г АС ^д=/?д-4-	У к-—С1 I ; г*

н~я проводимость соспрп., 4г>71'/1и л~полное сопротивление и пол-
Т- или П-образтю ячейку цепочки С?П^°ПЧВЛеНИ&’ составляющих
Длиной/Д~ /П; П’~ЧИСЛ0 ЯЧееК’ ”3°-
Щощая схема линии прорпяии

Ц’ И"кажеки7процХв3аНд РИс-'^0°М УСТР°ЙСТВ’ МОделиРУю*
^"°'4ечной моделью ведет кИнекотпп°ЧКе* 3амЁна линии передачи
женя ГОВОРЯ’ тем меньше, чем бол! ши™ ‘ ажениям. которые, во-
лена ‘ЦЦЦя	’ М большим количеством ячеек изобра-

зи
соотношения между токами и напряжениями в линии п<
устанавливаются при помощи таких уравнений-	передачи

йх = О2 ей \1Х 4- /2ДХ зй у/х;

Лг=/2сй'у/д.-|-(&2/2х) 8Ьу/х.

Для цепочечной схемы замещения аналогичные уравнения име-
ЮТ вид*

^Х = ^2 СЙ умгах+ /2Дх 8Й умлх;

/'х= /о СЙ + (^2/^ЛМ) 8Й \кпх.

В этих уравнениях #2 и 12 — напряжение и ток в конце линии;
Д длина линии, отсчитанная от конца линии; пх — номер цепо-
чечного элемента, отсчитанный от конца линии-цепочки.

Коэффициент распространения у в линии имеет значение
(о>; в цепочечной П-образной линии

ум—2агс§й (/2ДД/2).

Величина уыпх отличается от соответствующего значения у/г
линии оригинала. Связь между этими двумя величинами прибли-
женно может быть установлена из выражения

у,мп=ь; у1х I 1----) = у/г 1 —<°2—-—-— •

‘	’ х \	24 /	\	24п2	]

В случае воздушной линии передачи погрешность можно пред-
ставить выражением

уыпх — у1х ю2/2/(-п224га2).

где V — скорость распространения.

Очевидно, что при заданных частоте <в/2л и длине линии эта по-
грешность тем меньше, чем большим количеством ячеек изображена
линия передачи.

Аналогично может быть установлена погрешность в волновом
сопротивлении, которое в случае натуральной линии имеет значение



а в случае П-образноп цепочки

=. 1 ’ 1+0,25у2/! ~ Дх [ 1 -	'(8«2 »!•

Погрешность в значении волнового	знХ'Гп

таким образом, значительно большей, чем погрешность
коэффициента Распространения	. 50

км.полх-

Изображая ячейкой цепочки участки лини и ^Л1 нов °^на ж„.
чаем весьма небольшую погрешность, пра
вающуюся при экспериментальных исследованиях *, проводящихся
на комплексных моделях электрических систем. При изображении
цепочкой участков, больших 100-200 км, иногда целесообразно из-
менить в Л’г раз значение 2д и в Кт раз значение У&. При новых
значениях	и П=/СГП поправочные коэффициенты

имеют значения:

811	„	2 (ей УоЛ - 1 >

7---- ’ У-------------------

у/д	у.'д «Ь уК

Погрешности модели-цепочки можно устранить корректировкой
сопротивлений и Кд. Однако это можно сделать только при впол-
не определенной частоте — той частоте, применительно к которой
определены коэффициенты Кг и Кт.

Воспроизведя на модели процессы, приводящие к появлению в
токе или напряжении высших гармонических, нужно дополнитель-
но исследовать те искажения, которые цепочечная модель внесет в
высокие части передаваемого спектра. Выбирая параметры цепоч-

ки при моделировании процессов, приводящих к возникновению
высших гармонических, необходимо удовлетворить критериям подо-
бия для всех интересующих в данном исследовании частот, или, что

одно и то же, получить частотную характеристику цепочечной схе-
мы, наиболее близко совпадающую с частотной характеристикой
натуральной линии. Искажения, которые при этом возникают, обус-
ловлены расхождением в значениях и \1Х в модели и оригинале.
Относительно небольшие и при данной частоте легко корректируе-

Рис. 531 Зависимость погрешно-
сти в значении волнового сопро-
тивления от длины участка линии,
замещаемой одной ячейкой цепоч-
ки для различных гармоник

мые при помощи коэффициентов
Кг и Ку погрешности Л2х и Ду/.г
быстро возрастают с увеличением
частоты.

То обстоятельство, что цепоч-
ка не является полной физиче-
ской моделью линии и происхо-
дящие в ней процессы не иден-
тичны процессам, происходящим
в действительной линии, с ростом
частоты начинает сказываться
все более заметно. На рис. 5.31
показано, какие значения может
иметь погрешность для раз-
личных т гармонических напря-
жений, если за основную частоту
принять 50 Гц. В действительной
линии без потерь, нагруженной
чисто омическим сопротивлением,

* фХмМ‘:ЮТСЯ В ВИД- "Р^ссы. не

ЗИ

пРиводящне к появлению волн с крутым
численно равным волновому, ток и натя-«₽ц

неизменны по величине и изменяются тотк^, ?ДОЛЬ всей лини»

Напряжения (пл,, ток,,) в ,юбых’Т фам'
на расстоянии Д/ друг „т друга. „яходяти

Ух№ (г+дг) = е~

где а = о>У/.(О)С(О).

пря™3"Х₽'“Х2Г токов и „а
Ллиео только для ограЛЛГ“д

Отношсие напряжений в двух последующих элементах депс^!
к! кх-\=^~1ы.

_ ,ЕмСЛд 3аТУхания нет’ Т0 Vм Д°™а быть мнимой величиной: у»!

/а . нализируя структуру выражения, определяющего ум мож-
но установить, что мнимой величина ум будет только при условиях

О < ю < 2« '(/ У^(О)С(О)) = а>тах;

0</<«(л/У1^)=/га„.	1

Если частота приложенного напряжения />/тах, то отражение
волн, отсутствующее в однородной линии, но имеющее место в каж-
дой узловой точке цепочки, приведет к понижению напряжения,
равносильному эффекту затухания; математически оно отражается
появлением в величине ум действительной составляющей.

Для того чтобы определить порядок т высшей гармонической,
передаваемой по данной цепочечной линии без'искажений, преобра-
зуем выражение штах=2/т,(^ УА(О)С(О)):

‘»тах=^ш1 = 2«. и УЛоУ(О)).

тогда

т 2гп 'ш11.

При о = 314 1/с значение т<1900 п/1, где / — длина, км, откуда
следует, что при изображении одним звеном цепочки участ ка п ии
длиной не более 100 км можно обеспечить передачу без'искажении
высших гармоник до 19-й включительно.

Однако погрешность, обусловленная заменой участка линии-ори-
гинала конечной длины одной ячейкой, при этом остается( и про*
ляется с ростом частоты в увеличении коэффициента Р«с"Р°^Ра^
ния и уменьшении волнового сопротивления мод	Р и

с оригиналом. Эта погрешность ещ„е оляе^ Я о’т частоты не
чески зависимость параметров ячейки модел I . ,квИвалеНтного ей
идентична аналогичной зависимости парам’ качестве элементов
участка натурной линии	сер-

.Г^аХ^'к^енсаторов различие в частотных зави-
Рис 53* 9 * Частотные характеристики линии передачи.

л 4, 5 7 5 — параметры натурной линии; 2. 6-параметры модели линии
симостях параметров прямой последовательности ячейки и участка
линии в основном обусловливается различным характером измене-
ния активных сопротивлений катушки индуктивности и проводов
линии с ростом частоты. Зависимости реактивных сопротивлений и
проводимостей от частоты при моделировании одной ячейкой уча-
стка линии длиной до 100 км можно считать идентичным, так как
при таких длинах эквивалентная индуктивность и емкость натур-
ной линии практически постоянны в широком диапазоне частот.

Различие в характере изменения активных сопротивлений моде-
ли и оригинала приводит к нарушению критерия подобия /?/х = 1дет
при частотах, отличных от основной, а следовательно, и к искаже-
нию величин амплитуд высших гармоник и степени их затухания
в переходном процессе. Последнее обстоятельство, естественно,
должно учитываться при создании моделей линий электропередачи,
особенно если предполагается исследовать на модели вопросы сов-
месп он работы линий электропередачи постоянного и переменного
тока и 'их режимы.	н

линий*гМ-^рУ-т частотные зависимости активных сопротивлений
схемы На'оисР?Ч9РгДаЧИ И катушек индуктивности Л* цепочечной
и имитирхюш 5 32 Сопоставлень1 частотные характеристики линий
рошим, оно может	Совпадение получается достаточно хо-

контур’ы специально ппппЛЛУЧП1СН° введением в соответствующие
вопрос о частотных х 1пяктоРаН'ШХ нелипейностей. Более подробно
в специальной литературе ^Мопе^ ЛИН“Й электР°передач освещен

Р >ре . Моделирование линий электропередач

1В. А Веников нА в ц.	„

9 в*11 л Л'?6 электрических систем	'м 0 л р и с к Н и. Физическое мо-

* ® А Карпов, Э Н Зуе	лнеР* °издат, 1956.

'Г-ЦГН,| ‘ '1‘,Т1'Рис[ик линий электоопГпп™ пРибл“женн«го моделирования

• Док. ц 1\г межвузовской конференции " выбоРа напряжения модели
3'	нции но применению физического и
постоянного тока производится
на основании полученных крите-
риальных соотношений. Вопрос
о частотных характеристиках для
этих линий приобретает особую
остроту, так как в них моп/т
циркулировать весьма заметные
гармоники.

Выше были получены усло-
вия подобия для линий электро-
передач, рассматриваемых вне
связи с их концевыми устройст-
вами (трансформаторами, гене-
раторами, инверторами и т. д.,.
При моделировании электриче-
ской системы возникает вопрос

Рис. 5.33. Моделирование участ-
ков системы, связанных трансфор-
маторами

о согласовании параметров гене-
раторов, трансформаторов, реак-
торов и других элементов обору-
дования. На рис. 5.33, а показаны

две линии системы, связанные трансформатором, и их схема заме-
щения. Объединяя первые звенья цепочечных схем непосредствен-
но с реактивностями рассеяния соответствующих обмоток транс-
форматора, легко установить, что кроме критериев подобия, обес-
печивающих подобие трансформаторов, необходимо выполнить

следующие требования:

1дгЕЛ = й1ет; (1л1/Ед2) /г2 = Мет; (Ла2/^) *2=Иет.

При этом автоматически выполняется и требование

Сл2/|.СиА2)=к1ет.

Полученными соотношениями удобно пользоваться при подборе
параметров подобных схем.

Если на первичной стороне трансформатора включен генератор,
то кроме приведенных условий подобия должно также удовлетво-

ряться условие

(А'^Л'лг^^ет,

которое справедливо и для других реактивных сопротивлений гене-
ратора. поскольку Х'а/Ха=й1ет; Ха/Хд — <с1егп и т. д.

В качестве примера рассмотрим выбор параметров модели электропередачи.
Предположим, что моделируется участок системы, показанной на рис. 5.33, б. * 3 4

математического моделирования в различных отраслях техники. Сборник «Тео-
рия подобия и методы физического моделирования». МЭИ. 1962. Л? 4.

3. XV. А. Цеху 15., Р. И. Ти((1е. ТЬе гев151апсе ат! геас1апсе о!’ э1ит1пшп
соп<1ис{огз, 5*ее| гейогсет!. «Роист Арр. апд ЗузТ» 1959; ЕеЬгиагу, X 40.

4. Э. II Зуев п С. С. Смирнов. Моделирование параметров нулевой
последовательности линий электропередач и их зависимости от частоты. МЭИ,
1964.

397
Рис 5.34. К примеру построения модели электропередачи Волжская ГЭС — Мо-
сква, выполненной проводами АСО-500

Удаленная станция (слева) имеет мощность 800 тыс. кВт при сов <р-0,8. Сум-
марное сопротивление генератора и трансформатора, отнесенное к стороне на-
пряжения 400 кВ, составляет 160 Ом. Намагничивающий ток трансформатора
/, =3%. Все прочие параметры приведены на рисунке.

Для моделирования применяется генератор мощностью 20 кВт, напряжени-
ем 230 В, с синхронным реактивным сопротивлением А'а=2,12 Ом. При моде-
лировании отдельная модель трансформатора не предусматривается, однако
предполагается изучение явлений, связанных с протеканием токов нулевой по-
следовагельности.

Определим, какими сопротивлениями следует моделировать участок линии
длиной 100 км. Из соотношения А’’др = А'^'/А'д получаем

АГ” = 41,5-2,12 160 = 0,55 Ом.

На основании критерия ЁоУ^с = Нет найдем, что

А?Х),5ÔР= А'”0,5У”,
откуда

0,5У” = 41,5-1,365-10-4/0,55 = 103-10-4 1/Ом.

Емкость звена модели на фазу, соответствующая емкости линии длиной
100 км,

Сюо = 206-102/314 = 66 мкФ.

Натуральная мощность действительной линии

Р?Р = 5002/|<4’1’5.104/2,73 = 637тыс. кВт.

Натуральная мощность модели

РУ = 2302/V0,352-104/322 = 16 кВт.

Передаваемая мощность, выраженная в долях от натуральной, в модели
и в оригинале имеет одно н то же значение.

рор = 800/637 = 1,25; Рм/Р“ = 20/16 = 1,25.

Анало1нчно можно рассчитать любой вариант модели, изображающий ту
или иную систему.

В качестве второго примера рассмотрим определение параметров установ-
ки, моделирующем электропередачу Волжская ГЭС —Москва В рассматривае-
мом случае моделированию подлежал вариант электропередачи, выполненный
Г1гииЯЗаИ^01' <:х':ме с пР°Дольной компенсацией (50% реактивное!и линии),
р ципиальиая схема электропередачи-оригинала  указанием необходимых
398
параметров показана на рис 5 34 Г1яг.о,.„тг,,. „

тельностн: хо=0.239 Ом/км; го=о.О22 Ом/км^ Ь.^зод Л™ ,П/В.ЯМОЙ последавэ

вой последовательности Ьо=2,72-1О~С 1/Ом-км ' И */Ом-км; для нул«-
Воспользуемся соотношением

лдР/^'=Х^/Х^,

на основании которого определим реактивное сопротивление

схемы замещения;	1 п е

ячейки иеп-> чной

ДХ = х01

*>°рРы

•Здк(^)гс^

^^<'РОР

где Р-число цепей линии; л,-число геиерагорои; т.	,__4

ион схемы; 5 —полная мощность генератора.	ш-пэчгм

В данном случае 12 генераторов и двухцепиая линия моделируются одним
генератором, работающим на цепочечную схему. Так как х^₽ = х°Р(5002Т23 5, то

ь-.да.№-4*1!|В'5

3,15

тц-12-5002х°Е

Прн числе ячеек тц=9 и установлении ответвления на катушке, отвечаю-
щего Дх=0,685 Ом, имеем

•°Р

= 3,15 (9-0,685) = 0,512.

Таким образом, одна ячейка изображает 815/9=90.5 км. Масштаб сопро-
тивлений

х01рм 0,293-810-1	- Ом оригинала

т, =----------=---------------=19,4 ——--------------

Ьхт рор	0,68,>-9-2	Ом модели

Параллельная емкость на ячейку определяется из соотношения

ДС = Ь{]!тгрор- 1О6'(рмШцш).

Емкость фазы провода на землю в цепочечной схеме

ДС0 = 2,72-10-6-815-19,4-2-106 (1-9 -314) = 30,6 мкФ.

Чтобы найти емкость между фазами АС', определим соответствующую про-
водимость:

Ь\ = (*! - й0)/3 = °>4'10-6 1,Ом-км,

откуда

ДС'= 0,4-10-6 815-19.4-2-106 (1-9-314) = 4,47 мкФ.

Емкость последовательно включенных конденсаторов находится из заданной
величины компенсации (50%) на ФазУ модели

-- ХкОМц

д-ор^РрМ

2т,

0,293-815-П , п.
о ч—------------- з,0о им.

’	2-19,4

г „ = 106,(314-3,05)= 1045 мкФ.

Если пр,™» -Ху»	<»’>> »

ТО|“ Ф*’у	С» . - 1045.30,-30- 17« «кФ-
При выбранном масштабе сопротивления масштаб напряжения может быть
выбран произвольно.	гпнпят передачи {7|==^Л?“500 кВ. Если

'Согласно заданию, напряжения «а конц^ас^-напряжения
в линии модели будут напряжения 380 В,

т„ = 500-103/380 = 1315 В оригинала,В модели;

масштаб мощности

т =п?1т.,= 13152/19,4 = 0,9-103 кВт орнгннала/кВт модели;

масштаб тока

ОТ(=т,/ти=0,9-105/1315«68 А оригннала/А модели.

Если изменить напряжение на трансформаторах модели, имитирующих при-
емную систему, и на трансформаторах передающей станции, то масштабы ти,
т,. 'т- должны измениться.

Рассмотрим теперь определение параметров трансформаторов и реакторов
модели. Мощность трансформаторов модели (передающая станция)

= $°р/щ4 = 370- 4 90 = 16,5 кВ- А.

Сопротивление короткого замыкания этих трансформаторов

= 0,13-5002/(370-4-19,4) = 1,14 Ом.

Реактивное сопротивление ветви намагничивания подбирается исходя из

заданной величины тока намагничивания
жен иметь величину

33%), который в модели дол-

/“ = 0,03-16,5-ЮЗ/СКТ-Зво) = 0,75А.

Таким образом, реактивное сопротивление ветви намагничивания

= 380/(]/Т-0,75) = 294 Ом.

Мощность трансформаторов приемной системы на модели

5” = 270-5/90 = 15 кВ-А,
их сопротивление короткого замыкания

хт2 = °. 15-2002/(5.270-12,4) = 1,44 Ом.

иидуж™Х^о™Хени^Н°СТЬ 180 КВТ’ ими^РУютсЯ реактором-моделью с
х“ = 72/3 = 24 Ом.

^буетп^Х^	составлять 1-1,5%, что

§ 5.5. ФИЗИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НАГРУЗОГ

Э.1ЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ

„агру8К„ энергосйстем яв.

гателн-5—/0, печи Р„“р"“ен““7,т'"'-«--ТО. синхронные дни-
400	Р У выпрямители — 10—15, освещение
и бытовая нагрузка — 20-25, потери-5-Ш п «
лексной нагрузки заключаются прежде всего пЛп°бе""°СТИ комп-
входящих в нее различных составпяюшич- п °М К0ЛИ'1естве
большой территории. Это делает ппинпипи? ПреДеЛеИИЫХ по
представление нагрузки во „зучГмы ХЛТ"0’™™
несколькими эквивалентными пвигятрп™/ Режимах одним или
том. Поэтому практнчк™, н "Х5 тебнй „ ппТ04"^ Г0'™'
правления комплексной натру/к’”™ХГ “аХ^
НИН является задание ее в воде обобщен,™, статических » »=.
ческих характеристик отдельных узлов Степень детализации те,
или иных характеристик при моделировании нагрузки определяет-
ся в каждом конкретном случае в зависимости от поставленной
задачи. Например, при исследовании асинхронных режимов наибо-
лее важным оказывается воспроизведение характеристик 5=/(П
и т. д.

Чтобы получить подобие нагрузки, необходимо рассмотреть ее
состав в моделируемой системе и выделить группы нагрузок, одно-
типных по своим электрическим характеристикам, а для двигате-
лей -— и по механическим характеристикам машин-орудий. После
этого каждую группу можно моделировать, подбирая параметры ее
элементов так, чтобы сделать критерии подобия одинаковыми с
критериями подобия эквивалентных групп оригинала. Подобие тре-
бует идентичности зависимостей параметров нагрузки от частоты в
системе (скорости вращения двигателей) и от напряжения, подво-
димого к нагрузке. Для машин-орудий оригинала и модели необхо-
димо потребовать соблюдения соотношения

^/Г/=Иет,

или при неизменном масштабе времени Т“—Т^р, потребовать
идентичности относительных характеристик мощностей с у юто
ханическпх потерь во всем агрегате

(Р> - арП - АР?)==?(”• ^) = Мет'

где дР”

и

\Р0₽ —мощность навалу машины-орудия в модели и
япе- хХ Ро₽-механические потери в асинхронном дви-
гателе машины-орудия (для модели и оригина-даП	льных

Последнее соотношение озна^а ^^орщинжте, т. е.
динамических характеристик в

р^^, «4,7//)=Иеш.

При исследовании сРавни;ерХ	близко от^

изменений режима в перв°м Р *всех нерегулируемых по С1'°1’<’11
чающем действительност . ‘	' требованием подобия с а

машин-орудий можно ограничиться р

ских характеристик:

р з=ср(чз4) —(бет.

401
м

Рис. 535. Статические [Я-
=/($)] и динамические [Л1-
=<Г(5)] характеристик» асин-
хронных двигателей нагрузки

Объясняется это тем, что в боль-
шинстве случаев для машины-ору-
дия оригинала известны (и то весь-
ма приближенно) только статиче-
ские характеристики и суммарные
инерционные моменты групп двига-
телей вместе с механическим при-
водом.

Подобие динамических характе-
ристик получают, моделируя маши-
ну-орудие электрическим генера-
тором, сопряженным с моделью
асинхронного двигателя. При моде-
лировании асинхронного двигателя
вместе с его механическим приводом
можно ориентироваться на идентич-
ность относительных динамических
характеристик:

где момент вращения двигателя; х — скольжение, х = ^(П);
1}— напряжение на зажимах.

Приведенная выше зависимость, изображенная на рис. 5.35 в
виде поверхности в координатах М, 5, сЩсИ, при небольших скоро-
стях изменения скольжения оказывается достаточно близкой к

статической.

Физически разница между статическим и динамическим момен-
тами определяется тем, что в динамическом процессе при быстрых
изменениях скольжения происходит изменение энергии магнитных
полей машины, влияющих на характеристику вращающего момен-
та. Подобие динамического момента и строгое подобие динамиче-
ского процесса могут быть, таким образом, обеспечены только при
полном подобии эквивалентного двигателя-модели двигателю-ори-
гиналу, когда скорости протекания и электромагнитных, и электро-
механических процессов подобны. При упрощенном подходе к мо-
делированию нагрузки и осуществлению его исходя из статических
характеристик необходимы дополнительная проверка и оценка воз-
можной погрешности. Еще одна значительная составляющая на-
грхзки электрических систем — осветительная нагрузка — может
рассматриваться только как зависимость	(6/,

влияние изменений частоты, которые могут быть в электрических
системах здесь незначительно. Получить зависимость Ром/Ро°1) =

<И , аи/щ) в модели не представляет труда. Это осуществляется
становкои в модели того же типа ламп, который применяется в
к?И™”але‘ ОсталЬные> менее значительные, составляющие нагруз-

- т моделиР°ваться аналогично на основании соответствую-
пп< ( гти. оер.иев’ В настоящее время в практике эксплуатации и
зметоа ^<1Вания энергосистем нагрузка узлов системы характери-
зуется только статическими характеристиками: Р. = Ф(/, О’);

402
-Ф(А О), которые и использу-
ются для исследования как нор-
мальных, так и аварийных режи-
мов, а также для управления
энергосистемами. Эти характери-
стики построены на основании
имеющихся экспериментальных
данных. При этом упрощенные
критерии подобия

2

V.»	I/,

Рис. 5.36 Относительные характе-
ристики нагрузки:

комплексной
нагрузки сводятся к требованию
совпадения в модели и оригинале

величин регулирующих эффектов,
которые записываются следую-
щим образом:

,<1еп,; ()0-'ает; (тд)0=Мет;(%)гИап- ’5-56>

Индекс «О» означает, что производные должны быть взяты в
характерных точках, а именно: при номинальном значении напря-
жения и частоты и, кроме того, при значении напряжения в неко-
торых промежуточных точках, вплоть до точки опрокидывания.
Диапазон изменения регулирующих эффектов по активной и реак-
тивной мощностям может быть охарактеризован рис. 5.36.

Регулирующие эффекты различных видов нагрузки приведены в
табл. 5.4, На основе экспериментальных данных можно определить

ТАБЛИЦА 5.4

Составляющая нагрузки				
	среднее значение	диапазон  вариаций	Сретнее значение	тиапазои вариаций
Энергосистемы в целом Комплексная	(город-	1,84-2,0  1,44-1,6	1,54-2,6  0,854-2,5	1,04-1,2	0.74-2,5
ская) нагрузка  Тяжелая	промышлен-	2,24-2,4	0,54-3,7	0,44-0,6	04-1,9
ность  Сельское хозяйство	0,84-1,0	0,74-1,1	0,74-0.9	0,34-1,4

состав нагрузки (долю двигателей^Характеристик Приводимых
нюю крутизну моментно-скоростн . - Р

механизмов (отн. ед.):

ра/ръ 1 — 0,55 (дР’ди} с сн?м:
ном = “ =	“ 1 ‘
Рис 5 37. Моментно-скоростные
характеристики асинхронной на-
грузки:

/ 2 — статические; 3 — динамические

В среднем для крупных узлов
нагрузки Рд/Л; = 0,6—0,8; вели-
чина а лежит в диапазоне 0—2,5.

Для определения критического
напряжения ^кр рекомендуется
использовать приближенную за-
висимость, согласно которой *
экспериментально получена на
характеристике Ф = ф(^) величи-
на напряжения 0/* при
Спнп Штшо) (рис. 5.36). Для уз-
ла нагрузки, не содержащего ис-
точников реактивной мощности,
значение

г--------------------------;-----------	/1 х -1- хк

[ 1 — а (5кр — 5раб) I С05 ?НОМ |/

= ^т1П<?^+0,2,

где х — эквивалентные сопротивления распределительной сети (от
узла нагрузки до шин потребителей); Хр, х& сопротивления в
схеме замещения двигателя.

В применяемом сейчас подходе к исследованиям полагают, что
подобие динамических процессов будет обеспечено, если:

1)	статические характеристики каждой составляющей узла вос-
произведены правильно, т. е. обеспечено подобие их характеристи-
кам напрных агрегатов или хотя бы соответствие в точках номи-

нального и критического режимов;

2)	относительные эквивалентные постоянные инерции модель-
ного двигательного агрегата (или группы агрегатов) соответствен-
но равны эквивалентной постоянной инерции всех двигателей ре-
альной системы с учетом приводных механизмов, т. е. Тщ={йеш;
_ 3) моментно-скоростные характеристики Рм = ^($), или т =
— Ч (и*) (рис. 5.37), модели соответственно подобны характеристи-
кам оригинала;

4)	правильно воспроизведено соотношение между реактивно-
стями установившегося и переходного режимов.

линямиирг™ перспектнвным способом определения статических и
ментачьный х, характеристик нагрузки является расчетно-экспери-
ной нагвузкой! °реино при наличии потребителей с резкоперемен-
скими особенностям1^^11116 такого способа диктуется спец'пфиче-
представляя собой нагрУзки как объекта, параметры которого
ния и обработки лгС^УЧа^ИЫе ФУнкипи времени, требуют получе-
те Только сочетаниеШэкспсшимеТИЧеСКОЙ ,,нФормацпи ° ее раб°'
ских обобщений даст возможной™ " последующмх теоретиче-
южность решить задачу статическою

* Ю Е

вость генераторов.4 Элек^^	^г}1узкп На Динамическую усгойчн

404	•	. - .
ному состоянию нагрузки, „ получении пероятНостны™Ра№яо3„а1а“'
премления этих параметров и характеристик во в™»енп Р
1Р. =Т<™') ” сТиуТХ-ф(Г )Л о"^ 1Г“РеХ хара|1теР™
скольку эти характеристики справедливы лишьдлямюв-то^рого
определенных составов потребителей и схемы питания узла Так
как характеристики узла моделируются приближенно, то при мо-
делировании нагрузки возникает вопрос о необходимой точности
воспроизведения статических характеристик.

Неизбежные погрешности в задании параметров нагрузки (и
погрешности реализации этих параметров на модели) могут суще-
ственно сказаться на точности исследований динамической устойчи-
вости генераторов.

При определении пределов динамической устойчивости систем
погрешности в их оценке, обусловленные неточностью моделирова-
ния нагрузки, зависят от особенностей схемы и вида возмущения.
Проведение исследования показывают, что при описанном подходе
к моделированию узлов, содержащих генерирующие станции и ме-
стную нагрузку (равною 60% от номинальной мощности генерато-
ров), погрешность в оценке пределов синхронной динамической
устойчивости генераторов не превышает 5%, если:

1)	доля двигательной нагрузки известна с точностью ±10 'о от
суммарной нагрузки узла;

2)	величина хэьв эквивалентного сопротивления распределитель-
ной сети известна с точностью до 5%;

3)	средняя крутизна моментно-скоростной характеристики при-
водимого механизма (ЛИсопр/с?1о) ш=шН1М = а известна с точностью
±с0,5 отн. еД. (при Л1сопр.ном=®иом=|Н;

4)	механическая постоянная инерции двигателей известна с точ-
ностью ±1 С.	„ „ „ V П Г. >1 ч ч п-

Правильность воспроизведения на модел'’ Р - РПЕОСТ‘П
пни генепатопов и результирующей у
в значительной мере определяется хаРактеР“с™
устойчивостью и, следовательно, ^стью пре.дсд“
метров. Варьируя величину а м° °о13о% Моделирование для
руюгцей устойчивости системы ш - • генераторов требует
исследований результирующей	К[	в преае-

проверки влияния вариации параметров нагрузки (
лах их возможных погрешностей	процессы в сильной сте-

Условия самозапуска двига • -	, ц В11Да закона расгире-

пенп зависят от коэффициентов их аа,Р^1е‘на' сдабее. Поэтому,
деления, хотя последняя зависим >ныг ас,пределен11Я- нормаль-
еелп при моделировании при _ - Пирсону, то можно получить
ный закон и закон распреде'	. запуска двигателей и при 0Тс>

правильною оценку УслО®"'‘ ‘ \1етров закона распределения коэф-
СТВН.И данных относительно паРаметРов
фпциептов загрузки двнгате. <	4с
ПРИ физическом мо==п(У- —

правильный результат к , . 1ТЫ загрузки двигателей должны
приближаться к сред у Необходимость в таком усложнении
мод^иа1 возник^т при заданных наиболее тяжелых гра-
ничны" Товиях обеспечивается самозапуск одного двигателя с

рагчные коэффии"-

<?нты загрузки, двумя модельными двигателями общая длительность
процессов самозапуска обычно воспроизводится достаточно пра-

' Исследования показали, что при моделировании! нагрузки необ-
ходимо стремиться обеспечить б о л е е т о ч н ое в о с п р о и з в е-
дение подобия статических характеристик по на-
пряжению, особенно для активной мощности. Точность воспро-
изведения характеристик по частоте обычно менее существенна.
Инерционную постоянную и переходную реактивность нагрузки це-
лесообразно определять подбором на основе сопоставления осцил-
лограмм поведения модельной и реальной нагрузок.

Практически можно моделировать нагрузку экспериментально,
подбирая ее параметры и характеристики момента сопротивления
так, чтобы заданные и полученные относительные статические и ди-
намические характеристики совпадали. Поэтому основная задача
при моделировании нагрузки — обеспечить наряду с подобием ста-
тических характеристик также и подобие хари те рис тик
момента сопротивления, подобрать инерционную постоян-
ную и соотношения между установившейся и переходной реактив-
ностями.

Момент сопротивления механизма характеризуется начальным
статическим моментом при трогании с места и характером измене-
ния в зависимости от скорости. В общем случае .момент сопротив-
ния для большинства вращающихся механизмов можно выразить
ЖХС1К	г

М -	+(МНом - Л10) (п/пиом)«,

(5.57)

низма; Л4Ш, — номинячМвН^ сопРотивления вращающегося меха-
вращения при котоппй Г™" МомеНт’ — номинальная скорость
а —степенней показатель?1™1 С0п'Р0тивления Равен номинальному;

видеИ т=Л,/Мюм’ »10 = М0/М!,ом)

т~то + (1~ти)па.	(5.5Н)

Тэк	'

«=2 момент имеет завигим??°ТИВЛеНИЯ не зависит от скорости; при
имеют, например, тягодут! ??? вентилятоРного типа, такой момент
электростанций. Момента 1е механязмы собственных нужд
406	сопротивления асинхронных цвига-
телей в каждом конкретном
случае различны, но они всегда
определяются уравнением (5.58).
Модель машины-орудия, в свою
очередь, должна обеспечивать по-
лучение характеристик вида
(5.58) с различными начальными
моментами сопротивления и
различными зависимостями от
скорости вращения. Практически
обычно достаточно получить по-
добие характеристик моментов
сопротивления в области, огра-
ниченной соотношениями вида

Рис. 5.38. Принципиальная схема мо-
дели нагрузки;

Л — ламповый реостат; 4Д — асинхрон-
ный двигатель-модель; Г/7—регулируе-
мый генератор постоянного тока

т = сопх! и т = 0,15-|-ал2.

Лежащие в этой области моментно-скоростные характеристики
имеют значения

15 < т0 < 1 и 0 < а < 2.

Особенностью моделирования нагрузок по сравнению с модели-
рованием генераторов, трансформаторов и других элементов моде-
ли является опытный подбор параметров в обязательном соответ-
ствии с условиями подобия.

Практическое осуществление моделей нагру-
зок. Модель машины-орудия агрегата асинхронной нагрузки долж-
на обеспечивать получение необходимых моментно-скоростных
характеристик. Кроме того, для установления параметров и режи-
мов модельной нагрузки подбором необходимо, чтобы регулирова-
ние момента было гибким как по величине, так и по характеру
сопротивления на валу модельного электродвигателя. Это требова-
ние относительно просто можно выполнить с помощью генератора
постоянного тока.

Рис. 5.39. Модель нагрузки с тормозом

407
Рис 5 40 Схема модели комплексной нагрузки электрической

стемы:

, - ламповый реостат с широкой	- ма^ки?"-₽ге-

гулятор: 3 - асинхронный двнга ..4 возбуждения; 8-ламповый реостат;
нератор постоянного тока. 7 “ ^хогене^тбр

Модели нагрузок в простейшем виде осуществляются (рис. с.	)

при помоши лампового реостата Л и агрегата, сос1ояшею из асп
хронного двигателя АД, вращающего генератор постоянного тока
ГП (см. также рис. 5.40), или двигателя, нагруженного специаль-
ным тормозом (рис. 5.39). Генератор постоянного тока нагружает-
ся линейным или нелинейным активным сопротивлением в зависи-
мости от требуемой характеристики момента на валу асинхронного
двигателя. Для обеспечения желательной характеристики противо-
действующего вращающего момента генератор постоянного тока
может снабжаться автоматическим регулятором возбуждения,
работающим в зависимости от изменения скольжения асинхронно-
го двигателя (рис. 5.40). Соответствующей настройкой регулятора
изменяется зависимость потребляемой мощности от скорости и,
следовательно, противодействующий вращающий момент на валу
двюатетя Так, изменяя число витков шунтовой и сериесной обмо-
ток и включая в цепь якоря дополнительную независимую э. д. с.,
можно получать зависимость момента от скорости по одной из трех
характеристик (/. 2, 3 на рис. 5.37).

Характеристика 1 соответствует моменту

т=7И/^Н0М=/(л/«но>,)’,	(5.59)

Момент,

причем щ может плавно увеличиваться, начиная от /и=1. Момент,
не зависящий или слабо зависящий от скорости, создается включе-
пг [ ЦеПЬ Я1 Д0П01НИтельНОЙ э. д. с., для получения которой
используется машина постоянного тока.

Р б.0Лее точи<’го моделирования статической характеристики
ввтитго гп -еПЬ обмотки возбуждения машины постоянного тока
слав, яющая напряжения (/г(7). Недостатком принятого
408
способа моделирования является то что истерт

резиса и запаздывания .в цепях обмотог пД- Действия гпсте-
скоростные характеристики носят ХтчевоГ^^ Моме”™-
рпс. 5.3/, штриховая петля). Однако если характеР (см.
постоянная времени обмотки возбуждения мач^Тнт"^ ПеТ’я ”
вается .незначительным. Пюи относ,итгпкип	’ вл"ЯН1,е оказы-

моделирующем асинхронною нагрузку завышя?т°Щ™М двагателе-
намагничивающий ток эквивалентного двигатС\отио™1ьнь1й
СТВНДа°м аН° бЫТЬ УЧТеН° ПР" с'остэвлении модели нагрузки™™™

Намагничивающий тюк асинхронного двигателя моХ
отнес™ частично к намагничивающему току трансформатора Кпо
ме того, потери на намагничивание могут отражать потери в тчн'ча
передачи и кабелях, питающих реальную нагрузку

Если двигатель, моделирующий асинхронную нагрузку проекти-
руют специально, то все необходимые параметры могут быть полу-
чены без затруднений на основании соображений, изложенных в.
данной главе.

§ 5.6. АНАЛОГОВЫЕ МОДЕЛИ

Основой аналогового моделирования (ом. § В.6, В.7) является фор-
мальное соответствие математического описания явлений, различ-
ных по своей физической природе. Если явления в двух сопостав-
ляемых системах имеют различную физическую природу, но неко-
торые наиболее интересные для исследователя процессы, происхо-
дящие в двух системах, описываются формально одинако-
в ы м н дифференциальными уравнениями, то можно сказать, что
одна система является прямой моделью-аналогом другой. Разно-
видностью аналогового моделирования является структурное моде-
лирование, при котором дифференциальные уравнения, описываю-
щие физический процесс, представляются отдельными элементами
модели Так отображается процесс по его слагающим, отвечающим
отдельным операциям. В модели осуществляется последовательная
и непрерывная отработка каждой математической операции, н
ходимой для решения уравнения данной структуры. ОтсЮД ‘
з ние«структурная м о д е л ь». Такие устройства часто рас-
сматриваются как вычислительные машины• да^"е “нсследуе-
решение уравнений независимо от физической природы
мого процесса.	• _ а н а л о г о в имеется серь-

В применении прямых моде‘	ч чожно выявить

езное ограничение, поскольку н д^ отношенип структ>рные мо-
аналогпю и подобрать модель. т1|,,,,,|ые математические опе-
дели, поэлементно модел“РУ^Щ “б^печивают большую точность,
рации, более универсальны и о. аналогнп. отражающие
Поэтому п механические модели^ пр	ограннченное

электрические процессы в 1	сь для демонстрационных целей,

применение и больше псподиовал, кь л. . °	че;

чем для целей численного а . ‘ карТцнУ происходящих элек
ская модель аналог, изображающая карп .
Рис. 5.41. Модель прямой аналогии (механическая) качаний ротора
синхронной машины:

— схема системы; б —векторная диаграмма э. д. с. напряжении и
— механическая модель-аналог — вектопная диаграмма механических

токов;

тромеханических процессов в электрической системе. Эта модель
основывается наследующих соображениях. Движение роторов мно-
гих технических устройств (например, ротора генератора), можно
представить движением механического маятника. Его движение
при вязком трении под влиянием возмущающей силы Р(1) описы-
вается известным дифференциальным уравнением

Ти(12^1(И2	т^=Р (/).

Движение зарядов в цепи с сосредоточенными параметрами /?,
Д С, к которой приложено напряжение описывается уравне-
нием-аналогом, буквенно тождественным предыдущему:



где д— электрический заряд.

лягт	Д11ФФеРенциальных уравнений движения позво-

наобпплт\ ыеханические колебания на электрической модели (и
улпи ип элУчая П;РИ правильном подборе параметров вполне
К^Г;яЛп.иЫеЛе|3у^Ьтаты- В четное™, для простой схемы,
дельными пйпямр™ будут справедливы аналогии между от-
режима и папямрлТЙМИ электрической системы, параметрами ее
режима и параметрами механической модели.

410
Электрическая система  7 ан 0 Хс	Механическая мотель-аналог  ° ~а^	«<» в;
Реактивное сопротивление Хс	Податливость пружины  V/
Электродвижущая сила Е,	Длина рычага 1  •1
Напряжение приемных шин а	Длина рычага 2
Напряжение в любой точке (х) электропередачи — Дх	Расстояние от центра (0) до любой точки на пружине (х) — /х

Падение напряжения в линии — /хс	Длина пружины — /(2
Ток в линии /	Натяжение пружины —^/,2
Активная мощность Ро;	Вращающий момент ^о^—Л^о;
Еаи  РЭл = Ш СОВ <? = 	-	 51П О  Хс	М=(Ц12 51п 6.
Угол между векторами Еч1) б	Угол между рычагами 1 и 2  6
Реактивная мощность  ЕЛ	, и2  О = .—-— соя 2 —	  хс	хс	Аналогом является  /|/2/ СО5 0 — /2/
Угол между током н напряжением — <р	Аналог угла <р — угол ф
Потребляемая мощность  Рн=Л>л = ^Д совср	Вращающий момент ^И^й/г/еовф

Электрическими моделями прямой ан а ло^го
являются, например, р а с ч етн ы е мо Д дЛЯ модели-
ного тока, широко распростран	д гидравлических се-

рования УстановивШ“х^Р™мВпрямой аналогии эти модели ис-
Т611. СОО1В ,1га,.л 'г.лк п КЗЧ€>стве аналога переменного тока или
пользуют постоянный ток в на оасчетных моделях постоянно*
потока воды, тепла (пара) и т. Д- Р изводЯТ непрерывно проте-
го тока переходные процессы	Р
.Рис, 5.42. Модель элект-
рических систем на ак-
тивных сопротивлениях
(расчетная)

канне процессов, происходящих в оригинале. Эти процессы в моле-
“мот быть представлены во времени дискретно, в «последова-
тельных интервалах времени». Переход к следующему интервалу
осуществляется при этом по данным, полученным в предыдущем
(отсюда название «последовательные интервалы»).
Электрическая схема системы переменного тока воспроизводится с
помощью активных сопротивлений, а э. д. с. генераторов электро-
станций— с помощью источников постоянного тока. Замена в рас-

четной схеме индуктивных сопротивлений элементов системы ак-
тивными, равными по величине индуктивным (при г<х), не отра-
жается на величине расчетного тока короткого замыкания. Замена
реактивных сопротивлений активными упрощает модель, поскольку

активные сопротивления дешевле и проще в изготовлении, чем ин-
дуктивные. Кроме того, анализ векторных диаграмм напряжений
и э. д. с. генераторов в сложной системе, не имеющей очень длин-
ных (больше 300 км) линий электропередач, показывает, что угол
между векторами э. д. с. генераторов разных станций обычно не
превышает 20 30°. Отсюда следует, что распределения токов и по-
токов мощности, определенные на расчетном столе постоянного то-
ка при отсутствии сдвига фаз э. д. с., мало отличаются (по величи-
не) от соответствующего распределения в схеме-аналоге перемен-
ного тока.

полУчения результатов на модели постоянного тока,
надежность эксплуатации и невысокая стоимость приве-
ппимен°яютгяЧ^°гА°ДеЛИ постоянного тока в отдельных случаях
устройств ГмппрлиИЧаС’ несмотРя на наличие более совершенных
Напис 5 42 ппи'йр '1еременно[„° тока» вычислительные машины),
выполненной на ЯДН внешнии вид модели электрических систем,
повременно	^Р^ениях. Разумеется, нельзя од-

мощностей на паги₽тм?ТЬ расп'РедеЛение активной и реактивной
ются преимущественно'п 'Моделях постоянного тока; они применя-
ддя Ра'счета распределения активных мош-
Рнс 5.43. Общин вид
расчетной модели элект-
рических систем: частота
200 Гц, 12 станции

Хели этого пппУ У приемы’ П03В0Ляющие использовать
П ПЯ чт ™ Р ДЛЯ опРеделения потоков реактивной мощности
пппТОКИ в сопротпвлениях> моделирующих генераторы и на-
рузки, должны быть пропорциональны потокам реактивных мощ-
ностей реальной сети, проходящим по этим элементам.

В настоящее время применяются два типа моделей на постоян-
ном токе: универсальные, пригодные для исследования схем
любых энергетических систем, и специализированные,
предназначенные для исследования лишь одной определенной энер-
гетической системы.

Универсальные модели имеют большой набор сопротив-
лений, величина которых изменяется в широком диапазоне. Пере-
ключающие шнуры и коммутационные поля позволяют собирать
электрическую схему любой энергетической системы. Недостаток
этих моделей — плохая наглядность собранной электрической

схемы.

Специализированные модели постоянного то-
ка. Такие модели позволяют быстро определять распределение
токов и напряжений при коротких замыканиях в какой-либо точке
Заданного исходного режима системы. В таких моделях сопротив-
ление каждого элемента энергетической системы воспроизводится
отдельным сопротивлением, причем коммутация элементов осуще-
ствляется так же, как в оригинале, — в самой энергетической спет
ме. Для удобства на расчетном столе воспроизводится и мнемони-

ческая схема.	а чллгжяы час-

Расчетные модели п е рем ей н о го т о к а д<олжн(ычас_
ТИЧ1НО (для установившегося режима) ра55ма^™ставляют иссле-
ческие модели, а частично-как аналогиОн предст
дуемые схемы комплексными сопротпв е и наР рЯЖен,Иямп. Эти

^-Д®1 Г Ф	^прпрЛЯТЬ С Д1остаточной для всех инженерных

модели позволяют определять с д ’ .,ктивНЫХ и реактивных
задач точностью распределение А
5

Рис. 5.44. Схема «нератора расчетной мо-
дели переменного тока 400 500 1 ц.

Ф _ фазорегулятор .;ен«^?ЯжеНп°/нТТж»0
напряжения (угол 6). потенциал-регулятор.

модели

мощностей в любых сложных системах "₽» "“этектпической сист"-

”“Х*рня " тебня г/х-йет. Это, однако, связано с трудностя-
ми которые определяются тем, что большинство элементов
электрической системы имеет активные сопротивления, во много
раз меньшие, чем индуктивные. Например, синхронное реактивное
сопротивление турбогенератора обычно имеет величину 1Ы) 221) /о,
а активное сопротивление составляет всего 0,2—0,5%. Чтобы соз-
дать в расчетной модели индуктивное сопротивление с такой же
малой активной составляющей, приходится применять специаль-
ные дроссели высокой добротности или питать модель током не
промышленной, а повышенной частоты (4004-500 Гц).

Моделирование трансформаторов несколько легче, хотя при
большой мощности активное сопротивление их обмоток в 30 раз и
более меньше, чем индуктивное сопротивление рассеяния. Затруд-
нение представляет и моделирование тока холостого хода транс-
форматоров и нагрузок системы. Генераторы в расчетных моделях
переменного тока моделируются с помощью напряжения, регули-
руемого по величине и фазе и приложенного за некоторым
сопротивлением. Фаза этого напряжения меняется при помощи
фазорегуляторов, а вращающий трансформатор изменяет величину
дведенного напряжения. Установка, схематически показанная на
рис. . , служит моделью-аналогом генератора реальной системы.

Юния юшности турбины в ней отражаются поворотом фазо-
ии^^Т°Ра’ 3 И3,менения Т01Ка возбуждения — величиной напряже-
Й(ЯЧЯПАППППОРЫХ расчетных ст°лах (обычно на частоте 50—200 Гц)
ете пои пг И/10Г° К ген^Рат°риой станции напряжения регулпру-
отпайки птлбпям тРехфазшого автотрансформатора, у которого
отпаики подобраны так, что их переключением (1 . 6) можно из

На	П° ФЭЗе’ Не ,,зменяя по величине.

позволяющего ичм₽^3аНжДИаГр?мма такого автотрансформатора,
позволяющего изменять фазовый угол от 0 до 360°. Обычно угол
414	7
регулируется при помощи несколько ™
автотрансформаторов: одного трехфазногоТ1’376'111"0 в™енных
Уг°л через 10°, и двух однофазныхФпозвощюшГЯЮШего ,,ЗМенять
1 и 0,1 . При расчетах переходных процессов мл 1,змеияТь Угол на
схема, в которую входят реактив ™ Модел" набирается
машин.	реактивные сопротивления синхронных

При упрощенном представлении генепатпп™

тивными сопротивлениями и приложенной та ® реход'нь,'П| реак-
жениен) модель „ожег быть	(напря-

с меньшей добротностью Ппи чт™.	энными дросселями

ние дросселей отражается ХГ™„ Х.ХТт С°ЦР°ТИВЛе-
иых машин, так как активная мощность отдаваемая грн'^пихрон'
мп станциями модели, измеряется на шинах генераторов^ е?без
нияТагеирТеРЬ В ДР™СеЛЯХ’ желирующих реактивные сояротивле
ния генераторов. Неточность же величины и фазы э. д с получае
нс меншвГ б?ЛЬШИХ значений активных сопротивлений, значитель-
но меньше той, которая определяется допуском (±10%) в величи-
нах реактивных сопротивлений машин.

Моделирование нагрузок представляет значительные
трудности, поскольку они переменны и зависят от величины и дли-
тельности (изменения напряжения, а также и потому, что характер
изменения нагрузок зависит от состава и характеристик отдельных
составляющих, а точные сведения о них обычно отсутствуют. Мо-
делирование нагрузок на неавтоматизированных моделях осущест-
вляется при расчетах установившихся режимов путем установки с
помощью нагрузочных сопротивлений заданной активной и реактив-
ной мощностей. При изучении переходных процессов на расчетных
моделях (переменного тока, так же как и постоянного, применяются
последовательные интервалы. В каждом последующем интервале
времени находятся новые параметры системы и режима, которые и
устанавливаются. Так же .моделируется и нагрузка, значения со-
противления которой изменяются от интервала к интервалу. Иногда
моделируют (нагрузку активными и реактивными сопротивлениями,
но регулируют эти сопротивления так, чтобы они потребляли одну
и ту же мощность независимо от того, какое напряжение оказыв з-
ется на этих сопротивлениях. Это, однако, не (вполне соответствует
действительности.	.„.,„1Л~гп ™

Иногда .в расчетах поддерживают не постоянство мошгости по
требляемой нагрузкой, а постоянство тока налр>’3''“- рДВВ М0НЯУ
в предшествующем режиме. Но при изменении нр , перех0-
ется во времени ток асинхронных двигателей,способ" моделирования
дят в режим торможения. Поэтому и такой способ моделнрова
также не совсем точен.	и	„1М1„й апсктпопеоедачп с той

Представление на расче™°"Ходима доя решения задач проек-
степенью точности, которая неоо.ход	систем в большинстве

тирования и эксплуатации	пред'ставляется эк-

случаев не вызывает трудностей р обычн0 может быть П- или
Бивалентной схемой замещени ,	Р'	учетом поправочных

Т-образной. Ее параметры определяются с у че
, втяни? паспределення параметров
коэффициентов. отгажаюшпч режимов, связанных с появлением
=№Х"ьХ.к порядков, дня.,я представля-
"в В а « “Л	Л ГЛ’а”/,, Г” ' ” '

""а? „7?Хв^исхмнТиСхЯм”г”р'1алов „ составление расчетной

"'^“о’Хде'расчета, требуемого „оставленной задачей, на-
пример раечеть переходного электромеханического процесса.для
оценки динамической устойчивости системы, поведения релейной
зашиты, автоматики и т. д.;

г) обработка результатов расчетов с представлением их в кри-
териальной форме.

Расчет переходного процесса сложной электрической
системы представляет значительные трудности и требует для свое-
го выполнения много времени. В самом деле, при изменении режи-
ма в каждом интервале времени расчетчику приходится изменять
напряжение, изображающее .переходную э. д. с., вычислять прира-
щение этой э. д. с. и угла и изменять поворот вектора э. д. с. при
помощи вращающегося (поворотного) трансформатора-фазорегуля-
тора. В системе, содержащей несколько станций, такие операции
оказываются весьма трудоемкими; если еще учесть необходи-
мость изменения сопротивлений, изображающих нагрузки, то
легко видеть, что работа на расчетной модели является весьма
сложной.

Стремление упростить эту работу уже давно привело к автома-
тизации расчетных столов. Операции по определению переходной
э. д. с. , установке э. д. с. Еф изменению проводимостей нагрузок
в соответствии с заданными характеристиками и другие операции
должны проводиться без участия человека. Автоматизация может
выполняться различно. Но в любом случае она должна после ка-
изобпяжзЛ.пр^0™51 с5^'“ы замещения сети изменять напряжение,
чинуР Чтим " 3 Д‘ С‘ ’ автома™ческл восстанавливая его вели-
л" ния ф/"?’Жается	результирующего потокосцеп-

того ™™™"КГО<:Я ‘ ₽еаль™й машин, неизменным. Кроме
Сражающего э кя р°7жен ПР°ЛСХОДИТЬ сдвиг напряжения, >130-
«ален иХ^ мДо™Х„₽“рбХ ”Т	С-И“Г

мощностью СдечопятРпкиХроииы над отдаваемой электрической
во, которое'из^лХ	необход™° ИМеТЬ *СТр0,кТ’

С его величиной оссшегтшап анс мощн5)с™ кР И в соответствии
ная идея автоматизации расчетного^™ Фа3“ регУЛЯТ0Ра- у,казаи'
лена на рис. 5.46 а б Нанося.Ла схе,матически представ-
ном столе представлены постоянный ?а®т°ма7изнрованном расчет-
41€)	янными сопротивлениями!. Потребле-
Рис. 5.46. Автоматизиро-
ванный расчетный стол;
принципиальная схема
для начального момента
времени;

а — генератор: УФ — устрой-
ство автоматического чп-
равлення фазы э. д. с. Ед-
У — устройство автомати-
ческого управления величи-
ной Ед'. Д— динамометр,
определяющий вращающий
момент (мощность) па валу
генератора; ЗУ— запомина-
ющее устройство; И — изме-
ритель. замеряющий при-
ращение мощности и по-
дающий управляющий им-
пульс на УФ; Е — измери-
тельное устройство, следя-

щее за разностью Д/?(/ =
=-Е —Е_ (в момент из-

1 л	^Л—1	₽

менения режима ДЕ$ =0);
р. — установка. корректи-
рующая значение Ед по
условиям отражения влия-
ния насыщения по закопч

б — нагрузка: <р(п) — уст-
ройство. управляющее ак-
тивным сопротивлением,
моделирующим осветитель-
ную, печную, бытовую на-
грузки =<р(н); <Р1(и') —
устройство, изменяющее

в соответствии с характери-
стикой намагничивания
х =ч>(«); г—К/5 — сопро-

Д

тивление, изображающее
нагрузку двигателя; Р — из-
меритель мощности; У У —
устройство управления ве-
личиной г по условию
РГн = СОП5(

ние активной и реактивной мощностей в сопротивлении неавтома-
тизированного расчетного стола должно регулироваться
расчетчиком, изменяющим величину сопротивления в соответствии
ео статическими и динамическими характеристиками нагрузки, в
автоматизированном расчетном столе часть нагрузки следует пред-
ставить .нелинейным сопротивлением	воспроизводящим

зависимость сопротивления осветительной, печной и	й

грузок от напряжения. Двигатели, входящие в с(^таЕ‘  заме,
нагрузки, в этом случае целесообразно предст в ческ0Г0 уст.
Щения, в которой при помощи спе,ц^^Н°™ ость поглощаемая в
ройства поддерживалась бы нензмедано ।	двигателя отвечает

сопротивлении	если характеристика двига ^^^ двпга-

Условию М.=Р.-сопз1. Если	"ККсское усг-

теля Л1, = и(х*) известна, то соответСТВУ*° р/$=г чтобы имити-
роиство должно так изменять сопротивление № г,
Рис. 5.47. Автоматические расчетные модели:
а — «Дельта,:

ровалась соответствующая зависимость момента М-ф($) в схеме
замещения двигателя.

Реактивное сопротивление Хц, в котором протекает нама! по-
чивающий ток, должно быть при помощи соответствующего автома-
тического устройства сделано нелинейным, причем в этой нелиней-
ности должен быть отражен эффект насыщения стали двигателя.
На рис. 5.46, б показана идея возможного создания такого рода
автоматических нагрузок. Реальное выполнение автоматических
моделей (рис. 5.47, а, б) более сложно, поэтому, не приводя деталь-
ного описания такого рода установок, остановимся кратко на уста-
новке «Дельта» (рис. 5.47, а). Она создана * на основе упомянутой
выше расчетной модели сети переменного тока, в которой генера-
торные станции заменены аналоговыми вычислительными устройст-
вами. Эти устройства решают уравнения электромеханических пе-
реходных процессов в генерирующих узлах энергосистемы и далее
преобразуют результаты решения в напряжение, изменяющееся по
амплитуде и фазе. Будучи приложены в соответствующих точках
сети, напряжения имитируют сложную систему с большим (104-20)
количеством станций. Установка работает в натуральном времени,
меющиеся системы управления и измерения превращают ее в
быстродействующую «динамическую модель» энергосистемы, при-
годную доя оперативного расчета устойчивости и выбора уста-

шииы пли пясш-тя и СпеЦИализиРованнЬ1е аналоговые вычислительные ма-
энергетичесиих систем 1Ромеханических переходных процессов в электро-
гетнка и транспорт,^ 1970 № Г™ ПОСТрОеиия)’ «Известия АП СССР. Энер-
б)

Продолжение рис. 5.47

6 —аналоговая специализированная модель

вок противоаварийной автоматики, выдающую в вице осциллограмм
сведения о .переходном процессе.	’ осциллограмм

На рис. 5.47, б показана аналоговая модель другого типа*
применяющаяся для анализа режимов автономных электрических
систем. Установка выполнена также на аналоговых вычислитель-
ных устройствах, которые представляют две генераторные единицы.
Она имеет рабочую частоту 196 Гц и может работать в натураль-
ном времени или замедленно, причем результат, так же как и в
установке «Дельта», может выдаваться в виде осциллограмм.

В расчетные модели переменного тока включаются нелинейные
элементы. Простые аналоги могут быть получены при использова-
нии различных нелинейных элементов. Для этого нелинейные элек-
трические цепи модели должны подчиняться тем же закономерно-
стям, что и нелинейная система, которую нужно исследовать.
Модель для изучения кор он и рован и я линии элек-
тропередачи, представленной сопротивлениями Хг, 0,5 хл, хт,
хс (рис. 5.48) и работающей в режиме холостого хода, является
простейшим примером. В нее включен нелинейный элемент, состоя
щий из конденсатора С, выпрямителя и низкоомного делителя на-
пряжения. Явление короны начинается в момент превышения кри-
тической величины мгновенного значения напряжения. р „
по емкости С будет проходить ток, поскольку опорное напряжение
выпрямителей Ооп принято равным критической Iвели 1ч.ине.

На расчетных моделях п е р ем е н ного токан
нейными приставками Р^^илУ^Хие, напри-
электрических систем. Они пол\ шли р пагхоп0в в элементах
мер, при анализе распределения нап р . р х п „ моделирова-
гидравлических сетей в стационарных условиях, р
П^в-Р^цин. Аналоговые модели электроэнергетической снегемы. - неР
тика и транспорт», 1970, № 4.	419
Рис. 5.48. Модель для изучения корони-
роваиия линии:

сопротивление хг генератора: хт - транс-
форматора; и х С- сопротивлении, заме-
щающие линию Т-образной схемой

нш! водопроводных тепло-
фикационных и газовых се-
тей легко указать гидравли-
ческие аналоги законов
Кирхгофа в виде законов
непрерывности расходов и
напоров жидкости. Для пол-
ного моделирования участ-
ков трубопроводов получа-
ются нелинейные зависимо-
сти между током и напряже-
нием, соответствующие зави-
симости между падением на-

пора и расходов жидкости.

Типовые (универсальные) структурные аналоговые модели Мс>
дели этого типа, выпускаемые промышленностью (МН 7-
и до.) составляются из элементов, проводящих отдельные матема-
тические операции и в конечном счете решающие заданные уравне-
ния. Решаемое уравнение прежде всего приводится к виду, удобно-
му для набора. Поэтому вводимые в вычислительное устройство
исходные данные теряют прямую связь с параметрами физических

элементов исследуемой системы.

Универсальные аналоговые модели широко применяются для
исследования переходных процессов в электрических системах. Все
аналоговые модели такого типа состоят из элементов-блоков, не-

прерывно отрабатывающих отдельные математические операции:
арифметические и алгебраические действия, интегрирование и диф-
ференцирование, преобразование функций и т. д. Из таких блоков

и создается структурная схема, которая синтезирует математиче-
ские операции почленно представленного уравнения. Можно
сказать, что структурная схема почленно моделирует уравнение,
обеспечивая его решение в целом. Каждый элемент модели выпол-

няет только одну операцию, но все операции происходят одновре-
менно и, складываясь, дают непрерывный процесс, который может
быть записан ла осциллографе точно так же, как процесс другой
физической природы, происходящий в оригинале.

меое°ЯСНИМ работу М0Д€ЛиРУ1°Щей установки на следующем при-

нарис 5 49 пмлежи ’ Т ’ стРУ'ктУРа которой показана
Рис. оду, подлежит некий физический процесс описанный пщЬ
ференциальным уравнением	н ’ описанныи диф-

ф-ас!х1(И4. Ьх4- ох3 — А соз <ю/.	(5.60)

ной / (V//), интегрирование (// /7/)М°Гумноже3а'ВИГ,Ш01' пеРеме11'
(°, Ь) коэффициенты (IV Ю Пт 1 Умножение на постоянные
,2С	евты (П-. V). Отдельные элементы, выполняющие
указанные математические опе-
рации, обычно называемые ре-
шающими блоками или просто
блоками, соединяются между
собой по схеме, отражающей
те операции, которые надо
произвести для интегрирова-
ния уравнения. Перепишем ис-
следуемое уравнение:

(12х1(112= — ас1х[с11 ~Ьх— сл3-|-

4-Л'соз’а)Л (5.61)

Рис. 5.49. Схема структурной модели

мод^лиИ(рисАП5°49)Жнап’ряжениемЧвНточ1Ге^/Х/иззестнеДСТаВЛЯеМаЯ НЭ
блока II получим напряжение, .представляющее в*’ определенном
масштабе первую производную х=0х1(И указанной величины По-
дав его н.а следующий блок III, получим на выходе значение х
Подключив точки 2 и 3 к блокам IV и V, на их выходе очевиио
получим значения напряжений, представляющих в определенном
масштабе величины —(Рх/М2 и —Ьх. Подключив точку 3 ко входу
блока VI, который проводит операции умножения и возведения в
степень, получим на выходе этого блока величину —сх3. Аналогич-
ным образом представив величину А созш/ в виде напряжения в
точке 4 и подав на вход суммирующего блока / напряжение, выхо-
дящее от блоков IV, V и VI, получим на выходе блока / сумму на-
пряжений, которая согласно (5.43), равна величине (Рх/йР, приня-
той за исходную. Очевид-

но, что схема, представлен-
ная на рис. 5.49, соответст-
вует уравнению (5.61) и на-
пряжения в точках /, 2 и 3
пропорциональны значени-
ям (12х1(112, (1x1(11 и х, кото-
рые непрерывно изменяются
и могут быть записаны на
осциллографе, отражая
этим самым протекание пе-
реходного процесса.

При исследованиях пере-
ходных процессов часто при-
ходится решать уравнения,
в которых параметры а,

..., (1 и т. Д. зависит от х.
Для воспроизведения полу-
чающихся при этом нели-
нейных уравнений разрабо
таны специальные схемы и
созданы типовые блоки, от-
ражающие:

Рис. 5.50. Простейшая
рующая установка

типовая модели-
(общнй вид)
Рис. 5.51. Решения урав-
нения качаний синхрон-
ной машины:

а — найденные при помощи
моделирующей установки и
сфотографированные с эк-
рана осциллографа; б — то
же изображение на фазовой
плоскости; в — то же. что
и б, но при наличии демп-
фирования

1) т„„оВЫе иемейяосги (™Ф™.	фазные”^

стики с зоной нечувствительности, различные петле р
ра”)ерф"и™	нелинейное™, т. е. тригонометрические функ-

иИ%°?™Ил»ИКГХнеСс™, и, как их иначе называют,
блок!, обрабатывающие функции; к их разновидностям относятся
блоки’ отражающие функции двух переменных, и блоки, позволяю-
щие получить произведения или соответственно частные от деления
двух величин.

Различные типовые установки, выпускаемые промышленностью,
составляются из такого рода блоков. В качестве примера на
рис. 5.50 показана моделирующая установка. Нижний блок / явля-
ется линейной частью установки, имеющей 12 усилителей; он по-
зволяет .решать обыкновенные дифференциальные уравнения шес-
того— восьмого порядков. Верхний блок 2 является нелинейной
приставкой, которая после соединения с линейной частью установ-
ки позволяет решать нелинейные уравнения.

На рис. 5.51 показаны фотографии экрана осциллографа, на ко-
тором записываются результаты интегрирования уравнения:
б/28/й/24-Д 5’п

Структурные аналоговые м о д е л и называют иногда
электронными моделями, просто аналоговыми моделями
(АВМ, АЭВМ). Широкое их применение связано с их простотой,
быстродействием, возможностью присоединения к ним в качестве
их элементов отдельных систем-оригиналов, подлежащих исследо-
ванию. Так, к модели можно присоединять натуральные регуляторы
I получать переходный процесс с учетом их действия. Разумеется,
р гуляторы должны присоединяться через соответствующие преоб-
” Усилительные устройства, обеспечивающие введе-
на П( г Р'1ятг'п н величин ® модель и обратное воздействие модели
электоомнпйР млп РИС’ пРедстав1лена схема совместной работы
гулятооа возб\/жпрИ/ ИЗобРа^аю1дей электрическую систему, и ре-
системы	ИЯ’ воздеаствУюЩего на один из генераторов

ких генеоатш^ных6^^ на„моделях систем, состоящих из несколь-
ментов математическойЦмашинь^вп^ереДаЧ « нагРУ30к’ число эле‘
шины возрастает быстрее, нежели число
Рис. 5.52. Схема совместной работы в прпмлпил.. ™

модели энергосистемы и присоединенного к ней^еальнотоТтомата^
регулятора возбуждения (АРВ) магического

операторных станции, что сильно усложняет схему. Объясняется
это тем, что при моделировании одного генератора можно состав-
лять уравнения относительно одной какой-либо системы координат
например системы координат, определяемых ротором исследуемой
машины. Если же моделировать несколько машин в системе коор-
динат какой-либо одной машины, то приходится составлять либо
уравнения всех других машин в координатах одной машины,
вследствие чего уравнения усложняются, либо уравнения для каж-
дой машины в ее координатах, а затем преобразовывать координа-
ты. И то, и другое вызывает увеличение числа усилителей и услож-

няет схему.

Стремление уменьшить количество элементов модели приводит
к разработке специальных методов исследования. Например, может
быть применен метод упрощенного моделирования, при котором
линии электропередачи, соединяющие узловые точки системы меж-
ду собой или с шинами бесконечной мощности, изображаются с
помощью уравнений, в которые входят активная и реактивная мощ-
ности в конце линии, определяемые по балансу мощностей в узле.

и напряжения в начале и конце линии.

В качестве примера на рис. 5.53 приведены схемы системы (а) и ее моде-
ли (б). На рис. 5.54 показаны осциллограммы переходного процесса, воспрои -
веденного на этой аналоговой	системы позволяет резко сократить

на наладку схемы.

Упрощенное моделирование ------------ ™л,оип»

количество аппаратуры, а следовательно, и время, р у

Рис. 5.53. Схема электрической системы

423
Рис. 5.54. Осциллограммы поведения системы
при двухфазном замыкании на землю:
да—изменение угла станции 2\ дго — его начальное
значение. 5 — скольжение двигателей нагрузки;

а— для нагрузки выше предельной; б — для нагруз-
ки ниже предельной

Значительное количество ре-
шающих усилителей необходи-
мо для моделирования линий
передач, вследствие чего вос-
произведение сложных сетей
на математических аналого-
вых машинах вызывает затруд-
нения. Поэтому для исследо-
вания электрических систем
модели структурного типа спе-
циализируют, ограничивая ко-
личество элементов и объеди-
няя их с аналоговыми расчет-
ными моделями переменного
тока. Прн таких сочетаниях
возникают различного рода
затруднения, определяемые
тем, что структурная модель
работает на постоянном токе,
а аналоговая расчетная мо-
дель— на переменном токе.
Это вызывает необходимость
применять различного рода
преобразователи.

Сочетание
ческой машины
ного действия,

математи-
непрерыв-
работаю-

щей на постоянном токе,
с расчетной моделью пе-

ременного тока показано
на рис. 5.55. Связь осуществляется двумя преобразователями, один
из которых служит преобразователем координат (напряжении),
связанных с ротором, в неподвижные координаты, а другой пре-
образователем тока из неподвижных координат в координаты, свя-
занные с ротором.

С помощью структурных моделей: определяется устойчивость
системы с различными регуляторами; исследуются переходные про-
цессы, асинхронный ход и ресинхронизация, оптимальные системы
регулирования; проводится синтез систем; изучается влияние ма-
лых изменений параметра на процесс регулирования; проводится
анализ случайных воздействий и др.

При моделировании сложных систем возникают задачи выбора
системы уравнений и форм их записи. Здесь могут быть различные
варианты:

1)	запись всех уравнений генераторов в синхронно вращающей-
ся системе координат;

2)	упрощенная запись уравнений, составленных в предположе-
нии, что Еа'=сопз(;

3)	запись уравнений каждой машины в осях, связанных с рото-
ром с дальнейшим преобразованием координат.

В первом варианте требуется сравнительно небольшое количе-
ство усилителей, однако при моделировании предполагается ра-
венство сопротивлений по продольной и поперечной осям и, как
1424 ►
правило, не учитываются ак-
тивные сопротивления генера-
торов и линий.

Во втором варианте предпо-
лагаются дальнейшие упроще-
ния исходных уравнений и за-
пись их через собственные и
взаимные сопротивления, что
облегчает решения, но ограни-
чивает область применения.

Третий вариант позволяет
отказаться от большинства су-
щественных ограничений и мо-
делировать сложные системы

Рис. 5.55. Структурная схема свя-
зи математической машины с мо-
делью переменного тока:

МГ — модель генератора; МС — модель
статическая; П и-преобразователь на
пряжения; П — преобразователь тока

при любой их конфигурации.

Рассмотрим приемы работы на модели в различных случаях.

Исследование устойчивости режима в системах с различными
регуляторами. Исследуем устойчивость режима синхронного генера-
тора, снабженного регулятором возбуждения (рис. 5.56). В этом
случае начальные условия выбираются в соответствии с исследуе-
мым режимом и одновременно вводится какое-либо возмущение.
Можно, например, предположить, что вращающий момент турбины
(рис. 5.57) внезапно увеличился до величины Мт и быстро вернулся
к величине .Мт0. Наблюдая процессы, вызванные кратковременным
малым возмущением, можно судить об устойчивости режима гене-

ратора. Если переходные процессы затухают и все переменные ве-
личины (угол, э. д. с., ток и напряжение), изображаемые напряже-
ниями в модели, стремятся к начальным значениям, то режим ус-
тойчив. Если же наблюдается периодический процесс с нарастаю-
щей амплитудой или неограниченное апериодическое нарастание пе-
ременных, то режим неустойчив. При этом можно судить не только
об устойчивости, но и о характере протекания переходного процес-
са и быстроте затухания возмущений. Чаще всего исследование
сводится к отысканию тех значений некоторыхпараметров, ?ХВ
тора (например, коэффициента усиления

регулирования), при которых ооеспечпвае о решений при
вости. Техника решения заключается в просмотре реш

Рис. 5.56. Схема исследуемой си-
стемы:	ря-се-

СГ - синхронный генератору
гулятор возбужде »

1/-С0П81
Рис. 5.58. Осциллограмма угла б,
полученная на математической
модели при асинхронном ходе

ряде значений интересующего ис-
следователя параметра и в фикси-
ровании граничных значений пара-
метра.

Разновидностью задачи являет-
ся отыскание области параметров
регулятора, соответствующей опре-
деленному качеству регулирования.
Можно, например, искать область,
соответствующую некоторой задан-
ной скорости затухания переходных

процессов, и т. п.

Исследование динамической устойчивости. Эта задача имеет
несколько особенностей. Во-первых, электромагнитный момент яв-
ляется сложной функцией нескольких переменных —угла, тока
возбуждения и тока статора генератора. Во-вторых, параметры си-
стемы меняются два раза — в начальный момент корот кого замыка-
ния и в момент отключения его. В-третьих, начальные условия не
известны заранее. Обычно ищется та наибольшая нагрузка (и со-
ответствующие ей угол .и другие начальные значения переменных),
при которой еще сохраняется динамическая устойчивость. Практи-
чески поступают так: задаются различными начальными углами и

находят соответствующие им значения переменных, характеризую-
щих режим в установившемся доаварийном режиме, а затем про-
веряют динамическую устойчивость при установке начальных зна-
чений переменных.

Исследование асинхронного хода и ресинхронизации. Особенно-
стью этой задачи является необходимость при изменении угла 6
вводить функции 81П б и соз б на много периодов. Это достигается
созданием специальной схемы, возвращающей переменную б к ну-
лю при значениях б = 2лп и сохранении неизменных значений про-
;водных. При асинхронном ходе осциллограмма угла б на матема-
тической модели пилообразная (рис. 5.58).

Переходные процессы, сводящиеся к включению э. д. с. в элек-
трическую цепь различной конфигурации. Параметры ветвей могут
= П°пСТ0ЯННЬШи или зависимыми от переменных (например, от
9 п ' .последнем случае в уравнениях появится нелинейность,
ной ч ' п вает как постоянной, так и переменной. В случае перемен-
заданную чяпнЛ^У ДЛЯ Решения включают блок, воспроизводящий
при нулевых так °СТЬ °Т вРемени- Задача может решаться как
значениях тока няп₽И любь1х Физически возможных начальных
внезапное изменен ряжения. Вариантом этой задачи является
•езапное изменение какого-нибудь параметра цепи

Приемы работы со стп\7кт\7пи<-11л

тих простейших примерах- У моделью могут быть показаны на следую-
П е п и К, Ь «а постоянное наппяже ПРп вк^ю,,ении электрической
=0.002 Г, 4)=0. Схема исслепуемп” Дано: Е = ,8° В; Я=0,5 Ом; 1 = 2 мГ =

Прежде чем приступит!	Цепи пРиве«ена на рис. 5.59.

О написать ЖКенциа^ задачи’ иеобход™°:

Дифференциальные уравнения, описывающие процесс;
Рис. 5.59. Схема цепи Ек

Рис. 5.60. Структурная схема соединения
элементов схемы

2)	составить принципиальную схему для решения задачи иа модели;

3)	выбрать масштабы и определить величины коэффициентов, устанавливав
мых на модели;

4)	составить рабочую схему соединений элементов.

Выполним эти операции. Составим дифференциальное уравнение:

#1 +	Е, илн 0,5/+ 0.002Л'Л = 180.

Принципиальную схему соединения элементов системы можно легко найти,
если учесть (рис. 5.60), что

<11 Е Я С а‘

— - — — — /; / — — <и.

<11 к к ] <11

(5.62)

Для выбора масштабов следует ввести в уравнение численные значения
параметров /:/1 = 90 000; /?//. = 250. Тогда уравнение запишется так:

Л/Л = 90 000 — 250.

Из уравнения видно, что в начальный момент (при /=0) производная очень
велика. В установившемся режиме (при Л/Л=0) ток 1=Е/Е= 180/0,5 = 360 А
тоже относительно велик. Постоянная времени

к,Е = 0,002 0,5 = 0,004 с-

еще один критериальный параметр, характеризующий протекание процесса.

Масштабы следует выбирать так, чтобы увеличить время процесса и не до-
пустить выхода изображающих напряжений модели за допустимые пределы
(100 В). Путем замены переменных в исходном уравнении введем масштабные
коэффициенты с помощью равенств:

= Е\ — т^Е\ 11—т^.

(5.63

где /, н Е\ — напряжения на модели, изображающие соответствующие перемен-
ные (ток и э. д. с.); /] — время в измененном масштабе.

Подставляя (5.63) в уравнение (5.62), получаем
т< __________________________1 Е1 _ 1 _ &

П1/	<111 тЕ	т:

/п,

или

<Н\ т< Е1 1 Е ,
——	.	—_	.	/1.

<Н\ т^т, к	к

(5.64)

427
Рис. 5.61. Схема набора за-
дачи

Выбирая масштабные множители т(=а
=0 25 В/А и /ив=0,5, сохраним переменные г,
и Е> на модели в допустимых пределах. При-
мем /п«=250. Тогда коэффициенты

/?,(т,Б)=!; пцКтЕт/Е) = 1.

Уравнение (5.64) приобретает вид

Л1/Л1 = Е] — Л,

где Г1=0,25; В]=0,5 Е; /1—250 I.

Одному амперу в натуре соответствует
0,25 В на схеме. Одной секунде в натуре со-
ответствует 250 с в модели. Ток в натуре Достигает
гося значения через пять постоянных времени, т. е. через 0,02 с. на модели это
"У С^стам™Утепер^ь схему Набора задачи (рис. 5.61). Схему можно упростить,
исключив инверторы, но тогда будет записана величина I,.

2 Динамическая устойчивость синхронного генера-
тора, работающего через линию передачи на мощную систему Для простоты
рассмотрим случай отключения части одной из цепей двухцепнои линии. 11ри
этом не будем учитывать действие регуляторов возбуждения и скорости. Про

цесс описывается уравнением

+ О + АЕ'Л 51П 8 4- В $ш 28 = М-,

(5.65)

где А, В, В, Т] — заданные постоянные. Будем считать Еа' и ЛД тоже постоян-
ными величинами. Введем дополнительную переменную с помощью уравнения

5 = йо/й/.

(5.66)

Тогда уравнение (5.65) заменится уравнением

Й8ДД = рИт- Ов - АЕ'д 81п 8 — В ат 2в]/7у

(5.67)

Принципиальная схема, соответствующая уравнениям (5.66) и (5.67) изо-
бражена на рис. 5.62. Выбор масштабов искомых переменных (6, 8) и масштаба
ремени производится по тем же соображениям, что и в предыдущем примере

Лг--|,3; В-0,15; И..1" Я " Д?27 '

ет выбраш подходящие масштабы. Первые же

их изменениях нет, следу

опыты дадут необходимые
сведения для правильного
подбора масштабов. В боль-
шинстве случаев инженер
знает, приблизительно в ка-
ких пределах изменяются
интересующие его величи-
ны. В этом примере угол 6
ориентировочно может ме-
няться в пределах —1<б<
<3 рад, а скольжение — в
пределах —0,01<5<0,02
(т. е. от -—1 до 2%). Общая
длительность процесса со-
ставляет 1 с (314 рад).
Масштабные множители
введены, как и в предыду-
щем примере, с помощью
равенств

Рнс, 5.63. Схема набора задачи

®1 —	51 —	А11 =	<1 = Щ(1.

Для вш б тоже введен масштаб с помощью равенств

/1 — 61 8>п	/2 = ^2 51п 2Ь.

Учитывая ожидаемые изменения искомых величин, выберем т8=25 В/рад,
т8=5000 В/рад, П1М=Ь|=62=5О В/рад. Учитывая ожидаемую длительность
процесса (314 ед.), выберем масштаб времени т(=0,25 с/1. После подстановки
масштабных множителей и числовых коэффициентов в (5.66) и (5.67) получаем
уравнения:



1	Л?!

Г А тМ

т3

= 0,1 (.’?!- 0,151 - 1,3/1 - о,15/2);	(5 ТО)

<11	1

Коэффициенты не превышают тех пределов, которые допускаются конструк-
цией блоков. Если коэффициенты превышают значения 0,01—10.00. го следтет
менять масштабы.

Схема набора задачи (рис. 5.63) соответствует преобразованным уравнени-
ям. В ней имеются функциональные преобразователи н /2. Преобразователь /(
получает на вход напряжение, изображающее в выбранном масштабе угол бь
на выходе его будет напряжение, пропорциональное зшб Аналогично, преобра
зователь /2 получает на вход напряжение бц на выходе его будет напряжение,
пропорциональное эш 26. Прежде чем собирать схему на коммутационном поле,
следует подготовить функциональные преобразователи. Для этого вычерчивают
график заданной функции с учетом выбранного масштаба переменных. В^эь'М
примере ординате з1пб=1 соответствует 50 В. абсциссе, равной 1 рад, —-О В
Тогда одному градусу будет соответствовать 25/57,3=0,436 В.

Общий подход к расчету масштабов. Он может осуществляться
на основе уравнений моделируемого процесса и первой пор» .мы >о
добня. При этом следует иметь в виду, что между Р  •
производимыми непосредственно на АВ.' 1, могут с> 1 отсмст-
торые дополнительные зависимости, которые в 1	->	
ВУЮТ в моделируемой системе. Поэтому в наиболее общем случае
для получения условий подобия поступают следующим образом:

1)	в системе уравнений модели расчетные «машинные» парамет-
ры для которых отсутствуют сходственные переменные в исходной
системе выражают через коэффициенты системы модели (так назы-
ваемые'машинные коэффициенты) и машинные параметры, имею-
щие сходственные .величины в исходной системе,

2)	в полученной системе машинные переменные выражают че-
рез масштабы и переменные х> исходной системы,

3)	сравнивают коэффициенты при соответствующих одночленах
исходной и преобразованной систем;

4)	в результате сравнения получают систему коэффициентов
подобия, равных единице.

Эта система в общем виде может быть записана как

л Л г

Л=ПП П^Х'м.’"=ч	(в-71)

>1р.=1	<=1

где /=1, 2, 3,	/, р и / — номера переменной, машинного коэффи-

циента и коэффициента в исходной системе; ац=>—1, 0, 1; Ро‘=—1,
О, 1; Уа=—1. О, 1—некоторые вспомогательные переменные, рав-
ные «I», если соответствующая величина М, К. или А стоит в
числителе коэффициента, «—I», если величина стоит в знаменателе,
и «О», если эта величина отсутствует в коэффициенте.

Количество коэффициентов равно общему количеству одночле-
нов в исходной системе минус количество уравнений в этой системе,
т. е.

Г
т = ^

где ^ — количество одночленов в <?-м уравнении

делипуемпгпЯо (™7,)’ 0ПРеделяющие условия подобия модели и мо-
2Е И и ’ накладывают жесткие ограничения на выбор
тоебуетсгвыч=кНЫХчДЭффИЦИе"ТОВ- ПР1Нведем пример. Пусть
Т	к^эФФ^»е«ты подобия для аналоговой моде-

ли, воспроизводящей процесс, описываемый уравнением

а _____ Й2Х	Дх

3 йгз	л 4'аох=«//(/).

Разрешим уравнение относительно старшей производной:



а* + аз •	(5-72)

изведен нетотороГструктур^оТТ1111614” <5'72)’ Может быть воспро-
интеграторы, операции^ котопых ппМ°И’ содеРжаи<ей сумматоры^ и
вожением на машинные коэффициенты6одновРеменно с ум-
430	* ТЫ Машинные уравнения,
.	а	I	сР

41	Лх	4 Д 41X51	^х2

<1	1	ЙЗ

.----хч=------------------— х5;

Х31К41К51	<№

1	1	</з

— х2=------------------. -—-л5;

(21	К21К31К41К51

Х6— — •К’б1*3—	-- • у— х5.

К41Х51	“*2

Подставим в формулу для х} зависимости для х2, х2, х3, х^ и х6.

Выразим х5 и т через масштабы:

Приравнивая коэффициенты
нениях (5.72) и (5.73), получим

Л5= “ Мхх\ х = М/.

Разрешив полученное выражение относительно сРх/М3, запишем
~=^^61К21К31м{ -^4-адЛзЛ^и?^-
и*

“Д’12^21^31^41^51^*^+ -А'цЛ'гАз^^з^И?/^). (5.73)
при одинаковых переменных в урав-
условия подобия:

а3КиКыК2хКыМ( р а'лК\^К2\Кл\Кц\М1
«2	ах

</3^12^21^31^41^51^3 р а3К\\К2\К3\КцК51М^
До	а/-Чх

Таким образом, для подобия процессов в оригинале и модели
необходимо, чтобы масштабы переменных и коэффициенты исход-
ного и машинного уравнений удовлетворяли условиям (5.74).

§ 5.7. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ

В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ

Существует четыре пути применения математического подобия
и моделирования в задачах электроэнергетики. Первый путь — со-
здание специальных алгоритмов и программ для решения на типо-
вых ЦВМ задач, связанных с управлением, развитием (проектиро-
ванием, планированием) и функционированием (эксплуатацией)
больших систем энергетики. При этом методология анализа (осо-
бенно в части выбора масштабов, обработки результатов расчетов)
оенне б чаии к	ориентирована на методы

должна быть полностью °РИС“’ н пбпяботку Втл

< г. <-т I/п и? р п и а л ь н у ю оораишку. ото-
рой путь -разработка специализированных цифровых машин и ме-
рой путь разра	решения конкретных задач, отвечаю-

^определенным условиям и описываемых уравнениями опреде-
ленного класс”. Сюда надо, например, отнести кибернетиче-
ское модел кропание, различные виды обобщенного модели-
рования Третий путь— создание гибридных устройств —
анатогово-цифровых моделей, которые могут быть универсальными,
но с большим успехом выполняются и как специально приспособ-
ленные к задачам энергетики. Четвертый путь - использование
соотношений, вытекающих из теории подобия, и построение с их
помощью обобщенных схем расчета, графовых моде-
лей, мысленных структурных моделей и т. д.

Переходя к более детальному рассмотрению названных путей,
прежде всего заметим, что ЦВМ уже получили широкое примене-
ние при решении различных энергетических задач и, несомненно,
их дальнейшее применение, как одной из мощных слагающих мето-
да моделирования, получит еще больший размах. Ожидается, на-
пример, что к 1980 г. в США из общего количества 350—400 тыс.
ЦВМ заметную долю будут составлять вычислительные машины,
обслуживающие энергетику.

ЦВМ, моделирующие энергетические процессы, применяются
в двух основных направлениях. Первое направление — это работа
в темпе происходящих энергетических процессов.
В этом случае данные для вычислений могут поступать в ЦВМ не-
посредственно от той системы, работа которой изучается или кото-
рой необходимо управлять (по-английски это называют «оп 1ше»),
Здесь особенно важно быстродействие машины и возможности вво-
вывода информации. При втором направлении — решении
задач проектирования, планирования и прогно-
зирования-нет надобности работать в темпе процесса. Однако
очень большое количество уравнений, отвечающих, например, мо-
лляИтпгп3и7гЯ бО-ТОЙ СиСтемы’ требует быстродействия ЦВМ,
ЭйЛектиии*1 * В * обозримые сроки решить поставленные задачи.

ет Умости ен^°ДеЛИрОВаНИе На ЦВМ 3аДач энергетики встреча-
шиньУ и той екпппг С Ра3рЫГ0М между скоростью работы ма-
ДЛЯ этих Программ Пш™ Которои готовятся программы и данные
мации поступающей римеР’ получаемые путем обработки инфор-
цвм”: П0СтуПающеи из реальной системы, и вводимые затем в
информД/1!ииЯвСмашину	ВР6МЯ ВВ°^ иеобходимой

инженером и цифровой мппо° ИТСЯ 0ПРеделенным барьером между
лительной машины. Реально^10’ Реа-'1изованной с помощью вычпс-

	время работы ЦВМ зависит также и

В ВЕНИКОВ Рй

» "ктро^нергетики «Известия^А^^гггпхметодов моделирования в задачах

чин НИ СССР. Энергетика и транспорт», 1970, № 4
от человека-оператооа анппаттт^^

образно характеризуемое акад В Милушки516' Э™ П0Л0Жение,
льплко цифровой вычислительной' машвдыТ ™ “ ““ ‘узкое Г0Р"
возможности, в то время как именно реХ™^™ ” ее Реальные
альная необходимость в этих м-ч11ИНЯУРТ„ возможности и ре-
нером во внимание.	машинах должны приниматься ниже-

Выбор средств решения инженевных ™паи п

тем более оценке получаемых везмпыДп Пр” этом выбоРе и
ляется а д е к в а т н 0УС ть с о₽ с?в е н^ ьТ™1 Пр°блем°11 яв‘
введенных в них данных	пРогРамм и

задаче. Выявление соответствия точности исхщшыхСК°Й
реально необходимой точности выходных данньГкото ысс у™™
способов и методов программирования дает ЦВМ, также является
большой и серьезной задачей, частично сводящейся к так называе-
мой апробации программ и проверке соответствия реальной
активности программы в смысле получаемого технического прак-
тического результата исходным предпосылкам, заложенным в эту
программу. Преимущества современных ЦВМ, включая и скорость,
с которой они делают вычисления, заменяя при этом сотни и тыся-
чи вычислителей, приводят к тому, что в короткий отрезок времени
они могут совершить и огромное число ошибок, если такая возмож-
ность делать ошибки не будет исключена в программе и заложен-
ных в машину исходных данных. Поэтому поиски совершенствова-
ния ЦВМ идут по пути увеличения скорости работы (которая, ви-
димо, в обозримый период достигнет колоссальной цифры —30—
60 млн арифметически?; операций в секунду) и нахождения новых
путей использования ЦВМ.

Моделирование на ЦВМ. ЦВМ не являются моделирую-
щими устройствами какого-либо конкретного процесса в том смыс-
ле, какой обычно на основе наших привычных представлений вкла-
дывается в понятие модели. ЦВМ, получая данные для анализа,
вычисляют какую-либо функцию, перерабатывают, хранят и вы-
дают информацию, создавая формальную модель-алгоритм вычи
ляемой функции.	1Я.

Напомним, что под алгоритмом принято п9Н“«а^Д04^
ние однозначно определенной последовательн_	п в знйчение

рабатывающих условия А в решение	™'	процесс Такое за-

«оторее и опРеделкег -^юбой »еход-
дание последовательност	Ь искомому результату при

ной информации приводит 'К прав	вы,ислнтелЬного процесса на

соблюдении требовании расчл жн0СТИ, которые выполняют-
элементарные шаги ограниче стоогое, а скорее описательное
ся «механически». Это, кон^“ ’ Еро ЛРГКО „онять, рассмотрев при-
определенпе понятия алгорит	может быть алгоритм Евклн-

меры. Классическим примеромздес> м9* нтеля двух целых чисел
да— нахождение общего ««“больше	и т д. Отдельных

проще —алгоритм сложения ' чень много. Каждый алгори
конкретных алгоритмов извест	его применимости,

задает функцию, определенную в	433
поскольку аякг™

тельность опер^""^°а^1еМмоГут быть представлены некоторой
комбинации I Резз- алг0^итму соответствует некоторая вы-
фикция, опред^енная в щ|фрах н принимающая в ка-

ЧеТхщ?с°Твую7Лм^	задачи, соответствующие опреде-

пенным Финским проблемам, для которых невозможно постро-
ить обвд^ алгоритм решения. В этом случае, однако, можно по-
ХитХгоритмы для частных задач - создать конкретные мо-
X тех ИЛЬИНЫХ процессов, изображаемых на дискретных вычис-
ЛИТСозданиеавсе более и более широких «электротехнических» и
«электроспстемных» алгоритмов позволяет проводить автомати-
ческие решения для обширных классов взаимно
подобных задач. Распознавание подобия, установление усло-
вий его реализации во всех случаях должно производится с по-
мощью рассмотренных методов теории подобия, которая создает
мост между методами экспериментального анализа и вычислитель-
ной техники. Алгоритмы, перерабатывающие инфор-
мацню, должны отвечать следующим требованиям:

1)	иметь общность характера, т. е. отражать ход решения не
какой-нибудь отдельной задачи, а целого класса обобщенных по-
добных задач, общность которых выявлена методами теории подо-
бия и запись алгоритмов проведена в критериальных величинах;

2)	обладать четкостью и однозначностью указаний по проведе-
нию операций на каждом этапе их выполнения;

3)	при любой исходной информации и точном соблюдении рас-
поряжений, определяющих вычислительный процесс, должны не-
посредственно и наиболее быстро (по сравнению с другими воз-
можными алгоритмами) приводить к решению, выдаваемому в
хдобной для использования форме, т. е. должны обладать резуль-
тативностью;

4)	должны выдавать окончательный результат в виде обобщен-
ных зависимостей (соотношений, графиков), позволяющих рас-
Р Пп РезУльтаты на группы явлений, подобных данным.

стр соблюдении указанных условий автоматическая ЦВМ вме-
модель и^Т'ЦИМ алгоРитмом может рассматриваться как
технических Чйпаи пРоцесСа> обеспечивающая решение научных и
могут быть попу * езУльтаты исследований вычислений здесь
Н^ти Еэтой точн^ бЛ0ЛЬШ0Й’ ир^ески любой, степенью точ-
зим этог™досто„ б“ЛЬШОС Достоинство ЦВМ, однако реали-
н сложностей. Между тем лЯЗаНЗк С пРеодолением ряда трудностей
научно-технических чипа оче11ь большое количество технических и
метической точности оешРТРебУ/°Т сРаВнИтельно невысокой ариф-
таким зад"ча™«н™^е""”„„<Т|’"’,еты1>е деся™чных знака). К
систем автоматического посуп ример- все исследования динамики
тематически регулируемых^ иР°вания, переходных процессов в не-
регулируемых электрических системах и многие дру-
гие задачи, требующие оешенист

воспроизведения функциональных завЙмос?еГ“ЫХ Уравнсний "

Ь овые требования к вычислительной технике

вать, что энергетику все больше и бол ьше н я и™ ДОЛЖ1,Ы учнтн-
решения, использующие не только мятрм^ ЮТ интеРесовать
ритм которых не предуе„аТр^МаТтТёсТкоего"0„Т''
много хода, как это делается В	програм-

менёнии ЦВМ, но и модели, которые позв^пялибы?^615 "РИ ПрИ‘
даче как к эргатической, т. е такой	6 подходить к за-

предусматривают в процессе исследования Г* ОПерации второго

процесс исследования и изменять его в нужном направлении Здесь
вмешательство человека в процесс исследования или управления
равносильно расширению а л г о р и т м а и переходу к бо-
лее высокому классу задач.

При реализации рассматриваемого моделирования требуются
изменения в подходах к программированию и в сочетаниях комп-
лексов цифровой вычислительной техники и техники аналоговой.
Отсюда появляются новые модели — гибридные модели, со-
четающие ЦВМ с АВМ. Немалое внимание уделяется также и спе-
циальному программированию, которое можно назвать физическим
или предметным программированием.

В качестве одного из примеров здесь можно привести программирование на
так называемом языке КАЛДАС *. Общая идея, заложенная в этом «предмет-
ном подходе», во многих программах и различных инженерных разработках,
заключается в стремлении использовать все преимущества ЦВМ при одновре-
менном сохранении н всех тех преимуществ, которые имеет АВМ. При этом
основное внимание направлено на создание таких методов программирования,
которые позволяли бы инженеру, работая на ЦВМ, программировать так же
просто и наглядно, как это делается при реализации структурных схем на .	

Оценивая гибридные модели, необходимо учитывать воз-
можности АВМ. Погрешности в ее работе объясняются свойствами
этих машин: 1) неточностью вычислительных блоков, 2) «дрейфом
вызывающим определенные изменения в вЬ,ЧВС™^
проявляющиеся во время выполнения вычислительных операц ,
3) значительным количеством вычислительных блоков и?пользу-
м'ых для решения сложных задач, так как ка«№. нблшиспол.^
ется только один раз в каждом применени , ) Р ’ наборе
димым для набора задачи,и в03“°*р“в. 5) возможными ошибка-
сложных схем и установке их пар Р	тов между отдель-

ми в работе АВМ в связи с	™“рой парамет-

ными элементами; б) ограничен!^ погрешностью, с которой может
ры могут быть введены в АВМ, и погреши
быть получено решение.

^Г-КЛЬОЛЗ-от ««ра—	А.во1 0^ 3-а'»^
П « VIII рст в а АВМ наиболее полно выявляются при ре-
Преимущес задач Это прежде всего большая скорость, по-
тении нелине"н“ решения не только в натуральном времени,
зволяющая получат р	МОГут решать различные динами-
мо даже много	Электроэнергетике, в сотни раз быст-

ческие задачи, отн^"Эоотекание процесса Они могут решать
?ин .мическиЭзадачи во много раз быстрее, чем современные ЦВМ.
КпгЛ нужно провести большое количество испытании, исчисляю-
щихся тысячами вариантов, фактор большой скорости АВМ ста-
новится очень существенным. АВМ настолько гибки во времени, что
позволяют "легко превратить годы в часы и часы в секунды» и,
наоборот, сколь угодно замедлять сверхбыстрые явления для^изу-
чения их в замедленном масштабе. Ученые давно стремятся снять
недостатки АВМ, так сочетая их с ЦВМ, чтобы возможности одной
системы компенсировали ограничения другой, и позволяя получать
все те преимущества, которые имеются как в той, так и в другой
машине.

Именно в связи с этим появляются и начинают
все шире распространяться гибридные вычисли-
тельные машины. Эти машины наиболее успешно применяют-
ся для решения смешанных задач, т. е. задач, одни вопросы кото-
рых лучше решаются на АВМ, а другие — на ЦВМ. К таким сме-
шанным задачам относится подавляющее большинство
электроэнергетических задач. Гибридные машины дают непрерыв-
ное решение систем исследуемых уравнений, но без тех загрубле-
ний, которые неизбежны в АВМ, поскольку гибридная машина име-
ет цифровую часть для арифметических действий и тех преобразо-
ваний, которые по условиям данной конкретной задачи требуется
провести численно точно. В то же время быстро протекающий про-
цесс натуры отображается соответствующим быстро протекающим
процессом в аналоговой части модели, рассматриваемой в том же
или любом другом масштабе времени. Цифровая документация,
необходимая в ряде случаев и весьма важная для обработки ре-
зультатов, легко реализуется в гибридных машинах.
шинь?\НпТпбпХ0ДИМЬ1е данные закладываются в цифровую часть ма-
пии н’н Р ’ ВЫП0ЛНЯЯ Сл0Жные логические и решающие опера-
кЗ шГ™ а',0™ую чаоъ’ оценивает решен.™ опрме-
ры в аналоговой ?йп₽ОпДа’Пее пРеДнринять и как изменять парамет-
решений В гибоипнпйИ ДЛЯ полУчения сопоставляемых вариантов
-СИ ложность эргЭтичецелительной машине имеется полная
ствия инженера-исследов-1теляДи°Да’ Т‘ наилУчшего взаимодей-

Здесь всегда имеется ни °ПератоРа с машиной.

групповой работой с оучнмм Р, МеЖду„ полностью автоматической
тической работой ил.РУавтомяВЗаИМ°ДеИСТ^Ием; полностью автома-
зельствомРВсе это иЛпоазс ручным вмеша-
ределению тактики веления «П° ^^ЧИТЬ наилУяпшй подход к оп-
ризных машин н зтоХ ’	" п0“ыша" ценность гиб-

Скорость исследования гибли™ " осооность обеспечивать высокую
436	гибридная машина получает от элементов
Рис. 5.64. Сопо-
ставление ЦВМ и
гибридных вычис-
лительных ма-

шин:

1 — большие ЦВМ
стоимостью поряд-
ка 2 млн. долл.; 2 —
средние ЦВМ — 400
тыс. долл.; 3 — сред-
ние гибридные ма-
шины— 200—500 тыс.
долл.; 4 — большие
гибридные маши-
ны — 500—2000 тыс.

долл.

аналоговой машины; в то же время свойств ™

контроль, закладываются в элементы пиГп ’ „П03В0Ляющие вести
ты цифровой машины могут осушествп^Р °И МаШИНЫ’ Элемен'
собранных схем и контроль состояния такжс контроль логики
т. е. контроль

пятп ОПОСтаВления гибридных и цифровых машин (рис 5 64) ПОЗВО-
ЛЯЮТ оценить их преимущества и недостатки, а следовательно по-
дойти к оценке областей их применения. Одним из существенны
показателей при этой оценке является скорость моделирования.
Отот показатель оценивается данными рис. 5.64, а, где показаны
зависимости фактора скорости от сложности задачи, которая ус-
ловно определяется числом уравнений, описывающих исследуемые
процессы. Как следует из рисунка, при больших скоростях модели-
рования преимущества оказываются перед гибридными машинами,
в то время как ЦВМ имеют несомненное преимущество при реше-
нии задач относительно меньшей условной сложности, но требую-
щих большей тщательности при получении цифровых результатов
в ответе (это, например, задачи анализа экономических соотноше-
ний, бухгалтерских расчетов, задачи, связанные с построением таб-
лиц). Другим существенным фактором сравнительной оценки ЦВМ
и гибридных машин является стоимость операций моделирования.
Стоимость моделирования в зависимости от сложности решаемой
задачи показана на рис. 5.64, б, где она условно оценивается как
сумма стоимостей программирования и проверки этого программ I-
рования, сложенная с ценой времени машины, отнесенной к факто-
ру скорости. Такого рода условная характеристика с™?™™ " '
называет, что ЦВМ имеют преимущества о^ТпожныёаС™а3ы-
лее простых задач, в то время как задачи более сложные оказы
вается дешевле решать на гибридных машинах.

К описанным идеям цифрового н

идеи реализации устройств в виде: сп	ванные дискретно моделирующие

вок. Например, разрабатываютсяр;™,цина^РТ ^Хления сложной электро-
устройства, основанные на ПРИ‘	пг)11 многократном использовании ком

энергетической системы на подсистем Р	в системы здесь осушеств-

лекта решающих блоков. Моделирование инл едуесег11. составленных
ляется с помощью воспротшведения уравнени^ мод(Рнрованию ногут осушеств-
по методу узловых напряжении, шперац	437
ДТЛЛЛ постоянного тока. В качестве
.пяться и с помощью решающих • '_	могут быть использованы специалн-

возможных вариантов такого рода моде. е Уьныс устройства. В них слож-
зпрованные дискретно ^елиру подсйстем уравнений отдельных узлов
ная система представляется Решение которых можно выполнять по ме-
электрическон системы, совместное	^оторых м	1ИЯ каждой

тоду последовательных ^Тимо от ДРУГИХ Уравтений системы. Именно такое
паздетьно^ ре^ениеСЯпрНоеводимое°примеиительноР к отдельным подсистемам, ока-
раздельное решение р А	специализированных дискретно-моделнру-

X™	Применится	"м" АВМ

(расчетных столов) перемениого тока со специализированными АВМ, которые
реапиДют преимущества расчетного стола переменного тока с преимуществами
АВМ Соединяя между собой через расчетный стол переменного тока несколько
специализированных АВМ, инженер получает возможность оперировать с весьма
сложными системами, содержащими значительное количество электрических
машин и разветвленные сети. В подобных случаях АВМ обычного универсального
типа ие позволяет получать уверенные решения; именно здесь выявляется пре-
имущество метода комбинированных вычислительных установок специализиро-
ванного типа.

Комбинированные вычислительные установки могут работать как в нату-
ральном времени, так и в любом масштабе, позволяющем за период корот-
кого замыкания просчитать несколько десятков (или даже сотен) вариантов
дальнейшего протекания процесса и внести соответствующие коррективы в
действие устройств противоаваринной автоматики. Таким образом, осуществ-
ляется идея ускоренного моделирования. Появляющаяся возможность управле-
ния режимами приводит к кардинальному изменению требований в нсследова-
| ниях переходных и установившихся процессов. На первое место в этих иссле-
' дованиях выдвигаются уже не методы моделирования, позволяющие по задан-
ным начальным условиям определять характер дальнейшего протекания процес-
са поме заданного возмущения, а методы моделирования и устройства, отвечаю-
щие требованию вариантного анализа протекания процессов и одновременно
позволяющие проводить активное вмешательство в эти процессы. Активное
вмешательство реализуется воздействием на современные устройства противо-
аварииной автоматики и различного рода управляющие и регулирующие устрой-
ства, которые должны будут строиться как устройства кибернетического типа.

Кибернетическое моделирование*. Рассматриваемое моделиро-
шИ7ппП°ЯВИЛ0СЬ КЭК средство преодоления трудностей, возникаю-
щемсП™"™ СОВРеменнЫх сложных электроэнергетических
, ™ ’ СОСтоящих из связанных подсистем, имеющих целенаправ-

" ,^ХХУ,0ШСе	Преодоление дХиХ

.юделКания ™3-Тт“ВаТЬСЯ на методе кибернетического
моделированию И СВОДИтСя в основном к непосредственному
ниями модели без паскпыти $ункция исследуемой системы функ-
как системы, так и ее модели. ПрИр°ДЫ И структуры явлений внутри
бернетики, согласноЩторому пч ^ундаментальных принципов ки-
чсследовании ее поведения т р 3^Чени^ сис;темы основывается на
хода системы при воздействияхаНаб^юдеНии за состоянием вы-
Дои или экспериментатором Пн вХ0(^ах> заданных внешней сре-
как некоторый преобразовательное™” с„истема Рассматривается
ходов и считается полностью оппр тоя”ии„вх°Дов в состояния вы-
----------	СТЬЮ опРСДеленной (заданной), если для

В А Веников О А Сх» п

^«ектрических систем. <Из7ес™я АР)Г7‘ссУИ^РНСТЮ,еСКОГО моделиро-

 Л	11 СССР- Энергетика и транспорт»,
Рис. 5.65. Кибернетическое моделирование
нее определено соответствующее поеобпяз™™-^ а
ванне может быть выражено в абстпя™? л Эт0 пРеобРазо-
от конкретной физической поиоом/ V Н°И $орме вне зависимости
НЬ.Х в самой систем Хде^ьХ01	"ере“'"-

в которой совершается падоби “

только в том или ином смысле схожее) преобразование состояний
™ В сос™Яния БЬ1Х°Д°В- Физическая природа и внутренняя
структура модели могут не иметь ничего общего с оригиналом

отим кибернетическое моделирование принципиально отличает-
ся от физического и математического, в ходе которых воспроизво-
дятся процессы «внутри» изучаемой системы-оригинала. Физиче-
ское моделирование требует соблюдения критериев подобия и оди-
наковой структуры оригинала и модели при подобии граничных
условий, а аналоговое моделирование требует соблюдения изомор-
физма уравнений, описывающих процессы внутри оригинала и мо-
дели. В отличие от аналогового и физического моделирования при
кибернетическом моделировании условия подобия относятся толы >
к преобразованию между входом и выходом системы, т. е. при это |
подобными должны быть только функции (рис. 5.65). Именно по
этой причине кибернетическое моделирование открывает исследо-
вателю особые возможности.

Наиболее простое соотношение между кибернетическо.1 моделью
и оригиналом — это изоморфизм, при котором взаимно однознач-
ное преобразование состояний (входных и выходных) одной систе-
мы в состояния другой превращает представление одной системы
в представление другой. Более сложным соотношением оказывает-
ся соотношение гомоморфизма, когда однозначное лишь в одну
сторону преобразование, приложенное к более сложной спет
ме, может привести ее к виду, изоморфному более простои
С1'процедура построения кибернетической модели сводится к еле-
дующим основным операциям: 1) определению фу данцо»
руемой системы в интересующем смысле; 2) формалнзашн «:“"„"р,,
функции; 3) воспронзведенню	1'“^отвоРШенПй между

соблюдении какого-либо из указанн - ПП|[НШ1пе базируется со-
оригиналом и моделью. Именно на	рНизводящихся машин,

здание играющих, обучаемых и самовоспразвод
которые можно рассматривать кад моде,;пческое моделирование в

Из сказанного следует, ч ‘ Рзацин раскрывает функцио-
его общеизвестно» пР0Сте“1Я Р «среды», рассматривая прежде
нальную зависимость систе.? о0 воздействием внешней
всего открытые системы, находлщиес.
Рис. 5.66. Трехуровневое построение кибернетической модели

Однако при моделировании сложных технических систем, и в
частности электрических систем, во многих случаях нельзя огра-
ничиться лишь исследованием процесса взаимодействия системы с
окружающей средой, а необходимо учесть явления, происходящие
внхтри системы, но получающие отражения во взаимодействии со
средой. Кроме того, часто приходится рассматривать замкнутые
(закрытые) системы, т. е. такие, в которых все контуры причинно-
следственных связей замыкаются внутри системы. Применение
метода кибернетического моделирования к системам такого типа
требует перехода к анализу сложной системы более высокого уров-
ня, в которой исходная система является одной из п подсистем, а
остальные п—1 подсистем играют по отношению к ней роль окру-
жающей среды.

При моделировании процесса взаимодействия выделенных под-
систем каждая ^из них будет представлена своей функциональной
характеристикой, а содержание происходящих в них внутренних
Не бУдет РаскРЬ1ваться. Данный принцип является осно-
^йкХЯт^СгРм°.еНИЯ кибеРнетических моделей сложных замкнутых
мам ввопя наяяПМ’ °ТКуДа легк0 вновь перейти к открытым систе-
среды	висимые от реакции системы воздействия внешней

обычным моделиоованирМееТ качестввнно иной по сравнению с
на раскрытии структуокД™ рактер‘ Обь1чная модель базируется
Уровнях (элементы и метем а) “в кибРпЗТрИВаЯ объектЬ1 на ДВУХ
вводиться несколько уровней сопепжяернетическую модель могут
и системы (рис. 5 66) Таким’ °деРжащих элементы, подсистемы
предусматривает и е р а р х и ч е СРк кибеРнет11ческая модель
над группами элементов — подсистем^ СТрУктУРУ- Операции
риваются в одном отношении	разного ранга-рассмат-

другом —как окружающая среда К самоСтоятельнь,е системы, а в
В применении к моделированию электрических сиг,»..

хическому подходу придается топологический смысл т|"омянутому ™рар-
подсистемои является топологически связанная	Предполагается, что

ческой системы и что функциональное

подсистем. Анализ функционального взаимодействия подси^м тп₽бХ ГраНИЦе
ния в каждой подсистеме группы переменных	требует выделе-

ков, протекающих через них. Граничные переменные в свою очеред оаэпеляютси
на воздействия и реакции, т. е. величины, рассматриваемые по отношений к
подсистеме как независимые, и величины, определяющиеся воздейс?™ „
внутренним состоянием подсистемы.	эдеисгвиями и

Кибернетическое моделирование при исследовании переходных проце в и
установившихся режимов представляет в виде «черного ящика» отдельные под
системы, но не всю систему. Это значит, что при моделировании можно перейти
от «черного ящика» к «серому ящику» с полупрозрачными связями (рис 5 бы
конкретизируя среду в виде подсистем и выявляя существующие между ними
функциональные связи. При этом сами подсистемы остаются «черными ящика-
ми» Данный переход позволяет осуществлять наблюдение за некоторыми из
переменных, характеризующих процесс внутри системы.

Ограничиваясь рассмотрением электрических систем как детерминирован-
ных динамических систем, для которых может быть построена обычная матема-
тическая модель, определим некоторые дополнительные свойства
кибернетических моделей. Во-первых, при построении таких моделей,
как правило, отсутствует необходимость в формализации функции системы,
свойственной, например, процедуре построения современных кибернетических
моделей биологических систем. Во-вторых, в качестве соотношения между
оригиналом подсистемы и ее моделью обычно используется только соотношение
изоморфизма. Будем считать, что дальнейшее изложение относится к моделям,
удовлетворяющим данным условиям.

Основными вопросами, решаемыми при формировании кибернетичесО
моделей электрических систем, являются; получение описания подсистем в
де уоавнений преобразования, связывающих граничные переменные, и фс«
рование структуры связей между блоками модели, представляющими пзд-

'""уравнение преобразования является выражением, с помощью кот^о
подсистемы может быть определен вектор выходных переме««“^Тэтих
при известном векторе входных переменных (в а ВМесте они составляют
векторов имеет размерность числа гРа““н „ переменных, харахтеризую-
вектор граничных переменных подсистемы Из Д. У Р , напряжение),
щих электрический режим на каждой границе подсистемы (т

одна должна войти в вектор X, а вторая- в веет ^систему, если она рассмат-
- При моделировании установившихся режимов^ д^
ривается как линейная, следует представи ур

у = |к1Х + У0,

(5.75)

V___пек-

граничных токов, а V - вектором р	бытЬ смешаннон.

димостей в обратном слу  рЯЖенИя, так и токи.	подсистем, со-

вектороь X и V	1т смотрим систему. сост°и“Уц одержится соответст-

В качестве примера рас и подсистемах 1 и 11 ";,ссчи1ать электри-

единенных двумя	Предположим, что нео^"в_РА Если принять в

венно ГП} и т2 генер Впн заданных э. Д. с. генер Ре напряжения С ₽.
ческий режим системы рнШ^ подсистом I „ П.граничн
качестве входных п Р	будут иметь вид.

то уравнения преобразования суду
7ир		У 1 Гр 1 гр	П гр 2 гр	X	771гр		-71’р(0) ;1
/2гр		^2 гр 1 гр	У2 гр 2 ГР		6Г2гр		12гр(О)  /I*
		,,11	V11		77ггр		'1гр(0)
71гр		гр 1 Гр	1 1 гр 2 гр	X		+	И!
	=	гп	ГП		772гр		72гр(О)
72гр		1 2 гр I гр	' 2 гр 2 гр				

т,

т4	! V V1 Р1 *

г»	-

т—1

т*

/1“(0) = ]Ь Г'п,т^'": ^2гр(0)
т-=1

т»

у-П рП

21 г2гртс'т'
т—1

в случае нелинейного пРедставленияя^“о"“е
должно строиться на основе кратного ряда Тейлора.

преобразования

(5.76)

(5.77)

подсистем

п

, VI дук

Ук^УЮ+ 2^ дх.
1~1

(х,- — Х°) +

Л-0, Л

Г 2 л

п п

+ ±УУ^	(х,-х?)(х,-х»)........... <5.78>

21	о о о

уГ1 у-1	х1,х2,..,лп

где /ю— значение выходной переменной уь при Х1=Х1°, х2—х2°......хп—хп°.

При расчете систем переменного тока комплексные значения токов и на-
пряжений необходимо разложить на ортогональные составляющие или модуль
и фазу рассматривать в качестве переменных.

Здесь моделирование переходных процессов рассматривать не будем. Отме-
тим только, что для представления подсистем электрической системы следует
использовать интеграл свертки в линейном случае и интегральное разложение
Вольтерра — в нелинейном.

Уравнение преобразования можно построить исходя из анализа математи-
ческой модели подсистем; можно, однако, провести опыты с самим оригиналом.
Все методы определения, а также представления уравнений преобразования
разделяются на две группы: первая основывается на аналитическом преобразо-
вании полной системы уравнений подсистемы, связывающих ее внутренние и
граничные переменные; вторая группа методов предполагает использование
модели подсистемы или ее оригинала для получения только реакций подсистемы
на возмущения, прикладываемые к ее входу, и формирование уравнений преоб-
разования по результатам этих экспериментов.

При использовании методов первой группы построение функциональной
модели подсистемы базируется на развернутом описании подсистемы, т. е. функ-
.. я 1 системы определяется с помощью анализа ее внутренней структуры и

ЭТ°М да,1яый подход можно определить как использование
бе. от 1 ящика* для построения модели в виде «черного ящика».

как <чепныйСа1пииГПсметодов подсистема с самого начала рассматривается
с ли опыт пповипитса вяутРенияя структур? может быть вообще неизвестна,
используется тон и п о самим °РИ|нналом или знание внутренней структуры
проис -щит пеоёхоп от <гирПг?еДеЛеНиЯ Реакций подсистемы. Таким образом, здесь
мож< т испольаояя кся попЕ °ГО ящика*’°Ригииала (в качестве этого оригинала
ящикуи-модёли Полгж.иг/ аЯ математИческая модель подсистемы) к «черному
подсистему в модели функционал^ преобразования 6УДет затем представлять
у в модели функционального взаимодействия подсистем, с помощью
442
Рис. 5.67. Алгоритм циклического
использования

Рис. 5.68. Алгоритм с учетом
взаимодействия подсистем

которой определяются значения граничных прпрмрнн^ гт,л

внутри данной подсистемы, на этой сталии м п₽ Т' Процессы> происходящие

Модель функционального вза, модели I ДпоХТм" Ие раскРываются-

элементов, т. е. простейших и не подлежащих анализу на этом урХ частей
системы. Модель приобретает характер системы, содержащей «серые ящиХ в
сообществе которых можно наолюдать процессы иа границах подсистем а также
в обобщенном виде получать оценку процессов внутри подсистем.

После того как значения граничных переменных становятся известными, при
необходимости можно перейти к моделированию процесса внутри отдельных
подсистем, оперируя с полными моделями подсистем (модели низшего уровня) и
используя решение, полученное на более высоком уровне. Отметим, что эта ста-
дия моделирования не всегда обязательна.

Алгоритмы кибернетического моделирования можно построить
таким образом, чтобы в ходе моделирования последовательно ис-
пользовалась как полная модель подсистемы, так и ее функциональ-
ная модель. При этом на каждом цикле решения (I, Г,..., НГ) про-
исходит переход от полной модели подсистемы (уровень «элемен-
ты — подсистема») к модели функционального взаимодействия 
подсистем (уровень «подсистемы — система») и обратно. В этом |
случае процессы, происходящие внутри подсистем, раскрываются и 
на каждом цикле изменяются уравнения преобразования подсистем,

лическнм использованием моделей подсистем и с учетом вззимодеи-
ствия подсистем.	„„.„чпайгтвпя является основной

Модель функционального. в^“«“'Х^действне разде-
частью кибернетической модели	адиного целого - системы,

ленных моделей подсисте х х	двумя способами:

Структура этих моделей может "Р0»т	$ //. ///) в качестве

1	При передаче Реакции^Н^Хжуточных преобразовании
воздействий на другие без пр°м >	ый элемент мо-

(ОТ1С 5 69 о)- Блоком здесь называв	япн соответственно

= “............................................
а)

Блок
подсистемы
ИГ

блок
подсистемы

I

блок
подсистемы \

П I

Рис. 5.69. Модель взаимодействия:

а — без промежуточных преобразований; б — с решени-
ем уравнений связи; в — комбинированная схема

лируют причинно-следственные связи, существующие в
системе. В ряде случаев при построении моделирующих
типа I возникает задача обеспечения их устойчивости.

2	. При соединении блоков осуществляется решение

реальной
структур

системы

уравнений связи (рис. 5.69, б). Принцип составления систем урав-
нений связи вытекает из законов Кирхгофа для электрических це-
лей и может быть сформулирован следующим образом: величины
на границах подсистем, определенные в различных граничащих
друг с другом блоках, должны быть равны между собой. (Назовем
данную структуру структурой типа II.)

Важно заметить, что в рамках одной модели системы для лю-
бого блока могут быть использованы структуры типов I и II, напри-
мер более мелких элементов (/,..., 5), как это изображено на
рис. 5.69, в. Это значительно расширяет возможности кибернетиче-
ского моделирования, позволяя добиваться оптимального построе-
ния модели.

Алгоритм кибернетического моделирования электрических си-
стем можно окончательно представить в виде последовательности
действий (рис. 5.70):

1)	выделение внутри систем 1—2 подсистем (/', 2', 3' и 2",
) и формирование уравнений преобразования, т. е. функциональ-
ных моделей подсистем (рис. 5.70, а)\

2)	построение модели функционального взаимодействия систе-
мы с (рис. 5, 70, б), внутри которой подсистемы (7, II.VI) пред-

444
Рис. 5.70. Схема алгоритма кибернетического моде
лирования

ставляются через элементы, заданные функциональными характе-
ристиками (а', а , а'",...,	§"')

3)	решение, проводимое на полученной функциональной моде-
ли, и определение таким образом граничных переменных;

4)	обращение к моделям подсистем (модели нижнего уровня) и
в случае надобности раскрытие процесса внутри подсистем.

В случае, когда при моделировании интересуются только явле-
ниями, происходящими в одной или нескольких подсистемах слож-
ной системы, можно применить алгоритм с циклическим использо-
ванием полной модели подсистемы, а остальные представить функ-
циональной моделью. Это позволяет, не раскрывая явлений, проис-
ходящих во всей системе, достаточно точно учитывать их влияние
на процессы в интересующей части системы. Принятый тип функ-
ционального представления (линейный или нелинейный) опреде-
ляется, кроме того, предполагаемым уровнем возмущений на гра-
ницах подсистем. Таким образом, в зависимости от требуемой сте-
пени детализации исследуемых процессов, а также их характера
может изменяться 'используемое описание подсистем, что позволяет
экономить память и уменьшать количество вычислении при модели
ровании на ЦВМ. Кроме того, то обстоятельство, что в кноернети-
ческих моделях исключается характерное для обычных методов
математического моделирования рассмотрение связей
систем, дает также возможность сократить необходимый ооъем па
мяти и количество вычислений.
Удобство моделирования, а также обозримость и наглядность
его результатов изменяются в зависимости от принятого описания
подсистем структуры связей и вида деления.

Кибернетическое моделирование облегчает отражение и изуче-
ние чв гений происходящих в окружающей среде, представленной
отдельными подсистемами. Его алгоритмы могут являться основой
дня построения специализированных моделей электрических си-
стем Отдельные блоки этих моделей должны осуществлять вычи-
сление выходных величин подсистем по универсальным уравнениям
преобразования при известных функциональных характеристиках
подсистем. Соединение блоков между собой необходимо проводить
непосредственно без промежуточных преобразований (модели ти-
па I) или через блоки связи, обеспечивающие решения систем урав-
нений связи (модели типа II). Создание специализированных мо-
делей позволяет реализовать преимущества, заложенные в самих
принципах кибернетического моделирования. В частности, для мо-
делирования переходных процессов весьма перспективным оказы-
вается применение блоков кибернетической модели, представляю-
щих собой цифровые интеграторы нового типа с памятью, реали-
зующие представление подсистем функционалами.

Подводя итог сказанному, можно определить кибернетическую
модель электрической системы как модель иерархического типа, в
которой на высшем уровне воспроизводится процесс взаимодейст-
вия между подсистемами на основе моделирования функций под-
систем функциями и отражения структуры связей между подсисте-
мами, на нижних уровнях определяются функциональные характе-
ристики подсистем и при необходимости раскрываются их
внутренние процессы.

। п лЬ\'е модели’ или Цифровые дифференциальные анализа-
торы (ЦДА). Стремление к совместному использованию свойств ма-
шин разных типов привело к сочетанию ЦВМ с АВМ в виде единой

' тановки. Появились новые типы цифровых машин-
лизатопов П я пкиошпАл .... _ Фр Д ФФ ренциальных ана-

нового типаДв цЬяНетИШее ИХ развитие привело к образованию машин
личин вместо попнппя™ машин’ опеРирующнх с приращениями ве-
ной машине. Это так н^зывТмчнсел’. как в обычной вычислитель-
сочетая целый пяп и™ аемые инкрементные машины, которые,
позволяю, сохранить тр	“ойста НВМ. ® ™ же время

сохранить те удобства работы, которые имеют АВМ

тельство, что в них инфорлшш^ пос л1ТНЫХ машин является то обстоя-
отоком и поиска чисел в памяти и/ гг дВ блоки интегрирования непрерывным
ускоряет вычислительный процесс и РебУется- Оперирование с приращениями
интегралов, позволяя также весьма ппг!?ИВ°ДИТ К более Удобной коммутации
«ьр ог различных источников инЛовмяпи по^чать приращения входных дан-
весьма схож с моделированием ““*°Рмации' Процесс исследования на ЦДА

;я задачи, для которых ЦВМ чепес'61* ^ВМ 11а этих моделях могут ре-
излишня, а точность структурно ЧУ{Э СЛ9ЖНЫ- получаемая на них точ-
сДУктивном отношении ЦДДРсхож’сХмМОделеи ^ВМ) недостаточна. В кои-
“ стРУ“'‘УРные модели, состоят иГотпепк^™” ЦВМ' Но ЦДЛ. «к же как
446	отдельных элементов интеграторов, соединен-
иых между собой на основе тех „

ЦИН, чем универсальные ЦВМ но име™”?’1"0'’' более просты п

ЦДА имеют существенную ^ХносГь^^т Д&/ эксплуата-
вводимых в модель. При этом ппим₽ио Ь В ОТношении изображено
модуляция». Согласно этому метопу-Г” Мет0Д’ обычно назывХ"й Ве1ИЧИН’
производятся не с исходными переменны °Перации и преобразования 4Дадьта’
На окончательном этапе результип^ , величинами, а с их пвипаше °ДелИ
дельных приращений. Все РприборыР при этоТХТ получается как суммами
на дискретные конечные импульсы - приращения ^н^КаЛЫ’ прогРаДУированные
так, чтобы шаг квантования был рав^₽вХЧин₽°»пВ °В0₽ЯТ’ квантуются
Элементарные приращения представляются ^Хньши™РН0Г0 приращения,
сами. Шкала времени также представляетсГп^ипт.^и электричес™‘и импуль-
годаря этому импульсы, представляющие приращена мХт~КЕантуется- Ьла-
в определенные моменты времени через ппом₽^™ ' У появляться только
от друга шагом «.аи„„„„Р, 6, (аХ^Х^ ^	«№

означает появление отрицательного приращения) к "рнариов"”»
импульса означает нулевое приращение).	1	отсутствие

Для рассматриваемого моделирования характерно, что в промежутки между
следующими друг за другом «квантованными» функциями цифровая модель не
дает каких-либо сведении о своем состоянии, а следовательно, н о состоянии
исследуемой системы. Функции, применяемые в цифровых моделях, определен-
ные только на границах интервала, иногда называют решетчатым функциями.
Зависимости между решетчатыми функциями обычно устанавливаются с помо-
щью разностных уравнений, или уравнений в конечных разностях. Применение
именно этих уравнений характерно для цифровых моделей, так же как для
моделей структурных (аналоговых) характерно применение дифференциальных
уравнений.

Цифровая модель какой-либо физической системы — это установка другой
физической природы, составленная из элементов цифровых машин, обладающая
следующими свойствами:

1.	Каждому параметру процессов исследуемой системы, являющемуся функ-
цией времени или какой-либо другой независимой переменной, отвечает решет-
чатая функция времени или какой-либо независимой переменной. Решетчатые
функции называются координатами модели.

2.	Между координатами модели существует зависимость, описываемая раз-
ностными уравнениями.	и-,,,п1.иыт и гоа-

3.	Решение разностных уравнений при соответствующих нашл.
личных условиях совпадает с приближенным реш с ФФ
уравнения, описывающего работу исследуемой системы.	задачи:	по-

При создании цифровых “одеде“ пр“*°Д х	разностях и подбор

строение уравнения в кон -	н панному уравнению илн

структуры ц и ф ро вой м оде л и. от модели ие яв;1ЯЮТСя такими же
системе уравнений. Таким образом, Ц <ФР етного ТИпа, решающие любые
универсальными, как универсальны ‘ 110дХ0ДЯщую для данной машины,
задачи, имеющие алгоритм и прогр У^	0 свойствами машины для

В универсальной ЦВМ приходите	р в цифрово11 м дели

данной задачи по ее алгоритму составлять Ь ► в СООТВетствин с зада
приходится конструировать (синтезировав	уравнения, которое

ленными по методу дельта-модуляции.

приращений вида:

., Л.гДг(А')’ •"'

., ауГу(О......

йл-О®г(7о)> Лг1г.г(6)> ...
л№у(/()), йуфу (Л). •••




Рис. 5.71. Две системы приращений на входе
преобразователя информации цифровой мо-
дели

где индекс при 6 указывает на
представляемую величину, а
коэффициенты а могут прини-
мать значения +1 и —1 в би-
нарной системе и +1; 0; — 1 —
в тернарной. На выходе преоб-
разователя информации так-
же образуется последователь-
ность приращений вида (рис.

5.71):

а2[)Ъг((о),	(И), ...

...,«*&-(*/)» ••• •

Работа преобразователя
информации, вообще говоря,
может описываться соответст-
вующей зависимостью между
исходными величинами х, у,...
и результирующей величи-
ной г:

г= / (х, у, ..., <«).

Однако здесь встречается определенное неудобство, связанное с тем, что
мгновенные значения х>,	.... <ог и г, получаются в результате накопления

прнрашений за все время работы преобразователя, и, следовательно, связи между
этими значениями являются интегральными характеристиками и не описывают
работу преобразователя в каждый данный момент времени. Для описания ра-
боты преобразователей удобнее использовать какие-либо линейные функции от
х, у....ы, не обладающие отмеченным недостатком. Обычно в качестве этих

функций выбирают производные по времени от соответствующих величин, ха-
рактеризующие скорости и изменения, а для описания работы преобразовате-
лей информации используются соотношения вида

<Лг/а1 = / (ах!4(,4у1а(,

Для величии, представляемых с помощью метода дельта-модуляции в ус-
ловиях использования квантованной шкалы амплитуд и квантованной шкалы
времени, приближенные значения производных по времени определяются как

I

'М % V (^)	, / > у.

н

ппЛаГ квантов.а1,1'я шкалы времени б(, как правило, один и тот же для всех
преобразователей, участвующих в решении данной задачи. Шаг квантования 6Д
пХТенноёР^оУХяянен"ИИ МаСштабов переменных. При таких условиях
быть определено выражением6 ЗНЭЧеИИе СКОрости изменения величины может

V --

4ЦЪ

4(р-

В “аСТ0ЯЩМ вРемя “ ™иике все боль-
(динамические характеристикиГможнп"СТе“Ы’ состояняе вторых
функциональной чявисимпга- И можно представить не однозначной
(параметров режима шт п ЬЮ какого'либо фактора или факторов
' Р метров режима или параметров системы) от другого фактора
448
или группы факторов, а ста-
тистической вероятностной
зависимостью.

Моделирование явлений
подчиненных вероятностным
и статистическим закономер-
ностям, имеет целью не вы-
явление протекания какого-
либо определенного процес-
са, а определение средних
результирующих характери-
стик, обусловленных законо-
мерностями массовых повто-

;>0

40

рно. 5.72. Простейшее моделирование
вероятностного процесса

ряющихся явлений, которые
носят случайный характер

П^еГшаТ М КТДТН₽Ы-	молелирсання.

простейшая модель. Наити вероятность (№) того что
количество попадании в «яблочко» при сделанных десяти выстр™
лах будет четным. Аналогичные задачи, но более сложного типа
возникают и при анализе электросистем. Поэтому, несмотря на ее
простоту, задача имеет методическое значение. Выясним, как мож-
но экспериментально найти интересующую величину. Йз теории
вероятностей известно, что надежное определение й7 (два знака
после запятой) требует М серий выстрелов (по 10 в каждой серии)

и подсчета каждый раз количества случаев Ь, когда в очередном
десятке выстрелов будет четное число попаданий. При достаточно
большом (не менее 10) отношение ЬЩ дает искомое значение
вероятности V?. Простейшими математическими моделями иссле-
дуемого процесса являются юла и часы (рис. 5.72). Вместо серии
из десяти выстрелов получим серию из десяти запусков юлы. В мо-
мент, когда юла падает, будем отмечать положение секищной
стрелки. Предположим, что вероятность попадания в яблочко при
одном выстреле равна 20%. Зафиксируем «попаданью», когда се-
кундная стрелка показывает значения т в интервале 0^т<1™
серия из десяти запусков даст четное число попадании, то такую
серию будем считать удачной. Проведем серии описанных выше
опытов причем каждая 6УЛетс™е₽жат‘д5ХХна™ = !•“' 6>-
Г „з них являются удачными, то случанная «а"™»а
дет аналогом результатов, полученных в случае реал

(^//~^/)-	прппятностное моделирование дает не-
описанное простейшее вероя	н Гораздо скорее не-

плохие результаты, но занимает м мРоделируя еГо с помощью
следование процесса можн Р	к_ соединенный с машиной

ЦВМ и датчика случайных чисел. А	значен11е случайной

позволяет получать на ка^’Та^ной в интервале от 0 до 1. Вме-
величины, равномерно рас Р	(выстрелов) или осуществ.

сто проведения натурального опы (в Р выберем из дат-
ш,я его аналогового	п^уеТеге "а выполнен,».-условия

чика случайное значение & и попрооуе	44Ч
п пгчАпшпяртся то можно считать реализованным
6. Если это условие «блюдается, то_мо ю 10 чисел и если в этой
«попадание». Опять та Р попаданий, то считаем ее удачной,
серии наблюдается четное ш	То отношение Ь'ЧЫ" да-

Если из Л'” серии нл“л“ллл°“с определения 1Г на вычислительной
^боп" случай"ЫХ ЧИСеЛ' "°“-
во пасс'матривэт" как процесс математического моделирования.
Источник вырабатывающий случайные числа, обычно выполняется
„а одном Лул принципов: на подсчете излучении радиоактивных
веществ или на выделении и усилении случайных (флуктуацион-
нь“)™умов электронных ламп. Для этого создаются специальные
электронные схемы, выходное напряжение которых выделяет .шу-
мы и является случайной величиной. Существуют и другие конст-
рукции источников случайных чисел, например электромеханиче-
скнй датчик случайных чисел, состоящий из небольшого электро-
двигателя с закрепленным на оси диском, окружность которого
разделена на 100 занумерованных равных частей. Против диска
неподвижно закреплена стрелка-указатель. Вращавшийся 2 3 с
двигатель выключается и останавливается при помощи тормоза.
Стрелка указывает «случайное» число от 0 до 99 на диске; следую-
щее случайное число находится таким же образом. Разумеется, эти
операции требуют значительного времени, электронные схемы ра-
ботают несравненно быстрее.

Моделирование процесса выполнения заявок массового обслу-
живания. Л1етоды исследования, в которых тем или иным путем
статически моделируются закономерности и получаемые из этого
модельного эксперимента числовые характеристики регистрируются
и включаются в производимую систему вычислений, имеют общее
название — метод статистических испытаний, или метод Монте-
^арло. Этот метод с полным правом можно отнести к группе мето-
дов математического моделирования, так как по своему принципу
и технике выполнения он несравненно ближе к экспериментально-
математическим методам, чем к классическим (аналитическим,
меленным) методам. Для иллюстрации применения метода Монте-
вотЛп^п\е^НИЧеСКИМ задачам Рассмотрим известную задачу массо-
обстуживзни^аТ*1 опРеделение возможности при безотказном
заявки! пп абонента телефонной сети .или при удовлетворении
неко?опь1х иРЯп еНИе п°тРебителей электроэнергии. Однако при
ряду практиче^киТ^я0,110^13*1 теоРетнческая задача соответствует
экХуТа^7э^^?Ю"И“аю“»1’ "Р" проектировании" я
на которые в случайные	обслУживания состоит из линий,

явки образуют ордннаоний „енТЬ1 вРеменС поступают заявки. За-
тии с ограниченным последст7иХ°НргНЬ1Й П°‘°К ОДПОРОДНЫХ собы'
бодные линии, то заявка ппии^' Если в момент А имеются сво-
Одну из линий на время т, ^аяння™^ * обслУживанию и занимает
остается в системе в течение впр^р заставшая все линии занятыми,
пени ни одна из линий не начнрт Х"’ ЕсЛИ В течение этого вре-
450	Начнет Суживать заявку, то заявка
1______

—I Формирование (

о

Фиксация I

1

Фиксация

Переход очередной
реализации

Определение

ГП IП 1осв

Выбор линии

Определение
т 1 п Iпго

Определение Т

Определение т

Определение

Определение (

Выдача результатов

О

Обработка
результатов

Подсчет количества
реализации

Переход к очеред-
ной заявке

11

I

Формирование к

Подсчет количества
отказов

Запись I* в ячейки

Проверка

наличия

I или т

Рис. 5.73. Структурная схема моделирования вероятностного процесса

Формирование к

Определение
пип 1п



получает отказ. Поступающие в смете^аяв3™”е мОжетбыть
ные линии в порядке их °с®° свободными лини», которые осво
занята до тех пор, пока остаю^ ®° освобождения линии имеются
заХ"рХТоекЕобЛслуживанию принимается та заявка, кот
РаиГрисДР573И'7ре^

°™ЧаЮЩУЮ *


системе заметим, что каждый оператор представляет собой, как
правив подалгоритм, реализующий в процессе моделирования
определенную функцию системы. Логические операторы изображе-
ны кружками. Через Т обозначена длительность интервала време-
ни на котором обследуется процесс обслуживания, через - коли-
чество обследованных реализаций. Если условие, проверяемое дан-
ным логическим оператором, выполнено, стрелка, обозначающая
передачу управления, снабжена индексом «1», в противном случае
она снабжена индексом «О».

Моделирование корреляционной функции случайного процесса.
При решении задач, рассматривающих переходные процессы в
энергосистемах и особенно в системах их автоматического регули-
рования, часто оказывается целесообразным осуществить модели-
рование корреляционной функции случайного процесса линейной
системой. При этом случайный процесс можно рассматривать как
бесконечную совокупность случайных величин, зависящую от вре-
мени. Поскольку в условиях опыта можно найти лишь конечное чис-
ло наблюденных возможных значений случайной функции, то при-
меняемые на практике в качестве корреляционных функций зависи-
мости, полученные из опыта, лишь в той или иной степени
приближаются к истинным значениям. Отсюда становится ясным,
что нет смысла стремиться к точному воспроизведению в модели-
рующих устройствах вида заданной корреляционной функции, а до-
статочно лишь обеспечить подходящую аппроксимацию. В частно-
сти, функция

п

лннейномУ дифференциальному уравнению с пе-
ременными коэффициентами л-го порядка, может обеспечить в за-
висимости от числа слагаемых сколь угодно точную аппроксимацию
370”™™"°: Ф„УГ“К“ИИ'

Ьл?„"Х “ ФК™'"	«и многочлен!

=?!(/,) 71 (4)	(5.79)

нейной системы^то 1П)ЛЬСН°Й переходной Функцией некоторой ли-

I,
и)хв^и)с!и.	(5>8о)

Подставляя (5.79) в Г5ял\

промежуточную перелиную ’о. лДу*РеНЦИрУя по ' и исключая



(5.81|
сываём™”™ Х“-гв(('-« " (5-«>) « (5.81). окончательно

запи-

Л, & V» Ы~	к	12)=к(/п /2)8Й-/2).	(5.82)

Уравнение (5.82) и определяет линейную систему с переменны-
ми параметрами, моделирующую корреляционную функцию для
значений Для стационарного процесса к(1}, /2) =к(Л—1г).
При этом легко показать, что соответствующее дифференциальное
уравнение будет иметь постоянные коэффициенты.

Рассмотрим систему регулирования, описанную уравнением вто-
рого порядка

й2(/)Д^+А:1Д^х. + АоХвЫХ=А1^-+^аЫх-

Требуется при помощи моделирования найти оптимальное значение
коэффициента к[, соответствующее минимуму дисперсии выходного
сигнала ое2(^в) для момента наблюдения 1=1В-

Входной сигнал является нестационарным случайным процес-
сом с корреляционной функцией

[-у ('’+$’] •

Исходные данные характеризуются ыедуюшими цифрами:

«2(0	*	8. с ». »	‘ с

1	0,9	41	2	44

О- 0,011

Уравнение системы, моделирующей корреляционную функцию,
теперь примет вид

е)4-л2^м(/’ У=5“ре л/

м	с 74 и 5 75. Схема моделн-

Сгруктурные	схемы	показаны	на	ри	.	о.	показаннЫЙ	на

рования системы стабилизации этой схемы по изложенным пра-
рис 5 75, а. Производя построение
Рис. 5.75. Схема вероятностного моделирования системы

вилам, получаем окончательную схему моделирования, показанную
на рис. 5.75, б. Изменяя значение коэффициента к{ и наблюдая
сигнал на выходе, определяем оптимальное значение 6=1,62, отве-
чающее минимуму дисперсии.

Применение методов статистического моделирования для анали-
за сложных производственных объектов. Для такого рода исследо-
ваний применяется последовательное моделирование и аналогич-
ные ему приемы, особенно актуальные в связи с широкой автома-
тизацией различных производственных процессов. Применение в
энергосистемах автоматического управления и средств вычисли-
тельной техники, особенно управляющих машин, требует доведения
анализа до такого математического описания объектов, которое
можно было бы задать непосредственно машине. Однако при полу-
чении математического описания промышленных объектов встре-
чается ряд трудностей.

1. Теоретическое изучение сложных объектов слишком громозд-
ко. Если даже исследование уже выполнено в натуре, то часто не-
обходимо проведение модельного эксперимента для проверки при-
нятых допущений и уточнения численных значений параметров,
Я™»17ВУЮЩИХ конкретному образцу проектируемого иди эксплу-
атируемого в новых условиях объекта.

исълсствеСиниуМ™ЛЬНОе ?3Учение’ Связанное с введением в объект
характеристик} ™ ущении (получение временных или частотных
нормальный режнм работы объекта"^ °“°' Ка" правил0’ «аРУшяет
«ити^“^Хеё:Так1И:ИиЧеСК0Г0 “°«™Р»ванИЯ вводит к
значительных затпят ио 1ализ и натурные испытания, но требует
атрат на построение моделирующей установки.
Рис. 5.76. Схема модели для получения характеристик объекта

’КС"еР"ме"талЬ"«х данных, сглажнванием^случайнШ!
, ПРИХОДИТСЯ считаться с тем, что трудности получения мате-
матического описания пропорциональны сложности тех математи-
ческих соотношений, которыми выражено это описание. Если, на-
пример, математическое описание процессов в некотором объекте
управления получено в виде системы из 100 нелинейных дифферен-
циальных уравнений сотого порядка, то решить эту систему урав-
нений без предварительного упрощения, аппроксимации нелиней-
ностей и т. д. будет затруднительно и на вычислительной машине.
Практически такое точное решение обычно и не требуется.

Перечисленные трудности и малая практическая эффективность
упомянутых методов анализа заставляют искать новые пути под-
хода к решению. Одним из них является определение динамических
характеристик автоматизированных объектов с помощью методов
последовательного моделирования. Эти методы реализуются на
универсальных ЦВМ, на цифровых моделях или на структурных
математических моделях.

Определение на модели динамических характеристик для отно-
сительно простого объекта показано на рис. 5.76 и 5. .
характеристики которого подлежат определению, предшавленн
модели параметрами а,, .... а4 и Рь .... р4- Он имее^ .цргХ^характе-
ны щ и иг и выходную характеристику <р. Динамические характе
ристикн объекта неизвестны и определяются по д*“н5 77) ;
отклонений, появляющихся на интервалах ,' при ИСсле-

Применение методов вероятностного ^ХДХных него-
дованиях режимов энергосистем^ Примем аварии, являющейся
дов весьма разнообразно. Так. м	р которым проводится

расчетной (т. е. определяющей у I , ’ мичеСкой устойчивости
расчет токов короткого замыв > атчика случайных чисел и
и т. д.), могут задаваться при помощи датчика у
Рис. 5.77. Исходные дан-
ные и получение функ-
циональной зависимо-
сти (₽

программы его работы, отражающей
статистические закономерности. Измене-
ния нагрузки системы, ее флуктуации в
разное время суток, года и т. д. могут
моделироваться с помощью устройств,
задающих программу изменения нагруз-
ки и наложенных на эти изменения слу-
чайных колебаний, опять-таки задавае-
мых как случайные числа. Соответствую-
щие «вероятностные приставки» могут
быть введены в расчетные столы или ма-
тематические машины непрерывного дей-
ствия и, разумеется, в программы ЦВМ, с
помощью которых рассчитываются режи-
мы электрических систем, определяются
те или иные мероприятия по улучшению
режима и качества переходного процесса.

Большое развитие получает моделиро-

вание режима энергосистемы для определения ее надежности.
Электроэнергетическая система состоит из отдельных элементов.
Нарушение работы одного элемента или некоторой их комбина-
ции может привести к нарушению снабжения электроэнергией
потребителей. Наоборот, при других комбинациях работающих и
испорченных элементов система может продолжать работать. Оче-
видно, что надежность системы можно характеризовать вероятно-
стью успешной работы за какой-то период времени. Эта вероятность
определяется путем моделирования на ЦВМ. Моделирование и
состоит в том, чтобы с помощью выборочного метода Монте-Карло
и сопоставления различных состояний элементов системы выявить
благоприятные комбинации этих состояний и подсчитать продол-
жительность периодов нормальной работы потребителей и перио-
дов ее нарушения.

Моделирующие комплексы. Рассмотренные выше виды модели-
рования имеют определенные преимущества, проявляющиеся в тех
или иных конкретных условиях. Поэтому развитие систем управ-
2еяНтАмоерГеТИК0Й требУет ШИРОКОГО использования моделей, как
Указанны! мг>еСКИХ И аналоговых. таки физических.
РОНЫ явпяХ /!!10 Мере СВОеГО совеРшенствования, с одной сто-
инфо’пмапионных !п!“ТВ°М познання статических, динамических и
позволяют выбипат иств °$ъекта управления, а с другой стороны,
Основными преимущества!^<тратегию Управления,
лей является универсальность(ШМ или
ствами алгоритмизации м л 1 или АВМ с мощными сред-
дования процессов любой Т5рам“иРова,1ия)-возможностьиссле-
которые но «аквм-мбп „„ФИЗНЧеС,<ОЙ приро»“. включая и такие,
физически; широкие ноаможност” затРУЛ™тельно воспроизвести
малый» решенийКИ(дш|а3мическоеИи гтлРа3ра13ОТКе СТрате™'' °"™
ние. градиентные методы методы т°хастическ°е 'программирова-
4с„	ДЬ1’ методы статистических решений и др.).
Однако физические модели пполп„

по исследованию любых процессов нТзХ™^1™6 В03М0ж»^и
ли они математическому описанию илинет и ™ 'ðð’ поддаю™
высокую наглядность наблюдаемых результатов °ЛЯЮТ П°лучить
Следует отметить, что пазпябптио Тов’

ского моделирования, создание (ЪиЧии1г°РИИ ” практики физиче-
дач и электрических систем и поопепеми КИХ моделей электропере-
тики исследований вылились в определеннойВажных для пРак’
которое большую роль должно сыграть наУчное направление.
Руления. В первую очередь это относится к^адРаТамХени! ко
торых .в системе управления должно происходить в Оперативном
режиме, т. е. в темпе протекания процессов в энергетической си-
стеме и ее элементах. Сюда можно отнести задачи: управления
стационарными режимами (регулирование частоты-активной
мощности, напряжения реактивной мощности, перетоков мощно-
сти по линиям связи, обеспечение статической устойчивости и др.);
управления протеканием аварийного режима, локализацией его
развития и устранением последствий аварий; практического осу-
ществления коммутаций в схеме сети; вывода оборудования в ре-
монт; маневрирования резервами; сбора, преобразования и пере-
дачи информации, текущего контроля и диагностики режимов и со-
стояния устройств энергетической системы.

Такие задачи можно классифицировать как задачи управ-
ления в натуральном времени. Решение их происходит
с учетом наблюдаемых переменных состояния управляемой систе-
мы, внешних возмущающих воздействий и управляющих сигналов,
вырабатываемых системой управления в соответствии с принятой
стратегией и критериями эффективности. Практически это означа-
ет что система управления в данном режиме работы осуществляет
наблюдение за действительными значениями контролир^
раметров состояния системы и по результатам их•сравнен 1я	р

буемыми или задаваемыми программой 3»“”тоия
соответствующему элгоритму управляющие возде^ Данного ком-

Необходимость о д н о в р е м е н н о го решен; у* исследований
плекса задач приводит к тому, что' д	универсальный цифро-

необходимо объединить эти ма1Еин“’ с0 ДазатУ оптимальную струк-
аналого-физическии комплекс чт0 основными решаемыми с его
туру комплекса исходя из < ,плавления режимами электро-
Хоиью задач»,,	Структура такого

энергетической системы в }Р'	состоит из трех основ

ро&'^р= ®

саТувА!^	5,ВдТопредеХя

^2» “	*
Модель
каналов
СВЯЗИ

Исполнительные
механизмы

Модель
электроэнергетической
системы

Датчики

Устройство связи
модели с оператором
(пульт управления
и измерений)

Пульт оператора
комплекса

Задание
возмушаюших
воздействий

Измерительная и
регистрирующая
аппаратура

_!--------------,--------------

Устройство связи । Управляющая вычислительная I

с объектом 1^	машина	* | УВМ₽

Рис. 5.78. Схема исследовательского комплекса

В основном характером исследований и характером решаемых за-
дач управления.

Вместе с тем при осуществлении автоматизированного управ-
ления необходимо реализовать управление не только стационар-
ными, но и переходными режимами. При исследовании таких ре-
жимов наиболее эффективным средством моделирования является
динамическая модель электроэнергетических систем, позволяющая
моделировать объект с большей степенью детализации, приближая
исследователя к условиям эксплуатации реальной электроэнерге-
тической системы. В связи с этим представляется целесообразным
при решении задач управления электроэнергетическими системами
строить моделирующий комплекс на базе динамической модели и
управляющей ЦВМ.

Независимо от типа используемой модели электроэнергетичес-
кой системы необходимым является ее оснащение устройствами для
сопряжения с управляющей частью комплекса: датчиками и испол-
нительными механизмами. Датчики осуществляют замер контроли-
руемых параметров модели объекта (напряжений, токов, углов,
положений коммутационных аппаратов, уставок регулирующих уст-
ройств модели и др.) и преобразование этих замеров в форму,
удо ную для ввода в управляющую часть. В свою очередь исполни-
еппя1^а1лМеХ“аНИЗМЬ1 пРе°^РазУЮт информацию, поступающую от
действия ТпЧаСТИ’ * В Физически реализуемые управляющие воз-
буемые Де сРедством вторых модель объекта переводится в тре-
буемые состояния в соответствии с законами управления
458
датчики возУ^1Датц^ИвоздействийЬ'мопеХаНЮ“М ихтям"«>т за-
них факторов’ на режимы $5,*п,	»»»“•

В частности, с помощью задатчиков ^энергетической системы,
моделируются график изменения систрмл” Ущающих воздействий
колебания в стац^аХ?ХимТ^-чГ,’,ЗЮ' " “ “у,а““е
гие резкие нарушения режимов. ’ оро ие замыьания и дру-

Составной частью комппркгя

между диспетчерским пунктом, из которой ХХ«в
ление электроэнергетической системой/и отдельными объектами
системь,-станциями,	районными центрами управ’

ления. Степень детализации этой модели также зависит от харак-
тера решаемых задач.

Необходимым элементом моделирующего комплекса является
устройство связи модели электроэнергетической системы с опера-
торами комплекса.

Подробная композиция и состав оборудования пульта опреде-
ляются во многом конкретными условиями (тип модели объекта,
тип УВМ, характер решаемых задач, наличие площадей и т. д.)’
Тем не менее целесообразно оснащение пульта управления мнемо-
нической схемой основных соединений моделирующего объекта,
приборами, сигнализирующими положение коммутационных аппа-
ратов, стрелочными измерительными приборами, кнопками и клю-
чами для ручного управления. В состав пульта управления, кроме
того, необходимо включить периферийные устройства для связи опе-
ратора с УВМ — клавишное устройство ввода информации в УВМ,
печатающие устройства, устройства графического представления
информации оператору. Составной частью пульта управления яв-
ляется также измерительная и регистрирующая аппаратура, пред-
назначенная для контроля за ходом эксперимента и обработки ре-
зультатов устанавливаемая дополнительно к УВМ, если этого тре-
6уЮт7^а™Г2еРх“рИс™«зМ УВМ определяются объемом
мп пр пи объекта и составом решаемых с помощью комплекса зада
Задачи^д^ярешени^которых	необходимо	создание^ифро-аилого-

физического комплекса, можно разделить н
группы.	„	эдлач относятся задачи уп-

К первой основной гр > "	? системы -в натуральном

равления режимами	„их находятся лишь в ста-

времени. В настоящее время мнопю « мям
дни постановки и разработки . р	ы следует выделить три

Из многочисленных задач"^я,. свР05ей постановкой, так и при-
подгруппы задач, отлича“Щ”; пе задач относятся реализация и
емами решения. К первой п	ой частн системы управления,

отоаботка алгоритмов информ яют собственно задачи управ-
Вторцю и третью подгруппу сое г ~[)азн0 отнести задачи упра »•
«Во вторую "оуРУДХ"	'^“а^но’л

ления стационарными ре	регулирования частот

тических систем на базе 11	453
режимами т е задачи координации действия защитной аппарату-
ры оценки тяжести аварии, ее вероятностного развития и реа-
лизации способов локализации оптимального перераспределе-
ния нагрузок в псслеаварийном режиме с учетом надежности,
аварийного регулирования компонентов электроэнергетической
системы.

Решение задач первой группы позволит практически
проверить и отработать алгоритмы управления с помощью ЦВМ
перед их реализацией в конкретных электроэнергетических си-
стемах.

Решение второй группы задач непосредственно не связано
с управлением, но позволяет разработать алгоритмы управления
с учетом реальных характеристик электроэнергетических объектов.
Появление этой группы задач, решаемых комплексом, обусловлено
необходимостью проведения экспериментальных исследований на
модели электроэнергетической системы с целью дальнейшего изу-
чения объекта. Сюда относятся задачи проведения эксперименталь-
ных исследований на динамической модели с целью получения ал-
горитмического описания объекта управления.

Уровень автоматизации эксперимента, проводимого на моделях
в настоящее время, очень низок. Используемые на моделях так на-
зываемые программные устройства являются всего-навсего элемен-
тами, выдающими сигналы управления с заданными временными
интервалами в зависимости от заранее .выбранной «жесткой» про-
граммы. Однако в целом ряде случаев необходимы логические
устройства, которые «выбирают» направление программы и соот-
ХхТопе^аецийВЬ,бРаННОМУ>> напРавлению вРемя Действия тех или
п₽п1^ИМ образом’ автоматизация эксперимента предполагает во-

Х0”8™32""» собственно проведения эк^ернмента и во-

нием УВМ в качестве универсальной ЦВМ %ЯЗЙНа с вспользова-
проведения расчетов несвязанный ? ЦВМ’ Эт0 необходимо для
Дач управления в натуральном непосРедственно с решением за-
задач планирования и ппогнозипгшя™6™’ напРимеР пРи решении
риментальных результатов. ппов ’ авализе полученных экспе-
рованием устройств регулирования и"" Р1°Л’ СВЯзанных с проекти-

Четвертая группаР°вания и автоматики, и др.

кой иа моделирующем компл^аТ?3^4”’ Связанные с подготов-
петчерского персонала, обслуживя™С°КОКВаЛИФициРованного Дис-
СТе“у управления элек^оэнерХчееЛ? авт°матизирова!1ную си-

Задачи каждой группы ппап ОИ системой.

«ания к характеристикам УВМ ™ЛЯ,ОТ свои специфические требо-
ЗИЧеСком комплексе, Ка1!\ отно^	в пифро-аналогС-фи-

«0	0Шении быстродействия и требуемо-
периферийньши7с?рХтвамиТИ’ И В отиошепии оснащения ее

ческой	“одели электроэнергети-

всего связано с необходимостью введения в состТ^”1*6 Прежде
ного рода компенсипуюшиу м дения в состав модели различ-
компенсирующих устройств целрсопРпРУЮЩИХ устР°йств- Введение
холимого уровня потерь вГразТиЧНых чРпрм° ДЛЯ °беспечеи™ «еоб-
3 модельных генераторах) а также пр^ппи* М0Дели <например,
характеристик отдельных элементов. Разработанные ГиаТотее
время компенсаторы сопротивлений и проводимостей достаточно
полно, точно и надежно Функционируют во всех режимах кроме
области низких частот. Однако этот недостаток может быть в блю
жаишее время устранен с помощью новых схемных и конструктив-
ных решении. Использование* такого рода устройств позволит су-
щественно повысить точность и управляемость моделей.

Аналоговая техника должна широко применяться в со-
ставе физических моделей для моделирования различного рода ре-
гуляторов, особенно при исследовании законов регулирования и
разработках регуляторов. В некоторых случаях помимо блоков
АВМ при моделировании регуляторов необходимо также примене-
ние усилителей мощности с заданными частотными характеристи-
ками.

Использование динамической модели электрических систем в
цифро-аналого-физическом комплексе выдвигает ряд специфиче-
ских требований к ее оснащению основным и вспомогательным
оборудованием. В этой связи при создании комплекса работа дол-
жна быть направлена на дальнейшее совершенствование методики
физического моделирования режимов современных автоматизиро-
ванных электроэнергетических систем. Эти требования возникают
в связи с необходимостью подготовки динамической модели к ос-
нащению ее УВМ и определяются задачами исследования управ
"еж, " наряду с переходными режимами и стационарным» Р™в-
“^делирование стац„он=

системы предусматривает пр Р	_ необходимость разра-

интервал времени. В связи с этим ющейся нагрузки, которая
ботки способов моделирования закономерностями изменения во
должна быть представлена в	имеет стохастический ха-

времени. Поскольку поведение нагрузк^^^^ увД и автомати-

рующпми У"Р™7“Хры , автогра»сфоР“атоРи "<”ста"Ц
ны войти трансформаторы	4б1
„„ ппп мйгпузкой коэффициентом трансформации,
Ж» р”акторыРиУ батареи ^ткчеоких конденсаторов.
Р Надежная работа всех устройств как аналогового, так и дне-
кратного действия зависит от качества используемой ™Ф»Р"а«“"
отстоянии системы или отдельных элементов, другими словами, —
от качества измерения параметров текущего преобразования и вве-
дения в устройства управления и регулирования. Поэтому пер-
воочередной задачей при осуществлении связи физической модели
с устройствами управления и регулирования является разработка
требований к датчикам, которые целесообразно классифицировать
на первичные датчики и датчики-преобразователи.

К первичным датчикам относятся трансформаторы тока и на-
пряжения, тахогенераторы, или датчики скорости, углоизмеритель-
ные генераторы, или датчики угла, тензодатчики, или датчики из-
менения линейных размеров, в частности скручивающего момента,
и т. п. К датчикам-преобразователям относятся аналоговые или им-
пульсные системы с элементами аналоговой техники для преобра-
зования сигналов от первичных датчиков в напряжение постоян-
ного тока для ввода в устройства управления и регулирования.
Очевидно, что введение сигнала постоянного напряжения или тока
в управляющую цифровую машину требует преобразования сигна-
ла в машинный код с помощью преобразователей аналог-цифра
и введения управляющего сигнала от управляющей машины в
аналоговые устройства регулирования преобразователей цифра-
аналог.

При осуществлении связи с управляющей машиной необходима
унификация сбора информации от агрегата (вне зависимости от
того, что является агрегатом: генератор, нагрузка, приемная систе-
пяснп пгЛ-идСеТИ В этом смысле должно быть выполнено идентичное
ныТо зъемГчКЛеММ На соответсТвУЮЩем агрегате (или стандарт-
то“ связанных е ™ЗВ0ЛИТ легко менять нвбор исследуемых агрега-
внешним управлением. Поэтому стоуктупа ягпе
И™ХХХрХ“ХйД0Ггва тедержать “
И« управления „ визуального и’м“ре“ияУСТР°ИСТВа’ устройства
задач	«я решения

туальной задачей электроэнергетики СрИМИ 'СИСтемами является ак-

в 9кономических за.
моделирования (четвертый путь, см*1™ “АоТ'6" математического
мысленных обобщенных \?УХМОНЯСТПР-«2) является построение
И> т. П. моделей. Особенно Широко они ЧИСЛовых. графовых
Нес <>АДаЧаХ ДЛя описания и исследонями мепяются в экономиче-
сГеХ ИЭмНОМИЧеских связей- такого п пР0из'воДСтвенных про-
ся еще К. Маркс, выводя условАТА™ Р°Да М0Делями пользовал-
Г0" |>асш"РС'»»ОГо ХоазводХа ущес™ения "рХХроето-
462
фонды

Рис. 5.79. Модель расширенного воспроизводства

Капитальные вложения

накопления

Рис. 5.80. Модель динамики межотраслевого баланса

Классическая схема моделирования процесса расширенного
воспроизводства исходит из представления системы хозяйства в
виде комплекса двух подразделений (рис. 5.79). Модель отражает
повторяющийся цикл расширенного воспроизводства *. Расширен-
ное воспроизводство на длительный период представляется дина-
мической модель^** межотраслевых связей, в которой учи-
* К. А. Б а гриновский. Модели и методы экономической кибернетики.

«Экономика», 1973.	.	,	/см

** Термин имеет другой смысл —как разновидность физической модели (см.
стр. 32, 338, 418).
тывается впияние распределения конечного продукта на фонды по-
требтения и накопления. Эта модель межотраслевого баланса раз-
Х!т заложенную в схеме расширенного, в^произвадетва^Дею
К Магжса — идею управляемости в целом (рис. )•	У

жат идчя решения^кономических задач, связанных с представле-
нием развития систем, исследованием динамических свойств и ана-
люа их устойчивости. Для оптимизации производственных систем
применяются критерии оптимальности, которые должны иметь оп-
ределенный экономический смысл. Например, часто в качестве та-
кого условия используется минимум приведенных расчетных за-
трат. Однако действительная оптимизация требует многокритери-
ального подхода.

Применение методов теории подобия для решения технико-эко-
номических задач может быть также проиллюстрировано на при-
мере анализа развития энергетических систем и других объектов
во времени. Эти методы могут быть полезны при определении кри-
териев существования экономических интервалов мощности для
уточнения шкал стоимостей унифицированных опор линий электро-
передач и т. п Рассмотрим простейший случай применения теории
подобия для выявления условий существования экономических
интервалов мощности линии электропередачи.

Считая, что наиболее экономичным вариантом энергетического
объекта является тот. который при прочих равных условиях дает
наименьшие расчетные* затраты, являющиеся функцией технико-
экономических параметров выбираемого энергетического объекта,
запишем:

~ I /'норм2' —У И 1' •••> 1 т)’

- —расчетные затраты; С —ежегодные издержки; рН0Рм —нор-
мативный коэффициент эффективности; Д’ —капитальные вложе-
ния .... рт _ технико-экономические параметры объекта

"ри Переходе от одного варианта объекта к другому характер
““Д"'™ параметров может быть различным. Одни , из них оста
рывно тГобХелХо' "е"Я1°™ '"“Р1'™' » третьи - непре-
кретно (например сечение пг>п 1ЭСТЬ паРаметРОв изменяется дис-
интервалы, или области наиболее’ напряжение)> предопределяет
объекта с данной величиной пи кп целес°образного применения
предположим, Х^^е^ический0 ”еНя,ощегося параметра.

три параметра (х, р, ?) и технически О$ъект хаРактеризует всего
риантов, причем при переходе п ™ °^ЩеСТВИМО ТОЛЬКо п его ва-
тому X меняется	°бЪеКТа *

в этом случае 3=Лх \	остается постоянным.

Показанная на рис бй/'ча " ‘ ’	>1^п-

метра х ИМеет видР прямой ВИСИМОСТД расчетных затрат от пара-
чивается величина ХнмйТ °бь1ЧНо с Ростом Гувели-
®тому прямые, хаРактеризующиеае^межнь^ЛОН Прямой' Благодаря
~---------	смежные значения дискретного

Ь “ Далее имеютс« в виду п р и в еде

Расчетные затраты.
параметра у, должны пересечься
Абсцисса точки пересечения делит
ось х на два интервала. В интепва^
ле от 0 до ха наиболее экономичным
является вариант объекта с парамет
ром уи а от ха И Далее —соответст-
венно вариант с параметром уш
Это следует из того, что в интервале
от О до ха вариант с параметром ц-
имеет меньшие расчетные затраты
нежели вариант того же объекта но
с параметром уш. Поскольку в точ-
ке пересечения расчетные затраты

*и ра™ ™



(5.83)

Таким образом, дискретный характер изменения параметра при-
водит к появлению экономических интервалов, число ко-
торых (включая и два крайних) должно быть равно числу возмож-
ных значений дискретно меняющегося параметра; при непрерывном
изменении параметра интервал переходит в точку.

Если число интервалов меньше, чем число значений дискретного
параметра, то выбор объекта может быть неудачен. Оптимальный
вариант линий электропередачи прежде всего характеризуется эко-
номически целесообразным сечением проводов, выбираемым для

вариантов выполнения линии заданного напряжения, заданных
величин максимально передаваемой мощности, стоимости 1 кВт-ч
потерянной энергии, времени наибольших потерь мощности и т. д.
Такие задачи могут быть успешно решены при помощи экономиче-
ских интервалов мощности, применяемых к стандартным сечениям

проводов.

Зависимость удельных расчетных затрат линии электропереда-
чи от передаваемой мощности имеет следующий вид.

Рл РтахТ Г “2 СО82 ? Т

(5.84)

' I „ п — отчисления на ремонт и амортизацию сети
гДе рл — Рл+ РНорм> Р«	— ноомативный коэффициент эф-

в относительных единицах, Рнорм Рршак_максимальная
фективности; - етоимость 1 ы_но;инальное напряжение
величина передаваемой^н ’1 км линии; т-время наиболь-
линии; г-активно^пОтерянного 1 кВт-ч; сох-
ших потерь мощности, р
коэффициент мощности.	ЧЯВИсят от параметров; э их чис-

Удельные расчетные затраты з зави от^„ т имеют одн.
ЛО входит семь размерных пар р ’ Р безразмерных (соз<р
наковые размерности (ч), и два парам н

И рл).

465
„	» ГИ (Ьоомулы размерности восьми участвующих в

Выпишем в СИ формул I 1 учтем при этом> что число
исследованиях размерных Р ме^р ЭКОНОМИЧеских задач увеличи-
основных единиц п^и расе Р	Б качестВе основной еще

вается до пяти (? = 5) за счет ь д
одной единицы измерения — руоля.

[з]=[А-3/И-Т2/0/?1],

[/С

[Г] = [Л°А10^1/0/?01.

[т] = [А°Л/07'1/0/?0],
[и]=[Ь2М1Т~з/-1/?0],

[г]=[11/И1Г-3/-2/?0],
[р.] = [А-2Л4-17'2/°/?1].

Полная матрица размерности ||Л|| имеет вид					
	-3	-1	2	0	1
	-1	0	0	0	1
	0	0	1	0	0
	0	0	1	0	0
М11=	2	1 -	3	-1	0
	2	1 -	3	0	0
	1	1 -	3	— 2	0
	-2	-1	2	0	1

Нетрудно установить, что

...	, число независимых параметров #=5.

При этом число критериев подобия Кп = 5. В форме записи, соответ-
ствующей системе, независимых параметров пять: Кл, Т, г, р, и.
Пять критериев экономического подобия линий электропередач за-
пишутся так:	г



Л2 =------------тах_________

/(1/2г_1/2г_1/2[х_1/2ц

р
'тах

р

1 гпах О

(5.85)

яз=т/7'; л4=со8<р; л5 = р
Критериальное уравнение

л1=/(я2, л3, л4, л5)
или

з/з0

(5.86)
может быть получена п«то„

формулы удельных расчетных з“7а7”учХ“ тоТчто ” "“Одно"

Я^Г—зРлщГ и Л| зи2

Кл Я2	РтахгИ '

После преобразований запишем

я^-51-1-2^3.

или

—----р* ^тах 0 । Плах Т	1

$0	^тах ^тах 0 Т СО32 <р

(5.87)

ковы критерии л2, л3, л4, л5. Если установлено, что линии экономи-
чески подобны, то результаты технико-экономического анализа по-
лученные для одной линии, можно распространить на все другие
линии, экономически подобные первой. Если обе части критериаль-
ного уравнения (5.87) умножить на выражение 0,5л4л^"1/2л^1/2,
то в результате получим следующую формулу:

0,5л1лз-1/2л4^1/2-0,5 (лГ^л.лГЧ п^^лГЧг172).

Вычитая из левой и правой частей единицу и раскрывая выра-
жения критериев, окончательно получим

з — Зо

Зо

0,5

р
тахО

^тах

Р шах

р'
тах 0

-1

(5.88)

где Зо=2 У К гр.хр„1(иТ соз ср) — минимальное значение з при изме-
нении Ртах от 0 до оо; Р^ахо^исозерГ Кл1№)-значение мощ-
ности соответствующее минимальному значению з Зо-

Уравнение (5.88) определяет относительное отклонение уде^ных
расчетных затрат от минимального знач Р

НИИ Ртах от Р^х • Введем следующие обозначения:

д = (з — Зо)/3о, е = Ртах/РтахО.

тогда

О=0,5(1/е4-е)-1-

Аналогичное уравнение, ^“^ХропереТаГм^ «*
ко-экономического анализа	зэтраты в функции капи-

чить, рассматривая удельные расчетные Р
таловложений Кл-

а'=0,5(1/е' + е/)~ 1-

467
Рис. 5.82. Зависимость относительного
отклонения величины удельных расчет-
ных затрат о от е

В этом случае

а/ = (з — Зо^/Зц, е = Кл/Кл о<
где /('ло — значение капитало-
вложений, соответствующее
оптимальной величине расчет-
ных затрат з0".

При этом уравнение о=/(е)
определяет относительное от-
клонение удельных расчетных
затрат от оптимального
значения Зо,х при отклоне-
нии Кп от К'пО-

Зависимость о=/(е) пред-
ставлена на рис. 5.82. Следует
заметить, что данная кривая

является общей для всех линий электропередач и отражает их наи-
более характерные технико-экономические свойства. Это и понят-
но поскольку зависимость о=/(е) получена из критериального
уравнения которое инвариантно для экономически подобных линии.

Зависимость о=/(е) позволяет связать критерии существова-
ния экономических интервалов мощности. Для определения зави-
симости удельных расчетных затрат от мощности Рм Для 1-й марки
провода линии электропередачи запишем уравнение, отвечающее
(5.84):

31 = Рл

КЯ1

РтазТ

р
'пах

И2Г соз2<р

Трг,.

Значения и г,- для некоторых марок проводов приведены в
табл. 5.5.

ТАБЛИЦА 55

Марка провода	АС-70	АС-95	АС-120	АС-150	АС-185	АС-240	АС-300
К11, ТЫС. руб, км г/, Ом/км	6,1 0,460	6,0 0,330	5,9 0,270	6,1 0,210	6,4 0,170	7,2 0,132	7,6 0,107

ство кривых.РНа°ойсДЛ5ЯЯЧЯла С1андаРТНЫх сечений получим семей-
марок проводов. ^Абсциссы тп°»а3ан хаРактеР этих кривых для трех
верхнюю и нижнюю гпяиип еК пеРесечения кривых определяют
Для данной марки провода пЛ^п?™46™0™ интеРвала мощности
ко, как видно из рис 5 83 Л*1 эаданном напряжении линии. Одна-
может и не существовать’ ч’Л??ТЧ6СКНЙ ,,нтеРвал Для ьн марки
лартиых сечений данного“Т° НаЛИЧИе в шкале <™"
468	Р Да экономически не обосновано
Рис. 5. 83. Зависимости з={(Р) для трех марок п

-случаи наличия и	интервалов М0ЩИ0СТ11 у ,й

Поэтому возникает необходимость установить условия (критерии)
существования экономических интервалов мощности линий элек-
тропередач.

Покажем, как определить эти критерии, пользуясь выражением
для о,:

= 31-301 _ /	_ Зы у/ 7	з0.

3д1	\ РтахТ Ртах (/" / / \ Ртах 0^

_______________||

(Ртах/Ртах о) 'Зо! Е|3о1

(5.89)

где З, = з/Рп|ах7' —полные расчетные затраты; 30/—2рлК,; может
принимать любые значения, в частности и 3 ₽, т. е. 3=31+1/,-.

Граничное значение 37+1/1 легко определить, приравнивая зна-
чения удельных расчетных затрат в граничной точке, находя гра-
ничную мощность Ртах(/+1)Д и подставляя ее значение в уравнение
(5.84).

При этом

«	Г/—П+1

Нетрудно установить, что полученная формула справедлива прн
условии	(5.90)

П>П+г
огр и в (5.90), получаем
Подставляя теперь З/+1/1 и о/

Кл /+1П~ ^л/П+1_ =----- + +

н+1/Ал/^-^+1)	4б9
откуда

1 Г Г[ Кп л-1 ~	,	(5.92)

е1 + 1/‘=[/	^л/ '	П-Г1+1

/саго чякпючаем что поскольку е дейст-
Учитывая условие (5.90), заключи ,

вительное число, то необходимо, чтобы

кмЖ„.	<5'93’

Далее легко установить, что

/Г[ Кл1 — Кл 1—1
Кл1 '	П-1~Г1

(5.94)

Замечая, что

пгр

тах 1+111	„

е/+1/, = ——“ и

тах 0/

•^тах 1/1—1
е'/<’-1 = —Д	~

‘ тах О/

и что для существования экономических интервалов необходимо,

чтобы (рис. 5.83, а)

л тах л-1// Ж ‘ тах 1/1—I»

получаем критерий существования экономических интервалов в виде

е/+1/1 Ж е 1/1-1,

или, используя (5.92) и (5.94), запишем

А л /—1 Кп1 А л1	Кл I—1

г1~ г1+1	Г1—1 — Г [

или в безразмерном виде

^л1 ~ Кл 1—1

АГл /+1 — Кд!

(5.95)

(5.96)

г 1-1 ~ Г{
г1~ П+1

Следовательно, провод /’-й марки, смонтированный на опорах стои-
мостью Дл/, экономически целесообразно применять только в том
ХТи?; ВЬ)П0—я неравенство (5.96). При этом предпола-
также,в^1полняются.НаКЛадЫВаеМЬ1е неРаВенствами (5.90) и (5.93),
вмй^сувдствованияУякпНЬ1Х вы'водов можно провести анализ усло-
электропередач выпопн^ннк^1™* интеРвалов мощности у линий
, лненных проводами стандартных сечений.
ЛИТЕРАТУРА

Введение

1. И. Б. Новик О м

Лр"ТкГ’БсТ^~	«Кв-

6 н и к о в. Трлпмст »—г-	Изд-во АН СССР ючз

те А Г ”П°б“ "	-В™, ш„.

В, ВВ: 1 ШВ”*?о°.МГУ. 1962

СТВ0>>6 И1'^ Н	жирование энергетических систем. <Электриче.

7.	В. А. Веников. О современных” метг>ЖИЫХ систем- «Мысль», 1965
19бТ№ 2ХН'ИЧеСКИХ ЭаДаЧ- вИзвестия АНМСССРХ эТеТХааННЯ "РИ Р™

8.	А. Н. Лебедев.
ЛЭТИ, 1971.

и транспорт»,

Л’ У' Морозов. Тайны
10. В. А. Г

Основы теории подобия

и моделирования.

в е к « к о в. О «р»ХВ'й"Х"",9йа'’”»‘- "»

Глава I

I-	В. А. Веников. Применение теории подобия и физического мппелипл.
вания в электротехнике. ГЭИ, 1949.	физического моделиро-

2. Л. П. В е р е т е н н и к о в [и др.]. Моделирование, вычислительная тех-
стИрКоенИиеТР1964НЫе ПР°ЦеССЫ В СУД°ВЫХ электР0ЭН®Ргетических системах «С^

В-	А. Веников [и др.]. Основы теории подобия. Лекции по курс»
«Кибернетика электрических систем». МЭИ, 1964.

4. Д. С. Клайн. Подобие и приближенные методы. «Мир», 1968.

Глава II

1.	А. А. Г у х м а н. Введение в теорию подобия. «Высшая школа», 1963.

2.	М. В. Кирпичев, П. К. Конаков. Математические основы тео-
рии подобия. ГЭИ, 1949.

3.	И. М. К и р к о. О подобии и аналогии электромагнитных явлений. Тру-
ды института физики АН Латв. ССР, 1954.

4.	Л. И. Седов. Методы подобия и размерностей в механике. «Нау-
ка», 1969.	,	.

5.	Р. Г. С а в ч е н к о, Р. Г. Варламов. Анализ подобия (конспект лек-
ций). «Советское радио», 1971.

Глава III

1 п А Веников Взаимоотношения натурного и модельного экспери-
мента, математического ”°дд^

фХРзШ«'К"о автоматическому управ« АНСССР ИМИ.

з2:?: I:^"ГоГпХ0^^^^^

стем. «Известия АН СССР. Энергетика и тр^нспр^ уЛьтат0В моделирования

4.	Г. В. Веников. Оо оценке д I СССР. Энергетика и транс-
с учетом стохастических факторов. « зь с

порт», 1967, № 5.	Кччиев Статистический анал!13	и

5.	Г- В. Веников, А М Кул и е	дн ссср Энергетнка и

ской устойчивости электрических

транспорту 1969, № 6.	и прнближеНные методы. «Мир». > 
7В В Налимов, Н. А. Ч е р в о в а Статистические методы плаинро-
ваиия экстремальны,1972.

9 г В веников вероятностное моделирование сложных систем. Труды
МЭИ. Теория подобия и физическое моделирование, вып. 7 ,

Глава IV

1	М В Кирпичев, М. А. Михеев. Моделирование тепловых уст-
ройств. Рзднво Александров. Коронный разряд на линиях электропередачи.
'‘Энергия . 1964	т0 в Корона переменного тока. «Энергия», 1975.

4	В А. Веников, Ю Н. А с т а х о в. О возможности применения тео-
оии подобия для технико-экономического анализа развития энергетических
объектов. Доклад на III Межвузовской конференции по применению моделиро-
вания. МЭИ. 1959.

5.	И. М. Тетельбаум. Электрическое моделирование. Физматгиз, 1959.

6.	А. Д. III и я к о в. Моделирование полупроводниковых приборов. «Элект-
ричество», 1963. № 11.

7	Л. Г. Нагорных. К выводу формулы теплопроводности решетки кри-
сталлов при высоких температурах методом анализа размерностей. «Известия
АН СССР. Физика твердого тела», т. 8, 1966.

8.	В. В. Т р е м б а ч. Принципы физического и математического моделиро-
вания световых приборов. «Светотехника», 1964, № 6.

9.	В. В. К а ф а р о в. Моделирование. химических процессов. «Зна-
ние». 1968.

10.	В С. Н е м ч и н о в. Экономико-математические методы н модели. Соц-
экгиз, 1962 (2-е изд., 1965).

Н.П. Хаггет. Пространственный анализ в экономической географии.
«Прогресс», 1968.

12	А. Д. Арманд. Модели и информация в физической географии. «Зна-
ние», 1971.

Глава V

1. В А. Веников, А. В. Иванов-Смоленский. Физическое мо-
делирование электрических систем. ГЭИ, 1956.

м гт’ Электродинамическое моделирование энергетических систем Под оед
М. П. Костенко. Изд-во АН СССР, 1959.	гюдрсд.

г^ы31гЬ1И’ Важиов [и Др.]. Электродинамическая

* 1УЫ.

модель энергосистем.

ГЭИ. 1962.Б Големб°- Применение методов кибернетики в электротехнике.

5	. Д. И.
ГЭИ. 1962.

6	В. И.

Азарьев. Математическое моделирование электрических систем.

вычислительных1ашинДвысшаТш"», 1Э9Н6е2ргетических Расчетов с помощью
“ • /1» Н. Л у Г И Н С К Н Й Д5 Г ГТ*	** I

моделей для исследования элрктплм^оо» 0 Р т н 0 и. Применение математических
ческих системах. Труды ВНИИЭ пып туч^?ких переходных процессов в электри-
8. И. А. Груздев Гн Пп1 Лп 1Х' ГосэнеРгоиздат, 1959.

в энергетических системах. «Энергия»^Об™6 аНалоговых вычислительных машин
.адио», 1973. Разоренов' Выбор масштабов при моделировании. «Советское
ОСНОВНЫ Е ОБОЗН АЛЕН ИЯ

- масштабы16 ВеЛИЧИНЫ’ К0°Р«инаты
Л <Р> Ф —функции

/ — частота

ф — магнитный поток

... ..'.~^.ттгтюж р„„ры по коорд1№

лиг	V активная мощность

Л’ С......Л - множители, коэффициенты

капитальные вложения
Я], ... лк — критерии подобия

осям

К

|дет

М, М.

•М12, Мп.

— соответственно одинаково

- ЩИЙ М0МеНТ' масса’ постоинная инерции
коэффициент взаимоиндукции между контурами

V — СКОРОСТЬ

V — объем

0 — температура

1	— время

а, Р, .... 2; — показатели размерности, коэффициенты

а, о, с, ..., <? основные единицы измерения физических величин тепло в
единице объема

I, Л Ть, Тс, То — время, постоянные времени (в секундах или радианах)

Т,. Т, —постоянные инерции

I, I — ток

и, и — напряжение

О_— мощность реактивная

б, б — угол сдвига э. д. с. синхронных электрических машин, плот-

ность тока, погрешность

Ь — индуктивность

С — емкость

г, В — активное сопротивление, радиус

С — активная проводимость

р — объемная плотность заряда, плотность материала

•у —- удельная проводимость

е — диэлектрическая проницаемость

р, — магнитная проницаемость

X — теплопроводность

а ___ускорение силы тяжести, электрическая проводимость

Е____эд. с., модуль упругости материала, напряженность элект-

рического поля

р — сила, тяжение провода

«— скольжение

единицах

со
3
р
В

— угловая скорость

= ^0Ргм1Дти=

„ - напщ1жТиносНт?магнитного поля, напор

°2- пол7оеИсопротнвТеине, волновое сопротивление

Я
ПРЕДМЕТНЫИ УКАЗАТЕЛЬ

Автоматизация эксперимента 460

Автомодельность 168 ,

184

— регрессионный 183

— статистический 196

Величины базисные 71, 367

Время натуральное 33

Гипотезы 10

Гистограммы 135

Датчики первичные измерительные
362

Дельта-установка 419

Дисперсия неадекватности 196

Задачи управления в натуральном
времени 457

Значимость статистическая 183

Изоморфизм 439

Интервалы мощности экономические
464

Информация 14

Исследования распространения радио-
волн 273

Квазинодобие 68

Компенсатор сопротивления цепи воз-
буждения 377

Комплексы моделирующие, определе-
ние 456

---, элементы 459

— цифро-аналого-физические, задачи

Контраст определяющий 192

Корона линии 419

Коэффициент ассоциации 324

Критерий Архимеда 94

—	Био 95

гомохронности 89

—	Грасгофа 94

—	Жуковского 94

—	Кирпичева 94

—	Кнудсена 94

—	Коши 90

—	Маха 94

—	Нуссельта 92

—	Пекле 94

~	Прандтля 95

~	Рейнольдса 91

—	Релея 95

—	Фруда 90

—	Фурье 94

Критерий Эйлера 92

—	значимости статистпческон 1/0

__ интегрального подобия, определе-
ние 87

__ квазпподобпя, определение 81

__ кибернетического подобия, опре-
деление 86

—	подобия, вариации 165

__ — процессов пространственных,
электромагнитных 224

— —, закон распределения 150

----, общее определение 34

__ — основные способы определения
'71,97

----, определение на основе л-тео-
ремы 73

----, определение применением Си-
стемы относительных единиц
77

----, определение путем приведения
к безразмерному виду 71

----, основное понятие 14

----, случайные вариации 149

----, характер кривых распределе-
ния вероятностей 152

----, шаг варьирования 198

----эквивалентного, определение 84

—	преобразования 53

—	воспроизведения 143

— условного или априорного подо-
бия, определение 87

Линия-цепочка, искажение процессов
392

Макеты 36

Макетирование 326

— с ЦВМ 328

Максимум правоподобия 179

Масштабы 213

Л1атрица размерности 466

— ортогональности 184

Машина синхронная, прямая анало-
гия 410

— управляющая 462

— электрическая 207, 358, 359

----, многополюсная 212

----, синхронная 364

явнополюсная, представленная сет-
кой 216

Метод группирования как форма по-
добия 326

моделирования, обоснование, кри-
териальные оценки 130

. определение 16

----, развития 23

~ ,под°бия. классификация 29

— м Ите’^рло, обслуживание 450
монте-Карло, энергетические си-

стемы 456
ЛЛетод^статистического моделирова-
Модель аналоговая, математическая
цифровая 27, 320, 456
асинхронного двигателя 402
— вероятностная 448
— воспроизводства 463
— генератора синхронного 375
— гибридная 435

Детерминированная и стохастиче-
ская 33

— динамическая 338,
— в задачах оптики
262

— в задачах синтеза

345, 418, 463
и светотехники

223

— ионизирующих излучений 253

— квазианалоговая 322, 330

— кибернетическая 438, 444

— конформная 220, 222

— мысленная 38

— наглядная, макеты, 329, 35

— нагрева конструкции 286

— натурная 299, 40

— неполная 32, 13, 28, 319

— опор воздушных линий 308

— парогенераторов 357

— первичных двигателей 345

— перегревов активных частей машин
и аппаратов 282

— переменного тока, расчетная 413

— погрешности 140

— полная 31

— полупроводников 234

— постоянного тока, расчетная 411

— радиосистем 268

— распространения радиоволн 272

— регуляторов скорости турбин 346

— сеточная 215

— систем возбуждения 375

— символическая (знаковая) 37

— стационарных режимов 461

— структурная-аналоговая 44

— структурная 420

— токопроводов, физическая 22/

— трансформаторов 384

— урагана 296

— устройств радиоаппаратных 2/4

— устройств электромагнитных 242

— условия построения, третья теоре-
ма 124

- физическая линии передач? энерго-

_____в"' радиолокационных задачах

268	82 45

2

“ ""Ильная автора (ПДА) 320.

446	822

— эквивалентная 32/

— электродинамическая ззв

Модель эрготическая 435

в экономической географии клас-
сификация 293	* Лас

Нагрузка комплексная 408

физической модели 400

Напряжения механические 310

Неточности описания явлений 132

Номограммы 178

Обобщение производственного опыта

Обработка критериальная результа-
тов 337

-----, форма 170

экспериментальных данных по
коронирующим линиям 266

Отклонение случайное 132

— среднеквадратическое 138

Ошибка вероятная 138

— измерения 135

-----среднеквадратическая 174

----распределения 135

Параметры, общее определение, по-
грешности 131

— процесса 48

— цепочки, изображающей линию 389

Планирование эксперимента 129

План линейный 189

Повторяемость результатов 160

Погрешность измерений систематиче-
ская 142

— измерительная 141

— обработки результатов 132

— опытов 132

— полная 140

— среднеквадратическая, способы
определения 141

— упрощенного представления 132

Подобие аппаратов электромагнитных
248

— геодинамическое 304

— задачи 9

— момента гидротурбины 34/

— интегральное 70

— кабеля —электрическое, тепловое

н

279

_____кибернетическое 69, 86, 441
моделирование, классификаци
основная 34

моделирование, гносеологическое

и

и

моделирование, степень точно-

н

I!

_ _ П^^ифик”цияПотраслезвая 34

2 ^ахожчтенне^'пр^Рвероятностном
’ характере явления 68
Подобие неполное 50

—	определение 17

—	особые виды 68

—	полисе 50	„

—	приближенное, процессы 50, м.
367

—	при исследовании передачи энер-
гии 273

—	прн самозапуске двигателей

—	процессов тепловых 276

—	процессов электронных 237

—	распределения температуры в ча-
стях машин н аппаратов 280

—	регуляторов возбуждения 381, 384

—	светотехническое 262

— систем анизотропных и неоднород-
ных 65

— систем электрических с вращаю-
щимися машинами 367

— сложных систем 61

— структурное оптических устройств
264

— трансформаторов измерительных
382

— условное, матрицы попарного по-
добия 325

—	условное 38

—	условия, техника нахождения 371

— физическое при отсутствии геомет-
рического 66

— функциональное 69

— цепей и полей, связь 215

— эквивалентное 69

— электромагнитных
— электромагнитных
Показатели точности

излучений 270
полей 209
136

Положение о подобии второе 63

---дополнительное — первое 61

---пяте 68

--- третье 65

-- четвертое 66

Поля движущиеся, электромагнитные

в неоднородной н анизотропной
среде 114

изотропной среде НО

переменные, преобразование 67

—	электромагнитные 110

Постоянные магниты 242

Правь по «-трех сигма» 139

Практика учебная и научная при ।

Лидировании 29

Преобразование конформное 83
р

—	нелинейные 64

мо-

Приб^пыеЙИпп " пгогтРа«ственные 65
уфиооры — погрешности 144

Армирование - об ьемное 37

 зал"*5лителях 229

информации иные 45

Рандомизация эксперимента 184

Регрессия, расчет коэффициентов
уравнения 194

Режимы стационарные, управление
457

—	энергосистем, вероятностные 455

Результаты, достоверность получения
153

Реплики дробные 184

Ресинхронизация генераторов 405

Рототабельность 184

Сдвиги максимума гистограммы 161

Сети механические 311

Системы линейные 33, 48

—	нелинейные 63

---сложные 64

Соотношения генерирующие при за-
дании дробных реплик 192

— критериальные, при нелинейности,
неоднородности и анизотропно-
сти 78

— вероятностные 261

Сопротивление активное, отрицатель-
ное 377

— отрицательное 370

Способность разрешающая 192

Стенды испытательные 27

Структуры иерархические 440

Схемы замещения 39

Теорема первая (или Ньютона) 51

— вторая 51, 54, 55

— третья (или Кирпичева — Гухма-
на) 60, 124, 128

— подобия 15, 51

Теория эксперимента 16

Ток переменный, для расчетных мо-
делей 413

—	постоянный для расчетных моде-
лей 411

постоянный для специализирован-
ных моделей 413

Точки н величины — сходственные 49

Точность исследований 129

—	моделирования 128

— приближенного моделирования,
проверка 369

Тренажеры 27

Турбины, саморегулирование 348

ниверсальность метода моделирова-
ния 4

равнение короны, критериальная
форма 259

— критериальное 59, 60, 160

— регрессии 172, 176

— РегРес' иа в критериальной форме

преобразования методами теории
подобия 332

Условия однозначности 127

Устойчивость режима 425
Фактор влияющий 188

— незначимый, отсеивание 188

— случайный 149

Характеристики динамические на-
грузки 402

— УВМ 459

Цепи, имеющие взаимно индукцион-
ную связь 100

— с взаимно перемещающимися кон-
турами 103

— сложные электромагнитные 243

— с распределенными параметрами
106

— с сосредоточенными постоянными
93

-----параметрами 102

«Черный ящик» 181

Эквивалент энергетический процес-
сов различной природы 295

Экстраполябельности принцип 289

Эксперимент, общая оценка (актив-
ный, пассивный) 10

Эксперимент, матрица планирования

— активный 129

— мысленный 11

— пассивный 129

—, планирование 179

—, схема планирования 187

— факторный, полный 184

— экстремальный 181

Электроника прикладная, соотноше-
ния подобия 256

Электропривод для моделирования
турбин 350

Энергия излучения, моделирование
267

Явление 48

— атмосферное 296

— вытеснения тока 224

— короны 258

— механическое, гидромеханическое
и тепловое 89, 305

— неточности описания 132

— сейсмическое 310
ОГЛАВЛЕНИИ

Предисловие

Введение .

§
§

§
§

§

§

й	-'*=- ”

ваниях ...........................

Развитое методов моделирования и теории эксперимента
Вб Виды подобия и моделирования, их классификация . . . .
В.7.’ Примеры общей классификации, подобия и моделирования

§ ь---------

Глава I. Основы теории подобия

§

§

1.1.	Подобие н его виды ... • •...............  •	‘

1.2.	Свойства подобных явлений. Теоремы о подобии . . •
А Первая теорема.......................................

Б. Вторая теорема...................................

Глава Л

§

В. Третья теорема.....................................

1 3. Дополнительные положения о подобии . . . ...... .
Первое дополнительное положение. О подобии сложных

А

Б.

систем .... ......................  •	 ...........„	•

Второе дополнительное положение. О подобии нелинеи-

ных систем..........................................

В. Третье дополнительное положение. О подобии анизо-
тропных или неоднородных систем........................

Г. Четвертое дополнительное положение. О подобии физи-
ческих явлений пон отсутствии геометрического подобия
Д. Пятое дополнительное положение. Об условиях подобия
при вероятностном характере изучаемых явлений ....

Е. Некоторые особые виды подобия........................

§ 1.4.	Способы определения критериев подобия.................

А.	Определение критериев подобия путем приведения урав-
нения к безразмерному виду (способ интегральных ана-
логов) .................................................

Б Определение критериев подобия на основе анализа раз-
мерностей (л-теоремы)..................................

В.	Определение критериев подобия применением системы

относительных единиц.................................

Г. Особенности определения критериальных и масштабных
соотношений при нелинейности, неоднородности и ани-
зотропии ..................................

Д. Критерии особых видов подобия....................

Основные критерии подобия, применяемые при решении задач
электроэнергетики ...................

§ 2.1.	Общие критерии подобия механических, гидромеханиче-
ских и тепловых явлений .................

А. Механические явления

« со V ГидГ’омеханические и тепловые явления ...	’

5 г./. Критерии подобия электрических цепей
подобии испей с сосредоточенными постоян-
ными параметрами

элеа“^,“«ких°цеией °Пределен,,я критериев ’подобия
Подобие пеней Имсющих взаимно индуктивную связь
миДЭлект“КиеВХшодПереМеЩаЮЩИМИСЯ к°н^а-'

А.

Б.

в.
г

д

3

5

5

7

9

13

16

29

35

48

48

51

51

54

60

61

61

63

65

66

68

68

71

71

73

77

78

81

89

89

89

90

93

93

97

100

102
8 “• =">™  •

6 9 4 0 родипамичесКое подобие) ₽	Нь'х полеи (элект-

Глава 1П.8МОд.лврХ“к“	" «*"« «

обработка .	°Ва ЭКСП€Р™ента, его организация

3'2' ЙХТ "ода',"₽?“"т;	'.ч-т. ~

Погрешности определения отдельных параметров входя-
щих в критерии подобия	р ’ д

3.4.	Точность воспроизведения критериев подобия..

3.5.	Случайные факторы и вызываемые ими погрешности

3.6.	Достоверность результатов моделирования

3.7.	Неточности, связанные с приближенностью моделирова-
ния, и погрешности воспроизведения критериев подобия

3.8.	Автомодельность.....................

. 106
ПО

. НО

114

и

§

§

§

§

§

§

§

119

120

3.1.

3.3.

124

124

128

132

113

149

153

§

§

3.9	. Обработка результатов экспериментов................

§	3.10. Планирование экспериментов ......................

Глава IV Примеры применения моделирования и критериальной обработ-

ки в различных научно-технических задачах

§
§
§
§
§
§

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

Постановка задачи ............................

Подобие и моделирование электрических машин . .

Вытеснение тока в проводах и шинах............

164

168

170

179

Процессы в заземлителях............................

Моделирование полупроводниковых устройств..........

Моделирование электромагнитных устройств и постояв-

• 206

206

 207

- 224

229

234

§
§
§
§
§

ных магнитов......................

4.7.	Подобие электронно-ионных процессов

4.8.	Моделирование в светотехнике . . . .

4.9.	Моделирование излучения энергии .

242

252

262

267

276

4 10 Тепловые процессы............... • • .........' ’ ‘

4.11.	Моделирование геофизических (географических, атмос-
ферных, геологических и т. п.) процессов .	_	• • 

4.12.	Моделирование, механических явлении 1"Р°«^ эле
ментах строительных конструкции, трения н т д.) • _

4.13.	Применение математического моделир ...............3(9

личных вариациях .   • • • • • ' '„екТпоэнергетиче-

Глава V. Моделирование, процессов, происходящих в электроэ р
скнх системах................................ ..................._• •  М1

§

§

§

§

§

§

§

§

§

289

305

ических) моделей, их $$$

345

5	4. Физические модели линт Р ..........................

ного тока.........и'огпезок'электрических систем .

5.5.	Физические модели натру .....................•	' е ’

5.6.	Аналоговые модели . - - оделИрОвание в элек р

5.7.	Математическое подобие и м д к..........

гетических задачах

387

400

409

431

471

Литература • - • • • '
Основные обозначения
Предметный указатель

. 473

. 474
Валентин Андреевич Веников

ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ

И МОДЕЛИРОВАНИЯ

(применительно к задачам электроэнергетики)

Редактор С М. Оводова. Художник В. В. Гарбузов. Художественный редак-
тор Н. К. Гуторов. Технический редактор 3. А. Муслимова. Корректор
Г. И Кострикова

Т-18456 Сдано в набор 14/1У-76 г. Подп. к печати 13/Х—76 г.
«Ж1 60X9071» Бум тип. № 1 Объем 30 печ, л. + фронтиспис 0,063 печ. л.
(30,063 усл п. л ). Уч.-изд. л. 32.17 Изд. № Стд-256 Тираж 10 000 экз.
Цена 1 р. 36 к.

Пы1НняЫ1П07КК г латеРатУР“, издательства «Высшая школа» (вузы и техннку-
тельство «Тысшая школЯа»№ Н° М°СКВа' К’Б1> НегЛИНИая *л- * 29/14. изда-

тетс Совета Министров гг(?рСо“3"°ЛИГра^прома при Государственном коми-
торговли. Хохловский пер.?7РЗак. 580ЭМ издательств полиграфии и книжной