Дж. Строук
An Introduction
to
COHERENT OPTICS
AND HOLOGRAPHY
ВВЕДЕНИЕ
В КОГЕРЕНТНУЮ ОПТИКУ
И ГОЛОГРАФИЮ
GEORGE W. STROKE
Department of Electrical Engineering
The University of Michigan
Ann Arbor, Michigan
ACADEMIC PRESS
Hew York — Loudon —1986
Перевод с английского
Я. Д. В АЛИМОВА Я В. Н. КОЛЕСЯИКОВЛ
Под редакцией
Л. М. СОРОКО
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» • МОСКВА 1W

УДК 535.39
Предисловие редактора русского изданяя
Книга является первой в мировой литературе монографией по
физическим основам голографии и оптики когерентных систем.
Значительная ее часть представляет собой систематизированное
изложение оригинального материала, опубликованного за послед-
последние два Года в виде отдельных статей, которые написаны с уча-
участием самого автора — ведущего американского специалиста в
этой области.
Книга содержит введение в качественную теорию дифракции
и анализ образования изображений при некогерентном и коге-
когерентном освещении. В ней рассматриваются свойства когерент-
когерентного света и излагаются теоретические и экспериментальные ос-
основы оптической голографии (восстановления волнового фронта).
Монография дополнена двумя статьями Габора, предложив-
предложившего в 1948 г. метод записи и восстановления волнового фронта,
и обзором последних исследований в области практических при-
приложений голографии.
Она представляет значительный интерес для широкого круга
исследователей и инженеров и может служить ценным пособием
для студентов-оптиков.
Редакция литературы по новой технике
Инд, 3-4
Предлагаемая читателю книга известного американского оп-
оптика Джорджа Строука представляет собой первую и пока
единственную в мировой литературе монографию по голографии.
Она была написана на основе курса лекций, прочитанных авто-
автором в Мичиганском университете.
В своей книге Строук подробно и достаточно многогранно
отразил успехи стремительного развития оптической гологра-
голографии. Исчерпывающий характер этой монографии вполне законо-
закономерен, поскольку ее автор является активным участником боль-
большинства исследований по интерференции и голографии. Именно
он осуществил классические опыты, которые составляют фунда-
фундамент современной голографии. Так, например, совместно с Ден-
Деннисом Габором, первооткрывателем голографии, Строук выпол-
выполнил эксперимент по оптической интерференции двух световых
потоков, не перекрывающихся по времени.
Строук, занимаясь разработкой методов изготовления и кон-
контроля качества дифракционных решеток с предельно высокими
параметрами, находился ближе, чем кто-либо другой из опти-
оптиков, к голографии, когда после изобретения лазера началось ее
бурное развитие. Оптические явления, составляющие основу го-
голографии и оптики дифракционных решеток, оказались тесно
связанными между собой. Завершив в 1959—1961 гг. исследо-
исследования по оптике дифракционных решеток, обладающих несо-
несовершенной структурой, Строук перешел к голографии.
Голография возникла в 1948 г., когда английский физик Га-
бор впервые ввел понятие голограммы, т. е. системы полной
записи пространственной структуры световой волны (по ампли-
амплитуде и по фазе) путем наблюдения интерференции между ди-
дифрагированной волной, идущей от предмета, и однородным коге-
когерентным фоном. Габор доказал, что такая система регистрации
обладает свойством обратимости, позволяющим на второй сту-
ступени восстановить изображение предмета. Использование вспо-
вспомогательного когерентного фона или когерентной подсветки
является отличительной чертой любой схемы, применяемой в го-
голографии. Идея о голограмме пришла Габору не случайно: опи-
опираясь на интуитивные информационные положения, он был глу-
глубоко убежден в возможности извлечения информации о пред-
предмете из дифракционной картины, которая всегда содержит эту

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ИЗДАНИЯ
информацию в зашифрованном виде. Габор получил первые го-
голограммы и с их помощью восстановил изображение исходного
предмета.
Однако наблюдения очень скоро показали, что первоначаль-
первоначальная схема страдает недостатками, которые не позволили Габору
полностью решить поставленную задачу. Действительное и мни-
мнимое изображения предмета, восстановленные на второй ступени
с помощью голограммы Габора, накладывались по лучу зрения
друг на друга и таким образом создавали взаимные помехи. Не-
Недостатком схемы Габора являлось также и то, что интенсивный
когерентный фон по первоначальной схеме должен был прохо-
проходить сквозь образец, а это сильно сужало класс предметов, к ко-
которым можно было применить данный метод.
Все эти недостатки пытались устранить многие оптики, од-
однако прошло около 15 лет, прежде чем удалось возродить идею
Габора. Решающим толчком к этому послужила деятельность
двух радистов, Иммета Лейта и Юриса Упатниекса, которые
осуществили синтез теории связи и оптики. Лейт и Упатниекс,
используя понятия и принципы однополосной модуляции в тех-
технике связи, ввели наклонный пучок, создающий когерентный
фон, и этим самым полностью устранили недостатки первона-
первоначальной схемы Габора. Большую роль сыграл лазер, который
к 1962 г. стал распространенным источником интенсивных ко-
когерентных пучков света. Спустя год Лейт и Упатниекс демон-
демонстрировали с помощью двухлучевой голограммы высококаче-
высококачественное изображение трехмерных предметов, реализовав тем
самым одно из предсказаний Габора.
Голограмма наделена свойствами активно восстанавливать
волну света, идущую от предмета, и тем самым позволяет сде-
сделать видимым сам предмет. Это свойство голограммы является
следствием того, что при регистрации рассеянной от предмета
волны света не теряется ни одна из ее характеристик. На го-
голограмме волна регистрируется полностью: одновременно и в
то же время раздельно регистрируются амплитудная и фазовая
информация, т. е. осуществляется полный опыт в оптике. В клас-
классической фотографии, напротив, регистрируется только интенсив-
интенсивность рассеянной волны, а распределение сдвигов фаз электро-
электромагнитных колебаний в пространстве безвозвратно теряется.
Голография, позволившая реализовать полный опыт в оп-
оптике, предоставляет экспериментатору новые необычайные воз-
возможности, которые позволяют пересмотреть многие проблемы
физической оптики. Наиболее интересная возможность состоит в
том, что наблюдатель может корректировать оптические свой-
свойства прибора, используемого в эксперименте, после того как экс-
эксперимент полностью закончен, т. е. апостериорно. Так, напри-
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ИЗДАНИЯ
мер, трехмерную схему можно рассматривать на произвольно
выбранной глубине. Можно также смещать точку наблюдения,
осуществлять оптическую фильтрацию пространственной струк-
структуры предмета и, в частности, устранять аберрацию оптического
прибора. Однако наиболее удивительное свойство голографии
состоит в том, что она позволяет осуществить интерференцию
между двумя потоками света, не перекрывающимися ни во вре-
времени, ни в пространстве.
Голографию нельзя рассматривать только как альтернативу
фотографии. Благодаря полной записи света с сохранением не
только амплитуды, но и фазы, используя голографию, в настоя-
настоящее время можно осуществить широкий класс математических
операций над комплексными функциями, заданными в виде про-
пространственных распределений амплитуд и фаз волны света.
Голография создала новую оптику, которая по своим свой-
свойствам так относится к доголографической оптике, как теория
комплексных функций относится к теории действительных функ-
функций. Это сравнение не просто красивая аналогия, оно наилуч-
наилучшим образом отражает новые «математические возможности»
голографической оптики. Используя принцип голографии, мож-
можно уже сегодня выполнять над комплексными функциями мате-
математические операции: сложение и вычитание, умножение, диф-
дифференцирование и некоторый класс интегральных операций.
Достоинство голографических методов обработки информа-
информации состоит в том, что в голографии исходная информация об-
обрабатывается сразу же целиком и практически одновременно по
всей области. Столь необходимые в электронных системах опе-
операции, как сканирование или развертка изображения по стро-
строкам либо разнесение действительной и мнимой частей комплекс-
комплексной функции по отдельным каналам, полностью устраняются в
когерентной оптической системе.
В Советском Союзе первым оптиком, который обратил вни-
внимание на голографию Габора и начал самостоятельные опыты
по разработке более совершенных систем голографии, был
Ю. Н. Денисюк. Своими экспериментами с липпмановскими
эмульсиями в 1962 г. он утвердил совершенно новое, отличаю-
отличающееся от схемы Габора и Лейта прогрессивное направление в
голографии, которое позднее получило широкое распростране-
распространение. Голограмма, которую изобрел Денисюк, представляет собой
трехмерную интерферограмму. Вследствие того, что волновой
фронт в голографии Денисюка интерферирует с когерентным
фоном по всей толщине эмульсии, эта схема с самого начала не
дает взаимного наложения действительного и мнимого изобра-
изображений. Толстослойная голограмма Денисюка восстанавливает
только одно изображение предмета, а информация, которую

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ИЗДАНИЯ
можно ввести в толстослойную голограмму, оказывается намного
богаче информации, содержащейся в обычной голограмме Га-
бора.
Таким образом, основными вехами в развитии голографии
можно считать исследования Габора, который впервые предло-
предложил и осуществил голографическую систему; исследования
Лейта и Упатниекса, которые возродили голографию на основе
идей, заимствованных из техники связи, и основали один из
новых разделов радиооптики — современную лазерную голо-
голографию; исследования Денисюка, предложившего и впервые из-
изготовившего трехмерную голограмму, и, наконец, исследования
Строука, который осуществил цикл узловых, исчерпывающих
экспериментов по голографии и предложил современные прин-
принципы и наиболее эффективные схемы голографии.
Не следует, конечно, забывать о том, что авторы упомянутых
здесь четырех открытий опирались в своих работах на дости-
достижения предшественников и современников, которые вели иссле-
исследования в оптике, радиосвязи, теории и технике информации, а
также в спектроскопии.
Кроме семи основных глав, книга содержит дополнение ав-
автора к русскому переводу книги, а также приложения, в кото-
которые вошли исторические работы Габора, выполненные в 1948—
1951 гг., и написанный И. П. Налимовым обзор последних работ
по грлографии и ее применениям.
В вводной главе (гл. 1) даются основные особенности ра-
радиооптики, ее истоки и используемые в ней методы. Приведено
строгое рассмотрение краевой электромагнитной задачи на при-
примере дифракционной решетки и отмечены ограничения опера-
операционного метода при его использовании в радиооптике.
В гл. 2 излагается качественная теория дифракции, форму-
формулируется краевая задача дифракции света и рассматривается
соотношение Фурье между амплитудами света в зрачке и в пло-
плоскости изображения.
Гл. 3 посвящена процессу образования изображения при ие-
когерентном освещении. Вводится понятие передаточной функ-
функции и устанавливается связь ее с получаемым изображением с
использованием, в частности, плоскости пространственных ча-
частот. В заключение разбираются два крайних примера: точеч-
точечный источник и синусоидальный по интенсивности предмет.
В гл. 4 анализируются понятия когерентности света, как вре-
временной, так и пространственной, а также методы их измерения.
В конце ее описан интерферометр интенсивности.
В гл. 5 рассматривается процесс образования изображения
при когерентном освещении как естественный предшественник
голографии. В голографическом аспекте описаны метод филь-
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ИЗДАНИЯ
¦грации пространственной структуры волны света, процедура
изготовления согласованного фильтра, а также основы корреля-
корреляционного анализа. В конце главы дается описание опыта Га-
Габора — Строука по интерференции потоков света, не перекры-
перекрывающихся во времени.
Гл. 6 содержит теоретические и экспериментальные основы
оптической голографии, которую Габор назвал методом образо-
образования изображения путем восстановления волнового фронта.
Здесь рассматриваются: проективная голография Френеля, без-
безлинзовая голография Фурье с высоким пространственным раз-
разрешением и метод устранения эффекта протяженности источ-
источника с целью сохранения высокого пространственного разреше-
разрешения по предмету. Затем излагается требование к когерентности
света в голографии. В конце главы описан классический экспе-
эксперимент Строука с голограммой, полученной при некогерентном
освещении, и даны экспериментальные обоснования возможно-
возможности применения голографических принципов для рентгеновских
лучей.
Гл. 7 содержит предельно беглый перечень математических
вопросов, знание которых необходимо для чтения книги.
В заключение хотелось бы сделать некоторые замечания по
содержанию монографии Строука.
Во-первых, материал излагается в книге весьма лаконично, и
поэтому ее можно рекомендовать лишь в качестве дополнитель-
дополнительного пособия по курсу физической оптики.
Во-вторых, книга Строука по голографии и дополнения к ней
не охватывают всех аспектов современной голографии. В част-
частности, полностью опущен теоретико-информационный аспект,
имеющий для голографии большое значение. Кроме того, не
рассмотрен очень важный для практических целей вопрос влия-
влияния шумов на процесс голографической записи и восстановле-
восстановления, а также вопрос о динамическом диапазоне фотодетекторов.
Перевод книги выполнен В. Н. Колесниковым (статьи Га-
Габора), И. П. Налимовым (гл. 1, 2, 4, 6, авторские предисловия и
дополнение автора к русскому изданию) и Л. М. Сороко (гл. 3,
5 и 7). При переводе отдельных выражений и терминов, встре-
встречающихся в книге Строука, повсюду, где это было возможно, мы
придерживались терминологии русского перевода книги А. Ма-
решаля и М. Франсона «Структура оптического изображения»
(изд-во «Мир», 1964 г.). При переводе исправлены некоторые
опечатки в тексте и многочисленные неточности в формулах.
Списки оригинальных работ, расширенные при редактировании
книги, приведены в конце каждой главы, а также после обзора
И. П. Налимова.
Л. М. Сороко

Предисловие к русскому изданию
Автор приветствует быстрое появление русского перевода его
книги. Он также чрезвычайно рад тому, что в виде дополнения
к русскому переводу дана одна из его последних работ, посвя-
посвященная голограмме, освещаемой белым светом1). Это исследо-
исследование, которое является продолжением первой в этой области
работы Ю. Н. Денисюка, опубликованной в 1962 г.2), позволяет
в настоящее время получать многоцветное изображение путем
освещения объемной черно-белой голограммы лучами белого
света.
В последнее время появилось очень много хороших обзоров,
посвященных принципам и успехам голографии, и в частности
советских авторов. Среди них удачны обзоры Налимова 3) и Со-
роко4), которые я горячо рекомендую.
Наконец, автор хотел бы еще раз напомнить, что 9 ноября
1964 г. в Бостоне (США) он предложил закрепить вклад проф.
Денниса Габора, являющегося пионером исследований в этой
области, и термином голография называть методы восстановле-
восстановления волнового фронта, а также теорию и применение голо-
голограмм5), как средства образования и обработки оптических
сигналов.
Джордж Строук
Июль 1966 г.
') Строук Дж., Лабейри А., Восстановление голографических изоб-
изображений в белом свете с использованием дифракционного эффекта Липпма-
на —Брэгга, Phys. Lett., 20, 368—370 A966); см. 213.
2) Денисюк Ю. Н., Об отображении оптических свойств объекта в
волновом поле рассеянного им излучения, ДАИ СССР, 144 F), 1275—1278
A962).
3) Налимов И. П., Лазерная голография — основные принципы и при-
применения, Зарубежная радиоэлектроника, B), A966).
4) Сороко Л. М., Лекции по голографии. (Препринт Объединенного
института ядерных исследований в Дубне № 2587; см, также УФН, 90 A),
1—46 A966).
5) Gabor D., Nature, 161, 777, 778 A948). у

Предисловие
Эта книга основана на серии лекций и лекционных курсов,
прочитанных автором в 1963—1965 гг. преимущественно в Мичи-
Мичиганском университете. В книгу включено много материала из
оригинальных статей по когерентной обработке изображений и
голографии. В этих статьях изложена часть результатов послед-
последних исследований автора, выполненных в лаборатории Мичи-
Мичиганского университета.
В какой-то степени сам факт включения в монографию ори-
оригинальных научных статей уже имеет прецедент — небольшую,
но замечательную книгу А. Майкельсона «Исследования в оп-
оптике», изданную в 1927 г. В предисловии к этой книге Майкель-
сон писал: «Для того чтобы придать изложению большую це-
целостность, желательно привлечь и материал, который можно
найти в распространенных работах по оптике, ибо только в этом
случае может появиться интерес представить все эти исследо-
исследования с моей собственной точки зрения и передать мои соб-
собственные впечатления, подчеркивая при этом те идеи основате-
основателей науки, которые произвели на меня глубочайшее впечатле-
впечатление». К сожалению, автор книги вынужден признать, что он не
может изложить собственные взгляды и подход каким-либо дру-
другим более совершенным путем.
Принимая во внимание большой интерес к новым успехам в
оптике и желая поскорее ознакомить с ними широкие круги спе-
специалистов за пределами лекционной аудитории, а также по воз-
возможности стимулировать дальнейший прогресс в этой области,
автор представил значительную часть первоначальных записей
лекций в том виде, как они были опубликованы в двух изда-
изданиях Мичиганского университета (май 1964 г., март 1965 г.) под
названием «Введение в оптику когерентного и некогерентного
электромагнитного излучения». Автор приносит извинения за те-
телеграфный стиль изложения и недоработки, которые встречают-
встречаются в книге, а также за многие возможные пробелы в списках
литературы, приведенных в соответствующих главах книги.
Оригинальные статьи проф. Д. Габора о «восстановлении
волнового фронта» сейчас приобрели исключительную важность,

14
ПРЕДИСЛОВИЕ
так как составляют фундамент оптических принципов получения
изображений методом восстановления волнового фронта и, в
частности, обратимой регистрации фазы и амплитуды световой
волны изображения. Поэтому в приложении к книге эти две ори-
оригинальные статьи Габора помещены без каких-либо изменений.
Автор весьма признателен проф. Д. Габору за разрешение пере-
перепечатать эти статьи, а также за постоянную поддержку и много-
многочисленные полезные беседы и замечания, которые касались го-
лографических аспектов данной книги. Автор также выражает
благодарность за постоянную поддержку большой группе кол-
коллег, особенно проф. М. Франсону, Дж. Харрисону, П. Жакино,
А. Марешалю, О. Молеру и Э. О'Нейлу.
Анн-Арбор, Мичиган,
ноябрь, 1965
Джордж Строук
Глава
ВВЕДЕНИЕ
1. Современная оптика — раздел радиоэлектроники
Многие поразительные успехи, достигнутые в оптике за по-
последние 10—20 лет, непосредственно связаны с прогрессом в ра-
радиоэлектронике, и в частности в таких ее разделах, как техника
связи, СВЧ-электроника и радиоастрономия. Наиболее приме-
примечательное сходство оптики и радиоэлектроники обнаружилось
благодаря успешному применению операционного метода Фурье
для анализа процессов образования оптического изображения и
в спектроскопии, а также благодаря использованию оптических
резонансных систем и управления при помощи оптической об-
обратной связи (например, в лазерах, волоконной оптике и в ин-
терферометрическом управлении станками). Исключительная
простота оптических вычислительных устройств и когерентных
(гетеродинных) детекторов в технике связи подкрепляет эту
аналогию. Общность оптики и радиоэлектроники проявляется и
в эффективном использовании обеими этими дисциплинами ста-
статистических и когерентных свойств электромагнитных сигналов
и излучения, в успешном развитии методов усиления яркости
света и управления лазерным пучком и, наконец, в недавних но-
новых успехах «безлинзовой» фотографии и техники «автомати-
«автоматического» распознавания образов. Нелинейная оптика представ-
представляет собой другой пример фундаментальной общности теории и
техники эксперимента для всех диапазонов электромагнитных
волн. Единство принципов и методов связывает астрономию, ра-
радиоастрономию, физику электромагнетизма и радиоэлектронику.
Работы по установлению и использованию этих фундаменталь-
фундаментальных принципов в пределах всего электромагнитного спектра
весьма эффективно содействовали появлению новых направле-
направлений в науке и технике и привели к созданию новой дисциплины,
получившей название радиооптики.
2. Теория — основа радиооптики
Пожалуй, самым главным фактором бурного развития радио-
радиооптики является ее чрезвычайная стройность, обусловленная по-
последовательным применением сложного, но в то же время уни-
универсального математического аппарата.

16
ГЛАВА !
Повторяя слова Таунса [1], можно сказать, что последние
наиболее яркие события в радиооптике, включая изобретение ла-
лазеров, «отражают в миниатюре грандиозные перемены, которые
в последнее время в корне преобразовали природу технологиче-
технологических открытий». Достаточно вспомнить, что лазеры, явления не-
нелинейной оптики, оптические вычислительные устройства, ди-
дифракционные решетки, безлинзовая фотография, оптические
фильтры и автоматические системы считывания информации
были предсказаны и разработаны «почти целиком на базе тео-
теоретических идей, отличающихся довольно сложной и абстракт-
абстрактной природой». Подобные открытия или разработки «не могли
родиться в полуподвальной мастерской или полностью базиро-
базироваться на эдисоновском методе интуитивных проб и ошибок».
Они являются продуктом современной научной эпохи и почти
все без исключения связаны с теоретическими разделами фи-
физики, радиосвязи и, конечно, радиооптики.
оптики
1)
8. Математические методы современной
Если исключить краевые задачи и проблемы нелинейной оп-
оптики, в основе которых лежит электромагнитная теория, а также
исследования по физике излучения, где используется квантовая
теория и статистическая физика, то можно сказать, что главные
разделы радиооптики базируются на операционном методе
решения задач с помощью преобразования Фурье. Метод преоб-
преобразования Фурье применяли уже Релей и Майкельсон на рубеже
нашего века. Однако только современная теория распределений,
или обобщенных функций, основанная на трудах Л. Шварца
A950—1951 гг.), может рассматриваться как универсальный ин-
инструмент, пригодный не только для анализа более или менее
классических задач в теории образования изображения и в тео-
теории связи, но и для синтеза новых устройств и систем. Матрич-
Матричная формулировка образования изображения с помощью линз
и зеркал существенно упростила математические методы
расчета линз, особенно при использовании электронной вычисли-
вычислительной машины. Оптические аналоговые корреляторы и вычис-
вычислительные устройства, созданные на основе новых математиче-
математических обобщений, начинают дополнять превосходящие их не-
нередко по сложности электронные вычислительные машины.
В гл. 5 на нескольких примерах показано, как, пользуясь опти-
оптическими методами, можно осуществлять операции умножения и
') Список доступных математических работ, приведен в конце данной
главы; см, также гл. 7,
ВВЕДЕНИЕ
17
комплексного сложения сигналов. Как правило, «сигналом» в
оптике называются распределения интенсивности или комплекс-
комплексной амплитуды света, представляемые в пространстве двух из-
измерений (например, в фокальной плоскости линзы или в пло-
плоскости ее апертуры с координатами хну). Благодаря этому оп-
оптические вычислительные устройства отличаются простотой и
компактностью, а также характеризуются особыми преимуще-
преимуществами благодаря многоканальности и двумерному характеру их
емкости (по сравнению с чисто электронными машинами, в ко-
которых используются зависимые от времени одномерные сиг-
сигналы). В результате интенсивность света в любом Аг/-канале
можно изменять вдоль оси х и располагать большое число Ау-
каналов рядом друг с другом, так что эти каналы могут функ-
функционировать одновременно, а не последовательно.
4. Краевая задача дифракции электромагнитных
волн в оптике и некоторые ограничения
операционного метода
Исключительное внимание, которое уделяется операционному
методу в оптике и теории связи, с неизбежностью требует, что-
чтобы все четко понимали ограниченность этого метода и знали, где
этот метод нельзя применять.
Например, последние успехи в достижении высоких парамет-
параметров оптических дифракционных решеток [2] основываются на по-
понимании того, что распределение световой энергии между раз-
различными дифракционными порядками определяется явлениями
поляризации и всей электромагнитной теорией в целом, а не
простейшим скалярным приближением теории дифракции. Пол-
Полное и точное решение краевой электромагнитной задачи для оп-
оптических решеток было получено совсем недавно в серии работ
Строука, Буске, Петита и Хадни (см., например, [2]). Это реше-
решение, дополняющее весьма малочисленный список уже решенных
краевых электромагнитных задач, было получено методом, пред-
предложенным Строуком в 1960 г. [3].
Самое важное ограничение на применение принципа Гюйген-
Гюйгенса, выраженного преобразованием Фурье, для большинства слу-
случаев не является серьезным. Соотношение, полученное на основе
преобразования Фурье, связывает комплексную амплитуду поля
волнового фронта с комплексной амплитудой поля в любой за-
заданной точке изображения. Оно применимо только в непосред-
непосредственной окрестности квазисферического, ограниченного аперту-
апертурой волнового фронта, который образует изображение, как, на-
например, вблизи фокуса линзы, независимо от того, является ли
2 Дж. Строук

18
ГЛАВА I
2A
Рис. 1.
а— решетка ведущая себя как зеркало при указанной поллризации |3]; 6 — изображение
стоячей волны герцевского типа, полученной в экспериментах с излучением на длине волны 3 см.
этот фокус главным или вторичным. Пределы применимости
принципа Гюйгенса и соотношений, получаемых с помощью пре-
преобразования Фурье, при рассмотрении образования изображения
станут совершенно очевидными, если при выводе этих соотно-
соотношений исходить из уравнений Максвелла [4, 5].
Однако неправильно и такое, иногда высказываемое предпо-
предположение, что скалярное приближение теории дифракции всегда
дает хотя бы качественное описание процессов оптической ди-
дифракции. Например, согласно электромагнитной теории [3], ре-
решетка, показанная на рис. \,а, будет вести себя как совершен-
совершенное зеркало, отражающее только волну, распространяющуюся
в направлении, противоположном вектору к, и не образующую
«классической» дифракции в каких-либо других боковых поряд-
порядках независимо от ширины ступеньки, параллельной вектору Е.
Это неожиданное для классической теории, но легко получаемое
из электромагнитной теории предсказание, сделанное Мареша*
лем и Строуком [3] в 1959 г., подтверждается экспериментами
с излучением на длине волны 3 см и с поляризацией, парал-
параллельной вектору Е| (рис. 1,6).
Поэтому всякий раз, когда при использовании в оптике уни-
универсального метода преобразования Фурье будут наблюдаться
систематические расхождения между теорией и экспериментом,
необходимо вспомнить об электромагнитной природе дифрак-
дифракции.
В самом широком смысле картина дифракции электромаг-
электромагнитных волн возникает в результате того, что точно заданные
краевые условия на границе предмета, создающего дифракцию,
относятся к полному электромагнитному полю, состоящему из
падающей и дифрагированной волн.
ВВЕДЕНИЕ
19
Конкретная дифракционная задача приобретает замечатель-
замечательную простоту, если дифрагированную волну записать в виде сум-
суммы плоских волн с различными амплитудами, а направляющие
косинусы выбрать в качестве параметров. В разд. 5 настоящей
главы рассмотрен важный случай оптической решетки.
Основы современных представлений о процессах образования
оптических изображений заложены в теории дифракционных ре-
решеток и интерферометрии [4, 5].
5. Решение краевой задачи на примере
дифракционной решетки [5]
Дифракция света на решетке лучше всего описывается так
называемым уравнением решетки
sin j-f- sin / =
mX
A)
где / и /' — углы, образованные со средней плоскостью решетки
падающим и дифрагированным волновыми фронтами соответ-
соответственно; а — постоянная решетки.
В учебниках это уравнение обычно весьма просто выводится
с помощью принципа Гюйгенса. Однако, применяя гюйгенсов-
ское решение, делают неправильное заключение, что плоская
дифрагированная волна получается как огибающая многих
маленьких сферических волн.
На практике же просто предполагают, что если на плоскую
решетку падает плоская волна, то дифрагированные волны так-
также являются плоскими, образуя дискретную совокупность. Фак-
Фактически существование плоских дифрагированных волн есть
следствие всего лишь периодической структуры решетки.
Доказательство существования дискретной совокупности пло-
плоских дифрагированных волн, удовлетворяющих уравнению ре-
решетки A), когда на решетку падает плоская волна, сводится
к следующему.
Линованные решетки имеют по существу двумерную струк-
структуру. Их поверхность описывается функцией S=f(x,y) (рис.2),
которая не зависит от координаты z и является периодической
функцией х:
S (х-\- pa) = S (х) (р — целое число). B)
Штрихи решетки направлены вдоль оси г. Вспомним класс дву-
двумерных задач (не зависимых от 2). По своей природе двумерные

20
ГЛАВА I
задачи являются в сущности скалярными 1). Однако это не озна-
означает, что их можно идентифицировать с неэлектромагнитными
задачами, например с акустическими. Двумерную задачу можно
сформулировать, используя лишь одну компоненту электромаг-
электромагнитного поля, например Ег или Нг. Кроме того, можно показать,
Падающая волна
Дифрагированная волна
Рис. 2. Схема, поясняющая уравнение решетки sin j -f- sin j' = rnXfa.
что компоненты Ег или Н2 в подобных задачах удовлетворяют
волновому уравнению
d2F d2F
C)
написанному в качестве примера для компоненты Еи где k —
= 2лД. Множитель ехр (—Ш) опущен.
Частное решение уравнения C), имеющее вид
ехр [г? (л sin 9-|-1/cos 9)],
D)
представляет собой выражение плоской волны, где 9 — угол ди-
дифракции (не ограниченный в данном случае одним значением }',
которое удовлетворяет уравнению решетки). Если 9 не является
действительным значением, то выражение D) представляет со-
собой затухающую волну [5, 6].
Общее решение уравнения C) состоит из совокупности пло-
плоских волн различных направлений и может быть записано в ви-
виде интеграла Фурье
J
E)
') Так, например, если задача решена для ^-компоненты, то остальные
компоненты поля определяются следующим образом:
1 dEz ' ^
Нг = -
Н - 1
У~~1
ik ду '
Если же задача решена для Яг-коыпоненты, то
1 дНг
ik ду '
Е -
дх
— Прим. ред.
ВВЕДЕНИЕ
21
где ?(8) — амплитуда плоской волны. Функция ?(9) в общем
виде является комплексной, и чтобы ее найти, требуется решить
уже конкретную задачу.
В случае оптической решетки необходимо рассматривать ди-
дифракцию поляризованных волн и векторы Е или Н в падающей
волне выбрать параллельными штрихам, т. е. вдоль оси г. Пусть
Elz или И\ — компоненты поля впадающей волне для этих двух
случаев поляризации. Тогда можно написать
?г = ехр [-—/и (л: sin у-+-у cos у)]. F)
Пусть далее Ez—дифрагированное поле. Поскольку суммарное
поле Ег = Е1г-\-Ег удовлетворяет волновому уравнению и по-
поскольку поле в падающей волне удовлетворяет тому же уравне-
уравнению, то дифрагированное поле Ez также должно удовлетво-
удовлетворять волновому уравнению. В самой общей форме дифрагиро-
дифрагированное поле Ег можно представить в виде суммы плоских волн
различных направлений
+ СО
Edz= J Et (/) ехр \ik(x sin / + у cos /)} d/. G)
— со
Здесь Ez (У)— амплитуда плоской дифрагированной волны, со-
соответствующей углу распространения /'. Согласно уравнению
G), существует бесконечная совокупность дифрагированных
волн, непрерывно распределенных по углу.
Докажем, что периодическая структура решетки и то обстоя-
обстоятельство, что граничные условия на поверхности решетки отно-
относятся к суммарному полю Ег, приводят к уравнению решетки
A), которому удовлетворяет только дискретная совокупность
волн, взятая из непрерывного углового распределения.
Фактически на поверхности решетки необходимо иметь
Ег(х). (8)
Если в уравнение (8) подставить соотношения F) и G), то
получим
ехр [—^(xsiny + ycosy)] exp(—/^asiny) +
+ СО
+ [ Ei(f)exp[ik(xs'mf -\-ycos f)]exp{ikpasmf)df ~
— ехр [— ik(x siny + i/cosy)]-)-
+ СО
+ J Edz {/) exp[ik{x sm/+-у cos f)]d/. (9)

22
ГЛАВА I
Разделив результат на ехр [- ik(xsmj~}- у cos/)] и вынеся за
скобку ехр(—ikpa&inj), получим
( +со
ехр(— ikpa sin j)<\-jr Г Еаг (/) ехр [i k(x +pa) (sin j~\-sin/)] X
I -co
X exp [iky (cos у + cos /)] d/ \ —
+ CO
= 1-)- j ?"z (y')exp[^x(siny-|- siny'Olexpfi^y^osy + cosyOJu'y'-
A0)
Для любых заданных k, p, а и любого угла у множитель
ехр(—гйра siny) постоянен. Поэтому, чтобы уравнениеA0) удо-
удовлетворялось, необходимо положить
kpa(sin j-\-sin/)—-п ¦ 2л (я — целое число), A1)
Л (sin У+sin у') =/и— (т—целое число). A2)
т. е.
Заметим, что п/р = т— также целое число вследствие того,
что р является периодом решетки. Вспоминая, что k = 2n/X, из
соотношения A2) получаем уравнение решетки в окончательном
виде
= -7r. A)
A3)
Мы доказали таким образом, что плоская волна
Е1г= ехр [— ik(xs'mj-\-ycosj)],
падающая на регулярную поверхность с периодом а, создает
дифрагированное поле Edz, состоящее из дискретной совокупно-
совокупности плоских волн:
= 2 (Ef)m ехр [ik (х sin у; + у cos j'm)].
A4)
Следует обратить внимание на то, что дифракция света на
решетке в основном обусловлена граничными условиями и пе-
периодичностью структуры решетки. Удивительно то, что точное
выражение граничных условий не входит явным образом в то
решение, которое было нами получено при доказательстве су-
существования плоских дифрагированных волн, удовлетворяющих
уравнению решетки. Очевидно, однако, что амплитуда Edz(j'lt^ ДИ-
ВВЕДЕНИЕ
23
Лпагиоованных волн будет непременно зависеть от вида гранич-
граничных условий, в частности от свойств материала (диэлектрик,
проводник и т. д.) и от профиля штрихов (разд. 4).
в. Дифракционная решетка как несущая,
используемая для передачи информации в оптике
(применительно к методу восстановления волнового
фронта или голографии1)
Подобно тому как синусоидально меняющаяся во времени
волна является несущей в радиосвязи, пространственная перио-
периодическая решетка представляет собой несущую, используемую
Регистрируемая
интенсивность
Плоская волна
Волна
Опорная волна сигнала
Интенсивность
Опорная волна
Интерференционная решетка Интерференционная решетка,
(несущая) модулированная по амплитуде
и фазе
С05 Ш„1
Несущая
Время
Время
Сигнал, модулированный по
амплитуде и фазе
Рис. 3.
а — интерференционная решетка как несущая для передачи информации о комплексной ам-
амплитуде (амплитуда и фаза) оптического изображения; б —несущая в радиотехнике — аналог
интерференционной решетки.
для передачи изображения в оптике. Такой несущей может яв-
являться, например, синусоидальная решетка, получающаяся на
фотопластинке при интерференции двух плоских волн (рис. 3).
Как полезный сигнал в радиотехнике, так и оптическое изобра-
изображение в оптике вызывают изменения амплитуды и фазы несу-
несущей. В обоих случаях можно осуществить модуляцию, используя
!) Подробное рассмотрение принципов оптической голографии (образо-
(образование изображения методом восстановления волнового фронта) см. в гл. 6,

24
ГЛАВЛ 1
как одну, так и две боковые полосы. Роль интерференционной
решетки') как пространственной несущей можно непосред-
непосредственно уяснить на основе элементарной теории образования
изображения.
Рассмотрим сначала случай, когда два зеркала (Mi и М2)
освещаются плоской волной Si (рис. 4). Зеркала наклонены друг
,х
Фотопластинка
(осы направлена
от наблюдателя)
У
м
Фотопластинка
Опорная волна
Рис. 4. Голограмма плоского зеркала в качестве предмета.
к другу так, что волны Axei<h и Л2е'фа, падающие на располо-
расположенную вдалеке фотопластинку, образуют углы 6t и 62 с ее по-
поверхностью, а между собой угол (84— 82). Очевидно, что рас-
распределение интенсивности, зарегистрированной на фотопластин-
фотопластинке, описывается синусоидальной интерференционной решеткой
с прямолинейными полосами, параллельными оси г. Считая
|4|
\Аг\ и А2
Цх) = [А,
X[A\
= A
или
/
Замечаем,
постоянными, получаем
ехр (iff
гхр(—
и=
что в
,) + Л2ехр(/ф2)]Х
2|2+ Л,||Л2|ехр[-
ДР + 1Л2 + 21Л.Ц
случае малых углов
2я Q
Ф,=-у-л:81)
2я 0
ф2 = —т- Хо2,
" (Ф1 — Ф2)] +
ехр[+г(Ф,
Л2|cos(ф]—
— Фг)].
Фг)-
A5)
A6)
A7а)
A76)
') Автор использует два термина — «интерференционная решетка» и
«дифракционная решетка». Первый из них подчеркивает метод изготовления,
второй, как обычно, — дифракционный характер процессов, происходящих в
решетке. — Прим. ред.
ВВЕДЕНИЕ
25
период полос равен o = a/(9i—'82). В противном случае необхо-
необходимо подставлять sin 8t и sin 62. Если интерференционную ре-
решетку осветить плоской волной, как это показано на рис. 5, то,
согласно уравнению A5), от пластинки начнут распространяться
три волны: одна направлена вдоль оси и еще две — под углами
+ Fi—62) и —Fi—82) к нормали плоскости пластинки.
В гл. 6 будет показано, как при получении голограммы спе-
специальными мерами (например, путем использования достаточно
Плоская волна
Восстановленные
волны
Ишперференцион- /*¦ S,, ч
ноя решетка- ~~ ^/
Рис. 5. Восстановление волны, образующей изображение, с помощью
голограммы, полученной по схеме рис. 4.
интенсивного опорного пучка) можно подавить все дифракцион-
дифракционные порядки, кроме нулевого и первого.
Из теории преобразований Фурье известны следующие соот-
соотношения.
Если
то
где символ
f (х) ехр Bти'х) ^ F{u + u'), J
! (х) ехр (— 2лш'х) -?> F(u — и'), )
обозначает преобразование Фурье. Уравнение
A5) можно также переписать в виде
A9)
В данной задаче |Л1|2+ \А2\2 и |^4i||42| являются постоянными
в пределах пластинки. Таким образом картина фраунгоферовои
дифракции на бесконечности состоит из изображения трех «то-
«точек»: одной на оси и двух под углами ± F4—8г). (Если

26
ГЛАВА 1
пластинка имеет конечную ширину, то «точки» в изображении опи-
описываются распределением вида sin 6/6.) Каждой «точке» на бес-
бесконечности соответствует плоская волна, выходящая из пла-
пластинки. Будем считать одну из волн, создающих интерферен-
интерференционную решетку, например S2 (см. рис. 4), опорной волной.
Тогда можно сказать, что волны 2i,_ и Si,+, возникающие при
облучении интерференционной решетки плоской волной (см.
рис. 5), соответствуют восстановленной неизвестной волне, кото-
которая вызывала модуляцию.
Смысл такого описания станет ясным, если мы проследим,
каким образом волна S; с произвольными амплитудой и фазой,
Предме
Фотопластинка
Опорный пучок
Р и с. 6. Получение голограммы трехмерных предметов [7, 9).
возникшая при отражении от предмета, будет зарегистрирована
на интерференционной решетке, выполняющей функцию про-
пространственной несущей.
Пусть, например, Si состоит из сферических волн, возник-
возникших при рассеянии в разных точках предмета. Другими словами,
можно считать, что Si равна полной комплексной амплитуде по-
поля в плоскости, составляющей угол 6i с фотопластинкой, когда
пластинка освещается светом, прошедшим через предмет или
отразившимся от предмета (рис. 6). Тогда зарегистрированная
интенсивность определяется как
/ (х) = (AiAm) (AiAm)* + A2Al +
), B0)
B1)
где 2t—модулированная плоская волна:
^ == Ат (х) ехр \щт (х)\ А1 ехр (/ Щ- хВ^.
ВВЕДЕНИЕ
27
Как и ранее, считая \Аг\ и |Л2| постоянными, получим
i^-xQ2
B2)
Важно отметить, что Ат(х) и (рт(х) являются теперь функ-
функциями х.
Если сравнить B0) с A5) и учесть A8), то можно обнару-
обнаружить, что модулированная волна Ат(х) ехр[г'фт(х)] зарегистри-
зарегистрирована с помощью интерференционной решетки, описываемой
выражением A5). Поэтому, осветив пластинку плоской волной,
мы снова получим три волны: волну под нулевым углом (нуле-
(нулевой порядок), не содержащую никакой информации, и две бо-
боковые волны, промодулированные множителями Ат ехр (?фт) и
А*т ехр (—/фт) и выходящие из пластинки под углами ± (8i—62)
соответственно. Очевидно, боковые волны являются полностью
восстановленной волной Si, которая в свою очередь получилась
при рассеянии на исходном предмете. В гл. 6 будет показано,
что две восстановленные волны образуют действительное и мни-
мнимое изображения, тождественные изображениям исходного пред-
предмета.
Рассмотренная схема восстановления волнового фронта с по-
помощью линейно смещенных полос интерференционной решетки
применима, конечно, и к трехмерным предметам. Недавно это
было успешно подтверждено в ряде лабораторий1). Автор и его
сотрудники расценивают такую схему как практическую основу
объемной рентгеновской микроскопии [10, 26]. Вопреки утвержде-
утверждениям, которые иногда делались в связи с разделением изобра-
изображений при помощи двухлучевой голографии, автору и его со-
сотрудникам [42] недавно удалось экспериментально подтвердить
возможность полного разделения изображений при помощи
обычной габоровской схемы, когда оба пучка (опорный и моду-
модулированный) идут параллельно. При этом восстановление до-
достигалось как при освещении точечным источником, так и при
диффузном освещении.
Некоторые из возможностей использования оптической ин-
интерференционной решетки в качестве несущей были рассмотре-
рассмотрены Дюффье по крайней мере еще в 1944 г. в его классической
работе [16] и затем вновь в 1958 г. [17]. Несколько позже Дюф-
Дюффье Ломан [18] предложил использовать оптические эквиваленты
однополосной модуляции в «безлинзовой» голограммной фото-
фотографии, описанной Габором в 1948 г. (см. также [8], [19]). Более
подробное обсуждение теоретических и экспериментальных ос-
основ голографии можно найти в работе [10], а также в гл. 6.
') См. гл. 6, а также работы [10, 30].

28
ГЛАВА Г
При получении голограммы в реальной установке не обяза-
обязательно, конечно, располагать опорное зеркало рядом с пред-
предметом. Также нет необходимости освещать предмет плоский вол-
волной. Хорошо подходит, например, метод освещения предмета
светом, который рассеян молочным стеклом. Метод освещения
предмета диффузным или рассеянным светом был впервые пред-
предложен автором в 1964 г. [20], и практическое осуществление этой
и других идей описано в работе, выполненной Лейтом [9]. Един-
Единственное очевидное условие для регистрации голограммы заклю-
заключается в том, чтобы сохранить возможность регистрации интер-
интерференционной картины в том случае, когда предметный и опор-
опорный пучки имеют вид плоских волн. В гл. 6 будет показано, что
в качестве опорного волнового фронта при получении голограм-
голограммы можно использовать с различными преимуществами как
сферический, так и плоский волновые фронты. Как плоский, так
и сферический волновые фронты можно считать «строительными
кирпичами» голографии (рис. 7).
За первыми работами Габора по голографии последовали
интенсивные исследования многих авторов, в частности работы
пяоекии
полосы
Дифрагированный
арерощхий
Точечный шнвиоп фронт
Тйчечный ~'~^~:
опорный /х^
иствтпк Опорный
ведшей (рронт
Рис- 7. «Строительные кирпичи» голографии [4].
ВВЕДЕНИЕ
29
Эль-Сама с сотрудниками [14, 15, 22, 23] и других авторов [8—
20, 22—27]. Например, в 1950 г. Роджерс [24] подметил оптиче-
оптическую эквивалентность линзы и голограммы в форме зонной пла-
пластинки Френеля.
Еще в 1948 г. Габор [11 —13, 24] подчеркивал возможность
достижения удивительно большого увеличения (свыше одного
миллиона) в результате двухступенчатого голографического про-
процесса получения изображения с переходом от рентгеновских лу-
лучей длиной волны 1 А к лазерному свету длиной волны 6328 А,
используемому при восстановлении изображения предмета. Од-
Однако некоторые [25] расценивали это как «пустое» увеличение
голограммы, которое даст разрешение всего около 5000—
10 000 А. Но в 1964 г. Строук и Фальконер [26] продемонстри-
продемонстрировали, что голографии будет доступно высокое разрешение
вплоть до 1 А, если применить новую схему получения голограм-
голограммы и восстановления изображения [27], основанную на преобра-
преобразовании Фурье, и обобщить замечательные результаты, достиг-
достигнутые методом рентгеновской микроскопии с использованием
электронных вычислительных машин [28], или же оптическим
восстановлением [29]. Подробнее об этом методе будет гово-
говориться в разд. 4 гл. 6.
7. Оптика и теория связи
Исторический обзор
Легко понять очевидную аналогию между процессами моду-
модуляции и демодуляции при использовании интерференционной
решетки в качестве несущей, с одной стороны, и методами гете-
родинирования в технике связи — с другой. Следует подчерк-
подчеркнуть также внутреннее сходство указанных методов с методом
фазового контраста (при когерентном фоне), который ввел в оп-
оптику Цернике в 1934 г. [30—-32]1). Однако некоторые начина-
начинания в этом направлении можно проследить вплоть до Аббе
A873 г.) [33] и Теплера A867 г.) (см. [34]).
Еще Дюффье [16], возродивший интерес к использованию
преобразования Фурье в оптике, подчеркивал, что, без всякого
сомнения, основы современного операционного метода, который
применяется в оптической связи при анализе процессов образо-
образования и преобразования изображения, а также в спектроскопии,
можно найти в работах Майкельсона [35] и Релея [36]. В стра-
странах, где говорят на английском языке, метод Фурье привлек к
себе внимание лишь после опубликования в 1953 г. статьи
') В 1953 г. Цернике была присуждена Нобелевская премия,

30
ГЛАВА 1
Элиаса «Оптика и теория связи» [37] н появления в 1956 г. лекций
О'Нейла «Избранные вопросы оптили и теории связи» [38]. Эли-
ас и О'Нейл воздали должное значительной работе, проделан-
проделанной их предшественниками. Большой вклад внесли также Маре-
шаль [39], стимулировавший современные исследования в обла-
области теории образования изображения и фильтрации, а также
Блаи-Лапьер [40], Дюффье [16] и О'Нейл [38] своими работами
по внедрению теории связи в оптику и Жакино [41] своей рабо-
работой по спектроскопии.
Работы Катрона и его сотрудников [19] в значительной мере
содействовали тем внушительным успехам в технике распозна-
распознавания образов и оптических вычислительных машин, а также
в более общем плане в применении принципов теории связи в
оптике, которые были затем достигнуты в Мичиганском универ-
университете. Немалую роль в дальнейшем прогрессе в области интер-
интерферометрии и дифракционных решеток сыграли недавние ра-
работы автора [5, 10, 20].
ЛИТЕРАТУРА
1. Townes С. Н., в кн. «The Age of Electronics» (Overhage С. F J ed )
McGraw-Hill, New York, 1962, p. 166.
2. Stroke G. W., /. Opt. Soc. Am., 54, 846 A964).
3. Stroke G. W., Rev. Optique, 39, 291—298 A960).
4. Marechal A., Fran con M., Diffraction, Revue d'Optique, Paris, 1960;
русский перевод: Марешаль А., Фра неон М., Структура оптиче-
оптического изображения, изд-во «Мир», 1964.
5. Stroke G. W., в кн. «Handbuch der Physik» (Fliigge S., ed.), Band 29,
Springer, Berlin, в пгчатп.
6. В общем плане вопрос рассмотрен, например, в работе Clem mow P. С.,
в кн. «Principles of Optics» (Born M., Wolf E., eds.), Pergamon Press
New York, 1959, p. 553—588.
7. S t г о k e G. W., частное сообщение Е. Н. Лейту, 1963.
8. Leith E. N., Upatnieks J., J. Opt. Am., 52, 1123 A962).
9. Leith E. N., Upatnieks J., /. Opt. Soc. Am., 54, 1295 A964).
10. Stroke G. W., в кн. «Optical Information Processing» (Tippett J. T. el
al., eds.), MIT Press, Cambridge, Mass., 1965; см. также Stroke G. W.,
Leith E. N., частное сообщение Национальному научному фонду США
(дек. 6, 1963).
11. Gabor D., Nature, 161, 777 A948).
12. Gabor D., Proc. Roy. Soc. (London), A197, 454—487 A949); см. стр. 218
настоящей книги.
13. Gabor D., Proc. Phys. Soc. (London), B64, 449—469 A951); см. стр. 270
настоящей книги.
14. El-Sum H. M. A., Reconstructed Wavefront Microscopy, диссертация,
Stanford Univ., Stanford, Calif., Nov. 1952; available from University
Microfilms, Inc., Ann. Arbor, Michigan (Dissertation Abstracts 4663,
1953).
13. К i rkp a trick P., El-Sum H. M. A., /. Opt. Soc. Am., 46, 825
A956). Г
ВВЕДЕНИЕ
31
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
Duffieux P. M., L'lntegrale de Fourier et ses applications a l'optique,
Faculte des Sciences, Besancon, 1946.
Duffieux P. M., Rev. Optique, 37, 441—457 A958).
Lo h m a n n A., Opt. Ada, 3, 97-99 A956).
Cutrona L. J., Leith E. N.. Palermo С J., Por cello L. J., IRE
Trans. Inform. Theory, 6, C), 386—400 A960); русский перевод: Зару-
Зарубежная радиоэлектроника, A0), 3—30 A962).
Stroke G. W., An Introduction to Optics of ¦Coherent and Noncoherent
Electromagnetic Radiations, Univ. Michigan Engineering Summer Com",
on Lasers, Lecture Notes, May 1964, pp. 1—77.
Stroke G. W., Intern. Sci. Techn., D1), 52 A965).
Baez A V El-Sum H. M. А„ в кн. «X-Ray Microscopy and Micro-
radiography» (Cosslett V. E., Engstrom A., Pattee H. H., Jr., eds.), Acad.
Press, New York, 1957, pp. 347—366.
См. также пат. США 3083615.
Rogers G., Nature, 166, 273 A950)
В aez A. V., /. Opt. Soc. Am., 42, 756 A952).
Stroke G. W., Falconer D. G., Phys. Letters, 13, 306 A964).
Stroke G. W., Falconer D. G., /. Opt. Soc. Am., 55, 595 A965); Phys.
Lett., 15, 238 A965).
Ken drew J. С Bod о G., Dinitz H. M., Parrish R. G.,
Wyckoff H. Phillips D. C, Nature, 181, 662 A958).
Buerger M. J., /. Appl. Phys., 21, 909-917 A950).
Zernike F., Physica, 1, 43 A934).
Z e r n i k e F., Physik. Z., 36, 848 A935).
Zernike F., Z. Techn. Phys., 16, 454 A935).
Abbe E., Arch. Mikrosk. Anat., 9 A873).
Wo Her H., в кн. «Handbuch der Physik» (Flugge S., ed.), Band 24,
Springer, Berlin, 1956, p. 555—645.
M i с h e 1 s о n A. A., Phil. Mag., 34, 280 A892).
R а у 1 e i g h, Phil. Mag., 34, 407 A892).
E 11 a s P., /. Opt. Soc. Am., 43, 229—232 A953).
O'Neill E. L., Optical Research Laboratory, Boston Univ., 1956.
M a r ё с h a 1 А., С г о с е Р, Compt. Rend., 237, 607 A953).
Blanc-Lapierre A. Ann. Inst. Henri Poincare, 13, 275 A953).
Jacquinot P., Rept. Progr. Phys., 23, 267-312 A960).
Stroke G. W., Brumm D., Funkhouser A., Labeyne
R e s t r i с k R. C, Brit. J. Appl. Phys., 17, 497-500 A966).
A.,
ЛИТЕРАТУРА ПО МАТЕМАТИКЕ')
Arsac J., Transformation de Fourier et Theorie des Distributions, Dunod, Pa-
Paris, 1960.
В о u i x M., Les Fonctions Generalisees ou Distributions, Masson, Pans,
1964
Erdelyj A., Operational Calculus and Generalized Functions, Holt, New
York, 1962.
•) См. также работы:
1. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Обобщенные функции и действия над
ними, вып. I, Физматгиз, 1958.
2. Харкевич А. А., Теоретические основы радиосвязи, Гостехиздат, 1957.
3. Brace well R., The Fourier transform and its applications, McGraw-Hiil,
1965. — Прим. ред.

32
ГЛАВА 1
Guillemin E. A., The Mathematics of Circuit Analysis, Wiley, New York,
1951.
Jen ni son R. C, Fourier Transforms and Convolutions for the Experimenta-
Experimentalist, Pergamon Press, New York, 1961.
Light hi 11 M. J., An Introduction to Fourier Analysis and Generalized
Functions, Cambridge Univ. Press, 1958.
Papoulis A., The Fourier Integral and Its Applications, McGraw-Hill New
York, 1962.
Schwartz L., Methodes Mathematiques pour les Sciences Physiques, Her-
Hermann, Paris, 1965; русский перевод; Шварц Л., Математические ме-
методы для физических наук, изд-во «Мир», 1965, стр. 412.
Харкевич А. А., Спектры и анализ, изд. 4-е, Физматгиз, 1962, стр. 236,
Глава 2
КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ
1. Две стороны дифракции света
Уже в первых исследованиях свойств света, проведенных
Фраунгофером, Френелем, Юнгом, Эри и другими учеными в
XVIII и XIX веках, было обращено внимание на две стороны
дифракции света:
1) отклонение направления распространения света от пря-
прямой линии при его встрече с границами тела;
2) образование дифракционной картины в плоскости изобра-
изображения, когда световая волна конечных размеров фокусируется
при помощи линз, зеркал или других средств.
Исследования, выполненные Максвеллом, Релеем, Зоммер-
фельдом, Марешалем и другими, позволили выявить две основ-
основные особенности процессов дифракции света, различия между
которыми необходимо учитывать. Этими особенностями яв-
являются:
1) электромагнитный характер дифракции света, происходя-
происходящей на границе тела, который обусловливает направление, поля-
поляризацию и амплитуду различных волн;
2) возможность использования скалярного подхода для опи-
описания свойств дифрагированных волн в процессе образования
изображения, когда эти волны ограничены апертурой, а оптиче-
оптическая система имеет несовершенства принципиального характера
или обусловленные процессом изготовления.
Кроме этого, в технических применениях оптических элемен-
элементов (зеркал, линз, призм, дифракционных решеток и т. д.), ис-
используемых для образования и преобразования изображений,
а также для анализа и синтеза световых волн, играют важную
роль также некоторые геометрические характеристики оптики
(коэффициент увеличения, уравнение линзы, дисперсия спектро-
спектроскопов, разрешающая способность и т. д.).
2. Распределение интенсивности
в дифракционной картине и в спектре
2.1. Решение электромагнитной краекой аадачи
Чтобы решить произвольную задачу дифракции электромаг-
электромагнитных волн в однородной диэлектрической среде, достаточно
использовать уравнения Максвелла и задать граничные условия,
3 Дж. Строук

34.
ГЛАВА 2
которым должно удовлетворять полное поле (падающее
плюс дифрагированное). Если бы получение строгого решения
уравнений Максвелла в каждом практическом случае было бы
достаточно простой задачей, то все проблемы оптической ди-
дифракции и образования изображения формулировались и реша-
решались бы при помощи этих уравнений.
Если электрический вектор падающей волны обозначить че-
через Ег-, а рассеянной волны — через Es, то вектор рассеянного
поля, равный
Е^Е-~Ег, A)
где вектор полного поля
Е=Ег + Е„ B)
должен удовлетворять соответствующим граничным условиям
на рассеивающей поверхности или же на границах отверстия.
Простейшей границей является, очевидно, бесконечно протяжен-
Гранииа
Рис. 1. Схема, поясняющая граничные условия D).
ная плоскость идеального проводника, действующего как отра-
отражатель. В этом случае одно из граничных условий сводится к
тому, что на поверхности проводника должна исчезать танген-
тангенциальная составляющая полного поля Е. Из этого требования
с помощью уравнений Максвелла сразу же получаются законы
отражения электромагнитных волн.
Уравнения Максвелла для свободного пространства, записан-
записанные в дифференциальной форме, имеют вид
divE = 0, divH--=0. C)
Эти уравнения всегда должны дополняться соответствующими
граничными условиями, которые для нормальных составляю-
составляющих Е и Н (рис. 1) имеют вид
п -Но(Hi — Н2) = 0, п • е0(Е, — Е2) = о, D)
где о — поверхностная плотность заряда, а для тангенциальных
составляющих
пХ(Н,-Н2) = К, ПХ(Е,
где К — поверхностная плотность тока.
Е2)
E)
КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ
35
Если уравнения Максвелла записать в интегральной форме,
то граничные условия войдут в них неявно (рис. 2):
Е ¦ ds
— 4f J
• n da,
ef,E • n da
J • n da,
F)
где J — вектор плотности тока. Уравнения Максвелла в диффе-
дифференциальной форме вместе с граничными условиями особенно
удобны для решения задач дифракции электромагнитных волн
(света) на границах простой формы, которые допускают раз-
Поверхность S
Замкнутый контур С
Рис. 2. Схема, поясняющая уравнение F).
дельное решение уравнений. К таким границам относятся гра-
границы, имеющие форму цилиндра или развернутой цилиндриче-
цилиндрической поверхности бесконечной протяженности (например, ди-
дифракционная решетка) или же форму сферы, эллипсоида, на-
набора цилиндров, сфер и т. д. Решения становятся особенно
простыми для двумерных поверхностей, которые являются функ-
функциями только двух координат (цилиндры, дифракционные ре-
решетки).
Однако строгое решение электромагнитной краевой задачи
было найдено до сих пор только в очень малом числе случаев
(край, щель, клин, сфера, решетка с синусоидальным профи-
профилем') и т. д.). В действительности математические трудности,
возникающие при решении электромагнитных краевых задач,
весьма велики и сравнимы с трудностями решения краевых за-
задач в других разделах физики (например, в квантовой теории).
Обычно интересуются дифракцией волн, имеющих вид про-
простых гармоник
Е, = (Е,)оехр (—to*). G)
') Недавно было найдено строгое решение для дифракционной решетки
с треугольным профилем, основанное на решении, полученном в I960 г*
Строуком [1] для решетки с синусоидальным профилем,

36
ГЛАВА 2
или же их суперпозиций, где (Е,-)о— амплитуда вектора, не за-
зависимая от времени. Известно, что в этом случае векторы Е и Н
удовлетворяют волновым уравнениям
?2Е + ?2Е = 0, ?2Н + ?2Н = 0, (8)
где & = 2я/А, а со = 2я/. Частота / и длина волны Я связаны соот-
соотношением
с = Д, (9)
где с — скорость света. Для случая монохроматической волны
имеем
rot Е = /ю|10Н, rot Н = — /юе0Е, A0)
а на границах
1
а — tm0
•rotH,
H
rotE.
(П)
Внутри идеального проводника (<т->оо), где поля Е2->0 и Н->0,
соотношение E) приобретает вид
пХЕ2 = пХЕ, = 0, A2а)
т. е. ранее указанные граничные условия на поверхности про-
проводника принимают форму
Ета„генц = 0. A26)
Граничное условие для поля Н является особенно простым
на двумерных поверхностях, когда одна из координат исклю-
исключается. Проиллюстрируем с помощью этого метода некоторые
этапы решения дифракционной задачи. Рассмотрим плоскопо-
ляризованную волну Нг, падающую вдоль оси —у из вакуума
(среда 1) на поверхность y=f(x), не зависимую от г. Пусть Н1г
параллельна г. Вследствие симметрии условий дифрагирован-
дифрагированное поле также будет иметь одну компоненту магнитного поля
rid i-i
H
у у агнитного поля
Пусть полная z-компонента магнитного поля в среде 1 равна
H \Hd Д
fz-\-Hz. Для полного поля в среде 1 имеем
rotH = —
а на поверхности
п X (V X Н) = — шеоп X Е = 0,
A3)
A4)
что следует из уравнения A2). Развертывая уравнение пХ(^ X
ХН) по отдельным компонентам и замечая, что fix=Hy = 0i a
КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ
37
nz = 0, для полного поля имеем
ft
дх
дНг
У ду
Поскольку
1р
дп
дН7
0Нг
то получаем граничное условие
дНг
дп
= 0.
A5)
A6)
A7)
Мы установили, что граничное условие для поля Н сводится
к следующему: производная по нормали от z-компоненты пол-
полного магнитного поля должна равняться нулю на поверхности
идеального проводника, если эта поверхность не зависит от ко-
координаты z, параллельно которой направлен вектор магнитного
поля в падающей волне. В общем случае можно показать, что
все производные по нормали от ковариантных компонент маг-
магнитного поля должны равняться нулю на поверхности идеаль-
идеального проводника, если форма его поверхности совпадает с ко-
координатной поверхностью криволинейной ортогональной системы
координат.
Чтобы решить краевую задачу электромагнитной дифракции,
кроме использования уравнений Максвелла и граничных усло-
условий, необходимо удовлетворить также некоторым дополнительным
условиям. Одно из них — это «принцип излучения на беско-
бесконечности» Зоммерфельда, согласно которому количество энер-
энергии от источников, проходящей через конечную площадку, нахо-
находящуюся на бесконечном удалении от этих источников, стре-
стремится к нулю. (На самом деле этот принцип несколько более
сильный; он утверждает, что источники должны излучать, а не
поглощать энергию.) Второе условие следует из закона сохра-
сохранения энергии и теоремы Пойнтинга. Третье условие возникает
в процессе разложения поля в ряд Фурье по плоским волнам и
требует включения волн не только с действительными волно-
волновыми числами, но и с мнимыми. Для волн с мнимыми волновы-
волновыми числами, т. е. затухающих волн, или же в общем случае
неоднородных волн с комплексными волновыми числами, по-
поверхность равной амплитуды не совпадает с поверхностью рав-
равной фазы. Например, в двумерном случае обычной цилиндри-
цилиндрической линзы, вариации толщины которой создают изменения
в поглощении света в линзе, поверхности равных фаз и равных
амплитуд ортогональны друг другу. В оптике чаще всего встре-
встречаются именно неоднородные волны.

38
ГЛАВА 2
2.2. Проблема образования изображения
и принцип Гюйгенса
Используя некоторые существенные приближения, можно,
как правило, показать, что гюйгенсовское решение в оптике
(как, например, ее «строгая» векторная форма в формулировке
преобразования Фурье) выводится из уравнений Максвелла. Од-
Одно из главных приближений состоит в том, что принцип Гюйген-
Гюйгенса применим только вблизи центра квазисферического волнового
фронта, образующего изображение. При рассмотрении проблем
дифракции и образования изображений необходимо отдавать
себе отчет в приближенном характере принципа Гюйгенса. И во
всяком случае кажущаяся простота принципа Гюйгенса даже
в той его приемлемой форме, которая получена эвристически
на базе принципа суперпозиции и спектрального разложения по
плоским волнам, не должна служить оправданием для его ис-
использования в качестве основы «строгого» решения, получае-
получаемого путем добавления к первоначальному приближению чле-
членов более высоких порядков. Однако, если правильно использо-
использовать принцип Гюйгенса, выраженный с помощью преобразова-
преобразования Фурье, то он становится достаточно универсальным сред-
средством для рассмотрения проблем образования изображений.
В частности, его применяют для отыскания распределения ин-
интенсивности в пределах дифракционной картины, образуемой
волновым фронтом конечного размера при отражении, прелом-
преломлении и дифракции света в оптических элементах (зеркалах,
линзах, призмах, решетках).
Точное выражение принципа Гюйгенса, которое получается
из уравнений Максвелла, имеет следующий вид1):
J Ео exp \ikh (x, у)] X
ЕР(Ада, Щ) = i.iLP±zi? | J
По апертуре
Хехр[— ik{ax~\-$y)\dxdy, A8)
где Ер — комплексная амплитуда вектора электрического поля
в точке Р плоскости изображения вблизи центра квазисфериче-
квазисферического волнового фронта радиусом R; а и |3 — направляющие ко-
косинусы, определяющие положение точки Р, если наблюдатель
находится на апертуре с центром в точке 0 квазисферического
волнового фронта; х и у — координаты, определяющие точку на
апертуре; к(х,у) —отклонение волнового фронта от сферично-
сферичности; k = 2nl'K\i = Y — Ь а Ео -- амплитуда Е0(х, у) на волновом
') Более подробное рассмотрение этого очень важного вопроса см., на-
например, в работах [2—4], а также в книге А. Зоммерфельда «Оптика», гд. V,
ИЛ. 1953. — Прим. ред,
КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ
фронте. Направляющие косинусы а и C, а также координаты х и
у относятся к квазиплоскому участку волнового фронта в совер-
совершенной' фокусирующей системе (зеркало или линза). В такой
фокусирующей системе плоская волна преобразуется в сфери-
сферическую. Совершенная система преобразует квазиплоскую волну
в квазисферическую. Кроме того, если учесть сделанные прибли-
приближения, аберрации плоской волны тождественны аберрациям сфе-
сферической волны.
Уравнение A8) имеет вид преобразования Фурье и выражает
следующее: комплексная амплитуда вектора электрического по-
поля в точке на плоскости изображения равна фурье-образу рас-
распределения комплексной амплитуды электрического поля в пре-
пределах апертуры, образующей изображение. При этом, очевидно,
электрические векторы в пределах апертуры и плоскости изобра-
изображения параллельны самой плоскости изображения. Преобразо-
Преобразование Фурье необходимо выполнить для каждой точки дифрак-
дифракционной картины. Например, для совершенно однородной пло-
плоской волны в пределах прямоугольной апертуры шириной А
вдоль оси х jEoj = l, Д = 0, и мы имеем
+ Л/2
ехр(— ikax) dx,
-АЛ
или, интегрируя,
/ exp (—ikR) A sin ka (A/2)
Ер (/га) = у ^ 2 ka (Л/2) '
A9)
B0)
Таким образом, комплексная амплитуда ЕР(&а) изменяется в
плоскости изображения как известная функция sin wjw (где
w^Ra = fa), которая имеет первый минимум при
т. е.
а„ =
при
рад,
B1)
B2)
где R = f—фокусное расстояние оптической системы. Все при-
приемники (фотоэлектрические, фотографические и т. п.) регистри-
регистрируют только интенсивность
!р==Ё~Ц. B3)
ЗЁездочка здесь означает «комплексное сопряжение». Интенсив-
Интенсивность /р изменяется как (sinay/шJ, и первый минимум ее, есте-
естественно, расположен на расстоянии (XIA)f от центрального мак-
максимума. Обычно /р называют дифракционной картиной, соот-
соответствующей апертуре А.

40
ГЛАВА 2
Уравнение A8), которое описывает дифракцию на бесконеч-
бесконечности, обусловленную апертурой, может быть доказано эвристи-
эвристически на основе принципа суперпозиции и принципа Гюйгенса,
если вкладывать в него обычный смысл. Рассмотрим зрачок в
плоскости ху и точку М в центре элемента поверхности dx dy
этой плоскости. Элемент поверхности с центром М испускает
элементарную волну f(x,y)dxdy, где f(x,y)—скалярная ком-
компонента вектора Е в зрачке. В направлении, определяемом на-
направляющими косинусами а, р, у, волна из М имеет сдвиг по
фазе Bя/Я) (ах + $у) по отношению к фазе элементарной волны,
испущенной из центра зрачка О. Благодаря суперпозиции волна
в направлении (а, Р, у) равняется сумме этих волн
По зрачку
f{x, у) ехр [/ -^ (ах + ру)] dx dy.
B4)
Все элементарные волны, посылаемые или пропускаемые зрач-
зрачком в направлении а р, у, фокусируются совершенной фокуси-
фокусирующей системой в одну точку Р (%', ц') фокальной плоскости,
так что
6' = f • ^f' B5)
Поскольку у ~ \, a a2 4-p2-bY2= 1. то для координат изображе-
изображения в фокальной плоскости фокусирующей системы
l' = fa, t|' = fp B6)
и
а=?-, р = -?-, B7)
где / — фокусное расстояние. Дифракционную картину описы-
описывают следующие уравнения:
F (ka, k$)= I \ f (х, у) ехр [~ (ах + py)]dx dy- B8)
По зрачку
f(x, y)e*p[^L
По зрачку
B9)
которые совпадают с выражениями для дифракционной картины,
полученными из уравнений Максвелла A8) с использованием
указанных там приближений.
Таким образом, задание распределения комплексной ампли-'
туды (по амплитуде и фазе) электромагнитного поля в пределах
апертуры независимо от того, как образовалось это поле, позво-
КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ
41
ляет нам рассчитать дифракционную картину, соответствующую
данному распределению поля в пределах данной апертуры.
Однозначное соотношение, существующее при указанных при-
приближениях между распределением поля в апертуре и распреде-
распределением света в дифракционной картине, имеет вид преобразова-
преобразования Фурье. Широкое использование операторного метода рас-
расчета при решении проблем образования изображения уже дало
плодотворные результаты. В частности, была выявлена фунда-
фундаментальная аналогия между задачами радиосвязи и задачами
образования изображения и спектроскопии, для решения кото-
которых в равной мере подходят и принцип суперпозиции и опера-
операторный метод. Один из методов, с помощью которого можно
воссоздать распределение комплексной амплитуды f{x,y) в пло-
плоскости апертуры линзы, сводится к тому, чтобы поместить в
апертуру голограмму и дополнительно осветить ее плоской или
сферической волной.
8. Теория образования изображения
и обработка оптических сигналов
при помощи преобразования Фурье
Широко известный операторный метод преобразования сиг-
сигналов, применяемый для анализа и синтеза электрических и
электронных систем, может быть немедленно переведен на рель-
рельсы оптики, если только «время», используемое в радиоэлектро-
радиоэлектронике, заменить на «пространство» для оптики.
Дифракционную картину (по интенсивности) можно рассма-
рассматривать как импульсный отклик оптической системы. Интенсив-
Интенсивность изображения как функция пространственных координат
изображения легко определяется через интеграл свертки функ-
функции распределения интенсивности в предмете (получаемого в
плоскости изображения при использовании приближения геоме-
геометрической оптики) с функцией распределения интенсивности ди-
дифракционной картины (в плоскости изображения). Фурье-образ
дифракционной картины также называется функцией частот-
частотного отклика оптической системы, так как он дает распределе-
распределение света в изображении предмета, имеющего пространственно
периодическое распределение интенсивности. Наконец, можно
легко показать, что функция частотного отклика оптической си-
системы равна пространственной свертке комплексной амплитуды
распределения света в апертуре с этой же комплексной амплиту-
амплитудой. Например, для равномерно освещенной апертуры, рассмо-
рассмотренной выше, функция частотного отклика, как это сразу видно.

42
ГЛ/vBA 2
имеет вид треугольника и является функцией пространствен-
пространственных частот, т. е. функцией от (длина) (см. рис. 5 гл. 3).
Совершенно ясно, что оптические системы, если их исполь-
использовать в качестве элементов преобразования сигналов в виде
электромагнитных волн (например, в телевидении, радиоастро-
радиоастрономии и подобных системах), обладают двумерной гибкостью,
отсутствующей у электрических систем. Кроме этого, можно до-
дополнительно ввести и использовать координату «время».
Умело используя соотношения между предметом, апертурой
и плоскостью изображения, можно существенно упростить изме-
измерения искомого распределения света (комплексной амплитуды и
интенсивности) в любой из этих прикладных областей.
ЛИТЕРАТУРА
1. S troke G. W,, J. Opt. Soc. Am., 54, 846 A964).
2. Marechal A., Francon Al, Diffraction, Revue d'Optique, Paris, 1960;
русский перевод: МарешальА., Франсон М., Структура оптиче-
оптического изображения, изд-во «Мир», 1964.
3. Marechai A., Imagerie Gcometrique, Revue d'Optique, Paris, 1952.
4. Stroke G. W., в кн. «Handbuch der Physik» (Flugge S., ed.), Band 29,
Springer, Berlin, в печати.
Глава 3
i
ОБРАЗОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ
ПРИ НЕКОГЕРЕНТНОМ ОСВЕЩЕНИИ
1. Изображение точечного источника
Если выполнены условия, при которых связь между ком-
комплексной амплитудой в зрачке f(x,y) и комплексной амплиту-
амплитудой в фокальной плоскости FP'[k(\rlf), k(r\'ff)] выражается в
форме преобразования Фурье (рис. 1), то, согласно уравне-
уравнениям B8) и B9) гл. 2,
Jj f(x
По зрачку
или
f(x, y)exp[^-
(la)
, • A6)
По зрачку
Здесь Fр' — амплитуда вектора электрического поля в точке Р'.
Напомним, что
?' = fa, Tj' = fP, B)
а
А = -у-. C)
Если использовать символ у для преобразования Фурье
или фурье-образа, то выражение Aа) можно переписать в виде
или
f{x, y
f *' f
D)
E)
Соотношения D) и E) указывают на то, что амплитуды в зрач-
зрачке, и в дифракционной картине связаны преобразованием Фурье.
Напомним, что

44
ГЛАВА 3
Из уравнений A) видно, что изображение точечного источника
не является точечным. В силу электромагнитной природы света
и конечных размеров зрачка свет от точечного источника в об-
общем случае имеет вид дифракционного пятна.
Плоскость
изображения
Точечный
источник
Волновой франт
Картина,
дифракции
F(*f "?')
Х<У Совершенные ? „•
т линзы
Точечный
источник
Плоений
волновой фронт
Сщрическип
волновой /рронт
Рис. 1.
а —картина дифракции точечного источника; б — система совершенных лннз.
Оптические приемники, как правило, чувствительны к элек-
электрическому полю Е и регистрируют величину этого поля, а имен-
именно E-E*=|Ej2, Поэтому при рассмотрении процесса образова-
образования изображения при использовании приближения, основанного
на преобразовании Фурье, вектор Е будет обозначаться симво-
символом F или f.
Оптические приемники света (фотоэлемент, фотографическая
эмульсия, глаз и т. д.) могут обнаруживать в лучшем случае
только энергию. Вследствие этого в оптике в обычных условиях
измеряется только среднее по времени электрическое поле и де-
детектируемой величиной является интенсивность
/Р. = Е.Е* = |Е|2, (8)
а не комплексная амплитуда вектора электрического поля
Е = | Е | ехр|/ф(Е)].
ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРИ НЕКОГЕРЕНТНОМ ОСВЕЩЕНИИ
45
ОБРАЗОВАНИЕ
Фаза ф(Е) вектора электрического поля тем не менее может
быть зарегистрирована, если, например, использовать интерфе-
рометрическое устройство.
2. Сложение света, падающего
в» нескольких точек источника
на отдельную точку изображения
Свет, идущий от нескольких точек источника, может упасть
на любую точку изображения. Пусть Ei и Е2 — векторные ам-
амплитуды света, упавшего в точку Р' из двух различных точек
источника. Здесь встретятся два предельных случая, которые
будут проиллюстрированы на примере двух точек источника.
1. Две точки источника излучают свет когерентно: Е, и Е2
могут интерферировать и детектируемая интенсивность равна
IV 1когеР = (Е, -+- Е2) (Е, + Е2)* = | Е, + Е2 р. (9)
2. Две точки источника излучают свет совершенно некоге-
некогерентно: Ei и Е2 не могут интерферировать и детектируемая ин-
интенсивность равна
I/P- 1Некогер = (EjEt) -}- (E2ES) = I E! I2 4- I E2 |a = Л -h /2. A0)
Различие между измерениями (9) и A0) фундаментально и
составляет основу дальнейшего обсуждения процесса образова-
образования изображения.
Уравнения (8) —A0) описывают идеальные ситуации. В об-
общем же случае регистрируется интенсивность, усредненная со-
соответствующим образом по времени. Очевидно, далее, что если
свет приходит в одну точку изображения от многих точек ис-
источника, то
'?Ч2, A1)
а
[/р11иекогер = 21|Е/|2 = 2Л- A2)
В результате можно сформулировать следующие хорошо извест-
известные «рецепты»: при когерентном освещении суммируются ам,-
плитуды и модуль суммы возводится в квадрат; при чекогерент-
ном освещении суммируются интенсивности, т. е. квадраты мо-
модулей.
Как будет показано ниже в ходе математического анализа
явлений когерентности, частичной когерентности и некогерент-
некогерентности, отсутствие интерференции является вполне достаточной
характеристикой некогерентного случая, рассмотренного выше.
' р']когер

48
ГЛАВА 3
изображения от элемента источника шириной Аи', испускаю-
испускающего свет амплитуды О (и'), когда элемент расположен в точке
и', определяется выражением
A/(u'0) = s(u'0 — u')O(u')Au'. A5)
Уравнение A5) описывает не что иное, как картину дифрак-
дифракции или функцию разброса, взвешенную по интенсивности
О (и') в точке и', являющейся центром соответствующего ди-
дифракционного пятна. Вследствие того что даже элементарный
излучатель (атом, молекула и т. д.) имеет конечную ширину
Рис. 3. Образование изображения в терминах свертки.
Аи', максимум функции разброса должен быть нормирован ве-
величиной О (и1) Аи'. Если свет в точку и'о идет от нескольких то-
точек источника, то
A6)
а в предельном случае большого числа точечных источников
+оо
K)= J O(u')s(u'0-u')du'.
A7а)
Сразу видно, что уравнение A7а) имеет вид интеграла сверт-
свертки, т. е. (см. гл. 7)
/(aQ = O(a')®s(«0- A76)
Некоторые наиболее важные соотношения, установленные на-
нами при анализе процесса образования изображения, можно за-
записать с помощью приведенных координат Fа) и Gа) в сле-
следующем виде.
Дифракционная картина (распределение комплексной ам-
амплитуды)
F(u', v')=j j f(x,
= b[f(x, y)\. A8)
ОБРАЗОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРИ НЕКОГЕРЕНТНОМ ОСВЕЩЕНИИ 49
Функция разброса (распределение интенсивности)
, s(u',v') = %[f(x,y)].r[f(x,y)}. A9)
Изображение (распределение интенсивности)
I(u',v') = O(u',v')®s(u',vr), B0)
где символ $ означает преобразование Фурье, или фурье-образ
оптической функции, а знак © — интеграл свертки; таким об-
образом:
Пространственная структура изображения описывается сле-
следующим выражением:
f(u'o, v$ = O(u', v')®s{u\ v') =
= | I 0 (и', v') s (u'o — u', v'o — v') du' dv'. B0a)
— oo
Уравнение B0а) представляет собой двумерный эквивалент со-
соотношения A7).
в. Анализ процесса образования изображения
в пространстве фурье-ноординат
Если процесс получения изображения рассматривать в про-
пространстве фурье-координат, или, иначе, в плоскости простран-
пространственных частот, то такой подход обнаруживает некоторые су-
существенные преимущества.
Понятие пространства фурье-координат можно ввести по
аналогии с радиотехникой, если найти преобразования Фурье
обеих сторон равенств A8) — B0), которые выражают процесс
образования изображения в плоскости пространственных ко-
координат.
Рассмотрим выражение
I(u'0,v'0) = O{u',v')®s{u',v'). B06)
Напомним, что
, 2л . Направляющий косинус ,п 4-i /C. ч
u=^rri = *—л — = (Длина) . Fа)
If ь Длина волны \<^ / \ )
Другими словами, и' имеет размерность: угол (в радианах), де-
деленный на длину (длину волны) в плоскости изображения. Най-
Найдем теперь преобразования Фурье обеих сторон равенства B0).
В результате этого равенство B0) будет «перенесено» обратно
в плоскость зрачка и будет описывать волновую поверхность
с координатами х и у.
4 Дж- Строук

50
ГЛАВА 3
Используя выражения
[/ {и', v')] = J J / (и', v') ехр [— 2л/ (а'х + ъ'У)\ da' dv' B1 а)
ЩО(и', vr)®s{ur, г>0] =
= J J [О (и', zO®s(a', г>'Iехр[— 2nl(u'x + v'y)} du'dv', B16)
— сю
в результате нахождения фурье-образов обеих сторон равен-
равенства B0) получим
Щ/(и'о, v$ =
B1в)
По теореме свертки [уравнение C46) гл. 7] соотношение B1)
превращается в уравнение, описывающее процесс образования
изображения в пространстве фурье-координат:
S [/ («о- <)\ = S [О («'. г»')] • 3 [s (и', v% B2)
Уравнение B2) выражает важную теорему о том, что фурье-
образ распределения интенсивности изображения равен произ-
произведению фурье-образа распределения интенсивности предмета и
фурье-образа функции разброса.
Важность этой теоремы станет еще более очевидной, если
функцию разброса s(u',v') выразить через комплексную ампли-
амплитуду на волновой поверхности f(x,y), с которой s(u',v') свя-
связана следующим соотношением:
s(uf, V) = %[f(x,y)].%4f(x,fy)]. A9)
Из второй теоремы свертки [уравнение D1) гл. 7] вытекает, что
g [s (и', v')] = f (х, у) ® Г (- х, - у). B3)
Из этого соотношения следует другой важный вывод о том, что
фурье-образ функции разброса выражается сверткой функции
зрачка с ее (зеркально повернутой!) комплексносопряженной
функцией. Операция B3) очень похожа на встречающуюся до
сих пор свертку и известна под названием «складного интегра-
интеграла». Для действительной симметричной функции зрачка f(x,y)
соотношение B3) превращается в соотношение
S[s(a', v')\ = f(x,y)®f(x,y)
[/(•к, #)--действительная симметричная], B3а)
ОБРАЗОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРИ НЕКОГЕРЕНТНОМ ОСВЕЩЕНИИ 51
т е. осуществляется свертка в том же смысле, в каком она была
введена ранее. Теперь мы можем записать уравнение B2) в еще
более удобной форме.
Так, фурье-образ процесса образования изображения для
очень важного на практике случая действительной симметричной
f(x,y) имеет вид
g[/(и', v')]¦¦= Ъ[О(и', vf)} ¦ [f (х, у)® Г(-х,-у)] B4)
или
g [/ (и', V')} - Ъ \О (и', v')} ¦ [f (х, у) ® f (х, у)]. B4а)
По аналогии с теорией цепей и понятием передаточной функ-
функции в радиотехнике функцию
Ъ [s (и', v')\ = f (х, у) ® Г (— х, - у) = т (х, у) B36)
можно назвать передаточной функцией системы, формирующей
изображение, и обозначить ее через %{х,у). Передаточная функ-
функция является комплексной функцией.
В разд. 7 настоящей главы мы покажем, что передаточную
функцию х(х,у) можно также рассматривать как функцию ча-
частотного отклика оптического прибора. Если оптический прибор
формирует изображение синусоидального по интенсивности
предмета, то функция частотного отклика х(х,у) дает меру ос-
ослабления контраста изображения этого предмета для различ-
различных пространственных частот, а также указывает сдвиги си-
синусоидальных (по интенсивности) изображений по отношению к
геометрическим изображениям соответствующих синусоидаль-
синусоидальных предметов. Строго говоря, ослабление контраста опреде-
определяется модулем т(х,у), а сдвиг изображений — фазой х(х,у).
Наконец, из уравнения F4) гл. 7 вытекает другая, более про-
простая форма записи соотношения B3)
х{х,у)==Ъ[з(и', v')} = [( * ГЦ _у- B3в)
Это соотношение гласит, что передаточная функция х(х,у) рав-
равна значению автокорреляции функции зрачка в точке (—х, —у).
7. Физический смысл функции разброса
и анализ процесса образования изображения
в плоскости фурье-координат
Продолжим анализ проблемы образования изображения, рас-
рассматривая геометрическое изображение предмета, а не сам пред-
предмет. Таким образом нам удастся избежать необходимости вве-
введения коэффициентов увеличения. (Во многих применениях,

52
ГЛАВА 3
например при рассмотрении астрономических приборов, в ре-
результате анализа процесса образования изображения в лучшем
случае получается только геометрическое изображение. Геомет-
Геометрическое изображение — это такое изображение, которое со-
создается совершенным оптическим прибором без учета ограни-
ограничений, налагаемых процессом дифракции и несовершенствами
самого прибора. Поэтому использование «геометрического изо-
изображения» предмета вместо самого «предмета» является впол-
вполне оправданным.)
Рассмотрим теперь проблему получения изображения для
двух специфических предметов, а именно точечного предмета
и синусоидального по интенсивности предмета.
7.1. Точечный источник создает картину дифракции,
совпадающую с функцией раяФроса
Рассмотрим точечный источник с геометрическим изображе-
изображением
+ Д/2
b(u')=\im J [\)du'. B5)
Д->0
-Д/2
Согласно соотношению B0), имеем
(•26)
и мы можем сделать вывод, что функция разброса
s(u') = Изображение точечного источника. B7)
Неявно при выводе соотношения B0) предполагалось суще-
существование соотношения B7). Отметим, что s(u') ни в коем слу-
случае не должен быть «тривиальным» дифракционным пятном про-
простейшего случая, например распределением вида
sin и' \2
или его эквивалентом. В самом общем случае функции s(u') и
s(u', v') являются изображением бесконечно узкой щели или
точечного источника соответственно. Фактически если мы рас-
рассматриваем соотношение B0), то s(u',v') или s(u') не должна
находиться в фокальной плоскости.
ОБРАЗОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРИ НЕК.ОГЁРЁНТНОМ ОСВЕЩЕНИИ
S3
7.2. Синусоидальный но интенснкности предмет имеет
функцию иространственно-частотиого отклика,
совпадающую с фуръе-оФразом дифракционной картины
По аналогии с простой гармонической функцией времени
ехрBяг -у)
с периодом Т рассмотрим синусоидальный по интенсивности
предмет
О (и1, г,') = ехр[2я/(-^4--?-У|. B8)
где (Jo и Vo—пространственные периоды предмета в плоскости
(и', v'). Напомним, что в рассматриваемом анализе действитель-
действительную часть комплексной функции, описывающей предмет и изо-
изображение соответственно, необходимо выделять только в конце
расчетов. С учетом преобразования О (и', v') в плоскость (х, у)
¦функцию, характеризующую предмет, можно записать в виде
О {и', ?/) = ехр Bл/(и'л;0 4 ?/#„)], B9)
где xo=lli/'o и t/0 == 1 /Vg являются теперь «частотами» в пло-
плоскости (х, у).
Покажем теперь, что изображение синусоидального предмета
также является синусоидальным, характеризуется той же часто-
частотой или периодом, но в соответствии с передаточной функцией
т(х, у) имеет меньший контраст и сдвиг по фазе. Рассмотрим
соотношение
/« v'0) = O(u\ v')®s(u', v'). B0)
Согласно разд. 2 гл. 7, интеграл свертки является коммутатив-
коммутативной операцией, и мы имеем
/« v'0) = s(u', v')®O(u', v') B0a)
или
ЦК* <)=
'- *') ехр{2я/[(«?
C0)
что можно записать в виде
Хехр[—2я/
t+v'y^da'dv'. C1)

54
ГЛАВА 3
Замечая, что интегрирование в выражении C1) ведется по и' и
v', получаем
/ (и'о, v'o) = ехр [2ш (и'охо + v'oyo)] X
+ ОО
X $ \ s (и', v') ехр [—2та (и\ + v'y0)] du'dv'. C2)
— со
Наконец, с помощью B3) мы обнаруживаем, что интеграл в вы-
выражении C2) есть не что иное, как передаточная функция
Интенсивность
О(и') Предмет
,, Ци') Изображения
Рис. 4. Функция частотного отклика при некогерентном освещении.
т(х,у). Окончательно изображение I (u'o, v'^ синусоидального
предмета мы можем записать в следующем виде:
/« ^о)=ехР[2ш'(иохо + ^Х)]т(хо' Уо)> C3)
т. е.
/« v'0) = O(u\ v')x(xQ, y0). C4)
Также можно написать
O(u',v') •
C5)
Это соотношение показывает, что передаточная функция в слу-
случае синусоидального по интенсивности предмета равна отноше-
отношению функции распределения интенсивности синусоидального
изображения к соответствующей функции синусоидального пред-
предмета. В действительности, поскольку мы имеем дело с комплекс-
комплексными амплитудами предмета и изображения, соотношение C5)
следует записать в виде
~ I О (и', v')\ '
[Фазат(л:0, </„)] = [Фаза/(«', v')\ — [Фаза О (и1, v')],
т. е.
Ф[х(х0, уо)\ =
и', v')}.
C56)
ОБРАЗОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРИ НЕКОГЕРЕНТНОМ ОСВЕЩЕНИИ
55
Графическая иллюстрация соотношения C5) для синусоидаль-
синусоидального предмета дана на рис. 4. В случае предмета, который мож-
можно разложить в спектр (ряд или интеграл) синусоидальных по
интенсивности фурье-компонент, каждая пространственная ча-
частота (лг0, Уо) дает одну точку на графике передаточной функции
данного прибора. Конечно, каждой точке графика передаточной
функции отвечают амплитуда |т(л;, у)\ и фаза Ф[т(х, у)]. Нако-
Рис. 5. Частотный отклик при возбуждении пространственным сигналом
прямоугольной формы и некогерентном освещении.
нец, мы знаем, что передаточную функцию х(х,у) можно полу-
получить с помощью операции свертки волнового фронта B3)
т (х, у) = f (х, у) ® f (— х, — у). B36)
Пример х{х,у) для случая действительной функции f(x,y) = l
в пределах бесконечно длинной щели шириной А приведен на
рис. 5.
8. Использование фурье-ноординат для синтеза
предметных функций
Анализ процесса образования изображения в плоскости
фурье-координат особенно удобен в задачах «согласованной
фильтрации», которые встречаются в спектроскопии и впервые
были рассмотрены Голеем, Жираром и другими [6—9]. Они син-
синтезировали очень узкую щель путем изготовления в плоскости
пространственных координат частотного образа щели, наблю-
наблюдаемой в плоскости пространственных частот. Задача синтеза
заключается в том, чтобы получить функцию сканирующей щели
(в результате сканирования изображения входной щели в мо-
монохроматическом свете, прошедшем через аналогичную выход-
выходную щель) с тем же самым пространственным разрешением
в длинах волн, как и в случае узких щелей, но с сильно увели-

56
ГЛАВА 3
ченным пропусканием потока света. Поскольку для синтеза
узкой щели требуется семейство синусоидальных функций, а для
неискаженной передачи каждой синусоиды необходимо задать
эти синусоиды на достаточно большом участке, то ясно, что уз-
узкую щель можно синтезировать с помощью достаточно широкого
входа (и выхода) в плоскости щели, где функции синусоидаль-
синусоидального пропускания накладываются друг на друга по высоте ще-
щели; выигрыш в освещенности равен отношению этой площади к
площади узкой щели.
Можно представить себе и многие другие примеры синтеза
изображения как при некогерентном (настоящая глава), так и
при когерентном освещении.
ЛИТЕРАТУРА
1. Marechal A., Fran con M., Diffraction, Revue d'Optique, Paris, 1960;
русский перевод: Марешаль А., Франсон М., Структура оптиче-
оптического изображения, изд-во «Мир», 1964.
2. O'N е i 11 Е. L., An Introduction to Statistical Optics, Addison-Wesley,
Reading, Massachusetts, 1963; русский перевод О'Н е й л Э., Введение
в статистическую оптику, изд-во «Мир», 1966.
3. J е п n i s о п R. С., Fourier Transforms and Convolutions for the Experi-
Experimentalist. Pergamon Press, New York, 1961.
4. Forrester А. Т., Gundmundsen R. A., Johnson P. O., Phys.
Rev., 99, 1691 A955).
5. M a n d e 1 L., в кн. «Progress in Optics» (Wolf E., ed.), vol. II, North-
Holland Publ., Amsterdam, 1963.
6. G о 1 а у M. J. E., /. Opt. Soc. Am., 41, 468 A951).
7. G i r a r d A., Opt. Ada, 7, 81 A960); Appl. Opt., 2, 79 A963).
8. Stroke G. W., в кн. «Handbuch der Physik» (Flugge S., ed.), Band 29,
Springer, Berlin, в печати,
9. Jacquinot P., Roizen-Dossier В., в кн. «Progress in Optics»
(Wolf E., ed.), vol. Ill North-Holland Publ., Amsterdam, 1964.
10. Mertz L., Transformations in Optics, Wiley, New York, 1965; русский
перевод: Мерц Л., Интегральные преобразования в оптике, изд-во
«Мир».
Глава
4 -
КОГЕРЕНТНОСТЬ СВЕТА
(ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ)
1. Введение
Различают по крайней мере три вида когерентности света:
1) спектральную (временную или фазовую) когерентность,
или же кратковременную когерентность;
2) пространственную когерентность;
3) амплитудную и частотную стабильность во времени, или
долговременную когерентность.
В общем случае свет необходимо описывать с помощью слу-
случайных функций. Почти всегда излучение обычных источников
Рис. 1. Диаграмма изменения во времени амплитуды колебаний на опти-
оптических частотах (по Марешалю и Франсону [17]),
либо неполяризовано, либо поляризовано частично и имеет ко-
конечный интервал частот, а его амплитуда изменяется во вре-
времени. Свет от лазеров непрерывного действия, имеющих выход-
выходные окна под углом Брюстера, обычно поляризован.
Наиболее простой и самый узкий класс электромагнитного
излучения — это монохроматическая поляризованная электро-
электромагнитная волна с постоянной амплитудой. Пусть E(t)—мгно-
E(t)—мгновенное значение вектора электрического поля.
В пределах короткого интервала времени этот вектор изме-
изменяется (рис. 1, а) как
R (t\ — F.CA plat

58
ГЛАВА 4
В пределах более длительного интервала времени среднее зна-
значение Е(/)=0 (рис. 1,6) и
Щ = ~ f E(t)dt, lim Щ) = 0.
Однако среднее значение квадрата E(t)E*(t) имеет размерность
энергии и отличается от нуля
дг
E(t)E*(t)= lim -^
2. Определение когерентности
2.1. Корреляционный метод
Пусть в точке Р регистрируется световое излучение от ис-
источника 5 (рис. 2). Предположим, что свет, приходящий в точку
Р разными путями, имеет параллельные векторы поляризации.
Суммарное поле в точке Р равно
или
Ел(/) = Е(*) + Е(*-т). A)
Если имеется квадратичный детектор с большим временем
установления, то он зарегистрирует величину
AT
I(t, т) = ER (t) E*R (t) =
ER (t) E* (t) СИФ0. A2)
Если далее предположить, что источник является стационарным,
то
/(/, т) = /(т), C)
где т — время запаздывания второго пучка относительно пер-
первого. Исходя из этого, получаем
(*)Е'(/-т)|. D)
Все три члена в выражении D) имеют структуру функции ав-
автокорреляции ф(т). При этом из условия стационарности источ-
источника следует
i ГЁ^ = ср @).
\E{i)f = ГЁ^
Окончательно регистрируемая интенсивность равна
E)
F)
КОГЕРЕНТНОСТЬ СВЕТА
59
Для нас представляет интерес функция ср(т), являющаяся
функцией автокорреляции электрического поля светового пучка.
Выражение F) становится особенно интересным, если его срав-
сравнить с выражением /(т), полученным с помощью теории интер-
интерференции (см., например [1]).
E,lt)=E(t)
Источим
I
' Точка
наблюдения
ЕгA}--ЕЦ-г)
Зеркало Плойда
Рис. 2. Схема измерения когерентности с помощью зеркального интер-
интерферометра Ллойда.
По-видимому, полезно отметить (подразд. 2.7 настоящей гла-
главы), что излучения двух различных источников, испускающих
свет двух различных частот, могут интерферировать только в
том случае, если эти источники являются стационарными в
смысле уравнения C)!.
2.2. Интерференционный анализ временной когерентности
а. Монохроматический свет (одночастотный источник)
Рассмотрим любой обычный двухлучевой интерферометр. Это
может быть зеркало Ллойда, изображенное на рис. 2, или интер-
Показатель
преломлении п
Движущееся
зеркало
Фотоэлектрический
детектор
Рис. 3. Интерферометр Майкельсона — Тваймана—Грина с фотоэлек-
фотоэлектрическим детектором.
ферометр Майкельсона — Тваймана — Грина, показанный на
рис. 3.
Пусть одно из зеркал, М2, движется поступательно в напра-
направлении х с постоянной скоростью. Тогда ток фотодетектора при

60
ГЛАВА 4
конечном запаздывании т и заданной частоте со равен
/ (т) = 1 + 1 + 2 cos 2лу- = 2(l-f cos 2лсот),
G)
где Гсо=1/со. Вид кривой тока показан на рис. 4. В реальном ин-
интерферометре оптическая разность хода равна A = n(Li — L2),
Фототок
Нулевое значение н A/Z ^
оптической разности хода
Рис. 4. Сигнал интерференции для одночастотного излучения в зависи-
зависимости от оптической разности хода Л = n {Lx — L2) для интерферометра
Майкельсона—Тваймана — Грина (рис. 3).
разность фаз ф = 2я(ДД), время запаздывания т=Д/с, где с —
скорость света в вакууме, an — показатель преломления.
б. Полихроматический свет (некогерентный источник)
Пусть Ф(со)—энергетический спектр светового источника,
отнесенный к единичному интервалу частоты Дсо (рис. 5). Пред-
Предполагается, что некогерентный источник таков, что различные
Знергетическип ,
спектр
ФИ
Рис. 5. Энергетический спектр некогерентного (теплового) полихромати-
полихроматического источника света.
частоты спектра в источнике статистически некоррелированы,
так что между различными частотами невозможна интерферен-
интерференция в обычном смысле слова. (Случай биения между различ-
различными частотами рассматривается ниже.) При таких предполо-
предположениях для каждой частоты выполняются следующие соотно-
соотношения:
со, -> /, (т) — Ф (и,) Аш • 2 A 4- cos 2лй),т),
со2 ->- /2 (т) = Ф (ш2) Дю • 2 A 4- cos 2яш2т),
КОГЕРЕНТНОСТЬ СВЕТА
61
и, поскольку когерентность между различными частотами отсут-
отсутствует, регистрируемая интенсивность имеет вид (рис. 6)
(8)
2.3. Сравнение корреляционного
и интерференционного методов
Если записать выражение (8) в виде
со оо
/(т) = 2[ Ф (со) rfa 4-2 J Ф(ш) cos Bлсот) с/со, (8а)
то можно понять физический смысл функции автокорреляции.
Действительно,
ф @) = J Ф(ю)Ло
(9)
ф (t) = [ Ф (СО) COS BЛС0Т) с/СО.
A0)
Последнее уравнение показывает, что функция автокорреля-
автокорреляции электрического поля световой волны равна косинусному
фурье-образу энергетического спектра.
ш,
/¦- <0,
Рис. 6. Сигнал интерференции, наблюдаемый в фотоэлектрическом интер-
интерферометре от полихроматического источника света.
Уравнение A0) нашло широкое применение в фурье-спектро-
скопии света, а также в радиоастрономии.
2.4. Узннй спевтр с прямоугольным контуром
Этот частный случай узкого спектра с идеальным прямо-
прямоугольным контуром особенно важен для лазерного излучения
(рис. 7). В этом случае интенсивность равна
/(т) = 2 J
COj—ДСОо
J cos Bлсот)
A1)

62
ГЛАВА 4
т. е.
/(T) = 4A(Bo+1l-[sin2«BTl^:2,
или окончательно
sin2rt Дсоот
со82яш0т).
A2)
A3)
График этого выражения приведен на рис. 8. Первый минимум
огибающей sin х/х расположен при 2яДшоТ = я. Иногда огибаю-
(J
Рис. 7. Спектральный
состав излучения от по-
полихроматического источ-
источника света с прямоуголь-
прямоугольным контуром спектра.
Рис. 8. Сигнал интерференции
для источника с прямоугольным
контуром спектра.
щую sin х/х называют кривой видимости интерференционных по-
полос. Ослабление видимости полос в зависимости от оптической
разности хода находится в обратном соотношении с шириной
спектральной линии.
2.5. Фотоэлектрический интерферометр
с подкияшым зеркалом в случае гауссова контура
спектральной линии
Рассмотрим теперь фотоэлектрический интерферометр
(рис. 3), в котором источник света испускает спектральную ли-
линию с гауссовым контуром. Этот случай представляет особый
интерес, поскольку в обычных условиях спектры именно такого
вида имеют большинство тепловых источников света (исключая
лазеры). Покажем, что фурье-образ гауссова контура линии
имеет также гауссов контур.
Пусть, например,
g (со) = ехр (— а2со2), A4)
где а — постоянная. Путем преобразования Фурье получаем
-= J ехр(—
A5)
КОГЕРЕНТНОСТЬ СВЕТА
63
Этот интеграл можно разбить на два
+ СО
G(x)= ) ехр(— a2®2) cos Bл(их) da-\-
— со
+ СО
-f-г f ехр(—a2to2) sin Bшх) da. A6)
— со
Поскольку g"(oo) —четная функция оо, то второй интеграл обра-
обращается в нуль. Следовательно,
со
G(x) = 2J exp{—a2a2)cos{2nax)da = ~expi[—^-y A7)
Другими словами,
g(co) = exp[—
= ^- ехр [-
A8)
Уравнение A8) демонстрирует замечательное свойство гаус-
гауссовой функции: её фурье-образ также является гауссовой функ-
функцией. При этом ширина функции фурье-образа обратно пропор-
пропорциональна ширине исходной функции.
Более общее выражение для фотоэлектрического тока FG,
регистрируемого фотодетектором, можно получить, если учесть
ширину источника (разд. 2 гл. 2). Как показано в работе [2], для
гауссова контура спектральной линии
имеем следующее выражение для фотоэлектрического тока:
Fa (х) = 4n'2Rl/sa j 1 + ехр [— AnxVn2} X
sin-
nxa2sn
x-
nxa2sn
COS
1 X
B0)
где, кроме формы контура линии, также учтена угловая апертура
источника as (рис. 9), видимая в коллиматоре. В выражении B0)
использованы следующие обозначения: Rs — радиус источника,
Is — интенсивность пучка в интерферометре, a=l/h, 1 — длина
волны света, п — показатель преломления среды внутри интер-
интерферометра, х—расстояние между зеркалами.

64
ГЛАВА
Множитель ехр [—4л2х2а2п2] учитывав! эффект контура ли-
линии. Эффект конечной апертуры источника учитывается множи-
множителем sin |/|. [Обратите внимание на то, что аналогичный мно-
множитель в выражении A3) имеет другое происхождение.] При ко-
конечной апертуре источника лучи проходят через интерферометр
не только параллельно оси, но также под углами к оси в пре-
пределах определенного конуса (рис. 9). На практике множитель
м, м2
Рис. 9. Пояснение к схеме фотоэлектрического интерферометра.
| =z nxa2snjX, обусловленный геометрией, можно сделать прене-
пренебрежимо малым по сравнению с множителем, обусловленным
контуром линии, при расстояниях х вплоть до нескольких мет-
метров. Например, если а^б- 10~4 рад, то первый минимум множи-
множителя sin I/I находится при .г«1,5 м. Однако, как было показано
автором [2], при использовании интерферометра с конечной
апертурой источника необходимо вводить заметные поправки на
длину. Например, для as~& • 1СИ рад член <х?/4 « 1 • 10~7
под знаком косинуса в выражении B0) приводит к поправке
0,05 Я/2 при смещении зеркала на л=136 мм.
2.0. Физический смысл спектра мощности
а. Сигнал одной частоты
Рассмотрим этот вопрос, используя аналогию с электриче-
электрической цепью (рис. 10). Для изображенной цепи
B1)
B2)
B3)
В пространстве частот получаем
/ (со) = g [/ (*)] = i- /0 6 (со - соо) + 1/0 6 (co-f Щ), B4)
= /„ cos ©о*
и, следовательно, падение напряжения
v (t) = RJ0 cos (Hot.
Отсюда мощность
КОГЕРЕНТНОСТЬ СВЕТА
65
где дельта-функция определяется через скалярные произведе-
произведения (разд. 4 гл. 7):
+ 0О
J f(x)b(x)dx = f@) B5)
B6)
Спектральное представление тока /(со), согласно выраже-
выражению B4), показано на рис. 11.
-ш„
Рис. 10. Эквива-
Эквивалентная схема цепи
(к обсуждению
спектра мощности).
Рис. 11. Спектральное представление
/ (со) одночастотного сигнала.
Мощность w(t) в пространстве частот может быть представ-
представлена в следующем виде:
(to
) = g [w (*)] - у R№ @) -+-
|/?/об (со - 2соо) + |/?/о6(со + 2соо).
B7)
Из графика №(ю), показанного на рис. 12, можно сделать
любопытный вывод: энергия сосредоточена на тех частотах, где
Is)
~1ш0 О
Рис. 12. Спектральное представление W (со) одночастотного сигнала.
нет никакого тока! Этот парадокс заставляет подыскать более
правильную интерпретацию спектра мощности.
Остановимся теперь на функции автокорреляции квадрата то-
Ка. Рассмотрим
i +( ?(t)dt = ±n~%f- B8)
5 Дж. Строук

ГЛАВА 4
Перейдя к пределу, получаем
lim
Г чу ос
~
A1
B9)
Следовательно, существует функция автокорреляции:
+ т
Ф(т)—- lim 27- (Уоcos мо 0 [Л) cos оэо (t — х)\ dt, C0)
^
т. е.
1
C1)
Фурье-образ Ф(и) функции автокорреляции имеет следующий
вид:
Ф (@) = g [ф (X)] = ' /„ [6 (@ - (Оо) + 6 (@ + (
C2)
Функцию Ф((о) называют спектром мощности пли энергетиче-
энергетическим спектром тока. Легко видеть, что Ф(ы) содержит мощность
как раз на тех же частотах, что и ток (рис. 13). Это позволяет
Ф(ш)
1 ^о|
-I и
-Шо 0
Рис. 13. Спектральное представление Ф (ш) одночастотного сигнала.
сделать вывод о том, что спектр мощности, равный фурье-об-
разу функции автокорреляции сигнала, имеет физический
смысл энергетического спектра сигнала (в данном случае
гока).
б. Сигнал многих частот
Пусть сигнал имеет вид
/ (t) = 2 ak exp Aщ().
k
Тогда
— —-
C3)
C4)
а спектр мощности, согласно теории преобразования Фурье
(разд. 4 гл. 7). может быть представлен как
Ф (ы) = g
= У, |
к
C5)
КОГЕРЕНТНОСТЬ CBEIA
2.7. Гетеродинный анализ сигналов н биений
а. Биения когерентных волн.
Допплеровское смещение частот света,
отраженною от движущегося зеркала
Спектр излучения лазера обычно настолько узок, что его не-
невозможно исследовать оптическими спектрометрами высокого
разрешения, используя, например, спектрометры на основе ди-
дифракционных решеток или даже интерферометры Фабри — Пе-
Перо. Уже в 1961 г. Джаван и др. [3] показали, что монохроматич-
монохроматичность Не—Ne-лазера на волне 1,153 мкм достигает Д^Д=10~14.
Фотоумножитель
А втоколлиматор
иг
Анализатор
спектра
Лазер \
Лазер 1
Ml-полупрозрачное зеркало
MZ- непрозрачное зеркало
Рис. 14. Гетеродинированне излучения двух Не — Ne-лазеров непрерыв-
непрерывного действия и выделение частоты биений (по Джавану и др. [3]).
Эти данные были получены путем гетеродинирования света, ис-
испущенного от двух одинаковых лазеров (рис. 14). Гетеродинные
эксперименты являются по существу интерференционными и
весьма похожи на измерения с помощью фотоэлектрического ин-
интерферометра с движущимся зеркалом [4], аналогичные описан-
описанным в разд. 2.5. Частота света, отраженного от движущегося
зеркала М2 (рис. 3), вследствие эффекта Допплера смещается
относительно частоты света, отраженного от неподвижного зер-
зеркала М]. Поэтому в отличие от разд. 2.5 анализ фотоэлектриче-
фотоэлектрического сигнала необходимо производить с учетом интерференции
между волнами различных частот.
Ввиду сходства методов рассмотрения эффекта Допплера в
интерферометре с движущимся зеркалом (рис. 3), с одной сто-
стороны, и формы контура линии в гетеродинных экспериментах с
помощью биений — с другой, мы сначала проанализируем эф-
эффект Допплера в фотоэлектрическом интерферометре с движу-
движущимся зеркалом.
Если зеркало движется со скоростью v, значительно меньшей
скорости света с, то, согласно теории относительности, наблю-

68
ГЛАВА 4
даемая частота /0 отличается от частоты источника fs:
t ~ Is ~ ¦ >
-2 — cosOn
C6)
где 9о — угол, под которым отражается свет от движущегося
зеркала (рис. 15).
Здесь мы считаем, что источник S и фотодетектор располо-
расположены в неподвижной системе координат и угол 90 измеряется в
М
-X
во* О
О
Рис. 15. Иллюстрация релятивистских эффектов при отражении света от
движущихся зеркал.
этой же системе [5]. При падении лучей по нормали (рис. 3)
0о = О и выражение C6) сводится к виду
fo^fl+2^.
C7)
Если же скорости не очень малы, то вместо выражения C6)
следует брать точное выражение
C6а)
2 — cos 60
Из этого выражения видно, что даже если зеркало перемещает-
перемещается перпендикулярно линии наблюдения (90 = 90°), то частота
также смещается.
(В случае отражения света от спутников и других космиче-
космических объектов это явление может оказаться существенным.)
Рассмотрим сначала качественно, к чему приводит движение
зеркала в фотоэлектрическом интерферометре. Согласно выра-
выражению C7), относительное смещение частоты равно
А/
2v_
с
где
: = vt,
C8)
C9)
D0)
КОГЕРЕНТНОСТЬ СВЕГА
69
a /=/5. За интервал времени t в интерферометре пройдет
nk~ft циклов
на частоте f = fs и
«?.-+ Д/. ~ [ ( 1 + ~г]
ЦИКЛОВ
на частоте ff Af. Каждый'раз, когда
«я.ч дл.— ¦ п-к = р {р— целое число).
т. е.
или
2х
D1)
D2)
D3)
D4)
D5)
в соответствии с теорией, изложенной в разд. 2.5, пройдет один
цикл интерференции, или одно биение. Отсюда мы можем сде-
сделать вывод о возможности интерференции световых волн различ-
различных частот, если только выполняется условие стационарности
C), обеспечивающее взаимную когерентность двух частот.
Теперь можно изложить несколько более строгую теорию
биения частот, пригодную для анализа опытов с гетеродиниро-
ванием лазерных излучений и к интерферометрам с движущимся
зеркалом.
(Что касается лазерного гетеродинирования, то важно на-
напомнить, что частоты излучения двух лазеров можно считать
стационарными в течение времени наблюдения, ввиду чего ла-
лазеры также можно рассматривать взаимно когерентными в смы-
смысле условия стационарности C) и в смысле, аналогичном коге-
когерентности двух частот /о и /s в интерферометре с движущимися
зеркалами, которые, как было показано, могут интерферировать;
см. [2].)
Пусть Ei и Е2 — комплексные амплитуды электрического век-
вектора двух плоских (или сферических) воли, распространяющих-
распространяющихся в одном и том же направлении к от источников Sf и S2. (До-
(Допуски на непараллельность этих двух волн будут определены
позже.) Эти комплексные амплитуды можно записать в следую-
следующей форме:
С-1
— cos I k
¦¦ cos

70
ГЛАВА 4
где k = 2n/"A, go = 2jt/, a Ak и Дсо — соответственно меры различия
волновых чисел и частвт двух волн Е\ и ?2-
Суммарное поле Е определяется выражением
' = Ex 4- E2 ~ 2 cos (kx —
cos
D7)
;' Д& , ДО)
где cos -s-л; +-o-
- волна биения. Волна cos (kx— со/) есть
не что иное, как амплитуда сигнала интерференции, которая бу-
будет наблюдаться в фотоэлектрическом интерферометре при
идеально монохроматическом источнике с частотой /.
• Биения в фотоэлектрическом интерферометре имеют макси-
максимум при
р2п = -2- х 4-
Доо
-д-
„ / Л/ , Д/
— 2л ^ * 4-'-%¦
т. е. при
или
Ivt
D8)
D9)
E0)
Другими словами, в согласии с предыдущим анализом при сме-
смещении зеркала на величину
х Р
будет наблюдаться одна волна интерференции.
В случае гетеродинирования максимумы биений будут, сле-
следовательно, появляться на частоте Д/. Для спектральных линий
конечной ширины общий характер интерференции не изменится.
Это следует непосредственно из соотношения (8) или из теоремы
свертки (см., например, разд. 2. гл. 7). Однако биения перестанут
быть монохроматическими. Их спектр уже не будет иметь вид
дельта-функций, а расплывется в соответствии с шириной спек-
спектральной линии.
б. Допуск на непараллельность двух интерферирующих
волн в фотоэлектрических интерферометрах
и <? гетеродинных экспериментах
Так как фотоэлектрическое гетеродинирование волн от двух
(и более) лазеров аналогично фотоэлектрической интерфероме-
интерферометрии с движущимся зеркалом, то допуск на непараллельность
интерферирующих волн можно определить, если использовать
разработанную автором теорию интерферометрии [2].
КОГЕРЕНТНОСТЬ СВЕТА
71
Возвращаясь к рис. 3, мы можем сказать, что фотоэлектриче-
фотоэлектрический элемент регистрирует интеграл распределения интенсивно-
интенсивности света в пределах апертуры линзы L2, которая используется
для фокусировки интерферирующих пучков на чувствительный
участок фотодетекторй.
(Утверждение остается справедливым и тогда, когда линзы
не используются. Однако оно должно быть изменено в том слу-
случае, когда на фоточувствительную площадку попадает доста-
достаточно протяженная часть интерферирующих волн.)
Одна интерференционная
полоса i апертуре
полоса i апертуре
соответствует zd-Zn \~*—2д
Рис. 16. Влияние непараллельное™ волновых фронтов на гетеродиниро-
вание излучения двух лазеров и на работу фотоэлектрического интерферо-
интерферометра с движущимися зеркалами.
Если две интерферирующие волны образуют угол друг с дру-
другом, то интерференционная картина не будет равномерной по
яркости и ее интенсивность будет меняться по синусоиде. В пре-
пределах апертуры будет получаться целая система интерферен-
интерференционных полос, например в случае двух плоских волн. Поэтому
непараллельность волн в интерферометре с движущимся зерка-
зеркалом будет приводиться к ослаблению контраста полос (или
амплитуды сигнала интерференции). Аналогично отсутствие
строгой параллельности приведет к уменьшению эффективной
амплитуды сигнала биений в гетеродинных экспериментах. Со-
Согласно теории [2], мы можем рассматривать отношение фотото-
фототоков с фазами Ф* между двумя интерферирующими волнами,
различающимися на ДФ = я/2. Для прямоугольной апертуры
имеем (рис. 16)
I
Поток при Ф = 0 -6
-=/?,
Поток при Ф — тг
•-! 6
E2)
( 1 -f COS Ф) AФ

72
ГЛАВА 4
что сразу дает
/?=!
sin 6
E3)
Амплитуда сигнала интерференции, т. е. видимая амплитуда
сигнала биения, равна в этом случае
M = R- 1 E4)
или sin 5
М=^. E5)
Экспериментально наблюдаемый параметр, через который
можно выразить М, равен числу полос в пределах апертуры ин-
интерферометра. Кривая зависимости М от числа полос интерфе-
интерференции в пределах апертуры дана на рис. 17. Видно, что поло-
1/4 1/Z 3~М
Число полос в апертуре
Сигнал
интерференции
\
Расстояние между зеркалами ¦
Рис. 17.
а — зависимость амплитуды сигнал! интерференции М от числн полос в претела: апер-
апертуры |2j; 6 ~ фотоэлектрический сигнал, полученный в работе |Cj с поиогцыо ртутной лзмгтм
на изотопе Hg1№. Оптическая разность хота раина 200 мм.
КОГЕРЕНТНОСТЬ СВЕТА
73
вина полосы в апертуре еще сохраняет амплитуду, равную 62%
максимальной. Однако если в апертуру попадает одна полная
полоса, то сигнал уменьшается до нуля! Качественно это можно
легко понять, если заметить, что наличие в апертуре одной по-
полосы соответствует полупериоду яркого участка и полупериоду
темного участка. Любое изменение фазы только сдвигает всю
картину по апертуре, и интеграл во всех этих случаях также
обращается в нуль. Допуск на непараллельность, приведенный
выше, находится в согласии с оценками, полученными позднее
применительно к гетеродинированию [71, а также с более ран-
ранними результатами [8], относящимися к фотоэлектрическому сме-
смешению некогерентного света.
в. Фотоэлектрическое смешение пекогерентного света
Этот вопрос был рассмотрен в работе Форрестера и др. [8].
Строго говоря, мы можем считать, что гетеродинирование и дру-
другие эксперименты с лазерами принадлежат к классу интерферен-
интерференционных экспериментов с когерентным светом, который мы ис-
исследовали в предыдущих разделах. Поэтому подробное рас-
рассмотрение этого вопроса выходит за рамки данной главы.
Некоторые проблемы, возникающие при смешении некоге-
некогерентного света, рассматриваются в п. «г». Изложенный здесь во-
вопрос может иметь некоторые практические применения.
г. Фотоэлектрическое смешение когерентного света
от лазера с некогерентным тепловым излучением ')
Этот случай может возникнуть в эксперименте, где требуется
привязать частоту света от лазера к средней частоте света, ис-
испускаемого внешним газовым разрядом — лампой на линиях
Кг86 или Hg198 или же источником на атомном пучке. Возмож-
Возможная схема для привязки лазера к газовому разряду показана на
рис. 18.
Для поддержания постоянной разности частот между цен-
центром спектральной линии от теплового источника и спектраль-
спектральной линией лазера вводится система обратной связи. Два свето-
световых пучка смешиваются в фотоумножителе, и возникающая ча-
частота биения используется для получения сигнала разбаланса,
регулирующего длину резонатора лазера.
Даже в том случае, если допплеровское уширение линии теп-
теплового источника значительно шире линии лазера, можно
') Этот подраздел написан автором совместно с проф. Г. Г. Строуком
(Н. Н. Stroke) при участии Ф. Б. Ротца (F. В. Rotzj.

74
ГЛАВА 4
показать, что ширина линии теплового источника должна быть
значительно уже, чем допплеровская ширина линии газа в ла-
лазере. (Это условие не выполняется в упомянутых выше источ-
источниках с чистыми изотопами, если производить калибровку ли-
линий неона. Однако здесь может подойти источник света на атом-
атомном пучке, например описанный Кесслером источник на атом-
атомном пучке Hg198.) Наше рассмотрение можно также применить
к методу стабилизации частоты лазера.
Стабилизированная
Лазер
Источник на
атомном пучке
Пьезоэлектрический
кристалл
Фотодетектор
частоты биений
Усилитель
Дискриминатор
Рис. 18. Стабилизация частоты лазера путем ее «привязки» к частоте
источника на атомном пучке.
Пусть s(t) — амплитуда света от источника на атомном пуч-
пучке, cos aLt—амплитуда света от лазера (считая, что лазер ра-
работает в одночастотном режиме), a P(t) —квадрат тока на вы-
выходе фотодетектора (разд. 2.6). Тогда
Р (t) = [s (t) _|_ cos ioLt] [s (t) + cos <oLt\* = | s (t) I2 + cos2 <aLt ¦+•
+ cos
или иначе
E6)
j.cos2<*Lt. E7)
_• Из E7) видно, что выражение квадрата фототока состоит из
трех членов: первый дает постоянную составляющую; второй,
обозначаемый далее t/(t), используется для стабилизации, а тре-
третий изменяется с удвоенной оптической частотой, и его зареги-
зарегистрировать нельзя.
Теперь получим спектральное представление этих состав-
составляющих тока ('(/), используя теорию, изложенную в разд. 2.6.
Функциями, спектральное представление которых мы хотим
получить, будут s(t), s2(t) и
= cos ю?* [«(*) + «•(*)]• E8)
Спектральные представления Ф<« (со) и Ф^^со) функций s(t) и
А'2(/) непосредственно следуют из анализа, приведенного в
КОГЕРЕНТНОСТЬ СВЕТА
76
разд. 2.6, и показаны на рис. 19. Предполагается, что s(t) пред-
представляет гауссову функцию с центром на частоте ыс. Аналогич-
Аналогично благодаря умножению s(t) и s*(t) на coscoi,(<) в выражении
E8) спектральное представление Фуу((о) функции y(t) имеет
&1Гл
Рис. 19. Спектральное представление величин <bss (а) и
ние к схеме стабилизации лазера на рис. 18).
г («) (поясне-
(пояснеJL
о
-wL +wL
а
л Л,Л Д
Рис. 20. Спектральное представление излучения лазера а и источника
на атомном пучке б.
вид, приведенный на рис. 20. Спектральная энергия, представ-
представляющая интерес для автоматической стабилизации, распола-
располагается в двух центральных лепестках на частотах <nL — cor и
о)с — col соответственно. Если сравнить рис. 20 и 19,6, то станет
видно, что два центральных лепестка могут совпасть с Ф5^(со),

76
ГЛАВА 4
если гауссова линия s(t) слишком широка. Перекрытие не бу-
будет большим, если разность частот
о
&с — % > -g-Aco, E9)
где Дсо — ширина полосы частот функции s(t) (см. рис. 19, а).
Практически для стабилизации лазера пучок от него пропу-
пропускается через атомный пучок, и частота лазера регулируется
так, чтобы получить максимальное поглощение. Если расщепить
пучок от лазера дважды и направить три лазерных пучка через
атомный пучок под соответствующими углами, так чтобы один
из них был по возможности ближе к нормали, то можно полу-
получить три поглощающих фильтра. Для того чтобы избежать труд-
трудностей, связанных с прецизионными измерениями направления
по нормали, которые необходимы для точной локализации ча-
частоты <вс, выходы с этих трех фильтров сравниваются при по-
помощи соответствующего дискриминатора. Возможности экспери-
экспериментов, иллюстрирующих приведенный анализ, определяются,
кроме этого, соотношением сигнала и шума, а также разностью
амплитуд света от лазера п теплового источника.
2.8. Пространственная когерентность
Когда говорят о пространственной когерентности светового
пучка, то обычно имеют в виду взаимную когерентность поля в
двух точках, освещаемых одним или несколькими источниками
света. Степень когерентности поля в двух точках характеризует
контраст интерференционной картины, получаемой в экспери-
экспериментах, где эти точки являются вторичными источниками света.
Понятие пространственной когерентности лучше всего мож-
можно уяснить, если рассмотреть двухщелевои интерферометр Юнга
или его эквивалент. Из этого рассмотрения можно получить до-
довольно неожиданное, но весьма важное заключение: протяжен-
протяженный источник может создать когерентное поле, несмотря на то
что источник состоит из многих миллионов статистически неко-
некогерентных излучателей. Это заключение является верным, если
соблюдено единственное условие — угловые размеры источника,
рассматриваемого из плоскости, где расположены щели, намно-
намного меньше, чем отношение длины волны света к расстоянию ме-
между щелями !).
') О возможности проведения опыта Юнга при еще больших размерах
источника с использованием дифракционных решеток см. Francon M.,
Slansky S., Coherence en optique, CNRS, 1965, p. 59. — Прим. ред.
КОГЕРЕНТНОСТЬ СВЕТА
77
Найдем уравнение, определяющее коэффициент частичной
когерентности. Пусть S\ и S2— две щели, освещенные протяжен-
протяженным некогерентным источником (рис. 21); Е4(/) и Е2(/)—ам-
&
4г- ,1
Источник * 2
Рис. 21. Интерферометр Юнга и пространственная когерентность.
плитуды электрического поля в месте расположения щелей
и S2. Тогда амплитуда поля в точке Р равна
ER(t) = Е, @ exp (i |
exp
f-),
где
Ф:
F0)
F1)
Наблюдаемой величиной является средняя интенсивность
в точке Р
+т
ERWE*R(t)=_\r J ER(t)ER(t)dt. F2)
-т
Черта сверху означает усреднение по времени, когда
где Го — период колебаний.
Далее имеем
поскольку
\E'E
Отсюда следует, что
Ё7ЁТ - f
4 2 IE1E2I cos (cp + 0).
F6)
! 67)

78
ГЛАВА 4
Интересно теперь сравнить это выражение с уравнением ин-
интерференционных полос в интерферометре Юнга от двух пол-
полностью когерентных источников:
cos
или
F8)
F8а)
По аналогии с выражением F8) перепишем соотношение F7)
в виде
Е2Е
2Е2
21 y,2 I
\l/2.
Л/2
cos
. F9)
В этом уравнении коэффициент частичной когерентности опре-
определяем согласно работам [1, 9, 14, 17], а именно
EjE21 exp (/0)
&) /"(E,Et)
Запишем далее соотношение F9) в виде
G0)
ЕД(ОЕ^) = /, + /2 + 2 |YI21 УЛ VT2 cos (<p + 9). G0а)
Из сравнения выражений F8) и F9) непосредственно следует
физический смысл коэффициента частичной когерентности yi2.
Интерференц ионные
паласы при у]г'^
?Т!Г7-_4_= Интерференционные
полосы при yI2=|y|2|exp(i9)
Рис. 22. Коэффициент частичной когерентности у12 для интерферометра
Юнга.
Модуль \yi2\ служит мерой контраста интерференционной кар-
картины, создаваемой щелями S( и S2, если их освещать источни-
источником S. Фаза 9 определяет фазовый сдвиг интерференционного
максимума по сравнению с его положением, когда щели осве-
освещены полностью когерентным светом. Например, фаза 6 изме-
измеряет сдвиг вдоль оси |' в плоскости наблюдения (рис. 22).
Очевидно, что
Yi2=1 соответствует полной когерентности,
Yi2 = 0 — полной некогерентности,
0<iYi2i<l—частичной когерентности, G1)
КОГЕРЕНТНОСТЬ СВЕТА
79
Смысл угла 9 можно раскрыть, рассматривая несколько част-
частных случаев. Пусть, например,
Ф~|-9 —2тл и cos (<р + 9) = max — + !•
Тогда
#Е# = (,EffEffjMaKC == /j —i— /2 —г~ ^ IY121 V ' 1 V '2>
т. е. освещенность максимальна. Если же
ф--)-9 = Bт+ 1)л и ее
то
ЕяЕй = (Е*Ея)м„н = /, + /2 - 2|
и освещенность минимальна.
Рис. 23. Амплитуда интерференционных полос в интерферометре Юнга
при трех значениях коэффициента частичной когерентности.
Смысл |vi2| можно также уяснить, проведя сравнение со
случаем полной когерентности, описываемой выражениями F8)
и F8а). Предполагая h = h, получим
/ =2/ (l-l-coscp), G2)
и, следовательно,
: = 4/„
/ —0
' когеп. мин *-"•
Этот случай отображен на рис 23, а.
Если" же |Yi2l<l> т0 полосы имеют вид
/,.ст. когер = 2Л [ 1
COS (ф +в)],
G3)
где ]/*Л = Yh- KaK показано на рис 23,6, контраст полос
при этом ослабляется в Iy^I раз.

80
ГЛАВА 4
При отсутствии когерентности (|у12| = 0)
(EiE2)Mai<c ~ (EiE2)MHH.
Поэтому контраст полностью пропадает, как видно из рис. 23, в.
В заключение необходимо подчеркнуть, что простого экспе-
эксперимента по наблюдению интерференционных полос от двух ще-
щелей, помещенных в поле, например лазерного пучка, еще недо-
недостаточно для точного описания частичной когерентности этого
поля. Такой эксперимент может лишь засвидетельствовать сам
факт наличия частичной когерентности. Для ее количественного
описания необходимо произвести измерения контраста полос.
2.9. Частичная когерентность спета от протяженного
некогерентного нсточиина
Пусть источник S освещает две щели (S^ и S2), как показано
на рис. 24. Центр источника расположен на оси г, перпендику-
перпендикулярной плоскости ху и проходящей через щель Sb Согласно пре-
Излучатель (а,р)
¦ [атом, молекула и т п )
S2(x,y)
'Протяженный
некогеремтнып источник
Рис. 24. Получение пространственной когерентности в плоскости ху при
освещении щелей протяженным пространственно некогерентным источником.
дыдущему разделу, источник является совершенно некогерент-
некогерентным. Это означает, что если две щели поместить в плоскости ис-
источника, то интерференционные полосы не возникнут. Однако
можно доказать, что если удалить эти щели достаточно далеко
от некогерентного источника, то можно получить интерферен-
интерференционные полосы с хорошим и даже очень хорошим контрастом.
Рассмотрим две волны Si и S2, покидающие излучатель вдоль
направления, которое определяется единичным вектором п, иду-
идущим из центра Si (рис. 25):
n = UH-U». G4)
где а и р—направляющие конусы, а i.v и iv — единичные век-
горы, направленные вдоль соответствующих осей. Пусть вектор
р = \хх + \уу G5)
КОГЕРЕНТНОСТЬ СВЕТА
81
определяет положение S2(x, у) относительно Si@,0). Разность
хода волн S{ и S2, испущенных в точке А, до точек Si и S2 равна
ах -f- ру.
G6)
Следовательно, излучатель А создает в точках Si и S2 электри-
электрические поля (см. рис. 24)
ESl(t) = E(t), G7)
Es, (t) = Е (t) exp [— ik (a* + p«/)],
где & = 2лД.
Если в точке А имеется много излучателей, например ато-
атомов, то получаем
Е„ @ = 2 Е,-@ exp [- iki^x + Pjy)}.
Мы предполагаем, что свет является монохроматичным. На
практике для наблюдения полос в двухщелевом интерферометре
Рис. 25. Схема получения пространственной когерентности в плоскости
ху (см. рис. 24).
требуется не особенно высокая монохроматичность, если толь-
только разность времен т, за которые два луча пройдут расстояние
от источника до плоскости наблюдения, достаточно мала. В слу-
случае полихроматического источника можно использовать свето-
светофильтры.
Для оценки контраста полос необходимо найти выражение
для
Е,,@Е*2@- GОа)
Имеем
Е52 @ = Е, @ ехр (
Е2 @ ехр (- щ2)
G9)
Дж. Строуч

82
ГЛАВА 4
где ф1 = 2л(Д)Д), ф2 = 2л(Л2Д). .. ., a At и А2 — оптические раз-
разности хода, определяемые выражением G6). Получаем
; ехр
Щ -4- Е2Е* ехр (йр2)+
4-Остальные перекрестные члены. (80)
Однако вследствие некогерентности источника все перекрестные
члены при усреднении обратятся в нуль.
Оставшиеся члены дадут
2
. (О
ехр
р .г/) ].
(81)
Если число излучателей стремится к бесконечности, то, пере-
переходя к пределу, получаем
Е,,(/)Е',@= J J /Л«. P)exp[^(cu + py)]dodp, (82)
Источник
где
(83)
есть интенсивность, приходящаяся на единицу телесного угла
с заданными угловыми координатами аир. Другими словами,
/«(а, р) соответствует распределению интенсивности по источ-
источнику при его наблюдении из точки Si.
С помощью выражений (82) и (83) сразу же находим, что
коэффициент частичной когерентности у, который описывает ин-
интерференцию света, идущего от Si@,0) и S2(x, у), при освеще-
освещении самих щелей протяженным некогерентным источником ра-
равен
и
Источник
(а, Р) ехр [г* (ах + Ру)]
(84)
j j Is (a. P) da rfp
Источник
Уравнение (84) весьма примечательно. Оно показывает, что
степень частичной когерентности между точками Si и S2, осве-
освещенными протяженным некогерентным источником, является
фурье-образом распределения интенсивности /s(a, |3) источника,
наблюдаемого из плоскости, где расположены щели Si и S2. При
этом важно помнить, что центр источника расположен на одной
оси с Si. Детали можно уяснить на следующем примере.
Когерентность света
а. Двумщелевой интерферометр Юнга
и звездный интерферометр Майпельсона
Свойства интерферометров Юнга и Майкельсона позволяют
уяснить понятие коэффициента частичной когерентности, опреде-
определяемого выражением G0), и содержание соотношения между
этим коэффициентом и распределением интенсивности по источ-
источнику, выражаемое с помощью преобразования Фурье. Рассмо-
Рассмотрим сначала схему двухщелевого интерферометра, приведен-
приведенную на рис. 26. Пусть /s(a, P)=/s — постоянная величина. Экс-
Интерференцион-
ные полосы
Звезда
Рис. 26. Интерференционные полосы в интерферометре Юнга при наблю-
наблюдении звезды — протяженного, пространственно-некогерентного источника
света.
перимент показывает, что при некоторых условиях в плоскости
Р возникает система интерференционных полос.
Физические свойства системы полос легко описать с помощью
понятий, встречающихся в теории преобразования Фурье [вы-
[выражения Aа) и A8) гл. 3]. Действительно [выражение A2)
гл. 7], если
то
+F(и1) ехр (— 2niu'd).
Следовательно,
f(x-\-d)-{-f(x — d) —* 2F (и') cos 2nu'd, (86)
и наблюдаемая интенсивность (рис. 27) описывается выражением
/ («') = 4 j Z7 (ttr) |2 cos2 2xt«'fif, (87)
т. е.
/(и') = 2\F(и') РA -f-cos 4mi'd), (88)
где F(и1)—огибающая, которая модулирует амплитуду по-
полос, определяемая с помощью выражения
+А/2
}= J ^Bniu'x)dx = A^§^-. (89)
Л/2
6»

84
ГЛАВА 4
12 _. Л2 Г Sltl (niu'A) f
l —A [ niu'A \ •
Контраст системы интерференционных полос равен
fs exp (— ikax) da
yW- "°MaKC +n
^ "макс
Г
. 2я
sin — а
2я
(90)
(91)
Если двухщелевой интерферометр использовать для измере-
измерения диаметра звезд, то кривая видимости полос определяется
Рис. 27. Образование интерференционных полос в звездном интерферо-
интерферометре (см. рис. 26).
функцией у(х), график которой изображен на рис. 28. Очень
важно заметить, что кривая у(х) на рис. 28 подразумевает, что
одна из щелей находится в центре максимума кривой у(х). Оче-
у(х) для протяженного источника
Максимум у(х)
расположен на цели S,
.о/ал
Рис. 28. Коэффициент пространственной когерентности y (*) в плоскости
щелей при освещении плоскости удаленным, пространственно-некогерентным
источником.
видно, что видимый угловой диаметр звезды можно получить
непосредственно путем измерения расстояния 2rf вдоль оси х ме-
между щелями Si и S2, когда интерференционные полосы исче-
исчезают.
КОГЕРЕНТНОСТЬ СВЕТА
85
Интересная особенность заключается в гом, что всегда
имеется такое расстояние между Sf и S2, при котором интер-
интерференционные полосы от протяженного некогерентного источ-
источника получаются с хорошим контрастом. Это замечание можно
использовать для оценки условий, при которых с помощью обыч-
обычного теплового источника света, например, миниатюрной им-
импульсной лампы, можно сформировать пространственно коге-
когерентную сферическую (или плоскую) волну. Если такую лампу
расположить за достаточно узким красным светофильтром, то
ее излучение можно сделать до такой степени когерентным, что
удастся наблюдать восстановленное изображение с помощью
голограммы, например голограммы Фурье. Для этого голограм-
голограмму необходимо держать перед глазом, а лампу удалить на рас-
расстояние вытянутой руки.
Для примера рассмотрим лампу диаметром 0,1 мм, удален-
удаленную от глаза на расстояние 500 мм. Найдем то расстояние Хо,
при котором график у(х) на рис. 28 имеет первый минимум:
хп
6-10~4
0,1/500
= 3 ММ.
Таким образом, пространственная когерентность будет доста-
достаточно хорошей на площадке размером 1,5—2 мм. Зрачок глаза
имеет те же размеры. Следовательно, мы можем наблюдать изо-
изображение, восстановленное с помощью голограммы Фурье!
Часто говорят, что когерентность световых пучков улучшает-
улучшается с расстоянием только благодаря самому процессу распро-
распространения. В действительности дело просто в том, что при не-
неизменных размерах источника и неизменном расстоянии между
щелями расстояние S^ становится относительно малым, в част-
частности малым по сравнению с эффективной шириной кривой у (х),
по мере увеличения расстояния между источником и щелями.
2.10. Корреляция интенсивности при частичной когерентности
О свойствах когерентности света можно сказать значительно
больше, чем это нам потребовалось для экспериментальной ха-
характеристики когерентности, рассмотренной выше. Читателю ре-
рекомендуются работы [9—11]. Основы теории когерентности мож-
можно найти в работах [12—20]1).
Мы рассмотрим далее еще только один аспект когерентности,
с тем чтобы проиллюстрировать ту простоту рассуждений,
') См. также книгу F г а п с. о n M., Slansky S., Coherence en optique;
в настоящее время готовится ее русский перевод. — Прим. ред.

86
ГЛАВА 4
Протяженный
источник
Детектор S2
Коррелятор
Детектор St
Рис. 29. Интерферометр интенсивности, являющийся эквивалентом корре-
корреляционной установки Хзнбери Брауна и Твисса [4], схема которой показана
на рис 30.
на рис.
которая достигается при рассмотрении когерентности с по-
помощью современной теории образования изображения и мето-
метода преобразования Фурье,,
2.11. Интерферометр интенсивности
Большой интерес к проблеме когерентности света вызвали
эксперименты Хэнбери Брауна и Твисса [21], которые оказались
не только трудно объяснимыми, но и совершенно неожиданными
для классической теории. В своей основе экспериментальная
установка Брауна и Твисса по принципу действия не отличается
от рассмотренного выше двухщелевого интерферометра. Однако,
-2650 мм
Жидкостный Интетренционный Полупрозрачное
р/ зеркало М
-
уое '
отверстие
(
фильтр'. / Фильтр
_ZT уЛинза к C*85мм) 'л
Ртутнодуговая Прямоугольное ' iflfe Юстировочный
р
@,13*0,15 мм)
Усилитель ^Л Усилитель
Интегрирующий механизм
Рис. 30. Схема установки Хзнбери Брауна и Твисса [4] для демонстра-
демонстрации корреляции между фотоэлектрическими сигналами. Эквивалентная ей
«хема показана на рис. 29.
КОГЕРЕНТНОСТЬ СВЕТА
87
в то время как в обычном интерферометре наблюдается система
интерференционных полос, образующихся на некотором расстоя-
расстоянии за щелями, в интерферометре интенсивности непосредствен-
непосредственно за щелями размещаются два фотоумножителя, а сигналы с
этих фотоумножителей подаются на коррелятор. Совершенно
аналогичная схема используется в радиоастрономии. Сигналы
от двух антенн регистрируются квадратичным детектором, а за-
затем поступают на коррелятор. Результаты этих экспериментов
Экспериментальные
результаты [ZI]
0 5 10
Расстояние между (ротокатодами,с1,мм
Рис. 31. Интерферометр интенсивности. Сравнение теории с эксперимен-
экспериментальными данными Хэнбери Брауна и Твисса [21]. Значения | Yi212 рассчи-
рассчитаны для эквивалентной установки, схема которой приведена на рис. 29.
можно довольно просто объяснить на основе теории образова-
образования изображения.
На рис. 29 показано двухщелевое устройство, фактически
эквивалентное установке Хэнбери Брауна и Твисса (рис. 30).
Детекторы, расположенные за щелями Si(A) и S2(B), регистри-
регистрируют интенсивности 1А и 1В соответственно. Необходимо выра-
выразить произведение /А/в через распределение интенсивности
/s(a, P) по источнику в зависимости от расстояния между ще-
щелями. Два очень простых метода дают одинаково правильные
результаты.
а. Метод первый
Согласно выражению (84), распределение комплексной ам-
амплитуды электрического вектора в плоскости х, создаваемое ис-
источником Is, равно
= 31M<*. P)J.

ГЛАВА 4
где символ $ обозначает преобразование Фурье. Если щели А
и В достаточно узкие, то комплексные амплитуды fA(x) и !в(х)
имеют вид
f л @) = у @), (93)
fB(x) = y(x). (94)
Фотоумножители, расположенные вблизи щелей, зарегистрируют
интенсивности
1, (95)
(96)
Наконец, произведение интенсивностеи 1А1В имеет вид
/a@)Mx) = |y(*)P, (97)
что полностью согласуется с выводами Хэнбери Брауна и Твис-
са (рис. 31).
б. Метод второй
Мы можем также вычислить произведение интенсивностеи
1А1В непосредственно, если использовать теорию, изложенную в
разд. 2.9. Пусть ESl и Е^— комплексные амплитуды поля про-
протяженного источника Is(a, |3) вблизи щелей Л (Si) и B(S2). Тог-
Тогда произведение интенсивностеи 1А1В равно
что можно переписать в виде
(98)
EJ. (99)
Тогда коэффициент частичной когерентности, согласно определе-
определению, данному соотношениями G0) и G0а), имеет вид
Ё7Ё!"
и, таким образом, мы находим выражение для произведения ин-
интенсивностеи 1А1В
х), A00а)
или
A006)
Любопытно отметить простоту вывода последней формулы и
первым и вторым методами, особенно если вспомнить, что в
КОГЕРЕНТНОСТЬ СВЕТА
89
1954 г., когда Хэнбери Браун и Твисс впервые изложили содер-
содержание своих замечательных экспериментов, объяснение их ре-
результатов натолкнулось на значительные трудности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Born M. Wolf E., Principles of Optics, 2nd rev. ed., Pergamon Press,
New York, 1964, p. 491—554.
2. Stroke G W., /. Opt. Soc. Am., 47f 1097—1103 A957).
3. J a v a n А., В a 1 1 ik E. A., Bond W. L., J Opt. Soc. Am., 52, 96 A961).
4. Stroke G. W., J. Opt. Soc. Am., 47, 1103 A957).
5. Stroke G. W., в кн. «Encyclopedia of Science and Technology», vol. 4,
McGraw-Hill, New York, 1960, p. 264—265.
6. Harrison G. R., Stroke G. W., J. Opt. Soc. Am., 45, 112 A955).
7. Read W.S, Fried D. L, Proc. IEEE, 51, 1787 A963).
8 Ft А Т Gdd R A Jh
8.
, ()
Gudmundsen R. A., Johnson P O., Phys. Rev.,
vol. 11, North-Hol-
North-HolAm. Inst. of
Forrester А. Т.,
99, 1691 A955).
9. Mandel L, в кн. «Progress in Optics» (Wolf E., ed.),
land Publ., Amsterdam, 1963, p. 183—248.
10. Quantum and Statistical Aspects of Light (selected reprints)
Physics, New York, 1963.
11. Quantum Electronics (Grivet P., Bloembergen N., eds.), vol. Ill, Columbia
Univ. Press, New York, 1964.
12. Van Cittert P. H, Physica, 1, 201 A934).
13. Z e r n i 1< e F., Physica, 5, 785 A938)
14. Hopkins H. H., Proc. Roy. Soc. (London), A208, 263 A951); A217, 408
A953).
15. В 1 a n с - L a p i er r e A.. Dumontet P., Rev. Optique, 34, 1 A955).
16. Wolf E., Nuovo Cimento, 12, 884 A954).
17. Marechal A., Francon M., Diffraction, Revue d'Optique, Paris, I960;
русский перевод; Маре шаль А., Франсон М., Структура оптиче-
оптического изображения, изд-во «Мир», 1964.
18. Einstein А., 2. Physik, 10, 185 A909); 10, 817 A909).
19. Einstein A, Ann. Physik, 47. 879 A915).
20. Ein st ei n A., Hop f L., Ann. Physik, 33, 1096 A910).
21. Brown R. H., T w i ss R. Q., Nature, 177, 28 A956).
22. Слыш В. И., УФН 87, 3, 471—489 A965).

Глава 5
ОБРАЗОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ
ПРИ КОГЕРЕНТНОМ ОСВЕЩЕНИИ
1. Введение
Основная особенность процесса образования изображения
при когерентном освещении состоит в том, что перед регистра-
регистрацией сначала складываются комплексные амплитуды, а затем
интенсивности. Как и в случае некогерентных систем, здесь, оче-
очевидно, будет зарегистрирована только интенсивность результи-
результирующего поля, а именно |Е|2 = ЕЕ* — квадрат модуля вектора
электрического поля Е. Однако к полю сигнала можно добавить
когерентный фон и путем интерференции обратимо зарегистри-
зарегистрировать как амплитуду, так и фазу комплексного сигнала. Типич-
Типичный пример интерферометрического гетеродинирования, исполь-
используемого в голографии, описан в разд. 6 гл. 1. Более полно реги-
регистрация фаз в оптике будет рассмотрена в гл. 6.
Очевидно, что во многих случаях когерентная оптическая
система открывает возможность осуществления более гибких
операций над изображениями, чем некогеренгная система. И это
хорошо видно на примере таких систем, как радиосвязь и голо-
голография. В следующих разделах главы будут рассмотрены основ-
основные понятия, которые используются в когерентной оптической
системе.
2. Когерентное освещение
В данной главе используется только понятие пространствен-
пространственной когерентности. Исходя из определения пространственной ко-
когерентности, приведенного в гл. 4, когерентное освещение лучше
всего проиллюстрировать на следующих примерах.
2.1. Пример 1: освещение точечным источником
протяженной области
Любой предмет, помещенный в поле волны, изображенной на
рис. 1, можно считать когерентно освещенным даже тогда, когда
сам точечный источник является некогерентным, но при условии.
ОБРАЗОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРИ КОГЕРЕНТНОМ ОСВЕЩЕНИИ
что диаметр линзы
^<1Г7? С* «5-МО),
где ds — размер источника [выражение (91) гл. 4].
0)
2.2. Пример 2: эквивалентность когерентного предмета
и когерентно освещенного нредмета
Когерентный предмет может быть, например, выходным зер-
зеркалом лазера (рис. 2). Метод, поясняющий эквивалентность вы-
выходной волны пространственно-когерентного лазера и линзы,
Точечный
источник
Волновые фронты
равной фазы
Рис. 1. Когерентное освещение, создаваемое пространственно-некогерент-
пространственно-некогерентным источником Ds.
Когерентный
предмет
Точечный
источник
Когерентно
g? освещенный
!§? предмет
Рис. 2. Эквивалентность пространственно-когерентного предмета и коге-
когерентно освещенного предмета (см. рис. 1).
1
Лазер
Две щели
Точечный
источник
Т ""
Две щели
Интерференционные
полосы
Рис. 3. Эквивалентность пространственно-когерентного лазерного осве-
освещения и когерентного освещения по схеме рис. 1 с некогерентным или
когерентным источником.
которая создает когерентное освещение, иллюстрируется схемой
на рис. 3. Когерентно освещенный предмет, например фотодиа-
фотодиапозитив, должен сохранять однородность сдвигов фаз с такой
точностью, что в некоторых случаях необходимо погружать плен-
пленку в кювету, наполненную жидкостью, коэффициент преломления

92
ГЛАВА 5
которой одинаков с коэффициентом преломления фотопленки.
Однако в большинстве случаев, в частности в опытах по про-
пространственной фильтрации и голографии, описанных в следую-
следующем разделе, при использовании пленки Polaroid P/N и пласти-
пластинок Kodak 649 F иммерсионная ванна оказалась излишней.
3. Образование изображения при когерентном
освещении как процесс двойной дифракции
Образование изображения в когерентной системе целесооб-
целесообразно рассматривать как процесс двойной дифракции. Такое
представление лучше всего можно проиллюстрировать на при-
примере оптического устройства, приведенного на рис. 4. Беря его
Комплексны:} предмет
(амплитуда, ера за)
Ди/рракционная
картина (спектр)
Отфильтрованное
изображение
Коллимирующая
линза L
7П
N
Источник
Рис. 4. Схема пространственной фильтрации Марешаля и Кроса [1],
а также О'Нейла [2].
за основу, мы можем сказать, что предмет, характеризующийся
комплексной амплитудой ^A), создает благодаря дифракции
света в зрачке линзы L2 комплексную амплитуду f(x). При этом
f(x) соответствует задней фокальной плоскости линзы Lu если
предмет освещается параллельным пучком. В этом случае ком-
комплексная амплитуда f(x) равна фурье-образу Г(|) комплексной
амплитуды предмета. Комплексная амплитуда f(x) обычно назы-
называется дифракционной картиной предмета. Иногда удобно име-
именовать }(х) пространственным спектром предмета.
Свет, пройдя через линзу L2, образует изображение в пло-
плоскости |', так что изображение t(g') можно рассматривать как
результат второй дифракции, происходящей над полем f(x) в
зрачке линзы L?. Из рис. 4 видно, что амплитуда изображения
ОБРАЗОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРИ КОГЕРЕНТНОМ ОСВЕЩЕНИИ
93
Дифракционная картина Отфильтрованное
Предмет (спектр) изображение
Комплексный
Коллимирующая \ \
яинза
\
Источник
Рис. 5. Схема пространственной фильтрации Катрона [3].
Т{%') получается как фурье-образ амплитуды f(x), и поэтому
амплитуда изображения 7(|') оказывается тождественной ам-
амплитуде предмета 7(|), если, конечно, используются совершен-
совершенные линзы и если после f(x) нет комплексного фильтра, пока-
показанного на рис. 4, роль которого будет уяснена в следующих
разделах.
Принцип двойной дифракции, иллюстрируемый рис. 4, был
описан Цернике в 1935 г. в качестве схемы для визуализации
фазового контраста. Этот же принцип является исходным в опы-
опытах по пространственной фильтрации, описанных Марешалем и
Кросом [1] в 1953 г. и О'Нейлом [2] в 1956 г. Аналогичное устрой-
устройство, изображенное на рис. 5, было предложено в 1960 г. Катро-
Катрона и др. [3] для осуществления пространственной фильтрации.
В настоящее время его широко используют для корреляционной
фильтрации. Поскольку в фильтре осуществляется умножение
Предмет Пространственый
спектр
-Д- УГЛУ///1,
Hf.
ezzzz
Изображение
Период = р
Пространственный I Фильтр
спектр „^1 \
I
Период = р
Изображение ,
Щ
Период =р/2
Рис. 6. Принцип двойной дифракции Аббе [4aJ и Вуда [46].

94
ГЛАВА 5
дифракционной картины, то, как будет показано, получаю-
получающееся при этом изображение представляет собой корреляцию
предмета и фурье-образа фильтра.
В важности понятия двойной дифракции можно убедиться,
если рассмотреть фильтрацию спектральных порядков, произво-
производимую перед второй дифракцией. Эта фильтрация осуществляет-
осуществляется в фокальной плоскости линзы L{ (рис. 6) с помощью маски,
имеющей периодическую структуру (т. е. структуру решетки).
В данном случае фильтрующая маска пропускает к линзе L2
только нулевой и четные дифракционные порядки. Поле в зрач-
зрачке линзы L-i, полученное фильтрацией с помощью этого фильтра,
эквивалентно полю, которое создается предметной решеткой, пе-
период которой вдвое меньше периода используемой решетки, а
изображение, получаемое при второй дифракции, оказывается
решеткой с периодом, равным р/2 (рис. 6), вместо периода р,
характеризующего нефильтрованное изображение (см. Аббе
[4а], Вуд [46], Марешаль и Франсон [4в] и др.).
Как мы уже указывали, описанные до сих пор фильтрующие
устройства производят умножение дифракционных картин, а
именно дифракционная картина предмета умножается на функ-
функцию, которая в свою очередь является дифракционной картиной
фильтра, создающего посредством операции корреляции (или
свертки) отфильтрованное изображение. Таким образом, про-
процесс фильтрации, выполняемый с помощью умножения дифрак-
дифракционных картин, можно назвать корреляционной фильтрацией.
Важнейший прогресс в методах оптической фильтрации, а
также в интерферометрии был достигнут в 1965 г. Габором,
Строуком и др. [5] (разд. 9 настоящей главы), которые дока-
доказали, что сложение комплексных амплитуд можно осуществить
в самом изображении. Изображение в этом случае формируется
путем последовательного наложения на одну и ту же голограм-
голограмму интенсивностей нескольких голограмм. Каждая из этих голо-
голограмм содержит дифракционную картину изображения, комп-
комплексная амплитуда которого участвует в операции амплитудного
сложения. В противоположность корреляционной фильтрации
схему Габора — Строука можно назвать методом синтеза опти-
оптических изображений (разд. 9).
4. Критерии разрешения Аббе и Релея
В качестве следующего примера, иллюстрирующего достоин-
достоинства понятия двойной дифракции, рассмотрим проблему разре-
разрешающей способности на языке тех качественных рассмотрений,
которые были сделаны в разд. 3, Мы покажем, что понятия двой-
ОБРАЗОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРИ КОГЕРЕНТНОМ ОСВЕЩЕНИИ 95
ной дифракции позволяют весьма прямым путем определить
разрешающую способность по предмету, и полученный критерий
разрешения (критерий Аббе) хорошо согласуется с известным
критерием Релея.
Рассмотрим когерентно освещенный, периодически погло-
поглощающий предмет с периодом р (рис. 7), и пусть комплексная
амплитуда его равна
2/^)со52л-|. B)
В соответствии с теорией преобразования Фурье в зрачке лин-
линзы L образуется дифракционная картина (спектр)
C)
В данном случае дифракционная картина состоит из двух раз-
разделенных плоских волн, которые (если предмет мал) условно
Пространственный
спектр I \ i
предмет
п
Изображение
|A»f.
CV/AVJ
Pi
\
U
[J-f-f
P и с. 7. Критерий разрешения Аббе при когерентном освещении. (Экви-
(Эквивалентный критерий Релея рассматривается на рис. 8.)
изображаются двумя пиками на спектре. Для удобства эти пики
назовем спектральными линиями.
Пусть D — апертура линзы-объектива, через которую рассма-
рассматривается предмет. Если две спектральные «линии» ± (X/p)f по-
попадают в апертуру, то, согласно теории преобразования Фурье,
амплитуда изображения будет равна
?-). D)
а интенсивность изображения
2\F(l')\2(] -f
Эти .выражения показывают, что изображение имеет гу же пе-
периодичность, что и амплитуда предмета. Фактически предмет

96
ГЛАВА 5
полностью разрешим ввиду того, что две волны, которые соз-
создаются предметом при первой дифракции, полностью проходят
через линзу и образуют изображение при второй дифракции.
Полное разрешение будет получаться только в том случае,
если обе спектральные линии попадают в апертуру. Из рис. 7
видно, что разрешение сохраняется без потери контраста вплоть
до
4-f<?. F)
где /—фокусное расстояние линзы L, т. е. вплоть до
>-¦
2Х_
D
критерий разрешения Аббе,
G)
где р — наименьший период предмета (решетки), который мож-
можно разрешить согласно критерию Аббе G).
Рис. 8. Критерий разрешения Релея при когерентном освещении. (Эк
.лентный критерий Аббе рассмотрен на рис. 7.)
валентный критерий
Критерий Аббе G) можно сравнить с хорошо известным кри-
критерием Релея (рис. 8). В случае когерентного освещения крите-
критерий Релея можно записать в виде
критерий Релея
(при когерентном, освещении), (8)
где Д| — предел разрешения в плоскости предмета. Из сопостав-
сопоставления выражений G) и (8) мы можем заключить, что критерии
Аббе и Релея в действительности эквивалентны. Однако в боль-
большинстве случаев критерий Аббе позволяет лучше понять усло-
условия эксперимента, влияющие h;i окончательный предел разре-
разрешения. Это имеет место, например, в голографии.
ОБРАЗОВАНИИ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРИ КОГЕРЕНТНОМ ОСВЕЩЕНИИ
97
5. Передаточная функция при когерентном
и некогерентном освещении
Согласно предыдущему разделу и рис. 7, передаточная функ-
функция пространственных частот т(л:)КОгер при когерентном освеще-
Т(Х)
когер
D
Z
-Х- р
Рис. 9. Передаточная функция идеальной линзы при когерентном
освещении (прямоугольная апертура).
нии изображается графиком на рис. 9: пропускание без потери
контраста простирается от л;=0 до x = D/2= (X/p)f, а далее кон-
контраст равен нулю.
Рис. 10. Передаточная функция идеальной линзы при некогерентном
освещении (прямоугольная апертура).
Напомним (разд. 6 гл. 3) для сравнения вид передаточной
функции при некогерентном освещении (рис. 10).
Объективная
линза
предмет
Пространственный спектр
(для предельного разрешения)
Нормальное освещение
а
Предмет
Пространственный спектра
(dim предельного разрешения)
Носов освещение
6
Рис. 11. Принцип двойной дифракции. Объяснение увеличения разреше-
разрешения при косом освещении (б) по сравнению с обычным освещением (а) для
предмета, имеющего периодическую структуру. Косое освещение позволяет
увеличить разрешение, однако при этом теряется правильность передачи
изображения.
Наконец, используя понятия двойной дифракции, легче объ-
объяснить, почему при введении косого когерентного освещения раз-
разрешение увеличивается вдвое. Это иллюстрируется рис. 11.
7 Дж. Строук

98
ГЛАВА Б
Если провести анализ, аналогичный приведенному в разд. 4,
то мы обнаружим, что изображение, полученное при косом осве-
освещении, помимо синусоидальной решетки, будет содержать но-
новые гармоники, которые можно рассматривать как помехи. По-
Поэтому изображение, полученное при косом освещении только в
одной боковой полосе, не является в точности неискаженным
изображением. Однако разрешение при этом улучшается.
в. Фазовый контраст
Понятия двойной дифракции позволяют просто объяснить ме-
метод фазового контраста, используемый в микроскопии с целью
преобразования невидимого слабого фазового контраста в хо-
хорошо видимый контраст интенсивности.
Пространственный
НонЗенсорнаи фазовый спектр ¦ , Фильщ
линза \ предмет \ /
Отфильтрованное
изображение
\ '
F(u,v) H(i/,i>)—ffac'.y1)
Рис. 12. Пространственная фильтрация.
Рассмотрим чисто фазовый предмет f(x,y), т. е.
f(x, у) = ехр \щ{х, у)]. (9)
Пусть фаза q>(x, у) имеет достаточно малые значения, так что
можно написать
f(x, y)^\-\-iy(x, у)-\- ... (ф<С2я). (Ю)
Очевидно, что фурье-образ функции f(x,y), который создается
в задней фокальной плоскости линзы L\ (рис. 12), выражается
через
F(u, v) — б@) + Щ [ф (х, у)}. A1)
Установим теперь в фокальной плоскости линзы Lv фильтр
Н(и, v) оптической толщиной в четверть волны, но такой, что
четвертьволновая область л/2 покрывает только центральную
ОБРАЗОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРИ КОГЕРЕНТНОМ ОСВЕЩЕНИИ 99
часть F(u,v). Коэффициент пропускания четвертьволновой обла-
области по амплитуде равен t @-^/^1). Уравнение фильтра запи-
запишется в виде
( it для области 6@),
Н(и, v) — { . „ A2)
I 1 для остальной части спектра.
Отфильтрованный спектр равен
О (и, v) = F(u, v)H(u, v) = it б @) -f- rj [ф (х, у)}. A3)
После второй дифракции образуется изображение
f(x', y'} = ^[O (и, v)\ — it -\-iq>(x, y) = i[t-\-q>(x, у)]. A4)
Интенсивность его равна
l(x', y') = f(xr, y')f*(x', y') = t2-\-(tf -4-2фг!. A5)
В частном случае t=\ имеем
1{х\ y') = l-f 2ф, A6)
т. е. контраст интенсивности изображения пропорционален фа-
фазовому контрасту предмета. В общем случае, когда коэффи-
коэффициент пропускания по амплитуде для пластинки толщиной я/2
равен t, так что интенсивность постоянной составляющей изо-
изображения равна t2, контраст в фазовой части изображения опре-
определяется выражением
Р + ф2 -I- 2ф^ — t2 2ф
с =
Ф2
A7)
При t^\ достигается очень сильный контраст, даже когда зна-
значения ф исключительно малы. Например, если ^=10 и ф=10~3,
то контраст с~3. Для ф=10 и t=\0~2 контраст равен 0,2.
Уравнение A7) следует сопоставить с выражением для кон-
контраста, который получается без фильтра. Из выражения A0)
для интенсивности изображения имеем
/(*'. У')бе3ф„льтРа^1+ф2(-К. У)-
Контраст в фазовой части равен
^без фильтра ~ ] '
A9)
При ф=10 получаем с=10 6.
Осуществление фазового контраста с помощью селективной
фильтрации является типичным примером оптической фильтра-
фильтрации.

100
ГЛАВА 5
7. Оптическая фильтрация с помощью голограммы
согласованного фильтра
Пример оптической корреляционной фильтрации показан на
рис. 13, а схема используемого устройства — на рис. 14 и 15.
Пространственная фильтрация в оптике впервые была описана
в работах [1, 2]. Позднее стало очевидно, что главную проб?
лему пространственной фильтрации, которая сводится к изготов-
изготовлению комплексного фильтра, можно решить путем голографи-
ческой регистрации фильтра, т. е. на основе принципов гологра-
голографии, впервые описанных Габором [6] в 1948 г. (метод восстано-
восстановления волнового фронта).
Качественное описание и история оптической фильтрации
были даны в разд. 3, где было отмечено, что схема корреляцион-
корреляционной фильтрации, широко используемая в настоящее время (см.
рис. 14 и 15), базируется на работах Марешаля, Кроса и
О'Нейла, на работе Катрона и других авторов, а также на клю-
ключевой статье Ван дер Люгта [7]. Следует также отметить, что в
общем случае оптическая фильтрация, понимаемая в смысле
сложения или вычитания произвольных частей изображения, мо-
может потребовать введения принципа синтеза изображений, опи-
описанного впервые Габором, Строуком и др. [5] (разд. 9), либо ме-
метода оптической компенсации (разд. 4 гл. 6), подобного тому,
который был впервые описан Строуком, Рестриком и др. [11]
также в 1965 г.
Изложим теперь основные принципы оптической корреля-
корреляционной фильтрации с помощью согласованного фильтра1).
Система, приведенная на рис. 14 и 15, относится к когерент-
когерентным системам. Предмет О, расположенный в плоскости Яь изо-
изображается оптически на плоскости Р3 без изменения масштаба.
Если в плоскости Р2 поместить соответствующий пространствен-
пространственный фильтр, то можно селективно отфильтровать любые про-
пространственные частоты изображения О', подобно тому, как это
осуществляется в системах радиосвязи.
Поскольку весь процесс в пространстве между 5 и О' дол-
должен происходить в когерентном свете, то пространственный
фильтр H(u',v') должен быть комплексным (амплитудно-фазо-
(амплитудно-фазовым) фильтром.
Рассмотрим в качестве примера операции фильтрации (см.
рис. 13) задачу поиска слова «CHRIST» на одной из страниц
книги.
Поскольку процесс корреляционной фильтрации сводится в
основном к операции корреляции между неизвестным или же
Более общее объяснение и детали можно найти, например, в работе [7].
Ш^Ш:*
Ж'/.г ¦ » ^,'Ш
Р и с. 13.'-Корреляционная фильтрация (см. разд. 7) в лучах лазера с дли-
длиной волны 6328 А с использованием пленки Polaroid P/N (из работы
Дж. Строука, выполненной совместно со студентами Мичиганского универ-
университета, 1964).
а —текст, подлежащий фильтрованию [/ (х, у) —амплитуда на входной плоскости]; б голо-
графический фильтр слова «CHRIST»; [H (и', г;')- комплексное пропускание фильтра); «-изо-
«-изображение «CHRIST», восстановленного с помощью фильтра \h (х, у) —амплитуда на выходной
плоскости]; г —изображение нулевого порядка на выходной плоскости; д — отфильтрованное
изображение (правый боковой пучок); сигнал |/®й| b на выходной плоскости,

102
ГЛАВА 5
Входная
плоскость
Плоскость
фильтра
Выходная
плоскость
Рис. 14. Корреляционная фильтрация (разд. 7).
желаемым словом (в данном случае «CHRIST») и остальными
словами на этой странице, то на выходном изображении опти-
оптического коррелятора появятся всплески яркости в местах, где
значение такой корреляции достигает максимума. Положение
слова «CHRIST» отмечено ярким пятном света, соответствую-
соответствующим свертке
f(—x, ~y)®h(—x, — у), B0)
которая показана на рис. 15, где
v%
B1)
a H{u'\v') —комплексный фильтр слова «CHRIST» в координа-
координатах (a', v'), определенных на стр. 47 [выражение Fа) гл. 31].
Кроме максимума корреляции слова «CHRIST» с соответ-
соответствующим словом «CHRIST» на исследуемой странице, корреля-
корреляционная фильтрация также дает графический ответ на вопрос
остепени корреляции «неизвестного» слова «CHRIST» с другими
словами текста. Например (см. рис. 13), видно, что имеется оп-
определенная корреляция слова «CHRIST» со словом «IMPRISON-
«IMPRISONMENT», что и следует ожидать, а также слова «CHRIST» со
словом «IS». Однако, кроме этого, имеется заметная корреля-
корреляция со словами «ABOUT», «IN MY», «CONFIRMATION», «IS
MY» и т. д.
Фотография на рис. 13 поясняет три основные ступени про-
процесса фильтрации при когерентном освещении. На рис. 13, а по-
показан диапозитив, на котором необходимо определить положе-
положение слова «CHRIST». На рис. 13,6 дан «фильтр», полученный
путем регистрации на когерентном фоне дифракционной картины
Рис. 15. Корреляционная фильтрация (разд. 7),
ОБРАЗОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРИ КОГЕРЕНТНОМ ОСВЕЩЕНИИ
103
слова «CHRIST» по схеме преобразования Фурье (рис. 16). Лег-
Легко убедиться в том, что комплексный фильтр аналогичен голо-
голограмме Фурье. На рис. 13, в показано восстановленное по
фурье-образу изображение слова «CHRIST», полученное в фо-
Фильтруемый сигнал
х,у
Линза от микроскопа
Опорный сигнал
Ао д(х-Ь,у)
Плоский
волновой рронт
f —
Фотопластинка- голограмма
Рис. 16. Схема голографии Фурье для получения комплексно-сопряжен-
комплексно-сопряженного фильтра (гл. 7).
кальной плоскости линзы, при освещении фильтра коллимиро-
ванным светом.
На рис. 13, д показано отфильтрованное изображение и изо-
изображение нулевого порядка (рис. 13, г), полученные на выход-
выходной плоскости.
Все эти эксперименты выполнены на пленке Polaroid P/N.
Среди многих применений только что описанной корреляцион-
корреляционной фильтрации особенно привлекают возможности автомати-
автоматического чтения и автоматизации библиотечного дела.
7.1. Процедура изготовления согласоианного
фильтра и операции фильтрации
Пусть фильтр описывается выражением
Н(и', v')=\H\em.
B2)
Пусть h(x, у) —функция пропускания слова «CHRIST», которое
подлежит фильтрации. Можно записать
h(x, у) = „CHRIST" —функция фильтра.
B3)
В результате преобразования Фурье функция Н(х,у) преобра-
преобразуется в функцию
Я (и', vr)=
, y)\,
B4)

104
Г Л АН А 5
которую можно наблюдать в фокальной плоскости линзы L2.
Опорный сигнал
B5)
создается по схеме, приведенной на рис. 16, где, согласно вы-
выражению Fа) гл. 3, координаты равны
l' = lu', T]' = -Lv'. B6)
Пусть b — сдвиг вдоль оси х фильтруемого сигнала относитель-
относительно точечного опорного источника R (рис. 16). В фокальной
плоскости линзы L2 в результате преобразования Фурье сигнал
имеет комплексную амплитуду
А (и1, v') = H(u', v') + P(u', v') B7)
в соответствии с уравнением
h(x, y) + \Ao\t>(x-b, у)Л+Н{и\ v
Если написать
Н(и', v') = \H\eie,
', v').
B8)
B9)
то благодаря сдвигу на величину Ъ функция P(u',v') [выраже-
[выражение (9а) гл. 7] станет равна
Р(и\ v')¦= | Д,|e'f = | Л|ехр [/(bu'-j- v')\,
где фаза
C0)
C1)
является линейной функцией и'. Поэтому функция P(u',v')
представляет собой плоскую волну, наклоненную под углом
= arctg-y » у
C2)
к оси \' (см. рис. 16).
Распределение интенсивности I(u',v'), регистрируемой в
фильтре, описывается выражением
/(«', v')=r-A{u', v')A*(u', v') = \H(u', v') +
+ P(u', v')][H(uf, v') + P(u', v')Y, C3)
т. e.
/(«', v') = [\H\eie + Aaet*][\H\e-l* + Aoe-tv] C4)
или
(и', ъ') =
C5)
образовапнг; из()Ы»АЖ1:ш1я при когеренщом
105
Однако требуемый фильтр описывается, согласно выражению
B2), функцией /(«', v'), а не функцией И(и', v') = \ И \е'г'.
Вопрос стоит так: каким образом требуемый фильтр \H\eih
можно выделить в изготовленном фильтре I(u',v')? Ответ: та-
такое разделение происходит автоматически путем дифракции в
системе оптической фильтрации, изображенной на рис. 15. Это
можно доказать следующим образом.
Для простоты предположим вначале, что комплексное ампли-
амплитудное пропускание фильтра пропорционально распределению
интенсивности I(u',v'), зарегистрированной в фильтре, причем
коэффициент пропорциональности равен 1. В действительности
это предположение верно в том случае, когда интенсивность
опорного пучка Ао примерно в 10 раз больше величины \И\2 и
экспозиция и проявление фотопленки производятся при контра-
контрасте y = —2 (см., например, гл. 6). Для других значений у
комплексная амплитуда на выходе фильтра будет умножаться
на у/2, а комплексная амплитуда волны, вышедшей из филь-
фильтра, все еще будет пропорциональна /(«', v').
Обращаясь к рис. 15 и выражению C5), мы видим, что ком-
комплексная амплитуда поля, появляющегося на выходе фильтрую-
фильтрующего устройства, равна
(u', v')H(u',
ut -\-F(u', vr)H*(u', v')Ao
C6)
Затем с помощью линзы L2 это поле C6) подвергается преобра-
преобразованию Фурье. В выражении C6) мы различаем три отдель-
отдельных члена и обнаруживаем, что соответствующие изображения
получаются в плоскости ?.(«', v') путем преобразования Фурье
с использованием следующих уравнений (как это показано в
других разделах):
<f\, [D1) гл. 7]
= g \Н exp \i(bu' + cv')\) =h(x — b,y — с), [A0а) гл. 71
- i(bu'-{-cv')}}= h(x-{-b, y + c). [A0a) гл. 7]
Здесь для общности опорный точечный источник R помещен в
точку х = Ь и у = с [см. рис. 16 и выражение C1)].
Таким образом, мы обнаруживаем, что преобразование
Фурье над выражением C6) дает следующие компоненты

106
ГЛАВА 5
изображения [см. выражения A2), A3), D1) и F2) гл. 7]:
компонента смещения,
сосредоточенная у точки
х' = 0, у — О
"(в', v')H{u', v')
(и', v')H*(u', v')
C7)
компонента, сосредоточенная
у точки х =— Ь, у = — с
компонента, сосредоточенная
у точки х = + Ь, у — -\- с
Здесь символ © означает операцию свертки, а * — операцию
корреляции, согласно выражениям B2) и E2) гл. 7 соответ-
соответственно. По обе стороны от оптической оси видны два изобра-
изображения. Одно из них является сверткой, а другое — корреляцией
функции фильтруемого изображения f(x,y) с функцией фильтра
h(x,y). Эти изображения отделены от компоненты смещения, ес-
если Ъ и с выбраны достаточно большими. Свертка располагается
у точки х = —Ъ, у = —с, а корреляция —у точки х = Ь, у = с. Та-
Такое пространственное разделение отфильтрованных изображе-
изображений и компоненты смещения получается благодаря введению в
процессе голографического получения фильтра (рис. 16) сдвига
опорного пучка R на величину х = Ь, у = с относительно сигнала
фильтра h(x, у).
В нашем случае [выражение B0)] искомое отфильтрованное
изображение появляется в боковом пучке f ® h в форме свертки,
а не в форме корреляции f =* h, получаемой в другом боковом
пучке. Если функция фильтра h(x, у) имеет двукратную симме-
симметрию вращения (разд. 4 гл. 6 и работу [11]), то требуемая филь-
фильтрация получится только в боковом пучке в виде изображения
корреляции. Интересно отметить (разд. 4 гл. 6), что имеются
другие схемы оптической фильтрации и синтеза, где желаемое
изображение в боковом пучке получается в форме корреляции,
а не свертки.
Голографически регистрируемый фильтр, т. е. голограмму
передаточной функции фильтра h(x,y), можно интерпретировать
как голограмму, регш фируемую на пространственной несущей
в виде синусоидальной дифракционной решетки. Действительно,
легко убедиться в том ito голограмма, которая получается при
интерференции плоской волны P(u',v') с плоской волной, па-
параллельной плоскости пленки [см. рис. 16, а также выражения
ОБРАЗОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРИ КОГЕРЕНТНОМ ОСВЕЩЕНИИ
107
C0) и C1)], является интерферограммой в форме прямых по-
полос с расстоянием между ними
А
C8)
Такую систему полос можно получить путем введения ря-
рядом с точечным эталонным источником R(x = b, y = c) второго
точечного эталона R(x = 0, y = 0), который располагается в на-
начале системы координат хОу1).
Качественно сдвиги фаз, регистрируемые на голограмме,
можно интерпретировать как сдвиги положения несущих полос,
соответствующие местным сдвигам фаз в дифракционной кар-
картине, которая регистрируется фильтром (т. е. голограммой).
Необходимо подчеркнуть тесную взаимосвязь пространствен-
пространственной фильтрации, с одной стороны, и голографии, с другой сто-
стороны, когда эти вопросы излагаются в других разделах, особен-
особенно в гл. 6, а также в разд. 9 настоящей главы, где обсуждается
проблема синтеза оптических изображений с помощью голо-
голографии Фурье.
8. Оптическая обработка информации,
корреляционный анализ
и оптические корреляторы
Среди систем обработки информации, которые нашли прак-
практическое применение, целесообразно отметить оптические анали-
анализаторы спектра и оптические корреляторы, описанные Катрона
и др. [3].
8.1. Анализаторы сиектра
По существу оптический анализатор спектра аналогичен опти-
оптическому спектрометру с дифракционной решеткой, в котором
используются монохроматическое излучение и несовершенная
дифракционная решетка [9, 10].
Несовершенства решетки в оптическом анализаторе спектра
составляют наиболее существенную часть интересующей нас ин-
информации, которая регистрируется на фотопленке, например, с
помощью катодно-лучевой трубки. Примером сигналов, реги-
регистрируемых и анализируемых таким способом, могут служить
сейсмограммы колебаний почвы. Задача анализа здесь состоит
в том, чтобы определить спектр мощности по сейсмограмме, ко-
') Точечный опорный источник в интерферометрии, по-видимому, впервые
ввел Номарекий [12, 13].

108
ГЛАВА 5
торая является несовершенной дифракционной решеткой. Прин-
Принцип действия анализаторов спектра основан на том, что распре-
распределение амплитуды света в дифракционной картине, образован-
образованной оптической решеткой, соответствует фурье-образу комплекс-
комплексной амплитуды, прошедшей через решетку (совершенную или
несовершенную!), когда эта решетка освещается плоской волной
монохроматического света. Другими словами, распределение ин-
интенсивности дифракционной картины, образованной решеткой,
есть не что иное, как спектр несовершенств волнового фронта,
получающегося после дифракции света на решетке. Если эти не-
несовершенства вводятся в решетку преднамеренно, например, в
виде полос интенсивности, зарегистрированных на фотографиче-
фотографическом транспаранте, то спектр, формируемый с помощью оптиче-
Сигнал
Пространственный
спектр
Монохроматический
источник
f(x,y) F(u\v')
Рис. 17. Схема для осуществления спектрального анализа.
ского преобразования Фурье, будет сразу же давать спектраль-
спектральное распределение вариации интенсивности сигнала в зависи-
зависимости от координат на пленке. Классический образец примене-
применения этого принципа можно найти в акустике (см., например,
Фишер и Лихте [8]).
Исчерпывающее теоретическое рассмотрение соотношений
между несовершенствами решетки и спектральной дифракцион-
дифракционной картиной было дано в работе [9] в форме, непосредственно
применимой к анализу спектра, производимому в анализаторах
спектра. Джексон [10] недавно рассмотрел эту проблему в кон-
конкретном применении к дифракционному методу обработки гео-
геофизических данных.
Схема оптического анализатора спектра дана на рис. 17.
В обозначениях этого рисунка имеем [соотношение A8) гл. 3]
F(u', v') = %[f(x, у)},
C9)
где f(x,y)—комплексная амплитуда света, прошедшего через
фотограмму, спектр которой, т. е. распределение спектральной
интенсивности, мы хотим получить. В явном виде в плоскости
- ОБРАЗОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРИ КОГЕРЕНТНОМ ОСВЕЩЕНИИ 109
S'
а =
fV
Рис. 18. Координаты изображения, получаемого при спектральном анализе.
изображения (?', ц') получаем комплексный спектр [соотноше-
[соотношение Aа) гл. 3]
= $ $ f(x,
, D0)
где l' = fu'/k, v[ = 1v'jk, a k = 2n/\ (рис. 18).
Спектр интенсивности, зарегистрированной в фокальной
плоскости (|'( г)'), описывается следующим соотношением:
F-F*. D1)
Важное достоинство оптического анализатора состоит в том,
что такие анализаторы способны выполнять спектральный ана-
анализ одновременно для десятков, сотен и в принципе для тысяч
1ууЛ
Каналы
P и с. 19. Многоканальный спектральный анализ [3].
Сферическая линза
Вид сверху
x Сферическая лит Цилиндртес-
г
Сферическая линза
Фурье-образ
пып спектр)
Сферическая лита Цилиндрическая
Д 7 \ ^"за
Канап с
Вид сбоку
Рис 20 Многоканальный спектральный анализ [3].

по
ГЛАВА 5
каналов. Таким образом, достигается очень простой метод корре-
корреляционной обработки сигналов, поступающих по различным ка-
каналам. Многоканальная система изображена на рис. 19 и 20.
Одновременный анализ основан на применении цилиндриче-
цилиндрической оптики. На рис. 20 показан в двух проекциях многоканаль-
многоканальный анализатор. На таком принципе был построен 120-каналь-
ный анализатор для нефтяной промышленности. Сигналы,
поступающие от отдельного сейсмографа, передавались и обра-
обрабатывались по одному из каналов.
8.2. Оптический кросс-поррелятор
С проблемой кросс-корреляции встречаются в совершенно
различных областях, как, например, в статистике, при разработ-
разработке новых фармацевтических продуктов, а также в задачах обна-
обнаружения и опознавания мишеней.
Неизвестная
Функция f(xj
Г) Фотозлектри-
Ц чески и детектор
оЦх)
Позитив Движение ^
{с тщательно кантралируе-
мым коэффициентом
контрастности)
Рис. 21. Оптический кросс-коррелятор [3].
В оптическом кросс-корреляторе (рис. 21) при когерентном
освещении известный и неизвестный сигналы записываются на
пленке. Обе пленки в общем случае погружаются в иммерсион-
иммерсионную кювету, и для осуществления операции кросс-корреляции
одна из пленок, называемая эталонной пленкой g(x), протяги-
протягивается через иммерсионную кювету с постоянной скоростью.
Иммерсионная кювета заполнена жидкостью, коэффициент
преломления которой совпадает с коэффициентом преломления
подложки пленки, чем обеспечивается подавление эффекта
искажения фаз. На выходной плоскости получают функцию
IЛ (&¦'//) I2, причем
^l'x\dx D2)
называется функцией неоднозначности.
ОБРАЗОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРИ КОГЕРЕНТНОМ ОСВЕЩЕНИИ
111
Чтобы превратить экспоненциальный множитель в подынте-
подынтегральном выражении D2) в единицу, положим ?' = 0. Тогда
фотоэлемент зарегистрирует |Л(?' = 0)|2, где
D3)
представляет желаемую кросс-корреляцию. Превращение экспо-
экспоненциального множителя в единицу очень просто осуществляет-
осуществляется с помощью щели (малого отверстия), расположенной на оси.
В этом случае g' = 0 и ехр@) = 1. Для многоканальных кросс-
корреляций используется цилиндрическая оптика с щелями на
входной плоскости и многоканальные фотодетекторы, что обес-
обеспечивает одновременную обработку по всем каналам.
9. Интерферометрия и оптический синтез изображения
(сложение комплексных амплитуд) методом
последовательного наложения голографических
картин на одну голограмму [5]
До последнего времени в оптике считали, что интерферо-
грамму рассеянного волнового фронта можно получить путем
сравнения рассеянного волнового фронта с волновым фронтом,
отразившимся одновременно с ним от эталонного зеркала, как
это осуществляется, например, в интерферометре с расщепле-
расщеплением пучка, который изображен на рис. 6, а гл. 6. В более об-
общем случае два различных волновых фронта можно сложить в
интерферометре с расщеплением пучка в интерферометре типа
Майкельсона или других аналогичных приборах. Такие интер-
интерферометры позволяют суммировать комплексные амплитуды от
двух волновых фронтов при условии, что два волновых фронта
интерферируют одновременно.
В работе [5] впервые было указано на то, что можно осуще-
осуществить сложение комплексных амплитуд не только двух, но фак-
фактически нескольких волновых фронтов, если заставить каждый
волновой фронт интерферировать последовательно во времени
с одним и тем же когерентным фоном, накапливая эти интерфе-
интерференционные картины в скрытом фотографическом изображении.
При этом интенсивности отдельных интерферограмм (т. е. голо-
голограмм) последовательно складываются таким образом, что в ре-
результирующей голограмме воспроизводимо накапливаются (ад-
(аддитивно по комплексной амплитуде) несколько волновые
фронтов,

112
ГЛАВА 3
В качестве примера Габор, Строук и др. [5] привели метод
синтеза изображения, с помощью которого из комплексных ам-
амплитуд одного изображения в форме волнового фронта голо-
графически вычитались комплексные амплитуды другого изо-
изображения. Приведем описание этого метода, согласно работе [5].
На рис. 22, а дана схема экспериментального устройства, ис-
используемого для синтеза изображения, а на рис. 22, б и в пока-
показаны детали аппаратуры, используемой для получения экспери-
экспериментальных результатов, которые приведены на рис. 23, а и б.
Показанный результат является первым примером вычита-
тельного наложения или оптического стирания изображений, по-
получаемого при сложении дифракционной картины функции U с
дифракционной картиной функции f2. сдвинутой по фазе на
угол я A80°). (Во всем последующем описании под дифрак-
дифракционной картиной подразумевается комплексная амплитуда век-
векторного поля Е в картине дифракции.) В общем случае функции
можно складывать с любыми сдвигами фаз и, в частности, без
какого-либо сдвига фазы.
В дальнейшем описании функции /ь /2, . .. , /п являются
комплексными амплитудами пропускания транспаранта (фото-
(фотопленки и т. д.) или отражающей способности предмета (кото-
(который может быть, конечно, трехмерным), когда предмет или
транспарант освещается монохроматическим светом. И далее
Fn является фурье-образом функции /„. Для простоты исполь-
используются одномерные обозначения.
Поток света /, достигшего голограммы после п последова-
последовательных экспозиций, определяется путем сложения дифракцион-
дифракционных картин, полученных от функций пропускания изображения
fn на фоне когерентной плоской волны, создаваемой опорной
дельта-функцией Л8@). Поток света / после всех экспозиций
равен
' = 2*Л. D4)
где
К =
(-2я1ах) + А„ГЯ ехр(+2мах) + АпА*п D5)
и а — сдвиг между /„ и точечным опорным источником /?4 вдоль
оси \ (рис. 22, а).
В общем случае каждую экспозицию можно осуществлять
при произвольном сдвиге фаз Ф„, характерном для каждой экс-
экспозиции. Сдвиг фаз удобно отнести к опорной дельта-функции,
Тогда
Д, = До ехр (/Ф„) 6@). D6)
Интерференционные полосы
для постройки сдвига по фазе
Микроскоп
Фотопластинки
Рис. 22. Синтез комплексного изображения путем последовательного
голографического сложения интеисивностеи на одной голограмме.
а-схема; б — аппаратура, используемая при синтезе комплексного изображения с помощью
голографического преобразования Фурье; « — детали аппаратуры.
8 Дж. Сгроук

114
ГЛАВА 5
В общем случае поток света, достигающий голограммы в еди-
единицу времени, от каждой функции равен
/n=A2n0+An0Fn eXP С" /Фя) еХР (~ 2ЛШХ) +
-+- AJF*n exp (/Ф„) exp {2max) -f Ffa, D7)
а полный поток света, достигший голограммы, равен
/(¦*) = 2 *Л. D8)
где tn — время экспозиции для каждой функции.
После фотографического проявления при условии, что со-
соблюдается линейность характеристической кривой фотоэмульсии,
пропускание голограммы станет равным (разд. 2 гл. 6)
Я (х) =
D9)
Если, как это принято в голографии, интенсивность опорного
пучка выбрана достаточно большой по сравнению с интенсив-
интенсивностью функций при экспозиции, то биномиальное разложение
выражения D8) дает
E0)
где
X =
- /Ф„I ехр (- 2тах)
]
E1)
/^
+ 2
/Ф„I
/Ф„I2 ехр (— Шах) +
«л«о^ ехр (+ /Ф„I2 ехр (+ Шах)
2 |2 /,Иво^я ехр (- /Ф„I |2 /„/^; ехр (+ /Фя)
1. я
ехр (+ *Ф„I ехр (+2л/ах)}. E2)
J J
ОБРАЗОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРИ КОГЕРЕНТНОМ ОСВЕЩЕНИИ
115
Пропускание голограммы Н(х) можно выразить в следующем
виде:
Н (х) = Но (х) -f- Я, (х) ехр (— 2niax) +
+ Я* (х) ехр (-[- 2л/ах) + Я2 (х) ехр (- 4л/ах) -(-
Н-- Я; (х) ехр (+ 4шах), E3)
где Н0(х) — член нулевого порядка, Я4(*) — боковая полоса пер-
первого порядка и т. д. Для синтеза представляют интерес изобра-
изображения, полученные при преобразовании по Фурье членов боко-
боковых полос первого порядка, т. е. Н\{х) и Н\(х) в выражении
E3). Преобразование Фурье осуществляется путем освещения
голограммы плоской, пространственно-когерентной монохрома-
монохроматической волной и последующего наблюдения изображений в
фокальной плоскости линзы.
Интересующий нас член Ну(х) равен
-у/2
V я
2
/V / л2 \2
21l Гялп0
\ я /
E4)
В выражении E4) необходимо обратить внимание на то, что
Hi(x) пропорционально величине
2^*0 ехр (-/Ф„)/> E5)
Иначе говоря, компонента голограммы Н^(х), отвечающая
боковой полосе первого порядка, оказывается действительно
пропорциональной взвешенной сумме фурье-образов Fn функ-
функций fn, как это и требуется для синтеза комплексных амплитуд.
Вышеприведенные уравнения, в частности Hi(x) [уравне-
[уравнение E4)], можно упростить теоретически и экспериментально,
если все времена экспозиции tn взять одинаковыми, т. е. поло-
положить tn = t, и все амплитуды опорных пучков Ап0 также вы-
выбрать равными, т. е. Ап0 = А.
В этом случае пропускание голограммы в боковой полосе
первого порядка равняется
Я, (х) = (ШАУ^ /_ V /V f ехр (- 1Ф
\ V7 _
" '" ' E6)

116
ГЛАВА 5
Fo'u r i e r I
Subtract i о ni
Fo
а дикции f — FOURIER
а~ф}нкции /i~ SUBTRACTI
Точность комплексного сложения 2 Fn зависит от отношения
п
сигнал/шум, характеризующего весь этот метод.
Если в качестве сигнала S взять первый член в выраже-
выражении E6)
-^т)B/«ехР(-/ф"))- E7>
а в качестве шума .V — второй член в выражении E6)
ОБРАЗОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ ПРИ КОГЕРЕНТНОМ ОСВЕЩЕНИИ
117
то отношение сигнал/шум равно
N
*+¦
E9)
Легко убедиться в том, что превосходное отношение сиг-
сигнал/шум, полученное в эксперименте, зафиксированном на
рис. 23, а и б, подтверждает правильность предсказаний, выте-
вытекающих из соотношения E9).
Сделаем несколько дополнительных замечаний, чтобы пояс-
пояснить устройство для синтеза изображения, показанное на рис. 22.
Рис. 24. Интерферограмма, полученная методом последовательного сло-
сложения голографических интенсивностей на одной голограмме [15].
Существенным элементом его является фазовая пластинка Ф,
служащая в данном случае для осуществления операции вычи-
вычитания путем сложения функции fi с функцией /2, сдвинутой по
фазе на л A80°).
Настройка фазовой пластинки Ф осуществляется непосред-
непосредственно путем наблюдения интерференционных полос, получае-
получаемых в плоскости х (рис. 22, а) с помощью точечного эталона /?2,
который формируется временно устанавливаемым объективом от
микроскопа О2. Фазовую пластинку с произвольным сдвигом
фаз можно получить методом отбеливания экспонированной
фотоэмульсии на высококачественном оптическом стекле [14].
Пример интерферометрии путем последовательного сложения
интенсивностей в одной голограмме был недавно описан Строу-
ком и Лабейри [15] (рис. 24). Полученная интерферограмма
была восстановлена с помощью преобразования Фурье (гл. 6)
безлннзовой голограммы Фурье [16]. В скрытом изображении
этой безлинзовой голограммы Фурье происходила последова-

118
ГЛАВА 5
тельно во времени интерференция с когерентным фоном: сна-
сначала волны света, пропущенной через фазовый предмет [14], ко-
который был изготовлен фотографически, а затем волны света,
падающей на этот же фазовый предмет.
ЛИТЕРАТУРА
1. М а г ё с h а 1 А., С г о с е P., Compt. Rend., 237, 607 A953).
2. O'Neill E. L., Optical Research Lab., Boston Univ., 1956.
3. Cutrona L. J., Leith E. N., Palermo С J., Porcello L. J., IRE
Trans. Inform. Theory, 6, 386 (i960).
4a. А б б е Е„ Теория образования изображения, изложенная в его лекциях,
прочитанных в Иене (см. С z a p s k i S., Gmndziige der Theorie der
Optischen Instruments nach Abbe, 2nd ed., Chap. II, Barth, Leipzig, 1904,
p. 27—64).
46. W о о d R. W., Physical Optics, 3rd ed., Macmillan, New York, 1934; рус-
русский перевод: В у д Р., Физическая оптика, М., 1936.
4в. Marechal A., F г а п с. о п M., Diffraction, Revue d'Optique, Paris, I960;
русский перевод: Марешаль А., Фра неон М., Структура оптиче-
оптического изображения, изд-во «Мир», 1964.
5. G a bo r D., Stroke G. W., Res trick R.,
Brumm D., Phys. Lett., 18, 116 A965).
GaborD., Nature, 161, 777 A948).
Van der LugtA., IEEE Trans. Inform. Theory,
Fischer F., Lichte H., Tonfilm Aufnahme und
Klangfilm-Verfahren, Hirzel, Leipzig, 1931,
S t г о k e G. W., Rev. Optique, 39, 291—398 A960).
J ackson P. L., Appl. Opt., 4, 419 A965).
Stroke G. W., Restrick R., Funkhouser A.,
Lett., 18, 274 A965).
12. Nomarski G., Catalogue de la 53е Exposition de Physique, Paris, 1956,
p. 69; см. также Optlk, 9—10, 537 A960).
Dyson J., Л Opt. Soc. Am., 47, 386 A957).
Gabor D., Stroke G. W., Brumm D.. Funkhouser A., La-
b e у r i e A., Nature, 208, 1159 A965).
S t г о k e G. W L a b e у r i e A., Appl. Phys I ett.,
Stroke G. W., Appl. Phys Lett., 6, 201 A965).
Funkhouser A.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
13.
14.
15.
16.
10, 139 A964).
Wiedergabe nach
dem
Brumm D., Phys.
Глава
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ
ОСНОВЫ ОПТИЧЕСКОЙ ГОЛОГРАФИИ1)
Последние успехи лазерной техники вызвали новую волну
интереса к голографии, впервые описанной Габором в 1948 г.
[1—5] и названную им методом образования изображения путем
восстановления волнового фронта.
Качественное описание двухступенчатого голографического
принципа образования изображения было дано в гл. 1. С мето-
методом голографии мы встречались также в гл. 5 в связи с той важ-
важной ролью, которую голография играет в системах оптической
фильтрации и при синтезе оптических изображений,
i В этой главе мы более подробно рассмотрим голографические
принципы образования изображения и опишем новые результаты
(теоретические и экспериментальные), которые были недавно
получены с участием автора в ходе разработок систем образо-
образования изображений и методов получения максимально возмож-
возможного разрешения в тех диапазонах электромагнитного спектра,
где такие системы невозможно осуществить иначе, как только с
помощью голографии (например, в рентгеновских лучах). Мы
можем сказать в самом общем виде, что те принципы гологра-
голографии, которые рассматриваются в данной главе, составляют осно-
основу любых других голографических систем образования изобра-
изображений и голографических методов преобразования изображений.
Например, используя эти принципы, можно воссоздать трех-
трехмерное изображение предмета с помощью голограммы, искусст-
искусственно изготовленной по расчетным координатам предмета!
После 1948 г. вопросу голографии было посвящено большое
число работ. Значительный прогресс был достигнут при разра-
разработке методов амплитудного наложения когерентного фона на
поле, рассеянное от предмета, а также при получении непере-
неперекрывающихся в пространстве восстановленных изображений.
Оптимистические предсказания Габора, содержащиеся в его
') Данная глава частично основана на материалах, представленных на
Симпозиуме по оптической обработке информации (Бостон, 9 ноября 1964 г.).
см. также Г61.

120
ГЛАВА 6
статье [2], опубликованной в 1949 г., оправдались через 15 лет1).
Вместе с тем сейчас стало очевидным, что возможность дальней-
дальнейшего распространения методов голографии зависит от решения
ряда проблем.
В этой главе мы рассмотрим теоретические и эксперимен-
экспериментальные основы голографии, исходя из современной трактовки
этих вопросов и опираясь на экспериментальные результаты. Из
последних достижений особенно следует выделить два экспери-
эксперимента и две теоретические работы:
1. Реализация принципа восстановления волнового фрон-
фронта, рассеянного от трехмерных макроскопических объектов при
освещении их лазером на длине волны 0,63 мкм.
2. Достижение больших геометрических увеличений
(~150Х) при безлинзовом восстановлении волнового фронта
от биологических микрообразцов, также освещаемых лазером
на длине волны 0,63 мкм.
3. Новое теоретическое доказательство в пользу того, что
с помощью рентгеновской голограммы можно получить исклю-
исключительно высокие пространственные разрешения, значительно
выше тех, которые ранее считались предельными. Реальная пер-
перспектива достижения коэффициента увеличения свыше 1-10е де-
делает возможным получение рентгеновских изображений с высо-
высоким разрешением.
4. Простая и четкая формулировка требований к простран-
пространственной и временной когерентности. Соблюдение этих требова-
требований не только позволяет получить лазерные голограммы трех-
трехмерных предметов, но также решает проблему распространения
голографического метода на рентгеновскую микроскопию.
Работы Габора [1—5] сыграли выдающуюся роль в создании
нового ¦ метода образования оптических изображений. В знак
признания этого факта автор предложил назвать этот новый
метод голографией; этот термин характеризует процесс образо-
образования изображений с помощью голограмм. Этот новый термин
составлен по аналогии со словом «фотография», характеризую-
характеризующим образование изображений с помощью линз.
1. Экспериментальные основы
Выражение «восстановление волнового фронта» используется
для обозначения двухступенчатого фотографического процесса.
Регистрация амплитуды и фазы рассеянной электромагнитной
волны осуществляется на первой ступени путем добавления ко-
') См. стр. 218,
1ЕОРЕТИЧП-СКПГ. И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ОПТ. ГОЛОГРАФ1Ш121
Регистрируемая
интенсивность
Плоская ваяна
Л АЛА"?
Опорная волна
it „ . Интенсивность
х-Фотоплаагшнт W
Опорная волна
х
Интерференционная решетка
(несущая)
Интерференционная решетка,
модулированная по амплитуде,
и разе
Рис. 1. Интерференционная решетка, модулированная по амплитуде
и фазе.
герентного фона определенной структуры. Затем, на второй сту-
ступени, спустя некоторый промежуток времени, восстанавливается
исходный волновой фронт. Когерентный фон необходим для ре-
регистрации на голограмме отрицательных и комплексных значе-
значений электрического поля. Методы регистрации волнового фрон-
фронта отличаются между собой схемами введения когерентного
фона. Следует, однако, напомнить, что сама идея о необходи-
необходимости введения когерентного фона непосредственно связана, с
общим принципом, предложенным Цернике в 1934 г. в связи с
разработкой фазовоконтрастиого микроскопа [7—10].
Нетрудно уловить тесную аналогию между методом реги-
регистрации фазы рассеянной волны с помощью голограммы
(рис. 1—3) и методом регистрации фазы в двухлучевом интер-
интерферометре (рис. 6). Эта аналогия становится почти полной в
схемах, которые мы используем для объяснения принципа голо-
голографии.
Легко можно показать [11] (рис. 4 и 6 гл. 1), что на фото-
фотопластинке образуется интерференционная решетка как в слу-
случае двухлучевой интерферограммы (рис. 6), так и в случае голо-
голограммы (рис. 3). При получении голограммы фоновая, или
Опорная волна
Фотопластинка
(уФотопластинка
(ось z направлена
от наблюдателя)
У
Рис. 2. Схема получения голограммы, представляющей собой модули-
модулированную интерференционную решетку, в случае предмета М{, создающего
плоскую волну.

122
ГЛАВА 6
Предмет
Лазер
¦ Фотопластинка
Опорное зеркало
Рис. 3. Получение голограммы трехмерных предметов [11, 17].
Плоская
волна
Восстановленные
волны
Интерференционная"
решетка
(голограмма)
Рис. 4. Восстановление плоской волны с помощью голограммы, пока-
показанной на рис. 2.
опорная, волна образует вблизи фотопластинки некоторый угол
с рассеянной волной. Если обе волны являются плоскими, т. е.
получены при рассеянии от плоского зеркала (рис. 2), то голо-
голограмма (интерферограмма) образуется в виде решетки, состоя-
состоящей из прямолинейных интерференционных полос с синусоидаль-
синусоидальным профилем.
Если такую решетку — простейшую голограмму — осветить
плоской волной (рис. 4), то при дифракции возникнет система
плоских дифракционных волн, которые, как легко видеть, пред-
представляют собой восстановленные исходные плоские волны.
Если в рассеянной волне имеются как амплитудные, так и
фазовые вариации, то полосы на голограмме все еще сохра-
сохраняют вид решетки в ее обобщенном смысле (рис. 1). Однако
эти полосы решетки промодулированы как по положению, так
и по интенсивности пространственным распределением электро-
электромагнитного поля рассеянной волны в непосредственной близости
от фотопластинки. Если теперь решетку с модулированными по-
полосами осветить плоской волной, то она воспроизведет (разд. 2)
две различные системы дифрагированных волн, фазовая и ам-
амплитудная модуляции которых совпадают с аналогичными моду-
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ 11 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ОПТ. ГОЛОГРАФИИ 123
ляциями исходной рассеянной волны вблизи фотопластинки. На-
Наблюдатель, рассматривающий одну из систем дифрагированных
волн, увидит тот же предмет, который он видел, когда рассма-
рассматривал волны, рассеянные исходным предметом. Вторая систе-
система этих волн обладает свойством формировать действительное
изображение без каких-либо дополнительных линз.
Дифракционные и интерференционные свойства решеток яв-
являются не только необходимыми, но и достаточными для объяс-
объяснения физических явлений, лежащих в основе метода восста-
восстановления волнового фронта [11, 12]. Чтобы достичь полной
наглядности, достаточно напомнить, что обобщенные голограм-
голограммы— это модулированные дифракционные решетки, или ди-
фрактограммы.
Объяснение свойств голограммы с помощью зонной пластин-
пластинки Френеля уже использовал Габор [1, 2,] а затем это предста-
представление позднее было развито и другими авторами, например
Роджерсом [13] и Эль-Самом [14].
Ниже приводится краткий обзор тех теоретических основ
голографии, которые необходимы для дальнейшего развития
теории.
2. Теоретические основы
Строго говоря, детальный анализ принципов голографии воз-
возможен только на основе общей электромагнитной теории про-
процессов рассеяния, дифракции и поляризации. Однако для боль-
большинства задач, рассматриваемых в данной главе, достаточна
приближенная теория, используемая в физической оптике. Не-
Необходимо, однако, помнить об ограничениях этой теории, указан-
указанных в разд. 2 гл. 2, а также в работе [12].
Пусть 22— волна, рассеянная освещенным предметом
(рис. 3). Комплексную амплитуду этой электромагнитной волны
можно разбить на две части: амплитуду А(х) и фазу ф(х). Ка-
Каждая из них несет информацию о структуре волны. Чтобы спустя
некоторое время мы могли восстановить эту рассеянную волну,
необходимо зарегистрировать амплитуду и фазу предельно пол-
полно. Обычная фотография позволяет зарегистрировать только ам-
амплитуду волны или, более точно, амплитуду, возведенную в
определенную степень. Однако при этом информация о фазе
всегда теряется, так как фотоэмульсия реагирует только на
абсолютное значение амплитуды рассеянного света.
Здесь можно отметить то, что именно безвозвратная потеря
информации о фазе создает трудность восстановления изображе-
изображений с обычных рентгеновских дифракционных картин. К счастью,

124
ГЛАВА 6
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ОПТ. ГОЛОГРАФИИ 125
Рис. 5. Интерферограмма волнового фронта, отраженного от оптической
дифракционной решетки [15].
С помощью интерферометра, изображенного на рис. 6, фотографировалось
распределение комплексной амплитуды волны, дифрагированной на решетке
Для того чтобы зарегистрировать комплексную амплитуду, между дифраги-
дифрагированным и опорным пучками создавался малый угол. Такой же способ
применяется при получении голограммы (рис. 2 и 3).
в голографии регистрируется как амплитуда, так и фаза рас-
рассеянной волны, совокупность которых необходима для восста-
восстановления изображения.
Сам факт регистрации фазы покажется не столь удивитель-
удивительным, если мы вспомним хорошо известные интерферометриче-
ские методы, используемые при регистрации фазы оптического
волнового фронта.
Пожалуй, наиболее известным интерферометрическим мето-
методом регистрации фазы волнового фронта является двухлучевая
интерферометрия. Например, с помощью интерферометра изо-
ораженного на рис. 6, можно сфотографировать пространствен-
пространственное распределение фазы волнового фронта, дифрагированного
на линованной оптической решетке (рис. 5). Эти рисунки на-
наглядно демонстрируют ту роль, которую в голографии играют
как дифракция на решетке, так и интерферометрическая реги-
регистрация дифрагированных волн. Пространственные сдвиги ин-
интерференционных полос на интерфёрограмме линейно связаны
с распределением фаз дифрагированного волнового фронта, так
что расстояние между соседними полосами отвечает сдвигу фаз,
равному 2л. С помощью интерферограммы можно восстановить
дифракционную картину либо оптически, либо путем осуще-
осуществления преобразования Фурье на электронной вычислительной
машине (рис. 7). Известны и многие другие системы двух-
лучевых интерферометров, которые позволяют осуществить
аналогичную регистрацию фазы волнового фронта: доста-
достаточно указать на зеркало Ллойда, интерферометр Физо, ин-
интерферометр Майкельсона — Тваймана — Грина и др. Методы
Дифракционная
решетка
Направляющая
Прозрачная
градуированная шкала
(жестко закрепленная
«а решетке)
Коллимирующая
линза
Лампа Hg m
Плоское опорное зеркало
_, Линза, сфокусированная
на реи. k
Фотоаппарат
Точно скорректированная линза
Точечная кщррагма
Фильтр
Рис. 6.
а-схема интерферометра для фотографирования распределения комплексной ампчитуды
о волне, дифрагированной на решетке [15]. Имеется сходство между этим ннтерферометпо
и установкой для получения голограммы [11, 16, 17]; б-внешний вид интерферометра |15|

126
ГЛАВА 6
(**
гмяювя тд угл
ЬЗ,^ и при f-12,2 м
IJiL
Рис. 7. Преобразование Фурье изображения точечного источника, соот-
соответствующего волновому фронту от интерферограммы [18, 19].
Вверху слева показана интерферограмма, полученная с помощью дифрак-
дифракционной решетки 300 штрих/мм. Внизу приведен фурье-образ интерферо-
интерферограммы, рассчитанный с помощью электронной вычислительной машины.
Вверху справа — спектрограмма зеленой линии 0,5461 мкм изотопа Hg198.
Получение фурье-образа интерферограммы с помощью электронной вычи-
вычислительной машины аналогично оптическому преобразованию Фурье, ис-
используемому при оптической обработке данных, записанных на пленку,
например при дифракционной обработке геофизических данных [20].
а — расстояние между соседними полосами; б — отрезок, соответствующий двукратному
увеличению интенсивности.
гетеродинирования с использованием лазеров также имеют мно-
много общих черт с двухлучевой интерферометрией [II].
Многообещающий метод регистрации распределения ампли-
амплитуды и фазы волнового фронта рассеянной волны был предло-
предложен Цернике в 1934 г. [7—10]. Метод Цернике, используемый в
фазовоконтрастном микроскопе, состоит в введении дополни-
дополнительного когерентного фона, который соответствующим образом
ослаблен по амплитуде и отрегулирован по фазе. Этот дополни-
TEOPFTII4ECKIIE И ЭКСПГР1 [.МЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ОПТ, ГОЛОГРАФИИ 127
Источник*
коллиматор ^-J~\ /^ ~~ ~<ssj
Комплексный предмет
¦ш и амплитудный!
Отфильтрованное
изображение
Пространство
Фурье
Рис. 8. Схема устройства, используемого для фазовоконтрастной системы
образования изображения [7—10] и для пространственной фильтрации [21].
тельный фон интерферирует с волновым фронтом, рассеянным
от предмета, причем интерференция происходит непосредственно
перед регистрацией. Когерентный фон обусловлен самим пред-
предметом и фактически представляет собой не что иное, как часть
света, прошедшего через прозрачный предмет (образец) без ди-
дифракции (рис. 8). Когерентный фон накладывается на излуче-
излучение, рассеянное в широком интервале углов от каждого участка
образца. Амплитудное сложение происходит в пространстве
Фурье (рис. 8) между образцом и линзой L2, которая осущест-
осуществляет повторное преобразование изображения. Таким образом,
весь процесс сводится к одноступенчатому преобразованию изо-
изображения. Назначение комплексного фильтра, устанавливаемого
в плоскости Фурье, состоит в том, чтобы изменить соответствую-
соответствующим образом фазу, а также амплитуду когерентного фона. По-
Последний концентрируется в плоскости Фурье вблизи оси, и ин-
интенсивность его обычно велика по сравнению с полем, рассеян-
рассеянным исследуемым образцом. На принципах, аналогичных прин-
принципу Цернике (рис. 8), основаны методы пространственной
фильтрации, впервые предложенные Марешалем в 1953 г. [21] и
развитые различными авторами [22] (гл. 5). Двухступенчатый
голографический процесс, изобретенный Габором [2], имеет фун-
фундаментальное сходство с фазовоконтрастной микроскопией Цер-
Цернике. Так же как и в методе Цернике, вводится когерентный
фон, который получается при прохождении света через сам обра-
образец. Однако эти методы существенно различаются между собой.
В методе Габора сначала фотографируют голограмму, получен-
полученную в результате интерференции когерентного фона с рассеян-
рассеянным полем, а затем ее используют для восстановления изобра-
изображения при второй дифракции. В методе же Цериике изображе-
изображение формируется непосредственно из отфильтрованной картины
дифракции.

128
ГЛАВА f!
Как будет показано в разд. 2.2, при восстановлении волно-
волнового фронта с помощью голограммы любого типа образуются
два изображения. До последнего времени неверно считали (см.,
например, [23]), что полное пространственное разделение изобра-
изображений возможно лишь при двухлучевой схеме получения голо-
голограммы (рис. 9). В противоположность этому автор (совместно
со своими студентами) [24] недавно доказал, что идеальное
разделение можно получить при помощи первоначальной «одно-
лучевой» габоровской схемы, когда оба пучка (опорный и моду-
модулирующий) идут параллельно. При этом восстановление полу-
получалось как при точечном, так и при диффузном освещении. Разу-
Разумеется, двухлучевая схема удобна в эксперименте, но никаких
принципиальных преимуществ она перед «однолучевой» схемой
не имеет. Очень длительное время «однолучевая» схема Габора
ассоциировалась с невозможностью пространственного разделе-
разделения действительного и мнимого изображений. В работе [23], опи-
описывающей двухлучевую схему голографии, явно подразумевает-
подразумевается, что введение двухлучевой схемы является важнейшим усо-
усовершенствованием. В других работах высказывалось мнение,
что двухлучевая схема — это непременное условие (sine qua non)
для осуществления полной записи фазы и пространственного
разделения восстановленных изображений. Автор и его студен-
студенты [24] доказали, что несимметричная двухлучевая голограмма
(см., например, рис. 9) — это всего-навсего половина эквивалент-
эквивалентной симметричной однолучевой голограммы Габора '). Такую
однолучевую голограмму можно изготовить, если опорный пу-
пучок после огибания предмета с двух сторон направить нормаль-
нормально на фотопластинку. Двухлучевая схема впервые была пред-
предложена Ломаном [25] и описана Катрона и его сотрудниками
[26]. Опорный пучок (плоский или сферический) в этой схеме
получается путем отклонения с помощью призмы [16] или зер-
зеркала [11] части пучка света, направленного на предмет2).
В рентгеновском диапазоне, где отсутствуют призмы или зер-
зеркала, необходимые для получения плоского или сферического
опорного пучка, классическая схема голографии столкнулась,
') С этим утверждением автора можно согласиться только в том случае,
если не расценивать его как умаление фундаментального значения того исто-
исторического факта, что именно работы Лейта и Упатниекса, открывших и осу-
осуществивших двухлучевую схему голографии, являются теми узловыми иссле-
исследованиями, которые но существу возродили идею голографии Габора и От-
Открыли возможность широкого применения голографии в науке и технике.
Другой ветвью основополагающих экспериментов явились работы Денисю-
ка. — Прим. ред.
2) См. также работы Мерца по использованию однополосной схемы пре
образования Френеля [80]. — Прим. ред.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ ОСНОВЫ ОПТ. ГОЛОГРАФИИ 129
казалось бы, с непреодолимыми трудностями, пока, наконец,
Строук с Фальконером не наметили этапы их устранения.
В конце 1964 г. [27] они доказали, что голограмма Фурье
дает гораздо более высокую разрешающую способность, чем
обычная голограмма Френеля (разд. 3). Однако первоначально
считалось (разд. 7 гл. 5), что голограмму Фурье можно получить
только в фокальной плоскости системы фокусирующих линз или
зеркал. В такой системе волна, рассеянная предметом, подвер-
подвергалась преобразованию Фурье, а уже затем интерферировала
с опорной волной. Поэтому необходимость фокусирующих эле-
элементов при получении голограммы Фурье превращалась в не-
непреодолимое препятствие при использовании этой схемы голо-
голографии Фурье в рентгеновском диапазоне, пока, наконец, в
начале 1965 г. автор [29] не предложил способ получения безлин-
безлинзовой голограммы Фурье. Необходимость введения фокусирую-
фокусирующих элементов между предметом и голограммой полностью от-
отпала (разд. 3)! Для рентгеновских лучей при длинах волн 1А
голограмма Фурье позволяет в 1000 раз повысить разрешающую
способность по сравнению с голограммой Френеля. Однако даже
и это преимущество, казалось, ничего не может дать, так как
для его реализации требовалось создание точечных опорных
пучков с размером, равным желаемой разрешающей способ-
способности, т. е. 1 А. Наконец, в 1965 г. автор и его сотрудники [30] до-
доказали, что «размытые» изображения, получаемые от протяжен-
протяженного источника, можно восстановить с высоким разрешением по
схеме корреляционной компенсации, если использовать для
этого источник определенной пространственной структуры, воз-
возрождающий разрешение в процессе восстановления [31] (разд. 3).
Теперь перейдем к изложению принципов получения голо-
голограммы и восстановления изображений, общих для любых голо-
графических систем формирования изображения.
2*1. Процесс получения голограииы
Амплитуду и фазу рассеянной волны можно зарегистрировать
фотографически, если к рассеянной волне, падающей на фото-
фотопластинку, добавить когерентный опорный пучок. Простейшая
схема осуществления такой суперпозиции световых волн показа-
показана на рис. 3 и 9. Широкая плоская волна освещает одновременно
предмет и плоское зеркало [11] или треугольную призму [16].
Излучение, рассеянное предметом, создает вблизи фотопластин-
фотопластинки поле с амплитудой А(х) и фазой ф(х). Призма, поворачивая
пучок на малый угол 0, создает там же поле с постоянной ам-
амплитудой Ао и линейно меняющейся фазой ах, где а — постоян-
9 Дж. Строук

130
ГЛАВА 6
Призма
Падающая
плоская волна
Рассеивающий
предмет
Фотопластинка
Рис. 9. Схема получения голограммы (см. также рис. 2 и 3).
ная, определяемая углом 0 и длиной волны Я (при малых углах
sin 0-0):
<хА, = 2я0. A)
Полная амплитуда поля на фотопластинке равна
(x)el<fM. B)
Фотоэмульсия зарегистрирует интенсивность
/ (х) = Al + А2 (х) + 2ДЛ (х) cos [ах + ф (х)]. C)
Мы видим, что благодаря наличию опорного пучка (А0Ф0)
удалось сохранить фазу ф(х) рассеянной волны.
Фотографическая эмульсия регистрирует интенсивность све-
света, возведенную в некоторую степень, определяемую коэффи-
коэффициентом контрастности у. Если работать на линейном участке
характеристической кривой фотоэмульсии, то амплитудное про-
пропускание ее Т(х) пропорционально выражению
Л2(х) 4-2Л0Л(х)со5[ах-|-ф(х)]}"
1
У/2
« Ао v~2{ Al — у у А2 (х) — уА0А (х) cos [ах +- ф (х)]
да 2Ло — у А2 (х) — 2у А0А (х) cos [ах + ф (х)] =
= 2А1 - уА2(х) -уА0А(x)ei<f{x)Uax-уА0А(х)е7i<({x)~ta\ D)
где у — коэффициент контрастности. При выводе мы предпола-
предполагали, что интенсивность опорного пучка намного выше, чем ин-
интенсивность света, рассеянного предметом. Это позволяет сохра-
сохранить в разложении бинома только члены первого порядка. Вы-
Выражение D) Габор [1, 2] назвал уравнением голограммы.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ОПТ. ГОЛОГРАФИИ 131
Следует отметить две особенности этого уравнения. Во-пер-
Во-первых, коснемся роли коэффициента контрастности у. В отличие
от требований, возникающих при осуществлении аналогичных
процессов, ни точная величина у, ни ее знак не влияют па про-
процесс получения голограммы. Например, если изготовить кон-
контрастный отпечаток с голограммы и этим изменить знак у на
обратный, то это приведет к изменению фазы переменной соста-
составляющей пропускания на 180°. Небольшое изменение абсолют-
абсолютной величины коэффициента контрастности у приведет к усиле-
усилению или ослаблению амплитуды этой переменной составляющей.
Вторая особенность затрагивает взаимосвязь амплитуды Л (х)
и фазы ф(х). Легко заметить, что амплитуда А (х) и фаза ф(х)
рассеянной волны входят в уравнение голограммы естественным
образом, т. е. как Л (х)ехр [ир(х)] в третий член D) и
Л(х)ехр[—щ(х)] в четвертый. Недавно Кэйзи [32] и Пеннингтон
[33] доказали, что распределение интенсивности света можно
превратить в вариации толщины эмульсии, пропорциональные
(при определенных условиях [34]) экспозиции, и путем фото-
фотохимического отбеливания получить рельефно-фазовую голо-
голограмму. В этом случае, если экспозиции не слишком велики,
комплексная амплитуда пропускания голограммы имеет вид
Т (х) = е" м да 1 -f // (х). Dа)
2.2. Процесс восстановления изображения
Процесс восстановления изображения исходного предмета
осуществляется очень просто с помощью голограммы, описывае-
описываемой выражением D). При этом не требуются ни линзы, ни
шлирен-фильтры, ни нож Фуко. Достаточно только осветить голо-
голограмму пучком света с плоским волновым фронтом, как показа-
показано на рис. 10. Плоская волна при прохождении через фотопла-
фотопластинку умножается на величину, соответствующую пропусканию
Г(х). При этом на выходе пластинки возникнут четыре состав-
составляющие, соответствующие четырем членам уравнения D). Пер-
Первый член является постоянной величиной, и поэтому он не соз-
создает вариации, а просто равномерно ослабляет параллельный
пучок. Второй член также ослабляет пучок, но неравномерно,
что приводит к дифракции плоской волны.
Третий и четвертый члены уравнения голограммы D) со-
создают более сложную картину. Чтобы понять, каким образом
они преобразуют падающую плоскую волну, рассмотрим дей-
действие призмы треугольного сечения. Известно, что такая
призма сдвигает фазу падающего пучка на величину, пропор-
пропорциональную толщине призмы в точке падения (рис. 11). При

132
ГЛЛВЛ 6
Голограмма
Падающий
пучок
Восстановленный
волновой фронт
Неотпттчп
ПУЧОК I пучок
Изображение
рассеивающего
предмета
Рис. 10. Восстановление волнового фронта и образование изображения
при освещении голограммы плоской волной.
положительном сдвиге фазы пучок отклоняется вверх, а при от-
отрицательном— вниз. Поэтому действие третьего члена уравне-
уравнения D) можно описать как умножение плоской волны на ампли-
амплитуду рассеянной волны и отклонение ее в положительном напра-
направлении. Аналогично четвертый член осуществляет умножение
плоской волны на комплексно-сопряженную амплитуду рассеян-
рассеянной волны и ее отклонение в отрицательном направлении.
»- tat
е + i
Рис. 11. Схема с призмой, поясняющая сдвиг фазы и поворот волнового
фронта, обусловленный третьим и четвертым членами уравнения D);
ак = 2яО.
Благодаря этим призматическим сдвигам фаз в третьем и
четвертом членах уравнения D) пучок отклоняется вверх и вниз
соответственно на угол 0, определяемый соотношением A). Кро-
Кроме того, третий член, описывающий пучок, отклоняемый вверх,
содержит в качестве множителя амплитуду поля А (лг)ехр [/ф(х)]
и таким образом восстанавливает точную копию исходной рас-
рассеянной волны. Четвертый член, описывающий пучок, отклоняе-
отклоняемый вниз, содержит в качестве множителя комплексно-сопря-
комплексно-сопряженную амплитуду и также восстанавливает копию исходной
волны с тем только существенным различием, что волна эта
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ОПТ. ГОЛОГРАФИИ 133
распространяется «назад» во времени, как бы возвращаясь к
исходному трехмерному предмету.
Перейдем теперь к рассмотрению принципов, лежащих в
основе этих процессов.
2.3. Фииичсскиг принципы голографии
Для выяснения физических принципов голографии рассмо-
рассмотрим метод регистрации и восстановления волнового фронта для
образцов исчезающе малых размеров. Первоначальный вариант
этого метода применительно к точечным образцам был предло-
Падающип Точечная Сферическая
пучок диафрагма еолт
Фотопластинка
Рис. 12. Голограмма точечного предмета.
Схема используется при обсуждении коэффициента увеличения, опреде-
определяемого выражением F).
жен Габором [2], а позднее был развит Роджерсом [13, 35—37]
и Эль-Самом [14].
По аналогии с этими работами выберем в качестве образца
непрозрачную пластинку с точечным отверстием. Если такое
отверстие осветить плоской волной, то, согласно принципу Гюй-
Гюйгенса, оно будет действовать как источник сферической волны.
На фотопластинку упадет волна с амплитудой
Л0^^ + Лехр[^х2], E)
где А — некоторая постоянная, % — длина волны света, f — рас-
расстояние между точечным отверстием и фотографической пла-
пластинкой (рис. 12). Согласно уравнению D), пропускание голо-
голограммы для точечного предмета равно
Т (х) ~ 2Al - У А2 - уА0А ехр [/ f х2 + tax]
ехр
ilLx2-tax\. F)

134
ГЛАВА 6
падающий пучон
Восстановленный
'волновой фронт
^отклоненный
пучок
Мнимое
изображение
Голограмма
Действительное
изображение
Рис. 13. Восстановление волнового фронта н образование изображения
при освещении голограммы точечного предмета (см. рис. 12).
Собирающая линза
Рассеивающая линза
—Оптическая ось
Рис. 14. Схема с линзами, поясняющая действие линейных и квадратич-
квадратичных членов в экспоненте выражения F) (см. рис. 12).
Относительная простота исходного предмета и выражения F)
позволяет наглядно объяснить процесс восстановления. Если
голограмму, описываемую выражением F), поместить в па-
параллельный пучок, то, как показано на рис. 13, возникнут три
составляющие пучка. Первую составляющую образуют первый
и второй члены выражения F). Поскольку они постоянны, то
справа от голограммы появится параллельный равномерно
ослабленный пучок. Третий и четвертый члены выражения F)
имеют в показателе экспоненты линейные фазовые сдвиги, бла-
благодаря чему эти две составляющие отклоняются вверх и вниз в
зависимости от знака показателя экспоненты.
Чтобы понять, к чему приводит квадратичный фазовый сдвиг
± (л/А/)х2, напомним, что тонкая сферическая линза сдвигает
фазу падающего пучка на величину, пропорциональную квадра-
квадрату расстояния между осью и точкой падения. Собирающая линза
создает отрицательный сдвиг фаз (рис. 14). Поэтому третий член
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ОПТ. ГОЛОГРАФИИ 135
выражения F) не только отклоняет пучок вверх, но и действует
как рассеивающая линза. Падающая плоская волна повернет
вверх и превратится в расходящуюся сферическую волну. Эта
волна идентична волне, которая освещала голограмму при экс-
экспозиции. Аналогично четвертый член выражения F) действует
на плоский пучок не только как отклоняющая вниз призма, но
и как собирающая линза. Повернутый вниз пучок превращается
в сходящуюся сферическую волну. Эта волна сфокусируется в
точку на расстоянии / от голограммы. Таким образом при осве-
освещении голограммы плоской волной мы получаем не только вос-
восстановленный исходный волновой фронт рассеянной волны, но
также и сфокусированное изображение предмета, в данном слу-
случае— точечный источник. В разд. 2.4 рассматриваются система
освещения предмета точечным источником и свойственная го-
голографии возможность получения больших геометрических уве-
увеличений.
2.4-. Геометрическое увеличение
Голографические системы позволяют получать исключитель-
исключительно высокие коэффициенты увеличения. Основной прием —это
использование в процессе восстановления излучения с длиной
волны, большей, чем длина волны излучения, применяемого в
процессе получения голограммы. Подсчитаем коэффициент уве-
увеличения. Пусть предмет имеет вид двух точечных отверстий в не-
непрозрачной пластинке, отстоящих друг от друга на расстоя-
расстоянии 26. Согласно принципу Гюйгенса, каждое отверстие можно
считать точечным сферическим излучателем. Тогда амплитуда
волны на фотопластинке имеет вид
Ао ехр (- tax) + А ехр [/ ~ (х - бJ] + А ехр [/ ~ (х + бJ]. G)
Согласно уравнению D), пропускание соответствующей голо-
голограммы пропорционально следующему выражению:
- уА0А { ехр [/ -^ (* — бJ] + ехр [/ ^- (х + бJ]} ехр (tax) -
(8)

136
ГЛАВА 6
В этом месте мы отступим от описания обычного метода восста-
восстановления и рассмотрим схему, приведенную на рис. 15'). Для
освещения голограммы используется точечный источник излу-
излучения на длине волны А/. Напомним, что при получении голо-
голограммы использовался плоский волновой фронт с длиной вол-
волны X. Четвертый член уравнения (8) будет по-прежнему дей-
действовать как комбинация призмы и линзы (разд. 2.3), отклоняя
Восстановленный
волновой фронт
Неотклоненный
пучок
Мнимое изображение
тачечных отверстий
Источник А'
*| Действительное
> изображение
,J точечных отверстии
Рис. 15. Восстановление волнового фронта и образование изображения
при освещении голограммы точечным источником.
Предмет состоит из двух точечных отверстий (см. также рис. 16).
излучение вниз и фокусируя его в точку. Однако вследствие
перехода при восстановлении к другой длине волны фокусное
расстояние /' линзы изменится в соответствии с формулой
X'f' = Xf, (9)
где / — начальное фокусное расстояние эквивалентной линзы.
Расстояние q между голограммой и изображением связано с
расстоянием р между источником и голограммой (рис. 16) клас-
классической формулой линзы
f'-p + q-Tf (Ш)
Линейные размеры восстановленного изображения возра-
возрастут в М раз по сравнению с размерами предмета; при этом ко-
коэффициент линейного увеличения равен
') Подробное рассмотрение голографии Френеля, основанное на изло-
изложенных здесь общих принципах, см., например, в работах [38, 39].
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ II ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ОПТ. ГОЛОГРАФИИ 137
Учитывая подобие треугольников на рис. 16, можно выразить М
через известные размеры
*=¦?
р + д
р
A2)
(Призма повернет оба крайних луча на один и тот же угол 0,
поэтому подобие треугольников не нарушится.) Отсюда полу-
получаем формулу для коэффициента линейного увеличения
X f ¦
A3)
В этом выражении / — расстояние между исходным предметом
и голограммой (рис. 12) в процессе ее получения в лучах света
источник
Изображение
Рис. 16. Схема, поясняющая свойство голограммы увеличивать предмет.
Голограмма и предмет те же, что и на рис. 15. Для ясности голограмма
заменена эквивалентной системой, состоящей из призмы и двух линз.
(Верхний и центральный пучки для наглядности опущены.)
с длиной волны X; q — расстояние между голограммой и пло-
плоскостью изображения (рис. 16), восстановленного светом на дли-
длине волны X'. В случае рентгеновской микроскопии коэффициент
увеличения М1) может превышать значение 106.
') Коэффициент увеличения в голографии Фурье (разд. 3) выражается
аналогичной формулой. Пусть точечный предмет Р находится на расстоянии
| от источника в плоскости, нормальной к оси, Тогда на голограмме полу-
получится «решетка» с постоянной решетки ар = Я//|. При восстановлении голо-
голограмма действует как линза с фокусным расстоянием f, осуществляющая
преобразование Фурье. «Решетка» создает точечное изображение Р' на рас-
расстоянии %'=Х'\'1ар = \'К'1'Щ от оси. Таким образом, коэффициент увеличения
равен Х'\'1Х\.

138
ГЛАВА 6
2.5. Разрешающая способность
Хорошо известно, что увеличение само по себе бесполезно,
если оно не сопровождается высокой разрешающей способно-
способностью. Вопрос о разрешающей способности обычной голографии
Френеля [1—5, 13, 14, 16, 17, 35—37, 40, 41] был подробно рас-
рассмотрен в работах Баеца [40, 42] и Эль-Сама [14]. Они показали,
что основную роль здесь играют два фактора: разрешающая
Предмет
в виде решетки
Фотопластинка
Условие регистрации полос
Рис. 17. Ограниченная разрешающая способность обычной голографии
Френеля, обусловленная зернистостью фотоэмульсии.
способность фотопластинки, используемой в качестве голограм-
голограммы, и диаметр источника, применяемого при получении голо-
голограммы. В принципе голография основана на законах интер-
интерферометрии. Не удивительно поэтому, что факторы, ограничи-
ограничивающие разрешающую способность, одни и те же и в гологра-
голографии, и в интерферометрии (об интерферометрии см. [15] и
рис. 6).
Так как голограмма — это по существу интерферограмма, то
ее способность к регистрации информации определяется, помимо
монохроматичности источника, следующими двумя параметрами:
1) углом между опорным и рассеянным пучками; 2) размерами
и формой апертуры источника, с помощью которого формирует-
формируется плоский или расходящийся опорный пучок. В разд. 3 описаны
методы, применение которых способствует улучшению этих пара-
параметров. Здесь же мы пока остановимся более подробно на клас-
классических ограничениях разрешающей способности [40, 42, 43],
свойственных голографии Френеля.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ОПТ. ГОЛОГРАФИИ 139
В чем причина этих ограничений разрешающей способности
проективной голографии? Очевидно, в том, что доступные фото-
фотоэмульсии и источники света тех размеров, которыми мы распо-
располагаем, не позволяют зарегистрировать слишком частые интер-
интерференционные полосы. Например (рис. 17), если имеется эмуль-
эмульсия с разрешением 0,5 мкм, то с ее помощью можно различить
два точечных предмета, отстоящих друг от друга на расстоянии
не меньше чем на 10000 А, даже в том случае, если использо-
использовать рентгеновское излучение на длине волны 1 А. При этом
такое разрешение достижимо лишь в оптимальных условиях,
когда предмет освещается плоской волной, и можно зарегистри-
зарегистрировать интерференционные полосы шириной 0,5 мкм.
Проведем строгий расчет предельной разрешающей способ-
способности голографии Френеля. Изготовим голограмму одного то-
точечного образца, используя плоский опорный пучок. Пусть
I (х)—интенсивность, регистрируемая фотопластинкой:
/ (x) = Al -f- A2 -f- 2АИ cos
A4)
Пространственная частота v(x) вариаций интересующего нас
третьего члена зависит от координаты х, поскольку по опреде-
определению
i Л 0\ a . x ... -,
K+Tfx2) = ^ + W A5)
Таким образом, если разрешающая способность эмульсии равна
N линиям на единицу длины, то фотопластинка зарегистрирует
лишь пространственные частоты
/ \ i a . х
A6)
Иначе говоря, картина вариаций будет зафиксирована только
в том случае, если х попадает в интервал
х
-xf
а
я
A7)
где размер 2хмакс этого интервала равен размеру голограммы в
направлении х. Отсюда имеем
2хмакс = 2М/. A8)
Физически это эквивалентно тому, что собирающая линза
(рис. 13), фокусирующая плоскую волну, имеет ограниченные
размеры 2хмакс С другой стороны, из классической теории ди-
дифракции [уравнение (8) гл. 5] следует, что при освещении линзы

140
ГЛАВА
размером 2хмак0 плоской волной предел разрешающей способ-
способности по Релею оавен
рр мак0 плос
ности по Релею равен
Сравнивая выражения A8) и A9), получаем выражение для
классического предела разрешающей способности голографии
Френеля
Это согласуется с качественными оценками, полученными с по-
помощью рис. 17.
Вследствие приближенного характера формулы B0) она ос-
остается справедливой также и для внеосевой сферической опор-
опорной волны. Если диаметр источника имеет размеры, равные пре-
предельному разрешению эмульсии, т. е. \/N, что типично для су-
существующих эмульсий и точечных источников (в виде отвер-
отверстии), то формула B0) также остается верной. Более подробно
влияние размеров источника на процессы регистрации и восста-
восстановления изображений рассматривается в разд. 4. Там будет по-
показано, с помощью какого метода можно скомпенсировать поте-
потери разрешения, обусловленные протяженностью источника, если
его размеры велики по сравнению с желаемым разрешением.
Таким образом, предельное разрешение голографии Френеля
приближенно равно удвоенному разрешению регистрирующей
среды. У лучших фотоэмульсий, например у спектроскопических
пластинок 649 F, выпускаемых фирмой «Кодак», разрешение со-
составляет около 0,5 мкм. Поэтому независимо от длины волны
света, используемого при регистрации, в голографии Френеля
невозможно добиться разрешения, лучшего чем 1 мкм. В 1965 г.
нами [29] был предложен метод безлинзовой голографии Фурье.
Дальнейшие исследования [27—31] показали, что с ее помощью
можно значительно повысить реальное разрешение. Достижению
этой же цели способствует также предложенный нами в 1965 г.
[31] метод компенсации потерь разрешения для протяженных
источников с помощью схемы корреляционного восстановления.
3. Голография Фурье с высоким разрешением
3.1. Введение
Чтобы получить в голографии высокую разрешающую спо-
способность, необходимо, чтобы оптическая система пропускала ди-
дифракционную картину в широком интервале углов [см. критерии
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ОПТ. ГОЛОГРАФИИ 141
Аббе и Релея, уравнения G) и (8) гл. 5]. Однако, кроме этого,
необходимо, чтобы свет, рассеянный предметом на максимально
большие углы по отношению к направлению освещения, можно
было зарегистрировать путем наблюдения картины интерферен-
интерференции между рассеянной волной и опорным пучком. Согласно кри-
критерию разрешения Аббе, для пространственного разрешения де-
деталей предмета величиной а порядка размеров длины волны л
требуется зарегистрировать дифракционную картину в пределах
i = 0
Рис. 18. Схема, поясняющая дифракцию на решетке.
углов i' = arc sin (к/а)—я/2 (на рис. 18 показан простейший пред-
предмет— дифракционная решетка). Исходя из этих же соображе-
соображений, можно найти размер 2хмакс голограммы, требуемый для по-
получения заданного разрешения.
Весьма существенным развитием основ голографии явились
работы Строука и Фальконера [27] и Строука [29], в которых
впервые была предложена голография Фурье. Оказалось, что
голография Фурье дает значительный выигрыш в разрешающей
способности по сравнению с голографией Френеля. В гологра-
голографии Фурье восстановленные действительное и мнимое изображе-
изображения образуются на +оо и —оо соответственно. Чтобы восстано-
восстановить эти изображения, достаточно осветить голограмму Фурье
плоской монохроматической волной, а затем сфокусировать ее с
помощью линзы (рис. 19). В результате второго преобразования
Фурье в фокальной плоскости линзы появится изображение.
Последующий анализ основан на предположении, что как
для формирования эталонного пучка при получении голограммы,
так и при восстановлении изображения используются точечные
источники. Это предположение вполне оправдано тем, что эф-
эффекты, связанные с использованием протяженного источника,
можно скомпенсировать [31], как будет показано в разд. 4.
Некоторое время считалось, что процесс преобразования
Фурье, в частности получение голограммы Фурье, обязательно
требует линз или других фокусирующих систем. Если нам зада-
задана некоторая фокусирующая система, то распределение

142
ГЛАВА 6
Голограмма Фурье
Верхнее бокош
изображение
Нулевой порядок
-неотклопенный пучок
Нижнее боковое
изображение
Рис. 19. Восстановление изображений с помощью голограммы Фурье.
При освещении голограммы производится преобразование Фурье [11].
комплексной амплитуды (например, поля Е) в плоскости зрачка
линзы и такое же распределение в фокальной плоскости связа-
связаны преобразованием Фурье (рис. 20, а). Поскольку в рентгенов-
рентгеновском диапазоне фокусирующие линзы и зеркала отсутствуют, то
все преимущества голографии здесь фактически сводятся на нет.
Вторым существенным этапом в развитии основ голографии
явилось изобретение безлинзовой голографии Фурье [29]. Автор
показал, что голограмму Фурье можно получить без каких-либо
фокусирующих линз или зеркал (рис. 20,6). Эксперименты
Фотопластинка
Голограмма Фурье
безлинзовая
голограмма Фурье
Рис. 20.
а-получение голограммы Фурье; б-получение голограммы Фурье без помощи линзы [29]
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ОПТ. ГОЛОГРАФИИ 143
Строука и его сотрудников (рис. 21) подтвердили, что с по-
помощью безлинзовой голографии Фурье можно повысить разре-
разрешение, в частности, для трехмерных предметов.
Предмет
Точечная диафрагма
для отбора мод L
Везлинюеан
голограмма Фурье
Рис. 21.
а — регистрация трехмерных предметов с помощью голограммы Фурье без использования
линз [30]; б — изображение, восстановленное по схеме рис. 19 с помощью безлинзовой голо-
голограммы Фурье.
Высоких разрешений одинаково успешно можно достичь с
помощью голографии Фурье, как линзовой, так и безлиизовой.
Линзовые варианты используются иногда для задач фильтрации
и синтеза изображений. Особенно удобна голография Фурье при
регистрации волн, распространяющихся под большими углами
к оси и передающих наиболее высокие пространственные

144
ГЛАВА 8
Рис. 22. Изображение, восстановленное с голограммы Фурье по схеме
рис. 20, а.
Голограмма изготовлена на пленке Polaroid P/N.
частоты. На рис. 22 приведена фотография изображений, вос-
восстановленных с помощью голограммы Фурье, изготовленной на
пленке Polaroid P/N.
3.2. Физические основы безлинзовой голографии
Фурье высокого разрешения
Ранее уже отмечалось, что голограмма — это по существу
интерферограмма, образующаяся при интерференции поля, рас-
рассеянного от предмета, с опорной волной или когерентным фоном.
Обычно опорная волна имеет протяженный фронт плоской или
сферической формы в зависимости от схемы используемого
устройства.
Для удобства рассуждений часто полагают, что рассеиваю-
рассеивающий предмет — это либо обобщенная двумерная или трехмерная
решетка, либо система рассеивающих точечных диполей. В голо-
голографии также полагают, что различные точки предмета рас-
рассеивают свет когерентно; при этом подразумевается временная
когерентность. Каждая точка предмета считается стационарным
излучателем той же частоты, что и частота опорной волны. Су-
Суперпозиция опорной волны и волн, рассеянных предметом, со-
создает на голограмме интерференционную картину. Ее комплекс-
комплексную амплитуду можно рассчитать двумя методами: 1) найти
сумму опорного и рассеянного полей в плоскости голограммы;
2) просуммировать картины интерференции опорной волны с
одной из многочисленных составляющих рассеянного поля.
Ниже мы будем использовать второй метод рассмотрения.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ОПТ. ГОЛОГРАФИИ 145
В обычной проективной голографии Френеля процесс реги-
регистрации осуществляется следующим образом. Сферические вол-
волны, рассеянные различными точками предмета, интерферируют
с плоской или сферической опорной волной, причем ее кривиз-
кривизна отличается от средней кривизны волн, идущих от предмета.
Для каждой точки предмета возникает своя система колец —
зонных картин Френеля. Наличие зонных картин Френеля, несу-
несущих информацию о рассеянной волне, рассматривалось как
обязательное условие достоверной регистрации фаз волны, рас-
рассеянной предметом.
Значительный прогресс в голографии был достигнут в рабо-
работах [27, 29], в которых впервые было доказано, что фазовую ин-
информацию о рассеянном поле можно зарегистрировать без по-
помощи зонных картин Френеля. При этом информация о фазах
регистрируется с помощью голограммы Фурье, которая пред-
представляет собой картину интерференции между сферическими
волнами, рассеянными отдельными точками предмета, и расхо-
расходящейся опорной волной той же кривизны. Последнее дости-
достигается тем, что центр опорного пучка располагается вблизи
предмета.
То, что фазовую информацию можно зарегистрировать без
помощи зонных картин Френеля, становится сразу же очевидным,
если вспомнить об аналогии, которая имеется между голо-
голограммой и интерферограммой. Напомним здесь, что различают
две группы интерферограмм:
1) интерферограммы с локализованными полосами, как, на-
например, кольца Ньютона или интерферограммы с зонами Фре-
Френеля, а также прямые полосы, возникающие при интерференции
двух плоских волн;
2) интерферограммы с не локализованными полосами или по-
полосами на бесконечности; такие полосы возникают при интер-
интерференции между двумя плоскими волнами или же между двумя
сферическими волнами одинаковой кривизны, распространяю-
распространяющимися в одном и том же направлении. Если две волны имеют
одинаковую кривизну и одно и то же направление распростране-
распространения, то фазовая информация входит в интерферограмму в форме
локальных изменений интенсивности на волновом фронте без
образования локализованных интерференционных полос.
Несмотря на то что мы недавно доказали [24], что центр опор-
опорной волны можно расположить на оси предмета, все же для луч-
лучшего разделения двух изображений (одного на +оо, другого на
—оо) предпочтительно использовать наиболее распространенные
сейчас методы голографии, а именно обычную схему сдвига
центра предмета относительно опорного пучка. Следует отме-
отметить, что эксцентрическое расположение центра предмета и
10 Дж. Сгроук

146
ГЛАВА 8
точечного опорного источника (рис. 20, б) естественным образом
вытекает из схемы получения безлинзовой голограммы Фурье.
Благодаря этому пространственное разделение двух симметрич-
симметричных изображений в голографии Фурье получается автоматически
при восстановлении.
Н.Н. Теория безлпнзовой голографии Фурье
Пусть 7"(?)—комплексная амплитуда рассеянного предметом
электрического поля в плоскости предмета. Пусть далее
Ат = Ао ехр (/ -щ-
B1)
есть комплексная амплитуда сферической опорной волны, имею-
имеющей центр в точке | = 0 — в плоскости фотопластинки (рис. 23).
Предмет
Точечный
опорный
источник
?4
" f
2f
Рис. 23. Схема, поясняющая параметры, используемые при описании
получения голограммы Фурье.
Каждая точка предмета образует сферическую волну, ампли-
амплитуда которой в плоскости фотопластинки выражается следую-
следующим образом:
Т (|) ехр Г / -jf (х — If I dl. B2)
Суммарная амплитуда рассеянного поля в плоскости фотопла-
фотопластинки равна
I,
А (х) = J Т (I) ехр [i -^(х- If] dl. B3)
Если предмет достаточно мал, а голограмма имеет размеры,
достаточно большие, чтобы обеспечить высокое разрешение, то
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ОПТ. ГОЛОГРАФИИ 147
членом g2 можно пренебречь1) и считать
(х — If хх12— 2x1.
B4)
Тогда амплитуду поля B3) с учетом соотношения B4) можно
выразить так:
J Т (?) ехр [* ± *?] ехр [- i ± xl] d\.
B5)
На голограмме будет зарегистрирована интенсивность
т. е.
/(x)=\As\2 + \Ar
,+ АД,
B6)
B7)
Из соотношений B1), B5) и B7) получаем распределение ин-
интенсивности на голограмме
-ЬЛ J
. B8)
Мы видим, что распределение интенсивности на голограмме
определяется фурье-образами комплексной амплитуды 7"(?) и
ее комплексно-сопряженной функции Т*A), заданными в пло-
плоскости предмета2).
Ранее мы показали [уравнение D)], что если голограмму
осветить плоской волной, то поле, образующееся позади голо-
голограммы, имеет вид
11(х)Г B9)
') Множитель ехр [i(k/2f)x2] действует на восстановленное изображение
как тонкая рассеивающая линза (рис. 14). Компенсация этого эффекта пред-
предложена в работе [27].
2) Фактически здесь осуществляется обратное преобразование Фурье, и
интегралы в уравнении B8) следует рассматривать как инверсные фурье-
образы, так как в экспоненте стоит знак «минус». Именно это обстоятель-
обстоятельство оправдывает выбор прописной буквы Г(|) для описания поля в плоско-
плоскости %, так как, согласно общим правилам [уравнения B) и E) гл. 7], пере-
переход от функции f(x), заданной в координатном пространстве, к функции
F{u), заданной в пространстве «частот» или координатах Фурье, требует
наличия в экспоненте знака «плюс». — Прим, реду
10*

148
ГЛАВА 6
при условии, что фотоэмульсия работает на прямолинейном уча-
участке характеристической кривой. При этом коэффициент кон-
контрастности у имеет следующий геометрический смысл:
C0)
где ф — угол наклона прямолинейного участка характеристиче-
характеристической кривой, изображенной на графике в двойном логарифми-
логарифмическом масштабе. Если, как обычно, интенсивность опорного
пучка в плоскости голограммы намного больше интенсивности
рассеянного поля, то, разлагая выражение B9) в ряд, опреде-
определим с учетом B8) пропускание голограммы
f h
J Г(!)ехр(/Ах|Ц . C1)
г,
Последнее уравнение можно назвать уравнением пропуска-
пропускания голограммы, освещаемой плоской волной (рис. 24). Первые
два члена в фигурных скобках являются постоянными. В двух
интегралах можно узнать фурье-образы ¦) комплексной ампли-
амплитуды 7"(?), описывающей исходный предмет, и ее комплексно-
сопряженной функции Г*(|).
Для того чтобы восстановить изображения предметов T(Q
и Г*(|), необходимо осуществить преобразование Фурье над
функцией Н(х). Для этого голограмма освещается плоской вол-
волной 2, и изображение, образующееся в фокальной плоскости,
фотографируется с помощью линзы L (рис. 24). Поскольку ис-
Плоскость ?'
изображения
Их) I Ш) Линза | 1
" ¦ ' ' / \ \TU'-O-\
Голограмма Фурье
Рис. 24. Схема восстановления путем преобразования Фурье, выполняе-
выполняемого над голограммой Фурье И (х).
') См. предыд^ щее примечание.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ОПТ. ГОЛОГРАФИИ 149
ходный предмет располагается на расстоянии %0 от оси [чтобы
осуществить преобразование Фурье в соответствии с формулами
B5) и B8)], то два восстановленных изображения, не перекры-
перекрывая друг друга, будут находиться на расстояниях -{- ^0 и — - |0
от оси, т. е. с тем же эксцентриситетом, что и в исходном рас-
расположении. Чтобы учесть эксцентриситет |0, введем
T&-IJ. C2)
Из теорий преобразований Фурье [выражение (9) гл. 7] изве-
известно, что если
T(l)^±t(x), C3)
то
Поскольку, согласно выражению A6) гл. 7,
C4)
C5)
то аналогично
lnit,ox). C6)
Наконец, учитывая знаки в экспонентах ехр(—ikx^/f) и
exp ( + ikxl/f) в уравнении C1) и используя соотношения C4)
и C6), находим, что преобразование уравнения C1) по Фурье
дает два изображения, которые описываются амплитудами
' (fe — So> ' { S
C7)
соответственно. Эти изображения расположены симметрично от-
относительно точки ? = 0.
;5.+. Сопоставление разрешающих способностей
голографии Фурье п голографии Френеля
Голография Фурье, особенно ее безлинзовый вариант, вызы-
вызывает к себе больший интерес, так как она дает высокое про-
пространственное разрешение по предмету, особенно при захвате
света, дифрагированного под большими углами.
Рассмотрим в качестве предмета двумерную дифракционную
решетку, характеризуемую постоянной решетки а. Углы паде-
падения i и дифракции /' связаны уравнением решетки [выраже-
[выражение A) гл. 1].
sint-J- sini' = ~. C8)

150
ГЛАВА
Если излучение падает нормально к поверхности решетки (*' =
то
/' = arcsin —.
C9)
Отсюда видно, что если разрешение достигает величины поряд-
порядка длины волны К, то угол дифракции составляет примерно я/2.
Если дифракция происходит под большими углами, то голо-
голограмма Френеля уже больше не описывается приближенными
выражениями B4). Используя схему на рис. 25, можно пока-
показать, что оптическая разность хода равна
cos/').
D0)
В безлинзовой голографии Фурье оптическая разность хода
определяется совсем другим выражением (рис. 26)
A5 = |0sint'. D1)
Это выражение справедливо для любых углов, если только голо-
голограмма Фурье регистрируется на сферической фотопластинке.
Для малых углов пластинка может оставаться плоской (рис.27).
Сравнивая выражения D0) и D1), можно сделать вывод, что
коэффициент «выигрыша» в разрешающей способности составит
A
Д5
L
D2)
Мы видим, что преимущества голографии Фурье по разрешаю-
разрешающей способности по сравнению с голографией Френеля особенно
заметны при больших углах дифракции и при малых расстоя-
расстояниях 1о- Если //go =1000 (например, /=100 мм и ?о = О,1 мм), то
коэффициент «выигрыша» G в этом случае равен
1', градус
10
30
45
64
80
90
О для //!„=1000
100
300
400
650
980
1000
Из таблицы видно, что даже при углах дифракции /'=10° го-
голография Фурье дает выигрыш в 100 раз по сравнению с голо-
голографией Френеля для типичных в рентгеновской микроскопии
Голограмма'
Рис. 25. Оптическая
разность хода
в голограмме Френеля.
Сферическая
пластинка
Рис. 26. Оптическая разность хода в безлинзовой голограмме Фурье на
сферической фотопластинке [29].
Предмет
Голограмма Фотопластинка
Рис. 27. Голография с использованием протяженного источника [31].
При использовании протяженных источников предмет и источник эквива-
эквивалентны. В одинаковой степени они кодируют друг друга при регистрации
и декодируют при восстановлении (см. рис. 28 и 2^,

152
ГЛАВА б
значений f/|0, а фактически этот выигрыш в разрешении может
достигать трех порядков величины.
Приведем также таблицу значений параметра g, т. е. вели-
величины, которая в уравнении D2) заключена в квадратные скобки
/', градус
10
30
45
64
80
90
g
0,1
0,3
0,4
0,65
0,98
1,00
С величиной G она связана соотношением
D3)
Даже в микроскопии видимого или ультрафиолетового диа-
диапазона голография Фурье дает ощутимые преимущества, напри-
например при fHo=25 и г' = 45° выигрыш составляет 10, а при /У|0=50
и г' = 64° выигрыш в разрешении превышает 30.
4. Компенсация протяженности источника
в голографии
Если при регистрации или восстановлении используются про-
протяженные источники, то разрешение по изображению умень-
уменьшается, в результате чего изображение точечного предмета раз-
размывается подобно тому, как это описано в гл. 3. Согласно выра-
выражению A7) гл. 3, потери разрешения вызываются тем, что при
получении голограммы осуществляется интегральная операция
свертки предмета с источником. Изображение точечного пред-
предмета размывается до размеров источника; этот процесс более
подробно будет рассмотрен ниже. До недавнего времени счи-
считалось, что использование протяженных источников вместо точеч-
точечных приводит к безвозвратной потери разрешения. В рентгенов-
рентгеновской голографии такие потери были бы особенно велики, так как
источники размером менее 100 А отсутствуют, а предельное раз-
разрешение определяется длиной волны, равной 1 А.
Весьма важный прогресс в голографии и вообще в системах
образования изображений при когерентном освещении был до-
теоретические И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ОПТ. ГОЛОГРАФИИ 153
стигнут в работах Строука и его сотрудников [31]. Авторы этих
работ указали на парадоксальную возможность «возрождения»
разрешающей способности при восстановлении. Было доказано,
что для этого голограмму, полученную с помощью протяженного
источника, необходимо осветить также протяженным источни-
источником. Структура последнего должна быть такой, чтобы функция
корреляции предмета и источника имела вид узкого пика, ши-
ширина которого равна требуемому разрешению. Такими свойства-
свойствами обладают источники с широким спектром пространственных
частот, например зонные пластинки Френеля или другие конфи-
конфигурации, которые можно получить с помощью интерференции.
4.1. Краткая теория
Чтобы проиллюстрировать этот важнейший вывод, рассмо-
рассмотрим сначала теорию метода в том кратком виде, как она была
изложена в работе [31].
Рассмотрим в качестве модели простейшую схему получения
одномерных голограмм Фурье (рис. 23). В плоскости, где нахо-
находится предмет, описываемый комплексной амплитудой ТоA—а),
располагается точечный источник с амплитудой Г8(|)=б(?).
Однако в отличие от прежней схемы рассмотрим теперь протя-
протяженный источник пространственно-когерентного света с комп-
комплексной амплитудой
Ts(l-a), D4)
где а — эксцентриситет или смещение источника относительно
«центра тяжести» предмета, который описывается комплексной
амплитудой
То{1). D5)
Теми же шагами, что и при выводе соотношения B8), получим
распределение интенсивности по голограмме
/ (х) = [у* + t/s] + у; exp Bniax) + t'Qt3 exp (- 2niax), D6)
где t0 и U — фурье-образы предмета То и источника Ts соответ-
соответственно [соотношение C3)].
Если теперь голограмму осветить точечным источником, как
это делается в обычной схеме голографии Фурье (разд. 3 на-
настоящей главы), то возникнут два внеосевых изображения, со-
соответствующих второму и третьему членам уравнения D6). Что-
Чтобы найти амплитуду верхнего и нижнего изображений, необхо-
необходимо найти фурье-образ комплексного амплитудного пропускания

154
ГЛАВА 8
D7), используя для этого соотношения E7) и (9) гл. 7. Тогда
второй и третий члены уравнения D6) примут вид
(Го * Т%_а, D7)
и
(Го * Ts\+a, D8)
где символ * означает операцию корреляции [E2) гл. 7]. Так
как коэффициент увеличения принят равным единице, то в каче-
качестве координаты изображения можно взять %. Очевидно, изобра-
изображения будут размыты в результате их корреляции с протяжен-
протяженным источником 7"s.
Осветим теперь голограмму вместо точечного источника не-
некоторым протяженным источником T's, который может и не сов-
совпадать с Ts. Если фурье-образ 7> равен ts-, то комплексное ам-
амплитудное пропускание голограммы для второго члена уравне-
уравнения D6) имеет вид
К' [V* ехр Bмах)\ = [tQ exp Bniax)](ts,Q. D9)
Фурье-образ этого выражения с учетом соотношений C4а), E7)
и (9) гл. 7 описывает верхнее внеосевое изображение
[То®(Т3'*Т$\г_а, E0)
где символ © означает операцию свертки [соотношение B2)
гл. 7].
Если корреляция
равна дельта-функции, то мы получим
(^®e)i-e = G-oh_e. E1)
Это уравнение гласит, что верхнее восстановленное изображе-
изображение идентично самому предмету в том случае, если операция
корреляции между амплитудой восстанавливающего источника и
комплексно-сопряженной амплитудой T*s имеет вид 6-функ-
ции. Иными словами, при соблюдении такого условия примене-
применение протяженных источников в голографии не приводит к по-
потере разрешения.
Если, например, 7V = Ts, то
GV * "О E2)
является функцией автокорреляции источника. Если Ts содер-
содержит широкий спектр пространственных частот, то величина, оп-
определяемая выражением E2), имеет вид функции с очень узким
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ОПТ. ГОЛОГРАФИИ 155
центральным максимумом. Чтобы различные пространственные
частоты были представлены достаточно полно, требуется про-
протяженный источник определенных размеров. Но именно это и по-
повышает светимость источника, столь желательную в голографи-
ческих системах. В качестве примера такого класса протяжен-
протяженных источников мы уже упоминали зонные пластинки Френеля.
Эксперименты по компенсации разрешающей способности
описанным здесь методом иллюстрируются рис. 28 и 29. Из
рис. 28 видно, что даже весьма произвольный выбор источника
в виде [ d\ дает возможность добиться достаточно полной ком-
компенсации размытия верхнего изображения. Однако размытие
нижнего изображения остается нескомпенсированным. Это вы-
вызвано тем, что описанное выше преобразование не годится для
компенсации последнего члена уравнения D6): оно может ском-
скомпенсировать лишь второй член этого уравнения.
В самом деле, если голограмма, как и прежде, освещается
источником 7V, то в результате преобразования Фурье, выпол-
выполняемого над последним членом уравнения D6), возникнет изо-
изображение, описанное выражением
[Tl*(TS'®Ts)]Ua, E3)
или, если 7> = Та,
[fo*(Ts®Ts)]l+a
E4)
В общем случае свертка G"s®7"s) не равнадельта-функции, ес-
если только источник не обладает двукратной симметрией вра-
вращения относительно оптической оси (рис. 2 гл. 7). Таким обра-
образом, необходимо четко различать обычно полезную функцию ав-
автокорреляции источника (Г„# Ts) от не всегда полезной свертки
(TS®TS). Это различие иллюстрирует рис. 28, а. Верхнее изо-
изображение получается при помощи операции корреляции, и по-
поэтому его размытие удается компенсировать. Нижнему изобра-
изображению соответствует операция свертки, и оно остается размы-
размытым.
В заключение отметим, что в ряде применений различие
между свойствами операции свертки и корреляции может ока-
оказаться полезным. Например, комплексно-сопряженное изображе-
изображение в первоначальной схеме микроскопа Габора можно пода-
подавить, если использовать источник такой формы, которая не об-
обладает двукратной симметрией вращения!
Прежде чем сформулировать дальнейшие выводы, приведем
более строгое доказательство результатов, кратко изложенных
выше.

•ense
*©«»*«
TIO
P и t. 28. Компенсация протяженности источника, позволяющая «возро-
«возрождать» разрешающую способность голограммы Фурье с помощью метода
корреляционного восстановления [31].
а— компенсированное изображение, восстановленное с кодированной голограммы в. Голо-
Голограмма освещалась тем же протяженным источником | A\ произвольной формы, что и при
регистрации (см. б). Разрешение верхнего изображения восстановлено, поскольку здесь осуще-
осуществляется корреляция функций источников. Нижнее изображение, наоборот, размыто, так как
здесь происходит свертка функций источников (см. также рис. 2 гл. 7).
б—в качестве предмета выбрано слово FOURIER. Получение голограммы в осуществлено
с помощью источника J d\. Несмотря на произвольность выбора источника, удается апосте-
риорно возродить разрешающую способность с помощью метода корреляционного восстано-
восстановления. Имеется сходство с аподизацией (устранение побочных максимумов дифракционной
картины); см., например, [44].
в — кодированная голограмма Фурье, при изготовлении которой вместо точечного источника
был взят источник 8 форме d\.
г —некомпенсированное восстановленное изображение, получающееся при освещении голо-
голограммы в плоской волной по схеме рис. 19.
¦ Я
*-*-•-¦
Рис. 29. Апостериорная компенсация протяженного источника, позволяю-
позволяющая «возрождать» разрешающую способность голограммы [31].
а — голограмма Фурье с фокусным расстоянием / — 600 мм. В качестве источника при полу-
получении голограммы использовалась половинка зонной пластинки Френеля диаметром 19 мм. Зон-
Зонная пластинка была изготовлена путем интерференции. Диагональ разделяет голограмму на две
части. Одна нз них была освещена сферической волной из действительного фокуса зонной
пластинки, а другая — из мнимого. Можно брать и полные зонные пластинки (см. в и г). Воз-
Возможны также и протяженные источники без специальной структуры, например две полулинзы.
6 — компенсированное изображение, восстановленное путем преобразования Фурье. Голо-
Голограмма а была освещена тем же самым протяженным источником, который использовался
при ее получении.
в —кодированная голограмма Фурье. В качестве источника использовалась полная зонная
пластинка диаметром 10 мм (та же, что и в случае а).
г — компенсированные изображения, восстановленные с помощью голограммы а. Голограмма
освещалась той же самой полной зониой пластинкой, что и прн получении восстановленного
изображения по схеме б [3IJ.

158
ГЛАВА 6
4.2. Строгая теория ')
Рассмотрим чертеж, изображенный на рис. 27. Пусть функ-
функция пропускания предмета, как и раньше, равна
Tod),
D5)
а функция пропускания источника есть
Tsd-a)- D4)
Излучение, прошедшее сквозь предмет, создаст на голограмме
электрическое поле с амплитудой
?<>(¦*)=
E5)
где &1 = 2яДь a R — расстояние от источника до точки х на голо-
голограмме. Разлагая бином в приближении fi3>xS>g, получаем
= fi[l
i
г • • •
E6)
Если ta и ts — фурье-образы Го и Ts соответственно, то поля, соз-
создаваемые предметом и источником в плоскости голограммы,
равны
{[+-¦?]} to(x),
E7)
^] E8)
Фотопластинка зарегистрирует интенсивность
/ (х) = [Ео (х) + Es (х)} [Ео (х) + Е, (х)}* =
= toil 4 t/s + /о** exp \ikx -yp| + &, ехр [— ih -^]. E9)
Комплексная амплитуда h(I) поля, возникшего при освеще-
освещении голограммы, зависит от интенсивности I'(х). Если голограм
му осветить плоской волной, что соответствует применению то-
точечного источника при восстановлении, то, разлагая h(I) в ряд
около значения средней интенсивности /0, получим
h (I) - h (/0) + h' (/„) (/ - /0
(I - /0J + • • • • F0)
') Разработана автором совместно с Рестриком и др. [31].
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ОПТ. ГОЛОГРАФИИ 159
Подставляя выражение /(х) из E9) в F0), находим
, ехр [- /Л, ^] + А_, ехр [/А, ^] +
[^.]. F1)
Внеосевое изображение первого порядка описывается комплекс-
комплексным коэффициентом
hi = А'(/о) Mo4 jr h" (;о) 2МоЫ*о4 tstl — /о) 4 • • • • F2)
Выясним условия, при которых первый член соотношения F2)
играет основную роль. Перепишем соотношение E9) в виде
где
А = ^о^о 4 tsts — Аь
В = tstl
-iAI-^-)], F3)
F4)
Произведя двукратное разложение трехчлена F3) по фор-
формуле бинома, получим
л а
п\
°> ~ А4 шшк (п — а)! (а — р)! р!
а-0 р-0
Ап
X
Однако для первого члена внеосевого изображения
2р — а = 1
или
а нечетно и р = —i—.
В этом случае
И/_/уч _ V 11
IV '0) Jl-я бок. полоса ^J у' се — 1 \ t / ОС —f— 1 \ f
а нечетно \п а) • I —я I . I ?; I !
F5)
F6)
F7)
X
а-1 1+а
ХАп~а(В*) 2 В 2
F8)
Рассмотрим теперь фурье-образ типичного слагаемого этой
суммы
а-1 l+cm Г а-1 1 + а 1
jJU""a"IE*) 2 5 2 J- F9)
2 jJ=

160
ГЛАВА б
где
Также замечаем, что
так как /0 — постоянная величина.
Отсюда следует, что
В соответствии с соотношением F4)
Теперь предположим, что
G1)
G2)
G3)
G4)
G5)
G6)
G7)
для любого W, мы получаем вместо соотношения F9) следую-
следующее выражение:
(В*В)~Т~ В. G8)
Снижая далее степень В с помощью аналогичной процедуры,
находим
Сравнивая соотношение G9) с первым членом выражения F2),
мы видим, что они идентичны по форме. Отсюда мы можем сде-
сделать вывод, что члены более высокого порядка в выражении
F2) пренебрежимо малы при условии, если равенство
G1а)
(80)
Повторяя эту операцию п раз и учитывая, что
W= W
выполняется с достаточно хорошим приближением.
Тогда выражение F2) принимает вид
В заключение необходимо получить восстановленное изображе-
изображение. Для этого найдем фурье-образ выражения (80). С целью
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ II ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ОПТ. ГОЛОГРАФИИ 161
общности предположим, что восстановление производится на дру-
другой волне света /.2 = 2л/&2 и при другом фокусном расстоянии f2.
Пусть фурье-образ hi(x) равен
Я, (?') = Г А, (х) ехр [- ik2 4^1 dx,
(81)
где ?'— координата в плоскости изображения, т. е. в фокальной
плоскости линзы, осуществляющей преобразование Фурье и
имеющей фокусное расстояние /2.
Используя при интегрировании (81) промежуточные пере-
переменные и учитывая выражение (80), получаем
Ts (v) ехр (- /-^1O-0 (Л) ехр (i ^- ] X
X ехр(—/-—jexp
X ехр \ — i\ — +
к2а ?,г|
7^ К
= A' (/0) J Ts (v) rS (v + a + i^- Г) dv.
(82)
Уравнение (82) гласит, что амплитуда бокового изображения
равна функции корреляции 7'л и То, имеющей эксцентриситет а
относительно оптической оси и увеличенной в число раз, равное
Это согласуется с выражением D8) и коэффициентом увеличе-
увеличения, определяемым выражением A3). Такое согласие позволяет
прийти к выводу, что упрощающие предположения, сделанные
в предыдущем разделе, вполне приемлемы. Таким образом, при-
приближенная формула действительно дает правильные результаты,
если справедливы условия G1) и G2).
4.3. Некоторые кыводы
Можно утверждать, что метод компенсации протяженного
источника найдет применение в интерферометрии, а также в го-
голографии. Можно также предполагать, что схема компенсации
11 Дж. Строук

[62
ГЛАВА ti
может применяйся при оптической фильтрации (ivi. 5) либо в
сочетании с методами фильтрации, либо даже вместо них.
Наконец, важно подчеркнуть тесную аналогию, имеющуюся
между методом компенсации протяженного источника с по-
помощью операций корреляции при когерентном освещении и ме-
методом, основанным на использовании согласованного фильтра
при некогерентном освещении, например в спектроскопии (спек-
(спектроскоп Жирара на решетках). Эта аналогия позволяет сделать
вывод (который не кажется очевидным с первого взгляда), что
метод компенсации протяженного источника — это, по существу,
метод, основанный на использовании согласованного фильтра
при когерентном освещении.
5. Требование к когерентности в голографии
Строго говоря, для получения голограммы при простран-
пространственно-когерентном освещении требуется выполнить только одно
условие когерентности, которое состоит в том, чтобы излучение
от каждой точки предмета могло интерферировать с излучением
от любой точки источника*).
Условие когерентности удовлетворяется при выполнении сле-
следующих требований. Во-первых, рассеивающий предмет То и
источник Ts должны испускать свет одной и той же частоты. Во-
вторых, необходимо, чтобы предмет и источник были стационар-
стационарными2) в поле, которое падает на голограмму. Это условие не
нарушается для диффузно рассеивающего предмета. Кроме то-
того, и сам предмет можно освещать диффузным светом. При
этом условие стационарности нарушено не будет. Наконец, в
предыдущем разделе было доказано, что различие между пред-
предметом и источником фактически отсутствует. Таким образом,
как источник, так и предмет могут образовывать диффузную
волну при условии, конечно, что источник Ts>, используемый
при восстановлении, дает кросс-корреляцию TS*TS', которая
равна дельта-функции, как это было показано в разд. 4.
Метод получения голограммы (рис. 38) при освещении пред-
предмета рассеивателем, движущимся во время экспозиции, был ус-
успешно продемонстрирован в работе [28]3). Результаты ее можно
') Для получения голограммы при пространственно-некогерентном осве-
освещении выдвигается требование, противоположное указанному (разд. 9.2).
2) Не только в смысле механической стационарности, но также и в
смысле условия стационарности C) гл. 4. — Прим. ред.
3) Результаты работы [28], по-видимому, не подтверждаются последую-
последующими опытами, см. De Bitetto D. J., Appl. Phys.'Lett.., 8 D), 78—80
A966). — Прим. ред.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ОПТ. ГОЛОГРАФИИ 163
легко понять, если привлечь теорию наложения интенсивностей
в скрытом изображении при последовательных экспозициях [45]
одной и той же голограммы (разд. 9 гл. 5).
Если для регистрации голограммы вместо лазеров исполь-
используются обычные источники света, область, на которой может
возникнуть интерференция, ограничивается шириной спектраль-
спектральной линии. Когерентная длина L определяет размеры и глубину
предмета или сцены, голограмму которой можно получить путем
интерференции с плоской или сферической волной, формируемой
с помощью зеркала, располагаемого иногда вблизи предмета1).
Рассмотрим две волны света, одну с частотой v, а другую с
частотой v — Av. Пусть с — скорость света в вакууме, а к — дли-
длина волны, соответствующая частоте v. Тогда
с — \К. (84)
Круговая частота
= 2nv,
(85)
а фаза ф, входящая в уравнение волны, равна
Ф = ®t = 2nvt. (86)
Пусть в момент / = 0 две волны с частотами v и v — Av нахо-
находятся в одинаковой фазе. Через некоторый промежуток времени
t, которому соответствует длина L, определяемая как
L = ct, (87)
две волны разойдутся по фазе на величину
A(p = 2n[v* —(v —Av)*] = 2jiAW. (88)
Отсюда, дифференцируя соотношения (86) и (84), из выражения
(88) получим
Дф = — 2n^-t, (89)
где АК — разность длин волн, соответствующая разности ча-
частот Av.
Определим длину когерентности ?я/2 как расстояние, на ко-
котором разность фаз между двумя волнами составит л/2. Срав-
Сравнивая выражения (89) и (87), получаем следующее значение
когерентной длины:
^^Ш1 (90)
') Доказательство, приведенное ниже, получено совместно с Г. Г. Строу
ком.
11*

164
ГЛАВА 6
Это уравнение используется для определения размеров, в пре-
пределах которых можно сохранить когерентность, когда задана
определенная геометрия, а спектр излучения состоит из твух
линий.
6. Сводка основных результатов
В предыдущих разделах были изложены теоретические и экс-
экспериментальные основы голографии. Составляющими элемен-
элементами голографии являются:
1) интерферометрия;
2) теория дифракционных решеток;
3) условия когерентности.
При распространении голографии на область рентгеновских
волн необходимо помнить, что критерии интерферометрии позво-
позволяют априори оценить успех голографического метода, если пу-
путем моделирования выполнить некоторые необходимые экспери-
эксперименты. F
i., r
Рис. 30. Сравнение интерференционных полос в рентгеновском и опти-
оптическом диапазонах, свидетельствующее об осуществимости рентгеновской
микроскопии с помощью голограммы.
Полосы получены при помощи зеркала Ллойда.
О-для видимого света с ?. = 4358 А [46]; 6-для рентгеновскою излучения с Л = 8,33 А [47].
о i g о
Н О *?
О О з Я
а,3 !- н
lilt
§ а 3 s.
33 3 cj „
sa
Э я
^31
-e-f

Рис. 32. Голографическая регистрация и восстановление трехмерного предмета по методу, опи-
описанному в работе [11].
а —схема получения голограммы: R — опорное зеркало. О — предмет, Я —голограмма на фотопластинке Kodak 649F:
о —голограмма; в —действительное изображение, сфотографированное без помощи фотоаппарата; г —мнимое изображение,
СсЬотОГОа(ЬиООВанное СКВОЧЬ голпгппмму. И:* fifioMV ступенях нрполыовялси лггчеп w.i пниш' пплт-г О fi.4 mis и.
"О
S
СП
•е-=
•е-*
о
я
s
S H
-™ та
S
г та
3
-'V* :г.
11 §11
I|3

Точечный js^J / '
опорный источник i у/ /
Когерентная
опорная волна
">сК Диафрагма
^-^Л /для отбора я
бора мод
,'4Ш
•^"-•t^y' ' Предмет в виде
решетки
Дифрагированная воина
Голограмма
па фотопластинке
Рис. 34. Безлинзовая микроскопия. Схема проекционной голографической
установки, на которой была изготовлена голограмма (рис. 33).
Р и с. 35. Безлинзовая микроскопия. Внешний вид проекционной голографи-
голографической установки [11] (см. рис. 34).
Голографическая микроскопия представляет особый интерес ввиду трех-
трехмерности получаемого здесь изображения и связанной с этим значительной
глубины поля зрения. Это свойство может принести пользу не только в рент-
рентгеновской и электронной микроскопии, но также в микроскопах с видимым
и ультрафиолетовым излучением. Диаметр образца О (решетки) равен при-
приблизительно 14 мм.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ОПТ. ГОЛОГРАФИИ 169
Дишррагма
для omffopa мод
' Фотопластинка
Рис. 36. Голографическая микроскопия. Схема восстановления изображе-
изображения в проекционной микроскопии.
На рис. 30 показаны интерференционные полосы, полученные
Кельстромом [47] для рентгеновских лучей с Я = 8,33 А при по-
помощи зеркала Ллойда. Результаты этого эксперимента могут
служить указанием того, какого порядка величины когерент-
когерентность может быть достигнута, а следовательно, характеризовать
и ту голограмму, которую можно изготовить в соответствии с
теорией, изложенной в предыдущем разделе.
Рис. 37. Голографическая микроскопия. Внешний вид установки (рис. 36)
для восстановления изображения в проекционной микроскопии.
Р — пластинодержатель; Н — голограмма; L — лазер.

170
ГЛАВА 6
Восстановленные изображения трехмерных сцен, освещен-
освещенных согласно методам, изложенным в предыдущих разделах [11,
17, 27, 48], показаны на рис. 31, а. На рис. 31,6 и 32,6 приве-
приведены соответствующие голограммы этих трехмерных сцен. При
получении голограммы и при восстановлении использовался ла-
лазер с длиной волны 0,63 мкм.
Микрофотография двумерной решетки, увеличенной в 6 раз,
сделанной с помощью безлинзовой голографии согласно схеме,
Рис. 38. Голографическая микроскопия с движущимся рассеивателем и
с освещением под многими направлениями [28].
В масштабе показаны слева направо: увеличенное в 3 раза изображение,
голограмма и образец. Схема получения голограммы дана на рис. 39, а внеш-
внешний вид установки — на рис. 40. Во время экспозиции диффузный рассеива-
тель двигался. В связи с этим напомним работу по амплитудному синтезу
изображений [31] (см. также рис. 22 и 23 гл. 5), в которой показано, что
комплексные амплитуды можно суммировать в скрытом изображении голо-
голограммы! Для этого надо при соответствующих условиях (!) осуществить по-
последовательное наложение голограмм по интенсивности. Изображение
высокого качества, восстановленное в этих необычных (на первый взгляд)
условиях, демонстрирует эффекты когерентности и суперпозиции в голо-
голографии. В ряде случаев приходится специально использовать движущееся
зеркало или рассеиватель, чтобы добиться высокого разрешения.
рассмотренной в разд. 2.4, приведена на рис. 33, а, а соответ-
соответствующая голограмма, также полученная без помощи линз,—
на рис. 33,6. На рис. 35 дан общий вид установки для получе-
получения голограммы, а на рис. 34 ее схема. Рис. 37 представляет
собой фотографию установки для восстановления изображения.
При попытке распространить голографические методы на
рентгеновскую микроскопию мы столкнулись с принципиальны-
принципиальными трудностями. Они возникают из-за невозможности сформиро-
сформировать однородную протяженную волну рентгеновского излучения
на требуемых участках рассеянного поля. Для того чтобы обойти
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ОПТ. ГОЛОГРАФИИ 171
Точечный
опорный источник
Когерентная
опорная волна
Диафрагма
для отбора мод
Движущийся
рассеиватель
Предмет в виде
решетки
Дифрагированная волна
Голограмма
на фотопластинке
Рис. 39. Схема получения голограммы с движущимся рассеивателем и
освещение под многими направлениями [28] ').
Использование рассеивателя не только обеспечивает освещение образца
под всеми углами, но также служит средством расщепления пучка, напри-
например с помощью полуматовых пластинок, упомянутых Ньютоном в „Оптике"
в связи с интерферометрией (см. также [61, 62]).
эту трудность, мы предложили применить зеркала или рассеива-
тели, приводимые в движение во время экспозиции. В резуль-
результате использования этого приема когерентный пучок (или его
часть) направляется во всех заданных направлениях. Согласно
этому принципу, были выполнены моделирующие эксперименты
в оптическом диапазоне.
На рис. 38 приведена фотография изображения, восстанов-
восстановленного с голограммы, которая была получена в эксперименте,
когда рассеиватель, бросающий свет на предмет, во время экс-
экспозиции находился в движении. Там же показаны в масштабе
голограмма и предмет. Схема установки, используемой при по-
получении голограммы (рис. 38), дана на рис. 39, а рис. 40 пред-
представляет собой фотографию этой установки. Для получения хо-
хороших голограмм необходимо выполнить следующие основные
требования:
1. Интерферометрическая (механическая и тепловая) ста-
стабильность расстояний между всеми элементами: предметом,
опорным зеркалом или линзой и фотографической пластинкой.
В голографии, как и в обычной интерферометрии, все элементы
установки необходимо разместить на массивной основе и ждать,
пока в системе не наступит тепловое равновесие.
2. Интенсивность опорного пучка на фотопластинке должна
быть в 5—10 раз выше интенсивности рассеянного поля. Тогда,
') Результаты последующих экспериментов [см. De Bitetto D. J, Appl.
Phys. Lett., 8 D), 78—80 (I960)] не подтверждают опыта автора, и здесь,
по-видимому, необходимы более тщательные исследования. — Прим. ред.

172
ГЛАВА 6
Рис. 40. Внешний вид голографического микроскопа с диффузным осве-
освещением и движущимся рассеивателем [28].
Справа гелий-неоновый лазер непрерывного действия средней мощности.
В данной работе использовались лишь лазеры непрерывного действия. В ряде
случаев, чтобы избежать влияния вибраций и нестабильности температуры,
выгодно использовать импульсные лазеры. Эти недостатки особенно высту-
выступают при получении голограмм крупных предметов. (Впервые голографиро-
голографирование быстро протекающих явлений с помощью лазера в обычном импульс-
импульсном режиме и с модуляцией добротности описано в работе [63].) Однако
работы Мичиганского университета показали, что удовлетворительной ста-
стабильности интерферометров не трудно добиться и с лазерами непрерывного
действия.
согласно уравнению D), будут возникать боковые изображения
только первого порядка (см. также уравнение F2) и разд. 4).
Наконец, несколько замечаний о голографии Фурье с высо-
высоким пространственным разрешением. Кроме той схемы вы-
высокого разрешения, которая была приведена в разд. 3, можно
представить себе много других схем осуществления преобразо-
преобразования Фурье. Во всех подобных устройствах восстановленное
изображение возникает в фокальной плоскости линзы, осущест-
осуществляющей это преобразование. При этом большие коэффициенты
увеличения, определяемые выражением A3), достигаются с по-
помощью голографии Фурье с тем же успехом, что и в голографии
Френеля. При этом коэффициент увеличении, обусловленный
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ II ЭКСПЕР11МГ.1П ЛЛЫ1ЫЕ ОСНОВЫ ОПТ. ГОЛОГРАФИИ 173
только геометрическими факторами, равен /2//ь где /i и /2 — фо-
фокусные расстояния линз, используемых при получении голограм-
голограммы и восстановления изображения.
7. Электронный .микроскоп и рентгеновский
голографнческнй микроскоп
Необходимо сделать несколько замечаний о возможности
применения голографического микроскопа в свете успехов со-
современной электронной микроскопии.
Современные электронные микроскопы легко достигают раз-
разрешающей способности порядка нескольких ангстрем. Даже са-
самые оптимистические оценки не позволяют в настоящее время
надеяться, что в рентгеновской микроскопии (голографической
или обычной) удастся превысить это разрешение при использо-
использовании любых мыслимых рентгеновских источников. С другой
стороны, есть основания считать, что в электронных микроско-
микроскопах будущего удастся улучшить уже достигнутое высокое разре-
разрешение, а также успешно преодолеть проблему нагрева образца.
Однако имеются такие проблемы, решение которых с по-
помощью рентгеновского голографического микроскопа привело бы
к устранению ряда существенных недостатков современного
электронного микроскопа. Так, например, рентгеновские лучи не
нагревают образец и обладают значительно большей проникаю-
проникающей способностью, чем электронные лучи самых высоких энер-
энергий. Эти качества очень важны для металлургии и особенно для
биофизики, где приходится иметь дело с живой материей. Кро-
Кроме того, рентгеновскому микроскопу не требуется вакуум, в то
время как электронному микроскопу вакуум необходим. Даль-
Дальнейшего улучшения разрешающей способности микроскопа
можно достичь, если удастся получить голограмму в
8. Заключение
Важной и вместе с тем весьма трудно разрешимой пробле-
проблемой рентгеновской кристаллографии остается задача опреде-
определения фазы рассеянной волны. Если амплитуда и фаза рассеян-
рассеянной волны не известны одновременно, то невозможно полностью
восстановить структуру кристаллического образца. Первая по-
попытка разрешить проблему определения фазы была сделана, по-
видимому, Брэггом в 1939 г. [49]. Затем последовали работы
Бюргера [50—52], который воспользовался идеей Берша [53].
Бюргер и Брэгг доказали, что изображение кристалла можно
получить путем использования специальной фазовой пластинки,

174
ГЛАВА 6
помещаемой в различных дифракционных пятнах обратной ре-
решетки, и последующего осуществления оптического преобразо-
преобразования Фурье, что фактически означает схему оптического син-
синтеза изображений. Метод оказался весьма успешным, однако он
требовал априорного знания фаз рассеянных волн, а они бы-
бывают известны лишь в редких случаях, например для кристал-
кристаллов с центральной симметрией [49—52].
Не так давно Кендрью и его сотрудники [54, 55] успешно син-
синтезировали структуру кристаллов, используя электронную вы-
вычислительную машину для осуществления преобразования
по Фурье рентгеновской дифракционной картины. Такой подход
возможен там, где удается использовать метод «тяжелых ато-
атомов» или изоморфного замещения, например в кристаллах про-
протеина, таких, как молекулах миоглобина [56]. Несмотря на все
это, рентгеновская микроскопия в ее современной форме имеет
ограниченное применение из-за трудностей нахождения фаз в
различных точках обратной кристаллической решетки как в ме-
методе Кендрью, так и методе Бюргера и Брэгга.
Новые пуги решения фазовой проблемы в рентгеновской ми-
микроскопии были недавно выдвинуты Строуком и Фальконером
[27], затем были разработаны Строуком и рядом других ученых
[29, 31]. Новый подход является не чем иным, как безлинзовой
голографией Фурье. Голография Фурье основана на общих прин-
принципах метода восстановления волнового фронта, впервые пред-
предложенного Габором в 1948 г. [1—5]. В этом методе на дифрак-
дифракционную картину накладывается когерентный фон, являющийся
опорным волновым фронтом, и это позволяет зарегистрировать
как амплитуду, так и фазу рассеянных волн. Первые успешные
эксперименты с голографическим микроскопом в видимом диа-
диапазоне были проведены самим Габором [1—5], а затем повто-
повторены многими исследователями. Вскоре обнаружилось, что с по-
помощью рентгеновской голографии Фурье невозможно добиться
высокого пространственного разрешения. Предел обусловлен
разрешением пленки и размерами источника (разд. 3 и 4). Ока-
Оказалось, что в голографии Френеля достижимое разрешение со-
составляет всего 5000—10 000 А, а не 1 А. Подметив аналогию ме-
между методом синтезирования изображения по Бюргеру — Кен-
Кендрью, с одной стороны, и методом голографического микро-
микроскопа1), с другой стороны, Строук и Фальконер [27] доказали,
') Строгое подтверждение существования такой аналогии, впервые под-
подмеченной Брэггом [57], было дано Россмэном и Строуком [58]. Они показали
полнейшую аналогию, с одной стороны, между голографией Фурье с компен-
компенсацией протяженного источника [31] (разд. 4) и, с другой стороны, а-синте-
зом Рамана — Рамачапдрана, осуществляемым на основе метода тяжелых
атомов [59, 60] п>тем нахождения обратной свертки функции Паттерсопа,
когда структура кристалла частично известна.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ II ЭКСПГРПМППТЛЛЬПЬП: ОСНОВЫ ОПТ. ГОЛОГРАФИИ 175
что высокого разрешения в голографической микроскопии мож-
можно достичь путем соответствующего изменения первоначального
принципа голографии. В частности, они показали, что голограм-
голограмма Фурье позволяет преодолеть эффект протяженного источника
и проблему мелкозернистости фотоэмульсии, возникающие в
обычной проекционной голографии. Вскоре после этого Строук
[29] продемонстрировал метод получения голограммы Фурье с по-
помощью безлинзового преобразования Фурье, при котором со-
сохранялись исходные преимущества безлинзовой фотографии
Габора. Совсем недавно Строук и др. [31] показали, что потери
разрешения при использовании протяженных источников на ста-
стадии получения голограммы можно удивительным образом ском-
скомпенсировать путем применения на стадии восстановления дру-
другого протяженного источника с соответствующей структурой.
Таким образом, проблема структуры источника в голографиче-
голографической микроскопии [11, 28, 29, 31, 48], по-видимому, окончательно
разрешается с помощью безлинзовой голографии Фурье [29, 30]
на основе когерентно-интерферометрического рассмотрения
структуры освещающих источников.
9. Голография при некогерентном освещении
Принцип голографии Фурье при когерентном освещении, рас-
рассмотренный в предыдущих разделах этой главы, позволяет дать
очень простое объяснение образованию изображения с помощью
габоровского метода восстановления волнового фронта [11]. Наи-
Наиболее существенным фактором при получении голограммы яв-
является пространственная когерентность по предмету, т. е. спо-
способность различных точек предмета интерферировать друг
с другом (разд. 2.8 гл. 4) или с опорным пучком (разд. 5
гл. 6).
На возможность нарушения этого требования было впервые
указано Строуком и Фанкхаузером [64] в 1965 г. Предложенный
ими метод тесно связан с голографической спектроскопией
Фурье. При этом голограмма получается при спектрально неко-
некогерентном освещении с помощью двухлучевого интерферометра
Майкельсона — Тваймана — Грина. Такая голограмма при вос-
восстановлении методом голографии Фурье воспроизводит спектр
непосредственно в фокальной плоскости линзы без какого-либо
математического преобразования спектрограммы, как это де-
делается в обычной, неголографической спектроскопии Фурье.
В литературе уже было предложено несколько различных
схем некогерентной голографии [65—67], кроме той, которая
дана в разд. 9.2 гл. 6,

176
ГЛАВА б
Несмотря на то что все признавали необходимость разработ-
разработки голографии при некогерентном освещении, никому не удава-
удавалось реализовать ее на опыте. Только в 1965 г. Строук и Ре-
стрик [68] сначала доказали теоретически, а затем подтвердили
экспериментально, что с помощью монохроматического, но про-
пространственно-некогерентного излучения можно получить голо-
голограмму Фурье для случая протяженных предметов. При восста-
восстановлении путем преобразования Фурье в фокальной плоскости
линзы получались высококачественные изображения предметов.
Подробное описание метода Строука — Рестрика получения
голограммы при некогерентном освещении дано в разд. 9.2. Сущ-
Сущность метода состоит в формировании для каждой точки пред-
предмета в плоскости голограммы синусоидальной интерференцион-
интерференционной решетки, имеющей вполне определенные ориентацию и
пространственную частоту. При этом различные решетки склады-
складываются по интенсивности. На голограмме регистрируется фурье-
образ распределения интенсивности по предмету '). Необходи-
Необходимое для этого наложение интерференционных картин по интен-
интенсивности обеспечивается тем, что излучение от различных точек
предмета некогерентно. Таким образом, для получения голограм-
голограммы при некогерентном освещении необходимо, чтобы отсутство-
отсутствовала когерентность между различными точками предмета. Это
требование кажется парадоксальным.
Сначала мы рассмотрим голографическую спектроскопию
Фурье при спектрально-некогерентном источнике, так как этот
метод прост и имеет особое значение в некогерентной гологра-
голографии.
0.1. Голографическая спектроскопии Фурье
при спектралмго-некогерснтном источнике [6-1-, ~.>|
Вслед за работами Жакино [69], Фельжета [70], Стронга[71]
и др., имевшими основополагающее значение для спектроско-
спектроскопии Фурье, последовали исследования [72—74], в которых были
установлены замечательные свойства и существенные достоин-
достоинства различных вариантов этого метода. Одно из главных до-
достоинств этого метода состоит в одновременной регистрации всех
спектральных компонент (длительность регистрации не зависит
от ширины спектра), а также высокая освещенность. Примене-
Применение этого метода выдвигает требование прецизионного сканиро-
сканирования или перемещения зеркала (сравнимых по точности с тре-
требованиями, предъявляемыми к делительным машинам). Иско-
') А не фурье-образ распределения амплитуды, как в обычной когерент-
когерентной голографии.— Ярил, ред.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ II ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ОПТ. ГОЛОГРАФИИ 177
мый спектр получается в результате преобразования Фурье, ко-
которое осуществляется на электронной вычислительной машине
над интерферограммой, зарегистрированной фотоэлектрически.
Последние успехи в голографии и особенно в голографии Фурье,
естественно, ставят вопрос о поиске возможных упрощений в
технике спектроскопии и в применениях голографии в астроно-
астрономии.
Теоретические основы голографической спектроскопии и со-
соответствующие экспериментальные результаты были впервые из-
изложены в работе [64]. Метод позволяет получать спектр без ка-
каких-либо пересчетов, если оптические узлы и воздушная среда
в интерферометре обладают полной стационарностью. В проти-
противоположность обычным системам1), применение которых тре-
требует разработки различных методов расшифровки фотоэлектри-
фотоэлектрически зафиксированного фурье-образа (или френелевского об-
образа), наш метод не требует ни расшифровки фотоэлектриче-
фотоэлектрически зафиксированного спектра, ни интерферометрического ска-
сканирования.
Рассмотрим в качестве примера систему регистрации спек-
спектральной голограммы Фурье в двухлучевом интерферометре, в
котором волновые фронты каждого из плеч образуют между со-
собой малый угол 6 (рис. 41). Система интерференционных полос,
регистрируемая фотографически в плоскости, параллельной бис-
биссектрисе угла, образованного волновыми фронтами, представ-
представляет собой некогерентное наложение систем монохроматических
полос, отвечающих каждой длине волны Я. Как будет показано
ниже, уравнение системы полос в плоскости фотопластинки
имеет вид
= { / (о) [ 1 + cos 2яо6х] do,
(91)
где а=\/% смтх; /(о) — спектральное распределение интенсив-
интенсивности (спектр) источника. Косинусный фурье-образ функции
/(а), входящий в уравнение (91), описывает спектральную голо-
голограмму Фурье, которая представляет собой «некогерентное» на-
наложение синусоидальных по интенсивности решеток. Каждой
спектральной линии соответствует своя решетка. Поэтому при
освещении голограммы пространственно-когерентной монохро-
монохроматической волной (как это показано на рис. 24) в фокальной
плоскости линзы в каждом из боковых пучков образуются спектры
') См. книгу Л. Мерца «Интегральные преобразования в оптике» (изд-во
«Мир»), посвященную в значительной степени спектроскопии Фурье.—
Прим. ред.
12 Дж. Строук

178
ГЛАВА 6
/(о), расположенные симметрично относительно оси, отмечен-
отмеченной положением пучка нулевой пространственной частоты.
В экспериментах [64, 75] был использован интерферометр
Майкельсона — Тваймана — Грина с компенсацией (рис. 41). Го-
Голограмма, на которой зарегистрирован спектр холодного дуго-
дугового ртутного разряда, приведен на рис. 42. На рис. 43 дан
спектр, восстановленный при освещении голограммы лазерным
светом на длине волны 0,63 мкм (см. рис. 24). При регистрации
голограммы была использована очень широкая диффузно осве-
освещенная апертура. Интерферометрический клин создавал угол
между пучками интерферометра, соответствующий 30 полос/мм
от белого ртутного света. Оптическая разность хода лучей в ин-
интерферометре была близка к нулю. Использовались фотопла-
фотопластинки Kodak 649F с высоким разрешением. Котировочные экс-
эксперименты были проведены на фотопленке Polaroid P/N. Выпол-
Выполненные вначале опыты с импульсной лампой показали, что
непрерывный спектр также образует интерференционную голо-
голограмму, по которой он может быть воспроизведен.
Уравнение (91) можно получить эвристически. Однако пред-
представляет интерес рассмотреть некоторые шаги вывода более по-
подробно.
Н
Рис. 41. Внешний вид интерферометра, с помощью которого изготавли-
изготавливались голографические интерферограммы Фурье в спектрально некогерент-
некогерентном свете [64].
Hg — ртутная лампа с холодным дуговым разрядом; О —матовое стекло; Ж —зеркала интер-
интерферометра; В —светоделитель; Я —голограмма.
Рис. 42. Голографическая интерферограмма
с помощью интерферометра (рис. 41).
Фурье, изготовленная
Рис. 43. Спектр ртути, восстановленный с помощью голографической
ннтерферограммы Фурье (рис. 42).
Голографическая интерферограмма Фурье освещалась плоской волной ла-
лазера на длине волны 0,63 мкм, и рассеянное излучение собиралось в фокаль-
фокальной плоскости линзы по схеме рис. 24. Точки спектра в левом и правом
„боковых диапазонах" расположены симметрично. Это позволяет найти длину
волны, измеряя только отношение расстояний. Точки слева удалось приписать
следующим линиям ртути [76]:
v D047 и 4078 А); Ь D348-4359 A); g E461 А); у E770 и 5790 А); г F152 и 6234 А).
12*

180
ГЛАВА б
Пусть E(x,y,z) —электрический вектор плоской волны
с длиной волны X, наклоненной под углом 6/2 к оси z интерфе-
интерферометра так, что в плоскости (ху), нормальной к оси z, поле
можно описать следующим образом:
Е(х, г/) = ?оехр |2n/axsin у-|-со/1,
(92)
где а=1 Д, со = 2я/, с =/Х —скорость света, /—время. Пусть вто-
вторая плоская волна той же длины волны I, распространяющаяся
под углом (—6/2) к оси г, создает в той же плоскости поле
Е(х, у) = Ех ехр 12шах sin [ — -Л -\-со/
ф
(93)
где ф — разность фаз. Если в плоскости (ху) поместить фото-
фотопластинку, то она зарегистрирует интенсивность интерферен-
интерференционной картины
cos [2.TTOX sin I — ф] . (94)
[/ (х, у)\х = ^
Мы можем настроить интерферометр таким образом, что опти-
оптическая разность хода лучей в интерферометре будет равна нулю:
Ф = 0. Для упрощения выкладок положим Ео~ Е\== I (о), где
/(о)—интенсивность источника с волновым числом о, а 6 —
малый угол. После этого уравнение (94) примет вид
[/(х, у)\к = 1 (а) [1 + cos 2яа6х]. (95)
Это уравнение описывает интенсивность интерференционных
полос голограммы для источника с волновым числом а, имею-
имеющим разброс До.
Вследствие некогерентности между спектральными линиями
излучения источника голограмма, которая будет получаться or
многоцветного источника со сложным спектром по интенсивно-
интенсивности /(о), имеет вид
= J / (а) [ 1 + cos 2ra6x] da,
(96)
что совпадает с выражением (91). О свойствах источников, ис-
исследуемых методами спектроскопии Фурье, см., например, [72].
Ранее мы показали (разд. 2.1 и 4), что комплексная ампли-
амплитуда И(х) излучения, прошедшего через голограмму с интенсив-
интенсивностью 1(х), равна
s[/(x)rY'2, (97)
теоретический и экспгрпмрптальпыг основы опт¦ голографии 181
где v — коэффициент контрастности проявленной фотопластин-
фотопластинки. При обычных условиях получения голограммы I(х) можно
представить в виде
/(*)¦* Ц-е. (98)
Тогда, разлагая в ряд, получим
Я(х)~ 1-^-
(99)
Это уравнение показывает, что интересующая нас часть И (х)
линейно связана с зарегистрированной интенсивностью. Поэто-
Поэтому интенсивность восстановленного изображения не зависит от
коэффициента контрастности голограммы.
Чтобы I(х) можно было записать в виде уравнения (98), не-
необходимо, строго говоря, потребовать соблюдения условия
-f- Е Т) >
A00)
которое означает, что интенсивность одного пучка должна не-
несколько отличаться от интенсивности второго пучка. Практиче-
Практически это условие легко выполнить, если, например, зеркала двух
плеч интерферометра будут иметь различные покрытия. Однако
мы доказали (см. рис. 41—43), что спектры воспроизводятся
также и с помощью интерферометра, в котором оба зеркала
имеют одинаковый коэффициент отражения. Это обусловлено
тем, что в обычной голографии равенство интексивностей двух
пучков приводит к возникновению спектров высоких порядков.
Такая голограмма действует как квадратичный детектор в ра-
радиотехнике либо как оптическая дифракционная решетка [12].
Более подробный анализ голографической спектроскопии Фурье
приведен в работе [77]. Там же изложены эксперименты, под-
подтверждающие возможность получения с помощью голографиче-
голографической спектроскопии Фурье спектров с высоким разрешением.
Здесь же следует указать на то, что в самом общем виде функ-
функцию I(х) можно выразить через Н(х) в форме ряда Тейлора
по степеням интенсивности (/ — /0) (разд. 4). Также следует от-
отметить своеобразный дуализм [64] между методом регистрации
спектральных частот в голографической спектроскопии и мето-
методом регистрации пространственных частот в голографической
системе формирования изображения на одной спектральной ча-
частоте, в том числе при пространственно-некогерентном освеще-
освещении.
Более подробное рассмотрение факторов, ограничивающих
регистрацию интерференционных полос в голографической спек-
спектроскопии, дано в работе [77]. Там же проведено сравнение

182
ГЛАВА б
освещенности и разрешающей способности голографической
спектроскопии с аналогичными характеристиками других спек-
спектроскопических систем и определены возможные области при-
применения голографической спектроскопии.
Однако здесь мы можем привести простейшее рассмотрение
разрешающей способности голографического метода спектро-
спектроскопии Фурье [75]. Пусть размер голограммы вдоль оси х равен
А. Пусть а% — период «интерференционной решетки», соответ-
соответствующей длине волны X. Согласно уравнению решетки A2),
sin / -f- sin i' = т —.
d
A01)
Осветив голограмму плоской волной 2; под углом / = 0, мы полу-
получим изображение первого порядка (см. рис. 24), расположенное
от оси на расстоянии
&0,~^ = ^, A02)
где XL— длина волны излучения лазера, используемого при вос-
восстановлении; \x=\jax — пространственная частота решетки, со-
соответствующей длине волны X. Дифференцируя это уравнение,
получаем
т. е.
A04)
Напомним, что, согласно уравнению (94), частота решетки
v\ обратно пропорциональна X. Пусть С — коэффициент про-
пропорциональности, тогда
v, = ? A05)
и, следовательно,
АХ
А,2
A06)
В соответствии с критерием Релея (см. разд. 4 гл. 5, а также
работу [12]) предельное спектральное разрешение достигается
при условии
A&W^b A07)
где А—размер голограммы. Приравнивая правые части выра-
выражении A06) с A07) и учитывая A05), находим разрешающую
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ II ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ОПТ. ГОЛОГРАФИИ 183
способность голографической спектроскопии Фурье для излуче-
излучения на длине волны X
N-~k- = Ax>.- A08)
Здесь N — полное число полос, умещающихся на голограм-
голограмме, для длины волны X. Очевидно, разрешающая способность,
согласно выражению A08), совпадает с разрешающей способ-
способностью решетки шириной А [12]. Пусть, например, v^=2000 ли-
линия/мм, что легко регистрируется с помощью спектроскопиче-
спектроскопических фотопластинок Kodak 649F. Тогда разрешающая способ-
способность равна
Л/ = 2000 А (на каждый миллиметр А). (Ю9)
Если голограмма мала (как, например, на рис. 42, где А =
= 20 мм), то разрешающая способность равна 40 000 при ча-
частоте полос 2000 на 1 мм.
На первый взгляд может показаться, что применение протя-
протяженных источников в голографическом интерферометре приве-
приведет к затруднениям. Протяженные источники особенно выгодны
там, где требуется очень высокая освещенность, хотя ее можно
получить и в спектрометрах обычных типов (интерферометр с
малой апертурой и спектрометр Фурье с фотоэлектрической ре-
регистрацией).
На возможность получения высокой разрешающей способ-
способности впервые указал Жакино [72, 73, 78, 79].
Схема голографического спектрометра Фурье изображена на
рис. 41.
Голографический метод спектроскопии Фурье обладает рядом
достоинств. Для регистрации спектра не требуются ни линзы,
ни щели. Достаточно лишь собрать абсолютно жесткий ин-
интерферометр, состоящий из двух зеркал (или их эквивалентов)
и направленный на диффузный источник света. Такие системы
будут полезны в астрономии и при исследовании плазмы.
0.2. Голография яри яростраяствеяяо-некогерентяом
освещении
Строук и Рестрик [68], используя аналогию с голографиче-
голографической спектроскопией Фурье, обратили внимание на то, что голо-
голограмму Фурье можно получить также и от протяженных пред-
предметов при монохроматическом пространственно-некогерентном
освещении. Восстановленное изображение образуется при повтор-
повторном преобразовании Фурье, например, путем освещения голо-
голограммы плоской монохроматической волной (рис. 24). В фокаль-
фокальной плоскости линзы возникнет восстановленное изображение.

184
ГЛАВА 6
Дуализм между методом регистрации спектральных частот
с помощью голограммы Фурье (разд. 9.1) и регистрацией про-
пространственных частот в голографической системе формирова-
формирования изображения при монохроматическом освещении был под-
подмечен в работах [64, 75].
Прежде чем приступить к анализу, напомним основное свой-
свойство голограммы Фурье [68]. Каждой точке пространственно-не-
пространственно-некогерентного предмета соответствует на голограмме одна сину-
синусоидальная интерференционная решетка, характеризуемая опре-
определенной пространственной частотой и ориентацией. Различные
решетки складываются по интенсивности, так как свет, распро-
распространяющийся от предмета, пространственно некогеренген.
Таким образом на голограмме регистрируется пространственный
фурье-образ распределения интенсивности по предмету. Именно
отсутствие взаимной когерентности между различными точ-
точками предмета приводит к тому, что фурье-образы складывают-
складываются на голограмме по интенсивности.
Для краткости изложим анализ в форме, представленной
впервые Строуком и Рестриком [68].
В качестве модели рассмотрим систему со светоделителем,
при помощи которой предмет проектируется на плоскость с
образованием двух изображений, имеющих интенсивности /(|)
и /(—|) соответственно. Эти изображения связаны друг с дру-
другом симметрией двукратного вращения относительно оси z, нор-
нормальной к плоскости § (разд. 4, [31] и рис. 44).
Поскольку различные точки предмета |ь |2,... . , |г взаимно
некогерентны, то каждая из этих точек будет интерферировать
с соответствующими зеркальными точками —|ь —|j. • • .• . —%г-
В плоскости голограммы х, нормальной к оси z и расположен-
расположенной на расстоянии z=f от плоскости |, образуется система по-
полос, пространственная частота и ориентация которой отвечает
только одной точке предмета. Суммарная интенсивность /(х),
зарегистрированная на голограмме, определяется уравнением
/(х)=
cos
(ПО)
где X — длина волны света. Интенсивность голограммы /(х),
согласно уравнению (ПО), состоит из постоянного слагаемого и
косинусного фурье-образа распределения интенсивности пред-
предмета I(%) ¦ Поэтому при освещении голограммы пространственно-
когерентной плоской монохроматической волной (рис 24) в ре-
результате преобразования Фурье в фокальной плоскости линзы
возникнут два изображения /(|), расположенных симметрично
относительно оптической оси, вокруг которой разместится изо-
изображение от постоянного слагаемого.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ОПТ. ГОЛОГРАФИИ 185
Общий вид светоделительной установки, которая была ис-
использована в эксперименте, показан на рис. 44. Там же виден
предмет в виде буквы «R», освещенный пространственно-неко-
пространственно-некогерентным светом. На рис. 45 дана фотография восстанов-
восстановленного изображения буквы «R». В качестве светоделителя
использовалась оптическая дифракционная решетка [12] с
Рис. 44. Светоделительная установка для изготовления безлннзовых голо-
голограмм Фурье при некогерентном освещении [68].
Снимок установки сделан из плоскости, в которой размещена голограмма.
Предмет О (буква „R") освещался сверху по стрелке. Дифракционная ре-
решетка О, использованная в качестве светоделителя, создавала два изобра-
изображения на зеркалах М. Изображения на зеркалах М имели двукратную сим-
симметрию вращения. (Изображение буквы „R", заметное на поверхности
решетки непосредственно ниже предмета, возникает из-за рассеяния на по-
поверхности, и на голограмме его не видно.) Масштаб установки определяет
размер решетки: 55 X 55 мм. Изображения от зеркал М интерферируют
в голограмме Фурье без всяких дополнительных оптических элементов. Фото-
Фотопластинка Kodak 649F размещалась на расстоянии / = 1 м от зеркал М.
Независимо Мерц [80] предложил другую схему сложения волновых фронтов,
предназначенную для звездного интерферометра. Эту схему также можно
использовать в светоделительной установке для голографии при иекогерент-
ном освещении.

186
ГЛАВА в
1180 штрих/мм. Профиль штрихов был такой, чго два изображе-
изображения первого порядка имели одинаковую интенсивность [12, 81].
Чтобы превратить излучение лазера на длине волны 0,63 мкм в
пространственно-некогерентное, свет проектировался на быстро
движущийся рассеиватель, а от него на предмет. Для контроля
Рис. 45. Изображения буквы „R", восстановленные путем нахождения
фурье-образа голограммы, полученной на светоделительной установке (рис. 44 )
при пространственно-некогерентном освещении.
того, что при движении рассеивателя достигалась необходимая
некогерентность, был поставлен эксперимент, в котором рассеи-
рассеиватель был неподвижен и, следовательно, рассеянная волна бы-
была пространственно-когерентной (рис. 38—40). В этом случае,
Рис. 46. „Изображения", восстановленные по преобразованиям Фурье,—
нулевой пучок в центре и два боковых изображения.
Голограмма получена при пространственно-когерентном освещении —
рассенватель, освещающий предмет (рис. 44), был неподвижен. Качество изо-
изображений подтверждает, что при неподвижном рассеивателе когерентность
сохраняется, в то время как при движущемся рассеивателе когерентность
полностью исчезает.
как легко видеть (разд. 4), при восстановлении получается
свертка /(?) с /(?), а не само изображение. Как видно из вос-
восстановленной картины на рис. 46, изображения предмета не
возникло.
В работе [68] предполагалось применить метод безлинзовсй
голографии Фурье при некогерентном освещении для рентгенов-
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ II ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ОПТ. ГОЛОГРАФИИ 187
ской микроскопии. Вместо дифракционной решетки можно ис-
использовать кристалл, способный расщеплять рентгеновское излу-
излучение. Ранее указывалось (разд. 3 и 4), что голограмма Фурье
дает более высокое разрешение, чем голограмма Френеля. Здесь
четко выступает свойство голографии Фурье суммировать пло-
плоские волны или их сферический эквивалент (рис. 20) и связан-
связанное с ним отсутствие аберраций. Преимущества голограммы
Фурье над голограммой Френеля можно сравнить с аналогич-
аналогичными преимуществами плоской дифракционной решетки над во-
вогнутыми [12].
Автор надеется, что общие основы когерентной оптики, не-
некогерентной оптики и голографии, изложенные в данной книге,
будут стимулировать интерес читателя к дальнейшему изучению
этих предметов. Результатом этого может явиться множество
интересных применений, значительную часть из которых едва
ли можно предвидеть в настоящее время.
ЛИТЕРАТУРА
1 Gabor D, Nature, 161, 777 A948).
2. Gabor D., Proc. Roy. Soc. (London), A197, 454 A949); см. стр. 218 на-
настоящей книги.
3. Gabor D., Proc. Phys. Soc. (London), B64, 449 A951); см. стр. 270 на-
настоящей книги.
4. Gabor D., Research, 4, 107 A951).
5. Gabor D., Proceedings of the Congres de Microscopie Electronique, 1952.
6. Stroke G. W., Optical Information Processing (Tippett J. T. et al., eds.),
MIT Press, Cambridge, Mass., 1965.
7. Zernike F., Physica, 1, 43 A934).
8 Zernike F., Z. Techn. Phys., 16, 454 A935).
9. Zernike F., Physik. Z., 36, 848 A935).
10. Wo It er H., в кн. «Handbuch der Physik» (Flugge S., ed.), Band 24,
Springer, Berlin, 1956, p. 555—645.
11. Stroke G. W., в кн. «An Introduction to Optics of Coherent and Non-
Coherent Electromagnetic Radiation» (Engineering Summer Conferences
Text), Univ. Michigan, Ann Arbor, Mich., 1964 Bnd ed., 1965).
12. Stroke G. W., в кн. Handbuch der Physik (Flugge S., ed.), Band 29,
Springer, Berlin, в печати.
13. Rogers G., Nature, 166, 237 A950).
14. E1 - S u m H. M. A., Reconstructed Wavefront Microscopy, диссертация,
Stanford Univ., Stanf., Calif., Nov. 1952; available from Univ. Micro-
Microfilms, Inc., Ann Arbor, Michigan (Dissert. Abstracts 4663, 1953).
15. S t г о k e G. W., /. Opt. Soc. Am., 45, 30 A955).
16. Leith E., Upatnieks J., /. Opt. Soc. Am., 53, 1377 A963).
17. Leith E., Upatnieks J., /. Opt. Soc. Am., 54, 1295 A964); подробное
изложение работ [16, 17, 41] можно найти в обзоре Налимова И. П.,
Зарубежная радиоэлектроника, B), стр. 3 A966).
18. Stroke G. W., Rev. Optique, 39, 291 A960).
19. Stroke G. W, /. Opt. Soc. Am., 51, 1321 A961),

188
ГЛАВА В
20. Jackson P. L., Appl. Opt., 4, 419 A965).
21. Ma rech a I A., Croce P., Compt. Rend., 237, 607 A953).
22. O'N e i 1 1 E. L, Selected Topics in Optics and Communication Theory,
Optical Res. Lab., Boston Univ. Techn. Note, 133, 1957.
23. L с i t h E., V p a t n i e к s J., Physics Today, 18, 26 A965).
24. Stroke G. W., В r u m m D., F u n к h о u s e r A., L a b e у r i e A., Rest-
rick R., Brit. J Appl. Phys., 17, 497 A966).
25. L о h m a n n A., Opt. Ada, 3, 97—99 A956).
26. С u t г о n a L. J , L e i t h E. N., Palermo С J., Porcello L. J., IRE
Trans. Inform Theory, C), 386—400 A960); русский перевод: Зарубеж-
Зарубежная радиоэлектроника, A0), стр. 3 A962).
27. Stroke G. W., Falconer D. G., Phys. Lett., 13, 306 A964).
28. Stroke G. W., Falconer D. G., Phys. Lett., 15, 238 A965).
29. S t г о k e G. W., Appl. Phys. Lett., 6, 201 A965).
30. Stroke G. W., Brumm D., Funkhouser A. /. Opt. Soc. Am., 55,
1327 A965).
31. Stroke G. W., Res trick R., Funkhouser A., Brumm D., Phys.
Letters, 18, 274 A965); Appl. Phys. Lett., 6, 178 A965).
32. CatheyW. Т., J. Opt. Soc. Am., 55, 457 A965).
33. Pennington K. S., Microwaves, 4, A0) 35; русский перевод: Зару-
Зарубежная радиоэлектроника, (9), 121 A966) (обсуждается дифракция
Брэгга на толстой голограмме и методика цветной голографии).
34. G a b о г D., Stroke G. W., Brumm D., Funkhouser A., Labey-
rie A., Nature, 208, 1159 A965).
35. Rogers G., Proc. Roy. Soc. (Edinburgh), A58, 193 A950—1951).
36. Rogers G., Proc. Roy. Soc. (Edinburgh), A63, 193 A952)
37. Bragg W., Rogers G., Nature, 167, 190 A951).
38. Armstrong J. A., IBM J. Res. Develop., 9, 171 A965).
39. Stroke H. H., Principles of Holography, Laser, Inc., Briarcliff Manor,
New York, 1965.
40. В a ez A. V., /. Opt. Soc. Am., 42, 756 A952).
41. Lei th E., Up a tnieks J., /. Opt. Soc. Am., 52, 1123 A962).
42. В a e z A. V., E 1 - S u m H. M. А., в кн. «X-ray Microscopy and Microradio-
graphy» (Cosslett V. E. et al., eds.), Acad. Press, New York, 1957
p. 347—366.
43. Kirkpa trick P., El-Sum H. M. A., /. Opt. Soc. Am., 46, 825 A956).
44. J а с q u i n о t P., Roi 7. en-Dossier В., в кн. «Progress in Optics»
(Wolf E., ed.), vol. Ill, North-Holland Publ., Amsterdam, 1964, p. 29—
186 (в частности, см. стр. 136—146)- см. также Stroke G W. там же
vol. II, р. 1—72.
45. G a b о г G., Stroke G. W., R e s t r i с k R., Funkhouser A.,
BrumraD., Phys. Lett., 18, 116 A965).
46. Jenkins F. A., White H. E., Fundamentals of Optics, McGraw-Hill,
New York, 1957.
47. Kellstrom G., Nov. Ada Reg. Soc. Sci. Uppsaliensis, 8, 5 A932).
48. Stroke G. W.. частные сообщения Е. Н. Лейту, 1963—1964.
49. Bragg W. L, Nature, 149, 470 A942).
50. Buerger M. J, Proc. Natl. Acad. Sci. US, 27, 117 A941).
51. В u e r g e r M. J., /. Appl. Phys., 21, 909 A950).
52. Buerger M. J., Proc. Natl. Acad. Sci. US, 36, 330—335 A950).
53. Boersch H., Z. Techn. Physik, 337—338 A938) (в частности, см. при-
примечание 3 на стр. 338).
54. Ken drew J. С. et al., Nature, 181, 662 A958).
55. Kendrew J. С, в кн. «Biophysical Science — a Study Program» (On-
cley J. L., ed.), Wiley, New York, 1959, p. 94.
теоретические: ii экспери.мсшлльиые основы опт. голографии jgg
56. Perutz M., Sci. Am., 211, 64 A964); русский перевод: сб. «Молекулы и
клетки», изд-во «Мир», 1966, стр. 11 — 23.
57. Bragg W. L. Nature, 166, 399 A950).
58. Т о 1 1 i n P., M a i n P., R о s s m a n n M. G., Stroke G. W., Rest-
rick R., Nature, 209, 603 A966).
59. Ramachandran G. N., Raman S., Ada Cryst., 12, 957 A959).
60. R a m а с h a n d г a n G. N.. Advanced Methods of Crystallography, Acad.
Press, New York, 1964, p. 37f.
61. Burch J. M., Nature, 171, 889 A953).
62. Duson J., в кн. «Concepts of Classical Optics» (Strong J., ed.), Freeman,
San Francisco, California, 1958, p. 383.
63. Brooks R. E., Hef linger L. O., Wuerker R. F., Briones R. A.,
Appl. Phys. Lett., 7, 92 A965).
64. Stroke G. W., Funkhouser A., Phys. Lett, 16, 272 A965).
65. Mertz L., advertisement, /. Opt. Soc. Am., 54 A0), IV A964).
66. Wi nth гор J. Т., Worthington С R., Phys. Lett., 15, 124 A965).
67. Cochran G., abstract,/. Opt. Soc. Am., 55, 615 A965).
68. Stroke G. W., Res trick R. C, Appl. Phys. Lett., 7, 229 A965).
69. J а с q u i n о t P., Dufour Ch., J. Rech. Centre Nat. Rech. Set., Lab. Belle-
vue (Paris), 6, 91 A948).
70. Fellgett P., диссертация, Cambridge Univ., 1951.
71. S t г о n g J., 7. Opt. Soc. Am., 47, 354 A957).
72. J а с q u i n о t P., Rep. Progr. Phys., 23, 267—312 A960).
73. Colloquium papers, в J. Phys. Radium, 19 C), A958).
74. Connes J., Rev. Optique, 40, 45, 116, 171, 231 A961).
75. Stroke G. W., Proc. Zeeman Centennial Conf., Amsterdam, Sept. 1965.
Physica, в печати.
76. Harrison G. R., Lord R. C, Loofbourow J. R., Practical Spectro-
scopy, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1949.
77. Stroke G. W., Funkhouser А., в печати.
78. J а с q u i n о t P., XVIle Congress du GAMS, Paris, 1954.
79. J а с q u i n о t P., /. Opt. Soc. Am., 44, 761 A954).
80. Mertz. L, Transformations in Optics, Wiley, New York, 1965; русский пе-
перевод: Мерц Л., Интегральные преобразования в оптике, изд-во
«Мир», 1967.
81. Stroke G. W., Phys. Letters, 5, 45 A963).
82. Gabor D., Stroke G. W., Res trick R., Funkhouser A.,
Broom D., Phys. Letters, 18, 274 A965).
83. El-Sum H. M. A., Optical Processing of Information (Pollack D. K.,
Koester С J., Tippett J. Т., eds), Spartan Books, Baltimore, Maryland,
1963, p. 85—97; русский перевод: Оптическая обработка информации,
сб. статей, нзд-во «Мир», 1966, стр. 251—266.
БИБЛИОГРАФИЯ1)
Обзоры
Платонснко В. Т., Голография. Фотографирование и восстановление
волнового фронта, УФН, 90 A), 199—201 A966).
') Здесь собрана добавленная при переводе литература за 1965—1966 гг.,
на которую нет ссылок в монографии и обзоре. Библиографию за предыду-
предыдущие годы см. в У. Soc. Mot. Pid. Tetev. Eng., 75, 373—434, 759—809 A966).

190
ГЛАВА 6
plein jour, Sciences et Avenir
G),
2 Сороко Л. М., Голография и интерференционная обработка информа-
информации, УФН, 90 (I), i—46 A966). Библ. 98 назв.
3 Сороко Л. М. Безлинзовая оптика. Фотографирование в лучах лазе-
лазера, Природа, 55 B), 37—48 A966).
4 Blum J., Hologiaphy: the picture looks good, Electronics, 39 (8), 139—
143 A966).
5 Closets F., Des «objets-fantomes» en
B39), 8-12, 70 A967).
6. Collier R. J., Some current views on holography, IEEE Spectrum, 3
67—74 A966).
7. Davy J., Breakthrough in three dimensions, Management Today, p. 21,22
(July/August 1966).
8. Di Pentima A., Holography, 133rd AAAS Meeting —Washington, D. C,
26—31 December, 1966, Science, 154 C754), 1363, 1364 A966).
9 Eagiesfield С h. C, Holograms: what uses have they?, Discovery, 27
F), 23—26 A966).
10. Gab or D., Holography, or the whole picture, New Scientist, 29 D78),
74—78 A966).
11. Gab or D., Holography— the reconstruction of wavefronts, Electronics
and Power, 12, 230—239 (July 1966).
12. Kogeinik H. W., Holography — fundamentals and demonstrations, The
Scanner, 16 E), 1 A966).
13. Leith E. N., Holography's practical dimension, Electronics, 39A5), 88—
94 A966).
14. Leith E. N., Holography — lensiess 3D photography, Industrial Research,
8 (9), 40—44 A966).
15. L e i t h E. N., U p a t n i e k s J., Wavefront reconstruction photography,
Physics Today, 18 (8), 26—32 A965).
16 Leith E. N, U p a t n i e k s J., True 3D image from laser photography,
Electronics World, p. 34, 35 (October 1965).
17. Leith E. N., U p a t n i e k s J., Holograms: their properties and uses, SPIE
Journ., 4 A), 3—6 (October —November 1965).
18.. Leith E. N , U p a t n i e k s J., Photography by laser,
212 F), 24 A965), русский перевод: УФН, 87 C),
Наука и жизнь, A1) 22—31 A965).
19. Morris R. E., Physical principles of holography, /.
291—296 A966).
20 Nassenstein H., Abbildungsverfahren mit Reconstruction des Wellen-
feldes (Holographi), Z. Angew. Physik, 22 A), 37—50 A966).
21. Ose Т., Holography, Oyo Buturi, 35(9), A966), на японском языке.
22. Paques H., Smigielski P., Holographie, Optica Ada, 12D), 359—
378 A965).
23 S p i 11 e r E., Optische Nachrichteniibertragung durch Holographie, Umschau
in Wiss. Techn., (9), 288—292; A0), 315—321 A966).
24 Thompson B. J., Panent J. В., Jr., Holography, Science Journ., 3 A),
42—49 A967).
Физическая оптика
1. Микаэлян А Л., Бобр и не в В. И., Шумовые ограничения при по-
получении объемных изображений, Письма в редакцию ЖЭТФ, IV E),
172—174 A966).
2 ПистолькорсА А. О разрешающей способности голограммы, ДАН
СССР, 172 B), 334—337 A967).
3. Burch J. M, Gates J. W.. Hall R. J., Tanner L., Holography with
a scatter-piate as a beam-splitter and a pulsed ruby laser as a light
source, Nature, 212 E068), 1347 A966).
Scientific American,
521—538 A965);
Phot. ScL, 14 E),
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭКСПЕР11.МГ.1 i Г АЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ОПТ. ГОЛОГРАФИИ
4. С a tli с у W. 1, Jr., Spatial phase modulation of vawfronts in spatial
filtering and holography, J. Opt. Sue. Am., 56(9), 1167 — 1171 A966).
5. Del in gat E., The Fourier spectra of photographic objects. Part i. State-
Statement of the problem and apparatus for research Optik, 23 B) 177—188
A965/1966).
6. Gabor D., Improvements in and relating to optical apparatus for produ-
producing multiple interference patterns, пат. США 2770166, November 13, 1956.
7. Helstrom С W., Image luminance and ray tracing in holography J
Opt. Soc. Am, 56 D), 433—441 A966).
8. Kock W. E., Rendeiro J., Some curious properties of holograms Proc
IEEE, 53 A1), 1787 A965).
9. Kopylov G. I., On some possible properties of holograms, Phus Lett.,
21 F), 645, 646 A966).
10. Lohmann A. W., Wavefront reconstruction for incoherent objects J Opt
Soc. Am., 55 A1), 1555, 1556 A965).
11. Lohmann A. W., Reconstruction of vectorial wavefronts Anpl Ontics
4 A2), 1667 A965). ' ' '
12. Lurie M., Effects of partial coherence on holography with diffuse illumi-
illumination, /. Opt. Soc. Am., 56 A0), 1369—1372 A966).
13. Mandei L, Color imagery by wavefront reconstruction, /. Opt. Soc Am
55A2), 1697, 1698 A965). '
14. Marque t M., Fortunate G., Royer H., Etude theorique de la cor-
correspondence objet-image dans 1'holographie Compt Rend 261 118)
3553-3555 A965). l
15. Meier R. W., Depth of focus and depth of field in holography J Oot
Soc. Am., 55 A2), 1693 A965). '
16. Meier R. W., Cardinal points and the novel imaging properties of a holo-
holographic system, J. Opt. Soc. Am., 56 B), 219-223 A966).
17. Parrent G. В., Reynolds G. O., Space-band-width theorem for holo-
holograms, /. Opt. Soc. Am., 56 A0), 1400 A966).
18. Peters P. J., Incoherent holograms with mercury light source Appt Phus
Lett., 8 (8), 209 A966).
19. Rosen R., Focused-image holography with extended sources, Appl
Phys. Lett., 9 (9), 337—339 A966).
20. Royer H., Contribution a i'etude de i'information en holographie Comnt
Rend., 261 B0), 4003 A965).
21. Stroke G. W., Brumm D., Funkhouser A., Labeyrie A., Rest-
rick R. C, On the absence of phase-recording or «twin-image»' separa-
separation problems in Gabor (in-line) holography, Brit. J. Appl. Phus, 17 D)
497-500 A966).
22. Suzuki Т., Hioki R., Speckled diffraction pattern and source effect on
resolution limit in holography, Jap. J. Appt. Phys., 5(9), 814—818 A966).
23. Win thro p J. Т., Worthing ton С R., Fresnel-transform representa-
representation of hologiams and hologram classification, /. Opt. Soc. Am., 56 A0),
1362—1369 A966).
24. Worthington C. R., Production of holograms with incoherent illumina-
illumination, /. Opt. Soc. Am., 56 A0), 1397 A966).
Зонные пластинки Френеля
1. Einighammer H. J., Zur Abbildung von Rontgensternen mit dem Hoio-
gratnm-Teleskop, Optik, 23 G), 627—641 A965/1966).
2. HormanM. H.Chau H. H. M., Zone plate theory based on holography,
Appl. Optics, 6 B), 317—322 A967).
3. К о с k W. E., Rosen L., R e n d e i г о J., Holograms and zone plates Proc.
IEEE, 54 A1), 1599, 1600 A966).

192
ГЛАВА 6
4 Коек W. Е., Three-color hologram zone plates, Proc. IEEE, 54A1), 1610,
1611 A966).
5. Paques H., Achromatization of holograms, Proc. IEEE, 54 (9), 1195 A966),
6. R о i g J., T a r a v e 11 i e r R., Mas G., Interferences cntre les ondes dif-
fractees pai des ecrans de faibles dimensions et un fond coherent fourni
par un laser, Compt. Rend., 263 (9), 608—611 A966).
7. W a 1 d m a n G. S., Variation on the Fresnel zone plate, /. Opt. Soc. Am.,
56 B), 215—218 A966).
o.
6.
Методика
1. Зайдель А. Н., Константинов В. Б., Островский Ю. И., Ла-
Лазерная резольвометрия, Журн. научн. и прикладн. фотографии и кине-
кинематографии, 11 E), 381 A966).
2. Клименко И. С., Рукман Г. И., Габоровское восстановление вол-
волнового фронта с помощью лазера, Оптика и спектроскопия, XXI F),
751, 752 A966).
3 Комар А П. Стабников Н. В., Турухано Б. Г., Голография с
прямым опорным пучком, ДАН СССР, 173 E), 1059—1061 A967).
4. Косоуров Г. И, Калинкина И. Н., Головей М. П., Восстановле-
Восстановление изображения по голограмме в немонохроматическом свете,
Письма в редакцию ЖЭТФ, IV C), 84—86 A966).
Константинов Б. П., Зайдель А. Н., Константинов В. Б.,
Островский 10. И., Фотографирование в когерентном свете, Экс-
Экспериментальная техника и разрешающая способность метода, ЖТФ,
XXXVI (9), 1718-1721 A966).
Bed does M. P., Aktar S. A., Some techniques for producing holograms
with lasers, Electronics and Communication, 13 (9), 61 A965).
Carcel J. Т., Rodemann A. H., Florman E., Do me she с S., Sim-
Simplification of holographic procedures, Appl. Optics, 5 G), 1199—1201
A966).
Corcoran V. J., Herron R. W., Jar a mil lo J. G., Generation of a
hologram fiom a moving target, Appl. Optics, 5D), 668, 669 A966);
русский перевод: Зарубежная радиоэлектроника, A0), 129, 130 A966).
De Bitetto D. J., On the use of moving scatterers in conventional holo-
holography, Appl. Phys. Lett., 8 D), 78—80 A966).
Falconer D. G., Role of the photographic process in holography, Phot.
Sci. Eng., 10 C), 133-135 A966).
11. Harris F. S., Sherman G. C, Billings В. Н., Copying holograms,
Appl Optics 5D) 665, 666 A966); русский перевод: Зарубежная ра-
радиоэлектроника, A0), 131 — 133 A966).
12. Hoffman A. S., Doidge J. G., Moon e у D. G., Inverted reference-
beam hologram, /. Opt. Soc. Am., 55, 1559 A965).
13 Kozma A Photographic recording of spatially modulated coherent light,
/ Opt Soc. Am., 56, 428—434 A966).
14 Landry J., Coffee-table holography, /. Opt. Soc. Am., 56 (8), 1133 A966).
15 Landry M. J, Copying holograms, Appl. Phys. Lett., 9(8), 303, 304
A966).
Leith E. N.. Photographic film as an element of a coherent optical system,
Phot. Sci. Eng., 6 B), 75-80 A962).
Leith E. N, К о z m a A., Upatnieks J., Requirements for hologram
construction, Laser Lett., 3 F), 2—10 A966).
Nassimbene E. G., Ross R. M, Reducing noise in holograms, IBM
Techn. Disci. Butt., 8, 1396 A966).
R i g 1 e r A. K., Wavefront reconstruction by reflection, J. Opt. Soc. Am.,
55 A2), 1693 A965).
9.
10.
16.
17.
18.
19.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ ОПТ. ГОЛОГРАФИИ 193
20. Rogers G., The design of experiments for recording and reconstructing
three-dimensional objects in coherent light (holography), /. Sci Instr,
43 A0), 677 A966).
21. Ross R. M., Making holograms using Brewster's angle, IBM Techn. Disci.
Bull., 8, 1404 A966).
22. Royer H., Study of the recording of high frequencies by photographic
emulsions, Compt. Rend., 261, 5024—5027 A965).
23. SI ay maker F. H., The elimination of building vibration in an optical
laboratory, Appl. Optics, 5 A1), 1766—1768 A966).
24. Van Li g ten R. F., Influence of photographic film on wavefront recon-
reconstruction. I. Plane wavefronts, /. Opt. Soc. Am., 56 A), 1—9 A966).
25. Urbach J. C, Meier R. W., Thermoplastic xerographic holography, Appl.
Optics, 5 D), 666, 667 A966); русский перевод: Зарубежная радиоэлек-
радиоэлектроника, A0), 125—128 A966).
26. Urbach J. C, The role of screening in thermoplastic xerography Phot.
Sci. Eng., 10 E), 287—297 A966).
27. W a lies S., Magnification and observation of a holographic interference
pattern, Opt. Ada, 13 C), 241—246 A966).
28. W i 1 m о t D. W., S с h i n e 11 e г E. R., H e u m a n R. W., Hologram illumi-
illumination with a flashlight, Proc. IEEE, 54 D), 690, 691 A966).
13 Дж. Строук

Глава
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. ОПЕРАЦИИ СВЕРТКИ
И КОРРЕЛЯЦИИ. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ.
ТЕОРИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ, ИЛИ ОБОБЩЕННЫХ
ФУНКЦИЙ
Преобразование Фурье и его различные приложения к опе-
операциям свертки, корреляции и распределениям в настоящее
время уже вошли в арсенал теоретической оптики и стали ее не-
неотъемлемым инструментом. Это видно на примерах теории об-
образования изображения, интерферометрии, спектроскопии и, на-
наконец, голографии. Даже элементарное рассмотрение теории
преобразования Фурье, приведенное ниже, дает исследователям
универсальное средство для анализа различных задач физиче-
физической оптики, теории дифракции и интерферометрии. А во мно-
многих случаях использование только таких теорем, как теоремы
смещения или теоремы свертки, которые будут даны в следую-
следующих разделах, позволяет быстро находить решения целого ряда
задач, которые в прошлом требовали применения специально
разработанных и часто весьма громоздких методов.
1. Преобразование Фурье1)
Если задана действительная или комплексная функция f(x)
действительного переменного х, меняющегося в пределах от —оо
до +оо, такая, что существует интеграл
/ \f(x)\dx,
A)
т. е. функция f(x) принадлежит к классу ?(/?/,), то фурье-об-
раз F(u) этой функции f(x) определяется выражением
F(u)~ | f(x)expBniux)dx.
B)
Разд. 1 и 2 основаны на работах [1—4].
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
195
Часто выражение B) записывается сокращенно в виде
f(x)A->F(u) C)
или
%\f(x)\=--F{u),
D)
где символ Js обозначает преобразование Фурье, или фурье-об-
раз функции, а стрелка обозначает сам процесс преобразования.
Аналогично можно представить обратное преобразование
Фурье, которое получается, если в экспоненте взять знак минус:
ехр (—2niux).
Если функция F(u) принадлежит к классу L [F(и) (LL\ то
F (и) ехр (— 2niux) dx — f (x),
— CO
или в сокращенном виде
или, наконец,
E)
F)
G)
где символ g-~! означает обратное преобразование Фурье, или
инверсный фурье-образ.
1.1. Некоторые скойства преобразования Фурье
Приведем, как правило, без доказательства те свойства, ко-
которые очень часто используются в оптике.
1.2. Линейность
Пусть at и а2 — комплексные постоянные. Из определения B)
непосредственно следует, что если
L, (8)
то
a1f1 (х) + a2f2x --> а,/7, (и) ¦+ a2F2 (и).
1.3. Теорема «смещения
Это наиболее важное свойство выражается соотношением, ко-
которое нетрудно доказать. Свойство смещения фурье-образа со-
состоит в следующем.
13*

196
ГЛАВА 7
Если
то
f {x — х') --> F {и) ехр [2тих'),
(9)
где х'— постоянная. Функция \{х — х') получена из первона-
первоначальной функции f(x) путем смещения начала отсчета в точку
+ х'. Действительно,
+ со
f (х — х') ехр Bniax)dx = F (а),
— со
Если произвести замену переменных
х — х'->у, причем у = х,
dx->dy,
то
J f (x — х') ехр Bniux) dx
— оо
преобразуется в
+ 00
J f {x)exp[2niu(x + x')]dx =
—оо
+ ОО
= J f(x)exp{2niux)expBniux')dx=--F{u)exp(+2niuxr),
—со
что и требовалось доказать.
1.4. Обратная теорема смещения
Это свойство является симметричным предыдущему, и его
тоже легко доказать.
Если
то
/ {х) ехр (— 2niu'x) -?-> F {и — а'),
где и' — постоянная.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
197
Если фурье-образ существует, то выражения (9) и A0) мож-
можно записать в следующем виде:
далее
(х — х') < t F (и) ехр Bniux')
5
(9а)
5_
f(x) ехр (—2niu'x) <- _ /^(и — и').
A0а)
Легко убедиться в целесообразности следующих обозначе-
обозначений (рис. 1):
[f]x-x.==f(x — xr), A1a)
lfl+Jc' = f{X+Xr), (Пб)
\P\u-u'=F{u — ur), (Ив)
\F\u+u.=F(u + u'), (Иг)
где, например, выражение \f]x+x, = f(x-\-xr) соответствует
функции f(x), если начало координат перенесено из точки х = 0
Рис. 1. Теорема смещения фурье-образа, вытекающая из (9).
в точку * = —*'. С помощью выражений (Па) —(Иг) мы можем
записать систему (9) и A0) в такой форме
F ехр Bя/«х'),
f ехр Bяш0с) ;=t !/=•]„_„„
5
f ехр (-2лш'х) 7=^ \F)U ьв,.
(96)
(9в)

198
ГЛАВА 7
Наконец, следует обратить внимание на то, что различие между
фурье-образом, который содержит exp Bniux), и инверсным
фурье-образом, содержащим ехр(—2niux), имеет существенное
значение, когда производят сложение или вычитание двух фурье-
образов (96) и (9в). Соответствующим примером служат соот-
соотношения E8) — F4).
1.5. Таблица свойств преобразования Фурье
Таблица свойств преобразования Фурье, приводимая без до-
доказательств, дана здесь ввиду значимости этих свойств для мно-
многих оптических задач. Большинство необходимых доказательств
легко выполнить по схеме, использованной в предыдущем раз-
разделе. Если х' и и' — постоянные величины, то
f (х — х')
F(и) exp Bniuxf),
f (л: — л:') -г f (* + x')
2F (и) cos Bяих'),
f (х - х') — f(x-\- х') ^=± 2iF (и) sin Bnux'),
2f(x) — f(x -x') — f (х+ x')^z±4F (и) sin2 лих',
f (х) exp (— 2niu'x) ^=±F(u — и'),
f (x) exp Bми'х) ^=±F(u-\- и'),
f (x) sin Bпи'х) <=± — -j
f (x) sin2 ли'х <=± х
A2)
=±^\F{u -u')-\-F{a-+¦ и')\,
и) — F(u-\-u') —
—F(u — u%
1.6. Двуиерпое ¦¦ иногоиерпое преобразовании Ф)трье
Если учесть очевидное ограничение [как и в случае соотно-
соотношения A)], то вместо х и у можно использовать переменные
х, у, z и т. д., а также и, v, w и т. д. и соответствующие крат-
кратные интегралы в формулах преобразования.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
199
1.7. Иа.иенение масштаба н преобразование Фурье
Докажем, что если
f(x)-*+F(u),
A3)
то
где а — комплексная постоянная с модулем \а\. Нам требуется
доказать
%[f(ax)]=
Пусть ах = у и dx~(\\a)dy. Рассмотрим сначала а > 0. Если
х—>эо, то у—>-оо и
c)] = l \ f(y) expBniu{)dy = ~f{^),
— ¦со
Теперь пусть а < 0. Если x^-zo, то у^г — эо и
В общем случае а^О имеем
что и требовалось доказать.
Особый случай изменения масштаба возникает при а = — 1:
f(—х) — -> F(—и). " A5)
Важный класс преобразования комплексно-сопряженной функ-
функции рассматривается в следующем разделе.
1.8. Фурье-образ комплексно-сопряженной фупкцнп
Этот важный класс преобразований встречается в оптике
очень часто. Пусть f*(x) —комплексно-сопряженная функция к
f(x). Иначе говоря, f* (х) получается из f(x) путем замены всех
i=Y — 1 на —'• Учитывая это, найдем, что
f*(x) — -> F*(—u). A6)

200
ГЛАВА 7
Действительно, сразу получаем
+ ОО ( -ТОО 1*
f f*(x)expBniux)dx = \ f f(x)exp(—2niux)dx\ =F*(—u),
I I
— CO \ — CO J
что и требовалось доказать.
1.0. Тригонометрическая форма преобразования Фурье
Часто используется следующая тригонометрическая форма
преобразования Фурье:
Н-оо +оо
J f (x) &xp {2niux) dx = f f(x)cosBnux)dx~{-
f(x)smBnux)dx. A7)
1.10. Спойстпа симметрия
Используя предыдущие уравнения, легко доказать следую*
щие важные соотношения.
Если f(x) действительна, т. е.
то
или
то
A8)
f(x) действительна и четна, т. е.
Если f(x) действительна и нечетна, т. е.
то
A9)
B0)
2. Свертка
Интегральная операция свертки появляется в оптике столь
же естественно, как и при описании любой другой линейной си-
системы. Краткое рассмотрение, приведенное ниже, имеет важное
значение для понимания многих разделов книги.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
201
2.1. Определение сворткн
По определению свертка f(t) получается из двух функций
МО и /г@ с помощью интегральной операции
B1)
где т — независимая (текущая) переменная, a t представляет
ряд последовательных значений сдвига функции j2(t) относи-
относительно fi(t). Интеграл от произведения перекрывающихся ча-
частей функций fi[t) и /2(/) определяется при одном таком сдвиге
t. Другими словами, функция /(/) в аналитической или графи-
графической форме получается путем последовательного определения
интеграла от произведения двух функций ft(t) и /г(/), когда эти
две функции последовательно сдвигаются друг относительно
друга. Значения интеграла находятся для каждого сдвига i
функции f2(t) относительно /i(/), включая значение /@), кото-
которое соответствует значению t = 0, когда две функции /,(/) и
/2(/) «совпадают», т. е. имеют общую абсциссу.
Ради компактности интеграл свертки B1) часто удобно за-
записать в виде
= ft{t)®f2(t). B2)
2.2. Кратпме снертки и с.корткп нескольких функций
Двойной интеграл свертки двух функций независимых пере-
переменных х и у можно записать в виде
+со Н-со
f(x,y)=j J f,(*o. yo)h(x- Xj, y — yo)dxodyo. B3)
— со —со
Возможно получение свертки более чем двух функций, которая
также имеет физический смысл, в частности в оптике (в интер-
интерферометрии, спектроскопии, голографии и т. д.). Например,
функция пропускания W(o), или аппаратная функция интерфе-
интерферометра Фабри — Перо, в зависимости от волнового числа о=
= 1Д, где % — длина волны света в сантиметрах, определяется,
согласно Шаббалю [6], следующим уравнением:
= A(a)®D(a)®F(a), B4)
где А (а) — так называемая функция Эри, характеризующая про-
пропускание интерферометра Фабри — Перо (эта функция исполь-
используется в физической оптике); D(о) —функция рассеяния,
характеризующая несовершенство зеркал интерферометра

202
ГЛАВА 7
Фабри — Перо, a F(a) — функция, характеризующая протяжен-
протяженность источника, который всегда имеет конечные размеры, в то
время как при выводе функции Эри Л(а) источник рассматри-
рассматривался точечным. Напомним, что функция Эри Л (а) может быть
получена в виде
д/\ ВЫХОДЯЩИЙ ПОТОК
*¦ ' Падающий поток
B5)
= {j&jrf IV + o^wsin2 {2ш1 cos l
где R и Т — коэффициенты отражения и пропускания зеркал
Фабри — Перо, / — расстояние между зеркалами, п — коэффи-
коэффициент преломления среды между зеркалами, a i — угол, обра-
образуемый плоской волной в пространстве между зеркалами с оп-
оптической осью.
Можно сказать, что функция, аналогичная описанной выра-
выражением B4), характеризует и другие спектроскопические при-
приборы, например спектрометры с дифракционными решетками.
Уравнения, близкие к уравнению B4), описывают работу ин-
терферометрических устройств, используемых при получении го-
голограммы, а также во многих применениях голографии.
2.3. Теорема скертки (фурье-образ сиертки)
Фурье-образ свертки равен произведению фурье-образов
двух функций. Докажем также обратную теорему: фурье-образ
произведения двух функций равен свертке фурье-образов двух
функций.
Чтобы доказать прямую теорему свертки, рассмотрим функ-
функцию
+ 00
Пусть
B6)
B7)
осуществляется с помощью преобразования Фурье, т. .е.
F(u)= j ехр(—2лш/) J f1(x)f2(t — x)dx\dt. B8)
— СО L —СО J
Теперь изменим порядок интегрирования в выражении B8), опи-
опираясь на обычные в этом случае предположения, затем внесем
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ ДИАЛИЗ
203
экспоненциальный множитель в скобки и вынесем /i(t) за
скобки:
+ 00
/="(«)= J М*)
f exp(— 2niut)f2(t —
dx. B9)
Теперь применим к B9) теорему смещения фурье-образа (9а)
Мы замечаем, что скобку в B9) можно записать гак:
+ 00
| f2(t — х) ехр(— 2пШ)dt = F2(и) ехр Bлшт), C0)
— со
где F2(u) — обозначает фурье-образ функции /2(/). Уравнение
B9) можно теперь записать в виде
F(u)= J f1(x)Fz(u)expBniux)dx.
C1)
Поскольку F2(u) можно при интегрировании по т вынести за
интеграл, выражение C1) окончательно принимает вид
Bniux) dx;
C2)
в последнем выражении легко распознать произведение фурье-
образов
/=¦ (и) = /=•,(«) ^ (и). C3)
Таким образом, можно заключить, что если
МО — ¦* ^2 (И),
ТО
т. е.
(и), C4а)
C46)
Уравнение C4) представляет собой первую теорему сверт-
свертки, которая утверждает, что фурье-образ свертки двух функции
равен произведению фурье-образов двух функций.

204
ГЛАВА 7
Теперь приведем вторую теорему свертки. Пусть f(t) — сверт-
свертка двух функций fi(t) и f2(t), т. е.
IV1//2 1Л ~ X)UX, (oO)
и пусть f2(t) — фурье-образ функции F2(u), т. е.
4-CO
f2(t)= [ F2(u)exp(—2niut)du, C6)
или
f., (t — x) = F2(a) exp [ - 2niu (t — т)| da.
Подставив выражение C7) в C5), получим
'= [ AW
C7)
г. C8)
— СО —СО
Вследствие равномерной сходимости второго интеграла по т мы
можем изменить порядок интегрирования в уравнении C8) на
обратный, в результате чего получим
+ со +со
f(t)= \ F2(u)exp(—2niut) [ f, (т) exp Bniut)dxdu. C9)
/=-,(«)
Второй интеграл равен Ft(u), т. е. фурье-образу /i(x), и оконча-
окончательно выражение C9) можно записать в таком виде
f(t)= Fl(u)F2(u.)exp(—2niut)du. D0)
— со
Сравнивая выражения D0) и C5), можно получить
D1)
fl®f2 +—
Уравнение D1) показывает, что фурье-образ произведения двух
функций равен свертке фурье-образов двух функций.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
205
3. Функция корреляции
Необходимо подчеркнуть существенное различие между
сверткой, с одной стороны, и функцией корреляции — с другой,
особенно в связи с тем, что по виду они очень близки.
Если одна из двух функций является сопряженной с некото-
некоторой функцией, то в качестве подходящего представления высту-
выступает функция корреляции, а не свертка.
3.1. Определение фупкции норреляцпп
По определению функция автокорреляции срц(т) равна
+ с
пО0= f
D2)
а функция кросс-корреляции q>i2 определяется выражением
= \ ixit)f
Аналогично имеем
Ф21 <
D3)
D4)
3.2. Преобразование фупкцип корреляции
Рассмотрим произведение
D5)
для которого с помощью преобразования Фурье можем записать
Л -^ fu D6)
i ~+ h-
D7)
Мы хотим получить выражение для фурье-образа произведения
F\Fr Сначала заметим [см. D1)], что из выражения D5) сле-
следует
/У2-М,@®?(-^ D8)

206
ГЛАВА 7
Здесь последнее соотношение необходимо записать полностью.
Кроме того,
+ 0О
f 1 @ ® П (~ 0 = J f 1 (*) /2 [' - (~ тI ^ D9)
т. е.
+ ОО
= J
E0)
Уравнение E0) является, согласно соотношению D3), функцией
корреляции ф12(т). Поэтому мы можем записать
/Уг-^МОФЖ-О^ФиМ- E1)
Часто бывает выгодно представить функцию корреляции в фор-
форме, аналогичной интегралу свертки. Мы определяем операцию
корреляции с помощью символа *
<p,2M=f, (*)*/;(')• E2)
Наконец, мел можем записать соотношение E1) в виде
2 ' 1 * / V
Аналогично находим
F*F _5> f* и- f
1 Г 2 ^ /1 ' /2-
E3)
E4)
Мы можем привести также выражение для преобразований, по-
полученных при условиях
когда мы имеем
E5)
E6)
rj2^F;,F2. E7)
Однако здесь надо соблюдать осторожность, так как знак
«плюс» в ехрBяшх) означает прямое преобразование и соот-
соответственно знак «минус» в ехр(—2niux) — обратное преобразо-
преобразование. Если это учесть, то можно записать полную систему двух
преобразований в следующей форме,
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
207
Если заданы
то [выражение B)]
-- О и
E8а)
E86J
и сводка правил преобразования для функций корреляции
имеет вид
E9)
F0)
Наконец, для системы функций автокорреляции мы имеем сле-
следующую сводку правил преобразований. Пусть дано
h -*+ Л.
Кроме того,
F1)
F2)
Следует указать, что выражение F2) известно как теорема Пар-
севаля, которая иногда интерпретируется как закон сохранения
энергии. Можно также отметить, что
и далее из сравнения соотношений F3) с F1) получаем
F3)
F4)
Графическая интерпретация операций свертки и корреляции
дана на рис. 2. Мы можем, в частности, отметить существенное
различие между функциями автокорреляции и свертки для

208
ГЛАВА 7
Корреляция
*
ill
- Сдвиг,
Интеграл
Свертка
®
1
Сдвиг —{
Рис. 2. Наглядная иллюстрация операций корреляции и свертки.
таких функций (одна из них изображена на рис. 2), которые не
обладают симметрией относительно поворота на 180°. То же
самое замечание относится, конечно, и к функциям кросс-корре-
кросс-корреляции! Оно приобретает особую важность в задачах образова-
образования изображения при когерентном, а также и некогерентиом
освещении (разд. 7.1 гл. 5 и разд. 4 гл. 6).
4. Распределения, и«яи обобщенные функции
Теория распределений или обобщенных функций, впервые
изложенная Л. Шварцем в 1950—1951 гг., в разработке которой
приняли участие многие авторы (в частности, Дж. Арзак,
А. Эрдели, М. Лайтхилл и Дж. Темпл), представляет собой уни-
универсальный математический аппарат современной оптики и
радиооптики, эффективность которого постоянно возрастает. Для
более фундаментального ознакомления читатель отсылается к
одной из последних монографий в этой области.
С целью иллюстрации универсальности этого метода здесь
достаточно привести лишь несколько примеров.
4.1. Определеппп
Скалярным произведением двух функций f(x) и g(x) назы-
называется интеграл
F5)
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
209
Даже если функция f(x) не имеет фурье-образа, мы можем
определить (f\x), g(x)) через некоторое конечное число при
условии, что g{x)dx существует. В этом случае f(x) ыазы-
— оо
вается распределением или обобщенной функцией. Вспомним,
что функция может иметь фурье-образ в строгом смысле только
тогда, когда эта функция абсолютно интегрируема, т. е. если
существует интеграл
\f(x)\ dx.
F6)
Например, функция f(x) = \ не имеет фурье-образа в этом смыс-
смысле. Однако если положить f(x) =б(х), так что
(b(x)g(x))=--g@),
F(x-a)g(x))=g(a),
F7)
F8)
то уравнения F7) и F8) определяют дельта-функцию Дирака
как распределение, или обобщенную функцию.
+.2. Импульсный отклик лппейной системы
Пусть L — линейный оператор, действующий на f(t) или f(x),
как это показано на рис. 3. Мы требуем, чтобы линейная си-
система имела свойства:
fttl
Вход
fix)
Выход
rlxH
Рис. 3.
а) линейности
L [a,U @ + a-ih @1 = aiL lh @1 + <h.L If2 @b
где а( и аг — постоянные;
б) инвариантности во времени (или в пространстве)
F9)
G0)
14 Дж- Строук

210
ГЛАВА 7
Импульсный отклик линейной системы, например оптической си-
системы, электрической цепи и т. д., обозначается через h(t) или
h(x) (рис. 4).
Для оптического фильтра (например, интерференционного
фильтра или оптической цепи [5]) временной импульсный отклик
h(t) является упорядоченным, так как компоненты волн различ-
различных временных частот при прохождении через фильтр задержи-
Sff)
Вход
\Slt-t,)
Выход
Р и с. 4.
ваются на различную величину. Для оптических систем образо-
образования изображения пространственный импульсный отклик h(x)
также является упорядоченным. [Под пространственным им-
импульсным откликом h(x) обычно подразумевают дифракционную
картину.]
+.«. Отклпк линейной системы на произвольную
входную фунпцпю
Пусть теперь функция на входе f(t) состоит из суммы еди-
единичных импульсов
/@ =
Вспомним, что, согласно выражению F8),
G1)
и мы получаем соотношение между функциями на входе и на
выходе системы, показанное на рис. 5, где /г(^)—импульсный
отклик системы I.
f
Вход
Выход
Рис. 5.
Теперь находим непосредственно функцию на выходе. В силу
того, что L является линейным оператором,
L[f(t)] =
v G2)
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
211
Тогда
= r{t)= J
G3)
Это соотношение демонстрирует то фундаментальное свойство,
что выход r(t) равен свертке функции импульсного отклика с
функцией на входе.
В случае образования изображения при некогерентном осве-
освещении, для которого картина дифракции или функции разброса
имеет вид
h(x) = s(x),
а функция на входе f(x) соответствует оптико-геометрическому
изображению предмета, т. е. f(x)=O(x), функция на выходе
имеет вид г(х) = 1(х), где
G4)
как уже показано в гл. 3 [соотношение B0)].
5. Спектральный анализ')
Пусть Ф(со)— функция спектрального распределения энергии
на входе линейной системы (рис. 6). Функция на выходе #(со) =
= L[(p(co)] показана на рис. 6. Функция /?(со) может быть либо
Вход
Выход
h(co)
Рис. 6.
спектром, наблюдаемым с помощью дифракционной решетки в
зависимости от со или К, либо откликом в оптическом спектраль-
спектральном анализаторе с гетеродинным детектором.
') См. также гл, 4.
14*

212
ГЛАВА 7
Пусть импульсный отклик спектрометра равен /г(со). Пусть,
далее, функция на входе Ф(со) определяется соотношением
+ ОО
Ф(и)= j Ф(со0N(со0- со)Л% G5)
— СО
Функция на выходе, согласно G4), равна
+ ОО
/?(cu)^ j ф(со0)й(сй0 — а)с1щ, G6)
—со
т. е.
А?(ю) = Ф(сй)©й(сй). G7)
Это соотношение представляет собой основное уравнение, опре-
определяющее характерные свойства спектрометров.' В спектрометре
регистрируется как раз функция /?(со). С помощью преобразо-
преобразования Фурье G7) [соотношение C46)] получаем
Напомним, что для оптических систем и электрических цепей
[см., например, соотношение B3) гл. 3] фурье-образ 3 [/г(со)]
равен частотному отклику системы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Arsac J., Transformations de Fourier et theorie des distributions Dunod
Paris, 1960.
2. Jen ni son R. C, Fourier Transforms and Convolutions for the Experimen-
Experimentalist, Pergamon Press, New York, 1961.
3. L i gh t h i 11 M. J., An Introduction to fourier analysis and generalized func-
functions, Cambridge Univ. Press, London and New York, 1958.
4. Харкевич А. А., Спектры и анализ, изд. 3-е, перераб' Москва 1957
5. S t г о k e G. W., Proc. IEEE, 52, 855 A964)
6. Chabbal R., Rev. Opt., 37, 49, 366, 501 A958).
7. O'Neill E. L, An Introduction to statistical optics, Addison-Wesley,
Reading, Massachusetts. 1963; русский перевод О'Н е й л Э., Введение
в статистическую оптику, изд-во «Мир», 1966.
8. Шварц Л., Математические методы для физических наук, изд-во «Мир»,
1УЬ5.
9. В race we 11 R., The Fourier transform and its applications, McGraw-Hill,
1965.
Дополнение автора к русскому изданию
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ГОЛОГРАФИЧЕСКИХ
ИЗОБРАЖЕНИЙ В БЕЛОМ СВЕТЕ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДИФРАКЦИОННОГО
ЭФФЕКТА ЛИППМАНА — КРЭГГА )
Дж. Строук, А. Лабейри
Описывается метод получения рефлексных голограмм в липп-
мановских фотоэмульсиях, предложенный Денисюком в 1962 г.
Авторам удалось восстановить монохроматическое изображение
в лучах белого (например, солнечного) света, а также продемон-
продемонстрировать возможность использования трехмерных решеток в
качестве оптического аналога кристаллической решетки.
На рис. \,а показано устройство, которое было использовано
для получения голограмм двумерных или трехмерных предме-
предметов. При освещении голограммы лучами обычного солнечного
света (или, например, светом электрического фонарика) по
схеме, приведенной на рис. 1,6, происходило восстановление
«одноцветного» изображения предмета. Примером восстановлен-
восстановленного изображения, полученного при освещении голограммы лу-
лучами солнечного света, может служить фотография кузнечика,
показанная на рис. 2. Исходный предмет имел вид диапозитива
размером 24X36 мм на пленке Kodachrome. Диапозитив поме-
помещался на расстоянии 2 = 25 мм от фотографической пластинки
так, чтобы реализовалась рефлексная схема проективной голо-
голографии [1], и освещался лазером на длине волны 0,63 мкм.
Физические основы голографического метода получения изо-
изображений, иллюстрируемого рис. I, можно легко объяснить. От-
Отбор одного цвета при восстановлении осуществляется благодаря
многократной интерференции белого света на слоях, которые
образуются в объеме эмульсии при интерференции опорного
поля с полем, рассеянным от предмета. Подобная интерференция
возникает в липпмановских фотографиях, впервые описанных
в 1894 г. [2]. Расстояние между образующимися слоями равно
Х/2, когда оба пучка в виде плоских волн падают на фотопла-
фотопластинку по нормали. В случае же произвольного рассеивающего
предмета (рис. \,а) максимумы многослойной структуры сме-
смещаются вдоль оси z в соответствии со сдвигами фаз рассеянного
электрического поля относительно опорного поля, а степень
') Stroke G. W., Labeyrie A. F., Phys. Lett., 20D), 368-370 A966),

От лазера
Опорный.
пучок
Белый
(солнечный)
свет
/Голограмма
Липпмановская
фотоэмульсия-
От лазера
- От лазера
j—[ Предмет
Зрачок или
фотопластинка
3-мерная
решетка
Восстановленное
изображение
а
Запись
Восстановление
Рис. 1. Схема получения в лазерном свете решетчато-подобной голо-
грамйы (а), которая при освещении белым светом (б) восстанавливает одно-
одноцветные изображения на основе эффекта Липпмана — Брэгга.
Рис. 2. Изображение кузнечика, восстановленное при освещении солнеч-
солнечным светом голограммы по схеме рис. 1, б.
Исходный предмет в этом случае был диапозитивом размером 24Х36жл
на пленке Kodachrome, который помещался на расстоянии 25 мм перед голо-
голограммой и освещался лазером на длине волны 0,63 мкм. Даже при осве-
освещении той же голограммы простым карманным электрическим фонариком
получались очень яркие, четкие изображения.
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ГОЛОГРАФИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ В БЕЛОМ СВЕТЕ 215
почернения проявленной фотоэмульсии по глубине z для за-
заданных координат (х) плоской голограммы будет определяться
суммарной амплитудой рассеянного поля.
При восстановлении (рис. 1,6) голограмма освещается бе-
белым светом с той же стороны, с которой падал опорный пучок.
Как и в случае дифракции на кристалле, образуется одноцвет-
одноцветное восстановленное изображение, которое получается в соот-
соответствии с принципом восстановления волнового фронта, опи-
описанным Габором в 1948 г. [3].
Восстановленная волна характеризуется:
1) локальной фазовой модуляцией, определяемой местными
сдвигами отражающих слоев многослойной структуры;
2) локальной амплитудной модуляцией, определяемой мест-
местными вариациями почернения голограммы;
3) цветом, отбираемым при брэгговской дифракции света на
слоях, образующих решетчатую структуру.
При этом расстояние между слоями можно изменять, исполь-
используя специальный метод фотохимической обработки, например
опуская процесс фиксирования фотоэмульсии [4, 5].
Основы теории рефлексной голограммы такого типа впервые
были разработаны Денисюком в 1962 г. [6] для случая, когда
предмет освещался сквозь голограмму, а не отдельным пучком,
который обычно отделяется перед попаданием на голограмму,
как это показано на рис. \,а. Деиисюк описал эксперимент с
зеркалами, которые он использовал в качестве предметов, осве-
освещаемых светом от ртутной лампы. Однако он не продемонстри-
продемонстрировал никаких фотографий скорее всего потому, что у него тогда
еще не было лазера, без которого очень трудно получить хоро-
хорошие голограммы [3].
Очень хороший результат, приведенный в этой статье, мы
легко получили, освещая солнечным светом голограмму, сформи-
сформированную с помощью лазера на длине волны 0,63 мкм. (Такое
же по качеству легко наблюдаемое изображение достаточной яр-
яркости было получено нами с помощью карманного электриче-
электрического фонарика.)
Небезынтересно заметить, что в работе [7] было описано
устройство, аналогичное нашей схеме получения рефлексной
голограммы Липпмана-—Брэгга, но предназначенное для дока-
доказательства возможности освещения обращенным опорным пуч-
пучком обычной монохроматической голограммы на просвет. При
этом авторы не стремились получить рефлексные голограммы с
последующим восстановлением изображений в лучах белого
света, как это описано здесь. Как отмечалось в работе [7], введе-
введение обращенного опорного пучка имело определенные достоин-
достоинства, так как оно давало возможность помещать опорное зеркало

216
ДОПОЛНЕНИЕ АВТОРА К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
не вблизи удаленного предмета, а рядом с лазером, если, ко-
конечно, была достаточной длина когерентности света лазера [1].
Многими авторами были описаны наблюдавшиеся ими реф-
рефлексные изображения, которые получались при освещении лазе-
лазером обычной голограммы на просвет. Необходимо, однако, отме-
отметить, что все методы в голографии были развиты на основе пер-
первой работы Габора [3].
Теоретическое описание голографического процесса, которое
мы привели в этой статье, можно изложить, рассматривая мо-
модулированную рефлексную решетку Липпмана — Брэгга. Раз-
Развернутая теория будет дана в подробной статье [4].
Пусть рассеянное поле в плоскости голограммы (плоскостьх)
описывается выражением
A(x)expi(f(x),
A)
и пусть рассеянная волна и опорный пучок падают на голограм-
голограмму вдоль оси z, перпендикулярной плоскости голограммы. Интен-
Интенсивность, регистрируемая голограммой, равна
f(x,z)~l-\-A (х) cos [2kz + ф (х)],
B)
где k = 2n/K, a X — длина волны света, используемая при получе-
получении голограммы.
При освещении голограммы плоской волной белого света в
трехмерной решетке, описываемой уравнением B), произойдет
процесс дифракции Липпмана — Брэгга и восстановится волна
Л(х)ехр /cp(x)
C)
только одной длины.
Интересно отметить, что восстановленные изображения полу-
получаются особенно яркими, если использовать такую схему, в ко-
которой рассеянное поле при получении голограммы сводится лин-
линзой в фокус на определенном расстоянии за голограммой со
стороны опорного пучка. Среди изученных нами эксперимен-
экспериментальных подробностей мы нашли наиболее совершенным рецепт
обработки липпмановской эмульсии, описанный Айвсом в 1908 г.
[5], который особенно удобен для контроля расстояния между
отдельными слоями.
В нашей статье [4] мы обсуждаем дальнейшее распростране-
распространение метода «рефлексной голографии», в частности получение
трехмерной кристаллической решетки в фотографической эмуль-
эмульсии. Последнее может представлять особый интерес при исполь-
использовании подобных решеток для моделирования дифракции в
оптическом диапазоне и в качестве средства упрощения некото-
некоторых аспектов синтеза рентгеновских изображений, например при
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ГОЛОГРАФИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ В БЕЛОМ СВЕТЕ 217
изучении структуры протеинов и в кристаллографии. По-види-
По-видимому, метод найдет применение в интерферометрии, спектро-
спектроскопии, а также в цветной голографии.
ЛИТЕРАТУРА )
1. Строук Дж., Основные главы настоящей книги.
2 L i p p m a n G., У. de Physique, 3, 97 A894).
3. Gabor D., Nature, 161, 777 A948).
4. L a b e у r i e A. E., S t г о k e G. W., Optica Ada, в печати.
5. I ves H. E., Astrophys. ]., 27, 325 A908)
6. Денисюк Ю. Н., ДАН СССР, 144 F), 1275 A962).
1. Taylor С. A., Lipson H., Optical transforms, London. 1964.
7. Hoffman A. S., Doidge J. G., Mooney D G., У. Opt. Soc. Am 55,
1559 A965).
') См. также работы по моделированию в оптическом диапазоне процес-
процессов дифракции рентгеновских волн на кристаллической решетке:
1. Т а у 1 о г С. A., Lipson H., Optical transforms, London, 1964.
2. L i p s о п H., Taylor С. A., X-ray crysial-structure determination as
a branch of physical optics, Progress in Optics, V, Wolf E., ed., 1966, p. 289—
348. — Прим. ред.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1
МИКРОСКОПИЯ НА ОСНОВЕ МЕТОДА
ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА, Г> 2>
Д. Габор
Введение
Период систематического увеличения разрешающей способ-
способности электронных микроскопов, начало которому было поло-
положено в 1931 г. работами Кнолля и Руски, был фактически за-
завершен в 1946 г., когда Хиллиер и Рамберг [1] устранили астиг-
астигматизм объектива и достигли разрешающей способности, лишь
незначительно отличающейся от теоретического предела. Хотя
барьер на пути дальнейшего прогресса имеет чисто техническую
природу, все же он достаточно грозен для того, чтобы помешать
любым существенным улучшениям в прямом направлении.
Теоретический предел разрешения обычных электронных ми-
микроскопов составляет около 5 А. Он определяется компромиссом
¦между дифракцией и сферической аберрацией в электронных
объективах и в оптимальном случае пропорционален корню чет-
четвертой степени из аберрационной постоянной. Хотя было выдви-
выдвинуто несколько предложений, направленных на коррекцию объ-
объективов, все они сопряжены с такими техническими трудностями,
что самое большее, чего можно ожидать, даже будучи оптими-
оптимистом,— это достичь улучшения в 2 раза. Нет никакой надежды
повысить разрешающую способность в 10 раз по сравнению с
уже достигнутой на сегодня3), так как это потребовало бы осу-
осуществления коррекции сферической абберации с точностью до
') Gabor D., Microscopy by reconstructed wavefronts: I, Proc. Roy. Soc.
(London), A197, 454—487 A949).
2) В статьях Габора изложена теория дифракционного микроскопа и ос-
основы голографии. С момента их написания A949—1951 гг.) прошел большой
срок и, естественно, многие утверждения Габора нуждаются в комментариях.
Чтобы дать все необходимые пояснения, потребовался бы подробный обзор
достижений в оптике и в многочисленных смежных науках за этот период,
что при издании настоящей книги не было предусмотрено. Если же при
чтении статей Габора у читателя возникнут какие-либо вопросы, то можно
ему порекомендовать обратиться к основным главам книги, так как более
полного изложения вопросов когерентной оптики в литературе пока что
нет. — Прим. ред.
'¦>) То есть в 1949 г. — Прим. ред.
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА, I
219
1/10 000. Такая точность может быть обеспечена методами опти-
оптической мастерской, но едва ли ее когда-нибудь можно будет
достичь с помощью средств, имеющихся в распоряжении элек-
электронной оптики ').
Новый метод представляет собой попытку обойти этот барьер,
не преодолевая его в лоб, двухступенчатым процессом, в кото-
котором предмет регистрируется с помощью пучка электронов, а вос-
восстанавливается с помощью светового пучка. Общая идея такого
процесса впервые возникла у автора под влиянием работы
Брэгга «Рентгеновская микроскопия» [2] (см. также [3]). Однако
метод Брэгга, в котором кристаллическая решетка восстанавли-
восстанавливается с помощью процесса дифракции на дифракционной кар-
картине, полученной в рентгеновских лучах, может быть применен
лишь к одному определенному классу периодических структур.
Обычно это связывают с тем, что дифракционные картины со-
содержат информацию только об интенсивностях волны и не со-
содержат информации о фазах. Но эта формулировка не вполне
удачна, так как она сразу же наводит на мысль, что раз фазы
ненаблюдаемы в случае применения этого метода, то они не-
наблюдаемы всегда. В самом деле, при анализе обычных ди-
дифракционных картин нельзя установить не только ненаблюдае-
ненаблюдаемую часть фазы, но также и ту ее часть, которая обусловлена
геометрическими и оптическими свойствами предмета и в прин-
принципе могла бы быть определена путем сравнения фаз рассматри-
рассматриваемой волны и стандартной опорной волны. Именно эти рассу-
рассуждения привели меня в конце концов к новому методу.
Для того чтобы новый метод стал практически применимым,
его необходимо было объединить с новым принципом, о котором
до сих пор, по-видимому, никто не упоминал. Если дифракцион-
дифракционная картина, образованная при освещении предмета, фотографи-
фотографируется при когерентном освещении, причем к дифрагированной
волне добавляется когерентный фон, то фотография будет со-
содержать полную информацию о всех изменениях, которые пре-
претерпела освещающая волна при рассеянии от предмета. Возни-
Возникающая при этом двузначность фазы будет обсуждена позднее.
Более того, изображение предмета может быть восстанов-
восстановлено по этой фотографии без каких-либо расчетов. Необходимо
лишь убрать предмет и осветить фотографию только одним ко-
когерентным фоном. Одной из компонент возникающей при этом
вторичной волны будет восстановленная исходная волна, рас-
рассеянная от предмета. Можно найти условия, при которых осталь-
остальные компоненты могут быть в достаточной степени отделены от
') Разрешающая способность современных электронных микроскопов со-
составляет 5 А. — Прим. ред.

220
Л. ГАБОР
полезной компоненты, восстанавливающей истинное или близкое
к истинному изображение исходного предмета.
Этот принцип был подтвержден многочисленными экспери-
экспериментами. Некоторые из результатов приведены на рис. 10—12 и
пояснены в последнем разделе этой статьи.
В обычной оптике когерентный фон можно получить многими
путями, однако в электронной оптике нет устройства для эффек-
эффективного расщепления пучка электронов; таким образом, един-
единственный подходящий способ заключается в использовании в
Злектротюя
'пушка
t i il
Точечный фокус
Предмет
Диафрагма Система
мсктронных лин
Фотопластинка
Дифракционная
картина
(„голограмма" )-
Злехтронное устройство Яля получении голограммы
Оптическое воспроизведение поражение предмета,
конфигурации злектронного лучка видимое в той же оптической плоскости. Голограмма
в фокусе, увеличенное в А,/Аг раз что и фокальная конфигурация пучка, ,
Источник сета \ увеличенное , X,/Хе раз
Фотопластинка
Восстанавливающая линза
Нинза, увеличивающая
голограмму в л,/Ас раз
Оптическое устройство для восстановления
Рис. 1. Схема, иллюстрирующая принцип электронной микроскопии на
основе метода восстановления волнового фронта.
качестве когерентного фона самого освещающего пучка. Это при-
приводит нас к схеме освещения когерентной расходящейся элек-
электронной волной (рис. 1). Предвосхищая доказательство принци-
принципа восстановления, которое будет сделано позже, объясним сна-
сначала действие этой схемы.
Все устройство состоит из двух частей: электронного устрой-
устройства для получения голограммы и оптического устройства для ее
восстановления. Регистрирующее устройство подобно электрон-
'ному теневому микроскопу [4], но с тем существенным отличием,
что оно работает при когерентном освещении и в таких условиях,
в которых теневой микроскоп не применяется, так как интерфе-
интерференционная картина имеет слишком мало сходства с исходным
предметом. Электронная пушка в сочетании с подходящей диа-
диафрагмой и системой электронных линз создает когерентный
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА, I
221
освещающий пучок с максимально острым фокусом. Вследствие
неизбежной сферической аберрации электронных линз строго
гомоцентрический пучок получить, конечно, невозможно, но для
простоты мы можем называть узкую «талию» пучка «точечным
фокусом». На некотором небольшом рассстоянии перед точечным
фокусом или за ним устанавливается небольшой предмет, а на
сравнительно большом расстоянии L — фотографическая пла-
пластинка. Угол расходимости пучка \т должен обеспечивать тре-
требуемый предел разрешения dA, который, согласно Аббе, равен
d
UA~ 2sinYm "
Множитель 1/2 мы будем использовать в этой статье для упро-
упрощения обсуждения, но в численных расчетах его следует заме-
заменить более точным значением 0,6.
Поскольку в этой статье мы часто будем говорить о фото-
фотографии дифракционной картины, сделанной при освещении пред-
предмета расходящимся когерентным пучком, то полезно будет вве-
ввести для.нее специальное название, чтобы отличать ее от самой
дифракционной картины, которая будет рассматриваться как
некоторая комплексная функция. Название «голограмма» вполне
оправдано, так как фотонегатив содержит полную информацию,
необходимую для восстановления предмета, который может быть
как двумерным, так и трехмерным.
Голограмма должна быть или отпечатана с негатива, или
получена на обратимой фотопластинке и соответствующим обра-
образом проявлена. Позитив переносится в оптическое восстанавли-
восстанавливающее устройство, представляющее собой оптический аналог
электронного устройства. В этом устройстве вместо пучка элек-
электронов используется оптический световой пучок. Все основные
размеры, которые определяют форму волны, здесь изменяются
пропорционально отношению длины световой волны Xt к длине
электронной волны Хе. Так как в электронной микроскопии чаще
всего применяются электроны с энергией 50 кэв, имеющие длину
волны де-Бройля около 0,05 А, то отношение длин волн будет
порядка 100 000. Можно отметить, что фокусное расстояние элек-
электронных линз не является существенным размером, поэтому нет
необходимости изменять его в том же масштабе.
Чтобы избежать изменения масштаба на фотографической
пластинке, предусмотрена дополнительная линза, которая увели-
увеличивает масштаб в оптическом пространстве в отношении %i/%e
путем увеличения фокусного расстояния. Это означает, что голо-
голограмма отодвигается практически в бесконечность, т. е. она
должна быть расположена в фокальной плоскости коллиматор-
ной линзы. На схеме, изображенной на рис. 1, для простоты

222
Д. ГАБОР
предполагается, что углы расходимости пучков в регистрирую-
регистрирующем и восстанавливающем устройствах одинаковы, но далее бу-
будет показано, что условие f—L не является существенным. Не
является необходимым также и применение отдельной системы
конденсорных линз. Конденсор и коллиматор, которые, чтобы
упростить объяснение, показаны на рис. I как раздельные эле-
элементы, образуют один оптический узел, назначение которого за-
заключается в создании в плоскости голограммы волнового фрон-
фронта, являющегося точной копией первоначального. Сферическая
аберрация и неустранимая эллиптичность электронных линз дол-
должны быть воспроизведены с большой точностью, причем допуск
для крайних лучей должен быть равен около одной интерферен-
интерференционной полосы.
Таким образом, в новом методе уже не нужно исправлять
сферическую аберрацию электронных линз. Размер отверстия
может быть намного больше величины предельно допустимой
в обычной электронной микроскопии. Для достижения некото-
некоторого определенного разрешения необходимо только воспроиз-
воспроизвести аберрации с той же самой точностью, с которой они дол-
должны быть исправлены. Таким образом, трудности переносятся
из области электронной оптики в область световой, где могут
быть изготовлены преломляющие поверхности любой формы без
ограничений, накладываемых в электронной оптике теорией
электромагнитного поля. От электроннооптической части схемы
мы требуем лишь определенной умеренной стабильности в ра-
работе, достаточной для того, чтобы избежать слишком частой
юстировки оптической системы.
Технические трудности, возникающие при работе с этой схе-
схемой, в этой статье не рассматриваются. Отметим лишь, что к
ним относятся задачи обеспечения механической и электриче-
электрической стабильности, проблема работы с предметами, много мень-
меньшими тех, с которыми до сих пор приходилось иметь дело в
электронной микроскопии, и, наконец, задача получения высоких
плотностей тока при сохранении когерентности. Короче говоря,
в этой статье рассматриваются главным образом общие теоре-
теоретические основы нового метода.
Принцип восстановления волнового фронта
Рассмотрим когерентную монохроматическую волну с ком-
комплексной амплитудой U, падающую на фотографическую пла-
пластинку. Можно написать U — A ехр(м|э), где Л игр — действитель-
действительные величины. Амплитуду U можно разложить на падающую
волну (или «фоновую волну») ?A) = /4oexp(ii|)o) и остаток
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА. I
223
Ul = Ai exp (г'-фi), который обусловлен возмущением, созданным
предметом, и может быть назван вторичной волной. Таким обра-
образом, комплексная амплитуда на фотографической пластинке
равна
и = ио + и1 = Аое1^ + Аге1^ = г'Фо (Л + А^'(ф1"Фо)). С)
а ее абсолютное значение имеет вид
cosAjjj — Ф0)]1/2'
График плотности почернений фотографической пластинки, по-
построенный в зависимости от логарифма экспозиции, имеет вид
S-образной кривой с приблизительно прямолинейным участком
между двумя изгибами. На прямолинейном участке коэффициент
пропускания интенсивности пропорционален экспозиции, возве-
возведенной в степень —Г. Термин «пропускание» и символ / будут
применяться в этой статье для обозначения коэффициента про-
пропускания амплитуды волны, который, вообще говоря, является
комплексной величиной. Тогда коэффициент пропускания интен-
интенсивности равен tt*, где звездочкой обозначена комплексно-сопря-
комплексно-сопряженная величина. В случае чистого поглощения без изменения
фазы пропускание t является действительным числом, равным
корню квадратному из коэффициента пропускания интенсив-
интенсивности. Таким образом, для негатива мы можем написать
где коэффициент Кп зависит от времени экспозиции. После из-
изготовления позитива с этого негатива освещенность на выходе
пропорциональна t\\ следовательно, пропускание диапозитива
равно
B)
1-Г„
¦ КАГ,
где Г = Г„Г;; — полная контрастность негативно-позитивного про-
процесса. Этот вид зависимости сохраняется и в том случае, если
используются обратимые фотоматериалы.
Если теперь в процессе восстановления мы осветим позитив-
голограмму одним только когерентным фоном Uo, то будет по-
получена «замещающая волна» ?/,, которая с точностью до по-
постоянного множителя равна
Фо)]'л
C)

224
Д. ГАБОР
Наиболее простой и, как будет ниже показано, также наиболее
благоприятный выбор — это Г = 2. В этом случае
Us =
COs (ф, -
ф0)] -
W4-A*
D)
При сопоставлении этого выражения с выражением A) видно,
что если Ао — const, т. е. если когерентный фон равномерный, то
замещающая волна содержит компоненты, пропорциональные
исходной волне U (первый и третий члены в скобках). Этот факт
сам по себе еще не является доказательством принципа восста-
восстановления, поскольку любая волна может быть расщеплена на
заданную волну и остаток. Необходимо доказать, что остаток,
т. е. сопутствующая часть волны Us, не приводит к серьезным
искажениям.
Этот остаток содержит два члена. Один из них имеет ту же
фазу, что и когерентный фон, но амплитуду в (Ai/A0J раз боль-
больше амплитуды когерентного фона. Этот член может быть сделан
очень малым, если интенсивность когерентного фона относитель-
относительно велика, но это вовсе не означает, что контраст в голограмме
будет плохим. Пусть, например, (AJA0J = 0,01, т. е. интенсивность
вторичной волны составляет лишь 1% интенсивности первичной.
Это дает /4i//4o = O,l, и отношение интенсивности максимума к ин-
интенсивности минимума в системе интерференционных полос рав-
равно A,1 /0,9J = 1,5. При коэффициенте контрастности Г = 2 отно-
отношение коэффициента пропускания интенсивности будет равно
1,52 = 2,25, т. е. будет наблюдаться очень сильный контраст. Зна-
Значение контраста упадет ниже минимальной величины, которую
еще можно наблюдать (около 4%), лишь при (/4i//40J<0,0001,
т. е. если поток света, рассеянного предметом на площадь всей
голограммы, меньше чем 0,01% освещающего потока света.
Этот замечательный эффект когерентного фона систематически
применялся Цернике [5] для увеличения видимости слабых ин-
интерференционных полос.
Второй член остатка имеет ту же самую амплитуду АгАо, что
и восстановленная исходная вторичная волна, но фазовый сдвиг
относительно когерентного фона имеет противоположный знак. .
Для краткости этот член может быть назван комплексно-сопря-
комплексно-сопряженной волной. Эти волны-«двойники» несут одинаковую энер-
энергию.
Наличие сопряженной волны приводит к серьезному искаже-
искажению лишь в исключительных случаях; большей частью сопряжен-
сопряженные волны могут быть эффективно разделены. Возможность раз-
разделения видна на примере зонных пластинок Френеля. В самом
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА, I
225
деле, их можно рассматривать как голограммы точечного пред-
предмета, полученные на бесконечности при освещении точечным
источником. Зонные пластинки действуют одновременно как по-
положительные и как отрицательные линзы, обладающие двумя
фокусами — по одному с каждой стороны пластинки и на равных
расстояниях от нее. Эти фокусы можно наблюдать раздельно.
Как будет показано ниже, при освещении голограммы точечным
источником такие двойные изображения возникают всегда; одна-
однако если источник расположен от них на конечном расстоянии, то
они будут зеркально-симметричными по отношению к точечному
источнику, а не к голограмме. Если пучки лишь приблизительно
гомоцентричны, то второе изображение становится нерезким, од-
однако всегда можно достичь эффективного разделения изображе-
изображений, если предмет достаточно мал и если избегать некоторых
взаимных расположений элементов системы.
В то время как сопряженную волну устранить нельзя, иска-
искажения, обусловленные побочным членом, пропорциональным
(Ai/AoJ, а также неравномерностью когерентного фона, могут
быть либо исключены полностью, либо по крайней мере суще-
существенно уменьшены модификацией фотографического процесса.
В случае малых предметов разность плотности почернений в
двух соседних интерференционных максимумах незначительна,
по крайней мере на большой части голограммы. Это позволяет
«размазать» интерференционные полосы путем экспонирования
слегка расфокусированного отпечатка-голограммы и проявления
его до контраста Г=1. Если этот отпечаток, имеющий пропуска-
пропускание, обратно пропорциональное сумме {Aq-\-A()< поместить в ре-
регистрирующую систему одновременно с позитивом в качестве
маски и осветить фоновой волной Uo< то замещающая волна
будет описываться выражением
U's
[А1 + А\ + 2ДД со s (ф, - %)]/(а1 + л?) =
т|HЛ _
J J-
Г Аг
А>+ 2Л,cos (ф, — ф0) — 2 -± cos(ф, — фо) + •
••]•
E)
Побочный член по сравнению с когерентным фоном имеет здесь
порядок (Ai/AqK, а искажение, обусловленное неравномерностью
когерентного фона, устранено. Если хотят исключить сам коге-
когерентный фон, то можно также использовать негатив, отснятый
при освещении начальным пучком, но без предмета и проявлен-
проявленный до контраста, характеризуемого коэффициентом Г = 2.
15 Дж. Строук

226
Д. ГАБОР
Чтобы кратко обсудить также случай Г =?2, положим для
упрощения Ао=\ и Ai/A0 = a. Из выражения C), применяя бино-
биномиальное разложение, получим
U. = e
1 + ~ Га2 + Га cos (ф, - ф0
F)
В восстановленной волне контраст повышается в отношении
УгГ. Однако дополнительно возникают сопряженные волны с фа-
фазовыми сдвигами 2(i|)i — г|з0) и т. д., но с меньшими амплитуда-
амплитудами. Отсюда видно, что наилучший вариант соответствует Г = 2,
за исключением того случая, когда первоначальный контраст
настолько мал, что значение Г должно быть повышено даже це-
ценой появления искажений при восстановлении.
Освещение сферической волной
Чтобы более подробно изучить процесс восстановления, будет
полезно начать с простого случая освещения точечным источни-
источником. Такое освещение может быть в первом приближении осуще-
осуществлено с помощью достаточно малого отверстия, используемого
в качестве источника света. Вначале будет удобно ограничить
обсуждение двумерными предметами, занимающими часть замк-
замкнутой поверхности Е, которая включает точечный источник О.
Предмет в точке Р поверхности Е может быть охарактеризован
коэффициентом пропускания амплитуды t(P), который равен
отношению комплексных амплитуд по обе стороны от Е в окре-
окрестности точки Р. Коэффициент t, вообще говоря, комплексный;
он действителен лишь в случае чисто поглощающих предметов.
Вполне очевидно, что понятие коэффициента пропускания (дей-
(действительного или комплексного) не применимо к предмету, кото-
который является двумерным в математическом смысле. Что же ка-
касается физического предмета, к которому это понятие примени-
применимо, то мы должны предположить, что его толщина равна по
крайней мере нескольким длинам волн. Более того, мы должны
предположить, что вдоль поверхности Е функция t(P) не изме-
изменяется заметно в пределах длины волны. Таковы условия приме-
применимости теории дифракции Френеля — Кирхгофа. В электрон-
электронной оптике при использовании быстрых электронов с длиной
волны около 0,05 А эти условия всегда выполняются, так как не
существует предметов (исключая атомные ядра), чьи физиче-
физические свойства изменялись бы значительно в пределах расстоя-
расстояния около десяти длин волн,
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА, I
227
С учетом этих ограничений мы можем применить дифрак-
дифракционную формулу Френеля — Кирхгофа (ср., например, [6,
стр. 73]). Обозначения пояснены на рис. 2. Если в точке О рас-
Р и с. 2. Схема, поясняющая дифракционную формулу Френеля — Кирхгофа
а.
положен источник монохроматического излучения единичной ин-
интенсивности, то амплитуда освещающей волны равна
1 .,»,
где г0 — расстояние, отсчитываемое от точки О, a k = 2n/k. Нали-
Наличие предмета на поверхности Е приводит к изменению ампли-
амплитуды за точкой Q до значения
==Ht (Р) «'*(Го+Г1)-1/1Я' (cos Эо- cos в,)
—
G)
Применим теперь эту формулу для того, чтобы рассчитать
«физическую тень» плоского предмета на бесконечности. Физи-
Физическая тень включает дифракционные эффекты, и ее необходимо
отличать от «геометрической тени», в которую она переходит при
неограниченном уменьшении длины волны.
Поскольку используемые на практике пучки имеют углы рас-
расходимости порядка 0,05 или меньше, мы можем положить
cos 8о = —cos 8=1 и считать множитель l//"o/"i постоянной вели-
величиной. Мы также опустим постоянный множитель ('/гЛ)^2' и
запишем уравнение G) в упрощенной форме
t/(Q) = J t{P)etk^^dS. G.1)
2
Используя обозначения, которые поясняются на рис. 3, полу-
получаем следующее выражение для расстояния г0 от начала отсчета
до некоторой точки Р в плоскости предмета z=Zo\
, о , , , ,.19 , \ х2-\-у2 1 (х2 4- У2J ,
15*

228
Д. ГАБОР
В этом разделе мы будем использовать лишь два первых члена
разложения.
Точка наблюдения Q может быть расположена в направле-
направлении оси Z на некотором расстоянии L, очень большом по сравне-
сравнению с Zq (практически на бесконечности), так что мы можем на-
написать
/¦j = L sec у — {х cos a -j- у cos р).
Первые члены в выражениях для г0 и г4 определяют постоянные
фазовые множители, не зависящие от х и у, которые могут быть
опущены. Остающаяся существенная часть G.1) может быть
Рис. 3. Схема для пояснения обозначений.
названа «амплитудой волны, распространяющейся в направле-
направлении а, р» и равна
U (a, p) =
(8)
Если пределы интегрирования не указаны, то в этой статье
далее всегда будет подразумеваться, что интегрирование произ-
производится в бесконечных пределах. Так как фаза в подынтеграль-
подынтегральном выражении справедлива лишь для малых углов, уравне-
уравнение (8) имеет физический смысл только в том случае, если
t(x, у) быстро убывает до исчезающе малых значений вне ма-
малой центральной области.
Теперь вместо направляющих косинусов удобно ввести
«фурье-координаты» | и ц с помощью соотношений
\ = YC0Sa< 11 = —cosp.
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА, I
229
Связь этих переменных с координатами X, Y в плоскости, распо-
расположенной на большом расстоянии z=L, определяется выраже-
выражениями
cos a
cosy
[1 — А,2
)]1/Я '
у —
cosp ___
cosy [1 —
Если угол расходимости освещающего пучка достаточно мал, то
| и т) можно рассматривать как координаты в плоскости физи-
физической тени. Геометрическая тень точки (х, у) имеет фурье-
координаты l = x/Xz0, r\=y/hz0. Величина
H = te0 A0)
является единственным параметром дифракционной задачи.
Квадратный корень из нее можно рассматривать как характе-
характеристическую длину. Далее будет показано, что детали с разме-
размерами, большими ]il:!, имеют тени, более или менее подобные са-
самим деталям, однако тени более мелких деталей при дифракции
теряют всякое сходство с самими деталями.
Используя обозначения (9) и A0), а также подстановку
х2+у2 = г2, уравнение (8) можно записать в виде
U (I, т|) = | | [t (х, у) ея1тч»] е-2л1 М+»ч) dx dy.
(И)
Таким образом, амплитуда волны, распространяющейся в на-
направлении |, т), равна, согласно стандартным обозначениям [7],
фурье-образу функции
t (x, у) ехр
Мы можем сразу же написать выражение и для обратного пре-
преобразования
t(x,
A2)
Полезно исследовать эти преобразования чисто математиче-
математически, временно пренебрегая условиями, которые должны быть
наложены на функцию t(x, у), чтобы придать ей физический
смысл. Прежде всего мы представим их в более симметричной
форме. Предположим, что амплитуда ?/(|, т)) получается при
прохождении освещающей волны Uo через «тень предмета» в
плоскости |, т), обладающую пропусканием т(?, ц). (Можно от-
отметить, что т, вообще говоря, комплексная величина; следова-
следовательно, тень предмета не может быть заменена фотографиче-
фотографическим негативом.) Другими словами, пусть
П) = ^о(&. Л)т(&, п). A3)

230
Д. ГАБОР
Фон Ua можно получить непосредственно из уравнения A1), по-
положив /=1 и обозначив |2 + тJ = р2:
Ua (?, т)) = щ ехр (— л/|хр2).
Окончательно фурье-образ и прообраз описываются симметрич-
симметричными формулами
х{1, т)) = Д-й^р! J J t(x, y)e-^l^e-^l^+y^dxdy, A4)
t(x, у) = ще™2'1» J J т(|, TjJe-n'^e^'M+i'iDrfirfTi. A5)
Их можно назвать прямым и обратным «теневыми преобразова-
преобразованиями», а функции t(x,y) и т(?, т))— парой «теневых образов».
Они, конечно, тесно связаны с фурье-образами, хотя в некото-
некоторых отношениях и проще их.
Преобразования A4) и A5) можно получить одно из другого
с помощью следующего правила. Заменим t на т; х на |; у на т),
т. е. латинские символы греческими, а также заменим i на —i и
l-i на 1/|х. Два последовательных преобразования восстанавли-
восстанавливают исходный предмет. Физически это означает, что если бы
вместо фотографии мы могли бы получить «тень предмета», по-
поглощение и преломление в которой определяются функцией
т(|, г)), и осветили бы ее когерентным фоном, то мы должны
были бы в точности восстановить предмет t(x, у) в его перво-
первоначальном положении. Так как фотография не может передать
мнимую часть функции т, то при освещении ее когерентным фо-
фоном возникает определенная остаточная волна, которую мы
рассмотрим в следующем разделе. Но сначала полезно рассмо-
рассмотреть несколько примеров теневых преобразований.
Как и в случае интегралов Фурье, образы экспоненциальных
функций от квадратичных форм особенно просты и поучитель-
поучительны. Удобно записать их в следующем виде:
t(x, г/) = ехр[— п(А1х2-\-2В1х->г А^у2-1г2В2у)].
Это — произведение множителя, зависящего от х, на множитель,
-зависящий от у, а так как образ в свою очередь равен произве-
произведению сомножителей, зависящих от | и т), то достаточно найти
образ функции
t(x) = e-J4A*+w*\ A6.1)
который равен
* [ "" <"*; + ** iB2\]. A6.2)
т (Е) =
* ехр [-
Следовательно, теневой образ экспоненциальной функции от
квадратичной формы являетдя функцией того же самого типа,
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОЬТА, I
231
что и фурье-образ экспоненты, но соотношение между парамет-
параметрами будет другим. Например, если А=В = 0, т. e. t — постоян-
постоянная величина, то т будет равно той же самой постоянной, в то
время как фурье-образ постоянной величины есть дельта-функ-
дельта-функция, которая обращается в нуль всюду, кроме точки, где аргу-
аргумент равен нулю. Далее теневой образ гармонической функции
A6.3)
A6.4)
снова является гармонической функцией
— Pvn . г ехп
Период тени равен p/\i, что совпадает с геометрической тенью
периода р. Единственное отличие заключается в фазовом множи-
множителе ехр(—Ш|х/р2). Если период р велик по сравнению с харак-
характеристической длиной [х1''2, то фазовый множитель стремится к
единице. Это означает, что если предмет не содержит более
мелких деталей, нежели и.'/г, то физическая тень стремится к
геометрической:
Уравнения A6.3) и A6.4) указывают простое правило по-
построения теневого образа предмета путем разложения функ-
функции t(x, у) в интеграл Фурье с периодами рх, ру. Фурье-коэф-
Фурье-коэффициенты образа будут отличаться от оригинала только фазо-
фазовым множителем
ехр
Для практических целей этот метод следует использовать осто-
осторожно, так как бесконечные цуги периодических функций не
очень пригодны для описания малых предметов и так как
применимость уравнений A4) и A5) к физическим процессам,
строго говоря, ограничена предметами, которые заметно про-
пропускают свет лишь в области x/zo<^l, y/z^\
Восстановление при освещении точечным источником
Стигматическое освещение является особенно простой и по-
поучительной иллюстрацией принципа восстановления, который
подробно обсуждался в первом разделе. Следует напомнить,
что если голограмма помещена в положение, которое занимал

232
Д. ГАБОР
исходный предмет, и освещена одним лишь когерентным фо-
фоном, то, кроме освещающей или первичной волны, появляются
две другие волны, одна из которых пропорциональна исходной
вторичной волне, испущенной предметом, а вторая отличается
от нее лишь противоположным знаком сдвига фазы по отноше-
отношению к когерентному фону. Другими малыми побочными чле-
членами можно пренебречь.
Теперь будет удобно вычесть когерентный фон, т. е. первич-
первичную волну, как в плоскости предмета, так и в плоскости фото-
фотографической пластинки и вместо / и х рассмотреть функции
/, = / —1 и т, = т—1. A7)
Поскольку значению ^=1 соответствует т=1, функции t\{x, у)
и Ti(|, т)) связаны теми же самыми соотношениями A4) и A5),
которые связывают / и х. Мы будем говорить о ty как о «соб-
«собственно предмете» и о Х\ как о его тени.
В соответствии с уравнением F) замена физической тени
фотографическим негативом означает замену х\ на
1 "П /^ | *\
Подставляя это выражение в обратное теневое преобразова-
преобразование A5), мы получим два члена /4. Первый из них отличается
от исходного предмета лишь множителем '/гГ. Но во втором
члене, полученном из '/гГт*, знак перед i меняется на обрат-
обратный, и это приводит к появлению побочного изображения в пло-
плоскости предмета, наложенного на правильно восстановленный
предмет.
Мы можем дать простую интерпретацию волне, соответ-
соответствующей х*, если заметим, что в уравнении A4)', примененном
к предмету tu
Х
Х
ехР I"
A4.1)
изменение знака перед i эквивалентно изменению знака перед
х, у и ц = Хг0, а также замене (г(х, у) на функцию /(— х, —у):
/,(*, y) = t(—x, —у). A8)
Это преобразование имеет теперь параметр —ц вместо ц, т. е.
оно соответствует предмету в плоскости —za, взятой вместо
плоскости +z0. Согласно уравнению A8), этот новый предмет
является зеркальным отражением исходного предмета относи-
относительно оси z, но с заменой запаздывающей фазы на опережаю-
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА, I
233
щую. Резюмируя, можно сказать: сопряженная волна т* соот-
соответствует кажущемуся предмету-«двойнику», расположенному
симметрично с исходным предметом относительно центра сим-
симметрии — точечного фокуса О — и обладающему противополож-
противоположным по сравнению с исходным предметом фазовым сдвигом.
Это заключение иллюстрируется рис. 4, на котором пока-
показаны предметы-„двойники". Формулу Френеля—Кирхгофа мож-
можно рассматривать как сумму элементарных сферических волн,
Рис. 4. Сопряженные изображения, возникающие в процессе восстановления
возникающих в точке предмета Р, с амплитудами, пропорцио-
пропорциональными t{P). На бесконечности в направлении а, р их можно
рассматривать как плоские волны; если отвлечься от сдвига
фазы, возникающего в предмете, разность фаз относительно
когерентного фона задается оптической разностью длин луча
ОР и его проекции OD на прямое направление. Из рис. 4 вид-
видно, что ту же самую разность фаз, но с противоположным зна-
знаком дала бы точка предмета Р', расположенная центрально-
симметрично относительно Р, если был бы также изменен знак
фазового сдвига в точке Р'.
Такое объяснение возникающей в процессе восстановления
остаточной волны как волны, испущенной предметом-«двойни-
ком», ясно показывает, что можно найти условия, позволяющие
достаточно эффективно отделить восстановленный предмет от
его «двойника» путем применения для наблюдений оптической
системы с ограниченной глубиной фокуса. Разделение стано-
становится возможным, если расстояние 2г0 между предметами-
«двойниками» превышает глубину фокуса Diy которая может
быть определена как отношение предела разрешения d к пол-
полному углу расходимости 2ут пучка, используемого для форми-
формирования изображения. Используя формулу разрешения Аббе,
критерий разрешения можно записать в следующем виде:
Ъ> ^ d — % A9)

234
Д. ГАБОР
Если точечный фокус создается не физическим отверстием, а
его изображением, сформированным оптической системой, то
это эквивалентно условию, что предмет должен находиться вне
области дифракции, в которой волну нельзя рассматривать как
сферическую.
Вне фокальной области дифракции разделение возможно,
но оно не будет полным. Изображения-«двойники» будут все-
всегда до некоторой степени интерферировать друг с другом, и
эту интерференцию нельзя регулировать по желанию. Это сле-
следует из структуры уравнений преобразования, которые содер-
содержат лишь одну характеристическую длину (>.го)'/2, и нет другой
длины, с помощью которой можно было бы образовать безраз-
безразмерный фактор разделения. Таким образом, побочная часть
восстановленного изображения зависит лишь от самого пред-
предмета и от параметра |д,. Перейдем теперь к более деуальному
исследованию обусловленных ею искажений.
Побочная часть волны при восстановлении
с помощью точечного источника
Простота преобразований A6.1) и A6.2) наводит на мысль
о построении произвольных плоских предметов нз гауссовых
пятен (интенсивность в пятне распределена по нормальному
закону). В пределе они переходят в двумерные дельта-функции,
которые могут представлять любую функцию ti(x, у), однако
нет никакой необходимости переходить к этому пределу, более
того, это было бы физически неоправдано. Оптические образы
создаются не точками, а элементарными областями, размер ко-
которых соответствует пределу разрешения. В пределах такой
малой площади значения функции tr(x, у), описывающей вос-
восстановленный предмет, не являются не зависимыми друг от
друга.
Сначала мы осуществим процесс восстановления для еди-
единичного гауссова пятна. Пусть функция пропускания в плоско-
плоскости предмета имеет вид
= \—Ае~п(Га?, B0)
где г' — означает расстояние от центра пятна ха, уа; A —А) —
амплитуда волны, прошедшей в центре пятна; когерентный фон
принят за единицу. В случае только поглощающего предмета
А—действительное положительное число, меньшее 1. Если
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА, I
235
предмет имеет чисто фазовый контраст, то |1—А\ = \ и \А\
лежит в пределах от 0 до 2.
Физическая тень функции B0) в соответствии с уравне-
уравнениями A6.1) и A6.2) может быть описана следующей функ-
функцией:
4S.n)-4-l37T«»p(^). 'Pi)
где
__ а2 _ а2
причем точки |о, Цо являются геометрической тенью ха, уа. Ди-
Дифракционная картина B1) сосредоточена около этой точки. Ее
вид определяется безразмерным параметром е. Если е велико,
то т приближается к геометрической тени функции ^(ц.?, ix\\).
В более важном случае, которому соответствует e-Cl, выраже-
выражение B1) можно упростить:
2. B1.1)
'J
[— л (ар')
Чем меньше исходное пятно, тем больше его физическая тень.
Фотография заменяет комплексную физическую тень B1.1)
действительной функцией пропускания
xs(l, Т1) = |т|г=1 + ^
B2)
Это приближение справедливо при е2-С1.
Обратное преобразование A5), примененное к первым двум
членам в правой части выражения B2), восстанавливает ис-
исходный предмет B0), но контраст восстановленного предмета
отличается от контраста исходного в '/гГ раз. Это же самое
преобразование, примененное к последнему члену правой части
выражения B2), дает побочный член, характеризующий ошибку:
te (х, у) = —
B3)
Он равен амплитуде (при единичном когерентном фоне), соз-
создаваемой изображением-,двойником" в плоскости исходного
предмета. Побочное изображение сосредоточено около точки
х0, Уй, но его характер совершенно отличается от характера ис-
исходного предмета. Амплитуда /е медленно уменьшается по
мере роста расстояния г' от центра, причем тем медленнее, чем
меньше радиус а исходного пятна, в то время как фаза изме-

236
Д. ГАБОР
няется быстро в соответствии с последним множителем в выра-
выражении B3), и это изменение не зависит от размеров пятна. Та-
Таким образом, влияние побочного изображения будет проявлять-
проявляться в образовании системы частых и слабых интерференционных
полос, наложенных на восстановленное изображение.
Для справок можно привести также точное значение вос-
восстановленной функции пропускания tr в случае Г = 2:
2/е
exp[—
B2.1)
Первые два члена соответствуют точно восстановленному изо-
изображению, последние два — побочной амплитуде. Они отли-
отличаются от выражения B3) лишь членами порядка е2 или выше.
На рис. 5 показан процесс восстановления в случае Г==2
на примере гауссова пятна с абсолютно черным центром. Не-
Необходимо соблюдать осторожность в случае контрастного пред-
предмета и не увеличивать контраст выше Г = 2. Как показано на
рис. 6, это приводит к появлению более светлого центра внутри
черного кольца, а черные линии будут казаться двойными.
До сих пор размер отверстия мы считали неограниченным;
следовательно, не было нижнего предела размеров пятна а, ко-
которое можно было бы точно воспроизвести. Влияние ограничен-
ограниченного разрешения можно просто учесть, если предположить, что
при получении голограммы была использована маска с ампли-
амплитудным пропусканием
ехр[—л(срJ].
Маска такого вида предпочтительнее отверстий с резкими края-
краями не только с точки зрения математической простоты, но так-
также и потому, что такая маска ослабляет до минимума «лож-
«ложные детали», возникающие от резких краев апертуры. Они ши-
широко применяются в структурном анализе ([8, стр. 350]).
Если маска применяется дважды, как при фотографирова-
фотографировании, так и в процессе восстановления, то ее полное действие
определяется выражением
ехр[-л(Г+1)(срJ].
Чтобы получить теперь правильный контраст в процессе вос-
восстановления, положим Г = 2. Пусть также Зс2 = 62. Мы должны
теперь восстановить предмет, т. е. гауссово пятно B0), с по-
помощью физической тенн
Когерентный фон-]
Амплитудное пропускание исходного предмету
Когерентный фон*1 Действительная компонента
Мнимая компонента
Амплитфые компоненты в физической тени
Побочные компоненты в восстановленном изображении
Рис. 5. Голографический процесс для гауссова пятна.
Амплитуда
исходною предмета
Восстановленная
интенсивность
Восстановленная
амплитуда
Рис. 6. Искажение при повышенном контрасте.
B4)

238
Д. ГАБОР
которая отличается от функции пропускания B2) только мно-
множителем, обусловленным маской. Вводя малый безразмерный
параметр
Ь2 Ь2
и пренебрегая степенями е и а выше первой, с помощью преоб-
преобразования A5) получим
tT (х, у) = A + la) ехр [— ~ A + w) г2] —
• ехр'
- i- «Л* ехр { - ^ - ^ [е [(х - х0J + {у- yQf
B5)
Первый член этого выражения описывает фон. За исключением
очень малых дифракционных эффектов (порядка а2), он пред-
представляет собой геометрическую тень маски, спроектированную
на плоскость предмета. Второй член описывает «правильно»
восстановленный предмет. Основное различие заключается в
том, что протяженность восстановленного пятна равна (a2 + b2)'l*
вместо а. Следовательно, Ъ имеет смысл предела разрешения
(с точностью до некоторого численного множителя, который бу-
будет определен позже). Множитель [1 + (Ь/аJ] перед амплиту-
амплитудой отражает то обстоятельство, что амплитуда уменьшается
в том же самом отношении, в каком увеличивается площадь
пятна. Уменьшение контраста в изображении очень малых пред-
предметов кажется более сильным, чем в случае обычной микроско-
микроскопии, где амплитуда убывает как корень квадратный из пло-
площади, однако результат получается тот же самый, поскольку
контраст в передаче интенсивности при наличии сильного коге-
когерентного фона является линейной функцией амплитуды.
Член, характеризующий ошибку, во второй строке имеет
структуру, отличающуюся от структуры, описываемой выраже-
выражением B3); он больше не сосредоточен точно в исходном пятне,
а содержит множитель, сосредоточенный в зеркальном изобра-
изображении пятна — ха, —г/о. С помощью подстановки г\~ х\-\- г/2 мы
можем записать этот член в другой, очень удобной форме:
B5.1)
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА. I
239
Это выражение особенно удобно в случае, когда е = а, т. &.а — Ь,
так как в этом случае амплитуда в системе полос te не зави-
зависит от г'. Амплитуда (но не фаза) сосредоточена в точке х,у = 0.
Этот результат можно положить в основу теории побочной
части волны при восстановлении произвольных предметов с
целью формулирования требований, предъявляемых к предме-
предметам в двухступенчатой микроскопии.
Микроскоп, как и любая другая оптическая система, может
передавать лишь конечное количество информации. Описание
предмета с помощью непрерывной функции пропускания стано-
становится поэтому нежелательной идеализацией, поскольку такая
•
/
1
1
1
t
1
1
1
•
!
1
•
ч
•
!
1
г
—1—•
1
1
-к
i I
!/
•
1
1 •
1
^1
• 1
1
1
1 «
1
Рис. 7. Разбивка предмета на независимые элементы.
функция содержит бесконечное количество невоспроизводимых
деталей. Мы подойдем ближе к адекватному описанию, если
разделим предмет на ячейки размером порядка предела разре-
разрешения, свяжем с каждой ячейкой некоторый комплекс инфор-
информации и исследуем прохождение этой информации через опти-
оптическую систему.
Уравнение B5.1) наводит на мысль, что если мы предста-
представим предмет в виде решетки двумерных гауссовых пятен с раз-
размерами а = Ь, то получим особенно простые результаты. Как
показано на рис. 7, мы располагаем эти пятна в виде гексаго-
гексагональной решетки с расстоянием d между соседними центрами,
где d — предел разрешения, который мы определим немного
по-другому, чем обычно, а именно постулируем, что три (а не
два) равных гауссовых пятна с размерами а = Ь находятся на
пределе разрешения, если их центры удалены один от другого
на расстояние d, т. е. минимум между ними исчезает как раз
при этом расстоянии. Если а = Ь, то, согласно уравнению B5),
амплитуда в члене, описывающем правильно восстановленный
предмет, следует закону ехр [—lkn{r'lbJ\ В точке, находящейся

240
Д. ГАБОР
посередине между тремя центрами r' = d/|/3; следовательно, d
определяется из условия
г л I d \2i 1
l—2-()J
exp
l
откуда получаем
d = 1,456.
Это выражение находится в хорошем согласии с обычным опре-
определением предела разрешения
, __ 0.6Я
~ sin ут '
если мы определим ут как такой угол, при котором амплитуда
фона уменьшается в УЗ раз, т. е. интенсивность фона состав-
составляет '/з его максимального значения. Обозначая соответствую-
соответствующий радиус в плоскости предмета как R = z sinym, мы получим
/ 2яа ™\ г _ ih . \2i
expl 1
откуда следует
Пусть N — число независимых элементов в пределах освещен-
освещенного поля, т. е. число ячеек, содержащихся в диске радиусом R.
Каждая ячейка занимает площадь
± = 0,433af2 = 0,91Ь2;
следовательно, число N равно
0.91
-=3,45-0,422
д2
B6)
Число N легко может быть сделано очень большим, порядка
106—108. Это показывает возможность статистической оценки
побочной части воспроизводимого изображения на основе пред-
предположения о случайном распределении амплитуды по независи-
независимым элементам предмета. Понятно, конечно, что в особых слу-
случаях это может привести к большим ошибкам, но тем не менее
это, бесспорно, приемлемое предположение, если рассматри-
рассматривается ббльшое число разнообразных предметов.
Присвоим элементам номера от 1 до N. Побочная амплитуда
в восстановленном изображении в точке х, у возникает как ре-
результат суперпозиции членов вида B5.1), описывающих ошиб-
ошибку, по одному от каждой ячейки с центром хп, уп. Обозначим
г'п расстояние от точки хп, уп до точки х, у. С учетом упроще-
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА, I
241
ний, вытекающих из условия о = е, результирующая амплитуда
ошибки равна
, , . 1 . -nar2hii \Л .* _яог^/2ц -л1г'„ /2(х
B7)
где через г„ обозначено расстояние от точки 0, 0 до точки хп, уп.
Относительное расстояние г'п между точками х, у и хп, уп
входит здесь только в фазовый множитель ехр (—nir'* I2\i\- Два
множителя, характеризующих спад вероятности, уменьшаются
медленно. Первый из них, стоящий перед суммой, соответствует
корню квадратному из ослабления фона, т. е. он уменьшается со
скоростью, вдвое меньшей, чем амплитуда фона. Второй мно-
множитель сосредоточен в точке @, 0) и спадает с той же ско-
скоростью, что и первый множитель. Таким образом, в качестве
первого приближения допустимо положить оба множителя рав-
равными единице и заменить уравнение B7) упрощенным выраже-
выражением
B7Л)
Другими словами, чтобы получить в точке х, у амплитуду ошиб-
ошибки, мы должны в этой точке осуществить суперпозицию боль-
большого числа, N, незатухающих волн с длинами 2|х/г', исходящих
из всех точек изображения (хп, уп). Эти длины волны всегда
больше предела разрешения d. Их наименьшее значение, дости-
достигаемое при r'=2R, равно \i/R, в то время как предел разреше-
разрешения равен 0,61 ix/R.
Введем теперь гипотезу, что между фазами этих волн нет
никакой корреляции. В этом предположении среднее значение
квадрата компоненты te, синфазной с фоном, которое обозна-
обозначим ^Эфф1 равно половине суммы абсолютных значений квадра-
квадратов членов, стоящих в правой части:
N
г2эфф = j о2 2 АпА'п = ^ G2NAnA*n = ~ о2ЛМэфф. B8)
Здесь мы через Лэфф обозначим среднее значение квадрата вто-
вторичных амплитуд АпАп, усредненное по всему полю. Понятно,
что средний уровень пропускания предмета должен рассматри-
рассматриваться как часть фона, и АЭфф есть мера отклонения от равно-
равномерности. Объединяя уравнения B6) и B8), получим
/ п 98 A f9Q\
&эфф V>~L хэфф* l^^7/
Уравнение B9) дает нам возможность сформулировать кри-
критерий отбора подходящих предметов. Фон можно рассматривать
16 Дж. Строук

242
Д. ГАБОР
как практически равномерный, если контраст в интенсивности
не превышает около 5%, т. е. если амплитуда контраста мень-
меньше 2,5%. Это означает, что в среднем по всему полю подходя-
подходящие предметы должны удовлетворять условию
Лэфф<0,1. C0)
Рассмотрим в качестве примера черно-белый предмет, в кото-
котором черная часть, где А = \, покрывает k-ю часть освещенного
поля, в то время как для остальной части А=0. В этом случае
ЛЭфф= Yk, и мы получаем простое правило, что черными точ-
точками или линиями должно быть покрыто не более 1% освещен-
освещенного поля. Если, например, в качестве предмета взять диск, на-
наполовину черный и наполовину белый, его диаметр не должен
превышать l/i диаметра поля.
В качестве второго примера рассмотрим предмет с чисто
фазовым контрастом, но со случайным распределением фазовых
сдвигов. Мы должны определять это условием, которое должно
быть удовлетворено в случае каждого применения теории Фре-
Френеля — Кирхгофа; между точками, отстоящими друг от друга
меньше чем на длину волны, фаза не должна заметно изме-
изменяться. Другими словами, если предмет резко сфокусирован, он
должен казаться однородным и прозрачным. В обычной микро-
микроскопии этому условию будут удовлетворять покрытый «морщи-
«морщинами» лист целлулоида или даже покрытая сеткой желатина.
Однако слой коллоидной дисперсии на молочном стекле этому
условию не удовлетворяет. Помня это ограничение, мы можем
применить теперь уравнение B9). Можно показать, что значе-
значение АЭфф снова равно единице. В случае чисто фазового кон-
контраста конец комплексного вектора пропускания t=\—А дви-
движется по единичной окружности, причем все ориентации / рав-
равновероятны. Следовательно, 1=0, что дает А = 1 и
t2=\.
л,фф= л —лг=|л—if
Это означает, что если фазовый предмет такого типа пере-
перекрывает все поле, то он создает очень серьезные искажения,
так как 1;Эфф = 0,28. Этот результат показывает, что неравномер-
неравномерно прозрачная подложка, на которой находится предмет, даже
если она невидима в обычный микроскоп, сделает самые кон-
контрастные или регулярно повторяющиеся детали предмета почти
невидимыми. Поскольку кажется сомнительным, что в элек-
электронной микроскопии можно будет найти либо «оптически пло-
плоскую», либо по крайней мере приемлемую поддерживающую
мембрану периодической структуры, то желательно применять
такие мембраны, которые занимают лишь малую часть осве-
освещенного поля, либо обходиться вообще без них.
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА, I
243
Улучшение разделения изображений с помощью масок
и других методов
Эти результаты приводят к выводу, что даже в случае очень
малых предметов нелегко достичь высокой степени чистоты вос-
воспроизведения, так как побочная интенсивность пропорциональна
корню квадратному из площади предмета. Однако в случае ма-
малых предметов становятся пригодными специальные методы,
позволяющие очень эффективно исключать побочные ампли-
амплитуды. Первый из них заключается в наложении маски на гео-
геометрическую тень в голограмме. Во втором методе маски-
маскируется фон в процессе восстановления.
Побочная амплитуда нежелательна лишь на площади, заня-
занятой истинным изображением. Таким образом, среди лучей, вы-
выходящих из предмета-«двойника», необходимо устранить лишь
те, которые проходят сквозь предмет. Как можно видеть из
рис. 4, если предмет мал, эти лучи будут иметь существенно то
же самое направление, что и первичные лучи, освещающие
предмет. Это означает, что мы можем существенно уменьшить
побочную амплитуду, если наложим маску на геометрическую
тень в голограмме.
Наложение маски, однако, приводит к двум новым искаже-
искажениям. Во-первых, сама маска создает систему интерференцион-
интерференционных полос. Этот эффект может быть значительно ослаблен,
если применяется маска в форме гауссова пятна (гауссова
маска). Во-вторых, маска уничтожает часть информации, необ-
необходимой для полного восстановления. Очевидно, что грубые
детали будут страдать больше всего, так как информация о них
содержится на площади, расположенной внутри или вблизи гео-
геометрической тени в голограмме, в то время как информация
о более тонких деталях размазывается за пределами тени на
большой площади. Но если размеры всего предмета порядка
характеристической длины \ill* или меньше, то эффект потери
деталей становится несущественным. Следовательно, маскиро-
маскирование геометрической тени является очень эффективным мето-
методом улучшения восстановленных изображений очень малых
предметов.
Во втором методе когерентный фон, т. е. первичная волна,
подавляется после того, как она пройдет голограмму. Это мо-
может быть сделано следующим образом. С помощью восстанав-
восстанавливающей линзы создается действительное изображение точеч-
точечного источника (рис. 1), которое экранируется расположенной
в этой точке маленькой черной маской, предпочтительно гаус-
гауссовой маской. Эта схема подобна той, которая используется в
хорошо известном шлирен-методе. В результате, если пренеб-
16"

244
Д. ГАБОР
речь дифракционными эффектами на маске, вместо амплитуды
в плоскости предмета
где индексом с обозначена «правильная», а индексом е — «оши-
«ошибочная» побочная часть, мы теперь получим
-tc-te.
Следовательно, поглощающий предмет будет виден теперь яр-
ярким на темном фоне, как в методе «темного поля». В то время
как в обычном методе «светлого поля» интенсивность приблизи-
приблизительно равна
в методе «темного поля» она равна
Здесь tl можно рассматривать как побочный фон, a 2tetc — ре-
результат интерференции двух изображений. Интенсивность по-
побочного фона равна квадрату его прежнего значения. Она про-
пропорциональна доле освещенного поля, покрытой предметом, а
не корню квадратному из этой величины и становится пренеб-
пренебрежимо малой для предметов, которые покрывают лишь не-
несколько процентов освещенного поля. Интерференционное про-
произведение It etc ничего не добавляет к фону, так как оно равно
нулю всюду вне предмета, где /с = 0. На поле предмета оно
обусловливает лишь слабую модуляцию истинной плотности.
В случае черно-белых предметов этот эффект пренебрежимо
мал, так как контуры предметов остаются неизменными. Во-
Вопрос о том, насколько сильно он исказит полутоновые предметы,
будет подвергнут дальнейшему рассмотрению.
По-видимому, в случае малых предметов наиболее много-
многообещающей будет комбинация этих двух методов, т. е. маски-
маскирование геометрической тени и первичной волны.
Третий, наиболее трудный метод улучшения разделения за-
заключается в том, что проводится серия восстановлений при раз-
различных значениях ц. В то время как истинное изображение
всегда остается тем же самым, побочное изображение изме-
изменяется и, следовательно, может быть подавлено. Четвертый ме-
метод обсудим позже в связи с освещением неточечными источ-
источниками.
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА, I
245
Освещающие волны с астигматизмом и сферической
аберрацией
Следуя методу, впервые предложенному Дебаем, построим
общую когерентную освещающую волну из плоских элементар-
элементарных волн, нормальных к направлению а, {5, у, и с амплитудой
AdQ в бесконечно малом телесном углу dQ, т. е.
А(а, р)ехр [ik[xcosa-\-ycosp-\-zcosy
)j} dQ. C1)
Амплитуда А предполагается действительной, фазовый множи-
множитель ехр (—ikp) выражает опережение фазы относительно пря-
прямого луча, проходящего через источник О, расположенный в
начале координат. Пусть О совпадает со «средним параксиаль-
параксиальным фокусом» пучка, а фазу положим равной
р (а, р) = 1 Л, (cos2 а — cos2 p) +
+ 1 (Сх cos4 а + 2Сху cos2 а cos2 р + Си cos4 р). C2)
Первый член соответствует опережению фазы вследствие астиг-
астигматизма, второй определяется «эллиптической» сферической
аберрацией. Для упрощения здесь предполагалось, что эллип-
эллиптические ошибки второго и четвертого порядка имеют одни и те
же главные оси х, у.
Введем полярные углы у, 6, связанные сайр следующими
соотношениями:
cos а = sin у cos 9, cosp = sin y sin 0. C3)
Функция р может быть записана в виде
р(у, 9) = 1 Л,sin2у cos 29 + i sin4Y [| {Cjc + Су) + ±Сху +
+ у (С, - Cv) cos 29-i [cxy -1 (С, + Су)\ cos 49]. C4)
Член четвертого порядка теперь равен сумме, в состав которой
входят такие слагаемые: член, связанный со сферической абер-
аберрацией, и два члена, обусловленные астигматизмом, один из ко-
которых эллиптический, а второй — с учетверенной периодич-
периодичностью. Если линза круглая, то
п п _ п Г
\jх \_,и . Urn О,
C5)
и член с астигматизмом четвертого порядка исчезает. Здесь С,—
постоянная сферической аберрации. Ее смысл иллюстрирует

246
Д. ГАБОР
схема распределения лучей в пучке, приведенная на рис. 8.
В большей части практически важных приложений разрабаты-
разрабатываемой здесь теории хорошо оправдано приближение геометри-
геометрической оптики, так как предполагается применять пучки с апер-
апертурами, примерно в 10 раз большими, чем в обычной электронной
микроскопии, где дифракционный диск имеет тот же порядок
величины, что и геометрические аберрации. Поскольку мини-
минимальное сечение пучка растет как третья степень апертуры,
а дифракционный эффект обратно пропорционален первой сте-
степени, то он представляет лишь малую поправку — порядка 10~4
геометрических размеров.
Сечение с минимальным
диаметром ^^-(^Интерференционные
Л полосы отсутствуют
Г» \г
Интерференционные
полосы отсутствуют
Рис. 8. Конфигурация пучка в фокусе при наличии сферической абер-
аберрации Cs.
Если апертурный угол равен ут, то все лучи пересекают ось
аксиальной каустики, представляющей собой линию длиной
СП
sym за параксиальным фокусом О. Диаметр пучка в гауссо-
гауссовой плоскости 2 = 0 равен 2С$уът, однако диаметр минимального
сечения, расположенного в плоскости z = — 3UCsy2,,r в 4 раза
меньше. Минимальное сечение определяется пересечением оги-
огибающей каустики, которая является поверхностью вращения,
описываемой уравнением г =¦ ± 2C't (z/3K/S с конусом макси-
максимального раскрытия, определяемого уравнениемr= + (z-f-C^X
XYm)Ym- Этот конус и внешняя каустика делят пучок на четыре
области различного характера, две из которых, выделенные на
рис. 8 точками, содержат интерференционные полосы. Первая
из них лежит внутри огибающей, но вне конуса. Лучи пересе-
пересекаются в каждой точке этой области. Вторая область окружает
аксиальную каустику. Она ограничена огибающей и конусом
максимального раскрытия, и в каждой ее точке пересекаются
три луча. Интерференционные полосы в обеих областях на-
настолько резки и контрастны, что делают помещенные в них
предметы почти невидимыми; таким образом, весь отмеченный
точками объем не является подходящим местом для размеще-
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА, I
247
ния предметов. В двух остающихся областях, справа и слева,
каждую точку пересекает лишь один луч. Они представляют
собой области с плавным изменением интенсивности фона, при-
пригодные для расположения микроскопических предметов. В об-
области слева самая большая плотность освещенности — вблизи
края; во второй области, справа, плотность максимальна на оси.
Если в добавление ко всему пучок также астигматичен, как
это всегда бывает в электронной оптике, то рис. 8 все еще
может служить полезной иллюстрацией, но теперь лишь для
главных сечений пучка, причем они должны быть изображены
смещенными вдоль оси на ±AS. Следовательно, точка О будет
теперь находиться посередине между двумя фокальными ли-
линиями, ориентированными под прямыми углами друг к другу,
а также к оси пучка и разделенными расстоянием 2AS.
Возвращаясь к представлениям волновой оптики, просум-
просуммируем элементарные волны C1), в результате чего получим
следующее выражение для комплексной амплитуды в точке
(х, У, г):
UQ(x, у, г) — J J А (у,
\ \
— у Л, sin2 y cos 26 — -i- С, sin4 у \\ sin у dy dQ. C6)
Мы используем здесь упрощения, вытекающие из уравнения
C5); они будут применяться также для упрощения обсужде-
обсуждения во всех последующих формулах, но результаты будут та-
таковы, что позволят без труда распространить их также и на
более общий случай, описываемый уравнениями C2) и C4).
Введем под знаком интеграла в выражение C6) фурье-ко-
ординаты
cos a
cos |
~1Г
И 0 = 1
Точные уравнения преобразования имеют вид
(\—КУ)т.
I? d\ dr\
sin y — Ар, cosy =
dQ = sin y dy dQ = -
Мы снова предполагаем, что пучок достаточно узкий, что поз-
позволяет нам пренебречь выражением sin2Y = A,2p2 в знаменателе
последнего выражения. Однако в фазовом множителе мы долж-
должны учесть все члены вплоть до четвертого порядка по р и на-
написать
cos y - A -
~ 2

248
Д. ГАБОР
В этом приближении получаем
Uo (х, у, z) = I4ik* J J А (I, л) ехр {2я1
+ </Л — у 2 V -
C6.1)
Значение этого интеграла, как и значение точного выражения
C6), может быть легко оценено при больших расстояниях R
от источника в направлении а, р. Эта оценка дает
U0(R, а, р) = (_/)-?-Л (Y, 9)
C6.2)
где функция р задается уравнением C2) или C4). Множи-
Множитель (—i), выражающий сдвиг волнового фронта на '/Д по
сравнению с компонентами C1), возникает вследствие перехода
от плоских волн к сферическим и обычен для дифракционной
теории. Уравнение C6.2) представляет фон в области физиче-
физической тени предмета, которую мы должны теперь рассчитать.
Предмет, расположенный в плоскости z=Zo, может быть
охарактеризован, как и прежде, комплексной функцией про-
пропускания t(x, у). Используя основную предпосылку дифрак-
дифракционной теории Френеля — Кирхгофа, будем считать, что ам-
амплитуда непосредственно перед предметом равна амплитуде
невозмущенной освещающей волны Uq(x, у, г0) и непосред-
непосредственно за предметом отличается от нее в t(x, у) раз. Теперь
переменные а, р, у в выражении для освещающей волны нуж-
нужно обозначить индексом О («original», т. е. «исходный»), чтобы
отличить их от переменных без индекса, описывающих волну,
рассеянную предметом и распространяющуюся от него.
Задача заключается в том, чтобы из выражений, описываю-
описывающих продифрагировавшие плоские элементарные волны, состав-
составляющие начальную волну, построить выражение для рассеян-
рассеянной волны. Для этого снова можно применить формулу Френе-
Френеля— Кирхгофа в упрощенном виде G.1), но только волну
г^1 ехр (ikrQ\ необходимо заменить суммой элементарных волн
C4). Величина Г\ по-прежнему означает расстояние точки на-
наблюдения Q(R, а, р) от точки предмета Р. Следовательно, фор-
формула Френеля — Кирхгофа теперь примет вид
где
г0 («о. Ро) = х cos «о + У cos Ро + zo cos Yo — Р («о, Yo).
Tj (a, $) = R — х cos а — у cos p — z0 cos у.
C7)
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА, I
249
Выражая углы через фурье-координаты (|, ц) и (|0, ц0), мы по-
получим в том же самом приближении, как и в C6.1), что
U{R, Ьч) = ~е^\ jt(x, y)dxdyX
XJJA (|0, ло) ехр {2ш [х (|0 - ?) + У (Ло
Л) — у
§ ~ P2) ~
C8)
Симметрия этого выражения нарушается двумя последними
членами, но она сразу же восстанавливается, если мы перехо-
переходим к физической тени путем деления амплитуды U(R, a, P)
на фон Uo(R, a, P), определяемый уравнением C6.2):
|zQl (pg - Р2) - i Asl Щ-Щ-(п»- л2)]-
—1 Я,з B„ + 2Cs) (pg - р4)} ] rfx d«/ rf|0 d^. C9)
Эта формула определяет физическую тень на бесконечности
от предмета, расположенного в плоскости z = z0 и освещенного
пучком, сформированным системой с аберрациями четвертого
порядка. Очевидно, что она может быть распространена на
аберрации любого порядка. Она является эквивалентом фор-
формулы преобразования A4) для освещения точечным источни-
источником, но ее нельзя записать в форме интеграла по плоскости
предмета, так как интегрирование по углам нельзя здесь вы-
выполнить в трансцендентных функциях, обычно используемых
в анализе. С другой стороны, этот интеграл можно без труда
свести к двойному интегралу по переменным углам с помощью
фурье-образа Т{%, ц) функции t(x, у), который равен
|, л)= J J
Уравнение C9) принимает тогда вид
т(|,л)=/ /Hi-So, т1-Л0Lщ^
+ АХ [(|2 - |2) - (л2 - Ло2)] + \V (г0 + 2C
. D0)
Это преобразование можно проиллюстрировать несколькими
простыми примерами. Если t=l, т. е. нет никакого предмета,
то Т является дельта-функцией
Т&- 1о. Л — Я,) = 6(|- !,„ ц — л0).

250
Д. ГАБОР
Это означает, что интеграл D0) равен значению подынтеграль-
подынтегрального выражения при ?о = |, Цо = Ц, т. е., как и прежде, единице.
Если t(x, (/)—гармоническая функция х, у с периодами
1/а, 1/6
t(x, y) = exp[2ni(ax-{-by)], D1.1)
то Г — снова дельта-функция, но смещенная в точку a, b
Т{I — 10, т) — t|j) = 6 (| — Еэ — а. 11 — Л) — &).
.и интеграл снова равен значению подынтегрального выражения,
но на этот раз в точке (go=| — а, Цо = ц~ Ь). Физическая тень
определяется уравнением
) ехр {nia {Ч ~~а)
2|а + «2)] } ехр
D1.2)
Первый множитель в показателе экспоненты мы уже встречали
в теневом преобразовании при освещении точечным источни-
источником. Но период в тени более не остается постоянной величиной;
другими словами, тень синусоидальной решетки не копирует
исходного предмета. Если, например, Ь = 0, т. е. решетка па-
параллельна оси у, то расстояние между двумя максимумами
равно
Первый множитель представляет собой геометрическую тень
с периодом 1/а, второй является поправкой, возникающей
вследствие астигматизма и сферической аберрации, а также
обусловленной наличием члена четвертого порядка, выражаю-
выражающего отклонение сферического волнового фронта от параболои-
параболоида. Во всех практических приложениях z0 будет порядка вели-
величины Счу2т, причем 20 всегда пренебрежимо мало по сравнению
с 2CS. Таким образом, астигматизм и сферическую аберрацию
пучка можно определить по двум голограммам синусоидальной
решетки, полученным при двух взаимно перпендикулярных по-
положениях. Однако этот метод не очень чувствителен. Вблизи
края освещенного поля, где %^>а, цЗ> Ь, расстояние между двумя
соседними максимумами будет в A + СЛт/2о) Раз меньше гео-
геометрического расстояния. Если же нужно получить хорошие
фотографии, то 20 должно быть порядка Csy2m, и этот множи-
множитель будет порядка единицы. Отсюда видно, что синусоидальная
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА. I
251
решетка является не очень подходящим тест-объектом. Сфери-
Сферическую аберрацию можно намного лучше определить по физи-
физической тени тонкой проволоки, но обсуждение этого случая не
может быть проведено на основе использования элементарных
выражений и рассматриваться здесь не будет.
Восстановление при наличии сферической
аберрации и астигматизма
Предположим, что была сделана фотография физической
тени предмета, удовлетворяющей соотношению C9) или D0).
Мы видели, что если фон относительно сильный, то это эквива-
эквивалентно подстановке вместо функции Xt ее действительной части
'/2 (т, + т*), где, как и выше, Х\ относится к «собственно пред-
предмету» без фона. Чтобы найти в восстановленном предмете
часть, характеризуемую побочным членом, мы должны приме-
применить к ti преобразование, обратное C9). Но это довольно
сложно, в то время как интерпретация с помощью представле-
представлений об изображения, «двойниках» приводит к намного более
простым и ясным результатам.
Выражение для функции т*, комплексно-сопряженной физи-
физической тени Х\, получается из уравнения C9) путем замены зна-
знака перед i. Предположим теперь, как и выше, что в плоскости
z = z0 находится предмет-«двойник», характеризуемый функцией
пропускания
t[ (х, у) = t\ (— х, — у).
Заменяя переменные интегрирования х, у на —х, —у, получим
для х следующее выражение:
1 К (г0 4-
*)] } dx dy dl, d4o. D2)
Согласно уравнению C9), полученное выражение является вы-
выражением для физической теин предмета Л, расположенного в
плоскости —2о, но с тем важным отличием, что знаки As и Cs
здесь также изменены. Физическое значение этого обстоятель-
обстоятельства становится яснее, если вместо т* мы рассмотрим допол-
дополнительную волну U\< которая возникает в процессе восстанов-
восстановления и получается из уравнения D2) путем умножения его

252
Д. ГАБОР
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА, I
233
на фон C6.2). Результат можно записать в следующем виде:
U[ (R, !, Л) = -a?- eikR J \ t[ (х, y)dxdy\\A (|э, ца) X
X ехр{2nl[х(|э- I) + у(лэ- л) + уzQl(p20-Р2) +
X ехр { -
- л2) + у C>3p4j J
Сравнивая это выражение с выражением C8), можно ви-
видеть, что первые две строки представляют излучение предмета
t[, расположенного в плоскости —г0, но освещенного с помощью
такой оптической системы, в которой знаки астигматизма As
и сферической аберрации Cs изменены. Это гарантирует полную
симметрию освещения предмета и его «двойника». Однако излу-
излученная волна отличается фазовым множителем [последний мно-
множитель в правой части уравнения D3)]. Это означает, что эле-
элементарная волна, испущенная некоторым элементом ti(x, y)dxdy
предмета-«двойника», имеет астигматизм 2AS и сферическую
аберрацию 2CS. Следовательно, при наличии астигматизма или
сферической аберрации предмет-,,двойник", появляющийся в
процессе восстановления, более не будет резким, а будет вы-
выглядеть так, как если бы его рассматривали через оптическую
систему, обладающую аберрациями, удвоенными по сравнению
с аберрациями конденсорной системы. Можно, конечно, четко
видеть побочное изображение, а не истинное, если воспользо-
воспользоваться оптической системой с аберрациями противоположного
знака, но невозможно одновременно видеть четко оба изобра-
изображения.
Этот результат иллюстрируется рис. 9, который позволяет
провести также элементарную проверку. Огибающая освещаю-
освещающего пучка показана сплошными линиями, а прерывистыми —
пучок, кажущийся выходящим из точки Р предмета-«двойни-
ка». Аксиальная каустика этого пучка всегда вдвое длиннее
каустики освещающего пучка. Это можно легко понять, если
представить себе аксиальную каустику как геометрическое
место центров гомоцентрических пучков, каждый из которых
испускает лучи лишь в пределах определенного конуса. Для
каждого из этих элементарных пучков имеется некоторая рез-
резкая точка, сопряженная точке Р и лежащая на линии, соеди-
соединяющей точку Р с центром пучка. Уравнение D3) подтверж-
подтверждает, что это рассуждение, проведенное в рамках геометриче-
геометрической оптики, фактически оправдано,
Из рис. 9 видно также, что пучок, связанный с некоторой
точкой предмета-«двойника», пересекает плоскость предмета в
пределах площади, вчетверо большей площади освещенного
поля. Отсюда мы сразу же можем сделать заключение, что если
освещенность поля равномерная, то побочная амплитуда в пло-
плоскости предмета составляла бы такую же долю истинной амп-
амплитуды, как и в случае гомоцентрического пучка, т. е. уравне-
уравнение B9) снова было бы применимым. На самом деле в пучках
со сферической аберрацией в сечениях, не очень удаленных от
Освещающий пучок
| .Освещенное I
- \ поле .
Пучок,относящийся /^ ~~~ -~~. .' /
к точке Р' предмета-хвойника" -^
Сечение сопряженного пучка
Рис. 9. Предмет-„двойник" при наличии сферической аберрации.
каустики, освещенность очень неравномерная, и на этом осно-
основан четвертый метод улучшения разделения изображений, ко-
который мы рассмотрим в этом разделе в дополнение к трем дру-
другим методам, обсуждавшимся выше. Применение масок не очень
эффективно при наличии сферической аберрации, так как гео-
геометрическая тень точечного предмета имеет вид радиальной ли-
линии, являющейся проекцией аксиальной каустики. Она стано-
становится малой лишь в том случае, если предмет расположен на
оси, но в электронной оптике нельзя, пользуясь прозрачной
подложкой, помещать малые предметы в середине поля.
Этот четвертый метод улучшения разделения заключается
в том, что предмет помещают в такое место, где освещенность
меньше средней по полю. Чтобы кратко пояснить это, введем
«коэффициент освещенности» /, равный отношению средней ин-
интенсивности по малой площади предмета к среднему значению
по всему освещенному полю. Если средний коэффициент про-
пропускания интенсивности предмета равен tt* и предмет покры-
покрывает k-ю часть поля, то доля полного потока, испускаемого пред-
предметом, равна tt*kJ. В точности такой же поток идет также от
предмета-«двойника». Но только лишь lUkJ-n часть этого по-
потока пройдет через предмет. Множитель / здесь одинаков с тем,
который был определен выше по непосредственной освещенности

254
Д. ГАБОР
предмета. Это объясняется тем, что, как можно видеть из
рис. 9, малые предметы-«двойники» интерферируют друг с дру-
другом в направлении, в котором они непосредственно освещены.
Переходя от интенсивностей к корню квадратному из среднего
квадрата амплитуд, получим, что степень разделения пропор-
пропорциональна УkJ, т. е. в yV раз больше ранее полученной нами
для однородного освещения точечным источником. Следователь-
Следовательно, помещая малые предметы в относительно темные зоны поля,
где /<1, можно улучшить разделение за счет уменьшения по-
побочного фона на площади предмета. Соответственно предмет-
„двойник" посылает больше света в другие области поля, но
побочная амплитуда, конечно, безвредна, если она падает заве-
заведомо за пределами восстановленного предмета.
Можно отметить, что относительно слабое освещение не
влияет на контраст изображения восстановленного предмета до
тех пор, пока оно не забивается «двойниками», рассеянным све-
светом и искажениями, возникающими из-за неравномерного про-
проявления фотографии.
Критерии когерентности
До сих пор мы предполагали, что монохроматическая осве-
освещающая волна, идущая из точечного источника, абсолютно ко-
когерентна, но искажается при прохождении через систему линз.
Абсолютная когерентность означает возможность образования
интерференционных, полос любого порядка, но она означает,
конечно, и нулевую интенсивность. На практике мы должны
найти компромисс между этими двумя противоречивыми требо-
требованиями. Наилучший компромисс достигается в том случае,
если степень когерентности как раз достаточна для того, чтобы
создать интерференционную картину, по которой предмет мо-
может быть восстановлен с требуемым пределом разрешения.
Необходимый критерий когерентности может быть немедлен-
немедленно сформулирован без учета каких-либо деталей голограммы.
Вообразим, что абсолютно когерентный освещающий пучок
перемещается в течение экспозиции параллельно самому себе,
так что представляющая его точка, т. е. значение параксиаль-
параксиального фокуса, описывает круг диаметром dc. Но это эквивалентно
перемещению предмета в пределах диска того же диаметра, так
как для физической тени на бесконечности имеет значение лишь
относительное расположение пучка и предмета. По такой «раз-
«размазанной» голограмме в лучшем случае можно восстановить
изображение с пределом разрешения dc. Таким образом, мы по-
получаем необходимое условие, что гауссов, или номинальный,
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА, I
255
диаметр dc освещающего диска не должен превышать предела
разрешения dA по Аббе
Мы можем показать, что это необходимое условие является
также и достаточным, поскольку при его соблюдении получатся
голограммы, практически не отличимые от голограммы, полу-
полученной в абсолютно когерентном пучке в пределах пластинки
радиусом, соответствующим максимальному углу ут. Выразим
в уравнении D4) длину волны с помощью соотношения де-
Бройля
где р — импульс частиц в пучке. Это соотношение столь же
справедливо для фотонов, как и для электронов или любых
других частиц. Интерпретируя р sin ут как максимум попереч-
поперечного импульса Pt частиц в пучке, перепишем соотношение D4)
в виде
dc2pt^h. D4.1)
Сопоставим это выражение с неравенством Гейзенберга
d'c2p't > h, D5)
где dc означает максимум поперечной неопределенности в по-
положении частиц в пучке в гауссовой фокальной плоскости, а
2р'( — максимум неопределенности поперечного импульса. Оста-
Остановимся сначала на том случае, когда в рассматриваемой пло-
плоскости пучок ограничен физической апертурой, т. е. dc = dC'
Принцип Гейзенберга утверждает: если частицы, составляющие
пучок, определены с точностью до предела D5), то они
неразличимы; другими словами, обусловленные ими эффекты,
такие, как интерференционные полосы, нельзя отличить один от
другого путем наблюдения в пределах телесного угла, соответ-
соответствующего тому значению р'с, которое превращает неравенство
в равенство. Сопоставляя неравенства D4.1) и D5), мы видим,
если dc — dc, то мы должны иметь Pt < #> следовательно, ин-
интерференционные полосы внутри конуса ут заведомо одинаковы
для всех частиц пучка.
Но если dc является не физической апертурой, а ее гауссо-
гауссовым изображением, сформированным оптической системой, этот
критерий все же сохраняет силу, потому что в гауссовой оптике
dc sin ym является инвариантом. Если бы критерий D4) был
недостаточным, то можно было бы преодолеть ограничения,
налагаемые принципом Гейзенберга, с помощью подходящей си-

256
Д. ГАБОР
стемы линз, расположенной перед физической апертурой и поз-
позволяющей наблюдать различия в системе полос, что делало бы
частицы до некоторой степени различимыми.
Эти очень общие рассуждения определены, конечно, лишь
с точностью до множителя порядка единицы. Чтобы получить
более точные сведения об изменениях, происходящих в голо-
голограмме вследствие отклонения от абсолютной когерентности,
рассмотрим простой случай освещения через физическую апер-
апертуру диаметром d и исследуем ее влияние на систему полос,
созданных точечным предметом, расположенным на оси на рас-
расстоянии 20 от апертуры. Каждая точка освещающей апертуры
создает систему полос, концентрических с осью, связывающей
эту точку с точкой предмета. Эти системы полос взаимно неко-
некогерентны, следовательно, их интенсивности должны суммиро-
суммироваться. На краю голограммы угловое расстояние между двумя
полосами равно Xjz0 sin ут. Если две системы полос смещены
друг относительно друга на половину этого расстояния, то они
будут полностью дополнять друг друга и интерференционные
полосы пропадут. Этот случай соответствует расстоянию между
двумя точками источника Х/2 sin ут, которое как раз равно пре-
пределу Аббе dA.
В согласии с Цернике [5] мы определяем «степень когерент-
когерентности» Dc как отношение изменения интенсивности от макси-
максимума к минимуму в системе полос при предельном значении
угла Ym к соответствующей величине в случае равного светового
потока, испускаемого точечным источником в центре апертуры.
Предполагая, что изменение интенсивности в системе полос
происходит по синусоидальному закону, получим
Dc = j J cos (?pi dx dy/ J J dx dy, D6)
где интегрирование ведется по всей площади освещающей апер-
апертуры диаметром d. Подынтегральная функция cos (nx/dA) вы-
выражает то обстоятельство, что две точки, разделенные в на-
направлении X расстоянием dA, находятся в противофазе. Инте-
Интегрирование дает
A^) D7)
где /о и 1% — функции Бесселя нулевого и второго порядка. Не-
Некоторые значения Dc приведены в таблице.
Данные этой таблицы подтверждают предположение о том,
что система полос на краю голограммы будет быстро сглажи-
сглаживаться, если диаметр источника света заметно превосходит пре-
предел разрешения Аббе.
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА, I
257
d
0,0
1
0,5
0,925
0,75
0,837
1,0
0,723
1,25
0,590
1,5
0,448
1,75
0,312
2,0
0,181
Условие когерентности D7) строго ограничивает доступные
сегодня интенсивности. Главным образом в силу этой причины
приложения метода восстановленных волновых фронтов будут,
вероятно, ограничены световыми волнами длиной, не сильно
отличающейся от длин волн видимого диапазона, и электро-
электронами. Рентгеновские лучи, протоны и другие частицы должны
быть исключены, так как в настоящее время нет соответствую-
соответствующих источников достаточной интенсивности. Даже в случае
электронов потребуются длительные экспозиции, пока не будет
улучшена современная техника.
Восстановление в оптическом диапазоне
До сих пор мы предполагали для простоты, что восстанов-
восстановление выполняется на волне той же самой длины, которая ис-
используется для получения голограммы. Будем впредь обозна-
обозначать через %' длину волны первой ступени, а через К" длину
волны второй ступени. Используем один и два штриха также
для обозначения величин As и С, при соответствующих длинах
волн. То же самое формальное различие будет использовано
для расстояний z'o и z^, но здесь необходимы некоторые пояс-
пояснения. Величина z'Q определяется системой получения голо-
голограммы; она равна действительному расстоянию до предмета от
среднего параксиального фокуса освещающего пучка. Однако
при восстановлении нет никакого физического предмета и z"
означает просто положение плоскости, на которую должна быть
сфокусирована оптическая система для того, чтобы получить
правильное или по крайней мере наилучшее из возможных изо-
изображений исходного предмета.
Результат анализа — физическая тень, которую мы будем
обозначать теперь т/, — описывается уравнением D2). Мы пере-
перепишем это уравнение вновь, но фурье-координаты (|, ц) заме-
заменим углами а, {5, у. Из соображений симметрии будет удобно
обозначать штрихом не только параметры первой ступени, но
17 Дж- Строук

258
Л ГАБОР
также и координаты х, у; а, E, -у а а0) Ро, Yo. используемые при
анализе. Напишем
К рО_ Q(c//, m^.m^d^-dx'd4', D8)
. и и/ ч 'J J ens v_
где фаза Q равна
' — ~z'0 sin2 Yq —
- i- Л; (cos2 a' - cos2 p') - 4 D + 2Q sin4 Y'] • D9)
Это же самое уравнение применяется для восстановления
предмета t", но все одиночные штрихи заменяются на двойные.
Тот факт, что голограмма, полученная на первой ступени, ис-
используется также в процессе восстановления, выражается со-
соотношением
т"(а", р", у") = т'{а\ р', у'). E0)
где углы а', Р', y' и а", р", y" относятся к соответствующим точ-
точкам голограммы. Соотношение между ними определяется гео-
геометрией обеих ступеней голографического процесса.
Рассмотрим сначала простой случай, приведенный на рис. 1,
когда фокусное расстояние f коллиматорной линзы, которая на
первом этапе оптически отодвигает голограмму в бесконечность,
равно расстоянию L при восстановлении. В этом случае углы
а', Р' и а", р" равны, и их индексы можно опустить. Непосред-
Непосредственной проверкой легко убедиться, что уравнение D8) преоб-
преобразуется в соответствующее уравнение для т" = т', если поло-
положить
X — ~J»~X ' У —
Ч /
/ А" С — ——С"
Л/
У
0— I"
¦', (/") = x' (-p- *", y^ «/"
E2)
Преобразование переменных интегрирования х и у чисто
формально. Следующие два уравнения постулируют изменение
масштаба аберраций As и Cs в процессе восстановления, а по-
последнее— из условий E1) устанавливает следующее: чтобы
видеть предмет /", заданный уравнением E2), необходимо сфо-
сфокусировать систему на плоскость z^.
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА, 1
259
Рассмотрим теперь более общий случай
f - л/:, E3)
когда фокусное расстояние коллиматорной линзы в k раз боль-
больше расстояния L при получении голограммы, причем по-преж-
по-прежнему предполагаем, конечно, что голограмма находится в фо-
фокальной плоскости линзы. (Сюда же относится также и тот
случай, когда голограмма, используемая для восстановления,
представляет собой в т раз увеличенную копию исходного пред-
предмета; в этом случае параметр k, фигурирующий в следующих
ниже уравнениях, имеет значение f/mL.) Углы а', ... и а", . . .
связаны теперь соотношениями
cos а' , cos а" cos В' , cos В" /с..
г = « w < —г = к ~1г ¦ E4)
cos у cos y cos y cos y v '
Решение этих уравнений можно записать в виде
cos о/=/г cos a" [l — у(/г2 — l)sin2y"- ^{k2 — IJ sin4 у" — . . .j.
E4.1)
Можно ограничиться лишь первыми двумя членами разложения.
Введем их в уравнение D8), где для простоты положим к' = %",
чтобы отделить изменения, обусловленные геометрией, от изме-
изменений, обусловленных сменой длины волны. Существенные свой-
свойства преобразования можно вывести из фазы Q, определяемой
уравнением D9), которое теперь запишем в виде
k (х' cos a" + У' cos f>") — i- k2z'o sin2 у"
— \ ?2Л; (cos2 a" — cos2 p") - -i ?4 (-J- + 2C')j sin4 Y" —
__ 1-k (k2 — 1) (xf cos a" -f y' cos p") sin2 v" + -§¦ z'0k2 (k2 — 1) sin4 y" +
-~ir~A'sk2(k2-- l)sin2Y"(cos2a" —cos2p"). E5)
Члены в первой и во второй строках соответствуют точному
воспроизведению, остальные члены представляют ошибки, ко-
которые возникают при №Ф\. Оставляя только первые четыре
члена, преобразуем уравнение D8) в идентичное уравнение
для х", взятое вместо х', сделав подстановки
= C"s, k%^z; E6)
W, «/")=''D-¦ 41-
E7)
17*

260
Д. ГАБОР
Это означает, что для того, чтобы увидеть изображение, ко-
которое является в k раз увеличенной копией исходного предмета,
необходимо увеличить масштаб астигматизма в k2 раз, сфериче-
сферической аберрации в k4 раз и сфокусировать оптическую систему
на плоскость z"u = k2z'o.
Но это изображение будет искажено аберрациями, которые
определяются новыми членами в уравнении E5). Второй член
во второй строке представляет кому. Первый член в последней
строке является дополнением к сферической аберрации и может
быть введен bCs. Последний член показывает, что астигматизм
A's второго порядка при получении голограммы приводит к
астигматизму четвертого порядка при восстановлении, т. е. к
сферической аберрации эллиптического типа.
Все члены, характеризующие ошибки, могут оставаться
очень малыми, если только ?2<Cl. Можно показать, что наилуч-
наилучшие положения предмета находятся вблизи плоскости
z'0 = —C'ssin2v^; следовательно, значения х', у' будут порядка
C'ss\v?y'mt даже если предмет находится в крайнем положении.
Таким образом, член, характеризующий кому в уравнении E5),
будет порядка
т. е., если только не выполняется условие ?2<g;l, он будет очень
мал, за исключением крайних случаев, когда сферическая абер-
аберрация C^sin4Y^ имеет порядок нескольких сотен полос. В таких
случаях кома может достигать нескольких полос и может воз-
возникнуть необходимость компенсации комы в оптической системе
при восстановлении.
Последний член в уравнении E5) имеет порядок
и также мал, если только не выполняется условие k2<^\. В хо-
хороших электронных линзах As равно 10 Cs или даже меньше;
следовательно, если даже сферическая аберрация имеет поря-
порядок 1000 полос, этот член представляет лишь долю полосы.
Таким образом, длину оптического устройства, используе-
используемого при восстановлении, можно выбрать заметно отличаю-
отличающейся от расстояния L в электронном устройстве, используемом
при получении голограммы. Может оказаться особенно выгод-
выгодным сделать k<\, т. е. использовать увеличение К"/Х', имеющее
порядок 100 000, не полностью, а только частично. Остаток мо-
может быть обеспечен оптической системой наблюдения. Здесь
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА, 1
261
имеется то преимущество, что можно работать с меньшими лин-
линзами, хотя и с пропорционально большей числовой апертурой.
Полагая, например, C's = 1 см и sin y^ = 0,05, мы получим ми-
минимальный диаметр электронного пучка равным 0,625 мкм, и
при k=l необходима оптическая система, способная формиро-
формировать световой пучок с минимальным диаметром 6,25 см. Удобно
будет уменьшить это значение в 2 или даже в 4 раза, так как
изготовление оптических систем с числовыми апертурами от 0,1
до 0,2 не представляет трудностей, если нет необходимости при-
применения больших линз.
Резюмируя, можно сказать, что если масштаб аберрации
при восстановлении связан с аберрациями электронной конден-
сорной системы соотношениями
a" — k2 —
¦ ,4 A" pi
E8)
то поперечные размеры предмета будут увеличенными в отно-
отношении Ш"\У, а продольные размеры —в отношении k2l"/h'.
Следовательно, геометрическая, или k-я часть, преобразования
является преобразованием того же типа, что и преобразование
при помощи оптических приборов с продольным увеличением,
равным квадрату поперечного, в то время как /,-я часть преоб-
преобразования является однородным изменением масштаба, не реа-
реализуемым в обычной геометрической оптике.
Точность, с которой должны выполняться условия E8), луч-
лучше всего выразить через число полос. Максимально допустимое
отклонение волнового фронта от сферической формы без потери
разрешающей способности, согласно оценке Глазера [9], равно
0,4 от длины волны, а согласно оценке Брука [10] —одной дли-
длине волны. Вторую оценку можно считать более реальной. Сле-
Следовательно, условие E8) для Cs должно быть выполнено с
точностью до одной полосы. Принимая снова Cs=\ см и пре-
предел разрешения 1 А, в соответствии с правилом Аббе найдем,
что необходимая апертура sin yfm— 0,025 или, используя более
точный числовой множитель 0,6 вместо 0,5, sin y'm = 0,030. Это
дает 200 и 400 полос на краю поля, в соответствии с чем и вы-
выбирают численный множитель. Таким образом, сферическая
аберрация в оптической модели должна имитировать C's с точ-
точностью около одной полосы на 200 или 400 полос.
На краю поля допуск на астигматизм составляет около чет-
четверти полосы. В тщательно изготовленных электронных объек-
объективах постоянная А'$ имеет величину порядка нескольких ми-
микрон, и она с помощью компенсационного метода, предложен-

262
Д. ГАБОР
ного Хиллиером и Рамбергом [1], может быть уменьшена по
крайней мере еще на порядок. Это необходимо для реализации
полной разрешающей способности современных электронных
микроскопов. Снова, выражая все через число полос, можно
сказать, что астигматизм в тщательно изготовленных, но не
скомпенсированных электронных линзах доходит до нескольких
полос при апертурах порядка 0,003. Если апертуру увеличить
в 10 раз, чтобы достичь десятикратного улучшения разрешаю-
разрешающей способности, то искажение будет порядка нескольких сотен
полос. Следовательно, As необходимо имитировать в оптиче-
оптическом восстанавливающем устройстве также с точностью до од-
одной полосы на несколько сотен полос.
Можно предположить, что для имитации параметров элек-
троннооптической системы необходимо сначала тщательно из-
измерить As я Cs и затем по этим данным рассчитать соответ-
соответствующую оптическую систему. Однако это едва ли подходящий
для практики метод. При его использовании, помимо трудностей
осуществления измерений с требуемой точностью, обнаружи-
обнаруживается еще и такой недостаток, что к тому моменту, когда рас-
расчет закончен и оптическая копия системы изготовлена, измене-
изменения параметров электроннооптической системы, вероятно, на-
намного превысят допустимую ошибку. По-видимому, более
предпочтительно сделать астигматизм и сферическую аберрацию
оптической системы, используемой при восстановлении, пере-
переменными и регулировать их до тех пор, пока не будет достиг-
достигнута максимальная резкость изображения определенной части
изучаемого предмета, например подложки, или же опреде-
определенных стандартных тест-объектов. Сферическую аберрацию
можно сделать переменной с помощью смещения пластинки чет-
четвертого порядка, а астигматизм — с помощью скрещенных ци-
цилиндрических линз или наклонных линз. Опытные оптики, не-
несомненно, будут в состоянии установить порядок систематиче-
систематического выполнения трех юстировок: фокуса, астигматизма и
сферической аберрации. Таким образом, необходима лишь уме-
умеренная степень постоянства параметров электронно-оптической
системы, достаточная по крайней мере для осуществления се-
серии восстановлений без слишком частых юстировок.
Экспериментальная проверка
Эксперименты начались почти тотчас же после того, как
появилась идея о голографическом восстановлении. Они под-
подтвердили правильность основного принципа, но показали необ-
необходимость детальной разработки и модификации первоначальной.
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА, I
263
отчасти примитивной точки зрения на механизм восстанов-
восстановления, которая была высказана ранее [11]. Позднее эксперимен-
эксперименты были продолжены, чтобы проверить количественные выводы
теории, описанной в этой статье.
В этих экспериментах получение голограммы и восстановле-
восстановление изображения выполнялись с видимым светом, хотя не все-
всегда с одной и той же длиной волны. Устройство для получения
голограммы было реализовано в соответствии со схемой, приве-
приведенной в верхней части рис. 1, но с оптическими линзами вместо
электронных. Конденсор отбрасывал изображение ртутной
дуги высокого давления (миниатюрная лампа с вольфрамо-
вольфрамовыми электродами) через цветной фильтр на отверстие диамет-
диаметром около 0,2 мм. Использовались линии с длиной волны
4358 А (фиолетовая) и 5461 А (зеленая), выделенные свето-
светофильтрами. В более ранних экспериментах применялся объек-
объектив микроскопа, который давал изображение этого отверстия,
уменьшенное примерно в 40 раз, т. е. с номинальным диаметром
около 5 мкм. Это изображение и служило точечным источником.
Предметами были большей частью микрофотографии, помещав-
помещавшиеся в слое иммерсионного масла между двумя полирован-
полированными стеклянными пластинами. В первых экспериментах рас-
расстояние между точечным источником и предметом составляло
около 50 мм, расстояние от предмета до фотографической пла-
пластинки — 550 мм, следовательно, геометрическое увеличение
было около 12.
Фотографическая пластинка удерживалась в заданном поло-
положении с помощью трех фиксирующих булавок. Первоначально
предполагалось получить голограммы на обратимых фотопла-
фотопластинках, чтобы обеспечить идентичность положения при получе-
получении голограммы и при восстановлении изображения. При ис-
использовании негативно-позитивного процесса при печатании
правильность установки обеспечивалась тем же самым фикси-
фиксированным расположением булавок. Эти предосторожности ока-
оказались излишними в тех экспериментах, в которых не только
гауссов, но также и физический диаметр источника был поряд-
порядка предела разрешения; последнее доказывает, что в этих слу-
случаях теория освещающих гомоцентрических пучков является
удовлетворительным приближением. Но в экспериментах с силь-
сильной сферической аберрацией в освещающем пучке эти предосто-
предосторожности были необходимы. Было найдено, однако, что обра-
обратимое проявление не обязательно, и всюду использовался значи-
значительно более гибкий негативно-позитивный фотографический
процесс. Негатив голограммы проявлялся обычно до контраста
от Г =1,2 до Г =1,6, а позитив — от Г = 0,7 до Г =1,6, так что
можно было изменять суммарные значения Г в широком интер-

264
Д ГАБОР
нале. Когда было подтверждено, что наилучшие результаты
получаются при полном контрасте Г = 2, в дальнейшем мы стре-
стремились получать контраст Г как можно ближе к этому зна-
значению.
Позитив голограммы, используемый для восстановления,
смазывался иммерсионным маслом и зажимался между по-
полированными стеклянными пластинами, которые нужно бы-
было тщательно подбирать. Позитив оптически отодвигался на-
назад с помощью визирной линзы, представлявшей собой ахро-
ахроматический дублет, сцементированный и просветленный, с фо-
фокусным расстоянием 175 мм и линейной апертурой 47 мм. Сфе-
Сферическая аберрация составила три полосы, сопряженные на
бесконечности. Согласно оценкам, диаметр, удовлетворяющий
допуску в четверть волны, равен 27 мм, и приведенные
ниже числовые апертуры определяются этим «эффективным
диаметром». Восстановленное изображение рассматривалось в
микроскоп и фотографировалось на пластинках, введенных в
окуляр.
На рис. 10 воспроизведена одна из фотографий, полученных
в ходе этих первых экспериментов. Слева приведена непосред-
непосредственная фотография исходного предмета, представлявшего со-
собой микрофотографию листа бумаги с именами трех основате-
основателей волновой теории света. Она была получена посредством
системы наблюдения с той же самой оптикой, которая применя-
применялась в процессе восстановления. Сверху показана центральная
часть голограммы, а справа — восстановленное изображение.
Все три снимка сделаны в свете фиолетовой линии ртути с дли-
длиной волны 4358 А. Эффективная числовая апертура равнялась
0,025, следовательно, предел разрешения равен 0,6x0,436/0,025 =
= 10 мкм. Он составляет 1/150 диаметра воспроизведенной ча-
части микрофотографии и примерно соответствует промежутку
между буквами У и G в слове HUYGENS.
Хотя на наилучших восстановленных изображениях достиг-
достигнуто почти такое же разрешение, как и на прямых фотографиях,
все же на них заметен сильный «шум». В меньшей степени он
обусловлен искажениями, созданными изображением-,.двойни-
изображением-,.двойником", но в большей степени — частичками пыли и неоднородно-
стями в двух объективах микроскопов. Можно отметить, что в
электронном устройстве, по-видимому, нельзя ожидать появле-
появления этих неприятных эффектов, которые возникают из-за боль-
большой чувствительности метода, использующего когерентный
фон, к сдвигам фаз. Пусть электронные линзы несовершенны
с точки зрения теоретической оптики, но они свободны от пыли
и не дают шлирен-эффектов, так как электромагнитное поле
автоматически «размазывается», и в этом отношении любая
YOUNG
Рис. 10. Голографический цикл в оптическом диапазоне.
Исходным предметом являлась микрофотография диаметром 1,5 мм. Она
освещалась светом с длиной волны Я = 4358 А через отверстие диаметром
0,2 мм, уменьшенное с помощью объектива микроскопа до номинального
диаметра 5 мкм. Предмет располагался на расстоянии 50 мм от изображе-
изображения отверстия. Геометрическое увеличение равно 12. Эффективная апертура
линзы, использованной в процессе восстановления, равна 0,025. Шумовой
фон обусловлен главным образом несовершенством освещающего предмета.
а — голограмма; б —предмет; в — восстановленное изображение предмета,.

266
Д. ГАБОР
электронная линза превосходит все самые лучшие оптические
линзы.
Чтобы уничтожить эти несущественные искажения, в некото-
некоторых последующих экспериментах оптические поверхности умень-
уменьшались до минимума. В экспериментах, в которых были полу-
получены снимки, приведенные на рис. 11 и 12, источником явля-
являлось отверстие диаметром 3 мкм, проколотое в фольге очень
тонкой иглой. Таким образом, при получении голограммы на
оптическом пути не было никаких других стеклянных поверхно-
поверхностей, кроме поверхностей пластин, поддерживающих микрофо-
микрофотографии. Оптика, используемая в процессе восстановления,
также была сведена до минимума благодаря отказу от второго
микроскопа. Расстояние между предметом и визирной линзой
было уменьшено до 180 мм, расстояние между линзой и пла-
пластинкой—увеличено до 700 мм, так что визирная линза давала
четырехкратное увеличение предмета, достаточное для прямого
фотографирования на малочувствительных пластинках. Еще
большее увеличение достигалось, когда получение голограммы
производилось в свете фиолетовой линии ртути, а восстановле-
восстановление— в свете зеленой линии.
Эффективная числовая апертура в серии этих экспериментов
равнялась 0,075, а теоретический предел разрешения был
3,5 мкм. Это составляет около 1/350 диаметра той части микро-
микрофотографии, которая приведена на рис. 11 и содержит имена
десяти основателей теории света. Разрешение как раз доста-
достаточно для того, чтобы заметить просвет в верхней части буквы
«А». Теоретическое разрешение в процессе восстановления
меньше, потому что как при получении голограммы, так и при
восстановлении использовался один и тот же источник излуче-
излучения—отверстие диаметром 3 мкм. Величину расчетного предела
можно оценить по эмпирическому правилу сложения статисти-
статистически независимых ошибок, что дает около 5,5 мкм. Фактически
достигнутое разрешение в случае рис. 11, а также рис. 12 очень
близко к расчетному. Можно также видеть, что фон здесь на-
намного более однороден, чем на рис. 10. Оставшиеся искажения
весьма существенны и обусловлены предметом-„двойником".
В этих экспериментах предмет-.двойник" также можно было
сфокусировать, причем по резкости его нельзя было отличить от
«истинного» изображения.
В настоящее время ведутся эксперименты по проверке тео-
теории освещения пучками, имеющими большую сферическую абер-
аберрацию. Эти эксперименты уже подтвердили основные выводы
теории.
. *«*•§••§
#.
s • ¦ ... , f Ч
uZ пт«Р^; ГологРаФический Цикл при освещении предмета через малень-
кис и1ВсрСТИс.
Буквы на исходном предмете были вписаны в прямоугольник размером
0,65 X 0,5 мм. Предмет освещался светом с длиной волны Я. = 4358 А через
отверстие диаметром 3 мкм, расположенное на расстоянии 18 мм от пред-
soeRTaaHi?nn?p4eCK°e Увеличение Равно Ю. Эффективная апертура, исполь-
использованная при восстановлении, равна 0,075.
а-голограмма; 6 - предмет; в - восстановленное изображение предмета.

и * ¦-¦'
Рис. 12. Голографический цикл при освещении предмета через малень-
маленькое отверстие с изменением длины волны.
Исходным предметом был микротранспортир диаметром 1 мм. Условия
те же самые, как и в случае, иллюстрируемом рис. 11, но в процессе вос-
восстановления использован свет с длиной волны А = 5461 А.
а —предмет; б —голограмма; в —восстановленное изображение предмета.
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА. I
269
Заключение
Новый, голографический принцип может быть применен во
всех случаях, когда имеется достаточно интенсивный источник
когерентного монохроматического излучения, позволяющий по-
получить расходящуюся дифракционную картину при относитель-
относительно сильном когерентном фоне. В то время как его применение
в электронной микроскопии, по-видимому, позволит достичь раз-
разрешения, не доступного для обычных электронных микроскопов,
вероятно, все же более заманчивы перспективы применения но-
нового метода в области световой оптики, где открывается воз-
возможность регистрации на одной фотографин информации о
трехмерных объектах. В процессе восстановления можно сфоку-
сфокусировать последовательно одну плоскость за другой так, как
будто сам предмет расположен в исходном положении, хотя ис-
искажения, обусловленные влиянием различных частей предмета,
не лежащих в резко фокусируемой плоскости, при когерентном
освещении больше, чем при некогерентном. Вполне возможно,
что в световой оптике, где допустимо расщепление пучков, бу-
будут найдены такие методы использования когерентного фона,
которые позволят улучшить разделение предмета по глубине,
а также подавить влияние «сопряженной волны» более эффек-
эффективно, нежели это было сделано в исследованных здесь простей-
простейших схемах.
ЛИТЕРАТУРА
1. Hillier J., Ramberg E. G., 7. Appl. Phys., 18, 48 A947).
2. В га gg W. L, Nature, 149, 470 A942).
3. Boersch H., Z. techn. Phys., 19,337 A938).
4. BoerschH, 2. techn. Phys., 20, 346 A939).
5. ZernikeF., Proc. Phys. Soc, 61, 147 A948).
6- Baker В. В., С op son E. Т., The mathematical theory of Huygens' prin-
principle, Clarendon Press, Oxford, 1939.
7. С a m p b e 1 1 G. A., Foster R. M., Fourier integrals for practical appli-
applications, Bell Telephone System Monograph, New York, 1931.
8. В u n n W., Chemical crystallography, Oxford Univ. Press, 1945.
9. Glaser W., Z. Phys., 121, 647 A943).
10. Bruck H., С R. Acad. Set., Paris, 224, 1553 A947).
11. Gabor D., Nature, 161, 777 A948).

МИКРОСКОПИЯ НА ОСНОВЕ МЕТОДА
ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА, II1)
Д. Габор
1. Введение
Принцип дифракционной (голографической) микроскопии
был описан в предыдущей статье2) (цитируемой далее как
«статья I»), в которой была подробно обсуждена одна из воз-
возможных схем его практического применения (так называемый
проекционный метод). В этом методе микроскопический предмет
освещается пучком света или электронов, испускаемых малым
отверстием, либо непосредственно, либо через систему линз,
причем между предметом и фотографической пластинкой, на ко-
которой формируется дифракционная картина, называемая голо-
голограммой, не помещается более ни одной линзы. Было показано,
что если эта фотография, обработанная подходящим способом,
освещается затем копией первоначальной освещающей волны,
то в пространстве восстанавливается изображение исходного
предмета совместно с его «двойником», вообще говоря, размы-
размытым и искаженным. Теоретически и экспериментально было до-
доказано также, что влияние этой побочной части на восстанов-
восстановленное изображение не велико, если выбраны предметы подхо-
подходящего типа с достаточно большим прозрачным пространством
между темными частями.
С самого начала электронная микроскопия рассматривалась
как основное, хотя и не единственное предложение метода вос-
восстановления волнового фронта. В ходе своих экспериментов
Хейн и Дайсон [1] столкнулись со значительными практическими
затруднениями и разработали модифицированную оптическую
схему, которую они предложили автору. Их метод можно на-
назвать «методом пропускания»; в нем для получения голограммы
применяется слегка измененная схема электронного микроскопа
просвечивающего типа. В то время как в проекционном методе
вся электронно-оптическая система расположена между малым
освещающим отверстием и предметом, в схеме пропускания она
расположена между предметом и фотографической пластинкой.
Эта последняя схема имеет некоторые преимущества, причем
') Gabor D, Microscopy by reconstructed wavefronts: II, Proc. Phys.
Soc, B64, 449-469 A951).
2) См. стр. 218.
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНГА, II
271
наиболее очевидное заключается в том, что предмет можно ос-
осмотреть и отрегулировать с помощью хорошо известных мето-
методов обычной электронной микроскопии, прежде чем с него будет
снята голограмма, а перед окончательной экспозицией изобра-
изображение должно быть лишь в определенной степени расфокусиро-
расфокусировано. Другое столь же важное преимущество этой схемы заклю-
заключается в том, что она имеет широкое поле. В проекционном
методе освещающий пучок имел уже свою конечную широкую
расходимость и соответственно малое поперечное сечение в той
области, где может быть расположен предмет. В схеме пропу-
пропускания расходимость освещающего пучка мала, а поле соответ-
соответственно велико. Кроме того, как будет показано ниже, эти
преимущества не получены ценой введения каких-либо недостат-
недостатков. Первоначально опасались — и именно поэтому это предло-
предложение не было принято раньше, — что схема пропускания потре-
потребует более сложного оптического устройства для осуществления
процесса восстановления. Но, как будет видно из дальнейшего,
эта установка никоим образом не сложнее установки, необхо-
необходимой в проекционной схеме. Кроме того, она имеет то допол-
дополнительное преимущество, что в ней можно использовать дей-
действительное изображение освещаемого отверстия. Благодаря
этому можно экранировать неизменную часть освещающей вол-
волны («когерентного фона»), после того как она пройдет через
голограмму, или изменить фазу этой волны с помощью фазо-
фазовой пластинки Цернике и, таким образом, получить восстанов-
восстановленное изображение методами «темного поля» или фазового
контраста.
Эти ставшие необходимыми практические модификации,
естественно, потребовали пересмотра теории на несколько более
широкой основе и завершения ее обсуждением условий приме-
применения, не рассмотренных в статье I.
2. Принцип восстановления волнового фронта
Рассмотрим монохроматическую, когерентную волну с ам-
амплитудой U — A exp (йр), падающую на фотографическую пла-
пластинку. Предположим, что пластинка проявлена с обращением
или же с негатива отпечатан позитив, так что результирующий
коэффициент контрастности равен Г1). На линейном участке
') По определению коэффициент контрастности Г равен тангенсу угла
наклона линейного участка так называемой кривой почернения — графика
зависимости плотности почернения (логарифм величины, обратной коэффи-
коэффициенту пропускания интенсивности) фотографической пластинки от логариф-
логарифма экспозиции (равной произведению освещенности на время экспозиции),

272
Д. ГАБОР
кривой почернения коэффициент пропускания амплитуды t для
обработанной фотографической пластинки определяется выра-
выражением t~KAv = K{UlJ*)Tt2, где К — постоянная величина.
Представим теперь, что V состоит из когерентного фона, или
освещающей волны Uo и возмущения, или вторичной волны Uu
рассеянной предметом:
Ux = Ао ехр /ф„Н-Л, ехр г'ф! ==
U
С другой стороны, если мы осветим фотографию-голограмму
одним лишь когерентным фоном, то мы тотчас за эмульсией по-
получим волну Us = tU0. В простейшем, а также наиболее благо-
благоприятном случае коэффициент контрастности Г = 2. При этом
значении контраста
= tU0 = КЛ2А0 ехр гф0 =
А1
А ехр {«(Ч>,
Л1ехр{-«(ф1-ф0)}]. A)
Для простоты предположим, что когерентный фон однороден
по интенсивности, т. е. /40 = const, и сопоставим два последних
уравнения. Выражения перед скобками с точностью до постоян-
постоянного множителя равны. Внутри скобок мы видим, что вместо
амплитуды когерентного фона Ао в уравнение A) входит
Ао[\ + (AJA0J]. Если мы предположим — и это очень существен-
существенное условие, — что амплитуда когерентного фона намного боль-
больше амплитуд, рассеянных предметом, то членом (Л4/ЛоJ можно
пренебречь. Следующие члены Л4 ехр (iipi) идентичны в обоих
выражениях. Это означает, что восстановлена подлинная вто-
вторичная волна с правильной фазой, и если пренебречь малым
членом Ai/Aot то и с правильной относительной амплитудой. Но
последний член в выражении A) новый: он представляет волну
с той же самой амплитудой, как и вторичная волна U\, но со
знаком фазы, отличным от знака когерентного фона.
Это можно пояснить с помощью диаграммы, показанной на
рис. 1. Если рассеянная волна относительно слаба, то полная
амплитуда волны очень близка к вектору ОР, равному ампли-
амплитуде когерентного фона, сложенной с синфазной компонентой
рассеянной волны. В случае фотографической пластинки с ко-
коэффициентом контрастности Г = 2 эта амплитуда, возведенная
в квадрат, характеризует пропускание, показанное на нижней
диаграмме. Чтобы обе диаграммы привести к одному масштабу,
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА, II
273
амплитуда когерентного фона полагается равной единице. Ам-
Амплитуда прошедшей волны теперь очень близка к амплитуде
когерентного фона, сложенной с удвоенной синфазной компонен-
компонентой рассеянной волны. Этот результат можно интерпретировать,
как показано на диаграмме, таким образом, что восстановлен-
восстановленная волна отличается от исходной лишь «сопряженной амплиту-
амплитудой», синфазная компонента которой равна, а квадратурная
компонента противоположна соответствующим компонентам ам-
амплитуды рассеянной волны. Может показаться, что эта интер-
интерпретация произвольна, поскольку квадратурная компонента по-
подавляется, однако ниже будет показано, что это очень близко
_ Амплитуда
'рассеянного поля
Амплитуда когерентного фона({у
Фотографирование
Амплитуда
Oh
рассеянного тля
Прошедшая амнлЩЗа
Восстановление
Сопряженная
амплитуда
Рис. 1. Векторная диаграмма, объясняющая принцип восстановления
для коэффициента контрастности Г = 2.
соответствует восприятию амплитуды рассеянной волны глазом,
а именно как волны, идущей от предмета-«двойника».
Для того чтобы показать это, мы можем продолжить в не-
несколько более общей форме рассуждения, начатые в статье I,
По-прежнему будем предполагать, что освещающая волна вы-
ходит из точечного источника, но опустим предположение, сде-
сделанное в статье I, что фотографическая пластинка находится на
бесконечности. Переход к освещающим волнам, отличным от
сферических, легко может быть осуществлен на последней
стадии.
Рассмотрим точечный источник S, точечный предмет О4 и
точку Р фотографической пластинки (рис. 2). В точку Р падают
прямой луч SP и непрямой SOiP. Разность фаз между ними
равна сумме двух компонент: одна из них пропорциональна
разности длин прямой и ломаной линий, а вторая равна неко-
некоторому скачку фазы, который луч может испытать при рассея-
рассеянии на предмете. Интерференция этих лучей дает в точке Р пол-
полную амплитуду. Но в точности та же самая амплитуда получи-
получилась бы при другом знаке разности фаз двух лучей. Мы можем
построить два таких луча с другим знаком разности фаз, пре-
прежде всего обращая направление распространения, т. е. пред-
18 Дж. Строук

274
Д. ГАБОР
ставляя себе сходящуюся в точку S сферическую волну, а не
волну, выходящую из нее. Пусть QO2 является таким сходящим-
сходящимся _вол новым ф_ронтом. Если он определен так, что SO
S
_ _ р , i + J
SP = O2P — PQ, то лучи, выходящие из точек О, и О,, будут
иметь различные по знаку разности фаз относительно прямого
луча. (Если О, не точка, а малый предмет, создающий опреде-
определенное запаздывание фазы, то необходимо постулировать, что
Фотографическая
пластинка
/
Рис. 2. Сопряженные точки предметов О{ и О2.
Ог создает равное по величине опережение фазы.) Простой рас-
расчет показывает, что при малых углах а величины г4 и г2 свя-
связаны следующим соотношением:
1
1
г 2
R '
B)
т. е., другими словами, сопряженные точки О( и О2 являются
оптически сопряженными относительно сферического волнового
фронта, проходящего через точку Р и рассматриваемого как
зеркало. Можно отметить, что это верно лишь в первом при-
приближении; при больших значениях а вид О2 будет зависеть
также от а, а не только от радиуса R = SP; при/? = const точка О2
будет уже не точкой, а аберрационной фигурой, которая не
идентична аберрационной фигуре сферического зеркала. Однако
в двух специальных случаях, представляющих особый интерес,
фигура, сопряженная точке, является также резкой точкой не-
независимо от положения точки Р. В первом случае точечный
предмет О{ расположен очень близко к источнику S по срав-
сравнению с его расстоянием от пластинки. Это и есть проекцион-
проекционный случай, рассмотренный в статье I; сопряженные точки сим-
симметричны по отношению к точечному источнику. Второй случай
реализуется тогда, когда предмет расположен значительно
ближе к пластинке, чем к источнику. Будет показано, что этот
случай соответствует методу пропускания: сопряженные точки
являются зеркальными отражениями друг друга по отношению
к пластинке.
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА, It
275
Могут спросить, нельзя ли получить какое-то преимущество
при промежуточном расположении, помещая предмет, например,
посередине между источником и пластинкой так, что сопряжен-
сопряженный предмет отодвигается в бесконечность. Однако никаких
преимуществ это не дает, поскольку, как видно из уравнения
B), две сопряженнные амплитуды в точке Р всегда равны. От
сопряженного предмета избавиться нельзя; он является неиз-
неизбежным следствием «нечувствительности к фазе» фотографиче-
фотографической пластинки [2].
Используя обозначения рис. 2, запишем уравнение B) в виде
«2
R '
Это соотношение является оптически инвариантным, т. е., дру-
другими словами, если в процессе восстановления отображают оп-
Восстановление
Рис. 3. Использование различных освещающих волн при восстановлении
дает тот же эффект, что и оптическое преобразование.
тическое пространство источника и голограммы таким образом,
что сферическая волна, идущая от источника к пластинке, имеет
некоторую другую кривизну, то две сопряженные амплитуды
остаются зеркальными изображениями относительно преобразо-
преобразованного сферического волнового фронта.
При выводе уравнения A) предполагалось, что волна, ис-
использованная в процессе восстановления, характеризуется теми
же самыми разностями фаз между различными точками фото-
фотографической пластинки, как и волна, использованная для полу-
получения голограммы. Теперь мы опустим это предположение и
покажем, что по крайней мере в этом приближении замена
одной освещающей волны другой дает тот же самый эффект,
что и оптическое преобразование. Предположим, как показано
на рис. 3, что пластинка первоначально была освещена из точки
S', удаленной от нее на расстояние R', в то время как в про-
процессе восстановления это расстояние равняется R". Пред-
18»

Рис. 4. Восстановление с помощью голограммы, полученной проекционным методом, при
наличии сильной сферической аберрации. На фотографиях показаны три поперечных сечения осве-
освещающего пучка: исходный предмет, голограмма, восстановленные изображения предмета и его
«двойника». Вндио, что восстанавливаются детали предмета, размеры которых намного меньше
диаметра пучка в минимальном сеченин. а —крайний фокус; б —наименьшее сечение; в —гаус-
—гауссова плоскость.
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА, II
277
ставим теперь, что перед голограммой мы помещаем тонкую
отрицательную линзу с фокусным расстоянием, определяемым
соотношением — l/F = l/R' — \/R", а за ней — положительную
линзу с равным по величине, но положительным фокусным рас-
расстоянием. Таким образом, полный эффект равен нулю, но по-
поскольку отрицательная линза восстановила первоначальную
кривизну волнового фронта, отсюда сразу же вытекает, что в
оптическом пространстве между двумя линзами сопряженные
изображения занимают свои первоначальные положения О, и
О'ч- Следовательно, замена волнового фронта дает тот же са-
самый эффект, что и положительная линза, помещенная за голо-
голограммой. Мы получаем, например, для первой точки уравнение
преобразования
J_
F
1
R"
В частности, если новая освещающая волна плоская, то в пре-
преобразовании начального положения предмета действие голо-
голограммы аналогично действию линзы с фокусным расстоянием
1IR'. Это свойство, а также некоторые другие интересные опти-
оптические свойства голограмм были недавно отмечены Роджер-
Роджерсом [3].
Если освещающая волна не сферическая, то сопряженный
предмет более не будет резким, а исказится аберрациями двой-
двойной волны, обусловленными отклонениями волнового фронта
от сферы. Это проиллюстрировано на рис. 4. Соответствующая
теория развита в статье I.
3. Теория образования изображения при
использовании метода пропускания
На рис. 5 показаны схемы оптических установок, используе-
используемых в проекционном методе и методе пропускания. В обоих
случаях требуются три электронные линзы, чтобы создать не-
необходимое сильное уменьшение отверстия в первой схеме и
большое увеличение предмета во второй. Сразу же можно за-
заметить, что метод пропускания фактически является разновид-
разновидностью проекционного метода, если рассматривается заднее оп-
оптическое пространство, в Я-плоскости которого расположена
фотографическая пластинка. Однако можно показать, что проще
рассмотреть вместо него переднее оптическое пространство, ко-
которое содержит отверстие и предмет. Это позволяет прийти к
простому пониманию процесса восстановления более прямым

278
Д. ГАБОР
путем. Будет также показана существенная идентичность двух
методов, что мы заранее подчеркнули выбором одного и того
же символа z0 для обозначения расстояния от источника до
предмета в первой схеме и расстояния расфокусировки во
второй.
Сьша проекционного метода
Точечное Плоскость Но
отверстие ч
I/
Схема метода пропускании
Плоскость Н
Рис. 5. Схемы электрошюоптических систем, используемых в -mw
методах получения голограмм. ' ' А у
Сферическая
волна
Источник
Сферическая
опорная волна -у
Искаженная волна.
X.Y
Переднее оптическое I
пространство
/
Плоскость Плоскости
предмета И,
Заднее оптическое
пространство
ПлоскостьН
Оптическая
система
Освещающий
волновой фронт
\
Рис. 6. Обозначения, принятые в методе пропускания.
Ось z является оптической осью, а, $, Y — углы, образованные нормалями плоских воли
соответственно с осями х, у, z. В геометрической аппроксимации они становятся лучами.
Соответствующие обозначения поясняются на рис. 6. Пло-
Плоскость Но является гауссовой сопряженной к плоскости Я, т. е.
плоскости фотографической пластинки; она расположена от
плоскости предмета на малом расстоянии г0, которое будет при-
приниматься положительным при расположении, показанном на
рис. 6, т. е. с «перефокусированным» объективом. Расчет состоит
из двух основных этапов. На первом из них мы рассчитываем
амплитуды в плоскости Яо, которую мы назовем «виртуальной
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА, II
279
голограммой». На втором этапе мы принимаем во внимание
аберрации оптический системы и рассчитываем истинную голо-
голограмму. Первую будем обозначать U°(x0, у0), а вторую —
U(X, Y).
Чтобы рассчитать первую голограмму, мы применим прип:
цип Кирхгофа в упрощенной форме, справедливой для малых
внеосевых углов:
0, у0) = 77 J
, У) t (х, у) exp (ikrt) dx dy. C)
Здесь Uo{x, у)— амплитуда освещенности в плоскости предме-
предмета, t(x, у)—амплитудное пропускание предмета, являющееся
в общем случае комплексной величиной; k = 2nj). — волновое
число и г4 — расстояние от рассматриваемой точки (х0, у0, z0)
в плоскости Но до точки (х, у, 0) в плоскости предмета. Разло-
Разложим в ряд
Можно апостериорно проверить, что пригодные для практиче-
практического применения расстояния расфокусировки z0 достаточно
велики, чтобы было оправдано применение формулы Кирхгофа
в упрощенной форме C). Кроме того, третий член в разложе-
разложении Г\ можно опустить. Мы позволим себе также опустить соот-
соответствующий член в фазе освещающей волны Uo, которая с
точностью до постоянного множителя равна
1 -• i- I ..9 | ..9\ 1
Таким образом, для амплитуды в плоскости виртуальной голо-
голограммы мы получим
\t(x,y)X
X exp [I ik U- + !¦) r2 - i -j- (xx0 + yy0)] dx dy,
D)
где использованы подстановки х2 + у2 = г2 их^-f-^^.
Эта виртуальная голограмма отображается на фотографи-
фотографическую пластинку оптической системой, которую характеризуют
определенные ограничения, накладываемые на пучок лучей, и
определенные геометрические аберрации. Как хорошо известно,
их можно описать путем задания фазового искажения волны,

280
Д. ГАБОР
которая в переднем оптическом пространстве является сфери-
сферической и сходится в точке х0, Уо на плоскости Яо.
Для упрощения формулы предположим, что геометрическое
увеличение равно единице. Это не приводит к ограничениям,
так как в окончательной форме будет удобно отнести все опти-
оптические данные снова к пространству предмета. Плоская элемен-
элементарная волна, являющаяся компонентой искаженной волны в
заднем оптическом пространстве (которая соответствует сфери-
сферической волне в переднем оптическом пространстве сходящейся
в точке х0, Уо), достигнет точки X, Y с приращением фазы
(х0 — X) cos a -f- (у0 — У) cos р + />(а, р, х0, уо) + р'{Х, Y).
Здесь мы разбили искажение фазы на две компоненты, пока-
показанные на рис. 6; р — расстояние, измеренное в радиальном
направлении, между искаженной и упомянутой сферической
волнами; последние совпадают друг с другом в направлении
радиуса, проведенного параллельно оси. Расстояние р является
функцией углов а, р и координат точки х0, у0. Вторая компонен-
компонента, р', выражает приращение фазы всей волны в целом. Она яв-
является функцией только X, Y и характеризует искажение волны,
которая в переднем оптическом пространстве была плоской и
нормальной к оси. Но так как она зависит только от X, У, она
добавляет к амплитуде лишь фазовый множитель exp (ikp'), не
оказывающий никакого влияния на фотографическую эмульсию,
а следовательно, и на весь процесс. Поэтому мы можем с са-
самого начала опустить р' во всех последующих формулах.
Мы пренебрегаем дисторсией изображения, кривизной поля
и астигматизмом третьего порядка, но учитываем астигматизм
первого порядка, сферическую аберрацию и кому. Хорошо из-
известно, что очень существенной ошибкой электронных линз яв-
является астигматизм на оси, возникающий вследствие эллиптич-
эллиптичности или неровности электродов. Ввиду этого было бы неоправ-
неоправданным предполагать, что «сферическая» аберрация обладает
осевой симметрией. Для простоты мы предположим только, что
ее главные оси совпадают с астигматическими осями, и тогда
напишем
р~ ^ Л s (cos2 a — cos2p)-f--j(Cx
cos2 a cos2
+ С у cos4 p) -)- В (x0 cos a -j- y0 cos p) sin2 y.
В этом выражении As-—расстояние вдоль оси между двумя
астигматическими фокусами; коэффициенты Сх, Су и Сху, имею-
имеющие размерность длины, являются константами апертурной по-
погрешности; в случае вращательной симметрии Cx = Cy~Cxy = Cs,
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА, II
281
где Cs — постоянная сферической аберрации; В — коэффициент,
характеризующий кому.
Роль апертуры в оптической системе может быть представ-
представлена множителем пропускания ехр {—(у/у™J}-Такое «гауссово»
усечение, как было показано в статье I, аналитически очень
удобно. Будет также удобно, как и в статье I, заменить угло-
угловые переменные а, р, у фурье-координатами | = cos a/Я, т) =
= cos pA, p= (|2 + Ti2)'/» = sin уА.
При этих условиях и обозначениях, применяя снова формулу
Кирхгофа в упрощенной форме, можно для амплитуды в пло-
плоскости Н получить следующее выражение:
=j j U°(x0, yo)dxodyox
X
exP I - (lh
~ X)
di\.
С помощью формулы Френеля легко проверить, что если нет
искажения волны, т. е. р = 0, и если нет ограничения пучка лу-
лучей, то это преобразование восстанавливает U0, т. е. в этом слу-
случае U(X, Y)=U°(X, Y).
Если подставим теперь сюда выражение для U0 из соотно-
соотношения D), то для амплитуды в плоскости голограммы получим
следующее выражение в форме шестикратного интеграла:
= JIJIJ J
{*l+ y\-2(xxo+ yy0)}]} ex
+1 ASX (|2 - rf) +113
Bl2(x0l 4- уоц)(Р] J exp [—
2CxylW 4 Суц) 4-
dx dy dx0dy0 d\ di\. E)
Это выражение может быть сразу же сведено к четырехкрат-
четырехкратному интегралу, потому что х0 и у0 входят в показатель экспо-
экспоненты только в первой и второй степенях, и эту часть инте-
интеграла можно легко взять с помощью следующей формулы:
(х2 + yl) ехр { - 2т [хо(?- + Ц1+ Вк
ехр
¦+ У о
"Kza
¦чA4
= Azoexp[-
4-1A+.
У I л,,
F)

282
Д. ГАБОР
Следовательно,
U(X,Y)=l\\\t(xt у) ехр [м (-g- - Я*„р>)] ехр [- (j-J] X
Xexpj — 2ni[(x — Х) }
(СЛ'1 -г 2СХу?г? + С„г|4) - ?zp
?,2 (jc| + г/n) р2 ]} X
Xdxdydldx\. G)
Это простейшая форма, в которой может быть выражено
точное решение1). Она дает значение амплитуды как в сфоку-
сфокусированном, так и в расфокусированном изображении, получае-
получаемом в любом микроскопе (обычном или электронном) с гауссо-
гауссовой апертурой с точностью вплоть до погрешностей третьего
порядка в случае стигматического, когерентного освещения
предмета, расположенного на расстоянии L от источника.
Интерпретация этого выражения проста, если мы рассмот-
рассмотрим все множители последовательно один за другим. Сравни-
Сравнивая с выражением E), видим, что кома входит сюда преобразо-
преобразованной к плоскости предмета, т. е. вместо Хо, Уо в формуле
появляются х, у. Сферическая аберрация испытала некоторое из-
изменение, которое в случае вращательной симметрии эквивалентно
уменьшению С8на ABz0. Позднее мы увидим, что этим пол-
полиостью можно пренебречь. Следовательно, обусловленное абер-
аберрациями искажение фазы, которое выражается последним мно-
множителем в уравнении G), имеет такой же вид, как в случае,
если бы оптическая система была сфокусирована на предмет.
Единственный ощутимый эффект дефокусировки проявляется в
виде множителя ехр (—ш7.г0р2), который можно назвать «мно-
«множителем дефокусировки».
Вместо того чтобы оперировать с амплитудой U, выгоднее,
как и в статье I, иметь дело с «тенью предмета», который, бу-
будучи помещен в плоскость голограммы и освещен когерентным
фоном Uо, дает позади себя амплитуду U. Эта «тень предмета»
имеет комплексный коэффициент пропускания т(Х, У) =
= U(X, Y)/U0(X, Y), который отличается от коэффициента про-
пропускания голограммы только в мнимой части. Амплитуду коге-
') Оно является точным, строго говоря, лишь в той степени, в какой
можно рассматривать точной формулу Кирхгофа. Но это приближение в
электронной оптике справедливо со столь высокой степенью точности, кото-
которая почти недоступна в световой оптике, так как длина волны быстрых элек-
электронов мала по сравнению с размерами любого предмета, за исключением
атомного ядра.
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА, II
283
рентного фона Uo можно рассчитать по методу стационарной
фазы; она равна
ио(х, У)^~ in -г *2"Г2
2Х (L
X (L
1
(8)
где X2 + Y2 = R2. Как установлено, всеми членами, кроме пер-
первого, в показателе экспоненты можно полностью пренебречь,
и даже первый член мал. На практике освещение в методе про-
пропускания можно рассматривать как освещение плоской волной,
но для того чтобы сделать в дальнейшем некоторые заключения,
мы сохраним в этом выражении первый член.
Дальнейшее существенное упрощение выражения G) воз-
возможно лишь в том случае, если расстояние дефокусировки ве-
велико по сравнению как с расстоянием As между астигматиче-
астигматическими фокусами, так и с длиной каустики в фокальной кар-
картине сферической аберрации, т. е. если zo^>Ax и z0^>Csy2m.
В этом случае несколько утомительный вывод дает следующую
формулу для пропускания тени предмета:
XZr,
(X~xJ — (Y -у)*
(9)
где введена подстановка W2= (X — xJ+(Y — уJ. Переход от
выражения G) к выражению (9) можно выразить простым
правилом: замените каждый пучок волновых нормалей, сходя-
сходящихся в точке X, Y, единичным лучом от точки х0, Уо до точки
X, Y. Последнее выражение, таким образом, представляет собой
геометрическую аппроксимацию решения. Достаточно длинное
исследование, которое может быть опущено, показывает, что это
приближение на самом деле сохраняет силу почти до той точки,
где 20 приближается к вершине каустики. Следующее прибли-
приближение, в котором луч не просто проведен через точку х0, г/о, но
определяется из условия постоянства фазы, справедливо в ди-
дифракционной микроскопии практически без ограничений всюду,
где геометрические погрешности в области каустики сильно пе-
перевешивают дифракционное размытие волны. Однако это при-
приближение требует решения кубического уравнения для каждого

284
Д. ГАБОР
луча, и точное решение слишком сложно, чтобы его можно было
здесь с успехом обсудить.
Можно отметить,- что если геометрические погрешности пре-
пренебрежимо малы, то выражение (9) становится идентичным
выражению A4) статьи I, которое с точностью до множителя
ехр [—W/B(/Y?nJL ограничивающего пучок лучей, дает «теневой
образ» предмета на фотопластинке, удаленной в бесконечность,
при освещении этого предмета точечным источником, удаленным
от него на расстояние z0. Однако именно ограничение пучка лу-
лучей составляет главное отличие проекционного метода от метода
пропускания. В проекционном методе точка фотографической
пластинки получает излучение от всех точек предмета, если
имеются достаточно мелкие детали, в то время как в методе
пропускания вклад в образование амплитуды в одной точке го-
голограммы дают, вообще говоря, лишь те точки предмета, кото-
которые расположены в пределах круга радиусом zoym. Следователь-
Следовательно, несмотря на формальное сходство, которое мы подчеркнули,
использовав в обеих статьях один и тот же символ г0 для пред-
представления различных величин, в реальных голограммах между
ними имеется весьма существенное различие.
Общее обсуждение мы можем начать как с точной формулы
G), так и с приближенной (9). Положим для простоты L = oo,
т. е. пусть для освещения используются параллельные лучи.
В этом случае когерентный фон ?/0, определяемый выражением
(8), уменьшается до единицы, а функция U(X, Y) дает как те-
теневой образ предмета, так и амплитуды в плоскости голограм-
голограммы. Величина пропускания фотографии (если предположить,
что она правильно обработана), как показано в разд. 1, пропор-
пропорциональна действительной части т, следовательно, в рассматри-
рассматриваемом случае, действительной части U. Но непосредственной
проверкой выражения G) при L = oo можно найти, что действи-
действительная часть соответствует двум предметам с функциями про-
пропускания t(x, у) и t*(x, у), которые расположены на расстоя-
расстояниях ±z0 от плоскости Но, причем знаки аберрационных коэф-
коэффициентов Ая, С, и т. д. для второго предмета должны быть из-
изменены. Это проиллюстрировано на рис. 7, где показано поло-
положение каустик сферической аберрации для некоторой точки
предмета и ей сопряженной точки. После восстановления один
из предметов будет резким (не имеет значения, который из двух
именно), а другой будет искажен удвоенными аберрациями.
К этому мы еще вернемся позднее.
Быть может, поучительно взглянуть на соотношение между
предметом и голограммой с другой точки зрения. Отметим, что
координаты (х, у) плоскости предмета входят в выражение G),
определяющее амплитуду в голограмме, только под знаком
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА. II
285
интеграла
exp^exp[~2ni(xl + y4)(\+Bhy)}dxdy. A0)
Для простоты положим снова L = oo, т. е. рассматриваем осве-
освещение параллельным пучком, и заменим ?, ц новыми перемен-
переменными
!' = !A + дя,у), т,' = пA + я*,у). (И)
Выражение A0) принимает тогда вид
t(x, у) ехр [— 2я/ (х%' + г/т]')] dx dy,
которое является фурье-образом коэффициента t(x, у) при но-
новых переменных |', ц' и стандартных обозначениях работы [4].
- Плоскость Но
Пере/рокусироеанный объектив, zo>0
Недшрокусированный объектив, zo<0
Рис. 7. Сопряженные предметы в методе пропускания.
Обозначая фурье-образ символом §\ выражение A0) запишем
в виде Ъ t[l(\+Bl2pz), ц(\+Вк2р2)]. Можно сказать, что учет
комы привел к определенным искажениям образа в фурье-про-
странстве. Подставляя это выражение в выражение G), где
для простоты мы запишем апертурную погрешность в форме,
имеющей осевую симметрию, получим
U(X, С J
ехр Н
Мы снова получили интеграл Фурье в стандартной форме [так
называемый «левый образ», если выражение A0) назвать «пра-
«правым образом»]. Обращая эту формулу, получим фурье-образ
амплитуды U, который обозначим 5' ^.
Л'/7(|, ц)= T^t [1A 4- BkV), т,A -
ехр
-^)]ехр
A2)

286
Д. ГАБОР
где Р — приращение фазы, обусловленное только астигматиз-
астигматизмом и сферической аберрацией; кома входит в множитель 'fit.
Этот результат означает, что фурье-образ амплитуды в плоско-
плоскости голограммы получается простым умножением искаженного
комой фурье-образа предмета. Другими словами, простая пе-
периодическая компонента функции пропускания предмета плот-
плотностью ехр [2ш(х1' + уц')] преобразуется в плоскости Н в дру-
другую простую периодическую компоненту
ехр [2ш {XI + Гц)} ехр [- (-^-J — 2я/ A ХгоР2 + />)],
где связь между переменными |, ц и |', ц' дается соотношения-
соотношениями (И). При условии что нет других аберраций, помимо здесь
рассмотренных, это выражение остается справедливым в любой
плоскости независимо от того, сфокусировано ли в ней изо-
изображение или нет. Расфокусировка просто смещает фазы различ-
различных компонент в соответствии с множителем ехр(—niiz0p2) ~
«ехр[—гяЯгор'2A—2ВХ2р'2)]; здесь для упрощения правой
части мы используем то обстоятельство, что практически всег-
всегда Вху = Ву2<&1.
Несмотря на формальную простоту, эта интерпретация оп-
оптического преобразования с помощью интегралов Фурье имеет,
вообще говоря, лишь ограниченную применимость, хотя
Дюффье [5] дал много интересных примеров противоположного
характера, поскольку интенсивность должна быть рассчитана
в каждой точке путем суммирования амплитуд компонент Фурье
и вычисления квадрата абсолютных значений суммарной компо-
компоненты. Но в дифракционной микроскопии, если удовлетворяются
необходимые условия, т. е. если амплитуда равномерного коге-
когерентного фона велика по сравнению со всеми другими амплиту-
амплитудами, ситуация другая. Равномерный когерентный фон
Uo{x, У) — 1 в соответствии с выражением A2) преобразуется
также в равномерное распределение U0(X, Y) = l, и основной
член, определяющий интенсивность, равен просто сумме дей-
действительных частей компонент Фурье. Таким образом, нам рас-
раскрылся новый аспект дифракционной микроскопии как процесса
восстановления амплитуды в плоскости голограммы по леи-
ствительной части периодических компонент, что уже отмеча-
отмечалось в статье I для особого случая.
4. Восстановление
Мы уже видели в разд. 1, что нет необходимости освещать
голограмму в процессе восстановления точной копией первона-
первоначальной волны. Это обстоятельство имеет большое значение в.
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА, II
287
методе пропускания. Как мы видели в предыдущем разделе,
можно рассматривать голограмму как полученную в переднем
оптическом пространстве с таким фоном, который соответствует
этому пространству. Необходимо лишь учесть погрешности оп-
оптической системы, связанные с геометрическими факторами и
ограничением пучка лучей, но не нужно учитывать искажение
фазы р' фона. Поскольку освещающий пучок в переднем опти-
оптическом пространстве существенно параллелен, при восстановле-
восстановлении мы можем освещать голограмму плоской волной. Но мы,
конечно, должны скорректировать астигматизм первого порядка,
сферическую аберрацию и кому. Можно отметить, что вслед-
вследствие зеркальной симметрии сопряженных точек в переднем оп-
оптическом пространстве мы можем использовать корректирую-
корректирующую систему с погрешностями того же знака, что и у началь-
начальных погрешностей, или же другого знака в зависимости от
того, какую из сопряженных точек желательно скорректировать.
Пока что мы предполагали, что коэффициент увеличения
равен единице. Придадим ему теперь значение М, которое мож-
можно получить для электронного пучка в микроскопе или же путем
оптического увеличения голограммы. Обозначим, как и в
статье I, одним штрихом все параметры, относящиеся к полу-
получению голограммы, например X'— длина волны де-Бройля, а
двумя штрихами — параметры, относящиеся к восстановлению,
например X"— длина волны света. Мы можем получить теперь
все параметры процесса восстановления из выражения G) или
из более простого выражения (9), постулируя, что все фазы, из-
измеренные в интерференционных полосах, должны быть в про-
процессе восстановления такими же, как и при получении голо-
голограммы. Следовательно, мы получим, например, из первого мно-
множителя перед знаком интеграла в выражении (9) условие
ЩКг'ъ = IVPR'^Vzl или г'о = М%Х'Гк".
Удобно ввести с помощью соотношения т = МХ'/Х" так назы-
называемое «избыточное увеличение» т. Оно указывает, насколько
фактическое увеличение превышает отношение световой и элек-
электронной длин волн. В практических приложениях оно будет,
вероятно, величиной порядка единицы, так как отношение X"/).'
имеет значение около 100 000, а именно этот порядок увеличе-
увеличения требуется для получения фотографий с высоким разреше-
разрешением. С этим обозначением из выражения G) или (9) мы по-
получим1)
^f "''? '^'' В" = т*В'. A3)
?-
—
') Эти формулы были получены также в статье I, но необходимо отме-
отметить, что в проекционном методе расстояние г0 имело, конечно, другой смысл,
чем здесь.

288
Д. ГАБОР
Постоянная сферической аберрации Cs объективов элек-
электронного микроскопа имеет величину порядка нескольких сан-
сантиметров, следовательно, при т~1 мы получим значение Cs
порядка нескольких километров. Но, конечно, нет необходимо-
необходимости выполнять коррекцию в оптическом пространстве голо-
голограммы. Если за голограммой ввести уменьшающую оптическую
Точечный
источник
Изображение
точечного источника
Изображения -„двойники'
/ Уменьшающая система
Голограмма с переметим щок усам
Пластинка для коррекции
Сферической аберрации
Увеличивающая система
1 с переменным фокусом
Корректор Восстановленное
астигматизма изображение
Р и с. 8. Схема оптического восстанавливающего устройства.
систему, в которой т равно, например, 'До, то постоянная сфери-
сферической аберрации в этом пространстве снижается до разумных
размеров.
Таким образом, установка для восстановления должна будет
включать уменьшающую систему по крайней мере в том слу-
случае, если М превышает 10 000. Кроме того, выгодно сделать ко-
коэффициент уменьшения этой системы в определенных пределах
переменным. Поскольку необходимая для коррекции сфериче-
сферическая аберрация изменяется как четвертая степень увеличения,
изменения т в отношении 1 :2 достаточно, чтобы перекрыть
область изменения Cs от 1 до 16.
На рис. 8 показана схема восстанавливающего устройства
подобного рода, где голограмма освещается параллельным пуч-
пучком. Он сводится к точечному фокусу с помощью уменьшающей
системы с переменным коэффициентом уменьшения. Доступ-
Доступность этого точечного фокуса по ряду соображений дает важ-
важное преимущество. Одно из них заключается в том, что, как от-
отметил Дайсон в отношении восстанавливающего устройства для
проекционных голограмм, этот фокус является подходящим ме-
местом для корректирующей пластинки четвертого порядка; при
ее помещении в каком-либо другом месте эта пластинка создает
сильную кому, которую требуется исправлять. Другое сообра-
соображение заключается в том, что в этой схеме можно заэкраниро-
заэкранировать точечный фокус, причем предпочтительнее всего черным
пятном, поглощение в котором распределено по закону Гаусса,
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА, II
289
и, следовательно, применить метод темного поля, который мы
обсудим в конце этой статьи. Коррекция комы может быть осу-
осуществлена с помощью небольшого смещения пластинки четвер-
четвертого порядка вдоль оси.
В оптическом пространстве после уменьшающей системы
изображения-,,двойники" появляются приблизительно на рав-
равных расстояниях от изображения Н плоскости голограммы.
Астигматизм может быть исправлен с помощью двух цилин-
цилиндрических линз положительного и отрицательного знака, ка-
каждая из которых может вращаться. За ними располагается ре-
регулируемая уменьшающая система, которая создает оконча-
окончательное изображение на фотографической пластинке.
Вместо голограммы, обработанной до контраста Г = 2, в схе-
схеме пропускания можно также применять голограмму, обрабо-
обработанную до контраста Г=1, и свет, упавший на нее, отразить
назад зеркалом, т. е. использовать ее в схеме отражения. Это
позволяет использовать первую линзу как для коллимации, так
и для уменьшения, однако преимущества такой схемы несколько
сомнительны, особенно ввиду потерь света в светоделительном
устройстве.
В заключение можно отметить, что восстанавливающее уст-
устройство в методе пропускания ничуть не сложнее, чем в проек-
проекционной схеме, и оно имеет дополнительное преимущество,
заключающееся в доступности действительного изображения
источника света, что может быть реализовано в схеме проек-
проекционного метода лишь за счет введения почти недопустимых
усложнений.
5. Критерии когерентности
До сих пор в развиваемой здесь теории мы предполагали,
что точечный источник испускает монохроматическое абсолют-
абсолютно когерентное излучение. В статье I обсуждалось как в общем
виде, так и в частном случае проекционного метода влияние за-
замещения этого идеализированного источника реальным малым
источником. Эту теорию необходимо будет приложить и к ме-
методу пропускания, а также обсудить практически более важный
вопрос об интенсивности и экспозиции.
Нужно различать три критерия когерентности, которые мож-
можно охарактеризовать как критерии «поперечной», «продольной»
и «хроматической» когерентности. Первый из них относится к
допустимому диаметру отверстия источника, второй — к постоян-
постоянству положения плоскости На, а третий — к спектральной ши-
ширине излучения.
19 Дж- Строук

290
Д ГАБОР
Поперечная когерентность
Критерий допустимого диаметра источника можно получить
из выражения G), которое дает для амплитуды в плоскости
голограммы, обусловленной бесконечно малым элементом по-
поверхности предмета, следующее выражение:
и{X, Y)dxdy = t (х, у) ехр U-y r2)dxdy X
A4)
С другой стороны, согласно выражению (8), амплитуда ко-
когерентного фона равна
?/„(*, К) = ехр
из которого мы здесь переписали только интересующую нас
часть, а остатком полностью пренебрегли. Для удовлетвори-
удовлетворительной когерентности необходимо выполнение требования, что-
чтобы фаза и изменялась не больше чем на половину полосы,
т. е. на л, если освещающее пятно движется по кругу диамет-
диаметром d.,. Вместо перемещения источника мы можем с таким же
успехом передвигать на равную величину плоскость предмета
и плоскость Яо, т. е. мы добавляем равные величины либо к х
и X, либо к у и У. Видно, что выражение под знаком интеграла
в A4) зависит только от х — X и от у—У, а следовательно,
остается неизменным. [Учет комы, как это видно, если вместо
выражения G) применить выражение (9), дает пренебрежимо
малое отличие.] Таким образом, разность фаз между и
и Uo возникающая вследствие движения источника, равна
(nlXL)(r2~R*) = (nllL)[(x-X)(x+X) + (y-Y)(y+Y)]. В наи-
наихудшем случае точки х, у и X, У находятся на одной линии с
осью @, 0) и смещение пятна величиной ds также находится на
той же линии. В этом случае мы получаем критерий
1.
A5)
Величину \r—R\ необходимо теперь интерпретировать как
радиус круга в плоскости Яо, в котором содержится информа-
информация о точечном предмете вплоть до детали размером dA, где
dA = X/2ym — предел разрешения по Аббе. Если расстояние дефо-
дефокусировки 20 велико по сравнению с As и длиной каустики сфе-
сферической аберрации Csy?, то информацию можно считать со-
содержащейся в конусе с углом расходимости ут, так что
МПОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА, II
291
\r— R\=zoym. Подставив это выражение в A5), получим крите-
критерий когерентности
L к L
Если, однако, расстояние го мало, то мы должны принять во
внимание, что информация содержится в области, которая по
существу является картиной геометрических аберраций, по-
поскольку в условиях дифракционной микроскопии геометрические
погрешности можно рассматривать весьма большими по сравне-
сравнению с дифракционным размытием пучка. Рассматривая для
простоты лишь сферическую аберрацию, найдем, что радиус
этой области равен С^т в гауссовой плоскости и '^^ в
плоскости минимального сечения. Подставляя эти значения в
A5), мы получим новый критерий, справедливый для малых
расстояний г0; выписывать его полностью нет необходимости.
Достаточно отметить, что с точки зрения поперечной когерент-
когерентности эффективное расстояние дефокусировки г0 в неравенстве
A6) никогда не может быть меньше !Д длины каустики, т. е-.
г0 > :lfisy2m_ Это можно также выразить в той форме, что от-
отверстие с диаметром d.,, видимым из предмета, никогда не мо-
может стягивать угол, больший, чем длина волны, деленная на
диаметр минимального сечения.
Продольная когерентность
Одна из наиболее важных практических трудностей в ди-
дифракционной микроскопии и в любом методе улучшения разре-
разрешающей способности электронных микроскопов связана с тре-
требованием высокого постоянства расположения фокуса. Можнсг
напомнить, что электронная микроскопия оперирует с фокус-
фокусными расстояниями того же порядка, как и оптическая микро-
микроскопия, т. е. несколько миллиметров, к то время как ею достиг-
достигнуты разрешения, примерно в 100—200 раз лучшие. Кроме того,
электронные линзы не так стабильны, как стеклянные, они
испытывают флуктуации и, наконец, не ахроматичны. Так, элек-
электронная микроскопия на магнитных линзах становится возмож-
возможной только при стабилизации токов в линзах с точностью
порядка 1/20 000. В столь высокой стабильности нет необходи-
необходимости в электростатических микроскопах с постоянным потен-
потенциалом, где фокусное расстояние остается фиксированным. Но
даже здесь менее жесткие требования к стабильности связаны
с очень большой глубиной резкости электронных объективов,
обусловленной малостью апертурных углов. Однако любой даль-
дальнейший прогресс сопряжен с повышением требований к стабиль-
19*

292
Д. ГА БОР
чости, так как глубина резкости уменьшается обратно пропор-
пропорционально квадрату апертурного угла.
Пределы изменения г0, т. е. пределы фокусировки гауссовой
плоскости, можно сразу же получить из уравнения A4). Рас-
Расстояние г0 в этом уравнении входит только в множитель
¦ехр(—яг'А,г0р2) под знаком интеграла. Влияние изменения го на
Аг тем больше, чем больше р. Если расстояние г0 само по себе
достаточно велико, то максимальное эффективное значение р
равно рт = \тД. Постулируя, что изменение Аг должно вызывать
фазовый сдвиг меньше чем на половину полосы, мы получим
следующий достаточный критерий:
X d я
Д 7 <- -f- А
22
A7)
который означает, что изменения расстояния го должны оста-
оставаться в пределах глубины резкости. Этот критерий достато-
достаточен и необходим при больших значениях го. Нет нужды иссле-
исследовать отчасти менее строгие условия необходимости для ма-
малых г0, когда предмет расположен в пределах каустики, потому
что, как будет показано дальше, такая ситуация имеет суще-
существенные практические недостатки.
Практические следствия критерия A7) будут обсуждаться
Хейном в отдельной публикации, причем в ней будет сделан
особый упор на электронный микроскоп с магнитными лин-
линзами. Но можно отметить, что даже при абсолютной стабильно-
стабильности линз или в случае электростатических систем с постоянным
потенциалом предел будет достигаться при разрешении пример-
примерно от 1 до 2 А, за которым разброс энергии электронов будет
мешать дальнейшему прогрессу, если не используются ахрома-
ахроматические линзы. Возможности ахроматических электронных
линз уже обсуждались автором в 1951 г. в отдельной статье [6].
Хроматическая когерентность
Критерий хроматической когерентности также можно полу-
получить из выражения A4), в котором наиболее существенным
множителем, зависящим от X, снова является ехр (—ш7.г0р2),
если только расстояние г0 не слишком мало. Применяя тот же
критерий, что и выше, для наибольшего допустимого относи-
относительного изменения длины волны, мы получим | АА,/л | ^ ?У'гоу;„ =
— 2dAjzQym. Даже при наилучших мыслимых разрешениях и
наибольших значениях г0, которые еще совместимы с разум-
разумными экспозициями, это соотношение дает значения ЛАД, кото-
которые хорошо укладываются в пределы, обеспечиваемые системой
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА, II
293-
стабилизации современных электронных микроскопов. Следова-
Следовательно, нет необходимости рассматривать здесь этот критерий,
за исключением того случая, когда перестает действовать более
сильный критерий A7) при использовании ахроматических
электростатических линз постоянного потенциала.
Когерентный электронный ток
Рассмотрим схему освещения, изображенную на рис. 9.
В плоскости #о информация об очень малом предмете содер-
содержится в круге радиусом zoym. При корректном использовании.
Р и с. 9. Схема, поясняющая понятие
когерентного тока.
Рис. 10. Типичный пред-
предмет, подходящий для ди-
дифракционной микроскопии.
этого метода на указанную площадь должна падать когерент-
когерентная первичная волна. Таково условие, сформулированное нера-
неравенством A6). (В статье I показано, что этому условию факти-
фактически соответствует 72,3% когерентности.) Покажем теперь, что
электронный ток через этот круг, «когерентный ток», всецело
ограничивается условиями эмиссии.
Из рис. 9 и неравенства A6) получим соотношение у„ =
= zoym/L= (dA/ds)ym; подставляя сюда значение dA из формулы
Аббе, найдем
ysds = \mdA^=~l. A8)
Это означает, что в когерентных пучках инвариант Смита —
Лагранжа имеет определенное значение, равное половине дли-
длины волны. Применим теперь этот результат к электронам. Обо-
Обозначая скорость электронов V, а максимальную поперечную
компоненту скорости Vt, получим \s = Vt/V. С другой стороны,
согласно соотношению де-Бройля, X = h/mV. Подставляя все это
в выражение A8), получим ds — h\2mVt. Это совершенно общее
соотношение справедливо для любого сечения, если мы в правую
часть подставим максимальное значение поперечной скорости в
данном сечении. Соответствующая площадь равнаSc = ljinds =
=IjKn(h/mVt) , где индекс с означает когерентность.
20 Дж. Строук

294
Д. ГА БОР
Для ограничения Vt в электронной оптике имеются хорошо
известные методы; из этого можно было бы сделать вывод, что
мы можем, например, увеличивать когерентную площадь катода
сверх любого предела. Однако покажем теперь, что если мак-
максимальная поперечная скорость уменьшается, то ток достигает
некоторого предельного значения. Предположим, что у поверх-
поверхности катода справедливо максвелловское распределение заря-
заряженных частиц по скоростям; тогда плотность тока, создавае-
создаваемого частицами со скоростью v,,, Vt, равна
(
-
x dvy dvz == 2лС exp j
9\
V,)
t dv<
Если Vt означает максимально допустимую поперечную скорость
в пучке, то ток через площадь 5,. равен
h \
16 I mV,
2лС
A9)
Выразим ток как произведение «эффективной когерентно эмити-
эмитирующей площади» 5Офф на полную плотность эмиссии катода,
т. е. положим
со / о \ со /
г / mv,, \ г I
expl ~-\vndvn I expI
2k Т
B0)
Из выражений A9) и B9) найдем
1 " 16 \mVt
я / h \2 f
exp
2k T
2kT
vtdvt
vt dvt
mV
I ] "exP-\ 9*r / I ->- 32mkf
16 \mVt
причем предел достигается, когда отсечка производится при
очень малых скоростях, так что mV,/2kT <^ 1. Это означает, что
максимальное значение когерентно эмитирующей площади тер-
термоэлектронного катода не зависит ни от чего, кроме его тем-
температуры.
МЕТОД ВОССТАНОВЛЫШЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА. 11
295
Эта площадь очень мала и также очень малы когерентные
токи /,-, которые можно получить с этих площадей, как показано
в таблице для вольфрамовых катодов.
Температура Т, °К
Плотность эмиссии, а/см2
Максимальная площадь 5эфф,
10-14 см2
Когерентный ток Iс, 10^к д
2400
0,116
1,42
0,105
2500
0,293
1,36
0,405
2600
0,717
1,31
0,94
2700
1,63
1,26
2,06
2800
3,54
1,21
4,30
2900
7,31
1,17
8,55
3000
14,1
1,14
16,1
Можно отметить, что когерентный ток совершенно не зависит
от предела разрешения, но его ограничение весьма сильно ощу-
ощущается при высоких разрешениях, что обусловлено следующими
двумя причинами. В плоскости Но этот ток распределен на пло-
пло(J /4) /d2
следовательно, плотность тока в
у р
щади n(z0ymJ= (л/4)
пространстве предмета уменьшается пропорционально квадрату
разрешения при условии, что расстояние расфокусировки z0 под-
поддерживается постоянным. По причинам, изложенным в следую-
следующем разделе, может даже оказаться необходимым увеличивать
z0 с ростом разрешающей способности, и, таким образом, усло-
условия могут быть еще хуже. Во-вторык, если d \ необходимо со-
сохранять в некотором заданном отношении к размерам зерна
фотографической пластинки, увеличение должно расти пропор-
пропорционально разрешающей способности, что дает еще один ква-
квадратичный множитель. Таким образом, при прочих равных усло-
условиях время экспозиции должно будет расти по крайней мере
пропорционально четвертой степени разрешения. Мы не будем
подробно обсуждать здесь этот вопрос, но необходимо лишь
заметить, что при работе с вольфрамовыми катодами и лучшими
из имеющихся на сегодня фотографических пластинок необхо-
необходимое время экспозиции оказывается равным около часа, если
желательно получить разрешение, лучшее чем примерно 2 А.
Поэтому крайне желательно найти эмиттеры, дающие более
высок\ ю плотность эмиссии, чем вольфрамовые катоды. Одна из
очевидных возможностей — использовать автоэлектронную эмис-
эмиссию. Бенджамин и Дженкинс [7] нашли, что в течение длитель-
длительного времени можно получать плотности тока, по крайней мере
в 1000 раз более высокие, чем в случае термоэлектронной эмис-
эмиссии вольфрама. Это позволило бы уменьшить время экспозиции
до секунд вместо часов. Однако необходимо проделать еще
большую исследовательскую работу, чтобы приспособить эти
очень чувствительные точечные катоды к разборным устрой-
устройствам. Кроме того, поскольку скорости электронов около этих
20*

¦296
Д. ГАГ.ОР
катодов, вероятно, имеют разброс порядка нескольких вольт, то
применять их можно будет, по-видимому, лишь в сочетании с
ахроматическими линзами, что является предметом специаль-
специального исследования.
¦6. Условия, необходимые для получения голограмм
Предполагая, что электронный источник, источник питания
и увеличение выбраны подходящим образом, можно заметить,
что остается еще один важный параметр—расстояние расфоку-
расфокусировки 20. Имеется несколько различных условий, которые его
определяют, но среди них мы отметим лишь следующие три.
Первое условие — интенсивность. Мы уже видели, например,
что плотность тока на предмете обратно пропорциональна ква-
квадрату z0, однако ее нельзя увеличить сверх всякого предела, по-
поскольку с уменьшением расстояния го его «эффективное» значе-
значение никогда не падает ниже 'Д длины каустики. Таким образом,
было бы желательно помещать предмет непосредственно в кар-
картину фокальной аберрации. Но такая резкая фокусировка труд-
трудна и ненадежна; кроме того, она противоречит также двум дру-
другим условиям.
Сущность метода дифракционной микроскопии состоит в
том, чтобы внести как можно больше информации в свободное
пространство, где интенсивность когерентного фона велика, т. е.
информация должна проявиться в виде дифракционных полос,
окружающих предмет. (В электронной микроскопии их всегда
называют полосами Френеля, хотя оптики, кажется, не одобряют
этот термин.) На рис. 10 показан типичный предмет, подходя-
подходящий для дифракционной микроскопии, с относительно большими
чистыми пространствами и со средней шириной D. Свободное
пространство используется лучше, если полосы с обеих сторон
как раз покрывают его, т. е. если ^оУт—'/гА или, используя со-
соотношение Аббе, zo~DdA/X. Если, например, D=1000A и йл —
= 5 А, то 20= 10 мкм, а при dA = 1 A z0 равно только 2 мкм. Уже
можно видеть, что при высоких разрешениях это условие ста-
становится несущественным.
Третье условие для г„ следует из рассмотрения процесса вос-
восстановления, в котором сопряженный предмет должен как мо-
можно меньше искажать восстанавливаемый предмет. Если одно
из изображений предмета сделано резким, то второе искажается
удвоенными аберрациями, как это показано на рис. 11 для слу-
случая сферической аберрации. Необходимо различать два случая:
г0>0 и zo<O. Теория (см. [8], стр. 163) и оптические эксперимен-
эксперименты, проиллюстрированные на рис. 4, ясно показывают, что второй
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА, II
297
случай для нас более благоприятен. Впереди острого конца
каустики тянется область заметной длины, в которой интенсив-
интенсивность имеет обычно острый максимум на оси. В случае zo<O, с
другой стороны, точка О4 находится в полой области аберра-
аберрационной фигуры сопряженной точки О2, где интенсивность имеет
на оси плоский минимум. В процессе восстановления, показан-
показанном на рис. 4, предмет помещался именно в эту область. Экспе-
Эксперименты с противоположным положением предмета не удалось
I I
Недосрокусировано, zo<O
Рис. 11. Изображения предмета и его «двойника» в процессе восстано-
восстановления после исправления погрешностей в одном из них.
провести вследствие очень больших различий плотностей почер-
почернения фотографической пластинки, выходивших далеко за гра-
границы линейной части кривой почернений.
В пределах диапазона, равного удвоенной длине аксиальной
каустики, эта область окружена ярким кольцом, содержащим
тонкую систему интерференционных полос. По мере приближе-
приближения к определенной точке они исчезают, причем условием для
этого, как можно видеть из рис. 11, является следующее не-
неравенство:
лI- <21>
В качестве примера положим Cs=l см (микроскоп с магнит-
магнитными линзами), ^ = 0,05 А (соответствует 60 кэв) и dA — 5 A.
Тогда 2о>О,75 мкм, т. е. много меньше, чем дает установленный
выше критерий. Ноприс?А = 1 А новый критерий дает zo> 19 мкм,
что намного больше. Видно, что условие B1) становится стро-
строгим только при высоких разрешениях. По-видимому, желатель-
желательно всегда брать большее из двух значений.
Можно спросить, возможно ли восстановление по резко сфо-
сфокусированной фотографии. Одно резкое изображение, конечно,
всегда может быть получено, но оно мало полезно, если на него
21 Дж. Строука

298
Д. ГАБОР
наложено размазанное изображение предмета-„двойника". Со-
Сомнительно даже восстановление высококонтрастных предметов,
потому что в области каустики высококонтрастные предметы
создают сложную и резкую систему интерференционных полос,
идентифицировать которые, по-видимому, очень трудно.
7. Восстановление по методу темного поля
Как уже объяснялось в статье I, голограмма имеет то пре-
преимущество перед обычной фотографией, сделанной при некоге-
некогерентном освещении, что она может трактоваться скорее как
физический объект, чем фотография, и может быть исследована
методами светлого или темного поля, а также методом фазового
контраста.
Было также показано, что малые предметы, размеры которых
меньше характеристической длины (^го)'/г, дают восстановлен-
восстановленные изображения, искажение которых вследствие наложения
изображения-«двойника» несущественно, и им можно прене-
пренебречь. Но в электронной микроскопии это условие не всегда
легко удовлетворяется. Поскольку достаточно прозрачной под-
подложки нет, то предмет сам должен быть стабильным в течение
длительных экспозиций, однако это условие не всегда выпол-
выполняется при работе с предметом такого типа, который изображен
на рис. 10.
Один из менее благоприятных случаев, который часто встре-
встречается, это восстановление более или менее прямого и резкого
края протяженного предмета. Для простоты мы обсудим лишь
случай поглощающей полуплоскости, ограниченной прямым
краем. Восстановление дает одно резкое изображение, но за ним
на расстоянии 2г0 появляется изображение-«двойник» в виде со-
сопряженной плоскости с протяженной системой полос Френеля,
которые могут быть настолько контрастными, что маскируют
даже изображения немного отступающих от края малых пред-
предметов, которые сами по себе могли бы быть весьма подходя-
подходящими предметами для дифракционной микроскопии. Покажем
теперь, что в этом весьма неблагоприятном случае результат
может быть значительно улучшен с помощью метода темного
поля. Как уже говорилось, в этом методе прямая, или освещаю-
освещающая, волна устраняется после того, как она пройдет голограм-
голограмму, с помощью малого, предпочтительно «размытого» черного
пятна, наложенного на действительное изображение отверстия
источника. «Размытие», т. е. распределенное пропускание пятна,
приводит к тому, что дифракционные полосы, которые могут воз-
возникнуть в случае резко ограниченного пятна, здесь отсутствуют.
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА, II
299
В дальнейших расчетах мы пренебрегаем для простоты гео-
геометрическими аберрациями. Тогда выражение G) для ампли-
амплитуды в плоскости голограммы упрощается и принимает вид
U{X, Y)=
t(x,
X exp { — 2ni\(x —
0)р2] X
— Y)ц]} dxdyd\d%
где под интегралом мы выделили множитель Фурье. Коэффи-
Коэффициент пропускания голограммы, по крайней мере в тех областях,
где нет ни сильных недодержек, ни передержек, пропорциона-
пропорционален U+U*, где ?/* — амплитуда, комплексно-сопряженная с U.
Амплитуда в плоскости одного из восстановленных изобра-
изображений получается из этого же самого выражения путем доба-
добавления «множителя фокусировки» ехр(шкгар2) под знаком инте-
интеграла. Применяя это условие к U+U*, получим для восстанов-
восстановленной амплитуды
={| J
Хехр{— 2м[(х
— V)i)]}dxdydldi) +
J11
Хехр{2л/[(х — X)l-Ar(y -Y)T\\)dxdydldi\. B2)
Первая строка представляет восстановленный предмет, вторая —•
его «двойник».
Предположим теперь, что предметом является полуплоскость,
так что t=0 от х— = оо до х = 0 и 1—\ для положительных зна-
значений х. Будет, однако, проще взять сначала /=±'/г для #5g0
и добавить затем однородный уровень xk- Интегралы в выраже-
выражении B2) превращаются тогда в хорошо известные интегралы
Фурье (см. [4]), и для первого члена в выражении B2) мы по-
получим
1
1
= ¦75-4- Я
-1/2
ехр(— z2)dz,
B3)
а для второго, предполагая
erf
1,
B4)
где erf означает интеграл вероятности ошибок, а С и S — ин-
интегралы Френеля.
21*

300
Д. ГАБОР
Однако этот результат, как уже ранее говорилось, справед-
справедлив лишь в области умеренных экспозиций, где когерентный
фон можно считать сильным. Если полуплоскость полностью по-
поглощает, то на теневой стороне когерентного фона нет, и амп-
амплитуда получается путем вычисления абсолютного значения
квадрата «краевой волны», который равен разности между вы-
выражением B4) и его значением при отсутствии дифракции, т. е.
Побочное
изображение
-5 -А -3 -2 -/ 0 / 2 3 А 5 6 7 8 3
0/234
Рис. 12. Восстановление прямого края
по методу светлого поля.
Рис. 13. Восстановление
прямого края по методу тем-
темного поля.
при Х — 0. Следовательно, интенсивность на теневой стороне рав-
равна V4[(C+S—1J+(С — SJ], в то время как на освещенной сто-
стороне интенсивность получается без заметной ошибки путем до-
добавления действительной части выражения B4) к когерентному
фону и возведения в квадрат, что дает [3k+ k(C + S)]2. Полу-
Полученные таким образом интенсивности нанесены на график
рис. 12. Для простоты предполагалось, что предел разрешения
очень мал по сравнению с характеристической длиной (Яго)'/г,
так что правильно восстановленная часть изображения, соот-
соответствующая выражению B3), является ступенчатой функцией.
Из рис. 12 видно, и это было найдено также в многочислен-
многочисленных экспериментах, что восстановленное изображение никоим
образом нельзя признать удовлетворительным. Полосы на осве-
освещенной стороне слишком заметны. Можно подавить их с по-
МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА. II
301
мощью контрастной фотографии, но при этом будут подавлены
также и полезные детали.
Но если подавлен фон, картина полностью изменяется. Уси-
Усиления полос не происходит, интенсивность, как показано на
рис. 13, определяется суперпозицией двух краевых волн, при-
причем одна из них сфокусирована, а вторая нет. Обе волны несут
равную полную интенсивность, т. е. площади под кривыми
равны. Но если предел разрешения мал по сравнению с (А,го)'/2,
интенсивность в резком изображении может быть намного
больше, чем в побочном изображении. Таким образом, стано-
становится видимым правильный контур предметов, причем с очень
большим контрастом, и при подходящих условиях изображение
может не сильно отличаться от изображения, полученного по
методу темного поля, в котором «двойник» полностью отсут-
отсутствует. Таким образом, комбинируя методы светлого и темного
полей и вообще наблюдения по методу фазового контраста,
можно получить больше правильных деталей даже в случае не-
неподходящих предметов. Это хорошо подтверждается предвари-
предварительными наблюдениями в оптических экспериментах.
ЛИТЕРАТУРА
1. На ine М. Е., Dyson J., Nature (London), 166, 315 A950).
2. Bragg W. L., Nature (London), 166, 399 A950).
3. Rogers G. L., Nature (London), 166, 237 A950).
4. С a m p b e 11 G. A., Foster R. M., Fourier Integrals for Practical Appli-
Applications, Bell Telephone System, Monograph. B584, 1931.
5. Duffieux P. M., Reunion d'Opticiens (Paris: Ed. Revue d'Optique), 1950.
6. GaborD, Proc. Phys. Soc, B64, 244 A951).
7. Benjamin M.. Jenkins R. O., Proc. Roy. Soc, A176, 262 A940).
8. Picht J., Optische Abbildung (Braunschweig: Vieweg), 1931.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ПРИМЕНЕНИЯ ГОЛОГРАФИИ
(Обзор) !)
1. Введение
Интерес к голографии не исчерпывается только тем, что она
дала возможность ввести в оптику третье измерение. Гологра-
Голография вторглась почти во все традиционные области прикладной
оптики, заставив пересмотреть сложившиеся ранее границы ме-
между ними. Голографический принцип позволил по-новому ос-
осмыслить некоторые области ИК-техники, СВЧ-техники, акус-
акустики, рентгеновской и электронной микроскопии, короче говоря,
все те направления, где играет роль интерференция волн.
Однако, рассматривая современное состояние голографии,
удобно классифицировать ее приложения по используемым
свойствам голограмм, а не по видам излучений, применяемым
для их получения. Предлагаемая классификация применений
голографии (см. таблицу) не претендует на универсальность,
но позволяет привести в систему свыше 100 работ, вышедших
в основном после опубликования монографии Строука. Был ис-
использован также ряд более ранних работ, поскольку в книге
Строука вопросы применения описаны очень бегло. Следуя
этому принципу, можно выделить десять основных направле-
направлений, которые и будут рассмотрены ниже.
Наиболее очевидным применением голографии является
трехмерная фотография. В ней используется сочетание фото-
фотографических и локаторных свойств голограммы, позволяющих
не только регистрировать изображение, но также и определять
расстояние до каждой его точки. Сюда можно отнести и такие
процессы, как звуко-, радио- и ИК-видение, у которых сходен
первый этап — запись голограммы. Для перевода изображения
в видимый диапазон используется еще одно свойство голо-
голограмм: меняя масштаб интерференционной картины пропорцио-
пропорционально изменению длины волны, при восстановлении изображе-
изображения в видимом свете можно сохранить его трехмерность.
Распознавание образов—одно из наиболее интересных и
многообещающих применений голографии. Оно опирается на
'J Обзор составлен И. П. Налимовым.
Изобразительная фотография
.Г
| Нанесение сложных микроизображений
Фотограмметрия
Si
Контурная фотография
Микрообработка
о Импульсная съемка движущихся
о объектов
¦ем
Подпорная съемка
Звукови^ение
Исследование неоднородностей
материалов
Наблюдение за стенками неправильной
формы
Радиовидение
Моделирование антенн СВЧ
Чтение печатных и рукописных тек-
текстов
Коадровапие изображений
Наблюдение в турбулентной атмосф:
>ере
Распознавание трехмерных объектов
Обработка аэрофотоснимков
« | Ассоциативный поиск
Волновая фотография
Трехмерное наблюдение живых
микроооъектов
Рентгеновская микроскопия
Электронная микроскопия
— е!
Системы трехмерной индикации
Системы памяти большой емкости
с ассоциативной выборкой
Измерение вибраций сложных
поверхностей
Передача голограмм на расстояние
Телевидение на СВЧ
Измерение деформаций необработанных
сложных поверхностей
g>i I Фазовые трехмерные объекты
~' ' Аэрогидродинамика
Компенсация аберраций линз
Интерферометрнческие измерения
Еезлннзовая оптика
Неразрушаюший контроль трещин
Комбинированные лннзо-голографиче-
ские безаберрацнонные системы

304
ПРИМЕНЕНИЯ ГОЛОГРАФИИ
способность голограммы выделять из группы предметов только
те, «изображения» которых на ней записаны. Чем обусловлена
высокая способность голограмм к распознаванию, приближаю-
приближающая их к идеальным согласованным фильтрам? Рассмотрим
наиболее общую схему голографирования (рис. 1). Пусть Л и
В— когерентно излучающие объекты, в частности ими могут
быть любые предметы, освещенные достаточно когерентным ла-
лазером. Если излучение способно создать в некоторой плоскости
интерференционную картину — систему стоячих волн, то можно
установить здесь фотопластинку и получить голограмму. Облу-
Облучая голограмму А+В идеальной копией исходного волнового
V
Восстановление
Запись
Рис. 1. Ha.Lo.iuc общая схема голографирования.
фронта одного предмета (например, предмета В), получим со-
совершенный волновой фронт другого предмета. Голограмма про-
пропустит лишь ту часть пространственного спектра, которая близка
к записанному на ней спектру. Другими словами, она «от-
«откликнется» только на изображение одного из «своих» предме-
предметов при условии, что он установлен в соответствующей пози-
позиции1). Если, например, предмет В — это комбинация точечных
источников, составляющая код буквы, то голограмма А+В, об-
облученная букой А, сформирует код В. При использовании
записи под разными углами на одной голограмме удается запи-
записать много букв. Здесь открывается новый канал связи чело-
человека с электронной вычислительной машиной, который позво-
позволит освободить оператора от ручного ввода данных. Кроме того,
этим путем, вероятно, можно будет решить очень острую про-
проблему вычислительной техники — распознавание многомерных
образов.
Голографическая память вызвала большой интерес ввиду
ее исключительно высокой емкости (теоретический предел
') В обычной схеме волновой фронт В берется плоским или сферическим,
поскольку такой фронт легче сформировать и нацелить на голограмму.
ПРИМЕНЕНИЯ ГОЛОГРАФИИ
305
1012 бит/см3), а также ассоциативных свойств, благодаря кото-
которым она напоминает память человека. Механизм голографиче-
ской памяти связан с интерференционной записью информации
в светочувствительном объеме. В этом направлении пока еще
выполнено слишком мало исследований, чтобы уверенно гово-
говорить о перспективах такой памяти. Задержка в основном за
разработкой объемных светочувствительных материалов высо-
высокого оптического качества и чувствительности.
Можно ожидать, что вскоре промышленность получит новый
метод неразрушающего контроля поверхностей, основанный на
использовании голограмм. Это применение голографии являет-
является частным случаем дифференциальной интерферометрии. Точ-
Точно так же, как голограмма «распознает» записанные на ней
объекты, она реагирует на малейшие изменения их оптических
свойств. Обычно количественные показатели, характеризующие
эти изменения, извлекаются из структуры и плотности интерфе-
интерференционных полос, образованных при наложении волн от самого
предмета и волн от того же предмета, восстановленных с по-
помощью голограммы. В перспективе это направление обеспечит
бесконтактный контроль сложных необработанных поверхностей
(их вибраций, деформаций, трещин и изменений отражательных
свойств). Факторы, тормозящие разработку этого метода, носят
в основном технический, а не принципиальный характер. На-
Например, требуется обеспечить совершенное крепление и устой-
устойчивость оптических элементов, дающих интерференционную
картину.
Технологические приложения голографии — использование
действительного изображения для обработки — лишь начинают
развиваться, но у них большое будущее. Преимущества голо-
графической обработки материалов перед обычной лазерной
связаны с возможностью бесконтактного нанесения сложнейших
узоров и отверстий на поверхности сложной формы, а также с
отсутствием линз. С помощью голограммы можно получить в
пределах поля примерно на порядок больше разрешенных эле-
элементов, чем с помощью наилучшей линзы. Это связано с тем,
что линза близка к идеальной лишь вблизи оси, а по краям
поля разрешение падает. У голограммы разрешение распреде-
распределено по полю более равномерно. Необычные качества гологра-
голографическая технология может приобрести при комбинированном
использовании фокусирующих, распознавательных и интроскопи-
ческих свойств голограмм. Развитие этого направления требует
повышения мощности и когерентности излучения лазеров.
Голографическая интроскопия (внутривидение) не только
расширяет кривую чувствительности человеческого глаза на все
лазерные частоты, но и открывает возможность трехмерного на

306
ОБЗОР
блюдения за объектами, находящимися за светонепроницаемыми
стенками произвольной формы, а также в неоднородных и рас-
рассеивающих средах. В этом слу.чае голограмма регистрируется
в ИК- или УФ-лучах лазера. Перевод трехмерного изображения
в видимый диапазон осуществляется так же, как в звуковиде-
нии и микроскопии, при помощи масштабных переходов, т. е.
уменьшений или увеличений интерференционной картины (голо-
(голограммы) пропорционально изменению длины волны. «Устране-
«Устранение» стенки происходит путем ее компенсации при восстанов-
восстановлении действительного изображения. Здесь развитие применений
сдерживается главным образом из-за отсутствия многоэле-
многоэлементных ИК-приемников высокого разрешения.
Создание безлинзового голографического микроскопа позво-
позволит биологам и медикам наблюдать трехмерные изображения
живых тканей и микроорганизмов. При использовании рентге-
рентгеновского излучения возникает возможность больших увеличе-
увеличений (до 106) с сохранением разрешающей способности. Принцип
действия микроскопов, хорошо описанный в книге Строука, ос-
основан на масштабных переходах и геометрическом увеличении
в расходящихся пучках. Трудности осуществления микроскопии
высокого разрешения связаны с отсутствием рентгеновских ла-
лазеров. Для микроскопии живой клетки нужно улучшить коге-
когерентность и мощность существующих ультрафиолетовых ла-
лазеров.
Голографическое кино дает возможность проектирования и
наблюдения трехмерных динамических изображений. Одна из
возможных реализаций объемного кино может быть следующей.
На голограмму под разными углами записываются различные
моменты сцены. При восстановлении голограмма (или осве-
освещающий пучок) поворачивается, создавая эффект движения.
Зритель смотрит на голограмму, как в окно, за которым раз-
развертываются события. Однако пока не ясно, как изготовить
большие голограммы размером с экран кинотеатра, через кото-
которые могли бы наблюдать десятки людей. Нет пока и способов
увеличения трехмерных изображений — простое проектирование
здесь не подходит. Все это ограничивает ближайшее будущее
голографического кино лишь демонстрационными или специаль-
специальными применениями (например, бортовое устройство отображе-
отображения для слепой посадки самолета).
Трехмерное телевидение на основе голографии в настоящее
время может быть реализовано лишь в простейшем варианте.
Его создание тормозит отсутствие динамических (стирающихся)
голограмм, а также и то, что еще не разработаны способы счи-
считывания таких голограмм и, кроме того, передачи большого
объема информации. Несомненно, квантовая оптика и лазерная
ПРИМЕНЕНИЯ ГОЛОГРАФИИ
307
техника движутся в направлении, отвечающем интересам трех-
трехмерного телевидения. Голография так или иначе использует
разрабатываемые для других целей системы сверхширокополос-
сверхширокополосной оптической связи, модуляции и сканирования световых пуч-
пучков. Уже сейчас голографический принцип, возможно, сыграет
положительную роль в обычном телевидении, обеспечит повы-
повышение надежности передачи и сможет быть использован для
кодирования изображений.
Наконец, голограмма явится серьезным конкурентом линзе.
Обладая не худшим разрешением в фокальном пятне, голо-
голограммы в отличие от линз не нарушают трехмерности изобра-
изображений. Вместе с тем они проще в изготовлении и легки. Так,
голограммы точки — зонные пластинки Френеля — можно при-
применить для фокусировки широких пучков — до 10 м в диаметре,
тогда как делать линзы или зеркала такого размера просто
неразумно. Применение голограмм в сочетании с линзами поз-
позволит создавать несложные безаберрационные системы.
2. Трехмерная фотография
Создание лазера в первую очередь является созданием но-
нового источника видимого излучения. В качестве такого источ-
источника он открывает уникальные возможности для показа изо-
изображений. «Именно в области визуальной индикации лазер най-
найдет одно из самых важных применений», — писал пионер лазер-
лазерной техники Артур Шавлов [108].
Свойства и получение лазерных голограмм, дающих трех-
трехмерные изображения, обсуждались подробно в ряде обзоров
[3, 11, 13, 16—18]. Отметим здесь два основных преимущества
голографических изображений перед обычными фотографиче-
фотографическими: 1) при голографировании предмета не надо фокусиро-
фокусировать лучи, следовательно, нет опасности получить размытое
изображение из-за недостаточной фокусировки; 2) голограмма
регистрирует весь предмет одинаково четко по всей глубине.
Этого нельзя добиться никакими фотографическими ухищре-
ухищрениями. Кроме того, преимуществом голографии является и то
обстоятельство, что нелинейность фоторегистрации не влияет
на качество передачи тонов. Даже используя для записи голо-
голограммы самую контрастную эмульсию, можно восстановить
тоновое изображение.
Качество получаемых на лазере трехмерных изображений
уже сейчас столь высоко, что Габор имел основание для полу-
полушутливого утверждения [33]: «Чтобы получить такие картинки
с помощью ртутной дуговой лампы, мне потребовалось бы так

308
ОБЗОР
сколлимировать ее излучение, что экспозиция заняла бы время
с момента открытия голографии в 1947 г. до сегодняшнего дня».
Развитие этого направления шло по линии усовершенство-
усовершенствования известной методики [25, 71], особенно импульсной голо-
голографии на рубиновом лазере [20, 21, 59]. Кроме того, в рамках
этого направления продемонстрирован ряд новых приложений
голографии: так, она использована для подводной съемки
[48, 63], для изготовления трехмерных контурных карт [54, 55]
и для восстановления диаграмм направленности антенн СВЧ [2].
Исторически первым практическим применением голографии
следует считать дисдрометр. Эта установка [32, 102] предназна-
предназначена для исследования быстро движущихся частиц, взвешенных
в атмосфере, например капель дождя или тумана, снежинок,
кристалликов льда и аэрозолей размером от 3 до 3000 мкм.
Обычная фотография не позволяет держать в фокусе каждую
движущуюся частицу в течение такого времени, которое соот-
соответствует необходимой экспозиции. Фотографическим методом
невозможно зарегистрировать все частицы некоторого объема
сразу и с одинаковой резкостью. Дисдрометр устраняет эти
трудности. Рубиновый лазер мощностью 10 Мет с модулиро-
модулированной добротностью освещает движущиеся частицы в объеме
до 5000 см3 в течение 20 нсек. «Замороженное» на голограмме
трехмерное распределение частиц можно затем последовательно
просматривать с помощью непрерывного лазера, например ге-
гелий-неонового.
Разрабатывается портативный вариант установки [73], кото-
который позволит регистрировать структуру облаков прямо с борта
самолета, что даст возможность предсказывать туманы и искус-
искусственно воздействовать на них.
Неожиданным оказалось, что дисдрометр может найти гораз-
гораздо более широкое применение, чем предполагалось вначале.
Фирма «Technical Operation», изготовившая три первых образца
диодрометра, получила свыше 400 запросов об этой установ-
установке [74]. Среди множества возможных применений можно на-
назвать: контроль загрязнений воздуха, контроль турбулентных
жидких струй, изучение динамики аэрозолей, анализ смазоч-
смазочных составов, наблюдение процессов во внутренних объемах
паровых турбин, изучение роста и распада капель тумана, кон-
контроль и анализ медицинских аэрозолей, фотографирование
следов.в трековой камере.
Последнее применение облегчит труд экспериментаторов,
занимающихся измерением следов в пузырьковой камере и ка-
камере Вильсона. Сейчас для восстановления геометрии траекто-
пий и определения кинематики процессов при высоких энер-
иях используется стереосъемка и электронные вычислительные
ПРИМЕНЕНИЯ ГОЛОГРАФИИ
309
машины. Апостериорная обработка трехмерных голографических
изображений позволит сократить объем вычислительной работы.
Кроме того, голография позволит увеличить фокальную глу-
глубину фотографий в трековой камере [125]. Однако здесь на пути
исследователей встает ряд трудностей. Во-первых, поскольку
углы достигают 45°, приходится брать фотоэмульсии высокого
разрешения, которые малочувствительны. Во-вторых, в камере
Вильсона с частотой циклов расширения 30 раз/мин ослож-
осложняется сам процесс голографическои съемки. В-третьих, сильное
магнитное поле камеры вызывает фарадеево вращение плос-
плоскости поляризации, что ухудшает контрастность видимости ин-
интерференционных полос. Наконец, яркость и контрастность вос-
восстановленных треков невелики.
Для преодоления последнего затруднения в работе [10] было
предложено прибегнуть к восстановлению изображений с фазо-
фазовых голограмм. Экспериментально продемонстрирована воз-
возможность восстановления изображений фазовых объектов (типа
пузырей в стекле) в объемах, сравнительно протяженных по
лучу зрения. Для наблюдения трехмерных фазовых объектов,
восстановленных с голограммы, можно использовать методы
шлирен-фотографии [113].
Если речь идет о голографировании мелких прозрачных (как
в трековой камере) или непрозрачных объектов, заключенных
в большой объем, то можно применить фраунгоферовские голо-
голограммы [30]. Фотопластинку располагают в ближней зоне боль-
большой апертуры, которая одновременно является дальней зоной
для мелких частиц. Тогда на голограмме регистрируется интер-
интерференционная картина фраунгоферовской дифракции на части-
частицах. При восстановлении изображений с таких голограмм в
дальней зоне частиц мнимое изображение отсутствует.
Для целей демонстрации больших объемных изображений
разработан ряд голографических установок [56, 60, 117] с углом
обзора предмета, достигающим 360°. Опорный пучок создается
выпуклым коническим (рис. 2) или сферическим зеркалом.
После голографирования предмет убирается, а на его месте
наблюдатель видит через пленку восстановленное изображение,
которое можно рассматривать под любым углом. Трудности
связаны с изготовлением неплоского зеркала, а также с юсти-
юстировкой. Поскольку здесь наиболее наглядно проявляются до-
достоинства трехмерного голографического изображения, уста-
установки подобного типа найдут широкое применение в реклам-
рекламном деле и для демонстрации иллюстраций на лекциях.
Используя мощные лазерные импульсы малой длительности,
можно «замораживать» быстропеременные процессы во всем
исследуемом объеме, а затем сколь угодно долго изучать трех-

310
ОБЗОР
мерное изображение, восстановленное непрерывным лазером.
Недостаточная пока когерентность рубиновых лазеров вынуж-
вынуждает в настоящее время принимать специальные меры: про-
пространственное согласование — выравнивание оптических длин
опорного и предметного пучков [20, 21] и селекцию продольных
мод [59]. Чтобы записывать голографические изображения боль-
больших предметов на малые голограммы с помощью лазера не-
небольшой мощности, можно использовать линзы, помещая их
между предметом и голограммой. Следует подчеркнуть, что
Рис. 2. Голографическая установка с углом осмотра предмета, равным 360°.
/ — круговая голограмма: 2— коническая поверхность зеркала; 3— предмет; 4 —когерент-
—когерентное освещение.
проблема импульсного голографирования больших объемов
(свыше 5000 см3) и больших однородных поверхностей пока не
решена, так как отсутствуют необходимые для этого лазеры.
В обычных условиях глаза человека являются незамени-
незаменимым инструментом визуального исследования трехмерных объ-
объектов. Там, где условия для визуального наблюдения отсут-
отсутствуют — в подводных условиях, внутри сложных установок, —
действенную помощь может оказать голография. Проведены
эксперименты по голографированию микроорганизмов в аква-
аквариуме с морской водой [63]. Запись проводилась рубиновым
лазером с экспозицией 60 нсвк. При восстановлении с помощью
гелий-неонового лазера микроскоп фокусировался на различных
плоскостях трехмерной сцены. Если изготовить набор голо-
голограмм на большой глубине моря, то можно изучить реальное
поведение глубоководных организмов в их нормальном окру-
окружении, например их взаимную и световую ориентацию.
Другой вид подводной голографии описан в работе [48].
Цель исследования — анализ акустических вибраций под-
подводных объектов. Схема эксперимента показана на рис. 3.
ПРИМЕНЕНИЯ ГОЛОГРАФИИ
311
Любопытно, что для создания опорного пучка использовалось
отражение от стенки аквариума с водой.
Голография предоставляет необычную возможность трех-
трехмерного видения в звуковых [49] и радиоволнах [31, 64—66]1).
Простая идея такой визуализации основана на том, что интер-
интерференционные картины различных волновых полей тождест-
тождественны друг другу, если длины волн одинаковы. Однако, вообще
говоря, для наблюдения неискаженного трехмерного изображе-
изображения равенство длин воли необязательно. Если запись проведена
с помощью излучения с большой длиной волны Xi, а восстанов-
восстановление с помощью светового излучения с малой длиной волны А,2)
Рис. 3. Схема подводной голографии.
/ — лазерный свет; 2 —диафрагма; 3 —стенка аквариума, дающая опорный пучок;
5— голограмма.
—пре!мет;
то масштабный переход — уменьшение начальной голограммы
M = Xi/X2 раз —также позволит сохранить трехмерность при
восстановлении. Звуко- и радиовидение в таком варианте тре-
требуют многоэлементных приемников высокого разрешения и пе-
перевода полученных голограмм в оптические голограммы, кото-
которые можно будет просветить лазером и восстановить изображе-
изображение, «увиденное» звуком или радиоволнами. Возможно, для
ультразвука таким приемником может служить пьезокерамиче-
ская мозаика (например, керамика на основе титаната бария)
со считыванием электронным лучом и индикацией на экране
телевизора. Для радиоволн нужны специальные многоэлемент-
многоэлементные антенные решетки.
В некоторых случаях можно обойтись без фиксирования зву-
звуковой голограммы. Об оригинальном методе звуковидения со-
сообщается в статье [93]. Ультразвуковые датчики и предмет по-
погружены в воду (рис. 4). На поверхности воды образуется рябь
')¦ Мы не упоминаем рентгеновские, электронные и прочие волны, так
как их длина волны существенно (более чем в 104 раз) отличается от свето-
световой, что затрудняет визуальное наблюдение объемного изображения.

312
ОБЗОР
ПРИМЕНЕНИЯ ГОЛОГРАФИИ
313
в результате интерференции прямого и предметного пучков
ультразвука. Облучая лазером эту интерференционную картину,
можно сразу же восстановить изображение предмета. Изобра-
Изображения трехмерных предметов будут искажаться из-за неравен-
неравенства длины волны света и ультразвука, но, регулируя фокусное
расстояние телескопа, можно по очереди рассматривать различ-
различные сечения трехмерного объекта.
Р и с. 4. Схема трехмерного звуковидения под водой с голографической
визуализацией.
/ — ультразвуковые датчики, погруженные в воду; 2— предмет; 3 —ультразвуковая голо-
голограмма на поверхности воды; 4—лазерный свет; 5—телескопический приемник; б— восстано-
восстановленное изображение.
Этот метод найдет применение для наблюдений в непрозрач-
непрозрачной воде, а также в других океанографических исследованиях.
Кроме того, есть надежда, что в будущем исследователи смогут
видеть внутренние органы живых людей. На основе этого же
метода предполагается осуществить контроль работы внутрен-
внутренних узлов герметизированных блоков электронного оборудова-
оборудования. Однако во всех этих случаях исследуемый объект необхо-
необходимо помещать в жидкость. Пока основная трудность — полу-
получение опорного пучка ультразвука, обладающего достаточной
сферичностью.
I
Радиовидение с использованием «синтетических» голограмм
было осуществлено в работе [31]. Френелевская картина изго-
изготавливалась постепенно путем механического сканирования зон-
зондом в плоскости голограммы габоровского типа. Уменьшенная
фотография осциллограммы при облучении гелий-неоновым ла-
лазером восстанавливала исходный предмет. Поскольку /.i = 3 см,
а Х2 = 0,63 мкм, то восстановленное изображение было очень
мало, и при его наблюдении параллакс отсутствовал. Для его
увеличения предлагается склеивать много маленьких голограмм
[66]. Тогда объект будет виден таким, как будто его рассма-
рассматривают через множество маленьких отверстий в экране. Как
полагает автор, на этом принципе сможет работать голографи-
ческое телевидение в радиоволнах.
Другое интересное применение радиовидения описано в
статье [121]. Предлагается использовать голографический прин-
принцип для картографирования поверхности планеты с борта кос-
космического корабля, облетающего эту планету. Планету и ко-
корабль освещает наземный СВЧ-источник. Вдоль трассы ко-
корабля, играющей роль одномерной голограммы регистрируется
интерференция прямой волны и волны, рассеянной от планеты
в направлении полета. Из этих радарных карт можно получить
информацию о структуре поверхности, которую не дают обыч-
обычные РЛС или оптические методы. Например, получение радар-
радарной карты Венеры —чуть ли не единственный способ ее иссле-
исследования. Только прямое приземление может дать больше сведе-
сведений. Система подобного типа разрабатывается НАСА для кос-
космических исследований [76]. Аналогичные бортовые системы,
предназначенные для военных самолетов тактической разведки,
разрабатываются фирмой «Perkin—Elmer» [75]. Предполагается
также записывать радарные карты на фотопленке, чтобы затем
наблюдать восстановленное изображение в когерентном свете.
Для быстрого восстановления изображений, голографировании*
в невидимых лучах, фирма разрабатывает двумерный простран-
пространственный модулятор света. Такой модулятор позволит визуаль-
визуально наблюдать изображения, восстановленные с помощью пере-
переданных по радиоканалам ИК- или СВЧ-голограмм.
Оригинальный метод изготовления трехмерных контурных
карт и макетов изделий описан в работах [54, 55]. С этой целью
предлагается освещать предмет либо двумя коллимированными
когерентными пучками с малым углом между ними, либо одним
пучком, содержащим излучение двух слегка различных частот
(например, аргоновый лазер с А/. = 65 А). С полученной^ голо-
голограммы одночастотным пучком можно восстановить изображе-
изображение, контурные линии на котором свидетельствуют о дальности

314
ОБЗОР
расположения тех или иных деталей (если голограмма была
расположена под прямым углом к пучку).
Измерение диаграммы направленности СВЧ-антепны (осо-
(особенно большой) вызывает затруднения, так как при таких из-
измерениях приходится удаляться на значительные расстояния от
антенны. Вместо этого предложено [2] измерять распределение
СВЧ-поля на относительно малом расстоянии от антенны и из-
изготавливать с помощью голографии оптическую модель этого
поля. Восстановленное с голограммы оптическое изображение
можно с помощью линзы превратить в некоторой плоскости в
диаграмму направленности. В статье обоснована возможность
масштабных переходов от СВЧ-голограмм в оптический диа-
диапазон и приведены результаты измерения диаграмм направлен-
направленности в 3 см диапазоне зондовым и голографическим методами.
Голография открывает возможность создания трехмерных
изображений объектов, которые еще не удавалось наблюдать,
а также «синтетических» предметов [92]. Например, па ЭВМ
можно пересчитать рентгенограмму неизвестной сложной моле-
молекулы белка таким образом, чтобы получить его голограмму, а
не изображение, способное дать лишь плоскую индикацию. За-
Затем бинарную голограмму — набор черно-белых линий — можно
вычертить на листе бумаги и уменьшить фотографически. Теперь
такую синтетическую голограмму нужно просветить лазером и
восстановить объемное изображение молекулы. Эксперимен-
Экспериментальное получение синтетических голограмм описано в работе
[46]. Способ изготовления синтетических голограмм для имита-
имитации трехмерных предметов рассмотрен в работе [110]. Светя-
Светящийся конец волокна механически перемещался в пространстве,
и на каждой позиции его изображение регистрировалось на го-
голограмме, благодаря чему при восстановлении возникал куб,
состоящий из 120 светящихся точек. Вопросы создания и обра-
обработки голограмм на цифровых вычислительных машинах рас-
рассмотрены в работе [57].
3. Распознавание образов
Распознавательная способность голограмм нашла примене-
применение в ряде практических систем. Наиболее известен голографи-
ческий чтец [17, 18, 53]. Аппарат предназначен для чтения ми-
микрофильмов и для ввода текста в вычислительную машину.
Голограмма различает 100 букв, записанных на ней под раз-
разными углами (по принципу 8-модуляции Ломана). Распознава-
Распознавание заключается в нахождении максимума корреляции при
сравнении спектра неизвестной буквы и набора известных букв,
ПРИМЕНЕНИЯ ГОЛОГРАФИИ
315
включающих искомую. Другими словами, голограмма, действуя
как согласованный фильтр, пропустит лишь пространственный
спектр, приближающийся к спектру, записанному на ней.
Преимуществом метода являются малые размеры узнающего
элемента — голограммы, хранящей возможные варианты. Габор
подсчитал [43], что на одной голограмме можно записать до
30 букв в 30 вариантах в комбинации с машинным кодом каж-
каждой буквы. Это означает, что становится возможным ввод в
машину рукописных текстов. На опознание укажет возникший
за голограммой максимум сигнала в виде набора ярких точек —
машинного кода данной буквы. Аналогичная голограмма позво-
позволит [72] автоматически печатать или показывать на видеоэкране
данные, выдаваемые вычислительной машиной.
Для того чтобы голограмма буквы не менялась при смеще-
смещениях буквы, Габор предложил [43] использовать голограммы
Фурье, т. е. голограммы, получаемые в фокусе линзы. В другом
способе [93] инвариантность к смещению обеспечивается срав-
сравнением текста с голограммой Фраунгофера, изготовленной в
дальней зоне.
Большой интерес для военных представляет нахождение
нужных объектов на аэрофотоснимках. Зная географические
координаты объекта, можно затем по аэрофотоснимку составить
карту местности. Автоматическое обнаружение хромосом изве-
известной формы упростит проведение генетических исследований.
Необходимые для этого голографические системы разрабаты-
разрабатываются в США рядом фирм [75, 79].
Более общее направление распознавания связано с получе-
получением фантомных изображений. Осветив голограмму Фурье
фрагментом начального изображения, удалось получить фантом-
фантомное изображение всего объекта [103]. Например, по женской
шляпке было восстановлено изображение всего лица и головы.
Это свойство голограмм может найти применение при распозна-
распознавании и определении местоположения фрагмента предмета, на-
например при поиске страницы по известной строчке, и в других
аналогичных случаях. Можно также вести поиск трехмерных
объектов по какой-то известной детали (признаку) [29].
Механизм такого поиска был описан в разд. 1. В данном
случае нужно только считать, что предмет В является фраг-
фрагментом предмета А{). Практически изображение, восстанов-
восстановленное путем компенсации протяженности источника, является
не чем иным, как фантомным изображением.
Отличие экспериментов, описанных в работе [103], от работ
Строука по компенсации протяженности источника состоит в
Математическое описание этого явления см. на стр. 152—162,

316
ОБЗОР
применении диффузной подсветки транспаранта. Фантомное изо-
изображение трехмерного диффузно отражающего объекта исследо-
исследовалось в работе [29]. Естественно, в отличие от [103] на голо-
голограмме регистрировался уже не фурье-образ предмета. Пояс-
Поясним теперь возникновение фантомного изображения. Каждый
фрагмент диффузно рассеивал свет по всей голограмме, следо-
следовательно, она регистрировала результат интерференции одного
фрагмента с остальными частями предмета. Амплитуда и фаза
всех волн от предмета определялись относительно соответствую-
соответствующих характеристик волн фрагмента. Поэтому, осветив голограм-
голограмму одним фрагментом, получали изображение всего предмета
в целом — его фантомное изображение.
В работе [103] освещающий предмет можно было двигать
относительно голограммы Фурье, и фантомное изображение хо-
ходило за ним, сохраняя свою четкость. Здесь же при движении
освещающего предмета фантомное изображение исчезало. При-
Причина такого различия ясна: спектр Фурье является одним из
тех редких случаев, когда дифракционный спектр не зависит от
положения точки на плоскости.
4. Интерфсренциоишш намять
В отличие от предыдущих применений, где используются тон-
тонкослойные эмульсии, для запоминающих устройств выгодно
применять толстые голограммы.
Наглядная схема голографической записи в трехмерной сре-
среде рассмотрена Габором [44]. Запись сводится к тому, что объ-
объемная голограмма регистрирует набор стоячих волн, создавае-
создаваемых предметным и опорным пучками. При восстановлении
такая голограмма работает как объемная дифракционная ре-
решетка, т. е. резонансная структура, дающая дифракционную
картину для определенных длин волн и углов падения. Другими
словами, восстановление происходит только тогда, когда восста-
восстанавливающий пучок аналогичен записывающему по углу и дли-
длине волны.
Перспективность применения голограммы в запоминающих
устройствах обусловлена двумя ее следующими свойствами.
Во-первых, запись каждой точки предмета оказывается равно-
равномерно распределенной по всему регистрирующему объему. По-
Поэтому не страшны даже значительные повреждения голограммы.
Они лишь несколько ухудшают отношение сигнал/помеха. Это
же свойство повышает надежность воспроизведения записанной
информации. Во-вторых, каждая точка голограммы дает вклад
в восстановленное изображение. Это означает, что память
обладает ассоциативным!) свойствами, т. е. выборка нужной ин-
информации производится по ее определенному признаку, а не по
адресу ячейки, в которой она хранится, как это делается в обыч-
обычных запоминающих устройствах. Добавочным преимуществом
голографической памяти служит отсутствие линз при записи.
Благодаря этому удается до конца (насколько позволяет конеч-
конечная длина волны света) использовать разрешающую способ-
способность фотоматериала.
С другой стороны, тот факт, что визуальное изображение
почти не страдает при ликвидации части голограммы, убеждает
нас, что на голограмме слишком много избыточной для глаза
информации. В этом смысле голографическая запись не эко-
экономична, и необходимы исследования на основе теории инфор-
информации, которые позволят найти оптимальные методы гологра-
голографической записи в различных условиях.
В качестве регистрирующей среды чаще всего используются
толстослойные фотоэмульсии, щелочногалоидные кристаллы и
фотохромные стекла. Толстослойные фотоэмульсии исследова-
исследовались в работах [41, 42, 87, 88, 90]. Показано, что эмульсия рабо-
работает как трехмерная голограмма, если ее толщина превышает
расстояние между интерференционными полосами. В работе[42]
на толстослойную пластинку записывались многоцветные изо-
изображения с помощью гелий-неонового @,63 мкм) и аргонового
@,488 и 0,515 мкм) лазеров. Хотя многоцветные пучки направ-
направлялись на голограмму под одним углом, каждый цвет создавал
в эмульсии свою систему интерференционных поверхностей.
Благодаря этому при восстановлении под углом Брэгга возни-
возникало цветное трехмерное изображение.
Оптические свойства трехмерных голограмм теоретически
подробно исследованы в работе [87]. Эксперименты с толсто-
толстослойными эмульсиями показали чувствительность восстановлен-
восстановленного изображения к углу и длине волны считывающего пучка.
Путем поворота голограммы после каждой экспозиции были
изготовлены голограммы движущихся предметов. Вращая голо-
голограмму в лазерном пучке, можно было под углом Брэгга на-
наблюдать движущееся изображение.
Теория восстановления изображений с толстых голограмм да-
дана в статье [22]. Получено строгое решение дифракционной задачи
для круговой и линейной поляризации. Даны численные оценки
для ряда случаев, которые типичны для голографии, и показано,
что максимум интенсивности наблюдается под углом Брэгга.
В статье [62] описаны эксперименты с фотохромными стек-
лами. Пока достигнуто разрешение 60 линия\мм. Для того что-
чтобы изображение не исчезало, требовались экспозиции не менее
1,5 час на аргоновом лазере мощностью 25 жег,
22 Дж. Строук

318
ОБЗОР
В кристалле КВг размером 2,5X2,5X0,2 см3 удалось запи-
записать 30 различных изображений [34], хотя теоретически возмож-
возможна запись 500 000 изображений. Для записи кристалл нагре-
нагревали до 80° С. При облучении лазером окрашенные центры от-
отбеливались, в результате чего регистрировалась интерференци-
интерференционная картина. Затем кристалл охлаждали до 0° С и, просве-
просвечивая под тем же углом, восстанавливали изображение. Ще-
лочногалоидные кристаллы обладают существенными преиму-
преимуществами перед толстослойными фотоэмульсиями:
1) для «проявления» такой фотоэмульсии достаточно про-
простого охлаждения;
2) не происходит сжатия эмульсии, искажающего цвет;
3) эксперименты обладают отличной воспроизводимостью ре-
результатов, так как нетрудно изготовить кристаллы одной тол-
толщины;
4) в отличие от пленок чувствительность кристаллов не ме-
меняется от образца к образцу.
В 1966 г. всеобщее внимание привлекли трехмерные голо-
голограммы, восстанавливаемые в белом свете1). Хотя применение
«волновых фотографий» Денисюка [4—8] далеко не ограничи-
ограничивается системами памяти, уместно рассмотреть эти и дальней-
дальнейшие работы других авторов в данном разделе обзора, посколь-
поскольку механизм записи в светочувствительном объеме здесь тот же
самый, что и систем памяти.
Денисюк первым подметил сходство голографии с липпма-
новским процессом цветной фотографии. В его установке коге-
когерентный пучок, прошедший липпмановскую пластинку; отра-
отражался предметом, расположенным с другой стороны пластинки.
Интерференция прямого и отраженного пучков создавала «вол-
«волновую фотографию» — запись информации об оптических свой-
свойствах предмета. При освещении голограммы белым светом от
источника с достаточно малыми угловыми размерами возникало
цветное изображение предмета — вогнутого сферического зер-
зеркала. Характерной особенностью волновых фотографий Дени-
Денисюка было то, что опорный пучок вводился с обратной стороны
голограммы, и интерференционные плоскости (слои) возникали
почти параллельно поверхности (а не перпендикулярно, как в
более поздних опытах с обычными фотоэмульсиями [41, 42, 87,
88, 90]). Расстояние между плоскостями было очень мало
') Следует помнить, что белым светом можно восстановить любую голо-
голограмму, не обязательно трехмерную. Достаточно лишь между ней и источ-
источником поставить интерференционный фильтр.
Статью Строука—одну из первых экспериментальных работ в этом на-
направлении— гм. на стр. 213. В этой статье описана реализация идей Денисю-
Денисюка с помощью лазера.
ПРИМЕНЕНИЯ ГОЛОГРАФИИ
319
(~V2). При восстановлении подсвечивающий пучок проходил
множество слоев (несколько десятков) эмульсии. Лишь малая
часть пучка дифрагировала, формируя при этом изображение,
а остальная часть проходила прямо и терялась.
Поскольку первые работы Денисюка стали уже классиче-
классическими, полезно привести его собственное определение [6], сжато
формулирующее идею этих работ: «При релеевском рассеянии
излучения на объекте интенсивность волнового поля в окружаю-
окружающем объект пространстве с достаточной степенью точности мо-
моделирует «оптический оператор рассеяния» этого объекта. Это
свойство излучения дает возможность, зафиксировав названное
поле в материальной среде, получить пространственную струк-
структуру, оптические свойства которой совпадают с оптическими
свойствами объекта».
Работы Строука ([116] и стр. 213 настоящей книги) отли-
отличались тем, что благодаря лазеру удалось разделить опорный
и предметный пучки и получить качественные изображения
сложных протяженных предметов. Кроме систем памяти, вол-
волновые фотографии Денисюка и особенно их позднейшие ва-
варианты, разработанные Строуком и его сотрудниками [91, 116],
а также другими авторами [122], могут найти применение в
следующих областях:
а) изобразительная техника, создающая полную иллюзию
реальности изображаемых предметов, например трехмерные
портреты, восстанавливаемые солнечным светом;
б) гидролокация, радиолокация и ультразвуковая дефекто-
дефектоскопия;
в) изготовление диспергирующих элементов типа объемных
дифракционных решеток. Моделирование трехмерных решеток
в кристаллографических исследованиях.
5. Интерферометрия
Благодаря изобретению голографии область применения ин-
интерферометрии расширяется настолько, что становится воз-
возможным исследование не только простых идеализированных
поверхностей, но и диффузно отражающих предметов произволь-
произвольной формы. До сих пор интерферометрический метод применял-
применялся лишь для исследования качества зеркальных поверхностей,
линз и полированных предметов правильной формы. В гологра-
фическом интерферометре не требуется зеркального отражения.
Для опорного волнового фронта не нужно иметь аналитического
выражения, а помехи на оптическом пути могут быть довольно
существенными. Более того, оказывается возможным создавать
22*

320
ОБЗОР
интерферограмму изображений, либо существующих в разное
время, либо записываемых с помощью излучения разной длины
волны. Анализ проблем голографической интерферометрии наи-
наиболее подробно изложен в работах [1, 50—52, 112].
Направления голографической интерферометрии можно клас-
классифицировать как по типу используемой методики, так и по
характеру применения. В методическом отношении различают
интерферометрию с двойной экспозицией, с многократной экспо-
экспозицией, мгновенную интерферометрию поверхностей, импульс-
импульсную интерферометрию динамических фазовых объектов и интер-
ферометрическое измерение восстановленных трехмерных изо-
изображений.
Прежде чем перейти к рассмотрению применений, остано-
остановимся на основных интерферометрических схемах. Наиболее
прост для эксперимента метод двойной экспозиции. Имея лазер
и мелкозернистую фотопластинку, можно дважды заснять на
голограмму любую поверхность, если, конечно, она не абсолют-
абсолютно черная. Если в промежутке между экспозициями поверхность
в отдельных местах немного деформировалась, то на восстанов-
восстановленном изображении в этих местах возникнут интерференцион-
интерференционные полосы1). Преимущества этого метода в том, что он не
требует совершенной оптики и точной юстировки; кроме того,
если экспонировать пленку в два разных момента времени, он
позволит изучать как стационарные, так и нестационарные про-
процессы. В этом методе также привлекает легкость изготовления
дифференциальных интерферограмм, регистрирующих малые из-
изменения оптического пути лучей или положения предметов
сложной формы.
Если поверхность вибрирует, голограмма как бы многократ-
многократно экспонируется, запечатлевая множество изображений в оп-
определенном диапазоне позиций. При этом волновые фронты,
отраженные вибрирующей поверхностью, усредняются на голо-
голограмме по времени. В восстановленном изображении возникает
система интерференционных полос, определяющая узлы и кон-
контуры мест с постоянной амплитудой вибраций.
Эти два метода дают возможность изучать происходящие яв-
явления, не позволяя управлять ходом событий. Мгновенная ин-
интерферометрия сразу дает сведения об изменениях. Если про-
проявленную голограмму поместить на прежнее место и осветить,
а также подсветить лазером предмет, возникнет интерференция
восстановленных и предметных волновых фронтов. Например, в
схеме, изображенной на рис. 5, в направлении призмы пойдут
') Полосы могут также располагаться как в пространстве перед предме-
предметом, так и «внутри» предмета [1, 51].
ПРИМЕНЕНИЯ ГОЛОГРАФИИ
321
две плоские волны: одна прямая, прошедшая призму, а дру-
другая— восстановленная с голограммы. Эти волны в точности
совпадают. Если теперь слегка изменить угол призмы, то на-
наблюдатель увидит систему параллельных интерференционных
полос.
Необходимо отметить, что качество оптики как в этом ме-
методе, так и в остальных не играет роли, поскольку она одина-
одинакова на обоих этапах. Однако здесь требуется точная юстиров-
юстировка, поскольку голограмма после проявления должна быть по-
помещена в исходную позицию, так как в противном случае по-
полосы будут обусловлены не изменениями в предмете, а несо-
Р и с. 5. Схема интерференции восстановленного и предметного волновых
фотонов.
1 — лазер; 2 — призма; 3 — голограмма, на которой «записано» изображение призмы; 4 — со-
совпадающие предметный и восстановленный волновые фронты; 5—наблюдатель.
вмещением предмета и его изображения. Конечно, визуальный
контроль дает меньше деталей исследуемого предмета, чем фо-
фотографический (например, с двойной экспозицией), но зато до-
достигается выигрыш во времени.
Применения голографической интерферометрии можно разде-
разделить на четыре основных направления: исследование вибраций,
деформаций, фазовых предметов (т. е. таких предметов, кото-
которые меняют лишь фазу прошедшей волны, оставляя неизменной
ее интенсивность) и интерферометрические измерения.
Интерферометрический анализ вибраций диффузно отражаю-
отражающих предметов рассмотрен в работах [105, 111]. Наблюдение про-
проводилось как по методу многократной экспозиции, так и путем
мгновенной интерферометрии. В последнем случае изготавли-
изготавливалась голограмма неподвижного предмета, а затем через нее
наблюдался вибрирующий предмет.
Применение голографии для анализа вибраций позволило
приступить к исследованию ряда проблем, которые ранее не
поддавались решению. Например, предполагается [78] изучать
колебания мембран в микрофонах и громкоговорителях, поверх-
поверхностные волны на различных материалах. Открывается возмож-

322
ОБЗОР
ность обнаружения вибраций объектов в вакууме, когда нет
среды, передающей звук. Предлагается оригинальный метод об-
обнаружения дефектов в толстых и тонких металлических изде-
изделиях сложной формы, которые не удается изучать рентгенов-
рентгеновскими методами. Мощным импульсом ИК-лазера предполагает-
предполагается вызывать звуковые волны в металле, а затем детектировать
их с поверхности голографическим методом.
Продемонстрирована [81] высокая эффективность гологра-
фического вибрационного анализа при его использовании для
ультразвукового неразрушающего контроля: для обнаружения
и изучения трещин, несовершенств и щелей в твердых телах.
Были изготовлены две пластины холоднокатаной стали, причем
на одной была трещина. Затем с помощью соленоида в пластин-
пластинках возбуждались вибрации частотой от 110 до 617 гц. Интер-
Интерференционные картины для этих пластинок сильно отличались
между собой и по-разному менялись с частотой. В месте тре-
трещины всегда возникали пучности, так как там металл ослаб, и
колебания происходили с наибольшей амплитудой.
Голографический контроль необработанных поверхностей
можно применить в большом числе случаев. Все эти применения
опираются на интерференционный метод сопоставления несколь-
нескольких состояний при помощи экспозиции на голограмму. Перечис-
Перечислим здесь лишь некоторые применения. Так, можно исследовать
все изменения в твердых телах, отражающиеся на форме и ка-
качестве их поверхности [96]. Изменения могут вызываться дей-
действием нагрева, давления или набухания. Например, можно ис-
исследовать пузыри и непровары в стенках полых сосудов [98].
Нагрев воздуха внутри сосуда вызывает расширение стенки,
причем участки с лучшей теплопроводностью расширяются
больше, чем нормальные участки. Картина интерференцион-
интерференционных полос позволит выявить эти места. Аналогично можно ис-
испытывать сосуды под давлением. Ослабленным местам будут
соответствовать частые интерференционные полосы. Предла-
Предлагается изучать ползучесть материала [28]. (Конечно, за время
экспозиции смещение не должно превышать длину волны.)
Путем подсчета интерференционных полос проведено измере-
измерение напряжений в швеллере, находящемся под нагрузкой [24].
Во всех перечисленных применениях производилось сравне-
сравнение разных состояний одного и того же предмета. Большой ин-
интерес для промышленности представляет сравнение разных пред-
предметов, например контролируемой детали с эталонной. Сравнение
производится [23] с использованием наклонной подсветки. В этом
случае на расшифровке интерференционной картины сказывается
не только отклонение детали от стандарта, но и неточность ее
установки в заданное положение относительно голограммы.
ПРИМЕНЕНИЯ ГОЛОГРАФИИ
323
Голографическая интерферометрия динамических фазовых
предметов в гидро- и аэродинамике жидких струй, газовых по-
потоков и т. д. требует применения специальной методики, близ-
близкой к обычной интерферометрии этих предметов [12, 118—120].
Она отличается от рассмотренной методики отсутствием фоку-
фокусировки на фотопластинке. Благодаря этому количество фикси-
фиксируемой информации на фотопластинке увеличивается. Схема
эксперимента может быть такой же, как и в методе двойной экс-
экспозиции. Возникновение интерференционных полос связано с
тем, что свет, прошедший более плотные участки, например
фронт ударной волны, отстает и задерживается по фазе в срав-
сравнении со светом, прошедшим тот же путь в однородной среде.
В работах [9, 15, 61] было получено и исследовано восста-
восстановленное изображение контура другого фазового предмета —
плазмы. С целью получения плазмы излучение рубинового ла-
лазера с модуляцией добротности фокусировалось в некоторой
точке воздушного объема. Несфокусировавшееся излучение ла-
лазера использовалось [15] для получения голограмм габоровского
типа. Затем [61] удалось сфотографировать лазерную искру на
трех стадиях ее развития по двухлучевой схеме Лейта — Упат-
ниекса. По измерению голограммы удалось подсчитать плот-
плотность электронов на различных этапах пробоя. Для наблюдения
восстановленного изображения искры использовались шлирен-
метод и гелий-неоновый лазер на 0,63 мкм [9].
в. Голография в технологии
Сочетание высокой мощности лазерного излучения и заме-
замечательной способности голограмм фокусировать свет в сложные
трехмерные фигуры позволяет надеяться на широкое использо-
использование голографии в технологической обработке поверхностей.
Особенно полезной голография будет в тех случаях, когда на-
наносимые на поверхность фигуры должны иметь на большей
части поля высокое разрешение — порядка 1 мкм. Так, лучшие
линзы способны создавать по полю не более 3000 разрешенных
элементов в строке, тогда как голограммы без труда дают
10 000 разрешенных элементов.
В отличие от большинства других применений голографии
в технологии используется восстановленное действительное изо-
изображение. Чтобы разрешение было максимальным, необходимо
действительное изображение фокусировать как можно ближе к
голограмме. Тогда число зон Френеля, дающих вклад в каждую
точку изображения, будет наибольшим (при данных размерах
голограммы). Если число зон Френеля мало, резкость ухуд-

324
ОБЗОР
шается. С другой стороны, если голограмма расположена слиш-
слишком близко к изображению, на поверхность попадет прямой
лазерный пучок и ухудшит контраст, что не всегда желательно.
Поэтому здесь важен выбор оптимального расстояния голо-
голограмма — поверхность.
По-видимому, первым технологическим применением голо-
голографии является бесконтактное нанесение микросхем [39, 80]
Рис. 6. Бесконтактное нанесение микросхем с помощью голограмм.
/ — лазерный свет; 2 — голограмма-фотошаблон; 3 — микросхема.
(рис. 6). Действительное изображение в нужных местах воздей-
воздействует на слой фоторезиста, так что после смывания остается
нужная фигура — защитный слой, предохраняющий пленку от
травления.
Помимо отсутствия линз и высокого разрешения, голографи-
ческое нанесение микросхем имеет еще ряд специфических пре-
преимуществ. Отсутствие контакта с обрабатываемой поверхностью
устраняет возможность появления царапин и оседания пылинок,
а также облегчает автоматизацию печатания. Контактная пе*
чать препятствует получению сверхвысоких разрешений, так кап
требует идеально плоских поверхностей. В отличие от контакт-
контактного фотошаблона, способного дать около 100 отпечатков, голо-
голограмма может служить сколь угодно долго. Наконец, не страш-
страшны пылинки, находящиеся в пространстве между голограммой
и фоторезистом, так как зарегистрированная информация о каж-
каждой точке предмета равномерно распределена по всей голо-
голограмме. Пылинка лишь снизит яркость точки на небольшую
величину.
Голографическая технология требует существенного повы-
повышения мощности лазеров при одновременном улучшении их
когерентных свойств. Чем больше мощность, тем больше допу-
ПРИМЕНЕНИЯ ГОЛОГРАФИИ
325
стимая площадь наносимого изображения. Существенный недо-
недостаток фокусирующих голограмм — их очень низкий к. п. д.
Обычно в образовании действительного изображения участвует
лишь несколько процентов падающей световой энергии. Осталь-
Остальное излучение проходит без дифракции напрямую и теряется.
Для повышения яркости действительного изображения предло-
предложено помещать голограммы внутрь лазерного резонатора [104].
Рис. 7. Металлизированная голограмма в лазерном резонаторе.
1 — глухое зеркало резонатора; 2 — активная среда лазера; 3 —металлизированная голограмма;
4—обрабатываемая поверхность; 5—действительное изображение; 6 — мнимое изображение.
Если металлизированную голограмму (рис. 7) установить вме-
вместо одного из зеркал резонатора, а другое зеркало сделать
глухим, то для образования действительного изображения мо-
может быть использовано до 50% мощности лазера. На пропу-
пропускающих фазовых голограммах к. п. д. (степень использования
освещающего пучка) может достигать 25%, так как будут воз-
возникать два действительных и два мнимых изображения.
Дальнейшее совершенствование голографической технологии
пойдет, вероятно, по пути комбинирования фокусирующих
свойств голограмм с их необычными распознавательными и ин-
троскопическими «способностями».
7. Го.юграфический метод в интроскопии
Передача изображения через прозрачные стенки (например,
через ребристые стекла) неправильной формы обычно вызывает
астигматические искажения изображения. Изображения, пере-
переданные через неоднородную или рассеивающую среду (напри-
(например, среду со случайными или турбулентными флуктуациями по-
показателя преломления), теряют резкость и размываются.
Уникальную возможность избежать этих искажений предо-
предоставляет [70] голографический метод записи и восстановления

326
ОБЗОР
волнового фронта. Какое свойство голограмм обеспечивает та-
такую возможность? Предположим, что на голограмму записано
изображение предмета совместно с «изображением» стенки (или
рассеивающей среды) (рис. 8, а). Если при восстановлении про-
просто облучать голограмму лазерным пучком, то возникающее
при этом изображение будет совершенно лишено смысла
Л d
I I I
О
Р и с. 8. Голографическое наблюдение через стенки неправильной формы.
При восстановлении без компенсации изображение размыто.
а —запись; б —восстановление без компенсации; в — восстановление с компенсацией.
1 — лазерный свет; 2 — стенка неправильной формы; 3—предмет; 4 — голограмма; 5 — размы-
размытое (нескомпенсированиое) изображение; б —скомпенсированное изображение.
(рис. 8,6). Стоит, однако, на пути лучей действительного изо-
изображения поместить прежнюю стенку, сохранив ее положение
относительно голограммы, как возникнет неискаженное дей-
действительное изображение предмета (рис. 8, е). Поскольку дей-
действительное изображение непревычно для визуального наблю-
наблюдения, его можно «вывернуть наизнанку» и получить более при-
приятное для глаза изображение [107].
Для этого запишем действительное изображение на вторую
голограмму. Тогда при рассматривании последней в лазерном
свете (рис. 9) наблюдатель увидит висящее между ним и голо-
ПРИМЕНЕНИЯ ГОЛОГРАФИИ
327
граммой трехмерное действительное изображение, ничем не от-
отличающееся от исходного предмета. Стенку удалось устранить
так, будто ее и не было.
Следует заметить, что операции «выворачивания наизнанку»
не потребовалось бы совсем, если бы удалось сразу же ском-
скомпенсировать мнимое изображение. Однако для мнимого изо-
изображения это, по-видимому, неосуществимо. Механизм компен-
компенсации состоит в том, что все сдвиги фаз, приобретенные на
I I I
5
О 6
Рис. 9. Схема «выворачивания наизнанку» действительного изображения.
а — действительное изображение, восстановленное с голограммы 2, записывается на другую
голограмму 4; б —при освещении последней наблюдатель видит копию изображения исходного
предмета, висящую в воздухе между иим и голограммой.
1 — лазерный свет; 2 — голограмма; 3 — действительное изображение; ^ — голограмма; 5— копия
исходного предмета; б —наблюдатель.
прямом пути, компенсируются противоположными по знаку сдви-
сдвигами фаз на обратном пути. Другими словами, если в прямом
направлении распространяется волна S, то в обратном должна
распространяться волна S* — комплексно-сопряженная волна,
т. е. можно компенсировать только действительное изобра-
изображение.
Теоретическое обоснование этого замечательного свойства
голограмм — передавать неискаженные изображения через неод-
неоднородные среды — опирается на теорему взаимности. Последняя
вытекает из основного свойства функции Грина — перестановоч-
перестановочности источника возмущения и точки наблюдения. В общем виде
это свойство формулируется так: пусть антенна А, находящаяся
в точке Oi, является излучателем, а антенна В, расположенная
в точке О2, — приемником. Пусть теперь излучает антенна В,
создавая такое же поле, как в предыдущем случае, из точки О2.
Тогда, согласно свойству перестановочности, у антенны А будет
то же поле, что и у антенны В в первом случае, независимо от
свойств среды и формы антенн. Важно, что справедливость
этой теоремы не зависит от неоднородностей среды.
Для простоты рассматривается среда без поглощения, пока-
показатель преломления п (г) которой меняется вдоль пути по опре-
определенному или случайному закону. Распространение световой
волны в такой среде описывается волновым уравнением

328
ОБЗОР
где k = 2n/X — волновое число в свободном пространстве; и —
компонента электрического вектора. Будем считать, что размеры
неоднородности гораздо больше длины волны излучения.
Волна, распространяющаяся приблизительно в прямом на-
направлении, описывается следующим решением уравнения:
и -- S (г) ехр [— iknz],
где S (г)—функция, медленно меняющаяся с г.
Однако это уравнение имеет и другое решение
и = S',
описывающее волну, распространяющуюся в обратном направ-
направлении.
Таким образом, чтобы восстановить изображение, «разрушен-
«разрушенное» нерегулярностью среды, требуется выполнить три условия:
— р -
—*-
(
—\
_
2
1 ,
—*
. А
/Г
Р и с. 10. Голографическая передача неискаженных изображений через
возмущающий слой без компенсации.
1 — голограмма; 2— волновые фронты опорной н предметной волн в возмущающем слое;
3 —источник; 4 — предмет.
1) ход показателя преломления вдоль обратного пути должен
повторять «(г) по шести координатам, определяющим положе-
положение и ориентацию неоднородности в пространстве; 2) в обрат-
обратном направлении должна распространяться волна, комплексно-
сопряженная с прямой волной; 3) расходимость пучка, осве-
освещающего голограмму при восстановлении, должна равняться
расходимости опорного пучка при записи, чтобы увеличение изо-
изображения стенки (среды) равнялось единице.
Дальнейшие исследования показали, что в ряде случаев
.ложно обойтись без компенсации [47], например в случае «тон-
«тонкой» возмущающей среды (слоя). Надо лишь расположить
(рис. 10) предмет и опорный источник достаточно близко друг
к другу так, чтобы расстояние между ними
где R — расстояние предмет — голограмма; р —расстояние стен-
стенка — голограмма; Д — размер неоднородности,
ПРИМЕНЕНИЯ ГОЛОГРАФИИ
329
При этом условии предметная и опорная волны испытают
почти одинаковую задержку по фазе, благодаря чему на голо-
голограмме запишется та же интерференционная картина, что и при
отсутствии возмущающего слоя. Следовательно, при восстанов-
восстановлении копии слоя не потребуется. Особенно легко сохранить
разрешение, если располагать голограмму вплотную к слою
(р = 0). Тогда предмет и источник могут находиться на любом
расстоянии или же среда может иметь форму толстого слоя.
4 v.;-::'
Рис. 11. Схема голографической передачи изображений из-за пределов
земной тропосферы.
/ — лазер; 2 —космический корабль; 3 — приемник; 4 — турбулентная атмосфера; 5—преобра-
5—преобразователь; б —изображение.
Недостаток метода связан с тем, что когерентный источник тре-
требуется располагать рядом со «спрятанным» предметом.
Предполагают, что система, построенная на этих принципах,
позволит передавать неискаженные изображения со спутников,
находящихся на орбите [58, 82, 83, 109]. При обычном наблюде-
наблюдении с помощью телескопа изображение космонавта, вышедшего
из космического корабля, искажается из-за турбулентности ат-
атмосферы в приземном слое. Мощный наземный лазер (рис. 11)
освещает спутник. Отраженное от двух частей спутника излу-
излучение регистрируется наземным приемником. Принятая голо-
голограмма преобразуется (как именно, не сообщается) в видимое
изображение. Влияние турбулентности на качество голограммы
устраняется благодаря тому, что волновые фронты от двух

330
ОБЗОР
частей спутника проходят одинаковые пути и разность фаз ме-
между ними сохраняется.
Однако, на наш взгляд, к практической реализации такой
системы следует отнестись с осторожностью: слишком велики
требуемый диаметр телескопа и необходимая мощность лазера.
Во многих практических случаях стенка имеет правильные
поверхности (рис. 8), что облегчает ее установку. Правильные
поверхности можно создавать искусственно, помещая испытуе-
испытуемый материал в кювету с иммерсионной жидкостью.
Любопытно, что компенсационный метод позволяет получать
неискаженные изображения через прозрачные поверхности не-
неправильной формы, например через матовые стекла и волни-
волнистую водную поверхность; как известно, наблюдать через такие
поверхности с помощью обычной оптики или невооруженным
глазом практически невозможно.
Широкие возможности в голографической интроскопии от-
открываются при использовании принципа визуализации невиди-
невидимых изображений, рассмотренного Лейтом и Упатниексом [85]
и осуществленного Дулеем [31]. Для перевода изображения
в видимый диапазон предложены масштабные переходы — уве-
увеличение и уменьшение голограмм. Сочетание масштабных пере-
переходов с компенсационным методом [14] в принципе позволяет
наблюдать неискаженные трехмерные объекты за светонепро-
светонепроницаемыми стенками произвольной формы. Для реализации
этой возможности потребуется преодолеть многочисленные тех-
технические трудности. Нужны источники достаточно когерентного
и мощного излучения. Здесь интерес представляет лазер на
СО2 с длиной волны 10,6 мкм.
Кроме интроскопии оптических деталей и минералов, ком-
компенсационный метод найдет применение для кодирования сек-
секретных документов и для изучения распространения волн в не-
неоднородных средах. Возможно, удастся осуществить лазерную
связь в турбулентной атмосфере, которой не будут страшны
хаотические флуктуации показателя преломления воздуха.
Вместо компенсации стенки можно записать ее изображение
на отдельную голограмму [116]. Если затем освещать обе голо-
голограммы одновременно, то удается восстановить изображение
предмета, находящегося за стенкой.
8. Томографическая микросколия
Голографическая микроскопия начала развиваться в основ-
основном благодаря усилиям групп Строука и Лейта в Мичи-
Мичиганском университете США. Работы Строука, нацеленные на
ПРИМЕНЕНИЯ ГОЛОГРАФИИ
331
достижение разрешений порядка 1 А (что соответствует размерам
молекул живых тканей), подробно описаны в основных главах
настоящей монографии. В работе [115] продолжалось исследо-
исследование габоровской схемы голографического микроскопа. Опор-
Опорный и предметный пучки направлялись вдоль одной оси, и изо-
изображение предмета фокусировалось на голограмме. Практиче-
Практически опорная и предметная волны имели не только одинаковое
направление, но и одинаковую кривизну. Поскольку запись про-
происходила в толще 17-микронного слоя эмульсии Kodak 649F,
была использована возможность восстановления изображения
в белом свете (с помощью угольной дуги). Хотя восстановлен-
восстановленный предмет (модель атома размером 15 см) можно было на-
наблюдать лишь под одним определенным углом зрения, но зато
наблюдатель мог фокусировать взгляд на различных плоско-
плоскостях изображения, что давало возможность извлекать инфор-
информацию о третьем измерении предмета.
В работе [126] описан эксперимент по оптическому моделиро-
моделированию рентгеновского голографического микроскопа (габоров-
ского типа), действующего на основе использования двойного
преобразования Фурье. Эксперимент проводился без использо-
использования лазера. Опорная волна создавалась точечным отверстием
в плоскости предмета. При восстановлении удалось получить
четкие изображения периодических структур.
В статьях Лейта и его сотрудников [84, 85] описаны схемы
микроскопии в расходящихся лазерных пучках, приведены фор-
формулы увеличения и определены условия, при которых в вос-
восстановленном изображении отсутствуют аберрации. Более под-
подробно теория углового и продольного увеличений изложена в
работе [94], где даны выражения для аберраций третьего поряд-
порядка при восстановлении точечных предметов и указаны пути их
устранения.
Первые высококачественные трехмерные изображения ми-
микрообъектов были получены в работах [26, 27, 77, 124]. Микро-
Микроизображение получалось как по методу светлого поля, так и
поляризационным методом [26, 27, 77]. Увеличение достигалось
в два этапа. Сначала с помощью обычного микроскопа увели-
увеличенное изображение проектировалось на голограмму. Затем при
восстановлении с помощью линзы создавалось добавочное уве-
увеличение. Хотя при таком методе трехмерность в ее обычном
смысле нарушалась, в восстановленном изображении удава-
удавалось просматривать различные по глубине плоскости.
Одна из возможных схем такого микроскопа [124] приведена
на рис. 12. С этим микроскопом па гелий-неоновом лазере были
изготовлены голограммы окрашенной нейронной сети. Фотогра-

332
ОБЗОР
фируя восстановленное квазитрехмерное изображение, удалось
сделать снимки двух плоскостей, отстоящих друг от друга на
40 мкм, причем размеры наименьших деталей достигали 1 мкм.
В то же время обычным голографическим методом (без исполь-
использования объектива микроскопа) авторам удалось достичь раз-
разрешения 12 мкм и лишь с особым трудом 5 мкм.
Рис. 12. Голографический микроскоп, позволяющий наблюдать изобра-
изображение на разной глубине.
1 — лазер; 2— прнзма-куб; 3—зеркало; 4 — конденсор; 5 — предмет; б —микроскоп; 7 —микро-
—микрообъектив; 8— голограмма.
Достоинством микроскопической голографии является также
и то, что она сохраняет фазовую информацию о предмете.
Кроме того, возможность увеличения без помощи линз в ряде
случаев даст выигрыш1 в разрешающей способности по сравне-
сравнению с линзовыми микроскопами. Предполагаемые применения
голографического микроскопа связаны с наблюдением тканей,
пораженных раком, а также подвижных или короткоживущих
микрообъектов, например амеб и кровяных телец. Их можно
быстро зарегистрировать, а затем с помощью голограммы про-
просматривать по глубине.
ПРИМЕНЕНИЯ ГОЛОГРАФИИ
333
О. Голографическое кино
Голографический метод в принципе позволяет воспроизве-
воспроизвести с неподвижного экрана изображение движущегося предме-
предмета '). Для этого на одну голограмму необходимо записать под
разными углами последовательные положения предмета [38, 89,
99, 100]. При восстановлении голограмма последовательно осве-
освещается теми же источниками и под теми же углами, в резуль-
результате чего создается эффект движения.
Возможны и другие варианты голографического кино, на-
например с использованием панорамного стереоскопического зри-
зрительного устройства [97] либо скачкообразного поворота источ-
источника или самой голограммы, а также путем применения методов
современной кинотехники — вращающихся барабанов и зеркал.
Проблема состоит в том, что наложение изображений, записан-
записанных в соседние моменты времени, вызывает нежелательные ис-
искажения. Пока удавалось записывать под разными углами до
семи изображений [89]. Велики трудности изготовления голо-
голограммы размером с экран кинотеатра. Тем не менее, по-види-
по-видимому, это единственный путь к массовому зрелищу, поскольку
проблема увеличения для большой аудитории трехмерных изо-
изображений, восстановленных с небольших голограмм, вряд ли
разрешима.
Более реальна разработка систем трехмерной индикации
индивидуального пользования, например системы слепой посад-
посадки самолетов [67]. Предлагается заснять на большое число голо-
голограмм макет аэропорта с посадочной полосой, причем каждая
голограмма дает изображение полосы, как ее видит пилот при
приземлении. Радиолокатор выдает позицию самолета относи-
относительно полосы, а электронная вычислительная машина выби-
выбирает нужную голограмму. Пилот видит трехмерную посадочную
полосу как реальную и способен посадить самолет в густом
тумане по одним голограммам. Пока создан лишь лаборатор-
лабораторный макет такой установки.
10. Томографическое телевидение
Понятен всеобщий интерес к возможности осуществления
объемного голографического телевидения. Такое телевидение
максимально приблизит искусство и технику телевизионного вос-
') Помимо этого, изображение может быть объемным и цветным (хотя
сама пленка серая) и не требует для наблюдения никаких вспомогательных
зрительных устройств.
23 Дж. строука

334
ОБЗОР
произведения к реальным условиям и позволит создать почти
стопроцентный эффект присутствия.
Хотя первое объемное телевизионное изображение, получен-
полученное на ином принципе, было продемонстрировано Шмаковым
17 лет назад [19], дальнейшие перспективы трехмерного теле-
телевидения связываются именно с голографией. Разработка таких
систем интенсивно обсуждается и, по-видимому, прогрессирует.
Так, есть сообщения, что уже в 1967 г. будет показан макет ком-
коммерческой голографической системы, передающей трехмерные
изображения и требующей полосу не более 6 Мгц [36].
Впервые идея голографического телевидения была, по-види-
по-видимому, высказана Роджерсом [106] в его патенте от 1958 г. — еще
до изобретения лазера. Наиболее подробное обсуждение требо-
требований к голографической системе трехмерного телевидения при-
приведено в работе [86]. Показано, что такая система потребует
полосу около 10" гц (при разрешении телеэкрана 700 ли-
линия! aim) '). что на четыре порядка превышает полосу совре-
современного телеканала. Поэтому передача трехмерных изображе-
изображений по обычному телеканалу возможна в настоящее время
лишь для простых объектов или в режиме медленного скани-
сканирования.
Если изготовить крупноструктурные голограммы, выбирая
малый угол между предметными опорным пучками, то их можно
будет сразу же передавать по телевидению. Первую успешную
телетрансляцию [37] таких голограмм уже удалось провести.
Однако этот метод пригоден лишь для малых двумерных пред-
предметов типа транспаранта. По сравнению с обычной телетранс-
телетрансляцией он имеет лишь те преимущества, что информация об
изображении передается в закодированном виде и что такая
передача отличается высокой помехоустойчивостью. Даже поте-
потеряв до 90% информации (например, 9 из 10 мин связь не ра-
работала из-за помех), можно восстановить различные контуры
всего исходного изображения.
Другой возможный путь — телевидение в СВЧ-диапазоне [66].
В качестве СВЧ-голограммы можно использовать многоэлемент-
многоэлементные антенные решетки. Количество информации, содержащейся
в голограмме, которая получена в миллиметровом диапазоне,
не слишком велико и* может быть передано обычными средства-
средствами. Наблюдение на приемном конце телеканала предполагается
осуществить путем облучения лазером уменьшенной голограммы.
Однако такие голограммы очень малы и не дают заметного
параллакса. Если склеить набор таких голограмм, предмет
') В настоящее время лабораторные макеты телеэкранов «Эйдофор»
имеют разрешение не свыше 100 линия/мм.
ПРИМЕНЕНИЯ ГОЛОГРАФИИ
335
будет виден таким, как будто его наблюдают через множество
маленьких отверстий в экране.
Дальнейшее наступление на голографическое телевидение,
очевидно, пойдет с нескольких сторон. Во-первых, совершенство-
совершенствование телевизионной техники позволит повысить скорость пере-
передачи1) и качество трехмерности голографических изображений.
Далее, развитие лазерной техники обеспечит создание сверх-
сверхширокополосных оптических линий связи, а также соответствую-
соответствующих систем модуляции и сканирования световых пучков. По-ви-
По-видимому, использование лазерного луча является единственным
путем передачи колоссального объема информации, заключен-
заключенной в голограмме.
Третье направление связано с разработкой динамических
приемников изображения и более быстродействующих экранов
с повышенной разрешающей способностью. Сегодня особенно
перспективными кажутся фотохромные материалы и термопла-
термопластики. У первых разрешение находится на молекулярном уровне,
но пока мала чувствительность. Вторые отличаются быстродей-
быстродействием— уже сейчас изготовление голограммы занимает не-
несколько секунд, и это время может быть снижено до долей секунды.
Кроме того, голографическое телевидение должно изыскать
средства экономии полосы пропускания. Например, можно без
значительного ущерба уменьшить поле зрения в вертикальном
направлении. Необходимо, кроме того, воспользоваться и тем,
что последовательные изображения лишь слегка отличаются
друг от друга. Создавая у края голограммы расходящийся
опорный луч, можно значительно укрупнить наименьший эле-
элемент голограммы. Возможны также затемнение несущественных
деталей изображения и другие оптические трюки. Наконец, не
вся записанная на голограмме информация требуется для вос-
восстановления изображения, и нужно научиться управлять этим
свойством избыточности.
11. Томографическая оптика
Созданию безлинзовой оптики и применению голограмм в
линзовых системах пока посвящено относительно небольшое
число работ. Очевидно, эти применения начнут интенсивно раз-
развиваться, когда будет отработана необходимая голографическая
методика, а также преодолена некоторая инерция заинтересо-
') Исходя из того что голограмма 25x25 см2 содержит 6- 1010 элементов
(при разрешении 1000 линия/мм), нетрудно подсчитать, что сегодня ее пере-
передача по стандартному каналу с полосой 8 • 10е гц займет около 2 час.
23*

336
ОБЗОР
ванных исследователей, которая объясняется приверженностью
к традиционным методам.
Последнее особенно характерно для линзовой оптики, где
сложившаяся методика доведена до совершенства, и новичку,
каким является голограмма, трудно пробить себе дорогу. Тем
не менее уже ясно, что голограмма в ряде случаев окажется
полезной и даже может вытеснить линзу. Например, разработан
фотоаппарат без единой линзы, в котором фокусировка осуще-
осуществляется зонными пластинками Френеля [67]. Для проведения
астрономических экспериментов желательно устанавливать на
спутниках большие телескопы. Стеклянная линза диаметром
3 м весит 3 т. Зонная пластинка таких же размеров из тонкого
пластика почти невесома. К тому же ее можно сложить и раз-
развернуть на орбите в большой лист [69]. Для изготовления зон-
зонных пластинок достаточно сфотографировать интерференцион-
интерференционную картину. Это значительно проще, чем провести притирку,
доводку и полировку оптической линзы.
Зонные пластинки найдут применение в лазерной связи [67].
На передающем конце они позволят резко сколлимировать по-
посылаемый сигнал. На приемном конце, зонные пластинки будут
фокусировать широкие пучки диаметром до 10 ж.
Однако не следует забывать о хроматизме голограмм и, в
частности, зонных пластинок, обусловленном их дифракцион-
дифракционным происхождением. Очевидно, основное применение гологра-
фическая оптика найдет в когерентных системах, хотя известны
методы ахроматизации голограмм, позволяющие использовать
их и с немонохроматическим светом [68, 101].
Отметим также невысокую собирающую способность голо-
голограмм, обычно не превышающую 10—20%- Методы изготовле-
изготовления голограмм с высоким к. п. д. пока еще мало разработаны.
Голограммы находят применение и в комбинации с линзами
для устранения сферических аберраций последних [123], для
исследования передаточных функций оптической системы [40] и
для изготовления дифракционных решеток высокого разреше-
разрешения [45].
ЛИТЕРАТУРА
1. Александров Е. Б., Бонч-Бруевич А М., ЖТФ XXXVII B)
360—369 A967).
2. Бахрах Л. Д., Курочкин А. П., ДАН СССР, 171 F), 1309—1312.
A966).
3. Бородина С. В., Радиоэлектроника за рубежом B7—28), 78—84
A966).
4. Денисюк Ю. Н„ ДАН СССР, 144 F), 1275 A962).
5. Денисюк Ю. Н., Оптика и спектроскопия, 15 D), 522—532 A963).
ПРИМЕНЕНИЯ ГОЛОГРАФИИ
337
6. Денисюк Ю. Н., Об отображении оптических свойств объекта в вол-
волновом поле рассеянного им излучения. Диссертация на соискание
ученой степени кандидата физико-математических наук, 1963, 133 стр.,
34 рис., библ. 49 назв.
7. Денисюк Ю. Н„ Оптика и спектроскопия, 18 B), 275—283 A965).
8. Денисюк Ю. Н., Успехи научной и прикладной фотографии и кине-
кинематографии, 11 A), 46—56 A966).
9 Зайдель А. Н., Островская Г. В., Островский Ю. И., Че-
Челидзе Т. Я., ЖТФ, XXXVI A2), 2208—2210 A966).
10. Комар А. П., Стабников М. В., Турухано Б. Г., ДАН СССР,
169E), 1052, 1053 A966).
11. Лейт Э., Упатниекс Ю., УФН, 87 C), 521—538 A965); см. также
Наука и жизнь, A1), 22—31 A965).
12. My ста фи н К. С, Селезнев В. А., Штырков Е. И., Оптика и
спектроскопия, XXII, вып. 2, 319—320 A967).
13. Налимов И. П., Зарубежная радиоэлектроника B), 3—28 A966).
14. Налимов И. П., Авторское свидетельство по заявке № 1062342/26-25
от 12.3.66, выданное 5.11.66.
15. Островская Г В., Островский Ю. И., Письма в редакцию
ЖЭТФ, IV D), 121 — 123 A966).
16. Пл атоненко В. Т., УФН, 87 C), 575—580 A965).
17. Сор око Л. М, Лекции по голографии, Препринт ОИЯИ, март 1963.
18. Сор око Л. М, УФН, 90 A), 1—46 A966). Библ. 98 назв.
19. Шмаков П. В., Цветное и объемное телевидение, М, 1955, 54 стр.
Al Ph Ltt D 92 A95
, ,
20. Brooks R. E., et al., Appl. Phys. Lett., 7 D), 92 _A965).
k , flgL О, Wrk
EL, QE-2 (8), 275—279 A966).
kh dt С В J Ot
21. В г о о к s R. E., H e f 1 i n g e r L. О., W u е г к e r R. F., IEEE Journ. Quant.
, Q (), ()
22. Burckh ardt С. В., J. Opt. Soc. Am., 56 A1), 1502—1509 A966).
23 Burch J. M, Production Engineer, 44 (9), 436, 444 A965).
24. Bur с h J. M. Ennos A. E, Wilton R. J., Nature, 209 E027), 1015
A966).
25. Carcel J. T. et al., Appl. Optics, 5 G), 1199—1201 A966).
26. Carter W. H., Dougal A. A., Electronics, 39 A0), 204 A966).
27 Carter W. H, Engeling P., Dougal A. A., IEEE J. Quant. EL,
QE-2 B), 44 A966).
28. С о 11 i e r R. J., D о h e 11 у Е. Т., P e n n i n g t о n K. S., Appl. Phys. Lett.,
7 (8), 223—225 A965).
29. Collier R. J., Pennington K. S., Appl. Phys. Lett., 8 B), 44
A966).
30 DeVelisJ. В ParrentG. B, Thompson B. J., /. Opt. Soc. Am.,
56 D), 423-427 A966).
31. Dooley R. P., Proc. IEEE, 53 A1), 1733—1735 A965); русский перевод:
Зарубежная радиоэлектроника, D), 131—133 A966).
32. El. News, E36), 26 A966).
33. El. Weekly, B98), 6 A966).
34. Electronics, 39 A1), 35 A966).
35. Electronics, 39 A5), 94 A966).
36. Electronics, 39 B4), 25 A966).
37. E n 1 о e L. H., M u r p h у J. A., R u b i n s t e i n С. В., Bell Syst. Techn. J.,
45 B) 335—339 A966); русский перевод: Зарубежная радиоэлектро-
радиоэлектроника, A1), 31—33 A966).
38 Erdos P., IBM Techn. Disci. Bull., 9 C), 291 A966).
39. Field R. K-, Electronic Design, A5), 17—18 A966).
40. F r a n с о n M. L о w e n t h a 1 S., May M., Prat R., Compt. Rend., 263
C), 237-240 A966).
41. Friesera A. A., Appl. Phys. Lett., 7 D), 102 A965).

338
ОБЗОР
42. Friesem A. A., Fedorowicz R. J., Appl. Optics, 5 F), 1085, 1086
A966).
43. Gabor D., Nature, 208 E009), 422, 423 A965).
44. Gabor D., Electronics, 39 A5), 94 A966).
45. George N,, Matthews J. W., Appl. Phys. Lett., 9 E), 212—219
A966).
46. Givens M. P., S i emen s - W ap n i a r s ky W. J., /. Opt. Soc Am, 56
D), 537 A966).
47. Goodman J. W., Hunt ley W. H., Jr., Jackson D. W., L e h-
mann M., Appl Phys. Lett., 8 A2), 311 A966).
48. Grant R. M., L i 11 i e R. L., Bar net t N. E., /. Opt. Soc. Am., 56 (8),
1142 A966).
49. Greguss P., /. Phot. Sci., 14 F), 329—332 A966).
50. Haines K. A., Hildebrand B. P., IEEE Trans, on IM, IM-15 D),
595—602 A966).
51. H a i nes K. A., H i 1 debr an d B. P., Appl. Optics, 5 D), A966); русский
перевод: Зарубежная радиоэлектроника E), стр. 100—112 A966).
52. Hef linger L. О., Wuerker R. F., Brooks R. E., Appl. Phys., 37
B) ,642—649 A966).
53. H e r s с h P., El. News, D95), 5 A965).
54. H i ldeb r and B. P., Haines K. A., /. Opt. Soc. Am., 56 D) 537
A966).
55. H ild ebr a nd B. P., Haines K- A., Phys. Lett, 21 D), 422, 423
A966).
56. Hioki R., Suzuki Т., Jap. J. Appl. Phys., 4 A0), 816 A965).
57. Huang T. S., Prasada В., MIT Res. Lab. of Electronics. Quart. Prog,
Rep. № 81, 1966, p. 199—205.
58. IEEE Spectrum, 3 A1), 114 A966).
59. Jacobson A. D., Me Clung F. J., Appl. Optics, 4 A1), 1509 A965).
60 J e о n g T. H., R u d о 1 f P., L u с k e 11 A., J. Opt. Soc. Am., 56 (9), 1263,
1264 A966).
61. Kakos A., Ostrowskaya G. H., Ostrovskii J u. I., Z a i-
del A. N.. Phys. Lett., 23 A), 81—83 A966).
62. Kirk J. P., Appl. Optics, 5 A0), 1684, 1685 A966).
63. Кпох С, Science, 153, 989 A966).
64. Kock W. E, Harvey F. K-, Bell Syst. Techn. J., 20. 564-587 A951).
65. Kock W. E., Sound waves and light waves, N. Y., 1965; русский пере-
перевод: Кок У., Звуковые и световые волны, М., 1966.
66. Kock W. E., Proc. IEEE, 54 B), 331 A966).
67. Kock W. E., El. News, E67), 32 A966).
68. Kock W. E., Proc. IEEE, 54 A1), 1610, 1611 A966).
69. Kock W. E, Rosen L, Rendeiro J., Proc. IEEE, 54 A1), 1599, 1600
A966).
70. Kogelnik H., Bell Syst. Techn. J., 44 A0), 2451—2454 A965).
71 Land г у J., /. Opt. Soc. Am., 56 (8), 1133 A966).
72. Lanza C, IBtyl Techn. Disci. Bull, 8, 1559, 1560 A966).
73. Laser Focus, 1 F), A965).
74. Laser Focus, 2 F), 5 A966).
75 Laser Focus, 2 G), 4, 5 A966).
76. Laser Focus, 2 A0), 10 A966).
77 Laser Focus, 2 A1), 8 A966).
78. Laser Focus, 2 A3), 7 A966).
79. Laser Focus, 2 A3), 15 A966).
80 Laser Focus, 2 A4), 4 A966).
81. Laser Focus, 2 A7), 30—32 A966).
82 Laser Focas, 2 A9), 11 A966).
ПРИМЕНЕНИЕ ГОЛОГРАФИИ
339
83.
84.
Laser Focus, 2 B0), A966).
Leith E.
A965).
L e i t h E.
981—986
N., Upatnieks J., J. Opt. Soc. Am., 55E), 569, 570
N., U p a t n i e к s J., Haines
A965).
K. A., J. Opt. Soc. Am., 55 (8),
(
86. Leith E. N., Upatnieks J., Hildebrand B. P., Haines K. A.,
J. SMPTE, 74 A0), 893—896 A9651; русский перевод: Зарубежная
радиоэлектроника, E), 3—11 A966).
87. Leith E. N. et a!., Appl. Optics, 5 (8), 1303—1312 A966).
88. Leith E. N. et al., /. Opt. Soc. Am., 56 D), 536 A966).
89. Leith E. N.. Upatnieks J., К о z m a A., M a s s e у N., J. SMPTE,
75D), 323 A966); русский перевод: Зарубежная радиоэлектроника,
A), 142—147 A967).
90. Lin L. H., Pennington К. S., Bell Lab. Rec, 43 A0), 416 A965)\
91. Lin L. H., Pennington K- S., Stroke G. W., Labeyrie A. E.,
Bell Syst. Techn. J., 27 D), 659, 660 A966).
92. Lohmann A. W., /. Opt. Soc. Am., 56 D), 537 A966).
93. Lohmann A. W., Armi tage J., J. Opt. Soc. Am., 54 A1), 1404 A964).
94. Meier R. W., /. Opt. Soc. Am., 55 (8), 987—992 A965).
95. Mueller R. K., Sheridon N. K., Appl. Phys. Lett., 9 (9), 328, 329
A966); см. также Electronics, 39 B4), 37, 38 A966).
96. N a ssens tei n H., Phys. Lett., 21, 290, 291 A966).
97. Nassimbene E. G., IBM Techn. Disci. Bull., 8, 1397, 1398 A966).
98. New Scientist, 31 E03), 18 A966).
99. P a q u e s H., S m i g i e 1 s k i P., Compt. Rend., 260 B5), 6562—6564
A965).
100. Paques H., Smigielski P., Optica Ada, 12 D), 359—378 A965).
101. P a q u es H., Proc. IEEE, 54 (9), 1195 A966).
102. Par rent G. В., Thompson B. J., Optica Ada, 11 C), 183—192
A964).
103. Pennington K. S., Collier R. J., Appl. Phys. Lett., 8 A), 14—16
A966).
104. Pole R. V., Wieder H., Myers R. A., Appl. Phys. Lett., 8 (9), 229—
231 A966).
105 Powell R. L, Stetson K- A., /. Opt. Soc. Am., 55 A2), 1593—1598
A965).
106 Rogers G., /. Sci. Instr., 43 A0), 677 A966).
107. Rotz F. В., Friesem A. A., Appl. Phys. Lett., 8 F), 146—148 A966);
см. также исправление Appl. Phys. Lett., 8 (9), 240 A966).
108. Schawlow A., Microwaves, 5 G), 16 A966).
109 Science News, 90 A8), 349 A966).
110 Spitz E., Weits A, Compt. Rend., 262 A1), 758—760 A966).
111 Stetson К A., Powel 1 R. L., /. Opt. Soc. Am., 55 A2), 1694, 1695 A965).
112. Stetson K. A., Powell R. L., /. Opt. Soc. Am., 56 (9), 1161 — 1168
A966).
113. Story J. В., В a Hard G. S., Gibbons R. H., /. Appl Phys., 37 E),
2183 A966).
Stroke G. W., Zech R. G., Appl. Phys. Lett., 9E), 215—217 A966).
W Ph L 2 E 325327 A966)
114
115
116
117. Super tzi E. P., Ri
118. Tanner L. H., J. Sci.
, , pp y
Stroke G. W., Phys. Lett., 23 E), 325—327 A966).
Stroke G. W., Labeyrie A. E., Phys. Lett, 20 B),
i A / Ot S A 56
, y (
ler A. K., /. Opt. Soc. Am.,
nstr., 43 B), 81—83 A966).
t 43 E) 346 A966)
)
56
157-159 A966).
D), 524 A966).
, , (), (
119 Tanner L. R, 1. Sci. Instr., 43 E), 346 A966).
120. Tanner L. H., /. Sci. Instr., 43 A2), 878—887 A966).
121. Tyler G. L., /. Geophys. Res., 71, 1559—1567 A966); русский перевод:
Зарубежная радиоэлектроника (9), A967).

340
ОБЗОР
122. Upatnieks J., Marks J., Fedorowicz R. J., Appl. Phys. Lett., 8
A1), 286 A966).
123. Upatnieks J., Van d e r L u g t A., L e i t h E. N., Appl. Optics, 5 D),
589—593 A966).
124. Van Ligten R. F., Osterberg H., Nature, 211 E046), 282 A966).
125. W e 1 f о r d W. Т., Appl. Optics, 5 E), 872 A966).
126. Wi nth гор J. Т., Worthington С R, Phys. Lett., 21 D), 413A966).
БИБЛИОГРАФИЯ ')
Обзоры
1. D i с к i n so n A. Dye M. S., Principles and practice of holography, Wire-
Wireless World, 73 B), 56—61 A967).
2. Elliott E. R., Lasers —where they are now, El. Weekly C34), 7, 34
A967).
3. Ennos A. E., Holography and its applications, Contemp. Phys., 8 B),
153-170 A967).
4. Francon M., La coherence en Optique, Atomes B41), 162—166 A967).
5. G a b о r D., Les transformations de l'information en Optique, Optica Acta,
13 D), 299—310 A966).
6. Ma re dial A., Theory and practice of image formation, /. Opt. Soc. Am.,
56 A2), 1645—1648 A966).
7. Marquet M., Performances en holographie, Revue d'Optique, 45 (9),
404—416 A966).
8. Ramberg E. G., The hologram —properties and applications, RCA Re-
Review, 27 D), 467—500 A966).
9. Smith А. В., Direct-view 3-D images!, Radioelectronics, XXXVIII A),
46—49 A967).
10. Yates J. M., Wavefront image evaluation, Br. J. Photogr., 133 E518),
328—330, 343 A966).
Физическая оптика
1. Павленко Ю. Г., Восстановление процесса упругого рассеяния в коге-
когерентном свете, ЖЭТФ, 52 C), 699—701 A967).
2. Champagne E. В., Nonparaxial imaging, magnification, and aberration
properties in holography, /. Opt. Soc. Am., 57 A), 51—55 A967).
3. Konjaev K. V., Interference method of twodimensional Fourier transform
with spatially incoherent illumination, Phys. Lett., 24A (9), 490—491
A967).
4. R e у п о 1 d s G. O., D e V e 1 i s J. В., Hologram coherence effects, IEEE
Trans, on АР, АР-15 A), 41—48 A967).
5. Roig J., Taravellier R., Mas G.. Interferences entre une onde cohe-
«rente 2' emise par un laser et une onde 2" diffractee par un object de
faibles dimensions, dans !e cas d'un faisceau forment astigmatique,
Compt. Rend, 263 A8), 1014—1017 A966).
Методика
I. Микаэлян А. Л.. Разумов Л. Н., Сахарова Н. А., Тур-
ков Ю. Г., О получении голограмм Фурье с помощью импульсного
рубинового лазера. Письма в редакцию ЖЭТФ, 5 E), 148—150 A967J1.
') См. также стр. 189. — Прим. ред.
ПРИМЕНЕНИЕ ГОЛОГРАФИИ
341
2. Bolstad J. О., Holograms and spatial filters processed and copied in
position, Appl. Optics, 6 A), 170 A967).
3. В rumm D. В., Double images in copy holograms, Appl. Opt.,в C),588 A967).
4. Carpenter R. L., Clifford K. I., Simple inexpensive hologram vie-
viewer, /. Opt. Soc. Am., 57 B), 276 A967).
5. De M., Sevigny L, Polarisation holography, J. Opt. Soc. Am., 57 A),
110—111 A967).
6. D e В i t e 11 о D. J., White-light viewing of surface holograms by simple
dispersion compensation, Appl. Phys. Lett., 9 A2), 417—418 A966).
7. Froehly C, Etude holographique du second harmonique de l'onde emise
par un laser a rubis, Compt. Rend., 263 B3), 1304—1307 A966).
8. Kock W. E., Rosen L., Rendeiro J., Realism of lens action in holo-
holograms, Proc. IEEE, 54 A2), 1985 A966).
9. Kock W. E., Rosen L., Stroke G. W., Focues-image holography —
a method for restoring the third dimension in the recording of conven-
conventionally-focused photographs, Proc IEEE, 55 A), 80—81 A967).
10. Martienssen W., Spill er S., Holographic reconstruction without
granulation, Phys. Lett., 24A B), 126—127 A967).
11. Rosen L., Apparent rotation of hologram virtual images, J. Opt. Soc Am,
57 B), 278—279 A967).
12. Rosen L, Holograms of the aerial image of a lens, Proc. IEEE, 55 A),
79—80 A967).
13. Rosen L., The pseudoscopic inversion of holograms, Proc. IEEE, 55 A),
118 A967).
14. Stroke G. W., Funkhouser A., Leonard C, Indebetouw G.,
Zech R. G., Hand-held holography, J. Opt. Soc. Am., 57 A), 110 A967)!
15. Suzuki Т., Hioki R., Frequency response of photographic emulsion in
holography, Jap. J. Appl. Phys., 5 A2), 1257—1259 A966).
16. V a n d e w a r к er R., Snow K., Low spatial frequency holograms of
solid objects, Appl. Phys. Lett., 10 B), 35 A967).
17. Yoshihara K., Kitade A., Holographic spectra using a triangle path
interferometer, lap. J. Appl. Phys., 6 A), 116 A967).
18. Complete holographic «camera» system, Microwaves, 6 A), 62, 64 A967),
Трехмерная фотография
1. Friesem A. A., Fedorowicz R. J., Multicolor wavefront reconstruc-
reconstruction, Appl. Optics, 6 C), 529—538 A967).
2. Greguss P., Ultrasonoholography, Sci. Journ., 2 D), 83 A966).
3. Hi 1 deb rand B. P., Haines K. A., Multiple-wavelength and multiple-
source holography applied to contour generation J. Opt. Soc Am 57
B), 155-162 A967).
4 M a r о m E., Color Imagery by wavefront reconstruction /. Opt Soc Am,
57 A), 101—102 A967).
5 Pole R. V., 3-D imagery and holograms of objects illuminated in white
light, Appl. Phys. Lett., 10 A), 20—22 A967).
6 Stroke G. W., Westervelt F. H., Zech R. G., Holographic synthesis
of computer-generated holograms, Proc IEEE, 55 A), 109—111 A967).
7 Thompson B. J., Ward J. H, Particle sizing — the first direct use of
holography, Sci. Research., 1 A1), 37 A966).
8 Thompson B. J., Ward J H., Z i n к у W. R., Application of hologram
techniques for particle size analysis, Appl. Optics, 6 C), 519—528 A967).
9. Tricoles G., Rope E. L., Wavefront reconstruction with centimeter wa-
waves, /. Opt. Soc. Am., 56 D), 542 A966).
10. Tricoles G., Rope E. L., Reconstructions of visible images from redu-
reduced-scale replicas of microwave holograms, J. Opt. Soc Am., 57 (П
97—99 A967), v

342 , обзор
Ward J. H., Thompson В. J., In-line hologram system for bubble-
chamber recording, J. Opt, Soc. Am., 57 B), 275—276 A967).
Waters J. P., Holographic image synthesis utilizing theoretical method's,
Appl. Phys. Lett., 9 A1), 405—407 A966).
Fingerprints in 3-D, Electronics, 40 F), 52 A967).
11.
12.
13.
Распознавание образов
Multiple recording
of holograms, Optica
1. March an t M., Knight D.,
Ada, 14 B), 199—201 A967).
2. Marquet M., Bourgeon M. H., Saget J. C, Quelques applications de
l'holographie, Compt. Rend., 264 A), 35—37 A967).
3. V i с n о t J. Ch., В u 1 a b о i s J., Differenciation spectrale et filtrage par
hologramme de signaux optiques faiblement decorrelees, Optica Ada,
14 A), 5770 A967).
Интерференционная память
Ники тюк Н. М., Свет,
ние», 1967, 47 стр.
J В J
кванты и вычислительная техника, изд-во «Зна-
«Знание», 1967, 7 р
2. Brinton J. В., Jr., Remember with microwaves or lasers. The two techno-
technologies are vying for future computer-memory applications, Microwaves,
6 A), 10, 12, 116 A967).
3. Burckhardt С. В., Display of holograms in white light, Bell Syst. Techn
J., 45 A07), 1841 A966).
4. Is memory holographic?, New Scientist, E31), 221 A967).
Интерферометрия
1. Wolfe R., Doherty E. Т., Holographic interferometry of the distortion
of thermoelectric cooling modules, /. Appl, Phys., 37 A3) 5008—5009
A966).
Голографический метод в интроскопии
1. Morgan S. P., Restoring atmospherically degraded images, Nature, 213
E080), 465—469 A967).
Голографическая микроскопия
1. С a r t e r W. H., D о u g a 11 A. A., Field range and resolution in holography,
/. Opt. Soc. Am., 56 A2), 1754—1759 A966).
2. De M., Sevigny L., Three-beam holography, Appl. Phys. Lett., 10 C),
78—79 A967).
3. Ellis G. W., Holomicrography: transformation of image during reconstru-
reconstruction a posteriori, Science, 154 C754), 1195—1197 A966),
4. Holograms to get 1С picture, Electronics, 40 G), 26 A967).
Голографическое кино
1. Щ е к о ч и х и н В., Стереокино на принципах лазерной голографии, Кино-
Киномеханик, 4, 41—43 A967).
2. Hologram magnification technique developed, Laser Focus, 2 B4), 4 A966).
3. R о s s R. M. Ring hologram for 3-D display-single concept motion picture,
IBM Techn. Disci. Bull, 9 D), 390 A966).
Оглавление
Предисловие редактора русского издания 5
Предисловие к русскому изданию 11
Предисловие . 13
Гл. 1. Введение 15
1. Современная оптика — раздел радиоэлектроники 15
2. Теория — основа радиооптики .... . - 15
3. Математические методы современной оптики , . . . . .16
4. Краевая задача дифракции электромагнитных волн в оптике и
некоторые ограничения операционного метода 17
5. Решение краевой задачи на примере дифракционной решетки . . 19
6. Дифракционная решетка как несущая, используемая для переда-
передачи информации в оптике (применительно к методу восстановле-
восстановления волнового фронта, или голографии) 23
7. Оптика и теория связи. Исторический обзор 29
Гл. 2. Качественная теория дифракции 33
1. Две стороны дифракции света 33
2. Распределение интенсивности в дифракционной картине и в спектре 33
2.1. Решение электромагнитной краевой задачи 33
2.2. Проблема образования изображения и принцип Гюйгенса 38
3. Теория образования изображения и обработка оптических сигна-
сигналов при помощи преобразования Фурье 41
Гл. 3. Образование изображения при некогерентном освещении .... 43
1. Изображение точечного источника .43
2. Сложение света, падающего из нескольких точек источника на
отдельную точку изображения 45
3. Функция разброса .46
4. Изображение протяженного источника при некогерентном осве-
освещении 46
5. Метод расчета интенсивности изображения и передаточной функ-
функции 47

344
ОГЛАВЛЕНИЕ
49
6. Анализ процесса образования изображения в пространстве фурье-
координат
7. Физический смысл функции разброса и анализ процесса обра-
образования изображения в плоскости фурье-координат ..... 51
7.1. Точечный источник создает картину дифракции, совпадаю-
совпадающую с функцией разброса 52
7.2. Синусоидальный по интенсивности предмет имеет функцию
пространственно-частотного отклика, совпадающую с фурье-
образом дифракционной картины . 53
8. Использование фурье-координат для синтеза предметных функций 55
Гл. 4. Когерентность света (экспериментальные характеристики)
57
1. Введение 57
2. Определение когерентности 58
2.1. Корреляционный метод 58
2.2. Интерференционный анализ временной когерентности ... 59
а. Монохроматический свет (одночастотный источник) ... 59
б. Полихроматический свет (некогерентный источник) .... 60
2.3. Сравнение корреляционного и интерференционного методов 61
2.4. Узкий спектр с прямоугольным контуром 61
2.5. Фотоэлектрический интерферометр с подвижным зеркалом
в случае гауссова контура спектральной линии 62
2.6. Физический смысл спектра мощности 64
а. Сигнал одной частоты 64
б. Сигнал многих частот 66
2.7. Гетеродинный анализ сигналов и биений 67
а. Биения когерентных волн. Допплеровское смещение частот
света, отраженного от движущегося зеркала ...... 67
б. Допуск на непараллельность двух интерферирующих волн
в фотоэлектрических интерферометрах и в гетеродинных эк-
экспериментах 70
в. Фотоэлектрическое смешение некогерентного света .... 73
г. Фотоэлектрическое смешение когерентного света от лазера
с некогерентным тепловым излучением 73
2.8. Пространственная когерентность , . 76
2.9. Частичная когерентность света от протяженного некогерент-
некогерентного источника . 80
а. Двухщелевой интерферометр Юнга и звездный интерферо-
интерферометр Майкельсона 83
2.10. Корреляция интенсивности при частичной когерентности . , 85
2.11. Интерферометр интенсивности 86
а. Метод первый 87
б. Метод второй 88
ОГЛАВЛЕНИЕ
345
Гл. 5. Образование изображения при когерентном освещении 90
1. Введение .90
2. Когерентное освещение до
2.1. Пример 1: освещение точечным источником протяженной
области 9о
2.2. Пример 2: эквивалентность когерентного предмета и коге-
когерентного освещенного предмета 91
3. Образование изображения при когерентном освещении как про-
процесс двойной дифракции ..... 92
4. Критерии разрешения Аббе и Релея 94
5. Передаточная функция при когерентном и некогерентном осве-
освещении 97
6. Фазовый контраст 98
7. Оптическая фильтрация с помощью голограммы согласованного
фильтра 100
7.1. Процедура изготовления согласованного фильтра и операция
фильтрации . ЮЗ
8. Оптическая обработка информации, корреляционный анализ и оп-
оптические корреляторы Ю7
8.1. Анализаторы спектра Ю7
8.2. Оптический кросс-коррелятор . По
9. Интерферометрия и оптический синтез изображения (сложение
комплексных амплитуд) методом последовательного наложения
голографических картин на одну голограмму 111
Гл. 6. Теоретические и экспериментальные основы оптической голо-
голографии ид
1. Экспериментальные основы ш 120
2. Теоретические основы . 123
2.1. Процесс получения голограммы 129
2.2. Процесс восстановления изображения 131
2.3. Физические принципы голографии ...... 133
2.4. Геометрическое увеличение . 135
2.5. Разрешающая способность 158
3. Голография Фурье с высоким разрешением 140
3.1. Введение 140
3.2. Физические основы безлинзовой голографии Фурье высокого
разрешения 144
3.3. Теория безлинзовой голографии Фурье .... 146
3.4. Сопоставление разрешающих способностей голографии Фурье
и голографии Френеля цд

346
ОГЛАВЛЕНИЕ
4. Компенсация протяженности источника в голографии ..... 152
4.1. Краткая теория 153
4.2. Строгая теория , . 158
4.3. Некоторые выводы . 161
5. Требование к когерентности в голографии 162
6. Сводка основных результатов 164
7. Электронный микроскоп и рентгеновский голографический микро-
микроскоп 173
8. Заключение 173
9. Голография при некогерентном освещении 175
9.1. Голографическая спектроскопия Фурье при спектрально-
некогерентном источнике 176
9.2 Голография при пространственно-некогерентном освещении 183
Гл. 7. Преобразование Фурье. Операции свертки и корреляции. Спек-
Спектральный анализ. Теория распределений, или обобщенных функций 194
1. Преобразование Фурье
1.1. Некоторые свойства преобразования Фурье
1.2. Линейность
194
195
195
1.3. Теорема смещения 195
Д ж
196
198
198
199
199
200
200
200
201
201
202
205
205
3.2. Преобразование функции корреляции 205
4. Распределения, или обобщенные функции 208
4.1. Определения . 208
4.2. Импульсный отклик линейной системы 209
4.3. Отклик линейной системы на произвольную входную функцию 210
5. Спектральный анализ .211
С т р о у к , А. Л а б е й р и. Восстановление голографических изо-
изображений в белом свете с использованием дифракционного эффекта
Липпмана — Брэгга (дополнение автора к русскому изданию) 213
1.4. Обратная теорема смещения .......
1.5. Таблица свойств преобразования Фурье ....
1.6. Двумерное и многомерное преобразования Фурье
1.7. Изменение масштаба и преобразование Фурье
1.8. Фурье-образ комплексно-сопряженной функции
1.9. Тригонометрическая форма преобразования Фурье
1.10. Свойства симметрии
2. Свертка
2.1. Определение свертки . . . .
2.2. Кратные свертки и свертки нескольких функций .
2.3. Теорема свертки (фурье-образ свертки) ....
3. Функция корреляции . . .
3.1. Определение функции корреляции
ОГЛАВЛЕНИЕ
347
Г а б о
р Д Микроскопия на основе метода восстановления
фронта, I
волнового
точечного
Введение
Принцип восстановления волнового фронта
Освещение сферической волной
Восстановление при освещении точечным источником
Побочная часть волны при восстановлении с помощью
источника . , ,
Улучшение разделения изображений с помощью масок и других ме-
методов ,
Освещающие волны с астигматизмом и сферической аберрацией . ,
Восстановление при наличии сферической аберрации и астигматизма
Критерии когерентности .
Восстановление в оптическом диапазоне
Экспериментальная проверка
Заключение
218
218
222
226
231
234
243
245
251
254
257
262
269
Г а б о р Д. Микроскопия на основе метода восстановления волнового
фронта, II
1. Введение
2. Принцип восстановления волнового фронта . ,
3. Теория образования изображения при использовании метода про-
пропускания
4. Восстановление
5. Критерии когерентности
6. Условия, необходимые для получения голограмм
7. Восстановление по методу темного поля
Применения голографии (обзор)
1. Введение
2. Трехмерная фотография
3. Распознавание образов
4. Интерференционная память
5. Интерферометрия ,
6. Голография в технологии ....
7. Голографический метод в интроскопии
8. Голографическая микроскопия . . .
9. Голографическое кино . . . .
10. Голографическое телевидение ....
П. Голографическая оптика
270
270
271
. 277
. 286
. 289
. 296
. 298
, 302
302
307
314
316
319
323
325
330
333
333
335