Популярные лекции
ПО МАТЕМАТИКЕ
В.Г. ШЕРВАТОВ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ
*
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
TEXHS1KO ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТСРЛТ>РЫ
МОСКВА • t «>14

ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ
ВЫПУСК 16
В. Г. ШЕРВАТОВ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 19 5 4
1ЬЗ-1
В. Г. Шерватов, Гиперболические функции
Редактор А. Ф, Лапко
Техн, редактор С. С. Гаврилов	Корректор Л. О. Сечейко,
Сдано в набор 23/VI 1954 г. Подписано к печати 25/VIII 1954 г. Бумага 84X108V3t
Физ. печ. л. 1,43. Условн. печ. л. 2,88. Уч.-изд. л. 2,65. Тираж 25 000 экз. Т-05443
Цена книги 80 к.	Заказ № 1528.
Государственное издательство технико-теоретической литературы
Москва, Б. Калужская, 15
Министерство культуры СССР. Главное управление полиграфической
промышленности. 4-я тип. им. Евг. Соколовой.
Ленинград, Измайловский пр., 29.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая брошюра содержит элементарное изложение
теории так называемых «гиперболических функций», во мно-
гом аналогичных обыкновенным тригонометрическим функциям.
Гиперболические функции часто встречаются в разнообразных
физических и технических исследованиях; весьма важную
роль играют они также в неевклидовой геометрии Лобачев-
ского, участвуя во всех тригонометрических зависимостях
этой геометрии (см., например, книгу А. П. Нордена «Эле-
ментарное введение в геометрию Лобачевского», М., Гостех-
издат, 1953; по содержанию глава IX этой книги близка к
настоящей брошюре). Но и независимо от этих приложений
теория гиперболических функций может представлять значи-
тельный интерес для школьника и учителя средней школы,
так как аналогия между гиперболическими и тригонометри-
ческими функциями по-новому освещает многие вопросы три-
гонометрии.
Брошюра состоит из трех глав. Первая глава посвящена
гиперболическому повороту и его применению к изучению
свойств гиперболы; она может представлять и известный
самостоятельный интерес. Основное место занимает глава II,
в которой излагаются элементы теории гиперболических фун-
кций. Глава III тесно связана с брошюрой А. И. Маркушевича
«Площади и логарифмы», составляющей вып. 9 «Популярных
лекций по математике»; она устанавливает связь теории гипер-
болических функций с теорией логарифмов.
Иное построение теории гиперболических функций, не
использующее гиперфлического поворота, содержится в статье
Д. И. Перепелкина «Геометрическая теория гиперболических
функций», напечатанной в вып. 2 сборника «Математическое
просвещение», ОНТИ, М.—Л., 1934; к сожалению, в настоящее
время этот сборник представляет собой библиографическую
1*
3
редкость. Читателю брошюры Можно порекомендовать также
книгу Б. Н. Делоне и Д. А. Райкова «Аналитическая
геометрия»,: ч. 1, Гостехиздат, М. — Л., 1948, где содержит-
ся обширный материал, примыкающий к изложенному в пер-
вой главе.
Брошюра рассчитана на участников и руководителей
школьных математических кружков; она может быть также
использована и в работе вузовских кружков по математике.
Мелким шрифтом в главе III напечатан более трудный
материал, не рассчитанный на школьника. Впрочем, нигде
у читателя не предполагается никаких знаний, выходящих
за пределы курса средней школы.
Автор выражает искреннюю признательность И. М. Яглому,
помощь и указания которого сыграли значительную роль при
написании брошюры.
В. Г. Шерватов.
ГЛАВА I
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПОВОРОТ
§ 1. Сжатие к прямой
Часто при решении геометрических задач на построение
применяется преобразование сжатия к точке (это преоб-
разование называется также гомотетией или централ ь-
'но-подобным преобразованием). Сжатие к точке
О	я' д
Гш,г —11	С ' I О'
а)
о	д д'
1	1	•	' О  II о
б)
Черт. 1.
О (называемой центром сжатия) с коэффициентом
сжатия k состоит в том, что каждая точка А плоскости
переходит в точку А', которая лежит на луче ОА, при-
ОА'
чем ~^ = k, т. е. OA’ = k-OA (черт. 1, a, б). Если ко-
эффициент сжатия k больше 1, то О А' > ОЛ(черт. 1,5);в этом
случае преобразование следовало бы называть «расширением
от О». Сама точка О при сжатии к О остается на месте.
Всякая фигура F переходит при сжатии к точке О
в фигуру F', подобную первоначальной с центром подобия О
и коэффициентом подобия k (черт. 2). Если k < 1, то фигура
при этом уменьшается, а если k > 1, фигура увеличивается.
5
Всякая прямая при сжатии к точке переходит в прямую
(черт. За); параллельные прямые переходят в параллельные
(черт. 36). Всякая окружность при сжатии к точке перево-
дит в окружность, (черт. Зв).
Все отрезки плоскости при сжатии к точке уменьшаются
(или увеличиваются), в постоянном отношении k. Площади
всех фигур тоже уменьшаются (или увеличиваются) в постоян-
ном отношении, равном k-— квадрату коэффициента сжатия.
Действительно, пусть F есть плоская фигура. Рассмотрим еще
какую-то сеть мелких квадратов плоскости (черт. 4). Площадь F
приближенно равна числу квадратов, попавших внутрь F, умно-
женному на площадь квадрата; ошибка будет тем меньше, чем
мельче квадраты сетки. Выбирая квадраты достаточно малыми,
можно сделать ошибку меньше любого (сколь угодно малого!)
числа с. При сжатии к точке сеть квадратов переходит в но-
6
вую сеть квадратов, а фигура F—в фигуру F', внутри
которой будет заключаться столько же квадратов новой сети
(более мелких, если й< 1, и. более крупных, если k > 1),
сколько квадратов первоначальной сети помещалось внутри F.
Площадь F' приближенно равна числу заключенных внутри
нее квадратов, умноженных на площадь квадрата. Но пло-
щадь каждого нового квадрата равна площади первоначаДь-
Черт. 4.
ного квадрата, умноженной на (так как длина стороны
квадрата умножается на k). Поэтому площадь F' будет
равна площади F, умноженной на /г2.
А
О'
О
В качестве примера применения сжатия к точке разберем реше-
ние следующей задачи на построение: вписать в данный прямо-
угольный треугольник АВС прямоуголь-
ник BDEF с данным отношением сторон
(черт. 5).
Построим сначала произвольный прямо-
угольник BD'E'F' с данным отношением
сторон так, чтобы вершины D' и F' лежали
соответственно на сторонах АВ и ВС. Обо-
значим через Е точку пересечения луча BE'
и стороны АС треугольника. Легко ви-
деть, что сжатие с центром В и коэффи-
циентом сжатия k = переводит прямо-
угольник BD'E'F' в искомый прямоуголь-
ник BDEF. Пользуясь этим, легко по-
строить этот прямоугольник1).
Иногда в геометрии оказывается Черт. 5.
удобным применить другое преобразо-
вание — сжатие к прямой. Сжатие к .прямой о (назы-
ваемой осью сжатия) с коэффициентом сжатия k
!) Авалогично можно решать задачу и в том случае, когда дан-
ный треугольник АВС — не прямоугольный. Мы на этом не оста-
навливаемся.
7
состоит в том, что каждая точка А плоскости переходит в
точку А', которая лежит на луче РА, перпендикулярном к о,
РА?
причем -57 = k или РА' — k • РА (черт. 6 а, б). Если коэф-
г* лп
фициент сжатия k больше 1, то РА' > РА (черт. 6,6}; в этом
случае преобразование следовало бы называть «расширением
от о». Все точки прямой о при сжатии к о остаются на месте.
При сжатии к прямой фигура F переходит в новую фи-
гуру F', уже не подобную F (черт. 7).
Сжатие к прямой обладает рядом свойств, аналогичных
свойствам сжатия к точке. А именно:
а)	При сжатии к прямой всякая прямая переходит
в прямую.
Если прямая I параллельна о и отстоит от нее на расстоя-
нии d, то она переходит в прямую Г, тоже параллельную о
и отстоящую от нее на рас-
стоянии kd (черт. 8а).
Черт. 8а.
Пусть I не параллельна о; точку пересечения I и о обо-
значим через О (черт. 86). При сжатии к прямой о точка О
остается на месте. Пусть А — произвольная точка прямой I
8
(отличная от О), А' — точка, в которую переходит А при
сжатии к о; РА' — k • РА. Возьмем на прямой I другую
точку В; если В' есть точка пересечения перпендикуляра BQ,
опущенного из В на прямую о, с прямой О А', то	~
(следует из подобия треугольников OQB и ОРА, OQB' и
ОРА') или QB - ~ k • QB. Отсюда видно, что при сжатии к о
точка В переходит в точку В'. Так как В — произволь-
ная точка прямой I, то эта прямая при сжатии к о переходит
в прямую ОА’ (которую естественно обозначать через Г).
б)	При сжатии к прямой параллельные прямые пере-
ходят в параллельные.
Пусть прямые I и т параллельны; тогда они не имеют
общей точки. Но в таком случае и прямые Г и т', в кото-
рые переходят первоначальные прямые, тоже не имеют общей
точки (которая могла бы получиться только из общей точки
прямых I и т)\ значит, эти прямые тоже параллельны
(черт. 9)1).
в)	При сжатии к прямой сохраняется отношение
отрезков, лежащих на одной прямой.
!), Если у и у' — углы, образованные исходной прямой / и пре-
образованной прямой I' с осью сжатия о, то из черт. 86 легко сле-
дует:
, , РА' k-PA АРА ..
Отсюда также следует, что параллельные прямые, пересекающие о
под одинаковым углом у, переходят в параллельные прямые (пере-
секающие о под одинаковым углом у').
9
AB	Ar В1
Действительно, -dtv —dt/v по свойству параллельных пря-
хЗ С*
мых, пересекающих лучи пучка (черт. 10).
г)	При сжатии к прямой площади всех фигур изме-
няются в постоянном отношении
сжатия k).
Рассмотрим фигуру F й сетку из
мелких квадратов; тогда площадь F
приближенно равна числу квадратов,
заключенных внутри:/7, умноженному
на площадь квадрата (черт. 11).
Черт. 11.
Будем считать, что одно из направлений линий сетки парал-
лельно оси сжатия. При сжатии сетка
квадратов перейдет в сетку равных
прямоугольников, площадь каждого
из которых равна площади квадрата,
умноженной на k (одна сторона квад-
рата остается неизменной, а длина
второй умножается на k). Далее рас-
суждение не отличается от доказа-
тельства того, что при сжатии к
точке с коэффициентом k все пло-
щади изменяются в k2 раз (см. вы-
ше, стр. 6—7).
В качестве примера использо-
вания сжатия к прямой разберем
решение следующей задачи на построение!); вписать в данный
прямоугольный треугольник АВС прямоугольник BDEF
1) Сравните с задачей на стр. 7.
ДО
с данным произведением сторон BD • BF = d'2 (т. е. прямо-
угольник данной площади) (черт. 12). Для решения сожмем
треугольник АВС к стороне ВС с коэффициентом сжатия
30
k —	; тогда этот треугольник перейдет в 'равнобедренный
прямоугольный треугольник А'ВС, в котором BA' = k • ВА=
ВС	1
==—• ВА = ВС и площадь которого равна kS (где S —пло-
щадь треугольника АВС). Прямоугольник BDEF перейдет
при этом сжатии в прямоугольник BD’E'F площади kd*
(в силу свойства, г)). Теперь нам нужно в равнобедренный
'прямоугольный треугольник А'ВС вписать прямоугольник
BD’E'F известной площади kd*.
Это сделать нетрудно, ибо
SbFE'D’ *= S&BCTA' -(S/\FCE' + S&A’D’E')
и, следовательно,
S&FCE' ЗдД'В'Д/ = Зд ВСА' -----SbfE'D' = kS — kd2,
Но, с другой стороны,	.
:	+	= | FE'2 + у D'E'2 = ;	.
в у (FE'2 + D’E'2) = | ВЕ'2
(здесь используется то, что треугольник АГВС, а следова-
тельно, и подобные ему треугольники A’D Е' и E'FC—равно-
бедренные). Таким образом, мы получим:
^BE'2 = kS — kd*.
Теперь, зная длину отрезка BE', мы без труда найдем
точку Е', после чего сразу строится прямоугольник BD’E'F,
вписанный в треугольник А’ВС, и прямоугольник BDEF,
вписанный в треугольник АВС.
:В зависимости от величины d задача может иметь два,
одно или ни одного решения.
Геометрическое решение этой задачи, не использующее
сжатия к прямой, неизвестно1).
!) Аналогично можно решить задачу, и в том случае, когда дан -•
ный треугольник АВС не прямоугольный. Мы на этом ije остана -
вливаемся.
11
В противоположность сжатию к точке сжатие к прямой н е
переводит окружность в окружность. Окружность переходит
при сжатии к прямой в иную
кривую, называемую эллипсом
(черт. 13). Используя свойства а) — г)
преобразования сжатия к прямой,
можно вывести ряд геометрических
свойств эллипса; однако это выхо-
дит за рамки настоящей брошюры.
§ 2. Гиперболический поворот
В дальнейшем изложении боль-
шую роль будет играть график
обратной пропорциональной зави-
симости, т. е. кривая, уравнение
которой имеет вид:
а
у = — или ху = а.
Эта кривая называется гиперболой. Она изображена на
черт. 14.
Очевидно, что чем больше по абсолютной величине х,
тем меньше у, и наоборот: если х—>оо, то у—>0, если
у -> оо, то х -> 0. Геометрически это означает, что гипер-
12
бола неограниченно Приближается к Координатным осям,
никогда с ними не пересекаясь (из уравнения ху = а следует,
что ни х, ни у не могут равняться нулю).
Прямая, к которой некоторая кривая неограниченно при-
ближается, не достигая ее, называется асимптотой этой
кривой. Таким образом, оси координат являются асимпто-
тами гиперболы.
Гипербола состоит из двух ветвей, которые при а>0
расположены в I квадранте системы координат (х и у поло-
жительны) и в III квадранте (х и у отрицательны).
Уравнение ху = а имеет простой геометрический смысл:
площадь прямоугольника MQOP, ограниченного осями коор-
динат и прямыми, проведенными через какую-либо точку М
гиперболы параллельно осям координат (черт. 14), равна а,
т. е. не зависит от выбора точки М. Действительно, очевидно,
ОР = х, РМ = у и
•Smqop — OP • РМ = х • у — а.
Если назвать прямоугольник MQOP координатным
прямоугольником точки М, то можно сказать, что
гипербола есть геометрическое место точек, лежащих
si и в III квадрантах системы координат, координат-
ные прямоугольники которых имеют постоянную площадь.
Гипербола имеет центр симметрии: обе ветви гипер-
болы симметричны друг другу относительно начала коорди-
нат О. Доказательство этого утверждения следует из того,
что симметричные относительно О координатные прямоуголь-
ники MQOP и M'Q'OP' (черт. 15) имеют равные площади.
Гипербола имеет также две оси симметрии, которыми
служат биссектрисы координатных углов аа и bb (черт. 16).
Действительно, симметричные относительно аа координатные
прямоугольники MQOP и M^Q^OPy имеют равные площади;
также и симметричные относительно bb координатные прямо-
угольники MQOP и M2Q2O/’2 имеют равные площади. Центр
симметрии О и оси симметрии аа и bb часто называют просто
центром и осями гиперболы; точки А и В, в которых
гипербола пересекается с осью аа, называют вершинами
гиперболы.
Пусть мы имеем гиперболу ху = а. Произведем сжа-
тие плоскости к оси х с коэффициентом сжатия k. При
этом гипербола ху = а перейдет в гиперболу xy=ak,
ибо абсцисса х каждой точки останется без изменения, а
13
Черт. 15.
14
ордината, у заменится на у • k (черт. 17). Затем произведем
еще одно сжатие к. оси у с коэффициентом -i. При этом
гипербола ху = ak перейдет в гиперболу ху =	= а:
ордината у любой точки при новом сжатии к оси не
Меняется, а абсцисса х переходит в Таким образом, мы
видим, что последовательное
сжатие плоскости к оси х
с коэффициентом k и к
оси у с коэффициентом
переводит гиперболу ху = а
в себя. Последовательность
этих двух сжатий плоскости
к прямой образует преобра-
зование, называемое гипер-
болическим поворотом.
Название «гиперболический
поворот» связано с тем, что	Черт: 17.
при таком преобразовании все
точки гиперболы «скользят по кривой»; так, на черт. 17 точ-
ка 7И сначала переходит в точку М±, а. затем точка
переходит в точку М', т. е. окончательно гиперболический
поворот переводит точку М гиперболы в точку М' той же
гиперболы. Это положение аналогично вращению окружности —
гипербола как бы «поворачивается».
Отметим следующие свойства гиперболического поворота:
. а) при гиперболическом повороте всякая прямая пере-
ходит в прямую (следствие свойства а) § 1);
. б) при гиперболическом повороте оси координат {асимп-
тоты гиперболы) переходят сами в себя (ибо они перехо-
дят в себя при каждом из двух, сжатий, которые образуют
гиперболический поворот);
в)	при гиперболическом повороте параллельные прямые
переходят в параллельные (следствие, свойства б) § 1);
г)	при гиперболическом повороте сохраняется отно-
шение отрезков, лежащих на одной прямой (следствие
свойства в) § 1);
д)	при гиперболическом повороте сохраняются площади
фигур (ибо при первом сжатии к прямой площади всех фи-
гур умножаются на k, а при втором — делятся на k; см.
свойство г) § 1).
15
Очень важно заметить, что ifipu помощи гиперболического
поворота можно перевести каждую точку гиперболы
в любую другую. Действительно, первое сжатие переводит
точку (х, у) гиперболы ху=а в точку (х, yk) гиперболы
второе сжатие переводит точку (х, yk) гипер-
болы xy — ak в точку , yk} первоначальной гиперболы
(см. черт. 17). Таким образом, в результате гиперболического
поворота точка (х, у) переходит в точку
, yk'j . Отсюда
и вытекает, что при помощи подходящего гиперболического
поворота можно точку (х, у) гиперболы перевести в любую
Другую точку (хх, _ух) той же гиперболы: для этого доста-
точно выбрать k так, чтобы было х, = -^- или k = —.
1 k	х±
§ 3. Несколько свойств гиперболы
Используя гиперболический поворот, можно доказать ряд
интересных геометрических свойств гиперболы. Однако пред-
варительно мы определим, что называется хордой и касатель-
ной гиперболы.
Прямая, пересекающая гиперболу в двух точках, назы-
вается секущей гиперболы; отрезок секущей, концами
которой служат точки гиперболы, называется хордой ги-
перболы. Секущие гиперболы (так же как и хорды) бывают
двух родов; секущие первого рода пересекают лишь одну
ветвь гиперболы, а секущие второго рода — обе ветви
(черт. 18а). Рассмотрим какую-нибудь секущую первого рода.
Среди прямых, параллельных этой секущей, будут такие,
которые пересекают гиперболу в двух точках; будут прямые,
совсем не пересекающие гиперболу; наконец, две из этих
прямых, называемые касательными к гиперболе, будут иметь
с гиперболой одну общую точку (черт. 186)1). При гипер-
болическом повороте хорда UV гиперболы переходит в новую
хорду U'V', причем если U и V — точки одной ветви (раз-
ных ветвей) гиперболы, то U' и V тоже принадлежат одной
ветви (разным ветвям). Действительно, точки U и V гиперболы
]) Касательную к гиперболе можно также определить как пря-
мую, имеющую с гиперболой одну общую точку, не параллельную
асимптоте (всякая прямая, параллельная асимптоте, пересекает ги-
перболу в единственной точке, но не является касательной).
16
2 Зак. 1528. В,. Г- Шерватов
17
переходят в точки U' и V', где, например, U' принадлежит
той же ветви, что и U (черт. 19).
Касательная гиперболы в какой-либо точке /Л при гипер-
болическом повороте, переводящем М. в М', переходит в ка-
сательную в точке М' (для доказательства рассмотрим
хорду UV, параллельную первой касательной; она перейдет
в хорду U'V, а прямая, параллельная UV и имеющая с ги-
перболой единственную общую точку М, перейдет в прямую,
параллельную IJ'V и имеющую
с гиперболой единственную общую
точку М'; черт. 19).
Перейдем теперь к доказа-
тельству свойств гиперболы.
1. Отрезок касательной к
гиперболе, заключенный между
асимптотами кривой, делится
в точке касания пополам.
Так как биссектриса аа ко-
ординатного угла служит осью
Черт. 20.	симметрии гиперболы (черт. 20),
то отрезок K0L0 касательной в
вершине А, заключенный между осями координат, делится
в точке А пополам: отрезки АК(. и AL0 переходят друг
в друга при симметрии относительно оси аа. Пусть теперь KL
есть отрезок касательной к гиперболе в какой-либо другой
ее точке М, Произведем гиперболический поворот, перево-
18
ДящиЙ точку М в точку А. При'этом касательная в точке М
перейдет в касательную в точке А. Далее отрезок KL пе-
рейдет в отрезок (см. свойства а) и б) § 2). А так как
при гиперболическом повороте середина отрезка переходит
в середину отрезка (см. свойство г) § 2), то М есть сере-
дина отрезка KL, что и требовалось доказать..
2.	Площадь треугольника, отсекаемого касательной
к гиперболе ху = а от координатного угла, одна и та же
для всех касательных.
Для доказательства рассмотрим треугольник KOL, отсе-
каемый от координатного угла касательной к гиперболе
ху =а в какой-либо ее точке М (черт. 20). Гиперболиче-
ский поворот, переводящий точку М в точку А, переводит
треугольник KOL в треугольник КуОЦ,, где,7Со/.о— касатель-
ная к гиперболе в точке А. Отсюда в силу свойства д) § 2
имеем Здкоь == ^дкоь,., т- е- площадь треугольника KOL
не зависит от выбора точки М, что- и требовалось до-
казать.
Из свойств 1 и 2 вытекает, что одну ветвь гиперболы
можно определить как геометрическое место середин от-
резков, отсекающих равные площади от данного прямого
угла (черт. 21).
3.	Середины всех параллельных между собой хорд ги-
перболы лежат на одной прямой, проходящей через центр
гиперболы.
2*
19
Пусть UV— какая-то хорда гиперболы, 5— ее середина,
Т—точка пересечения прямой OS с гиперболой (черт. 22а1)).
Произведем гиперболический поворот, переводящий точку 7
в вершину А гиперболы. При этом прямая ОТ перейдет
в ось аа гиперболы, хорда UV перейдет в хорду 77ОКО, ко-
торая делится осью симметрии аа пополам. Но это возможно
1) Мы здесь ограничиваемся тем случаем, когда хорда UV—
первого рода (см. выше, стр. 16), т. е. точки U и V принадлежат
одной ветви (только этот случай нам понадобится в дальнейшем).
Предоставляем читателю самому разобрать тот случай, когда хорда
UV такова, что точки U и V принадлежат разным ветвям гиперболы.
20
только в том случае, если U0V0_\_aa. Действительно, пусть
U0V0 не перпендикулярна к аа. Проведем хорды UqZ и VoUZ,
перпендикулярные к аа. Так как аа — ось симметрии гипер-
болы, то UqZVqWq— равнобочная трапеция, имеющая осью
симметрии аа. Но ось симметрии равнобочной трапеции не
может делить пополам ее диагональ (так, на черт. 226
V050 = S0R < S()U()), что и приводит к противоречию. Все
хорды, параллельные UV, переходят в хорды, параллель-
ные U0V0, т. е. перпендикулярные к оси симметрии аа
геперболы; середины всех этих хорд лежат на прямой аа.
Отсюда следует, что середины всех хорд, параллельных UV,
лежат на прямой ОТ, что и требовалось доказать.
Всякая прямая, проходящая через центр гиперболы, на-
зывается диаметром гиперболы (аналогично тому, как
диаметры окружности — это прямые, проходящие через ее
центр)1). Диаметр гиперболы, делящий пополам все хорды
данного направления, называют сопряженным этим хор-
дам; обратно, хорды называют сопряженными диаметру, де-
лящему их пополам. Впоследствии мы также будем говорить
о радиусах гиперболы, понимая под этим отрезок диа-
метра, идущий от центра гиперболы до точки пересечения
диаметра с гиперболой (т. е. радиусы гиперболы определяются
аналогично радиусам окруж-	_____
ности).	.zTl ГТ>к
Отметим, что окружность	/	\
также обладает свойством, /	\
аналогичным свойству 3 ги-	/	\
перболы: середины всех па- |---------------------1__
раллельных между собой	I	/
хорд окружности лежат	\	/
на одной прямой, проходя- \	/
щей через центр окруж-	Jz'
ности (а именно, на диамет-	1—1__ы-
ре окружности, перпендику-	Черт. 23.
лярном к хордам, черт. 23).
4.	Прямые, проведенные через концы произвольной хорды
гиперболы параллельно асимптотам, пересекаются на диа-
метре, сопряженном этой хорде.
Пусть UV—произвольная хорда гиперболы; 5—ее се-
редина, Т—точка пересечения прямой OS с гиперболой
1) Выданной брошюре под диаметром понимается вся прямая, а не
Отрезок ее.
?1
(черт. 24). Произведем гиперболический поворот, переводя-
щий точку Т в вершину А гиперболы. При этом хорда t/V
перейдет в хорду U0V0, перпендикулярную к оси аа (см.
доказательство свойства 3). Прямые UR и VR, параллельные
асимптотам, переходят в прямые UnRn и Ио/?о, параллельные
асимптотам (см. свойства б) и в) § 2). Так как аа есть ось
симметрии гиперболы и биссектриса угла между асимптотами,
то точка Rq пересечения прямых U0R0 и V0RQ лежит на аа.
Отсюда следует, что точка R пересечения прямых и UR и
VR лежит на диаметре ОТ, что и требовалось доказать.
5.	Касательные к гиперболе в концах произвольной хорды
пере секаются на диаметре, сопряженном этой хорде (черт. 25а).
22 '
Доказательство свойства 5- гиперболы, совершенно аналогичное
Доказательству свойства 4, предоставляем читателю.
Отметим, что и окружность обладает аналогичным свойством:
касательные к окружности в концах произвольной хорды пере-
секаются на диаметре окружности, перпендикулярном к этой
хорде (черт. 256).
ГЛАВА II
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1.	Уравнение гиперболы, отнесенной к осям
Пусть попрежнему координаты точки М гиперболы в си-
стеме координат, оси которой совпадают с асимптотами,
будут х и у, так что уравнение гиперболы будет иметь вид
ху=а (черт. 26). Примем оси аа и bb гиперболы за но-
вые оси координат; координаты точки М относительно новой
системы координат обозначим через X и Y. Выразим старые
координаты х и у через новые X и Y.
Обозначим проекцию точки М на ось аа через ^ про-
екции точек М и W на оси Ох, Оу обозначим соответ-
ственно через Р, Q и К, L (черт. 26). Тогда
ОР = ОК—РК= ON cos 45° — NM cos 45°,
OQ = OL + LQ = ON cos 45° + NM cos 45°
24
(ибо проекция отрезка на прямую, составляющую с напра-
влением отрезка угол 45°, равна длине отрезка, умноженной
на cos 45°). Но ОР = х, OQ=y, ON=X, NM = Y, и мы
получимх):
х = (Х-У)-^,
у = (Х+У)^-.
(*)
Подставим в формулу ху = а полученные значения х
и у. Мы будем иметь:
(X* 2 — Ya)± — a или X2 — Г2=2а.
Это и есть уравнение гиперболы, отнесенной
к осям.
Гипербола
X2 — У2= 1
называется единичной гиперболой; ее уравнение ана-
логично уравнению единичной окружности2) (окружность ра-
диуса единица)
Х2-^- У2= 1.
Уравнение единичной гиперболы в системе координат, оси
которой совпадают с асимптотами, имеет вид
1
ХУ=2
(в этом случае 2а = 1 и, следовательно, а =
!) Для точки (черт. 26) имеем:
xr ~ OI\ == OKt 4- XiPi = ONi cos 45° + cos 45° =	_
= X115. + (_y1)^-,
J't = OQr =OLl — QlLi = ONi cos 45° — NtMi cos 45° =
t. e. те же самые формулы (-Х-). Предоставляем читателю самому
проверить, что те же формулы сохраняют силу и для точек второй
ветви гиперболы, расположенной в III квадранте старой системы
координат (впрочем, это обстоятельство нам нигде не понадобится).
2) Пусть М— произвольная точка окружности радиуса 1 с цент-
ром в начале координат (черт. 27а), (X, У) —ее координаты. По
теореме Пифагора имеем: ОР2 + РМ2 = ОМ2, но ОР=Х, PM = У,
ОМ = 1, следовательно, для произвольной точки окружности имеет
место равенство X2 + У2 = 1.
25
§ 2.	Определение иосновные свойства
гиперболических функций
Приступим теперь непосредственно к построению теории
гиперболических функций (или также — гипер-
болических тригонометрических функций), во
многом аналогичной теории обычных (круговых) тригономе-
трических функций. Для того чтобы подчеркнуть аналогию
между круговыми и гиперболическими функциями, мы почти
все время будем вести изложение' двумя столбцами: слева-
мы будем перечислять известные положения из теории кру-
говых тригонометрических функций, а справа излагать тео-
рию гиперболических функций.
Рассмотрим единичную окруж-
ность (черт. 27а)
^+У2= 1. •
Углом а (в радианной мере)
между радиусами ОА и ОМ
окружности называется число,
равное длине дуги . AM или
равное удвоенной площади
26.
Рассмотрим единичную гипер-.
болу (черт. 27 б)
№--У2=. 1.
Гиперболическим углом
t между двумя радиусами О А
и ОМ гиперболы называется
число, равное удвоенной пло-
щади сектора, ограниченного
сектора. ОАМ,. ограниченного
этими радиусами и дугой ок-
ружности.
Опустим .из точки М ок-
ружности перпендикуляр МР
на диаметр О А; в точке Л про-
ведем касательную к окруж-
ности до пересечения с диа-
метром ОМ в точке N. От-
резок РМ перпендикуляра
есть линия сйнуса, от-
резок ОР диаметра — линия,
кос.и нус а и отрезок. AN
касательной — линия тан-
генса.
Длины отрезков РМ, ОР
и. AN. соответственно равны
синусу, ко с и нус у и тан-
ген с у угла а:
РМ — sin а, OP = cos а,
AN =tg а.
этими радиусами и дугой ги-
перболы !),
Опустим из точки Л4 ги-
перболы перпендикуляр МР
на диаметр О А — ось сим-
метрии гиперболы, пересекаю-
щую гиперболу в вершине А;
в точке А проведем касатель-
ную к гиперболе до пересе-
чения с диаметром ОМ в точке
N. Отрезок РМ перпендику-
ляра называется л и ни е й ги-
перболического синуса,,
отрезок ОР диаметра — ли-
нией гиперболического
косинуса и отрезок AN ка-
сательной—линией гипер-
болического тангенса.
Длины отрезков РМ, ОР и
AN называются соответ-
ственно гиперболическим
синусом, гиперболиче-
ским косинусом и ги-
перболическим танге.п-
с о м гиперболического угла t
и обозначаются * 2)
PM=-shA OP - ch/,
ЛМ=1111.
Известно, что тригонометрические функции угла изменяются
периодически с периодом 2тт. В противоположность этому
гиперболические функций н е п е р и о д и ч н ы.
Д Основное свойство угла а состоит в том, что а не меняется
при повороте сектора АОМ вокруг О. Аналогично этому гипербо-
лический угол t не меняется при гиперболическом пово-
роте фигуры АОМ. (см.- свойство д) § 2, гл.,1).
2) Отношения	и иногда называют гиперболи-
ческим косекансом, гиперболическим секансом
и гиперболическим котангенсом гиперболического
угла f,
27
Гиперболический угол t может изменяться от 0 до оо.
Для того чтобы это доказать (т. е. доказать, что площадь
гиперболического сектора АОМ может быть сколь угодно
велика), рассмотрим какой-либо гиперболический угол AOMV
величину которого мы обозначим через tv Произведем гипер-
болический поворот, переводящий точку А в точку /И1; пусть
при этом точка Mt переходит в Л12, М2— в Ма, Мй — в М4
и т. д. (черт. 28). В силу свойства д) § 2 гл. I площади
Черт. 28.
гиперболических секторов АОМ1, М4ОМ2, ‘ М2ОМ.Л,
М,.ОМ4, ... равны между собой, следовательно, гиперболи-
ческе углы AOMt, АОМ2, АОМа, АОМ4, ... соответственно
равны t4, 2t., 3/р 4/р . .. Отсюда и вытекает, что гипербо-
лический угол может быть сколь угодно велик.
Из определения гиперболических функций (черт. 276)
легко видеть, что при изменении гиперболического угла t
от 0 до со sh t изменяется от 0 до оо, ch t изменяется от 1
до оо и th/ изменяется от 0 до 1. Если в полной аналогии
с круговыми функциями считать угол АСШ, (черт. 276)
отрицательным, равным —tv где tA есть удвоенная площадь
сектора ДОЛ41, и положить
sh (— /Д = — 7И1Р1 = — sh tt, ch (— /t) = OP4 = ch tv
th (— /t) = — NXA — — th
28
то графики гиперболических функций будут иметь такой
вид, как изображено на черт. 29. Заметим еще, что sh 0 —
= th 0 == 0, a ch 0 — 1 (аналогично тому, как sin 0 = tg 0 =
= 0, cos 0 = 1).
Выведем теперь основные зависимости между тригоно-
метрическими (круговыми и гиперболическими) функциями.
Из подобия треугольников
ОМР и ON А (черт. 27 а)
следует:
AN _РМ
О А ОР'
AN
Но = tg а (ибо СМ=1),
а
РМ sin а
OP	cos а'
Таким образом, получаем:
, sin а	/т.
tg а =-----.	(I)
° cos a	v
Далее, координаты точ-
ки М окружности равны ОР =
= Х, PM = Y,
Из подобия треугольников
ОМР и ONA (черт. 276)
следует:
AN—РМ
ОА~~ ОР'
Но = th t (ибо О А = 1;
ОА 4
для точки А координата Y — О,
а следовательно, О А2 = Х2 =
= 1 _f_ Г2= 1), а
РМ _ sh t
OP ~ ch t'
Таким образом, получаем:
ch f
thlf=^.	(I)
ch t	v '
Далее, координаты точ-
M гиперболы равны ОР =
X, РМ = Y.
29
Уравнение, единичной ок-
ружности имеет вид X2 4-
-|-У2=1. Следовательно;
ОР2-±-РМ2 = 1
или
cos2 a -J- sin2 а = 1. (II)
Разделив обе части тож-
дества (II) сначала на cos2 а,
а затем на sin2 а, мы полу-
чим еще две формулы
1 Д- tg2 а = -V, (Ш)
ctg2a4- 1 =-Д-. (IV)
£	1	Sltl- a v '
Уравнение единичной ги-
перболы имеет вид X2 — Y2 =
= 1. Следовательно,
ОР2 — РМ2 = 1
или
ch2/ — sh2/= 1. (II)
Разделив обе части тож-
дества (II) сначала на ch2/,
а затем на sh2/, мы получим
еще две формулы:
1-№/ = г4, (Ш)
<IV>
§ 3.	Формулы сложения
Выведем теперь формулы сложения для круговых и гипер-
болических функций.
Пусть поворот вокруг точ-
ки О переводит радиусы ОА
и ОМ окружности (угол
АОМ = а) в радиусы О А' и
ОМ' (черт. 30а). Пусть далее
линии РМ и ОР синуса и
косинуса угла МОР перейдут
при этом в отрезки Р'М' и
ОР'\ очевидно, М’Р’ пер-
пендикулярно к диаметру
Пусть гиперболический по-
ворот переводит радиусы О А.
и ОМ гиперболы (Л — вер-
шина гиперболы; гиперболи-
ОА'. Так как Р'М' = РЛ4 и
ОР' = ОР (при повороте дли-
на отрезка не меняется), то
равенства sin а = РЛ4; cos а==
= ОР дают также
sin а = Р’М'\ cos а = ОР’.
Ческий угол AOM = t) в ра-
диусы О А' и ОМ' (черт. 306;
см. сноску!) на стр. 27). Пусть .
далее линии РМ и ОР(гипер-
болического) синуса и коси-'
нуса угла t перейдут при этом
в отрезки Р'ЛГ и ОР'. Если М
и М'— вторые точки пере-
сечения МР и М'Р’ с гипер-
болой, то MP — РМ (так как
О А — ось симметрии гипер-
болы) и М'Р' == Р'М' (выте-
кает из равенства МР= РМ
в силу свойства г) § 2 гл. I).
Другими словами, хорды ММ
и М'М’ сопряжены соот-
ветственно диаметрам ОР и
ОР' (см. выше, стр. 21).
Равенства sh/ = P; chZ =
— ОР можно также записать
РМ	ОР
в виде sh/ = g?, ch/ = ^
(ибо ОА-I; см. выше,
стр.. 29). Докажем, что также •
. < Р'М' , , ОР'
sht~ ОА' ' chZ-- ОА''
 Проведем через точки М
и М, М' и М’ прямые,
параллельные асимптотам:
7ИР||M'R'flOy, MRflM'R'|| Ох
(черт. 306). В силу свойства 4
§ 3, гл. I точки R и R' при-
надлежат соответственно диа-
метрам О А и О А'. Так как
= £уОх = 90°,
то треугольники :MRM и
M'R'M' — прямоугольные.
31
Точки Р и Р'— середины
гипотенуз этих треугольников;
они одновременно являются
центрами описанных около
треугольников окружностей.
Следовательно,
PM = MP = RP,
Р'М' = М'Р1 = R'P'.
Теперь мы можем записать
, . RP ,, ОР
sht~OA’ cht~OA'
Но по свойству г) § 2 гл. I
RP R'P'. ОР ОР'
О А ~ О А' ’ О А	О А'"
Следовательно,
. , R'P' Р'М' . , ОР'
Sh ОА'~ ОА' ’ Cht~~ О А' ’
что и требовалось доказать.
Пусть теперь/ДОЛ4 = а, Пусть теперь гиперболи-
/ МОМ' = Р (черт. 31а). ческие углы АОМ и МОМ'
Черт. 31а.	Черт. 316.
Опустим из точек М и М'
перпендикуляры МР и M'Q
на ОА; далее, из точки М'
равны соответственно t и и
(черт. 316). Опустим из то-
чек М и М' перпендикуляры
32
(УйустиМ перйендиКуляр М'Р'
на ОМ и из точки Р' пер-
пендикуляры P'D на M'Q
и Р'К на О А. В таком слу-
чае имеем:
sin а = РМ, cos а = ОР;
sin р = Р'М', cos р = ОР';
sin (а р) = QM',
cos (« + Р) — OQ.
M'Q на О А; далее, из
М' проведем хорду
сопряженную ОМ (см.
стр. 21), М'М' пере-
ОМ в точке Р'; из
Треугольники ОМР и ОР'К
подобны: оба они прямоуголь-
ные и имеют общий угол.
Треугольники ОМР и
M’P’D тоже подобны: оба
эти треугольника прямоуголь-
ные и /_МОР — / P'M'D
как углы со взаимно перпен-
дикулярными сторонами.
Очевидно (черт. 31а),
sin (а р) = QM' =
= КР’ 4- DM',
cos (а Р) = OQ =
= OK— DP'.
МР и
точки
М'М',
выше,
секает
точки Р' опустим перпенди-
куляры P D на M'Q и Р'К
на О А. В таком случае имеем:
shZ=PM, cht=OP;
, Р'М' , ОР'
sh и =	, сп и = -тт-гг;
ОМ	ОМ ’
sh (t-\-u) = QM',
ch (Z-|- и) == OQ.
Треугольники ОМР и ОР'К
подобны: оба они прямоуголь-
ные и имеют общий угол.
Треугольники ОМР и
M'P'D тоже подобны. Оба они
прямоугольные и /_МОР =
= /_Р' M'D. Действительно,
прямая M'R, параллельная
асимптоте Оу гиперболы,пере-
секает диаметр ОМ в точке R
и ось ОА в точке S. Тогда
Z QM'S= / QSM' = 45°. Да-
лее ^P'M'R= £M'RP', так
как Р'М' = RP' (см. выше,
стр. 32). Но
= Z M'SQ — Z SRO =
= Z M’SQ — z M'RP',
z P'M'D = Z SM'Q —
— Z RM'P',
следовательно,
ZMOP= £ P'M'D.
Очевидно (черт. 316),
£МОР =
sh (£-|- u) = QM' =
= KP' + DM',
ch (t-{-iP) = OQ=OK+P'D.
3 Зак. 1528. В. Г. Шерватов
33
Из подобия треугольников	Из подобия треугольников
ОМР и ОР'К следует:	ОМР и ОР'К следует:
=	Kpr==QPLPM. ОР’ ОМ	ОМ	’ 	= 99L f(P\ — 9Р'. Рм  ОР' ОМ ’	ОМ	’
ор^ор nf.op^p ОР' ОМ’	ом	OK = QP ОК=°^ОР ОР' ОМ’ Л ом
. Из подобия треугольников	Из подобия треугольников
ОМР и M'P'D следует:	ОМР и M'P’D следует:
DM'_OP DMf_P'M'Q Р'М' ОМ’ JVi ОМ	DM'=^-OP- Р'М' ОМ ’ т ОМ	'
DP' = P^pM Р’М’ ом	ом	P,D==PWPM Р’М’ ом и ом
' Учитывая теперь, что	Учитывая теперь, что
РМ • = sin a, ОР~ cos а;	P44 = sh/, OP=ch /;
Р'М' . о ОР’	а	Р’М’ , ОР'
ом sin ом cos	-7777- = sh И, 7777 = ch М, ОМ	ом
окончательно имеем:
sin (а р) — sin а cos |3 -J-
4- cos а sin р, (V)
cos (а-]~ Р) — cos а cos [3 —
— sin a sin р. (VI)
окончательно имеем:
sh (/-}- и) — Sh /ch и
-{-ch/shzz, (V)
ch(/-)-M)=ch/ch«-{-
-ф-sh/shzz. (VI)
Из формулы (V), (VI) и
формул (I), (II) предыдущего
параграфа вытекают уже все
остальные формулы тригоно-
метрии. Так, например, имеем.:
, ,	. D. sin (а 4- 8)
tgf (а -4- В) = —i——4- =
ь '	cos (а 4- Р) 
sin а • COS ft 4- COS а • sill Р
COS а • COS р — sin а  sin Р ’
Из формул (V), (VI) и фор-
мул (I), (II) предыдущего пара-
графа можно , получить все
остальные формулы гипербо-
лической тригонометрии. Так,
например, имеем:
th (/Ц- и)
sh (t 4- и)
ch (t 4- и)
__sh t ch и 4- ch t sh и
ch t ch и 4- sh t sh и ’
Разделив числитель и зна-
менатель дроби, стоящей спра-
ва, на cos a cosр, получим:
Разделив числитель и зна-
менатель дроби, стоящей спра-
ва, на ch / chzz, получим:
,^a+f» = Si^b-(vn) 1Н<'+“> = ПЧГГП- (VI1>
34
Если Р = а, то формулы
(V), (VI) и (VII) примут вид
sin 2а = 2 sin а • cos а, (VIII)'
cos2a = cos2a— sin2 а, (IX)
Из формул (V), (VI) на-
ходим: 
sin а = sin (а Р) cos р —
— cos (а 4~ Р) sin р,
cos а = cos (а 4~ Р) cos р Ц-
sin (а Р) sin Р-
. Последние формулы, если
в них заменить а -ф- р на а
и а на а —р, примут вид 
sin (а — р) = sin а • cos р.—
— cos а • sin р, (XI)
cos (а — р) = cos а • cos р Ц-
4- sin а - sin р. (XII)
Разделив почленно фор-
мулу (XI) на (XII), получим:
tg (а—р) =	. (XIII)
s 4 i7 l + tga-tg.₽ 7
Выразим еще sin a, cos a
и tg а через тангенс половин-
ного угла. Из формул (VIII)—
(X) и (III) следует:
.а . а
.sin а = 2 sin у • cos -у =
. а .	2 .
cos 2" '
1	2t§j-
sec2 у ' 1 + tg2 у
(XIV)
Если u=t, то : формулы
(V), (VI) и (VII) примут вид:
sh2Z==2sh/ch/, (VIII).
ch 2/=ch2/4-sh2/,. (IX)
Из формул (V), (VI) на-
ходим:
sh t= sh (/4- «) ch и—	*
— ch(^4-«)sh«,
ch t = ch (t 4- «) ch и —
—	sh (/4- u) sh u.
Последние формулы, если
в них заменить t-\-u на t и t
на t—и, примут вид
sh (t— и) = sh t ch и —
—	ch/shzz, (XI)
ch (t —; u) == ch t ch и —
—	sh £ sh и. (XII)
Разделив почленно фор-
мулу (XI) на (XII), получим:
th (/—	(XIII)
v 7	1 — th t thu 7
Выразим еще sh t, ch t
и th t через (гиперболический)
тангенс половинного угла. Из
формул (VIII) —(X) и. (III)
.следует:
sh t— 2 sh у ch. у =
. t
S1 9 t	t
= 2 ch2 у = 2 th -|-X
ch.2
1 2th'y
X—Ly =-----------A. (XIV)
l/ch2y 1 —th2y
3*
35
fj Ct	. fj Ct
cos a = cos2 у — sin2 у =
ch t = ch2 -f- sh2 =
1 + th3 -s-
--------f-	(XV)
1 — tha-^-
th Z=-------. (XVI)
Отметим, что при выводе формул сложения для гиперболиче-
ских функций нам не было необходимости откладывать первый
угол t от оси симметрии ОА
гиперболы. Почти в точности,
как выше, можем вывести
формулы V и VI, и в слу-
чае произвольного ’положе-
ния диаметра ОА (черт. 32),
где (гиперболические) углы
АОМ и МОМ' равны соот-
ветственно t и и, МР и M'Q
сопряжены ОА, М'Р' сопря-
жена ОМ и, следовательно,
sh t —
РМ .
О А ’
ch t —
OP.
О А ’
sh и
Р'М'
ОМ
, ОР'.
с11М“ ОМ’
sh (Z-|- и)
_ QM'
~ ОА ’
chtf + «) = ^,
откуда и вытекают формулы V и VI, как и выше.
$
ГЛАВА Ш
СВЯЗЬ С ЛОГАРИФМАМИ
§ 1. Геометрическая теория логарифмов
Рассмотрим гиперболу ху =1 (черт. 33). Возьмем на
этой гиперболе две произвольные точки тИ-и N и опустим
из них перпендикуляры МР и NQ на ось х. Рассмотрим
криволинейную трапецию PQNM *). Площадь Spqnm этой
трапеции зависит от абсцисс ОР = х± и OQ = х.2 точек М
и N (x2>xt). Выясним, каю именно зависит Spqxic от х,
и т. е. как вычислить эту площадь, зная хг и х2.
Докажем прежде всего, что площадь Spqnm зависит
только от отношения . Другими словами, покажем, что
если две криволинейные трапеции PQNM (OP = xv OQ = х2)
1) Криволинейной трапецией будем называть фигуру, ограничен-
ную двумя ординатами (абсциссами), отрезком оси абсцисс (орди-
нат), заключенным между указанными ординатами (абсциссами) и
дугой кривой линии.
37
И P'Q'N'M' (OP' = x', OQ' = x'J таковы, что
X2 -Г2
 A- x.
то площади, этих трапеций равны (черт. 33). Произведем
гиперболический поворот, переводящий МР в М'Р'. В силу
свойств г) § 2 гл. I точка Q перейдет в такую точку Q, что
= — , т. е. в точку Q I ибо —I . Это значит, что NQ
перейдет в N'Q' и криволинейная трапеция PQNM — в криво-
линейную трапецию P'Q'N'М'. А следовательно, согласно
свойству д) § 2 гл. I SpQNM — Sp’Q’N'iir •
Итак, мы видим, что площадь Spqnm зависит лишь, от
отношения — = z, т. е. является функцией от z. Обо-
Xi
значим эту функцию через 5 (г):
SpQA’.’II = S = S (Z).
\Л1/
Очевидно, S(z) есть площадь трапеции, ограниченной гипер-
брлой, осью абсцисс и прямыми х = 1 и х = z ^ибо ~ = z).
Функция S(z) определена для всякого Z, большего !.
Из геометрического смысла ее следует, что это есть' функ-
ция, возрастающая (если zY >z2, то S (zt) > S (z2)) и
н епрерывная (близким .значениям z отвечают близкие по
величине значения S(z)). Естественно считать, что S (1)= О
(трапеция вырождается в отрезок). Для достаточно больших z
выражение S(z) может быть сделано сколь угодно большим
(доказательство этого в точности аналогично доказательству
того, что гиперболический угол может быть сколь угодно
велик; см. выше, стр. 28). Отсюда вытекает, что существует
такое число z>l, что S(z)=l. Это число в дальнейшем
будет играть значительную роль; мы обозначим его через е.
Итак S(e)—1 (черт. 34).
Найдем теперь формулу для функции 5(z). Докажем
прежде всего, что для любых двух чисел zt и z2, больших
единицы,
S(^) + S(z2)==S(^z2)
38
(если, например, 2^=1, то это соотношение становится оче-
видным, так как S(l) = 0).
Действительно, S(zt) есть площадь криволинейной тра-
пеции	где ОК=\, OP1 = zi (черт, 35); S(z2) —
площадь криволинейной трапеции 7<Р2Л42Д, где ОР2 = z2, или
равная ей площадь криволинейной трапеции PjQ/V/Ир где
OQ = zrz2 ^ибо	Отсюда непосредственно следует:
5 (^1) + *5 (2.2) = SkP.M.A + Sp&NM, = Skqna — S (z^),
что нам и надо было доказать.
Воспользовавшись полученным соотношением, можно пока-
зать, что для всякого положительного числа а .
... S(z*)'=aS(z).
Рассмотрим отдельно ряд случаев.
39
Если а = n — целое число, то последовательно полу-
чаем:
S (г”) = S (г • z»-1) = S (z) + S) = S (г) + S (г • z»~?) =
= 25(г)4-5(г”-2) = 25(г)4-5(г • г»-»)=
=3S(z)4-S(z»-3)=...==(« — 2)5(г)4-5(г2) =
= (п — 2) S (г) 4~ S (г • z) = tiS (z).
Если a —	, где т -— целое, то по доказанному
имеем:
_L	_L	— i
S (г) = S \(z)"*] = mS (z т), откуда S(zm) = — S(z).
„	т
Если а ==— рационально, то по доказанному имеем:
S (z ) = S [(z"‘ )nj = nS (z >")=п-~ S (z) = S (г).
Наконец, если a — иррационально, то г* опреде-
л я е т с я как предел чисел z т‘, z т*, ..., г1Н* , . .., где ра-
циональные дроби —L, —,—— .... стремятся к числу а..
nt	п2
А так как по доказанному S(zin‘) — ^~ S(z), S(znt>) ==
пк
—	5(г), ..., S(г“ь) = ~ S(г), ..., то в пределе полу-
чаем, что и в этом случае т)
5(га) = aS (г).
Пусть теперь z — произвольное число, большее единицы.
Очевидно, z = е'°ееs, где loge z — логарифм числа z при осно-
вании е. Так как е>1 (см. стр. 38) и loge z > 0 (ибог>1),
то имеем:
S (г) = S (е1,,йег) = lOge z  S (е) = loge z,
(S(e)=l по определению числа е).
Итак, окончательно имеем:
S(z) = loge z.
J) Здесь используется непрерывность функции S (?),
40
Это и есть та формула, которую мы хотели получить. Из
нее следует, что площадь криволинейной трапеции PQNM,
ограниченной гиперболой у —	, осью абсцисс и прямыми
х — хг, х = х2 (х2 > xj равна loge—
Таким образом, из геометрических рассмотрений, связан-
ных с площадями, мы неожиданно пришли к логарифмам.
При этом основание системы логарифмов равно некоторому
определенному числу е, а не произвольно, как это имеет
место при обычном введении логарифмов. Это обстоятельство
проливает свет на то, почему создатели теории логарифмов
Непер и Бюрги независимо друг от друга пришли к лога-
рифмам по одному и тому же основанию е (а не по основа-
ванию 10, что было бы, казалось, проще всего). Это же
«геометрическое» определение логарифмов связано с тем, что
логарифмы по основанию е часто появляются в вопросах
математики и физики, на первый взгляд не имеющих никакого
отношения к логарифмической функции т).
Оценим число е. Площадь 5(2) криволинейной трапе-
ции КРМА (ОК= 1, ОР = 2) меньше площади прямоуголь-
ника КРМА, равного КА-КР=У • 1 = 1 (см. черт. 34); таким
образом, 5(2)< 1. С другой сто- 
роны, площадь 5(3) криволиней- У
ной трапеции KQNA (OQ = 3)
больше площади трапеции
KQNA (AN— касательная к ги-
перболе в точке /И), равной
РМ • KQ = -g- • 2 = 1; таким
образом, 5(3) >1. Из нера-
венств 5(2)<1<5(3) еле-
дует 2), что
о о	Черт. 36.
Можно оцепить число е еще точнее. Рассмотрим криво-
линейную трапецию КРМА, гдеОК= 1,О7’=14~(черт. 36).
1) Истории логарифмов посвящена популярная книга И. Б. Абель-
сон, Рождение логарифмов, Гостехиздат, М. — Л., 1948. См. также
брошюру А. И. Маркушевич, Площади и логарифмы, Гостех-
издат, М.—Л., 1952. (Популярные лекции по математике, вып. 9).
3) Здесь использовано, что функция S (г) — возрастающая.
41
Площадь этой трапеции, равная по доказанному выше
loge (1	заключается между площадями прямоугольни-
ков КРМА и КРМА, изображенных па черт. 36, т. е. между
КА • КР = 1 • — = — и КР • РМ = ------------г =1:^+1 =
п п	п . 1 п п
"Т” п
= -—г-г. Итак,
«4-1
1 , /, , 1 \ . 1
п ье\ 1 nJ п-\А
Отсюда получаем:
/	1 \	/	1 \п •
1 > « l«ge (1 4~ —) = >oge (1 + тг)
1 <(«+ O]oge(l Iog„(1 4--^-) •
Из неравенств loge (1 4~—) < 1 < loge ( 1 -J---j	следует,
что
Эти последние неравенства позволяют оценить е с любой
степенью точности: надо лишь положить в них п достаточно
большим. Так, например, положив «=100, получаем:
1	\100	/	1 \101
ТОО-)	< е < 0 + ТОО ) < 2,732,
откуда
е^2,7.
Из неравенств
е
при « -> со отношение
мится к 1, следует:
1 -И
и того, что
п J
1	, 1
— = 1 —— стре-
п)	' п г
Эту формулу часто принимают за определение числа е.
42
Отметим еще, что формула (-Х-) может быть обобщена следую-
щим. образом:
Доказательство формулы (-К-*) почти не отличается от вывода
формулы ). Предположим, что па черт. 36 OP = 1 Д- , а — по-
ложительно. В таком случае имеем = loge ^1 Д- ,
и
~-= Kp ' рм = -- • —= -й 	= --г- •
п I а п п~\-а	п~\-а
' п
откуда
а ,	/ а \ а
— >1°8Ц1 Д- —
Далее в точности, как выше, получаем:
fi>nloge(l+“) = loge(>+-^-) .
I а\ '	/ а \п+
й < (« + «) loge + —J = >Oge
т. е.
/ а \п	/	а \п -а
1оЦ1+~) <«<1оЦ1+-а)
или
Из последних неравенств и из того, что при п->оо отношение
/ d\n^a / а \п / а \о
(1 J :11Д~— j	стремится к 1, вытекает фор-
мула (**).
Совершенно аналогично можно доказать, что формула (**)
справедлива и для отрицательных а. Пусть на черт. 36 OQ = 1 —
ОК	1
где а > 0. В таком случае	= loge = loge ---------— =
1 п
== — loge (1--заключается между	~ = -^и SQK^'=
43
—	й 1
—	п 1____д_
п
что
. Отсюда в точности, как выше, выводится,
Выясним в заключение, чему равна площадь трапе-
ции PQNM, ограниченная произвольной гиперболой ху = а,
осью абсцисс и прямыми х = xv х — х.2 (черт. 37) Произ-
ведем сжатие к началу координат (гомотетию) с коэффи-
циентом k = (см. выше, стр. 5). При этом гипербола
у а
ху = а перейдет в гиперболу ху = 1 (точка с координа-
тами (х, у) перейдет в точку с координатами (—7= х, й,
\ у а У а /
а кривая ху = а— в кривую ху=1); криволинейная трапе-
ция PQNM перейдет в криволинейную трапецию P'Q'N'M'.
Но, как мы уже знаем,
$ P'Q'N'M' ~	("ОР7) ’
с другой стороны, в силу свойств сжатия к точке (см. стр. 5—7),
С	/.9 0	1 О	0Qr 0Q
°P'Q'N'M' — К °PQNM — a °PQNM > Qp' ~ OP ~ Х{‘
Отсюда получаем:
SPQNM~a}°&> (^)-
В частности, если а = 1g е 0,43 — десятичный логарифм числа е,
то мы получаем:
$PQNM = е • l°ge =
44
(из равенства г = ^г= (lO^T^ - lo’^^ и г=1О'^ сле-
дует, что lg z — Ig е • loge z- Таким образом, десятичный лога-
рифм числа z можно определить как площадь криволинейной тра-
пеции КРМА, ограниченной гиперболой ху — 1g еas 0,43, осью
абсцисс и прямыми х = 1, х = z («геометрическое определение деся-
тичных логарифмов»).
§ 2. Аналитические выражения
для гиперболических функций
Рассмотрим снова единичную гиперболу № — У3 = 1.
Пусть М есть произвольная точка этой гиперболы; угол
(гиперболический) АОМ равен/(черт. 38). Координаты точек М
и А в системе координат, оси которой совпадают с осями
гиперболы, очевидно, равны
соответственно OP = ch t;
РМ = sh t и О А = 1; 0. Коор-
динаты этих же точек в системе
координат, оси которой совпа-
дают с асимптотами гиперболы,
определяются по формулам (^)
§ 1 гл. II (стр. 25) и равны
соответственно
OQ = (ch t— sh /) Хр-,
OR — (ch t-\- sh t)
o/c=(i-o)^ = ^,
OL = (1+O)^l= <1.
Далее нетрудно видеть, что	Черт. 38.
площади криволинейных тра-
пеций QKAM и RLAM равны между собой и равны пло-
щади гиперболического сектора О AM. Действительно, по-
определению гиперболы (см. выше, стр. 13) площади коорди-
натных прямоугольников точек М и А равны SQq3IB— Sokal.
Следовательно, Sqkam~Sqkam ^okal^^oqmr ~ Srlam-
С другой стороны,	(ибо S^M0Q =SogMIt,
с ______Л У 'l
°/\А0К— 2 0KAL1-
45
Отсюда имеем:
SqKAM = $(}КАМ $&А0К~^$1!\М.0(}~ $ОАЯГ
Но так как по определению гиперболического угла
^одлг= 2” т0
с _______________________ е ______/
°QKA3I aRLA3I 2 '
Так как единичная гипербола в системе координат, оси
которой совпадают с асимптотами, имеет уравнение ху ~
(стр. 25), то (см. конец предыдущего параграфа)
Т<2
с	1 . (ОК\ 1 1	2
SQKAH — 2 °ge (QQ ) — 2 logs	у 2
(chi1 —shi1) —
= —4 1(^e(ch^—по-
следовательно,
— -i- !ogc (ch i1 — sh t),
— ^=loge(ch^— shf).	(*)•
Аналогично имеем:
~ _c — ±-n	(0R\ —
^OAhl ^RLAhl ~~ 2 °ge \ OL )
/"2
(ch t + sh t) -T—
= | ’oge----------------= -J loge (ch ^4- sh t),
T"
откуда
t = loge (ch t + sh t).	(**)
Формулами (*) и (**) устанавливается связь между
гиперболическими функциями и логарифмами при основании е.
Из этих формул получаем:
ch^—sh^.= e_f, ch t-\- sh t == ег;
следовательно,
ciu=-^i,	' (1)
sh;=	(2)
46
sh i
Так как th^=—т—r, то имеем:
ch t ’
it, 4 et —e~f
th/ = ——--r
(3)
Это и есть аналитические выражения для гиперболических
функций; ими обыкновенно и определяют гиперболические
функции в курсе высшей школы. Из этих трех формул легко
вывести все формулы гиперболической тригонометрии.
Так, например,
ch* 2t~ Sh21 =	- (-gt~e±)2 =
=	+ 2 +	— 24- e-2*  j	ф
I + shS t = (i+5i)2 +	=
 -‘ + 2 + ^»	= „с|,гл (IX)
=-‘'Y+‘^ =	„ha, (VIII)
2 -e
2th4
1 — th» y
2
1 —
£ _£
.2 1_ „ 2,
£	__t_
0 g2 — g 2
*2+e 2
£ _£
2
e — e
_£ t
e 2 4- e 2
£ _£
2(e2 — e 2
t _____£ t t	t ~t ~
(e2 + e”"2) [(e 2 4- e~2^ __ (Л _ ~T)2]
t_ ____t 2
— 2(g 2 — g 2)(g2 +g a) _ et — e-t _ .
'4	— sn г.
(XIV)
2
Аналогично можно вывести и другие формулы.
47
Для того чтобы получить из формул (1) — (2) дальнейшие след-
ствия, преобразуем формулу (**) предыдущего параграфа (стр. 43):
Согласно формуле бинома Ньютона имеем:
а \п	.. па	, п(п — 1)	а?	п (п — 1) (п —	2) я3
“ п ) ~	1 + Т 7Г 2!	й3 :	3! я3 +
, п (п—— (п—, а , (,	1 \ я3
• • • п	п\
Отбросим теперь в сумме 1ai + А + • •  4-а?» все члены
и/с+1, «к+£, ип после некоторого члена «j.. Сделанная при этом
ошибка будет равна
а7г + 1 + а7с+2 + а7: г-3 + •••+“«•
Но из определения величин ип следует:
.	. а |й
.	, Л k \ Iа I 1 , а I 1
п)/г + 1	1 а/£
.	,	/	k-\-1\ | а | .	, , | а |	, . | а |3 ,	.
Iafc+2l-^ - п ) £+2 |aft+i'^ А+1 |afc+ll< (А-Н)2 «7£ ’
1а7г + з1-^ п ) А + з 1а7. + аК £+1 lafc + 2l<(£+1)3lad>
(вертикальные черточки 11 — знак абсолютной величины числа).
Поэтому сумма «й+, -4- «ьа.» 4- ... -4- «и по абсолютной величине не
превосходит выражения
। । Iй I । । । Iй!2 I, । Iа Is ।	, , > Iа I’1-*
laTtlA+l ! 1Кл1(А+1)2 '	1 (А-)- 1)з+ ••• +1“A:i(£+1)n-7t-
|я| \а п-к+1
Л+1
48
Предположим теперь, что k + 1 > | а | (мы считаем, что п доста-
точно велико, чтобы можно было выбрать k таким образом). В таком
случае последнее выражение меньше, чем
\а\
। I 4" 1	। I
|ц*1 ----=
1 k+1
I а\ I la I
k + 1 — | а | k\ A: + 1 — \a\
( I a I* 'l
vi6°
/ a \n
Таким образом, заменив (1-f-—j суммой 1 -f- zzt -f- zz2 + -. .4-«s,
мы сделаем ошибку по абсолютной величине, не превосходящую
I a |fe+1
;--г- , Т. 6. Прй Л Ю б О М П, боЛЬШвМ k
Al (А: 4~ 1 — I a |) ’
(п \П	]	I п |fc+1
! + -) - (1 + «1+ «2 +	• + “ft) | <й (А. + J _ | a-j
Перейдем теперь в последнем выражении к пределу и-»аз. Так как
/ Z7
lira (1+-) =е«
п оо V Я /
{формула (*-&), стр. 43) и
а ..	«2	дз	ак
ill = т . lim “2 = Щ > Ilin «з = Т7,, 11Ш ик = -VT
1 П->СО	Z* П->СО	О!	п СО	Ш
(см. формулу, определяющую величину ик), то получим:
I	/. , а . а2 , а3
Г V + T++
д» \1	| д|А'+1
k\ /| < k\ (k 1 — | a |)‘
Перейдем теперь в этом выражении к пределу при &->со.
Докажем, что
I a l^4"1
1‘т	г., / г. Г~1-i-= О-
fc->co k\ (# -J- 1 — | Л I)
Обозначим
__________________=1zfc
k\ (k 1 — | a I) K
В таком случае
=	|a|fc+z+1	=	|a|fc+1 y
л+г (& + /)!(& + /+1—И) k\(k+l — |a|)
1 — |a] .___________\a\l_________ у . | д|г
Л	— |a |’(A:-f-1) (A:2) ... (fi + Г) k\k+l)1
4 Зак. 1528. В. Г. Шерватов
49
множитель
lap
меньший единицы, мы просто отбро-
I а\1
СИЛИ, а в множителе	г---
(k+l)(k + 2) ... (k + i)
тели знаменателя на &+1). Но мы уже предполагали, что k -f- 1 >
> | а |; таким образом, отношение J = « меньше 1. Из того.
заменили все множи-
что
Vh+i<V^1,
а <' 1
следует, что И^+г->0 при /->сс, или
lim Vb = 0.
А* -> оо
Окончательно формула
Итак, еа равно сумме бесконечного ряда
,, а , а2 , а3 ,
sa ~ 1	+	— 4- ...	(***>
Это и есть та формула, которую мы хотели получить.
Подставив в формулу (* * *) a~t и а = — t, имеем:
t t2 t3
ef=14-T4-25 + 35 + 47+ •••>
1^2!	3!	4!
Учитывая теперь формулы (1) и (2), получим:
72 Н 76
ch'=1 + 2T + 4l + 6l+--’	<4>
t t3 t->
>	sh7 = T4-gr4--4-...	(5)
Формулы (4) и (5) позволяют вычислить значения sh t и ch t
la следовательно, и	для каждого фиксированного t
с любой степенью точности; для этого следует взять достаточно
много членов соответствующих бесконечных рядов. В частности,
с помощью этих формул составляются таблицы гиперболических
функций.
50
§ 3. Формулы Эйлера
В школьном курсе алгебры определяется вещественная степень
числа; выражения типа 2‘ или е2-4'; пока для нас никак не опреде-
лены и поэтому должны считаться бессмысленными. Определим
теперь любую комплексную степень а числа е формулой (%*),.
стр. 43:
(а \п
1 4—) .	(**)
И /
Для того чтобы вычислить этот предел, воспользуемся формулой
Муавра
(cos <[> + z sin <p)n - cos ny -f- i sin ns.
Если a — p Д- la, p, a — действительны, то
*—==''» (cos <?„ 4- I sin v„),
где
n
(черт. ’39). Отсюда получаем:
= (cos пуп 4- i sin П?я),
и, следовательно,
= lim
== R (cos Ф;4- z sin Ф),
a
2Ь a2 + р2	п
Г+	- / .‘g ?п =
п
п
Черт. 39.
где
R = 11111 ('Ч)", Ф = Нт (п?га).
Определим теперь R и Ф. Имеем:
R= lim (]/" 14-5
п -> оо \ r
«2 / ’
Сравним это выражение с
(1+йУ-
•4*
5$
(см. формулу (**)). Имеем:
Но при р 0 и достаточно больших п имеем:
и нам остается только оценить выражения
4а2\”
’ 9па /
1
11m
П ->со
К1-*
]
Воспользуемся теперь тем, что при больших п в силу формулы (**)
52
As так как1)
1	4а" 1
hm (e“’)2n = 1 и Ига (е 9 )2и = 1,
п -> со	п -> со
то оба интересующих нас предела должны быть равны 1.
В случае 8<0 и достаточно больших п
и в формуле, аналогичной формуле (а), знаки неравенств надо за-
менить на противоположные. Дальнейшее доказательство остается
прежним.
Таким образом, при любом 0
и, значит,
Перейдем теперь к определению Ф. Имеем:
Ф= lim («<?„)= lira	lira -----
n
a
Ho fn->0 при п->оо(ибо при этом tgfn =——Поэтому
\ 1 + 1 /
п
lim = lim -^- = lim ——. cos <р = 1,
п -> оо 1g Tn <р -> о tg Т ® -> о sin Т
ибо
ф
lim —— = 1 и lim cos <? = 1.
_> о sin ®	<р -> о
t) Это вытекает, например, из
того, что для каждого числа а
lim [ log а2п 1 = lim а -> 0;
П->оо	п->оо 2п
следовательно,
1
lim din = 1.
п ->со
53
А так как, кроме того,
Игл -------Т- = а,
П->СО | I Р
"Г” п
Итак, R — е$, Ф = а и, следовательно,
+ «	(с03 а / sin а).
Теперь мы можем убедиться, что наше определение комплексной
степени е° числа е является удачным. Действительно, это опреде-
ление удовлетворяет двум основным требованиям, которые можно
было бы заранее предъявить ему:
1°, При а действительном это определение совпадает с обычным
(ибо для действительных а формула (* *) была доказана нами выше).
2°. Так определенные комплексные степени удовлетворяют
основному правилу действий над степенями числа
^.еа‘ = еа^а\
В самом деле, если «i = + Z“i, + /“г, то имеем:
еа' . е°« =	(Соз 01	/sinlccjJ • е?г (cos sin а2)=
=	. (cos at 4- I sin 04) (cos a2	i sin a2) =
= [cos (at 4- a2) + /sin (01 4- a2)] = e	.
Подставим в полученное выражение для еа значения а = 1а и
а = — Za. Мы будем иметь:
= cos a 4- l sin a,
= cos а — l sin a.
Из этих двух формул немедленно вытекает
cos а =------L-------->	(Ру
и следовательно, так как tg а =	&,
л/а — о —
*g “ = Z(^»4-e-««) ’
Это и есть ф'ормулы Эйлера1), устанавливающие связь
между тригонометрическими функциями и показательной функцией.
1) Леонард Эйлер (1707—1783)—крупнейший математик XVIII века,
член Российской Академии наук, жил и работал в Петербурге.
54
Из формул (1) и (2) можно получить дальнейшие следствия.
Действительно, подставим в формулу (Х--Х--Х-) (стр. 50) значения
а = ia и а = — lav). Мы будем иметь:
,	ia	а2	/а3	а* . /а5	а3
'	= 1 + т — 2Г— зГ+зт+бГ-бГ“ ••• ’
.	,	ia	а2	, ia3	а4 /а5	а3	,
е-и=	+ _ +	_____ + ...
Учитывая формулы (1') и (2'’), получим отсюда:
, а2 ,	а4 а3 ,	....
соза = 1-§г	(4Л)
а а3	а5	,с,.
31Па = Т-зГ + 5!	(5>
Формулы (4') — (5') позволяют вычислять значения sin а и cos а
/	. sina\
S а следовательно, и tga=----— I для каждого фиксированного а
с любой степенью точности: для этого надо взять достаточно много
членов соответствующих бесконечных рядов. В частности, с помощью
этих формул составляются таблицы тригонометрических функций.
1) Вывод формулы (* * *) из формулы (**) (см. выше,
стр. 49—50) полностью сохраняет силу и для комплексных значе-
ний а (только здесь следует считать, что вертикальные черточки
означают абсолютную величину или модуль комплексного
числа, т. е. корень квадратный из суммы квадратов действительной
части числа и коэффициента при мнимой части).
I
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Предисловие............................................ 3
Глава I. Гиперболический поворот....................... 5
§ 1.	Сжатие к прямой . . ......................... 5
§ 2.	Гиперболический поворот....................  12
§ 3.	Несколько свойств гиперболы................. 16
Глава II. Гиперболические функции . .................. 24
§ 1.	Уравнение гиперболы, отнесенной к осям......	24
§ 2.	Определение и основные свойства гиперболических
функций.......................................... 26
§ 3.	Формулы сложения............................ 30
Г лав а III. Связь с логарифмами.....................  37
§ 1. Геометрическая теория логарифмов............ 37
§ 2. Аналитические выражения для гиперболических
функций...................................... 45
$ 3. Формулы Эйлера.............................. 51

Цена 80 к.
= = ' )
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ
Bnil !. А. И. Маркушевнч. Возвратные последователь-
ности.
В ни. 2. И. П. Натансон. Простейшие задачи на максимум
н минимум.
1Вып. 3. И. С. Сомнисний. Метод математической индукции.
Вып. 4. А. И. Маркушевнч. Замечательные кривые.
Вып. 5. П. П. Коровкин Неравенства.
Вил. б. Н. Н. В робьев. Числа Фибоначчи.
Вып. 7. А. Г. Курош. Алгебраические уравнения npois
вольных степеней.
Вып. 8. А. О. Гельфонд. Решение уравнений и целых
числах.
Bun. 9. А. И. Маркушевнч. Плошадн и логарифмы.
, Вып, 10. А. С. Смогоржевский. Метод координат.
Вып. 11. Я. С. Дубнов. Ошибки в геометрических доказа-
тсльствэх.
Вып. 12. И. П. Натансон. Суммирование бесконечно малых
величин.
Вып. 13. А. И. Маркушевнч. Комплексные числа и к нформ
ные отображение.
Вып. 14. А. И. Фетисов. О доказательствах в геометрии.
Вып. 15. И. Р. Шафаревич. О решении уравнений высших
степеней.
Вып. 16. В. Г. Шерватов. Гн ерболнч скис функции.