Р.Д.Лукин Т. К.Лукина
М. С. Якунина

УСТНЫЕ
УПРАЖНЕНИЯ
по
АЛГЕБРЕ
и
НАЧАЛАМ
АНАЛИЗА
„Просвещение,,
Р.Д.Лукин Т. К.Лукина
М. С. Якунина
УСТНЫЕ
УПРАЖНЕНИЯ
по
АЛГЕБРЕ
и
НАЧАЛАМ
АНАЛИЗА
Книга
для учителя
Москва
„Просвещение»
1989
ББК 74.262
Л84
Рецензенты: кандидат педагогических наук А. М. Абрамов;
методист М-ГИУУ & 44. Жохов	.
Лукин Р. Д. и др.
Л84 Устные упражнения по алгебре и началам анализа:
Кн. для учителя / Р. Д. Лукин, Т. К. Лукина, М. С. Яку-
нина—М.: Просвещение, 1989.—96 с.: ил..
ISBN 5-09-001304-7
Книга содержит более 600 упражнений, которые охватывают
весь материал курса алгебры и начал анализа и могут быть исполь-
зованы учителем во фронтальной работе с учащимися старших
классов.
4306010000—670 о_ „
Л	103(03)—89	93 89
ISBN 5-09-001304-7
ББК 74.262
© Лукин Р. Д., Лукина Т. К., Якунина М. С., 1989
Предисловие
Одедом иа средств,, способствующих лучшему усвоению математики, являются
устные упражнения. С их помощью учащиеся отчетливее понимают сущность мате-
матических понятий, теорем5, математических преобразований.
Устные упражнения активизируют мыслительную деятельность учащихся, раз-
вивают внимание, наблюдательность, память, речь, быстроту реакции, повышают
интерес к изучаемому материалу. Они дают возможность изучить большой по
объему материал за более короткий промежуток времени, позволяют учителю
судить о готовности класса к изучению нового материала, о степени его усвоения,
помогают выявлять ошибки учащихся.
Проводимые в начале урока устные упражнения помогают учащимся быстро
включаться в работу, в середине или конце урока служат своеобразной разрядкой
после напряжения и усталости, вызванных письменной или практической работой.
В ходе выполнения этих упражнений учащиеся чаще, чем на других этапах урока,
получают возможность устно отвечать, причем они сразу проверяют правильность
своего ответа. В отличие от письменных упражнений содержание устных таково,
что решение их не требует большого числа рассуждений, преобразований, громозд-
ких вычислений. Они составлены с таким расчетом, что отражают важные эле-
менты курса.
Назначение данного пособия—предоставить в распоряжение учителя разнооб-
разный материал в виде несложных упражнений для дифференцированного обу-
чения путем разумного сочетания фронтальной, групповой и индивидуальной
работы с учащимися.
Упражнения, входящие в пособие, разнообразны по форме, содержанию и сте-
пени сложности. Имеются задания тренировочного, контролирующего и обобщаю-
щего характера; эти упражнения в большинстве своем подобраны с учетом требо-
вания постепенного нарастания трудности, но это не исключает выборочного
использования материала. Внутри главы упражнения разбиты на группы, объеди-
ненные общим содержанием. Учитель по своему усмотрению может использовать
их при подготовке к изучению нового материала, при первичном ознакомлении,
закреплении, при ликвидации пробелов в знаниях учащихся, при формировании
умений и навыков применять полученные знания в сходных и новых ситуациях.
Эти упражнения служат базой и для формирования общеучебных навыков.
Чтобы облегчить труд учителя, в конце каждого упражнения даны ответы. Наи-
более сложные упражнения отмечены звездочкой.
Обращаем внимание читателя, что знаки принадлежности, «больше или
равно», «меньше или равно» набраны в книге соответственно так: 6, ;>, <; (по тех-
ническим причинам).
В основу пособия легли упражнения, регулярно и систематически используе-
мые на различных этапах урока авторами пособия. Некоторые упражнения, а
также идеи составления их заимствованы из имеющейся литературы, однако зна-
чительная часть представляет собой новые упражнения.
Предлагаемый материал применялся учителями Карагандинской области в их
практической работе.
5
Глава 1
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1. Тригонометрические функции числового аргумента
1.	Выразите в радианной мере величины углов:
а) 30°, 45°, 60°; б) 90°, 120°, 135°; в) 150°, 75°, 180°; г) 210°, 225°,
270°; д) 300°, 360°, 7200°.
, я я я -v я 2л Зя , 5л	5л _
Ответ: а)	6)	в) -р я;
г) Y-, 7-, А) 7-, 2», 40л.
2.	Выразите в градусной мере величины углов:
х п п	2п Ъп т \ я 5 я
а) Т -Т’ *>• б> -Т’ Т’ "3,г: в) й’ ~6Я’ м•
Ответ: а) 60°, -90°, 180°; б) -120°, 135°, -540°; в) 10°,
-150°, 5°.
3.	Для данных в радианной мере величин углов найдите градус-
2я 11л Зл
ную меру величин, углов, смежных данным: —,
Ответ: 60°, 81°, 45°.
4.	В прямоугольном треугольнике величина одного из острых
углов равна . Найдите величину другого острого угла.
3 ।
Ответ: —.
О
5.	Радианная мера двух углов треугольника равна у и
Найдите градусную меру каждого из углов треугольника.
Ответ: 60°, 30°, 90°.
6.	Найдите радианную меру каждого угла прямоугольного тре-
угольника, если градусная мера одного из них равна 45°.
л	я я я
Ответ: -,
7.	Два угла треугольника равны 30° и 45°. Найдите радианную
я я 7я
меру каждого угла этого треугольника. Ответ:	, “77*
о 4
4
8.	Сколько градусов содержит центральный угол, если вели-
w	п 2я 7п о
чина соответствующей ему дуги равна: у, —, — ?
Ответ: 90°, 120°, 70°.
9.	Чему равна длина дуги окружности радиуса г, если величина
дуги равна: 1°, 180°, 90°, 30°, 45°, 60°, 120°, 135е?
яг — т т т 2лг ^ят
Ответ: —, яг, —, —, —. —, --------, -.
180’	’ 2 ’ 6 ’ 4 ’ 3 ’ 3 ’ 4
10.	Вычислите длину дуги, если радиус окружности равен 20 см,
а радианная мера дуги равна: 3; 2,4;	0,28.
Ответ: 60 см; 48 см; 10 см; 5,6 см.
11.	Найдите радианную меру дуги окружности, радиус которой
равен 12 см, если длина дуги равна: 2,4 дм; 4 дм; 1,2 см; 6 см.
„	о ю 1	1
Ответ: 2; —; —; —.
з 10 2
12.	Шкив вращается с угловой скоростью в> = рад/с. За какое
время он сделает полный оборот? Ответ: 18 с.
13.	Чему равна площадь сектора радиуса R, если дуга сектора
содержит: Iе, 180е, 90е, 45е, 30е?
яЯ2 яЯ2 яЯ2 яЯ2 яЯ2
360	2	4	8	12
14.	Найдите площадь сектора, радианная мера дуги которого
равна у, а радиус равен 20 см. Ответ: 40я см2.
15.	Найдите радианную меру внутренних углов следующих пра-
вильных многоугольников: а) треугольника; б) шестиуголь-
ника; в) пятиугольника; г) десятиугольника; д) четырехуголь-
ника. Ответ: а) у; б) у-; в) -у-; г) -у-; д) у.
16.	Найдите радианную меру углов треугольника, если их вели-
_ _ л	2л п 4л
чины относятся как 2:3:4. Ответ: —, — , —.
9	3 ’ 9
17.	Величины углов треугольника относятся как 3:4:5. Найдите
радианную и градусную меры этих углов.
Ответ: у, у, 45е, 60е, 75е.
18.	Найдите координаты точек единичной окружности:
а) P90«; б) Р,80-; в) Рг70"> г) Р-эо*; А) P-iso"! е) Р-270*•
Ответ: а) (0;1); б) (-1; 0); в) (0; -1); г) (0; -1); д) (-1; 0);
е) (0; 1).
5
19.	Может ли косинус быть равным:
а) 0,75; б) в) -0,35; г) д) f; е) ж) з) /3 -2?
э	z о у2
Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да; д) нет; е) нет; ж) да; з) да.
20.	Может ли синус быть равным:
а) -3,7; б) 3,7; в) г) д) -^?
Ответ: а) нет; б) нет; в) да; г) да; д) нет.
21.	При каких значениях а п b справедливы следующие
равенства:
a) cosa = -y; б) sina = y; в) cosx — '^a'; г) tg/? = -^-;
д) зшх = яа?
Ответ: а) 1а! ^7; б) lai ^я; в) O^a^l; г) Ь — любое
число; д) -—<а<~.
Л	л
22.	Могут ли тангенс и котангенс одного и того же угла быть
соответственно равными 2 + /3 и 2 — /3 ?
Ответ: да, так как (2 +/3 )(2 — j/З ) = 4 —3 = 1.
23.	Назовите все числа, синус которых равен:
1	1(2
а) 1; б) в) -1; г) 2; д) Ь.; е) 0.
Ответ: а) •^- + 2яи, nCZ; б) ^- + 2яп, ^-+2яп, nGZ;
2	6	6
в) — ^- + 2яи, nGZ; т) нет; д) ~ + 2яи, -^-+2яи, nGZ;
л*	т*
е) яп, nGZ.
24.	Известно, что 0<х<^-. Что больше:
2
а) 2 или 2sinx; б) sinx или 2 sinx; в) sinx или sinx cosx?
Ответ: а) 2>2sinx; б) 2 sin х> sinx; в) sinx>sinxcosx.
25.	Пусть 0<х<у. Сравните:
а) 2 и 2cosx; б) cosx и 2cosx; в) cosx и cosxsmx.
Ответ: а) 2cosx<2; б) cosx<2cosx; в) cosхsinх<cosx.
26.	Возможны ли равенства:
а) 2 —sin a = 1,7; б) 1+. cos a = 2,5;
в) tga —4 = 5; г) sina + cosa = l?
Ответ; а) да; б) нет; в) да; г) да.
б
27.	Найдите область значений функции:
а) у = 1 + cos*; б) у = 1 — sin*; в) у = 2 + 3sin*;
г) у = 4 — 3 cos*.
Ответ: а) [0; 2]; б) [0; 2]; в) [-1; 5]; г) [1; 7].
28.	Найдите область значений функции:
а) у = 1 — I cos* I; б) у = 1 + 1 sin* I; в) у = 1 + I tg* 1.
Ответ: а) [0; 1]; б) [1; 2]; в) [1; со).
29.	Найдите область значений функции:
a) y = 3 + 2cos*; б) у =1 — 2sin*; в) y = 6 + cos2«.
Ответ: а) [1; 5]; б) [-1; 3]; в) [6; 7].
30.	При каких а разность sin а — 1 принимает наибольшее зна-
чение? Чему оно равно?
Ответ: наибольшее значение, равное 0, при а = у + 2яи,
»ez.
31.	Назовите наименьшее и наибольшее значения суммы
2 cos а + 1. Найдите значения а, при которых данная сумма
равна 1.
Ответ: -1; 3; а = ~ + яп, nGZ.
2
32.	Найдите а, при которых разность sin л —cos у принимает
значение: а) наибольшее; б) наименьшее; в) нулевое.
Ответ: а) л = -у + 2яи, n6Z; б) л = -у- + 2яи, n€Z;
в) a — ^-JfZnn, nGZ или а = ^- + 2яп, nGZ.
6	6
33.	В каких пределах изменяется числовое значение выражения
—5 + 4cosa? При каких а оно равно —5?
Ответ: от —9 до —1; а = ^ + яп, nGZ.
34.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
2
у = 2‘_ <С08Ж|'* Укажите соответствующие значения х из про-
межутка [0; 2л).
Ответ: наибольшее значение функции равно 2 при х, рав-
ном 0 и я; наименьшее значение функции равно 1 при х9
я Зя
равном у и —.
35.	В какой четверти находится Рр, если:
a) sin/?>0 и cos/?>0; б) sin fi > 0 и cos/?<0; в) sinj8<0 и
cos/?>0; г) sin/?<0 и cos£<0; д) sm/?>0 и ctg/?<0;
7
e) cos ft > 0 и tg ft < 0; ж) sin /? < О и tg /? > О?
Ответ: а) I; б) II; в) IV; г) III; д) II; е) IV; ж) III.
36.	Какой четверти принадлежит Рв, если:
a) sinacosa>0; б) sinacosa<0; в) tgacos«>0;
г) ctgasina<0?
Ответ: а) I или III; б) II или IV; в) I или II; г) II или III.
37. Определите знак значения выражения:
a) cos (у + а); б) sin (у — я); в) ,ctg (я + а); г) cos (2я + а);
A) ctg — а) ; е) sin (я + а); если 0 < а < —.
Ответ: а) минус; б) плюс; в) плюс; г) плюс; д) плюс;
е) минус.
38.	Определите знак значения выражения:
a) sin 100° cos 100°; б) cos 150° sin 250°; в) tg 175° ctg 200°;
г) tg 350° ctg 210°; д) cos 250° sin 330°; e) tg 115’ctg 230°.
Ответ: а) минус; б) плюс; в) минус; г) минус; д) плюс;
е) минус.
39.	Определите знак значения выражения:
a) cos40°-cos 140°; б) sin70°- sin230°; в) tg 140° + tg340°;
г) cos37°-cos219°; д) -tg40°-tg20°; e) sin50°- sin70’.
Ответ: а) плюс; б) плюс; в) минус; г) плюс; д) минус;
е) минус.
40.	Не производя вычислений, определите знак значения выра-
жения:
a) sm — -sin —; б) cos--cos — ; в) tg--tg —;
О	О	О	О
г) tg-r — tg-т; A) —sin2,3 + sin2,4; е) tg5 — tg5,3;
4 о
ж) sin 2 — cos 2; з) sin 0,2 — cos 0,2.
Ответ: а) минус; б) плюс; в) плюс; г) плюс; д) минус;
е) минус; ж) плюс; з) минус.
41.	Определите знак значения тригонометрической функции:
a) sin (я — 1); б) cos (я + 1); в) tg (у + 2); г) tg (2я — 1);
д) sin^ + 1) ; е) tg^ + 2).
Ответ: а) плюс; б) минус; в) плюс; г) минус; д) минус;
е) минус.
42.	Определите знак произведения:
a) tg2tg3ctg5cosl; б) sin 1 cos2tg3ctg4.
Ответ: а) минус; б) плюс.
8
43.	Какой знак имеет произведение sinxcosxtgxctgx при:
а) 0<х<уб) у <х<я; в) я <х<-^-?
Ответ: а) плюс; б) минус; в) плюс.
44.	Определите знак произведения:
cos (я + a) cos^y-— a) tg (я + а), если 0 < а < у.
Отлет: плюс.
45.	Какой четверти принадлежит а, если:
a) I tg(—а) I = —tga; б) I ctg(-a) I = —ctga;
в) sin (—a) > О?
Ответ: а) II или IV; б) II или IV; в) III или IV.
46.	Какой четверти принадлежит а, если:
а) tg(—a)>0; б) lsin(—a) I = —sina; в) I cos (—a) I =cosa;
r) sin(—a)<0?
Ответ: а) II или IV; б) III или IV; в) I или IV; г) I или II.
47. Пусть a, fl, у—углы треугольника. Какой знак имеет сумма:
а) sina + sin fl + sin у; 6) cosy + cosy + cos-^-;
в) tgy + tgy + tgy?
Ответ: любой угол треугольника положителен, но мень-
ше 180°, поэтому каждое слагаемое любой из этих сумм
х положительно, следовательно, каждая сумма положительна.
48.	Найдите значение выражения:
а)	5sin90° + 2 cos 0° — 2 sin 270° + 10 cos 180°;
б)	3 tg 0е + 2 cos 90° + 3 sin 270° - 3 cos 180°;
в)	sin 180° + sin 270° - ctg 90’ + tg 180° - cos 90°;
r)	a sin 0’ + b cos 90° + tg 0° — b ctg 90°;
д) a2 sin 90° + 2ab tg 45’ + 62 cos 0’.
Ответ: а) —1; б) 0; в) —1; г) 0; д) (а + Ь)2.
49.	Вычислите:
ч	. Зя я
а)	tgя — sin—+ cos у + 8шя;
б)	sin у — cos-у- + cos я — tg 0;
в)	4 sin я cos 2я + 5 tg я;
г)	4 tg 2 я — 2 sin у + 3cos -у- — 4 tg я ;
д)	б — 2 sin я — Зсовя + 2siny соз2я;
е)	2 sin 2я + 5 cos -у- + 3 tg я;
ж)	sin cos я cos 0.
9
Ответ: а) 1; б) 0; в) 0; г) —2; д) 11; е) 0; ж) 1.
50.	Найдите значение следующих выражений:
a)	sin а + cos а при а — 0°, а = 45°, а = 90°;
б)	tga + sina при а = 0®, а =30°, а = 60е;
в)	sin а + sin 2а + sin За при а = —.
6
Ответ: a) 1,^2, 1; б) 0, ’|- + -L = 2^3 ,/5+ f - 3'-;
в)	1 + | + & -
2	2	2
2.	Основные формулы тригонометрии
Упростите выражения (51—53).
51.	a) 1 + sin2 а + cos2 а; б) 1 — sin2 а — cos2 а;
в) 2sin2a + cos2a — 1; г) (1 — cosx)(1 + cosx).
Ответ: а) 2; б) 0; в) sin2а; г) sin2».
52.	а) 1 + cos2х — sin2»; б) sin 30е ctg 30е — cos 30е;
в) cos2 a tg2 а + sin2 a ctg2 а; г) cos a tg а — sin a ctg а.
Ответ: а) 2 cos2*; б) 0; в) 1; г) sina —cos а. б)
б) (1 - sin 30е) (1 + sin 30е) + (1 + cos 30е) (1 - cos 30°).
Ответ: a) tg?~a; б) 1.
54. Для каких чисел из промежутка [0; 2я] справедливо нера-
венство sin х + cos х > 1 ?
Ответ: для чисел, принадлежащих промежутку (б; у).
55. При каких значениях х имеют смысл выражения:
а) /cosx; б) /1 + sin»; в) /tgxctgx?
Ответ: а) — у + 2пп <х< у + 2пп, nGZ- б) ж 6 Я;
в) *=/= ~,nez.
56. Дано: tg a + ctg a = 2. Найдите значение tg2 a + ctg2 a.
Ответ: 2.
57. Дано: x = 2 tg a; у = ctg а. Найдите xy.
Ответ: xy = ±x
58. Найдите sina и cosa, если ctga = l и 0<a<y.
10
^2	1/2
Ответ: sina = -!—. cosa =—.
2	2
59.	Могут ли быть справедливы одновременно равенства:
.	3.1-..	4	3
a)	cosa = —, sma = —; б) sina = - —, cosa = —;
4	5	5	5
3	,	4 к .	4	.	1
в)	tga = -, Ctga = y; г) tga = ^, ctga =
1	✓з	3	3
д)	sina = — — , cosa = — -у-; е) tga = —, sina = y —
при одном и том же значении а?
Ответ: а) нет; б) да; в) да; г) нет; д) да; е) да.
60.	Дано: sin а = 0,6, 90° < а < 180е. Найдите cos а.
Ответ: cosa= —0,8.
61.	Дано: cos а = 0,8, -у- < а < 2л.
Найдите sin а и tga.
Ответ: sin а = — 0,6; tga = — 0,75.
62.	Найдите, если это возможно, значения остальных тригоно-
метрических функций числа а:
a)	sina = l; б) cosa = —1.
Ответ: а) cosa = 0; tga не существует; ctga = O;
б)	sina = 0; tga = O; ctg а не. существует.
Вычислите по формулам приведения (63—66).
63.	а) sin 120°; б) cos 150°; в) tg 135°; г) ctgl20°; д) sin (-135°).
Ответ: а) б) - в) -1; г) - -у-; д) - Ц-.
64.	а) sin 225е; б) cos 240е; в) tg210°; г) sin 240°; д) cos 210е.
гч	.	)/2	1	. /з . /з . /з
Ответ: а) - б) - -; в) г) ~ Vi А) ~ V-
£	£	О	Лв	£
65.	а) sin 300е; б) cos 315е; в) tg330°; г) sin (-330°); д) cos 330°.
„	. i's -. /2	. j/з . 1	. ^з •
Ответ: а) - б) V; в> “ V; г) 7; $ V*
66.	sin 120е tg 150е + sin 135е cos 315°.
Ответ: 0.
Приведите к функциям положительных углов, меньших
45е (67-70).
67.	а) sin 78°; б) cos 50°; в) tg78°20'; г) ctg 63е.
Ответ: а) cos 12е; б) sin40е; в) ctgll°40'; г) tg27e.
11
€8. a) sin 159°; 6) cos 175°; в) tgl57°; r) ctg92°3(r.
Ответ: a) sin21*; 6) —cos 5°; в) —tg23’; r) — tg2’30'>
69. a) cos 248’30'; 6) sin 220*37'; в) tgl90°; r) ctg269*.
Ответ: a) —sin 21*30'; 6) —sin40’37'; в) tglO°; r) tgl°.
70. a) sin 312’; 6) cos 286’32'; в) tg352°; r) ctg 325’15'.
Ответ: a) —cos42°; 6) sin 16’32'; в) —tg8°; r) —ctg34’45'.
Приведите к тригонометрическим функциям углов
первой четверти (71—72).
71.	a) cos-у-; б) sin у-; в) tg-y-; г) ctg у.
Ответ: а) — cos — ; б) sin-£~; в) —ctg 7^-; г) — tg-£-.
5	10	1о	14
72.	a) sin 0,7л; б) cos2,2fl; в) tg 1,8я; г) ctg 2,9 л.
Ответ: а) cos 0,2л; б) со$0,2я; в) — tg0,2/r; г) — ctgO.lw.
Упростите (73—75).
73.	a) tgatg(y + a); б) tg (у- + ajctg (у + а); в) ctgatg.(» + а);
г)	ctg (я-а) tg (2 л — а).
Ответ: a) —1; б) 1; в) 1; г) 1.
74. a) tg 27’ tg 63°; б) 2 cos (90° + a) cos (180° + а);
в)	sin (я — а) sin (у — а)", г) 1 + cos (я — а) sin (у + а
Ответ: a) 1; б) sin 2а; в) — у sin 2а; г) sin2 а.
+ sin2
в)	sin (180° — а) + cos (90° + а) — tg (360’ + а) + ctg (270° — а);
. sin 70°
' cos 20’'
Ответ: a) cos2а; б) 1; в) 0; г) 1.
76.	Найдите значение выражения:
a)	sin2 (180° — а) + sin2 (270’ — а) + ctg (90’ + а) ctg (360° — а);
б)	tgl‘tg2’tg3° ... tg 87’tg 88’tg 89’.
Ответ: a) 2; б) 1.
77.	Найдите:
a) tg(90° —а); б) tg(90’ + a); в) tg(180’ + a); г) tg(270’ —а),
если tga = 2.
Ответ: а) у; б) — у; в) 2; г) у.
75. а) 1 + sin (я + a) cos I у + а |; б) cos2 (у - а
12
78.	Найдите:
a) cos (270° — х); б) sin (90° + х); в) cos (90° — х); г) cos (180° + х)^
если cosx = 0,8.
Ответ: а) —0,6; б) 0,8; в) 0,6; г) —0,8.
79.	Найдите произведение тангенсов острых углов прямоуголь-
ного треугольника.
Ответ: 1.
80.	Синус острого угла параллелограмма равен у. Найдите
косинус тупого утла данного параллелограмма.
4
Ответ: —у.
81.	Косинус суммы двух углов треугольника равен у. Найдите
косинус третьего угла треугольника.
~ 1
Ответ: — у.
82.	Косинус суммы двух углов треугольника равен 0,3. Имеется
ли среди углов треугольника тупой угол?
Ответ: Да.
83.	Тангенс одного острого угла прямоугольного треугольника
равен 3. Найдите котангенс второго угла.
Ответ: 3.
12
84.	Синус острого угла прямоугольного треугольника равен —.
Найдите синус другого острого утла.
5
Ответ: —.
13
85.	Упростите:
a) cos a cos За —sin a sin За; б) sin 2а cos а + cos 2а sin а;
в) sin а cos За + cos а sin За; г) cos а cos 2а + sin а sin 2а;
. tgp + tg-Зу . . tgfl-tg2g
' 1—tgytg3y’ ' l + tg/?tg2(?’
О т в e т: a) cos 4а; б) sin За; в) sin 4а; г) cos а; д) tg 4у; е) —tg
Вычислите (86—89).
86.	a) sin 10° cos 20° + cos 10° sin 20°;
6)	cos 18° cos 12° — sin 18° sin 12°;
в)	sin 40° cos 5° + cos 40° sin 5°; r) cos 7° cos 38° — sin 7° sin 38°;
„	\ 1 . -л Л 4 /2 . /2
Ответ: а) у; б) в) r)
1Э
87.	a) sin 20° sin 40° — cos 20° cos 40°;
6)	an 5° cos 35° — cos 5° sin 35°;
в)	sin 80° cos 10° + cos 80° sin 10°; r) tg 70° ~tg 10--.
’ ' l+tgl0tg70
Ответ: a) — у; б) в5)* 1; г) /з.
88.	a) cos-cos-— >- sin^-sin-^-; 6) sin —cos-7 + cos-^-sih-^;
3	6	36	36	36
. Зя	Зя . я ч 6 15	6 15
в) sin-4-cosт + cos-4-sm 4-; Г) --—27.
1 +tgT5'tgl5'
Ответ: а) 0; б) 1; в) 0; г) /З.
89.	a) (cos 18° cos 7е— sinl80sin70)* 1 2+(sinl90cos60+cosl9’sin6°)2;
б)	sin + aj cos (у—aj + cos + ajsin	— aj;
в)	cos (45° + a) cos (45° — a) — sin (45° + a) sin (45° — a).
Ответ: а) 1; б). 1; в} 0.
Упростите (90—91).
90.	а) cos a cos •£•+ sin a sin
2	2
sin 37° cos 8° 4- cos 37° sin 8° ,
' sin 30° cos 15° 4-sin 15° cos 30? ’
. cos 20° cos 65° 4- sin 20° sin 65°
' sin 75° cos 30° — sin 30° cos 75* ’
Ответ: a) cos у; б) 1; в) 1.
91. а) sin(a + /?)-sin(a-/?); б) cos (a + р) — cos (a — /?};
1 + tg.ig (30° + a) ’ 1_tgotg^_a)'
r~~
Ответ: а) 2 cos a sin/?; 6) — 2 sin a sin/?; в) —; г) УЗ.
Следующие тригонометрические функции выразите
через функции вдвое меньшего аргумента (92—94).
92.
а) cos а; б) sin а; в) tga; г) sin 4а.
Ответ: a) cos2-^- — sin2-f-; б) 2 sin cos ; в)
2	2	’	2	2	7
г) 2 sin 2а cos 2а.
2tgf
1-tg2f
14
93. a) cos 5a; 6) cos {a + /?); в) sin (a + fi); r) sin (90° + 2a).
Ответ: a) cos2a — sin2a; 6) eos2— sin2 **—;
'2	2	'	2	2
в) 2 sin ---y cos ; T) 2 sin (45° + a) cos (45° + a).
94. a) cosl— — a); 6)
siny; в) cos-7? t) ctg-40°.
2	3
Ответ: a) cos2(у — yj- sin2(y — y|; 6) 2sinуcosу;
\	2	* 2 @	\
в) cos—— snr —; r)
б	б
1 —tg220<>
2tg20° ’
Упростите (95—101).
2$g—-
95. a) 2sin /? cosp; 6) cos2/? - sin2/?; в) -r)
1	+^2_	1
Ответ: a) sin2/?; 6) cos 2/?; в) tga; r) tg6a.
96.	a) 2 sin 20° cos 20°; 6) sin210° - cos210°; в) sin 13° sin 77°;
r) cos2 25° - cos2 65°.
Ответ: a) sin40°; 6) —cos20°; в) sin26°; r) cos50°.
\2tg35° e sina e x а a .
97.	a) , h;?;	6) ----- в) sin-cos —
1 — tg235	' . a '	4	4
sin —
2
r) 4 sin у cos (cos2 у - sin2 у); a)
а	Лл \	i	-mJ
2 sin 0,7034 cos 0,7034.
Ответ: a) ig70°; 0) 2 cos у; в) у sin у; r) sin2a;
д) sin 1,4068.
98.	a) 4 sin a cos a cos 2a; 6) 2 sin у cos у cos a;
в) sin a cos a cos 2a; r) cos4 a — sin4 a.
Ответ: a) sin 4a; б) у sin 2a; в) у sin 4a; r) cos 2a.
99.	a) 2cos2a-1; 6) l-2sm2a; в) : у ; г) у - .
Ответ: a) cos2a; 6) cos2a; в) sin2a; r) cos2a.
100.	a) +;c<:g)2 ; 6) cos2a — 4sin2-^cos2^; в) cos2g--
1 +sin 2a	2	2	cos a-sina
1 . 2 1
2 ctg—snr —
x ° 2	2
r) ----------•
2 1	• 2 1
cos---sin —
2	2
15
Ответ: а) 1; б) cos2а; в) cosa + sina; г) tgl.
101.	а) (1~С°*д2)сО82 ; б) 2sin2cos2(cos22-sin22);
в)	sina.
cos a
Ответ: a) -i-sin4; 6) -^-sin8; в) sin2a.
Вычислите (102—104).
102.	а) 2 sin 15° cos 15°; 6) 2 sin 22’30'cos 22’30'; в) sin 15° cos 15’;
r) cos215° — sin215°. -
Ответ: а) б) в) г)
4b	4b	*F	«6
103.	a) 2 sin cos 4; 6) sin2^-— cos2^-; в) 1 - 2 sin215°;
CO	о	о
г) 2 cos2 v — 1.
8
Ответ: а) Ц--, б) в) г)
Ю4 a1 2tg22°30' . «I tg!5°	. . l-2sin222°30' . .	8
1U4. а)	, O)	В)	, 4	-
✓7	,/T	gs
Ответ: a) 1; б) в) Уу; г) 1.
105.	Существует ли такое значение х, при котором выполняется
равенство:
2	5
a)	sin x cos х = у; б) cosxsinx = y?
Ответ: а) да; б) нет. Указание. Если обе части каждого
4
равенства умножить на два, то получим: a) sin2x = —;
5
б)	sin2x = —.
4
106.	Докажите, что sin 2а<2 sin а, если 0<а<я.
Ответ: sin2a = 2sinacosa<2sina, так как —l<cosa<l,
sina>0.
107.	Докажите, что tg2a>2tga, если 0<a<y.
Ответ: tg 2a =	0 < 1 - tg2 a < 1, следовательно,
1 tg (X
tg2a>2tga.
108.	Дано: sin-y = y, 0<а<л. Найдите sina и cos a.
Ответ:	4-.
16
109.	Дано: tgy=2. Найдите tga и ctga.
4	3
Ответ: tga = —ctga = ——.
110.	Дано: ДАВС, LA — LC, cosB = y. Найдите синус и косинус
угла А.
ifb 1
Ответ: -1—и—.
2	2
Следующие тригонометрические функции выразите че-
рез косинус вдвое большего аргумента (111—112).
111.	а) sin а; б) sin За; в) cos а; г) cos 5а; д) tg3a.
Ответ: а) ±у-------------; б) ±у---------; в) ±у----------;
.	1/1—COS10g~ . .	|/1 — COS ба '
'	»	2	’ ' х J 1 + cos ба ’
112.	a) sin 15°; б) cos^; в)-sin2 31°; г) cos2 2/?; д) tg2/S.
______________________________ I п
~	х 1/1-COS300 -X l/1 + cos — ч 1 —cos62°
Ответ: а) ± у------------; б) ± у________JL ; в) ч -------;
г 2	Г 2	2
х 1 + cos 40	ч , 1 — cos 20
Г) '2	: А) l+cos2/?'
	Упростите выражения (113—116). /а	1а 1/1 —cos—-	1/1+cos—	,/	~	,/
113.	а) у	1 . бч у	. у l+cos2a г) у 1 +cos 2a 2	2	1 — cos 2а	2
	О т в е т: а)	| sin	|; б) | cos |; в) 1 ctg a 1 ; г) 1 cos a 1.
114.	1/1 —cosy	l/l+сочЗа	1/1 — COS-?-	l/l-cos4 а) У	Z_; б) У-1^03^ ; в) /	±- ; r) /	 2	2	У .	n	У	n r 1 + cos —	F 1 + cos — 4	3 Ответ: a) |siny|; 6) |cos-y-|; в) tgy; r)
115. а) 2 sm2 + cos a; б) 2 cos2 — — cos а; в) -----
'	2	'	2	’ '	. ,a
s,n 2
Ответ: а) 1; б) 1; в) 2ctg2у.
2 Заказ 651
17
116* a) 2s*na~~ sin 2a g. sin 2a cos a
2 sin a + sin 2a 1 ' 1 + cos 2a 1 + cos a
’Ответ: a) tg2y; 6) tgy.
117.	Дано: cosa = — m; ^-<a<n; I m I < 1. Найдите sin-^-, cos-^-.
-2	2
Ответ: sin-= СО8^ = 1Д^.
2 I 2 ’	2'2
118.	Дано: cos4a = a; -^-л<4а<2я; laid. Найдите sin2a и
cos 2a.
Ответ: sin2a =	, cos2a = —	.
Преобразуйте сумму в произведение (119—122).
119.	а) cos 40° + cos 30°; б) cos 28° — cos 10°; в) cos 4° — cos 30°;
г) sin 36° + sin 24°.
Ответ: 2 cos 35° cos 5°; 6) —2 sin 19° sin 9°; в) 2 sin 17° sin 13°;
r) 2 sin 30° cos 6° = cos 6°.
120.	a) sin 73? — sin 36°; 6) cos + cos —; в) sin-^r + cos-^-.
о	о	12	12
Ответ: a) 2cos54°30'sin 18’30'; 6) 2coscosв) 2sin^.
121.	a) sin 4a + sin 2a; 6) sin 4a — sin 2a; в) cos2a + cos^a;
r) cos 2a —cos a.
Ответ: а) 2 sin 3a cos a; 6) 2cos3asina; в) 2cos4acos2a; '
. n . 3a . a
r) — 2 sin sin —.
'	2	2
122.	a) cos (a — y) + cos (x + y); 6) sin (x + y) — sin (a — y);
в) sin (40° + a) + sin (40° — a)'; r) sin (2x —30°) — sin (2x —60°).
Ответ: а) 2 cosx cos у; 6) 2 cosx sin у; в) 2 sin 40° cos a;
r) 2 cos (2x — 45°) sin 15°.
Преобразуйте в произведение (123—126).
223 a) cos а + cos • б) s*n 8g + S“1• в) cos co$
' cos a — cos$ 9 €in£a —sin6a’ J 4>ps-6a <hqos 4a ’
Ответ: a) —ctg a-^— ctg a; 6) tg7actga; в) —tg5atga.
18
114.	a) 1 + sina; 6) 1 +cos 2a; в) 1 — cos a; r) 1 + cos 40°.
Ответ: sf 2sin cos (y —	; 6) 2'cos2a; в) 2sin2 —;
r) 2 cos2 20°.
125.	а) 1 —cos 15е; 6) sinx; в) ^+cosa.
Ответ: a) 2sin27°30'; 6) 2cos
x _ /я . aA lx a\
B)	2 COS — + — COS — - — .
\8	2/	\8	2/
126.	Вычислите:
a) sin 135° — sin 45°; 6) sin 75° + sin 15°; в) cos 75° + cos 15°.
Ответ: а) 0; б) в)
3.	Основные свойства функции
127.	Приведите пример аналитически заданной функции, опре-
деленной:
а)	на всей' Числовой прямой;
б)	на всей числовой прямой^ кроме точки х = 2;
в)	на всей числовой прямой, кроме точек х = ± 1;
г)	на [9;, со);
д)	на [—2; 2].	з
Ответ: a) f(x) = x2 + 2х-3; б)	в)/(x) = -^j-;
г)	/^)=*=Иг; д) / (х) = 1/4 - х4 .
128.	Какие- из линий, изображенных на рисунке 1, являются
графиком функции?
Ответ: a)j в).
129.	Для функций, графики которых изображены на рисунках
2—7, укажите: а) область определения; б) область значений;
в) координаты точек пересечения с осями.
Ответ: рис. 2: а) [-4; 3]; б) [-3; 5]; в) (-4; 0), (-2; 0), (0; 3);
рис.	.3:	а)	[-4;	4];	б)	[0; 4]; в) (-4; 0), (4; 0), (0;	4);
рис.	4:	а)	[-2;	3];	б)	[-2; 4]; в) (-1,5; 0), (0; 2);
рис.	5:	а)	[-2;	~);	б)	(-со; 3]; в) (1; 0), (0; 2);
рис.	6:	а)	[—2;	3];	б)	[-2; 2]; в) (-2; 0), (б; 0), (2;	0);
рис. 7: а) (-со; оо); б) (—2; 3); в) (1; 0), (0; 2).
130.	Найдите область определения функции /, заданной форму-
лой:
19
г>
а) /(«) = * + 5; б) / (х) = х2 + Зх — 4; в) f (х) = — — ;
X — 1
г) f («) =	; А) / С*) = А+ 2; е) f (х) = /2-х ;
X — т-
Ж) = з) f(x)=]/x-l-]/x + 2.
20
Ответ: a) R; б) R; в) (—со; 1)U(1; со);
г) (-со; —2) U (—2; 2)и(2; «>); д) [-2; со); 
е) (—со; 2]; ж) R; з) [1; со).
131.	Найдите область определения и область значений следую-
щих функций:
a)	= б) = в) /(«) = /*2-i; г)* f(*) = -7T7--
1X1	X	IXI
Ответ: a) D (/) = (-«>; 0)U(0; со), E(f) = (O; со);
б)	D(f) = (-co; 0) U (0; со), £(/) = (0; ~);
в)	D (f) = (-оо; -1]U[1; со), Е(/) = [0; «>);
г)	D (/) = (-«>; 0)U (0; со), Е(/) = {-1; 1).
132.	По графику функции, изображенному на рисунке 8, укажите
промежутки возрастания и убывания функции, точки мак-
симума и минимума.
Рис. 5
21
УЦ	п
Рис. 8
Ответа а) возрастает на [—2; —1] и на [1; о©)^ убывает на
[—1; <]; х = -1 —точка максимума, х = 1—точка минимума;
б) возрастает на [0; 1], убывает на (—со; 0] и на [1; <Ц; х = О —
точка минимума, я — 1— точка максимума;
X) возрастает на [—1; 1]; точек максимума и минимума нет;
г) возрастает на [—1; 0], убывает на [0; 1]; х = 0 —точка макси-
мума.
133.	Функция / возрастающая. Сравните:
а) /(3) и /(—4); б) f (|) и /
Отв^т: л)	б) / (у)</ (у)*
134.	Функция g убывающая. Сравните:
a) g (2) и g(-2); б) g (у) и g (у).
Ответ: д) g(2)<g(-2); б) g (yj>g .
135.	МайдЙге промежутки возрастания и убывания функции:
а) ё (*) = 2я — 3; б) g (х) = — х + 1; в) g (х) = х2 + 1;
г)	g(x) f=^^2)2.
22
Ответ: а) возрастает на всей числовой прямой; .
б)	убывает на всей числовой прямой;
в)	возрастает на [0; со), убывает на (—со; 0J;
г} возрастает на [2; со), убывает на (—со; 2].
136.	Какие из функций, графики которых изображены на ри-
сунке 9, являются четными, а какие нечетными?
Ответ: б), д) четные; г), е) нечетные.
137.	Известно, что функция у = f (*), заданная на отрезке [—3; 3],
является четной. Часть графика изображена на рисунке 10, а.
Дополните график функции.
Ответ: см. рис. 10, б.
138,	Функция у = g (*), заданная на отрезке [—3; 3J, является не-
четной. Часть графика функции изображена на рисунке 11,
а. Можно ли изобразить ее график на всем заданном
отрезке? Ответ поясните.
Ответ: можно. См. рис. 11, б.
139.	Функция у = / (3) является четной, причем / (3) = 7, f (12) = б,
/(5) = 6,1, /(-6) = 0. Найдите /(-3), /(-12), /(-5), /(6).
Ответ: /(-3) = 7, /(-12) = 6, /(-5) = 6,7, /(б) = 0.
140.	; Функция у = g (х) является нечетной, причем g (4) = —3,
«(2) = - 2,7, g(-1) = 0,3, g(-5) = 5,3. Найдите g (—4), g (—2),
g(l)> g(5).
Ответ: g(-4) = 3, g(-2) = 2,7, g(l) = -0,3, g(5) = -5,3.
141.	Функция у = h (x) является четной, причем h (1) = 3, h (2) = 5,
Л (—4) = 0. Найдите значения функции в тех точках, в каких
это возможно. Ответ: й(—1) = 3, й(—2) = 5, Л(4) = 0.
142.	Какие из данных функций являются четными, какие нечет-
ными:
а) у = cos2*; б) у = cos3*; в) у = sin2*; г) у = sin3*; д) у = tg2*;
е) y = tg3*; ж) y = 2sin*; з) у = — cos*; и) y = r-tg*?
О т в е т: а) четная; б) четная; в) четная; г) нечетная; д) четная;
е) нечетная; ж) нечетная; з) четная; и) нечетная.
Какие из следующих функций являются четными, какие
нечетными, какие не являются ни четными, ни нечетными
(143-146)?
143.	а) у = cos 2*; б) у = ctg 3*; в) у = 2 tg 3*; г) у = —3 sin *.
Ответ: а) четная; б) нечетная; в) нечетная; г).нечетная.
144.	а) у = ~~~; б) y = *3cos«; в) y = *2sin*; г) у = ^^-.
smx	, / ,	' ад»
Ответ: а) четная; б) нечетная; в) нечетная; г) четная.
23
24
145,	а) /(*) = * 4-sin*; б) /(*) = 2 — cosх; в) f(x) = ct£x;
г) / (ж) = х2 + х tg х.
Ответ: а) нечетная; б) четная; в) четная; г) четная.
146.	a) g(*) = sin*2; б) g»(*) = sin4-; в) g(*) = tg-^—-
г) g(*) = COs(y-*j.
Ответ: а) четная; б) нечетная; в) четная; г) нечетная.
Какие из следующих функций являются четными, какие не-
четными, а какие не являются ни четными, ни нечетными
(147-148)?
147.	а) у = ж2 + cos*; б) у = *2 + sin*; в) у = sin* + tg*; г) у = *tg2*.
Ответ: а) четная; б) ни четная, ни нечетная; в) нечетная;
г) нечетная.
148.	а) у = I sin2* I ; б) у = *2 + 2sin*cos*; в) у — х4 + х2 + 1;
г) у = З*2 4-cos2*; д) у = sin *i .
Ответ: а) четная; б) ни четная, ни нечетная; в) четная;
г) четная; д) ни четная, ни нечетная.
Среди данных функций укажите такие, графики которых:
а) симметричны относительно начала координат; б) симмет-
ричны относительно оси ординат; в) не симметричны ни от-
носительно оси ординат, ни относительно начала координат
(149-150).
149.	а) у = ж4 — 5Ж2 + 1; б) у = 1 — З*2; в) у = ж3 — *; г) у = sin * + ж3;
д) у = *?-2*4.
Ответ: симметричны относительно начала координат: в),
г); симметричны относительно оси ординат: а), б), д).
150.	а) у = *2 —*sin*; б) y = l + *ctg*; в) у= 1ж —sin*l;
г) у = *3 +'*tg* + 2; д) у = ж3 4- 2* 4-1.
Ответ: графики функций а), б), в) симметричны относи-
тельно оси ординат; графики функций г), д) не симмет-
ричны ни относительно оси ординат, ни относительно на-
чала координат.
151.	Найдите значения тригонометрических функций углов:
а) —30°; б) -45°; в) -60°; г) -90°.
Ответ: a) sin (—30°) = — у, cos (—30°) = -у-, tg (—30°) = — -у-,
ctg (—30е) = —/3;
б)	sin (-45°) = - Ц-, cos (-45°) = “, tg (-45°) = -1,
ctg (—45е) = — 1;
25
в)	sin (-60е) = - Ц-, cos (-60°) = у, tg (-60е) = - ]/з,
ctg (-60°) = --^-;
г)	sin (—90°)=—1, cos(—90°) = О, *tg(— 90°) не существует,
ctg (-90°) = 0.
Упростите выражения (152-153).
152.	a) cos (—х) tg (—х); б) tg(—х) ctg (—х); в) cos (—х) ctgx;
г) sin (—х) ctgx; д) sin (—х) cos (—х); е) 1 + tgxctg (—х).
Ответ: a) —sinx; б) 1; в) cosхctgx; г) —cosx; д) —ysin2x;
е) 0.
153.	a) sin (—ж) + cos (—ж) tg (—ж); б) tg (—ж) ctg (—ж) — sin2 (—ж);
в) 1 — cos2 (—ж); г) 1 +	
ctg(-x)
Ответ: а) —2 sin ж; б) cos2 ж; в) sin2x; г) 1 + tg2 х.
Вычислите (154—155).
154.	a) tg у) + ctg2	у) + sin у; б) cos (—у) - sin у) + cos2 я;
в) sin -y-j + cos 0 — tg2 yj.
Ответ: а) 3; б) 2; в) 1-у.
155.	a) cos2 у — sin2« + ctg2 у|; б) tgO-i“ ctg^— yj — cos я;
в) cos -yj — tg2	yj + sin 0.
Ответ: a) 6) 0; в) —1.
6
156.	Упростите выражения:
a)	a2 sin 2я + &2 tg 0 + 2ab cos я + b2 sin (-я);
6)	x2 sin2 yj + y2 cos 0 + tg я + 2xy sin -y-.
Ответ: a) — 2ab; 6) (x — y)2.
26
Решите уравнения (157-162).
157.	х ctg2 (-30°) - 18 sin (-30°) w sin 360е.
Ответ: —3.
(-1 cos 90ф
у)	= cos 270°.
Ответ: 2.
(1 % cos 180°
yl	= ctg 90°.
Ответ: 2.
160.	(5л + tg45°) (5х - ctg45°) = sinO°.
Ответ: ±у.
161.	8х - sin 20° cos 70° - cos 20° sin 70° = 7.
Ответ: 1.
162.		^OSA^~XCO^°- oU. = sint-90°)-
• cos 20 cos 28 — sm 20 sm28
Ответ: 13.
4. Основные свойства тригонометрических функций
163.	Может ли данный промёжуток (или объединение промежут-
ков) являться областью определения периодической функ-
ции:
а) (—со; со); б) (0; со); в) (—2; со); г) (—со; 0);
д) (—с»; —2)U (—2; 2) U (2; со)?
Ответ: а) да; б) нет; в) нет; г) нет; д) нет.
164.	Верно ли утверждение:
а) периодическая функция может иметь конечное число
периодов; б) если число Т —период функции /, то число 2Т
также период этой функции;
в) если Tj и Т2 ~ периоды функции /, то число 7\ + Т2 также
период этой функции?
Ответ: а) нет; б) да; в) да.
165.	Назовите период функций:
а)	у =	6) у = 2.
Ответ: а) Т— п, nCZ;
б)	любое отличное от нуля действительное число.
166.	Докажите, что следующие функции не являются периоди-
ческими:
а) у = *2"i > б)у = /х; в) y = sin/x — 1.
.27
Ответ: область определения каждой из этих функций не
симметрична относительно точки О.
167.	Какое наименьшее положительное число является периодом
всех тригонометрических функций?
Ответ: 2л.
168.	Найдите значение sina, если:
a) sin (a + 2л) = 0,2; б) sin (4л — а) = 0,3; в) sin (a + 6я) = 0,6.
Ответ: а) sin a = 0,2; б) sin a = —0,3; в) sin a = 0,6.
169.	Найдите значение tga, если:
а) tg(a + л) = 2; б) tg(a — я) = 0,5;
в) tg(a + 5л) = —100; г) tg(Зя — а) = 10.
Ответ: а) tga = 2; б) tga = 0,5; в) tga = —100; г) tga = —10.
170.	Найдите значение cos а, если:
а) cos (a+ 360°) = 0,5; б) cos (720° + a) =-0,3;
в) cos (720° — a) = 0,3.
Ответ: a) cos a = 0,5; 6) cos a = —0,3; в) cos a = 0,3.
171.	Назовите наименьший положительный период функции:
а) y = 2sin2a; б) y = 2cos4a; в) у = sin (—2л:);
г) y=4.g2x; д) y = sinya; е) y = cos-|-a.
Ответ: а) я; б) у; в) я; г) у; д) 4л; е) 6я.
е
Найдите наименьший положительный период функций
(172-173).	'	
172.	а) у = sin [х + у); б) у = sin ^2a — у);
в) y = 2cos(a + y); г) y = ytg(2a + y);
Ответ: а) 2л; б) я; в) 2л; г) у.
173.	а) y = tgy; б) y = siny + tga;
в) у = sin 2х + cos х; г) у = | cos х |.
Ответ: а) Зя; б) 4л; в) 2л; г) я.
174.	Является ли периодической функция:
а) у = х — sina; б) у = tga + 2; в) у = 2a cosa; г) у = sin (—a) — 1 i.
Ответ: а) нет; б) да; в) нет; г) да.
Найдите значения а, для которых справедливы равенства.
(175-176).
175.	а) cosa = 0; б) sina = l; в) cosa = l; г) tga = 0.
28
Ответ: а) у + яи, nOZ; б) у + 2яи, n6Z;
в) 2пп, nGZ; г) яп, nGZ.
176.	a) tga = l; б) ctga = l; в) ctga = 0; г) sina = 0.
Ответ: а) у + ял, nGZ; б) у + ял, h6Z;vb) ^ + яп, nGZ;
г) ял, nGZ.
Выразите следующие тригонометрические функции че-
рез тригонометрические функции положительных углов,
меньших 90° (177—178).
177.	a) sin 400°; б) cos 370°; в) tg395°; г) ctg 190°.
Ответ: a) sin40°; б) cos 10°; в) tg35°; г) ctg 10°.
178.	a) cos 720°; б) sin 730°; в) tg545°; г) ctg (-185?).
Ответ: a) cosO°; б) sin 10°; в) tg5°; г) —ctg5°.
Выразите следующие тригонометрические функции че-
рез тригонометрические функции положительного аргумен-
та, меньшего у (179—180).
179.	a) cos 2,1л; б) tg 1,4я; в) $т4уя; г) ^7уя.
Ответ: а) созОДя; б) tg0,4ff; в) sin у; г) ctg у.
180.	а) соз1,6я; б) sin-y^-; в) tgyy-; г) ctg2,lff.
Ответ: а) сов0,4я; б) sin у; в) —tgy-; г) ctgO.br.
Вычислите значения тригонометрических функций
(181-182).
181.	a) cos 405°; б) tg405°; в) sin 360°; г) sin 750°.
Ответ: а) у-; б) 1; в) 0; г) у.
182.	a) tg765°; oj cos 765°; a) cos-y^; г) 8ш2,5я.
Ответ: а) 1; б) у^; в) у; г) 1.
183.	По графикам функций у = sin х, у = cos х, у = tg х определите
знак следующих чисел:
29
a) sin (—1,7); 6) cos 5; в) sin 2; r) tgl,5;
д) cos 3,7; e) tg(—3); ж) sin 2,3; з) cos (—4).
Ответ: а) минус; б) плюс; в) плюс; г) плюс; д) минус;
е) плюс; ж) плюс; з) минус.
184.	По графикам функций у = sin х, у = cos х, у = tg х определите,
что больше:
a) sin0,6« или sin0,7«; б) sin 2 или sin3;
в) tg(—2,6л) или tg(—2,61л); г) tg2,7« или tg 2,75л;
A) cos 2,72 или cos 2,73; е) cos (—4,1) или cos (—4).
Ответ: a) sin0,6я>sin0,7л; б) sin2>sin3;
в) tg(—2,6л) >tg(—2,61л); г) tg 2,75л >tg 2,7л;
д) cos 2,72 > cos 2,73; е) cos (—4,1) > cos (—4).
185.	Определите, график какой тригонометрической функции
изображен на рисунке 12, а—в.
Ответ: a) y = 2sinx; б) y = sin-|-; в) y = cos2x.
в)
Рис., 12
30
186.	С помощью графиков функций, изображенных на рисунке
12, б, в ответьте на вопросы.
1.	Каковы значения х, для которых/(х) =0, ffac) < 0,/(х) >0?
2.	Каковы промежутки возрастания и убывания функции?
3.	Укажите значения х, при которых функция имеет макси-
мум или минимум.
4.	Обратима ли функция на R?
Ответ: Рассмотрим функцию, трафик которой изображен
на рисунке 12, б.
1.	/(х) = 0 при х = 2лп, nGZ; f(x)<0 при —2я + 4лп<х<
<4лп, nGZ; /(х)>0 при 4лп<х<2л + 4пп, nGZ.
2.	Функция возрастает на [—я + 4яп; л + 4лп], nGZ; убывает
на [я + 4лп; Зя + 4яи], nGZ.
3.	Максимум в точках я + 4яп, nGZ; минимум в точках
—л + 4лп, nGZ.
4.	Не обратима.
Рассмотрим функцию, график которой изображен на
рисунке 12, в.
1.	/(х) = 0 при х = у + яи, nGZ; f^c)<0 при у + лп<х<
<-у- + ли, nGZ; /(х)>0 при — у + яи<х<^ + лп, nGZ.
2.	Функция возрастает на у+я»; яя|, nGZ;
убывает на ргп; у + яп| nGZ.
3.	Максимум в точках яп, nGZ; минимум в точках %- + лп,
nez.
4.	Не обратима.
Расположите числа в порядке возрастания (187—189).
187.	a) sin 10°, sin 75°, sin 20°; б) sin 0,3, sin-0,4, sin 0,1;
в) sin 2, sin (—2), sin (—4), sin 4.
Ответ: a) sin 10°, sin20°, sin75е; 6) sin0,1, sin0,3, sin0,4;
в) sin (—2), sin 4, sin (—4), sin 2.
188.	a) cos3°, cos 43°, cos 23°; 6) cos 0,5, cos 0,7, cos 0,9; в) cos 2,
cos 4, cos 6.
Ответ: a) cos43°, cos23°, cos3°; 6) cos0,9, cos0,7, cos0,5;
в) cos 4, cos 2, cos 6.
189.	a) tg40°, tg60°, tg10°; 6) tg(-l), tg(-2), ig(-3); в) tg(-5),
tg(-3), tg3.
31
Ответ: a) tg 10°, tg40°,tg60°; 6) tg(-l),tg(-3),tg(-2);B) tg3,
tg(-3), tg(—5).
190.	Для функции у = sinx укажите на отрезке [0; 2л] про-
межутки, в которых эта функция:
а) возрастает; б) убывает; в) положительна; ~г)~ отрицательна.
Ответ: а) [о; ||	2л]; б) [у; ^-]; в) (0; я); г) (л; 2 л).
191.	При каких значениях х на [0; 2л) функция принимает наи-
большее значение и чему оно равно:
a) y = 3 + cosx; б) у = 2 —sinx?
Ответ: а) у = 4 при х = 0; б) у = 3 при х = ^--.
192.	При каких значениях х на [0; 2л) функция принимает наи-
меньшее значение и чему оно равно:
а) у = 3 +cosx; б) у = 2 —sinx?
Ответ: а) у = 2 при х = л; б) у = 1 при х = у.
193.	Существует ли такое значение х из интервала (0; л), при
котором функция у = tg х принимает свое наибольшее значе-
ние?
Ответ: Нет, так как tgx при х, приближающемся к у, не-
ограниченно возрастает.
5. Арксинус, арккосинус и арктангенс
194.	Задайте с помощью формулы функцию, обратную функции
f (х). Укажите область определения и область значений полу-
ченной функции. Найдите промежутки ее возрастания и
убывания.
а)	/ (х) = х + 2; б) f (х) = —х + 2; в) / (х) = у х; г) / (х) = 2х + 1.
Ответ: a) g(x) = x —2, D(g) = R, E(g)=R, возрастает на R;
6) g (х) = —х + 2, D (g) = R, E(g) = R, убывает на JR;
в)	g (х) = 2х, D (g) = R, E(g) = R, возрастает на R;
г)	g (х) = у (х — 1), D (g) = R, E(g) = R, возрастает на R.
195.	Заполните таблицу (ученикам предлагается таблица с запол-
ненной первой строкой).
32
а	-1	1	2	2	0	1 2	✓2 2	А 2	1
arcsin а	п “Т	«1 м 1	1	1	0	я - 6	Я 4	я 3	я ~2
arccos а	п	5я 6	Зя 4	2я 3	я 2	я 3	я 4	я б	0
196. Заполните таблицу (ученикам предлагается таблица с запол-
ненной первой строкой).
а	-Уз	-1	1 У5	0	1 /3	1	Уз
arctg а	Я 3	_ — 4	Я 6	0	я 6	я 4	я 3
197. Имеет ли смысл выражение:
a) arcsin/2; б) arcsin у; в) arccos-^~”j
г) arcsin (/2 — 1)2; д) arccos(—yj; е) arctg-y^-?
Ответ: а) нет; б) да; в) нет; г) да; д) нет; е) да при а £ 0.
198. Найдите одно из значений а из равенства:
a) & = siny; б) 6 = 2arccos-^-; в) & = 3sin2a; г) & = 3tg^-.
Ответ: a) e = 3arcsinb; б) a = 5cosy; в) a = yarcsiny;
г) a = 2arctgy.
199*. Найдите множество значений выражения:
a) arcsin а; б) arccosa; в) arctga.
Ответ: а) [-у; у]; б) [0;. я]; в) (-у; у).
Вычислите (200—203).
/	\	^2
200.	a) arcsin(—1); б) arcsin0; в) arcsin-у-;
г) arcsiny-j; д) arcsin2; е) arcsin у-; ж) arcsin у.
Ответ: а) — у; б) 0; в) г) — у; д) не существует; е) у;
ж) не существует.
3 Заказ 651	33
201.	a) arccos(—1); 6) arccos 2; в) arccosy^; r) arccosy;
д)	arccos y-; e) arccos (-y-j; ж) arccos(— yj; a) arccos л.
Ответ: а) л; б) не существует; в) -у; г) не существует; д) ;
4	о
е)	—; ж) —; з) не существует.
202.	а) arctg/3; б) arctg (-/з); в) arctg у-.
Ответ: а) у-; б) — —; в) -у.
3	3	6
203*. a) arctgO; б) arcctgl; в) arcctg(—1); г) arcctg/3;
д) arcctg(-/3); е) arcctg^-Jyj.
Ответ: а) 0; б) в) г) |; а) у1; е)
204. Найдите-значение выражения:
a) cos (arccos 1); б) cos(arccos0,5); в) sin (arcsin 1);
г) sin (arcsin Jyj.
Ответ: a) 1; 6) 0,5; в) 1; г)
205.
206.
Поставьте вместо звездочек знак равенства или неравенства
так, чтобы получилось истинное высказывание:
a) arcsin 1 * arccos 1; б) arcsin 1 * arctg 1;
в) arcsin(—1)*arctg(-1); г) arcsin у* arccos у;
2	2
1/2	^2
A) arccosу-*arcsinу-; e) arccos
ж) arccosarcsin-^-; 3) arcsin-y*arcsin —.
'	2	2 J 7	- 8
Ответ: a) arcsin 1 >arccos 1; 6) arcsin 1 >arctg 1;
в) arcsin (—1)< arctg (—1); r) arcsin у < arccos-y;
2	2
^2	^2
a) arccos-y- = arcsin2—; e) arccos
2	2
4	/3	. 1	4	.1	.1
ж) arccos —= arcsin —; з) arcsin —> arcsm—.
'	2	2	'	7	8
Найдите:
a) arcsin (sin6) arcsin (sin в) arccos (co:
* arcsin
> arcsm
34
г) arccos (cos (-jj); д) arctg(tg(--jj); e) arctg(tg-y-j.
Ответ: a) б) в) f; г) д) e)
207. Найдите значение выражения x +arccos я при следующих
значениях х:
а) -1; б) в) г) |; д) 0.
Ответ: а) я-1; 6)	в> | + Т: г) f+ Т;
208. Найдите несколько значений а, если:
a) sina = sin20e; б) cosa = — cos50°; в) tga = tg70°.
Ответ: а) 20е, 160°, 380°; б) 130°, 230е, 490е; в) 70е, 250е, 430е.
209. Найдите значение выражения х — arctgx при следующих
значениях х:
а) 0; б) 1; в) -)/3; г) -1; д)
Ответ: а) 0; б) 1-f; в) f-/3; г) |-1; д)
210. Найдите значение выражения arcsing + arccosх при следую-
щих значениях х:
а) -1; б) -Ц-; в) 0; г) д) /2.
Ответ: а) 4; б) в) 4; г) д) не существует.
211.	Найдите значение выражения arcsin а — arccos а при следую-
щих значениях а:
а) -1; б) -f-; в) 0; г) f; д)
Ответ: а) — 4»; б) -я; в) г) не существует; д) 4-
2	2	О
Найдите значения выражений (212—213).
212.	a) sin (arcsin -у-—arccos б) sin (arcsin 1 — arccos 1);
в) cos(2arctg 1); г) cos(4arctg(-l)).
Ответ: a) 0; 6) 1; в) 0; г) —1.
213.	a) tg (arccos	6) tg (2 arccos (—1)); в) cos (2 arcsin 1);
 r) sin (з arcsin-y-j.
35
Ответ: а) 1; б) 0; в) —1; г) 0.
214. Вычислите:
a) arcsinу + arccos 1 — arctgO; б) arccosy + arcsin у —arctg 1;
в) arcsin/—у
+ arccos— + arctg/3; г) arcsin /— yj + arcsin ^у.
Ответ: a) f; 6) f; в) f; r) •£.
Найдите область определения каждого из выражений
(215-217).
215. a) arcsin 2х; б) arccos Зх; в) arctg 4х; г) arcsin (х — 2).
Ответ: а) [-{; {]; б) [-{; |]; в) Я; г) [1; 3].
216. a) arccos (х + 1); б) arctg Ух; в) arcsin у х; г) arctgy.
Ответ: а) [-2; 0]; б) [0; со); в) [-2; 2]; г) (-со; 0)U(0; со).
217*. a) arcsin (cos х); б) arccos (sin2 х); в) arctg ', г) arctg (1 — ж2).
Ответ: a) R; б) R; в) (-со; -3)U(-3; 3)U(3; со); г) R.
218.	Какие значения может принимать выражение:
a)	arcsin/с; б) arccos Ух —-у?
Ответ: a) 0<arcsin/x^y; б) — у<;arccos Ух — у^-у.
6.	Решение тригонометрических уравнений и неравенств.
Решите уравнения (219—225).
219.	a) sinx = 0; б) cosx = 0; в) tgx = 0; г) ctgx = 0; д) sinx = l;
е) cosx = l; ж) tgx = l; з) sinx = — 1.
Ответ: а) лп, nGZ; б) ^- + лп, nGZ; в) лп, nGZ; г) ^- + лп,
nGZ; д) у + 2яп, nGZ; е) 2яп, nGZ; ж) у + яи, nGZ;
з) — у + 2яи, nGZ.
220.	a) 2sinx = 0; б) —2cosx = 0; в) ytgx = 0.
Ответ: а) лп, nGZ; б) у + лп, nGZ; в) лп, nGZ.
36
221.	a) sin2x = 0; 6) cos2x = 0; в) 2tg3x = 0; r) -4sin-^-ic = 0;
д) 2 cosy* = 0.
Ответ: a) y-, n£Z; 6) y + y-, n€Z; в) -у, nGZ; г) 2лп,
nGZ; д) л + 2лп, nGZ.
222.	a) sin(-*) = 0; б) 3cos(-x) = 0; в) 2tg(-x) = 0.
Ответ: а) яп, nGZ; б) у + яп, nGZ; в) лп, nGZ.
223.	a) sin (—ж) = 1; б) cos (—ж) = 1; в) tg (—ж) = 1; г) sin (—ж) = —1;
а) cos(-x) = -l; е) tg(-x) = -l.
Ответ: а) — у + 2яп, nGZ; б) 2яп, nGZ; в) — у + яп,
nGZ; г) ^- + 2яи‘, nGZ; а) л + 2лп, nGZ; е) — + лп, nGZ
2	4
224.	а) sin (ж + 4я) = 0; б) cos (ж — 2я) = 0; в) tg(x — Зя) = 0;
г) sin (ж — 2л) = 1; д) cos (ж + 4я) = 1.
Ответ: а) лп, п 6Z; б) у + лп, п GZ; в) яп, п GZ; г) у + 2лп,
nGZ; а) 2яп, nGZ.
225.	a) вт(2я —ж) = 0; б) сов(2я-ж) = 1; в) tg(4ff — ж) = -1.
Ответ: а) лп, nGZ; б) 2лп, nGZ; в) ^- + лп, nGZ.
4
226.	Назовите хотя бы одно уравнение, решением которого
являются числа:
а) яп, nGZ; б) 2лп, nGZ; в) у + яп, nGZ; г) у + 2яп, nGZ;
А) л + 2лп, nGZ.
Ответ: a) sinx = 0; б) со$ж = 1; в) cosx = 0; г) sinx = l;
а) совж = —1.
Решите уравнения (227—251).
227.	a) 2sinx = l; б) /2зтж = 1; в) —2совж = 1; г) —2зшж = 1;
д) —2 cos ж = /2.
Ответ: а) (—1)”~ + яп, nGZ; б) (— 1)п^- + лп, nGZ;
б	4
в) ±у + 2яи, nGZ; г) (-1)п + 1у + лп, nGZ; д) ±-у- + 2яп,
nGZ.
228.	a) 2tgx = 3; б) cos ж = 0,75; в) sin ж = 0,345; г) cos ж = —1,35;
д) tgж = —1,35.
Ответ: а) ап^1,5 + яи, nGZ; б) ±arccos0,75 + 2лп, nGZ;
37
в) (—1)"arcsin0,345 + лп, nGZ; г) нет решения;
д) — arctg 1,35 + лп, nGZ.
229*. a) sin2x = l; б) cos2x = l; в) tg3x = l; г) sin их = 1;
д) cos«x = l; е) tgnx = l.
Ответ: а) ^ + лп, nGZ; б) лп, nGZ; в) + nGZ;
г) т- + —, kGZ; д) —, kGZ; е) —+ —, kGZ.
2п п	п	4п п
230. a) cos5x = -l; б) tg4x = —1; в) sin3x = — 1; г) siny«=l;
д) cos--x = l; е) tgj=-l.
х	Я . 2ЛП гу	ef\	Я ,	ЛП	гу г,	\	Я . 2лП
Ответ: а)	— + ——, nGZ;	б)	- — +	nGZ;	в)	—-г + —-,
7	5 5	'	16	4	’	'	6 з
nGZ; г) л + 4лп, nGZ; д) бяи, nGZ; е) — л + 4лп, nGZ.
^2	/2	1	1
231. a)	cos 2х = —;	б)	sin Зх	= —;	в)	cos Зх = —;	г)	sin 2х = —;
'	2	'	2	2	2
д) cos5x = y; е) tg4x = /3.
Ответ: а) ±-7 + лп, nGZ; б) (— 1)" -%- + nGZ;
В)	±f+ ^, nGZ; г) (-1)»^ + ^, nGZ; д) +
nGZ; е) + nGZ.
232*.а) cos4x = — б) sin3x = — -у; в) 3tg3x = —]/3;
г)	2cos-|-x= 1 ; д) 2sin0,5x = l; е) tgyx = y.
Ответ: а) ±^ + ^, nGZ; б) (-1)я + 1^- + -у-, nGZ;
1О 2	lo 3
в)	--77 + -V-> «ez; г) ±^- + 4ли, nGZ; д) (-1)"-7 + 2яи,
18	3	3	3
nGZ; е) Sarctgy + Зяи, nGZ.
233*. a) cos (—2х) = -у-; б) 2 sin (—2х) = 1; в) 2 cos (ж + 2л) = 1;
г)	tg(-Зх) = -]/3; д) sin (2х + 4л) = -
Ответ: а) ±-^ + лп, nGZ; б) (-1)в + 1^- + ^-> nGZ;
38
В) ±у + 2ял, «6Z; г) у + у-, n6Z; a) (-1)я + 1у + ^-,
n€Z;
234*. a) tg(2re-x) = v/3; б) cos (Зх - ЮОя) = у;
в) sin (5х + 10я) = —	; г) 2sin (Зх — 4л) = 1;
д)	8т(ух + 2л) = 1; е) 2 cos (у я — Юл) = /з.
Ответ: а) -у + лл, nGZ; б) ±у + ^у-, «6Z;
в) (-1)п + 1у + уЧ «6Z; г) (-1)»^ + ^-, «6Z;
1Э Э	1о О
А) -у- + Зял, nGZ; е) ± у + бял, nGZ.
235. a) sin(x + |) = l; б) cos(x +1
в) tg(x + y) = 0;
г) sin(x-y) = l; a) c°s(x-y) = y; е) tg^x-y) = O.
nGZ-, г) я+.2яп, nGZ-, а) (— 1)”^- + ял, nGZ; е) ^- + лп,
о	2
«ez.
236*.a) sin^2x + y) —0; б) cos^2x-y) = y; в) Ctg (зх — у) = 1;
г) cos 13х + у) = 0. Ответ: а)
^ + ~, nGZ;
б)	(-1)”тг + ^-, nGZ; в)	nGZ; г) nGZ.
’	12	2	12	3	3
237.	а) С08(х + л) = 1; б) 8т(х + л) = 0;-в) tg(x — я).= 1;
г) sin^-y- + x )=у; д) cos(^-x) = ^; е) sin^-x ) = |.
Ответ: а) я +2яи, nGZ; б) пп, nGZ; в) •^- + ли, nGZ;
г) ±^- + ял, nGZ; A) (-l)’ + 1v + »«» nGZ; е) ±^- + 2ял,
чЭ	О	«3
лег.
238.	a) cos(ff-x) = l; б) ctg (1,5л + х) =/3; в) ео8(1,5л —х) = 2;
г) 2cos (7,5я — х) =/2.
39
Ответ: а) я + 2яп, nGZ; б) — у + яп, nGZ; в) нет реше-
ния; г) (— 1)" + 1у + лп, nGZ.
239.	a) cos-^-* = -|-; б) sin-^-x = i; в) tg-i-* = ^-; г) sin-7* = —
2	2	2	2	' ° 2	2	3	2
д) cosy* = ^7"> е) 2cos-^-* = /2.
Ответ: а) ±-у- + 4яп, nGZ; б) (—1)"у + 2яп, nGZ;
в) 2arctg-^- + 2nn, nGZ; г) (—1)” + 1-^-+Зяп, nGZ; д) ±^- +
2	4	2
+ 6яп, nGZ; е) ±у + 4яп, nGZ.
240.	a) sin(f + f) = - 1; б) cos (у-0,5* ) = °;
в) 2 sin (Зя + 2ж) = ^3. Ответ: а) 2я + 4яп, nGZ; б) 2яи,
nGZ; в) (-1)и + 1^- + ^-, nGZ.
241*. a) sin * cos 2* + cos * sin 2* = 0; 6) sin * cos 3* + cos x sin 3* — 1;
в) cos2*sin3* + sin2*cos3* = y; r) cos5*cos2* — sin5*sin2*=0;
1/3
a) sin7xcos5* — cos7*sin5* = -y; e) cos*cos2* + sin*sm2* = —1.
Ответ: a) nGZ; 6) f+ f-, nGZ; в) (-1)"^ + ^,
3	о 2	30	5
nGZ; г) + nGZ; д) (-1)"^- + ^, nGZ; e) я + 2яп,
14	7	6	2
nGZ.
242*. a) -^±18^—1; б)	---1/3;
’ l-tg2xtg3x	' l+tg3xtg5x '
в) cos 3* cos 5* + sin 5* sin 3* = 2.
Ответ: a) + nGZ; б) у + nGZ; в) нет решения.
243. a) 2sin*cos* = 0; 6) cos2* —sin2ж = 0; в) 2cos
X
X sin
1; г) sin2* — cos2x = — 1; д) cos2——sin2-^-= ——.
2	2	2
Ответ: a) -y, nGZ; 6)	+ nGZ-, в) y + яп, nGZ,
2/r
r) nn, nGZ; д) ± — + 2яп, nGZ.
244*.a) 2sin-|-cos-^=—/2; 6) cos22x —sin22x = 1; в) 4sinxcos*=l;
40
г) e А) = 0; е) sin х cos х = 0.
Ответ: а) нет решения; б) -у, nGZ; в) (—	+ nGZ;
г) т + nGZ'> А) nGZ'> е) nGZ-
о 2	4	2
245*. a) sinxcosx = l; б) cos2x = 0; в) sin2x = l; г) cos22x = 2;
A) ysin4x = l; е) cos4x — sin4x = 0.
Ответ: а) нет решения; б) у + яи, nGZ; в) у + яп, nGZ;
г) нет решения; д) нет решения; е) у + у-, nGZ.
246. a) sin (я + у ) = 0; б) cos^x —yj = O; в) sin (я — у)=1;
г) tg(x + y)=l. Ответ: а) — у + яи, nGZ; б) -у- + яи,
nGZ; в) -у- + 2яи, nGZ; г) яи, nGZ.
247*.а) tg(2x-|) = l; б) tg(2x-|) = -l; в) tg(|« + i)--1;
г) cos(х + у) = у. Ответ: а) у + у-, nGZ; б) -у,
nGZ; в) —я + 2яи, nGZ; г) — — ±v + 2лп, nGZ.
6	3
248. a) sinx — cosx = 0; б) sinx + cosx = 0; в) sin2x-cos2x = 0;
г) sin2 х + cos2 х = 0; д) sin2x + cos2x = 1.
Ответ: а) у + яи, nGZ; б) — у + яп, nGZ; в) у + у-,
nGZ; г) нет решения; д) х—любое действительное число.
249. a) tgxctgx = l; б) 4sin2 х = cos2 х; в) 3sin2x = cos2x.
Л	х	ЛП
О т в е т: а) все действительные числа, кроме чисел вида —,
nGZ; б) ±arctgJ- + лп, n'GZ; в) ±~ + лп, nGZ.
2	6
250. a) sin2 х — sin х = 0; б) cos2 х — cos х = 0; в) sin2 х + sin х = 0;
г) cos2x + 2 cosx = 0. От в ет: а) лп, у + 2лп, п 6Z; б) у + лп,
2лп, nGZ; в) лп, — у + 2яи, nGZ; г) у + лп, nGZ.
251. а) 1 —sin2x = 0; б) 1 —cos2x = 0; в) sin2х — 2sinх = 0;
41
г) tg2* = 3tgx; д) tg2* = tg*; e) cos2* + 3cos* = 0.
Ответ: a) у+ ЯЛ, n€Z; 6) nn, nGZ; в) яп, nGZ; r) nn,
arctg3 + tfn, n6Z; а) лп, у + яи, nGZ', e) у + яи, nGZ.
252. Объясните, каким способом можно решить уравнение:
a) sin2* —2sin* —3 = 0; б) sin2* —cos*+ 1 = 0.
О т в е т: а) введ я новую, переменную у = sin ж, можно перейти
к квадратному уравнению; б) заменяя sin2* на 1 —cos2* и
введя новую переменную у = cos *, можно перейти к квадрат-
ному уравнению.
253*. Решите уравнение:
a) sin* = a; б) cos* = a; в) tg* = a; г) sina* = a; д) cos ах = а;
е) tga* = a; ж) asin* = l; з) ecos* = l; и) atg* = l. '
Ответ: (— 1)” arcsin а + яп, nGZ, |а| < 1; б) ±arccosа + 2пп,
nGZ, |а| <; 1; в) arctga + яи, nGZ; г) (—1)" • у arcsin в +-у-,
п GZ, |а| <; 1, а /= 0; д) ± у arccos а + nGZ, |а|	1, а £ 0;
е) yarctga + y-, nGZ, aj=O; ж) (—1)"arcsin~ + nn, nGZ,
|в|^1; з) ± arccosy+ 2яи, nGZ, |a| ^1; и) arctgy + яи,
nGZ, a£0.
254. Является ли число я корнем уравнения г = 0?
Ответ: нет.
255. Является ли число я корнем уравнения sin 2* tg (* + у) = 0?
Ответ: да.
Найдите корни уравнений, принадлежащие промежутку
(0; 2я) (258-261).
256*.sin* = — Ответ:
2	з з
257*.sinЗх = ±. Ответ:
2	18	18 ’ 18	18 ’ 18	18
258*. cos 4* = --^.
2
Зя 5я Ия 13я	19я	21я	27я	29я
Ответ: le ’ I?’ ЛГ’ ЧГ’ ЛГ’ ЛГ’ ЛГ’ лг-
259*.tg(*--) = 2sinv. Ответ: —, —.
\	3 /	3	3	3
42
260.	При каких значениях а имеет место равенство sin а = cos а?
Ответ: ?- + яп, nGZ.
4
261.	Укажите значения аргумента, при которых функция у при-
нимает наибольшее и наименьшее значения. Найдите эти
значения функции:
а) у = 1 —sin у; б) y = l + 3sin2x; в) y = 2 + cos3x;
г) y = 3cos2x. Ответ: а) у = 2 при х = —л + 4лп, nGZ;
у = 0 при х = п + 4лп, nGZ-, б) у = 4 при х = — + 4лп, nGZ;
у = — 2 при « = — ^- + лп, nGZ; в) у = 3 при х — ^-, nGZ;
4	3
у = 1 при х = у + п GZ; г) у = 3 при х = лп, п GZ; у - -3
при х — ^ + лп, nGZ.
262.	Найдите значения а, при которых разность ctg~ — 2 sin а
4
принимает наибольшее и наименьшее значения, равна
нулю.
Ответ: при а = — у + 2яи, nGZ, разность имеет наиболь-
шее значение; при а = ^ + 2лп, nGZ, разность имеет наи-
меньшее значение; при а = (—1)"у + яи, nGZ, разность
равна нулю.
263*. Решите уравнения:
a) arcsin 2х = •—; б) arctg (2х — 1) =;
б	4
в) arccos (х — 1) — у= 0; г) arcsin (х2 — 3) = у;
д) arccos (х2 + 2) = у; е) arctg (х2 + 1) = у.
О т в е т: а) у; б) 1; в) у; г) ± 2; д) нет решения; е) ± //з — 1.
264. Запишите с помощью неравенств множество всех точек х
(рис. 13), лежащих на дуге:
a) BmAi, б) AinBi; в) BA^Bi; г) А&А.
Ответ: а) у + 2лк<,х<,л + 2лк, kGZ; б) л + 2лк’<,х^
43
<~ + 2nk, kGZ; в) у + 2л/г<х^у- + 2л&, kGZ; г) -л +
+ 2лк^х^2лк, kGZ.
265.	С помощью рисунка 14 решите неравенство sinx>y.
Ответ: ^- + 2лп<х<^- + 2лп, nGZ.
о	б
266.	С помощью рисунка решите неравенство1:
V3	1	1
a)	cosx^-1—; б) cosx^ — —; в) tgx;>—1; г) sinx< — —.
&	&	£
Ответ: а) —^- + 2лп х <, + 2лп, nGZ;
б	6
б)	-у- + 2лп < х <, -у- + 2яи, п е Z;
в)	— ^- + лп<х<^- + лп, nGZ;
г) — ^- + 2лп<х< — ~ + 2лп, nGZ.
б	6
Решите неравенства (267, 268).
267.	a) sinx>—1,5; б) cosxc—1; в) smx>0; г) cosx>0.
Ответ: a) R; б) 0; в) 2nk<х<л + 2nk, kGZ;
г) -?- + 2nk<x<?- + 2nk, kGZ.
'2	2
268.	a) tgx^O; б) tgx<0. Ответ: a) nk<,x<^ + nk, kGZ;
6)	—^ + nk<x<лк, kGZ.
1 Учитель предлагает учащимся рисунки, аналогичные рисунку 14.
44
Глава 2
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
7. Производная
3	3
269.	Найдите десятичные приближения чисел: а) б) —;
7
в) 1 —— по недостатку л по избытку с точностью до 0,1.
Ответ: а) 0,4 и 0,5; б) 0,2 и 0,3; в) 1,7 и 1,8.
270.	Известно, что / (х) -»2, a g (ж) -»• — 2 при х -»• 1. Найдите предел,
к которому при х -> 1 стремится функция:
a) f(x) + g(x); б) f(x)-g(x); в) 2/(ж); г) 2/(x)-g(x);
д) 3/(*)-2g(x); е) 2g (х) - 3/ (ж).
Ответ: а) 0; б) 4; в) 4; г) 6; д) 10; е) —10.
271.	Известно, что lim f (х) = 2; lim g (ж) = — 3.
я->3	х-*3
Найдите предел, к которому при х -> 3 стремится функция:
a) /(x)-g(«); б) ygW; в) /3(ж); Г) (2/(ж) + 3g(ж))2; д)
Ответ: а) —6; б) —1; в) 8; г) 25; д) —3.
272.	Приведите пример дробно-рациональной функции, предел
которой при ж-»3 равен 0, а. при ж-> — 2 не существует.
Ответ: например, f (ж) =	.
Найдите производные функций (273—277).
273.	а) g(ж) = 2ж —3; б) g(x) = х* — 2; в) g(x)=x2 — Зж + 4;
г) g(ж) = 3ж2 —6ж.
Ответ: а) 2; б) 2ж; в) 2ж —3; г) 6ж —6.
274.	a) g (ж) = Зж4 — 7ж3 + 2ж2 + я; б) g (ж) = ж3 +/2 ;
45
В) g(x)=x~3 + 2x; г) g(x) = ^+l.
Ответ: а) 12х3 — 21х2 + 4х; б) Зх2; в) — Зх-4 + 2; г) — р-.
275*.а) /(х) = siny-x2 —cosy-x; б) / (х) = (cos2-^-— sin2^- jx3 +
+ sin-7->x2; в) /(x) = 2tgxctgx«x2 —4- + sm-7-, x4 nGZ.
6	3	6	2
Ответ: a) 2x; б) x; в) 4x —x2,	nGZ
276*. a) /(x) = 2sin—cos-t--x3 —2tg0-x2 + cosa-x;
6	6
6)	/ (x) = (2sinjcosy-x)5-3cosy;
''x/ 1—tg30tgl5	6	4
Ответ: a) -^^-x2 —1; б) — Зх2; в) 4x3 + 3x2..
277*. a) / (x) = sin (y - a) • *2 + sin (“ - J) ’ * 5
6)	/(x)=tg-^-x2 + 2cos(-yj-*; в) /(x) = tg[-^-)-*3-
-sinf-^p + cosf-l).
1Г2	3x2
Ответ: a) 2cosa-x — £^~; б) — 2x+l; в) ~~^з~ + х-
278.	Дана функция f (х) = х2. Решите уравнение / (х) = f (х).
Ответ: 0; 2.
279.	Дана функция /(х) = 2х2. Найдите f (— 1), f(2).
Ответ: —4; 8.
280.	Дана функция / (х) = /х! Найдите f (9), f (16).
гч	1	1
Ответ: —; —.
6	8
Найдите производные функции (281-296).
281.	а) / (х) = (х - З)4; б) f (х) = (2х + I)2; в) / (х) - (1 - х)3;
г) /(х) = (3-4х)3.
Ответ:	а) 4(х —З)3; б) 4(2х + 1); в) — 3(1— х)2;
г) —12(3 —4х)2.
46
282*.a) f (x) = (ж3 — 2x)2; 6) f (x) = (1 + x — x2)4; в) f (x) = /x —2 ;
r) /(x)'=/x2 —3.
Ответ: a) 2(x3 —2x)(3x2 —2); 6) 4(1+x — x2)3 (1 — 2x);
B) ° 7^'
283*. a) / (x) = (sin у — 2xj ; 6) / (x) = (2x cos 0 + x2)2;
в) /(x) = (2xsin-y + ij ; r) /(x) = (2x2tgy — sinx).
Ответ: a) — 6(1—2x)2; б) 4x(2 + x)(l+x); в) 2(x + l);
r) 48x5.
284.	a) f (x) = (2x cos у + 1 j; 6) f (x) * (x2 cos 0 + sin я)3;
в) f (x) = (cos 0 — Зх)3.
Ответ: a) 2(x + l); б) 6x5; в) —9(1 —Зх)2.
285.	a) у = 2sinx; 6) y = sin2x; в) y = ysinx; r) y = sin(3x — 4).
Ответ: a) 2cosx; 6) 2cos2x; в) y-cosx; r), 3cos(3x —4).
286.	a) /(x) = 3cosx; 6) /(x) = cos5x; в) /(x)=ycosx;
r) f (x) = - у cos (зх + у).
Ответ: a) — 3sinx; 6) — 5sin5x; в) — ysinx; r) sin(3x + yj.
287.	a) /(x) = 5tgx; 6) f(x) = tg3x; в) /(x) = 2tg3x;
r) ytg(5x + 10).
Ответ: a) —; 6) —; в) —г) ——тхг-
cos2 я cos2 Зя cos2Зя cos2(5# + 10)
288*. a) g(x) = ctg2x; 6) g(x) = 2ctg3x; в) g (x) = 4 ctg (yX + 1).
Ответ: a)	б)	в) -	---y.
8щЦу* + 1)
289.	a) у = cos (5 — Зх); б) у = sin (3 — 2x); в) у = ctg (2 — 5x).
Ответ: a) 3sin(5-3x); 6) -2cos(3-2x); в)
47
290.	a) f (x) = tg2x + ctg (3 — 2x); 6) / (x) = sin ^2x + yj-
-lcos(f-2x).
Отоет: a> A^-ra-M'61 2cos(2» + |)-
— sin — 2x j.
291.	a) g (x) = 2x3 — 3sin 3x; 6) g (x) =/х — 2 + cos(x2 — 2).
Ответ: a) 6x2 — 9cos3x; 6)	— 2x sin (x2 — 2).
292.	a) y = tg(2x3 + 3x2); 6) y= ctg (2x2 -/Т).
От”": a>
293.	a) f (x) = sin x cos 3x + cos x sin 3x;	6) / (x) = cos2xcos5x+
+ sin2xsin5x.
Ответ: a) 4cos4x; 6) — 3sin3x.
294.	a) g (x) = 2 sin 3x cos 3x; 6) g (x) = cos2 2x — sin2 2x;
в) f W = sin-| cos у; г) g(x) = tg2xctg2x.
Ответ: a) 6cos6x; 6) — 4sin4x; в) y-cosx; r) 0.
295.	a) h(x) = tgx+tg5^  g) /z(x) = cos24x + sin24x;
’	' '	1 —tgxtg3x ’ ’	’
\ 1 / \	1 — COS2 Я
в) h (я) = -;--.
Sin X
Ответ: a) —%—; 6) 0; в) cosx.
' cosz4x
296.	a) у = sin (y- — x) cos	- x j;
6)y-tg(^-«)etg(i + «).
Ответ: a) cos 2x; 6) 0.
297.	Найдите значение производной функции у = sinx при:
а) х = п; б) х = — -у; в) х = 0.
Ответ: а) —1; б) 0; в) 1.
298.	Найдите значение производной функции у = cosx при:
а) х — а) * = —л; в) * = у-
48
Ответ: а) —1; б) 0; в) — у.
299.	Найдите значения производной функции /(x) = tgx и
g(x) = ctgx при:
a) * = у; б) x = f; в) х—
4	3	4
Ответ: а) 2 и —2; б) 4 и — у; в) 2 и —2.
300.	Сравните S'(у) и g'(y), еСЛИ s ~ S*n **
Ответ: g'Jyjcg'Jy).
301.	Что больше: g'(-y) или g'(0), если g(x) = sinx?
Ответ: g'(0)>g'(yj.
302.	Сравните и /^у|> если /(*) = cosx.
Ответ: /'(f)</(f).
303.	Что больше: f (у j или gf ), если f (х) = sin х, g (х) = cos х ?
Ответ: f(y)>g'(y).
304.	Сравните значения выражений:
a) f (0) и g7 (у); б) f (у) и ё (у), если / (х) = tg х и g (х) = ctg х.
Ответ: a) /'(0)>g'(yj; б) f (у)>ё(у)•
305.	При каких значениях х выполняется неравенство f (х) < ё (%),
если / (х) = sin х и g (х) = 5х + 1?
Ответ: при любых значениях х.
306.	Даны функции h (х) = cos х + 5 и f (х) = —2х — 1. Определите,
при каких значениях переменной х выполняется нера-
венство й'(х)</'(х).
Ответ: таких значений нет.
307.	Найдите значения переменной х, при которых верно
равенство sin'х = (х —5)'.
Ответ: 2лп, nGZ.
308.	Даны функции /(x) = 2cosx и g(x) =/У х + 7. Определите,
при каких значениях переменной х верно равенство
f(x)=g'(x).
49
Ответ: (—1)" + 1-|- + яп, nGZ.
309.	При каких значениях переменной х верно равенство
f(*)=g'(*)> если /(ж) = sin2я, g(ж) = 2х + 3?'
Ответ: an, nGZ.
8.	Применения производной к приближенным вычислениям
в геометрии и физике
310.	В каких точках непрерывны функции:
а)	многочлен Р (ж) = а&сп + агхп ~1 + ... + а„ _ tx + ап;
б)	дробно-рациональная?
Ответ: а) многочлен непрерывен на всей числовой пря-
мой; б) дробно-рациональная функция непрерывна во всех
точках своей области определения.
311.	Среди функций, графики которых изображены на рисун-
ке 15, назовите функции, непрерывные в точке 1.
Ответ: а) ; в) ; е) .
312.	Укажите промежутки непрерывности функций:
а) /(ж) = ж2-2; б) /(Л) = ~Т» в) /(*) = 2ж + 3;
г)	A) /W—152-т; е) у = [ж].
Ответ: а) К;б) (— оо; 1) и (1; со); в) Л;г) К;д) (—	— 2) и
(—2; 2) и (2; со); е) все промежутки вида [ п ; п + 1), где nGZ.
313. Из скольких непрерывных «кусков» состоят графики функ-
ций:
а) /(*)=ТТ7; б) /W==^T7?
Ответ: а) из двух; б) из трех.
314.	Решите методом интервалов неравенство:
а)	(ж —2)(ж + 3)>0; б) (ж-2)(ж + 3)^0; в) J^-^0;
г)	(ж — 1) (ж + 2) (ж — 3) (ж + 4) < 0.
Ответ: а) (—«; —3)и(2; со); б) [—3; 2];
в)	(-со; -2]U(1; со); г) (-4; -2)U(l; 3).
315.	Найдите значение производной функции у = ж2 + 2 в точке
ж = — 1. Чему равен тангенс угла а наклона касательной к гра-
фику данной функции в точке с абсциссой ж0=—1?
Ответ: /=—2, tga = —2.
316.	Известно, что угловой коэффициент касательной к графику
функции в точке с абсциссой х0 равен 0,72. Чему равно зна-
чение производной в этой точке?
Ответ: 0,72.
50
Рис. 15
317.	Касательная к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой
х0 образует с положительным направлением оси х угол 45°.
Найдите f'(x0). Ответ: 1.
318.	Известно, что тангенс угла наклона касательной к графику
функции y = f(x) в точке с абсциссой х0 = — 1 равен 2. Напи-
шите уравнение касательной к графику функции в этой
точке, если /(#0) = 3. Ответ: у = 2*+ 5.
319.	Какой угол (острый или тупой) образует с положительным
направлением оси х касательная к графику функции:
а) у = *4 —2, в точках 1, 2, —1; '
б) у = х3—х2, в точках 1, —1, 0;
в)	у = х2 —х3, в точках 0, 1, —1;
г)	у = (х —2)2, в точках 0, 4, —3;
д)	у = —(1 — х)2, в точках 0, 1, 2?
Ответ: а) острый, острый, тупой; б) острый, острый, 0е;
в) 0°, тупой, тупой; г} тупой, острый, тупой; д) острый, 0°,
тупой.	/
320.	Найдите угловой коэффициент касательной к графику
функции в точке с абсциссой х0:
а) у = х2, х0 — 1; б) у-х3, *о = 1; в) y = sin*, *0 = 4-
Ответ: а) 2; б) 3; в) О.
Найдите тангенс зила наклона касательной к графику функ-
ции в точке с абсциссой х0 (325—326).
51
(*+ б)’ х°~ б’
321.	a) f (x) = sinx, x0 =y; 6) / (x) = 2 cos 3x, x0 = ^; в) /(x)=tgx,
*0 = 7; r) /(x) = 2cos[x-yj, *o = y-
Ответ: a) 6) —3; в) 2; г) 0.
322.	a) / (x) = 2 sin x cos x, x0 = y; 6) /(x) = 2 + tg
в) /(«) = 3 —ctgx, *o = y.
Ответ: a) —2; 6) 4; в) 1.
323.	Будет ли касательная к графику функции у = х3 — х в точке
х = 0 параллельна прямой:
а) у = 2х — 1; б) у — — х + 2; в) у = х + 1; г) у = — х — 7?
Ответ: а) нет; б) да; в) нет; г) да.
324.	В какой точке параболы у = 0,5х2 — х касательная к ней
наклонена к оси абсцисс под углом у?
Ответ: (2; 0).
325.	В какой точке параболы у = 0,5х2 +1 касательная к ней
параллельна прямой у = — х — 1?
Ответ: (—1; 1,5).
326.	Касательная к кривой у = 15х2 — 5 образует с осью абсцисс
угол 60°. Найдите абсциссу точки касания.
/У
Ответ: х = —~-
зо
327.	К кривой у = 2х2 — 8х + 1 проведена касательная, парал-
лельная оси абсцисс. Найдите координаты точки каса-
ния.
Ответ: (2; —7).
328.	В какой точке касательная к графику функции у = —х2 +
+ 4х — 3 параллельна оси абсцисс?
Ответ: (2; 1).
329.	На графике функции у = (ж — 4)3 найдите точки, в которых
касательные параллельны оси абсцисс.
Ответ: (4; 0).
330.	Точка движется прямолинейно по закону s(/) = 2/3 —3/
(s — путь в метрах, t — время в секундах). Вычислите скорость
движения точки:
а) в момент времени /; б) в момент t = 2 с.
Ответ: а) (б/2 —3) м/с; б) 21 м/с.
331.	Движение точки происходит по закону s(t) = f— 4t+ 2:
В какой момент времени скорость движения равна:
а) 0; б) 6?
Ответ: a) t = 2; б) t = 5.
52
332.	Найдите скорость и ускорение в указанный момент времени
для точки, движущейся прямолинейно по закону:
a) s(/) = 2/3-3f, t = l; б) s(t) = ? + 2t + 1, f = 3;
в) s (/) = 2/2 — 3/+ 4, t = 2.
Ответ: a) 3; 12; 6) 8; 2; в) 5; 4.
333.	Маховик вращается вокруг оси по закону <р (/) = t4 — 1. Най-
дите его угловую скорость а> в момент времени:
a) t; б) 2 с ($>—угол вращения в радианах, о—угловая ско-
рость в радианах в секунду, t—время в секундах).
Ответ: а) 4/3; б) 32 рад/с.
334.	Путь, пройденный клетью подъемной машины, опреде-
ляется из уравнения s (/) = 4 + 5t. Найдите скорость и ускоре-
ние в любой момент времени t (s — путь в метрах, t — время в
секундах).
Ответ: v(t) = 5 м/с; а(/) = 0.
335.	Две материальные точки движутся прямолинейно по зако-
нам: $i (0 = 2,5£2 — 6t + 1, s2 (t) = 0,5/2 + 2t — 3 (t — время в
секундах, s—путь в метрах). В какой момент времени ско-
рости их равны?
Ответ: 2 с.
336.	Две материальные точки движутся прямолинейно по зако-
нам: «х (t) = Z2 — 6t + 2, s2 (0 = 4t + 5 (t — время в секундах, s —
путь в метрах). В какой момент времени скорость первой
точки в два раза больше скорости второй?
Ответ: 7 с.
337.	Закон изменения температуры Т тела в зависимости от вре-
мени задается уравнением Т = 0,2/2 (Т —температура в граду-
сах, t — время в секундах). С какой скоростью изменяется
температура тела в момент времени t = 5 с?
Ответ: 2 градуса в секунду.
338.	Изменение силы тока I в зависимости от времени t задано
уравнением / = 2/2 — 5/ (I—в амперах, t—в секундах). Най-
дите скорость изменения силы тока в момент t = 10 с.
Ответ: 35 А/с.
339.	Известно, что тело массой m = 5 кг движется прямолинейно
по закону s(/) = /2 + 2 (s —путь в метрах, / — время в секун-
дах). Найдите кинетическую энергию тела через 2 с после
начала движения.
Ответ: 40 Дж.
9. Применения производной к исследованию функций
340.	Известно, что производная функции f на отрезке [—7; 8]
меняет свой знак, причем f < 0 на промежутке [—7; 2) и/'> 0
53
-6	О °	3
Рис. 16
на промежутке (2; 8].' Опишите характер изменения функ-
ции на [—7; 8].
Ответ: функция убывает на промежутке [—7; 2) и возра-
стает на промежутке (2; 8].
341.	Знак производной Л(*) меняется по схеме, изображенной на
рисунке 16. Определите, на, каких промежутках функция
возрастает и на каких убывает.
Ответ: функция убывает на промежутках (— оо; — б], [0; 1) и
(1; 3], функция возрастает на [—6; 0] и [3; со).
342.	По характеру изменения графика функции (рис. 17) ука-
жите, на- каких промежутках производная положительна,
на каких отрицательна (каждая из функций определена
на К).
О тв е т: a) f (х) > 0 на (—1; 2), f (х) < 0 на (— со; —1) и (2; со);
б) g* (х) > 0 на R; в) К (х) > 0 на (— со; -2) и (1; оо).
343.	На рисунке 18 изображен график дифференцируемой функ-
ции y = /z(x). Определите знак производной функции на
промежутках: а) [—5; —2); б) (—2; 3); в) (3; 5].
Ответ: а) плюс; б) минус; в) плюс.
344.	Что можно сказать о характере изменения функции /(х)
вблизи точки Хо, если касательная к графику / (х) в точке с
абсциссой х0 имеет: а) положительный угловой коэффи-
циент; б) отрицательный угловой коэффициент?
Ответ: а) возрастает; б) убывает.
345.	Что можно сказать об угловом коэффициенте касательной к
графику функции, если известно, что функция: а) возра-
стает; б) убывает?
Ответ: а) положительный; б) отрицательный.
346.	Опишите последовательность операций, которые нужно
выполнить при отыскании промежутков возрастания (убы-
вания) функции.
Ответ: 1) найти область определения функции;
2)	найти производную заданной функции;
3)	найти значения независимой переменной, при которых
значения производной положительны (отрицательны);
4)	записать промежутки возрастания (убывания) функции.
347. Что вы можете сказать о характере изменения функции,
если:
а) f(*)>0 Для всех х; б) /'(х)<0 для всех х?
54
Ответ: а) возрастает;.6) убывает.
348.	Какие из данных функций возрастают, а какие убывают нВ
всей числовой прямой:
a)y = 2x + cosx; б) y=3sin(x + -^-j + 4x — 7; в) у = cos у —
-Зх + 5; г) у=3cosx — sinx — б*?
Ответ: а) возрастающая; б) возрастающая; в) убывающая;
г) убывающая.
349.	Найдите промежутки возрастания (убывания) функции:
а) у = 2х —3; б) у = 3-2х; в)у = (х-1)2; г) у = -4х2-
— 4х —1.
Ответ: а) возрастает на (— со; со); б) убывает на (—со; со);
в) убывает на (— со; 1]; возрастает на [1; со); г) возрастает на
со; — ij, убывает на [“у; 00)•
350.	С помощью производной найдите промежутки возрастания
и убывания функций:
а) / (х) = х2 + 2х + 3; б) / (х) = 4х3 + 12; в) / (х) = х3 — Зх.
55
О т в е т: а) функция убывает на промежутке (— со; —1] и воз-
растает на промежутке [— 1; со); б) возрастает на всей число-
вой прямой; в) функция убывает на отрезке [—1; 1] и возра-
стает на промежутках (—со; —1] и [1; со).
351.	На каких промежутках функции / (ж) и g (ж) (графики про-
изводных этих функций изображены на рис. 19), возра-
стают, а на каких убывают?
Ответ: а) функция / возрастает на [2; со), убывает на
(— со; 2]; б) функция g убывает на (— со; — 4], [-1; 1] и [5; «);
возрастает на [—4; —1] и [1; 5].
352.	Даны функции / (ж) = ж2; g (ж) = ж3; h (ж) = sin ж; (ж) = cos ж;
q (ж) = 2ж и графики их производных (рис. 20). Для каждой
функции укажите график ее производной.
Ответ: график Г(ж) изображен на рисунке 21,а; график
S'(ж) —на рисунке 20, в; график Л'(ж) —на рисунке 20,6;
график 9>'(ж) —на рисунке 20, г; график </(ж) —на рисун-
ке 20,6.
353.	Функция / непрерывна в точке ж0 = 2, причем /'(ж)<0
на промежутке (0; 2) и /'(ж)>0 на промежутке (2; 3). Яв-
ляется ли точка Жо = 2 точкой максимума или минимума?
Ответ: Жо = 2—точка минимума.
354.	Функция g непрерывна в точке ж0 = 3, причем s' (ж) > 0 на
промежутке (2; 3) и g'(x) > 0 на промежутке (3; 4). Будет ли
точка ж0 = 3 точкой максимума или минимума?
Ответ: нет.
355.	Являются ли точки —3 и 2 критическими, если функция
у = /(ж) задана на отрезке [—3; 2]?
Ответ: нет.
356.	Может ли значение функции в точке максимума (мини-
мума) быть меньше (больше) ее значения в точке минимума
(максимума).
Ответ: да.
357.	Объясните, почему перечисленные ниже функции не имеют
точек экстремума:
а) У = Т! б) y = tgж; в) у = ж3 + ж + 2; г) у = -4-
X	X
Ответ: производная во всех точках области определения
каждой функции имеет одинаковый знак.
358.	При каких значениях переменной ж функции, графики про-
изводных которых изображены на рисунке 21, имеют точки
максимума и минимума? Назовите эти точки.
Ответ: а) ж = —2—точка минимума, ж = 2—точка макси-
мума; б)ж = —1, ж = 3—точки минимума, ж = — 4, ж = 1 —
точки максимума; в) ж = 2 —точка максимума.
56
359.	Найдите абсциссы вершины параболы:
а) у — х2 — 6х + 1; б)у = я2 + 3ж; в) у — — ±х2 + 2х;
г) у = —х2 + 7х.
Ответ: а) 3; б) —1,5; в) 3; г) 3,5.
360.	Назовите по следующим данным промежутки возрастания,
убывания и точки максимума и минимума:
57
a)
X	(-»; -2)	—2	(-2; 0)	0	(0; “)
Г(«)	—	0	- +	0	—
/(*)		-1		3	
б)
X	(-7; 1)	1	(1; б)	6	(б; 7)
гм	+	0	—	0	
fM		10		-3	
в)
X	(-3; 0)	0	(0; 4)	4	(4; 8)	8	(8; «о)
гм	+	0	—	0	+	0	—
1М		-3		-5		6	
Ответ: а) возрастает на [—2; 0], убывает на (—со; —2] и
[0; со); х = — 2 — точка минимума, х = 0 — точка максимума;
б) возрастает на (—7; 1] и на [6; 7), убывает на [1; 6]; х = 1 —
точка максимума, х = б — точка минимума; в) возрастает на
(—3; 0] и [4; 8], убывает на [0; 4] и [8; со); х = 0, х = 8—точки
максимума, я = 4—точка минимума.
361.	Укажите на графике функции f (рис. 22) точки оси абсцисс,
в которых f («) = 0?
Ответ: х = —1, х = 2.
362.	Сравните, не прибегая к вычислениям, значения производ-
ной функции, график которой изображен на рисунке 22, в
Рис. 21
58
a)	= —2 и x2 = 1; б) х\ = 2 и
х2 = 3.
Ответ: a) f(-2)<f (1);
б)	f(2)>f(3).
365.	Исследуйте функцию на экст-
ремум:
а)	f (х) = х2 + 2х — 3;
б)	f (х) = —4х2 — 6х —7;
в)	f (х) = 3 + 4х — х2;
г)	f{x) — x2 + x — 2.
Ответ: а) х = —1—точка ми-
нимума; б) х = — у—точка
Рис. 22
максимума; в) х = 2 —точка максимума; г) х = --|-—точка
минимума.
364.	На рисунке 23 изображены графики функций f (х) и g (х),
заданных на отрезке [с; 6]. Для каждой из них найдите:
а) точки максимума и минимума;
б)	точки, в которых функция принимает наибольшее и наи-
меньшее значения на [а; 6].
Ответ: для функции y=»f(x) (рис. 23, а): а) хь х3—точки
максимума, х2, х4 —точки минимума; б) принимает наи-
большее значение в точке х3, наименьшее —в точке а;
59
для функции y = g(x) (рис. 23,6): а) х2, х4—точки мак-
симума, хь х3, я5—точки минимума; б) принимает наи-
большее значение в точке Ъ, наименьшее —в точке х3.
365.	Известно, что на отрезке [а; &] (в области определения)
функция f имеет максимумы, равные 2 и 5, и минимум, рав-
ный 1, f (а) = —3, f (6) = 0. Чему равно наименьшее и наи-
большее значения функции? Ответ: —3; 5.
366.	На отрезке [а; Ь] максимум равен 4, минимум равен 2
и —1. Каких условий недостает для того, чтобы определить
наименьшее и наибольшее значения функции на [а; &]?
Ответ: значений функции на концах отрезках
367.	Назовите функцию, задающую гармоническое колебание с
амплитудой 5, угловой частотой 3 и начальной фазой у.
Ответ: f(t) = 5cos^5t +
368.	Является ли функция х = 5 cos ^2/ + у) решением диффе-
ренциального уравнения х" = —4х? Ответ: да.
369.	Напишите дифференциальное уравнение гармонического
колебания:
a) x = 2cos^5/ + yj; б) я = Зсо8(/У/ + -у-);
в) х = 0,25 cos 0,5/; г) x = 2sin/.
О т в е т: а) х" = -25х; б) х" = -7х; в) х" = -0,25х; г) х" = -х.
370*. Назовите амплитуду, начальную фазу и угловую ча-
стоту колебания, преобразовав правую часть к виду
Acos(<»/ + у):
a) х (/) = 0,3 cos ^2/— у); б) x(t) = 2cos/;
в) х (/) = cos 2t cos 3t — sin 2t sin 3/;
r) x (/) = cos 8t cos 2t + sin 8/ sin 2t;
д) x (/) = cos у cos 3/ — sin у sin 3/.
Ответ: a) 0,3;2; 6) 2; 0; 1; в) 1; 0; 5; г) 1; 0; б;д) 1;	3.
371.	Найдите какое-нибудь отличное от нуля решение диффе-
ренциального уравнения:
а) У"=-36у; б) У" = -~У; в) у"=7у; г) у"=-6у.
Ответ: а) у = 3,2 cos (б/+ у); б)у = 4cos^-/ + «j;
в) у = 7,5 cos (/ + 1); г) у = 3,7 cos (iTet + у).
60
Глава 3
ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
10. Первообразная
372.	Производная некоторой функции F (я) равна f (я) = 2я, най-
дите функцию F (я).
Ответ: F (я) = я2.
373.	Установите, для какой из функций /1( f2, /3, /4 функция F
является первообразной на промежутке (—оо; оо), если
/1 (я) = sin Зя, f2 (я) = — sin Зя — sin п, /3 (я) = 3 sin Зя, /4 (я) =
= — 3 sin Зя; F (я) = cosЗя — cos п (все функции заданы
на Я).
Ответ: /4 (я) = —3 sin Зя.
374.	Установите, какие из данных функций F2, F3, F4, F5, F6
являются первообразными для функции /на R, если
Fi (я) = я4, F2 (я) = -у» рз (ж) = Зя2, F4 (я) = y + 2, F5(x) = Зя2 -
- 7, F6 (я) = я4 + 5; / (я) = я3.
Ответ: F2(x) = ^- и Р4(я) = у- + 2.
Найдите общий вид первообразных для функций (375—
389). Предполагается, что первообразная находится
на промежутке, входящем в область определения функ-
ции.
375.	а) у = 2; б) у = —5я + 3; в) у = 2 (4я + 1); г) у = Зя.
Ответ: а) 2я + С; б) — •|-я2 + Зя + С; в) 4я2 + 2я + С;
За2
г)^-+С.
376.	а) у = я2; б) у = Зя2 + 2я; в) у = я — Зя3; г) у = у я + я4;
А) у = я2-5я4; е) у = р-; ж) у = р- + я.
Ответ: а) -у+С; б) я3 + я2 + С; в) -у — -у-+С; г) у +
+ 4-+С; д) ~~я5 + С; е) + С; ж) -А + ^+С.
5	’ ' 3	’ ’ х	’	2х2	2
61
377.	a) y = sinx; 6) y = 3sinx; в) y = cos(x-y); r) №7^7;
Ответ: a) — cosx + C; 6) —3cosx + C; в) sin^x —y) + C;
r) 2 ctgx + С; a) уtgx + C.
378.	a) y = (x-2)4; б) y = (2x + 5)5; в) y = (2-7«)X0;
r) y = (|x + 4)2.
Ответ: a) y(x-2)5 + C; 6) (2yy+ C;
в) --^-(2 - 7x)n + С; г) (±x + 4)3 + C.
379. a) у = sin 2»; 6) y = sin-|-x; в) y = cos3x; r) y = cosyx;
Ответ: a) — yCos2x + C; 6) — 2cosyX + C; в) ysin3x +
+ С; r) 3 sin ух + С; д) у tg 2x + C; e) —3 ctgyX + C.
380*. a) у = 2 (2x + 5)4;	б) у = у (Зх - 7)4; в) у = 4 (8х - 5)3;
г) Х-Б-(7»-з)’; А) у = 5(2 —Зж)4; .) y-X(2-i»)M.
Ответ: а) у(2х + 5)5 + С; б) -^-(Зх-7)5 + С; в) у(8х-
-5)4 + С; г) А.(±«-з)' + С; А) -|(2-3«)’ + С;
‘) -1Н2-М + С-
381. а) у = 2 sin2х;	б) у = — 5 sin (з« + у);	в) у = — 2 cosy;
г) y = ycos(2x + y).
Ответ: а) — cos2x + С; б) ycos^3x + у) + С; в) —8siny + С;
г) -|-sin(2x + y) + C.
62
582. а) у-----; б) y =—7-^-;
cosz3#	' ' sinz3x
Г) У-----П-------v
4sin2l—« + 21
Ответ: a) ytg3« + C; 6) ctg3* + C;
4
в)У = —	_
COS2 2
в) —8tgy+C;
r) -ctg(y* + 2j + C.
383*.a) y = sin(l,5« + 2) + 2; б) у = 2cos(yx +	;
1	X2
в) y — ~i—27;—г + —; r) y = 3sin* — 5cos*.
' ' 3cosz(5 —*)	2 ’ ’ *
Ответ:
a) — у cos (1,5* + 2) + 2x + C; 6) —sin + v) +
О	1 О т* J
1	/	\ x^
+ C; в) — —tg (5 — x) + — + С; r) — 3cosx — 5sinx + C.
3	о
384*.a) y = ysin3x + y; б) у = ysiny + ycosy;
B) y= 5sin2(3-2*)+i; r) y = 3cos(x-5) + (2x + l)4.,
11	XX
Ответ:	a) — ycos3* + y« + C;	6) — cosy + siny + C;
в) yctg(3 -2*) + у* + С; r) 3 sin(* — 5) + yy(2« + l)5 + C.
385.	a) у = 2sinxcosx; б) у = sinxcos*; в) у = cos2x — sin2x;
г) у = sin2 x — cos2 x.
Ответ: a) — ycos2x + C; 6) — yCos2* + C; в) ysin2* + C;
г) — у sin 2* + C.
386.	a) у = cos 5x cos 2x — sin 5x sin 2x;	б) у = cos 5* cos 2x +
+ sin 5x sin 2x; в) у = sin 5x cos 3* — cos 5x sin 3*.
Ответ: a) ysin7x + C; 6) ysin3x + C; в) —yCos2* + C.
387.	a) у = 2sin2xcos2x; б) у = sin3*cosЗх; в) у = cos4* — sin4*;
Ответ: a) —ycos4* + C;6) —-^-cos6* + С; в) ysin2* + C.
388.	a) y = cos2y-sin2y; 6) y = cos2y+ sin2y;
в) y = 2sin(y-*)cos(y-x).
Ответ: a) sin* + C; б) x + C; в) —ycos2* + c.
63
389.	a) у = cosx + cos(—*); б) у = sin (—x) + sin x;
в) у = sin (-x) ctgx; г) у = tg(—x)ctgx.
Ответ: a) 2sinx + C; б) С; в) — sinx + C; r) — x + C.
390.	Скорость прямолинейного движения точки изменяется по
закону v (/) = 3<2 — 2t. Найдите закон движения точки.
Ответ: s(t) = t? — t2 + С.
391.	Материальная точка движется со скоростью v (t) =
= sin t + cos t. Найдите уравнение движения точки, если при
£ = ~ пройденный путь равен 3 м.
Ответ: s(f) = —cosf + sini+ 3.
392.	Скорость прямолинейного движения точки изменяется по
закону v (/) = i2 — 8t + 2. Найдите закон движения точки.
Ответ: s(t) = ^ — 4t2 + 2t + C.
393*. Тело движется по прямой со скоростью v(t) = 4t + 2 (t—
время в секундах, v — скорость в метрах в секунду). Найдите
длину пути, пройденного телом за первые 3 с.
Ответ: 24 м.
394*. Найдите путь, пройденный точкой за первые 5 с, если ско-
рость точки меняется по закону г>(<) = 10 — 2t (t— время в
секундах, v—скорость в метрах в секунду).
Ответ: 25 м.
11. Интеграл
Вычислите интегралы (394—395).
12	2	3
395.	a)	J х dx; б) (~dx;	в)	J х2 dx;	г)	J dx.
о	’ 2	о	1
о
Ответ: а) у; б) 1; в) у; г) 2.
п	я	ля
~2	Т	Т	~2
396.	a) J sinxdx; б) j cosxdx; в) | -dx2	;	г)	(	L—dx.
’ 0	0	J cos2*	J	sin2*
0 —
4
Ответ: а) 1; б) в) /3; г) —1.
397.	Запишите площадь заштрихованной фигуры как сумму или
разность площадей криволинейных трапеций (рис. 24), огра-
ниченных графиками известных вам линий.
Ответ: a) S = S^bo + Sobc > б) S = S^BmCD ~ &ebcd j в) S =
= $abcd ~ Sab/ticd > r) 8 = Sabcd — Sabiucd > a) S = Sabcd~
— Sabed', e) S = SomCD ~ SonCD •
64
398.	Запишите в виде определенного интеграла площад ь фигуры,
ограниченной линиями:
а)	у = х2, х = 1, х = 3 и у = 0;
б)	у = х2 + 1, х = —1, х = 2 и у = 0;
в)	y = sinx, х = 0, х = у и у = 0;
г)	y=cos«, х = — у, « = у — и осью абсцисс.
Я	я
3	2	2	2
От^ет: a) jx2dx; б) J (x2 + l)dx; в) j sinacdx;.r) J cosxdx.
i-i	°	«
“ 2
399.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х,
у = 0 и х = 3.
Ответ: 4,5.
400.	Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2х,
х = а и х = Ъ, где а>0, Ъ>а.
Ответ: Ь2 — а2.
65;
Глава 4
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
12. Корень n-й степени и его свойства
Найдите значения числовых выражений (401-404).
401.	а) У4-49; б) /16-9; в) /25-81; г) #49-25; д) /36-81.
Ответ: а) 14; б) 12; в) 45; г) 55; д) 54.
402.	a) Ve-27 ; б) V27-125 ; в) V16-81; г) V16-256.
Ответ: а) 6; б) 15; в) 6; г) 8.
403.	а) Уз’ /27; б) /з2-^2; в) #72 #2; а) #20-/5.
Ответ: а) 9; б) 8; в) 12; г) 10.
3/— 3/—	3/— 3/- 3/------ 3/- 3/----- Зг—
404.	а) У 2 • У 4 ; б) У 4 • У 16 ; в) У 100- У 10 ; г) У 25 • У 5 .
Ответ: а) 2; б) 4; в) 10; г) 5.
405.	Найдите площадь прямоугольника, если его длина и ширина
выражаются числами:	*
а) /18 и #2; б) и 1^4; в) 2#3 и 3#2; г) 2#6 и 3.
Ответ: а) 6; б) 4; в) б/б; г) 6#6.
406.	Сравните числа:
а) /2 и У 4; б) УЗ и У 81; в) У 5 и У 24; г) У 2 и /3;д) У 2 и
5/—	7/—
У 5; е) У 6 и 1.
Ответ:	а)/2=4/4; б) /зсУвГ; в) #5 >#24;
г) #2 < /3 ; д) /2 > У 5 ; е) /б > 1.
407.	Определите знак выражения:
4/—	8/- i,------- Зг— 10/----- 5/— Зг- 6л-—
а) /7-/50; б) /24-/5; в) /10-/3; г) /5-/26;
д) /з-8/79.
Ответ: а) минус; б) минус; в) плюс; г) минус; д) плюс.
66
Вынесите множители за знак корня (я>0; у>0)
(408-410).
408.	а) У 8; б) /12; в) У 50; г) У 16; д) У 54; е) У 81.
Ответ: а) 2/7; б) 2/3; в) 5/7; г) 23/7; д) 33/7; е) З3/з.
409.	а) /я3; б) /я7; в) Ух*; г) /я^°; д) /я3 ; е) /я“.
Ответ: а) я2/я~; б) я3/я”; в) я/?; г) я3/я"; д) я^*?е) х^[х.
410.	а) /я3/; б) /4я3у3; в) / 32я7уп; г) /я5у7; д) \ 16я8у10;
е) 4/81я4уи.
Ответ: а) яу2/яу; б) 2яу/яу”; в) 4я3у5/2яу; г) яу2/я2у;
д) 2я2у31/ 2я^; е) Зяу21/у3”.
Внесите множитель под знак корня (я>0, у>0)
(411-413).
411.	а) 2/5; б) 3/2; в) 7/2; г) 2/з;д) 53/2; е) 24/3.
Ответ: а) /20; б) /18; в) /98; г) 3/24; д) /250; е) 4/48.
412.	а) 2^; б) 4^; в) 2^ ; г) 3^.
Ответ: а) /б; б) /10; в) /7; г) /45.
413.	а) з/F; б) Зяу3/я~; в) 4яу/2яу; г) -^-/у; д) v V?!
У	х 1 у*
е> •
Ответ: а) /27я; б) /9яУ ; в) /З2я3у3; г) j/Z; д) ’(§;
е) уЧя5у2 .
414.	Представьте в виде Уа число (я > 0, у > О):
а) //7 ; б) //з ; в) //У ; г) У5/^"; д) )х/я”; е) /43ябу2 .
Ответ: а) /7; б) /з”; в) /б; г) /я; дуУя3;. е) */25я3у .
415.	Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
а) б) -у=-, в) _1_; г) а) *~у t. е>	—'.
/2	/3	/За /ж-у УЗ + Г
Ответ: а) /7; б) 2/7; в> /Т; г) Ь/За; д^ / я — у; е)- /з — 1.
«3
13.	Иррациональные уравнения
416.	Какие из следующих уравнений являются иррациональ-
ными:	____ ___________
а) х + Ух = 2-, б) хУ7=1 + х; в) у + Уу2 + 9 = 2; г) Ух — 1 = 3;
А) у2 —Зу]/2 = 4?
Ответ: а), в), г).
417.	Является ли число Хо корнем уравнения:
а) Ух —2 = У2 — х, х0 = 4; б) $2 — х =V* — 2 , х0 = 2;
в) Ух —5 = ^2х — 13, х0 = 6; г) У 1 -х = -У1 +х , х0 = О?
Ответ: а) нет; б) да; в) нет; г) нет.
418.	Выясните, при каких значениях х имеет место равенство:
а) Ух —4 • Ух+ 4 — Ух2 — 16; б) Ух (х — 1) = У —х  У \ — х .
Ответ: а) при х>4; б) при х^О.
419.	Не решая следующих уравнений, объясните, почему.каждое
из них не может иметь корней:
а) Ух + 1 + Ух + 2 = —2; б) У Зх — 1 + уТ =—4;
в) Ух2 + 1 +Ух — 1 = —1; г) У 1 — х + У2 — х — —1.
Ответ: при каждом допустимом значении переменной
сумма двух неотрицательных чисел не может быть равна
отрицательному числу.
420.	Найдите область определения функции:
а) у = Ух —3; б) у=Ух —2 + Ух + 5; в) у = /х + 1 + У 4 — х ;
г) у = У2х —4 + У1 +х .
Ответ: а) [3; со); б) [2; <»); в) [—1; 4]; г) [2; со).
Решите уравнения (421—424).
421.	а) Ух2”=9; б) ]/х” = 4; в) Ух + 1 = 1; г) /2лГ =—1.
Ответ: а) ±9; б) 16; в) 0; г) нет корней.
422.	а) Ух2" = х; б) 16с2" = —х; в) Ух+ 2 = —2; г) /|х + 1| = 0.
Ответ: а) х^О; б) х^О; в) нет корней; г) —1.
423.	а) Ух2-1=/8; б) У1-х2 =2; в) 2 + УГ =0;
г) (х — 4) У1 — х = 0.
Ответ: а) ±3; б) нет корней; в) нет корней; г) 1.
424.	а) Ух + 4 = 5; б) Убх — 1 =Узх + 7; в) У1 — х = 2;
г) Ух + 2 = У 2х + 3.
Ответ: а) 21; б) 4; в) —3; г) —1.
68
14.	Степень с рациональным показателе^
425.	Представьте выражение в виде степени с, рациональным
показателем:	____
а) б) Уб; в) г) /й2; д) Уа4; е) Уа^2; ж) Уб-2; з)4^!.
Ответ: а) 22; б) 63; в) 165; г) х3; д) а5; е) а2; ж) 6 3;з)х 4;
426.	Представьте выражение в виде корня из числа или выраже-
ния:
А _± А А	Л	А
а) 75; б) 5 4; в) 5х3; г) 7у5; д) бт 3; е) (5а)3; ж) (бх)5;
з) 3(х-у)2.	*	___
Ответ: a) f 343; б) ; в) 5Ух ; г) 7 Уу2; д) б 1/т~2; е) 1/ 5а ;
ж) 5/збх2; з) 3/х-у.
Вычислите (427—428).
427.	а) 9Т; б) 164; в) 1212; г) 273; д) 64*; е) 83; ж) 83; з) 814;
и) 0,01~2.
Ответ: а) 3; б) 2; в) 11; г) 3; д) 2; е) 4; ж) 16; з) 27; и) 10.
428.	а) 2~2162; б) 3“2-814; в) 83-273;, г) 362-83; д) 64у 42;
е) (—)4-83.
’ \625/
Ответ: а) 1; б) в) 12; г) 12; д) 32; е)4-
3	5
429.	Найдите область определения выражения:
а) а2; б) (х — З)4; в) (у + 3)5; г) х 8;д)(4 —х) 3;е)(2х —3) 3;
ж) (4 — 2у)”в.
Ответ: а) [0; со); б) [3; со); в) [—3; со); г) (0; со); д) (—со; 4);
е) оо); ж) (-“>; 2).
430.	Пользуясь тождеством а2 — Ь2 = (а — Ь)(а + &), разложите на
множители выражения: '	211
а) 4 —х2; б) 4 —х; в) 2 —х2; г) хб —5; д) Xs — 9; е) х2 —у4;
ж) х3 —у4; з) х4 —у 2; и) х-5 —у5.
69
— Л —
Ответ: а) (2 — х) (2 + х); б) (2 — х2) (2 + х2); в) (22 — х) х
х (22 + х); г) (х3 — 52) (х3 + 52); д) (х3 — 3) (х3 + 3);е) (х4 — у8) х
х(х4 + у8); ж) (х2 —у8) (х2 + у8); з) (х2 — у”4) (х2 + у”4);
и) (х 2 —у10) (х”2 + у10).
Представьте выражение в виде алгебраической суммы
(431—433).
431.	а) х2(1+х2); б) у3(1— у3); в) х2(х2 + у); г) х3у3(х3 —у3).
А	1	А А А
Ответ: а) х2 + х; б) у3 —у; в) х + х2у; г) ху3 —х3у.
А А	А А А	А
432.	а) {а — х2) (а + х2); б) (2 —х4)(2 + х4); в) (у2 — х-1) (у2 + х-1);
г) (у7-3)(у4 + 3).
Ответ: а) а2 —х; б) 4 —х2; в) у —х~2; г) у2 —9.
433.	а) (х2-2)2; б) (х2-у^)2; в) (х’2 + у4)2;
1	1	2^	_£	2^
г) (х3 + у3)(х3 —х3у3 + у3).
А	А А	_А А А
Ответ: а) х —4х2 + 4; б) х —2х2у2 + у; в) х“1 + 2х 2у4 + у^;
г) х + у.
434.	Разложите на множители:
А А	АА АА АААА
а) 5 —52f б) х3 —х; в) х2 —х4; г) я3 + а6; д) х3у3 + x3z3;
j_	A A	.LA
e) (xy)5 — (yz)5; ж) (Зх)3 —(2x)3; з) x—y + x2 —у2.
АА	А А АА	AA
Ответ: a) 52(52— 1); б) x3(l —x3); в) x4(x4— 1); г) л6(й®+ 1);
д) x3(y3 + z3); e) y5(xs —z5); ж) x3(33 —23x3); з) (x2 —у2) x
A A	*
x (x2 + y2 + 1).
15. Показательная функция
435.	Какие из перечисленных ниже функций являются показа-
тельными:
а) у = 2*; б) у = я2; в) у = (-3)х; г) у = (/2)*; д) у = х;
е) у = (х - 2)3; ж) у = п*\ з) у = 3'*?
Ответ: а); г); ж); з).
70
436.	Какие из перечисленных показательных функций являются
возрастающими и какие убывающими:
а) у = 5*; б) у = (0,5)*; в) у = (/2)*; г) у = 10*; д) у = я*;
е) У = (у) ; ж) у = 49 2;
з) у = /14 cos у) ?
Ответ: возрастающие: а); в); г); д); убывающие: б); е); ж); з).
437. Как располагаются графики показательных функций:
/ 1 уЯ	/1
а) у = 2* и у = 5*; б) у = 1у1 и у = г— ) —друг относительно
друга? Рассмотреть случаи х>0 и х<0.
О т в е т: а) если х < 0, то график функции у = 2* лежит выше
графика функции у = 5*, если х > 0, то — ниже; б) если х < 0,
то график функции У = (у I лежит ниже графика функции
у = (у), а если х > 0, то — выше.
Графики всех функций пересекаются в точке (0; 1).
438.	При' каком значении а график функции у = д* проходит
через точку: а) Р(1; 2); б) М(2; 9); в) С (2; у); г) В (-2; 4);
Ответ: а) 2; б) 3; в) г) у; д) 3.
439.	Есть ли среди всех значений функции у = Зх:
а) наибольшее; б) наименьшее?
Ответ: нет.
440.	Найдите среди всех значений функции: а) у = 2|х|;
б)	у = 2sin*—наименьшее и наибольшее.
Ответ: а) наименьшее равно 1, наибольшего нет; б) наи-
меньшее равно у, наибольшее равно 2.
441.	Какому из промежутков (—оо; 0), (0; 1), (1; оо) принадлежит
корень уравнения:
а) З« = 33; б) (/з)* = |; в) (|)* = 4; г) (|)* = |?
3	\5 /	\Э /	4
Ответ: а) (1; оо); б) (—оо; 0); в) (—оо; 0); г) (1; оо).
442.	Найдите область определения функции:
ч	2	——	--—
а)	у = а2х; б) у = а|/*; в) у = ах~2; г) у = а*2”1; д) у = а*2 + 1;
е)	у = аУ9~х2; ж) y = asinx; з) y = acosx; и) y = к) y=atg*;
71
__1	_2	__ , .
л)	y = asta*-1; м) y = acosx + 1; н) у = а^*; о) y = a|/V;
п) у =/4х —64.
Ответ: a) R; б) х^О; в) *=/=2; г) x=f ±1; д) R; е) — 3<,х^3;
ж) R; з) х у + лп, nGZ; и) х =/= у + лп, nGZ; к) я =/> -у-,
nGZ; л) х у + 2лп, nGZ; м) х^л + 2лп, nGZ; н) — у +
+ 2лп < х < — + 2лп, nGZ; о) лп < х < — + лп, nGZ;
— — 2	2
п) х ;> 3.
443.	Найдите область значений функции:
а)у = яЛ;б)у = -у-;в)у = -уу;г)у = 2СО5*;д)у = 2’/х;е)у = 3’!пх;
ж) у = 3 • 2sinx.
Ответ: а) у>0; б) у>0; в) 0<у^ 1; г) у^у^2; д) у^1;
е) у^У^З; ж) 1,5<;у^€.
444.	Сравните с единицей:
(1)”: .) (L^r) (1)Лл) ^;=) (А)-;ж> £)';
3) (f )"2; И) 3<5; к) 2-<3; л) (л - 1)2; м)	н)
о) (/2-1)4; п) O,210,2; р)	с)	т) (/} )^.
Ответ: а) меньше 1; б) больше 1; в) меньше	1; г) больше	1;
д) меньше	1;	е)	меньше	1;	ж)	меньше	1;	з)	меньше	1;
и) больше	1;	к)	меньше	1;	л)	больше	1;	м)	больше	1;
н) больше	1;	о)	меньше	1;	п)	меньше	1;	р)	больше	1;
с) больше 1; т) меньше 1.
445.	Дана функция у = 8* и значения х, равные 2; 4;-—6; — —; 0,04;
8
— у; 7. Выберите те значения х, при которых верно нера-
венство 8х > 1.
Ответ: 2; 4; 0,04; 7.
72
446.	Дана функция у = 5*
и значения х, равные
-3; 4; у; -0,08; 6;
• — —. Выберите те
значения х, при
которых верно нера-
венство 5*<1.
Ответ: —3; —0,08;
з ’
447.	Дана функция у = 6х
и значения у, равные
1,5; 12;	; 6; 36cosl8°e. Выберите те значения у, при кото-
36	6
рых х < 0.
Ответ:	36COS180’.
36	6
448.	На рисунке 25 изображен график одной из пяти функций:
а) у = ах, 0<а< 1; б) у = а*~\ а>1; в) у = ах — 1, 0<а< 1;
г) у = ах + 1, 0<а<1; д) у=а*+1, 0<а<1. График какой
функции изображен?
Отвот: у=л*—1, 0<а<1.
449.	Найдите ординату точки A (sin 30°; 'у), принад лежащей гра-
фику функции у =9*.
Ответ: 3.
450.	Точка М (х; 16sin^~) принадлежит графику функции у = 2*.
\	V /
Найдите х.
Ответ: 3.
451.	Запишите числа в порядке возрастания:
4	3
а) 3Л, 3Г4.3Л, 3Г’
5--	4г-	3,-	--
(л.]2^2
2/ ’ \2 ) ’ \2 / ’ \2 /
-5- -А	3	4	5
Ответ: а) 3^, З’'3. 3*	6) (i)2/I, (if, (if, (if
452.	Сравните вначения выражений:
1	1	±	А
а) и 2^’; 6) 2’" и 2 <; в) (|)‘ и (if=; г) (|)’ и (|)«;
73
д) 0,2"78 и 56’4; е) 1.001"1-3 и l.OOl'1-5; ж) 16 fl и 42;
з) 1,2-^ и 1; и) (/Т)3’5 и 1; к) О,3-/3 и.1; л) 1 и у’/9 ;
м) 1 и у 5/э"; н) (yf и (у)7; °) 1>3"3 и 1>5°.
Ответ: а) 2/5<2/5; б) 2~2<2~\ в) (у)4 = (у)0,25;
г) (yf<(y) ; Д) 0,2-7,8 > 56’4; е) 1,001~1Л> l.OOl"1’5;
ж) 16/2 >42; з) 1,2_^3<1; и) (/3)3-5>1; к) 0,3“^ > 1;
7	8
л) 1>у’/9; м) 1>у5/5; н) (|)6 < (yf; о) 1,3"3<1,5°.
453.	Сравните х и у, если известно, что верно неравенство:
а) 2* >2’’; б)	; в) (|)‘ < g-f; г) 1,3*> 1,3”;
д) 0,05* < 0,05у; е) (/2 )*< (f2 Г; ж) (Щ* >
3>^<^; и) (/|)*> (/|f-
Ответ: а) х>у; б) х>у, в) х<у, г) х>у; а) х>у; е) х<у;
ж) х<у; а) х<у; и) х<у.
454.	Сравните основание а>0 с единицей, если известно, что
верно неравенство:
2	3	1	2
а) в2<й3; б) а5>а5; в) а3>а3; г) а~2>а2; д) а~5,7>а~6;
г г	-	--
е) а <а\ ж) а”>а3-, з) а7<а0,4; и) а~0,7>а 5.
Ответ: а)а> 1; б)0<а< 1;в)0<«<1;г)0<й<1;д)й>1;
е) а>1; ж) а>1; з) 0<а<1; и) а>1.
455.	Какое заключение можно сделать относительно показателя
х, если:
а) 101 = 7; б) 3я = 7; в) (|)’ = |; г) (|)“ = 2,5;а) (|)' = 5;
е) (yf = у; ж) 4,3* = 3,4; з) 17,8* = 0,5; и> 0>01* = 7?
Ответ: а) 0<я<1; б) х>1; в) л:<0; г) я<0; д) х>1;
е) х<0; ж) 0<х< 1; з) х<0; и) х<0.
74
456.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функций:
а)	у = 3/ТТГ; б) У^2/Т^; в) у«	г) у = 3’*я;
д)	y = 2lsin*’ ; е) y = 5C0S*-1; ж) y«31 + cos*.
Ответ: а) наибольшего нет, наименьшее 1; б) наиболь-
шее 2, наименьшее 1; в) наибольшее 1, наименьшее у;
г)	наибольшее 3, наименьшее у; д) наибольшее 2, наимень-
шее 1; е) наибольшее 1, наименьшее ут; ж) наибольшее 9,
наименьшее 1.
457.	Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций / и
а)'Л*)-2', «Ы = 2; б)	g(*) = 42; в) /(«)-,
Ответ: а) 1; б) 2; в) 3.
458.	Укажите, при каких значениях х график функции / располо-
жен ниже графика g, если:
a) f (х) = 4я, g (х) = 16; б) / (х) = 0,3я, g (х) = 0,027.
Ответ: а) х<2; б) х>3.
16.	Решение показательных уравнений и неравенств
Решите уравнения (459—468).
459.	а) 2я = 32; б) 3я = 27; в) 5я = 625; г) 10я = 10 000; д) 4я = 256.
«Ответ: а) 5; б) 3; в) 4; г) 4; д) 4.
460.	а) Зя-1 = 27; б) 5я-2 = 25; в) 6Я~3 = 36; г) Зя = у; д) 12я = 1.
Ответ: а) 4; 6) 4; в) 5; г) —2; д) 0.
461.	а) (у)* = 49; б) (у)* = 1,5; в) ая~2 = а2, (а>0, а =/= 1);
г) ая~2 = а2х, (а >0, а £ 1).
Ответ: а) —2; б) —1; в) 4; г) -2.
462.	а) 5—=25; в) 2 >-S; в) 4'-2; г) 27' = 3; А) ,(i)"-4;
75
Ответ: а) —2; б) —3; в) у; г) у; д) —2; е) — у.
463.	а) 2х • 3х = 36; б) 5* • 22х = 400; в) 2х = 23/4 .
Ответ: а) 2; б) 2; в) 1у.
464.	а) 10* + 1 = 0,1; б) 10х’ = 10; в) 32х = у-; г) 52х-1 = у;.
д) 2х + 8 = ^; е) 2*-2 = -2.
4 з
Ответ: а) —2; б) ±1; в) — у; г) 0; д) — 13; е) нет решений.
465*.а) 2х + 1 + 2х = 6; б) 2х-1 + 2х = 6; в) 3:Зх + 2 = 1;
г) Зх + 2 + Зх = 90.
Ответ: а) 1; б) 2; в) —1; г) 2.
466-..)	=	•>
г) 2х • 5х = (10х-1)3.
4
Ответ: a) R; б) у; в) нет решений; г) 1,5.
467. а) Зх’“х = 1; б) 4Х’ + Х = 1; в) V/F=4; г) /3* = 9.
Ответ: а) 0; 1; б) 0; —1; в) 12; г) 4.
468*.а) 5х + 3• 5Х +1 = 80; б) 2-Зх +1 + Зх + 3 = 33.
Ответ: а) 1; б) 0.
Решите неравенства (469—479).
469.	а) 2Х>4; б) 2*>у; в) (у)*<4; г) 2х<у; д) 2*>-2;
е) 2Х< —4.
Ответ: а) х >2; б) х> — 1; в) х > — 2; г) х< — 1; д) R; е) нет
решений.
470.	а) 10х > 1000; б) Зх<^-; в) 0,25х>0,25; г)
д) 0,6х <0,36; е) 0,1х >10.
Ответ: а) х>3; б) х< — 3; в) х<1; г) ж<6; д) х>2;
е) х< — 1.
471.	а) 5х>3/5; б) 13х>/13; в) (у) *>4; г) 103х^0,1;
д) 0,13х<0,1; е) 14х <=г.
У143
Ответ: a) я > у; 6) х > у; в) х< — у; г) х< — у; д) ж > у;
. з
е)
76
472. a) 0,2* <25; 6) fl >V^-
2
Ответ: a) x> — 2; 6) *<y-
473.
a) -10*+ 12;0,001; б) 0,15*"2<l; в) 52*> —
Ответ: a) —4; б) x>2; в) x> — 1; г) x< — 1.
474.	a) 10*-*^0,01; 6) 5*“2>0,2; в) 2* + 1<0,25; r) 0,52*<4;
A) 213*-5>1; e) 72x~1<^.
2
Ответ: a) x > — 1; 6) x > 1; в) x< — 3; r) x > — 1; a) x>1~;
e)«<-y.
475.	a) 0,1 10* 10 000; 6) 1 < 10* +1 < 1000; в) 0,01 < 100* < /10.
Ответа) — 1^я^4; б) —1<х<2; в) —1<*^-^-.
476.	a) 3“*>27; б) 21-*<4; в) 2*’< 16; r)
i
e) 2* >0.
Ответ: a) x< — 3; б) x> — 1; в)
д) *>y; e) x£0.
—2^«^2; г) x> — 1;
477*.a) 2*’“*>1; б) 31*-21 <9; в) 71*-11 >49; г) 3*’_’>3.
Ответ: a) «<0,« > 1; 6) 0<x<4; в) «< — 1,я > 3; г) x < — 2, '
x >2.
478*.a) 3* + 1 + 3*>12; 6) 2*"1 + 2* + 1 >5.
Ответ: a) x>l; 6) x>l.
479*.a) 21*1 +1<8; б) З1*1 +2<27; в) 21*1 +1 >8; г) 71**21 < 1.
Ответ: a) — 2 < x < 2; 6) — 1 < x < 1; в) x < — 2, x > 2; г) нет
решений.
480.	Следует ли из неравенства х >5 неравенство:
а) 2* >50; б) 2* >30; в) 2* >32/?
Ответ: а) нет; б) да; в) да.
481.	Запишите функцию, обратную /, если функция f задана
формулой:
а) у = 5х — 1; б) У = ~; в) у = /х .
Ответ: а) у = уя + у; б) У = в) у = я2, я>0.
77
482.	Записать в виде степени с показателем х следующие выра-
жения:	х
а) 6) в) з2я<8У-
2	92
Ответ: а) (у)*; б) 16*; в) 18*.
17.	Логарифмическая функция.
Основные свойства логарифмов
483.	Исходя из определения логарифма, найдите число, лога-
рифм которого:
а) по основанию 6 равен 2; б) по основанию 3 равен 4; в) по
основанию 2 равен —2.
Ответ: а) 36; б) 81; в)
484.	Логарифм числа 25 по основанию а равен 2. Найдите а.
Ответ: 5.
485.	Логарифм числа 5 по основанию а равен у. Найдите а.
Ответ: 125.
486.	Следующие равенства перепишите в виде логарифмических:
1
а) 23 = 8; б) 34 = 81; в) 103=1000; г) 643 «4; д} 3"2 = у.
Ответ: a) log28 = 3; б) log381 = 4; в) lgl000 = 3; г) log644=y;
A) logs у =—2.
487.	Найдите логарифм следующих чисел по основанию 3:
9; 1;	уу;3/9; 3^.
Ответ: 2; 0; -3; -у;	/3.
488.	Найдите числа, логарифмы которых по основанию 3 равны:
0; 1; - 1^ 2; 3; - 3.
Ответ: 1; 3;	9; 27; А..
489.	Найдите числа, логарифмы которых по основанию 10
равны:
О; 1; -1; 2; -2; 3; -3.
Ответ: 1; 10;	100;	1000;
78
490.	При каком основании логарифм числа — равен:
16
1; 2; 4; -1; -2; -4?
Ответ:	-7; 7-; 16; 4; 2.
1б 4	2
491.	При каком основании логарифм числа 125 равен:
1; 3; -1; -3?
Ответ: 125; 5; —; -.
125 ’ 5
492.	Найдите логарифмы чисел 2; 4; ±; 32; по основанию у.
Ответ: -1; -2; 2; -5; 6.
Вьиислите (493—496).
493.	a) log2 8; б) log416; в) 1g 0,01; г) log„w.
Ответ: а) 3; б) 2; в) —2; г) 1.
494.	a) log, 81; б) log5~; в) log3-J-; г) 1g 1000.
о 1
Ответ: а) 4; б) —2; в) —4; г) 3.
495.	a) log3-i-; б) logi-^-; в) logj.49; г) log6l.
245	з 9	7
Ответ: а) —5; б) 2; в) —2; г) 0.
496.	a) log ^8; б) log ^27; в) l°g X 27; г) log3/T.
Ответ: а) 6; б) 6; в) —6; г) у.
497.	Найдите логарифмы чисел (считая, что а>0, а=}=1):
a) log, а; б) log, а2; в) log, а4; г) log,^’; д) logey; е) log„y~;
ж) log^a; з) logia5; и) log„4a4.
а	4
Ответ: а) 1; б) 2; в) 4; г) я; д) —1; е) —3; ж) у; з) —5; и) 1.
Найдите (498—500).
498.	a) log3x = 3; б) tog2x = -3; в) log5x = - 1; г) lgx = — 2.
Ответ: а) 27; б) в) г) 0,01.
о 5
499.	a) log3x = 2; б) log5« = — 2; в) log81* = —; г) logo,i* = —2.
79
Ответ: a) 9; б) ; в) 9; г) 100.
500.	a) log4* = 2,5; б) log8x = ~4; в) log i х = -2; г) logooi* = - 1-
3	4
Ответ: а) 32; б) у; в) 16; г) 100.
501.	Найдите значения выражения:
a) log3 (31og28); б) log3 (31og327); в) 1<^(31о&4);
г) 1g (5 lg 100)2; д) logl(log3/3).
2
Ответ: а) 2; б) 2; в) 1; г) 2; д) 1.
/
Найдите х, если х>0 (502—503).
502.	a) log, 16 = 2; б) log, 5 = - 1; в) log, 81 = - 4; г) log, 2 fl = |.
Ответ: а) 4; б) у; в) у; г) 2.
505.	a) log,64 = 6; б) log,36 = -2; в) log,-|-=-2; г) log,y = |.
125	о 2
Ъ
Ответ: а) 2; б) ±-; в) 52; г) -I"-
6	4
504. Какие из выражений имеют смысл:
a) log2 (3-2/2); б) / log2 0,8 ; в) / logs sin 35°; г) /log4cos0° ;
д) /Iog5tg48° ; е) /log2tg40°?
Ответ: имеют смысл выражения а), г), д).
505. Имеет ли смысл выражение:	2
a) log2 (cos 34° - sin 34°); б) (к^0,45)7; в) log2 (log21,1) ?
Ответ: а) да; б) нет; в) да.
506*. Найдите х:
a) IoS3/21J = *: б> log5(125tg2^ = x;
j.
в) logctg^eo»)(25 + 164) = х; г) logtg230»x = з/зtg30°;
(т vcos 180®
—
Ответ: а) -2; б) 3; в) -3; г) д) у.
507. Между какими целыми числами находятся числа:
a) log3 15; б) log6200; в) log 110?
3
Ответ: а) 2 и 3; б) 2 и 3; в) —3 и —2.
80
Вычислите с помощью тождества aIog<»> = & (508—512).
508. a) 2log*4; б) 2log’32; в) 10,gl0°; г) 5,og’3.
Ответ: а) 4; б) 32; в) 100; г) 3.
509. a) 3-10g’3; б)	в) (2,oga5)2.
Ответ: а) у; б) 1; в) 25.
510. a) 25Iog>3; б) 4log’3; в) 27log’2.
Ответ: а) 9; б) 9; в) 8.
511. a) 25'log’10; б) 22+,og25; в) 5log»10-2; г) 2,51о8ал10+1.
Ответ: а) б) 20; в) г) 25.
512.	a) 32+log’10; б) 52-,og»1<’; в) 821og,5-l; г) 5-3log’2.
Ответ: а) 90; б) 2,5; в) 24; г) 10.
513.	Найдите числовое значение выражения (считая, что а>0,
а^1):
a) a10ge2; б) a310g“2; в) a41oge15; г) a10g/74.
Ответ: а) 2; б) 8; в) 25; г) 16.
514.	Вычислите:
а) 2 logs 25 + 3 log2 64; б) log2 log216; в) 21og2-7~31ogi,27;
4 з
г) logs logs logs 27.
Ответ: a) 22; 6) 2; в) 5; г) 0.
Запишите функции, обратные данным (515—517).
515.	а) у = 3*; б) У = (у) ; в) у = я*.
Ответ: a) y = logs*; б) y = logix; в) y = logsa:.
2
516.	a) y = logex (а>0, а£1); б) y = log2x; в) y = logi«.
3
Ответ: а) у = а* (л>0, а£1); б) у = 2*; в) у = 3~*.
517.	a) y = 21ogo« (в>0, а£1); б) y = -log3x.
Ответ: а) у = ]/~с? (а>0, а£1); б) у = 3“*.
518.	Найдите область определения функции:
a)	y = log3«; б) y = logi«; в) y = lg*; г) у = log2 (х-1);
4
д)	у = logs (3 -*); е) y = log5tgx; ж)* у = log^rcsinx.
Ответ: а) (0; со); б) (0; со); в) (0; со); г) (1; а>); д) (—со; 3);
е)	(лп; у + лп\, nGZ; ж) (0; 1].
81
519.	При каких значениях х имеет смысл функция:
а) у = log3x2; б) у = log5 (- х); в) у = log 1 (3 - х); г) у = 1g (4 - х2);
д) у = 1g I X I ?	2
Ответ: а) х^О; б) х<0; в) х<3; г) — 2<х<2; д) х^О.
520.	Какие из точек А (8; 3), В ; 1k С (16; 2), D (—; — з) при-
надлежат графику функции y = log4X?
Ответ: С(16; 2); d(-±-; -з).
\б4	/
521.	Какие из точек А(—; — 21, В ; 1), С (5; —1) принадлежат
\25	/	\5	/
графику функции у = log 1 х ?
5
Ответ: В (у; 1), С(5; -1).
522.	На рисунке 26 изображен график одной из пяти следующих
функций:
a) y = log2X; б) y = logix; в) y = Iog4x; г) y = log4(-x);
д) у = logix.	2
4
Назовите эту функцию.
Ответ: y = log2x.
523.	На рисунке 27 изображен график одной из пяти следующих
функций: а) у = logax, 0 < а< 1; 6) у = loga х + 1, х > 1;
в) у = loga (х +1), а>1; г) y = loga(x + l),	0<в<1;
А) У = loga (х - 1), 0<Х<1.
Назовите функцию.
Ответ: у = loga (х + 1), 0 < а < 1.
82
524.	Найдите область определения функции (а > 0, а =£ 1):
a) y = log£*; б) у = loga(5 — ж2); в) у = 1о& 1ж-21;
Г) y=logaCOS*.
Ответ: а) (0; со); б) (-/б; /б); в) ж^=2;
г) — ^ + 2яп<х<^- + 2лп, nGZ.
525.	Дана функция у = log2 (ж — 2). Какие значения принимает у,
если 2,5 <; х <; 10?
Ответ: — 1^у^3.
526.	Сравните графики функций у = 1о^х2 и y = 21og4x.
Ответ: функция у = log4x2 четная, она определена на про-
межутках (— со; 0) и (0; со). Функция у = 2 log4 х определена на
промежутке (0; <»). График у = log4A:2 состоит из двух ветвей:
графика функции y = 21og4* и симметричной ему относи-
тельно оси у ветви у = 2 log4 (— х).
527.	Как располагаются относительно друг друга графики функ-
ций:
a) y = log2x и у = log3«:; б) y = logix и y = logix?
2	3
Рассмотрите случаи, когда х > 1 и 0 <х< 1.
Ответ: а) при х > 1 график функции у = log2* расположен
выше графика функции у = logj х, при 0 < х < 1 — наоборот;
б) при х > 1 график функции у = logix расположен выше
3
графика функции у = logix, при 0 < х < 1 — наоборот.
2
1528. На рисунке 28 построены графики логарифмических функ-
83
ций f, h, g, у по основанию у, 2,3,4. Задайте каждую из этих
функций формулой.
Ответ: / (х) = log2 х; g (х) = log3 х; h (х) = log4 х; у (х) = log i х.
2
Какие из перечисленных ниже функций являются возрас-
тающими и какие убывающими (529-531)?
529.	а) у = log5 «; б) у = log i х; в) у = log^х; г) у = 1g х; д) у = log,, ж;
е) У = logo,7 х. 2
Ответ: а), в), г), д) —возрастающие; б), е)—убывающие.
530.	a) y = log. б) у = logsin30«х; в) у = log8COs60«*;
в з
Г) y = logctg30‘*; А) У = logsinАх; е) у - log^eo’*-
ч	4
Ответ: а), в), г) —возрастающие; б), д), е)—убывающие.
531.	a) y = lgy; б) y = log2(x + l); в) y = log3(3-x); г) у = S
2	10g5 х
\	2
а) у = -.--.
logi X
2
Ответ: а), б), д)— возрастающие; в), г)—убывающие.
Какие из перечисленных ниже чисел являются положи-
тельными и какие отрицательными (532—533)?
532.	a) log35; б) log21,5; в) log i ~; г) 1g4,7; д) 1g0,45; е) logo122,5;
2 4
ж) log0>3 0,35; з) log0>3 0,6; и) log0,i 10.
О т в е т: а), б), в), г), ж), з) — положительные; д), е), и) — отри-
цательные.
533.	a) -log28; б) log38-l; в) l-log49; г) Iog310-log37;
3	4	4
A) logs-J-logsl; е) 1g90-2; ж) lgl01-2; з) lg(|)
Ответ: а), б), ж), з) — положительные; в), г), д), е) —отрица-
тельные.
534.	Что больше:
a) log215 или log220; б) log20,5 или log2 0,4; в) log 16 или
2
log 18; г) logo 31,7 или logo 31,9; A) logi9 или logi9; е) log23
2	*23
или log2l; ж) 1g sin 45° или 1g cos 5° ?
Ответ: a) log2 15<log220; б) log20,5>log20,4;
в) Iogi6>logi8; г) log0>3 1,7>logo,31,9; A) Iogi9<logi9;
2	2	2	3
e) log23>log2l; ж) 1g sin 45е < 1g cos 5° ?
84
535.	Сравните значения выражений:
a) 1g0,7 и Ig-^-; б) lg/5 и lg2,5; в) 1g0,7 и 1g0,72; г) 1g0,52 и
1g2 0,5; a) 1g cos 30° и 1g sin 30°.
Ответ: a) lg0,7<lg^-; б) lg]/5<lg2,5; в) lg0,7>lg0,72;
г) ^0,52<^0,5; д) 1g cos 30° > lg sin 30°.
536.	Что вы можете сказать о логарифмируемом числе п, если:
a) log2« = 7,6; б) log3« = — 6,7; в) log in = 2,1; г) log in = — 3,8?
2	2
Ответ: а) п>1; б) 0<п<1; в) 0<п<1; г) п>1.
537.	Что вы можете сказать об основании логарифма а, если:
a) loga 8 = 3,4; б) loga 10 = 0,2; в) loga 0,15 = 3,5; г) loga 7 = - 2;
д) loga 2 < loga 1,5; е) loga 3> loga 2? О тв е т: а) а > 1; б) а > 1;
в) 0<а<1; г) 0<а<1; д) 0<а<1; е) а>1.
538.	Сравните числа тип, если верно неравенство:
a) log4m<log4n; б) log3n>log3m; в) logim<login;
г) logo,7 п > logo,7 m.	2	2
Ответ: а) т<п; б) п>т; в) т>п; г) п<т.
539.	Вычислите с помощью равенства logab • logba = 1:
a) log2 5, если logs 2 = а; б) log3 8, если logs 3 = 4-; в) log5 72,
и
♦ £
если log72 5 = — т; г) log»а, если loga& =-.
Ответ: а) б) Ъ; в) -±; г) --у.
а	тп	к
540.	Вычислите:
a) log210, если log25 = a; б) log312, если log34 = &; в) log54,
если logs 2 = а; г*) log23, если к^4 = т.
Ответ: а) 1 + а; б) 1 + Ь; в) 2а; г) —.
тп
541. Определите знак дроби если:
Igo
а) а > 1, b > 1; б) 0 < а < 1, Ь > 1; в) 0 < а < 1,0 < b < 1; г) а > 1,
0<&<1. Ответ: а) плюс; б) минус; в) плюс; г) минус..
542.	Выразите 1g 12 через 1g3 и 1g4. Ответ: 1g3 + 1g4.
7
543.	Выразите 1g — через 1g 7 и 1g 8. Ответ: 1g 7 - 1g 8.
О
544.	Выразите 1g 15 через 1g60 и 1g4. Ответ: 1g60 — lg4.
545.	Выразите lg8 через lg2. Ответ: 31g2.
546.	Выразите lg/5 через lg5. Ответ: ylg5.
547.	Выразите lgy^3 через lg3. Ответ: ylg3.
85
548.	Зная, что lg а = х и lg b = у, найдите десятичные логарифмы
чисел:	'
a) ab; б) в) а3; г) а3Ь3; д) а5Ь4; е) ab ; ж) з)
Ответ: а) х + у; б) х — у; в) Зх; г) Зя + Зу; д) 5я + 4у;
е) у (х + у); ж) х — 2; з) 3 — 4х.
549.	Зная, что 1g 2 «0,301, найдите:
a) 1g 20; б) 1g 200; в) 1g 0,2; г) 1g 0,02.
Ответ: а) «1,301; б) «2,301; в) «-0,699; г) «-1,699.
550.	Зная, что 1g 3« 0,477, найдите:
a) 1g 30; б) lg30O; в) 1g 3000; г) 1g 0,003.
Ответ: а) «1,477; б) «2,477; в) «3,477; г) «-2,523.
551.	Зная, что 1g 2 « 0,301, 1g 3 « 0,477, lg 7 ~ 0,845, найдите лога-
рифмы чисел:
а)	4; б) 6; в) 8; г) 14; д) у-; е) 3,5. Ответ: а) «0,602; .
б)	«0,778; в) «0,903; г) «1,146; д) «-0,477; е) «0,544.
552.	Зная, что lga = x и lg& = y, найдите логарифмы чисел:
а) а2Ь3; б) р-; в) Ь2; г) ЪРа3; д) \ ab2.
1	2
Ответ: а) 2х + Зу; б) 2х — Зу; в) 2у; г) 5у + 3я; д) уя+уу.
553.	Докажите, что логарифмы двух взаимно обратных чисел есть
числа противоположные.
Ответ: b = ~'> lgb = lgl — lga = — lga.
554.	Вычислите:
a) logr=9; б) log12816; в) log324; г) log_i_y.
16 4
Ответ: а) 4; б) -у; в) у; г) у.
555.	Прологарифмируйте по основанию 10 (а>0, 6>0, с>0,
а > Ь):	2
а) ЗаЪ; б) %; в) г) 2(а + Ь); д) е) 100 (а-&)2.
10	и	аоСг
Ответ: a) 1g 3 + lgа + 1g 6; б) lgа + lg b — 1; в) 2 + 2 Iga — 1g b;
г) lg2 + lg(a + b); д) 1-lga-lg&-21gc; e) 2 + 21g(a-b).
556.	Прологарифмируйте по основанию 2 (a>0, 6>0):
a) 8a3; 6) 2a/1) ; в) 16a2Vb3; r) a\~4b .
Ответ: a) 3 + 31og2a; б) 1 + log2a + уlog2b;
в) 4 + 21og2a+ ylog26; r) log2a +-^log2b + v•
86
Найдите значения выражений (557—559).
557.	a) Ig34-lg3,4; б) 1g 25 +1g 4; в) log, 16 +log, 4;
г) logjSS-logj 11. Ответ: а) 1; б) 2; в) 2; г) 1.
558.	а) б) в)	Ответ: а) 2; б) в) |.
1g 3 lg25	lg25	2.	2
559	я) 1о6з8 . б1 1оё2б4 .	10g481 . . log2 0,125
’ 7 logs 4 ’ ' log24 ’ 7 log* 3 ’ 7 log2256 •
Ответ: а) у; б) 3; в) 4; г)
Z	о
560.	Чему равно произведение log327-log216-Iog51?
Ответ: 0.
561*. Вычислите:
a)	log32-log* 3 • log5 4-... logi09;
6)	lgtgl°-lgtg2°-lgtg3°-...dgtg59°-lgtg60°;
в)	Igtg 1° + lgtg2° + ... + lgtg88° + lgtg89°.
\ 1 n I	lg2	lg3	lg4	lg8	lg9 \
Ответ: a) lg2 указание: *— •	•...• *— • —®—I;
' ® Г	lg3	lg4	lg5	lg9	IglO/’
6)	0 (указание: lgtg45° = lgl = 0);
в)	0 (указание: lg(tgl°-tg2°-...-tg88e-tg89°) = lgl).
562*. Определите знак произведения
1g sin 32° • 1g cos 17° • 1g tg 40° • 1g ctg 20е. Ответ: минус.
563.	Вычислите: 1gtg2° + 1gtg4° + 1gctg2° + 1gctg4°. Ответ: 0.
564.	Какой знак имеет число 1garctg2? Ответ: плюс.
Запишите, какое из двух выражений больше (565—566).
565.	a) log23 + log25 или 21og24; б) 1g 12 —1g 5 или 1g 5 —1g 2;
в) log0i7 2 + logo,718 или 34ogo,7 4; г) log*16 — 2 или log* 4.
О т в e т: a) 2 log2 4; б) 1g 5 - log 2; в) logo 7 2 + logo,718; r) log4 4.
566.	a) log25 + log27 или log2(5 + 7); 6) log024 + log026 или
logo,2(4 + 6); в) log34-log,2 или log3(4-2); r) -'^5t.g?- или
. 5 + 7
Ответ: a) log25 + log27; 6) logo^(4 + 6); в) равны; г) lg^-^-.
Найдите x (567—571).	ч
567.	a) log2 x = log2 3 + log2 5 + log2 6;
6)	logj x = logj 18 - log3 2 - logs 3;
87
в)	logsх = logs 18 — logj2 + log53. Ответ: a) 90; б) в) 27.
568.	a) lgx = 21g5; 6) lg« = 21g6 —lg9; в) lg« = 21g3 + lg9;
r) lg« = 31g2 + 21g3. Ответ: a) 25; 6) 4; в) 81; г) 72.
569.	a) log4x = -i-log416; 6) log2x = 1 + log23; в) log4x = 2 — log42;
r) logs x = у logs 4 + 2. Ответ: a) 4; 6) 6; в) 8; г) 18.
570.	a) lgx = l — lg2; .6) Iga: = 2 —lg5; в) lg« = l —lg5 —Ig2;
r) lgx = 2 — 21g5. Ответ: a) 5; 6) 20; в) 1; г) 4.
571.	a) log„x = log„tg36° + log„ctg36°;
6)	log„ x = log„ tg 28° + log„ tg 62°;
в)	log2x = log2sin-^-log2cos~;
г)	logs * = logs cos ± - logs sin ;
A) lg« = lg (2 sin 15°) + lg cos 15°.
Ответ: a) 1; 6) 1; в) r) /3; a) y.
следова-
тельно,
572.	Найдите ошибку в рассуждениях: ^yj
т. е. 21gy>31ogy. Разделив обе
части неравенства на 1gу, получим 2>3.
О т в е т: из неравенства 21g у > 31g у при делении обеих ча-
стей на 1g у должно следовать неравенство 2<3, так как
lgy<0-
18.	Решение показательных и логарифмических
уравнений и неравенств
Решите уравнения и неравенства (573—593).
573.	а)	2* = 3; б)	3* =	18; в) 10* = 20; г) 3logs* = 5; a) 7log7*2 = 36.
Ответ: a) log23;	б) log318 = 2 + logs2; в) 1 + lg2; г) 5; а) ±6.
574.	a)	loge« = 2;	б)	log27* = y; в) logs«=l; г) log8x = -y;
A)	log2(—х) =	-5.	Ответ: а) 36; б) 3; в) 5; г) а) —
88
575.	a) lg(2x + l) = lgx; 6) lgx2 = 0; в) lg (x + 1) + lg(x — 1) = lg3.
Ответ: а) нет решений; б) ±1; в) 2.
576.	a) log2 (х — 4) = 3; б) log3 (х + 5) = 0; в) log4 (13 — х) — 2;
г) logo(х2 — 1) = 1. Ответ: а) 12; б) —4; в) —3; г) ±3.
577*. a)	1g (ж- 5) = — 2;	б) lg(7-«) = -l; в) lg(2-5x) = l;
г) 1g(Зя-0,8) =-2. Ответ: а) 5,01; б) 6,9; в) -1,6; г) 0,27.
578.	a) log2х = 1 + log2 5; б) log3 х = 5 log3 2-3 log3 2; в) lg (2х - 6) =
= lg43 — lg 4,3; г) lg (5 + 2x) = lg 27 — lg 9.
Ответ: a) 10; б) 4; в) 8; г) -1.
579.	a) log* + 12 = l; б) logx5 = ~; в) log2 (log3x) = 1;
г) log„(log3(log2x)) = 0. Ответ: а) 1; б) 25; в) 9; г) 8.
580.	a) log3cos* = 0; б) lgtgx = O; в) log1sinx = —4.
~2
Ответ: а) 2лп, nGZ; б) + лп, nGZ; в) нет корней.
581.	a) log2(x + 2) = log2tg j; б) log3(x - 1,5) = log3cos2y.
Ответ: a) —1; б) 2.
582.	a) lgtgx = 2; 6) lgsinx = l; в) log2cosx = — ±; r) log3tgx = y.
Ответ: a) arctg 100 + лп, nGZ; б) нет решений; в) ±+
+ 2лп, nGZ; г) v + nn, nGZ.
з
583.	a) log2sinx = —1; 6) log2cosx = — 1; в) log2tgx = — 1.
Ответ: a) (— 1)"^- + лп, nGZ; б) ±-^- + 2лп, nGZ;
6	3
в) arctg+ лп, nGZ.
584.	a) log2sin2x = —1; 6) log2cos3x = — 1; в) log3tg3« = y.
Ответ: a)	+ nGZ; 6) ±^ + ^~, nGZ;
12	2	’	9	3
\ It	ъ
в) —+ —, nGZ.
'9	3
585*. a) log3 (2 sin x) + log3 cos x = 0; 6) 2 log9 cosx = 0;
в) log3tg2x = 2. Ответ: a) ^ + 2nn, nGZ; б) 2лп, nGZ;
в) arctg 25 + ^~, nGZ.
89
586. a) log2 sin (у — x) = 0; 6) Igcos (y — x) = 0;
в) log3 cos (я — x) = 0; r) log2sin (я + x) = — 1.
Ответ: а) 2яп, nGZ; 6) у+2яп, nGZ; в) я + 2ли, nGZ;
г) (—1)" — + nn> nGZ.
О
587*. a) log2 (2 sin у x) = 0; 6) log3(2 cos-~-x) = у; в) lg(3tg3x) = 2.
Ответ: a) (— 1)" у + 2яп, nGZ; б) ± у + бял, nGZ;
в) у arctg у—+-у, nGZ.
588.	a) log2x> 1; б) log3x>2; в) log3x >0; г) log5x >2; д) log1x>0.
Ответ: а) (2; со); б) (9; со); в) [1; со); г) (25; со); д) (0; 1).
589.	a) log2x<l; б) log3x<2; в) log2x<y; г) log3x<0;
a) log03x<0; е) log03x^2. Ответ: а) (0; 2]; б) (0; 9);
в) (0; /2); г) (0; 1);’д) (1; со); е) [0,09; со).
590.	a) iog3(x —2)>1; б) lg(x-3)^2; в) 1g(х- 1)0;
г) log2(x —3)>5.
Ответ: а) (5; со); б) [103; со); в) (1; 2]; г) (35; со).
591*. a) log2 (х + 3) — 2 log2 4 > 0; б) log3 (х — 1) + log3 9 < 0;
в) Igx + 1 < 0; г)' log,х + 1g 100 > 0.
т
Ответ: а) (13; со); б) (1; 1 у); в) (о; г) (0; 9).
592.	a) log1x<— 1; б) logjX>l; в) log2x;>2; г) logo,3x<0.
т	т	т
Ответ: а) (2; со); б) (б; у); в) (0; у]; г) (1; со).
593.	a) log0,s4 (x- 5)<0; б) (2х + 3) log2 5 < 0; в) 22®Ь^->0;
X т т-
Ответ: а) (5; оо); б) (—со; —1,5); в) (—оо; -4); г) (-i- ; ооj.
594.	Что больше: площадь квадрата со стороной logytgy или
со стороной 21og327?
Ответ: со стороной 21og327 .
90
595.	Что больше: объем куба с ребром log3/"27 или с ребром
log я— ? Qtbct: с ребром log ' —.
sin- 16	sin~ 16
596.	Найдите площадь квадрата, если его сторона численно равна
значению выражения logs /З + log2 /2 + log я cos ~.
sin”
Ответ: 4.
597.	Найдите площадь круга, если его радиус равен значению
выражения
logo5 sin ~ + IgV 100 +sin^-. Ответ: 4л.
598.	Найдите длину окружности, если ее радиус равен значению
выражения
log 32
(cos222е30' — sin222°30') & .Ответ: 64я.
599.	Найдите периметр правильного шестиугольника, вписан-
ного в круг, радиус которого равен
(2sin 15°cos 15°)Iog-l15. Ответ: 90.
19. Производная и первообразная показательной функции
600. Сравните с угол <р между касательной к графику / в точке с
абсциссой х = 0 и осью абсцисс, если:
а) / (а:) = 2Л; б) / (х) = 1,5х; в) f(x) = 3x; г) / (х) = 4х.
Ответ: а)	б)	в) ^>~-;.г)	— .
601.	Чему равен угол <р между касательной к графику функции / в
точке с абсциссой х = 0 и осью абсцисс/ если:
a) f(x) = ex; б) /(х) = е~\ Ответ: a) = б) р = --.
602.	Вычислите:	_3
а) е1п3; б) e"b*2; в) (е3)1п3; г) 1пе~3; д) In j .
Ответ: а) 3; б) у; в) 27; г) -3; д) 3.
603.	Сравните с единицей:
а) е2; б) в) е1^; г) е®; д) е~е; е) е1’1”*1; ж) е-1*08*1.
Ответ: а) больше 1; б) больше 1; в) больше 1; г) больше 1;
д) меньше 1; е) больше или равно 1; «с) меньше или равно 1.
91
Найдите производные функций (604—610).
604.	а) у = е*; б) у = е2*; в) у = 4е~2’; г) у = е*3; д) у = е2*-3;
е) у = е*2-2*. Ответ: а) е*; б) 2е2х; в) —8е-2*; г) Зх2е*3;
д) Зе2*-3; е) (2х — 2)е*2-2*.
605.	а) у = esin*; б) у = ес°5*; в) у = etg* + 7; г) у = ес‘8* + л; д) у = е3,in’;
1
-cosx
е) у = е4
etgx	е^х
Ответ: a) cosx-e*m*; б) — sinх• ecos*; в) —; г)-----------г?—;
cos2*	sin2*
A) 3cos*-e3*to*; e) — -i-sina^e4
606.	а) у = e2,“*; б) у = e2cos*; в) у = 2esin*; г) у = 3etg*; д)у = 4e4‘to*;
e) y = e~2sbl*.
Ответ: а) -^-созя-е2 я”*; б) — 2sinx • e2cos*; в) 2cosx-e’1”*;
V 3etg* v	*7sin*	.	_	9. v
r) —2—> a) cosx-e4	; e) — 2 cosx-e 28Ш*.
cos2*	'
607*. a) у = esin2*; б) у = e 2““2*; в) у = e-c”3*; г) у = etg2*; д) у = -^е2*8*;
е) y = 2ectg2*. Ответ: a) 2cos2x-еЕ|п2*; б) cos 2а:-е2””2*;
в) 3sin3«-e-C0‘3*; г)	д) е)
COS 2Х	C0S2 X	sin2 X
608*.а) у = е3*+ e3,to*^ б) у = ех2 + е”; в) у = е4 + 3е3;
г) у = ~~ + 2х2. Ответ: а) Зе3* + 3cosa:*e3sto*; б) 2хе*2;
в)	—е4 + е3; г) е2* + 4я.
609*.а) у = е*-х; б) у = е2*>х2; в) y = e**sin«; г) y = e**cos«;
д) у = esin*-cosx.
Ответ: а) е*-х + е*; б) 2е2*-х2 + 2хе2х;в) ex-sinx + e**cosx;
г)	e*-cosx — e*>sinx; д) e’i“**cos2x — esto**sinx.
610*.a) у = sine*; б) у = 2cose*; в) y = -i-sine3*; г) y = sin(2e*);
д)	у = ecose*; e) y = 2cos(2e*).
Ответ: a) e*-cose*; 6) —2e*-sine*; в) e3*>cose3*;
r) 2e*-cos(2e*); a) —e* + 1>sine*; e) —4e*-sin(2e*).
611.	Докажите, что если тело движется по закону
s(t) = ае‘ + 6-e-t, то численное значение ускорения равно
92
пройденному пути (s —путь в метрах, t—время в секундах).
Ответ: v (t) = s'(t) = ael — be~‘, a (t) = v'(t) = ae* + be~* (v—
скорость в метрах в секунду).
Найдите производные функций (612—615).
612.	а) у = 2*; б) у = 3*; в) у = 22*; г) у = 2"3*; д) У = у )*;
е) у =1,74 + п. Ответ: а) 2*1п2; б) 3*1п3; в) 22* + 11п2;
(- IX + 1	-	-	«.
у) е) |.1,7«1П1,7.
613*. а) у = е3« + 2*; б) у = 5"*+ 2 sin Зя; в) y = 2sinje; г) у = 52**;
д) у = 3“с“*; е) у = З2* + 3cos2х. Ответ: а) Зе3* + 2*-1п2;
б) —5_* In 5 + 6 cos Зя; в) со5я-2,1п*1п2; г)
COS2 X
д) sinx-3 -cos*ln3; е) 2-32*ln3 — 6sin2x.
614*.а) у = 57-2*; б) у = ~^; в) у = 73-*2; г) у = ---32х + 1.
Ответ: а) —2Я‘57-2*‘1п5; б) —в) —2я-73-*2-1п7;
г) у.з2* + 11пЗ.
615*. а) у = 2-3* + 3е*; б) у = 42* + е2*; в) у = 3 sin 2я + esto2*;
г) у = я2 + З-*2.
Ответ: a) 2-3*ln3 + 3e*; б) 2-42*1п4 + 2е2’;
в) 6со$2я + 2соз2я-е’1”2*; г) 2я — 2я • З-*2 In 3.
616. Даны функции: ft (я) = 2х, f2 (я) = е*, /3 (я) = 3*.
Найдите:, а) производные этих функций; б) угловые коэф-
фициенты касательных к графикам каждой из них в точке с
абсциссой я = 0.
О т в е т: а) Д(я) = 2* In 2, f2(x) = ех, f3(x) — 3* In 3; б) In 2,1, In 3.
617. Зависимость между количеством я вещества, получаемого в
результате некоторой химической реакции, и временем t
выражается уравнением я = А (1 + e~kf). Найдите скорость
реакции. Ответ: v = — kAe ~kt, откуда v = k (A — я).
Найдите угол наклона касательной к графику функции f
к оси абсцисс в точке я0 (618—622).
618.	/(я) = е*, яо = О. Ответ:
619.	f (я) = ех, я0 = 1. Ответ: arctgе.
93
620.	f(x) = e2x, «о = О. Ответ: arctg2.
621.	/(x) = 2x, «о = 1* Ответ: arctg(2In2).
622.	/(x) = 3x + 5, Xq = 1. Ответ: arctg(3In3).
623.	Найдите критические точки функции:
a) f(x) = ex-x; б) f(x) = ex-2x. Ответ: а) 0; б) in2.
624.	Найдите первообразную для функции:
а)	/(х)=ех; б) f(x)=e2x; в) f(x)-e~x; г) /(х) = 2х;
д)	f(x) = 3e3x. Ответ: а) е* + С; б) ±е2* + С; в) —е~х + С;
г)	-^+С; д) е3* + С.
Ш 2
625.	Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
у = ех, у = 0, х=1, х = 2. Ответ: е2— е.
20. Производная логарифмической функции
Найдите производные функций (626—631).
626.	а) у = 1пх; б) y = lgx; в) y = log3x; г) у = 21пх; д) y = 31gx;
е) y = 31og3x.
Ответ: а) —; б) 1 ; в) ; г) —; д) 3 е) •
' х ' xlnlO ’ «1пЗ ' х ’ xlnlO *1пЗ
627. а) у = 1п2х; б) y = lg4x; в) y = log32x; г) у = 31п3х;
д) y = 51g3x; е) y = -31og4x.
Ответ: а) —; б) —-—; в) —-—: г) —; д) —-—; с)--------•
vrioc а, х , ж1п10 , , *to5 , ч х , а, ж1и10 , z	ж1п4
628*. а) у = 1п(2х + 3); б) у = 1п(3х2 — х); в) y = lg(3x2 + 7);
г) у = 21og3(x3 - 2х).
Л	X 2 -ч 6х-1 ч 6Х	.	2(3**-2)
Ответ: а) ; б) Зж2_ж ; в) (3я,2 + 7)1п10 5 г) (^-2»)ln3 "
629*.а) у = In (sinx); б) y = ln(tgx); в) у = log2(sinx);
г) y = log3(cosx).
Ответ: a) ctgx; б) —=	; в) c.tg*-; г) — тг?-
®	’ cos2«tg« sin2x ’ ’ 1п2 ’ ' m3
630*.a) y = ln(cos2x); б) у = In(2sinx); в) y = log3(tg3x);
г) y = log2(cosyx). Ответ: а) —2tg2x; б) ctgx;
X
X	з	6	v
cos2 Зх tg Зх In 3	sin6xln3	'	21n2
631*.а) у = In(sinx + 2х); б) у = lg(cos3x + ех);
94	\
в) у = log2 (cos х + sin x); г) у =log3{3* + я2).
~	4 cos я+ 2* In 2 -v -3sin3x + e*
Ответ: a) —;----------;—; 6) -7—^-------zr;--;
sm x + 2*	(cos 3x + ex) In 10
x cos x — sin x <	3* In 3 + 2x
' (cos x + sin x) In 2 ’ Г' (3* + x2) In 3
Найдите первообразные для функций (632—634).
632.	а) /(х) = у; б) = в) ?(я)=у-; г) ^(^ = 777.
X	X + 1	зх	зх — э
Ответ: а) 21п |я| + С; б) 2In |я + 1| + С; в) yin |Зх| + С;
г) 1п|3я —5| +С.
633.	a) f(x) = -^; б) /(я) = -^-; в) /(я) = у^-;
2----------------------------х
2
г) / (х) =	. Ответ: а) — 5 In 11 — я | + С;
б) —21п|2 —уя| +С; в) 1п|2 + 4я| + С; г)-у1п|4-5я| + С.
634.	а) у = е* + у; б) у = е2* +	; в) у = е - -Я; г) у = е4* +	.
Л	X	Т т J Л
Ответ: а) е* + 31п|я| + С; б) у е2* + у In | я | + С;
в) 2ег*-21п|я|+С; г) ye4* + у!п|4 + Зя| + С.
21.	Степенная функция и ее производная
635.	Среди функций f (я) = 2* 4-1, . g (я) = я5, h (я) = log7 я,
ср (я) = sin я, v (я) = я4,5, ю (я) = я-3 назовите степенные.
Ответ: g(я) = я5; »(я) = я4,3; <в(я)=я-3.
636.	Докажите, что каждая из функций / (я) = я11 и'й (я) = я23 воз-
растает на множестве действительных чисел.
О т в е т: f (я) = 11 я10, Л' (я) « 23Я22. Обе функции при любых
действительных значениях я имеют неотрицательную про-
изводную.
637.	На каком промежутке убывает функция а) / (я) = я8;
б) ё(я) = я10? Ответ: а) (—со; 0]; б) (—со; 0].
638.	Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
a) /(«) = «20; б) §(я) = я35. Ответ: а) функция убывает на
промежутке (—со; 0], возрастает на промежутке [0; со);
б) возрастает на промежутке (— со; со).
95
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .....................................................   3
Глава I. Тригонометрические функции
1.	Тригонометрические функции числового ар!умента ................. 4
2.	Основные формулы тригонометрии ..............................
3.	Основные свойства функции ...................................
4.	Основные свойства тригонометрических функций .................. 27
5.	Арксинус, арккосинус и арктангенс ............................. 32
6.	Решение тригонометрических уравнений и неравенств . ;.......... 36
Глава II. Производная и ее применение
7.	Производная . ................................................  45
8.	Применения производной к приближенным вычислениям, геометрии
и физике ........................................................  50
9.	Применения производной к исследованию функций . .	....... 53
Глава III. Первообразная и интеграл
10.	Первообразная ...............................................  61
11.	Интеграл ..................................................... 64
Глава IV. Показательная и логарифмическая функции
12.	Корень и-й степени и его свойства ............................ 66
13.	Иррациональные уравнения ..................................... 68
14.	Степень с рациональным показателем ........................... 69
15.	Показательная функция ........................................ 70
16.	Решение показательных уравнений и неравенств . . . ........... 75
17.	Логарифмическая функция. Основные свойства логарифмов ...	78
18.	Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств 88
19.	Производная и первообразная показательной функции ............ 91
20.	Производная логарифмической функции .......................... 94
21.	Степенная функция и ее производная ........................... 95
Учебное издание
Лукин Рудольф Дмитриевич
Лукина Тамара Константиновна
Якунина Мария Степановна
УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА
Зав. редакцией Г. А. Бурмистрова. Редактор Л. Н. Белоновская
Мл. редактор Е. А. Буюклян. Художники Я. А. Пащуро, Г. А. Алексеев
Художественный редактор Е. Р. Дашук
Технические редакторы Н. Н. Бажанова, Р. С. Невретдинова
Корректор М. Ю. Сергеева
ИБ № 11771
Сдано в набор 18.05.88. Подписано к печати 06.09.89. Формат 60X90*/16- Бум. для множительных
аппаратов. Гарнит. Конкорд. Печать высокая. Усл. печ. л. б. Усл. кр.-отт. 6,25. > Уч.-изд. л. 5,75.
Тираж 450 000 экз. Заказ № 651. Цена 15 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета
РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 129846, Москва, 3-й проезд Марьиной
рощи, 41.
Отпечатано с диапозитивов ордена Трудового Красного Знамени ПО «Детская книга» Госкомиздата
РСФСР. 127018, Москва, Сущевский вал, 49 на Саратовском ордена Трудового Красного Знамени
полиграфическом комбинате Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли. 410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59.
юлка к
СССР
у
Библиотека
бесплатных
учебников на
сайте:
ussrvopros.ru
(перейти
каталогу