А.Б. Василевский
Устные
упражнения
ло алгеьре
и началам
анализа
А. Б. Василевский
Устные
упражнения
по алгевре
и началам
анализа
VI—X классы
Минск
«Народная асвета»
1981
ББК 74.262.6
В 19
УДК 512+517] (07.07)
Рецензенты:
доцент Могилевского педагогического института
им. А. А. Кулешова А. А. Мазаник, заслуженный
учитель БССР И. И. Палий
Василевский А. Б.
В 19 Устные упражнения по алгебре и началам анали-
за: VI—X кл.— Мн.: Нар. асвета, 1981.— 72 с., ил.
Юк.
Пособие содержит устные упражнения различной степени трудно-
сти, преимущественно нестандартные как по содержанию, так и по
методам решения. Их можно использовать при
риала, при повторении основных тем, а также
с учащимися VI—X классов.
Книга адресуется учителям математики.
ь 60501—094
’ »ГзоЬ'(О5)-81130~81 ^зобоюооо
изучении нового мате-
во внеклассной работе
ББК 74.262.6
51(07)
©Издательство «Народная асвета», 1981.
Предисловие
К современному уроку математики предъявляются вы-
сокие требования. В частности, усиливаются функции
управления процессом формирования новых знаний, уме-
ний и навыков учащихся, акцентируется внимание на
систематическое развитие творческой самостоятельности
школьников. В связи с этим учителю математики на
каждом уроке необходимо осуществлять быструю эф-
фективную обратную связь.
В решении этих задач важную роль играют устные
упражнения. Они способствуют более сознательному и
глубокому усвоению учащимися математической теории,
являются эффективным средством, позволяющим учите-
лю своевременно контролировать весь процесс обучения
(проверку знаний нового материала, его закрепление,
повторение ранее изученного материала).
Систематическое использование устных упражнений
на уроках оживляет процесс обучения, повышает интерес
учащихся к математике, предупреждает появление фор-
мализма в обучении.
Предлагаемый сборник содержит богатый мате-
риал, который будет способствовать изучению всех
основных вопросов курса алгебры в восьмилетней школе
и алгебры и начал анализа в IX—X классах, а некото-
рые упражнения могут быть использованы в IV и V
классах.
В пособии широко представлены целые, дробно-ра-
циональные, иррациональные, показательные, логариф-
мические и тригонометрические уравнения и неравенства.
Их устное решение углубляет понимание учащимися
свойств основных алгебраических понятий, развивает ма-
тематическую интуицию. Такие упражнения требуют от
учащихся сознательного применения свойств соответ-
ствующих функций, умения читать их графики. Наличие
параметров в уравнениях и неравенствах дает возмож-
ность обучать школьников исследованию их решений.
Особый интерес представляют те устные упражнения,
которые позволяют достаточно просто организовать про-
граммированный контроль за их решением.
При решении иррациональных и логарифмических
уравнений и неравенств учащиеся часто допускают ошиб-
ки, связанные с получением посторонних решений. В дан-
ном пособии много внимания уделено таким уравнениям
3
и неравенствам. Их решение показывает пути предупреж-
дения появления ошибок.
В школьном курсе алгебры и начал анализа функ-
циональная линия является одной из основных. Поэтому
в сборнике много упражнений на чтение готовых графи-
ков функций и уравнений, на применение свойств функ-
ций к решению различных уравнений и неравенств. Усло-
вия упражнений функционального характера, как прави-
ло, иллюстрируются рисунками, которые позволяют устно
устанавливать достаточно сложные свойства последова-
тельностей, пределов функций и т. п.
Школьные учебники содержат недостаточное количе-
ство конструктивных задач по алгебре и началам анали-
за. Обучающее же значение их исключительно велико.
Поэтому в пособии им посвящен специальный параграф.
В сборнике значительное место занимают нестандарт-
ные устные упражнения. Ценность таких упражнений в
том, что в них необычно сочетаются вопросы из различ-
ных тем курса алгебры и начал анализа. Устное решение
их способствует пониманию и глубокому усвоению дан-
ного материала.
В большинстве параграфов сборника собраны
упражнения по одной теме (проценты; иррациональные,
показательные, логарифмические, тригонометрические
функции; уравнения и неравенства; функция, обратная
данной; четные и нечетные функции; последовательности;
предел и непрерывность; возрастание и убывание функ-
ций; производная и интеграл).
Упражнения § 1, кроме № 1.13, 1.17, 1.25, 1.26, 1.35,
1.36, могут быть предложены учащимся IV класса.
Упражнения § 2, кроме № 2.19, 2.20, 2.27, и упражне-
ния 1.13, 1.17, 1.25, 1.26, 1.35, 1.36 можно адресовать уча-
щимся V класса.
Текстовые задачи (§ 3) будут интересны для учащих-
ся IV—VI классов: 3.1, 3.3—3.14 (IV класс), 3.15—3.21
(V класс), 3.2, 3.22—3.29 (VI класс).
Упражнения на целые уравнения и неравенства (§ 5)
можно использовать следующим образом: 5.1, 5.3, 5.4,
5.5, 5.8, 5.10, 5.20, 5,30, 5.36 (VI класс); 5.2, 5.6, 5.7, 5.9,
5.11, 5,12, 5.13, 5.16, 5.18, 5.19, 5.21, 5.22, 5.23 (VII класс);
5.14, 5.15, 5 17, 5.24—5.29, 5.31—5.35, 5.37—5.40 (VIII
класс).
Упражнения на дробно-рациональные уравнения и не-
равенства (§ 6) целесообразно распределить по классам
4
следующим образом: 6.1—6.21 (VIII класс), 6.22—6.48
JX класс).
Упражнения § 9 предназначаются для повторения
свойств функций, изучаемых в восьмилетней и средней
школе: 9.4, 9.5, 9.8—9.15, 9.17, 9.18, 9.25, 9.27, 9.28
(VIII класс), 9.1—9.3, 9.6, 9.7, 9.16, 9.19—9.24, 9.26,
9.29—9.35 (X класс).
При помощи конструктивных задач (§ 18) углубля-
ется понимание основных свойств функций, изучаемых в
X классе.
Наиболее трудные упражнения отмечены звездочкой
(*).
1	,*я» .
§ I.	Свойства натуральных
чисел
1.1.	Я задумал пятизначное число, отнял от него еди-
ницу и получил четырехзначное. Какое число я задумал?
1.2.	Не производя деление, скажите, делится ли
2 613 456 на 36.
1.3.	99 лошадей разместили в 15 конюшнях. Почему
хотя бы в одной конюшне будет обязательно нечетное
число лошадей?
1.4.	Простые числа имеют только два различных де-
лителя — единицу и само это число. А какие числа имеют
только три различных делителя?
1.5.	В десятичной записи некоторого целого числа
имеется 300 единиц, а остальные цифры равны нулю. Мо-
жет ли это число быть полным квадратом?
1.6.	Произведение трех последовательных нечетных
чисел равно 105. Найдите эти числа.
1.7.	Две дюжины умножили на три дюжины. Сколь-
ко дюжин получили?
1.8.	Какие два натуральных числа, если разделить
большее из них на меньшее, дают в результате столько
же, сколько получится при их умножении?
1.9.	Расшифруйте пример на сложение: . ЪЬ
^ЬЬ
abc
1.10.	В числе 3 728 954 106 зачеркните три цифры так,
чтобы оставшиеся цифры в том же порядке составили на-
именьшее семизначное число.
1.11.	Укажите простой способ умножения 5 746 320 819
на 125.
1.12.	Тремя тройками, не употребляя знаков действий,
запишите возможно большее число.
1.13.	В ычисл ите У 682 + 512.
1.14.	Представьте в виде произведения степеней про-
стых чисел 1 -2’3’4-5-...-14-15.
1.15.	Запишите число 1 000 000 000 в виде произведем
ния двух чисел, в записи которых не было бы ни одного
нуля.
1.16.	Трехзначное число, являющееся точным квадра-
том, записывается при помощи цифр 2, 3, 4. Найдите это
число.
1.17.	Вычислите (100-12) • (100 - 22)«...-(100-252),
6
Рис. 1
2	3	5	9		33
Рис. 2
7	10	/3
22		30
4	9	
Рис. 3
1.18.	Укажите наименьшее число, которое записыва-
ется только при помощи нулей и едкими и которое делит-
ся на 225.
1.19.	Сумма в девять тысяч, девять сотен и девять
рублей записывается в виде 9909. Запишите быстро сум-
му в двенадцать тысяч, двенадцать сотен и двенадцать
рублей.
1.20.	Сколькими нулями оканчивается произведение
всех чисел от 1 до 100?
1.21.	Представьте число 65 в виде суммы квадратов
двух чисел.
1.22.	Каков будет остаток от деления произведения
7778-7779 на 7?
1.23.	Как изменится произведение двух множителей,
если второй множитель умножить на —2?
1.24.	Вы выбрали наугад 2000 натуральных чисел и
составили всевозможные разности между ними. Будет ли
хотя бы одна из этих разностей делиться на 1970?
1.25.	Что больше: 25125 или 12525?
(	о^3	(	3^2
1.26.	Какое из чисел большеД^3)2^ или \(32)) ?
1.27*	. Как из девяти восьмерок составить 100?
1.28.	В записи 88888888 поставьте между некоторыми
цифрами знак сложения так, чтобы получилось выраже-
ние, значение которого равно 1000.	ч
1.29*	. Найдите наименьшее число, которое при после-
довательном делении на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 дает соот-
ветственно остатки 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
1.30*	. В девятнадцати кружках (рис. 1) расставьте
все натуральные числа от 1 до 19 так, чтобы сумма чисел
в любых трех кружках, лежащих на одной прямой, рав-
нялась 30.
2*
7
1.31.	В таблицу (рис. 2) вписаны числа по некоторо-
му правилу. Найдите это правило и впишите недостаю-
щее число.
1.32.	В таблицу (рис. 3) вписаны числа по некоторо-
му правилу. Впишите в пустые клетки недостающие
числа.
1.33.	Могут ли все три стороны прямоугольного тре-
угольника выражаться нечетными числами?
1.34.	Шли верблюды: один сзади, два впереди, один
впереди, два сзади, один в середине и два по краям.
Сколько шло верблюдов?
1.35.	Какие из следующих утверждений будут истин-
ными, если ложно первое из них; второе; .,. девятое?
1)	Все данные числа составные.
2)	Некоторые из данных чисел простые.
3)	Ни одно из данных чисел не является составным.
4)	Все данные числа простые.
5)	Некоторые из данных чисел составные.
6)	Не каждое из данных чисел является простым.
7)	Все данные числа не являются простыми.
8)	Только некоторые из данных чисел составные.
9)	Только некоторые из данных чисел простые.
1.36.	Если число N является квадратом натурального
числа, то сумма различных делителей N нечетна. Сфор-
мулируйте обратную теорему. Верна ли она?
1.37*	. Сколькими способами можно уплатить 78 к.
трех- и пятикопеечными монетами?
1.38.	Коле для поездок в метро и на трамвае требова-
лось разменять некоторую сумму денег, получив ее всю
монетами по 3 и 5 к. Какая наименьшая сумма денег
могла быть у Коли?
§ 2.	Сгюйстса
чисел
18
— или
115
49
--- ИЛИ
148
_90.
573’
121,
362
2.1.	Что больше:
.	99	100
а)	—	или	—;	б)
’	100	101	'
ч	30	12	.
в)	—	или	—;	г)
'	283	113	’
2.2.	Может ли дробь, у которой числитель меньше зна-
менателя, равняться дроби, у которой числитель больше
знаменателя?
8
2.3.	Может ли в пропорции каждый из средних чле-
нов быть меньше каждого из крайних?
2.4.	Вычислите:
а)	1-2 + 3-4 + 5-6 + ... + 99-100;
~ 1 1 1
б)	и-----------4- . . .-I----.
' 1 • 2	2 • 3	9-10
2.5.	Будут ли подмножествами множества натураль-
ных чисел множества: а) всех правильных дробей;
б) всех четных чисел; в) всех чисел, удовлетворяющих
неравенству |х|<10; г) всех положительных чисел,
кратных числу 3?
2.6.	т £ Л', п С N. Истинны ли высказывания: а) (т 4-
4- л) С N', б) (т — л) € 2V; в) (лгл) С N; г) (—\ С №
\ п /
2.7.	Найдите двузначное число ab, обладающее тем
свойством, что трехзначное число аОЬ кратно исходному.
2.8.	Половина — треть числа. Какое это число?
2.9.	На рисунке 4 изображен прямоугольник, который
разделен на квадраты. Длина стороны каждого квадра-
та равна единице. Оси абсцисс и ординат можно распола-
гать только так, чтобы им принадлежали стороны ква-
дратов. Где следует поместить начало координат и как
выбрать положительное направление координатных осей,
чтобы:
1)	разность абсцисс точек Р и F была наибольшая;
2)	разность абсцисс точек А и F была наименьшая;
3)	сумма абсцисс точек А и F была равна —6;
4)	произведение ординаты точки D и абсциссы точки
F была равна 4;
5)	расстояние между точками R и Т было равно ор-
динате точки Г;
9
6)	сумма ординат точек /? и Т была наибольшей;
7)	сумма ординат точек Т и М была наименьшей;
8)	произведение абсцисс точек N и Т было наиболь-
шим;
9)	произведение абсцисс точек Ft Р и В было наи-
большим;
10)	произведение абсцисс точек F, Р и В было на-
именьшим?
2.10.	Какой знак нужно поставить между написанны-
ми рядом цифрами 2 и 3, чтобы получилось число боль-
ше двух, но меньше трех?
2.11.	Вычесть из числа —2 такое число, чтобы раз-
ность была:
1)	числом, противоположным уменьшаемому;
2)	числом, обратным уменьшаемому.
2.12*	. Не выполняя указанных действии, установите,
правильной или неправильной дробью является число
244 • 395 — 151
244 4- 395 - 243 *
2.13.	Три дроби с числителями 1 и различными знаме-
нателями (натуральными) дают в сумме 1. Найдите эти
дроби.
2.14*	. Докажите, что выражения 3x4-2# и 4у — 7х не
делятся на 13 при одних и тех же целых числах х и у.
2.15.	Квадрат из 25 клеточек заполнен числами так,
что произведение чисел, стоящих в каждой строке, отри-
цательно. Докажите, что в некотором столбце произведе-
ние также отрицательно.
2.16.	На числовой прямой отмечено несколько точек.
Сумма чисел, соответствующих этим точкам, равна —2,
Каждую из указанных точек переместили по числовой
прямой на три единицы влево, а поэтому сумма чисел
стала равной — 14. Сколько было точек?
2.17*	. Докажите, что выражения 2x4-3# и 9x4-5# де-
лятся на 17 при одних и тех же целых числах хи#.
2.18.	Какие два числа при умножении друг на друга
и при вычитании одного из другого дают один и тот же
результат?
2.19*	. Используя таблицу кубов однозначных чисел:
Р = 1, 23 = 8, З3 = 27, 43 = 64, 53 = 125, 63 = 216, 7? =
= 343, 83 = 512, 93 = 729, вычислите п =	571 767, если
известно, что п3 = 571 787.
10
2.20*	. Какой цифрой оканчивается сумма 11+21+3! +
+ 4! + ... + 991?
2.21.	Если сложить несократимую дробь с единицей,
то полученную сумму можно представить в виде несокра-
тимой дроби. Почему?
2.22*	. Володя написал на доске: 1о2оЗо4°5о6о7о8о9 =
= 21, причем вместо кружочков он поставил либо плюс,
либо минус. Саша изменил несколько знаков на противо-
положные, и в результате вместо числа 21 получил число
20. Можно ли утверждать, что по крайней мере один из
мальчиков допустил ошибку при подсчете результатов?
2.23.	Найдите наименьшее и наибольшее отрицатель-
ные числа из тех, которые можно было бы записать при
по мош и трех единиц.
2.24.	Вычислите: - 100-99-98-97-...+100+101 +
+ 102.
2.25.	Расставьте в записи 4*12+18:6+3 скобки так,
чтобы получилось: а) число 50; б) наименьшее возмож-
ное число; в) наибольшее возможное число.
2.23*	. Напишите число 9 десятью различными циф-
рами.
G —I- 9
2.27*	. Может ли выражение—-— (а — целое) быть целым
Q + 6
числом? Если да, то при каких значениях а?
§ 3- Текстовые задачи
3.1.	Нина живет на четвертом этаже, а Таня на вто-
ром. Нина поднимается на 60 ступенек. На сколько сту-
пенек поднимается Таня?
3.2.	У вас есть двое пружинных весов (динамомет-
ров), рассчитанных на 200 Н, а вам надо взвесить чемо-
дан, масса которого примерно 30 кг. Можете ли вы это
сделать? Как?
3.3. Электропоезд длиною 18 м проезжает мимо кило-
метрового столба за 10 с. Сколько времени ему понадо-
бится, чтобы проехать мост длиною 36 м?
3.4*	. Группа из 21 мальчика получила 200 орехов.
Докажите: как бы ребята ни распределили эти орехи,
найдутся хотя бы двое, которым достанется поровну оре-
хов (может быть, ни одного ореха).
2
3.5. Как от куска материи в — м отрезать полметра,
3
не имея под руками метра?
11
3.6*	. Двенадцать человек несут 12 хлебов. Каждый
мужчина несет по 2 хлеба, женщина — по половине хле-
ба, ребенок—по четверти хлеба. Сколько было мужчин,
сколько женщин и сколько детей?
3.7*	. Купили несколько одинаковых книг и одинако-
вых альбомов. За книги заплатили Юр. 56 к., а за альбо-
мы — 56 к. Книг купили на 6 больше, чем альбомов.
Сколько купили книг, если цена книги больше, чем на
рубль, превосходит цену альбома?
3.8*	. Улитка ползет из точки А, поворачивая на 90° в
какую-нибудь сторону через каждые 15 мин. Докажите,
что она может вернуться в точку А только через целое
число часов (скорость улитки считается постоянной).
3.9.	Гриша пошел с папой в тир. Уговор был такой:
Гриша делает пять выстрелов и за каждое попадание в
цель получает право сделать еще два выстрела. Всего
Гриша сделал 17 выстрелов. Сколько раз он поразил
цель?
3.10.	На почтовом ящике написано: «Выемка писем
производится пять раз в день с 7 до 19 ч». И действитель-
но, в первый раз почтальон подходит к ящику в 7 ч утра,
а в последний — в 7 ч вечера. Через какие интервалы вре-
мени вынимает он письма из ящика?
3.11.	9 одинаковых книг стоят меньше 10 р., а 10 та-
ких же книг стоят больше Пр. Сколько стоит одна
книга?
3.12.
рольную
В классе учится менее 50 школьников. За конт-
работу — учеников получила пятерки, — —чст-
7	3
верки, ---тройки. Остальные работы оказались неудов-
летворительными. Сколько учеников в классе?
3.13.	Петя и Маша собрались купить по одинаковой
порции мороженого. Однако выяснилось, что у Пети не
хватает на покупку 9 к., а у Маши не хватает 1 к. После
того как они сложились, стало ясно, что им не хватает
денег и на одну порцию. Сколько стоило мороженое и
сколько было денег у Пети и Маши?
3.14.	Человек четверть своей жизни был мальчиком,
одну пятую — юношей, треть—мужчиной и 13 лет про-»
жил стариком. Сколько всего лет он прожил?
3.15.	Два велосипедиста участвуют в гонках по кру-
говой дорожке. Николай делает полный круг за 6 мин, а
12
Владимир — за 4 мип. Через сколько минут Владимир
обгонит Николая, если они начинают гонку одновремен-
но и с одного места?
3.16*	. Пункт Д находится на расстоянии 60 км от
пункта В. В одно и то же время из этих пунктов выехали
друг другу навстречу два велосипедиста со скоростью
15 км/ч. Вместе с первым велосипедистом из пункта А
вылетела оса, скорость которой 20 км/ч. Оса обогнала
первого велосипедиста и полетела навстречу второму,
выехавшему из В. Встретив его, она повернула обратно и
полетела навстречу велосипедисту, выехавшему из А.
Повстречав его, оса снова полетела навстречу второму
велосипедисту. И так она продолжала летать взад и впе-
ред до тех пор, пока велосипедисты не встретились. Тогда
она успокоилась и села одному из них на шапку. Сколь-
ко километров пролетела оса?
3.17*	. На столе стоят шесть стаканов. За один раз
разрешается переворачивать пять стаканов. Через сколь-
ко «ходов» все стаканы будут поставлены вверх дном?
3.18.	За книгу заплатили 1 р. и еще половину стоимо-
сти книги. Сколько стоит книга?
3.19.	Один поезд вышел из Бреста в Минск и шел без
остановок со скоростью 70 км/ч. Другой поезд вышел ему
навстречу из Минска в Брест и тоже шел без остановок
со скоростью 60 км/ч. На каком расстоянии будут эти
поезда за 1 ч до их встречи?
3.20*	. Когда пассажир проехал половину всего пути,
то лег спать и спал до тех пор, пока не осталось ехать по-
ловину того пути, что он проехал спящим. Какую часть
всего пути он проехал спящим?
3.21.	В комнате стоят табуретки и стулья. У каждой
табуретки три ноги, у каждого стула четыре ноги. Когда
на всех табуретках и стульях сидят люди, в комнате все-
го 39 ног. Сколько стульев и сколько табуреток в ком-
нате?
3.22*	. Человек, возвращаясь домой, идет по тротуару
с постоянной скоростью и проходит мимо уличного фо-
наря. По мере удаления от фонаря тень человека стано-
вится все длиннее. Как движется при этом ее вершина:
быстрее или с той же скоростью, с какой она двигалась,
когда тень была короче?
3.23.	Два человека бегут по ступенькам эскалатора
метро. Один бежит быстрее другого. Кто из них насчи-
тает больше ступенек?
13
3.24.	Можно ли три яблока разделить между двумя
отцами и двумя сыновьями так, чтобы каждому доста-
лось ровно по одному яблоку?
3.25.	У мальчика 25 медных монет. Имеется ли среди
них семь монет одинакового достоинства?
3.26.	У мальчика столько сестер, сколько и братьев, а
у его сестры вдвое меньше сестер, чем братьев. Сколько
в этой семье братьев и сколько сестер?
3.27*	. Из 15 монет, одинаковых с виду, одна фальши-
вая. Неизвестно, тяжелее или легче она остальных. Как
это узнать, сделав не более четырех взвешиваний на ча-
шечных весах без гирь?
3.28*	. В магазин привезли платья трех разных фасо-
нов и трех разных расцветок. Продавщица хочет выбрать
для витрины три платья так, чтобы были представлены
все фасоны и все расцветки. Всегда ли она сможет это
сделать?
3.29*	. Машинистка напечатала десять писем и адреса
на десяти конвертах, но рассеянная секретарша разло-
жила эти письма по конвертам, нисколько не заботясь о
соответствии между письмом и адресатом. Правда, в
каждый конверт она вложила по одному письму. Какова
вероятность того, что ровно девять писем попали в пред-
назначенные для них конверты?
§ 4.	Задачи на проценты
4.1.	Цена товара снижена на 20 %. На сколько про-
центов больше можно купить этого товара на те же
деньги?
4.2.	Одна сторона прямоугольника уменьшена на
10 %, другая — увеличена на 10 %. Как изменилась пло-
щадь прямоугольника?
4.3.	Одна сторона прямоугольника уменьшена на
10 %; вторая уменьшена на 20 %. Как изменилась пло-
щадь прямоугольника?
4.4.	Одна сторона прямоугольника уменьшилась на
10 %, другая — увеличилась на 20%. Как изменилась
площадь прямоугольника?
4.5.	В сберкассу положили в начале года 100 р. Через
год эта сумма увеличилась на 3 %. Вновь полученная
сумма еще через год опять увеличилась на 3 % ит. д,
Сколько рублей будет получено через 20 лет?
4.6*	. На склад поступило 100 кг свежих ягод вдаж*
14
ностыо 98 %. Через некоторое время их влажность пони-
зилась до 96 %. Какова новая масса этих ягод?
4.7.	Однажды я собрал очень много грибов — еле до-
тащил. Но тащил-то почти одну воду — в свежих грибах
ее 90 %. А когда грибы высушили, они стали на 15 кг
легче — теперь в них было 60 % воды. Сколько грибов я
принес из леса?
4.8*	. Среди жителей одной африканской деревни
800 женщин. Из них 3 % носят по одной серьге; полови-
на женщин, составляющих остальные 97 %, носят по две
серьги, а другая половина вообще не носит серег. Сколь-
ко серег можно насчитать в ушах у всего женского насе-
ления деревни?
4.9.	Только что добытый каменный уголь содержит
2 % воды, а после двухдневного пребывания на воздухе
он содержит 12 % воды. На сколько килограммов за это
время увеличится масса добытого из шахты центнера
угля?
4.10*	. В вагоне случайно оказалось 80 % русых лю-
дей и 70 % мужчин. Можно ли утверждать, что в вагоне
большинство пассажиров было русыми мужчинами?
§ 5.	Целые уравнения
и неравенства
6.1.	Чему равна разность |п| — а?
6.2.	Постройте график уравнения х= |х|.
5.3.	На множестве каких чисел верны отношения:
a) |fl + b| = [fl| + |Ь|; б) |а+6| < |а| + |Ь|?
6.4.	При каких числовых значениях с имеют место
соотношения: 1) — с<|—с|; 2) —с=|—с|; 3) с<|с|?
5.5.	Является ли равенство (а4—1)6= (а6—I)4 тож-
деством, если: 1) а—любое число; 2) а £ {—1; 0; 1)?
5.6.	Найдите множество целых значений х, при кото-
рых произведение (4 + х) • (3 —х) положительно.
5.7.	Решите уравнение:
а)	(х2 +1)4+ (х2 + 2)2 = 0;
б)	(х2 +1)4+ (х2 + 2)2 = 3.
5.8.	Сколько слагаемых в правой части равенства
20 = 20+18+16 + ... + п?
5.9.	При каком значении а прямые 2х+п//—1 = 0 и
ОХ+8// +2 = 0 параллельны?
15
Рис. 5
5.10.	Определите, при каких значениях
верны неравенства:
1)	( —0,5с3)2>0;	2)	( —0,5а2)3>0;
3)	(0,5п2)3>0;	4)	(0,2п62)2>0;
5)	(— 0,ЗпЬ2)2>0;	6)	(0,ЗпЬ2)3>0.
5.11.	Равносильна ли система уравнений
переменных
(х — 1 = 0,
Ь + 2 = 0
уравнению
(х-1).(£/+2)=0?
5.12.	При каких значениях переменной а имеет корень
уравнение х2 — я2=0?
5.13.	Укажите наиболее рациональный способ реше-
ния уравнения
1969х2- 1977х+8 = 0.
5.14*	. Решите неравенство |х—2|2<3|2—х|.
5.15.	Решите уравнения:
1)	х|х| =9;
2)	— 1—х2| = 10;
3)	(х —2)2=1—л;
4)	х(х—4) =х2 —4|х|.
5.16.	Решите уравнение |х —2| + \у— 11 = 1 в целых
числах.
5.17.	Найдите множество точек координатной пло-
скости, координаты хиг/ которых удовлетворяют усло-
вию:
а) xs + x4 = 0;	б) г/2—t/x2=0.
5.18*	. Найдите х, если
(х- (х- (х-...~ (х- !)))) = !,
(В записи содержится 200 пар скобок.)
16
5.19.	Решите уравнения:
а) (х2 + 3) |2х—41 =0;	б) |х4+11 =х4-|-х.
в) (х—2)4х=0.
5.20*	. Решите уравнение
ААН=АННА
(букве А соответствует одна цифра, букве Н — другая).
5.21.	Сколько решений имеет уравнение
|х— 11 — |х—2| ?
5.22.	Решите неравенства:
1)	1х >х; 2) |х|<х; 3) |х| >х;
4)	|х =Сх (рис. 5),
5.23.	Сколько решений имеет уравнение —|х|=|х-|-
+11 ?
5.24.	Сколько решений имеет уравнение 16 —х4=х—2?
5.25.	Сколько решений имеет система уравнений
/х2 + у2 = 9,
1(х—1)2 + #2 = 9?
5.26.	Постройте график уравнения |х| +х= |у[ +у.
5.27*	. Лучи АВ и CD принадлежат прямой у=— х +
+ 1. Напишите уравнение фигуры, которая является объ-
единением лучей АВ и CD (рис. 6).
5.28*	. Докажите, что равенство х5 —2х2—х+1 = 0 не
является тождеством на множестве [—2; 3].
5.29.	Решите неравенство 2х(х—2) ^0.
5.30.	Запишите уравнение, графиком которого явля-
ется объединение графиков функции ф(х) = —2х—2 и
f(х) =х—2 (рис. 7).
5.31*	. Составьте систему неравенств с двумя перемен-
ными, решением которой являются все точки острого
угла СНК (рис, 8).
17
5.32.	Составьте систему неравенств с двумя перемен-
ными, решением которой являются все точки полосы,
ограниченной графиками функций fi и f2 (рис. 9).
5.33.	Запишите уравнения, графики которых симмет-
ричны (относительно прямой у = х) графикам функций:
a) f(х) = 2х(х— 2); б) /\(х)=х —2.
5.34.	Запишите уравнения, графики которых симмет-
ричны (относительно прямой у=—х) графикам функций:
a) f(x) = 2х(х—2); б) f2(x) =х-4; в) Ф1(х) = -2.
5.35.	Запишите уравнения, графики которых симме-
тричны (относительно прямой х—3) графикам функций:
a) f(х) = 2х(х—2); б) f2(x)=x—4; в) <pi(x) = — 2.
5.36.	Запишите уравнение, график которого симме-
тричен (относительно прямой у = 4) графику • функции
<Р1 (х) = —2.
5.37.	Запишите уравнения, графики которых симме-
тричны относительно точки А (2; —1) графикам функций:
а) А(х)=х—2; б) f(х) = 2х(х—2); в) <pi(x) = —2.
5.38.	Решите уравнение fa(f2(x)) =0 и неравенство
Mfe(x)) >0, если fi(x) =х—2, f2(x) =х—4.
5.39.	Сколько корней имеет уравнение |г|ц (х) | =fi(x)^
если ф1 (х) = —2х—2, fi (х) =х—2, (рис. 10)?
5.40.	Сколько корней имеет уравнение ф1(х) [fi(x)
если (х) = —2х—2, fa (х) =х—2 (рис. 10) ?
§ 6. Дробно-рсщиональные
уравнения и неравенства
6.1. На рисунках 11 (а — к) даны графики уравнений:
1) 1* + «/|=4;	2) |х| +1у\ =4;
3) (х-£/) (х+г/) =0;	4) г/2—2хг/4-х2—1 = 0;
5) у2 — ху—x2j/4-x8 = 0; 6)(у-(х2— 6x4-9 —
\	х J
— tf) = 0;
У — 1
7) Ч—(0-х) = О; 8) х*+!/г = 4;
9) 2х—# = 0;	10) г/2—4 = 0.
На каком из рисунков показан график соответствую-
щего уравнения?
6.2.	Решите неравенства:
—6	2
а) —>-3; б) -Ю>-.
Л	Л
6.3.	Решите уравнение х2 —4х+х-1=х~Ч
6.4.	Очевидно,
1	1 _ 1 . 1 1 1
2	3	6 ’ 1 -Ь 1	1+2~6*
Следует ли отсюда, что уравнение
1______1 = 1
х4- 1	х 4- 2 ~ 6
имеет только один корень?
6.5.	* Какие из неравенств имеют бесконечное множе-
ство корней при любом значении а>0 (п £ N):
19
Рис, 11
3 Зак. I2G2
21
предназначаются для уча-
Примечание. Задачи
щихся VIII—IX классов.
2(2 — х)
6.6.	Сколько решений имеет уравнение-——-—= 1?
2(2_х)
6.7.	Сколько решений имеет уравнение —-р-=— 2?
6.8.	Назовите множество решений уравнения <р(х) —
= |<р(х)|, если <р(х) =  2<2 ~ (рис. 12).
х — 1
6.9.	Назовите решения неравенства—> 1, при-
надлежащие [0; 1], если f (х) == 2х(х—2), Д(х) = х — 2
(рис. 13).
6.10.	Сколько решений имеет уравнение f^x) = | <р(х) |,
если Д(х) — х — 2, ф(х) = —~(рис. 14)?
X— 1
6.11.	При каких значениях а уравнение <р(х)+ а = — 2
2(2________________________л)
имеет решение, если <р(х) = —--(рис. 12}?
х — 1
6.12.	При каких значениях а уравнение <р(х + а) = —2
2(2________________________х)
имеет решение, если <р(х) =—---- (рис. 14)?
х— 1
6.13.	Точка Л1 симметрична точке А (а; Ь) относи-
тельно прямой у=— х (рис. 15). Запишите координаты
точки Ль
6.14*	. Запишите.уравнение, график которого симмет-
ричен относительно прямой —х графику функции
ф(х) =
2 (2 — х)
(рис. 12).

6.15*	. Запишите уравнение, график которого симмет*
ричен относительно прямой у=4 графику функции
ф(х) =	(Рис- 12).
6.16.	Сколько решений имеет уравнение <р(х) =<р15(х)>
если
<р(х) = 2^2~ '— (рис. 12)?
X— 1
6.17.	Как изменяются корни уравнения f(ax) = <р (х)
(рис. 16), если а уменьшается от 1 до 0 Дх) = 2х(х— 2),
<₽(*) = ?
X— 1	/
6.18.	Существует ли такое значение а, при котором
уравнение ср(х) = Дх) + а имеет три решения, если <р(х) =
=	/(х) = 2х(х —2) (рис. 16)?
6.19.	Являются ли уравнения Д(х) = Дх) и <р(х) = Д(х)
равносильными, если Д(х) = х — 2, Дх) = 2х(х — 2),
ф(х)	(рис. 16)?
6.20.	Являются ли равносильными уравнения Л(х)=Д(х)
и W = <Дх), если /х(х) = х — 2, /2(х) = х — 4, -фх(х) =«
= — 2х — 2, <Дх) = 2(2 ~х)- (рис. 17)?
X — 1
6.21.	Решите неравенство <р(х) > f (х), если <Дх) =
=	М = 2х(х - 2) (рис. 18).
X— 1
3*
23
На рисунке 19 изображены графики функций:
1) f(x) = — х2;	2) <р (х) = 1 : х; 3) ф(х) = —2х —2;
4) fi(x)=x-2 (купр. 6.22—6.48).
6.22.	Запишите уравнение осей симметрии графика
функции ф(х).
6.23.	Назовите координаты центра симметрии графика
функции ф (х).
6.24.	Сколько корней имеет уравнение ф (х) =0?
6.25.	При каком значении а уравнение ф (х) =а имеет
два корня?
6.26.	Сколько корней имеет уравнение ф (x)=f(x)?
6.27.	В скольких точках пересекаются графики функ-
ций ф (х) и у—10~5?
6.28.	Пересекается ли с графиком функции ф (х) пря-
мая х= —0,007?
6.29.	Существует ли точка графика функции ф(х),
наименее удаленная от оси ординат?
6.30.	Существует ли такое значение х, при котором
функция = |ф(х) | принимает наименьшее значение?
6.31.	Сколько корней имеет уравнение ф (х)=/(х)?
6.32.	Сколько корней имеет уравнение ф (х) =fi(x)?
6.33.	График функции f(x) вектором Л1Л отображен
на кривую /. Составьте уравнение этой кривой.
6.34.	График функции ф (х) вектором А К отображен
на кривую I. Составьте уравнение этой кривой.
6.35.	Назовите множество корней неравенства f\ (х)
(х), принадлежащих [0; 4-оо[.
6.36.	Запишите уравнение, графиком которого явля-
ется объединение графиков функций ф (х) и Л(х),
24
6.37.	Запишите уравнение прямой, симметричной от-
носительно начала координат графику функции ф (х).
6.38.	Запишите уравнение прямой, симметричной гра-
фику функции fi(x) относительно точки (1; 0).
6.39.	При помощи каких перемещений плоскости гра-
фик функции ф (х) можно отобразить на график функ-
ции ft (х) ?
6.40.	Существует ли такое значение а (отличное от
нуля), при котором уравнение <р (х+а) =<р (х) имеет
только два корня?
6.41.	Назовите множество корней неравенства
ф (*) :f(x)>\.
6.42.	Назовите множество корней уравнения |ф(х)|=«
= ф (х).
6.43.	Запишите уравнение функции, обратной функ-
ции ф (х).
6.44.	При каком значении а корнями уравнения
ф (ах) ==fa (х) являются все числа?
6.45*	. График функции f(x) повернули на 90° по ходу
часовой стрелки вокруг начала координат. Получили
кривую I. Запишите уравнение этой кривой.
6.46.	Сколько отрицательных решений имеет неравен-
ство ф(х) >/'i (х)?
6.47.	Как изменяется положительный корень уравне-
ния fi (х) — [(ах), если а увеличивается от 1 до +оо?
6.48.	Как изменяется положительный корень уравне-
ния ч>ъ(х) ~[i(x), если п неограниченно увеличивается
(п € /V) ?
25
§ 7. Иррациональные
уравнения и неравенства
7.1.	Решите уравнение (Ух—З)2 = | х|—х.
7.2.	Решите уравнения:
х"_4Х
1)	—= = 0; 2) (х-1)2 = 4;
V х — 4
7.3.	Сколько корней имеет уравнение У х + 1 = х?
7.4*	. Сколько корней имеет (при любом значении а > 0)
неравенство | У п — 1 | (п С Л/)?
7.5.	Решите уравнение У 1 — х2 ~ х — 2.
7.6.	Сколько корней имеет уравнение У х2— 4 =1—х2?
7.7.	Решите уравнение У1 — х + 2Ух — 3 = 0.
7.8.	Решите уравнение У 16 = 2.
7.9.	Решите уравнение V yz2 = 2.
7.10*	. Назовите наименьшие натуральные числа а, b
(Ь>1), удовлетворяющие равенству V а У аУ а = Ь.
7.11*	. а) Постройте график уравнения 1^4 — х2 — у2 =
= У 4 — х2—у2.
б)	Составьте уравнение круга с центром в точке Д(2; 3)
и радиусом 5.
7.12.	Сколько корней имеет уравнение:
а) Ух — 1 + х = 3; б) У2х + У Зх + 1 =2;
в) х— у 1 _2х = 4?
7.13.	Решите уравнение х2 + х 4- 12 Ух + 1 = 36.
7.14.	Найдите число решений уравнения:
а) Ух — 2 — х — 2; б) Ух — 2 = х — 3;
в) Ух — 2 = х—1; г) Ух — 2 = х;
д) Ух — 2 = х 4- 1.
(График функции у—Ух — 2 показан на рисунке 20.)
7.15. На рисунке 21 построены графики функций у — х
и у = Ух . Существует ли такое значение а, при кото-
26
Рис. 24
ром уравнение дЛх 4- а = х: а) имеет два решения; б) име-
ет одно решение; в) не имеет решений?
7.16*. Запишите какое-либо уравнение, решением ко-
торого является каждая точка прямоугольника ABCD
(рис. 22).
• .7.17*. Составьте какое-либо уравнение луча АВ
(рис. 23).
7.18	*. Составьте какое-либо уравнение множества,
которому принадлежат только точки, лежащие между
точками А и В (рис. 24).
7.19	*. Замените неравенство равносильным ему урав-
нением:
a) x2+z/2^4; б) 2<х<3; в) г/>х-Ь2.
27
§ 8.	Показательные и
логарифмические уравнения
и неравенства
8.1.	При каких натуральных значениях п верны не->
равенства: 1) 0,5п>0,01? 2) 2П> 1000?
8.2.	Решите уравнение
(х —2)х+3 = (х-2)*+5.
8.3.	Решите уравнение
Цх-7=177-х
8.4.	Сколько решений имеет уравнение
log3(l -2%) = 1.
8.5.	Решите уравнение
log2log3log4x=0.
8.6.	Решите неравенство
log2 11	*2 + Е
х4 + 1
8.7.	Запишите уравнения, графики которых симмет-
ричны (относительно прямой у = х) графикам функций:
а) ф(х) = 2х;б) <р(Х) = lg(x-4) (рис. 25).
8.8.	Запишите уравнения, графики которых симмет-
ричны (относительно прямой // = 4) графикам функций:
а) <р(Х) = lg(x—4); б) ф(х) =2Х (рис. 25).
8.9.	Запишите уравнение, график которого симметри-
чен (относительно прямой х=3) графику функции <р(х) =
= lg(x—4) (рис. 25).
8.10	Существует ли такое значение а, при котором
решения неравенства <р (х) 4~ а (х)	(х) = —1,
28
<рх (х) = 1g (х — 4), рис. 26j образуют некоторый числовой
луч?
8.11.	Существует ли такое значение а, при котором
z\i \	/ \ i / \	2 (2 — х)
корни неравенства <р (х) + а <р± (х) I <р (х) = —
(х) = 1g (х — 4), рис. 2б) образуют [6; + оо[ (Ь — неко-
торое число)?
8.12.	Почему уравнение <р(х) = <Pi(x)^<p(x)
<рх (х) = 1g (х — 4), рис. 26 j имеет только один корень?
8.13.	Существует ли такое значение а, при котором
(2 (2_____________________________________________х)
ф (X) = 2х , <р(х) =----,
рис. 27] не имеет корней?
8.14.	Запишите уравнение, график которого симмет-
ричен (относительно точки (2; —1)) графику функции
ф (х)=2х (рис. 27).
8.15.	Существует ли такое значение а, при котором урав-
нение ф (х) + а — <р (х) fф (х) = 2х, <р(х)	, рис.
\	х— 1
27^ не имеет корней?
8.16.	Решите уравнение ф(х) = —2, если ф(х)=2х
(рис. 27).
8.17.	Существует ли такое значение а, при котором
корень уравнения ф1 (х+а) =0 (ф1 (х) = —2х—2, рис. 28)
есть иррациональное число?
29
8.18.	Существует ли такое значение а, при котором
корень уравнения tpi(х+а) = ф2(*) (ф1(х) = — 2х—2,
<р2(-*0 =lg(A; —4), рис. 28) меньше 4,0000005?
8.19.	Является ли точка (0; 4) решением неравенства
если <р2(*) =lg(x—4) (рис. 28)?
8.20.	Как изменяется отрицательный корень уравне-
ния 4i(x)=f(x)+a (ф(х) =2\ f (х) =2х(х—2), рис. 29),
если а уменьшается от 0 до — 1?
8.21.	Сколько корней имеет уравнение ф(х)=/'(х)
(ф(х) = 2Х, f (х) =2х(х — 2), рис. 29)?
8.22.	Существует ли такое значение п, при котором
уравнение /(х+с) = ф(х) ([ (х) = 2х(х — 2), ф (х) = 2х,
рис. 29) не имеет решений?
8.23.	Существует ли такое значение а, при котором
уравнение f(x)— а = ф(х) (f (х) =2х(х—2), ф(х)=2х,
рис. 29) не имеет решений?
8.24.	При каких значениях а уравнение f (х) =lg(x+;
30
+ а—4) (f(x)=x—4, рис. 30) имеет один положительный
и один отрицательный корень?
8.25.	Как изменяются корни уравнений ф (ах) = фг (х),
ф (ах) = f (х), яр (ах) = ср (х) (ф(х) = 2х, фх (х) - - — 2х—2,
f (х) = 2х (х — 2), <р(х) = -^——, рис. 31\ если а уве-
х — 1	)
личивается от 1 до 4- со?
8.26.	Являются ли неравенства ^(л) <<р(*) иф(х)<
<fi(x) равносильными, если ?г(х) =х—4, <p2(*)—lg(*—
—4), ф(х) =2Х, fi(x) =х—2 (рис. 32)?
8.27.	Сколько корней имеет уравнение <р(х) =f(x),
если <р(х) =lg(x—4), f(x) =х—4 (рис. 33)?
§ 9.	Рациональные функции
9.1.	Приведите пример функции f, для которой:
a)	б) f(f(x))=x.
9.2.	Для указанных пар функций fug запишите их
композиции fog и gof;
a)	f(x)=2x, g(x)=x+l;
б)	f(x)^2x1g(x)=x2;
в)	f(x)=yx, g(x) = х2.
9.3.	Запишите композицию /of, если:
a) f(x)=x—1; б) f(x) = l-х; в) f(x)=2x; г) f(x) =
=х2; д) f(x) = l : х.
9.4.	Даны функции у=х— 1 и у=х2 — 5. Запишите
уравнение, графиком которого является объединение гра-
фиков данных функций.
31
0.5. f (л) = -^т- = —Ц“(« € *)•
п’ + 3 n +2
n
Сравните f (100), f (999), f (105).
1 4- (— I)4
9.6.	Запишите множество значений выражения----,
если п изменяется от 1 до 10000.
9.7.	Верно ли, что значение выражения —- умень-
шается, если а увеличивается от 1 до 10?
9.8.	Как изменяется значение выражения(а — 4)2 -f-1, ес-
ли а увеличивается от 1 до 14?
40 — х
9.9.	Как изменяется значение выражения ——t если
х уменьшается от I до 10?
9.10	Как изменяется значение выражения- *	, если
х увеличивается от 5 до 10?
9.11.	Как изменяется значение выражения — 4:х,
если х увеличивается от 1 до 10?
9.12.	Существует ли такая линейная функция, у кото-
рой f(x) =f(x+ В?
9.13.	Задают ли функции уравнения:
а) х2+у2~4; б) х2—#2=4; в) х2 + //2 —0?
9.14.	Укажите несколько функций, с помощью кото-
рых можно установить соответствие между множеством
точек [1; 2] оси абсцисс и множеством точек [1; 4] оси
ординат.
9.15.	Назовите свойства, общие для функций у=2х и
</=0,5х.
9.16.	Назовите свойства, общие для функций f(x) —
= 6 : х, ср(х) =6 : (х— 1), ф(х) = 6 : (х+ 1).
9.17.	Определяет ли уравнение х| + |у[ = 4 какую-
либо функцию?
9.18.	Каждому континенту на Земле сопоставим пер-
вую букву его названия. Будет ли это соответствие
взаимно-однозначным?
9.19.	Верно ли, что графики функций ft(x) —х — 2 и
у — — х взаимно перпендикулярны?
9.20.	При каком значении х функция у*= |ф (х) | при-
нимает наименьшее значение, если ф (х) = — 2х — 2
(рис. 34)?
9.21.	Существует ли такое значение а, при котором гра-
32
фик функции у = ср (х) + а пересекает прямую х = 1, если
<Р (*) =	(рис. 34)?
9.22.	Существует ли точка графика функции ф(х)~
2(2___х!
----р, наименее удаленная от прямой х = 1 (рис. 34)?
9.23.---Существует ли точка графика функции <р(х) =
= —-----наименее удаленная от графика функции ф(х) =
= —2х— 2 (рис. 34)?
9.24.	Пересекаются ли с графиком функции ф(х) =
= 2(2—х) : (х— 1) прямая х= 1,000002 (рис. 34)?
9.25.	На рисунке 35 показаны графики функций f(x) =
=х и ф (х) = — х+2. Запишите уравнение, графиком ко-
торого является пересечение графиков данных функций.
9.26*	. Вершинами какого многоугольника являются
точки пересечения графиков функций: y — 2x-t у=0,5х;
у= —х + 1 (рис. 36)?
9.27.	Постройте график функции Цх)=х+-£. Сколь-
ко прямых можно провести через точку (1; 0) таких, что-
бы они не пересекали этот график?
9.28.	Выберите из данного множества точек ((-1;5),
(3;-2), (0;0), (5;1), (1; —5), (7;0), (-3;2)} такие точки,
которые попарно симметричны относительно начала коор-
динат.
9.29.	Какие из графиков функций: у = х—3, у=х2,
у=(х— I)2, у=х2 — 1, у = х3, у—х3 — 1, у — х симметричны
относительно начала координат?
9.30.	Запишите уравнение, график которого симмет-
ричен относительно оси Оу графику функции # = х3-Н.
33
9.31.	Запишите уравнение функции, график которой
симметричен графику функции г/ = (р(х) = 2(2 —х) : (х—
— 1) относительно прямой// = 0.
9.32.	Составьте уравнение функции, график которой
симметричен графику функции ср (х) =2(2—х) : (х—1)
относительно прямой у = — 2.
9.33.	Запишите уравнение прямой, которая симметрич-
на графику функция ф1(х) = —2х —2 относительно точки
(1;0).
9.34.	График функции f(x) = 2х(х — 2) повернули па
— 90° вокруг точки (1; 0). Составьте уравнение получен-
ной кривой.
34
9.35*	. Какую наименьшую степень могут иметь мно-
гочлены fn(x) =anxn + an-iXn~l + ... + aix+ao, графики ко-
торых показаны на рисунке 37 (а, б, в)?
§ 10.	Функция,
обратная данной
10.1.	Может ли четная функция быть обратимой?
10.2.	Запишите уравнение функции, обратной функ-
ции у = 2х.
10.3.	Запишите уравнение функции, обратной функ-
ции у = 3х— 1.
10.4.	Даны уравнения с двумя переменными:
1)	2у — 5х = 6; 2) х2+у2=4, х^0, у^0; 3) у—2х = 0;
4)	У~ |х|=0; 5) |х+//|=2; 6) £/ = log2x; 7) у—х2=0;
8) %-{/2 = 0; 9) х2+^2=4, х^0, z/^0; 10) 2х-5г/=6;
11) £-х2 = 0, х£ ]-оо; 0]; 12) х=|г/|; 13) у=х2,х£[\-,
4-оо[;	14) f/=-fx, х С [0;	+оо[;	15) |х| + |$/| = 1;
16)Jx-H'Hl; И) |x-z/| =2; 18) |x-t/| = l; 19) y=
efx, x € [1; +<»[; 20) х=2у.
а)	Назовите, какие из этих уравнений определяют не-
которую функцию.
б)	Назовите пары уравнений, которые задают функ-
цию и функцию, обратную данной.
§ 11.	Тригонометрические
функции
11.1.	Может ли синус отрицательного числа быть
числом положительным?
11.2.	Является ли функция у = cos(<p(x)) периодической,
если <р (х) =	—— (рис. 38)?
11.3.	Верно ли, что функция t/ = tg (fi(x)) периодиче-
ская, если fi (х) = х—2 (рис. 38) ?
11.4.	Является ли функция #=sin (<j>i (х)) периодиче-
ской, если <р। (х) = — 2 (рис. 38) ?
На рисунке 39 изображены графики функций (к упр.
11.5—11.23):
1)	f(x) =sin х на [—2 я; 0];
2)	Ф (х) =cos х на [0; 2 л];
35
Рис. 38
3)	ф(х)== — л + arccosx;
4)	Л(х) = tgx на —	~ ;
5)	(pj(x) = arcsin (x—5).
11.5.	Имеет ли график функции ф (х) центр сим-
метрии?
11.6.	Пусть <рг — график функции <p(x)==cosx на
[0; л]. Запишите уравнение прямой, относительно которой
симметричны <рг и график функции ф (х).
11.7.	Назовите координаты центра симметрии графи-
ка функции f(x).
11.8.	Сколько центров симметрии имеет график функ-
ции # = sin х?
11.9.	При каком значении а график функции
=tg(x4-a) пересекает прямую х=-^?
11.10.	При помощи какого преобразования плоскости
график функции ф(х) можно отобразить на график функ-
ции j/ = arccosx?
11.11.	Назовите координаты вектора, которым график
функции epi (х) отображается на график функции у=
= arcsin х?
11.12.	Композиция какого параллельного переноса и
осевой симметрии график функции ф(х) отображает на
график функции qpi (х)?
11.13.	Верно ли, что графики функций ф(х) и £/=
= arcsinx симметричны относительно оси Ох?
11.14.	Назовите координаты вектора, которым график
функции синус отображается на график функции ко-
синус.
Зв
11.15.	Назовите точки, в которых производная функ-
ции <р(х) равна нулю.
11.16.	Какие общие свойства имеют функции у=
»=cos х и у—2 cos Зх?
11.17.	Пузть Гф — график функции <р (х); а (Гф ) = Гф.
Назовите координаты вектора а, если пересечение Гф и
3	1
графика функции f (х) есть ---—л; 0 .
11.18.	Постройте график функции r/=sin 1.
11.19*	. График функции ф(х) повернули на 90° вокруг
точки ^0 ;—£-1 Получили кривую I. Запишите уравне-
ние кривой I и укажите область его определения.
11.20.	Верно ли, что вектор а=( —5; 0) отображает
график функции <pi(x) на кривую, которая является под-
множеством графика функции Л (х) ?
11.21.	Запишите уравнение кривой, симметричной
графику функции ф(х) относительно оси Оу.
11.22.	Верно ли, что функция ср(х) четная?
11.23.	Верно ли, что функция f(x) нечетная?
11.24.	При каком значении а функция y=f(x+a)
является нечетной?
11.25.	При каком значении а функция */= <р (х + а)
является четной?
11.26*	. Верно ли, что равенства:
.	. arc sin х	,	sin х
a) arctg х =-------; б) arctg х = аге-----
arc cos х	cos х
являются тождествами на множестве всех действитель-
ных чисел?
37
§ 12.	Тригонометрические
уравнения и неравенства
12.1.	Верно ли, что arccos 2-cos 90°=0?
12.2.	Вычислите
Igtg44°-lgtg45°-lgtg46°.
12.3.	Существует ли угол х такой, что sin х-cos х=
= sin40°?
12.4.	Напишите тригонометрическое уравнение, кор-
нями которого являются все целые числа (и только они).
12.5.	Запишите тригонометрическое уравнение, кор-
нями которого являются все натуральные числа (и толь-
ко они).
12.6.	Напишите тригонометрическое уравнение, кото-
рое имеет только один корень.
12.7.	Имеет ли смысл неравенство arcsin 2> arccos 2?
12.8.	Сколько корней имеет уравнение sinx= — ?
12.9.	Решите уравнения:
a) sin(0,2arccosх) — 1; б) cos(0,5arcsinх) = 0,5;
в) tg (0,5 arcsin х) = — 1; г) cosx =“•
12.10*	. Ученик выполнил следующие преобразования:
з	з
cos2 х = 1 — sin2 х; (cos2 х)2 = (1 — sin2 х)2; cos3x+3 ~
з	з
= (1 — sin2 х)2 + 3; (cos3 х + З)2 = ((1 — sin2 х)2 + З)2.
При х=180° из последнего равенства следует, что 22 = 42.
Почему так получается?
12.11.	Верно ли, что Igcos 120°-lgtg45°=0?
На рисунке 39 изображены графики функций (к упр.
12.12—12.28):
1)	f(x)=sinx на [—2л; 0]; 2) <p(x)=cosx на [0; 2л];
3) ф (х) = — л ф- arc cos х; 4)	(х) = tg (х) на
]л . л Г
~ 2 ’ ~2~[’
5)	<jpi (х) = arcsin (х—5).
12.12	. Сравните корни X; и х2 уравнений Л(х) =<р(х)
и fi (х) =2<р(х).
12.13	. Сравните корни xt и х2 уравнений fi(x)=<p(x)
и fi (х) = cos(x+1),
38
12.14	. Сколько корней имеет уравнение f(х)	(х)?
12.15	. При каких значениях а уравнение f(x+a) =*
*=<р(х) имеет только один корень?
12.16	. При каком значении а уравнение f (х+я) = (х)
имеет сколько угодно корней?
12.17	. Почему уравнение Л(х)=<р(х) имеет только
один корень?
12.18	. При каких значениях а уравнение Л(х) =
.₽ф(х) +а имеет корень?
12.19	. При каких значениях а неравенство <р(х)+я>
>fi(x) не имеет решений?
12.20	. Существует ли такое значение а, при котором
уравнение fi (х) = ф(х) 4-я не имеет корней?
12.21	. Решите уравнение f(x) = <р(х).
12.22	. Назовите корпи уравнения |<р(х) | = 1.
12.23	. При каких значениях а уравнение ф(х+я) =
= cpi(x) имеет только один корень?
12.24	*. Решите уравнение arcsin(x—5) — 1 = ср(х).
12.25	. Сколько корней имеет уравнение arctgx=tgx?
12.26	. В каком отношении находятся множества М и
К решений неравенств fi(x)^<p(x) и fi (х) 3^3<р(х)?
12.27	. При каком значении а неравенство f (х) ^ф(х4-
4-я) не имеет решений?
12.28	. В каком отношении находятся множества ре-
шений М. и К неравенств fi(x)^sinx и Л (х) ^sin 2х,
принадлежащих [0; 0,5л[?
§ 13.	Четные и нечетные
функции
13.1.	Напишите уравнение какой-либо кривой, кото-
рая проходит через точку: 1) Л(3; 0), 2) В(0; 3),
3) C(l; 1),4) D( — 1; — 1), 5) М(2; 1) и которая являет-
ся графиком: а) четной функции; б) нечетной функции;
в) четной и нечетной функций (рис. 40).
13.2.	Назовите свойства, общие для функций у — |х| и
у^х1 2.
13.3.	Может ли функция, заданная на множестве всех
действительных чисел, быть одновременно четной и не-
четной?
13.4.	Какие из следующих функций являются четны-
ми и какие нечетными:
1) j/ = x3|x|; 2) у - |х3’ 4-х; 3) У =
I * I
39
Рис. 40	Рис. 41
4)^ = Vx — 3; б) f/ = |x — л21; 6) у = (2х 4- I)4 ф-
(2х__I)4;
7)	у = -2; 8) у = 2; 9) у = (х3 + I)2; 10) у = (х2 + I)3;
11) ^^(3-х)5-(3 + х)5; 12) z/ = y—,
13.5.	При каком значении а функция у = ft(x+a)
является нечетной, если fi(x) —х — 2 (рис. 41)?
13.6.	При каком значении а функция //=|Л(х+я)|
является четной, если Л (х) =х—2 (рис. 41)?
13.7.	Верно ли, что функция «/=|Л(х)| четная, если
/1(х)=х—2 (рис. 41)?
13.8.	При каком значении а функция !/ = /(х+а) чет-
ная, если/(х) =2х(х—2) (рис. 41)?
§ 14.	Последовательности
14.1.	К какому числу «приближается» значение вы-
ражения, если п(п£ N) неограниченно увеличивается:
1	—4	4	6	₽ п
1) —; 2)----; 3) —; 4)  а ,	5) -2;
' п ' п > г? ' ла 4- 1	' л2 4- 1
6) —-—; ’ п + 1000 10) (- 1)" +	7)2п2 —п; 8) 			; 9) -(~ 1)П ; '	'	10« —п2	' л 1; И) - "	; 12) "~7500 ; 13) *L±J; л — 108	л	л + 2
н)-^; |5>	|6)	17>
]8)	19) „ -	20) —21)
22) ТЯ"; 23)	24)	25) —2л;
п
40
26) 2n; 27) 0,5п; 28) (— l)4 л; 29) (п — 4/ -f- I; .
30)
3?г
na + 3 ’
31)
-----------;	34) п <-	; 35) А — п
(и-5)а + 1
36) (— 1Г + —; 37) 2-----------38) 2 + ——
п	п	п
39) Зп 2;	40)—+ (-1)Ч 41) -----1~_.
п	п	п — (— 1)"
При мечан и с. Ответы даются учениками VII—
VIII кл ассов без обоснования. Главная цель этих упраж-
нений — развитие представлений о функции.
14.2.	Дана f(n) =rS~-^n(n С V)- Верно ли, что функция
f(n) возрастающая?
14.3.	Даны последовательности: 1) уп~\п—3|;2) уп —
= (-1)п;	3) уп= (-1)«-\п-5|;	4) уп = 2^-'^
5) Уп= (— 1)7!-Щ 6) уп = |2П — п2|. У какой из этих по-
следовательностей имеется: а) наибольший член; б) на-
именьший член?
14.4*	. Числовая последовательность состоит только из
единиц и нулей. Если вычеркнуть все члены, стоящие па
нечетных местах, то оставшиеся числа образуют точно
такую же числовую последовательность. Приведите
примеры таких последовательностей. Приведите приме-
ры последовательностей, обладающих тем же свойст-
вом при условии удаления членов, стоящих на четных
местах.
14.5.	Записано несколько первых членов последова-
тельности. Составьте какую-нибудь формулу для нахож-
дения ее любого члена и запишите несколько недостаю-
щих членов:
• а) 3, 7, И, 15, ..., 31, ...; б) 1, -1, 1, -1,1, -1, ...;
в) 2, 5, 10, 17, .... 50, ...; г) 1, 3, 7, 15, 31, 63, ....
14.6.	Даны последовательности: 1) уп={— 1)п:п;
2) z/n.= l —I 3) «/п=|п-50[; 4) уп= ( — 0,5)”. Ука-
жите на числовой оси наименьшей длины отрезки, на ко-
торых расположены 100 точек, соответствующих ста чле-
нам этих последовательностей.
41
§ 15.	Предел и непрерывность
функций
х3 _ 1
15.1.	Чему равен предел функции / (я) =—-—— при
х->1?
15.2.	На рисунках 42, а—в изображены графики функ-
ций y=f(x), определенных при х=/=0. Укажите:
1)	в каких случаях существует lim f (х) и чему он равен;
х-»0
2)	в каких случаях предела f(x) при х->0 не сущест-
вует (объясните почему) ?
(График на рисунке 42(e)—это бесконечнозвенная ломаная,
точки излома которой имеют абсциссы х = ± — * где п = 1,
п.
2, 3,.. .(четным п соответствуют точки минимума, нечет-
ным — точки максимума).)
15.3.	Функции y=f(x)t графики которых изображены
на рисунках 43 (а —г), определены при х<0. Доопреде-
лите эти функции при х>0 (достройте графики) так, что-
бы для полученных функций:
а) существовал lim/(x) (всегда ли так можно сделать?
х-0
Если нельзя, то объясните почему);
б) не существовало lim f (х) (всегда ли так можно сделать?).
х->0
15.4.	Начертите график всюду определенной функции
y = f(x), которая была бы непрерывна во всех точках х,
кроме:
а) х=10; б) х=±2; в) х= —2, —3, 4, 8; г) х=
= n(« € Z).
15.5.	Среди функций, графики которых показаны на
рисунках 44 (а—а), назовите те, которые не непрерывны
(разрывны) в точке х=х0 или х=х} (f(0)=0).
15.6.	Дочертите графики на рисунках 45, а, б так, что-
бы получились графики всюду определенных и всюду не-
прерывных функций. Всегда ли это возможно?
15.7.	На рисунках 46 (а, б, в) изображены графики
функций:
Ф1 (х) = (*+5)3 — Зх— 15, х € ]—°°; —3];
[{х)=х-1,	]1; 5]; f\(x) =2х, х € ]-!; 2[;
f2(x) =х+2, х £ [—3; 1[; ф(х) = — х2, х £ ]-_оо; 2];
Ф1(х) = (х—4)2+1, х€ ]-оо; -4];ф(х)=уЛ ;
ф2 (л') =х, х е [-4; -31 и ]3; 4].
42
43
Запишите номера верных утверждений:
1)	Ah(x)=2Ax;
2)	Аф(х)=0,5Ах;
3)	Дф(х) = —2Дх;
4)	функция (pi в точке х= — 4 непрерывна;
5)	функция ф в точке 0 непрерывна;
6)	функция в точке х= 1 непрерывна;
7)	функция в Точке х= —3 непрерывна;
8)	функция /г в точке х = — 2 непрерывна;
44
9)	функция ф2 непрерывна в каждой точке области ее
определения;
10)	функция fi непрерывна в каждой точке области ее
определения;
11)	функция ф2 имеет предел в точке х=3;
12)	функция ф2 имеет предел в каждой точке области
ее определения;
13)	предел функции f2 в точке х= 1 равен 3;
14)	предел функции f в точке х=5 равен 4;
15)	lim ф! (х) > lim фх (х).
х-» — 4	— 4
§ 16.	Возрастание
и убывание функций
16.1.	Может ли быть: а) четная функция возрастаю-
щей; б) убывающая функция четной?
16.2.	Докажите (без помощи производной), что функ-
ция
монотонно убывающая.
16.3.	Существует ли точка, в которой ’функция f(x) =
= 2x+cosx принимает наибольшее или найменьшее зна-
чение?
16.4.	Как доказать (без применения производной),
что функция
не является монотонной?
16.5.	Имеет ли у наибольшее или наименьшее значе-
ние, если х2—6x+2z/=0?
16.6.	Функция f является возрастающей на промежут-
ках:
а) [0; 2] и [1; 3]; б) [0; 2] и [2; 3]; в) [0; 2] и ]2; 3];
г) [0; 2[ и [2; 3].
Можно ли утверждать, что в таком случае функция f
будет возрастающей на [0; 3]?
16.7.	Приведите пример функции, заданной на [0; 1] и
имеющей сколько угодно промежутков возрастания и
убывания.
45
16.8.	Функция /‘(x)=sinx2 определена на [—1; 1].
Является ли эта функция монотонной?
16.9.	Функция f(x) = |x| определена на ]— 1; 1[. Су-
ществует ли точка, в которой эта функция достигает на-
ибольшего значения?
16.10.	Найдите наименьшее значение функции f(x) =
= |х—3| + |х| + |х+11, Сколько критических точек имеет
эта функция?
46
16.11.	Напишите уравнение какой-либо прямой, кото-
рая проходит через точку: 1) Л (3; 0); 2) В(0; 3);
В) С(1; 1); 4) Z)( —1; —1); 5)	(4; 2) и является гра-
фиком: а) возрастающей функции; б) убывающей функ-
ции (рис. 47).
16.12.	Верно ли, что функция у~ на ]0; 1[ моно-
I W
тонная, если ф (х) = 2х и f (х) = 2х (х — 2) (рис. 48)?
16.13.	Верно ли, что функция у = <р(х) — f(х) на [1; 2]
монотонная, если <р(х) =	— j J (х) = 2х(х—2) (рис. 48)?
16.14.	Верно ли, что функция £/=sin(<p(x)) на ]0; 1[
монотонная, если ф(х) =2Х (рис. 48)?
16.15*	. Функция f всюду определена п убывает на
всей числовой оси. Может ли при этом функция f быть:
а) всюду положительной; б) всюду отрицательной;
в) четной; г) нечетной; д) периодической?
16.16.	Начертите график функции y = f(x) такой, что-
бы она: а) убывала на ]—оо; —2] и [1; 4] и возрастала на
[—2; 1] и [4; -Ь оо[; б) возрастала на каждом промежутке
вида ]п; п+1] (n ( Z), но не возрастала ни на каком про-
межутке длины больше единицы.
16.17.	Начертите график всюду определенной и всюду
непрерывной функции такой, чтобы у нее было ровно:
а) 0; б) 1; в) 2; г) 3; д) 10; е) бесконечно много точек
экстремума. Можно ли при этом сделать так, чтобы все
точки экстремума лежали на [0; 1]?
16.18.	Укажите промежутки возрастания и убывания
функций, графики которых изображены на рисунках 49,
а — в.
16.19.	Для функций, графики которых изображены на
рисунках 50, а — з, укажите все точки максимума и ми-
нимума (если они есть).
16.20.	На рисунках 46, а — в изображены графики
(х), f(x), fa(x) fz(x), <р(х), q)i(x), ф(х), ф2(Х) (см. зада-
чу 15.7). Запишите номера верных утверждений: 1) функ-
ция ф1(х) убывающая; 2) функция q>\(x) положительная;
3) функция (pi(x) имеет наименьшее и наибольшее зна-
чения; 4) функция ф2(х) нечетная; 5) функция ф2(х)
возрастающая; 6) функция <р(х) возрастающая; 7) функ-
ция (х) не имеет наименьшего значения; 8) функция
в точке х=2 достигает наименьшего значения;
9) функция ф(х) не имеет наибольшего значения;
10) функция fi(x) не имеет ни наименьшего, ни наиболь-
шего значения.
47
48
49
50
16.21.	На рисунках 51, а — с изображены графики
функций:
1)	у = Ух^П • УТ+Т; 2) у = Vx^~\ + УЗ —х;
3) у-=V х2 — 1 ; 4) y = V 1—х2; 5) у =	;
6)* = TfT 6 7^=^т; 8)*=-^Г
9) g =	10)!/=х + —;	ll)</ = yV;
X2 + 1	*
61
Рис. 52	Рис. 53
Ц	У
У
Ы
Рис. 54
12) у=]/1—х; 13) #=lg(l — х); 14) //=lg(l-x2);
15) 4/ = logxx2; 16) f/ = logx2; 17)	|х —2[ + |х-3|.
Найдите графики этих функций.
§ 17.	Производная и интеграл
17.1.	Функции f и g не имеют производных в точке
х=х0. Можно ли утверждать, что функции F1(x)=f(x) +
4-g(x) и F2(x) -/(х) •£(х) также не имеют производных
в точке х=л0?
52
17.2.	Сравните
S = f xdx и S. = f 2xdx.
о	о
17.3.	Вычислите
i
J [ x \dx.
—1
17.4.	а) В скольких точках производная функции у=
= х2—5|х|+4 (рис. 52) равна нулю? б) Сколько крити-
ческих точек имеет эта функция?
17.5.	Существует ли точка, в которой производная
функции
У=-Ч + 1
х — 2
равна нулю?
17.6.	Дана функция f(x)=x2+l. Что больше: /'( — 2)
или /'(2)?
17.7.	Даны функции f (х) = 2х (х — 2) и <р (х) = ——~-
(рис. 53). Кривая MNTK является графиком некоторой
функции. Существует ли производная этой функции в точ-
ке х = 2?
17.8.	Определите знак производной функции (х) =
=	в точке х=3 (рис. 53).
17.9.	Существует ли такое значение х, при котором
производная функции <рг(Х) = lg(x—4) (рис. 53) отрица-
тельна?
17.10.	Существует ли такое значение х, при котором
производная функции <р2(х) = lg(x—4) равна нулю
(рис. 53) ?
17.11.	Сравните ф' ( — 0,5) и ф' (1), если ф(х) = 2х
(рис. 53).
17.12.	Верно ли, что производная функции у = |х|, опреде-
ленной на ]—оо; 0[ J ]0; + оо[, равна —?
х
17.13.	Функция f(x) = x2 определена на [0; 1]. Во всех
ли точках этого отрезка эта функция имеет производ-
ную?
17.14.	Постройте графики функций: а) у—У—х3 ;
б)	у = 1/ _L, Имеют ли эти функции критические и экст-
г х2
ремальные точки?
17.15.	На рисунках 54, а — в показаны графики функ-
53
s
Рис, 55
ций y—f(x). В тех же системах координат начертите при-
мерные графики производных y=f'(x).
17.16.	Можно ли утверждать, что производная любой
четной функции является четной?
17.17.	Можно ли утверждать, что производная пе-
риодической функции является периодической?
17.18.	Может ли производная положительной функ-
ции быть отрицательной?
17.19*	. Может ли производная непериодической функ-
ции быть периодической?
17.20.	Может ли производная всюду определенной
функции, не являющейся ни четной, ни нечетной, быть
четной?
17.21*	. По графикам производных y~f'(x), изобра-
женных на рисунках 55, а, б, восстановите примерные
графики функций y—f(x).
17.22.	На рисунках 46, а — в изображены графики
функций (см. упр. 15.7). Запишите номера верных
утверждений:
1)	производная функции ср (х) в точке О равна нулю;
2)	функция фгС*) дифференцируема в каждой точке
области ее определения;
3)	функция f\ (х) дифференцируема в каждой точке
области ее определения;
4)	ф' (0) = 0;
5)	<р1 (— 4) = 0;
6)	ф;(—6) = ф;(—з) = 0;
7)	5,5) >0.-
8)	Ф1(— 5) < 0;
9)	<Р'(- 4) > 0;
Б4
10)	точка О является критиче-
ской точкой функции ф(х);
11)	точка х=— 3 является кри-
тической точкой функции
12)	точки х= —4, —6, —3 явля-
ются критическими точками функции
ф! (*);
13)	точка х=—1 является крити-
ческой точкой функции fi (х);
14)	точка О является точкой ми-
нимума функции ф(х);
15)	точки х=—6 и х—— 3 явля-
ются точками максимума функции
Ф1 (х);
16)	точка О является точкой мак-
симума функции (х);
17)	точки х=—6 и х= — 4 явля-
ются точками экстремума функции ф1 (х);
18)	точки х = 0 и х = 2 являются точками экстремума
функции ср (х);
19)	функция /г(х) не имеет ни одной экстремальной
точки;
20)	точка х—1,9999 является точкой максимума
функции h(х);
21)	неравенство ф'(х)<0 не имеет решений;
22)	уравнение <р'(х) = 0 имеет только одно решение;
23)	уравнение ф'(х) =0 имеет три решения;
24)	решением	неравенства	ф'(х)<0	является
[-6; -4];
25)	решением	неравенства	ср'(х)<0	является
]—со; —4];
26)	неравенство /,(х)<0 не имеет решения;
27)	решением неравенства ф,(х) > 0 является объеди-
нение двух интервалов.
17.23.	На рисунке 56 сверху показан график функции
f(x). Какой из расположенных под ним графиков может
быть графиком производной функции f(x)?
17.24.	Назовите свойства функций f(x), графики ко-
торых показаны на рисунках 57 (а — д). В частности, в
Каких точках эти функции имеют производные, сколько у
рих точек экстремума, в каких точках производные рав-
ны нулю.
17.25.	Занумерованы возможные свойства функции
4/,
д)
Рис. 57
/(*): 1) положительная; 2) отрицательная; 3) возра-
стающая; 4) убывающая; 5) четная; 6) нечетная;
7) имеет предел в каждой точке ее определения; 8) не-
прерывная в каждой точке се определения; 9) имеет наи-
большее значение; 10) имеет наименьшее значение;
11) имеет критические точки; 12) имеет точки максиму-
ма; 13) ограниченная сверху; 14) ограниченная снизу;
15) неограниченная; 16) имеет положительную произ-
водную; 17) имеет отрицательную производную;
18) имеет производную в каждой точке ее определения.
Назовите номера указанных выше свойств, которыми
обладают следующие функции: 1) у = 2х; 2) у = 2х, х $
56
£ ] —oo; 0[; 3) у = 2x, x £ (1; 21; 4) у = 2x, x £ ]— 1; 1];
5) y = 3x — 6, x G ]—<>-; 4~	6) у = 3x — 6, x£
e]-oo; —1[; 7) j/ = 3x-6, xG[0; 1[; 8)f/=3x-6,
x G ]2; 4]; 9) у = 1: x, x G ] — co; 0[; 10) у = 1: x, x G
G 12; + co [; 11) у = 1: x, x G I — 3; — 2]; 12) у = 24- 1: x,
xG10;-f-oo[; 13)1/= 2+ l:x, xGI — 1; — 0,51; 14)y = 2 4-
4-l:x, xG[3; 5[; 15) у = 2 4- 1: x, x G ] — 5; —0,1 J;
16) y— 1: (x2+1); 17) y=l: (x2+l), xG [ - 1; 0|; 18) у =
= 1: (x24-1), x G ]0; 1]; 19) y=\x—3|; 20) y=\x—31, x G JO; 6];
21) у = |x-3|, xG[2; 3[; 22) у - |x-31, xG]-4; — 3[;
23) f/ = 9 —x2, xG ]3; 4-oo Г; 24)t/ = 9 —x2, xG [3; 4];
25) y = 9 — x2, xGI—3; 4[; 26) у = (2 — x)2, x G [—1; ![•
27) у = (2 - x)2, x G ] - 2; 2[; 28) у = (2 - x)2, x G [0; 3[J
29) y = (2-x)2; 30) у = /х 4- 1. x G ] - 1; 1]; 31) у =
= Vx-HL x G [0; 1[; 32) у = Vx 4- f, x G J2; 4- co[;
33) у = /2 — x, x G [0; 2[; 34) у - V2 — x, x G ] - co; 2J;
35) y=V2—x, xG[^;	2[; 36) у ~ У 2— x, xG;2;«|;
37) y=3x ; 38) у = 3х , x G ]0; 1 J; 39) у - 3х, x G 110 s. fl|;
(Q jc	i 9 x	t Q \ x
; 41) у , x e jo; ij; 42) у =	;
xG [0; c[.
§ 18.	Конструктивнее задачи
по алгебре и началам
анализа
18.1.	Составьте уравнение функции, определенной
на ]0; 4-оо[, непрерывной п имеющей в точке х = 2 предел,
равный 36.
18.2.	Постройте график функции, определенной на
1—оо; 4-ос[, которая не имеет предела в точках х=1,
2, 4, 7.
.18.3. Постройте график функции:
а)	определенной па ]1; 4-со[, возрастающей и непре-
рывной;
б)	определенной на ] — оо; 10], убывающей и пе имею-
щей предела в точке х=3;
в)	определенной на ]0; л[, производная которой поло-
жительна на этом интервале.
18.4.	Запишите уравнение функция, определенной на
О, 2, 3,4} и возрастающей.
57
18.5.	Приведите пример функции, которая не имеет
предела ни в одной точке области своего определения.
18.6.	Составьте уравнение функции, которая не имеет
производной в точке х=2.
18.7.	Начертите график функции, которая не имеет
критических точек.
18.8.	Постройте график периодической функции, ко-
торая не непрерывна в точках 1,2,3, ..., п.
18.9.	Запишите рациональное уравнение, корнями ко-
торого являются числа 1, 2, 3, ..., 10.
18.10.	Запишите неравенство, решениями которого
являются ]1; 3[, ]5; 6[, ]8; 10[.
18.11.	Приведите пример последовательности, предел
которой равен —3.
18.12.	Запишите уравнение функции, определенной
только в точке х=3.
18.13.	Приведите пример неубывающей четной функ-
ции.
18.14*	. Составьте уравнение, график которого имеет
четыре оси симметрии.
18.15.	Запишите уравнение четной функции, график
которой имеет сколько угодно осей симметрии.
18.16*	. Составьте уравнение, графиком которого
является объединение двух параллельных несовпадаю-
щих прямых.
18.17.	Приведите пример уравнения, графиком кото-
рого является объединение двух взаимно перпендикуляр-
ных прямых.
18.18.	Составьте уравнение функции, которая не
определена в точке х=4 и график которой симметричен
относительно прямой х=4.
18.19.	На рисунке 4 изображен прямоугольник, кото-
рый разделен на квадраты. Длина стороны каждого
квадрата равна единице. Оси абсцисс и ординат можно
располагать только так, чтобы им принадлежали сторо-
ны квадратов. Где следует поместить начало координат
и как выбрать положительное направление координат-
ных осей, чтобы:
1)	равенство у=—х+2 было уравнением пря-
мой DF;
2)	равенство х-Ьу = 0 было уравнением прямой DF;
3)	решением системы неравенств
была каждая точка угла LAD\
58
4)	графиком функции у = у —х2 была точка Е\
5)	графиком уравнения |г/+х| =2 было объединение
прямых FD и BL\
6)	объединение отрезков RD, DL и LB было графи-
ком положительной функции;
7)	объединение отрезков RD, DL и LB не являлось
графиком никакой функции;
8)	объединение отрезков MR и RT было графиком
некоторой функции;
9)	прямая RD была графиком возрастающей фун-
кции;
10)	прямая RD была графиком положительной
функции;
11)	объединение сторон угла KDO было графиком
четной функции;
12)	объединение сторон угла RDF было графиком
функции, не имеющей наибольшего значения;
13)	объединение лучей RM и TN было графиком не*
которой функции;
14)	множество точек {R, R, Т, N} было графиком не*
которой функции;
15)	объединение сторон угла ALB было графиком
функции//= —|х|?
Otsgtm- Указания. Решения
§i.
1.1.	10 COO. 1.2. Сумма цифр этого числа равна 27, поэтому оно
делится на 9. Кроме того, 56 делится на 4. Поэтому данное число
делится на 36. 1.3. Сумма четных чисел есть число четное, число 99
нечетное. 1.4. Числа вида п2, где п — простое число. 1.5. Число, ко-
торое состоит из 300 единиц и любого числа нулей, делится на 3, но
не делится на 9. Поэтому оно не может быть полным квадратом.
1.6. 105 = 3 *5-7. 1.7. (2 • 12) • (3 • 12) =72 ♦ 12, т. е. получили 72 дю-
жины. 1.8. Большим числом может быть любое натуральное число,
а меньшим 1. 1.9.99+99=198. 1.10. 2 854 106. 1.11. 5 746 320 8i9x
X 125 = 5 746 320 819 000: 8=71 890 102 375.	1.13. ]/б82+512=
=/172(42 + 32)=17 * 5 = 85. 1.14. 211 • З5 • 53 • 72 • 11 • 13. 1.15. 59*29.
1.16. Квадрат натурального числа не может оканчиваться цифрой 2
или 3. Поэтому только число 324 является ответом. 1.17. Среди мно-
жителей данного произведения содержится множитель 100—102=0,
поэтому и данное выражение равно нулю. 1.18. Так как 225=9*25,
то искомое число должно делится на 9 и 25, т. е. в его десятичной
записи должно быть девять единиц (их сумма и любого числа
нулей делится на 9). Искомое число 11 111 111 100. 1.19. 13 212.
1.20. Произведение 1*2*...*9*10 оканчивается двумя нулями. Про-
изведение 11-12*... *20 также оканчивается двумя нулями. Произ-
ведение 21 • 22 •... • 30 оканчивается тремя нулями и т. д. Ответ. 24.
1.21. 65 = 82+12; 65 = 72 + 42. 1.22. 7778 • 7779= (7777 + 1)  (7777+2).
Отсюда ясно, что при делении данного числа на 7 в остатке полу-
чится 2. 1.23. Модуль числа увеличится в два раза. Знак числа
изменится на противоположный. 1.24. Одна из этих разностей будет
делится на 1970, потому что при делении выбранных 2000 чисел на
1970 некоторые остатки будут одинаковые. 1.25. 25125= (255)25. Так
как 25г’>125, то 25125>12525. 1.26. з2^ > 2з23» поскольку 9®>8в
888 —8	88—8
1.27.	— ---—о-~	1.28. 888+88 + 8+8 + 8= 1000. 1.29. Если
о	о
х — искомое число, то число х+1 делится без остатка на данные
числа. Так как 10=2*5, 9=3*3, 8=2*2*2, 6 = 3*2, то наименьшим
числом, которое без остатка делится на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
является 10-9*4*7 = 2520. Ответ. Искомое число 2519. 1.30.
В центр кружка запишите число 10. 1.31. 17=9*2—1. 1.32. 26, 14
(возможны и другие решения). 1.33. По теореме Пифагора с2—
= а2+Ь2, поэтому все три стороны прямоугольного треугольника
не могут выражаться нечетными числами. 1.34. Три. 1.36. Обратная
теорема: «Если сумма делителей натурального числа нечетна, то это
число является точным квадратом». Это утверждение ложно. Напри-
мер, сумма делителей числа 2 равна 1+2=3, т. е. нечетному числу.
Однако число 2 не является точным квадратом. 1.37. Шестью спо-
собами: 1)3-26; 2)3*21+5*3; 3)3*6+5*15; 4)3*6+5*12f
5) 3-11+5*9; 6) 3* 16+5*6. 1.38. 30 к.
60
§2
99	1	100	1	Поэтому
2,1 ’ юо 1 1оо’ 101	“ 101 ’	
100	18	90	18	90
			 б)	—	. Поэтому 101	115	575	115 ""	573* В)
30	.	„ „	30	12
		, но 113.2,5 < 283. Поэтому 113.2,5	283		; г) ИЗ 7
147	121	363	147	363	. Поэтому
3 =	:	- 3 —	, но 148	362	362	148	"" 362	
121	,	—2	2	3. Может,
•	. 2.2 Может, например,	— 362	3		. 2. —3	
99
100 <
12
148
113
49
х
148
49
напри-
2	—4
мер, -- = ~Г~. 2Л> а> 0-2)+ (3-4)+ (5-6)+...+(99-
-—□	1U
— 100) = (-1) - 50 = - 1 1 1 “ 3 ’ 3 - 4 “ 3	1111 1 -50; б) 	= — — —; 	= — ' 1-2	1	2	2-3	2 1 111 . Поэтому дан- 4	9-10	9	10	У
ная сумма равна
2.5. а) Нет. б) Да. в) Нет.
г) Да. 2.6. а) Да. б) Нет. в) Да.
3
2.8. —. 2.10. 2,3. 2.11. 1) —4. 2)
г) Нет. 2.7. Например, 15.
3	4 244-395 — 151
— —. 2.12. ----------------=
2	244 + 395 • 243
395-243 + 395— 151	1	1	1
---------!-----------=1. 2.13. —, —, ---------.
395 • 243 + 244	2	3	6
2.14. 2 (Зл-
+ 2у)— (4у — 7х) — 13х. 2.15. Произведение чисел, которые стоят
в каждой из пяти строчек, меньше нуля. Поэтому произведение
всех чисел таблицы отрицательно. Следовательно, произведение
чисел в каждом столбце не может быть положительным. 2.16. Сум-
ма всех чисел уменьшилась на 12. Поэтому всего было 4 точки
(12 : 3 = 4). 2.17. 4 (2х + Зу) + (9% + 5у) = 17 (х + у). 2.18. Приво-
„ . 1 1 1
дим два из многих решении: 1 и —; —
2.19. Очевидно,
и ---.
искомое число оканчивается цифрой 3. Далее, под знаком кубиче-
ского корня записано шестизначное число. Поэтому искомое число
двузначное. И так как 8s = 512, то данный корень равен 83.
2.20. Сумма оканчивается цифрой 3, так как слагаемые, начиная
с 51, оканчиваются нулем, а 1! + 21 + 3! + 4! = 33. 2.21. Наиболь-
ший общий делитель числителя и знаменателя несократимой дроби
равен 1. Поэтому НОД суммы числителя и знаменателя со знаме-
нателем равен 1, т. е. и полученная дробь несократима. 2.22. Мож-
но утверждать, что по крайней мере один из мальчиков допустил
ошибку, потому что при каждом изменении знака на противопо-
лом<ный сумма изменяется на четное число. 2.23. —111; —--------.
61
2.24. 203. 2.25. a) 4 • 12 4- 18 : (6 -f- 3) = 50; 6) (4 • 12 + 13) : (6 4-
22	97 524
+ 3) “ —; B) 4 • (12 + 18 : 6 4- 3) = 72. 2.20. Например, 	.
О	1U OOQ
ci ~t ~ 9	3	n 9
2.27. -------— 14-“-----Значит, ------------ является целым числом,
а 4-6	a-j-6	а4-6
если а 4- 6 = 3, а 4- 6 = —3, а4-6 = 1 или а 4- 6 = —1. Итак,
а = —3, —9, —5, —7.
3.1. На 20 ступенек. 3.2. Динамометры параллельно присоеди-
няются к чемодану. 3.3. Электровоз проедет мост за 20 с, так как
36 м: 18 м=2. Еще через 10 с мост оставит последний вагон
электропоезда. Поэтому весь электропоезд проедет мост за 30 с.
3.4. Допустим, что первый мальчик не получил ни одного ореха,
второй получил 1 орех, третий — 2 ореха и т. д. Наконец, последний
получил 20 орехов. Но 0+1+2+3+...+19+20 = 210>200. 3.5. Сло-
жим кусок пополам и еще раз пополам. Получим кусок длиной
2	1
-5-: 4= —_{м), который и надо отрезать. 3.6. Пять мужчин, одна
3	6
женщина, 6 детей. 3.7. Куплено не более десяти (книга дороже
рубля) и не менее 7 книг. Число 1056 не делится на 7, 9, 10. Поэтому
куплено 8 книг. 3.8. Для возвращения в начальную точку пути
улитка должна ползти одинаковое время по каждому из четырех
направлений. 3.9. Шесть раз. 3.10. Через три часа. 3.11. 1 р. 11 к.
3.12. 42 ученика, потому что это число делится на 7, 3 и 2 и оно
меньше 50. 3.13. У Пети не было денег, а у Маши было 8 к. Моро-
женое стоило 9 к. 3.14. 60 лет. 3.15. Владимир обгонит Николая
через 12 мин, потому что за это время Николай сделает 2 полных
круга, а Владимир — 3 полных круга. 3.16. Оса летала столько вре-
мени, сколько прошло до встречи велосипедистов, т. е. 2 ч. Следова-
тельно, она пролетела 40 км. 3.17. Перевернем стаканы шесть раз,
каждый раз оставляя неперевернутым новый стакан. Тогда каждый
стакан окажется перевернутым пять раз, т. е. все стаканы будут по-
ставлены вверх дном. 3.18. Половина стоимости книги составляет 1 р.
Поэтому книга стоит 2 р. 3.19. 70+60=130 (км). 3.20. Пассажир спал
на протяжении двух третей от половины всего пути, т. е. на протяже-
нии одной трети всего пути. 3.21. Решим в натуральных числах урав-
нение (3+2)х+(4+2)у=39. Получаем: х=3, у—4 (к—число табуре-
ток, у — число стульев). 3.22. Когда человек проходит мимо улично-
го фонаря, верхушка тени движется быстрее человека, но с постоян-
ной скоростью, не зависящей от длины тени. 3.24. Можно (если в этой
комнате сын, отец и дедушка). 3.25. Достоинство медных монет: 1,
2, 3, 5 к. Так как 25=4*6+1, то среди этих монет есть семь монет
одинакового достоинства. 3.26. Четыре брата и три сестры.
3.27. Оставляем одну монету, на чашки кладем по семь монет и т. д.
3.28. Если два разных фасона платьев — одной и той же расцветки,
то продавщица не сможет составить витрину так, как ей бы хоте-
лось. 3.29. Если девять писем попали в предназначенные для них кон-
верты, то и с десятым письмом обязательно произойдет то же самое.
Поэтому вероятность того, что ровно девять писем попали в свои
конверты, равна нулю.
62
§ 4
4.1. Допустим, что первоначальная цепа товара 100 р. После сни-
жения цены на 20 % он стоит 80 р. Так как 100 : 80= 1,25, то на те же
деньги теперь можно купить товара больше на 25 %. 4.2. Площадь S
данного прямоугольника определяется по формуле S=*ab. Площадь
нового прямоугольника Si = (0,9а) • 1,16 = 0,99ай=0,995. Отсюда ясно,
что 51 меньше 5 на 1 %- 4.3. Площадь данного прямоугольника
уменьшилась на 28 %. 4.4. Увеличилась на 8 %. 4.5. 1,032°-100.
4.6. При 98 % влажности в 100 кг ягод содержится 2 кг сухого ве-
щества (2,%. от 100 кг). При 96 % влажности эти 2 кг сухого вещест-
ва составляют 4 %. Поэтому новая масса ягод равна 50 кг. 4.7. Пусть
х кг — масса свежих грибов. Тогда 0,1х= (х—15)-0,4. Отсюда х=
=20 (кг). 4.8. Если половина из 97 % женщин носит по две серьги, а
другая половина вообще не иосит серег, то число серег, приходящих-
ся на эту часть женского населения деревни, такое же, как если бы
все женщины носили по одной серьге. Поэтому можно считать, что
все женщины деревни носят по одной серьге. 4.9. В центнере только
что добытого угля содержится 98 кг сухого вещества. После двух-
дневного пребывания на воздухе эти 98 кг составляют 88всей мас-
сы угля. Отсюда получаем 98: 0,88» 111 (кг). Поэтому масса добы-
того центнера угля увеличилась на 11 кг. 4.10. Пусть в вагоне было
100 человек. Тогда среди них было 80 русых и 70 мужчин п 30 жен-
щин. Если все 30 женщин русые, то русых мужчин только 50. По-
этому нельзя утверждать, что в вагоне большинство пассажиров
являются русыми мужчинами.
§ 5
5.1. |а|— а=0, если а^0; |а|— а= —2а, если а<0. б.З. а) а^О
и 6^0 или а^0 и б) а>0 и 6<0 или а<0 и 6>0. 5,4. 1) с>
>0; 2) с^0; 3) с<0. 5.5. 1) Нет. 2) Да. 5.6. {-3, -2, -1, 0, 1, 2}.
6.7. а) Нет решений, б) Нет решений, потому что при любом значе-
нии х имеем (х2+1)4^ 1 и (х2+2)2^4. 5.8. Равенство будет верным,
если 20=20+18+16+14+12+10+8+6+4+2+0-2-4-6-8-10-
— 12—14—16—18. Итак, в правой части равенства двадцать слага-
емых. 5.9. Данные прямые параллельны, если 2: а=а: 8, т. е. если
Л=4 или а=—4. 5.10. 1) а#=0; 2) нет решений; 3) при всех значе-
ниях а, кроме нуля; 4) при всех значениях а и Ь, кроме нуля; 5) при
всех значениях а и Ь, кроме нуля; 6) а>0, &=Л0. 5.11. Решением си-
стемы уравнений является одна точка (1; —2). Решением уравнения
Является объединение прямых х=1 и у= —2. Поэтому данные систе-
ма уравнений и уравнение не равносильны. 5.12. При всех значениях.
(1.13.‘Очевидно, число 1—корень данного уравнения. На основании
Теоремы Виета получаем, что второй корень равен 8:1969.
5.14. Ответ. ]—1; 2[ U ]2; 5[. При хУ=2 |х—2|>0; |х—2}2<
f х	2
<3|2—х|<=>{	’	5.15. 1) 3; 2) 3; — 3; 3) Нет решений, так
tax 1—л<0; 4) [0; +оо[. 5.16. (3; 1), (1; 1), (2; 2), (2; 0).
.17. а) х=0 и х= —1 (пара параллельных прямых); б) у=0 и
М«х2 (ось абсцисс или парабола). 5.18. х—любое число. 5.19. а) 2;
О) 1; в) {0; 2). 5.20. Л»1, Н=3. 5.21. Данное уравнение имеет толь-
ко одно решение, потому что графики функций i/=|x —11 и у= |х—2|
63
пересекаются только в одной точке. 5.22. х<0; 2) нет решений;
3) все действительные числа; 4) х2>0. 5.23. Уравнение не имеет ре-
шений. 5.24. Два решения. 5.25. Графиками данных уравнений
являются конгруэнтные окружности (рис. 58). Отсюда ясно, что
система уравнений имеет два решения. 5.26. Графиком этого уравне-
ния являются все точки угла ВОС и луча О А (рис. 59). 5.27. Одно
из решений: £/=( —х+1) + ]/х (х—1) —х (х — 1) . 5.29. ]—оо;
0] U [2; +оо[. 5.30. Q/+2x+2) • (у-х+2) =0. 5.31.	~^ 2
5.32.	5ф33, а) х=2у(у—2); б) х=у—2. 5.34. а) —х=
=—2t/(—2); б) —х=-£/-4; в) х=2. 5.35. a) £/=2(х-4) • (х-6);
б) у*=—х+2; в) у*=—2. 5.36. £/=10. 5.37. а) -у-2=-х+2 или
£/=х—4; б) — у —2 = 2( —х+4) • (-х+4-2); в) £/=0. 5.38. fi(f2(x)) =
= (х—4) —2=х—6, поэтому х=6. 5.39. Нет решений. 5.40. Одно ре-
шение.
§6.
6.1. 1) е; 2) Д; 3) а; 4) к; 5) и; 6) ж; 7) в; 8) г; 9) б; 10) а.
6.2. а) ]— оо; 0[U [2; +«>[; б) [—0,2; 0[. 6.3. 4) (Число 0 не являет-
ся решением этого уравнения, потому что при х*=0 данное равенство
не определено.) 6.4. Данное уравнение равносильно уравнению вто-
рой степени. Если квадратное уравнение имеет одно решение, то оно
может иметь и второе решение. 6.5. 2); 3); 5); 8); 9). 6.6. Одно реше-
ние. 6.7. Нет решений. 6.8. ]1; 2]. 6.9. ]0,5; 2[ (J ]2; +<»[.
6.11. п<0, а>0. 6.12. а<0, а>0. 6.13. ДД-fe; а). 6.14. -х=
2 (2 4- у)	2 (2_х)
=-----=—-. 6.15. у=—---------— +10. 6.16. Три решения. 6.17 Уве-
— у— 1	х— 1
личиваются. 6.18. Существует. 6.19. Нет. 6.20. Да. 6.21. ]1; 2[.
6.22. у=х, у=—х. 6.23 (0; 0). 6.24. Нет решений. 6.25. Таких значе-
ний а не существует. 6.26. Два корня. 6.27. В одной точке. 6.28. Да.
6.29. Нет. 6.30. Нет. 6.31. Один корень. 6.32. Два корня. 6.33. £f+l —
= —(х-2)2, или £/= — 1— (х— 2)2. 6.34. у—1 = 1: (х—1), или у=
= 1 + 1 :(х-1). 6.35. ]0; 1+1/2 ]. 6.36. (£/+2х+2) • (у-х+2) =
=0. 6.37. £/=—2х+2. 6.38. £/=х. 6.39. Возможные решения: а) пово-
ротом вокруг точки (0; —2) на угол, равный углу между графиками
функций ф и h; б) осевой симметрией относительно прямой, кото-
64
рая проходит через точку (0; — 2) и т. д. 6.40. Нет. 6.41. ] 1, 0[ (J J0;
6.42. 10; + оо[. 6.43. х=-2//-2 или у = -0,5х—1. 6.44. л =-0,5.
6.45. х=— ’у2. 6.46. Бесконечное множество. 6.47. Уменьшается от 1
до 0. 6.48. Уменьшается, неограниченно приближается к 2).
§ 7.
71 Левая часть уравнения неотрицательна и х^З. Поэтому
правая* часть равна нулю. Отсюда следует, что решение?/! уравнения
является число 3. 7.2. 1) Нет решений. 2) 3; -1. 3) 4. 4) 0. 7.3. По-
стройте графики функций у — У ~ ~\/х 4" 1 • 7.4. Одно решение
(п=1). 7.5. Нет решений, так как система неравенств ________х2">0
ле имеет решений. 7.6. Левая часть уравнения неотрицательна, поэто-
му 1—х2^0, т. е. — l^x^l. Но при |х|<1 левая часть уравнения
не определена. Следовательно, данное уравнение решений не имеет.
7.7. Так как l/'T—x' > 0 и 2 1/х — 3 > 0, то данное уравнение
равносильно системе уравнений ______* ZZ q’ которая не имеет решс-
______	1	-	•	L. _ t
ния. 7.8. 2. 7.9.1Лу "ту- = 2 2* • Решив уравнение 22* ~ 2 , полу-
П;---•
чаем х=0,5. Но, по определению}/ а »	.V, п^2. Поэтомуданное
уравнение решений не имеет. 7.10. а V аУ а
7
= а 8 . Отсюда
ясно, что решением уравнения является пара чисел (2s; 27).
7.11. а) Круг с центром в начале координат и радиусом 2.
б) 1/25 — (х — 2)2 — {у — 3)а = У 25 — (х — 2)а — (у — 3)г.
7.12. а) Функция у = ~1^х—1 + х монотонная, непрерывная, изме-
няется от 1 до + сю. Поэтому уравнение имеет одно решение; б) одно
решение; в) функция у=х— l/l — 2х монотонная, непрерывная,
изменяется от — оо до 0,5. Поэтому уравнение решений не имеет.
7.13. На множестве неотрицательных чисел функция f(x)=x2-;-
-}-х +12"]/ х+ 1 монотонная и непрерывная. Поэтому на этом множе-
стве данное уравнение имеет не более одного решения. Очевидно,
число 3 является корнем этого уравнения. Функция <р(х) = Ух 4- 1
определена на [—1; +«>[. На [—1; 0[ значения выражения 12 Ух + 1
принадлежат [0; 12]. На [—1; 0[ значения выражения х2+х принад-
лежат [0; 2]. Отсюда ясно, что на [—1; 0[ данное уравнение не имеет
решений. 7.14. а) Два решения; б) одно решение; в) нет решений;
г) нет решений; д) нет решений. 7.15. а) Да; б) да; в) да. 7.10.
~\/ (*	1) • (2 — х) -f- 1/у(3 — !/) =Д/у (3 — у) 4~1/(х—1)- (2—х).
7.17. Возможное уравнение у=хЧ~Ух—1 — "|/х — 1 .7.18. Воз-
можное уравнение х=2+У(у— 3) (1—у) — V(У—3) (1—у).
7.19. а) 1/4 — X2 — у2 = у4 _ А2 _ уг . б) (УГ^/Г X
><У 3 —х )-1 — (Ух—2 . УЗ — х )“’; в) 1/у —х —2 =
Уу — х — 2.
С5
§ 8.
8.1. 1) n<7. 2)	10. 8.2. {2, 3}. 8.3. 7. 8.4. Одно решение, так
как функция t/=log3(l — 2х) монотонная, непрерывная и изменяется
от —оо до +оо. 8.5. 43=64. 8.6. Функция f(x)=x24-l достигает наи-
меньшего значения, равного 1, в точке х=0. Функция <р(х)=х44-1
достигает в точке х=0 наименьшего значения, равного единице.
2
Поэтому функция ф(х) ———-------— достигает в точке х=0 наиболь-
шего значения, которое равно 2, а функция #=log2
2
 •, -- в точке
л4 4-1
х=0 достигает наибольшего значения, равного единице. Поэтому
решением данного неравенства является только число 0. 8.7. а) у=
=log2x; б) x=lg(f/—4), или г/=4+10ж. 8.8. а) у= — lg(x—4) 4-8;
б) у=— 2*4-8. 8.9. t/=lg(—х4-2). 8.10. Да. 8.11. Нет. 8.12. Функция
<Р1(х) определена, непрерывна и монотонна на ]4; 4-°о[ и на этом
множестве она возрастает от —со до 4-со. На ]—4; 4-°°[ функция
<р(х) монотонна, непрерывна и убывает от —4:3 до —2. 8.13. Нет.
8.14. — у—2 = 2~*4-4, или у= — 2~®+4—2. 8.15. Нет. 8.16. Нет решений.
8.17. Существует. 8.18. Да. 8.19. Нет. 8.20. Уменьшается. 8.21. Одно
решение. 8.22. Нет. 8.23. Нет. 8.24. а>5. 8.25. Уменьшаются. 8.26. Да,
8.27, Нет решений.
§ 9
9.1.	a) f(x)=x, f(x)=2 и т. д.; б) f(x)—x, f(x) = l — х и т. д.
9.2.	a) t/=2(x4-1); у=2х+1; б) у—2х2; у=(2х)2;в) у — 1/ х2 ;
у = (1/ х )2. 9.3. а) у={х— 1) — 1=х—2; б) у= 1 — (1 — х) =Х; в) у—
=2(2х) =4х; г) у—(х2)2—х4; д) у^х. 9.4. (у—х4-1) • (у—х24-5) =0.
9.5.	f(100)>/:(999)>f(105). 9.6. {0; 1}. 9.7. При а = 1 данное выра-
жение равно 0,75; при а=2 оно равно
Поэтому нельзя утвер-
ждать, что значения выражения
За
уменьшаются, если а уве-
а2+ 3
личивается от 1 до 10. 9.8. Наименьшее значение, равнее 1, выраже-
ние принимает при а=4. Если а уменьшается от 4 до 1, то (а—4)24-1
уменьшается от 10 до 1. Если а увеличивается от 4 до 14, то
40 — х
(а—4)24-1 увеличивается от 1 до 101. 9.9. Очевидно, ~~---------=
50 4-х
,	9°
«— 14~ gQ х • Теперь ясно, что с увеличением х от
до 10 дан-
14-х	24-х—1	1
ное выражение уменьшается. 9.10.——---=——--------— 1 «-------.
2 —х 2 х	2 —1~х
Отсюда ясно, что значение данного выражения с увеличением х от 5
до 10 увеличивается. 9.11. Увеличивается от —4 до —0,4. 9.12. Любая
линейная функция, график которой параллелен оси Ох. 9.14. Напри-
мер, у=х2, 9.16. а) Убывающие на [1; 4-.°°[; б) графики их конгру-
66
Рис. 60
энтны; в) убывающие на ]— оо; —1[. 9.17. Поскольку пары, напри-
мер (2; 2) и (2; —2), являются решением данного уравнения, то оно
не определяет никакой функции. 9.18. Нет. 9.19. Да. 9.20. При х= — 1.
9.21. Нет. 9.22. Нет. 9.23. Такой является точка, через которую про-
ходит касательная к графику функции <р(х), параллельная прямой
#=—2х—2. 9.24. Пересекается. 9.25. Например, (х—1)2+ (у—1)2=0.
9.26. Равнобедренный треугольник ОВС (это следует из того, что
прямые у—2х и t/=0,5x симметричны относительно прямой у=х, а
прямая р=—х-Н перпендикулярна прямой р=х). 9.27. Прямые а
и Ь (рис. 60). 9.29. у=х3, р=х. 9.30. у={—х)3+1. 9.31. р=
----2(2—х) : (х-1). 9.32. i/=-2(2-x) : (х-1)-4. 9.33. р=6-2х.
9.34. х=2у2— 1.	9.35. а) Четвертую степень; б) пятую степень;
в) шестую степень.
§ 10.
10.1. Нет. 10.2. f/=log2x. Ю.З. х—Зу— 1 или у=(х+1) : 3.
10.4. а) 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 11» 13, 14, 19, 20; б) 1 и 10; 3 и 20;
8 и 6; 11 и 14; 13 и 19.
§ и.
11.1. Да. 11.2. Нет. 11.3. Да. 11.4. Да. 11.5. Центр симметрии —
точка (0; 0,5 л). 11.6. у=—х. 11.7. (—л; 0). 11.8. Бесконечное мно-
жество. 11.10. Вектором (0; л). 11.11. (—5; 0). 11.12. Вектором
(б; 05 л) и осевой симметрией относительно прямой х=5. 11.13. Нет.
11.14. (-0,5л; 0). 11.15. х=л. 11.17. (-1,5л; 0). 11.19. z/=sinх-
0,5л на [—0,5л; 0,5л]. 11.20. Нет. 11.21. у= — 0,5л-barcsinx.
11.22. Нет. 11.23. Нет. 11.24. а=-л. 11.25. а=л.
§ 12
12.1. Нет (выражение arccos2 не определено). 12.2. Выражение
равно нулю, потому что lgtg45°=0. 12.3. Так как sinxcosx=
;*=0,5 sin2x, то данное уравнение равносильно уравнению sin2x=
:ife>2sin40o. Но sin 40°>0,5 и 2sin40°>l. Поэтому данное уравнение
решений не имеет. 12.4. Например, sinnx=0. 12.5. Например, 1g хХ
67
•	Л W Л	ГТ
Xsinnx=0. 1£.о. Например, sin-——-=0. 12.7. Данное неравенство
14-х2
не имеет смысла, потому что arcsin 2 и arccos2 не определены,
фиков соответствующих функций)
что 0^0,2 arc cos х^ 0,2 л, а на 0
12.8. Бесконечное множество (это устанавливается при помощи гра-
'	.	1.	”). 12.9. а) Нет решений, потому
не существует угла, синус
з
которого равен единице; б) нет решений; в) х= —1. 12.10. (cos2 х) 2
равен не cos3x, a |cosx|3. 12.11. cos 120°<0. Поэтому lgcosl20° не
существует и данное равенство не является тождеством. 12.12. х(<
3	л
<х2. 12.13. Xi>x2. 12.14. Одно решение. 12.15.-----л < а --------.
2	2
3
12.13	. а = — — л.
л Г
12.17. На 0;	1 функции fi(x) и <р(х) непре-
I
рывны. Функция fi(x) на
л
0; —
2
возрастает от 0 до + оо. Функция
О',—
2
<р(х) на
убывает от 1 до 0. 12.18. При о^ —1.12.19. При
с< —1. 12.20. Существует. 12.21. Нет решений. 12.22. 0; л; 2 л.
12.23. При — б^п^—5. 12.24. Нет решений. 12.25. Бесконечное
множество. 12.26. К с М. 12.27. Приа>0,5л. 12.28. М=К.
§ 13.
13.1.	а) у=х2—9; у==—х2+3; у=х2; у=]х| — 2; у= — |х|+3.
13.2. Обе функции четные и т. д. 13.3. у = 0. 13.4. Четные функции:
6, 7, 8, 10. Нечетные функции; 1, 3, 11. 13.5. При а=2. 13,6. При а=2.
13.7. Нет. 13.8. При а = 1.
§ 14
14.1.	1) 0; 2) 0; 3) 0; 4) 0; 5) 0; 6) неограниченно увеличи-
вается; 7) неограниченно увеличивается; 8) 0; 9) 0; 10) ни к какому
числу; 11) 1; 12) 1; 13) 5; 14) 0; 15) неограниченно увеличивается;
16) неограниченно уменьшается; 17) неограниченно увеличивается;
18) 0; 19) неограниченно увеличивается; 20) 0; 21) неограничен-
но уменьшается; 22) неограниченно увеличивается; 23) 1; 24) 0;
25) неограниченно уменьшается; 26) неограниченно увеличивается;
27) неограниченно увеличивается; 28) ни к какому числу; 29) не-
ограниченно увеличивается; 30) 0; 31) ни к какому числу; 32) 0;
33) 0; 34) ни к какому числу; 35) неограниченно уменьшается;
36) ни к какому числу; 37) 2; 38) 2; 39) 3; 40) 1; 41) 0. 14.2. Нет.
14.3. 1) Наименьший член — третий; 2) наименьшие члены — нечет-
ные, наибольшие члены — четные; 3) наибольшие члены — четвер-
тый и шестой, наименьшего члена нет; 4) наименьший член — второй,
наибольшего члена нет; 5) нет ни наибольшего ни наименыцегр
члена; 6) наименьшие члены — второй и четвертый. 14.4. 1) 1, 1, Q,
68
1 1 О, 1, 1, о, .... 1, 1. 1, 1, О, 1. I, I, 1, 0. ...; 2) I, О, О, 1, О.
О* 1, 0, 0, ..., 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1. 1, 0, 0, 1, 1,....
14.5.	а) = 3 + 4 (п — 1); б) уп = (— 1)" +в)ул = па + 1;
г) „ e2n-i. 14.6. 1) 1-1; 0,5]; 2) [0; 0,99]; 3) [0; 50]; 4) [-0,5;
0,25].
§ W
«.1. /(х) =	-1~; lim/W = 1 ’5-	15..2. Пре-
(х — 1) (х 4-1) х-и
дел функции f (х) в точке х=0 существует в случае в).
§ 16
16.1. Нет. 16.2. Данная функция определена на ]3; +оо[
и 1/х — 3 : (х—3) = 1 : ~[/х — 3 . 16.3. Так как f'(x) =2—sinx>
>0 (при всех значениях х), то функция f(x) возрастающая.
16.4. Дэнная функция четная, поэтому не монотонная. 16.5. Имеет
наибольшее значение. 16.6. а) и б) можно; в) иг) нельзя. 16.7. f(x) =
= sinT’ еСЛИ * 0’ 15.8* Нет. 16.9. Нет. 16.10. Наименьшее зна-
0, если х = 0.
чение функции равно 4. Критические точки: —1, 0, 3. 16.12. Верно
(это следует из того, что функция ф(х) на ]0; 1[ возрастает, a f(x) —
убывает). 16.13. Верно. 16.14. Нет (иа ]0; 1[ значения функции
ф(х)=2* принадлежат интервалу ]1; 2[, а на этом интервале функция
синус немонотонная). 16.15. а) Может, например, у — 2~х\ б) мо-
жет, например, у =—2* ; в) нет; г) может, например, у=— х;
д) нет. 16.19. а) Точки минимума 2 и 5; максимума 1 и 3. б) Точка
максимума 1. г)лТочка максимума 1. д) Точка минимума 1. е) Точ-
ка максимума 1. ж) Точки максимума 0, 2 и 4; точки минимума
I н 3. з) Точка максимума 2; точка минимума 1. 16.21. —>15, б<—>12,
в*—*10, гч—>6, Д<—>3, еч—>16, ж<—>1, з<—>4, и<—>14, к<—>8,
Лч-->2, Мч—>11, н<—>9, оч—>17, п<—>13, р<—>7, с<—>5.
§ 17.
17.2. Si>S. 17.3. Данный интеграл равен единице. 17.4. а) В двух
точках; б) три точки. 17.5. Не существует, так как данная функция
монотонная на ]— оо; 2[ и на ]2; +«[, а в точке х=2 не определена.
17.6. Функция f(x) на ]—оо; 0] убывает, а на [0; +оо[ возрастает.
Поэтому И”2)<0, f(2)>0. 17.7. Нет. 17.8. Минус. (ср(х) убывает
в окрестности точки х=3). 17.9. Нет. 17.10. Нет. 17.11. ф'(0>
>ф'(~0,5). 17.12. Да. 17.13. В точках 0 и 1 функция у —к2 не имеет
производной. 17.14. Нет. 17.15. Рисунки 61, а — в. 17.16. Нет.
17.17. Да.
(например, у=х2). 17.20. Может (например, у=х3+1). 17.21. Рисун-
ки 62, а, б.
17.14. Нет. 17.15. Рисунки 61, а — в.
( / 1
17.18. Может (например, у=1 —
17.16. Нет.
17.19. Может
69
К упражнениям данного параграфа указывается один из воз-
можных ответов.
18.1. у=18х.	18.5. у = У—(х—1)г (х —З)2, z/ = У —х2.
18.6. у = | х — 21. 18.7. у — х. 18.8. у = 1 : sin ля. 18.9. (х — 1) л
X (х—2) ... (х—10) =0. 18.10. (х— 1) (х — 3) (х— 5) (х — 6) х
X (х—8) (х— 10) <0. 18.11. уп = — — 3. 18.12. 1/=У —(х—З)2.
18.13. у = 0. 18.14. | х| -Н 1/1 = 1- ,8-15- // = °- ,8-16- Iх + 1/1 =
= 2. 18.17. (у - х) (у + х) = 0, ху = 0. 18.18. у=- - -
1 X 4 I
70
Литература
Бартенев Ф. А. Нестандартные задачи по алгебре.— М., 1976.
Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Шноль Э. Э. Функции и гра-
фики.— М., 1966.
Дынкцч Е. Б., Молчанов С. А., Розенталь А. Л. Математические
соревнования: Арифметика и алгебра.— М., 1970.
Дынкин Е. Б. и др. Математические задачи.— М., 1965.
Еленьский Щ. По следам Пифагора.— М., 1961.
Кордемский Б. А. Математическая смекалка.— М., 1956.
Мазанпк А. А. Устные упражнения в курсе математики средней
школы.— Мн., 1966.
Мазаник А. А. Реши сам.— Мн., 1980.
Перельман Я. И. Занимательная арифметика.— М., 1954.
Перельман Я. И. Живая математика.— М., 1978.
Оглавление
Предисловие.......................•	...
§ I.	Свойства натуральных чисел .	.	...
§ 2.	Свойства рациональных чисел	.	...
§ 3.	Текстовые задачи .	.	.	...
§ 4.	Задачи на проценты ....	...
§ 5.	Целые уравнения и неравенства.................
§ 6.	Дробно-рациональные уравнения и неравенства
§ 7.	Иррациональные уравнения и неравенства ....
§ 8.	Показательные и логарифмические уравнения и неравен-
ства ...................... ..........................
§ 9.	Рациональные функции.............................
§ 10.	Функция, обратная данной ,......................
§ 11.	Тригонометрические функции .......
§ 12.	Тригонометрические уравнения и неравенства.
§ 13.	Четные и нечетные функции	.............
§ 14.	Последовательности .............................
§ 15.	Предел и непрерывность функций..................
§ 16.	Возрастание и убывание функций..................
§ 17.	Производная и интеграл..........................
§ 18.	Конструктивные задачи по алгебре и началам анализа
Ответы. Указания. Решения ....	....
Литература............................ ....
3
6
8
11
14
15
19
26
28
31
35
38
39
40
42
45
52
57
60
71
Александр Борисович Василевский
УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ПО АЛГЕБРЕ
И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА
VI—X классы
Редактор В. В. Амбражевич. Обложка художника В. С. Маркевича. Худо*
жественный редактор Н. Л. Шавшукова. Технический редактор Л. П. Сопот.
Корректор Р. С. Ахремчик.
ИБ № 1209
Сдано в набор 27.11.80. Подписано в печать 21.07.81. Формат 84XI08Уза. Бу-
мага тип. № 1. Гарнитура литературная. Высокая печать. Усл. печ. л. 3,78.
Усл. кр.-отт. 208,8 тыс. Уч.-изд. л. 3,18. Тираж 61 000 экз. Заказ 1202.
,	Цена 10 к.
Издательство «Народная асвета» Государственного комитета БССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли. 220600 Минск, проспект Ма-
шерова, 11. Минское производственное полиграфическое объединение
им. Я. Колеса, 220006, Минск, ул. Красная, 23.
10 к.