/
Текст
НИ»
®№
An Introduction to
Riemann Geometry
(Revised Edition)
SIEffl
ft
«Й.ЙЙОМ^ОДЙ» Ф45Х1®1Я^§ЛМЙН#Й/ЖЙ---
ОЙйтШЙЙ---------№Т^-Ю&Я,^ТЙ#»^#ЛЯФ1Й
^««^Ж^^Й^.ЖГДЮ^ДЯЙ^йЛйЖЙЙ^.ЕДЖШЖйЖЙФЙвй
№Й£Я»етЙТ№о ^Ш£$:«ЛТ6ф|^ДДЙЙШ#Й-^|Й^о
^,*ЧЖ»Ж«»ЯЖТ№<##о
Э45»0 (С1Р)ШЕ
^>ш»/й1иа^. -^Ж: йШйЖй,
2004.12
ISBN 7 04 016129 X
I.S- п.й- ш.
IV. 0186.12
Ф0»ЙШС1РМ1ГЖ(2ОО4)Ж 116584 Ц
О1Ш< ЙИ'^
же^а
ЖЕ££йШ ?Р Я*
R№Si+ х %
ItSiSit ^X-fr
ftfiWtf > <
Ж ЕЕ ЕР® 3<Л^
ЖЖгё1т Й^ЖЖШ± 5Й4$Й1^ 010-64054588
tt ill ХЖЖИМК^ЬЛЖ 4 # ЖЙ^Й) 800-810-0598
Й5ЕШ«9 100011 010-58581000 рй| Й http: Nwww. hep. edu. cn http: Nwww. hep. com. cn
,и а
ш
ЕР я ^ЖЛХВДГ № /£ 1992 ^4 Л1Ж 1 ®
Я * 787X960 1/16 2004 12 Л Ж 2 ®
ЕР ж 22.5 ЕР 2004 Ж 12 Л Ж 1 ЖЕР91
й 380 000 л! 1Й 33.20 ТБ
.яйя^ж*и®,ж?110гйихей«®пжждао
№1ХРЛ<
16129-00
1992 ## £р , (В в«о
Ж Wrt#HSO±tWRWOOEP, + ^Mo
*ЯОЖ-Ш0Л,^Т
О1ШШ IWOWTMWWOfHO
Ж¥ Л <ЖАЬЙЖ t ?i %, <i#it< >F IE о
^ж<йш<.эж wt имо
Ж о
^r
2003 4 12 Л
t-ш
+ Ж В. Riemann НОИО
Ш^ЛЯ^>^6ШШ(1854 + Е. В. Christoffel, L.
Bianchi Jt С. G. Ricci + Л + — + + A. Einstein -fe| i./" X
№( 1915
Д E. Cartan ftLie
ft$£,W^^»AJt>+$7r^fttt,«H<W^o 14+
+#£Ж,ЖЯЛШ^Д^£Д£'Ш^,Л + Т + ^Жт+££
ШЮЯШо 04OW'№Ul«iH0£
+^^+±,4?p 0 й^1Нйттж
+ + + ^ + + ^ + ^ + + &<W^OMItffi^ft* + <+3fc
&Юо Й^+++#:
$-# >Ё##НЯ;
<+30;
$=# «+^Л+;
ИМ;
$£# SM + 3O;
%<+x+^^a-i4^tMit + , + ^i++a-<o
мат^о®й^,И1кярдйО-*0 *+<+-+
xn$“W”, + + tW®OJ; + + < + я$з± ш
+<*Мо + й + 0^ + 31 #т£
< + + - + ^^^0 0Л. + + ЗМЯ* + 1ЕЛ$Ш#;£,$ + ЯО1
t-To
< + «+++Л Й + + + +
++Ж++-+>ЙЛЛо
+
1990 + 6 Я
м-s .....................................................i
§1 i
i.i bjWWW « ......................................... i
1.2 ййййя ........................................... 6
1.3 ................................................. и
1.4 Sard д?Ц!....................................... 14
§2 и
2.1 ЙЙ^Гв] 14
2.2 5U1K 17
2.3 )Щ|1Й(Й)М1 ..................................... 22
2.4 M4W............................................. 25
2.5 31
............................................... 34
М-Ж OO ............................................. 37
§i 37
1.1 37
1-2 P“(R) Grassmann'St,.................... 41
1.3 ЙЕЖЙШЙ 45
1.4 gAW Т'Ш......................................... 48
1.5 ОМ? 55
•5® ............................................... 58
§2 59
2-1 Й^Гв] ЙО........................................ 59
2.2 ЙА Й«........................................... 64
2.3 70
2.4 Frobenius /ЁЖ 75
g® ............................................... 79
§ 3 80
3.1 80
3.2 83
3.3 «Ot............................................. 92
............................................... 96
2
§4 Stokes ЙЯ ........................ 97
4.1 97
4.2 ФЙ#ЖЖ 99
4.3 !№±Ш Stokes ^3 ...................... 103
3®............................................... 107
ЖН^ 110
§1 ЙЮ............................................ ио
i.i 1ГХЖ?ЖЖ±1й«&.................................. но
1.2 Й#ЖЖ±ЙШ#®^ ................................... ИЗ
1.з ооййол?.......................................114
3®............................................... 118
§2 119
2.1 119
2.2 125
31®.............................................. 131
§3 133
3.1 ЙЖ?К> ....................................... 133
3.2 «ffiffi* Ricci ДЖ ЙЁЙЙЖ ..................... 138
3.3 144
3®............................................... 148
§4 i)S|5|W5£ ................................... 149
4. 1 Hodge 149
4.2 Laplace-Beltrami^^1 ......................... 154
4.3 Hodge ЙайИЛЙЙД .............................. 160
^a................................................164
ЖИ$ 166
§1 166
i.i 166
1.2 «|йтс<'14 174
3®............................................... 177
§2 179
2.1 179
2.2 Jacobi 183
2.3 187
^а................................................192
§з’ ЙЖ^Ж1Ь........................................ 193
3.1 Myers ЙЯ............................. 193
3
3.2 Hadamard ЙЯ............................ 197
................................................. 200
§4* ЬШ^Я ........................................... 201
4. 1 Hessian ЬЬЙЙЯ ................................. 201
4.2 Laplacian fct ft лЕ Я ........................... 205
4.3 |$®ttft^S ....................................... 209
ggj.................................................. 215
МЕЖ %&=F'№ ...........................................217
§ 1 217
1.1 WA .............................................. 217
1.2 S*^® ............................................ 221
1.3 223
1.4 226
>)£Й................................................. 227
§2 ЙЙИ ............................................... 228
2.1 228
2.2 232
2.3 ®1Й£|нЛЙЙЙ® 236
..................................................... 242
§3*.................................................. 243
3.1 243
3.2 249
3.3 <Й............................................. 251
3.4 Simons 254
257
§4* Gauss .............................. 259
4. 1 Lipschitz-Killing [й] ф ........... 259
4.2 263
4.3 Gauss ll&lhf 266
4.4 Gauss ЙШЙШЙЙ..................................... 268
................................................. 270
I $Ж#^М#£ЖЯ ....................................... 272
ЮП Sard Ж Я......................................... 277
ОШ 280
ffifSIV Г&Ш±1ЖЯ.......................................... 286
OV 290
Pft^VI 295
4 ЭЖ
ЙШВД 300
ИШШ 304
Mt^K Finsler ЛМ ............................... 320
Ptt^X Ricci^l^^.................................... 329
............................................зз7
.............................................. 339
§1
1.1 НШm мм
й Rm Д m x =
(x1 ,-,xm) ,МФ x‘ e К(£ = 1,-л)ОДхЙМ>Ф^. 12Z
</(x,y) = II X - у II = [£(x‘-y‘)2] (1.1.1)
R’ ФЮRm О-ФтЮЙК
Й E"‘ О X &nj<
II «II = II x-o II.
M№,№BK^R” *0Г.
iSOR’ Д L/?iJ R" ИВШ
F : U-^ F(U) C R“ ,xH>y = F(x) ,
Йф X = ( x1 , • , xm ) ,y = (y1 , ••• ,y").
77“ :R ->R а , BP
7r“(y‘,•••,/) = ya (a - 1 ,••• ,n) , (1.1.2)
ЖвШ F ЙШЖЖ
у = F(x) = (У1 (x),-,/“(«)),« e U, (1. 1.3)
МФ/“ =7Г“ о F ДИЙ m 7ЁЙ^,-Ё»|Ш F ЙЖ а
йй. ЙЙЖ,<ВЙ(1. 1.3)^,Мпф^5СЙ с/±й mjGSKl/1,-,
: t/->R“,F(«)W^^S^^(/1(x),-,/“(x)).
ЭД ®m = l,L/^R^W?FK|B](a,6),M F U^R",t H> F(t)
= e(a,6))BP*R'* ФЙШЯ
1.1.1 e 1/(^й17±)ДчГ
,C"),«M F ЙА a(^ и ±) ДпТ^^Й(С‘,
C« ,C“). -4- С"
W f й u ±bJW,WOW
2
м-ж жбяня
дх1 дхт
=
д(х' ,• ,хт)
аГ ... а/"
Удх" ’ дхт)
ft 1/±Йй^. S F% Ск
iWW.'Sm £/±Й Ск~'Ш. U££gPW*Ot F й Jacobi £P$,fi5
iS# df.
18 1.1.1 '& U Д R" F : I/—>R“ a G t/^nj
4 R"^R n
R(x ,a) = (г’(х,а),-”,г“(х,а))
F(x) = F (a) + A(x - a) + ||%-а||Я(%,а), (1.1.4)
lim || R(x ,a) || = 0.
(1. 1.5)
r' (x ,a)
II x - a || :
чг“(х,а) >
#Mm7C®iSC/“(x)(a = l,-,n)*a
/“(x) =/“(а) + £СГ(х‘ -a‘) + II x -а||г“(х,а),
l = 1
lim ra (x ,a) =0.
x—>d
Silt.^SWffi. I
ЙШЯ#йШ,±5£Ф
СГ = ^(a) (i = l,-,m),
dx
§1 ККЙЯИй*»
3
Аа1 = ^—(а) (а = 1 ,••• ,n,j = 1 ,•• ,т)
дх
gP(Aa.)^ Fft!) Jacobi £g|Wft а £3+^30 DF(a'). ЙЮЙЙЙМ
OW A:Rm—>R“ M8W F ft a DF(a)^±.
(1. 1. 4)з£пШЗД
F (х) = F (а) + DF(а)(х - а) + || % - а || Я ( х, а ).
(1- 1-4)'
Й U,Vft%№ Rm,R“ ФЙОТЖ.ИбШ F Ь'->О G :
R ,Я1йШ
Н = Go F • Я —> R₽ ,х\-> G(F(x))
W (У), ••• ,gf (У),50 6WSй?О
hA(x) = gx о F{x) = gA(/'(x),-,/“(%)),Л = 1,-,Л
(1.1.6)
xtfgwnwtWTm.
Ж111.1.2(Ш.!ШЖ11) й^М F,G W Я$п±#гз£,^ FM
a e F(a) e V WW^-PO!) H = GoF Й* а дао
DH{a) = DG(F(a) ) • DF{a). (1.1.7)
Fft l/±^ 6 ft V±^IJW^,WOft U ±Rj«O( 1. 1.7)^
Ш£йй a e Uty$F\L.
1ЕВД T%y = F(x),x e U. &^^Fft£a,GftiO=F(a)^IJ
>W#№,SittW
Я(ж) - Я(а) = G(y) - G(i)
= DG(b)(y-b) + \\y-b\\RG(y,b),
у - b - Я(х) - F(a) = DF(a') (x - a) + || x - a || RF(x ,a).
ТД
Я(х) - Я(а) =DG(fc) • DF(o)(x - a) +
|| {0G(6)Sf(x,a)
•[9]IW Ф
£ „з IF
Ш‘ЭДИ1¥Т(»Гя #‘i ±й11Т(»)г/’я 53‘н-л:^₽ „з ф-
5#й®¥ 3*'7Ф^ » К1Ф ша ^Ж(»)’я К1 oi
гжзш# ЕЙ®
'0= (*)-° т
э ris(^T*№i‘o]¥Or^.a:-°WJ Ф-ад
№‘0 = лиэ шЯЭУ‘ЖИ1г лээ $• £ТТ1$
•ШййЖФ-ад я^.„я: 2/ W ,э Ш W±
I фйаошЕШк^адэд-
wt/7 soos -w ,□ om^rw
OWT/] <ждгадф на ЖЖТОИаОЖ»^
$ЗШй#а‘$®^адтл и*/7 за №на ^l^jqo^r
ад з t& 2/‘£0Ю ,□ з и* и is -йшшк I = 7 w ей®
,9
Тл ^^з = н ГШЭД р ¥ЯШ#Тл tt/2 ^з 0iH ЗШ
I '(£'Г1)^Ш(»)йО^Й
ад» «h'wwi&w ° м^л-н wwa I -I -I жжфмуг
( V <— х}
‘ II (o)J0 II <-
II (v‘*)JH II + II (v)M II > Ц (O)jl*x)j II
±ф -ш^тьад
и*^АЖ^Ж^Ф(<?)Э(7<Я‘етад («гшда^й II (<1)за II
‘0< (”,Г) || (v‘x) Jy || . || (q)oa\\ 5s || (v‘x)Jy(q)f)Q ||
^‘<? = ^mtj‘o= II (9‘Х)Э^ II шП‘о= || («‘x/y II шцд-д-
n II ® - X II
I (4-('^n
§1 Й к $ ги и & It
5
g(x)
__________h(s2 - II x || 2 )______
2 ’
h(s2 - II x II 2) + || X || 2 -
ВДО)±^1ЕЙ,«ВДО)ЙШ^
T-м C" ®£fc
g(x) = g(x - a)
ЕРЛ^гЖ^ййй:.
2° Rm -CDA'.fl К ДОЙ,ОКЮ Rm -С
B^a.) ,i = l,-,s,№14
Rm - C D и /?,/«,) D и ^/2(«.) D К
1=1 1=1
1°ф#г$й C“g^g,(x),^5C
cr(x) = 1 - П (1 - g.O) )•
I = 1
S^,<r(x)^ C“ й|£, Л. 0 < a (x) =g 1. Т'Щ—Ф x e X, $ —Ф
gi = 1 .Й: <r(x) = 1 ,if№ U В£(а,) Я'.^Т'ЙГЙ g. =О,Й<т(х) = 0.
I - 1
С C R- - U ± a(x) - 0. I
mtfe ^f(x)^^ u( cRra)±W ck В^,а e и. а Й-
4-W WCUR Rm ±й-ф Ck й^с/* :Rm^R,'®^ft IF±/’ (*) =
•НЕВД ЙЖ« ЙШ4ЧЖ vt v2,^vicv2cv2cu,r^ v, Д
ww. ^K=V,,c = Rm Rm
±Й ±МЗ/ 1,Й С±(ВР V2 £
>СЙЙ/’ ;R"‘^R £ПТ:
{<т(X)/(х) , X U,
-
0, X е Rm - V2,
@^(Rm-v2)ni/ = t/-v2,ifno-(x)ftt/-v2 (x)>^
Хйй/' (х)й^Ж и ±> ck Rm - v2 ±д с*
BKPMV’Ь')Л Rm t.M с4 й^. ЖЙЛ. ВР«ЛШ£ФЙ W. |
Шfiif ‘ ЯН ЖWфИ&Ф H‘3‘d О 14 d Л<~Л : d°3 = H
‘•№Ю$Ю*-Л:;Э‘Л^Л : d 'WiJfW ,„Н <Л‘Л‘ЛЙ I SH&
Ч1ШМОМЧ Z'1 -I WWOW
Ю'<^' ад^ж<иа ‘ W44I4 шн МИ W
V= (x)dG О}
<®WWaH^W(8-i 4)W^WW:31WriSWS
OOWOWSOW d rro= v lap g адо
(£гГ1ШУГВД»Э >ЯМ,-^ 14 d П‘ИИ¥ d W‘W * Т.У= (*),_П
ООГЙЖ v №‘0^у1эр^
•“"‘"(>)йЭк¥ v‘v= (*)dG Ю1Й-ШЖФ
/ I=f l=r \
‘ I rX V ‘ • • • ‘ rX V I = ( X ‘ • • • ‘ X } J
\ Г Ш V X f I L X j \ Ul [ / J
U1 Ш
da
(8 ’l ’I) ‘„Я э x‘x . у = (x)j
шН4-Л = d Z 1$
•ЯH WW d ГЛ‘ ЯН W d % sX
•ад „э w#H(?- ®) + x= (x),^ жад 2гад „э d aiH ’iWiiiWd#
(“‘•••‘ i = ?)(,» - ,9) + л = (х),/^®>4кадЗ- •(»- q) + *= (*Uda
‘ ((«,»- «9) + „x‘-‘ (,» - ,9) + г) = (шг‘-”‘ Xх)d
d -^7kW(«.9‘-‘ ,9) = 9 fif (Л‘-‘,») = » W ШИ^ШИ = d XI T I#
~ = 7 ятю* -адин#ж- ,э та ад п ,□ %d ши
1ад(15=7),Э СШх-d ui^ (!’)
:Ш“Ж J (!)
:ж<ж±
: d WlfBtf '«^адф ШН тал Bin XI Z I I хв
•ин^/ши ‘ ад^жта,./в^
/ШВ£ v^a-,./мжади‘№ ff-v: п Х -ШЖ^/:йШЧ'Г
WWX-KM>3ffl/^B$ WW¥/!ВГЙ‘ (4W ('*)/J^& zx^'x*y э
ч‘'хад^л^^аа‘ад--[=х-^/швгк -wsg^/^Гй ‘ff = (F)/da‘w
адт я ФШЙ v <а^в$ a^v : Z-£W4W a‘v^
Z‘l
ЬШ»1! S-ll
9
§1
7
Т ®$1£ W ВД gfcR $ И tt Й-Ш£Я.
£®1.1.4(£й1&$11) Й tt Д R” ЙШМ : U^Rm Д Ск(к
5И)ИШ^а е //,ЯЖ«)ё»^ЙО'Жй a Й-^JFW WC
и,MF : Г-^Г(Г) = V% Ск е Г,у =F(x),M ?''
£ у
DF-'(y) = (DF(x))-1, (1.1.9)
ЯФ(ДО(х))-‘^ Р^(х)ЙЖ
ЛтОЛ)ОШШШТ^1з1.
?|S2(lft^Rftlt^Il) ЙОЙО <1(^у)Йл^К15|В).
T^OOjOWltW-WA.OsU
txj е
d(T(x) ,Т(у) ) s= Xd(x,y),
^TiM Ф<-фР£-^Й a.
Т5ЕВД IMOOWH*) ,Г(у)МЖу).
Ж-4-А x0 e m,^ xn = r (Xo),И x„+„ = r+"(%0) = r (r (x0)).
ТД^ </(х„,х„ + т)^АЧ(х0,Г(х0)).
d(x0 ,Tn(x0) ) d(x0 ,T(x0) ) + d( T(x0) ,T\x0) ) + ••• +
d(Tm-\x0) ,Tm(x0))
(1 + A + - + Xm-')d(x0,T(.x0))
I . ^0 » «0 ) ) •
1 ~ Л
d(xn,xn^m) X"K,
К = —l—d(x0,T(x0))
1 - Л
Д—rn,n 'fit'S:. ifO^A < 1 ,SlIt lx„! Д Cauchy ДЯ-
iE
lim xn = limxn + 1 = a.
n—+ 00 n—► 00
d(T(a) ,a) = lim d(T(xn) ,xn) - limt/(%n+1 ,xn) = 0.
n—> oo n—>00
8
Ж—Ж
Т(а) =а,йРа Ю Г RI MJ
d(a,b) =d(T(a) ,T(b))^d(a,b).&5 A <1 Й»?Г Sit T f£
M ФД<Р£— й—a. I
ж® 1.1.4 йдая $ л
1° Й31Л l,*iW$J 1 M F(0) =0,
DF(G) = I ,ЙВ I % m xm G-.U-+R" jfflT :
G(x) = x - F(x) , (1. 1. 10)
Ж
G(0) = 0,DG(0) = 0, (1. 1. 10)'
±ЛФ®М-ф о аж rn x m Wl^.
2° ^6-fOr>0,OBFO«i2r(0) С1/±Й«#Й,
ЮОйНл eir(0),W
II G(x,) -G(x2) II ^||x, -x2 II (1.1.11)
II x, -x2 || s= 2 II F(xt) - F(x2) II .
(1. 1. 12)
»^±,S3/ F*0 G« C‘( 1 ) ЮЬЙ OF(x),DG(x)W0rW
ЛОЬЙОЙ^- S*DF(0) =/,DG(0) -ОЛ^ЙЧЙ^ЙЖ r,
MB^OjCU ±det(Z)F(x)HlWT^,H£5r(0)± DG(x)6W
l/2m. x, ,x2 e Br(0),G PW
Ж Й g ( X )
I g‘(Xi ) - g‘(x2) I =
« y^ll*. -*2 II , 0 < e < i.
2m
|| G(xt) - G(x2) || =
m
У, (g'(Xl) - g‘(x2) )2
I = 1
1/2
1
Jfcfcgpc 1. 1. 11). й(1.1.10)',±5iCXbT^^i
X- II X,
1
§1 К К £ |В1 И Rft It
9
> II Х! - Х2 II - II " ^(*2) II ,
MW1.1. 12)Х
3° £ II х ||
II G(x) II « ±-,
ВР C(B,(O))CBf(O),
МВД-Фу eBf(O),##Pg-#jx eB,(O),ffi^FW = у-
Й(1.1. 11)^ФЪ1 = ж,х2 =0 4#
ТД || х || ssrftf,
II <?(*) II v-
МТМЙу E8f(0)Wx ев,(0)Л
|| G(x) + у || s= || G(x) || + || у || = г.
у е Bf(0) .SJJ'.Oi Ту : Br(0)—>Вг(0)
х Ту(х) = у + G(x).
ТД Ту(.х) -х 4 J=L {7.4 у = х - G(x} = F(x). Xj,x2 е
в,(0),й(1.1.11)^W
|| 7\.(х,) - Гг(х2) || = || G(x,) - G(x2) || 4-Цх, -хг || .
Й Х,& Ту(х) =х,^Д у = F(x).
F ' : Bx(0) ^В,(0),
MF°F~l(y) =y,yGB^0).
4° ф W = F ’1 ( Bj. ( 0 )) , V = B4 ( 0 ) , Jill] IF Д U WJF2? Ж, 1.
F
Ж$±,ЙТ F МШНЙ lF = F-I(Bf(0))> Br(0) 6WT
ft.ffn5r(0)CG,iajttir>t/|ftJF^a.
в|я|к,я^®вл f-’мй^й. яшгжй
10
ж-#
у, ,у2 е ^2.(0),
й(1. 1. 12)j£,<
И-’(У1) -F-’(y2) II = II X, - х2 II 2 || F(x,) -F(x2) II
= 2 || у, - у2 || ,
F~' :V-+W
5° ftb=F(a)G VjjT'46
DF~'(b) = (DF(a)Y'.
F М Ck (^l)W ,Ю=РЫ x ,a e JF,W
F( x ) - F(a) = DF(a)(x - a) + ||x-a||F(x,a),
^^lim || R(x,a) || =0. ЙТ DF(a)i^#W,ia В
B = (DF(a))-'. Д В£Яё±зСЛ#
B(y - 6) = x - a + || x - a || BR(x,a)
= F-'(y) - F~'W +
|| F-‘(y) - F-'(b) \\ BR( F~'(y) , F~'(b)).
F-1(y) = F~'(b) + B(y - b) + || у - b || r(y,b) ,
r(y,b) = ~ 11 F ’i?" ~Л h BR(F~\y) ,F~l(b)) , У^Ь.
II У ~ b ||
Й(1- I- 12)5£
|| F~'(y) ~ F-'(b) || || x - a ||
||y-6|| || F(x) -F(a) || " •
В II r(y,b) II =0.
b e I' MfrM
DF~'(b) = В = (DF(a) )
6° ^ГЙ1Р±^С‘(^1)Й,И ск #).
^±д^де,в-'(Ю =гдв о^детЁЖй if±
д с-' де, в^^^^дета^йхжмте^тсжде с* й^,нй
DF-'(y) = (DF(F~l(y)Yr' ,У е V (1.1.13)
детиЖй г±Д1Шде,Я1Н: с1 де. f_1> с1 де
§1 К К £ 1'в] И ИШ
11
(/<£),Й(1.1.13)&^±0т&,йШ ое-’йтсЖ^З/ C'M,0ftF-'
>С' + ,й- Й^ЙЙ^Й^РЙ F’1* У±Д С‘й- |
МЙЯ1.1.4 Фйте#,Й^Я1.l-MmiHRW.
Jttfc 1 ig^F# ШФОЙ JO F& t^ffgWJP'S^ UR
и йй Rm й^тжао R" фйффж.
Ш£2 -^Ск gW F : U^F(U)^ Ck Ж^ЖИЙЙ^&М
Д-#-Й,_§. DF £ U ЙШФОДМ#Й-
Й11.1.5(ЙЙЙЙЯ) Й U,Vft%№ Rm,R" ФЙФФЖ- gW
/:1/х^ГДС*(^1)Й. Wx0 e U,y0 e V,Oy ^f(x0,y)
^y„ й>^о/(х0,Уо)е<# ,»**<> ww
Ck gW g:U(J^R\^^g(xo) =УоДММх e Uo,^
f(x,g(x)>) = f(.x0,y0).
ffiRB -UxV^Rm xR",(x,y) H>(x,/O,y)). ДУ
I 1 0 \
DF ( x0 , y0 ) ~ I I .
\ U\f( XQ , Уо ) D^f(x(),y())/
МФ DJ(. x0 ,y0 ) X 1-^/(х,у0)Й x0 АЙЖ^. ИЛ Я/Оо’Уо)^
иГ^,Й& ^(ж0,у0).^ of#- ЙЙЯ^^Я.ОЙМ F ^£(х0,у0) ЙЗЁ^Ж4₽
i^UoxVo Ф^ЙРШ-ЙЗШМ. ^ir:R"xR"^R",(«,y) ^у.ф
g(x) - тг о F~' (x,f(x0,y0)) , х0 G и.
1.з
1.1.3 Й иМ R- ЙТРТЖ,*’ u^R" % Ск(к^ 1)gw
М F й Jacobi жIW DF Й£ х( е U) Й^Ш^ШЙГ F & х Й&.
фх е 1гс1/^йа^й1г,и^гйж^^±йа^тг.
ФЙЙ F ^п—ФЖ^М^ЕЙЖ'н , Й ФR1ИWЖяУ #Й Jacobi
Ж^,ШЖ1ЙШУ>ёЯ,ЙФЖФО:ГЙ&^Ф^>Г ^Й^-
$Я1.1.6(ЙЙ1) Rm,R" ФЙФФЖФ :А-+В
^Ck(k»l)^,RF^A ±ЙМФ r.i^a GA,b^F(a)^ B.W
Й a,b &}RWAOCA,BOCB Ф1 Ck u:40->t/( CRmM;B0^
V(CR’) ,MgW v oFou’1 Д<Т&®МЙЖз£:
п -гф
v ° F ° u~x (xl ,••• 4xm) = (xl ,••• ,xr ,0, ••• ,0). (1.1.14)
12
ж-ж Ж&ЯНЯ
яде р R\R"
м(в)ФШ1й га^з£^^,вр
det
(а) 7^ 0.
2° т^оЙ-^А|САХС*МКи -.A^utAJ =
и,,Ы
F-1/1 г г+1 т \
О и (х , ••• ,Х ,Х , ‘" ,Х )
/ 1 Г /• Г + 1 / 1 Г \ £ П / 1 Г\\
= (х ,х ,/ (% ,-••,% \х ,'",х ))•
зШ,5е5СС* ВШи :A->R\xF+u(x)^T:
и(х! , ••• ,хт)
//•1/1 tn\ Г Г / 1 т \ Г + 1 т \
= (/ (* ,• ,х ),•,/ (х ,---,х ) ,х ,— ,х ).
МФ - г) x(m-r)^L-(Ai^|^,^T^f^(”i-r) *
^75 rx (m-r)^ff. ф 1°пШЯ1|^ Ри(а)М4ИнГ#1И),Ф.Й®1£ЙШ,
«А ф^Й a А,,1£ и -А^и{Ах) =Ut % Ск ЖЗЖВ ЕЙ
u(0) =0,F(0) =0 пШ u’’(0) =0,F = iT'(U,) СВ.
F-1/1 г г + 1 т \
О и (х , ••• ,х ,х , ••• ,х )
= (ж1 ,••• ,хт ,fr*1 (х) ,•••(х) ) ,
f'*1 = fr'! о а'1 О) J = !,"•,« - г.
Ю! х ,н ШШ.лх ,н К ,н ,и fig,.„ах ,а “ К1
•js‘...‘l = Г‘п > I Л I I H В ж I = (о)°9
W‘ (О)’э = л‘ (оО = Л («)
Ж(0)’а = 4‘ (О)>=/7 (!)
л № п wu» w
44 'у")
I •(o‘-‘o‘X-‘,*) =
( ( x‘... ‘ x) ... ‘ ( x‘...k x} x‘... ‘ x} (a} =
X X X [ / U J XX \ / \^X J X [ / I - \_ /
( X( — ‘ x( x‘...‘ X} П О J 0(1
X Ul I+J J [ / | - i-1
<Ш‘о£
‘oziifiitt -ад чэ (i) = a‘(n)x-n
= ОУЗ! -°ffD (fl),.n° d ^‘'fl^fl Л» otz
,э *£ ffz>°ff= (л)«^л:2
$‘’лэл '.a^os
о \
—j = (X)aff
0
'Л Э (/‘-‘/) =
SOiH-m о WW 'л -o= (o)« W
‘ ( ( Ji ... /+ Л‘...‘ ( .<*...‘ X) /+ Z‘ X‘...‘ X) =
\\7 [/ U J и XX | + J j [ /
: j_b#(-O«_«-i ,э Ф „я °£
Й ‘ t; ¥&Т ’/J
j ln 3^-n°xi wa*afsiw¥
U1
и
и
*
ХР
ш ъ
I-
о
X
т§
14
ж-ж «<явя
ЙЖМ ,№(Ш( i), (ii) Ф ,тт °v °F oU-‘ В‘(О),С‘(О)±Й®
IrIPW.
1.4 Sard Ж И
££ 1.1.4 g[/>R" ФЙ^ФЖ- F : [7—>R” Д C‘(^l)Rt
Xffe e ЙОЙЖЙ
F(a)eR"B^te^fl.
Ж81. 1. 7(Sard M) i£ F : t/->R" Д Ck ( к S= 1) , U Д Rm
ФЙ^ФЖЛВ
A = ja S U\ a^F ЙШ^А [ ,
И F(4)£ R" ФЙЙОТ?.
(ЖВДМЖП. )
§2
2.1 ЯЖ^Гн]
R МЫ c.F ±№-ф|й]»£
faj
(i) i№:Fx V^V,(X,Y) h-> x + у,д
(ii) ШС-.F x V^V,(a,X) aX, Ж Й<) a,0 G F,X,Y e
V3M?
a(X + У) = aX + aY,(a + J3)X = aX +/ЗХ,
(a/3)X = a(/3X),
IX = X,OX = 0,
д fascia]
УЙШЖ^Й*.
i'W«r-t^£O0 : Vx v^v,(x,Y)
хок.Ш'ЁМЖй-'МШ.
У1Й-Ж»(Ю£ V et,- ,еп,
К V 1йft-ФтиЖ х ±^пТ Й , BP W
Х=£ге,, (1.2.1)
i = l
§2
15
M г,- ,г х ej m. v й-ОтйО
Д^гёРШЭФхЖ. &*.,-••,₽„ Д Ш-М,Ф
= ХаА’ a‘j е F< '-’j = 1 >•">"• (1.2.2)
I = 1
мдьё.г-л зтчттт₽и = (а‘)„х,.д«#й,
ОР
det (а)) # 0. (1.2.3)
№1 W 1ёг| (i = 1,-,»)Л УЙИМ,Й'Ш5-ФЙ>*<
х = ix‘e‘ = ix^>
1=1 1=1
ДЖЖ( 1. 2. 2)W( 1. 2. 3) ,
Х‘ = ^a’Xi’ Х‘ = ^b'iX’ = 1’’"’га)’
^4>^№B=z(6;)^^I^A = (a;)6<j^^^,gp
У, Ь'ак =8], У Ь^а, = 8\,
к=1 к=1
Г1, i - j,
8\ = (1.2.4)
(.О, i j.
Kronecker delta.
* 4>/нй-^М, ± W
X = X'et = X‘et, X‘ = a‘Xj, X‘ = b‘XJ,
<b‘k = = 3‘.
й v^ e VW
a G F,<
re(x + Y) = ff(x) +e(Y), 2
Ь(аХ) = ав(Х).
iBV = r+fflinSOWWD
16
ж-ж «5ЯНЯ
0+ш е V,0,a> е У ,а е F,$X
г(О+а>)(Х) = 0(Х) + <о(Х),
(1.2.6)
1(а0)(Х) = а0(Х),
ИО V’ F ±й()[и]>$|’в]. [bJS^I’b] V -t$J п фЙ ж ,
(w\e,) =^=^(6.) = 8[, (1.2.7)
м«',••• ,шп е е у* <
0 - у, 0(е,)а>‘,
I = 1
ГМ8,О у W уде#
1 ш‘| Ш { ej ЙЯШ».
w г • аа у* га ,т
$311.2.1 У> У*ЙЖ$|ё|вМР У=У*‘-
•иЕВД ЙТОЮ X е y,w е У ,$а.
(Х,ш) = ш(Х).
ТД.ЯЖ5М (0,6 е У ,а е F,W
(Х,ш +в) = (ы + 0)(Х) = ш(Х) + 0(Х)
= (Х,Ш) + (Х,0) ,
(X,ato) = (ал>)(Х) = аш(Х') - а(Х,ы).
х > у sij f
V'-+F ЙШ-148Ш
х е (О <= У ,^(х,ш) = <р(ш). х -
у, <p((o‘)et, 1Д|]
I = 1
(х,й>) = ы ( У <р(ш‘)е1 ) = ^^>(w')w(e;)
п
= (р ( У (o(ei)u‘ ) = <p(w).
^±^г^,уд y’^Fiw&i&mft.BP у=у *• I
1Д±ОЕ,^®±1ЙВДТ FJg У •
Й ! е; | fn 1 et i У , i <о‘! {й‘ | #)О-£Г1ЙШМ. й
§2
17
*7 =
Ш1 = Ь\ы ,
МФЖ|^В = (60ДИА = (а')ЙЙМР B=A~X.
X = X‘et = X‘et, 0 = #,<m‘ = Ofi)', Щ1]
Г = 6*r, 0, = aif,.
Xх,-,X"
ж.
2.2 ЗК>®1 9К*Е1й
$£1.2.1 & V,,-,Vk V. хК X - xl^
IF. етТИЙХ.Л е V,(i = l,-,k) ,а,0 eF,<
f(Xl,-,Xl_l,aXt +/3Yt,X^,-,Xk)
= af(Xt,-,Xk) + 0f(Xt,- ЛДЛ,,- ,Хк) , (1.2.8)
ЖИЖ К Ж) £1Ш. &ЯМ =2
.^(Vt,-,Vk-,W) = \f\f: V, xV2 х- xVk^W% ,
^2. 1 flrft.ffl-Я1 Й F,,-,Ft;IF) «Ш
^]—ФЙЖёГС.
ЙЖ.ШШи Т- V^W Im 7’=7’(У)> JB
\f(xt,-,хк) IX, е Vt,i = 1,-,к\^-%
Д 1ГЙ^$|'Й,и1ТЖ1т/Ж^Й 1т/£ЖЙ W
$£1.2.2 ЙГ,,У2 ^$ЙЖЬ|Й*£Гв]
Й W да-: v, XV2^,^
(i) IF = (Im®) =<®(У, xV2)>,
(ii) МТИЙЙ*$Цз] /даЖМЮ/: Vt xV2^Z,^^
ЙЙШ g-. w^z,№$f=g»®, BPWTi£4l3c&S:
т,1Ш*й V, да v2 V, да v2 де
w = vt®v2.
18
м-ж жжяш
Ж, (ii) Ф^йетМ g М йW. Ж£±,
Wg; = 1,2,Ш*Ж£М*1 6 vltx2 е V2,f(Xlt
Х2) =gi(Xt®X2),i = l,2. ЙЛк
gl(Xt ® Х2) = g2(X, ®Х2).
W(W,х2 SMfittt.BrjALg! =g2.
ихтжад if да®. i£ f; да f; v, да v2 RJ.
emit®:
(x,Y) t+x ® y, xeVj, ysf2,
ЙЖ X® Y : Ff x v; —>F :XtM6t о G f; ,a e v;,
(X® Y)(e,a) = <0,X><o-,Y>,
£Ф< , >^1UT(1.2.7)^X itfCMW e &(v; ,v'2 -,F),
Kemit®:^ xv2^(v; U* X®Y(X S
Vj.ye
w = <® (v, x v2)> c ^(v; ,v; ;f).
ЯЖтЕ^ IF да ® i& ! et ( , 1 sgi^n = dim Vt, | ep } , 1 =Sp < m =
dim V2 V, tO F2 j m‘ | tn 1 m₽ | Ff да V2* ф^Т
uj да|ёр1 ййдй. @^®дтййШ,й
X®Y = X(a>i')Y^'')ei ® ep.
TS, W ФтЁЖ> I et ® ep i (1«i n, 1 « m ) , В & I ® ё„ I
И Лй-Ф I e ^(f; ,f;
I = ^а%; ® ё„,
ЬР
ХФ a‘p =l(a>‘,«') S
jf = ^( f; , f; ;f) ,
dim IF = n x m = ( dim F, ) x ( dim V2).
F : F, x V2^Z
l?mitg:lF-^Z:XtTtt>6t^ e VlrY£ V2,^
g(X® Y) =f(X,Y),
R®BP1#f=go®. й±0М£,шпвра
1.2.2 |Ц]Й£|В] Vt да F2
$2
19
v. ft v2 йш&йят
ш&,пПй£ v; ft v; йжйж v; ®v; ,kw
v; ® v; & ^(v,,v2iF).
itL^H, 1 ы'®шр 1 ,l^i^n,l^p^m —ЖЖ-
^жта#5£Ж£я-Фхш1Ш£*
< , > : (V, ® V2) x (v; ® V2‘) ^F,
№
<е( ® ёр,ш; ® w’) = <e(,©')(?,,®’> = 8^, (1.2.9)
i. 2. з vk ® v2 ft v; ® v; гхш й , д I е; ®ёр ।
ft {w‘®wp1 г^хшй.
У, ® v2 ® - ® vk = ® vt,
BPW к шшлг
® : Vt x - x Vk -> ® V.,
,® vt = <® (V, x - x V4)>,
ДХШ- к G ^( V,, - , Vk -,Z)
g e ® vi;zj
ft=f#/=go®. jitW
^^1.2.3 & V^n^|nJ*£|S). Жй$|0]
r S
V, = V® ••• ® V® V' ® ••• ® V*
итёжш* r i5fr£$,s ^»(r,s)ao.
1 |5fr£$(«)ЗКйВРйИ(Д$) F W7G«iK^(0,0)
= F, V' = V, У°к = V’.
20
м-ж «аят
й I е;| & v ,1 I , Т >
| efi ® ••• ® eif ® ш1' ® ••• ® ы1'} ,ij, •••, ir ,jx , ••• ,j, = 1, ••• ,n
M V, Й9-ЖЖ. Ф e vs
Ф = ® "• ® в, Oft/1 ® •" ® ft/' ,
J\ Js ‘1 ‘r
Сч = Ф(й>‘1,-,<и\ел,-,ел)
= (Ф.й/1 ® ••• ® <o‘r ® eh ® ••• ® e;<) (1. 2. 10)
№! VЮЯ-M J; = а\ег шеичЬ{)1$,
РД Ф-'.-^Ж Ф 1 е, I , JOffi
ь*>-<• (1.2. ю)'
I ф;;.^I I <‘ч I >'Sfn
(1.2. 10)\ШпЩ£Я-ф(г,5)а!&Ж Ф:
Ф = Ф?*.'.'.^*! ® "• ® ек ® (»'' ® ••• ® ш‘‘
= Ф2."7'в>. ® ’" ® «; ® о/1 ® ••• ® й/’.
JI Js ‘1 ‘г
Hitter
#11.2.4 |е(| Я {ё, = аХ1 Т.ЖШЖ 1 1 *П
1 Ф‘^}*-Ф(г,5)ф
^(1.2. 10)'.
ЙЙЖМ
(r,s)К йтпЖ,Й1^МЖ*^1ДШП,^й
'Ётчшй^жж.
Й&1.2.4 ЙФ е ^.ЗКЙФ^П
ф ® G
___г1+г2
(01, —,0Г1+'2) еГ х - х V*
§2
21
(^,-,x,i+>2) e vx - x v,
W
(Ф®
= Ф(о1, - ,er' Л,, - ,*S1) W1+1, - X,+r2 ,x,^, - ,x,1+,2).
(1.2.11)
I et| йЯ-Ы ф Я * (ОЖИЯёК, BP W
(ф 6d u>yi”**ri+r2 = ф‘1‘7г1ф‘,1+1"‘‘г1+,2 fl 2 11 V
K /Л-Л1+,2 /,1+г-Л1+<2’ \ • /
й т = х1®-®лгг®01®-®0,,^Фxt e v,issis5r,0' e V ,i^j
Ct(iJ)
= (xi,ei')x1 ® — ® f; ® ••• ® xr ® el ® - ® &: ® - ® ff,
М^с1(.л^йГЖМ№ДЙ Ф ±,<#SJ-Ф(г - 1 ,s - 1)«Ж
с1<ляф е к:1- ДМЖ&Т:
&
ф = Ф^.:.;‘;еА1 ® ••• ® ект ® 0‘* ® - ® 0‘>,
ж
С1(;,ЛФ = Ф^.'.*;с1(;л(еч ® - ® еКг ® в”' ® - ® 0*>)
= Ф^'- ^ ® ••• ® eh. ® — ® ehr
® в*1 ® ••• ® ек/ ® ••• ® вкг
= Ф^''и*'^Гек ® ••• ® е* ® ••• ® е*
Л1 лу_ 1*^у+1 ^s"l "i **г
® вк1 ® - ® ® - ® 0к’. (1. 2. 12)
1. 2. 5 ct =
ЖЖ|п]й$|0]й№,ШПЖ^№^±ж<|в]Ж^га к йЖ^п
22
ж-ж жжяня
= Е © к-
га. ЭДЯЖЙЯН£®,^(Ю$й F У±Й9КЖ
V = r0, Vr = V°r, vo = V° = F,
B5L
(V) = У ® V, &'(V) = jr ® vr
й/(Юйтт
2.3 ХШЯЙ(ш«Ж
ШПЖЖ&
vr = Г ® ••• ® V*
££1.2.6 ЙФ е F^fOWV-J, evtft
Ф(х1,...дв,..,хм...дг)
= Ф(х1,-,х,.1,хь,х^1,-,
Xb.t,X.,Xbti,-,Xr), (l^a,b^r), (1.2.13)
» г Ф ЙЯЯЙ;Ж^
Ф(Х1,-,Ха,-,Хь,-,Хг)
= -Ф(Х1,-,Ха.1,Хь,Ха+1,-,
Xb..,Xa,Xb+1,-,Xr), (l^a,b^r), (1.2.14)
дажФ >£(5tt)»w.
i£I ef | v й-аж, I1 * Г фЙМ1ВЖ
ф = ф._.(я)4 ® ••• ® оЛ, 1 n-
4" x„ = Л>( (1 S= a « r) ,
Ф(х1,...дв,..дм...,хг)
+ Ф(Х,, - лв.. ,xb ,xa+l,... ,Xb., ,Xa ,XM ,... ,Xr)
$2
23
= a,b < г).
йт^,-л в ^йежй.врл: йМ14,ш#атт®.
ФЯ1.2.5 &Ф е К,1Д!1Ф^М^^Ж(Й«»ЙЗЕ^^Д
МФ,Ф е vr ЖМТ^ЖЙ а,д е F,
sit,к й*тз!£йй£<мт vr и
-ф^£й,ЖОг(Г
Л'(Г )^ж.
airmthЯ-
11 ,-,ri wa&w.o- е p(r)tm(i,-,r)4<r(i),-,<r(r)),
М1Д sgn^a&att^.flj
г + i, a^iss&,
sgn сг = < (1. 2. 15)
1-1, о-^<й&.
Я Л а *-> sgn а «$Ш ф(г)Я|ЙМФтсЖ +1,-1 ЙЖЙШЙШЙЬО
МЯГТМОДх,,-,хг е у^Па е ^(r),«₽W
Ф(^,-,хг) = Ф(Х^,-,Х^),
ШФДМ^Й;^^
Ф{Х,,-,ХГ) = (8ёпа)Ф(Ха(1),-,Х<г(г)),
Ш Ф Мй.^й-
?(г)ЙЙ-« Vr Й9-ФЙ^^а:Уг^Уг,^Я^
ЯТШ ф е vrs.xlt-,xr е V,
<ГФ(Х,,-,ХГ) = Ф(Х_7(1),-,Х<г(г)). (1.2.16)
ДЖ ф е vr ЖЙ а е ^>(г) ,<
сгФ = Ф. (1.2. 17)
Ф й«ЖЖЙЗ£51&#Д,МТ£ЖЙ а е ^>(г) ,<
<гФ = (sgn а)Ф. (1.2.18)
К ±^ШМФЖ5?Й£ШМ да
^Г:УГ^УГ,^Я^!|*:
5^г(ф) = А- £ аф, (1.2.19)
• гг^а( г)
24
м-ж жжяня
л£г(Ф) = 4z (^о-)о-Ф, (1.2.20)
г • о-е^Сг)
ft л, г ^$3K*e«j5ttantMTftswft»dF.
Й11.2.6 5^rft X
(i) 5^rftX «₽>&^»^,ВР =У,,Л>' =ЛГ-
(ii) 5*r(Vr) = ©'(*'*) ,^,(K) = A'(P’)-
(iii) Ф g vr = Ф,
Ф e Vr ~4( Ф) = Ф.
тлЕВД ^М^гЖт®0Л.15:те^(г)^-г^,Шй(1.2.16)ft
(1.2. 20)4#
т^гФ(Х,,-,Хг) = ЛгФ(Х1(1>,-,Хт(г>)
= Л У (sgn <г)Ф(Хат(1), — ,Х„(г)).
Г’-аег(г)
(1.2.21)
&Tsgn^®&w?(oam&wi -1, +1|й^&,й
sgn <7 = sgn <7sgn rsgn т = sgn <т rsgn ?.
| <7 I <7 G <p( r) } = |<7 » Xi (7 G ^>(r)} = <p(r) ,
Й(1.2.21)Й^Ш^^
A-sgn T (sgn <7 т)Ф(Х<7Г(1) ,-"Л(7Г(г))
'! o-e«.(r)
= sgn т^'ф^,-^).
^xit-,xr G v
т^гФ = (sgn т)^гФ,
швр 4Ф6ЛГ(Г),Т1 Х(^)сАг(^’)-й±,й:Ф елг(Г),
gp <тФ = (sgn <7)Ф,ЙЙ( 1.2. 20),
BPW ЛГ(Г )C^r(Vr).T> ^r(Vr) = АГ(Г ). ilfc,M(i) ,(iii)1&
I
F : V^W W PlJjtlBj ЙШЙВШ,
$2
25
W’ = W' ® ••• ® W\
ЭНШУе C ,xt,-,xr e v,££/’^e v; %
(f * Ф) (Xt ,"•• ,Xr) = *(f(X,),-М)), (1.2.22)
: w:^v;.
,WTi£14®
iai.i7
5^r» f ’ = f ’ о 5^, X ° f * = f * о X-
11ЕВД Й(1.2.22)
/’^W.W = W^(1) )>•••,/( *,(,,)),
Ж^-sgn а т±5Шй,.йМ а М ф(г)^.
7Г X (»«па)/*1Р(1,(1),-ЛИг)) = (/*!?)(X,,-А),
• о-е^(г)
ЙШТГЙОО
г!ае?(г)
= (^r!P)(/(X,),-,/(^))
е v.^e w;
X о f ’ = f * » л,. |
2.4 $МШ
Лг(^’) = ^r(Vr), г >2.
лг
Л*(У* ) = V’ , Л°(У*) = F.
ЖЙЭ1Лй^'»*1ЙЯ^1гЖ
££1.2.7 Й ф G ЛГ(Г ),if S Л'(Р* )• ЙШЛ: Ar(V’) х
Л’(Г )^АГ+1(Г )ЙТ^££
26
ж-ж жжяня
Ф Л = (г ? !^(Ф ® У), (1.2.23)
г !$!
Л^^Яб,ФЛ^>^Ф^
м i. 2.8
ВР^Ф,Ф,,Ф2 с=К'(Х),Ф,Ф2,Ф2 eA’(V’),T/ еА'(Г),
а,р S F,WW:
(i) (аФ1 + @Ф2) К Ф = аФ] Л Ф +/ЗФ2 Л Ф;
Ф Л (аФ1 + 0Ф2) = аФ Л Ф, + 0Ф Л Ф2\ (1.2.24)
(ii) Ф Л Ф = ( - 1)"Ф Л Ф;
(iii) (Ф Л Ф) Л 1) = Ф Л (Ф Л Г)).
ЯЕВД ДЩШ,®:?,
(ШьглФлтт.тйЮтЕ ф(г+*),шп<
т(Ф Л Ф) = (sgn т)ф Л Ф.
W
/ 1 , ••• , Г, г + 1 , •••, г + $\
т = I ,
\ s + 1 ,•••,$+ г, 1, •••, S /
ш sgn Т = ( -1)\тмде*!>••• Л+,е V,^
(- 1)"Ф Л Ф(Х1г-,Хг„)
= Ф Л Ф(хг(1),-,хт(г+1))
= Ф Л Ф(х^,-,Xt+r,Xlt-,Xt)
= 7ГЛ Z (^^Ф^Х^^-Д^ФСХ^,-^)
rlS !ae?(r+s)
= (г t Ф)(^1,-,^)
r’S !
= ФК Ф(Х1,-,ХГ^,
ДЖИИ#®.
Bffi(iii). Й(1.2.23),М^^Й^,-Лг+!+1е V,w
(Ф КФ) к ^х.,-,хг+,+,)
’<7Т^!7!,Х„(-'"'г’й77 s ;8”г-
§2 27
*„(,)) • nxTal„iy,-,xT^) .
^(^(r+J + l) > *** »J^a(r+« + r) )
xt<—Фй^й^те <p(r + s) C.<p(r + s +t) ,w
У, sgn asgn ?Ф(Хга(1) , ,XT,(r) ) •
<r€=^(r+J + t)
то-(г + 1) > >^ra(r+i) ) ^(r+i + l) ’ a(r+s+t) )
= У, (sgn o-)<P(XaW , — ,X^r)) •
o-€=^p(r+s+t)
^(^(г+1),-Ла(г+л))т)(х <r(r + J + l) > ’Xfr^r + f + t) )
= (r+ « +0М(Ф® IP® т,) (Xf,
(Ф Л 1P) A tK^.-.X^,)
= -"--^,7,—® V^® 7?)(X1,-,Xr+J+1). (1.2.25)
Ф Л (^ Л t?) = (r-+/t+ tl!^( Ф ® ® v)
rfs !
= (Ф A A 7/. I
JBifcl еЛ’(Г) =Г ,Л!|<»Л<»=0.
2 i£l*/|lsis„^ Г де-ЖЖ»
<ач Л ы'г Л ••• Л а>' = r!^(<u‘' ® (o'2 ® ••• ® а»'') ,
(1 sS iit-,ir « n). (1.2.26)
Vr А'(Г )ЙШ^СМ.
М1.2.9 тй dimV = п.
(i) = Ю!.
/ п\
(ii) 7i>r >0,]ДЦ dim Л г( V* ) = I I.
ЖВД Й^Й9Й^»«^,(1.2.26)^Й£«!11ЯШ 4,-,ir£
^|ft^ttttBP&,^r>n0t,Ar(r ) = |0Ь
Й71^г>0. Л-’-АлЛШ^Ч <- <Ч«п)>^Й^
28
ж-ж «жяня
у1, ai,-i^4 Л ••• Л ы1' =0,
l^ij < ••• <ir^n
-В-%-i/1 < " <ir^n) ^ЙЙ в1...г^0,Ж
ш+1Л---Лш^Ж±5Ш
а,...,.»1 Л ••• Л ы Л а»г+1 Л ••• Ла" =0.
Й(1.2.16) Д 1.2. 20)^П(1.2. 26),Ш
0 = ах...гш1 Л ••• Л <u“(ej ,••• ,е„) = at...r,
SWft S^A'(V) ^|WI±W(1.2.26),M
|о/'Л —Лл»'г| (l^h <- <^в)^Л'(Г )Ю-Ж£. ОгЗ-ЙЙЮ
4даГ),м
dim Л'(У*) = И. I
\ rl
JBifc е V ,в\-,вг в' /\ -
/\ &г =о.
dim V = п,
Л (У*) = £ ФЛг(у‘),
7^0
МЙ£Ш.2.9,Л(Г )^2“Sfa*Sl?J,M&£S1.2.8,A(r)£
Л1Ш ±й-ф£Нг1Ш,'Ё^й1п]й£|в) У*
j?Jc Grassmann ftJJL
j 1 ,w‘( 1 i C n) ,<o‘l A <u‘2( 1 h < 4 ra) >"•,
ы' Л ы A ••• A <a !
>A(V)W-M.
1£A3£S 1.2.9 ф0г^Лг(У') e Ar(F’ )йГМ
£ аг1...;У‘ A - A <7'. (1.2.27)
1 ij < •• < ir^ n
Уг,Д^й.^5К*,Й
IP = 6л...лй>д ® ••• ® <alr, 1 л,•••,;, n,
^Ф^*6Л...Л>Й^Й<1,ВР
§2
29
г 0, л,-,л
bh-i, =
l(sgn г)6Л(1)....г(г), r€p(r).
26)^Л#
= Аа.-Х Л ••• Л а/', (1.2.28)
Г’ 1 т
bh i, = % -Л’ 1 ®= h < - < Л п. (1.2.29)
йй.М V е Л'( V’) М&ЮЫ
Ф = У, л Л «*'
l^i, <••• <ir^n
= Jra. .w71 Л - Л ft/', 1 п. (1.2.27)'
г I Jr
аА..,ДТТШ
Яй 0l,-,0r e f*
0“ = 6“а/, a = i = 1 ,••• ,n.
ww
0l A ••• A 0r = Ь\--Ь'й>11 A ••• Л ш'',1 «j\ < ••• <jr^n,
еЛ'(Г),й
0l t\ ••• t\ O’ = ait...irw‘1 A ••• A ar.
ЙШ#
ah-h = У, (®8n T)6‘r(l)",^r<r) (»1 < •" < ’r)- (1-2.30)
re<₽(r)
О1 Л - Л 0" = det(6JJw' Л - Л ш". (1.2.31)
1.2.10 (Cartan 51 Я) £ V* ,i,j = 1, - ,г(г п =
dim D.fiSw’.-X
£ а Л 0‘ =0
30
Ж-Ж «&ЯНЯ
О' = ач ~ afi (i’j = (1.2.32)
явд ,шп,шп\^ vw-ад.тд
О' = У ачы> + У «ip"' >
J=1 p=r+l
я
У Ш /\ О' = У (aiy ~ а^)ш Л <и; + У aipa>‘ Л ыр.
i = 1 1 i < j г l^i^r
ЙТ|«лЛ«Х^<^ДЛ2(ГШ-М,Й
У а>‘ Л tf = 0
1 = 1
^'ffrT % = OfijOip =0(1 =gi,j=5 г,r + 1 =gp=gn). |
181.2.11 & Д V ф £
Л’(Г У',-,*' еА”'(^),О
Ф = a A IP1 + ••• + ш Л Фг (1.2.33)
^Й^^Д
ш' Л - Л <Dr Л Ф = 0. (1.2.34)
«ЕВД ^<(1.2. 33)^, MSB (1-2. 34) JE
ш V’ Ю-М1«*, - (. -ЙШ,<
Ф = а Л ’f'1 + ••• + а Л + У а1г..^' Л ••• Л а>‘‘,
г + 1 < ••• < is^n
(1.2.35)
ЙФ eA‘-1(F‘ )• ^r + i>nBt,BPW(1.2.33). +
п,Ф(1.2. 34)5£,<
У Л " Л а Л <а' Л ••• Л ш‘‘ = 0.
г + 1 ц < ••• < is^n
Iл - л лrt> (г) де-тж, врш я(1...(, =
0,1=54 <••• <i,^n.R@(1.2.35),BP^(1.2.33). |
МТ Ш , •••, й/ е Г , ф е А’ ( v ) Л 1, -, ’ е
Л”1 (Г )^(1. 2. 33)$2i, w ф =0 Mia a>f =0(р = 1 ,-,r)
Ф 0( mod (у1 , ••• ,<уг).
(/,£ T’l)
‘0 X‘O < (X‘X)g
1ИГл э
^»й*(.л)гоэ*‘(ai^Wi“iWuТа¥л$ тХЖ
S-Z
•.ОД ( ,л ) V -( .Л) V 1^/^felЭДЛГ-Л
й ‘ ^Ш1 ад (.л) v (.л) v ./ад * ютгг$
I -®ШЙ
‘(’+Jx‘-‘'x)(/ft./) V (Ф./) =
(,+Jx‘"-‘lx)U^® Ф.Л^цГГТ) =
((’~,ЛГ--‘(,+',Лх )(-*./)
. С^х‘-‘('^х)(ф,/)(^ u3s) X -^ =
(((^Х)/‘...‘(<->ЛХ)/)^
(»+-0<*Э-о? у-d
• ((<J,W"-4(,)W)0(^uSs) A iy- =
(C+Jx)/‘-‘('x)/)(/ft V Ф) =
CJx‘-‘lx)U V ф) ./
‘л э‘"х‘-‘1хмл
(9C-Z-I) -/ft./V Ф./= (/ft V Ф)./
J^‘(’=s + J ФЖ)( .Jl).v
э4‘(.л)лэ ф аджт>±ад -ад^^1и¥vm),v
.Л1), V : ZTT-ISES
•ЙЖЖ ж - (.Л).7*-(.Л),7:. ‘ Гй^г • :л+- /л
:./^¥йТ1'^#Шад Л1^Л : J гг§£
о=фу -у,«»<#^^жадз*
‘fi у ’тх = ф
1
$.л э ,fl##dg‘(/”‘-‘iw рош)
0^Ф1‘(.Л)г7э Ф‘ад^ЗТ^¥.Л э зш
ТЕ г§
32
м-ж
mg
& к! У де-М, М 1<(<Л г ф
g = gtja>‘ ® ш‘ ,gv = g(ei,ej).
й X =Ге;,И g(X,X) =gvXtXi. i&O g О =
(g,y)MiE^e<|.
^П^ЖЛ±Й<Л*1^М-Ф^< , ):VxF—>R. (X,Y) ^{X,
У},Ш^ШХ,Г,2 e V ,a e RO;
(i) (Х.У) = <УЛ>;
(ii) <аХ,У) = а(Х,У); (1.2.38)
(iii) (X + y,Z) = <X,Z) + <y,Z) ;
(iv) (IJ) >о,д^{л^х =0ВШ£.
ТД g
(Х,У) 1-><Х,У> = g(X,Y).
ео2(У‘).
УФЭ1Л?£Й.Х e Уй?Ёй,т^
II X || = <Х,Х)1/2, (1.2.39)
||Х|| =1 й^*#3/$<&Йв.ЯГТ*,Уе v,£OU(*,y)£Xft
d(X,Y) = || X - У || . (1. 2.40)
Schwarz
<Х,У> || X || • || У || ,
II X + У II « II X II + II У II .
£&1.2.9 у£|^±дейЖ(Ф gsmw&oc-®
(V,g).
(v,g) ф,йТ^|Л^ЙЙ-Ж^ЙЛМШ^. is
Schwarz х, У е У,Х#0,Г#0,ЙКО
Pt-й-0(О«0^К).
cos 0 = <Х,У>/||Х|| • || У||. (1.2.41)
§2
33
ММЖА'Л = O,»|nJ>*^ УДдЕЙОД. (V,g)lfyn( =dim V)
Ф Ж Ж IE £ И Ж & fa Ж & й v де (- а) iE й Я & £, £ & z $ Я! & «
%М>&jES^^jE^Sg.
Ж® 1.2.13 йЙЙЙЖ$1'в1 (V,g) Ф ,#Й1Е£ЖМ£.
гЕВД йё,,-ЛЯ/ЕЙШ-*ЙЖ,£Я
«1 = ё,/ || ё{ || ,
к-1 . к-1
ek = (ё* - У <е;,ёк)е; )/ ёк - V <е; ,ёк)е( .
«ЙГШЕ I е„ 11<кс„й-*Й1Е£МЖ И1Й8О Schmidt iE£
ft. I
ЯЖ V,g) $-aiE£M£ I et | ,
fl ,i = j,
gij = g(ei,ej) = (e^e,) = 81; = J
lO,i j,
WOW X,Y e V,X = X‘ei,Y = Yiei,{X,Y) = ^XiYi.
Ж^гЦ.
4ШЙЙ*£|вЦЕ,£)Ф,
Г ФЯМШ =(giJ),
Ж#
g^ = 8* ,giJ = gJi. (1.2.42)
g=g4®e. e V20 >-^(2,O)S!M^5K*,'&W^g = giX®^
9КЖ.
/(e;) = g.w\
/(X) = X‘g..a>J.
етйа=<г^ e
/(сг^'е,) = o-jW*,
ЙШО. Sffi/= V-ГДРШ <Г 7>Ш^0СЙ1»1Й$|Й],ХЙ«
м
I
л
II
"3
^3
II
"з
“з
two
ш
>4
и
£
Ш
£
!»<
II
^ч
£&ж. =1„0мк^
Й<&,^Ж^йТЙЙ« к ФЭ1ЛЖ*$±Жй®:ЙЙЖ$И. од
У'2Л
3
3
гГ
3
э
3
3
3
3
гГ
гГ
.х*.х;
е
и
е
еТ
S
«.
ие
«г
II
fcUD
5®
II
-в-
е.
И
t®
II
ф
е
II
5®
tb
•=>
1Ж
1. 1ШК F :{/(cR")—R“,a С V,Ttf ЖW г>0,Й1?4Ь0,®3
||*-Г|| <5№Г,да» || F(x) -F(y) || «ДЙ^И-тЕЩ^й
§2
35
£ а n 'Н1Й«Д~ ЙД а Й5*Й^Й9.
2. S U,V,W Д R” F : U^-V, G: V-+W ЙРЙЙШ ,H = G °F : U-*W. ffi
W -.F,G,H
3. ЖВДЙЯ1.1.4 Й9£& I Д#=& 2.
4. тЕВДЙЯ 1.1.6 йШт£.
5. ^тнЛИФМ»(й»)Жй«)Жй«*!Й'ЛМ»(й»)5Кй.
6. ВЕВД£Я 1.2.6,£Я 1.2.7 ф^тхтя?3е, Й9ЙГЖ.
7. Й01 ,-,ег 6 V’ ,dim V = m( >r). ffil» -.0', - ,0r
в1 Л —Л Г 00.
8. йе‘,-,г e V* ,Xt,-,Xr e V. тйЕВД
O' A - Л вЧ^.-.Х,) = detCC^.Xy)),»,; = l,-,r,
=e‘(X;).
9. йРеЛ'(Г),хе v,feXi(X)<p e Ar-'(V X,,-,
Xr_! 6 V,
i(X)¥>(X1,-,Xr.1) = ^(X.X,,-,^-,).
ЖВД:1° £(X): A'( V ) —Ar-'( v ) ,ч> I- iW<P <P e Лг( V ),
^6A'(V),W
i(X)(y Л ф) = i(X)g> Л ф + (- 1)> Л ЦХ)ф.
и. ®вд(1,»)яж*чя1йг7^7?э|
12. ;g=|sfr#$5l£* ФШ£ Ф(х,г,г) =Ф(у,х,г)^п Ф(х,у,г) = -ф<х,
х,у),И Фй^^ле*.
13. iSffi:*fi-aST,Kronecker deltas' Д-ф( 1,1) ЖЖЙЙ95».
g^u ~ guat + gjiau ~ guai/ = °,
Жа=Р^,ЙЖр^»*.
is. 1й(у,£)Яйкй*£и,ай-1^м»л^&*. nma»1 -.v^v
$ПТ:
(a’(X),Y) = в(Х,У) ,Х,У С V,
ЖФ< ,
1° Йр.Яв’ЙШЕЯЛ^ШЕЙ*. =0. ВОЙ« =
ЛФ I ш ! * I е, | Й5М1ЙЖ ,М =р^.
36
м-ж «жяш
2° SI ef I й й ЖЙЙЮЯШ-Ж, I et I , Д» е, = Д'е..
а = а^‘, ЖФ | 1 Д I ef I WM1SS ,И
av =
к
ЖФ Л(к)1 =g(,Ai,g# = <ei>ep.
гттЯЖ
, ( I I T) = 7‘ (шх‘-‘, x),x = ,x
(л ил )"<Нл ил У*г у*°п* ЗЯШ1±4Г WKH?
(I -I т) ш‘...‘1 = ?* (л‘-‘,х)л = л
•(Л и [№<- (Л и fiyd>-xn_d> °л<1>
Й‘(т ®)ЯЙВД[в.1^(лил)л*и*(л
ил)я<*Ж4£ФИФ »Я ХВЗЙ$‘4ОШШ1<$1>-«/*...*t
= У (J>)гх Ф (Л^‘л ОТ ь &
•»
/V #Ш(я<*‘л) »8?й^к?
Л W Я<*°Л= ,* Wi •ш‘...‘Т = ?‘((6)М)!Л = (h),x
адяхв'л э ь Шй^£а<-
(л)я*: Л •йгЭДЯШ1^-ВДФХ^^Т<„аЭ(л)я^Л : "<* &
Я£ЭШИ« ш % w ШЙ‘ШГЙм й- л d >ЯМ
‘/vs d ^-^&£‘|Ml^g£jJ«>Psn*H Ф-1ЯЙ I-I ТЯЖ
те‘£«^м^т^-&эиуги[О:НФ-ВДФ л
л zs zs
^Cd)4‘(/) 'X^Cdy* .rf^”rfГ1£^>#‘ет&------
Ti
^ж*явд?ожа l§
38
М-Ж ОО
а 1
(i)
U = !(t/a,<po) I а и и« = м\
абЛ
Ф^^ЙПЙ.
(ii) ’f.X'f'ffM а,Р G Л,'^\ Uar\U^^0Bi,<pfi vJ1 <P«(Ua('\
и^<р^иапи^% Ск gW,BP^S£&B$C(2. 1. 1)Д с‘ &},№^
% ск «Ы^ИЖЙВШ ФЮ$И1 с‘
(iii) Д>Лй с‘ ^SflOPW м ЙМШЙ( V,<pv),
ф с‘ с* шшя. м
2.1.3 й М Д т ЖЙМЖ, Д м ±-ф ск йТЖ*ёЮ!|
^(м,^)^тжс*чжаЕЖ,^тжс‘
с‘ ЯШ. OJ.-Ф С“^ШШШз№йЯЖ,сш
й М Д т ЖЙМЖ ,ЯД< Ск 44Шй>
= 1 CUa,<pa) I а£^|.
й = \(и,<р) I (и,<р)
1Я(с/,<?) ,(Г,^>') е ипи'^0.1£р с t/п0 е
^,^9р е и3,й1Шр е unu'nufi^w. & w±
<р' о 0)-1 = <р’ о ^-' о <рр о ^р’1 ,
ф %№&Х,<р' ^'-.<pfi( С‘
$1
39
tw.ihv1 с* южв, вр
с* X ^Д-ф с‘ ito,
Ш0(^),^з Ск 4WJrM
ШЭШМР(У,ф) G ТМ,^Д м±й-Ф с‘
^)Д-фтШС‘ ШШ- йи±М^вт^,ЯИ^ЖЯ1ЬЙЖМй
-Ф с‘ ,®tЯUA^it м ±й-ф с‘ й!Шё$, АЖ м% ск
М.
Ф,МЙЯ'Й м одWrTSJcS^^.
ш R- Д-ф/пЖй^МЖ.
Ш Кт + 1Ф№<МЖ(Й2)
Sm 1/1 m + 1 \ т*т + 1
= < (х , ••• ,х ) G К
т + 1
g <«) = >}•
ffl 2
Ж 5" ЮЙА'й'Ё# Rm+1*WffiMffitb,ii!'J s” >-ФД<йП!с®Й
Hausdorff |’в]. iB
(/; = |(x’,-,xm+1) । х‘ > о!,
J77 = ( (x1, ••• ,ят+1) I х' < 0} ,i = 1, ••• ,т + 1.
£fiW> Кт+1ФЙФД. Ut =и- nS’d^.-^m+DH
40
М-Ж Ж&ЙШ
S“. <р- : (/,*—>-Rm :
± / 1 т + 1 \ /1 л£ т + 1 \
(Pi (х ,••• ,х ) = (л , ••• ,х , ••• ,х ) ,
“ Л U* МО
w, = | (х1 ,-,х‘,-,х^') е R“ I (%*)2 + - +
(х‘)2 + ••• + (х”+‘)2 < 1!
ЙШ ИЙ Sm дткй. Й£Х 2. 1. 1,5” Д т ЖЙ^ЖЖ-
<р2- °< ) •1 ?; (и2- п и;) ^<р2- < и2- п и:),
(фГ)"1 /г m + 1 1 1/2 \
У,...( [1 - £<«>’] У.-У)
/л" т +1 1/2
У.-У).
±ай^. тд,ч>2 <?;)
Г " 1 1/2
v1 = [l_^(u' )2] ,va = и“ , (а = 2, •• ,т).
= 1,-,^)Д uyG = i,-,m)№ С“ й$с.
?i+), (и2- ,<р2~) д сш гёзт и* ,v*) ,i = i, - ,т +
0IJ3
la е 1)8 е м
xA\M!t/a x^ia е е ^}ДЙИ'^|в]МхЛГЙЯ1М.
вш?„ х : иа х V^R” х R" = R” + "inT:
(<р« х ^₽) (р,?) = (<₽о(р) ,<Ар(<?)),
(Р>9) е иа х V, с м xN.
(иа Xve,<pa xt^MxN ЙМИ. WДЖ50МД ск
xN№)Ck ЖЖ- Ъ
шск ЖЖ М лг дешш.
5F®t2=s1 xS1 джмад S1 ЙЖН s1 Д 1 Ш С°°Ж#ЖЖ,И
й Т2 Д 2 ж с” Ж#ЖЖ. ИWitH, г = S1 х-” х8* Д т S С’ Ж^ЖЖ-
§1
41
^14 й U% С* ЖЖ М ЙТТЖ- М tUMM
1 (^«,<Ра) !« е v« =иаГ\и,фа = <р„ I Fe, Ж I (^о,«Аа) la е Л>\Д
и ±й с" , A® u%ck ЖЖ- м № ТТЖЖ-
КА Mm„(R)^ В ± ихпШМТ )RMg₽| А = (a,)mx „Х^ЙТ
(а11 , ” ,а1» ,а21 > ” ,a2n > ”* >aml > ” >am») •
&ffl£T^®l!W,^(R)±£XT ЙММ С“Ж5>^.дяя(В)
« С- ЖЖ.
Й GL(b,R) = М GAnn(R) I det А 0 0( ,
fiM,GL(n,R) CM„„(R) ,Sft det А Д А ИтЁЖ GL(n,
R)>^(R)lfttf£,A®^7H4OJ.
аж лет ^-йеьжж , ж ка ^ж т i^ вшзнт
ЭД 5 1%<р* : R—>R Й ^*(х) =х3 SX,W(R,¥>‘ )> R±W-T
са r ^'. я-#®,й <р(х) =х%
X№(Ri9>)>R±£M С“
>Т1№ <р <ч>*) -’(х) =
= 0 &TW^UZ(R,?’ )?n(R,?)T> С\к
Шй-
1.2 IBJ P (R) Grassmann
Т®^ШЖ#ЖЖЙШФМЭДТ .^ПЗШЙЖЖЖ.
й X Д-TStb^iWI, ЖЫ = I г е
АГ1У~ж|а^хй^^.хет^-ттжАсх,ж [а] =и
А ФтсЖ^^ДОЖ'й-. 1Д х/~ 1Г :х-+х/~,
х^ыажйшшн*) = [*]. яй*/~±жх»жйемр^
77-*(г/)ДХйТЖЛ!1®Х и%х/~ ЙТЖ. М.зе» п Дз£*Ш
It. ШИМИ^Цз] х/ -дх^т^^ж ~ ЙШ(Й*М2®.
жхет-т^ЖАсхлАцьдх^жвелй^^ж-^^й.
а^ж®Ф<£№йемш.
51Я1 X±W^£ ~ тгД-TJm
it. йд 77 ито. х д< та® ли х/ ~ шд<пшд.
ИЕВД ЙАСХ^ТЖ. [А] = тг ~1 (тг (А)). ~ Д?Р
ЙО!)[А]« X ЙТРД. Й®Й?ЬЙ^Я,77(А)СХ/~ШДТЖ,ВРт7
^tmie. 77 77(A)^x/~etJFTft,a* 77 д^
42
», Й 17 -1 (ir(А) ) = [ А ] X Ю ЯЖ, ВР ~ >Я й.
Й1ГДЯ^М,КХ мятежа,- £ w%x/~ йЯЖЛО
ir~l(W) = и 1/„ЙЖ7CZ.H w= U ir(t/p, Affifi ir(f7;) I jez3?x/~
jej jej
I
5IS2 g>m§IV±mifrMgS=l(M) I* ~y\
%X*X ЙЯФЖ,X/ ~ % Hausdorff £|BJ.
ЙЕВД SSfS^0i£,axX) -S^Kft.-Sir(«)^ir(y)^^/~
ФЙ^^,ИРмТ^,(«,г)е(1х1) -5.й#£ХхХФЯЖ
Oc(XxI) -S. T> i7 = ir(LT)^ Г = 1г(Р)>Я
@Я~МЯОД,«&31Я1,1гДЯ1?Ш.Й
Hausdorff $|aj. |
«01 &O^fflP’(R).
4>X = Rm + 1 - |O| ,BPX&&£0 = ((),•••,0)Я-Жп» + 1) -теш
x = (x1,- ,xm + 1 ) я X ~ :
^t#O,^y=to,BP
(у1,...,^1) = (tx1,-,^1),
W у ~х. R"+,*£t>£Wm ffi P”(R)^M
£®Х/~ КХТЖЖВД P"(R)l-^mtW C*^t
ЯЖЖ.
5fcfiEP”(R) i£t>«Oc №Ш<р,-.Х-^Х,<р,(х) =
хш,»[и] = у?ЛЮййхФЮЯЖ,ВР^0Ь£Ж ~ДЯй. S
ЗМД Rm+W^«,Mimi^,&fil3ISl,P”(R) =Х/~ДЯпТ
#ffi P"(R)> Hausdorff^. ЯЯФ« * XXCR’”*1 xR"+,±^
^£{O$/:*xX-^R,
fix1 ,"• ,xm+1 ,y', — ,y”+1) = У (*yл/у‘)2.
ij= 1
амл«,у)о^йд/(*,у) =o ^м^*~у. siits = i(x,y) ।
X ~y| =Г(О)^1х1ЙЙ?>. ШШ513Й2,P'n(R) Д Hausdorff ^|W].
rn + 1 ,1 CisSm +1 ,<§
U. = jxl X e X,xl 5^0} , Ui=ir(Vi'),
$1
43
Й Pt, ft Ж X ~ у, да] <pt (x) = <pi (у). Й. %, & <pt (X) = (у), да] ^7 =
xp
X-(p = 1 ,••• ,i - 1 ,i + 1, ••• ,m + 1) , HP у ~x. SPt.HfclJ ^t^R"
Нййлаоюшоя
tpj1 (z‘, ••• ,zm) = [ (z1, ••• ,z‘~', 1 ,z‘,••• ,z“) ] ,
Д C" №tt:R"‘->R'" + ',(z1,"-,z'") I—► (z1, •••,z*1,1,
z‘,-,z")^ ir U IpF(R). ТИМВД W
?<([*]) = (Д-^ЛЛ-Г1).
яф ^ = 4 о* о,
X
да№ ^ni7y(jVi)±WT^ C“
Й Ы ±ffi Щ, Ж ft Pm (R) Д m ж C“
2 Grassmann
R” т ЖЙЖ^Ца] ,-ЁЙ к к
ЖЭДЖ'н Х= («! ,•",**) »
Xi = (х}, — ,Xi) ,— ,хк = (ж],— ,«Г)-
R” ф-ф к X йШ^ф R к Й^-ф кхт&&,$№Х
Жаж- ЙЖй хх,-,хк. кхт ДЫ(Ю> С“
йеж.жмт к ^(R)
ЙТРЖЖ- SHt.M-Ф С“ М F(k,m).
М,.Г(&,т)Й-фА,ВР к R" ф-ф ft Ж®. ЕР Й
X,, - ,хк #ЯМФ к х = (х., - ,хк) fl Y = (у,, - ,
44
Ф к Y = AX,A G GL(k,R) ,ВР
У‘ = det(aiy) #0, (i,j = 1,•••,&).
j
Y ~ X, = AX, Af=GL(k,R)
Дф G(k,m) = F(k,m)/ ~.
ir-.F(k,m) -tG(k,m).
$J$<pA-.F(k,m)^F (k,m)%& <pA(X) = AX £ X Ю UW, ЙЖ A G
GL(k,R). 6 Jjffft, ЧГКЛДЕВД C(i,m)WBRO ir
&F(k,m) xF(4,m)±£X£M$/;F(*,m) xF(fc,/n)^R;
xj1 ••• x'j*' 2
к m ..........
/(Х,Г) = £ £
' = .\и = > x‘l ... «*♦>
y‘i ... у;*и
/ = 0 SMS X ~ Y. TM s = I (X,Y)\X ~ У) =/-*(0)^ F(k,m) x
Г(4,т)ЙЙ)?^ G(k,m)% Hausdorff £|a).
л^ш G(A,m)± с* J = (Л ,
Л) > (1, - » J = (1, -,k),
И Г = (к + 1,m). Ж Xj к x m&₽$ X ОД к х к ,1 ^i,
l^k,Xr^ X ,-,Л 5Wf#S!l$ к х (т -А)$&гЯе₽$. iB
Uj = (Х; G F(k,m) I detX, 0} , Uj = ir(Uj'),
(Y}) 'Y. x* kxk^^. ШП У e tr(1>...,4) JlJ Y^ft
0
0
14 + 1 m
Xk •••
<Pr-Uj^Km-k)
(R)iBT:
$1
45
ф,([П) = х;..
м^й^й.-а^иквш. #т(1,-,ю)й *4^1*1
7сЖй<^фж/й^,к^,^)1мт ШлЖ-даш
ffl>. ЙОШВДТ G(k,m)% k(m-k)^ Са Grass-
mann ЖЖ.
1.3 ЖЖЙШМ
Rm R" Й?РЖ£|1ШМЙ ^14Ж£$Й£ХЖГ£0
ск ЖЖ1ч]й1ОГ±.
JE-SC 2.1.4 ЙЛ/^т^С* ЖЖ- WcM^^.f. W^R%&
ЛЙ^. Mflf р е р ,uc\w*
0,шя
fo <р-' <р( и П Ж)( с R") ->R
Й?(р)АД с к. MO-J&
р е &V3₽M С’ йЛУШри^З/Й ^±й С я». jf± с‘ й$сй
CI(W)^.^\,C,(M)^M±^<й cs ЙВ.
± ,&( v,<A) Д&З-р АйЯ-'НЫО ,Ж
/° <р~' = (/°Ф~')°Ф° <р~1-
йй ф »<р-' % Rm с* шжлр <р-' ф ’ 3₽Д
С Й(5 < к).
°<р > U ±
й С‘
5Ё£ 2.1. 5 й М ft N #JO т^п^Ск ЖЖ-
Af^T-Др е 00±fc$p00(l^)0±fi*? =
Яр ) й « S (v, ф), &Ш1!Ш (S з)
f =ф°/° ?-':f(1/)(CR‘) —> (Д( V) ( С R")
й р(р)М C‘(s<Л) й .JOOtZ : M^N йр с й. H№f M^N
й М Й<- А«₽М С‘ Й С‘ ММ.
f Й^Ш^Ж^/
X = (х' , — ,хт') е <р{и), (2. 1.2)
46
МФ
ВВ з
/“(«) = тг“ ° ф • f« (р 1 (х), а = !,••,п.
(2.1.3)
R" q>( U)±№ С й
В И,ЭДН С' Й^Й",Ш/IС
F,/l„: V^N^C
% cs Ю- ifcfl-,П2.1.4 >££ 2. 1. 5 ФS N = R 0f ОД4Ш1Ш.
01] 1 i£M = (a,b)% R ЙЯО1ЛЪ&С‘ ЖЖ- C‘(sCi)№
ttf : (a,b)^N Af ±Й-Н C‘(^) ЙЯ
££2.1.6 M fl]/VM> m ЖМ пЖ Ck %W,f-M-+N&
P GM£%C(s^k)ffy. (и,<р),(У,ф)#%№&^ p-faf(p)M№,
=ф of»q>-X-<p( 11)-+ф( У)* <p(p) P
2. 1. 4 пШйШ/Й P U,V) , ( V,
Ф)^Т&Ж^.
, Й (2. 1. 2)ЙТЭД ,/*p ft Jacobi
IW
(^L ...
dxl dxm
dfn ... ar
<dx' dxm >
ЭДЯШ±Ш£,МТИ--Ж §1 Ф^Т Ck
Я.ЭД^Г
$1
47
%,FVlK = 0 М ±Й“Ф С" ЙЯС'ЁЙ К ±Ш 1 ,£ F ±Й
МЮ$.
Jtifc йг/^С‘ЖЖМ±ЙЯ:Ж,/Д 1/±ЙС’ йШ^*),т
Ш р е и,&&Р й-ФО VC и да М ±й-Ф С йЖ/ ’
4U/’ =/,ДЙ U^f' =0.
Й12.1.2
c'dsss^Oh М/М рем й-Ф^^Й^й г, М
±.&%р№Ы®(и,<р;х‘)^ N ±&3- 9 =/(/>) Й^М(У,<А;У“),
<р{р) = (0.-.0), <А(/(р)) = (0,-,0),
я
(п7г)ф
/(х* ,••• ,Хт) = Ф о fo <р~' (х1, ••• ,хт) = (х1, ••• ,х' ,0, ••• ,0 ),
нп ° /”/ 1 Iх ’ а = ^, "‘,Г’
ВР у = J (х ,--,х ) = 1
10, а = г + 1, ••• ,п.
±д£йяфлй?(ю =С(о),^(ю =с:(о)^^(ю =в;(0),
ф(у) =в:(о).
^^2.1.7
ии. = m^n ^hh,k./w -‘жд с вш.дат/й с жя-ни,
Я^МЯЛГДС' ЖЯНИЙ.
ОД 2 Й(17,^)Д т s ск жж м Й-Ф^М, Ш Ч>- и-^
<р(и)(ск-)^ск шжи.
1.1 й*И-ФОД^Ф,(к,?)Жк,?* )^ЖЖФ с*ж^
жж. ^ад$)ша,т&зш^ж#жж#одйй » «2. waa
F : «j -> R2, х 1-> х1/3,
F(x) = <р* о F о <р~к(х) =х, F'1 (х) = <р о F'1 о (д>* ) '* (х) = х
С" Й$С,Й F: R^R. Д С”
^±одф с* жж «> да r2 д<данй£ж#?мж к.'еай с-
с‘(А>1)да$й,®МД С’Ж^НИЙ. -ФЙЙЙИ
® д, н-й1ьжж±^< йж#жж
*ДЖ#НИЙ? ЙДЖ^ЖЖЯ^ФЙ-'ЬЙ^РШ. j. Milnor Й
48
1956
Й#ЙШ1$Нё$[>й J. w. Milnor,Ann. of Math. ,64(1956) ,399 -405].
1.4 ?'№
W.U Ck
It. М/ЙА p e м м 1Ш P
m/&a p e м sm^T n юо »жо/йp
М/ЙМйЙ-АЖД«Л№/>Й£.
0|J 1 Й uckm t/-^R"(n>m)SAA
a(x', •••,%") = (x1, ••• ,xm ,0, ••• ,0 ) ,
Wit а Мйл,|:^да»л.
i%frU^Rk(k<m)feX%
0(x' ,-,xk,xM ,-,xm) = (x1,-,xk) ,
0IJ 2 1Я/ R^R
f(t) = (2cos(t - ,sin2^t - j ,
g:R-^R2^X^J
g(t) = (2cos(^- + 2tan *tj ,sin2^^ + 2tan ‘t
W^M^It/^П g i^SA( ffl 4).
S 4
#|3 SpR"- 10}^R®X*
/(x1,-,x") = £(*‘)\
R” - |0| йимм&й 1,ж Wlt/^&&-
1тмшт,ош 1.2вг^,^ж/йр s м ад
$1
49
SAJ/fcP м ФЗ-р й^Ш0( и,<р-,
?)»ЛГф-^ q = f(p) Йи^Ш0(А^;у“),^^/(1/) С V,<p(p) =
0(е r”)^(9) =0(еГ)Д/йО^/^^Л<‘:?(1/)^(П
/(?,-,хт) = (х1,-,х’”,0,-,0 ).
ЯД, й Ай*МЖ^Й> W .{В Ш#&Й Ю Д, ММ Ж,
W.mn±jO02 ФйШйЯЯЬ) = (о,ом=о, ±1,-,й/
ШПКХ^±^^^*»Л,ВР'ей!ЕДЖА,ХДЖ».
2.1.9 й ЛГЯ с* №ft№,N'GN. M&-S-IJW i-
N’^N >SA,ДОЖ N'£ N
£/:М-^йМ§Л,ЙОЙ/Л
ДШММ
:Q&f(M) f-' ((?) Д м ЙЯФ
%. % = | (иа,<ра) | Д м Й Ск ^) I (Я иа),
<ра »/'*) I ДЯЮ±Й-^ Ск ^М>,»-М&£ЯЛО±Й<1-Ф
,ЯМ)Мй С‘ шш. ±Й&ФЖ
Ж^МФ/#ЖйиЖЖ^.ЖМ,Й^/:^ЯЛ/)Д>^ИК- й
^ЯМ)^«ЖА,ЯМ)С/У,ЙЙЯЮ£
n ^«АФжж,'ед<й/#жйжж^ж
ЙЮЖ N’& N ЙИЙАФМ.-ЮНЙ Л'АЙЖЖЙ^-^'6
n Шп.виШУ 2 ф g(R)> R
ФЙЙАФ«,М£^)±Ф £#ЖЙЖЖЙ11'ММ'ЙМ r W
IBJйй?ь. Т®^Ж-ФЖДЭ!Й^Ф.
Я4 йЯ=5‘ XS1 = l(z1;z2)e СхС I |z, I = ы =1|,£Х
/:R^nnT:
ДО = (е2’“,е2’!“‘) ,
£Ф a ФЖчШЖВЛЯЮМ Т’ЙЖАФ'Ж
ЖЛНЯК)±Й»Й1РКДМ я
^^R^S1 xS1,^#
/1 2 \ / Ziriu1 2iriu2 \
ф(и ,и ) = (е ,е ).
£R2±£X^4fr:££“ ~”*ПТ:
(и1 ,и2 ) ~ (я1 ,v2 )<=>«* = и' + kt ,v2 = и2 + к2
(к,,к2
SW,<p^tBW^ralR2/ -MOS1 XS1 ±йи-ф|^к,е£# <р $Е R2 Ф<Ф
50
1 ЙШЗГЖИШ s1 х5\МФ|О№£^Й1Е#ЖЙЙМ'Ё
Я s’ xs1 й?НМШ№(® 5).
S 5
й«о е R>{iB-£,/(t0) =(f,i7).®l(»J,«o)e
fi(p(v),<i)ii4=s' xs1 йз-яийамт m «о й$₽$
U,W U) C?( W). &&i,f№!^^f=<p-i »f : V^W Д<Ж^
/(t) = (t,at) ,
MiW(t0) = (i,a).ft/ftt,lgA. й to
TWaiM/SM t2#tl ^#/(t2) =/(t.) ,BP<
(e2lri*2 e2iriat2) = (e2lri<1 e2lri“4)
T> t2-t, =k,at2-oat =/,ХФ t2 -tl#0,^rW a =
WWJt T2
ЖЖ.
ЖШ.ШПйШъЕВЛ/^йт2 =sl xs1 ФДМОД,ДШРЛЯR)
±Й/#ЖЙЖЖЙ1Ь^>-Ё№^ г2 Ж£±,$Ж
шюй <р
P*=A + t’
Lu = I + at,
ф Kronecker .М'ЙгЙ^плёЙ s>0,u,v е R,l$^Fft t G R
&ifc^,±&i:^£R2 tsow/wft^s1 xs1
$1
51
ТИШП^Ш-^й^ЙЖ^ЖЖ^М&^Ж^ЖЙ^
жж.
$£. 2.1.10 й N' CN > п С‘ ЖЖ N Ж, Ъ Д Й
ЙММЮН^),М<Д 9 е ООШ Й4*М
<^,ф-,у°),$№
(i) ^)ДК’ШД0,
(ii) ^(VAAO = | (у1 , — ,у’) е
Ф№ |у"+, = ... =Г=О|ЛЖЛГ'ДЛ
Й Ш ЯЦЕМтаЖ. >W±i£M(i) >
(п)Й^®( N& q e N'
Й?Й®Н(®6).
ЛГфЙ^ЖЙ.
&N'&N м m ^ОО^ЖЖЛ'
w-фй лттйошй
длг±£^жж©Мйзи=г. -Е
% = !(Ve,£,)l ,ДФ Va = VanN’,^a
= тг°(фа I Fa),ir= R " = R" х R ""”—>R”, (/
m m +1 n \ । w
У ,y , ••• ,y ) •->
(y*,-,y”). ^Й-Ф c" 4HSS>.
ж#*т 1Д)нмоо^жж,$тий'£д<±®мйж#
.
0U Ж5>ЖЖЙЯ^ЖЖД1ЕЖ^ЖЖ.
0И ЙЛ/
(1 ^S^k) ,Д|]/ЙЩ
gr(n = l(p,/(p)) f=MxN\pf=M}
Д?ЯЖЖ м x N й m SjOJ^ЖЖ-
«ЕВД ЙР eM%fci£-ti,q=f(p). (и,<р-,х‘)ЛУ,ф-,уа)^^
M^pRlf^q^SMUjCV^p) =0 eR",^(7) =0 G
R ’. ЙВ-ГД^аж/^of*?-1 !9>( Ю-^<А(Ю«/(0) =0,Д
(<p X Ф) | (U x V) n gr(/) )
= !(«,/(«)) e <p(U) x t^(v) |« e ^(17)).
G-.<p(U) x^(V)^R“xR"=R”+n,^#
G{x,y) = (x,y -f(x) ).
II
№
е<
v>
§1
53
(U,<p-,x‘)RN ЪДр) = 9 ft*HtfS( <р(р) =0 G R",
^(9) =0 е R”,/(E/)CF,^MS₽^/^^«/«<p’1<W^^
(п-т)ф
f(x',-,xm) = (х1, ••• ,я“ ,0, ••• ,0 ) ,
(х1, ••• ,хт ) € q>( U).
йТ исм >ТТж J м^дм)> НК,»ФЯМ) n МТ
£ЖКМтм)1Ш£ fit NТМТТЛ
f(U) =Wt ПДМ).
Й W=vnwi,x=<l, I ж,Ш(1Г,х)>ЛгФ^9Й^Ша,^Фх(9) =
о е R",^M
x(wnf(M)) = | (у1,-,у") ex(w) |ym+l = - = / = о),
WtJWOft№«. I
ЙРД±Ю&^,^/:М-^М-^Л,ДШМД/> e м,&&
М Ф^р ft-,ЖШ/1 и-u^f(u)^
и- u-^N^A. £sti£
Om^OAmOWEft
«2.1.4 iV:^WgA,gOOM/MA,K
ГОЯМ)ЖЕМ«В-
ЖВД ДМ) N ftjWJ> Hausdorff $|bJ , ffi/ : М^Д M)
CW>MSfc£l'OJ Hausdorff g ИД M) ft 1—1 ЙЙ1Ь^пТ
^,/:Af-V(M)^№,BP/^A. I
$82.1.5 N m n Ck №,f-M-^N^jC‘
^(l«s«fc),^ft^r.S|SAAtT9 ef(M),f-\q)^M ft m-rt
ИО!МЖ.
®ВД ifi/’’(9) =л,й^я>№ A^0. N
JWTft^tf^SM^MftHrfMli. й$Я2. i.2,#ftjgftp e a,
ф&'й'р ft^Bffl(f/,9>;?) tl N ф&^ 9 ft4U^S(
f),O/(l/)CM Др) =0 G Rm,t(q) =0 G R-,M/| „ w
(п-г)ф
Ф°/\и° Д1 (x' , ,xm) = (x' ,-•• ,x ,0,— ,0 ) ,
и ф^ДД^ви 9,BP
9>(4 П t/) =<p « (/| v) ’ о t^’1 (0)
= j (x1, ••• ,xm ) G 9>( U) |x’ = ••• = xT = 0).
а&,А=/-‘(9)Д Mft т-г^И1ЕМФ'ЖЖ. I
1Шт£ & M N #£IJ3/ m Ж» n Ш Ck ЖВ ,f M^N % C1 l&M,9
54
М-Ж
f=f(M).Mfl£A =f '' (q) А £ М ffy т - п &
W1EW«.
Т5ЕВД iOMWX.Om1.2йГЙ,£/М1Й
&.И/ЙЙ-ТД#Й М Фй-ф^^Ж
1Р^ЙгЖ&,ВЖМ/й ^±ЙШ^Т п. ЭДЛ|±1£
$Я,ЙР&4 ДмЮт-п^ОО^». I
я 7 ^pR^R/E^
f(xl,-,xm) = £ (?)2.
iwwan +1)±1й<-д*ж&.
S"1-1 = {х е R" | £ (?)2 =1} =/•*( + 1)
1К"Йт-1ШН1|»
$32.1.6 С'ИШрМ-^
N Нт к 0 0Д1]
/-‘(Z)M М ф&Осй к ЙЕИ?Ж®.
W ШПЯ^Ш№ВД$Я1И1^.М£-р е/-’(/), 12?
=f(p). ж N ФЗ- q Ой (У,ф) и =f -1 (V) м & р
< ТД ,3WW С’ 8Ш 77 « ф °f : U-^Rk ,ЙЖ тт: R" = R’ 4 х R*—>R* >
Я-2г-®,йй/ДЖ&,»Яс$Я2.1.2,^м^р и'
гсрмша(*",^'),1£
Ф' о /о (р'1 (ж1, ••• ,хт) = (х1 ,•• ,хп) ,
#й.те-1Ш,чВС*/ V =f-\V). ТЙ
тг'» ф' » f» <р~' (х1, ••• ,хт ) = тг'Сх1 ,••• ,х")
= (х“-‘+1,-^п),
ЙФ 7г': R n ^R ‘ ШД Й ЙЙЖ- ЙЗёВД с ЯШ тг'»ф' °f l/'->R‘
ЯМР'ЙДЖЙ.
S3? ф Я ф'^'^МК,Ю1£ r±ltf а- ф( V)
U' f— Г-^')<= R” R*
Vf\ ча /я'
1/>'(У')сж'
£
и
ж
S
ж
$
ш
SF
№
II
№
'><
№
s
<b
-Ш
51
»л
Q
и
i
c
•s
o{^
и
2
I
<4
c
и
<ъ
tT
с
81
57
е м-,
(ii) £Z(p) = e M;
(iii) ck £
й 141 м , IZ} 3/ м 4ЙШ&ЗШ- i,
4 supP(Z) c4,»IZ i ШН141
$S 2.1.7(Ж«й:Я-«ЖЯ) й м *ДW пШ»й ck Ш, I (ut,
ftOJWltК ±z >o,
Я SUpp(Z) С<Р;-1 (ВГ/д(°) )•
й^ЯВР&,±$£<-Фй^ «₽*^ЖЙ±Ж,ГОД м
жив ййя2.
йв"2(0)±®^Т1,гой в”4(о)^®^^. & gi =& ^t,gi %ск й
&,Ъ1£ vt 1,£ <* (Втм (0)) ^1а^, BP supp ( gi ) С
<р,г' (в3т/4(о)). да^г IV, । i = 1,2, -1 > м йжшг ж^а^.й^пй
Z = gi/ ^g,
ЖЯ2.1.8 ЙМ ДЖ^тЖШ^Ж^ЛУ^й-МЕ^пД^
%if •• M^R " ,ft^Z^A, ДЖ ЯМ) > R " W-
тЗЕВД ЮМ ЖЗЙ,$«-ФЙ^Ф^ШМ$1&1ЕШМ
1(1/(,<р;;К) |г-=1,-д|. яг$-'ь
gi--M-^R№&^(Юс[0,1],^с8ирр(^)сг/;,Дй К ±Ю 1. 4-
f M^R^1
Яр) = (g^Ap) ,• ,gi,<piXp) ,gi(p), - ,gk(p)),
ЙЖ g^-M^Rm ЙТ&ЗГ5^ёХ:
z x [gi(p)<Pi(p), P e ut,
gtfikp) = <
10, p e Ut.
^nffiBJZ>^A. a^Af ЖЭс,ЖШ^®2.1.4,KIWZZ>WA. tr
W>SA,£>B^p ел/^,МР e v^. й
=<p.
m tmz*p лаж# m. й p дйейй ,wm.
58
Ж-Ж ЖЯ-ЙЕ®
М&.чШЖЩ/йОГ. ,%p,q е м,®/(р) =/(<?),йт
JW/tfo^XW^bg^iCp) =gi<Pi(q) ,gi(p) = £,(<?)• Ай® р g Р;0,йк
g^p) =gio(q) =1,T> q e t/io,jayй gio(p)?io(p) = gio(q)<pia(q)^ffi
ViSp') -v^q)- ЙТ<Р(0>ЖИ’,Й'Й';Й‘р = 9. I
MWHBWM R" ^3/iEW w. ЙФ
H. Whitney ВЕ0ЛТМ-Ф m Ж*<чГ
#®|Ш#ШЖ^теАК2т+1Ф№йй«®(>Й1[9]). йй,МВ
жж^ж.
5Ш
1. MTS” = {(х‘,-,х"и) ER"’1 £(х‘)2 = 1} ,ttfflM4t»^0,-,0,
I) -I) ЖЖ&
й-Us,<ps). ВЕЩ 1 (ик,ч>к) ,(Us,<ps) I Д5“ ft-фС»
2. ВЕЩ±& S“ ИДШАН? § 1-1 Я 2 5“ S" ±и
3. ®ад§1.2^6фС(2,4)^4ЖС’ЙЕЖ.
4. й М,N,W03% е №&J--M-+N,g:N->Wiij% С” йШ.ЖВДЙ
(/х g)(x,y) = (f(x) ,g(y)), х G M, у 6 W
ЙХ|Ш:М/><£:МхЛ^Ух1ГД С‘ ft-
5. йЕВД f : S”->P “ (R) ,(x' ,-,x"*') G S“ C R ”‘'4[ (?, - .x"*1 )] G
P"(R),>ft*m ft С" ЙОФ S" m
SIbJ.
6.
7. =/(<•••,*")«ййй«)йй®,жф/яс4 в»,
аал i*R-“tw cigfii».
8. ffi?eiS|5F®( ± /x2 +/ -6)2 +z2 =a2 3jR’ tft 2 ЖЖИНЧО.
9. ЙРа(х1,-,х")(а = 1,-,*<т)Л R” ±*ФЙ»Й1£Й9 C”g$. ВЕЩ:
F^x1,-,*"1) = Ca (C„ *«»,« = 1,-,*)
®5£ft m-i$»lR" ftjEJBI^OJ.
10. r(V)cM,
ВЕЩ F=1F-Oi C’ iRlf.
и. Й/:М^*ЖЙД,.0./*®«Й®(ВДШ?ЖЖЖ®®£*ЖЙЖ),ВЕ
ВЛ /ДЖА.
$2 |S]»^
59
12. ft s, я s2 м м ±й с" й»
13. ftF*ro^«^»^MWJF^,g:lF-R*C”gft,p е Г,ЛИ#* С’
й» ~g-. g g« р мж4₽«±-а.
§2 im *
2.1 ЯйШ
13Л=( -а,а)ШИМ% с" Ш. Cs(S^k)№^ С:/а^М %%
Шм±& С‘ й^,'Ё*ЖВмй^В®(и,<₽)ФййЖ^Ш^^
х‘ = х‘(С(О), C(t) е и, (2.2. 1)
х1 = xl(t).
MT'fJ—& р g м,^( и,<р-,х")&&&р lit
^р) = {С: 1.^М\С(0) = р|
аош * ^р)ф,£я-ф^£ж ~$пТ:
ЙС1;С2 е ^р) ,м
</x‘(^i(t)) _ </x*(C2(t)) (2 2 2)
1=0 1=0
Ш С. ~сг.О1И;ШМОтЯ[с]^ сеадй
=^,)Н#^[С]Ф^^7С
^/(^(С) 1,=0 = fC • <fX‘(y(t-))
9х v(c(0)) >=0 ' дх ' р
(2. 2.3)
5$Ф
/=/о,р’1’ (?) Ч?) =(?) • (2-2-4)
\ дх J р \ дх / ^(С(о)) '^х'#>(?)
60
М-Ж ЖЯ-ЯЕЯ£
W :C‘(F)->R,
dxL
HOU, ^*р ЛЙЙЙв.&Xp,Yp >Йр
G R,W&
(аХр +bYp)f = aXpf+bYpf
^№jaXp+bYp^^p Й®М йр AW<afa*£#$jt
R ±Ю-Фfaй£fl,lit faAM м й p £ШЛ £ fl, ffi т, (м)
ж. Ш^№,р е г,ДО tp(W)ctp(M).
1$®2.2.1 G C'(W) (г>1)^па,ь е R,tufa*
X,
(i) Xp(af+bh) = aXpf+bXph;
(ii) Xp(fli) =(Xpf)h(p) +f(p)(Xph).
Й±Л1МШ£^Ф(2. 2.5)йжи X/C'(lF)^R(r>2)^^Wfa
*,BP#M6VG C'(W) ,xpf=^-^
(2. 2.5)6^(ii),
X,(l) = X,(l • 1) = 2X,(1),
ЙХР(1) =0.Si(2.2.5)W(i),pTWTff«^l!C«,<
Xp(a) = 0.
We c\W),r^2,-^fnjM
f(x) =f(x0) + (x‘ - x‘o) +
f Л/х)(^ -x‘)(? -4),Лу(х) G C'-2(W),
»Ф(^,-,хот)>р^Й^Ш. fit
x-f- £(S/-<?) Ш)л (l-x^y-
BP^-MiUfa*. I
2. 2. 1 ,ШП-& 2.5)mMM
fa*.
Ф152.2.2 ®(Z7,«jp;x‘) Д'Ё'й'Р ДЭД^^ВЭЛ!] И~М IlCiC
Ц дх )р I
$2 |5)Жй5
61
dim Г,(М) = т = dim М.
«ЕВД Й1^®2.2Л (i = l,-,m)>^
\ дх )Р
й^£|Й.#&±,^1=л‘(А) =о,ЙШТЖШМg c‘m,W
Id* Ip
0 =L(x")= A‘ ,i = 1 ,••• ,m. |
r,(M)«W$|iilO M ftp л ®, Ж t;
г;(М)ОДт£ЖМ&1Я!□!*.&/£ С'([/),({/,ф;?)ДМ±^РЙ
dfp e r; Xp e
TP(M),^X
dfp(Xp) = (Xp,dfp) = Xpf. (2.2.6)
dfpfa%f&p ЛЙЖЯ-
Ж*,=(А) ’ /=*'Л
\дх)р
/(A) > dxip\ = (АЙ = Sr (2. 2. 7)
\\dx‘)p 7 \dx‘ lp
йш</?)р |i«i«miMr;wIiwik®.
l\dx/pJ
{(а?) )»<(л‘)Л^м^РЙ^Нйт1В1йЙ«11.
й(2. 2.6)Ж2. 2. 7) ,ВР£П
#,=(^.
ЖЯ-Ж&йШГ.
Ifr®2.2.з Й(г/,<р;^)^([Г,^;х7^М±^р ДйЖФЖШ
a,uw
kdx Jp
dxJ д
Лг ‘ a, dxJ ’
J ч>(р) \ ур
(2. 2.8)
^)р
дх‘
дх1'
J 4>{р)
(dx;)p.
ЯЕВД MTffiSW/G Cr(i/nt/),i(2.2.3),
62
ЗГ-Ж ЖЯ-ЙЕЯ*
9f
дх
) I $W
= ~(f° <Р~' ° <Р ° ?'*) I ?(р>
дх
= ——~(f О <р1 ) | , ,
dxjXJ 7 9 Р
_ дх1 / д/ \
U*1 К,> э*>
ДЖВР^(2. 2. 8) ЙЦ-Х ЭДЯЙзииг. 2. 7) ,§^5)Ut(2. 2. 8)ЙШ
~5£. I
й Л* Tft Ж ЙЙ |pj Ж
ШгЙЙЖо, = е^)р
= х;
дх
дх1
к
(2. 2.9)
(2. 2. 10)
mO пШ Ск
р е М, q =f(p). i&( t/,«jp;x‘)^n( ^,iA;y“)^S!lM м p 2V±^
ШШ*О/(0)СК e Cr(V)(r^),fli] go/e
Cr(U). Т^Ш2ФИЙК-ЖО:
f,P- Tp(M)^T,(N)i
ft t;(n) т; (M).
&XP e г/Ю,£Я/.Л Й1Т:М#)ЙСЙП e С'(Ю,£Я
(f.pxp)g = Xp(go f). (2.2.11)
^авЛЙ±5££ЯЙ/.,Л ШМЙЖ.ВРАЛ, e r^(^). йh e
C'(V),fcY'=f.pXp,=f^
Y,(g-h) =f.pXp(g‘h) =Xr((g.f)-(h.f))
= (xp(gc f))h(f(p)) + g(M)xp(h° f)
= (Y4g)h(q) +g(q)(Y,h).
m^v£Y4(ag + bh) =aY4g + bY4h,a,b G R. Hjlfc У, e T^N). ift^h,
R-^ttW,BP/.p= ТР(М)-^Т'(1Г)%№&.
$2 ЙЖЙ
63
g«e е тр(м),%%
<Г>Л> = W-A>- (2.2.12)
«чН£/> е 7’;(м),я/;:т;(ю->т;(м)^|^^.±^й«1^1Ичг
ЭДш(/.Л) = (®<,Ч,Й(2.2.12)^
/>=о>о/.р, (2.2.12)'
ВРШП^Т&£М
R R
ait, £tf = R,JiHJ/:M—R,BP/e счм),й±}£$£йШЯ-1Е>
Фй 2.2.4 %f : М^М2 % Сг fflfr Н К, Ш f.„
тЛр) (М2) Я /;: t;w (м2) -+т; (м,) ад и i£ л = g °f д с ишде fr
А* =/’ ° g’ , А. = g. « /„.
Жи,<р;х‘)% Ск m М Й^Ю, да <р~ U( СМ)^( U) ( CR")
^Ск <Р.Р-Tp(M)^TrM(Rm)^m,M-^ cpip) е
R“, Tr(p) (R “) w - m Й Ж /т- •••, й л - (). А. •••,
дх дх дх
(?-). А> г,(м)й-а«. тр(м)
дх
’-’(А) -ЙЙ,Й(2.2. 11)
\дх )р \ дх )р
(A) g = (<*).»(₽>(A) g = (А)(£° *’*> |^>’
\Эх/р 'Эх\(р) Кдх1
&М(2. 2. 3)5£М£-.
Ск ЖЖ10Ш С-(««А)В!Ш,Р е М. 1%(и,<р;х‘)%&
Р , ( М;Уад&Й- q =М ,/( {/) с V. да/ : M-+N
у“ = УЧ*1 , " ,х") , « = 1,’",п>
64
М 2.2.5
НМ, J 1\ду )м
Tp(M)ft T^N)(q=f(p')')^^^,^
= (^) (dX‘)p.
1 дх \(Р)
1«а«п #303/
(2. 2. 13)
(2. 2. 14)
W ЯЖ^-ХЯН£ЖйЗg е сг(Ю(г^),й(2.2.11)<
/.р( A) S = (Л) ° ° f° ) I ?W
\ дх / \ дх I дх
-A) (g 0 f' °ф° f° <p~l ) I г(р)
дх /
Й£ЙШЖЙ,ВР<(2.2.13). |
йхр=г(-^-) ,/.Л = у/(р)=г(-^) JIJ
\ dx Ip \°У I/(р)
Г=г(^4) ; (2.2.15)
Й 0Лр) = 0а ( dy“) f(p), fp e = a>i(dx')p,^
(2.2.15)'
\ дхЧр
Й(2. 2.13)^^l,f.p(Tp(M))№}^.^=Pf:M^N^p ЙШ- TJt,
2.2 tjJAL
15 М % т ш с‘ ш,ТР(М)МA^WSl’Bj. iB
Т(М) = и ТР(М) = {хр е ТР(М) \рем\.
ЫТ& НЮ±31 Л® 11^ с'-'
1г:Т(М)^М, Хр^р, УХР^ТР(М).
52 Й*Й5
65
(U,<p-x1) M -fifeffl,iB
iJ = TT-'(U) = {xp g tp(m) |p g u\.
$ U^<p(U) x Rm,
xp = *‘(A) ^(^(p),-,^(p)x,-,xm\
\дхЧр
fiM,? ЖЖ м й I (ut,<p;) I I u( | м я
м Й пТ^Й. AffiJ4r^XI^-*(A xB) CT(M) |A * рД()й^,в
^r” e<ijF^,i = i,2,-i^ rwwm &яз±шг^,1з
mu %м%т$с‘ ЖЖ,МЙ T(M)'NGth.te
1&<Ф44М((/,?;?),«£• t/=->r'1(t/)> V
—><p(U) xR" I ( &,$) I Г(М)±Й«|-Ф
WO 2m Ж Ск-'Ш№.
ЙЕВД Й Т(М) ФЙА'ЖЙ^Я,^ П<И)ДМп1Й1Й Haus-
dorEf$|Bj,K»gPKKW. ЙЯ'.И?: U^cpiU) xR”
Д г(м)Й м ±деяоь
Ur\U^0. ft UftU
х1 = х 1(х1, ••• ,хт ) , i = !,•••,тп,
(х1 ,•••,%”) G (p(U A U).
Мр е ипй,хр (= гр(л/),йЖЖФ^ШИфпТ«
х =г(—) = ?(—) , х‘ =г(^) .
?-*:£( (Т n t7) р( J7 Г) й)
1 /1 т vrl -\гт \
ф о ф (% ,”•,% ,А , ••* ,А )
= (?(х) ,-Х(=с) Л'(Ц) ,-Л'(^)).
\ \ дх / \ дх / /
ПЮ.Й ск-'
ЫЫ\(^,^}^Т Т(М)±&1
с‘-‘Ж^ЖЖ. <p(U) xR" > с‘-’>
Я-НКЙ ,ВР^Й₽±,Т(М)-^т^ U) xR-Д C‘-‘^^[sJKW. £
66
Ж-Ж ЖЯ-ЭШ
Ж&2.2.2 (Т(М) ,тг,М) ,^<Я1 М ±ЙНЛ&. тг
ТР(М)ШТ(М)^РШ^.
fflftn-йг Т(М) = Цт;(м),
ск-1шт,^^2т^ с'-'ш-ш.ы
WtWmK. г (М)$Юз М±#}£ЬЛ£.
%*. 2.2.3 Ск ЖЖ м ЮЙЖ& X >-фЮГ х: М^Т(М)
ВОГЖ т(мнм$хШ№Ш. вр
X- Р^хр е тр(м).
ftfe С\М)Л
Xf(p) = xj, Vp е м.
ШННШ/е С‘(М) ,х/е с1 (М) ,з^к - 1,М1ч1Ж^ х
с й.%хр=<МР
Ж(и,<р;Х‘)> м й-4*^а,Ш|ч)ЖW X ЙЖММЖ Ф ЧГ«
Х(х) = Х‘(х) (, х = (х1 ,-•• ,х"") 6 <p(U).
\ дх/ х
«I (иа,<ра)}^м й5-ФЯ<,Я1й|п1Ж^х^ с1 ЙЖММ^
Д,Й«-Ф r(a)(x)(i = l,-,m)^M С‘
м иг\й* 0. ДЖ Х(х) =
Х4х)(^\ лштипиф№^,ж
\Эх )-,
?(х(х)) = Г(х)(^Й , xe<p(i/nt7). (2.2.16)
' dxJ/x
ittsp* йж^ х £^|в| йжзтш ф#жй»£5£.
|ршж,#жмай,#£ тфйж^{^р = 1,•••,"*}. 'ёпй
МФШМ и ±адм ,flmw И»ЙЗ$® S2 ±,
^^*Ж^^й<)|п1ЖШ(#1Ж[14]).
W.2.7 ЖХ>готс‘ЖЖМ±И С‘-’ЙМ,М£р G
М ^>|в]Ж^ X р (и,(р;х1)
xoi£t/±,w
*|„=-^. (2.2.17)
тзевд йойжддеж^жи,;?).z\P) =o(i«
i^m) .# [ L
*L, =^(Z)A>
dz
%*? Д u, ±де с‘-Ш,йН*О-*Ш(рМ. ЙТ^1 Wj£
f/. >p юшшш« ut #$>
ЙФ* <№t/(a=2,”sm)l*m mimm
(>W^I ),#&lElU,^mT{(A"-X) I |?| <e,l^i^m\
C?(J7,mf дем (/, •••>/), I Г I <₽(2^а«т),^ГЖ
(2. 2. 18)«-$
а а / 1 2 т \ I 1 I \
z = 1*1 < £\£ ^ £) ,
'ЁЖММ^Ф
а а / г» 2 т \ ‘ о
у =^Р(0,у,***,у), а = 2 ,••• ,т.
Z = у ,
а(?,-У)
И aet- . 1--—
д(у ,—,у )
а а/12 т \ л
* = (р \У ,У ,У ), а = 2,---,тп.
= l,0rMfrtetip де-ф4₽^ иси,,^ y‘(l«i
Z1 =0
I fri dy „ „
х = -^т-» х =у, а = 2 •••т.
Jo
вр^ х &&& р д де^э (и,<р-,х*) ф ,w
*1,=Л. I
дх
i£ X Й1 Y> ск жж М ±де#й~ф с*-1 к>2. МЫ/е
Ck(M),Xfe С‘-*(Л/),ЙЖФ^Я2. 2.3,
Xf(p) = Xpf, Vp е м.
68
ЙООО Y{Xf) е С‘-2(М). ЙЙМТ^ЙШФ
|BJM X, Y Л UA^XOf[ х, У]: С‘ ( М) -^Ск~2 (М) : M<fЙW f G
С‘(М),
[Х.У]/ = X(Yf) - Y(Xf). (2.2.19)
Х = Г—, y = F—, r,rec*',(M),
dxl dxl
[Ul/W = £(r^j - F^M(x), xe^(tz).
ij \ дх дх I dx
(2.2.19)'
ТД ,[*,m M С‘-2|п]й^,'ЁВЗ/|ц|М x ft Y W Poisson Й
^(^)^ыей^(^).
«ЙТX,Y&P АШШa.
Ы ЙОЮ a,b
e R,X,Y 6
(aX + bY)f = aXf + bYf, Vf G C'(M) ,
ИГ(И)^И±ЙЖ|в|. Й Lie&^W£X,BPWM[ , ]:
Ж‘-*(М) x^‘-'(M)->^‘-2(M).
(i)
[Х.У] =- [У,Х];
(ii) R-^1414:
[aXt+iXj.y] =а[Х1,У] +6[Я2,У];
[X,aYt + bY2] = a[X,Yt] +b[X,Y2];
(iii) Jacobi fg :
[X,[y,Z]] + [У, [Z,X] ] + [Z,[X,Y] ] = 0.
Й-Ф14ЖДВДЙЙ. WM(iii) ,ЯМ^Т5£
[X,[Y,Z]]f =X(Y(Z/)) -X(Z(Yf)) -
Y(Z(Xf)) +Z(Y(Xf))
<px,Y,z w&ifc ЙНЗО ЙРШ.
Jacobi
-Ф(W₽МШ) Ж Lie R».
UA м±С" R ±W-ф|в|й$I'B]
(-W^IO=lft).fiM,nBIALiefc^[ , x^(M)^
§2 &
69
S12.2.8 iWSl'el Lie W.
Й M ft N ftWh m^n^Ck ЖЖ-/ M->N % С О- ШП В
JSLSJ ,ЯГ<—ФА p e
f, Tf(M) -+ TM (N), f,xp = f.pxp e TM (N) ,
VX, e tp(m).
% х%м±й|njM,Ж/ЛР > (Af)6<j-ф|п|*. {ВЙW
ЖЖр10р2,/(р1) =/(p2),W/.^i#ajP2W1W». -fi>,5UnWT£
O:
&S2.2.9 ^ф-M-^N^j Ck^ffis№.X%M ± С'(««Л-1)1ч1
tW У = ^.Х,ВР
Y*w=t.pXp, Vpf=M, (2.2.20)
Oiwc fiOlttm С1 йй^х, ftx2,W
Ф, [^,X2] = [ф.Х^ф.ХЛ. (2.2.21)
13ЕВД йй Ф- M-^N Jttm. Y*(p) = Ф ,pXp. q e N,
у, e
ЯГ Г»О^Я2.2.5 ЙШт£,ВР&МЗ|5Д с’ Й1!с,дте УШ>
с‘
XH4£j£AV6 С‘(ЛГ) ,р sм,<I=ф(p)GN^
(Ф.Х)/\Ч = (ф.рХрМ = Xp(fo ф) = X(f° ф) I,,
ф.Х(/) =Х(/оф)Рф-\ (2.2.22)
\.Ф.х>,Ф.х2и
= (ф.Х.У^/о ф) » ф-') - (ф.Х2)(Х1(/о ф) » ф-1)
= [X^X2{fo ф)) -X2{XSfo>))] о ф-'
= [^,х2](/» ф) о ф-1 = (^.[Х,,^])/. |
£Жз£(2. 2. 21)^£М-&ЙШЖТЙ&,>ЙФ1!ГЗ® 13.
2. 4 т^ф-.М^М^р С‘Ж#РШ,ХЗ/М±1Й C'(s«*-1)
G м,(Д.х=х,ВР
Ф.хР=х^, \/р(=м,
70
2.3
ттт с* o±im
MMW. £^»±Ю
£ Я. 2.2. 5 i£ М т Ш Ск '№ <р= R х М^М % С'(г^к) ЦШ,
(j,p) i-+ ^>(t,p), ДЛЕ
<p(t,p) = <PP(t) = <pt(p)- (2.2.23)
(i) М£ЕЖЮр е М,<р0(р) = р;
(ii) е R,^. <•<₽,= <PS+,J|J^^^ R«M±K(£)
ftffl.«\<pt 1 Л м±Ю C «#&£&&
= <?.,,t S ллта-ЛШЙ « e K,<p,-M
^M,P н*Р1(р),1мяхй>йшт.
$^2.2.6 ftU%Mffyft%,I, = ( -s,s),s>0. Vll.xUgft
£512.2.5 ФйКхМ,Шм,<+» е/,,ШВШ^Й иgljM Юcr
ЯШ£Юр е 6 /,m^Wi£p ДЮ
ма.
В хр ЮШ1 ^(ОЙР ДЮЯЙЖ. Й
*/±£ЯТ-ф|п1Мх. ЙМ.ЯГТМЮ р е ммю
/е C‘((/),W
Yf d(f° «р/О) ]• (/° <РД1(р) -/(?))
At = ----£--- = lim--------------.
dt ,=0 д,^° Д«
(2. 2.24)
й(0,р) е is х v,ss is X v% ie X и Ю5РТЖ,$Ш vcif.K
<p{is X V) C JFni/.itn(>м ±«р Д<p Ю1Йh
X V ± .ЭДЖЖИШ, 1 <p. I ЧВайчЖ y = h(t,x), BP
y' = h'(t;x', ••• ,xm), i = 1, •••,m,
x = (x1 ,- ,x“) ДД q e v Ю^Ш.Ж y = (y1, — ,ym)>Д <рЛч) Ю
2.2.5 Ф&#(ожп)
Л‘(0,х) = х‘,
h'(s + t,x) = h'(s,h(t,x)) = h‘(t,h(s,x) ).
X/= Л;(0,х(р))(-^ . (2.2.25)
\Эх /р
wuto) .xp =xvM x
р,(0,Орй £ СД
wamow
t1 w & S
72
Ж-Ж ЯеЯ-ЙВ
I ),£*=ОЮЯ#/МШ/, ЙШ|ЛЧ*,*) К»’ = 1 ,-,т') ,
ШН1ШтМН‘(0,х) =?,Дч1Жж 6 т^Ы,--,
А’(х,х))е^(7),ЖФ ^ск^рйз£#/МШ. ЙТЙЮ сг-*й,
0йй»А‘(«,«)^Д с й.
Сг в&М <Р:Л X £/->M,(t,p) Н> <p(t,p) =<р, (р) ,^#ЙЖи|5^
<?,(*(?)) = (hl(t,x(q) ) ,-• ,hm(t,x(q) ) ) ,
q G U, t 6 Ie.
fts,t G /„Ij + t 6 I, ЖОМ S,h‘(t +S,*)ft h‘(t,
?,(*) )3₽W£M(2. 2. 27) ,
/tl(O,^s(x)) = h*(0 + s ,x) = h'(s,x).
й , bp
h' (t + s ,x) = hl (t ,<pa(x) ) ,
BP р<+, =<р, °<p,- 4OJ <p, °<p_, = <p0 ^talWe&JM’- 0lit <p, flff
<p: I, x u^m % с
XMlBGVe С‘(М)ЙИ£ЙЙР 6 17,й(2. 2.27),w
^(/° <P<(p) ) _ dh‘(t,x(p) ) / df \
dt ,-q dt ,_0\dx /p
= r(p)(^) .
\ дх I p
М£Я2. 2.7,gpft
ck жж М±Й
Дйтж v,i/,iX‘) <р
х1 вр
<р,(х' ,х2, ••• ,хт) = (х1 + t,x2 ,••• ,хт).
ЙИ&2 те,Х^М±Сг-’Й*^,Я!|ХйМ±^
ЯЕВД *±i££S,MS-Ap g М,ЗМГ-Ф4|Щ ир >
о,&Шх* ир <р(рУ = хир-^м. % ирпид*
0,Мр(₽> W”£ ирпич 0# М
1 ир |р 6 м) I и,, -, иг} , - ,ег.
в = min еа. $• /. х М-^М $ПТ р G Ua,^
ls£as£r
§2
73
Ф,(,) = <р(*,р) = , tel,.
ЯТтШ5»1МхМ-< O1»f«eR,MOg«JV,
1£f# |t|/w<*,WI£5C
<p(*.p) = (^л)л(р),
n ж. йЯ'ё-^ n ййм&
О 11 I /N' <₽J|J
<pM =(v^)4p) = И^)Т(р) = (^Г'(р)
= l(^)'vr,(p) = (^)л'(р).
0ft,<₽:RxM^C'M$O. I
М2.2.12 Й1ф,1 Д С" 'ЖЖ м ±Й С ДЙ
Icp, 1 crt одд ф-. м^м да#|5|и,Ж ф.X д с
1 ф°<р,°ф-' 1 й йй^.
йЕВД -ф- Л, =ф ° ср, о ф ' ,M0W
ло = ср0 = I (tBIW),
ttlA.I = \ ф -cp,^ ф-' \ M ±. Cr P GM^n/G
С‘(М),йд = ^(р),ЯУ
(>l>.Xp)f =Xp(fo Ф) = ^f° Ф° <p,(p)) I .=0
-4:^° Ф° <p, ° Ф''(ч)) I ,=o
at
= Y/=Y^pyf.
ЙЖУДЙЖ#М^1Л,1 =|<А°<Р,°<гЧ11И1ЙЙ*< I
JBIfc ЙЛ^хЫ^-Жф-.м^му^^^^^х^
i cp, i» ф д та&де, BP
<p, ° ф = ф ° ср,, V t G R. (2. 2. 28)
& cp: le x U-^M Д Cr ,X % cp * U Й Й Ж
%,1£Y% t/±tt-|»JW. W8>0ft Ut,^<pas X
tf,) C U. ft U, ±,xt t G w, G
Cr(U,),
w,f= ((cp,).Y>)f= Y(fB ср.) о .p.,.
74
М-Ж
dW,
z, =-^ =
at
11ЕВД C'(UJ,
Z,(f) = lim±-\W,^f-Wtf\
At—*0 £±t
= lim^-| У(/» ^,+д.) о <p + - y(/o <р() о
At—>0 At
= lim 4-1 Y(f° <P. ° <Рд() 0 <Р-д, - Y(fo ср,) о <р_д, +
At—0 At
У(/° <Pt) 0 ^-д, - Y(J° V,) I ° <P-t
= r(Iim .?>)• +
\ Д.-.0 At / >
,. Y(f° <p,) о <р_д, - У(/» <?,)
11ГП ----------------------- о (p_t
At—0 At
= Y(X(f° <p,)) о <p.t -X(Y(f° <p,) ) о <p.t
= [У,Х](/« <pt) » <p.t = .[Y,X])f.
ЙЙ(2. 2.21)^3 2. 2.10,Ш
= Z, = [(«>,).Г, («>,).X] = [Ж,Д]. |
at
ЮО ,й Wt r0 = Г,Й
x Й Lie ^XY.
5Ё3 2.2.14 ®1?ЦГЙС‘ОМ±ИФСГ I <p, I ДЙ X
X Й Lie
&XY = lim — |У - (?>,). У!
t->0 t
= lim — j (tp ,) . У - У} = [Х,У], (2.2.29)
t->0 t
»5£Ф ю t д -1
ем,^(г)(г е7,)ДЖ®₽Ж^^»14>,1х±Р
. тгМ(м)-+тг(м)%
IWM y>^X«fl^^(t) =?,(p)±Wft*^,W..). Yrt(p)(t
G/JMSIB) Т,(М)ФМЙ^. (2. 2.29)^1ЙВД,^Й^й1=0
§2
75
£ЬЙЙЙ*,ВРЙ*^ Г ?& х йШ#й«/> £й$>йЖ^1Х У]„
= (^У)Р-
Жт£ ®xft уд с‘йЖм±йфсгй*^,1<р,}Дйх4^й
У* V,
&XY = 0. (2.2.30)
жад г*^№язтм*£ймр(р,).г=!;,(,).т>,
ЙОйр е м,
(^Y)P = limply - (<pt). У|, = 0.
&±,^^У = О,ВР[Х,У] = 0,Й£Я2.2.9 ft 2.2.10,
О = (<р.). [Х,Г] = [X,(«>,). У].
йй,тйрем»/е с‘(М),<
о =[X,(<P.).YU =
Дt—>0 /д t
= 4((<р.) .Y)f, Vte/t.
at
й((^.п,А«х^т«=ой,((?о).а/=ий
((?,). У),/ = Ypf-
&Tpft/6m«tt3P#(^).y=y i
2.4 Frobenius £Ж
££2.2.8 ЙМ^т^^О^О-Арем.ОО^
IB) т/ЮЙ-ф/ЖТМ^(р)ст/м),Ш^ = и
А Т(М) М ±Й I ЖЯ-ft м ±Й I
р 6 и ДМ± И с’ -,х,
4Ш« 6 17,Х1(9),-Л;(д)Д^|В]^,(9)Й-«Л0^^
i %, с ,м хх,- ,х, 1/±й-ая®Ж( й®й)
X,, ••• ,Х, &и ±±$ й i(F)M М ЙЖА^ЖВ.^Ф i- W-+M
р е w И i. (Tp(W))c^l(i(p)),m
HW)*®1 й=ВЬШЯ&.
M,^Z = 1 Bt,crвр^м±сг fitOimii»it
76
ш. ЙЙЯ2. 2. 7,£ Х^<А,ШМ<-АР,#£~'
1/±л ь=Азряя#й^ж’ -#&
дх
Й^.ШВР х“ = с“(а = 2,- ,т) ,са
2.2.9 й & % т Ж Ск « М ±Й IЖ С‘-‘^ф ЛПММ<
-Ар е Й^Ш®(1Л<р;х‘) ,-ЙШ
ис = |д е t/|x“(g) = с“(с“ 3/MOO,Z HCaCml
ИРД & Й^О
МО & р е м,Ц5#й-4-1
Ж- ifc^,±j£"frT & Й {/±>йА>-
дх дх
[—, Д] = о, 1 « а,Ь С I.
1дх дх J
2.2.10 й > т Ск ЖЖ м ±Й I Ck-'frffj.
-Аре 1/*п£ & Й/фС*’1т
1>,-Л.«тЛ«е t/.tpw
[Хо, XJ, e^(g), lca,6«z,
& >5tf im
ЙЙ,ЖЯФЙ^МН|-Т
[Х.Д,]=ад, ICa.d.cCZ, (2.2.31)
ж д & « и s
Д^£йШЙ<МЙ1 &
5131 ЙСМ^ДМ^Й.ШМ^-Арем.^йрй-
mcr X.,-,xt,^#[XO,XJ =
0,1 ^a,6cz.
таЕВД Ж JOhB-W, (1/,<р;х;)>^ р АЙ^Й ,Я и ЙМ
с Yt, - , У, Й и ж
Г = Г Д, г е Cr( U) , 1 С а С Z, 1 =£ Z =£ т.
дх‘
ЙЛт(Го),х„Й$й Z,^-att,nT® а = z. В =
(Д‘) =А-1, ДЖ
^.=Х^=г;+Еа:/;, А;еС'(Ю, ica^z.
дх s"i дх
Йёж-»Ш
§2
77
= IX А 1 ^а,ь^1,^ь £C(U).
•fill дх
Я~#® Л,,-Л,Шй >#£№,ЙЙ (2. 2.31)W
С2Г„,Х4] = v'J-^ + У Л'-^), 1$а,Ь,с$1.
\ дх srf+i дх /
fck^ia±w^,BP^v:t=o,gp
[XO,XJ =0, 1 С a,b С I.
ЛШО>®Я2.2. 12 ЙШ&Й1£Я2. 2.14
ЗДТз£
51Ж 2 &<f>,<T-le* U-+M Ск Ш#Й$О,Ж11Й
г£Й,!Йк,«о-,=<7,0<р,=0.
1Ш,ЙЖм 6 /8с/е,д q е УсЩШ<М?)е u,<p,(q)
е и.
ЖЖ 2. 2.15 (Frobeniuses) С" ЖЖ М ± С1"'^ & 3/тё£йТ
& ДМ'Й-Й.
«ЕВД &МЙМ^Й,ЯШЕЯ#Й^ВРМ®ВД;£ &
шу & д^£«гшй. йм 1 ,яг<-др 6 м,иr *
М±Й С‘-1ЖЙЙ^Х1)-,Х(,^^[Хо,Х4] =o,lssa,6su,#nli£#
&&&Р (1/,^;х‘),^^ х‘(р) =0,i = 1, - ,/п,^Я
\дх )р \дх )р
: IPX U’^М, U' С и
Дй t/'±й Ха с‘ =
и Л=Л= |х е R” I I х‘ I <8}^>М%
,-,хт)
(1) (2) (/)
= (pti о (pt2 о ••• о (рч о ф (0 , ••• ,0 ,Х1+ , ••• ,Хт) .
ЯМ а Нй 4>(1)Й xt
/е с\и'),
d{f°k}W = {xl)pf.
СгГ|
_ г («) (Л) (Л) (а)
НМ*а,х4] =о. й51Я2,р,о^=^ор,,йх<
= (Xa)pf, а = \,-,1,
ВР л.(А) =(ХЛ> a = i,...,l.
' д^а ' 0
78
Ж-Ж
А(О,-,О,х' + 1,-,х”) =ф-'(О,-,О,Х1 + ',-,Хт)Л
Л. (А) =(А) ^ТР(М), S=l + l,-,m.
\ дХ/0 \ дхЧ р р
ЙШДЙЖЯ т. Шё£й#$ЯЛ 8ЯЗМ'
ве.л ^йш^жк. йа
^й(0г,а'1)Ф,а.Ш =xa(a = i,-,i). m.ow»
\ ota)
\q 6 £Г|х(<?) = с’ (с‘ ,1 + 1 ** s т\
>^йшуо,1итой. I
ЙФЖ §3.2 Frobenius
Frobenius $ЯЮ£#ЙШЁ,ШП&31 А-ФЖ^.
$£2.2.11 mOOW±Й-ф/(
м й-ф I I ^1 ве^,ЖФ«4- к
(i) М
(ii) МТ<Др G
\q G и n \X(q) = C,cs + 1 « s m| ,
{/KUH-R.
м ±эшййш м й 1 тшй$.
: M^N ШЖ. Й
dim 2V = /n-/JlJ<^ q ef(M)tfy^f-l(q)^M Й /ЖОО^»
(021.5 ЙМ). ЙЙЛ
й££2.2.11 RT^J,Д1ШЖъй,-'т^^<$йЖФЖ&
$112.2.16
ЙГ»,И м Й-ФI
11ЕВД Шй$Я2.2.15 йНЕВД*1®,ЯГТ«£/> 6 л/,3₽#£р й
—ф^ШЕ8(1Л^;*‘)
lqeulx’(q) = с‘(с‘ I + 1 С s С т| (2.2.32)
> I Ж^-ЖЖЙЖМЖ. ТД ,м I (Ua,
^а»^а) I ае^^Г
^UadU^0,S^Ua й- S nJtfc-ig Ufi W^TSKnfJt
ffi£. йтM AWWie^.-Sn ufi
$2 lq)ft@
79
И-ЯЙ-
е м,Мр $±&»S(tWo;4).i£Eo> ФйЕр
МТ иа де-ЖММ X
О = а0,в],••• ,ак = а,
Я#£М» £Ли<(г =0,1 , -•,*)Й<|1Н-Я-
Zo = Zao’Z Еч = Е ’
n Е * 0> 4 = °>'>к -1’
WIWЯ X Р «МК. fiOmW'Nf р
я. м й-т I р
МТЯ-Д q е м,?^,тйй р
01ШШ]Ш£т%£т. 0rWTffi£
Й ^®§WO(M й IЖТ$О) м Й-ФIЖМ
4КЖЖ I
А)Ж
1. ЯЕ1Я1!|гИ2.2.4.
2. жад (2. 2.14)^ХЙЯ2.2.5 ЙШ&
3. й М ?П С‘ЖЖ J-M^N^) C‘ W^.q&ftM).
т„ I/-(q) I = Ker(/,p).
4. й/ M^N c‘ от Й C‘ MM,Z Л n к ИЕМТЖЖ ,Р е
м. i^f(p) ё z,^#S/(p) е Z BJW
/.,(Т,(М)) +r/(p)(Z) = TM{N),
Р ДЖЙТ Z Й9. й)ЖМ«£ Р е Z z Ш«.
Я>Й/(р)е 7,г£Ж:
(i) /йД Р жат Z :#4 М Ф^р М4₽« t/?ll 9 =/(р)
МТЖЖН(М),«»/( Ю СУЯ Я-Е‘йрЛ*ЖЖ,ЖФ 77: R” =
R’-‘xR‘->R‘>g&&i>;
(ii) rpl/-‘(Z)| =/.-;(Гл,)(2)).
5. с‘ ЖЖ/У±Й С‘-'|М>^,М^ЙШВДТЙЖ-.аВД:#ПЖ#«-
Дремд„ G г,(м),йхкадям±1Ё*м±й9с‘-,йЖ^.
6. й с" ЙЖ МCN ^ЙЖЖТЖЖ. ВЕВД -.М ± С" х №ЙГЛ с" ЖЖ
W±|K С’ЙЖЙ-
80
Ж-Ж ЖЯ-ЙЕЯ2
7. ft/,gG с”(М) ,х,ус Л(м),[ , ]*1Ле&>.Евл
L/X,gr] = f(Xg)Y - g(Yf)X + fg[X,Y~\.
8. авЛЙЯ2.2.12И#^.
9. ft I <P, I * M ®ВЛ ;*Ё <p- R x
M—M(#^$g312.2.11 ЙШт£2 ЙЖВЛ).
10. ftg>(t,«,y) = (*e2‘,ye'3‘) ,ЕВД : 19>J Д R2 ± С" Й9Ж#»# , "ЁЙ
11. ftX=r^--x^-*R2±C*|Sj*^.
дх ду
% <р Й*^/ЬЙ.1Й7Ё.
12. ft X *ЙЙЙ5Ж#Ж$&» I ч>, I ,Гр *& Р ЖЙ9$Ш- -ЕВЛ :
1° $ПЖ Хр =0Л!| х, =0,МТЕЖ 9 е Гр.
2° £ Хр #0 ла <рр. I, ->М, t <рр (t), % а А. £ Хр = 0 ЛО <РР I. ->М * Ж Ж
8Ш
13. ft МЛ* С* С* вЙЛа,Х,У#Я1*М«Я±Й9 С‘-*Й*
q е F(M)ttp G F-'(q) СМ,^
F-Xp = Г«>
УД mej®r = F.Xffi?0:
l’Xffi ГЛУ-^ЙЙ5^ЛМ»±ЙЙc‘
(Kg) . F = X(g. F);
2° Xa ft УДа = 1,2) Д F - Л!| F. [X, ,X2 ] = [ У,, У2 ] ;
з° ft x ft у * F-ft^M ла x у
4° X ft У* F - аО^Я^ХФДЙ X ft У frga£$ 1 ff. 1
ft l<7,) 1 G I,p G
Fо в,(р) = ст, ° F(p).
14. ^<p,a-I, х1/^М^*С‘й§₽М>Й»».-ЁЛ^ай С*-‘Й1ЙХЯ
У&Й-ЮЛ :[X,y] =0 ф,°ст, =ст, р<р,. ЙЖ t,s G 1е,р ЕМ&Й^Й
вит*.
15. ем,хр б^,ла»Й*«хЖТ^Ф^.ЕВЛ:^*^
§3 & *
3.1 9К*Й
йм * m Ш с‘ ЖЖ,Р е м,тр(м)% м й р ^WWSI'bJ. 1Д
т₽(л1)±й(г,з)а1<*$|в]
§3
81
а \
д*‘)Р
г,(Ю = u r,'P(M).
pfEM
Ш и,<р;х‘) % M йШ-ф^М
SMSJ (</х‘)р| й ТО, 6 Г,Р(М)^
фр = ® ® Ш ® {dx^f ® ® u?')"-
ТЙ U = |Ф, 6 rS'P(M) \Pf=u\,
Юё£ЮГ £ = V-><p(U) XR”W,
Фр Ь-*(*’(р) .Фл -'л ) > 1 Mi , "• ,i, ,h , ••• J, ’S m-
5т1йтмср(1/),Вс1Г'",П
^-'(A xB)C r,(M)
17 : r,(M) —>M, ФрНр.
глада
132.3.1 &м%т^ск ЖЖ,Л№ т;(м)±^й-ФЙ1Ь,^
ШМ M W«-4'^^S(t/,^),tZ = -n--1(t7)^ V^<p
(U) хГ'^ЛШМН (U,v)rs(M)±.&)~^ ck-'№
rs(M)% m +т1 + гЖ C4-1 W»
(TS(M) M ±(r,s)S!ft*&.
& ГН, 7Г , T,iP (M) , wBf шrs (M) M ± (r,
ЮКАХ* WJtr; W±»r .W4-
ЛТ(М) = и лгт;(м),
р^м
ШМ-ФЙМЙ m + ск-'Ш,.
N’T- {М)ШМ± гяжавла,зотг
Я1ййГ№Г|в|*^й<1«Е^пТ.
££2.з.1 ск жж л/ ±й-ф(г,5) дажжй ф д-Ф8йм ф
M^rs(M),^no Ф = I. ф; Р^фр е
r,^M). ~^(r,s) м ±(r,s) §УЖ>&г;(Ю й-ф
«1®.
82
®я,(1 «ОЖЖ^ВРЛ М (0,1)»ЖВВРй
й( и,<р;х‘)< м й-фЖМ, (r,s) ф
ф(х) = ф‘'У‘’(х) -^- (X) ••• (X) -^- (X) </?’ (х) ••• (X) </хЧ
4 дх дхг
(2.3.1)
и^фмс* ал.Ф од с‘м^яжжшжод»^. й
^,ф ОД#й£*ИЖШЖ х'‘ фОД£&£=£й
Ф‘'"‘г(х') = ф£'"t(x) —- — (2. з. 2)
11 ’• 1 ‘ Эх1 дх1"' дх'1' дх'1-
$54 2.3.2 (М))% М ± Г
О®^м±й %а'(м)%*м
±Ж^г Ж с*’ (к1 к) Я>Ж#Ж^Ж*аЖОД£ IBJ. ЮМ°(М) =
С*'(М).^
А(М) = ©А'(М),
6 4(М) пГЗёЖ
(о = ш0 + л»! + ••• + <от, шг G Ar(Af) (О г т).
л Л(М)±. ш,а е
4(М)МОЙреи,П
(w Л <т)(р) = ы(р) Л <г(р).
$|н] аж^тмог
/\--А’(М) хА'(М)^-А, + ‘(М).
й« е А'(М),ШЭДЖ)1ШЖШйГЗШ(>#(1.2.27)')
ш = У, aj|...i (x)</x‘1 Л ••• Л dx'r
1 < ij < ••• < ir^ т
= ~^aii-iSx^^1 Л •" Л dx*') 1 Л ,"• Jr т-
(2.3.3)
i£М « N т п tg Ck ЖЖ-/ = M^N С*
Tuastf. Tp(M)^TM(N)Af*- t;<p)(n)^t; (M).
X % M ±й,Я!13Р ЖЖ М Bt,/.ХN±Й,Т®
тог/ • йжж. шпжт&^&^яог/*: ^(ю^(м) ,ф >-
/>.
S3
83
^5=0,йР^ е с‘(дг),Ж/‘<А=<А»/;
^5>0,^(/>)р =/• (^л,>). ВРХШ-ф ф G г, (ЛГ) да ft ж й
xlt-,x, е ТР(М),^
(f * ф)Р(ХУ ,-• ,Х,) = ф^Ц-.Х^-Л.Х,). (2.3.4)
* Ж^ЙЕК&#)
Ж32.3.2
й ЛГ± crs-^(г^к -1) ,</-<» М м ± crs-ЖХ OJ,
JV±W сг #$|*оЖМГвМм±й с
тЗЕВД &(и,«,;?)да(г,ф-,у°)#%№мдаn,Д/(Юс
V.
/=/“(**,-,«”•), fec*(p(l/)), а = 1,— ,п.
й(2. 3. 3) ,а>
Z (у)rfy“' Л ••• Л dya‘, y(=f(U),
<...„,6 СГ(Ю. ЙОГ/’ ЙШШ(1. 2. 36), (2. 2. 14),Ш
(Г®)(*) = ь,(/(«)) (J • dy°") Л - Л (/’</у“‘)
1 =Scq < ••• <as^n
= Z ) ??••• ?T^“ A ••• A dx^
1 =S cq < ••• < a4^ n dX dX
= Z ^1-...(/(^))det-^'"3^-)-(^)^
1^а1<"<а^п dCx1-^')
1 i 1 < • •
A - A dx‘-. (2.3.5)
*fO/JtC‘ №,t£bai...a (/(%)) det Э(/‘"‘У“‘)(х)Д Cr ®(r^k-
d(x'---x')
1),ВР31Ж/’ш < СГ5-ЖХ I
ЛЖ ,^«1ЕВЛ f ’ A(N)^A(M) ^ОЙа SA(N),
cr=a0+al + ••• +а„,^Ф <rr(0sSrsSn)^ г
/’а =/*0-0 +/>, + - +/*а„.
3.2
, 1ДТЙ М % m ж с“ жж ,А(М) % М ± С“ #Ж
5£$|bJ. 4'ft4(Af)±?|Aft^ft®».
2.3.3 t£lWd:44AfW' + 1(Af)W£Tft&ft:
(i) dlR-«;
84
М-Ж ОО
(ii) =0;
(iii) ш G Ar(М) ,а Е Л(М) ,Ц1|
d{a Л а) = da> Л сг + ( - 1)га> Л d<r. (2. 3. 6)
d А(М) ±,Ц|Ю
=?
—
SIS ел(ЛОй#0
шгжу±«^,д!1<ч w<&>2
ЖВД Й£5С 2.3.3 Й^(1),ЯЖЖ0Л:^й>|„=ОЛ!1^|(; =
0.0-йрб г/,йТЖЖйЯ^О114,та&р ЛйНИ£ v,{£ vc
vc и,д vыш. ййза 2.1.1 ,* м с- у±/
= 1 ,й м- г/±/=о,тДй М±/Wh0,й^Я2. з. з ^^(iii) ,<
df Л d> + fdd) = 0.
S^w(p) =0, /(р) =1,Нй(</ш)р =о. й^р й<£ЖйЛ#<^ L =
о. I
йя2.з.з
ЙЕВД «Ж d $£ШЙ2Н1Я,Я^йЖ^ШЖФМ
ад^Й^ЖВЛВРЙГ.
ш = fdx‘' Л - Л dx1’, f€C'(U),
М </. Л ЙЪ‘ е С-(Р),ЙЙЙЯ2.3.3
ft(iii) ,w dV =0. w»(iii) ,
dyti) = df A dx1' !\ ••• A dx'r = d2<a.
ЙшЙ<£Жй,ВР^<=</2.
ШЕ№14. U i£
I J-^
O) I и = {
1'а>1-1г^л''1 Л ••• Л dx'r, f,air..ir G С“ (U) ,
Я®Ь) = \df^ ; ( (2.3.7)
ida^,„ir /\ dx11 /\ ••• /\ dx'r,
Ш£Х2.з.з ф^{но»(й)>wjm нмтз.з
(iii) , iwtt«xwr«5£in удал вр «г. й
а) = adx11 /\ ••• /\ dx'r, сг = bdxh /\ ••• Л dxis, a,b G С* ( U) ,
Й(2.3.7)пШ
d((o Л a) =d(ab) /\ dx11 Л ••• Л dxlr Л dx11 Л ••• Л dxis
= (da Л dx11 /\ ••• /\ dx'T) Л (bdxh !\ ••• Л dx?s) +
$3
85
( - 1)г(а</?' Л - Л dx*') Л (db Л did' Л - Л dad’)
= da) Л а + ( - 1) га> Л da.
WffiBJ±51 й d ййФ м i£( w,*)
d(a> | у) unv = d(a> | ипц>) = d(a) | r)t/nf
0ШЙ(2.3.7)5££ХЙ$ d& 17П1Г±Д-ЙЙ,ВР d
^яй.твдт#та^й»?</йт. i
-ж&
w = У toii.-.idx1 A "• A dx'r
= “р»(,...idx4 N ••• A dx'r,
ww
dm = У do^t, !\ dx'' A ••• A dx'’
<!<••• <i,
_ d&>( .
= У -----j-ч/х' A dx'' Л ••• A dx‘r
Эх'
1 Зй>(,.„;
= —---—dx1 Л dx4 Л "• Л dx'’
г! дх’
_ 1---Ч ‘'*'^4 Д ^ХЧ Д ... Д dx‘"l
г! дх4
=,_ х. J z <«" »> л - л *••.
(2. 3.8)
W.3.4( Ротсагё 51В)
d2 = 0, (2.3.9)
« е А(М) ^(da,) =0.
ЖВД ВйЛЖ-ткЮ.ЙМЗШй) ЙШ-ФЖ^ЙМОВВР
пг. хжж51в, d и,9^у ф
ы = adx1' Л •" Л dx'’, a G C“.(t7).
ф(2. 3.7)^,W
da) = da Л dx'' /\ •• Л dx'’.
#Ж^-^,Ф]Д(2.3.6)Д d(da) =O,d(dx‘) =О,ВРШ
d(da>) = 0. |
86
Ротсагё ?|Яй*Д|ц!Й^ФЙ«иЙД. Ж*,У,*) Я R 3
c2(R3).d/=^dx+^dy + ^.
дх dy dz
J , df. df. df.
grad / = -т-i +-T-J + -r-k.
дх dy dz
Т&ш e./\'(R3).a=Adx+Bdy + Cdz,№
da> = (^ _ ™\dy д dz + ldA _ dC\dz д dx +
\ dy dz> \ dz dx)
Л dy.
\ dx dy)
x= Ai + Bj + Ck, Ш da> X
curl X = - ™\i + + {-- -)*•
\ dy dz) \ dz dx) \ dx dy)
tS: <p G A2 ( R3) , ^> = Ady Ndz + Bdz hdx + Cdx A dy, Jfl!]
d<p = (M + + A dy A dz,
\dx dy dz)
gut dtp X ЙШЖ
J. „ dA dB dC
dx dy dz
й Ротсагё 313®,d(#) =O,d(da>)
curl ( grad f) = 0,
div ( curl ЛГ) =0.
£S2.3,5 &a> G M У., ",
= £(-i)i-Iri(w(rI,-,yi
i = l
( - 1) i+ia)( [ Y(, У;], У,, - , У(, - , Yj, - , Уг+1).
• <;
(2.3.10)
ffiiB
ВРчГ.
a) = adx1 Л ••• Л dxr, a Gi C* (Af) ,
JJPJ d(x) = da A dx1 Л ••• A dxr.
$3
87
®(У,,-,УГ) (sgna)^/,))---r,(/('))
о-е<₽(г)
= « У (sgn а) У(Г<1) (ж1) •••У1т(г) (жг)
ае^г)
= a det( Yk(x ) ) isi>;sr.
da>(Yl,-,Yr.i')
= У (sgn т) Уг(1) (a) Yt(2) (x1 ) —yr(r+1) (xr)
т Ep(r + 1)
= y(-l)i-1yi(a)idet(y4(?)),^J.
MT(2.3.
^(-i)i-lyi(ft>(yI,-,yi)-,yrtl))
i = l
= У (-ly-'y^adetWx')))
% i’“
= У (- 1)‘-*|У((а) det(y4(x')) + аУ;( det( У4(х!)))} ,
£ (- l)i-1ayi(det(y4(x')))
i = l k¥:l
= a£(-l)‘-,yj (sgn<r)yi(x‘r(1>)-
i = l o-e^(r)
У..! (x^-" ) yi+1 (я"'0 ) -Yrtl (x^ ) I
= аУ(-1)“1 У (sgn or) { У У1(х<,(1>) —
i = l аЕ^>(г) l^y^i-1
yiy/(»<,0'>)-^-i(*'<i',>)Iri+i(*'(i))-^+i(»‘r<r>) +
Y y,(x'(,)) -y^ (xffti-l)) yi+1 (x"(i)) -
i + lCjX г
yiy;(x‘,0'1>)-yr+1(x‘r(r>) |
= а^(-1)‘-Ч £ (dx1 A •" A dxr) ( yj ,••• ,У;Уу,—
i = l l^j^i-1
^-.,г(+1,.-.,уг+1) +
£ (dx1 A - A dxr)(y1,-,yj.1,yi+1,-,Kii:,-,Kr+I)l
i + 1
88
= — а £ (- l)i+J(^ Л - Л dx') •
ОД - У^У^-ЛгОД.-ОД)
= - Y (-ОДшОД.у.Ъу,,-,}',-,
1«U <j^r+l
йИ±#»,ВРШШ^(2.з. ю). I
6A'(M),1,геям),да
MV) = Х(ю(У)) -У(®(Х)) -й»([Х,У]). (2.3.10)'
OOTOmiMc‘ W-f-.M^N> ck gwMTB#
W :4(2V)^4(M),i^S1.2. 12 ,f * Л Д nT#&ft ,TffiSc
{ПйШВЕВД/* даЖ# d
2.3.6 MMBl'sJ ft PT^gifelt,JO^BW/ •
d Д nT£&ft, BPMTftjgft v e A(N) ,* о dNa> = du .f * a>,
/’ о d = d°f* , (2.3. 11)
ВР^Т&^МЗё:
/’
A(N)----
du du
A(N)-——A(M)
iiEW
Й® e A°(N) Л ±ftiR]l:^ JIJ
/* о d„a>(X) =dHa>(f.X) = (f.X)a> = X(a>f)
= X(f'v) = dM’>f'^X).
/* ° dNa = d^f'o».
?№<o=hdg,h,g e C~(N) ,Й!]Й±55ЖЁЯ1.2. 12,<
/* » dNa> =f'(dh A dg) = f* dNh Kf*dNg = d„f'h f\f'dNg
= du((f'h)f'odNg) = d„ ° f * (hd„g) = dM » f * ы.
МЯйат. г Й«Ж,(2.3. ID^i^J®
,шг % г - 1 т^- Й Й*ЙШ£
$3 ЖЖЙ
89
f * о dNa> =f * (d„a>i A <o2) - f ’ (A dxa>2)
= </„/*«1 A/’a>2 A d„f*a2
= du(f*<»i Kf‘m2) = dMf'(».
I
£54 2.3.4 G Аг(М),^</й>=0,1Д'Ж <u
МЯЮ. a e Г’(М) <i) = Ar,jam v
ЙЙЯ2.3.3 ШОЙ ,-
0^WOhB,OO = R2 - 10}
ш = -J—¥-^dx + -Z-^—rdy.
x + у x + у
ОЙЕ Ли =О,{0-£й М
й <и е А'{М). MtffOр е Мр ир
ы | Vf = da, a G А"'1 (Up),
» а> %%№№№
sin? «imraoMiaOMSw.
Poincar6 51S M MCR” О
х t= м,&о so х М ф) ,Д!1й м ±й«-ФИВ^Д1£
^Й9.
ЖИЛ £ХОГ 1Г:А\М)-^А'-Х (М) ,ы Н> 1гы $ПТ:
Й ы = <i>ir..ir(x) dx4 Л ••• Л dx'r,
1 ц < ••• < ir^ т
= Z ^(-^Иб'-Ч-.д^И*
1 q < ••• < ir^ п» а = 1 J®
xladx11 /\ ••• Л dx'a /\ ••• Л dx\
d(Ir(a>)) + Ir+i(da>) = cd.
Ш^±,
d(Ir(a>)) = r( f tr'la>ii...i (tx)dtjdx11 Л ••• Л dxlr +
1 da)i ...i
tT------1-T-L(<tx) dt
> dx7
90
x'adx? l\ dx4 l\ ••• A dx'a A ••• A dx'r,
ffo d(i) = Z -(%)dx? A dx11 /\ ••• A dx\
К ij < ••• < ir^ m j = 1 Qx
ВЙ
1«=ц < — < ir^m j = 1 \ JO $%? /
pd? A ••• A dx'r - £ (- A
*
dx1' A ••• A dx'a A ••• A dx'r ].
</(/,(©)) + /r+1(d©)
= Z {[ (rf'*wf Д«ж) + У f —
ISij < •<ir«m I JO \ дх I i
dx4 A ••• A dx‘r
= Z ([ 4;(t'^il -iStx)dt)]dxii л •" л dxi'
< — <ir^m' d° dt Г ' .
= a)iv..ir(x) dx11 /\ ••• /\ dx'r =
<i> = J (/r (<a)),
I
ft Ar(M) ,d = dr-Ar(M)^A'+1 (M)Т-ФРШ iB
Zr(M,R) = I© e Ar(M) I da = 0| = dr
B'(M,R) = I© G A\M) | a = dff,a 6 Ar-’(M) |
= <_, ЙЖ-
Zr(M,R)^ Br(Mr г
SW =о,й
Br(M,R) C Zr(M,R).
iOE H'(M,R) = Z'(M,R)/B'(M,R)
Rham±^i)|S.Hr(M,R)tF»7n^^
[ ©j ] =[ ©2 ]<=>©i = ©2 + da, a^Ar~l(M).
De Rham «М Д ЖМЙ Й C“ Ш ЛО M г ф de Rham
$3 Жвй
91
±IW ЙШ г Н'(М) Д|В|1Ш ВР
H'(M,R) ее Н'(ЛГ).
±5£№&йй М М йШ1ЬЖ&£.
ЖИ de КЬат^ЯШ±Т'ЖЖб<)ЛМЙЖ-^Й^ЙЖ±|в1Й®сЖ. Й±
&£Ж$йТ<Ж, й IVWW м de
Rham±|B|WMI^^W. ЙЗГЖЙт^йЖНЖ §4
itifc.
ЭДйШПЖ&Ш Frobenius Й xt, - ,Х,
®' й и ±й-аж»й*®. хм,...,хт и ±ЙШ&
^.й1^Ш9,-У^х„-,хаШ. BUt,^' ЙШЙУ
±ЙГ£ЯЖ
^f'(p) = [хе тр(М) | ?’(р)(Х) = о,1 + 1 ss t =g ml, реи,
ШВР <p,+l, - ,</>т £ &' L и 1 Ш
Я-Вз^М
<р‘ = О, I + 1 t т, (2. 3. 12)
Pfaff
[ЛГ;,Х.]=Л‘Л, l^i,j,h^m.
A^j = 0, 1 a,b I, I + 1 I т.
Нй <р,-,<рт X.,- ,хт дхшю 2. з. 5 ЙШ*£,
dtp'CX^) =-<p,([Xi,Xj]) =-А‘.,
1 i,j m,l + 1 t тп.
тт.пш
d<p* = -^-С^‘ Л <р‘, C‘fi = - C‘j,l С i,j m,l + 1 t С т,
ад <^‘(х,,хр = с;,
да#С‘= -А'..
dtp' = У { у С9>° + У 4-С‘.?г} л <р ,
-tfcBP d(p‘ = 0 mod(^>,+1, ••• ,<pm). (2.3.13)
| x e U | x = const. ,1 + 1 Si t m}
pfaff <? =0(1 +1 ^t^m) лш##
92
Ж-Ж ЖЯ-йЕЖ
§2.4 фй<1
дх дх
Frobenius
mi8 =0(a = l,-,r)^Hl№Oft
Д :<foe =0(а = 1, - ,г) Д Pfaff
3.3 Ш1
ЙЙ2.3.5 й М % т Ж С‘ -Ю. М ±^Й-Ф(О,2) m
ем.-ЙЙИ г,(М)рГ<№Д
Mgp
Ш М йШШт
MTftM x,Y е ^(М) ,4
g(X,Y)(p) = gP(Xp,Yp),
MW g(X,Y) =g( Y,X)R g(X,X) &O,R^f№.%E.№X =0.
ЖШ®((/,^;х‘),МЖМ<
g = g^xjdx (x) </?, giJ = g(A’A) > Sn’ = gji- (2- 3. 14)
\ dx dxrl
x' =x‘(x)T,
ЛП^ e,, - ,em Д M ,BP
g^,^) = 8ti, (2.3.16)
WW
ё=^Ш‘®а>‘, (2.3.17)
(D1, - ,*/" Д e,, - ,em
Ю’ ФЙЙДЗ:(м) H»(x(u,t)) ,y(u,v) ,z(u,v) ) G R3
ds2 =Edu2 +2Fdudv + Gdv2 Д-ф 2 «WftW(S,g). ЙЖ
g = Edu(g)du + 2Fdu® dv + Gdv(g)dv.
ЖЯ2.3.9 «C*«M±,^mc‘Wt.
ffiW й|г/а,Фа;УЛймЮО!1М. l/.l5№MftW ck
ш. ТД ?о:г^в?Л0)йЖ#1№ Д R"
ga =<plg& Ua ±й-4 ck Ua ±Й-
§3
93
Ф с‘ ШВ &^,faga И Va ±де-ф^§М,Дй <₽;*(В£(О))
и^эдмгжййфмфй с‘ - «
^Ждот^&й.-вй va ±оо. s3/i^3mw&*iB
Wftfl}M«6<l,XS
MW,) = Ё/жадл
Рем,хр,Ур e tp(M),
^^^№j^-^ifaga EOtM±<ЖХ,Мр емод-ф4Ш
ЙФ^ЙЯЙ g = ^faga > M ±-
?KM. OW?«m,0M>O(a = l,2,-)M-^P ем
1^4-ф vp Ф,^ш/Р(р) >0,й^ о = gp(xp,xp) =
^fa(p)gAxp,xp), >^ gfi(xp,xp) =O,EP
0 = <p; g(xp,xp) = g{<p..xp,<p,.xpY
Й T g Д ЕЙ Й , Й <pp. Xp = 0, S: U^Bl (0 ) ш |Й|к, й xp =
°- 1
«§»(M,g)±,MM й&£р,Й£Г01 Гр(ЮёЙЙ1ч115
1'0]. &X,Y% м ±
ЙЖ^,Ш
<X,’r>(p) =g(X,y)(p) = gP(XP^ (2.3.18)
|| x || = <J,X)1/2 (2.3.19)
X Й-КЖ. ffii x ft У±|0Ш&& 0 ЙТ^^Й
cos в = {X, Y}/ || X || • || Y || , Os=0s=7t. (2.3.20)
SCda.ipM.tHCW^MlC1
Lc = £ || C || dt = £[gc(t)(C(t),C(t))]1/2dt,
c = = C,(—\ (2.3.21)
dt ’\dt)
с йзк-к.
^Ж^^т,ДЖ₽Мй-Ф^Ш®(г/,<р;%‘)й^,<
g = g^dx' ®dx>, X = Г Д, Y = r —,
dx1 dx1
(p о C(0 = (xl (t) , ••• ,xm (0) » a t
94
М-Ж ОО
<X,y)=g,rr, (2.3.18)'
cos e = g..rP/(g..r;f7)1/2(^yiy’)1/2> (2.3.20)'
s(0 = 0^s^Lc, (2.3.21)'
ds2 = gydx'dx/ = gijdx' (x) did, (2.3.22)
» м дмЙ,ЯBlOtilSiW. p S m,
1Д sp м ±Jg p M owo,
Й sp ^JF«. q e p
тад wig w. йго ,м. P ft ? й
WW ЙДВйP ft q ЙЙЬШДОООШМ
1Д M p,q Й^ЧГШЙ^ЙЖ^.
(2. 3. 21) 'tf jmfttttWO?. M ± P,q :
d(p,q) = inf {Lc I. (2.3.23)
ЖЭ2.3.10 c‘ ^<ЙЦ£(м,£)±еШЖ<*Ш£ЙМЙЯ'-*эМ
Ж2. 3. 23) В* Р Mil Т *П Г Я1 q И&Й^гё
Р SJ q d(p,
q)^d(p,r) +d(r,q).&fa&mm№d(,p,q) =0,^p=q.
Spe p Й^Ш®( U,<p;x‘) <p(p) = (0,-",0) ,д
ЯШЙЮ-'Ь a0,Beo(0)C<P(f/)-^fiBoo(0)>R” фЦШ£й.ф4Х«о
у uX (jXf f
№,S.(gii)M <p(U) Ф<~£М#М1ЕЙЖ₽$,-Е Dr = \ x e
R"| II X II ^r( <a0) } .S”-1 = j a = (a1, ••• ,a") G R“ | £ (a‘)2 = 1|,
ИЙЙЯ XS^'^R;
(x,a) b*(g,y(x)acd)1/2
4КЙЛ Dr xS”-*±W®^a Mr fllft/b-fi mr. WEJ Mo ft m0 ЗёжМЙ
T r = a0 0tfi<jft^:ftft/b«- Ш
0 < m0 mr (g;|(x)a‘a')l/2 Mr Мй, x G Dr.
&
«09
96
М-Ж
AWW d(p,q) <г?0,ВР q G ’$ V^C-S^tp). |
2. 3. 5 g WftW, вр
g,=g^det(g,)0O,IlJ(M,g)^r^«>3IB^(^ft«*aE^). Й
^'ЖЖЙ—Minkowski $|BJ L”,^^ Lorentz ЙЙ
ds1 = (dx1)2 - (dx2)2 - ••• - (dx“)2.
S3®
1. Иг = 1,«=2^М,ШЯЙ12.3.1.
2. й ф * C‘ » Af ±Й5 ВЕВД :ф % Сг( Г<к - 1)
ftMTtf Ж С4’1 X,,- ,Х,,ф(Х,,- ,Х,) G С'(М).
3. N% Ск «|в!Й С* ВШ Ф, ,Ф2 », 0М2 1Н(г«Ы)
(Ф'®Ф2)Ъ М +,г®С
f * ( Ф1 ® Ф2 ) = f’ Ф, ®f' Фг-
4. ЙОС* ^,^(Jlf)^) М ± «
ew
е-.^\М) х - xJT(Af) -> СГ(М)
I
>ZB^ttM,W»0^(O,Z)S Cr®&*.iE0)J:M±lft(O,Z)S! С
#£j£M(0,Z)S!Cr«&*.
5. ск жвм± Сг(г«л-1)Й91
</(й>' Л ••• Л ш‘) = ( - l)'"1*/ Л ••• Л da>' N ••• N ы
6. ffilfl: (1) 4(М)фЙ0РЯЖЛЙЖ-Й-Д
»•
(2) ®/:M->zv^
7. йхе ^•(Л/),^ТЙ;Й5!.«х:4'(М)->А'-1(М)^ Н-х<р:
ix<p(x,,-,xr.t) = ^(х.х,,-,^.,),^,-,^^ e^-(MZ).
ВЕЙЛ : 8W Lx = ix . d + d . ix- A'(M)^A'(M) > r , ДЖТ&йЖ :
1“ LX(.A\M))CA\M).
2° Lx о d = d о Lx.
3° <p G A'(M) ,ф G A‘(M) ,5Ц Lx(<p 1\ф) = (.Lx<f>~) /\ф +<p Л кхф.
8. ВЕВД: iz.tMLeWttffi 1%3°.
К1211УТЙЙ:^/е C‘(M),^Lxf=Xf. H.Lx(df) =d{Xf).
9. «C-O5GL(n,R)±,ia(^j = [ -j-
j
%Xp<= 7’p(G(n,R))JIJW
§4 Stokes
97
X = У аЛр)
' -fa 4 Р' дх“
<ИПТ:
ф(Х,У) = trace(A • t,), Y = £б,-Х,
ЖФ A = (a..) ,B = (6,.) ВЕВД ф * GL(n,R)-t«>«*.
10. ЙИ’Д«Я#ЙЙ:КЙШП= (x‘fa,Y'fa\ = ymjfcR’A
' dx dx1' Г1
Ck ЙИ.ЛМ—R3 ййЗ-Of. Vp f=M,Xp,Yp G Tp(M),fc%
gf(Xp,Yp) = (I.Xp,I,Yp).
r3 Фйшйй*.
11. йх(|),о«^1Л R" ФйМЖв1,-,*-) ЙЙ^ M*(|) =
A(f)t>(0 ,Л(0 >0(<>ОМ(|)тЙЮ: II X’(t) II2 = (A'(t))2 +
(л(«))2 II v'(t) II2. ||х(1)-ж(0) II.
12. ДЕЙЛ: йс‘ ?В«Ж^й9е-^р,-й'1?«-ф^«и,,Ж±*« С‘-'1Е^Я
§4 Stokes^®
4.1
Й УД РОДИМ
ЙЖ.М
f. = a\ej9 1 i,j тп. (2. 4. 1)
det(a') >0, (2.4.2)
»йи»и*д<йнод$й. йй
1е1, —,е„! ~ l/i. — Xi-
ВДМ.ЙМ-'МН^Ж- РОДМЙЙЖ^-ф^М.
Шп.ягтR3 WTffl
$£2.4.1 - Ф$Й1°1Ж$|Н1Д-ФЙЖ^|0|МЙИЙ^ОД-
^т1мтжг,&таяэя^ода&.& vvодм^йн.в^
dimAm(r ) =1,пТЙП^А”(У*)ОДЖ Й(2.4.1)<
Ш.-Х) = det(a()n(e1,-,e„). (2.4.3)
ЙЙ.МТ-Ф^ОД Л е Л"(Р*) V оджажиж±*<
98
|bi m й#,йж-ф
Л( 00) e Л“( Г v Й-ФЖЙ- Д^ЬМ.ЖФ т
ЖЖ^Я, =ЛЛ2,Л >О,ЙЛ£0О(г
= 1,2).Й#,ШП£ШТЯ1£Х
ЖЯ 2. 4.2 i£ м % т Ш Ск ЖЖ- М ±-ф&£ЬЖ W
т ЖЖ#Ж5$ о»,» м > яГЖЙЮ. & о», W *>2 й &
Ж МОДЖЙЙтФОИУЖ^.М] а>2 =f^,f^ С°(Л/).^/>0,1Д!|^
<0. я а>2 меиш. м ОД-фЖЙВРД&Ж М Й т ЖЯ'ШЯ'Ж^Й-ф
<j£jiЙ,й>1 W «2 ЙЙЖ м ЙЖЙЙ—Ф т Ж£ЬЖ#Ж
3 ,Ж «2 =>! ,я/й М ±^^|ё|-ф^^. jSff 1Дй с‘ жж М tew
ЖФФ^ЙЖЙ-
Шиа,^),(Д М ЙШФ^Ш®,Ua П Ufi0 0. й!| <ра « <р^ :
(иа и ир) —>R"* > ск ew. Mft-й р е иа п ир, й
D^p) = det(D(<pa<> <р₽1)),/р). (2.4.4)
Ж32.4.1 с‘ жжм>йгжйй,шя{й^#й^^®я1Ш/а,
<ра)\ ,^М<м,ММТ1гЖйр е u^u^D^p) >0.
таЕВД РШЖЗ/МЙШФМ^ЗЖЖВД.
Мш м ±&&^З^й<1хШй<| т Ж^Ш#Жэ£, Дй&ШВЭВ
1(^,^;«*в)1Ж>М.»
й>« = dx'a Л ••• Л dx".
0>\Va=fa0>a, /о>0, /аес°([/в). (2.4.5)
0йШ/в<о#,Ж1чГЯЭ( -<Х,"-,<)Ж^#(*>",<)ЛРМ
Й£Я>„МША >0. ЙЯ', W
(1.2.31)^,* UanUfiJi,
0>а = det(a(-“.’'"’X“2L = n <WS. (2.4.6)
а In/1 т \ I Р "Р Р 4 7
54 Stokes £S
99
=fao>a Ша =^-Шр. ТДй Ua n ufi ±
SZI (иа,<ра;х*) (м М,Ua п г/^± >о.
%0>а= dx'a л - Л к IAI й ЮЖТI иа\ №) ск ЯЗТ^£
Я М ± т
ш = Ел®»-
S^Mft-ДрEMMS= !alp е supp/J3/#£WPOl. Ф*
«(р) = '£fa(p)o>a(.p) = ( £А(р)Д„,0(р) )<w«0(p) ,
МФа0 е 5>@£й<|. £/„(р) = 1, р„ао(р) >0.
<»(р) #0, вр 0>%М т ДЖ М
MTOfaW. I
i£(M,g) Д т 1 ( иа ,<ра-,х‘м) 1
«*(а), - л?», Ф,
g = g{fdx‘M (х) </я/(а) (а ^-№#1) ,
к
Г)а = JC~adx'M - Л dx"^,Ga = det(g<“>). (2.4.7)
л - л к«> = л -л dx^'
Эх(а) дх\а)
UaClUf,±.Va=ih). Й11Ь,(2.4.7)^ШТМ й-'Мёй.'Ё
4OJ,ЙЮЖ иа ±Й-'
ei.'"A,Ti =g(ei,eJ') = 8^, jtfc
i]a = w1 A - Л шт. (2.4.7)'
ЙЖМ(1^^)Д|еЛ(1^^т)ЙМШт£Ш.
4.2
100
М-Ж «ЯЭШ
R" = I (х1 ,-,хт) G R" |х” > 0} ,
aR? = ! (х1, •••,%”) е R" |х“ = 0| s R” 1 х 10}.
mu й# R” дr:&<ijf«,ww 1пш =
ип |« gr”1x"‘ >о}^ t/Wrt3J,a[/ = [/naRm+^ г/ЭДйЯ-.
$^2.4.4 &t/ft е
f/Wp^/(p)«R“ ФйJFW их ft к,,М-ф ск gfcмf-.u^
Fls^#
f I ип У, = fl I Un Ut >
»/: U-+V fa Ck
W) = Dft(p), p g u.
±^Я-^Л ЙЙЖ<Х^Й,ВРйГ1Д®ВД:Й1Д Wr^RM WJFJH,
C‘ 0mm<p| irnR+ =O,l®|#0fWlHl* e JFnR;,D<p(x) =
о. ea(rnR:),
mJT?|J 1 x„} CInt( rnR"+ )xn^x,aw 0 = Dcp(xn)-^Dcp(x).
51Я1 i£ Ufa R"+WJF^,<p:^Rm+^ c‘(fc>imB. ^x0 G
Intf/^Ш<p(x0)eaR:,Wo<p(x0)(R")caR:,BPVx eRm,D<p(x0)x e
aR".
iEW ФТ<рй C‘(^l)ilHt,Sfc
cp(x0 + tx) = <p{xa~) + Dtp(x0)tx + o(tx) ,
тпф
lim^^- = (0,-,0).
t—>-0 t
S^xR-^R^Cx1,-^") f^x". йШ£1Йу e [/,<1т”о(р(у)>о,
J=L 77“ » ^>(x0) =0,Й
0 ттт о <p(x0 + tx) = Trm о Dtp^x^tx +тг“» (o(tx)).
t>0 St,
0 =S tt” » O^(x0)x + (t->0)> lr" ° D^(xo)x-
t <0 0=s тг" » Dtp(x0)x. ФДМ£»Г<Й<1 x G R" <
77” » P^>(x0)x =0, BP
D<p(x0)CRm) C R"'1 x |0} = dR?. I
W£X2.4.4,еад-Ж § I
РШ,*ШГ
5IS2 & 17 ft r; с‘(^1)Ж4Ж
84 Stokes $S
101
Int/jlnt 17 —► Int V,
f\)V = df-.dU^dV
c‘ ж#|№
W &<£Йд17 = 0.ШПЖ1ОЛд7=0,01Ш lnt/=/
#ai¥0,m*’e c/^#/(x-)eav. ОЖ
^ftjJFW tf,(ciOW)«R’ Фй^
FJHiH c* О/. -.u->v, ft gl:v,->t7,
fl = УI t/, > gi I vn v, = f I КП vt •
3dyJ с^пу^Шу^Лх^ЛУ/’Чу») =%„ e t/.,x„^'
Df(x* )« Dgt (/(«*) ) = lim 0/(g,(y„) ) » 0g,(y„)
rn-tf(**)
= =4”,
Wi.&SOlO. 0g, (/(*•)) »0/(*’) =/«.. ant
(D/(x- )) 0g, (/(%* )) ,&Df(x*) ; Rm—>Rm йРШ
№£-^1Я 1 Df(x•) (R“) C3R"+
Rl#,$£av = 0.№&)U* 0, ш E* f 1f, 5 ia±ffi IW Йm
Ш#^Ж,йкдС/ = 0.Ш£х eint O]«R" Фй-ф^М 0,
Ш#0,с0,я0,пэ0 = 0. sjttdt/, = 0. migui±^^d(/(01)) =
0,AW/(int u) cint v. 'ЧШ/JiJW#/'(fat v) dm u.
0jtt/:lnt l/^Int v% ck ж#|№ f0|W0^-tbW/O0) =3VK/|J0:
at/-4amic*t^K. I
2.4.5 /П t c‘ «и R” R:
m C‘ m p e
(u,<p),&Ш <p (u) n aR” = 0,И W P fs М И ЙSM м tfjia
ШдМ аж М м аж М й№АйЖ'й-,JO 9.
fija.lnt М ВР^Ж^ЙЯТЙ т i£ Ck ЖЖ.
£х>1Шчйя*тт#й<1Жж м мм. м
I (Ut j(Pi; vt) (, #£.% и^дМ^0 ,Ж
cpfU,) =Br(0)nR’nt,?j(Fi) =B”2(0)nR"t.
ЖЯ2.4.2 ФЙ^ЖЖЛО M
Гдм±й c‘ м йОНО.М i
>пТЖЙйО!1дМ
Й—ФЖЖ.
102
Ж—Ж «ЯгЙЖ
ЖВД aR"JER" 1Г’ИМО Й$4*М(1/,
<р) ,<р(ди) = <р( и) n aR; Даж; йЯРЖ- АШМ ±ЮШНЙ1*1 чГй
®>! (#„,£.) Иа = иаг\дМ^а=<ра ^,№.,9.)%
м йтШШй,ВР иапдм^0. тдам^тп-i с‘Ш
#ЖЖ. iltfl'
<p(u п эм) = |х е <p(t/) |х” = о(,
til(i,dM)&M ЙОО^ЖЖ-
МЖ«ЕЩ м й9£Й££ам Ю-4-£|ч|. й( и,<р-,х‘) »( у,ф;у‘) Д
м Р едМ Й^ЙЙ^Й.
у* = у‘(х*, ••• ,хт ) , 1 й: i т.
ашяо =у“(х*,-,хт~1,0) .ScMffitW q е i/nvnaM,^-
( дуа
О(ф° q>'l)r(4) = дх» * 9а,Р = 1 ,*’ <р(ч) • ,т - 1.
0-0 к дут дхт ?
3H£#>(g) =(а* ,-,ат-' ,0)
/(l) = ут(а' ,-,ат-' ,t). Vt > 0,
шяоо,я(^ =г(о) = 1шД^о.аай
lax J9(4) ~+о t
det(D(^f о > 0-
>O^det(^) >0.
\ах /,(д) \дх I Г(Ч)
§4 Stokes S3
103
ГО 1 (V,P) | Кэм дез*
й^ГОЖ#Тэл/ФЖГО- I
dx' N-/\dxm ОЖ^-тШФ,?;*‘Ж
ЖЙГО.ФГОИ
( - l)mdx' Л - Л dx""' (2.4.8)
ажй инам±йШ#ЖГО-
i£? е unvndM,xq е т,(М)
х = х‘( —) = г(—) .
\dx/q \Эу‘),
В^(?т] >0,й;г да г WfflHiW^.»,7’,(M)’7’9(aA/)*#)
\дх /,(,)
ro*W#$ro^:*)BlWSMlEaW^£ q (=дМ Й1°1ЙЙ<1ГОЖ;Й
ГО т,(м) Ф*)н№^Ж^^йГО
М-^эм да«. М №ЖГО%£й.
&р €М,0М£НО^(р) = 1/е с\и) 1/>0,_а/(р)
= 0} ,хр е тр(л/).ГОЖМТ<£Мй/е W)SW х/>о,Я$Ф<-
фл е ^(р) ,^xph >о,Д|]р еам. а^р е int m,M*M£M6Vg
^(р),/«рД<-Ф®ФЛ,Вй(^ =0,1^т.Й#{£Ж1Й Ге
\ дх /р
T,(M)iHi Yf=o. е ТР(М),Р еал/^^шй
йр еш,М х е г (М)^/1ЕГО>Й<)^^ХФД-ЙД^ГОЖЙ.
4.3 ЖЖ±Й^>Я- Stokes ЖЖ
?iai(j.Schwarz) йпдал'Д Rm фй^Ж.-й^л'-^л* с1^
л ФйШМ$,!ад<
^(x)dx1--dxm = £ f° h(y) | det(Z)/i(y) ) \dy1—dym, (2.4.9)
Мф1<1е1(ЛЛ(у)) । Л C l&M h’. П'^П Й Jacobi
МШ-
йо»лс‘ s₽,im ^haw^ <o0 ^жт м й-фжго.
&( Ut !<Р1 ;x‘(I) ) да( иг ,<p2 ;x‘(2) ) > M ЙИФ-^Ж ГО WlWMS , U. n
г/2#0.йг/в(а = 1,2)±,ШП<
a»0 =/«"« -fadx'w A ••• A dx"a),fa > 0(a = 1,2),
(2. 4. 10)
104
Ж-Ж ЖЯЭШ
ЯМТр е 1/Int/2,M(2.4.6)^,^
«1(р) = £*12(р)&>2(р) = det(D(^>j о ?>2',)),2(,)л»2(р).
А(р)
DM =77^- >0. (2.4.11)
/1(р)
Ымш,ТДЙ и, пи2 ±чГЫ
О) = g^a, ga^C°(Ul П U2), a = 1,2. (2.4.12)
0 2 ^^(KAWg,)* utnu2
I n„ ° ^>'Irf%1(D",K1) = [ (u nu /г ° <p№m"K)-
(2. 4. 13)
ИЕВД o^2’,^2(I7Inl/2)^I(^ni72)^ Ск ЖЯРШ,.а
M(2. 4. 10)Ж2.4. 12),g/2=gi/;.tt*(2.4.9),(2. 4. 11)Ш
I <11 nil Л1 ° <Pl ^X(1) ’”^(l)
J<P1( U1 n u2)
= I l,gl<><Pi'’>(<Pl’><P2')(<p2(p))Dl2(.p)dx1m—dx^
J<p2( t/1 n U2)
= 12(Щпи2)^2 ° <p2 dx<.2)"‘^X(2f I
* w ЦШЙ m , BP
S = supp <i> = {p 6 M | <w(p) 5^ 0}
Qi,-,Qr,
m\s^m. «о
КЦ-^лК)!
supp/| С U,(l = 1 ,••• ,г) ,
ms±^.=o,j=r+i,-,ft
г
Ш = =/1<И + " + frO>-
Й^1 supp/,wCsupp/(C[/,,HTS;^E Ut ±,
Л2 = gi<01 = gidXfj) /\ ••• Л dx,
(/(<и = = (<п/'ё1° л л dx^
JM jut J<Pi(Ui)
=L(ut/igi ° ?>,'1</%1<,) '"dx"i'> ’ (2-4-14>
Rm ФЙ m IM.
§4 Stokes $Я
105
/л = z£-/> <2-4-15)
ЙЖ & I (Щ ,<р'; V') IДЯ-Ф1ЕД!|Ж>,!/' I >ДЖ
SUPP/» С U'k (h = 1,-,г') ,
= 0( i = г'+ 1, •••). Й(2.4. 14)£31Й2,пШ
[/,(/» = f/,(/» = \глм = [ лс/».
JAf JUi JU^ JM
T>
z = z i = z z Jy*-^= z V'w-
h = 1 JM A = 1 I = 1 J" 1=1 h=lJM 1 = 1 JM
тоштит.
£^2.4.6 OWWft ck
Й m , Й (2. 4. 15) « £
М±ЙШ£.
supp w ФТ—fto =
JM
[to = f /^'-</х",^МИ"±й^^^<т,ЙСМЖМ±тД^
J(/ JV(U)
ж Rm , й ±&tgiwj м
м т , ВР
( с, tot + c2to2) = Cj J^toj + с2 j^to2, c.jCjGR. (2.4.16)
®to*M±r( <ГО)^тм(мот,(Ал)д«й
г ШША^ЖВ ЛИ v to 3/ г N ±Й г ,KMWMSc
[ Vto>w®A№. тмтея
JN
J^^to = fji'a,. (2.4.17)
жа2.4.3(Stokeses) С‘ЖЖ,«^М±
доютс1
f da) = f J*to, (2.4. 18)
Jm JdM
д£ф itdM^M £ждМ _ад<й м
106
М-Ж ШЯ-ЙЕЯ2
й. %дМ = 0 ,
юл
МЖМ supp ы &&&. М Й—и,(р-,х1) ЙЙШ
яйнжтир «г. лее т -1 ^ьжя-ж^ *> жа$
й> = £ ( - ly-'Xdx1 Л - Л dx' Л - Л dxm ,Х' G C'(U)
i = l
dco = A ••• A dxm.
ЙЙ(2. 4. 14)W
J da) = J d(o = J (%)dx1 ••• dxm , x E. (p(U).
(2. 4. 19)
1. UQdM = 0.<p(U)%Rm №]^^M(p(U)^^lE^C =
(% e Rm Юсл/d ,i = 1, ••• ,m} ЙЖЙТ supp *>(
AyG = I, - ,m) ШОШЙ£У c ±, гГЁПй <p( u)^^. ай
f V ( dx1 ••• dxm
МЮ frl \ dx1)
=йвн-л“
7П-1#<
= У [•••f \X‘(xl ,-•• ,x~1,1 ,x+> ,- ,xm) -
i^l JO J°
A^x1 ,••• ,х'~' ,0,x‘+1 ,••• ,x”) } dx' ••• dx^-^dx"
= 0.
Й-М.11Ш supp «Gint Г7 = Г7,Г<»3/аЛ/±Й^Ж1*:,#гИ fdifi‘a> =
0.
2. UDdM^0.^±.m,<p(U) ecu (x e R"lx” =0). C %
c № 1*1^,И(2. 4.19Ш&
(da,=-( -f Xm(x1,-,x'"-',O)dx'-dxm-t
Jm Jo Jo
m-1
Я—^®йал/±х" =о,й
f i* a) = ( i* (o
JdM JUCldM
= /o1’"/o( " 1)”'lA"(xI,-,x”-1,0)JxI-rfx”’1.
§4 Stokes ЖЙЕ
107
dx' Л - Ndxm ^^,дМ Й ( - \ydx'
K-\dxm-'^.
f da> = ( - 1) m f J,* a) = а. |
Jm Jsm JaM
fjffi(2. 4. 17)5$, (2. 4.
I dot = j a>( = ( л,).
Jm Ji(aM) \ Jaif /
o&±& stokes
i. йм^»г±<^тйяе,мйоc‘(^i)ma
!&.&a%M±Cl Й 1 fa, 0=adx+bdy, da>
= ( — - —dx A dy, Й Stokes /еЯШ
\ dx dy)
IJY — - — \dxdy =[(-- —)dx A dy
JJ\dx dyl J«\dx dy!
= J adx + b dy,
jit BP Greenest
2. SOR3 С‘(^1)ЯДЙ S.
Й w M_h С1 |ЭД2 , Ш (о = Pdy l\dz + Qdz /\ dx + Rdx f\dy,do) =
{^-+^-+^\dx^dy^dz. T>M Stokes ЖЖ, W
\ dx dy dz)
= $Pdydz + Qdzdx + Rdxdy,
ЙВРМЖЖ.
3. t£M*R3 ФЙ®Я-,'ЁЙ^ЖС‘(й>1)ЙЙ^/^₽М.й>^М
± с1 й 1 Ю = Adx + Bdy + Cdz, Ш da = (-^</x A dy +
\ dx dy)
(^-^\dy^dz + {^-^-\dz^dx. MBP^ilW Stokes
\dy dz) \ dz dx)
117- M\dxdy + - ™\dydz + (M_ dC\dzdx
M dx dyl \ dy dz) \ dz dx)
= ^Adx + Bdy + Cdz.
>1^.
108
М-Ж шя-зш
2. ЙМсГ” .KitfSmtC* ЖЖ-ЛЛ/—+
rR“+',ffi^MT х е м w N(x) е т,м (R"“ ) Off /,,(Г,(М))(МФ
Л(,)(К“”)ЙЙ«11ЕЙЙД^ТЙ«(АЛ) = S‘J ®«> I * R”“WJ
' дх дл//
ftN(x)%M МТЙЙЙ N(x) ,Ж /(М)±Я!Т5^Х-4- m
fi.(I(x)) (Yx , ,Ym) = (dx' Л - Л dx"*') (N(x) ,YX ,••• ,Ym) ,
x^M,Yx,--,Ym S Г;(1) (R“*‘).
at = /’/г.тЕВД :
l°ix(l(x)) = "^ ( - iy(N(x)x‘)dx' A - A dx‘ A - A dx"*'.
2°£x0 еМ,£Ы*0) = 0,Я!|д(/(%„)) =o,Mffij?M±w-am«c‘-1
ййжа.шл/дчгййй.
3. ®F;R"^R,(x',-,xm) 1 M c‘ 1Ш- ®ВЛ:ЙЙ®
F(x',-,x") = с(#£)Л m-1 & Ck ЙГ£|Ч11Й1ЕЖ^«. S”'*
ЧГЙЙ1Й.
4. Mobius
F(u,v) = (
~ . u « . и .
2cos и + vsin —cos u,2sin и + vsin -Т-Sin IZ.VCOS
2 2
t)'
Mobius
5. ^W:S“^P”(R) ,X Н>[х]®ВЛ^Й-»^|н] P"(R) S rn ,*ЙГ£
6. й(м,х)^цГ^|»)«<Ж^. I (Ua,<pa-,ya) 1 Д-ig м
^dx'a К - A dxma = /G^dx'^ A - A dx; = at' A - A at",
G„=det(g(a),)>g(„),=g(^-,-^-)>WI«>i|> З.ПРДШТОЙЯО
7. ЙЛГДФЙ#1Й^£Й1?МЖ.тОЛ:йМ±1«-#й-ФЖ&1°1*®Х,
W-jKp еэмл^Лйййй.Д-^ тр(дМ)1Е^.
8. ЙМДФЙ#ЙйГЙ1°1 с‘«,<о0
1° 16Й^ХйМ±Й<11ч1*Й,«Шй5М^«|5*Й|»|ЙЙ.
2°Д= -г>0 ЙЙТЭЛ/ ± ix:A"(M)^A"-'(M)^{&,T
§з ЧЙ7
9. С‘Ж^.МДА1Й?Р^ЖЖ.ЙаЛ/=|Л1йЛГф|ЙЙ1#
Д| 0. таЕВД:
1° м ДвТЙЙЙ;
е и,ж
(*) <р(М A U) = (% G <p(U) | хт >0),
§4 ЙЕЖЖИ1Я# Stokes ЖЯ
109
<р(эм п и) = \х е <р(и) | х" = о|,
ИаЛ/ft N® т-1 С‘1ЕИТЖЖ;
3’ ^tf = R2,3f = \(х,у)1х2 + у2 <l,j£ 1 < х2 + у2 <4| ,ЯЭЛ/ft Д'ИЖЯЖЖ
Ж{Н>КЖ>£( * ).
10. фйГ^Й^Й1#И 2 ^й®,Жй#^ал/. ы= '^p&g'R"
ФИ с’1 &Ж5£,Йш|О1йМ±,«ЖШт1Й Stokes ЙЯ.
11. йм^г Ф1£ЙЗГФЖИЙШ,ХЙ1#йэл/,и,гй R” ±Д^ЖЙ±Ж
И С‘(*»2)ЙЙ,ЙИ:
1’ f v V2udx‘ Л - Л dx" = f «У (- I)'-1 —dx' Л - Л <£? Л - Л dxn -
J« fa дх>
ХфУ2и= Y
i = i дх
2° [ (и V2v - и V2u)dxx Л ••• Л dxm
Jm
= L У (-1 У~' (u—.-v^y\dx' л - л <£ л - л dxm.
\ Эл/ дх1)
Green
3° ^V2u= V2t>=0. fin | эи=г | .„,M и | „ =v | M.
12. й ы ft m S" ±И С" (т-1)^Ж^,ЖВЛ f da> = 0.
Jsm
13. Й\x,y,z} % R3 (i.M)^R3 ф2^пГ£|ч]®ЛФЙьЖ,Ж
ф1^йЗ-ОГ.л/±Д<Й R3 ЙЙ«О^1Й««!««.й({1,ф)ЛМ±^Й
£=41Г’г)’ F = gUr’T)’ G=g(T’T)’
\ ди ди/ \ ди ди / \ ди ди /
Им±»т
ds2M = Edu2 + 2Fdudu + Gdu2.
Л/|(,±И^ЙЙЖ*»(,=у-х^-/^-х^- = п'^- + „2^- + п3 Л
и ди ди/ ди ди дх ду dz
ЖВД:
1 ° п dy f\dz + п2dz f\dx + п dx f\dy = — x — \du A du.
I du ди I
2° M dA = n dy f\dz + n2dz A dx + n dx A dy.
3 0 й a) = -^-dy f\dz + -^-dz f\dx + ~^~dx A dy ( r = x2 +y2 + z2 )J&R3 - | 0 ( к (Й 2
r r r f
is S2(r0) = j (x9y,z) e R3 lx2 +/ +z2 =r2 >0| ,J®J f О) = 4tt.
JS2(rQ)
«^ДЖ#«±МЙЛМЖ^,&ЖФЖДШНШФЙЖ±
Я1^ФШШ#ЖЖйт±И&,Й£Ж£Ф£ЯЖЖ±Й*^
ФЖ^Ф-М
|Ш#О!1, ВРЮГ (Й»Я) • ДЙФ^Я W, тд
%Ш.
1.1 Rm «±ЙШ*&
W,-,хп)Д^Й^Г0] R- ФДйЖФЛ(Жа) R"
йш?тй, 1 $$ r" фй^жяй^й*
ig.R" WffWlfill^ mnjif-й^^
Y(x) = Г(х) -?-,
dx
£Ф г(х)>ж x ййшл кд ск йиш^шд ск m
йх=^(х)Ад R” йШ-ЙМ,МФ£-£р е R-л, =х(р) =
дх
х (р)э7’^®:й¥^й’^^вгийхй*^ кйрМйжх, да
“ЖЙ#$Г*\ППТ:
D Y— (XpY) /- = (г(р)^ПА (3.1.1)
р дх \ дх? / дх
деа*,=*чр)^ж^,ж^*й£'йЖ1Ш&ж
ЙЙ,®<ПйГДй-аЖЖ1+» DxY. i£ у. [O,a]^Rm Д41-Й^
й.ашу(о) =р,У'(о) =хр,я^,'?&й^уМ
^(°) =^(p)^W =х\р)^р) =х„г,
at дх1 at дх1
§1
ш
0г1Д
О У = ^(0)-^- (?&ft^y). (3.1.2)
р dt дх
£±&ЖтИ£Ф,ФНЖЭДЖТ Rm ФЙЙЙ^В ^TJESW
М0-ЖЖЖ±
Й м Д т Whitney £Я,^1ПчГЙ! М »ЛШЙ£|в]
R2m+WAT«. Я гм:Л^к2ж+1аЖЙФ«ЛОЬ UlT^£:R2m+l
,В^^!А1,1^,В,С,---С2т + 1.#Т1£-
[Эу J
Д р е Мр й—(t/,<p) 1 х‘} ,lci,
j,k,-^m. °<Р~‘^ЖТ <p(U) CR" SJ R2m + 1W-A
ШЖИ(йсА)
f(x) = (/W,-,ri(»)),V* = *m) ^<p(U).
м й P Д ffiЙSI'Bj TP(M) Д Tp (R2”*+1) й?$ |SJ, й й, Tp ( M) де а Й»
(тМ
[Эл Jp [dy J
d
dx'
= A
dx dvA
(3.1.3)
г=У(х)—^м ±ЙЖ^ Г«й№йй№.х, =
дх
Х‘(р)/- ДЙМ ДЙШ#$М±Й£Шу: [0,а]->Л/,^Ш
дх р
у(0) =р,у'(0) ^ХР. 'ЙЙ(Е/,^)ФЙЯ§₽аЖ>
у: ? = ?(*),Л0) =?(р),^(0) =Г(р). (3.1.4)
at
У(у(0) = Г(Л({))А
дх
у(0
Жф/т
дх
__д_
у(0) дх
р
dY /rfFjH +p(0)(A_L)
dt p \ dt dx'l p \ dt dx'l p
-АВД’Рэ MffittCtoS 10 ЛгЖ). M й-йй
at
112
Мн»
def
dY( . д
Г(р)Ч15) •
\ at дх1/D
(3.1.5)
ЭДЖЗ. 1. 3)^(3. 1.4) R2m+1*m
(¥) +
\ dt / р дх1 дх р
Г(р)(^г1) *‘(рН
\ дх’дх f р \
чТй(А
\оул//(р) 1дя
(3.1.5)'
дУл' м
7Г|
ШЗ. 1. 5УЫ
(3.1.6)
р
р*(р) = ^(p)F*(p)-
дх дх
ШП}Е(3.1.6)ЖХ^ЙМ y&p А^хр
О У=(^) (3.1.7)
>х,(пА
Р дх
Y{p)Dx(^-\,
f \ дх I
о^]=Р‘к(р)х\Р)/-
р\ дх / дх D
§1
из
dt дх p
'B^$T»fa*^A*p xp W#fa W-
dx
M T± i£$Я Ю # fa # $ Dx Y, Pj И й g ffi, Ъ Ж & T Я1 is Я Sfe
fl!|:*x,y,z ДM±деадйж^,/,л g С'(М),МЙ1£-Др<
(0 D/x+hrZ = fDxZ + hDYZ,
(ii) Dx(fY + hZ) = (Xf)Y +fDxY + (Xh)Z + hDxZ.
1.2
±®детвж«тй#Ш£де-ФШ
й^ядешид^от. зшл ко82и1<^шжде^^ж^айй.
$£3.1.1 ОйтО1О,ЯЮ^±ЭШ|»1№
iw ,м ±де-ф
V : ^(М) х ^(М) -> ^(М) ,(X,Y) H*V^y,
ftWTOU,y,z G .Г(М)ЙИ£ЖМ G св(М),Ж$ИТ^
(i) V^+ArZ =/VxZ+AVyZ,
(3.1.9)
(ii) Vx(fY + hZ) = (Xf)Y +fVxY + (Xh)Z + hVxZ,
v^y^^j у^т x де(^й)йЗЕ#й,^г#й.
&$££H,IO|-V> к-£Шде,#.ахЖ1ЙР e m,( VXY)P м
xp шм xp ^зшм^деж-йш y(o± yде^зд y(r(o).
м де^М, W3?
II • ТДЙМ X у ЙШ
X = <Wi(X)ej,y = й»‘(У)ег
W$£,3WW
VXY = Ух(й>*(У)е;) = Х(й,‘(У))е,. +ю'(У) Vye,.. (3.1.10)
де fa* .'ймчш й i e; i ,шпж£ » -f i - ш «; =
def
V^==<W;( J)e;, VXeJT(M). (3.1.11)
й удешк i) ,ш‘ i ййй® *>; *1
114
М = Ж
<у;=г>‘. • (3.1.12)
й(3. 1. 11)^(3. 1.12)Ш
Ла = ve/., (3.1.13)
Л = <у'( лл) = 4,;(e4). (3.1.14)
г =<У;(У),Ш(3.1. io)nT^W^
¥ХУ =(Х(Г) +й,;(Х)Р)ег
= (</Г(Х) +й>;(Х)Р)ег (3.1.10)'
WI д ,<ЙЖ
ei = а\е}, (3.1.15)
м
ы‘ = Ь^ы1 й)‘ = a'jd)1, (3. 1. 16)
1 ё, | ТЯНЙЖ ( Й (3. 1. 11)
М^ЖЯ) ,Ю(з. 1.11)^П(3.1.12)^ш®вч й‘| Я1 й>‘\ ±1Ш1Г
ш‘ = (a’rf + da*)^. (3.1.17)
^(3.1.17)йЯ-#ММ^!ё(} М
ипй = V# 0 ,ДО]# У±,мт»й*^|е()й1|ё(|^
(з. 1. is). т a v ±жш 1 <<>; 1 w I1 йж и
^^'Ётжжжм^сз. 1. и).
I -Л;} w 1 wjl,-ЁПЖЖ.(3.1.17),жФ1Ж(3.1. и) W(3.1.10)
ШШЖЛvxy. Й#,^ШЖТ-ФМШ#V. йй,ШГ1Ш#?Ши
«тя-^-жя.вр
££,3.1.2 й 1 Л1Д М иа ±Й£ЖТ т2 Ф
1 -Ж^!ш‘(а)! ЛП^#00ЛК±Ш1^5ШЖШП(3. 1. 17)
та,Мй:(3.1.11)ШЖТ V. (л/,
W#£i‘h].
1.з ии$
й м ±й ЖХОГ
Т-^{М) х ^(Л/)->^(М) ,(Х,У) Г(ЗГ,У)
§1 ftttO
115
T(X,Y) = VXY - VrX - [Х,У]. (3.1.18)
ft X, Y,Z e M) Rf e С" (м), й vft r -
[АЛ] =flX,Y]-(Yf)X,^
T(X,Y) = - T(Y,X),
T(X + Y,Z) = T(X,Z) + T(Y,Z).
T(JX,Y) = fT(X,Y).
ЙЙО ГД Г (M) %Ш1 ,ШЙ®.
x^’(M)->End(^'(Af))(SSft EndJT(M)
a^^(Af)±—$gR£$l$ftS|0]),A,n t->R(X,Y)%
R(X,Y) = Vx Vr - Vr V, - V[x>r], (3. 1.19)
BP
R(X,Y)Z = Vx VYZ - Vy VXZ - VlIfjZ. (3. 1. 19)'
R(X,Y)Z = - R(Y,X)Z. (3.1.20)
,f e с’ (M)w
R(.fxt +f2X2,Y)Z =/^(X,,y)^+/2л(л,У)-г,
R(X,Y)(flZt +f2Z2) =f'R(X,Y)Zl +f2R(X,Y)Z2.
^R(X,Y)Z Д C"(M)£OftW.
ЙЯ3.1.3 Й(3.1. 18)^ft^M T^W^Vft«E$. T
^o.M^vM^^ft^^ft.
M T(X,Y) e Л’(М) ,ТД,Й
T(X,Y) = r(J,y)e; (3. 1.21)
ЙЙЙтф2Ж Г ^VftSE^it.
^^3.1.4 Й(3. 1. 19)^gft tf(X^)»Vftft$»^,M«
^tt$^7?(X,y):^'(M)^^'(M)^^ft$^^. й(3. 1. 19)'ffi£ft
x^(3f)
ЖЖ*.
te^R(X,Y)Z e ^(М),ЙЙ
R(X,Y)et = Л((Х,У)еу (3.1.22)
£Xft m2 4- 2 - Zl\ Vft ft
Г WTi£
ЖЙЗ. 1.Ц Cartan
da>‘ = - w] Л + Г, (3. 1.23)
116
da>‘ = - <ак Л ®* + fl у.
ЯЕВД &X,Y е &(М)
X = ш\Х)ек, Y = ы\У)е..
Й(3. 1. 18)^П(3. 1.21)^
Г(Х,У)е; = Т(Х,У) = VJf(<wi(y)ei) - V1,(«‘(X)el) -
о/([Х,У])е( = |Х(а/(У)) -
У(аГ(Х)) - ш‘( [Х,У]) 1 +
\a/(Y)a'(X) -<J(X)a>'(X)}ei,
Ю(2. 3. 10) ',±^-фй^1ЕД Л№,У) ,|ГШ<чГЙЖй Л
«/(х.у) ,BPW
T‘(X,Y) = d<0\X,Y) + «' Л ш‘(Х,У).
ЙТ*,УЙШ^14,1ЖШ(3. 1.23)Й^-^. R(X,Y)Z й
ОЛТО-1.23)й^-^. I
йЧ ,'ЁЙ(3.1.17)аЙ,
BPW
dak = aja>! - а‘шк. (3. 1. 24)
М(3. 1. 16) ЙЖ-(3. У24)Ш_
da = ( a^aj - a‘d>‘i) Л (i)1 + a'jda1,
#ЭДЖ(з. 1. 16)йИ#
da>! + й/j Л <w* = b\{dd)' + a\ Л <ok) , (3. 1. 25)
й cartan
T!= b{f. (3.1.26)
|0|И,М(3.1.24)ЖЙ1^Ш^_,^^(3. 1.16) W(3. 1.24И#
da* + akh Л шк = bk(dd)‘ + ы\ Л шк)а\.
Й Cartan
$ = ЬкП}а\. (3.1.27)
4Ш3.1.26)Ж3.1.27т«^ШТ^Ш61й&ЖЖ5^Й«5£
F=yF>Aa>‘, rjk=-rkj, (3.1.28)
fl‘ = y7?>‘ Л a‘, К}ы=-Я^, (3.1.29)
§1
117
1еЯЧ , MT Й e( = -Ц, < a>‘ = dx‘,
dx
ш‘ = />‘4 = ,
\ дх /
MW Г = d{dx‘) - dxk Л r^dx! = Г‘^ A dx1',
-5(3.1.28)ffifct^4#
n = r‘k - rv. (3.1.30)
й it 4l JSL, WW Д V £т й
г $ = г kj.
мй^ж §i.i фшпол ожмтаж
(3. 1. d мх&ю.
^jH
дх дх
дх" дх4
= ^~т-^~т + Г>Л - ГкЛ- (3. 1. 31)
дх дх
(з. 1.30) жз. 1.31)#яум»ж*пй
« й; 1 д г/ ±я-д , шаЛ=«; = T‘kd ?,
(3. 1. 17)&ЖМ«а'= —,йИ#
дх'
= Г^~Т^Г + Г"~Т“|- (3.1.32)
дх \ дх’дх дх1 дх I
йй« ,Ж&Ж>
ftH,R (м, V) ф ,й<ПпГ51ЛДПйй1й^. Й у-
(а,6)->ММ-^Й^,МЖ§₽ДШЖФ^±-@^
х' = x‘(t) ,а < t < Ь.
ТДу
r'(t) = д ,
dt дх' у
ав ужмдм м
X = Х1{х)—. , Г(х(<)) =
Y$№ У = Г(оД
.аепож^
У
118
У:
У = F(x) /.,Г(х(()) = Г(«),
дх
й(3. 1. 10)',(3. 1. 11)ЖЗ. 1. 12) ,Y^X
K16№y_t,stW
vxy| =^(^ + rijk^\—i
У dt\ дх1 1 / дх
= (^г + г;у*^)А
\ dt J dt I дх
и, vxf । r # y's. y йййй, а
Vr.y—V,y|T = (^l + ^Y4^)/- . (3.1.33)
\ dt J dt / dx y
ЖЯЗ.1.5 й УИЙШ у: (a,b)—*M ^ЯЙЙ1Й-
(3. i.33)^^Wv/y=0,Mi<y-?&ffi^7iFfT. #50,Sу
fW,BP vry =о,ш^ у % м
жк»у M
^ + Г‘У*^=0, (3.1.34)
dt 1 dt
удмйямйтш
d x у.,! dx dad / о i о c \
—т + Гк, — —=0. (3.1.35)
dt1 J dt dt
±5СШВР M
53®
1. ffi00(3.1.8)й;.
2. й м М
4(i,2)S!®l:«rtt#
r; = Л + n-
3. й(М,,Г)?П(М2,Г)^®1* m, film, ffl , ( Ut ,V1 ;x‘fn ( V2,
йм2 М^Е0,й1йЖ®м=м1 хм2 W^ffl(и, xu2,<pt %<p2-,
«У))±£Х
= r>^Lt = = о
(1 i ,j ,k C mt ;1 Ca,6,cCm2;l C A ,n,v m1 + m2).
$2 «ЙКЙ
119
4. (i) й(3. 1. 17)ffiW(3.1.32).
(ii) м
K^VWM®-jfii± 1Г=17ПУ±тейЙт,т1Е1Я(3. 1.32).
5. й(3. 1.
dxiQX1 dX
^т«и(и.фЛ)йй^«ййЫ/7к*г‘=г‘.
I dx J
6. ftiw,>=i(.-,m)jtci
fiEWimfrЙОх(0ЖЛ¥1тЙ*«. вр» M ±tf 1»ГЙШ85*¥?ТЙ9.
7. Й M% С‘“ЖЖ, C“ ЙЙ=®Л,ИО. и С(.)йж
арАййй^хи^й^.ссо) =Р. и с,-лгс(1)йж ус(1)?вй^ слчт&зш
рДЯгШЮЙЙ.ВЕВД:
(^У), = Нт ~*( С * Ус(0 - У).
F t—tO t
8. &M^C‘«,V^Mft^«&,a^C‘Ot:(a,6) x (c,d)^M, (s,t)
^a(S,t). ie^=«. (Ат=«.( -^-киЕйЛ
ds \ ds / dt \ dt /
a
da r, da
У da - = Уда -,
d« dt dt Qs
Ййп Ж T ЙЛМЙЛ.
9. C“ ЖЖ м” ±ЙЙ®. I а/I ^ММ18«Й*«,
(i) ЮЛ:
—($iL\+ й>| ш‘ - о
dt \ dt / dt dt ’
(ii) £?R2 йй^^,й«&1-Жй;й
w! = w2 = 0, w2 = dx2, a)2 = dx1.
§2
2.1
Й±^Ф,ШПВ^ХТ^ЖЖМ±Й^иЖ^.
,й(з. i. 6)пйоо d йя>,
WJLM.R3 D
120
м=* К8-5Й*
D(X • У) - DX • У + Х • DY, 1,УЙЙЙ±ЙЮГ •
Д R3 т^ЙЙ®±ЙЙЯ «
MJEMrWSOLt*
%% 3.2.1 й(М,g) М ±ЙШ*®£
ШО1Ш£(3.1.9)Ю(0ЖН)ОЯ£
(iii) VXY-VYX = [Х,у] ,ВР^$ Т=0;
(iv) X(Y,Z) = {VXY,Z) + {Y,VXZ) ,^ф< g ЙЙЖ-
Levi-Civita (iii) «ВД (М
£S3.2.i(£SJL<sr»*£]i) 4-фс2 ««(M,g)±#
ЖВД ftM-Ж й&.ЯЖтОЖ vxy,z)®M(iii)^(iv)i£
-й(iv)W
X<y,Z) =< Vxy,z> + <У, vxz),
y<Z,J) ={VYZ,X} +{Z,VrX),
-Z{X,Y) = - <VzJ,y) - a,Vzy),
шнзшмддао
2<Vxy,Z) =X(y,Z> + y(Z,J) -Z(X,Y) +
<[J,y],Z) - <[y,Z] ,x) +
<[Z,X],Y). (3.2.1)
MT^^^^MS>g,^fnffl(3.2. i)#£jUfrW&vxy,ifi8!
i+^nr«»,^^WVWMtt^(iii)^(iv),0Jtt'&>-^^M«
&,5Ш®0ЛТ#£Й. I
M^B»Mlxi),^X = -^,y = -^,Z=/7)fl!ia®Vx-^ =
Эл/ дх dx ^dx
/у^-,4Ш3.2. 1)^Ж
Ar
7 Г dgu . dgil dgf
jkSu - _ j + _ к n i
dx dx dx
(3.2.2)
BP
(3.2.3)
§2
121
{•11= + (3.2.4)
LjAJ 2 \ QXk qx‘I
g №№ Christoffel
r;k = (! I
l A J
ai5V>^MM^(Af,g)WM^I^^,7?(X,Y)Z Й(3. l-19)'J5f^
ЯЛУ
R{X,Y,Z,W) =^= (R(Z,W)Y,X} (3.2.5)
й$&в.
Йе1(-,е. й{£Ж15»«ЛЙ<е;,е,> =«sJf
^(et,e;)ey = П](ек,е1)е1 = R'jklet
Ol&imtWt
R4u =R(ei,ei,ek,el')
= <,R(,ek,el)e.,e.) = gikRkkt. (3.2.6)
Й&
V 4ei = *№)в;,е*£.. = (<^)(е*)>
i&W
(^•)(e*) =<Vejei,e/> + <e(,Vetey>
= g/X(e*) + gu^iek) ,
BP dgtj = gi^j + gkj^i-
йИЯ1гЖ^ЖШий#,МЖ
£S 3.2.2 №МШ&v,
d<o' = - <wj A <o‘, git<w* + gkjvki = dgtj,
dta'j = - ш'к A a)j + f2‘, f2 j = ^R‘t,M1’ A a>‘.
4еяо , 3 1 e;) , <ef ,в/) = 8ir
ш1 = 8#а/ = <w‘, <w,y = 8ita>j = Цу = 8Л$ = fl],
= - T, ши А шк, шл + <o*i = о,
к
d<a4 = ~ ШЫ + (3.2.7)
~ 7 S <w<‘
b,l
122
ЯГФ(3.2.7),МЖчГ<
ЖЭ3.2.3
<у. Ч—
ЖВД
о = X Л (шн ~ *>н) ’
Й Cartan 31 ЯШ
~ ^ki = У, Qi = ^ji-
j
йй «у^ «4г«₽>йШй с; = - с‘л ,тд чГШ
С‘и =0 ВР шы = aki. I
И1 й% е
, "• ,ея + 1 ) №—ФШ/ЬЗ£?й JOJ (« + dx;ei + det , ••• ,em + 1 +
de„Al). Й1&адА = 1г-,ИИШОШ^,Й
dx = <улел , (3. 2. 8)
(А,В = l,-,m + 1)
deA = шАев, (3. 2. 9)
МФ ,<4 t.,- ,ч
ХШ2.8)№Й»#,Ш
О = ( da»* ) ел - ыл A deA ,
W(3.2.9)ftA_t^,W
(</<ул + ыв А ыв')еА =0,
fit
da>A = - шв А шв- (3.2.10)
ШЙЖ,ЯГ(з. 2. 9) ИЙ^О, Wfljffi(3. 2. 9) чт
da»B = - <ил А шсв. (3. 2. 11)
(3. 2. 10) ЙЦЗ. 2. 11)+ е,,- ,ея + 1
&,ШМ<вл,ев> =ЗлвЖЙ^Ш^ВпТ^
<ул+шл=0. (3.2.12)
ЯЙ$"(е) = {xeR"+I | || х || =у,с А1ЕИ}-М 5т(с)ЙШ
ЖД *,Ж»’+1ЙЯтаО е>,-,еи,е„ + 1,<
W е„ + 1> S’(c)4x ,ТД
§2
123
dem+1 = cdx. (3.2.13)
Я-МЛ* S”,(c)±$^Bf,</x Jg S-(c)Wf х,й
(3. 2. 8)<fc
dx = coet (1 m). (3.2. 14)
}TEftA(3.2.13),Ш dem+l = Сй>‘ем (3.2.15)
МЙ(3.2.9)Ж3.2.12),Ш demti = <+ier (3.2. 16)
i If m + 1 i = — *>m + l , = - <W« + 1- c (3.2. 17)
ЭДД(3.2. ll)flj(3.2. 17),О d<a =— d<o'mtX = — ( - <а} Л wJm+1) c c = - w'j A o)J. (3.2. 18)
Jw] = - (OA A 0)j = - 0)lk A 0)j - 0)lm+i Л 0)"+i = - a)k A ct)j + £2 у, (3.2. 19)
fl у = С2(X)1 A CO7.
(3.2. 18)»(3.2. 19)^Д^Й 5m(c)fi<J^W^.
Ш i£ Г‘й m + 1 = (l,0,-,0),-,/m + 1 =
(0,-,0,1)^тй1Ля,у e
(x‘,-,x” + 1) ,y = (у,,-,Г + ’) >> :Г + 1 x
<«,У> = £*У +-yx"‘tlym+1 ,c =
(x,x> = —
c
5 = {% e r+1 I <x,x> = y}
(3.2.20)
я^гзш®.
«^ЙФША:Г + 1->Г + 1,х ^Axsx'^T;
x*“ = A“x^, a,P = l, — ,m + 1.
124
«=«
=А%1уК,
г/яхя о \
МФ
(^)
j_
с 7
G. ЧГ12ЛЖВДХФ S ±{£-А х G ф
Ю-Ф$& G,, х $gij fm+,, BP w g; lfm+, = х.
С~'/; = et, i = \ ,••• ,т,
ти
(х,е;) =0, (в;,е;) = 8tj, i,j = 1 , ••• ,т.
#£-£х е 5Л1Ае1(х),-,ет(х),х,йй'Ё<П>^Й^Й,
ЙчГФ
dx = a>lei + а)т*' х,
J 1 . иг +1
dei = о)\е. + a)i х.
MiM
т +1 г\ /п + 1 i j i
(t) = U , (Di = ~ C(D , (Di = - (Dj
dx = (Dl6i , dei = (DJi€j - C(d'x. ( * )
S _М1ЛИМЖ*
ds2 = {dx ,dx} = («у1)2 + ••• + (<w”*)2.
W,M( * ),11йП#
dm' = - (Oj Л <oJ + <w' =0,
dta^ = - <Wj Л <w* + co)1 Л a>.
2. з), вр^п <»' i -
fl J = Л (t)' = C(O Л (if
3.3. з).
S2
125
2.2
м х е jT(M),i&3J
¥/Ж(М)->^(М)^(3.1.9). И ^(Г;(Л/))^ЛЧ Л/±(г,б)Ш С*
^(М),ШПЖТ^Л¥Х:
x(<w‘(e,)) = (Vxw‘)(ey) + <w‘(Vxey).
Шё(3. 1. ll),±Wl( VX)(e;) =
Vyti>' = - (а'^ХУы1.
ШО
vx(a*«‘) = (.Хак)ык - aha>hi(X)a>‘
= (Xah')tt)h + ак 'VtMh.
Vx: Г? (M))^( Г? (M)) 3. 1. 9).
^.йеб ^(^(М)),ш e ^(r?(M)),PT^XVx(e®W). й
, Й ы = aA<w‘, Y = bJej, f#
(VlW)(y) = X(a>(Y)) -<»( V^r)-
-аж.^пйг^ж
^^3.2.2 йммло. V> м
^м±(г,,тс'Ш^.^хе x
Vx : ^( Ts (M) ) ->^( rs ( M)) , 'ЁЖМТ^Ы :
(i) VJ=X{f) ,/s C-(M);
(ii) f=A\M) =^(Т?(М)),ШМ11ЙЙ Y e ^(M)
( v^)(r) = X(<y(r)) - a>( Vxy);
(iii) e g’(r,(M)),MMi№«1,-,w' eAl(M),Y,,-,Ys
e ^(M)
¥хф(<о' ,-,а)г,Г1;-Л,)
= vx(</>(<w1,-,wr,y1,-,yI)) -
^^(«‘.•••.v^.-^'.y^-.yj -
126
жнж
Y </>(«/, -,a)r,Y1,-,VxYi,-,Y,). (3.2.21)
7 = 1
Ifr®3.2.4 е аг(М) ,ш е А‘(М)
V/tf Л <в) = Ух0 Л ш + в Л vxa (3. 2. 22)
ft
^(J,,-,Jr+1) = £ ( - 1)“+1 •
а = 1
VIa0(X1;-,fa,-,Xrtl),
J,,-,Xr+I S еГ(М). (3.2.23)
13ЕВЛ (3.2.22)SWmmi0iE.ftO8
(2. 3. 10) fgo
do(x,,- ,xr+I)
= £(-i)“+1j„(0(x1,-,x„;-,jr+1)) +
а = 1
(- i) a^e( [ xa ,xfi ] ,x,, - ,xa, - ,xfi, - ,x„.)
a<fi
= ^(_i)-1 via(0(x1,-,i(,,-,xr+1)) +
a
£(-l)“+^( VxXp - УхХа,Х,,-,Ха,-,
a <fl
Xfi,-,xr+t)
= ^(-D“+1 vXocx,,-,xa,-,x^). I
a
х = г Д,у = г Д,
дх1 дх1
$2
127
VXY = X V±( Г —\ = XY. (3. 2. 24)
>A dx'l -1 dx'
r. - Vyr = -^7 + r'X- (3. 2. 25)
X = Xk -±T,Y = У* -^7.
dxk dx
X
d_
dx19
= A+ лл
dx
~kyi d_ _ VJ ^Lyi d
дх' Эл/ ’* dx' dx' ’
tt&(3.2. 24)^11(3.2. 26)?#
yi _ у/ dxk Эх*
Эл/ dxr
Й (3. 2. 25) Y.(1,1)
ф = Фд'-i A ® - ® A ®dx?' ® - ®dx>! ’
dx 1 dx r
WIW
?хФ = A ® - ® A ®dxii ® - ®dxi- >
dx dxr
(3.2. 27)
Эф1.1 l.r r
Ф^'-t =-^r+
dx t = 1
<3-2-28)
ЙЙ3.2.3 e ^(Af)^<v^ =О,Ш№Я% Ф
mi>
ШйдаФ
(z‘i = sf‘»)‘o =
Cx'^’x) + <<ZX‘”rXA) =
ы
х, ,хг у , ВР
VyXa=Q, (а = 1,2).
ЭД>,^Й^у
эд ад эд < эд
П> I W* Й "V ЭД
ЭД ЭД Й 3? М Ф Ш- и й
ж
м
я
3S
Jn
>
*
§2
129
Ш0(3. 2. 27) ^П(3. 2. 28) ЛЙ ф‘'"‘' 1E>(r,s + 1) Уф |W
..M
Уф = ф' dxk (x) —^т- ® ••• ® ® dxJl ® ••• ® dx',
^-к dx' dx'
(3.2. 30)
МФ Ф^г4Й(3.2. 28)£X
сдай
X i£! Ш Ы,Ю(3.1. и) з. 2.2 фЙ(ii),
Vxe( = cai^X'jej, Ухш' =-<aj{X)(ai.
w.irnm
ф = ф,е{ ® a>’.
3. 2. 4 ,w
V<#>(-, ' ,X) =Ухф(‘, •),
Ж
Ухф = (Хф-)в1 ® ш1 + ф'^У^) (x) ы1 + ф‘е{ (x)Vxa>'
= ^ф'(Х) +фХ(ЛГ) -ф>‘(Х))е;®шу,
Уф(‘, - Л) =(^ф‘(Х) + фХ(Х) -
ф'кык(.Х) )ef ® <w'( •, •)•
^ГЖ,^1й^?ф =ф}лй>*®е(®й,\ДО|
Уф(-, • ,Х) = ф‘^к(Х)(е,®ш’)(-, •).
ФМ<У‘ = ^Ф;‘ + Ф>«* ~ Ф>‘ ОФ';-
Оф' Ф'
Фм1 ej Я1« I ЖЖЮ,^^1^
Т(3. 2. 28)ЯР^.
Idx J
йЛЙ£ЖФ^ЕЛ1ВЁЖ,а(3. 2. 28) \
т* 1^1 (m и-, ашежгё ime#, й
- Шй.МТ
Ф = ф'1 ’ei, ® " ® е, ® О)1' ® •" ® <У7’,
J1-J, 1
130
Уф = ф*1 * * * У"*' а ®е, ® - ® ® ы‘ ® - ® ы‘, (3. 2. 31)
Jl-js,k 1 г
ф‘'"‘г ш* = <1ф'' "‘r + У ф'1"'-1'^1 -
h-js>k Л-Л Д Л-Л I
Уф**а>‘ — Оф‘‘Л (3.2.32)
Л"Л-10<+г-Л Jt Ji-i,
яс&жв ф" 2. зо&чшж^
л-л
Уф = (Оф'' '') ® е. ® ••• ® е; ® ш' ® — ® ш‘.
Л”Л 1
0й
У(ф®ф) =Уф®Ф+Ф®Уф,
Л“7,Д «г”«9 Л’"Л «г"«9з
,g) ms>%№ v vg=о,й
(3.2. 33)
gii.t = °-
g4®e;, g’ga=5Jt,
g\ = о. -
ф. . t-(g ф,. . ).»
Jl-h,k
»2Z , 'Ч'”Ч
= g Ф.. ..
ф‘г = (^(ф*1 *') ,t
0г-7,Л 1 Л-J,
(3.2. 34)
(3.2. 35)
1 Д-7,Д
ф ^-^МЪУ'ф %М!У(Уф) ,^(r,s +2)3!?МЙЖ МТ
ftj£S<j0‘,-,0r ел1(М)й11,-,х„1,1ге^(М),ОЙХ3.2.4
W3.2.2,®tW
У2ф(&',-,&Г,Х,,-,X,;X,Y)
$2
131
= Vy(Vx</>(01,-,er,X1,-,^)) -
t Ухф(^1,-^Х,-,^Л1,-Л,) -
a = 1
£ Vx</>(01,-,^,X1,-,V^,-,X,) -
<3 = 1
= (vr(vx4>))(01 ,-,ffr,xlf-fx,) -
vVyA(ff',-,er,xtt-tx,),
ЙЙ
V2<f>(-;X,Y) = (Vr(Vx</>) )(•••) -VVyX</>(-). (3.2.36)
(def.)
R(X,Y)<}>=— VxVy$ -VrVx</> -У[х.к]ф, (3.2.37)
Ш Й (3. 2. 36) W (3. 2. 37),®{| TM®.
3.2.7 Ф X,Y e .T(M),$£ Ricci®
V2<I>(-;X,Y) -У2ф(-;ГД)
= Й(УЛ)Ф(-) = - R(X,Y)<f>(-). (3.2.38)
Ricci
Ф 1 - Ф 1
Jl-Js,kl Jr"js,lk
= У'ф‘1"‘’ R^-
Jl-"Ja_lAja + r-74 Jakl
у (3. 2. 38)'
«ЙШ&ЙЙЖ&ЙМ£(ЙТ® §3),0«|Ш1Й&Ж^1Ш
jy. шй-зтятют .мжм
Ricci ш^. .
1. TjE?9S(3.2.i)^Ji(.e<)ftW^vxy*-^^#«^.
2. Х = Х‘ /.,¥=¥> -1-
[jk] дх дх3
132
Л£ЕЖЙ*^,тЕ1Я:Й
з. й(л/,г)Л»#ЖЖ./е с\м) ,х е я\М) ,я хЖ§₽Ч^Ж х = х‘ —t,f
дх
ЮШЙ grad Z^SPJfc ЧГЛЖ grad /= _L x ЙО div X = Х\. •
дх дх1
div grad / = -±— -M TCg* -^-j ,
,/G bx ( ^x‘]
х£Ф G = det(g1J).
4. ймм». e.iлиййм,i®'iяi®;i
Vjft/ = - й»;(Х)й?, VXeJ(M).
5. ®(M" ,g) ЗШЯЙЖ.а» = ^^dx' Л - Л dx'"* т - ,£ф
V. = ^ч-<„>
,0,(io-Л) Ф<Я1«Ш,
Л-.ч„ = i,(io-,i.)
-1,(*о-л)
ИВД : = °>ВР ш
6. ffiВЛ : (3. 2. 28) ЙXW Ф^ '24*(G' +1)
7. йЦ?#ЖЖФ
(о
(й)
8. Й(Л/”,г)ЛЖаЙ«*ЖЖ,Х(1),-,Х(г)(г^т)^^Т^1ч]*«.Т1ЕВЛ:
(i) м м Й«1^Л^ЙЖ^Й9;
(ii) Й1Жr = mЙ9Й^ЗК>*^ЗК*.
9. й(л/”,г)ЛЖ*Ж»,-е*< С*5Й1"1*#Ж® 01 ,-,<?" 1*и£й9Ж35Ж.«
т2 ф С’ ft 1 0‘Л^Л*«т,£Ш£Т>£ЖФЖй:
(i) <10 = -#‘Лв;,
(ii) dgg=g!$ +giket,
ЖФ go = Л.*,) , 1 ef I WI Й«|МД«Ж«. тЕВЛТЙЙЖЙ v*3?Oh&
VH/4) = Х(/‘)е< +/^i(X)e?., VX G .T(M) ,f G С" (M).
10. e Г(Т;(М)),Ф g г(^(М)),ш
§3 й$
133
Ух(ф®ф) = Vx</> ® ф + ф ® Ухф,
ФНУ,^0еА‘(Ю,<о еЛ’(М),Ц<
Vx(0 Л ы) = Vx0 Л а> + О Л Vx«u.
и. Й(М, ,g,) >(Л/2>g2)^^|gftйЖ.V(,, У!;М1М(Пй«1И. F- м,
-+мг W^#|S]K, BP g, = F* g2, ТЕ ЭД F, (У^’У) = V?'XF. Y, MX, Y G
ЯХМ,).
12. Й(Г,«)МЯ^», VA =0.
А’ -Т^МУ^Т^М) ,M p e e Tf(M)
def
<A-(Х),У>,=Л(Х,У)(р),
Й Pl A ' iWflE® ,e( ,дад :
(i) ^«тЕЛ*М±ад>»;
(ii) ^p4#pt,M<e4)e4) =О.Й|е(|*А’Й<ИФ«ЕЙ*^,««<е(^.> =6V,Ж
^P^P„ W,W
(V».ej,et) = 0, h,i,k = !,•••,m.
(iii) 1£р; ЛгЖШ,МЙФейЙЙЛе,, •••,«,,Ж e,tl,-,e„ Л
13. йф=ф; А®&' >(1Д)а&*Й,£ЙЙ^Т11Еад Ricci
3.1 й^зкв
R(X,Y)
*ПЙ^ЖЖЯ;
M^x,Y,z,w e ^(M),
R(X,Y)Z = VXVYZ -VYVXZ - V[XtY]Z, (3.3. 1)
R(X,Y,Z,W) = (R(Z,W)Y,X) , (3.3.2)
^ПМ^й|^МЖЖй<)ЛМйМ+^Ж^й<). ШЧ^иЕВД
W.3.1 M&^№faMx,Y,z,w e jr(M) ,й^^йЖ
134
' (i) R(X,Y)Z + R(Y,X)Z = О,
(ii) R(X,Y)Z + R(Y,Z)X + R{Z,X)Y = 0,
(iii) R(X,Y,Z,W) = - R(Y,X,Z,W)
= - R(X,Y,W,Z),
. (iv) R(X,Y,Z,W) = R(Z,W,X,Y). (3.3.3)
«ЕВД Й(3. 3.1)
Й (3. 3. 1) ,V l»J*M Jacobi
R(X,Y)Z + R(Y,Z)X + R(Z,X)Y
=vx(yYz-v,y) + V„(V,J - V.Z) +
V2(Vxr - VyX) - V[I>nZ - V [y>2] J - V[z>x] Y
= [X[Y,Z]] + [r,[Z,X] ] + [Z,[X,y]] = 0.
Bianchi
(ii)' R(W,Z,X,Y) +R(W,X,Y,Z) +R(W,Y,Z,X) =0.
^M^(iii) Ж Й R(X,Y) = - Я(У,Х)М<$^У ЙМ
(iv)---
R(X,Y,Z,W) + R(X,Z,W,Y) +R(X,W,Y,Z) =0,
R(Y,Z,W,X) +R(Y,W,X,Z) +R(Y,X,Z,W) =0,
R(Z,W,XX) +R{Z,X,Y,W) +R{Z,Y,W,X) =0.
M±05£ffiMJffi(iii) BP^^^(iv). |
Й e,, - ,em W^,«18(3. 2. 6)
Riju = Rtei^e^ei) = gu,RjH,
R'i^i = R{ek,el')ej.
IBtfe M2? 1 ,j,k,l^m = dim M
(>) Rjki + Rju ~ В >
(ii) R'p + R'Uj + R\jt = 0,
RiiU + RMi + Ru* =0, (3.3.4)
(iii) Rijti = - RfiU = - Rytt,
> (iv) Rijkl = RUii.
§3 дж
135
3.3.2 Л М ЙШ#Й
«Ж,Я1МТ1£М x,y,z,v,w е Ж(М)
VR(V,W,X,Y-,Z) + VR(V,W,Y,Z;X) +
УЯ(У,Ж,ХЛ;У) =0, (3.3.5)
Bianchi
VR(V,W,Y,Z-,X) = (VXR)(V,W,Y,Z)
= X(R(Y,Z)W,V) - (R(Y,Z)W,VXV) -
(R(Y,Z)VXW,V) - {R(yxY,Z)W,V} -
(R(Y,yxZ)W,V)
= <Vx(R(y,Z)lF) ,V} - {R(Y,Z)VXW,V) -
{R(VXY,Z)W,V) - (R(Y,VXZ)W,V). (3.3.6)
VR(V,W,X,Y;Z) + VR(V,W,Y,Z;X) +VR(V,W,Z,X;Y)
= (VX(R(Y,Z)W) + Vr(R(Z,X)W) +VZ(R(X,Y)W),V) -
(R(Y,Z) VXW + R(Z,X) VrW + R(X,Y) VZW,V) -
(R(VXY,Z)W + R(Z,VrX)W,V) -
(R(VyZ,X)W + R(X,VZY)W,V) ~
{R(yzX,Y)W + Я(У,VXZ)W,V) ,
R(X,Y)Z Jacobi
Vx(7?(y,Z)IF) +Vy(ft(Z,X)IF) +Уг(Л(Х,У)Г)
= Я(Х,У) Vz17 + ft(y,Z) VXW + R(Z,X) VyW +
Я([Х,У] ,Z)W + R([Z,X] ,Y)W +
R([Y,Z],X)W.
fe^W^S.^№MWtt,R(X,y) = -R(y,X),BP1t(3.3.5). I
Л0 3. 2. 7).
m(3.2.7)W^t
0 = - £ daiy Л a>j + &>,у A </<w,
Й ft, ВРШЖ- Bianchi ®4^
^ЦуЛа»;=0. (3.3.7)
136
^Jffl(3. 2. 7) «ЗД
Ryu + + Rujt = О- (3. 3. 8)
(3. 3. 4) Ж.
Ж#(3. 2.7) IO-
do. = £ Лй Л vkj - £ *>» Л nkj, (3. 3. 9)
ЙВРЖ- Bianchi |Ж. ''M/K Л
(3. 2. 32) ,DR^
DRiikl = dRijU — У Rjjih<ahl ~ У, RjjM&M, ~ Rihkl^h] ~
h h h
У, RhjU^M Я У RijM.b^h »
Д!|(3.3.9)5WHI-T
RijU,h + Rljlh.k + Rlfl&'l = 0- (3. 3. 10)
Mf Й WM ДШЙЙМ
^®з.з.з e M,M(R(X,Y)Z)P
X,Y,Z^p ^^.Xp,Yp,Zp. &MM^Xp,Yp^ Г,(М)Й£~^
&&&R(Xp/Yp);Tp(M)-+Tp(M). &ft,(R(X,Y,Z,W))pWlt®T&
P M1ЙИЖ1.
«ЕВД
X = X\,Y = Yiei,Z = Z{ei,w = W‘eit
Й(3. 1.19)',(X,Y,Z) ^R(X,Y)Z^H^№j,tt
R(X,Y)Z = Х^г^(е1,е^ек.
e М,(Я(е1.,е>)е1)р^|Й]й^^,ЖГ ,P,Z‘ {^РД
ЖЖ, fiJf Ы ( R( X, У) Z) p&WTЙX, Y,Z p £ Xp , Yp ,Zp. Ж
Й,(Я(Х, Y,Z, IF)), x, Y,Z, W * P ^й«. Д)Н, Й
(з. 2.4), (з. i. 3i) 1д^>й1явр& жйттт м ±й*
&*g. I
3.3.1
W.3.4
x‘),№№
83 й$
137
ЯЕЭД Pfaff ^8S
d^i j j
x = Xjdx ,
W* = 0.
®±5£*iOit й Frobinous
£s,±& Pfaff ^айй^нгшй.
xl = xl(p) frf, xl = a , = b'j, det(6y) # 0.
Pfaff = x‘(x)&p НМ ^ClZ det (#0,
\ dx /
(3. 1.32),
d x ГK ] d x d x Г 1 1 d x
dxk [ji] dxJ dx1 IAA;J dxJdx19
ВРШ { 11 =0.
Ijd
Tl-=o,tt Ut ±g^«.
dx*
(gs)4t^ тхлД». @jlt& u, ±iW!x l ^йОН^&’Цчй#
^ЯФОЙ^Й^. I
m ЖМ»,ф:М^О:Ж4ЖК.
ф- м^м
x‘ = S\x),
ЛИ ф ^fig|WIKlWj£5M^>
138
М=»
~ '''•'к ~
д х д х
ёц = Ski—T ^7
дх дх
ЙЙЖЯЗ. з.4£ВРТ®Ш£.
Ш IBttffiS1 х R1 1 ЙИЖ
S' даж^ R* И*Я(М 11) ,МТШЙ±Й
Д р(х,У,2 ) ,х = cos в,у = sin в,z = 2,0^0 <
2тг. ЙЙО <0 <2% Й1ЭЙ®(«,г)ЛЙЙ
r3 «им±йш#йй
ds2=do2 +dz2. йй,ИМ31¥ЙМ»,
5IBJ.
$l] 2 т ;
Г = {(01,-,0т) |0f G S'(i),i = l,-,rn|
= S(I) x ••• x S(m),
ЙЖ i MB г йЖй^Ж^Ж*
ds2 = У, ( d0i)2,
И rgffi^- T^BWAR3
MSA R4 ф. Bitt,Й#¥^ЖА|й|тю R3 ФЙИ^Ж.
3.2 Ricci ЙЖ Мй$
Й(М,«)^#ОДЛД гдлпФ-ф^й^йЖй’Жа
Т„(М) ФЙ-ф-^TSl'aJ Е,ЕСТр(М)ЛЙ X да Y
Й¥Й®.-&Г,У'>£ФЯ^-Ф^Й^Й|Ч1Й:
X' = аХ + bY,Y' = сХ + dY, S = ad - be 0,
МФТЙЖО R 3.3.1,
R(X',Y',X',Y') = 82R(.X,Y,X,Y).
М£Я-Ф(О,4)»Й
G(X,Y,Z,W) =^= <X,Z><y,IF> - (,X,W)(Y,Z) , (3.3. 11)
м g <imm(3. з. з)
G(X’ ,Y' ,X' ,Y') =82G(X,Y,X,Y)
= 82( || X ||2 || У ||2 - <Х,У>2).
^jk,R(X,Y,X,Y)/G(X,Y,XM^EcTf(M)^,^X,Yi.E^
S3
139
££3.3.2
56£ЙЙЖ,И
,._ R(X,Y,X,Y)
К'(Е) - G(X,Y,X,Y) (3-3-12)
А£Т¥ШШ Е йт®й$,1Ш«Й$.
Кр(Е) = R(X,Y,X,Y).
ЙМ«ШЖТ,т£
X = гД ,Y = г—
дх' р дх'
WW
^,(р)ГУ^/
(g*gfl ~ gug^YW
(3. 3. 13)
£S 3.3.5
^dim М =2, деШМЙ^ВРЗ/ М Й Gauss
dimM>3,wij марййй$ж1Шр £йж<(¥а®)йш®й
«-Ш£.
ШЛ Й Gauss £Я. чГ
М(3. з. 13)Ж^М.
ШЕЙЯЙШ-W- й££ з. з. 2.3НП
(3. 3.3)Й(0,4)Э^Й^(Х,У,7,Ю,#Я^^Й^Й<|Х,У 6
rp(M)W
R(X,Y,X,Y) =R{X,Y,X,Y),
m=P^№iX,Y,Z,W &Тр(М),^
R(X,Y,Z,W) = R(X,Y,Z,W).
S(X,Y,Z,W) = R(X,Y,Z,W) - R(X,Y,Z,W),
X,Yf= Tp(M),
S(X,Y,X,Y) = 0, (3.3. 14)
«5 = 0. M.S -Й^(О,4)Э!ЗКЙДЖЙ.(3.3.3) ф(п) - (iv). '&
S(X + Z,Y,X + Z,Y) =0)gJF,&(3.3. 14)Ш
S(X,Y,Z,Y) =0, VX,Y,Z e Tp(M). (3.3.15)
MWS(X,r+lF,Z,r+IF) =0Ю(3-3.15)Ц
S{X,Y,Z,W) +S(X,W,Z,Y) =0,
140 М=ж К&5Й»
ш
И
>
‘Ч
ад*
со
+
S'
ч
>£
сс
о
II
N
S
н
СО
ш£
ЕП_
ад
ад
ад,
Nl
ад
ад*
!*!
s
ж
ко
ад
ад
СО
и
ад
ч
£
ад
i=t
h
ад*
И
ад
II
ад
ад
Н
Ч
ад*
ш
Bt
ад
ад
!*!
ад
И
ад
Ж
ад
ад
М
№
h
ад
ад
ад
। +
Ч
ад +
+ ад
ад ад*
ад ад
। +
S S
+ +
ад
ад ад'
ад ад
। +
£ S'
-ч
ад >><
ад
K(Y + Z,W) +K(X,W) +K(Z,Y)
K(Y,W) - K(Z,X)\.
Е
is
%
иОД
ад
$
го
IK
м
е
§
и
ад
Ы
л?
Е=-
trr^
№
%
*
Щс
л?
4К
К
ад
Л?
*
ш
Bt
ад
ад
ад
гттл
ад
%
Ьо
ад
ад
и
ад
И
®
{ОЕ
%
OR -
& ^К
6“
ад*
ад
ад
ч
ад*
ш
fO
4&
ад
и
Ъо
Js
ж
№
а
ад
и
ад
ад*
ад
ад
ад
ДЖВРп(з. 3. 16).
§3 д$
141
А,-(р) =|л^‘л«'=^лер (3.3.18)
Oi = gijto1,
Ш ю , ••• X Д е,, -
113.3.7 (F. Schur) &М Й1ЙЙ«Й«О,Й dim М^З ,
«ЕВД ймОММй
Мз.з.6,ойр е м
W = K(p)(8lk8jl-8ll8ik). (3.3.19)
&|mJ>iej ЙШИШЯШ- Й±5£,М ЙШЯЗГбй
dm( = - £mtt Л <ак,Ыц + myi = О,
к
dco^ = ~ X ши> Л mv + K(oi Л <а;.
dK Л <i>i Л d>j = 0.
ФФ dK = ^К^,
К | mt /\<Oj, 1 С / < i <j^m \ Д А3 (М) (HjUbi&S? т^З ,ДОИ#
Kt = 0(1 = 1,•••,«)•
джжть к=«. xs м йвжй. йс к м ±й », bp м
I
к = с Ю(##[2]).
1. с=ол*лг=к”,Д<ЖЗГйЖЙМ.
2. c>ox*M"=s“(^^R”+W@^WJ$®,MWW#W
\ VC / л/с
йжоялж§2. 1 деэдт).
3. с<О,дГ»
м" = {ж е R” | £ (х‘У < - —},
R” Ф^Ж.ЙЙЙФТзШ^:
У, (dx‘)2
ds2 = --------2*
(>‘f? <-'>•)
142
Я41Ш«1,Й(3.3.1)Ж<Шб Z Н-
R(Z,x)тжт Ж(М)->^(М)да-ф£Ш$&. Юр е м,
г,(м)->г,(м)й^й$^. ЙФ^йФ&даш^ТЖ*
g)
S(X,Y) = g'i(R(ei ,X)Y,e.) , (3.3.20)
gij = <ei,ej)t(gv) = (gv)~'.
М,$>-ф(0,2)а|&й^.
О(з.з.2)Жз.з.з)Ш]<
S(X,Y) =giiR{Y,ej,X,ei')
= giiR{X,ei,Y,ej) = S{Y,X) , (3.3.21)
Bitt S £(M,g) Й(0,2) SOm
££3.3.4 EW-3.20)££№“^MS^«l:^SB^(M,g)
W Ricci Жвй.МТр e TP(M),
def
Ric (Xp) =S(Xp,Xp)
В^Йр^'?Й^йда Ricci й$. МЙОЙре M,Ric (X,)-*gX,
i^.WOp да И, Bp S =Ag,M^(M,g)*gSWrJtB (Einstein)
M.
X = r— ,Y = гД,
dx1 dx1
МА(3.3.20)Ш
S(X,y) = RjuX^ = R^Y*,
def > ji
R, — ^=g‘kRtili (3.3.22)
as s «й wt да#*, Hitt
S = R^dx1 ® dxJ. (3.3.23)
4OJ, I ejftf, M
S(X,y) = {R(ei,X)Y,ei') = й(е;,У,е;Д). (3.3.24)
Hitt
S = Ri](o‘®ш], (3.3.24)'
I ( > I e; | ,й
def _
R.=
к
§3
143
Ricci ЙЖ*
Ric(eJ = Яй = ^Riiki = Ли- (3.3.25)
MtS(3. 3. 12) fl (3.2.6), Я^^^Й е*Я1 е;МЖЙ¥Ш®ЙШ®Й
Ж, ИЙ(3. 3. 25 ) ВД: Ricci ЙЖ>«® Й ЖЙ¥Ф-
Й RicciМЛ Р е М Я* :
Т,(М)^Г,(М),'Ё^^ Ricci XpG Тр(М)
«Чх^ет^АГШ
<Я‘(^),Гр) = S(Xp,Yp),VYp G Т,(М).
Ж£,Й(3.3.20)^&
R'W = ёЧр)5(Хр,е,)ег
££3.3.5 Якм$&Мр—1гЯ*^(М,£)й^вД^
£ЛЙЖ.
Р =g‘,gU{R(ei,,ei)ej,ei') = gvS(ei,ej)
= giiguR{ek ,е,,е,,е^ = g^^R^. (3. 3. 26)
leS'J, I e J T,
Р=ХЙ«=Х^- (3.3.27)
ЙЛ,^*йЖ>Исс1йЖй¥^,<®ШЯя= Хй«^р.
& (M ,g) Й ®ГЙЖЖ, ДО s = Ag, Т Д
р = Ag’g(ej,e.) = mA, А = —,
m
BP
S = —g. (3.3.28)
Я-#® Bianchi Ж-Ш^(3. 3. 10) , Д(3. 3. 28)М
ЙЙ^ rn^3 at ,р = const. ,
^®3.3.8 ^(Л/^)^^йЖЙЖЖ,т = dim Л/>3,Д!1МЙ Ricci
О
S =^g,
Mtffi^P = O.
>В,€ЙМЖ>^ЙЖМЖЛ0^(М^)*)£М^ЙЖМ
144
ЙШ dim #J7).
3.3
й(м,«)йтто,?> G С"(М)>Л/±1ЕЙ^>Т>
g=<pg (3.3.29)
й м (з. 3. 29)
ю, ?=const, юошт
Ж v^n v 5НУаж£Т g ОЮЯЙТОО
{^яЦ}^ж,3₽Л,МТШ»Г*Ле j^(M),^
VXY - VyX = <и(Х)У + <»(У)Х - (х,у>Л- VX’y e •Я'(м), _
(З.З.ЗО)
<Х,У>, = g(X,Y) ,0> = d(l0g<p),
V>MMW|4J1:,BP
(V,x)e = a>(X) , \fx (= ^(M).
й^З₽^Ж1*‘1Т,(з.з.30)^
( 11 = I * )+ 8‘<pt + 8'k<pj - <pgjt, (3. 3. 30)'
IjACJ IjAJ
<Pi = (log <p) ,i = -^rlog <P, <p‘ = gy<Pj.
dx
ф(Х,У) —(^ю)(У) -a>(X)a>(Y) + ±-a>( V) (Х,У>,,
X,Y G ^(M).
(ф-(Х),у)=^=ф(Х(У),
%(X,Y)Z =R(X,Y)Z - <j>(Y,Z)X + <f>(X,Z)Y -
(Y,Z)e<l>-(X) + (X,Z)g<l>'(Y), (3.3.31)
S3
145
ЖФ vMWt. ЙЙ.ЖЙ Ricci 5Kf:S^^
<£Жз£
£(Х,У) = S(X,Y) - (rn - 2)ф(Х,У) -
(1гф)(Х,У>г (3.3.32)
жаомотя*
R^ = R1* + <р>А - ч>и$ + g^{ - guWj, (3.3.31)'
= R. - (m -2)n. -rfg., (3.3.32)'
ЯФ
. / d d \ 1 к
<N = Ф = -^ёц<Р*<Р ’
\ dx dx f 2
i и
<Pj = g <Рц-
g О^ййЖр ffip □£
(p2p = p - 2(m - l)tr ф, (3. 3. 33)
^Ф tr</> = <^</>(“7,7^) = <Pi-
\dx dx’/
m>3
L(X ,У) =^=—L—S(X,Y)-------------<X,Y)e,
m -2 4 ’ 7 2(m - l)(m -2) ‘
(L^X),Y)—l(X,Y),
L = L - ф,
<p2L* (X) = L*(X) -ф'(Х),
К = L4 - <Рч> <pZ'i = Li - <Pi’
ЖФ
r = 1 R__________P____
v m - 2 ' 2(m - l)(m - 2)g‘7’
ь; =
&Й®^Й5ШЛ(3.3.31)?Й£ф,ДОШ
? = C, (3.3.34)
146
C(X,y)Z = R(X,Y)Z + L(Y,Z)X - L(X,Z)Y +
(Y,Z)'L’(X) - <X,Z>/’ (У), (3.3.35)
OJROT, (3. 3. 34) fl(3. 3. 35)
= C[k, (3.3.34)'
ХФ
С‘* = + 8^ - 8‘Lik + giiL‘k -gikLlr (3. 3. 35)'
ft® 3. 3. 9 , Weyl
m =3 0f
def
D(X,Y,Z) =VZL(X,Y) -VrL(X,Z), (3.3.36)
М.'ЁЗсТ гюмж ШШМ
D(X,Y,Z) = D(X,y,Z) - (w(C(Z,y)X). (3.3.37)
йжзттжг.м
D* = ЬУ'к - L* . (3.3.36)'
&* = D* - cp^. (3.3.37)'
M(3. 3. 35) Bianchi Ш^ЙЦЗ. 3. 36)4#
C^.k + C'tM + C'AM = 8lkDijk - 8‘DM + 8^ +
SijD'ih ~ gikD‘ik ~
±Sfc£T * » h C‘aj =0 flj D‘y =gaDUJ =0,-0^#
e'M = (m -3)Dik.. (3.3.38)
Й (3. 3. 37)fl(3. 3. 38) ,^ft® 3. 3. 9,®^#T^
ft® 3. 3.10 dim M = m =3,ЯЙ (3. 3. 36)£ЯЙ&* D
D=0.
^3.3.6 ^(M,g)> e
ЖЖ.
R3 ФЙЙ®^>^Ж¥ЙЙ,МТ т&З й'ИШЗс
<nw
83 ЙЖ
147
ЖЖ 3.3.11
М:
(i) т>3 Щ,С = О-,
(ii) т =3 frj-.O^O.
«ЕВД й(«,«)>одайй,ййхз.з.б4^р±л=
о Ш=о,;=о,тдШй з. з. 9 ft з. з. 10 л#
С = & = 0, D = & = О,
Ж£^14
(l°g V) ,i = Vi,
j t (3.3.39)
<Pi,j = <Pi<Pj ~ -^gyV Vi, + 4 ,
Йф L = —-—R--------1-----B
4 m-2'1 2(m -l)(m -2)**’
к ki
V = g Vi-
ЖЙзМФД(#^(3.2. 38)')
Vijt - Vi,n = <PiR‘iii>-
V^ = D^. (3.3.40)
S m >3 3.3. 10,^ C^ojl] B^O, ДЖ(3. 3. 40)tlW
rn=3 fft,ilfrj®3. 3.9,jttBf CsO,SJt^OsO,WJ(3. 3.40)Ш31
^rKX,«^SW^^T,^®^(3.3.39)^^pTft. Й#,
(3. 3. 39)5£а-фДМ1Ш ^,^М^Ж»(3. 3. 29)
4 =0
Мй(3.3. 35)'Й2Ш5Ш
= С'* = 0.
ЖЖЙ^ДВ^1>{Ф,««ЕВЛТ(М^)ДЖ«^¥ЙЙ. I
^ЙЖЖ^ЙЖМ^¥Йй.т(>з)Ж^¥ЙйМЙ
ЖЖЙ^ДЖЙ«#ЖЖ.
1960 *₽ Yamabe т( >3) (М,
g) ±,М-ФЗШ1Е V, &&jmttg = Vg д«зтжЙ<
(3. 3. 33) йт#1Е&. 1970 4₽,т. Aubin Xtjttftft Т
?й;кжа. 1984 R. Schoen (J& J. Diff.
148
М = ж
Geom. ,20(1984) ,479 - 495. )
1. ЙВД(3. 3. 3)(iii)S:
R(X,Y,Z,W) = - R(Y,Х,Z,W) = - R(X,Y,W,Z).
2. ВЕЙ:
VX(R(Y,Z)W) +Vy(R(Z,X)W) +Vz(R(X,Y)W)
= R(X,Y) V2W + R(Y,Z)VXW + R(Z,X) VrW +
R( [ X, У] ,Z) W + R( [ r,Z] ,X) W + R( [Z,X] , Y) W.
3. Bianchi fi^S(3. 3.10): '
RHU,k + Riilh,k + Rijhk,i = 0-
4. ДЩ;
R(X,Y,Z,W) = 4-|K(X + Z,Y + IF) - K(Y + Z,X + IF) -
6
K(X,Y +W) - K(Z,Y + IF) - K(X + Z,Y) - K(X + Z,IF) +
K(Y,X + IF) + K(Z,X + IF) + K(Y + Z,IF) + K(X,W) +
K(Z,Y) - K(Y,W) -K(Z,X)\,
K(X,Y) =R(X,Y,X,Y).
5.
R(X,Y,Z,W) = —^—{S(Y,Z)g(X,W) - S(Y,W)g(X,Z) \ ,
m — L
ёц = =O,i^j. ВЕВД i,j,k^ ,4p
dx dxJ
Rm - giiRi - gaRii + -^pgugs = 0,
ХФрЛм3
7. ®(JW”,g)^iS®M Einstein
(i)
(ii) ^(М”,<)Й«1Й*Й^р#0,ЛИ(М",^)±^йТ1тЙ*«.
8. SM’CR3 R3
мг Gauss
9. i+£#®S"(r) = |xeR"*' | £(?)2 = zW)[ ЙШШЙ* , Ricci Д
S4 ИДЖЛ
149
= a
S-(r) R"*1 ЙШЮЖ
10. Д#®52(О) = рек3 I £(*‘)2 = a2} *^A(0,0,
Ж Л/,й м L iw М х L ±Э1Л^«ЙЖ
ds1 = a2 (df? + sin2 t)dp2 ) + (dt - Kcos M<p)2, К = const. ,
(i) Ю ,« M xL tOWEO;
(ii) ®вл ш' =ade,a>2 = asin ed<p,a>3 = dt - Kcos edtpjg
К
a>i = “ <°2 = —“ Kcos 6d<p) + cos Qdip,
2a
з i K
й>1 = - (t)3 - —sin Qd(p, <y2 = - (t)3 = - -z—dff;
2a 2a
(iii) ,M х£*#Й^«Ж».
11. ®(л/,я)й(м,я)^^^жж,я = ф2я.
1 -ЖЙ. ЖВД:
(Oj = (t)j + (Pj(t)* - (PiO) J,
ЖФ
^>(<а‘ = <flog <p.
12. ®НЛ (3.3.30)ii£.
13. ЙЕЗД(3. 3. 31)ШЗ. 3. 32) ^(3. 3. 31) '?П(3. 3. 32) '.
14. (ОЛ m=3 Bf(M",g)W
15. ®s-(r) = |«ег“ I ^(х‘)2 = г2,г > о}.
ф:5"(г) - |(0,-,0,г) | ---------->R".
ffi ВЛ: Ф Л Л Ж BftM, BP Я Т »М Ж Ж (5" (г), g) Я (R", g) Ж g = ф • g, Й Ж g *
S"(r) CR”+1l»^e*,g R” ±ЙЖКЙЕЙ.
16. «м 2 ^^жжйдйижжи
§4
4.1 Hodge ЖМ?
И(К,Ф,х‘),ЙМ
150
Ж=Ж КЖ5ЙЖ
g = gndx‘ ® dx1, (3.4. 1)
/ д д \
Sa = * 77,77 •
\ дх dxJ /
шяшм 1, - ,т.
М Й^тп у W-Ж § 4)
у = ~/Gdx' f\ ••• Л dxm, G = det(gtf). (3.4.2)
Kronecker^#
>1 8il J2 ah Л
def S1 r = det h-Jr 8h h 8h • J2 •• 8i2 Jr (1 sS r sS m) , (3.4.3)
<8‘- v Jl 81' h
S r = l ^.ЙябйЖЖЙ Kronecker deltas'. ЙП^(3.4.3) WiB,
Kronecker ИТЙЖ:
Jl-Jr
(ii) i, <••• <ir,j\ < • • <Л,ШЗ‘‘ 'r = 8''—8‘'-,
h-Jr >1 Jr
(iii) 8' .
У м Й m ОЙ
V = X ^‘i^dx' Л " л dx "
= Л’1.1-. dx>' A ••• Л dx-, (3.4.4)
m\ 1 m
i < ij < ••• < im
def t' —" 1*** ш
Уё5. . • (3.4.5)
ll lm
&^,dy=0. ЯЖ(3. 2. 23), (3. 2. 27)^B(3. 2. 32)
=0. (3.4.6)
я аг(м)аж м± г l*JS£И(ЛЖ-Ж §з),шпй
X Hodge :ЛГ(М)^4”-'(ЛЗДТ:
3.4.1 йа £ 4'(M),0s:rs:m,M^W^
§4
151
а = qti .. . Jx 1 Л ••• Л dxг
i <
= ~Yai1ir<ix 1 Л ••• Л dx', (3.4.7)
е А”-г(м)Д
*а = У’а, Л — Л (3.4.8)
Jr+1 Jm 7 '
МФ
Ч.т-л. = (3.4.9)
i <
*Г’’*г *1*1 *г*г ✓ у\ / \ -1
а = g -g (g ) = (gij) •
•«ОаЙ#11®51
ШД е А'(М),
$ = Y0iv..irdx' Л - Л dx'. (3.4.10)
W.4.2
<а,0> — z «‘"Ч-.,
i <
= (3.4.11)
I <w‘ 1
gij = = 8‘, g1 =8}, -/G = 1.
a = а(] ...jU1 Л ••• A a>',
МЙ^3.4.1,^Й<
’« = У *«/ ... / v”1 л - Л шт
Jr+1 Jm
J<
МФ i ,...,. =УГ a "ir
Irtl In ‘l-'rJr-H-Jn
1 1 -m ~ir->,
= —8 a
Г J П-‘гЛ*1-7т
Г) = ы1 Л "• Л шт = ’ 1.
з. 4. 1 я 3.4. 2 7р5«1ЕВДТз£Й1Ш
1»® 3.4.1 т£а,Д GAr(M),/e С“(М),ЖМ
(3.4.7)'
(3. 4.8)'
(3. 4.9)'
(3.4. 12)
152
Ж=«
(i) *(«+Д) =’а+’Д, *(/«)=/(’«);
(ii) “а=’(’а) =( -1)г<”'г>а;
(iii) аЛ*Д=ДЛ*а = (а,Д)т).
«ЕМ (i)Жй)>1$МЮ,ШПЯ«Е(iii).
Й а,/3 Фй (3.4. 7) (3. 4. 8) '^П(3.4. 9) 'пШ
Л - Л «Л) А (£<; А,.,.-
jjT< kl‘‘krJr+l'“Jm 1 Г
л - л ш") = £ «Ч -Л*,-‘X "* *
i,M< *r-*rJr+r-Jm
w1 A ••• A co r A coJr+l A ••• A coJm.
( Ч 9 * * * 9 ir ) = ( 9 * * * 9 К ) •
a A */3 = У 8 cd1 A ••• A cd r A cDJr+l A ••• A cDJm
fa* 1 r* 1 r il" ^r+l-Jm
= ( У а<, <Д i,)"1 Л ” Л шт’
м>,-,).)М(1,-,т)Й-ФВ«. ®ЕМ(ч,-Лг)^(л+1,-,Л)^
,ir) ®£Bt,(Л+1, -
Kronecker^
CL ш'л "л ш> л л "л = "*л "Л
(±Т#вВ'К^ЙМ1 < ••• < »г,л+1 < ••• <D-
ИЙ,МЙЙЯ3.4.2^#
а Л *Д = (а,/?)?,.
Д Л *а = (Д,а)т? = (а,Д)т>. I
Jtifc аЛ‘а=03М^а=0.
ше&ж stokes м д<(М)з£Жй1^
дма е л1 (М) .'ЙЙЖЗНеЖй
а - atdx‘,
«Ш^5С3.4.1,ШП<
‘“ = ТтХ-\)\а^^Х,г К "‘ Л dxlm’
$4
153
ЙФ а = gva,,
</(*“) =(m - 1)! ^a‘^-Jdx Л dx2 Л "• Л ах"
= (^T)T(ai’7’2'7")’*dx4 л dx>2 лл dx"
= A dx12 Л - A dx"
= У (a\^‘rlih-Jndxi Л dx12 Л ••• Л dx".
±®1+»Ф 2. 28) , Й ,
W
ЖЖ(3.4.6).
-М, й (3. 4. 5), (А, - ,j„) @ £ Bt, Vy2..,m m i WMi£
(Л Т 7?1У2..7т * о), й Jit, >% w i = к, &&, Д жж (з. 4.4), шп W
У («,,i)’?;/2-j„^* Л dx12 N ••• Л dx"
j<
= У у (a‘i)’’?i,2-7„^x‘ л dx12 Л ••• Л dx"
j< i
= У {(«‘,i) У Vijr i,dx‘ л dx12 Л ••• Л dx1"}
= У (a.i)’?-
ЖУХ
d(*a) = (diva)?;, (3.4.13)
Й;Ф div a =a ^^J а Й1ЙЙЕ.
M(3. 4. 13)МЙ1ЖЯ, Й Stokes £Я 2. 4. 3 ®ШТЗ££Я.
W.4.2 пШДЙЖ) ЙЙЙЖ
ЖЗ^ЖЖ,а еА‘(м),И
j\div a)i] = ’ a. (3. 4. 14)
Stokes 4ЫЮ»&
% JE 1 - Й й , Ш №Й M g, пГ П SiJ ЯШ Й & £ ft
й^. S±,M-^S^ft*^nTWSiJM^W 1 -Ш,ЙЙ,ЙЯ3.4.2
154
М = Ж ЖЖ4ЙЖ
згйлтйФ) й1й. а» ei'(M) ,жшёж^
х = г -^-,
дх'
Хь = (X'g0d<
ФМ(3.4. 14)пШЖ
[ (divX)7, = f ’(X), (3.4.14)'
JM JdM
МФ div X =Х',М Green ЮЮ § 2. 1.
Jtlfc Й£Я 3. 4. 2 ЙШЙТ,^дМ = 0 ,j£ а | ,и =0,И<
jM(div а)т) = 0. (3.4.15)
£ м а £з£(3.4. 15)
1й^,й-«мФ ,здамйх v зд dv 1
v #•
4.2 Laplace - Beltrami
ЭДЯЗ HodgeJaL^-Ж §3),МпШЙЯ&
«ЯЧCodifferential) 8:Ar(M)^A'-' (1И)#О1Т:
A’(M)-^An(M)-^An-'" (M1 (M)
( _
££3.4.3 &Ш^8-АГ(М)^А'-\М)&ХЪ
rs/ = 0,V/e A°(M),
iSa = ( - 1) ”‘<r+1) +1 * d * a ( V a G AT ( M) ,1 r m.
(3.4. 16)
Ж£За=0 Й r( »1)OI[W^ а ^й&ЙЮ(со-closed),
S 4r + 1 (M) а =^8,ш a ^Й(со - exact).
♦Я 3.4.3
(i) 8г =8 • 8=0;
(ii) '8d=d3' , *d8=8d' ;
(iii) d*8=8* d=0;
(iv) * 8a = ( - 1) d * a, Va^Ar(M),
(v) 5* a = ( -l)1-r2 * da, \fa^.Ar(M).
§4 ИМЯ
155
®В^ДИ&.
Ж&.
W.4.4 ЙМ ДЗШ£|п1ЙШ<ЖЖ,а,Д е А'(М),^^,а
(а,Д) = £а Л */3 = ^(а,Д)т;, (3.4.17)
3£Ф V > М №Ж7Ё,<а,Д>ДЙ(3.4. 11)&£ЙШ«ИЯ
ЙЙХЗ. 4.2Ж3.4.1М»,МЙ
(а,р) = (Д,а) ,(а,а) О,
а =0.
ЖШ #Я &, ПТ 8 fad
&Й3.4.4 Й:Л/ДЖЙ^ЙЦ?-ЙЙ|п1^ЖЖ,а &А'(М),р е
АГ+1(М),Ш
(da,p) = (а,80). (3.4. 18)
«ей
d(a Л *0) - da !\*0 + (- 1)’а f\ d'0,
Stokes £»,*»
(da,0) = (- l)r+’{a Л d'0.
з.4.з йй^(1у),йТД елг+1(м),$<
(- i)rtid*p = 'зр,
Bit, (da,p) = J^a Л ' 8р = (а,8р). I
JBifc ел*(м),1й!1
|м(8а)т) = 0.
£Я з. 4. 4
ФЙЗ.4.5 тйа еЛЧЮЙЙ МЖТЙ (3.4.7)
8а = - X Л ” Л dx *
i <
= (TTiyr^4^--^^1 л " л dx"' (3-4-19)
ХФ ал..л.„*Ф(3. 2. 28)£Х
«ЕВД ftp е А'-\М)^М ±#<^£ЖйМ1-ф(г-1)ЖЖ
156
М=« КЙМэЙ*
0 = (г Л) А-л-А1 л - л dx'"'’
1 ...(
Т> dp =-.-----Ц— —'—dx1 Л dx' Л - Л dx*'"'
(г-1)! dxJ
= (r-i) А-;—j<fx> л dx' л " л dx>'- <3-4-20)
ИЯ/ «^ОйтМ|Ю.4.9)Й£Й а '
ижш иль, й (з.4.20)#
= (г Л)^'. л-.х1 ,,~1-
°- = (г Z i) /Ч,ч-..X' Л - Л dx'-',
ДО (Д.О-) ,
~ 1 ЛГ”«г-1о
(r-l)l“-y
ИЛЬ {dp,О) - (р,а) ^(TTiyfX1'''^
= div 6,
° = (г _11)!<ал лХ е А’(м).
#±^ЖЙ!?й#,ШШ£Я3.4.2
^(dp,a/Ti = ^(р,(г)т),
BU(dp,a) =(Д,о-).#ЖЖ)ёЯ3.4.4,#
(Р,8а) = {р,а).
ЙТР За = а. |
, ВР
mtfc й а е А'{М) Л'ШТМЙ А .••• Л,-1е -^(М) ,<
МХм-Л,-.) =- X (^аЖЛ,,--.^..), (3.4.21)
ХФ1 е.! > М
--------Laplace - Beltrami
W-4.5
84 «Ж
157
def
A—- 8d - dS-.A'(M) -+A'(M), Oirin (3.4.22)
,#)±Й Laplace - Beltrami Laplacian.
Aa=o iWWiS « mW*. ОЮ£ Д/ = о йО/е
£: МТ/е4°(М),<3/ = 0,Й A/= ~8df.
ДЙЯМЖ&ШЕ
1Ш3.4.6 MT»?A,W
(i) Д = -(d+S)2,
(ii) d «Д = Д «</ = — d °8 °d,
(iii) 8 «Д = Д °8 = — 8 °d <8,
(iv) ’Д=Д*.
ЯЕВД
d о Д = - (dd8 + d8d) = - d8d = - (d8d + 8dd) = Д » d,
8 » Д = - (8d8 + 88d) = - 8d8 = - 8d8 - d88 = Д » 8,
* Д = - ( * d8 +*8d') = - (8d* + d8 * ) = Д‘. I
03.4.7 S A'(M),
Ш а а
Да =0 da - 0, 8а = 0.
15ЕВД 3.4.4 ЙЦ3.4. 22), <
-(Да,а) =(d8a + 8da,a)
= (8а, 8a) + (da,da),
S^(</a,da) ^0,(8a,8a) Да = 0 Efcf,(1&Ж da = 8a = 0.
ЖМЙ- I
fcte i£(M,g) e Ar(M) ,0^r
m, 1Д1]
(Да,Д) = (а,Д8), (3.4.22)'
ЙТЙЯЗ.4.7 ЯЯШМ Д £-ME£(MSn Й
йПЙВЖЗ. 4. 22)-*Ш€Й Laplace
W3.4.8 х^Т/ел°(М),Ж
д/=Л
= 4=2 (3.4.23)
л/G ij dxJ\ дх'/
158
М=Ж К&4ДЖ
G = det(g,), (?)=(£,)Л
iEW ^-Ф^Д Д/= Ж-ф^йТМ£
#т#-А р^м m р & (и,<р,х‘) ,# и ±еж
йГЖ®»Л:Г/^К,^
def
D ===== supp ( h ) С U.
Шё^ЯЗ. 4.4,ШП<
£(ЛД/Н = ~ ^(dhrdf)T)
= ( _ МД JL]yGdx' Л - Л dxm. (3.4.24)
Jo I дх‘ dxJl
Я-Зг®,йТ U 5 <р(и) CR’ л«<’3|5Д
<р{ 1/)±йчШй$,.а
supp(/io ^р'1) = <p(D) С <p(U).
% JaL , М й£0Н2& f W h, ,
- [ (g1 — —]-/Gdx‘ Л - л dx"1
Jd\ дх‘ дх'/
= - [ (—^^G—^dx1 Л - Л dx*
^(°>\дх1 дхЧ
= [ - Af hg’jG-^dx' Л - Л dxm +
J^(D) \ dxjl
[ Л-Уу^—U*‘ Л - Л dxm. (3.4.25)
J<P(D) Qx \ fixJ)
S ^(г/)<Ж^ЙЙГн1 R" N-Ndx’'
(^текжй), -Д(R"
дх\ дх1)
Х№)Ю divX,^
¥ II, V [г d-f\ д
\ дхЧдх
Й^ЯЗ.4.2 ЙШ^,йТЯ(3.4. 25)
-ж^Т
фГ-L
Jo I Jg дх‘\ дх1//
94
159
SjIt,A(3.4.24)$f
[(ЛДОт, = [Л[-^ )k
Jo Jo l ус дх \ Эх J J
Ш e м й<1Й«,'И^(3.4.23)Ф*^й#Х I
Й(3.4.23)цГй,мтеК£|н) R“ ЙЖЙЖЖ,
Л - V d2
? (Эх‘)2'
ШД,ШМ^МЖФЙ1(3.4. 22)й*
Д — db + bd,
Й^^Й^Й Laplace ЙМЙ^МЙЖЙ-
(3.4. 23)ЙЯ-#ШЖ£Д
JBtfc МФ/G А°(М),<
Д/= У2/(еме;) = trV2/ = tr Vdf, (3.4.26)
МФ tr V2 Laplace, j ef)
хет-мй r( > i) & awss;, шп w
лЁН 3. 4. 9 ( WeitzenbSck a G Ar ( Af) , г 1, | e;) 3f _h
(Да)(Х1,-,Хг) = (tr V2a)(X1,-,Xr) -
(-1)'£ (R(ei,Xt)a)(ei,Xl,-,X,,-,Xr), (3.4.27)
МФЖе(Л)а Й(3.2. 37)^,Xt X,.
ЙФЙЯЙЖВЙДТ-ЖЖЙЙЙ^ШЖ*Ж1Ж,«МИ&.Й{ПЯ
Мг = 1 й^МЖ^ЖЖВЛЛР
& a G A‘(M) ,X M а ЙМ^|Ц1*^,ШМТ^ЖЙ У e
Да(У) = tr V2a(K) -5(Х,У), (3.4.28)
МФ S >(M,g) Й Ricci
iEW йЙВШ^Т,Йа=аА\ЖМХШ|01М*й
X = a -^7, a = gva;.
dx
3. 4. 5 ,Wffl(3. 4. 9)ft Ricci jg^(3. 2. 38)
- Да = d8a + 8da
= ~ “[цМ + - g^a^dx
= “ + («ji “ a!^dx'
160
М=* «&4ЙЖ
= - + aR !^dx
= - g^aiJkdx' + Rfia ’dx'.
О1(3.4.28)ттТЙ£&£. I
4.3 Hodge ЖЯОО
№,й)ШЯт£МШ,й dim M = m. B^ a G
G Аг(М),М-Дю=<г? ^Ж±,^-Дю=<г<
ЙЙттЛ? Ме^ШЗТЙ'ЖйЛ
Я'(М) = (a G Ar(M) | Да = 0j = кег Д, (3.4.29)
е Аг(м)^-Дл> = о-,|ДОМТ^Ма g Я'(М),<
- (сг,а) = (Дю,а) = (ю,Да) = 0,
ЙР а Я'(Ю1Е£ЛВ$ a LffiM). Hodge ЙМЖ ,ЙФХ4Чк
Hodge ЙЯ,ШП#Э1ЛЖФ^SIH1 dA'-'(M) С
ЛГ(М)Й1&4Г+1(М)СЛГ(М) :
dA'~l(M) = \da | а G А'-‘(Ю1 ,
, , (3.4.30)
8A (M) = {За | a G А'+1(М) |.
£33.4.10(Hodge МТШФМ r(0«rsSrn) ,Hr (М)
Д<₽МШЙ<1,^ЯА'(М)<Т^1Е^Жда^:
А'(М) =(-Д)Л'(М) @Я'(М)
= d8Ar(M) @8dAr(M) @НТ(М)
= dAr~l(M) @8Ar+l(M) @ НГ(М). (3.4.31)
- Дю =<г О ю G Л'(Ю Й»№1<г1Я'(Ю.
ПТ>^[12] 4. 31)
Ж -Дю=а<Й?ЙЯ#тЕВЛ.
&а±Нг(М) ,И(3.4.31)^ВЛ,^йа G Ж’1 (Af) fn/3 GAr + 1(M),
а = da + 8р.
G A'(M)$
- Дд = da, - = 8(i,
ю =/i + v Hodge
a = dat + 8Pt + У1, У1 G Я'-1 (M) ,
px = da2 + 8fi2 + y2> 7ie H'(M),
014,^=^,% =&Za2,M
da = dSda2 = - &da2.
94 ИЯШЯ
161
Й#,д =da2 ЙЯчГяЕ V
de Rham ±|Й|Я^( § 3. 2) $
Т&£Ж.
зёаз.4.11 &(м,£)дос£|п]де^«л«<Ф±1^^ж
&Ж±,^йй«5£^пТ^ВТ1*1--Ф±й
«.
TiEW W(MHWMfWt(3. 4. 31) ЙШ^вШ £
а> G АГ(Л/)ЙЙЙ,ШЙ(3.4.31)Ш
ш = da + Л(ю) , a G А'~'(М).
ш Л(ш) е н'(М)Д±ййй,ВР
[ш] = [Л(л>)] е 7T(M,R),
ЙФ ZT(M,R)^ м г ф de Rharn ±|^ W( ЛЖН* § 3. 2) ,{Н
S Н'(М) _LdAr~l(M) ,ЙФ|^Ш^В^ЖФФ1^Й<)±ЙШ^.
У1 ,У2 е яЧлоШу,] = [у2] ,М
У1 “ У г ~ da, a G ЛГ'*(М) ,
Й Hodge l&iE£4H?£3S, ЧГЙ
da ¥ {у2 - ух} = О
da = 0, у, = уг.
НйЛ(«)йяг(М)ФД®-й. I
Й^Ж3.4. 11 пГ]й,Яг(М)-^Яг(Л/,К)|5|^,ВР
Я'(М) s tfr(M,R).
#Й Hodge
JBifc de Rharn ±|^WW Hr(М,R) ,0«гСт,|₽Д<РМШЙ.
йй,ШПчтЖТ*££Х
3. 4.6 МЖЖ (м,g) г ф Betti pr (М)
ДДМ) =dimtfr(M,R) =dim/r(M), 0 s£ г s£ m,
(3.4. 32)
tflWOW
x(M) = £ (-1)73,(M) (3.4.33)
М Й Euler - рошсагё Й.
КЛТЙ(М^)ДЖЙХЙ1^Й<1 т
[ш]ЕЯ'(О), ЙфшЕ/Ш),
[я] е Hm-r(M,R), е е я“ г(л/).
ЯРЛ ,±1^« [ ®] Ф Й-ЮЁЖ a>+da,a е Л'-‘(М) ,£М>,
162
М=*
[0] Ф-ЮсЖй о + dfi,p е A"-'-1 (if). 0> W о
ЙЖЯ 3.4.7Х Stokes £ЗЙ, ШГР£
^(л> + da) Л (0 + <#?)
= f (а> + da) Л 0 +[ (ш + da) Л dB
JM JM
= Г ш Л 0 + [ d(a Л 0) -
JM JM
(-l)rp((w + da) hfi)
= ^/{0, (3.4.34)
ЙОЙО r m - г Poincar6
5Ё&3.4.7 i^AUHWM'ntgfiWMPoincart
M P M-'bOftlO
P-Hr(H,R) x Hm~r(M,R) -> R,
Р([ю],[0]) = Р(ш,0) = (ш Л 0, (3.4.35)
JM
ЗСФ <»e/r(w), 0^ir-r(M).
3.4.12 )КШШ#(3.4.35)>#ШЬЙ.
ffiM й[<и]еяг(м,И)Дй,енг(7И),^ЖЖ^14^й
(з.4.35)Д^«Й4Ей,[ш] #!?,шЙГ$£-[0] е
ят-ЧМЛ),^ШР(«,0)#о.Ж£±,@Ж«]е н'(М)^
ЮЖ Й1Ш3.4.6 WftM(iv),Д’ й> = ’ Дш =о,ВР’ш е Нт-'(М).
W[’<»]e/r-'(M,R),T£
Р(а> ,* ш) = f <о Л * а> = (<о,а)) >0
JM
МР(й>,’ш) =0 УШ&^ю=0. |
М3.4.13 Ротсагё Hr (М ,R) -!g tT’ ( М, R) ±|1а] Й
—,0^r^m.
ЙЕВД МЙ^(3.4.35)ШЙТ-Ф^Й^М
L-.Hr(M,R) -> (7Г’Г(М,R)) ’ ,
V<o G Hr(M,R) ,La> G(Hm~r(M,R) ) ’
= P(oj,0),M0E. Hm-\M,R), (3.4.36)
£Ф(Я’-Г(МЛ))’Д Я"-Г(МЛ)ЙМ1Й^Г01,7?^^7Ё.
$4
163
H'(M,R) s (/T*-'(M,R)) * ==7T-r(M,R). |
0(M) = dim Hr(M,R) = dim ff”’r(M,R)
= £».-,(M). (3.4.37)
3.4.14 ^dimM = m^|t,Mx(M) =0.
W Й (3.4.37),^X^(3.4.33) ФЙ11( - 1)ГДГ(М)
(-i)”7L-,W =( -1)-г+1дЛмтмжт,йР1№ I
3.4.15 Ш JO
Hm(M,R) s R.
тлЕВД Й^Я3.4.13^
Hm(M,R) s H°(M,R) ,
W9 3.4. 11,
H°(M,R) s H°(M) ,
)£• «ЙЯ 3. 4. 7 , (M,g)BP
H°(M) = R. |
3.4.16 MW1E
Ricci Д , ДУ
i8.(M) =^_1(Ю = 0. (3.4.38)
iEW fta €=H'(M) ,X 6^(М)МаЙ^1й|ц|М. ЙТаДОй
Wtt,fljffl(3.4. 28)$f
О = - Да(Х) = - tr V2a(X) + S(X,X),
ИЙ1^,Й^Я3.4.4
О = - f tr V2a(X) + f S(X,X)
Jm Jm
= [ | Va |2 + [ S(X,X~) S' 0.
Jm Jm
Bitt, Va = 0, S(X,X) = 0.
ЙВ Ric(M) >О,Й±^Ж-^ВЛ^=О,ВРа=О. ЙТа 6Я’(М)Й
= dim H'(M) = 0.
Sffl(3.4. 37)
Дт-,(М) =0. |
*JH,ШГТОдаЛЙ1^ Gauss - Bonnet -Chem
164
М=« КЙ4ЙЖ
МИОМ
[20].
«ЙЙ$2^Ц(^ОН*, §1.3).4>
л = —У S* 2” л" Л - л л'2"-1
|нт В
п\2 тг ч" 2п 2 2п
М,пМ±й »^,Й
Л = Fr),
(3.4. 39)
(3.4. 40)
Ж S 3. 4.17 ( Gauss - Bonnet - Chem) Й (1И, g) Д ЖЙЙ Й ft
2п( =/п)Ш^ЖЖ,М<
f/2=x(M),
JM
^Ф^( М) Д М ft Euler - Ротсагё 25'|41!С.
^п = 1(т=2)й^>Х(М) =2(1 -gWh^gWMOt^fo®
Й® М ft^fc. F = К/2тг,К Д М ft Gauss ЙЖ,^6- 4. 40)4t*
j^Ki] = 2irx(M).
ЙЯ&Д^ёД Й Gauss - Bonnet 4^.
1. ЙВД^Й 3.4.1. .
2. lHElfrg 3.4.3.
3. ®НЛ;^а еЛ‘(М) jM(8a)r) = 0.
4. ®ВДФЯ3.4.6.
5. йа 6 А'(М) Xlt-,Хг_, е Ж(М) .-ВЕВД :
(8а) (Xt,-,Xr.,) =- ^(Veja)(ej,X,,-,Xr-1),
6. Ж&5&®4Ы;(3.4.23).
7. ®М*ЖЙХЙ1ЙЛ?»^>1Й»,Л/е C2(3f).ffiBHT®lft Green £5£
|и(АД/--/ДА)», = 0.
8. й|х‘|<®СК$1Ч R"
а = ^ciiv..idx4 Л ••• Л dxr,
WlB da, * а,8а R Да Й9ЛЙ*^*
9. ft(4f :
54
165
g = (dr)2 + g^{r,O)dO'dO1, 1 s= i,j,k m - 1.
д/ = /" + —-f' +/'^-iog7c,
r dr
й, Д
§1 МЙ'ЙМЙЙЛ
i.i s^sk
Й(М,g) m М«ж, V M
ЙШД-ФЗШйШу:/= (а,Ь)—*м,м ±?Й у ЙЙЖЙ
и^яНИм V. е ту{1) (м).МЙ м
/ив-п^ож? йй1^ v^
яжю. sut,
юёяййш у тж&южжм^ у ют ±^Ф-^аж-ш
ЖЖ/±ЙШЖЖЖ^. Жу.:Л(/)-*гу(1)(М)Дй уШ^ЙЙ^М-
^^4.1.1 ЖИ?&у VWM
Vr,y = 0, (4.1.1)
WM V м?& У ¥*тй. 4OJ у Ю1ЯЖЖ у'№ у Д¥ПЙ, ВР
VT.y'=O, (4.1.2)
ШЙ^у^Л/±Й<|ЗИ№^.
Ш Ш Й9(Л (з. 1. 35))
dV + = 0. (4.1.3)
dt I ij J dt dt
йуДЖМ,11
y’{y' ,y’} = 2<Vr.y',y'> = 0.
Й у Й"ЙЖЖ y'$fc&
II у' II = (у',у') 2 = const. ,
BP'&y^Ot. 31ЛуЙ«
(0 = [ II у' II dt,
s
§1
167
MW
s(t) = || y' || t + const.
Й#,ШПВ®Ш
tffl4.1.1 «Ж^у: (в,Ч->М,^у(0О««1уЙК^*
ЙОЖ®1,<МОЙЛМЗ || у'(0 II =1.
II у' II =1
5IS1 MW-Дро е м,^Ро й-'НРМ f/ft-MElfcsX),
^тт<фр е е т,(М), |М
ЭДЯШ у;- ( -2,2)-^м,^ж&^
У,(0) = Р, у'.(°) = v-
W ТООЖОЙл, г/W-MEIU,,
*2>o,{£1tXtT<4*P ei/^»er,(M), hll <^
^мжау/ (
У„(0) = P,y'„(°) = v-
ЙЖ S < sxs2 ,#f II V II
y„ : ( - 2,2)->M, t yv/e2(s2t).
B^J y',(*) = *2yU2(*2«) ,
ah. дяйт.^ь,
y,(o) = у,/,2(о) =р, у'„(о) = e2y;z,2(0) = v.
51 ЯШ®. I
Я&« е тр(М)М^й-^ЙЖ^ у- [0,1]->М,^Ш
у(0) = р, у'(0) = V. (4. 1.4)
ехр>)ЖаЖ±^йМу±Й£у(1),йР
exp/i)) = у(1). (4. 1.5)
Й^.ОЙ^ 7’ДМ)ф^ДЙ-ф4|5^ВЯ^ I&-M8W
ехр,: В(С ТДМ)) ->М.
)Ё£ 4.1. 2 Й(4. 1. 5)$^ЙЖЙ ехр/ В( С Тр(М) )-+М
£ЛМЖЯМ?& у й р Э1 у(1) = ехРр (V) h II • Ж й 51
Я1 M,^IM^#zh,M ехр»Д$£Й5;^ 1М1Ш*Ж,ехр,(г)
,М ехРр(»)йД«-ШЙй5.
ire4.1.2 йр е М.ДЯГ V е Tp(M),expp(v)>W«X№. И
expp(ft>)MT454" t, Itl < 1,ХЙЯЙ-#Л. y(t) =ехрр(й))ДйЖ^,
168
у(0) = р, у'(0) = v.
йеи й иойяшшт
у(0) = р, у'(0) = v, ехрр(«) = у(1).
у(0) = р, у'(0) = cv, expp(cv) =у(1), |с| <1.
^y(ct)1=0 = CV’ 0 = Р’
я у( Ct) й л#
y(t) =y(ct), expp(cv) = у(1) = у(с).
wu* t ft# с bpw
y(t) = expp(t«). |
P = (*o), V = ,
\a«) p
«£(4. i. 4)
- y«2{1 } fJ? + -• (4.1.6)
»o
P e ,Г)^з TU(CTM)±
ЙЖЖМ. Ж51Я i ,МТ<-Ф ?e W
(?,Ю t-* exp,( V)
>£(p,o)g пгй-^«»(с1М)±тй,О®«»±М
йШИ-
(q,V) ^F(q.V) = (9,ехр,(Ю).
UxU(CM хМ)±Й^^М,Ш F
у1 = х',
. 1 г ii (i = 1 ,••• .f”)
r+i = *‘+ f - v kJf‘ + -,
2 Ijd
$1
169
LAP + ...W
dx Ijfc J I dy
Slt,Fft(p,O)^W Jacobi
OA
,мм#й. ЙЙЙЙЙ
S,F1ШЖ1Ш!(р,о) G тм ®WJ(m) s M хм Й
ЗИШ1. TO
= |(g,v) ETM^, vf=Tq(M) bll <s\,
ЯйЖp №-LzhW if,ft» Wx vcf( %') .T^^fnw
£14.1.3 MWp ir»iEIU>0,
ft»
(i) РФШ'Т® M-MMO
j&ft;
(ii) Й^5ИЯ1^^МЖ^ТЙЖ4-А,ВР^« ^exp,(w)(O^t«
*H2 ЮйЖМ^е ТМОШЖ?1(?г);
(iii) m?e exp, ffij T,(M)±WJF s-3$: Ne(q)
= |»6Г,(М)| IIVII <бНаЯРШ№1О]м
13ЕВД ^Й±ЙЙ4?М S >0.
(i) tfWffljIU.ft e F.ifF
v e LP^) ’ II v II <«>ft F"‘(tfi ,?2) = (91»”) e ^'- <й,92 =exp,( (v).
Silty.(t) =exp,i(tl;)^>W^±iMit!l^.
(ii) aiOJ^exp^^iiOm^MW^
y,(t) = exp,i(texp’1(g2) ) , (O^t^l)
ТД,й<Ж^Мтй,И»(п)йтй®г.
(iii) й^ехр, Wj&BWfU, •
»#№,ftexp,2HS. I
Жз£-^,ЙШЙ& JF,ft»^ft W
WSOifeGW. O^[16],P. 305).
&Lj&£M(iii),#T-^9 €= W,^M^expq:Ne^Uq
1№МЖ тдл^й-ф^жже^-.^ргм v e т,(М)чШ^
v=A- ЙЙ^ЖЗЖК Ф- Tq(M)^Rm % V =у‘е^(у,-,ут) ,^JE
N,CTq(M) Ufe^R” «fW-Aff e-&B: (0). Ж^ОГ <P =
170
<Aoexp;1:^^B;(0)cRn q Uq
С(0),вр
exp.-1 |A
M D Uq—~+Ne —C R
ВЙ, (tf, M ±де-Ф44М.
Ж A 4.1.3 ( Uq, <p-, у ), <p = ф о exp,’1 q
(г‘,-,у")ттй? емйй^м.
Ж34.1.4 &(£/,,<?,/)* AT*
(i) gv(0) = S,,
(ii) Л q У = at,a = const. ,
(iii) -/f(O) =0,
dy
gp( ——] =0.
\ ду' ду’Ц
<p(q) = Ф° exp?-1(?) = <fr(0) = (0, — ,0).
ft W ИШ Д1^ $, i& й MB Ж Й» Я (/И
\ dy /,
= ег Й1&,
g,(0) = ^(~;|?’~7|?) = = 3v-
м,шйй^е^йпмй4.1.2,»£йй^7(о) =q,
-y'(O) = V = aei %, Д
y,(t) =exp?(to) = exp? о ф~1 (ta ,••• ,tam)
-1/л1 л m \
= ф (ta , ••• ,ta ).
y„
(yl , — ,ym) = <p(y0(t)) = (ta1 ,•••,««“) , Id < S.
)±M(ii).
«(in)- йй»тМ^-^ШЖЙЖ^,Й£МШЖ(/)
T,til>(4.1.3)W,BP ___
£у + Г » 1^/ dy_ _ 0,
\jk J dt
ЙжЩажй&^Ж(/)ТЙ<1ЙЙ^.}Е(п)ЙЭДЙ1^8^А±
1 ) <?a‘=0.!|OJW(3 afa* =0. Й T а‘ №1Ы^Ы^
U*Jo
§1
171
=o. SA^K^WXS(3.2.4),S»
LA J
dgy _ fZl. fZl V — = Pl—
ду“ J life J IjfeJ »7' Ф/ lyjdy*
S^43(0) =0 WT(iii). I
UM
МЮ]ет4.1.3 ф(ш)ОйЛ? e 1/,см,ШП<
ЖЯ 4.1.5 (Gauss ?| Я) ft Uq ф& q ЙЯ8ИШД M ФЙЙ®
| exp?(t>) | v G Tq(M) , || v || = const. < £ |
w b><s) g тч(м)^ T,(M) фй-&йоо
bU) II =1.ШПЯШЕВЛ uq Фйй^
.s h* exp?(toi>(s) ) , s 6 / = [0,1], 0<t0<£
t h* exp? (to(«0)), 0 < t < e, s0G/
>1Е£Й. ^Ж>МЙ® F (0,«) xI^M,
(t,s) t-> F(t, s') = exp?(ti>(s) ), 0 < t < e, s G I,
йй,Я>Ж9ЯММЙ<1(м),
<Г,,Г,> =0.
Vr/- = °-
II F\ II =1 ж
= y-1^41= °’
L dt ds J
F’t{F't,F’s) =(F'„Vf.F',) = {F'^F',)
= ^-F',{F'„F',') =0.
t->0 8Ш
lim F(t ,s) = q.
jfjfclim F't =0,
t->0
<F’„F',) =0. |
172
*и«
S,(r) = jexp9(i?) | v e Tf(M) , ||t>|| = r| ,
i£ U,\{q\^оУв5,(г),т(г7?\|9))еХр;1),пГЖ(г,01,-.^'1) 6
(0,₽) xS-^l)#^ U4\{q\*№)£№)№. Й Gauss
ЯГЗий
ds2 = dr2 + £g.(r,0)d<W, (4. 1.7)
A = /11\} = 1.
dr \dr dr/
grad г Д-^-.
dr
Ойхе.Я>),
<grad/,X) = df(X) = Xf.
^^№№^r,0l,-,em'1
Y d x V
1 dr d01’
w
i*& grad г = Д |
dr
grad/ = ^77^7,
dx dx
dx dx
51Я2 Й££Я4. 1.5#г&ЙЭД|Ы8£Ж,й Uq
ИЕВД Я^£/,\|<71,Ж£Я4. 1.3,
а(t)ЙГРШ—№£% ехр,(г(«)1,(«) ) 0 <r(t) <
51
173
₽,«(t)e T,(M),lh(t) || =1.ТД,йТ®вЛ51Я2,Я«Май£Й
L<r = I ll<r'(t) ||dt Ss k(6) - r(a) I ,
КФ«зййг(»)*ЯАйй»(ол#К11еш.
ф F(r,t) = exp?(ro(t)) ,ЙЖ a(t) =F(r(t) ,t).
ШЖ Gauss
dF
dr
MW
lk'(Oll2 = I r'O) 12
dt
\r'(t) |2,
=o utTtto. sitt,
dt dt
L<r = I II «’’'(t) I|dt Ss | I r'(t) I dt Ss I r(6) - r(a) I ,
I
M 4.1.7 Шро M ±ft-A, W£p0 й-W w
<* ft»M У- [0,Z]- w
Й^ЙОЖИЙ^ O-: [0 Д]^м
У ftO? Ly s= аЙЖЖ L„,
ХФШЗ o-( [0,Z] )^ r( [0,/]
«ЕВД MTPo ел/,ЖЯ4.1.3Mi£6W«F?nO[₽.iep =
y(0),g=y(0. Й^Я4.1.3,ЙЙЛ# exPp:2V,(p)^t/p T
Д ,q nJi’B—
q = y(0 = expp(LTi)) ,Ly < s,v e Tp(M) , || t; II = 1.
(i) UP ф.М^М^/Ь^а>0,Й^о-^^<
P 8 №i®it!iW$№£«Rl4>Ly Ю
ЯЙ1»®,^ТЙЖФЙ^®±И. М51Я2,
>Ly-8. <M^0,!<!lJ o- ftKS а
йШттй. ЙП Ф1Шйй^й»В- <r( [0,Z] )M
у([0,/])Ж£.
(ii) Up ф. iB Up = UpUdUp,^d.Up >
174
ЖИЖ
8 Ф g е[0,а]>& <7(1.) =
qx ^дир ф ,у д ир фДр ?!] ?! й@ й?Ий.,& = <т | [Ог<1] д
Й^ <7£[0,1,]±00 Ь.и±}£(Одемом <7ё
dUp(q%Up ЙЙ^),9, 6<И/,,ШГШ£
l‘a L& > Ly. I
1.2
Шя)М#«,м±тМ1и:[ММЮШ|
L(a) = J || C7'(O ll«k-
мMtep,q ±|’в]йбЁЖЖЯй
p(p,9) = inf I L[ <7] I t7( a) = p, a(b) = q] ,
Ж, §3.3).
££.4.1.4 i£y--[a, b~\^M L[y] =
p(y(a),y(6)),Wy«'hfl<l.
£38 4.
фдйфй. jtt^hчПёФдрш-й- 0№,э$® sm йжф
ЖИ4.1.8 ЙР6МД(О)Л Г,(М)±Ф@^
ехРр:-8.(0)—>ф(р) = ехрДВДО) ) ДШЯ1н1Е- qeNAp) ,Л!|
q'edfir(p) = | exppt> I v £ Тр(М) , || v || =г| ,-^Ш
p(p,q) = г + p(q',q).
ЯЕВД Й<7(«): [О.и^Л/>ДрЙ9=<7(1)Й^аЛтЙ^,В^
<7ёДГ(р),Й#й^-ФШ t,,® <7(1,) Gd#r(p). W£38 4. 1.7 s.
д#г(р)Й££ЛД1
L[<7] =i[<7 I [Oi(i] ] + L[a I [litl] ] > r + £[<7 1 [(111]]
>r + ptattj ,q) r + p(dNr(p) ,q) , (4.1.8)
ЙЖ
p(^r(p) ,q) = inf | p( q',q) | q' G d^r(p) |.
ч'
йТд#г(р)>жад,йШ£ «'ез^(р)
p(q',q) = pidfiXp) ,q).
§1
175
JE'B5IA(4.1.8) л#
£[<г] S= г + p(q',q').
ДЖ
p(p,g) =inf{L[(r]} ^r+p(q’,q). (4.1.9)
p(p,q) p(p,9') +p(q',q) =r+p(q',q). (4.1.10)
(4. 1. 9)^(4. 1. 10)Ж£&^ШЕВДТ1Ш I
££4.1.5 e м R
№kg т;(М),ехр,(П^«^5Сй<1,Ш1ЖМД1Яй!1^>Й«|.
Уо: [a,6]^
М,Й5чГЙГй—О!1Ш1 у- у I [e,t] =y0.
5ЁД 4.1. 9( Hopf - Rinow)
(i) ОДШ1
p(p,q) = inf{£[cr] |<r(a) = p,a(b) = q]
Й^^ЙЙёГв];
(ii) МЖФр 6 M,exPp Гр(М)±Ж£Й;
(iii) M
(iv) м
$:(i) «MW,
(i)Jg(iii)
(iii), (iv) Д#ММ.
ttf,£ft(iv)W»W№.
ЖЖЖВ^ЙЯ.
w (ii)=Hi).&(ii)$£. )two? 6 мЙ5ШШ/Ь8Ш
p А«ЖШ. й
^(p) = expp (Br (0) )
ЧШЙ q£ #r(p) 4.1.8,#£ д'еэлг (p)^
p(p,q) =r+p(q',q>). (4.1.11)
ЖЯу: [0, + oo I [0.,] ДАр si д'Й1«-
p(p,y(t)) + p(.y(f) ,q) = « + p(y(t) ,q) =p(p,q)
(4.1.12)
t й^ж^-^яж. t0 e[r,p(p,g)шгдаЕвя t0 =
176
ЖИЖ
t0 <р(р,<7),йл;(у(«о))ДЯ^у(*о)|&-Фй
, да q" е dNri с у (t0 > > 1£ш
р(у(*о),9) = р(у(г<>) л") + p(q",q)-
T>MW
p(p,q) =р(р,у(«о)) + р(у(Л)л") + p(q”,q)-
p{p,q") ^p(p,q) ~p(q",q) 1
= р(р,у(*о)) + p(y(*o) ,9*) = 4о + ri-
& a y(t0)s]
L[<r] = p(y(t„) ,q") , L[y | [0>,o]] = p(q,y(t0) ).
iB У = У I [o,<o] : [°^о] ->M,
MOW L[y U <t] = t0 + r,,
ЙШ(4.1. 13)^П^Ж4. 1.7,у а j£t Р fl д’ЙШ/МЕ
иж
У и О- = у | [о.(о+Г1]
$1^ p(p,q) = р(р,у(*о + ri))+р(у(4о + Ji),?),
«о д«(4.1.«о =р(р,<?)-
ifeврq е м р
I <7( I Я м ±W-ф Cauchy , й Й Уг [о,tf ] ->М
ft qt rj(t,) =9мМ!М
Cauchy «о ^Ш₽М.Йу',(О) =Р;,ЙТЖ&3$ЩЙОСЙ,та
V. у. [о, + оо )^М
п У'(О) = V. ЙЯ
q, = у>(О -» уОо) е м-
(0=>(ш).М{Шйр ем ifiiv е тр(М)
KISJ ,Й±#й1ЕШИйУ1
y(t) = expp(tv)/IIV II , te[o,to).
y(0) = p, y'(0) = t>Z ||*> ||.
&lyUJ ICauchy 1тЯ,ЖЖ(1),q,fiLSL y(<0)
si
177
= <?. it#,у I [о,1о]Д1ШЙ. K(q)%^ q S
$,#й-ф1ЕО^,Ш
y(*i) = 9; e ^r(q)-
ЖЙЯ4. 1.3 4.1.7,Mm,п>ЛГ,ШП<
ptq^q»') < r, p(qn,q) < r.
@ лё n, Д Й m > n, JH!j
p(q„>q„) +p(qm,q) = (*». -O +p(qm,q)-
n>NB. m—> + oo M,W
p(q„,q) = 4 - t„-
m >n>N,
p(q.,q) = ^ - ta = p(q„,qm) + p(qn,q).
0Й,ЙЙШ? I WMOOO у I (,„,<>]. BP у I
у I [O.^r y(t) ,0 <t <t0,
, bp t0 towtf t0 w.
(ш)=>(й)щй.
(iii)^(iv)^(ii)=»(i)&<jffi0Jйш-I
fl i£Sm>Rm+1 + Wm»И,5"±О|]±Ш>;кИ,ВР5т
ХФ^¥®ЙШ£. R2 S”^
С = Sm П R2.
^p,g( e C)MW«-Ю-Ojai c',^t#
b[ C'] = p(p,q).
=p^^(9) =9±РШ}®ИШ,
д-w с'о^й^.вй^с') =c,m
С С C = S“ n R2.
иа® q ±де«мдад.йймтадй¥®ш#1й1а1яш
Д Q ±ЙШеЯ Ж£±,® l Q
Q -Z^R2,W Q R2 ±,(? R2
1. (a,b)-^M,t F* t =t(s)
d2x‘ [ i Ida/ dxk _ ., , ^c_
dt2 lyiJ4t dt * dt’
178
2. $ПЖ(М,г)±«1Л
ф &%(м,ё)±мш№ ,ш ф шмм » м йяитйю. авд .
(i)
а. ф-М^М
Ь. SRF^Tф ЙМЙ£^ЙЖ«ЙЙМЙ₽^«,1Д г;4Ш1#Ят;т;(Л/,£)*П(Л/,
Я)1ЙЙК??^,|ВД
Т^ = Г‘„ +8>t +3'А>>
ЖФ А(
с. | | ,ди W Ш‘ (A/.g)»(M,g) 1 - Ж
^,и
<Uy = (l)j + 3yd A + Ay<W ,
з£Ф А*-фйй,ДА; ЙТЙЙХ</А=АХ.
d. iyvwV^S!|*^(M,g)?n(M,i)W^#K^,«^TttjSi"i*«x,y,
Vxy = Vxy + g(X,A)y + g(K>A)X,
^Ф А^/Ж-ЙЖ».
(п) £мжогтл=1у,жф 1гш*«^й$зкж,-еФТййх
iF(X,y,Z,V) =«(X,y,Z,V)-!—- •
m - 1
(<X,Z)5(y,V) - <Z,V)S(y,Z)),
3. Bianchi Weitzenbeck &£(3. 4. 27).
4. Й(Л/,«)Л«О. ( и,<р,х‘)£Ы q
C- [0,r)^M,s h+c(s)%t£q = C(O)£W z0 ЗГЙЙЖЮЖИШ,
вддне у» ?& c¥Ws&wf ййж#. жвд:
(i)
<}
^•‘(s) = ту’ +-^-{R'ju) ,ёГ)кs2 +о(з3);
(iii) ig(x0,y0> =0,Я4> || W ||>^(?)Г(^О),Ж
||У(5) ||, = 1 +^-Я(Хо,УоЛоЛо) +о(53).
5$
^п
Й
3
,<
*
Jb
н
М
ЙИ
zSfs
3
гз
\|тп
Ж
®
5$
&:
!й!
ЙШ
Ci
8
й
ф
в
[ш
=?
>
irf
<
I
§
$
25
гй
Ж
М
э
5$
э
Ж
009
II
?fc
3
к
ф
ООО
Ы
СП
ЕТ-
и>
5‘
й"
Й
м
q
t
II
II
Ж
>№
й
«5
Л
О
й»
II
й:
л,
Й|Ф
$
й
р\
&
3
*
» -
ЙИ,-
ф- II
»,•
Ч. "-
> «?
Ettf q
Й е
В ’
н
й
«5
й
I
й
«
й
I
Й1
й1
№
II
<11Г
SDr
4ft
31
ж
й"
га
й
«
№
Й
пЗ-
<11?
я
э
sQr
И
й-
Й
>
if
а>
-пЫк
н
/л
/л
э
5ri
м
®
8
й
й
й
3
S
if-
Й
Hi
и
Й
й
4it
W
>
5=
ЕЕ-
&
I®
I
й
Ж
й
I
£
М
й}
ф-
№
ёй
4*
№
й
SDr
Й|
») I
Ж
l§t
W
11тп
[Ш*
й®
t
й
«5
5
W
)®
$Пг
£
т^
Ж
й
=Пг
21
*
УШ
£
га
$
180
ЖИЖ
Х<^,Ж2> = (yxWifWz} + (4.2.3)
IWW.W*1чх2 * ЛГЙЙЙ^ЛЙЛХ, W/.*2 «₽>'?&/йт,
KW
Vx,(/.X2) -VX2(/.X1) =/.([^,Х2]). (4.2.4)
v( Й Й
ЙИ№^^«М±ЙЙЖ^,ВРМ<
VXW = Vf'XW.
i^M,g)M^№,(r-\.a,b]-^M ММОООЕ
£[<т] = I II<r'{t) IIdt.
a • Q = [a,6] x ( - е9е) —> M, (t,s) H> a(t ,s) ,
a0 s a I [a.nxioi = °- [a,И ->Л/,
» a о- ЙЛ»ЗЕЯ>. Й
«i+^Й^Ж
O^e Ot I [a,i]x|«)
« ц^)ажй^ a. йж£ , лтт
^-L(s) =y-f<a'.(t),a'.(t))^ = \\v{T,T}^dt
(IS dS J a J a
= j‘<VFr,T) ||Т||-*Л. (4.2.5)
ЙТЙ(?±
[-Д1 = о.
I dt dsi
fltWB(4. 2.4),±5£pJW$
-%-Us) = f ||7’||-1(VrV,7’)</t. (4.2.6)
dS J q
ММЙ^ о- ДЕЬЬТЖ-КФМЙ.ВР ||a'o II =l( = const. ),tt
тЬ(»),.о = |T(V,r) - (V,Vrni</t. (4.2.7)
dS I J a
ЗЯЯ^-ШР^
ЖЯ4.2.1 й^ a
52 ЖКЙ9ЙЯ-
181
£L(4) I ,=о = y{<V,r) |‘ - f<V,VTT)dt,} (4.2.8)
T = a'(0^<r^l»JS.
V(a,0) = V(6,0) = 0.
«,±5Шй
T-L(s) |,.o =-^-f<V,Vr7’>dt. (4.2.9)
as I J a
ttt,&5C (4.2.8) ft (4.2.9) ‘ТОЮЙЙ V | a(,.0) =
a.(у-) УЗеЖ.Ж
\ OS J
а0 =а ДД <т(а)5Ц <г(»)ЙО1®ЙЙ^,Мт
a- Q-+M <
4м*) 1,=о =о.
as
a(t,s) = expo.(1)sV(t) , V(t) = ^p(t) VrT,
МФЙ$М«)Ж£&<Ф,
<p(,t) >0, a < t < b, ф(а) = ^>(6) = 0,
Wit VrT = V,y = 0,
BP <7= [a,b]->M^5ИЯ1Я IIо-'II =1 fft.a
row
e® 4.2.2 a a %
y: [a,b]^M ,й
a - D = [a,b] x(-e,e) x(-3,8)—> M
a0,0(t) s a(t,0,0) = -y(t),
BP а у L(v,w)a„,J t a(t,v,w)
iftMK.BP
rk
L(v,w) = I || T|| dt.
т = «.(Л), r = .,(|), w = «.(/-).
\ dt' \ dv) \ dw)
182
(4. 2. 5)-^,W
—^L{v,w) =1 || Т|| -1 (VrV, Г) </«. (4.2.10)
т.эдж Ricci шзадг
~-L(v,w) =^-f||7’||-1(VrF,7’)</f
d^dv dm J a
= { II T Г1 [ (Vr VTV, Г) + <VrF,V Л> ] -
/V V T\
< тУ,Г> II гII3 г
= /*{ II Г|| -1 [ <Я(W ,Т)V,T) + (VrV^V,T> +
, хп (yTV,T}(yTW,T} 1
<yTvywT} ] - -----} dt.
(4. 2.11)
Й "5* II ? II tt(i,0,0) ~ ^T^'a(l,0,0) = 0-
04.2.3
/7- I (0,0) = f I <VrV,VrlF) +
dwdv v ’ 7 J a
T{VvV,T) - (R(W,T)T,V) -
T(V,T)T(W,T)}dt = (VrV,T) b +
a
\<yTVyTW) - (R(W,T)T,V'> ~
J a
T{V,T)T{W,T}\dt. (4.2.12)
y(t)ifr
F=/I(t)T+V, W =f2(t)T+ W,
ОДЖЗсЯ'йЖКП =о,(^,т> =О.Я₽^ШП<
(VrF,VrIF) =<VrF,Vr^) +/;/;, -
T{V,T}T{W,T} = -f\f'2, -
{R{W,T)T,V} = - (R(^,T)T,V).
§2
183
JE£®RA(4.2.12),@Ш
d2L
dwdv
= <vrv,7’>
<vrv,vr^> -
(Я(^Г)Г,У) \dt. (4.2.12)'
V# Г^Г1Е^,^М-Й1Й1Й<Г,7’)^<Г,
T)№ у у ЙЙ<ЛЙТгУ = О(т а W у
%) ЛЖ^ЙШ-£5ИДзШЖ&Т1Ш:
I(v’w) = f! <vrv,vrF> +
dwdv (0,0) j а
{R(T,W)T,V)\dt. (4.2.13)
/(V, W). MT?& у MTOW < V, T} =
< w,t) =0 ййМ V, w йМ,/(V, W)£ I MT
* у ЙШШй^ЙЙ*^Д1Е£Й,да1 у *MЙ4₽Йй^
ФЙ^ЙЙЙЙ^
±£$#МЖГЙ#ЮШЙ^Й1Ш. йу- [о,/]—>-м
ЖЙ^а:[а,Ь] х(
«о = а I («,4]х|0| =У «(‘,0) =y(t), »е[о,6].
т[а,ЧЙ-Фйй
а = t0 < «! < - < «„_! < t„ = b,
&ШаФ,А + 1] х( -*>*)-*М Д^ЙЛ'Жайу Й#ЮШЙ$
^. Й^^|а, =а | [в1Нх|,| ,s е( -е,s) } ФЙ^ЙЗЛ^ L,'- ( -е,е)—>R
А. = LM = % f
i = 0 J *i
da(t,s)
dt
dt
da(t,s)
dt
dt.
л
J a
1^Л&ЖЖ#ЖЙ#&ЭШЙ^#,#.§.(4.2.13)МТЖ#Ж
v,w Й5Ш^МЯ-ШДИ1Й. ЭДЖ
(VTV,VTW) = T(VTV,W) - (yTvTv,w},
I(V,W) = -[ (VTVTV - R(T,V)T,W)dt +
2<^(VrV),IF(t()>, (4.2.14)
ЙФ Д, (VrV) = lim VrV - lim VrV.
1 t->t£ + O t—*t;-0
2. 2 Jacobi
184
ЖИЖ ЗЙЙШ
a’ [a, 6] * ( - e,s) —> M, (t,s)h>a(t,s),
Ot@£fi9 5,«(t,s) 3₽Д$Й1Ш. m
ЙТ [^Л] =0,0
L dt ds J
(4.2.4) ,VrV-VKT = a. ( [-^,-£] ) =0. ifc#, Й 0ГЙ VrT = 0, #
VTVrV = VTVvT - VvVTT,
ЙЙШЮтСЛИ =a. ( [^,^] ) =0,Ш
VrVrV = R(T,V)T. (4.2.15)
±5^31 Jacobi
$3Z4.2.1 i£y: £nW у
ЙЙ Wl»£ Jacobi у ) Jacobi Jg.
* TyW (М)±Ж-ФЙШЕЗЖЙ1 ej = /(0)ДеЛН
Et. & V %® у
V = VEt, Г e C2(y( [0,Z])).
MSO T = y’=El,&
VTVTV = R(T,V)T = VRCE^E^,
.ШО1 Jacobi
(И)" = VWE^E^E^Ej) = VRflii.
lfr®4.2.4 ^y Ift Jacobi^ JWT1£'I±M:
(i) ?& у де£& Jacobi Млй 2m ;
(ii) ^<J(O),T(O)> =0, (VrJ(0),7’(0)) =OJIJ
<J,T) = 0;
(iii) Г =/-<7,7’)7’ШМ?&у де Jacobi^. BP Jffiy дейей^йш
у де Jacobi %).
тзевд a*Jacobi
2m = 2dimM.
#-йМт#йй£дейшшj(o)jfn¥г/(о)#й1<-$ %jal
(4. 2.15)деж«ад R-^ttW.BPW(i).
B^Vr7’=O,4Jc6h(4. 2. 15)
= {TyTVTJ> = 0.
at
S2 ЯКЙЙЯ-
185
Sift,Jacobi J
J(t) = J0(t) + (at + b)T(t) (а.бЩО, (4.2.16)
Jo ЖМ
<T,J0} = 0.
OJ,^
(J(0), T(0)) = (VrJ(0),T(0)) = 0 J(0) = J(l) = 0,
Ш <J,T> = 0.
/ Ж? Й Jacobi ±Jj, MH
VTVTJL =VTVT(J - (J,T)T) = VTVTJ - (yrVTJ,T)T
= R(T,J)T = R(T,J - {J,T)T)T,
Й JL у £KJ Jacobi ijj. |
&&P TP(M)№~^£.
Ldx J
mi»ltu e 7’р(М)(пГ»^тр(М)Ф-^)рТ«-й^ж^
u=
i dx
l о? J
-ФЖ. тр(м)5 т„(гр(м))±|0]й-фйй1^^
Jl
dx^ d£’
М^йГЗКЗР
id id
a —;<->a —r.
dx d^'
ЗШтёЯ 4. 1. 5 (Gauss 51 Я) ЖГЖ
♦4.X5 TP(M),
v e Г.(ГДМ)).^Ж T.(T,(M))^
<u,t)> = ((</ ехрр)ии,((/ expp)„v).
W ййиш y(0 =expp(tM)W>£ y(0) =p,y'(0) =u.
Tr(M)±№£p(t) =1и,Жййй
, z 4 dp(t)
=dT = u-
Г(1) = y'(l) = -Т-(ехрр(«и) ) I , = 1 = (d expp) J)1 (1) =(dexpp)uu.
dt
186
МИЖ
a(j,s) = ехрр( t( и + sv)) , t F[0,1], s F ( - e ,e) ,
У Й Jacobi J(t) , Д
до) = । ,=0 = o,
ds
J(.t) = | ,s0 = (dexpf)a(tv) = t(dexp )luv.
ds
(4. 2. 17)
AWW
VrJ(0) = VrJ(t) I ,.o = (dexpj,^ I 1=0 = V.
Й (4. 2. 16),£O| J(0) = 0>Ш
<T,J> = (T,VTJ)t,
{ T ,V T]} = Const.
<u,v> = (r(0) ,vrj(0)> = (no.v^i))
= <(dexpf>)11u,(dexpf>)11r). |
,dexpp -f£J^|njlt v ft и
Й Jacobi Jacobi
SS4.2.6 £ J у Й Jacobi %, Д1| J чГ^Ж'ЬЖ#^
МШ1Ш.
15ЕВД С'(0) =7(0). Г(0) =у'(0)Й1
VrJ(0)^r^?&®^ С(5)Й¥^1«1Й^ T.(0)^VrJ.(0).
а= (t,s) t-> expc(j)t( Г,(0) +sVrJe(0))
ТЙЙЯШ у ,ЯХШЖ®£й 5,а(t,S)Й5дяиад,
Jacobi %. Й ,5ЙТЯv J w1^ Й
y(0) - da(0,s)
ds
V(t) =^^-|,.o
ds
= С'(0) = /(0).
4=0
= dC(.4)
.=о ds
= С'(о) + [ (dexpc( 4) ) tT,(O) t(vrA(o)],=o
= J (0) + t ( ^exPc(0) ) tT(O) ^Г«/(0 ) •
Г(0) =VrV(£) I = [(</expc(0))tr(0) VrJ(O)]f=o
I t = 0
=VrJW =
82 Ж-КЮЗЕЯ
187
Д V, w) йЭД^РО. 1Д г/Л^ж^М
У: [0,1]^м^м»,йуй«Ж,Ш(г,г) =0 йй*^ V
МЛЙЙЙЙ^И.ЖШ^
/: Г/Л) х Ту(П) —> R
Й ЭД £ IS1 > Ту (Л) Й R) Ny:
Ny = |F6 Т/Л) | /(V,W) = 0,\fWf= ТГ(Л)|.
Ny v ft* I ЙЭДЖ ,p = dim^. v >0,Ш /ЙЭДМ-
♦14.17 mve ?;(Л)&Т/деЭД£|в) Ny ЙЯЖ&#
> V 3j Jacobi
iiEW £ FiW Jacobi ^J|J(4. 2.14)^ф
A,.VTV = 0, »(б[0,/], VTVrV - R{T,V)T = 0,
йЖ1й w g Ty(fi)%№
I(V,W) = 0,
BP v g Ny.
0 = t0 <«!<—< t, = I,
M to,
w(t) =f(t)(VTVTV-R(T,V)T)(t)
Т>Й(4. 2. 14),
/(Г,Ю = J/(t) ||VrVI.V-R(r,V)T||2dt.
0^ V G Ny i = o,l,- ,n - 1 ,V I (,ir,jtl)M Jacobi
M&F, G T/fl)M£#-^fc*^,XtTj = l,2,-”,n-l
ir,(t.) =A.yTV.
o = KVW) = £ ||4Лгу| ,
Srovrv&WBI>IR,<a JacobiУтё^ййЖ
1ЙЖ- Й)J0,,n Ф Jacobi igr V I i = 1,2,-' ,n —ф Jacobi
®,£й^ФК1Шо,/]±&&>эут I
2.3 Й30ЁЖ
у д£|в) йе ж ве ,у дзшя
шпзмй1$®±ййй1М*и (м) ,й
188
КЙЛТ17 #Я,Ар ЗШФйЛ q W
п йшомто±1ттж10
ехр ЙЙ#£±И<&Ж1Й.
й<р-.м^м2 ДЖЖ±ЙйчШОГ,р е м,
dq>p-- Tp(Mt)^TfW(M2)
M^#W,BP^#*»e т,(М,),г0О®Ш
d<pp(v) = О,
Ж Р <Р 1Й llfi•
ЙЯ4.2.2 gg = exp,t,^gmiteXp,: Тр(М)-^М
q %р(М№& у(0 =ехр,(й>))Ю£«Д.
* ( dexpp ) ,: Г, ( Тр ( М) ) ^Tq ( М) ЙЙЙШЙ-
Т,{Тр{М)) ЙЙ^Т Тр(М).
ЖЭ4.2.8 д = г(1)^ЙЙШу#ШТДр=т(0)ШЯ&^#Й
$j у Jacobi
ДО) = Д1) = 0.
SЛЕ,q 5ШТр Р 2ШТ
I(V,W)t№ft&®Ny
«ЕВД T&q=exppv,v S Т,(М) ,Я 9
•y(t) = ехрр(й>)
ЛШТ Р, ВР#£ W е T^Tp(M)),&'№(dexpp),w =0. W^^laJ
Т,(ТР(М))5 TP(M)^R|,£ ТР(М)Ф^Ш1
р.(«) = (» + sw)t,
y,(t) = ехрр « p,(t) ,
0ЛЕШ5Уй р ЙТ
^(ехр, о р.(1) ) | ,=0 = 0,
as
Й«^тй2Ю I у.} Й---------Jacobi ( t) * q = у ( 1)
as
ЛЕ^,М^'Ёйр=у(0)^1Ь?Й^. ВР^*?& у Jacobi % J,
J(0) = J(l) =0.
Й£,$ПЖ#Й1Й у Jacobi %
4. 2. 6 Й№Л ,
a(t,s) = expT(0)t( Г(0) +sVrJ(0))
§2
189
Й^ЖВРй
(dexp,)r,(o)VrJ(O) =J(1) =0.
нй<?>рйт$в£.
S* Jacobi р » q ДХШЙ ,ЙД, ВР£ q Д
&Т Р,Я!1 Р q. Й1Ш 4. 2. 7 4. 2. 2.
й£ЯпШТ*£МФШ1£.
Ж$1 £у(а)Яу(б)О11Шу*ДД1йШ,1!ту Й-Ф
Jacobi^MЙДЙ у(а) у( b) ЙШ£Й-
Ж&2 ^ВЖ^Д<^¥Я^ёИ^М^у(а)»у(б)Д?&
МйШу^ШИ-
й1нЖт&ЖЙ Jacobi МДЖА. й м &%%%.
ЙЙЙ^Хо.Ду: [0,/]-^И З/ЯШ^Л!] Jacobi ^^S(4. 2. 15)$3/
VTVrJ(t) +K0||T(t) ||2J(t) = K0{T,J')T,
ДФ T(t) = y'(t).
at
ailt,MTWM<J,y'(t)> =0 й Jacobi
J(t) =д(04(О,
д Ф й a (t) у дтой ja у ie£ , bp
<A(t),y'(t)> = 0, vr,4 = 0.
Йм(«)Ж8
д"(«) + ко II у' l|2M(t) = 0,
Rfln
(4. 2.18)
acos ук7||у'||t + 6sin ^/К7||у'||t, % Ko > 0,
p,(t) = a + bt,
^Ko = 0,
ach /WTII У' II t + *>sh /ЖТII у' II *, Ko < 0.
й йчиа, й |BJ tlHMli ДИвЛ, Й1ЕЖ |Bj Ф#
t = пчт/ «/к71| у' |1, n = 1,2,-".
Ь(у[о,/]) = Пу' || < 1Г/
4.2.9 М#«МД<«$®ЙЖ,ШМ
«ЕВД «Й£Я4.2.8,Ь: [0,1 ]^М 3/ЭД1Я1^,Л.#
190
ЖИЖ
Jacobi^ J(0) = Д1) =0,«!|Ш(4.2.15)
VrVTJ = R(T,J)T.
ЙММ=МГ#1Е«®ЙФ,Й
<VrVrJ,J> = (R(T,J)T,J) =- >0,
Й1К(ЛП^ /Л£$№-ЖТ2|0)Й«Й< йй,
4-<Ут],]} = <vTvTJ,J) + <VTJ,VrJ) >0,
at
BPS^<VTJ, j)£[o ,i ]±)ШЮ ,ШЙ J(O) = j(i) =0,йМ
4</J> = <VrJ,J> = о, <€[0,1].
at
ДГОII J\\ = tO0J(O) =0,йШ
j(t) = 0,t e[0,i],
I
1Д а Й fП В ffi &: Ж T 8» Afe , £ zb Ж Я Й £ Й К Й М Л /М Й я
4.1.7) лм а й^#т , д wffi ю й «
р ЖЙЙШМ у,тТ4Рйй^,ЯЯ р МТ у ЙЖ-ТДШМ/Г
£S 4.2.10(Jacobi) i£y: [0,l]^M,r(0) =p МЯШМ.М
а:[0,1]х(-в,еНМ^гйО®^@^т.
(i) е( -5,
3),W
£(S) >£(0),
М£(ЛаЖЙ£Ша.: [0,l]-^M,t H-a.(t) = а(<,»)ЙО,О®
а. ЙШЙЕ-^ у TffiPOJ ЦЛ >1(0).
(ii) ^y(t0),t0 е(0,1)^р = у(0)^уй^,Итй
8(«s),^fttM»6( -8,8),w
L(s) < L(0).
SERB
y.ffiXJTT# у 4ШФЙЙ^чГ№ТМ*
Ж. ^1$пИЙ®±Й^М(йМ)^ЖЯЙ#1йа.
& у m у йймф , у йкетм
ж. й шяйй» у= [о,л->м йййй,мтшм<ад =о,&
VrV = 0 2. 14) ,W
§2
191
Z(V,JF) = f\<yTV,VTW) + (R(T,W)T,V)\dt. (4.2.19)
v ОШММ У Й Jacobi % ,#
-^-<VTV,1F> = <yTVTV,W} + {VTV,VTW) ,
at
ftA(4. 2. 19), у Й1Е£ Jacobi J, W
f -^-(VTJ,W)dt
J о at
= {VTJ(D,W(r)) - <VrJ(0),F(0)>. (4.2.20)
Ъ(‘о)Ь = у(О)£Ъ ЙЙШ^,Й^Я4.2.8ЛЙ'?&У Й
Jacobi^ J да#
J(0) = J(t0) = 0.
ЙЙ1$Г®4. 2.4Й®НЛ^Л
<ЛП |y(<) = 0.
йЯ'.йй J(to) =о,й vrj(t0) j(t) j у
&f- [О^ММт.Ж
/(0) =/(/) = 0, f(t0) = 1. (4.2.21)
Z у йж#йтейжШ:
VrZ = 0, Z(t0) = - VrJ(t0). (4.2.22)
У Й1"1Й»Т :
fJ(t) +A/(t)Z(t), te[O,to),
Кл(1) = (4.2.23)
U/(t)Z(t), te[t0,l~\.
Й/^П/Й^ЯМР^П
Ул(0) = Ул(1) = О, (УЛ,Г)=О.
Й УА чГ31 Ш у й-ф!ЕЗГ(те# у Й«£МЛ1Е£Й#Ж^Ж$
Г(0) = /(УА,УА).
й у(0) SJ у( t0) ййиш^й. и 1,а( УА , УА) (4. 2. 19)
Г = У=УА,Яй0й)10 й^. ЙТ/ДШШЙЛО]
/,о(УА,УА) = /,0(J,J) +2A/,o(J,/Z) + A2/,o(/Z,/Z).
Й(4.2.20) — (4.2.23),£jOJ J % Jacobi^,J(0) =J(t0) =0,j&
IJJJ) = 0,
/<o(J,/Z) =<VrJ(t0),/(«o)^(to)> - <VrJ(0),/(0)Z(0)>
г ЗШЙ I W ОД 8 -г у Е®®» -L
чр((Ы‘ /Ш* ./)/[ - = (0)~~^
W8WXO(W‘0 = <(°0/‘ * N &
1SUO3= <А‘Х'ХД>- (ЛЛД‘Х) (!!!)
!о = </‘х)
Г|М‘^®/^ХТ^Ш1^-^ШОДХ5^ (!!)
i$#!£O‘<? + ™ = (»)/|И‘(»)/(*)/= X# (!)
:&Й® !Ч0ЭВГ
ОД л «^Л'Х -^WK3IW(*‘W)^W»if (’И<н *‘JWO] -S
^-Oimmm±WW Йй ‘ Т zs ffl&THrSt >
•OWOWmiWWm(yW IM
‘«в§«адзг^*ща»<(^‘л!)#и¥=й® •®wj^0*¥fei^^M(<?)'ttt(»)'C
# * «ГМ [0 ] :^HI^ •£
/(/‘л) - л = 4
»p|<4‘Л(Л‘4)»> +4аХд)I f- =
г
vr 0=t sp
»р(Л‘4‘/‘4)у-j|4'д|| J= i_
л #1
$W3(SACWW x £f)0W4‘W WHTW(*‘w WO] » 'г
•¥(t -z •*)№(£ -z -<7)®шд -z -p) ?!й® -I
•(0)7> (Y)7^w
)э утекши -(o)7> an
00‘o= (0)лОХ*0> (о)л
Hi^’-iomu&n^wiia -o> (\r ioiwep
•(Z/‘Z/)/zY
+ \|| (“Or'All YZ- = »P| <Z/Y‘2(z/Y‘2)tf>
+ {zfx1 A‘z/y2a) I J + (VA‘ П)°7 = Сл^л)!
)ГЖ1й1#-(Гг£±Ф
•J| (°?)Га|| -= <(°ОЛА- ‘(°»)Га> =
W№ «ваш
Z6l
53-
193
8. ЙРЛ ЮО м р Й д Ю|Ш а- [а,Ь]->М ИПЁЖЙ
ем = тГ.1'<г'(0 ^dt-
f£}t?fr3E#a: [а, 6] X ( - е ,е)—>М ,{ЙШ a0(t) = <x(t,O) = <r(t) ,a(a,s) = а(а) =
P,a(b,s) =a(b) =9.1ЗД:£Т±££#а,йтаД№вЙ®
М*<гЛЙМ
9. й Т (П)«^ОИЯ1^ у- [0,1 ] —ЛГ у ЙШЛЯ^ОК V,
т) =0 ЙШ£:ЗЕ Г/Л)±®«»й; I й*4ЬЙ v «д
OsSrSSm - 1 ,ЙД m = <ИшМ-ЛД1Д т S“ У ЙШЖЯ*
Л«(п»-1).
§з*
3.1 Ж&313 Myers Жй
£Я 4.3.1 (»ФЙ^5| S) & у Д М й й Р Я1 <? ЙШЛШ, Я *
У±Р^НЕД,Й W% у ±#М?||и1МЛ W-Й Jacobi
ft#
v(p) = W(p) = 0, V(q)=W(q),
да i(v,vy « kw,w),
w = v.
«ЕВД
1. Т,(М)Й-Ф8,Й», ffiTW у Й-Ф Jacobi^ I<,
vf(p) =O,V((g) =®;,ййрЙу±^Ш£,йй£Ж4.2.8 Й
i£te 1 ,ймтм-й. Jtt^h, p , Jacobi Vt, - , F„( m
= айпЛ/)Д£Ш^Й. v^p) =0,n]> 1<3?$O#(4.2. 17))
vt = tAt,
Mt Ду: [0,1]—Af й>$с,дал, Ду±ЖФЙ*^. ИЗ?
VTVSP) =4;(р),
& Aif-,Am |^#Д^Й^Й- ДИЙ^Й m qM
^(t) = ^qMAM.
W(p) =о,^^у^^т№АШ
w = V = ^fSl)V(. (4.3.1)
2. Ий v, V(, vs % Jacobi %,ЭДЖ Jacobi й"®,
194
ЖИЖ ЖЙ®
= <VrVrVj,V>> -<^^Г¥ГУУ>
= <Я(Г,^)ГЛ/> -
<Я(Г,7у)ЛК> =0,
<УТУ^> - <v(,vrvy> = с (4.3.2)
XS V;(0) =УД0) =0,Й±з£Ф с=0. s# У(0) =0,ЕЙ(4.2.20)5£,
ВР?#
I(V,V) =<VrV(l),V(l)>
= X-MWiHvWO.y/1))- (4.3.3)
з. Й(4.3.1),
VrIF = + Yf^rV^A+B,
I(W,W) = [ ((A,A) + 2<A,B) + (B,B) +
J 0
{R(.T,W)T,W))dt, (4.3.4)
j’(B,B)</t=£ /zzxv^.v^.)^
’X fc4i(v’v"V
Jacobi ММЯ(4. 3. 1)Ш
f(B,B)dt =^/i(i)fi(i)(vTvi(i),vi(i)> -
J 0 i,j
(' X +fifi^TVi,Vi>\dt -
J 0 i,j
jl(R(T,V)T,V)dt.
Й(4. 3. 3) /( V,V). Й (4. 3.2) W с =0,ЙЖ-
W*2j‘<A,B>dt.TM
l‘(B,B)dt = /(V,V) -|*(2<A,B) + {R(T,V)T,V))dt.
53* ЙЖ-Wffith
195
^Л(4.3.4),Л&Ш
I(W,W) =/(V,V)+j (A,A)dt Ss I(V,V),
BP f‘ =Л<1)-
AiiSr=yiitM |
10 ft(i). fry Д y(«o)> 7(0)
=?£^уйЖ-Ф)Ш£ЛОМТйу(о)*Пу(Г),г- <t0$£ftftfa
ЙМ У,ЙМ1Ш|Ш^Й№ у I ю.,.] ft Jacobi У^О.ЙЙ
W,w) >0. ВРМТ&й=у(0)Й1у(Г
IpJS^IF^W I(W,W) >О.ХЙТ«’( ч)ЙОй. BPffi^TJffilM
ййД<«^^ЙЙ^Ф,йЖМ0Ж-^$вАй5ЯЙ₽?ЕЙЙ,^М
Mft.
эджтт51мте1детя1£а.
Ж® 4. 3.2(Myers) Ш m M ft Ricci
Ric (M) (m-l)/r2, r = const( > 0) ,
<адм±<-^ж^т ттг
ЖВД i£y:[o,i]^M>K£^bft«M,lly'll =i,i£K(0)e
TyW{M)^
Ш0)Л/0)) = 8,а,] = 1,-,т),Д F„(0) = y'(0)/£,
Ff(O-SfcW
<И(,ГУ)=3,, Vr.y,. =0, Vm=r'/L.
Wt(t) = Vt(t)sin irt,
/(JF..JF.) =- ('{W^VyWi -
J о
= f(sin2^)[^2 -£2Д(У„,УмУ„Л()]А
j о
ЯЬД 1 iljm-l ,ВРШ
g/C^.ITJ = j‘(sin2^)[(m - 1)тг2 -L2S(F.,V.)]A,
3£Ф S( K,,Vm)^T Vm iftRiccift^. iTRic(3f)>(m-l)/r2 Я
L > ят,Й
196
ЖИЖ ЖЖ8
(m - 1)тг2 -L2S(Vm,VJ < 0.
^/(IF;,^) < 0.
ь&ШЩМ) <0,ЖЖЖФ^Ш51Я,у
M, ЕЙ Jacobi 4. 2. 10,у I
М Д¥®3? г Й т 1/г2,Й
Ricci ft*3?OC(m-l)/r2. ЕЙ£Ята,<££ЖЛТ?ггЙЙ!!|Я1£Ш
ШЙ %М Д^<Й,Я Ric(Af) «ШМО
</=£7rr,H*Wim«W.
Т5ЕВД ВЯ^Ж£»ФЙЙ^1ММДЖЙЙ,ЙШ Myerses,
м ЙШЙЙ„Ш£
d 77 Г.
ф тг- м—^м д м ОАО(§ з. 2), тД W м -#
ДЖ» 0Ht,*m-Ap 6 м,^
мйШММ» I
тиоя
М 4.3.3( Bonnet) тй М ,^Ж«ШЙ$ К <1Е
йт^,вр
К > й > о,
•ад м ДЖМ,-gJCl/Й d^TT/48.
М[18].
£Я 4.3.4( Ж^ЖЖЯ) & м Д т Ж^<ЖМЙМ«,
-£йа®й^кжд
4- < К « 1, (4.3.5)
4
Ж М ЖВТ т S”.
ЙФ^ЯДДЕЙ Rauch(1951 ^)^-|-<Х«1 ЙШЙТЖЯ )нЖ,
Berger( 1960 *₽)#! Klingenberg( 1961 ^)Й»'Ё0СЙЕ^±^ЙЙ®ЖХ &
^Й^#(4.3.5)®г^
§3-
197
-j- К 1, (4.3.6)
(i) SMfiO^d„>7r0t,M№T#®S”,;
(ii) 1 M^^I'0j(BP^S\
M W£|0j, «^ИтсО^Ж , £ Cayley ).
StO* Berger ЖФЖЙМ. Bonnet ЖЯ( ЖЯ 4. 3. 3) Й
mr.Toponogov :^Г M % m ттО«ЙЙ
dM = «/#, ДО 1/#Ю "Шй.
TS". MWK. 0Й,М#ЙЙ
шгамжтж?
Й14.3.5(«#Й111)
4- < 8т < 1,
т М й^ЖЙ* КЖД
(4.3.7)
ДО м S”. ЙЖ S„^0. 68( т—>оо ).
(4. 3. 7) ДтаЖ-Я^ЙШ^:
8с К « с (0 < a S£ 1), (4.3. 8)
ЙФоОЮ. «ЖЙ*«£(4. 3.8т<»О«О(«-
Pinched) ЯЕЯ£.
^^(M) =O,i = l,-,m-l,fl0^^^m^|^ffe^®.
M 4.3.6( Bfc#®») & м Д m Ы9>'Ш,
^й«й|8|$ш>о ДЖ® 4 >1Г/2#ЛОММ-Ф™ЖЖМ®.
3. 2 #1Е Й Hadamard
ШПВ$П11,^>1!!Ш ехр/ Tp(M)-+M
4.1.3). бй^1ч],4ШЛ^Н0^жм? limits
££4.3.1 мзрда#». йШ 7г:М^Л/^ДТ1£
(i) =M;
198
Mizg*
(n) g M,fr&P u(®%p й4еж$₽$)
ft»
ir-'(u) = и ifa,
a
Х4» Ua ЙЙИЖЙЖА тт £<-4- Ua ±йка it I ifa: ua^u
йРШ.» 1Г-М-+М ftlllfcOl M ftllgffl.
ЙЙЁ.^Оа: [0;]^»^МЙ(Й8а(0)Йа(ОЙ)-
ФЭК.
ЖЯ4.3.2 [0,/]^И Д M $-фЖ,
Л? Й$-фМ a: [0,/]^,fti#
77 ° a = a,
[o, /]---------------------— м
» a Ш а Й1Д г(0)ЖЙЛ^,$ИД M nJ
ЖЯ-Й ,» к: Й-+М ЖЯЯ-ЯЙЖ.
51Э1 й М й9Шй.а М йЖЙЙ ЛИ
тг ^|мЦ£Е.
513 2 й^л/^л/
ЙЙ,К м тт
M4.3.7(Hadamard) ЙШЙЙтё&З*#
«,Ш M-fe3&RSlW#IW
ЙИЧёЯЯГЙТ К^о 5UD&
ЖВД-Ф31Я.
5133 ( Cartan - Hadamard) & М К^О
ЖЖ, !il!)mor ехРр: Тр ( М) -^М >МИШ
ft; ШП X й ЖЖ Ю й Ж£#» Ж ЙЙ1^^.
«Еда ЙНЙШМТЙЮ S М,М^ехрр: Тр(М)^М
§3"
199
ДЖйШ В^Ш,Й^Я4.2.9,йГйехр,:Т,(М)^М
ТМ,5МГШ£ r,(M)±5lЛЙЙ&®
exp,:T,(M)^M>JOW. Й#ЙШ%ЖО Т,(М)±ЙЖ
ДЮЗШ^МЖ^,'ЁГ1Й ехр, Й51Я2,Я^#Ж
вж^йш ехРр д^тя-мя
Йа: [0,1 ]—>ЛГ % М ЙТ М Hopf-Rinow
е г,(м)^
S& ехРр ТР(М) V Й-Ф4₽^ v,M
ехр,£У±ЙШ1И exp, I „ ехр,'1, рГ£ v е
^ДОЙ-ф^Ш а:
а = ехр'1 о a,t G[0,1 ], Ka(i) *= а([0,1]) П ехр,(V).
Й А а Й[0,О±^ХЙ t е [0,1 ] ЙШ£. А а
Й «О <£Х,Ш а Й to Й$-Ф$₽$ЙШ<£Х,Й л Д[0,1 ] Iftff >. £
МВД л ШйЙШЛО А = [0,1] , ЙР а №чГЖЯ.
V е[о,1]^л й-ФЖА,ВР1М сл,п = 1,2,-,1„-^Г.^Ж
ЮЛ t• 6 А. <ft,и 1 а( t.) 1 W-^ЖД,Шё I а( t„) 1 Й Тр(М) ф&
<ЖА, W тр(М) а(0)
nOJ^a(t„o) «£О,ТДШ#^ПД a(O)SIJ a(t„) Й<)1ЕЖ чШ£ЖХ. X
@ехр,:Г,(М)^МДЖ^Ш,0ЙтаМФМа(О)1!| a(t,)Wftg
a(O)SJ
a(t* ) = 1ппа(«„)
ft|a(t„) ! <-фЖ£,1О q-
Тр(М) ехр, Й exp, | v >
ШЖВ ФТ<7>!а(О1Й$Ж£. Sft#£n. ^#a(tni)e U. Н^а
M^ft,#£7FK|0l/c[O,l],r е Cexp,(t/). ТЮ
ехр, | у ехр,’1 рШ^Х аЙ/±И а( tnj) ййДЙМ. ФТ
ехр, a ft[0,t* ] П/ ФЖ£,?ШДаЯ-
Ф&^«'ИКГн1±ИЙЙ,ИЙЖ^Л ЙИЖ- I
К^О ЙШЖЙТ« ехр,: Тр(М)-+М ДЗД
Т <р-
<р ДМйОГ
200
ЯЖЖВД Hadamard Й51Я З.ехр,: Тр(М)-+М S
Й51Я 1,ехр, йИК.ХЭй ехРр
1$,Ж1Д ехр, R”(« = dimM)>a#RIKlft. I
[18] .
53И
1. й м * m «о е м,^ ихо = IX е
г>0(М) I ||х|| = 11 ,R* = R+ и | * | ,г^жД«о е
ши
§(Х) = suplt е R: I 7l(t)
t
% S(X) < 00 ,Й!|^А*1 = Ух(^)^ *0 ?&Ух &3ffl^i(cut point), ts®:», ft x„ ?& yx
JF£I8£M x„ 2g x, £Ш#1£ММШ.
2. 4W Й9И#вЙТ,#18Й S(X)^|ftgfcJ|i£:t7<o^R:.i£R:±|$»
ffl?FKIW(a,*)ElX(a,oo ] =(a,oo)U|oo |.
з. miюйймкйт.Ж'й-
c(xo) = ly/S) |£(X) < 00 I
ffi%xQ Й9ЙЙЕ( cut locus). 4^ E„o = |tX|0ct<£(X),X6 {/J.wtiiE:
(i) JHmtf- exp,0: £,0-*exp<0 ( EXf)) СM ft>#|W|K;
(ii) MftexP<o(EJftC(xo)|ft#j£ia±#.
[ЖЖ] КА-ЬНЙпГ^^ Kobayashi & Nomizu, “Foundations of Diff Geom. ” ,
Vol,II,pp. 96—102.
4. ем. C(x„),#
х^Цх Й9®/ЬЯ1Ш y(t). y'(0W Ric(y')#»JiS^ у
iMSfn M J& у'2ГЙЙ9 Ricci
K(x) = min ( '”-- -- 1----у Г (t - s)2Ric(y')<ft,l
o^p(x)lp(x) -s (p(x) - s) Л J
ШМ =p(x0,x)*UXx0 «ffi:
Др(х) К(я) ,
Ricci Й^,И
Др(х) C (m - 1)/р(х).
[Щ/К] s. Т. Yau,“Harmonic functions on complete Riemannian manifolds” ,
Comm. Pure Appl. Math. ,28(1975) ,pp. 201 ~228.
5. mi ЙНЯШГМЧ = influx) |X6 ж
§4* ЬкКЖЯ
201
Ж М 8 3 = inf (а |. ®вдм жа.м а >о.
«оем 0
6. О [М]->М ДЯЙШ
ЖВРу(а) =у(3),у'(а) =7'(»)).^,»Й7Й-тв:[М] х( -е,е)-+
a,(t) = a(t,s)' [ a,b] -^M (s #0) £₽>« Й, Д £ Й9£«/.ЬТ у И
(Synge 5|Э)
7. Й М ч£ЙМДЗШЖМЖ ,ЮИЙНЙЖШЕ,1И м
iiй<)( Synge 5Ёа).
[ШЖ] 6,7 W^jtlK[17]VoL4,pp.352 -354.
§4" ЙЙЙЯ
4.1 Hessian Ьк$Й£И
№)1>» V.
££4.4.1 йлтс2 ®a,/ft-»^>v7=v#^^/
ft Hessian, iE Л Hes(/).
Не8(/)(Х,У) =V#(X,y)
= У(Х/) - (V^y)/. (4.4.1)
ЙМШ, Hes(/) М-Ф(0,2) , № M Й P
WT Тр(М)±Й<)-фМ^т14ЙЙ Hes(/)(p):rp(Af) xTp(Af)^R.
Й (3. 4. 26) ,f$ Laplacian Д/^Т Hes(/) ЙЙЗР
Д/ = tr(Hes(/)) = tr(v7). (4.4.2)
6МЙЙ^(«‘),ШЙ^Я4.1.4 ЧГ
^1,(4. 4.1)Ж4. 4.2)MO
Hes(Z)(/-(p) ,^(p)) = -^j(p), (4.4.3)
\ dx dxJ / dx dx
^f(p) = s //{2(f)-
i (dx)
Й Jit чГ JaL , н e s (f) (X, Y) й £ p й ш, Я $ T141Й X, Y p ft Ж, Ж -*9
XJ4pO«M^.
м м M<ft«<^,< * м ±®£-£ о,
МТр ем,р(р) =р(0,р)^Л1±Д 0jg#WEm,tMO±fi
S^ftMMlfc. ТЖЗДЙЁЖЙ^Й Hessian.
ехр0 W£Xft О ftW ехр0(Е0) СМ ЙО^ФЖ
(9'ffr) ‘0 = [т‘^1
WS ‘ (9 -z > ВЖ)ШМ iv x ФФКШ
(ГП) 'X = (J)£‘O = (0)£
(*)£ ® iqootjf
OWW о -0=
х'Ж^ькВ‘^В(Х‘Х)(^)6ЭН ou^g'rt
I -wiKamsr
l-te JQ \ z lJQ t je r \
0 ’ \7 7ix~i ~ \T T л/
^‘т= (у‘т) ‘у=^р^‘ж^-к
•0 = (^yjx ШУТ т = dY
= d‘ у(t > -tows
* {4гУд)-(4М H(d4‘y)(£/)ss>H
‘(rrfr)¥W ffi®
•>l«17^r[b|(t -t
‘° = ((d)y‘^)(</)S8H
>Lim‘(w)d2 Э х*!Ш±КЗШТ11$
•<= (rf)</MW,rf= (j)x‘o= (o)'t$‘(»)x- ww»ar4mw
жад-Wdfiiit ‘ о 1Жоя)°<1хэ Э rfWWiOfWW
(fr 'V ’fr)
‘ (l - w > Pl > x) !ffP,ffP(ff‘J)f,4z((J)/) + г(лР) = s
жя>ж<ад$‘(1-«0‘---‘10‘-')^«мй!^ж‘(£~ i wfc‘£§
zoz
W№ ЖНШ
§4-
203
Jg Jacobi M(4. 2. 15),$&y(t)W
Bp
«« (S-fO) A) = (?(P) - o.tEWJ» 7(.)
ад?&у(от<
(x,j^=O- (4.4.7)
4. 1),(4. 4.7)^(4.4.6),4M
Hes(p)(X,X) = \X(%r) ~(У1%)г\р
= (Х,Ъ-%-\ = . (4.4.8)
\ dr/ p \ dr i p
ЙТ^М Jacobi 4. 2.13),Ж±^М^*
Hes(p)(X,X) =£{-£(^Д)}Л
= I(X,^). (4.4.8)'
^®4.4.2 ЙМ,р,Р,уМ14.4.1,1еГ,(М)Жй(х,|| =0,
£(0Д?О.(4.4.5)^(4.4.6)й?й у(0Й Jacobi ^,Д!)(4.4.8)
fe%4.4.2 i£ M,0,p,y Ю 2 1Г₽С
т„(Л/)^^-®|ц]fait-^(p) V„ м ±@faт®Й<®
SS 4. 4.3 (Hessian tt&$S) & M„(. к = 1,2) m
204
МИЖ
Йрк % Мк ±Д 7к(0)Й&ЙЖЖй>,к = 1,2.
м. $&Г1 » М2^у2 (4.4.9)
И Hes(p1)(X1,X1) С Не8(р2)(Х2Д2),
ЙФХ* е 7’n(r)(AfJ,A = l,2,ffit#
(xif—\ = (х2Л\ ,
\ дг1) мг \ дг2 / м2
iU, II = ||х2||.
ЙЕВД «М4.4.1 WU3/
(xt,/-\ =0,д||х4|| = 1.
\ огк/ мк
E^(t),Е^\ (t),E^ (t) =^-,к
огк
= 1,2. й(4. 4. 8)',
Hes(pt)(Xt,Xt) = fr{||v±XH2 + (RW(iX]iX}}dt,
J о I st \ \ dt ! ot /J
ЙФ Jacobi =O,ft(r) =Хк.
^f(4.4.7),?&72(«)ttat(7-X) =«2)Дг> =0- ЙЙ«Т
^2(«) = X Ai(t)£‘<2>(t) ’ A‘(0) = °’ (4.4.10)
T1 (г) л(1) (г) (/=i, - ,m -1) у. та
=Х(г) = £лЛг)Я,(1’(г). (4.4.11)
J& У1
Z(t) = jA;(t)£.(1)(t),
ИФ (4.4. 10)?П(4.4. 11)пГЯ
Z(0) =0, Z(r) = Xt =X(r), (4.4.12)
1И12 = ^(Л;(«))2 = 11^2 II2, (4.4.13)
i = l
|V4Z||* = II X Л'МЕИО ||! = || £ Л'(<)Е“(.) Г
= ||V±^||=. (4.4.14)
dt
§4' tt&SS
205
Ж(4.4. 12) 4. 3.1),МТУ1 <
/(1,(Х Л1) =е i'l’(z,z).
Й1HS, Wffi (4.4. 9), (4. 4. 13), (4. 4. 14) 4. 4. 2,
Hes(p1)(J¥1 ,Х,) =/(1>(^,^) W(Z,Z)
= fi{,|'<Z!|‘ - (й"’(г4)^} d‘
71
У2
= Im(X2,X2) = Hes(p2)(X2,X2). |
JBtfc ЙЙЯ4.4.3 ftlW^i£T,W [0, +00
Hes(<p(pI))(X1 s= Hes(^>(p2))(X2,X2).
тЗЕВД ЙЯ^Й^^ОУ,
Hes(<p(p))(X,Y) =<P"‘ W(Yp) +
V' • Hes(p)(X,r).
MW^0S.xP = lx,-^-\, ЙЯЖИЕВД
\ dr/
Hes(<p(P1) Hes(^p(p2) ) f
\ dr^ dr J \ дг2 dr2/
ft Hes(^(p1))(X1,X1) Hes(^(p2))(X2,X2),
lxk,/-\=0 (k = l,2).
' °rkl
йй Hee(?(p))(|,|] = /,
\ dr dr /
S.M^(x,^-\ =0W
\ dr/
Hes(<p(p))(.X,X) = <p’ • Hes(p)(X,X) ,
№ЙЙЙ14.4.3 ZfcBPmE. I
4.2 Laplacian th
Hessian.
йадш» Ко Ю тМЖОЙМ g. о e
206
^Ж9)
g = {dry + (/(r))W, (4.4.15)
ДФ da1 = hye) dO'dff (1 i,j m - 1)
rf" + Kaf=0,
f oJ’ (4.4.16)
1/(0) = 0,/'(0) = I,
BP
rsin( УкУ)/ ь/ку S xo > 0,г < ТГ/ УК,
/(г) = г, = 0,
lsh( у^Кг)/ у^К, к0 < о.
(4. 4. 17)
ЖраЖл/(^о)±ДО^Й1ЕЖй^,йр ей(К0)О0 ЙЙ
$ЙД,р(р) = г,Х 6 Тр{М) Д 1х, /\ = 0. Ж(4.4.8),^Т1+»
Р \ дг/
Hes(p) (Х,Х) ,ЯШО(4. 4. 5) ft Jacobi £
йу(«): [о,г]->м(к0)о -^р даа/]мЕЖйиж^,дто
11/11 =
= 1. ЖЖ (4. 2. 18) ,'?& у да Jacobi X(t)
Kt) =fi{t)A{t),
ДФЙИ А(«)Ж£
VU = 0, (а,—\ = 0, А(г) = X.
\ dt /
fp." + Коц = О,
1д(0) = 0,p(r) = 1.
Й Jacobi ^даиВ-й,|£&(4. 4. 16)^(4.4. 18) ЛЯ
р(«) =/(«)//( О.
Hit, Kt) =^-A(t).
f(r)
ffi£ftA(4.4.8) да^« ,да#
Hes(p)(X,X) =<Г,¥Л>, У={Х,К)р
St
-{лм'7млУ
(4. 4. 18)
(4. 4. 18)'
§4'
207
=f-^-g(X,X), ^lx,j-\=o.
f{r) \ dr I
4. 15) +£T@l^ftiE£#*W,#£i
4. 4. 1,&OJ-ttO r =p,^
Hes(p) =f-^-(g-dp®dp). (4.4.19)
J\P)
^^4.4.4 &M(Ka)%1№^K0
g,W M(K0)±JEM|fcp ft Hessian i>T^(4.4. 19) ,^фй>/Й
(4. 4. 17)£X
Й±£,ЭДД Hessian 4. 4. 3 ,$(П
£ Ж 4. 4. 5 (Laplacian fc«£S) ЙА/,
[O.r]^! у1(0)йЖ,1Вр1 ±
МуЛОШ&ЙВЁЖйШ. M, '&T1 ftgfo Ricci tt^RicM’(^>
(m - 1 )K0,_§Л К. >0 ftf ,r < 77/^,И
(ДР1)(У1(г)) (m-1)-^-, ’ (4.4.20)
ЖФ/Й(4.4. 17)£X
W WWOAW [О,г]->л/2(хо>
>iEM«l№^,iep2^472(Ko)±Ay2(O)^ftJEMg>. ЙЙЯ4.2.9
к. >0 0},r <я-/ук;,йГ& r2(r)^> 7,(0)ft^te
ft£S4.4.3 й®вд,йлш = 1,2)ф#»п
Ы { , ••• X‘-! X4> = tM • (r) Xk, ?& yk M Jaco-
I dt J
bi^^‘),^^‘‘)(0) =0^l)(r) =£.W(r),i = l,-,m-l,T>,^fnW
Hes(p4)(E,w ,Е^)
= f fllv^’II2 - (RW(^^)Tt^k)}}dt
J 0 I at \ ' dt ' U* > J
(i = l,-,m - l;k = 1,2)
(ApJ(b(r)) =(trHes(pt))(rt(r)) = f{£||VxW-
j 0 I " at
tre-l
208
Эй isBtrffiWiB,Jacobi е'2)
w
fi^G) = M(f)^C2> («),
ХФд(0О(4.4.18).
Silt,
(Др2)(у2(г)) =£{(m -1)(M'(«))2 -
.«о
= (m - 1) Jj(M'(«))2
14МЙЯ4.4.3 ЙЖВЛФЙЖ® №
т-1фМ1ЕЗс1Й1ч]М
ZM = ^t)E^, ||Zj|2 = Ill’ll2 =/(t),
llv^zjl2 = (д'(*))2 (i = l,-,m-l).
», й Я Д ЖШН4, M
(^ХуЛг))
r m-1 m-1
yl
r m-1 m-1
dt
У2
= J |(m - 1) (//(£))2 - д2(t) RicM1 (— j | dt
72
С l(v'(t))2 -K0S(t)}7dt
Jo 2
= (Др2)(у2(г)). (4.4.21)
й-,Д(4. 4.19)Ш
(Др2) (y2(r) ) = (trHes(p2) ) (y2(r) )
= £ Hes(p2) (£,(2> ( r) ,E[2) ( r) )
i = 1
= z^(^’(r),e(o)
i = l J\r)
-<m n/’(r)
-(m-l)/(r).
§4- tt&sa
209
ffi^RA(4.4.21)BP#(4.4.20). |
ОШМ'и® <p(p) &<p(p) =(p" + ^>'Др,йШ
fcfcl M4.4.5 lW№,^ [0, +00 )^R ММЙ
Ifc.M
(Д?(Р1))(Г1(г)) ^’(г) + (m-l)^'(r)-^-. (4.4.22)
#tt£ 2 -g M > m ЖЖ, Ii Й Ricci Й Ж > - (m-l)fc2
(fc^O) ,Я!|*ЕЖй15Ср ftWAW
Др =g -(1 + kp). (4.4.23)
P
ЯЕВД Ю4.4.5 ^(4.4.17),
Др^ (т-1)й^^|. (4.4.24)
sh ( kp )
X^T* x>Q,%$$$F(%) = (1 + x)sh % -xch x,HJaL F(0) =0,
F'(x) = sh x + x(ch x - sh x) > 0.
Sllt,F(x)>O,RP
ch x < 1 + x
mA^MT(4.4.24),BP#(4-4.23). |
4.3
6m=Vol(B“).
&(*.,-,* J Ж”1
'Ху = fCOS бу ,
x2 = isin ^cos в2,
< ....
xn-i = tsin 0isin 02"-sin 0„_2cos em_i,
^xm = tsin 0jsin 02---sin 0m_2sin 0m_y.
dxt A ••• A dxm = tm~ldt A dSm_!,
йф dsm.^m-i =двт мадв
Ъа = (>-*Л{ f </$„.,}= c„_1 ['t^dt = ±0^, (4.4.25)
Jo IJ s _J J J ° Jn
210
ЖИЖ ЗИШ6
яф т -1 йотяя &т,и^+» с„...
W& ,XtT х > 0,Gamma g|fc Г(х)
Г(х) = J e'B'dt.
Г(« + 1) = хГ(х),
Г(т + 1) = т] ,
Тй.ЯЯ К" ВЖ4®Ж,вЖЯ £«' = i’ ,®<(Т<|
{J e~‘2dtj =1 e~aft‘‘‘dxI A ••• A dxm
=c- 4--O'
Ihj m = 2 0f, Cj = 2тг, Й
= At)-
cm_t = 2nm/2/r^j. (4.4.26)
ДЖ
$£4.4.3 о G M,iBp
о й&йЕЖйШ. M ±!Д о 2/ф4>,г B0(r)$
в0(г) = \p e м |p(p) s= r|.
B(r).
JinJU В0(гШТ о e*poiTo(M)^M,
B0(r) WWKSI^W T0(M) ФФйй г ЙШ вт гёМ. йй,
ехр0 й Jacobi В0(г)
§4* ьь&жя
211
XtTtt- и е т0(м) ,ft о ЙШУЙЙЖД О у(«) =
exp0(tu).i5k1,-,^.1,^=u|> Тш(Т0(М))*э
е Ty(t)(M),i = l,-,m-l. ЙФОС
BW МД нРШ^|Й|М , й | ( dexp0 )tu£l ,-, (</ехр0 ),„£•„_, , (dexp0)tuem =
y'(0 I r,w(W)W-fl. TM.Jalfcl&Ihl' exp0 ft tu Й Jacobi ?тЯ
Jexp0(tu) = || (dexpoei) A — A (dexposm) || / || er A — A em || ,
(4. 4. 27)
^Ф II sx A -• A em || 2===det(<£’i,^>)lsi>ysm.
О Ж£|Я1ЕШШ>ту(О:[0,г]^и,&
y(0) =o,y(r) =p. ft ^WmiSlV-A-.A =у'(0) ( ,JE
=/(*)(•«
ЩЙЯ4.4.5»Му(0^ m-1 ф Jacobi ^^(0,ft ^(0) =0,
£;(г) =Е;(г),£ = 1,-,т-1. E^t)
0^(4. 2. 17)зО,ШП<
£; (t) = ( dexp0 ) Л = 1, ’ ’ ’,m _ 1, ( 4. 4. 28)
^фе, e гг£т(7’0(л/))^т0(ЮФТ^л^^:
(d exp0)r£m(rei) = E^r) ,i = 1 ,••• ,m - 1.
^m=£m=y'(0),M
(d exp0),£me„ = y'(t)-
ФМ,Й(4.4.27)Я1(4.4.28), exPo ft t£m № Jacobi
Jexp0(tEj =А({,0)(Й1 6= (01,-,0“'1)Д =y'(O)W^ffi^
A(t,0) = || ^(0 A - A K-i(«) A y'(t) II / II (t^x) A - A
л У'(О) II
= || ^(0 A - A ^(0 || /t'-1’ || A - A || .
4 dvM ft M To(M) = R m &ЙШ ,M
ftOtlSW exp0T,W
(</ exp0) (dvM) = A(t ,ff) dvR„ = A(t,0) • tm 'dt A dSm_j,
(4. 4. 29)
212
A(t,0) = £tl-m ||^(t) A - A £..,(0 || , (4.4.30)
= II^A-A^., || -1.
OLO.pt^r) ,К(г) =Et(r) ,i = 1 ,m - 1 ,Й
<^(r),^.(0) =3,, A(r,0) = er1'" = A(0. (4.4.30)'
Й(4.4. 30)Щ|
^(t,0) ||^(t) A - II "* • ^-ldet((^(t) Д(0)) |
ot Z ot
~e(m -1)Г” ЦЕД0 A - A Em-M ||
=A{t,0) ||^(0 A - A £„.,(0 || £ #Ч0(У|£(0 Д(0>
. z лЧ т - 1
- A(t,0)
jw E\t) »&₽$( <^(0 ,e;.(0 ))
t = r Bt, Й(4. 4. 30)'W
ITT = Z<Vf^(0,^(0) -5^-. (4.4.31)
A(r) dt r
ТЁН 4. 4. 6(Bishop(i) ,GUnther(ii)) M m
Й—А о e м ййЙйЖТ?Й:№МШ(г,0).
(i) 6<J Ricci tt^Ss(m-l)K0,IJ!lJ
A{r,6) I
[/(0/r]"-1 I ’
(ii)
A(j-,e) 4
[/(г)/г]"-1 I ’
BP£>rmi^®ffc.)£S/(r)&(4. 4. 17)£X
ЙЕЧЙ М<1^ЖЙ<|г,Й(4.4.8)^
(4. 4. 32)
(4. 4. 33)
< Уа^(г),^(г)) = HeS(p)(E..(r) ,Et(r)) ,
i = 1 ,••• ,m - 1.
ftA(4. 4.31)Ш
= ^Не8(р)(Ее(г),ЕЛ0)
(4. 4. 34)
(i) Ric(M) =3 (m - 1)Е0,ЙШ Laplacian МЙЯ4.4.5,Я
§4' tt&sa
213
(4. 4. 34)Ш
BP
(4. 4. 35)
A'(r) ( _ . [/(r)/r]'
A(r) " [/(r)/r]’
if Г WffM Г, < r2 (ЙА о ), W(4. 4. 35)
тад г. жеэ)г2,вр^
Л(г2) < A(rt)
lf<r2)/r2y-' " [/(rj/rj"-1'
ifr,<r2 ЙОЙ,(4.4. 32)Ш®.
(ii) M ЙШЙЙ$^0,Ю Hessian 4.4.3
4. 4.4,ЦД(4.4. 34) дГШ
&T»(i)W11tai*l#«. I
dSm.^ m -1
WJHRx(JaL«7).
^a4.4.7(ffiRtt«^a) ЙИ1т^М<ОЛв(г)1
м ±ц o 6 r W ЯЙ ж #, £ & т о яз
Р(К0;г)^Ж>Й^К0 г(^хо>О0^,г<1т/л/х;)
wsmstww m,
(i) % Ric(M) >(m - 1)Х0,М Voi(B0(r))^V(K0;r).
(ii) Vol(B0(r))>V(K0;r).
ЙФ^Ш^вв(г)да«|8|$«, г ЙШ
«евд мади
w«,^±W7uie3/<to uzs-^oa^Rn Ф¥@*«йт-1 ж
(i) ЯГТеЮ>0,(4.4.32ШЗ-
214
A(t,0)dO
j
A(t,e)d0
J S”-‘(l)
[f(t)/tr-'do
lim
t->0
[ A(t,O)d0
J _____________
[ [f(t)/tylde
ВР
f A(t,0)dO =£ [ (4.4.36)
Vol(B0(r)) = £(”-’[ I ] A(t,0)dff]dt,
v(K0;r) = ^(fCO/ty^deJdt,
m(4.4.зб^т
(ii) ЙД(4.4.33),рШте. I
3ZS 4. 4. 8(Toponogov - S. Y. Cheng) ®(M,g)> m ШлОЛЙ
Ж Ricci Д $ Ric (M) >(m - 1 )/r2 ,r = const. >0. M ffil TlT^ 'fo
г Й m »®.
TSEВД MCT 4. 3. 2(Myers ,M ЫШ- P,
&^p,q) = nr. Д S" ( r) г m
ЗШ. MM 4. 4. 7 6U(i)^<
Уо1(Д/7гг/2)) Уо1(Д,(ЭТг)) = Vol(jtf)
У(1/г2;лт/2) Vol(S“(r)) Vol(Sm(r))'
Silt,
УоЦВ/л-г/г)) >yVol(4f).
RS,
Уо1(В,(тгг/2)) >yVol(M).
Уо1(ВДят/2) ПВ,(лт/2)) =0,
§4- М;®ЖЯ
215
Vol(B,(irr/2) = Vol(Bg(irr/2) = yVol(M).
Vol(M) = Vol(S“(r)). EX (M ,g) r №J m $
ш i
( h iiF ИД Й К- Shiohama, Trans. Amer. Math. Soc. , 275 ( 1983 ) ,
811 -819. )
1. oO
=рг,ч>Лр} =log(l He8(^(p))ffi
Hes(^p2(p) ).
2. о e о
T ,Й1« Ж(4.4. 4) h^r,0) =
й »й-^-е^н Jacobi
dr
3. ЙМД* = 1,2)*Жфт^ЖМВ,74:[0,г]->Л/4 ДЕЖЙ1 Jtfe^ ,7i ( г) E
*ь(0)йд«д.тЕр4 %мк ±Ду4(о)®&И8ел®»,Д Ric(‘> (^)*^ мк ±
й- ук ® ЙИ Ricci ЙЗМ = 1,2- £ Ric(,) > Ric(2> м2 ИЖ* g2
у2(О)*Ш^4ЬИ,М
(Др^СуДг)) С (Др2) (у2(г) ).
4. Д Л/±^ЖЙЙ.
ЙЗД:
-уД( | V/ | 2) = | Hes(/) | 2 + < V( А/) , V» + Ric"(grad/).
5. йл^.-мпзяз №у, иейй^>м2 жГ2 нйййж.
Vt(0*?& yk(.t) И Jacobi F4(0)^ yk taw,Я
11^(0)11 = II V2(0) II .(у'ДОЛУ’ДО)) = <y’2(0),F'2(0)>,
II I7'. (0) II = II r2(0) II ,
MM-flie[0,r]W II F,(r) II C II V2(0 II (Rauch Н;ЙЖЯ).
[ J- Cheeger & D. G. EbinComparison Theorems in Riemannian Geome-
try” ,North - Hol. Publ. Company, 1975 , Amsterdam p. 29. ]
6. Rauch Кт,ОЖ14.4.6.
7. йЖ^)й^й$к, о e о
4. is). sr: [о,г]->м(ко)дд о шжнЕмялмт ,ж±&
К0Йт,|Е„-,Е..1Л =У'(О)|Д Т0(М) И ^IES,i& у (t)ffi>«TO^
216
1£1 =/(«) у(01Ш m-1 Jacobi %
^(«),ffi^(0) =0,£'(0) =£,,; = 1г",т-1.ВД:^ВШ1тйехр0Л(К0)|ЙЙ:
Ж7Ё^ = [/(г)]”*'</гЛ</5„.1,^41й»/Й(4.4.
8. ЯД±Я£#,*тИ1:
(i)
(n) »шл$й^м( -Офферл wsiJ&itwfm
§1
1.1 ^8Ё^Л
i£(M,g)ft(M,g)#»JJt п ft п +р ЫЫ^,/-.м-^м >§А
(ЖА).^йЯЮсл/ ±&&w
f‘g=g,
Шт/^№»Л(ШЛ)ЛЮ^9®»Л(ШЛ);РаЖ.
К#,ВРЯН1Й1Й£ р G м,ШПШЯШ-?#аЖА/(Р) е м.
Ф/2О^±йлШЙДАЗз»Р^/к ЙЯМЛ^ГС тр(М)JEMIbJ
ТР(М)Йп^£|Ш.Ж rpx(Jf)W^ Тр(М)4е 7’р(1Й)ФЙ<ЛЕЙ#Ж.
ТД,
ТР(М) = ТР(М) ©ТР(М).
рШ^£|0] Тр (м)Ш^ Мр #
т1 м = и тР (М).
ftW А тм , г1 м м Т>,
тм = тм@ У1 м.
^(и,х‘)^м±^ш,(и,уА)^м±.№т,^/(и-)си. йж
^ШЖТ,ЙА/вШЖ$
/ =/Л(ж*,-Х), (5.1.1)
А ,В, С, ••• = 1, ••• ,п + р ;
i,J\к 9 • • • = 1 , • • • , П;
а,/?,*** = п + 1, ••• ,п + р.
218
МЕЖ
\ дх дх I g \ду ду / g
т£ х % М ± Й М-4М , Ш /. X Д /(М) ± Й Й *Ж • й
ТОШЕ/.* ®Й$ М Ю-ФЖЗРГОМ.Шпйй X. ЙЙ.МЙ^Зг
М £, Ж £ й М й М Й ГО Ш Ж й х, РМ Ф1Й /(м) ± w, й -5 /. х -
Й’ГОЗДЙЮз^МР _
*I/(M) =f.x-
Мй,м±1»Ю
X = г —,
дх
й/. «/(Л/)±ЙГОЙ^
f.x = (г ^4)А-
\ дх‘ I ду
4&х(у)й/.хймф|&ЖМЙ,&
Лу) 1Г(.) =/.Л^).
Лу) =л Алу
ду
Л(у(^)) = Апл. (5.1.3)
дх
Хй Y^) М Y У.ВР
Y\y(x)) = А^(ж)-
дх
5MDW
1Ш5.1.1 /ЛШЛйЖ^МЙЛО.т
v 5 у iV( Ю ± IW1ИЙ Й й & Ж v ^ (м J
t#. #.а<
[Х,У]лм> '= If.XJ.Y] =fAX,Y}. (5.1.4)
15ЕВД Й(5.1.3)
[Х,У]Л А
ду
у(«)
= ( Y" _ Vй ^-\±- I
' дуВ дуВ / д/ । г(-)
=(г —(у А - — (х1 А )А I
I дх‘\ дх1) дх\ дхЧ1ду \уМ
= [ЛП‘АЛ| •
дх1 ду I у(х)
§1
219
Jtfc вр [ X, у] ЙЛ м) ± Й9 РМФ]
S3? viy=(vJy)4/I
ду
=ИАг+| А ИА,
\дув [ВС] /д/
ЙСЙ(5.1.3)W
Xiyд/ Г л 1 э I
дх' дх1 (вс/ ЗуЛ । г(«)
,Й(ПяГ#Л X х,f, y у и,я V;г | лж)
вТШей^У.
v%y = V%y + B(X,Y), (5. 1.5)
МФ v%y е tm,b(x,y) е tlm.
#«5.1.2 ftf-.M^M. Й^ВёйЛ,Ш(5. 1.5)ФЙ9¥ХМ,£)Й9
ъЕВД ^а,ь е С"(М),ДУЙ(5. 1.5)Ш
VaX(bY) =a\b VxY+(Xb)Y\
= a(Xb)Y + ab(VxY + B(X,Y)). (5.1.6)
Я—Л®,
VaX(fcy) = V^(6y) +B(aX,bY). (5.1.7)
М^Ж^ЙЙЙ^.ВРШ
VaX(bY) = ab VXY + а(Х6)У.
Хй£ЛЮ±<
0 = VXY - VrX - [Х,У]
= VXY - VrX + В(Х,У) - В(У,Х) - [Х,У]. (5. 1.8)
VXY - VYX - [Х,У] = 0.
>В,Й(5.1.5)^
X<y,Z)g =X<y,Z)g-|/w = <vxy,z) +<y,Vx-z)
= <Vjy,Z)g + <y, VxZ)g.
м
и
№
i&X е ^М),^ е jT (М) ,М(5.1.5) дШ#
= - Af(X) + V^, (5.1.10)
М & a,b е
С“(1И),ТД^
^(fcf) = а((ХЬ)£ -ЬАЛХ) + b V^),
<Vx£,4) + <^,V^) = <V^,T)> + <f,V^> = X^,7f)-.
si
221
ЙЙА TLM ±д<й м (5. 1. 12)М,Ж
T'JfiftMlft. Silt,MW
#5.1.5
£M- 1. 5) Ж 5. 1. 10):OJW^?» M Й Gauss Wein-
garten ^st.
Ifr®5.i.6 xjffitwx.y e
<Л/Х),У> = (В(Х,У),£> = <X,Af(Y)). (5.1.13)
В lit, (A() P; TP (M) ^TP (M) Й
мЕВД ЙТ<У,£>=О,Й
0 =<vxy,f> + <y,v^>
= (WM) - <У,Л{(Х)).
МЙВ(1,Г)=Я(У,1),#О1Е. I
1.2
S %) M Й && codim M = dim M - dim M =р,й&Жп|5й1ЧГЙйЖ
& (M)ф p£,+1,-,£„+р,М£ M
м ws^isj. т1,(5.1.5)фйв жажж
В(Х,У) = £ Л“(Х,У)^О, (5.1.14)
ДФ Л“(Х,У) =ft“(y,x)^^Tfe
iSAo=Afa,*(5. 1. 13)Ш
ha(X,Y) = (А„(Х),У). (5.1.15)
%№X,Y,Z 6 ^М),Й(5. 1.5)^(5. 1. 14),BTUAWt#
Vx(VrZ) = Vx( VrZ + A“(y,Z)f„)
= VX(VYZ) - h°(Y,Z)Aa(X) +
£ {h°(X,VrZ) +X(h°(Y,Z))\£a +
a
h“(Y,Z) V^o,
тош м Wai»]#*, iit^,
V[x,r]Z = V[J>r]Z + ft“([X,y],Z)fa
= +£(&“( V.y.Z) - h°( VYX,Z) )Sa.
MR MfaM ЙОЙЖЖ*,ЭДД±®Й5£;,МпП#
222
МЕЖ
K(X,Y)Z = R{X,Y)Z + £ \ha(X, VyZ) - ha(Y,VxZ) +
a
X(/i“(y,Z)) - y(/i“(X,Z)) +
b’(VJ,Z) -Л“( Vxy,Z)|^ +
fe“(y,Z) V^„ -h“(X,Z) v^e +
ft“(X,Z)Ae(y) - h“(Y,Z)Aa(X). (5.1.16)
W G (5. 1. 15)
<X(X,y)Z,JF> = (R(X,Y)Z,W) +
У {h“(X,Z)h“(Y,W) - h‘‘(Y,Z)h“(X,W) } ,
BPW
R(W,Z,X,Y) = K(W,Z,X,Y) + (B(W,X) ,B(Z,Y)} -
<B(F,y) ,B(Z,X)). (5.1.17)
±5£» М Й Gauss ЯГ®.
Й(5. 1. 16)ф ,« K(X,Y)Z ^^^(K{X,Y)Z)1 JI]
(K(X,Y)Z)L = у к VxA“)(y,Z) - ( VyA“)(X,Z)(f„ +
a
h“{Y,Z) Vx^a-h“{X,Z) (5.1.18)
(VxA“)(y,Z) =X(A“(y,Z)) -ft“(Vxy,Z) -htt(Y,VxZ).
(5. 1. 18)^ M Й Codazzi Л8- ^£51 TM®TL M
(VXB)(Y,Z) = VtB(Y,Z) -B(VXY,Z) - B(Y,VXZ) ,
Ш Codazzi ЯГ6 пШМаЖЖ
( VxB)(y,Z) - ( VyB)(X,Z) = (K(X,Y)Zy. (5.1.18)'
TLM 6 G
R^ (X,y)f = Vy^ - Vyx
6 ^(Af),w
(K(X,YU,n) = < Vx Vyt - Vy - V[i>y]f ,V)
§1 fwmm
223
= - < Vx4/r),Tj> + <VX +
< VyA((X) - { Vy V^,77> - < ,77>
= <Я± (J,y)f + B(r,AfW) -В(ЛГ,А/У)),77>.
(5.1.19)
(Х(Х,У)^)± = R" <X,Y)£ + B(Y,Af(X)) -B(X,Af(Y)),
(5.1.19)'
M Ricci
[Af,A„] =AfA4-A4A(>
iaij(5. 1. 19) вШМЗД
(K(X,Y)^,r)} = {R1- (X,Y)ts)) - <[Af,AjJ,n.
(5. 1. 19)"
1.3
ft M |ШДп₽£ lEfaM e,, - ,en,en +,, - , e„+, , ®$!)ft M
±Bt, [«J* et, ,e„ Д e„ + 1, - ,e„+p> M ftSfelM*. Й
e', -,,ТМ M sД
tdeA = - ^6»b л eB, el + = o,
в
deAB = - £01 Л ocB + фав,
c
ф‘, = |Z/‘.cX A
дф »; я »я*я
/'0Л=«\ Г01=шлв,
^OJftM±ftf,
«“=0. (5.1.20)
й£зт<ьг =/♦
£ ы“ A <w‘ =0.
Jg Cartan
= £A>\ Л“=А“. (5.1.21)
Й (5. 1. 20), (5. 1. 21 )& M ,1ЖчГШ M
224
d<ol = - У (я)1- /\ (о1, a)lj + (о / = 0,
( j
da)1. = - У (я)\ /\ (я)к. + £}.,
J ^,4 к J J '
к
d = л
z к,I
МФ
Л'м = - W)’ (5.1.22)
И № Gauss
<4 = -£<»; л + «;,
У
Щ = 4"ЕД>‘ л
z к,1
МФ
= К‘и + £(Л“Х -W), (5.1.23)
ТгЛЕД М fit) Ricci
й^(«;)?п(й>Р^Я!1ЙЖТ ГМ^ Т^М ГМ®
Гм О.М
гм®гм®---®т*м№$№№Ээ Гм®т* м^—§)Г м fit)
Ж (> +1)»
Шп,
S = S“<u‘ (х) й)1 ® еа
> ГМ®ГМ®ГМ fit)—&,DS > ГМ®Т*М®ГМ®ГМ
DS = S^ta* ® <а'® ш ® еа, (5.1.24)
МФ$“4ФТ5£Й£
Y 8“д(1)к = dS^ - £ S>‘ - Y S>‘ + S>;. (5. 1. 25)
M(5. i.2i)
Z(4л =0’
МФ Л“*ф (5. 1. 25) fitj^iusmc
h^-l^=-K°t, (5.1.26)
Д M fit) Codazzi
%№,m fit)IB-»^^MS«iW^^
§1
225
Я = (5.1.14)'
ВР*Ж5М*,У e ^XM),
B(X,Y) = к°а>‘(Х)а>\Г)еа.
fefait
H = -3-trB (5.1.27)
^МЙОЖ^ЙЖЙв.ВР
^ = V?B(€i’ei) = (5-1-28)
^ФЙЙЙОКЙ II H || Ш M ЙОЖЯЙЖ(ЖЮ) ,BP
II H II = дат = ( XA«)2, (5-k 29)
£^1®мйшзг , н з^йж.
2ШЯ1,в II В II ^^/^ЙОМ-ЙЖЖ^ЙОКЖ.ВР
цвц2 = <в,в) = £(Л“)2. (5.1.30)
££5.1.1
Х,м% н = о,»/)0Й'МЛ,м т>Н
ЖЖ-
Й(5. 1. 28)^П(5. 1. 30) ВРШ
5.1.7 м ЖЖЙО^^Д Л“ =0. м »ЖЖ'Ж
= °-
ер с ТР(М),РЕМ
М-ф 2 4 мР р Ю м $ 2 ЖЖ, Ъ й it р Я-5 ер
fts5.1.8 мР ±«ТЁШ#Ж> g ЖЖ#1$ЙЙ,Ш М 60
$ЖЙЖ КР(ЕР)^ Мр1£Р№ Gauss ЙЖ-
JEW Ше тР(мР) =EPcTP(M),^r%iiP№x:frfaMM
ЙОЯОЖЯ ТД,ЙРЙО4РЙУСМР. }ЕХМЙйМр±ЙЖ®,М*Д
у ЙОЙЙМ-
(vxx)P = о.
тОММр ЙОЖ-»ЖЖ^,Й(5.1.5)
(В(Х,Х))Р = 0.
ЙТ х 6М1Ж-Й, ВР£П
226
(В)р = о,
ВР МР ЖЖЙ1ДМЙ 2 Ш- -tiUt А мр Й Gauss Ай, BPt#
I
1.4
ОМ п +Р ^Й^И.^ЖЙ^ОСс. й (3. 3. 17) ,М Й
Й^ЖЖчШЖЗ/
K(W,Z,X,Y)
= с( (W,X) (Z,Y) - (W,Y)(Z,X)).
%ЛВСВ = С( ^ЛС^ВВ ~ длв^вс ) •
М ЙЖФАЙ(5. 1.17),(5.1. 18)Ш5.1.19)#Я1]$й
R(W,Z,X,Y)
= c((W,X)(Z,Y) - (IF, У) (Z,X) ) +
(B(W,X) ,B(Z,Y)) - (B(W ,Y) ,B(Z ,X)> , (5.1.31)
( V»(y,Z) - (VyB)(J,Z) = 0, (5.1.32)
(R1 (X,Y)f,V> = <[A(,AJX,Y), (5.1.33)
%$x,y,z,we e jT(m).
& 1ЕШ»Т, jbr® Й^
RijU = ё(«Л - W + Y (hW - , (5. 1. 34)
h“k-h^=O, (5.1.35)
= ^W-h;h^. (5.1.36)
Й(5. 1.31) ^(5. 1.34)®Ш МЙ Ricci
$(Х,У) =(п-1)с(Х,У> + n(H,B(X,Y)) -
^(BiX^^iY^)), (5.1.37)
R, = (n-l)c8v + Z(W -те). (5.1.38)
ЙЛМРШ МЙЯЛЙ^
p = n(n - l)c + n || H || 2 - || В || 2. (5. 1. 39)
«5.1.9 W+'(c)>^ft^c ЙЖМЖЖ,/:Мл-^М“+,(с)>
ЗД1А. %м й^-М«5£&Ж¥7т& II В II2«а,Ж М й«ЖЙ
51
227
с - ±-а Км + ±-а. (5.1.40)
яде й(5.1.з4),хшм»-^,<
=«+£(а:л;-(л“)2). (5.1.41)
Е(л°«л;-(л:)2)
а
=sy£ iw.)2 + (ч“)21 «у2,(л;)2.
L ад-(л“)2)
а
S* -у £ 1(Л“)2 + (А“)2 + 2(А“)2| >-yJ(^)2-
0т1Д , Й (5. 1. 41), (5. 1. 30)I
Й/:М"-АЙ“+Аё)»/ЖА,£М ЙМЙ$Ш£р^
п(п-1)ё-а,1Щ|МЙШ®ЙЖШ£(5. 1.40).
&W 1. 39)ft Н=0 ±ВРШ®.
Жт£2 й/:^М’+,(ё)>a/bSA,^ || В || 2 <±^,Я!| М ЙШ
м де Ricci ЙЖ^ЖЙМЗМГ#-
/Ёжтдельу ,шгие^®йл/:М-+л/ tu» м > м
де(йл)т«.
5]®
1. gM->MjtW§AfW,a:[a,6]-lfCMA С2 Й^'ЁЙШФЙЙЙ
«Л а ,Ж V • а , V . а ЭДВ(а ,<т <т Й&ЙЙЖЙ> Й$1ч1
а М^^Й$.«ЙЙ¥»ЙЙ$. ШЕ:
(i) &Мй^1й¥А^ТгёМЙ^Й¥А^&ЙЖ¥А;г?П;
(й) щ еаж^мйЖйв-^&йЖ1»]*±*А,тмй*к^п&й^к ±
кп = kcos 0;
(iii) а Й05МЖ^,Ж а М ЙЯШЯ Й^ <7 ft М ,ЗЯК
3 <7 Й^МЙЖЙв-^ М 1Е$.
2. VXBM Codazzi#®4t^(5. 1. 18)'.
3. ВЕЩ Ricci #8йГ«1Й(5.1. 19)'^(5. 1. 19)".
4. тЗМО^(5. 1.22) jfn(5. 1.23). i£BE:3 codim М = р = 1 Btf, (5. 1. 23 ) fi
Ж*.
228
5. i£ffi(5.1.18) 1.26).
( Z°-)2 +6,
WTtffa ;#/,«гтвйт^й:
2а;Яу S? 6/( n - 1) (i # j).
7. «Ж±®Й9^»^#,1«а:ЙМ-*М(с)*#Й^ё^|В)йПШТЙЕ^(»Э»
2) ,5g M P6MO
p > (n-2) || В || 2 + (n - 1) (n - 2) c + 2 ( n - 1) a,
5СФ а ЛОЙШД P,M №)^^^KM)P
(KM)P 3= a.
[ftS] B. Y. Chen & M.Okumura.Proc. A.M.S. ,38,(1973) ,605 -608.
8. йАммдздал^жкл
ttM X e J^M)WV^=O.ft'eWK:« Ilf II #0,HWe,(1 =f/ II f II •
&1ЕЖЖТ ,f ¥fif
|| f || = const. Д wf,, = 0.
9. ЙВЛТ«МЙ«»Й,^В=0,1ё ^lM),JBI«5M*W¥ff
SiEfl -,M
a;s = o.
io. леяал»хП®р|(л;).йй:гйй1еатФ
Т-АМИ
я“я^ = яэя“.
и. йя—е ^м),в(х,У) =<х,г>н,
JUJ^Af т£1Я:>Й^|1?1Й »(>2)«^ОТ«И*11Г|1|
Жй.
12. 1ЙТ^йЖ^*яй&АФ¥МЖ
л/Д<¥^¥ЙЙ$Йв. Ш£:йЖ§₽£1ЕЙ»ТЛ Д<¥^т¥^Й*ЙвЙ<1
£h“s = 0, М-ЙаЛЖ-Й-
[Жж] Эдй3й®8.
§2 iS ffi ®
2.1
1 М’-^М’+1^^ЯЙ15,'ЁДНШ^К
S|0j R3 Ф^ДЙШ^ЖЙШГ-
ЯГТЙ Й И мп, ШПйГ1Ш№йЖ^&Й; Й Ж® f
§2 gft®
229
B(X,Y) = h(X,Y)g, (5.2. 1)
h О21Ж(Й(5. 1. 14)).
<£,£> =l,t#
<vxf,f) =0,
BP <V/f,f) =0.
й% VЙ Й, X codim M = 1,ЙС<
V/f = 0. (5.2.2)
ШВ(5.2. 1)^(5. 2.2) ,M Gauss Weingarten
VXY = VxY + h(X,Y)t,
(5.2.3)
= - A(X) ,
A f) Weingarten
(A(X) ,У> = h(X,Y). (5.2.4)
Й(5.2. 1)^(5. 2.4),МОД Gauss
R(W,Z,X,Y) = K(W,Z,X,Y) + h(W,X)h(Z,Y) - h(W,Y)h(Z,X),
(5.2.5)
R(X,Y)Z = K(X,Y)Z + h(Y,Z)A(X) - h(X,Z)A(Y).
(5.2.5)'
ЭДЖ(5. 2.2),^fnW
( VXB)(Y,Z) = (Vxh(Y,Z))g.
TД ,м Й Codazzi
Vxft(y,Z) - VYh(X,Z) = (K(X,Y)Z,^, (5.2.6)
(VxA(r) - VrA(^),^> = <K(X,Y)Z,&, (5.2.6)'
ЙЖ VX4(K) = VxM(r)) -4(^7).
(5. 2. 2)^(5.1. 19)'пГ^П,Й0|Л/ Й Ricci
§1.3 0f^Wffi5&^iE^W,Wen+1 =£^ЙЙШЙШ
«ЙМ. ТД,1*ШТ(5. 1.22) ~ (5. 1. 26)
da)1 = - a)lj /\ a)J , + (o\ = 0,
j (5.2.7)
da)} = - ^(о\ N (Dk. к Z k,l
Rijki = Kijki + hik hji ~ hahjk, (5.2.8)
^ijk ~ hikj = - ^+1, (5.2.9)
230
ЙФВГ 2. l)^ft h(X,Y) пгайй
h = ht]u (х) <J. (5.2.10)
ЙЙИЙ-^»ЭДТДФЙ^«ШМ"+1 J)ft&^aM(M
Ж-$, §4.2) »„:ЭМ-^М’+1,}ЕЖ> g #0S!ldM ±,&
^он^$о«,«1(гл^шиа(МйШ)й
3.4.2 —
Green ^Ж-
« мл+1
ФЙ®О^ЕЙ^|е1,-,е.,е»и| ±В},е„ + 1>
§4,д®8),АИВЙ>е,,-,е.
ЭМШЛ. i£I*>', - XXй I Лл+| ftft
Жх(&ЖТ м Й-Ф£ й) >
dV = ш Л - л ШЛ+1.
ШЮ№<ЙЙ ±ftf ,шл+‘ =0;iiBtdM ЙШ^ЖЙХ tb^(2.4. 8)^)
( - l)"*1*/ л - л a = ( - iy+ldS, (5.2. 11)
ЗСФ dS = a>1 A - A и ШдМ ft Й
Й^>1ЙЛ+1Й(Й.$)|в1М,ЯЖ^^
X = XAeA.
^gM = <eA,eB} =8ав,&ЪШШШ№Я
Хь = ^ХлшА.
ШЛ(3.4.8)',
i;alB2X№ л - A w'’-.
B2 < " <Bn + l A
^Ю1йэм±в^,йТ <«"+1 =o,t&
(•X‘)aif = ( - 1) "( (ЛГ,еп+1 )<u1 A - A uy*.
SIAdMft^WHfelnJM^^ -е»и,МЙ(5.2. ll)t#
СХЬ))В = (X,p)(-l)"+1<ZS. (5.2.12)
ftA Stokes ^(3.4.14)',-g<
[_(div J)dV =[_(’X‘)eff = f_(-l)’+,(*^)«
Jm J дм J дм
= J _{X,v)dS.
Sltt,^S3.4.2 ft£-#>5£M
§2 gffi®
231
«5.2.1 йм"+1>п+1
дМ,р ^дМ йМйт X д г*ШйММ
f jdiv X)dV = f _(X,p)dS, (5.2.13)
f (If)dV = f_^dS, (5.2.14)
J м J дм dv
й Ф Д Ш r *1 Й Laplacian, Ж f ft v Й ft %., BP
dv
= (grad») | 9ff.
ШМ( Green £-j£) i£ ЛГ+ ,&1« 5. 2. 1 ^,f,h e С" (M) ,JplJ
[_(h^f-fKh)dV=f_(h^-f^\dS. (5.2.15)
Jm J эм\ dv dvf
iiEW
Д/ = div (grad/) ,
XeTfaMA(grad/),sfc<
div(A(grad/) ) = (grad h,grad/) + h&f.
WW,O(5.2.13)U
f (grad A,grad/)dV + (hXfdV = [h-^-dS.
J м J м J дм dv
f (grad ft.grad f)dV + [ fAhdV = f _f^dS.
J м J м J эм dv
iB^2(Hopf®±jgs)
SERB «/e С2(м),д»0,ер/ДТ^?ПЙ»йй:»0,фМЖ
Д7=/-/„^^/,ЙЖ» =mm|/|.
-|-Д/2 = ( grad/, grad/) +/Д/»0,
WSlW.MSiJdM = 0 ,ВРШ
0 = j_ || grad/Ц 2 + |_(/ДЛrfV > 0.
И Й » 0, Д» 0, ± э£ 0Л Я № grad / = 0, BP / = const.
232
МЕЖ
а д/>од/^о&
Ф®аЖЯйШГйРЙЖ1У.
2.2 ± Й Ж
ж м > м-' йш й® 4 > м awmfe йж , й^ж 5.1.6, ^йи
Weingarten $& А > М ЙSИЙООМ& &§ДЖМ
р ем,Ж|х1,...,хя|> ЛЛЮЙ-ФЖЛУ »х»ТО(хРх,.))Д
ХОШ SHt,£ Тр(М) 1 е.|
А(е()=Ад, Л(е(,еу) = АД, (5.2.16)
ЯФА;=ЛЛР)>£Ш»А£РДЙ1МЕЖ,ВР£|$(Л(^Л/))р Й
Шь.О,£<Я Г,(М)Ф£Й1Ш£
5. 2.1 Weingarten А&Р AS^fE® Л; М * Р Д
Й±Й$ЖООЙ е; М±ЯЙ,а; ЙЖ$М1£±Й^«)
Ж&.
^Ж й ±3гй е; я е. ,Ж КР КР #glj
аж м #| М" + 1 й р АЙ5«ЙЙ^, Ж Й Gauss (5.2.5)
(5.2. 16) ,ВРШ
КР(Е^) -КР(Е^) = Л(Л,. (i^j). (5.2.17)
±5££»й¥«® 3 п=2,м3 = R3 В^ЙЖД-Й-ДЙ
Й&Ф Gauss Й^б^ЙХ-
Й(5.2.16)i£nT#
trft = л;.
Sift, W(5. 1.29) ,ЙЙ® М 6W$ft»«Й±Й
BP—tr h.
п
ЙА,(Р)ДМ4Р е Кйг!±|11|$,т^
АДР) = Л2(Р) = - = АДР),
М Л, (Р) ® Er(Р) С ТР(М) > г й. Er(Р) ф{ЕМй
М<±^Й,^»^ТАДР)й±Яй£|в|. ЙЙШР е м,хг
^МгЖ^.ВР^й^л, йЖ1№м±ДМг,»ЙЙ±тГЙ$|в)
ЙЙМ±Й-фгШ(^-#, §2)
^=Uf£r(P),Er(P)crp(4f)>^TA1 Й±ЗГЙ£|в).
ЙЯ5.2.2 &М" + 1>^Й^£|в1,М> ЛГ + 1ЙВЙЙЙ®.
Й±ЙШЖ« м ±*М,Ж«Ф±Й^ЖМЙЙ±Т5-Й$|В)^Ж
§2
233
ПЕНЯ ±йМ.Й£лг+,ФчШЖ
M^jE^»^,-",*.,.^! ,®ШШ₽М«ЙЛ/±Ве,е. + 1ММ
sfitoftk.-.d > м й±^гй. j&rttimofiio
,-,ш,ш*1} Юй М ±Bt,
<un+1 = О,
<’ =А;И‘(«^), (5.2.18)
МФ л( > М ИФйЖ.ММйаФАЙ^ ег ЙГ®1ЯЙ#ЙЖЙШЯШМ
00[19]Ш5.2.18)тЛЙ№.7)»
da)"+l = dx, Л ш‘ - Л(£ю‘ Л а/. (5.2.19)
Я-ЖО’*Ш№йШ^г*Шт(Ж4
м ±),
<йа"+1 = - У <w“+1 Л <w( + сй>"+1 Л <w‘ = - У, AjO)1 Л a/f.
ie^RA(5.2.19) i
dX ( Л ш' - У (Л; - Xj) <i>‘ Л ы1 = 0,
ВР
(5.2.20)
МФ
^.‘ = 8Х - (Л. -Лу)ш', (5.2.21)
Й Cartan Л1Я, (5. 2.20)
= ^=А*г (5.2.22)
Й(5. 2. 21)Ж5.2. 22) ЙЯ£-5£, «ГМ
Fiit = Fjik = Fikj = Fkji, (5.2.23)
вр ВММ»
ДЛ, й (5. 2. 21) х, = Xj Д i*j 0t,% =0, Hjtt
Fvi=0, У X, = X^i^j- (5.2.24)
ж&фй^л,
А] = - = Лг.
д ssr й£ иmiwiv,
В£:
1 С a,b,--- С г,г + 1 сг,т,--- С п.
Pfaff
234
О»
ш’ = 0. (5.2.25)
Й(5.2.7)>(5.2.21)^(5.2.22),ШП<
Л»' = - £w’ Aw + (Л, - Л,) ’* F^m' Л аЛ
г a,i
(5.2. 26)
ЖЖ(5.2. 23)^11(5.2.24),
X F™<°' л <"“ = X Р^ш Л <"“ = X F™(,,Z Л <w”
a,i a,i а,т
= X F™ ш' л ш°
0Й,(5.2.26)$й
daf =- £а< Ла,1- ^(А., - Aj ’F^a/1 Л а/.
dtf =0 >(5.2.25) Й Frobenius £Я 2. 3.7,ЗГ@*§.
(5.2.25)>^ £пШЙ,ВР#М ДЙШЙ. I
1 2. 2 ЙОТ,^ Г>2,Ж А, й GWWJHIt
ЙЕВД й(5.2.21)ф^/=; = а,Й(5.2.23)^П(5.2.24).
dk = V F к<а + У F ы" = F ш° + У F ш’.
1а aabw aacr aaaw аасг
dX„ = FMa>b + Y F^of.
S3/ r>2,A« =Aj =А1,ЙЙЙЖз£;Ш
F =0.
aaa
ДЯ0 dXt = ^Fila(aa =0 (modffl' =0).
££.5.2.2 ем,м йвф±й$
mP Ш M ЙШД. м ,деж М д М"+1
й£й5.2.2 врш.
#Н£2 ' п( >2)^®й£М£ЙЙ®ШД#Й
ЙЙ®Й±Й^Ж^ШчГ«ГЙ^ЖВ±. йР
ЙТЖЖМ° |0]Ф,ЙТ»р ФМЙЖ и„1,п +1
а,0*£п +р. а, 5. 1. 6,£„ ЯШЭД Weingarten
А„( =AJ ТД 5. 2.1,
$2 ЙД®
235
Й±ЛЙ.
gnW$A“ £Т£, ДЙ?&
тх мм-«йШЖ £ м£ТМЖ®ШЙ£&>ШШ,йт М %
ЙЗЁЗГЙ^—ЙД ОД±#Й, Slit ,М?
опта, йж£ёй-Фгам,№^&ай£|нш-фж 1 е; । ,&<
Ф е; £, Й±^Й? Ot.O/r &ШЦЛ‘(м)).
ЮФОг#£₽£Я“ й1й,Ш|’1Э1АТЯЖ&.
5ЕЯ.5.2.3 &Vx>^«tB M’^rW^OOMW
ЖЯХШЙ£,ВРЯХ(АГ,Г) = 0, VAT,r е ^М),Ш!|^^Ж^Д¥ЙЙ<1,
!«М"
М,©Й®де&Ш#Д а*чПШ^±®ЙРШ.
£Я 5. 2. 3( Cartan,Е. ,1946) & Мп ДЗГЙ$$|н1 М’*р(с) М^Ж
Д№ М" SW£0rW Н“ м"
ЖВД !Й1?Й ^*Ж^₽^1ЕЖ!еЛ е тм,ы^мп
Я^1^адЯ1{Ь,ВР#Ж<а,
Аа(е;) = Л“ем (5.2.27)
«Ф Л“ Д М* Й±Й< JE±^A(5.1. 33)М
<ЯХ (е;,еу)^,^> = 0.
ЙТЙ^»^ЯХЙ9^ЙЙ,ВР^ЛХ =0. ЙЙЛ" ЙЖМ¥М.
ЙМ" й&&Д¥Жй,ВД Ях =0. ЖЖ(5. i.33),MTIf
МАГ,re TM,^([Aa,Afi]X,Y) =0. ЙТ АГ.УЙШЖЙ.Й^-Т
AaAfi=AfiAa. (5.2.28)
^me-Д Р ТР(М) Ф#*£)Е
Ж|е(| ,&(5.2.27)Й±.)1фТ00а,Й(5.2. 28),
АЛА^) =Ар(Аае{) =Л“Л/е£). (5.2.29)
й
Ар(е;) = ^^еу,
ШЙ(5.2.27)^
Аа(А^) = ХЛК(«Р =
AM/eJ = YA“h'er
236
ЮЖ »*73№
RA(5.2.29)ama,'g*f
£ (Л“ - Л“)Л*е,. = 0.
Й le.|
(л“-л;)л?=о (5.2.30)
%Л“ &Аа йтМ!1Й(5.2. 30Ш
= о (I # j),
ВР е;
£л(1 =••• =л;>4„ йгЖ«,МЙ1%,-,ч13К^Й^$|5| яс
ТР(М)&Аа Й±^Г1р1Й1'н]. ЙТ(5.2. 30),&М<
= 0 (i = ij , ••• ,ir ,j ij ,••• ,ir) ,
тд,я^#т&₽$
Я" = (Л')
Л?А = Л* («.,«.,) ,
ФЙОЖ eit,-,eir,^ r
ЙТ£,ДАО ,-А{Ш.
Й»«ЕЙ1. Й#,ШГШ£ Е, eit, - ,е,, МРШМ
A.ffiA, ЮтЕЗгЙ.
Ш1Ю£,ЙТ(5.2.28),ШПчШЛ“ *ПЛР 1*0ВД)Ш4Ь
ЙЯ“ 1*0йШ)Ш4Ь. I
2.3
m и w д п +р к s га Rntp, х rb+' ю д (а )
Шйио п М so RB+P
л. fjbwftis per й R”+'*amsiBi>. rasim
Мадд х аж ArcR’+'ft&sioj*.
Ж R"t₽ £ ЫМ 1 ej Ю1 * М ±и, 1 е>. I jg М ffl
й. МТ R"+₽«J^^@,^fn<(#^(5. 3. 1)Ж5. з. 2))
rdx = ^ел,
А
^вА = V &AeB-
JE'BfnOJ* Мя ±,ЭДД(5.1. 21)
§2 ®Й®
237
- de. = 6t/e; + ^h“jO)Jea, (5.2.31)
j j,<*
de = - V h“.o)Jei + V 0)fiaeB.
a ij i a 0
j,i 0
(1 i,j,"' n;n + 1 a,0 n + p)
ЗШ M p = 1, BP м^”+,Дйй®. Й М ±Й^ЙЙ
Sf = <*,en + l) ,
M M Й Weingarten
Д#ШЬЮ.
#«5.2.4 Йг^"'1Ш4йЙаЙЙ,Я<ИМ^®Й
Weingarten
тЛЕВД гй'ЖМЙ.ТИ^.
I ef | M № ±2T|B] £ 1ЕШг, BP
4 = лд,
ЯФА;ДМЙ±Й$. ЙТ
sf = <*,e„+i) =
Й 0 = (dx, e„+1> + <л:,</е„+1> = <x,</e„+1>.
flJffi(5.2.31)W^H^,±^^
A;(*,ei)<w* = 0
BP
AX*,e;) = 0.
ЙТ А;/0,О(х,е,) =0,ВР{Йв|в]Жх ДМ ЙЙ?ЗГ|°]. TM
d(x,x) = 2(dx,x) = 0.
ВР&аййжйО^Л. й&мд R"+1M5£®lft-3₽#. ЙТМ
Ж^(Й , ШПЙЙТ идол ТЯЙЯ.
ЛЁ й 5. 2. 5 ( Liebmann-Siiss ) & х; Мп R"+1Д Ж Ж £ Ж Й Ж Й ©
йй,г^мтй$,л^йй Sz*M±<@£^-g-(lE«£
й) JIJ м ^Д п «ЙЙ«Й;ЖОМ.
ЙЕВД Й»ЛМШЙ1Л5( = (*,е(),М £5ЛДМ±ЙТЖ
Й1Й. 1«ЙЙЙ,М(5. 2. 31)М
У S^-to1 = dSt - У Sjto'i = У (3iy + Sf h^a1,
J j j
й у Su = n(l +sfS),
238
М361Ж
W'P 9 = v?‘-
д м £ S“ ±5ШЙ1^Я-,ЙЖ Stokes £
я.шг
f (1 + SfH) *1 = 0. (5.2.32)
J м
ui = Y,h4Si = Х^*’^’
i+WfaM ЙШЖ:
i
иу0)]~— - dui - UjCD^
j j
= Y(dh^sJ + - х*и
j j j
= ^(dhij - У hik^ “ У hkj0)ki)Sj +
j к к
X h4a>1 + X Sfh*h^
j j,b
= X < E + Ч + X SfW^’
j к к
Хи« = Xs^ + n# + s/X<M2-
i k,i i,j
Й(5.2.9)^^Ж^Я = const. ±i£4t^
Xu“= n^+sA x^)-
Stokes/ggg.st^
^(n^+S^^)*1 = °- (5.2.33)
1J
&(5. 2. 32)Яё n ^«i(5.2. 33) ,-g^
/^(„й1 - ХЧ)-1 =0.
ЙТ sf ft М ±Д^®Й^,Й±5£ЖЙс#
п^-ХЧ=0-
Ч = лду,
я«
J р
I 1
§2 ЙЙ®
239
ЧГ&ЯИЁ Л] = Л2 =••• = Л„=Л. 5.2.2 л = const,
(5.2.31)ЙЖН^/Й^
den^ = " Л X Ш в‘'
% R"+1Й Й Ж Ах + еп +,, й
J(Ax + en+1) = Xdx + Jen+1 = 0,
BP Лх +en + 1 Д—
Xx + en+1 = a,
^A =0JljM Д£Й!|Й®Й® Sltt,A^0,TM
BP X - у = 1/ | л I .
1/1Л1Й пШ#Ш±. ЙТМ
Яй Et,- Л„+1Ж',+1Й-Ф®^Й1ЕМЖ^(®Г-^Д^Шт
Ш.К"+1ЙШ®ЙЖ*
х = ^ХЛЕЛ-
тд.м
= F^,-,xJ (5.2.34)
Pi=^j ^о + Х^)172^1-
®Й® (5. 2. 34)
е»и = XpA-f.J-
ТД ,ЙЙ®(5. 2. 34) ds2 h
ds2 =^(dxA)2 = (</л:;)2 + ( V Pidx^
A i i
= ^8vdxidxr
8ц=3у+рл>; R g11 = - ^PtPj, (5.2.35)
h = - ( dx9 den+l )
= - ( X </.,£, + dFE.„ , - 4|)£..,)
240
МЕЖ
= -
= X (Mv)-'(v))^'
= =--^X st£-*a.
Silt,
=-?£(» (5-2-37>
ь У 4 V Л Dti = -^-,
i dx* dxt 1 dxidxj
tr h = - n H,
Ж
(1+ |pf|2)af- J (о;П(о/)(о,;п
ij
= пЙ(1 + |DF|2)3/2, (5.2.38)
хф i^i 2 = x (дл)2 = £?2.
#S(5.2. 38) ЙДЙпт Й
fl,mOlW(5.2. 34)^®/Ь@Й®Й^Ж>^>Й^Г
Х^1(1+ I df 12)"1/2О^} =0, (5.2.39)
й ® л а.
££5.2.4 G
М (w)sМ * р дх Г») а ю. М ж> (г*&)
а й, м м ш (?= &) д j@ й ®.
ft R" + 1 ф ,М й Р п Ой¥йтР(М).
м ы р(г^) две ,* р ms м(г&)шйтйй¥® t„w де-
in. Ш^±ЖДРем,адйЖК,иШ^О(*„-лли).
S2 Й ДЖ-
241
й <&„+1(Р) =0 й р It®,М пт
(5.2.34). Шй,йР<<*Р(Р) =о,вр Р Д М ±й$с F Й
(5.2. 36)$п,^м ОДЖ-ЖФЖ^йР¥<(<)£В},Й1^ &P&SIJ
Oftt(zl9t #fK*P|t®,Mfl^ родалллю&т т„(М)
Й-М Й#,-Ф(Г^)ДМЙ®ДДпГЙЙЙ.
Й85.2.6 ЙМДК’+,Ф^ХЙЙ^®Й«|Г^ДЙЙ®,^М
детейЗ^Ос.ДОм&Д®#®.
ЖНЛ МТК" + 1ЙШЙ®,Зг@(5. 1.33)Ж5. 1.34)4t^
R1U = huJifl - huhjt, (5.2.40)
h*~hikj =0. (5.2.41)
Ж Д ^75 м h й Laplacian, Д!|
уД( II В || 2) = 4-Д( У Л2) = У + L (5- 2- 42)
Z L ij i,j,k i,j
к
У hijH^‘ = dhijlt ~ Т Л|Лю' - hilta)‘ - У Aiyiw'.
(5. 2. 41) VAR Ricci
У ^iju = У. = У ^Ы1 + ЬцКщ + У кы11щ
к к к к,I к,1
= V, hkkij + У, (hhRlkjk + hklRlijk).
к k,i
= (^u^ikjk + hbiRujk) ,
JE^RA(5.2. 42) Л#
уД( II В II2) = УА2* + УЧ(Л,Д1Л +ЛЛ)- (5.2.43)
ЙМ л; Аз М
Й±Й^,Ш(5.2.
^^^i^ikik + У ^i^k^kuk
i,k i,k
= у (л2 - лл)^о = т1(А. - лрч,.
йй,
уД(||В||2) = У^ +уУ (л. -Л;)2Я1Й. (5.2.44)
242
ЙТМ >Г$&ДЙ<ЬЙ0г£±Й*Л( jlfcBt (5. 2.40)
Яда=Л;Л,. >0 (/#». (5.2.45)
Й#,(5.2.44)Ю#Й>МЙМР II В ||2 Д М±ЙТйт. ЖЖ
£Я5.2.1 6Шт£2, || В || 2 = П. ТМ,(5.2.44)£Й*^,а^Й1
GW-жад^. 4?ЭДД(5.2.45),рЦ*и( =Л;,ВРМ
жжжя 5.2.2 2 ыв. м то&д r"+i юйяш#
Ф1?-Э®2). |
ЖЖ(5.1. 38) М Д<»¥^Й^»ШОЙЖ,И II в II2 =
м. 5.2.6 де-ФД
JttM к-^ФХМ^^Й^^^МЛЙ^ЙГЖДЙЙ®
МОЙМ#.
ЖЯ 5. 2. 6 nTWft-Й-Дде Liebmann )£ЯЙ<1Й^ЖГ. Л® A. Ros Ж
Ш: Й М Д R"+1 ф ЖМ№j£1ЙШАйЙ Ж, М ft*Ё* Й&
5Ш
1. &М—ЛГ“Я£ЙЙ1ДЙШ,11ЕВД М
V*Yfrfi9.
2. жмД^ИгЛИ,Д!1 м
ЛЬЙ9Й¥®,^ЛпШЙзт
[ Й/К ] Kobayashi & Nomizu,“Found, of Diff. Geom. ” ,Vol. П ,p. 30
3. Й>‘1(с)*Я'ЙЖсМ«§Ж^,М->*1(с)ДВЙ^^ЙЕет81етйЙ
® ,n>4
(i) £ё=о,жм
(ii) ?^о,дмт#$й,Я
М" = S'^cJ x S'2(c2) ,/, +12 = n,
дф s"(Cj) ,i = i .г.адя'й^жж-.адай”*' cv
4. ЙМ"(П?4)ДМ$515|МЙЙ. ftffixM’ ^Ж8₽ЛЖ¥ЙЗ?««1Я
т#*г$^»-и±й$и.
5. ЙМ ЙГ*‘Й<|МЙОЙЙ,^3,^М *<#»Й®ЙФ*,М**Ф$1
Й, И® м j£*fflY® ,^дя«®.
6. gs-'iB + i Ш*е«®,мм«’“й9кйлйй<1й»йй®,гм
й^яоса м й«®й^й .и м п 4® я£® лд® а«йв^® юят
[ Жж] Nomizu & Smyth,J. Diff. Geom. ,3(1969) ,367 -377.
§3- ШФТЯЕ»
243
7. д^’“(ё)й<)й&^йй?1йжала
ЙЖ.'ЙЙШЙЙЗ^Ж».
(i) Й9 Ricci
(ii) % с <0 Й м йШЖйЖйЕ, WIМ Д£Й?ЛЙ9Й«®.
[й)к] S. Т. Yau, Amer. J. Math. ,97(1975) ,76 ~ 100; 1Д Proc.
Symp. DD2,341 ~353.
8. п(>4)^^#ЙЖЙ<)Й
ЙЖ,« M ,JW Мйьл n
Wim
9. ЙмдН",ФЖЙЖЙЙ9&ЙЙШАЙЙЖ.£Мйт*й$**»,Я1 М
[Ж^] A. RosJ.Diff. Geom. ,27( 1988) ,215 -220.
10. iBR’*2 =Rr*' xR,’1,r+s=n.R"’2^tfWft>f= £+&.
ЖФ& еГ‘,£2 g Rwl.XtT^-|S]*4 = 41 +%,©:КЙ^чГ#Л¥й:(£,ч) =
(f.,4,) +(f2,42).®^S"41cR”*2<^ffiSAMft#fflS"414’W«ftffl,J<liJM*
А = + ^2^2» а1 + a2 = 11
Xtf, G R'4lffif2 e R^WWfa*. ЙЖ;М№^5^'Й@ЙЖ,
(i) M Й5Ж(5А&Й*йГ*^е. + 1 = -«2fi +«^2;
(ii) M
- <dX,dentl) = a1a2(<^1,^1) -<«2,<^2>);
(iii) MWWO
= °1 I <^1 | 2 + «2 I d^2 12;
(iv) МЗШ/ЬЙЙЖЙЭЙ^НФД
Clifford ЙФЙЙЖ-
§3*
3.1
й M n n +p Д WSA. lEJffl
ФЖ § 1. з J5Itj£,££1ESWF,M dv„ =«* Л - AM
Vm = 1м^м = 1мШ‘ Ь "' Л Ш '
м 1 = ( -S,e) ,S >0 F..M х 1^М
(9T‘S) '”0»DX
+ {Л V - V I+,ro V t-,w V - V ,%»,.,(! - ) X }ИР =
jp
(„m V ••• V ,w)y
(st-s) \m м - v wm v > v ,> v ••• v ,wX - = ”0
ФМ
“jg»°X v »?=
‘ { Л V - V I+.w V t_.® V
••• v !%»!-.(!-) X V »P + Л V - V tm}p =
rg>Um‘(£T-S)Y^(!T
(IT ’S) \0 м - v w0 О V i-,0 V - V X - =
ФМ
(ET’S) (’U V »^X = (J VV t0)P
(ZT'S) ‘y»p + *p = p
Pi^'T/xw^W
0 = 7 (v *"7 \
(VX )Ж1У
0=i rot
» + > = 'B0
(ITS)
’P»» = Ю0 iP,V + ,m = ,0
!£WWB‘£0T(w)’./W
‘7Э
Ч^к-ад/^Г/[‘>±
•/= ТЖУГ(i‘d)j= (<1У/№ |,|x"iJr= э ja‘ (d)f= (o‘d')j
¥#‘PI x w 5ГО1 d(! Э i OMOWW
we
aiM
§3- «t/ЬТЙЕ®
245
пл°) =(т- ( *>’ л - л и")
\dtJnr I <=0
= f + [ ^(-ir’aV л - л
j М a J дМ i
ю’* Л ft>i+1 Л - Л а>", (5.3.7)
Й11ЙИФ^ФЙЙ1Ж t =0 ЙШ.
№PEjM,a‘(F,o) = 0,&Ж£,^$ЙЖ?&Й1#5М тм
(Й1М^),Ш(5.з.7)й«|Ж^Ж-^^.^,«5>^Й^дМ7р
W) =-£Х«“(ХЛ“)^, (5.3.7)'
ЙЖВЖ(5. 1.21)ftAt=0Hl&(5. 3.5). Й1Иад,М{1Ж№ а“,^-
ХА« = 0 ’вр м ЙТ^Й^ЙЖ ЖЯ
(5.1.28))Ш Й£. йй.шпа
ЖЯ5.3.1 ЖЙ»И/Ь^ЖЖ1ЙМ#И:£±#;Й:ЖЙ
^).
jHs , BP*&# Н=о Т 3+W
г“<0) = (f?Vл -л “)!...
^ilt,^n^M(5.3.4)W^,^ffl^^,W
- <tna = - £ £ л е1 л - л я7’1 л л 0Л1 л - л
i,P j^i
е'1 л еа л ei+1 л - л е" +
X л ^ + £ л е1 л - л е" +
/3 0
(5.3.8)
ХФва
(5-3-9)
'ВЙЯ'НЖЖ М КЛВСОЖШ£.
Я-2г®,JE(5.3. l)RA(5.3.4),^n<
Я = @а + dt л фа.
(5.3. 10)
246
МЕ» ММТЯЕ®
Фа = X (- ОХ" Л - л «Г1 Л X1 Л - Л й +
i
Z X (~ О'ХХ л - Л X1 Л X1 л - л
ш‘ г Л®’Л X1 Л - Л а>". (5.3.11)
М(5. 3. 10) Ж#,
д@
dtia = dM&a + dt h—^ - dt h dM<Pa. (5. 3. 12)
at
JE(5. 3. l)ftA(5.3.8)
-d(la = -dt A ( Л Ф, + If'J+XM, (5.3.13)
n
к = - X oX"' л - л ""+
fi
X X^"1 Л ш>A «j A X1 A ••• A
>,P j*l
X1 A a>“ Л X1 A - Л ш". (5.3.14)
JE(5. 3. 12)ftA(5.3. 13),&^МЙ<|Ж1£,^
= ЛмФа + X Л Фэ + (5. з. 15)
ШМ(5.3.1)ЙЖ-^Ь^,^Ж^М?П(5.3.1) ,O
dMa‘ (5.3.16)
(5. 3. 15)Ж5- 3. 16) ,^йГН-^
-( У аа0 ) = X —+ X а“ —
д1л dt * dt
= S vgf-+,i'(S“'4’-)+ +
a а а
X («X - Л ф„. (5.3.17)
i,a
^Н=0 ttf ,@Л=о =0. ЙЙ,М(5.3.6)^#,ЭДД(5.3. 17),#^ t
=o,»hW
V”mW =[ { —X (- 1)‘"W Л - A Wi_1 Л X1 Л - Л w" +
J эм I dt
X а“ф«}+ / {X <а%“ - л ф«+ X
« J J М i,a а
(5.3. 18)
§3’ «t/Ь^ЙЕ®
247
а‘ = 0, аа(Р,О) =0, VP е ЭМ.
ТД,«=О0^,<
Фа = У «“й»1 Л ••• Л <w ' Л й»‘+1 Л ••• Л ы",
i
У«“Х =- У (^+^)а“а^ж,
« а,/9
^=Ф$. (5.3.19)
з. is)
П(°) = //^(а")2- y(^+a^)aV}^„. (5-3-2°)
Д(5.3. 16)дГЛ,ЙМ±(ВР t=O)W
У, а“а)' = daa + У afia)p.
Ша-т^ЛА =
У a^a)j = da* - У, а“о>' + У^ а^Ыр-
Й Laplacian Да“ Д
Да“ =
<Л,ДА> = ^а“Да“.
ОЖ-^пГШЕ
d{ у^а“а“*а>1) = ( У7 (а“)2 + (Л, ДА) }dvM. (5. 3. 21)
i,a i,a
йй,
jM{ У (а“)2 + <Л,ДЛ>Р»Ж = а“а“ * ш =0,
La“ =- Да“ - У +а^а\ (5.3.22)
М^-Ф^^(5. 3. 20)ЖМ^Г
Гм(0) = ( (LA,A)dv„. (5.3.20)'
248
ms»
TOl»)W = ^ааеа^В = ^b°ea
А I ЭМ = I ЭМ = 0 >
пйбжя
If (А,В) = [ (LA,B)dvM. (5.3.23)
J и
йй
1( АЛ,В) - {А,ЬВ) ]dvM = d{^(a“ba - b“aa) **/}>
i,a
ft
If (A,В) = If (В,A),
ВРттЖ^(5.3.23)>МЙ.^]Д(5.3.23),^-$^^М^
П(О) = I, (A,A). (5.3.20)"
йя^йж^л я в
(Л.В) = ^(A,B)dv„ = fj£aaba)dv„.
£3 5.3.2 ^C;(TLM)^ M
'Ё1Г№й#эм ±ta^. йО^(5.з.23)> с;(Гм)±йож^
A, < A2 < ••• < At <•••—► 00.
££5.3.1
ж м wtsft. о м й«|»й.
s"^s"+?e<jot^ р-,шз P(n + о.
4OJД n = 1, ВРЙЖ^ W1f a, Й1ПW o-^ = о; (5.3. 22)
Laa = - Да“ - X
fl
ЙЁ^Ж^Д fasti W^£3( #P Myers £3ffi, Synge £gg, Morse
££ 5.3.2 м 0,» M МЙЖЙ
^^а1й.й^ййй/1^л/:^й«^о(^®ж)й.
^(0)>0;
й±,^й-ФФ^|цЛ:Л ес0’(7’хм),'®//(л,л) <0ЖйТа£
Й5.
а ^^л/д^жм!сй<1Л!1^ж*^ж^±жйй1р]$^йй. т
§3-
249
ant, м йш^й.
3.2
ФТ^шьяода^й^га Rn+₽w-i#a. w* §2.з мдм
$£,ЯЗ х:м"*^ж М й^ййА, Ж М Й R"+pфО1ЙX
^Ж-
«а = £аЧ Д К"+РЙ-ф^Й*,£АМАТаЙЯ£ЙЙ
А
ср = (а,х).
Т>,ЭДЖ5.2.31)М
У (PiCi)1 = dcp = (a,dx) - ^^ala)l9(pi = а1;
X <р^ = D<pi = d^ - £ <р}ы‘ = У a“/i“wJ,
ДЖ М ±gg$fc <р 6<J Laplacian %}
= х^ = ХА“°а = п('а’н'>’
МФ
я = тХ^«
Д л/^т+₽И¥±ШЖЖ>. ЙЛШ
М 5. з. з |SJ Ф WS АФ« м М
ЖЖ НорГЖАЖЙ.Ше
Жт£ ®(К$ИФ«йОсЖЙ№ФФЖЖ.
Д(5.1. 38) ДЖ/МФ^ФЖ/ЬФО* М Й Ricci
R. =- ХВД;,
Р = - II в II2-
ЙЙЛ Й<г Ricci
Д М й£й!1Й1Ф£га. Й®»©:Йй|0) ФЖФФЖЖй йМ
^&{ф.
R3 ФЖФЙ®Й$М& Л^ЖФФТЖЙЖЖ Plateau Ж® :&
R3 Ф^-^йГ^-ЬсЙЯ jordan й^ г,fg^^SIJ-&&. г
ФЙЖ? ЙФга^Ф Rado Д Douglas(1931 4₽) ОД?Еffl ЙШЭ1
МД:.^ЖЖ№^йМзлЙ^^,й^Д^Й®ФД»А.ЙЭ11970
250
МЕЖ
¥,?ГЙ OSSermanffiBJ3TJ^rXM&M^M№,BP^£W#±
ОШ1(8. т. Yau)^XS^TMBtSA$^«AWHJ®.
о®йшй. йфо
Bernstein £S:R3 Й ® (Ш/Ь® ) £'>¥
®(#^[14] ). Bernstein |адЙЙ^ШГМ:&/ЬЙЖЙГ@(5. 2.40) де
ймв(врм—йх,,•••,%„ ж<йя)дф>^ййис? йФгадде
Й de Giorgi(1965 4₽)ffi#;n=4 Й Almgren
(1966 Й Simons(1967 *₽)Ш#(#^[ И ] )• ^А^ШЙ
n>8 fft, InJJSiSti (Ш^^-^Тд^де. ЙЙЙ Bombierijde Giorgi Giusti
ft 1969 4₽$£-;fOlJ де [Inv. Math. ,7 (1969) ,243 ~ 268 ].
тш^Ий-Фштют
lfr®5.3.4 ft к"ифЙ(5.2.35)ЙЙЙЙ4'ЙЙ®ЖЙ.
15ЕВД МТ®/ЬЙЙ®Л/,Я?-Ф#£з£(5.3.2О)пГЗД
П(о) = /ж1 I V<p|2 -<рг ||B||2|<foM, (5.3.24)
Я-#®,ЙЙ®(5.2. 35)де4МШЙ>М(Я§2.3)
e- = XP‘E‘~E^-
i
Slit, <Я.+1,е.+1> = -±
ffl (5. 2. 31) Д M де ®/htt, ЙГ < En +,, e„ +,) Й Laplacian
^<E^,en^) =- || В || 2(E„+1 ,e.+1) , (5.3.25)
BP IIв II2 = -
JE£EA(5. 3. 24)
П(0) = [ { I v<p|2 +^W-MK,. (5.3.26)
J M I \ W J j
Й Stokes £
Я,Ш
0 =£div(^2IF У(±))^и
=Jyw(±)*M + JJv((P=ff),v(|))*„
BP [ <p2WA(±]<lvM
J M \ W /
§3’ ffi/ЬТЙЕ®
251
= I VIC |1 + 2 Vy, W) }*«.
RA(5. 3. 26) #4- Ф = ^,ЙШ1
П(о) = Wl2^ ^0.
ЖТЙФ^,Вет81еш£эаде-#ЙйЖГМ:К3 Фтс&ЙШ®
Ш/ЬЙИ>¥Ш. Fischer - Colbrie ft Schoen(1979 4₽)Ж
£ffi£.flW,do Cannoft^^#-jgtfcTUA$llM0J[>^ Bull. AMS,
(N.S,)1 (1979),903 ~906].{аМ,ЙФ^®й^^(3«п«7)ЙЖГ$
4-ЙАОИ>#[25]).
3.3 з$®±йШ/ьтам
SS'*'(c) ={% e К"+?+11х12=у,с>о}>^й^сйп+рЖШ«
EfcR#®. &Я1НЖ §2.1 ЙШ i,S"+₽(c)ift^A@A
f dx = У ffAeA ,
(5.3.27)
1</ел = У, &лев _ x’
I ел | % Sn+P(c) ЙЙЖ.е..,,. =fix
Ш*:М^,р(с) CR“+f + 1> n M S-P(c)
EESA,5Unffl^-W X M й R"+f+1 Фй^айй.
1ЕШШ|ел) ,ffiW₽R^«M±0e,l4j*|eJ^ M fttu,\ea\% M
ТД,^(5.3.27)₽йФ)ЙЛ/ ±Bj,ftffl(5.1.20) ft (6. 1.21),^
1ЩТ(5.2.31)^П<
dx = Y. ш'е> >
i
< de. = co^ej + ^(1)3еа - co)1 x, (5. 3. 28)
dea = " X h^ei + X W«e/3*
i,j P
№ felt (nJ# x Й Laplacian Д%.
dx = x^1,
Ш^(5. 3. 28)#J^-^,nm
Xi - er
252
MS»
ЭДД(5.3.28)ЙЖ“5£,<
' У, xija>1 = Dxt = dxt - У, х^ = </е; - У е}ш\
j i i
= У К;еаш‘ ~ СХШ‘•
Йй, X.. = у Л“еа - cx8tj,
а
Ах = У хи = пН - псх, (5. 3. 29)
X Ф Н Д м £ S"+р (С) Ф W Й Й >, Й #, fn st ffi вл Т Т ?0
£Я.
£S 5. 3.5 (Takahashi, 1966) ЗД'ЖАФЙСЖ х: M->Sn+p (с) С
м йОЙ* х «
Дх + псх =0. (5. 3. 30)
Jtlfc W® S"+'( с) й пЗЮЙ/J'fO ,jau Af ± Lapla-
cian йЯНШвА^)^.
Я'.ЗсГКТЯЭДФ.
ЭД 1 Clifford ®/Ь@й®(й¥Ж §2 ЛШО).
ЭД 2 Veronese Й®.
&(x,y,z)£ R3 дежятт.ад^® s2 ЙМй
х2 + уг + z =1.
й(М1,М2,-,И5)ж5 йжяттлжтзшм
ul = -Jbxy ,и2 = >/8х2,и2 = fiyz,
к- . (5.3.31)
м4 = у(*2 - У2) ,и5 = у(*2 + / - 2?).
А»; = i.
, ‘ = 1 (5.3.32)
. У (</и()2 = dx2 + dy2 + dz2.
i=l
aitt,gw(5.3.з1)£ят s2-^s4 w5.3.5,wum
®Й»ФЙА. ЙФ(5.3.31)>-£,ЙШМ>^М-ЙМРЙ>
^M^¥®SIJ S4 ЙШФЙсА. ЙФЙ®Й<* Veronese Й®.
§3-
253
яз
sn(c) с ft П штх: S”(c)—>S"(1) С
R" + I,M*^3S5.3.5,n Д S"(C)±Laplacian6Wffi(tL. $ Ж, S" ( с ) ft
Laplacian к( к + п - 1) с.^Ф к % g
с = ск = п/к(к + п - 1). (5. 3. 33 )
a^«T#«O(*+n-i)CftWffi$®ft»>
тк = (2к + п - 1) (к + п - 2) !/к!(п - 1) !. (5.3.34)
HlfcS"(l)ftBlfc m=Smk. М. do Carmo 5R1 R. N. Wallach fOJTStffi S"
(cj 2Ш® S”‘(l) ft ck mk Й (5.3.33) W
(5.3.34)^35. Ann. of Math. 93 (1971),43 -62. ]
ЭД4 #»/ЬЙЙ®.
№(W.Y. Hsiang2_M:^-^mft«WMftM^WM^
м ft®/J'TW[Proc. Nat. Acad. Sci. USA,
56(1966) ,5 -6. ]. ТД,» H. B. Lawson— SO (n +2)^
ЯЙГ‘(1)±,#ЯТ№* 50(п+2)йит^ЙШЛй5" + 1(1)Ф^Ж
ft^^1±MSttt/J'Sft®,^JiL J. Diff. Geom. ,5(1971),1 ~38.
5. з. 6
ъЕВД
(5. 3.9)£ЯЙ
^af = nCS«0-
з. 20) 'йГЗД
Р’и(О) =- f {У а“(Да“ + пса“) + У crafiaaafi}dvM.
J М а а.?
(5.3.35)
ф а Д R"+f +
Za“e“ = £ <а>е«^е«>
ВРЙ* а й м ftg^|0j±ftM • LaplacianAa“ = Д(а,е„).
iB а'[ = <а,е;) Д (5. 3. 28) ,Ш
У*, а^со1 = daa + У, a^cofia = - У h^aJa)1,
i р i,j
BP < = - У
У ay&)J = da* - У а“а)\ + У
: ; а
254
МЕЖ ЖЖТЙШ
= ~ - с£/i“(a,x)<w',
kJ ft,kJ j
ЕР
a“j =~ ~ ^h^a? - ch,* {a ,x).
ЭДЖ (5. 3. 19) M ЙШФЙ,ioj(5.1. 35),
Да" = V а" = - V а? <т-,
/j ii ap ?
i ft
Mita,(5.3.35)tt^
Гм(0) =-гас£^(а")2^м < 0.
a »&±4imftWB5.3.6
Ind(M) = codim M Nul(M) >p(n + 1) —
^де^ЗДА^ш^ м я[и] )•
3.4 Simons
Й(5Л.39),£>ЙЗ^Ф,а/ЬТ«МЙ^-Ж«5£|^
II В II2 tt-ig M ЙШЖЙ^Р W£,Sita Д м й-ФйМ. ШП
II В || 2 ОД Laplacian. 0^/
уД( II в II2) = £ (А“*)2 + ЕЛЖ- (5.3.36)
Z a,ij,k a,ij
ДЛ".
^-««ждей^<й^¥^дел!1^±^^йР^^^гнт fi
МЙ$$1ШШЖ м lWffl« м д
я^хтде,ЕРй^1ЕШ»т,л/дей$^ж^сож^
CDiE=0, (5.3.37)
ЖФ“;”^^ТМде^^¥дей$^(Л»НЖ, §2.2)
я-^®,^|ад.1йм ±0},^шт(5.1.25)дежял“4де^$^
=щк - -
I mm
+
it^^W^RITtE <С0;£ЮЙ м ±ЖШде й^Х(5.1.21)
^(5. 1.25),-Ё(П±|0]де^ЖД
=^ы - -
0 0
§3*
255
У к-М + У СЛ»/-
iJP к* тп1
£#,£&ft(5.3.37)T,im
к°к1 = ^K;jkh^ + - ^К^т1. (5.3.38)
м h“&) Ьар1а<яапДЛ“Д
ДЛ“ =
ЖФ л;(М§ 1.3) ,1>£Яй
ХА>' =dh* - ^h>‘ - ХА>' -
l I I
X A^w‘ + Z к^шё-
Ricci fg^5£
h“ ~ h“ = У h“mR” + У Л” Я” - У h^R“ (5. 3. 39)
jkl ylk im jkl mj ikl ij pki x '
m m ft
ffi(5. 1.26),W
1>“h = XA^ - Z^ = - Z^-
k k k k k
Jg(5.3. 39),<
K* = h“iki + Z h°tmR”t + Y hamiR-k - Y h^.
ДЛ“ = X <ftHv - K^i +
k
y,(y>X + y?X-yttJ. (5.3.40)
/1 x km ijk mi kjk ki pjk ' ' '
ftj(5. 1. 22), (5. 1. 23)iffi(5. 3. 38)RA(5. 3.40)
£Л“ДЛ“. = +
a,ij a,ft,i,j,k
2 У (K^h"^\+KZh°h“) -
\ kik mj ij ijk mk у /
a,i,j,k,m
X [Е<ЛЖ ~AX)]2 - Z<^)2’ (5.3.41)
a,ft,i,j k a,fl
19)^X-
«МД<ОС«ИЙ^с,ВР
^abcd = c (8ЛС8ВВ ~ 8ab8bc ).
iam Ha = (Л“) ,-ЁйЖйй tr Я“,М(5.3. 41 )4b^
X Л“ДЛ“ = - £ - iflT)2 - Y (a^2 + nc II В II2.
a,ij a,fl a,fl
(5.3.42)
и
HR
0-^5 ВЦ <
W £ Я £
= 2(tr42)(trB2). (5.3.44)
№ А ад В • Д (5. 3. 44)
М 6S0О(^у),И
а. + aj = 0.
ЙТВ^,^-ЖЙ,теб12^0,ТД,Л1 = -а2. #Д(5.3.44)Й<)
§3- ЙФФЙЕ®
257
<7аа = II В || 2 , Д й Schwarz
а
Х<^«)2 >7<Z^»)2 = у ii в ii 4-
£Л“ДЛ“>пс II В || 2 -(2-J-) || в II 4.
a,i,j ' Р '
RA(5. 3. 36),ДйвГ>
уД( II в II2) > УВД2 + 11в112[пс - (2 -7) IIв II2]-
(5.3.45)
£ М ДЖВАЙЙ,
ЖИ 5.3.7 (J. Simons, 1967) & S’+p (с) Ж с > О
® ,M-^S"+P(с) м п Ш
£ iiв ii 2[ (2 - у) iiв ii2 - nc\dv« > °- <5-3- 46>
ЙЙДЮ j. Simons А^ . й-jltврш
ffiifc Й^Я5.3.7 ЙЖЙТ,^
II В II 2 пс/ (2 -j-),
II В || 2 =0,М
II В || 2 = пс/ (2 - у),
Chem - do Carmo - Kobayashi
Clifford Ш/Ь® ЙШ,M S4 ДО Veronese ЙЩ([4]).
-фЙМдеИМ:^ЖЖЖЙШ/Ь«Ж М^5"+Р(с)де II В || 2 =
,jh ii в ii 2 дептшйд^мжаде? т-
фпшдешм^? йм«]ШР1£й/> = 1
1. &iE:£A(5.3. 15)W(5.3.16).
2. РЕВЛ£Й:(5. 3.21)?П(5.3.25).
3. Ш£(5. 3. 32)#т£ВДвНК5. 3. 31) ДШ/Ь«Л.
4. тЕ£5£(5.3.38).
||B||2<(m-l)K„,^Kw>tf£«£W«®ft*lftT#. «ffi-.лг ФА#
258
[й^] Proc. AMS,93(1985),111 -117.
6. й M-S’*'(c)> п( М Й9 Ricci Й^*Т
(л-2)с,ДМ
[ЙЖ] N. Ejiri.J. Math. Soc. Japan,31 (1979) ,251 -256.
7. ®М->5л*р(с)ДОСЖЙЙШ/Ь^ЖЖ,^М U,M M
[й^] s. T. Yau, Amer. J. Math. ,97(1975) ,76 -100.
8. ЙЛ,,А2,А, >H^nxn#^)g|W,£fnWW«£^5£:(5.3.43),Ti£TiE:A1,
A2,A3 • ЭДЖ1±Ф^Ш^,®ВЛ:ЙЯ5.3.7|ЙШ£1 ф,£
IIBII- -««/(2-i).
Я!) M Clifford Й/ЬЙЙ®,^ S4 Ф Veronese ЙЖ- O^[4] )
9. ЙМ^5"*'(С)ДЖЙЛЙЙ«/Ь^ЖЖ^Ш(5.3.42)Й Gauss
f |p || Riem(M) || 2 + 2p || Ric(M) || 2 - p2 + n(3p - 2n + 2)cp -
J M
n (n - 1) ( n - p - 1 ) c21 dvM > 0,
ЖФ II Riem(M) II 2 M Й9Й ЖЗКЙЙКЖТТУ, II Ric(M) || 2 «Ж Ricci
кяттг.р mm
[Й35 ]Й JE И ,»^Т0 ,8A( 1987) ,362 - 367.
10. Й M
"B"’ '"'/(
ИМ ФЙ5 Veronese Й Ж-
[ , Ф ,32А( 1988) , 1 - 11.
11. ЙЛ/^5"“ (1) СК”‘2ДЖЙС^ЙЙЙ/ЬЖЙ®,Л/ W Gauss ^Г: М-
з*+1(1)^5СЛ м К”+2ЙЖД • £<(м)&й
s,+,(i)W«^®rt,MM
[ШЖ] Й а Д К"‘2Й^Й*,е„ф,Д М аГ'(1)ФЙОЙЙ1,Н>
Д<о.е»и>-
12. йм-5"+,(1)*ЖЙЛ1йй®/ЬФЙ£Ж,^р^2дм
ДДТГ II в II 2^-|-п,Я!| м S4 ФЙ Veronese ЙЖ •
An-Min,Arch. Math. ,58(1992) ,582 -594.
13. й М” 4RR5R К”‘*ФЙ«) п( >3)ЖЙ£ЯЙЖ,^ М" ЙШЖЙЖ Ки Ш
Д^к„й=1 ,м м” •
[JH/К] Geometry and Topology of Submanifolds X, World Scientific, Singa-
pore ,2000,274 -283. Proc. Amer. Math. Soc. ,129(2001) ,237 -246.
§4' Gauss ВШ
259
§4* Gauss
4.1 Lipschitz-Killing Д $
O’ Ф,ЙМ£Й«Й® Gauss ЙЖЙ<1^#,#ЯУ5ШТЙ^
Г(>#[5]).
й п +р МЙ£|в].
-Дх е К"’рдаЙхЙп+рФЮЙ1Е£деМ&ЙЖе1,--^е„+р,1££С]
Я. • Й{ПД(х,е1,-,е„+р)^Й^Й-ф»,
#ia ^(п,р)^й^й4#,^пйй-Фу("+р)(п+р +1 )sa
ш. тд,
( ел > ев ) = 8ав ,
йжо^жекййяь 4ёг(п,р)фэ1А1 -жэолда^.'ЁПйтэд
мшж
dx = ^^А, deA = ^0Аев, (5 4 1)
еАв + еА = 0.
deA = - £ ев л ев,
в (5.4.2)
d0B = - 0с Л 0В.
ЯЙ х- М"^я+Р^ п ШтШ» М И К’,?ЙЖЛ,х(Р)О
др емаЛж^ЖМ±й<1^ТЙ*^(Ж^^1ИТ
(i) М* xR"+i>w^>,i—йй#йид
Р е M,v Дйх(Р)йМ<мЙЙЖ,й V е Л(Р)(М),
| v | =1.
(ii) М^ЙАР„:'ЁЙД^(Р,1'),ЙФ р е м,р е ^^(М),
I v | =1.
(iii) М* xF(n,p)
(P-,x(P)ei,-,entp) £ М"xF(n,p)MM е,,-,еп МЙх(Р)ЙЖ
260
МЗЕЖ
А ф-Е^М. фт-.Е^ЕтЫ фг',Е—*Ег
tZr_(P;x(P)e. ,•••,«„.„) = (Р,е„),
Vt ’ 1 ’ "+р7 (5.4.3)
|ДДР;х(Р)е1 ,••• ,е„+р) = (Р,е„+р).
Е Д Мп х Р(п,р) 4 F(n,p),
& ф ; д ,-п-> а
g
шА = (ir<> i) V ,л>в = (77 ° ’) * #в ,
ФТ(^°О’^£Л|^£&Й,Д(5.4. 1)^П(5.4.2)Ш
dx(P) = '£<oAeA,deA = ^ыАев,
ш* +швА = 0, (5.4.4)
da>A = - У шв Л ыв, da>B = - ^ША Л шв. (5. 4. 5)
Ф Е х(М)±.,ша =О,0ЖШ
о>“ = £л>7, Л“ = л;. (5.4.6)
f,* е
м ег ф ад фг
мп dv„ Д
dvM = ш - Л «’. (5.4.7)
ер йШФ«(Др-1 ^J£WS) Р е м
S^/
^е»+Р = ^«t₽eA
<»ап+реа = У, a>Lpefi,
а Р^п+р
sut,
dap.t = Л - Л аК’-',
dvM Л da^ = ш1 Л - Л ш" Л «::* Л - Л (5.4.8)
Я-тГ® Р е м v
R’+P«J®^,-ЁЙШмТ So+₽_1 ±.
T-M8feM v-.E^S^-' .МХй
§4' Gauss
261
р(Р,р(Р)) = v.
Gauss Gauss Й R’+p
Ф,Жр=е„+р,
de„+P = S е*+?е* = 0»^ев ’
dx = с л - л o:z~'-
jem ня) ev jt.miw
г(^) = <, л - л о,::;-1.
^Ж(5- 4. 6)
Г(</2) = (- l)"det(/^)*>‘ Л - Л ы Л
С Л - л ш;:;-1.
(5.4.9)
ЬЕ^(5.4.8)^(5.4.9),^#
Г (</.£) = G(P,v)dvM Л dap.t,
G{P,v) — (-l)’det(ft’+') (е„+р =v). (5.4.10)
ЙЯ5.4.1 Й(5.4.10)£ЯЙ G(P^)|:^8Af« М £
р(Р) =е„+р(Р)ЭД Lipschitz - Killing Д^.
K'(P)——f \G(P,v)\dat
Cn+P-1 J <*
ш м й P «71 P ,
c„+p.,^ son+'”1 ittim
т(М,х) =^=I^K’ (P)dv„
^1 & x: ir^R3 ДЮТАЙИ, BP П =2,P = 1. fl,
dimF(2,1) = 6, dimFp = 2, dimFT = 3 , dimF = 3.
dx(P) = a/ej +co2e2, (y- = h^.
m2
da>1 + «2 A a>2 = 0 ,da>2 - a)'2 A <a = 0,
Й de, =Ш\е1 +Ш23е2 t# M2
262
( - de3 ,dx(P) ) = ш’й»1 + ы\ы2
= ЛцСю1)2 + 2hl2a>'(i)2 + h22(a>2)2.
1Ш М2 + («2)2- ИЙ Л2 W Gauss®Ж*
К = hnh22 - (Л12)2 = det(h.) (1 s= i,j 2).
м2 даяГ-Й^Мй
da>2 = - й»з Л ы2, da)l3 = - ы'2 Л ы3,
dot2 = - ш2 Л <D3.
м2 да Codazzi ЗГ8 .
da>2 = Кы' Л ш2,
М2 да Gauss #5® . М2 даЯ^хД а1 Л «Л Gauss gW p:M2^S20, &
да^хм
ш3 Л а>2 = Кш1 Л ы
Ешад.^л^жжда Lipschitz - Killing r3
Фйжда Gauss й^дажг.
-Й1Я1%,^ЙЖда Lipschitz - Killing ЙЖ G(P,r)-*5
V =
W G(P,p) = (-l)’det(£t“ft“) (1 « i,j n).
m* д кл+1даййт,ж£ж&йейж v0 =en+1
G(P) = G(P,p0) = (-l)’det(A,) = (-П’Л.-Л,, (5.4.11)
Ш даПф±Й$. С(Р)^й®Й®М££Р да Gauss-
Kroneckerfl^. S31 M ЙА Р ЙМ^1»11Я®Й v = ±po,0jtt
G(P,f) = G(P, ± r0) = (± 1)"G(P,f0)
= (±1)"G(P).
WS’JS Gauss -Kronecker
flfcoai Lipschitz - Killing йжда-^лмж#.
Ж85.4.1 MTSA^»*:M"^R"+i’,i£P e Г,£(^ЙЙЙ
$|в]7’1(Р)(м)^йх(р)даж^®й^^дап+1 эд
A ,м да G(P ,v) x(M) Й L(v) Ф Й5 Gauss - Kronecker
ЙЖ-
15ЕВД ЫР да-фЭД^Ж.ЖЯ Ф M
v(.P)=e,^P). iee/P) =(ел)0,х(Р) =x0. % %'((?)x(Q) ,Q e
m, £ M г) ф да&» ло <0 «Тэд м
84’ Gauss
263
*'(<?) -х(^) = £ &($,),,,
Р^п+р
x'(Q) -Хо = 0 mod((eI)0, — ,(e,)0,(e„+p)0).
& = (X'(Q) “ x(Q) ,(^)0) = <%0 - x(Q) ,(е^)о>
(Д 0 п + р).
P,it Q * р ИМОО
dx = dx + ) о = ~ ) о ) ( ) о .
01*п+р fij^n+p
d2x' = d2х - У <d2%,(ep)0>
Р^п+р
АЙ
<(e.t,)0.dx') = <(e.+,)0,d2x>. (5.4.12)
SfcOI aen+p)0,d2x) =-{d(en+p)0,dx) =
J®^(5.4. 12)«^1ЙТ£ЯЙдаЛ I
4.2
Й±О,1Ш-ф?Ж^Й^Й$г(И,х)^Д«^й
ЯШ- 5.4. 1, ШАГ РАЙД Morse
т(М,х). x: Gauss
?:М*'-1,Ж«(Р)ЙЙОЙ1»111'(Р)¥^ОЯ R"pws
A,EPMT(P,p(P))eE„,
r(P,p(P)) = ves^-1.
am5.4.i,
г(М,х) = f K'(P)dvu
J M
= — f \G(P,V) \dvu da^. (5.4.13)
Cn+p-l Ev
Ep ft Gauss S£®I!W •
Silt,(5. 4. 13)Жг(М,*)НтИ $ГР‘* ® Gauss SfcSSW v
мт-мадpo 6 sr-1
/(P) = (f0,x(P)> ,P e Af’.
Ы ft/Wte#^p <=M,df(p) =o,gp
264
МЕЖ ЖЖТЖЯ2
{va,dx(P)} = 0.
sitt.i+wso*'”1 мсаи88^
MOOlMOOitfc м • йй,
Morse Ят&Й<)^ТЙ§,^пГ#^[10].
S/ = M^Rb«O±«m.£W е M,f#j®ift
(/.)р- ТР(М)->тЛР) (R) , ж w р > f Й №#£, #ЙИ йХЙ
«Ж^»Ж(хг)Т,Й^АЙ^М>
«4>=о, isis».
дх1
м#,вр
\дх'дх? )„*„
det( —%—(Р)\* 0,
\ дх'дх! I
%%р%/ммш1й. ад,±&п
> л Р IWft.
ТОМДЖЙ^«,/:М->ЖД^тй^,'ЁЙ<ЛЙ^ДЙ5Д4к
Й^ЙОИЛКЙ). Дсл де»АФ1МА ^М
Betti Х^нж, §4).Мог8еТ^з£>
Ьо с0,
^1 ~ ^0 С1 ~ со»
&2 — ^1 + ^*0 ^2 — С\ + ^0 9
х(Ю = ^(-П^х = X(-nACA- (5.4.14)
Morse
6Л « сА, Л = 0,1,-,п. (5.4. 15)
1ИЖ^М<ТЯ ReebOKMlO], §4).
5.4.2( G. Reeb) М" = W >R
,w Mn рштят s\
Ж£!О]Ж^#ЙЗДШ*Х5. 4.13).
5.4.3 й * M"->R"+P> П ШЖЖЗШЖЖ M" JIJ R"+p&W£g
SA, Ж
?(M,x) > £ca(M) > £бл(М). (5.4.16)
§4- Gauss йШ
265
т!ЕВД МТИЖЙро е S"^-1 ,«ЛГ±£®$
/(Р) = <р0,х(Р)>, VPer.
£РД/ЙЙ^,ВР<1'о,^(Р)> =О,Д«М”
I'o.fl,® х(Р) ,W
«'о = 5/"е“-
d2f(P) = {v.,dix{P)')
= - {dv0 ,dx(P)}
= -£t“ft>W. (5.4.17)
Lipschitz - Killing ДЖ G(P,Vo) =0 Bt,P Д/ЙЖ4t
Gauss v i(P,vt)ttl Jacobi
<4. soSardes,ag/s^s"'-1 ттш?. йй,«1+
ттг(Мл)О1ШЙ®й.
1!с/=_<г,х>Д^Й4Ы1Й^Дй<1Я₽®г е S"+f-‘. Т>,»(5.4.15)
Ш#(5.4. 16). |
ЙТМesrp'i,№f=<i'0^^
WM^W4fcWte^A(®^^a/hA) ,»/ДОс
Т.Г • Hlfc.stw
JBifc Й£Я5.4.3 «^ftT,
т(М,х) > 2. (5.4.18)
ИееЬЖЯ,^ПЖ<
5. 4. 4(Chem - Lashof) Ш х: Д ЖЖ М g]
R"tfWWtA,^(M,x) <3,М М" РШТ S’.
йевя ifr(M.s) <з,ай s^p-' ±#й-мЕййЖ'а-
So^-1,^#^ VO е ли,(₽„*(Р)>тИМЙМЛЙ11§Й
г(М,х)>ЗЙ^Ж;£-3-®,ЖЖ Sard ЖЯ, Gauss #®I!W v,Er^
sVp'1 s0"+'-‘ ±Д<^»1Ж. v0 е
5Г^1,^Шй^/=(г0,х(Р))й УИ’ ±1£<ЙМ1Й#А,#Я V.
Gauss ЙЖ- P,G(P,v0)
о. &Ж£Лро,л2х(Р))>-ФД<«ЖШт?05£й-&ШМ:&
(5.4.17)^). ЙИЬ,Й&<»'о,*(Р) >« М"
J&M Reeb жя 5.4. I
МТт(л/,х) =2 ййЛ^ЖЖ.^ПМ
266
МЕЖ
лЕ-Ц 5. 4. 5( Chem - Lashof) ft Х: Мп SJ
R"+'^ggSA,WT(Af,x) =2 №О1хЖЛ,1х(М)ёК"'
к" + 1Ф№Д®й®.
ЙФ£Я1&^£г£вЯпТ>^[5]. и=2,р = 1 Е^.вШМВД
ЭДТ.
OW Й^ЙЖЙЖ- Gauss ЙЖ,Х^ЖЛ1 Й
хК'Й1$С ,.51'JW Gauss - Bonnet
X = ^г— [ KdS = ( KdS + f KdS-
2 tv J м 2 tv J Af(K>0) 2 tv J Af(K<0)
Я-#Ж,Й££МЙ^Ю£Х
T(M) = -^-f |K|dS
2 TV J м
= -i- [ XdS - -i- [ TCdS.
2 tv J M(K>0) 2 tv J Af(K<0)
Sft, t(M) = — [ KdS-x.
It Jm(K>0)
M Hadamard ЖЯ, MT К > 0, Gauss g)W >W1J, ЙW
[ KdS > [ dS = 4-rr .
J M(K>0) J sj
r(M) > 4 -%.
^г(М) =2 ftf,* = 2,&M ЖИТ52.
ii ЙЯ5.4.3-5.4.5 > R3 ФЯЙ^^ЙЖ^ Fenchel ЙЯЙЖ
ЖЙШГ • 3»Ах:Л/"->К’+₽Д<аТ^Х^Й^,йх(Л/)ТШ^й
R“+WSM^ttT£|01TM,» x *SB»«A(Tight immersion).
»Ф“Д-Й”Ж^Й<)ЙЙШГ.
4.3 Gauss
MWlft Gauss £Ш£ШЭ$Ж5о“+'’'
ЙЖМ • Gauss l!WW£-#ItrMfS® М SI Grassmann «
№ ОТ, ДЖИМ т.
&x: Ar^R"+'^J®SA,#MWW,n]‘TM#M-Jgx(M)-
MTSAP e M-.fiJffi R"+₽WaM¥?Tl4,#EW« r,(W-b
STfflR" R’*'WS£ o(BP^ P 5 О Ж'й-АДЖЖй
Grassmann G„ p =G(n,n + p) |$—фтсЖ • P ft M" ±$5&
м SI Grassmann
§4* Gauss ft#
267
Gauss Я*М,#Ж ft
Ж F0(n +р)аж« R"+'1MA О iW££iEB&,ft>W^ R"+₽
• ТДЛ(» +P)WOT SO(n +p) шй •
MTi£ О Й-Ф n 77„,w so(n +p)^nn
SO(n) xSO(p). ЙЙ,Grassmann G„pnT-^^l¥ SO(n+p)/SO(n) x
S0(p)1g|H|. Ш&М* §4.1),^;Е->ЛГ ДА&
%. F,E^F0(.n +p) R’+?WIMA
О. Я|5^,ШП<ТЯта&@:
E------------—----- Л(«+Р)=5О(п+р)
* v (5.4.19)
M"--------— G =SO(n+P)/SO(n)xSO(P)
У
ЯФ&Ж <p-.F0(n +р)^С„,рЖ^.^Т:Й(е1,-,ел,е„ + 1,-,е„+р) £
fe(n+p) Jh(ei,",>e.>e»)i-’">e.tp)>ii ei>’”»e»
¥ffi ir„-
MT(e, ,"• ,e„+p) e SO(n +p) ,4-
^еЛ = У, @AeB ,
В
ш 0A wm$M(5.4.2). * G„>p±^iA-^a^a
dt = (0“Л (5.4.20)
a,i
ftft $о(п+Р)й№*отт с.„±й-фм^й1.
SBftW Gauss gw ^:Af"->G„iPJE(5. 4. 20)^0SO Mn ±, ft» ft
м ±й<юш «;,мш(5.4.6),«
Ш =$4dt) = Х<"Г)2 = (5.4.21)
a,i a,i,j,k
Пя=2Л«А><а‘’ (5.4.22)
a,i,j,k
ft> M" Н • М"
I = У (w‘)2-
i
268
s пя I ,мп
AT»(tt#IST^).
4s"
U=EV®‘- (5.4.23)
Л*
М’ ЭД Ricci . М(5. 1. 38) ,ШП^
7?й = У Л“Л“ - У Л“Л“.
]К Il JK у 1К
a,i a,i
Slit, Й (5.4. 21), (5. 4. 22)Я1(5.4. 23), ВРШ
5. 4. 6( М. Obata) МТ WA х :M"-^R’+p,<
I Ric - П я + Ш = 0. (5.4.24)
S п = 2,р =1 М,ЯД =К8л,ЙФ К& М1 ЭД Gauss ЙЖ.ЙЙМ
(5. 4. 24)
JBifc МТх:Л1"^К’+\Т^Н^ф{5МИ^ШЙ№*й^-^:
(i) Gauss
(ii) М" Д Einstein ЖЯ£;
(iii) м"
4.4 Gauss ВШ ЭД
МЖ«±НЦ ,ШПт&±& Gauss l!W W • *llt,ft®
ft я ifn bw эд«е& , шт пг>^ 17 ].
i£ M W ft3№ «От ,£# Й 1ЕШ
ЫТ, ^fn
dsM = У (w1)2, ^4 = I(0“)2, I-
i=* . a=1 'i «,/?,••• m'
1V : M^N ,£/ • TW
/•0“ = У/Х,а = 1,-,/n. (5.4.25)
t> ,f • ds\ > м ±теж эд - л*},
e(Z) =ytr(/-^) =X^(/“)2
OWlBmit
§4* Gauss ОД
269
Е^(Л = ( e(f)dvu (5.4.26)
J st
>±ОДЙВв • ®-+N,Es(J) й
2ЖИЙЯЛ,W^/M ^JbiftiH*nilW • м Отк«±й
А,ИШ MfJ N ОД WllW.
ii ЛМ№Ж ОД-|5fr$ Ш (># [ 7 ]) пШ ,f %® W BWW %%%
м^од&л«т£,вр
*•“—£/“ =0 (a = 1, ••• ,/n) , (5.4.27)
i = l
ЖФЛД(5.4. 25)ф/“ ОДГХ#£^,МЙ.ОПТ:
У/>у =#“- +£/?(/• ^), (5.4.28)
J=1 7=1 0 = 1
ЙЖ ь>\ в; 5У38УМ М N ±од^ж^.
жйшппш&йтэдйя.
ЖЭ 5. 4. 7( Ruh - Vilms) й x:4f"-^R"+f£ОД Gauss
gw м-1 «тетайжйж.
11ЕВД $(5.4.28),Ш'Ш&М^Ш С„„±ЙЙ(5.4.20)#гШЖОД
п + 1^а,Д,"-^га + р)
de" = - £ 0* Л 0f, f£ + = 0. (5. 4. 29)
7,S
й-^®,^Ж(5.4.2)ОД^-^,<
de“ = - X л - Z л - s;^) л е^.
^^(5.4. 29)^ЬЬ^,ЙТ^“ОД«-Й,да#
^=8^-8;^. (5.4.30)
Ж*1+^ Gauss gW
^0- = Ха>7’
j
МЙ(5. 4. 6)^(5.4. 21) Жй
а“ = h^. (5.4.31)
ЖЖ(5.4. 27)Я(5.4. 28),ЗПОД&Л®ОДЯЖЗ?
270
(5.4.32)
j
МФ
=da^-Y а^ + £ <( &' (%). (5. 4. 33)
к к 0,к
ft>(5.4. 30) ft (5.4. 31 )ftA(5. 4. 33) (5. 4.19) , <
х «>* = dh° - h<M + % в; - з;зг 0‘)
к к к,0
= dh°-z Y h°va>k +
к к 0
BP
a“t=h‘k. (5.4.34)
Ж5.4. 34) ft A( 5.4. 32) Codazzi h“k =Ц ,Ш
< = IX-
йй,т“=ойз£М^{Ф> JX = о,врлг MW¥fr¥i$ffi^i»J*(Ja
*f§l ЛЖ12).
£ ЖЯ 5. 4. 7 > gj E. A. Ruh ft J. Vilms ( Я Trans.
AMS, 149 ( 1970 ), 569 ~ 573 ), й Ж Й ffi ВД Ж Ж S. S. Chern ft
S. I. Goldberg( Я Amer. J. Math. ,97 (1975), 133 ~ 147)
23®
1. O'-R’ *Я«-»Й$|В]Й«1ЙЙ^(ВРа = 1,р=2),ТД
dimF(l,2) =6.
M'
2. &Af2->R3 *Ж?тК£|вШЙ®,«Ж Gauss dn'i = Кы Л шг ,®ВЛ А
Й*К^Й®±^1Е«(е1,е2)Й<1Й»Я^.
з. йз3си4*з^Ф)ШКз$И,м2->5’ДЗ^Ай®,.ам2
И • S3 Ф М2 Й9£^#ЙЖ.
4. Мс2^й^,ремд/й-Ф4Р*й«;||Й^. Д
ВЕ:#й р Й9-Ф^#4₽«(17,/) у‘(Р) и ж/птажй
f = f(P) - (у1)2-(уА)2 + (А1)2 + - + (у”)2,
ХФ ЛЛ/йРЙШ». (Morse?|a,>^[10],p.6. )
§4’ Gauss
271
5. Ж Ж, ffi ВД : Gauss 0Ш
M" % Einstein ЖЖ-
6. ЙМ’Й К“*'1йКЙ)ёЙЙАЖЖ,#.а£й¥^Й*Й*й&МФ¥?т •
ЙЙШЙ$®Ш,ЯГ
7. S^M,^"”CR"”1>WgA,MT«,fi p e М’,Й1Яё|В| TP(M”)5ffl
А С.+1.,Й9-фтЁЖ . ДЙ»7т,Ч1аЙХГЯ Gauss BfcMS? ' M"-+Gntlf. iiffi:
ГЗС Gauss IW * r^S"^ftzh8A.
[#ж] T. Ishihara,J. London Math. Soc. ,26( 1982) , 104 - 112 ,
,4 A(1983) ,449 -456.
8. йя**'Д«#$ -i ИФйяжй£тжй:,'ейГ1д^«в§Ап+р + 1^
Minkowski ХЙх:М“->Я”^С£“’'”1Д^^А.«{&й1д®7Л№'е
ЙГЛ1 Gauss
[ЙЛЧ] М. Obata.J. Diff. Geom. ,2(1968) ,217 -223 — Д, “ trt A^
Ж”,11(1984) ,No. 3,311 -315.
ЖЯ &Х'- t/(R- Ф7ТЯ) -К' Л C(,»l)lUt,iM<-+ «,
e и,
1° XO C: I^U
-^C(t) = X(C(t)), t(= I, I = ( - a,a) ,
2° fct£x0 М-Ф4РЖ {/0С{/,-фО«>0 Й1-Ф cr 1ВШ F:
l/oxbR*,Xt/=( -а,а),^#Й C„(t) = F(M)Mit»(6 »’)
ЙЙ^СВ:
j-cu(t) =x(c,(t)),tei.
ШП#Л'Н1Я£М&'Ь£Я,Е* вдхо)аж R" Ф1Д *0 йФ
CU. Mx G. ~Bb(xQ) ,Х(х) = (/‘(x),-,
Г(Ж)). ifX^C' ^М,вр/‘*Л(х0)±с MW
вдхо)±><#№,мтаж>м,1&ш
1|Х(»,)КЛ
и и > < и и В к ( Хп ) •
||Х(Ж1) -Х(х2)КМ||х. -х2||,
51 a 1 Х-. t7->R" Lipschitz , ЙР
II X(xt) -Х(х2) || К Их, -хг II , хх,х2 е и,
ХФ к йЗГ>,Д1№(*) И^ЛМ G Л(хо),»й-фа>О ^Pg-
W с' С: [t0 -a,t0 +а]^Л(х0)^#
[^С(0 = Х(С(0),
dt (1)
^( ) = х0.
шл Фталж-Фвадшм*!,*, е и, цх(х1) -х(х2) и
*£ЛГ|х, -х2|,ДМФх е Вь(х0), II Х(х) II ^N. <1,^ а =
C(t) = х0 + f X(C(s))ds. (2)
I 273
C0(t)
C„+i(i) = x0 + ( X(C„(s) )ds,t G[to - a,t0 + cd-
J ‘0
й* ||Ct(t) -x0K [‘ k(C0(s))||ds « N ,a = b,
J ‘0
( [ i0 - a, t0 + al ,
Й C^t) C B„(x0).
c,.,(t) СВД),»Е[»,-аЛ+аЬ
>J l|C„(z) -x0K/j|X(C„.1(5))||ds b, t e[t0 -a,t0 + a],
ЙЖЙ1Ш
C„ : [t0 - a,t0 + a] -> Bb(x0).
Ш , Й ±Я
llc„+1(t) - c„G) ||
<Nf ||c,(s) -с.-Л^Н
J ‘0
« TV" | r - ;0 | "-1 f ||C.(S) -C0(5)||ds
J <0
« Nn+ia = Nb" -+0 (n-^oo).
ссо.'ёЮзй-®
(2),й с(о^/ c1 iimmsa(i). ю],^ с
с(г)й cr+W.
l|C„(0 -?(«)K^+1a"->0,
=e'(o. i
51Я 2( Gronwall [a,6)^R ООНЙЙ
/(t) A + J*/(s)g(s)ds, G[a,b),
W
/(t) « Aexp | g(s)ds.
11ЕВЛ
h(t) = A + J f(s)g(s)ds, t G[a,6) ,
И Л(4) >O,A(0 >/(0Я h'(t) ^h(t)g(t).
274
КЗ I
/(«) С ft(t) s£ Аехр | g(s)ds.
^А=0ЛУМЖ#М*>0ЖТС#±&л,дт
/(«) С sexp J g(s)ds,
оз ЙППЭ1Я1 *0fi£,ia
4-C(t) = X(C(0), C(0) = x0
ЙШ,МЙ». >о,$$ЮТ<5Му 6 v,#
c(o =я(г)- tms
4c(t) = X(C(0), »е[-в,г]»С(О) =r.
di
Jtt^bw
l|f.(x,) -F,(x2) ||«eml ||x, -x2||. (3)
ИЕВД МЙЙ-Зт#ЙЭ1Я1 WffiBJiiS.WinTO
V = B±(x0), e = ^- .
2 v °7 2N
/(*) = l|F,(«.) -Я(*2)11-
Й^Г,(х,)Д^ё
^C(t) = X(C(t)), C(O)=x;
ЙШ,ЙЙ613®1 ЙНЖГ
/(«) = [\x(F,(x,)) -X(F,(x2))]dS +x, -x2
J 0
«к -x2||+A^7G)ds,
М51Я2ВР?#
Я0 ||x. -xjp.
±5WJJ г,(у)^ОуЮЙ. з£1^61Я 1 ВР£Д F,(r)^T
(«,у)>Ж^Й. I
^-C(t) = X(C(t),t,p), C(t0) = X
№5 I 275
* MT to ,t,p-Эей
ЙЛг Lipschitz
511$ 4 т£51Я1 ФЙХ^С‘^,1«А<оо,ДЙ^(ж)Й1^1ЯЗ
ФЖз£,ШЯМЯ1 F,(*)i£T x ck t Я C‘+1^.
SERB 4><A(t,x)e^(R",R")>^ft4t^S
4-^(t,x) = DX(Ft(x)) • &(t,x) ,
, dt (4)
ф(0,х) = /(Ш1Ю
ЙМФ^Ы ^(R”,R”)^
^(R’,R”),^l-> Тф = DX(Ft(x)) • ^(t,x) ^T ф ^(t,x)
(t0,«0) ft^~^&W£ Lipschitz &ЖЙ31ЯЗЙ®ВДФ^(М)£
T(t,x) >j£^ft(£T^(R",R") ±ййт).
ЙХТЖ®^,(«) =^(t,x).
0(t,h) = F,(x + h) - F,(x) ,
ЭДЯН1Я1 ^(4)^w
O(t,h) - ф( t ,x) • h
= f{X(F,(x+h)) -X(F,(x))}ds -
J 0
[ \DX(F'(x) ) • ф(э,х) ) • hds
r‘ (5)
= JjX(F,(* +Л)) -X(F,(«)) -
DX(F,(x)) • [F,(x + h) -Ft(x)]}ds +
J DXf.F^x') ) • [0(s,h) - ij/(s,x) • h]ds.
С\г&Г)%,® DX £>0ОЧчЬ0,
hll « fs||F,(* +h) -F,(x)||ds «
J 0
8 [г”' ||А||<Ь в||л||А,t < 8, д£Ф А йОсДЖЙ31Я2 ft
№(t,h) -ф(1,х) •лК^НИ,
ЙкйРЖЖ DF,(x) • h =<lf(t,x) • h. Hit F,(x)^T t ?П X
#<азш,вр F,(x)^T(t,x)M с1 Й.
МЙ1Й*Ш»ВД F,(x) Д Ck ft. йй
-%-F,(x) = X(F,(x))
at
276 №> I
A ±F,(x) = DX(F(x)) • X(F (x)) , at at ±DF,(x) = DX(F,(x)) DF,(x), at
с‘-‘^й,йй f,(x)^>
w^n
Sard ХЖ
Sard^S Sl/CR" t/^R" МЛМЛ A = fa G
1/|РК(а)ЙШ<и| J'J f(A)CR” ft Lebesgue HO?-
«ЕВД «№ S m=O(R°
e f/ШЖЙ^.
-мп
A D A, D A2 D ••• Z) Л; D •••.
Ж-^.ЖЖ F(A-Л,)|ШЖ^.
W&n>2,03j^ = l UM =4^12^ РиЫтЙМ:-фпТЙ!|
1CCR"=R' xR-’U^Tn-l ЖЗД
ЙОСЮЙОМ.
G А-А„Я-фШ! VCRn, w F(V(-|A)W^»!l
Й.&^A-At МвТ>ФЙ#4₽ШЛЖ^,Й F(A-А^МШ^З^.
ffl 12
ЙТ x ё а, ^o. ЗДЙ
dx
h(x) = (Fl (x) ,x2 ,••• ,x"")
h- t/^R”, Dh(x) m,h & x дежф w
!OJ-ФV'±. ТДg = F'h-'ifr VWJ R" Ф. Og Й
Й#Ж Л'1Е#> Л( УП4) ЙJtt g ЮИЙМЙЛИЙ- g(A') =F( VKA).
MT^(t,x2,-,xm) g v g(t,x2,-,xm)MT®¥®U! x
R-* c R”, T> g&Й¥®$ЯЙ¥®. Ф
278
№>П Sard $3S
gt : (tx R"’1) П Г — t x R’ 1
31Ж g йк®. аж t x R’-'i^jt gl g йш#
^(тоюя
OW& @Й,Й Fubini £S,M£g(A') =
f( mA) тшж^.ж-
МТШФ X e A, - Ai+1 i +1 -,f’r,. ,^0-
дх1—дх‘"
x %*,te^-(x) #o. ^£jgja,Si = IЛШ
dx 1
h = ( w(%) ,x2 , ••• ,xm)
ttfiA ЙА;П mWW0| хК’-’ф,#^
g = F » к'1 : V -> R",
4^(0xR’-)ni'^R" зеж g ЙШМ
R- mo.fl МА;пюФй<£#£>^йй#д(ам1т
ад;
^Л(Л( n V) = F(At П V)
Й КО1,ЙГ(А(-л(+1)й
ж = ^. i ,ЖЖ F(A()
Й Й m i >
m/n -1), тзтевд f( At n r) w^«s. h^j a; fB® впит#
Д Taylor £Я,Г TOW Ш,ЙАйГЙ:3* e А;ПГ,
x +h e P0t,
F(x +h) = F(x) + R(x,h),
№>П Sard
279
|| Я(х,Л) || С с || Л || i+1, (1)
ЙЖОС С F fn г. ЖЙЖ# г з/r й г" #
ft,4- Ц й-'ЬД *,W Л йМ£М-£
^,+л,ЙФ
II h II ^Vm(3/r). (2)
Д(1)ШЖ а// + 1ц Г(ж)^ф^Й±^Ф,ЖФ
а =2с(У^); + 1М^. 0Й,ЛЛ(ПГ)й-£йЖ£ г"
V = r"(a/ri+1)" = a"r"-(i+l)".
^i + 1 >т/п,ШМ^З r-+n Bf,V->0. Ф(ПГ)'ЮЙ№£
Sard
&: ЙФ®ВЛ?1 Й [9].
& Я
x €= N ,f~l (x) Д M ft m - n Ж"? m = dimAf,zi = dimW.
/Л *)« £ * ft Я1 Ж M ± й Ф l°J M й M-*3 Я1 Ж Й (>£ IE
3t) Ш M&&7ftWi?W. &#zK¥l°J>
Й1ШО/т*ЙЙ.
ж ft м ft-gJSlBlftzKTiB]
i£v>(M,g)ft^i0U&.
(i,2)a3K«T^T;
TeF = Я? V^^F) +
W.FOlOMt
(а) тЕ м м W£l^±ftRM^^,£W*¥(SlL)^S|01
(b) ТМИЙМР ТЕ = ТП-,
(c) MTMfaW V*n w,TMW«ft,EP
Tvw = TvV.
йЖ(с)пТЖ^Д®ЖЗДй<)пТЖй^Ж.
ШП#ЙЛ(1,2)ШК*АЙ1Т;
AeF = Wxe<^F} +^^xe(^F),
'ЁлатяйЖ:
(а') Л£ >МЙ$И±ft£&#*¥( KlD^SraJ
(b') A>7K¥ft,BP4£=^s;
(c') ^TzK^ibJB^x^ Y,A >WR*mtt,BP
AXY = - ArX.
tt®(cW#T®ft3l3S2 ПШЖ
м ±-фа*|о)йМ MN ftMMujM X'
Д/Weft,вр/ЛР=*'/(Р) ,P e М. лг±Шф|ц]-1^ J'WP£-ft7k¥&
Я- х.-ёд м ft^iRjW. м ftJ? n ftiujf:
Sitlalft 1—1 st®.
5IS1 &Xfa Y^M ft®#l4j*^,m,
j# В- И И1 и
ZEIS
Л а й- лгА Ш‘ S1W z‘a ‘x ± Ф
•(Z‘ArA )* = (,Z‘,A'r, A )Л
3® №
и MB
У—4 <** to cr$ sa s Fh s * LQ tO
N 4Z II < * Ш 1—k ЙИ < * JtIhi 4;
II j*! N M W П^и № Й®
0^ 41 Дои kjTT -Й- №t
<* <* II 3 £b Mm 3-
N N H? 3 Hi
II >5 । । N । । I ^3 + £= H ah Mm 1 1 II Ml X' 3 H ж M &• 41 n} &
liwpu j*! 1 1 ж > < 4i 4
N 1 4i to 4
N । । N tM 4 M -fr 1 1
И + 3 । $ —^s. > < ЙШ >!
4
3
3
«I
(1) g(X,Y) =g'(X',Y') of-,
282
№£Ш SftiSS
(О ^Axw’i
(2) (VxT)r= -TAxYi (V¥T)Y= -TTfY.
ЯЕОД ШПЯ®( 1) ,МО^1КЙ.йЕмм
(VvA)wE = V¥(AWE) -AVrrE-Aw(VYE).
Н А МлКТЙАг =0. Й-Згш,w
AvvwE = AXVfWE = ATfVE.
нм?#(1). I
5135 £ШТЙ1ОХт1МО
g((V,A)xV,W) = g(TvV,AxW) - g(TvW,AXV).
?is6 вд удлс^млда
(1)
(2) g(( VET)¥W,X)%=? W
sis? &*лда2дж¥йж^лдмй«м!1<
^g((VzA)xy,V) = &g(AxY,TvZ),
ЖФ ^Ж^тлг,у,гш^да.
13ЕВД
[J, У],[ Y, Z], [Z,x] Ц5Д&ЖЙ. ТД,Й51Я2,у[*,У] =AxY.
HUt,
yg([[X,y],Z],V)
= g([AxY,Z],V) .
= g(VAxYZ,V) -g(vz(AxY),V).
Я-#®,
g<VAxrZ,V)
= g(TAxYZ,V) = - g{Z,TAxYV)
= -g(Z,Tv(AxY)) =g(TvZ,AxY).
Jacobi Ш^Л#
rg( Vz(4%y),V) = &g(TyZ,AxY).
ТД.&ТЯМЯ ^g( VZ(AXY),V) VzA)xY,V).№,
g(Vz(AxY),V) - g((VzA)xY,V)
= g(AVxXY,V) + g(Ax(VzY),V).
-g(Ar(^ VZX) ,V) ,ЙТ1ЖШ*
№>1
283
-g(Ay(^vxz) ,v) &#Л1
Я7^Ш«Е. I
Wffl R ЗёЖ M №m,R «ФО(О м й^ЖЖ)
ЙЙ«*.
£91 i£ U,V,W,F^м №1|»ЮЛМ^1"11Й,11
g(R(U,V)W,F)
= g(R(U,V)W,F) + g(TvW,TyF) -g(TvW,TvF),
g(R(U ,V)W ,X)
= g(AVvT)vW,X) -g((VrW).
ЙR’£(N,g’) йЙ^Ж.'ЁЙЯс^ЙМЯ R'^ ЛРМТ М й
g(R’(X,Y)Z ,W) = g’(R’(f.X,f.Y)f,Z,f.W).
£12 i£X,Y,Z,H^M IMfflgVimtW
g(R(X,Y)Z,H)
= g(R'(X,Y)Z ,H) + 2g(AxY ,AZH) -
g(AYZ,AxH) + g(AxZ,AyH) ,
g(R(X,Y)Z,V)
= -g((VzA)xY,V) -g(AxY,TvZ) +
g(AYZ,TvX) - g(AxZ,TyY).
ПЙ Lie fl[U] = 2AXY. |u]W VYZ
V'rZ. f>VrZ =V'rZ +ArZ. Й51ЯЗ
V, VvZ = V ' V 'YZ + Ax V 'YZ + AXAYZ + WVxAyZ,
Л 1 Л I Л, I Л I Л 1 '
^[x.yjZ - 2AZAXY + 2TXxYZ.
HlttW R(X,Y)Z
= V ' V 'YZ - V 'v V ' z + axayz - ayaxz -
АГ I A Al 1 Л
2AZAXY - 2T. YZ + ^VxAyZ -
A ЛХ* Л *
9^yAxZ + Ах V 'YZ - Ar V 'XZ
1 А Л. 1 1 A,
= R'(X,Y)Z +AxAyZ -AyAxZ - 2AZAXY -
2TAxYZ + VxAyZ - VyAxZ) +
Ax V 'YZ - AyV 'xZ,
Ж*,г] =о,вр/. [ X,r] =0.
284
№31
±5^
g(R(X,Y)Z,V)
= -2g(TAiiYZ,V) + g(VxArZ,V') -g(VrAxZ,V) +
g(Ax V ’YZ,V) - g(AY V 'XZ,V).
£-#И,£Э1Я7
g(^rZ,V) =g(TvZ,AxY).
ИД, Й T[X, Г] ^1ёЖЙ<1, nJ#
g(( VxA)yZ,V) -g((YtA)xZ,V)
= g(VxAYZ,V) ~g(Ax VXZ,V) -
g(VrAxZ,V) + g(Ax VrZ,V).
0Й.ЗМЙГ
g(R(X,Y)Z,V)
= - 2g(TvZ,AXY) + g((VxA)YZ,V) -
g((yYA)xZ,V).
ЖМ51Я6 |
ЙЯЗ
g(R(X,V)Y,V)
= g((Vv4)xMO -g(( VxT)vW,Y) +
g{AxV,AX) -g(T¥X,TvY).
ЖЯ4 i&xffi
K(V,W) =K(V,W) +g(TrW,TrW') -
g(TrV,.TwW),
K(X,V) = g(( ¥ХГ)^Л) +g(AxV,AxV) -
g(TrX,TrX),
K(X,Y) =K’(f.X,f.Y) -3g(AxY,AxY).
м й^»)й Gauss 3rg.
momratsm ые w
6/Я±ЙШМ$йГЙ G^G/Я
сйяйт.тйй,»! т
= Y > G ЗР X
285
Lie G ФЙ1ЕЙ#Ж,Й51Я 1 ,ЛхГ = у^-[Х,Г]ЖТ Lie
fi$i№
K(X,Y) = ±| [Х.У] I2.
И1К,ЙЙЯ4,
K’(f,X,f,Y) = -J-| [Х,У] I2 +у т*,У] I2
= у I 3^ [Х,У] 12 + I ^[Х,у] 12
Й^Ж TW£|0l с/н ЙШИЙФ.
W^-IV Г
e O-@O- m-Jh e
M,^y. [O,r]^M xQ X «ЛЕМЙФЙОМЯ ffi y'(t) ЭД
Ric(y'(t) у InJit ЭД M -y'(t) Й Ricci ft^. T
K (x) = mini—--------- - -—J—Tf (z - s)2Ric(y'(z) )dt).
OSsSrl r - s (r - s) J> J
%x*£x0 3®2) Л1]±&у М-Й;
^И.Й^Йу йй,Зс(П£Я
*(*) =
К,(х),
infK(x),
У
^х^х0 ЙШОА,
S х % х0 Wlffl А ,у х0
Й1 х
SIAWia^-
log • =log( • + 2).
жа 1(Г^ш±1жэ) ±w±#№
с2 йШ,ЭД4ЛПЧ1-®ЙА*о ем,^*м±йАЗй||Жд|см,^
(i)u(xA)>u(x0), limu(xA) = sup и*
k—tao
z..^ |„ i, 4 2(«(xJ -u(x0) +l)r(«t)
(n) | Vu | (xk) =------------------;
k(r2 +2)(logr2 +2) (loglogr2)
(iii) Ди(хА)
r - — j (logr2 + 2 ) + 2r
(r2+2)(hJr2+2)
I Vu | (*.) K(t ) _
2(‘-тк
(r2 +2) (logr2 + 2) (loglogr2)
r = r( xk) = dist( x0 ,xt) > M ± A x0 && S8L
„ , . u(x) - и(л:0) + 1
^(л) = —------------------.
[log logr2(«)]1/4
287
ВйЛ(О) =(loglog2)-1/‘Sr(liineFJ(«) =OJHMW. ел/й
#хк r(x) =dist(x0,*)4£*t W.Mffij
№Fk^xk ЩйЦ|. ТМ,
VF4(x4)=0, Д/\(«4) С 0.
nnVr / 4 2(u(xJ -u(x0) +l)r Vr
EP £E xk < Vu (xk) =----------------———,
k( r2 + 2 ) (logr2 + 2 ) (loglogr2 )
4r(Vu,Vr) + 2(u(xk) - u(x0) +1)(1 + гДг)
Д«(«») C----------------------------ZTZZ----------
k(r2 + 2) (logr2 + 2 ) (log logr2)
_ 4(u(*t) - u(x0) + l)r2[l + (logr2 +2)-1]
k( r2 + 2 )2 (logr2 + 2 ) (log logr2)
4(1 + yj(u(xt) - u(x0) + l)r2
k(r2 + 2)2(logr2 +2)2(k£l^r2)2
EU >0,Й u(xt) -u(x0) +1 >0. &M(Vr,
Vr) =1 ?П Дг(^)«^(^)(##^ЩЖ §з д®4),А±М5£Ш»£Я
Й ( ii) W ( iii) •
£ xk Д x0 x0 S!| xk ЙШНИШ У- * У ±Ж
Й—& *о х0 ,х0 хк 12
8 = r(x0) = dist(»:o,»o)-
у I [Jo.,41 W-MEJUiJW х0
Д.ЯМх) =<И81(^,Ж)^^0Ф^х0^ЙДЙ«1®ЖЙ1Й1,ЙНЛ^^
Я,ЗЫх е N-^
г(х) + 8 > г(х),
г(хк) +8 = г(хк).
т; z , и(х) - и(х0) + 1
Ft(x) =_______________.
[loglog(r(x) + 8)2 ]1/к
smw FtM = pm > p^ > pm ,
ЕРй^0Ф,®$лйх*1*1шад;кЛ. x0 йй^.вй
Ft Й Xk W. ®Wi+», чГад VFk (xk) = 0 я (xk) CO wa
x0—>«0, вр а-и),^аджяй(п)^п(1»)-
a«HJSSW(i). Й», ЙЖ^,^(^)>^(Ло),ЕР
288
u(*t) - “(*<j) + 1 > 1 5> 1
[log logr2(хк) ]lz* [logfogi]17* [log iogr(xt) ]1/4
ЙЛШ и(х4) >u(x0). lilTffiHfllimufxj) = sup u,J& if : M
sup U - £ < ll(xk) < sup U + £.
ТШ* e м
x e м s
1 Ж*-1 c | xk |
) + £ ^ li(x).
Slim I ( l^logr2 (x) )/(hikg2 ) ( 1/F = 1, E9Jtfc,ft k', W
Л'—>oo
r log logr2 (x) Л*'
u(xk.) + £ > —
1 log log2 J
u(x) - u(xQ) + 1 u(xk.) + £ - u(x0) + 1
Ft,(x) =-----------5s-----------------
[log logr2(x) ] 1/4' [log logr2(x) ] 1/k'
u(xk.) - u(xQ) + 1 u(xk.) - u(x0) + 1
[ fog log2 ]1/F [ log logr2 (xk,)]l/k’
= F^M,
BP Ft.(xt.) < Fk.(x).
Й Ricci Silt,
ЙЯI Й-МЙШЁМ
«tte дRicciттят«о,«йм±п^
ft с2 |xt|
(i) limu(xA) = sup u;
(ii) lim | Vu | (xk) =0;
A—>00
( iii) lim Ди(xk ) CO.
н. Omori [J. Math. Soc.
Japan, 19(1967) ,205 -214].
[ Comm. Pure Appl. Math. ,28 ( 1975 ) ,333 - 354].
Ht^IV
289
ww§ 1 Чй7,ЯПM
ЙШЖЙМТ#,Steffi м Ю Ricci Й$О&
4OJ, м Д®;й£ (WJ дей» жа А^ ЙЕЖве, ЙЛйГ Ж ®;ЙВёЖ й
м ±де^жй$ г.
£Я2 5Жй^|н]дей^«ж
А,и Д М ±W±^W Сг *о g
1**1 с1И,-й^
(i) limu(xA) = sup u;
Kp2 + 2(logp2 +2) (loglogp2))
,.... . , > 2m(u(xk) -u(xQ) +1)
(m ) Д и ( xk) s=--------—------------------
k(p2 + 2 ) (lo^>2 + 2 ) (loglogp2 )
x [ 1 + psup | H | ] ,
ЙФ m = dimM,p =p(xi') = | xk - x0 I ДА *o Й^деК^ЙЕ^Й|5С,Я Д
м детелей*.
JBife де|^£#Т,^м де¥^ЙЖ<#,Ш
(i) limuCxj) =supu;
k—+oo
( ii) lim | Vu | ( xk) = 0 ;
A-+00
( iii) lim Ди ( xk) ^0.
k—+oo
SS2 дежвл^тйя 1 .^фХШЙЙё&Мр.Др Д
т^Й(МЖИ> §4).
Lie .хдзткж.
^,ffiWWO:(a,4) »ab'£GxG->C ft C" HW, G % Lie
S. Lie e аж- "ГтОЛ .Lie i$±ft C~ ТОМИУЯ
С" ШЯ ,i& Lie ОД C“ «#«•
ОД 1
(1) nm^(S)l"l*SI5JR’(C',),|41>ijnfeg».
(2) ^(M)^ftSGL(n,R)(GL(B,C)),^tm.
(3) 5FW Г'.Ш^К2 фОД $* = \e™\ .iOftXMM^.r's
R/z. TM,
Г = T' x - x T1 == R"/Z".
G Lie W ,№^X»ft G Lie W-
Й G 3/-Lie ЙМП^Ф a G G,La(Ra)^X^
La(b) = ab (Я„(6) = ba) , V b S G.
SB,L.(7?J»^RIK,W>JW
l;* =l.-i (я;1 =«„_.).
ЙЦС±ЙШ,№<фабСМ
(LJ.X(b) = X(La(b)) = X(ab), Vbf=G,
BP
(LJ Л = X,
(L.).[X,Y] = [(L,),X,(LJ,YJ = [X,Y],
вр[х,у]^>етад.
Lie W G Lie G ft Lie R
St.ffl g^TK-
№ IpJ * SIhJ , g Й $ T G ± {J - A ft Й SIBl, ft SO N $ T 7Ё ft Й
SIB] TtG. йй,
dim g = dim7\G = dimG.
WSV LieSfcJSS
291
002
(1) Lie$R”ftLief^£g=l¥^SI&|.
(2) -^tt^G£(n,R)ft LieRMg = gZ(n,R) = I « x n
ЙЧ-
(3) #M£WSG(n)ft Lieft>>
g = (A G gZ(n,R) | A + AT = O,trA = O|.
(£о)*й>(6) = a>(L~i(b)) =ы(а-1Ь), Vbf=G,
BP
( A ) * w = a>,
1ШЖ &> G ±ft£T£ 1 Maurer-Cartan
ш(Х)=П, da>(X,Y') =-w([X,y]).
Й Xt, - ,ХЛ Д Lie R|!C g <*', - ,a>\ ТД,
= ^c*^,
к
dw‘ =- У, Cjka)J A <o* (i,j,k = 1,•••,/»)
G fttgfc£ig,j£ Maure-Cartan
+Q. =0,
X (q<* + c;c‘mi + czc!mj) = 0.
m Lie i-чкойм с- й.шт
&(iw$).i# аш(ю^ v
Й-Ф«Ш^Т АтСЮ-Н С£(п^)£|в]Й-фЖ#РШ,AW
Aut( Lie W.£WLieR$> V±lWI£gl^»,ffl End(V)
ЙСА- Lie ЖЮЙ G 4>- <^Aut( V) , £
Ф G Lie g Й — <A: g—►
End( V). пШЮЛ G М1ЯЙ <A: g—>End( V) Pg-itH
ЗЙ/ё—<p- G—►Aut(F) ,-^Ш d<p =ф.
i£ h,g >МФ Lie w H SEM G WTW ,XД G IftgШ
H % G ft Lie тS. I«l^ <P-R^G ш G ft$#»T
& g > Lie W G ft Lie T>,MT X G g,
Vi6R,
dt
292
MSV ЫеШЛЗЙ
Uc^W
exp* • R —> G,
dexpx(t-y-) = tX.
dt
ОГВШ exp: g^G £X3/ exp(X) =exPjr(l), V* 6 g.
<p: G,^G2 > Lie $ G, G2 ftIW£,МТЯ)ЭMTO&W :
Ф
G1-----—- G2
exp exp
BP
(p ( exptX, ) = exptd^p ( Xt ) , V Xt G g, t G R.
Lie $ G ЙЙ Й 1ШО i- G x G^G,%M
i(a,x) = axa~' = ia(x) , V a,x G G.
МТЖфа G С,0ЙИ^»а Lie g Й-ФЙ Й ЕЙ dia :g^
g,i23z
Ad(a) = dia, V a G.
S* Ad(a)e Aut(g),i&ljW
Ad; G —► Aut( g) , a h-> dia
M G so Aut(g)±№-^a^,»* G
а</ ^E/K, BP
ad = J(Ad).
G ---Autfe)
exp exp
g ------Endfe)
ad
BP
Ad ° exp = exp ° ad.
ш/Й«|ЖЖЙйТТЯ#^:ЙХ,Г,7 G g.^l]
adxY = [X, У],
a</x[r,Z] = [adxY,Z] + [Y,adxZ].
WSV Lie&fcl»
293
Liej$G№4’'C'>JM'£|a 6 G\ab=ba, V b G G). G
ДЖЖЙ.Ш G №Ф4>>#1Ш£ЖЙ&,0М G Й®TW(##[ 12]).
Lie G ft killing B' g x g^R,^*
B(X,Y) = \x(adX ,adY) , VX,Y G g.
£ В Д#Й ЛУ G ( g )> ¥ #. ft ( semi-simple ); £ G > ¥ Ж Й , Я
&T e ft G ,&WM ,» G ДЖЙ(simple).
^i£Bj,Kiiiing^MM,£*g 4e
5'JW
B( AdaX, XdX) = B(X,Y) , Уаес.
iHJf,
B(adxY,Z) + B(Y,adxZ) = 0.
-»ОЙ Lie ИМ Lie
Lie ЙЯЯ Lie ft»
Lie$ Lie ft»
G£(n,R) = j A G gl ( n, R ) | detA 01 g/(n,R) = |nxn£®$[ 2 n
S£(n,R) = |A G GL(n,R) | detA = 11 sZ(n,R) = |aGg/(n,R) |Tra=0| n2 - 1
1E£$ 0(n) = |A G GI(n,R) |ATA = 1[ o(n) = jaGgZ(n,R) |aT+a=0| n ( n - 1) /2
WSfciE S0(n) =S£(n,R) nO(n) so(n) =sZ(n,R) По(п) n ( n - 1) /2
-ЖЖ Mi Ы. TtV GL(n,C) = j A G gl ( n, C ) | detA # 0 ( gl(n,C) = 2n2
5£(n,C) = |A G G£(n,C) | detA = 11 sl(n,C) = j a G gZ(n,C) | tra = 0| 2(n -1)
ww G(n) = |A G G£(n,C) | ATA =I\ u( n) = j a G gZ(n,C) |aT+a=0| n2
294
ВДЖУ LieSW
Lie Lie П»
1НШ w SU(n) =S£(n,C) nf/(n) 5tt(n) =sl(n,C) Ciu(n) n -1
ЛЕЙ Sf O(n,C)= |A G GL(n,C) |ATA=7| o( n,C) = (aegZ(n,C) |aT+a=0) n( n - 1 )
Sp (n, C) = |A G G£(2n,C) | ATJA =J| sp ( n, C) = |a Gg/(n,C) | JaTJ = a} 2n(2n+1)
w Sp(n) =5p(n,C) AC7(2n) sp(n) = sp(n,C) Clu(2n) n(2n+1)
Sp(n,R) = j A €= Sp ( n, C) | A = A} sp(n,R) = j a €= sp ( n, C ) |a=a| n(2n+1)
ЙО M Lie ЙЙ 62 g2 14
Л k 52
E6 e6 78
xjiv ^rr e7 133
£, e8 248
Lorentz w G(r,n - r) = |A G G£(n,R) | r| g(r,n-r) = ( a G gl ( n, R) | a К + Ka = 0} n( n - 1 )/2
/О -М / -I, О V
U О ) О 7..J
й м М-Ф С* , G М-Ф Lie W. 0f Ж G £ft ffi £ М ±,
<£ G > М ±ft Lie , <ВР<-ф С" ЙШ: G х М>М,
(1) Ш е GWO4WlslB^«*,V* ел/;
(2) МТ£7U е 6 G,ех = х. Vх G М;
(3) а; ,а2 G G,х 6 М,JplJ a2(atx) = (а2а, )х.
(3') (ха1)а2 =х(а1а2).
ИЖС&тм ±,)UfW* емМ
Gx = { ах I а G С |
W3/ *ЙШШ(orbit). g Gx = |х| ,Ш*1 Gm^.^Gx=MMG
йл/±nTa№ftffi. ЙММ1£-у ем,й< су = л/,ВР#Ш^МД*,
У е М, G Ф%Ж а ах =у. £М ,М
йС(£)№Жйм±,МТ-Д* еО£
Нх = | а I ах = х}
m g w-ttw,^ * ай№О1йт».
f=DmHx’
^&Gm^.^F={e} ,ВР1^^7Се^СЙ<)<ф^аМ^^Л/Й-
G й М effective). £#£££ х е М,
& Нх = е,MlJW G * М ±6<)ftffl> Й Й Й( free).
& Р,М ДЖ^ЖЖ.С > Lie W
(1) 6 ЙЙЙ№№ЖЙР±,ВР^#Йа е С$Ра=Р,1Д!1 а=е;
(2) МТ «1 ,«2 е P,^fW—7G а е G -fif и2 = Mja, Д!]^ и2 а1,
ййи, ~и2. = ТЙ 1Т-.Р^М
n--1(x) = {uala G G,tt(u) =x G x P ФЙ5~T
Glnl$;
(3) Рйл/±>ЯМ¥ЯЙ,ВРМТ<£М* ем.^йхй-'МШ
t/CM »-W^|n|K<P:i7’l(f/)^t/xG,^^<p(u) =(тг(и),<А(и)),
ХФ ir(u) e и,ф(и) G G,Mu G ir'l(U) GP,
ЯР 8 f П Ш (P, M, G) > - ф ± &, P ± & R, M В Ж £ Гв|, G
296
М •
^-Ф^е,ШП#тже«±1^тт&А. i£ м Д-ф т
OW,4O* емтойИ т.м Ф^^тф^йй^й-ЙЗЙЖ
е1,-,етМП-^(х,е1,-,ет). ТМ
х а е
С£(т,7?)-ШП:
(еЛ"-,О = («i."-,em)a-
^СЬ(т,Я)Ж£1^:£Ж.^ЦМ) =U F*
(£(М) ,M,GL(m,R) )$Ж-ф±А>» М ±ЙШ1£&ЖМ.
0®]-ай±А(Р,м,С),-Й17:Р^м^йМ&^. и е
P,ir(u) =х 6 М. &F, b^O,W£« ЙЯ£И,У.
& fx * и йй^и.нжд тир й-ф^£|н1,^й и Айкжтага.
Й Т F, jg G ,Й V. jg Lie ftlfc g РШ
±Д(Р,Л/,6)±1Й-ФЯ*&Д Р±Й-Ф m( = dim Г,
ВРМШ и 6 р Jg^-ф m я„сг„Р,Ш^й и AWzk¥TS
Гв1,$штт<4шж&:
(1) Tu=Vu®Hu-,
(2) мт<ф а е G U е
dRa(HJ = Нж,
ВРЖТТ^Ий G
о) 5Н> гдяйт
еж Р и е Р,Х„ вПШй
х„ = <vxu +лхи,
£фФХ„ е У„,ЛХ„ f=Hu. МПШЙОМ-й. ^{ф(3)^
йс< фх„ я
Я*, И( Ж¥) И (£Ж) 1ч1*й.
G ййй№еж#р±,йм<£и е
P.tn^aHue.Ve е G.'S№Wfftlt>du:g^7’uP.^^P)^P
±ЭШ 1^Й^Й^|н1 о- и?-кЯ р) #ПТ :
<Т(Х)„ = du(x), йе^
М LiefW±|0jl$lHl£,-E<r(X) =Х G ^Р).
=вл
dir(,<r(,X) = dir о du(X) = d(ir ° и)(Х) = О,
ЙДЙЛ tt°u-.G^P^it(u) =х е М ДШЙМДЖ d(ir°u) =0. Й
297
е v„. o-:g->v„ Д-MW й® (T-’-.^gM
IW
Я№(Р,м,С)±ЙО Г.ЮёХ г iftfm 1 ]&*, а> %
<w(j) = О-_1(ФХ), Vxgj^p).
Мй,
ш(Х) = <w(o-(X)J = <г-1 (^(a(X)J ) = o-"‘(<r(J)J = X G g.
a> г ЙЖЖВЛ.'ЙМ g ЖI ВХ *> вшт
a €Е G,
а) ° dRa = (Ra) * со = Ad(a-1) ° o>.
»^±,^^0=о,ШйЙХш(х„) =o.i&BtJ„=^xu,(«a)’w(Jj =
a,(dR,(X.)) = a>(dRa(^Xu)) =0. ЙЙ#
(RJ'^XJ = Ad(a-1)<w(X„).
%X„ ДИЙ.ВР X, G V„. B^<r:g-^VU
dRAX)&№% й « =0 &ЙЙ1^Ж. I a-x<p,a) * g ФЙ
ФЖтШ Д « £ e & fa Ж , Й «
a>(dfi.(Xu)) = ^(a-’^a) I
dt I r=o
= АсЦа1)*. = Ad(a-1)«(AJ.
О(Х,У): = du^X,JiY) = Vu(.X,Y).
Sil (Cartan т8)±&±Й1О^®»|11|Ж П W>£
da>(X,Y) = - [<»(Х),ш(У)] + П(Х,У),
ЯФ[ш(Х),®(У)]Д g ФЙ<1 Lie ЖЖ Л,У S ^P).
йЕВД Р±ЙЖ¥1^
(i) ЙХ,УЙ5Мт1с¥1"1Й^.ТДй>(Х) =а>(У) =0,JtX = X,JTY =
Y. SW,±i£3fS$$ fl Й9ЙХХ
(ii) Si,rostl»lt^ ТДЛ1 = ЛУ=О,М fi(A,y) =0.
iBW
du(X,Y) =А(«(У)) -У(®(Х)) -w([A,y]).
йй,й>(1) й g Ф WM, Affi
Х(й»(У)) =0. Inis У(ш(А)) =0.
я-#®,
298
<M[X,y]) = [<йт(Х),<йт(У)] =0,
ВР[х,У]ШМ!£ЖЙЖ®. BPt,
d<o(X,Y) =-<w([X,y]) = - <r'’([X,y]) = - [<г'1(Х),<г'1(У)]
= - [ш(Х),ш(У)] =- [*>(*),«( У)] +П(Х,У)-
(iii) ОМЖЙЖПМЙМ. ТМ,^=0,фУ = 0. й
(ii)ft Х(о>(У)) =О.ХЙ^И(У) =о--1(<УУ) = 0,&Х(ю(У)) =0.
т&Х' eg,®^<r(x) =хе. £Жй<)«ЖТ«М!1й
RfMu=uf(t)^XH ТМ,
[Хе,У] = SXY = 1ппу(^(1)(У) - У).
ИМ Y ,й <й?,(() (У) ШМЖ¥Й- Вй, [X, У] МЖТЙ- Й#,
ю([Х,У]) = о-'ЧМХГ]) =0, da>(X,Y) =0.
Й-Ж®,
- [<и(Х) ,й»(У)] + О(Т,У) =0+0 =0.
ЙШОЛТЖЗЙ1.
ft vft *
VO(X,y,^) = d(l(J!X,<#Y,JlZ).
^12 (Bianchi П
Vft = 0.
15ЕВЛ Й Cartan
Vda>(X,y,Z) =- V[«,a>] (X,Y,Z) + V(l(X,Y,Z).
В*
Vda>(X,Y,Z) = dda(^X,oKY,^Z) =0,
V[w,w] =0.
Вй,йй2#ж.
1(М)^^1,й Г > L(M)±ЙШ^,МЙ
Lieft^g/(m,/?)69 1 Ж^.Й^/(т,Я)Й
-ф®*(£»,£12,-,^,-,£тт) ,3£Ф mxm &₽£,'£Й<)Я1 i ff>
j ?!1тйЖ^ 1 0. тм ,<И яажй
а> =
а»
Е.ЕЫ = {°’ (i,j,k,l = l,-,m).
1еи, (j = к).
299
ал,
[ш(ЛГ> ,ш(П ] = [M‘(X)Elj,<ytt(Y)Etl]
= ^Ш‘(Х)шк1(У)(ЕуЕы - ЕЫЕ.)
= IX л Шк(Х,У)Е,.
foci =
da>'(X,Y) =-а»1 Л a>-(X,Y) +(l‘(X,Y).
§1 3.1.1.
МЙ1Й1В1Й Gromov-Hausdorff Eg Ж- й (X, d) l-fm
d(A,B) = inf \d(a,b) I a G A,b G Bj ,
5ДА) = | x G X I d(x,A) < ^ |.
A В Й Hausdorff ЙЁЖ d„(A,B)fe%%
dH(A,B) = inf) г?1 4 C S,(B),В C S, (A) |.
апжжш
T и -ФМ X jg Y Я1 u да ЙОсЛ>^,Я'Ш1ГШ^Г X Jg
Y Й Hausdorff 1©Ж d“(X,y). и ±^ЙЙ1</“ ШП,
^=Г diam(X) < оо ,diam( У) < оо ,и ± d';
d'(х,у) ; = max) diam(X) ,diam( У) | , Vx G X ,y G У,
d'lx =x йЖ*Х1г = У ЙЙ*. Sjtfc.u
X У Gromov-Hausdorff 8ЁЖ ^(Х,У)^> :
dG„(X,y): =inf(da(^,nid“ и =XVY ±6^#®* |.
M,
</ся(ЛГ,У) max j diam(X) ,diam( У) !.
^М®ВЛ ,МТЖМЙ$ГЙ1 X Jg Y,dGH(X,Y) =0 да^Е^^М X Jg У
W.
ibj. пцдиевл ,(м^ся)>м^ж^^>да o#[PeD-
& nc (м,</я)й-?1. n Фда#-^т« <ww
N й </сяЙЯТ>Юда (Precompact). ^/Т^ЖЖЖЙ
да^<£, 3№l ЛТЯй-^. й (X, d) ЙЖЖФ Гв), ХЖ£- Е > о, £ я
Сар(Х,₽): = Хф/5гё£да £/2^даДАФ^,
cov(x,ff): = ивм* дат £^дал/ЬФ>.
-Жй,
Cov(X,2z?) s= Сар(Х,₽).
1980 4₽,М. Gromov ^ТТТОЖМЖ.
ЖЯ1
301
(1) NfcMOtm
(2) #OSF:(0,fl]40,®),O
Cap(X,^) F(e) , VX G N,e G(0,a].
(3) ^ЙЙЙ^:(0,в/2]^(0,«
Cov(X,z?) s= F(s) , VX e H,e G(0,a/2].
JBifc e(0,oo ),Ж£
N( m ,k ,D) ; = jm M I RicM > (m - 1 )fc,diam M D j
M^TIRIOI RicM аж м й«| Ricci ft^.diamM аЖ M Й
ж®.
йТЙ-^ШЛМЙЖ,ШГН1А й«е
Ma- Holder 1^Й,ЙО^0»1“Ф ,Ж M »
с'^ш. с'’ашт м ±<-ф с°
-jU ем №ЫМ<1(Хо, • ),№г0 й9<ФЯйк^
Ф>Дх0 <?•“№,#£ Holder WR-lg М
С^^т. Cheeger-Gromov 1|ШЙЖМЙ ЧГШЁЙТ.
ЕЯ2 )tfTae(0,l],m^2,l0,Ke(0,oo),3g£
M(mJ,i0): = j m M I I RiemM I s£ K, injM > i0}
£ C’'“W(a' <a)if ЯТЙЖЖЙЗР м Ф£М1тЯ! (M^) I 3₽w
£ C’’“W(a' <a)MTftO-^ (м ,g) Й^)Т
/’gi4* g. si RiemM аж м йажйж,
injM аж м йймтг.
йтм c*sM^,®«fih,±sE
(Mit,gj л^жмжярш,.а
мж«« м. s nt ,шп«тптй<1 #₽&шйж
Жт& йм(тЛЛ)ФМ£ЯД<К£ФМА^Ш#РШйШ
|д, ююа 2 яйт^жтятжйшж
03 ЯГТ а е(0,1] , т>2, K,D,v G(O,a> ) ,
302
M(m,K,D,v) ; = ( m M I I RiemM I s= K,
diamAf D ,Vol(Af) > w}
« C*’“'ffiJb(a' <а)ЖЯТДЖ^Й,МЭ) ЙЙМфЯ
Й^ЯЙДОЛ ,®«»Т1?>ЖЖ±1$МШЖ1^й1±,ВР
Laplace ЯМИчТ>^[Ре].
1990 ^,М.Т. Anderson
^МЙТ.ШГЙЯЗ ЙТ([Ап]):
SS4 ftfa S(0,l], т^2, X,D,i0 е(0,оо),
M(m,X,i0,D): = | m Af I I Шс* I « А,
injAf =5 i0, diamAf D |
Й <а)ЖЯТ>ЙЖЙ,1&^ С'"$Ш. ЙЖ М ФЯ
WWI^£^W^KlW^*J.
Ricci йЗ*ЙШ
ео. а-^й^пг>^[Ре].
1995 4₽,Z.M. Shen ЖЙ^ЖЯЖГ®] W± ( [ Sh] ). т£
(^,g) J=Af^Af Д т( Ss2)-Of« М
SiJ(4/,g)W<lESA,i2^(Af,Z) Af. Ж-
M/m.A,») : = i (Л/,У) II Af\ A,Vol(/) « t>| ,
ЖФУоЦ/) ^(A/,rg)W^-
* лЁД 5 а €: (0,1 ] ,m^2,A,v (0, оо ) ,Му( m,A,v) Ф£ЕМ
-1(Л/(,У)LBP ил(м;)
с1-“'й|Ь(а'<а)йяТДЖЖй,й:^с1’“^ТЖЖ(л/0,/0).
GauSS зт,^жж,йЯ5 фшм/ш.л,»)
чТЯТИЙШЗ-^:
M'f(m,H,X,v) : = ( (Af,/) I I trAf I s£ H, R(f) >- A, Vol(/) s£ »| ,
ХФ^ЙЙА^Т^Й^.ЖЛМСЛ/.Г^ЙИ^ЖЙЖ.
[An] M. T. Anderson. Convergence and rigidity of manifolds under Ricci cur-
vature bounds. Invent. Math, 1990,102;429 -445.
[ Ch ] J. Cheeger. Finiteness theorems for Riemannian manifolds. Amer. J.
303
Math. ,1970,92:61 ~74.
[GLP] M. Gromov,J. Lafontaine,P. Pansu. structures metriques pour les vari-
eties riemanniennes. Paris; Cedic/Femand Natham, 1981
[Ре] P. Petersen. Riemannian Geometry. GTM 171 ,Springer, 1998
[ Sh ] Z. M. Shen. A convergence theorem for Riemannian submanifolds.
Trans. Amer. Math. Soc. , 1995,347 :1343 ~ 1350
1. МЭШ
Й м > Hausdorff |Bj. М ±#£-j£ ?Н₽$ ! ( Ua,фа ) ( ,ft
Ш и и« = м,фл^иа$]с° ш^ФЛЮ^М^Е.Фр'Ф»-'#
фа(иа П^)±>^Й,ШВЛ/М-Ф (Ж) пЖЖгтхетеА
д е 1/всм,шпчшвг± с" 4”£imm<M<7)G
i£^z = (Z] ,---,z„) q
«и 1 I tIOmB.WmfO.
Я 2 йСР"йС"+,ФйЖАй (Я) Ж^Й^Ж^. Вй С"+1фй:
ШШ1Шй i±ft-£z = (zo,---,zj#oft&£,BjltW
СР" = ([z] #0 eC”’|/|[z] ~ [Az] | , VA G С”+1\Ю!.
Ut={ [z] ^Olz^O! ССР",ЖЙ
» U, Sil С"
ФЛ[^о,-^]) = Vi = 0,-,n,
\ zt zt zt zt /
ЖФЕ®/: =рЙф((Ц П^)ССЛ±’
Фг = (/)^
>ВД£*Ш;ЙЙ,СР" М-ф (Я) пЖЯМ.М
Й;(20,-,^)^* СР” ftjt,
СР1 с и | 00 (.
*fC" + I\(O| +WA(z0,--szJ^-Mft£[z0,---,z„] G СР",^
<ПШО]-ФЙЙ&^ 7Г;С" + 1 \ |0 I ^СР",^< С’ =
с\(0| дал,с"+,\]01^> СР" ±1Д С*й^$
ШПчШЛЗСР”
ZjZj = 1 ,
-Ёй с"+1-и2”+2Ф^хS2"+1. < 77 ЮЖ S2”+1±,^
305
$№& ^:Я2“^СР“,Д<ДЙ1ЖЖМ1И 1 М$Ж
w. Bft,s2"+,->cp“ s' s2“+1W Hopf £F£t
ft. a^SilWS1 ВДОШП l^»WR/Z;WffllWA =e?’w^
0 = 1пЛ/2тг1 e R/Z,S2n + 1—>-CP" ifeW'fHM R/Z
,^1ПйШ^Я Grassmann Ы
GM(C): = U(n)/U(k) xU(n-i) ,Дф U(n)% n®m. @j!t,CP" =
G1>n+1(C).
W3 i£A = Z‘cC-
WW С"/Л±Й-ФЯЖЖ^Ш *=2n0t'g>^gCM;lfcBt
CVA
0H Hopf ДШ^Я*ЖёГв]1С2\{0) |/A,X«|U&Sfcw2z£
й m ЙМА1Ш&АШ1 jt СР"
ТО О (Я) пЖЯ’ЖЖ,(1/,Ф)М-Ф<Я^ШЖиу!й4₽<
Ф *,- =х. +1У,.,ХФ i = 2п
ДРе [/СМ.-Й^РШ
(Z!,— ,Z„) !-*(*! ,?!,— ,*„,/„) ,
C" = R2". йт dzt=dXj +м/у/,ЙЖ^1МЙЯЙ*^
А 1/А_( П.
dZj 2 \ QXj dyJ
J(—)= г-- J(— } = ~t~- (1)
\ dxJ ду1 \ Эу/ dXj
««“Чй =« «Ч-'sb)=®*-*{s;}, ®{< *“T T'M №
-^ЯЖ. ЙЙД1)&£Тте™±Й-ФЙ1^,ШЯ J2 = -Id,^
Ш тм
2. 5&Я»
-Ф (£) «м±Й5&Я£ёМЙА гм±ЙИ^ЙчГШ(1,1)-
J2=-idp, УрЕМ,
ЙФ id ЗЧШЛ ±-Ф^Я^$йТ#$Я1Ш с £ тм
±Ш,О тм $3/-ФЯ1«1>2А. Д^Я^Й м М5&Я
,^яжж мм2пшй,дфп>м мт. ж ,^я^
306
J WT м JeJ
IbJ Й.
J МШ т*м = TM®Rc mm#
ЙЖ^М:
TCM = T'M®TM, (2)
ХФ,«Ор e гмд«£ГМ,)Дх№Т4ШШй + * (^-0
Й Jp WM^IlaJ. lft-ФЖ^Д T'M ГМ Д
^ТМЙ-^ЯШ
м,ж« (tft-WB)
и ±ШЖ%№ Д-ФЖ«ЙМ
Л Й#,яМГ-ФМ:е-Ф^Ж^
3 п =2 «жмтам.
й j 2п ж^жжж м де^ж^т шп£ж j ййо-ф
(1,2 )-s W£ Й Тл£:
N(X,Y) = 2| [JX,JY~\ - [J,У] - J[X,JY] - J[JX,Y~\ | , (3)
K^x,Y e Г(ТМ).^-^Ж^МХ^Й,ВР л^о.ДОЖЛкТ&Ж^
$JM чПЙЙ§.
1 (Newlander-Nirenberg) -ф^Ж^^ДЖ^^^ЖХ^'Ё
ffiW ЙЖШТЯ«Ж£Й*)М^£т ^ТчГ^^^Ж^^МЖ
й^=х4+»п >ж»м ±йжмвж. йх„+4 =у4,^тм
±ЙЖпР^ЖШЖ 1 ха ) ,1 ^а,р,---^2п. '§
/(d«) = N(da,dfi) = N^dy, да =-^-,
Й(3)ШП<
л^, = 2(гаэ^ - /рд: - /гм; + w:)-
Й (1) пШ, Ж^^ J W#* Л Ш ,N^ = 0, ДЖ N = о. □
ТИШП^Ж#Ш2). Т'М (^ ГМ) wa®W^(i,0)-S* (^
X = и + и,
i/w WJJl(i,0)-a W (0,1)-ЖЗ₽#. ££,Ж#> г/*пй^-
ЯШ
U = ±-(X-iJX), U = ±-(X + iJX).
307
ФЙЙДДтм SI] Т'М ±й-Ф с ^й^^^пД тм ?1]
гм_ыя-ф£
±£ Т*м
А'С(М) = £ АР(Т’М* ) ® Л'(ХМ') : = А^^М),
ЖФ Лс(Ю = ЛЧЮ®С Д С-® г^Д,Лр(ГМ* )]fl Л’(ГЛГ )#
ЗШж гм ft ГМ ±Ю С-^Й Р S^Aft q Ж^Д- Д А(СР1,) (М) Й7Ё
Ж» (р,9)-® (Ж) Я^.^ЙВДТ&ЙЖ:
(i) е G Л^” (л/), Ж е е л^ (М), йй(Р,Р)-»^1
£Й9;
(ii) % a GA(cp^(M),n.^ SA^s)(4f),WaAj8 е Л(ср + г’,+,) (М);
(iii) dA^ (М) С Л'Г2-’’1’ (Ю ©A'r1’’’ (М) ©Л^’+1> (М) ©
Л*.Р’1’, + 2>(М) ;
(iv) AcP,,) (М) =0,^ р > п q > п.
Л1(Л/)±^Т-ФЯ»Ф,'Р5Й*
jeW, = -e(jx), вел’(^), хег(тм). (4)
/ВЙ£ШФ л* (4f) ,ШП1Г
j<p = i(q-p)<p, <р е Л<.РЛ)(М). (5)
$Я 2
( I )
( П) МЖФ(1,0)-Ж (>£(0,1)-®) Lie Ф
(1,0)-® (§£(0,1)-®)
(Ш) ЙОЙ» G А(СР’Ч)(М) ,d0 е Л<.Р + 11,)(М)©Л^’ + 1>(М).
ЕВД ftffi( П)е$.(Ш).й0 е Л<?'0)(М). U,W е Г(ГЛ/) ,1ЭД
( n)^Bg
d0(U,W) = U(e(W)) - W(0(U)) -e([U,W]) =0. (6)
Ш&ВД ^^^(O,2)-®^*.^fHW,^0 G A<°’1)(Af),M( П)^ВЛ
d(?^^(2,0)-®5». й* A* (M)MMi Ac°,0>(4f) ,A^’0)(M)^
А^1)(Л/)ФЖ,Й®СЖ0ЛТ(Ш). £±,(Ш)Жб)гйВДММй<1 e e
A<?’0)(M),W ^( [ U, it] ) =o. Ий, [17, if] 6 г(ГМ). ЙШЖВЛТ
( П).
МЖ( 1)«(П).йи1(^) Z = 1Х -i]X,Y -
i]Y}. ТД,( П )$±^W^ Z G Г(ГМ). Я-^И,ЖйШЖ|Ш
2(Z + iJZ) = - N{X,Y) - iJ(N(X,Y)).
308
fi^,z + ijz=o z e Г(ГМ). ЙЙ,( П
WJ e r(T'M)^ N(X,Y) =o. йоимт □
д-.Л^ЧМ) ->Л^’,>(М) , д-.А^^М) -> Л^’’+1> (М),
d = д + д,
д2 = 0,д2 = 0, дд + дд = 0. (7)
ШПйШЙЯ-(&)
dc =-Г1<Н<р = (- lYJdJ<p. (8)
de = i(d - д) ,
д = у(</ + idc) , d=±-(d-idc). (9)
Л, Ж ,
(dc)2 = 0, ddc + dcd = 0, ddc = 2idd. (10)
а d'^d".
A(cp-”(M)^&a0=o,M0W^a-ffl^;W^ft(p,4-i)
Ш^<Р&$д<р = 0,М
WW
ШМ Й Dolbeault ±Е^,'Ё^{ЙТ£ЖЖ W de Rahm ±|W|^^
§3).*>wx^bmujwc* oDWwm
IzJ <ct.i%a e G A^’-’^D),^#
й D' CD Й,aj8 = a. Д Dolbeault-Grothendieck -JIЯICh:.
3. Hermite Я1 Kahler Й1
J ШЖШ. M ±ЙШ<М g
gtJXJY) = g(X,Y), УА.УеГ(ТМ). (11)
ШМЙЙЗ/ M ±W Hermite fti;ВРЖЙ g M J
g $J Levi-Civita , ЙР
309
VJ = VXJY = J VXY, УХ,УеГ(ГМ), (12)
Hermite ЖЖМ Kahler Kahler ЖЖЙЖЖЖ( M,g) В
% КаЫег 'ЖЖ- Hermite Vp e M,Jp Д TpM ОД-
4-W;И Kahler
Kahler
ЙФ0ЙЖ- ХФ Kahler ЖЖ g,M3W
R(X,Y) = Vx Vr - Vr Vx - V[x>r],
ЙФ ,Vx,y e i^m.
«з
(i) %g > Hermite HJ g(X,Y) =0, \X,Y S Г(Г'М) (
Г(ГМ))';
(ii) Kahler жж,Я ^ЖЙ»Й,ЙЯ(*,У) =0,V^re
Г(ГМ)(^Г(ПИ)).
ЖВД Hermite ЖЙЛ, re Г(ГМ),Ш!|
g(X,Y) = g(JX,JY) =g(iX,iY) = -g(X,Y),
KW'^g(X,Y) =0.
M 3f 1ЙЙМЙМ z, W, Kahler ^^(12) а ВД R(Z,W)X Д
(1,0)-®. BUt,£(i),
g(R(Z,W)X,Y) =0.
g(R(X,Y)Z,W) = 0.
ЖЖЖ м ± Hermite ЖЖ W КйЫег ш Дф( 1,1) ® 2-^ ( Ж
#1-фОй?),т)У
ш(Х,У): = g(X,JY) VX,y е Г(7’СМ). (13)
a>(JX,JY) =ш(Х,У).
4 Hermite ЖМ Kahler ЖЖЙИ^^^^^ Kahler
ERB g > Kahler ЖЖ, Ж g ФП J Levi-Civila V ,
ВЙ,Й(13)ЖЯЙю£^>ТОЙ. ЙЖНЖЖ- 1Г^(3. 2. 23),
Ш (M[KN],p. 148)
4g((VAJ)y,Z) = 6da>(X,JY,JZ) - 6d<a{X,Y,Z).
В Ж, d^ = 0, M Vx J = 0, Д Ж g M Kahler ЖЖ- □
Я 5 С”±Й Hermite ЖЖМЙТЭШЖ:
310
#= X dz> ®dZi’ (14)
Ш (Ж)
ШЖ^КЙй. ЙЙЙ КйЫегЖ^М
ш = _ i X dZj Л dZj,
ЙЙ^МЙШ.
^ЛСС” С"/Л±,Й(14)^ЙЖЙ»
С”/Л±ЙЖЕЙ*.
Ш i£(z0,-,*,.)> С" + 1фЙ^ШЛЕ^:С" + 1\Ю(^СР"МЙ
ШШ OJaL §i,^J2).i^[/cCP" М-ф?ГЖ,*:г/^С"+1/1р}> t/w
шя-, ВР Z MWJ£ тг °z = Id й£йО. 2-Ж^
^г'.^с"+1/;о|мй-ФШЯ-,ж^'=/^,йФ/м«^й> (вр
¥=о),а
- 4iddlog I z' I 2 = - 4idd( log I z I 2 + log/ + log/)
= <o - 4i( aalog/" - ddlog/) = co.
0йММ№>1«,Т1<»
CP- 1,1)Ж 2-1&&. йТШЯ о> M1EW.-Щ-^ЙЕММ
1/(п + 1)чГйЖ^ДЙ СР" ю^£-ААЬ371Е,
M#$-&i$&iE.i£iwy=z/zol > СР" awjft и0(z0#0)
В.ЭДД и0 ±ЙШЯ-z = (1 ,w.,-,w„) ,шп<
са = -4iddlog(l + £wyw ) = -4idl-з;-—I
\ 1 + ZWjWj)
^./ Xdwj f\dWj (XWjdWj) Л ( EWjd Wj)
\ 1 + У, WjWj (1 + У WjWj )2
££(i,o,-,o)At,ttW
<a = - 4i У dwj /\d Wj > 0.
Й(13),шШЙТ СР" ±Й Hermite Жй
g=4
(1 + E wjwj) ( E </wy®</ wy) - ( E WjtfWj) ® ( E Wjd Wj)
(1 + EWyWy)2
(15)
Fubini-Study St. SM.Mti Kahler ft.
Я7 ifc д 1Й **^2z4,1 W^IbJ
( С” \ 101 ) /Д^ Hopf £ иS1 X S2” -1.
i£p,<7>0M». ilii Hopf*FXt OJaL §1,®|2),ШГЖ®1-Ф
wtsvi
311
ЯШ (&)2-Г|адйт
-п-:«2"и х S2"+I -> СР" х СР”.
ШПпШ^£й|0] $2р+1 х$2’+1-фЖ£Й*1 $2,,+1 х$2’+1$й-ф
Ж '№, W % Calabi-Eckmann Ж Ж1 “] •
ЙШтЕВД( [Ch] ,р. 59) , Hopf Ж И Calabi-Eckmann WOt
Kahler Kahler Ш <fM?M ЙЙ1Ь OJ.
4. Ricci
i£ м >Ж п ^ЖЖЖ, {z,, - ,z„! >JFW исм Ф ЙШЙРЖ№
^riE-z, = xj + iy-j ,1 =gj ,k^n , ДО] j xt ,yx, ••• <ЖЙЖЖ УСМ±Й
1ч11Ш
z = — = 1 ( э _ i JL] z-. = A = А/A + j А)
1 ’ dZj 2 \ Qxj 1 ду/ ’ 1 ’ dZj 2 \ dXj + 1 ду/
#ДО]М(1,о)Ж^,1)Э№,^#Ш-ЖЛ#ДО]М
dzj = dxj + idy], dzj = dx}. - idy^
df/dz^o.
M±6<)±$ftl41>M (1,0) 3!Ж1ч1й^^,-®#Х^Т^Жй^^Я
|Sc/,z/>^WAnMM»W^z =
dzt
#Йа'#Д££Ё®$.
Й M >Я-ФЖЖЖ ,Ф-.М^М Д-Ю. % J °d<l>= d<l> °], и Ф
j йио м м мж^.
g Д M ±$J Hermitian Йй, nf Ф W
g = Igjldz, ® d^k, gjk = g(zj,zk)- (16)
Й ifrgg 2, Kahler ЖзЗ; ЧШ $:
ы = - ligj/iZj Л dzk. ( 17 )
Й1Ш 3 ,g M Kahler ЙЕЙ^ШК^
dzt dZj dzt dzk
£n/£(M,g)±W Levi-Civita {fritIK,4^
VZbZc-. = ГАвсгл , A,B,C,- = l,-,n,l, — ,n.
5 M ±Й Hermitian ЖЙ g > Kahler ЖЙ,
rj = Г| = Г) = Г£ = 0.
iEВД g > Kahler OJ VZgZc = V2g ( ]ZC ) = i VZBZC, R Ж
Г‘ =0;£»M. gfillBJIWim □
312
£ Kahler'|f ЖТ,ГЛВСЙ g -a-iWllT
^-r;=^, g^l = d-^. (is)
C/Zj 0Zj
ЙгЕВД-^ЖНЖ § 2 W(3. 2. 2)Ш1.
rAbcD (rabcD ). йш«яw 1йтмюжя о (ja[ kn]).
Rh^ оЛ nh nh Kjkl > Kjki f ^'jkl f
R" ЭГ* =_1T’ r _ ёhj mp ^ёhm ^ё]р hikl ~ dzkdzt g dzt dzt ' (19)
ЖФ(/) = (^)ЛйЛ(1=3-
Ricci &й S RAB%
Rn = R]k = ° , Rik = Rjk , Ra=-X^- <2°)
I °zk
Й jit, Ricci ?KJt S = R^dZjQdz-j,.
$ G-.^Wgji), (21)
aG = G у j dgfi
^k ft dzk’
^(18)^П(20)Ш
(22)
dz^dz^
&^,S(JX,JY) = S(X,Y) VX,Y e ГС^М).
ЖЯ Kahler SlgM Ricci a
cr(X,Y) .. = S(XJY) , V X, Y e Г( T0 M).
М-ф(£)2Ж5£,£Ж§ттЖТ,
cr = - 2iR^dzj A dzk.
Ricci
ЖВД Й(22)<
o' = 2iddlogG. (23)
Й(7)ЯЦ23)ЧГМ da =0. □
Ш 2 a If M de Rham ±|W|».
5.±^«®Й$
®(M,g)> Kahler m,R J £f
Levi-CivitaW^V>TfTW,M3KSR(X,r^^) = g(«(Z,F) У,Х) (Я
313
HEt, § 3)W£
R(JX,JY,Z,W) = R(X,Y,JZ,JW) = R(X,Y,Z,W), (24)
ЙФ X,Y,Z,W e T^M.
51Я1 &P&M
WttM- P(X,JX,X,JX) = R(X ,JX ,X ,JX) J!| P = R.
iEM *ШШ=0;ДЯ-РЙ0Жт#ОТ51:1
T(X,Y,Z,W) : = R(X,JY,Z,JW) + R(X,JZ,W,JY)
+ R(X,JW,Y,JZ).
$№№&R(X,JX,X,JX) = 0,$.%X = Y = Z = WBt,±.£=0. Tg
ОЮ,Й T=o.M^ = z,y=^,WW
2R(X,JY,X,JY) + R(X,JX,Y,JY) = 0. (25)
iFBJM- Bianchi
R(X,JX,Y,JY) + R(X,Y,JY,JX) + R(X ,JY ,JX ,У) =0.
^(24)R W WttM,?OJ
R(X,JX,Y,JY) - R(X,Y,X,Y) - R(X,JY,X,JY) =0.
}Е'Ё^(25)«Й1,йГШ
3R(X,JY,X,JY) + R(X,Y,X,Y) = 0 (26)
£(26) фД /У^#
3R(X,Y,X,Y) + R(X,JY,X,JY) = 0. (27)
Й(26)Ж27)Ш
Я(Х,У,Х,У) = о,
aoftfR-o. □
e ?гс7;м^J^ =
*7,11 17 1Ш,«ЙЖК(77)Вй 77 Й$,®
1ЕЖ.
Я( 77) = Н(Х) = R(X,JX,X,JX).
Й?1Я 1,трм Р
$Яс1я,т,йх,г е трм K{X,Y) =
й(х,уд,у)ажШ®ЙЖ,Ж£
К(Х, У) = -М зя(х + JY\ + зн(х ~ JY\ - н(
8 \ \ ^2 I \ 42 I \ 42 I
- Н(Х) - H(Y)\. (28)
314
р е м трм Ф-МЖШЙЙЙТО
ЙЖ м ЖД^Х^ЖЖ) Й,
^5«ffiBJT^I^S(>#[KN])
Й17 КаЫег
R{X,Y,X,W) = ^\g(X,Z)g(Y,W) - g(X ,W) g(Y ,Z)
+ g(X,JZ)g(Y,JW) - g(X,JW)g(Y,JZ)
+ 2g(X,JY)g(Z,JW) \ ; (29)
^ШООШФ,
Кцй = - у (ёк]ёй + ghigji.) • (30)
И,£*Ё«ЖЙЖй^Й Kahler m&RWT C“.
*Ж£Ж1ЕО( c >o,n CP“ пШО$Ю«
ЙЙ$с Fubini-Study «,! >£&—ё £Ж,
С
КФ ё Ф(15)^Ж.
ттй^омт^иес*: рц <цсс’±
Ж!ЙТД<М£*Ё«ЖЙЖсй^< Kahler Жй^фта
_ (1 - Е«Л) ( £<&,®<Ц) - ( Zz7dz.)®( Ez/Ц)
’ -e<l-EV,)! ' '
1яЖ, W3; Bergman ЙЖ.
йтгЯ тг'> TpM(p е м) ФЙШФ£*Ш®. £М$ЖЙЖ
Я(я-,7Г')Ж5СЙ1Т;
H(n,ir') = R(X,JX,Y,JY), (32)
МФХ(Д У)Д тг(& П-')ФЙШ&ЙЙ;Ж^Д«®ЙЖ. M&ffi
R(X,JX,Y,JY)Rffifa=F 77 тг'. 4еяш,я(77,7г') =Я(ттШД££Ш
ЖЙЖ. ФЦ— Bianchi fl та
Я(тг.тг') = R(X,Y,X,Y) + R(X,JY,X,JY),
К£ждмФ«жй^±жя^-Ф»ата
^хшжйМ1Ш^тажй«£^«4®й$Фиде-там*.
та Frankel ЖвВЙЮОМГЙХ [SY] )fn S. Mori :
ЖЖ 8 Kahler м
6.
ft(M,g) J ЙЯ n Kahler ЖЖ. ffi(M,g)<$£ 2п
315
««ЖЖ,ft ™±^ЖЙ5^1ЕЖ!е1,е7,-,е„,е;| e-^Je^ i£
\шл\^\ел\Ш^М,А,В,- =l,-,n,l,-n,M
ы‘ = - Ju1.
ff = ш' + ia)1 (33)
OcT-ig ГМл(1’0> (М) й-аж. Sr Iа/в 1X£)1-Жз£,
d<oA = - шд Л шВ,
d<oAB = - шА Л ысв + fig.
-ф-
ffk = Wj + i<Uj, Ф^ = flj + ifl{. (34)
OflUmm*
dtf = - ffk /\ вк,
d#k = - 0> Ь О1, + &к. (35)
j J J j A , В f\
ык = ык, шк = - шк, шв + <oA = О,
i&ft
d, = - 0J-
_
Ф1 = - ф*.
51S 2 Ricci Жз£ о-пшажйс
* сг = - 2i У, Фк. (36)
йЕВД §1)
R(X,Y)eA = 2(lBA(X,Y)eB
#*X,Y 6 Г(ТМ) ,1ел!ДМ±ЙМ^1ЕЖ
Я-#®, ЙТ М М Kahler ЖЖ
R(X,Y)J = JR(X,Y), R(JX,JY) = R{X,Y}.
Ой Ricci Bianchi
S(X,Y) = tr{Z—> R(Z,X)Y}
= tr{Z->- JR(Z,X)JY\
= tr\Z JR(X,JY)Z} + tr|Z-> JR(JY,Z)X\ ,
Я
trlZ-> JR(JY,Z)X\ = tr\JZ-+ JR(JY,JZ)X\
= tr\JZ^JR{Y,Z)X\
316
mtsiw лмвылм*
= tr\Z -^R(Y,Z)X\ = - S(Y,X) = -S(X,Y).
O,
S(X,r) = JR(X,JY)Z} = S(JX,JY),
о-(Х,У) = S(X,JY) = -±-tr\Z^>JR(X,Y)Z\. (37)
&ЖЖ £ I e,-,e-. = Je,. | T, W
JR(X,Y)ej = R(X,Y)ej = 2(lf(X,Y)eB,
JR(X,Y)e- =-R(X,Y)ej = - 2П-(X,Y)eB.
ЙЙ,^(34)^П(37)пГШ
а(Х,У) =-тХ -2ftj(X,r)l = 2£ftj(X,y)
= -2i£ |П<(Х,У) + =-2i^^(X,Y). □
мйгве
e, = ф, = (ф{), (38)
Ш(35)йШЗД
ф = de - e л e.
7.
^m«MlfcP(A1,”s4J,^gM>(nxn))E|5£4(M,lSSaSSr,
Я P Й ФЙЙ5М С» f
Aa = (aZ) , 1 =S j,k n,
P(A1 ,Ar) = Ah -j^ -traitl4"'a^r>
P(uA1u’1,uAru-') = P(A,,-,Ar), V и ё. GL(n,C),
cw + ^a) = х(уп)р/л)> <39>
ЙФР,(Л)ДЛ -йР/л^-.лрд р.(А)й^^
317
P/А,-.4) =Py(A).
Й(39)Й9^ХЛШ
P/uAu-1) = P/А).
Хй* Р/А,, - ,А.) А Й P/А) М,
Р^АМ = у|Р2(А, +А2) -P/А,) -Р2(А2)|.
ЖШ.Р/А^-.А/Д^ФХ
ЯЯ. Kahler ЖЖ,Р/Ф)^йМЙЖ>Й^ЛВ
Ф Й(38)£Я.
_______
det( I + —Цф) = det( I - —Цф) = det( I + —Цф).
ЙЙХ(39)пГМ
с/ю =Л^Ф‘’ <4°)
2 771
с2(м) =-^^(Ф^: л ф^-ф! л ф‘). (41)
Й#,Й(36)Й1(40)Ш
С1(М)=£у. (42)
И , Kahler ЖЖЭД^-^^1 Ricci
Calabi Kahler ЖЖ М
Kahler-Einstein Ж Й ( ВР Ricci Ж □£ Kahler Ж 5$ $ tt ЭД ) • й $ ЭД
( [ Ya] )ffiBj Т , с, ( М) ^0 И, Calabi 3f fiMT q ( М) > 0,
с, (М) >0 ЙШЙС Kahler -ЖЖ М,'Ё±
Kahler-Einstein ЖЙ( Fu] , [ Ti] ).
8. Kahler ^ЖЖ
_ й(М’+₽,i)>M п +р Ж Kahler жж,J- й мл Д
М“+Рйалтжж.ем’^г J(T,(M)) =Г,(М),ИМ*Й:
м" J&M" ±ООШ5
й g > g а М" ±6t)W# Kahler li.M (M",g) м
(Л/п+р,^)И(Ж)пЖ_КйЫег^ЖЖ.
9 ЙВДГ”Ф Kahler ^ЖЖ мл
B(JX,Y) = B(X,JY) =JB(X,Y), VX,Y еГ(Т1И). (43)
Silt, Kahler ^ЖЖ^Д®/Ь?ЖЖ.
ffiW ЛГ+₽Я1 M" ±ю Levi-CivitaWe^,^fnW(#
318
= V/JH + B(X,JY).
B^V7=0,i&XW
VX(JY) = J(VXY) = J(VXY) + JB(X,Y).
Kahler Vx(jy) = J( Vxy). m,B(X,JY) =
JB(X,Y). WEh В ,®Ш(43).
Ж м" ± Й Я §₽ £ 1Е МI е,., Je J , ЭД ж ( 43 ) & П W
trB = £В(е„е;) + £В(Л;,/е;) = 0.
ЙжШВДТ^Шб. □
ft R ЭД R ЛГ+РЭД М" ЙЙ«*. Gauss
R(X,JX,X,JX) = R(X ,JX ,Х ,JX) -2\\В(Х,Х) ||2.
a jtt, каыег Фжжде^а®йж^®й^йж^йя-^йде^
«й$. *Ю1Ж с ее,ЭДЖ(29) ,±5£4t&
Н(Х) = с-2\\В(Х,Х) ||2, V II х II =1, (44)
МФ х 1Й М" Й9££Ё®ШЙ$. Gauss
ма де Ried зкй s эдмй^р деай^:
5(Х,У) = -^i^g(X,y) -2^g(B(X,eJ,B(y,ej)), (45)
р = n(n + 1)с - || В || 2. (46)
^ФЖМ^^ИФдеЖЙ Kahler ФЖЖ,деЙ^ Pinching
^3S(##[og]^x»m)«^±^e®iiE^. я-*®,от
(сьок)^за,ж^$|в1фдеж1сж^й5м^1!с1жж. тэд^я>ф
К. Ogiue( [ Og] ) де :
£S Ю & М“ >ЖА(п +р)ШЯ1Ш£Гй| СР’+?Фде п sgMSfc
Kahler СР’+рф Р Ф«#@Йадет5££,ХФЙ®
йй®де&1тш а, ,а2, - ,ар. Я₽А ,шп W
f^pdv = п(п +р + 1 - ^а^НПац) “P~- (47)
^т^№дей-^я^чг>#[сн].
[ NN ] A. Newlander, L. Nirenberg. Complex analytic coordinates in almost
complex manifolds. Ann. of Math, 1957 ,65 :391 -404
319
[Ch] S. S. Chem. Complex manifolds without potential theory. D. Van Nos-
trand Company, Inc. Princenton, 1967
[Fu] A. Futaki. An obstruction to the existence of Einstein-Kahler metrics,
Invent. Math. ,1983 ,73 :437 -443
[GH] P. Griffiths,!. Harris. Principles of algebraic geometry. New York;Wi-
ley-Interscience ,1978
[ KN] S. Kobayashi,K. Nomizu. Foundations of differential geometry. Vol. П .
New York: Interscience, Wiley, 1969
[Ya] S. T. Yau. On the Ricci curvature of a compact Kahler manifold and the
complex Monge-Ampere equation. I, Comm. Pure Appl. Math. ,1978,
31:339 -441
[Ti] G. Tian. Kahler-Einstein metrics with positive scalar curvature Invent.
Math. ,1997,130:1 -39
[Og] K. Ogiue. Differential geometry of Kahler submanifolds. Adv. Math. ,
1974,13:73 -114
[SY] Y. T. Siu,S. T. Yau. Compact Kahler manifolds of positive bisectional
curvature. lenvent. Math. , 1980,59 ; 189 - 204
Finsler ЛЛ*Т
Finsler В. Riemann 1854
Finsler ЛМЙЖ&.
ЖS!J 1918 , P. Finsler T-«tMWffiT ЙШ
-^ЙЖЙЛЯ. 11Ш, Finsler л
^•®^,l^<>>«fc&K(Z.Shen)^A^(D.Bao)«^rM^T Fin-
sler Finsler ЛМ,® Finsler ЯМ
Finsler МФОООМЯО
№- АИ5Л,-йМДйТ>^[вс8] .
&F = F(x,y) = F(x' ,-,Г)Д2пф$ЙЙЛ?»®^,Л
Фй x = (Ж*,-,xn) ,у = (у1,-,y").%F
(1) F(%,y)SsO;
(2) &^y=Oftf,F(x,O) =0;
(3) F(x,Xy) =XF(x,y) ,yXER\
ДОЖ F Finsler
& м Д-ф n X = (xl, - ,«’)•
V« б[а,И,ЖЙ1 ФТ£!)
:
= ?(«<>>•
^Ф F Д—ф Finsler B§U(,WJ^(M,F) Finsler Finsler F
№Ы(3)&ЯТЪ%Ту Ж Euler
y‘F? = F,
ЖФ Fri^^^dF/dy‘, ишийЙтВ^-,
i’,j' ,к,I, • • • = 1 , • • •, п;
y’F ч = 0,
J л гу ”J
а,Д,у,--- =!,-••,п-1.
У Рyiyjyk Рyiyj*
Wai К Finsler Л fa
321
г2 = (4-f2) yy>- ~ e*yy>'
ЖФ
Sij = +
g: = gtjdx ® dx1,
g JE^WGMftW) Finsler M. 4OJg^^ x
g^ у W^fln-Й x
Minkowski gf.
п-.тм^м. МЖ 7M\|0) ф
~ X Кй£ Y = ЛХ,Ш X ~ Y,W
S fBj (ТМ \ IОI ) \ ~ %% м ± де ж % tj] &, iB РТМ, & -и М ± й М& Й
dimPTM = 2п - 1, Д р-РТМ .М WWAW Й
WSIAtt*» ртм±де&нйА^*гм,'ешмР£» тм\|0|±
де^ИЙА. тг'тм фдетсЖяГЖг^^^.ЖФу,» е ТМ\(0(. ф>
ШЧ<ТЖМ:
л’ТМ-2—~~РТМ
р, ,р
тм —м
ймдедм^шж(*;)т,#^ййййш^
V i д
Y = у Т7-
дх
0й,(*,г)&м ™±дежж^ш.
Ф1Е0^)н,'ёшд р™±дедмв,#-й<
р(х,у) = X.
7Г* ТМ ±де*ГМ m ТЛЛРЙ<Д Y 6 Т,М,
Я-ТМ1Г|^^Т Т,М.
ЙТ Р(я,у)^Т у Р(я,у)^±£Яй РТМ
±,Finsler ЖЖ g тг ’ ТМ ±. 1ft
to: = Frtdx' = F~'gityjdx ,
Hilbert ®5to РГМ±деЯ-Ш₽^ШЖ,Ж<
i ди , _ ди1 „
ал,
322
PftSK Finsler Aft
(л) = Fyidx1 = Fvidu.
BP &> PTM ±$. Hil-
bert Euler^S, МтЙШШ j‘«.
Hilbert ft 1900 23 'МЧЖЙШЖ^Й-
UZT&iOJ Finsler лмеж&йтж^т
Finsler Sf
i d
‘ p‘ лг
-&^tm ±WMM £ №№%
ш‘ = q'/.dx1, V (?7‘) = (/>*)
ТД
< е;,е; > ; = g^p-p- = З^ш'^е^ = 3-.
МЗШЙЖ
e* = T7’"" = F^‘dx‘ = Ш'
* дх
ш
ч\ = Л‘>?» =
Дй
ч1у = о,ЕХ = 0.
гДолжй,й/пл?;(^,у)^т гдоо^й,«
р™±й 1
ft PTM ±, Xt Hilbert ж5$ Ш = ш" , =f#
</<u“ = F^p'jP*^ Л ш‘ + Fjfyip'dy’ Л о>
= F^p^M1 Л ш‘.
МШПЖ'ЙЗД
da,n =«“ л«:,
ш «: m»tw:
= -PaFfyjdy1 + F~lpa(Fxi - ^F^m" +p‘a^FxV(DP + Л^,
< = 0.
da>a = шр Л (q“kdPkp) +шл Л (F’1?^/).
WSK Finsler Л
323
= л/ A <i)p + <u“ A (i>“,
ДО1 a>; a>;
+£X
< = F~l<hdyk +
am/s =^,f“ ^дмде. мтамжде ш'.ТЯЖЙЙЙ»
sw:
</й»‘ = ш1 A <Wy.
< + < = О,
ЖПЯ^Ж
С = - - УЛ?),
& =-8^^+^).
фд
+ лУР)<оя
mm# й
Finsler Ж*
= 4j 4k8„ff-
8ayqldp‘fi +8у^Нра = - P'PpdtFF^).
ТД
^«8yfi + ш*8уа = - p‘a^\d(FFyiyi) + (F^ + Г^)й>’|
- гл^ш" + (3„гд^ + З^р^ы7.
EhTg
Д^1Ш£Й(##[ВС8]),ЙйШй
d(FF,iyi) = S>: + С^к,
жф s“=s“,G,t = ся =Giir se
зшт
Ао0 = - ypLpH^v- + F‘V + ’
= уЗ“а(р‘ар^у +pyp1<rGijp - р^руС^) ,
^I8yfi + шур8уа = - 2Аарушу,
324
Finsler Л1М
= =Anii =0,ЖЖ№Л=1Ш«1
A = А^ы ® a)1 ® &Л
ЖЙ##теВД
4v‘ = TF(yf2)
' yrySyt
ДЖ
A = 4-И — F2] dx‘ ® </? ® dxk = ^-F^dx ® dx1 ® dxk.
2 ' 2 JrW 2
Cartan 9K*;WBt Cartan
Ж
С = F~'A = ^-(F2)rVrtdx‘ ® did ® dxk.
Я4$Ш<
+ a>k8u = - 2A..j<w‘.
EbSfim 1 шй v^»«£fr. @3J
g = gijdx' ® did = 8уш' ® co1,
Y e TM.JHJW
(Vrg)(ej,ey) =-0>i(n -0>](П =2ЛХ(П.
Jffl»,WJ£Vg=O «OvmitgMKKcompatible).
ВД , v Finsler ЙЙ g“ Л¥” «Ж Й T а = FC,Й Finsler ЖЙ
Cartan Levi-
Civita«&. Hitt,Finsler «±Й<1 Levi-
СкЙаЩ&.^±Ю£,ШП<
nig Finsler ЖЖ, («‘)> M ±№
ifr e; = p{ 17 * TM^PTM ± ЙМ п|5 £ W, £ ЙШ
dx
^^M^co‘=9;.did,^n
en = F~'y -^, <an = F ,dx',
dx y
МФ(«,у)ДРШ±Й<1^ЙР^.Я₽^,#йЛЙЖ^
-Л^тг'ТМ} -^Г(тг*ТМ® Г (PTM)),
da> = <oJ /\ a>i, <a" = 0,
Finsler ЛЯ
325
+ a)j8ki = - 2FCijk<okn,
Cartan &ЙЙЖ-
а)1 Л (dm] - atj Л ш‘к) = 0.
РТМ ±йТЯ 2
£lj: = da)' - (Oj /\ (i)\
хшт < л «£ т, нготайЗ/
ц = |^й>‘ л w'+ Ър>к л
^уы + Pjlk = 0 » Pjha = Pkja-
-Ю«в» LandsbergМОЯ «ГВЕВД ,
§ - |^Й^ЖЖ RijU :
( 1 ) Rijkl + Riflk = 0 >
(2) Rtju + Rkju + Rw = О;
(3) RiiU +RiiU= -2CijhRhMy‘..=2Biiui
(^) R^H ~ RkUj= (Рун ~ Rkuj) + (Rujk + Rjku) + (Rijn + Rut) •
Landsberg-^tt^^MB^^CP^ =0) Й Finsler Berwald
Siu
Finsler O№№ (flag curva-
ture) ЙЖ&аМЖГ. й X e м,п e t,m
>-ф2Ж¥аж.мт^-ййг=/Ae n\ioi лгж y=? Ae
dx dx
П,^ШП=8рап|г,У).ЯР^,1Д Г^“Ж«”ЙПЙ»ЙЖ^Х^
ЙФ?9»к^4О(«,у)6 гм\!0Н+Ш. М,п ЙШЙФ-5&1Й
П йй* РЙМЖЗ:.
е„ = у/ II У II = F'1/-f-,
’ dx
да
К(П,у) = К(П,е„),
(«,/)» П.
Й|еа,е„| РТМ ±ЙМ§₽^1ЕЖ,ЖйД(х,у) е ТМ\|0|
326
Finsler Л fij
у Ricci
Ric(y) = Ric(e„) =-Ц-ХК(Пв,е.),
п — I
МФ
П„ = span|e„,ej = span|e„,y}.
Ric(y)>£(x,y) e ™\|0| ШйМ* Ricci »>•
ждм Ricci Finsler жжй^^лмжж. mn.ft
Finsler «iftSiUl^ ЙЖ “ Ф , Ж Ж T V. ЯПЙS *
“j»tf”ft^ft^;Finsler ЛМФЙ Bonnet-Myers £ЯШ?ЯЗ£!|±1££Я.
ft Ricci $CS. ([BCS])
ft Finsler Finsler
1. Busemann-Hausdorff
®(Л/,Г)>п^^|п] Finsler». MfV* G Д T,M =
й"±ЙМ-МЙЖ1*>Ч ДЮСНШо ft* e M&ft Finsler
dVF(x) = aFa A ••• A cd" ,
ЖФ
Vol| (y = y’ej e TxM | F(x,y) sg 1 (’
dVF(x) = (rFdx' A •" A dx",
Vol) (у = у -^-) e TXM I F(x,y) s£ 1}
dx1
ffliWft{£Ws£,Z. Shen MftT Finsler ЛМФЙ^ШШ^^Й M.
Gromov lMja£ftft^tt&£S;-tfcnr^lB Finsler ft
([Sh]).
2.
-K(4f,F)>n^^|nJ Finsler ЖЖ- W it: TM^M ?| Ж ТМ \ { 0 ( ±
ftfir|51A тг'ТМ it* T'M. Hilbert^ ш тг" T* M ^ft^
MW. (M,F)ftW3WWCfc
SM-. = U S,M, S,M = |y &T,M\F(x,y) = 1(.
xGM
Finsler Л fa
327
#2 ш v'dx1, Й/ёЙЙШ det (г/) = A/det(gjJ ).
a)n+l = vlj8yj, 8yl = (dyl +Nl.dx?}/F,
W=W -y4y>V,y‘<^5£±£T £
Й w2" = [F]?3/ = d(logF) ,'ЁЯШТ“®1»Г Й* / S W SM ±
1 ш‘ J MjtT Г ( TM\ j 01 ) Sasaki Ю
gvdx‘ ® did + gifiy ® Sy”
±m«y-*Ay(A >O)MT1M. О,й±
Й1(Й?Т F)£SM±Wi£X ™\|0(±й Sasaki аЖйй«м±№₽М
ф]>-ф^ЖЖ
g: = gijdx ® dx* + 8аЬй)" ® ,
($М,£)ЙШ£&ШТЁ dVSM&
dVSM = <o A ••• A <u2"‘‘ = ydet(g0)dx A da,
МФ
dx = dx1 A -“dx" fO da = &>n+I A ••• A w2"’1.
z/detCg;,.) j j j > i
da = ------dr mod \dx
Fn
dr = ( - 1 )“1y‘dy1 A ••• A dy f\ ••• A dyn.
ЙЙ,
dVs„ = ШтА dx, ft; = det(^).
Finsler
dV„; = <r(x)dx, <r(x) = —— f ftdr ,
c„-l Js^i
cn.^ n -1
^f-.SM^R
f fdVM = — f dx f /ftdr.
J м Cn-1 J м J sxm
g ДЖ^ЙЙВ*, с,-! = f da,^^^f-.M
J SXM
328
Й1К Finsler Л IM
jfdVM = Й1Е>Ж€Й^«Ж±Й$/ЙЖ#.
Gauss-Bonnet Fin-
sler № ([ BS] ); *£ Ж |Д Finsler «ОЯОЙОЙШ
([SZ] )« Finsler ’Ж»#ЖЙФ#( [ HS] )
Finsler
[BCS] D. Bao,S. S. Chern,Z. Shen. . An introduction to Riemann-Finsler
geometry. GTM200, Springer ,2000
[BS] D. Bao,S. S. Chern. A note on the Gauss-Bonnet theorem for Finsler
spaces. Ann. of Math. , 1996,143 :233 ,252
[Sh] Z. Shen. Lectures on Finsler geometry. Singapore; World Sci. ,2001
[cc]
^Ж»±.2ОО1.
[SZ] Ф8^(А
Ш) ,2003,33(6) :610 ~620
[ HS] Qun He,Yi-Bing Shen. On the mean curvature of Finsler submanifol-
ds. Preprint, 2004
[Mo] X. H. Mo, Harmonic maps from Finsler manifolds, Illinois J. Math. ,
2001,45:1331 -1345
[ Sh2 ] Z. Shen, Landsberg curvature, S-curvature and Riemann curvature, In
“A Sampler of Finsler Geometry” , MSRI series, Cambridge Univ.
Press ,2004.
№ X Ricci faj
1. Ricci Ж
МОЙКЙОЙ^«Ййи»1|11|^ПЙЙ1,
Ricci ftWSWItdH Einstein Ц) llll$M«WW
-Фо±тттттм»ош1'М -Ф
<£№ЭДТДИЙ®Й^Ж'Й^Я,ВР<-фйЙ®±М-ф Gauss'
imw + i,o,j£-i йж<,ам^«н^ш®ё1й1^5£ s2,
R2 ,н2 Z-ftJWifWft. МЯЙ®Ж>Й^$1’В1Ж^«-Ф Й Й.
*iot Ricci йшегаао
fa Einstein O-WO8 “МО- ft Eells flj Sampson
( [ES] ШОйШЖМ 1^ЙШ"ЙТ,Richard Hamilton T 1982
ШЛТ Ricci 0t( [Hl ] ) ,BPMMW Einstein :
£^=-2Дг (d
g0> n штюшгммтм Ricci &*•
(1)-Й*МЙМЙО, 3jltt, Hamilton 51 й т Я Я! & ft W
Ricci Ж:
±go. =-2Rv+^-rg,( (2)
r = fRdV/рЕД^ТЖ*^йЙ1!С>ЙЖй (MM)Ric-
ci Ж (1) -1g Mft Й Ricci ж (2) й, 'Efnft WISJ W S I'B] ±##J Я
ffig-'NSSlftAWISI »^ЙЙ«. Й^@(2)Т,ЖЖЙ^Ж&#
2. ®WfB|1Sf^^ft14
Ricci жм-Ф«мм,а&£й®вяадй#йй^йм
W-WSi£?OJ. Hamilton( [ Hl ] Nash-Moser
D. DeTurck( [ De] ) Wft^ft^#
ЙЙЙ^ёЯ^ШЙ-^о
жа 1( Hamilton [Hl]) Й МЖЖ (M,g0) ±,
330
WSX Ricci
RicciЙ№£ф@и}|в1 t e[0,e)rtmit-00g(0,0
g(0) =g0-
3. -«im
ft4^aiWW,^ff-)UWWO£a I ЧТЯ,
Ricci ЙЙ®ВШЙ~ЛЖЖ- Ricci
ftT.mW Ricci Ж(2)-^В^|0]^М,М#М^Т^Й^^ЖЖ.
Я@шГ^±,й#^ЙЗДйТ,В^1й^»®^^.ЙФЛ^5>^
ШП1Г&М^ШЯ-^й$й^Яч£ Ricci Ж(2)ТМЖ -
Д Ricci M&&—ЖйвтйО±,О
1|8|$Й-йООЙЛП,Й1Й$П Ricci Ж(1)ТЙО
ж
^-R = АЛ + 2 I я,7 12, (3)
dt
Д >ЙМ Laplace %.=?, Й^ЙР^ШЖТ Д =
g’Vf Vy)V>*«*g^^Levi-Civita«^,l •
ООа#тОЯ,О±тМ £ Ricci ЖТ,3 ш
W±W Ricci йЖйМтШО^Й. -Я1,«ШЙ^1Е£й*Ш£
Ricci ЖТ>
»шт ^йй*5Кйрг^<^>-фйм1й№М rm-.a2m^a2m,
ШМЙ* g,MWIE (О) I Of .ОШ, OffOДIE (#
Юй. &Ж,^йадТИЛ1Ш®ЙЖ-Й1ЕЙ(ЙН^И±,т
£Ш±тйШ№ Ricci ЖТ>&WЙ,<В>
Вви2й<адЯ^йМ(^ТМ2 №}^Ш).
Ricci Hamiltion( [ НЗ ] ) ЭД В. Chow
([Ch] )^®|f 1988 *₽ЭД 1991
2 (Hamilton, Chow) ® M S-JKffl Й ®- Xt T M
Ktft.MO» Ricci «MWBtl'B]rtlf|5WS,M
(1) м №ЕШЖ1Ш#лЕ,ЖМЙй g(t)^ «-» + «Bfi№
-ФШЖЙЖ;
(2) go Й Gauss й WlEft, И MS g(0 3
+ oo ВШ$Т-ф-Г1ЕЙ^М.
ТШШП4НЗ Hamilton 1982 Hl ].
ЙЯЗ i5(№,go)>-ybMWlE Ricci Й^№И(^Ж)№3 M
§»ЛШМЙ Ricci Ж(2)ЙЖ1ШД!| t>0O»£g(0) =g0
WSX Ricci ЙЕ® fl-
331
ЙЧ-Й¥ g(t) № ±ЙМ««Ш
з &о-т№ з
Шй№ s3 з *|ШО
®,&ДШП$#ЖВДЯ±£-/МЕ Ricci Й^ЙМ.ШТЯ) Poincart
Poincari »«: 3 тЯЙШЙЖТО 3
PoincarS Ж Й; Д Henri Ротсагё 1904 ^ЖЖ- 2000
Й»^Й-к^^)®®^-,^КФЙ<1«-1Ч®,Й5чГ^Ш юо ^Мтс
Й£&.
етз йЖ0Л^т^тй««^й^т.шп^л,-Ф
Einstein Й,ШИ Ricci , ВР
S n>3 0t,±5£WOC*ft^R >»о £3 ж«±,Einstein
^Т«®Й*^Т>^.Ж^ЙЗЖЖЖ±,ШПШ^11ЕВЛТ®?1Й.
51э mwwtmoo»c<«,жяяж-5£
Ф). 3 Rmin^« ,
ШП^-Ф^Ш&МЗд'йГ Й ft W
m, ж пт>я t hi ]. ж 1н,й w й ж w,
ЯШЖВДЙЯ'&Й&Д с- Й.
^^Ч£ЖМЙ«,1ЕЙЖ»ТЙ-&Яч£ Ricci ЖТ>^Й.
Hamilton([Н2] )£ 1986 ^ВЕВДТТЯЙЯ-
£84 ^(М,£0)>-фД^1Ейад^Й4МВДЖ^ЛУ
ЯШЕЙ Ricci ЖМ(1.2)1ШВ« e[0,oo)±#£W£g(0) =g0 й
«-М g(t) ,К^ t^oo 0f ,МЙЙ g(0C“ ОТ-ФМММ
й^йэшм*..
ЙИЧёЯЙЖМХЙТ,Ш£ Ricci ЙШПчШ£Д^1ЕЙ*»
332
W^X Ricci Я1ШЛ-
4 S4 t&g RP*. Hamilton
«О^ЙОтЖ nSs5
Ж*й<1ЛадйЗД±^5ЙЙЖ^^^{ф,Ш^^#Я-й^14
^T^,#JaL[Hu] ,[Ma]^n[Ni].
• МЙ^ЙЙ#Ж)₽±Й Ricci
Bonnet-Myers >£Я.
4. Thurston Л,<яГ4£ 5WSB
William Thurston T 1982 *₽# 3 ШМШКЖШЖТИЙО:
Thurston ЛОДЖ»: Ш^ШадШВЙЖЙ
3₽w t-й л . &ж й л м , 1®ЖЯ1 ж, > % ж ж < m тт я
8 #мэ^^-й^ой1о
^ЗМЁД.ШПЯЗД 3 ЖЯЖЖ- Т>,Й<ПчГИ^’ЖЖ^Ж*
«(рпте)Ж^№М».М,-фЖ^*Ф^Й,>^'ЙАШта
«Ф«ЖЖ, ^#ЮДЙ#-ФЛШё
Й 8 #ЛМ^пт^ТЯЙН:
(1) + l ЙШШ S3 ;
(2) Д<?ГЙЖО ЙЖЙ£|'О3;
(3) Д<ЗГЙ^-1 ЙЖЙёГв] Н3 ;
(4) s2 XS1;
(5) ЖЙ¥®-^ЩЖЙЖ^Н2 xS1;
(6) 4е^тк$щ2,я)±й£^зд>ж<;
(7) Ой Poincare-Lorentz » £(1,1)±Й4Т$1?<Й1,
Poincar6-Lorentz Е( 1,1) Й^тЁЖЛз 1+1 Ш0Т$ Ф ЕЁ ^РЙЖЙ dt2 - dx2
(8) Heisenberg .Heisenberg
/1 * * >
О 1 *
<0 0 1 ,
ЙЗ хЗ ОЙШ.
йв«м. (о ~ <з)йн#лм1Ш^>^й^«,-Фтййй
W>X Ricci
333
XS* s*x
sl АМ.^А^аАТШЙЙЯ-фйЖЙШ^^Н2 xS1 ЛМ-
2 ЙШ®(ЖММ^ SL(2,«)AM- -ФН^±№
Я'Ж^^Ж Poincarg-Lorentz чГ^Д-М, Я5?1^ W^'iM_hlKj$ifc чТ^Е/К^Г
/2 1\
»I t 1 Й4ИШ. Жй,^Ж±<1М
^¥ЛЙИ^А^пГ^»^ЛМ. 1&ТЖЙЛ»О£ЛЛвГ,±& 8 #
ЛМФЙ 6 Й'ЛМ.^ЙЙТД^-Ф Seifert «РЖ^ёГСЖ^ЙЛМ-
жатт;
-ФРО з Ж»ДМ1^Ж^,ЗШХ^Й'Ь»±Д<-Ф
ЗНЕЙЗДМ- еяш Л£МД^¥Л»ФМ 3 ЖИЖЖ-ЙЖНЕ^
S3. (^-фЖ^М Poincart »«)
Я-mi:
-физжжжджй^^м^йфжждф^.д^^рмж
*W,K^^Z®Z.
МТЙ# Л № Ж Thurston ИЕв^ТЙФЖ^.
Thurston ж вд w я - ф ж ж ж > и ла ± й - ф й ш м > ж й й , s д
ttSCD'ElftllJS р8еиао-Апо8оу(й^ЙЖЯТ),(2)'&ЙЯ1ЖД<^
ЙЖ&Ж1Ш-
Thurston Л«ОЙЙЙЙ^Ж®ОЙ^^-^ЙЛ42Й
МД&Й 6 #ЛМЖй$В^Ж^Т, WXMi^.nT
5. =ЖЭШ±ОД#Й1Ш
РДТЗЖЯ#^ 3 ЖЖ§С». ±^Чк^йЖ^й₽^^’ЖЖ±й^
ЖМ-ЖЙ 3 ж«
±, Ж Ж -ft № Ricci ж W М ЧГ $ Г & < Д, вр й » Й й Ш Ж И Й ФS
в* -ши ,й 3 ж*т S3 ±ffi±-
Фй^ЖЖй^ШЖВ^^-ФШ^хВ1 Й®(песк),В1СЛ,ЙТ«2
^ЙЙШЙФ&ШЙ В1 ЗГЙЙШ/ЬЙЙЙ^,£ Ricci ЖТ,ЙФ^Й
^®0^|в]Й^,Лйад,ДГО^ЖЖЖ^5>Ж
Hamilton 51Д Ricci ЖЙЛ^ЭШДИЕВ^ Thurston ДМЛ»Ж- №Й<1
МДХ53 ЖЖЙШ1ЖЖ£ЙШ&ЙЖ,Й Ricci ЖТЙЖ.МЗО
ЙЛМ¥Ж,Ж^-ФЛМЖ^.ЖМШ,-№Й<1ДЙ1^*ЖФ^:^-
Ricci Ж^^ЙЙД,КШЛ-(П»£^А
Л£±аШтЖ^ЙЛМ^Ж,#Й?ЖЖ,&1н£ Ricci ЖТЖ^ЙЖ,
334
ИЖХ Ricci ЗЕЛЛ
Ricci ЖЙШЙ t е[0,оо )±#
й, Я Д <-Ж<#йШИЙЖ, Й
^чТ^ЖЖВЛ-
£[ Н6]ф, Hamilton® ТТ^'ШЖ-
£S 5 М-ФЙШ з ШЖЖ м3 ±Д<-ФМ4Ь Ricci MW#
шьм ,ш мз ^рд^^тлгая-. зет ,мз
ЖЖ±-:
(1) Seifert И;
(2) #$IW5£ 53/Г;
(За) ^ЙЖЖ;
(ЗЬ) ДЙЖЖ;
(4) Д«^^ЙЖЙЖЖ-^ Seifert W*F
®w#«.
6. Ф£'Л.{ЙГ¥#ЮЖ5®Ш£
ЙТШтШ, 3 «ГОЙЯ1 М,
Ricci Ж(1. *0 >0,№4 Ricci
М(1.1)М £ X е м,%
t-^i,$СЖЙ$Я(х,О^оо. (blowup) д
№WUMM«^W:^#£-£J«№WM W#« s3 ^s2 хЯ W
* Й-Ф 2 «Ш® s2 ±,® S2
(веск)[ -1,1] xS2±,#® S2
ЮЯГ (capped neck)±. AClMTW®KT S3 S2 xR W^«WW М
W#3JEB&W .чШ^ЯЗ^о W£±MWW>«fffOJ to «
#>ЛЙ t0 WJt-Ж -1,1] xS2,ffiB«W^,«
®4чяп ?&♦&#, $ти* з Bs^w-disk) ,д®йсфжжйй1н
ЙШ” ,ШчИ£?т£Ш¥Й. ЖЙШЖЙ Ricci жт*шж
Ricci ж
й^т^й-иим. йж,1Шжждейм^£О5т®гв)«w.
т^Айвдед^&ад^ t ^#а®, »(м(0,£(0)<-ф
ffl—iffl (thick - thin) , ж w «₽Й W-ФftS? W ₽M W n Й Й *, £И
W^M-фй ЖЖ (graph manifold). ЙВИЙЗ ШЖЖ±1ЙХ№,йШ
1ЖЖ^ЖЖ м W-ФЛМЖ. Perelman #[Р1 ] Ф
Ricci жт&<те£,д®&<«А,шта#л^,<-ФЖ-*д#
Ж. Perelman WWWM , &W Ш ЭДЙ [ Pl ] Ф , ®м am#
PfJ^X Ricci
335
Shioya ft Yamaguchi 6tJifcjt[SYa] ф. ft Perelman Й/п Й—[ P2 ]
Ф^М^О^ЙТО Ricci
Thurston
Hamilton ft Perelman 6W ft.
tt/4tR»±№ Ricci Ж. t^MW±№ Ricci ЖйО,
0WWT$ti^№M. ftitiMn
[C]ftCZ2]ftСТ]
[С] Н. -D. Cao. Deformation of Kahler metrics to Kahler-Einstein metrics
on compact Kahler manifolds. Invent. Math. ,1985 ,81:359 - 372
[CCh] H. -D. Cao and B. Chow. Recent developments on the Ricci flow.
Bull. AMS, 1996,36:59 -74
[СТ] X.-X. Chen and G. Tian. Ricci flow on Kahler-Einstein surfaces.
Invent. Math,. 2002,147 :487 - 544
[ CZ1 ] B. -L. Chen and X. -P. Zhu. Complete Riemannian manifolds with
pointwise pinched curvature. Invent. Math. ,2000,140:423 -452
[ CZ2] B. -L. Chen and X. -P. Zhu. On complete noncompact Kahler man-
ifolds with positive bisectional curvature. Math. Ann, 2003, 327;
1 -23
[Ch] B. Chow. The Ricci flow on the 2-sphere. J. Differential Geom. ,
1991,33:325 -334.
[ChK] B. Chow and D. Knopf. The Ricci flow, Volume I:An introduction,
to appear in the Mathematical Surveys and Monographs series,AMS
[De] D. DeTurck. Deforming metrics in the direction of their Ricci ten-
sors. J. Differential Geom. , 1983,18 :157 - 162
[ES] J. Eells and J. Sampson. Harmonic mappings of Riemannian mani-
folds. Amer. J. Math. 1964,68 :109 - 160
[ Hl ] R. Hamilton. Three-manifolds with positive Ricci curvature. J. Differ-
ential Geom. ,1982,17:255 -306
[H2] R. Hamilton. Four-manifolds with positive curvature operator. J. Dif-
ferential Geom. , 1986,24:153 - 179
[H3] R. Hamilton. The Ricci flow on surfaces. Contemporary Mathematics,
1988,71:237 -261
[H4] R. Hamilton. Formation of singularities in the Ricci flow . Surveys in
336
ишх Ried эш
diff. Geom. ,1995,2:7 - 136
[H5] R. Hamilton. Four-manifolds with positive isotropic curvature.
Comm. Anal. Geom. , 1997,5 ;1 ~92
[H6] R. Hamilton. Non-singular solutions of the Ricci flow on three-mani-
folds. Comm. Anal. Geom. ,1999,7 ;695 -729
[Hu] G. Huisken. Ricci deformation of the metric on a Riemannian mani-
fold. J. Differential Geom. , 1985 ,21:47 -62
[ LY] P. Li and S. -T. Yau. On the parabolic kernel of the Schrodinger op-
erator. Acta Math. ,1986,156:153 -201
[M] C. Margerin. A sharp theorem for weakly pindhed 4-manifolds, C. R.
Acad. Sci. Paris Serie 1, 17 ( 1986 ), 303 ; Pointwise pinched mani-
folds are space forms, Geometric Measure Theory Conference at Arca-
ta,Proc. Symp. Pure Math. ,44(1986)
[Ni] S. Nishikawa. Deformation of Riemannian metrics and manifolds with
bounded curvature ratios. Geometric Measure Theory Conference at
Arcata,Proc. Symp. Pure Math. , 1986,44;343 -352
[ Pl ] G. Perelman. The entropy formula for the Ricci flow and its geomet-
ric applications,http;//arXiv. org/abs/math. DG/0211159.
[P2] G. Perelman. Ricci flow with surgery on three-manifolds, http://
arXiv. org/abs/math. DG/0303109
[ SYa] T. Shioya and T. Yamaguchi. Volume collapsed three-manifolds with
a lower curvature bound, http;//arXiv. org/abs/math. DG/0304472
[T] W. Thurston, Three-dimensional manifolds, Kleinian groups and hy-
perbolic geometry, Bull. AMS. ,1982,6:357 -381
[TZ] G. Tian, X. H. Zhu, Uniqueness of Kahler-Ricci solitons, Acta
Math. , 2000,184:271 -305
< Л
[ 1 ] Bishop R L, Crittenden R J. Geometry of manifold. New York and London; Academ-
ic Pr,1964
[2] Boothby M. An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry.
New York-San Francisco-London:Academic Pr,1975
[3] Chem S S. Minimal submanifolds in a Riemannian manifold. Univ, of Kansas,
Tech. .Rep. 19,1968
[4] Chem S S, Docamo M, Kobayashi S. Minimal submanifolds of a sphere with second
fundamental form of constant length. Func. Anal. & Rela. Fiel, Springer-Verlag,
1970:59 -75
[5] Chem S S, Lashof R K, On the total curvature of immersed manifolds. Amer J
Math, 1957,79;306 -318
[6] Dieudonne J. Foundations of modem analysis. New York: Academic Pr,1960
[7] Eells J, Lemaire L,A report on harmonic maps. Bull London Math Soc,1978,10;
1 -68
[8] Kobayashi S, Nomizu K. Foundations of Differential Geometry I . , П . , Inter-
science , 1963,1969, New York.
[9] Milnor J W. Topology from the differentiable viewpoint. Univ Press of Virginia Char,
1965
[10] Milnor J W. Morse Theory. Princeton Univ Press, 1963
[11] Simons J. Minimal varieties in Riemannian manifolds. Ann of Math, 1968,88 :
62 - 105
[12] Warner F W. Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. New York-
Berlin Hei-delberg-Tokyo: Springer-Verlag, 1983
[13] Willmore T J. Total Curvature in Riemannian Geometry. New York: Halsted Press,
1982
[14]
[15]
[16] do Carmo M P. Differential Geometry of Curves and Surfaces New Jersey: Prentice-
Hall, Inc, 1976
[17] Spivak M. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry. Berkeley; Pub-
lish or perish. Inc, 1979
[18] Cheeger J, Ebin D G. Comparison Theorems in Riemannian Geometry. Amster-
dam, Oxford:North-Holland Publishing Com. ,1975
338
[ 19 ] Singley D, Rocky Moun. J Math, 1975 ,5:135 - 144
[20] Chem S S. A simple intrinsic proof of the Gauss-Bonnet formula for closed Rie-
mannian manifolds. Ann of Math, 1944,45 ;747 -752
[21] do Carmo M P. Riemannian Geometry. Birkhauser Boston, 1992
[ 22 ] Chavel I. Riemannian Geometry; a Modem Introduction. Cambridge University
Press, 1993
[23] Pertersen P. Riemannian Geometry, GTM 171 New York: Springer, 1998
[24] Bao D. Chem S S, Shen Z. An Introduction to Riemann-Finsler Geometry. GTM
200, New York :Springer,2000
[25] Y. B. Shen,X. H. Zhu,On stable complete minimal hypersurfaces in /?n + 1 , Amer.
J. Math. ,1998,120:103 - 116
гяяи Г5С Gauss вш г^»±жя ±|W|^(W) JF ~ -ffl 3—§2.1 5—§1.3 5— §4,g® 2— §3.3 2— §3.2 1—§2.5;5—§1.3 2—§1.4;5—§1.1 2—§1.1 2—§1.4 Щ Щ
Ж» Т£Й*& zfriw» й$й*(#й) O(ft)«i 5Ш»£Я тКТЙХЙЯ-) ЙМ Й^Х^ОЧ) wit ±Йгй1Я 5E2tzb£j$;7E 1— § 1.2 1—§2.2 1— §2.5;3— §4.1; §4.2 2— §2.2 3—§1.1;3—§2.2 1—§2.1 1—§2.3 1—§1.2 2—§2.4 ЙГЖШ 2— §2.2 2—§2.1 2—§2.1 2—§1.5 5—§2.3 2— §2.3
340
% 31
3l В
±*Й(ЙЖ) iEWJaS ЖИОТЖЖ 1ЕММ Е&Ш(т) Т^гйй® ?&Й^Й~ ЙАФ ~ ТА-Т^й^йй ¥ЙЙ*(1?«Ж) ^Й^(ЙЙ) ¥«Ж Я-Я М4Ш OS(ftWt) ййй® чТЙЙЖЖ чШ#ОГ чгшо(йт) ййа М1ВЖ21В1) яишя М 'и' М«(4Е)&* 5—§2.2 ffit^VI 2—§4.2 2—§1.5 2—§1.4 4—§1.1 1—§2.5 3—§1.3 3— § 1.3 ;4— § 1. 1 5- §1,3® 5-§1,3® 5—§1,3® 5—§2.2 3—§3.1 5—§1.3 5—§2.3 3— §3.2 1—§2.4 1—§2.4 2— §3.1 2— §3.2 5—§2.3 2—§4.1 1— § 1.1 ;2— §1.3 2—§1.1 2—§1.5 1—§2.1 2—§2.1 2—§2.4 1— § 2.3 2—§2.4 А В
Й*А з—§1.2 5— §4.3
$31
341
йлшж? й^» ЙЯЖ£ £&ЯГЙ$ £«1Й»А(?ЖЖ) £ШЙ®Й* urn tt* ~®5£(£Ю^,$Ю ~Ж1 йжй: wwtwt) #$в£ ««(ftttt) #Ж¥Й Л*ЖЖ Ш® 2— § 2. 2 ;4— § 1. 1 ; § 2. 1 ;5— § 1. 1 3—§4.2 2—§2.1 2— §2.2 2—§3.1 5—§4.1 5—§1.3 5—§1.4; §2.2 »жж 5—§4.3 2— §2.1; § 3.1 ;3— §1.1 2— §2.3 2—§2.1 3—§3 3—§1.3 3—§1.3; §3.1 2— §3.2 1—§2.1 3—§1.2; §2.2;5—§1.3 4—§2.3 3— §3.3 3— §3.3 2—§1.1 -t в
чГШ &WM &Й1Й*($|В1) &Ос #йжй; #ЙЙЖ &«7б *6*Й^ 2—§2.4 4—§1.2 2— §2.2 2—§2.1 2—§1.4;5—§1 3—§4.2 1—§2.1 3—§4.1 2—§4.1 5— §3.1 3— §3.2
342
£31
®/Ь8йй1^ «/hffiKfr® fifc2ij(Chem class) 2— § 1.1 5—§3.4 2—§1.5 5—§1.3; §3 4—§1.2 5—§2.3 Jk iB
i£A(&$lBj) -ЖЙ £0^0 W Ж^ЙА(ЙА) Ж^Л Ж>«$ЖД^~) ЗгЛ й£ 0 8W ^ЙДЖ(Же) #>ШЬЙЙ® ~£ГвЦ -W ~А ~« 3®Кй<1$^ 5F®(rn^~) 5—§1.1 5—§2.2 5— § 1.1 5- § 1,3® 4— § 1.1 4—§2.1;5—§3.1 3— §3.2 2—§1.2 1— § 1.2 4- §3,3® 2— § 1.5 5—§4.1 2—§1.4 2— §2.3 2— §4.1 2— §2.2 2—§3.1 4— §4.1 5—§2.3 2—§1.1 1— § 2. 2 1—§2.2 2— §3.1 2—§3.1 1—§2.2 1— §1.1; §2.5 4—§2.1 3— §3.1
$31
343
JKSIBJ 2—§3.1 Л ffi
5—§1.3
1— § 1.4;4— § 2. 3 ;5— §4.2
iteOt 1—§1.4;5—§4.2
ЭДЙ.
3— §2.2;4— § 1.1
-Я 4— §4.3
4—§1.2
~Й#® 4—§1.1
4—§1.1
ЖЙЛ(ЙЕЮ 3— §3.2
1—§1.1
MW2IW итш
2—§3.2
*Й» 5—§3.1; §4.2
~ В^ЛГ 4—§1.1
ттЖз$ 4—§2.1;5—§3.1
ежй*® И^Ш
3— §3.3
яяй$(й*) 5- § 1,4®
5—§4.1
2— §2.3
4—§2.1
^МЙ^(ЙЖ) 5— § 1,3®
8W 1—§1.1
1—§1.3
~№№ft 2— §2.2
ФЙЯЖЙ5 2— §4.2
%* 3—§1.3
3—§1.3
3—§1.3
+ и
5—§3.2
8Л 2—§1.4;5—§1.1
~?жж 2— §1.4;5— §1.1
344
Д-ЗУ - «Й.Ж «ЯЙИ «ЖЖ ИМЯ *ГЖМЙ(1ДЙ) »й«й ИЖЯА t6*( -««) ®f&(®ftt) 2—§1.4 5—§4.2 2—§1.1 2— §2.3 2— §2.4 1—§1.3 3—§4.2 5— §4.4 4- § 1,4® 4—§1,5® 5—§4.4 5—§2.1 + — В
Й£|в] &8t 3?£ - ЕЖ( ~й») ЙЯ-( -5Ш1) £НЖ*Жз£ €ЙЖЖ Ж*Й#?1Я Я®£Я 2—§1.2 2—§1.4 KNO 2—§ 3. 3 ;4—§ 4. 1 ; §4.2 4—§3.2 5—§1.2; §1.4; §4.3 5—§4.3 3— §3.2 4— §3.1 4—§3.1 +——ИНН
-SA(fcA) ~|й|К ~ю Й£(ЯЙ) «Й1ИЙЯ »Й «Л( -ЖЖ) «й* 3— §1.1; §2.1 3—§3.1 5—§1.1 3—§3.1 3—§3,5® 4—§3,5® 1—§1.1 3—§4.1;5—§2.1;3—§2,5® 2—§1.4 4— § 2. 2;5— §3.1
Ж 51
345
ЖЗЖК 1— §1.2;2—§1.3
4—§3.1 + И®К1±
1—§2.5
«®Й* 3— §3.2
Ж®ЖЖ(ЯЖ) 2— §3.3
ЗОЛМЖ*£Я 3—§2.1
Я>^|В1(ЛЙ) 4—§3.2
Bianchi fl
3—§3.1
3—§3.1
Betti 3—§4.3
Cartan *}| ЗЦ 1—§2.4
Chem-Lashof д^ЗЦ 5—§4.2
Christoffel ^7 3—§2.1
Clifford ft/Jsffiffi® 5—§2,5®
Codazzi 5—§1.2
de Rham /£ЗЦ 2— §3.2
8 - Pinching ЙЕЖ 4—§3.1
Einstein ЙЕЖ 3— §3.2;5— §4.3
Euler - Рошсаегё
3—§4.3
Finsler ЙЖ OK
Frobenius д^ЗЦ 2—§2.4
Gauss
5—§1.1
5—§1.2
-31Я 4—§1.5
3—§3.2;5—§1.3
-юг 5- §3,5®
-mu 5—§4.1
~ - Kronecker Д 5—§4.1
Gauss-Bonnet-Chem д^ЗЦ 3—§4.3
Grassmann Ж Ж 2— § 1.2;5— §4.2
Green 5— §2.1
Gromov-Hausdorff Bl Ж IWVH
Hadamard /Ё1Ц 4—§3.2
346
Я?31
Hermite ДЖ ffifjOH
Hessian 4—§4.1
4—§4.1
Hodge
-ЙЯ 3—§4.3
3—§4.1
Hopf
~»*жя 5—§2.1
~ - Rinow й?Я 4—§1.2
-OHt
Jacobi
~#5 4—§2.2
4—§2.2
1—§1.1
Kahler
-Й*
~Жз£ И^Ш
Kronecker
3—§4.1
~ delta 1— §2.1
Laplace — Beltrami 3—§4.2;5—§2.1
Laplacian ttSi/SSl 5—§2.1
Levi-Civita 3—§2.1
Lie
~W 2— §2.3
~й^ 2— §2.2
Lipschitz-Killing jft] 5—§4.1
Maurer-Cartan
Minkowski iz> 14 2—§3.3;ffif^K
Morse 5—§4.2
5—§4.2
Myers /5Д 4—§3.1
Pfaff 2-— §3.2
Plateau f5J j® 5— §3.2
Ротсагё
-sis 1—§3.2
-Й* 3— §3.2
SR 51
347
-IS® 3—§4.3
-»«!
Rauch 4—§4,5®5
Reeb 5—§4.2
Ricci
5—§1.2
-Й* 3— §3.2
-&Ж 3— §3.2
5-§4.3;И^Ш
3— §3.2
3— §2.2;5— §2.3
-»*
Sard дЁП. 1—§1.4;ffif^n
Schur д^ЗЦ 3— §3.2
Simons 5—§3.4
Stokes /ЁИ. 2—§4.3
Synge 31Ж>Й?Ж 4— §3,q®647
Tharston JL fa 4t St Ш
Toponogov-S. Y. Cheng д?Ц. 4—§4.3
V eronese Д Щ 5—§3.3
Weingarten
5—§1.1
5—§1.1; §2.3
Weitzenbock
3—§4.2
Weyl^ffi^fi 3— §3.3
Yamabe fSJ ® 3— §3.3