/
Текст
что
Ну и чгУр «?
(РАЗГОВОРЫ МАТЕМАТИКА
С БИОЛОГАМИ И РАДИСТАМИ.
ВРАЧАМИ И ТЕХНОЛОГАМИ.
ГЕОЛОГАМИ И ЭКОНОМИСТАМИ -
ЛЮДЬМИ РАЗНЫХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ
И ИНТЕРЕСОВ
О МАТЕМАТИКЕ
И ЕЕ СВЯЗЯХ С ДРУГИМИ НАУКАМИ,
О РАЗНЫХ РАЗНОСТЯХ.
ЗАНИМАЮЩИХ АВТОРА И ЕГО ДРУЗЕЙ)
Я. Хургин
51
Х98
Разговор
с читателем
Я люблю разговаривать и не очень люблю писать.
Разговаривать с кем-нибудь. У этого понятия «разго-
варивать» много синонимов: общаться, вести беседу,
болтать.
В разговоре все время есть отклик собеседников,
есть, как теперь модно выражаться, обратная связь.
Двадцать пять лет я веду беседы с инженерами,
физиологами, врачами, геологами, экономистами —
людьми разных профессий, взглядов и способностей.
Выступаю с докладами, веду семинары. Беседую за
столом, далеко не всегда круглым.
Поначалу мы натыкаемся на его «углы», и подчас
удары небезболезненны, но благодаря нашим совмест-
ным усилиям со временем «углы» этого стола постепен-
но сглаживаются.
Разговоры эти — о проблемах и трудностях наук,
о которых подчас я так мало знаю, что не могу себя
считать даже дилетантом.
Почему-то укоренился термин «читать лекцию» или
«читать доклад». Лекцию надо говорить, рассказывать;
когда ее читают, даже наизусть, то слушать, как прави-
ло, противно, скучно, а значит — почти бесполезно.
Поэтому во время лекции или доклада я, профессио-
нальный лектор, всегда стараюсь разговаривать со слу-
шателями.
На подготовку двухчасовой лекции уходит много ча-
5
сов, но я не могу точно себе представить все, о чем буду
говорить, — это зависит и от аудитории.
Наверное, очень трудно лектору на телевидении:
нельзя же рассказать анекдот самому себе или задавать
вопросы, не получая на них даже молчаливый ответ.
А писать книгу приходится без обратной связи; и мне
трудно обращаться к кому-то неопределенному, к совсем
неизвестному читателю. Поэтому здесь я буду беседо-
вать со своими друзьями: физиологами, врачами, инже-
нерами, геологами. Разговаривать о математике с нема-
тематиками. Таких разговоров было много. Будут они
и впредь.
Почему же эти беседы были и будут?
Специалист — это, по энциклопедическому справоч-
нику, человек, знающий основательно какую-либо
область науки, техники, культуры, работающий в этой
области. Если добывать эти знания мне самому, надо
годами копаться в литературе. А специалист с наслаж-
дением рассказывает о своих проблемах, трудностях и
бедах, подобно пациенту на приеме у внимательного
врача. И тут сразу удается удовлетворить любопытство,
не преодолевая природную лень._
Словом, мне интересно разговаривать со специали-
стами разных областей науки.
Но зачем же они ко мне обращаются? Ходят слухи,
что сейчас происходит мощный процесс математизации
разных наук, как инженерных, так и описательных. Та-
кие мнения распространяют печать и радио, популярная
и даже серьезная научная литература. Правда, у боль-
шинства людей весьма смутные представления об этом
процессе: одни думают, что математики должны напи-
сать уравнения, годные на все случаи жизни; другие
считают, что электронные вычислительные машины дол-
жны думать вместо людей, и надеются с их помощью
оставаться в привычном состоянии плохо организован-
ного мышления; третьи трезво рассчитывают на посиль-
ную помощь математиков.
На самом же деле математические методы не есть
панацея от всех бед. Но они могут с успехом приме-
няться во всех науках, если только их применять гра-
мотно и корректно. Применение математических мето-
дов — это мясорубка: для получения хорошего фарша
нужно правильно выбрать нож, крутить ручку в нужном
направлении, но главное — нужно заложить доброкачест-
6
венные продукты. В противном случае вас ждет разоча-
рование, в котором вы, конечно, будете винить ни в чем
не повинную теорию.
Весьма важно, чтобы потенциальный потребитель
математической теории ознакомился с ней, мог бы взять
ее арсенал на вооружение сегодня или хотя бы знал
о существовании такого оружия и о том, где его сле-
дует применять. Потенциальные потребители математи-
ческой теории могут подсказать направление дальней-
шего развития теории, ставя перед ней свои задачи, и
в конце концов получить взамен реальную помощь.
Первые беседы специалистов разных профессий —
всегда состязание, бой. Это подобно завязке романа:
сначала влюбленные довольны друг другом — каждый
говорит о себе и не слушает другого. Затем захваченные
полемикой «противники» ведут бой за достойное место,
за утверждение своей точки зрения. И оба побеждают,
когда наступает взаимопонимание.
Я люблю это фехтование, и мое испытанное оружие
и тактика — своевременная постановка вопросов:
НУ И ЧТО?
НА КАКОЙ ВОПРОС ВЫ ХОТИТЕ ОТВЕТИТЬ?
КАКУЮ ЗАДАЧУ ВЫ ХОТИТЕ РЕШИТЬ?
После длительной борьбы, о которой будет речь, на-
ступает следующий этап, когда математик может рабо-
тать вместе с представителем другой науки. И эта сов-
местная работа приносит удовлетворение обеим сторо-
нам и подчас богатые плоды.
Если вам, читатель, эти разговоры покажутся ин-
тересными и полезными, то мой труд будет вознаграж-
ден.
Разговор с физиологом
в сентябре
Золотая осень — вечная тема поэтов, писателей,
художников. Написано много, правильно, хорошо. Но
для меня, как и для всех связанных со школой, высшей
или средней, осень — начало года. Новые ученики, но-
вые дела, новые семинары, новые проблемы, новые
люди.
Мы встречаемся с молодым и, по слухам, способным
физиологом. Молодой — не маститый, но владеющий
своей наукой, умеющий работать, ищущий. Ему нужны
7
I
новые пути, новые темы, нужны существенные резуль-
таты. С ним интересно.
Я. Чем же вы занимаетесь?
Он. Изучаю первичные электрические ответы
зрительной зоны коры у кошки, вызванные вспыш-
кой света перед глазом.
Я уже знаю, что это такое: в голову кошки забивает-
ся тонкая игла-электрод и отводятся биоэлектрические
потенциалы. Эти потенциалы подаются на электронный
осциллограф, где их можно видеть или фотографиро-
вать. Потенциалы имеют примерно такой вид, как верх-
няя кривая на рисунке 1; нижняя периодическая кри-
вая служит для отсчета времени.
Я. А более конкретно?
Он. Раздражение подается в виде светового им-
пульса. Его яркость можно менять. Оказывается,
при этом меняются величина и форма положитель-
ной и отрицательной фаз вызванного потен-
циала.
Я. Ну и что?
Рис. 1
8
Как мало можно передать на бумаге! В интонации
этого" вопроса содержится много дополнительной инфор-
мации. Сейчас это спокойная заинтересованность.
Он. Как это — ну и что? Имеется определенная
зависимость между интенсивностью вспышки и
всеми параметрами электрической реакции.
Обратите внимание — определенная зависи-
мость. Что бы это могло означать?
Я. Какая зависимость?
Он. С ростом интенсивности амплитуда ответа,
например, возрастает сначала быстро, затем мед-
ленно, потом остается неизменной.
Я. Очень мило. Что же вы хотите от меня?
Он. Хотелось бы получить математическую за-
висимость.
Я. А зачем вам нужна эта зависимость?
Он. Как — зачем? Разве вы против примене-
ния математики в биологии?
Я. Нет, я не против, активно за! Вы под ма-
тематической зависимостью понимаете формулу?
Он. Конечно.
Я. Что же вы будете делать с этой формулой,
если я ее напишу?
Он. Напишите, пожалуйста. А мы проведем се-
рию опытов для ее проверки.
Я. Скажите, меняется ли картина от кошки к
кошке?
Он. Качественно не меняется.
Я. Но формулу качественно не напишешь. Фор-
мула — это выражение количественных соотно-
шений.
Он. Вот нам и нужны количественные зависи-
мости.
Я. Это я уже примерно понял. Во время опыта
животные находятся под наркозом?
Он. Чаще я работаю с наркотизированными
животными.
Я. А если менять дозу наркоза или изменять
наркотизирующее вещество, то картина тоже ме-
няется?
Он. Да, количественно меняется, но качествен-
но остается той же.
Я. А если проводить с одной кошкой опыты
долго, то картина тоже оказывается непостоянной?
9
Он. Да. Правда, в разной степени, но многое
меняется. Возможно, наступает привыкание. Да и
глубина наркоза во время опыта изменяется.
Я. Почему же вы называете зависимость между
интенсивностью вспышки и длительностью фазы
определенной?
Он. Ну, может быть, я не точно выразился. За-
чем вы придираетесь к словам? Я хотел сказать,
что имеется какая-то зависимость.
Я. К словам я не придираюсь. Закон всемирно-
го тяготения — это определенная зависимость
между массами двух тел, расстоянием между ними
и силой притяжения. А в изучаемом вами процессе
пока не видно определенной, четкой, однозначной
зависимости между интенсивностью света и ампли-
тудой ответной электрической реакции мозга.
Он. Но все-таки, если увеличивать интенсив-
ность, то амплитуда каждой фазы ответа, как пра-
вило, увеличивается.
Я. Это еще далеко от определенной зависимо-
сти... Что же все-таки вы изучаете?
Он. Академик А. (или профессор Б., или извест-
ный зарубежный ученый В.) разработал методику
суммарного отведения биотоков из слуховой зоны
коры. Он и его сотрудники работали с кроликами
и изучали звуковой анализатор. Наш шеф поста-
вил задачу — изучить зрительный. Мы привыкли
работать на кошках, хотя с ними и больше возни.
Когда вместо прямого ответа на вопрос ссылаются
на авторитеты, у меня начинает сосать под ложечкой.
Я представляю себе картину опыта: душная комната,
в станке животное, включены десятки приборов, на
многоканальном шлейфовом самописце на очень хоро-
шей бумаге записывается сразу полтора десятка кри-
вых: кровяное давление, ритм дыхания, биотоки, отво-
дящиеся от разных участков мозга, и т. д. Несколько
человек много часов ведут тонкий опыт, затем ласково-
го кролика выкидывают на помойку, а через некоторое
время туда же выкидывают и многометровые записи,
ибо не всегда ясно себе представляют, что же с ними
делать. В голосе у меня уже появляется металл.
ЯЛЧа какой вопрос~вы хотите ответить?"
Он (раздраженно). Я же вам говорил, что меня
10
интересует зависимость параметров первичного от-
вета от интенсивности вспышки.
Я (едко). Предположим, что вы уже знаете эту
зависимость, написана формула. Ну и что?
Он (еще более раздраженно). Я же вам только
что объяснил, что академик А. ...
Я (прервав его). А какую задачу решал этот
авторитет?
Он (снисходительно). Академик А. изучал влия-
ние интенсивности слухового раздражителя на
форму первичного ответа слуховой зоны коры.
Я. По-моему, это не задача, а чисто описатель-
ная тема. Какую же он написал формулу?
Он. Что вы! Академик А. — ученый старой
формации, активный противник применения мате-
матики в биологии. Какие там формулы? Его шко-
ла считает, что задача физиолога — описать
явление.
Я. Описать или объяснить?
Он. В классической физиологии, конечно, тоже
объясняют явления, но описательно.
Я. А как, по вашему мнению, нужно описывать
эти явления?
Он. Нужно точно. Вот я и хотел, чтобы вы по-
могли нам написать формулы.
Я. Знаете, я не поклонник классической физио-
логии. Во всяком случае, мне было очень трудно
читать книги по физиологии: как-то очень много
фактов и весьма произвольное их толкование,
с точки зрения математика. Но и то, что вы гово-
рите, не многим лучше.
Он. То есть как?
Я. Приведу пример. Листья разных растений
имеют разную форму, и никто не спутает лист кле-
на с листом березы. Теперь возьмем утюг, разгла-
дим лист клена (сделаем его плоским) и обведем
карандашом. Получим кривую на листе бумаги.
Можно поднатужиться и написать теперь уравне-
ние этой кривой. Скажем, знаменитый Декарт,
который изобрел метод координат — одно из ве^
дичайших открытий человечества, исследовал кри-
вую с поэтическиКГназванием ^Лепесток жасмина».
Уравнение этой кривой
х3 + у3 = Заху.
11
Рис. 2
Ну И что?
На рисунке 2 вы, читатель, видите этот график. Ку-
сочек кривой в первой четверти действительно похож
на листок, немного похож.
Он, Не знаю...
Я. Вот именно. А существует целая литература
по отысканию кривых, описывающих форму листь-
ев. Этим занимались многие ученые, начиная с Де-
карта и до наших дней. В конце прошлого века
немецкий математик Л. Хабенихг написал целое
сочинение «Аналитические формы листьев». А тол-
ку чуть, собственно, никакой пользы от этой рабо-
ты нет.
По-моему, подобные упражнения компромети-
руют применение математики в биологии. Ибо ни-
каких выводов для ботаники, для объяснения при-
роды из этих формул сделать нельзя. Я уж не
говорю о том, что лист от листа одного и того же
растения отличается не только подобием и, следо-
12
вательно, формулы лишь весьма приближенно
описывают формы листьев. Да собственно говоря,
точной неизменной формы у листа нет вообще: он
все время изменяется, растет, причем не одинаково
в разных направлениях. Кроме того, листья ца
самом деле не плоские фигуры, а поверхности
в пространстве.
Словом, дело не в формулах. Математика —
вовсе не формулы, как музыка — это не ноты.
Он. Вы меня запутали '
Я. Вернемся к физиологии. Изучение влияния
интенсивности слухового раздражителя на форму
первичного ответа — это не задача. Это может
быть промежуточный этап. Какую же задачу надо
решить?
Он. Электрофизиологи сейчас владеют методи-
кой отведения биопотенциалов мозга как суммарно
от больших групп клеток, так и от отдельных ней-
ронов. Мы изучаем ответы больших групп клеток
коры на различные раздражители.
Я. Если бы академик А. еще не родился или
занимался бы ботаникой, а новую методику отве-
дения биопотенциалов мозга изучали бы уже в
стандартном курсе электрофизиологии, вы бы все
равно сейчас этим занимались?
Он. Если бы при этом мы находились в том же
состоянии неизвестности о деятельности мозга, то
мы делали бы то же самое.
Я. А что вы узнаете о деятельности мозга, если
будете регистрировать первичные ответы? Методи-
ка методикой, но какую же все-таки вы решае-
те задачу?
Он. Изучаем связь между интенсивностью све-
тового сигнала и разными характеристиками пер-
вичного ответа. Посмотрите сами.
Он мне показывает массу фотографий, мы долго их
обсуждаем, спорим, спорим, спорим...
Я. Мое мнение таково. Никакой прямой одно-
значной связи между двумя интересующими вас
величинами — интенсивностью вспышки и дли-
тельностью первичного ответа — здесь нет. Дли-
тельность ответа зависит еще от десятков перемен-
ных, которые в опыте нельзя зафиксировать. Связь
между параметрами стимула и реакции в вашем
13
случае статистическая, вероятностная. Поэтому
никакую формулу прямой связи между этими ве-
личинами написать нельзя.
Однако дело в том, что вам это и не нужно.
Глупо просто так изучать связь каких-то вели-
чин. Вы должны ставить опыты для ответа на ка-
кой-то вопрос, строить гипотезу и для ее проверки
ставить эксперимент. Вы, конечно, так и делаете,
только не хотите в этом четко разобраться. Давай-
те устроим перерыв на некоторое время. Попробуй-
те четко сформулировать задачу, которую вы хо-
тите решить.
Он. Ладно, я подумаю... Вы меня слишком уж
жестоко прижали. В среде физиологов не принято
пока так грубо и резко задавать невежливый во-
прос: «Зачем?» * **
* * *
Может быть, у вас, читатель, создалось впечатление,
будто мой собеседник бестолков или плохо разбирается
в своей области науки? Или, может быть, вы подумали,
что нейрофизиология — это второсортная наука?
Ни то, ни другое не имеет места. Нейрофизиологу,
как и вообще биологу, приходится иметь дело с живым
организмом. А всякий живой объект, будь то животное
или одна живая клетка, неизмеримо сложнее, скажем,
любой машины, сделанной человеком. Живой организм
нельзя разобрать на части и изучать каждую из них в
отдельности — все процессы внутри организма взаимо-
связаны.
Можно сказать, что живой организм в отличие от
искусственно созданных до сих пор машин или систем —
это система с весьма большим, практически бесконеч-
ным числом степеней свободы (понимаемых в разумном
смысле).
Таким образом, биолог находится в труднейшем по-
ложении; и именно поэтому биология лишь недавно пе-
решла от стадии пассивного наблюдения над природой
к широкому проведению активных экспериментов. Сей-
час происходит освоение разнообразных методик, поиски
новых, более совершенных приемов исследования.
И лишь совсем недавно стало ясно, что при изучении
живого понадобится большой набор математических ме-
14
тодов, разработка новых математических теорий, аде-
кватных сложным биологическим задачам.
Поэтому в действительности превосходство матема-
тика в этой и других беседах кажущееся, внешнее:
нападать легче, чем защищаться.
Для того чтобы от математика была реальная поль-
за, а не только поверхностная критика, он должен осво-
ить соответствующую область науки, в данном случае —
нейрофизиологии. Лишь после этого можно ждать от
него пользы: новых идей, нужной постановки вопросов,
правильных выводов в этой новой для него области.
Разговор с физиологом зимой
Прошло несколько месяцев после первого разговора
с физиологом в сентябре. Мы многократно встречались,
обсуждали постановку опытов и их результаты, спорили
и спорили. Я бывал в лаборатории во время опытов, кру-
тил ручки приборов, жалел животных. Снова и снова
упорно задавал одни и те же вопросы и моему другу —
физиологу и его товарищам по работе. Мы организова-
ли постоянный семинар. Постепенно выработался общий
язык, и мы как будто пришли к пониманию цели, ради
которой ставятся опыты, подошли к четкой формули-
ровке задачи.
Я. О чем сегодня будет речь? У вас есть новые
результаты?
Он. Результаты есть, новостей нет. Но мне ка-
жется, что можно четко сформулировать постанов-
ку вопроса.
Я. В который раз?
Он. Надеюсь, что в последний.
Я. Ого! Давайте выкладывайте.
Он, Мозг с помощью зрительной системы обра-
батывает световые сигналы. И наша задача — по-
нять, как это делается.
Я. Об этом мы уже говорили. Дело не в сигна-
лах, а в информации, которую несут эти сигналы.
Он. Именно это я и имел в виду.
Я. Какие параметры светового сигнала являют-
ся носителями информации?
Он. Вот это как раз и неизвестно.
Я. Следовательно, мы должны угадать эти па-
раметры, а затем проверить наши догадки.
15
Он, Безусловно, важнейшим параметром являет-
ся яркость, интенсивность светового раздражите-
ля. Поскольку имеется некоторая статистическая
связь между интенсивностью светового сигнала и
амплитудой первичного ответа — вы с этим уже
согласились, — то, следовательно, мы делаем пра-
вильно, когда изучаем первичный ответ.
Я. Да, по-видимому, довольно тесная статисти-
ческая связь здесь существует. Но все-таки что же
это означает? Похоже, чю если одиночные клетки
в зрительной зоне коры дают ответ на раздраже-
ние, то этот ответ всегда одинаковой интенсивно-
сти. В опыте регистрируется сумма ответов многих
клеток, расположенных в определенной зоне. Уве-
личение суммарного ответа при возрастании интен-
сивности раздражителя означает, по-видимому, что
с ростом интенсивности раздражителя возрастает
количество отвечающих клеток.
Он. Это, наверное, так.
Я. Но клетки же отвечают не одновременно?
Он. Да, у разных типов клетОк задержка отве-
та на раздражение не одинакова, как говорят, у
них различные латентные периоды. Кроме того,
клетки разных типов и реагируют неодинаково:
клетка после раздражения выдает серию импуль-
сов, а количество и интервалы между импульсами
для разных типов клеток различны.
Я. Значит, в этих посылках содержится какая-
то различная информация. Скажите, пожалуйста,
в действительности на раздражение каждая клет-
ка отвечает всегда одинаково, то есть для данной
клетки количество импульсов и интервалы между
ними — это неизменные величины?
Он. Похоже, что так. Во всяком случае, в пер-
вом приближении, как вы говорите. Впрочем, если
на одиночную клетку через электрод, введенный
в клетку, подавать многократно раздражение, то
картина меняется. Но это, может быть, и не ха-
рактерно для клетки, которая работает совместно
с другими в нормальных условиях.
Я. Как много в физиологии всегда оговорок!
Он. Так это же вам не мясорубка, где десяток
деталей и сразу видно, что будет, если быстрее
крутить ручку!
16
Я. Это я уже давно понял, вы ломитесь в от-
крытую дверь. Принцип работы мясорубки давно
понят. А в физиологии не поняты принципы, по-
этому-то меня она занимает. Так вот, именно из-за
разброса в латентных периодах и в количестве и
конфигурации ответов разных клеток меняется
форма всего ответа на раздражение, а не только
первичный ответ. Не так ли?
Он. Да, так. Но вследствие интенсивной само-
произвольной деятельности клеток мозга имеется
значительный фон, который виден, когда нет раз-
дражения. «Хвост» суммарного ответа на раздра-
жение теряется в этом фоне, его невозможно выде-
лить.
Я< Почему же невозможно? Я как раз думаю,
что это возможно. Рассуждение тут очень простое.
Фоновая активность — это результат собственной
активности мозга. Если предположить, что процес-
сы собственной активности разных клеток или их
/ групп независимы или слабо связаны, то можно
считать далекие отрезки такого процесса тоже не-
зависимыми. А это означает, что, если взять, ска-
жем, сотню таких отрезков, наложить друг на дру-
га и просуммировать, должен получиться почти
нуль.
Он. Опыты с фоновой активностью делались.
Там есть определенные периодические процессы.
Вы же знаете, что есть альфа-ритм, бета-ритм,
гамма-ритм.
1Я. Но эти процессы как будто медленны по
сравнению с изучаемыми нами ответами?
Он. Да, довольно медленные.
Я- Поэтому можно рассчитывать на успех?
Он. Кажется, вы можете предложить какую-то
программу?
Я. Давайте попробуем извлечь информацию о
поведении «хвоста» — ответа на световой им-
пульс — посредством статистической обработки
группы, скажем, из сотни вызванных ответов. Мы
их запишем, затем сопоставим начала ответов (или
моменты подачи раздра а затем сложим.
Компонента самопроизвЬльнойтр^^Ешости при
этом в основном будет у\^чтожена-,—а вызвыйная
активность сохранится. я в
2
Я. Хургин
17
радиофизике прием выделения слабого сигнала на
фоне шума.
Он. Как провести опыты, я себе представляю.
А вот как их все обработать? Это же очень тру-
доемкий процесс!
Я. Да, вручную дело не пойдет. Но здесь мож-
но использовать уже имеющуюся технику перевода
непрерывных кривых в дискретные цифровые дан-
ные и произвести обработку на электронной вы-
числительной машине.
Он. Давайте так и сделаем, это заманчиво.
Мы провели необходимую работу и получили инте-
ресные результаты. Я не буду здесь об этом подробнее
рассказывать. Самое важное достижение было не в ре-
зультатах. Мы не только стали понимать друг друга,
но и смогли совместно работать. Смогли сформулиро-
вать ближайшую задачу: выяснить, на какие параметры
светового сигнала реагирует мозг. Физиологу помог
математик, указавший метод извлечения информации
из наблюдений. Дело оказалось вовсе не в формулах,
а в идеях и методах.
Это был только первый этап совместной работы, и я
далек от того, чтобы переоценивать полученные нами
тогда результаты.
Следует заметить, что в действительности задача со-
стоит не только в изучении параметров сигнала, на
которые реагирует зрительная система, — проблема
значительно сложнее и глубже. Сейчас уже понято:
прежде чем начать обработку сигналов, «система долж-
на знать», зачем это надо. Только тогда она сможет
разумно выбрать параметры, на которые следует реаги-
ровать, и лишь при этом принятый сигнал будет нести
полезную для системы информацию, а не являться ка-
ким-то шумом.
В то же время живому организму приходится решать
весьма разнообразные задачи, и, по-видимому, ему при-
ходится перестраиваться в зависимости от задачи. Поз-
же я еще коснусь этого важного круга вопросов.
Забытый разговор с инженером-радистом
Этот разговор был давно. Я о нем вспомнил случай-
но, наткнувшись на старые записки.
Ко мне пришел квалифицированный инженер — спе-
18
циалист по приемной аппаратуре. Он прекрасно умеет
придумывать нужные конструкции, как говорят,
«чувствует схему». Математически он тоже неплохо об-
разован: мы с ним познакомились, когда он начинал
учебу в аспирантуре, а я обучал аспирантов математи-
ке и учился у них радиотехнике.
Он. Не могли бы вы мне помочь вычислить
один интеграл?
Я. Покажите. Ого! Откуда вы взяли такую
длинную и сложную формулу?
Он. Такая получилась.
Я. Может быть, вы ошиблись в выкладках?
Он. Нет, я много раз проверял, и все время по-
лучается вот такой же сложный интеграл. Спра-
вочники не помогают, там таких интегралов нет.
Я. Знаете, я забыл, чем вы занимаетесь.
Он. Изучаю помехоустойчивость системы
«фильтр — линейный детектор — фильтр».
Я. Да-да, это очень интересная тема. А при ре-
шении какой конкретной задачи у вас появился
такой мухобойный интеграл?
Он. Вы не верите, что получилась такая форму-
ла? Пожалуйста, я принесу сейчас все выкладки,
проверьте сами.
Я. Нет, не надо, почти верю. Но не верю, что
вы делаете то, что нужно. Таких сложных формул
в этой теории не должно быть.
Он (обиженно). Что значит — не должно быть?
Так получается, если рассматривать идеальный ли-
нейный детектор. Я по вашему же совету заменил
характеристику реальной лампы на идеальную.
Тут я вспомнил, что действительно месяца за два до
этого разговора он приходил ко мне с просьбой указать
удобную аналитическую формулу, график которой был
бы близок к характеристике идеального линейного
детектора. Я, не вникая в существо задачи, предложил
ему воспользоваться функцией, представленной на ри-
сунке 3. И вот теперь стало очевидно — мой совет при-
вел к серьезному осложнению.
Я. Не обижайтесь, тут я, кажется, перед вами
виноват. Давайте разбираться в задаче по суще-
ству. Какую же вы решаете задачу?
Он. На вход системы «фильтр — детектор —
фильтр» поступает узкополосный сигнал совместно
2*
19
Рис. 3
с шумом. Надо вычислить отношение сигнала к
шуму на выходе.
Я. Предположим, что вы уже вычислили отно-
шение сигнала к шуму. Ну и что?
Он, Как это — ну и что?
Я. Что вы с этим отношением будете делать?
Он. Постараюсь его увеличить.
Я. Вот это уже дело. Если я правильно понял,
то задача, которая вас интересует, состоит в вы-
боре тех значений параметров системы, при кото-
рых отношение сигнала к шуму будет возможно
больше. Верно?
Он. Да.
Я. А что можно изменить в системе, какие па-
раметры в вашей власти?
Он. Если считать фильтры заданными, то мож-
но менять только характеристику детектора.
Я. А с какой точностью можно реализовать эту
характеристику в действительности?
20
Он. Мне бы хотелось решать задачу в общем
виде.
Я. Но как вы поступаете практически? Ведь
система у вас уже работает? И надеюсь, успешно
давит помехи.
Он. Конечно, работает. Детектор — это одна
лампа. В схеме имеются два потенциометра; изме-
няя сопротивление, можно менять характеристики.
А затем их просто подбирают.
Я. А что вы понимаете под словами: «Решать
задачу в общем виде»?
Он. Надо написать общие формулы.
Я. Эти формулы должны зависеть от ваших ис-
ходных параметров. И если вы не можете задать
абсолютно точно исходные данные, то какой толк
от абсолютно точной формулы?
Он. Но это же пойдет в диссертацию, а там
нужна теория, иначе скажут, что это недиссерта-
бельно.
Я. И только ради этого вы вычисляете инте-
гралы?
Он. Если бы мне не надо было писать диссер-
тацию, то я небось не стал бы это изучать — не-
когда, как всегда, разбираться в деталях. Но на
самом деле, если иметь удобные формулы, можно
увидеть, что от чего зависит, и построить систему
с лучшими параметрами. А это может значительно
повысить помехоустойчивость системы.
Я. Значит, и от теории может быть польза?
Он. Если будут простые соотношения, то будет
польза.
Я. Тогда стоит повозиться. Скажите все-таки,
с какой точностью можно реализовать характе-
ристику детектора?
Он. Ну, скажем, один процент.
Я. А если «без запроса», по-честному?
Он. Я думаю, мы обеспечиваем точность лишь
в пять процентов.
Я. Вот это уже похоже на правду. А каков у
вас интервал изменения входных напряжений?
Он. Теоретически — бесконечность, если пред-
полагать, что шум имеет нормальное распреде-
ление.
Я. Теория теорией, а как на самом деле?
21
Рис. 4
Он. А практически не бывает напряжений, вы-
ходящих за границы от минус одного до плюс од-
ного вольта.
Я. Это уже конкретнее. Давайте сформулируем
теперь задачу. Надо подобрать характеристику по-
проще для детектора в интервале от — 1 до +1
вольта такую, чтобы она была похожа на уголок,
представленный на рисунке 3, и обеспечивала в этом
интервале точность приближения не менее пяти
процентов. Я думаю, что здесь можно обойтись
многочленом невысокой степени — скажем, чет-
вертой или шестой.
Он. О! Тогда все выкладки были бы значитель-
но проще и соотношения между параметрами бы-
ли бы вполне обозримы.
Я. Конечно.
Он. Но я как-то побаиваюсь возражений моего
шефа по аспирантуре — он скажет, что это выгля-
дит слишком примитивно.
22
Я. Скажите, вы далеко живете от института?
Сколько времени вы тратите на дорогу?
Он. Я живу в центре, на дорогу уходит минут
40—50. А что?
Я. Вот вы специалист по микросекундной тех-
нике, а смогли бы вы измерить это время с точно-
стью до микросекунды?
Он. Да. Но от этого мало толку — ведь день
на день не похож: то приходится долго ждать
троллейбуса, то завозишься дома, то еще что-ни-
будь. Зачем же измерять с такой точностью?
Я. Да и мне думается, что ни к чему, хотя прин-
ципиально это возможно. Аналогия с вашей зада-
чей здесь полная.
Он. Да, понял... Так какой же взять многочлен?
Я. Хорошо, я посчитаю, зайдите через пару
часов.
Соответствующий многочлен был без большого тру-
да подобран. Его график показан на рисунке 4. Но де-
ло, конечно, не в конкретном многочлене, а в общем
подходе к подобным задачам.
Этот разговор и ряд аналогичных помогли мне вы-
работать важное правило: консультируя специалистов
других областей науки, математик должен разбирать-
ся в их задачах по существу, а не просто отвечать на
задаваемые ему вопросы.
Еще несколько слов
к вам, читатель
Вы стали свидетелем и, я надеюсь, участником раз-
говоров математика с биологом и инженером. Позже
вы познакомитесь с диалогами со специалистами в дру-
гих областях. Все эти люди нуждались в помощи со
стороны математики. Но эту помощь, как и саму мате-
матику, они представляли себе по-разному. Наши точки
зрения на математику и возможности ее использования
в прикладных науках не совпадали.
Теперь я постараюсь рассказать о самой математи-
ке, свести воедино многое из того, что я рассказывал
своим друзьям — нематематикам.
У нас зачем-то широко используют слова: образцо-
во-показательный, высокоидейный, научно-популярный.
Как будто может быть образцовое предприятие не по-
23
казательным, а литературное произведение — средне-
идейным или антинаучно-популярным.
Я постараюсь рассказать о математике понятно, по-
пулярно. Это будет не курс математики, а фрагменты,
наброски идей и методов, маленькие рассказы. Здесь
ничего не будет доказываться, и читать это можно без
бумаги и авторучки. Мне хочется показать картину раз-
вития этой науки, показать, чем и как сейчас занима-
ются математики. Конечно, мне не удастся рассказать
обо всем, что есть в математике. Но я постараюсь кос-
нуться весьма различных и внешне совсем не связанных
между собой математических теорий и их применений.
Читатель любит проявлять самостоятельность и чи-
тать книгу не по порядку. Кое-какие разделы в книге
все-таки опираются на предыдущие, и если вы будете
что-то не понимать, не прочитав предварительно преды-
дущее, то не сердитесь и вернитесь немного назад.
Если же вам покажутся неинтересными какие-то за-
тронутые здесь проблемы, не швыряйте сразу книгу в
угол, полистайте ее дальше, и, быть может, что-то дру-
гое вас заинтересует.
Что вы думаете
о математике?
В школе в основном любят не науки, а учителей.
Недавно я читал лекцию для абитуриентов, поступаю-
щих в один из вузов технического профиля. Собралось
человек пятьсот. На вопрос: «Кто из вас любил в шко-
ле математику?» — подняли руки человек двести. На во-
прос: «Кто любил в школе учителя математики?» —
подняли руки тоже 150—200 человек. Но когда я по-
просил поднять руку тех, кто в школе любил матема-
тику, но не любил учителя математики, то из 200 люби-
телей математики подняли руки лишь четверо!
Большинство окончивших школу, а подчас и вуз, где
«проходили» небольшой курс высшей математики, впо-
следствии не только забывают почти все детали, но
часто и сами математические методы. Они с трудом мо-
гут объяснить, что же осталось от курса математики,
какую пользу он им принес*. Они помнят в основном
несправедливые оценки, смешные, трогательные или
драматические события во время занятий, наконец, тео-
ремы, доставившие им наибольшие неприятности.
* Наверное, было бы очень интересно, особенно в связи с пер-
манентными перестройками учебных планов и программ, провести
широкую выборочную проверку по всем наукам, выяснить, что же
осталось в памяти от школьных наук у лиц, окончивших школу 5,
10, 15 лет назад, чем они владеют, что, по их мнению, принесло им
25
И подчас они придерживаются одной из двух противо-
положных точек зрения.
Первая сводится к покровительственному презрению.
«Математика — это такая ску-у-учная наука, где надо
все время что-то считать, как в бухгалтерии. Кому нуж-
большую пользу и что было совершенно бесполезно или даже
вредно.
Когда в нашем институте составляли новый учебный план по
специальности «Автоматизация производственных процессов», то
опросили ряд лиц, работающих в организациях, куда направляют
инженеров, оканчивающих по этой кафедре.
Опрашиваемые должны были оценить по трехбалльной системе
нужность или бесполезность профилирующих курсов и некоторых
разделов из общетехнических предметов. Собранный материал был
обработан по современному методу изучения сложного анкетного
материала. (Кое о чем подобном я расскажу позже в главе «Инже-
нер Ягодинец выбирает место работы».) На основании проделанной
работы составили новый учебный план, в котором пришлось изъять
многие разделы и даже отдельные дисциплины и добавить новые.
В частности, в курс высшей математики добавлены новые разделы,
а сам курс увеличен с 500 до 750 часов.
26
на трата драгоценного времени на задачи о перелива-
нии воды из одного бассейна в другой? Это время мож-
но использовать значительно лучше! Зачем определять
сложным способом третью сторону треугольника по
двум другим и углу между ними? Во-первых, проще
отложить на бумаге угол и известные стороны и затем
измерить линейкой неизвестную, и, во-вторых, это во-
обще никогда и никому не нужно»... и т. д.
Вторая — отражает священный трепет. «Математи-
ка?.. Ох!.. Это что-то очень сложное и трудное, заумное
и недоступное простому смертному. Только избран-
ные — таланты и гении — этим могут заниматься, за-
давать друг другу какие-то сверхъестественные задачи
и даже находить их решения».
Однако и те и другие уверены, что математика со-
стоит из алгебры, геометрии и тригонометрии и, быть
может, из какой-то высшей математики, причем послед-
няя рисуется в образе бесчисленных формул — таинст-
венных или дурацких, в зависимости от того, второй или
первой точки зрения на математику придерживается
опрашиваемое лицо.
Арифметика к математике обычно не относится, она
как-то связана с ранним детством и столь же банальна,
как азбука, чистописание и детские болезни.
Что такое математика?
Все школьные науки меняются с течением времени:
мои родители писали «ять» и «фиту», в их школе не
упоминались имена Маркса и Ленина, Резерфорда и
Эйнштейна, Горького и Маяковского, Дарвина и Попо-
ва. А вот геометрию Эвклида, теорему Пифагора, фор-
мулы для решения квадратных уравнений и представле-
ние синуса суммы двух углов учили отцы, учат дети и
будут учить внуки. Это создает впечатление неизменно-
сти, окостенелости математики, ее отточенности и завер-
шенности.
Представьте себе, как выглядела физика и астро-
номия в XVII веке, до открытия Ньютоном закона все-
мирного тяготения и законов движения — знаменитых
трех законов Ньютона, — до открытия электричества и
электромагнитной индукции, до Кулона, Вольта, Ампе-
ра и Фарадея.
Еще легче биологу или химику составить представ-
27
ление о химии XVII века, до Ломоносова и Лавуазье,
о биологии и медицине до микроскопа Левенгука.
Но ученые XVII века фактически знали все, что на-
писано в школьных учебниках геометрии и алгебры,
и даже значительно больше, а многие сведения, содер-
жащиеся в этих учебниках, по существу, были извест-
ны Эвклиду в III веке до нашей эры.
Угнетающая древность школьной математики,
традиционной, как религия, и является отправной точ-
кой для вывода о завершенности и окостенелости мате-
матики.
Но как это далеко от действительности! За послед-
ние 300 лет, и особенно за последнее столетие, матема-
тика бурно развивается. И я постараюсь показать, что
математика — это совсем не то, что подчас в выхоло-
щенном и нудном виде преподносится школьникам.
Итак, начнем с вопроса: «Что такое математика?»
Можно привести философское определение матема-
тики, данное Энгельсом: «Математика — это наука,
имеющая своим предметом пространственные формы и
количественные отношения действительного мира», — или
воспользоваться афоризмом крупнейшего немецкого ма-
тематика конца XIX — начала XX века Давида Гиль-
берта: «Математика — это то, что под этим понимают
компетентные люди». Однако для действительного по-
нимания содержания всякой науки нужно хотя бы грубо
очертить сферу ее влияния, очертить ее предмет и ее
метод.
Мне не удастся в этой небольшой книжке рассмот-
реть отдельно и достаточно подробно предмет и метод
математики, хотя математический метод — это то глав-
ное, о чем мне представляется нужным здесь расска-
зать. Но и предмет математики, как будет видно, также
представляет определенный интерес для всякого естест-
воиспытателя.
Небесполезный исторический экскурс
На заре развития человечества возник счет, а по-
требности обмена, торговли, дележа добычи и продук-
ции привели к развитию арифметики.
Где-то во тьме веков зародилась и геометрия — зем-
лемерие. Однако уже около двух с половиной тысячеле-
тий назад трудами геометров Древней Греции геометрия
28
полностью оторвалась от землемерия и обратилась в
науку о пространственных отношениях и формах тел.
Теперь геометрия строится уже на базе некоторых
аксиом или постулатов — отправных положений, при-
нимаемых без доказательств, и теорем-заключений,
выводящихся из аксиом последовательным, дедуктивным
образом. Она создана столь безупречно и совершенно,
что более двух тысячелетий (вплоть до начала XIX ве-
ка) в ее основы не вносится никаких изменений.
Более сложные задачи торговли и промышленности
приводят к необходимости решения уравнений, куда
вводятся уже буквенные обозначения. Так возникает
алгебра — в то время наука об уравнениях. Еще в
древности умели решать уравнения первой степени и
надоевшие нынешним школьникам квадратные урав-
нения.
Человечество тратит огромные усилия на решение
уравнений более высокой степени, и лишь в XVI веке
удается решить уравнения третьей и четвертой степеней.
Еще три века люди трудятся над решением уравне-
ний степени выше четвертой, но совершенно безуспешно.
Ниже я коснусь более подробно этой проблемы и
расскажу о ее драматической истории.
Потребности развития самой математики приводят
знаменитого философа, естествоиспытателя и математи-
ка Рене Декарта в середине XVII века, а точнее —
в 1637 году, к объединению алгебры и геометрии, к ис-
пользованию алгебраических методов в геометрии. Так
создается аналитическая геометрия, в которой прямые,
плоскости, окружности и другие кривые и поверхности
задаются уравнениями в прямоугольной, или, как ее
еще называют, декартовой, системе координат.
На рисунке 5 представлены прямая и окружность
радиуса г с центром в начале координат и их уравне-
ния в декартовой системе координат. Позже нам нужно
будет подробнее поговорить о системах координат, так
как они понадобятся в дальнейшем.
Первым шагом вперед математики, топтавшейся мно-
го веков на месте, было создание аналитической геомет-
рии. Конец XVII века, знаменующийся развитием
астрономии, геодезии, механики, физики, приводит ге-
ниального англичанина Исаака Ньютона и независимо
от него великого немецкого ученого Готфрида Виль-
гельма Лейбница к созданию дифференциального и
29
Рис. 5
интегрального исчисления — основного математическо-
го аппарата классической физики. А развитие диффе-
ренциального и интегрального исчисления привело,
в свою очередь, к разработке дифференциальных и ин-
тегральных уравнений математической физики.
Эти новые главы математики, объединенные в один
раздел «Математический анализ», помогли физике, ме-
ханике, химии и смежным с ними дисциплинам завое-
вать так много побед, что перечислить их просто не-
возможно. Здесь все: движение машин и механизмов,
снарядов и автомобилей, самолетов и ракет, электри-
чество и радио, спектральный анализ и прогноз пого-
ды — словом, все, что нас окружает, обязано успехам
математического анализа.
Ну, а геометрия? В начале XIX века после триумфа
аналитической и дифференциальной геометрии можно
было подвергнуть анализу сам фундамент геометрии —
ее постулаты.
Взялся за это Николай Иванович Лобачевский, ве-
ликий русский математик. Он критически пересмотрел
систему геометрии Эвклида и, в частности, исключил
из нее знаменитый пятый постулат о параллельных ли-
ниях. Пятый постулат гласит: «Через точку на плоскос-
ти, не лежащую на данной прямой, можно провести к
30
этой прямой лишь одну параллельную». Н. Лобачев-
ский заменил в этом постулате утверждение об одной
параллельной прямой к данной на предположение о воз-
можности через такую точку провести по крайней мере
две параллельные.
Может быть, вам представляется такая замена не-
достаточно обоснованной или, более того, вовсе бес-
смысленной? Она же явно противоречит вашей интуи-
ции, вашему опыту... Но не будем предавать анафеме
создателей неэвклидовой геометрии. Нашим предкам
тоже было трудно поверить во вращение Земли, а мно-
гим нашим современникам непонятно до сих пор, по-
чему в совершенно закрытой комнате никуда не под-
ключенный транзистор издает порой вполне членораз-
дельные звуки.
Интуиция опирается на наши наблюдения. А наблю-
даем мы практически параллельность на весьма малых
кусках плоскости. Поэтому не так уж очевидно, что
произойдет, если предположить прямые продолженны-
ми в бесконечность в обе стороны.
Эта теория, получившая название неэвклидовой гео-
метрии, или геометрии Лобачевского, была не понята
почти всеми его современниками. Однако позже она по-
родила другие «неэвклидовы геометрии» и, главное, ока-
залась той математической базой, на которую опира-
лись в начале XX века исследования реального физи-
ческого пространства. Эти исследования завершились
созданием Альбертом Эйнштейном знаменитой теории
относительности.
Следует заметить, что примерно одновременно с
Н. Лобачевским идеи о недоказуемости постулата Эв-
клида о параллельных линиях и построении геометрии
на новой основе были разработаны венгерским лейте-
нантом Яношем Бояи. Впрочем, великий Гаусс в письме
к отцу Яноша писал, что еще ранее он размышлял об
этих проблемах и построил основы неэвклидовой гео-
метрии, но не хотел публиковать при жизни столь рево-
люционные и сенсационные результаты.
Рождению неэвклидовой геометрии и нелегкой судь-
бе ее создателей посвящено немало работ. Можно ука-
зать, например, на содержательную и интересную кни-
гу В. Смилги «В погоне за красотой», выпущенную в
1968 году в той же серии, что и данная (особенно хо-
роши авторские рассуждения по самым разным пово-
31
дам). Поэтому я не буду на этом подробно останавли-
ваться.
Многие математические дисциплины, которые я не
буду перечислять, развились из потребностей самой ма-
тематики, но впоследствии оказались весьма полезными
физике, технике и естествознанию. В частности, мате-
матическая логика, возникшая вследствие необходимо-
сти построения математики на твердой и непротиворе-
чивой логической основе, сегодня служит аппаратом для
построения теории цифровых вычислительных машин и
вообще является одной из существенных частей мате-
матического аппарата кибернетики.
Дальнейшее развитие алгебраических теорий, уста-
новление глубоких связей алгебры с математическим
анализом привело за последние три десятилетия к ко-
лоссальным успехам так называемого функционального
анализа, который был определен одним из создателей
современного функционального анализа — советским
математиком И. Гельфандом, как математический аппа-
рат современной физики.
Следовало бы остановиться на развитии многих и
многих математических теорий, но это заняло бы слиш-
ком много места. Поэтому поговорим более подробно
лишь о некоторых.
Фигуры
на резиновой
пленке
Начнем с навязшего в зубах треугольника. Когда
изучают какие-нибудь объекты, то либо отыскивают их
общие черты, либо, наоборот, стараются понять, чем
они различаются.
Что же общего у двух треугольников, изображенных
на рисунке 6?
Пожалуй, лишь то, что оба они треугольники, то
есть у них есть три угла, образованных отрезками пря-
мых. Из этой их общности вытекает множество общих
свойств: сумма их внутренних углов равна двум пря-
мым; их площадь выражается как половина произведе-
ния любой из их сторон на соответствующую высоту.
Впрочем, вы, наверное, сами помните огромное количе-
ство теорем о треугольниках из школьного курса.
Ну, а что общего у фигур на рисунке 7? Они состав-
лены из отрезков прямых, у них нечетное число вер-
шин — вот, кажется, и все. Ну, а фигуры, изображен-
ные на рисунке 8? Хотя они чем-то и похожи одна на
другую, сформулировать их общие свойства уже
труднее.
Вернемся к треугольнику. На рисунке 9 от треуголь-
ника отсечен подобный треугольник, то есть имеющий
такие же углы. Эти две фигуры, кроме общих свойств
всех треугольников, обладают еще и тем, что они по-
добны. А что это значит?
3 Я. Хургин
33
Рис. 6
Рис. 7
Рис. 8 :
Рис. 9 Рис. 10
Рис. 11
Возьмем кусок тонкой плоской резины и нарисуем
на ней эти подобные треугольники (рис. 10). Если ре-
зину равномерно растянуть во все стороны, то треуголь-
ники хотя и изменятся, но останутся подобными
(рис. 11). Таким образом, подобие — это свойство, ко-
торое сохраняется при равномерном растяжении. Но ес-
ли кусок резины окажется неоднородным или если его
растягивать неравномерно, например, натягивать на ба-
рабан, то треугольник может оказаться и таким, какой
показан на рисунке 12. Он состоит уже не из прямых
линий, но что-то общее между ним и его предшествен-
никами есть. Это «что-то», конечно, интересно выяс-
нить.
Действительно, фигуры рисунка 12 — это какая-то
карикатура на четкие треугольники рисунка 10, но у них
есть вершины, и треугольники не налезли один на дру-
гой. А что, если на этой пленке нарисовать две амебо-
образные фигуры: одну сплошную, а другую с дыркой
внутри (рис. 13) и натянуть резину опять на барабан
(рис. 14)? «Амебы» останутся «амебами», но и дырка
3*
35
Рис. 12
Рис. 14
Рис. 13
сохранится; никаким натяжением без разрывов от нее
не избавиться.
Теперь, после наблюдений, надо понять, что же есть
общего во всех таких преобразованиях резиновой
пленки.
Математика и искусство
Математика, подобно искусству, подмечает явления
в реальной жизни, объединяет аналогичные события,
процессы и факты, обобщает их.
Замечательный актер и художник, народный артист
СССР Сергей Владимирович Образцов на творческом
вечере показывает кукол. Собачки, кошки, львы и зай-
цы обобщают какие-то смешные, трогательные или
скверные свойства людей. ЗатеАм кукол сменяют обыкно-
венные шарики на пальцах или просто пальцы. И с по-
мощью этих совсем простых средств С. Образцов под-
черкивает что-то главное в поведении и характерах лю-
дей, в их отношениях. Тут искусство, подсказав ана-
логию, останавливается и говорит зрителям: остальное
додумывайте сами.
А у математика, подметившего после наблюдения,
подчас длительного и нелегкого, что-то важное, общее,
характеризующее целый класс явлений, работа только
начинается. Ему надо точно сформулировать, какие же
свойства его заинтересовали; создать соответствующую
умозрительную схему и полностью ее изучить, а потом
проверить, соответствует ли созданная теория действи-
тельности.
Непрерывные преобразования
В предыдущем примере мы обнаружили, что при
преобразованиях плоскости, подобных произвольным
растяжениям резиновой пленки, какие-то свойства фи-
гур сохраняются. Математик называет такие преобра-
зования непрерывными. Это означает, что очень близкие
точки после преобразования переходят в близкие же
точки, а линия (ниточка) переходит в линию. Довольно
очевидно, что две пересекающиеся линии и после такого
преобразования будут пересекаться, непересекающие-
ся — не пересекаться, а фигура с дыркой не может пе-
рейти в фигуру без дырки или с двумя дырками, так
как для этого потребовался бы какой-то разрыв, склеи-
вание, нарушение непрерывности.
37
Так начинается топология — наука, изучающая свой-
ства геометрических фигур, не меняющиеся при непре-
рывных преобразованиях.
Какая разница между шариком и бубликом (рис. 15
и 16)? И что общего у огурца и шарика (рис. 17 и 18)?
Ясно, если огурец резиновый, то его можно, непре-
рывно раздувая, преобразовать в шарик и нельзя —
в бублик. Но бублик — это то же, что и шарик с руч-
кой (рис. 19) или пудовая гиря.
Вернемся к преобразованиям на плоскости.
Нарисуем кошку (рис. 20) и пересечем ее какой-
нибудь прямой (рис. 21). Если равномерно сжать к этой
прямой всю фигуру, то получится тоже кошка, но более
откормленная. Заметим, что при этом переместятся все
точки фигуры, кроме точек нашей прямой. Последние
останутся на месте. Возьмем теперь внутри фигуры про-
извольную точку 0 и повернем вокруг нее кошачью фи-
гуру (рис. 22). При этом преобразовании лишь точка 0
останется на месте, а все остальные переместятся. Те-
перь преобразуем кошку, приняв точку 0 за центр подо-
бия. Вдоль разных лучей, проходящих через точку О,
будем сжимать фигуру с различным коэффициентом
сжатий. На расунке 23 показано такое преобразование
вокруг другой точки, также обозначенной 0, с коэффи-
циентом сжатия
2 + cos у
где q> — угол между направлением соответствующего
луча и горизонтальной прямой. Получилась какая-то
карикатура на нашу кошку. При этом все точки пере-
местились, и лишь точка 0 осталась на месте.
Параллельно сдвинем теперь эту карикатуру в дру-
гое место (рис. 24), но так, чтобы вся она осталась
внутри исходной фигуры.
Два последовательно проведенных преобразования:
неравномерное сжатие и параллельный сдвиг — можно
рассматривать как единое преобразование этой кошки
внутрь себя.
Как вы думаете, читатель, при этом преобразовании
осталась ли на своем месте хотя бы одна точка или все
точки заняли новые положения?
Возьмем теперь резиновую пленку, растянем ее в
разных направлениях по-разному, так сказать, как при-
дется, и нарисуем на этой растянутой пленке все ту же
38
Рис. 18
Рис. 17
кошку. Затем отпустим пленку, предоставив резине
принять первональное нормальное положение. При
этом кошка вся сожмется, окажется внутри исходной
и примет какой-то невообразимый вид (рис. 25).
41
Думается, читатель, вы согласитесь с тем, что при
этом сложном преобразовании все точки исходной кош-
ки заняли новые места и ни одна не осталась непо-
движной. Во всяком случае, лица, которых я опраши-
вал, это мнение отстаивали с большой настойчивостью.
Однако наша интуиция здесь нас подводит: утверж-
дение о перемещении всех точек фигуры на новые места
ошибочно. В действительности верно противоположное
утверждение: при любом непрерывном точечном пре-
образовании такой фигуры внутрь себя по крайней ме-
ре одна точка остается неподвижной *.
Эта знаменитая теорема Боля — Брауэра о непо-
движной точке получена в начале XX века. Она играет
важную роль во многих вопросах топологии и матема-
тического анализа, особенно при исследовании движе-
ний динамических систем.
Удивительная поверхность
Механико-математический факультет Московского
государственного университета недавно, следуя моде,
принял эмблему факультета — маленький значок. (Его
увеличенный набросок вы видите на
рис. 26.) Здесь изображены коор-
динатная сетка, интеграл и пере-
крученная полоска — лист Мёбиу-
са. Что же это за лист?
Возьмем бумажную полоску и
склеим ее концы: получим цилиндр.
На наружной стороне такого ци-
линдра можно провести горизон-
тальные линии, а на внутренней —
вертикальные (рис. 27). Проделаем
небольшой мысленный опыт.
Пустим обыкновенного муравья ползти по наруж-
ной части поверхности этого цилиндра, запретив ему
перелезать через край. Пусть он, например, движется
вдоль линии, нарисованной посередине. Спустя некото-
рое время он вернется в ту же точку, из которой вышел
* Речь идет о фигурах, которые могут быть получены посред-
ством непрерывного преобразования из круга. Аналогичная теорема
верна и для объемных фигур, которые могут быть получены путем
непрерывного преобразования из шара.
42
Рис. 27
(подобно кораблям Магеллана, совершившим круго-
светное путешествие).
Крыша, шляпа или автомобильная камера имеют,
как вы знаете, наружную и внутреннюю стороны. И ка-
жется несомненным, что любая поверхность должна
также иметь две стороны, мы их часто называем наруж-
ной и внутренней сторонами. Действительно, как же
может быть иначе?
Давайте теперь склеим ту же полоску (обозначим
ее ABCD), полуперевернув ее концы, то есть точку А
склеим с точкой О, а точку В с точкой С (рис. 28—30).
Если наш муравей совершит то же самое путешествие
по продольной линии, то вы будете удивлены, обнаружив
муравья в исходной точке, но кверху ногами!
Если мы попытаемся закрасить стороны получив-
шейся поверхности разными красками, у нас ничего
не выйдет: эта поверхность имеет всего лишь одну
сторону! И наше несомненное утверждение оказалось
неверным.
Эта новая фигура и есть знаменитый лист Мёбиуса,
открытый в 1858 году, когда Мёбиусу было 68 лет
(в противоречие с распространенным мнением, что круп-
ные открытия математики делают только в молодости).
Лист Мёбиуса обладает и другими непривычными свой-
ствами.
Если у цилиндра два края — верхний и нижний, то
у листа Мёбиуса всего один край.
Если разрезать цилиндр (рис. 27) вдоль по средней
43
Рис. 28
линии, по которой путешествовал муравей, то получит-
ся, очевидно, два таких цилиндра. А что получится,
если разрезать лист Мёбиуса вдоль по средней линии?
Правдоподобны следующие ответы:
1) получится два листа Мёбиуса;
2) получится два цилиндра;
3) получится один цилиндр;
4) получится вновь один лист Мёбиуса;
5) получится два зацепленных кольца.
Выберите, пожалуйста, правильный, на ваш взгляд,
ответ из пяти приведенных или предложите какой-ни-
будь новый. Теперь склейте лист Мёбиуса: на это вы
затратите несколько минут — и не пожалеете. Раз-
режьте его по средней линии и посмотрите, те ли полу-
чились фигуры, какие вы ожидали? Затем полученные
листы разрежьте еще раз по средним линиям. Едва ли
после этого вы получите ожидаемые фигуры...
Итак, богатство геометрических образов вовсе не
исчерпано древнегреческими геометрами, и оно не огра-
ничивается многоугольниками, конусами и пирамидами;
это богатство бесконечно и по-прежнему интенсивно
изучается и в наши дни.
И еще. Казавшееся несомненным утверждение, что
у каждой поверхности имеются две стороны, оказалось
просто неверным. Следовательно, когда дотошные ма-
тематики требуют проведения логически безупречных
доказательств того или иного утверждения, они это
делают не только для своего удовольствия, но и для
проверки фактов, которые нам кажутся совершенно
очевидными и которые при проверке оказываются иног-
да ошибочными.
Граф
Карта железных дорог страны или план улиц города
представляет собой сеть из линий (рис. 31). Каждый
отрезок линии соединяет две какие-то точки, которые
называются вершинами. И если образ функции на чер-
теже ласково называют ее графиком, то для названия
сети из точек и соединяющих их линий используют бо-
лее торжественный термин — граф.
План водопроводной сети города тоже граф, но он
существенно отличается от плана улиц города: вода по
трубам идет лишь в одном направлении. Если на реб-
рах (линиях) графа отметить стрелками направление
движения воды, получится направленный, или ориенти-
рованный, граф (рис. 32). Впрочем, сейчас в больших
городах на некоторых улицах введено одностороннее
движение; если на плане таких улиц стрелкой указать
направление движения транспорта, а на других улицах,
45
Рис. 31
где движение двустороннее, не ставить стрелки, то полу-
чим граф, который называют смешанным (рис. 33).
Шахматный матч тоже можно представить в виде
графа. Начертим на бумаге кружочки по количеству
участников турнира и обозначим их теми номерами, ка-
кие присваиваются участникам в соответствии с жере-
бьевкой. Результат игры каждой пары — это ребро, со-
единяющее две соответствующие точки. При этом на-
правление стрелки на ребре ставится от выигравшего
Рис, 32
Рис. 33
к проигравшему. В случае ничьей — стрелка на ребре
не ставится (рис. 34).
Матч будет окончен, когда каждый кружочек будет
соединен со всеми остальными. Такой граф называют
полным. У лидера турнира будет наибольшее число ис-
ходящих стрелок. Если каждая пара участников иг-
рает две игры (белыми и черными), то провести при-
дется по два ребра. На рисунке 34 показана ситуация,
когда все участники, кроме четвертого и шестого, сы-
грали по две партии, а шестой и четвертый — лишь по
одной. Пока лидером является второй игрок.
Рис. 34
Могут возникнуть подозрения, что точки пересече-
ния ребер графа, не отмеченные кружочками, тоже
должны что-нибудь означать. Нет, они ничего не
означают, и для ликвидации недоразумений удобно
представлять себе этот граф расположенным в про-
странстве: тогда его ребра — веревочки — не будут
пересекаться. Обратите внимание: ребра графа вовсе
не должны быть обязательно отрезками прямых линий
Так, графы на рисунках 34 и 35 одинаковы в том смыс^
ле, что один граф можно перевести в другой непрерыв-
ным преобразованием. В таких случаях математики
говорят, что графы изоморфны.
Впрочем, не всегда безразлично, может ли граф быть
начерчен так, чтобы его ребра не пересекались. Напри-
мер, монтажная схема радиоприемника представляет
собой граф, вершинами которого являются радиодета-
ли: сопротивления, конденсаторы, лампы и т. д., а реб-
рами — соединяющие их провода. Несущественно, пе-
ресекаются ли начерченные на листе бумаги ребра или
не пересекаются: при фактической реализации схемы
провода не будут пересекаться, и короткое замыкание
предотвращается изоляцией проводов.
Однако в последние годы широкое распространение
получили печатные схемы. Печатная схема — это лист
диэлектрика, на который нанесена металлизированная
пленка в соответствии с монтажной схемой. При этом
важно, чтобы вершины графа (схемы) можно было сое-
динить непересекающимися линиями; в противном слу-
чае обеспечено короткое замыкание.
Рис. 35
Итак, бывают случаи, когда данный граф необходи-
мо представить на плоскости в таком виде, чтобы его
ребра пересекались только в вершинах. Если это воз-
можно, то такой граф называется плоским.
Можно указать метод, дающий возможность прове-
рить, является ли как угодно нарисованный граф пло-
ским или нет. (Как видите, это практически важная за-
дача.)
Организуя одностороннее движение по городу, ОРУД
сталкивается с проблемой выбора направления движе-
ния на различных улицах. Эти направления надо вы-
брать так, чтобы не оказалось мест, в которые вообще
нельзя проехать или из которых нельзя выехать. (На-
пример, на рисунке 36 из пункта А в пункт В проехать
можно, но из В в А нельзя.) Естественно, возникает
вопрос о таком выборе ориентации на улицах города,
при котором из любого пункта можно проехать в любой
другой, не нарушая правил движения. Эту задачу уже
4 Я. Хургин
Рис. 36
можно сформулировать как точную задачу о структуре
ориентированного плоского графа.
Впрочем, если бы ОРУД построил правила движе-
ния, лишь опираясь на эту теорию, то милиция под-
верглась бы нареканиям, ни в какое сравнение не иду-
щим с теми обычными сентенциями в адрес милиции,
которыми обмениваются шоферы-любители или быва-
лые пассажиры такси.
В действительности задача организации движения в
большом городе очень трудна, и она с каждым годом
усложняется вследствие роста парка индивидуального
и городского транспорта. И все же это математическая
задача, тесно связанная с теорией графов, но не только
с ней.
Вы, конечно, неоднократно читали фельетоны о за-
сылке купальных костюмов в Арктику или о встречных
перевозках лопат из Рязани в Иркутск и точно таких
же лопат из Иркутска в Рязань. Эти фельетоны иногда
даже смешно написаны, но авторы, ругая головотяпов,
предлагают лишь их строго наказать или уволить с по-
зором. А как сделать лучше? Конечно, недобросовест-
ные сотрудники сбытовых организаций путают и меша-
ют, но в действительности не в них дело. Планирование
перевозок, управление запасами — это сложнейшие за-
дачи, и никакие отдельные сотрудники сбытовых или
снабженческих организаций не в состоянии их решить.
Теория графов в совокупности с некоторыми други-
ми современными дисциплинами дает возможность ре-
шать такие задачи. Я сейчас поясню постановку транс-
портной задачи.
Времена меняются, и, скажем, в городе Зурбагане,
появлению которого мы обязаны фантазии Александра
Грина, идет интенсивное строительство. Строятся одно-
временно школа, мореходный институт, шестнадцати-
этажный дом и порт. Близ города имеются три кирпич-
ных завода. Но строящиеся школа, институт, жилой дом
и порт находятся далеко друг от друга и на разных рас-
стояниях от кирпичных заводов. И перед начальником
снабжения Давенантом возникла проблема планирова-
ния перевозок кирпича. Нужно удовлетворить потреб-
ности строек и при этом минимизировать весьма значи-
тельные расходы на перевозку кирпича с заводов на
стройки. Эту задачу решить можно, но для ее решения
понадобятся и фантазия, и знания, и современная вы-
50
числительная машина, если, конечно, число строек ве-
лико. Я только намечу путь решения задачи.
Составим ориентированный граф, где три кирпичных
завода обозначены цифрами 1, 2 и 3, стройки — бук-
вами Ш (школа), И (институт), Д (дом), П (порт);
ребра графа проведены с заводов на все стройки
(рис. 37). Ребра помечены числами, означающими
относительную стоимость перевозки тысячи кирпичей
по указанному пути.
Решение задачи теперь представляется очевидным:
в школу следует доставлять кирпич с завода № 1,
в порт — с завода № 2, стройка института может об-
служиваться в равной мере заводами № 1 и № 2, а
стройка дома — заводами № 2 и № 3. Похоже, что
завод № 3 вообще можно закрыть и без него минимизи-
ровать стоимость перевозок.
Но не все так просто бывает на самом деле. Пред-
ставим себе, что кирпичные заводы № 1, № 2 и № 3
обладают разной производительностью, причем суммар-
ное количество кирпича еле-еле удовлетворяет потреб-
ности строек. При этом именно завод № 3 обладает
Рис. 37
4*
наибольшей производительностью, а завод № 2 — наи-
меньшей. Подобные ограничения значительно осложня-
ют задачу. Однако путем целесообразного перебора ва-
риантов задача успешно решается, и результаты дают
возможность не только обеспечить стройки кирпичом,
но и минимизировать весьма значительные транспорт-
ные расходы.
Замечу, что, если суммарное количество производи-
мого кирпича не превосходит заметно потребности стро-
ек, планирование перевозок на глазок обычно приводит
к перебоям в снабжении. А использование наилучшего
варианта перевозок песка автотранспортом на стройки
Москвы от речных портов, куда песок доставляют на
баржах, лишь в течение года сэкономило огромные
средства.
Вот еще цикл задач, сводящихся к задачам из тео-
рии графов. Начнем с волнующей девушек задачи о за-
мужестве. В поселке имеется несколько (/и) холостых
парней и несколько (п) девушек. Девушки — невесты
разборчивые, а каждая считает не всех, а лишь несколь-
ких парней приемлемыми для брака, а остальных —
неприемлемыми. В каком случае возможно заключить
браки так, чтобы каждая красавица имела приемлемого
для нее мужа?
Увы, число девушек не должно превосходить числа
холостых парней (п <1 т), а это очевидное условие едва
ли соответствует реальному положению, и это, конечно,
сильно осложняет жизнь. Но этого мало. Если бы де-
вушек было пять, все пять считали бы приемлемыми
лишь первых двух парней, то задача была бы неразре-
шима.
Но пусть девушек все же меньше, чем юношей, их
вкусы и требования разнообразны (или они достаточно
разумны и не добиваются невозможного) и нет прин-
ципиальных препятствий для замужества всех наших
невест.
Ситуацию иллюстрирует рисунок 38, где стрелы, пу-
щенные девушками, указывают на их возможных из-
бранников. Надо было бы всех молодых людей назвать
благозвучными именами, но перенумеровать их проще.
Возможно ли в нашей ситуации осчастливить всех де-
вушек? Если первое число относится к девушке, а вто-
рое к парню, то можно, например, составить пять , пар
(1,1); (2,2); (3,5); (4,3); (5,6). При этом, как часто
52
бывает в жизни, четвертый, на которого претендовало
наибольшее число невест, остался холостым. Можно бы-
ло бы поженить их и в других комбинациях. Конечно,
мы не учитываем интересы парней, так же как и обыч-
ные неприятности вследствие ревности, тщеславия и
других причин, портящих часто настроение, а иногда и
жизнь.
Когда число девушек и парней велико и их интересы
сложным образом переплетаются, эту задачу, как вы
знаете, решить не так-то легко. Но можно указать об-
щие условия, обеспечивающие существование решения
поставленной задачи. Я не буду вас обременять форму-
лировкой соответствующей теоремы, но укажу на дру-
гую, менее драматическую модель той же ситуации.
Представьте себе цех, где имеется п различных стан-
ков и т рабочих (n<m), причем квалификация рабочих
такова, что каждый станок может обслуживаться лишь
некоторыми из рабочих. При каких условиях возможно
53
обеспечить обслуживание всех станков? Решение этой
задачи, как видно, эквивалентно задаче о выборе удов-
летворительных браков.
Некоторой модификацией описанной ситуации будет
задача о назначении. Представьте себя ответственным
за выполнение какого-то комплекса работ на предприя-
тии, в министерстве или, на худой конец, дома. У вас
есть подчиненные и столько же работ. При этом вам
повезло: каждый из ваших сотрудников может выпол-
нить любую из порученных работ. Однако одинаково
быстро или качественно они делать это не смогут, и эф-
фективность выполнения ими работ будет различна.
Как вы распределите работы между подчиненными?
Руководящая идея при этом следующая: распределить
работников так, чтобы все они использовались с высо-
кой эффективностью. Эта ситуация иллюстрируется ри-
сунком 39. Обозначим через эффективность (в не-
которых единицах) выполнения сотрудником с номе-
ром i работы с номером /, так что, например, 024 озна-
чает эффективность выполнения вторым сотрудником
Рис. 39
четвертой работы. В качестве оценки эффективности
работы всего коллектива сотрудников можно взять, на-
пример, сумму эффективностей. Тогда для ситуации ри-
сунка 39
эффективность = ai2 + 024 + 031 + 043.
Теперь можно ставить задачу выбора наиболее эф-
фективного распределения работ между сотрудниками.
Для ее решения можно рассмотреть все варианты рас-
пределения работ по сотрудникам и выбрать тот, кото-
рый обеспечивает наибольшую эффективность. Это не
самый быстрый путь, но он наверняка приведет к цели.
Можно было бы и иначе оценить эффективность ра-
боты сотрудников, считая в качестве оценки эффектив-
ности работы группы наименьшую из эффективностей.
Это, так сказать, обстановка, когда желательно наилуч-
шим способом использовать даже самого слабого работ-
ника. Тогда задача распределения сотрудников по ра-
ботам — это, так сказать, обстановка широко распрост-
раненной в школе, а подчас и в вузе, заботы об отстаю-
щих. Например, так выглядит экзамен без вытягивания
счастливых и несчастливых билетов, когда экзаменатор,
хорошо зная возможности своих учеников, сам раздает
вопросы и заботится лишь о наименьшем количестве
провалов. Тогда задача распределения людей по рабо-
там формулируется иначе: распределить работы между
сотрудниками так, чтобы наименьшая из эффективно-
стей в группе была бы наибольшей из возможных. По-
смотрим, что это означает в терминах графа, изобра-
женного на рисунке 39. Предположим, что — наи-
меньшая из эффективностей на этом графе. Можно бы-
ло иначе распределить работы и вместо эффективностей
012; 024*, 0зГ, Я43 получить, например, ап\ а2з; 032; 044.
Если среди этих четырех чисел наименьшим будет а44,
и при этом я44 больше, чем a3i, то второе распределение
работ предпочтительнее первого. Перебирая все возмож-
ные распределения работ, следует выбрать такое распо-
ложение стрелок, при котором наименьшее из чисел —
эффективностей — в этой группе стрелок было бы наи-
большим из всех возможных.
Сейчас теория графов широко применяется в разных
областях науки и техники, в частности, в так называе-
мом сетевом планировании. У меня было большое жела-
ние написать раздел о сетевом планировании, разобрав
55
в качестве примеров приготовление обеда, защиту дип-
ломного проекта или ремонт квартиры. Но, трезво оце-
нив обстановку, я воздержался. Дело в tqm, что по это-
му поводу уже немало сказано. Выпущены серьезные,
популярные и полупопулярные статьи, книги и брошю-
ры, разосланы инструкции по применению и обязатель-
ному использованию сетевого планирования. Грамотные
люди, использующие метод не где и как попало, а где
это целесообразно и так, как надо, достигли успехов, и
кое-где даже очень значительных. Например, в Челя-
бинске при сооружении блюминг-автомата использова-
ние сетевого планирования привело к улучшению орга-
низации работ и сокращению сроков их выполнения с
24 месяцев по плану до 15 месяцев. В Донецке одна
из строительных организаций, пользуясь сетевым пла-
нированием, построила школу на 960 учащихся за 3 ме-
сяца вместо обычных 9 месяцев, которых тоже не всем
строителям хватает на постройку такой же школы.
Поэтому я счел за лучшее использовать отпущенные
мне страницы для разговора о менее известных про-
блемах.
Числа и точки
Для дальнейшего мне понадобятся некоторые самые
элементарные понятия аналитической геометрии. Я про-
шу прощения, читатель, за это упоминание, но вдруг
вас в школе плохо учили или вы забыли начисто школь-
ный курс. Не волнуйтесь — ваши знания не понадобят-
ся, нужны только некоторые ассоциации. Но если вы
помните элементы аналитической геометрии, то лишь
просмотрите этот раздел.
Вдоль автомагистрали стоят столбы, на которых
указаны расстояния в километрах от начального и ко-
нечного пункта дороги. Это способ задания положе-
ния точки на линии (не обязательно прямой) посредст-
вом чисел (рис. 40).
Выше было упомянуто о способе задавать положение
точек на плоскости с помощью декартовых прямоуголь-
ных координат.
Подобным же образом на любой поверхности поло-
жение точек может быть задано числами.
Когда легендарному капитану Немо надо было оп-
ределить положение «Наутилуса» на поверхности океа-
на, то он вычислял долготу и широту.
Нарисуем на резиновой пленке декартовы коорди-
наты — прямоугольную сетку с шагом единичной дли-
ны. Чтобы попасть из одной точки сетки в другую, дви-
гаясь по линиям сетки (рис. 41), надо пройти сначала
по сплошной «улице», а затем по пунктирной. Впро-
57
Рис. 40
чем, можно было бы идти сначала по пунктирной «ули-
це», а затем по сплошной — дела это не меняет.
Деформируем теперь пленку с помощью произволь-
ного непрерывного преобразования. Получившаяся кри-
волинейная сетка также будет системой коорди-
нат: здесь для путешествия из одной точки сетки в
другую надо, как и прежде, пройти по сплошной,
хотя и не прямой «улице», а затем по пунктирной
(рис. 42).
Рис. 41
Рис. 42
Аналогично обстоит дело и в пространстве. Для ука-
зания местоположения висящей лампы надо указать
три числа: например, расстояния от двух перпендику-
лярных стен до места, где шнур спускается с потолка,
и длину шнура (рис. 43).
Это декартовы прямоугольные координаты в прост-
ранстве.
Если же капитану Немо нужно было узнать положе-
ние «Наутилуса» в пространстве, то, кроме долготы и
широты, он определял еще и глубину погружения. Эти
три числа — тоже координаты в пространстве.
В астрономии принято положение небесных тел от-
носительно Земли определять тремя координатами: дву-
мя углами — склонением и прямым восхождением —
и расстоянием до Земли.
Метод координат дает возможность любые геомет-
рические задачи излагать на языке чисел. Геометриче-
ские образы оказываются эквивалентными определен-
ным совокупностям чисел.
59
Рис. 43
Например, отрезок числовой прямой между точками
с координатами Xi=2 и х2 = 7,5 (рис. 44) — это сово-
купность всех чисел х, удовлетворяющих двум неравен-
ствам:
х^ 2 и х<7,5.
Эти два неравенства принято записывать как одно:
2< х<7,5.
Квадрат единичной площади на плоскости, верши-
нами которого являются точки с координатами (0,0);
(0,1); (1,0) и (1,1) — это совокупность пар чисел (х,у),
удовлетворяющих неравенствам (рис. 45):
Рис. 44
Поэтому, пользуясь методом координат, можно из-
лагать всю геометрию аналитически, начиная с опреде-
ления точки на прямой как числа х, точки на плоскос-
ти — как пары чисел (х,у) и точки в пространстве —
как тройки чисел (x,y,z). Круг радиуса 5 с центром в
точке (2, 3) есть не что иное, как совокупность всех
пар чисел (х,у), которые удовлетворяют неравенству:
(X - 2)2+ (у - 3)2 <52.
А плоскость в пространстве, проходящая через нача-
ло координат, — это совокупность всех троек чисел
(x,y,z), удовлетворяющих уравнению:
ах + by + cz — О,
где а, Ь и с — какие-то заданные числа.
Важно обратить внимание на эквивалентность гео-
метрического и аналитического подходов: геометриче-
ские образы можно выразить аналитически в виде ра-
венств или неравенств, а аналитические соотношения
можно представить в виде кривых, поверхностей или
фигур.
Аналитический подход к геометрическим задачам
дает возможность врачу представлять наглядно различ-
ные характеристики человека. Например, на прямой
можно откладывать рост человека.
61
При измерении роста (Л) и веса (р) человек харак-
теризуется точкой на плоскости с координатами (h, р).
Если же измерять еще и возраст (/), то он соответст-
вует точке в пространстве с координатами (Л, р, t).
А что делать, если человека требуется характеризо-
вать многими параметрами: ростом (Л), весом (р), воз-
растом (/), объемом грудной клетки (Q), силой сжатия
левой и правой рук (fi) и (f2), остротой зрения (г)?
Здесь появилось семь параметров, и кажется, что на-
глядные геометрические представления отступают.
Однако геометрические аналогии на самом деле очень
удобны. Они себя оправдывают повсеместно, широко
используются, и именно поэтому совокупность всевоз-
можных четверок чисел (x,y,z,t) можно рассматривать
как совокупность точек четырехмерного пространства;
совокупности всевозможных семерок чисел (x,y,z,t,u,
v,w) — как совокупность точек семимерного простран-
ства. Можно, наконец, рассматривать всевозможные
наборы из п чисел (хь х2, *з, .... х п) как совокупность
точек n-мерного пространства.
Все-таки у всякого человека, впервые с этим сталки-
вающегося, возникает недоумение: что же это за четы-
рехмерное пространство? Как его себе вообразить?
Возьмем тонкую стеклянную трубочку и пустим туда
все того же муравья. Если ему захочется возвратиться,
он должен будет ползти задом. Если пустить двух му-
равьев с разных сторон, то разойтись они не смогут
(рис. 46). Так печально выглядит жизнь в пространстве
одного измерения — на линии.
Но пустим этих же муравьев разгуливать по поверх-
ности стола или тыквы; они смогут идти в любом на-
правлении и обходить препятствия (рис. 47). Жизнь на
поверхности — в пространстве двух измерений — по-
кажется им более удобной.
Рис. 46
62
Впрочем, и здесь есть свои трудности: муравьи, раз-
деленные ручейком, никогда не смогут встретиться. Го-
ворят, что если нарисовать белой краской окружность
и поставить в середине ее петуха, то он в недоумении
будет находиться внутри окружности и не догадается
перешагнуть через нее. На самом деле, если вдуматься,
ему нужны сообразительность и мужество, чтобы выйти
из двумерного пространства в трехмерное.
Стрекозе уже лучше, чем муравью, — она может
перелететь через ручеек. Стрекозы живут в трехмерном
пространстве, и замкнутая линия на поверхности не
ограничивает их движений. Но если посадить стрекозу
в банку и закрыть крышкой, то и она окажется в за-
труднении: вылететь ей н^уйастся. Замкнутая поверх-
ность делит ее жизненное трехмерное пространство на
две части — внутреннюю и внешнюю, подобно тому
как замкнутая кривая делит на две части (внутреннюю
и внешнюю) жизненное пространство муравья — по-
верхность.
Впрочем, не всякая замкнутая кривая, нарисованная
на поверхности, делит эту поверхность на две части так,
что из одной части нельзя попасть в другую, двигаясь
по поверхности и не пересекая при этом кривую. При-
мером тому может служить бублик: пунктирная кривая
делит его поверхность на две части, а сплошная не де-
лит (рис. 48).
Подумайте: как обстоит дело на сфере с тремя руч-
ками (рис. 49) и на листе Мёбиуса? Однако на каждой
поверхности существуют замкнутые кривые, которые
делят ее на две части — внутреннюю и внешнюю. И это
для нас сейчас более важно.
Теперь представьте себе существо, живущее в че-
тырехмерном пространстве. Для него закрытая банка
не препятствие; она не делит его жизненное простран-
ство на две части. Существо просто «перелетит» из бан-
ки, воспользовавшись четвертым измерением.
Заметьте, читатель, что мы сами живем не в трех-
мерном, а в четырехмерном пространстве, где коорди-
натами являются три координаты местоположения
x,y,z и время t. Эти переменные не совсем одинаковы;
если x,y,z могут принимать произвольные значения, из-
меняя знаки и величины, то время t может только воз-
растать. Однако в этом четырехмерном пространстве
можно выйти из закрытой комнаты не через двери или
окна, а воспользоваться четвертой координатой — вре-
Рис. 48
менем. Двигаясь лишь по этой координате и сохраняя
неизменными три другие, можно оказаться в иной си-
туации и выйти из комнаты, скажем, через какое-то
время, когда дом развалится и стены комнаты уже не
будут границей.
Конечно, это может произойти не скоро, но мы же
обсуждаем принципиальную возможность.
Ситуация становится еще очевиднее, если допустить,
как это принято в так называемой научной фантастике,
движение по оси времени в обратную сторону, назад.
Ту же точку пространства (x,y,z) внутри запертой ком-
наты раньше не окружали стены, пол и потолок — их
просто еще не было. И поэтому, продвинувшись снача-
ла назад лишь по временной оси, мы сможем выбраться
из этой закрытой комнаты.
Поразмышляем о многомерных мирах еще немного.
На плоскости (двухмерное пространство) окружность
5 Я. Хургин
Рис. 49
с центром в начале координат и радиусом г (рис. 50)
задается уравнением:
х2+у2 = г2.
Аналогом окружности на плоскости в трехмерном
пространстве будет сфера. Сфера радиуса г с центром
в начале координат (рис. 51) задается уравнением:
Рис. 51
x2+#2+z2=r2.
Переходя от трехмерного к четырехмерному про-
странству, естественно назвать четырехмерной сферой
радиуса г с центром в начале координат «трехмерную
поверхность», удовлетворяющую уравнению:
x2 + f/2+z2 + /2 = r2.
Подобно тому как цыпленок, живущий в трехмер-
ном пространстве, не может вылупиться из яйца, не
разбив скорлупы, цыпленок, живущий в четырехмерном
пространстве и помещенный внутрь четырехмерной сфе-
ры, не может выйти из нее.
Для выхода из четырехмерной сферы цыпленок дол-
жен ее пробить. Однако если цыпленок живет в пяти-
мерном пространстве, то и скорлупа должна быть по-
добна пятимерной сфере, а не четырехмерной; послед-
няя не сможет закрыть эмбрион со всех сторон, и его
съедят пятимерные враги еще до того, как он вырастет.
Посмотрим на многомерное пространство еще с од-
ной стороны.
Любая точка на прямой делит ее на две полупря-
мые без общих точек.
Плоскость точкой не разделить. Но любая прямая,
проведенная на плоскости, делит ее на две полуплоскос-
ти. И муравей, отправляясь из одной полуплоскости
в другую, обязательно должен пересечь разделяющую
их прямую.
В трехмерном пространстве теперь уже и прямая не
разделит пространство. Однако любая плоскость вели-
колепно разделит пространство на два непересекающих-
ся полупространства. И стрекозе, вздумавшей пересе-
литься из одного полупространства в другое, обязатель-
но придется пересечь разделяющую плоскость.
Аналогично четырехмерное пространство не сможет
быть разделено обычной двумерной плоскостью. Это
пространство успешно делится любой трехмерной ги-
перплоскостью.
Таким образом, в четырехмерном пространстве есть
подпространства различного числа измерений: трехмер-
ные гиперплоскости, двумерные плоскости, одномер-
ные — прямые линии, и нульмерные — точки.
В n-мерном пространстве по аналогии будут гипер-
плоскости различного числа измерений от нульмерных
(точек) до (п — 1)-мерных. Лишь (п — 1)-мерные ги-
перплоскости — наивысшей возможной размерности —
будут разделять n-мерное пространство, а уже гиперпло-
скости размерности п — 2 и тем более гиперплоскости
меньших размерностей n-мерное пространство разделять
не будут.
Мы уже установили, что множество всех точек пло-
скости, удовлетворяющих неравенствам:
представляет собой квадрат. Его вершинами будут точ-
ки с координатами (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1). В трех-
мерном пространстве фигурой, аналогичной этому квад-
рату, будет куб. Его можно определить как совокупность
всех точек (x,y,z) в пространстве, все три координаты
которых заключены между нулем и единицей.
Вершинами куба будут точки, координаты которых
равны либо нулю, либо единице (рис. 52). Их, как не-
трудно видеть, восемь, и каждая определяется тремя
координатами: (0,0,0); (0,0,1); (0,1,0) и т. д.
Естественно назвать четырехмерным кубом множест-
во точек (x,y,z,t) в четырехмерном пространстве, все че-
тыре координаты которых заключены между нулем и
68
Рис. 52
единицей. Его вершинами будут точки, координаты ко-
торых также равны либо нулю, либо единице: напри-
мер (0,0,0,0); (0,1,0,1); (1,1,1,0) и т. д.
Сколько же вершин у четырехмерного куба?
Ответить на этот вопрос довольно просто, не выпи-
сывая всех возможных точек. В самом деле, мы уже
знаем, что у трехмерного куба восемь вершин. Они
представляют собой все возможные комбинации троек
чисел, каждое из которых есть нуль или единица. Вер-
шины четырехмерного куба получаются из этих троек
дописыванием четвертого числа, также равного либо 0,
либо 1. Таким образом, у четырехмерного куба вдвое
больше вершин, чем у трехмерного, то есть 16. Итак,
заметим, что у двухмерного куба, то есть у квадрата,
всего 4=22 вершины, у трехмерного 8 = 23 вершин, у че-
тырехмерного 16 = 24 вершин.
Теперь нетрудно сообразить, что в n-мерном прост-
ранстве единичный куб — это множество всех точек,
координаты которых заключены между нулем и едини-
цей. Вершинами этого куба будут все точки с коорди-
69
натами, равными либо нулю, либо единице. Всех таких
групп из п чисел нулей (0) или единиц (1), или, что то
же самое, вершин у n-мерного куба будет 2”.
Эти сведения, так же как и прием для подсчета
всех возможных групп из п чисел 0 или 1, нам будут
полезны при обсуждении некоторых других вопросов.
В этом месте мой редактор, отстаивавший интере-
сы читателя и воспользовавшийся приемами полемики
математика, на полях написал: «Ну и что?—Чувствует-
ся явная неудовлетворенность. — Нет вывода или ука-
зания на вклад высказанных на этих страницах идей
в практику, или в науку, или в жизнь!»
Но, пожалуйста, потерпите немного, я же только
начинаю. Очень часто в дальнейшем мне придется поль-
зоваться понятием многомерного пространства или без
всяких оговорок употреблять основные понятия анали-
тической геометрии.
Седло
Представим себе горный ландшафт: вершины и по-
логие склоны, впадины и перевалы. Хотя это может
показаться недостаточно поэтичным, но все же такую
поверхность можно задать и в аналитическом виде,
записав
(к,у),
где z — вертикальная координата, а х и у — коорди-
наты в горизонтальной плоскости (рис. 53). Вершины
Рис. 53
соответствуют максимальным значениям функции
г = 1(х>У)> впадины — минимальным. Если вы находи-
тесь на вершине, то, отправляясь по любому направле-
нию, можете только спускаться; если во впадине, то
только подниматься. Эти точки максимума и минимума
на поверхностях станут вскоре предметом нашего при-
стального внимания. Если же вы находитесь в обыкно-
венной точке поверхности, то можете по желанию спус-
каться или подниматься. Можете даже так выбрать
свой путь, что высота будет все время неизменной. Эти
пути получаются при сечении поверхности горизонталь-
ной плоскостью. Проекции на одну общую горизонталь-
ную плоскость таких путей называются линиями уровня
(рис. 54). Именно такие линии нанесены на географи-
ческих картах и указывают высоту местности над уров-
нем моря.
Эллипсоид — это фигура, получаемая при вращении
эллипса вокруг его оси симметрии. Таких осей у эллип-
са две — большая и малая. При вращении вокруг
большой оси получается вытянутый эллипсоид, похожий
на огурец, а при вращении вокруг малой оси — сплюс-
нутый эллипсоид, напоминающий сдавленный с двух
сторон мяч.
Выберем произвольную точку Р на поверхности эл-
липсоида. Всегда можно так пересечь эллипсоид плос-
костью, чтобы она отсекла «шапочку», на которой будет
находиться выбранная точка Р. При этом всегда можно
Рис. 54
выбрать такую секущую плоскость, чтобы размеры «ша-
почки» были весьма малы (математик здесь скажет:
меньше любого заранее заданного числа). Возьмем те-
перь на произвольной поверхности некоторую точку Р.
Если в любой окрестности этой точки можно отсечь
плоскостью «шапочку», то будем называть точку эллип-
тической. На поверхности далеко не все точки оказы-
ваются эллиптическими. Вы в этом скоро убедитесь.
Можно еще иначе определить эллиптическую точку.
Будем проводить различные плоскости через саму точ-
ку Р. Если среди этих плоскостей найдутся и такие, что
весь кусок поверхности в окрестности точки Р окажет-
ся с одной стороны от плоскости, то точка Р будет эл-
липтической.
Возвратимся к горному ландшафту. Кроме вершин
и впадин, наше внимание привлекают перевалы. В более
крупном масштабе перевал похож на кавалерийское
седло (рис. 55). Отметим две точки А и В на разных
склонах от перевала (рис. 56). Из А в В можно отпра-
виться по разным дорогам: они отмечены пунктирными
линиями. На каждом пунктирном пути есть наивысшая
точка, отмеченная кружочком. Ясно, что среди всех мыс-
лимых путей из А в В можно выбрать тот, наивысшая
точка которого лежит возможно ниже. Этот путь отме-
чен жирным пунктиром.
Аналогично на каждом сплошном пути из точки С
Рис. 55
Рис 56
в точку D имеется самая низкая точка, отмеченная
также кружочком.
Среди всех возможных путей из С в D выберем тот,
наинизшая точка которого лежит возможно выше. Этот
путь отмечен жирной сплошной линией.
Самая высокая точка на жирном пунктирном пути и
самая низкая точка на жирном сплошном пути совпа-
дут. Это седловая точка. Если поверхность немного на-
клонить, то седловой точкой станет уже другая.
Можно дать другое, быть может, более наглядное
описание седловых точек. Прежде всего заметим, что
никакой плоскостью нельзя отсечь «шапочку» в окрест-
ности седловой точки. Если через седловую точку про-
водить различные плоскости, то в отличие от эллипти-
ческих точек в окрестности седловой точки всегда пло-
скость будет пересекать поверхность так, что по обе
стороны плоскости окажутся какие-то части поверхно-
сти. При таком описании видно, что точка будет седло-
вой независимо от наклонов поверхности, или, другими
словами, независимо от выбора направления осей декар-
товых прямоугольных координат в пространстве.
74
На поверхности, конечно, может быть несколько сед-
ловых точек, подобно тому как в горном районе может
быть несколько перевалов.
Позвольте задать вам вопрос, читатель. Может ли
на поверхности быть очень много седловых точек? Ска-
жем, может ли сплошь поверхность состоять из седло-
вых точек? Если нет, то может ли быть на ограниченном
куске поверхности бесконечно много седловых точек?
Прежде чем читать последующее, подумайте, попро-
буйте представить себе соответствующую ситуацию.
Ответ же очень прост. Посмотрите на горлышко
обычной бутылки (рис. 57). Все его точки будут седло-
выми. Нетрудно представить себе и бесконечную по-
верхность, все точки которой седловые. Для этого надо,
например, гиперболу, уравнение которой х2—у2=1
(рис. 58), повращать вокруг вертикальной оси. Полу-
ченная поверхность — гиперболоид вращения — будет
состоять сплошь из седловых точек. Гиперболоид —
Рис. 58
простейшая поверхность, обладающая такими свойства-
ми. Поэтому седловые точки называют также гипербо-
лоическими. Поверхности, состоящие сплошь из седло-
вых точек, играют важную роль в нашей жизни.
Возьмем плоскую мембрану, например, такую, как
в телефонной трубке. Зажмем границу мембраны в не-
скольких местах, а в нескольких других подвесим гру-
зики (рис. 59). Оказывается, мембрана, после того как
затухнут неизбежные колебания, примет такое положе-
ние, что все ее точки будут седловыми. Конечно, это
увидеть не всегда удастся, но такова теорема.
Именно: при любой деформации границы плоской мем-
браны все ее внутренние точки будут седловыми.
Если различные части границы мембраны подогре-
вать различным образом, поддерживая постоянными
потоки тепла, то сначала температура ее точек будет
изменяться. Но затем установится: поток поступающего
тепла будет равен потоку исходящего. Если величину
температуры откладывать по вертикальной оси, а мем-
Рис. 59
брану расположить в горизонтальной плоскости, то со-
ответствующая «температурная поверхность» окажется
состоящей также сплошь из седловых точек.
Изучение поверхностей, состоящих из одних лишь
седловых точек, тесно связано с гидродинамикой, элек-
тростатикой и другими важнейшими областями науки.
Форму закрепленной мембраны описывает решение
дифференциального уравнения Лапласа (знаменитого
Лапласа, о котором еще будет речь). То же уравнение
описывает установившееся безвихревое течение несжи-
маемой жидкости и установившееся течение тепла, рас-
пределение сил в электростатическом поле и устано-
вившийся электрический ток, диффузию растворенной
в воде соли и много других явлений и процессов. И все
функции — решения этих уравнений — при их геометри-
ческом представлении оказываются поверхностями, со-
стоящими сплошь из седловых точек. И поэтому изуче-
ние таких поверхностей весьма существенно для самых
различных областей физики и техники.
Экстремум
Это слово объединяет понятия «максимум» и «мини-
мум» вроде того, как слово «родители» означает сразу
и отец и мать. Экстремальные задачи — это задачи на
отыскание максимумов или минимумов. С ними мы
встречаемся повсеместно. Без преувеличения можно
сказать: все решаемые живыми организмами задачи —
это поиск экстремумов.
Действительно, мы всегда стремимся получить наи-
больший эффект, необходимую работу стараемся вы-
полнить в наименьшее время или при наименьшей за-
трате энергии, желаем получить максимум удовольствий
или обеспечить минимум неприятностей.
Все двигательные задачи — экстремальные. Когда
животное переходит из одного места в другое, оно ли-
бо осуществляет это кратчайшим путем, либо старается
совершить переход как можно быстрее, либо затрачи-
вает на передвижение минимум сил.
Даже когда человек стоит, он совершает непрерыв-
ный поиск экстремума. Стоящему человеку надо дер-
жаться, дабы не упасть. Однако он не может замереть
как столб и должен быть готов из этого положения
77
сделать быстро любое из возможных движений. Оказы-
вается, кажущийся стоящим неподвижно человек все
время немного движется, он ищет положение равнове-
сия. К этой интересной проблеме я позже вернусь и
остановлюсь на ней подробно.
Начнем разговор об экстремальных задачах с одной
проблемы, возникающей при настройке телевизора.
Думаю, читатель, вы без труда вспомните, как во вре-
мя передачи КВН, футбола или спектакля в самом
интересном месте вдруг изображение на экране ката-
строфически портилось. Конечно, вы лихорадочно кру-
тили разные ручки, расположенные, как нарочно, где-
то сзади, и после крепких выражений с большим или
меньшим успехом добивались какой-то удовлетвори-
тельной картинки.
Изображение на экране телевизора всегда хуже, чем
реальное, и поэтому задача настройки состоит в том,
чтобы добиться возможно более хорошего воспроизведе-
ния. Другими словами, всегда есть погрешность вос-
произведения, и задача настройки состоит в снижении
этой погрешности до достижимого минимума.
Давайте займемся настройкой телевизора не во вре-
мя передачи, а в более спокойной обстановке, когда на
экране испытательная таблица и можно крутить ручки,
не подвергаясь нареканиям всей семьи.
Если верить инструкции, то все очень просто: «Опе-
рируя ручками «Яркость» и «Контрастность» установи-
те желаемую яркость и контрастность изображения».
(Похоже на кулинарный рецепт, рекомендующий доба-
вить соли по вкусу.)
Итак, в вашем распоряжении ручка, управляющая
яркостью изображения. Повернем ее до упора так, что
яркость весьма мала, изображение скверное, погреш-
ность воспроизведения велика. Теперь постепенно
будем увеличивать яркость и следить за изображением.
Погрешность воспроизведения будет постепенно умень-
шаться, дойдет до какого-то минимального значения, но
затем будет вновь возрастать; при значительной ярко-
сти изображение расплывается.
Если электрический параметр, которым вы управ-
ляете, поворачивая ручку, обозначить через V, а погреш-
ность воспроизведения через г, то график зависимости
г от V будет примерно иметь вид, изображенный на ри-
сунке 60. Значение яркости, соответствующее минималь-
ному значению погрешности г mtn, на рисунке обозна-
чено Vopf, что означает оптимальное значение. Настрой-
Рис. 60
ка яркости производилась, когда ручка, управляющая
контрастностью, занимала какое-то определенное поло-
жение. Если ее немного повернуть и вновь менять
яркость, то кривая зависимости г от V будет другой,
хотя ее характер не изменится.
Обозначим электрический параметр, которым управ-
ляют, поворачивая ручку контрастности, через U.
При прочих равных условиях, в частности, при опреде-
ленной яркости Vi, зависимость погрешности вопроиз-
ведения г от U имеет также характер параболы: при
плавном изменении контрастности погрешность воспро-
изведения сначала будет уменьшаться, а потом будет
возрастать. Но при различных значениях яркости кри-
вые зависимости г от U будут также различными.
На рисунке 61 представлены несколько таких кри-
вых, соответствующих различным значениям яркостей
Vi, V2, V3. Соответственно указаны оптимальные зна-
чения U для каждой из кривых.
Таким образом, погрешность воспроизведения ока-
зывается функцией двух переменных г (U, V). Следова-
тельно, для определения наименьшей возможной по-
грешности воспроизведения и соответственно необхо-
димых значений управляющих параметров — яркости и
контрастности — нужно определить минимум функции
двух переменных.
Как мы уже выяснили, функция двух переменных
геометрически представляет собой поверхность. В дан-
ном случае поверхность похожа, на чашу, и экстремаль-
ное значение погрешности воспроизведения соответст-
вует ее самой низшей точке (рис. 62).
Максимум и минимум всегда существуют вместе:
если поверхность, названную нами чашей, перевернуть,
то получим поверхность, похожую на шляпу. Ее самая
высокая точка — максимум — соответствует самой глу-
бокой точке чаши — минимуму. Взобравшись на вер-
шину горы, мы сразу же оказываемся и в самой глу-
бине котлована — отражении горы в близлежащем
озере. Здесь математик спокойно рассуждает «с точ-
ностью до наоборот», ибо если мы обнаружим максимум
и затем посмотрим на него с другой стороны, то увидим
минимум, и, таким образом, ответ зависит лишь от того,
с какой стороны смотреть на эту поверхность. Поэтому
мы говорим все время о поиске экстремума, а не от-
дельно о нахождении максимума или минимума. Такого
6 Я. Хургин
рода рассуждения с «точностью до наоборот» встре-
чаются в самых разнообразных ситуациях и заметно
облегчают жизнь.
Поэтому мы говорим все время о поиске экстремума, а
не отдельно о нахождении максимума или минимума.
При турбинном бурении скважин также возникают
задачи поиска экстремума, похожие на разобранную
выше. При нормальной эксплуатации скважина дает
десятки, а то и сотни тонн нефти ежесуточно; затраты
на бурение одной скважины составляют сотни тысяч,
а то и миллионы рублей. Поэтому сокращение сроков
бурения приводит к значительному экономическому
эффекту. А увеличение скорости проходки приводит,
в свою очередь, к желаемому сокращению сроков буре-
ния скважины.
При бурении с помощью турбобура по колонне
стальных труб, спущенных в скважину, подается под
давлением буровой раствор. Поток бурового раствора
приводит в действие турбобур, разрушающий горную
породу, и, кроме того, раствор поднимает на поверх-
ность разбуренную породу.
Буровой инструмент — долото — разрушает породу,
если на него оказывается определенное давление. При
постоянной скорости вращения бурового инструмента
увеличение давления приводит к большей скорости про-
ходки скважины. Однако происходить это увеличение
проходки будет до определенного предела. При очень
большом давлении на инструмент он станет прижимать-
ся к породе слишком сильно, вращение долота станет
замедляться, скорость проходки начнет снижаться и в
конце концов упадет до нуля — инструмент остано-
вится. График зависимости скорости проходки W
от величины давления на забой Р имеет вид переверну-
той параболы, то есть обращенной максимумом вверх.
Если считать все остальные величины неизменными,
то можно определить давление на забой, при котором
скорость проходки максимальна.
В такой постановке задача, правда, слишком уж
упрощена. На самом деле скорость проходки зависит
от многих других величин. Прежде всего она зависит
от расхода бурового раствора, то есть от количества
прокачиваемой через турбобур жидкости в секунду: уве-
личение расхода приводит к повышению скорости вра-
щения турбины. Таким образом, скорость проходки за-
82
висит уже от двух переменных — от давления на заоои
и расхода бурового раствора.
Земная кора неоднородна, она напоминает слоеный
пирог с множеством пластов весьма различной струк-
туры. Ясно, что скорость проходки существенным обра-
зом зависит от твердости породы. Следовательно, мак-
симальная скорость проходки зависит также и от
свойств породы и является, таким образом, уже функ-
цией трех переменных.
Привычные геометрические представления тут отсту-
пают — мы оказались в четырехмерном пространстве.
Но, читатель, вы не зря потратили силы на преодоле-
ние страха перед геометрией многомерного пространства
и теперь уже спокойно отнесетесь к таким словам. Как и
в обычном пространстве, здесь без большого труда
можно придать точный смысл понятиям, аналогичным
самой глубокой точке впадины или вершине «шляпы».
Более пристальное изучение задачи показывает, что
на самом деле скорость проходки зависит не от трех,
а от гораздо большего количества переменных. Скорость
вращения турбины зависит не только от расхода буро-
вого раствора, но и от его удельного веса и вязкости.
Во время работы буровой инструмент интенсивно ста-
чивается, и от его состояния в данный момент сущест-
венным образом зависит скорость проходки. Можно
указать и другие параметры, влияющие на скорость
проходки скважины. Поэтому отыскание максимально
возможной скорости проходки есть математическая за-
дача отыскания экстремума функции большого количе-
ства переменных.
Если известен вид функциональной зависимости
между переменными, то можно стандартными матема-
тическими методами найти экстремум функции и те
значения переменных, при которых этот экстремум
достигается. Эти методы излагаются в любом учебнике
математического анализа. После некоторых несложных
операций дело сводится к решению системы уравнений.
Система обычно содержит столько же уравнений, сколь-
ко переменных, но может иметь весьма сложный вид.
Вспомните теперь, читатель, сколько трудностей воз-
никает, когда нужно решить уравнение, даже содержа-
щее лишь одну переменную. Не навязшее в зубах квад-
ратное уравнение, а какое-либо сложное: тригонометри-
ческое или содержащее показательные функции.
6*
83
У вас, наверное, сохранились школьные воспомина-
ния о том, как это делалось: нужно было придумать
какую-нибудь подстановку, заменив одни переменные
другими, и, к всеобщей радости, уравнение сводилось
к линейному или квадратному.
Должен вас разочаровать: такое благополучие ха-
рактерно лишь для школьных задач. В реальной жизни
очень редко выпадают случаи, когда уравнение путем
подстановок сводится к квадратному, столь редко, что
нерентабельно тратить время на поиски подходящей
подстановки, если почти сразу ее нельзя угадать.
Дело в том, что есть уравнения, которые нельзя раз-
решить относительно неизвестной. Для них нельзя во-
обще выразить одну переменную через другую явно,
то есть вывести формулу для нахождения корней.
Примером здесь может служить уравнение:
а* — ах = 0.
Одно решение здесь нетрудно угадать: х = 1. Но яв-
ную формулу для нахождения всех решений написать
нельзя, и второй корень (а их здесь два) в явном виде
найти невозможно.
Впрочем, вы же знаете, что алгебраические уравне-
ния третьей и четвертой степеней не сводятся к квад-
ратным и решить их тоже далеко не просто.
Но возвратимся к обсуждаемой задаче отыскания
экстремума.
На пути исследователя, решающего экстремальную *
задачу, множество подводных камней.
Мне рассказывали одесситы, что у них на пляже
было объявление: «Запрещается заплывать дальше
всех»(!) Здесь сразу видно, в каком безнадежном
положении оказываются пловцы, когда они должны
уклониться от решения плохо сформулированной экстре-
мальной задачи.
Но вот проблема, где отбиться от логической нераз-
берихи не так легко.
Представьте себе, что нужно определить наиболь-
шее целое число. Я утверждаю, в противоречие со здра-
вым смыслом, и докажу, что это единица.
Предположим, что наибольшее из целых чисел боль-
ше 1. Обозначим это число через /V (ну, допустим, 2,
то есть N = 2).
Итак, наше предположение: N больше 1.
84
5
Но тогда N2 больше N (действительно, 22 = 4 боль-
ше, чем 2), и при этом N2 также целое число. Значит,
W не наибольшее (поскольку 4 больше 2). А вот квад-
рат единицы равен ей самой (12= 1). Таким образом,
единица и есть наибольшее целое число.
Чушь! А произошла она вследствие того, что я пред-
положил, будто есть на самом деле наибольшее целое
число, то есть предположил, что существует решение
поставленной экстремальной задачи. В действительности
же решения не существует, так как количество целых
чисел бесконечно.
По меткому замечанию немецкого математика Ха-
усдорфа, если дважды два — пять, ю существуют ведь-
мы. Вообще из любого неверного утверждения следует
любое другое неверное.
Рассмотренный пример и следующий из него вывод,
по-видимому, весьма важны для всех лиц, занимающих-
ся научной работой, в том числе и экспериментальной.
Ибо если исходить из неверной, ошибочной исходной
посылки или пользоваться ошибочными рассуждения-
ми, то экспериментальные результаты, даже сколь угод-
85
Рис. 63
но тонко проведенные, могут привести к неверным, даже
парадоксальным выводам. Часто экспериментатора спа-
сает здравый смысл,, но на него тоже не всегда можно
положиться (я об этом буду говорить позднее, когда
более подробно остановлюсь на методе работы мате-
матика).
Но вот исследование проведено и доказано сущест-
вование решения уравнения. Однако уравнение получи-
лось сложное, и его нельзя просто и точно решить.
Что делать в этой ситуации? Тогда прибегают к при-
ближенным методам нахождения корней. Здесь есть и
аналитические и графические методы. Скажем, для ре-
шения уравнения
\ 2 / 2
можно построить на одном чертеже графики функций
__ / 3 \х 3
У — I у I и у — х* Искомые корни Xi и х2 —
абсциссы точек пересечения кривых (рис. 63). Конечно,
графическое решение укажет корень лишь с весьма не-
большой точностью, но оно может подсказать метод для
более точного аналитического способа приближенного
определения искомого корня.
86
Словом, для функции одной переменной дело обстоит
не так уж плохо. Но если надо решить, пусть даже при-
ближенно, систему уравнений, причем систему с боль-
шим количеством переменных, то дело невероятно ос-
ложняется. В этом случае мы сейчас прибегаем к помо-
щи быстродействующих математических машин.
Но оцените ситуацию: на машине, производящей
20 тысяч арифметических операций в секунду, для ре-
шения даже линейной алгебраической системы ста урав-
нений со ста неизвестными надо затратить около часа
машинного времени! В то же время, скажем, при оты-
скании параметров, обеспечивающих максимальную
скорость проходки -скважины, система уравнений не бу-
дет линейной, а ответ нужно получать немедленно, через
несколько секунд или минут. Позже ситуация уже
изменится: другими станут свойства проходимого плас-
та, сточится инструмент и т. д. — и полученные данные
окажутся бесполезными.
Что же делать?
Разговор об этом будет ниже.
Экстремальные кривые
Если от окна до двери надо пройти кратчайшим пу-
тем, то следует идти по прямой. Но если в комнате
находится много мебели, которую отодвинуть невоз-
можно, кратчайший путь окажется сложнее и сразу
его не найдешь.
Пусть из традиционной точки А надо пройти в не
менее традиционную точку В, причем имеются два пути:
один прямой, но трудный, а другой извилистый, длин-
ный, но более легкий. Прямой путь короче, но липкая
грязь затруднит движение, и на него будет затрачено
больше времени. Поэтому если надо будет решать зада-
чу на минимум расстояния, придется идти по грязи. При
поиске же минимума теряемого времени или минимума
затраты сил выберем какой-то более длинный путь.
Таким образом, при поиске среди возможных путей
наилучшего надо четко сформулировать, в каком смыс-
ле этот путь лучше других.
Нетрудно сообразить, как кратчайшим образом
пройти от окна к двери. А как указать кратчайший путь
от вершины горы — например, Эльбруса — до ее под-
ножья, когда по дороге не будут встречаться котлови-
87
ны? Этот вопрос имеет совсем не очевидный ответ.
Впрочем, слепая лошадь решает эту задачу не заду-
мываясь: она идет все время по направлению, наиболее
круто спадающему вниз. Так же ведет себя стекающая
вода.
Интересно «физическое» решение этой задачи. Пред-
ставим себе весьма произвольную гладкую поверхность.
Предположим еще, что она выпуклая. Если натянуть
между двумя точками поверхности тон'кую резиновую
нить, то она займет положение кратчайшей линии меж-
ду этими точками.
Однако если надо построить кратчайшую автомо-
бильную дорогу, ведущую на гору, причем уклон доро-
ги не должен превышать, скажем, пяти градусов, то
задача определения этого пути будет уже сложнее.
Животные и люди далеко не всегда правильно ре-
шают задачи отыскания оптимального пути, или, как
говорят математики, определения экстремали.
Мне говорили, что собака, догоняющая зайца,
в каждый данный момент бежит прямо на него. Так
догнать зайца она сможет, если бежит быстрее, но не
в кратчайшее время. Если же это делать в кратчайшее
время, то надо изменить траекторию погони: собаке
следует бежать не в ту точку, где сейчас заяц, а в ту,
где он будет через некоторое время, — как говорят, бе-
жать в упрежденную точку. Охотники и зенитчики это
прекрасно знают. Правда, все-таки они частенько про-
махиваются, но делают это уже из-за неточного опре-
деления упрежденной точки встречи снаряда и цели.
Однако и в этом судить их очень строго не следует:
поведение дичи или вражеского самолета однозначно
предсказать нельзя. Поэтому расчет упрежденной точки
встречи — весьма трудная задача, над решением кото-
рой работали и продолжают работать выдающиеся
математики и инженеры.
Множество важнейших задач естествознания и тех-
ники сводится к определению экстремалей, которые изу-
чаются в разделе математики, носящем название «Ва-
риационное исчисление».
Хотя некоторые подобные экстремальные задачи
были решены еще древними геометрами, настоящую
базу для их исследования дало дифференциальное и
интегральное исчисления. Вариационное исчисление бы-
ло создано Леонардом Эйлером в середине XVIII века.
88
Однако новые проблемы техники и физики, в частности
автоматики и кибернетики, привели к необходимости
создания новых методов в вариационном исчислении,
которые сейчас бурно развиваются.
Эйлер
Я вовсе не предполагаю много писать об истории
математики. Но, упомянув о Леонарде Эйлере, невоз-
можно удержаться от соблазна немного рассказать об
этой колоритнейшей фигуре в богатом яркими талан-
тами математическом мире.
Эйлер родился в 1707 году в городе Базеле в Швей-
царии, в семье пастора. Однако его отец не только го-
товил Леонарда к духовному званию, но и учил мате-
матике, ибо сам был учеником знаменитого математика
Якоба Бернулли.
К двадцати годам Леонард изучил теологию, ме-
дицину и восточные языки. В 1727 году Эйлер был при-
глашен в Петербург на кафедру физиологии после того,
как не прошел в результате жеребьевки на кафедру фи-
зики в Базельском университете. (Сколь опрометчива
бывает подчас система отбора ученых с помощью го-
лосования!) Впрочем, к этому времени он уже преуспел
в математике и физике: например, его сочинение о рас-
положении мачт на корабле было напечатано Париж-
ской академией и получило почетный отзыв.
В Петербурге Эйлер прожил много лет.
В 1729 году в Петербургской академии он занял мес-
то профессора физики, а через год возглавил кафедру
математики, где и пробыл до 1741 года. К этому вре-
мени в России науки пришли в упадок, царская адми-
нистрация чинила всяческие препятствия научной рабо-
те, и Эйлер вынужден был переехать в Берлин. Но в
1766 году он вновь возвратился в Петербург, где уже
безвыездно прожил до смерти.
Плодовитость Эйлера поистине феноменальна. Из-
вестно около 900 его сочинений. Его интересы весьма
широки, а результаты, полученные им, фундаментальны.
Так, в астрономии он довел до практического при-
менения теорию движения Луны. Преуспел он в
гидродинамике и оптике, в мореплавании и картогра-
фии, в артиллерии и теории чисел. Значителен его
вклад в математический анализ, в дифференциальные
89
уравнения и в уже упомянутое вариационное исчисле-
ние. Впрочем, у него имеются труды по медицине, фи-
зиологии и даже по богословию.
В 1736 году вследствие перенапряжения Эйлер ли-
шился одного глаза. Это не остановило потока его ра-
бот. Впрочем, вскоре после возвращения в Петербург
в 1766 году он ослеп и на второй глаз, но и это не ли-
шило его трудоспособности; он продолжал работу, дик-
туя статьи и книги сыну и ученикам до самой кончины,
последовавшей в 1783 году.
Еще до первой мировой войны Швейцарским общест-
вом естествоиспытателей по международной подписке
было начато издание Полного собрания сочинений Эй-
лера. По первоначальным предположениям, оно должно
было составить 40 томов. Однако уже опубликовано
50 томов, а работ еще много. Теперь думают, что общее
число томов будет порядка двухсот.
Мыльный пузырь
Вариационное исчисление дает аппарат для решения
широкого круга задач. С его помощью находят не толь-
90
ко кратчайший путь из точки А в точку В, но и решают
задачи поиска самых разнообразных экстремальных ве-
личин.
Широко известно, что на плоскости среди всех фи-
гур с границей заданной длины (или, как часто говорят
в элементарной геометрии, с заданным периметром)
наибольшей площадью обладает круг. В трехмерном
пространстве фигурой наибольшего объема с заданной
площадью границы будет шар. Обратно — среди всех
фигур заданного объема шар будет иметь наименьшую
площадь поверхности. Именно поэтому мыльные пузы-
ри — сферы.
Займемся менее очевидными вопросами.
Окружность может быть границей поверхности —
например, ведра. Но среди всех поверхностей с такой
границей минимальной площадью будет обладать плос-
кий круг, натянутый на эту окружность. Искривим те-
перь окружность так, чтобы кривая уже не могла быть
уложена на плоскости. Есть сколько угодно поверхно-
стей с такой границей. Но как найти среди них поверх-
ность, площадь которой была бы наименьшей из воз-
можных? Это уже трудная задача, и для ее аналитиче-
ского решения требуется привлечение методов
вариационного исчисления. Оказывается — и это уста-
новил Эйлер, — такая минимальная поверхность в каж-
дой точке будет седлообразной.
Интересно физическое решение задачи. Погрузим
изучаемый замкнутый контур, сделанный из тонкой ла-
тунной проволоки, в мыльную воду. (Мыльный раст-
вор — это жидкость, обладающая малым поверхност-
ным натяжением.) На контур натянется мыльная плен-
ка. Ее площадь и будет наименьшей из возможных. Мы,
91
Рис. 64
конечно, пренебрегаем при этих рассуждениях силой
тяжести и другими силами, мешающими пленке достиг-
нуть состояния устойчивого равновесия. Устойчивое рав-
новесие достигается тогда, когда площадь пленки будет
минимальной, так как минимальной при этом будет по-
тенциальная энергия, возникающая вследствие поверх-
ностного натяжения.
Вы, вероятно, еще не забыли, какое удовольствие
испытывали, пуская мыльные пузыри. Рискните возвра-
титься в детство и попробуйте сделать несколько
опытов *.
Спаяйте из мягкой проволоки окружность с ручками
(тогда ее можно деформировать по желанию) и опусти-
те в мыльный раствор. На каркас натянется мыльный
круг. А теперь постепенно деформируйте его.
* Вот рецепт для такой жидкости: 10 граммов чистого сухого
олеата натрия растворить в 500 граммах дистиллированной воды и
затем смешать в соотношении 15 единиц раствора с 11 единицами
глицерина. Каркасы должны быть не очень большими, не более
10—15 сантиметров* в диаметре.
92
Рис. 65 Рис. 66
Оказывается — и это весьма удивительный факт, —
непрерывно изгибая контур, можно перевести двусто-
роннюю мембрану, натянутую на окружность, в односто-
ронний лист Мёбиуса (рис. 64).
Если изогнуть окружность в виде пространственной
кривой, показанной на рисунке 65, то на такой каркас
можно натянуть три различные минимальные поверх-
ности. На последней из них (рис. 66) можно нарисовать
замкнутую кривую, например, пунктирную, которую
нельзя стянуть непрерывно в точку без разрывов. Две
другие поверхности этим свойством не обладают. Анало-
гичная ситуация, если вы помните, наблюдалась, когда
мы сравнивали шарик и бублик.
Все эти красивые геометрические фигуры служат не
только для эстетического наслаждения. Поверхности
минимальной площади наиболее жестки, и это исполь-
зуется в технике при разработке жестких конструкций.
Математики
бывают разные
Я рассказал кое-что о предмете науки математики.
Но математикой занимаются математики, и понятен ин-
терес к этому таинственному индивидууму.
Пожилого ученого у нас принято представлять с бо-
родкой клинышком, сидящего на стремянке под потол-
ком и роющегося в пыльных книгах. Математиков же
чаще изображают молодыми людьми. Это статистически
довольно верно, так как, подобно музыкантам, они рано
развиваются, в 25—30 лет, а подчас и в 20 добиваются
выдающихся научных результатов и заслуженной извест-
ности. Но почему-то математик часто рисуется в обра-
зе небрежно одетой, лохматой и близорукой личности
неоцределенного возраста, натыкающейся на прохожих
или сидящей в неудобной позе в углу и думающей свою
тяжкую думу.
Да, читатель, должен признать, что такие попада-
ются. Но следует вас сразу же разочаровать: в большин-
стве случаев, особенно в молодости, эти вундеркинды
придуриваются и стараются подражать вот такому
штампу литературного героя. На самом же деле они
нормальные люди, а вундеркиндами их сделали кудах-
тающие родственники или малограмотные друзья дома,
вместо того чтобы остричь, отмыть и высмеять. Мне
очень нравится такое определение: вундеркинд — это
нормальный ребенок у ненормальных родителей.
94
Есть другой образ — образ сухаря, застегнутого' на
все пуговицы, выполняющего все буквально и требую-
щего бессмысленного заучивания теорем и решения за-
дач по точно установленной схеме. Эти личности твердо
уверены, что наука должна быть скучной, иначе это
не наука. Такие в математике тоже попадаются изред-
ка, но это лишь печальные недоразумения.
В действительности же среди математиков много
альпинистов и лыжников, пловцов и баскетболистов. По-
падаются модники и рубахи-парни, сердцееды и да-
же девицы-красавицы. В чем же в таком случае от-
личие математиков от медиков, биологов или эконо-
мистов?
Главное отличие, как мне кажется, в методах рас-
суждений.
Откуда берутся аксиомы?
Большинство людей представляет себе математику
дедуктивной наукой, то есть наукой, где все теоремы,
результаты, факты получаются посредством логических
96
рассуждений, отправляющихся от некоторых акси-
ом — первоначально берущихся утверждений,
полагаемых очевидными или не требующими доказа-
тельства.
В некоторой степени это верно, хотя я вскоре ска-
жу кое-что относительно мнимой очевидности аксиом.
Но это лишь половина дела.
О том, как строится дедуктивная математика, каж-
дый из нас вынес некоторое представление из школы —
правда, как правило, представление, искаженное выхо-
лощенностью школьного курса. Но я хочу остановиться
сейчас на другой стороне дела — на индуктивном под-
ходе при построении всякой математической теории,
на процессах рождения и гибели математических
теорий.
Можно, конечно, подумать, что математическую тео-
рию строят так: математик придумывает себе какие-то
исходные положения — аксиомы, проверяет их непро-
тиворечивость и их независимость (иначе из них ничего
толкового не будет следовать) и затем выводит из них
различные следствия для своего удовольствия или для
каких-либо других целей — например, для увеличения
списка научных работ.
Это выглядит парадоксально, но и по сей день не
только лица, мало знакомые с математикой, но и неко-
торые специалисты, пропагандирующие применение ма-
тематики в естествознании, среди которых, к сожалению,
попадаются и математики, стоят на такой примитивной
точке зрения *.
В действительности математик не выдумывает себе
какую угодно систему аксиом и не строит теорий без
всякой цели и смысла.
Всякая содержательная математическая теория отра-
жает реальную действительность: математик схемати-
зирует, идеализирует реальные явления, когда создает
отправные положения теории, а затем, когда уже полу-
чены выводы, сравнивает их с действительными явле-
ниями.
*Например, С. Стивенс, составитель толстой книги «Эксперимен-
тальная психология» (ИЛ, 1960) и автор первой статьи в этом
сборнике («Математика, измерение и психофизика»), пропаганди-
рует такую точку зрения.
96
Два типа рассуждений
В научной работе, так же как и в жизни, мы поль-
зуемся рассуждениями.
Рассуждения бывают двух типов — доказательные
и не доказательные, но убедительные; еще их называют
правдоподобными рассуждениями *.
Правдоподобные рассуждения основываются на ин-
дукции, аналогии, наблюдениях, гипотезах и экспери-
ментах — методах, которыми пользуются все естество-
испытатели.
Здесь речь идет не о полной математической индук-
ции, с помощью которой в школе или вузе доказывается
разложение бинома Ньютона, а об обычной индукции,
о наблюдении частных явлений и построении на их ос-
нове более общих закономерностей.
Математические знания закрепляются доказательны-
ми рассуждениями. Однако подход к этим знаниям, все
подступы к ним опираются на правдоподобные рас-
суждения.
Но правдоподобные рассуждения отправляются от
предположений. Конечно, предположения бывают раз-
ные: в высшей степени надежные, как законы Ньютона
♦ Крупнейшие математики всегда понимали и разницу между
доказательными и правдоподобными рассуждениями, и место прав-
доподобных рассуждений во всех областях науки, в том числе их
роль в творческой работе математика. По этому поводу написано
очень много и классиками, и современниками. Пожалуй, наиболее
точно относятся к этим вопросам две великолепно написанные
книги Д. Пойя, крупного венгерского математика и педагога, рабо-
тающего сейчас в США. В русском переводе первая книга, адресо-
ванная учителям математики и учащимся, вышла под названием
«Как решать задачу» (Учпедгиз, 1961, 206 стр.). В ней в основном
на материале школьного курса математики демонстрируются спосо-
бы рассуждений, которые должны помочь решить задачу, научить
догадываться и рассуждать. Вторая книга — «Математика и прав-
доподобные рассуждения» (том 1, «Индукция и аналогия в мате-
матике», том 2, «Схемы правдоподобных умозаключений». Изда-
тельство иностранной литературы, 1957, 535 стр.) — использует
материал не только элементарный. Здесь есть много примеров
из математического анализа, классического вариационного исчис-
ления и теории вероятностей. Но общие рассуждения, разбро-
санные по всему тексту, в равной мере относятся к любым обла-
стям науки.
По-видимому, ввел термин «правдоподобное рассуждение»
Д. Пойя. Он отличен от издавна использовавшегося термина «ин-
дукция», который понимается шире.
7 Я. Хургин
97
или таблица Менделеева, и не очень надежные, вроде
современных космогонических гипотез или теорий про-
исхождения жизни на Земле, когда подчас новый факт
заставляет кардинально менять точку зрения. Бывают
также и недостойные предположения, которые в просто-
речии называют сплетнями. .
Вывод теоремы Пифагора или формула для решения
квадратного уравнения — это доказательные рассуж-
дения. А вот индуктивные доводы при выводе закона
всемирного тяготения, закона Ломоносова — Лавуазье
или дарвиновской теории естественного отбора — это
правдоподобные рассуждения. Основаны они на на-
блюдениях за ограниченным количеством экспери-
ментов и поэтому являются догадками, хотя и гени-
альными.
Правдоподобными, а не доказательными бывают рас-
суждения врача, ставящего диагноз, рассуждения Шер-
лока Холмса, идущего по следам преступления, доку-
ментальные доводы ученого о деятельности древнерим-
ского государства или статистические доводы экономи-
ста о пользе или. вреде сдельной оплаты труда.
Доказательное рассуждение отличается от правдопо-
добного так же, как факт от предположения, как на-
личие от возможности.
Доказательное рассуждение надежно, неоспоримо и
окончательно.
Правдоподобное рассуждение условно, спорно и ино-
гда рискованно.
Любая наука обязательно пронизана доказательны-
ми рассуждениями и притом в той же мере, что и мате-
матика, ибо доказательные рассуждения — это часть
математики.
Но, заметьте, проведя безукоризненно доказательст-
во теоремы Пифагора, мы ничего нового не узнали,
кроме того, что наша гипотеза — квадрат гипотенузы
равен сумме квадратов катетов — верна.
Новое содержалось в самой гипотезе, а ее-то и надо
угадать, прежде чем начать доказывать.
Таким образом, сами доказательные рассуждения не
дают нам существенно новых знаний об окружающем
нас мире. Все новое, что мы узнаем, связано с правдо-
подобными рассуждениями.
Выдающийся американский математик Р. Беллман
лет десять назад в предисловии к монографии по тео-
98
рии матриц написал: «Логика в конце концов является
одним из приемов, изобретенных человеческим умом
для решения определенных задач. Но математика —
это больше, чем логика, это логика плюс процесс со-
зидания. То, каким образом законы и понятия логики,
составляющие орудие математики, используются для
получения результатов, вряд ли является логическим
процессом, во всяком случае, не более логическим, чем
создание симфонии или картины».
В математике достаточно детально выяснен вопрос
о том, что такое доказательство, и каждый математик
должен владеть методами доказательных рассуждений.
Для них выработаны соответствующие правила. Подоб-
ные правила и понятия строгости и точности рассужде-
ний меняются от века к веку, и в настоящее время каж-
дый математик знает, каков уровень строгости той об-
ласти математики, которой он занимается.
Зато нет никакого стандарта правдоподобных рас-
суждений, никакой их теории, подобной доказательной
логике, а они нужны каждому естествоиспытателю как
воздух — без них нет никакой науки.
Математика предоставляет людям единственную воз-
можность научиться доказательным рассуждениям.
Однако надо уметь и догадываться.
Едва ли следует рассчитывать на разработку единой
методики того, как научить догадываться, — слишком
велико разнообразие человеческих индивидуальностей.
Как и многие другие виды человеческой деятельно-
сти, правдоподобные рассуждения осваиваются путем
подражания и практического использования.
Однако благодаря своим особенностям математика
лучше любой другой науки дает материал для обучения
правдоподобным рассуждениям. Законченная математи-
ческая теория выглядит как чисто доказательная.
Но утверждение «математика — доказательная наука»
характеризует лишь одну из ее сторон, ибо процесс со-
здания математической теории такой же, как и в любых
других науках. Прежде чем доказать какой-либо мате-
матический факт, его надо обнаружить, угадать, под-
метить.
В строгом доказательном рассуждении главное —
отличить доказательство от догадки, обоснованное дока-
зательство от необоснованной попытки. В правдоподоб-
ном рассуждении нужно отличить более разумную до-
7*
99
гадку от менее разумной, уметь подкрепить догадку
имеющимися фактами, уметь найти эти факты, бестре-
петно искать факты, противоречащие догадке, сопостав-
лять и вновь возвращаться к правдоподобным рассуж-
дениям.
Я подчеркнул: искать факты, противоречащие догад-
ке. В повседневной жизни не всегда стараются найти
истину; подчас неведение сохраняет спокойствие, а зна-
ние ведет к необходимости принимать нежелательные
решения. Но в науке самоуспокоенность и вера в свою
непогрешимость ведут к катастрофе.
Вот несколько примеров правдоподобных рассужде-
ний, которые, я надеюсь, убедят вас в достаточной обос-
нованности наших опасений.
Если положить таракана на стол и постучать по
столу пальцем — таракан побежит. Если же затем ото-
рвать у таракана ножки, вновь положить его на
стол и постучать — таракан не побежит. Следова-
тельно можно сделать вывод, что таракан слышит
ногами.
Это рассуждение выглядит анекдотически. Но ведь
рассуждение о том, что заболевание холерой, гриппом
или тифом — это наказание господне, а не заражение
путем передачи от одного лица другому микробов или
вирусов, мало чем отличающееся по существу от пре-
дыдущего, было общепринятым совсем недавно.
Недавно мне рассказали родители школьницы чет-
вертого класса очень впечатляющий пример парадок-
сального рассуждения по аналогии.
В классе учительница спросила: «Кто знает, как
раньше называлась улица Горького?» Их дочка подняла
руку и сказала: «Я знаю — улица Пешкова».
Приведу пример «научного» правдоподобного рас-
суждения, который заимствую из интересной книги Ар-
тура Кларка «Черты будущего».
«Один из шедевров критических выступлений, с кото-
рыми пришлось столкнуться пионерам космонавтики,
я представляю на суд читателя. Вот что говорил в одной
из своих статей (1926 г.) некий профессор А. У. Би-
кертон (рекомендую вчитаться в этот непревзойден-
ный образец интеллектуального чванства тех времен):
«Глупейшая идея выстрела на Луну — пример тех
предельных абсурдов, до которых в результате пороч-
ной узкой специализации доходят ученые, работающие
100
в «мысленепроницаемых отсеках», в полной изоляции
друг от друга. Попытаемся критически проанализиро-
вать это предложение. Для того чтобы снаряд пол-
ностью преодолел силу притяжения Земли, ему нужно
сообщить скорость 11 километров в секунду. Эквива-
лентная тепловая энергия одного грамма составляет
при такой скорости 15 180 калорий... Энергия нитрогли-
церина — наиболее бризантного взрывчатого вещества,
которым мы располагаем, — равна менее 1500 калорий
на 1 грамм. Следовательно, само это взрывчатое веще-
ство располагает всего лишь 1/10 той энергии, которая
необходима ему, чтобы оторваться от Земли, даже если
у него не будет никакой дополнительной нагрузки... От-
сюда явствует, что это предложение неосуществимо в са-
мой своей основе...»
Негодующие читатели публичной библиотеки города
Коломбо стали сердито указывать на табличку «Соблю-
дать тишину», когда я обнаружил вышеприведенный
перл. Он заслуживает более подробного рассмотрения,
чтобы установить, как получилось, что эта, с позволе-
ния сказать, «порочная специализация» настолько сбила
почтенного профессора с толку.
Первая ошибка его таится в фразе: «Энергия нитро-
глицерина — наиболее бризантного взрывчатого веще-
ства...» Казалось бы, любому ясно, что от ракетного го-
рючего мы требуем энергии, а не бризантности, не стре-
мительности ее высвобождения; нитроглицерин и дру-
гие аналогичные взрывчатые вещества содержат на еди-
ницу веса значительно меньше энергии, чем такая смесь,
как керосин с жидким кислородом. Это подчеркивалось
Циолковским и Годдардом много лет назад.
Вторая ошибка Бикертона еще более непроститель-
на. В конце концов пусть нитроглицерин располагает
всего лишь 1/10 энергии, необходимой для преодоления
земного тяготения. Это означает только, что для запуска
в космос одного килограмма полезного груза придется
взять 10 килограммов нитроглицерина.
Ведь самому-то топливу вовсе не нужно покидать
нашу планету; оно может быть израсходовано вблизи от
ее поверхности — вся суть дела в том, чтобы была
сообщена необходимая энергия полезному грузу. Когда
через 33 года после заявления профессора Бикертона
о невозможности космических полетов был запущен
«Лунник-П», большая часть из нескольких сот тонн ке-
101
росина и жидкого кислорода, затраченных на его за-
пуск, была израсходована весьма недалеко от Земли,
но полтонны полезного груза достигли моря Дож-
дей на Луне».
Думается, что мне комментировать эти строки нет
никакой необходимости.
Не будем далее тратить время на разбор правдопо-
добных рассуждений, относящихся к проблеме движе-
ния тел в космическом пространстве или к каким-ни-
будь другим проблемам. Я лишь хотел показать, что
правдоподобные рассуждения даются нелегко.
Степень убедительности правдоподобных рассужде-
ний в разных науках различна. Если в физике это до-
вольно убедительные рассуждения, то в гуманитарных
науках, а подчас и в естественных степень правдоподоб-
ности таких рассуждений бывает весьма незначи-
тельной.
Среди математиков бытует такой анекдот.
«Физик верит, — сказал математик,— что 60 делит-
ся на все числа. Он замечает, что 60 делится на 1,2, 3,
4, 5 и 6. Он проверяет несколько других чисел, напри-
мер, 10, 15, 20 и 30, взятых, как он говорит, наугад. Так
как 60 делится и на них, то он считает эксперименталь-
ные данные достаточными».
«Да, но взгляни на инженера, — возразил физик. —
Инженер подозревает, что все нечетные числа — прос-
тые (то есть не делящиеся нацело ни на что, кроме
себя и единицы). Во всяком случае, 1 можно рассмат-
ривать как простое число, — доказывает он. — Затем
идут 3, 5 и 7, все, несомненно, простые. Затем идет 9 —
досадный случай — оно, по-видимому, не является
простым числом. Но II и 13, конечно, простые. Возвра-
тимся к 9, — говорит он. — Я заключаю, что 9 должно
быть ошибкой эксперимента».
«Но, — говорит инженер, — посмотрите на врача. Он
разрешил безнадежному больному уремией съесть
борщ — и тот выздоровел. Врач пишет научную работу
о том, что борщ помогает при уремии. Но затем сам
дает подобному больному борщ — и тот умирает. Тогда
в гранках врач исправляет: «Борщ помогает в 50 про-
центах случаев».
«Да, но хорош математик, — говорит врач. — На во-
прос: «Как поймать льва в пустыне?» — он отвечает:
«Что значит поймать льва? Это означает — отгородить
102
льва от себя решеткой. Я сажусь за решетку — и лев,
по определению, пойман!»
Я надеюсь, что читатели не будут на меня в обиде
за такую сравнительную оценку. Мне кажется, что в
определенной мере подобное соотношение правдопо-
добности рассуждений в перечисленных науках соответ-
ствует действительности.
Во многих случаях это не вина специалистов, а их
беда. Трудности в естественных и гуманитарных науках
подчас столь велики, что рассчитывать на многократные
и специально поставленные опыты почти невозможно.
Поэтому приходится довольствоваться имеющимися
данными. Правда, далеко не всегда так безнадежно
обстоит дело; часто можно успешно повысить убеди-
тельность и правдоподобность доводов. А для этого
нужно учиться правдоподобным рассуждениям.
Приведенные примеры показывают, что индукция
может привести к ошибке, но ведь это случается
не всегда, иначе мы бы давно перестали ею пользо-
ваться.
Я хочу подчеркнуть, что в математике мы так же
широко пользуемся индукцией и аналогией, эксперимен-
том и наблюдением, как и в других науках.
Индукция
и математическая индукция *
Индукция есть процесс познания общих законов пу-
тем наблюдения и сопоставления частных случаев. Ме-
тодом индукции пользуются все науки, в том числе и
математика. Математической же индукцией пользуются
только математики для доказательства теорем опреде-
ленного типа. Между этими методами почти нет логиче-
ской связи. Однако терминологическая путаница — до-
вольно распространенное явление. Впрочем, об этом
еще будет речь. Но некоторая практическая связь меж-
ду индукцией и математической индукцией все же есть,
вследствие чего проиллюстрируем оба метода одним и
тем же примером.
Заметив, что в левой части равенства:
* Этот раздел в значительной мере заимствован из уже упо-
мянутой книги Д. Пойя «Как решать задачу».
103
1 + 8 + 27 + 64 = 100
стоят кубы последовательных натуральных чисел, а в
правой части квадрат, перепишем его и получим такое
интересное равенство:
I3 + 23 + З3 + 43 = 102.
Вам, читатель, может, конечно, показаться, что ни-
чего интересного тут нет: подумаешь, сумма кубов ка-
ких-то там чисел равна какому-то квадрату! Тут самое
удобное время спросить меня: «Ну и что?»
Несколько лет назад на лекции аспирантам-инжене-
рам по теории аналитических функций я сказал об од-
ной из теорем: «Обратите внимание на этот неожидан-
ный и замечательный факт». Кто-то из слушателей, со
скучающей физиономией записывавший лекцию, заме-
тил уныло: «Что же, прикажете удивляться?» Тут уж
удивился я. Научный работник должен удивляться и
радоваться всяким неожиданным фактам и поворотам
мысли, иначе он не ученый, а зевака. Любопытство,
здоровое любопытство, и любознательность и ведут уче-
ного от задачи к задаче, а потеряв способность удив-
ляться и получать удовольствие от новых сведений,
ученый уже не может открывать новое.
Как-то один из наших выдающихся физиков шутя
сказал, что научная работа — это удовлетворение лю-
бопытства ученого за счет государств Ъ равной мере
"можно сказать, что актерское ремесло есть удовлетво-
рение актерского тщеславия за счет зрителей. Для об-
щества важно, конечно, чтобы эта работа — в науке
или искусстве — приносила в конечном итоге другим
людям пользу.
Пожалуйста, поймите меня верно, читатель. Я вовсе
не считаю, что подобное любопытство должно в рав-
ной мере проявляться ко всем наукам или всем про-
блемам. Поэтому, если вам покажется неинтересным
обсуждаемый вопрос, а он выбран лишь для иллюстра-
ции метода индукции, пропустите этот раздел.
А мы вернемся к нашей проблеме.
Часто ли случается, что сумма кубов последователь-
ного ряда чисел есть квадрат какого-нибудь числа?
Отчего это может быть?
Формулируя вопрос таким образом, мы упо-
добляемся естествоиспытателю, который, находясь под
впечатлением впервые найденного растения или обнару-
104
женной им закономерности в чередовании пластов зем-
ли, ставит обобщающий вопрос. В нашем примере такой
обобщающий вопрос связан с суммой кубов натураль-
ного ряда чисел.
I3 + 23 + З3 +...+ п3.
К этому общему вопросу нас привел «частный слу-
чай»: п = 4.
Что же мы можем предпринять для выяснения на-
шего вопроса?
Поступим так, как поступил бы естествоиспытатель:
исследуем другие частные случаи. Частные случаи, со-
ответствующие п = 2 и п = 3, проще рассмотренного
выше. Случай п = 5 следует по порядку за рассмотрен-
ным. Ради последовательности и полноты добавим
еще и случай п = 1. Аккуратно записав все эти ра-
венства, точно так же, как геолог разложил бы образ-
цы какой-нибудь руды, мы получим следующую
таблицу:
1 = 1 = I2
1+8 = 9 = З2
1 + 8 + 27 = 36 = 62
1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 102
1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225 = 152
Трудно поверить, что все эти суммы чисел последо-
вательных кубов случайно представляют собой квадра-
ты. В подобной ситуации естествоиспытатель не очень
бы сомневался в том, что наблюдения подсказывают
общую закономерность. Общая закономерность чуть ли
не доказывается индукцией. Математик же высказы-
вается более сдержанно, хотя в глубине души, конечно,
думает так же. Он скажет, что индукция настойчиво
подсказывает следующую теорему:
Сумма первых п кубов есть квадрат.
Таким образом, мы приходим к предположению, о
существовании замечательной, несколько загадочной
закономерности. Почему суммы чисел последовательных
кубов должны быть квадратами? Но, как видно, они
являются таковыми.
Как поступил бы естествоиспытатель в подобном
случае? Он продолжал бы исследовать свое предполо-
жение. Поступая так, он вел бы исследование в
различных направлениях и накапливал бы дополнитель-
на
но опытные данные. Если бы мы стали на этот путь,
нам нужно было бы проверить следующие по порядку
случаи: п = 6, п = 7...
Естествоиспытатель мог бы также вновь исследовать
те факты, которые привели его к такому предполо-
жению. Он тщательно сравнивал бы их, пытался бы
выявить какую-нибудь более глубокую закономер-
ность или какие-нибудь дополнительные аналогии.
Мы поведем свое исследование в том же направлении.
Для этого вернемся еще раз к нашей таблице и
вновь рассмотрим случаи n = 1, 2, 3, 4, 5. Почему сум-
мы этих кубов оказываются квадратами? Что можно
сказать об этих квадратах? Основания этих квадратов
равны 1, 3, 6, 10, 15. Что можно сказать о них? Есть ли
какая-нибудь более глубокая закономерность, какие-
нибудь дополнительные аналогии? Во всяком случае,
кажется, что их возрастание подчинено какой-то зако-
номерности. Как же они возрастают? Оказывается, что
и разность между двумя последовательными основания-
ми тоже возрастает. В самом деле:
3—1=2; 6 — 3 = 3; 10 — 6 = 4; 15—10 = 5.
Закономерность возрастания этих разностей бросает-
ся в глаза, и мы подмечаем аналогию в основаниях
этих квадратов. Попробовав разные варианты, остано-
вим свое внимание на убедительной закономерности ря-
да чисел 1, 3, 6, 10, 15:
1 = 1
3=1+2
6 =1+2+3
10=1+2 + 3 + 4
15 = 1+ 2 + 3 + 4 + 5
Если эта закономерность имеет общий характер
(а трудно поверить, что это не так), то теорема, кото-
рую мы предположили справедливой, принимает более
точную форму, а именно: для п = 1, 2, 3,...
р + 23 + З3... + п3 = (1 + 2 + 3 +’... + и)2.
Я не буду здесь останавливаться на ходе дальней-
ших рассуждений, но, не желая оставлять читателя в
недоумении, приведу окончательную формулу:
F + 23 + з8 + •»♦ + п3 =• [ я(” - -М2
I, 2 J
106
Читатель, владеющий методом полной математиче-
ской индукции, теперь без труда сможет доказать сфор-
мулированную выше теорему.
Изложенная закономерность была обнаружена при
помощи индукции. Весь ход рассуждений, прав-
да несколько односторонний и несовершенный, но, во
всяком случае, правдоподобный, дает некоторое пред-
ставление об этом методе. Индукция пытается раскрыть
закономерности и связи, скрытые от наблюдателя за
внешними явлениями. Ее наиболее известные сред-
ства — обобщение, специализация и аналогия. Обобще-
ние возникает из стремления понять наблюдае-
мые факты, а проверяется дальнейшими частными слу-
чаями.
Подобные индуктивные рассуждения, только относя-
щиеся к значительно более содержательному материа-
лу и требующие смекалки, догадки, аналогий, и служат
методом работы математика.
Драматическая история
проблемы решения уравнений
То, что индуктивные доводы и аналогии далеко не
всегда приводят к правильным выводам, хорошо изве-
стно. Вспомним событие в математике, о котором было
упомянуто раньше, — проблему решения алгебраиче-
ских уравнений. Я говорил, что в течение 300 лет, вплоть
до начала XIX века, математики пытались найти фор-
мулы для решения алгебраических уравнений степени
выше четвертой: например, решить общее уравнение
пятой степени:
х5 + агх4 + а2х3 + а3х2 + а4х +’ а5 — 0,
где alf а2, а3, а4, а5 — произвольные числовые коэффи-
циенты. Они искали формулу, выражающую корень это-
го уравнения через его коэффициенты с помощью ариф-
метических операций: сложения, вычитания, умножения,
деления и извлечения корней. Их заставляла работать
в этом направлении именно индукция; ведь для урав-
нений до четвертой степени включительно такие фор-
мулы были найдены и дались человечеству тоже не лег-
ко. Кроме того, как это показал Гаусс, алгебраическое
уравнение всегда имеет корни, причем ровно столько
107
корней, какова степень уравнения. Понадобился гений
Абеля и Галуа, чтобы разрешить проблему.
В начале XIX века молодой норвежский математик
Нильс Хенрик Абель занимался этой проблемой. Ему
показалось, что найдено решение уравнения пятой сте-
пени. Однако после радостей наступили разочарования:
добросовестно проверив все свои выкладки, Абель на-
шел ошибку. Долгие и упорные размышления привели
его к уверенности в обратном: уравнение степени выше
четвертой, вообще говоря, нельзя разрешить в радика-
лах. Абель доказал это утверждение, и его теорема бы-
ла поворотным пунктом в проблеме решения уравнений.
Следует сказать, что имя Абеля в математике занимает
одно из самых почетных мест. Его работы по пробле-
мам математического анализа глубоки и разнообразны.
Хотя Абель был признан при жизни крупнейшими евро-
пейскими математиками, умер он в нищете от туберку-
леза двадцати семи лет от роду *.
Примерно в то же время решение уравнения пятой
степени «нашел» и юный Эварист Галуа. Он так же,
как и Абель, глубоко пережил разочарование после об-
наружения ошибки в рассуждениях и так же нашел в
себе силы дальше продолжать работу.
Я не имею здесь возможности подробно рассказать
об удивительной истории великого французского мате-
матика Эвариста Галуа. Но несколько слов написать
просто необходимо. В короткой и бурной жизни Эвари-
ста Галуа все было неожиданным. Увлечение математи-
кой и активное участие в политической жизни, провалы
на экзаменах по математике при поступлении в Поли-
техническую школу и исключение из Нормальной школы
по политическим мотивам, тюремное заключение и
смерть на дуэли, когда ему еще не было и 21 года.
И все же Галуа совершил подлинный переворот в нау-
ке. Судьба его работ тоже необыкновенна. Они не вы-
звали никакого интереса при жизни и были забыты
после его смерти. Лишь полстолетия спустя их вновь
* О трагической жизни Абеля написана интересная книга О. Оре
«Нильс Хенрик Абель» (Физматгиз, 1961).
Не менее увлекательны книги об Эваристе Галуа: Л. Инфельд,
«Эварист Галуа. Избранник богов» в серии «Жизнь замечательных
людей» и А. Дальма «Эварист Галуа — революционер и математик»
с послесловием А. Яглома. Этого послесловия я и придерживаюсь
в дальнейшем.
108
открыли, и они оказали колоссальное влияние на раз-
витие математики. Этих работ немного. Дошедшие до
нас труды Галуа изложены на шестидесяти небольших
страницах. Впрочем, изучение их требует значительных
усилий. Галуа испытывал отвращение к громоздким
выкладкам, поэтому его формулировки предельно
сжаты.
В задаче о решении алгебраических уравнений Эва-
рист Галуа пошел новым путем. Решить уравнение —
это значит найти, чему равны его корни. Галуа изучал
самый общий случай уравнения произвольной степени.
Заметим, что практически никому не нужно точное
решение любого конкретного уравнения: математики
должны указать лишь методы вычисления приближен-
ных значений корней. Эти приближенные значения
вполне удовлетворяют нужды и физиков, и химиков, и
инженеров. Как я уже упоминал, сейчас можно полу-
чить сколь угодно точные результаты, прибегнув к
помощи вычислительных машин. Но изучение общих
уравнений с буквенными коэффициентами недоступно
для приближенных методов.
Вы можете записать общее алгебраическое уравне-
ние и обозначить буквами его корни. Но эти корни, ра-
зумеется, являются неизвестными. Первое из открытий
Галуа состояло в том, что он уменьшил степень неопре-
деленности их значений и установил некоторые общие
соотношения, которым подчиняются корни. Пример та-
кого соотношения: один корень есть определенная функ-
ция двух других.
Однако прославили имя Галуа не результаты в про-
блеме решения в радикалах уравнений высших сте-
пеней, а те общие методы, которые он создал для изу-
чения свойств уравнений. Основной заслугой Галуа —
создателя современной высшей алгебры и одного из
основных творцов всей современной математики — яв-
ляется использование в решении стоящей перед ним
конкретной задачи общего понятия группы.
Группой в математике называется совокупность эле-
ментов любой природы, для которых определена неко-
торая операция, называемая групповым сложением!
Эта операция ставит в соответствие каждым двум эле-
ментам группы — скажем, элементам а и b — третий ее
элемент — их сумму а+b. При этом должны выпол-
няться лишь некоторые правила действий, похожие на
109
правила арифметики. Например, должен иметь место
«ассоциативный закон», согласно которому для любых
трех элементов а, Ь, с, группы (а+b) +с = а+ (Ь+с),
или иногда — «коммутативный закон» a + b = b + a.
Непосвященному кажется, что подобные законы, к
которым все давно привыкли в арифметике, всегда вы-
полняются, и математики зря тратят силы на очевидные
вещи. На самом же деле очевидное бывает и вовсе не
верным. В самом деле, наши элементы a, ft, с, d, . . .
могут иметь любую природу, а операция — скажем,
операция сложения, — должна быть лишь определена
в множестве этих элементов и удовлетворять аксиомам.
Если сначала обезболить, а затем вырвать зуб или сна-
чала вырвать зуб, а затем обезболить, то едва ли вы
согласитесь, что от такой перестановки «сумма», то есть
обезболивание плюс вырванный зуб, не изменилась.
В этом случае сакраментальная фраза «От перестанов-
ки слагаемых сумма не меняется», как видите, просто
не верна.
Группу могут образовывать числа, функции, поворо- .
ты или другие движения. Впрочем, изучать удобнее
абстрактные группы, элементами которых являются ма-
тематические символы, смысл которых до определенной
поры никак не уточняется. Именно в чрезвычайной общ-
ности понятия группы и заключается ее главная цен-
ность. В самой математике и ее приложениях, в самых
разнообразных проблемах других наук удобно пользо-
ваться тем, что изучаемые объекты образуют группу.
Это дает возможность связывать и изучать совместно
разделы математической науки, ранее казавшиеся очень
далекими друг от друга.
Важным примером группы являются так называе-
мые группы подстановок. Ученики в классе занимают
определенные места за партами. Если пересадить как-
нибудь этих учеников — например, Катю с Сережей,
а Иру с Алешей, в классе произойдет перетасовка, или,
как говорят математики, подстановка. Разумеется, не-
которые ученики при пересаживании-подстановке могли
остаться на месте. «Суммой» двух подстановок (то есть
пересаживаний) естественно назвать подстановку, воз-
никающую при последовательном пересаживании школь-
ников одним способом, а вслед за этим — другим.
При таком определении понятия «сумма подстановок»
сами подстановки образуют группу.
но
Этот пример, допускает дальнейшее развитие. Уче-
ники класса в ряде отношений различаются между со-
бой: среди них есть мальчики и девочки, успевающие и
отстающие, недисциплинированные и паиньки, близо-
рукие и дальнозоркие. При рассаживании учеников по
партам эти различия накладывают определенные огра-
ничения на их размещение. Например, близорукие
школьники должны сидеть на передних партах; сорван-
цов нельзя сажать за одну парту и т. д. Совокупность
подстановок — пересаживаний, удовлетворяющих по-
добным требованиям, — образует некоторую «группу
подстановок». Она тесно связана с конкретным составом
учеников в данном классе; в другом классе группа
подстановок, как правило, будет другой. Несколько
упрощая картину, такую группу подстановок можно
было бы назвать «группой Галуа» этого школьного
класса.
При изучении свойств совокупности уравнений Эва-
рист Галуа действовал аналогично. Вместо учеников ка-
кого-то класса он рассматривал корни определенного
алгебраического уравнения. Корни связаны какими-то
алгебраическими соотношениями (например, один
корень может равняться сумме двух других). Галуа
сопоставил каждому уравнению группу подстановок его
корней, состоящую из всех подстановок, не нарушаю-
щих соотношений между корнями. Исследование этой
группы позволяет очень многое сказать о самих корнях.
Оказывается, когда группа Галуа алгебраического
уравнения обладает определенными, легко проверяемы-
ми свойствами (такие группы называют разрешимыми),
то уравнение оказывается разрешимым в радикалах,
то есть его корни могут быть выражены через коэффи-
циенты при помощи явных алгебраических формул, со-
держащих лишь операции сложения, вычитания, умно-
жения, деления, возведения в степень и извлечения
корня. В противном случае это будет не так. Следова-
тельно, для выяснения разрешимости данного уравнения
в радикалах надо лишь составить его группу Галуа и
проверить, является ли она разрешимой или нет.
Таким образом, Галуа полностью ответил на долго
мучивший человечество вопрос: когда алгебраическое
уравнение может быть разрешено в радикалах.
После «переоткрытия» работ Галуа (вторая половина
прошлого века) началось широкое проникновение новых
111
методов во все области математики. И в настоящее вре-
мя понятие группы наряду с понятиями числа, множе-
ства, функции и преобразования является одним из са-
мых основных во всей современной математике.
О дифференциальных уравнениях, играющих очень
большую роль в математике, уже была речь. Их реше-
ние и изучение свойств не легче, а труднее, чём изуче-
ние алгебраических уравнений. Следуя по пути Галуа,
можно сопоставить каждому дифференциальному урав-
нению группу, подобную группе Галуа алгебраического
уравнения. Этот метод, принадлежащий норвежскому
математику Софусу Ли, дает возможность изучать весь-
ма важные и глубокие свойства дифференциальных
уравнений.
Введение в геометрию понятия группы изменило в
значительной мере саму эту область математики. Зна-
менитый немецкий математик Феликс Клейн в 1872 году
сопоставил каждому разделу геометрии свою группу и
объявил основной задачей геометрии изучение свойств
соответствующих групп.
В дальнейшем эти идеи Клейна и Ли оказались
весьма плодотворными для самых различных разделов
математики и математической физики, и особенно для
современной квантовой физики.
И сегодня математический аппарат теории групп яв-
ляется одним из основных инструментов теоретической
физики.
Разговор
с инженером-
технологом
Раньше я писал, что встречи математика со специа-
листами других областей знания обогащают обе сторо-
ны. Кроме того, их совместная работа может дать впол-
не ощутимый, а иногда и значительный экономический
или производственный эффект или наметить пути
для его достижения. Состоялась такая встреча у
меня и с инженером-технологом в области нефте-
переработки.
Он. Не поможете ли вы нам построить матема-
тическое описание процесса первичной переработ-
ки нефти?
Я. Это как будто трудная задача. Если я не
ошибаюсь, речь идет об очень сложном процессе?
Он. Да, процесс довольно сложный.
Я. Опишите его, пожалуйста, хотя бы в общих
чертах.
Он. Сырая нефть поступает на ЭЛОУ — элек-
трообессоливающую установку, — где из нее уда-
ляют значительный процент соли. Затем нефть по-
ступает в первую колонну, и в ней путем подогре-
ва отгоняются самые легкие фракции. Оставшаяся
часть подогревается еще сильнее, и от нее отде-
ляется новый ряд фракций. Этот процесс отгонки
определенных нефтяных фракций из нефти повто-
ряется несколько раз.
3 Я. Хургин
113
Мне показывают блок-схему процесса — собственно,
лишь схему его частичной автоматизации. Схема в до-
вольно мелком масштабе занимает лист бумаги шири-
ной в 1 метр и длиной в 5 метров. Конечно, разобраться
в ней быстро нет никакой возможности. Забегая вперед,
скажу, что через несколько дней после разговора я был
на нефтеперерабатывающем заводе. Шары диаметром
10 метров — ЭЛ ОУ; 30—40-метровые блестящие ректи-
фикационные колонны; газовые печи, поддерживающие
температуру в несколько сот градусов; операторные, где
на приборных досках находится два десятка приборов,
регистрирующих давление, температуру и другие пока-
затели; расстояния от одной установки до другой в сот-
ни метров... Хотя я неоднократно все это видел на кар-
тинках и в кинохронике, в натуре оно выглядит эффект-
нее и более впечатляюще. Впрочем, вернемся к раз-
говору.
Я. Сколько же управляющих параметров опре-
деляют процесс?
Он. Не могу сказать точно, надо подсчитать.
Во всяком случае, порядка сотни. Но среди них
есть такие, которые не нуждаются в управлении
(то есть в изменении во время течения процесса),
114
достаточно поддерживать их значения в опреде-
ленных пределах.
Я. Что же получается в результате?
Он, Получаются различные фракции: от легких
бензинов до масел.
Я. Чего же вы хотите?
Он. Нужно составить математическое описание
этого процесса.
Я. Зачем?
Он. Нам нужно управлять процессом.
Я. Но вы и сейчас им управляете.
Он. Да, но не очень хорошо — скорее кое-как,
только чтобы процесс шел нормально. А если бы
улучшить его за счет оптиматизации управле-
ния хоть на один процент, это дало бы огромный
эффект.
Я. Значит, сейчас управление осуществляется
на глазок?
Он. Ну, не совсем на глазок.
Я. Все же многие вопросы управления процес-
сом решает оператор по своему опыту и разуме-
нию?
Он. Да, это похоже на истину.
Я. Чего же должен добиваться оператор? Или
операторов несколько?
Он. Операторов несколько, и каждый из них
должен так изменять величины, которыми он уп-
равляет, чтобы процесс шел в определенных пре-
делах.
Я. Скажите, а исходное сырье — нефть —
имеет однородный состав или оператор должен
следить за его составом?
Он. Нефть состоит из сотен углеводородов, и их
процентное содержание в ней заметно колеблется.
Но обычно завод в течение длительного времени
получает однородную нефть либо иногда предпри-
нимает специальные меры, чтобы сделать ее одно-
родной, если состав различен.
Я. Значит ли это, что в первом приближении
состав сырой нефти можно считать постоянным?
Он. Да, пожалуй.
Я. Но все же какие-то изменяющиеся характе-
ристики исходного продукта приходится учитывать?
Он. Да, конечно. Важнейшую роль играет, на-
8*
115
пример, температура сырой нефти, и поэтому до по-
дачи в ректификационную колонну ее специально
подогревают.
Я. Хорошо. Сколько же параметров сырой неф-
ти использует технолог? Речь идет о таких пара-
метрах, в зависимости от которых надо менять ре-
жим процесса.
Он. Кроме температуры, приходится учитывать
расход — количество подаваемой нефти в минуту.
Иногда приходится учитывать давление.
Я. Итак, будем считать, что исходный продукт,
то есть вход системы первичной переработки неф-
тй, описывается тремя изменяющимися параметра-
ми, то есть тремя числами. Теперь давайте анало-
гично опишем результат переработки.
Он. Давайте перечислим. В результате первич-
ной переработки мы получаем бензин разных ма-
рок, реактивное топливо, дизельное топливо, га-
зойль, масла и гудрон. Получается около десяти
величин.
Я. И свойства каждой из них можно опреде-
лить одним числом?
Он. Ну что вы! Каждый из компонентов опи-
сывается по меньшей мере несколькими числами.
Например, качество бензина определяется октано-
вым числом, фракционным составом и плотностью.
Я. Меня это не устраивает. Сколько перемен-
ных (числовых величин) нужно задать, чтобы в ос-
новном характеризовать все выходные продукты?
Иначе говоря, какие характеристики качества вы-
ходных компонентов являются существенными?
Он. Все эти характеристики долго перечислять,
их много. Но я думаю, что для начала примерно
двумя десятками чисел можно обойтись.
Я. Теперь представим себе всю ситуацию.
Имеется процесс, который описывается тремя пере-
менными на входе, двадцатью переменными на вы-
ходе и сотней управляемых и регулируемых пара-
метров. Какую же задачу надо решить?
Он. Надо дать математическое описание этого
процесса.
Я. Хорошенькое дело! Вы хотите построить ма-
тематическую модель такого сложного процесса.
А как вы себе представляете это описание? Нужно
116
написать систему уравнений, связывающих все эти
130 переменных?
Он. Да, это было бы желательно.
Я. А вам известны связи между переменными?
Он. Качественно известны.
Я. Что значит — качественно? Например, ка-
кова зависимость удельного веса светлых фракций
от температуры вспышки?
Он. Нет, многие детали нам не известны. Каче-
ственно — это значит, что, например, при большем
удельном весе сырой нефти температура вспышки
возрастает.
Я. Но как же можно написать полную систему
уравнений, когда далеко не все связи между пере-
менными известны?
Он. Если бы я знал ответ на этот вопрос, то не
пришел бы к вам.
Я. Кажется, вы меня перепутали с богом! Но,
предположим, я каким-то фантастическим спосо-
бом выявил связи и написал эти уравнения. Ну и
что?
Он. Как это — ну и что? Если бы уравнения
были написаны, то мы бы их использовали для
определения оптимального управления.
Я. Это ясно. Но что же надо оптимизи-
ровать?
Он. Так я же говорю — управление.
Я. Нет, управление —- это целесообразный вы-
бор значений управляющих параметров. А оптими-
зировать нужно выход. Какую же характеристику
выхода нужно оптимизировать?
Он. Как когда. Иногда нужно максимизировать
какую-либо одну, а иногда несколько.
Я. Когда нужно добиться максимума одной ха-
рактеристики, это еще более или менее понятно,
хотя не до конца. Скажем, можно предложить оп-
тимизировать выход дизельного топлива, а на ос-
тальные компоненты не накладывать никаких тре-
бований: что получится, то получится.
Он. Да, иногда так и поступают.
Я. Но при этом могут получаться различные
в процентном отношении комбинации других ком-
понентов. Какая же из них более желательна? Ка-
кая лучше?
117
Он. Как когда, бывают разные требования. Но
в общем едва ли кто-либо из технологов вам смо-
жет точно ответить на этот вопрос.
Я. Но как нужно понимать максимизацию сра-
зу нескольких компонентов? Они же связаны меж-
ду собой.
Он. Да, мы это знаем, но часто перед техноло-
гами ставят задачу увеличить отбор сразу не-
скольких компонентов. И тут мы не знаем, как по-
ступить.
Я. Но, не ответив на эти вопросы, нельзя даже
сформулировать задачу оптимизации. Давайте раз-
бираться подробнее во всей ситуации.
Что такое — лучше?
Есть такая шутка: лучше быть богатым, но здоро-
вым, чем бедным, но больным. Конечно, лучше!
Но вот что лучше: быть богатым и больным или
бедным и здоровым? На этот вопрос нельзя ответить
сразу, нужно договориться о действительном содержа-
нии понятий — богатый и бедный, больной и здоровый.
Однако после этого возникнет еще более сложный во-
прос: что значит — лучше?
У нас часто употребляют слова «в целях улучше-
ния...» или «в целях поощрения...» и т. д. Это ошибочные
обороты речи, в них нельзя вложить точный смысл, так
как не может быть несколько целей сразу.
Вы, возможно, не согласитесь со мной. Например,
скажете вы, можно добиваться сразу успехов в науке
и спорте или перевыполнять план по нескольким пока-
зателям. Я постараюсь показать противоречивость та-
кой постановки вопроса.
Начнем с оценки выполнения плана. Представьте
себе два одинаковых предприятия — скажем: «Волга»
и «Десна», выпускающие дамские и мужские велосипе-
ды. Планы у них одинаковы: в месяц они должны вы-
пускать по 900 мужских и по 600 дамских велосипедов.
В текущем месяце «Волга» выпустила 1000 мужских и
550 дамских велосипедов, а «Десна», соответственно,—
800 мужских и 800 дамских. «Волга» перевыполнила
план по мужским велосипедам и недовыполнила по
женским, а «Десна» — наоборот (см. таблицу).
Подсчитаем выпуск по количеству изделий. По плану
118
।
было предусмотрено 900 + 600=1500 велосипедов в ме-
сяц. В действительности «Волга» выпустила 1000+-'
+ 550 = 1550 велосипедов, а «Десна» — 800 + 800 = 1600
„Волга*
Велосипеды Количество Валовая продукция По обобщен- ному показа- телю
план фактически план в руб. фактически
Мужские 900 1000 144 000 1000X100= = 100000 А = 94,5
Дамские 600 550 550 X 90= = 49500
Итого 1500 1550 149 500
„Десна*
Велосипеды Количество Валовая продукция По обобщен- ному показа- телю
план фактически план в руб. фактически
Мужские 900 800 144000 800 X 100= = 80000 А = 94,0
Дамские 600 800 800 X 90 = 72 000
Итого 1500 1600 152000
велосипедов. Итак, оба предприятия перевыполнили
план по количеству изделий, и оба не выполнили план
по номенклатуре. Но не выполнили по разным показа-
телям. Какое же из этих предприятий работало лучше?
Ясно, что в ситуации, когда имеется не два, а много
показателей, по которым следует выполнять план, на-
пример, качество, фонд зарплаты, экономия материалов
и т. д., вопрос о выборе лучшего предприятия будет еще
более запутанным.
Это противоречие можно решить только одним пу-
тем: нужно придумать один обобщенный показатель,
характеризующий работу предприятия, и по нему срав-
нивать. Например, можно сравнивать работу предприя-
119
тий по валовой продукции. Тогда месячный план следо-
вало бы задавать в рублях. Предположим, что муж-
ской велосипед стоит 100 рублей, а женский 90. Тогда
следует задать месячный план этим предприятиям в
сумме
900-100+600-90= 144000 рублей.
Теперь не нужно требовать с них выполнения плана
по номенклатуре. В нашем примере валовая продукция
«Волги» составила 1000-100+550-90= 149 500 рублей,
а валовая продукция «Десны» 800-100 + 800-90 =
= 152 000.
Итак, «Десна» дала больше валовой продукции и,
следовательно, работала лучше, хотя оба предприятия
план по валовой продукции перевыполнили.
Можно было бы оценивать работу по какому-либо
другому обобщенному показателю, учитывающему и
номенклатуру.
Например, для стимуляции выполнения плана по но-
менклатуре при учете валовой продукции можно взять
для характеристики работы предприятия сложный пока-
затель A=D-n, где D выполнение плана по валовой
продукции (в процентах). Величину же л определим так:
1) если план по номенклатуре выполнен, то п=1;
2) если план по номенклатуре не выполнен лишь по
/П<
'одному из видов продукции, то п= —, где т — коли-
ТП
чество единиц по плану по этому виду, a mi — факти-
чески произведенное количество по тому же виду;
3) если план по номенклатуре не выполнен по обоим
ei
видам продукции, то п= ~ > гДе е — количество еди-
ниц по плану по обоим видам, a et — количество факти-
чески произведенных единиц продукции.
При выполнении плана Л = 100;' при перевыполне-
нии показатель Л>100.
В нашем случае, если произвести подсчет, получим:
«Волга» — Л=94,5;
«Десна» — Л =94,0.
Таким образом, по этому обобщенному показателю
«Волга» работала лучше, чем «Десна», хотя оба пред-
приятия не выполнили план.
Ясно, что подобных показателей можно предложить
сколько угодно и всегда результаты будут разные,
120
Как же указать способ выбора наиболее выгодного
показателя?^
Подобные проблемы возникают повсеместно, и вот
небольшой рассказ «Лифт» польского писателя Анато-
ля Потемковского, в котором, как мне кажется, вели-
колепно показаны трудности, возникающие при выборе
критерия.
«Пан Залзаневич написал заявление в домовый
комитет о том, что ему, как это ни странно, приходится
платить за лифт столько же, сколько и пану Паташонь-
скому, хотя пан Паташоньский живет на тринадцатом
этаже, а он, Залзаневич, — на втором.
Мы решили, не откладывая в долгий ящик, тотчас
же рассмотреть жалобу. Претензии пана Залзаневича
показались нам вполне обоснованными.
— Кто выше живет, тот должен больше и платить,—
заметил пан Куця. — Сейчас составим таблицу
жильцов.
— Надо учесть также и состав семьи, — добавил
Зызя. — Основным критерием должны быть человеко-
этажи.
— Кукуляк всегда поднимается на лифте с женой,—
заявила баронесса. — Они никогда не расстаются. Два
человека, а лифт поднимается один раз.
— Введем коэффициент семейных чувств, — заявил
пан Куця.
— Надо учитывать также и вес, — вставила баро-
несса. — Паташоньский с женой весит меньше, чем од-
на пани Пшерадска.
— Действительно, — согласился Куця. — Придется
принимать в расчет общий вес семьи.
— Летом или зимой? — спросил Зызя. — Зимой
многие носят тяжелые шубы.
— Ну что ж, введем контрольное ежемесячное взве-
шивание жильцов. А то кто-нибудь поправится, а дру-
гие будут в ущербе.
Казалось, что мы уже недалеки от принятия разум-
ного решения, но вдруг кто-то вспомнил о гостях.
— Введем определенный коэффициент и на гос-
тей, — заявил Куця.
— Гости бывают разные, — заметил Зызя. — Кому-
нибудь надо на второй этаж, а он попал по ошибке на
Третий. Значит, надо ехать обратно на второй этаж.
121
L
В результате вместо одного он едет три этажа. За глу-
пых гостей следует больше платить.
— Да, необходим коэффициент интеллигентности
гостей, — заключил пан Куця.
— Нельзя забывать и об их весе, — вставил Зы-
зя. — Интеллигентный толстяк может обойтись дороже,
чем худой идиот.
— Все это надо хорошенько обдумать, — сказала ба-
ронесса.
После детального анализа мы зашли к пану Залза-
невичу, и каждый (от имени всех) дал ему по шее.
С какой стати он морочит нам голову своими делами?!
Потом мы поехали на лифте на тринадцатый этаж
ужинать к Паташоньским».
Итак, постановка вопроса о выборе наиболее выгод-
ного показателя бессодержательна, ибо на этот вопрос
нельзя дать вразумительный ответ, годный на все случаи
жизни.
Попробуйте ответить на вопрос: какой вид транспор-
та лучше — поезд, самолет, теплоход или ишак? Ясно,
что это зависит от ситуации. При поездке в команди-
ровку из Москвы в Новосибирск лучше лететь само-
летом, из Москвы в Звенигород лучше ехать поездом,
в свадебное путешествие очень хорошо отправиться на
теплоходе, а в горах лучше воспользоваться ишаком.
Таким образом, ответ на вопрос зависит от самой
задачи, от ситуации.
Критерий
В предыдущем примере выбор лучшего вида транс-
порта зависел от ситуации. Скажем, для свадебного
путешествия предпочтительна поездка на корабле —
комфортабельный теплоход обеспечивает более удобные
условия жизни, интимную и романтическую обстановку,
а торопиться молодоженам некуда. Однако здесь труд-
но оценить количественно преимущества теплохода по
сравнению с поездом.
В большинстве технических задач, особенно при ре-
шении задач оптимизации, нужно иметь возможность
количественно сравнивать разные варианты. Поэтому
важно уметь т четко сформулировать количественный
критерий.
Вспомним о проблеме передвижения из точки А
122
в точку В, когда прямой путь пролегает по грязи. Если
мы предпочитаем миновать лужи, то задачу можно
сформулировать так: среди всех путей, соединяющих
точку А с точкой В и минующих лужи, определить путь
наименьшей длины.
Здесь критерий, по которому сравниваются пути, —
длина пути. Задачу можно было поставить иначе: среди
всех путей, соединяющих точку А с точкой В, найти тот,
по которому можно пройти за наименьшее время.
Критерий сравнения путей в такой постановке будет
другим — это время, необходимое для передвижения
вдоль пути из точки А в точку В.
Может оказаться, что при решении обеих задач наи-
лучшим будет один и тот же путь, например, точечная
линия (рис. 67). Но задачи не одинаковы. Прежде все-
го исходный запас путей, среди которых выбирается
наилучший, различен: при минимизации времени — это
все пути между точками Л и В, а при минимизации дли-
ны пути — лишь те, которые не проходят через лужи.
Кроме того, у рассмотренных задач вполне возможны
различные решения. Например, если вторая лужа до-
статочно узкая, то, решая задачу во второй постановке,
можно выбрать путь, отмеченный пунктирной линией.
Пользуясь им, пешеход должен просто перешагнуть вто-
рую лужу, тогда этот путь будет короче отмеченного
точечной линией.
Вернемся к проблеме турбинного бурения скважин.
123
Рис. 67
Мы ставили задачу следующим образом: определить
наибольшую возможную скорость проходки скважины.
Однако зачем нужно добиваться наибольшей скоро-
сти проходки? Ответ кажется очевидным: чем больше
скорость проходки, тем скорее будет пробурена скважи-
на, а каждый ее день — это десятки и сотни тонн нефти.
Но очевидный ответ оказывается ошибочным.
В самом деле, нужно постараться возможно скорее
пробурить скважину, то есть пробурить ее за наимень-
шее время. Но это может и не соответствовать бурению
с наибольшей скоростью. Чем больше скорость враще-
ния турбобура при прочих равных условиях, тем скорее
стачивается буровой инструмент и, следовательно, тем
чаще его надо будет заменять. Для замены же бурово-
го инструмента приходится поднимать всю колонну
стальных труб с глубины в несколько километров, а на
это уходит очень много времени. Невольно вспоминает-
ся как-то не соответствующая нашему веку, но справед-
ливая здесь пословица: «Тише едешь — дальше бу-
дешь».
124
Итак, нам надо изменить постановку задачи: следует
определить величину давления на забой и значения дру-
гих существенных величин, при которых можно пройти
всю скважину за наименьшее время.
Как видите, другая постановка задачи и другой кри-
терий. Теперь критерием качества бурения является
время, затрачиваемое на бурение всей скважины, и,
следовательно, задача состоит в минимизации этого
времени. Оптимальная в смысле нового критерия ско-
рость проходки оказывается меньше максимально воз-
можной.
«Нос поднимешь — хвост увязнет»
В приведенных примерах значение критерия опреде-
лялось одним числом.
Задача оптимизации по данному критерию сводится,
таким образом, к отысканию тех объектов (путей, зна-
чений параметров и т. д.), на которых значение крите-
рия достигает экстремума. А нельзя ли все же приду-
мать критерий, значение которого задается сразу двумя
величинами?
Нельзя ли в противоречие с разобранным выше при-
мером сравнивать деятельность предприятий и по вы-
полнению плана выпуска валовой продукции и по но-
менклатуре сразу? Ведь можно же находить экстремум
не только у функции одной переменной, но и у функ-
ции двух переменных?..
Это недоумение в явном или неявном виде высказы-
вается довольно часто. На самом же деле здесь идет
речь о разных задачах. Представьте себе двух малышей,
катающихся на детских качелях (рис. 68). Когда один
опускается в самый низ, другой взмывает вверх. Каж-
дому хочется находиться именно на самом верху. Они
еще не овладели известной мудростью: «Нос подни-
мешь— хвост увязнет, хвост поднимешь — нос увязнет»,
и поэтому плачут при спуске и радуются при подъеме.
Но никак нельзя добиться того, чтобы оба одновремен-
но были в самом высоком положении.
Сумма их расстояний до земли постоянна, она равна
удвоенной величине расстояния от середины доски до
земли. Таким образом, их высоты над землей не неза-
висимы, они связаны — сумма высот постоянна. Поэто-
125
Рис. 68
му-то, когда один малыш поднимается, другой вынуж-
ден опускаться.
Трудно, конечно, объяснить малышам (да и не толь-
ко малышам), что умеренность — оптимальный образ
поведения *, и наилучшее, чего могут достигнут”оба"
*сразу,'— это подняться на одинаковую высоту (рис 69).
При этом оба не будут в восторге, но, возможно, плач
прекратится.
* У поэта Жуковского где-то сказано: «Умеренность есть луч-
ший пир».
•1'М^
126
Мы можем подвести итог. Когда речь идет просто
о поиске экстремума для функции нескольких перемен-
ных, то предполагается, что эти переменные независимы:
можно изменять любую из них, никак не влияя на зна-
чения других. Когда же речь идет о поиске экстремума
не независимых переменных, а связанных между собой,
то нужно учитывать эти связи. Тут мы столкнемся с по-
нятием условного экстремума.
Наконец, когда обсуждается количественный крите-
рий для сравнения каких-то объектов, то этот критерий
всегда должен выражаться лишь одной переменной.
Его значения характеризуют разные объекты, и сравне-
ние объектов между собой производится путем сопо-
ставления значений критерия для этих объектов.
Если значения критерия для двух объектов одина-
ковы, то с точки зрения их классификации по этому
критерию объекты неразличимы. Лишь в этом случае
имеет смысл обсуждать задачу выбора оптимального
объекта, причем оптимальность объекта понимается
именно так: для выбранного объекта критерий дости-
гает экстремума.
Близость
Трудно ввести количественный критерий для изме-
рения степени человеческой близости как духовной, так
и той, другой близости, о которой дети узнают кое-что
из иностранных кинокартин, лишь преодолев ненавист-
ный им шестнадцатилетний рубеж.
Но сейчас мне хочется остановиться на том аспекте
близости, который позволяет ввести количественную
меру. Это весьма важное понятие.
Говорят: близкие геологические эпохи или близко
расположенные города. Что это означает?
Скажите, если расстояние между городами 200 кило-
метров, то они расположены близко или далеко? А если
одна эпоха от другой отстоит на 200 миллионов лет, то
это близкие эпохи или далекие? Конечно, внимательный
читатель задаст встречный вопрос: близкие по сравне-
нию с чем?
Геологические эпохи измеряются миллионами лет; и
если время между эпохами меньше их характерного
размера, то можно говорить о близких эпохах.
Расстояние между городами бывает десятки, сотни
127
и тысячи километров. Расстояние между Москвой и Ле-
ниградом велико по сравнению с расстоянием между
Москвой и Серпуховом, но мало по сравнению с рас-
стоянием между Ленинградом и Иркутском. Поэтому
понятие «близко расположенные города» зависит от си-
туации.
Ясно, что для оценки близости двух точек на пря-
мой, на поверхности или в каком-то другом простран-
стве нужно ввести меру расстояний между точками и
указать единицу длины. Но этого недостаточно: нужно
еще указать, по сравнению с чем оценивается близость.
Иногда речь идет о близости по сравнению с единицей,
в других случаях — о близости по сравнению с рас-
стоянием между какими-то другими точками.
Возможно, вы, читатель, скажете, что из этих три-
виальных рассуждений не почерпнули ничего нового.
Я почти согласен с вами. Но скажите, какая из кри-
вых — точечная или пунктирная, — изображенных на
рисунке 70, ближе к горизонтальной оси?
Думаю, что вы оказываетесь в том же тяжелом по-
Рис. 70 f
ложении, в котором находятся родители, когда им пред-
ставляется возможность доставить удовольствие лишь
одному из близнецов: отправить его с соседями на фут-
бол. Один всю неделю не ел манную кашу, дважды
отказывался чистить зубы и грыз ногти. Второй был бе-
зукоризнен, но в субботу, воспользовавшись специально
сконструированным приспособлением из зеркал, трубок
и рычагов, весь вечер подглядывал за старшей сестрой,
когда к ней пришел жених. Вот и попробуйте выбрать
среди них лучшего.
Прочитавший предыдущие разделы читатель улыб-
нется и скажет: «Раньше уже был дан ответ на эти
вопросы — нужно ввести критерий, в данном случае
критерий близости двух кривых».
Конечно, я с этим согласен — нужно придумать кри-
терий. И мы даже знаем, что критерий зависит от
задачи.
Но какие критерии близости кривых можно предло-
жить?
Муся и Пуся
Соседки Муся и Пуся — близкие подруги. И живут
они близко, на одном этаже, в квартирах-близнецах.
И имена у них близкие — различаются лишь в первой
букве.
Муся и Пуся после работы возвращаются вместе до-
мой. Они открывают двери своих квартир и зажигают
свет. Более энергичная Муся зажигает свет в комнате,
кухне и ванной, включает радиоприемник и начинает
готовить ужин.
Пуся усаживается в кресло дочитывать трогатель-
ную повесть о вреде мясных супов в журнале «Здо-
ровье».
Муся слушает передачу «Для вас, женщины». Мод-
ная песенка:
Дважды два,
Дважды два,
Дважды два — четыре,
Уходя, гасите свет,
Сила вся в кефире... —
достигает цели — Муся тушит свет в комнате, коридоре
и ванной. Вскоре кончается передача, она выключает
приемник. Раздается стук в дверь. Это Пуся. Она, отдох-
нув, решила погладить, включила утюг и пережгла
9 Я. Хургин
129
Рис, 72
130
в своей квартире пробки. Муся приглашает Пусю к се-
бе: до прихода их мужей с футбола пробки починить
некому. Обсудив новый фасон вязки, они усаживаются
смотреть телепередачу международного футбольного
матча. Это им поможет скоротать время и не отстать
от мужей по уровню интеллектуального развития.
На рисунках 71 и 72 можно проследить, как изменя-
лось потребление электроэнергии в квартирах у Муси
и Пуси. По горизонтальной оси здесь отложено время, а
по вертикальной — потребляемая мощность.
В момент, когда Пуся включила испорченный утюг,
произошло короткое замыкание, потребляемая мощность
резко возросла, и пробки перегорели, так как они рас-
считаны на мощность, не превышающую определенную
величину. Кривая потребления упала до нуля — пре-
кратилась ее подача в сеть.
При оценке потребления электроэнергии могут быть,
во всяком случае, два подхода.
Показания электросчетчиков Муси и Пуси соответ-
ственно изменились на величины, пропорциональные
площадям под кривыми изменения потребляемой элек-
троэнергии. Площадь под Мусиной кривой больше, и,
следовательно, Пусина кривая ближе к горизонтальной
оси (нулевой линии), чем Мусина.
Но при оценке кривых по их максимальному значе-
нию, а именно на это значение реагируют пробки, кри-
вая Пуси значительно превзошла Мусину кривую, и при
таком критерии Мусина кривая ближе к горизонталь-
ной оси.
Нестрашный интеграл
Я упомянул о площади под графиком кривой. При-
дирчивый читатель потребует объяснений: в элементар-
ной геометрии определяются площади фигур, ограничен-
ных лишь отрезками прямых, а здесь речь идет о пло-
щади, ограниченной произвольной кривой. Правда, в
средней школе площадь круга определяется посредст-
вом перехода к пределу от площади вписанных и
описанных правильных многоугольников, но нечеткие
рассуждения, опирающиеся на плохо аргументирован-
ное понятие предела, только затуманивают существо
дела.
Площадь — это определенная числовая характери-
9* 131
Рис. 73
стика части плоскости, ограниченной кривой. Для на-
хождения этой характеристики нужно, конечно, задать
правила, по которым следует проводить вычисления.
Обоснование этих правил в действительности требует
серьезного развития теории пределов.
Я попробую, читатель, изложить некоторые идеи и
простые факты, не пользуясь теорией пределов, а опи-
раясь на вашу интуицию.
Речь идет прежде всего о том, как найти площадь,,
например, такую, как площадь под кривой на рисун-
ке 73. Эта площадь ограничена отрезком а < х < b
на оси ОХ, графиком функции у = f(x) и двумя отрезка-
ми, параллельными оси ОУ и проходящими через точки
а и Ь. Идея вычисления площади S такой криволиней-
ной трапеции состоит в замене исходной кривой близкой
к ней ступенчатой кривой, которая представлена на том
же рисунке. Площадь каждого из вновь полученных
прямоугольничков легко вычисляется, и их сумма будет
примерно равна искомой площади криволинейной тра-
пеции. Чем меньше будут основания прямоугольничков
(а их количество при этом будет возрастать), тем бли-
же будет сумма их площадей к площади криволиней-
ной трапеции.
При неограниченном увеличении числа прямоуголь-
132
Рис 74
ничков и уменьшении тем самым их ширины сумма их
площадей будет приближаться к искомой площади. Эта
предельная площадь и будет той площадью S под кривой
y=f(x), о которой идет речь. Она называется опреде-
ленным интегралом функции у = f(x) на интервале
(а, Ь) и обозначается так:
ь
S= J" f(x)dx.
а
Символ J (интеграл) получился из буквы S — пер-
вой буквы латинского слова Summa (сумма)—посред-
ством вытягивания вверх и вниз. Такое «преобразова-
ние» буквы S совершил великий Лейбниц, создавший
одновременно с Ньютоном интегральное исчисление.
Именно Лейбницу мы обязаны почти всеми обозначе-
ниями в интегральном и дифференциальном исчислениях.
Буквы а и b внизу и вверху символа указывают
начало и конец интервала, внутри которого определяет-
ся искомая площадь. Здесь dx не есть произведение
букв d и х, а единый символ. Он носит название диф-
ференциал и означает приращение самой переменной
(величину оснований прямоугольников).
Не подумайте, пожалуйста, читатель, что вы теперь
уже знаете существо интегрального исчисления; ничего
подобного! Однако для дальнейшего нам не понадобит-
ся интегральное исчисление.
Для вычисления площадей, ограниченных замысло-
ватыми кривыми, интегральное исчисление указывает
лишь способы приближенного их вычисления. Но если
133
вам действительно нужно определить площадь сложной
фигуры, график которой у вас есть, то лучше поступите
иначе. Числовое значение конкретной площади вам нуж-
но знать всегда лишь с определенной точностью — ска-
жем, с точностью до двух или трех десятичных знаков.
Возьмите лист бумаги прямоугольной формы. Его пло-
щадь легко вычислить — для этого надо измерить сто-
роны прямоугольника и перемножить полученные числа.
После этого взвесьте лист на аналитических весах.
134
Нарисуйте теперь интересующую вас фигуру на этом
листе в подходящем масштабе, вырежьте фигуру и
также взвесьте ее на тех же весах. Я надеюсь, что даль-
нейшие операции с полученными числами вам ясны.
Это хороший способ для приближенного вычисления
определенных интегралов — конечно, с небольшой точ-
ностью. Если же необходима большая точность, то поль-
зуются методами математического анализа и вычисле-
ния проводят на вычислительных машинах.
Прежде чем закончить разговор о вычислении пло-
щадей плоской фигуры, нужно еще сказать, что полезно
ввести понятие отрицательной площади. Если кривая —
график функции — находится под горизонтальной осью
ох (рисунок 74), то ее площадь считается отрицатель-
ной. Это и понятно: значения функции y — f(x) здесь
отрицательны, а основание криволинейной трапеции —
величина отрезка на горизонтальной оси — положи-
тельная величина.
Если же кривая y=f(x) пересекает ось ох, то части
площади, расположенные над горизонтальной осью, бу-
дут считаться положительными, а расположенные под
ней — отрицательными (рисунок 75). В частности, пло-
щадь, ограниченная отрезком синусоиды у = sinx, на ин-
тервале равна нулю, так как площадь поло-
жительной полуволны равна площади отрицательной
полуволны (рисунок 76).
Пространство, расстояние, норма
Многие слова в языке со временем приобретают но-
вое содержание, подчас значительно более общее, чем
исходное. Понятие «масса» — как большое количество
чего-нибудь, имеет смысл и как густая смесь (сырковая
или древесная масса), и как массивность (масса людей,
и народные массы), и как одно из основных физических
понятий.
Аналогично понятие «пространство», как место меж-
ду чем-то или как вмещающее что-то, приобрело новое
более общее содержание. Мы с вами уже обсуждали
понятие многомерного пространства — обобщение обыч-
ного пространства. Теперь мне хочется показать его
дальнейшее обобщение, тесно связанное с понятием бли-
зости.
135
Каждый знает, что в нашем пространстве расстояние
(кратчайшее) между двумя точками Р и Q — это длина
отрезка прямой между ними. Но мы живем не в пустом
пространстве, а на Земле, и если считать Землю шаром,
то расстояние между Москвой и Алма-Атой измеряется
не отрезком прямой, а длиной дуги большого круга меж-
ду этими пунктами. Вдоль дуги большого круга мог бы
лететь самолет. Но если для поездки воспользоваться
лишь железной дорогой, то расстоянием между Моск-
вой и Алма-Атой следует считать длину железнодорож-
ного пути, который идет по магистралям, в обход пу-
стынь и, конечно, длиннее дуги большого круга.
В городе расстояние между домом и местом работы
измеряется тоже не прямой, а вдоль улиц города. При
этом для пешехода и обладателя автомобиля это рас-
стояние будет выражаться разным числом километров:
при поездке на автомобиле нельзя воспользоваться
проходным двором или улицей, на которой введено одно-
стороннее движение транспорта. Впрочем, как правило,
мы измеряем расстояние между домом и местом рабо-
ты не километрами, а временем, затрачиваемым на
дорогу.
Представим себе проволочный каркас в форме парал-
лелепипеда. Муравей, отправляясь из одной вершины
в другую, должен идти по ребрам каркаса, и, следова-
тельно, для него расстояние — это сумма расстояний,
пройденных вдоль ребер. В разделе о Мусе и Пусе
остался не выясненным до конца вопрос о мере бли-
зости кривых. Сейчас нам нужно придумать, как же
измерять расстояние между кривыми.
Все это заставляет математика задуматься: каки-
ми же общими свойствами обладают различные поня-
тия расстояния? Размышления приводят к выделению
следующих главных свойств.
Расстояние между двумя точками Р и Q должно
быть неотрицательным числом, и естественно считать
расстояние равным нулю лишь тогда, когда точки Р и
Q совпадают. Обозначим через г (Р, Q) расстояние от
точки Р до точки Q,
В обычном пространстве расстояния от Р до Q и от
Q до Р одинаковы: г (Р, Q) = г (Q, Р), Это свойство на-
зывают симметричностью. Не подумайте, будто это
всегда так: дорога от дома до пивной и от пивной до
дома — разная. В городе, где введено на улицах одно-
136
стороннее движение, расстояние между двумя пунктами,
то есть длина пути, проходимого автомобилем из Р в Q
и из Q в Р, может заметно отличаться. Но сейчас мы
такие несимметричные ситуации оставим в стороне.
Наконец, важнейшим является свойство сторон тре-
угольника: сумма двух сторон треугольника не меньше
третьей стороны. Его можно записать так: если Р, Q, S —
три произвольные точки пространства, то
г (Р, Q)< Г(Р, S)+r(S, Q).*
Представьте себе, что в наше распоряжение предо-
ставлено некоторое множество объектов любой приро-
ды. Это могут быть точки на плоскости или в десяти-
мерном пространстве, векторы или многочлены, функции
или преобразования. Теперь сконструируем пространст-
во из этих объектов. Объекты нового пространства ча-
сто называют точками или векторами. Никакой путани-
цы при этом не происходит: мы будем обращаться с
элементами пространства — например, функциями или
преобразованиями — так же, как обращаемся с точка-
ми или векторами в нашем обычном пространстве.
И обозначать их будем так же — большими латинскими
буквами.
Теперь можно дать точное определение метрического
пространства (то есть пространства, в котором имеется
метрика — понятие расстояния). Таким пространством
будет множество элементов какой угодно природы в том
случае, если для любой пары Р и Q элементов множе-
ства определено вещественное неотрицательное чис-
ло г (Р, Q), называемое расстоянием и обладающее сле-
дующими свойствами: во-первых, расстояние г (P,Q)~0
тогда и только тогда, когда точки Р и Q совпадают, во-
вторых, для любой тройки точек Р, Q, S пространства
расстояние от Р до Q не превосходит сумму расстояний
от Р до S и от S до Q (это называется аксиомой тре-
угольника и записывается в виде формулы, отмеченной
выше звездочкой), и, в третьих, расстояние симметрично.
Наличие расстояния дает нам возможность разре-
шить проблему выбора критерия близости в множестве
изучаемых объектов: если расстояние между объекта-
ми — маленькое число, то объекты близки. Конечно,
остается открытым вопрос о том, какое число малень-
кое, но об этом уже была речь.
Теперь я покажу, сколь общим оказывается так вве-
137
денное понятие метрического пространства и насколько
оно является неожиданным. Предположим сначала, что
элементы (или, как мы условились называть, точки)
Р, Q, S нашего метрическою пространства — это
функции y=p{t)', y=q(t)', y = s(t), заданные на каком-
то временном интервале а t ^b. В множество таких
функций можно ввести понятие расстояния по-разному.
Обратимся, например, к функциям, описывающим по-
требление электроэнергии Муси и Пуси. В качестве рас-
стояния между функциями можно взять наибольшую
величину их разности (по абсолютной величине — рас-
стояние должно быть неотрицательным). На рисунке 77
изображены функции у=р (/) и y—q (0; на рисунке 78 —
их разность и на рисунке 79 — абсолютная величина
их разности. Наибольшее значение этой последней и
выбрано в качестве расстояния между функциями. Та-
кое понятие расстояния было бы целесообразно выбрать
при оценке потребления электроэнергии с точки зрения
защиты пробок от пробоя.
Если же вспомнить лозунги об экономии электро-
энергии, то можно в качестве расстояния между теми
138
Рис. 78
же функциями взять площадь, заштрихованную на ри-
сунке 79. Формула будет выглядеть так:
ь
r(P, Q) = f\p(t)-q(t)\dt.
а
Я надеюсь, вы уже хладнокровно отнесетесь к этой фор-
муле, в противном случае просто не обращайте на нее
внимания.
Для обоих понятий расстояния — максимума абсо-
лютной величины разности кривых или интеграла абсо-
лютной величины разности — выполнены обе аксиомы
метрического пространства. Если вы уже настолько при-
общились к математической требовательности, что не
верите мне на слово, то проверьте сами, это нетрудно
сделать.
Пусть расстояния на сфере — это длины дуг боль-
шого круга. Конечно, между двумя точками на окруж-
ности заключены две дуги, и их длины не одинаковы,
если точки не расположены на разных концах одного
диаметра. Но мы в качестве расстояния между этими
139
точками будем брать длину меньшей из дуг. Тогда ак-
сиомы метрического пространства также выполняются,
и сфера при таком понятии расстояния между точками
на ее поверхности оказывается метрическим простран-
ством.
Пространство обычно рисуется чем-то огромным и
всеобъемлющим. Однако освоенное нами метрическое
пространство может состоять, например, всего из трех
точек — вершин какого-нибудь треугольника. В самом
деле, если точки Р, Q, S — вершины треугольника, а
расстояние между точками — это обычная длина отрез-
ка прямой между ними, то обе аксиомы метрического
пространства — равенство нулю расстояния между точ-
ками в случае их совпадения, симметрия и аксиома тре-
угольника — выполняются.
А больше ничего и не требуется!
Позже я приведу еще один необычный пример мет-
рического пространства.
Вероятно, парадоксальность пространства, состояще-
го всего из нескольких отдельных точек, наводит вас
на мысль, что при обобщении понятия пространства вы-
140
браны не самые существенные его свойства. Например,
в обычном пространстве векторы можно складывать и
умножать на вещественные числа и при этом получать
новые векторы, принадлежащие тому же пространству.
В метрическом пространстве это может и не выпол-
няться, как показывает разобранный пример метриче*
ского пространства, состоящего из трех точек.
При конструировании нового пространства можно
сохранить операции сложения элементов пространства
и умножения их на вещественные числа. Обычные свой-
ства этих операций при этом сохраняются, и, в частно-
сти, относительно операции сложения элементы прост-
ранства образуют группу, о которой был разговор в
связи с великими открытиями Эвариста Галуа. Такое
пространство называется линейным.
Векторы на плоскости при обычных операциях их
сложения и умножения на числа образуют линейное
пространство. Множество всех многочленов также обра-
зует линейное пространство. Действительно, сумма мно-
гочленов образует новый многочлен, так же как и при
умножении на число многочлен остается многочленом.
Но векторы имеют определенную длину. Если, как
это часто делают, отнести векторы к началу координат,
то длина вектора есть не что иное, как расстояние меж-
ду концом вектора и нулевой точкой — началом коор-
динат.
Если в линейном пространстве ввести понятие рас-
стояния, то есть сконструировать пространство, которое
будет и линейным и метрическим, то получим класс про-
странств, называемых линейными нормированными, или
Банаховыми пространствами (по имени крупного поль-
ского математика, одного из создателей функцио-
нального анализа, Стефана Банаха, умершего в
1945 году).
В линейном нормированном пространстве есть ана-
лог длины вектора. Если элемент пространства обозна-
чен буквой Р, а буквой О обозначен нулевой элемент,
то длина элемента — это расстояние r(PfO) между эле-
ментами Р и О. Это число называют нормой элемента
и обозначают ||Р||.
Если сначала ввести в пространство норму, то рас-
стоянием между двумя элементами Р и Q будет норма
их разности ||Р—Q||. В множество всех функций вида
заданных на отрезке а Ь, можно, очевид-
141
но, ввести норму многими способами. Скажем, исполь-
зуя понятия расстояния, о которых шла речь выше, в
качестве нормы функции можно взять максимальное
значение ее абсолютной величины ||f||=max If(01 при
При норме, введенной таким образом, и обыч-
ных операциях сложения функций и умножения их на
числа полученное линейное нормированное функцио-
нальное пространство будет иметь бесконечное число
измерений. При этом говорят, что такое пространство
бесконечномерно.
Как возникают термины
Я позволю себе, читатель, сделать небольшое от-
ступление. Его едва ли можно назвать лирическим, но
оно, я надеюсь, как-то скомпенсирует тяжелое впечат-
ление, вынесенное вами от формул и длинных рассуж-
дений предыдущего раздела.
Может возникнуть вопрос, почему норму — аналог
длины вектора в пространстве — назвали нормой.
Это законный вопрос, и он является частью общего:
откуда вообще берутся новые термины?
В словаре русского языка (составитель С. И. Оже-
гов) сказано:
«НОРМА — ы, ж.
1. Узаконенное установление, признанный обязатель-
ным порядок, строй чего-н. Юридическая н. Н. поведе-
ния. Нормы литературного языка.
2. Установленная мера, средняя величина чего-н.
Н. выработки. Н. выпадения осадков».
В какой-то мере пункт 2 соответствует введенному
нами понятию нормы, хотя, конечно, норма функции
имеет смысл, отличный от нормы выработки или нормы
хлеба, выдаваемого по карточкам.
Математики весьма часто употребляют разные сло-
ва с корнем «норм». Имеются такие понятия, как нор-
мальное пространство, нормальный оператор, нормаль-
ный делитель, нормальное распределение, нормаль-
ное уравнение, просто нормаль. Все это совер-
шенно различные понятия и из различных областей
математики.
И если нормальному человеку противопоставляет-
ся ненормальный (хотя и неизвестно обычно, что это
означает), то нет ненормальных уравнений, ненор-
мальных распределений или ненормальных операторов.
142
Вообще, вводя новый термин, ученый обычно не за-
ботится о том, чтобы у этого слова имелся «напарник»
с противоположным смыслом. Например, есть класс
обыкновенных дифференциальных уравнений. Но вовсе
нет необыкновенных дифференциальных уравнений.
На самом деле обыкновенными называются дифферен-
циальные уравнения с одним независимым переменным,
а дифференциальные уравнения со многими независи-
мыми переменными называются уравнениями с частны-
ми производными, а не необыкновенными.
В математике матрицей называется прямоугольная
таблица, например, такая:
axbxcxdx
6^2 d2 ^2 ^2
#3 Ь3 Г3 rf3
Ее элементами могут быть числа, буквы, функции.
Название, как видите, аналогично типографской матри-
це — бумажной форме, служащей для отливки стерео-
типа. Но вот, скажем, для квадратной матрицы, у кото-
рой число строк равно числу столбцов
ах Ъ} сх
#2 ^2 ^2
U3 &3 С3
сумма диагональных элементов + называется
следом матрицы. Трудно провести аналогию между этим
термином и известным словом «след»: звериный след,
след преступления и т. д.
Впрочем, сравнительно недавно крупный американ-
ский математик — специалист по теории вероятностей
Дж. Л. Дуб (Doob) ввел новый термин — мартингал.
Этим словом назван класс случайных или вероятност-
ных процессов специального вида.
Вот как звучит соответствующее определение из кни-
ги Дуба «Вероятностные процессы»:
Вероятностный процесс {х£ , te Г} называется мартин-
галом, если£ {|xj} <оопри всех /, и, каковы бы ни были
1 и t\<.. с вероятностью 1,
Е {^/1+11 • • • > =
Несколько лет назад Дуб был в Москве и выступал
на семинаре в МГУ. Его спросили, откуда взят тер-
143
мин «мартингал». Хотя доклад профессор Дуб читал
по-русски, для ответа на этот вопрос запаса русских
слов ему не хватило. На доске он нарисовал довольно
схематичную лошадь, обвел ее тощую шею овалом, ко-
торый, по-видимому, должен был соответствовать хому-
ту, положил мел, ткнул пальцем в это место, сказав:
«Вот это мартингал... а также то, что я раньше опре-
делил».
Мне понравился такой смелый способ введения но-
вых терминов: нет необходимости оправдываться перед
ехидными коллегами и пояснять им сложную цепь ассо-
циаций, которая привела автора к этому термину. До-
статочно того, что термин звучный, запоминающийся,
чтобы он получил право на существование.
Так произошло со словом кибернетика: греческий
язык сейчас почти никто не знает, и споры о значении
этого слова (кормчий, рулевой) и его ассоциативной
связи с вопросами управления мало принесли пользы.
Термин же, смело введенный Норбертом Винером, при-
жился и постепенно вытесняет многие длинные слово-
сочетания вроде: «Теория автоматического регулирова-
ния и управления».
Конечно, при введении новых терминов нужно руко-
водствоваться чем-то большим, чем желание просла-
виться. Рассматриваемые объекты или явления должны
быть достаточно важными, и нового термина должен
заслужить класс описываемых явлений или объектов,
а не тщеславный автор. В противном случае термин
окажется мертворожденным, а автор подвергнется
осуждению как лицо, засоряющее мусором места общего
пользования.
Что же делать
с задачами инженера-технолога?
В разговоре с инженером-технологом возникла по-
требность в постановке трех задач. Во-первых, надо
сформулировать критерий качества процесса первичной
переработки нефти. Во-вторых, необходимо построить
математическую модель этого процесса. В-третьих,
указать алгоритм (правила) управления процессом
на основании выбранного критерия и построенной
модели.
К сожалению, нельзя похвастать решением постав-
144
ленных задач. Это трудные проблемы, и в мировой ли-
тературе нет еще их полного решения. Однако основные
идеи, которые могли бы привести к их решению, харак-
терны не только для процесса первичной нефтеперера-
ботки, но и для весьма широкого класса проблем
управления технологическими процессами. Поэтому, не
разбирая подробно возможные пути решения наших
задач, я остановлюсь лишь на основных идеях.
Начнем с выбора критерия качества процесса. Ма-
тематик обычно не знает, как выбрать критерий.
«Выбор критерия качества — это задача технолога
или даже скорее руководителя предприятия» — вот ши-
роко распространенный аргумент математика, приводи-
мый им для того, чтобы выйти с честью из трудной
игры.
Конечно, не стоит требовать от математика знания
технологии процесса и понимания сложных взаимоотно-
шений, скажем, между предприятием и его поставщика-
ми, потребителями и руководящими органами. А ведь
именно от этого зависит эффективность той или иной
стратегии управления, а следовательно, и выбор соот-
ветствующего критерия (я употребил слово «стратегия»,
быть может, несколько преждевременно, позже его зна-
чение будет уточнено, а сейчас будем его понимать
в общепринятом смысле).
Но и руководители или технологи находятся не
в лучшем положении: они должны задать критерий и при
этом удовлетворить математика, который будет вовсю
придираться, требуя безупречной точности в формули-
ровках. Но как бедному технологу, не очень точно знаю-
щему, что надо оптимизировать, привыкшему «вкалы-
вать», а не общаться с математиками, справиться со
щегольскими математическими формулировками?
Поэтому либо технолог должен стать математиком,
либо математик — технологом, либо, наконец, оба —
математик и технолог — должны кооперироваться и ра-
ботать вместе. Первые два пути надежны, но их трудно
осуществить. Третий может привести к успеху с наи-
меньшими потерями для обеих сторон.
Тут, мне кажется, уместен призыв к математику
«идти в народ» — на производство. Нет, не обязательно
на постоянную работу! Но в течение нескольких недель
ему стоит систематически посещать завод, беседовать со
специалистами и постепенно «выудить» из них все све-
10 я. Хургин
145
дения, необходимые для формулировки критерия. Но и
«народ» должен встретить математика с доброжелатель-
ством и в суматохе текучки найти время для подробных
объяснений, что к чему. Здесь, безусловно, будет оправ-
дываться принцип «Лучше один раз увидеть, чем сто
раз услышать».
Простите меня, читатель, за эти лозунги, я сейчас
исправлюсь и перейду к делу. Но не стану вводить вас
в курс событий на заводах, а поясню метод построения
критерия на другом примере.
Инженер Ягодинец выбирает место работы
Инженер-автоматчик, ну, скажем, Ягодинец, многим
недоволен на заводе, где он работает: слабые надежды
на получение квартиры, штурмовщина и текучка, не
оставляющая времени для совершенствования в своей
специальности, тяжеловатый характер начальника.
Он обращается к друзьям и знакомым и через неко-
торое время получает пять предложений.
На Северном заводе молочноконсервной аппаратуры
(сокращенно — СЕЗАМКА) в контрольно-измеритель-
ной лаборатории разрабатывают систему управления за-
водом с помощью электронной вычислительной машины.
Там знакомые ребята взялись за дело, горят, «вкалы-
вают» по ночам и очень нуждаются в автоматчике.
О свободном времени не может быть и речи. О кварти-
ре — тоже. Начальство не верит в реальность перехода
на управление с помощью вычислительных машин —
ему как-нибудь бы вытягивать план...
Заведующие лабораториями в Институте синтетиче-
ских топлив и масел (сокращенно — ИСТОМА), в Фи-
лиале завода контрольных и телемеханических устройств
(сокращенно — ФИКТУС) и в специальном бюро по
конструированию математических машин и автоматов
(сокращенно — МАМАША) вместо ответа на вопрос:
«Чем придется заниматься?» — подробно рассказывают
о вознаграждении за выслугу лет, о премиальных,
о спортклубе. Правда, бывшие однокурсники по секрету
рассказали, что в ИСТОМЕ они занимаются внедрени-
ем простеньких регуляторов в системах регулирования
не то расхода, не то прихода основного продукта с ка-
ким-то витиеватым названием, в ФИКТУСЕ их переучи-
вают зачем-то с электроники на пневмонику, а в МА-
МАШЕ испытывают на виброустойчивость аппаратуру,
146
разработанную на другом предприятии, причем вскры-
вать приборы воспрещено.
Зато МАМАША имеет аспирантуру, и в прошлом го-
ду там был недобор, так как толковых ребят не отпус-
кали начальники, а бестолковых не брали приглашен-
ные для руководства профессора.
Квартирные дела лучше всего обстоят в ФИКТУ-
СЕ — там скоро будет готов дом. Правда, в нем новому
человеку квартиру едва ли дадут, но зато кончится квар-
тирный ажиотаж, и жилье можно получить обычным
путем.
В ИСТОМЕ и МАМАШЕ квартиру обещают, но как-
то не очень определенно, больше напирая на слово
«отдача»...
В научно-исследовательском институте по изучению
воздействия излучений на живую природу (сокращен-
но — НИВИЗЖИ) все обстоит наоборот. Это новый
институт, и один доктор биологических наук изучает
влияние высокочастотных колебаний на рост шампиньо-
нов и очень нуждается в автоматчике. Так как в инсти-
туте никакой аппаратуры нет, то придется самим созда-
вать ее заново. Правда, доктор обещает организовать
помощь со стороны крупного специалиста из Института
автоматики и телемеханики, с которым он ездит на
охоту. Здесь сразу предлагают оклад на 30 процентов
больше, чем в других местах, и имеется возможность при
благополучном развитии событий через год-два создать
лабораторию автоматики. На дорогу до института при-
дется тратить около двух часов в один конец, и дрожь
берет от перспективы трех автобусных пересадок и
двух километров пешком в слякоть или в крещенские
морозы. Однако НИВИЗЖИ собирается строить жи-
лой дом.
Люся работает в ИСТОМЕ, и если поступить туда, то
можно будет окружить ее со всех сторон таким внима-
нием, что никто к ней не пробьется. А при работе
в НИВИЗЖИ встречи с ней сократятся до двух в не-
делю.
Но если Люся перестанет тянуть с ответом, и состо-
ится свадьба, и дадут квартиру, то она тоже сможет пе-
рейти в НИВИЗЖИ.
Что бы вы выбрали, читатель? Молодой инженер
Ягодинец тоже не знал. Он пришел посоветоваться
к другу-кибернетику, и тот не стал разбираться во всех
10*
147
вариантах, тонкостях, душевных порывах и карьерист-
ских мечтаниях. Он предложил составить таблицу.
В столбцах таблицы перечислены те учреждения, ко-
торые готовы принять в свое лоно нового сотрудника.
А в строчках — основные пункты, от которых зависит
выбор Ягодинцем нового места работы. Таблицу запол-
няли по строчкам, выставляя каждому месту оценку по
10-балльной системе. Это занятие оказалось более лег-
ким, чем рассмотрение всей ситуации в целом. Посуди-
те сами.
Наиболее интересной представлялась работа в НИ-
ВИЗЖИ — она хоть и не очень масштабная, но само-
стоятельная. Ее оценили наивысшим баллом — 10.
На заводе «СЕЗАМКА» тоже интересная работа, но
главная ее часть выполняется программистами и спе-
циалистами по электронным вычислительным машинам,
а автоматчик здесь на вторых ролях — этот пункт оце-
нили в 8 баллов.
В ИСТОМЕ и МАМАШЕ пока предлагают «кота
в мешке». Пожалуй, наиболее интересная работа будет,
если верить ребятам, в ФИКТУСЕ — проблемы пнев-
моники кажутся перспективными. Впрочем, еще не из-
вестно, возьмут ли Ягодинца заниматься пневмоникой
или нет, однако добиваться этого можно. Итак, в первой
строке ИСТОМА и МАМАША получили по 2 балла,
а ФИКТУС — 5.
Никого из начальников этих лабораторий Ягодинец
лично не знает. Но все же какая-то информация о них
имеется.
На заводе «СЕЗАМКА» начальник, группы внедре-
ния вычислительной машины живой и энергичный па-
рень, кончивший институт на два года раньше Ягодинца.
Ребята о нем отзываются хорошо, но сам он умеет
пока тоже мало: у него многому не научишься. Оцен-
ка — 7 баллов.
В ИСТОМЕ предполагаемый начальник — мрачный
человек предпенсионного возраста. Разговор с ним оста-
вил какое-то тяжелое чувство, хотя трудно объяснить,
в чем тут дело. Знакомые говорят, что он «не вредный,
но зануда». Поставили 5 баллов.
В ФИКТУСЕ поговорить с непосредственным на-
чальником не удалось — он в длительной командиров-
ке. По слухам, это квалифицированный специалист, но
характер у него нелегкий, он ревнив и в скверных отно-
148
Интересность содержания ра-
боты ......................
Руководитель работы . . . .
Коллектив .................
Перспективы написания дис-
сертации ..................
Материальные условия (оклад,
премии и т. д.)............
Перспективы повышения по
службе.....................
Перспективы получения квар-
тиры ......................
Время на дорогу до места ра-
боты ......................
Спорт .....................
Люся.......................
Сумма .....................
Критерий К — взвешенная
сумма .....................
Х1
Х9
*3
х4
*5
Хе
х7
Х8
Х9
Хю
8 2
7 5
10 2
1 1
10 4
2 2
5 1
53 32
556 342
5 2 10
4 2 9
6 2 8
6 8 8
8 9 10
6 2 7
9 5 10
6 3 1
10 2 5
10 5 1
70 40 69
665 398 778
1.0
8
8
5
5
15 3!
12
12 аз
10 а4
а5
а6
15 а7
а8
а9
а10
шениях с вышестоящими
начальниками. Это стоит
4 балла.
В МАМАШЕ заведующий лабораторией — кандидат
наук. Выглядит как-то скучно, мало спрашивал, на во-
просы о'твечал весьма неопределенно. Ребята говорят,
будто он куда-то переходит и ему подыскивают замену.
2 балла.
Доктор биологических наук бородат, общителен, го-
ворит на трех языках и знает всех. Нарисовал гран-
диозные перспективы, шампиньоны — это только нача-
ло; кажется, можно значительно ускорить рост всяких
растений в парниках. Отзывы о нем хорошие. Но он
редко бывает на работе, часто ездит за границу, член
всяких ученых советов и т. д. Конечно, автоматике у
него не научишься, но помощь будет. Хорошо —
9 баллов.
Так в строке «Руководитель работы» появились
числа.
Оклады всюду, кроме НИВИЗЖИ, примерно одина-
ковые: ПО—120 рублей в месяц. Правда, в ИСТОМЕ
и ФИКТУСЕ довольно часто бывают премии, а это еще
149
10 рублей в месяц в среднем. В МАМАШЕ премии еже-
квартальные и больше — посчитали по 20 рублей в ме-
сяц. В НИВИЗЖИ есть должность руководителя груп-
пы — 160 рублей в месяц. Если за этот оклад выста-
вить 10 баллов, то нетрудно выставить и за остальные.
Ближе всего расположен к дому завод «СЕЗАМ-
КА»— до него пешком 10 минут. В ИСТОМУ и МА-
МАШУ езды примерно 40 минут, причем по дороге
в МАМАШУ пересадка из метро в автобус. До ФИК-
ТУСА — 25 минут на троллейбусе. Езды в НИВИЗЖИ
2 часа, да еще три пересадки. Теперь запишем в таб-
лицу числа.
Впрочем, здесь подчас возникает недоумение: от-
куда взять эти числа? Можно, конечно, предложить
какой-либо алгоритм (правило) для их вычисления.
Например, считать, что 10 минут — это 10 очков, а 2 ча-
са езды за три пересадки, то есть примерно 150 ми-
нут, — это единица, и соединить соответствующие точки
(10,10) и (150,1) прямой. Так сделано на рисунке 80.
Тогда 25 минут соответствуют 9 очкам, 40 минут — 8,
а 40 минут плюс пересадка, то есть примерно 50 минут,
дают приблизительно 7.
Рис. 80
150
Можно считать, что неудобства обратно пропор-
циональны времени пребывания в дороге. В этом случае
количество очков будет соответственно пропорциональ-
1 1 1 1 1
но числам 10> 40, 25, 5о> 150'
Для получения 10 баллов при наименьшем из вре-
мен надо умножить эти числа на 100, и мы получим
10, 2—, 4, 2 и — . Округляя, можно записать в таблицу
2 15
ряд 10, 3, 4, 2, 1.
Можно нарисовать любую убывающую кривую, про-
ходящую через те же точки (10,10) и (150,1), например,
ту, что представлена на рисунке 80, и в соответствии
с ней брать число очков.
Но на самом деле 10 минут автобусной давки в ча-
сы «пик» приводят к потерям пуговиц, душевного рав-
новесия или престижа, порой превосходящим потери
от 30 минут в метро, когда имеется возможность не
только спокойно сидеть, но даже повышать свой куль-
турный, а то и научный уровень. Поэтому относитель-
ные размеры потерь от дороги — это не только потери
времени, и они могут выражаться не так просто, как
прямая или обратная пропорциональность. А в табли-
цу надо внести числа, соответствующие личной оценке
заинтересованного лица, ибо таблица в целом и есть
индивидуальная оценка ситуации. Поэтому не будем
спорить с Ягодинцем и сохраним числа в таблице.
Люся определенно не хочет, чтобы Ягодинец перехо-
дил в ИСТОМУ, где она работает; ей самой там не
нравится, и она хочет куда-нибудь перейти. Но нет уве-
ренности, что именно в этом дело. Она высказывается
за ФИКТУС: там более реальны всякие перспективы.
Ее дом близко от ФИКТУСА, и в случае женитьбы жить
у ее родителей будет удобнее. Она также против
НИВЙЗЖИ: ей не хочется уезжать далеко от родите-
лей. Снова в таблице появляются числа.
Аналогично друзья провели рассуждения и оценили
коллективы, с которыми придется работать, возможно-
сти для написания диссертации, перспективы повыше-
ния по службе, возможности для занятий спортом,
шансы на получение квартиры. Эти числа вписаны в
таблицу.
Теперь можно сложить числа в столбцах и получить
количество баллов за каждое из учреждений. Полу-
151
чается, что ФИКТУС и НИВИЗЖИ имеют заметные
преимущества перед другими (см. строчку «Сумма»),
При этом ФИКТУС на одно очко идет впереди НИ-
ВИЗЖИ, и нужно было бы облюбовать ФИКТУС.
Но следует учесть еще одно важное соображение.
Не все десять пунктов таблицы имеют для Ягодинца
одинаковое значение. Например, перспективы повыше-
ния по служебной лестнице сейчас, при переходе с од-
ной работы на другую, имеют для него значительно
меньший вес, чем содержание текущей работы или ре-
шение жилищного вопроса. Поэтому для различных
пунктов таблицы нужно ввести еще какие-то коэффи-
циенты — назовем их весовыми коэффициентами. Эти
коэффициенты можно было бы оценивать также по
10-балльной системе, но можно важность каждого пока-
зателя указать и в процентах. В нашей таблице так
и сделано. Чтобы не иметь дело с дробями, записанные
в последнем столбце проценты взяты от сотни; они и
служат весовыми коэффициентами.
Их выбор носит субъективный характер и довольно
очевиден. Сомнения вызывает лишь коэффициент, от-
ражающий мнение Люси. Но Ягодинец не придает ее
мнению большого значения, так как, во-первых, вопрос
о женитьбе еще не решен и, во-вторых, даже в случае
положительного решения перед будущим супругом
встанет во весь рост мрачная перспектива осуждать
фикусы, ахать на кактусы и удовольствоваться беседой
с родственниками за завтраком из сандвича с чашеч-
кой кофе вместо глубокой тарелки каши с сардельками.
Таким образом, критерий качества различных ва-
риантов нового места работы К представляется не
просто в виде суммы Xi + х2 + ... 4- хю, а в виде взве-
шенной суммы
К = П1Х1 + а2х2 + ... + аюХю.
В частности, для назначенных инженером коэффи-
циентов, а они отражают степень его заинтересованно-
сти в соответствующих показателях, этот критерий
имеет вид
/< = /5X1 + 12х2 + 12хз + 10х4 + 10хъ + Sxc + /5х7 +
+ Sx8 + 5х9 + 5хю.
Результаты подсчетов приведены в последней строке
таблицы. Здесь по-прежнему видно, что по выбранному
критерию ФИКТУС и НИВИЗЖИ имеют значительное
152
превосходство по сравнению с остальными. Но теперь
НИВИЗЖИ имеет заметное преимущество перед ФИК-
ТУСОМ, примерно на 15 процентов.
После короткого обсуждения с другом-кибернетиком
Ягодинец принимает решение переходить в НИВИЗЖИ.
Путь рассуждений для построения такого критерия
качества во многих задачах может быть аналогичен.
Если какие-либо качественные показатели могут быть
объективно измерены, как, например, зарплата, то их
следует использовать. Если же оценка показателей
субъективна, то можно воспользоваться советом экспер-
та или оценкой заинтересованного лица. Скажем, при
выборе критерия качества первичной нефтепереработки
можно за критерий принять прибыль, получаемую за-
водом. Различные фракции, получаемые при переработ-
ке нефти: бензин разных марок, газолин, реактивное
топливо, кокс и т. д. — служат показателями, а весовые
коэффициенты — это продажные цены соответствующих
фракций. Кроме того, должны быть учтены затраты на
сырье, электроэнергию, топливо, зарплату обслуживаю-
щему персоналу и другие расходы. Следует, однако,
заметить, что и при таком, казалось бы, ясном крите-
рии, как прибыль, возникают значительные трудности.
Различным цехам предприятия может быть выгодно
вести процесс по-разному. Например, одному цеху вы-
годно ориентировать свою работу на производство лег-
ких фракций — при этом процесс идет с мень-
шими потерями, но другому, где происходит дальней-
шая переработка нефти, было бы удобнее получать
меньший процент легких фракций.
Таким образом, то, что наиболее выгодно одному
цеху, может быть и невыгодно другому. Поэтому у ди-
рекции завода возникает проблема согласования инте-
ресов различных цехов.
Если составить критерий оптимизации для завода
в целом (пусть это будет прибыль), то он может не
отражать интересов министерства, которому подчинен
завод. Это может происходить по разным причинам.
Скажем, при оптимизации прибыли завод будет
увеличивать производство бензина, а министерству
нужно значительное количество тяжелых нефтепродук-
тов, идущих на дальнейшую переработку на соседних
нефтехимических заводах.
Критерий оптимизации, задаваемый министерством,
153
может быть отличным от критерия оптимизации с точки
зрения государства в целом. Государству, например,
следует планировать так работу заводов, чтобы обес-
печить нужными нефтепродуктами все районы страны,
уменьшив до минимума расходы на транспортировку
продукции от заводов до потребителей.
Можно привести еще множество аргументов, ослож-
няющих проблему выбора критерия оптимизации, но не
следует при этом впадать в пессимизм. Оптимизация
работы предприятия по любому разумному критерию
принесет пользу.
Модель
Игрушечный автомобиль — это модель настоящего,
игра в «казаки-разбойники» — модель сражения. Объ-
ект и его модель имеют что-то общее, но никогда они
полностью не совпадают. Фотографии кинозвезды ан-
фас и в профиль — ее различные модели. Они могут
быть небольшими и могут занимать стену дома. Детский
воздушный шар в равной мере может быть моделью
Земли и теннисного мяча; и часто в небесной механике
моделью Земли служит точка, обладающая массой Зем-
ли, — это материальная точка.
Ясно, что теннисный мяч также можно считать мо-
делью воздушного шара. Но будет ли настоящий авто-
мобиль моделью игрушечного? И будет ли кинозвезда
моделью своей рекламной фотографии? Я думаю, что
разумно здесь дать положительный ответ: будут. И вот
почему.
Моделью объекта, процесса или явления мы назы-
ваем другой объект, процесс или явление, имеющие
с исходным какие-то общие черты. Обычно подразуме-
вается, что модель есть упрощенный вариант изучаемого
объекта. Однако не всегда легко вложить точный смысл
в понятие «более простой, чем исходный», поскольку
в действительности все объекты или явления бесконечно
сложны, и их изучение можно проводить с различной
все возрастающей степенью точности.
Модель — понятие взаимное: теннисный мяч можно
считать моделью воздушного шара, в равной мере воз-
душный шар есть модель теннисного мяча. С этой
точки зрения кинозвезда — модель своей фотографии.
154
А настоящий самолет — модель игрушечного, ибо всегда
найдутся свойства у игрушечного самолета, которыми
не обладает настоящий.
Таким образом, когда мы строим модель какого-ли-
бо объекта, то надо четко оговорить, какие именно свой-
ства исходного объекта будут моделироваться.
Моделировать можно не только объекты, но и про-
цессы или явления. Игра на гармошке моделирует
процесс дыхания (вдох-выдох), а игра на органе мо-
делирует многоголосный хор. Приготовление обеда —
это модель многих технологических процессов. Маль-
чишка, скачущий вприпрыжку верхом на палочке, моде-
лирует полет воздушного лайнера.
Моделирование издавна служит большим подспорь-
ем при изучении самых различных явлений. Сейчас оно
применяется повсеместно в технике и все шире вне-
дряется в биологию, психологию, экономику.
На моделях кораблей изучается их остойчивость и
маневренность. Изучение поведения моделей самолетов
в аэродинамической трубе позволяет отрабатывать кон-
струкции самолетов.
При проектировании гидростанций, мостов и других
155
крупных сооружений исследуются их модели, представ-
ляющие собой аналогичные сооружения в уменьшенном
масштабе. Техника судостроения, самолетостроения, ра-
кетостроения насыщена всякими моделями.
Такой вид моделирования относится к области фи-
зического моделирования, широко опирающейся на тео-
рию подобия.
Пилотов, штурманов, космонавтов обучают искусству
вождения на моделях систем управления. Эти модели
уже не являются геометрически подобными; здесь ана-
логичными являются функции соответствующих уст-
ройств.
Принципиально важными оказались модели поведе-
ния. Речь идет о физических моделях — устройствах,
которые, взаимодействуя с внешней средой, воспроизво-
дят процессы, аналогичные целесообразному поведению
живых организмов. Чувствительными элементами таких
моделей, заменяющими органы чувств живых организ-
мов, служат фотоэлементы и микрофоны, электромеха-
нические реле и различные измерительные устройства.
«Клопы», «черепахи», «белки», «мышки» и т. д., создан-
ные или предложенные разными учеными, моделируют
движения, изменяющиеся в связи с различными реак-
циями на свет, прикосновения, звук и др. Среди таких
моделей представляют значительный интерес обучаю-
щиеся модели, например, «мышка», которая учится
двигаться по лабиринту кратчайшим путем. Впослед-
ствии модели подобного рода получили широкое рас-
пространение.
При моделировании функций какого-либо объекта
(живого или неживого) часто используются электрон-
ные или пневматические модели. Их устройство основа-
но на идентичности (одинаковости) математического
описания процессов, происходящих в моделируемом
объекте и в модели. Такие модели находят все более ши-
рокое применение. Но для их использования необходимо
иметь математическое описание изучаемого объекта
или процесса.
Математическая модель
«Прямоугольная площадка для игр обнесена забо-
ром. Длина этой площадки на 15 метров больше ее
156
ширины. Сумма двух длинных сторон — 80 метров. Най-
ти длину всего забора» *.
Жаль, что площадку для игр обнесли забором, но
это бывает. А вот с остальной ситуацией ни мне, ни
моим ближайшим родственникам не приходилось встре-
чаться в реальной жизни. И решать такую бессмыслен-
ную задачу нужно, кажется, в четыре вопроса, причем
сначала их надо научиться придумывать, а затем на-
чисто забыть, как это делается. Весьма сомнительно,
что это оптимальный способ обучения: переучиваться
всегда труднее, чем учиться **. Но все же схема вопро-
сов — это математическое описание ситуации. Я приве-
ду более удобную математическую модель. Обозначим
длину прямоугольника через х и его ширину через у.
Тогда условия задачи нам дают
х = у + 15\ 2х = 80.
А надо найти 2х + 2у.
Ясно, что так решить задачу проще и понятнее:
составление уравнений — удобный способ получения
математического описания или математической модели.
Более общую математическую модель той же ситуации
можно получить, введя буквенные коэффициенты.
Дано: ахх 4- Ьху = С\ и, кроме того, а2х = с2. Тре-
буется найти Ах + By.
Здесь все коэффициенты считаются заданными, но
произвольными числами, и для численного решения за-
дачи нужно лишь подставить числа в окончательную
формулу.
В качестве модели Земли иногда берут материаль-
ную точку с массой Земли. В других случаях моделью
* Н. С. Попова, Дидактический материал по арифметике для
4-го класса восьмилетней школы. Издательство «Просвещение»,
1964, стр. 75.
** Не более рентабельно учить детей писать сначала прототипом
гусиного пера — знаменитым пером № 86. Обычно после каждого
урока дети перемазаны чернилами с головы до ног. При этом учат
писать буквы раздельно, а затем переучивают на слитное письмо и
авторучкой. Несколько лет назад мне рассказывали об эксперимен-
тах в этой области: оказалось, что если сразу учить писать слитно
и авторучкой, то можно сократить срок обучения письму на не-
сколько месяцев. В этом вопросе есть какие-то продвижения: ка-
жется, снято табу с авторучки.
157
Земли служит шар, поверхность которого задается
соотношением х2 + у2 + z2 = R2 (где R примерно ра-
вен 6400 километрам и начало координат помещено
в центре Земли), или геоид (шар, сплюснутый у полю-
сов), поверхность которого задается уравнением более
сложным, чем поверхность сферы.
В зависимости от задачи Землю рассматривают то
как однородный шар, то как твердое тело с переменной
плотностью, то как тело, покрытое жидкостью. Для
каждой ситуации будет своя математическая модель
Земли. Скажем, при изучении морских приливов, конеч-
но, нельзя составить математическое описание без уче-
та того, что огромная часть поверхности Земли покрыта
водой, и без учета сил тяготения Луны.
Второй закон движения Ньютона гласит: произведе-
ние массы тела на ускорение равно сумме действующих
сил. Для простоты рассмотрим лишь движение тела
вдоль прямой. Если т — масса тела, а — ускорение и
F — сумма сил, то математической моделью связи меж-
ду массой тела, его ускорением и действующими силами
будет равенство
т • а = F. (1)
158
Эта математическая модель хорошо описывает физи-
ческие явления, пока скорости, достигнутые телом, не
очень велики. Ведь известно, что пока скорости тел ма-
лы по сравнению со скоростью света, величину массы
этих тел можно считать не зависящей от скорости. Но
когда скорости тел становятся соизмеримыми со ско-
ростью света, то расхождение с опытом получается зна-
чительное и эта математическая модель уже плохо
описывает ситуацию.
Для уточнения модели придется прибегнуть к поня-
тию производной от функции.
Впрочем, читатель, если формулы все еще у вас вы-
зывают зевоту и желание швырнуть книгу в угол, если
вас устраивают скорости ТУ-104 и вы не собираетесь
в межпланетное путешествие хотя бы в качестве бо-
лельщика, если вам безразлична теория относительно-
сти Эйнштейна, то пропустите ближайшие абзацы.
Я не буду подробно вводить понятие производной и
лишь приблизительно поясню символику. Пусть v —
скорость тела. Обозначим символом dv дифференциал
скорости, то есть изменение скорости v тела за весьма
малый промежуток времени dt (dt— дифференциал вре-
мени, тоже единый символ), так что ускорение в момент
t выражается в виде
«(*)=£: (2)
at
Правая часть называется производной скорости по
времени. В обсуждаемом вопросе основную роль играет
количество движения, выражающееся произведением
массы тела на его скорость mv. Тогда упомянутый вы-
ше второй закон Ньютона можно записать в виде
= 5 (3)
dt v
то есть производная количества движения по времени
равна сумме действующих сил.
Если масса т не зависит от величины скорости v, то
d (mv) dv
——-=т— = та, (4)
dt dt v '
и сохраняется прежняя математическая модель (1).
Если же величина скорости близка к скорости света,
159
то в соответствии с теорией относительности Эйнштей-
на масса зависит от скорости:
где /По — масса тела в покое, с — скорость света в пу-
стоте. В этой ситуации в формуле (3) нельзя вынести
массу т за знак производной, ибо масса может изме-
няться со временем, и математической моделью связи
массы, скорости и действующей силы в механике тео-
рии относительности служит формула (3) совместно
с формулой (5).
Если сила F и масса т заданы, а скорость v неиз-
вестна, то формула (3) представляет собой простейшее
дифференциальное уравнение. Впрочем, не пугайтесь,
я не пущусь в опасное путешествие через заросли диф-
ференциального исчисления и тем более дифференциаль-
ных уравнений (то есть уравнений, в которые, кроме
неизвестных функций, входят и их производные). Одна-
ко дифференциальные уравнения являются основной
математической моделью в физике, химии и других об-
ластях знания для самых разнообразных явлений, в ко-
торых приходится учитывать динамику (изменение)
входящих переменных.
Сейчас дифференциальное исчисление изучают лишь
в вузах, да и то далеко не на всех факультетах. Но в
действительности этот математический аппарат значи-
тельно нужнее, проще и понятнее многих разделов ма-
тематики, изучаемых в нашей школе. Что ж, будем
надеяться на новые школьные программы...
События и их модели
«Если все красные вареные раки мертвы и все крас-
ные мертвые раки варены, то следует ли из этого, что
все мертвые вареные раки красны?»
Читатель, конечно, захочет самостоятельно разо-
браться в этой драматической ситуации и, пользуясь
здравым смыслом и элементарной логикой, отве-
тит в течение нескольких минут на поставленный
вопрос.
Но математика на мякине не проведешь: он не за-
160
хочет путаться в похожих словах и затруднять себя
излишним перебором всяких вариантов, в которых мож-
но и завязнуть. Математик воспользуется, например,
алгеброй событий, о которой я вкратце расскажу.
Будем рассматривать совокупности или множества
каких-либо объектов, предметов или элементов. Совер-
шенно безразлично для обсуждаемых вопросов, конечны
или бесконечны эти множества, состоят ли они из ра-
ков, красавиц, возможных путей из точки А в точку В,
игральных карт или точек на плоскости. Важно лишь,
что они состоят из, так сказать, однородных элементов.
Мы будем иметь дело с опытами — мыслимыми
опытами. Состоять они могут в сдаче колоды карт, или
в отборе красавиц на роль манекенщиц Дома моделей,
в проверке того, красные ли раки выбраны из кастрюли,
в выборе путей, длина которых меньше трех километ-
ров, или в указании некоторого множества точек на
плоскости.
Результаты опытов или наблюдений будем называть
событиями. При проверке группы из 10 раков может
оказаться, что красных среди них только три — это со-
бытие. Не менее значительное событие—мизер в пре-
ферансе, о чем вы и известите своих противников
победным криком. Впрочем, сообщение о выпавшем на
вашу долю счастье — это уже другое событие.
Таким образом, будем называть событием всякое
множество исходных элементов — множество элементар-
ных событий.
Вот теперь самое время ввести некоторые операции
над событиями. Если имеются два события — А и В, то с
ними всегда можно связать два новых события, опре-
деленных условиями «имеют место и Л и В» и «имеют
место или Л, или В, или и Л и В». Эти события мы
11 Я. Хургин 161
Рис. 81
будем называть соответственно произведением событий
АВ и суммой событий А + В.
Для иллюстрации будем полагать, что событие
А — это появление точки в области, заштрихованной
вертикально, а событие В — появление точки в обла-
сти, заштрихованной горизонтально. На рисунке 81 про-
изведение событий АВ — это область, заштрихован-
ная сеточкой, а сумма А + В — это вся заштрихован-
ная область, она ограничена жирным внешним кон-
туром.
Сначала кажется неоправданным использование в
каком-то ином смысле хорошо известных привычных
понятий суммы и произведения. Но такие названия
приняты, они в достаточной мере оправданны, и, пора-
ботав немного с множествами, к ним привыкаешь, как
к арифметическим действиям. Впрочем, иногда исполь-
зуют другие термины: выражение «имеет место и Л, и
В» называют «пересечением событий А и В» и обозна-
чают это Ар В, а слова «имеют место или Л, или В.
или и Л и В» называют «объединением событий Л и
В» и обозначают AUB.
Всякая корова — травоядное, но не всякое травояд-
ное — корова. Поэтому событие Л — обнаружить в
саду травоядное — всякий раз осуществляется, когда
происходит событие В — в саду обнаруживается коро-
ва. Обратное неверно: в саду можно обнаружить и
осла — тоже травоядное, так что осуществится собы-
тие А, но событие В — обнаружение коровы — при
этом не произойдет. В подобной ситуации говорят, что
событие В включено в событие Л или что событие В
есть часть события Л,
162
Рис. 82
В случае, когда событие В включено в событие Л, —
это обозначают символом В czA, имеем
А + В = А и АВ — В..
В частности:
А +'Л = А и АА = А,
Рисунок 82 иллюстрирует эту ситуацию. Здесь со-
бытия А и В — попадание точки в соответствующие
области, и область В целиком содержится внутри обла-
сти А.
Это, конечно, противоречит нашим привычным пра-
вилам сложения и умножения, но можно утешаться
тем, что, если бы в алгебре событий не было ничего
нового, я бы не стал об этом рассказывать.
II*
163
В волнующей нас задаче о красных раках обозна-
чим через М множество мертвых раков, В — множе-
ство вареных раков, К — множество красных раков
(здесь по понятным причинам я пользуюсь русскими
буквами).
Красные раки могут быть вареными, но могут быть
и не вареными. На рисунке 83 множество В заштрихо-
вано вертикальными линиями, а множество К — гори-
зонтальными. Множество ВК, заштрихованное верти-
кальными и горизонтальными линиями, соответствует
вареным красным ракам.
Так как по условию все красные вареные раки мерт-
вы, то множество М всех мертвых раков должно содер-
жать внутри себя отмеченное нами множество ВК.
Это можно записать в виде ВК а М. Подобная ситуа-
ция изображена на рисунке 84, где множество М за-
штриховано косыми линиями. Область, заштрихован-
ная всеми штрихами, есть произведение ВКМ, то есть
это вареные, красные, мертвые раки. Область, заштри-
хованная только горизонтальными и косыми линиями,
соответствует красным мертвым, но не вареным ракам.
Такова обедая ситуация. Теперь нам следует учесть
и второе утверждение — «все красные мертвые раки
варены». Следовательно, красных мертвых, но не ва-
реных раков у нас быть не может, то есть область,
заштрихованная только горизонтальными и косыми ли-
ниями, должна быть исключена. В результате вместо
Рис. 84
164
Рис. 85
ситуации, изображенной на рисунке 84, получим карти-
ну рисунка 85.
Эта картина полностью решает нашу задачу. Имен-
но наличие области, заштрихованной лишь вертикаль-
ными и косыми линиями, показывает возможность су-
ществования в описанной ситуации мертвых вареных,
но не красных раков. Поэтому из того, что все красные
вареные раки мертвы и все красные мертвые раки ва-
рены, не следует, что все мертвые вареные раки
красны.
Формально можно было бы это записать так: из
КВ с Л4 и КМ с В следует МВс^К. Коротко и ясно,
не так ли?
Все это показывает, что алгебра событий, часть ко-,
торой была продемонстрирована, дает возможность
строить математическую модель, не только с помощью
привычных представлений элементарной алгебры и
анализа. Замечу, кстати, что рисунки 81—85 — это то-
же модели изучаемых событий; они называются иногда
диаграммами Венна.
Алгебру событий называют также булевой алгеброй
(по имени английского математика XIX века Джорджа
Буля), или символической логикой. Основы современ-
ной теории вероятностей опираются на Булеву алгебру
событий. Но и во многих технических вопросах — на-
пример, при синтезе релейных схем, в теории цифровых
машин и в теории конечных автоматов — так же широ-
ко применяют эту алгебру для построения соответству-
ющих математических моделей.
165
Нужна ли вообще математическая модель?
Можно не сомневаться, что процесс слежения радио-
локатором за ракетой, бурение скважины или процесс
нефтеперегонки значительно проще обыкновенной ходь-
бы. При ходьбе участвуют сотни мышц, миллионы кле-
ток живого организма, да и каждая из участвующих
клеток — это сложнейший организм, математическое
описание жизнедеятельности которого пока не под силу
науке.
В то же время кошки, слоны и даже мы с вами бе-
гаем, питаемся и ласкаем любимых, не пользуясь для
этого предварительно построенной математической мо-
делью. Живые организмы очень экономно и очень точ-
но движутся.
Написав это, я положил авторучку, а затем снова ее
взял. Как же это мне удалось? Каков механизм такого,
казалось бы, простого движения?
Рене Декарт — создатель аналитической геомет-
рии — был не только математиком, но и великим фи-
лософом, натурфилософом, очень интересным, эрудиро-
ванным человеком. Ему, как и нам, хотелось понять
природу, найти объяснение таким удивительным явле-
ниям, как целесообразные движения живых существ.
Рефлекс отдергивания руки на болевое раздражение
Декарт объяснял так: при раздражении в нерве натя-
гивается тросик, открывающий в мозгу соответствую-
щий клапан, и выпускается нервный газ, который идет
166
по трубочке к нужной мышце, наполняет ее, и она со-
кращается.
Такое объяснение кажется сейчас наивным. Но Де-
карт жил в первой половине XVII века, когда не было
известно электричество и, в частности, биологическое
электричество. То была эпоха расцвета часов — про-
стейших механических машин, и поэтому Декарт не
мог придумать того, о чем теперь даже дети читают в
учебниках. Однако модель Декарта — это первая мо-
дель рефлекторной дуги со всеми ее основными эле-
ментами.
В третьей четверти XIX века крупнейший физиолог
М. Сеченов опубликовал работу «Рефлексы головного
мозга». Он предположил, что в основе нервной дея-
тельности человека и животных лежат подобные реф-
лексы. Позже знаменитый И. Павлов и другие замеча-
тельные физиологи изучали рефлексы эксперименталь-
но. И. Павлов ввел и подробно изучил широко извест-
ные условные рефлексы — ответную реакцию на раз-
дражение, вырабатываемую в результате обучения.
Физиологи школы И. Павлова на вопрос о том, как
мне удалось взять рукой авторучку, ответили бы, что в
центральной нервной системе — в моем мозгу — вы-
работался приказ — взять со стола авторучку; этот
приказ по периферической нервной системе был пере-
дан мышцам, они соответствующим образом сократи-
лись или расслабились, и я взял ручку.
Однако с помощью этой модели не удается объяс-
нить многие явления, относящиеся к движениям, и ряд
болезней совсем не укладывается в эту схему.
В 1948 году вышла книга крупного американского
математика Норберта Винера «Кибернетика, или уп-
равление и связь в животном и машине». Появление
этой книги — одно из самых важных научных событий
середины XX века. В частности, здесь Н. Винер пред-
ложил другую модель рефлекторного действия. Еще до
второй мировой войны Н. Винер интересовался общи-
ми методологическими проблемами, объединяющими
различные науки, в том числе общими проблемами фи-
зиологии. Во время второй мировой войны Н. Винеру
пришлось заниматься проблемами радиолокации.
Он увидел глубокую аналогию между слежением за
движущейся целью с помощью радиолокатора и движе-
ниями живых организмов: в обоих случаях необходимо
167
учитывать обратную связь и отрабатывать сигнал
ошибки. Модель Н. Винера выглядит примерно так.
Чтобы взять авторучку, в моем мозгу должен вы-
работаться определенный приказ о цели движения и о
начальных действиях. Далее я действую, двигаясь в
определенном направлении и получая все время сигна-
лы о том, что уже достигнуто. Сравниваю эти дости-
жения с заданием и вырабатываю сигнал рассогласо-
вания, или сигнал ошибки. Задание — взять рукой ав-
торучку — будет выполнено, когда сигнал ошибки
будет сведен к нулю. Поэтому моя задача — добивать-
ся все время уменьшения сигнала ошибки.
Такова схема регулирования по сигналу ошибки.
С помощью модели Н. Винера можно понять многие
явления, ранее не поддававшиеся объяснению.
Следует сказать, что на важнейшую роль обратной
связи при объяснении движений обратил внимание
крупный советский физиолог Николай Александрович
Бернштейн еще в 1928 году. Н. Бернштейн был не
только одним из первых пропагандистов кибернетики
в нашей стране, но был, по существу, одним из ее
создателей.
Среди многочисленных, к сожалению, болезней нерв-
ной системы есть интенционный тремор — болезнь,
часто связанная с повреждением мозжечка. При интен-
ционном треморе больной, пытаясь выполнить созна-
тельное действие — взять авторучку, — проскакивает
рукой мимо цели; рука совершает не поддающиеся с
его стороны контролю колебания со значительным раз-
махом. Такие явления не укладываются в схему реф-
лексов. Но если рассматривать их с точки зрения тео-
рии обратной связи, то непроизвольные качания руки
получают объяснение. В технике автоматического уп-
равления такие же явления встречаются в плохо отра-
ботанных системах автоматического регулирования и
называются перерегулированием.
Казалось, что модель Н. Винера универсальна, тем
более что сейчас, в век автоматики и быстродействую-
щих вычислительных машин, многие представляют себе
~ мозг в виде большой по количеству элементов, хотя и
очень экономно устроенной, универсальной вычисли-
тельной машины.
Однако модель Н. Винера, по-видимому, тоже еще
слишком примитивна. И я расскажу сейчас об одной
168
серии экспериментов, проведенных талантливым совет-
ским физиологом В. Гурфинкелем. Эти эксперименты
относятся к позе стояния человека.
Проделайте, пожалуйста, читатель, следующий про-
стой эксперимент: положите руку так, чтобы локоть
лежал на столе, а раскрытая кисть свободно свисала
со стола, и посмотрите на пальцы. Вы увидите дрожь:
небольшую, но не прекращающуюся ни на секунду. Эта
дрожь называется тремором. Физиологи считали тре-
мор случайными паразитными колебаниями, подобными
шумам в радиоприемнике.
Для изучения позы стоящего человека можно про-
делать серию очень интересных опытов. Вот один из
них. На специальную платформу ставится человек.
Платформа устроена так, что если испытуемый начи-
нает немного покачиваться, то перемещения его центра
тяжести тут же регистрируются. Находящегося на
платформе человека просят стоять спокойно, и он счи-
тает, будто стоит без движения. Но уже давно изве-
стно, что на самом деле его центр тяжести все время
находится в движении. Запись этих движений представ-
ляет собой довольно хаотическую кривую. Однако в
этих на вид совершенно не регулярных колебаниях об-
наруживаются определенные закономерности. Если
подвергнуть такую кривую статистическому анализу, то
обнаруживаются вполне определенные колебания с раз-
личными частотами. Здесь есть колебания с частотой
169
восемь-двенадцать колебаний в секунду и амплитудой
0,1 миллиметра, с частотой одно колебание в секунду и
амплитудой 2—3 миллиметра и есть колебания низко-
частотные — одно колебание в минуту и с амплитудой
до 10 миллиметров.
Такие хаотические колебания нельзя объяснить с
позиций теории обратной связи.
Когда совершаются целенаправленные движения, то
обратная связь нужна для проверки их правильности,
коррекции и, если это требуется, исправления. Но спо-
койно стоящему человеку вроде бы вовсе нет нужды
раскачиваться, и в обратной связи у него нет необхо-
димости.
И все же стоящий человек должен не только стоять,
но и иметь возможность непосредственно из позы стоя-
ния совершить самые разнообразные движения, совер-
шить любой маневр.
У неподвижно стоящего человека имеется очень
много степеней свободы. Кости скелета, охваченные
мускулатурой, и 28 позвонков, каждый из которых име-
ет три степени свободы, дают все вместе более ста сте-
пеней свободы. Они и обеспечивают человеку его вы-
сокую маневренность. Стоящий спокойно человек мо-
170
жет, если нужно, куда угодно шагнуть, в любую сторо-
ну качнуться или подпрыгнуть.
Для такого быстрого перехода из одного положения
в другое должен существовать какой-то специальный
механизм. Он должен держать организм в полной го-
товности к самым разнообразным изменениям позы.
Однажды во время подобных опытов В. Гурфинкель
обнаружил, что приборы не дают никаких показаний.
Проверили платформу и аппаратуру — все было в ис-
правности. Тогда заинтересовались испытуемым. Обна-
ружилось, что на платформе стоял стрелок, и не просто
стрелок, а мастер спорта. Стоя спокойно на платформе,
он совсем не качался или качался так мало, что аппа-
ратура не смогла регистрировать столь незначитель-
ные колебания. Это было неожиданно. И при дальней-
шем изучении тремора стрелков выяснилось, что они
великолепно умеют управлять своим тремором, оста-
навливать его во время прицеливания, изменять в за-
висимости от задачи частотный состав колебаний. Когда
стрелок, стоявший на платформе, прицеливался, то, как
зарегистрировали приборы, амплитуды колебаний его
центра тяжести уменьшались более чем в 10 раз. Зна-
чит, можно сказать, что стрелки целятся не глазами, а
так сказать, ногами или руками, если стреляют лежа.
Теперь можно высказать гипотезу о том специаль-
ном механизме, который дает возможность организму
сохранять любую позу и переходить из одной позы в
другую.
В настоящее время этим механизмом считают тре-
мор — механизм непрерывного поиска. Когда человек
стоит, то тремор служит механизмом поиска положения
равновесия. При стоянии он обеспечивает также воз-
можность быстрого перехода от одной позы к другой,
то есть является механизмом маневренности.
Надо думать, что поиск — один из самых универ-
сальных и совершенных механизмов в живой природе.
Пчела совершает в полете внешне беспорядочные дви-
жения в поисках нектара; собака, двигаясь беспорядоч-
но, ищет след; при осмотре предмета глаз все время
совершает внешне нерегулярные прыжки различной ве-
личины и направления. Именно поиск служит механиз-
мом, позволяющим живым организмам решать много-
численные задачи сохранения позы и перемещения и, в
частности, задачи нахождения экстремума. (Ведь в по-
171
зе стояния центр тяжести должен находиться в наибо-
лее высокой, экстремальной точке, и тремор позволяет
все время находиться вблизи положения равновесия.)
Естествен вопрос: а нельзя ли использовать поиск
для управления в технических системах? Оказывается,
можно, и не без успеха.
Представьте себе, что вам надо темной ночью спу-
ститься с вершины холма. Когда вы поднимались днем,
холм казался ровным, гладким. Теперь же, при спуске
ночью, на нем появились какие-то бугры и рытвины,
грозящие вам ссадинами и ушибами. Израсходовав весь
запас крепких выражений, вы пробуете теперь каждый
шаг. Ногой влево, вправо, вперед, вбок — и вы выби-
раете самый крутой спуск вниз. Шаг делаете малень-
кий, так как при большом можно потерять равновесие.
Это и есть поиск направления, по которому спуск бу-
дет наиболее крутым.
Таким же образом осуществляется поиск минимума
(или максимума) функции — скажем, функции двух
Рис. 86
172
переменных z = f(x,y) или, говоря языком геометрии,
поверхности, подобной представленной на рисунке 86.
Нанесем на горизонтальной плоскости квадратную
сетку, и пусть размер стороны квадратиков будет h.
Перекрестия сетки называются ее узлами. Нам сейчас
придется путешествовать по сетке, и поэтому будем го-
ворить, что сетка имеет шаг /г.
Выберем произвольный узел Qo, и пусть Pq — соот-
ветствующая этому узлу точка на поверхности. Сделаем
последовательно из узла Qo шаги в соседние с ним че-
тыре узла Qi; Q2; Q3; Qi и из четырех- соответствую-
щих точек на поверхности Р0Г, Pq2\ Роз; Л>4 выберем ту,
которая расположена ниже других. Пусть это будет,
например, точка Р02. Сравним ее с исходной точкой Pq.
Если Pq расположена выше Р02, то будем продолжать
поиск более низких точек, совершая шаги в узлы, со-
седние с узлом Q2. Если же Pq расположена ниже Ро?,
а следовательно, ниже всех четырех соседних значений
функции в узлах, то наш поиск окончен. Если у функ-
ции есть минимум, то шаговый процесс поиска приве-
дет нас к минимуму или, говоря более точно, в точку
на поверхности, находящуюся близко к ее минимуму.
Конечно, здесь много тонкостей: погрешность опреде-
ления действительного минимума зависит от величины
шага и вида самой функции. Но не будем себе пор-
тить жизнь пессимистическими замечаниями типа «а что
будет, если?..». Мне хотелось лишь показать, что имеет-
ся методика поиска минимума «на ощупь», без предва-
рительного построения математической модели.
При таком способе поиска минимума знание функ-
ции z = f(x,y) для всех значений х и у не требуется:
нужно лишь уметь находить значения функции в узлах
сетки с шагом h.
Следовательно, даже если мы не имеем математи-
ческой модели, все-таки, используя метод поиска, мож-
но управлять объектом или процессом в режиме, близ-
ком к оптимальному.
Как же построить математическую модель
процесса первичной нефтепереработки?
Теперь мы должны обсудить проблему построения
математической модели технологического процесса пер-
вичной переработки нефти.
173
Все, что происходит в ректификационных колоннах,
теплообменниках, печах и других агрегатах, подчиняет-
ся, конечно, каким-то физическим и химическим зако-
нам. Следовательно, все очень просто: надо написать
все соотношения, основанные на этих законах и связы-
вающие интересующие нас величины, и на бумаге по-
явится наша мечта — математическая модель.
Так же просто, говорит Микеланджело, делается
скульптура: надо взять глыбу и, убрав все лишнее, оста-
вить нужное.
Быть может, вы, читатель, подумали, что я хочу
скомпрометировать науку и заронить в вашу душу со-
мнение в том, что какие-то нужные нам законы приро-
ды еще не открыты? Ничего подобного: основные
законы теории теплоты, термодинамики, газовой дина-
мики, химической кинетики и других наук, необходимые
для составления уравнений процесса, человечеством от-
крыты. Но ведь и законы скульптуры тоже известны, а
изваять даже сапоги великого человека не так-то
просто.
Вспомните разговор с инженером-технологом. Про-
цесс ректификации нефти — разделения нефти на раз-
личные нужные нам компоненты (бензин, газойль, ма-
зут и т. д.) — в самом упрощенном виде описывается
десятками друг с другом связанных переменных ве-
личин.
Учесть все эти величины даже в статике, то есть
174
когда имеет место равновесие, нелегко, а для разра-
ботки алгоритмов оптимального управления нужно
иметь уравнения динамики процесса. В деталях про-
цессы, протекающие в колонне, не известны, и главное
состоит в удачном упрощении этих процессов, с тем
чтобы описывающие их уравнения были бы не очень
сложны, но соответствовали бы процессу достаточно хо-
рошо (в ранее обсужденном нами смысле).
Однако, отбор важных переменных и отбрасывание
мало влияющих на ход процесса — дело тонкое.
С одной стороны, надо не выплеснуть с водой и ребен-
ку, а с другой — сохранение большого числа перемен-
ных может столь усложнить математическую модель,
что с ней будет очень трудно работать. К сожалению, я
не могу с вами поделиться секретом, как это надо де-
лать: иногда путь виден сразу, в других случаях затра-
чивается много сил и времени, а результаты малоуте-
шительны.
Но, кроме того, есть еще одно осложнение: нужно
учесть всякие возможные непредвиденные обстоятель-
ства. То изменился состав сырья — поступающей на
перегонку нефти, — то поднялась или понизилась тем-
пература воздуха, то изменилось давление окружающей
среды. Все такие случайные изменения происходят не-
зависимо от того, как ведется процесс, но их необходи-
мо учитывать и стараться скомпенсировать. Да и вслед-
ствие того, что математическая модель дает лишь при-
ближенное описание течения процесса, всегда будут
какие-то рассогласования, и нужно иметь возможность
все время уточнять и подправлять управляющие воз-
действия.
Таким образом, построение математической модели,
состоящей из каких-то основных уравнений процесса,
не дает еще возможности непосредственно осуществить
оптимальное управление. Надо в математической моде-
ли предусмотреть влияние случая, приготовиться бы-
стро среагировать на непредвиденные изменения, обе-
спечить хорошее управление, несмотря на разнообраз-
ные погрешности, неточности, ошибки.
Для этого нужен другой математический подход, о
котором и пойдет речь.
Вероятно,
вам понравилась
эта книжка?
Если вы, читатель, дочитали до сих пор, и еще не по-
дарили кому-нибудь эту книжку и не заткнули ее во
второй ряд книжного шкафа, где уныло стоят фолиан-
ты и брошюры, которые стыдно выкинуть и лень
продать, то весьма вероятно, вы дочитаете ее до
конца.
Когда супруги собираются идти в гости и он стоит
одетый в коридоре, а она дает предпоследние наставле-
ния дочери и начинает искать нужные бусы, то он скло-
нен считать весьма вероятным опоздание, а она увере-
на в обратном.
В обиходе под вероятностью мы понимаем что-то вро-
де оценки шансов, догадки или предположения. И шан-
сы быть застигнутым врасплох, заразиться скарлати-
ной или опоздать на поезд мы оцениваем крайне субъек-
тивно, в зависимости от своего характера, способностей
и имеющейся в нашем распоряжении информации, от
здравого смысла.
Люди жалуются на плохую память, состояние здо-
ровья или невезение, но никогда не жалуются на свой
здравый смысл. А оценивают шансы одних и тех же
ситуаций совершенно по-разному...
Крупный французский математик Эмиль Борель в
небольшой интересной книжке «Вероятность и досто-
верность» заметил: «Известно, что знание людей заслу-
живает имени Науки в зависимости от того, какую роль
176
играет в-нем число». И в самых разнообразных вопро-
сах естествознания, техники, экономики, социологии воз-
никает необходимость иметь объективную оценку веро-
ятности осуществления тех или иных событий.
Вот несколько примеров.
На Ленинском проспекте в Москве идет бойкая тор-
говля мороженым. Если поставить по одному продавцу
на квартал, то около продавцов будут очереди. Следо-
вательно, часть людей, которым некогда стоять в оче-
реди, мороженое не купит, будут потеряны покупатели,
снизится выручка. Если же поставить по 20 продавцов
на квартал, то продавцы будут простаивать без дела —
покупателей не так уж много. Сколько надо поставить
продавцов? Кроме того, следует учесть возможные ко-
лебания погоды, заметно меняющие спрос на моро-
женое.
Вы покупаете радиопремник, холодильник или ча-
сы. При этом вам выдают гарантию на определенный
срок: год, полтора года, два года и т. д. Что означает
эта гарантия?
Конечно, если испортится через месяц холодильник
12 Я. Хургин
177
или остановятся часы, то их будут в специальной ма-
стерской ремонтировать бесплатно. Но вам не хочется
вовсе ремонтировать: вы израсходовали трудовые сбере-
жения в надежде пользоваться часами. Надев на руки
новые часы «Полет» и изучив гарантийное обязатель-
ство завода-изготовителя, вы считаете маловероятной
порчу часов в течение гарантийного срока. Но все-таки
почему завод назначил гарантийный срок полтора го-
да? И насколько более надежны часы с гарантийным
сроком в два года?
В поликлинике выдают ежедневно около 50 боль-
ничных листов по поводу заболевания гриппом. Однаж-
ды было выдано 72 больничных листа. Следует ли
считать это началом эпидемии гриппа и принимать со-
ответствующие срочные меры или считать это делом
случая?
Подобные проблемы, в которых велико влияние слу-
чая, возникают повсеместно. И часто можно не только
констатировать случайность события, но и оценить ко-
личественно неопределенность осуществления или не-
осуществления этого события. Такую оценку выражают
словами: «Вероятность выпадения герба при подбрасы-
вании симметричной монеты равна V2» или: «Вероят-
ность получить в троллейбусе билет с четным номером
равна V2, а вероятность, что этот номер будет кончать-
ся цифрой 7, равна Vio»*
Эти числа мы получаем, основываясь на представ-
ляющейся очевидной симметрии, на равновозможности
различных исходов. Такой же симметрией обладают
колода игральных карт и игральные кости. Именно с
задач, относящихся к азартным играм, началась тео-
рия вероятностей — наука о случайных явлениях и их
закономерностях.
Как это произошло
Начало теории вероятностей относится к XVII веку,
когда известные многим по другим разделам науки
Паскаль, Гюйгенс, Ферма и особенно Якоб Бернулли *
заложили основы исчисления вероятностей. Хотя они
* Я к о б Бернулли — сподвижник Лейбница в установлении
основ математического анализа. Он, пожалуй, самый известный из
семьи Бернулли — швейцарских ученых, давших миру одинна-
дцать (!) видных математиков.
178
занимались задачами, относящимися к азартным играм,
но, конечно, эти крупные ученые ясно понимали важное
натурфилософское значение теории вероятностей.
Однако ряд задач не получил своего решения, и в
вопросе о том, когда применима схема классической
теории вероятностей, была полная неясность. Вопрос
об условиях применимости той или иной математиче-
ской схемы, математической модели не праздный вопрос,
и неопределенность в основных понятиях теории привела
к драматическим событиям.
В 1812 году знаменитый Лаплас — астроном, физик
и математик — в книге «Опыт философии теории веро-
ятностей» подвел итог успехам теории вероятностей его
времени, поместив в ней и свои фундаментальные ре-
зультаты.
Но наряду с важными математическими результата-
ми и применениями в естественных науках в этом сочи-
нении Лаплас изложил применение теории вероятностей
к «нравственным наукам» — к вероятностям свидетель-
ских показаний, к выборам и решениям собраний, к
оценке справедливости судебных приговоров. Произволь-
ность оценок и невозможность определить объективным
образом вероятность человеческих суждений привели
к обратному эффекту: в середине XIX века к теории
вероятностей всерьез не относились, ее считали своего
рода математическим развлечением.
Понадобился гений русского академика Пафнутия
Львовича Чебышева, чтобы отсеять не относящиеся к
делу вопросы и из теории вероятностей сделать четкую
математическую науку со своей тематикой и своим спе-
цифическим математическим аппаратом. Этим вопро-
сам П. Чебышев посвятил всего четыре статьи, напи-
санные им с большими перерывами в течение периода
с 1845 по 1887 год, но значение их в науке было очень
велико.
Однако хватит истории, вернемся к существу дела.
Случай и случай
Лежать на пляже в Гагре без дела довольно скучно.
Возьмем детское ведерко и набросаем в него гальку.
Можно поспорить, что в ведерке будет, скажем, меньше
100 галек.
Пари как-то занимает мысли и распаляет захирев-
12*
179
шие за зиму страсти, а материал для пари доброкаче-
ственный — событие, состоящее в том, что галек оказа-
лось меньше ста, случайное.
Впрочем, можно поспорить и о том, какая команда
выиграет первенство мира по волейболу. Это тоже слу-
чайное событие. Но между такими двумя событиями —
существенная разница.
Опыт с гальками может быть повторен многократно
и в одинаковых условиях: на расстоянии десятков мет-
ров пляжа количество галек, которыми мы заполняем
ведерко, будет примерно одним и тем же.
Для подобных ситуаций характерна статистическая
устойчивость, отражающая закономерности массовых
явлений.
Выигрыш в волейбол имеет другой характер: игры
на первенство мира не могут быть повторены в тех же
условиях многократно, ибо в будущем году будет дру-
гой состав участников, а те, которые сохранятся, при-
обретут новый опыт, и одни из них будут в лучшей
спортивной форме, а другие — в худшей, игры будут
происходить в другой стране и т. д.
Такие события, хотя тоже случайны (могут произой-
ти, но могут и не произойти, и заранее это предсказать
с достоверностью невозможно), но они статистической
устойчивостью не характеризуются.
Подобные случайные события в теории вероятностей
не изучаются, но начинают занимать умы ученых-мате-
матиков других направлений этой науки. В настоящее
время ситуации, подобные игре в волейбол, войне,
взаимоотношениям между производителями товара и по-
требителями и т. д., начинают интенсивно изучаться.
Но об этом будет речь ниже, а сейчас вернемся к тео-
рии вероятностей, к науке, изучающей случайные явле-
ния массового характера и события, обладающие стати-
стической устойчивостью.
Вероятность
Вам,' конечно, очевидно, что вероятность вытянуть
даму пик из новой, тщательно перемешанной колоды из
52 игральных карт равна V52. Когда в «Пиковой даме»
Герману выпадает «тройка, семерка, туз» — это тоже
случайное событие, и его вероятность нетрудно подсчи-
тать. Хотя Герман играл в малоизвестную сейчас игру
180
«штосс» — на это обратил мое внимание Ю. Шрей-
дер,— я проведу подсчет последовательного выпадения
этих трех карт при хорошо известной игре в «очко».
Вероятность извлечь какую-нибудь тройку (а их в коло-
де четыре) будет 4/б2- Когда тройка уже извлечена, то
осталась 51 карта, так что всевозможных пар карт будет
52-51, а пар, в которых при первом извлечении оказа-
лась тройка, а при извлечении из оставшихся 51 карты
окажется одна из четырех семерок, будет 4 • 4. Следова-
тельно, вероятность в двух последовательных извлече
4*4
ниях получить пару (тройка, семерка) будет -------.
Наконец, из оставшихся 50 карт надо извлечь одие
из четырех тузов. Всех возможных троек карт
будет 52-51-50, а всевозможных нас интересующих
комбинаций (тройка, семерка, туз) будет 4-4-4. Тогда
искомая вероятность желанного сочетания будет
4 4
52 *51
— = 0,00048.
50
Это довольно маленькая вероятность, и понятна ра-
дость игрока, которому выпала такая удача.
Разделим волейбольную площадку на две равные
части. Если вы бросаете наугад мяч на волейбольную
площадку (будем полагать, что мяч обязательно попа-
дет на нее), то вероятность попасть на одну из половин
площадки будет V2, а вероятность попасть в находя-
щуюся на площадке лужу будет равна отношению пло-
щади лужи к площади всей площадки.
. Но как определить вероятность выпадения герба при
подбрасывании несимметричной, например, кривой мо-
неты? Как вычислить вероятность того, что взятая на-
угад галька на пляже в Гагре будет весить менее
20 граммов? Глупо же заниматься взвешиванием по
очереди всех галек на пляже, а затем брать отношение
числа всех галек с весом менее 20 граммов к числу всех
вообще галек на пляже. Это глупо не только вследствие
нереальности такого эксперимента, но и потому, что
совсем не очевидна равновозможность любой гальке
быть выбранной.
Как определить вероятность, что новая лампочка пе-
регорит не ранее чем через 1000 часов горения? Тут со-
всем нельзя проводить повторные эксперименты: после
того как лампочка перегорит, ее придется выбросить.
181
И все же мы исходим из существования определенной
вероятности у перечисленных событий. Вероятность —
это объективная характеристика событий, не зависящая
от нашего отношения к ним. Наличие вероятности у со-
бытий, изучаемых в теории вероятностей, подобно на-
личию массы или скорости у тела: масса или скорость —
величины объективно существующие, они характеризуют
изучаемый объект, но измерить их абсолютно точно мы
не можем. Однако можно указать приближенный спо-
соб их измерения. Так же можно указать приближенный
способ измерения вероятности события.
Для определения вероятности выпадения герба при
подбрасывании кривой монеты мы производим какое-то
число бросаний, допустим п, и подсчитываем, в сколь-
ких случаях из них выпал герб. Пусть их т. Отношение
— , называемое частотой (или частостью) события, и
п
будет приближенной оценкой искомой вероятности.
Таким образом, когда нельзя вычислить вероятность
из каких-либо общих соображений — скажем, типа сим-
метрии или равновозможности исходов, — пользуются
частотной оценкой.
Нас здесь утешает уверенность, что при увеличении
числа опытов (/г) такая оценка будет все более точной.
Хотя это и верно, но смысл такого утверждения следует
еще обсудить.
182
Вы провели эксперимент.
Ну и что?
— Как это, — скажете вы, — ну и что? Проведена
большая работа, получены многочисленные данные.
— Да, это похвально, — скажу я, — и можно все
полученные данные включить в отчет о проделанной ра-
боте. Но все же это лишь половина дела. Теперь надо
еще на основании полученных данных сделать выводы.
А это не так-то просто.
Результатом экспериментов может быть либо каче-
ственное заключение, вроде: «При введении адреналина
повышается кровяное давление», либо количественное
описание ситуации типа: «При введении одного кубика
адреналина пяти кроликам, у четырех поднялось кровя-
ное давление».
В действительности результатом эксперимента всег-
да является некоторая количественная характеристика,
хотя бы число проведенных опытов. В большинстве же
случаев и сам результат эксперимента может быть опи-
сан количественно, хотя и не всегда сразу ясно, как и в
каких единицах следует производить измерения. А вся-
кое количественное описание экспериментов требует ма-
тематической обработки.
Представьте себе геологическую партию, задачей ко-
торой является поиск залежей апатитов. В экспедиции
они находят алмазы, золото и урановые руды, однако
на все это они не обращают внимания, так как поиски
других полезных ископаемых не входят в задачу экспе-
диции. Едва ли можно оправдать их, мягко выражаясь,
расточительство. Но чем отличается от них физиолог,
который проводит огромную и трудную эксперименталь-
ную работу и использует лишь крупицу добытой им
информации?
Вспомните мои разговоры с физиологом. На 17-шлей-
фовом самописце фиксируется, по-видимому, колоссаль-
ная информация о жизнедеятельности кролика, а выво-
ды из многих метров пленки в основном качественные,
вроде: «После введения адреналина кровяное давление
повысилось». Вся остальная полученная информация не
обрабатывается и, следовательно, теряется.
Обработка и осмысление любого экспериментального
материала требует привлечения методов теории веро-
ятностей и математической статистики. Теория вероят-
183
ностей служит теоретической базой математической
статистики. В книгах по теории вероятностей или по
математической статистике говорится, что содержание
математической статистики — это разработка приемов
статистического наблюдения и анализа статистических
данных, результатов экспериментов.
Из данных эксперимента можно сделать весьма раз-
личные выводы, особенно если число экспериментов не
очень велико.
По этому поводу четко высказался знаменитый физик
Нильс Бор: «Когда имеется конечное число эксперимен-
тов и бесконечное количество теорий, то существует
бесконечное же количество теорий, удовлетворяющих
конечному числу экспериментов».
Мне хочется подчеркнуть, что выводы из статисти-
ческих данных надо делать с большой осторожностью:
далеко не всегда ясно, надо ли приписать полученные
данные воле случая или считать подтверждением прове-
ряемой гипотезы.
В то же время желание получить определенный ре-
зультат, в который врач, геолог, химик, а подчас и фи-
зик уже верит, бывает подчас весьма велико. И науч-
ный работник использует экспериментальные данные
лишь для подтверждения своей точки зрения, хотя до-
стоверность данных в значительной степени сомни-
тельна.
Посудите сами, вот один пример.
Для лечения опасной болезни используются два ме-
тода— будем их называть «старый метод» и «новый
метод».
В результате обработки данных за некоторое время
можно составить следующую таблицу:
184
Количе- ство пациентов Умерли Остались в живых % смерт- ных слу- чаев
Старый метод .... 9 6 3 6
Новый метод 11 2 9
Всего 20 8 12
Из таблицы следует, что число смертельных исходов
при новом методе заметно ниже. Но, немного подумав,
мы можем усомниться, достаточно ли обширны получен-
ные из наблюдений данные для того, чтобы дать нам ра-
зумную степень уверенности в вычисленных процентах.
Ведь такое соотношение смертных случаев могло
быть и результатом случайности...
. Представим себе печальную ситуацию, когда на са-
мом деле оба метода одинаково эффективны или вовсе
не эффективны, так что на исход болезни они вовсе
не оказывают влияния.
Будем полагать при этом,
в живых при обоих методах
что вероятность остаться
12
одинакова и равна —
и соответственно вероятность
8
20
. Какова вероятность,
что
смертельного исхода есть
число смертных случаев
при старом методе не выше, чем приведенное в табли-
це, то есть из 11 пациентов, которых лечили по новому
методу, умрет не более двух (то есть либо два, либо
один, либо ни одного)? Эта вероятность будет равна
примерно 725. (С такой вероятностью номер оторванного
вами билета в автобусе делится на 25, то есть две его
последние цифры есть 00, 25, 50 или 75. Если вы после-
дите, то обнаружите довольно часто эту ситуацию, в
среднем — 4 раза из сотни.)
Хотя такие данные в пользу нового метода не сле-
дует отклонять, но я бы не считал их достаточно убеди-
тельными, например, для издания директивного указания
о переходе на новый метод. Однако если бы я заболел
и мне была бы предоставлена возможность выбора ле-
чения и никакой дополнительной информации нельзя
185
было получить, то, возможно, я предпочел бы новый
метод. Но это уже вопрос не из теории вероятностей, а
из другой области науки, о которой еще будет речь.
Следует заметить, что правильным выводам сильно
вредит отбрасывание экспериментатором ряда результа-
тов опыта, которые ему кажутся не соответствующими
условиям опыта, отбрасывание «выпавших» точек. Ча-
сто тут сознательно или подсознательно сказывается же-
лание подтвердить определенную гипотезу, которой ме-
шают эти нежелательные результаты. Конечно, бывают
явные срывы в опыте, но без видимых оснований ника-
кие результаты отбрасывать при обработке нельзя.
Вот что сказал великолепный физик-экспериментатор
академик П. Л. Капица в речи, посвященной памяти
Резерфорда:
«Изучение ядерных процессов при столкновении таит
в себе по сей день одну большую слабость —- это не-
обходимость статистического метода обработки результа-
тов. Хорошо известно, что нужна большая осторожность,
чтобы при ограниченном числе статистических данных
вывести из них общую закономерность. Кто-то, говоря
о применении статистики, как-то сказал: «Существует
три вида лжи: ложь, наглая ложь и статистика»*. Прав-
да, это было сказано о статистике общественных процес-
сов, но до известной степени это может относиться к
применению статистики в физике. Ни в одной области
физики не было сделано столько грубейших ошибок и
ложных открытий, как при обработке статистических
данных, полученных в результате ядерных столкновений.
До сих пор почти ежегодно продолжают происходить
открытия новых частиц, элементов и резонансных уров-
ней, которые потом оказываются ошибочными.
Резерфорд хорошо знал, какая опасность таится в
необъективности интерпретации экспериментальных дан-
ных, имеющих статистический характер, когда ученому
хочется получить желаемый результат. Обработку ста-
тистических данных он проводил очень осторожно; инте-
ресен метод, который он применял. Счет сцинтилляций
проводили обычно студенты, которые не знали, в чем
* Мизес в известной книге «Вероятность и статистика» приводит
такие шуточные слова одного англичанина: «Существует три вида
лжи: во-первых, ложь вынужденная, которая извинительна, ложь
низкая, для которой нет никакого извинения, и статистика» (Я. X.).
186
заключался опыт. Кривые по полученным точкам про-
водили люди, которые не знали, что должно было по-
лучиться. Насколько мне помнится, Резерфорд и его
ученики не сделали ни одного ошибочного открытия, в
то время как их было немало в других лабораториях *.
Поэтому методы математической статистики нужно
применять грамотно и очень четко, и тогда научно обос-
нованные методы обработки результатов наблюдений
станут полезным и повседневно применяемым орудием
в руках любого экспериментатора.
Я говорил, что в физиологии и медицине весьма рас-
точительно относятся к результатам опытов — из них
извлекают весьма малую информацию по сравнению с
той, которую можно было бы извлечь. Это относится
в значительной мере к геологии и геофизике, к химии и
технике. Конечно, далеко не всегда экспериментатор
виноват в том, что не обрабатываются подробно резуль-
таты опытов: для этого нужно не только владеть стати-
стическими методами, но и иметь аппаратуру, на кото-
рой это можно делать.
Расшифровка электроэнцефалограммы или комплекс-
ная интерпретация геофизических данных, замеряемых
в нефтяной скважине, приводит не только к большому
объему вычислений, но и требует сложных алгоритмов
при обработке. Здесь недостаточно русских счетов или
арифмометра, нужны электронная вычислительная тех-
ника, автоматический ввод результатов опыта в быст-
родействующую вычислительную машину и автоматиче-
ское получение результатов в виде таблиц, перфокарт
или кривых.
Но и осмысливание результатов, как и выбор мето-
дики обработки, требует глубокого и беспристрастного
проникновения в изучаемый вопрос. Сами по себе ма-
шины бесполезны, они должны отвечать на поставлен-
ные вопросы, а ставить четко вопрос — это как раз и
есть самое трудное. Не так ли?
Разговор с диссертантом
Ко мне приходит диссертант. Он инженер, имеет
большой практический опыт, провел значительную рабо-
ту по диссертационной теме, собрал материал, осущест-
* Журнал «Новый мир», 1966 год, № 8, стр. 209.
187
вил часть экспериментов. И теперь ему кажется, что их
надо привести в систему, сделать выводы.
Он. Я бы хотел с вами проконсультироваться.
Для изучения прочности труб из различных пласт-
масс я разработал методику и провел ряд экспери- •
ментов. Мне хотелось бы знать, нужно ли еще
проводить опыты или полученных данных до-
статочно.
Я. Для чего достаточно?
Он. Для выводов о прочности при различных
условиях.
Я. Поясните, пожалуйста, подробнее, в чем за-
дача.
Он показывает таблицы, куда сведены данные экс-
периментов. Каждый опыт длился несколько недель.
Проблема заключается в выборе типа наиболее проч-,
ной пластмассы для труб, по которым в производствен-3
ных условиях подают нефть под давлением. Опыт про-*
водят так: в течение определенного времени по трубе
прогоняют нефть, а затем трубу разрывают в специаль-
ной машине, замеряя при этом усилие, требуемое для
разрыва. Остатки труб после опыта, конечно, выбра-
сывают.
Я. Скажите, почему вы опыты вели неодинако-
вое время?
Он. Я разработал методику, дающую возмож-
ность быстро вывести заключение о прочности
труб. Нужно установить зависимость между време-
нем использования трубы под нагрузкой и усилием
разрыва. Эту зависимость я устанавливал на осно-
вании серии опытов на начальном временном уча-
стке— в течение 10 недель,— а затем продолжал
дальше на основании теоретических соображений
о механизме явления.
Я. Но при таком подходе заключение о вели-
чине усилия разрыва через один, два или три года
работы трубы может быть и ошибочным?
Он. Да, но при сравнении различных типов
пластмасс заключение о том, что одна пластмасса
имеет преимущество перед другой, очевидно, мож-
но сделать. Труба может использоваться много ме-
сяцев или лет, но я не могу столько времени
ждать, чтобы сделать заключение о ее качествен-
ных характеристиках.
188
Я, Конечно, хочется скорее защитить диссер-
тацию!
Он, Вы все шутите. Вам, математикам, хорошо:
доказал несколько теорем — и защищайся. А нам
надо набирать экспериментальный материал. На
это уходит много времени.
Я. Да, для выполнения диссертации в короткий
срок теоретические вопросы, если они не очень
сложные, оказываются более удобными. Впрочем,
и в теоретических вопросах можно увязнуть.
. Итак, вам кажется очевидным, что предлагае-
мая методика позволяет выявить наиболее прочный
тип пластмассы. Мне же это пока не очевидно...
Но предположим, ваша гипотеза верна. Через
какие интервалы времени вы проверяете величины
усилий разрыва и сколько труб исследуется одно-
временно?
Он. Приходится брать 20 образцов и отбирать
по 5 штук каждые 2 недели. Испытывать большее
количество сразу я не могу — установка не позво-
ляет.
Я. Так в чем же состоит ваш вопрос?
Он. Такие серии экспериментов проведены с
тремя типами труб. Этого достаточно или нужно
еще проводить?
Я. Скажите, после проведенных опытов ярко
видны преимущества какого-нибудь одного типа
над другими? Например, можете вы утверждать,
что за два месяца эксплуатации у первого (лучше-
го) типа труб величина усилия разрыва упала
лишь на один процент, в то время как у других на
целых 20?
Он. Ну что вы! Взгляните на таблицы. Здесь же
величины примерно одного порядка. Но если су-
дить по средним данным, то, мне кажется, первый
тип пластмассы раза в два лучше. И трубы, изго-
товленные из нее, были бы долговечнее тоже при-
мерно в два раза; а это миллионы рублей эко-
номии.
Я. А сколько стоит проведение эксперимента?
Он. Ну зачем нам лезть в экономику. Давайте
лучше заниматься статистикой.
Я. Представьте себе, что вам надо удалить
желчный пузырь. Имеются два хирурга, которые
189
могут это сделать. Один провел 10 операций, из
них 9 успешно, а другой провел 100 операций, из
них 90 успешно. Какого вы предпочли бы?
Он, Ясно, что второго, но...
Я. А если у второго лишь 85 успешных из 100?
Он. Не знаю. Пожалуй, все-таки второго, у него
опыт побольше.
Я. Избавлю вас от страха за исход операции.
Если имеется два опытных стрелка и один выбил
9 очков из 10, а другой 85 из 100, то кому следует
дать пальму первенства?
Он. Пришел я к вам, дабы получить ответы на
свои вопросы, а вы норовите их задать мне. Это
запрещенный прием.
Я. Да что вы, я просто стараюсь помочь вам
четко задать ваши вопросы. Но раз вам такой путь
не нравится, то попробую ответить на не постав-
ленные вами вопросы.
Вопросов здесь несколько. Давайте их пере-
числим.
Первый вопрос. Сколько надо провести
экспериментов, чтобы быть полностью уверенным,
что полученная средняя величина усилия разрыва
является истинной?
На этот вопрос можно дать точный ответ: беско-
нечное количество.
Он. То есть как — бесконечное?
Я. Дело в том, что каждый эксперимент произ-
водится с ошибкой, ее величина заранее не извест-
на и изменяется она от опыта к опыту. Поэтому,
какое бы мы ни произвели конечное число опытов,
среднее арифметическое полученных значений бу-
дет содержать ошибку. При этом, если опыты про-
изводятся в одинаковых условиях и ошибки слу-
чайны, то погрешность среднего будет уменьшать-
ся при увеличении числа опытов, но она не может
быть сведена к нулю при конечном числе опытов.
Поэтому возникает следующий вопрос.
Второй вопрос. Что можно гарантировать
при 5, или 10, или 1000 опытов?,
Вы испытываете больше доверия к хирургу, у
которого 90 удачных операций из 100, вследствие
его большей опытности (слово-то какое правиль-
ное!). Следовательно, коэффициент доверия к
190
утверждению «У хирурга 90 процентов удачных
операций» будет разный: выше, если это 90 из
100 операций, и ниже, если 9' из 10. Вам небось
интуитивно ясно, что такое коэффициент доверия?
Он. Да, действительно, интуитивно это ясно. Но
как его задать?
Я. Это можно сделать различным образом. Гру-
бо говоря, это та цена, которую надо заплатить за
более надежные данные. Эта цена может быть вы-
ражена количеством необходимых опытов с учетом
их точностей, выражена в рублях, необходимых
для постановки и проведения опытов, или в каких-
либо других единицах.
Вот тут статистика и смыкается с экономикой,
хотя вы и хотели их разделить.
Он. Да, понимаю. Но все же скажите, как мне
поступить?
Я. Об этом речь будет позже. Пока же я хочу
сформулировать вопросы. Вы почему-то брали по
5 образцов через одинаковые интервалы времени.
В то же врейя величина изучаемого вами усилия
разрыва изменяется со временем не линейно, а
скорее убывает по гиперболе или по экспоненте, как
# —где t — время, у — величина усилия,
« — числовой коэффициент. Наиболее ответствен-
ная часть определяемой вами кривой — это на-
чальный период. Поэтому возникает еще один во-
прос.
Третий вопрос. В какие моменты времени
целесообразнее производить опыты и какое коли-
чество труб надо брать каждый раз?
Здесь можно ставить вопрос по-разному: мож-
но считать, что общее количество образцов задано
заранее, также задано время, отводимое на все
опыты. Тогда задача будет заключаться в выборе
моментов времени для испытаний и в определении
количества труб в каждой выборке, которые обеспе-
чивают максимальный коэффициент доверия. Мож-
но ставить задачу иначе: задаться коэффициен-
том доверия и минимизировать общие затраты
на все опыты. Могут быть и другие постановки
задачи.
Он. Вы меня повергли в смятение... Все-таки
как мне поступить?
191
Мы выбрали постановку задачи, был спланирован
эксперимент, и через два месяца получены результа-
ты. Я не буду останавливаться подробнее на этой
работе.
Экспериментатор и статистик
Разговор с диссертантом показывает довольно об-
щую обстановку, в которой оказывается эксперимента-
тор. Разберем теперь немного подробнее затронутые
вопросы.
Экспериментаторы редко обращаются за помощью к
статистикам. Чаще производят обработку результатов
наблюдений сами — «как бог на душу положит». Выво-
ды при этом получаются иногда самые фантастические,
как я уже рассказал выше. Но дело не только
в этом. Результаты эксперимента, их информативность
и значимость при тех же затратах труда и средств в
значительной мере зависят от того, как будет прово-
диться эксперимент: в какие моменты времени произво-
дятся измерения, сколько измерений и в каких точках,
как выбрать значения параметров или воздействий, на-
ходящихся во власти экспериментатора... Можно напи-
сать еще много всяких вопросительных и восклицатель-
ных фраз. Но самое существенное состоит в том, что
математик может подсказать экспериментатору, как вы-
путаться с честью из паутины этих ехидных вопросов.
Как же надо поступить?
Очень просто: нужно привлечь статистика не по
окончании экспериментальной части, а в самом начале
всей работы. Как правило, экспериментатор, придумы-
вая опыт, не заботится о том, как затем извлечь мак-
симум информации об интересующем его явлении.
А статистик именно об этом будет думать. Он должен
спланировать эксперимент, выбрать число необходимых
испытаний, продумать процедуру их проведения, поза-
ботиться о том, чтобы данные экспериментов были полу-
чены в форме, удобной для непосредственной обработки.
Работы у статистика будет по горло. Он будет «мешать»
экспериментатору, требуя от него выполнения разных
кажущихся несущественными условий, но зато после
получения опытных данных их обработка и последую-
щее осмысливание будут проходить быстро и эффек-
тивно.
192
Например, биолог, изучая влияние радиации на бе-
лых мышей, возьмет партию в 30 мышей; из 10 он обра-
зует контрольную группу, а из 20 — экспериментальную.
Эти 20 он разобьет на 5 групп, по 4 особи в каждой.
Четверки и будут подвергаться различным дозам облу-
чения. Как будто все хорошо: есть и эксперименталь-
ные группы и контрольная. Но статистик потребует
перенумеровать всех мышей и затем, не глядя на них
и используя таблицу случайных чисел, укажет, какие
номера отнести в какую группу. Сделает он это с целью
исключить не только сознательный отбор мышей экспе-
риментатором (скажем, более сильных особей для об-
лучения большими дозами), но и бессознательный
(например, по принадлежности особей к одному
помету).
Выбор объектов для эксперимента должен быть со-
вершенно случайным, чтобы даже кажущаяся несуще-
ственной причина не могла привести к ошибочным вы-
водам.
В равной мере это относится и к неодушевленным
предметам. Обсудим для примера организацию контро-
ля качества продукции на заводе радиоламп. Качест-
венным показателем будет срок службы радиоламп.
Если за месяц завод выпустил ламп определенного типа
50 тысяч штук, а предполагаемый срок службы 500 ча-
сов непрерывной работы (то есть более 20 суток), то
возникает серьезная задача: как проверить этот пока-
затель качества всей партии ламп?
Для проверки срока службы радиоламп отбирают
некоторое их число (выборочная группа), ставят на
стенд и держат под накалом более 20 суток подряд.
В течение этого времени вся месячная партия хранится
на заводе. Выпустить ее в продажу еще нельзя. Вдруг
она не будет удовлетворять техническим условиям и
завод не сможет гарантировать потребителю 500 часов
работы? А типов ламп много, склады готовой продук-
ции забиты. Тяжелое положение...
Если пользоваться выборочным контролем, то нуж-
но знать, сколько ламп следует поставить на стенд и
когда считать испытание удовлетворительным.
Лет двадцать назад на одном из заводов я столк-
нулся с этой проблемой. Из месячной партии в несколь-
ко десятков тысяч радиоламп определенного типа отби-
рали 10 ламп и держали на стенде под накалом по
13 Я. Хургин
193
500 часов. Если в течение этого времени ни одна из
10 ламп не выходила из строя, то положение считалось
удовлетворительным и партия принималась. Если же
хотя бы одна лампа выходила из строя — поднимался
шум, выяснялись причины такого большого (!) процен-
та брака, принимались срочные меры для снижения это-
го процента.
В то же время нетрудно вычислить, что при такой
процедуре вероятность отгрузки потребителю весьма
скверной партии довольно большая. Оказывается, если
во всей партии 5 процентов брака, то есть из 100 тысяч
ламп 5 тысяч дефектных, то вероятность извлечь при
случайном выборе все 10 годных ламп равна 0,60.
Это означает, что в среднем 60 партий из 100
будут приниматься как годные, а остальные будут за-
бракованы. Если же продукция содержит 10 процентов
брака, то в среднем при такой процедуре браковки
34 партии из 100 будут приниматься как годные. Едва
ли потребителя может удовлетворить такое низкое ка-
чество.
Плохо, конечно, если потребитель использует такие
ненадежные лампы в домашнем телевизоре или в радио-
194
приемнике. Здесь дело ограничивается крепкими выра-
жениями в адрес завода. А выражения произносятся в
основном дома, и заводское начальство спокойно ездит
на рыбалку. Но когда потребитель — другое предприя-
тие и радиолампы применяются, допустим, в специаль-
ных приборах, где в одном управляющем устройстве
стоят сотни радиоламп, неприятности могут быть очень
серьезными.
Произведем весьма приблизительный подсчет. Если
в используемой нами партии 10 процентов дефектных
ламп и моменты их выхода из строя равномерно рас-
пределены в интервале времени в 500 часов, то вероят-
ность, что наугад взятая из этой партии лампа выйдет
из строя в течение суток, будет примерно 0,005. Пред-
положим, что в управляющем устройстве используется
300 радиоламп. Тогда вероятность события, состоящего
в том, что ни одна из 300 ламп, используемых в нашем
управляющем устройстве, не выйдет из строя в течение
суток, будет равна (1—0,005)300=0,995300 ^0,2. Следо-
вательно, вероятность того, что в течение суток по край-
ней мере одна из 300 ламп выйдет из строя, будет
равна 1—0,2 = 0,8.
Если выход из строя хотя бы одной лампы в аппа-
ратуре управляющего устройства приводит к ошибкам
в работе или полному выходу из строя всего устройст-
ва, то наш подсчет показывает катастрофическую кар-
тину: в среднем лишь двое суток из десяти аппаратура
будет работать без перебоев и поломок! Только само-
убийцы рискнули бы лететь в самолете, управляющая
аппаратура которого работает с такой надежностью!
Вернемся к процедуре отбора ламп для контрольной
проверки на срок службы.
Представим себе, что задача завода — лишь выпол-
нить план, а за качество он не несет серьезной ответ-
ственности. Тогда представители завода сознательно
или бессознательно постараются отбирать на контроль-
ные испытания более надежные лампы. Это в некоторой
мере может быть сделано так: ночные и дневные смены
дают продукцию различного качества — значит, надо
брать лампы, сделанные днем; некоторые операции про-
изводятся вручную — следовательно, на контроль надо
отбирать продукцию, изготовленную более квалифициро-
ванным персоналом.
После такого контроля потребитель будет, вообще
13*
195
говоря, получать еще более скверную продукцию, чем
при беспристрастном отборе 10 ламп.
Конечно, при описанной процедуре для надежности
нужно отбирать на контроль значительно больше, чем
10 ламп. Но здесь вновь возникают организационные
проблемы: типов ламп много, и если из каждой партии
отбирать, скажем, по 1000 ламп и держать их на испы-
тательном стенде по 20 дней, то понадобятся огромные
стендовые помещения, впустую потратится электроэнер-
гия, да и испытанные лампы надо же выкидывать или
хотя бы уценить. А все это ведет к производственным
потерям.
Статистик в этой обстановке потребует такой проце-
дуры отбора продукции на выборочный контроль, при
которой был бы обеспечен беспристрастный выбор. Но
и саму процедуру можно значительно усовершен-
ствовать.
Уже сегодня статистики могут предложить более вы-
годную процедуру принятия решений о годности или
дефектности партии.
Стоп! Обратите внимание на слова, отмеченные кур-
сивом. До сих пор об этом речь шла как бы исподволь.
А теперь скажем в открытую.
Нам нужно принимать решения
Принимать решения приходится каждому из нас и
на каждом шагу. Руководители предприятий, лабора-
торий, цехов, военные начальники, члены правитель-
ства, пионервожатые и звеньевые должны принимать
решения организационного характера. Врач принимает
решение, ставя диагноз, назначая лекарства, останавли-
ваясь на методе лечения или выписывая пациента на
работу. Шофер или летчик принимают решение, выби-
рая маршрут, изменяя его, прибавляя газ или включая
тормоз. Ученый принимает решение, выбрав методику
проведения опыта или доказательства теоремы, а закон-
чив опыт или доказав теорему, принимает решение об
окончании работы.
Направляясь на свидание, во Дворец бракосочета-
ния или в суд, мы предварительно принимаем решение,
которое, к сожалению, не всегда хорошо обдумано.
Впрочем, и в других случаях принимаемые нами реше-
ния недостаточно обоснованы, слабо аргументированы,
196
ненадежны. Этому мешает не только легкомыслие или
недостаток мудрости, но и недостаток информации.
А когда она ненадежна или просто ошибочна, тогда и
приходится принимать «волевое» решение или полагать-
ся на злополучное авось.
Итак, довольно часто решения принимаются в усло-
виях неопределенности. Сами измерения или исследова-
ния служат поводом для эксперимента и последующей
обработки данных весьма редко (если не сказать —
никогда). Каждый научный работник — физик, инже-
нер, врач, селекционер или социолог — ставит экспери-
мент и делает из него выводы при неполной информа-
ции, при участии случая, в условиях неопределенности.
Это решение может носить различный характер: бурить
в данном районе скважину; считать данный район пер-
спективным в смысле нефтеносности; считать стрепто-
мицин эффективным средством лечения при воспалении
легких; принимать партию радиоламп, если среди
50 выбранных не более двух дефектных; считать ско-
рость света в пустоте равной 2,99793 • 1010 см/сек; счи-
тать, что открыта новая элементарная частица; перехо-
дить на новую форму экономического стимулирования
197
предприятий; уменьшить в 5 раз прием на заочные фа-
культеты инженерных вузов.
Чтобы экспериментатор сумел среди возможных ре-
шений выбрать наилучшее или по крайней мере доста-
точно хорошее, он должен знать определенные пра-
вила этого выбора и руководствоваться ими.
Сейчас наука может в некоторых случаях указать
правила, или, как теперь принято говорить, стратегию
для выбора наилучшего (или достаточно хорошего) ре-
шения. В иных обстоятельствах такой стратегии еще
нет, но есть рекомендации, как разумнее ставить вопро-
сы, как строить подходящую математическую модель
ситуации и изучать эту модель.
Ряд областей математики тесно связан с проблема-
ми принятия решений. Это теория игр, теория оптималь-
ного планирования и управления, теория операций и
другие. Но главными из них являются теория вероят-
ностей и математическая статистика.
Математическая статистика не только занимается
разработкой приемов обработки экспериментальных дан-
ных, но разрабатывает методы принятия решений
в условиях неопределенности, причем неопределенности,
характеризующейся статистической устойчивостью.
Следует, конечно, ясно, себе представлять, что приня-
тие решения основывается не только на статистических
соображениях. Вам совсем не все равно, ошибется ли
в 10 случаях из 100 школьник, решающий задачи о пе-
реливании воды в бассейнах, геофизик-интерпретатор,
составляющий заключение о нефтеносности пласта, или
хирург, которому вы вручаете свою жизнь. Мало того,
вам совсем не безразлично, куда поставят ненадежную
радиолампу: в ваш телевизор или в аппаратуру само-
лета, на котором вам предстоит совершить полет. А ве-
роятность выхода из строя этой лампы, скажем, в тече-
ние часа одна и та же!
Таким образом, статистик, указывающий правила
принятия решений, и экспериментатор, пользующийся
этими правилами, должны учитывать последствия своего
решения: при неверном решении могут быть потеряны
время и средства, идущие на эксперимент, нанесен
ущерб обществу и потеряна репутация.
Поэтому никогда не надо жалеть труда на разработ-
ку правил принятия решений в условиях неопределен*
ности.
198
Я говорил о неизбежности принимать решения на
каждом шагу нашей не только научной, но и повседнев-
ной жизни. И вы, читатель, конечно, делаете это не так
уж плохо: в противном случае едва ли у вас были бы
время, место и желание читать эту книжку. Вы пола-
гаетесь при этом на свой здравый смысл и редко под-
водящую вас интуицию. Давайте устроим им небольшую
проверку.
Интуиция: дни рождения
Если день рождения кого-либо из ваших знакомых
совпадает с вашим (пусть даже вам двадцать, а ему
пятьдесят), вы удивляетесь — редкое событие. Я знал
влюбленных, познакомившихся в их общий день
рождения. Сам факт — общий день рождения — ими
рассматривался как предзнаменование! А то, что
они в этот день познакомились, — предзнаменова-
ние вдвойне!
Представьте себе аудиторию, где может поместиться
несколько сот человек, например, слушателей, пришед-
ших на лекцию. Проведем мысленный эксперимент:
опросим всех присутствующих о дате их дня рождения
и отметим те пары, тройки, четверки и т. д., у которых
общий день рождения. Но прежде чем опрашивать,
давайте заключим пари — так будет интереснее. Я пла-
чу вам рубль, если в аудитории не окажется ни одной
пары лиц с общим днем рождения, а вы платите мне
рубль, если хотя бы одна такая пара будет обнару-
жена.
Сколько в аудитории должно быть людей, чтобы на-
ше пари было честным, то есть чтобы шансы на выиг-
рыш у меня и у вас были бы равные? Заметьте, если
в аудитории 367 человек, то хотя бы одна пара лиц с
общим днем рождения будет обнаружена наверняка.
И вы, таким образом, оказываетесь в безнадежном по-
ложении. В самом деле, в году самое большее 366 дней,
и, вообще говоря, может так случиться, что в аудито-
рии найдется 366 лиц, имеющих различные дни рожде-
ния (1 января, 2 января и т. д. вплоть до 31 декабря).
Но уже триста шестьдесят седьмому деться некуда, для
него нет свободного дня, и ему придется с кем-нибудь
из предыдущих 366 поделить счастье праздновать день
рождения.
199
Если же в аудитории всего два человека — вы и я,
то довольно мало шансов нам иметь общий день рож-
дения, так что у меня мало шансов выиграть у вас
рубль.
Прошу вас, проявите силу воли и, не заглядывая на
последующие страницы, ответьте (в течение пяти ми-
нут) на поставленный вопрос. Запомните число, кото-
рое вы назначили.
Конечно, можно получить точный ответ с помощью
несложных вычислений. Для иллюстрации метода решим
более простую задачу.
Напишем слово ШКОЛЬНИК на плотной бумаге,
Рис. 87
разрежем слово на отдельные буквы — квадратики, пе-
ревернем буквами вниз и перемешаем, как при игре
в домино (рис. 87). Будем теперь по воле случая выби-
рать по одной букве и складывать.
Какова вероятность того, что из трех последователь-
но выбранных букв получится слово КОЛ?
Эту вероятность легко подсчитать, если мы примем
гипотезу, что все квадратики с буквами после переме-
шивания имеют одинаковые шансы быть выбранными.
Тогда вероятность того, что первой будет выбрана бук-
ва К, равна, очевидно, 2/8 (на двух из восьми квадрати-
ков написана буква К). Далее, из оставшихся семи
букв вероятность выбрать букву О равна 1/7. Наконец,
вероятность выбрать букву Л из оставшихся шести букв
равна 1/6. Таким образом, вероятность последовательно
составить слово КОЛ равна:
2______1_
8 * 7
= -L- ~ о.ооб.
6 168
Это небольшая вероятность, и, наверное, средн
школьных отметок «КОЛ» встречается чаще.
А теперь вернемся к нашему пари. На лекциях по
теории вероятностей я неоднократно задавал слушате-
лям тот же вопрос. Ответы были разные: 100 человек,
150 человек, 183 человека (это 366:2). Меньше 50 ни-
когда никто не назначал. Затем проводился опрос (он
отнимает мало времени), и в аудитории из 80, 50 и
даже 30 слушателей неизменно оказывалось несколько
пар с общим днем рождения. На слушателей это про-
изводит очень сильное впечатление.
Давайте проведем необходимые вычисления. Мы под-
считаем сначала вероятность противоположного собы-
тия: все п слушателей имеют разные дни рождения.
Для простоты будем считать, что год состоит из
365 дней (то есть пренебрежем более редкой возможно-
стью родиться 29 февраля). Будем полагать, что каждый
из слушателей может родиться в любой из 365 дней и
все эти возможности равновероятны.
У первого слушателя имеется возможность родиться
365
в любой день:-----= 1. Вероятность того, что второй
365
слушатель родится не в тот же день, что и первый, рав-
201
Число человек в комнате Вероятность сов- падения дней рождения по край- ней мере двух человек Приблизительное условие честного пари
5 10 15 20 21 22 23 24 25 ЗС 40 50 60 70 80 90 100 Е5 150 0,027 0,117 0,253 0,411 0,444 0,476 0,507 0,538 0,569 0,706 0,891 0,970 0,994 70:100 80:100 91 :100 103: 100 116:100 132:100 24^:100 819:100 33:1 169:1 1200:1 12000:1 160000:1 33-105 :1 31-10» : 1 45.1014; 1
на -4“ (°дин день из 365 уже занят первым). Вероят-
365
ность того, что третий слушатель родится в другие дни,
чем первый и второй, равна ——-. Далее вычисления
365
очевидны. Вероятность совместного осуществления всех
этих п событий, то есть вероятность того, что никакие
два слушателя из п присутствующих не имеют одного
и того же дня рождения, равна
О = 365 . 364 . 363 ... 365 - (п + 1) ?
365 * 355 * 365 * 365
Вероятность интересующего нас события — хотя бы
одна пара лиц будет иметь общий день рождения —
равна
Р =1—0 .
Если провести теперь вычисления по этим формулам
для ряда значений л, то получатся числа, приведенные
202
во второй колонке таблицы *. В третьей колонке при-
ведены для тех же значений п условия честного пари,
то есть соотношения между ставками участвующих в
споре, при которых их средний выигрыш был бы одина-
ковым. Эта величина равна, как легко подсчитать,
Рп
Из таблицы видно, что ответ на поставленный в на-
чале раздела вопрос будет весьма неожиданным: наше
пари будет честным (приблизительно), если в комнате
будет 23 человека. Тогда вероятность того, что в ауди-
тории не найдется ни одной пары лиц с одинаковым
днем рождения, примерно равна вероятности обнару-
жить хотя бы одну пару лиц с общим днем рождения.
В то же время при 100 присутствующих в зале наше
пари было бы честным, если бы я поставил 3 300 тысяч
рублей против вашего рубля. Вы видите, сколь безна-
дежны были бы ваши надежды выиграть при равных
ставках (рубль на рубль).
Интуиция: везет — не везет
Опоздания, проигрыши, нежелательные встречи, не-
удачные браки, плохая погода и отсутствие клева на
рыбалке отравляют жизнь человечества. Но если погоду
и клев на рыбалке нельзя отнести на свой личный счет,
где фиксируются жизненные неудачи, то нечаянные
опоздания, проигрыши и несчастная любовь — это, ко-
нечно, ваше собственное невезение. Когда кого-либо
считают «везучим» или говорят о наступлении полосы
невезения, то такие слова кажутся сказанными «для
красного словца». Впрочем, если покопаться в памяти,
то небось в вашей жизни периоды невезения действи-
тельно сменялись периодами удач.
Может быть, другие менее яркие ситуации стерлись
в памяти? А может быть, так оно и есть на самом деле?
Не берусь судить, для этого нужно было бы вести мно-
голетние и серьезно поставленные наблюдения. Однако
для азартных игр или для более серьезных задач тео-
рии диффузии вопрос о везении, или, более точно, о со-
* Таблица заимствована из книги Дж. Кемени, Дж. Снелла,
Дж. Томпсона «Введение в конечную математику» (Изд-во ино-
странной литературы, 1963).
203
Число испытаний Число гербов Общее число гербов
0— 1000 54 46 53 55 46 54 41 48 51 53 501
— 2000 48 46 40 53 49 49 48 54 53 45 435
— 3000 43 52 58 51 51 50 52 50 53 49 509
— 4000 58 60 54 55 50 48 47 57 52 55 535
— 5000 48 51 51 49 44 52 50 46 53 41 485
- 6000 49 50 45 52 52 48 47 47 47 51 488
— 7000 45 47 41 51 49 59 50 55 53 50 500
— 8000 53 52 46 52 44 51 48 51 46 54 497
— 9000 45 47 46 52 47 48 59 57 45 48 494
-10000 47 41 51 48 59 51 52 55 39 41 484
0-10000 4979
ответствии наших интуитивных представлений действи-
тельному положению дел, можно исследовать достаточ-
но подробно.
В таблице на этой странице записаны числа
появлений герба при бросании правильной монеты. Каж-
дое двузначное число означает число выпадений герба
в серии из 100 бросаний, а общее число бросаний равно
10 тысячам. В первой колонке указаны номера испыта-
ний, а в последней — число выпавших гербов в соответ-
ствующих сериях из тысячи бросаний. Общее число по-
явления герба при 10 тысячах бросаний оказалось рав-
ным 4979. Такое число, наверное, не вызовет у вас недо-
верия: похоже, что монета действительно правильная.
Вглядитесь теперь в таблицу. После более или менее
пристального разглядывания вы можете мне задать все
тот же вопрос: «Ну и что?» Я хотел бы предложить вам
сыграть в «орлянку». Пригласите вашего приятеля или
приятельницу, если выигрыш у нее может вас порадо-
вать чем-нибудь, кроме разменной монеты, и достаньте
из кармана первую попавшуюся монету. Лучше подбра-
сывать монету большого размера — 5 или 50 копеек
или даже юбилейный рубль. Вы (или ваш партнер)
начните монету подбрасывать и проделайте это мно-
204
го раз. Удобно полагать, что подбрасывания происходят
через равные интервалы времени. Если выпадает герб —
вы выигрываете, и партнер платит вам одну копейку,
если решка — партнер выигрывает, и вы платите ему
одну копейку.
Не подумайте, что я толкаю вас на тернистый путь
азартных игр. Я сознательно предложил такую малень-
кую ставку, чтобы вы могли играть долго, не боясь
разорения, и переживания при проигрыше или выигры-
ше не заслонили бы научную сторону вопроса.
Ясное дело, выпадение герба и решки будет как-то
нерегулярно чередоваться. Но вас интересует не то,
какая сторона монеты выпала при определенном броса-
нии, скажем, при двухсотом, а какова сумма вашего
выигрыша или проигрыша за все время игры до данно-
го момента. Об этом суммарном выигрыше, а не о вы-
игрыше при каком-то очередном подбрасывании, я и
буду вести речь.
Представьте себе, что монету бросает ваш партнер
200 раз подряд и за это время вы ни разу не были
в выигрыше (по сумме очков). Будете ли вы считать,
что вам просто не везет, или будете подозревать парт-
нера в мошенничестве? Впрочем, если честность партне-
ра вне подозрений, то, может быть, следует объяснить
такую жестокую несправедливость несимметрией монеты
и сменить ее?
Может быть, вам покажется, что 200 бросаний —
это слишком маленькое число для разговора о неспра-
ведливости?
Настроение у вас скверное. Все же вы продолжаете
игру, хотя и полны подозрений. Но вот монета под-
брошена уже тысячу раз, а вы все еще ни разу не
были в выигрыше по сумме очков. Как вы оцените си-
туацию?
Кажется, вы уже начали подозревать партнера. Про-
стите, но что служит поводом для ваших подозрений?
Если монета симметрична и партнер не жульничает, то
при каждом бросании монета имеет равные шансы вы-
пасть гербом или решкой. Здравый смысл вам подска-
зывает, что при достаточно длинной серии таких под-
брасываний каждый из партнеров будет в выигрыше
примерно половину всего времени.
Убедительно, но... совершенно неверно!
Назовем, для краткости, лидером игрока, находяще-
205
гося в данный момент в выигрыше (по сумме очков).
Оказывается лидерство в игре меняется значительно ре-
же, чем подсказывает интуиция. Как бы длинны нь
были серии бросаний, вероятнее всего, что смены ли-
дерства вообще не будет; одна смена лидерства более
вероятна, чем две; а две смены вероятнее, чем три,
и т. д.
Традиционный следователь (или психолог) должен
был бы квалифицировать большинство игроков как жу-
ликов, а большинство монет считать неправильными.
Однако если взять тысячу монет и каждую подбрасы-
вать 10 тысяч раз, то большинство из тысячи монет
будут себя вести таким образом, что один из играющих
окажется почти все время в выигрыше. Лишь для не-
многих монет перемены лидерства будут про-
исходить так, как мы этого ожидаем от правильной
монеты.
Для наглядности изобразим игру в виде графика.
На горизонтальной оси отложим моменты времени,
в которые происходят бросания, а на вертикалях в этих
точках — суммарный выигрыш. Если все это изобра-
жать на клетчатой бумаге, то игра представится лома-
ной линией, где ординаты узлов квадратной сетки оз-
Рис. 88
начают суммарный выигрыш при соответствующем но-
мере бросания. На рисунке 88 представлен типичный
график подобной игры.
Различные такие графики будут возможными исхо-
дами игры. При нашей игре изменению лидерства всегда
предшествует ничья, то есть ситуация, когда сумма вы-
игрышей обоих игроков равна нулю. Впрочем, за ничьей
не всегда следует перемена лидерства, это происходит
лишь с вероятностью, равной половине.
Вы, конечно, согласитесь с таким естественным ут-
верждением: при подбрасывании монеты через равные
промежутки времени за два дня игры будет в 2 раза
больше ничьих, чем за один день.
Но и это не так!
Оказывается, число ничьих возрастает как корень
квадратный из времени. В это, конечно, трудно пове-
рить. Но, может быть, вас убедят количественные дан-
ные? Мне придется воспользоваться характеристикой
распределения вероятностей, называемой медианой.
Вы помните медиану в треугольнике? Это линия,
делящая противоположную сторону пополам. Так же и
в теории вероятностей медиана (обозначаемая Me) —
это число, делящее распределение вероятностей попо-
лам (вероятность того, что случайная величина примет
значение меньше Me, равна половине так же, как и ве-
роятность принять значение больше Me, тоже равна
половине).
В задаче о совпадении дней рождения я как раз
спрашивал вас о том, какова медиана числа лиц, среди
которых хотя бы одна пара имеет общий день рожде-
ния. Напомню: оказалось, что эта медиана равна при-
мерно 23.
Вычисление показывает, что медиана числа ничьих
при 10 тысячах бросаний равна 67, но при одном мил-
лионе бросаний она становится равной 674, то есть воз-
растает лишь в 10 раз, а не в 100 раз, как вы ожидали
в соответствии со «здравым смыслом».
Для подтверждения этих результатов, столь противо-
речащих нашей интуиции, приведу экспериментальные
результаты. Они заимствованы, как, впрочем, и почти
весь фактический материал этого раздела, из велико-
лепной книги В. Феллера «Введение в теорию вероят-
ностей и ее приложения».
Вернемся на минуту к таблице, помещенной в на-
207
чале раздела и вызвавшей законный вопрос: «Ну и
что?» Эта.таблица составлена в результате реально
осуществленного эксперимента.
Для подбрасывания монеты 10 тысяч раз надо за-
тратить часов десять-пятнадцать. Конечно, крупный
математик Вилли Феллер — наш современник — не
тратил эти часы на подбрасывание монеты, как это
делал Бюффон в XVIII веке. Вместо подбрасывания мо-
неты можно осуществить любой другой опыт с двумя
равновероятными исходами. Такие эксперименты очень
легко провести на быстродействующей вычислительной
машине, где вместо герба и решки будут появляться
равновероятно 0 и 1. На подобный эксперимент с 10 ты-
сячами «бросаний» надо затратить менее минуты ма-
шинного времени, то есть времени работы вычислитель-
ной машины, затрачиваемого на соответствующие ариф-
метические и логические действия. Результаты одного
из подобных экспериментов ниже приводятся. Но я буду
по-прежнему говорить о монете, суммарном выигрыше
и проигрыше и перемене лидерства.
В эксперименте, результаты которого сведены в таб-
лицу, имела место следующая картина перемен лидер-
ства:
Первый игрок был лидером Второй игрок был лидером
Первые 7804 бросания Следующие 2 бросания Следующие 30 бросаний Следующие 48 бросаний Следующие 2046 бросаний Следующие 8 бросаний Следующие 54 бросания Следующие 2 бросания Следующие 6 бросаний •
Всего за десять тысяч бросаний первый игрок
был лидером при 9930 бросаниях, а второй — всего
при 70.
Как видите, первому игроку «невероятно везло».
Однако такая картина не исключение, а скорее правило.
В среднем один такой же эксперимент из десяти приве-
дет к результатам, при которых один из игроков будет
208
100
в еще более скверном положении, чем был сейчас вто-
рой игрок.
На рисунке 89 представлен график аналогичного
эксперимента. По горизонтальной оси отложены номера
бросаний, а по вертикальной — суммарный выигрыш
первого игрока. Ясно, что отрицательный выигрыш —
это проигрыш первого и, следовательно, выигрыш вто-
рого игрока. На графике имеется 142 ничьих, из кото-
рых лишь 78 представляют действительное изменение
лидерства. В ранее описанном эксперименте было 14
ничейных положений, из которых 8 привели к смене
лидерства. Оказывается, что при 10 тысячах броса-
ний вероятность более чем 140 ничьих равна 0,157, а
вероятность того, что будет менее 15 ничьих,
равна 0,115.
Заметьте, как все эти результаты противоречат на-
шей интуиции! Не знаю, утешит ли это вас, но похоже,
что периоды «невезения», сменяемые периодами «везе-
ния», — это не из ряда вон выходящее явление, а ско-
рее, закономерность.
Вот еще один пример, когда интуиция подводит.
Восемнадцатилетние девушки обычно уже не против
14 Я. Хургин
209
того, чтобы выйти замуж. Во всяком случае, Эльвира
весьма ревниво оценивает шансы своих подруг. И ей
не так уж важен сам факт собственного замужества,
как велики страдания ее женского самолюбия, когда
«другие выходят, а она еще нет...». Можно посочувство-
вать девушке, но на самом деле никакого невезения
нет, и все закономерно. Математическая модель ситуа-
ции предполагает справедливость: во-первых, браки
одних девушек не влияют на браки других, и шансы
выйти замуж для всех однолеток равны; во-вторых,
величины времени ожидания этого столь важного собы-
тия, то есть времени, истекшего от восемнадцати
лет до дня бракосочетания, — это случайные ве-
личины, имеющие одинаковое вероятностное распре-
деление.
Итак, девушек на выданье очень много, и без боль-
шого греха будем считать, что их даже бесконечно мно-
го. Предположим, что (n—1) из них уже вышли замуж,
но, наконец, вышла замуж и Эльвира, заняв, таким об-
разом, в ряду подруг дг-е место.
Не очень хитрые рассуждения и подсчеты показы-
вают, что вероятность этого события есть -------, а
п(п + \)
это означает, что среднее время ожидания для нашей
Эльвиры равно бесконечности. Поэтому следует считать
большим везением, ежели Эльвира выйдет замуж пя-
той, сотой или десятитысячной, а не сетовать на неве-
зение, когда в очередную субботу не она идет во Дво-
рец бракосочетаний.
Блужцание
Около трехсот лет назад голландский торговец ма-
нуфактурой Антони ван Левенгук, самодовольный не-
вежда, но крайне любознательный и настойчивый чело-
век, увидел жизнь через линзы созданных им самим
микроскопов. В дождевой воде плавали и играли ма-
ленькие животные, в сто раз меньше любого существа,
видимого простым глазом! — так пишет Поль де Крайф
в знаменитой книге «Охотники за микробами».
Через полтораста лет после невероятного открытия
Левенгука английский ботаник Роберт Броун разгляди-
210
вал жизнь через окуляр уже достаточно совершенного
микроскопа. Он обратил внимание на беспорядочные
скачки и пляску мельчайших частичек цветочной пыль-
цы. Броун был грамотен и сведущ: он понимал, что
наблюдает движения не живых существ, а плавающих
в воде соринок. Впрочем, Броун не удовлетворился об-
щими рассуждениями. Для доказательства обнаружен-
ного им факта необъяснимых движений соринок он
изучил поведение взвешенных в жидкости частиц огром-
ного числа веществ и предметов, среди которых был
даже обломок сфинкса. Разыскав кусочек кварца,
внутри которого была заполненная водою полость, и
сунув его под микроскоп, он увидел и в полости хао-
тические движения взвешенных в воде частичек. Вода
попала туда, наверное, очень давно, но соринки про-
должали свою пляску. Это было в 1827 году.
Объяснение беспорядочных движений мелких части-
чек в жидкости далось нелегко.
Универсальность эффекта произвела на Броуна
весьма большое впечатление, и он предположил, что
открыл некую элементарную форму жизни, присущую
как органической, так и неорганической материи.
В конце XIX века последовательно были отвергнуты
гипотезы о том, что природа броуновского движения
связана с какой-то электрической силой, испарением
жидкости, механическими ударами. Броуновское движе-
ние неизменно обнаруживалось после пребывания об-
разца в течение недели в полной темноте или после на-
гревания в течение многих часов.
В конце концов стало ясно: само явление — броу-
новское движение — имеет фундаментальное значение.
Из описанных опытов сейчас делают естественный
вывод: причина явления заключается в беспорядочной
бомбардировке частиц молекулами окружающей жид-
кости. Но для четкого и однозначного анализа этой
проблемы понадобился гений Эйнштейна.
Попробуем разобраться в некоторых вопросах, от-
носящихся к броуновскому движению. Мы уже знаем,
как подступиться к такой задаче: надо построить удоб-
ную модель явления, а затем и математическую модель.
Взвешенная в жидкости частица со всех сторон под-
вергается ударам молекул жидкости. Сила ударов раз-
лична — молекулы движутся с разными скоростями,
удары сыплются со всех сторон — направления слу-
14*
211
чайны, и шансы получить удары справа или слева, сни-
зу или сверху одинаковы. Количество соударений час-
тицы с молекулами велико, это величина порядка 1014
в секунду. Впрочем, при построении модели явления
абсолютные величины числа соударений и скоростей мо-
лекул несущественны.
Попробуем определить, насколько меняется положе-
ние прыгающей частицы за время, во много раз боль-
шее, чем промежуток между двумя ударами.
Мы построим сейчас модель этого явления. Будем
считать: во-первых, скорости молекул одинаковыми по
величине; во-вторых, будем полагать, что удары про-
исходят через равные интервалы времени (если про-
исходит примерно 1014 ударов в секунду, то примем,
что удары происходят через время т=10'14 секунды;
в качестве масштабного возьмем интервал времени
между двумя последовательными ударами); в-третьих,
будем считать, что движущаяся в жидкости частица
имеет форму шарика.
Равновозможность различных направлений движе-
ния молекул означает следующее: если на поверхности
шарика выделить две области одинаковой площади (но
не обязательно одинаковой формы!), то вероятности
попадания любой молекулы в каждую из площадок
будут одинаковы. Сама же вероятность попадания мо-
лекулы в любую выделенную область равна отноше-
нию площади этой области ко всей площади поверхнос-
ти шарика. Такое распределение направлений ударов
называется равномерным.
Кроме того, будем полагать, что попадания различ-
ных молекул в любые неперекрывающиеся площадки —
это события независимые.
При этих предположениях каждый последующий шаг
частицы не зависит от предыдущего, и шаги равны по
величине, хотя направления их случайны и равномерно
распределены.
Перейдем от трехмерной модели к двумерной. Пове-
дение частицы на плоскости аналогично поведению
пьяного человека на городской площади. Он плохо дер-
жится на ногах и каждый шаг делает куда-то в сто-
рону, случайно, с равными шансами в любом направ-
лении. При этом направление последующего шага со-
вершенно не зависит от предыдущих. Такого человека
будем называть абсолютно пьяным.
212
Где же он окажется спустя некоторое время?
Конечно, ни он, ни мы этого не знаем, и предсказать
это невозможно.
Впрочем, при хорошо организованной службе охра-
ны общественного порядка он окажется в вытрезвите-
ле. Но не будем поддаваться соблазну отвлечься от
прямого ответа на вопрос; абсолютно пьяный — это
модель броуновской частицы. Мы бы могли его заме-
нить блохой, прыгающей в большом пустом зале, где
ничто не может особенным образом привлечь ее вни-
мания.
Абсолютно пьяный человек способен через п шагов
куда-то переместиться, и можно оценить, далеко ли он
уйдет от того места, в котором мы его обнаружили
сначала. Расстояние рп (см. рис. 90) между на-
чальной точкой Ро и конечной точкой Рп его пути
(за п шагов) будет, конечно, случайным. Но какова
средняя величина этого расстояния рп?
Величину можно вычислить, основываясь на ис-
ходных предположениях. Но прежде чем указать эту
величину, мне хочется еще упростить модель (здесь яс-
но, что значит упростить модель — уменьшить число
координат или степеней свободы).
213
Представим себе того же пьяного в узком коридоре,
где он может двигаться лишь туда-сюда. А поведение
его все то же: он делает каждый шаг независимо от
предыдущих и с равной вероятностью шагает вперед и
назад. Шаги его по величине одинаковы, и если вели-
чина шага равна /, то после каждого шага он удаляет-
ся от начальной точки (или приближается к ней) на
величину ±/ с вероятностью V2 (см. рис. 91).
Нас по-прежнему интересует, как далеко удалится
пьяный за п шагов. Пьяный в коридоре — это модель
одномерного случайного блуждания частицы; в то вре-
мя как движение пьяного на площади — модель дву-
мерного случайного блуждания; а броуновское движе-
ние соринки в жидкости — трехмерное случайное блуж-
дание.
Одномерная модель случайного блуждания путем
перефразировки немедленно сводится к модели игры в
«орлянку», которую мы недавно обсуждали. В самом
деле, если вы будете подбрасывать симметричную мо-
нету через равные интервалы времени и ваш партнер
Рис. 91
платит вам / копеек в случае выпадения герба, а вы
ему платите / копеек при выпадении решки, то сумма
вашего выигрыша после п бросаний будет равна разно-
сти числа гербов и решек, умноженной на I. Численно
она в точности равна величине расстояния, на которое
удалится пьяный за п шагов, так что это расстояние
равно величине разности числа шагов влево и вправо,
умноженной на величину шага.
Вы, наверное, еще помните недоумение, которое ис-
пытали, читая предыдущий раздел, когда обсуждался
вопрос о величине периода лидерства или о количе-
стве ничьих при игре в «орлянку». Подобные резуль-
таты мы получим и сейчас.
Так как вероятности шагов вперед и назад одина-
ковы и шаги независимы, то в среднем будет одинако-
вое количество шагов вперед и назад; и следовательно,
среднее значение расстояния, на которое удалится пья-
ный при блуждании по коридору, равно 0: в среднем
абсолютно пьяный человек останется на месте.
Поясню, что же это означает. Проследим за боль-
шим числом таким же образом блуждающих частиц.
Для каждой из них зарегистрируем положение, в кото-
ром она окажется через одно и то же число п шагов,
например, через 127 шагов. Это я написал, чтобы под-
черкнуть: сейчас число шагов фиксировано. Среди по-
лученных чисел будут как положительные, так и отри-
цательные. Но средняя величина этих чисел (то есть
величина, равная их сумме, поделенной на количество
частиц) будет близка к нулю. Математик скажет: сред-
нее значение (или, как принято в теории вероятностей,
математическое ожидание) величины расстояния, прой-
денного частицей за п шагов, равно нулю. Но нас интере-
сует оценка возможных отклонений этих расстояний от
среднего значения.
В терминах игры в «орлянку» те же самые утверж-
дения звучат так: математическое ожидание выигрыша
каждого из игроков при безобидной игре равно нулю.
Но нас интересует оценка величины возможных выиг-
рышей.
Обозначим через по-прежнему расстояние между
начальным положением частицы и ее положением на
n-м шаге. Можно было бы заняться изучением абсо-
лютного значения величины (или, иначе говоря, ве-
личины выигрыша все равно какого из игроков). Но
215
при вычислениях удобнее пользоваться другой положи-
тельной величиной — квадратом пройденного расстоя-
ния р2 (квадратом выигрыша).
Математическое ожидание величины квадрата прой-
денного расстояния (то есть среднее значение этой ве-
личины при наблюдении за большим количеством блуж-
дающих частиц) обозначим через R2. Это уже не слу-
чайная, а обычная, как говорят, детерминированная ве-
личина.
Оказывается, что R2n — величина, имеющая размер-
ность квадрата расстояния, — пропорциональна квад-
рату длины шага /2. Далее очевидно, величина /?2 за-
висит от числа шагов п, и на первой взгляд кажется,
что рна должна быть пропорциональна п2. . Однако
можно показать, пользуясь независимостью шагов
(или независимостью исходов при последовательных
бросаниях монеты), что на самом деле R2 пропорцио-
нальна первой степени п, и выражение выглядит так
R2 — ti*l2.
Если за единицу времени совершается k скачков ве-
личины ±/, то среднее значение уклонения частицы от
начального положения за время t будет пропор-
ционально времени:
/?2 = ^/2.
Размерность этой величины — квадрат расстояния,
а нам, конечно, удобнее измерять расстояние в линей-
ных мерах (в сантиметрах, а не в сантиметрах в квад-
рате). Соответствующая типичная величина уклонения
частицы за п шагов будет равна
Аналогично типичная величина уклонения частицы
за время t будет равна
R^VR^lVkt.
Пропорциональность уклонения частицы квадратно-
му корню из числа шагов V п (или 0 (а не числу
шагов п) является фундаментальной при исследовании
подобных статистических явлений. Оценивая возмож-
216
ный выигрыш при игре в «орлянку», можно сказать,
что типичная величина выигрыша (или проигрыша^
при п бросаниях монеты будет пропорциональна V п.
Как вы помните, количество ничьих также возрас-
тало пропорционально ]/~п.
Модель случайного блуждания имеет многочислен-
ные интерпретации. Когда автомобили покидают центр
большого города в конце рабочего дня, выбор пути каж-
дым автомобилистом можно считать случайным.
Впрочем, вы, вероятно, обиделись бы гипотезе о слу-
чайности вашего продвижения по жизненному пути, ги-
потезе о близости этого движения к «случайному блуж-
данию». Однако мы с вами ведем речь о движении
других людей и не будем возражать против предлагае-
мой математической модели, тем более что люди эти
не встретятся на нашем пути.
Такая парадоксальность — дань людскому тщесла-
вию. Оно живо проявляется, например, в достаточно
бессодержательной полемике о том, может ли машина
мыслить. Не привыкшие к математическому мышлению
лица до хрипоты отстаивают преимущественное право
людей на мышление, не давая себе труда четко сфор-
217
мулировать как предмет спора, так и исходные поня-
тия (например, такие, как «машина», «мыслить» и «мо-
жет»).
Но вернемся к движению потока автомобилей.
С точки зрения инженера-транспортника или мате-
матика, решающего проблему разъезда автомашин,
в качестве простейшей модели целесообразно рассмат-
ривать такое движение как случайное блуждание. Путь
каждого отдельного автомобиля удобнее и проще счи-
тать случайным, чем пытаться предсказать его (хотя
для шофера он не случаен). Такая модель оказывается
приемлемой (во всяком случае, сначала, как говорят, j
в первом приближении). Затем понадобятся, возможно,
уточнения, но начало будет заложено хорошее. ;
Рассматривая движение транспорта как проблему
статистическую (диффузионную), можно рассчитать ха-
рактеристики дорог, обеспечивающих беспрепятствен- \
ный разъезд автомашин в часы «пик». И если в резуль- j
тате, возвращаясь домой с работы, вы будете двигаться
со средней скоростью 40 километров в час вместо 15 и .
не будете выходить из себя, простаивая у каждого
светофора, то, может быть, это несколько сгладит не- 1
приятные ощущения от оскорбительного предположения j
о случайности, а не обдуманной определенности вашего j
пути. I
Подъехав к Т-образному перекрестку, вы должны 1
совершить поворот либо направо, либо налево. При по- I
строении интересующей нас модели удобно предпола- J
гать, что выбор направления поворота каждым водите-
лем случаен и направление поворота последующих ма- ”
шин не зависит от предыдущих. Предположим также,
что для каждого автомобиля равновероятен поворот на-
право и налево. В этой модели мы можем, например, I
оценить количественно возможные превышения числа
машин, едущих направо, над числом машин, поворачи-
вающих налево, и такая задача совершенно аналогична
задаче о поведении абсолютно пьяного человека в узком
коридоре или оценке возможного выигрыша при игре
В «орлянку».
Я только что упомянул о возможности статистиче-
ского рассмотрения движения транспорта, написав в
скобках — диффузионного. Вот это как раз произошло
не случайно. Хорошо известная диффузия атомов или
21В *
молекул может быть изучена с помощью все той же
математической модели.
Понаблюдаем за движением молекулы газа. Такое
наблюдение, конечно, нельзя осуществить, но я надеюсь
на ваше воображение. Вот свободно движется полюбив-
шаяся нам молекула — ей сейчас ничто не мешает.
Вдруг на ее пути встретилась другая ей подобная —
произошло соударение, и они разлетаются в разные сто-
роны. Такую картину можно наблюдать при столкно-
вении двух движущихся бильярдных шаров с той лишь
разницей, что молекулы движутся не на плоскости, а в
пространстве. Соударения молекул происходят часто
(при нормальном давлении), и среднее расстояние, ко-
торое пробегает молекула от одного соударения до дру-
гого — оно называется по понятным причинам длиной
свободного пробега, — имеет вполне определенную не-
большую величину.
Снова обратившись к воображению, представим се-
бе, что все расстояния между соударениями одинаковы
и в точности равны длине свободного пробега.
Тогда движение нашей молекулы будет весьма по-
хоже на поведение абсолютно пьяного человека на пло-
щади: она будет двигаться шагами определенного раз-
мера, направление каждого последующего шага будет
случайным и равномерно распределенным и не будет
зависеть ог предыдущих шагов. Разница лишь в том, что
пьяный движется по площади, а молекула в простран-
стве. Но это не помешает нам точно тем же методом
подсчитать, как далеко сможет удалиться молекула за
заданное время.
Электроны в телах участвуют в тепловом движении
вещества. Обратимся, например, к простейшему коле-
бательному контуру, состоящему из конденсатора, со-
противления и катушки. На обкладках конденсатора
тепловое движение электронов вызывает меняющийся
со временем (по величине и знаку) электрический за-
ряд, а в катушке — также меняющийся электрический
ток. Механизм этого явления можно себе представить
так. Беспорядочное тепловое движение электронов в
веществе контура эквивалентно действию очень малых,
случайно чередующихся по величине и знаку частых
электрических толчков — кратковременно действующих
электродвижущих сил. Эти хаотические колебания за-
219
ряда или тока — электрические флюктуации принято
называть тепловым шумом.
Величина теплового шума весьма мала: при комнат-
ной температуре эквивалентный флюктуационный ток,
который можно зарегистрировать в сопротивлении в те-
чение одной секунды, равен примерно 10~10 ампера.
Эйнштейн, исходя из общих соображений, предсказал
наличие таких флюктуаций, но лишь через 20 лет это
явление было обнаружено экспериментально.
Аналогичное явление наблюдается в электронных
лампах. Поток электронов с катода на анод также
имеет случайный характер: количество электронов, по-
ступающих на анод в единицу времени, колеблется
нерегулярно. При обычных токах порядка одного мил-
лиампера с катода на анод в секунду «перелетает»
примерно 1016 электронов, а время их пролета —
10-9 секунды. Уклонения от «среднего тока», которые
и обусловливают флюктуационную составляющую, но-
сят название дробового шума.
Природа дробового шума такова, что изучить его
количественно помогает все та же модель броуновского
движения.
Тепловой шум в проводниках и дробовой шум в лам-
пах — ахиллесова пята всей радиотехники. Эти шумы
вы слышите в паузах вещания, когда включенный ра-
диоприемник настроен на какую-нибудь станцию.
Именно наличие флюктуационных шумов, принци-
пиально неустранимых, ибо их причиной является дис-
кретность природы электричества, ограничивает даль-
ность радиосвязи, возможности радиолокации, телеви-
дения и других областей радиотехники.
И если 25—30 лет тому назад специалистов по ра-
диоприему, радиолокации или радионавигации мало
интересовали методы теории вероятностей, то уже в те-
чение последних 20 лет, когда радиотехника стала под-
бираться к использованию предельно возможных точ-
ностей и дальностей, методы теории вероятностей стали
одним из самых основных орудий в руках специали-
стов связи, радио и автоматики.
Пьяный увидел собутыльника
Все тот же пьяный в конце коридора увидел стоя-
щего у стены собутыльника. Противоречия, его разры-
220
вающие, очевидны. Он по-прежнему совершает случай-
ные шаги вперед-назад. Но все же его больше тянет
в сторону собутыльника, и мы опишем его движение,
сказав, что одинаковые по величине шаги вперед и на-
зад им совершаются хотя случайно и независимо, но
вероятность р совершить шаг вперед больше, чем ве-
роятность q = l — р шага назад. В этой ситуации пья-
ный в среднем не будет уже оставаться на месте,
а будет постепенно, хотя и медленно, сдвигаться вперед.
Этот средний сдвиг пропорционален произведению
числа шагов на разность вероятностей совершить шаг
вперед или назад *.
Конечно, как и раньше, пьяный тут ни при чем —
это модель одномерного случайного блуждания при на-
личии силы, действующей на частицу так, что шаги впе-
ред частица совершает чаще, чем назад.
Нетрудно подсчитать не только среднюю величину
уклонения частицы от исходного положения, но и
типичную величину уклонения. Она, как и при сим-
метричном блуждании, пропорциональна длине ша-
га, корню квадратному из числа шагов, но, кроме
того, пропорциональна корню из произведения ве-
роятностей шагов вперед и назад, так что оконча-
тельная формула в обозначениях предыдущего раз-
дела имеет вид
Rn — 21Уpqn-
Несимметричное блуждание служит хорошей мате-
матической моделью многих процессов. Так, ранее рас-
смотренную задачу оценки потока автомашин на Т-об-
разном перекрестке лучше рассматривать как несим-
метричное блуждание, ибо повороты на таком перекре-
стке обычно обусловлены необходимостью выехать на
какие-то другие магистрали, привлекательность которых
для водителей автомашин различна. Различными тогда
будут и вероятности поворотов машин налево и напра-
* Как легко подсчитать, среднее значение (математическое
ожидание) его местоположения через п шагов будет равно
5 = (р—q) • In.
Если его очень сильно тянет к собутыльнику, так что, например,
р=0,9, то через 100 шагов математическое ожидание его местополо-
жения будет 5= (0,9—0,1) • 100/=80/. Если же тяга к единомыш-
леннику незначительна, то вероятность р мало отличается от !/2.
Например, при р=0,51 будет S=(0,51—0,49) • 1001—2 L
221
во, и оценивать эти вероятности можно частотой соот-
ветствующих поворотов, которую легко получить из на-
блюдений за потоком машин.
Важными являются проблемы диффузии частиц
(атомов, молекул, соринок) в случае, когда существует
течение в каком-то определенном направлении. Приме-
ром такого явления может служить диффузия ионов
газа в электрическом поле. Изучение этого явления сво-
дится к изучению той же математической модели не-
симметричного случайного блуждания. Здесь конеч-
но, само рассматриваемое блуждание — двумерное
и даже иногда трехмерное, но это вносит лишь
незначительные осложнения, и я не буду на них останав-
ливаться.
Блуждающий ученик
В предыдущих разделах блуждающая частица мог-
ла после каждого шага переходить лишь в соседние
точки.
Практически интересно изучить поведение более
резвой частицы, которая может прыгать и через шаг,
и через два, и через большее число шагов.
Обратимся еще к одной модели. Школьник за кон-
трольную работу по математике может получить лю-
бую оценку от 1 до 5. Контрольные работы проводятся
один раз в неделю. Каждую неделю изучают новый
материал, и поэтому будем считать результаты каждой
контрольной не зависящими от предыдущих. Кроме то-
го, будем полагать результаты случайными и имеющи-
ми определенную вероятность. Для конкретности при-
мем следующий закон распределения вероятностей
отметок:
Отметка 1 2 3 4 5
Вероятность . . . . . . 0,1 0,2 0,3 0,2 0,2
Конечно, родители немедленно возмутятся против
предположения о случайности исхода контрольной ра-
боты именно их ребенка (они-то знают причины сры-
вов!) и о независимости исходов от прошлого. Но по-
222
терпите немного: я для того и разбираю этот пример,
чтобы позже учесть зависимость результатов от про-
шлого. Что же касается случайности исхода контроль-
ной работы, то он всегда в какой-то мере случаен.
Но главное — нам удобнее, легче и перспективнее счи-
тать его случайным (подобно поворотам автомашин),
чем учитывать многочисленные причины, влияющие на
исход контрольной работы. И если наша задача — оце-
нить размеры бедствия, к которому может привести
такое поведение ученика, и своевременно принять меры,
если ученику грозит двойка в четверти или переэкзаме-
новка (или, в случае пятерки в четверти, покупка вело-
сипеда), то нас вполне устроит обоснованный прогноз.
Мне удобнее использовать другую терминологию.
Я буду говорить о состоянии системы, считая, что изу-
чаемая система может находиться в одном из несколь-
ких возможных состояний и переходит из одного со-
стояния в какое-то другое на каждом шагу. Сейчас
система — это ученик, его состояния — недельные от-
метки, и переход из одного состояния в другое — это
получение новой отметки.
Впрочем, чтобы не путаться, получение отметки та-
кой же, как и предыдущая, будем также называть
переходом, но в то же самое состояние. С этой точки
зрения жизнь ученика протекает тускло, без эмоций,
сопровождающих поощрения и наказания.
Переход из одних состояний в другие происходит в
соответствии с распределением вероятностей состоя-
ний — отметок. Это — блуждание по множеству возмож-
ных состояний.
223
Такое блуждание удобно представить графиком
(рис. 92). Здесь по горизонтальной оси отложено вре-
мя и указаны моменты переходов, то есть моменты,
когда ученик получает очередную недельную отметку.
(Я указал просто номера недель, ибо безразлично, в ка-
ком масштабе измерять время.) По вертикальной оси
отложены отметки, они же могут обозначать номера
состояний. Любой такой график означает какую-то
реальную последовательность отметок, но вероятности
различных графиков, вообще говоря, не одинаковы.
Есть разные способы выводить окончательную от-
метку за четверть или за весь учебный год. Такая от-
метка — это критерий, по которому ученика относят
либо к категории неуспевающих, либо середняков, либо
хороших или лучших. Разные учителя пользуются и
разными критериями. Простейшим является средний
балл. Это всем понятная оценка: берется сумма всех
отметок и делится на их число.
Конечно, средний балл как-то характеризует ра-
боту ученика в течение всего оцениваемого периода.
Но при одних и тех же вероятностях, которые записа-
ны в таблице, могут быть различные средние баллы за
четверть. Ведь не исключено, что наш ученик 10 недель
подряд получал только двойки и, следовательно, его
средний балл будет 2. Я напоминаю наши предположе-
ния: каждая отметка случайна, независима от других
и подчинена заданному распределению вероятностей.
Поэтому четвертной балл (средний балл за четверть,
обозначим его х) — это случайная величина. И мате-
матическое ожидание, то есть среднее значение четверт-
ного балла, — его обозначим х — для нашего распре-
деления вероятностей равно
х- Ь0,1 + 2.0,2+3-0,3+4-0,2+5-0,2 = 3,2.
Таким образом, в среднем такие ученики будут успе-
вающими.
Но в «среднем» здесь означает лишь, что если взять
четвертные баллы у большого количества таких учени-
ков, скажем, у тысячи, и вычислить среднее арифмети-
ческое этой тысячи четвертных оценок, то получится
число, близкое к 3,2. Но различные ученики среди
отобранной тысячи могли при этом получить весьма
разные четвертные баллы. Может же случиться так, что
224
за 10 контрольных подряд какой-то ученик из этой ты-
сячи ни разу не получит отметки выше тройки! Вероят-
ность такой неприятной ситуации равна примерно 0,006,
так что в среднем подобная ситуация будет происхо-
дить в 6 случаях из тысячи *.
Замечу тут же, что вероятность получить средний
балл ниже трех будет значительно больше вычисленной
величины, так как, даже получив несколько пятерок и
четверок, можно за счет достаточного числа двоек и
единиц получить низкий средний балл. Например, из
нашего графика видно, что за первые 10 шагов сред-
ний балл 2,5, хотя здесь есть одна четверка и одна пя-
терка.
Таким образом, у нашего ученика не так уж мало
шансов приобрести многочисленные неприятности, кото-
рые сулит школьнику четвертная отметка ниже тройки.
Нерадивый ученик обрадуется возможности оправ-
дать скверные отметки ссылками на значительную ве-
роятность неприятного исхода, когда он учится на са-
мом деле немного выше среднего. Но не дадим ему
такого удовлетворения: в действительности его зада-
ча — изменить распределение вероятностей различных
исходов, с тем чтобы вероятность получения двойки в
четверти была бы очень мала. А для этого надо к зав-
трашнему дню выучить математику как следует.
Все же редко учитель выставляет в качестве отмет-
ки за четверть средний балл: столь формальный подход
не дает возможности учесть успехи школьника, если
он начал добросовестнее заниматься и подогнал хвосты.
Да и на самом деле последующие отметки по матема-
тике зависят от предыдущих; здесь сказываются и ло-
гические связи различных разделов математики, и вера
или неверие ученика в свои силы, и уже сложившееся
отношение учителя. Хотя результаты каждой контроль-
ной работы заранее точно предсказать нельзя — они
случайны, — следует все же учитывать изменение ве-
роятностей возможных отметок на текущей неделе в
зависимости от того, что было на прошлой. Если за
прошлую контрольную школьник получив единицу, то
* Нетрудно произвести соответствующий подсчет. Вероятность
того, что ученик получит отметку не выше тройки (то есть или 1,
или 2, или 3), есть, в соответствии с таблицей 0,14-0,24-0,3=0,6.
Вероятность, что при 10 независимых испытаниях такое событие
осуществится все 10 раз, равна 0,610, то есть примерно 0,006.
15 Я. Хургин
225
шансов за следующую получить пятерку на самом деле,
конечно, меньше, чем если бы за прошлую контрольную
была четверка или пятерка.
В нашей терминологии такая ситуация означает, что
последующие состояния зависят от предыдущих, то есть
вероятности последующих состояний зависят от того,
какое состояние было на предыдущем шаге.
Вы, конечно, справедливо полагаете, что каждая от-
метка, хотя и случайна, зависит от всей предыдущей
жизни ученика, от всех его успехов и неудач на матема-
тическом поприще, да и не только на математическом.
Но изучим пока более примитивную модель и будем
считать вероятности последующих состояний — отме-
ток, — зависящими только от состояний на предыду-
щем шаге. В такой модели вероятности отметок на
каждом шагу можно задать таблицей. Вы видите при-
мер подобной таблицы:
Предыдущие состояния Последующие состояния
1 2 3 4 1 5
1 0,4 0,3 0,1 0,1 0,1
2 0,3 0,3 0,2 0,1 0,1
3 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1
4 0.1 0,1 0,2 0,4 0,2
5 0,1 0,1 0,1 0,2 0.5
Здесь, например, стоящее на пересечении второй
строки и третьего столбца число 0,2 означает, что веро-
ятность перейти из состояния 2 в состояние 3 за один
шаг равна 0,2. Для нашего ученика это означает, что он
получит тройку на последующей контрольной лишь с
вероятностью 0,2, если на предыдущей у него была
двойка.
Математики обычно не пишут слева и сверху но-
мера состояний, а лишь выписывают таблицу вероят-
ностей:
0,4 0,3 0,1 0,1 0,1
0,3 0,3 0,2 0,1 0,1
0,1 0,2 0,4 0,2 0,1
0,1 0,1 0,2 0,4 0,2
0,1 0,1 0,1 0,2 С,5
Рис. 93
Напомню: такая таблица называется матрицей.
В данном случае числа — элементы матрицы — назы-
ваются вероятностями перехода, и вся таблица носит
название матрицы переходных вероятностей.
Другой более наглядный способ представления ве-
роятностей перехода состоит в построении соответст-
вующего графа. Кружочками обозначены состояния,
стрелки указывают переход из одного состояния в дру-
гое, а числа над стрелками — вероятности этих пере-
ходов. На рисунке 93 указаны лишь стрелки переходов
из состояний 2 и 5 во все другие. Остальные стрелки
не нарисованы, иначе получилась бы слишком густая
паутина.
Математики для удобства (или по традиции) пишут
не номера состояний, а сами состояния, обозначая их
буквами с какими-нибудь индексами.
В нашем примере пять состояний; их можно обозна-
чить: Ей Е2; Ей Ей Е$. Это означает: если ученик полу-
чил четверку, то его состояние Е^. Если он получал от-
метки такие, какие указаны на рисунке 92, то последова-
тельность переходов из одних состояний в другие запи-
шется в виде цепочки
Е2 -^Е2-^Е^-^Е4-^Е2-^Еь-^ E2—+E2—+Ei —>...
При этом вероятности переходов задаются матрицей
переходных вероятностей.
Впервые цепочки случайных событий или, в нашей
терминологии, цепочки переходов системы из одних
15* 227
состояний в другие изучал в начале нашего века Андрей
Андреевич Марков, знаменитый русский математик, уче-
ник П. Л. Чебышева.
Уже пример с отметками школьника показывает не-
достаточность модели независимых исходов при описа-
нии последовательности смены состояний системы.
В большинстве задач физики и естествознания состоя-
ние системы в будущем зависит от того, в каком из воз-
можных состояний система находится сейчас.
Эта зависимость может быть и не однозначной: си-
стема может оказаться через некоторое время в разных
состояниях, но вероятности будущих состояний обычно
зависят от предыдущих.
Если вероятность перехода системы из одного со-
стояния в другое зависит только от этих состояний и не
зависит от предыдущей истории системы, то такие пе-
реходы называют простой цепью Маркова. Если же эти
вероятности зависят и от предыдущих состояний систе-
мы, то это сложная цепь Маркова.
Язык
Известный физик Уиллард Гиббс, один из создате-
лей статистической механики, был очень замкнутым че-
ловеком и на заседаниях ученого совета университета
обычно молчал. Однажды на совете решался вопрос,
уделять ли в новых учебных программах больше места
математике или иностранным языкам.
Впервые Гиббс не выдержал и, нарушая свой обы-
чай, произнес речь: она состояла из трех слов. «Мате-
матика — это язык!» — сказал он.
В некотором роде верно и обратное, и я сей-
чай расскажу об одной математической модели живого
языка.
При передаче по телеграфу текста на русском языке
буквы е и ё объединяются в одну е, также объединя-
ются в один знак ь и ъ. Тогда получается 31 буква.
Но еще нужен символ для указания пробела между сло-
вами, я его буду обозначать черточкой. Таким образом
телеграф использует 32 буквы (см. таблицу на следую-
щей странице).
Самая простейшая модель языка — это составление
слов из букв; появляющихся случайно и равновероятно.
Можно представить себе модельный эксперимент.
228
На 32 одинаковых карточках написаны все 32 буквы,
их тщательно перемешивают, вынимают из колоды од-
ну наугад и записывают букву. Возвратив вынутую кар-
точку, снова перемешивают, вновь вынимают букву
и приписывают к предыдущей. Так можно продолжать
сколько угодно. Когда вытаскивается карточка с «—»,
то это означает окончание одного слова и начало дру-
гого.
При таком эксперименте была получена следующая
фраза:
Это совсем не похоже на наш язык, и дело, конечно,
в том, что в русском языке буквы встречаются не оди-
наково часто, и в текстах «Евгения Онегина», «Золотого
теленка» или «Учебника зоологии» буква Щ встречается
значительно реже, чем буквы А или О.
Оказывается, в русском языке наиболее часто встре-
чается буква О и наиболее редко — Ф.
В таблице (на стр. 230) содержатся относительные
частоты (которые примерно равны вероятностям) от-
дельных букв в письменном русском языке.
Следующее приближение к русскому языку получит-
ся, если из нашей колоды буквы выбирать случайно, но
с вероятностями, с которыми они появляются в естест-
венном языке. Для этого надо взять 1000 одинако-
вых карточек и написать на них буквы в соответствии
с таблицей.
Так на 90 карточках надо написать О, на 26 напи-
сать М, на 175 написать «—» (то есть пробел между
словами) и так далее. А затем повторить процедуру
с перемешиванием карточек и последовательным вы-
таскиванием наугад.
229
Буква Относит, частота Буква Относит, частота
— 0,175 Я 0,018
О 0,090 Ы 0,016
ЕЕ 0,072 3 0,016
А 0,062 ЬЪ 0,014
И 0,062 Б 0,014
т 0,053 Г 0,013
н 0,053 Ч 0,012
с 0,045 й 0,010
р 0,040 X 0,009
в 0,038 ж 0,007
л 0,035 ю 0,006
к 0,028 ш 0,006
м 0,026 Ц 0,004
д 0,025 Щ 0,003
п 0,023 э 0,003
У 0,021 ф 0,002
Но нет необходимости в таком сложном опыте.
Вместо этого можно воспользоваться любой книгой на
русском языке и выбирать из нее буквы наудачу. Вот
фраза, полученная в таком эксперименте:
Такая фраза тоже еще мало похожа на наш язык.
И это понятно: в языке существуют тесные связи между
соседними буквами. Никогда не встречаются пары букв
ШЩ или ОЬ и часто — ПО или МА. А в предыдущей
модели последовательные буквы появлялись незави-
симо.
230
Если учесть зависимость лишь между соседними
буквами, то язык будет описываться простой цепью
Маркова. Переходные вероятности — это вероятности
того, что за данной буквой следует какая-то другая.
Так, вероятность М —> А выше, чем вероятность М—> М,
а вероятность Ш—* Щ, как мне кажется, равна нулю:
такого сочетания вроде бы в русском языке не бывает.
Если учитывать парные связи букв, но не учитывать
еще связи букв по три, четыре и т. д., то получатся, на-
пример, фразы:
УМАРОНО НАМ еСВАННЫЙ РОСЯ НЫХ К09НР0В нЕДАРЕ
ИЛИ
ОТЕ ДОСТОРО ННЕДИАРИТРНИЯ ЛРНОПРОСЕБЫ КРЕТ
ОСНАЛАСиВИ ОМ р ешЕРГУ Л
Это уже значительно больше похоже на наш язык.
Учет связей букв по три, то есть модель языка, в кото-
ром вероятности сочетаний букв по три те же, что и в
естественном языке, дает еще лучшее приближение.
Вот как это звучит:
ПОНАМ ЛОСГИВЛЕНИЫЙ ПОТ ДУРНОСМАНА НАИОНЕПИО
зно ст воловил ее твой обниль
или
С ВОЭДРУНИТЕЛЫБКОГОРОЧЕНЯЛ МЕСЯОСТОЧЕМ Ми ДО
Наконец, учет четырехбуквенных сочетаний, то есть
модель языка с помощью цепи Маркова третьего по-
рядка, дает фразу:
231
Эта фраза, как и две предыдущие, весьма похожа
на русский язык; и, если бы вам кто-либо сказал такое,
вы не сразу сообразили бы, что это какая-то ерунда, и
старались бы вникнуть в смысл *.
Читатель, вы, конечно, можете мне задать законный
вопрос: «Ну и что?»
Действительно, можно составить бессмысленные
фразы, похожие по структуре на русский язык. Но за-
чем на это тратить время?
Я мог бы возразить: была построена математическая
модель письменного русского языка.
Однако модели строят не просто так, а для какой-
либо определенной цели, и я теперь должен объяснить
ту цель, ради которой строилась эта модель. Я это сде-
лаю, но не сразу, не в следующем разделе, ибо для по-
нимания существа дела надо рассказать о теории ин-
формации. Впрочем, я надеюсь, вы не будете в обиде
за некоторую оттяжку. Проблема, о которой сейчас
пойдет речь, сама по себе очень интересна.
* Написанные фразы были получены экспериментальным путем
сотрудниками кафедры теории вероятностей Московского государ-
ственного университета имени М. В. Ломоносова в 1957—1958 годах.
Методику экспериментов и важные соображения, которые привели
математиков к этим опытам, читатель может найти в статье
Р. Л. Добрушина «Математические методы в лингвистике» («Мате-
матическое просвещение», вып. 6-й, 1961 г.). См. также: К. Шен-
н о н, Работы по теории информации и кибернетике. М., Изд-во
иностранной литературы, 1963, стр. 254—255.
Информация
Ид^и о всеобщем значении, обратной связи и пере-
даче информации при управлении привели Норберга
Винера к рассмотрению вопросов управления в технике,
в живой природе и в обществе с единой точки зрения.
Я уже писал немного об обратной связи. А теперь
хочу остановиться на теории информации.
«Завтра ожидается переменная облачность, времена-
ми дождь, ветер умеренный..,»
Это сообщение передается по телеграфу, по радио,
в газете, по телефону, устно и многими другими спо-
собами. Совершенно безразлично, каким из этих спо-
собов вы узнаете прогноз погоды, — для получателя
важно лишь содержание. В то же время физические
носители сообщения совершенно различны: электриче-
ский ток, электромагнитные волны, буквы на бумаге,
звуковые волны.
Что же общего между всеми этими сигналами? Они
несут одну и ту же информацию.
Зазвонил телефонный звонок — и вы получили ин-
формацию о вызове. Сняли трубку — звонок прекра-
тился: сигнал, несущий информацию о принятии вызова,
поступил на телефонную станцию и был преобразован
в сигнал, выключивший позывное устройство.
Вы дотронулись до горячего чайника — вскрикнули
и отдернули руку. Я уже пояснял современную точку
зрения на болевой рефлекс. Сейчас важно лишь заме-
233
тить, что по нервной сети была передана в мозг инфор-
мация об ожоге кожи, там информация была перерабо-
тана, и, в частности, был выработан новый сигнал, по-
ступивший по нервной сети к мышцам руки. В резуль-
тате вы и отдернули руку.
Рыбы передают друг другу информацию (разговари-
вают!) с помощью ультразвуковых колебаний в воде;
летучие мыши посредством ультразвуковой локации
ориентируются в пространстве.
Удивительным образом происходит обмен информа-
цией у пчел. Когда пчела нашла «обетованную землю»,
где рой может испить нектар с ароматных цветов, она
возвращается в улей и танцует: фигуры ее полета-тан-
ца содержат информацию о направлении и расстоянии
до найденного места. Это проверено тонкими и очень
остроумными опытами.
Жизнь любого организма обязательно сопровож-
дается интенсивным обменом информацией с внешней
средой, а при более или менее высокой организации —
сопровождается взаимными потоками информации меж-
ду организмами.
В автоматический станок заранее закладывается ин-
формация — программа работы. Кроме того, станок
получает текущую информацию — производятся изме-
рения деталей; и если размеры их вышли за пределы
допуска, то передается информация о необходимой пе-
рестройке станка.
При управлении по радио полетом самолета (радио-
навигации) информация о положении самолета и ме-
теорологической обстановке передается в управляющее
234
устройство, там она сравнивается с требуемым курсом.
В результате вырабатывается информация о необходи-
мом изменении положения рулей.
Система управления предприятием или министерст-
вом использует информацию о наличии материалов и
полуфабрикатов на складах, о наличии действующего и
ремонтируемого оборудования, рабочей силы и т. д.,
ориентируется на заданный план выпуска продукции,
что тоже есть запасенная (хранимая) информация.
Итак, информация всюду; во всех системах управ-
ления и регулирования есть каналы связи, по которым
происходит передача, прием и преобразование инфор-
мации. Включение красного светофора останавливает
поезд; нажатием кнопки запускается многотонный пресс;
достаточно одной фразы командующего для залпа ты-
сячи орудий.
Поступающее к получателю сообщение здесь может
иметь лишь два значения: красный — зеленый, вклю-
чен — выключен. Это простейшая информация; она со-
держится в ответе на вопрос, на который можно отве-
тить лишь «да» или «нет».
233
Получатель не знает заранее ответа, в противном
случае он никакой информации не получает. С точки
зрения получателя ответ на такой вопрос случаен,
и заранее не известно, какой из двух возможных отве-
тов будет получен.
Светофор для городского транспорта имеет три цве-
та: красный, желтый и зеленый. Сообщение, передавае-
мое водителю, может быть одним из трех возможных:
«Стоп!», «Внимание!» и «Проезд разрешен». При пере-
даче букв по телеграфу сообщение принимает одно из
возможных значений — букв алфавита. Впрочем, мож-
но пользоваться и другой нашей терминологией: можно
говорить, что в результате опыта (приема буквы) осу-
ществился один из возможных исходов опыта (принята
буква Ш).
Есть, конечно, опыты, имеющие столь большое число
возможных исходов, что удобнее рассматривать их как
опыты с бесконечным числом исходов. Например, при
записи музыки рельеф на граммофонной пластинке мо-
жет иметь практически бесконечное число возможных
вариантов.
Как и в случае двух исходов, при многих исходах
получатель не знает заранее, какой из исходов осуще-
ствится; для получателя ответ случаен, заранее не из-
вестен.
Память и код
Информацию можно накапливать, запасать. По су-
ществу, весь процесс обучения состоит в накоплении
информации. Информация запасается или запоминается
в книгах, статьях и анкетах, в картинах и архитектур-
ных памятниках, на нотной бумаге, граммофонных пла-
стинках и магнитофонной ленте. В электронных вычис-
лительных машинах имеются специальные устройства
для сохранения информации; некоторую информацию
в машине сохраняют надолго, например, исходные дан-
ные; но имеются устройства быстрой выдачи данных, где
результаты промежуточных вычислений сохраняются
лишь на то время, пока данное вычисление не кончено.
В мозгу животных и человека механизм памяти
весьма сложен и, по-видимому, разнообразен. Он пока
еще только начинает изучаться. Однако впоследствии
выяснилось несоответствие между деятельностью чело-
236
веческой памяти, или, более правильно, различных чело-
веческих памятей и весьма примитивных по идее
устройств хранения информации в вычислительных ма-
шинах.
Сейчас постепенно термины вычислительной техни-
ки «быстрая память», «долговременная память» заме-
няются на «устройство с быстрой выдачей данных»,
«устройство длительного хранения данных» и т. д.
Но все же и прижившийся термин «память» широко
распространен.
Во всех этих так называемых системах памяти ин-
формация представлена в совершенно различном виде.
Знаки на бумаге, рельеф на граммофонной пластинке,
возможные состояния (замкнуто — разомкнуто) элект-
ронных реле, состояния (возбуждено — не возбуждено)
нервных клеток — все это различные виды, в которых
может быть представлена информация. При этом одна и
та же информация может быть представлена различным
образом: число 5 можно представить цифрой, буквами
(пять), можно загнуть пять пальцев.
Главное в таком представлении — это различимость:
нужно так представить информацию, чтобы можно было
отличить один исход от другого, сообщения должны
быть однозначно различимы. Для запоминания или пе-
редачи различных цифр от нуля до девяти необходимо
иметь десять различных символов, но безразлично, бу-
дут ли это арабские или римские цифры, запись слова-
ми, последовательности электрических импульсов или
какие-либо другие символы.
Способ представления возможных исходов опыта
(или возможных ответов, или возможных сообщений) в
различимом виде называют кодом, а сам процесс пред-
ставления информации в различимом виде называют
кодированием.
Таким образом, информацию можно запасать, ее мож-
но преобразовывать, перепредставлять в другом виде,
то есть перекодировать. Но нам сейчас важнее всего то,
что
информацию можно передавать.
Перефразируя один афоризм известного физика
Д. Томсона, можно сказать, что информацию можно,
подобно деньгам, накапливать, но пользу она приносит
только тогда, когда ее тратят, то есть передают другим
или используют сами для совершения или предупреж-
дения каких-либо действий или поступков.
Бесполезна вчерашняя сводка погоды; опасно ле-
читься у малограмотного врача или ехать в автомобиле
с пьяным шофером — информация должна быть свое-
временной и надежной.
Когда докладчик или собеседник говорит очень быст-
ро, то слушатель не может успеть разобрать речь, он
не сможет надежно, однозначно восстановить принятую
информацию. При любом способе передачи и приема
информации надежность — уверенная различимость
передаваемых сообщений, и быстрота передачи инфор-
мации — требования противоречивые.
Поэтому при проектировании любой системы пере-
дачи информации возникает вопрос: как осуществить
передачу информации так, чтобы оба эти основных тре-
бования удовлетворялись возможно лучше?
Положение еще осложняется наличием помех в лю-
бом канале связи.
Когда в комнате шумно, то трудно разобрать даже
речь соседа, обращенную непосредственно к вам, а тем
более слушать лекцию.
238
Я уже упоминал о том, что при радиоприеме, теле-
фонном разговоре, передаче телеграмм и при всех дру-
гих видах электро- или радиосвязи всегда есть флюк-
туационный шум, мешающий приему. Уровень флюктуа-
ционного шума в канале связи можно уменьшить, но
устранить его совсем принципиально нельзя.
Кроме того, нам осложняет жизнь множество
помех другого характера. Например, при радиоприеме
возникают помехи от прослушивающихся (соседних)
радиостанций, помехи от атмосферных разрядов, прохо-
дящих трамваев, рентгеновских установок и многих дру-
гих источников паразитных электромагнитных излу-
чений.
Разговаривая по телефону с возлюбленной, вы то
слышите чью-то брань — это наводка со стороны дру-
гого близко расположенного телефонного канала, то
слышите замогильный вой или свист — это помехи от
неполадок в аппаратуре.
При телеграфной передаче помехи искажают пере-
даваемые буквы, и вместо телеграммы «Высылаем дело
номер сто пять» вы можете получить: «Высылаем тело
помер что петь». Искажение всего четырех букв может
привести вас в смятение... В печати результатом воз-
действия различных помех также являются опечатки.
Итак, всем мыслимым системам передачи информации
мешают разнообразные по характеру помехи.
Различные системы передачи информации укладыва-
ются в простую на первый взгляд схему, которая изо-
бражена на рисунке 94. Действительно, по каналу связи
передаются сигналы от передатчика к приемнику. Они
и служат носителями информации.
Как же осуществить безошибочную, надежную транс-
портировку передаваемых сообщений?
Вот правдоподобное рассуждение, кажущееся совер-
шенно очевидным и простейшим. Ошибочная расшиф-
ровка посланного сообщения происходит в результате
искажения сигнала помехами в канале связи. Значит,
надо ликвидировать помехи, лучше всего их зажать,
задавить в том месте, где они возникают. Или найти
такой способ передачи сигналов, при котором сигналы
не искажаются помехами.
А если этого сделать нельзя, то надо увеличить
мощность сигнала. Действительно, если кричать очень
громко, то даже в шумной комнате вы сможете если не
239
объясниться в любви, то хоть показать себя и назначить
свидание.,
И с середины XIX века — со времени изобретения
электромагнитного телеграфа и до середины XX века
это рассуждение служило путеводной звездой инжене-
ров, на него опирались конструкторы телефона и теле-
графа, радио и телевидения.
Но, несмотря на огромный труд и значительные ус-
пехи на этом пути, пока что помехи мешают, и, как вы
испытали на своей шкуре, подчас очень сильно мешают.
А нам нужно увеличивать дальносгь связи. Уже не-
достаточно передавать сигналы из Москвы во Владиво-
сток или даже на Луну, понадобилось осуществить
связь с космическим кораблем, опустившимся на Вене-
ру... Нам не хватает мощностей, мы не можем в прост-,
ранство передавать как угодно большую мощность:
техника не позволяет, да и цена этого слишком велика.
Задачи радиолокации требуют все более точного и
быстрого обнаружения быстролетящих самолетов или
ракет — возникают новые задачи радиолокации.
При управлении сложными объектами — такими, как
ракеты или технологические процессы, нужно все более
точно определять их параметры, передавать значения
этих параметров в управляющие устройства, не теряя
точности при передаче, и вновь передавать высокоточ-
ные команды управления. А повышению точности ме-
шают все те же шумы и помехи.
240
Словом, не только в космосе, но и на нашей планете
связь стоит дорого, и нужно научиться передавать ин-
формацию быстро, надежно и дешево.
Но позвольте, читатель, задать вам ехидные вопро-
сы: верно ли правдоподобное рассуждение, отмеченное
выше курсивом? Так ли важно передавать неискажен-
ные сигналы? Зачем нам бороться за «чистоту» сигна-
лов, коль борьба эта тяжелая и дорогостоящая? Хотя
я как будто и говорил об этом, но, прежде чем читать
дальнейшее, попробуйте себе ответить на эти вопросы.
А теперь давайте вместе разбираться: в чем тут
подвох?
На вокзале диспетчер объявляет по радио об от-
правлении поезда. Подчас его голос мало напоминает
живую человеческую речь, нельзя даже понять, говорит
женщина или мужчина. Однако это не мешает нам
узнать, на какой платформе находится нужный поезд.
Передаваемый сигнал — человеческая речь — оказы-
вается при этом сильно искаженным, но необходимые
сведения мы все же получаем.
Следовательно, задача состоит не в том, чтобы вос-
произвести сигнал в неискаженном виде, а в правиль-
ном воспроизведении получателем переданной информа-
ции. Это простое, но очень важное соображение было
четко понято и применено на практике лишь сравни-
тельно недавно, немногим более двадцати лет назад.
Заметим кстати: мы вновь обнаружили кажущееся
весьма убедительным правдоподобное рассуждение, ко-
торое оказалось ошибочным.
В 1948 году вышли две статьи Клода Шеннона, из-
вестного американского математика и инженера, кото-
рые он назвал «Математическая теория связи».
О теории К. Шеннона я вскоре расскажу, а сейчас
хочу заметить, что именно К. Шеннон четко понял и
сформулировал задачу, которую нужно решать при
изучении вопроса, о передаче информации по каналам
связи.
В схеме, представленной на рисунке 94, инженеры,
увлеченные техническими проблемами, забыли о двух
лицах — отправителе и получателе сообщений. А если
о них вспомнить, то схема приобретает иной вид
(рис. 95).
Источник сообщений или отправитель — это, напри-
мер, я, если мне нужно отправить телеграмму, позво-
16 я. Хургин
241
Рис. 95
нить по телефону приятелю или дать распоряжение со-
трудникам прекратить болтовню и заниматься делом.
Но для передачи сообщения я должен его закодировать,
представить в виде, годном для передачи. Телеграмму
я закодирую, написав ее буквами на бумаге, по теле-
фону буду говорить, а сотрудников могу остановить
красноречивым жестом.
Телеграфист, в свою очередь, закодирует мою теле-
грамму посредством электрических импульсов, и эти
сигналы будут переданы по каналу связи — кабелю.
На приемном конце импульсы поступят в декодирующее
устройство, где будут преобразованы обратно в буквы,
и уже напечатанная буквами телеграмма будет достав-
лена адресату.
При телефонном разговоре кодирующее устройст-
во — это микрофон, в котором звуковые колебания
преобразуются в электрические, а декодирующее уст-
ройство — это телефон моего приятеля, в котором элек-
трические колебания преобразуются в звуковые колеба-
ния мембраны.
242
Из примеров и схемы видно, что конструктор может,
кроме передатчика и приемника, влиять на кодирующее
и декодирующее устройства, он может выбирать по сво-
ему усмотрению методы кодирования и декодирования.
Теперь возникает вопрос: как же выбрать кодиро-
вание и декодирование для безошибочной передачи ин-
формации? Да и вообще можно ли это сделать?
Что это такое — информация?
Выше я многократно употреблял слово «информа-
ция», но ничего не сказал о том содержании, которое
вкладывал в него. Правда, вы, конечно, знаете, что это
за штука, хотя едва ли сможете дать точное определе-
ние. Это и понятно: не так-то просто дать определение
столь широкого понятия, есть опасность утонуть в общих
словах или попасть в так называемый логический круг,
который в просторечии зовется порочным кругом.
Вот пример такого логического ляпсуса. В «Словаре
русского языка» (составитель С. И. Ожегов, ОГИЗ,
1949 г.) написано: «Радость — чувство удовольствия,
внутреннего удовлетворения».
Далее читаем: «Удовольствие — чувство радости
от приятных ощущений, переживаний».
Вот и попробуйте понять, что же такое радость и
удовольствие и какая между ними разница. Но я по-
стараюсь как-нибудь выпутаться из словесной паутины
и объяснить, что же это такое — информация.
Обычно, говоря об информационных характеристиках
какого-либо процесса или явления, им ют в виду те
свойства, которые в некотором смысле противопостав-
ляются энергетическим или массовым характеристикам
этого процесса. В самом деле, нам же безразлично, ка-
ким образом была получена сводка погоды — из газе-
ты, по радио или другим способом.
Информация не масса и не энергия. Конечно, при
передаче информации расходуется энергия. Но эта энер-
гия не характеризует передаваемую информацию ни ко-
личественно, ни качественно: по одному слову коман-
дующего начинается война, по сигналу сирены останав-
ливается работа завода, а то и города. В то же время
затрачиваемая на первичный сигнал энергия может быть
весьма мала.
Однако информация — такое же объективное свой-
16*
243
ство материальных процессов, как масса и энергия.
Но с понятиями массы и энергии наука имеет дело дав-
но, а информация начала изучаться систематически
совсем недавно — примерно последние 20 лет, и поэто-
му к новому понятию еще надо привыкать.
До сих пор математики не дали точного определения
термину «информация», которое могло бы всесторонне
охватить это понятие и послужить базой для построения
общей теории информации, хотя плодотворные попытки
в этом направлении делаются.
Однако когда сейчас говорят о теории информации,
то часто, явно или неявно, имеют в виду идеи, выдвину-
тые немногим более двадцати лет назад Клодом Шен-
ноном. Но направление, основанное Шенноном, отно-
сится не вообще к информации, а к проблеме передачи
информации по каналам связи и представляет собой
единую научную дисциплину. По используемым мате-
матическим методам теория передачи информации от-
носится к теории вероятностей, и уже сейчас это одна
из ее глав, очень плодотворных и насыщенных богатым
содержанием.
Я сначала расскажу о проблемах, относящихся к
передаче информации по каналам связи, а затем уже
кратко коснусь и других вопросов.
Можно воскликнуть: «Поразительная информация!»,
«Ценная информация!» — или уныло сообщить: «Бессо-
держательная информация». Но такие эпитеты подходят
для рекламы или выражения эмоций: они не характери-
зуют эту информацию количественно. А для построе-
ния системы передачи информации полезно было бы
иметь количественную характеристику информации.
Когда мы говорим, что в некотором сообщении со-
держится мало или много информации, то сравниваем
ее количественные характеристики, подобно тому как
сравниваются вес, длина или стоимость предметов.
Давайте попробуем придумать количественную меру
информации. Вот четыре различных сообщения:
1. При бросании монеты выпал герб.
2. Шлагбаум закрыт.
3. У меня родилась дочь.
4. Номер трамвайного билета оканчивается циф-
рой 7.
Скажите, пожалуйста, в каком из них больше ин-
формации?
244
Едва ли вы сможете ответить на столь каверзный
вопрос. В самом деле, для меня рождение дочери —
большое событие, а вам, наверное, на это наплевать.
Но если вы вопреки запрещениям играете в «орлянку»
на деньги, то для вас выпадение герба будет нести ра-
дость или огорчение — различную информацию, да еще
ее размеры будут меняться в зависимости от ставки.
А если вы спешите на свидание и шлагбаум закрыт, то
такая информация может повлечь за собой обиды и ра-
зочарования.
Таким образом, ответ на мой вопрос зависит от точ-
ки зрения или обстоятельств. А как обстоит дело с точ-
ки зрения конструктора системы связи, скажем, теле-
графа? Субъективное содержание передаваемой инфор-
мации для него не имеет значения. Ему надо создать
систему, по которой можно передать по возможности
без ошибок сообщение о рождении дочери независимо
от того, насколько обрадует это получателя.
Одно из основных достижений Клода Шеннона и
состоит в создании такого понятия количества инфор-
мации, которое полезно прежде всего в технике связи.
При передаче по каналу связи не имеет значения смыс-
ловое содержание передаваемой информации, и, следо-
вательно, понятие количества информации должно опи-
раться на другие характеристики передаваемых сооб-
щений.
Вернемся к вопросу о том, в каком из четырех со-
общений больше информации.
Первые три сообщения могут иметь лишь по два
варианта: герб — решка, открыт — закрыт, девочка —
мальчик. Для передачи такого сообщения достаточно
воспользоваться лишь двумя символами, например, 1
или 0, плюс или минус.
Это, конечно, простейшая информация, она содер-
жится в опыте лишь с двумя исходами.
(Следует сразу заметить, что в опыте с единствен-
ным возможным исходом никакой информации не со-
держится. Действительно, взрослый не узнает нового
из сообщения: если сегодня среда, то завтра будет чет-
верг.)
Номер трамвайного билета может оканчиваться лю-
бой цифрой от 0 до 9, и поэтому последнее из наших
сообщений имеет 10 возможных вариантов. Для переда-
чи любого из возможных исходов опыта с проверкой
245
цифры, на которую оканчивается номер билета, нужно
иметь не менее 10 различных символов. Если же пере-
давать русский текст, то понадобится не менее 32 раз-
личных символов.
Итак, с точки зрения конструктора системы связи
передаваемая информация прежде всего характеризует-
ся количеством возможных вариантов сообщения или
количеством возможных исходов (если вести речь в тер-
минах передачи сообщений об исходе опыта).
Вспомните задачу о совпадении дней рождения. Если
вы спросите дату дня рождения у первого встречного
(лучше знакомого, незнакомый может о вас подумать
что-нибудь не то...) и обнаружите совпадение его дня
рождения с вашим, то высоко оцените полученную ин-
формацию. Если же окажется, что дни рождения не
совпали, то такую информацию оцените как незначи-
тельную: почти наверняка вы ожидали этот ответ.
В опыте с подбрасыванием симметричной монеты
количественная оценка информации о появлении как
герба, так и решки должна быть одна и та же: шансы
их появления одинаковы, а субъективный характер ис-
ходов (герб — выигрыш, решка — проигрыш) мы же
исключили.
Теперь заметим: информацию о рождении девочки
(а не мальчика) и о выпадении герба (а не решки)
разумно количественно выразить одинаково, ибо неопре-
деленность исходов в этих случаях одна и та же: веро-
ятности выпадения герба и рождения девочки совпа-
дают и равны V2 *.
При однократном подбрасывании монеты неопреде-
ленность исхода — выпадение герба — значительно
больше, чем при проверке совпадения дней рождения
двух лиц. Крличество информации, приобретаемое при
выпадении герба, следует оценить выше, чем при извес-
тии о несовпадении дней рождения, но ниже, чем при
известии об их совпадении.
Итак, количество информации, характеризующее
подлежащее передаче сообщение, определяется количе-
* В различные исторические периоды соотношение между числом
рождающихся девочек и мальчиков несколько меняется, но оно
всегда примерно одинаково. При грубой оценке можно полагать
вероятности рождения девочки и мальчика одинаковыми и, следо-
вательно, равными V2.
246
ством возможных сообщений и их вероятностями и не
зависит от смыслового содержания сообщения.
Это центральная идея теории передачи информации
Клода Шеннона.
Количественная мера
Выбор того или другого вида транспорта (автомо-
биль, поезд, самолет) для поездки из одного города в
другой зависит не от точного расстояния между горо-
дами (97 км или 5472 км), а от того — десятки ли это,
сотни или тысячи километров. В очень многих вопросах
играет основную роль не точное значение самой вели-
чины, а, как говорят, порядок величины, то есть коли-
чество цифр в числе при его обычной записи в десятич-
ной «системе счисления. Так, число 5472 заключено меж-
ду 1000=103 или 10000=104, и удобно говорить, что
5472 — число порядка 104. Впрочем, если вспомнить
логарифмы, то вместо неравенства 103<5472<104 мож-
но написать 3<log 5472<4. Таким образом, оценка по-
рядков величин удобна в логарифмической шкале.
В теории информации обычно пользуются не деся-
тичной, а двоичной системой счисления, то есть записы-
вают числа лишь с помощью последовательностей из
нулей и единиц. При этом, как мы уже установили в
конце раздела «Многомерное пространство», количество
всевозможных наборов п чисел из нулей и единиц рав-
но 2”.
Следовательно, порядок величины в двоичной систе-
ме счисления также определяется логарифмической за-
висимостью, ибо само число п равно логарифму от 2",
но только логарифму не десятичному, а взятому по ос-
нованию 2.
Уже в первом разговоре с физиологом шла речь о
совершеннейшем механизме природы — зрительном ап-
парате человека и животных. Хочу обратить ваше вни-
мание на то, как справляется этот аппарат с колоссаль-
ным разнообразием яркостей, встречающимся в жизни.
Единица яркости в оптике носит название стильб (сб).
Вот некоторые примеры яркостей светящихся тел:
яркость ночного безлунного неба — около 10-8 сб;
яркость полной Луны, видимой через атмосферу, —
0,25 сб;
яркость керосиновой лампы — 1,5 сб;
247
яркость металлического волоска лампы накалива-
ния — около 200 сб;
яркость Солнца — около 1,5* 105 сб.
Смотреть незащищенными глазами на Солнце боль-
но, но менее яркие предметы можно рассматривать и
даже различать их яркость. Физиологами установлено,
что отношение наименьшей и наибольшей яркостей, ко-
торые уверенно различает глаз, — это величина поряд-
ка 1012. Справиться с этим огромным диапазоном ярко-
стей зрительный аппарат может только за счет лога-
рифмического масштаба. Многочисленные опыты пока-
зали, что глаз действительно реагирует на величину
логарифма яркости.
Таким образом, для оценки величины информации,
содержащейся в яркости светящегося тела, естественно
использовать логарифмическую меру.
Теперь заметим, что для передачи по каналу связи,
скажем, трехзначного числа (в десятичной системе счцс-
ления) вовсе не нужно передавать трехзначное количе-
ство каких-нибудь символов. Нужно передать лишь три
символа, причем каждый из них может принимать одно
из десяти возможных значений, которые будут соответ-
ствовать записи этого числа обычными цифрами.
Запись того же числа в двоичной системе счисления
содержит не более десяти двоичных символов, ибо
210 = 1024. Поэтому если пользоваться обычным теле-
графным кодом, то есть использовать лишь два сигна-
ла, например, посылку тока и паузу, то для передачи
любого из трехзначных чисел надо не более 10 таких
сигналов.
Следовательно, и при передаче информации по ка-
налу связи логарифмическая мера оказывается естест-
венной.
Использовать логарифмическую меру для количест-
венной оценки информации, передаваемой по каналу
связи, предложил Хартли еще в 1928 году. Но Шеннон
пошел значительно дальше — он использовал вероят-
ности различных сообщений.
Если в сообщении не содержится никакой неопреде-
ленности, то есть его содержание заранее известно (бро-
шенный камень упадет на Землю) и, следовательно, не
несет никакой информации, то удобно считать в этом
случае количество информации равным нулю. Чем мень-
ше шансов данному сообщению быть переданным,
248
то есть чем меньше его вероятность, тем выше следует
количественно выразить получаемую информацию при
реализации этого исхода. Таким образом, меру количе-
ства информации следует ввести так, чтобы количество
информации, содержащейся в сообщении, возрастало
при уменьшении его вероятности. Естественно так вве-
сти меру количества информации, чтобы при двукрат-
ном повторении сообщения (независимым образом) ко-
личество информации удваивалось, при трехкратном
повторении — утраивалось и т. д.
Доход рабочего, получающего сдельно, следует ха-
рактеризовать среднесуточной зарплатой, а не заработ-
ком за один какой-нибудь день. Подобно этому в теории
информации существенной характеристикой является
не количество информации, приобретаемой при осуще-
ствлении опыта. И так как исход опыта случаен и под-
чинен определенному распределению вероятностей, то
в качестве среднего надо взять уже знакомое матема-
тическое ожидание.
Предположим, что запас возможных сообщений со-
стоит всего из двух сообщений с вероятностями Р\ и Р2
(всегда при этом Рг + Р2=1). Тогда, следуя К. Шенно-
ну, среднее количество информации, приобретаемое при
передаче такого сообщения, равно:
I=—P\logP\ — PzlogP2
(минусы здесь поставлены для того, чтобы количество
информации было положительным числом, ибо вероят-
ности Р меньше единицы, и, следовательно, их логариф-
мы отрицательны).
Далее определение количества информации в об-
щем случае вводится так, что если опыт независи-
мым образом повторяется дважды, приобретаемое коли-
чество информации удваивается, если повторяется
трижды — количество информации утраивается
и т. д.
Соображения и рассуждения, которые я приводил
до сих пор, наверное, представлялись вам довольно
очевидными. Но появление ни с того ни с сего лога-
рифма может показаться неоправданным.
Оказывается, если исходить из некоторых очевид-
ных свойств, которыми нам хочется наделить вводимое
понятие количества информации, то единственной ме-
249
рой, обладающей нужными свойствами, будет именно
логарифмическая мера. Это теорема Шеннона. Я не бу-
ду обременять вас ее доказательством: хотя оно и эле-
ментарно, но длинно *.
Пожонглируем немножко с последней формулой. Так
как Р%=^1—Pi, то перепишем формулу в виде:
I^-P.logPi - (1 - Pi) log (1 - Л)
Теперь / — функция одного переменного — вероятно-
сти Pi, и без труда можно нарисовать график функции,
если, конечно, вспомнить понятие логарифма либо вос-
пользоваться таблицами. На рисунке 96 представлен
график этой функции. Сразу видно, что количество ин-
формации / равно нулю только тогда, когда либо Pi = О,
либо Pi=l. Но это означает, чго либо первый исход
никогда не осуществляется и, следовательно, при лю-
бом опыте наступает второй, либо (при Л = 1) всегда
осуществляется лишь первый исход. В действительности
такая ситуация эквивалентна случаю, когда есть лишь
одно сообщение, а это и означает отсутствие в опыте
неопределенности и, следовательно, отсутствие инфор-
мации при приеме такого сообщения.
Наибольшее значение количество информации при-
обретает при Pi =!/г, то есть в случае, когда оба сооб-
щения равновероятны, как это имеет место при подбра-
сывании симметричной монеты. Здесь наибольшая
неопределенность в исходе опыта. Поэтому мы и оцени-
ваем в среднем ее наивысшим образом. Если пользо-
ваться двоичными логарифмами, то при Pi = V2 значе-
ние 1=1.
Обратимся к опытам с несколькими исходами. Если
сообщение состоит из букв, элементарный исход состоит
в появлении буквы и букв по-прежнему 32, то средняя
* Здесь, как и ранее, я рассчитываю на ваше доверие. Все же
если ваша любознательность выйдет за рамки этой книжки, почи-
тайте Шеннона или изложение его работы в достаточно элементар-
ной книге А. М. Яглома и И. М. Яглома «Вероятность и информа-
ция» (Физматгиз, 1960 г.). Впрочем, у Шеннона доказательство
вынесено в «Приложения», а соответствующий § 4 главы II у Ягло-
мов набран мелким шрифтом. Обычно это означает, что он адресо-
ван достаточно дотошному читателю.
250
Рис. 96
информация, приобретаемая при получении одной буквы,
будет равна:
/ = — P\logP{ — PzlogPz —... — PxilogPv
Здесь Pi, Р2...Р32 — вероятности появления букв
с соответствующими номерами.
Наибольшую информацию в среднем мы будем по-
лучать в случае, когда все буквы имеют одинаковую
вероятность появления.
В общем случае картина уже вам ясна. Замечу лишь,
что если запас возможных сообщений равен п, то наи-
большего значения среднее количество информации
достигнет в случае, когда вероятности передачи всех
к - 1
этих сообщении одинаковы и, следовательно, равны —
Тогда, как нетрудно подсчитать,
/мах = lOgn,
и, следовательно, с увеличением числа возможных сооб-
щений среднее количество информации растет весьма
медленно.
251
Пропускная способность
Поезда, курсирующие, скажем, между Москвой и
Ленинградом, перевозят грузы. Можно к паровозу при-
цепить больше вагонов и тем повысить грузоподъемность
состава, но при этом снизится скорость, с которой мо-
жет двигаться состав. Естественно назвать пропускной
способностью железной дороги наибольшее количество
груза (в тоннах), которое можно перевезти в час по
этой дороге, то есть количество груза, которое возмож-
но перевезти при наиболее выгодном распределении
грузов по локомотивам и при наиболее разумном рас-
писании движения поездов.
При передаче информации по каналу связи наблю-
дается весьма похожая ситуация. Для определенности
рассмотрим телеграфную передачу с двумя простейши-
ми элементарными сигналами — посылкой тока и
паузой.
При помощи этих двух элементарных сигналов пе-
редаются буквы, цифры и другие необходимые символы.
Так, например, код Бодо, используемый в современных-
буквопечатающих аппаратах, сопоставляет каждой из
32 букв определенную комбинацию из пяти посылок то-
ка или пауз одинаковой длительности *.
Элементарные сигналы, подобно груженым вагонам,
являются носителями передаваемой информации. Коли-
чество информации, которое можно «нагрузить» на
один элементарный сигнал, будет наибольшим в том
случае, когда элементарные сигналы равновероятны.
Элементарные сигналы имеют определенную продолжи-
тельность, следовательно, количество информации, ко-
торую можно передать по каналу в единицу времени,
ограниченно. Пропускной способностью канала связи
естественно назвать наибольшее количество информа-
ции, которое можно передать по каналу в единицу вре-
мени.
При движении поездов по железной дороге часть
грузов будет гибнуть. Это будет происходить по раз-
личным случайным обстоятельствам: из-за крушений и
стихийных бедствий, вследствие недосмотра обслужи-
* Если на каждом из пяти мест может быть лишь один из двух
символов (посылка или пауза), то всего различных сигналов будет
25=32.
252
вающего персонала и т. д. Если бы подобные обстоя-
тельства происходили часто, то необходимо было бы
учесть их при распределении грузов по составам и со-
ставлении графиков движения поездов. С подобным
положением приходится, например, реально сталкивать-
ся во время войны, когда железнодорожные составы
подвергаются частым вражеским нападениям.
Однако при учете разных случайных обстоятельств,
приводящих к гибели части груза, все же можно гово-
рить о пропускной способности железной дороги: это
будет наибольшее количество груза, которое в среднем
можно перевезти в час по железной дороге (с учетом
потерь). Оно, конечно, уменьшится по сравнению с ко-
личеством груза, которое можно перевезти, если ника-
ких потерь груза не будет.
Аналогичная ситуация имеется в канале связи: по-
мехи, действующие в канале, искажают передаваемые
сигналы, и в результате теряется часть передаваемой
информации.
Однако и здесь сохраняется понятие пропускной
способности канала: это наибольшее количество инфор-
253
мации, которое можно передать в среднем за единицу
времени по каналу в присутствии помех.
Пропускная способность канала при наличии помех
определяется только количеством и продолжительностью
элементарных сигналов и вероятностями их искажений
помехами (то есть вероятностями того, что был передан
один элементарный сигнал, а вместо него принят дру-
гой) и больше ни от чего не зависит.
Кодирование
Наверное, при разговоре по телефону и плохой слы-
шимости вы многократно кричите в трубку: «Алло!
Алло! Плохо слышно! Повторите!» Я опускаю другие
более крепкие выражения, так же медленно приводящие
к успеху. Конечно, даже при большом уровне помех,
при очень плохой слышимости, если повторять каждое
слово очень много раз, то ваш собеседник разберет все,
что вы хотите ему сообщить. Но тогда на разговор
уйдет очень много времени. То же относится и к теле-
графной передаче и к другим системам передачи
информации: многократное повторение дает возможность
надежно принять информацию, но при этом резко пада-
ет скорость передачи.
А нельзя ли осуществить надежный прием сообще-
ний, не уменьшая скорости передачи информации?
Широко известна азбука Морзе, в которой буквы
представлены последовательностями из точек и тире.
Это код. Впрочем, совсем не существенно, будут ли
использованы точки и тире, или нули и единицы, или
посылки тока разной полярности. Вот несколько приме-
ров кодов азбуки Морзе:
Буква А Б В Г Д Е Ж
Код 01 1000 ОН ПО 100 0 0001
Вы помните таблицу вероятностей появления букв
в русском языке, которая была приведена в одном из
предыдущих разделов. Заметьте: в азбуке Морзе коды
состоят из различного количества символов, и более
часто встречающиеся буквы имеют более короткие коды.
В упоминавшемся раньше коде Бодо все буквы за-
писаны одинаковым количеством символов. Вот коды
тех же букв:
254
Буква А Б В ГД ЕЖ
Код 10000 00110 01101 01010 11110 01000 00011
Такие коды называют равномерными в отличие от
неравномерных кодов, подобных коду Морзе, где эле-
ментарные сообщения имеют различную продолжитель-
ность.
Очевидна разумность использования неравномерного
кода: не нужно тратить столько же времени на передачу
часто встречающегося сообщения (буквы Е), сколько и
на передачу редко встречающегося (буквы Ж). Но зато
равномерные коды имеют ряд преимуществ при реали-
зации. Например, при передаче с помощью кода Морзе
требуется еще дополнительный знак для разделения
букв, иначе будет полная путаница. При использовании
кода Бодо ясно, что каждые последовательно поступа-
ющие пять символов — это буква, и сообщения легко
разделяются.
Впрочем, наличие специального знака для разделе-
ния букв тоже спасает не всегда. Разделительный знак,
как и всякий другой символ, может быть искажен. Если,
например, в слове ДА (100-01) разделительный знак
выпадет, то получившаяся последовательность 10001 мо-
жет быть расшифрована и как НУ (10-001), и как НИТ
(10-00-1), и как ТЖ (1-0001), и еще иначе.
Все же можно построить двоичный код без помощи
разделительных знаков. Здесь можно воспользоваться
теорией графов. Идея состоит в том, чтобы не исполь-
зовать комбинации, начальная часть которых уже ис-
пользована в качестве самостоятельной комбинации.
Например, можно применить комбинации 10 и 001,
но нельзя применить 10 и 100, так как если уже переда-
но 10, то неизвестно, передана ли полностью комбина-
ция 10 или лишь первые два элемента комбинации 100.
Выбрать нужные комбинации нам поможет граф — де-
рево. В двух верхних узлах (рис. 97) пишем 0 и 1 и за-
тем на каждом шаге, спускаясь вниз, приписываем
справа еще 0 или 1. Таким образом, на n-м шаге будут
выписаны все комбинации из нулей и единиц, содержа-
щие п символов.
Код без разделительных знаков будем строить по
следующему алгоритму (правилу). Если мы выбрали
уже какую-либо комбинацию, скажем, 010, то вся часть
дерева, во главе которой находится эта вершина, дальше
255
о
Рис. 97
не используется. В примере, представленном на рисун-
ке 97, используемые вершины обозначены кружочками,
а используемые ребра нарисованы жирно.
При этом выбор комбинации исключает возможность
использования всех дальнейших комбинаций, отвечаю-
щих разветвлениям графа.
Таким образом, можно выбрать любое нужное коли-
чество неперепутываемых кодовых комбинаций.
При выборе указанных на рисунке 97 комбинаций
1, 010, ОН, 0000, 0001, 00100, 00101, 00110, 00111 любая
непрерывно переданная последовательность этих комби-
наций разделяется единственным образом. Скажем, по-
следовательность 00100111001110100110001 разделяется
так: 00100-1-1-1-00111-010-011-0001, и по-другому вам ее
разделить не удастся, если использовать только выбран-
ные нами комбинации.
Граф не только дает возможность выбрать непере-
путываемые комбинации, но и расшифровать получен-
ную последовательность. Именно, последовательно ша-
256
гая от вершины графа вправо, если 1, и влево, если О,
доходим до кружка, обозначающего одну из комбина-
ций. Поставив разделительный знак «—», возвращаем-
ся к вершине и вновь начинаем шагать по графу. Ко-
нечно, такое движение по графу легко автоматизи-
ровать, поручив эту «прогулку» вычислительной
машине.
Итак, в кодах, подобных кодам Морзе и Бодо, коди-
руется отдельно каждая передаваемая буква. За счет
выбора кода можно улучшить дело: уменьшить количе-
ство неправильно принимаемых букв или увеличить ско-
рость передачи при сохранении ее качества. Но достиг-
нуть кардинального улучшения на этом пути не удается.
Поэтому поищем другой подход к проблеме кодиро-
вания.
Поздравительные телеграммы к Новому году при-
нимаются по льготному тарифу. Можно послать любую
из нескольких стандартных телеграмм. При передаче
такой телеграммы нет необходимости передавать весь
текст, достаточно лишь передать адрес получателя и
17 Я. Хургин
257
номер или шифр выбранной отправителем телеграммы.
Передача шифра занимает, конечно, значительно мень-
ше времени, чем текст телеграммы; это дает возмож-
ность снизить тариф.
Предположим, что передаются не поздравительные,
а служебные телеграммы, например, сообщения о бан-
ковских операциях. Они также имеют стандартный ха-
рактер. Но при передаче таких специальных сообщений
надежный прием имеет решающее значение. Кодируя
телеграммы соответствующими номерами или шифрами,
мы имели бы возможность освобождающееся время ис-
пользовать для повышения надежности передачи.
Для этого, например, можно было бы повторять номер
телеграммы несколько раз.
Мы уже обсуждали вопрос о структуре языка, где
слова — это не всевозможные сочетания букв, а только
некоторые из возможных.
Вы, наверное, хорошо знаете игру в слова, которой
развлекаются школьники и студенты во время неинте-
ресных лекций и уроков. Нужно, используя лишь буквы
выбранного слова, составить всевозможные другие ос-
мысленные слова. Из большого слова вроде «электри-
фикация» можно составить примерно 200 осмысленных
слов — существительных в именительном падеже.
Я несколько изменю условия. Возьмем три буквы —
А, К, Р и составим всевозможные слова из этих трех
букв, допуская и их повторения. Таких слов будет
З3 = 27. В таблице выписаны все эти слова и прописны-
ми буквами отмечены те, которые имеют смысл на рус-
ском языке.
ааа каа раа
аак КАК РАК
аар КАР рар
ака кка рка
АРА кра рра
акк ккк ркк
АКР ккр ркр
арк крк ррк
арр крр ррр
Из 27 слов осмысленных оказалось всего 5.
Количество слов в полном словаре русского языка
порядка 100 тысяч, а только всевозможных семибуквен-
ных сочетаний из 32 букв русского алфавита, очевидно,
258
будет 327, то есть более 30 миллиардов. Но ведь в рус-
ском языке есть слова из 10, 12, 15 букв! Мой старин-
ный друг А. Д. Мышкис, внимательно прочитавший пер-
вое издание книжки и сделавший много полезных за-
мечаний, написал мне, что он сам видел такое длинное
слово — виноградосоковыжимательница. Предостав-
ляю вам, читатель, удовольствие посчитать здесь коли-
чество букв. Таким образом, в языке при образовании
слов используется лишь небольшая доля возможных
буквенных сочетаний, и на миллионы бессмысленных
слов приходится лишь одно содержательное.
Модель языка
и передача информации
Вспомните, пожалуйста, модель языка в виде цепи
Маркова. В этой модели вероятности последующих букв
зависели от предыдущих сочетаний букв. Можно, поль-
зуясь переходными вероятностями, подсчитать вероят-
ности различных многобуквенных сообщений. Скажем,
среди всевозможных семибуквенных слов будут такие,
как эщишъэа, для которых вероятность передачи по те-
леграфу практически равна нулю. Будут такие, как
выезжаю, вероятность передачи которых значитель-
на, и такие, как пиф-паф, — вероятность их передачи
мала.
Я буду дальше делить все сообщения на две катего-
рии: высоковероятные и маловероятные. Хотя такое де-
ление кажется условным, но ему можно придать точный
смысл. Главное состоит в том, что не только вероят-
ность каждого маловероятного сообщения незначитель-
на, но и сумма вероятностей всех вместе маловероят-
ных сообщений весьма мала.
Когда создается система передачи информации, то
разумно ее строить так, чтобы высоковероятные сооб-
щения воспроизводились надежно. Что же касается
маловероятных сообщений, то нет смысла принимать
специальные меры для их безошибочной передачи, коль
скоро почти наверное их вообще передавать не будут.
Клод Шеннон рассмотрел передачу по каналу связи
последовательности сообщений, представляющей собою
цепь Маркова.
Это не обязательно человеческий язык. Последова-
тельность команд для управления каким-либо агрега-
17*
259
том, процесс течения болезни, последовательность хими-
ческих превращений часто могут быть описаны с по-
мощью цепей Маркова.
Вы уже обратили внимание на возможность заме-
нить кодирование отдельных букв или символов коди-
рованием целых слов или, лучше сказать, целых бло-
ков из символов.
И если последовательность на входе канала связи —
это цепь Маркова, то можно, взяв блоки символов до-
статочно длинные, разделить все сообщения на срав-
нительно небольшую группу высоковероятных сообще-
ний — их и надо передавать, а не весьма обширную
группу маловероятных блоков, о качественной передаче
которых не следует заботиться. Их можно даже вовсе
не передавать, столь маловероятно их появление.
А теперь нужно выбрать метод кодирования для
группы высоковероятных блоков. Чем длиннее будут
кодируемые цепочки символов, тем экономичнее, выгод-
нее можно выбрать кодирование.
Основной факт теории
передачи информации
Если количество грузов (в тоннах), поступающих
в среднем в час на станцию Москва-Товарная, не пре-
вышает пропускной способности железной дороги Мо-
сква — Ленинград, то эти грузы могут быть доставлены
в Ленинград. Только для этого график движения поездов
должен быть составлен специальным образом.
Если же поступающее количество грузов превышает
пропускную способность дороги, то все грузы перевезе-
ны быть не могут, они будут постепенно накапливаться
на складе, и в конце концов понадобятся дополнитель-
ные меры, чтобы перевезти все грузы по назначению.
Примерно аналогичная картина наблюдается при
передаче информации по каналу связи. Если среднее
количество информации, поступающей на вход канала
связи в единицу времени, будет меньше пропускной спо-
собности канала, то возможно передать всю эту инфор-
мацию по каналу и правильно ее расшифровать на
выходе канала. Сделать это можно, если выбрать под-
ходящее кодирование.
Если же количество информации, поступающей в ка-
260
нал в единицу времени, больше пропускной способности
канала, то всю информацию передать невозможно.
Эти утверждения сначала кажутся очевидными. Но
напомню: в канале действуют помехи, искажающие слу-
чайным образом сигналы, передаваемые по каналу.
А речь идет о правильной, безошибочной расшифровке
передаваемой информации. И поэтому при более вни-
мательном отношении к нашему утверждению оно
представляется ошибочным: раз есть в канале помехи,
случайным образом искажающие сигналы, а значит и
искажающие информацию, которую несут эти сигналы,
то вроде бы невозможно безошибочно принимать ин-
формацию в присутствии помех.
Однако наше первое утверждение верно; подчерк-
нем некоторые его стороны.
Мы не забыли, что часть сигналов может быть иска-
жена, но ведь и при действии рассматриваемых случай-
ных помех какая-то информация будет передаваться по
каналу. Передаваемое нами количество информации
лишь не должно превышать наибольшего возможного
количества информации, которое все же можно передать
по рассматриваемому каналу в присутствии помех; это
количество информации (в единицу времени) и было на-
звано выше пропускной способностью канала.
Для осуществления такой передачи, конечно, должен
быть подобран специальным образом метод кодирова-
ния. Этот метод так подбирается, чтобы, несмотря на
искажение отдельных сигналов, все же информация, не-
сомая группой сигналов, могла быть однозначно рас-
шифрована. Для этого приходится кодировать сразу
длинные блоки, а не отдельные символы или буквы.
Если быть точным, следует сделать еще одно заме-
чание: для осуществления кодирования, весьма близкого
к наилучшему, пришлось бы кодировать все более длин-
261
ные сообщения, что весьма затруднительно технически.
Как сложно было бы, например, кодировать сразу еди-
ным образом как одно сообщение все телеграммы, кото-
рые надо передать за сутки из Москвы в Ленинград!
Поэтому утверждение наше о возможности безошибоч-
ной передачи следует понимать так: чем с большей на-
дежностью, то есть чем с меньшим числом ошибок
нужно передать информацию, тем сложнее будет метод
кодирования.
Итак, вместо неискаженного воспроизведения пере-
даваемых сигналов, которые повреждаются помехами в
канале связи, — сложное кодирование, которое дает
реальную возможность воспроизведения передаваемой
информации с как угодно малым количеством ошибок.
Эта замечательная идея и теория, обосновывающая
возможность такого кодирования, да и некоторые мето-
ды построения кодов принадлежат Клоду Шеннону.
Но как же реально строить коды, которые реализу-
ют идеи Шеннона? Есть много способов построения
таких кодов. За последние 10—15 лет теория построе-
ния помехоустойчивых кодов широко развилась, и здесь
достигнуты значительные успехи.
Задача построения таких кодов — это увлекатель-
ная математическая задача. Многие методы построения
кодов вполне элементарны и занимательны, но для рас-
сказа о них потребовалось бы слишком много места,
а я и так уж слишком надолго занял ваше внимание
проблемами теории передачи информации.
А как же быть
с содержанием?
Все-таки если вы не конструктор системы связи, а,
скажем, отец ребенка, то вам не покажется равноценной
информация о рождении девочки (а не мальчика) или о
четности или нечетности номера трамвайного билета.
Вам представляется более важным содержание, смысл
получаемого сообщения, чем его вероятность.
Трудно с вами не согласиться. Но как же ввести
меру содержательности, ценности, важности сообщения?
Как изучать смысловую, или, как ее называют, семан-
тическую, информацию? Да и вообще можно ли ее изу-
чать?
262
. Сообщение об открытии нового антибиотика несет
совершенно различную смысловую информацию ребен-
ку, научившемуся читать по слогам, школьнику девятого
класса, студенту-микробиологу и ведущему специалисту
по антибиотикам, так что для разных получателей одна
и та же информация, как правило, представляет раз-
личную ценность.
В статистической теории информации, о которой под-
робно было рассказано в предыдущих разделах, счита-
лось, что получатель информации способен извлечь всю
передаваемую ему по каналу связи информацию, и оце-
нивалось именно это наибольшее количество информа-
ции. Иными словами, речь шла о потенциальной воз-
можности извлечь из данного сообщения некоторое
количество информации, а не о том, какую информацию
способен извлечь из поступающего сообщения вполне
определенный получатель.
В то же время способность извлечь информацию из
сообщения зависит от запаса сведений, которыми обла-
дает получатель сообщения. Именно поэтому сообщение
об открытии нового антибиотика несет различную ин-
формацию ребенку, школьнику, студенту и специалисту
по антибиотикам.
Будем представлять себе запас исходной информа-
ции, которой обладает получатель, в виде словаря, в ко-
тором не только перечислены слова, но и указаны связи
между ними. Например, если в словаре указаны слова
«школьник» и «книга», то должно быть указано еще и
отношение между ними: школьник читает книгу или
школьник имеет книгу, а не книга читает школьника
или как-нибудь еще.
Автор излагаемого здесь подхода при изучении
семантической информации советский математик
Ю. Шрейдер назвал такой словарь тезаурусом. Это сло-
во греческое и означает сокровище, но, впрочем, это не
существенно, как я уже говорил в разделе «Как возни-
кают термины».
Вследствие того, что тезаурус у младенца, школьни-
ка, студента-микробиолога и специалиста по антибио-
тикам разный, сообщение об эффективности стрептоми-
цина при лечении воспаления легких принесет им
различную информацию. При этом младенец такую ин-
формацию не воспримет (ее естественно положить рав-
ной нулю), школьник получит меньше информации, чем
263
студент, изучающий курс фармакологии, а специалист
вновь не получит информации — он это уже давно знает.
Таким образом, размеры получаемой информации зави-
сят ог величины (или развития) тезауруса получателя,
и если эту информацию изображать графически, то она
выглядит подобно положительной полуволне синусоиды,
где максимум соответствует получателю, у которого до-
статочно сильно развит тезаурус, чтобы воспринять
принимаемую информацию, но еще недостаточно для
того, чтобы эта информация ему не несла ничего нового.
Когда новое сообщение поступает к получателю, его
тезаурус как-то изменяется, преобразуется. При этом
наибольшие изменения произойдут в тезаурусе достаточ-
но подготовленного получателя, но еще не слишком,
чтобы подступающее сообщение ему еще не было извест-
но или достаточно очевидно.
При таком подходе можно в качестве меры инфор-
мации, приобретаемой данным получателем при поступ-
лении к нему сообщения (или меры информации, содер-
жащейся в данном сообщении относительно данного
получателя), взять степень изменения тезауруса под
влиянием принятого сообщения. Конечно, нужно еще
предложить количественную меру этого изменения, и
это делается в работах Ю. Шрейдера. Впрочем, сейчас
положено лишь начало этого трудного направления
исследований, и я не могу в нескольких словах пояснить
суть дела. Во всяком случае, после почти двадцатилет-
него торжества статистической теории информации и
критического пересмотра ее исходных предпосылок, сей-
час появилось обнадеживающее направление исследова-
ний, которое дает возможность учесть смысловое содер-
жание сообщений. А это сулит новые успехи в интерес-
нейшей области науки об информации.
Что могут
математические
машины
На обложке популярного журнала вы видите пре-
лестную девушку, сидящую в современном кресле за
пультом электронной вычислительной машины. Из тек-
ста на обороте страницы становится известно, что де-
вушка-оператор выполняет труд тысяч вычислителей,
совершает арифметические действия с баснословной
скоростью и небывалой точностью. Для нее нет труд-
ностей и преград...
Однако это плохая реклама. Прежде всего девушка
здесь ни при чем. Задачи решает не оператор и не ма-
шина — задачи решают математики! И не те два или
три, которые принесли оператору программу (то есть
совокупность инструкций для действий математической
машины), хотя и их труд был подчас велик и нелегок.
В решении каждой задачи на машине зримо, или незри-
мо виден гений многих поколений великих математиков,
в том числе и наших современников.
Что же касается электронной вычислительной техни-
ки, то если бы задача состояла лишь в усовершенство-
вании труда вычислителей, конторских служащих или
кассирш, не нужно было бы создавать устройства,
производящие десятки тысяч или миллионы арифмети-
ческих операций в секунду. Эту работу могут выполнять
значительно более простые и дешевые устройства. Важ-
но другое: появилась возможность решать качественно
новые задачи. Ибо, даже посадив за конторские счеты
265
все 3 миллиарда жителей Земли, нельзя успеть подсчи-
тать траекторию движения ракеты за время ее полета.
А на электронной вычислительной машине это сделать
можно.
Итак, речь пойдет о возможностях современных ма-
тематических машин. Я сознательно не написал — бы-
стродействующих и электронных. Уже сейчас создаются
машины, в которых нет электронных устройств, а быст-
родействие не всегда является их главным достоинст-
вом. Например, в некоторых системах управления
процессами нефтепереработки, в некоторых процессах
химической промышленности нельзя использовать элек-
тронные устройства: случайное короткое замыкание или
небольшая искра может вызвать взрыв или пожар.
Кроме того, процессы здесь протекают сравнительно
медленно, и поэтому вместо электронных устройств в
таких производствах используют устройства пневмати-
ческие. Сейчас развивается новая отрасль науки, кото-
рую назвали пневмоникой. Все арифметические и логиче-
ские операции, выполняемые в электронной вычисли-
тельной машине посредством преобразования электри-
ческого напряжения или тока, в пневматических
вычислительных устройствах производят с помощью пре-
образований потоков воздуха, да еще и при давлениях,
весьма незначительно отличающихся от нормального.
Не подумайте, пожалуйста, будто я хочу убедить вас
в том, что быстродействие математических машин —
не существенная деталь.
266
Задачи экономического характера, например, состав-
ление месячного или годового плана работы завода или
годового плана в масштабе всей страны, требуют пере-
бора очень большого количества вариантов и выбора
среди них наилучшего. Конечно, лучший план должен
оптимизировать какой-либо критерий, но об этом мы
уже вели речь. Однако от общей теории до практиче-
ских воплощений — большая дистанция, и сейчас рабо-
тают многие коллективы математиков и экономистов
над внедрением математических методов и математиче-
ских машин в экономику. Трудности здесь огромны,
в том числе и вычислительные.
Вспомните, пожалуйста, задачу о распределении ра-
бот, описанную в разделе «Граф». Казалось, совсем про-
сто решить задачу: надо перебрать все варианты.
Но если у вас всего десять сотрудников и десять работ,
то количество возможных способов размещения работ
по сотрудникам будет равно 3 628 800.
В самом деле, если первый из десяти человек может
выполнять любую из десяти работ, то на долю второго
уже остается девять возможностей, на долю третьего —
восемь и т. д. Число всех возможных размещений бу-
дет равно произведению этих чисел:
10-9-8-...-2 • 1 = 10! = 3628 800
(читается «десять факториал»).
Если вы оснащены только канцелярскими счетами,
такое количество вариантов кажется вам огромным.
Для современной же электронной вычислительной ма-
шины обращение с подобными числами не представляет
ничего из ряда вон выходящего.
Но если, не меняя существа задачи, увеличить количе-
ство сотрудников до тридцати, то аналогичные рассуж-
дения приведут вас к числу 30! Это число, несмотря на
компактную запись, колоссально: оно превосходит 1033,
то есть единицу с тридцатью тремя нулями. Представить
его себе уже невозможно. Да и вычислительной машине
не справиться с перебором таких объемов. В самом деле
даже для математической машины, совершающей мил-
лион арифметических операций в секунду, понадобилось
бы на этот перебор более 1018 лет, то есть более милли-
арда миллиардов лет. А ведь может быть задача о
назначении для 100 и более сотрудников!
Поэтому нельзя полагаться просто на перебор всех
267
вариантов. Прежде чем передать задачу на вычислитель-
ную машину, нужна предварительная и порой очень
серьезная работа квалифицированных математиков.
Многие экономические задачи решаются методами
математического программирования. Скажем, задачи
линейного программирования сводятся к решению ал-
гебраических уравнений и неравенств. Знакомая из шко-
лы система двух линейных уравнений с двумя неизве-
стными, такая, как
5%1 + 4х2 == 25
2xi — 6х2 = —9,
решается в две-три строчки. Для этого нужно, напри-
мер, помножить первое уравнение на 2, второе на 5 и
вычесть из первого второе, найти с помощью сложения
и деления, что х2 = 2,5, затем подставить это значение
во второе уравнение и с помощью умножения, вычита-
ния и деления найти, что Xi = 3. Здесь требуется про-
извести лишь 9 умножений и делений и 6 сложений и
вычитаний; всего 15 арифметических операций.
Но если решать аналогичную систему из 800 уравне-
ний с 800 неизвестными, то потребуется выполнить
250 миллионов арифметических операций. В то же вре-
мя для исследования многих вопросов экономики и тех-
ники нужно решать задачи со значительно большим
объемом вычислений. Здесь, конечно, нужны и быстро-
действие, и устройства для хранения больших коли-
честв информации, и специальные приемы, ускоряющие
процесс нахождения решения.
Но, кроме вычислений, математическим машинам
можно поручать и принципиально другую работу. По-
видимому, сегодня уже многие теоремы элементарной
геометрии, даже те, которые не содержатся в школьных
учебниках и, быть может, вовсе не известны человечест-
ву, можно доказывать на математических машинах; для
этого составлены соответствующие программы.
Кажется, что доказательства теорем — это деятель-
ность, принципиально отличающаяся от арифметических
или логических операций, которые производятся при ре-
шении уравнений. Однако математические машины в
действительности производят лишь арифметические и
элементарные логические операции, операции перебора,
сравнения чисел и операции выбора (скажем, выбора
наибольшего числа из группы чисел). А для доказатель-
268
ства теорем — проведения доказательных рассужде-
ний — другие операции и не нужны.
Математической машине можно поручать сочинение
музыки» Математик и музыкант Р. Зарипов занялся мо-
делированием музыкального творчества на универсаль-
ной математической машине. Разобравшись в некоторых
общих законах музыкальной композиции, он составил
соответствующую программу для математической ма-
шины, и она ее выполнила — «написала» музыку.
Я слышал эту музыку — несколько вполне грамотных
пьес для виолончели, и некоторые из них доставили мне
удовольствие. Правда, когда слушаешь эти пьесы, то
кажется, что слушаешь уже знакомую музыку извест-
ных композиторов. Но такое иногда случается, даже
когда присутствуешь на концерте живого композитора...
Художник А. Блох, как мне кажется, оформил книж-
ку соответственно ее направленности. Но в этом месте
он не удержался и, как видите, на страницах 269, 271
и 305 изобразил робота. Здесь не только перепутан ком-
позитор с исполнителем, но, главное, искажен смысл
работы Р. Зарипова. Его достижение состоит в состав-
лении программы сочинения музыки для универсальной
269
математической машины. Работая по программе Р. За-
рипова, машина выдает на печать последовательность
цифр, с помощью которых определенным кодом записа-
ны обычные ноты. А исполнение музыкального произве-
дения после перекодировки — записи нот обычным спо-
собом — это дело музыканта-исполнителя.
Научной общественностью широко обсуждается во-
прос о целесообразности использования математических
машин для повышения эффективности обучения. У ме-
ня этот вопрос никаких сомнений не вызывает: безуслов-
но, разумное применение обучающих машин должно
дать хороший эффект. Но в процесс обучения людей
весьма медленно проникают новые методы.
Чтение лекций сейчас выглядит так же, как и сотни
лет назад. Я пишу формулы мелом на доске, стираю
тряпкой, диктую определения, которые каждый студент
может прочитать в учебнике, и завоевываю внимание
аудитории известной политикой «кнута и пряника»:
то рассказываю анекдоты и истории из жизни, то оста-
навливаю ехидным замечанием мило болтающих деву-
шек, то ставлю в глупое положение парней, дремлющих
после бурно проведенного вечера, отведенного им для
самостоятельной работы. А затем на экзамене доказы-
ваю студенту, что неудовлетворительную оценку он за-
служил справедливо. Приходится тратить на это пол-
часа, а то и час, хотя мне очевидна оценка через
несколько минут. Но студент не должен думать, будто
«пару» он получил нечаянно, вытянув «несчастливый»
билет, он должен сам оценить размеры бедствия.
В то же время уже сейчас кое-где поручили машинам
проводить экзамен, и результаты как будто неплохие.
Нет страха перед экзаменатором, но и нельзя его обви-
нить в необъективности: машина автоматически выстав-
ляет оценку в зависимости от количества правильных и
неправильных ответов на вопросы. Кое-какие успехи
есть и в применении математических машин в процессе
обучения; и надо надеяться, что это только начало.
Математики составили программы для игры в шах-
маты, и уже сейчас машины, вооруженные такой про-
граммой, неплохо играют. «Играют» машины и в более
простые игры: в домино и в «подкидного дурака».
Конечно, читатель-рационалист заинтересуется: кто
оплачивает эти развлечения математиков? Но програм-
мирование игры, например, в шахматы не развлечение —
270
это моделирование интеллектуальной деятельности че-
ловека.
В настоящее время довольно много внимания уде-
ляется составлению программ для перевода с одного
языка на другой. Рационалист опять может сказать, что
дешевле нанять переводчика. Да, сейчас, наверное, де-
шевле, зато, возможно, наступит время, когда будет
дешевле машинный перевод. Но дело не только в де-
шевизне: машинный перевод — это тоже модель интел-
лектуальной деятельности человека.
А что для нас может представлять больший интерес,
чем мы сами?
Разговор с психиатром
В самом деле, мне представляется, что нет более ин-
тересного объекта для изучения, чем человек и особен-
но его интеллект. Каждый психиатр сталкивается с уди-
вительным многообразием человеческих характеров, с
уклонением от привычных норм в мышлении. И если пси-
хиатр сумеет все это увидеть, а потом рассказать, то не
услышишь более интересного рассказа.
Мне повезло: близкий друг нашей семьи — талант-
ливый психиатр и любознательный человек — в течение
271
многих лет держал нас в курсе наиболее важных собы-
тий в своей практике. Если добавить, что психиатр —
очаровательная женщина и великолепный рассказчик, то
мне повезло вдвойне.
Не прошел мимо нее и мой интерес к кибернетике,
биологии, медицине. И хотя я ей рассказывал о своих
беседах с физиологами и медиками, до недавнего време-
ни ей казалось, что пока в области психиатрии эти новые
подходы неприменимы. Но вот несколько лет назад...
Психиатр. Мне бы хотелось с тобой посовето-
ваться по поводу моей работы.
Я. С удовольствием. Но какой тебе от меня мо-
жет быть толк?
П. Мне нужно выбрать направление своей дея-
тельности. Тут что-то надо менять. Как ты знаешь,
я изучаю группу так называемых инволюционных,
или предстарческих, психозов. Сейчас я собрала
катамнезы * своих старых пациентов. Таким обра-
зом, имеется возможность посмотреть ход их бо-
лезни во времени. И надо как-то это обработать.
Я. Что значит — обработать?
П. Ну, сделать какие-то выводы. Сейчас видно,
правильно ли я ставила им диагноз, скажем, 10—
15 лет назад.
Я. Предположим, что мы вычислим процент
правильно поставленных тобой диагнозов. Что же
мы узнаем? Мне кажется, что в лучшем случае
удастся лишь выяснить твою квалификацию в те
годы. Тогда, конечно, можно будет поставить во-
прос о неправильном начислении тебе зарплаты
15 лет назад, если ты часто ошибалась, и потребо-
вать перерасчета в твою пользу в случае малого
процента ошибок. Правда, тут надежда на успех
мала.
П. Нет, не шути, я говорю серьезно.
Я. СкажЬ, а этот процент можно сейчас уста-
новить абсолютно достоверно? Я имею в виду на-
дежность диагностики состояния больных в данное
время.
П. В каком-то британском медицинском журна-
ле статья по психиатрии начиналась так: «Неврас-
* Анамнез — история жизни и болезни до момента обследова-
ния, катамнез — это исход болезни, ее история после лечения.
272
теник — это субъект, строящий воздушные замки.
Шизофреник — человек, живущий в одном из та-
ких замков. Психиатр — сборщик арендной и
квартирной платы с этих людей».
Как видишь, этот автор различает неврастеника
от шизофреника, но он не учитывает возможности
индивидуума сначала построить воздушный замок,
а затем поселиться в нем.
Говоря серьезно, достоверно установить диаг-
ноз не всегда легко.
Недавно я организовала для одной из больных
консультацию у своего научного шефа, и мы не
смогли с ним прийти к единому мнению: шизофре-
ния у больной или психопатия.
Я. Но есть случаи, когда диагностика одно-
значна?
П, Да, довольно часто. Во всяком случае, ква-
лифицированные психиатры одной и той же шко-
лы, как правило, дают одинаковую диагностику.
Я. А что меняется, если поставить другой диаг-
ноз? От этого улучшится состояние здоровья боль-
ных?
/7. Сразу — едва ли. Но методика лечения мо-
жет значительно меняться.
Я. А сколько же можно поставить разных диаг-
нозов в изучаемых тобой близких ситуациях?
П. Мы диагностируем довольно много болез-
ней. В рамках психозов позднего возраста, кото-
рыми я занимаюсь, можно насчитать 7 отчетливых
клинических форм. Это практически диагностируе-
мые болезни. При более углубленном и дробящем
анализе, с расчетом на казуистику, будет, вероят-
но, более 20 заболеваний.
Я. И у каждого заболевания свой метод лечения
или методов лечения меньше, чем болезней?
П, Пока мы не имеем для каждой болезни свое-
го метода лечения. Методов лечения меньше, чем
болезней.
Я. Зачем же нужно иметь больше диагнозов,
чем методов лечения?
П. Это трудный вопрос. Может быть, потом бу-
дем иметь больше методов лечения. Дело в том,
что за последние 10 лет появилась отдельная от-
расль знания, пограничная между психиатрией и
18 я. Хургин
273
фармакологией, так называемая психофармаколо-
гия. Число вновь синтезируемых психофармаколо-
гических препаратов неуклонно растет. В клинике
их применяют в чистом виде и в комбинациях,
эффект от них иногда разителен, иногда недоста-
точен. Клиницисты прибегают к новым сочетаниям.
Ясно, что постепенно мы научимся лучше и точнее
подбирать препараты, и не исключено, что в буду-
щем будет соответствие между точно и, главное,
своевременно сформулированным диагнозом и на-
значаемым видом лечения. Поэтому сегодня вполне
актуальна задача ранней диагностики. В поздних
состояниях диагноз очевиден, но лечение практиче-
ски безрезультатно.
Я. Хорошо. Предположим, что тебе удалось
сравнить диагнозы с исходом болезни у пациентов,
которые были у тебя под наблюдением. Ну и что?
/7. Вот именно: «Ну и что?» В психиатрии появи-
лось много подобных описательных работ. Может
быть, пришло время сделать какие-то более суще-
ственные и объективные обобщения, достоверно
выявить характерные особенности ранней стадии
болезни, которые ведут к тому или иному исходу.
Я. Но зачем это нужно, если путь больного к
развязке от тебя не зависит?
П. Нет, это не так, в некоторой степени зави-
сит. Во-первых, все-таки будет иначе идти лечение
при правильном диагнозе. Во-вторых, правильная
диагностика зачастую имеет важнейшее значение
для судьбы больного, например, при судебно-пси-
хиатрической экспертизе.
Понимаешь, от диагностики состояния обсле-
дуемого зависит установление вменяемости или
невменяемости при совершении преступления или
установление дееспособности при разборе граж-
данских дел. Следовательно, в зависимости от вра-
чебного заключения обследуемый может быть
осужден при установлении вменяемости в момент
совершения преступления. Или, скажем, обследуе-
мый может быть лишен права воспитывать детей
или состоять в браке в случае установления его
недееспособности.
Я. Да, это серьезные проблемы. А как же сей-
час вы с этим справляетесь?
274
П. В обычных случаях опытный психиатр без-
ошибочно ставит диагноз. Но и, так сказать, не-
обычных случаев больше чем достаточно. Мне
пришлось, например, консультировать одного
больного, который в связи с повторными право-
нарушениями многократно подвергался судебно-
психиатрической экспертизе в разных учрежде-
ниях, и диагностика колебалась между психопа-
тией и шизофренией и, соответственно, вменяе-
мостью и невменяемостью.
Я. Погоди, правильно ли я понял: шизофре-
ния — это болезнь, а психопатия — не болезнь,
так, что ли?
77. При шизофрении, представляющей собой
довольно распространенную форму заболевания,
у человека значительно искажается способность
мыслить, чувствовать и действовать. Эти три сторо-
ны теряют присущее им в норме единство (кстати,
позволяющее по мимике и поступкам безошибоч-
но понимать побудительные мотивы и направления
мыслей), и возникают явления разобщенности,
расщепления (schizo — расщепление, phrenos —
личность).
Таким образом, человек не может нести ответ-
ственность за свои поступки. А при расстройстве
психической деятельности, называемом психопати-
ей, пациенты могут управлять своими поступка-
ми, они все же подконтрольны себе. Понимаешь,
тут речь идет о дифференциональном разграниче-
нии сложных синдромов, и диагностические рас-
хождения могли быть обусловлены разнобоем в
определении ряда симптомов (признаков) болезни.
Я. Но я не знаю, что такое синдром.
П. Синдром — это определенный набор симп-
томов, иногда говорят — симптомокомплекс.
Я. Это уже понятнее. Из скольких же симпто-
мов состоит синдром?
/7. Это как когда: бывает три, пять, десять.
Я. И состояние вы характеризуете вполне оп-
ределенным симптомокомплексом, то есть каждый
симптом имеет вполне определенное значение,
смысл?
77. Более или менее определенное.
Я. Это я не понимаю. Давай упростим ситуа-
18* 275
Рис. 98
цию. Будем считать, что каждый симптом двоич-
ный, то есть может принимать только два значе-
ния. Обследуемый, например, возбужден — не
возбужден, ревнив — не ревнив и т. д.
П. Хорошо, хотя это уж слишком упрощает
ситуацию.
Я. Тебе кажется простой такая ситуация? Да-
вай подсчитаем. Если симптомокомплекс состоит
из 10 симптомов, то его возможных вариантов
будет 210 - 1024. И каждый из этих вариантов
описан и что-нибудь означает.
П. Откуда у тебя их столько взялось?
Я. Ага, вот видишь, а говоришь — упрощаю
ситуацию. Давай разберемся. Пускай у тебя всего
три двоичных характеристики: мужчина — жен-
щина, возбужден — не возбужден, ревнив — не
ревнив. Составим соответствующую схему (рис. 98).
Здесь перечислены все возможности. Как ви-
дишь, на каждом этапе количество вариантов
удваивается. Поэтому при трех симптомах ва-
риантов будет 23 = 8, а при 10 симптомах 210 =
1024.
276
П. Да, теперь поняла. Я и не представляла,
что их так много.
Я. Так что же вы делаете, как выпутываетесь
из этого положения?
П. Не смогу сразу сообразить, мне редко при-
ходится считать.
Я. Небось далеко не все варианты встречают-
ся, поэтому на самом деле их много меньше.
П. Да, конечно.
Я. Но как же вы производите отбор существен-
ных симптомокомплексов от несущественных?
П. У нас все делается как-то иначе. История
болезни в психиатрии — это сочинение в 15—20
страниц машинописного текста, и если она напи-
сана хорошо, то по ней можно себе представить
образ этого больного в мельчайших деталях.
Я. Зачем же это надо?
П, Люди все разные, и душевные болезни то-
же очень различно протекают.
Я. Но ведь и психиатры разные. Скажем, если
бы психиатрию выучили Ф. Достоевский, Л. Тол-
стой, А. Чехов, М. Горький, В. Тендряков и
В. Некрасов и взялись бы описать одного и того же
больного, то все они сделали бы это по-разному?
П. Да, конечно. В этом огромная трудность.
Я. Мне кажется, что вы сами себе создаете
трудности. Вы же не лечите больных индивидуаль-
но, а имеете всего несколько методов лечения. За-
чем же такое разнообразие описаний? Похоже, что
психиатрия не наука, а скорее искусство?
П. Да, действительно, психиатрия сегодня —
это искусство. Вместе с тем, по точному опреде-
лению А. С. Пушкина, надо ремесло ставить под-
ножием искусства. Вероятно, математический ана-
лиз набора симптомов в картине психической
болезни можно сравнить со знаниями палитры
красок для художника или овладением техникой
гамм, как исходной азбукой музыки, для пианис-
та. Поэтому, не отменяя искусства при установле-
нии диагноза психического расстройства, нам, пси-
хиатрам, нужен твой математический анализ. Вот
я тебя и спрашиваю: что же делать? Мне ясно,
что надо как-то иначе ставить вопрос, но как —
я себе плохо представляю.
277
Я. Скажи, а сколько симптомов вы описываете
в истории болезни?
П. Много, очень много. Я гак сразу сказать
не могу.
Я. Давай попробуем сделать вот что. Составь
подробнейшую анкету, пусть там будет несколько
сот пунктов. Ряд пунктов — это числа, например,
возраст, кровяное давление и т. д. Есть симптомы,
где оценки не цифровые. Но если это двоичные
характеристики, вроде ревнив — не ревнив, будем
ставить 1 и 0.
Если же симптом может быть выражен по-раз-
ному, то будем оценивать его, скажем, по четы-
рехбалльной системе, ибо едва ли нужна большая
детализация. Ведь врачи расходятся именно в
оценке деталей; поэтому чем будут грубее харак-
теристики, тем будет, по-моему, лучше.
П. Постой! Это новое соображение — чем гру-
бее, тем лучше. Мы всегда стараемся провести
исследование возможно тоньше.
Я. И имеете полный разнобой в оценках.
П. Да, действительно. Итак, предположим, что
я составлю такую анкету. Что потом?
Я. Затем ты возьмешь несколько сот больных,
о которых тебе все известно: и история болезни, и
исход. На них надо заполнить подробную анкету.
А затем попробуем использовать кибернетическую
диагностическую методику — программу распо-
знавания образов.
П. Что это даст?
Я. Во-первых, можно научиться автоматически
ставить диагноз; во-вторых, выяснить значимость
или информативность различных симптомов и ха-
рактеристик.
П. Знаешь, это же огромная работа.
Я. А даром ничего не получишь.
П. Ну что же, давай попробуем...
Распознавание образов
Игру в шахматы, сочинение мелодий, решение урав- |
нений и доказательство теорем — всю эту деятельность 1
математическая машина производит по определенным |
правилам, задающим последовательность логических |?
Я
278
или арифметических операций. Эти правила — про-
граммы — составляются человеком.
А могут ли математические машины, подобно лю-
дям или другим живым организмам, сами для себя со-
ставлять программу действий для достижения опреде-
ленной цели, или без подробной программы, составлен-
ной человеком, они ничего делать не могут?
Этот вопрос вызывает сегодня споры. Особенно ак-
тивно отстаивают неповторимость живого при составле-
нии программы целесообразного поведения, то есть
превосходство живого над машиной, биологи, меди-
ки и лица гуманитарных профессий. При этом под сло-
вом «машина» они понимают нечто сделанное руками
людей при помощи молотка, зубила или, в лучшем слу-
чае, паяльника.
Ну, а математики? Вот мнение Д. Пойя, крупного
математика и педагога, о котором я уже упоминал.
В книге «Математика и правдоподобные рассуждения»
он пишет:
«С самого начала было ясно, что эти два вида рас-
суждений (речь идет о доказательных и правдоподоб-
ных. — Я. X.) имеют разные задачи. С самого начала
они казались очень различными: доказательное рассуж-
дение казалось определенным, окончательным, «маши-
ноподобным», а правдоподобное рассуждение — смут-
ным, условным, специфически «человеческим». Теперь
мы можем видеть различие отчетливее. В противопо-
ложность доказательному умозаключению правдоподоб-
ное умозаключение оставляет неопределенным в высшей
степени существенный пункт: «силу», или «вес», заклю-
чения. Этот вес может зависеть не только от выяснен-
ных оснований, таких, как основания, выраженные в
посылках, но также от невыясненных, невыраженных
оснований где-нибудь в фоне человека, выводящего за-
ключение. У человека есть фон, а у машины его нет.
Действительно, вы можете построить машину, которая
выводила бы за вас доказательные заключения, но, я
думаю, вы никогда не сумеете построить машину, ко-
торая будет выводить правдоподобные заключения».
Итак, Д. Пойя не верит в то, что можно поручить
машине выводить правдоподобные заключения. Это им
было сказано в 1954 году. А сегодня мы с гордостью
за Человека можем сказать, что Д. Пойя ошибся: мож-
но научить машину строить правдоподобные рассужде-
279
ния, и она кое-где уже превзошла в этом деле своего
учителя.
Ситуация сложная, и я начну издалека. Грудного
ребенка прежде всего учат отличать маму от папы или
от бабушки. Ему многократно повторяют слова: мама,
папа, баба, указывая при этом на соответствующих лиц.
А мама-то все разная: то причесанная, то простоволо-
сая, то бодрая, то усталая, то в одном платье, то в
другом — и все это мама. То же происходит и с папой.
Но вот появляется какая-то личность с зачесом и на-
клоняется к ребенку. Ребенок радостно лепечет «папа»,
но мама говорит ребенку — «дядя». И ребенок должен
теперь научиться отличать папу от этого дяди, да и от
всех других дядей. Как это ему удается? Как происхо-
дит процесс обучения и последующего распознавания
дядей, тетей, кошек, слонов и автомобилей? Каков здесь
механизм? Ничего об этом нам точно пока не известно.
Как отличить женский портрет от мужского, осино-
вые листья от березовых? Ведь ни один лист березы не
совпадает точно с другим, они лишь похожи. И нельзя
ли научить математическую машину разделять всевоз-
можные объекты на классы похожих, подобно тому как
280
мы учим детей читать буквы, написанные разными
людьми и потому совсем не одинаковые, или подобно
тому как врачей обучают ставить диагноз болезни, ког-
да на свете нет двух одинаковых людей и двух одина-
ковых болезней. При этом машине заранее не задается
формализованный критерий, в соответствии с которым
происходит классификация; имеются лишь по несколь-
ку экземпляров объектов из этих классов, например, де-
сяток осиновых листьев и дюжина березовых.
Та же задача возникает при создании автомата для
чтения рукописного или машинописного текста, при по-
строении программы для математической машины, про-
изводящей классификацию стадии шизофрении или
диагностику рака. Конечно, такие автоматы моделиру-
ют функции мышления.
Первые автоматы Для распознавания зрительных об-
разов делались по аналогии со зрительной системой
животных. Зрительная система — одно из самых совер-
шенных и удивительных творений природы — одна из
самых сложных систем. Дно человеческого глаза со-
стоит примерно из 130 миллионов чувствительных к
свету клеток — палочек и колбочек. За слоем этих ре-
цепторов (клеток, воспринимающих раздражения) рас-
положено несколько слоев других клеток. Они сложным
образом перерабатывают поступающие сигналы и посы-
лают их в мозг. Там они снова и снова подвергаются
переработке. Процесс обработки световых сигналов зри-
тельным анализатором до конца еще не раскрыт, и
созданные пока модели дают возможность разобраться
в механизме работы этого сложнейшего аппарата лишь
в самых грубых чертах.
Один из пионеров моделирования функций мышле-
ния с помощью автоматов, американский инженер
Ф. Розенблатт назвал автоматы, моделирующие функ-
ции нейрофизиологических систем, перцептронами. Сло-
во «перцептрон» происходит от латинского слова «пер-
цепция», что означает восприятие.
Я не буду рассказывать ни о теории перцептронов,
ни о практике создания их моделей человеком. Идеи,
на которых основаны различные перцептроны, очень
интересны, но практически их воплощения для реше-
ния достаточно сложных задач наталкиваются пока на
значительные трудности.
Поэтому многие ученые, занимающиеся проблемой
281
Рис. 99
моделирования распознавания образов, начали поиски
других путей. И об одном из них я сейчас расскажу.
На рисунке 99 изображены прямоугольники двух
классов. Можно ли научить машину классифицировать
такие фигуры?
Поставим задачу конкретнее. Сначала вам показы-
вают лишь те восемь прямоугольников, которые пред-
ставлены на рисунке. Затем показывают совершенно
новый, не совпадающий ни с одним из 8 нарисованных.
Можно ли предложить алгоритм (правило), по кото-
рому каждый новый прямоугольник относили бы одно-
значно к первому или второму классу?
Вы скажете, что такое правило очень просто сформу-
лировать: это горизонтальные и вертикальные прямо-
угольники. Может быть, вы и правы, но как объяснить
машине понятия — вертикальный и горизонтальный?
Сделать это не так уж трудно. Введем обозначения:
282
L
xt — ширина прямоугольника, х2 — его высота. Тогда
для прямоугольников I и II классов можно составить
таблицы.
Xi Х2 Xt х2
3 2 13
5 1 2 5
(I) 6 3 (II) 3 7
8 3 4 8
Теперь нарисуем систему декартовых координат
(xi, Хг) и отложим точки, соответствующие этим парам
чисел (рис. 100). Мы здесь отметили кружочками точки,
соответствующие прямоугольникам I класса, и тонкими
крестиками — II класса. Можно провести линию, разде*
ляющую два множества — крестики и нолики. Это мо-
жет быть произвольная линия, разделяющая крестики от
ноликов. Например, на рисунке 100 приведены две из
возможных линий — сплошная тонкая кривая и жирная
прямая.
Само собой напрашивается правило для разделения
на классы: будем относить прямоугольник к I классу,
Рис. 100.
КЛАСС 1
Рис. 101
если соответствующая ему точка (хь х2) попала в об-
ласть I, и ко II классу, если точка попала в область II.
Например, если пользоваться алгоритмом, задавае-
мым нарисованной сплошной тонкой кривой, то пря-
моугольники, которые представлены на рисунке 101, бу-
дут классифицироваться следующим образом. К клас-
су I будут отнесены прямоугольники (1,1), (1,2), (2,2),
(9,3) и к классу II — (4,5), (5,5), (6,5).
Если же пользоваться правилом, задаваемым жир-
ной прямой, то все семь прямоугольников рисунка 101
относятся к классу I. Может быть, вам не нравятся
выбранные правила? Вы, конечно, ехидно улыбаетесь:
вам ясно, что надо было провести не кривую, а пря-
мую, и притом именно биссектрису этого прямого угла.
Я и провел ее пунктиром для вашего удовольствия.
Но ваша уверенность тут же пропала бы вместе с
ехидной улыбкой, если бы я с самого начала классифи-
цировал прямоугольники рисунка 99, отнеся к классу I
заштрихованные прямоугольники, а к классу II —. не-
заштрихованные. Как бы вы проводили границу меж-
ду классами?
284
Итак, отметим теперь важные свойства такого алго-
ритма классификации. Прежде всего все прямоугольники
делились на две категории. Одни из них предъявлялись
с самого начала (они изображены у нас на рисунке 99).
Затем строилось правило, их разделяющее. После того
как правило (то есть кривая) была выбрана, обучение
заканчивалось. Затем предъявлялись новые прямоуголь-
ники. Пользуясь полученным правилом, мы классифи-
цировали эти новые прямоугольники, относя их к разным
классам в зависимости от того, оказывались ли соот-
ветствующие им точки на плоскости по одну сторону
от кривой или по другую.
Получился как бы экзамен, который мы устроили
кривой — выбранному правилу. От его результата за-
висит наша оценка качества выбранного правила. Ко-
нечно, мы должны знать заранее про каждый из
предъявляемых на экзамене прямоугольников, к какому
из двух классов он относится: экзаменатор должен
знать правильный ответ. Тогда по количеству ошибок
на экзамене мы сможем вынести суждение о качестве
выбранного правила.
Теперь обсудим результаты экзамена. Для проверки
качества обоих выбранных нами правил классифика-
ции — жирной прямой и тонкой сплошной кривой были
предъявлены на экзамене семь прямоугольников, кото-
рые представлены на рисунке 101. Заранее задано, что
на самом деле прямоугольники (9,3) и (6,5) относятся
к I классу, (12) и (4,5) относятся ко II классу, а квад-
раты (1,1), (2,2) и (5,5) можно в равной мере отнести
к обоим классам.
Когда классификация проводилась по правилу
«тонкий сплошная кривая», то прямоугольники (9,3),
(1,1), (2,2), (1,2) были отнесены к I классу, а (4,5),
(6,5), (5,5) — ко II классу. Это показано на рисун-
ке 101| Следовательно, классификация по этому правилу
приведет к двум ошибкам: (1,2) и (6,5) классифициро-
ваны неверно.
При классификации с помощью правила «жирная
прямая» все семь прямоугольников, предъявленных на
экзамене, отнесены к I классу, что привело также к
двум ошибкам: (1,2) и (4,5) классифицированы не-
верно. Следовательно, если судить лишь по результатам
этого экзамена, а сам результат оценивать лишь по
количеству ошибок, то оба правила одинаково плохи
285
(или хороши) — они привели к одинаковому количеству
ошибок.
Следует заметить, что предъявлять на экзамене
квадраты при делении прямоугольников на вертикаль-
ные и горизонтальные так же незаконно, как предъяв-
лять фото хорошо выбритого биттлза при делении фото-
портретов на мужские и женские. Поэтому квадраты
нужно вовсе изъять из экзаменационного материала.
Итак, вы видиге, что, во-первых, выбор правила раз-
деления на классы зависит от материала, на котором
происходит обучение; во-вторых, разделение это произ-
водится не всегда однозначно: можно по-разному уста-
новить границу раздела.
Ну, а такое разделение на классы разве не есть прав-
доподобное рассуждение? Я сейчас расскажу о цикле
задач классификации — технической и медицинской
диагностике, — решение которых людьми — это типич-
ные примеры правдоподобных умозаключений.
Техническая диагностика
Сначала речь пойдет о технической диагностике.
Остановлюсь сперва на задаче, возникающей перед
геологом или геофизиком при бурении скважин на
нефть. Чем глубже залегает нефть, тем меньше следов
о ней на поверхности земли (как говорят геологи, на
дневной поверхности) и тем труднее ее обнаружить.
Поэтому геофизики широко применяют разнообразные
методы, дающие возможность косвенно выяснить свой-
ства глубоко залегающих горных пород. Они измеряют
и изучают гравитационные, электрические и м^^итные
поля, ядерные и другие излучения, упругие сейсмиче-
ские колебания, получаемые при специальных взрывах.
Геохимические методы позволяют обнаружить весьма
незначительные количества либо самого искомого по-
лезного ископаемого, либо других веществ, ему "'сопут-
ствующих. Такие исследования проводятся в воздухе,
на земле и под землей — в скважинах и шахтах.
Геолог или геофизик имеет, таким образом, в своем
распоряжении довольно много косвенных сведений.
Но этой информацией весьма трудно воспользоваться:
ни один из методов разведки не дает однозначного от-
вета на интересующий геолога вопрос о том, есть ли
в исследуемом пласте нефть.
286
Возникающая в этом случае ситуация подобна ситуа-
ции, при которой следователю нужно вынести заклю-
чение о виновности обвиняемого по косвенным уликам.
Ни одна из улик в отдельности не является доказатель-
ством вины, а все вместе, в комплексе, могут однозначно
определить преступника.
И перед геофизиком-интерпретатором возникает
подчас трудная задача: на основании измерений боль-
шого ^личества различных параметров и сведений о
ряде качественных характеристик вынести заключение:
следует ли изучаемый пласт отнести к нефтенасыщен-
ным или пустым.
Такф заключение, или, как мы раньше говорили,
принят|г решения, ведет к серьезным последствиям.
Если принимается решение, что проходимый скважиной
пласт нефтенасыщен, то бурение прекращается, сква-
жина цементируется, ее стенка простреливается в месте,
где ожидается приток жидкости, и оценивается идущий
по скважине вверх поток жидкости, которой заполнена
пористая порода пласта. Если эта жидкость нефть —
все хорошо. А если не нефть, а вода? Тогда потеряны
время, деньги, труд многих людей, затраченные на буре-
287
ние. А потери эти значительны: скважина глубиной 4—
5 километров бурится примерно год и стоит около мил-
лиона рублей. Если же принимается решение, что пласт
насыщен водой, а на самом деле он нефтенасыщенный
и продуктивный, то потери еще больше: остаются под
землей миллионы тонн драгоценной нефти.
Некоторые из параметров, измеряемые при прохож-
дении скважины, — числа, но в большинстве это кри-
вые, характеризующие изменение того или иного пара-
метра вдоль скважины (например, изменение электри-
ческого сопротивления породы).
Геофизиками детально разработан целый ряд мето-
дов интерпретации (толкования) различных геофизиче-
ских параметров, а также методов совместной интер-
претации двух и даже трех параметров пласта. Методи-
ка совместной оценки двух-трех параметров, хотя и
повышает достоверность интерпретации, но не дает воз-
можности выносить надежные рекомендации по данным
измерений и избегать значительных ошибок. Даже на
месторождениях, легких для интерпретации, например
в Татарии, допускается еще 5—6 процентов ошибок.
Но есть месторождения и трудные, где количество оши-
бок весьма велико. Об этом речь будет ниже.
В то же время одновременный учет интерпретатором
показаний всех 10—15 геофизических параметров, име-
ющихся в его распоряжении, невозможен. Такая зада-
ча значительно превосходит возможности человеческой
памяти, человеческие возможности анализа, синтеза,
логических операций, арифметических действий и пере-
бора вариантов, то есть человеческие возможности пе-
реработки информации.
Трудность задачи нефтеразведки и ее важнойъ объ-
яснены, как мне кажется, уже достаточно. А теперь
подойдем к ее решению с других позиций.
Человек способен выполнять более разнообразную
работу, чем подъемный кран, но кран может понимать
десятки тонн, а рекордсмены по тяжелой атлетике не
поднимают и 300 килограммов. Так же обстоит дело и
с задачей технической диагностики — интерпретации
данных геофизических измерений. Математическая ма-
шина может делать это лучше, быстрее, эффективнее
человека.
Подобно тому как вертикальные и горизонтальные
прямоугольники мы описывали с помощью пар чисел
288
(длины и ширины), будем описывать пласт набором
чисел.
Кривые, характеризующие параметры пласта, тоже
заменяются набором чисел. Это обычно средние значе-
ния в определенных интервалах или какие-либо наибо-
лее характерные значения кривых, скажем, экстремаль-
ные значения.
Если в пласте измеряется, например, 12 парамет-
ров— 12 чисел Xi, х2, ... *12, то можно рассматривать
двенадцатимерное пространство, где точка Р с коорди-
натами (*1, х2, ... %12) будет соответствовать пласту с
данными значениями параметров. Надеюсь, вас уже не
пугают ни многомерное пространство, ни точки со столь
большим количеством координат. Впрочем, не старай-
тесь мысленно погрузиться в это пространство; доста-
точно представлять себе всю последующую ситуацию
в обычном трехмерном пространстве и спокойно гово-
рить, что в двенадцатимерном или стомерном простран-
стве все будет выглядеть аналогично. Это пространство
будем называть пространством параметров. Всевозмож-
ные наборы измерений выбранных 12 параметров,
характерные для нефтеносных пластов исследуемого
месторождения, будут представляться точками в про-
странстве параметров. Множество всех возможных
«нефтеносных» точек в пространстве занимает некото-
рую область. Обозначим эту область русской буквой Н
(нефть). Аналогично точки, характеризующие всевоз-
можные пористые пласты, не насыщенные нефтью, —
пустые пласты — также будут занимать какую-то об-
ласть в пространстве параметров. Ее обозначим русской
буквоц П (пустой).
Как вы думаете, будут ли области Н и П иметь об-
щие точки, или, как мы ранее говорили, будут ли эти
области пересекаться?
Ответ здесь неоднозначен; все зависит от того, на-
сколько удачно выбраны измеряемые параметры. Ска-
жем, если бы измерялись лишь три параметра — мощ-
ность пласта (его толщина), величина кажущегося
электрического сопротивления, измеренная зондом
2,25 метра, и относительная амплитуда потенциалов са-
мопроизвольной поляризации, — то области Н и П име-
ли бы общие точки, ибо при одних и тех же значениях
этих трех параметров пласт может быть насыщен как
нефтью, так и водой.
19 я. Хургин
289
Если бы измерялись лишь глубина залегания пла-
ста, его мощность и пористость (то есть относительные
размеры пространства между твердыми частицами, где
могла бы помещаться жидкость), то области Н и П
могли бы вовсе оказаться неразличимыми.
Но нефтенасыщенные пласты на самом деле суще-
ственно отличаются от пустых: в одних залегает нефть,
а в других ее нет. И основная гипотеза состоит в том,
что существует такой набор параметров, по которому
однозначно можно отличить пустые пласты от нефте-
насыщенных. Такой набор параметров может быть и
значительным по количеству и труднодоступным для
измерений, но должен существовать наверняка, ибо мы
точно знаем, что нефть — это не вода.
Если параметры выбраны удачно, то области Н и П
расположены в разных частях пространства и могут
быть отделены друг от друга какой-то поверхностью.
Иллюстрацию ситуации вы видите на рисунке 102.
В двенадцатимерном пространстве все выглядит
вполне аналогично, только разделяющая поверхность —
одиннадцатимерная.
Рис. 102
Будем пока считать, что нам повезло: параметры
выбраны удачно, и области Н и П разделимы в про-
странстве параметров. Если бы области Н и П нам бы-
ли полностью известны, то было бы нетрудно найти по-
верхность, их разделяющую. Но на самом деле нам
могут быть известны лишь наборы измерений, которые
произведены в нескольких уже пробуренных скважи-
нах, да результаты опробований этих скважин. Таким
образом, говоря на геометрическом языке, в нашем
распоряжении имеются некоторые группы точек из обла-
стей Н и /7, и больше ничего нам не известно. Пользуясь
только этими данными, надо научиться классифициро-
вать любые другие пласты, которые впоследствии могут
появляться, то есть относить соответствующие пластам
точки либо к области Н. либо к области П.
Теперь логично поступить так же, как и с прямо-
угольниками. Имеющуюся в нашем распоряжении груп-
пу точек из области Н разделим на две части. Так же
поступим с группой точек из области П. Взяв одну под-
группу из Н и одну из 77, используем их для построения
разделяющей поверхности — решающего правила. Эти
последовательности точек назовем обучающими. Остав-
шиеся точки используем для проверки качества постро-
енного правила, то есть для экзамена; их будем назы-
вать экзаменационным материалом.
Все дело, конечно, в том, как теперь строить реша-
ющее правило — разделяющую поверхность. Выбран-
ный метод должен обеспечить не только принципиаль-
ную возможность построения решающего правила, но и
построение правила за достаточно малое время (разу-
меется, машинное время, то есть время, затрачиваемое
быстродействующей математической машиной) и после-
дующую классификацию предъявляемого на экзамене
материала с малым количеством ошибок. Эти требова-
ния противоречивы: чем проще вид разделяющей поверх-
ности, тем легче ее построить. В то же время при более
простом виде разделяющей поверхности может ока-
заться слишком много ошибок. Иллюстрацией здесь
служат рисунки 103 и 104, где любая прямая — более
простое правило — делит хуже, чем кривая — график
многочлена третьей степени.
Я обманул вас, читатель, сказав, что при построе-
нии решающего правила ничего не известно, кроме обу-
чающих последовательное!ей. Конечно, никаких других
19*
291
Рис. 103
точек в пространстве параметров, кроме обучающих
последовательностей, в нашем распоряжении нет.
Но есть один общий факт, без которого все наши, вы-
воды окажутся бесперспективными. Речь идет о стати-
стической устойчивости. Погода, потребное количество
учителей через десять лет или количество заболеваний
раком легких могут прогнозироваться лишь на осно-
вании прошлого опыта в предположении, что далее
«будет происходить нечто подобное», то есть в пред-
положении наличия определенного распределения веро-
ятностей в множестве изучаемых величин.
Для погоды это совместное распределение веро-
ятностей температур, давлений, влажностей и т. д.:
для потребного количества учителей — распределение
вероятностей количества рождающихся детей, детской
смертности и других величин, определяющих количество
детей определенного возраста через десять лет. Для
прогноза эффективности выбранного решающего пра-
вила — прогноза количества ошибочных заключений
при классификации — мало знать количество ошибок
292
Рис. 104
на экзамене. Нужно еще быть уверенным, что впослед-
ствии «будет происходить нечто подобное», то есть нуж-
но предполагать заранее, что множество классифици-
руемых объектов подчинено определенному, хотя нам
и не известному, распределению вероятностей. Лишь на
основании этого предположения можно строить стати-
стический прогноз.
Мы уже раньше обсуждали вопрос о том, что не все
случайные события обладают статистической устойчи-
востью. И если проверка подлинности подписи на чеке
(в противоположность подделке) с успехом решается
посредством программы распознавания образов — здесь
имеется четкая статистическая задача, — то при выне-
сении приговора преступнику, подделавшему чек, нель-
зя судей заменить подобной программой.
Я не буду рассказывать о возможных способах по-
строения решающих правил для распознавания обра-
зов — это заняло бы слишком много места, хотя и мож-
но о соответствующих методах рассказать популярно.
Хочу лишь заметить, что если имеющиеся в нашем рас-
293
поряжении параметры не дают возможности всегда
однозначно классифицировать объекты и, следователь-
но, могут привести к ошибкам при любом решающем
правиле, то можно все же выбирать правила, обеспечи-
вающие наименьшее количество ошибок.
Соответствующую ситуацию иллюстрирует рису-
нок 105, где области Н и П пересекаются. В случае
когда появление точек в областях Н и П подчинено
равномерному закону распределения, правило класси-
фикации, задаваемое пунктирной линией, дает в сред-
нем заметно большее количество ошибок, чем правило,
задаваемое сплошной линией.
Трудно сказать, всегда ли оправдано применение
подобных распознающих программ: возможно, что ино-
гда это стрельба из пушек по воробьям, а иногда труд-
ности получения нужных данных столь велики, что не
оправдывают использования предлагаемых методов.
Но в задачах комплексной интерпретации геофизи-
ческих измерений для выделения нефтеносных пластов,
применение распознающих программ привело к значи-
тельному эффекту. Например, на легких для «человеч^-
294
ской интерпретации» месторождениях Татарии, где гео-
физики-интерпретаторы допускают 5—6 процентов оши-
бок, интерпретация, использующая программы распозна-
вания образов и построенная с помощью современной
математической машины, дала около одного процента
ошибок. На материалах нефтяного месторождения
Жетыбай рядовые геофизики-интерпретаторы, работаю-
щие на промысле, допустили на имевшемся в нашем
распоряжении материале 35 процентов ошибочных за-
ключений; высококвалифицированные геофизики с помо-
щью новейших методов и средств «человеческой интер-
претации» дали 22 процента ошибочных заключений.
В то же время машинная интерпретация с помощью
программы распознавания образов на том же материале
привела лишь к 6 процентам ошибок. Эффект, как види-
те, разителен.
Следует подчеркнуть, что при интерпретации геофи-
зических данных с помощью программы распознавания
образов на самом деле использовать математическую
машину нужно лишь на этапе выбора правила класси-
фикации. После того как правило выбрано, интерпре-
тация сводится к простейшим арифметическим опера-
циям умножения и сложения чисел. Именно, нужно
значения замеренных в пласте параметров расположить
в определенной последовательности, умножить каждое
из значений на соответствующий коэффициент и полу-
ченные числа сложить. Если сумма окажется больше
некоторого заранее назначенного числа (как говорят,
порога) — например, больше единицы, то принимается
решение о нефтеносности исследуемого пласта, если же
эта сумма меньше того же числа, то принимается реше-
ние — пласт пустой. Конечно, такие простые операции
можно провести на конторских счетах или путем сло-
жения столбиком, и их может произвести каждый, кто
с успехом окончил неполную среднюю школу и еще не
забыл сложение и умножение.
Сейчас эти методы машинной интерпретации кое-
где уже внедрены в практику промыслового бурения.
Кое-что о медицинской диагностике
Работа по диагностике психических и нервных бо-
лезней еще только началась, и трудно предсказать, бу-
дут ли эффективными предлагаемые методы в этой
295
весьма сложной диагностической задаче. Да и сбор
достоверного материала о сотнях больных с ответом
на множество вопросов о каждом — весьма трудоемкая
работа. Анкета, о которой шла речь при разговоре
математика с психиатром, составлена в нескольких ва-
риантах. В одном из них имеется 130 симптомов, и пока
не полностью известно, какие из них существенны для
диагностики шизофрении.
Но прежде чем рассказать о некоторых задачах ме-
дицинской диагностики, где применение программ рас-
познавания образов привело уже к определенному ус-
пеху, следует более четко пояснить, о какой диагности-
ке идет речь.
Диагностика болезни — это сложнейший мыслитель-
ный процесс. Нужно по жалобам больного, на основании
его опроса и обследования представить себе возмож-
ный круг заболеваний. Затем провести дополнительные
исследования, которые могут прояснить картину, вы-
брать метод лечения и, по ходу течения болезни, менять
в нужном направлении лечение.
Когда пациент жалуется на боль в руке, то это мо-
жет быть и заболевание нервной системы, и результат
296
нарушения деятельности сердечно-сосудистой системы,
и заболевания мышц, и т. д. Пока не известно, как с
помощью математических методов подобраться к таким
общим вопросам диагностики. В настоящее время мето-
ды распознавания образов дают лишь возможность
формализовать и решать задачи дифференциальной
диагностики. Я сейчас поясню более точно, о чем идет
речь.
В клинической практике все многообразие заболева-
ний сравнительно легко разделяется врачом на ряд
заметно отличающихся друг от друга групп. Каждая
из этих групп состоит из нескольких сходных по симп-
томатике заболеваний. Затем возникает задача опреде-
ления уже точно одного из этой группы — задача диф-
ференцировки. Именно дифференциальная диагностика
представляет подчас значительные трудности даже для
весьма квалифицированных клиницистов, и поэтому со-
зываются консилиумы — совещания врачей разных спе-
циальностей. Впрочем, эти крайние меры коллективного
обсуждения тоже не всегда приводят к спасению па-
циента. Но бремя ответственности за ошибочное реше-
ние для участников консилиума оказывается менее
тяжким. Как вы понимаете, это тоже кое-что значит:
вспомните наши рассуждения о выборе критерия и при-
нятия решения.
Обсуждение задачи дифференциальной диагностики
в этой книжке вовсе не указывает на какую-либо глу-
бокую связь между дифференциальным исчислением и
дифференциальной диагностикой. Дифференцировка —
это дробление целого на части, разделение сложного
на простые элементы. А уж будут ли элементы пред-
ставлять собой довольно абстрактные интервалы на
числовой оси или вполне конкретные симптомы болез-
ней — туберкулеза, абсцесса или опухоли легких —
дело авторов терминологии, приклеивающих прилага-
тельное «дифференциальный» к своим специфическим
терминам. Если вы пропустили раздел «Откуда берутся
термины», то сейчас очень своевременно его прочитать.
Только потом не забудьте вернуться к дифференциаль-
ной диагностике — сейчас начинается самое интересное.
Использование методов распознавания образов для
дифференциальной диагностики болезней требует сна-
чала выделения характерных симптомов или синдромов.
Это задача медиков. Затем, когда симптомы уже
297
выбраны и собран материал для обучения и экзамена,
то есть представлены в достаточном количестве больные
каждой из дифференцируемых болезней, производится
выработка на машине решающего правила. И наконец,
когда уже правило выбрано, можно его использовать
на практике.
И у нас и за рубежом есть много работ по приме-
нению методов распознавания образов при диагностике
заболеваний. Я не могу рассказать обо всех. Но мне
хочется, читатель, заставить вас поверить в эффектив-
ность новых методов. И для примера я расскажу о двух
работах. Одна проводилась в Ленинграде коллективом
кибернетиков — авторов нескольких программ распо-
знавания образов, и врачей-неврологов. Я не могу ска-
зать, что эта работа демонстрирует самые лучшие мето-
ды или самые впечатляющие результаты, — она выбра-
на просто потому, что с авторами и самой работой я
знаком.
Другая работа проводилась коллективом врачей-
психиатров из Института психиатрии Академии меди-
цинских наук и моими сотрудниками.
Было бы весьма нескромно утверждать, что наша
работа лучшая из лучших или хотя бы лучше работы
ленинградцев. Но признать публично свою работу хуже
других тоже рискованно (зачем же ее тогда было де-
лать!), да и едва ли кто-нибудь поверит в столь высо-
кий уровень авторской самокритики.
Поэтому я не буду расхваливать или хулить разра-
ботанные методы и полученные результаты, а положусь
на вашу, читатель, проницательность.
Расскажу сначала о работе ленинградцев.
Нарушения мозгового кровообращения приводят как
к кровоизлияниям в мозговое вещество, так и к размяг-
чениям вещества головного мозга. Причины их различ-
ны. Размягчение вещества головного мозга нередко
вызывается закупоркой сосудов мозга (тромбозом).
Для ликвидации тромбозов больному вводятся в кровь
антикоагулянты — вещества, препятствующие сверты-
ванию крови и образованию тромбов.
При кровоизлияниях применяются прямо противопо-
ложные вещества — коагулянты, приводящие к обрат-
ным действиям — повышающие свертываемость крови,
предотвращающие дальнейшее вытекание крови из со-
судистого русла в вещество головного мозга.
.. ,
298
Поэтому ошибки в дифференциальной диагностике
размягчений и кровоизлияний могут иметь роковые для
больного последствия. Если при размягчении будет
ошибочно поставлен диагноз кровоизлияния и назна-
чены больному коагулянты, то процессы закупорки со-
судов, образования тромбов будут усилены. Прекраще-
ние притока крови к большим участкам вещества голов-
ного мозга приведет к их разрушениям, и больной
может погибнуть. С другой стороны, если при кровоиз-
лиянии ошибочно установлен диагноз размягчения, то
назначение больному антикоагулянтов вызовет еще
большее понижение свертывающих свойств крови, ее
«разжижение» и, следовательно, усиление кровоте-
чения.
Вместе с тем решение этой задачи дифференциаль-
ной диагностики представляет большие трудности даже
для опытных клиницистов-неврологов. Нередко процент
ошибочных или неопределенных заключений оказывает-
ся очень высоким. Ленинградские кибернетики и невро-
логи (А. Француз, И. Тонконогий и их сотрудники) изу-
чили 278 случаев клинико-анатомических наблюдений с
размягчениями мозгового вещества и кровоизлияниями,
возникшими вследствие инсульта при гипертонической
болезни, атеросклерозе и ревматическом васкулите. Как
показало сравнение данных врачебной диагностики в
клинике с результатами последующего патологоанатоми-
ческого изучения, число правильных врачебных диагно-
зов составляло 75 процентов, неопределенных диагно-
зов — 13 процентов и ошибочных диагнозов — 12 про-
центов. Неопределенный диагноз, то есть ситуация, когда
врачи не могут принять никакого решения, для пациен-
та почти то же самое, что и ошибочный диагноз, — не
принимается правильных мер для лечения, и больной
может погибнуть.
Кажется удивительным столь малый процент пра-
вильных диагнозов в случае столь распространенного
заболевания: уж очень не похожи действительные по-
следствия заболевания — закупорка кровотока и про-
тивоположное ей кровотечение. Но внешне проявления
у больных бывают очень похожи.
Так, например, потеря сознания или рвота считают-
ся признаками кровоизлияний. Однако эти же симпто-
мы иногда наблюдаются при нарушениях мозгового
кровообращения по типу размягчения. Красная, кровя-
299
нистая окраска спинномозговой жидкости считается
характерной для кровоизлияния, а бесцветная спинно-
мозговая жидкость — для размягчений. Но нередко
отсутствие изменений в окраске этой жидкости наблю-
дается и при кровоизлияниях.
Таким образом, каждый из этих признаков в отдель-
ности встречается при обоих нами обсуждаемых заболе-
ваниях. И по-видимому, единственной надежной мето-
дикой постановки диагноза является совместная диаг-
ностика по всем симптомам.
Ленинградские ученые применили методику распоз-
навания образов, используя 25 симптомов болезни. Обу-
чение было произведено на выборке в 100 случаях из
имевшихся в их распоряжении 278, а на экзамене по
остальному материалу машинная диагностика дала
88 процентов правильных диагнозов. Как видите, при-
менение математических методов привело к значитель-
ному повышению надежности диагностики: с 75 процен-
тов до 88. Хотелось бы, конечно, получить все 100 про-
центов правильных ответов. Но, во-первых, сделаны
лишь первые шаги. Во-вторых, может оказаться, что для
однозначной диагностики принципиально недостаточны
наблюдаемые симптомы, и такая работа подскажет
необходимость искать другие определяющие симптомы,
прибегать к дополнительным методам обследования.
Хочегся в оправдание машинных ошибок еще заме-
тить, что в действительности врач пользуется значитель-
но большей информацией, чем те 25 симптомов, которые
закладываются в математическую машину. Врач видит
больного и подсознательно фиксирует многое. Но пере-
дать машине это многое ему трудно — врачи, как и все
другие люди, далеко не всегда хорошо умеют анализи-
ровать те сведения и стимулы, на которых основывают-
ся их решения.
Теперь расскажу о нашей работе с психиатрами.
Дальнейшие контакты привели к постановке задачи
несколько отличной от той, о которой шла речь выше в
разговоре с психиатром.
Шизофрения — болезнь, часто начинающаяся или
впервые проявляющаяся в юношеском возрасте. Ее те-
чение бывает различно. Одна из форм этой болезни,,
при которой ее симптомы наблюдаются в течение всей
жизни, называется непрерывной. Но и при непрерывной
шизофрении, начавшейся в юношеском возрасте, течение
300
| болезни может протекать по-разному, и врачи разли-
1 чают три формы: текущую вяло, наиболее тяжелую и
I некоторую промежуточную по тяжести. Эти три формы
I будем называть вялой, средней и тяжелой.
| Мы занялись задачей прогноза заболевания непре-
| рывной юношеской шизофренией: нужно по данным на-
чального периода болезни предсказать ее развитие
I через 15—20 лет. Позже я расскажу об этом по-
| дробнее.
Й Работа протекала следующим образом. В наше рас-
< поряжение предоставили большой статистический мате-
|! риал: истории болезни более чем 800 больных с дав-
| ностью заболевания 13—15 и более лет и сравнительно
у одинаковым возрастом начала заболевания. Для каждого
I больного был тщательно клинически проанализирован
р начальный этап болезни (первые 3—5 лет) и выделены
L его характерные симптомы. Затем было выделено
130 двоичных признаков (симптомов), и на каждого
больного была заполнена карта, содержащая эти
130 признаков. При наличии признака в карте записыва-
| лись 1, а при его отсутствии — 0. В качестве призна-
I ков брались симптомы психического заболевания в их
наиболее элементарном виде и трактовке, известной
широкому кругу психиатров, с той целью, чтобы у вра-
ча не было сомнений, что записать в каждую графу.
Рассказывать о психических болезнях, об симптома-
тике их трудно и небезопасно. Обычно читатель, пона-
хватавшись терминов и не дав себе труда осознать их,
начинает сразу же диагносцировать свое мрачное на-
строение после какого-нибудь скандала, обычную рас-
сеянность либо восторженность как соответствующие
психические симптомы и даже подчас болезни.
Когда эта диагностическая анкета появилась в на-
шей лаборатории, сплошь состоящей из молодых, в ос-
новном веселых и жизнерадостных людей, все они ак-
тивно занялись самодиагнозом, заполнили графы анкеты
нулями и единицами (на своем уровне их понимания!)
и, естественно, большинство причислило себя, под об-
щий хохот, к разным формам больных шизофренией.
Но не всякий читатель может отнестись к своему
собственному заключению юмористически. Поэтому я
уклонюсь от описания симптоматики шизофрении и ос-
тановлюсь лишь на деталях, полезных для понимания
методов работы и ее результатов.
301
В соответствии с принятой классификацией все боль-
ные по их состоянию здоровья в конце периода наблю-
дения, то есть спустя 15 лет, были отнесены к одной из
трех упомянутых форм. Эта работа отняла, конечно,
много времени. Параллельно создавался алгоритм клас-
сификации, который был бы в состоянии справиться со
столь большим исходным материалом. Действительно,
как это уже понятно читателю, если бы все варианты
расположения нулей и единиц в анкете могли бы встре-
титься в жизни, то таких вариантов было бы 2130, то есть
более чем 1040, — число вариантов, не доступное не
только никакой математической машине, но и вообще
нашему пониманию. (Если допустить, что вокруг каж-
дой из звезд вселенной вращается планета с тремя, как
и на Земле, миллиардами людей, и все бы они были
шизофрениками, то их общее количество было бы неиз-
меримо меньше 1040.)
Построение программы классификации и ее отладка
на большой электронной вычислительной машине тоже
было не легкой работой. Но теперь мы имеем возмож-
ность обрабатывать экспериментальный материал,
содержащий несколько сот двоичных признаков. А этого,
по-видимому, достаточно для решения практически лю-
бой задачи классификации обсуждаемого здесь типа.
Разработанные правила классификации опирались
на записанные в диагностической карте признаки и их
сочетания по два и по три. Впрочем, программа дает
возможность использовать и более сложные сочетания
признаков.
При построении правила обучение проводилось на
выборках по 40—60 больных каждого из трех классов;
остальные диагностические карты использовались для
проверки правила — для экзамена.
При создании диагностического правила машина
отобрала наиболее информативные признаки, которых
оказалось 36 из 130, а они легли в основу построенного
правила. Остальные признаки временно игнорировались.
Однако классификация на основе лишь этих 36 призна-
ков дала хорошие результаты: 92—94 процента ответов
оказались правильными. Замечу, что большинство ото-
бранных признаков и их сочетаний хорошо согласуется
с клиническими представлениями.
Интересно было бы сопоставить наши результаты с
прогнозом специалистов-психиатров, если бы им была
302
предоставлена возможность прогнозировать состояние
больных по той же анкете или даже только по призна-
кам, отобранным в процессе построения правила.
Мы этого, к сожалению, не сделали, так как трудно бы-
ло организовать такой «экзамен». Но наши коллеги-
медики говорили, что предсказания врачей дали бы
значительно меньший процент правильных прогнозов.
Теперь стоит сказать несколько слов о самой проб-
леме прогноза течения болезни на много лет вперед.
Очевидно, весьма важно уметь оценить тяжесть буду-
щего течения болезни по начальным ее проявлениям.
Это особенно существенно для таких областей медици-
ны, как психиатрия или онкология, где пока точно не
раскрыта природа болезненного процесса и о развитии
процесса (и прежде всего шизофрении) можно судить
лишь по характеру и последовательности появления
определенных патологических симптомов. От правиль-
ности прогноза зависит своевременность лечебных мер,
а для ряда категорий больных — и рекомендаций со-
циально-трудового характера. Кроме того, скажем, для
психиатрии немаловажная проблема — предсказать ко-
личество потребных больничных коек через пять, десять
или пятнадцать лет, а это существенно зависит от прог-
ноза течения болезни у больных, находящихся сегодня
под наблюдением.
Итак, полученные нами фактические результаты ре-
шения задачи классификации — задачи прогноза состоя-
ния больных непрерывной юношеской шизофренией —
оказались неплохими. Однако эти результаты, с моей
точки зрения, не самое главное. Более важным мне
представляется другое. Как уже было выяснено в раз-
говоре с психиатром, в диагностике психических заболе-
ваний очень много субъективного. Использование же
формализованных правил классификации позволяет сде-
лать диагностику более объективной, ибо такие правила
автоматически опираются на коллективный опыт и могут
уточняться с увеличением имеющегося достоверного
материала. А это дает возможность поставить всю про-
блему дифференциальной диагностики на новый, более
высокий уровень. Конечно, потребуется огромная работа
коллектива врачей и математиков, но уже видно, что
игра стоит свеч. Далее, использование подобных диаг-
ностических алгоритмов, возможно, приведет к сокра-
щению и упрощению обследования за счет более четко
303
сформулированного, измельченного вопросника диагно-
стической карты.
Те же программы дают возможность сопоставить
традиционные методы обследования с новыми: физио-
логическими, биохимическими, электроэнцефалографи-
ческими и т. д., и определить информативность послед-
них. Они же помогают проверять эффективность методов
лечения, ибо это тоже задачи классификации.
Не пора ли заменить врача
диагностической машиной?
Если математические методы могут дать более высо-
кий процент правильных диагнозов, не пора ли уволить
врачей и поручить математикам медицинскую диагнос-
тику?
Я думаю, врачи могут спать спокойно. Не следует
считать, будто роль врачей — это лишь постановка ди-
агноза. У них есть еще более трудные задачи — вылечи-
вать больных, решать важные проблемы профилактики
и многое другое.
Но, может быть, именно диагностику следует уже за-
брать у врачей и передать математическим машинам?
Без участия врача ни о какой машинной диагностике не
может быть и речи: именно врач должен отобрать важ-
ные симптомы. И если он иногда ошибется при оценке
информативности тех или других симптомов, то это во-
все не означает, что его можно вовсе исключить из иг-
ры. Как раз наоборот: нужно передать врачам диагно-
стические машины для облегчения и повышения эффек-
тивности их труда. Но здесь есть одна опасность, и из-
за нее я и решился написать этот, казалось бы, вовсе
не нужный раздел.
На самом деле человек — врач — представляет собой
великолепную диагностическую машину. Я надеюсь, вра-
чи не только не обидятся на меня за такое сравнение,
но воспримут как высшую похвалу. Однако следует сра-
зу оговориться: врач должен уметь наблюдать больного,
должен не только смотреть и слушать, но видеть и слы-
шать.
Как-то мы обсуждали вопросы медицинской киберне-
тики с Б. Е. Вотчалом — великолепным врачом-терапев-
том, эрудированным ученым и очень умным человеком.
Действительный член Академии медицинских наук, про-
304
фессор Вотчал не только придумывает приборы для
исследований, но и любит их делать своими руками.
Он активный пропагандист новой техники в медицине,
председатель авторитетных комиссий по этим вопросам.
Поэтому его мнение о роли электроники в медицине
особенно интересно. Так вот, он утверждает, что в на-
стоящее время электронные приборы и кибернетическая
аппаратура подчас не помогают врачу, а вредят — врач
больше доверяет электронным приборам, чем своим гла-
зам и ушам. И поэтому, вместо того чтобы как следует
слушать и простукивать больного, врач смотрит на элек-
трокардиограмму и считает ее данные приговором в*
последней инстанции. Конечно, подобные замечания от-
носятся не только к электрокардиографии, но в равной
мере к любым другим методам обследования больного,
в которых роль врача все дальше отодвигается на вто-
рой план.
Я вовсе не призываю врачей выкинуть все новые ме-
тоды обследования больного и вернуться к добрым, ста-
рым временам земского врача — я настаиваю лишь на
необходимости при диагностике заболеваний стрелять
из всех орудий. А глаза, руки, уши врача — это велико-
лепные приборы, созданные природой. Поэтому не сле-
дует машины использовать вместо врачей или врачей
вместо машин — нужно использовать их вместе.
20 Я. Хургин 305
Что наша жизнь? Игра...
Так начинается известная ария Германа из оперы
«Пиковая дама», сплошь состоящая из афоризмов.
Хотя другие его лозунги вызывают серьезное сомне-
ние, с этим не согласиться нельзя. И вот почему.
В течение жизни мы нередко сталкиваемся с ситуа-
циями, в которых участники имеют различные интере-
сы и идут различными путями для достижения своих
целей. Мы написали — целей, а не цели, так как участ-
ников может быть сколько угодно и у каждого своя
цель.
Такие ситуации часто называют конфликтными, а ма-
тематическую модель подобной обстановки называют
игрой. Теперь вы видите, сколь верна первая фраза арии
Германа, хотя автор либретто оперы небось имел в ви-
ду нечто другое.
Давайте вспомним еще одну драматическую ситуа-
цию — дуэль Ленского и Онегина:
Плащи бросают два врага.
Зарецкий тридцать два шага
Отмерил с точностью отменной,
Друзей развел по крайний след,
И каждый взял свой пистолет.
«Теперь сходитесь».
Хладнокровно,
Еще не целя, два врага
Походкой твердой, тихо, ровно
Четыре перешли шага,
Четыре смертные ступени.
Свой пистолет тогда Евгений,
Не преставая наступать,
Стал первый тихо подымать.
Вот пять шагов еще ступили,
И Ленский, жмуря левый глаз,
Стал также целить — но как раз
Онегин выстрелил... Пробили
Часы урочные: поэт
Роняет, молча, пистолет.
Дуэлянты имели различные цели. Естественно пред-
положить, что Ленский хладнокровно относился к воз-
можности погибнуть, но хотел наказать обидчика;
Онегин стремился сохранить свою жизнь и вовсе не был
заинтересован в гибели противника. Они могли произ-
вести лишь по одному выстрелу; и каждый из них, идя
навстречу другому, мог выстрелить на первом шаге, на
306
втором, на третьем и так далее вплоть до стрельбы
непосредственно от барьера. Итак, каждый мог вы-
брать один из моментов выстрела — одну из шестна-
дцати стратегий — так в математической теории игр
называют возможные действия каждого из участ-
ников (шестнадцать шагов у каждого дуэлянта).
Обратимся к задаче, также имеющей драматическую
окраску, но все же обычно не ведущей к столь катаст-
рофическим последствиям, как дуэль, — к защите дис-
сертации. Здесь простейшая математическая модель —
игра диссертанта и оппонента. При самом грубом рас-
смотрении этой игры у диссертанта есть две стратегии:
написать хорошую или плохую диссертацию, а у его оп-
понента тоже две стратегии: дать положительный или
отрицательный отзыв.
Диссертанту проще, конечно, написать плохую рабо-
ту, но в этом случае более вероятна отрицательная ре-
цензия оппонента, и тогда цель — получение ученой сте-
пени — не будет достигнута.
Но оппоненту легче лишь пролистать работу и напи-
сать положительный отзыв. Однако если он напишет
положительный отзыв на совсем скверную работу и это
выяснится во время публичной защиты, то оппонент по-
терпит определенный ущерб — его научный престиж
будет подорван. Диссертант не знает, какую стратегию
выберет оппонент. Он должен всесторонне оценить свое
положение и выбрать стратегию.
Каждый из игроков может выбрать для себя какую-
то стратегию — одну из возможных. Всякий набор воз-
можных стратегий (по одной для каждого из игроков)
будем называть ситуацией. Например, возможна ситуа-
ция: диссертант выбрал стратегию — писать плохую
диссертацию; оппонент выбрал стратегию — отрица-
тельный отзыв.
Естественно ввести количественный критерий — ме-
ру предпочтительности для каждой из возможных си-
туаций. Игроку придется расплачиваться при неудачном
выборе стратегии, и он что-то приобретает при удачном
выборе. Поэтому меру предпочтительности часто назы-
вают выигрышем. Конечно, игра не всегда приводит к
приобретениям; и если ситуация привела вас к проигры-
шу, то это соответствует отрицательному выигрышу.
Впрочем, в некоторых задачах в качестве меры предпо-
чтительности стратегии берутся потери, и тогда удачная
2)*
307
ситуация, ведущая к выигрышу, соответствует отрица-
тельным потерям.
Следует заметить, что в наших примерах приобрете-
ния одного из игроков вовсе не равны потерям другого,
так что на самом деле их интересы хотя и различны, но
не противоположны, как это бывает, например, в азарт-
ных играх.
У нас с вами, читатель, также идет игра. Вот мои
стратегии: я пишу хорошую, посредственную или сквер-
ную книжку. Ваши стратегии: вы ее читаете от корки
до корки, внимательно просматриваете или поверхност-
но пролистываете. Это так называемая игра 3X3, ибо
у меня три стратегии и у вас их три.
Если же после чтения от начала до конца вы пише-
те рецензию . восторженную, прохладную или разгром-
ную, а после просмотра либо швыряете книжку в угол,
либо дарите родственникам, то у меня по-прежнему три
стратегии, а у вас уже шесть, и это игра 3X6.
В нашей с вами игре вы платите в кассу, покупая
книжку, и тратите время на ее чтение, а я могу попла-
титься даже в том случае, когда мне кажется, будто
написана хорошая книжка. Поэтому далее будем гово-
рить как о выигрышах, так и о потерях. Как видите,
в нашей игре мы расплачиваемся совсем по-разному,
так что в одной и той же игре потери разных игроков
могут измеряться в различных единицах.
Всякую такую игру двух лиц с конечным числом
стратегий удобно представить в виде таблицы — мат-
рицы выигрышей, где строки будут соответствовать стра-
тегиям первого.игрока, столбцы — второго. Ниже вы
видите пример такой матрицы для игры 2X2 — диссер-
танта и оппонента:
308
Числа, стоящие в клетках матрицы, означают здесь
выигрыши диссертанта для каждой из ситуаций. Эти
выигрыши взяты, конечно, в условных единицах, ибо
мы пока не знаем, как же количественно выразить вос-
торг диссертанта при благополучном исходе защиты или
его горе при провале.
Матрица выигрышей оппонента может выглядеть со-
вершенно иначе, и вот пример такой матрицы:
Уже ясно, почему велики потери оппонента при по-
ложительной оценке плохой диссертации. Но дать отри-
цательный отзыв даже на плохую работу, а уж тем бо-
лее на хорошую оппоненту не очень-то приятно: как
правило, люди не хотят выступать в роли того соседа,
которого приглашают, когда надо резать курицу. И если
оппоненту не удается выйти своевременно из игры и ему
приходится писать отрицательный отзыв, то он терпит
какой-то ущерб. В данном случае я оценил соответству-
ющий выигрыш числом — 3. Наилучшая ситуация для
оппонента — положительный отзыв при хорошей дис-
сертации, и поэтому выигрыш оппонента здесь положи-
тельный — для него это хоть и не очень большой, но
выигрыш. Если посмотреть теперь внимательно на
матрицу выигрышей, то становится ясно, почему обычно
возникают затруднения при подборе оппонентов.
В нашем примере выигрыши (и потери) оцениваются
в условных единицах. Но в азартных играх или при
анализе многих экономических вопросов выигрыши вы-
ражаются в деньгах, в военном деле потери — это и
есть потери сторон, в технических проблемах потерями
могут быть, например, время ремонта или простоя обо-
309
рудования. Таким образом, выигрыши могут выражать-
ся в самых различных единицах.
В игре может быть, конечно, сколько угодно участ-
ников. Например, в нашей с вами игре, читатель, на са-
мом деле очень много участников — это все читатели
моей книжки. При этом у читателей разные интересы,
подготовка и цели: одни хотят из книжки почерпнуть
что-то новое и важное, другие — немного отвлечься от
своих дел, третьи... Не стоит обо всех говорить — я то-
же не всегда могу объяснить, зачем просматриваю по-
павшую в руки книжку по генетике или архитектуре.
В качестве участника не всегда следует рассматри-
вать каждое отдельное лицо. При игре в футбол естест-
венно считать, что участников два — это две команды,
а война, в зависимости от рассматриваемой задачи,
превращает в участников игры государства или даже
группы государств, но участниками могут быть и от-
дельные армейские подразделения.
Цель игры для каждого из участников — выбор та-
кой стратегии, при которой его выигрыш будет наиболь-
шим из возможных. И все было бы просто, если бы
игроку было известно, какие стратегии выбрали другие
участники. В этом случае он рассмотрел бы все ситуа-
ции, в которые входят выбранные другими участниками
стратегии, и выбрал бы себе ту стратегию, при которой
его выигрыш максимален. Но игрок не знает, какие
стратегии выбрали его противники, и в этом-то заклю-
чаются трудности, интерес и иногда азарт игры.
Среди всевозможных игр наиболее простыми оказы-
ваются игры с двумя участниками, у которых противо-
положные интересы: в каждой партии игры потери од-
ного из участников равны (с обратным знаком) выигры-
шу другого. Такие игры иногда называют антагонисти-
ческими. Но я не буду пользоваться последним терми-
ном, дабы не вносить путаницу в понятия, которыми,
как видите, пользуются не только в философии, но и в
математике.
В этом случае сумма выигрышей игроков (выигрыша
и потери — отрицательного выигрыша) всегда равна
нулю. Поэтому такие игры будем называть нулевыми
играми.
Следует заметить, что нулевая сумма игры — это
весьма существенное ограничение. Даже в столь острых
конфликтах, как военные, оно не имеет места потери
310
одной из сторон вовсе не равны выигрышу другой, тем=
более что потери сторон могут, как мы уже знаем, вы-
ражаться в различных единицах.
Очевидно, что при задании нулевой игры нет необхо-
димости указывать выигрыши обоих игроков. И поэтому
такая игра задается перечислением стратегий обоих
игроков и одной матрицей выигрышей.
Итак, предположим, что игра задана то есть изве-
стны стратегии Лг, Л2; Л3;.. .Ат первого игрока и В\\ В2\
Вп — второго. Пусть ац означает выигрыш игро-
ка Л, если игроки выбрали соответственно стратегии
Ai и В; . Матрица игры имеет вид:
В. в2 в, Вп
А. #11 а12 #13
л2 #21 #22 #23
Де #31 #32 #33
• • • • • • • • • •
• • • •
Ат «.П1 #»»2 #и»3 • • • #w<rt
Как же найти решение игры? Для каждого из игро-
ков решение игры означает указание такого способа дей-
ствий, при котором его средний выигрыш за большее
число игр будет максимальным. Следует сказать, что
мы считаем здесь обоих игроков в равной степени «ум-
ными» или «глупыми» — каждый может с одинаковым
успехом просмотреть всевозможные ситуации и оценить
размеры бедствия.
В правилах нашей игры, конечно, следует оговорить,
что стратегия, выбранная в данной партии игры каждым
из участников, не известна его противнику.
Если каждый из противников будет действовать в со-
ответствии с теорией игр, то он должен всякий раз вы-
бирать такую стратегию, при которой получается макси-
мально возможный выигрыш в случае наименее благо-
приятного действия противника.
Можно интерпретировать нулевую игру как выбор
точки на местности, причем стратегии игрока Л —
это выбор географической широты точки, а стратегии
игрока В — это выбор долготы. Значением выигрыша
311
будет высота выбранной точки над уровнем моря. Если
на местности рельеф выглядит как горная цепь в широт-
ном направлении и в ней есть сравнительно низкий
перевал, то интересующая нас ситуация равновесия и
соответствует этой седловой точке — минимаксу. Поэто-
му такая стратегия называется минимаксной.
Если наилучшая стратегия одного из игроков — ми-
нимаксная, то есть стратегия, при которой в матрице
игры сначала берется максимальное из чисел в каждой
строке, а затем минимальное из всех отобранных чисел,
то оптимальная стратегия другого игрока — максимин-
ная, то есть стратегия, при которой сначала берутся
минимальные числа в каждой строке матрицы, а затем
максимальные из отобранных. Можно доказать, что
всегда максимин не превосходит минимакса. Если же
они совпадают, то в игре есть седловая точка — она
является одновременно максимином для одного игрока
и минимаксом для другого. В этом случае их общее зна-
чение называется значением игры.
Если в игре есть седловая точка и один из игроков
выбирает соответствующую ей стратегию, то наилучшей
стратегией второго игрока будет также стратегия, соот-
ветствующая седловой точке, — любая другая стратегия
лишь увеличит его потери.
Оптимальные стратегии, соответствующие седловой
точке, называют чистыми стратегиями. Если в игре есть
седловая точка, то нечего от противника скрывать свои
замыслы — все равно наилучшее, что могут сделать оба
игрока, учитывая, конечно, что их противник достаточно
мудр, — это выбрать чистые стратегии. Если же игра
не содержит седловой точки, то нет оптимальных чистых
стратегий для каждого из участников. Такие игры име-
ют более сложное решение, и тут противникам, кроме
рассуждений, помогает случай. Оказывается, оптималь-
ным поведением здесь будет смена своих стратегий от
партии к партии, причем смена случайная, но с опреде-
ленными вероятностями появления разных стратегий.
Эти вероятности могут быть вычислены, если известна
матрица игры. Такая стратегия называется смешанной.
Для того чтобы эти рассуждения не повисли в воз-
духе, давайте вновь обратимся к игре в монету, немно-
го изменив условия. Теперь игра состоит в том, что вы
кладете монету на стол и закрываете ладошкой. Ваш
противник должен угадать, положили ли вы ее. вверх
312
гербом или решкой. Если он угадал, вы платите ему од-
ну копейку, если не угадал — платит он вам. Матрица
игры здесь очень проста:
- 1 +1
4-1 - 1
Но в этом случае минимакс (то есть максимум по
строкам и затем минимум по столбцам) равен 4-1, в то
время как максимин равен — 1. Таким образом, здесь
нет седловой точки.
Какой же тактики вы будете придерживаться?
Самый простой способ — это класть всегда монету
одной и той же стороной: например, гербом вверх. Но
тогда ваш противник вскоре это заметит и будет не-
изменно выигрывать. Можно, скажем, поочередно ме-
нять герб и решку. Но и это противник скоро обнару-
жит, и подобный образ действий вновь приведет вас к
проигрышу. Если такое чередование достаточно услож-
нить, но оставить закономерным, то наблюдательный
противник все равно это обнаружит и в конце концов
разорит вас.
Следовательно, противника нужно лишить возможно-
сти извлекать в течение игры какую-либо полезную ин-
формацию о ваших намерениях на будущее. А для этого
ваши решения на каждом шагу должны быть случайны-
ми и независимыми. И кроме того, вам следует равно-
вероятно выкладывать монету то гербом, то решкой.
Нетрудно проверить, что и для вашего противника опти-
мальной стратегией в этой игре будет такая, при ко-
торой он будет называть герб и решку независимо и
равновероятно. Таким образом, в описанной игре луч-
шее, что могут делать противники, это пользоваться для
своего решения подбрасыванием другой монеты.
Это кажется парадоксальным: вместо целесообраз-
ного поведения рекомендуется действовать по воле слу-
чая без участия «разума». Однако более пристальное
рассмотрение показывает, что это не столь парадоксаль-
но, сколь неожиданно. Но такая неожиданность обы-
денна; в течение всей жизни мы открываем для себя но-
вые разумные вещи, о которых раньше не подозревали.
Хотя наш вывод не выглядит обнадеживающе, в дей-
ствительности теория игр уже сейчас имеет ряд важных
достижений при анализе поведения животных, людей и
социальных групп в обществе; при выборе оптимального
образа поведения в конфликтной обстановке, когда нет
полной информации; при решении проблем, возникаю-
щих в военных и экономических, юридических и произ-
водственных и многих других ситуациях.
Однако достижения теории игр состоят не столько
в решении конкретных задач, сколько в том, что она
указывает людям, имеющим дело с весьма запутанными
проблемами, некоторую ориентацию, когда им прихо-
дится сталкиваться со сложными конфликтными ситуа-
циями.
В начале книги разговоры с физиологом привели
нас к выводу, что живому организму приходится пере-
страиваться (менять свое состояние), чтобы решать
яеликое множество разнообразных задач, встречающих-
ся на его жизненном пути. Моделирование приспособ-
ления живого организма к внешним условиям для реше-
ния определенных задач, то есть моделирование целе-
сообразного поведения, идет сейчас по пути теории игр.
Речь идет об играх автоматов друг с другом и их играх
с «природой», то есть приспособление автомата к изме-
няющимся по не зависящим от него причинам воздейст-
виям внешней среды.
Здесь и замечательные работы умершего в 1966 го-
ду талантливого советского ученого М. Л. Цетлина о по-
ведении автоматов в «случайных средах», которые
интенсивно развиваются его учениками и соратниками,
и игра в шахматы математических машин с человеком
и друг с другом, моделирование экономических ситуа-
ций, и многое другое. Весь этот круг вопросов очень
интересен и перспективен, но подробнее я на этом не
могу остановиться, надо кончать — ведь нельзя объять
необъятного.
И поскольку одна из моих задач — привлечь ваше
внимание к разделам математики, от которых вам может
быть и непосредственная польза, то при случае обра-
тите более пристальное внимание на математическую
теорию игр.
За круглым столом с друзьями
Первыми читателями этой книги были, конечно, мои
друзья. Кто прочитал отдельные главы, кто большие
части, а некоторые даже всю рукопись.
314
Одни сказали, что кое-где затянуто и длинновато, —
и я бросился сокращать текст. Другие заметили, что
кое-где написано слишком кратко и недостаточно попу-
лярно, — яс тем же усердием удлинял и расширял
соответствующие места.
Мягкие и вежливые обратили внимание на слишком
резкий тон отдельных страниц и на не принятые в оби-
ходе выражения; более решительные настаивали не
только на сохранении остроты полемики, а даже на ее
обострении.
Однажды мы обсуждали рукопись вчетвером. Пер-
вый требовал убрать диалоги: ему казалась эта форма
непригодной для такой книжки; второй настаивал на
их сохранении — это, по его словам, придает докумен-
тальность; третий заметил, что в диалогах мои собесед-
ники выглядят менее выигрышно, чем я, и это будет
приписано самомнению автора. Второй собеседник воз-
разил: «Хотя «Путешествия Гулливера» написаны от
первого лица, никто же не думал, что сам Дж. Свифт
беседовал с учеными мужами в Великой Академии в
Лагадо. А нашего читателя тем более на мякине не
проведешь». Тогда первый ехидно заметил, что, навер-
ное, третьему не нравятся диалоги, потому что именно
в разговоре с ним автор выглядит умнее собеседника.
На что тот ответил, что этот разговор был вовсе не с
ним, ибо он никогда не занимался зрительным анализа-
тором...
Они долго спорили, кто же умнее, кто прав и в чем,
забыв меня спросить, кого я имел в виду на самом деле.
А когда вспомнили и спросили, то второй собеседник
заметил, что спор между ними показал незначительность
роли личности в этой полемике и полезность самой
полемики. В конце концов мы вместе решили сохранить
диалоги.
Работа над книгой занимала слишком много време-
ни, и мне несколько раз хотелось бросить эту затею.
Но мои друзья и родственники не давали пойти на
попятный. Ни одно доброе дело не остается безнака-
занным.
Им пришлось не только слушать мои жалобы,
но читать рукопись и высказывать свое мнение. И все
они внесли какие-то улучшения. Если вы, читатель, до-
шли до этого раздела, хотя бы просмотрев остальные, то
их благородные намерения и труд уже вознаграждены.
315
Мне хотелось выразить всем им свою признатель-
ность, перечислив здесь фамилии и даже указав вклад
каждого из них. Но когда я взялся составлять список
лиц, чтобы поблагодарить их за полезные замечания и
сочувствие, то понял свою беспомощность — так их
много. Я надеюсь, что они простят мне отсутствие здесь
персональной благодарности. Что делать!
За любовь всегда приходится платить либо распла-
чиваться, а это еще не самая большая их потеря.
Последний разговор с читателем
Автор должен, наконец, объяснить, зачем он написал
книжку, а бедняга читатель тратил время на ее изуче-
ние или даже поверхностное пролистывание.
Эта книжка не самоучитель современной матема-
тики, не букварь и тем более не учебник. Она написана
для тех, от кого математика отгорожена густой дымовой
завесой из формул и графиков, формулировок и дока-
зательств. Преодолеть эту завесу трудно. Нельзя же на-
учиться плавать или играть на скрипке, лишь наблюдая,
как это делают другие. Также невозможно без большой
самостоятельной работы овладеть математическими ме-
тодами рассуждений, многочисленными разделами ма-
тематики и научиться ее применять.
Но мне хотелось помочь вам, читатель, увидеть, что
за этой дымовой завесой на самом деле находятся по-
нятные и занятные, интересные и полезные вещи. Конеч-
но, мне удалось пробить лишь небольшие бреши в гу-
стом дыму. Вы увидели только фрагменты, и, быть мо-
жет, не самые впечатляющие. Но разве, заглядывая в
щелку из-за кулис или слушая симфонию через тран-
зистор, можно по-настоящему насладиться искус-
ством?
Не знаю, удалось ли мне показать вам величие и
значение математики и снять с нее ореол таинственности
и недоступности. Если вам не лень, ответьте на эти во-
просы мне — автору и издательству. Если вам хочется
обругать автора, то сделайте это, пожалуйста, с осто-
рожностью: я же старался вас уберечь от травм, кото-
рые наносят неподготовленному лицу математические
атрибуты. Напомню три различных определения науки
математики, принадлежащие великим ученым.
Фридрих Энгельс: «Математика — это наука,
имеющая своим предметом пространственные формы и
количественные отношения действительного мира».
Давид Гильберт: «Математика — это то, что
под этим понимают компетентные люди».
Уиллард Гиббс: «Математика — это язык».
Летом 1966 года в Москве проходил IV Международ-
ный конгресс математиков. Впервые на этом конгрессе
действовала секция по математическим проблемам уп-
равляющих систем. Признанный лидер советской, а быть
может, и мировой школы теории вероятностей академик
Андрей Николаевич Колмогоров, открывая заседания
этой секции, сказал примерно следующее: «Математи-
ка — это то, посредством чего люди управляют приро-
дой и собой».
Вы, конечно, вынуждены управлять собой, хотите
управлять природой и, может быть, руководить другими
людьми. Поэтому ваша оптимальная стратегия, по-
видимому, сводится к тому, чтобы овладеть математи-
кой либо войти в контакт с математиками и работать
с ними вместе.
И если вы вняли рассыпанным в книжке молитвам
и обратились в математическую веру, то примите на во-
оружение имеющий столь много значений и в то же вре-
мя вполне однозначный вопрос: «Ну и что?»
СОДЕРЖАНИЕ
Разговор с читателем t ............................. 5
Разговор с физиологом в сентябре.................... 7
Разговор с физиологом зимой........................ 15
Забытый разговор с инженером-радистом ..... 18
Еще несколько слов к вам, читатель................. 23
Что вы думаете о математике?....................... 25
Что такое математика?.............................. 27
Небесполезный' исторический экскурс................ 28
Фигуры на резиновой пленке......................... 33
Математика и искусство............................. 37
Непрерывные преобразования......................... 37
Удивительная поверхность........................... 42
Граф............................................... 45
Числа и точки s . ,................................ 57
Седло . . . . ..................................... 71
Экстремум.......................................... 77
Экстремальные кривые............................... 87
Эйлер............................................ 89
Мыльный пузырь..................................... 90
Математики бывают разные........................... 94
Откуда берутся аксиомы? ........................... 95
Два типа рассуждений .............................. 97
Индукция и математическая индукция................ 103
Драматическая история проблемы решения уравнений , 107
318
Разговор с инженером-технологом.....................113
Что такое — лучше?................................ 118
Критерий ......................................... 122
«Нос поднимешь — хвост увязнет»................... 125
Близость .......................................... 127
Муся и Пуся....................................... 129
Нестрашный интеграл................................ 131
Пространство, расстояние, норма.................... 135
Как возникают термины............................ 142
Что же делать с задачами инженера-технолога? . . . 144
Инженер Ягодинец выбирает место работы............. 146
Модель.................... т т . s . .............. 154
Математическая модель . .... ж..................... 156
События и их модели 160
Нужна ли вообще математическая модель? .... 166
Как же построить математическую модель процесса
первичной нефтепереработки? ...................... 173
Вероятно, вам понравилась эта книжка?...............176
Как это произошло . .............................. 178
Случай и случай.................................... 179
Вероятность........................................ 180
Вы провели эксперимент. Ну и что?................. 183
Разговор с диссертантом........................... 187
Экспериментатор и статистик........................192
Нам нужно принимать решения........................198
Интуиция: дни рождения............................ 199
Интуиция: везет — не везет..........................203
Блуждание .........................................210
Пьяный увидел собутыльника.........................220
Блуждающий ученик..................................222
Язык............................................... 228
Информация........................................ 233
Память и код ? ....................................235
Что это такое — информация?...................... 243
Количествейная мера . . ...........................147
Пропускная способность ............................252
Кодирование s .... ж................................254
Модель языка и передача информации.................259
Основной факт теории передачи информации .... 260
А как же быть с содержанием? s ....................262
319
Что могут математические машины . . . . 265
Разговор с психиатром................................271
Распознавание образов , . . . ........ 278
Техническая диагностика............................ 286
Кое-что о медицинской диагностике . . . . . ... 295
Не пора ли заменить врача диагностической машиной? 304
Что наша жизнь? Игра............................... 306
За круглым столом с друзьями ........................314
Последний разговор с читателем.......................316
Хургин Яков Исаевич
НУ И ЧТО? М.. «Молодая гвардия», 1970г.
320 с., с илл. («Эврика»).
Редактор В. Федченко
Художник А. Блох
Художественный редактор Б. Федотов
Технический редактор 3. Сутченко
Сдано в набор 2/11 1970 г. Подл, к печати 30/VI 1970 г. А02657.
Формат MXlOBVtt. Бумага № 2. Печ. л. 10 (уел. 163). Уч.-изд. л. 16.5.
Тираж 65000 »кз. Заказ 74. Цена 68 коп. Т; П. 1970 г.. № 144.
Типография изд-ва ЦК ВЛКСМ «Молодая гвардия». Москва, А-30»
Сущевская, 2Ь
ХУРГИН ЯКОВ ИСАЕВИЧ
Доктор физи(п»-матемагических наук Яке
Исаевич Хургин занимался многими, вещами. О.
был и диспетчером большого завода, и нау*
ным сотрудником ведущих институтов по радис
технике и радиофизике, и преподавателем ра:
ных вузов. . -
Темы научных работ.Дкова Исаевича разнооС
разны. Они посвящены вопросам-.чистой и (трь
кладкой математики; радиотехники -и радиоф»
зики, теории связи и -кибернетики, нейрофизи<
логин и диагностики. ' и
В юности он увлекалея.чгпортом, а недавно,
будучи профессором кафедры высшей мафм^
тики Московского института нефтехимической'(
газовой промышленности имени И, М. Губкин!
Я. И. Хуртин вместе со студентами с не мён(
шим увлечением играл в КВН. z ‘ ,
Впрочем, Яков >каевич считает, что он wc
время занимается "одним и тем же. *- i ,
«Ну и что!» — первая его книга, адресовав
ная широкому кругу Читателей Вышла о^
в 1967 году, хорошо была'принята читателям!
а на Всесоюзном конкурсе йаучно-популярнс!
литературы отмечена дйплбМом.•
Нынешнее второе издание дополнено и чаети‘
но переработано.
ЗА СТРАНИЦАМИ УЧЕБНИКА
SHEBA.SPBPU/ZA
Хочу всё знать (теория)
ЮНЫЙ ТЕХНИК (ПРАКТИКА)
ДОМОВОДСТВО (УСЛОВИЯ)