Mathematics for the
Biological Sciences
Stanley I. Grossman
Department of Mathematics
University of Montana
James E. Turner
Department of Mathematics
McGill University
Macmillan Publishing Co., Inc.
New York
Collier Macmillan Publishers
London

С. Гроссман
Дж. Тернер
Математика
для биологов
Перевод с английского
Д. О. Логофета
Под редакцией
Ю,М, Свирежева
Москва
«Высшая школа» 1983

ББК 22.11
Г88
УДК 61
Гроссман С, Тернер Дж,
Г88 Математика для биологов: Пер. с англ л / Предисл. и ком*
мент. Ю. М. Свирежева. — М.: Высш. школа, 1983. — 383 с,
ил.
В пер. 2 р, 20 к.
Книга представляет собой ориентированное на биологов введение в некоторые
области математики, которые наиболее часто используются при построении и ана*
лнзе математических моделей в биологии. Среди этих разделов математики — эле»
ментарная теория вероятностей, теория матриц, линейное программирование, теория
игр, дифференциальные и разностные уравнения.
Для студентов биологических специальностей вузов и университетов* Може!
быть полезно лицам, интересующимся приложениями математики в биология.
1702050000—380 _ ББК 22.11
001@1)—83 6 ~~83 611
Copyright ® 1974 Macmillan Publishing Co.» toe.
Перевод на русский язык, предисловие и комментарии
Издательство «Высшая школа», 196Э

Содержание
Предисловие редактора русско*
во перевода
Предисловие
1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕ-
СВЕДЕНИЯ
1.1. Язык множеств
1.2. Операции над множествами
1.3. Отношения и функции
1.4. Математика перечисления:
перестановки
1.5. Математика перечисления)
сочетания
1.6. Биномиальная и полиноми-
полиномиальная теоремы
2. ДИСКРЕТНАЯ ВЕРОЯТ-
ВЕРОЯТНОСТЬ
2.1. Введение
2.2. Выборочные пространства я
пространства равных веро-
вероятностей
2.3. Конечные пространства ве-
вероятностей
2.4. Условная вероятность
2.5. Теорема Байеса
2.6. Повторные испытания: бино-
биномиальное и полиномиальное
распределения
2.7. Случайные величины
2.8. Математическое ожидание
и дисперсия
2.9. Распределение Пуассона
3. ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ
8.1. Векторы
3.2. Матрицы
3.3. Системы линейных уравне-
уравнений
3.4. Обращение матрицы
3.5. Определителе и правило
Крамера
3.6. Собственные значения в
собственные векторы
4. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИ-
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
4.1. Введение
4.2. Выпуклые множества и ли-
линейные неравенства
4.3. Линейное программирова-
программирование метод перебора вершин
4.4. Двойственная задача
4.5. Симплекс-метод
4.6. Симплекс-метод (продолже-
(продолжение)
6. МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ И
ТЕОРИЯ ИГР
5.1. Переходная матрица
5.2. Регулярные марковские це-
цепи
5.3. Поглощающие марковские
цепи
5.4. Теория игр
5.5. Стратегии в матричных иг-
играх
5.6. Матричные игры я линей-
линейное программирование
б. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕ-
УРАВНЕНИЯ
6.1. Введение
6.2 Линейные разностные урав-
уравнения первого порядка
6
7
9
11
17
21
26
61
39
40
45
49
56
61
66
73
81
87
87
93
99
109
115
121
127
127
130
138
145
149
162
167
167
175
181
187
190
201
207
207
210
6.3. Линейные радостные урав«
нения вюрого порядка 214
Ь.4. Метод вариации постоян-
постоянных для разностных урав-
уравнений второго порядка 220
6.5. Системы разностных урав-
уравнений первого порядка 225
7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ 228
7.1. Введение 228
7.2. Линейные дифференциаль-
дифференциальные уравнения первого по-
порядка 230
7.3. Нелинейные дифференциаль-
дифференциальные уравнения первого по-
порядка: разделение перемен-
переменных 240
7.4. Линейные дифференциаль-
дифференциальные уравнения второго по-
порядка 246
7.5. Метод вариации постоянных
для дифференциальных
уравнений второго порядка 251
7.6. Системы дифференциаль-
дифференциальных уравнений первого по-
порядка 256
8. НЕПРЕРЫВНАЯ ВЕРОЯТ-
ВЕРОЯТНОСТЬ 261
8.1. Непрерывные случайные ве-
величины 261
8.2. Функции плотности 264
8.3. Нормальное распределение 271
8.4. Неравенство Чебышева и
доверительные интервалы 277
9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МО-
МОДЕЛИ В БИОЛОГИИ 283
9.1. Построение моделей 283
9.2. Выживание и вымирание ви-
видов 285
9.3. Генетика « закон Харди—
Вайнберга 290
9.4. Модели отбора и приспособ-
приспособлен чости 296
9.5. Уравнения Лотки—Вольтер-
ра 302
9.6. Игра «жизнь» ЗС7
Приложение А. Тригонометрия 31Э
Приложение Б. Дифферента
альное исчисление 314
Б1. Скорости изменения в про-
производные 31«
Б1 Правила дифференцирования 321
БЗ. Максимумы, минимумы в
построение графиков 32Г
Б4. Показательные функции и
логарифмы ЗЗв
Б5. Частные производные 336
Приложение В. Интегральное
исчисление 338
81. Первообразная 338
82. Определенный интеграл 341
83. Численное интегрирование 349
Приложение Г. Экспоненциаль-
Экспоненциальная функция 352
Приложение Д. Комплексные
числа 355
Приложение Е. Математическая
индукция 357
Таблицы 360
OjQ$Ttfi к избранным задачам 366
Предметный указатель 38Q

Предисловие редактора
русского перевода
Сейчас уже никто не сомневается в том, что математические методы, наряду
с физическими и химическими, являются мощным инструментом при исследо-
исследовании чисто биологических проблем. Современные биологи и медики получают
(по крайней мере, в идеале) достаточно серьезную математическую подго-
подготовку.
На наш взгляд, математическое образование медиков и биологов должно,
с одной стороны, давать им понятие об основных идеях и языке математики,
о том, что может и чего не может математика, а с другой — дать им такой
набор «ремесленных» приемов и методов, которые позволяли бы им самим
решать свои задачи, обращаясь к профессионалам лишь в сложных и не-
нестандартных случаях. Не думаю, что эта проблема может быть легко и быст-
быстро решена, но решать ее нужно, используя не только наш, но и зарубежный
опыт. С этой точки зрения можно только приветствовать инициативу изда-
издательства «Высшая школа», взявшего на себя труд выпустить в русском пере-
переводе книгу С. Гроссмана и Дж. Тернера «Математика для биологов».
Чем привлекательна эта книга? Во-первых, тем, что она обобщает опыт
реальных лекций, реальной работы со студентами — биологами и медиками.
Во-вторых, удачным сочетанием строгости и наглядности изложения.
И в-третьих, хорошим подбором задач и примеров. Однако стремление авто-
авторов сделать свою книгу понятной для студентов с самым широким спектром
первичной математической подготовки привело к значительному увеличению
ее объема. Более стандартные требования к этой подготовке помогли бы зна-
значительно сократить книгу, сделать ее композиционно менее рыхлой, более
изящной и в результате более легко читаемой.
При переводе были исправлены некоторые неточности. Там же, где авто-
авторы из методических соображений слишком решительно упрощали реальную
ситуацию, сделаны соответствующие подстрочные примечания. Заметим, что
иногда среди вполне серьезных задач встречаются задачи-шутки либо матема-
математического, либо семантического характера. Поэтому мы просим читателя, ког-
когда он видит, что полученный им результат не сходится с ответом, а он убеж-
убежден в своей правоте, не делать слишком поспешных выводов о том, что авто-
авторы ошиблись.
Заключая свое предисловие, я обращаюсь ко всем читателям этой книги
принять самое активное участие как в обсуждении проблем математического
образования биологов и медиков, так и предлагаемой читателям книги. Мы
(переводчик, редактор и издательство) будем благодарны вам за ваши пред-
предложения, замечания и советы.
Проф. Ю. М. Свирежев

Предисловие
До недавнего времени биологи, медики и ученые смежных наук едва ли ис-
испытывали необходимость в математике, отличающейся от обычной статисти*
ки. Однако в прошедшее десятилетие бурно развивались приложения самых
различных математических средств к изучению многих типов биологических
явлений. Этот процесс достиг такой стадии, когда студентов, изучающих био^
логию и медицину, уже не нужно убеждать, что математика играет важную
роль и в их науках. Нужно лишь помочь студентам суметь приобрести необ-
необходимые математические знания за разумный срок и развить у них способ-
способность применять эти знания в области биологии и медицины. В этом состоит
основная цель предлагаемой книги.
Настоящий учебник написан на основе курсов, читавшихся на факульте-
факультетах биологии и медицины в Университете Мак-Гилла (Монреаль, Канада).
Часть представленного здесь материала можно найти в обычных учебниках
математики, и все же авторы ощущали потребность в такой книге, где связь
этого материала с биологией подчеркивалась бы в каждом пункте.
Мы попытались создать книгу, которой было бы удобно пользоваться
студентам с различным уровнем математической подготовки. Поэтому требо-
требования к предварительным знаниям сведены до минимума. Более трудный ма-
материал обычно появляется в последних параграфах каждой главы и при пер-
первом чтении может быть пропущен без особого ущерба для непрерывности из-
изложения. С другой стороны, более подготовленные студенты могут извлечь
пользу из более сложного материала.
Основными темами учебника являются вероятности, векторы и матрицы,
линейное программирование, марковские цепи, теория игр, разностные и диф-
дифференциальные уравнения. По нашему убеждению, наряду со статистикой
именно эти разделы математики наиболее плодотворно используются в био-
биологических приложениях. При этом мы опустили общее рассмотрение стати-
статистических методов, поскольку они давно уже признаны как важная составная
часть биологии. Однако представленные здесь главы по теории вероятностей
вполне могли бы служить полезным введением к обычным курсам статисти-
статистики и биометрии.
Первые шесть глав предполагают знание алгебры только в объеме сред-
средней школы. Лишь гл. 7 и 8 и один из параграфов гл. 9 требуют знакомства
с некоторыми основами математического анализа. Необходимые для этих глав
сведения из анализа (основы дифференцирования и интегрирования) приведе-
приведены в Приложениях Б и В. Эти приложения могли бы послужить основой для
полугодовых курсов анализа — так они и создавались. Сведения из анализа
предполагают, кроме того, определенный уровень знаний по тригонометрии —-
необходимый материал содержится в Приложении А.
Глава 1, являясь вводной, знакомит с материалом, необходимым для
всей книги. Она включает теорию множеств, функции, перестановки, сочета-
сочетания и биномиальную теорему.
Глава 2 — по дискретным вероятностям — включает всю ту элементарную
теорию вероятностей, которая содержится в обычных ограниченных курсах
математики. Однако из этих курсов часто исключаются такие темы, как рас-
распределение Пуассона и геометрическое распределение, столь полезные для
биологических приложений. Здесь эти темы отражены.
Глава 3 — о векторах и матрицах — тоже составляет ядро ограниченного
курса основ математики. Сюда включено рассмотрение собственных значений
и собственных векторов. Этот материал, наиболее трудный в данной главе,
используется затем в гл. 5 при рассмотрении марковских цепей. Его можно
пропустить при первом чтении.

После первых трех глав курсы, основанные на данном учебнике, могли бы
продолжаться в нескольких направлениях. Главы 4, 5 и 6 дали бы хорошую
подготовку по дискретной математике. В гл. 4 и 5 представлены три из наи«
более важных приложений векторов и матриц. Линейное программирование,
марковские цепи и теория игр стали важными математическими средствами,
применяемыми в экологии, диагностике и лечении заболеваний, генетике и
многих других областях. Отметим, что гл. 4 опирается только на гл. 3, тогда
как гл. 5 использует основы вероятности и зависит потому от начальных па-
параграфов гл. 2. Две части гл. 5 — марковские цепи и теория игр — можно чи-
читать независимо. Глава 6 — о разностных уравнениях — не зависит от пре-
предыдущих глав. Разностные уравнения дают важный метод описания процес-
процессов роста популяций и многих генетических процессов.
Главы 7 и 8 предполагают знание основ анализа. В гл. 7— о дифферен-
дифференциальных уравнениях — дается непрерывный аналог аппарата, развитого в
гл. 6 (хотя она может читаться и независимо от гл. 6). Эта глава не зависит
от материала, изложенного в предшествующих главах книги. В гл. 8 — о не-
непрерывных вероятностях — продолжается изложение того материала, на ко-
котором завершилась гл. 2, и рассматриваются основные свойства непрерывных
распределений. Довольно подробно изучается нормальное распределение —
несомненно, наиболее важный инструмент теории вероятностей для биолога*
Глава 9 не дает каких-либо дополнительных сведений из математики*
а описывает на определенном уровне детализации ряд простейших математи-
математических моделей биологических процессов. Эти модели имеют отношение к ос-
основным проблемам роста, выживания и вымирания популяций. Все необходи-
необходимые для них математические сведения изложены в предшествующих главах.
Преподавателю стоит обсудить эти модели со студентами, как только будут
пройдены соответствующие математические разделы. Рассмотренные в первых
восьми главах примеры сознательно упрощались, чтобы облегчить понимание
математического аппарата, лежащего в основе соответствующих моделей*
Более сложные модели гл. 9 призваны послужить развитию необходимых на-
навыков в построении моделей.
Авторы хотели бы выразить благодарность своим коллегам и студентам
Университета Мак-Гилла и Университета штата Монтана за многочисленные
пожелания и предложения, способствовавшие улучшению материала этой
книги. Мы благодарны также Карлу Аллендорферу и всем, кто рецензировал
этот учебник и сделал ряд полезных критических замечаний. Наконец, мы
особо благодарны Эверету Смезерсту, редактору книги от издательства
«Макмиллан Инкорпорейтед», за его постоянную помощь и поддержку, а так-
также Марии Лам, тщательно и умело перепечатавшей рукопись данной книги.
Стэнли И. Гроссман,
Джеймс Э. Тернер

I
Предварительные
сведения
1.1. Язык множеств
Представление о «множестве» приводит к одному из самых общих поня-
понятий, которые встречаются в любой науке и в каждой области математи-
математики. Множество — это любая четко определенная совокупность объек-
объектов. Объекты, которые образуют множество, называются элементами
(или членами) этого множества. Примерами множеств могут служить:
множество всех страниц данной книги (каждая страница является эле-
элементом этого множества); множество всех действительных чисел, боль-
больших 0 и меньших 1; множество больных в некоторой больнице; мно-
множество видов, вымерших между 1900 и 1970 годами.
Множество определено, когда мы в состоянии решить, является ли
любой данный объект его членом или нет. Эта задача может оказаться
непростой. Например, набор всех «больших» чисел не является мно-
множеством, пока мы четко не определили, какие числа считаются боль-
большими, а какие — нет. Набор же всех чисел, больших 1000, есть мно-
множество, поскольку мы с очевидностью можем определить, является
ли любой данный объект его членом или нет.
Имеется стандартный способ изображения множеств с помощью
фигурных скобок. Для иллюстрации этого способа предположим, что
S представляет собой множество положительных четных чисел, мень-
меньших 10. С помощью фигурных скобок можно записать
5=={л::0<л:<10и х—четное}.
Это следует читать: «S есть множество элементов х таких, что 0 < х <С
<С 10 и х является четным числом». Еще проще запись S = {2, 4, 6, 8}.
Пример 1.1.1. Ниже приведены примеры множеств, записанных с по-
помощью фигурных скобок:
1) S {
фур
± = {х : 0< х<\ или
2 = \х : х —
{
) ± { }
2) S2 = \х : х — пациент определенной больницы};
3) S3 — {х : х — живое человеческое существо}.
Для обозначения того, что х является элементом S (или что х при-
принадлежит S), будем применять запись х ? 5. Уравнение S = {х :
х 6 S} выражает тот очевидный факт, что S есть множество элементов
х таких, что х принадлежит S. Говорят, что два множества S± и S2
равны, если они содержат одни и те же элементы.

]Q Глава 1. Предварительные сведения
Пример 1.1.2. Множество St = {х : 0< х<4, х—целое} и множество
S2 = {х : а:3 — 6jc2 + 11 х — 6 = 0} равны. Элементы обоих множе-
множеств — это целые числа 1, 2 и 3. Таким образом, мы можем записать St =
= Sa= {I, 2,3}.
Множество может иметь бесконечное число элементов. Например,
множество S = {х : х — целое положительное число} = {1, 2, 3, ...}
является бесконечным. С другой стороны, множество может вообще
не содержать элементов. Множество S = {х : х — нечетное число, де-
делящееся на 2} заведомо не содержит никаких элементов. До 1969 г.
йе содержало элементов и множество человеческих существ, которые
ступали на Луну. Если некоторое множество не содержит никаких эле-
элементов, то будем называть его пустым множеством и обозначать сим-
символом 0. Заметим, что 0 является множеством, поскольку оно пред-
представляет собой вполне определенную совокупность объектов, а именно
такую, ни один объект которой не принадлежит 5.
Применяя этот язык к какой-либо конкретной задаче, мы обычно
составляем множество всех возможных объектов, которые рассматри-
рассматриваются в данной задаче. Оно называется универсальным множеством
задачи. Например, готовящийся к экзамену студент изучает множест-
множество всех вопросов, которые могут быть заданы на экзамене (это очень
большое множество). Гораздо меньшее множество тех вопросов, кото-
которые действительно могуг быть заданы на экзамене, может оказаться для
студента более важным, нежели универсальное множество. В другом
примере, касающемся анализа распространения заболеваний в какой-
либо стране, универсальным было бы множество всех людей этой стра-
страны. Из практических соображений может, однако, возникнуть необхо-
необходимость иметь дело с гораздо меньшим множеством людей, выбранным
из всего населения. Это естественно подводит нас к понятию подмно-
подмножества некоторого множества.
Пусть А — заданное множество элементов. Тогда В называется под-
подмножеством А (обозначение В cz А), если каждый элемент множества
В является элементом множества А. Заметим, что если ВсЛиЛсВ,
то А ~ В. (Попытайтесь объяснить словами, почему это должно быть
справедливо.) Мы говорим, что В есть истинное (или собственное) под-
множество А, если * В а А и В Ф А.
Пример 1.1.3. Пусть А — {х : х — человеческое существо } и
В = {х : х — человеческое существо женского пола }. Тогда ясно,
что В d А и В — истинное подмножество А.
Пример 1.1.4. Пусть А1 = {х : х — вид животных }, А2 = {х : х —
вид насекомых} и А 3 = {х : х —- вид млекопитающих }. Тогда А2 и
Аъ являются истинными подмножествами Ах.
Нужно быть внимательным, чтобы различать элементы множества
и подмножества этого множества. Например, когда мы пишем а 6
€ {я» Ь} с}, это означает, что элемент а есть член множества, состояще-
состоящего из трех элементов: а, Ъ и с. Когда же мы пишем {a} cz {a, b9 с), это
Кроме того, В Ф 0. — Прим, пер.

§ 1.2* Операции над множествами j |
значит, что множество, состоящее из элемента я, является подмножш?-
вом множества, состоящего из трех элементов: а, Ь и с.
Задачи к § 1.1
1. Опишите словами следующие множества, записанные с помощью скобок:
a) Sj = {х х х2 + 2х = 0}; б) S2 = {x i 5 < х} х < 9};
в) S3= {*! 1 <2<9}
Каковы элементы каждого из трех множеств: Sft 52 и S3?
2. Какие из перечисленных множеств равны и какие являются собственными
подмножествами других множеств из приведенного списка?
a) Sx = {*: 0<*< 1}; б) 52= {х i х > 0, 0<*2<4}|
в) S3- {x: 0<3*2<3};
г) ^4> = {х : х2 + х = 0}; д) S5= {*: * > 0, х < 2};
е) S6 = {х : 0< х<4 —х}.
3. Опишите несколько способов, с помощью которых множество больных в боль-
больнице естественно разбивается на подмножества. Опишите и соответствующее
разбиение на подмножества персонала больницы.
4. Рассмотрим множество известных симптомов аппендицита. Вообще говоря,
у одного больного с аппендицитом будет наблюдаться лишь какое-то под-
подмножество этих симптомов. Пусть известные симптомы — это slt &2
и s3; опишите все возможные подмножества симптомов (включите сюда пол-
полное множество и пустое множество, как подмножества).
5. Предположим, что S содержит п элементов. Считая подмножествами пустое
множество 0 и полное множество S, докажите, что существует всего 2п
подмножеств множества S. [У к а з а н и е: каждый элемент S либо входит,
либо нет в какое-то подмножество.]
6. Для лечения некоторой болезни имеется четыре лекарства: Dlt D2, D3 и D4.
Болезнь лечится назначением по крайней мере двух из этих лекарств. Пред-
Предполагая, что последовательность, в которой назначаются лекарства, не-
несущественна, выпишите различные способы лечения этой болезни с помощью
данных лекарств.
7. В эксперименте 300 добровольцев соблюдали диету в течение двух месяцев.
После первого месяца 240 из испытуемых потеряли более 10 фунтов, а 100—
более 15 фунтов. После двух месяцев 260 испытуемых потеряли более
10 фунтов и 150—более 15 фунтов. Предполагав, что ни один испытуемый
не прибавил в массе, пока соблюдал диету, опишите соотношения между
этими четырьмя подмножествами множества испытуемых.
1.2. Операции над множествами
В предыдущем параграфе мы ввели понятие множества и его подмжь
жеств. Теперь определим несколько операций над множествами, т. е-
способов комбинировать одни множества для образования других. На-
Например, множество всех видов животных в соединении с множеством
всех видов растений образует множество всех видов.
Определение 1.2.1. Объединение двух множеств.
Объединение множества А и множества В есть множество, составлен*
ное из элементов А вместе с элементами В. Объединение записывается
как A U В == {х : х 6 А или х 6 В или обоим множествам}.

12 Глава 1. Предварительные сведения
Пример 1.2.1. Пусть Л = A, 3, 6, 8} и В = {2, 4, 6, 8}. Тогда объеди-
объединение Л и В есть А и В = A, 2, 3, 4, 6, 8}. При этом элементы 6 и 8
принадлежат обоим множествам.
Пример 1.2.2. Определим А как множество всех курящих мужчин в ка-
какой-либо популяции, а В — как множество отцов в этой популяции.
Тогда множество А и В есть множество всех мужчин в популяции, ко-
которые являются либо курильщиками, либо отцами, либо и курильщи-
курильщиками, и отцами одновременно.
Очевидным образом мы можем построить объединение и более чем
двух множеств. Объединение трех множеств Л, В и С есть множество
А и В и С, каждый из элементов которого принадлежит хотя бы одно-
одному из множеств Л, В и С:
A U В и С = {х : х 6 А или х ? В или х ? С}.
Существует простой способ изображения множеств и объединений
множеств с помощью диаграмм Венна. Множество А изображается за-
заштрихованной областью на рис. 1.1, а. Аналогично, множества Л U В и
А иВиСна рис. 1.1,6, в изображены в виде заштрихованных облас-
областей.
Займемся другим способом комбинирования множеств с целью об-
образования новых множеств. Например, если А—множество всех
мужчин в какой-то популяции, а В — множество всех тех людей в по-
популяции, которые являются левшами, то мы можем образовать мно-
множество всех мужчин-левшей этой популяции. Это приводит к следую-
следующему определению.
Определение 1.2.2. Пересечение двух множеств. Пере-
Пересечение множества А и множества В есть множество элементов, кото-
которые содержатся как в А у так и в В. Пересечение записывается как
А Г\В =* {х:х? А и х?В}.
Пересечение более чем двух множеств определяется очевидным об-
образом. Пересечение трех множеств Л, В и С есть множество элемен-
элементов, которые принадлежат А, В и С:
В диаграммах Венна пересечение любого числа множеств соответ-
соответствует перекрыванию областей, представляющих сами множества. За-
Заштрихованные области на рис. 1.2, а, б изображают пересечения А О В
и Л п В п С.
Пример 1.2.3. Пусть Л = {1, 3, 6, 8} и В = {2, 4, 6, 8}. Пересечение
А н В есть А П В = {6, 8}.
Пример 1.2.4. Определим Л как множество тех особей в данной попу-
популяции плодовой мушки, у которых имеется определенная мутация кры-
крыльев, а В — как множество мушек с определенной мутацией глаз. Тог-
Тогда пересечение Л п В есть множество плодовых мушек этой популяции,
у которых имеется мутация и крыльеэ, и глаз» (Что представляет собой
Л и В в этом примере?)

§ 1.2. Операции над множествами
13
Теорема 1.2.1. Пусть А и В — два любых множества. Тогда объедини
ние А [) В и пересечение А (] В удовлетворяют следующим соотношу
ниям:
1°. А Л В cz А, А Л В с В.
2°. А с Ли В, В cz A U В.
О Каждый элемент А п В является элементом А и элементом В.
Это в точности то, что подразумевается записью А А В а А и Л Л В с:
cz В. Аналогично, множество А и В содержит все элементы Аи В. По-
Поэтому Л с= Л U В и В с Л U В. ¦
Часто случается, что два множества А и В не имеют общих элемен-
элементов. Чтобы описать эту возможность, введем следующее определение.
Определение 1.2.3. Два непересекающихся множе-
множества. Два множества А и В называются непересекающимися, если
они не содержат никаких общих элементов. Иными словами, множества
А и В непересекающиеся, если А Л В = 0.
Пример 1.2.5. Определим А как множество целых положительных, а
В — как множество целых отрицательных чисел. Тогда Л и В —
непересекающиеся множества, поскольку не существует целых чисел,
которые были бы одновременно и положительными, и отрицательными.
Пример 1.2.6. Определим Л как множество людей в популяции старше
20 лет, а В — как множество людей младше 10 лет, Тогда А я В —
непересекающиеся множества, т. е. Л П В = 0.
Определение 1.2.3 может быть распространено на случай более
чем двух множеств.
Определение 1.2.4. Взаимно непересекающиеся
множества. Говорят, что п множеств А1$ Л2, ..., Ап являются
взаимно непересекающимися (или попарно непересекающимися), если
никакие два из этих множеств не имеют общих элементов. Иными сло-
словами, множества Лх, Л2,..., Ап взаимно непересекающиеся, если At n
П Л; = 0 при / Ф\ для /; / = 1,2, ..., п.
Пример 1.2.7. Для некоторой популяции положим Л = {люди млад-
младше 10 лет}, В = {люди в возрасте между 10 и 20 годами} и С = {люди
старше 20 лет}. Тогда множества Л, В и С—взаимно непересекающие-
непересекающиеся, так как ни один человек не принадлежит сразу двум из этих мно-
множеств.
Имеется и третья, крайне полезная операция над множествами.
Представим, что мы исследуем наличие туберкулеза среди населения.

14 Глава 1. Предварительные сведения
Универсальное множество этой задачи образо-
образовано всеми представителями населения. Шс
интересует множество людей, которые больны
туберкулезом, а также множество людей, у ко-
которых туберкулеза нет. Это приводит к следую-
следующему определению.
Определение 1.2.5. Дополнение мно-
множества. Дополнение множества А по отно-
Рис. 1.3 шению к универсальному множеству S есть мно-
множество А, составленное из всех тех элементов S*
которые не находятся в А. Дополнение А обозначается также через
Ас или SЧЧЛ (читается «5 минус Л»). С помощью фигурных скобок
можно записать
А = Ас = 5\Л = {х : х ? S и хф А).
Символ ф означает «не принадлежит».
В более общем случае В \А есть множество элементов В, которые не
находятся в А. Заметим, что А и В\А—непересекающиеся множества
(почему?). Множества В\Л и А\В изображены на диаграмме Венна
(рис. 1.3). Из этой диаграммы виден общий результат:
A U В - (А\В) U (А Л В) и (В\А).
Это разложение объединения двух множеств на три непересекающиеся
подмножества.
Пример 1.2.8. Для некоторой популяции определим М как множество
всех мужчин, а Т — как множество людей, у которых туберкулез.
Универсальным множеством S являемся множество всех людей этой
популяции. Тогда М = {женщины}, Т = {люди, у которых нет тубер-
туберкулеза}, М^Т •-= {мужчины, у которых нет туберкулеза}, Т\М =*
= {женщины с туберкулезом}. Проверьте, что М [] Т == (М^Т) U
U (М П Т) U (Т\М).
Пример 1.2.9. На котором ареале имеется 100 сосуществующих видов
животных. Определим А как множество видов, которые питаются днем,
а В — как множество видов, которые питаются ночью. Описать множе-
множества A U В, А п В, А и А\В. Если 80 видов питаются днем и 30 видов
питаются ночью, то сколько видов питаются только днем? Сколько ви-
видов питаются и днем, и ночью?
А Множество А и В представляет собой множество видов, которые
питаются либо днем, либо ночью. Ясно, что это есть множество всех
100 видов. Аналогично,
А л В = {виды, которые питаются как днем, так и ночью};
А = {виды, которые не питаются днем};
А\В = {виды, которые питаются только днем}.
Виды, которые питаются только днем, — это виды, которые не питают-
питаются ночью. Имеется 30 видов, которые питаются ночью, и потому есть
10J — 30=70 видов, которые питаются только днем. Поскольку 80 ви-

§ 1.2. Операции надмножествами ]5
дов питаются днем, а 70 видов питаются
только днем, существует 10 видов, кото-
которые питаются и днем, и ночью. ^
Нас интересуют возможные способы раз-
разделения одного множества на непересекаю-
непересекающиеся подмножества. Например, совокуп-
совокупность людей можно разделить на детей и
взрослых, на мужчин и женщин и многими р « .
другими способами. Чтобы формализовать
эту идею, введем следующее определение.
Определение 1.2.6. Разбиение множества. Разбиение мно-
множества А есть набор его подмножеств А19 Л2,..., Ап, которые взаимно
не пересекаются и в объединении дают А. Это можно записать как Аг[)
U А2[)...[)Ап = А и At П Aj = 0 при / ф ] для /; / = 1, 2, ..,, п.
На рис. 1.4 изображена диаграмма Венна для разбиения множест-
множества Л.
Предположим, что Su S2,..., Sn — разбиение универсального мно-
множества S и А — любое подмножество 5. Тогда разбиение S порождает
и некоторое разбиение подмножества Л.
Теорема 1.2.2. Если Sl9 S2,..., Sn—разбиение множества S и А —
любое подмножество S, то A (]Sly A f| S2, ...,Л П Sn является раз-
разбиением А.
D Требуется доказать, что множества А (] Slf А П 52,..., А П Sn —
взаимно непересекающиеся и что их объединение есть А. Рассмотрим
любой элемент х ? А; х является элементом ровно одного из множеств
Sl9 52, ..., Sn, так как они образуют разбиение S. Тогда х является эле-
элементом и ровно одного из множеств А П Sl9 А П52, ...» A f]Sn. Зна-
Значит, поскольку все эти множества являются подмножествами А} они
взаимно не пересекаются; их объединение дает А:
А = (A flSi)UD Л Sa) U...U(^nSn). ¦
Пример 1.2.10. Разделение множества всех видов на растительное п
животное царства является разбиением. Более мелкое разбиение дает-
дается типами. Какие еще есть наиболее употребительные разбиения мно-
множества всех видов? (См. задачу 5 к § 1.2.)
Пример 1.2.11. Из группы в 170 студентов, занимающихся естествен-
естественными науками, 70 студентов посещают лекции по крайней мере одного
курса физики, 95 ходят на биологию и 80 — на математику. Предполо-
Предположим, что 30 студентов посещают и математику, и физику, 35 — мате-
математику и биологию, а 15 — физику и биологию. Предположим также,
что 5 студентов посещают лекции по всем трем предметам. Сколько сту-
студентов посещают лекции ровно по двум из этих трех предметов?
л Определим Р, В и М как множества студентов, посещающих со-
соответственно курсы по физике, биологии и математике. Тогда эти мно-
множества насчитывают 70, 95 и 80 студентов. Множества PRM, В(]М и
Р(]В соответственно содержат 30, 35 и 15 элементов. Мййжество
Р П М П В содержит 5 элементов. Множество (Р ПМ)\(Р Л М П В)

16 Глава 1. Предварительные сведения
содержит 30—5 =* 25 элементов. Эти студенты изучают и математику,
и физику, ноне биологию. Аналогично, 35—5 = 30 студентов изу-
изучают только математику и биологию и 15—5=10 студентов изучают
только физику и биологию. Мы получаем, что ровно двумя из трех
предметов занимаются 25+30+10=65 студентов.А
Задачи к § 1.2
1. Путем словесных рассуждений и с помощью диаграммы Венна докажите,
что (A (J В) (J С = А U (В U Q, где Л, В и С — любые множества. Если А —
множество взрослых мужчин, В — множество взрослых женщин и С—мно-
С—множество детей в популяции, то что представляют собой множества A (J В,
В (J С, (A U В) U С и A U (BJJ Q?
2. Докажите, что дополнение А множества А (относительно S) удовлетворяет
следующим соотношениям:
а> ЛцЛ~^?, А()А~=0: __ ___
б)
j
в) если АсВ и Сс?, то BczA(]C.
3. С помощью диаграммы Венна или словесными рассуждениями докажите,
что А П (В (J С) в общем случае не равно (Л f\ В) (J С.
4. Определим / как множество всех целых положительных чисел. Далее оп-
определим А как множество четных чисел в /, В — как множество чисел в /,
делящихся на 3, и С — как множество чисел в /, делящихся на 5.
а) Каковы элементы множеств А {] В, В (\ С и А {] В [] С?
б) Определите элементы множества D= {х : дс —/г2, п ? А () В (} С, п <С20},
5. Каждый биологический организм классифицируется (согласно принятой сис-
системе классификации) по царству, типу, классу, отряду, семейству, роду и
виду. Нарисуйте диаграмму Венна, которая иллюстрирует эту систему клас-
классификации.
6. Из группы в 1000 студентов, занимающихся естественными науками,
630 студентов посещают лекции по крайней мере одного курса по биологии,
390 — по химии и 720 — по математике. Известно также, что 440 студентов
посещают и математику, и биологию, 250—математику и химию и 200 —
биологию и химию. Кроме того, известно, что 130 студентов посещают
лекции по всем трем предметам.
а) Нарисуйте диаграмму Венна, иллюстрирующую данную задачу.
б) Сколько из 1000 студентов не посещают ни биологии, ни химии, ни мате*
матики?
в) Сколько студентов посещают только один из трех предметов?
г) Сколько студентов посещают ровно два предмета?
7. При изучении групп крови обследовалось 10 000 человек. У 5500 из них был
обнаружен агглютиноген А, у 2500 — агглютиноген В и у 3000 этих аг-
глютиногенов не обнаружилось. Определим Л, В и О как три соответствую-
соответствующих множества людей.
а) Нарисуйте диаграмму Венна, иллюстрирующую данную задачу. _
б) Опишите словами множества A {j Bt A f) В, А (] О, (A (J В) Q О, А и А(]В*
в) Сколько людей имеют два агглютиногена: А и В?
8. При изучении эффекта курения на рак легких большая популяция взрослых
людей делилась на курящих и некурящих. Курящие подразделялись далее
на тех, кто курит мало, умеренно и много. Популяция делилась также на
тех, у кого имеется рак легких, и тех, у кого его нет. Наконец, популяция
делилась на мужчин и женщин. Нарисуйте единую диаграмму Венна, ил-
люстрирующую три этих способа разбиения популяции.

§ 1.3. Отношения и функция ] 7
1.3. Отношения и функции
Определенный в предыдущем параграфе набор операций позволяет нам
по-разному комбинировать имеющиеся множества, чтобы получать
новые. Существует и другой путь комбинирования множеств для обра-
образования новых множеств, который очень полезен в приложениях.
Предположим,что А и В — любые два множества и а является эле-
элементом Л, а Ь — элементом В. Тогда мы можем образовать упорядочен-
упорядоченную пару (а, 6), состоящую из элемента множества Л, за которым сле-
следует элемент множества В. Говорят, что две такие упорядоченные пары
равны, если в обеих парах одинаковы как элементы множества Л, так и
элементы множества В. Это значит, что (alf bt) = (а2, Ь2) тогда и толь-
только тогда, когда ах = а2 и bx = b2. Определим теперь множество всех
таких упорядоченных пар.
Определение 1.3. к Декартово произведение двух
множеств. Пусть А и В — любые два множества. Декартово про-
произведение А и В, обозначаемое Л X В, есть множество, состоящее из
всех упорядоченных пар (а, 6), где а 6 Л и b ? В.
Пример 1.3.1. Пусть С = {столицы штата} и Т = {двузначные числа).
Тогда декартовым произведением двух этих множеств служит множест-
множество С X Т = {(с, t)\ с — столица штата, a t — двузначное число}.
Одним членом этого множества является, например, (Бостон, 75), а
другим — (Олбани, 67). Возможная интерпретация этого примера мо-
могла бы состоять в том, что двузначное число представляет собой макси-
максимальную температуру * в столице в некоторый заданный день. Заме-
Заметим, что множество С X Т насчитывало бы тогда 50 X 100 — 5000
элементов. Фактическая максимальная температура в данный день да-
давала бы 50-элементное подмножество множества С X Т.
Пример 1.3.2. Декартова плоскость. Определим R как
множество действительных чисел. Тогда декартово произведение RX
X R есть множество пар (а, Ь) действительных чисел. Имеется общеиз-
общеизвестное представление элементов R X R как точек на декартовой плос-
плоскости. Это представление иллюстрируется рис. 1.5.
Пример 1.3.3. ОпределимМ и W как множества всех мужчий и всех
женщин в некоторой популяции. Тогда М X W представляет собой
множество всех пар (т, до), где m — мужчина и w — женщина. Нас
могут интересовать, в частности, те пары, в которых между мужчиной
и женщиной существуют какие-то отношения. Например, множество
всех пар муж — жена и множество всех пар отец — дочь образуют
вполне определенные подмножества декартова произведения М X W.
Как й в примерах 1.3.1 и 1.3.3, мы часто будем заниматься изуче-
изучением соответствий или отношений между элементами множества Л и
элементами множества В.
Определение 1.3.2. Отношение. Отношение R из множества А
в множество В есть некоторое подмножество декартова произведения
А X В. Отношение R удовлетворяет условию R а А X В,
* По шкале Фаренгейта, *- Прим. шр*

13
Глава 1. Предварительные сведения
Пример 1.3.1 (продолжени е).
Пусть R = {(с9 t) : t—максималь-
t—максимальная температура в q 1 мая текущего
года}. Тогда R является отношением
(о,Ь)
@,0}
Рис. 1.5
Рис. 1.6
из С в Т. Отношение R соотносит каждой из 50 столиц ее температуру
1 мая. Типичным элементом R может быть, например, (Хелина, 70).
Пример 1.3.2 (продолжение). Определим L = {(х, у) : у =
= 2х + 3}. Тогда L является подмножеством в R X R и определяет
отношение из R в R. Точки L лежат на прямой линии в декартовой
плоскости, как показано на рис. 1.6.
Пример 1/3.3 (продолжение). Пусть R = {(т, w) : m являет-
является отцом w]. Тогда R есть подмножество в М X W и определяет отно-
отношение из М в W. Каждому мужчине этой популяции оно соотносит
множество всех его дочерей. Это множество может оказаться пустым
или содержать несколько элементов. Типичными элементами R могут
быть (Джон Доу, Мэри Доу) и (Джон Доу, Марта Доу),
Последний пример показывает, что отношение R может содержать
более одной пары, соответствующей одному и тому же элементу из А.
Это значит, что отношение /?, вообще говоря, не соотносит каждому
элементу из А единственный элемент в В. Элемент а ? А может поя-
появиться во многих парах (а,^), (а, Ь2), ..., (а, bh), ... . С другой стороны,
в первых двух примерах отношений выбор элемента первого множест-
множества действительно определяет элемент второго множества единственным
образом. Максимальная температура в каждой столице 1 мая текущего
года определяется однозначно. Во втором примере у = 2х + 3 одно-
однозначно определяется по х. Этот важный частный случай отношения из-
известен под названием функции.
Определение 1.3.3. Функция. Функция из множества А в множе-
множество В есть отношение f из А в В, обладающее тем свойством, что для
каждого а? А существует единственный элемент b ?В такой, что
(a,b)?f.
Элемент Ь ? В, соотнесенный функцией /с элементом а?А, обычно
записывается как b = f (а). Множество Л, на котором определяется
функция /, называется областью определения функции и обозначается
D (/). Множестволь значений R (/) функции / называется подмножест-
подмножество в В, состоящее из всех тех элементов Ь, которые могут быть запи-
записаны как b = / (а) при некоторых а ? А = D (/). Мы говорим, что

§ 1.3. Отношения н функции 19
функция / является отображением из множества А в множество В
или из области определения / в область изменения /.
Как связано это определение с обычным представлением о функци-
функциях? Лучше всего это иллюстрируется на ряде примеров.
Пример 1.3.4. Подмножество в R X R, обозначенное через/ = {(х, у):
У — х2}> определяет функцию, которая каждому действительному
числу х ? R соотносит действительное число у = х2 ? R. Обычно эта
функция записывается проще: / (х) = х2. Областью определения /
служит D (/) =R. Множеством значений/является R (/) = {у : у ^0},
так как х2 никогда не бывает отрицательным.
Пример 1.3.5. Описать следующие функции как подмножества в Rx R:
1) / (х) = х*; 2) g (х) - 1/ A + х2)- 3) h (х) = 2х /A + х2).
л 1) Записываем / = {(х, у): у = х3}. Как и в примере 1.3.4,
имеем D (/) = R. Множеством значений / является R (/) = R, по-
поскольку / (х) = х3 принимает любое действительное значение при соот-
соответствующем х.
2) Здесь g = {(ху у) : у = 1/A + х2)}. Областью определения g
вновь служит D (g) = R. Множеством значений g является R (g) =
= {у : 0 < у ^ 1}, поскольку 0 < 1/A + х2) < 1 при любом дейст-
действительном X.
3) Записывая с помощью скобок, получаем Л = {(#, у) : у ~
=2х1(\ +х2)}. Областью определения h служит/) (/z)=R. Множеством
значений h является R (к) = {г/ : — 1 ^ у ^ 1}, так как — 1 ^
^ 2x1 (\ + х2) ^ 1 при любом действительном х. Это можно показать,
построив график функции у = 2л:/A + х2) в декартовой плоскости. А
Пример 1.3.6. Описать функции: 1) / (л:) = \1(х — 1); 2) g (х) =
= "\/х — как подмножества в R* X R.
л 1) Определим / как отношение / = {(л:, у) : х ? А яу = 1/(х—1)}.
Функция/определена для всех действительных чисел, за исключением
х = 1 (так как мы не можем делить на 0). Поэтому D (/) = А — R\{ 1}.
Множеством значений / является R (/) = R\{0}, т. е. вся числовая
прямая, за исключением нуля.
2) Корень квадратный из действительного числа х не определен
(как действительное число), если х отрицательно. Областью определе-
определения g служит D (g) = R+ = {x : х ^ 0}, а_ множеством значений
g является R (g) = R+. Мы условимся, что Л/х обозначает положитель-
положительный квадратный.корень из х. Отрицательный корень квадратный обо-
обозначается через — Ух. Таким образом, записывая функцию g о помо-
помощью скобок, имеемg = {(х,у) : х 6 R+,y= Vx}.A
Приведенные примеры показывают, что определение функций в тер-
терминах множеств обобщает обычное понятие функций. Это более общее
определение имеет много приложений в биологических задачах, где
биологическая переменная может оказаться не числом или область оп-
определения биологической функции может содержать элементы, не яв-
являющиеся числами.

20 Глава 1. Предварительные сведения
Пример 1.3.7. В эксперименте по распространению инфекционного за-
заболевания по 20 мышей содержалось в каждом из 10 отделений, прону-
пронумерованных от 1 до 10. В каждом отделении одна мышь заражалась
болезнью, и через 2 дня наблюдалось число зараженных мышей в каж-
каждом отделении. Пусть /х = {1, 2, 3, ..., 10} и /2 = {1, 2, 3, ..., 20}.
Тогда по наблюдениям определяется функция / d /х X /2. Если а ? /&>
то будем считать, что Ь = / (а)? /2 есть число мышей в отделении а,
которые оказались зараженными. Например, если во втором отделе-
отделении обнаружилось 12зараженных мышей, то/ B) — 12. Областью оп-
определения / служит Ilt а множеством значений / — некоторое подмно-
подмножество в /2.
Пример 1.3.8. При изучении бактериального роста популяция бакте-
бактерий, начальный размер которой составлял 10 000 организмов, ежед-
ежедневно обеспечивалась х ед. питательного вещества. Эксперимент пов-
повторялся шесть раз при х = 0, 1, 2, 3, 4 и 5. После 5 дней популяция
насчитывала 0, 400, 4500, 9000, 25 000 и 70 000 бактерий. Это опреде-
определяет функцию / с А X В, где А = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, а В есть множест-
множество всех действительных чисел. Множеством значений / является R {/)=
= {0, 400, 4500, 9000, 25 000, 70 000},
Задачи к § 1.3
1. Пусть А = {мужчины в популяции}, В = {женщины} и С = {дети}. Опи-
Опишите следующие множества: а) АХВ; б) А X С; в) В X С.
2. Для множеств из задачи 1 определите отношения, соответствующие обыч-
обычным родственным отношениям (муж — жена, отец — ребенок, мать — ребе-
ребенок), как подмножества в А X В, А X С и В X С.
3. Нервные клетки объединены в сеть и функционируют, посылая импульсы Дру-
Другим клеткам. Пусть N — множество всех нервных клеток у животного. Бу-
Будем считать, что нервная клетка пг соединена с нервной клеткой п2» если
п2 может получать импульсы от пх. Определяет ли это понятие соединения
какое-либо отношение в Ю Является ли это отношение функцией?
4. Определим А как множество всех живых организмов. Классическая кон-
концепция вида разделяет множество А на виды, состоящие из организмов,
между которыми может происходить обмен генами (обменные гены возника-
возникают у потомства). Опишите эту концепцию вида как отношение в АХ А,
5. Опишите следующие функции как подмножества в R X R:
а) / Слг)= 1/A — *2); б) g (х)=2х; в) h (х) = 1 + 2х/(\ + х2).
Найдите области определения и множества значений этих функций.
6. Если х и у — температуры по шкале Фаренгейта и по шкале Цельсия., то
у— E/9) (х — 32). Определите функцию как подмножество в RXR и изоб-
изобразите ее как подмножество декартовой плоскости.
7. Инфекционное заболевание вводится в популяцию Р через одну зараженную
особь. Опишите распространение этого заболевания как отношение R в де-
декартовом произведении РХР. Является ли (при определенных условиях)
это отношение функцией?
8. Определим для популяции Р отношение R с Р X Р как /?= {(а, Ь):а 6 Р,
Ь 6 Р и b имеет тот же тип крови, что и а}. Верно ли, что если (а, Ъ) 6 #»
то и (Ь, а) 6 #? Верно ли, что если (а, Ь) 6 R и (Ь, с) 6 R, то и (а, с) ? R f
9. Опишите следующие отношения как подмножества в R X R: a) Rf=*
= {(*. У)'. У<*}', б) Яа = {(x,y):x* + y* = iy, в) R3^{(x, у) : х* +
+ у2 ^ 1}; г) /?4 = {(*, у) : у = 'х — х2}. Нарисуйте соответствующие об-
области в декартовой плоскости. Какие из этих отношений являются функция-
функциями?

§ 1.4. Математика перечисления: перестановки 21
1.4. Математика перечисления: перестановки
Изучение перестановок (а также сочетаний в следующем параграфе)
представляет собой не более чем систематический анализ математики
перечисления. Когда мы перейдем к изучению вероятностей, нас будет
особенно интересовать число способов, которыми может осуществить-
осуществиться некоторое событие, или число способов, которыми можно упорядо-
упорядочить некоторое множество объектов. Например: сколькими способами
можно посадить шестерых человек за круглый стол? Сколько существу-
существует вариантов сдачи карт при игре в бридж? Сколько имеется путей через
лабиринт? Если у гена диплоидного организма есть четыре аллеля,
то каково соответствующее число генотипов?
Математика перечисления базируется на следующем принципе.
Теорема 1.4.1. Основной принцип перечисления.
Пусть множество Аг содержит nt объектов, множество А2 содержит
п2 объектов, ..., множество Ат содержит пт объектов. Тогда число
способов выбора по одному объекту от каждого множества равно про-
произведению п±п2... пт.
Если числа nlf n2,..., пт не слишком велики, то все возможные спо-
способы выбора по одному объекту от каждого из т множеств можно вы-
выписать в явном виде. Применение основного принципа перечисления
мы покажем на следующих примерах.
Цример 1.4.1. На некотором ареале имеется 14 видов плодовых мушек,
17 видов бабочек и 13 видов комаров. Сколькими способами можно вы-
выбрать по одному виду каждого типа?
Л Здесь пг = 14, п2 = 17, я3 = 13, a m = 3. Согласно основному
принципу перечисления, имеется 14» 17* 13 = 3094 различных способов
выбора по одному виду каждого типа. А
Пример 1.4.2. Каждый из четырех потоков студентов выбирает по одно-
одному представителю в комитет. Сколькими способами можно выбрать со-
состав представителей, если потоки насчитывают 47,51,54 и 55 студентов?
А Представитель от первого потока может быть выбран 47 способа-
способами. Аналогично, от каждого из остальных потоков выбор можно сде-
сделать 51, 54 и 55 способами. Согласно основному принципу перечисле-
перечисления, число способов выбора по одному представителю от каждого пото-
потока составляет 47-51-54-55 = 7 119 090. А
Представим теперь, что множество содержит п объектов. Нам часто
бывает нужно расположить эти объекты в определенном порядке. Чтобы
упорядочить п объектов, мы берем один объект, который будет «пер-
«первым», затем выбираем другой объект, который будет «вторым», и т. д.
Каждое упорядочение называется перестановкой.
Определение 1.4.1. Перестановка из п объектов. Пере-
Перестановка из п объектов есть упорядочение этих объектов, т. е. распо-
расположение п объектов в определенном порядке.
Пример 1.4.3. Перечислить все перестановки из четырех букв: wt x, у, г.
А Все возможные перестановки таковы: wxyz, wxzy> wyxz, wyzx,
wzxy, wzyxy xwyzy xwzy, xywzf xyzw, xzwy, xzyw, ywxzf ywzx, yxwz, yxzw,

22 Глава 1. Предварительные сведения
y yzxw, zwxy, zwyXi zxwy, zxyw, zywx и zyxw. Перечислив их, мы
находим, что существует 24 перестановки из четырех букв. А
Пример 1.4.4, В трех пробирках, поставленных в штатив для проби-
пробирок, ^содержатся разные препараты Clt C2 и С3. Перечислить возмож-
возможные расположения этих трех препаратов в штативе.
А Возможные расположения (перестановки) таковы: С^С2С31
СгС3С2, С2С±С3, C2C3CV СзС^Са и C3C2CV Получаем, что существует
шесть перестановок из этих трех объектов. А
Прежде чем доказывать общий результат о числе перестановок из
п объектов, мы должны ввести одно понятие. Чтобы обозначить произ-
произведение А (п—1) (п — 2) ... 3-2-1, применяется символ п\ (читается «п
факториал»). Это символ определен, когда п — целое положительное
число; условимся, что по определению 0! = 1. Заметим, что 1! — 1,2! =
= 2, 3! = 6, 4! =24 и т. д. Если п — большое положительное число,
то п\ крайне велико. Своим частым появлением в задачах перечисления
символ факториала обязан следующей теореме.
Теорема 1.4.2. Число перестановок из п объектов есть п\.
О Чтобы расположить п объектов в определенном порядке, выбе-
выберем один объект, который будет «первым». Сделать этот выбор можно
п способами. Из оставшихся п — 1 объектов выберем второй объект.
Для этого есть п — 1 способов. Повторяя этот процесс, k-й объект мож-
можно выбрать п — k + 1 способами при ?=1,2, 3,..., п. Тогда в силу ос-
основного принципа перечисления существует п (п— 1) (п — 2)... ЗХ
Х2 • 1 ~ я! перестановок из п объектов. В
Пример 1.4.5. Сколькими способами группа из шести человек может
расположиться: 1) в ряд; 2) за круглым столом?
А 1) Искомым является число перестановок из шести объектов,
или 6! - 720.
2) Чтобы расположить шестерых человек по кругу, выберем произ-
произвольно одного человека, а оставшихся пятерых упорядочим относитель-
относительно выбранного. Это можно сделать 5! = 120 способами.А
Пример 1.4.6. Восемь лабораторных животных нужно проранжировать
в соответствии с их способностями выполнять определенные задания.
Каково число возможных ранжировок, если допустить, что одинако-
одинаковых способностей нет?
А Существует 8! = 40 320 упорядочений, или ранжировок по спо-
способностям.А
Очень часто нас интересуют возможные упорядочения не всех п
объектов, а лишь некоторого подмножества из k объектов. Например,
нас может интересовать число способов выбора k объектов из множества
в п объектов, причем k объектов должны выбираться в определенном по-
порядке.
Пример 1.4.7. Из группы в девять крыс необходимо выбрать трех и по-
поместить их в три клетки, обозначенные С19 С2 и С3. Сколькими способа-
способами это можно сделать?
а Существует девять способов выбора одной крысы для клетки Сг.
Д-пзе, имезтся восемь крыс, одну из которых выбирают и помещают

§ 1.4. Математика перечисления: перестановки 23
в клетку С2. Наконец, одну из семи оставшихся крыо помещают в клет-
клетку С3. Согласно основному принципу перечисления, для всего этого
существует 9»8»7 = 504 способа. А
Предыдущий пример приводит к следующему определению.
Определение 1.4.2. Перестановка* из п объектов по
k. Перестановка из п объектов по k есть любой выбор k объектов, взя-
взятых в определенном порядке из п объектов.
Следующая теорема обобщает результат, полученный в примере
1.4.7.
Теорема 1,4.3. Число перестановок из п объектов по k есть
О Существует п способов выбора первого объекта, п — 1 способов
выбора второго объекта, ..., п — k + 1 способов выбора &-го объекта.
Таким образом, нужный результат следует из основного принципа пере-
перечисления. Заметим, что
(n~kV' =
(п — k)\
(n-k)\
Пример 1.4.8. Сколько четырехбуквенных «слов» (не обязательно ан-
английских) можно образовать из букв слова «around»?
А Здесь речь идет о перестановках из шести объектов, взятых по
четыре. Согласно предыдущей теореме, число таких перестановок рав-
равно
Ы . = JL = 6.5-4.3 = 360. А
F — 4)! 2!
Пример 1.4.9. Нужно присудить первую, вторую и третью премии на
конкурсе, в котором принимает участие 20 человек. Сколькими спосо-
способами можно распределить эти премии?
л Искомое число способов есть число перестановок из 20 объек-
объектов по три, т. е.
J2!^L = 20.19.18 = 6840. А
B0—3)! 17!
В некоторых случаях не все переставляемые объекты могут быть раз-
различимы. Например, имеется 3! = 6 перестановок трех букв: Л,В, В,
однако если две буквы В неразличимы, то различными перестановками
являются лишь ABB, BAB и ВВА, Разовьем эту мысль на более слож-
сложном примере.
* В отечественной литературе употребляется также термин «размещение из
п объектов по /?». — Прим. пер.

2:4 Глава 1. Предварительные сведения
Пример К4.10. Сарай, где содержатся три коровы и две лошади, обо-
оборудован пятью стойлами в одном ряду. Сколькими различными спосо-
способами можно разместить коров и лошадей в этих стойлах, если не де-
делать различий среди коров и среди лошадей?
А Один из путей решения этой задачи состоит в том, чтобы просто
выписать все возможности. Если С обозначает корову, а Н — лощадь,
то возможные расположения таковы: СССНН, ССНСН, СНССН9
несен, ннесс, ненес, неенс, еннес, сненс и сеннс.
Перечислив их, получаем, что имеется 10 таких,перестановок.
Существует и более систематический путь решения задач подоб-
подобного типа. Имеется 5! = 120 перестановок из пяти объектов, если все
пять объектов различимы. Если нельзя различить три из пяти объек-
объектов, то для каждой перестановки из пяти объектов найдется всего 3!=6
перестановок, которые выглядят совершенно одинаково. Чтобы пока-
показать это, рассмотрим расположение СССНН и пометим коров с по-
помощью обозначений Clt C2 и С3. Тогда упомянутые шесть перестановок
таковы: Cfi^^HH, Cfifi^H, С2СХС3НН, С2С3СХНН, С3СгС2НН и
СъС2СгНН. Эти шесть перестановок неразличимы, если нас интересует
только расположение коров относительно лошадей. Таким образом,
число различимых перестановок есть 5!/3! = 120/6 = 20. Но лошади
в данной задаче тоже не различимы; например, СССНгН2 — это то же
самоё, что и СССН2НХ. Получаем, что число различных расположений
есть 20/2— 5!/C!2!) — 10. Это согласуется с ответом, полученным пу-
путем перечисления всех возможностей.А
Поняв вышеприведенные рассуждения, можно легко обобщить этот
пример. Представим, что у нас есть множество из п объектов, содержа-
содержащее пг неразличимых объектов 1-го типа, п2 неразличимых объектов
2-го типа, ..., nk неразличимых объектов &-го типа. В примере 1.4.10
имеем п = 5, пг = 3 и п2 = 2. В общем случае множество из п объектов
разбивается на k подмножеств, содержащих пг, n2,..., nk объектов,
причем пг + п2 + ... + nh = п. Если бы все объекты были различи-
различимы, то существовало бы п\ перестановок из п объектов. Определим поли-
полиномиальный символ (или полиномиальный коэффициент)
п
пъ пъ ..., nh
как число перестановок из п объектов, среди которых пъ п2, ..., Пи объ-
объектов являются неразличимыми. Тогда, рассуждая как и в рассмот-
рассмотренном выше примере, мы приходим к следующему результату.
Теорема 1.4.4. Справедлива формула
п
Пример 1.4.11. Сколько существует различных перестановок из
6v№ слова «errorP

$ 1.4. Математика перечисления; перестановки 25
А Пять переставляемых объектов сбетоят из трех (неразличимых)
букв «г», одной «е» и одной «О, Поэтому число различных перестановок
равно
= 20. ^
Пример 1.4.12. Три типа бактерий культивируются в девяти пробир-
пробирках. Три пробирки содержат бактерии 1-го типа, четыре — бактерии
2-го типа и две — бактерии 3-го типа. Сколькими различными способа-
способами можно расположить пробирки в ряд на штативе, если нам важно
расположение лишь типов бактерий?
А Множество из девяти пробирок разбивается на три подмноже-
подмножества, содержащие соответственно три, четыре и два неразличимых
объекта. Согласно теореме 1.4.4, число различных перестановок есть
Q \ at
* 9! =1260. А
3, 4, 2/ 3! 4! 21
Задачи к §1.4
1. Рассмотрим множество чисел 1, 3, 4, 6, 8 и 9. Сколько трехзначных чисел
можно образовать из этого множества, если не допускать повторений?
Сколько из этих трехзначных чисел окажется меньше 500? Сколько окажет-
окажется нечетных чисел?
2. Рассмотрим множество чисел 1,2, 3, 4 и 5. Сколько трехзначных чисел мож-
можно образовать из этого множества, если допускать повторения? Сколько из
этих чисел окажется меньше 500? Сколько окажется чисел, делящихся на
111?
3. Найдите целые числа п, которые удовлетворяют следующим уравнениям:
а) (« + ,),=72 („_!„; 6){nJu , )-*; в)
4. Найдите значения следующих полиномиальных коэффициентов:
a)B,52(i) «(,, 2.0} в) D,2.1) г)(б,о,о)
д)B,У: ^UIiHGJ.i) Чз.".*)'
U. Сколько существует различных перестановок, составленных из букв следую-
следующих слов: a) «letters»; б) «distinct»; в) «following» *?
6. Для лечения заболевания применяют пять лекарств. Полагают, что последо-
последовательность, в которой применяют лекарства, оказывает существенное вли-
влияние на результаты лечения. Сколько имеется различных порядков назна-
назначения этих лекарств?
7. Два шахматиста А и В играют 1? партий. Сколькими способами может быть
достигнут общий итог в четыре победы Л, четыре победы В и четыре ничьих?
8. Один биолог пытается расклассифицировать 46 200 видов насекомых, обо-
обозначая каждый вид тремя заглавными буквами, взятыми из алфавита. Будет
* «Буквы», «отдельный», «следующий» (англ,) — Прим. пер*

26 Глава 1. Предварительные сведений
ли завершена эта классификация? Сколько следовало бы использовать букв
для обозначения одного вида?
9. По оценкам, существует 2 млн. видав насекомых, I млн. видов растений,
20 000 видов рыб и 8700 видов птиц. Если для сравнительного анализа нуж-
нужно выбрать по одному виду от каждой из этих четырех категорий, то сколь-
сколькими способами можно это сделать?
10. Сколько различных «слов» длиной в три буквы можно образовать из четырех
букв A, G, С, Т, если допускать повторения? (Слова генетического кода
образуются из триплетов, или кодонов, содержащих три основания, которы-
которыми могут служить аденин, гуазин, цитозин и тимин.)
11. Десять лабораторных крыс нужно проранжировать в соответствии с их спо-
способностями обучаться пяти различным заданиям. Крыса получает оценку в
3, 2, 1 и 0 баллов за каждое задание, если оно разучено ею за один, два, три
(или более) периода обучения.
а) Сколько может быть различных суммарных оценок у отдельной крысы?
б) Сколько может быть различных ранжировок, если предположить, что
нет совпадений?
12. В одной африканской религии профессиональный прорицатель взывает к
богу, декламируя стихотворные строфы. Чтобы выбрать подходящую стро-
строфу, прорицатель держит в своих ладонях 16 гладких ядер кокосового ореха
и пытается затем взятьих все одной правой рукой. Так как эти ядра доволь-
довольно крупные, то их трудно удержать в одной руке. Когда один или два ореха
остаются в левой руке, их число записывается. Эта процедура повторяется
Еосемь раз, в результате чего получается последовательность из восьми чи-
чисел, которая и определяет, какую строфу будет произносить прорицатель.
Сколько разных строф должен он знать?
13. При сравнительном изучении пернатых видов требуется проанализировать
пять признаков. Если у трех признаков имеется по шесть различимых осо-
особенностей, а у остальных двух признаков — по пять различимых особеннос-
особенностей, то каково максимальное число различных групп видов, которые можно
было бы выделить на основе этих пяти признаков?
14. Представим, что в задаче 13 нужно расклассифицировать 8000 видов. Можно
ли однозначно определить каждый из них с помощью пяти вышеописанных
признаков?
1.5. Математика перечисления: сочетания
В задачах перечисления, рассмотренных в § 1.4, нас интересовало чис-
число упорядочений множества объектов. Существует и другой тип задач
перечисления, в которых порядок объектов не имеет значения. Напри-
Например, можно заниматься выбором 100 людей из популяции в 1000 чело-
человек для проведения экспериментального исследования. Порядок, в ко-
котором выбирают этих людей, по-видимому, безразличен. Нас скорее
интересует число способов, которыми может быть выбрана группа в
100 человек. Чтобы понять, как это можно вычислить, рассмотрим сле-
следующий простой пример.
Пример 1.5.1. Из группы в пять мышей нужно выбрать три безотно-
безотносительно к порядку выбора. Сколькими способами можно это сделать?
Д Если бы порядок, в котором выбирают мышей, был важен, то
искомое число способов было бы равно числу перестановок из пяти
объектов, взятых по три. Существует 51/E — 3)! = 51/2! = 60 та-
таких перестановок. Но во многих из них оказываются выбранными
одни и те же мыши. Если обоаначить мышей через Ми Mtt Л13, М4 и

§ 1.5. Математика перечисления: сочетания 27
Afg, то перестановки М^М2МПу M^M3M2i M2MlM^t М2МгМи М3МХМ2
и М3М2МХ будут соответствовать одному и тому же выбору трех
мышей. Поэтому, чтобы определить число различных выборов, сле-
следует разделить число перестановок 5S/2! на число перестановок из
трех объектов. Число различных способов выбора трех мышей есть
5!/B!3!) = 10. Их можно выписать в явном виде: MlM2MQ, МММ
МММ МММ М
М2М±МЪ и М3М4МЪ. Читателю предоставляется проверить, что это все
различимые выборы.А
Мы приходим к следующему важному определению.
Определение 1.5.1. Сочетание из п объектов, взя-
взятых по k. Сочетание из п объектов по k — это любой выбор k объ-
объектов из п безотносительно к порядку выбора.
Для обозначения сочетаний из п объектов по k используется сим-
(п \
вол ( , I. Обычно он называется биномиальным символом (или биноми-
биномиальным коэффициентом).
Теорема 1.5.1. Справедлива формула
k\ (п —k)\
? Доказательство является обобщением рассуждений примера 1.5.1.
По теореме 1.4.2 существует п\/(п — k)\ перестановок из п объектов,
взятых по k. Рассмотрим конкретную перестановку такого типа. Так
как мы щ обращаем внимания на порядок среди k объектов, то сущест-
существует k\ перестановок, которые нельзя отличить от первоначальной
перестановки. Поэтому число сочетаний из п объектов, взятых по k,
равно числу перестановок, деленному на kl. Отсюда вытекает, что
п\ п\
k) k\ (п - k)\ "
Пример 1.5.2. Для эксперимента по определению скорости роста тре-
требуется выбрать четыре штамма бактерий из имеющихся восьми. Сколь-
Сколькими способами можно это сделать?
А Здесь нужно найти число способов выбора четырех объектов из
/8\ 8!
восьми безотносительно к порядку выбора. Это число есть I 4 / = JiiT ^
= 70, т. е. всего имеется 70 способов. А
Пример 1.5.3. У 6 мальчиков и 11 девочек в классе имеются признаки
инфекционного заболевания. Чтобы проверить наличие заболевания,
требуется взять выборочный анализ крови у двух мальчиков и двух
девочек. Сколькими способами можно это сделать?
/6\ 6*
Л Существует ( 2 ) = -^ = 15 способов выбора двух мальчиков
•С1)-
— = 55 способов выбора двух девочек. Согласно основному

28 Глава 1. Предварительные сведения
принципу перечисления, имеется 15*55 — 825 способов выбора двух
мальчиков и двух девочек. ^
Пример К5.4. Комитет состоит из 12 членов. Минимальный кворум
на заседаниях этого комитета должен насчитывать 8 членов.
1) Сколькими способами может достигаться минимальный кворум?
2) Сколькими способами может достигаться какой-нибудь кворум?
А Поскольку порядок, очевидно, не важен, эта задача относится
к сочетаниям.
A2\ 121
8 ) = —^ = 4^5 способов выбора восьми членов.
2) Кворум достигается при наличии 8,9,10,11 или 12 членов. Число
способов достижения кворума есть
Пример 1.5.5. В лабораторной клетке содержат 8 белых и 6 коричне-
коричневых мышей. Найти число способов выбора пяти мышей из клетки, если;
1) они могух быть любого цвета; 2) три из них должны быть белыми, а
две — коричневыми; 3) они должны быть одного цвета.
/14\
Л 1) В данном случае цвет несуществен. Поэтому имеется ( 5 I =
14!
= -=— = 2002 способа, которыми 5 мышей можно выбрать из 14.
/8\ /&\
2) Существует I = 56 способов выбора трех белых мышей и L) = 15
способов выбора двух коричневых мышей. Таким образом, имеется
56*15 = 840 способов выбора трех белых и двух коричневых мышей.
3) Существует ( 5 ) = 56 способов выбора пяти белых и ( 5 J =6 спо-
способов выбора пяти коричневых мышей. Таким образом, имеется 56+
+6 = 62 способа выбора пяти мышей одинакового цвета. А
Число сочетаний из п объектов по k может рассматриваться как
число способов разбиения множества из п объектов на два подмножест-
подмножества, содержащие kan — k объектов. Более общая задача состоит в вы-
выборе нескольких подмножеств данного множества А из п объектов. Мо-
Можем ли мы подсчитать число способов этого выбора? Например, сколь-
сколькими способами можно из девяти человек образовать три комитета со-
соответственно по четыре, три и два члена в каждом *? Чтобы ответить
на этот вопрос, вспомним приведенное в § 1.2 определение разбиения
множества. Рассмотрим все возможные разбиения А на подмножества
Аг, А2,..., А ту где Аг содержит пх объектов, Аг содержит п2 объектов,
.,., А т содержит пт объектов. По определению разбиения мы должны
иметь пг + п2 + ...+ пт =* /г. Сколькими способами можно образо-
образовать такое разбиение?
* Без совместительства.— Прим. пер*

§ 1.5. Математика перечисления: сочетания 29
Прежде всего имеется ( ] способов выбора nt объектов для Л$
(п—пЛ
/способов выбора п2
объектов для А2 из п — nt оставшихся объектов. Аналогично, имеется
I способов формирования Л3 и т.д. Этот процесс продол-
продолжается до тех пор, пока не выбраны все подмножества. Общий резуль-
результат следует из основного принципа перечисления и формулируется в
следующей теореме.
Теорема 1.5.2. Пусть А — любое множество, содержащее п элементов*
и nlf n2f ..., пт — целые положительные числа, причем пг + п2 -J- ...+
+ пт = п. Тогда существует
п \ /п — пЛ (п—п,— п2\ 1п — пл-—п2 — ... — пт„
т
различных разбиений А вида Аь Л2, ..., Ат9 где подмножество At со-
содержит пг элементов, А2 содержит п2 элементов, ..., Ат содержит пт
элементов.
Приведенное для числа разбиений выражение мо^шо значительно
упростить. Действительно, можно доказать, что
In \ fn—пЛ (п—пх~- п2\ /п—пг—п2 — ... — пт„
\nj[ п2 ){ п3 /'¦'{ пт
=f n \
\п1,п29...,пт)'
п29...,пт
где
( п
%! л2! ... пт\
является полиномиальным коэффициентом (см. теорему 1.4.4). До-
Доказательство этого тождества предоставляется читателю в качестве
упражнения.
Пример 1.5.6. Сколькими способами из девяти человек можно образо-
образовать три комитета, состоящие соответственно из четырех, трех и двух
человек?
Л Речь идет о числе способов разбиения множества А из девяти
объектов на подмножества Аъ А2 ш А 3, содержащие соответственно че-
четыре, три и два объекта. Это число определяется полиномиальным
коэффициентом
= 1260. ^
312!

30 Глава 1. Предварительные сведения
Пример 1.5.7. При сравнительном исследовании 16 человек, страдаю-
страдающих заболеванием щитовидной железы, требуется разбить на три груп-
группы по 12, 2 и 2 человека. Сколькими способами можно это сделать?
Л Речь идет о числе способов разбиения множества из 16 объектов
на три подмножества, содержащие 12, 2 и 2 объекта. Это число опреде-
определяется полиномиальным коэффициентом
16 U-iSL-^iOMO.A
12,2, 2) 12! 2! 2!
Задачи к § 1.5
1. Найдите значения следующих биномиальных коэффициентов:
/25\ /13\ /13\ /8\
8/
2. Необходимо разделить группу из 20 человек на одну группу в 10 и две груп-
группы по 5 человек. Сколькими способами можно это сделать? Представьте от-
ответ в виде произведения биномиальных коэффициентов и в виде одного поли-
полиномиального коэффициента.
3. В генетическом эксперименте 4 белых, 7 красных и 5 розовых цветков гороха
были взяты для опыления из выборки в Н) белых, 10 красных и 10 розовых
цветков. Сколькими способами можно это сделать?
1. Предположим, что имеется пять автострад, соединяющих города А и В, и
три автострады, соединяющие города В и С. Сколькими различными маршру-
маршрутами соединены города А и С? Сколькими способами можно совершить кру-
круговое путешествие из А в С и обратно: а) не проезжая дважды одним и тем
же маршрутом; б) не проезжая дважды по одной и той же автостраде?
5. Докажите следующие тождества, связывающие биномиальные коэффициен-
коэффициенты:
f 1
fn\ (k\ [n\ (n — r\
д) 111 i— J I I (в предположении,
что
6. Пусть n, r, s и t — неотрицательные целые числа такие, что /^ s ^ г ^ п.
Докажите, что
Дайте интерпретацию этого результата в терминах теории множеств,
7. На ферме имеется 20 гнедых, 15 вороных и 10 белых лошадей. Сколько из
этих лошадей могут сказать, что они той же масти, что и 10 других лошадей
на этой ферме?
8. Сколько слов можно образовать из символов X и К, если каждое слово долж*
но содержать по крайней мере один X, максимальная длина слова составляет
три буквы, а порядок букв несуществен? (Хромосомы X и К определяют пол.
У нормальных женщин и мужчин имеется пара хромосом (XX и ХК, однако

§ 1.6. Биномиальная и полиномиальная теоремы 31
нерасхождение половых хромосом может порождать индивидуумов с X,
XXX, XXY и XYY.)
9. Некоторый курс охватывает 10 разделов теории вероятностей и 8 разделов
из других дисциплин. Экзамен по курсу состоит максимум из пяти вопросов,
по одному из каждого раздела. Три вопроса включают теорию вероятностей
и два — другие дисциплины. Сколькими способами можно выбрать разделы
для экзамена?
10. Между любыми двумя из п хромосом клетки может произойти обмен.
а) Сколькими способами может произойти ровно один обмен?
б) Сколькими способами может произойти ровно k обменов?
11. В условиях задачи 10 допустим, что клетка имеет четыре хромосомы. Сколь-
Сколькими способами может произойти четыре (или менее) обмена между парами
хромосом в такой клетке?
12. У диплоидных организмов гены встречаются парами в парных хромосомах.
(См. § 9.3 для объяснения терминологии.) Для локуса с одним аллелем А
возможен лишь один генотип А А. Для локуса с двумя аллелями А\ и Аг
возможны три генотипа: АХАЪ А-^А^ и А2А% (генотипы Л^Л2 и А2АХ идентич-
идентичны). Выпишите генотипы, возможные для локуса: а) с тремя аллелями; б) с
четырьмя аллелями.
13. Продолжая задачу 12, докажите, что для локуса с п аллелями Л*,Л2, „., Ап
возможно (л2 4* л)/2 генотипов.
14. В диплоидном организме для отдельного локуса с двумя аллелями возможны
три генотипа. Если имеется л таких локусов, то существует 3я диплоидных
генотипов, соответствующих этим локусам. Предположим, что имеется п ло-
локусов с тремя аллелями каждый. Каково число диплоидных генотипов, соот-
соответствующих этим локусам?
15. Считается, что различные типы анемии у человека возникают благодаря ре-
рецессивным генам. Например, серповидная анемия, овалоцитоз и талассемия
возникают из-за аномальных аллелей в трех различных генных локусах.
Обозначим доминантные нормальные аллели в этих локусах через At, Bt и
Съ а рецессивные аномальные аллели — через Л2, В% и С2.
а) Каково общее число возможных диплоидных генотипов, соответствующих
этим локусам?
б) Каково число нормальных (неанемичных) генотипов, соответствующих
этим локусам?
16. Из группы в 10 мужчин и 10 женщин нужно выбрать 10 человек.
а) Каково число способов выбора десяти человек?
б) Каково число способов, при которых выбирается больше мужчин, чем
женщин?
в) Каково число способов выбора десяти человек, если по крайней мере 8 из
них должны быть женщинами?
1.6. Биномиальная и полиномиальная теоремы
Во многих областях математики мы часто сталкиваемся G выражения-
выражениями вида (а + Ь)п и (а + b + с)п, где а, Ь и о — действительные числа,
а п — целое положительное. Выражения этого типа будут играть
фундаментальную роль при изучении вероятностей в гл. 2. Биноми-
Биномиальная и полиномиальная теоремы дают систематический метод выпи-
выписывания этих /ьх степеней как сумм некоторых членов.
В настоящем разделе мы будем широко применять сигма-обозначе-
сигма-обозначение. Оно дает удобный способ записи длинных сумм многих слагаемых.
По определению,

32 Глава 1. Предварительные сведения
Левая часть читается так: «сумма fk при значениях k от 0 до т. Сим*
вол 2 — это греческая буква «сигма», которую мы всегда будем при-
применять для обозначения суммы.
Пример 1.6.1. Найти значения следующих сумм:
1) 2 *; 2) 2 *2;3) 2 2"*-
А1J===0+1+2 + 3 = 6 (читается «сумма & от k = 0 до
k = 3 есть 6»),
2) 2 ?2 = I2 + 22 + З2 + 42 + 52 - 1+4+9+16+25 = 55.
i+ + + a
+ 2 + 4 ' 8 + 16 16
Лспользуя сигма-обозначение, мы можем установить теперь первый
основной результат настоящего параграфа.
Теорема 1.6.1. Биномиальная теорема. Если а и b —
положительные числа, an — целое положительное, то произведение
(а -Ь Ь)" можно записать в виде
2
а" + да"-1
D Рассмотрим произведение (а + ft) (а + Ь) ... (а + 6), в котором
имеется я сомножителей а + Ь. Чтобы получить произведение, м# пере-
перемножаем по одному члену от каждого из п сомножителей и складыва-
складываем затем все произведения такого типа. [Например, (а + 6f =
= {а + Ь) {а + Ь) = а2 + ab+ Ьа + б2 = а2 +2 а& + fe2.] Типичным
членом такого произведения является an~kbk, где & есть некоторое
целое между 0 и я. Теперь задача сводится к тому, чтобы опре-
определить, сколько раз встречаются подобные члены. Но чтобы получить
член ап~кЬк, мы должны выбрать Ь ровно k раз из п сомножителей. Это
задача о сочетаниях. Число способов выбора k объектов из п без учета
порядка равно (. 1. Поэтому в разложение (а + Ь)п член an~kbk входит

§ 1.& Биномиальная и полиномиальная теоремы 33
(п\
в коэффициентом ykj. Это аправедливо для * *= О, I, 2, ..,, и теорема
доказана. ¦
Пример 1.6.2. Вычислить (х + уM.
л Согласно биномиальной теореме,
Пример 1.6.3. Каков коэффициент при rty4 в разложении (х +
л Типичный член разложения имеет вид \Л^"кук. Слагаемое
получается, когда k = 4; соответствующий коэффициент есть D)
*= 35. ^
Пример 1.6.4. Как частный случай биномиальной теоремы имеем
У этой формулы есть интересная интерпретация в терминах множеств*
есть число подмножеств множества из п элементов,
содержащих k элементов. Полное число подмножеств оказывается,
таким образом, равным 2Л. Это дает другое решение задачи 1.1.5.
Нетрудно догадаться, что для вычисления произведения вида (а +
+ Ь + с)п должна быть справедлива теорема, аналогичная биномиаль-
биномиальной. Это обобщение дается следующим результатом.
Теорема 1.6.2. Полиномиальная теорема. Если аг, а2,
...» в-т — действительные числа, an — целое положительное, то про-
произведение (аг + а2 + ... + ат)п можно записать в виде
1$
Сумма берется по всем возможным комбинациям неотрицательных
целых, которые при сложении дают п.
D Приведем доказательство, аналогичное доказательству биноми-
биномиальной теоремы. Чтобы получить произведение (аг+ а2+ ... + #т)а, мы
перемножаем вместе по одному члену от каждого из п сомножителей и
2 Зак. 1370

34 Глав* 1. 1*редварител*ные сведения
складываем все такие произведения. Типичным членом в общем произ-
произведении является о!\ха^...апг^у где п± + па+...+ пт = п. Коэффи-
Коэффициентом при этом члене служит число способов разбиения п объектов
на т подмножеств, содержащих пъ %, ..., пт объектов. По теореме
1.5,2 этот коэффициент есть
п
9 пъ ..., п
и теорема доказана.¦
Пример 1.6.5. Вычислить (а + b + сK.
А Чтобы применить полиномиальную теорему, мы должны выпи-
выписать все возможные наборы неотрицательных целых пъ п2 и /i8, кото-
которые удовлетворяют условию пх + п2 + пг = 3. Они таковы: 300,
210, 201, 120, 111, 102, 030, 021, 012 и 003. Поэтому в разложении
/ 3
(a + b + cf = У
\«ь п2, п
насчитывается 10 членов. Находя значения этих десяти полиномиаль*
ных коэффициентов, получаем
(а + b + cf = а3 + Ъ&Ъ + За2а + Ш* + Зас2 + babe + b* +
+ 3b2c + 3 be2 + с3. А
Пример 1.6.6. Чему равен коэффициент при ab2cd2 в разложении {а +
+ Ъ + с + uf>
А Здесь п ¦=¦ 6 и отыскивается коэффициент при члене, соответст-
соответствующем пх = 1, п2 = 2, nQ = 1 и /г4 = 2. Этот коэффициент равен
6 ^ 6! - = 180. А
1,2, 1,2/ И 2! 112!
Существует замечательное обобщение биномиальной теоремы на
случай, когда п не является целым положительным числом. Если п —
целое положительное, а а и b — действительные числа, то биномиаль-
биномиальное разложение (а + Ь)п имеет вид
(а + Ь)п = ап + пап~l b + п('*"~1) ап-2Ь2 +
ol
Это конечная сумма из я + 1 слагаемых. Заметим, что мы могли бы
записать
-Ми

f I & Бии#»наяь«ая ц полиномиальная теоремы 35
Поэтому, чтобы определить (а + Ь)п, достаточно определить A + Ь1а)п
и умножить затем на о*. Положим для простоты х =* Ыа и рассмотрим
биномиальное разложение A+ х)п:
и умножить затем на о. Положим
биномиальное разложение A+ х)п:
о!
Мы уже доказали эту формулу для случая, когда п — целое положи-
положительное. Что произойдет, если п не является целым положительным?
Например, имеет ли биномиальною разложение какой-нибудь смысл
при п = 1/2 или при п = — 1? При п = 1/2 биномиальное разложе-
разложение A + х)п примет вид
{l+xy/2=l+-Lx+ A/2H-1/2) х>+ 0/2) (-1/2) (-3/2)
x+ х+
При л = — 1 биномиальное разложение A + х)п есть
о!
Биномиальные разложения для A + #I/2 и A + л:)" являются уже
бесконечными суммами членов, или бесконечными рядами. Мы йе будем
анализировать здесь свойства таких бесконечных рядов, но отметим
лишь тот замечательный факт, что если — 1 < х<С 1, то выше-
вышеприведенный ряд для A + х)п имеет все-таки конечную сумму (даже
когда п не является целым положительным числом). Это дает удобный
способ вычисления A + х)п. Условие, что х должен находиться между
— 1 и 1, гарантирует, что такие члены бесконечной суммы, кцк
n(n-\)...(n-k+\)
К!
Для иллюстрации приложений данного обобщения биномиальной
теоремы рассмотрим следующие примеры.
Пример 1.6.7. Найти значения: 1) 1,11/а; 2) ^Об1'5; 3)
л 1) Чтобы найти 1,11/2» положим х = 1/10^ и тогда мы должны бу-
будем вычислить члены биномиального разложения A + x)xih
14 + ^
10 j + 2 10 + 2! 2 V 2 )[ 10
= 1+0,05—0,00125 + 0,0000625 —... = 1,04881 ... .
Ясно, что мы могли бы найти 1,1l/2 g точностью до любого количеот-
ва десятичных знаков.
= 1 +0,01 — 0,0002 +... = 1,0098....

36 Глава 1. Предварительные «еде»»»
3) Чтобы вычислить V5, запишем б =• 4 + 1 и У!) — V4 + 1 =*
= ]/ 4 (l + -^). Таким образом, V5 = 2|/ 1 + -j", и мы найдем
/ * V/2
A + -т] о помощью биномиального разложения:
= 1+0,125—0,007801+0,000975 —... = 1,118174....
Значит, У5 = 2.1,118174... = 2,236 ... .А
Пример 1.6.8. Геометрический ряд. Биномиальное разло-
разложение A — х)-1 имеет вид
A—х)-^=1+(—1)(—х) + (~'!!|(-2) (-*J +
+ (х) + ...
Этот особый бесконечный ряд настолько часто встречается в приложе-
приложениях, что ему дали специальное наименование геометрический ряд.
Когда х находится между — 1 и 1, геометрический ряд обладает конеч*
ной суммой 1/A— х) = A — х). Мы столкнемся с этим рядом при
изучении вероятностей в гл. 2»
Пример 1.6.9. Найти значение суммы геометрического ряда 1 + л 4*
+ х2 + х* + ... при: 1) х = 1/2; 2) х = 1/3; 3) х = 2/3.
а 1) Можно было бы вычислять значение
но мы знаем, что это есть биномиальное разложение для 1/A — 1/2) =*
= 2. Таким образом, 2 является точной суммой геометрического ряда
при х = 1/2.
2) При х = 1/3 сумма есть 1/A — 1/3) = 3/2.
3) При х = 2/3 сумма есть 1/A — 2/3) = 3. А
Задачи к § 1.6
1. Найдите коэффициенты при х3у* в разложениях:
а) (х+уУ; б) (х-уУ; в) (*ЧУ)«; г) (*+№
2. Найдите коэффициенты при а?№ в разложениях:
а) (а + Ь)Ц б) (а+6)*; в) (at?+b*f; г) (а2+65J.
3. Разложите следующие биномиальные и полиномиальные выражения!
а) (*+2</L; б) (х - 2уL; в) (x+y+zf; г) (l+x+y+z)\

Биномиальная и полинониальная теоремы 37
4. Найдите коэффициенты при xPtftz* в разложениях:
а) (х + у + г)\ б) (х-у-г)»1 в) A + х + д + zf\
5. Полагая #= —1 в биномиальном разложении A + х)п, докажите* что
6. Пусть S — множество из п элементов. Докажите, что число подмножеств S,
содержащих четное количество элементов, равно числу подмножеств, со-
содержащих нечетное количество элементов. [Указание! см. задачу 5.1
7. У некоторого заболевания имеется п известных симптомов. Больной может*
иметь все эти симптомы, ни одного из них или любое промежуточное число
симптомов. Докажите, что существует 2п всевозможных комбинаций симп-
симптомов.
8. Продолжая задачу 7, предположим, что имеется 6 известных симптомов не-
некоторого заболевания. Наличие заболевания диагносцируется, если у боль-
больного проявляется не менее четырех симптомов. Сколько различных комбина-
комбинаций симптомов могут привести к этому диагнозу?
9. Полагая ах — аг—... ==aw= 1 в полиномиальном разложении («1 + 02+..,
... + am)rt, докажите, что
(
где сумма берется по всем возможным комбинациям целых неотрицательных
чисел, которые при сложении дают п. Дайте интерпретацию этого результата
в терминах теории множеств. (Это обобщение примера 1.6.4.)
10. Докажите, что число членов полиномиального разложения (a1+a2+...+a/n)/l
равно
— 1\ (л + m— 1)!
п\ (яг — i)t
[Указание! заметьте, что число членов в разложении равно числу спо-
способов разбиения п объектов на т подмножеств, несколько из которых могут
быть пустыми. Чтобы осуществить такое разбиение, расположите п объектов
в ряд и поместите между ними т разделителей.]
11. Лабораторному животному предоставлен выбор из т различных видов пищи,
приготовленных в виде стандартных единиц. Всего дается п ед. из т видов
пищи. Сколько различных рационов имеется у животного, если порядок
поедания п ед. несуществен? Найдите это число при т=з5 и п = 10.
12. С помощью биномиального разложения найдите значения! а)
б) 9,181/2, в) 281/3; г) ЗЗ1'5.
13. Вычислите значение суммы геометрического ряда 1 + х + х2 + х3 + ... приз
a) jc = 1/5; б) * = 1/4; в) х = 3/4; г) х = 19/20.
14. Значение конечного геометрического ряда S (х) *= 1 + х + дс2 + ... + хп
можно определить, вычисляя выражение для (I — х) S (х). Докажите, что
S {х) = A — хп*1) I A — х) при х ф 1, a S A) =» п + 1.

38 Глава 1. Предварительные сведения
15. Найдите значения следующих конечных геометрических рядов)
I
Z \ Z / \ L /
6)
в) 1-
r) 1-
1
1
1
1
1
1
"lOOO
1 000 000
16. Дрожжи растут в сахарном сиропе с такой скоростью, что их масса увеличи-
ваеюя за каждый час на 10%. Если начальная масса равна 1 г, то после п ча-
часов она составит w (n) —l,lrt. Вычислите массу дрожжей после: а) 10 мин;
б) 20 мин; в) 30 мин роста.
17. Масса больного, страдающего некоторым заболеванием, падает со 160 до
140 фунтов после 25 дней болезни. Масса w (/) после /дней задается уравне-
уравнением ш @ = 160-A40/160)'/25 =з 16O.f7/8)'/25. Найдите приближенные зна-
значения для w A), w B) и w A0). [Указание: разложите A—1/8)//25 по
общей биномиальной теореме.]

2
Дискретная
вероятность
2.1. Введение
Почти каждому социальному или природному событию присущи не-
неопределенности, анализировать которые люди пытаются с помощью ин-
интуитивного понятия вероятности. Например, в ежедневных газетах
приводятся «шансы» по всем видам спортивных событий.
Какова вероятность дождя 1 июля будущего года? Как можно со-
содержательно ответить на этот вопрос? Один из способов — это прирав-
приравнять вероятность доле тех дней 1 июля в'прошлом, когда действительно
шел дождь. Иная задача — оценить вероятность дождя на завтра.
Здесь разумный метод состоял бы в том, чтобы по метеорологическим
записям определить те дни в прошлом, когда структура погоды была
схожа с сегодняшним днем. Вероятностью цождя на завтра служила бы
доля тех дней с аналогичной погодой, после которых на следующий день
шел дождь.
Исторически вероятность произошла из математического анализа
азартных игр. В игры со случайным исходом люди играли более 5000
лет назад. Дэвид * описывает древнюю игру в кости с помощью неболь-
небольших, приблизительно прямоугольной формы предметов, выточенных из
кости ноги животного. Каждое бросание такой кости имело четыре воз-
возможных исхода (поскольку концы кости малы, вероятностью того, что
она приземляется на конец, можно пренебречь). Четыре исхода не бы-
были равновероятными из-за отсутствия строгой симметрии у костей. Это
должно было сильно затруднять вычисление соответствующих вероят-
вероятностей. Рабинович** приводит примеры использования вероятности в
Талмуде, книге еврейского права, написанной в основном до 1000 года.
Верховный раввин Иуда, например, постановил: «Мать сделала обре-
обрезание одному ребенку, и он умер, второму, и он умер, не должно обре-
обрезать третьего». Первая смерть могла быть просто совпадением. Вторая
указывала на высокую корреляцию между обрезанием и смертью. Та-
Таким образом, постановление раввина можно выразить такими словами:
«Имеется большая вероятность того, что ребенок мужского пола (этой
матери), подвергнутый обрезанию, умрет».
* D a v i d F. N. Dicing and Gaming.— Biometrika, 1955, Ш 42, p. 1—15.
¦• R a b i n о v i t с h N. L. Probability in the Talmud.— Biometrika, 1969,
№ 56, p. 437—441.

46 Глава 2. Дискретная вероятност»
Очевидно, что у теории вероятностей крайне широкий диапазон при-
применений — от предсказания погоды до азартных игр и генетики. Веро-
Вероятность — это фундаментальное понятие, возникающее в любой об-
области человеческой деятельности. В сущности, даже современные тео-
теории структуры материи сами формулируются в терминах вероятностей.
Чтобы охватить такое разнообразие областей приложения, нужно бы-
было разработать весьма общую теорию.
2.2. Выборочные пространства и пространства
равных вероятностей
Общей чертой всех ситуаций, включающих вероятности, является не-
некое действие или явление, которое может происходить несколькими
способами. Дождь может пойти завтра или нет. Мы анализируем эти
ситуации, сравнивая правдоподобие осуществления различных аль-
альтернатив.
Теория вероятностей развивалась как изучение исходов испыта-
испытаний в эксперименте. Эксперимент — это некое явление, которое мы
должны наблюдать согласно четко определенной процедуре. Он может
быть столь же простым, как подбрасывание монеты и запись исхода,
и столь же сложным, как выбор 1000 человек из большой популяции и
проверка их на определенное заболевание.
Определение 2.2.1. Испытание. Испытание есть единичное ш*
полнение эксперимента.
Определение 2.2.2. Выборочное пространство эка-
пёримента. Выборочное пространство S эксперимента (или про*
странство выборок) есть множество всех возможных исходов одного ис*
пытания. Если эксперимент имеет конечное число исходов, то выбо-
выборочное пространство называется конечным.
В типичном эксперименте о конечным выборочным пространством
имеется N возможных исходов. Например, при бросании одной шести-
шестигранной кости имеется N = 6 возможных исходов. Здесь естественно
допустить, что любой из шести возможных исходов одинаково правдо-
правдоподобен. Это выражается словами: «вероятность каждого из исходов
есть один из шести, или 1/6».
Введем теперь некоторые дополнительные термины, которые будут
полезны для определения вероятности в общем случае.
Определение 2.2.3. Элементарное событие. Элементар*
ным событием в выборочном пространстве S называется любой из воз-
возможных исходов эксперимента. Иными словами, элементарное событие
— это любой элемент множества S.
Определение 2.2.4. Событие. Событие Е есть любое подмножеств
во выборочного пространства S.
Поскольку элементарное событие является одноэлементным под-
подмножеством S, можно дать альтернативное определение: событие Е
есть объединение элементарных событий.

f Ы~ Выборочные пространства и пространства равных вероятностей 41
Например, при бросании шестигранной ковти типичным событием
является событие Е = {2,4,6}, состоящее в том, что выпадает четное
число. Выборочное пространство S является событием, состоящим в
том, что при бросании кости выпадает либо 1, либо 2, либо 3, либо 4, ли-
либо 5, либо 6. Разумеется, это происходит всегда, и по этой причине 5
называется достоверным событием. Другим особым событием является
0, пустое подмножество S. Это событие соответствует исходу, который
невозможен при испытании, и потому 0 называется невозможным со-
событием.
Пример 2.2.1. Рассмотрим эксперимент выбора целого числа от 1 до 4.
1) Каково выборочное пространство этого эксперимента?
2) Каковы элементарные события?
3) Перечислить все события.
Л 1) Возможными исходами, этого эксперимента служат целые чис-
числа 19 2, 3 и 4. Выборочным пространством является множество всех
возможных исходов, т. е. 5 = {1, 2, 3, 4}.
2) Элементарными событиями служат исходы 1,2,3 и 4. (Если эле-
элементарные события рассматриваются как подмножества S, то их сле-
следует записывать в виде {1}, {2}, {3} и {4}.)
3) Событиями являются подмножества S. Они таковы:
0,{1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2,
3}, {1,2, 4}, {1,3, 4}, {2,3,4} nS = {1,2,3,4}. Заметим, что имеется
16 = 24 подмножеств множества 5, содержащего четыре элемента.А
Пример 2.2.2. Описать выборочные пространства следующих экспе-
экспериментов.
1) Наблюдать, в какой последовательности подойдут к озеру оле-
олень, лось и американский лось.
2) Из плазмы, содержащей красные и белые кровяные клетки, вы-
выбрать четыре клетки и отметить, сколько из них оказалось красными.
3) Обследовать трех человек на рак и установить, у скольких из
них кажется это заболевание.
А 1) Олень, лось и американский лось могут подойти к озеру в 3!=6
различных последовательностях. Выборочное пространство этого экс-
эксперимента есть S = {ОЛА, ОАЛ, ЛОА, ЛАО, АОЛ, АЛО}.
2) Возможны следующие исходы: 0, 1, 2, 3 и 4 (возможное число
красных клеток). Пространством выборок служит 5== {0, 1, 2, 3, 4}.
3) Число людей, у которых обнаружился рак, может быть равно
О, 1, 2 или 3. Выборочным пространством этого эксперимента является
S = {0, 1,2, 3}.А
Из выборочных пространств легче всего поддаются анализу о по-
помощью вероятностей пространства равных вероятностей.
Определение 2.2.5. Пространство равных вероят-
вероятностей. Если в эксперименте все элементарные события выборочного
пространства S могут появиться с одинаковой вероятностью, то гово-
говорят, что S является пространством равных вероятностей. Пусть
эксперимент имеет N исходов; тогда вероятность каждого элементар-

42 Глава 2. Дискретная вероятность
кого события есть 1/N, Это записывается как Р (А) = 1/Af, где Л —
любое элементарное событие в 5.
Пример 2.2.3. Рассмотрим эксперимент, в котором бросают шести-
шестигранную кость и наблюдают число точек на верхней грани. Если мы
полагаем, что шесть возможных исходов одинаково вероятны, то веро-
вероятность каждого элементарного события есть 1/6.
Пример 2.2.4. Лабораторная крыса помещена в лабиринт и должна
избрать один из пяти возможных путей. Лишь один из них ведет к по-
поощрению в виде пищи. В предположении, что крыса с одинаковой ве-
вероятностью избирает любой путь, какова вероятность выбора пути,
ведущего к пище?
А Пространство выборок этого эксперимента есть S = {путь /,
путь 2, путь 3, путь 4, путь 5}, и вероятность выбора любого пути рав-
равна 1/5. Так как лишь один путь ведет к пище, то Р(крыса находит
пищу) = 1/5.А
Определение 2.2.6. Вероятность событий в ко-
конечном пространстве равных вероятностей.
Если S — конечное пространство равных вероятностей, то вероят-
вероятность события Е в 5, обозначаемая через Р (?), определяется как число
п элементарных событий в Е, деленное на число N элементарных со-
событий в S:
р , р\ п число элементарных событий в Е
Л' число элементарных событий в S
Поскольку п — целое неотрицательное число, не превосходящее N
(будучи подмножеством S, Е не может содержать больше элементов,
чем S), отсюда следует, что 0 ^ Р (Е) < 1. Если Р (Е) = 0, то
событие Е должно быть невозможным событием 0. Если же Р (Е) = 1,
то событие Е является достоверным событием S.
Легко представить себе примеры пространств равной вероятности.
Если подбрасывают правильную монету, то вероятности двух элемен-
элементарных исходов — «герба» и «решетки» — равны. В сущности, это и
подразумевается под «правильной» монетой. Если из колоды в 52 карты
случайным образом выбирают одну, то равные вероятности имеют 52
элементарных исхода. Поэтому вероятность выбора, например червей,
есть 13/52 = 1/4, так как соответствующее событие содержит 13 эле-
элементарных событий, каждое из которых имеет вероятность 1/52.
Выражение «случайным образом» (или «случайно», «наудачу»),
использованное при описании эксперимента, в отсутствие дополни-
дополнительной информации будет означать, что мы имеем дело с пространст-
пространством равных вероятностей. Это значит, что если эксперимент состоит в
выборе чего-либо, то каждый выбор одинаково вероятен. Например,
при выборе случайным образом пяти мышей из 50 мы полагаем, что
ни одна из 50 мышей не обладает отличительными особенностями, ко-
которые сделали бы ее выбор более вероятным или менее вероятным.
Пример 2.2.5. Представим, что в группе из десяти человек есть четве-
четверо мужчин. Если случайным образом выбирают двух человек, то како-

§ 2.2. Выборочные пространства и пространства равных вероятностей 43
ва вероятность, что: 1) оба—мужчины; 2) обе—женщины; 3) один —
мужчина и одна — женщина?
л Пусть А — событие, состоящее в том, что оба человека оказа-
оказались мужчинами, В — что обе — женщины и С—что один—мужчина
и одна — женщина. Пространство выборок S состоит из всевозможных
/10\ /4\
пар людей и содержит ( 2 I = 45 элементарных событий. Имеется B) =6
способов выбора двух мужчин из четырех, так что Р (А) = 6/45 =
= 2/15. Аналогично, имеется L) = 15 способов выбора двух женщин,
так что Р (В) = 15/45= 1/3. Наконец, есть 4 способа выбора одного
мужчины и 6 способов выбора одной женщины, что дает 6*4 = 24 спо-
способа выбора по одному человеку каждого пола. Таким образом, Р (С)=
= 24/45 - 8/15. Заметим, что Р (А) + Р (В) + Р (С) = 1. А
С помощью операции дополнения множества мы можем с каждым
событием Е сопоставить его отрицание.
Определение 2.2.7. Дополнительное событие. Если да*
но событие Е в S, то дополнительное событие Е есть множество эле-
элементарных событий в S, не принадлежащих Е. Тогда Е = S\E =*
= дополнение множества Е в S.
В пространстве равных вероятностей вероятность Е можно вычис-
вычислить через вероятность Е. Если Е является объединением п элемен-
элементарных событий, то Е объединяет N — п элементарных событий. По-
Поэтому
Р (W\ число элементарных событий в Я N— п j p/p\
число элементарных событий в S N
Это дает полезное соотношение: Р (Е) + Р (Е) = 1.
Операции объединения и пересечения множеств также можно
интерпретировать в терминах событий. Если Ег и Е2 — произвольные
события, то Ех U Е2 есть событие, происходящее тогда и только тогда,
когда в испытании эксперимента происходит по крайней мере одно из
событий ?\ и ?2> а ?х П ?2 — событие, происходящее тогда и только
тогда, когда имеют место оба события: Ех и ?2. Если Ег Л Е2 = 0, то
события Ех и Е2 называют взаимно исключающими. Дополнение Ег со-
события Ег является событием, которое возникает тогда и только тогда,
когда в испытании эксперимента не происходит Ег. Заметим, что Е (]
Е= 0, т. е. любое событие является взаимно исключающим со своим
дополнительным событием»
Задачи к § 2.2
1. Каковы выборочные пространства для описанных ниже экспериментов? Ка-
Какова вероятность элементарного события в каждом из этих пространств?
а) Вытянуть случайным образом одну карту из стандартной колоды в 52 кар-
карты.
б) Выбрать случайным образом целое число от 1 до 10,

44 Глава 2. Дискретная вероятность
в) Выбрать случайным обр-азом 10 человек из группы в 30.
г) Набрать случайным образом семизначный телефонный номер.
2. Предположим, что S —конечное пространство равных вероятностей, а Л и
В — два любых подмножества 5.
а) Докажите, исходя из определения Р, что Р @) = 0.
б) Докажите, что Р (Л (J В)-=Р (А) + Р (В) — Р (А (] В), откуда выве-
выведите, что Р (A (J В) < Р (А) + Р (В).
в) Докажите, что для взаимно исключающих событий А и В Р (A (J В)=*
г- Р (А)+ Р (В).
3, а) В конечном пространстве равных вероятностей S приведите примеры двух
событий А и Ву обладающих свойством Р (А (] В)~Р (А) Р (В).
б) Покажите на примерах, что Р (А П В), вообще говоря, неравно Р (А)Х
X Р (В). [Указание; что произойдет, когда А =В2]
4. Числа от 1 до 100 записывают на полосках бумаги, которые помещают в ча-
чашу. После продолжительного встряхивания случайным образом извлекают
одну полоску.
а) Какова вероятность того, что появится число, делящееся на 3?
б) Какова вероятность того, что появится число, делящееся на 3 и на 5?
5. Профессор выставляет 20 разных оценок за контрольные работы 20 студен-
студентов группы и заносит их в компьютер. При распечатке ведомости из-за ошиб-
ошибки в компьютере оценки случайно смешались.
а) Какова вероятность того, что каждый студент получит свою верную оцен-
оценку?
б) Какова вероятность того, что ровно 19 студентов получат свои верные
оценки?
6. В клетке содержат 6 белых и 4 серых мыши. Рассмотрим эксперимент, со-
состоящий в случайном извлечении из клетки трех мышей.
а) Опишите пространство выборок этого эксперимента.
б) Вычислите вероятность для четырех возможных комбинаций цвета мышей
C белых, 2 белых и 1 серая и т.д.).
7. Из стандартной колоды в 52 карты наудачу извлекают 5 карт.
а) Из скольких событий состоит выборочное пространство этого эксперимен-
эксперимента?
б) Если после того, как выбраны 5 карт, из оставшихся 47 извлекают еще
5 карт, то сколько событий содержится в пространстве выборок этого второго
эксперимента?
8. Из 20 человек, одновременно заболевших гриппом, 15 выздоровели полно-
полностью за три дня. Предположим, что из этих 20 человек случайным образом
выбиралось 5. Какова вероятность того, что все 5 выздоравливают за три дня?
что выздоравливают только 4 человека? что ни один не выздоравливает?
9. На малом острове 250 жителей были подвержены инфекционному зэболева-
нию. Рассмотрим эксперимент, состоящий в определении числа N людей на
этом острове, у которых имеется данное заболевание.
а) Каково выборочное пространство этого эксперимента?
б) Является ли оно пространством равных вероятностей?
в) Если А есть событие, состоящее в том, чго N <; 50, то что такое Л?
г) Если В есть событие, состоящее в том, чго N > 40, то что такое В A (J В
и А П В?
10. Требуется выбрать наудачу 10 человек из группы в 10 мужчин и Ш жен-
женщин.
а) Какова вероятность того, что выбрано 10 мужчин?
б) Какова вероятность того, что выбрано больше мужчин, чем женщин?
в) Какова вероятность того, что выбрано по крайней мере 8 мужчин?
11. За игрушечной пишущей машинкой с буквами Л, В> С, D и Е сидит шимпан-
шимпанзе. Если шимпанзе печатает четыре случайных буквы, то:
а) какова вероятность того, что окажется напечатанным слово «BEAD»
(«шарик»)?
б) какова вероятность того, что все напечатанные буквы одинаковы?

§ 2.3. Конечные пространства вероятностей 45
2.3. Конечные пространства вероятностей
Пространства равных вероятностей — это не единственные выбороч-
выборочные пространства, которые мы изучаем. Рассмотрим, например, экспе-
эксперимент, состоящий в подбрасывании правильной монеты два раза под-
подряд, и посмотрим, сколько раз выпадет «герб». Выборочное пространст-
пространство 5 = {0, 1, 2} этого эксперимента не является пространством равных
вероятностей, так как событие {один «герб»} вдвое вероятнее, чем собы-
событие {ни одного «герба»} или событие {два «герба»}. Событие {один
«герб»} может осуществиться двумя способами (ГР и РГ), тогда как со-
событие {ни одного «герба»} — лишь одним способом (РР) и событие
{два «герба»} — только одним способом (ГГ). Чтобы определить веро-
вероятностное пространство в общем случае, мы должны определить веро-
вероятность каждого события выборочного пространства S. Потребуем,
чтобы вероятность невозможного события 0 была 0, а вероятность до-
достоверного события S была 1. Тогда вероятность любого события Е вы-
выразится некоторым числом между 0 и 1. Наконец, если два события Ех и
Е2 — взаимно исключающие, то они не могут произойти одновремен-
одновременно. Поэтому вероятность того, что то, или иное событие из этих двух
произойдет в испытании эксперимента, должна быть равна сумме ве-
вероятностей отдельных событий. Это требование записывается как
Р (Ех U Е2) = Р (EJ + Р (?2), если Е1(]Е2= 0. Подытожим эти рас-
рассуждения в следующем определении.
Определение 2.3.1. Про странство вероятностей. Про-
Пространство вероятностей S есть выборочное пространство вместе с
функцией Р, определенной на событиях S и удовлетворяющей аксио-
аксиомам:
1°. Р@) = О, P(S)=1.
2°. О < Р (Е) < 1 для любого события Е cz S.
3°. Если Еъ E2czS и Ег(]Е2=- 0, то Р (Ег и Е2) = Р (Ег) +
+ Р (Еш).
Функция Р называется функцией вероятности, а число Р (Е) —
вероятностью события Е. Пространство вероятностей —это выбороч-
выборочное пространство с функцией вероятности.
Пример 2.3.1. Рассмотрим эксперимент, состоящий в подбрасывании
правильной монеты три раза подряд, и будем наблюдать, сколько
раз выпадает «герб».
1) Какова вероятность каждого из элементарных событий?
2) Какова вероятность того, что все три подбрасывания дают
один и тот же исход?
3) Определить вероятность Р (Ег U Е2), если Ег — это событие
{менее 2 «гербов»}, а Е2 — это событие {2 «герба»}.
А Три раза подряд монету можно подбросить восемью различными
способами: ГГГ, ГГР, ГРГ, РГГТ ГРР, РГР, РРГ и РРР. Каждый
из этих способов равновероятен с вероятностью 1/8 (вследствие пра-
правильности монеты). Рассматриваемый нами эксперимент имеет выбо-
выборочное пространство 5 = {0, 1, 2, 3}. Событие {0 «гербо^»} может

46 Глава 2. Дискретная вероятность
осуществиться лишь одним способом (РРР) и потому имеет вероят-
вероятность 1/8. Событие {1 «герб»} может осуществиться тремя способами и
имеет вероятность 3/8.
1) Получаем, что Р @) = 1/8, Р A) = 3/8, Р B) = 3/8 и РC) =*
= 1/8.
2) Все три подбрасывания дают один и тот же исход двумя способа-
способами (Г Г Г и РРР). Поэтому вероятность такого события есть 2/8 == 1/4.
3) Событие Е происходит, когда либо не выпадает ни одного «герба»,
либо выпадает один «герб». Это может осуществиться четырьмя спосо-
способами, и соответствующая вероятность есть Р (Ег) = 4/8=1/2. Мы уже
вычислили Р (Е2) = 3/8. Так как Ег и Е2 — взаимно исключающие
события (Е1 П Е2 = 0), то
Р (Е± U ?2) = Р (Ех) + Р (Е2) = 1/2 + 3/8 = 7/8. А
В конечном пространстве вероятностей нужно знать лишь вероят-
вероятности элементарных событий, чтобы определить вероятности всех со-
событий. Простой метод вычисления вероятности любого события дает
следующая теорема.
Теорема 2.3.1. В конечном пространстве вероятностей вероятность
любого события Е есть сумма вероятностей элементарных событий,
содержащихся в Е.
П Событие Е является объединением элементарных событий Ех,
Е2у ..., Ek, т. е. Е = Ех и E2 U ... U Eh. Чтобы доказать, что
Р(Е) = Р (Ех U E2... U Eh) - Р (Ех) + Р (Е2) + ... + Р (Eh),
воспользуемся аксиомой 3° функции вероятности. Если мы положим
F = Е2 U Е3 и ... UEkt то получим, что Е = Ег U F и Р (Е) =
= Р (Ег) + Р (F), так как Ег П F =0. Аналогично, если мы положим
G= Еги ...UEk9 то получим F = ?2uGh Р (Е) = Р (?х) + Р (Е2) +
+ Р (G). Продолжим эту процедуру, пока не докажем результат. ¦
В следующей теореме содержится несколько результатов, весьма
полезных при вычислении вероятностей.
Теорема 2.3.2. Для любых событий Аг, А2 и Л 3 в конечном простран-
пространстве вероятностей справедливы утверждения:
1°. Р (Л,\Ла) + Р (А, ()А2) = Р (Аг).
2°. Из Аг а А2 следует, что Р (А±) < Р (Ла).
3°. Р (А, и А2) - Р (А), + Р (А2) -Р(Аг(] Аг).
4°. />(Л1иЛаиЛ8) = РD1) + Р(Л2)+Р(Л3)—Р(ЛХП Л,)-
— Я (Лх Л Л3) — Р (Ля ()А3) + Р (Аг П Л2 П А 3).
D Для доказательства утверждения 1° воспользуемся тождеством
^i ^ (^i\^2) (J (Лх П А2) (рис. 2.1). Поскольку Л^Лз и Ах П Л2 —
непересекающиеся множества, утверждение 1° следует из аксиомы 3°
функции вероятности.
Так как А2~АХ U (А2\А±) (рис. 2.2) и два этих множества не пе-
пересекаются, то Р (Л2) = Р (Лх) + Р (А^Ах). В силу того что
Р (Л2\ЛХ) ^ 0, получаем утверждение 2°.

§ 2.3. Конечные пространства вероятностей
Рис. 2.1
Рве. 2.2
Чтобы доказать 3°, заметим, что
Р (Аг [)А2) = Р (Аг\А2) + Р (Л2\ЛХ) + F (Л2 П Аг) =
-Р (Лх) - Р (А± Л Л2) + Р (Л2) - Р (Л2 п 4Х) + Р (Л2 л Лх),
откуда вытекает желаемый результат.
Чтобы доказать 4°, положим Л4 = Л2 U Л3. Тогда Аг Л Л4 =
= Л^, п (Л2 U Л3) == (Аг Л Л2) и (Лх Л Л3), что влечет Р (Лх П Л4) =
= Р (Лх п Л2) + Р (Лх П Лз) — Р (Лх П Л2 П Л3). Значит,
Р (Лх U А4)=Р (Аг)+Р (А,)-Р (Аг П Л4) = Р (Лх) + Р (Л2)+Р (Л 8)-
- Р (Л2 Л Л3) - [Р (Лх Л Л2) + Р (Аг Л Л3) —
- Р (А, Л Л2 Л Л зI = Р (Лх) + Р (Л2) + Р (Л3) - Р (Ла Л Л 3) -
— Р (Ах Л Л2) - Р (Ах Л Л3) + Р (Ах Л Л2 Л Л3). ¦
Теорема 2.3.2 содержит результаты, которые будут постоянно ис-
использоваться в последующем материале. Ниже рассматриваются харак-
характерные примеры.
Пример 2.3.2 В большой популяции плодовой мушки 25% мух имеют
мутацию глаз, 50% — мутацию крыльев, а 40% мух с мутацией глаз
имеют и мутацию крыльев.
1) Какова вероятность того, что у мухи, наудачу выбранной из этой
популяции, окажется хотя бы одна из мутаций?
2) Какова вероятность того, что у случайно выбранной мухи есть
мутация глаз, но нет мутации крыльев?
л Обозначим через Е и W события, состоящие в том, что случайно
выбранная муха имеет соответственно мутацию глаз и мутацию крыль-
крыльев.
1) Вероятность того, что муха имеет одну или обе мутации, есть
P(E[)W)= P(E) + P(W)—P(E() W). Но Р (?) - 0,25,
Р (W) = 0,5, а Р (Е Л W) = 0,4 • 0,25 = 0,1. Таким образом, Р (Е [}
U1F) = 0,25 + 0,5 —0,1 = 0,65.
2) Вероятность того, что у мухи есть мутация глаз, но нет мутации
крыльев, —это Р (?\№) = Р (Е) — Р(Е П^) = 0,25 — 0,1 = 0,15.
В этих вычислениях мы воспользовались утверждениямь 1° и 3° тео-
теоремы 2.3.2. ^

48 Глава 2. Дискретная вероятность
Пример 2.3.3. В ванну, где содержатся три рыбы Л, В и С, время от
времени помещают кусочки пищи. Каждый раз, когда бросают кусочек,
рыбы конкурируют за него. Допустим, что за длительный период наб-
наблюдения было установлено, что А или В добивались успеха в течение
1/2 времени, а А или С — в течение 3/4 всего времени наблюдения.
1) Какова вероятность того, что добивается успеха Л?
2) Какая из рыб накормлена лучше всех?
л Пусть Л обозначает событие, состоящее в том, что пища достает-
достается Л, и т. д. Поскольку каждый кусочек щади может достаться лишь
одной из рыб, Р (Л П В) = Р (Л п С) = Р (В Л С) = 0. Дано, что
Р (Л и В) = 1/2 и Р (A U С) = 3/4. Применяя утверждение 3° тео-
теоремы 2.3.2, получаем, что Р (A U В) = Р (А) + Р (В) = 1/2 и Р (Ли
U С) = Р (Л)+Р (С) = 3/4. Следовательно, Р (В) - 1/2 — Р (Л) и
р (С) = 3/4—Р (Л). Так как Р (Л) + Р (В) + Р (С) = 1, то 1 =
= Р (Л) + [1/2 — Р (Л)] + [3/4 — Р (А)] = 5/4 — Р (Л), что да-
дает Р (Л) = 1/4. Отсюда Р (В) = 1/4 и Р (С) = 1/2. Рыбе С дос-
достается пищи вдвое больше, чем каждой из двух других. ^
Задачи к § 2.3
1. Докажите следующие тождества для событий в конечном вероятностном про-
пространстве S:
а) Р (Л) = \ ~Р (Л);
б) если Ait\A}= 0 при 1ф\, то Р (Ai (J Л2 (J ... уЛг) = P (At) +
B)
2. Пусть Лив — такие события конечного пространства вероятностей S, что
Р {^4 Л В) = 1/5, Р (А) = 1/3 и Р (В) = 1/2. Найдите: а) Р (Л (J в); б)
РТАПВ).
3. В некоторой популяции у 40% людей волосы темные, у 40% — рыжие и у
20% —светлые. В этой популяции у всех темноволосых людей глаза карие,
у всех светловолосых — голубые, у одной половины рыжеволосых — голу-
голубые, а у другой — карие. Пусть Аъ А2 и А 3 — события, состоящие в том,
что у человека соответственно темные, рыжие и светлые волосы, и пусть 8%
и В2 соответственно обозначают карие и голубые глаза.
а) Найдите Р (Аг), Р (А1 Г) Вг) и Р (Аг (] В2).
б) Найдите Р (Вг), Р (В2) и Р (Лх (J ?2).
в) Опишите событие А1[) А2[) #2. Найдите вероятность этого события.
4. В популяции из 2000 плодовых мушек у 250 особей обнаруживают рецессив-
рецессивный признак крыла W и у 150 — рецессивный признак глаза Е. Предполо-
Предположим, что у 50 мушек обнаруживают оба признака. Для эксперимента по
скрещиванию из популяции наудачу выбирают одну мушку.
а) Какова вероятность, что у этой мушки обнаруживают признак W? Я?
б) Какова вероятность, что присутствует и W, п Е}
в) Вычислите Р (Е f] W) и Р (?Д W). __ _
г) Убедитесь в том, что Р (Е [) W) = Р (Е) + Р (W) — Р (Е П №).
5. При изучении миграций белого медведя девять медведей были помечены чис-
числами от 1 до 9. Три медведя отловлены повторно.
а) Сколько событий содержится в выборочном пространстве этого экспери-
эксперимента?
б) Пусть Аг обозначает событие,^состоящее в том, что t'-й отловленный мед-
медведь помечен четным числом. Какова вероятность Р {А{)\ Р (А%)\ Р (Аъ)}
в) Опишите события Аг[} А2 и Аг[} A2U A3.
г) Найдите Р (А± (] Л2), Р (At (]А2(]А3) и Р (Ах и Л2 и А 3).

§ 2.4. Условная вероятность 49
6. Некоторая популяция растений состоит из особей трех типов, помеченных
АА> Ла и аа. Численности каждого типа составляют соответственно 200,
600 и 50. Допустим, что из этой популяции случайно выбирают одно рас-
растение.
а) Какова вероятность того, что это растение типа А А?
б) Какова вероятность того, что растение типа А А или Л а?
2.4. Условная вероятность
Вероятности, которые мы приписываем событиям, зависят от извест-
известной о них информации. Между крайними случаями отсутствия инфор-
информации и полной информации о событии может быть много уровней час-
частичной информации, которая, будучи известной, должна приниматься
в расчет при вычислении вероятностей.
Чтобы проилюстрировать эту мысль, рассмотрим задачу, состоя-
состоящую из трех частей. Предположим, что в некоторой семье имеется два
ребенка.
1. Какова вероятность того, что оба ребенка — мальчики?
2. Если известно, что по крайней мере один из детей — мальчик,
то какова вероятность того, что оба — мальчики?
3. Если известно, что старший ребенок — мальчик, то какова ве-
вероятность, что оба — мальчики?
Все части' этой задачи похожи. В конце концов, всюду ищется
Р (ММ), где ММ обозначает событие, состоящее в том, что первый и
второй ребенок —мальчики. В первой части пространство выборок
состоит из четырех равновероятных событий: 5Х ={ММ> МД, ДМ,
ДД}. По определению вероятности в пространстве равных вероятнос-
вероятностей имеем Р (ММ) = 1/4. Во второйг части событие ДД исключается
из пространства выборок, так как должен быть хотя бы один мальчик.
Поэтому выборочное пространство есть теперь S2 = {ММ, МДУ ДМ)
и Р (ММ) = 1/3. Наконец, пространство выборок в третьей части за-
задачи есть S = {ММ, МД}3 и Р (ММ) = 1/2.
Обобщим теперь идеи этого примера. Рассмотрим эксперимент о
вероятностным пространством S. Предположим, что А и Е — два со-
события, содержащиеся в S. Условная вероятность события А при усло-
условии Е определяется как вероятность того, что произошло событие Л,
когда известно, что имеет место Е. Для представления такой условной
вероятности будем использовать обозначение Р (А \Е). Во второй час-
части вышеприведенного примера мы отыскиваем Р (А \Е), где Е — собы-
событие, состоящее в том, что хотя бы один из детей — мальчик, и Л —
событие, состоящее в том, что оба — мальчики. В первой части мы
ищем Р (Л), а в третьей части —Р(А\ F), где F — событие, состоящее
в том, что старший ребенок — мальчик. Как мы видели, все эти веро-
вероятности различны.
Чтобы вычислить Р (А \Е) в общем случае, необходимо знать веро-
вероятность того, что в испытании имеет место ?, и вероятность того, что
А и Е происходят одновременно. Одна процедура, определяющая,
произошло ли А Л Е> состоит в том, чтобы, во-первых, установить, что

50 Глава 2. Дискретная вероятность
Е имеет место, а затем, если Е дей-
действительно имеет место, установить*
что произошло А. Это предполагает
формулу
Р(А Л Е) = Р (Е)Р (А\Е),
которая будет использована в опре-
рнс. 2.3 делении условной вероятности.
Определение 2,4.1. Условная
вероятность. Если Еявляется
событием вероятностного пространства S с вероятностью Р{Е) >
> 0, то условная вероятность события А в S при условии, что про*
изошло Е, есть
Р(А\Е)= Р{АПЕ) .
V ' ' Р(Е)
Условную вероятность Р (А) Е) можно интерпретировать как «от-
«относительную вероятность» события А по отношению к событию Е.
Это иллюстрируется на рис. 2.3, При этом A f\ E можно рассматривать
как некое событие в выборочном пространстве Е.
В пространстве равных вероятностей вычислять Р (А \Е) простым
перечислением позволяет следующая теорема.
Теорема 2.4.1. В пространстве равных вероятностей S, содержащем
события А и Е, справедливо соотношение
п i л i г\ число элементарных событий в А () Е
г \А\ ti) = —,
число элементарных событий в Е
? Известно, что
Pi А П F\ — числ0 элементарных событий в A f] E
число элементарных событий в б1
U
р(F\ _число элементарных событий в Е
число элементарных событий в S
Поскольку Р (А \Е) = Р (A Q Е)/Р (Е), получаем искомый резуль-
результат. ¦
Пример 2.4.1. Бросают две правильные кости.
1) Какова вероятность того, что хотя бы одно из выпавших чисел
есть 2?
2) Если сумма выпавших чисел равна 6, то какова вероятность того,
что одно из них есть 2?
А 1) Пространство выборок состоит из всевозможных пар (х, у),
где хну могут принимать любые целые значения от 1 до 6. Существу-
Существует 36 таких пар. Имеются 11 пар, содержащих хотя бы одну двойку
(пара B, 2)содержит две двойки). Таким образом, Р (хотя бы одна
двойка) = 11/36.

§ 2.4. Условная вероятность 51
2) Это задача на условную вероятность, которую мы решим двумя
способами. Пусть А — событие, состоящее в появлении хотя бы одной
двойки, и Е — событие, состоящее в том, что выпавшая сумма равна
6. Есть пять возможностей, при которых может произойти событие
Е: A,5), B, 4), C, 3), B, 4) и E, 1). Существуют две возможности, при
которых может произойти событие А П Е: B, 4) и D, 2). Следовательно,
Р(А\Е) = Р{А пЕ) = 2/36 == 2
Р(Е) 5/36 5 '
Решая задачу другим способом, рассмотрим сокращенное простран-
пространство выборок Se> состоящее из всех пар, которые в сумме дают 6. Это
пространство равных вероятностей, содержащее пять элементов. Так
как событие А П Е содержит два элементарных события в 5я, то отсюда
получаем, что Р (А\Е) = 2/5. А
Пример 2.4.2. Дана популяция плодовой мушки с двумя мутациями:
25% особей имеют мутацию крыльев, 15% — мутацию глаз и 10% —
обе мутации. Выбирают наудачу одну муху.
1) Если у нее оказывается мутация крыльев, то какова вероятность
того, что у нее есть и мутация глаз?
2) Если у нее оказывается мутация глаз, то какова вероятность
того, что у нее есть и мутация крыльев?
3) Какова вероятность того, что у нее есть хотя бы одна из мутаций?
Л Пусть К и Г обозначают соответственно мутацию крыльев и глаз.
Тогда:
Р(К) 0,25 5 '
;
Р(Г) 0,15 3 '
3) Р (К U Г) = Р (К) + Р (Г) — Р (К П Г) = 0,25 + 0,15-0,1 -
= 0,3.А
Многие из приложений условной вероятности являются следствия-
следствиями приведенного ниже результата, известного под названием теоре-
теоремы умножения условных вероятностей.
Теорема 2.4.2. Если А, В и С — три события в вероятностном про-
странстве S, причем Р (А) Ф0 и Р (А П В) Ф 0, то
Р (А О В п С) = Р (А) Р (В\А) Р (С\А П В).
О Рассмотрим два событие: А П В и С. По определению условной
вероятности, Р (С\А П В) = Р (А П В П СIР (А П В) п Р (В\А) =
= Р (А (] В)/Р (А). Значит,
Р(А) (/> (В\А) Р(С\А ПВ) =
(так как остальные члены сокращаются). Ш

52 Глава 2. Дискретная вероятность
Пример 2.4.3. В одном аквариуме находятся три белые, три красные
и три голубые рыбки. Трех случайно выбранных рыбок переносят в
другой аквариум. Какова вероятность того, что все три эти рыбки бе-
белые?
А Рассмотрим два метода решения этой задачи. Первый метод CO-
стоит в простом перечислении всех возможностей. Существуют C1 = 84
/з\
способа выбора трех рыбок из девяти. Поскольку имеется лишь f I = 1
способ выбора трех белых рыбок, искомая вероятность есть 1/84. Во
втором методе используется теорема умножения условных вероятнос-
вероятностей. Предположим, что мы выбираем три рыбки одну за другой. Опре-
Определим А, В и С как события, состоящие в том, что первая, вторая и
третья выбранные рыбки оказываются белыми. Вероятность того, что
все отобранные рыбки белые, есть Р (А П В Л С) = Р (А) Р (В\А)Х
ХР(С\ А A В). Ясно, что Р (А) = 3/9 = 1/3, так как имеются три
белые рыбки среди девяти. Если первая выбранная рыбка белая, то
среди оставшихся восьми рыбок окажутся две белые. Это означает, что
Р (В | А) = 2/8 = 1/4. Аналогично, Р (С\А П В) = 1/7. Таким образом,
Р (А Л В Г) С) = A/3).A/4)-A/7) = 1/84. При наличии некоторого
опыта применять второй метод гораздо легче, чем метод пересчета. А
Пример 2.4.4. На двух фермах А и В, насчитывающих по 1000 голов
крупного рогатого скота каждая, произошла вспышка заболевания
ящуром. Доли зараженного скота составляют соответственно 1/5 и
1/4. Выбирают случайным образом одну корову.
1) Какова вероятность того, что выбранная корова принадлежит
ферме А и имеет заболевание?
2) Если на каждой ферме 70% зараженного скота младше 1 года, то
какова вероятность того, что выбранная корова принадлежит ферме В9
имеет заболевание и старше 1 года?
Л 1) Пусть Н = {корова заболела ящуром}. Тогда искомая веро-
вероятность есть
Р (А п Я) = Р (А) Р (Н\А) = A000/2000).A/5) = 1/10.
2) Определим С как событие, состоящее в том, что случайно выб-
выбранная корова старше 1 года. Искомая вероятность есть
Р(В П Я Л С) = Р(В)Р (Н\В)Р (С | В П Н) = A/2) • A/4) . C/10) =*
= 3/80. А
Теорему умножения условных вероятностей можно легко обобщить
на случай более чем трех событий.
Теорема 2.4.3. Если Аъ Л2, ..., Ап — события в конечном пространстве
вероятностей S и Р (А1 П А2 П ... П ^U-i) Ф 0» то
Р (Ах п Л2 Л ...П Ап) = Р (Аг) Р (Ай\Аг) Р (ЛИх Л Л2)...

§ 2.4. Условная вероятность 53
? Положим В = Лх П Л2 п .... П Ап-ь Тогда
Р (Лх п Л2 п ...П Л„) = Р (Лп П В) - Р (В) Р (Ап\В) =>
= Р (Аг П Л2 П ...П Л^) Я (ЛдИл П Л2 П ... П Ап-г)
Полагая С = Лл п Л2 П ... Л Лп_2, продолжаем эту процедуру и на-
находим, что
Р (Аг Л Л2 Л ....П Лп-2 П Ап-г) =*
= Р (Лх П А2 П ...П Лп_2) Р G4n_i | Лх П Л2 П ...ПЛП_2).
Требуемый результат доказывается через конечное число шагов. ¦
Условная вероятность Р (Л \В) дает вероятность того, что происхо-
происходит событие Л, когда известно, что произошло событие В. Естественно
возникает вопрос: при каких обстоятельствах появление события В
никак не влияет на вероятность события Л?
Определение 2.4.2. Два независимых события. Собы-
События А и В в конечном пространстве вероятностей S называются неза-
независимыми, если Р (А\В) = Р (Л). Иными словами, вероятность того,
что происходит Л, не зависит от появления (или непоявления) В.
Так как Р (Л \В) = Р (Л П ВIР (В), то мы приходим к выводу,
что Р (Л) = Р (Л п ВIР (В), когда Л и В — независимые события.
Отсюда вытекает, что Р (Л П В) ^= Р (Л) Р (В). Это равенство служит
эквивалентным определением независимых событий. Если Л и В не-
независимы, то имеем также
)Р(Ч.
Пример 2.4.5. Монету подбрасывают дважды. Определим Л как собы-
событие, состоящее в том, что при первом бросании выпал «герб», и В —
— что при втором бросании выпал «герб». Выборочное пространство
этого эксперимента S = {ГГ, ГР, РГ9 РР) является пространством
равных вероятностей. Тогда Л [\ В — это событие ГГ с вероятностью
Р (А п В) = 1/4. События Л и В имеют вероятности Р (А) = Р (В) =
= 1/2. • Заметим, что Р (Л | В) = Р (Л Л ВIР (В) = A/4):A/2) =
= 1/2 = Р (Л) и потому Л и В являются независимыми событиями.
Пример 2.4.6. При обследовании заболеваний легких проверялось
10 000 человек в возрасте свыше 60 лет. Оказалось, что 4000 человек
из этой группы являются постоянными курильщиками. У 1800 из ку-
курящих обнаружились серьезные нарушения в легких. Среди некуря-
некурящих серьезные нарушения в легких имели 1500 человек. Являются ли
курение и наличие нарушений в легких независимыми событиями?
л Определим Л как событие, состоящее в том, что наудачу выбран-
выбранный человек оказывается постоянным курильщиком, и В — что у че-
человека серьезные нарушения в легких. Тогда Р (Л) = 4000/10 000 =

54 Глава 2. Дискретная вероятность
= 0,4 и Р (В) = 3300/10 000 = 0,33. Условная вероятность курения
при условии наличия нарушений в легких есть
Р (л | В) = 1^Па = J8OO..J0000.
1 P(fi) 10 000 3300 v ;
Следовательно, Л и В не являются независимыми событиями. А
Предположим, что два события А и В — взаимно исключающие (Л Г)
П В = 0). Тогда они являются независимыми в том и только в том
случае, если вероятность хотя бы одного из них равна нулю. Чтобы по-
понять это, заметим, что 0 = Р @) = Р (А Л В)i = Р (А) Р (В), когда
события А и В независимы. Это указывает на то, что независимые со-
события не обязаны быть взаимно исключающими. С другой стороны,
существуют взаимно исключающие события, которые не являются не-
независимыми, так что, по существу, это два различных понятия.
Определение независимости можно обобщить на случай более чем
двух событий.
Определение 2.4.3. Три независимых события. Три
события Л х, А2иА3в конечном пространстве вероятностей называются
независимыми, если Р (Аг Л А2 Г) А 3) = Р (Лх) Р (А2) Р (А 3), и эти три
события независимы попарно, /л. е.
Р (Л, Л А2) = Р (Аг) Р (Л2), Р (Аг Л Л в) = Р (Ах) Р (Л3),
Р(Л2ЛЛ3)= Р(А2)Р(А3).
Следующий пример показывает, что три попарно независимых со-
события вместе могут не быть независимыми.
Пример 2.4.7. Предположим, что в каждой из двух клеток содержится
по три белых и три черных мыши. Пусть из каждой клетки выбирают
по одной мыши, причем Ах — событие, состоящее в том, что мышь,
взятая из первой клетки, белая, А2 — что мышь из второй клетки чер-
черная, и Л з — что обе мыши одинакового цвета. Тогда Р (A t) = Р (Л2) =
= 1/2 и Р (Л3) = Р (ЧЧ или ББ) = 1/2. Кроме того, Р (Ах Л Л2) =
= Р (БЧ) = 1/4 = Р (Аг) Р (Л2); Р (Л2 Л Л3) = Р (ЧЧ) = 1/4 =
= Р(А2)Р(А3) и Р(Л1пЛв)= Р(ББ)^ 1/4= Р (А,) Р (А9).
Таким образом, эти три события попарно независимы. Однако Ах(]
П Л2 Л Л3 = 0, так что Р (Аг Л Л2 Л Л3) = 0, что отличается от
произведения вероятностей Р (Лх) Р (Л2) Р (Л3), н потому указанные
три события не являются независимыми.
Задачи к § 2.4
В задачах 1 —6 предполагается, что рождение ребенка любого пола равно
вероятно.
1. В семье три ребенка.
а) Какова вероятность того, что в семье ровно две девочки?
б) Если известно, что по крайней мере один ребенок — девочка, то какова
вероятность того, что девочек ровно две?

§ 24. Условная вероятность 55
в) Если известно, что старший ребенок — девочка, то какова вероятность
того, что девочек ровно две?
2. Какова вероятность того, что у девочки, о которой известно, что она растет
в семье, где четыре ребенка, есть старший брат?
3. а) Сколько должна планировать пара иметь детей, чтобы вероятность хотя
бы одного мальчика была выше 90%?
б) Сколько должна планировать пара иметь детей, чтобы вероятность хотя
бы одного мальчика и одной девочки была выше 70%?
4. а) Найдите вероятность того, что в семье из шестерых детей три мальчика
и три девочки.
б) Найдите вероятность того, что в семье из шестерых детей все дети одного
и того же пола.
б. Представим, что в одной семье есть восемь детей — четыре мальчика и четы*
ре девочки. Какова вероятность того, что старший ребенок — мальчик?
Какова вероятность того, что все четыре мальчика старше четырех девочек?
6. У пары три ребенка. Определим события А (первый ребенок — девочка), В
(второй ребенок — мальчик), С (третий ребенок — мальчик), D (первые
два ребенка — мальчики) и Е (хотя бы один ребенок —мальчик).
а) Вычислите вероятности этих пяти событий.
б) Являются ли независимыми А и D; А и Е\ В и ??
в) Докажите, что Л, В и С независимы.
г) Являются ли независимыми события В, С и ??
7. Некоторая вакцина эффективна на 75% в формировании иммунитета. Вак-
Вакцинировалось два человека. Пусть А и В — события, состоящие в том, что
соответственно первый и второй человек приобретает иммунитет. Являются
ли независимыми А и В; А и В; А и В; А и В?
8. Шесть человек больны заболеванием, для которого коэффициент выздоровле-
выздоровления составляет 98%. Каковы вероятности того, что: а) выздоровят все ше-
шестеро; б) ни один не выздоровит; б) выздоровят только пятеро?
9. Студент изучает химию, математику и биологию. Он оценивает, что вероят-
вероятности получить «пятерку» по этим курсам равны соответственно 1/2, 1/3 и
1/4. В предположении, что оценки студента по трем курсам независимы, ка-
какова вероятность, что он не получит ни одной «пятерки»? получит «пятерку»
только по химии?
10. Три крысы обучаются выполнению трех различных заданий (по одной крысе
на каждое задание). Вероятности того, что крысы выполняют свои задания
за 1 мин, составляют соответственно 2/3, 1/2 и 1/3. Какова вероятность того,
что все три крысы выполнят свои задания за 1 мин? Что выполнят только две?
11. а) Если дано, что бросание пяти костей дает хотя бы одну тройку, то какова
вероятность того, что троек не менее двух?
б) Брошены две кости, и сумма выпавших чисел оказалась 6. Какова ве-
вероятность того, что одно из чисел есть 4?
в) Если дано, что бросание семи костей дает хотя бы одну пятерку, то ка«
кова вероятность двух (или более) пятерок?
12. Из стандартной колоды в 52 карты наудачу выбирают одну. Если ее масть не
пики, то карту возвращают в колоду, которую затем тасуют, после чего вы-
выбирают другую Kapi.y. Так продолжают до тех пор, пока не будут выбраны
пики.
а) Какова вероятность того, что будут выбраны четыре карты?
б) Какова вероятность того, что третья карта окажется первой пиковой,
если первая карта бубновая?
в) Какова вероятность того, что первая пиковая карта появится при четном
выборе, т. е. при втором, четвертом и т. п. выборе? [Указание: восполь-
воспользуйтесь геометрическим рядом.]
13. В одном среднезападном городе вероятность грозы в любой данный день в те-
течение августа составляет 0,25, а вероятность града — 0,1. Вероятность гра-
града во время грозы равна 0,3.
а) Являются ли независимыми события «град» и «гроза»?

56 Глава 2. Дкскретная вероятность
б) Какова вероятность града в такой день, когда нет грозы?
14. На трех фермах Л, В и С произошла вспышка заболевания ящуром. Доля
зараженного скота составляют соответственно 1/6, 1/4 и 1/3. Из каждой фер-
фермы случайным образом выбирают по одной корове.
а) Какова вероятность того, что заболевание имеется только у одной коро-
коровы?
б) Если заражена только одна корова, то какова вероятность, чтаэта коро*
ва выбрана из фермы Л?
2.5. Теорема Байеса
Часто бывает полезным разбить выборочное пространство 5 на под-
подмножества Slf 52, ..., Sn. Эти подмножества не Пересекаются, и Sx U
U 52 U ...U Sn = S. Например, группа людей может быть разбита
на подгруппы в соответствии с различными группами крови. Анализ
вероятностей событий может оказаться более содержательным или бо-
более информативным, когда он проведен по отношению к подмножест-
подмножествам, а не по отношению к полному выборочному пространству.
Следующая теорема иллюстрируется на рис. 2.4.
Теорема 2.5.1. Если конечное пространство вероятностей S разбито
на непересекающиеся подмножества Slt S2, ..., Snt то для всякого со*
бытия Е в S справедлива формула
Р(Е)=Р (EISJ Р (S,) + Р (Е\ S2) P (S.) +... + P (E\Sn) P (Sn),
G Множество Е можно представить в виде объединения непересека-
непересекающихся подмножеств:
Е = (Е п Sx) U (Е П 52) U ...U (Е П Sn)
(см. теорему 1.2.2). По аксиоме 3° вероятности,
Р(Е)= Р (?nSi) + Р (E(]S2) + ... + Р (E(]Sn).
Применив формулу условной вероятности, получаем искомый ре-
результат. ¦.
Пример 2.5.1. В популяции цветных мышей 2/3 особей имеют гетеро-
гетерозиготный тип (Сс), а 1/3 — гомозиготный тип (СС). Предположим, что
альбинос (сс) и цветная мышь, наудачу выбранная из популяции, скре-
скрещиваются и дают потомство численностью четыре мышонка. При усло-
условии, что ген альбинизма рецессивен, какова вероятность, что все че-
четыре мышонка будут цветными? (Пояснение терминологии см. в § 9.3)*
Л Ясно, что окраска потомства зависит от того, имеет ли окрашен-
окрашенная мышь гомозиготный тип (СС) или гетерозиготный тип (Сс) с геном
альбинизма. В первом случае все потомство окажется цветным. Во вто-
втором случае цветное потомство и альбиносы равновероятны. Таким
образом,
Р (все цветные) = Р (все цветные | СС) Р (СС) +
(все цветные \Сс) Р (Сс) = l.± + (J +

1 2.6, Теорема Байеса 67
Заметим, что Р (все цветные \СС)
есть 1, потому что в результате все
потомство будет иметь гетерозигот-
гетерозиготный тип Сс. А
Для вычисления вероятностей в
приведенной задаче мы могли бы
воспользоваться схематическим де-
деревом. В этой задаче есть два источ-
источника неопределенности. Во-первых, Рис. 2.4
мы не знаем, цветное потомство или
нет. Вероятности различных возможностей показаны на схематическом
дереве (рис, 2.5). Первые две «ветви» соответствуют двум возможностям
СС и Ссс вероятностями 1/3 й 2/3. От каждой из этих возможностей от-
отходит еще по две ветви, соответствующие тому, все или не все потомст-
потомство цветное. Если цветная мышь типа СС, то все потомство цветное. Ес-
Если же цветная мышь типа Ссу то вероятность того, что все потомство
цветное, A/2L =1/16. В этом случае вероятность того, что хотя бы
один потомок белый, есть 1 — AУ2L == 15/16. Чтобы определить веро-
вероятность того, что все четыре потомка цветные, мы складываем произве-
произведения соответствующих вероятностей на дереве- Это дает Р (все цвет-
цветные^ A/3)-1 + B/3).A/16) = 3/8.
Пример 2.5.2. В лаборатории есть три клетки. В клетке I содержатся
2 коричневые и 3 белые мыши, в клетке II — 4 коричневые и 2 белые
мыши и в клетке III — 5 коричневых и 5 белых мышей. Случайным об-
образом выбирают клетку и из клетки наудачу берут одну мышь. Какова
вероятность того, что выбранная мышь белая?
А Эту задачу можно проиллюстрировать схематическим деревом,
изображенным на рис. 2.6. Вероятность выбора любой клетки равна
1/3. Если выбрана клетка I, то Р (К\1) = 2/5 и Р (Б\1) = 3/5. Скла-
Складывая все три способа выбора белой мыши, получаем Р (?)==A/3)х
ХC/5) + A/3)- B/6) + A/3) -E/10) = 43/90. Тот же результат можно
получить, используя теорему 2.5.1:
Р (?) = Р (Б\1) P(l) + P (J5|II) Р (II) + Р (Б\Ш) Р (III) =»
= C/5). A/3) + B/6).A/3) + E/10) • A/3) = 43/90. А
Схематическое дерево полезно, так как оно суммирует имеющуюся
информацию и помогает обозреть задачу. Многие из задач, приведен-
приведенных в конце данного параграфа, можно очень просто решить g помощью
схематических деревьев,
В примере 2.5.2 можно поставить иной вопрос. Предположим§ что
выбранная мышь оказалась белой. Какова вероятность того, что она
взята из клетки I? Эта вероятность есть Р A\Б) = Р (I П БIР (Б).
Мы знаем, что Р (I л Б) = Р (I) Р (Б\\) = A/3) . C/5) = 1/5, так
как Р (Б\\)=Р (I П?)АРA), и что Р (Б) = Р (Б\1) РA) + Р(Б\П)Х
X Р (II) + Р (Б\Ш) Р (III) = 43/90. Таким образом,
РA)Р(Б\1) = 1/5 ^ 18
Р A)Р (Б\1) + Р (П)Р (Б\11)+Р (Щ)Р (ВЦП) 43/90 43'Ж

Глава 2. Дискретная «ероятнветь
Рис. 2.5
Рис. 2.6
Эти рассуждения обобщает нижеследующая теорема. Она выглядит
внушительно, однако легко доказывается и крайне полезна в приложе-
приложениях.
Теорема 2.5.2. Теорема Байеса. Если конечное простран-
пространство вероятностей S разбито на непересекающиеся подмножества
Sl9 S2, ..., Sn, то для любого события Е в S справедлива формула
p(S |?)==
(Sk) Р (Е1 sk)
P (SX)P (E\St)+P E2)P(?|S,) + ...+P (Sn)P
? Имеем
(Sk)
PIS \E)-=P (Sk n E) =
P(E) P Eft) P (E)
P(Sk)P(E\Sk)
P (E)
P(Sk)
P(E)
Использовав выражение для Р (?), полученное в теореме 2.5.1,
приходим к желаемому результату. ¦
Пример 2.5.3. Предположим, что в некоторой большой популяции
мужчин и женщин поровну. В этой популяции 5% мужчин и 0,25%
женщин страдают дальтонизмом. Случайным образом выбирают одно-
одного дальтоника. Какова вероятность того, что этот человек — мужчина?
А Популяция разделена на два непересекающихся подмножества
— мужчин и женщин. Мы ищем Р (М\Д). По теореме Байеса,
Р (М) Р (Д\М)
Р(М\Д) =
Р(М)Р(Д
0,05-0,5
0,05-0,5 + 0,0025- 0,5
(Ж)Р(Д|Ж)
2500 __ 20
2625 21 "'
Пример 2.5.4. Предположим, что женщина с группой крови О и мужчи-
мужчина с группой крови АВ имеют двоих близнецов с группой крови В.
Если известно, что примерно в 1/4 случаев рождения близнецов они

§ 2.5. Теорема Байеса 59
происходят из одного яйца, то какова вероятность того, что однояй-
однояйцевыми являются и упомянутые близнецы?
А Множество мальчиков-близнецов разбивается на однояйцевых
и двуяйцевых. По теореме Байеса искомую вероятность можно запи-
записать как
Р (однояйцевые | у обоих группа В) =*
Р (однояйцевые) Р (у обоих группа В| однояйцевые)
Р (однояйцевые) Р (у обоих группа В | однояйцевые) +-»...
...-»+Р (двуяйцевые) Р (у обоих группа В (двуяйцевые)
Чтобы вычислить эти условные вероятности, мы должны знать, что
когда скрещиваются О и АВ, у 50% потомства окажется группа А и
у 50% — группа В. Если близнецы происходят из одного яйца, то
у них одна группа крови. Поскольку А и В равновероятны, Р (у обо-
обоих группа В | однояйцевые) = 1/2. Если бы они развивались из двух
разных яиц, то у каждого была бы группа В с вероятностью 1/2.
Поэтому Р (у обоих группа В| двуяйцевые) = 1/4. Следовательно,
Р (однояйцевые | у обоих группа В) == • ———— —
1/8 2
5/16 б ~
Задачи к § 2.5
1. Лабораторное животное либо здорово (с вероятностью 0,9), либо нет. Если
животное здорово, то оно может выполнить некоторое задание в 75% всех
попыток. Если животное нездорово, то оно способно выполнить это задание
лишь в 40% всех попыток. Допустим, что предпринимается попытка и
животное не справляется с заданием. Какова вероятность того, что жи-
животное здорово?
2. Одна вакцина формирует иммунитет против краснухи в 95% случаев. Пред-
Предположим, что вакцинировалось 30% популяции. Предположим также, что
вероятность заболеть краснухой у вакцинированного человека без иммуни-
иммунитета такая же, как н у невакцинярованного. Какова вероятность того, что
человек, заболевший краснухой, был вакцинирован?
3. За период с 1955 по 1966 р. доля американских мужчин старше 18 лет, кото-
которые курят сигареты, уменьшилась с 57 до 51%, тогда как доля курящих
женщин возросла с 28 до 33%. В предположении, что в указанйый период
© популяции индивидуумов старше 1в было 49% мужедн и 51% жеящин,
какова вероятность того, что случайно выбранный в тот период курильщик
оказывался мужчиной?
4. Некоторое заболевание, встречающееся у 5% населения, с трудом поддается
диагностике. Один грубый тест на это заболевание дает положительный ре-
результат (указывающий на наличие заболевания) в 60% случаев, когда паци-
пациент действительно болен, и в 30% случаев, когда у пациента нет этого забо-
заболевания. Пусть для конкретного пациента этот тест дает положительный
результат. Какова вероятность, что у него есть это заболевание?
б. В некоторой большой популяции число черноволосых и рыжих одинаково.
Замечено, что у 30% людей с черными волосами глаза голубые» так же как
и у 50% людей с рыжими волосами. Из тех, у кого черные или рыжие воло-

60 Глава 2. Дискретная вероятности
сы, случайно выбирают одного человека и оказывается* что у него голубые
глаза. Какова вероятность того, что у этого человека черные волосы?
в. На одном производстве было установлено, что 3% рабочих являются алко-
алкоголиками с показателем прогулов втрое выше, чем у остальных рабочих.
Если случайно выбранный рабочий отсутствует на работе, то какова вероят-
вероятность того, что он алкоголик?
7. Станки L, М п N производят 25, 30 и 45% продукции фабрики. Доли брако-
бракованной продукции составляют для них соответственно 1, 2 и 3%. Выбран-
Выбранная наугад единица продукции оказывается бракованной. Каковы вероят-
вероятности того, что она сделана на станках L, М и Af?
8. В эксперименте живой амебе пересаживают ядро от одной, цитоплазму от
второй и внешнюю оболочку от третьей амебы. Если все компоненты берут
из одного и того же штамма, то около 85% воспроизводятся нормально. Если
компоненты берут из различных штаммов амебы, то нормально воспроизво-
воспроизводится лишь 1%. Допустим, что из одного и того же штамма и из разных
штаммов было собрано одинаковое число амеб. Если выбирают наудачу
одну из этих амеб и она воспроизводится нормально, то какова вероятность
того, что ее компоненты брались из одного штамма?
9. Лабораторная крыса обучается выполнению четырех заданий за ограничен-
ограниченное время в б мин каждое. Когда задание выполняется в пределах отведенно-
отведенного времени, нажатие крысой на рычаг приводит к получению порции нищи.
Вероятности успешного выполнения заданий за отведенное время соответ-
соответственно составляют 0,8; 0,6; 0,4; 0,2. Предположим, что крыса начинает вы-
выполнять случайно выбранное задание и через 5 мин обнаруживается, что она
получила пищу. Какова вероятность того, что крыса выполнила первое за-
задание? второе задание?
10. Экспериментальные мыши содержатся в двух клетках. В первой клетке со-
содержится 5 коричневых в 6 белых мышей, а во второй — 2 коричневые и 5 бе-
белых. Случайным образом выбирают клетку и на нее наугад извлекают одну
мышь. Если эта мышь коричневая, то какова вероятность того, что она извле-
извлечена аз второй клетки?
11. Для проверки контагнозности нескольких штаммов бактерий большое число
морских свинок содержалось парами б отдельных клетках. По одной из каж-
каждой пары свинок заражалось штаммом I, II или III (по каждому штамму
бралось равное количество морских свинок). Установлено, что доли здоровых
свинок, заразившихся от своих соседей, равны 1/3, 1/4 и 3/4, В выбранной
наугад клетке обе свинки оказываются сраженными. Каковы вероятности
того, что заражение вызвано штаммами I, II и III?
12. «Калифорнийские Пляжники» и «Мороженщики Висконсина» (футбольные
команды) — давние соперники. Калифорнийская команда выигрывает встре-
встречу с вероятностью 0,8, когда погода теплая, и с вероятностью 0,3, когда хо-
холодно. В течение футбольного сезона в Калифорнии тепло было 90% времени,
а в Висконсине — 20% времени. Допустим, что калифорнийская команда
проиграла последнюю игру команде Висконсина. (Предполагается, что в
каждом штате проводится одинаковое количество встреч.)
а) Какова вероятность того, что эта игра проводилась в Калифорнии?
б) Какова вероятность того, что было холодно?
13. В одной большой частной лечебнице согласно оценкам 50% мужчин и 30%
женщин имеют серьезные нарушения сердечной деятельности. В этой ле-
лечебнице женщин вдвое больше, чем мужчин. У случайно выбранного паци-
пациента оказалось серьезное нарушение сердечной деятельности. Какова веро-
вероятность, что этот пациент — мужчина?
Большая популяция разбита на две группы одинаковой численности. Одна
14. группа придерживалась специальной диеты с высоким содержанием нена-
ненасыщенных жиров, а контрольная группа питалась по обычной диете, бога-
богатой насыщенными жирами. После 10 лет пребывания на этих диетах возник-
возникновение сердечно-сосудистых заболеваний составляло в этих группах соот-
соответственно 31 и 48%, Случайно выбранный из популяции человек имеет сер-

§ 2,6. Повторные испытания до
дечно-сосудистое заболевание. Какова вероятность того, что этот человек
принадлежит контрольной группе?
15. Краснуха может оказаться причиной серьезных врожденных пороков разви^
тия у детей, если мать заболевает ею на ранних стадиях беременности. Веро-
Вероятность пороков оценивается как 45, 20 и 5%, если заболевание происходит
соответственно на первом, втором и третьем месяцах беременности. Предпо-
Предположим, что вероятность заболеть краснухой одна и та же на любом месяце
беременности и что ребенок рождается с серьезными пороками по причине
краснухи. Какова вероятность того, что мать заболела краснухой на первом
месяце беременности?
16. Установлено, что курящие мужчины в возрасте свыше 40 лет умирают от
рака легких в 10 раз чаще, чем некурящие мужчины. В предположении, что
60% этой популяции курящие, какова вероятность того, что мужчина, умер-
умерший от рака легких, был курящим?
17. а) Вероятность того, что американский лось переносит зиму, оценивается в
80%, если лось здоров, и в 30%, если лось болен. Если в популяции больны
20% лосей, то какая доля популяции перенесет зиму?
б) Если волки убивают 80% здоровых и 70% больных лосей из тех, что не
выживают за зиму, то какую долю убитые волками за зиму лоси составляют
во всей популяции?
18. Редкое заболевание встречается у 0,1% населения и с трудом поддается ди-
диагностике. Один грубый тест на это заболевание дает положительный резуль-
результат (указывающий на наличие заболевания) в 75% случаев, когда у пациеа-
та это заболевание есть, и в 25% случаев, когда его нет. Допустим, что тест
дает положительный результат, для случайно выбранного человека. Тогда
тест проводят вторично и получают отрицательный результат. В предполо.
жении, что результаты теста независимы, какова вероятность, что у этого
человека имеется заболевание?
19. Установлено, что в среднем один из 700 детей мужского пола рождается с
лишней К-хромосомой и что у таких детей крайне агрессивное поведение
встречается в 20 раз чаще. Опираясь на эти данные, представьте, что у
мальчика крайне агрессивное поведение. Какова вероятность того, чго
ребенок имеет лишнюю К-хромосому?
2.6. Повторные испытания: биномиальное
и полиномиальное распределения
До настоящего момента мы изучали вероятности, связанные с одним
проведением какого-либо эксперимента. В данной главе нас будут
интересовать вероятности возможных исходов, когда один и тот же
эксперимент выполняется несколько раз подряд. Рассмотрим в каче-
качестве примера эксперимент в двумя возможными исходами. Будем для
удобства называть эти исходы «успехом» и «неудачей». Допустим, что
при одном проведении эксперимента (испытании) вероятность успеха
есть /7, а вероятность неудачи есть q = 1 — р. Предположим теперь,
что этот эксперимент повторяется дважды. Его можно представить как
новый эксперимент с пространством выборок, состоящим из четырех
элементарных событий: успех, следующий за успехом; успех — неуда-
неудача; неудача — успех и неудача — неудача. Допуская, что результат
первого испытания не оказывает никакого влияния на исход второго,
мы приписываем этим четырем событиям вероятности /?2, pq, qp и ф.
Полная вероятность есть
Р* + pq +qp + <72 = Р2 + 2pq + q2 = (р + qf ** I.

$2 Глава 2. Дискретная вероятность
Определим п повторных испытаний для эксперимента с двумя
исходами как эксперимент, состоящий в повторении первоначального
эксперимента п раз. Для него существуют 2п возможных исходов.
Каждый из этих исходов имеет вероятность pk qn~k9 где к— число ус-
успехов в результате п испытаний. При этом мы, конечно, предполагаем,
что вероятность успеха р не меняется от испытания к испытанию. Ве-
Вероятность успеха в первом испытании та же самая, что и в девятом,
одиннадцатом испытании и т. д.
Во многих важных задачах нас интересует скорее общее число успе-
успехов при п испытаниях, нежели точный результат каждого отдельного
испытания. Если, например, монету подбрасывают 1000 раз, то нао
могло бы интересовать, сколько раз выпадает «герб». Маловероятно,
чтобы нам важно было бы знать исход, скажем, 43i-ro подбрасывания.
Пример 2.6.1. Предположим, что правильную монету подбрасывают
три раза подряд. Каковы вероятности того, что выпадает 0 «гербов»,
1 «герб», 2 «герба» и 3 «герба»?
Л Этот эксперимент можно рассматривать как три повторных испы-
испытания для эксперимента с двумя исходами. Если выпадание «герба»
определить как успех, то вероятность успеха при любом испытании
есть р = 1/2. Выборочное пространство рассматриваемого экспери-
эксперимента— это пространство равных вероятностей S = {ГГГ> ГГР*
ГРГ> ГРР, РГГУ РГР, РРГУ РРР}. Определим Р (к) как вероятность
k успехов (т. е. вероятность того, что выпадает k «гербов») при k = 0, 1 *
2, 3. Тогда Р ф) = 1/8, Р A) = 3/8, Р B) = 3/8 и Р C) = 1/8, ^
Чтобы обобщить этот пример, определим биномиальную вероят-
вероятность f (/г, к, р) как вероятность иметь ровно к успехов при п повтор-
повторных испытаниях.
Теорема 2.6.1. Биномиальное распределение. Име-
Имеет место формула
D Если в п испытаниях произошло к успехов, то неудач должно быть
п — k. Поскольку испытания независимы, вероятность иметь к успе-
успехов ил—к неудач равна p*qn~k. Wok успехов можно получить несколь-
несколькими различными способами. Из п испытаний мы «выбираем» к успе-
успехов и п — k неудач. Существует [А способов выбора к объектов из
п объектов. Каждый из этих способов имеет вероятность ркдп~к, и тео-
теорема доказана. ¦
Пример 2.6.2. Монету подбрасывают восемь раз подряд. Какова веро-
вероятность того, что «герб» выпадает ровно пять раз?
Д В данном случае п = 8, к = 5, р = 1/2, т. е.

§ 2.6. Повторные испытания 53
Пример 2.6.3. «Средний» человек е вероятностью 3/5 выполняет опре-
определенное задание за 1 мин. Предположим, что задание выполнялось 10
людьми. Какова вероятность ровно семи успешных выполнений зада-
задания за 1 мин?
А Здесь п = 10, k = 7, р = 3/5. Значит,
Пример 2.6.4. Предположим, что скрещиваются мышь-альбинос и
мышь гомозиготного нормального типа (цветная). Какова вероят-
вероятность двух альбиносов из шести мышей во втором поколении? (Пояс-
(Пояснение терминологии см. в § 9.3.)
Л В первом поколении все мыши будут цветными, так как ген аль-
альбинизма рецессивен. Легко видеть, что во втором поколении цветными
окажутся 3/4 всех мышей. Поскольку все первое поколение имеет тип
Ссу скрещивание Сс и Сс с равными вероятностями дает ССГ Сс, сС и
сс, причем лишь потомство сс является альбиносами. Таким образом,
Р (альбинос) = 1/4 и задача сводится к биномиальному распределению
при п = 6, k = 2 и р= 1/4. Искомая вероятность есть
Биномиальное распределение применимо к повторным испытаниям
для эксперимента с двумя исходами. Обобщением его служит распре-
распределение вероятностей для эксперимента с т исходами. Пусть ?1г ?2,...
..., Ет — исходы такого эксперимента, a plt p%r.,., рт — вероятности
этих исходов. Тогда рг + р2 + ... + рт Я1. В результате п повтор-
повторных испытаний для этого эксперимента окажется п1 исходов Еъ пг ис-
исходов E2t ..., пт исходов ?т, причем nt + п2 + .... + пт = п. Обо-
Обозначим вероятность этого через Р (nl9 n2, ..., пт).
Теорема 2.6.2. Полиномиальное распределение.
Имеет место формула
Р (П19 П2, ... , Пт) = ( П ) р?« /# ... рпт.
? Обобщим доказательство предыдущей теоремы. Каждый из воз-
возможных способов получить ровно пъ п2, ..., пт исходов различных
типов имеет вероятность Р^Р^-'-рУ1- Так как существует ( }
\ni> п2>"-> пт/
таких способов (см. теорему 1.5.2), то отсюда следует доказываемый
результат. ¦
Следующие примеры иллюстрируют применение полиномиальною
распределения.
Пример 2.6.5L В некоторой большой популяции 20% левшей, 70%
людей, владеющих правой рукой лучше, чем левой, и 10% — одинако-
одинаково свободно владеющих обеими руками. Если из популяции случайно

@4 Глава 2. Дискретная
выбирают 10 человек, то какова вероятность того, что все они владеют
правой рукой лучше, чем левой? что семь владеют правой рукой лучше,
чем левой, два являются левшами и один одинаково свободно владеет
обеими руками?
Л Здесь п = 10, рг = 0,7, р2 = 0,2 и р3 = 0,1, т. е.
Р A0, 0, 0) = ( ю ^ Q ) 0,7* = 0,7* » 0,028;
РG,2, 1) = / ^ ^0,77.0,22.0,1 «0,119. ^
Пример 2.6.6. В соответствии с группами крови людей можно расклас-
расклассифицировать на четыре взаимно исключающие категории: О, А, В и АВ.
В одной большой популяции доли различных групп крови соответст-
соответственно равны 0,45; 0,4; 0,1; 0,05. Допустим, что из этой популяции
случайным образом выбирают шесть человек. Каковы вероятности то-
того, что: 1) трое из них имеют группу О, а трое — группу А; 2) ет
один из них не имеет группу АВ?
д 1) Р C, 3, 0, 0) =—— 0,45*.0,43 ^0,117;
и! о!
2) / F, 0, 0,05) =-^L_ 0,95е « 0,735. ^
б! 0!
Из полученных результатов видно, например, что пришлось бы вы-
выбирать довольно большое число людей, чтобы быть достаточно уверен-
уверенными в том, что обнаружится группа АВ. Чтобы быть уверенными в этом
на 90%, нужно, чтобы вероятность того, что ни один не имеет группу
АВ , была меньше 10%. Иначе говоря, 0,95" < 0,1 , где п — число вы-
выбранных людей. Решая уравнение 0,95" = ОД g помощью логарифмов,
получаем
п log 0,95= log 0,1,
или
п log 95 — п log 100 = log I — log 10; п (log 95 — log 100)=— log 10,
откуда
n = (log 10) /(log 100 - log 95) = 1/B - 1,9777) » 44.
Задачи к § 2.6
1. Вероятность успеха в эксперименте составляет 95%, а неудачи—-5%. Экс-
Эксперимент повторяют пять раз. Определите вероятности следующих событий
а) ни одного успеха: б) ни одной неудачи; в) четыре успеха и одна неудача.
2. В любой данный день в июне погода может быть хорошей (с вероятностью
50%), посредственной (с вероятностью 25%) или плохой (с вероятностью
25%). Предположим» что погода в данный день никак не влияет на погоду
в любой другой день. Какова вероятность того, что в течение одной недели
в июне будет семь хороших дней? четыре хороших дня, два посредствен*
ных и один плохой день?

§ 2.6. Повторные испытания 65
3. В некоторой большой популяций у 40% людей волосы черные, у 40% рыжие
и у 20% светлые. Если из популяции случайно выбирают 10 человек, то
каковы вероятности следующих событий: а) 5 черноволосых, 5 рыжих;
б) 4 черноволосых, 4 рыжих, 2 светловолосых; в) 3 черноволосых, 3 рыжих,
4 светловолосых?
4. Дальтонизмом страдает 1% большой популяции. Допустим, что из нее на*
угад выбирают п человек. Какова вероятность того, что ни один из п чело-
человек не окажется дальтоником? Сколь велико должно быть п, чтобы эта
вероятность была меньше 10%?
5. Машина дает продукцию, которая должна удовлетворять определенным тре-
требованиям. Вероятность того, что данная единица продукции приемлема, со-
составляет 95%. Из продукции машины делают выборку в количестве 10 ед.
Какова вероятность того, что все 10 ед. продукции окажутся приемлемыми?
6. По оценкам, волк, в одиночку нападающий на лося, добивается успеха в 8%
столкновений. Какова вероятность того, что в пяти столкновениях ни один
лось не станет добычей волка?
7. В каждом полушарии человеческого мозга имеется четко определяемая слу-
слуховая область. В анатомических исследованиях было установлено, что слу-
слуховая область левого полушария более развита в 65% рассмотренных слу-
случаев, менее развита в 10% и развита в одинаковой с правым полушарием сте-
степени в 25% случаев. Какова вероятность того, что из группы в пять случай-
случайно выбранных человек в три эти категории соответственно попадут три, ни
одного и, два человека?
8. Замечено, что слушатели вводного курса по количественному химическому
анализу достигают приемлемых результатов в 80% титрований. Один сту-
студент'добился приемлемого результата лишь однажды в шести титрованиях.
Какова вероятность случайного наступления этого события? Как вы дума*
ете, станет ли этот студент химиком-экспериментатором?
9. При заболеваниях щитовидной железы применяется йодная терапия. Было
замечено, что у 50% больных наступает быстрое улучшение, на 40% боль-
больных терапия не оказывает заметного эффекта, а у 10% она вызывала ухуд-
ухудшение состояния. Эту терапию применяют девять больных. Каковы веро*
ятности того, что: а) все девять почувствуют улучшение; б) у пятерых будет
улучшение, трое останутся в прежнем состоянии и одному станет хуже; в)
у троих будет, улучшение, трое останутся в прежнем состоянии и троим ста-
станет хуже?
10. Лечение одного заболевания приводит к выздоровлению в 75% случаев. Ле-
Лечилось шесть больных. Каковы вероятности того, что: а) выздоровят все
шестеро; б) не выздоровит ни один; в) выздоровят по крайней мере четверо?
11. Рассмотрим н повторных испытаний для биномиального эксперимента пра
р = ц = 1/2.
а) Если п четное, то какова вероятность л/2 успехов и л/2 неудач?
б) Найдите вероятности того, что успехов больше, чем неудач, для нечетного
и четного п.
12. Шансы волка добыть пищу за каждый период охоты составляют 60%. Какова
вероятность того, что успешными оказалось больше половины всех периодов
охоты, если всего был 31 период? если всего было 14 периодов?
13. а) Сколько нужно бросить костей, чтобы вероятность выпадания нечетного
числа хотя бы на одной из них была больше 90%? б) Сколько нужно бро-
бросить костей, чтобы вероятность выпадания хотя бы одной пятерки была
больше 50%?
14. В одном городе Среднего Запада 50% населения предпочли бы более стро-
строгий контроль за огнестрельным оружием, 30% — более слабый контроль
и 20% хотели бы сохранить существующее положение вещей. Для опроса
выбрано случайным образом 12 человек.
Каковы вероятности того, что: а) все хотят усилить контроль; б) половина
опрошенных хотят усилить, & половина — ослабить контроль; в) равные ко-
количества опрошенных предпочитают три альтернативы?
3 Зак. 1370

Об Глава 2. Дискретная вероятность
15. Метеоролог обращается за субсидией для поездки в Испанию с целью про-
проверки теории о том, что «дождь в Испании идет в основном на равнине»*. Он
планирует провести наблюдения в такое время года, когда вероятность дождя
на равнине в любой данный день составляет 20%. (Предполагается, что эта,
вероятность не зависит от предшествующей погоды.)
а) Сколько дней должен запланировать метеоролог провести в Испании, что-
чтобы на 99% быть уверенным в том, что он застанет дождь?
б) Допустим, что метеорологу были выделены денежные средства на 15 дней
в Испании и что за первые 10 дней не было ни одного дождя. Какова веро-
вероятность того, что его поездка окажется неудачной, т. е. что он не увидит
ни одного дождя?
16. В популяции дрозофилы у 20% особей имеется мутация крыльев. Если из по-
популяции выбирают наугад шесть мух, то какова вероятность мутации у двух
из них? по крайней мере у одной? меньше чем у пяти?
17. Чтобы оценить численность рыбной популяции в озере, производили перио-
периодические выборки (обычно с периодом в 24 ч), рыб метили и загем выпускали
в озеро **. Для 1-й вьрборки определим t-t как общее число рыб, <2г--— как ко-
количество новых (ранее не помеченных) рыб и rt — как число повторно пой-
пойманных рыб. Пусть N обозначает общую численность рыб в озере, a Mt —
число помеченных рыб в озере перед тем, как делается in выборка.
а) Какова вероятность того, что случайно взятая из t-й выборки рыба ока-
оказывается меченой? немеченой?
б) Применяя би,дрл1Иальное распределение, вычислите вероятность того,
что среди t( рыб 1-й.выборки окажется г-г повторно пойманных и й-г новых
рыб.
18. Генерал, выигравший подряд пять сражений, обычно считается искусным
полководцем. Допустим, что исход сражений случаен, с 50% вероятности
успеха и неудачи, и что каждый генерал участвует ровно в пяти сражениях.
Какая доля генералов является искусными полководцами?
19. Кофеин и бензедрин считаются стимуляторами, имеющими некоторую способ-
способность противодействовать угнетающему влиянию алкоголя. В эксперименте
по проверке их относительной эффективности 40 добровольцев приняли по
6 унций*** алкоголя каждый. Добровольцы были разбиты затем на 20 пар,
и один член каждой пары получал бензедрин, а другой — кофеин. Согласно
некоторому тесту, бензедрин приводил к более быстрому восстановлению во
всех 20 парах. Какова вероятность такого результата, если считать, что в воз-
воздействии кофеина и бензедрина нет никакой разницы?
2.7. Случайные величины
Часто оказывается полезным приписать различным исходам экспе-
эксперимента некоторые числа. Например, мы могли бы три раза подбра-
подбрасывать монету и записывать число выпадений «герба». Другой экспе-
эксперимент может состоять в выборе 10 человек из 1000 и проверке их на
определенное заболевание. Здесь с исходом эксперимента мы могли
бы связать количество людей, у которых заболевание обнаружилось.
Определение 2.7.1 .Случайная величина. Случайная ве-
величина X, связанная с конечным вероятностным пространством S,
* Крылатая фраза из оперетты Ф. Лоу «Моя прекрасная леди» (см.: Loewe
F. My Fair Lady. A musical play in two acts. Music by F. Loewe. N. Y., 1963),
— Прим. пер.
** Schnabel Z. The estimation of the total fish population of lake,
— American Mathematical Monthly, 1938, № 45, p. 348—352,
*** Примерно 170 г. — Прим. пер.

§ 2.7. Случайные величины 67
есть действительная функция, определенная на пространстве выбо-
выборок S.
Определение 2.7.2. Пространство значений случай-
случайной величины. Пространство значений X (S) случайной вели-
величины X, определенной на конечном вероятностном пространстве 5,
есть множество действительных чисел X (?), где Е — любое элемея*
тарное событие в S.
Подчеркнем, что случайная величина является некоторой функци-
функцией, приписывающей действительные числа каждому исходу экспери-
эксперимента. В вышеприведенном примере выборочное пространство состо-
состоит из всех возможных способов выбора 10 человек из 1000. Пусть Е
обозначает один такой выбор. Тогда случайная величина X определя-
определяется правилом X (Е) = числу человек в Е, у которых имеется заболе-
заболевание. Пространством значений X (S) этой случайной величины слу-
служит множество чисел 0, 1, 2, ..., 10.
Пример 2.7.1. Рассмотрим эксперимент, состоящий в подбрасывании
правильной монеты четыре раза подряд. Определим X как случайную
величину, равную общему числу раз выпадения «герба». Пространст-
Пространством значений этой случайной величины является X (S) = {0, 1, 2, 3,
4}. Это множество значений, которые может принимать X. С каждым
элементарным событием в эксперименте мы связываем некоторое значе-
значение случайной величины X. Например, элементарному событию ГРРР
соответствует значение X = 1, так как при четырех испытаниях здесь
выпадает ровно один «герб».
Чтобы избежать путаницы, будем обозначать случайную величину
с помощью заглавной буквы X, а значения, которые принимает эта слу-
случайная величина, — с помощью малой буквы х\ X является функцией,
ах — действительным числом. Будем использовать запись Р (X —х)
для обозначения вероятности того, что случайная величина X прини-
принимает значение х. В примере 2.7.1 вероятность того, что X принимает
значение 2, равна
(это биномиальная вероятность). Аналогично, Р (X = 0) == 1/16,
Р (X = 1) - Р (X = 3) = 1/4 и Р (X = 4) = 1/16. Заметим, что в
сумме эти вероятности дают 1. Идеи этого примера можно обобщить в
следующем определении.
Определение 2.7.3. Функция вероятности. Функция веро-
вероятности f, соответствующая случайной величине X, определяется
на числовой прямой правилом
где х 6 R и сумма берется по всем элементарным событиям Е% в S
таким, что X (Ei) = х.
з*

68 Глава 2. Дискретная вероятность
Следует подчеркнуть, что / определена для любого действительного
числа х. Областью определения / является D (/) == R (см. § 1.3). В при-
примере 2.7.1 мы установили, что / @) = 1/16, / A) = 1/4, / B) = 3/8,
/ C) = 1/4 и / D) = 1/16. Кроме того, / (— 2) = Р (X = —2) =
= 0, так как выпадение — 2 «гербов» невозможно. Аналогично,
/ A/2) = 0. По сути дела, если х не равно 0,1, 2,3 или 4, то / (х) =0.
Пример 2.7.2. В некотором городе вероятность дождя в любой данный
день в июле составляет 1/6, вероятность облачной погоды (без дождя)
есть 1/3, а вероятность ясной погоды есть 1/2. Рассмотрим эксперимент,
состоящий в случайном выборе одного дня в^ июле и наблюдении за
погодой в этом городе. Свяжем с исходами этого эксперимента случай-
случайную величину X, полагая X =— 3, если идет дождь, X = — 1, если
пасмурно, иХ = 4, если погода ясна_я. Пространством значений X
служит X (S) = {— 3, —1, 4}. Функция вероятности f (х) = Р (Х=
= х) обращается в нуль, пока х не равно — 3, —1 или 4. Используя
данные, имеем / (— 3) - 1/6, f (—1) = 1/3 и / D) = 1/2.
Во многих задачах бывает важно знать вероятность того, что слу-
случайная величина принимает значения, не превосходящие некоторого
числа х. Если, например, мы выбираем 10 человек из 1000 и проверяем
их затем на определенное заболевание, то нас может интересовать ве-
вероятность того, что заболевание имеют не более 5 из 10 человек.
Пример 2.7.3. В большой популяции у 50% людей волосы рыжие. Из
популяции случайно выбирают четырех человек. Какова вероятность
того, что рыжие волосы окажутся не более чем у трех из четырех вы-
выбранных человек?
Л Определим случайную величину X как число выбранных людей
с рыжими волосами. Вероятность того, что X принимает значения, не
превосходящие 3, записывается как Р (X < 3) и является Суммой ве-
вероятностей того, что X = 0, что X = 1, что X = 2 и что X = 3. Это
биномиальные вероятности. Поэтому искомая вероятность есть
Заметим, что Р (X < 3) = 1 — Р (X = 4) (почему?). А
Предыдущий пример приводит к следующему определению.
Определение 2.7.4. Функция распределения. Функция
распределения F, соответствующая случайной величине X, есть функ-
функция, определенная для действительных чисел правилом
где сумма бгоется по всем элементарным событиям Ej таким, что
X <?,) < х. '

§ 2.7. Случайные величины
69
Оказывается, что для конеч-
конечных вероятностных пространств
удобнее пользоваться функцией
/ (х). Функция распределения
F (х) будет играть более важ-
важную роль при изучении непре-
непрерывных вероятностных про-
пространств в гл. 8.
Пример 2.7.4. Рассмотрим экспе-
эксперимент, состоящий в бросании
двух костей. Выборочное про-
пространство этого эксперимента
состоит из 36 исходов A, 1),
A,2),,.., F, 6). Предположим,
что нас интересует сумма чи-
чисел, выпавших на двух костях. Это определяет случайную величину
X с пространством значений X (S) = {2,3,4,..., 12}. Перебирая все
возможные варианты, можно вычислить значения функций f (x) и
F (х) для этой случайной величины. Эти значения приведены в следую-
следующей таблице:
/ Zd 4J 6 7 8 9 WHIZ
Рис. 2.7
-X*
X
fix)
Fix,
2
1/36
1/36
3
2/36
3/36
4
3/36
6/36
5
4/36
10/36
6
5/36
15/36
7
6/36
21/36
8
5/36
26/36
9
4/36
30/36
10
3/36
33/36
11
2/36
35/36
12
1/36
36/36
Функция распределения F (х) определена для всех х? R. В дан-
данном примере F E/2) = Р (X ^ 5/2) = 1/36, так как вероятность того,
что X не превосходит 5/2, совпадает с вероятностью того, что X = 2.
Аналогично, F F,75) - Р (X < 6,75) = Р (X < 6) = 15/36 и
F A000) = Р (X ^ 1000) = 1, В сущности, должно быть очевидно,
что когда х возрастает, то F (х) увеличивается от 0 до 1 скачками. На
рис. 2.7 изображена функция распределения для примера 2.7.4.
Пример 2.7.5. Биномиальное распределение. Рас-
Рассмотрим п повторных испытаний для биномиального эксперимента о
вероятностями успеха р и неудачи q при одном испытании. Число ус-
успехов в п испытаниях является случайной величиной X, функция веро-
вероятности которой задается биномиальным распределением / (пу х, /?).
Пример 2.7.6. Предположим, что монету подбрасывают до тех пор, по-
пока не выпадет «герб». Выборочное пространство S этого эксперимента
состоит из всех последовательностей некоторого числа «решеток», за
которыми следует один «герб» (как только появляется «герб», экспери-
эксперимент прекращают). Таким образом, S = {Г, РГ, РРГ, РРРГ, ...}.
Количество подбрасываний является случайной величиной, прост-
пространство значений которой состоит из всех положительных целых чи-

70 Глава 2. Дискретная вероятность
сел: X (S) = {1, 2, 3, ...}. Чтобы получить функцию вероятности, за-
заметим, что единственный способ совершить ровна х бросаний монеты
состоит в выпадании х — 1 «решеток», за которыми следует «герб».
Поэтому
Функция распределения имеет вид
Это конечный геометрический ряд с суммой 1 — A/2)* (см. задачу 14
к §1.6).
Пример 2.7.7. Некоторая операция пересадки кожи приводит к успе-
успеху в 40% всех случаев. Пациенту делают пересадку кожи несколько
раз подряд до тех пор, пока она не удается. Какова вероятность того,
что пересадка окажется успешной: 1) с первой попытки; 2) с третьей
Попытки; 3) с п-й попытки?
Л 1) Вероятность успеха при каждом испытании есть р = 0,4.
Поэтому вероятность успеха с первой попытки равна 0,4.
2) Чтобы успех имел место с третьей попытки, первые две пересад-
пересадки должны быть неудачными, а третья — удачной. Вероятность неу-
неудачи при любом испытании есть q ~ 1 — р = 0,6. Поэтому искомая
вероятность равна 0,62-0,4 = 0,144.
3) Чтобы быть успешной впервые при п-м испытании, операция
должна быть неудачной п — 1 раз подряд и лишь затем привести
к успеху. Вероятность этого равна qnp = 0,6я-0,4. ^
Последние два примера можно легко обобщить и получить новое
важное распределение. Представим себе, что мы повторяем биноми-
биномиальный эксперимент (с вероятностью успеха р при каждом испытании)
до тех пор, пока не наступит первый успех. Как и в примере 2.7.6,
определим случайную величину X как число потребовавшихся ис-
испытаний. Случайная величина X может принимать любые целые поло-
положительные значения: X = 1, 2, 3, ... . Первый успех наступит при
/2-м испытании, если первые п — 1 испытаний закончатся неудачей,
а /г-е испытание даст успех. Вероятность того, что это произойдет, есть
q'~xp. Функция вероятности / (х) случайной величины X обращается в
нуль, если х не является целым положительным, а если х — целое по-
положительное, то f(x) — P(X = x)=qxp. О такой случайной величине
А' говорят, что она имеет геометрическое распределение. Здесь мы впер-
впервые столкнулись с примером случайной величины, пространство значе-
значений которой бесконечно: X (S) = {1,2, 3, 4,...}.
Пример 2.7.8. Допустим, что вероятность успеха хищника при поимке
определенного типа жертвы составляет 0,4. Сколько жертв должен
подстеречь этот хищник, чтобы вероятность поимки хотя бы одной со-
составляла не менее 90%?

§ 2.7. Случайные величины 71
А Ясно, что это пример геометрического распределения при р =
= 0,4 и q = 0,6. Поэтому вероятность того, что первый успех наступит
при п-м испытании, равна О^"" • 0,4. Мы отыскиваем такое п, чтобы
Р (X ^ я) > 0,9. Неравенство X <; п означает, что первый успех на-
наступает при п-м испытании или раньше. Но Р (X = 1) =0,4, Р(Х = 2) =
= 0,6-0,4=0,24, Р(Х = 3) = 0,36.0,4-0,144, Р (X = 4) =0,216 X
ХО,4 = 0,0864 и Р (X = 5) = 0,1296-0,4 = 0,05184. Складывая
б
эти значения, получаем Р (X < 5) = У, Р (X = &) = 0,92..., что боль-
ше 90%, и, значит, хищник должен подстеречь по крайней мере пять
жертв, чтобы вероятность поимки хотя бы одной cocfавила не менее90%.
Гораздо более простое решение можно получить, заметив, что хищ-
хищник должен подстеречь п жертв, где п выбирается таким образом, чтобы
0,6п<0,1. Так как 0,65 « 0,078<0,1, то хищник должен подстеречь
пять жертв, чтобы быть обеспеченным пищей по крайней мере 90%
времени. ^
В заключение данного параграфа подчеркнем различие между би-
биномиальным и геометрическим распределениями. Оба распределения
имеют отношение к повторным испытаниям для эксперимента с двумя
исходами — успехом с вероятностью р и неудачей с вероятностью
q = 1 — р. Если эксперимент выполняется фиксированное число раз
п и нас интересует вероятность k успехов при п испытаниях, то мы при-
приходим к биномиальному распределению. Для геометрического распре-
распределения заранее не фиксируется, сколько раз мы выполняем экспери-
эксперимент. Он повторяется до тех пор, пока не наступит первый успех. Слу-
Случайной величиной здесь является число испытаний до первого успеха
(включительно).
Задачи к § 2.7
1. Рассмотрим эксперимент, имеющий три элементарных исхода Ef, ?2 и ^з с
вероятностью 1/3 каждый. Определим случайную величину X как X (Et) =
«= - 1, X (?2) = 0 и X (?3) = 1.
а) Каково множество значений случайной величины X?
б) Какова функция вероятности для X?
в) Какова функция распределения для X?
2. Рассмотрим эксперимент, состоящий в случайном выборе целого числа от ! до
10. Определим случайную величину X как Х = 0, если выбранное число есть
3, 5, 6 или 9; X = 1, если выбранное число есть 2, 4, 8 или 10; X == 2, если
выбранное число есть 1 или 7.
а) Каково выборочное пространство этого эксперимента? Что являетя эле-
элементарными исходами?
б) Каково пространство значений для X?
в) Найдите функцию вероятности и функцию распределения для X.
3. Правильную монету подбрасывают четыре раза. Пусть X — число выпав-
выпавших «гербов».
а) Каково пространство значений этой случайной величины?
б) Найдите функцию вероятности и функцию распределения для X.
4. Пару костей бросают пять раз подряд. Определим случайную величину X
как число выпадений суммы, равной семи.

72 Глава 2. Дискретная вероятность
а) Каково пространство значений X?
б) Каковы функции вероятности и функция распределения для X?
5. В больнице в любой момент времени находится 1000 больных. Определим
X как число больных, которые пролежат в больнице более пяти дней.
а) Каково пространство значений X?
б) Нарисуйте графики возможных функций вероятности и функций рас-
распределения X.
6. В большой популяции дрозофилы у 25% мух имеется мутация крыльев.
Пусть X — число мух с этой мутацией в случайной выборке из пяти особей,
взятых из этой популяции. Найдите пространство значений, функцию веро-
вероятности и функцию распределения для X.
7. Эксперимент завершается успехом в 80% всех попыток. Пусть X обозначает
число успешных экспериментов в серии из восьми повторений. Найдите про-
пространство значений, функцию вероятности и функцию распределения для X.
8. Вероятность того, что студент-первокурсник, изучающий английский, будет
знать значение слова «adumbrate» (предвещать), оценивается в 10%. Опреде-
Определим X как число студентов, которые в состоянии правильно определить это
слово, из группы в 20 первокурсников, изучающих английский.
а) Каковы пространство значений, функция вероятности и функция распре-
распределения для X?
б) Какова вероятность того, что X «< 4?
в) Какова вероятность того, что X ^ 4?
9. Крыса обучается проходить через лабиринт. Имеется пять различных путей,
среди которых лишь один выводит из лабиринта. Допустим, что крыса выби-
выбирает пути случайным образом до тех.пор, пока не найдет-правильный путь;
допустим также, что неверные пути не выбираются дважды. Определим слу-
случайную величину X как число неверно выбранных путей.
а) Каковы пространство значений, функция вероятности и функция распре-
распределения для X?
б) Какова вероятность того, что X ^ 3? что X > 0?
10. В одной азартной игре сначала делает ход игрок Л, затем В. Правила игры
таковы, что любой из соперников может выиграть при каждом ходе с веро-
вероятностью р. Игра продолжается до тех пор, пока не выигрывает один из них.
Определим X как число ходов, сделанных А до окончания игры, и У —как
число ходов, сделанных В в этой игре.
а) Каковы пространства значений X и К?
б) Найдите Р (X = 2), Р (Y = 1) и Р (Y > 2).
в) Докажите, что вероятности выигрыша игроков А и В равны соответствен-
соответственно 1/B — р) и A — р)/B — р). [Ук а з а н и е: воспользуйтесь геометричес-
геометрическим рядом (пример 1.6.8).]
г) Является ли эта игра «безобидной» при любом значении р?
11. Две трети учеников большой школы отсутствуют по причине эпидемии грип-
гриппа. В одном классе, где учится 25 детей, учитель проводит перекличку. Опре-
Определим X как число учеников, названных до того момента, когда кто-нибудь
откликнулся. Каково пространство значений X? Какова вероятность того,
что X = 10, т. е. что десятый вызванный ученик является первым среди при-
присутствующих? Найдите Р (X < 2) и Р (X > 2).
12. Рацион с пониженным содержанием йода вызывает увеличение щитовидных
желез у 60% животных большой популяции. Для эксперимента нужны четы-
четыре увеличенные железы.
а) Какова вероятность того, что четыре случайно выбранных животных будут
иметь увеличенную щитовидную железу?
б) Определим X как число животных, выбираемых до тех пор, пока среди них
не окажется четырех животных с увеличенными железами. Каковы прост-
пространство значений, функция вероятности и функция распределения для X?
Найдите Р (X - 7) и Р (X > 5).
13. По оценке лавочника, вероятность продать п буханок хлебав любой данный

§ 2.8. Математическое ожидание и дисперсия 73
день составляет Р (п) = kn для п =* % I, 2, ..., 25 и Я (л) == k (SO — я) для
п = 26, 27, ..., 50.
а) При каком значении постоянной k функция Р (п) является функцией ве-
вероятности случайной величины? Определите эту случайную величину.
б) Какова вероятность того, что в некоторый данный день лавочник продаст
менее 26 буханок? более 22 и менее 28 буханок? более 45 буханок?
в) Если лавочник желает удовлетворять спрос на хлеб по крайней мере в
95% всех дней, то сколько ему следует запасать буханок?
№. Предположим, что в некотором регионе имеется 1000 животных и что для их
поимки установлено 10 ловушек. Пусть р обозначает вероятность того, что
данное животное будет поймано в данный день (ловушки проверяют ежед-
ежедневно). Допустим, что р одинаково для всех животных и не зависит от коли-
количества животных, уже попавших в ловушки. Какова вероятность того, что
конкретное животное будет поймано на третий день? на седьмой день?
2.8. Математическое ожидание и дисперсия
Рассмотрим случайную величину X, принимающую значения хг,
..., xN. Вероятности того, что X примет эти значения, равны (^
f (#2)» •••» / (xn)> гДе f (x) = Р (X = х) является функцией вероят-
вероятностей рассматриваемой случайной величины. Если эксперимент, по-
порождающий величину X, повторяется много раз, то мы ожидаем, что
различные значения случайной величины появляются с частотами, при-
примерно равными их вероятностям. Например, если правильную моне-
монету подбрасывают 1000 раз, то мы рассчитываем получить примерно
500 выпадений «герба». (Разумеется, вероятность того, что выпадет
точно 500 «гербов», крайне мала.) Если правильную кость бросают
600 рзз подряд, то мы ожидаем получить примерно 100 единиц, 100
двоек и т. д. Эти интуитивные представления приводят к определению
математического ожидания случайной величины.
Определение 2.8.1. Математическое ожидание слу-
случайной величины. Математическое ожидание Е (X) случай-
ной величины X определяется как
Е (X) = хг f {хг) + х2 f (x2\ + ...+ xNf (xN) =%*if (*j),
где хг, х2>...»xN являются значениями, которые принимает X с вероят-
вероятностями /(%), f(x%), ..., / (xN).
Математическое ожидание показывает «средний» исход эксперимен-
эксперимента. Ойо называется также ожидаемым значением (или средним X) и
часто обозначается символом \л.
Пример 2.8.1. Рассмотрим эксперимент, состоящий в бросании одной
шестигранной кости. Исходы эксперимента представим случайной
величиной X, определенной как число точек на верхней грани кооти.
Тогда X принимает значения 1, 2, 3, 4, 5 и 6 с вероятностью 1/6 каждое.
Математическое ожидание составляет
Заметим, что 3,5 является средним чисел от 1 до 6.

74 Глава 2. Дискретная вероятность
Пример 2.8.2. Рассмотрим эксперимент, состоящий в подбрасывании
правильной монеты два раза подряд. Определим X как случайную ве-
величину, равную числу выпавших «гербов». Тогда X принимает значе-
значения 0,1 и 2 соответственно с вероятностями 1/4, 1/2 и 1/4. Математичес-
Математическое ожидание есть Е (X) = 0- т +* • у + 2 • -^ ^ *• Это означает,
что в среднем мы ожидаем выпадение одного «герба» при двух броса-
бросаниях правильной монеты.
Пример 2.8.3. Вычислить математическое ожидание случайной вели-
величины, рассмотренной в примере 2.7.2.
А Случайная величина принимает значения — 3, —1 и 4. Поэтому
|х = Я(Х)=—3/( —3) + ( —1)/(—1) + 4/D) =
= _3.—+ (—1)-—+ 4- — = — .
6 3 2 6
Заметим, что в этом примере случайная величина не может прини-
принимать значения, совпадающего с его математическим ожиданием, по*
скольку / G/6) = Р (X = 7/6) = 0. Это не должно смущать, посколь-
поскольку математическое ожидание рассматривается как среднее значение. ^
Аналогичным способом можно определить математическое ожида-
ожидание, когда случайная величина принимает и бесконечное количество
значений. Это иллюстрирует следующий пример.
Пример 2.8.4. Геометрическое распределение. В пре-
предыдущем параграфе мы определили геометрическое распределение как
распределение вероятностей случайной величины X, пространством
значений которой служит множество положительных целых чисел.
Вероятность того, что X принимает значение х, есть Р (X = х) =
= qx~x р для х = 1, 2, 3, ... . Математическое ожидание X есть
,i = ?(X)~ ±kP{X^k)^ v kq*-*p.
Чтобы упростить это выражение, сравним Е (X) и qE (X):
Е (X) = р + 2qp + 3q*p + ... + kq^1 p + ...;
qE (X) = qp + 2q*p + 3q*p + ...+ (k - l)q*-lp + kqkp + ... .
Вычитая из первого равенства второе, получим
I— q
Мы воспользовались тем обстоятельством, что сумма геометрического
ряда 1 + q + q% + ••• + qk + ... равна 1/A — q), если 0 < q < 1 (см.
пример 1.6.8). Но 1 — q = р, и мы получаем, что рЕ (X) = pip = 1,
или Е (X) =5 Пр. Когда вероятность успеха при одном испытании есть

§ 2.8« Математическое ожидание и дисперсия 7§
.р., ожидаемое число испытаний до первого уопеха равно \х = Е (Х)=
= 1/р. А
Пример 2.8.5. В большой популяции у 25% людей глаза голубые. Из
этой популяции случайным образом выбирают по одному человеку до
тех пор, пока не будет выбран человек с голубыми глазами. Каково
ожидаемое количество выбранных людей?
А Число людей, которые окажутся выбранными, является случай-
случайной величиной с геометрическим распределением. Вероятность успеха
при одном испытании есть р = 0,25. Поэтому бжидаемое число испыта-
испытаний равно \i = Мр = 1/0,25 = 4. А
Пример 2.8.6. Правильную кость бросают до тех пор, пока не выпадет
«шестерка». Каково ожидаемое число бросаний кости?
л Вероятность успеха при одном испытании есть р = 1/6." Ожидае-
Ожидаемое число испытаний равно \х = 1/р — 6. А
Пример 2.8.7. Биномиальное распределение. Слу-
Случайная величина X, равная числу успехов при п повторных испытаниях
для биномиального эксперимента, имеет функцию вероятностей / (я,
дс, р) при х = 1, 2,..., п. Поэтому
е (X) = 2 »(«.*. р) = S k
р) = S
Pk~l Qn-k-
р t
t_, (*-»)• (я-А)!
Заменим теперь индекс суммирования, полагая / = k — 1. Тогда
E(X)=nP л („Zl-oi pl чп-1-'=пр{п+я)п~1
(согласно биномиальной теореме). Так как р + q = 1, то Е (X) =
= пр. Этот вполне понятный результат означает, что число успехов в
п испытаниях равно числу испытаний, помноженному на вероятность
успеха при одном испытании.
Пример 2.8.8. Допустим, что для хищника вероятность поимки отдель-
отдельной жертвы составляет 0,4 при каждом столкновении с жертвой. Ка-
Каково ожидаемое число пойманных жертв в 20 столкновениях?
л Это пример биномиального распределения при п = 20 и р = 0,4.
Ожидаемое число есть Е (X) = пр = 20-0,4 = 8. А
Пример 2.8.9. По оценкам, 20% взрослого населения одной большой
популяции имеет значительную избыточную массу. Из этой популяции
случайно выбирают 50 взрослых человек. Каково ожидаемое число лю-
людей, у которых обнаружится избыточная масса?
л Число людей с избыточной массой в выборке из 50 человек явля-
является случайной величиной с биномиальным распределением при р =
= 0,2 и п = 50. Ожидаемое число людей с избыточной массой есть у ==
= пр = 50-0,2 = 10. А

76 Глава 2. Дискретная вероятность
Математическое ожидание, или ожидаемое значение, дает сред-
нее тех значений, которые принимаются случайной величиной, еоли
эксперимент выполняется много раз. Это дает нам важную, но не до-
достаточную информацию. Чтобы показать, какая информация упубкает-
ся, когда известно только среднее, рассмотрим две весьма разные влу-
чайные величины, принимающие одни и те же значения и имеющие
одинаковые средние. В первом эксперименте монету подбрасывают 100
раз подряд. Определим случайную величину Хг как число выпавших
«гербов». Тогда Хх принимает значения 0, 1,2, ..., 1000 с вероятностя-
вероятностями, заданными биномиальным распределением. Математическое ожида-
ожидание есть Е (X) = пр = 50.
Во втором эксперименте наудачу выбирают полоску бумаги из чаши.,
содержащей 101 полоску, пронумерованную числами от 0 до 100. Оп-
Определим случайную величину Х2 как число, появляющееся на извлечен-
извлеченной полоске бумаги. Тогда Х2 принимает значение 0, 1, 2, ..., 100 с ве-
вероятностью 1/101 каждое. Математическое ожидание есть Б (X) =* 50
и рабно среднему чисел от 0 до 100.
Между этими двумя случайными величинами есть глубокое разли-
различие. Если мы 100 раз подбрасываем мойету, то весьма вероятно, что
выпадет примерно 50 «гербов». Может выпасть, скажем, 42, или 53, или
57 «гербов», но крайне маловероятно, что «герб» выпадет 5 раз или 92 ра-
раза. Во втором эксперименте одинаково вероятно наступление любого ис-
исхода. Извлечь числа 5 или 92 столь же вероятно, как и числа 42 или
53, Во втором эксперименте разница между ожидаемым значением и
наблюдаемым исходом может быть очень велика. В первом экспери-
эксперименте маловероятно, чтобы эта разница была слишком большой. Это
приводит к вопросу о том, какого можно ожидать отклонения случай-
случайной величины от ее среднего значения. Так как отклонения могут быть
либо положительными, либо отрицательными, то будем рассматривать
квадрат отклонения.
Определение 2.8.2. Дисперсия. Дисперсия var (X) случайной ве-
величины X есть математическое ожидание квадрата разности между
X и (л == Е (X). Это значит, что
Определение 2.8.3. Стандартное отклонение. Стан-
Стандартное отклонение о случайной величины X есть квадратный корень
из дисперсии X, га. е. а = У var (X). В качестве удобного обозначения
для var (X) используется а2.
Дисперсия и стандартное отклонение служат показателями того,
на сколько в среднем случайная величина может отличаться от евоего
математического ожидания. В данном параграфе мы вычислим дис-
дисперсии и стандартные отклонения для некоторых случайных величин,
а вернемся к этим понятиям позже, в гл. 8. Следующая теорема зна-
значительно упрощает вычисление дисперсий.

§ 2.8. Математическое ожидание и дисперсия 77
Теорема 2.8.1. Дисперсия a2 ss E (X — р,J задается формулой
а2 - Е (X2) — (Е (Х))\
О Обозначим для краткости ph =* f (xk). Тогда
?1 fel fc l
*=? (X2)—2|x2 + jji2 = ? (X2)—^2 = ?(X2) —
Мы воспользовались тем, что 2 xhPks=z У 1по определению, jx==
Пример 2.8.10. Рассмотрим эксперимент, состоящий в подбрасывании
правильной монеты два раза подряд. Определим случайную величину
X как количество выпавших «гербов». Тогда X принимает значения
0,1 и 2 и вероятностями 1/4, 1/2 и 1/4, Среднее есть \\, = пр = 2«A/2) = 1.
Поэтому дисперсия составляет
^0 +1 + 2 \ + \ i#
Таким образом, а2 = var (X) =1/2 и а = 1/1/27
В этом примере мы вычислили дисперсию и стандартное отклоне-
отклонение для одного биномиального распределения. Эти вычисления обоб-
обобщаются в следующем примере.
Пример 2.8.11. Биномиальное распределение. Рас-
Рассмотрим п повторных испытаний для биномиального 9KcnepHM6Hfa.
Случайной величиной X является число успехов в п испытаниях. Ра-
Ранее мы вычислили Е (X) = пр. Чтобы определить о2, нужно вычислить
Е (X2). Поскольку k2 = k (k — 1) + А, имеем
+ S *
Вторая сумма представляет собой выражение для Е (X) = пр, Далее
легко убедиться в том, что
Поэтому первая сумма равна
— 1)р2 2
?2

78 Глава 2. Дискретная вероятность
Значит,
Е (X2) = п (п - 1) р2 + пр,
а2 = Е (X2) - (Е (X)J = п (п — 1) /?2 + пр — п2р* = яр?
и а = Vnpq. Мы доказали, что дисперсия и стандартное отклонение
биномиального распределения равны я/я/ и Vnpq.
Пример 2.8.12. Случайная величина Х± определена как число выпав-
выпавших «гербов» в результате 100 бросаний правильной монеты. Вычис-
Вычислить дисперсию и стандартное отклонение Хх.
л, Случайная величина Хг имеет биномиальное распределение при
п = 100 и р = 1/2. Математическое ожидание есть [i = Е (Хх) = прг=
= 50. Дисперсия cr2 = var (Л\) - п^ - 100 • A/2) . A/2) = 25;
стандартное отклонение а = Vnpq = 5. ^
Пример 2.8.13. Эксперимент состоит в случайном выборе полоски бу-
бумаги из чаши, содержащей 101 полоску, пронумерованную числами
0, 1,2, ..., 100. Пусть Х2—случайная величина, равная числу на вы-
выбранной полоске бумаги. Вычислить дисперсию и стандартное откло-
отклонение Х2.
Л Здесь Е (Х2) — 50. Чтобы вычислить дисперсию, найдем снача-
сначала
100 i
Е (Х5)=2 «'•/@ = -|?Г @*+1« + 2»+... + 100«),
1 = 0
так как f(i) — 1/101 для / = 0, 1, 2,..., 100. В Приложении Е доказы-
доказывается, что сумма квадратов первых п целых чисел равна п (п + 1)Х
ХB/г + 1)/б. Отсюда следует, что
р/уп * loo-юь 201 ад-п
Е (Х2) - -^р g = 3350.
Значит, дисперсия Х2 есть q2 == var (Х2) = Е (XI) — (Е (Х2)J =»
= 3350 — 2500 = 850, а стандартное отклонение а = V850 ^ 29,15.
Заметим, что дисперсия величины Х2 много больше, чем дисперсия Х^
из предыдущего примера. А
Пример 2.8.14. Геометрическое распределение.
Для геометрического распределения ранее было вычислено Е (X) =*
оо
= S kqk~lP — !//?• Чтобы вычислить Е (X2), нужно просуммировать
оо -
бесконечный ряд Е (X2) = % k2 q*-1 p. Записав подробно выраже*
нне под знаком суммы, находим
Е (X2) - 12/7 + 22до+ЗУ/> + ...+ k%q*-x р + (k
qE (X2) == IV + 2V/7 + ... + (к -

§ 2Л Математические ожидание и дисперсия 79
Поэтому
A-9) Е (Х*) = i
Отсюда следует, что р? (Х2) = р + 2# 2 Ag*" P + Q 2 0*"
ы ы
Но 2 kqk-*p=:E(X)=\/p, а 2 9* Р = 2 ' (*) = lj так чт0
+q
P P
Поэтому
2~'p
(X2) =
Стандартное отклонение геометрического распределения есть ~Vqlp.
Пример 2.8.15. Эксперимент по обучению. Ребенку дают
шесть предметов, лишь один из которых проходит через отверстие рам-
рамки. Ребенок пытается просунуть предметы через отверстие.
1) Допустим, что один и тот же предмет не берется дважды. Каково
ожидаемое число испробованных предметов?
2) Допустим, что в каждой попытке с одинаковой вероятностью мо-
может быть выбран любой из шести предметов. Каково ожидаемое число
испробованных предметов?
Л 1) В этом случае число испробованных предметов является слу-
случайной величиной, принимающей значения 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Ясно, что
Р (X = 1) = 1/6. Далее, Р (X = 2) = E/6) • A/5) = 1/6 и, анало-
аналогично, Р (X = 3) = Р (X = 4) - Р (X = 5) = Р (X = 6) - 1/6.
Поэтоцу Е (X) = A/6). A +2+3 + 4 + 5 + 6)-= 3,5.
2) Число испробованных предметов является случайной величиной,
принимающей значения 1, 2, 3, 4, ... (любое целое положительное).
Снова имеем Р (X = 1) = 1/6, однако Р (X = 2) = E/6). A/6), Р (X -
= 3) = E/6J-A/6), ..., Р (X = п) = E/6)"-1. A/6), ... . Это геометри-
геометрическое распределение при р = 1/6. Значит, Е (X) = Мр = 6. А
Этот пример можно рассматривать как простой эксперимент на обу-
обучаемость. Если ребенок регулярно учится играть в эту игру, то число
предметов, испробованных до того, как один из них пройдет через от-
отверстие, должно убывать от 6 или более до 3,5 или менее. В том случае,
когда наблюдаемое число попыток неуклонно убывает по мере повторе-
повторения игры, это может служить указанием на то, что происходит обуче-
обучение.

80 Глава 2. Дискретная вероятность
Задачи к § 2.8
1. Рассмотрим эксперимент, состоящий в случайном выборе целого числа от
1 до 20. Определим случайную величину X следующим образом: X = 0,
если выбранное целое делится на 2; X = 1, если оно делится на 3, но не
делится на 2; X = 5 во всех остальных случаях.
а) Найдите пространство значений, функцию вероятности и функцию рас*
пределения для случайной величины X.
б) Вычислите математическое ожидание, дисперсию и стандартное откло-
отклонение X.
2. а) Правильную монету подбрасывают пять раз. Определим X как количество
выпавших «гербов». Вычислите математическое ожидание, дисперсию и стан-
стандартное отклонение случайной величины X.
б) Определим Y как число выпавших «гербов» минус.число «решеток»*
Вычислите математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение.
3. Пару костей бросают четыре раза подряд. Определим случайную величину X
как число выпадения суммы, равной семи. Вычислите математическое
ожидание, дисперсию и стандартное отклонение X.
4. Некоторый тест состоит из пяти многовариантных вопросов. На каждый во-
вопрос предлагается три возможных ответа. На все вопросы студент отвечает
наугад.
а) Каковы вероятности его возможных оценок в 0, 20, 40, 60, 80 и 100%?
б) Если тест проводится на большом количестве студентов, отвечающих на-
наугад, то каково математическое ожидание их средней оценки? Каково стан-
стандартное отклонение?
5. У 25% большой популяции дрозофилы имеется мутация крыльев. Из попу-
популяции случайным образом выбирают 300 мух и проверяют на мутацию крыль-
крыльев. Определим X как число мух в выборке, у которых оказалась мутаций.
Найдите математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение Х.>
6. Рассмотрим крысу и лабиринт из задачи 9 к § 2.7. Вычислите математическое
ожидание, дисперсию и стандартное отклонение X — числа неверно выбран-
выбранных путей.
7. В задаче 11 к §2.7 вычислите математическое ожидание и стандартное откло* '
нение X. , ъ
8. В задаче 12 к § 2.7 найдите ожидаемое число животных, которые будут вы-
выбраны для получения четырех животных с увеличенной щитовидной
железой.
9. В задаче 13 к § 2.7 найдите ожидаемое число буханок хлеба, которые лавоч-
лавочник продаст в данный день (если он запасает не менее 50 буханок).
10. Вычислите дисперсию случайной величины, рассмотренной в примере 2.8.3.
11. Из кладовой биологического факультета доставляют пробирки в пачках по
50 шт. Потребность в пробирках в любой данный день может ? одинаковой
вероятностью бытьО, 1,2, .... 10 пачек. Каково ожидаемое число пробирок,
которые будут доставлены в данный день? Каково стандартное отклонение?
12. В одном эксперименте Drosophila pseudoobscura отбиралась по положительной
и отрицательной реакции на свет. Мух заставляли проходить через'лаби-
через'лабиринт, где 15 раз им нужно было сделать выбор между светлым и темным про-
проходами. За каждый выбор светлого прохода мухе начисляли 1 балл и запи-4
сывали общее количество баллов для каждой мухи. Муха, выбравшая всё
темные проходы, получала оценку в 0 баллов, а муха, выбравшая все свет-
светлые проходы, — оценку в 15 баллов. Допустим, что в исходной популяции
не было предпочтений светлым или темным проходам. Каково распределение
вероятностей для оценки? Какова средняя оценка?
13. При построении математической модели населения предполагалось, что ве-
вероятность рп иметь в семье п детей задается формулой рп = 0,3* 0,7".
а) Какова вероятность того, что в семье нет детей?
б) Какова вероятность того, что семья имеет меньше четырех детей?
в) Каково ожидаемое количество детей в семье?

§ 2.9. Распределение Пуассона 81
14. В модели населения из задали 13 предполагалось, что вероятность получе-
получения благотворительного пособия семьей, имеющей п детей, задается форму*
лой qn=: I -0,9*'+l)/2.
?) Какова вероятность того, что благотворительное пособие получает семья
с одним ребенком?
б) Какова вероятность того, что наугад выбранная семья имеет пятерых де-
детей и получает благотворительное пособие?
15. Для медицинских исследований требуется доброволец с определенной бо-
болезнью сердца. Из 10 добровольцев только у одного имеется эта болезнь.
Добровольцев обследуют по очереди до тех пор, пока не обнаружится доб-
доброволец с нужной болезнью. Найдите функцию распределения Х.п Е (Х)^-
ожидаемое число обследованных добровольцев,
2.9. Распределение Пуассона
За исключением геометрического распределения, мы рассматривали
эксперименты лишь с конечным числом исходов. Основным примером
служил биномиальный эксперимент о вероятностями р и q ~ 1 — р
успеха и неудачи. В данном параграфе мы займемся анализом ред-
редких событий. Для редких событий вероятность р наступления со-
события ври одном испытании эксперимента очень мала. Рассмотрим п
повторных испытаний в таком эксперименте, где п достаточно велико.
Чтобы определить и исследовать распределение Пуассона, потребуют-
потребуются многие свойства экспоненциальной функции. Они приведены в При-
Приложении Г.
Пример 2.9.1. Представим, что некоторое редкое заболевание встреча-
встречается у 0,1% данной большой популяции. Если из этой популяции слу-
случайно выбирают 5000 человек и проверяют на это заболевание, то ожи-
ожидаемое число людей с заболеванием есть ^ = пр » 5000-0,001 = 5 чело-
человек. Вероятность того, что заболевание окажется ровно у к человек,
составляет
Р (А) = / E000, kt 0,001) = EШ\ 0,001* .0,9995000-*
для к ='0, 1, ..., 5000. Вычисление, скажем, Р A0) по этой формуле
крайне громоздко. Для значений k, больших 5, Р (к) очень мало. На-
Например, Р E000) = 0,0015000. Это число после десятичной запятой име-
имеет 14 999 нулей. Чтобы избежать подобных вычислений, познакомимся
с .новым распределением, весьма полезным как приближение биноми-
биномиального распределения, которое можно использовать всегда, как толь-
только п велико, а р мало.
Вероятность к успехов при п испытаниях есть Р (к), где Р (к) =
5=2 / (ftf *, р) = \h)pkqn~k- Полагая \к = пр и q =* 1 — р, получим
р (k) =
/±_у fi _ JL)n~k =
n n-\ я-2 n-k + l ц* /j*V»/| E)~*'
я n
k + l ц* / j*_V»/| E_)

82 Глава 2. Дискретная вероятность
Если теперь п много больше А, то (п — k)ln очень близко к 1. Посколь-
Поскольку \\,1п == р мало, A — \i/n)~k также очень близко к 1. Как показано в
Приложении Г, A — \i/n)n ->е-^, когда п-^ оо. Таким образом, для
больших значений п величина A — \х/п)п близка к е~*\ Это дает прибли-
приближенную формулу P(k) « (jife/?!)e~-*S где k — любое целое неотрицатель-
неотрицательное число. Эта формула представляет собой приближение к биномиаль-
биномиальному распределению при \х = пр, когда п велико, а р мало.
Определение 2.9.1. Распределение Пуассона с па-
параметром [х. Распределение Пуассона с параметром |л задается
функцией вероятности
P(k)=-*?3e-»9
w k\
где k — любое целое неотрицательное.
В примере 2.9.1 мы можем аппроксимировать биномиальное распре-
распределение следующим образом: / E000, k, 0,001) ^ EV&!)e~5. Это гораздо
более простая формула для вычисления вероятностей.
В определении 2.9.1 для пуассоновской аппроксимации мы исполь-
использовали слово «распределение». Это будет оправдано лишь после того,
как мы установим, что Р (k) = (\ik/kl) e~^ действительно является
функцией вероятности. Ясно, что Р (&)>0 для k=0, 1, 2,... . Мы дол-
должны показать, что сумма всех этих вероятностей равна 1. В самом деле,
k=.o k=o kl л=о kl
|так как 2 \^klk\ = eu no определению экспоненциальной функции,
приведенному в Приложении Г). Математическое ожидание (или сред-
среднее) распределения Пуассона есть
Полагая I = k — 1, получим
/=o
Таким образом, параметр распределения Пуассона является одновре-
одновременно и его средним.
Распределение Пуассона крайне важно во многих биологических
и физических задачах. Возможности его приложений иллюстрируются
в двух последующих примерах и в задачах, приведенных в конце па-
параграфа.
Пример 2.9.2. Радиоактивный расп ад. Рассмотрим пробу
радиоактивного вещества, которое в среднем дает г импульсов радиоак-

§ 2.9. Распределение Пуассона 83
тивности в секунду. Ожидаемое число импульсов за t секунд есть rt.
w^tot процесс можно описать распределением Пуассона* Проба состоит
из очень большого числа п радиоактивных атомов, причем каждый атом
и^еет крайне малую вероятность р распада в течение одной секунды.
Ожидаемое число распадов за 1 с есть г =» пр. Ожидаемое числр рас-
распадов за t секунд есть rt = npt. Это является средним распределением
Пуассона Р (k), которое дает вероятность k распадов за / секунд:
Если, например, имеется три импульса радиоактивности в секунду, то
вероятность возникновения 10 импульсов за 5-секундный интервал
составляет
10! 10!
Пример 2.9.3. Подсчет клеток под микроскопом.
Биологам знакома задача подсчета клеток под микроскопом. При ра-
разумных допущениях возможна интересная интерпретация этой задали
как задачи, включающей распределение Пуассона. Предположим, что
п клеток определенного типа распределены случайным образом по
площади предметного стекла, которое разбито квадратной решеткой
на 900 C0x30) равных участков. Вероятность того, что конкретная
клетка лежит в данном участке решетки, есть р = 1/900. Процесс разме-
размещения п клеток на предметном стекле можно рассматривать как а по-
повторных испытаний для биномиального эксперимента, где «успех»
определяется как попадание клетки в конкретный участок решетки.
Если п велико, то для вычисления вероятности того, что конкретный
участок решетки содержит k клеток, можно воспользоваться пуассонов-
ским приближением биномиального распределения. Параметр \i =
= пр = /г/900 и, значит,
V k\ \ 900 ) к\
Величина Р (k) дает долю тех из 900 участков, в которых содержится
по k клеток. Общее количество участков, содержащих по k клеток, рав-
равно 900 P(k). Например, ожидается, что в среднем 900 e-fl/900 участков
не содержат ни одной клетки.
Это дает нам метод оценки общего числа имеющихся клеток путем
определения числа тех участков квадратной решетки, которые не со-
содержат этих клеток. Если, например, мы видим, что клеток нет в 75
участках квадратной решетки^, то 75 « 900 е"""^900. Отсюда п =
= 900 loge (900/75) « 2240. (Значения функции у = loge x приведены
в табл. II.)
Основное допущение, сделанное нами, состоит в том, что п клеток
распределены по площади стекла случайно. Если это допущение спра-

84 Глава 2. Дискретная верой г несть
ведливо, то распределение Пуассона дает весьма эффективное аредотво
оценки числа клеток на стекле.
В заключение данного параграфа вычислим дисперсию распределе-
распределения Пуассона. Мы уже установили, что Е (X) = (л, когда X — такая
случайная величина, что Р (X = k) = {\кк1кХ)ег*ь Чтобы вычислить
Е (X2), воспользуемся вновь тождеством А2 = k (k — 1) + k. Имеем
,.* —2
Полагая / = k — 2, находим, что это выражение равно
(X
+ E(
2)_
X)
_ „2е-ц
(X)y -
и2-
f ц —
11* =
/«о
Таким образом, а2 - Е (X2) -±- (Е (X)f ^ \i2 + \x — \i2 = |i. Мы при-
ходим к выводу, что как среднее, так и дисперсия распределения Пу*
ассона равны \х.
Дисперсию пуассоновского распределения можно было бы вычис-
вычислить гораздо более простым способом. Распределение Пуассона с пара-
параметром |w является приближением биномиального распределения со
средним ц, = /г/7, где п велико, а р мало. Дисперсия биномиального
распределения есть npq. Если р мало, то 1 — р = q близко к 1, a npq
приближенно равно пр. Но пр = \х и мы заключаем, что дисперсия
распределения Пуассона со средним jx также равна [г.
Задачи к § 2.9
!. Предположим, что редкое заболевание встречается у 0,02% большой попу-
популяции. Из популяции производят случайную выборку в 20 000 человек, ко-
которых проверяют на это заболевание. Каково ожидаемое число людей с за-
заболеванием в этой выборке? Какова формула для вероятности того, что за-
заболевание окажется ровно у k человек? (Используйте биномиальную вероят-
вероятность и пуассоновское приближение.) Какова вероятность того, что в этой
выборке заболевание не обнаружится?
2. Докажите, что для распределения Пуассона с параметром \х:
в) если \х — целое положительное, то Р (k) максимально, когда k =f \x*
3. Примерно один ребенок из 700 рождается с синдромом Дауна (монголизм).
В одной большой больнице в год рождается 3500 детей. Каково ожидаемое
число новорожденных с синдромом Дауна? Какова вероятность того, что о
синдромом Дауна родится более двух детей?
4. Среди 10 000 сеянцев ячменя в среднем два не имеют обычной зеленой окрас-
окраски в результате спонтанных мутаций, влияющих на хлорофилл. Какова ве*

§ 2.9. Распределение Пуассона 85
роятность того, что из 10 000 случайно выбранных сеянцев ячменя ровно у
двух не Otfaльется обычной зеленой окраски?
5. вчитается, что вакцина формирует иммунитет против полиомиелита в 99,99%
случаев. Предположим, что вакцинировалось 10 000 человек. Каково ожида-
ожидаемое число людей, не приобретших иммунитета? Какова вероятность того,
что иммунитет не приобрели ровно k человек? Какова вероятность того, что
иммунитет не приобрели менее двух человек?
6* Поле разбито на 2500 квадратов равной площади. По полю случайно распре-
распределены одуванчики, и установлено, что ровно 275 квадратов их не содержат.
Используя распределение Пуассона, получите формулу для числа квадратов,
содержащих ровно по три одуванчика. Какова формула для числа квадра-
квадратов, содержащих по три одуванчика или более?
7. Улов из 1000 ловушек для омаров, составил 1200 шт. Допустим, что имеет
место распределение Пуассона. Каково число ловушек, в которых: а) не бы-
было ни одного омара; б) было не менее двух омаров?
8. В книге 400 страниц и, по оценке, в ней сделано 400 опечаток, которые слу-
случайно распределены по книге. Допустим, что имеет место распределение Пу-
Пуассона. Каково число страниц, которые: а) не содержат опечаток^ б) имеют
только одну опечатку; в) имеют более двух опечаток?
9. При изучении пищевых ниш простейших предполагалось, что количество
единиц пищи, съеденной, в течение 2 ч, является случайной величиной, име-
имеющей распределение Пуассона со средним 10.
а) Какова вероятность того, что в течение данного ч«са простейшее ничего
не съест?
б) Какова вероятность того, что, в течение данного часа хотя бы одна едини-
единица пищи будет потреблена конкретным простейшим?
Ш При изучении потребителей детрита в озере его дно было разбито на 1 €00 000
квадратов равной площади. По оценкам, в одном таком квадрате имелось в
среднем 2 ед. пищи детритного происхождения; предполагается, что количе-
ствоединиц пищи в одном квадрате имеет распределение Пуассона с пара-
параметром 2. Каково число квадратов, в которых: а) нет ни одной единицы пи*
щи; б) содержится ровно 2 ед.; в) содержится не менее 4 ед. пищи?
11. Вакцина против инфекционного заболевания вызывает нежелательную реак-
реакцию в 0,1% случаев и не формирует иммунитета в 0,2% случаев. Предполо-
Предположим, что эти эффекты независимы. Вакцина назначена 10 000 человек; най-
найдите вероятности того, что: а) не возникло ни одной нежелательной реакции
и все люди приобрели иммунитет; б) произошла ровно одна нежелательная
реакция и ровло двое не приобрели иммунитета.
12. В пробе радиоактивного вещества возникаег в среднем 10 импульсов радио-
радиоактивности в секунду. Каково распределение вероятностей для числа импуль-
импульсов, испускаемых за 0,1 с; Юс?
13.» "Количество жертв несчастных случаев, принимаемых больницей в течение
1 ч яя^яется случайной величиной с распределением Пуассона с парамет-
параметром 3. Найдите вероятности того», чго в течение данного часа в результате
несчастного случая: а) не поступит ни одного пациента; 6) поступит более
трех пациентов.
14. Некоторый вид пищи вызывает аллергическую реакцию у 0,01% индивиду-
индивидуумов большой популяции. Если эту пищу ежедневно едят 100 000 человек,
то каково ожидаемое число людей, испытывающих аллергическую реакцию?
Каково распределение вероятностей для числа людей (из данной группы в
100 000 яеловек), у которых эта пища вызывает аллергическую реакцию?
15. В некотором городе, по оценкам, происходит в среднем одно рождение в час.
Какова вероятность того, что за данный час не произойдет ни одного рожде-
рождения? произойдет более двух рождений?
16. Поставщик микроскопов в течение делового дня получает в среднем три за-
заявки на конкретный микроскоп. Предположим, что в некоторый день имеется
р наличии лишь четыре таких микроскопа. Какова вероятность того, что по*
стаэщик сможет удовлетворить все заявки того дня на этот микроскоп?

86 Глава 2; Дискретная вероятность
17. Частота туберкулеза в большой популяции оценивается как 4 случая на
10 000 человек. Предположим, что случайно выбирают 20 000 человек и про-
проверяют их на туберкулез с помощью некоторого теста, указывающего на на-
наличие заболевания в 95% случаев, когда оно есть, и в Ъ% случаев, когда его
нет.
а) Каково ожидаемое число людей в этой выборке, у которых имеется забо-
заболевание?
б) Каково ожидаемое число людей, у которых этот тест укажет наличие за*
болевания (и которым потребуются дальнейшие проверки)?
в) Каково ожидаемое количество людей с туберкулезом, который не обнару*
жите я с помощью этого теста?
г) Какова вероятность того, что в этой выборке не будет пропущен ни один
случай туберкулеза?
18. Считается, что на коэффициенты смертности от острой сердечной недостаточ-
недостаточности влияет жесткость местной питьевой воды. При анализе годичных коэф-
коэффициентов смертности от острой сердечной недостаточности на 1 000 000 чело-
человек оказалось, что в 2000 случаев вода была мягкой и в 1200 случаев — жест-
жесткой. Предположим, что два схожих поселка насчитывают по 1000 человек,
причем в поселке I вода мягкая, а в поселке II — жесткая. Какова вероят-
вероятность того, что в течение данного года в обоих поселках не будет случаев ост-
острой сердечной недостаточности (со смертельным исходом)? что произойдет
по два таких случая в каждом поселке?
19. а) По оценкам, 60% населения Соединенных Штатов ежегодно проходят рен-
рентгеновское обследование. Если предположить, что имеет место распределе-
распределение Пуассона, то какая доля населения проходит в данный год рентгенов-
рентгеновское обследование ровно два раза? более двух раз?
б) Каково ожидаемое число рентгеновских исследований на душу населе-
населения в данный год? i
в) Какие факторы могли бы поставить под сомнение справедливость допу-
допущения о распределении Пуассона?
20. Во время миграционного периода число уток, прилетающих на озеро в одном
заповеднике, оценивается в среднем как 200 особей в час. Допустим, что во
время миграции утки летят стаями по 40 птиц и что стаи прилетают на озеро
независимо. Оцените вероятность того, что в течение данного 1-часового пе-
периода на озеро не прилетит ни одной утки и что за этот период прилетит бо-
более 100 уток.
21. Для анализа распределения муравейников по большому открытому полю его
разбивали на 1600 квадратов равной площади. Оказалось, что не содержат
муравейников ровно 400 квадратов. Полагая, что муравейники распределе-
распределены по полю случайно, оцените общее число муравейников на этом поле. Кан
повлияло бы на эту оценку территориальное поведение (конкуренция
между муравейниками)?

3.1. Векторы
Описание биологических процессов часто предполагает изучение взаи-
взаимосвязей большого количества переменных величин.Например, при изу-
изучении природных экосистем может потребоваться регистрация или
моделирование роста и взаимодействия 100 (и более) видов растений и
животных. Чтобы следить за всеми необходимыми переменными и сде-
сделать возможным математическое описание столь сложных еистем, нуж-
нужно иметь достаточно простую систему математических обозначений.
Естественный путь, ведущий к этому, состоит в использовании векто-
векторов и матриц.
Определение 3.1.1. Вектор-строка и вектор-стол-
вектор-столбец. Множество из п действительных чисел, записанных в определен-
определенном порядке в строку, называют п-компонентньш * вектор-строкой и
пишут к=(х1у х2, ..., хп). Множество из п действительных чисел, запи-
записанных в определенном порядке в столбец, называют п-компонентным
/У\\
У2
вектор-столбцом и пишут у =
\
\Уп<
Числа xt и yi называются /-ми компонентами векторов х и у соот-
соответственно. Два n-мерных вектор-строки (вектор-столбца) считаются
равными, если равны их соответствующие компоненты. Нулевой век-
вектор-строка (вектор-столбец) имеет все компоненты, равные нулю:
0= @,0, ..., 0).
Пример 3.1.1. Ниже приведены примеры векторов:
/1А
1) М-'
41/4'
трехмерный вектор-столбец;
U /4/
2) C, 4,6) — трехмерный вектор-строка;
3) A, —1, 0, 2) — четырехмерный вектор-строка.
Пример 3.1.2. Геометрия векторов. Двумерные вектор-стро-
вектор-строку (а также вектор-столбцы) можно рассматривать как точки на плоо-
* В отечественной литературе используется термин п-мерный> которого мы
и будем придерживаться в дальнейшем переводе. — Прим. пер.

'88
Глава 3. Векторы и матрицы
кости, причем координата
точки по горизонтальной оси
задается первым компонентом
вектора, а по вертикальной
оси — вторым компонентом
(рис. 3.1). Вектор х = (х19 х2)
изображается также стрелкой,
проведенной в плоскости из
начала координат к точке с
координатами (х19 х2).
Рис. 3.1
Рис. 3.2
Введем теперь две векторные операции, смысл которых ясен из рие.
о. 1.
Определение 3.1.2. Сложение векторов. Пусть х = (xlf
*2»-"» хп) и у = (ylf у2>.-.у Уп) — два п-мерных вектор-строки. Тогда
их векторная сумма есть
г = х + у = (Xl + у19 х% + у2 ,..., хп + уп).
Это п-мерный вектор-строка, компоненты которого являются сумма-
суммами соответствующих компонентов векторов хиу.
То же самое определение имеет место и для сложения двух п-мер-
п-мерных вектор-столбцов. Подчеркнем, что два вектора можно складывать
тогда и только тогда, Когда оба они являются либо вектор-строками,
либо вектор-столбцами и имеют одинаковое число компонентов.
Определение 3.1.3. Умножение вектора на число.
Пусть х = (xlf х2, ..., хп) — п-мерный вектор-столбец, ас — действи-
действительное число (т. е. скаляр). Тогда сх есть вектор, полученный из
х умножением каждого его компонента на с.
Пример 3.1.3. Пусть х = A, 2, 3, 4), а у =C,6, 9, 12). Доказать* что
Зх — у = 0.
Л Мы должны убедиться в том, что векторы Зх и — у при сложении
даютО. Но Зх = C, 6, 9, 12), а — у = (—1) у = (_ 3, —6, —9, —12).
Поэтому
Зх — у = C — 3, 6—6, 9 — 9, 12—12) ^ @, 0, 0, 0) = 0. А

§3.1. Векторы 89
Сложение векторов имеет очевидный геометрический смысл* как
показано на рис. 3.2 для двумерных векторов.
Из определения суммы двух векторов можно получить определение
суммы любого количества векторов. Пусть, например, х == (хХ9 хг,.,.9
Хп), У = (yxt //а»-.., Уп) и z = (zl9 г2,..., zn)\ тогда
х + у + z = (хх + ух + zt, х2 4- у% + z2,..., хп + уп + zn).
Если xlf х2,.,., хт — я-мерные вектор-строки, a clf с2,..., ст —
скаляры, то вектор
х « сххх + с2х2 + ... + стхт
называется линейной комбинацией xt9 х2,..., xm. Мы часто будем выяс-
выяснять, можно ли данный вектор представить в виде линейной комбина-
комбинации других данных векторов.
Определение 3.1.4. Линейная завивимостьи незави-
независимость. Говорят, что п-мерные вектор-строки xlf x2 ..., хт ли-
линейно зависимы, если существуют такие числа сХ) с2,..., сш, не все
равные нулю, что с^ + с2х2 + ... + стхт =*» 0. В противном слу-
случае векторы назывйют линейно независимыми. - *
Пример 3.1.4. Векфры хх == A,0, 0,..., 0), ха = @, 1, 0, ..., 0), ..., хп =
= @,0,0,..., 1) являются линейно независимыми. Пусть е^х + с2х2-{-
+ ...+спхп = 0. Тогда (cl9 c2i ..., сп) = @, 0, ..., 0) и потому ег = с2=
= ... = сп = 0. Любой n-мерный вектор-строку можно записать
через линейную комбинацию этих векторов. Если у = (yl9 y2, .v, yn)t
то у = угхг -f У*х2 + ..'• +v Уп*п-
Пример 3.1.5. Являются ли векторы хх = A, 2, 3), х2 ^ D, —3, 7) и
щ = (_ 2, 7, — 1) линейно зависимыми или нет?
Д Чтобы доказать линейную зависимость векторов, мы должны оты-
отыскать числа с19 с2 и с3 (не все равные нулю) такие, что сххх + ?2х2 +
+ ?з*з = 0. Значит, должно выполняться равенство (ol9 2с1У Зсг) +
+ Dс2, — Зс2, 7с%) + (—2с3, 7с3, —с3) = @, 0, 0). Это приводит к трем
уравнениям:
3^i + 7с2 — св = 0.
В последующих параграфах мы будем изучать такие системы уравне-
уравнений в общем случае, а сейчас заметим лишь, что одним из решений сис-
системы является сг = 2, с2 = —1, с3 = —!• Таким образом, 2хх — х2—
— х3 = 0, т. е. три данных вектора являются линейно зависимыми. А
Оказывается, что можно определить и произведение двух л-мер-
ных вектор-строк (или вектор-столбцов). Чтобы пояснить его смысл,
рассмотрим аквариум, в котором содержится пх рыб одного вида, п2
рыб второго вида и п3 рыб третьего вида. Было бы естественно опреде-
определить популяционный вектор как n = (nv n2, п3). Для средней рыбы
первого вида в день может потребоваться цх ед. пищи. Для второго

90 Глава 3. Векторы и матрицы
и третьего вида соответствующие потребности составляют q2 и q3.
Вектор потребностей есть q = (qlt q2i q^). Тогда общая дневная потреб-
потребность в пище равна nxqx + n2q2 + п$г. Это приводит к следующему
определению.
Определение 3.1.5. Внутреннее произведение. Пусть
х= (х19 х2,..., хп) и у = (у19 уа,..., уп) — два п-мерных вектора.
Внутреннее произведение х и у, записываемое как х-у, есть
Внутреннее произведение называют также точечным (или скаляр-
скалярным) произведением (так как х-у является скаляром, или действитель-
действительным числом). Оно определено лишь тогда, когда х и у содержат одина-
одинаковое количество компонентов. Заметим, что x-y-z, вообще говоря, не
определено, поскольку х«у есть скаляр, a z — вектор.
Пример 3.1.6. Вычислить скалярное произведение х= A, 1, 2, 3) и
у- A,0,-1,2).
Л х-у = Ы + Ь0 + 2-(— 1) + 3-2= 1+0—2+6-5. А
Пример 3.1.7. Математическое ожидание как ска-
скалярное произведение. Математическое ожидание Е исхо-
исхода эксперимента есть Е = ххрх + х2р2 + ••*•+ ХпРп (см. определение
2.8.1). Его можно рассматривать как скалярное произведение «векто-
«вектора исходов» х = (х19 х2,..., хп) и «вектора вероятностей» р = (pl9 p2t
..., рп). Так, в примере 2.8.1 имеем х = A, 2, 3, 4, 5, 6), р = A/6, 1/6,
1/6, 1/6, 1/6, 1/6) и, значит, Е = х-у = 3,5. Векторы вероятностей
будут изучаться в гл. 5 в связи с цепями Маркова.
Скалярное произведение можно также использовать в определении
длины (или нормы) вектора. Если х = (х19 х2), то из рис. 3.1 мы видим,
что длина вектора с началом @, 0) и концом (xl9 x2) на основании теоре-
теоремы Пифагора равна Л/х\ + х\. Но х\ + х\ = xxxx + х2х2 = хх.
Это приводит к следующему определению.
Определение 3.1.6. Н о р м а вектора. Пусть х = (xlf x2i...9xn)
— п-мерный вектор. Тогда норма х, обозначаемая через || х ||, задается
.выражением
|| х || = ]ЛГ^Г=
Пример 3.1.8. Вычислить ||х|| и

§ 3.1. Векторы $1
Задачи к § 3.1
1. Запишите вектор A, 1, 2) как линейную комбинацию векторов (J, 1, 1), (О,
1, 1) и @, 0, 1). Являются ли эти четыре вектора линейно независимыми?
2. Найдите постоянные ct и с2 такие, что сг A, 3) 4" с2 (— 1, 2) = A, 8). На-
Нарисуйте диаграмму, геометрически иллюстрирующую это решение.
3. Убедитесь в справедливости следующих свойств скалярного произведения:
а) (х + y)-z = xz + у.2; б) х-(у + z) = ху + x«z.
4. Пусть и = B, — 3, 7) и v = C, 1, — 4). Вычислите: a) u + 2v, б) Зи —
— 2v* в) || и ||; г) || v ||; д) || и + v||; e) u-v.
5. Убедитесь в том, что следующие наборы векторов являются линеййо зави-
зависимыми: а) B, 1), C,2), A,-1); б) A, i, 1) B,-1,-1), @, -3, -3); в)
A,0, 0,1), @,1,-1,0), C,2,-2,3).
6. Пусть хь х2,..., хт— линейно зависимые я-мерные вектор-строки. Докажи-
Докажите, что хотя бы один из этих векторов можно записать как линейную комби-
комбинацию остальных.
7. Пусть dlt d2 и ds — длины трех сторон треугольника; тогда по известной
из тригонометрии теореме косинусов d\ — d\ + d\ — 2d±d2 cos 9, где Э —
угол между сторонами с длинами d1 и d2. Если х и у — любые двумерные век-
векторы, то теорему косинусов можно записать в виде ||х—уН2 = ||х||2+|| у II2—
— 21|х|| llyll cos 9. Записав ||х — у||2 == (х — у) • (х — у), получите, что
ху = ||х|| ||yj| cos 9. (Это тождество иногда используется для определения
скалярного произведения в двумерном случае.)
8. Используя результат задачи 7, определите косинус угла между следующими
парами векторов: а) A,2) и C,4); б) A, 1) и A,3); в) @, 1) и E, 12);
г) (- 1, -1) и B, 3). -
9. Используя результат задачи 7, докажите, что |х • у| ^ || х|| ||у||, где х и у —
любые двумерные векторы. (Это соотношение называется неравен-
неравенством Шварца. Оно справедливо и для любых д-мерных векторов
х и у.)
10. Используя результат задачи 9, докажите, что ||х+у|| ^ ||х(| + |[у||.
(Эго соотношение между нормами двух векторов и нормой их суммы извест-
известно под названием неравенства треугольника. В двумерном
случае смысл его состоит в том, что длина любой стороны треугольника не
превосходит суммы двух других его сторон.)
11. Проверьте неравенство Шварца и неравенство треугольника для следующих
пар векторов: а) х = @,1), У = C, 4); б) х = A, 2, 2), у *= @, 3, 4); в) х =
= A,1. 1), У - О, 0, -1); г) х = A, 3,-2, 2), у = B, 6,- 4, 4).
12. Два ^-мерных вектора х и у называют ортогональными, если их скалярное
произведение равно нулю. Докажите, что в двумерном случае векторы хил
являются ортогональными тогда и только тогда, когда они составляют друг
с другом прямой угол.
13. Какие из нижеприведенных пар векторов являются ортогональными: а)
х = A, 2), у = (- 2, 1); б) х = A,2), у = A, -2); в) х = C, —7, 2), у =
= G, 3, 0); г) х= A, 1, —1, —3), у = C, 1, 1,1)?
14. Векторы A, 0, 0), @, 1, 0) и @, 0, 1) называются базисом для R3. Убедитесь
в том, что: а) любой векгор х = (хъ х>2, х3) можно записать как линейную
комбинацию этих базисных векторов; о) этот базис ортогональный, т. е,
базисные векторы попарно ортогональны.
15. Найдите такие постоянные с, чтобы следующие пары векторов были ортого-
ортогональны: а) х = B, 1), у = A, с); б) х = A, 1, 1), у = @, с2, — с); в) х =
= (— 1, 2, 2), у = C, 4, г).
16. Популяционный вектор экосистемы, образованной т сосуществующими ви-
видами, определяется как m-мерный вектор-строка п = (пъ п.2> ...» «т)» гДе
i-й компонент t%i показывает численность /-го вида
а) Если численность каждого вида удваивается, то каким становится новый
популяционный вектор?

92 Глава 3. Векторы а матрицы
б) Если все виды, за исключением первого, вымирают, то каким становится
популяциояный вектор?
в) Если в экосистему добавляют по две особи каждого вида» то каким ста*
новится новый популяционный вектор?
р) Докажите, что ес$ли две изолированные Экосистемы о популяционнымя
векторами пС1) и пB) объединяются в одну, то популяционный вектор
новой экосистемы равен п№ + пB)-
3.2. Матрицы
Определение 3.2.1 • Матрица. Матрица размера тХп есть пря-
прямоугольная таблица из тп чисел, расположенных в определенном по*
рядке в т строках и п столбцах:
ап а12 ••• a±J
аи 0^2, ••• #2./
/
A=Z{ a ai2
ml
Число аи, стоящее на пересечении f-Й строки и /-го столбца, назы-
называется элементом матрицы А с номером //. Для удобства матрица А час-
часто обозначается как А — (atj).
Пример 3.2.1. Ниже приведены матрицы размера т X л при раз-
различных значениях т и п:
/я = 2, /г =
л = 3;
4)
Векторы можно рассматривать как частные случаи матриц. Напри-
Например, n-мерный вектор-строка является матрицей размера 1 X п, а
я-мерный вектор-столбец — матрицей размера п X 1, Матрицы, отлич-
отличные от векторов, будем обозначать заглавными буквами.

§ 3.2. Матрицы 93
Пример 3.2.2. Пять лабораторных животных кормят тремя различны-
различными видами пищи. Если определить вц как суточное потребление *-го
вида пищи у-м животным, то
является матрицей размера 3X5, отражающей общее суточное потреб-
потребление. Она дает удобный способ ведения записей.
Квадратная матрица имеет одинаковое число строк и столбцой.
Элементы а1Ъ а22,..., апп квадратной матрицы А = (а^) размера пХп
называются диагональными элементами. Если все недиагональные эле-
элементы квадратной матрицы А равны нулю, то А называют диагональ-
диагональной матрицей. Диагональная матрица / размера п X п, все диаго-
диагональные элементы которой равны 1, называется тождественной матри-
матрицей размера п X п.
Определение 3.2.2. Сложение и умножение матриц
на число. Если А = (aVi) и В = (Ь13) — две матрицы размера
тХп, то сцмма А и В есть матрица А + В = (ац + Ьц). Если с —
скаляр у то матрица^А определяется как сА = (сац). Элементы с но-
номером ij матриц А + В и сА равны соответственно ац + Ьц и cd$j.
Пример 3.2.3. Пусть
1 2 3N / 5 7
-1 О А) [—2 1
Вычислить 2А, А + В и 2А + В.
Л2Л=1 2 4
— 2 О
Определение произведения двух матриц можно ввести, опираясь
на понятие скалярного произведения двух n-мерных векторов.
Определение 3.2.3. Произведение двух матриц. Если
А = (atj) — матрица размера тХп, а В = (Ьц) — матрица размера
пХр, то произведение А и В есть матрица С = А В = (сц) размера
п
т X. р, у которой элемент с номером ij равен Сц = 2 aihbkj- Иначе
говоря, ctj является скалярным произведением i-й строки матрицы А и
f-го столбца матрицы В.
Важно отметить, что произведение А В двух матриц определено лишь
тогда, когда число строк матрицы А равно чшлу столбцов матрицы В.

94 Глава 3. Векторы и матрица
/г-мерный вектор-столбец, то
Пример 3.2.4. Пусть
«-с: :>•-(¦
Вычислить АВ, В А, АС, ВС и С2.
/1+2 + 3 1+4 + 9
1 2 3N /5
Аналогично,
~- Л Х\ /1 2 3\
\\ з/ ^ ь ьГ 9
Далее,
4 5 6) 43 17 2L
Произведение ВС не определено, так как чиело столбцов В (два)
не равно числу строк С (три). А
/ 1 2\ /2 о\
Пример 3.2.5. Вычислить АВ и ВА, если А = [{ J , В = (j
л ЛВ =
— 1 о; и з
\1 3/^ — 1 0/ \Ы+3.( —1) 1-24-3-0/ V—2 2/
Примеры 3.2.4 и 3.2.5 показывают, что даже когда определены и
АВ, и В А, то они не обязательно совпадают. Перемножение матриц
весьма отличается от обычного умножения действительных чисел.

§ 3.2. Матрицы 95
Пример 3.2.6. Если
/ап а12 аьч\
и /=И
1
0
0
0
1
0
0
0
1
то А = IA = AI. Матрица / является тождественной матрицей раз-
размера 3x3. При умножении матриц размера 3x3 она играет ту же роль,
что и 1 в обычном умножении.
Пример 3.2.7. Контакты первого и второго по-
порядков в эпидемиологии. Предположим, что три человека
заболели заразной болезнью. Вторую группу из шести человек опра-
опрашивают с целью выяснения, кто из них имел контакт с тремя больными.
Затем опрашивают третью группу из семи человек, чтобы выяснить
контакты с кем-либо из шести человек второй группы. Определим мат-
матрицу А —(аи) размера 3x6, полагая atj = 1, если /-й человек второй
группы находился в контакте с i-м больным из первой группы, и atj =
-О в противном случае. Аналогично определим матрицу В = (bij)
размера 6x7, полагая btj = 1, если /-й человек третьей группы нахо-
находился в контакте с /-м человеком из второй группы, и btj = 0 в против-
противном случае. Эти две матрицы описывают схему контактов первого по-
порядка между группами.
Могло бы, например, оказаться, что
f0 0 1 0 0 1 О
0 0 110 0 0
о о о о 1 1
¦• " •• •
0 10 10 0 0
1 0 0 0 0 1 0
В данном случае а24 = 1 означает, что 4-й человек второй группы на-
находился в контакте со 2-м больным первой группы. Аналогично, Ь33—0
означает, что 3-й человек третьей группы не соприкасался с 3-м чело-
человеком из второй группы.
Нас могут интересовать также непрямые контакты, или контакты
второго порядка, между семью людьми третьей группы и тремя боль-
больными первой. Эти контакты второго порядка описывает матричное
б
произведение С = АВ. Элементу,- = У aihbki дает число контактов
второго порядка между /-м человеком третьей группы и i-м человеком
из группы больных. Для заданных матриц А я В получаем
/1
= 0
V2
1
0
0
0
2
1
1
1
1
0
0
0
1
1
2
1
0
1

gg Глава 3. Векторы и матрицы
Элемент ?23 ~ 2 показывает, что имеется два контакта второго порядка
между 3-м человеком третьей группы и 2-м инфекционным больным.!
Заметим, что у 6-го человека из третьей группы оказалось 1 +1 + 2=4
непрямых контактов с зараженной группой. Таких контактов нет только
у 5-го человека.
Теорема 3.2.1, Закон ассоциативности для
умножения матриц. Пусть А = (а^), В = (?*/) и С =*
= (сц) — матрицы соответственно размеров, т X п> п X р и р X q.
Тогда матричное произведение А В на С равно произведению матрицы
А на ВС, т. е. (АВ)С = А{ВС).
п .
? Положим D = (dtj) = АВ. Тогда йц = ]? aihbhjt Элемент
к = I
Р П р
матрицы (АВ)С = DC с номером */ равен 2 ^нси = S 2 агФкрф
p
Положим теперь Е = (е^) = ВС. Тогда ец = 2 ^«Л/» а элемент с но-
р
2
р
мером ij матрицы А(ВС) = Л? равен .2 flifc^ — S 2 aihPkiCu- Но
л1 ' ^1 /i
это и есть в точности //-й элемент матрицы (АВ)С. Ш
Теорему 3.2.1 можно распространить на случай п более сложных
произведений матриц. Если, например, определены произведения АВ,
ВС и CD , то
A BCD = (Л В) (CD) - Л(ВС)?>.
При изучении квадратных матриц фундаментальную роль играет
следующее определение.
Определение 3.2.4. Обратная матрица. Квадритная матри-
матрица А размера п X п называется обратимой, если существует матрица
размера п X п, обозначаемая через Л", которая обладает свойством
АД5= Л-1 Л = /. Матрица А называется обратно^ для матри-
матрицы А.
Обратные матрицы для неквадратцых матриц не определены, и не
у всех квадратных матриц есть обратные. Рассмотрим, например, нуле-
нулевую матрицу Л, в которой ati == 6 для всех i и /. Ясно, что не сущест-
существует такой матрицы Л, что Л @) = /. В последующих двух пара-
параграфах будут изложены методы^ позволяющие определить, имеет ли
данная квадратная матрица обратную, и если имеет, то исчислить
ее. Завершим данный параграф доказательством двух важных резуль-
результатов относительно обратных матриц.
Теорема 3.2.2. Если матрица А размера пХп обратима, то обрат-
обратная матрица единственна.
? Если В я С — две обратные матрицы для Л, то АВ *» В А =
= АС^СА^ I. Тогда В « В/ = В (АС) = (ВА)С - 1С == С. По-
Получаем, что В = С, т. е. любая квадратная матрица имеет не более ад-
ной обратной.!!

§3.2. Матрицы
97
Теорема 3.2.3. Если А и В — две квадратные матрицы размера пХп,
имеющие обратные матрицы А и В~х, то произведение АВ обратимо
и имеет обратную матрицу (АВ)-1 = В"ХА^.
? Так как в случае существования обратной матрицы она единст-
единственна, то нужно лишь убедиться в том, что В А является обратной
для матрицы Л В. Но (В А'1) (АВ) = В (А А) В = В'ЧВ =
=Я-1д = / и (АВ) (В-Ч-1) - А (ВВ-1) А-1 = AIA-1 = АА'1 = /.
Значит, (АВ) = В-гА-1.Ш
Задачи к § 3.2
/12 3
1. Пусть Л =1 О 1 1
\О 0 —1
(Q 5 3\
2. Пусть Л=( О О 3
10 0 0)
f\ -I ~1>
О 1 1 |. Вычислите АВ и BAt
{О О Ь
Вычислите Ла, Л» и Л*. Чему равно
5
0
0
а
0
4
0
0
0
0
—3
0
0
0
0
4
3. Вычислите Л2, Л3 и Л* для Л
4. Вычислите Л2 и Л3 для Л:
5. а) Докажите, что обратная для диагональной матрицы -существует тогда и
только тогда, когда все ее диагональные элементы не нулевые,
б) Каковы обрагные матрицы для
и В-
6. а) Пусть Лив — две диагональные матрицы размера т X п. Вычислите А В
и докажите, чго АВ = ВА.
/27 0 0\
б) Найдите такую матрицу Л, для которой Л3 = | 0 —8 О I.
V 0 0 1/
7. Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диаго-
диагонали, равны нулю, называется верхней треугольной матрицей. Иными сло-
словами, квадратная матрица А == (пц) является верхней треугольной, если
ац = 0 при I > /. Докажите, что произведение двух верхних треугольных
матриц является верхней треугольной матрицей.
/О 1 2\
8. Для матрицы Л = I 0 0 1 I найдите наименьшее целое k такое, что Ak явля-
\0 О О/
ется нулевой матрицей.
9. Пусть Л = {at}) — такая матрица размера п X п, что ац == 0 при i > /.
Докажите существование, г а кого целого kt что Ak является нулевой матрицей.
4 Ja«i. L370

gg Глава 3. Векторы и матрицы
10. Если матрица А размера 3X3 такова, что
№ -0-Э- -Ш
то чему равны элементы Л?
11. Предположим, что для матриц Ль Л2, ..., Ат размера п X п существуют об-
обратные. Докажите, что матрица, обратная произведению Аг Л2 .., Ат, есть
Am ... Л 2 A i
12. Транспонированной по отношению к матрице Л размера т X п называется
матрица Лт размера п X т, полученная путем замены строк А на столбцы.
Например,
Элемент с номером Ц матрицы Лт равен элементу с номером ji матрицы А.
Вычислите результаты транспонирования следующих матриц:
о) А-
13. а) Докажите, что транспонированная по отношению к транспонированной
матрице равна исходной матрице, т. е. (Лт)т = Л.
б) Докажите, что если произведение А В определено, ю {АВ)Т = BJAr.
14. Квадратная матрица А называется симметричной, если она равна своей
транспонированной» т. е. если АТ — А, или сц] = ац для всех i и /. Квад-
Квадратная матрица А называется кососимметричной (или антисимметричной),
если Лт — — Л, г. е. a7j = — ац для всех / и /. Какие из нижеприведен*
пых матриц являются симметричными или кососимметричными:
4\ / 1 4\ / 0 4^
4\ / 1 4\
.) б)(-4 ,)
15. Пусть Л и В — две симметричные матрицы размера п X п.
а) Докажите, что А-\-В является симметричной матрицей.
б) Докажите, что А В является симметричной тогда и только тогда, когда
АВ = ВА.
16. Пусть Л и В — две кососимметричные матрицы размера п X л.
а) Докажите, что А + В — кососимметричная матрица.
б) Докажите, что А В симметрична тогда и только тогда, когда А В — ВА.
17. а) Докажите, чго А + Лт и ААТ являются симметричными матрицами для
любой матрицы Л размера п X д.
б) Убедитесь в том, что все элементы ААТ и ЛТЛ неотрицательны.

I 3.3. Системы линейных уравнений 99
/1 9 0\
18. Вычислите ЛЛТ и АТА для А = (
19. Некоторая хматрица Л размера п X п обладает тем свойством,что очз дает
нулевую матрицу в произведении с любой матрицей размера п X п. Докажи-
Докажите, что Л является нулевой матрицей.
20. Рассмотрим экосистему, содержащую п конкурирующих видов. Определим
¦ матрицу потребления А = (а^) как матрицу размера п X л, в которой эле-
элемент a*j показывает среднее число особей /-го вида, потребляемое в Лень
средней особью f-ro вида. Какие типы поведения описываются нижеприведен-
нижеприведенными матрицами потребления:
/О 1/2 1/2\ /0 1/2 1/2N
а) Л = ( 1/2 0 1/2 I; б) Л =1 1 О О
\1/2 1/2 0 у \0 1 О
21. Допустим, что в задаче 20 потребление особи t-ro вида приносит хищнику
энергетический доход в г-ъ калорий. Определим г как /г-мгрный векюр-стол-
бец, у которого i-i\ компонент равен rt. Дайте биологическую интерпрета-
интерпретацию компонентам вектора Аг.
22. Предположим, как и в примере 3.2.7, что два человека заболели инфекцион-
инфекционной болезнью. Вторая группа из пяти человек, возможно, имела контакты
с заразными людьми, а третья группа из четырех человек имела вероятные
контакты со второй группой. Опишите контакты второго рода между третьей
группой и двумя зараженными людьми, если контакты первого рода (или
прямые контакты) задаются следующими матрицами:
/1 1 0
, /1 1 0 0 1\ /0101
а) Л=( ; В==\ 0 0 10
\0 1 1 1 0J' 1о 0 1 1
\0 1 1 0>
1 1
б) л=\: [ \ ] [\ в=\о 1 о о
0 0 0 0
1 1
3.3. Системы линейных уравнений
Рассмотрим сначала следующую систему двух линейных уравнений с
двумя неизвестными xt и хг\
C.1)
Коэффициенты аи, a12, a21, «22» ^i и Ь%—постоянные, и задача состоит
в том, чтобы найти все решения системы C.1). Существуют три воз-
возможности. У системы может совсем не быть решений, она может иметь
единственное решение или бесконечное число решений. Это можно по-

100
Глава 3. Векторы и матрицы
о)
нять из геометрических
соображений, так как два
уравнения а11х1-\~а12х2=Ь1
и а21хг + а22х2 = Ь2 со-
соответствуют двум. прямым
на плоскости (рис. 3.3, а,
б, в). Если эти две прямые
пересекаются в одной точ-
точке, то имеется единствен-
единственное решение, задаваемое
координатами точки пере-
пересечения. Если прямые сов-
совпадают, то любая точка на
прямой дает решение. На-
Наконец, если прямые парал-
параллельны, то точек; пересече-
пересечения нет и система C.1) не
имеет решения.
Систему C.1) можно ре-
( шить алгебраически. Умно-
Ц^Х ' жим первое уравнение на
"*»*!+а,&*Ь fl«* а вт°Рое уравнение на
\г а12 и вычтем его из перво-
первого. Тогда получим (аиа22—
^2laVl)X] = ^22^1 ^12^2-
Исключая аналогичным
образом из уравнений xlf получим (аиа22 — «21^11) Х2 ~ aub2 — «2i^i«
Решением системы уравнений (ЗЛ) является
Рис. 3.3
Хо =
дп 6о—(
2 — ап аи
C.2)
Равенства C.2) справедливы, если а1га22 — «2iai2 ?= 0. В этом случае
выражения C.2) дают единственное решение системы C.1). Если же
апа22 — #2ifli2 ~ 0, то уравнения, приводящие к выражениям C.2),
имеют вид
0 = а2фг — a12b2 и0 = axlb2 — a21bt.
Поэтому, чтобы решение существовало, должно быть a22bx = al2b2
и axlb2 = ^2ibi. Но тогда аХ11а21 = bjb2 — al2la22, т. е. два уравнения
в системе C.1) пропорциональны. Это значит, что любые числа хх и х2у
удовлетворяющие первому уравнению, автоматически удовлетворяют
и второму. Так как существует бесконечное множество пар чисел хх и
х2, которые удовлетворяют этому первому уравнению, то и система
(ЗЛ) имеет бесконечное число решений. Три этих возможности соответ-
соответствуют трем случаям, показанным на рис. 3.3.

3.3. Системы линейных уравнений JQ|
Систему C.1) можно решить иным путем. Определим матрицу
W «22
и векторы b^LM и х = ( Ч. Тогда система C.1) перепишется в виде
Ах — Ь. Два уравнения линейной системы заменятся одним векторным
уравнением. В решении системы C.1) число апа22 — а21а12 играет столь
важную роль, что оно получило специальное наименование.
Определение 3.3.1. Определитель матрицы размера
2x2. Определителем матрицы А ^ ( jf обозначаемым через
det Л =
ап ап
называется число det А = аиа22 — а21а12.
Используя определитель матрицы Л, полученные результаты отно-
относительно решений уравнения Ах = b можно подытожить в виде сле-
следующей теоремы.
Теорема 3.3.1. Уравнение Ах = Ь, где Л, х и Ь определены, выше, име-
имеет единственное решение х тогда и только тогда, когда det А Ф 0.
Если det А = 0, то либо решений нет> либо их существует бесконечное
число.
Пример 3.3.1. Решить линейные системы:
1) jc, + х2 = 1, 2) хг + х2 = U 3) Зх, — х2= 2,
\хх — 2х2 == 1; 2*! + 2jc2 = 2; 6лгх — 2л:а = 3*
А 1) Здесь А =D ЛУ det Л = —2—4=—6. Единственным реше-
решением служит хх = х2 = 1/2.
2) Имеем А = f 2 2j, det Л == 0. Заметим, что второе уравнение
есть попросту удвоенное первое. Значение xt можно выбрать произ-
произвольно, и тогда х2 = 1 — хх. В этом случае существует бесконечное
число решений.
C •¦'• 1 \
б —2у1 то ^ ^ ~ ®9 ^та система решений не име-
имеет. Из первого уравнения вытекает, что 6^ — 2лс2 = 4, а это никак не
может выполняться, если удовлетворяется второе уравнение. А
Систему C.1) можно исследовать еще одним способом. Определим
векторы ai = [ ) иа2 = ( *а). Тогда система C.1) примет вид
\а21/ \2/

102 Глава 3. Векторы и матрицы
1';: г)\,\ решить это векторное уравнение, нужно данный вектор b вы-
I .и чь кач линейную комбинацию данных векторов ах иа2. Рассмотрим
*. ^цпальный случай, когда b = 0. В этом случае система C.1) запишет-
запишется а виде
х&г + лг2а2 = 0. C.3)
Одно решение у этого уравнения всегда существует: хх = х2 = 0. Дру-
Другое решение будет тогда и только тогда, когда векторы &х и а2 линейно
зависимы. Но уравнение C.3) можно записать и в виде
апхг + а12х2 = 0,
а21Х) + а22х2 = 0.
Поскольку всегда существует решение х1 = х2 = 0, эта система будет
иметь другое решение тогда и только тогда, когда det /1=0. Эти рас-
рассуждения можно подытожить в виде следующей теоремы.
Теорема 3.3.2. Если
г Д1~
^22,
то det A = 0 тогда и только тогда, когда столбцы &г и а2 матрицы
А линейно зависимы.
Теоремы 3.3.1 и 3.3.2 можно обобщить для матриц размера п х п.
В этом параграфе мы займемся следующим обобщением системы вида
C.1).
Определение 3.3.2. Общая линейная система. Общей
линейной системой из т уравнений с п неизвестными называется сие-
тема
«22*2 + — + <*2пХп = &2э C.4)
Систему называют однородной, если Ь1 = Ь2^= ... = &т = 0. В против-
противном случае ее называют неоднородной.
Чтобы исключить тривиальный случай, допустим, что хотя бы одни
из коэффициентов ац не равен нулю. Перенумеровав переменные и из-
изменив, если потребуется, порядок строк в системе, будем считать, что
а1г Ф 0. Поделим теперь 1-е уравнение на ап и воспользуемся получен-
полученным уравнением, чтобы исключить из всех остальных члены, содержа-
содержащие хх. Это достигается прежде всего умножением 1-го уравнения на
— а.21 и сложением его со 2-м уравнением (напомним, что а1г преврати*
лось в 1). Затем 1-е уравнение умножим на— а31 и сложим с 3-м. Так
продолжаем до тех пор, пока в каждом уравнении (за исключением

§ 3.3. Системы линейных уравнений
Ьго) член, который умножается на хи не обратится в нуль. Тогда вмес-
вместо системы C.4) получим систему
хп =:
C.5)
а то х2 + а/пз х3 + ... + а'тп хп =
12
где #;2 = а12!ап, а[з = #13/#n>..., a аЬ = flf22 — ^Лг^ш fl// =
= яо- — aixaxiialx при / = 2, 3, ..., w и / = 2, 3, ..., п. Кроме того,
fr[ = b1/allJ a 6/ = bi — аглЬ11а11 при г = 2, 3, ..,, m.
Применим теперь эту процедуру к последним т — 1 уравнениям
системы C.5). Это линейная система из т — 1 уравнений в п — 1
неизвестными. Если не все ее коэффициенты равны нулю, то можно счи-
считать, что #22 Ф 0» перенумеровав, если нужно, переменные и переста-
переставив уравнения. Разделим тогда 2-ю строку на а22 и в точности тем же
способом, что и выше, воспользуемся 2-м уравнением, чтобы исключить
все члены, содержащие х2, из 3-го, 4-го, .,., т -го уравнения. Система
примет вид
... +а[п хп = Ь{,
... + aln хп == b2t
ah X3 + ... + al: xn = b'it
а'тз х2 +... + а'тп хп = Ьш,
Будем продолжать процесс до тех пор, пока, наконец, не получим сис-
систему
х3 +... +с1г хг +... + сгп хп = dlt
Хх + .
C.6)
При этом возможны три случая, которые рассмотрим по отдельно-
отдельности.
1случай: /<яи dm == с/г+.2 = ... = dm = 0. Тогда л^+1,
..., хп можно выбрать произвольно. Из /-го уравнения екмучим xt =
~ di — ci, i+ixi+i — •••— СщХп- Остальные неизвестные х^и х^2,...,

f 104 Глава З. Векторы и матрицы
хг можно последовательно даразить через хг^%> х1+29 ...»,л»««1В,этом
случае существует бесконечное число решений.
Ислучай: /</г и хотя бы одно из чисел dl+li dl+2. ..., rfm, на-
например dl+u не равно нулю. В этом случае решения не существует, так
как получаем, что 0 = dt+i Ф 0. Исходную систему C.4) называют не*
совместной.
III случай: /= /2. Тогда система C.6) примет в'ид
хх + с12 х2 + с13 х3 +... +cXtn-i хп„х + с1п хп = du
I ,: : C.7)
В этом случае система имеет единственное решение: Яп^^п» ^n-i ^
= dn-i — Cn^ndn и т. д.
Процедура перехода от системы C.4) к системе C.6) называется
методом приведения строк*. Этим методом любая
система из т уравнений с п неизвестными преобразуется в гораздо'бо-
гораздо'более простую систему. Важно отметить, что если m<Z n (неизвестных
больше, чем уравнений), то / < п и система C.4) либо имеет бесконеч-
бесконечное число решений, либо совсем не имеет решений (но иногда не имеет
единственного решения).
Пример 3.3.2. Решить следующие системы линейных уравнений:
1) 2хг + 8х2 + 6*з = 20, 2) хх + х2 + х3 = 3,
4хг + 2х2 — 2х3 = — 2, 2хг — х2 + 3*3 = 7,
Зхх — х2 + *з = И; 4^ + х2+ 5х3 = 20;
3) хг + х2 + хг ¦= 3,
2хг -х2 + Зх3 = 7,
4^+д:2 + 5л:3= 13.
Л 1) Разделив 1-ю строку на 2, получим
хг + 4л:2 + Зх3 = 10,
4^ + 2л:2 — 2л:3 = — 2,
OXj Х2 -j" X з == il»
Исключим теперь члены е хх из 2-го и 3-го уравнений, вычитая из 2-й
строки 1-ю, умноженную на 4, а из 3-й — 1-ю, умноженную на 3. Это
дает
хх + 4х2 + Зх3 ^ Ю,
—14л:2 — 14л;3 = — 42,
—13лг2 — 8л:3 = — 19.
* В отечественной литературе — методом исключения или
методом Гаусса. — Прим. пер.

§ 3.3. Системы линейных уравнений |Q5
Разделим
Умножим
Разделим,
2-ю
2-ю
и 3-ю стройй
хг
строку на 13
соотвётственнЪ
f 4*2 + 3*3 =
#2 + *3 =
1О*2 г* О*з —
и вычтем из 3-й
- 4*2 + 3*з =
*2 \ Xq ===
— 5*з = -
, наконец, 3-ю строку на —5:
х1-
f 4*2 + 3*3 =
*2 I* Xq ==:
* =
на —Н rf —
10f
3,
19.
i
ю,
з,
-20.
10,
3,
4.
Тогда решением является *3 = 4, х2 = 3—*8 = — 1, хг = 10 — 4*2—
г— 3*3 = 2. Здесь имеет место III случай (/ == п)9 и решение
единственно.
2) Здесь alt = 1. Умножим 1-ю строку на 2 и 4 и вычтем из 2-6 и
3-й строк соответственно. Это дает
о*2 "Г" * з === 1»
— 3*2 + *3 = 8.
Продолжая приведение строк, вычтем 2-ю втроку из 3-й:
•^1 * Х2 "Т" *з === 3,
0= 7.
Ясно, что эта система уравнений несовместна и не имеет решения.
3) Поступая, как и в предыдущих случаях, получим
*i + *2 + *з = 3,
— «3*2 ~т" *з === !*
— 3*2 + *3 = 1.
Эта система сводится к следующей:
*1 + *2 + ^3 =* 3,
х2 - A/3) хъ = - 1/3,
0 = 0.
Здесь имеет место I случай. Существует бесконечное число решений,
причем все они удовлетворяют соотношениям *2 = (*3 — 1) /3 и хг =
= A0 — 4*3)/3, где *3 может принимать любое значение. ^

105 Глава 3. Векторы и матрицы
В заключение рассмотрим однородную систему линейных уравне-
уравнений как специальный частный случай общей линейной системы C.4):
апхл + ai2x2 + ...+alnxn = 0,
= °> C-8)
fl/пЛ + ат2 л:2 + ... + атп хп = 0.
Эту систему можно исследовать методом приведения строк. Она сводит-
сводится к виду
Х2 + ...+ Си Хг + ... + С1п Хп = 0,
*2 + ••• +C2l *i + .
= 0,
0-0.
Система C.8) [и C.9)] всегда имеет решение хх=^х2 == ... == хЛ =0.
Из равенств C.9) видно, что другие решения будут существовать тогда
и только тогда, когда I <С п. Это всегда происходит в случае, который
описывается следующей теоремой.
Теорема 3.3.3. Однородная линейная система, у которой число неиз-
неизвестных больше, чем число уравнений, всегда имеет бесконечное число
решений.
Систему C.8) можно исследовать и как одно векторное уравнение.
Положим
1 — I . h <*9. — I „ I >•••»« п. —
Тогда система C.8) эквивалентна векторному уравнению
*i*i + ^a2 + ...+ хпап = 0. (ЗЛО)
Это уравнение имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда
векторы аь а2, ..., ап линейно зависимы.
Пример 3.3.3. Сосуществование бактерий. Три вида
бактерий сосуществуют в пробирке и потребляют три субстрата. Пред-
Предположим, что в среднем бактерия /-го вида потребляет в день количе-
количество ги /-го субстрата. Определим се=(ег1, и1г, ciQ) как вектор потребле-
потребления для /-го вида. Пусть сх = A, 1, 1), с2 = A, 2, 3) и с3 = A, 3, 5).
Предположим, что каждый день в пробирку вносят 15 000 ед. первого

§ 3.3. Системы линейных уравнений | qj
субстрата, 30 000 ед. второго и 45 000 ед. третьего. Каковы численности
популяций трех видов бактерий, которые могут сосуществовать в дан-
данной среде, если считать, что бактерии потребляют весь дневной запас
субстратов?
Л Обозначим численности трех видов бактерий, которые могут быть
обеспечены субстратами, через хъ хг и х3. При этом хг особей первого
вида потребляют по хг ед. каждого субстрата; х2 бактерий второго вида
потребляют х2у 2х2 и Зх2 ед. первого, второго и третьего субстратов со-
соответственно. Аналогичные величины для третьего вида составляют х3,
3*3 и 5*з ед. Уравнивая общее потребление каждого субстрата с его
доступным запасом, получаехМ
*i + х2 + хъ = 15 000,
хг + 2х2 + 3*з = 30 000,
*i + 3*2 + 5*з = 45 000.
Упрощая путем приведения строк, приходим к системе
*i + *2 + *в = 15 000, хг + *2 + *3 == 15 000,
*2 + 2*з = 15000, *2 + 2*з == 15 000,
2*2 + 4*з = 30 000, или 0 = 0.
Эта система не имеет единственного решения, но у всех решений хг =
= *3 = A5 000 — *2)/2. Численности бактерий должны быть неотри-
неотрицательны. Поэтому 0 ^ *2 ^ 15 000 и 0 < *i = *8 ^ 7500. Общая
численность сосуществующих популяций составляет 15 000, а числен-
численности трех видов удовлетворяют соотношениям *1 = *3 и *2 = 15000 —
— 2*2, если потребляются все субстраты. А
Задачи к § 3.3
1. Методом приведения строк решите следующие линейные системы:
a) *i + *2 + *з = 8» б) *\ + 2*2 ~~ хз = 2»
5*! + 2х2 + 4л:з = 14, 2х% — 6лг2 + х8 = — 11,
Злч - 2х2 + хь = 12; Xl - *2 — 2хй = — 12.
2. На новый ареал переселяют три вида птиц общей численностью в 10 000 осо-
особей. Согласно наблюдениям, популяции этих трех видов должны возрастать
с ежегодным коэффициентом прироста в 3, 4 и 5% соответственно для I, II
и III видов. Установлено, что общий прирост популяций за первый год со-
составит 380 особей и что прирост популяции первого вида равен приросту
третьего вида. Найдите начальные численности популяций трех видов.
3. При каких значениях к несовхместна следующая система линейных уравнений:
Ч + *2 + *з = 5t
5jc, +2х2 + 2*з= 16,
Xl + kx3 = 10?
4. При каких значениях Я несовместна следующая система уравнений:
2xt + х2 + ж3 = °»
Зл-1 + 2*2 + 2*3 = G,
xi - л2 + кхз = 0?

108
Глава 3f. Векторы и
5. С помощью приведения строк найдите все решения следующих систем* t
а) уА+ Чг- Уъ= 3, б) г, + г2 + 4г3 =* О,
%У\ - н + Зув = 2, Згх — г2 + г3 =» 4,
уг + 4*л2 + 7(/3 = 20; г, - Зг2 + 7г3 = 4,
6. В пробирке сосуществуют три вида бактерий, потребляющих три субстрата.
Определим для t-ro вида с* = (cilt ci2, ci3) как вектор потребления, у ко-
которого компонент ctj показывает среднее потребление в день /-го субстрата
средним представителем i-ro вида. Пусть сх = О» 1» 0» с2 = A, 2, 3) и с3 =
= A, 3, 5). Предположим, что каждый день в пробирку вносят 20 000 ед. пер-
первого субстрата, 30 000 ед. второго и 40 000 ед. третьего. Предполагая, что весь
запас субстратов потребляется, найдите численности трех популяции, которые
могут сосуществовать в данной среде. Единственны ли эти численности?
7. Вычислите значения следующих определителей размера 2X2:
a) det
г)
'1
,2
4 2
2 2
б) det
д)
5 2
10 4
2
8» Какие из следующих систем уравнений имеют нетривиальное решение:
а) 3*! -~ 7jc2 = 0,
' 1хх — 4*2 = 0;
В)
+ x.t + x9 - О,
т ** t *¦ z 2:
б) хх — jc2 = 0,
— 3*, + 3*2 = 0;
r) 2xx + x2 — -JCg = 0,
JCi + 4лг,> + 3x« = 0?
9. Методом приведения строк решите следующие системы линейных уравнений!
а) 2xt + х2 — 2jc8 =1, б) Зл: — у + 2г = 7,
jcj — З'дь>- + 4л: з = 2, 5* + 3# — \z = — 1,
За:, + к\ — х3 = 3; л: + у + 2г == 9.
10. Рассмотрим систему Лх = b из ti уравнений с п неизвестными.
а) Допустим, что существует ненулевой вектор w такой, что ^w = 0. Дока-
Докажите, что если х — решение Ах — Ь, го х + w также является решением.
Существуют ли другие решения? • ,
б) Допустим, что не существует такого ненулевого вектора w, что 4w = 0,
Докажите, что если х — решение Ах = Ь, го это решение единсшенно.
11. Найдите все решения следующих линейных систем:
12. Простейшее питается тремя видами пищи; эвгленами, тетрахименами и хла-5
мидомонадами. Наблюдения показали, что на каждую потребляемую едини-
единицу Э приходится в среднем две единицы Т и три единицы X, Если чистый
энергетический доход от потребления единицы любого из этих видов пищи
составляет одну единицу энергии, го какое потребление обеспечит прос-
простейшему чистый доход в 12 ед. энергии?
13. Активность пасущегося животного можно грубо разделить на три категории:
1) поедание пищи, 2) передвижение (к новым пастбищам или с целью избе-
избегания хищников) и 3) покой. Чистая энергетическая прибавка (сверх ос-
основных потребностей на поддержание жизни) при поедании составляет
200 калорий в час. Чистые энергетические потери при движении и покое со-
соответственно составляют 150 и 50 калорий в час.
а) Как следует распределить день между тремя этими состояниями, чтобы
энергетический доход за время поедания в точности компенсировал потерн
при движении и в состоянии покоя?
б) Единственно ли такое разбиение дня?

§ Ы. Обращение матрицы
14. В задаче 13 Допустим, что пасущееся животное должно находиться в состоя-
состоянии покоя по крайней мере 6 ч в день. Как следует распределить день?
15. а) В задаче 13 предположим, что пасущееся животное должно, чтобы избе-
избежать переедания, затрачивать на поедание пищи и передвижение одинако-
одинаковое время. Как следует распределить день?
б) Допустим, что чистый энергетический доход от поедания пищи состав-
составляет 150 + Q калорий в час, где Q является параметром, отражающим каче-
качество пастбища (чем больше Q, тем выше энергетический доход). Докажите,
что при отрицательных значениях Q животное не в состоянии долгое время
поддерживать жизнь, если на поедание и передвижение оно затрачивает
одинаковое время. При положительных Q выразите как функцию параметра
Q количество часов, которое нужно затратить на поедание.
16. С помощью простой модели докажите, что конкуренция между двумя видэми
за два ресурса сильнее всего тогда, когда ресурсы нужны видам точно в оди-
одинаковых пропорциях. (Это связано с принципом конкурент»
ного исключения, который будет рассмотрен в § 9.2.)
17. Предположим, что в эксперименте возможны пять элементарных исходов
с вероятностями ръ р2, рв, р± и р5. Найдите вероятности элементарных исхо-
исходов, если рг = р2 + р3, р3+ р4 = 2р2, р2 + рв + р4 = Рь и pi + р2 ^ р*.
18. Пусть в примере 3.3.3 ct = A, 1, 1), с2 = A, 2, 3) и с3 = A, 2, 5). Если
в пробирку вносят ежедневно по 10 000> 20 000 и 50 000 ед. трех видов пищ»
и если вся она потребляется бактериями, то с какими численностями могут
сосуществовать в, этой среде три популяции?
19. Из решения задачи 18 вытекает, что вид, способный регулировать свое по-
потребление в зависимости от доступных запасов пищи, имеет селективное пре-
преимущество. Обобщите пример 3.3.3, чтобы получить модель этого явления.
34. Обращение матрицы
Общую линейную систему C.4) можно записать в виде
Лх=Ь, C.11)
где
(ап ап ... а1п
а21 а^ ... а2п
I : :
ат1ат2**' атп
В данном параграфе мы рассмотрим лишь случай т = п. Тогда А—
квадратная матрица и в системе C.4) число уравнений вовпадает с ч*ш-
лом неизвестных.
Если А обратима, то существует матрица Л" такая, что А~гА =
= ЛЛ — /. Предположим, что Л обратима, и умножим обе части
уравнения C.11) на Л". Это дает Л"Мх == Л" Ь. Но А"гАх = /х =х
и, значит, х = ЛЬ. В том, что это действительно решение,
можно убедиться, заметив, что Л (Л Ь) = (АА) Ъ = /Ь = Ь.
Решение системы C.4) сводится, таким образом, к вычислению мат-
матрицы, обратной для матрицы Л, если она существует. В следующем
параграфе будет дан метод, позволяющий определить, является ли
данная квадратная матрица обратимой, а сейчас рассмотрим простой
метод вычисления обратной матрицы.

110 Глава 3. Векторы и матрицы
Йернемся к примеру 3.3.2 (п.1). После приведения строи система ли*
нейных уравнений принимает вид
у J у __ О
хв = 4.
Чтобы привести эту систему к еще более простому виду, прибавим к
1-му и 2-му уравнениям 3-е, умноженное соответственно на —3 и —1»
Это дает
х2 = — 1,
х = 4.
Наконец, прибавим к 1-му уравнению 2-е, умноженное на —4, и полу-
получим
Y 9
х3 —,
Это можно записать в виде /х = с, где
/1 0 0
/==0 1 0
\0 0 1
Вектор с является решением исходной системы Лх = Ь, где
/2 8 б\
Л= 4 2 — 2 L Ь== _2
\3 -1 1/ \ И,
как решение единственно, то должно выполняться равенство
с = Д-^.
Исходная система уравнений Ах = Ь = /Ь путем операций над
строками преобразована в енстему /х = Л~%, Те же операции, которые
преобразуют А в /, превращают / в Л. Чтобы вычислить обратную
матрицу для матрицы Л, нужно лишь со строками / проделать те же
самые операции, что выполнялись со строками Л.
Для иллюстрации этого метода вычисления обратной матрицы рас-
рассмотрим еще раз пример 3.3.2 (п. 1). Матрица системы Л расширяется
путем присоединения к ней тождественной матрицы / и вектор-столб-
вектор-столбца Ь:
р
4
\з
8
2
— 1
6 •
2 !
1 •
1
0
0
0
1
0
о •
о !
1 •
20
9
11

§ 3.4. Обращение матрицы ] П
Затем матрица А в этой расширенной матрице сводится к / путем опера-
операций над строками. Те же самые операции применяются и ко всей рас-
расширенной матрице. Поступая, как и ранее, разделим 1-ю строку на 2:
1
4
3
4
2
— 1
3 '
-2 :
1 •
1/2
0
0
0
1
0
о •
о !
1 •
10
—2
11
Вычтем 1-ю строку, умноженную на 4 и на 3, соответственно из 2-й и
3-й:
4 3 • 1/2 0 0-
—14 —14 I — 2 1 0 !
_13 —8 • —3/2 0 1 '
Разделим теперь 2-ю строку на — 14:
'1 4 3-1/200
0 1 1 '. 2/14 —1/14 0
V0 —13 —8 • —3/2 0 1
Прибавим 2-ю строку, умноженную на —4 и на 13, соответственно
к 1-й и 3-й:
-1 -" — 1/14 4/14 0
1 '. 2/14 —1/14 0
5 • 5/14 —13/14 1
Разделим 3-ю строку на 5:
0 —1 • —1/14 4/14 0
1 1 '. 2/14 —1/14 0 !
0 1 • 5/70 —13/70 1/5 •
Наконец, прибавим 3-ю строку к 1 -й и вычтем ее из 2-й:
• 0 7/70 14/70 •
! 5/70 8/70 —14/70 '. —1
• 5/70 —13/70 14/70 • 4,
1 /0 7 »4\ / 2\
Таким образом, Л = ™ 5 8 —И , а х = —1 I является решением
70\5 -13 14/ \ 4/
системы Л х = Ь. В справедливости этого можно убедиться путем пе-
перемножения:

112 Глава 3. Векторы т*атрицц
70 0 0 \ /10 0
70 1° 7° ° Н° » °
\0 0 70/ \0 0 1
Этот метод расширенной матрицы дает
результат всегда, когда существует Л". Если же А необратима, то в
приведенной форме А появится строка, целиком состоящая из нулей,
В примере 3.3.2 (п. 2) мы приходим к системе
Х\ ~Т" #2 "у Х& Of
0-7.
Последняя строка матрицы, соответствующей этой системе, состоит
из одних нулей. Когда это происходит, либо решений нет, либо их бее-
конечное множество. Так как в случае обратимой матрицы А решение
единственно, то обратной матрицы не существует, когда в приведен-
приведенной форме А получается строка из нулей.
Пример 3.4.1. Вычислить обратные для следующих матриц:
Л 1) Запишем расширенную матрицу:
Вычтем из 3-й строки 1-ю и 2-ю строки и вычтем из 2-й строки 1-ю:

§ &4. Обращение матрицы
113
Наконец, вычтем из 1-й строки 2-ю и 3-ю, умноженную на 1/2, и
разделим 3-ю ^строку на 2:.
Значит,
—1/2 —1/2
2) Составим расширенную матрицу:
Вычтем 4-ю строку из 3-й и разделим 4-ю строку на 2:
Вычтем из 1-й строки удвоенную 2-ю, затем 4-ю, умноженную tia4S, нем*
чтем из 2-й строки удвоенную 3-ю:
Значит,
Справедливость этих выкладок следует проверить путе§^ вычисления
ВВ'1 и В~1В и уцедиться в том, что эти оба произведения дают /.А
Задачи к § 3.4
1. Методом расширенной матрицы вычислить обра*ные для следующих
2 3 4\ /13 —
б) в=| 3 5 —.2
0 12 3
0 0 12
U) 0 0 1,
1 —'1

114 Глава 3. Векторы и матрицы
в)
2. Путем вычисления обратных матриц найдите решения следующих систем
линейных уравнений:
а) ^ — A/2) ха =1, б)
-A/2) х2-
3. Пусть А — матрица размера я X л, а, Ь, у и г — я-мерные вектор-столб-
вектор-столбцы такие, что Лу = а и Аг = Ъ.
а) Решите векторные уравнения Ах = Ь+ За и Aw = 2а + 5Ь относительно
векторов х и w.
б) Когда векторы х и w единственны?
в) Предполагая, что для матрицы А существует обратная, найдите значения
А'Ца+ Ъ) и А'1 Eа + 6Ь).
4. Используя метод приведения строк, найдите обратные для следующих матриц
размера 2X2:
[\ 2\ /1 —}\ /1 2
а) ; б) ; в)
5. а) Докажите, что для матрицы А = I t2| существует обратная матрица
\«21 «22/
А~~1=== л ¦ л { °22 1> если det/ir=0«
detA \—а21 аи/
б) Когда матрица А равна своей обратной?
6. Найдите обратные для. следующих матриц:
1 1
О 1
7. Пусть матрица А размера п X п является верхней треугольной (см. задачу 7
к § 3.2). Докажите, что матрица А имеет обратную тогда и только тогда, когда
все элементы главной диагонали А являются ненулевыми
8. Вычислите обратные (если они существуют) для следующих матриц;
12 0 3
0 2 0 0
0 0 11
0 0 0 3

§ 3J. Определители и правило Крамера 115
$. Вычислите Л, В, АВ h (Л В)-1, если
B 2 4\ / 1 1
10 1], В = \ — 1 1 0
0 10/ \ 2 0 0;
Убедитесь в том, что (А В) = В-М-1.
10. Матрицу А размера п X п, для которой существует обратная Л~1, называют
ортогональной матрицей, если ее обратная матрица равна гранспонирован-
ной. т. е. Л —Лт. (Определение Лт дано в задаче 12 к § 3.2.) Докажите, что
если А и В — ортогональные матрицы размера п X п, го и матри-
матрица Л В является ортогональной.
/sin ? — cos A
1J. Убедитесь в том, что А =1 . i является ортогональной матрицей
для любого действительного числа /.
/sin * — cos A
12 Пусть А =*[ ] ПРИ некотором действительном значении t и х ==
у \cos t sin t)
z=z[Xl\ — двумерный вектор-столбец. Убедитесь в том, что || Лх|| = || х ||,
13. Установите, какие из нижеприведенных матриц являются ортогональными:
/1/V2 -1/У2\ /0 -1\
а) 1,/V2 1/V5J' б) V *)'
/ Ч/УЗ 1/1/2 1/"|/б\ / 1/Уз 1/1/2-1/У«\
в) ( _1/У5 1/1/2 -1/Уо); гI_1/уз 1/У5 1/Уб •
- о -2/у б/ \ i/Уз о -2/Уб/
14. а) Докажите, что если Л — обратимая матрица размера п X п, то однород-
однородная система уравнений Лх = 0 относительно неизвестного n-мерного век-
тор-сголбца х имеет только тривиальное решение х = 0
б) Используя предыдущий результат, докажите, что следующие м<ирицы
необратимы:
/1 2
3.5. Определители и правило Крамера
Определитель для матрицы размера 2x2 был введен в § 3.3 следующим
образом:
\а21а
Воспользуемся этим определением, чтобы ввести определитель для
матрицы размера 3x3:
( )—«i2<«et( и^* +aiadet

115 Глава 3. Векторы и матрмм
Чтобы найти определитель размера 3x3, нужно вычислить три опреде-
определителя размера 2x2.
Это подсказывает общее определение определителя матрицы раз-
размера п X п как линейной комбинации определителей размера
(п - 1) х (л- 1):
2 ydet/4M, C.12)
где Ax) представляет собой матрицу размера (л— l)x(n— 1), пр-
лученную из А вычеркиванием 1-й строки и /-го столбца. Это индук-
индуктивное определение определителя матрицы размера п X п. Заметим,
что (—]);+1 = —1, когда /—четное, и (—1)'+1 = + 1, когда / — нечет-
нечетное. Простым обозначением для det А служит \А\.
Пример 3.5.1. Вычислить определители следующих матриц:
\ 2 3 4N
3) С = [
1 0 1 1 1
1
,2 3)
= 2-4—3-1 —(Ь4—2.1) + 2(ЬЗ—2-2) = 5—2—2 = 1.
а 1) det А = 1 -det B l) — 1-detf1 M+2detf
\3 А) \2 АГ . \
2) det? = 2det(~2 b\-Ztet(l 3)-2det
l-l 4 U 4/ \A -1
= 2(—8 + 3) — 3D—12)—2 (—1+8) = — 10 + 24 —14 = 0.
/1 2 0\ /0 2 0\
3) detC=bdet i i i -2 det о 1 1 +
\0 12/ \0 1 2/
/0 1 0\ /0 1 2
+ 3det о 1 1 |-4det[o 1 1
\0 0 2/ \0 0 1

§3,5. Определители и правило Крамера
117
= 2—1—4 + 0 + 0 4-0=--—3. А
Пример 3.5.2. Для матриц размера 3x3 есть простой способ вычиоле*
ния определителей. Прежде всего для матрицы
/ап ап
л==|а21а22а2я
\а31 аш
определим В как матрицу, полученную из А путем приписывания 1-го
и 2-гр столбцов А в качестве 4-го и 5-го столбцов В:
Тогда определитель равен сумме всех произведений элементов, стоя-
стоящих на отмеченных диагоналях. Диагонали, направленные вниз, дают
слагаемые со знаком « + », а направленные вверх — со знаком «—»:
det А ==
Легко убедиться в том, что это согласуется о данным ранее определени-
определением
Пример д.Ь.д* Вычислить определитель для матрицы
/2 3 — >
_2 3
4 -1
A det А - 2 (—2).4 + 3-3-4 + (—2). Ь(— 1) — 4 (—2) ¦ (—2)—
— (—1)-3-2 —4-ЬЗ = — 16 + 36 + 2— 16 + 6— 12 = О.А
Следующая теорема обобщает результаты,, касающиеся линейных
систем размера 2x2 из § 3.3,
Теорема 3.5.1. Если даны матрица А размера пХп и п-мерный вектор»
столбец Ь, то система уравнений Лх = b имеет единственное решение
тогда и только тогда, когда справедливо любое из следующих эквива-
эквивалентных утверждений:

I j g Глава З. Векторы и матрицы
1°. А является обратимой.
2<>. det А фО.
3°. Столбцы А представляют собой линейно независимые векторы.
4°. С помощью операций над строками матрицу А можно привести
к тождественной матрице.
Из этой теоремы видно, почему определитель матрицы А играет
столь важную роль в изучении линейных систем. Если det АфО, то
существует Л и система Лх = b имеет единственное решение х =
= Л~1Ь. Если det А = 0, то А не является обратимой и система
Ах — Ъ либо не имеет решений, либо имеет бесконечное множество их.
Определители позволяют также получить явные формулы для ре-
решения системы Ах = b из п линейных уравнений с п неизвестными.
Пусть, как и прежде,
(ап а12 ... а1п
а22
Положим D = det А. Построим п определителей следующим образом:
/ап Ьг ... а1п
i Ьп ... апп
ап ап ... Ъх
%i а„ ... Ьг
Например, D/ представляет собой определитель матрицы, полученной
из А путем замены ее /-го столбца на вектор-столбец Ь. Важность
этих определителей вытекает из следующей теоремы.
Теорема 3.5.2. Правило Крамера. Если А — матрица раз-
размера п X п с определителем D = det А Ф 0, то единственное решение
системы Ах = b задается формулами
Доказательство теорем 3.5Л и 3.5.2 потребовало бы более широкого
обсуждения свойств определителей, что выходит за рамки настоящей
книги. Метод решения линейных систем с помощью определителей мо-
может оказаться весьма громоздким, когда число неизвестных больше
трех; часто решение бывает проще получить элементарным методом при-
приведения строк.

§ 3.5. Определители и правило Крамера
Пример 3.5.4. Решить систему
119
D =
2 —2
3 —1
1
Зх— у+ z=ll.
= 2-21 + 8-(—2)-3 + 6-( — 1)-4 —
—6-2-3—8-4.1— 2( —1).(—2) =
= 4 — 48—24—36—32—4 = — 140Ф0 .
20 8 6
о о о
11 —1 1
Аналогично,
2 20 6
4—2 2
3 11 1
Таким образом,
= 40—176 + 12 —132+16—40=—280.
= 140, Da =
2 8 20
4 2—2
3 —1 11
= —560.
D
—НО
— 140
D*
О
—140
Здесь вместо переменных хх> х2 и х9 использовались обозначения х, у
и г. А
Задачи к § 3.5
1. Найдите значения определителей следующих матриц:
0 . 4 7\ /ill
в) ( — 1 3 11; г) | 2 3 4
2 —2 5/ \4 9 16/
4)- б)
2 5
2. Используя правило Крамера, найдите решения следующих систем линейных
уравнений:
а) хх + \х<? =13, б) х% + аг2 + лсц == 19
2#! + 3jc2 + 4лт3 = 3,
4xt + 2хо = 10; 4*! + 9лс9 + 16^« = 11.
3. Используя метод расширенной матрицы и правило Крамера решите систему
*1 + *2 + ГЭ = 6»
2л-г ~~ г, = 0,
2*i + *; = з.
4. Применяя теорему 3.5,1, установите, являются ли следующие наборы векто-
векторов линейно зависимыми или линейно независимыми: а) B, 1, 0), D, 1,1),
@. 1, 3); б) A, 5, I), B, 0, 0), A, 4, 2); в) A, 2, 3), C, 4, 5), D, б, 8); г) A, — 1,
0, 0), D, 0, 2, 0), @, I, 1, 1), (— 2, 1, 0, — 1).

Глава S-, Векторы и матрицы
б. Не находя решений, определите, какие из следующих линейных систем об»
ладают нетривиальным решением:
а) хх — х2+ *3 = 0, б) хг+ х2— х9— *4=0,
2хх-\-2х2+ х3 = 0, хх— х2+ х3+ хг=0,
= 0; 2хг + Зх2 + х3— 2лг4 = Ь',
8 — C/2)*4=0.
В последующих задачах содержатся некоторые дополнительные свойства
определителей, которые часто оказываются полезными при их вычислении.
6. Используя теорему 3.5.1, докажите, что если у матрицы А размера п X п
имеются две одинаковые строки (или столбца), то det А = 0.
7. Используя равенство C.12), докажите, что
det-4=3 -l/ + /eu<Jeti1w= 2 (-1/+/^/det Aijt
Это означает, что определитель можно вычислить, разлагая его по любой
строке или столбцу. (Прежде чем попытаться провести общее доказательство,
следует убедиться в справедливости этого результата для матриц размеров
2 X 2 и 3 X 3.)
8. Проверьте, что если любые две строки (или столбца) матрицы размера п X п
поменять местами, то определитель полученной матрицы будет равен опре-
определителю исходной с противоположным знаком.
9. Убедитесь в том, что если, любую строку (или столбец) матрицы размера
п X п умножить на постоянную, то и определитель умножится на ту же по-
постоянную.
10. Используя результаты задач б и 9, докажите, что если некоторая строка
1 (или столбец) матрицы А размера п X п равна произведению другой строки
(или столбца) на постоянную, то det A =0.
11. Докажите, что если три данные матрицы А = (я^), В = (bij) и С = (сн)
совпадают, за исключением &-й строки, где Ckj = ahj + &/?,/, то det С =
= det A + det В (аналогичный результат справедлив и для столбцов).
12. Используя результаты задач 10 и 11, докажите, что если к одной строке
(или столбцу) матрицы А размера п X п прибавить другую строку (или стол-
столбец), умноженную на постоянную, то определитель полученной матрицы бу-
будет равен определителю А.
13. Докажите, что определитель верхней треугольной матрицы А равен про-
произведению ее диагональных элементов.
14. На основе результатов предыдущих задач вычислите определитель матрицы
/2 3-2\
В — [ 1 —2 3 I следующим путем:
\4 -1 4/
а) покажите, что
/1 -2 3\
detfl=— det 12 3 —2j=—detSt;
\4 -1 A)
б) покажите, что
/I -2 з\
— det fi1=— det I 0 7 —8|=—detB2;
\0 7 -8/
в) покажите, что det B2 = 0.

Д 3 6. Собственные значения и собственные векторы 12]
/I I Л
15. Вычислите определитель матрицы В — I 1 2 1 I, показав, что)
\
a)detS=det|O I—lj =
в) det Я2 = 1,
16. Используя методы, указанные в задачах 14 и 15, вычислите определители
следующих матриц:
Какие из этих матриц имеют обратную?
Д7. Исподьзуя правило Крамера, решите векторное уравнение Ах == |>, где
B 2
4 3
1-1
18. Исгголъ^уя правило Крамера, решите следующие системы!
а) 3*! — Зх2 — 2х9 = 10, б) 3*х + ха — 2jcs. = 3,
«. J— О v Л v> Q %••, ... 9v ¦- Qv I
1^. Можно доказать, что если А и В — матрицы размера п X я, то det
= det (A) det (В). Используя этот результат, докажите, что А В имеет об-
обратную матрицу тогда и только тогда, когда обратимы обе матрицы А и В,
Докажите также, чго det (A"~l) = 1/det (А). (Эти результаты могут оказать-
оказаться весьма полезными при вычислениях.)
3.6. Собственные значения и собственные векторы
Матрица А размера п X п, действуя на п-мерный вектор-столбец х,
дает другой вектор-столбец у = Лх. Существуют ли такие векторы xf
что Ах оказывается просто произведением х на постоянную? Этот воп-
вопрос приводит к понятию о собственных значениях и собственных век-
векторах матрицы. Важность этих понятий видна, например, при изучении
марковских цепей в гл. 5. Но это -лишь одно из многих приложений
собственных значений и собственных векторов матрицы.

122
Глава 3. Векторы и матрицы
Определение 3.8.1. Собственные значения и соб-
собственные векторы. Говорят, что матрица А размера пХп
имеет собственное значение X, соответствующее собственному вектору
х, если число X (действительное либо комплексное) и ненулевой вектор *
удовлетворяют соотношению
Ах^Хх. C.14)
Уравнение C.14) является уравнением собственного значения (или
уравнением собственного вектора) для матрицы А.
Чтобы решить уравнение собственного значения, требуется сущест-
существование нетривиального решения однородной линейной системы
(А — А,/)х = 0. По теореме 3.5.1 необходимым и достаточным услови-
условием нетривиального решения служит равенство det (А — XI) = 0, где
det (Л — XI) =
L —л а12 аГ6
t #22—^ #23
1 #32 #33"
Сели бы этот определитель выписывался в явном виде согласно оп-
определению предыдущего параграфа, то его можно было бы записать
как многочлен по X, группируя слагаемые с одинаковыми степенями X.
Так как det (А — XI) для очень больших значений X приближенно
равен det (— XI) = (— Х)п, то ясно, что det (A — XI) является много-
многочленом П'й степени. Эти рассуждения подытоживаются следующими
определением и теоремой.
Определение 3.6,2. Характеристическое уравнение.
Характеристическим многочленом матрицы А размера пХп называет-
называется многочлен det (А — XI) степени п по переменной X. Характеристи-
Характеристическим уравнением А называется уравнение det (А — XI) = 0.
Теорема 3.6.1, Если А — матрица размера пХп, то число X является
собственным значением А тогда и только тогда, когда оно удовлетворя-
удовлетворяет характеристическому уравнению для А> т. ?.*det (А — XI) = 0.
Следствие (теорема 3.6.2). Матрица А имеет собственное значе-
значение, равное нулю, тогда и только тогда, когда det A = 0.
Если
#22
то характеристическое уравнение для А имеет вид
#и—^ #i
#21 #2:
= (#ii — X) (#22 — Ц —#12 #21 = № — (ап -f- a22) X -f- (an а22—ап ап).
det (А—XI) =
* По этой причине X называют также характеристическим числом матрицы
А. — Прим. пер.

§ 3.6» Собственные значения и собственные векторы 123
Теория собственных значений и собственных векторов крайне об-
обширна и служит основой любых дальнейших исследований в области
линейной алгебры. Важно уметь вычислять собственные векторы и
собственные значения для данных матриц, как это показано в после-
последующих примерах.
Пример 3.6.1. Вычислить собственные значения и собственные векто
/3 —б\
ры для матрицы А = B __51.
А Характеристический многочлен равен
К2 — 5 —
= (<J — Л; { — Э — А/ -р 1Z — A -j- z A — О .
Характеристическое уравнение имеет вид
А/2 + 2Х — 3 = (X + 3) (X — 1) = 0.
Собственными значениями являются числа Хг = —3 и Х2 = 1. Для
Я2 = — 3 собственный вектор удовлетворяет уравнению Лх =*
= — Зх, или
* '** U \ f Л л \ I '"""" О A j \ «.АЛ] '^'•'^'2 ~~~ t у ,\, | •
Значит, компоненты собственного вектора, соответствующего А,, =--3,
равны. Любой вектор вида ( * 1 является собственным вектором мат-
матрицы Л, если х, Ф 0. В частности, вектор f J — собственный.
Для А2 = 1 уравнением собственного вектора служит Лх == х,
или
2 —О/ \А'2/ \Х,
Компоненты собственного вектора удовлетворяют соотношению хх~
/3*2 \
= Зх2. Если х2 Ф 0, то любой вектор вида [ ) является собственным
вектором Л, соответствующим собственному значению 1. В частности,
/3\
вектор L) — собственный. А
Пример 3.6.2. Вычислить собственные значения и собственные векто-
/1 3 0\
ры для матрицы А = 7 • 5 1.
\0 -4 1 /

124 Глава 3. Векторы и матрицы
Д det (Л — U)^=
= A-^-21A—^)+ 20A—Л) = A—Л) [A— ^J-Ц-
,—2)-= —Я,(Л,— 1)(А,—2).
Собственными значениями являются \г = О, Х2 = 1 и А,3 = 2. Соот-
Соответствующие уравнения собственных векторов таковы; 1) Лх =» 0;
2) Лх = х; 3) Лх = 2х.
хх + Зх2 = 0,
Из первого уравнения следует, что хг = — Зл:2. Согласно третьему урав-
уравнению, х3 = 4х2. Если хх = —Зх2 и х3 = 4#2, то удовлетворяется и вто-
/ З
рое уравнение. Значит, если л;2=^0, то ^ I является собственным
/ 3\
вектором. В частности, вектор! * I — собственный.
\—4/
Таким образом, д:2 = 0 и 7^ + 5л:3 == 0. Собственным вектором, соот-
/
ветствующнм А,2 = 1, является вектор х = I
V
Таким образом, хг = Злг2, а х3 = —4л:2 и х = N является собственным
V-4/
вектором, соответствующим значению ^3 == 2. ^
В гл. 5 задачи на собственные значения для стохастических мат-
матриц размера п X п будут изучаться в несколько иной форме. Мы до-
докажем, что если Р — стохастическая матрица размера п X п (см.

§ 3.6. Собственные значения и собственные векторы 125
определение 5.1.2), то существует л-мерный вектор-строка t такой, что
\р = t. Это уравнение можно записать в виде
fP\\ Рп ... Pin
4 4 4 \\ Рг\ Ргг ••• Рт
/i» 1ъ •••> 1п) I .
Рп2 ... Рпп
Теорию собственных значений и собственных векторов можно было бы
развить точно таким же путем, используя уравнение хА = кх вместо
Ах = Лх. В частности, нетривиальный собственный вектор t, удовлет-
удовлетворяющий соотношению ХР = t (т. е. 1 является собственным значе-
значением), существует тогда и только тогда, когда система t (Р — /) = О
имеет нетривиальное решение. Это происходит тогда и только тогда,
когда det (Р — /) = О,
Задачи к § 3.6
1. Докажите, что если А — диагональная матрица размера п X я, то собствен-
собственные значения А равны диагональных! элементам.
2:' Докажите', что если А — матрица размера п X л, имеющая обратную матри-
матрицу А, то собственные значения А~1 являются обратными числами для соб-
собственных значений А. Иначе говоря, докажите, что если К — собственное зна-
значение А, то 1/Х является собственным значением А*1.
3. Пусть х является собственным вектором матрицы А размера п X п, соот-
соответствующим собственному значению 0, и Л у = Ь, где b — ненулевой вектор.
Найдите бесконечное множество решений г векторного уравнения Аг = Ь.
4. Найдите все собственные значения и собственные векторы для следующих
матриц:
5 1\ /4
5. Найдите все собственные значения и собственные векторы для следующих
матриц:
/О —\\ ( 1 2\ /1
а) (. о); б) (-1 з> в) (,
(Эти примеры показываю^, что собственные значения могут быть и комплекс-
комплексными числами; см. Приложение Д.)
6. Найдите все собственные значения и собственные иыиоцы
7. Найдите собственные значения и собственные векторы для следующих матрйП:
/3 2 4\ / 2/3 2/3 1/3N
а) 12 О 2 1; б) ( -2/3 -1/3 2/3
\4 2 3/ V 1/3 -2/3 2/3;

126 Глава 3. Векторы и матрицы
8. Докажите, что собственные значения верхней треугольной матрицы попро-
попросту совпадают с диагональными элементами этой матрицы.
9. Найдите все собственные значения а собственные вектэры для следующих ма*
трлц:
а) (о i> б) (о з> в)
10. Наедите все собственные значения и собственные векторы для следующих
матриц:
11» Найдите Есе собственные значения и собственные векторы для следующих
матриц:
'9 —3 2 1\ /6 10 —
.0 4—1 11 10 8 3
а) I о о 1 о V б) о о -6 2
—3/ \0 0 0 —Зу
12. Характеристический многочлен матрицы А размера п X п представляет со-
собой многочлен det (А — К!) степени п.
а) Докажите, что его старший член (т. е. член с наивысшей степенью А)
равен (— 1)пХп.
б) Полагая в характеристическом многочлене X = 0, докажите, что его
постоянный член (т. е. член, не зависящий от Я) равен det A.
в) Покажите, что произведение всех собственных значений равно det A.
13. Рассмотрим экосистему, которая содержит т сосуществующих видов. Опре-
Определим популяционный вектор экосистемы п (t) в момент времени t как т-мер-
ный вектор-столбец, у которого i-й компонент п-г (t) представляет собой чис-
численность i-ro вида в момент /. Определим также A (t) как матрицу перехода
экосистемы от момента 1к моменту t + 1. Это означает, что n (I i 1) =
= А @ п (/)• Рассмотрим частный случай:
A+0,05^ 0 0
0 1 0,05^
0 0 1—0,1/>
а) Вычислите п A), п B), п C) и п D).
б) Опишите в биологических терминах эволюцию этой экосистемы из трех
конкурирующих видов на протяжении первых четырех периодов времени.
в) Когда произойдет вымирание третьего вида?
14. В связи с задачей 13 докажите, что в общем случае n (t)=A (t — 1) A (t —
— 2) ... А A) А @). Пусть п B1) = п B0); докажите, что у матрицы А B0)
есть собственное значение 1, Каков биологический смысл равенства п B1) =
= п B0)?

4
Линейное
программирование
4.1. Введение
Во многих приложениях математики и биологии возникает задача оты-
отыскания максимума или минимума данной функции. Нетрудно предста-
представить себе примеры подобных задач. Какова максимальная скорость, с
которой ткани животного могут обеспечиваться кислородом? Какова
минимальная скорость размножения, необходимая для выживания дан-
данного вида? Какова максимальная биомасса, которую может поддержи-
поддерживать данная^косистема? Как можно удовлетворить пищевые потребно-
потребности хищника при минимальных затратах энергии? Когда животное
движется из одной точки своего местообитания в другую, оно может
стремиться минимизировать либо необходимое для этого время, либо
затраченную энергию. Изучение мигрирующих лососей* показало, что
лосось плывет с такой скоростью, которая минимизирует общие за-
затраты энергии, необходимые для того, чтобы добраться до нерестили-
ш<а-
Задачи максимизации и минимизации в биологии обычно сопро-
сопровождаются ограничениями или пределами на биологические перемен-
переменные. Эти ограничения могут быть следствием физиологических пределов
или пределов доступности жизненных ресурсов. Например, скорость
размножения данного вида может быть ограничена длительным перио-
периодом беременности либо доступным пространством или пищей. Некото-
Некоторые ограничения на биологические величины выступают просто очевид-
очевидными следствиями их определений. Например, скорость мигрирующе-
мигрирующего лосося не может быть отрицательной.
В данной главе рассматривается специальная задача максимизации
или минимизации линейной функции нескольких переменных при на-
наличии линейных ограничений. Вместо того чтобы давать на данном эта-
этапе общее определение этой задачи, рассмотрим следующий пример,
который будет в дальнейшем обобщен.
Пример 4.1.1. Горное озеро в одном национальном парке заселяется
каждой весной двумя видами рыб: St и S2. Средняя масса заселяемой
рыбы равна 4 фунтам лля 5\ и 2 фунтам для S2. В озере имеется два
вида пищи: Рг и F2. Средние потребности одной рыбы вида St составля-
* Brett J. R. The Swimming Energetics of Salmon, —Scientific Ameri-
American. Aug. 1965, JSfe 213, p. 80-65.

128
Глава 4. Линейное программирование
ют 1 ед* Ft и 3 ед. F% в день.
Аналогичные потребности
для S2 составляют 2 ед. Ft и
1 ед. F2. Если ежедневный
1000
Рис. 4.1
запас пищи поддерживается на уровне 500 ед, Рг и 900 ед. /*2, то как
следует заселить озеро, чтобы максимизировать общую массу двух
видов рыб?
Д Пусть xt и х2 обозначают численности рыб вида St и Sa, заселен-
заселенных в озеро. Общая масса заселенной рыбы задается выражением
w чхх -f ?X2> v4**!
общее потребление пищи F* ра$но хх + 2л:2, а общее потребление пи-
пищи F2 равно Зхх + х2. Так как имеется 500 ед. Fx и 900 ед. F2, то должны
выполняться условия
хх + 2х2 < 500, Зхх + х2 < 900. D.2)
Наконец, очевидные ограничения выглядят так:
хх > 0, х2 > 0, D.3)
поскольку невозможно заселить озеро отрицательным количеством рыб
какого-либо вида.
Это типичная задача линейного программирования: определить мак-
максимум W при ограничениях D.2) и D.3). Данную конкретную задачу
легко решить геометрически. На рис. 4.1 в плоскости хх0х2 проведены
прямые хг + 2х2 = 500 и Зхх + х2 = 900.
Решение задачи должно удовлетворять условиям D.2) и D.3).
Значит, дqлжны рассматриваться лишь те точки в положительном

§ 4.1. Введение 129
квадранте плоскости хх0х2, которые лежат ниже прямой хг 4* 2х% =»
= 500 и левее прямой Зл^ + х2 = 900. Эти точки лежат в заштрихо-
заштрихованной области, обозначенной на рис. 4.1 буквой S. Чтобы решить за-
задачу, нужно отыскать максимум величины W = 4хг + 2х2 в области
S. Для этого построим прямые 4xt + 2х2 = с при различных значе-
значениях с (рис. 4.2). На каждой из этих параллельных прямых значение
W равно б в любой точке прямой. Поэтому, чтобы отыскать максимум
W в S, найдем прямую 4^ + 2х2 = с, пересекающую область S и
имеющую наибольшее значение с. Значение с возрастает по мере того,
как параллельные прямые передвигаются вправо. Как видно из рис. 4.2,
максимальное значение W совпадает со значением с для прямой 4хг +
+ 2х2 = с, проходящей через Р — точку пересечения прямых хг +
+ 2х2 — 500 и Зхг + х2 = 900. Координатами Р являются хх = 260
и х2 = 120, что дает значение W = 4-260 + 2-120 = 1280. Итак,
получаем, что в озере можно поддерживать максимальную массу в
1280 фунтов, если заселить 260 рыб вида St и 120 рыб вида S2.
Следует самостоятельно убедиться в том, что другие точки мно-
множества S имеют координаты хх и х2у которые дают меньшие значения
для W. В остальных параграфах данной главы будут обобщаться идеи
этого примера. А
Задачи к § 4.1
1. Найдите численности рыб вида Sf и вида S2, которые могут сосуществовать в
озере (пример 4.1.1) при общей массе 1200 фунтов. Укажите соответствующие
точки в плоскости XiOx2 (см. рис. 4.1).
2. Предположим, что в условиях примера 4.1.1 ежедневный запас пищи под-
Л держивается на уровне 1000 ед. Z7, и 1800 ед. F2. Как следует заселить озе-
озеро, чтобы максимизировать массу рыбы, которую в нем можно поддерживать?
3. Как следует заселить озеро в условиях задачи 2, если ежедневный запас пищи
поддерживается на уровне 1000 ед. для Fx и 1000 ед. для F2?
4. Пусть в озере имеется т видов пищи, ежедневный запас которых поддержи-
поддерживается на фиксированных уровнях, и известны ежедневные потребности з
этих видах пищи для средних особей п видов рыб. Сформулируйте общую зада-
задачу о заселении озера с целью максимизировать: а) численность рыб, которую
можно поддерживать в озере; б) общую массу рыб. (Это задачи линейного
программирования на отыскание максимума.)
5. Как следует заселить озеро в условиях примера 4.1.1, чтобы максимизи-
максимизировать общую численность рыб, которую можно поддерживать в озере?
6. Как следует заселить озеро в условиях задачи 2, чтобы максимизировать об-
общую численность рыб которую можно поддерживать в озере?
7. Как следует заселить озеро в условиях задачи 3, чтобы максимизировать
общую численность рыб? Какова в этом случае общая масса рыб?
8. При производстве удобрений смешивают в различных соотношениях три хи-
химических вещества, а удобрения продаются в упаковках по 100 фунтов.
Предположим, что три этих вещества стоят соответственно 20, 15 и 5 центов
за фунт. В любой смеси должно присутствовать не менее 20 фунтов первого
вещества, а количество третьего вещества не должно превышать количество
второго. Какова смесь, которая минимизирует стоимость упаковки удобрения?
(Это задача линейного программирования на отыскание минимума.)
9. Найдите максимум функции w — 3^ + 8л;2 при ограничениях хх + 2х2 <С 4,
3xt + 2х2 < 6.
5 Зак. 1370

ш
Глааа 4. Линейное программирование
Рис. 4.3
Рис. 4.4
4.2. Выпуклые множества и линейные неравенства
В данном параграфе будут изучаться подмножества R" — пространства
/ьмерных вектор-строк. Прежде всего мы рассмотрим частный слу-
случай R2 — пространства двумерных векторов. В аналитической геомет-
геометрии дается удобное представление R2 как двумерной плоскости. Пусть
а = (аи а2) и b = (bu b2) — две точки (или два вектора) в R2. Векто-
Векторы a, b и b — а изображены на рис. 4.3.
Если t — любое действительное число, заключенное между 0 и 1,
то / (Ь — а) является вектором, совпадающим по направлению с век-
вектором b—а. Он изображен на рис. 4.4. Согласно правилу сложения
векторов, а + / (Ь—а) есть вектор, изображенный па рис. 4.4. Вид-
Видно, что вектор а +- t (b — а) при 0^ t ^ 1 соответствует точкам от-
отрезка прямой, соединяющего точки а и Ь. С увеличением t от 0 до I
точка а + t (Ь — а) движется от а к Ь. Заметим, что эту точку можно
записать как a i- / (b — а) = A — f) a + tb.
Пример 4.2.1. Пусть а = A, 0) и b = @, 1) (рис. 4.5). Уравнение
прямой, проходящей через точки а и Ь, имеет вид х1 + х2 = 1. От-
Отрезок прямой, лежащий между точками а и Ь, представляет собой мно-
множество точек
{A — /)а + tb :0</< 1} — {A — /, 0
1}.
Например, / = 1/3 соответствует точке B/3, 1/3) на этом отрезке.
Определение 4.2.1. Выпуклое множество в R2. Пусть
S является подмножеством R2 — множества двумерных вектор*
строк. Подмножество S называется выпуклым множеством^ если каж-
каждая точка отрезка прямощ соединяющего любые две точки S, также
является точкой S. В эквивалентной форме мноясество S в R2 называ-
называется выпуклым, если из условия a, b 6 5 следует, что A — t) a + tb ?
eS при 0 < / < 1.
Пример 4.2.2. Изображенные на рис. 4.6 множества а и б являются вы-
выпуклыми, а множества в и г выпуклыми не являются.

§ 4,2. Выпуклые множества и линейные неравенства
Пример 4.2.3. Доказать, что
множество S = {(хь х2) : х\ +
+х% ^ 1} выпукло. Множество
S представляет собой множе-
множество точек, лежащих внутри
131
Рис. 4.6
и на окружности в R2 с центром в начале координат и радиусом
1 <рис. 4.7).
Л Требуется доказать, что если а и b принадлежат S, то и любая
точка A — t) a + tb при 0 ^ t ^ 1 также принадлежит S. Восполь-
Воспользуемся неравенством треугольника для длины суммы двух векторов
(см. задачу 3.1.10). Так как а и Ь принадлежат S, то ||а|| ^ 1 и ||Ь|| <
< 1. Пусть для определенности ||а|| ^ ||Ь||. Тогда
11A -Оа|И
(поскольку 0 ^
0 ||a|f+*l|b||
Таким образом, при 0 ^ / ^ 1 все точки вида A — /) а + tb принад-
принадлежат S, т. е. множество S выпукло. ^
Обобщим теперь эти понятия, введенные в пространстве R2, на
случай пространства R".
Определение 4.2.2. Отрезок прямой в R*. Пусть а = (аи
д2, ..., ап) и b = (blf b2, ..,, bn) — две точки (или два вектора) в R".
Отрезком прямой, соединяющим а и Ь, незывается множество точек
{(I _/)а + Я> :0< /< 1}.
Определение 4.2.3. Выпуклое множество в R/l. Мно-
Множество S в R" называется выпуклым, если из условия a, b 6 S сле-
следует, что и A — /) а + /Ь 6 S при 0 < t < 1.
Теорема 4.2.1. Пересечение двух выпуклых множеств является выпук-
выпуклым множеством.
? Пусть Sx и 52 — два выпуклых множества в Rn; предположим,
что а и b принадлежат пересечению St П S2. Тогда a, b 6 5г и a, b 6 Sif
а значит, и A — /) а + tb при 0 < t ^ 1 принадлежит Sx и S2. Таким

132
Глава 4. Линейное программирование
Рис. 4.7
Рис. 4.8
образом, A — t) a + tb принадлежит Sx П S2, т. е. Sx П S2 выпукло.
(Аналогично доказывается, что пересечение любого числа выпуклых
множеств есть выпуклое множество.) Ш
Пример 4.2.4. Множества Sa = {(хг, х2) : А + х\ ^ 1} и S2 = {(хь
х2) : л^ ^ 1/2} являются выпуклыми в R2. Поэтому их пересечение,
т. е. множество Sx D S2 = {(jq, x2) : xf + лЦ < 1, хх^ 1/2}, также
является выпуклым. Это показано на рис. 4.8.
В теории линейного программирования центральную роль играют
следующие определение и теорема.
Определение 4.2.4. Линейная функция на Rn. Функ-
Функция /, определенная для х = (хг, х2у ..., хп) 6 R", называется линейной,
f (х) = сгхг + с2х2 + ... + спхп D.4)
при некоторых постоянных с5, с2у ..., сп.
Теорема 4.2.2. Пусть f — линейная функция на R", а а и b — два
вектора в R". Тогда на отрезке прямой, соединяющем амЬ, линейная
функция f принимает значения между f (а) и / (Ь).
О Можно считать, что / (а) < / (Ь) (при / (Ь)< / (а) доказательст-
доказательство аналогично). Если 0 ^ / < 1, то конец вектора A — t) а + /Ь
лежит на отрезке прямой, соединяющем а и Ь. Вычисляя значение /
в точке A — t) а + ЛЬ, получаем
/ (A — 0 а + /Ь) = ^ [A —t)ax + tbt] + с2 Щ —t)a2 + tb2) +...
... + сп [A — t) an + tbn) = A — t) [сгах + с2а2 + ... + спап] +
+ t kA + c2b2 + ... + cnbn] = A - f) f (a) + tf(b).
Так как / (а) < / (b), то
A - t) f (a) + // (a) < / (A - /) a + tb) < A - t) f (b) + // (b),
или

§ 4.2. Выпуклые множества и линейные неравенства
133
Рис 4 9
Следствие (теорема 4.2.3). Если f—
линейная функция на R", а и b — два
вектора в Кп, причем f (a)=/(b), то на
отрезке прямой, соединяющем а и Ь, функ-
функция f постоянна.
Пример 4.2.5. Каковы значения, принимае-
принимаемые функцией / (я) = *! — х2 + 5х3 на от-
отрезке прямой, соединяющем точки A, 0, 2)
и C, 2, 0) в R3?
Л Имеем / A, 0, 2) = 11 и / C, 2, 0) =
= 1. Значит, на отрезке от A, 0, 2) до C,
2, 0) линейная функция /убывает от И
ДО 1. ^
Уравнение прямой в пространстве R2 можно записать в виде
агхг + а2х2 = bt D.5)
где ах, а2 и b — действительные числа. Эта прямая разбивает Ra
на три непересекающиеся подмножества, т. е. R2 = S1 U S2 U S3, где
Si = {(xlf x2) : 0i*i + <% = &}, D.6)
o2 = |(-^ij x2) *. a^Xi "г" a2x2 j> i?j, 03 == {(#1, лс2/ J a-^x^ ~т~ а2х2 <C. $/•
Точками подмножества Sx служат точки, лежащие на прямой.
Определение 4.2.5. Открытые и замкнутые полу-
полуплоскости. Для действительных чисел аъ а2 и b множества S%
и S3, определенные выше, называются открытыми полуплоскостями в
R2. Множества
SI I 9 //Г V \ • П V -J-/YV *^ h\
J U »J 2 \\*^'1> ^2/ * ^1^1 1^ W2A2 j;;^ t/f
называются замкнутыми полуплоскостями в R2.
Пример 4.2.6. На рис. 4.9 изображены три множества: «^ = {(хи
Y \ • *^V -4- 9v fi\ ^ / IV Y \ • ^Y -i- 9 Y **>* fi\ IT Q //r
#2) • 3^x + 2лг2 < 6}. Множество Sx П S2 является замкнутой полупло-,
скостью, точками которой служат все точки R2, не принадлежащие
S3. Это точки, находящиеся на прямой Зхг + 2х2 = 6 и выше нее.
Эти понятия можно обобщить для случая п измерений.
Определение 4.2.6. Гиперплоскость в Rn. Множество
Н = {х = (х19 х2, ..., хп) : аххг + а2х2 + ... + апхп = Ь),
где аъ а2, ..., ап и b — действительные числа, называется гиперплоско-
гиперплоскостью в R".
Определение 4.2.7. Открытые и замкнутые полу-
полупространства в R". Множества
{х = (хъ х2, ..., хп) : агхг + а2х2 + ... + апхп < Ь}
и
/Y (Y Y Y \
lA \Л1» •^'2.» •**> ЛЯ/

|34 Глава 4. Линейное программирование
называются открытыми полупространствами, Соответствующими
замкнутыми полупространствами называются множества
{х : аххх + а2х2 + ... + апхп < Ь)
и
{х : avx± + а2х2 + ... + апхп > Ь).
Гиперплоскость // (см. предыдущее определение) называется гра-
граничной гиперплоскостью для этих полупространств.
Теорема 4.2.4. Полупространства в Rn являются выпуклыми множест-
множествами.
О Пусть а^хл + а2х2 + ... -f- апхп = Ъ представляет собой граннч*
ную гиперплоскость для данного гиперпространства. Определим ли-
линейную функцию / как / (х) = агхг + а2х2 + ... + апхп. Пусть х и у
принадлежат одному из гиперпространств с этой граничной гипер-
гиперплоскостью. Допустим для определенности, что х и у принадлежат полу-
полупространству {х : а1х1 ~f- а2х2 -f ... + аахп ^ Ь}. Тогда / (х) ^ b и
/ (у) ^ Ь. Из теоремы 4.2.2 следует, что / (A — /) х + ty) равно не-
некоторому числу, заключенному между / (х) и / (у), если 0 ^ t ^ 1.
Значит, и / (A — t) х + ^у) ^ Ъ, что и требовалось доказать. Для
всех открытых и замкнутых полупространств с данной граничной
гиперплоскостью доказательство аналогично. ¦
В линейном программировании нас будут интересовать множества,
образованные в результате пересечения полупространств.
Определение 4.2.8. Многогранное выпуклое множе-
множество. Пересечение конечного числа замкнутых полупространств назы-
называется многогранным выпуклым множеством.
Определение 4.2.9. Вершина многогранного выпук-
выпуклого множества. Точ§а х в R" называется вершиной много-
многогранного выпуклого множества С, если х 6 С и х является точкой пере-
пересечения п граничных гиперплоскостей, которые определяют С. Верши-
Вершину называют также угловой (или крайней) точкой многогранного вы-
выпуклого множества.
Определение 4.2.10. Множество решений системы
линейных неравенств. Множество векторов х = (хъ х2>
• .., Ху,) в Rn9 компоненты которых удовлетворяют т линейным неравен-
неравенствам
апхг + а12х2 + ... + alnxn < bu
апхг + а.22х2 + ... + а2ахп < b2f
D.7)
flmA + Ят2*2 + ••• + атпхп < Ьт,
называется множеством решений системы линейных неравенств.

§ 4.2. Выпуклые множества и линейные неравенства
135
В определении 4.2.10 все не-
неравенства записаны со знаком «^».
Умножая любое из неравенств на
— 1, можно изменить его знак
на противоположный. Множество
решений определено для систем
линейных неравенств как со зна-
знаком «5?», так и «г^>. Систему D.7)
можно записать в более компактной
форме. Пусть А = (ац) — матри-
матрица размера т х п, в которой //-й
элемент равен aijy и пусть вектор-
Рис. 4.10
столбцы х =
имеют соответственно пит компонен-
компонентов. Тогда Лх представляет собой m-мерчый вектор-столбец, компо-
компоненты которого не превосходят соответствующих компонентов Ь. Это
записывается в виде
Ах < Ь. D.8)
Векторное неравенство D.8) эквивалентно т неравенствам D.7). Как
показывает нижеследующая теорема, множество решений неравенств
D.7) имеет довольно простую геометрическую структуру.
Теорема 4.2.5. Множество решений системы т линейных неравенств
D.7) является многогранным выпуклым множеством в R'2.
П Векторы пространства R'\ удовлетворяющие линейным неравен-
неравенствам D.7), должны лежать в каждом из т полупространств, определен-
определенных этими неравенствами. Множество решений представляет собой
пересечение конечного числа замкнутых полупространств и потому
является многогранным выпуклым множеством. ¦
Пример 4.2.7. Изобразить множество решений следующей системы
линейных неравенств в R2:
Зх2
6,
2,
А Искомое множество решений соответствует заштрихованной об-
области на рис. 4.10. Вершинами множества решений служат точки
@, 2), @, —2) и C, 1). Они являются точками пересечения прямых,
ограничивающих множество решений. Например, C, 1)—точка пе-
пересечения прямых хх + Зх2 = 6 и хх — х2 — 2. А
В примере 4.2.7 многогранное выпуклое множество (множество
решений) ограничено. (Все точки множества можно поместить в не-

Глава 4. Линейное программирование
Рис. 4.11
Рис. 4.12
который круг с центром в начале координат). Это имеет место не всег-
всегда. Любое полупространство служит примером многогранного выпук-
выпуклого множества, которое, очевидно, неограниченно.
Пример 4.2.8. Найти вершины множества решений следующей систе-
системы линейных неравенств в R2:
хг + 2х2
3*! + 2х2
4,
6,
Л Множество решений представляет собой заштрихованную область
на рис. 4.11. Вершинами служат точки @, 2) и A/2, 9/4). Заметим, что
точка @, 3) вершиной не является, так как не удовлетворяет первому
неравенству. Это множество решений неограниченно. А
Пример 4.2.9. Найти множество решений следующей системы линей-
линейных неравенств в R2:
О,
хг — х2
2.
А Предположим, что х = (хъ х2) удовлетворяет первым двум не-
неравенствам. Тогда хг > х2 и хг + х2 < 1, т. е. 1 > хг + х2 > 2х29
откуда следует, что х2 ^ 1/2. Но это противоречит третьему неравен-
неравенству. Так как в R2 не существует точек, которые удовлетворяли бы
всем трем неравенствам, то множество решений пусто. Это показано
на рис. 4.12. А
Задачи к § 4.2
1. В R2 заданы векторы а = B,3) и Ь= (-1, 2). Нарисуйте векторы 0 — !)*+
+ tb для / = — 1, 0, 1/3, 2/3, 1 и 2.
2. Какие из нижеприведенных множеств векторов представляют собой непустые
выпуклые множества? Изобразите графически каждое из этих непустых мно-
множеств:

0 4.2. Выпуклые множества и линейные неравенства J37
, *2 < 1};
в) S3 = {x = (^, дг2)
г) S4 = {x = (*t,*2) : xf + *l<4 или (*!—
д) 55^{x = (jrlt*2)
& а) Найдите все плоскости в R3, которые проходят через точку (I, 0, 0)*
б) Какие из плоскостей п. а) проходят также через точку @, 1, 0)?
в) Какие из плоскостей п. б) проходят также через точку A, 1, 1)?
4. а) Найдите все гиперплоскости в R4, которые проходят через A,1,1.0) и @, I,
I) 1).
б) Какие из гиперплоскостей п. а) проходят также через @, 0, 0, 0)?
в) Какие из гиперплоскостей п. б) проходят также через (— 1, 0, 0, 0)?
5. Опишите множество X точек в R2, которые удовлетворяют условиям 2хх +
+ х2 > 1, хх + 2*2 ;> 1, ^ + д;2 < 3, ^ > 0 и jc2 > 0. Изобразите это мно-
множество графически.
6. На множестве Х> определенном в задаче 5, найдите максимальные и минималь-
минимальные значения для следующих линейных функций: а) / (хъ х2) = 3*г + bxt;
б) g (*ъ х2) = 2хх + х2\ в) h (хх, х2) = 2хх + 2*2. Проиллюстрируйте реше-
решения графически.
7. Докажите, что множество решений системы линейных неравенств
ХХ + *2 + Х8 < 5»
хх — 2х2 + х9 < 2,
*i + *з > 6
пусто в R3.
8. Найдите значения, принимаемые данными линейными функциями на отрбэке
прямой между заданными точками а и b в R3:
а) / (х) - xt - х2 + Зл:3, а - A, 0, 0), b = @, 0, 1);
б) / (х) = хх + 2х2 - Зл:3, а = A, 1, 0), b = @, 0, - 1);
в) / (х) - 2xt - 2х2 + *3, а - A, 1, 1), b - B, 0, 2).
9. Графическим методом найдите максимальное и минимальное значения нели-
нелинейной функции / (хъ х2) — (*! — IJ + (х2 + IJ на выпуклом множестве в
R2, заданном неравенствами хх + 2х2 -< 5, хг > 0 и х2 > 0. [Указание:
постройте кривые / (хъ х2) = const для различных значений постоянной.]
10. Графическим методом найдите максимум и минимум линейной функции
/ (*ъ хъ) = %Х1 + 4аг2 на выпуклом множестве в R2, заданном условиями
* л:| + *1 < 25, *i > 0 и л:2 > 0.
П. На складе биологического факультета было решено иметь не менее 1000 мен-
мензурок одного размера и не менее 1500 мензурок другого размера. Из-за
ограниченного пространства общее число хранимых мензурок не может пре-
превышать 4000. Изобразите графически все возможные комбинации запаса
мензурок двух размеров.
12. Если в условиях задачи 11 мензурка первого типа стоит 10 центов, а вто-
второго — 8 центов, то каковы минимально возможная и максимально возмож-
возможная стоимости запаса мензурок? Решение этой задачи проиллюстрируйте
графически.
13. Найдите такие матрицы А и такие вектор-столбцы Ь, с помощью которых
следующие системы линейных неравенств можно записать в виде Ах <! Ь:
а) хх + 2х2 < 5, , б) хх — 2х2 < 4,
Хг > 0, xt + х2 < 2,
х2 > 0; хх + 3*2 < 3;

138 Глава 4, Линейное программирование
B)*t+ *2+ Jts<f# r) rj- *2+2*а<5,
*х + 3jCjj + 4*3 < 3, *i + Зх.2 — *g < 5,
xt > 0, — % + *2 + *з < &•
*2 > 0;
14. Для заданных матриц Л и векторов b найдите графически множества решений
векюрных неравенств Ах < b в R2:
-
E. Интересный пример приложения идеи выпуклых множеств в Rn представля-
представляют собой множества приспособленностей по Левинсу*. Фенотип некоторого
вида может иметь разные «приспособленности» Wx и Wz в двух различных
местообитаниях. Предположим, что все фенотипы вида "соответствуют, точ-
точкам выпуклого множества W\ + W\ < 10, ZWX — W2 > 0 и 3W2 — Wt >
>¦ 0 Какой фенотип (т. е. точка этого множества) максимизирует": №,; W2;
\&i + ^2? (Это фенотипы, наиболее приспособленные к местообитанию со-
соответственно первого, второго и смешанного типа.)
16. Изобразите множество приспособленностей Wt + Щ < 32, 2Wt — U72 > 0,
2W2— ^>0и (Wx — 5J + (W2 — 5J < 25. Какая точка этого множест-
множества максимизирует: Wx; W»; Wt+ W<>? Какие точки минимизируют эти функ-
функции?
4.3. Линейное программирование: метод перебора вершин
В этом параграфе мы будем решать задачу максимизации общей массы
рыб, которую можно поддерживать в озере, при ограничениях на запа-
запасы пищи. Данная задача — это частный случай общей задачи, которая
будет изучаться в последующих параграфах этой главы.
Определение 4.3.1. Задача линейного программи-
программирования: найти вектор х = (xlf x2f ..., хп) в R'1, который макси-
максимизирует (или минимизирует) линейную функцию
f (х) = сгхг + с2х2 + ... + спха D.9)
и удовлетворяет т + п линейным неравенствам
2п хп
ml
Levins R. Evolution in Changing Environments, Princeton Univer*
sity Press, Princeton. N. YM 1968.

§ 4.3. Линейное программирование: метод перебора вершин
В терминологии программирования линейная функция / (х) назы-
называется целевой функцией задачи. Множество решений системы линейных
неравенств D.10) называется условным множеством задачи. Любой век-
вектор х из условного множества является допустимым решением. Оп-
Оптимальным решением является вектор х*, при котором целевая функ-
функция принимает свею максимальное (или минимальное) на условном мно-
множестве значение.
Пр!шер 4.3.1. Сформулировать условие примера 4.1.1 в виде задачи
линейного программирования на отыскание максимума.
Л Требуется найти вектор х = (хи х2) в R2, который максимизи-
максимизирует общую массу W = 4хх + 2х2. Это целевая функция / (х). Огра-
Ограничения на х таковы:
хг + 2х2 < 500, Зхх + х2 < 900,
хх > 0; х2 > 0.
Условное множество соответствует заштрихованной области на рис. 4.2.
Как было показано, оптимальное решение есть х* = B60, 120). ^
Общую задачу линейного программирования можно записать в бо-
более удобной форме с помощью матричных н векторных обозначений.
Определим векторы
(х
|2
и матрицу
On
•
«ml
«12
«22
«»l2 -
.. «2n
Тогда общая задача линейного программирования состоит в том, что-
чтобы максимизировать (или минимизировать) / (х) = с«х при ограниче-
ограничениях Лх ^ b и х ^ 0. (Векторное неравенство u ^ v означает, что
векторы и и v имеют одинаковое число компонентов, причем каждый
компонент и не превосходит соответствующего компонента v.)
Существует элементарный метод решения задачи линейного про-
программирования на максимум или минимум, когда условное множе-
множество ограничено, т. е. когда оно занимает конечную область в R". К
сожалению, этот метод практически неприменим, если число перемен-
переменных велико. Метод базируется на следующей теореме.
Теорема 4.3.1. Линейная функция /(х) = с-х, заданная на огра-
ограниченном многогранном выпуклом множестве* 5, принимает свои
максимальное и минимальное значения в некоторых вершинах 5.
* Ограниченное многогранное выпуклое множество в дальнейшем называет-
называется выпуклым многогранником, а в случае R2 — выпуклым многоугольником. —
Прим, пер.

140
Глава 4, Линейное программирование
? Проведем доказательство для
случая R2, основанное на простых
геометрических рассуждениях; в
случае R" идея доказательства та же
Рис. 4.13
Рис. 4.14
самая. На рис. 4.13 изображен выпуклый многоугольник S. У него
имеется п вершин Ръ Р2, Р3, ..., Pky Pk+1> ..., Рп. Вычислим значе-
значения f (х) = сх в этих п вершинах. Допустим, что максимум среди
этих п значений достигается в точке Рх. Тогда / (Pk) ^ / (Рг) при
k = 2, 3, ..., я. Пусть Q — любая точка множества S. Требуется дока-
доказать, что / (Q) <; / (Рг). Рассмотрим отрезок PXQR, где R — точка
пересечения прямой, проходящей через Рх и Q, с границей S. Предпо-
Предположим, что R лежит на отрезке, соединяющем Pk и Ph+V Тогда (по
теореме 4.2.2) значение / (R) находится между / (Рк) и / (Pfe+i)- Та-
Таким образом, f (R) ^ / (Pi)- Но Q лежит на отрезке, соединяющем
Л и /?, и потому / (R) <; / (Q) ^ / (Рг). Так как точка Q была выбрана
произвольно, то мы заключаем, что максимум f (х) = с«х на множестве
S достигается в вершине угла. Аналогично производится доказательст-
доказательство в случае минимума / (х).
Доказательство этой теоремы другим способом можно получить,
рассматривая в R2 параллельные прямые, заданные уравнением
/ (х) == сгхг + с2х2 = / при различных значениях постоянной /. С ро-
ростом / прямые с«х = I перемещаются на плоскости (рис. 4.14). Каждая
вершина выпуклого многоугольника S соответствует какому-то опреде-
определенному значению /. Обозначим через 1г и /2 минимальное и максималь-
максимальное значения / среди всех вершин S. Тогда из элементарных геометри-
геометрических соображений ясно, что 1Х ^ / (х) ^ /2 для любого х из 5, а это
и есть доказываемый результат. ¦
Заметим, что теорема может быть несправедлива, если S неогра-
неограниченно, поскольку в этом случае минимальное и максимальное зна-
значения / на множестве S (конечные), вообще говоря, не существуют.
Теорема 4.3.1 дает для решения задач линейного программирова-
программирования на максимум или минимум следующий трехшаговый метод — ме-
метод перебора вершин:
1. Найти все вершины выпуклого многогранника, заданного огра*
нпчениями D.10),

§ 4.3, Линейное программирование; метод перебора вершин HI
2. Вычислить значения / (х) в каждой из вершин.
3. Найти те вершины, в которых / (х) принимает максимальное и
минимальное значения. (Если / (х) принимает максимальное значение
на двух вершинах, то она принимает это значение и в каждой точке
отрезка, соединяющего две эти вершины.)
Найденные в результате этих шагов вершины служат оптимальны-
оптимальными решениями задач на максимум и минимум. Этот метод всегда дает
решения, если они существуют. Трудность в практическом осуществле-
осуществлении указанного метода состоит в том, что во многих приложениях чис-
число ограничений т-\-п может быть довольно большим. При этом первый
/ /71 +Л \ @1 +Я)!
шаг может потребовать решения ( I = —:—г~ систем из п ли-
линейных уравнений. Если, например, т = п = 5, то потребуется найти
252 вершины. Некоторые упрощения возможны, однако в общем слу-
случае задача становится крайне громоздкой, если решается таким ме-
методом. В последних двух параграфах этой главы излагается более си-
систематический метод, позволяющий избавиться от необходимости отыс-
отыскания всех вершин многогранника.
В примере 4.1.1 было получено, что максимальное значение функ-
функции W = 4хг + 2*2, равное 1280, на условном множестве достигает-
достигается в вершине B60, 120). Минимальное значение W равно 0 и достига-
достигается в вершине @, 0). Можно определить все остальные вершины и убе-
убедиться в том, что значения W в них находятся между 0 и 1280.
Следующий пример показывает, что уже в пространстве трех изме-
измерений с шестью ограничениями задача может оказаться весьма слож-
сложной.
Пример 4.3.2. Найти оптимальные решения задач на максимум
и минимум для целевой функции / (х) = хг — х2 + х3 на условном
множестве, заданном ограничениями:
хг + х2 + х3 < 15, (а)
2х1 + х2 + 2х3 < 26, (б)
5*! + 2х2 + Зх3 < 43, (в)
хг > 0, (г)
*2 > 0, (д)
х3 > 0. (е)
А Так как задача решается в R3, то для отыскания вершин тре-
требуется найти C] = 20 точек пересечения для каждых трех из шести
граничных плоскостей. Если точка пересечения удовлетворяет всем
ограничениям задачи, то она является вершиной и мы вычисляем в ней
значение / (х). Результаты этих вычислений представлены в табл. 4.1.
Ограничения (а), (б) и (в) задают систему уравнений
хг + х2+ xs= 15,
2хг + х2 + 2х3 = 26,
5*! + 2х2 + Ъхь = 43.

142
Глава 4. Линейное программирование
Таблица 4.1
Ограничения
(а), (б), (в)
(а), (б), (г)
(а), @), (А)
(а), (б), (е)
(а), (в), (г)
(а), (в), (д)
(ал (в), (о)
(ал 'г), (д)
(а), (г), (е)
(а), (Д), (е)
(б), (в), (г)
(б), (в), (д)
(б), (в), (е)
(б), (г), (д)
(б), (г), (е)
(б), (Д), (е)
(в), (г), (д)
(в), (г), (е)
(в), (Д), (е)
(г), (Д), (е)
Точка пересечения
0, 4, 10)
@, 4, И)
Не существует
(система несовмест-
несовместна)
(И, 4, 0)
@, 2, 13)
(-1, 0, 16)
A3/3, 32/3, 0)
@, 0, 15) *
@, 15, 0)
A5, 0, 0)
@, 8, 9)
B, 0, 11)
(-9, 44, 0)
@, 0, 13)
@, 26, 0)
A3, 0, 0)
@, 0, 43/3)
@, 43/2,0)
D3/5, 0, 0)
@, 0, 0)
Является ли
вершиной?
Да
Да
Да
Нет
Нет
Нет
Да
Нет
Да
Нет
Нет
Да
Нет
Да
Нет
Нет
Нет
Нет
Да
Да
Не
Не
Не
Не
и (в)
• (x) = Jtt—*»-f *•«
7
7
выполнено условие
выполнено условие
выполнено условие
—19/3
выполнены условия
—15
13
13
43/5
0
(в
(б
(г)
(б)
Решая эту систему методами, наложенными в гл. 3, получаем, что она
имеет единственное решение: хг = 1, х2 = 4, хг = 10, Для этого ре-
решения ограничения (г), (д) и (е), очевидно, соблюдаются и, значит,
A, 4, 10) является вершиной. Вычисляя / (х), получаем, что f A, 4,
10) = 1 — 4 + 10 = 7. Аналогично, ограничения (а), (в) и (д) приво-
приводят к системе
хг + х3= 15,
5*! + Зх3 = 43
(поскольку х2 = 0), решение которой (— 1, 0, 16) не является вер-
вершиной, так как нарушается ограничение (г).
Здесь у выпуклого многогранника имеется восемь вершин. Опти-
Оптимальное решение задачи максимизации есть / (х*) — 13, достигаемое
либо на х* = B, 0, 11), либо на х* = @, 0, 13). Оптимальное решение
задачи минимизации есть / (у*) = — 15, достигаемое на у* = @, 15,
0). Заметим, что в любой точке ребра, соединяющего вершины B, 0,
1!) и @, 0, 13), / (х) принимает максимальное значение. ^
Пример 4.3.3. Средний дневной рацион хищника составляет 10 ед.
пищи Л, 12ед. пищи В и 12ед. пищи С. Эти потребности удовлетворяют-
удовлетворяются в процессе его питания двумя видами жертвы. Одна жертва вида I
дает соответственно 5, 2 и 1 ед. пи!ци Л, В и С, а вида II — соответст-

§ 4.3. Линейное программирование: метод перебора вершин
1K
Ю, tor
Рис. 4.15
венно 1, 2 и 4 ед. пищи Л, В
и С. На поимку и усвоение
жертвы вида I требуется в
среднем 3 ед. энергии. Анало-
Аналогичные потребности для вида
II составляют 2 ед. энергии.
Сколько жертв каждого вида
следует поймать хищнику,
чтобы удовлетворить свои
пищевые потребности с наи-
наименьшими затратами энер-
энергии?
Л Обозначим черех х^ и х2
среднее дневное потребление
соответственно жертв вида
I и II. Энергетические за-
затраты Е представляют собой
линейную функцию Е = g (х) = Зхх + 2х2, выраженную в еди-
единицах энергии. Дневное потребление пищи А, В и С составляет со-
соответственно 5хг + х2, 2хг + 2х2 и хх + 4х2. Так как этот рацион дол-
должен удовлетворять дневные потребности хищника, то приходим к сле-
следующей задаче линейного программирования на минимум: минимизи-
минимизировать g (х) = Зхг-\-2х2 при ограничениях Ъхг + х2 ^ 10, 2хх + 2х2 ^
^ 12, хх + 4х2 ^ 12, хг ^ 0, х2 ^ 0. Условное множество этой зада-
задачи оказывается неограниченным (рис. 4.15). Угловые точки условного
множества таковы: @, 10), A, 5), D, 2) и A2, 0). Соответствующие зна-
значения g (x) равны 20, 13, 16 и 36. Таким образом, рацион, удовлетво-
удовлетворяющий пищевые потребности хищника при наименьших затратах энер-
энергии, означает ежедневное потребление в среднем одной жертвы вида I
и пяти жертв вида II. Специализируясь только на одном виде жертвы,
хищник смбг бы удовлетворить свои потребности, но лишь при сущест-
существенно большем потреблении и более высоких затратах энергии. А
Задачи к §4.3
1. Графическим ы?годом найдите максимальное и минимальное значения еле-
дующих линейных функций на заданных многогранных выпуклых множест-
множествах в R2:
а) / (х) = 2хг + х2, S, = {х = (дгь х2) : *, > 0, х2 > 0, xt + х2 < 1};
б) / (х) = xt — х2, S2 = {х = (хъ х±) : хх > 1, х2 < 1, 5дсг, — 2х2 < 20};
в) / (х) = Ьхх + 5л:3, Si = { х = (хи х,) : хл > — I, х2 > хъ xt + х2 < 10}.
2. Найдите вершины множества решений следующих систем линейных нера-
нераR
венств в
а)
б) *t—
хх+

|44 Глава 4. Линейное программирование
в) *i+ *2<4* г) х± —3*2< — 1»
— ^—2л:2 ^ 2^ хх + *а>2,
3. Найдите угловые точки множества решений следующих систем линейных не-
неравенств в R3:
а) хА+х2 + *3<5, б) *f —*2 —
4. Найдите максимальное и минимальное значения линейной функции / (#j, х%%
хв) = — #i + х2 + 2#з на многогранных выпуклых множествах из задачи 3.
5. Предположим, что вершины многогранного выпуклого множества в R2 нахо-
находятся в точках A, 1), A, 4), C, 7) и E, 6). Найдите такую систему линейных не*
равенств, множество решений которой содержит эти вершины (и никакие
другие).
6. Найдите максимальные и минимальные значения следующих линейных функ-
функций на множестве решений из задачи 5: а) / (atj, х2) = х± + 2х2; б) f (хи х2) —
= — хг — Здс2; в) f (хъ х2) = — 2хх — 2х2; г) / (хъ х2) = 3^ + 9х2.
7. В крупной больнице хирургические операции разбиты в соответствии с их
средней продолжительностью на три категории: 30 мин, 1 ч и 2 ч За операции
категорий I, II и III больница получает соответственно 100, 150 и 200 дол-
долларов. Если в больнице имеется восемь операционных, которые работают в
среднем по 10 ч в день, то сколько операций каждого гипа должна больница
планировать, чтобы максимизировать: а) доход; б) общее число операций?
8. Если в задаче 7 общее число операций не может превышать 120, то сколько
операций каждого типа должна планировать больница, чтобы максимизи-
максимизировать: а) доход; б) общее число операций?
9. Активность пасущегося животного можно грубо разделить на гри состояния:
1) поедание пищи; 2) передвижение (к новым пастбищам или с целью избе-
избегания хищников); 3) покой. Чистая энергетическая прибавка сверх основных
потребностей на поддержание жизни при поедании пищи составляет 200 ка-
калорий в час. Чистые энергетические потери при движении и покое соответст-
соответственно составляют 150 и 50 калорий в час. Допустим, что животное должно
находиться в покое не менее 6 ч в день и что время, затрачиваемое на поеда-
поедание пищи, не может превосходить времени движения (ради избегания хищ-
хищников и предотвращения переедания). Как должен быть разбит день между
тремя состояниями животного, чтобы максимизировать чистую энергети-
энергетическую прибавку?
10. В двух видах пищи присутствуют только белки и углеводы. Пища I стоит
50 центов за фунт и на 90% (по массе) состоит из углеводов. Пища II стоит
1 доллар за фунт и на 60% состоит из углеводов. При каком рационе, вклю-
включающем эти два вида пищи и содержащем 2 фунта углеводов и 1 фунт белков,
достигается минимальная стоимость? Какова стоимость одного фунта это-
этого рациона?
11. Дополним задачу 10 условием, что имеется третий вид пищи стоимостью 2 дол-
доллара за фунт и с содержанием 30% углеводов и 70% белков. При каком ра-
рационе, включающем эти три вида пищи и содержащем 2 фунта углеводов и
1 фунт белков, достигается минимальная стоимость? Какова стоимость
одного фунта этою рациона?
12. Компания, производящая консервированные фрукты, запасла 10 000 фунтов
груш, 12 000 фунтов персиков и 8000 фунтов вишни. Компания выпускает

§ 4.4. Двойственная задач** 145
три вида фруктовой смеси в банках по 1 фунту. Первая смесь состоит наполо-
наполовину из груш и наполовину из персиков и продается по цене 30 цен гов за
банку. Вторая смесь содержит все три вида фруктов а равных долях и прода-
продается по 40 центов. Третья смесь содержит половину персиков и половину
груш и продается по 50 центов. Сколько нужно выпустить банок каждой
" смеси, чтобы максимизировать доход?
4.4. Двойственная задача
В линейном программировании между задачами максимизации и мл
нимизации существует важная связь. Каждой задаче на максимум
соответствует некоторая задача на минимум, называемая двойственной
Наоборот, данная задача на максимум является двойственной для свя-
связанной с ней задачей на минимум. Это соотношение полезно, поскольку
решение одной задачи тесно связано с решением двойственной ей.
Определение 4.4.1. Двойственные задачи линейно-
линейного программирования. Двойственными называются сле-
следующие задачи на максимум и минимум:
1. Максимизировать
f (X) = СуХх + С2Х2 + ... + СпХп
при ограничениях
a2lxt+ a22x2 + ...+ a2n
т\ Ч т2 Х2 + — + атп п
Хг>0, Х2^*0, ..., Хп > 0
2. Минимизировать
g (У) = &1#1 + &2#2 + - + (
при ограничениях
у2 + ... +ат1ут
: : : : D.12)
У\ + Ягп 02+ -. + О-тп Ут > Cnt
0, ..., ут^0.
Чтобы записать двойственные задачи с помощью матричных и век-
векторных обозначений, определим матрицу АТ размера п х m как матри-
матрицу, ij-Pi элемент которой равен /7-му элементу А. Матрица Ат называет-
называется транспонированной для матрицы Л. Тогда двойственные задачи фор-
формулируются в следующем виде:
1. Максимизировать / (х) = с*х при ограничениях Ах ^ Ь и х > 0.
2, Минимизировать g (у) = Ь*у при огра шчениях Лту ^ с и у ^ 0,

146 Глава 4. Линейное программирование
Пример 4.4. U Сформулировать аадачу, двойственную следующей за-
даче линейного программирования: минимизировать g(y) = 3#1-f
-f 4#2 + 6#3 при ограничениях уг + Зу2 + 5у3 > 7, 2ух + у2 + Ayz >
^ Ю, ух ^ 0, у2 ^ 0, уъ ^ 0. Записать обе задачи с помощью матрич-
матричных и векторных обозначений.
А Двойственная задача состоит в том, чтобы максимизировать
/ (х) = 1хх + 10^2 при ограничениях хх + 2х2 ^ 3, 3xt + х2 ^ 4,
Ъхг + 4х2 ^6, хг ^ 0, х2 ^ 0.
Определим матрицу размера 3x2
и векторы b= И I и с = G, 10). Тогда Лт является матрицей размера
2 х 3:
1 3
Задача на максимум состоит в том, чтобы максимизировать / (х) =
= с-х при ограничениях Лх < b и х > 0. Двойственная задача: ми-
минимизировать g (у) = Ь-у при ограничениях Ату ^ с и у ^ 0. Заметим,
что х б R2, а у б R3. А
Смысл понятия двойственности становится ясным благодаря сле-
следующей теоремз.
Теорема 4.4.1. Основная теорема линейного про-
программирования. Пусть f — целевая функция задачи линей-
линейного программирования на максимум, ag — целевая функция соответст-
соответствующей двойственной задачи на минимум. Тогда задача на максимум
для f имеет решение в том и только в том случае, если существует ре-
решение задачи на минимум для g. Более того, х* и у* являются опти-
оптимальными решениями своих задач в том и только в том случае, если
f (х*) = g (у*).
Мы не приводим здесь доказательство этой теоремы. Заметим лишь,
что метод перебора вершин, рассмотренный в предыдущем параграфе,
позволяет найти решение двойственной задачи, если оно существует.
Поэтому в частных случаях утверждения теоремы можно проверить.
В следующем параграфе мы изложим более систематическую процеду-
процедуру для отыскания оптимальных решений х* и у*, если они существуют.
Оптимальные решения не существуют, если условное множество пус-
пусто (как в примере 4.2.8). В таком случае говорят, что задача неразре-
неразрешима. Если же условное множество не пусто, то задача является раз-
разрешимой. Наконец, если условное множество неограниченно, то может
оказаться, что задача не имеет (конечного) решения. В этом случае
задача разрешима, но неограниченна.

§ 4.4. Двойственная задача |17
Пример 4,4,2, Задача линейного программирования: минимизировать
S (У) =0i — Уъ ПРИ ограничениях уг + у% ^ 1, й^0и//2>0 пред-
представляет собой пример разрешимой неограниченной задачи (минимум
неограничен).
Следующий пример иллюстрирует применение двойственной зада-
задачи и основной теоремы.
Пример 4.4.3, В рекламе своей продукции фабрикант собачьих кон-
консервов гарантирует, что его продукция целиком состоит из мяса и од-
одна банка консервов обеспечивает дневные потребности в углеводах и
белках средней собаки массой в 20 фунтов. Консервы готовятся из го-
говядины, конины и печени. Одна унция говядины стоит 1,5 цента и да-
дает 0,5 унции углеводов и 0,2 унции белка. Унция конины стоит 1 цент
и дает 0,6 унции углеводов и 0,1 унции белка. Укция печени стоит 2
цента и дает 0,4 унции углеводов и 0,3 унции белка. Минимальные по-
потребности средней 20-фунтовой собаки оцениваются как 6 унций угле-
углеводов и 3,1 унции белка в день. Какую комбинацию из трех сортов мя-
мяса должен выбрать фабрикант, чтобы удовлетворить эти потребности
при минимальной стоимости продукции?
Л Обозначим через уи у2 и ys соответственно количество унций го-
говядины, конины и печени, содержащихся в одной банке консервов.
Тогда задача сводится к минимизации
g(y) = 1,5уг + у2 + 2уэ
при ограничениях
0,5У1 + 0,6*/2 + 0,4*/3 > 6,
0,2уг + 0,\у2 + 0,Зув>ЗЛ
Эту задачу можно решить, определив все вершины условного множест
ва. Рассмотрим, однако, двойственную задачу; максимизировать
при ограничениях
0,5*х + 0,2х2 < 1,5,
0,6Xj + 0,1*2 < 1,
0,4*! + 0,3*2 < 2,
Условное множество двойственной задачи изображено на рис. 4.16.
Вершинами условного множества служат точки @, 0), A0/6, 0), E/7,
40/7) и @, 20/3). Соответствующие значения / составляют 0, 10, 22 и
62/3. Оптимальным решением двойственной задачи на максимум явля-
является *i = 5/7, *2 = 40/7, а максимальное значение / есть / (х*) =
= 22 цента. Согласно основной теореме линейного программирования,
минимальная стоимость продукции также равна 22 центам. Оптималь-

148
Глава 4. Линейное программирование
ное решение у* = (уи у2, у3) за-
задачи минимизации удовлетворяет
равенсгву
*<У*)= 1,5^ + ^ + 2^/3-22.
Чтобы найти ту вершину условно-
условного множества, которая удовлетво-
удовлетворяет этому уравнению, допустим,
что соблюдены минимальные огра-
ограничения по рациону, т. е.
0,6*/2
0,4г/3 = 6,
Of3y8= 3,1.
z = 1,5
Одно из решений этой системы из
трех уравнений есть уг = О, у2 = 4
я у3= 9. Так как это решение
удовлетворяет остальным ограни-
ограничениям, то оно соответствует вер-
вершине, а следовательно, является
оптимальным решением. Это зна-
Пнс 4.1 с чит, что для удовлетворения по-
потребности рациона при минималь-
минимальной стоимости продукции фабриканту не следует использовать говя-
говядины, а конины и печени закладывать соответственно по 4 и 9 унций.
Второе решение'соответствует 8 унциям говядины, отсутствию конины
и 5 унциям печени. Можно проверить эти решения смамостоятельно,
применяя метод перебора вершин к исходной задаче. А
Задачи к § 4.4
1. Озеро заселяют тремя видами рыб. Средние массы заселяемых рыб у I, II
и III видов составляют соответственно 4, 2 и 1 фунт. Для средней особи I
вида требуется 2 ед. пищи А и 3 ед. пищи В в день. Соответствующие потреб-
потребности для II вида составляют 1 ед. пищи Л и 2 ед. пищи В, а для III ви-
вида — 1 ед. пищи А и 0,5 ед. пищи В. Допустим, что ежедневный запас ра-
равен 1000 ед. пищи А и 1000 ед. пищи В, Как следует заселить озеро, чтобы
максимизировать общую массу поддерживаемой в нем рыбы? (Найдите реше-
решение методом перебора вершин.)
2. Для задачи 1 сформулируйте двойственную задачу и решите ее методом пере-
перебора вершин. Воспользуйтесь этим решением, чтобы найти решение задачи 1.
3. Сформулируйте двойственные задачи для следующих задач линейного про-
программирования:
а) максимизировать / = Х\ + х2 — Зх3 при ограничениях
хг + х2 + х3 < 5,
xt — 2*2 + 2*3 < 6,
2*t — х2 + х3 < 4,
ж, > 0, х2 > 0, ха > 0;

§ 4,5. Симп^екс-меюц 149
б) максимизировать / = tf — щ + х$ — я4 ПРЙ ограничения»
A3t + *2 + *, + *4 < I,
*f>0, *а>0, *й>0, *4>0$
в) минимизировать g => у* 4* 0,5^ + ?3 ПРЙ ограничения»
4. Сформулируйте двойственные задачи для следующих зчпяч линейного про-
программирования: максимизировать / (х) =з ох при усложнял Ах ^Ь и х >0
для данных матриц Л и векторов b a a
5. Каковы двойственные задачи для задач 7а и 76 я § 4.3? Решите эти двойст-
двойственные задачи и убедитесь в справедливости основной теоремы линейного
программирования.
6. Какова двойственная задача для задачи 9 а § 4.3? Решите ее и убедитесь в
справедливости основной теоремы линейного программирования.
7. а) Какова основная трудность в применении метода вершин?
б) Когда можно ожидать» что решение двойственной задачи окажется легче,
чем решение исходной?
в) Каким образом решение двойственной задачи помогает в решении исход-
исходной?
8. Какова двойственная задача для задачи 10 к § 4.3? Решите эту двойственную
задачу и воспользуйтесь ее решением, чтобы получить решение исходной за*
дачи.
9. Какова двойственная задача для задачи 12 я § 4.3? Решите эту двойственную
задачу и воспользуйтесь ее решением, чтобы получить решение исходной за-
задачи.
10. Каким образом основная теорема линейного программирования дает метод
проверки решения задачи максимизации или минимизации?
4.5. Симплекс-метод
Изложенный в § 4.3 метод перебора вершин может оказаться крайне
громоздким, когда число переменных и ограничений велико. Как мы
установили, если п — число переменных, а т + п — количество огра-
(п+т\
ничении, то требуется решить ( ) систем из п уравнении с п не-
неизвестными. Когда, например, п = т = 6, потребовалось бы найти
решения 924 систем размера 6x6. Более систематическим методом
решения подобных задач является симплекс-метод, который избавляет
от необходимости вычислять все угловые точки условного множества.

Глава 4. Линейное программирование
Идея, лежащая в основе этого метода, довольно проста. Мы начина-
начинаем с любой вершины и выбираем такое ребро условного ушожества, на
котором целевая функция убывает (или возрастает, если речь идет о
задаче минимизации). Если такого ребра не существует, то это озна-
означает, что целевая функция уже достигла максимума в начальной вер-
вершине (в силу теоремы 4.3.1) и задача решена. Если же найдется ребро,
вдоль которого / возрастает, то мы переходим по этому ребру к сле-
следующей вершине и вновь повторяем процесс. («Следующая» вершина
всегда существует, если условное множество ограничено.) Поскольку
число вершин конечно, оптимальное решение достигается за конечное
число шагов. Процесс никогда не вернется на уже пройденное ребро,
так как на каждом шаге целевая функция возрастает. Помимо того,
что метод позволяет избежать вычисления всех вершин, огромное пре-
преимущество симплекс-метода состоит в том, что его шаги могут эффек-
эффективно выполняться вычислительной машиной.
Чтобы продемонстрировать шаги этого метода, рассмотрим сле-
следующий пример (который, разумеется, можно было бы легко решить
и методом перебора вершин).
Пример 4.5.1. Максимизировать / = х1 + х2 при ограничениях
хх + 2х2 ^ 1,
Зх1 + х2 < 2,
*i > 0, х2 > 0.
А Введем дополнительные переменные st = 1 — aj — 2х2 и s2 =
^2 — 3xj — х2 и воспользуемся ими, чтобы заменить равенствами
первые два неравенства задачи. Тогда исходная задача эквивалентна
следующей: максимизировать
при ограничениях
2х2
3*i + х2 + s2 = 2,
*i > 0, х2 > 0, sx > 0, s2 > 0.
Введем теперь некоторые термины, которые будут полезны в даль-
дальнейшем. Переменные Sj, и s2 назовем базисными переменными, а х%
и х2 — небазисными переменными, В данной задаче мы можем получить
допустимое решение (угловую точку), полагая все небазисные перемен-
переменные равными нулю. Первая вершина — это хг = 0, х2 = 0, s± = 1,
s2 = 2 и / принимает в ней значение 0. Заметим, что в выражении для
/ ненулевые коэффициенты стоят при небазисных переменных. Три
уравнения, связывающие / и переменные, можно записать в виде
хг + 2х2 + sx = 1,
Зх1 + х2 + s2 = 2,
xt+ х2 - /. (I)

§ 4.5. Симплекс-метод 151
Составляя линейные комбинации из трех этих уравнений, выразим /
через другие переменные таким образом, чтобы коэффициенты при
получающихся переменных были отрицательными (в этом смысле они
всегда будут небазисными). Так как все переменные неотрицательны,
то / будет достигать максимума, когда эти небазисные переменные рав-
равны нулю. Упрощая, разделим второе уравнение на 3:
*i+ 2ха+ $! = !,
*1+у *2 + у $2 =—, (И)
Воспользуемся теперь вторым уравнением, чтобы исключить xt из
первого и третьего уравнений. Умножая второе уравнение на — 1 и
складывая результат с остальными уравнениями, получаем
1__ __ j_
3 *2 ~" 3 '
#1 + -Г"*2 +—S.2== —» (HI)
о о о
2 Ls==f L
3 1 3 2 ' 3 *
Так как функция / выражена через х2 и s2, то теперь эти переменные
уже являются небазисными и приравнивание их нулю дает f = 2/3
в угловой точке хх = 2/3, х2 = 0, sx = 1/3, s2 = 0. Видно, что при пе-
переходе к этой новой вершине значение / возросло.
Поскольку / пока еще содержит переменную х2 в положительным
коэффициентом, умножим первое уравнение на 3/5 и воспользуемся им,
чтобы исключить х2 из второго и третьего уравнений:
_з_5 i_ _j_
Х'+ 5 Sl 5 S'2 ~ 5 '
*i+—4 +TS2==T^ (IV)
2 1 . 2
— Х2 -Ч — f Г" 2
О о О
3 1 !
5 5 5
ЛХ г ^li Г" ^4 — - # \v /
5 5 5
5 Sl 5 ^ 5 '
Так как все коэффициенты в выражении для f отрицательны, то зада-
задача решена. Приравнивая нулю окончательные небазисные переменные

152 Глава 4. Линейное программирование
st и s2i получаем^ что / = 4/5 в вершине хх *= 3/5, х2 = 1/5, sl = s2 =
= 0. А
Нетрудно заметить* что использованный здесь метод есть не что
иное, как метод приведения строк, описанный в гл. 3.
У симплекс-метода есть и другое преимущество. Решая этим мето-
методом задачу максимизации, мы в то же время получаем без дополнитель-
дополнительных вычислений решение двойственной задачи минимизации. В приме-
примере 4.5.1 двойственная задача состоит в минимазации
8 (Уи У2) = Ух + 2*/2
при ограничениях
l/i + Зу2 > 1,
2#1+ У2>1,
Ух >0, У*> 0.
Решение этой задачи дается уравнением
,42 1
т _____ С С
I ——— _—_ ^_ —. ^
1 5 5 * 5 2
Значения уг и у2 — это взятые с противоположным знаком коэффици-
коэффициенты при s1hs2b уравнении для /. Оптимальное решение двойственной
задачи минимизации есть уг = 2/5, у2 = 1/5. Нетрудно убедиться, что
/2 1 \ 2 л J 4
^|g-, g-) = g"+2-g- = -, что совпадает с максимальным значением f.
Значит, согласно теореме 4.4.1, мы получили оптимальное решение
двойственной задачи на минимум.
Возвращаясь к общей задаче линейного программирования на мак«
симум, введем дополнительные переменные sl9 s2, ..., sm. Задача сво-
сводится к тому, чтобы максимизировать
/ = с±хг + с2х2 + ... + спхп + 0-Si + 0-52 + ... + 0-sm
при ограничениях
апхг + а12х2 + ... + а1пхп + sx = bt,
••• + ^2n-^7l "T" ^2 === ^2>
D.13)
= b
mf
H ^0, x2 > 0, ..., хл > 0, sx > 0, s2 > 0, ..., sm > 0.
На данном этапе нам понадобится допущение о том, что величины ои
Ь2> ...» bm неотрицательны, так что если небазисные переменные пола-
гаем равными нулю, то при st = bl9 s2 = 62, ..., sm = bm мы получаем
угловую точку. (Важное замечание: единственным требова-
требованием к вершине, если удовлетворены ограничения типа равенств,
остается неотрицательность всех переменных.) Существуют, однако,
такие задачи, когда некоторые из bt отрицательны. Тогда хг = х2 =*
--= ... = #л = 0, $! = bl9 s2 = b2i ..., sm = bm не является угловой

§ 4.5. Симплекс-метод
153
точкой. Для такого случая имеется модификация симплекс-метода, ко-
которую мы рассмотрим в следующем параграфе.
Информацию, содержащуюся в исходной задаче, удобно предатав-
лять в виде начальной симплекс-таблицы:
D Л 4)
*i
«и
a2t
Omi
x2 ... xn
a12 ,.. aln
O22 • • • а2П
Om2 • • • amn
c2 ... cn
h
1
0
0
0
4
0
1
0
0
m
о
0
1
0
bl
f
Величины, стоящие в правой части, указывают на то, что sl9 s2> ...> Sm
являются базисными переменными. Все остальные элементы таблицы
в точности соответствуют уравнениям, которые они замещают. На-
Например, 1-я строка читается как
012*2
0-s2
0-sm =
Элементы самой нижней строки (за исключением правого нижнего уг-
угла) называются индикаторами таблицы. Цель симплекс-метода —
образовать такие линейные комбинации строк уравнений D.13), чтобы
/ записывалась как линейная комбинация переменных xlf x2, ..., хп,
slt s2, ..., sm с отрицательными или нулевыми коэффициентами. Чтоб]ы
добиться этого, мы оперируем таблицей D.14) и последовательно ис-
исключаем все положительные индикаторы. Процедура состоите следую-
следующем:
а) Во-первых, выбираем в таблице D.14) любой столбец с положи-
положительным индикатором (если положительных индикаторов несколько, то
выбираем любой) и рассматриваем все положительные элементы этого
столбца. Предположим, что выбран /-й столбец.
б) Определим затем центральный элемент этого столбца как такой
положительный элемент ац9 для которого величина Ъ%1ац минималь-
минимальна среди всех элементов/-го столбца. Если этот минимум не единствен,
то выбираем любой из элементов /-го столбца, дающий минимальное
отношение.
Пример 4.5.2. В нижеприведенных начальных симплекс-таблицах
центральными являются элементы, отмеченные рамками:
Xi
— 1
1
x2
\±
0
9
4
2
4
0
1
0
0
0
1
0
2
2
2)
3
i
1
T
2
1/2
4
1
2
1
0
0
0
1
0
1
2
/

154
Глава 4. Линейное программирование
3)
11
0
—1
1
1
1
2
1~
—4
1
3
1
0
i
—1
4
2
1
3
0
2
1
~т
2
2
1
0
0
0
0
0
i
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
2
1
3
/
ч
Например, во 2-м столбце последней таблицы центральным является
элемент 5, поскольку индикатор 1 положителен и 1/5 есть минимум из
чисел 1/1, 2/2 и 1/5. Заметим, что в 5-м столбце центральный элемент не
единствен.
в) Допустим, что центральный элемент/-го столбца пц стоит в 1-й
строке. Следующий шаг заключается в том, чтобы разделить i-ю строку
на ац и воспользоваться ею для исключения всех элементов /-го столб-
столбца (в том числе и положительного индикатора).
г) Заключительный шаг операции выбора центрального элемента
состоит в замене базисной переменной, помещенной на правом конце
1-й строки, на небазисную переменную, расположенную вверху /-го
столбца. Так, в примере 4.5.2 C) для центрального элемента а32 — 5
удаляется базисная переменная s0 C-я строка), которая превращается
в небазисную, а небазисная переменная х2 становится базисной.
Из самого способа выбора центрального элемента вытекают два
важных обстоятельства. Во-первых, все неотрицательные члены по-
последнего столбца продолжают оставаться неотрицательными. Это важно,
поскольку члены последнего столбца представляют собой значения ба-
базисных переменных, которые должны быть неотрицательными, чтобы
давать угловую точку условного множества. (Напомним, что небазис-
небазисные переменные всегда полагаются равными нулю.) Во-вторых, после
операции с каждым очередным центральным элементом число, стоящее
в правом нижнем углу таблицы, только уменьшается. Это означает, что
/, т. е. целевая функция, возрастает. Чтобы уяснить это, предположим,
что после выбора очередного центрального элемента /— 1 превратилось,
скажем, в / — 3. Нижнее уравнение читается тогда как «/ — 3 =
= линейной комбинации небазисных переменных, каждая из которых
при вычислении угловой точки считается равной нулю». Таким обра-
образом, в угловой точке / — 3 = 0, или / = 3. Поскольку на предыдущем
шаге выполнялось равенство / = 1, ясно, что целевая функция возрос-
возросла.
Вышеописанный процесс выбора центрального элемента повторяет-
повторяется до тех пор, пока не будут исключены все положительные индикато-
индикаторы. Когда все индикаторы отрицательные либо нулевые, мы приходим
к конечной таблице.

§ 4.5. €июш!екс-мет0Д
Пример 4.5.3. Следующая таблица является конечной:
155
0
1
0
0
1
1
2
0
1
—1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1/3
1/2
0
2
-1/3
1
1/2
1
0
-1/2
2
1
3
4
0
0
0
2
0
2
3
1
0
/-2
В этой таблице можно прочесть решения задачи на максимум и двойст-
двойственной задачи на минимум. Полагая все небазисные переменные рав-
равными нулю, получаем, что в угловой точке хх = 3, х2 = 0, х3 = h
хг = 2, sx = s2 = s3 = s4 = 0, целевая функция / — 2. Оптимальное
решение двойственной задачи есть g = 2, оно достигается при ух =
= 1/3, #2 = 1/2, уз ^ 1 и #4 = 0. (Можно убедиться, что эта угловая
точка удовлетворяет ограничениям двойственной задачи.) Заметим, что
нулевые значения в угловой точке могут оказаться и у базисных пере-
переменных (в данном случае х2 — 0).
Пример 4.5.4. Максимизировать / = хг + х2 + х3 при ограничениях
х+ 2 3<,
хх > 0, х2 > 0, х3 > 0.
Л Начальная симплекс-таблица имеет вид
¦ | 1 2 3
2 1 1
1 1 1
I 0
0 1
0 0
1
2
t
(I)
Если мы начнем с 1-го столбца (его индикатор положителен), то в ка-
качестве центрального элемента можно выбрать ап = 1 либо а21 — 2,
так как 1/1 = 2/2 = 1. Выбрав элемент ап (поскольку он уже равен
1), получаем
Н (II)
1
0
0
Хо
2
—3
——1
3
—5
—2
Si
1
—2
—1
«2
0
I
0
1
0
/—1

156
Глава 4. Линейное программирование
Мы вычли удвоенную 1-ю строку из 2-й и вычли 1-ю строку из 3-й.
Видим, что все индикаторы отрицательны либо равны нулю и, значит^
это конечная таблица. Полагая небазисные переменные равными нулю,
получаем решение/ = 1 в угловой точке хг = 1, х2 = хв = st = s2 = 0,
Двойственная задача состоит в минимизации g = ух + 2у2 при ус-
условиях уг + 2у2 ^ 1, 2ух + у2 > 1, Зуг + у2 > 1, уг > О, у2 > 0.
Ее решение есть уг = 1, у2 = 0 (взятые с противоположным знаком
коэффициенты при st и s2 в конечном уравнении для /). Минимальное
значение g равно, разумеется, 1, что совпадает с максимумом /. C а-
д а ч а: решив двойственную задачу методом перебора вершин или сде-
сделав иной начальный выбор центрального элемента, докажите, что по-
полученное выше решение не является единственным оптимальным ре-
решением задачи.)
Пример 4.5.5. Найти конечную таблицу для следующих начальных
симплекс-таблиц:
1)
1
х2
3
0
2
2
4
0
1
0
0
0
1
0
СМ СМ
f
S2 2)
2
3
1
х* xs
—1 4
• li I
1 1/2
6
7
—2
1
0
0
«2
0
1
0
1
2
sl3
Д 1) Используя элемент в рамке в качестве центрального, разде-
разделим 1-ю строку на 2:
*1
1
—1
1
х2
3/2
0
2
1
,4
0
1/2
0
0
0
1
0
1
2
(II)
*1
1
0
0
-«а
щ
1/2
1
5
— 1
1/2
1/2
-1/2
Ч
0
1
0
1
3
/-1
(HI).
Мы использовали строку центрального элемента, чтобы исключить
члены 1-го столбца. Выбрав снова элемент в рамке за центральный,
умножим 1-ю строку на 2/3:
н
2/3
0
0
х2
1
3/2
1/2
х3
2/3
5
—1
1/3
1/2
-1/2
«2
0
1
0
2/3
3
/-1
(IV)
2/3
-1/3
1
0
0
2/3
4
-4/3
1/3
0
—2/3
0
1
0
2/3
2
/—4/3
(V)

§ 4*5. Симплекс-метод
157
В табл. V положительных индикаторов нет, и потому она является
конечной. Можно самостоятельно убедиться, что эта конечная таблица
достигалась бы быстрее, если в качестве начального центрального эле-
элемента был бы выбран элемент 3 в 1-й строке и 2-м столбце.
2) По-прежнему используя элемент в рамке как центральный, раз-
разделим 2-ю строку на 3. Затем прибавим 2-ю строку к 1-й и вычтем 2-ю
строку из 3-й:
H s2
2
1
1
—1
1
1
4
2/3
1/2
6
7/3
—2
1
0
0
0
1/3
0
1
2/3
/
(И)
X-t Xq> Xr^ X^
3 0 14/3 25/3
1 1 2/3 7/3
0 0—1/6—13/3
Sf S2
1 1/3
0 1/3
0-1/3
5/3
2/3
/-2/3
Si
^2 (Ш)
Видно, что табл. III является конечной. А
Пример 4.5.6. Найти максимум функции / (х19 х2, х3) = хх
при ограничениях
2хх +
х2 + xz
x2 +
x2 +
2л:2 +
o, x2:
xa
¦ 2x3
3x3
<15,
<26,
<43,
Хг>
0.
Л В примере 4.3.2 эта задача уже была решена методом перебора
вершин. Чтобы применить симплекс-метод, запишем начальную сим-
симплекс-таблицу:
*1
1
2
5
1
Х2
1
1
2
—1
*з
1
\~
3
1
н
1
0
0
0
0
1
0
0
ч
0
0
1
0
15
26
43
/
(I)
Выбираем в качестве центрального элемент в рамке, делим 2-ю
строку на 2 и используем затем ее для исключения членов 3-го столбца
из остальных строк:

158
Sf
1
1
5
i
1
1/2
2
—1
1
1
3
1
1
0
0
0
0
1/2
0
0
0
0
1
0
15
13
43
/
Глава 4. Линейное программирование
xt Ч Ч Ч Ч %
0
i
2
0
1/2
1/2
1/2
—3/2
0
1
0
0
1
0
0
0
-1/2
1/2
-3/2
-1/2
0
0
1
0
2
13
4
/-13
(III)
В табл. III положительных индикаторов нет, и потому эта таблица —
3 1
конечная. Поскольку / = 13 — ~х2 — к 52> максимальное значение
/ равно 13 и оно достигается при х2 = s2 = 0. Первые три строки ко-
конечной таблицы эквивалентны уравнениям
¦х2
2,
• х2 + хв
2-Xl + — X-i
Л- — s2 =13,
—^-s, + s3 = 4.
Если х2 = s2 = 0, то получаем, что st = 2, jq + x3 = 13 и 2jq + 53 =
= 4. Так как s3 ^ 0, то 0^ 2^ ^ 4, или 0 < Art < 2. Поэтому лю-
любая точка в R3 вида (хи 0, 13 — хг) при 0 ^ хх ^ 2 является оптималь-
оптимальным решением. В частности, оптимальными решениями служат угло-
угловые точки @, 0, 13) и B, 0, 11), как это и было найдено в примере 4.3.2.
Из рассмотренного примера видно, насколько симплекс-метод эффек-
эффективнее метода перебора вершин. А
Пример 4.5.7. Используя симплекс-метод, найти минимум линейной
функции g (#х, у2) = Зуг + 2у2 при ограничениях
х +
А Эта задача была получена при решении примера 4.3.3. Двойст-
Двойственная задача состоит в том, чтобы максимизировать / (xl9 x2, х3) ==«
= \0хг + 12х2 + 12л:3 при ограничениях 5хх + 2х% + хъ ^ 3, хг -J-
+ 2*2 + 4х3 ^2, хх ^ 0f ха ^0, х3 ^ 0. Начальная симплекс-
таблица для этой задачи имеет вид

§ 4.5. Симплекс-метод
159
*f
5
1
10
2
IZI
12
1
4
12
1
0
0
%
0
1
0
3
2
/
(I)
Выбираем в качестве центрального элемент в рамке, делим 2-ю стро-
строку на 2 и затем используем ее, чтобы избавиться от положительного
индикатора во 2-м столбце:
х\
5
1/2
10
2
1
12
хз
1
2
12
Ч
1
0
0
s2
0
1/2
0
3
1
(И)
xt
т
/2
4
0
1
0
-3
2
—12
1
0
0
ч
-1
1/2
1
1
/-12
(III)
Вновь выбирая центральный элемент, делим 1-ю строку на 4 н затем
избавляемся от положительного индикатора в 1-м столбце:
Л'! Х2 Х3
1 0 —3/4
f/2 I 2
4 0 —12
Ч h
1/4 —1/1
0 1/2
0 -6
1/4
1
/-12
ч
(IV)
хг
I
0
0
х2
0
1
0
-3/4
19/8
—9
Ч
1/4
-1/8
s2
-1/4
5/8
-5
1/4
7/8
(V)
Из конечной табл. V вытекает, что f = 13 — 9х3 — st — 5s2. Поэтому
максимум / равен 13, когда х3 = 5г = s2 — 0. Значит, минимальное
значение^ также равно 13 и достигается при уг = 1, у2 — 5 (взятые о
противоположным знаком коэффициенты при st и s2 в окончательном
уравнении для f). Этот результат в примере 4.3.3 был найден более
простым графическим методом. А
В заключение этого параграфа остановимся вкратце на трудностях,
которые могут возникнуть при применении симплекс-метода. Допу-
Допустим, что мы пришли к такой промежуточной таблице, в которой есть
положительный индикатор, скажем в /-м столбце, но все остальные
члены этого столбца отрицательны. Тогда продолжать процедуру нель-
нельзя, так как центральный элемент должен быть положительным. Од-
Однако решение еще не получено, поскольку имеется положительный ин-
индикатор. Если возникает такая ситуация, то это означает, что имеет

160
Глава 4. Линейное программирование
место неограниченное решение. Лучше всего проиллюстрировать это
на простом примере.
Пример 4.5.8. Максимизировать / = хг + 2х2 при ограничениях
хх — 4х2 ^ 1,
— 3*! + 2х2 < 6,
хг > 0, х2 ^ 0.
Д Начальная симплекс-таблица такова:
(I)
Оперируя с элементом в рамке как с центральным, получаем
X
-3
1
ч
—4
2
2
Ч Ч
1 0
0 1
0 0
1
6
/
х±
1
0
0
х2
4
-10
6
1
3
—1
0
1
0
1
9
м
«2 (II)
Продолжать процедуру далее невозможно, несмотря на то что один из
индикаторов все еще положителен. Переписывая уравнения (и полагая
sx = 0), получаем
— l(k2 + s2 = 9,
/= 6х2+ 1.
Допустим, что х2 равно некоторому положительному числу (скажем,
с). Чтобы при этом удовлетворялись первые два уравнения, выберем
хг= 4с + 1 и s2 == 9 + Юс. При таком выборе хг, х2, st и s2 соблюдены
все ограничения и / = 6с + 1. Так как с — произвольное положитель-
положительное число, то значение целевой функции может быть сколь угодно боль-
большим и, значит, решение задачи неограниченно. А
Задачи к § 4.5
1. Повторяя шаги по схеме примера 4.5.1, найдите максимум / {х±, х2) = х\ +
+ 2*2 при ограничениях хг + х2 ^ 3, 2хг + *2 < 3, хг ^ 0, х% ^ 0. Како-
Каковы дополнительные переменные? Какова начальная угловая точка?
2. Какова двойственная задача к задаче 1? Каково решение двойственной за-
задачи?

I 4.5, Симплекс-метод
161
3. Проиллюстрируйте графически решения задач 1 и 2. Укажите стрелками пе-
пей й й
4.
ррру рф р р
реходы от начальной угловой точки до конечной в задаче максимизации.
Следуя схеме примера 4.5.1, найдите максимум / (jcj, х2, х3) = хг + х2 + *3
при ограничениях хг + 2х2 + х3 < 4, xt + х2 + 2xs < 5, xt > 0, *а > О,
xs > 0. Каковы дополнительные переменные? Какова начальная угловая
точка?
Какова двойственная задача к задаче 4? Найдите решение двойственной зада-
задачи без дополнительных вычислений. Проверьте решения двойственной и ис-
исходной задач с помощью основной теоремы линейного программирования.
Составьте начальные симплекс-таблицы для следующих задач максимизации:
а) максимизировать f = хг + 2х2 + Зх3 при ограничениях
х1 + х.2 — х3
хх — х2 + хя
#1 > 0, jc, > 0, д:
б) максимизировать / = х1 — х> + х3
*i + а;2 + 2х3
2дг, + ** + ^з
2лг, — jc: Н- Зл:3
3 >
при
5,
7.
8,
9,
2,
3,
0;
ограничениях
0,
хА > 0, х.г > 0, а;3
7» Составьте начальные симплекс-таблицы для следующих задэч минимизации:
а) миаимизирива!ь g = ух + (/2 + ув при ограничениях
— У> +
+ У2+
0,
б) »инимизировать g
+
Уз>Ъ
#з > 3»
0, уз > 0;«
3 ПРИ ограничениях
у9 > 5,
8. Найдите центральные элементы в следующих симплекс-таблицах?
а)
2
—2
1
0
1
о
3
1
1
0
0
0
1
0
1
t
; б)
i
—i
2
1
0
1
1
1
3
1
0
0
0
1
0
1
2
;
; в)
1
2
3
2
2
3
I
—I
3
I
2
3
1
0
0
0
0
I
0
0
0
0
1
0
0
3
1
9. Определите конечные таблицы для начальных симплекс-таблиц из задачи 8.
Выпишите соответствующие двойственные задачи максимизации и минимиза-
минимизации и найдите их решения
10. Используя симплекс-метод, найдите максимум / (jcj, xv ^8)=2a:j + х2 + х$
при ограничениях xt + х2 + хэ ^ 5, xt — 2х2 + Зя3 <S 7, х± ^ 0, х2 > 0,
х3 > 0.
11. Найдите решение задачи двойственной к задаче 10. Проверьте оба решения по
основной теореме линейного программирования.
12. Используя симплекс-метод, найдите максимум/ (*f, xv x3) ~ 2xj — 2х2 ¦+• *з
пр« ограничениях хг + х2 <! 10, #2 ~г" *з ^ 12> Х\ + дс3 "^ ^» ^1 ^ ^> Х2 ^ ^»
0
6 Зак. 1370

}C2 Глава 4. Линейное программировали*
13. Найдите решение задачи, двойственной к задаче 12. Проверьте оба решения
по основной геореме линейного программирования.
14. Используя симплекс-метод, найдите минимум g (уи yt) = У\ + 3#2 при
ограничениях-неравеисгвах у1 + Ъуг ^9, У\ + 4у2 ;> 8, yt + 2у.г ^* 5,
У\ > 0> у2 ^ 0* Проверьте решение с помощью основной теоремы линейного
программирования.
4.6. Симплекс-метод (продолжение)
В предыдущем параграфе было сделано допущение, что в начальной
симплекс-таблице все элементы крайнего правого столбца неотрица*
тельны. Это гарантировало, что в начальный момент и после каждого
цикла операций с центральным элементом мы получали допустимое
решение (угловую точку). Однако существуют различные задачи, в
которых получаются отрицательные начальные значения bt. Это мо-
может произойти в двух случаях. Во-первых, для некоторой задачи огра-
ограничение типа — 2хг + Зх2 ^— 1 может возникнуть естественным об-
образом. Чаще же мы имеем дело с задачей максимизации при таком ог-
ограничении, как, например, хгЦ- 2х2^ 1. Чтобы привести это огра-
ограничение к стандартному виду, умножим обе части неравенства на — 1
и получим ограничение —хл — 2х2 ^—1, в котором значение Ьг
отрицательно. Такое положение часто возникает в биологических за-
задачах. Предположим, например, что организм ведет себя так, чтобы мак^
симизировать потребление пищи при ограничениях на затраты энергии.
Это типичная задача максимизации, за исключением одного дополни-
дополнительного ограничения: чтобы соблюсти требования к поддержанию жиз-
жизни в организме, необходимы определенные минимальные затраты энер-
энергии. Тогда задача могла бы иметь, например, такой вид: максимизи-
максимизировать
при ограничениях
+ аих2 < Ьи
а31хг + а32х2 > Ь3,
где 6t, h2i b3 ^ 0. После умножения на — 1 последнее ограничение
превращается в условие
При возникновении такого положения необходимо выполнить цикл
операций с центральным элементам для того, чтобы перейти к таблице,
в которой все элементы крайнего правого столбца неотрицательны.
Затем можно, как и прежде, использовать симплекс-метод. Иногда
эту предварительную фазу симплекс-метода называют фазой /, а
метод, описанный в предыдущем параграфе, —фазой II. Подчеркнем,
что в основе фазы I лежит получение допустимого решения. Пока не
выполнена фаза I, не может начаться фаза II.

§ 4.6. Симплекс-метод (продолжение У
16]
Сформулируем правила выбора центрального
элемента в фазе I.
а) Пусть Ьг — самый нижний отрицательный элемент в крайнем
цравом столбце и ац — любой отрицательный элемент в /-й строке.
Тогда выбираем в качестве центрального /-й столбец.
б) Для atj и для каждого положительного элемента а,/, располо-
расположенного ниже аи в /-м столбце (исключая элементы самой нижней
строки), составим частные bja^. Пусть bk/ahj — наименьшее такое ча-
частное. Тогда элемент ahj является центральным. В случае совпадений
выбираем любой элемент /-го столбца, дающий минимальное частное.
C а м е ч а и и е: в этих правилах слова «самый нижний» и «ниже» от-
относятся к расположению, а не к числовому значению элементов. Ина-
Иначе говоря, аи ниже ац9 если / > /, т. е. если alf расположен «южнее».)
Пример 4.6.1. Максимизировать / == Ъхх + х% при ограничениях
0,
12,
6,
0.
Л Начальная симплекс-таблица (после умножения второго усло-
условия на — 1) имеет вид
ч
4
2
5
Ч
3
RU
н
1
0
0
ч
0
1
0
12
-б
н
(I)
Здесь — 6 является самым нижним (и фактически единственным)
отрицательным элементом крайнего правого столбца. Так как — 3 —
единственный отрицательный элемент в данной строке, то он и являет-
является центральным. Делим 2-ю строку на — 3 и используем ее для исклю-
исключения всех членов 2-го столбца, получая последовательно:
4
—2/3
—5
*г
3
1
1
Н
1
0
0
0
-1/3
0
12
2
t
(И)
ч
В
—2/3
17/3
Ч
0
1
0
ч
1
0
0
ч
1
—1/3
1/3
б
2
ч
(III)
Теперь имеем допустимое решение: xt = 0, х2 = 2, st = 6, s2 = 0.
Чтобы найти максимум, можно продолжить процедуру, исключая по-
6*

164
Глава 4. Линейное программирован»»
ложительные индикаторы. Используя элемент в рамке как централь-
центральный, получаем
ill
—2/3
17/3
х2
0
1
0
«1
1/6
0
0
*2
1/6
— 1/3
1/3
1
2
Sf
х2 (JV)
1 О
О 1
О О
1/6 1/6
1/9 —2/9
-17/18 -11/18/—23/3
8/3
XI
(V)
Поскольку все индикаторы отрицательны, процедура закончена и мы
находим, что / = 23/3 в оптимальной угловой точке хг= 1, х2 = 8/3#
«1 = s2 = 0. Двойственная задача состоит в минимизации g = 12//х -—
— 6*/2 при ограничениях
4yi + 2у2 > 5,
Ух
0.
Решение этой задачи уг = 17/18, у2 = 11/18, а минимальное значение
равно 23/3. А
Пример 4.6.2. максимизировать f = х1 + Зх2 -г 0л3 при ограниче-
ограничениях
Xi Х2 ~г ^Х3 ^ I,
хг + 2х2 — Злг3 > 2,
л*х ^0, л:2 > 0, л:3 > 0.
А Умножаем прежде всего первое и третье неравенства на — 1
и, вводя затем дополнительные переменные, приходим к начальной
симплекс-таблице:
Xf
—2
1
Rj
1
X2
— 1
-1
—2
3
ДСд
—-1
2
3
5
si
1
0
0
0
Si
0
1
0
0
S3
0
0
1
0
—1
1
(I)
Самый нижний отрицательный член расположен в 3-й строке. В ка-
качестве центрального можно выбрать либе — 1, либо — 2. Выбирая — 1,
получаем

' if 4Ф Симплекс-метод (продолжение)
165
Xf
0
0
1
0
ч
3
P3|
2
1
ч
-7
5
з
8
st
1
0
0
0
0
1
0
0
2
1
—1
1
3
1
2
f-2
ч
—* ч
н
(И)
Следующий центральный элемент должен находиться во 2-й строке»
В ней имеется единственный отрицательный член — 3 с положитель-
положительным элементом 2 ниже него. Образовав частные (— 1)/(— 3) и 2/2»
видим, что центральным элементом должен быть — 3. Выполняя соот-
соответствующую операцию, получаем
х2
Ч
0
0
1
0
0
1
0
0
2
—5/3
1/3
29/3
1
0
0
0
1
—1/3
2/3
1/3
—1
-1/3
-1/3
4/3 .
/-
2
1/3
4/3
-7/3
ч
(Ш)
В данный момент фаза I закончена и мы пришли к некоторому допусти-
допустимому решению хг = 4/3, х2 = 1/3, х3 = 0, st = 2, s2 = 0, s3 = 0.
Значение целевой функции в этой точке равно 7/3. Это еще не макси-
максимум, поскольку некоторые индикаторы положительны. Оставшиеся
шаги рекомендуем сделать самостоятельно в качестве упражнения. А
Остается еще один вопрос. Что означает положение, когда в край-
крайнем правом столбце есть еще отрицательные члены, но выбрать централь-
центральный элемент уже невозможно? Это происходит, когда все элемен-
элементы строки с отрицательным крайним членом положительны. Должно
быть ясно, что такое положение указывает на недопустимое решение,
поскольку данная строка соответствовала бы тогда уравнению
в котором все а^ положительны, a bt отрицательно, чего, очевидно,
быть не может. Значит, допустимого решения не существует.
Пример 4.6.3. Максимизировать / = Зхх -f- Ъх% при ограничениях
6,
0.

166
Глава 4. Линейное программирование
А Умножив второе неравенство
на — 1, получим начальную
плекс-таблицу
Рис. 4.17
Х\
1
3
3
х2
1
5
si
1
0
0
0
1
0
1
—6
f
ч
«а
5/2 0
—3/2 1
21/2 0
1 1/2
0 —1/2
0 5/2
—2
3
f-15
Ч
(I)
Используя элемент в рамке как
центральный, имеем
(И)
Далее продолжать действия невозможно, хотя в 1-й строке и остался
еще справа отрицательный член. Мы приходим к выводу, что задача
неразрешима. Это легко понять, если изобрааить условное множество
(рис. 4.17). Таких положительных значений хх и х2, которые удовлетво-
удовлетворяли бы заданным ограничениям, не существует. А
Задачи к § 4.6
1. Найдите максимум функции / (х%9 х2)
+ х2 ^ 10, 3v, — х2 > 9, xt >= 0, х>
ским методом; б) симплекс-методом.
2. Найдите максимум функции / (xlf х2)
< 12 + < 12 f2
Найд у
— х2 < 12, xi +
12, f2xt — х2
2 < , i + 2 < , 2
а) графическим методом; б) симплекс-
3. Найдите максимум функции / (хъ х2, *
Xi + х2 + 2*з < 5, xt — х2 + х3 < 3,
4. Найдите минимум функции g (уи у2) =
— 3^, > 1, ух + д2 > 3, yi > 0, уа >
5. Найдите минимум функции q (уъ у2, у^
ниях (/t + у2 — 2^з > 2, — г/х + г/2 4-
6. Найдите максимум функции f (xlt х2,
ниях 2xt — 5дс2 + *з > 4» 4^i + 3*2 —
дга > 0, х3 > 0,
= xt + Злг2 при ограничениях 2*t -f~
0. Решите эгу задачу: а) графиче-
графиче= 2<rt + 5*о при ограничениях jcj —
12, jci > 0," х2 > 0. Решите задачуз
-методом.
3) — хг + х2 + хъ при ограничениях
> 1 > 0 > 0 > 0
2
1,
р р
0, *2 > 0, «3 > 0.
1
х 3
10*/, — 9f/2 при ограничениях 1щ —
0.
= \2ух + \2у2 — 12*/3 при ограниче-
ограничеуя > 5, ^ > 0, у2 > 0, ^3 > 0.
х9) — xL + Зх2 + 4х3 при ограниче-
ограниче2*з < 2» Ч + 5^2 + ^з < 3, *! > 0,

5
Марковские цепи
и теория игр
5.1. Переходная матрица
Чтобы познакомиться с основными понятиями марковских цепей,
рассмотрим следующий пример. В ящик с тремя отделениями, как
показано на рис. 5.1, помещена мышь. В отсутствие всякой дополни-
дополнительной информации естественно считать, что мышь будет случайным
образом выбирать проход и переходить из одного отделения в другое.
Если это допущение справедливо, то можно ожидать, что при доста-
достаточной длительности эксперимента мышь с одинаковой частотой бу-
будет находиться в каждом из трех отделений. Уэкер* описывает серию
аналогичных экспериментов со степной оленьей мышью. Мышь могла
перемещаться по десяти участкам, половина которых находилась в от-
открытом поле и половина — в лесу, а экспериментатор имел возмож-
возможность изучать степени предпочтения мышью полевого местообитания
перед лесным.
Подходящую схему для анализа эксперимента g мышью, соответст-
соответствующего рис. 5.1, дает теория марковских цепей. В терминах марков-
марковских цепей, мы имеем здесь экспериментальную систему с тремя воз-
возможными состояниями. Передвижение мыши из отделения I в отде-
отделение III, например, соответствует переходу системы из первого со-
состояния в третье. Изучение марковских цепей есть изучение вероят-
вероятностей, связанных с возможными переходами между состояниями экс-
экспериментальной системы.
Основу теории марковских цепей составляют следующие определе-
определения и теоремы.
Определение 5.1.1. Стохастический вектор. Стохас-
Стохастическим вектором называется п-мерный вектор-строка р = (ри
Рг> -••> Рп)> все компоненты которого неотрицательны, а сумма компо-
компонентов равна 1, т. е. рх + р2 + ••• + Рп ~ !•
Определение 5.1.2. Стохастическая матрица. Матри-
Матрица Р = (ри) размера пхп называется стохастической матрицей, если
каждая ее строка представляет собой стохастический вектор. Это
означает, что все элементы рц неотрицательны и сумма элементов в
каждой строке есть 1.
* Wee k е г S. С. Habitat Selection. — Scientific American, Oct 1964, №
211, p. 109—116.

168 Глава 5. Марковские цеаи и теория »гр
1
ь
Пример 5.1.1. Ниже приведены при*
] меры стохастических матриц:
l)( l °);2)f1/2 1/2V
U/2 1/2/' U/4 3/4/1
Л/4 1/4 l/2\ / 1 О О
" О 1 О Ь М 1/4 1/3 5/12
,1/3 1/3 1/3/ \ О О О
ис# ' Стохастические векторы и мат-
матрицы обладают рядом интересных и
полезных свойств, что будет показано в последующих теоремах.
Теорема 5.1.1. Если р — п-мерный стохастический вектору а Р =
= (pij) — стохастическая матрица размера п X п, то рР является
п-мерным стохастическим вектором.
О Пусть даны стохастический вектор р = (ри /?2, ..., рп) и стоха-
стохастическая матрица Р = (рц) размера п X п. Положим г = рР, Тогда
= (рь р2)
Ри Ри ... Рт
Р21 Ръг • •. Pin
\Рп\ Рп2 ... Рп
-. + Рп РпЪ -., PlPln + p2p2n + — +PnPnn).
Иными словами, г = рР = (гг, г2, ..., гп) есть n-мерный вектор-стро-
вектор-строка, йй компонент которого равен ргри + ръРы + ... + РпРпь Каждое
гг неотрицательно, так как представляет собой сумму неотрицатель-
неотрицательных чисел. Для доказательства того, что вектор г— стохастическийf
остается установить, что сумма его компонентов равна 1. Действитель-
Действительно,
2 г« = 21
/= 1 /= 1
2j
п п п
PiPit + 2 АА1 + ...+ 2 PnPm =
i 1 j 1
2
j= 1
= A 2 Pu+ A 2 A1 + -.+A 2
^= 1 /= 1 /= 1
Мы воспользовались тем, что
п п
2j Ai~" 2j /72i = **« ^
/= 1 /« 1
поскольку суммы элементов в каждой строке Р равны 1. Таким образом*
рР является стохастическим вектором. ¦

§ 5Л. Переходная матрица 169
Теорема ЗЛ.2.' Если Р = (рц) и Q =» (^;)—стохастические матри-
матрицы размера п X п, то матричное произведение PQ также является
стохастической матрицей размера п X я.
? Вычислим матричное произведение R = PQ = (г^). Это матри*
= 2 (л* -2 ftiV 2 лл^
fei \ /1
ца размера п X /г, /у-й элемент которой г*; = 2/?*ь9ь/« Так как эле-»
менты матриц Р и Q неотрицательны, то неотрицательны и элементы
матрицы R = PQ. Сумма элементов /-й строки /? есть
п п
2 Г« = 2 2 2 2
( V 2
В этих выкладках мы изменили порядок суммирования в двойной сум-
п п
ме и воспользовались тем, что 2 Рьъг* 2 Ям~ U поскольку Р и Q —
стохастические матрицы. Тем самым доказано, что матрица PQ —
стохастическая. ¦
Следствие (теорема 5.1.3). Если Р — стохастическая матри-
матрица размера п X п9то матрицы Р2, Р3, ..., Рш также являются стоха-
стохастическими.
? Утверждение непосредственно следует из теоремы 5.1.2. Пола-
Полагая Р = Q, получаем, что матрица Р2 — стохастическая. Аналогично,
если Q = Р2, то стохастической является и матрица PQ = Р3, и т. д. ¦
Пример 5.1.2. Убедиться в том, что если
/1/4 1/4 1/2\ /1 0 0х
Р = [ 0 1 0 1 Q = ( 1/4 1/3 5/12
\1/3 1/3 1/3/ \ 0 0 1
то матрица PQ является стохастической.
/1/4 1/4 1/2 \ / 1 0 0 \ /5/16 1/12 29/48N
&PQ=l 0 1 0 )( 1/4 1/3 5/12 W 1/4 1/3 5/12
\1/3 1/3 1/3/ \ 0 0 1 / \5/12 1/9 17/36/
5 1 29
Элементы матрицы PQ неотрицательны. Так как ig" + jj + 48 ^
= i- + ^ + ~-=j! + ^ + 3^ = l,To заключаем, что матрица PQ —
стохастическая. Это частный елучай общего результата, сформулиро-
сформулированного в теореме 5.1.2. А
Докажем теперь утверждение, относящееся к задаче на собственные
значения стохастической матрицы размера п X п.

Глава 5. Марковские цепи и теория игр
Теорема 5.1.4. Если Р = (рц)— стохастическая матрица размера
п Хп, то существует (ненулевой) п-мерный вектор-строка t такой, что
tP - t.
О Согласно теории собственных значений и собственных векторов
(см. § 3.6), нетривиальный вектор t, удовлетворяющий соотношению
iP = t, существует тогда и только тогда, когда det (P — /) == 0.
Но det (Р — /) = 0 тогда и только тогда, когда столбцы матрицы
Р — / линейно зависимы (по теореме 3.5.1). Для стохастической матри-
матрицы Р известно, что
Рп + Pi2 + ... + Рт = Ры + Ргг + ... + Pin = .-•
... = An + Рп2+ ... + Рпп = 1.
Эти равенства можно переписать в следующей эквивалентной вектор-
векторной форме:
Векторы, записанные в левой части этого равенства, в точности совпа-
совпадают со столбцами матрицы Р — /. Таким образом, столбцы Р — /
линейно зависимы и теорема доказана. В
Вектор t, удовлетворяющий соотношению \Р = t, называют не-
неподвижным вектором для матрицы Р. Если вектор t и матрица Р —
стохастические, причем tP = t, то / называют неподвижным стоха*
стическим вектором матрицы Р.
Чтобы определить марковские цепи, рассмотрим эксперимент, имею-
имеющий конечное выборочное пространство S = {Еъ Е2, ,.., ?п}, где
Ei {I = 1, 2, ..., п) представляют собой элементарные события (см. оп-
определение 2.2.3). Рассмотрим последовательность (или цепь) испыта-
испытаний в таком эксперименте. Говорят, что экспериментальная система
находится в состоянии Et при т-ы испытании, если в данном экспери-
эксперименте Et является исходом m-го испытания.
Определение 5.1.3. Марковская цепь. Последовательность
испытаний в некотором эксперименте называется марковской цепью,
если исход любого т-го испытания зависит только от исхода
(т — \)-го испытания и не зависит от исходов других предшествующих
испытаний.
Марковская цепь характеризуется вероятностями того, что при
последовательных испытаниях система переходит из одного состояния
в другое. Это приводит к следующему определению.
Определение 5.1.4. Переходная матрица марков-
марковской цепи. Переходной матрицей марковской цепи называется ма-
матрица Р = (рц) размера п X п, ij-й элемент которой представляет

§ 5.J. Переходная матрица 171
собой вероятность того, что при последовательных испытаниях экс-
экспериментальная система переходит из состояния Е% в состояние ?/.
Переходная матрица марковской цепи является стохастической ма-
матрицей. Вероятности pti неотрицательны, и их сумма ptl + pi2 + ... +
-f Pin = 1» так как эта сумма представляет собой вероятность того,
что система из состояния Et переходит либо в состояние Еъ либо в Е%%
..., либо в состояние Еп. Разумеется, это событие достоверно.
Пример 5Л.З. Рассмотрим эксперимент с мышью (см. рис. 5.1). Три
состояния экспериментальной системы Еъ Е2 и Еъ соответствуют пре-
пребыванию мыши в отделениях I, II и III. Предполагая, что мышь выби-
выбирает с равной вероятностью любой проход, чтобы выйти из отделения,
получим переходную матрицу такого вида:
Рп
/>21
Pl2
Р22
Р32
PiA i
Рп 1 = 1
Раз/
го
1/2
V1/2
1/2
0
1/2
1/2
1/2
0
Вероятность того, что при последовательном испытании мышь пере-
переходит, например, из отделения II в отделение I, есть /?а1 = 1/2.
Пример 5.1.4. В любой данный день погода в Монреале может быть
хорошей, посредственной или плохой. Если сегодня погода хорошая,
то завтра она будет хорошей с вероятностью 0,6, посредственной с ве-
вероятностью 0,2 и плохой с вероятностью 0,2. Если сегодня погода по-
посредственная, то завтра она будет хорошей, посредственной или пло-
плохой соответственно с вероятностями 0,25, 0,5 и 0,25. Если, наконец,
сегодня плохая погода, то вероятности хорошей, посредственной и
плохой погоды на завтра равны 0,25, 0,25 и 0,5. Это можно описать
в виде марковской цепи испытаний в эксперименте g тремя исходами
?ъ Е2 и E3i соответствующими хорошей, посредственной и плохой по-
погоде в любой данный день. Переходная матрица для этой марковской
цепи такова:
/3/5 1/5 1/5>
1/4
\1/4
Вероятность перехода рг] называют также одношаговой вероятно-
вероятностью перехода из состояния Ei в состояние ?7-, поскольку она отно-
относится к последовательным испытаниям. Двухшаговая вероятность пере-
перехода pjp определяется как вероятность того, что экспериментальная
система, находясь в состоянии Ei в одном испытании, переходит в со-
состояние Ej в результате двух последующих испытаний. Переходя из
состояния Et в состояние Ej за два шага, система может пройти через
некоторое промежуточное состояние Еь (k = 1,2, ..., п). Из Ei система
может перейти, например, в Elf а затем в ?/. Вероятность этого есть
РпРи* поскольку последовательные испытания, согласно основному
допущению, независимы. Таким образом, двухшаговая вероятность

|72 Глава 5. Марковские, церр и теория игр
перехода p(if] представляет собой сумму п членов— по одному на каж-
каждое из возможных промежуточных состояний:
п
pjp = РпРи + РгъРы + -. + PinPni^
Это выражение есть не; что иное, как //-й элемент матрицы Р2. По этой
причине матрица Р2 называется двухшаговой переходной матрицей
марковской цепи.
Аналогично, т-шаговая вероятность перехода р\™] определяется
как вероятность того, что система, находясь в состоянии Е% в одном
испытании, оказывается в состоянии Ej в результате т последующих
испытаний. Следующая теорема обобщает результат, относящийся к
двухшаговым вероятностям перехода.
Теорема 5.1.5. Для марковской цепи с переходной матрицей Р=*
= {рц) размера п X п т-шаговая вероятность перехода р\^ представ-
представляет собой ij-й элемент матрицы Рт.
О Докажем это утверждение по индукции. (Многие доказательства
в этой главе используют математическую индукцию. Этот важный
принцип рассматривается в Приложении Е.) При т = 1 утверждение,
очевидно, справедливо согласно определению матрицы Р. Допустим,
что теорема верна при т = k. Определим матрицу Q как Q = Pk =
= (qff). Перейги из состояния Et в состояние Ej за k + 1 испытание
система может путем перехода из состояния Et в состояние Et за одно
испытание и перехода затем из состояния Ег в состояние Ef за остав-
оставшиеся k испытаний. Вероятность этого события есть pnQir Промежуточ-
Промежуточным состоянием Ег может служить Ех, или ?2, ..., или Еп. Поэтому
вероятность того, что система переходит из состояния Et в состояние
Ej за к + 1 испытаний, представляет собой сумму вероятностей:
Но т> соответствует ij-му элементу матрицы PQ = РРк == рм-*э и
доказательство закончено. Я
Пример 5.1.5. Вычислить двухшаговые переходные матрицы для мар-
марковских цепей из примеров 5.1.3 и 5.1.4.
Л В примере 5.1.3 (одношаговая) переходная матрица имеет вид
О 1/2
и поэтому
Р2 =1
Это означает, например, что вероятность перехода мыши за два испы-
испытания из отделения 1 в отделение II есть р[У == 1/4,
1/2
Д/2
1/2
1/4
1/4
0
1/2
1/4
1/2
1/4
1/2
0
1/4**
1/4
1/2,

§ 6.1. Переходная матрица
173
В примере 5.1.4 имеем
3/5 1/5 1/5>
4 1/2 1/4
1/4 1/4 1/2;
и, значит,
/46/100 27/100 27/1004
Р2= 27/80 29/80 24/80
\27/80 24/80 29/80 /
I
я
1
Н Ь-тН,Ь
т
ш
ж
Рис. 5.2
Эта запись говорит, в частности, что если погода хорошая сегодня, то
вероятность хорошей погоды двумя днями позже есть р$ = 46/10U.
Вычисляя Р7, можно найти вероятности хорошей, посредственной и
плохой погоды неделю спустя. Это хорошее упражнение на умножение
матриц. А
При изучении марковских цепей нас часто будут интересовать без-
безусловные (не зависящие от номера испытаний) вероятности пребывания
Системы в различных состояниях. Если проведено много испытаний,
то каковы доли тех из них, при которых система оказывалась в состоя-
состояний Et для I = 1, 2, ..., п> В модели погоды из примера 5.1.4 инте-
интересно установить на несколько последующих лет долю дней с хорошей,
посредственной и плохой погодой. Такая задача рассматривается в
следующем параграфе.
Задачи к § 5.1
1. Какие из следующих матриц являются стохастическими:
@,99 0,02 —0,01
0 1 0
0,98 0,01 090?
1/4 1/8
1/2 1/2
1/4 1/8
0 1.
2. Вычислите двухшаговую переходную матрицу для следующей одношаговой:
A/2 1/4 1/4N
1/4 1/2 1/4
1/4 1/4 \I2j
Укажите, в частности, значения р[\\ р[%} и р{%К
3. Рассмотрим эксперимент, в котором мышь помещают в ящик, схематически
изображенный на рис. 6.2. Предполагая, что мышь g одинаковой вероятно-
вероятностью выбирает любой проход, чтобы выйти из отсека, опишите этот экспери-
эксперимент как марковскую цепь и найдите переходную матрицу*
4. Найдите двухшаговую переходную матрицу для эксперимента с мышью из
задачи 3.

174 Глава 5. Марковские цепи и теория игр
5. Найдите неподвижный вектор и неподвижный стохастический вектор для сто*
хастической ма1рицы
C/5 1/5 1/5N
1/4 1/2 1/4
1/4 1/4 1/2,
6. Вычислите двухшаговые переходные матрицы для следующих одиошаговыя
матриц:
1/2 1/2\ /2/3
1
1/2
'1/3
1/3
1/3
0 \
1/2/;
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
'1/2 1/3 1/б\ /2/3 1/6 1/б>
г) [ 1/3 1/3 1/3 j; д) | 1/6 1/2 1/3 I; e) I 1/6 2/3 1/6
Ч1/3 1/6 1/2/ \1/6 1/6 2/3,
7. Найдите неподвижный стохастический вектор для переходной матрицы
^2/3 1/6 \/б\
1/4 1/2 1/4
О 0 1
Является ли он единственным?
8. Найдите аеиодввжный стохастический вектор для переходной матрицы
'1/2 1/4 1/4N
Р= | 0 1 О
О 0 1
Является ли он единственным?
9. Меюдом ivaтематической индукции докажите, что я-Я степень переходной ма«
трицы
A/2 1/4 1/4N
О 1 О
О 0 1
есть
1 О
О 1
Чему равен lim Pn? Какова вероятность перейти из первого состояния в тре-
П-+0
П0
тье ровно за п шагов, если п очень велико? (Под обозначением lim Pn мы по-
П-+оа
нимаем матрицу, к которой стремится Рп, когда п становится очень большим.
Запись lim Pn читается: «предел Рп при п, стремящемся к бесконечности».).

§ 5.2. Регулярные марковские цепи
10. Методом математической индукции докажите, что rt-я степень переходной
матрицы
A/2 0 1/2>
О 1/2 1/2
О 0 1
есть
-±- о 1--L
2п 2п
рп=( о -L ,_J_
2п 2п
О 0 1
Чему равен предел lim Pn? Дайте интерпретацию этой предельной матрицы*
5 П —У ос
11. В любой данный день человек здоров или болен. Если человек здоров сегод-
сегодня, то вероя!ность того, что он будет здоров и завтра, оценивается в 98%.
Если человек сегодня болен, то завтра он будет здоров лишь с вероятно-
вероятностью в 30%. Опишите последовательность состояний здоровья как марков-
марковскую цепь. Какова переходная матрица?
12. а) Если в условиях задачи 11 человек сегодня болен, то какова вероятность
того, что он выздоровеет завтра, послезавтра и на третий день?
б) Каково ожидаемое число дней, в течение которых остается больным паци-
пациент, больной сегодня?
13. а) Если в условиях задачи 11 человек сегодня здоров, то какова вероят-
вероятность того, что он был здоров вчера?
б) Если человек сегодня болен, то какова вероятность того, что он был бо-
болен вчера?
14. По оценкам, если больной в критическом состоянии выживает в течение од-
одного дня, то с вероятностью 0,8 он будет жить и на следующий день. Опиши-
Опишите эюг процесс как марковскую цепь. Какова переходная матрица?
15. а) В условиях задачи 14 какова вероятность того, что больной будет жить по
крайней мере 5 дней?
б) Каково ожидаемое число дней жизни больного?
5.2. Регулярные марковские цепи
Переходная матрица Р = (ри) марковской цепи дает вероятности п2
возможных переходов экспериментальной системы при одном испыта-
испытании. В некоторых приложениях марковских цепей мы можем распола-
располагать информацией относительно начального состояния системы. На-
Например, мы можем знать достоверно, что система первоначально нахо-
находилась в состоянии Еъ или же нам могут быть известны только вероят-
вероятности того, что она находилась в состояниях Еъ ?2, ..., Еп. Тогда
естественно возникает задача определения вероятности того, что систе-
система находится в состоянии Е; после т шагов. Для решения этой задачи
нам понадобятся следующие понятия.
Определение 5.2.1. Начальное распределение ве-
вероятностей, Начальным распределением вероятностей марков-
марковской цепи называетсяп-мерныйвектор-строкар@> = {р\°\ р2°\ ..., Рп0>)»
где р}0> представляет собой вероятность того, что система первона-
первоначально находилась в состоянии Ё( (i = 1, 2, ..., п).

176 Глава 5. Марковские цепи и теория игр
Пример 5.2.1. Если экспериментальная система первоначально на-
находится в состоянии Еъ то начальное распределение вероятностей есть
р(«) = A,0, ..., 0). Если экспериментальная система с одинаковой ве-
вероятностью может находиться в любом из п начальных состояний, то
начальное распределение вероятностей есть р<°> = A/п, 1//г, ..., \1п).
Важно отметить, что начальное распределение вероятностей является
стохастическим вектором.
Определение 5.2.2. m-ш аговое распределение веро-
вероятностей. Говорят, что п-мерный вектор-строка р{т) = {р\т\
/?2Ш), ••-, Рпт)) есть т-шаговое распределение вероятностей марковской
цепи, если р\т) представляет собой вероятность того, что при т-м
испытании система оказывается в состоянии Et G=1, 2, ..., п).
Следующая теорема утверждает, что если даны начальное распре-
распределение вероятностей и переходная матрица, то можно найти распре-
распределения вероятностей для всех последующих испытаний.
Теорема 5.2.1. Если р@) = (р\°\ р^\ ..., р{п0)) — начальное распре-
распределение вероятностей марковской цепи с переходной матрицей Р, то
распределение вероятностей системы после одного испытания есть
p(i) __ р<о)р Более общо: т-шаговое распределение вероятностей есть
р("О = p(tf*—M р = р@)рт
О По определению, рA> = (р{\\ рBХ\ ..., Pni}), где р/1 представ-
представляет собой вероятность нахождения в состоянии Et после первого ис-
испытания. Первоначально система находится в состояниях Еъ Е2,...,
Еп с вероятностями р\°\ р{2°\ ..., р{п°\ Вероятность того, что система,
находясь первоначально в состоянии Е1у при первом испытании пере-
переходит в Ей есть p\i))pli. Поэтому вероятность исхода Et при первом ис-
испытании равна сумме п вероятностей, соответствующих п возможным
начальным состояниям:
Pi1' = р'ГРи + Р20)р21 + ... + tiOlPni, i - 1, 2, ..., п, E.2)
Это эквивалентно тому, что рA) = р<°>Р. Чтобы завершить доказатель-
доказательство, используем математическую индукцию. Допустим, что после т— 1
испытаний система имеет распределение вероятностей р< т-{) = р<°> х
X Рт—{. Это распределение p^m—^ можно рассматривать как на-
начальное для следующего испытания, и тогда распределение вероятно-
вероятностей на следующем шаге выражается в виде p(m) — pim — {)P. Значит,
р(т) — р(о) рт— 1 р _. р(о)р н доказательство по индукции закон-
закончено. ¦
Пример 5.2.2. Рассмотрим эксперимент с мышью (см. пример 5.1.3).
Требуется найти распределение вероятностей после первого и второго
испытаний, если первоначально мышь находится в I отделении.
Л Здесь переходная матрица имеет вид
/ 0 1/2 Ц2\
^ = 11/2 0 1/2
\1/2 1/2 0

§ 5.2. Регулярные марковские цепи ] 77
и, значит,
'1/2 1/4 1/4>
4 1/2 1/4
ч1/4 1/4 1/2,
Начальное распределение вероятностей есть р@> ==A,0, 0). Поэтому
pd) = р(о)р = (о, 1/2, 1/2), а р<2> - р<°>Р2 - A/2, 1/4, 1/4). Это озна-
означает, в частности, что при втором испытании мышь возвращается в I
отделение с вероятностью 1/2. А
Уместно задать вопрос, будет ли, с течением времени, вероятность
пребывания системы в каком-то конкретном состоянии приближаться
к постоянному значению, не зависящему от начального распределе-
распределения вероятностей. В эксперименте с мышью, например, мы предпола-
предполагаем, что долговременные вероятности каждого из трех состояний бу-
будут равны 1/3. Это можно доказать для регулярных марковских цепей.
Определение 5.2.3. Регулярная стохастическая
матрица. Стохастическая матрица Р = (/?*/) называется регу-
регулярной, если все элементы некоторой ее степени Рт строго положи-
положительны.
Определение 5.2.4. Регулярная марковская не п ь.
Марковская цепь называется регулярной, если ее переходная матрица
Р — (Ри) регулярна.
Пример 5.2.3, Какие из следующих стохастических матриц являются
регулярными:
/1/2 1/2\ /° 1/2 1/2\ /3/5 1/5 1/5
I)Pl In , П 2) Р2= 1/2 0 1/2]; 3) Р, = [ 1/4 1/2 1/4
V ' \1/2 1/2 0 / \1/4 1/4 1/2/
Любая степень Рг содержит нулевой элемент, и поэтому Рх не явля-
является регулярной.
2) Матрица Р2 регулярна, поскольку
/1/2 1/4 1/4N
Р\ =( 1/4 1/2 1/4
\1/4 1/4 1/2>
3) Матрица Ръ регулярна, так как все элементы Р\ = Р% строго
положительны. А
Для регулярных матриц справедлива следующая теорема, приводи*
мая бе$ доказательства.
Теорема 5.2.2. Если Р = (Ри) — регулярная стохастическая матра-
матраца, то у нее имеется единственный неподвижный стохастический век-

173 Глава 5. Марковские цепи и теория игр
тор t, все компоненты которого строго положительны. Существует
предельная матрица Т = lim Pm, и каждая ее строка совпадает с не-
неподвижным стохастическим вектором t Если р — любой стохастиче-
стохастический вектор, то lim pPtn = t. (Обозначения поясняются в задаче 9
т-* оо
к §5.1.)
Пример 5.2.4. Регулярная стохастическая матрица
'3/4 1/4^
J/4 3/4,
имеет неподвижный стохастический вектор t = A/2, 1/2). Для ил-
иллюстрации теоремы 5.2.2 вычислим следующие степени Р:
/5/8 3/8\ р±_р2р2_ /17/32 15/324
^3/8 5/8/ ~ ~~ \15/32 17/32/'
ps_p4 р4_ /257/512 255/512\
~ ~V 255/512 257/512/*
/1/2 1/2\
Видно, что с ростом т матрица Рт стремится к 11/2 j I.
Нас интересует применение теоремы 5.2.2 в анализе марковских
цепей. Если Р = (рц)—переходная матрица регулярной марковской
цепи, то она имеет неподвижный стохастический вектор t, все компо-
компоненты которого положительны. Если, кроме того, р@> — начальное
распределение вероятностей, то lim р@) Рт = t. Это означает, что
tfl —>• оо
после многих испытаний распределение вероятностей системы пример-
примерно совпадает с t. Неподвижный стохастический вектор t регулярной
марковской цепи называется стационарным распределением регуляр-
регулярной марковской цепи. Поскольку вектор t определяется как tP = t,
он обладает тем свойством, что если в некотором испытании распределе-
распределение вероятностей равно t, то и при всех последующих испытаниях оно
также будет равно t.
Пример 5.2.5. Каковы долговременные вероятности хорошей, посред-
посредственной и плохой погоды в модели из примера 5.1.4?
А Переходная матрица
'3/5 1/5
1/2 1/4
Л/4 1/4 1/2,
регулярна, и можно применить теорему 5.2.2. Неподвижный стохасти-
стохастический вектор, или стационарное распределение, есть t = E/13, 4/13,
4/13) (см. задачу 5 к § 5.1). Это значит, что долговременная вероятность
хорошей погоды составляет 5/13. Для посредственной и плохой пого-
погоды обе соответствующие вероятности равны 4/13. А

5.2, Регулярные марковские цепи
179
Пример 5.2.6* Случайное блуждание с отражаю-
Щи,мй барьерами. Рассмотрим игру, в которой каждый из
двух игроков имеет первоначально по два шарика. В каждом туре игры
первый игрок с вероятностью р выигрывает один шарик и с вероятно-
вероятностью q = 1 — р один шарик теряет. Предположим, что если один иг-
игрок теряет все свои шарики, то другой отдает ему в следующем турз
один шарик, с тем чтобы игра могла продолжаться. Требуется описать
эту игру как марковскую цепь.
Л Пять состояний ?0, Еъ Е2, Е3и ?4 в этой игре соответствуют то-
тому, что первый игрок имеет 0, 1, 2, 3 и 4 шарика. Согласно правилам
игры, переходная матрица имеет вид
Р(Ю Pol Ро2 РвЗ Р(Ц
Рю Рп Ри Pit Ри
Р20 Рг\ Ргг Ргъ Рг\
Рзо Рп Рз2 Рзз Ая4
О 1 0 0 0\
q О р О О
О q 0 р
О
О 0 q О р
0 0 0 10
Начальное распределение вероятностей есть р@) = @, 0, 1,0, 0), что
соответствует пребыванию системы в начальном состоянии ?2. Распре-
Распределение вероятностей после одного тура игры есть p(l* = р@>Р = @,
ц% 0, р, 0). После двух туров распределение вероятностей есть рB> =а
^ p(i>/> = (q\ 0, 2pq9 0, р2). Аналогично, р<3> = р<*>Я = @, q2 + 2pq\
0, 2p2q + ply 0). Это пример процесса случайного блуждания. Состояния
Ео и ?4 называются отражающими барьерами, так как если система
попадает в такое состояние, то на следующем шаге она движется «в
противоположном направлении», или «отражается». А
Задачи к § 5.2
/3/4 i/4\
1. Для регулярной переходной матрицы Р=( 1 докажите по индукции
что
и выведите отсюда, что
lim Pn-
/1/2 1/2\
\\/2 1/2/
2. Экзамен состоит из 100 вопросов с ответами «да* или «нет». У среднего студен-
студента экзамен проходит так, что еслв он дает верный ответ на один вопрос, то tra
следующий вопрос оа отвечает верно с вероятностью 3/4. Аналогично» если на
вопрос дан неправильный ответ» то вероятность правильного ответа на сле-
следующий вопрос составляет 1/4. Оцените среднее число правильных ответов
еа этом экзамене»

Глава 5. Марковские цепи и теория игр
3. Лабораторному животному предоставлен выбор из трех видов пищи, имею*
щихся в форме стандартных рационов. В ходе длительных наблюдений было
установлено, что если в некоторой попытке животное выбирает какой-либо
вид пищи, то в следующий раз ту же самую пищу оно выбирает с вероятностью
50%, а другие виды пищи — с равными вероятностями в 25%. Опишите это?
процесс как марковскую цепь и определите переходную матрицу. Докажите,
что за длительное время потребляются равные количества всех трех видов пищи#
п /3/5 2/5 \
4. Для регулярной переходной матрицы Р=[ I докажите с помощью ма«
\2/о 3/5/
тематической индукции,
Чему равен lim P"?
5. Дана регулярная переходная матрица Р— [ I. Найдите точную фор-
\3/7 4/7/
мулу для Рп. Воспользуйтесь ею, чтобы оценить lim P«.
/о о г п~*°°
6. Дана переходная матрица Р = I 0 1 0
, V 0 0j
а) Опишите марковскую цепь с такой переходной матрицей. Является ли Р
регулярной?
б) Вычислите неподвижный стохастический вектор для Р.
в) Определите m-шаговую переходную матрицу этой марковской цепи,
/ 0 1/2 1/2\
7. Дана переходная матрица Р = I 1/2 0 1/2 I.
V1/2 1/2 0/
а) Опишите марковскую цепь с такой переходной матрицей. Является ли Р
регулярной?
б) Вычислите неподвижный стохастический вектор для Р.
в) Определите трехшаговую переходную матрицу этой марковской цепи.
8. Вычислите двухшаговые распределения вероятностей для следующих пере*
ходных матриц и начальных распределений:
/i/j
A/2,0,1/2); б) 0 1 0 I р«» = A,0, О);
p(o)==(i/4, 1/4, 1/4, 1/4).
9. В некотором курсе занятий студенты сдают пять зачетов. На каждом из за-
зачетов возможны оценки Л, В, С, D и Е. Установлено, что с вероятностью 60%
студент получает на зачете ту же оценку, что и на предыдущем зачете, и с ве-
вероятностями 10% —любую из остальных оценок. Опишите этот процесс каи
марковскую цепь. Какова ее переходная матрица?
10. а) Если в задаче 9 студент получает оценку А на первом зачете, то какова
вероятность того, что он получит С на третьем зачете?

,§ ,5*3,. Поглощающие марковские цепи j g{
б) Если студент получает оценку В на втором зачете, то кякова вероятность
того, что на всех трех оставшихся зачегах он получит икже оценку в?
XU Два подвида пгиц конкурируют за территорию. Первоначально каждый из
двух подвидов занимал по 10 ед. площади. Конкуренция происходит как ряд
последовательных столкновений. При каждом столкновении подвид с оди-
одинаковой вероятностью либо теряет, либо приобретает единицу территории.
Опишите эту конкуренцию как марковскую цепь с 21 состоянием. Какова
переходная матрица этой цепи? (Предполагается, что конкуренция оканчи-
оканчивается, если один из подвидов потерял всю свою территорию.) Каковы рас-
распределения вероятностей для единиц территории после одного и после двух
столкновений?
12. Рассмотрим следующий эксперимент по скрещиванию. Особь неизвестного
генотипа АА, Ла или аа (пояснение терминологии см. в § 9.3) скрещивается
с гетерозиготной особью Аа. Из потомства случайно выбирают одну особь
и вновь скрещивают с гетерозиготной особью. Если эту процедуру повторить
на многих поколениях, то какова будет вероятность того, что наудачу вы-
выбранный потомок окажется гетерозиготным?
5.3. Поглощающие марковские цепи
В эксперимент с мышью, описанный в § 5.1, можно внести изменение,
состоящее в том, что мышь изымается из ящика, как только она дости-
достигает отделения III. Эту новую экспериментальную процедуру тоже мож-
можно описать как марковскую цепь, если мы условимся считать, что си-
система, достигнув третьего состояния, остается в нем при всех последую-
iMx испытаниях. Состояния с таким свойством дозольно часто встре-
встречаются в приложениях марковских цепей. Поэтому введем следующие
понятия..
Определение 5.3.1. Поглощающее состояние. Состоя-
Состояние Et марковской цепи называется поглощающим, если система, до-
достигнув Et при некотором испытании, остается в этом состоянии и
при всех тследующих испытагиях.
Определение 5.3.2. Поглощающая марковская цепь.
Маоковскгя цепь называется поглощающей, если в ней имеется одно
{или более) поглощающее состояние и если поглощающее состояние мо-
может шть достигнуто из любого непоглощающего состояния.
Если состояние Et — поглощающее, то вероятность перехода из
Е( в Et есть 1. Иными словами, состояние Et является поглощаощим
тогда и только тогда, когда рц = 1. Количество поглощающих состоя-
состояний в поглощающей марковской цепи равно числу единиц на диагонали
ее переходной матрицы. Непоглощающие состояния поглощающей мар-
марковской цепи называются переходными. Вероятность того, что система
находится в переходном состоянии, убывает по мере того, как растет
число испытаний.
Пример 5.3.1. Если мышь (см. пример 5.1.3) остается в отделении
III, как только она его достигла, то переходная матрица имеет вид
О 1/2 1/2>
^\ 1/2 0 1/2 |.
О 0 1

182
Глава 5. Марковские цепи и теория игр
Состояния Ег и Е2 являются переходными, а Е3— поглощающим. За-
Заметим, что достичь Е3 можно как из состояния El9 так и из ?2, и пото-
потому в данном случае марковская цепь является поглощающей.
Пример 5.3.2. Матрица
/1/2 О
0 1 О
1/3 1/3 1/Зу
служит переходной матрицей для поглощающей марковской цепи с
тремя состояниями. Второе состояние — поглощающее. Его можно
достичь из Е3 при одном испытании и из Ег при двух испытаниях (сна-
(сначала с вероятностью 1/2 переходим из Е± в Е3, затем с вероятностью 1/3
перекодим из Е3 в Е2),
Пример 5.3.3. Случайное блуждание с поглощаю-
поглощающими барьерами. Как и в примере 5.2.6, рассмотрим игру
двух партнеров, каждый из которых первоначально имеет по два ша-
шарика. В каждом туре этой игры первый партнер с вероятностью р вы-
выигрывает один шарик и с вероятностью q = 1 — р один шарик теряет,
Игра заканчивается, как только один из партнеров теряет все свои ша-
шарики. Требуется описать эту игру как марковскую цшь.
А Игра имеет пять состояний ?0, El9 Е2, Е3н ?4, соответствующие
наличию у первого игрока 0, 1, 2, 3 и 4 шариков. Состояния Ео и ЕА —
поглощающие, а Еъ Е2 и Е3 — непоглощающие, т. е. переходные.
Переходная матрица имеет ид
\
A)G Pol PiJ Роз АL
PlO Pll Pl2 Pl3 Pl4
Рго P2i P22 Ргз Р24
РЗО P'Sl Р32 РЯЗ Р'34
Р40 Рп РМ Pl3 PU
I 0 0 0 0\
q 0 р О О
О q 0 р О
О 0 q 0 р
,00001/
Игра начинается с со:тоян!я ?,, т. е. начальным раслределением ве-
вероятностей служит р@> = @, 0, 1, 0, 0). В последу ощих турах распре-
распределения вероятностей таковы:
p(i) = р(ор = (о, Qt 0, р, 0), р<2> = (q\ 0, 2pq, 0, р2),
Р^3) = (q\ 2pq\ 0, 2р% р2), рD> = (q2 + 2pq\ 0, 4/?V, 0, р2+ 2p3qI ...#
По прошествии многих испытаний вероятность того, что система на-
находится в одном из переходных состояний, становится очень малой.
Это означает, что после большого количества туров кто-то из игроков
почти наверняка потеряет все шарики. Более сложный процесс случай-
случайного блуждания будет изучаться в гл. 9 как модель выживания и выми-
вымирания видов. А
Рассмотрим общий случай поглощающей марковской цепи с k пе-
переходными состояниями i?!, E2f ..., Eh и п — k поглощающими состоя-

§ 4.3. Ногяащающие марковские цепи | gj
пнями Eh+U ?&+2, •••» Еп. Переходная матрица этой марковской цепи
имеет такой общий вид:
I Pll Pl2 — Plh Pl.k + t Pl,k±2 ... Ptn\
Pl\ P22 ••• Plh P2,k+l P2.k + 2 ... p2n
Phi Pk2
0 0
0 0 .
Pkh Pk
0 1
0 0
0 0 ... 0 0
0
1
6
... 0
... 0
Пусть первоначально система находится в состоянии Et. Тогда нас
может интересовать, как долго система «живет», т. е. сколько испыта-
испытаний потребуется в среднем, чтобы система достигла поглощающего
состояния. Принимая Ег за начальное состояние системы, обозначим
через qtj ожидаемое количество испытаний, при которых система на-
находилась в некотором непоглощающем состоянии Ej, прежде чем по-
попала в поглощающее состояние. Если i Ф /, то система может достиг-
достигнуть Ej в результате одного испытания с вероятностью ptj. Она может
достичь Ej при втором испытании, проходя в первом через какое-либо
промежуточное состояние Ег. Поэтому вероятность достижения Ej
k
при втором испытании выражается как
и-. Аналогично, вероят-
к k
ность достижения Ej при третьем испытании равна 2 HLptuPhh Pi h
причем промежуточными состояниями в первом и втором испытаниях
служат Е1х и Еи. Итак, получаем, что если i Ф /, то
E.3)
Если t = /, то цепь начинается в состоянии Ej и потому
к к к
E.4)
Определим две матрицы размера k x k так:
(Рп Р12 ..• Р
Pzi Р22 — ft*
• i !

Глава 5. Марковские ц*пи и теория игр
Тогда равенства E.3) и E.4) можно записать в виде одного матричного"
равенства
Q= / +/? +/?2+ #* + ..., E.5)
где / — тождественная матрица размера k x k. Это Выражение для
Q в виде бесконечной суммы степеней R можно исследовать тем же пу-
путем, что и бесконечные суммы из § 1.6. Ряд E.5) можно просуммиро-
просуммировать, получив в результате Q = (I — R)~l. Чтобы (хотя бы нестрого)
убедиться в этом, заметим, что
или
(/ — R)Q= I и Q= (I — R)~h
Исходная задача состояла в том, чтобы найти среднее число испы-
испытаний, которые произойдут, прежде чем система окажется в поглощаю-
поглощающем состоянии. Определим величину mt как среднее число испытаний,
которые потребуются для того, чтобы система оказалась в поглощаю-
поглощающем состоянии, если исходным для нее служило переходное состояние
E-t. Ясно, что mi представляет собой сумму средних чисел испытаний,
при которых до поглощения система находилась в отдельных непогло-
щающих состояниях Е$\
тг = ЯП ~Ь ЦгЧ + ••» + Qih' E.6)
Иными,словами, mt равно сумме элементов в /-й строке матрицы
Пример 5.3.! (продолжение). Мы установили, что состояния
Ех и Е2 — переходные, а Е3 — поглощающее. Здесь
Н~\\12 О
далее, находим
V 0 1/22"
О )'
Таким образом,
1 0\ /0 1/2\ /1/4 0\ /0 1/8\ /1/16 0
oij + ll/2 o] + U l/4J + (l/8 oj + (o 1/16
/1 +1/4+1/16+ - 1/2 + 1/8 +1/32+.. Л /4/3 2/3\
V1/2+1/8+1/32+... 1 +1/4 + 1/16 + ..J \2/3 4/3/'

§ 5,3, Поглощающие марковские цепи 186
Здесь мы воспользовались тем, что
/ 1-1/4 3/4 3
(см. пример 1.6.8), а также тем, что
2 ^ 8 ^ 32 ^ '" 2 V 4 16 "V 2 ' 3 3 #
Смысл такой величины, как, например, q12 = 2/3, состоит в том, что
если система первоначально находилась в состоянии Elt то среднее
число временных шагов, в течение которых система будет находиться
в состоянии ?2, равно 2/3. Для величины тг имеем т1 = qlt + ql2 =?
= 4/3 + 2/3 = 2. Иными словами, если первое перемещение мыши
приводит ее в отделение I, то среднее количество перемещений (вклю-
(включая первое), прежде чем мышь попадет в отделение III, равно 2.
Пример 5.3.3 (продолжение). Здесь переходными являются со-
состояния Еъ Е2 и Е3> причем
Рассмотрим для простоты случай р = q =* 1/2. Тогда, как следует из
решения задачи 2 к § 3.4,
/ 1 -1/2 0\ /3/2 1 1/2 \
/—/?=-( —1/2 1 —1/2 и (/—Я)-1- 1 2 1 UQ,
\ 0 -1/2 1 / \1/2 1 3/2/
Это говорит о том, что если, например, первый игрок первоначально
имеет два шарика, то он вправе ожидать, что игра будет продолжаться
</2i + #22 + #2 3 = 1 + 2 + 1 =4 тура, прежде чем он либо выигра-
выиграет, либо потеряет все шарики.
В примере 5.3.3 рассмотрена игра, исход которой непредсказуем.
Результат каждого тура (или шага) игры определяется случаем. В ос-
оставшихся параграфах данной главы мы рассмотрим другие типы игр,
в которых мастерство игрока может повлиять на результат.
Задачи к § 5.3
1. Докажите, что регулярная марковская цепь не является поглощающей. При*
ведите пример нерегулярной марковской цепи, которая не является погло-
поглощающей.
2. Какие из нижеприведенных переходных матриц являются переходными ма-
матрицами поглощающих марковских цепей? Определите число поиющающих
состояний в каждом случае: ?

Глава 5. Марковские цепи и теория игр
'О 1 0\ /1/3 1/3 1/3N
1 О О ]; в) I О О 1
0 0 1/ \1/3 1/3 1/3;
'1/2 1/2 О
1/2 1/2 0 0
г) I Л , Л Л 1; д) I 0 oi
О 0 0
3. Эксперимент может повторяться до тех пор, пока он не будет успешно выпол-
нен дважды. Пусть вероятность успешного выполнения эксперимента при
одном испытании есть 1/3. Опишите этот процесс как поглощающую марков-
марковскую цепь с тремя состояниями. Какова ее переходная матрица? Если первый
эксперимент был неудачным, то какова вероятность того, что первый успех
наступит в четвертом испытании?
4. Каково ожидаемое число повторений эксперимента в предыдущей задаче?
5. Чтобы получить единицу пищи, лабораторное животное должно выполнить
определенное задание. Вероятность успешного выполнения задания при лю-
любом испытании составляет 4/5. Предположим, что животное повторяет задания
до тех пор, пока не получит всего 4 ед. пищи. Опишите этот процесс как по-
глдщающую марковскую цепь с пятью состояниями. Какова ее переходная
матрица?
6. Й условиях задачи 5 найдите ожидаемое число повторений задания, прежде
чем оно будет успешно выполнено 4 раза.
7. Два игрока Gj и G2 играют в азартную игру. Вероятность того, что выигрывает
<jj, на каждом ходе равна 3/7. Пусть G1 начинает игру с 7 долларами, a G2 —
с I долларом. Каждый ход игры состоит в том, что игроки держат пари на
1 доллар, и игра продолжается до тех пор, пока один из них не проиграет все
деньги. Опишите эту игру как поглощающую марковскую цепь с дгвятью со-
состояниями. Каковы распределения вероятностей состояний после одного и
после двух ходов игры? (Биологическую интерпретацию эюй игры
см. в § 9.2.)
8. Предположим, что в игре из задачи 7 игрок G2 каждый раз ставит на кон все
свои деньги*. Опишите эту «гру как марковскую цепь с пятью состояниями.
Каково ожидаемое число ходов в этой игре?
9. Чтобы получить пищу, лабораюриое животное должно выбрать одну из че-
четырех дощечек. При выборе дощечки 1 или II количество пищи очень мало.
Выбор дощечек III или IV дает гораздо больше пищи. В ходе наблюдений ус-
установлено, что если в некоторой попытке выбирается дошечка III или JV, то
та же самая дощечка выбирается и во всех последующих попытках. Если же
выбрана дощечка 1 или II, то при следующей попытке выбор всех четырех до-
дощечек равновероятен. Опишите этот процесс как поглощающую марковскую
цепь с четырьмя состояниями. Если в первой попытке выбирается дощечка I,
то каково ожидаемое число попыток, предпринятых прежде, чем будут
выбраны дощечки. III или IV?
10. а) Рассмотрим игру, в которую играют команды Л и В с общим числом п
игроков в обеих командах. В каждом туре игры какая-либо из команд полу-
получает одного игрока из другой команды, и игра продолжается до тех пор, по-
пока в одной из команд не останется ни одного игрока. Если в команде А име-
имеется к игроков, а в команде В имеется п — к игроков, то вероятность того,
что в следующем туре игрока выигрывает команда А, есть (к/пJ. Опишите
эту игру как поглощающую марковскую цепь. Являются ли правила игры
«безобидными» (т. е. не дают преимущества какой-либо из команд)? (Это
* При этом игрок Gx уравнивает ставку. — Прим. пер.

§ 5.3. Поглощающие марковские цепи 187
элементарная модель видовой конкуренции.)
6) Пусть в вышеописанной игре k = 3? а п = 6. Каково распределение ве-
вероятностей для числа игроков после одного тура? после двух туров?
11. Пусть в условиях задачи 12 к § 5.2 выбираемый наудачу из каждого поколе-
поколения потомок скрещивается с рецессивным индивидом (аа). Какова, по про-
прошествии многих поколений, вероятность того, чго случайно выбранный
потомок окажется рецессивным?
5.4. Теория игр
Современная теория игр была разработана в 40-х годах нашего столе-
столетия как общая математическая система для анализа экономики. Ос-
Основные идеи этой теории были взяты из таких обычных игр, как шах-
шахматы, бридж, пасьянс, домино или шашки. Общая теория разрабаты-
разрабатывалась без непосредственной связи с какой-либо конкретной игрой.
Теорию игр можно применять в анализе любого поведения конкурент-
конкурентного типа — к обычным играм, экономике, военным действиям и биоло-
биологической конкуренции. В анализе биологической конкуренции теория
игр дает полезную концептуальную схему для понимания поведенче-
поведенческих явлений*.
Во многих обычных играх соперники, или конкуренты, совершают
последовательность ходов в соответствии с правилами игры. В одних
играх последовательные ходы делаются при наличии полной информа-
информации о возможностях противника (шахматы). В других играх эта ин-
информация неполная (бридж). Игрок может выбирать свои ходы чисто
случайно (например, подбрасывая монету) либо сознательно отбирая
наилучший из всех возможных ходов. Игра может окончиться после
конечного числа ходов, определивших победителя и побежденного.
Победитель игры получает обычно выигрыш — либо в виде денежно-
денежного платежа, либо просто как удовлетворение от победы. (Награда
виду, играющему в «игру экологии», есть сама возможность продол-
продолжать эту игру.)
Игра определяется своими правилами. В некоторых случаях игра
бывает настолько сложной, что одно только понимание ее правил уже
может считаться значительным успехом. Рассмотрим, например, зада-
задачу определения правил игры в шахматы в ходе наблюдения за игрой.
После четырех-пяти партий основные правила игры стали бы очевид-
очевидны, однако, чтобы постичь все правила, понадобилось бы наблюдать
еще за очень многими партиями. По аналогии € этим, сложные взаимо-
взаимодействия в системах человеческого общества или в экологических си-
системах можно представлять себе как осуществление игры с очень боль-
большим числом участников — игры, правила которой полностью еще не
познаны.
Если же правила игры известны, то задача состоит в том, чтобы
определить, как игроки должны выбирать свой ходы и каковы последо-
* Lewontin R. G, Evolution and the Theory of Games, — Journal of
Theoretical Biology, 1961, № 1, p. 382—403; Slobodkin L. B. The Stra-
Strategy of Evolution.— American Scientist, 1964, №52, p. 342—357.

188 Глава 5. Марковские цепи и теория игр
вательности этих ходов. Иными словами, анализируя правила игры,
игроки должны определить свои стратегии. Обычно окончательный итог
игры во многом зависит от того, какие ходы будут сделаны каждым из
игроков. В сложных играх анализ всех вариантов может оказаться не-
невыполнимым; в таком случае, выбирая ходы, игроки должны полагать-
полагаться на свой опыт и интуицию либо действовать просто методом проб и
ошибок.
В этой главе довольно подробно будет изучаться простая игра двух
лиц. Введенные для нее понятия и доказанные результаты образуют
модель для анализа более общих игр.
Определение 5.4.1. Матричная игра. Пусть А = (atj) — ма-
матрица размера m X п. Матрица А задает игру между двумя соперни-
соперниками R и С (строками и столбцами) в соответствии со следующими
правилами:
1, На каждом ходе игры R выбирает одну из т строк, а С выбирает
один из п столбцов матрицы А. Выбор делается одновременно, и ни
один из соперников не знает заранее выбора (или хода) другого.
2. Если R выбирает 1-ю строку, а С выбирает \-й столбец, то С пла-
платит R сумму atj. Если ац отрицательно, то это значит, что С полу*
част от R сумму — ац.
Эта игра называется матричной игрой т х п, определяемой т х п-
матрицей А = (а^).
Матричная игра может окончиться после одного хода или может
продолжаться любое количество ходов. Матрица А = (аи) называется
матрицей игры (или платежной матрицей).
Следующие примеры показывают, как анализируются матричное
игры
Пример 5.4,I. Описать матричные игры с платежными матрицами:
1 2\ / * 0 1
2 3Г 2) Н ° -1 2
2 6) \-1 о з
Л 1) В этой матричной игре 2x2 игроки R к С имеют по два ва-
варианта выбора каждый. Когда игрок R выбирает 1-ю строку, он полу-
получает 1 ед., если С выбирает 1-й столбец, и 2 ед., если С выбирает 2-й
столбец. Когда R выбирает 2-ю строку, он проигрывает 2 ед., если G
выбирает при этом 1-й столбец, и выигрывает 3 ед., если С выбирает
2-й столбец. Играя разумно, С всегда будет выбирать 1-й столбец.
В этом случае игроку R тоже следует выбирать 1-й столбец. В таком
варианте R гарантирует себе выигрыш по крайней мере 1 ед., а С
гарантирует себе проигрыш не более чем 1 ед.
2) В данной матричной игре 3x4 игрок R имеет три варианта вы-
выбора, а С— четыре варианта. Из анализа всех возможных ситуаций
видно, что для С лучше всего выбирать 2-й столбец. При таком выборе
С гарантирует себе, что он не будет в проигрыше. Для R лучше всего
выбирать 1-ю строку. Если выбраны такие ходы, то между игроками
нет никаких платежей. ^

§ &4. Теория игр 189
Общая матричная игра т X п представляет собой пример игры
двух лиц с нулевой суммой, поскольку имеется два соперника и сумма
их выигрышей равна нулю. Выигрыши одного игрока являются про-
проигрышами другого. Такие матричные игры полностью исследованы в
остальных параграфах данной главы. Игра из примера 5.3.3 представ-
представляет собой игру двух лиц с нулевой суммой, которая не является
матричной игрой.
Пример 5.4.2. В экспериментах ворон и попугайчиков обучают рас-
распознаванию чисел до семи. Используется следующая схема экспери-
эксперимента. Рацион вороны R и попугайчика С должен определяться ма-
матричной игрой. Каждой птице показывают три карточки с нанесенными
на них двумя, четырьмя и семью точками. Если обе птицы выбирают од-
одну и ту же карточку, то R получает из рациона С количество червяков,
равное удвоенному числу точек на карточке. Если они выбирают раз-
разные карточки, то С получает из рациона R количество червей, равное
разнице в числе точек на карточках. В предположении, что ходы дела-
делаются независимо (например, с помощью двух наборов карточек),
требуется описать этот эксперимент как матричную игру.
Л Это матричная игра 3 х 3 с платежной матрицей
2 4 7
/4—2 5\2
Л= — 2 8 —3
\_5 —3 14,
Числа, стоящие сверху и справа, указывают на возможные варианты
выбора Си/?. Роль этой матрицы в эксперименте должна быть понят-
понятна. Если, например, R (ворона) выбирает карточку с четырьмя точка-
точками, а С (попугайчик) — карточку с двумя точками, то рацион С по-
пополняется 4-^-2 = 2 червяками, взятыми из рациона /?. Если ворона
всегда выбирает четверку, то ее максимальный проигрыш равен трем
червякам. Если попугайчик всегда выбирает двойку, то его максималь-
максимальный проигрыш равен четырем червякам. Если же обе птицы делают
именно такой выбор, то ворона на каждом шаге игры будет проигры-
проигрывать по два червяка. Ясно, что вороне следует время от времени идти
на риск проиграть более трех червей, чтобы иметь шансы что-либо
выиграть. Зная это, попугайчику также следует менять свой выбор
карточек. Теория матричных игр подскажет нам, как ворона и попугай-
попугайчик должны варьировать свой выбор карточек. Это будет темой заклю-
заключительных параграфов данной главы. Как это ни удивительно, но ока-
окажется, что правила игры отдают некоторое предпочтение вороне.
Зддачи к § 5.4
1. Опишите матричные игры со следующими платежными матрицами}
— 1 2\ /0 0 6\
-3 0; в) I 1
-2 3/ \2 2 2,

190 Глава 5. Марковские цени и теория ига
2. Рассмотрим матричную игру с платежной матрицей I J. Пусть R
выбирает строку, делая ход первым, а затем С выбирает столбец, зная уже
о выборе R. Какое влияние окажет это изменение в правилах игры на страте-
стратегии соперников?
3. Согласно приведенному определению матричной игры, оба соперника R и С
перед началом игры имеют полную информацию о возможных платежах. Они
ходят одновременно и не знают о том, какой ход выбран соперником.
Правдоподобны ли эти черты матричных игр для биологической конкурен-
конкуренции? Какое влияние оказало бы на выбор стратегий неполное знание
исходов?
4. В игре двух лиц с нулевой суммой имеется два соперника; сумма их вьшгры*
шей равна нулю. Выигрыши одного соперника — это проигрыши другого.
Некоторые типы биологической конкуренции можно описать как игры с не-
ненулевой суммой. В этих играх оба соперника могут выиграть, если они долж-
должным образом кооперируются. Рассмотрите общую игру с ненулевой суммой и
предложите правила для игры такого типа.
5. Чтобы получить приз в азартной игре, игрок должен выбрать один из грех
вариантов хода. Два варианта дают призы ценой по 5 центов, а третий — це-
ценой в 50 центов. Перед каждым ходом эти три приза случайно распределяются
среди трех вариантов хода. Если за участие в игре игрок платит 25 центов, то
какова ожидаемая сумма его выигрыша? Является ли эю игрой двух лицо
нулевой суммой?
5.5. Стратегии в матричных играх
В матричной игре е т X /г-матрицей А = (ап) игроки должны проана-
проанализировать альтернативные ходы и решить, какие строки или столбцы
выбирать в последовательности ходов. Чистой стратегией для R
(или для С) является решение выбирать для каждого хода одну и ту
же строку (или один и тот же столбец). Говорят, что игрок R (или С)
использует смешанную стратегию, если на разных ходах игры он выби-
выбирает более чем одну строку (или более чем один столбец). Если оба иг-
игрока используют чистые стратегии, то результат каждого хода всегда
один и тот же и игра полностью предсказуема. Пусть, например, R
всегда выбирает /-ю строку, а С всегда выбирает /-й столбец; тогда на
каждом шаге игры R получает от С выигрыш, равный аи единицам.
Когда один или оба игрока используют смешанные стратегии, игра
усложняется. Если /?, например, решает играть по смешанной страте-
стратегии, то он будет рандомизировать (т. е. делать случайным) свой вы-
выбор строки таким способом, который увеличит его доход. Эти идеи при-
приводят к следующему определению.
Определение 5.5.1. Стратегия. Стратегией игрока R в матрич-
матричной игре ту, п с матрицей А — (ац) называется т-мерный стоха-
стохастический вектор р = (/?!, />2, ..., рт), в котором pt представляет со-
собой вероятность того, что R выбирает i-ю строку (/ = 1, 2, ..., т).
Стратегией игрока С называется п-мерный стохастический вектор
Ч — (йи Q2> •••» Qn)t в котором qj представляет собой вероятность вы-
выбора игроком С j-го столбца (j = 1, 2, .... /г).
Игроки R и С должны определить свои стратегии р и q. Иными
словами, они должны найти вероятности pt и qh которые укажут, сколь

§ 5.5. Стратегии в матричных играх jcjj
часто им следует выбирать различные строки и столбцы. Если, напри-
например, R и С в каждом ходе выбирают 1-ю строку и 1-й столбец матрицы Л,
то, значит, они применяют чистые стратегии р = A,. О, ..., 0) и q =
= A,0, ..., 0). Если R и С выбирают все строки и все столбцы с равной
вероятностью, то они применяют смешанные стратегии р = (Мпц
Mm, ..., 1/m) и q = (\1п, \1п, ..., \1п). Любой m-мерный стохастиче-
стохастический вектор является возможной стратегией для R, и любой я-мерный
стохастический вектор — возможной стратегией для С.
Если R и С используют стратегии р = (ри р2, ..., рт) и q = (qu
<\ъ •••» Qn)> T0 PtQj есть вероятность того, что в данном ходе R выбирает
r-ю строку, а С выбирает /-й столбец. При таком ходе доход R за счет
С составляет ац единиц. Ожидаемый доход Е (р, q) игрока R за счет С
определяется как
?(Р> q) = S 2 auPt4s*
Это математическое ожидание выигрыша R у С на каждом ходе ма-
матричной игры, если R применяет стратегию р, а С — стратегию q.
Если воспользоваться векторными и матричными обозначениями, то
ожидаемый доход можно записать в виде
В дальнейшем р и q будут обозначать соответственно m-мерный сто-
стохастический вектор-строку и n-мерный стохастический вектор-столбец.
Тогда ожидаемый доход R на каждом шаге матричной игры можно за-
записать как Е (р, q) = p/lq.
Пример 5.5.1. Каков ожидаемый доход R за счет С в матричной игре
2 х 2 с матрицей
I 1 0
при следующих парах стратегий: 1) р == A/2, 1/2), q = A, 0); 2) р =
= @, 1), q == C/4, 1/4)?
А Для общей матричной. игры 2x2 имеем
22
В рассматриваемом примере Е (р, q) = — pxqx + 2pxq2 + p2qv. По-
Поэтому для случая 1) получаем, что Е (р, q) = — A/2)• 1 + 2-A/2) X

{92 Глава 5* Марковские цепи и теория игр
X 0 + A/2)-1 = 0. Это показывает, что если С всегда выбирает 1-й
столбец, a R выбирает 1-ю или 2-ю строку с равной вероятностью, то
ожидаемый доход R равен нулю. В случае 2) имеем Е (р, q) = — 0 X
X C/4) + 2-0-A/4) + 1 -A/4) = 1/4. При таких стратегиях средний
доход R составляет 1/4 в каждом ходе игры. А
Пример 5.5.2. Каковы ожидаемые доходы R в игре из примера 5.4,2
при следующих парах стратегий: 1) р = A/3, 1/3, 1/3), q = A, 0, 0);
2) р = A/3, 1/3, 1/3), q = A/2, 1/4, 1/4)?
Л 1) При таких стратегиях ворона R выбирает карту случайно,
а попугайчик С всегда выбирает двойку. Тогда
/1 /О 1 /О
= \i IOt 1 /О,
A/3, 1/3, 1/3)|-2 U-1.
Итак, ворона будет проигрывать попугайчику в среднем по одному
червяку на каждом шаге игры.
2) В данном случае/? выбирает карту чисто случайно, а С выбирает
двойку с вероятностью, вдвое большей вероятности выбора четверки
или семерки. При этом
/ 4 -2 -5\Л/2\
E(P,q) = (l/3, 1/3, 1/3) -2 8 -3 1/4 =
\-5 -3 14/\1/4/
/1/4\
= A/3, 1/3, 1/3I 1/4 Ul/4.
\1/4/
С такими стратегиями игры ворона получает от попугайчика в сред-
среднем по 1/4 червяка на каждый ход игры. Конечно, игроки свободны в
выборе своих стратегий. Если, например, в случае 1) ворона замечает,
что попугайчик всегда выбирает двойку, то ей следует изменить свою
стратегию, с тем чтобы извлечь выгоду из этого наблюдения. Если
ворона сделает это, то попугайчику следует изменить свою стра-
стратегию. ^
В матричной игре игрок R должен применять такую стратегию, ко-
которая принесет ему как можно больший доход Е (р, q). Разумеется,
R не в состоянии управлять стратегией q игрока С и потому R должен
выбрать такую стратегию р0, которая гарантирует ему наибольшую воз-
возможную прибыль независимо от того, какую стратегию q применяет С.

$ 5.5. Стратегии в матричных играх 193
Это значит, что игроку R следует принять такую стратегию р0, которая
максимизирует минимальное значение Е (pOf q) при всех возможных
выборах q. Иными словами, R должен выбрать стратегию р0, которая
обеспечит ему средний доход Е (р0, q) не менее и при любой страте-
стратегии q игрока С, причем р0 является стратегией, для которой значение
п — наибольшее из возможных. Короче, стратегия р0 удовлетворяет
условию Е (р0, q) ^ и при любой стратегии q. Действуя таким обра-
образом, R получает средний доход не менее и независимо от стратегии иг-
игрока С.
Из аналогичных соображений игрок С должен принять такую стра-
стратегию q0, которая минимизирует его максимально возможный про-
проигрыш. Эта стратегия q0 выбирается так, чтобы обеспечить проигрыш
Е (q0, p) не более w при любых р, причем значение w — наименьшее из
возможных. Это означает, что Е (р, q0) ^ до при любой стратегии р.
Теорема 5.5.1. Ожидаемый доход Е (р0, q) больше или равен и при
любой стратегии q игрока С тогда и только тогда, когда все компонен-
компоненты п-мерного вектор-строки р0Л больше или равны и. Точно так же
ожидаемый доход Е (р, q0) меньше или равен w при любой стратегии
р игрока R тогда и только тогда, когда все компоненты т-мернога
вектор-столбца Лqo меньше или равны до.
? Если все компоненты вектора р0Л больше или равны а, то
Е (ро» Ф = Р(Ич ^ иу так как компоненты q в сумме дают 1. Обратно:
если Е (р0, q) ^ и при любой стратегии q игрока С, то это верно и при
чистой стратегии q = A, 0, ..., 0). Но в этом случае Е (р0, q) равно
первому компоненту р0Л. Используя все возможные чистые стратегии
для С, мы приходим к выводу, что все компоненты р0А больше или
равны и. Доказательство второй части теоремы аналогично и представ-
представляется читателю в качестве упражнения. ¦
Теорема 5.5.1 дает метод принятия наилучших стратегий для R
и С. Это приводит к следующему фундаментальному результату тео*
рии матричных игр, принадлежащему фон Нейману.
Теорема 5.5.2. В матричной игре с любой т X п-матрицей А = (аи)
существуют стратегии р0 и q0 и такие числа и и до, что Е (р0, q) ^ и
при всех q, a E (p, q0) ^ до при всех р. При этом и является наиболь-
наибольшим, aw — наименьшим из чисел с указанными свойствами. Более того,
числа и и w равны между собой.
Доказательство этой теоремы довольно сложное и длинное. Вместо
того чтобы приводить его, мы опишем в следующем параграфе метод
для вычисления р0 и q0 в явном виде. Стратегии р0 и q0 называются
оптимальными стратегиями для R и С. Число v, равное и и до, назы-
называется ценой игры. Оно представляет собой ожидаемый доход R за
счет С на каждом шаге игры, когда R и С применяют оптимальные
стратегии р0 и q0, т. е.
v = Е (ро, q0).
Если v = 0, то игру называют безобидной. Для безобидной игры
средний платеж при оптимальных стратегиях равен нулю.
7 Зак. 1370

194 Глава 5. Марковские цепи и теория игр
Пример 5.5.3. Убедиться в том, что чистые стратегии р0 = @, 1, 0)
и q0 в= @, 0, 1) являются оптимальными для матричной игры о матри-
матрицей 3x3
'2 -3
5 4
.0 6 —1,
А Находим
/2 —3
), 1,0I5 4 3)=E, 4, 3)>C, 3, 3);
\0 6 -1
Здесь « = ьу, т. е. цена игры v = 3. А
Если для R и С оптимальными являются чистые стратегии, то та-
такую матричную игру называют строго определенной. В примере 5.5.3
матричная игра .является строго определенной. Здесь элемент а23 — 3
платежной матрицы А есть цена игры. Заметим, что этот элемент ми-
минимален в своей строке и максимален в своем столбце. Выбирая 2-ю
строку, R гарантирует себе выигрыш не менее 3 ед., а С , выбирая 3-й
столбец, гарантирует проигрыш не более 3 ед. В общем случае элемент
платежной т X я-матришы А = (аи) называется седловой точкой,
если он представляет собой минимум среди элементов в своей строке
и максимум среди элементов в своем столбце.
Теорема 5.5.3. Если А — (аг]) — платежная т х п-матрица с сед-
седловой точкой ak[, то оптимальными стратегиями для R и С являются
чистые стратегии выбора k-й строки и 1-го столбца, а ценой игры слу-
служит и = ащ* '
? Нужно проверить, что р0 = @, ..., 0, lfe, 0, ..., 0) и q0 = @, ..., 0,
lj, 0, ..., 0) являются оптимальными стратегиями. Действительно,
р0А = (akl, ak2y •••> tf/u> •••> akn), и так как ahl минимален в своей стро-
строке, то каждый элемент р0Л больше или равен ahl. Аналогично, каждый
элемент Aq0 меньше или равен akl. Значит, р0 и q0 являются оптималь-
оптимальными стратегиями, a v = a^i представляет собой цену игры. ¦
Следующая теорема утверждает, что если у матрицы игры имеется
более чем одна седловая точка, то эти седловые точки равны.
Теорема 5.5.4. Если а^ и akl — две седловые точки платежной
т X п-матрицы А = (а^-), то atj = ahl.
? Поскольку atj и akl — седловые точки, аи^ац^ак1. Это
вытекает из того, что аи и ait находятся в одной и той же строке (atj
минимален в своей строке), а ап и ahl находятся в одном и том, же
столбце (aki максимален в своем столбце). Таким образом, получаем,
что аи ^ akl. Рассуждая аналогично, можно показать, чго ahl < ahj ^

§ 5.5. Стратегии в матричных играх 195
^ ац иг, следовательно, а^х ^ оц. Оба неравенства а,ц <• аъх и ahx <
^ ац могут выполняться лишь в том случае, если на самом деле
Пример 5.5.4. Найти оптимальные стратегии и цены игры для следую-
следующих платежных матриц:
А 1) Элемент аи = 1 — седловая точка. Оптимальными страте-
стратегиями служат р0 = A, 0, 0) и q0 = A, Q, 0). Ценой игры является
у== ап = 1.
2) Элемент Ь12 = 0 — седловая точка (минимум в своей строке
и максимум в своем столбце). Оптимальными служат стратегии р0 =
= A, 0) и q0 = @, 1, 0). Ценой игры является и = Ь12 = 0. Эта игра
безобидная. А
В примере 5.5.4 B) каждый элемент 1-й строки матрицы В больше
или равен соответствующему элементу 2-й строки. Ясно, что игроку R
никогда не следует выбирать 2-ю строку. В платежной т X я-матри-
це А = (atj) общего вида некоторая строка называется рецессивной,
если каждый ее элемент не больше соответствующего элемента любой
другой строки. Если каждый элемент некоторого столбца не меньше со-
соответствующего элемента любого другого столбца, то такой столбец тоже
называется рецессивным. Рецессивные строки и столбцы из матрицы
игры можно исключить, так как R и С могут действовать не хуже, а
быть может, и лучше, выбирая другие строки и столбцы.
Пример 5.5.5. Найти рецессивные строки и столбцы в следующих ма-
матрицах игры:
1) А=\
1
4
—1
2
2
2
3\
5 ;
3/ '
I
ov Л? I
L ] D = 1
1
\
(—1
0
^ 0
0
1
2
1
2
3
0
1
2
Л 1) Рецессивными являются 1-я и 3-я строки и 3-й столбец. Ма-
Матрица игры сводится тогда к Аг = D 2). В этой матрице размера
1 х 2 1-й столбец является рецессивным и матрица игры сводится к
А2 == B). Заметим, что а22 = 2 является седловой точкой игры и оп-
оптимальными стратегиями служат р0 = @, 1, 0) и q0 = @, 1, 0).
2) Рецессивными являются 1-я и 2-я строки и 2, 3 и 4-й столбцы.
Матрица игры сводится тогда к Вг = @) и оптимальными стратегия-
стратегиями служат р0 = @, 0, 1) и q0 = A, 0, 0, 0). А
Рассмотрим теперь платежную матрицу 2x2 общего вида. Если
представляет собой матрицу игры, то имеют место следующие теоремы.

196 Глава 5 Марковские цепи и теория игр
Теорема 5.5.5. Вышеприведенная платежная матрица 2 X 2 не явля-
является строго определенной тогда и только тогда, когда либо: 1°) ап
и 022 превосходят каждый из элементов а12 и а21; 2°) аг1 и а22 меньше
каждого из элементов axi и а21.
? Чтобы доказать, что игра не является строго определенной, мы
должны показать, что в матрице А не существует седловой точки, т. е.
такого элемента, который был бы минимален в своей строке и максима-
максимален в своем столбце. Возьмем элемент ап. В случае 1° он максимален
в своем столбце, но не является минимумом в строке. В случае 2° он
минимален в своей строке, но не является максимумом в своем столбце.
По аналогичным соображениям, элементы а12, а21 и а22 также не яв-
являются седловыми точками ни в случае 1°, ни в случае 2°. ¦
Теорема 5.5.6. Если вышеприведенная платежная матрица 2 X 2 не
является строго определенной, то оптимальными стратегиями для JR.
и С служат
п __ / «22— «21
Ро—
rzfi* \
ъ—а12~а2Х]
л
Чо
\
\«11 + «22 —«12 —«21
Цена игры равна величине
V =
«12 — «21
D Применяя теорему 5.5.2, вычислим р0Л и
П
А — ( а22—а21 «11 —«и \ (аи ап\ __.
\«П+«22 —«12—«21 ' «11 + «22—«12 —«21 ' \«21 «22/
/ «11 «22 —«12 «21 «11 «22 —«12 «21 \ .
\«11 + «22 —«12 —«21 ' «11 + «22 —«12 ~«21/ '
g8a—Дц \ / «11 «22—«12 «2i
«22—«12—«21 \ I «11 +«22— «12— «21
«11 —«21 I 1 «11 «22 —«12 «21
a12 «21/ Д«11+«22 «12 «21
Мы получили, что каждый компонент р0Л равен v и каждый компонент
Aq0 гакже равен v, причем
«И+«22— «12— «21*
Тем самым подтверждается, что стратегии р0 и q0 являются оптималь»
ными, a v — ценой игры. ¦

§ 5.5. Стратегии в матричных играх ]97
Пример 5.5,6. Найти оптимальные стратегии и цены игры для сле-
следующих платежных матриц 2X2:
А 1) Ро = A/2, 1/2), q0 - A/2, 1/2), v = 1/2;
2) Ро * D/5, 1/5), q0 - C/5, 2/5), v = 7/5. ^
Задача вычисления оптимальных стратегий для R и С в общем слу-
случае матрицы размера т X п будет рассмотрена в следующем парагра-
параграфе. Настоящий параграф мы завершим рассмотрением примеров, по-
показывающих, как в терминах матричных игр можно интерпретировать
эксперимент по обучению и проблему принятия решения.
Пример 5.5.7. Эксперимент по обучени ю*. С обезья-
обезьянами, крысами, поросятами, черепахами и рыбами проводились экспе-
эксперименты, имевшие целью выявить качественные различия в обучае-
обучаемости животных. В этих экспериментах животное должно было вы-
выбрать одну из двух панелей, на которые проецировались различные
цвета или фигуры. «Правильный» выбор сопровождался наградой в ви-
виде порции пищи. Пусть варианты выбора обозначены через I и II. Если
выбор варианта I всегда поощряется, то после некоторого характер-
характерного среднего количества ошибок животное обучается всегда выбирать
I вариант. Это можно описать как простую матричную игру с платеж-
платежной матрицей 2x2
Hi ?)•
Животное выбирает 1-ю строку (панель I) и поощряется, когда экспе-
экспериментатор выбирает 1-й столбец (панель I). Если выбор I варианта
поощряется всегда, это значит, что экспериментатор применяет страте-
стратегию q = A, 0). В этом случае наилучшей стратегией для животного
является р = A, 0).
Другие типы обучения возникают, когда экспериментатор начинает
поощрять оба выбора случайным образом. Предположим, что I вариант
поощряется в 70% испытаний, выбранных случайно, а в остальных ис-
испытаниях поощряется II вариант. Это соответствует стратегии q =@,7
0,3). Наилучшей стратегией для животного вновь является р =
= A, 0). Если применяется стратегия р = (pv 1 — рг), то ожидаемый
доход равен
Е (Р, Ч) = (ft, 1 -ft) (J ?) (?7з) = (ft. 1 -А>B;J) =
= 0,7/1! + 0,3 — 0,3/?х = 0,3 + 0,4/?t.
Это выражение является наибольшим, когда /?i = 1. Одни из подопыт-
подопытных животных действительно принимали эту стратегию, другие же
постоянно выбирали тот вариант, который поощрялся в предыдущем
* Bi Herman M. E. The Evolution of Intelligence. — Scientific Ame-
American, Jan. 1965, № 212, p. 92—100.

198 Глава 5« Марковские цепи и теория игр
испытании. Такое поведение соответствует стратегии р = @,7, 0,3)
с ожидаемым доходом Е (р, q) = 0,7-0,7 + 0,3-0,3 = 0,58.
Когда случайным образом с равной вероятностью поощряется любой
выбор, это значит, что q = @,5, 0,5); тогда любая стратегия р = (ри
1 — рг) приносит средний доход Е (р, q) = 0,5рх + 0,5 A — рг) = 0,5.
Эксперименты, описанные Биттерманом, указали на интересные каче-
качественные отличия в реакциях различных видов.
Пример 5.5.8. Оценка риска при лечебных про-
процедурах. Как известно, многие лечебные процедуры таят в себе
определенную опасность дли пациента и должны назначаться лишь в
том случае, когда больной подвергается еще большему риску, если
лечение не проводится. Как в конкретной ситуации решить, какой риск
больше? Эта задача еще более усложняется, когда предварительный
диагноз не подтвержден достоверно. Например, операции по удалению
опухолей часто предпринимаются даже при сравнительно малой вероят-
вероятности того, что опухоль окажется злокачественной. Сколь велика долж-
должна быть эта вероятность, чтобы можно было рекомендовать хирургиче-
хирургическое вмешательство?
Чтобы исследовать этот вопрос, предположим, что вероятность на-
наличия у больного некоторого конкретного заболевания равна qv
(Прийти к оценке этой вероятности можно в результате различных
анализов.) Лечение заболевания требует серьезной операции. Если па-
пациент действительно болен этой болезнью, но операция не,сделана, то
такие больные живут в среднем 5 лет, а если операция сделана, то
20 лет. Если же у пациента этого заболевания нет, то после операции
он проживет в среднем 25 лет, а без операции — 30 лет. Ясно, что ре-
решение ложиться на операцию или нет зависит от величины qA — ве-
вероятности того, что больной действительно имеет данное заболевание.
Если qx = 0, то заболевания нет я не следует делать операцию. Если
<7i = 1, то заболевание есть и операцию делать нужно. Какова наи-
наименьшая величина ql9 при которой нужно рекомендовать операцию?
Эту проблему можно исследовать как матричную игру. Определим
5 30/
как матрицу игры. Пациент «играет на строках»: строка I соответст-
соответствует проведению операции, строка II — отказу от нее. Его противник —
природа — «играет на столбцах»: столбец I соответствует наличию, а
столбец II — отсутствию заболевания. Стратегия природы есть q =
~ (<7i> Яь)* гДе Ц\ представляет собой вероятность заболевания у боль-
больного. По смыслу задачи больной ббязан применять чистую стратегию,
но предположим на момент, что его стратегия есть р = (р19 р2). Тогда
ожидаемый доход (в годах жизни) выражается как
Е (р, q) = 20/Wi + 25/?!<72 + 5p2qx + 30p2q2 =
= 20px4l + 25Pl A - 4l) + 5 A - Pl) qx + 30 A - Pl) A - qx) -
2 — Ърг — 25<h + 30.

§ 5.5. Стратегии в матричных играх 199
Если операция проводится, то р = A, 0) и Е (р, q) = 25 — 5cft.
Если операция не делается, то р = @, 1) и ? (р, q) = 30 — 25qt.
Больному следует ложиться на операцию, если 25 — 5^ > 30 — 25qu
или 20qt > 5, т. е. qx > 0,25. Это означает, что больному следует ло-
ложиться на операцию, если вероятность того, что у него действитель-
действительно есть данное заболевание, выше 25%. Если имеющаяся информация
указывает на то, что вероятность заболевания составляет, скажем,
15%, то операцию делать не следует. Прежде чем рекомендовать опе-
операцию, нужно собрать больше информации.
Задачи к § 5.5
1. Докажите, что если все элементы матрицы игры положительны, то положи-
положительна и цена игры.
2. Даны две игры с т X /г-матрицами А = (а^-) к В = (bij) такими, что 6у =
= aij + k при всех i и /. Докажите, что цена игры В больше цены игры А на
постоянную k, а оптимальные стратегии игроков R и С в игре В такие же, как
и в игре А. (Игры А и В называют эквивалентными матричными играми.)
3. Каковы оптимальные стратегии и цены игры в эквивалентных матричных иг-
играх, заданных матрицами
* /3 2\ /5 4\
\2 -3/ U -I/
4. Каковы оптимальные стратегии и цены игры в эквивалентных матричных иг-
играх, заданных матрицами
/ 1 I. !\ /000^
4-1 2 2 3 и В = 1 .112
у_2 4 5/ \—3 3
5* Найдите седловые точки и оптимальные стратегий для следующих матрячяых
игр:
f\ -i *\
— I 2
U -1 0/' '{О
У-
2 2)'
6. Найдите оптимальные стратегии для следующих матричных ягр 2 X 2з
а>(^2 2> 6>U1/2 i/2> в)( о -2> r)U гУ
7. Докажите, что матричная игра 2 X 2 с матрицей
(sin/ cos A
—cos t sint)
строго определена при 0 < t < я/4, но не является строго определенной ког-
когда я/4 < t < я/2. Определите цену игры как функцию oi ( при 0 < t < t/2.
8. Как изменяются оптимальные стратегии данных матричных игр, когда пере-
переменная t возрастает от 0 до 1:
1 2t
7 0 \
o 1-/)

200 Глава 5. Марковские цепи и теория игр
9. Определите цены матричных игр из задачи 8 как функции от / при 0 < t <!,
При каких значениях t эти игры являются безобидными?
10. Докажите, что матричная игра 2 X 2 с матрицей
при любом значении t не является строго определенной Докажите, что цена
этой игры не зависит от /.
11. Какие из следующих матричных игр 2X2 являются безобидными:
О 1\ „I 1-1
-1 О,
12. В эксперименте обезьяна должна приподнять одну из трех панелей, чтобы
получить бананы. Экспериментатор при каждом повторении опыта кладет
либо два банана под панель I, либо по одному банану под панели II и III,
(Это два «хода» экспериментатора.) Опишите этот эксперимент как матрич-
матричную игру 3X2. Каковы оптимальные стратегии обезьяны и эксперимента-
экспериментатора?
13. В одном сельскохозяйственном районе погода в течение вегетационного пе-
периода в среднем может быть холодной или теплой. На ферме с площадью
в 1500 акров планируется посев двух культур. Если вегетационный период
холодный, то ожидаемая прибыль от урожая составляет 20 долларов на акр
для культуры I и 10 долларов на акр для культуры II. Если же вегетацион-
вегетационный период теплый, то ожидаемая прибыль оценивается в 10 долларов за
акр для культуры I и 30 долларов за акр для культуры II. Опишите конку-
конкуренцию между фермером и погодой как матричную игру. Какова оптималь-
оптимальная стратегия фермера, когда нет никакой информации относительно вероят-
вероятностей теплой или холодной погоды?
14. Пусть в условиях задачи 13 погода с равной вероя i hoci ью может быть теплой
или холодной. Сколько акров следует отвести фермеру под каждую культуру?
15. При добывании пищи возможны две стратегии животного: а) минимизиро-
минимизировать время, затрачиваемое на добывание; б) максимизировать чистый энер-
энергетический доход от добычи пищи. Назовите возможные ситуации, в которых
одна из стратегий была бы явно выгоднее другой. Какая, например, стра-
стратегия была бы лучше для животного, подвергающегося во время добычи пищи
нападению хищников?
16. Некоторые виды бабочек несъедобны для хищников и поэтому не исполь-
используются в качестве источника пищи. Другие виды бабочек выработали в ходе
естественного отбора признаки, делающие эти виды похожими на несъедоб-
несъедобные. Эта мимикрия с «модельным» видом может рассматриваться как «стра-
«стратегия» выживания. Когда такая стратегия выгодна? Что может произойти,
когда вид-имитатор становится более многочисленным, нежели модельный
вид?
17. Пусть матричная игра из примера 5.5.8 задается матрицей А
Какова минимальная величина вероятности наличия заболевания у боль-
больного, при которой можно рекомендовать операцию?
18. Рассмотренную в примере 5.5.8 модель принятия решений в медицине можно
исследовать в более общем виде. Определим матрицу игры А = ( 2),
\а21 а22/
где числа 0ц, al2, а21 и а22 представляют собой среднюю продолжительность
жизни больного в следующих случаях: когда у него имеется заболевание и де-
делается операция; когда делается операция, но нет заболевания; когда есть
заболевание, но не делается операция; когда нет ни заболевания, ни опера-
_ /10 39\
= \ 5 40/'

§ 5.6. Матричные игры и линейное программирование 201
ции. В предположении, что больной хочет максимизировать среднюю продол-
продолжительность оставшейся жизни, докажите, что операцию можно рекомендо-
рекомендовать, если вероятность наличия заболевания не ниже, чем величина (a*j2 —
— ai2)/(an -+- а22—сц% —* а-ц)- [Указание: сравните среднюю продолжи-
продолжительность жизни после операции с аналогичной величиной без операции.]
5.6. Матричные игры и линейное программирование
Задача настоящего параграфа состоит в том, чтобы определить опти-
оптимальные стратегии конкурентов R и С в общем случае матричной игры
с платежной т X я-матрицей А — (ац). Мы можем считать, что в ма-
матрице А нет рецессивных строк и столбцов, поскольку они никогда не
используются в оптимальных стратегиях. Будем также предполагать,
что все элементы матрицы А положительны. Если это не так, то рас-
рассмотрим матрицу игры В = (Ьг}) = (аи + k), прибавив положительную
постоянную k ко всем элементам Л. При этом постоянная k выбирается
так, чтобы все элементы В были положительными. Тогда цена матрич-
матричной игры, задаваемой т X n-матрицей В, также положительна
(см. задачи 1 и 2 к § 5.5).
Из теорем 5.5.1 и 5.5.2 вытекает, что для оптимальной стратегии
q0 игрока С все компоненты Aq0 не превосходят величины v — цены
игры. Это эквивалентно тому, что все компонентг (\/v) Aq0 не превос-
превосходят 1. Обозначим i-Pi компонент вектора (\lv) q0 через х% (/« 1, 2,
v., п). Заметим, что хг > 0, поскольку а>0, а вектор q0 — стоха-
стохастический. Определим целевую функцию как f — хг + xt + ... + хп.
Тогда f == l/v, так как вектор q0 — стохастический. Игрок С стремит-
стремится минимизировать величину v — математическое ожидание дохода R
за счет С. Это можно сделать путем максимизации / = l/v при наличии
ограничений. Таким образом, перед С gtoht следующая задача: мак-
максимизировать
при ограничениях
а21хг + аг2х2 + ... + а2пхп
Это задача линейного программирования на максимум. Рассуждая
аналогично, можно убедиться в том, что для определения своей опти-
оптимальной стратегии игрок R должен решить двойственную задачу ми-
минимизации. Начальная симплекс-таблица для $тих задач имеет вид

202
Глава 5. Марковские цепи и теория игр
Xf
<*n
<*mi
1
4
%2 • • •
a22 • • •
«7П2 • • •
1
xn
втп
1
si
1
0
Q
0
4
0
1
6
0
... 0
... 0
... 1
... 0
1
1
1
С помощью симплекс-метода из последней строки последовательно
исключаются положительные индикаторы. Начальная симплекс-таб-
симплекс-таблица сводится в результате к конечной таблице. Цена игры v представ*
ляет собой величину, обратную максимальному значению /. Решения
х* = fa, x2r ..., хп) иу* = (уг, у2, ..., ут) задачи максимизации и
двойственной задачи минимизации можно прочесть в последнем столб-
столбце и последней строке конечной таблицы. Тогда оптимальными страте-
стратегиями для С и R являются q0 = их* = (их1У vx2, ..., vxn) и иу* =
= (##!, vy2, ..., иуп).
Пример 5.6Л. Найти оптимальные стратегии матричной игры 2x2
с платежной матрицей
\2 3У
А Элементы А положительны, поэтому -можно применить изложен-
изложенный выше метод. Соответствующая задача максимизации состоит в
том, чтобы максимизировать/ = хл + х% при условиях хг + 2**<:1,
2% 4- Зхя ^ 1, хх ^ 0, х% ^ 0. Начальная симплекс-таблица для
этой задачи такова:
ч
Используя элемент в рамке как центральный, получаем следующую
таблицу:
1
§
1
ч
2
3
1
ч
1
0
0
ч
0
1
0
1
1
/
ч
0
1
0
ч
1/2
3/2
-1/2
Ч
1
0
0
ч
-1/2
1/2
-1/2
1/2
1/2
/—1/2
Это конечная таблица, так как в ней нет положительных индикато-
индикаторов. Таким образом, максимум / при наложенных ограничениях равен

§ 5.6. Матричные игры и линейное программирование
203
1/2 и потому цена игры есть 1 : A/2) = 2. Максимум / достигается при
х* = A/2, 0), а минимум двойственной задачи — при у* = @t 1/2).
Оптимальными стратегиями для R и С служат ро=;уу* =2 @, 1/2) =
= @, 1) и qo = t,x* = (I, 0).A
Пример 5.6.1 можно решить и методами предыдущего параграфа
для матричных игр 2x2 общего вида или же заметив, что элемент
1-го столбца и 2-й строки является седловой точкой. Методы настоя-
настоящего параграфа применимы к любым матричным играм т X п. В за-
заключение этого параграфа рассмотрим два примера матриц игры с от-
отрицательными элементами.
Пример 5.6.2. Найти оптимальные стратегии R и С в матричной игре
2 X 2 с платежной матрицей
-2 2,
Л Прибавив 3 к каждому элементу А, определим новую матрицу
5
i
все элементы которой положительны. Оптимальные стратегии в игре
В точно такие же, как и в игре А. Чтобы найти эти оптимальные стра-
стратегии, выпишем начальную симплекс-таблицу:
xl
15j
1
1
х2
4
5
1
1
0
0
ч
0
1
0
1
1
Выбрав элемент, выделенный рамкой, в качестве центрального, по-
получим:
1
0
0
4/5
|21/5|
1/5
1/5
-1/5
-1/5
0
1
0
1/5
4/5
/—1/5
1
0
0
0
1
0
5/21
—1/21
—4/21
-4/21
5/21
—1/21
1/21
4/21
f—5/21
Последняя таблица является конечной, поскольку все ее индикаторы
неположительны. Максимум f равен 5/21 и достигается при х* = A/21,
4/21). Цена игры В равна, таким образом, 21/5. Цена исходной игры
А есть 21/5 — 3 = 6/5. Оптимальными стратегиями для R и С являются
р0 == B1/5) D/21, 1/21) =D/5, 1/5) и q0 == B1/5) A/21, 4/21) f=
= A/5, 4/5). А

204
Глава 5. Маркбиекиё ц&1и и теорий игр
Пример 5.6.3, Найти оптимальные стратегии игроков R и С в матрич-
матричной игре 3 X 3 а платежной матрицей
/ 4—2—5
Л= _2 8 —3
\_5 -3
А Это матрица игры из примера 5.4.2. Так как не очевидно, что
цена этой игры положительна, то, прибавив 6 к каждому элементу А,
определим эквивалентную ей матрицу игры
/10 4 1
В = [ 4 14 3
\ 1 3 20,
все элементы которой положительны. В эквивалентных играх А и В
оптимальные стратегии одни и те же. Начальная симплекс-таблица,
соответствующая матрице игры В, такова:
ч
х\
Pi
4
1
1
Х2
4
14
3
1
Хя
1
3
20
1
Sl
1
0
0
0
S2
0
1
0
0
s3
0
0
1
0
1
1
1
f
Выбор элементов, выделенных рамкой, в качестве центральных приво-
приводит к следующим таблицам:
xl *2 Х3 St S2 S3
1
0
0
0
4/10
1124/101
26/10
6/10
1/10
26/10
199/10
9/10
1/10
—4/Ш
—1/10
—1/10
0
1
0
0
0
0
1
0
1/10
6/10
9/10
f—1/10
s3 (II)
«2
1
0
0
0
0
1
0
0
1/62
13/62
F00/31
24/31
7/62
—1/31
—1/62
—5/62
13/155
5/62
—13/62
—3/62
0
0
1
0
5/62
3/62
24/31
/—4/31
**
s$
(III)

§ 5.6. Матричные игры и линейное программирование
205
$2
1
0
0
0,
о
1
0
0
0
0
1
0
*
*
—1/1200
—2/25
*
—13/1200
—1/25
*
*
31/600
—1/25
2/25
1/25
1/25
/-4/25
(IV)
Заполнение всей конечной таблицы IV предоставляется в качестве
упражнения. В сущности, на заключительном шаге в этих числах нет
необходимости. Максимум целевой функции / равен 4/25, и цена игры
В поэтому равна 25/4. Цена исходной игры А есть 25/4 — 6 = 1/4.
Оптимальной стратегией для С является
q0 = их* = B5/4) B/25, 1/25, 1/25) = A/2, 1/4, 1/4).
Оптимальной стратегией для R служит
р0 = уу* = B5/4) B/25, 1/25, 1/25) = A/2, 1/4, 1/4).
Интерпретируя этот результат в терминах эксперимента из примера
5.4.2, получаем, что ворона может обеспечить себе средний доход, рав-
равный по меньшей мере 1/4 червяка на каждом шаге опыта, если будет
применять стратегию A/2, 1/4, 1/4), т. е. при случайном выборе етрок
будет выбирать 1-ю строку вдвое чаще, чем 2-ю или 3-ю. Попугайчик
же, выбирая столбцы согласно стратегии A/2, 1/4, 1/4), может гаранти-
гарантировать средние потери не выше 1/4 червяка на каждом шаге экспери-
эксперимента.
В примере 5.5.2 B) мы установили, что если попугайчик приме-
применяет оптимальную стратегию q0 = A/2, 1/4, 1/4), то ворона может
действовать столь же успешно, выбирая карточку чисто случайно, т. е.
используя стратегию р = A/3, 1/3, 1/3). Ожидаемый при таких страте-
стратегиях доход выражается величиной Е (р, q0) ==1/4. Однако для вороны
стратегия р = A/3, 1/3, 1/3) не является оптимальной, так как попу-
попугайчик может улучшить свое положение, применив иную (неоптималь-
(неоптимальную ) стратегию. Если, например, он применит стратегию q = A, 0, 0),
то
/ 4 -2 -б
Я(р, q) = (l/3, 1/3, 1/3) ( _2 8-3
\_б -3 14
Точно так же, если попугайчик применяет стратегию q = A, 0, 0),
ворона может извлечь из этого выгоды, применив стратегию р = @,
0, 1). !Эти рассуждения показывают, что при многих повторениях игры
соперникам лучше всего использовать их оптимальные стратегии.

206 Глава 5, Марковские цепи и теория игр
Задачи к § 5.6
1. Методами линейного программирования найдите оптимальные втратегии и
цены игры для следующих матричных игр 2X2:
_ / 1 0\ " -
2. Методами линейного программирования найдите оптимальные стратегии и
цены игры для следующих матричных игр 3 X 3:
3. Изложенный в данном параграфе метод линейного программирования дает
оптимальные стратегии, когда цена матричной игры положительна. Почему
этот метод нельзя применить, когда цена игры нулевая или отрицательная?
4. Цены матричных игр из примеров 5.6.2 и 5.6.3 оказались равными 6/5 и 1/4.
Поскольку эти цены положительны, необязательно вводить эквивалентные
матричные игры, все элементы которых положительны. Применяя метод ли-
линейного программирования к исходным платежным матрицам, найдите опти-
оптимальные стратегии в обоих примерах.
5. Найдите оптимальные стратегии и цену матричной игры
6. Найдите оптимальные стратегии и цену матричной игры
f\ —1 1 —1
0 1—2 2—2
0 0 1—33
0 0 0 1—4
^00001/
7. Стратегии, которые применяются животными в их борьбе за существование»
крайне сложны Они включают миграции, выбор времени для добывания
пищи, маскировку, зимнюю спячку, мимикрию и другие физиологические и
поведенческие реакции на условия среды. Какие особенности матричных игр
подходят для изучения общего процесса соперничества с природой? Как можно
было бы определить в общем случае такие понятия, как стратегия, безобид-
безобидность, платеж, исход и цена игры?
8. Постройте теоретико-игровую модель эксперимента на обучение, в котором,
чтобы получить поощрение, животное должно сделать выбор одного из четы-
четырех возможных вариантов. Опишите какие-нибудь типы неоптимального по-
поведения, которые можно наблюдать. Как может измениться поведение, когда
разница в поощрении за различные варианты выбора становится: а) меньше;
б) больше?
9. Найдите оптимальные стратегии матричной игры ( ). Оптимальные
\ 0 100/
стратегии гарантируют игроку R некоторый минимальный доход в результате
многократных ходов игры. Как должен R определять свой ход, если игра
проводится только один раз? При каких условиях R выберет 1-ю строку,
чтобы гарантировать минимальный доход не менее 9 ед.? Когда R решится
на риск выбора 2-й строки?

6
Разностные
уравнения
6.1. Введение
В этой и следующей главах мы рассмотрим некоторые математиче-
математические понятия, с помощью которых можно описать динамику биологи-
биологических систем. Как изменяется одна биологическая переменная в ре-
результате изменений другой? Нас могут интересовать изменения во
времени, которые происходят с численностью популяции конкретно-
конкретного вида в определенной среде. Интересующая йас биологическая пере-
переменная может быть функцией таких переменных, как температура,
влажность или обилие пищи. К подобным задачам применимы мате-
математические методы, рассматриваемые в этой главе. Ради определенно-
определенности биологической переменной в большинстве случаев будет служить
численность некоторого вида в данной среде как функция времени.
Можно-построить как дискретные, так и непрерывные модели про-
процессов, зависящих от времени. В дискретной модели время представ-
представляет собой дискретную переменную и наблюдения выполняются лишь
через определенные фиксированные интервалы времени. Перепись по-
популяции может проводиться, например, ежечасно, ежегодно или каж-
каждые 10 лет. В непрерывной модели время представляет собой непрерыв-
непрерывную переменную и численность популяции считается непрерывно из-
изменяющейся во времени. В данной главе мы рассмотрим понятия, от-
относящиеся к дискретным моделям. Непрерывные модели будут рассмо-
рассмотрены в гл. 7.
В дискретных моделях популяционного роста величина хп будет
обозначать численность популяции к концу п-ro периода времени.
По окончании одного периода времени численность равна хц по окон-
окончании двух периодов она равна х2 и т. д. Развитие популяции во вре-
времени описывается последовательностью чисел х0, xv x2, ...» хп, xn+i> ....
Пример 6.1.1. Допустим, что популяция растет согласно формуле
хп = 1000 + 500 A — 2-"). Если п = 0, то начальная численность
х0 = 1000 + 500 A — 2°) = 1000. При п = 1 численность популяции
Xl = 1000 + 500 A — 2-1) = 1000 + 250 = 1250. После двух вре-
временных интервалов численность равна х2 = 1000 + 500 A — 2~2) =
= 1375. Так как при больших п величина 2~п становится очень малой,
то член 1 — 2-" приближается к 1, когда п возрастает. Это означает,
что с ростом п численность хп приближается к предельному, или равно-

208 Глава 6. Разностные уравнения
весному, значению 1500* Пря-
"** рост популяции за n-й период
времени выражается величиной
1500
Ш0
1300
1200
т v, хп — хп„г = [1000 + 500 A
№
100
h At
_2-*)]_ [1000 + 500 <1 —
Эта величина с ростом п прибли-
.л 1 1 ! i -л жается к нулю. Процесс роста
показан на рис. 6.1.
В примере 6.1.1 дана фор-
Рис- 61 мула для хП9 и поэтому чис-
численность популяции к концу
каждого периода времени известна. Однако чаще бывает известна
лишь начальная численность и имеется некоторая информация' о
скоростях роста популяции в различные периоды времени. Тогда
задача состоит в том, чтобы, используя эту информацию, определить
явную формулу для хп. Мы можем, например, иметь оценку для
прироста популяции хп — xn_x за /2-й период. Достаточно ли этой
информации, чтобы определить хп? Эти идеи приводят к следующему
определению.
Определение 6.1.1. Разностное уравнение. Разностным
уравнением называется уравнение, которое связывает между собой зна-
значения хп при различных значениях индекса п. Если Nt и N2 представ-
представляют собой наибольший и наименьший из индексов п, встречающихся
в записи уравнения, то порядок разностного уравнения есть Nt — N2.
Пример 6.1.2. Ниже приведены примеры разностных уравнений.
1) хп — хп„г = 2~п. Здесь Nt = n, a N2 = п — 1. Порядок урав-
уравнения равен Мг — N2 = п — (п — 1) = 1. Это разностное уравнение
первого порядка.
2) хп-1 ^ %~пхп + (*n-iJ. Это уравнение второго порядка, так
как Nx = п + 1, N2 = п — 1 и Nx — N2 = 2.
3) 2дгп+8 + 3*n+i = sin (xn+L) — уравнение первого порядка.
1) 2xn+2 + 3xn+1 + хп = 0 — уравнение второго порядка.
5) (хп+вJ + хп = 5— уравнение третьего порядка.
Пример 6.1.3. Популяция насекомых увеличивается таким образом,
что прирост за n-й период времени вдвое больше прироста за предыду-
предыдущий период времени. Требуется описать этот процесс роста с помощью
разностного уравнения. Каков порядок этого уравнения?
Л Определим хп как численность популяции после п периодов вре-
времени. Прирост за п-й период выражается величиной хп — xn-i* a
прирост за (п — 1)-й период — величиной хп„г — х1Х„г. По условию,
хп — #п-г = 2 (хп_г — хп„2)- Это разностное уравнение второго по-
порядка, которое можно записать также в виде хп —3jcn«x + 2лгЛ_2 = 0-^
Пример 6.1.4. Крупный рогатый скот выкармливается с целью макси-
максимизировать живую массу к моменту убоя. При определенных условиях

§ 6Л. Введение 209
масса средней коровы за каждую неделю возрастает на 5%. Требует-
Требуется описать это увеличение массы с помощью разностного уравнения.
Каков порядок этого уравнения?
Л Определим wn как массу средней коровы после п недель. После
п +\ недель величина wn увеличивается на 5%. Отсюда получаем урав-
уравнение wn+l = 1,05шп. Это разностное уравнение первого порядка. ^
В оставшихся параграфах этой главы будут изложены методы ре-
решения для нескольких важных типов разностных уравнений. Если дано
разностное уравнение, то можно ли найти явную формулу для хп?
В том случае, когда такая формула будет найдена, она называется
решением разностного уравнения.
Задачи к § 6.1
1. Изобразите с помощью графиков дискретные процессы роста от начального
момента времени п — 0 по заданным ниже формулам. Стремится ли хп к пре-
предельному (равновесному) размеру, когда п становится большим?
a) *n=a100+100.2-/1; б) ^ = 100+100Ц
в) хп = 100 + 5^2; г)
2. Определите порядок разностных уравнений!
а) *» = **+!+ *п+з; б)
в) Xn + nxn^i^n*; г)
д) xn+l = xn + l; e)
3. -Проверьте, является ли хп = п2 + п решением разностного уравнения
Xn+i = #rt + 2я + 2. Покажите, что хп = я2 + п + k также является реше«
нием при любом значении постоянной k,
4. Убедитесь в том, что хп = сап является решением разностного уравнения
хп+1 = ахп при любом значении постоянной с. Найдите постоянные а и с»
если известно, что х2 = 3, a x3 = 5.
5. Проверьте, является ли хп = 2n(rt*^^2 решением разностного уравнения
хп = 2п xn_v Покажите, что хп = k • 2п(/1+1)/2 также является решением
при любом значении постоянной k.
6. Рост бактериальной культуры в питательдой среде замеряется каждые .два
часа. Оказалось, что при каждом измерении популяция бактерий увеличива-
увеличивалась на 25% по сравнению с предыдущим измерением.
а) Опишите этот процесс роста с пгомощью разностного уравнения длядс^ —
размера популяции по прошествии п часов роста,
б) Каков порядок этого разностного уравнения?
в) Найдите х2 и xir если х0 = 1600.
7. Согласно оценкам, накопление мусора и отбросов на душу населения Сое-
Соединенных Штатов составляет 5 фунтов в день; этот показатель растет с'тем*
пом 4% в год. Определим хп как среднее ежедневное накопление мусора на
душу населения в п-ы. году, начиная с текущего.
а) Опишите с помощью разностного уравнения этот процесс роста,
б) Каков порядок этого разностного уравнения?
в) Найдите хь *2, хд и *4»

210 Глава 6. Разностные уравнения
6.2. Линейные разностные уравнения первого порядка
Первое из разностных уравнений, которые мы рассмотрим, можно
представить себе как простую модель роста популяции. Рассмотрим
популяцию, растущую таким образом, что с увеличением ее числен-
численности скорость роста популяции тоже увеличивается Точнее говоря,
допустим, что скорость роста популяции в любой период времени про-
пропорциональна размеру популяции в начале этого периода.
Чтобы выразить это допущение в математической форме, обозначим
через хп размер популяции в конце n-го периода времени. Тогда вели-
величина хп+1 — хп выражает прирост популяции за следующий период
времени, т. е. это скорость роста, или рост в единицу времени, на
(п + 1)-м интервале времени. Эта величина пропорциональна хп.
Если постоянную пропорциональности обозначить через #, то полу-
получим хп+1 — хп = ахп. Сгруппировав члены, приходим к разностному
уравнению первого порядка
хп+1 = 0 + а)хп- F-1)
Чтобы решить это уравнение, мы должны знать начальный размер по-
популяции х0. Тогда, используя уравнение F.1), можно последователь-
последовательно вычислить хг, х2,' *з и т- Д- Таким образом, имеем
Xj = A + a) xQy
х2 - A + а) хх = A + д) A + а) х() - A + аJ х0,
х3 = A + а) х2 - A + а) A + аJ *0 = A + af xQ.
Структура решения должна быть понятна. При переходе к каждому
следующему моменту времени размер популяции умножается, на мно-
множитель 1 + а. Поэтому общее решение, или общая формула для хП9
имеет вид хп = A + а)п х0. При известном значении xQ эта формула
определяет хп.
Если постоянная пропорциональности а положительна (а > 0), то
выполняется условие 1 + а > 1 и, следовательно, A + а)п безгранич-
безгранично возрастает с ростом /г. Если а = 0, то популяция остается на по-
постоянном уровне х0. Это случай нулевого роста. Если а отрицательна
(но больше, чем — 1), то 0<с 1 + а < 1 и хп приближается к нулю
при возрастании п. В этом случае популяция в конце концов вымирает.
Заметим, что если а = — 1, то популяция вымирает после первого же
периода времени. В этой модели нас не интересуют значения а, меньшие
— 1, так как они приводили бы к отрицательным^ численностям.
Пример 6.2.1. Решить разностное уравнение первого порядка хп+1 —
— хп = 2хп. Чему равно х3, если х0 = 10?
Л Уравнение можно записать в виде хп+1 = Зхп. Это пример урав-
уравнения описанного выше типа при а = 2и1+я = 3. Общее решение
имеет вид хп = A + а)п х0 = Зпхв. Поскольку х0 = 10, получаем, что
хп = Зп • 10 и х3 = 33-10 = 270. А

§ 0.2. Линейные разностные уравнения первого порядка 2A
Пример 6.2.2. Популяция бактерий первоначально насчитывала 1000
особей и постоянно увеличивалась с темпом роста 50% в каждый час.
Какова численность популяции после 10 ч роста?
А Пусть хп соответствует численности популяции после я часов. По
условию, хп+1 = 1,5гпил:0 = 1000. Значит, *! = 1,5-1000, х2 = 1,5" X
X 1000 и т. д. Общее решение есть хп = 1,5П х0. По прошествии 10 ч
размер популяции составит х10 = 1,5го» 1000 ^ 57 700. ^
Уравнение хп+1 = A + а) хп представляет собой пример линей-
линейного разностного уравнения первого порядка. Члены уравнения, со-
содержащие хп и хп+1, имеют вид а (п) хп и b (n) xn+lt где а (п) и Ъ (п)
зависят только лишь от п. Таких членов, как д$, дй+ь 2*», хпхп+и
1/хп и т. п., в уравнении нет. Если появляются подобные члены, то
разностное уравнение называют нелинейным.
Пример 6.2.3. Следующие разностные уравнения являются линейными:
1) xn+1 = 5xn — 4xn_i; 2) xn+l = n*xn;
3) хп+2—хп = 0; 4) хп+1—пхп=п\
Пример 6.2.4. Следующие разностные уравнения являются нелиней-
нелинейными;
1) xn+i = xn\ 2) хп+1 хп'=хп_1\
3) а;л+2 = хл+1A+а:п); 4) хп+г=г]/1с^.
Общий вид линейного разностного уравнения первого порядка
таков:
n+g (п), F.2)
где f (п) и g (п) — заданные функции от п. Если известно xni то по
уравнению можно определить хп+1. Уравнение F.2) называют одно-
однородным в случае, когда g (п) = 0, и неоднородным — в противном слу-
случае.
Рассмотрим сначала однородное уравнение хп+г = / (п) хп. Решая
его, положим п =: 0 и получим хг == / @) х0. При п = 1 находим х2 =s
= f (I) хг = / A) / @) хд. Аналогично, при п — 2 имеем х3 = / B) X
X / A) / @) х0. Это подсказывает вид общего решения:
хп - t (п - 1) / (л - 2) ... / B) f(l)f @) *.
Это решение можно проверить подстановкой его в исходное уравнение
д^+1 = / (п) Хп. По формуле для общего решения имеем
*Л+1 = f(n)f(n-l)f(n- 2) ... / B) / A) / @) х0 - / (п) xni
чем и доказывается, что мы действительно нашли решение.
Пример 6.2.5. Рассмотрим популяцию бактерий, растущую от началь-
начального размера в 1000 особей таким образом, что ее размер по прошест-
прошествии п+1 часов больше размера после п часов в (п + 3I (п + 2) раза.
Какова численность популяции после 10 ч роста?

212 Глава 6. Разностные уравнения
Д Пусть* как и прежде, хп представляет размер популяции после
п часов роста. Известно, что х0 = 1000 и что хп+х = [(п + 3)/(п + 2I х
X хп. Это однородное уравнение при / (п) = (п + 3)/(п + 2). Общее
решение есть
п+1 5 4 3
п+\ п 4 3 2
Сокращая члены, получаем хп = [(п + 2)/2Ь 1000 = 500 (п + 2). Раз-
Размер популяции после 10 ч равен х10 = 500 A0 + 2) = 6000. В этом
процессе роста популяция каждый час увеличивается на 500 особей.
В конечном счете эта модель окажется нереалистичной, поскольку не-
необходимые для роста ресурсы всегда ограничены. Однако она может
служить хорошим описанием некоторых типов роста на ограниченном
отрезке времени.А
Вернемся теперь к общему линейному разностному уравнению пер-
первого порядка. Метод его решения такой же, как и для рассмотренного
выше частного случая, хотя вид решения более сложный. Полагая
п = 0, получаем хг = f @) х0 + g @). При п = 1 уравнение дает
*а = / A) Ч + 8 (О = / О) / @) *0 + / О) 8 @) + 8 О).
Аналогично,
х3 ^fB)x2 + g B) =
= / B) / A) / @) х0 + / B) / (l)g @) + / B)g A) + g B).
Это подсказывает вид общего решения:
Хп = f (п - 1) / (п - 2) ... / A) / @) *о + /(/!- 1) / (я - 2) ...
... / B) g A) +... + / (п ~l)g(n-2)+ g(n - 1). F.3)
В том, что это решение, можно убедиться, подставив его в уравнение
F.2). Формулу F.3) запоминать не следует, так как ее, по-видимому,
гораздо легче выводить каждый раз, повторяя приведенные выше рас-
рассуждения.
Пример 6.2.6. Популяция бактерий растет от начального размера в
1000 особей таким образом, что ее прирост в интервале от п до п 4* 1
часов с начала роста составляет 500*2~п. Каков размер популяции
после 10 ч роста?
Л По условию, хп+1 = хп + 500* 2-" ихо= 1000, где хп обозна-
обозначает размер популяции после п часов роста. Здесь / (п) = 1, a g (п) =
= 500'2~rt. Найдем размер популяции через 1 ч после начала роста;
хх = х0 + 500-2-° = 1000 + 500 = 1500; через 2 ч: х2 = х% +

§ 6.2. Линейные разностные уравнения первого порядка 213
+ 500-2-1 = 1500 + 500/2 = 1750; через 3 ч: х3 = х% + 500.2-* =
= 1750 + 500/4 = 1875. Общий вид решения таков:
Итак, хп = 1000 + 1000 [1 — A/2)"] = 2000 — 1000-2-«. В этих
вычислениях мы воспользовались выражением для суммы конечного
геометрического ряда (см. задачу 14 к § 1.6). После 10 ч роста размер
популяции составляет х10 =- 2000 — 1000-20 « 1999. G течением
времени популяция бактерий приближается к предельному, или равно-
равновесному, размеру, равному 2000. В терминах модели роста он интерпре-
интерпретируется как размер популяции, который может поддерживаться за
счет имеющихся ресурсов. ^
Задачи к § 6.2
1. Найдите общее решение для следующих разностных уравнений первого по-
порядка:
a) *7i+i — хп=>2-п; б) xn+i — хп = 2хп; в) xn+i^—— хп;
tl —р о
г) хп+1 = пхп; д) xn+i — 3xn=3xn+i—xnt e)
2. Найдите частное решение, удовлетворяющее начальному условию х0 = 1,
для следующих разностных уравнений первого порядка:
a) 2xn+i=>xn; б)
в) (n + l)xn+1=*'(n + 2)xni г)
(Свойства числа е рассматриваются в Приложении Г.)
3. Анализ затрат на повторные проведения одного эксперимента показал, что
суммарная стоимость хп удовлетворяет уравнению хп = хп_х + cn~~lf2t где
с — постоянная.
а) Как выражается через с стоимость я-го эксперимента?
б) Выведите формулу для хп, полагая х0 = 0.
4. На одну из сторон правильной монеты нанесена цифра 1, а на другую — циф-
цифра 2. Монету повторно подбрасывают и записывают суммарный счет результа-
результатов. Определим рп как вероятность того, что суммарный счет принимает неко-
некоторое значение п. Докажите, что рп = 1 — 0,5/?^^. Формально полагая
. р„ = 1, получите значение рп.
5. При изучении голодания масса испытуемого за 30 дней уменьшилась со 140
до 110 фунгов. Установлено, что ежедневная потеря массы была пропорцио-
пропорциональна массе испытуемого. Обозначим массу после п дней голодания через wn.
Какому разностному уравнению удовлетворяет wn? Найдите массу испытуе-
испытуемого после 15 дней голодания.
в* Уравнение хп+] — f (п) хп + g (n) можно рассматривать как модель, описы-
описывающую рост популяции от поколения к поколению. Член / (л) хп может при
этом соответствовать собственному приросту популяции в п-ы поколении, а
член g (n) — описывать увеличение численности в результате иммиграции
(или уменьшение в результате эмиграции). Рассмотрим популяцию с началь-
начальным размером х0 — 10. Допустим, что если бы не было никакого внешнего
влияния, то в каждом следующем поколении популяция удваивалась бы.
Предположим также, что в каждом поколении из популяции изымается по
9/особей. Найдиге размер популяции хп в /г-м поколении.

214 Глава 6. Разностные уравнения
7. В условиях задачи 6 докажите, что если хп = g (пI[\ — / (п)] при некотором
я, то xn+1 = хп. Покажите, что если g (nyll —f (n)\ является постоянной,
не зависящей от л, и €<ши х0 « g @)/|1 — / @)], то популяция сохраняет по-
постоянный размер в каждом поколении.
8. Радий распадается со скоростью 1% в каждые 25 лет. Рассмотрим образец,
содержащий г0 граммов радия. Определим гп как количество радия, оставше-
оставшегося в образце после 25 п лет. Составьте разностное уравнение для гп и най-
найдите его решение. Сколько радия останется после 100 лет?
9. Каждой весной зоолог выпускает в озеро 100 рыб определенного вида, и так
продолжается в течение нескольких лет до тех пор, пока запас этой рыбы
в озере не достигнет 2000. Определим хп как численность рыб после п-го
выпуска. Если установлено, что *n+i =• 1,5дгЛ + 100, и если лсо«=О, то сколь-
сколько лет будет длиться эта программа?
10. При построении математической модели популяции предполагалось, что пара
родительских особей дает ровно п потомков с вероятностью рп, «оторая удов-
удовлетворяет уравнению рп = QJpn-v Выразите рп через р0. Найдите р$ и
рп, используя соотношение р0 + рг + р2 + ... = 1.
11. Один из вариантов модели из задачи 10 определяется условием рп—(\/п) рп~ь
Найдите для этой модели формулу, выражающую рп через р0, и докажите,
что р0 = 1/е. [Указание: воспользуйтесь соотношением е = 1 + у^ +
~^~ 2~! ~|L ~ЗТ ~"~ ТГ + ••• "Ь ~^у + •••> приведенным в Приложении Г.]
12. Какая из моделей задач И и 12 более приемлема как модель человеческой
популяции? Почему? Как бы вы проверили обе модели? Как бы вы изменили
эти модели, чтобы сделать их более реалистичными?
13. Реакция организма на лекарство через п часов после инъекции выражается
показателем гПш измеряемым, в некоторых подходящих единицах. Допустим,
что показатель удовлетворяет разностному уравнению гп+1 = 0,8гп + 0,4".
Найдите гп, если г0 == 1. Нарисуйте график гп.
14. После скольких часов наступает максимальная реакция на введенное ле*
карство в условиях задачи 13? После скольких часов реакция падает ниже
50% первоначального уровня?
15. Определим рп как вероятность того, что тяжелобольной проживет по край-
крайней мере еще п дней. Найдите вероятность того, что больной проживет не
мекее 5 дней, если р^ — 1 и рп =?= B/3) pn~v Чему равно математическое
ожидание числа дней жизни больного?
6.3. Линейные разностные уравнения второго порядка
Общий вид линейного разностного уравнения второго порядка таков:
а (п) хп+2у+ Ь (п) хп+1 + с (п) хп = d (n), F.4)
где а (я), Ъ (п)> с (п) и d (п) — заданнью функции. Если d (п) == 0,
то уравнение называют однородным. Если а (я), b (n) и с (п) постоян-
постоянны, то уравнение F.4) называют уравнением с постоянными коэффи-
коэффициентами. Уравнение F.4) можно решить методами, аналогичными ме-
методам решения уравнений первого порядка. Полагая п = 0, можно
найти x2i выразив его через xQ и хг. Полагая п = 1, выразим хя через
х2 и х19 а затем через х0 и хх. Теоретически таким образом можно вы-
выразить хп для любого п через х0 и х19 однако вычисления при этом ока-
оказываются очень громоздкими и вывести общую формулу для хп крайне
трудно. Случай постоянных коэффициентов все же поддается решению

§ 6.3. Линейные разностные уравнения второго порядка 215
общими методами, содержащими сравнительно небольшой объем вы-
вычислений.
В данном параграфе мы займемая изучением линейного однород-
однородного разностного уравнения второго порядка в постоянными коэффи-
коэффициентами
ахп+2 + Ьхп+г + схп = 0. F.5)
Будем считать, что а, Ь и с — постоянные, причем афО. Соответст-
Соответствующее неоднородное уравнение будет рассмотрено в вледующем па-
параграфе. Уравнение F.5) получается при изучении моделей роста и
конкуренции популяций, а также в ряде других биологических задач.
Описанная в заключительной главе модель выживания и вымирания
видов приводит к разностному уравнению такого типа (см. § 9.2).
Уравнение F.5) можно переписать в виде дгп+2 = — (b/а) хп+1 —
— (с/а) хп и затем решить, последовательно полагая п = G, 1, 2,
3, .... При п = 0 получаем х2 = — (b/а) хх — (с/а) х^ Аналогично,
Ь с Ь%—ас , be
Это приводит к крайне сложной формуле, позволяющей выразить хп
через х0 и хг. Более удобный метод вытекает из вида решения урав-
уравнения первого порядка хп+1 = A + а) хп. В предыдущем параграфе
мы получали решения вида хп = Хп9 где Я = 1 + а. По аналогии о
этим будем искать решение уравнения F.5) в виде хп = Хп дри неко-
некоторых значениях к.
Если хп = Кп удовлетворяет уравнению F.5), то
ск« -= 0
при п == 0, 1, 2, 3, .... В частности, полагая п = 0, получим
аХ* + ЬХ + с « 0. F.6)
Это уравнение называется вспомогательным* для разностного урав-
уравнения. Оно является квадратным и имеет следующие корни;
>vlТа' ^22^'
При решении вспомогательного уравнения следует рассматривать три
случая. Два его корня могут быть действительными и различными
(когда Ь2 — \сю > 0); они могут быть действительными и равными
между собой (Ь2 — \ас = 0) или же комплексными (б2 — 4ос < О).
Если б2 — \ас > 0, то описанный выше метод дает два решения
уравнения F.5): хх * А,? и х2 = А?. Общее решение имеет вид
* В отечественной литературе это уравнение называется характеристичес-
характеристическим. — Прим. пер.

216 Глава 6. Разностные уравнения
где kx и k2 — произвольные постоянные. Всякое решение уравнения
имеет такой вид при некоторых значениях постоянных kx и k2. Чтобы
убедиться в том, что мы получили решение, подставим выражение для
хп в уравнение F.5):
+ с (kx %Ч + k2 %«) = kx к? {аК\ + Ь%х + с) + k2 Ц (ак\ + ЬК2 + с).
Так как %1 и Х2 являются корнями квадратного уравнения ак2 + ЬК +
+ с = О, то полученное выражение обращается в нуль, т. е. хп =*
= kxXr\ + k2%1 действительно является решением уравнения F.5).
Постоянные kx и k2 можно выразить через значения хп при п = О
и п = 1. Полагая л = 0 и п= 1 в общем решении F.8), получаем
х0 = kt + k2 и ^ = /ггЯх + ^2^2- Это простая система линейных урав-
уравнений относительно постоянных kx и k2. Решение ее любым из методов,
рассмотренных в гл. 3, дает
k Ч-хЛъ k Mo-*it F9)
Итак, если даны х0 и л:1э то этим определено единственное решение
уравнения F.5).
Пример 6.3.1. Найти общее решение разностного уравнения второго
порядка хп+2 — 3#^+1 + 2хп = 0. Выписать общую формулу для #П|
если х0 = 1000 и хх = 1500. Чему равно х5?
Л Здесь вспомогательным является уравнение Я2 — ЗА, + 2 = 0,
корни которого
— 4.2 о . 3 — 1/9—4.2 -
i Я -1.
Согласно формуле F.8), общее решение есть
хп = kv2n + k2- ln = kv2n + k2.
Нол:0 — kx-\- k2— 1000 и xx = 2yfet + yfe2 = 1500. Решая эти уравнения
относительно kx и k2t находим kx = 500 и А2 = 500. Таким образом,
единственным решением, удовлетворяющим заданным начальным ус-
условиям, является
хп = 500.2я + 500 = 500 A + 2").
При п = 5 получаем хь = 500 A + 25) = 16 500 А
Проанализируем теперь случай, когда Ь2 — Аас = 0. Здесь корни
вспомогательного уравнения равны между собой: ^г = К2 = — b \
: Bа); рассматриваемый метод порождает лишь одно решение хп = X;.
Покажем, что в этом случае другим решением уравнения F.5) служит
хп = я^ —*. Тогда общее решение можно записать в виде
\ F.10)

§ в.З. Линейные разностные уравнения второго порядка 217
где Хх = — b/Ba), a kx и k2 — произвольные постоянные. Чтобы убе-
убедиться в том, что это решение, подставим выражение для хп в урав-
уравнение F.5):
ахп+2 + Ьхп+Х + вхп~а (kx Ь?+2 + k2 (n + 2)
= kx XI (dk\ + ЬХХ + с) + k2 пХп~1 {aX\ + b%1 + c) + k2 X« BaXx + b).
Первые два слагаемых обращаются в нуль, так как аХ\ + ЬХх-\- с = 0.
Третье слагаемое равно нулю, поскольку %г — — ЫBа) и 2аХ1 + b =
= 2а [— b/Ba)] + b = 0. Итак, получаем, что формула F.10) дает
решение уравнения F.5). Постоянные kx и k2 можно выразить через
х0 и хг. Полагая п = 0 и п = 1 в общем решении F.10), получаем урав-
уравнения х0 = кг и хх = кгКг + k2f откуда кг = лг0, а А2 ^ -^l — ^i«
Этот случай иллюстрируется следующим примером.
Пример 6.3.2. Найти общее решение разностного уравнения второго
порядка хп+2 — 4лсп+1 + \хп = 0. Найти xnt если х0 = 500 и хг =
= 1000. Чему равно %?
Л Вспомогательным является уравнение Я2 — 4Х + 4 == 0. Здесь
б2 — 4ас = 0 и единственным корнем является Хг = — ЫBа) = 4/2 =
*= 2. Поэтому общее решение имеет вид хп = ^-2" + ^г^". Полагая
л == 0 и л = 1, получаем х0 = 500 = ^ и ^ = 1000 = 2АХ + k2, от-
откуда находим kx = 500 и yfe2 = 0. Таким образом, хп = 500-2". В част-
частности, л;5 = 500-25 = 16 000. А
Остается рассмотреть третий случай, когда Ь2 — 4ас < 0. В этом
случае корни Хх и Х2 являются комплексно-сопряженными числами:
2а 2а
(Определение и краткий обзор свойств комплексных чисел см. в Прило
жении Д.) Эти числа можно записать в экспоненциальной форме^
Х1 = reiQ и Х2 = ге-/е, где г = Vcfat a tg 9 = — Viac — ЬЩ. Та-
Таким образом,
%п -*- rnetn е —. rn (cos nQ ц. / sjn n0) -- (c/a)n/2 (cos л9 + / sin n9).
Аналогично, ^ ^ (cla)n/2 (cos n9 — / sin nQ).
Как и в двух предыдущих случаях, любая линейная комбинация
этих базисных решений XI и %* также является решением. В частности,
решениями являются A/2) (A/J + A,J) = (с/а)п/2 cos л9 и [1/B/)] X
X (XI — Х%) = (с/а)п/2 sin я9. Используя эти два решения, можно
записать общее решение уравнения F.5) в виде
хп == *! (c/a)n/2 cos л9 + k2 (с/а)*1'2 sin /г9. F.11)
Постоянные kx и й2, как и прежде, можно выразить через х0 и j^.

218 Глава 6. Разностные уравнения
Решение F.11) разностного уравнения F.5) обладает довольно ин-
интересными свойствами. Поскольку cos л0 и sin л9 g увеличением л
колеблются между значениями 1 и — 1, решение хп также колеблется
несколько более сложным образом. В приложениях численность попу-
популяций от года к году может испытывать колебания в результате изме-
изменений в запасе пищи либо по другим причинам*. Свойства этого реше-
решения лучше всего показать на ряде примеров.
Пример 6.3.3. Найти общее решение разностного уравнения второго
порядка хп+2 + хп = 0. Найти хП9 если х0 = 0, а хг = 1000.
Д Здесь вспомогательным является уравнение к2 + 1 = 0 с ком-
комплексными корнями Кх = i и Х2 = — i. Параметры экспоненциальной
формы г = (с/аI'2 = 1 и Э = я/2. Отсюда общее решение хп = кг X
X cos (пп/2) + k2 sin (ля/2). Полагая п = 0 и п = 1, получаем хй =
= 0-^hxj= 1000 = kt cos (я/2) + fe2 sin (я/2) = k2. Искомое ре-
решение есть хп = 1000 sin (ля/2). В частности, х2 = 0, xs = — 1000,
#4 = 0, хь = 1000 и т. д. Это могло бы соответствовать сезонным коле-
колебаниям популяции возле ее средней численности. ^
Пример 6.3*4. Модель роста с влиянием предше-
предшествующих поколений. Рассмотрим популяцию, которая
увеличивается от поколения к поколению. Пусть хп соответствует раз-
размеру популяции в л-м поколении. Ясно, что размер популяции в л-м
поколении зависит от популяции в предыдущем поколении и может
также зависеть от популяций в других предшествующих поколениях.
Предше^тзующие поколения могут, например, исчерпав большую часть
имеющихся ресурсов, затруднить воспроизводство популяции или сде-
сделать его невозможным. В качестве модели роста популяции от поколе-
поколения к поколению можно рассматривать уравнение xn+2 = rxn+i + sxn-
Популяция в (л + 2)-м поколении составлена из двух частей, соот-
соответствующих вкладам (л + 1)-го и л-го поколений. Постоянные г и s
показывают относительную важность двух соответствующих членов.
Вспомогательным служит уравнение V — гк + s = 0 с корнями
Кх = (г + W2 + 4s)/2 и А,а = (г — V?r+Ts)f2. Если г2 + 4s > 0, то
эти корни действительны и различны и общим решением является
хп = k^i + fcgk;. Если же г2 + 4s < 0 (что имеет место, когда s —
достаточно большое отрицательное число), то общее решение имеет иной
вид: дг? = (— s)nf2 (kx cos nQ + k2 sin nfyt где tg 0 =* — V—(r2 +4s)/r.
В этой очень простой модели мы получили интересный результат,
состоящий в том, что если на смертность в данном поколении су-
существенно влияют особи, родившиеся двумя поколениями раньше, то
численность популяции от поколения к поколению будет испытывать
колебания.
* Вряд ли можно рекомендовать это уравнение в качестве модели популя-
ционных колебаний, так как для возникновения колебаний здесь необходимо
соблюдение между параметрами модели жесткой связи, выраженной равенством
Ь2 — 4ас = 0, что маловероятно для параметров реальных популяций.— Прим.
ред.

§ 6.3. Линейные разностные уравнения второго порядка 219
Пример 6.3*5. Найти общее решение разностного уравнения второго
порядка хп+2 + дгп+1 + хп = 0. Найти хп, если х0 = 100, а л^ = 0.
А Вспомогательное уравнение X2 + К + 1 = 0 имеет комплексные
корни ^ = (— 1 + *Уз)/2 и А,2 = (— 1 — /Уз)/2. Параметры экспо-
экспоненциальной формы г = (cla)n12 — 1 и 0 = 2я/3 (так как tg 6 —
= — Уз). Общее решение хп = ftx cos Bпя/3) + k% sin B/ш/З). По-
Полагая п = 0^ и п = 1, получаем *0 = 100 = ?х и хг = 0 = — A/2) х
X *i + (У3/2) А2. Отсюда кг = 100 и &2 = 100/УзТ Искомое решение
есть *п = 100 cos B^гя/3) + A00/УЗ) sin B/гя/З). А
Задачи к § 6.3
1. Найдите общие решения для следующих разностные уравнений второго по-
порядка:
а) хп+2=хп + хп+1; б) xn+b+2xn+i—Зхп=0;
в) 4xn + 4xn+i + xn+2=0; r) 3xn+%—
2. Найдите решения, удовлетворяющие начальным условиям х0 =ш I, Xf = 2, для
следующих разностных уравнений;
a) *n+a+*n+i = 6*n; б)
в) xn+2+2^n+i + 2^n=0; г)
3. Найдите решения, удовлетворяющие начальным условиям х0 = 0, #х = 1,
для следующих разностных уравнений:
а) *п+а+хЛ = 0; б)
в) *л+а + 4хд+1 + 6*п=0; г)
4. Найдите общее решение разностного уравнения второго порядка n+2
— 4jcn+1 + 4xn = 0. Выпишите частное решение, которое удовлетворяет ус-
условиям Xq — 160 и хх = 300. Считая, что данное разностное уравнение отра-
отражает динамику численности популяции, регистрируемую с годичным интерва-
интервалом, при начальной численности 160, установите, когда наступит вымирание
популяции.
б. Найдите разностное уравнение второго порядка в виде йхп+2 ~Ь bxn+x +
+ схп = 0, частными решениями которого служат хп = 2п и хп = 42/l.
6. Найдите разностное уравнение второго порядка в виде ахп+2 ~Ь Ьхп+г +
-(- otn = 0 с частными решениями хп == 1,5П и хп — п-\,Ьп~~*.
7. Найдите разностное уравнение второго порядка в виде шгд+2 + ЬхПАг1 +
+ схп = 0 с частными решениями хп = 4n cos (пзх/2) и хп = 4n sin (ля/2)*
8. а) В простой модели роста популяции предполагается, что популяция *п в
п-ы поколении представляет собой сумму популяций в двух предшествующих
поколениях. Найдите хп для всех поколений п , если я0 = 0 я х\; = 1. (Эта
последовательность называется последовательностью чисел Фибоначчи.)
б) Оцените в данной модели роста предел отношения хп+1/хп> когда п стремит-
стремится к бесконечности. (Эга мбдель является частным случаем примера 6.3.4.)
9. Докажите, что все решения уравнения 4дгП4^ + 4лгп+1 + #п == 0 прибли-
приближаются к нулю, когда я стремится к бесконечности.
10. Каким условиям должны удовлетворять коэффициенты a, b и с, чтобы все
решения уравнения ахп+2 + 6*л+1 + ?*д — 0 приближались к нулю, когда
п стремится к бесконечности?
11. Найдите решения следующих уравнений, удовлетворяющие заданным на-
начальным условиям:
а)

220 Глава 6. Разностные уравнения
5)
в) хп+2—6хп+1 + 8хп=0, хо=>3, хг=*6.
12. Найдите решения следующих уравнений, удовлетворяющие заданным на*
чальным условиям:
а) хп+2 + 6хп+1 + 9хп=>0, хо = \, xt = 2\
б) *л+а+2*л+| + *п=-0, *0 = —2, *,=*-~4}
в) 4x7l+2+20*n+j + 25*n=.0, xQ^Qt ^ = b
13. Найдите решения следующих уравнений, удовлетворяющие заданным на-
начальным условиям:
а)
б)
в)
14. В эксперименте с голоданием масса у двух испытуемых за 30 дней убывала
от 140 и 170 фунтов до 110 и 125 фунтов соответственно. Было установле-
установлено, что ежедневные потери массы каждого испытуемого пропорциональны его
массе. Определим хп как суммарную массу обоих испытуемых после п дней
голодания. Найдите разностное уравнение второго порядка, которому удов-
удовлетворяет хп. Чему равна суммарная масса после 15 дней голодания?
15. Два сосуществующих вида дрозофилы выращивают в подходящей среде.
В каждом поколении популяции вида I увеличивается на 60%, а популяция
вида II — на 40%. Какова суммарная численность обеих популяций, если
первоначально имелось по 1000 мух каждого вида? Для суммарной числен-
численности найдите разностное уравнение второго порядка.
16. Предположим, что в условиях задачи 15 из каждого поколения удаляют по
500 мух каждого вида. Через сколько поколений наступает вымирание вто-
второго вида? Какова суммарная численность в п-м поколении?
17. Проанализируйте свойства решений уравнений: а) хп+2, = *n+i + A/2)лгл;
б) дгд+2 = xn+i — A/2) хп — как частных случаев модели роста популя-
популяции из примера 6.3.4.
18. Пусть хп и уп удовлетворяют разностным уравнениям первого порядка
хп+х = ахп и Уп+1—bt/n- Докажите, чтогп = хп + Уп удовлетворяет разност-
разностному уравнению второго порядка zn+2 — (а + b) zn+1 + abzn = 0. (Как
этот результат помогает решить задачи 14 и 15?)
19. Пусть хп и уп удовлетворяют разностным уравнениям первого порядка *n+i=
= / (я) хп и Уп+1 = h (n) уп- Найдите разностное уравнение второго поряд-
порядка, которому удовлетворяет zn — хп + уп-
20. С целью анализа распространения инфекционных заболеваний в одной школе
ведется запись вспышек кори. Согласно полученным оценкам, вероятность
рп возникновения хотя бы одного нового случая заболевания спустя п не-
недель после вспышки удовлетворяет уравнению рп = pn~i — A/5) 0Л-2-
Найдите рп, если р0 = 0 и рг = 1. После скольких недель вероятность ново-
нового случая кори становится меньше 10%?
6.4. Метод вариации постоянных для разностных
уравнений второго порядка
В данном параграфе мы рассмотрим метод решения уравнения
ахп+2 + bxn+1 + cxn = f (n) F.12)
с постоянными коэффициентами а, Ь и о (при афО). Это линейное не-
неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными ко-

§ 6.4. Метод вариации постоянных 221
зффициентами. Если / (п) = 6 при всех я, то уравнение является одно-
однородным. Как и в предыдущем параграфе, нужно рассмотреть три слу-
случая, соответствующие тому, являются ли корни вспомогательного урай-
нения действительными и различными, действительными и равными
или же комплексными. Методы настоящего параграфа можно применять
ко всем трем случаям, но для простоты рассмотрим лишь случай дейст-
действительных и различных корней %х и Х2. Тогда Хп = кЩ + Щ является
обьщц решением однородного уравнения F.5), причем k и I — произ-
произвольные постоянные. Идея метода вариации постоянных состоит в том,
чтобы считать постоянные k и / изменяющимися в зависимости от п
таким образом, что получается решение неоднородного уравнения
F.12). Согласно этому, будем искать решение в виде
хп = К%\ + 1пЦ, F.13)
где kn и 1п могут изменяться вместе с п. Подставим выражение F.13)
в уравнение F.12) и попытаемся найти такие функции kn и /Л, которые
порождают решение.
Используя равенство F.13), можно вычислить хп+1 и хп+2- Имеем
xn+1 = kn+Jkr\+x + /n+i^S- Прибавив к правой части и отняв от нее
одну и ту же величину knll[ + 1 + ln+iK*l> приходим к выражению
Чтобы упростить его, будем считать, что
i-ln)K + t ==0 F.14)
при любом значении п. При таком условии получаем (для каждого п)9
что
Тогда согласно уравнению F.15) имеем хп+2 =
или
Подставив теперь выражения F.13), F.15) и F.16) в уравнение F.12),
получим
Группируя слагаемые и приравнивая правую часть f (n), получаем
FЛ7)
Поскольку %t и Х2 являются корнями вспомогательного уравнения,
первые два выражения в квадратных скобках F.17) обращаются в нуль
и, значит,

222 Глава 6. Разностные уравнения
Это дает второе уравнение для kn и /„, а первым служит уравнение
F.14). Записав эти уравнения вместе, приходим к системе двух урав-
уравнений
(*n+l-*n)^+I+('n+l-/nL + i=0f
F.18)
относительно двух неизвестных kn+1 — kn и ln+l — /Л. Решая эту си-
систему, умножим первое уравнение на К2 и вычтем из второго. Тем са-
самым находим kn+1 — kn. Затем аналогичным приемом можно найти
/Л+1 — 1п. Решения имеют вид
Ш; F.19)
ln+i-U - J}(n) * F.20)
Очевидно, что уравнения F.19) и F.20) представляют собой линейные
разностные уравнения первого порядка, которые можно решить мето-
методами § 6.2.
Решая уравнение F.19), получаем
/(Q)
_Щ__.|. /A)
/B)
k =k I fW -k I f@) 1 /A) 1
Легко видеть, что общее решение уравнения F.19) имеет вид
Аналогично, для уравнения F.20) общее решение есть
Наконец, общее решение уравнения F.12) запишется в виде
хп = knl« + ln%»9 F.23)
где kn и ln выражаются формулами F.21) и F.22). Если известны #0
и хь то можно найти постоянные k0 и /0. Полагая в F.23) п = 0 и п = 1,
имеем #0 == Ао + /0 и % = ^1Х,1 -f- l^.
Эти продолжительные выкладки привели к формулам, позволяю-
позволяющим получать общее и частные решения уравнения. Лучше всего про-
проиллюстрировать их применение на примерах.

§ 6.4. Метод вариации постоянных 223
Пример 6.4.1. Найти общее решение для уравнения хп+2 — хп =* 1«
Вывести формулу для хп, если х0 = 50 и хг = 100.
А Здесь f (п) — 1. Вспомогательным является уравнение Я2 — 1 =
= 0 с корнями I, = 1 и ^2 = — 1. Общее решение имеет вид хп =*
= ^7i'ln + In (— 1)я» гДе kn и /Л определяются формулами F.21) и
F.22):
Отсюда общее решение можно записать так:
Если х0 = 50 и хг = 100, то х0 == 50 = &0 + /0 и хг = 100 = kQ +
4- у — Uo + Y/ ^ *о~~^о- Таким образом, 2&0 = 150, т. е. k0 = 75,
и /0 == — 25. Это дает частное решение вида
Пример 6.4.2. Если бы популяция рыб росла, не подвергаясь внешним
возмущениям, то ее прирост в (п + 1)-м году был бы вдвое больше при-
прироста в п-м году. Однако в исследовательских целях к популяции еже-
ежегодно добавлялось по 100 рыб. Найти хп — численность популяции
в п-м году, если xQ = 1000 и х± = 1200.
Л Численность-рыб хп удовлетворяет разностному уравнению вто-
второго порядка
хп+2 — -*7i+l ==: 2 (#п+1 — Хп) i 100,
или
хп+2 — Зхп+1 •+- 2xrt = 100.
Здесь f (п) = 100. Вспомогательным служит уравнение № — ЗЯ + 2 =
«= 0 с корнями Хх = 2 и Х2 = 1. Общее решение имеет вид хп = kn x
X 2" + /п-К По формулам F.21) и F.22) находим
(см. задачу 14 к § 1.6) и
/„ = /„_ A00 + 100 + ... + 100) = 10 — 100л.

224 Глава 6. Разностные уравнения
Таким образом, хп = kQ-2n + 100 Bя — 1) + /0 — 100/г. Постоянные
k0 и 10 можно выразить через х0 и хи так как х0 = 1000 = &0 + /0
и *г = 1200 = 2k0 + 100 + /0 — 100. Отсюда k0 = 200, t0 = 800,
а искомое решение есть хп = 200-2« + 100-2" — 100 + 800 — 100л =
= 300-2" + 700 — 100/г. В частности, х2 = 1700, х3 = 2800, a:4 =*
= 5100. Ясно, что численность рыб продолжает очень быстро возра-
возрастать. А
Задачи к § 6.4
1. Найдите общие решения для следующих разностных уравнений второго по-
порядка:
а) хп+2 = хп + 2\ б)
в) хп+2—4хп = 1у5п; г)
2. Для нижеприведенных уравнений найдите решения, удовлетворяющие
начальным условиям хо = О и #1=1:
а) хп+2 — 9хп=1; б)
в) 4хп+2 + 5хп+1 + хп^22п; г)
3. Рассмотрим уравнение второго порядка ахп+2 + Ьхп+1 + схп == гп, где а, Ь,
с и г — постоянные. Каким условиям должны удовлетворять коэффициенты
a, b и с> чтобы существовало решение вида хп — krn, где к — некоторая
постоянная?
4. Воспользуйтесь результатом задачи 3, чтобы отыскать решения четырех раз-
разностных уравнений из задачи 2.
5. Проверьте, является ли хп = (я/2) 2п частным решением разностного урав-
уравнения хп+2 — 3*Л+1 + 2хп = 2п.
6. Убедитесь в том, что хп = (я2/8) 2п является частным решением разност-
разностного уравнения хп+2 — 4*^+! + Ахп = 2п.
7. а) Покажите, что если уп и гп удовлетворяют разностным уравнениям ауп+2+
¦т- Ьуп+г + суп = / (п) и агп+2 + Ьгп+1'+ czn=g (n)t то хп = Уп + *п Удов-
Удовлетворяет разностному уравнению ахп+2 + Ьхп+г + схп = f (п) + g (n).
б) Какому уравнению удовлетворяет решение kxyn-\-kgn, где кг и fe2 — про-
произвольные постоянные?
8. Воспользуйтесь результатами задач 3 и 7 и найдите частные решения следую-
следующих разностных уравнений второго порядка:
а) хп+2 + 2хп+1-Зхп^2п+\; б)
в) xn+2 + 3xn+r^Axn^Sn-^2n; г)
9. Пусть шп и уп обозначают любые решения уравнения второго порядка ахп+2+
+ Ьхп+1 + схп == / (л). Докажите, что гп = wn — #п является решением
однородного уравнения ахп+2 + ^д+i + ^#п = 0.
10. В отсутствие внешних возмущений популяция птиц увеличивалась бы таким
образом, что в каждом поколении ее размер был бы равен сумме размеров
двух предшествующих поколений. Однако из-за постоянного давления хищ-
хищников в каждом поколении теряется по 1000 птиц. Численность хп в /t-м по-
поколении удовлетворяет уравнению хп = хп^ + хп_2 — 1000. Пойдите
численность в /г-м поколении, если х0 = 2000 и хх — 2500.
11. Допустим, что в условиях задачи 10 в каждом поколении отлавливается 20%
птиц. Тогда численность хп в n-м поколении удовлетворяет уравнению хп=*
= 0,8 (*п_л + *п-2 — 1000). Найдите численность популяции в д-м поко-
поколении, если х0 = 2000 и х± = 2500.
12. Пусть хп и уп удовлетворяют разностным уравнениям первого порядка хп+г=*
= f (л) хп + g (п) и #n+i= Л (п) у(п) + k (n). Какому разностному урав-
нению второго порядка удовлетворяет гп ~ хп + ^Л?

§ 6.5. Системы раанестяых уравнений первого порядка 225
6.5. Системы разностных уравнений первого порядка
В предыдущих параграфах мы рассмотрели разностные уравнения,
которые могли бы получаться при описании динамики популяции не-
некоторого вида в данной среде. В этих уравнениях не учитывались в
явном виде наличие конкурирующих популяций и другие аспекты
внешней среды. Для более детального описания и лучшего понимания
динамики роста популяций нужно найти способы включать в урав-
уравнения роста факторы, отражающие характерные свойства среды.
Мы можем заниматься, например, исследованием взаимодействия
двух или более видов. Если на некотором ареале сосуществуют два
вида, то размеры их популяций в (п + 1)-й период времени (год, по-
поколение и т. д.) могут взаимно зависеть от их размеров в n-й период.
Если эти два вида связаны отношением хищник—жертва, то большая по-
популяция жертв в П'М периоде будет приводить к возрастанию популяции
хищников в (п + 1)-м периоде. Это, в свою очередь, может приводить
к уменьшению популяции жертв в следующем периоде. Если, с другой
стороны, два вида связаны симбиотическими отношениями, то их по-
популяции будут возрастать или убывать одновременно. Разумеется, ре-
реальная экосистема представляет собой сложную сеть конкурентных,
кооперативных и прочих отношений между многими различными ви-
видами. Сейчас мы ограничимся случаем двух видов, хотя в принципе
рассматриваемые методы можно обобщить и на любое число видов.
Рассмотрим систему двух разностных уравнений первого порядка,
которая имеет вид
Xn+i = апхп + ах%уп + f (п),
Уп+х = я*Л + а22уп + g (/г), F.24)
где alti а^» апи #22 — постоянные, а / (п) ng(n) — заданные-функции.
Задача состоит в том, чтобы найги функции хп и уп, удовлетворяющие
этим уравнениям. Система называется однородной, если/(я) == g (n) =0
при всех п. В противном случае система называется неоднородной.
Систему F.24) можно представить себе как модель или описание
взаимодействия двух видов в некоторой среде, если хп и уп соответст-
соответствуют численностям популяций вида I и вида II к концу п-го периода
времени. Когда оба вида конкурируют за одни и те же ресурсы, это
моделируется с помощью отрицательных коэффициентов а12 и а21.
Если, например, коэффициент а12 отрицателен, то популяция вида I
будет убывать с ростом популяции вида II. Это мсщно показать
на примере.
Пример 6.5.1. Модель межвидовой конкуренции.
Линейная однородная система
хп+х = 2хп — уп, F.25)
Уп+l == — хп Г" %Уп
описывает взаимное влияние двух конкурирующих видов на размер
их популяций. Пусть начальные численности составляют х0 = 100 и
в Зак. 1370

22(> Глава 6. Разностные уравнения
у0 = 150. Найти численности обоих видов во все последующие моменты
времени.
А Будем решать систему F.25) путем сведения ее к линейному раз-
разностному уравнению второго порядка относительно хп с постоянными
коэффициентами. Из первого уравнения F.25) имеем
#п+2 = 2хп+1—уп+1 = 2хп+1 (— хп -}- 2уп) = 2хп+1 + хп — 2уп.
Согласно тому же первому уравнению, уп = 2хп — хп+1 и мы полу*
чаем
хп+2 — 2хп+1 + хп —2 Bхп—хп+1) = Ахп+1 —Зхп.
Таким образом, vn+2 — 4хп+1 4- Зхп = 0. Вспомогательное уравнение
Я2 — 4А, + 3 = 0 имеет корни Хг = 3 и %2 = 1. Оэщее решение есть
#п = ^«З" + /?2'1'г = /^1*3" + k2. Из первого уравнения F.25) сле-
следует, что уп = 2хп — хп^ = 2/ггЗ^ + 2k2 — ^-З^1 — k2 - Ая —
— кг'Зп. Чтобы найти постоянные k2 и ?3, используем условия ^0 =
г= ЮО = /ех + k2 и г/0 = 150 = /г2 — &х. Отсюда kx = — 25, а &2 ^
= 125. Искомое решение имеет вид
хп - 125 — 25-3" и ул = 125 + 25-3^.
Первый вид быстро вымирает (х0 = 100, xt =50, х2 = ... = 0), а
второй вид продолжает расти (у0 = 150, г/х = 200, у2 = 350, ...). А
Вернемся теперь к системе общего вида F.24) и отыщем ее общее
решение методами, рассмотренными в предыдущем примере. Из пер-
первого уравнения получаем
хп+2 ~ аихп+г + а^уп+г + / (п + I) =
= аихпП + а12 (а21хп + а22уп + g (n)) + f (n + 1) =
= аихп+1 + a12a2lxn + a12a2iyn + a12g (/i) + / (п + 1).
Согласно тому же первому уравнению, а12уп = *n+i — Дц^» — / (^).
Значит,
^n+2 = «iAi+i + a12a2lxn + а22 (хп+1 — аихп — f (n)) +
+ «га g (л) + / (л + 1) = («и + «22) *n+i — («11^22 — ^12^21) ^л —
— a22f(n) + a12g(n)+f(n+ 1).
Отсюда следует, что хп удовлетворяет разностному уравнению второго
порядка
хп+2 — (аи -\- а22) хпП — (апа22 — а]2а21) хп == h (n)9 F.26)
где L (п) = — a2j (п) + а12^ (п) + f (п + 1). Это уравнение можно
решить методом вариации постоянных (см. § 6.4). Затем из первого
уравнения F.24) можно определить уп.
Пример 6.5.2. Решить линейную систему первого порядка
xn+i — 2хп — у п — 1,
Уп+1 = — хп + 2уп + 2.

§ &М. €исте»ы раз»остсгах уравнений первого порядка ;
Д Здесь / (п) = — 1 и g (п) = 2. Уравнение F.26) принимает вид
хп+2 — 4хп+1 + Зхп = —- I. Это уравнение из задачи 2F) к §6.4.
Общее решение есть хп = «/2 + kt-3n + k%, Из первого уравнения си-
системы получаем
Таким образом, уп = (п — 1)/2 — ^.З" + k2 — 1. Если бы началь-
начальные условия были заданы, то можно было бы определить постоянные
кх и k.>. A
Задачи к §6.5
1. Найдите общие решения для следующих систем разностных уравнений пер-
первого порядка:
в) *n+i=--Уп + 2п; г)
2. Найдите решения, удовлетворяющие начальным условие гп ^- 100 и цл =
= 200, для систем из задачи 1.
3. Опишите метол решения общей системы разностных уравнений грегьею по-
порядка с постоянными коэффициентами
уп + а13 zn+f \п),
4. Дайте интерпретацию линейной системы из задачи 3 как модели взаимодейст-
взаимодействия трех сосуществующих видов.
5. Найдите общие решения для следующих систем разностных уравнений пер*
вого порядка:
а) хп+1 = 2хп—уп-1-2п, б)
6. Птицы некоторого вида размножаются так, что в отсутствие хищников попу-
популяция ежегодно удваивалась бы. Влияние хищников сводится к тому, что
каждый год популяция птиц уменьшается на количество особей, в 10 раз боль-
большее численности хищников. Допустим, что численность хищников остается
постоянной и не зависит от размера популяции птиц. Опишите динамику чис-
численности птиц и хищников от года к году с помощью системы разностный
уравнений первого порядка. Найдите решение этой системы, если первона-
первоначально имелось 1000 птиц и 50 хищников.
7. Предположим, что в условиях задачи б численность хищников каждый год
удваивается. Опишите динамику двух популяций с помощью системы разност-
разностных уравнений первого порядка. Найдите ее решение, если первоначальна
имелось 1000 птиц и 50 хищников. Вымирает ли полуляция птиц?

7
Дифференциальные
уравнения
7.1. Введение
В данной главе мы продолжим изучение математических методов, при-
применяемых в описании динамики биологических систем. Как и прежде,
интересующие нас биологические переменные могут быть функциями
таких переменных, как температура, обилие пищи, длина светового
дня или частота заболеваний. Однако, как и в гл. 6, мы ограничимся
рассмотрением численности популяции некоторого вида в заданной
среде как функции времени. Другие примеры приводятся в задачах
к каждому параграфу.
В дискретных моделях гл. 6 биологические переменные (обычно
численность, или размер, популяции) измерялись в дискретаые мо-
моменты времени. В настоящей главе мы рассмотрим соответствующие
непрерывные модели, в которых биологическая переменная является
непрерывной функцией времени. При описании биологических систем
полезны оба этих подхода. Непрерывные модели больше подходят для
описания роста очень больших популяций, таких, как, например, по-
пулйции бактерий. Напротив, популяции американского журавля
лучше описываются дискретными моделями, соответствующими еже*
дневным, ежемесячным или ежегодным переписям.
В непрерывных моделях х (t) представляет собой численность
(размер) популяции некоторого вида в данной среде как функцию вре-
времени. Исходной, или начальной, популяции соответствует х @), и раз-
развитие популяции во времени описывается функцией х (t).
Пример 7.!. I. Функция х (t) = 1000 + 500 A — 2-') соответствует не-
непрерывному росту популяции от начального размера х @) = 1000 до
предельного размера lim x (t) = 1500. Если численность популяции
регистрируется в моменты времени t = 1, / — 2, / = 3, .,., то ее зна-
значения в эти моменты равны х A) = 1250, х B) = 1375, х C) = 1478,
.... (Это соответствует дискретному росту популяции в примере 6.1.1.)
Кривая этого непрерывного роста изображена на рис. 7.1.
При изучении непрерывного роста популяции х (t) нам может быть
известна информация о скорости роста dx(t)/dt Скорость роста мо-
может быть, например, нулевой, т. е. dx (t)/dt = 0. В этом случае сохра-
сохраняется постоянный размер популяции. Подобные соображения приводят
к следующему определению.

§ 7.1. Введение
229
нциальное урав-
уравение. Дифференциальное
уравнение для функции х (t) —*
дто уравнение, содержащее про-
производные х (f) no времени t. По-
Порядок дифференциального урав-
уравнения определяется как наивыс-
наивысший порядок производных, встре-
встречающихся в записи уравнения.
Пример 7.1.2. Ниже приведены
дифференциальные уравнения:
1т
цов
то
поо
S0O
100
0
& ¦
-
\ .
1
2
IQQQ + '
3
i
4
1
5
Рис. 7.1
1) $ - 2,
первого порядка;
2)
3)
dx
тг + 2tx = е^2 — первого порядка;
— + 4 f^J +4х==0 — второго порядка;
дт7г+ х2 (I + Р) = 0 — третьего порядка,
Пример 7.1.3. Популяция бактерий растет так, что скорость ее роста
в момент t (время выражается в часах) равна размеру популяции, по-
деленйому на 10. Описать этот процесс роста дифференциальным урав-
уравнением. Каков порядок этого уравнения?
Д Определим х (t) как размер популяции бактерий в момент вре-
врев момент t равйа Q,l# (t),
мени ^^Хогда по условию скорость роста ^
т.е. -^|- = 0,1* @- Это дифференциальное уравнение первого поряд-
порядка для х @- А
В последующих параграфах будут изложены методы решения не-
некоторых важных типов дифференциальных уравнений. Если дано диф-
дифференциальное уравнение для х (t)y то можно ли найти все функции
х (/), удовлетворяющие этому уравнению? Соответствующая биоло-
биологическая проблема формулируется так: «Если имеется информация о
начальной популяции и скоростях роста популяции, то можно ли пред-
вказать, каким будет ее размер во все последующие моменты времени?»
Любая дифференцируемая функция, которая удовлетворяет дифферен-
дифференциальному уравнению, называется решением этого уравнения.
Задачи к § 7.1
1, С помощью графиков изобразите процессы непрерывного роста о нулевого
момента времени, заданные с помощью следующих функций!
а) х(/) => 100+100 г; б)
в) х@ =90+ИИ*; г)

230 Глава 7. Дифференциальные уравнения
В каждом примере,найдите начальную,популяцию х @) и lim x (i), если оа
t-*oo
существует.
2. Определите порядок каждого из следующих дифференциальных уравнений!
ck d2* t
а) — + *2 = sin*; б) -^Г + '2* = е»
3. Найдите дифференциальные уравнения первого порядка, которым удовлетво-
удовлетворяют следующие функции: а) х (t) — t2; б) х (/) = е'; в) х (t) = /ef.
4. Покажите, что л: (/) = ~)/Те* удовлетворяет дифференциальному уравнению
)
5. Покажите, что х (t) = tg t удовлетворяет дифференииальному уравнению
d2* dx
~d? ^ 2х Tf
6. а) Убедитесь в том, что х (t) = сге* -|- c2e2t является решением дифферен-
дифференциального уравнения -р" — 3 -тг + 2х = 0 при любых значениях постоянных
сх и с\2.
б) Найдите решение х (t) дифференциального уравнения из п. а), удовлетво-
удовлетворяющее условиям л: @) = 1 и dx (Q)/dt = 2.
7. Согласно наблюдениям, скорость роста популяции бактерий в момент t (время
выражается в часах) равна размеру популяции х (t), поделенному на 5. Опи-
Опишите згот процесс роста дифференциальным уравнением для х (t). Каков по-
порядок этого дифференциального уравнения?
8. Дрожжи в растворе сахара растут таким образом, что их масса увеличивается
со скоростью, равной половине массы в момент / (время выражается в ч^сах).
Опишите изменение массы дрожжей с помощью дифференциального уравне-
уравнения. Каков порядок этого дифференциального уравнения?
7.2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Первое из рассматриваемых дифференциальных уравнений можно пред-
представлять себе как простую модель роста популяции. Если необходимые
для популяции ресурсы имеются в изобилии, то естественно предполо-
предположить, что скорость роста будет пропорциональна размеру популяции.
Если х (t) соответствует популяции в момент времени /,.то такое пред-
предположение выражается дифференциальным уравнением
" j? /А __. fly tf\ /Г7 1 \
где а — постоянная. Предположение, приводящее к этому уравнению,
состоит в том, что скорость роста на единицу популяции (удельная ско-
скорость роста) постоянна, т. е.
xU) = a.
x(t) dt w

$ 7.2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Разностное уравнение хп+1 = A + а) хп из § 6.2 можно получить,
предполагая, что постоянным является прирост популяции в (п +• 1)-й
период времени, т. е.
*n-f-i— -^п
Это дискретный вариант непрерывной модели.
Уравнение G.1) можно решить двумя способами. Первый из них,
опирающийся попросту на опыт дифференцирования, представляет
собой метод пробных решений. Известна ли нам функция, обладающая
тем свойством, что ее производная равна самой функции, умноженной
на постоянную а? Напомним, что такое свойство имеет экспоненциаль-
экспоненциальная функция х @ == еаК Более общо: функция х (t) = ceat при лю-
любом значении постоянной с обладает нужным свойством:
JL х (t) = — (ceat) = caeat = ах (/).
dt dt
В то время как метод пробных решений может показаться загадоч-
загадочным, существует и более систематический способ отыскания решений
уравнения G.1). Это уравнение можно записать в виде
1 d )=a. G.2)
x(t) dt
Ho
x it) dt w dt
где loge x (t) обозначает натуральный логарифм, или логарифм по
основанию е. Поэтому уравнение G.2) эквивалентно уравнению
d r
Интегрируя обе части уравнения G.3) по переменной tt получаем
loge х (t) = at + k9 G.4)
где k является постоянной интегрирования. Возведя в соответствую-
соответствующие степени экспоненту, находим х (t) = eai+k = е*еа*. Определим
постоянную с как о^ е*. Это дает общее решение уравнения G.1)
в виде
х @ = сеаК G.5)
Называя его общим, мы подразумеваем, что любое решение уравнения
G.1) может быть записано в таком виде при соответствующем значении
постоянной с. Заметим, что полученное этим методом общее решение
совпадает л тем, которое было получено методом пробных решений.
Если размер популяции х (i) в некоторый момент времени t = t0
известенг то постоянную а в решении можно определить единственным

Глава 7. Дифференциальные уравнения
образом. Так - как х (t) *= ceaV
х (/0) = ceat»y откуда с = х (t0) е
Решение принимает вид
x(t) = x (Q e-at» eat = х (t0) e" « -<*>. G.6)
Когда известна исходная (начальная)
популяция х @), имеем
@) е«'.
G.7)
Решение в момент / полностью опреде-
определяется значением численности в момент
риа 7.2 t = 0 или / = /0. Решение G.6) или G.7)
представляет собой ф о р м у л у эк-
экспоненциального роста.
Если а>0, то популяция с течением времени возрастает; если а = О,
то она остается на постоянном уровне х (t) = x @); если а<0, то по-
популяция убывает со временем до нуля. Эти три случая показаны на
рис. 7.2. *
Пример 7.2.1. Найти решение дифференциального уравнения dx/dt =
= 0,1х, удовлетворяющее начальному условию" х @) = 1000. Если
л' (t) обозначает размер популяции бактерий после / чясов роста, то че-
чему равен размер популяции спустя 10 ч?
Л Здесь а = 0,1. Общее решение имеет вид х (() = х @) е°'и.
Решением, удовлетворяющим заданному начальному условию, явля-
является х (/) = 1000е°'и. После 10 ч роста размер популяции становится
равным х A0) = 1000е « 2718. ^
Уравнение ~ служит примером линейного дифференциального
уравнения. Дифференциальное уравнение называется линейным, если
в членах, содержащих функцию х (t) и ее производные, они встречают-
встречаются только в первой степени и нет членов, содержащих произведение
/ 6Х\ г,
функции на ее производную (таких, как х — I. В линейном уравнении
отсутствуют такие члены, как, например, х2, *3^, sin хит. п. Когда
имеются подобные члены, уравнение называют нелинейным.
Пример 7.2.2. Следующие дифференциальные уравнения являются ли-
линейными:
2) -^--t>x =
3) -|L
д3х
dx

§* 7i2t Ли нейнюе диффсрст*ийЛьные ураЬнени я первого порядка 283
Пример 7,2.3. Следующие дифференциальные уравнения являются не-
нелинейными;
(тг!
dt dP
-1+/; 4) —-
Общий вид линейного дифференциального уравнения первого по-
порядка таков:
Это уравнение называется однородным, если f (t) = 0 при всех L
В противном случае оно называется неоднородным. Если коэффициент
а @ постоянный, то G.8) называют уравнением с постоянными коэф-
коэффициентами. Уравнение G.1) представляет собой частный случай
уравнения G.8) при /@ = 0 и a (t) = — а.
Прежде чем решать уравнение G.8), отметим следующее свойство
линейных однородных уравнений. Пусть xt (t) и х2 (/) —- решения
уравнения ^ 4- a (t) к = 0. Тогда kxxx (t) + k2x2 (t) также являете»
решением при любых значениях постоянных kx и k2. Чтобы убедиться
в этом, заметим, что
4" l*i Ч V) + k2 x2 (t)) + a (t) \k, хг (t) + h 4 W -
d/
Это свойство линейных однородных уравнений (любого порядка) ча-
часто используют в качестве определения линейности.
Рассмотрим теперь однородное уравнение
^- + а(()х = 0. G.9)
Чтобы решить это уравнение, запишем его в виде
J_i|?.==_fl(/)> или -i.log,x(/) = -o(i).
х dt dt
Интегрируя обе части, приходим к уравнению
t
I0ge x (t) = — J a (s) ds + k9 G.10)
ГДе k — постоянная интегрирования. Возводя в соответствующие сте-
степени экспоненту, получаем

234 Глава 7. Дифференциальные уравнения
Если определить постоянную с как с = efe, то решение уравнения
G.9) можно записать в виде
Значение постоянной с можно найти, если известно начальное усло-
условие. Это показано на следующих примерах.
Пример 7.2.4. Найти общее решение дифференциального уравнения
Н -(- , х „. = о. Какое решение удовлетворяет начальному условию
х @) - 10?
Д Здесь а (/) = 1/A + 0 и \ a (s) ds = J p^ ds - loge (I + /).
Общее решение G.11) представляется в виде х (I) = Се~~1о*?A+п =
= с/A + 0 1так как eIogfe nt) = f (t) для любой функции / (/)!.
Если х @) = 10, то 10 = с/(\ + 0) и с = 10. Решение, удовлетворяю-
удовлетворяющее заданному начальному условию, есть х (t) = 10/A + t). С увел*ь
гением / популяция х (t) постепенно убывает до нуля» ^
Пример 7.2.5. Популяция бактерий увеличивается таким образом, что
удельная скорость роста в момент / (время выражается в часах) состав-
составляет величину 1/A + 2t). Допустим, что начальной популяции соот-
соответствует х @) = 1000. Какой будет популяция после 4 ч роста? после
12 ч?
Л Удельная скорость роста равна — тг = гтут* • Это однородное
линейное уравнение первого порядка при a (t) = — 1/A -f 2/). Ин-
Интегрируя его, получаем
\0g(
где k — постоянная интегрирования. Переход к экспонентам дает
Полагая с = ek, приходим к решени э
X(t) = сA +
Поскольку х @) = 1000, имеем 1000 = с и искомое решение имеет вид
*(*) = 1000A + 2/I/2.
Размер популяции после 4 ч роста выражается величиной х D) = 1000Х
X A + 8I/2 = 3000. Спустя 12 ч популяция вырастает до а: A2) =
= 1000-251/2 = 5000. Общее решение х (t) = с A + 2/I/2 можно
проверить подстановкой его в исходное уравнение. Для этого решения
имеем
x(t) (U c(l+20l/2 A + 2*I'2
что равно 1/A + 2t). ^

§ 7.2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
235
Пример 7.2.6. Модель сезон- *Ш
його роста. Дифференци- Х(Ще
альное уравнение первого порядка
rf = rx (t) cos /, где / — положи- - Ш)
х{0№
ж к ЗЯ
?7Т
571 ЪП ТЯГ
Рис. 7.3
тельная постоянная, можно рас-
рассматривать как простую модель
сезонного роста. Скорость роста
ттт ПОПУЛЯЦИИ X (t) СТаНОВИТСЯ ПО-
переменно то положительной, то
отрицательной, м популяция то
возрастает, то убывает. Это может
вызываться такими сезонными факторами, как доступность пищи.
Чтобы решить уравнение, заметим, что здесь a (t) = — г cos t и
t t
f a(s) ds = —r fcoss ds = — rsin/ + &.
Общее решение записывается в виде х (t) = cer sin К Полагая / = О,
получим с = х@), т.е. размер популяции в момент / есть х(/) =
^=x@)ersint . Максимальный размер популяции, равный егх @), до-
достигается при / = зх/2, 5л/2, 9n/2i ..., когда sin t = 1. Минималы
ный размер, равный е~гх @), достигается при / == Зя/2, 7л/2,
Пя/2, ..., когда sin ^ = — 1.
В этой модели размер популяции колеблется от егх @) до еггх @)
с периодом в 2л. Моменты времени 2 = 0, 2я, 4л;, ... можно считать се-
серединами сезонов наибольшей доступности пищи (летних сезонов),
а моменты t = зх, Зя, 5л, ... соответствуют серединам сезонов наи-
наибольшей нехватки пищи (зимних сезонов). Продолжительность одно-
одного года соответствует 2я ед. времени. Это показано на рис. 7.3.
Вернемся теперь к общему неоднородному уравнению G.8). Метод
решения состоит в том, чтобы найти для этого уравнения интегрирую-
интегрирующий множитель. Интегрирующий множитель — это функция g (t),
обладающая тем свойством, что
Тогда, согласно правилу дифференцирования произведения,
— (g(t)x(t))=*g(t) — +x(t)-^-.
Значит, интегрирующий множитель должен выбираться так, чтобы
удовлетворять однородному уравнению первого порядка -? = a (t) g(t).
t
Одним из решений этого уравнения служит g (t) = е^а <s)ds. Поэтому
[t t
fa(s)ds f
e x(t)\ = J
a(s)ds
t
\a{$)ds

236 Глава 7. Дифференциальные уравнения
Отсюда следует, что уравнение G.8) может быть записано в виде
Г г 1г
a(s)ds a(s)ds
le x(OJ=eJ f{t). G.12)
at
Интегрируя обе части уравнения G.12) и обозначая переменную инте-
интегрирования через а, получаем
t и
fa(s)ds I \a(s)ds
eJ x(Of /(M)d+c G.13)
ГЛе г — постоянная интегрирования. Наконец, умножив обе части
уравнения G.13) на e"~Ja(s)ds, получим
— (j(s)ds — (a(s)dsA (a(s)ds
х(/) сс +е Je
A (a(s)ds
Je /(")<*«*. G.14)
+е
Это и есть общее решение уравнения G.8). Эту громоздкую формулу не
так уж трудно применять на практике. Поскольку функции a (t) и
/ (t) заданы, интегралы в формуле G.14) можно попытаться найти в яв-
явном виде, что упростит общее решение.
Выпишем для удобства шаги, которые приводят к решению урав-
уравнения G.8).
1. Записать уравнение в виде G.8) и определить a (t) и / (().
К i
2. Вычислить J a (s) ds и eJ a(s> ds.
ь
3. Домножить уравнение на интегрирующий множитель ё e<s)(i§ *f
записать уравнение в виде G.12).
t
4. Найти / (/), неопределенный интеграл от функции е$aisNs f (/).
t t
5. Найти общее решение х (t) = cer$ a(s)ds + e~~J «(Ods / цу
6. Если известно х (t) при некотором t0, то выразить с через х (t0).
Пример 7.2.7. Найти общее решение уравнения — + х = е-/. Какое
решение удовлетворяет условию л; @) = 1000?
А Здесь a (t) = 1 и / (/) = е-'. Значит, J a (s) ds - J Ids = t
и eJ a<s>ds = e'. Умножая дифференциальное уравнение на интегри-
интегрирующий множитель е*, получаем
Интегрирование обеих частей дает
х (t) е* = с + t, или л: @ = ce*~f- + fe~"f.

§ 7.2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка 237
Это общее решение, которое, конечно, можно проверить подстанов-
подстановкой в уравнение и дифференцированием. Если t = 0, то х @) = с =*
= 1000. Искомое решение есть х (t) = A000 + t) e~<. A
Пример 7.2.8. Найти решение уравнения ~ + 2tx = fe~'\ удовлет-
удовлетворяющее начальному условию х @) = 1.
Л Здесь а (/) =* 2/ и / @ = /е~'\ Интегрирующим множителем
служит
t t
eJ =eJ =e<\
После умножения на интегрирующий множитель уравнение принима
ет вид
6t
Интегрируя обе его части, получаем
Общее решение имеет вид
х (t) = се-** + (№) е~<\
Начальное условие дает х @) = с = 1. Значит, искомое решение есть
*(/) = е~<2 + (№) е~<2. А
Пример 7.2,9. Найти решение уравнения др + т* * ^ '* УА°влетво'
ряющее условию л: F) = 20.
Л Интегрирующим множителем служит функция
t t
[a{s)ds f(l/s)ds .
Дифференциальное уравнение принимает вид * *; = ^2. Интегри-
Интегрируя, получаем tx (t) = с + /^3/3, где с-— постоянная интегрирования.
Общее решение есть х (t) == clt + /2/3. Для определения с воспользуем-
воспользуемся тем, что л: F) = 20 = с/6 + 36/3 = ф + 12. Значит, с = 48 и
искомым решением является л: (/) = 48// + /2/3. А
Пример 7.2.10. Внутривенное питание глюкозой.
Вливание глюкозы в кровеносную систему является важной лечебной
процедурой. Для изучения этого процесса определим G (t) как количе-
количество глюкозы в крови пациента в момент времени t. Допустим, что
глюкоза вводится в кровь с постоянной скоростью с (г/мин). В то же
время глюкоза разлагается и удаляется из кровеносной системы со
скоростью, пропорциональной имеющемуся количеству глюкозы. Та-

238 Глава 7. Дифференциальные уравнения
ким образом, функция G (t) удовлетворяет дифференциальному урав-
уравнению первого порядка
— — — G
где а — положительная постоянная. Это неоднородное линейное диф-
дифференциальное уравнение первого порядка вида G.8) при a (t) = а и
/ @ = с.
Чтобы решить это уравнение, запишем его в виде dGldt + aG = о.
Умножение на интегрирующий множитель еа' дает
— (е* G @) = гс".
Интегрируя, получаем
eatG @ = k + (с/а) еат,
где к — постоянная интегрирования. Наконец, общее решение име-
имеет вид G (/) = kerat + da. Постоянную k можно выразить через на^
чальное количество глюкозы в крови G @). Имеем G @) = k + с/а.
Значит, общее решение может быть записано в виде
G(/)=-?--b|G@)-—
>— at
С увеличением времени G (t) приближается к пределу, равному с/а»
Это и есть равновесное количество 1люкозы в крови.
Задачи к § 7,2
1. Найдите общие решения для следующих уравнений первого порядка!
дх dx i\x dx
а) =5#j б) =:cos*; в) =3^ + 5; г) =*x + t.
'Ч tit ut <\t
2. Для нижеприведенных уравнений первого порядка найдиге решения, удов-
. летворяющие начальному условию я @) = 1;
a)-f_3* = 0; ^Jl.
3. В эксперименте с голоданием масса испьпуемо!,© за 30 дней уменьшилась со
140 до ПО фунтов. Ежедневные потери массы, согласно наблюдениям, была
пропорциональны массе испытуемого. Какому дифференциальному уравнению
удовлетворяет масса испытуемого как функция времени? Найдите массу ис-
испытуемого после 15 дней голодания.
4. При выращивании в идеальных условиях популяции мух возрастали бы экс*
поненциально с постоянной о, равной 0,1, если время выражается в днях. До-
Допустим, что начальная популяция состоит из 100 особей и они выращиваются
в идеальных условиях. Найдите размер популяции после* a) 10j б) 20; в) 50
дней роста.
5. Найдите решения, удовлетворяющие нулевому начальному условию, для сле-
следующих уравнений первого порядка:
dx I dx x

§ 7.2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка 239
в) —- = A+/K; г) —~=2sin*cos/ + cos/.
6. Пусть Т (t) — разность в температуре объекта и окружающей его среды в мо-
момент времени t. Закон Ньютона утверждает, что при охлаждении скорость
изменения этой разности в температуре пропорциональна самой разности.
Эю означает, что Т (t) удовлетворяет дифференциальному уравнению первого
порядка ^ —л = — кТ, где k — положительная постоянная, характерная для
данного объекта и окружающей его среды.
а) Выразите через к продолжительность времени, необходимого для тогб,
чтобы первоначальная разность температур уменьшилась вдвое.
б) Вычислите время, через которое разность температур уменыцится до 1/4
своего начального значения.
7. Пусть в условиях задачи 6 к = 0,05, время выражается в часах, а начальная
разность температур составляет Т @) = 100^ G.
а) Вычислите Т (t) при /= 1, 10, 24 и 48 ч.
б) Определите, через какое время разность температур упадет до 60 и 25° С,
dx
8. Найдите общее решение дифференциального уравнения ^ + 2Ы = t2k+1 e""'*f
где k — любое положительное число. Найдите частное решение, удовлетво*
ряющее начальному условию х A) = 1.
9. Найдите решения следующих уравнений первого порядка!
dx I dx I 1
a)~d7-+T*=W2: бIГ+— *=7-J
tiu dw
в) -^—^tg/^siiW; г) -?+х*=-ху.
10. Пусть хх (t) и #2 @ —два решения дифференциального уравнения тг* 4*
+ а @ х = f (/). Определим функцию # @ = хх ^) — ^ Kt), Докажите, чго
-Jfl<s)ds
y(t) = y(O)e о
11. Дифференциальное уравнение первого порядка
называется уравнением Бернулли. Если пф\> то производится замена пе-
переменной по формуле у = xl"~n.
а) Докажите, что у удовлетворяет линейному уравнению первого порядка,
и отыщите его решение.
б) Найдите общее решение для особых случаев п = 0 и п = 1,
12. Применяя метод задачи 11, решите следующие уравнения:
dx 2 _d? _?_ л-2
S) 6t ~~X^ * ' ' dt ~" / ^^"^ ;
dx 1 л dx ,
в) г-—* = л'3; г) ==е^х5 t
13. Найдите решения уравнений из ззДйчй 12, удовлетворяющие начальному
условию х A) = 1.
14. Рассмотрим геи с двумя аллелями А и а, которые в некоторой популяции в
момент времени t представлены с частотами р (t) и д (t) — 1 — р (*), Предпо-
Предположим, что аллель Л мутирует в аллель а в единицу времени с вероятностью

240 Глава 7. Дифференциальные уравнения
др
ц. Это означает, что —^ = — \кр. Постоянная \х называется частотой мута-
мутаций.
а) Выразите р (t) и q (t) через |*, если в начальный момент р @) = q @) = 0,5.
б) Выразите через jli время, необходимое для того, чтобы р (t) уменьшились
до 0,3.
15. Мутации между аллелями Л и а могут происходить как в прямом, так и в
обратном направлении с частотой прямых мутаций \i и частотой обратных
мутаций v. Это означает, что
—- =
dt
а) Выразите р (t) и q (t) через р @), q @), pi и v.
б) Докажите, что lim p (/) = v/(\x + v) и lim g (t) — \i /(\i + v). (Это рав-
новесные частоты генов.)
16. Выход вещества 5 в одной химической реакции составляет г молей в минуту,
В го же время оно расходуется со скоростью с молей в минуту на каждый
моль S. Определим S (t) как число молей вещества, имеющегося в момент
времени t.
а) Составьте дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет S (/).
б) Решив это дифференциальное уравнение, выразите 5 (/) через S @).
в) Докажите, что lim S (t) = г/с. (Это равновесное количество вещества.)
17. Допустим, что уравнение ^ = 2х + е3' отражает скорость роста популя*
ции х (t) в момент времени t. Дайте биологическую интерпретацию каждому
члену правой части уравнения. Найдите размеры популяции в моменты
/ т= 0,К t = 0,2 и t = 0,5, если начальный размер составляет х @) = 50.
18. В популяцию большого размера занесено инфекционное заболевание. Доля
людей, перенесших заболевание, возрастает со временем Пусть р (t) обозна-
обозначает долю людей, переболевших этой болезнью за / лет после ее возникнове-
возникновения в популяции, и пусть р' (t) = \\ — р (t)V3. Найдите р (t) для всех мо-
моментов t > 0, если р @) = 0. За сколько лет доля переболевших достигнет
90%?
7.3. Нелинейные дифференциальные уравнения первого
порядка: разделение переменных
Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка.
Общий вид такого уравнения
-%T = B(t,x), G.15)
где g (/, х) — заданная функция, которая обычно считается непрерыв-
непрерывной. Биологическая интерпретация этого уравнения может заключать-
заключаться в том, что скорость роста популяции является некоторой функцией
времени и размера популяции. Уравнение G.15) линейно, если^ (/, а:) =
= — a (t) х + f (t) для некоторых функций а (/) и / (/)'. В общем слу-
случае нельзя отыскать формулу, дающую в явном виде решение х (/),
хотя и доказаны теоремы, гарантирующие существование по крайней
мере одного решения для каждого начального значения х (/а). Обычно

§7.3. Нелинейные дифференциальные уравнения первого порядка 241
приходится использовать численные методы и находить приближенные
решения.
Имеются некоторые специальные типы нелинейных уравнений пер-
первого порядка, решение которых можно найти в явном виде. Методы
поиска решений таких уравнений есть в любом учебнике по дифферен-
дифференциальным уравнениям. Мы же ограничимся лишь одним типом нелиней-
нелинейного уравнения, которое всегда можно решить элементарными методами.
Этот тип уравнения весьма часто встречается в приложениях.
Будем говорить, что переменные х и t в уравнении GЛ 5) разд&*
ляются, если g (/, х) = h (x) k (t)y где h (x) представляет собой функ-
функцию только от х, a k (t) — функцию только от t. Если в уравнении
G.15) переменные разделяются, то уравнение можно решить мето-
методом разделения переменных. В этом случае уравнение
G.15) записывается в виде
I* G.16)
h(x) dt
щи, формально, [l//i (x)] Ax = k (t) dt. В такой форме левая часть ин-
интегрируется по переменной х (которая, разумеется, зависит от 0» а
правая часть интегрируется по переменной t. Выполняя эти два инте-
интегрирования, приходим к общему решению, вытекающему из соотноше-
соотношения
- [k(t)dt + c. G.17)
Если функции h (х) и k {t) достаточно простые, то можно найти эти ин-
интегралы и получить общее решение х (t) з явном виде. Метод разделе-
разделения переменных лучше всего демонстрируется на примерах.
Пример 7.3.1. Найти решение уравнения ~ = A + л:2) A + 2t), удов-
удовлетворяющее начальному условию х @) == 0.
А Это нелинейное уравнение первого порядка с разделяющимися
переменными. Здесь h (х) = 1 + *2, a k (t) = 1 + 2t. После разделе-
разделения переменных уравнение принимает вид dx/(\ + х2) = A + 2t) dt.
Взяв интегралы от обеих частей, получаем aretg х = t + t2 + с, где
с— постоянная интегрирования. Это эквивалентно равенству х (/) =>
= tg (/ + t2 + с), которое и дает общее решение. Для отыскания ре-
решения, удовлетворяющего начальному условию, имеем х @) = 0 =*
= tg с. Значит, с = 0 и искомое решение есть х (t) = tg (t + t2), ^
Пример 7.3.2. Найти общее решение уравнения -г- = A + х) е~Л Ка-
Какое решение удовлетворяет условию х @) — 1?
их
Л Запишем уравнение в форме у^ = e~"'d/ и проинтегрируем обе
его части. Получим loge A + х) = с — е~', где с — постоянная ин-
интегрирования. Это общее решение. Для определения с используем ус-
условие х @) = 1, откуда следует, что loge 2 = с — 1, или с = 1 + loge 2.

242 Глава 7. Дифференциальные уравнения
Решение х (t), удовлетворяющее условию х @) = 1, можно найти из
соотношения Ioge A + х) = I + loge 2 — е-*. А
Пример 7.3.3. Логистический рост. Скорость роста попу-,
ляции в расчете на одну особь представляет собой разность между
средней рождаемостью и средней смертностью. Будем считать, что сред-
средняя рождаемость выражается положительной постоянной |i, не зави*
сящей от времени / и размера популяции х (t). Допустим также, что
средняя смертность пропорциональна размеру популяции и потому
равна Ьх (t), где 6 — положительная постоянная. Это увеличение
смертности с ростом популяции может происходить благодаря эффек-
эффектам скученности или усиливающейся конкуренции за доступные пи-
пищевые ресурсы. В данной модели уравнение, которому подчиняется
рост популяции, имеет вид
2-JiL=p_6x, или -^L = *(p —6х). GЛ8>
х at at
Разделяя переменные, получаем \ ^ ^ dx = J d/. Замечая, что
хф-bx)
и интегрируя, получим
Р J х Р J P-
Таким образом,
4
4 fl0g,*tage(Pe*)] ^ log, { + C.
Р Р Р — од:
Если х @) есть размер начальной популяции, то т log L & = с.
Тогда для решения х (t) имеем соотношение
= p/, или
f p/, или loge^.
Переходя к экспонентам, получаем ^QwpZa* ml = е0<- Наконец,
выражая отсюда х(/), запишем решение в виде
)в ?1М__. GЛ9)
§6 @L^@) &

§ 7.3. Нелинейные дифференциальные уравнения первого порядка
243
Процесс роста, описываемый та-
такой функцией, называется логи-
логистическим ростом, а уравнение
G.18) — логистическим. При логи-
логистическом росте популяция с уве-
увеличением времени приближается х@)
к предельному (равновесному) раз-
размеру. Равновесной популяции со-
соответствует размер, равный
/3
д
W
У
\ 1
Oil 0,5
1 Т Т Г 1 ? Г
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Тг0
це
Умножив числитель и знаменатель х (t) на величину е~~^, получим
». /л ,- х(О)Р х@)Р р
поскольку е~"^ ->- 0 при ^-> оо. Согласно этой формуле, размер равно-
равновесной популяции прямо пропорционален средней рождаемости и об-
обратно пропорционален средней смертности на одну особь популяции.
Кривая логистического роста изображена на рио. 7.4.
Пример 7.3.4. Для уравнения ^ = л;@,1 —0,001*) найти решение,
которое удовлетворяет начальному условию х @) = 10. Чему равен
равновесный размер популяции lim x (tO
t-+OO i
Л Дано логистическое уравнение с коэффициентами Р = 0,1 я
б = 0,001. Согласно формуле G.19), решением, удовлетворяющим ус-
условию х @) = 10, является
X (() =
0,1—0,01+0,01e°'U
,01e
°'u
При t -> оо популяция приближается к равновесному размеру р/d =а
= 100. При таком размере популяции рождаемость в точности компен*
сирует смертность. ^
Задачи к § 7.Э
1. Найдите общие решения для следующая дифференциальный уравнений пер-
первого порядка:
a)
at
б) -J~
г) -§-+*=
at

244 Глава 7. Дифференциальные уравнения
2. Найдите частные решения, удовлетворяющие начальному условию х (UJ=»I,
Дли следующих уравнений:
*) ii-^jucosf + sin/); б) -77" = Д:2 A+*2);
В> Jj?.=,2(l+Je«); Г) -^.+2* = */».
3. Потребление сигарет на душу населения в Соединенных Штатах возросло с
50 шт. в 1900 г. до 3900 шт. в 1960 г. (данные приблизительные). Считая, что
рост потребления сигарет подчиняется логистическому уравнению и что пре-
предельное потребление составляет 4000 шт., оцените уровень потребления в
1910, 1920 , 1930, 1940 и 1950 гг.
4. Рассмотрите популяцию х (/), которая увеличивается согласно уравнению
логистического роста jj- = х (р — бх). Докажите, что скорость роста макси-
максимальна, когда популяция достигает размера, равного половине равновесного
значения. (Если популяция должна эксплуатироваться путем сбора урожая,
то ее следует поддерживать на этом уровне, чтобы максимизировать урожай.)
5. Популяция бактерий возрастает от начального размера в 100 ед. до предель-
предельного (равновесного) размера в 100 000 ед. Пусть в течение первого часа она
увеличивается до 120 ед. Считая, что рост популяции подчиняется логистиче-
логистическому уравнению, найдите ее размер как функцию времени.
6. Через сколько часов размер популяции из задачи 5 достигнет уровня 1000}
10 000; 50 000 ед.?
7. Одним из недостатков логистической модели роста популяции является тот
Id*
факт, что удельная скорость роста - тг стремится к своему наибольшему зна-
значению, когда популяция х мала. В действительности многие виды вымирают,
когда их популяции становятся слишком малыми. Пусть m соответствует
минимальному жизнеспособному размеру популяции такого вида. Популяции
размером меньше m будуг вымирать. Докажите, что модификация логисти-
логистического
дх , / гп\
уравнения — — лг(р — о*) 1 —— 1 обладает тем свойством, что если
х < пг, то происходит вымирание популяции. (Здесь 1 — mlx является кор-
корректирующим членом, который учитывает фактор, не принимавшийся в
расчет в исходной модели популяционного роста.)
а) Решите модифицированное логистическое уравнение методом разделения
переменных с использованием соотношения
1 1 .(. 6
+¦
(|3— bx) (x—т) Р—6т \р — Ьх х —;
б) Для Р = 100, б = 1 и т = 10 нарисуйте графики решений * (t) при ? > 0,
если х @) = 20; * @) = 5.
9. Бактерии, служащие пищей для популяции простейших, поступают в экспе-
экспериментальную среду с постоянной скоростью w. Установлено, что они потреб-
потребляются со скоростью, пропорциональной квадрату их концентрации. Концен-
Концентрация с (t) бактерий в среде в момент t удовлетворяет, таким образом, урав-
dc
- нению первого порядка — = w — re*, где г — положительная постоянная
at
пропорциональности.
а) Выразите концентрацию бактерий с (t) через с @).
б) Какова равновесная концентрация бактерий, т. с. при каком значении с
йс
производная -т. обращается в нуль?

§ 7.3. Нелинейные дифференциальные уравнения первого порядка 245
10. Два вещества Сх и С2, участвуя в химической реакции в равных количествах,
1 дают соединение С3! Пусть а и Ь обоэ'начак^' начальные кдйцентраци^ (в мо-
момент t = 0) веществ Сх и С2. Определим х (t) как концентрацию Оа в момёйт L
Скорость увеличения концентрации С3 выражается величиной тг — г (а —
— х) (Ь — х), где г — положительная постоянная.
а) Найдите концентрацию С3 как функцию времени при t > 0, если х @) == 0.
б) Найдите предельную концентрацию С3, если а = 10, а Ь = 15 (усл. ёд.).
11. В некоторых химических реакциях отдельные продукты могут выступать
, , катализатором своего собственного образования. Если х (t) — количество
такого продукта в момент t7 то моделью для такой реакции может служить
уравнение ^у = гх (х — с). В данной модели реакция заканчивается, когда
х = су по-видимому, в результате исчерпания одного из компонентов реак-
реакции.
а) Выразите общее решение через постоянные г, с и х @).
б) Для г = 1, с = 100 и х ф) =ь 20 постройте график х (t) при t > 0.
1?. Для следующих дифференциальных уравнений найдите решения, которые
удовлетворяют заданным начальным условиям:
а) ~- = ах\ ж.0)=4; б) х-^-=у, (/B)=6;
13. Рост, выживание и деление клеток определяются потоком питательных ве-
щесгв через оболочку клетки. Это означает, что на ранних стадиях клеточ-
клеточного роста увеличение массы клетки пропорционально площади ее поверх-
нбсти;. Если во время роста форм.а и плотность клетки не изменяются, то мас-
масса клетки х (t) в момент if/пропорциональна кубу радиуса, в то "время как
йлощаДь поверхности пропорциональна квадрату радиуса клетки.
а) Убедитесь в том, что на ранних стадиях роста х (t) удовлетворяет урав-
dx 2/o
нению первого порядка -тг = сх ' (с — положительная постоянная).
б) Выразите массу клетки х (() в момент t через постоянную 0 и начальную
массу х @).
в) Определите время, за которое масса клетки удваивается, если с == 3, а
х @) = 1 (усл. ед).
14. В чем ограниченность модели клеточного роста из задачи 13? Постройте в
виде дифференциального уравнения такую модель, которая учитывала бы,
что существует максимальная масса, которую клетка не может превысить.
15. В модели эпидемий* один зараженный индивидуум вводится в сообщество,
состоящее из п индивидуумов, восприимчивых к заболеванию. Определим
х (t) как численность незараженных индивидуумов в популяции в момент L
Если предположить, что инфекция распространяется на всех восприимчивых
к заболеванию, то х (t) будет убывать от начального значения х @) = п до
dx
нуля. Уравнением для х (t) может служить -^ == —гх (п + I — х), где
г — положительная постоянная, характеризующая скорость заражения.
Найдите решение этого уравнения первого порядка. Когда скорость распро-
распространения эпидемии максимальна?
* В a i 1 е у N. A Simple Stochastic Epidemic. — ВютеЫса, 1950, №37,
p. 193—202.

Глава 7. Дифференциальные уравнения
7.4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
В этом параграфе мы вновь обратимся к линейным дифференциальным
уравнениям, но теперь будем рассматривать уравнения второго по-
порядка. Схема наших рассуждений весьма похожа на рассуждения § 6.3
о разностных уравнениях второго порядка.
В общем случае линейное дифференциальное уравнение второго
порядка имеет вид
а @ х" (t) + b (t) x' @ + с (t) x(t) = f @, G.20)
где а (t), Ь (t), с (/) и / (t) — заданные функции, причем a (t) не обра-
обращается в нуль ни при каком значении t. Для удобства записи мы ис-
использовали обозначения х? (t) и к (t) вместо -^ и ~ . I Другими обще-
общеупотребительными обозначениями являются x{t) и х {t).\ Если функ*
ции а (/), b (t) и с (/) постоянны, то уравнение G.20) называютуравне*.
наем с постоянными коэффициентами. Если f (t) == 0 при всех зна-
значениях t, то уравнение называют однородным. В данном параграфе рас-
рассмотрим однородное уравнение с постоянными коэффициентами
ах" @ + bx (t) + сх (/) = 0, G.21)
где а, Ь и с — постоянные, причем а Ф 0.
Уравнением первого порядка, наиболее похожим на G.21), явля-
является уравнение х* (t) + ax {t) = 0, решение которого есть к (t) = e~~Qt,
Исходя из метода пробных решений, попытаемся отыскать решения
для G.21) в виде х (t) — eKt при каких-либо значениях К, Если х (t) —
= еА*, то х1 (t) = XeKty a x" (t) = К2екК Подставляя эти выражения
в уравнение G.21)^ получаем
ak^t + bxtu + сеы = 0, G.22)
Умножив затем на erKt, приходим к выводу, что X должно удовлетво-
удовлетворять уравнению
аЪ? + ЬК + с = 0. G.23)
Уравнение G.23) называется характеристическим для уравнения G.21).
В нем легко распознать то же самое уравнение, которое фигуриро-
фигурировало в § 6.3. Корнями характеристического уравнения служат
и ^
(?24)
Нужно, рассмотреть три случая: величина б2 — 4ас больше нуля, рав-
равна нулю или меньше нуля.
Простейший случай имеет место при h2 — Аас > 0, т. е. когда у
характеристического уравнения существуют два различных действи-
действительных корня: Ях и Х2. Тогда дифференциальное уравнение имеет два

§ 7.4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка 247
разных решения: хх (t) = ел** и х% (t) ~ ек*\ Общее решение запи-
записывается в виде
x(t)^kx^< +k2e^9 G,25)
где kx и k2 — произвольные постоянные. В том, что это решение, мож-
можно убедиться подстановкой его в уравнение G.21). Если х (/) =
= kxeXii + к2еК*1, то
Тогда
ax" (t) + bx* (t) A-ex (t) =
= kx e**< (aXt + bXx + c)+ k2 ел** (аЦ +bh> + c) » 0.
Чтобы найти постоянные kx и k2, нужно знать два условия, которым
должно удовлетворять решение х (/). Постоянные kx и к2 можно найти,
если даны, например, х @) и х' @). Согласно G.25), тогда имеем х @) =
= к1 + k2 их' @) = Ххкх + Х2к2. Эти два уравнения и определяют
кх и *а.
Пример 7.4.1. Найти общее решение уравнения х" (/) — 4х' (f) +
+ Зх (/) == 0. Каково частное решение, удовлетворяющее начальным
условиям а: @) = 1 их' @) == 0?
Л Характеристическое уравнение Я,2 — АХ + 3 = 0 имеет корни
Хх = 1 и Я2 = 3. Общее решение запишется в виде х (t) = кх& + ?2е3'.
Начальные условия дают х @) = 1 = кх + к2 и л:' @) == 0 = kx + 3?t.
Решая эти уравнения, получаем kx = 3/2 и к% = —1/2. Искомым ре-
решением служит х (t) = C/2)е* — A/2)е3/.А
Пример 7.4.2. Найти общее решение уравнения х" (t) + x' (t)—6x(t) =
= 0. Какое частное решение удовлетворяет условиям д: @) = 0 и
хA)= 1?
Л Характеристическое уравнение X2 + X — 6 = 0 имеет корни
Xi = 2 и Х2 = —3. Общее решение таково: х (t) — kxeu + k2e~3t. Из
условий х @) == 0 и х A) = 1 следует, что 0 = кх + к2 и 1 = kxe2 +
+ к2е~3. Таким образом, к2 == —кх и kx (е2 — е~3) = I, т. е. kx =
= 1/ (е2 — е~3) и ^2 = —1/ (е2 — e~J). Искомым является решение
Второй из рассматриваемых случаев имеет место, когда б2 — 4ас —
= 0. В этом случае корни характеристического уравнения равны меж-
между собой: Хх = Х2 = —Ы Bа). Как и в гл. 6, одним решением служит
хг (t) = еЛ*', а вторым х% (t) == teKit. Чтобы проверить второе реше-
решение, заметим, что х? (t) = Х^ек<* + е^Ч а 4 (/•) = X'ite^t + 23^'
Подставляя эти выражения в уравнение G.21), получаем
ах\ @ + bxB (t) + ех% (/) -1&* (а%\+@*+*) +е^' Bа^ + ^=0,

2Ш\ Глава 7. Дифференциальные уравнения
поскольку 2аК1 + Ь = 2aJ~ЫBа)] + Ь = 0. Общее решение имее?
вид
*.(/) = kx &** + k2 /e**1, G.26)
где &г и k2 — произвольные постоянные. Эти постоянные можно най-
найти, если при некотором значении / известны значения х (t) и х' (t).
Пример 7.4.3. Найти общее решение уравнения х" (t) — 4х'(/)+
-г 4х (/) = 0. Какое частное решение удовлетворяет условиям х @) =
- 1 и х' @) = 0?
Л Характеристическое уравнение К2 — 4% + 4 = 0 имеет два рав-
ных, кордя: Xt = Л2 == 2. Общее решение запишется в виде л: (/) =?
= i/5ie^4+ ^2^2^ Первая производная общего решения есть х' (t) =
= B1?! + &2)е2' + 2k2te2t. Из начальных условий вытекает, что
* @) = 1 = *, и х' @) = 0 = 2kx + А2 Отсюда /г2 = 1 и &2 = —2.
Искомое решение есть х (I) = е2/ — 2/е2^. А
Пример 7.4,4. Для уравнения *" (/) — 6^'@ + 9x(t) = 0 найти ре-
решение, удовлетворяющее условиям х A) = 1 и х' A) = 2.
А Характеристическое уравнение X2 — 6Х + 9 == 0 имеет два рав-
равных корпи: XL == Х2 = 3; значит, общее решение таково: к (I) =
== kxes' -г k2teZt> Поскольку ,v A) = Z?^3 + k<?? = 0, приходим к вУ-
воду, что kx =а —А2. Кроме того, х' (t) = C^! + *2)е'^ + 3k2tem =±
= 2?xe3< — 3/?,/ew. Так как х' A) = 2 == — ^е1, to kx = — 2е~3 и
k2 «*= 2е""а. Искомое решение есть л; (^) — —2е*(/1}'+ 2fca(/> *^-
= 2 (/- IJe^-^.A
Последний из рассматриваемых случаев наиболее трудный и во
многих отношениях наиболее интересный. Если Ь2 — 4ас<С 0, то кор-
иц характеристического уравнения представляют собой комплексно-
сопряженные числа
ни а*= —
2а 2а 2а 2а
Чтобы упростить запись, представим Я, и Х2 в виде Хг = а 4- *'Р и
= а — ф, где а = —ЫBа) и р = У4ас — Ь2/Bа). Двумя реиюния-
ми дифференциального уравнения служат хх (/) = е^1' и х2 (/) = ек**Ф
По формуле Эйлера (см. Приложение Д),
хг (/) - e^i^ = е<а+'»>/ = еа^ ег^ = е^ (cos р/ +« sin
еЛ«' = e<«-'W = е^е-^ = eat (cos p/ —/ sin
Так как любая линейная комбинация двух решений тоже является
решением, то и комбинации
и
=ecosp/ и ^esmP/
представляют собой решения уравнения. В этом случае общее решение
для G.21) можно записать в виде
х if) = kxe<» cos p/ + А2еа< sin p/, G.27)

§ 3iAs Линейные дифференциальные уравнения второго «орядка 24§-
где к\ и k2 — произвольные посто-
постоянные. Как и прежде, постоянные
kx to k2 можно найти, если известны
значения х (/) и х' (t) при некото- \j((t}=e~2t(cos5t+^sln5t)
ром1 t. Решение G.27) представляет
собой колебательный процесс, при- — ' ' '^
чем амплитуда колебаний возрастает ' 'L '
при а>0, остается постоянной при
а = 0 и убывает при а < 0. Это по- '
казано на следующих примерах.
Пример 7.4.5. Для уравнения (\/2)х" (t) + Зх' (t) + 17л: (t) = 0 найти
решение, удовлетворяющее начальным условиям х @) = 1 и х' @) = 0.
Д Характеристическое уравнение A /2)Я2 + ЗА, + 17 = 0 имеет кор-
корни кг = —3 + 5/ и Я2 = —3 — 5/. Здесь а = —3, Р = 5. Это приво-
приводит к общему решению такого вида: х (t) = кге~шcos Ы + k2e~St sin5/,
Первая производная равна х' (t) = Ek2 — 3kx)e-9i cos 5/ +
+ (—5kx — 3&2)e~3* sin 5/. Используя начальные условия, получаем
х @) = 1 = kx и х' @) = 0 = 5*2 — 3klf Отсюда ^=1, А2 = 3/5и
искомое решение есть х (/) = e~s/ cos 5/ + C/5)e*"s/ sin 5/. Решение
колеблется; но быстро стремится к нулю при возрастании /. Это,пока-
Это,показано на рис. 7.5.А
Пример 7.4.6. Для уравнения х" {() — 2х' (t) + Ъх (t) = 0 найти ре-
решение, удовлетворяющее начальным условиям х @) = 2 и х' @) s
= ,10.
Л' Характеристическое уравнение Кг —* 2А, + 5 = 0 имеет корни
Я =* 1 + 2/ и Я2 =» 1 — 2/. Поскольку а - 1 и р « 2, общее решение
запишется в виде х (t) = Axef cos 2/ + /fe2 e' sin 2/. Его первая произ-
производная есть х (t) = (*х + 2*a)ef cos It + (k2 — 2^0e^ sin 2t. Из на-
начальных условий следует, что х @) == 2 = /ех и я' @) = 10 = kx +
+ 2/г2. Отсюда kt = 2, А2 = 4 и искомое решение есть я (tf) =
= 2е' cos 2t + 4e* sin 2/. Как и в предыдущем примере, это решение
колеблется, однако теперь при возрастании t размах колебаний уве-
увеличивается. А
Колебательные кривые характерны для многих биологических про-
процессов. Сложные суточные, месячные и годичные биологические рит-
ритмы многих растений и животных представляют собой примеры естест-
естественных колебаний. Другими примерами служат многие явления, свя-
связанные с нервной системой и ее расстройствами. Можно выделить три
различных типа колебаний. В примере 7.4.5 размах, или амплитуда,
колебаний убывает со временем. В примере 7.4.6 амплитуда со време-
временем возрастает. Наконец, в примере 7.4.7 амплитуда колебаний не из-
изменяется во времени.
Пример 7.4.7. Гармонический осциллятор. Уравнение
#" @ + ю2* @ ~ 0 представляет собой уравнение простого гармони-
гармонического движения. Оно часто возникает в биологических задачах, от-
относящихся к периодическим или колебательным явлениям и процес-

х@)
230 Главе 7. Дифференциальные уравнения
X(tj сам. Характеристическое уравне-
уравнение А,2+(о2=0 имеет корни кх=ш
= x@)cos tdt+t^-sin ojt и К2 = —ш (со является действи-
действительной положительной постоян-
_ t ной). В данном случае а = 0 и
р = со. Общее решение имеет вид
2ж \^ ^/ a: (t)~kl cos о)/+ ^2 s*n <°?. Если
известны х @) и х' @), то можно
найти ky и &2. Имеем а: @) = &г
и л;' @) = &2<о, так что решение
Рнс- 7-6 можно записать как х (/) =
= л; (O)cos (ot -|- I at' @)/(ol sin (ot.
Это решение соответствует периодическому движению с периодом
2я/<о. Оно изображено на рис. 7.6.
Задачи к § 7.4
1. Найдите общие решения следующих дифференциальных уравнений второго
порядка:
а) к (t) + 3*' (/) + 2х @ = 0; б) х" (/) + 4а:' (t) — 5х (t) = 0;
BJ \х" (t) + x (t) = 0; г) лг# @ + 4*' @ + 4л- @ = 0
2. Найдите решения, удовлетворяющие начальным условиям х @) = 1, х* @)=
= 1, для следующих дифференциальных уравнений:
а) х* @ + x'{t) — 6*(/) = 0; б) л:г/ @ + л:' (/) + x(t) = 0^
в) к" @ + 9* @ = 0; г) \х" @ + 4*' @ + *(/) = 0.
3. Найдите решения, удовлетворяющие начальным условиям х @) = 0,
х' @) = 1, для следующих дифференциальных уравнений:
а) к" @ + *(/) = 0; б) х* @ + *' @ = 0;
в) х" @ + 2х' @ + х @ = 0; г) х* (t) + 2*' (/) + 2х (/) = 0.
4. Найдите дифференциальное уравнение второго порядка вида ах" {t) +•
¦+- Ьх* (t) + сд: (/) = 0, имеющее частные решения х (I) — е~' и х (/) = е9^.
5. Найдите дифференциальное уравнение второго порядка вида ах" (t) +
-f ^x' @ + ел- @ = 0, имеющее частные решения х (t) = е2/ и х @ = fe2^
6. Найдите дифференциальное уравнение второго порядка вида ах" (t) +
+ bx' (t) + сд: (/) = 0, имеющее частные решения х (t) = е-з/cos / и
t (fj = e sin t,
7. Докажите, что все решения уравнения х" (t) + 2x' (t) + 2x (t) = 0 при-
приближаются к нулю, когда t стремится к бесконечности.
8. При каких условиях на коэффициенты а, Ь и с все решения уравнения
ах" (/) + bxr (/) + ex (t) = 0 стремятся к нулю, когда i стремится к беско-
бесконечности?
9. Найдите решения уравнений, удовлетворяющие заданным начальным ус-
условиям:
а) хп (/) = х @, х @) = I, х' @) = 0;
б) хя (t) — 6х' {/) + 5х @ = 0, х @) = 1, х' @) = 15
в) х" @ — 6х' @ + 8х @ = 0, х (G) = 4, х' @) = 8.
10. Найдите решения уравнений, удовлетворяющие заданным начальным усло-
условиям:
а) хм (t) — 4х' @ + 4х @ =* 0, х @) = — L, х' @) = 2;
б) 9х" (/) + 6х' @ + х @ = 0, х @) = I, х' @) = -lj
в) х" @ = 0, х @) = 5, х' @) » 3.

§ 7.5, Метод вариации постоянных 251
11* Найдите решения уравнений, удовлетворяющие заданным начальным усло-
условиям:
а) х" (/) + Ъх' @ + 7х (t) = 0, х @) = 2, х1 @) = 0;
б) хГ @ + Ъх' (t) + 3* @ =* 0, х @) = -.1, х' @) = I;
в) 8х" @ + 4х' @ + *(/) = О, х @) = 0, а:' @) = 4.
12. В эксперименте с голоданием масса двух испытуемых зя 30 дней убывала со
140 и 170 фунтов соответственно до 110 и 125 фунтов. Установлено, что ско-
скорость потери массы каждым испытуемым была пропорциональна его массе.
Определим х (/) как суммарную массу двух испытуемых после t дней голо-
голодания. Найдите дифференциальное уравнение второго порядка, которому
удовлетворяет х ((). Чему равна суммарная масса после 15 дней голодания?
13. У некоторых видов птиц общее время, затрачиваемое на питание, колеблет-
колеблется от минимального значения 2 ч в день (летом) до максимального значе-
значения 8 ч в-день (зимой). Считая, что изменения затрат времени на питание
описываются уравнением гармонического осциллятора, определите дли-
длительность суточных затрат на питание как функцию времени года.
14. В благоприятных условиях выращивают две популяции мух. Для популя-
популяции I удельная скорость роста составляет 0,1, если время выражается в днях.
Для популяции II аналогичная скорость составляет 0,08. Определим х- @
как суммарную численность двух популяций в момент t. Найдите диффе-
дифференциальное уравнение второго порядка, которому удовлетворяет х (/)«
15. В условиях задачи 14 найдите общую численность популяций после 10 и
после 20 дней роста, если в начальный момент популяций насчитывали по
1000 особей.
16. Докажите, что если х (t) ну (t) удовлетворяют дифференциальным уравне-
dx dy
ниям первого порядка gj = ах и gf = by, то г (t) = х (t) + у (t) удовлет-
d2z dz
воряет дифференциальному уравнению второго порядка ^Г = (а + ^) J/ +
-J- abz — 0. (Как этот результа! помогает решить задачи 12 и 14?)
17. Докажите, что если х (t) и у (t) удовлетворяют дифференциальным уравне-
dx dy
ниям первого порядка *tff = f @* и gj- *= g(t)y* тог (t) = х (t) + у (t) удов-
удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению второго порядка, и
найдите это уравнение.
7.5. Метод вариации постоянных для дифференциальных
уравнений второго порядка
В этом параграфе мы рассмотрим метод решения уравнения
ах" (/) + Ьх' @ + сх (/) = / (t) G.28)
с постоянными коэффициентами а, Ь и с (при а Ф 0). Он аналогичен
рассмотренному в § 6.4 методу решения разностных уравнений.
Заметим прежде всего, что для получения общего решения урав-
уравнения G.28) достаточно найти лишь одно какое-либо его решение. Дей-
Действительно, если у (t) и г (/) — два каких-то решения, то w {t) =
= У @ — z @ является решением однородного уравнения G.21). В
этом легко, убедиться, заметив, что
aw" (t) + bwf (t) + 'm (t) - a (y" (t) — z" (/)) + b (i/ (t) - z' (/)) +
+ о (y (t) - z $)) = ay" (t) + by' @ + cy (t) _ az" (t) - bzf (t) -

252 Глава 7. Дифференциальные уравнения
Значит, любые два решения уравнения G.28) отличаются друг от дру-
друга на величину решения для уравнения G.21). Если известно какое-то
частное решение уравнения G.28), то общее решение можно записать
как сумму этого частного решения и общего решения уравнения G.21).
Приведем теперь метод отыскания одного решения уравнения G.28).
Допустим, что gx (t) и g2 (t) представляют собой независимые реше-
решения однородного уравнения ах" (t) + bx' (t) + ex (t) = 0. Здесь не-
независимость решений означает, что функция gx (t) не равна g2 (t)> ум-
умноженной на постоянную. Тогда общее решение этого уравнения есть
х (/) = kxgx (t) + k2g2 (t), где kx и k2 — произвольные постоянные.
Чтобы найти решение уравнения G.28), допустим, что постоянные /г$
и k2 изменяются во времени, и попытаемся отыскать решение в виде
х @ = К (t)gx (t) + k2 (t) g2 (t). G.29)
Коэффициенты kx (t) и k2 (t) являются теперь функциями от t> которые
нужно определить таким образом, чтобы равенство G.29) давало реше-
решение уравнения G.28). Это и есть метод вариации постоя н-
н ы х.
Из равенства G.29) найдем х' (t) и х" (t) и подставим их в G.28):
*' @ = ki Ш (t) + k2 (t)gi (t) + k\ (t)gl (t) + k'2 (t)g2 (t).
Чтобы упростить это выражение, допустим, что k\ {t)gx (t)+k'2(t)gv @ =
== 0. Эго дает одно уравнение для двух неизвестных функций kx if)
и k2 (t). Дифференцируя еще раз, находим
хя @ - *i (t)gi (/) + k2 (t)g» (t) + k[ (t)g{ (t) + k'2 (t)g'2 (t).
Подстановка полученных для x (t), xf (t) и х" (t) выражений в уравне^
ние G.28) дает
ахГ @ + ЬхГ (t) + ex (t) - kx (t) [ag\ (t) + bg\ (t) + cgt (t)) +
+ *a @ № @ + bgi (t) + cg2 (t)) + а Щ (t)g\ (t) + k'2 (t)g2 (t)) -
= / @.
Ho qx (t) и ^2 (t) являются решениями однородного уравнения и, зна-
чиг,
ак" @ + Ьх' @ + сх @ = а Щ (t)g{ (t) + k'2 {t)g2 {t)\ - / (t).
Это дает второе уравнение для определения kx (t) и k% (t). Таким обра-
образом, эги функции должны удовлетворять системе дифференциальных
уравнений первого порядка
gx it)k[ (t) + g2 @*2 @ = 0,
gi (t) k[ (t) + g2 (t) k2 {t) - l^L . G.30)
a
Эту систему относительно k\ (t) и k2 (t) можно решить элементарными
методами. Умножая, например, первое уравнение на g2 (t), а второе —

§ 7.5. Метод вариации постоянных 253
на g2 С) и вычитая затем из первого уравнения второе, находим выра-
выражение для k\ @- Аналогично найдем и l& (t). В результате получим
следующие решения:
GЩ
Положим D @ = ^i (/)g2 (t) — gi V)g\ @- Для проверки полученных
решений нужно показать, что D (t) никогда не обращаема в нуль.
Чтобы убедиться в этом, вычислим D' (t):
== — {gi(t)I-bg2(t)-cg2 (t))-g,{t) [-bgi (t)-cgl (/)]} =
a
- -— [gi it) g2 (t)-g2 (t) g[ (/)] = -— D (t).
a a
Таким образом, D (t) удовлетворяет довольно простому уравнению
первого порядка, решением которого служит D (t) = D @)е-(^а><.
Ясно, что б зависимости от выполнения условий D @) = 0 или D @) Ф
Ф0 решение D (t) либо всегда равно нулю, либо никогда в нуль не
обращается. Значит, если gt (t) и g2 (t) выбраны так, что D @) Ф 0, то
решения G.31) и G.32) определены при всех t. В равенствах G.31) и
G.32) легко распознать простые дифференциальные уравнения перво*
го порядка для кг (/) и &2 (/). Проинтегрировав эти уравнения; можно
найти функции kx (t) и k2 (t), которые и дадут решение х (t) «*
= *i (Ogi @ + ^2 @^2 @ неоднородного уравнения G.28).
Пример 7,5.1. Для уравнения х" (t) — х (t) = е^ найти решение, ко-
которое удовлетворяет условиям х @) = 1 и х' @) = 0.
Л Соответствующее однородное уравнение х" (t) — х (t) = 0. Ха-
Характеристическое уравнение К2 — 1=0 имеет корни А,х = 1 и Х2 =
= —1. Два независимых решения однородного уравнения —это
g\ (t) = е^ и ^2 (/) = е-'. В данном случае D (/) = ^ @^2 (/) —
— ёг U)gl @ ^ е' (—е — е""^ = —2фО. Уравнения G,31) и
G.32) принимают вид k\ (t) == (I/2)e'e-< = 1/2 и k'2 (t) == —(l/2)e^ =
= — (l/2)e2/. Проинтегрировав их, получаем kt(t) — (l/2)t + ct и
^2 (/) = _(i/4)e2f 4. c2) где б\ и е2 — постоянные интегрирования.
Общее решение имеет вид
х (о = к (t)gl (t) + k2 (t)g2 a) - 4- e'-~ ? + ^ + ^'.
Полагая &! = cx—1/4 и b2 = c2, упростим вид общего решения:
л (t) = (//2)e# + fcxe^ + Ьф-*. Можно самостоятельно убедиться в том,
чго (?/2)е* является частным решением неоднородного уравнения. Ис-
Используя начальные условия х @) == 1 и х* @) = 0, определяем посто-

254 Глава 7. Дифференциальные уравнения
янные bt и Ь9. Имеем х @) == 1 = Ьх + 62 и л:' @) = 0 = 1/2 + 6г —
— 62. Отсюда Ьх = 1/4, 62 = 3/4 и искомое решение
Пример 7.5.2. Для уравнения х" (t) — 6л:' (t) + 9x (t) = ещ найти ре-
решение, удовлетворяющее начальным условиям х @) = 0 и к1 @) == 1.
Д Соответствующее однородное уравнение х" (t) — бл;' (J) +
+ 9х (/) = 0 имеет два независимых решения: gx (t) = est ug2 (t) ==
= /e3'. Тогда
D @ - ?x (/)gf$ @ - ?2 Ш @ = e3^ C/ + l)e*< - 3e"fc« - e6' # 0.
По формулам G.31) и G.32) получаем
Интегрируя, находим kr (t) = ~-(fil2) •+ сг и k2 (t) = t + c2, где сь
и c2 — постоянные интегрирования. Общее решение можно записать
в виде
х it) = е3* -(-1 е^ -4- С\ е^^ -4- с«^ е^ = — е^^ -4- с% е^^ -4- с? fe^'
2 2
Из начальных условий следует, что х @) ~ 0 = сг и х' @) = Zcx +
+ б*а = 1. Отсюда с± = 0, с2 = 1 и искомое решение
Пример 7.5.3. Для уравнения х" (t) + x (t) = 2 cos ^ найти решение,
удовлетворяющее начальным условиям х @) = 5 и х' @) = 2.
А Однородное уравнение х (/) + л: (/) = 0 имеет два независимых
решения: gx (t) = cos ^ и g2@ — s*n ^ Следовательно,
D @ = ^х (/)ff5 @ - g2 (Ogi @ = cos2 t + sin2 t=\*?Q.
По формулам G.31) и G.32) находим
А! @ = —2 cos / sin t, ki (t) = 2 cos2 ^.
Так как ^s^" = 2 sin / cos /, то kx (/) = — sin21 + cv Чтобы про-
проинтегрировать 2 cos2 /, воспользуемся тригонометрическим тождееь
вом cos 2/ = A + cos 2/)/2. Тогда

§ 7.5. Метод вариации постоянных 255
поскольку sin 2t = 2 sin t cos t. Общее решение имеет вид
х (t) = кх (t)gt (t) + k2 (t)g2 (t) = — sin2 t cos t + t sin t +
+ sin2 t cos t + c% cos t + c2 sin t =* ? sin / + Ci cos t + c2 sin /.
Так как х @) = сг = 5 и л;' @) = с2 = 2,, то искомое решение л: (/) =
= (/ + 2) sin ? + 5 cos ^. Можно самостоятельно убедиться в тои#
что эта функция удовлетворяет исходному дифференциальному ураа-
нению и заданным начальным условиям. А
Метод вариации постоянных представляет собой общий метод ре-
решения уравнения G.28). Этим же методом мы воспользуемся и при изу-
изучении систем дифференциальных уравнений первого порядка в сле-
следующем параграфе.
Задачи к § 7.5
1. Найдите общие решения для следующих дифференциальных уравнений вто^
рого порядка:
а) х" (t) — *(/) = t; б) х" (t) + 4х' (/) + \х (t) = е"**;
в) х" (t) + х @ = sin t; г) Ъх" (t) — 2х' (t) + x (t) = t + 1.
2. Найдите решения, удовлетворяющие начальным условиям х @) =• 0 и
л' @) = 1, для следующих дифференциальных уравнений второго порядка^
а) х" (t)-\-4x(t)=3; б) х» (t) +x' (t) + x (t) =e';
в) je"(/) —jc'(/) + 2jc@=e3/; г) л;" @— 2*
3. Рассмотрим уравнение второго порядка ах" (t) + bxf (t) + ex (t) = e^, где
a, by с и г являются постоянными. При каких условиях на коэффициенты а,
b и с существует решение вида х (t) = kert для некоторой постоянной k?
4. Воспользовавшись результатом задачи 3, найдите решения дифференциаль-
дифференциальных уравнений второго-порядка из задачи 2.
5. Покажите, что х (t) = te2t является частным решением дифференциального
уравнения хщ @ — 3*' (/) + 2х (t) = €lt.
6. Покажите, что х (t) = (/2/2)е2^ является частным решением дифференциаль-
дифференциального уравнения х" (t) — 4*' @ + 4х (t) = е2'.
7. а) Убедитесь в том, что если у (t) и г (t) удовлетворяют дифференциальным
уравнениям ay" (t) + by' (t) + су @ = / (/) и az" (t) + Ьг' (i) + сг (t) =
= g (t)y то х (t) ~ у (t) + 2 (^) удовлетворяет дифференциальному урав-
уравнению ах" (t) + Ьх' (t) + ex (t) = f(t) + g (/).
б) Если k± и к% — произвольные постоянные, то какому уравнению удовлет-
удовлетворяет кху @ + V @?
8. Используя результаты задачи 7, решите следующие уравнения второго по-
порядка:
а) *"(*)+6*' (/)+9*(/) = 1+е2'; б) «•"(/)-^Зд:' @ — 4л: (/) -е^ + е2^
в) х" (t) + 4xf (*) + 8*@ = 4 + е'; г) л;" @+^ @ =e""f+ е"-2<.
9. а) Высота jc (/) в момент t тела, свободно падающего под действием силы тя-;
жести, удовлетворяет уравнению х* (t) == —^, гдед — постоянное ускорение
силы тяжести. Выразите х (t) через начальную высоту х @) и начальную ско-
скорость х' @).
б) Если тело падает с выстоты h при нулевой начальной скорости, то с какой
скоростью оно достигнет Земли?

256 Глава 7. Дифференциальные уравнения
10. Равновесный размер популяции некоторого Е«да в заданной среде оценива-
оценивается в 1000 индивидуумов. Численность популяции испытывает флуктуа-
флуктуации около этого среднего значения и описывается уравнением х" (t) =
= 4я2 11000 — х (*)], где х (t) — численность популяции в момент ty а вре-
время t выражается в годах. Найдите численность популяции спустя 6, 12 и
18 месяцев, если х @) = 1500 и х' @) = 0. Постройте график численности
х (f) как функции t.
7.6. Системы дифференциальных уравнений первого порядка
Как обобщаются математические методы, изложенные в предшествую-
предшествующих параграфах, для описания взаимодействия нескольких биологи-
биологических переменных? Если, например, два вида сосуществуют в одной
среде и конкурируют за одни и те же ресурсы, то при описании роста
популяции необходимо учитывать эффект присутствия конкурирую-
конкурирующего вида. Естественно допустить, что скорость роста популяции будет
зависеть не только от ее собственной численности, но и от численности
другого вида. Чтобы описать такой тип взаимодействия, одного диф-
дифференциального уравнения уже недостаточно.
Системы дифференциальных уравнений, которые мы рассмотрим,
это системы вида
к' (/) - ап х (t) + а12у {t) + f (/),
G,33)
i/ (/) = anx (/) +, a22y (t) + g (/),
где alv а12Уап иa22 — постоянные, а / (t) и g(t) — некоторые заданные
функции. Решить линейную систему G.33) — значит найти две функ-
функции х (/) и у (t), которые удовлетворяют обоим уравнениям. Систему
называют линейной, поскольку оба ее уравнения линейны.
Чтобы отыскать решение линейной системы, поступим следующим
образом. Продифференцируем первое уравнение, что даст х (/) =
= аХ1х (/) + «12^' @ + Г (')• Подставляя сюда выражение для yr (t)
кз второго уравнения, получим
хГ @ = апх' @ + а12 la21x (t) + а22у (t) + g (t)] + f' (t) =
= anx* (t) + ai2a2l x (t) + al2a22y (t) + a12g (t) + f (t).
Из первого уравнения системы G.33) найдем выражение для апу (t),
после подстановки которого имеем
х" (/) = апх' @ + a12a2lx (t) + а22 Ы (t) - апх (t\ - / (t)] +
+ ^12^ (t) + Г (/).
Окончательно получаем, что х (t) удовлетворяет уравнению
х" (t) — (ап + а%%)х' (/) + (апа22 — а12а21)х (() =
@ - eiif @ +/40. G.34)

§ 7.6. Системы дифференциальных уравнений первого порядка
257
700
606
500
Z00
WO
[ервый вид исчезает
0,1 0„1 0,3 0,Ц> 0,5 0,5 0J 0# 0,9
Рис. 7.7
Это неоднородное дифференциальное
уравнение второго порядка G посто-
постоянными коэффициентами, которое
может быть решено методами преды-
предыдущего параграфа. Получив решение ^
для х (t), затем можно найти у (t) из
системы G.33).
Линейную систему G.33) мож-
можно рассматривать как простую мо-
модель взаимодействия видов, если
х (t) и у (t) соответствуют численно-
стям в момент t двух видов, присут-
присутствующих в данной среде. Если оба
вида конкурируют за общие ресурсы, то в модели это можно учиты-
учитывать с помощью отрицательных коэффициентов а12 и а21. Если, напри-
мер, коэффициент а12 отрицателен, то скорость роста популяции пер-
первого вида будет убывать по мере роста популяции второго. Возможные
типы взаимодействия видов лучше проиллюстрировать рядом примеров.
Пример 7.6.1. Модель межвидовой конкуренции*.
Однородная линейная система
x'(t) = 2x(t)-y(t)9
у (I) = —х it) + 2у (О
вписывает взаимное влияние популяций двух конкурирующих видов
ни скорости их роста. Допустим, что начальные популяции насчитав
вают х @) = 100 и у @) = 200 особей. Требуется найти численности
обоих видов в любой последующий момент времени.
Д Дифференцируя первое уравнение, получаем х" (t) = 2x' (t) —
- у' (t). Но у' {t) = -х @ + 2у @ = -х @ + 2 [2х (t) - х' (t)l
Таким образом, х (t) удовлетворяет уравнению второго порядка
х" (t) — 4х' {() + За: (/) = 0. Его общее решение имеет вид х (t) =
= &ге3* + k2efy где kx и k2 — постоянные. Из первого уравнения сис-
системы получаем у (t) = 2х (t) — х' (t) = —kxe3t + k2el. Начальные по-
популяции составляют х @) = 100 и у @) == 200. Это значит, что
к± + к2 = 100 и —кг + к2 = 200, т. е. кг = —50 и к2 = 150. Искомым
решением является х (t) = 150е' — 50е3/ и у (t) = 150е? + 50е3^. Вы-
Вымирание первого вида происходит, когда 150е' — 50е3' = 0, т. е. ког-
когда е2' = 3. Это имеет место при t = A/2) loge 3 « 0,552 ед. времени.
По прошествии 0,552 ед. времени второй вид продолжает расти соглас-
согласно уравнению уг (/) = 2у (t). Его общим решением является у (t) =
= У (to)z2U~ta)- При t0 = A/2) loge 3 и у (/0) = 150е?« + 50е3^ оно
показывает рост популяции второго вида после вымирания первого
(рис. 7.7). ^ '
* Этот пример (а также примеры 7,6.2 и 7.6.3) могут рассматриваться только
как иллюстрации к соответствующему математическому аппарату. Более pea*
диетические модели взаимодействий дву^с видов описаны в § 9.5.— Прим. ред.
9 Зок. 1370

258 Глава 7, Дифференциальные уравнения
Пример 7.6.2, Взаимодействие хищни к—ж е р т в а.
Допустим, что х (t) соответствует численности вида-хищника, а
у (t) — численности вида-жертвы в момент t. Предположим далее, что
скорости роста их популяций описываются линейной системой
У' @ = -х (/) + у (/).
Требуется определить численности популяций во все последующие
моменты времени, если начальные популяции составляют х @) =
= г/ @) = 1000 особей. Когда наступит вымирание вида-жертвы?
А здесь знак минус во втором уравнении указывает на то, что ско-
скорость роста у' (t) популяции жертв уменьшается по мере увеличения
популяции хищников х (t). Используя прежний метод, получим
х" (t) — 2х' (t) + 2x (t) = 0. Характеристическое уравнение
А,2 — 2К -+- 2 = 0 имеет д&а комплексных корня: кх = 1 + i и Х2 =
== 1 — i. Общее решение есть х (t) = kxe cos / + k2 e' sin t. Из пер-
первого уравнения сжггемы следует, что у (t) = х' (/) — х (/) =
= к2е* cos / — k^ sin t. Начальные условия х @) = у @) = 100 да-
дают k} = 1000 и k2 ==• 1000. Искомое решение системы есть х (t) =
= 1000ef (cos / + sin /) н у (/) --=¦ 1000ef (cos / — sin t). Популяция
жертв вымирает, когда cos t — sin / = 0, т. е. после t = я/4 ед. вре-
времени. Популяция хищников продолжает расти за счет других ресур*
сов среды и описывается уравнением х (t) = x (t). Macfo, однако, слу-
случается, что допущения, сделанные при построении модеди взаимодейт
ствпя видов, теряют справедливость после исчезновения одного из ви-
видов. Развитие двух популяций вплоть до исчезновения вида жертв
показано на рис. 7.8. А
Пример 7.6.3. Модель кооперации видов. Допустим,
что два вида находятся в отношениях симбиоза, т. е. популяция каж-
каждого вида возрастает пропорционально численности другого, а умень-
уменьшение популяций каждого вида будем считать пропорциональным соб-
собственной численности. Моделью такого поведения популяций может
служить линейная'система
х' (/) = —2х {t) + Ay (/),
у' (t) = х (t) - 2у (t).
Требуется найти численности видов во все последующие моменты вре-
времени, если начальные популяции насчитывают х\0) = 100 и у @) =
= 300 особей.
Л Путем дифференцирования и исключения у (t) находим, что
v" (t) + \х1 (t) = 0. Корнями характеристического уравнения к2 +
+ 4Х = 0 являются Хг = 0 и %2 = —4. Общее решение имеет вид
х (t) == kteot + ?2e-4< = kx + к2е~". Кроме того, у (t) = (l/4)x
X W (t) + 2x (t)\ = (kJ2) — (k2/2)e~4t. Используя начальные усло-
условия, получаем х @) = kt + k2 = 100 и у @) = (kJ2) — (kJ2) =
= 300, откуда kx = Э50, k2 = —250. Искомое решение есть

§ 7.6. Системы дифференциальных уравнений первого порядка
259
5000
то
3000
2000
1000
Xftj = W0flet (cost + sent)
y(t}= JOOOet(cost-sLn t)
второй вид исчезает
0,2 ОЛ 0,6 0,8 1,0 7,2 7,4 1,6 7,8 2,0
Рис. 7.8
350
300
250
200
150
100
50
J 1—JL-t
0,05 0,} 0,15 0,1 0,25 0,3 OJ5 0,4 0,^5 0,5
PlIC. 7.9
x (t) = 350 —- 250e~4' и у (t) = 175 + 125e-". Популяция первого
вида возрастает от первоначального размера в 100 особей до предель-
предельного размера 350. Второй вид убывает от первоначального размера в
300 особей до предельного размера 175. Эти предельные размеры соот-
соответствуют равновесным популяциям двух видов, которые могут под-
поддерживаться в данной среде*. Графики функций х (/) и у (/), изобра-
изображенные на рис. 7.9, построены на основании следующей таблицы:
t
0
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
1
0,818/
0,6703
0,5488
- 0,4493
0,3679
х (t)
100
145
182
213
238
258
у (О
300
277
259
244
231
221
t
0,30
а,35
0,40
0,45
0,50
0,3012
0,2466
0,2019
0,1653
0,1353
х @
275
288
300
309
316
У (О
213
206
200
198
192
Задачи к § 7.6
1. Найдите общие решения для следующих систем дифференциальных урав-
уравнений первого порядка:
a) x'(t) = x(t)-y(t), б) x'«x
в)
Г)
-t.
2. Для систем уравнений, приведенных в задаче I, найдите решения, которые
удовлетворяют начальным условиям х @) = 100 и у @) = 200.
* В этой модели предельные размеры популяций зависят от их начальных-
численнодтей, поэтому понятие равновесной популяции, соответствующей воз-
возможностям данной среды, здесь не столь наглядно, как, например, в логисти-
логистической модели, где из любого начального состояния популяция стремилась к
равновесному размеру. — Прим. ред.
9*

260 Глава 7. Дифференциальные уравнения,
3. Опишите метод решения общей системы из трех дифференциальных урав-i
нений первого порядка о постоянными коэффициенты и
х' @ = щгх + анд + at#4t Ф>
У* @ = Я21* + аУ$ + <*2#* + 8 (О,
г1 (t) = а31* + ашу + а8Яг + /г @.
4. Лайте интерпретацию линейной системы из задачи 3 как модели взэимодей-
дтвия грех сосуществующих видов.
5. Найдите решения, удовлетворяющие начальным условиям х @) = 1, у @) =>
= 0, для следующих систем дифференциальных уравнений первого поряд-
порядка:
а) х'(t)=x + y, б) x'= 2t
в) х' ==—y + sintt r) xf=
у' =*-f cos /; у'
6. Солевой раствор вытекает из одного сосуда со скоростью, пропорциональной
объему раствора, в другой сосуд, откуда он вытекает с постоянной скоростью.
Определим Уг (t) и V2 (t) как объемы солевого раствора в первом и втором
сосудах в момент времени /. Тогда Vx (t) и V2 @ удовлетворяют уравнениям
(\Уг dV2
—rr — —aVi и -тт~ = aVi — 6, где а и Ь — положительные постоянные,
а) Найдите Vx (t) и V2 (t) при t > 0, если Vx @) =• 1000 и V2 @) = Ю'О.
б) Докажите, что если b/а > Vx @), то объем раствора во- втором сосуде
убывает со временем.
в) Если hla < Vx @), то до какого максимального объема накапливается
раствор во втором сосуде и когда достигается этот максимальный объем?1
7. Популяция некоторого вида в момент времени / содержит х (t) самцов и у (t)
самок. Система, предлагаемая в качестве модели росга такой популяции,
состоит из уравнений х' (t) — —ах + by и у' (/) ~ су, где а, Ь и с — поло-
положительные постоянные.
а) Выразите общее решение через начальные популяции самцов и самок
х @) и у @).
б) Что происходит, если х @) = 0? если у @) = 0?
в) В каком отношении эта модель является переупрощением? Что могло бы
сделать ее более реалистичной?
8. Сообщество из п индивидуумов подвергается воздействию редкого инфек-
инфекционного заболевания*. В любой момент t сообщество подразделяется на
х (t) восприимчивых, у (t) ааражаемых, контактирующих с другими, и г (t)
изолированных, умерших или обладающих иммунитетом индивидуумов.
Пусть первоначально у (t) и z (t) малы по сравнению с х (t). Модель распро-'
странения этого заболевания задается уравнениями
где Р и у — положительные постоянные, отражающие скорости, с какими
заражаются восприимчивые индивидуумы и зараженные изолируются, уми«<
рают или приобретают иммунитет*
а) Выразите решение системы через х @), у @} и z @) = п — х @) — у @).
б) Докажите, что если Р* @) < у, то заболевание не приводит к эпидемии,
в) Что происходит, если $х @) > у?
* В а М е у N. The Total Size oi a General Stochastic Epidemic, — Bidmet-
rika, 1953, №40, p. 117—185>

8.1. Непрерывные случайные величины
В этой главе мы расширим область применения теории вероятностей,
рассматривая эксперименты с непрерывным диапазоном возможных
исходов. В качестве простого примера возьмем идеальный волчок,
стрелка которого может указывать на любое число от 0 до 1 (рис. 8.1).
Если одинаково вероятен любой исход (естественное допущение), то
вероятность исхода 1/2 по законам пространства равных вероятностей
должна быть равной 1/(число возможных исходов) = 1/оо = 0. Так
как значение 1/2 не является каким-то особенным, то ясно, что нуле-
нулевой будет вероятность и любого другого исхода. Пространство выбо-
ррк S для этого эксперимента состоит из всевозможных чисел от 0 до
1. Всякое испытание заканчивается некоторым результатом [Р (S) =
= 11, но для любого х между 0 и 1 имеем Р (х) = 0.
Другим примером может служить годовое количество осадков в
определенном районе. Уровень осадков, выпавших за один год, яв-
является случайной величиной, которая может принимать любое значе-
значение из некоторого непрерывного диапазона. Однако вероятность того,
что в заданный год этот уровень окажется в точности равным, скажем,
30,2 дюйма, крайне мала (фактически равна нулю).
Как показывают эти два примера, мы вряд ли добьемся успеха,
если будем пытаться приписать ненулевые вероятности каждому воз-
возможному значению непрерывной случайной величины. Более перспек-
перспективный подход состоит в том, чтобы изучать вероятности того, что зна-
значение случайной величины попадет в некоторые заданные интервалы.
Например, легко установить, что вероятность того, что стрелка волчка
указывает числа между 1/3 и 1/2, равна 1/2 — 1/3 = 1/6. Можно было
бы оценить и вероятность того, что уровень осадков в заданном году
окажется между 30 и 35 дюймами. Это приводит к следующему опреде-
определению.
Определение 8.1.1. Функция распределения непре-
непрерывной случайной величины. Функцией распределения
F (х) непрерывной случайной величины X называется непрерывная функ-
функция, показывающая вероятность того, что X принимает значения, не
превосходящие х, т. е.
F (х) = Р (X < х).

2%2
Глава в. Непрерывная вероятность
Рис. 8.1
Важно отметить, что для непрерывной слу-
случайной величины X справедливо равенство
Р (X < х) = Р (X < х)> вытекающее из того
факта, что Р (X = х) = 0.
В рассмотренных примера*, если X соот-
соответствует исходу эксперимента g волчком,
Р A73 < X < 1/2) = F A/2) — f A/3)= 1/2—
— 1/3 = 1/6. В этом случае функция рас-
распределения имеет вид F (х) = х для 0 ^
^ х < 1. Если же X представляет собой
годовое количество осадков, то упомянутая
выше вероятность выражается как F C5) —
— F C0), где F — функция распределения
для X. В общем случае вероятность того, что X принимает значе-
значения между а и Ь, равна Р {X < Ь) — Р (X < а), т. е.
Р (а < X < ft) - Z7 F) — Z7 (а).
Функция распределения F (х) непрерывной случайной величины
X непрерывно возрастает от 0 до 1, когда х пробегает значения от
—оо до +оо. График типичной функции распределения изображен щ
рис. 8.2. |
Чтобы найти F (х), необходимо знать интервал на оси хЛ в котором
происходит изменение F (х) от 0 до 1. Этот интервал называют диапа-
диапазоном непрерывной случайной величины X.
Пример 8.1.1. Пусть F (х) = xIR на отрезке 0 ^ х ^ R. Этим задает-
задается функция распределения непрерывной случайной величины X с диа-
диапазоном 0 ^ х ^ R (рис. 8.3). В этом случае X называют равномерно
распределенной на своем диапазоне. В данном примере вероятность
того, что X принимает значение между R/3 и 2R/3, есть
Р (R/3 < X < 2/?/3) = F BR/3) — F (R/3) = 2/3 — 1/3 - 1/3.
Вероятность того, что X принимает значения, большие 3/?/5, есть
• Р C/?/5 < X < R) - F (R) — F CR/5) = 1 — 3/5 = 2/5,
Пример 8.1.2. Чтобы выполнить определенное задание, лабораторной
крысе требуется по меньшей мере 2 мин, но никогда не требуется более
10 мин. Определим Т как время, необходимое для выполнения зада-
задания. Если любое время между 2 и 10 мин одинаково вероятно, что Т
является непрерывной случайной величиной с функцией распределе-
распределения F (/) = Р (Т ^ 0 = (/ — 2)/8 при 2 < / < 10. Вероятность того,
что задание выполняется менее чем за 5 мин, составляет F E) =
= E — 2)/8 = 3/8. Вероятность того, что потребуется не менее 3 мин,
равна 1 — F C) = 1 — 1/8 = 7/8, так как F C) = 1/8 есть вероят-
вероятность того, что потребуется не более 3 мин.
Пример 8.1.3. При любом положительном значении постоянной а функ-
функция F (х) = 1 — е—ах2 является функцией распределения непрерыв-
непрерывной случайной величины X с диапазоном 0 ^ х < оо. Когда х увели-

§8.1. Непрерывные случайные величины
263
* -
диапазон'
Рис. 8.2
Рис. 8.3
чивается от 0 до оо, F (х) возрастает от 0 до 1. Вероятность того, что
случайная величина X принимает значения, например, между 1 и 2,
есть Р A < X < 2) - F B) — F A) = A — е~4*) — A — е~«) -
Пример 8.1.4. Требуется разработать математическую модель распре-
распределения птичьих гнезд в некотором местообитании. Вероятность топ>,
в круг радиуса г (с центром в любой случайно выбранной то.чке) попа-
попадает хотя бы одно гнездо, оценивается как 1 — е~5г\ где г выражается
в километрах. Чему равна в этой модели вероятность того, что в пре-
пределах 100 м от случайно выбранной точки ркажется хотя бы одно гнез-
гнездо?
Л Если определить R как расстояние от выбранной точки до бли-
ближайшего гнезда, то R является непрерывной случайной величиной с
функцией распределения F (г) = Р (R ^ г) = 1 — е~5г>. Вероят-
Вероятность того, что гнездо имеется в пределах 100 м от случайно выбран-
йой точки, составляет F @,1) = Р (R < 0,1) = 1 — е~005 & 0,049,
или чуть меньше 5%. А
Задачи к § 8.1
1. Установите, какие из следующих функций представляют собой функции
распределения непрерывной случайной величины:
a)
в) F(x).
г) F(x)
6) F(x)
е* при х< 0,
1 при х > 0;
0 при
sin х при 0<х<я/2,
1 при х > я/2;
0 при х <;—-0,5,
* + 0,5 при —0,5 < л: < 0,5,
1 при *;>0,5.
_( 0,5е*
при x
при х
Постройте график каждой из функций распределения и найдите диапазон
соответствующей случайной величины.

264 Глава 8. Непрерывная вероятность
2. Для каждой из функций распределения, приведенных в задаче 1, найдите
вероятность того, что соответствующая случайная величина принимает зна-
значения между 0 и 2.
3. Построим функцию F (х), равную нулю для отрицательных значений х и
, равную 1 — ke~~x/" для неотрицательных х.
а) При каком значении постоянной k эта функция является функцией рас-
распределения непрерывной случайной величины? Обозначим эту случайную
величину через X.
б) Найдите Р (X < 2), Р (X > 4) и Р B < X < 4).
4. Пусть F (х) = Лех при х < 0 и F (х) = 1 — 0,5е~2Г при х > 0.
а) При каком значении постоянной А эта функция представляет собой функ-
функцию распределения непрерывной случайной величины? Обозначим эту слу-
случайную величину через X.
б) Найдите Р (X > —1), Р (X < 2) и Р (—2 < X < 2).
5. Вероятность того, что средний человек обучается выполнению некоторого
задания за х минут, оценивается как 1 — A + х)'1. Какова вероятность
того, что на обучение потребуется менее 10 мин? менее 1 ч?
6. Вероятность того, что птица найдет подходящее место для гнезда за х дней
поиска, оценивается величиной 1 — A+а:)~2. Если гнездовье должно быть
найдено в течение недельного периода, то какая доля популяции птиц не
находит подходящего места для гнездования?
7. Для ответа на каждый из двух вопросов одночасового экзамена студенту раз.-
решается готовиться не более чем по 30 мин. Вероятность того, что студент
сможет подготовиться к ответу за х минут, задается величиной
1 — 10 • A0 + дс)" для каждого из вопросов. Считая, что вопросы не свя-
связаны мзжду собой, найдите вероятности того, что: на оба вопроса будет- дан
верный ответ; лишь на один из вопросов будет дан верный ответ; ни на один
из вопросов не будет дан правильный ответ.
8. Определим случайную величину X как массу глюкозы, содержащуюся в
250 г ее раствора неизвестной концентрации.
а) Каков диапазон случайной величины X?
' б) Определите события {50 < X < 100} и {X > 75).
в) Пусть в диапазоне величины X функцией распределения является
F (а') — х E00 — *)/2502. Постройте график F (х). Найдиг« вероятности
Р E00 < X < 100) и Р (X > 75).
9. Пусть вероятность того, что в пределах г километров от заданной точки име-
ется птичье гнездо, выражается величиной 1—е ' Если установлено, что
в пределах 100 м от заданной точки нет ни одного гнезда, то чему равна ве-
вероятность найти хотя бы одно гнездо в пределах 200 м от этой точки?
10. Экспериментальное лекарство имеет эффект увеличения частоты пульса.
Лекарство проверялось на большом числе добровольцев путем введения каж*
дому из них стандартной дозы и наблюдения за частотой пульса спустя 5 мин.
Предположим, что доля тех испытуемых, у которых частота пульса увели-
увеличилась более чем на х ударов в минуту, оказывается равной (l+e*'10).
У какой доли испытуемых увеличение частоты пульса составило от 5 до 10
ударов в минуту?
11. Если в условиях задачи 10 известно, что пульс испытуемого увеличился бо-
более чем на 5 ударов в минуту, то чему равна вероятность увеличения часто-
частоты пульса более чем на 10 ударов в минуту?
8.2. Функции плотности
В предыдущем параграфе мы отметили, что, вообще говоря, невозмож-
невозможно приписать ненулевые вероятности конкретным, значениям непре-
непрерывной случайной величины. Однако желательно иметь возможность
оценивав вероятность того, что X принимает значения, «близкие» к

§ 8.2. Функции плотности 265
заданной величине х. Вероятность того, что случайная величина X
принимает значения между х и х + Ах, составляет
Р fa < X < х + Ах) = F (х + Ах) — F (х) = AF (х).
Это вероятность, связанная с отрезком длины Ах. Разделив ее на Ах,
получим вероятность, приходящуюся на единицу длины (или плотность
вероятности) в данном отрезке. Если теперь устремчть Ах к нулю,
то мы придем к следующему определению, играющему центральную
роль в изучении непрерывных случайных величин.
Определение 8.2.1. Функция плотности вероятно-
вероятности. Пусть X — непрерывная случайная величина, имеющая диффе-
дифференцируемую функцию распределения F (х) на—оо < х<С оо. Функцией
плотности вероятности для X в точке х называется функция f (x), оп-
определяемая следующим образом:
' ЛА--.0 Ал: АХ-+о Ал: dx V v '
Функция плотности вероятности представляет собой вероятность,
приходящуюся на единицу длины вдоль оси х. Непрерывную случай-
случайную величину X можно определить и с помощью ее функции плотности
/ fa), поскольку если известна / fa), то функция распределения F (х)
может быть найдена по формуле
F(x) = f f(t)dt.
Функция / (х) является функцией плотности вероятности, если она
обладает следующими свойствами:
, .1°. / (х) > 0 (—оо < х < оо).
00
2°. j" f(x)dx= 1.
—-со -
Свойство 2° вытекает из требования, что суммарная вероятность на
всей оси х равна 1. Свойство 1° должно иметь место в силу того, что
f (х) представляет собой производную неубывающей функции.
Если X — непрерывная случайная величина с функцией плотности
вероятности / (х), то вероятность того, что X принимает значения меж-
между-а и by выражается по формуле
Р (а < X < Ь) = F (Ь) — F (а) = J / (t) At.
а
В приведенном ранее примере с волчком исход эксперимента был не-
непрерывной случайной величиной X с диапазоном 0 ^ х ^ 1. Функция
распределения имела вид F (х) = х и, следовательно, функция плот-
плотности есть / (х) = 1 при 0 ^ х ^ 1. Вероятность того, что X прини-
принимает значения, например, между 1/3 и 1/2, составляет
f A/3 < X < 1/2) = F A/2) — F A/3) = f21 . d/ = 1/2 — 1/3 « 1/6.

266
fM?i
Глава 8. Непрерывная
ffxl
Рис. 8.4
Рис. 8.5
Далее приведены примеры типичных функций плотности вероятности.
Пример 8.2.1. Равномерное распределение. Пусть
/ (х) = \IR на отрезке 0 ^ х ^ R к f (х) = О всюду вне этого отрезка.
Эта функция, очевидно, обладает двумя свойствами, определяющими
функцию плотности вероятности. Она представляет собой функцию
плотности, которая соответствует случайной величине X, имеющей
равномерное распределение на отрезке 0 <^ х <^i R (рис. 8.4).
3
Пример 8.2.2. Пусть / (х)=-^х B — х) на отрезке 0<х<2и/ (х) —
=-= 0 всюду вне этого отрезка (рис. в.5). Легко видеть, что / (х) ^ О и
оо 2
что ( / (x)dx = f / (x)dx — 1. Значит, / (.v) является функцией плотно-
-'СО О
стн вероятности для непрерывной случайной величины X с диапазо-
диапазоном 0 ^ х ^ 2.
Пример 8.2.3. Экспоненциальное распределение.
Пусть / (х) = (l/a)e-*'fl при х > 0 и /(х) = О'при х < 0 (рис. 8.6),
где a — некоторое положительное число. Мы должны проверить свой-
свойство 2°, характеризующее функцию плотности вероятности:^
00
J
-= —е
Таким образом, / (х) определяет непрерывную случайную величину
X с диапазоном 0 ^ х<С оо. Про величину X говорят, что она имеет
экспоненциальное распределение с параметром а.
Пример 8.2.4. Единичное но р м альное распределе-
н и е. Пусть / (х) = A/У2я)е-*^2 (—оо < х < оо) (рис. 8.7). Оче-
оо
видно, что / (х) ^ 0, и можно показать, что J f (x)dx^ 1. Диапазоном
— оо
соответствующей непрерывной случайной величины X служит вся
числовая прямая. Этот пример будет подробнее изучаться в следующем
параграфе дайной главы. »

8.2. Функции плотности
267
2а
Рис. 8.6
Рис. 8.7
В терминах функции плотности вероятности можно сформулиро-
сформулировать следующие определения для математического ожидания (или
среднего) и дисперсии непрерывной случайной величины.
Определение8.2.2. Математическое ожидание и дис-
дисперсия. Пусть X — непрерывная ел /чай шя величина с функцией
плотности f(x). Тогда математическое ожидание \х и дисперст о2 для
величины X опредегяотся так:
=?= [ xf(x)dx,
o2 = E(X—fiJ= [ (x—\iff(x)dx.
Квадратный корень а из дисперсии называется стандартным отклоне*
наем величины X. Как и прежде (см. теорему 2.8.1), имеем Е (X —^J =
= Е (X2) — ц* = ? (X2) — (Е (Х))\
В примере с волчком функцией плотности служит / (jc) ===== 1 на от-
\ *2 { 1
резке 0 < х < 1. Значит, Е (X) =J х • Ых == -j ==y. Это значе-
значение можно считать средним исходом эксперимента. Если эксперимент
повторяется много раз, то можно ожидать, что среднее значение всех
исходов будет близко к 1/2. Чтобы найти дисперсию, вычислим
Е (Х%) == J х% • 1 dx = j. Отсюда а2 = - — (jj = -^.
Здесь
Пример 8.2.2 (продолжение).
2 2
-jxB—x)dx = ~ (V
о
3 Г 2х3 ** У _ *
— 4 L 3 4 Jo~~

268 Глава 8. Непрерывная вероятность
Это легко установить и из рис. 8.5. Далее,
2
2
Е (X2) = — Г Bх* —х4) dx = —
4 . 5
Значит, а2 = 6/5 — 1 = 1/5.
Пример 8.2.3 (продолжение). Здесь
Этот интеграл можно вычислить путем интегрирования по частям. По-
Положим и = х\а и dv = e~*fa dx. Тогда
ОО
Е(Х)= f
Аналогично, после двукратного интегрирования по частям полу-
получаем Е (X2) = 2а2, так что сг2 = 2а2 — а2 = а2. Таким образом, экс-
экспоненциальное распределение с параметром а обладает интересным
свойством: \i = о = а.
В следующих примерах демонстрируется применение функций- плот-
плотности в практических задачах. Примеры других приложений содер-
содержатся в задачах к данному параграфу.
Пример 8.2.5. Распределение жизненных циклов
растений. Продолжительность жизни растений данного вида , а
определенной среде представляет собой непрерывную случайную ве-!
личину X. Пусть функцией плотности вероятности для X является
e
1) Какова функция распределения X?
2) Какая доля растений данного вида умирает за период в 100 дней?
3) Если некоторое растение живет в течение 100 дней, то какова
вероятность того, что оно проживет еще 100 дней?
А В выражении для / (х) нетрудно узнать функцию плотности экс-
экспоненциального распределения с параметром а = 120 (см. пример
8.2.3). Средняя продолжительность жизни растений этого вида состав-
составляет Е (X) = 120 дней.
1) Функцией распределения для X является
120
2) Доля растений, которые умирают за период в 100 дней, выража-
выражается вероятностью Р @ < X < 100) =F A00)== 1 — е-100'120 « 0,7.

8.2. Функции плотности 269
3) Искомая вероятность составляет
е —200/120
~~ е—100/120 ~" "'"
Иными словами, примерно 30% из тех растений, которые не уми-
умирают за 100 дней, будут жить по крайней мере и в следующие 100 дней. А
Пример 8.2.6. В эксперименте с расселением популяций насекомых в
заданной точке было выпущено большое число муравьев. Наблюдения
показали, что спустя 1 мин доля муравьев, находящихся от точки вы-
выпуска на расстоянии не менее г метров, примерно равна е~2г.
1) Какова доля муравьев, прошедших более 1 м от точки выпуска?
2) На какое среднее расстояние удаляются муравьи от точки вы-
выпуска?
А Пусть R — расстояние, на которое муравей удалился от точки
выпуска за 1 мин. Тогда R представляет собой непрерывную случай-
случайную величину с функцией распределения F (г) — Р (R ^г) = 1 — е"~2г.
1) Доля муравьев, удалившихся более чем на 1 м, есть Р (R^\)=
= 1 — F(l) = е-2 «0,135.
2) Функцией плотности вероятности для случайной величины R
служит / (г) == —-р^ = 2е~-2г. Значит, среднее расстояние составляет
Итак, за 1 мин муравьи удаляются от точки выпуска в среднем на
0,5 м. ^
Задачи к § 8.2
1. Установите, какие из приведенных ниже функций представляют собой функ-
функции плотности вероятности для непрерывной случайной величины:
O/wfi
0, *>0; • (Ов противном случае*
f A/2) sin*, 0<*<jt, Ч t Ч I 1
{ 0 в противном случае; я
в противном случае.
Постройте график каждой из функций плотности вероятности и найдите
диапазон соответствующей случайной величины.
2. Для каждой из функций плотности вероятности задачи h
а) найдите соответствующие функции распределения;
б) найдите вероятности того, что случайные величины принимают значения
между 0 и 1) 1

270 Глава 8. Непрерывная вер<тностч»
в) найдите математические ожидания и дисперсии случайных величин.
3. Пусть функция / (х) равна нулю для отрицательных значений х и равна
kt~*x для неотрицательных х.
а) При каком значении постоянной k эта функция представляет собой функ-
функцию плотности вероятности непрерывной случайной величины?
б) Найдите Р (X < 1), Р (X > 2) и Р A < X < 2).
4. Длительность жизненного цикла определенного типа бактерий (выраженная
в днях) является непрерывной случайной величиной, распределение вероят-
вероятности которой аппроксимируется экспоненциальным законом. Пусть сред-
средняя длительность составляет 12 ч. Вычислите:
а) вероятность того, что данная бактерия за 12 ч закончит свое существо-
существование;
б) вероятность того, что бактерия, прожившая один день, умрет на сле-
следующий.
5. Функция распределения с экспоненциальным законом имеет вид F (х) =
= 1 —е~х/а для х > 0. Для соответствующей случайной величины X и
среднее, и стандартное отклонение равны а. Докажите, что если b и h — лю-
любые положительные числа, то
Каким образом этот результат можно применить к задаче 46)?
6. Положим / (х) = 0 при х < 0 и / (х) = 4хе~2Х при х > 0.
а) Покажите , что / (х) является функцией плотности для непрерывной слу-
случайной величины. Обозначим эту случайную величину через X.
б) Найдите Р (X < 1), Р (X > 2) и Р A < X < 2).
в) Найдите математическое ожидание и стандартное отклонение для X.
7. Время усвоения единицы пищ» (выраженное в часах) представляет собой слу-
случайную величину, для которой в математической модели принята функция
плотности вероятности / (х) = 4хе~2Х. Какова вероятность того, что едини-
единица пищи не будет полностью усвоена за 1 ч? Каково среднее времяг необхо-
необходимое для усвоения единицы пищи?
8. Вероятность того, что насекомое, появившееся на свет в момент времени
t = 0, будет съедено до момента I (время выражается в днях), выражается
величиной F (/) = 1 — е~~7', где у —- постоянная.
а) Выразите через у среднюю продолжительность жизни такого насекомого.
б) Допустим, что у = 0,5. Какова вероятность того, что насекомое будет
съедено в возрасте до 2 дней?
в) Допустим, что насекомое должно прожить 10 дней, чтобы стать способ-
способным к размножению. Чему равна вероятность (при у = 0,5) того, что насе-
насекомое будет съедено прежде, чем достигнет способности к размножению?
9. Длительность жизненного цикла (в днях) для некоторого растения являет-
сй случайной величиной X с функцией плотности вероятности / (х) =
= дг/20 000 при 0 < х < 200 и / (х) = 0 при любых других значениях х.
а) Какова средняя длительность жизненного цикла у этого растения?
б) Чему равна вероятность того, что растение умрет в течение первых 30
дней?
в) Если растение выживает в течение 100 дней* то с какой вероятностью оно
умирает в последующие 30 дней?
10. Экспериментальная операция длится не менее 4 мин, но никогда не требует
для своего завершения более 10 мин. Определим случайную величину Т
как продолжительность времени, необходимого для выполнения операции,
и допустим, что функция плотности вероятности для Г имеет вид / (t) =
= k (t — 4) A0 — t) на отрезке 4 < t < 10.
а) При каком значении постоянной k эта функция является функцией плот*
ности вероятности?
б) Найдите математическое ожидание и стандартное отклонение для Г.

§ 8.3. Нормальное распределение 271
П. Для некоторого оборудования время (выраженное в годах) до возникнове-
возникновения первой потребности в ремонте является случайной величиной X с функ-
функцией плотности вероятности / (х) = 2хе~~х*.
а) Каково среднее время до первого ремонта?
б) Чему равна вероятность того, что ремонт не понадобится в течение пер-
первых 2 лег?
12. а) Покажите, что / (х) = 6*/A + *У при неотрицательных jc является функ-
функцией плогносги вероятности для непрерывной случайной величины X с диа-
диапазоном на всей положительной полуоси х.
б) Постройте график функции / (х) и найдите ее максимум.
в) Вычислите Р (X < 1/3), Р (X < 1) и Р A/3 < X < 1).
13. Вероятное!ь того, чго кошка поймает мышь, со временем погони возрастает
и задается величиной F (/) = I — е"~^10, где t выражается в минутах. До-
Допустим, что после 15 мин погони кошка всегда устает и отказывается от прес-
преследования Какой процент мышей избегает поимки? Чему равны в процен-
процентах доли мышей, пойманных за 5, 10 и 15 мин?
14. Эколог изучает процесс рассеивания семян определенного растения. Допус-
Допустим, что семена проходят в среднем расстояние в 1 м от материнского расте-
растения и что распределение вероятностей для этого расстояния экспоненциаль-
экспоненциальное. Какая доля семян рассеивается более чем на 2 м от растения?
8.3. Нормальное распределение
Рассмотрим теперь случайную величину X, диапазон которой совпа-
совпадает со всей числовой прямой, а с законом распределения вероятно-
вероятностей этой случайной величины мы часто сталкиваемся при изучении
теории вероятностей. Этот закон можно рассматривать как прибли-
приближение многих других вероятностных распределений, и он имеет также
важное самостоятельное значение.
Определение 8.3.1. Нормальное распределение. Не-
Непрерывная случайная величина X имеет нормальное распределение со
средним \х и дисперсией о2, если соответствующая функция плотности
вероятности записывается в виде
__ e
о У 2л
в диапазоне —со < х < сю (рис. 8.8).
Можно проверить, что эта функция / (*) удовлетворяет следующим
условиям:
оо
2°. J
3°.
— п*

272
Глава 8. Непрерывная вероятность
p в примере
8.2.4 частный случай при ]i = О
иа=1 называется единичным
нормальным распределением и
используется особенно часто.
График функции f (x) пока-
показан на рис. 8.8. Это знаменитая
«колоколообразная» кривая.
Исследуя ее форму, заметим,
что f(\i+y) = f(p— у), так
что кривая симметрична относи-
относительно прямой х = (л. Наклон
кривой выражается величиной
. е-(лг-цJ/Bаг)
Она положительна при л: < \х и отрицательна при х^> \i. Таким об-
образом, / (х) возрастает до максимума, когда х увеличивается до зна-
значения \i, и затем убывает с уменьшением х. Вторая производная f(x)
имеет вид
П*)=
- — 1
Если /" (х) = 0, т. е. х = ^г + от и х = 4и — а, то получаются точки
перегиба. Ясно, что / (х) > 0 при всех значениях х и что f (х) стреми1г-
ся к нулю, когда х стремится к бесконечности.
Чтобы применять нормальное распределение, требуется вычисле-
вычисление многих его значений. Для всех возможных значений \i это соста-
составило бы непосильную задачу, однако благодаря следующей теореме ока-
оказывается достаточным вычислить лишь значения единичного нормаль-
нормального распределения.
Теорема 8.3.1. Если X — нормальная случайная величина со средним
\i и дисперсией а2, то Y = (X — (л)/а является случайной величиной б
единичным нормальным распределением.
О Функция распределения для X имеет вид
F(x) = i
Если Y = (X -
Значит,
X
= Х— Г
аТ/2я J
то Р (Y < у) = Р (X < ц + оу) = F (ц + оу).
аУ2п J

§ 8.3, Нормальное распределение 273
Произведя в этом интеграле замену переменных s = (t — |а}/0, полу-
получаем
и
= L_ Г
а 1/2д J
/2д
Тем самым доказано, что Y имеет единичное нормальное распределе-
распределение. ¦
Обращение теоремы 8.3.1 состоит в том, что если Y имеет единич-
единичное нормальное распределение, то величину X = oY + \i распреде-
распределена нормально со средним \л и дисперсией а2. Если имеется таблица
значений функции плотности и функции распределения для единич-
единичного нормального распределения, то по доказанной выше теореме эту
таблицу можно использовать при вычислении вероятностей для нор-
нормальных случайных величин с произвольными значениями среднего
и дисперсии. Если X и Y определены, как и выше, то
где F — функция распределения для единичного нормального зако-
закона. Применяя эти таблицы, часто используют свойство, состоящее в
том, что F (х) + F (—х) = 1. Оно вытекает из симметрии функции
плотности / (х) относительно х = 0. Если X — единичная нормальная
случайная величина с функцией распределения F (х), то
F (~х) = Р (X < — х) = Р (X ^ х) - 1 — Р (X < х) = 1 — F (х).
На основании этого свойства функции распределения табулируются
только для положительных значений аргумента.
Пример 8.3.1. Предположим, что случайная величина X распределе-
распределена,нормально со средним 5 и стандартным отклонением 2. Какова ве-
вероятность того, что X принимает значения между 4 и 7? Какова веро-
.ятность значений, больших 10?
А Определим единичную нормальную случайную величину Y =
= (X — 5)/2. Тогда первая из искомых вероятностей есть Р,D ^
<X<7)==P(--l/2<yT<l)==F(l)--F(—1/2). Но F(—1/2) = 1— F(l/2).
Значит, РD<Х<7)=/7A)—I +FA/2)=0,8413 — 1+0,6915 = 0,5328.
Далее, Р(Х>10) =Р(К>5/2) = 1 — Р(К<5/2) = 1—^E/2)^=1 —
— 0,9938 = 0,0062. А
Пример 8.3.2. Время, необходимое некоторому простейшему для усвое-
усвоения единицы пищи, является нормальной случайной величиной со сред-
средним 31 мин и стандартным отклонением 5 мин.
1) Какова вероятность усвоить единицу пищи быстрее чем за
•35 мин?
2) Если установлено, что данная единица пищи за 30 мин уевшшась
не полностью, то какова вероятность усвоить ее быстрее чем за 35 мин?
Л Определим единичную нормальную случайную величи«у X =
= (Т — 31)/5.

27!
Глава 8. Непрерывная вероятность
у
0,1
0,05
\
1 1 ! 1 1
9 10 11 М 13 /4 15
Рис. 8.9
1) Р (Т < 35) = Р (X <<
< 0,8) = F @,8) » 0,79.
2) Чтобы вычислить вто-
вторую вероятность, нужно вос-
воспользоваться условной веро-
вероятностью. Искомая вероят-
вероятность есть
Р (Г<35|Г>30) =
_ РC0<Г<35) ^
~ Р (Т > 30)
0,8) = F @,8) — F (—0,2) ^
30) - Р (X ^ —0,2) =
Но Р C0 < Т < 35) - Р (—0,2 < X
= /г @,8) — 1 + f @,2) - 0,3674, а Р (Т
= 1 — F (—0,2) = i7 @,2) == 0,5793. Таким образом,
Р (Г < 35 |Г > 30) - 0,3674/0,5793 « 0,63.
Это означает, что примерно 63% из единиц пищи, не полностью усво-
усвоенных за 30 мин, усваиваются за 35 мин. А
Нормальный закон распределения можно рассматривать как при-
приближение многих других распределений. Например, биномиальная ве-
вероятность
(п
при возрастании п стремится к значению
1 1
Это, как легко видеть, соответствует нормальному распределению со
средним \х = пр и дисперсией а2 = npq, Для многих целей такое при*
ближение оказывается достаточно точным, когда пр ^ 10. При п = 2Q,
р — 0,5, оно показано на рис. 8.9, построенном на основании следую-
следующей таблицы:
X
10
9
8
рох 1
V х) 2*«
0,174
0,160
0,120
1 —(л:—10)-/ 1 0
~]/\0 л
0,179
0,161
0,И9
X
7
6
9
V х) 2»
0,074
0,037
0,015
1 —(д:—10J/ 10
~[/\0 л
0,073
0,036
0,015
В § 2.9 было доказано, что распределение Пуассона при ji = пр
аппроксимирует биномиальное распределение для больших значений

§ 8.3, Нормальное распределение 275
п и малых р. Таким образом, нормальное распределение может слу-
служить и приближением для распределения Пуассона, когда \i достаточ-
достаточно велико. Нормальное приближение для Р (k) = (\ik/k\) е~~» имеет
вид / (k) = A/У2^)е-<*-^>2/Bд).
Пример 8.3.3. Биномиальный эксперимент при р = 0,02 повторяется
2500 раз. Ожидаемое число успехов есть jj, = я/? =; 50. Вероятность
получить ровно успехов равна "
0,02*.О,9825оо-^.
Пуассоновское приближение имеет вид E0V6!)e°, а нормальное при-
приближение— вид A/1/2jT • 49)е~^~50>8/98. Если, например, k = 40,
то эти вероятности соответственно равны 0,0212, 0,0215 и 0,0205. (Дли
получения последней вероятности определяется значение нормальной
функции плотности / (х) в точке х = 40.)
Пример 8.3.4. Для некоторой большой популяции известно, что 20%
людей являются левшами. Допустим, что из этой популяции случайным
образом выбирают 10 000 человек и подсчитывают число левшей сре-
среди них. С помощью нормального приближения требуется оценить
вероятность того, что в выборке окажется не менее 1900 левшей. Ка-
Какова вероятность того, что левшей окажется не менее 1960 и не более
2040?
Л Определим X как число левшей в их выборке объемом в 10 000
человек. Тогда X является биномиальной случайной величиной при
п — 10 000 и р = 0,2. Ожидаемое число левшей в этой выборке равно
\i = Е (X) = пр = 2000. Стандартное отклонение X есть а = Vnpg =
= 40. Если положить Y = (X — 2000)/40, то величина Y будет близ-
близка к единичной нормальной случайной величине. Поэтому искомые
вероятности составляют Р (X > 1900) = Р (Y > —2,5) « 0,994 и
Р A960 < X < 2040) = Р (—1 < Y < 1) « 0,68. ^
Пример 8.3.5. В большую больницу поступает в среднем по 100 боль-
больных в день с травмами от несчастных случаев.
1) Оценить вероятность поступления в данный день не менее 90
больных с травмами от несчастных случаев.
2) Допустим, что лечение всех поступающих с травмами больных
больница обеспечивает в 95% дней из рассматриваемого отрезка вре-
времени. Какое количество больных с травмами способна принять боль-
больница каждый день?
Л Определим X как число травматических больных, принимаемых
больницей в данный день. Тогда X представляет собой случайную ве-
величину с распределением Пуассона (почему?). Как среднее, так и дис-
дисперсия равны \х = Е {X) = 100. Значит, стандартное отклонение есть
о = У\1= 10. Если положить Y = (X — 100)/10, то величина Y бу-
будет близка к единичной нормальной случайной величине.
1) Искомая вероятность есть Р (Х> 90) = Р (Y > —1) « 0,84.

276 Глава 8. Непрерывная вероятность
2) Пусть k — число травматических больных, которое больница
способна принимать каждый день, Тогда k определяется из условия
По таблицам находим, что (k — 100)/10 « 1,65, или k « 116,5. Боль-
Больница должна иметь возможность принимать по 117 травматических
больных в день, чтобы удовлетворять спрос в 95% дней из рассматри-
рассматриваемого отрезка времени. ^
Задачи к § 8.3
1. Пусть X — нормальная случайная величина со средним 5 и дисперсией 4.
а) Определите соответствующую единичную нормальную случайную ве-
величину.
б) Найдите Р C < X), Р (X < 6) и Р B < X < 8).
в) Найдите такие числа а и Ь, что Р (X ^ а) = 0,95 и Р (X < Ь) = 0,99.
2. а) Если X — нормальная случайная величина со средним \i и дисперсией
а2, то 95- и 99%-ным вероятными интервалами для X служат диапазоны
\х — a^I^(i + a и fx — Ь <; X ^ \i + b, где а и Ь выбраны так, что
Р Oi — а.< X < |i + а) = 0,95 и Р (\х — b^X^\x + b) = 0,99. До-
Докажите, что a czz 1,96а и b = 2,58а.
б) Пусть X — нормальная случайная величина со средним 25 и дисперсией
4. Каковы 95- и 99%-ные вероятные интервалы для X? i
5. Известно, что для человека рН крови является нормальной случайной вели-
величиной со средним 7,4 и стандартным отклонением 0,2. Какова вероятность
того, что уровень рН превосходит 7,43? находится между 7,35 и 7,45?
4. Годовое количество осадков, выпадающих в некотором районе, является нор-
нормально распределенной случайной величиной со средним 30 дюймов и стан-1
дартпым отклонением 2 дюйма. Какова вероятность выпадения в данный год
более 31 дюйма осадков? Каковы 95 и 99%-ные вероятные интервалы для
годового количества осадков:
5. Для некоторого вида млекопитающих масса взрослой особи является нор-
нормально распределенной случайной величиной со средним 100 фунтов и стан-
стандартным отклонением 8 фунтов. Чему равны вероятности того, что живот-
животное имеет массу: а) меньше 90 фунтов; б) от 95 до 105 фунтов; в) больше
110 фунтов?
6. Диастолическое давление крови у женщин, страдающих гипертонической
болезнью, имеет, согласно оценкам, среднее 98 мм и стандартное отклоне-
отклонение 15 мм. В предположении, что диастолическое давление крови является
нормальной случайной величиной, оцените вероятности того, что давление;
а) ниже 89 мм; б) выше 104 мм; в) находится между 86 и 100 мм. Какова
вероятность того, что давление выше ПО мм, если известно, что оно выше
104 мм?
7. В биномиальном эксперименте вероятность успеха при одном испытании
есть р = 0,3. С помощью нормального приближения оцените вероятность
получить более 40 успехов в результате 100 испытаний.
8. Редкое заболевание поражает 0,1% большой популяции. Определим X как
число людей с этим заболеванием в группе из 100 000 человек, случайно вы?
бранных из этой популяции. С помощью нормального приближения оцените
вероятность того, что заболевание имеется по крайней мере у 80 человек в вы-
выборке, и вероятность того, что больны не более 130 человек.
9. В большой популяции дрозофилы 25% особей имеют мутацию крыльев*
Производят случайную выборку 300 мух. С помощью нормального прибли-
приближения оцените вероятность того, что не менее 60 и не более 90 мух в выборке
имеют мутацию крыльев.

§ 8.4. Неравенство Чебышева и доверительные интервалы 277
10. Частота туберкулеза в крупной популяции оценивается в 0,04%. Какова ве-
вероятность того, что среди 1 000 000 человек, случайно выбранных из попу-
популяции, окажется не менее 360 и не более 440 больных туберкулезом?
11. Средняя длина взрослой рыбы некоторого вида оценивается в 65 см со стан-
стандартным отклонением в 5 см.. Считая распределение нормальным, найдите
вероятность того, что длина данной рыбы: больше 70 см; меньше 55 см.
12* а) Ведется наблюдение за некоторой нормальной случайной величиной X
со средним \х и дисперсией аа. Если известно, что наблюдаемое значение мень*
ше fx, то какова вероятность того, чго оно меньше чем \х — а?
б) Если известно, что рыба из задачи 11 короче средней длины, то какова
вероятность гого, чго ее Длина меньше 60 см?
13. В двух крупных системах школьного образования в соседних городах с по-
помощью стандартных тестов определялись коэффициенты умственных спо-
способностей в равных по численности группах третьеклассников. В системе I
среднее значение оказалось равным 100 со стандартным отклонением 10; в
системе II среднее было равно 105 со стандартным отклонением 12. У слу-
случайно выбранного ребенка коэффициент умственных способностей оказался
выше 120. Считая распределения нормальными, найдите вероятность того,
• что этот ребенок обучается в системе II. [Указание: воспользуйтесь
теоремой Байеса.]
14. Примерно один ребенок из 700 рождается с синдромом Дауна. В одном шта*
. те за год было зарегистрировано 34 300 новорожденных. Оцените вероят-
вероятность того, что среди этих новорожденных оказалось не менее 56 случаев
синдрома Дауна.
8.4. Неравенство Чебышева и доверительные интервалы
До сих пор мы изучали распределения вероятностей, вычисляя их
средние и дисперсии. В этом параграфе будет доказано полезное нера-
неравенство, показывающее важную роль этих двух чисел, связанных с ве-
вероятностными распределениями.
Предположим, что X является непрерывной случайной величиной
со средним [i и дисперсией а2. Нас может интересовать вероятность
того, что X принимает значения, сильно отличающиеся от среднего.
Следующая теорема позволяет нам оценить эту вероятность.
Теорема 8.4.1. Неравенство Чебышева. Пусть X — не-
непрерывная случайная величина со средним \i и стандартным отклоне-
отклонением а. Тогда для любого t > 0 вероятность того, что X принимает
значения, отличающиеся от \х не менее чем на to, меньше lit2, m. e.
Р (\Х — |д| >/а) < lit2.
G Разделим диапазон X на два множества: St = {х : (х —- jaJ ^
^ /2а2} и S2 = {х : (х — \лJ < t2o2}. По определению,
а2 = Г (x-i
-op
Значит, a2 ^ f (x — \iJf(x)dx, так как второй интеграл неотрицате-
неотрицателен. Но на множестве Sx имеет место неравенство (х — уJ ^ /2a2t
откуда
C [dx.
[f(x)
si

273 Глава 8. Непрерывная вероятность
Интеграл в правой части этого неравенства в точности совпадает с инте-
интересующей нас вероятностью. Это означает, что о2 ^ ^2а2Р ([X — |л| >>
> to). Преобразовывая, получим
Я (|Х — (i|> ta)< \lt2. Ш
Эта теорема полезна лишь при / > 1. Она утверждает, в частности,
что вероятность отличия X от своего среднего более чем на 5 стандарт-
стандартных отклонений меньше 1/52 = 0,04. Это справедливо для любого рас-
распределения вероятностей. Следуя той же схеме рассуждений, можно
построить доказательство теоремы для дискретной случайной величи-
величины. Для конкретных распределений, например для нормального, та-
такая вероятность оказывается меньше 4%. Это иллюстрирует следую-
следующий пример.
Пример 8.4.1. Известно, что в большой популяции плодовой мушки
40% особей имеют некоторую мутацию-Сколь велика должна быть вы-
выборка из этой популяции, чтобы с достоверностью в 95% доля особей
с мутацией составляла от 38 до 42% выборки?
Л Если искомый размер выборки обозначить через /г, то получим
п повторных испытаний в биномиальном эксперименте при р = 0,4.
Тогда \х == пр =¦ 0,4/г и а2 — npq = 0,24д. Пусть X — случайная ве-
величина, равная числу мушек в выборке, имеющих мутацию. Тогда
Х/п означает долю мушек с мутацией и ищется вероятность
> 0,02) = Р (| X—у | ^ 0,02л).
В задаче требуется, чтобы п было настолько большим, что выполняет-
выполняется неравенство
Р1(|Х |а|> 0,02л) <0,05.
Неравенство Чебышева утверждает, что Р (|Х — \*>\^ to) ^. 1^2- Та-
Таким образом, to = 0,02/г, или t2 = /г'2/(а2 • БО2). Но а2 = 0,24/г. Зна-:
чит, t2 = я/@,24 • 502). Кроме того, должно выполняться равенство
Ш2 = 0,05 = 1/20. Отсюда п = 20 - 0,24 • 502 = 12 000. Размера вы-
выборки в 12 000 достаточно для того, чтобы гарантировать от 38 до 42%
мутантов в 95% всех таких выборок.
Другой метод оценки необходимого размера выборки состоит в ис-
использовании нормального приближения для биномиального распре-
распределения. Допустим при этом, что величина X распределена нормаль-
нормально со средним 0,4/z и дисперсией 0,24/г. Требуется найти такое /г, чтобы
выполнялось неравенство
Р (|Х — 0,4л | > 0,02л) < 0,05.
Кай и прежде, 0,02n = to = tVo,24n и t2 == n/600. По таблицам на-
находим такое ху что 1 — F (к) = 0,025. (Вероятность 0,05 состоит из
двух равных слагаемых, соответствующих противоположным «хвое-

§ 3.4. Неравенство Чебьгшева и доверительные интервалы
279
там» единичного нормального распределения,) Это имеет место при
х « 2,0. Таким образом, t = 2,0 и п « 600 • 2,02 = 2400. Этот при-
пример показывает, что неравенство Чебышева дает весьма консерватив-
консервативную оценку* необходимого размера выборки. Другие полезные оцен-
оценки иногда можно получить, используя нормальное приближение. А
В примере 8.4. Г предполагалось, что доля особей популяции, об-
обладающих некоторым признаком, известна. Во многих задачах эта
доля, однако, не известна и мы пытаемся оценить ее, наблюдая про-
процент особей с данным признаком в выборке, извлеченной из популяции.
Предположим, что в биномиальном эксперименте k испытаний из п
закончились успехом. Тогда отношение kin должно быть примерно рав-
равным вероятности успеха при одном испытании, т. е. /?, если п достаточ-
достаточно велико. Если X — случайная величина, равная числу успехов в п
испытаниях, то величину (X — np)/Vnpq можно аппроксимировать
единичной нормальной случайной величиной. Тогда
~]/npq
< 2
0,95.
Это означает, что Р (\Х1п) — р\ ^ 2~Vpqln) ж 0,95. Так как pq =
= р A — р) <; 1/4 (почему?), то, полагая X = ft, получим
if-
Отсюда следует, что
Уп
. 1
по меньшей мере в 95% всех случаев. Этот диапазон значений для ис-
истинной доли р называют 95%-ным доверительным интервалом. Диа-
Диапазон
л Уп
является 99%-ным доверительном интервалом. Это можно получить
из соотношения
теми же рассуждениями, что и выше.
Пример 8.4.2. В большой популяции плодовой мушки неизвестная до-
доля особей р обладает определенной мутацией. В выборке объемом а
* 3 том смысле, чго оценку трудно улучшить. — Прим. пер.

280 Глава 8. Непрерывная вероятность
2500 мух 975 оказались с этой мутацией. Каковы 95- и 99%-ные дове-
доверительные интервалы для р? _
Л Здесь п = 2500, k = 975, kin = 0,39 и Vn = 50. Тогда 95%-ным
доверительным интервалом для р служит диапазон 0,37 <! р <J 0,41,
а 99%-ным — диапазон 0,36 ^ р ^ 0,42. Это значит, что точное зна-
значение р почти наверняка лежит между 36 и 42%,А
Пример 8.4.3. Для изучения сравнительной эффективности двух сни-
снижающих массу диет они назначались в двух группах по 400 испытуе-
испытуемых в каждой. Через месяц 280 из числа испытуемых, соблюдавших
первую диету, сообщили о снижении массы не менее чем на 10 фунтов.
Соблюдая вторую диету, потеряли в массе не менее 10 фунтов за месяц
300 испытуемых. Требуется пояснить смысл этих данных.
Л Данные, полученные в этих двух выборках, позволяют нам
оценить истинные доли людей, которые потеряли бы в массе не менее
10 фунтов, соблюдая эти диеты в течение месяца. Для первой и второй
диет обозначим эти доли соответственно через рх и р2. Наблюдаемые
соотношения в двух выборках по 400 человек равны 280/400 = 0,7 и
300/400 = 0,75. Тогда 95%-ным доверительным интервалом для рх слу-
служит диапазон 0,7 — 1/20 < рх ^ 0,7 + 1/20, или 0,65 < рх < 0,75,
а 99%-ным — диапазон 0,7 — A,3/20) < рг < 0,7 + A,3/20), или
0,635 <! рх ^ 0,765. Аналогично, 95%-ным доверительным интер-
интервалом для /72 является диапазон 0,7 < р2 ^ 0,8, а 99%-ным — диа-
диапазон 0,685 <! р2 ^ 0,815. Мы видим, что эти доверительные интерва-
интервалы для рх и р2 в значительной мере перекрываются. Поэтому на основе
представленных данных нельзя сделать вывод, что одна диета с боль-
большей вероятностью, чем другая, дает снижение массы не менее 10 фун-
фунтов за 1 месяц. А
Задачи к § 8.4
1. а) Пусть X — непрерывная случайная величина со средним 100 и стандарт-
стандартным отклонением 10. Используя неравенство Чебышева, докажите, что ве-
вероятности того, что 80 < X < 120 и 70 < X < 130, соответственно состав-
составляют не менее 3/4 и 89.
б) Вычислите Р (80 < Х< 120) и Р G0 < X < 130), если Х- нормальная
случайная величина со средним 100 и стандартным отклонением 10.
2. В большой популяции дрозофилы 25% особей имеют мутацию крыльев. Из
популяции производят случайную выборку в 300 мух.
*а) G помощью неравенства Чебышева оцените нижнюю границу для верб1-
ятности того, что в выборке содержится от 45 до 105 мух с мутацией крыльев,
б) Какой объем выборки необходим, чтобы гарантировать на 95%, что в вы-
выборке от 20 до 30% мух окажется с мутацией крыльев?
3. Пусть X—любая случайная величина (дискретная либо непрерывная) со
средним р, и дисперсией а. Для величины X 95- и 99%-ные вероятные интер-
интервалы определяются как диапазоны значений X, симметричные относительно
среднего и обладающие тем свойством, что X находится в этих диапазонах
с вероятностями соответственно 95 и 99%. Используя неравенство Чебыше-
Чебышева, докажите, что 95%-ный вероятный интервал для X содержится в отрезке
р- — T\fbQ <; X ^ \х + 2~\/ъ а, а 99%-ный вероятный интервал — в отрез-
отрезке \л — 10а < X < \х + 10а,

§ 8.4. Неравенство Чебышева и доверительные интервалы 281
4. Фирма гарантирует безотказную работу электронного устройства в течение
1000 ч при соблюдении условий эксплуатации. Если средняя длительность
безотказной работы оценивается изготовителем в 1050 ч, то при каком мак-
максимальном значении стандартного отклонения реклама будет оправдываться
по меньшей мере в 99% случаев? Решите эту задачу с помощью: а) неравен*
ства Чебышева; б) нормального распределения.
5. Известно, что в большой популяции 10% людей являются левшами. Из по-
популяции случайным образом производят выборки Сколь большими должны
быть эти выборки, чтобы не менее чем в95?4 из них доля левшей в выборке
составляла от ? до 11%? Оцените необходимый объем выборки с помощью:
а) неравенства Чебышева; б) нормального распределения.
6. Известно, что стандартный метод лечения некоторого заболевания приводит
к полному выздоровлению в 20% всех случаев. Модификация этого мето-
метода, примененная в 10 000 последующих случаев, дала исцеление 2500 боль-
больным Что можно сказать об эффективности данной модификации?
7. С целью изучения причин возникновения сердечно-сосудистых заболеваний
в течение 8 лет велись наблюдения за двумя группами по 400 ветеранов. Пер-
Первая группа соблюдала диету, богатую ненасыщенными жирами, и возник-
возникновение заболеваний составило 31%. Во второй группе диета была обычной,
с высоким содержанием насыщенных жиров, и коэффициент Сердечно-сосу-
Сердечно-сосудистых, заболеваний оказался 48%. Каковы 95- и 99%-ные доверительные
интервалы для частот возникновения сердечно-сосудистых заболеваний в
обеих группах?
8. В двух группах по 1000 мужчин в возрасте от 60 до 70 лет исследовались
признаки прямой связи между курением и коронарным атеросклерозом.
Группа I состояла из лиц, никогда регулярно не куривших, и у 210 из них
обнаружили наличие атеросклероза. Лица группы 11 курили от 20 до 40 си-
сигарет в день, и атеросклероз обнаружили у 440 человек. Поясните смысл
этих данных путем сравнения доверительных интервалов.
9* а) Некоторая среда может служить местообитанием в среднем для 1000 жи-
животных определенного вида. Благодаря флуктуациям в обилии пищи, в на-
наличии хищников и в других факторах численность этого вида колеблется
возле среднего значения. Допустим, что численность популяции распределе-
распределена нормально со стандартным отклонением а ,= 50. С какой вероятностью
в популяции будет более 900 особей? менее 1100 особей?
б) Из описанной выше популяции предлагается изъять урожай в 400 особей.
Полагают, однако, что если численность популяции упадет ниже 500, то по-
популяция не сможет восстановиться до среднего размера за разумное время.
С какой вероятностью численность популяции (после изъятия урожая)
будет меньше 500?
10. Имеются основания предполагать, что на смертность от внезапных сердеч-
сердечных приступов влияет жесткость воды в местном водоснабжении, В годовой
статистике смертности на 1 000 000 человек приходится 2000 случаев смерти
от внезапных сердечных приступов при мягком водоснабжении и 1200 слу-
случаев при жестком водоснабжении. Поясните смысл этих результатов.
11. В крупной больнице 20% пациентов больны раком. Предположим, что из
списка пациентов случайным образом производят две выборки по 400 чело-
человек, причем одна выборка состоит целиком из курящих, а вторая — из не-
некурящих.
а) Каково ожидаемое число больных раком в каждой из выборок, если счи-
считать, что курение никак не влияет на возникновение рака?
б) Допустим, что в этих выборках рак оказался у 120 курильщиков и 50 не-
некурящих. Подтверждают ли эти данные гипотезу, что заболевание раком свя-
связано с курением?
12. Частота преждевременных родов составляет 36 случаев на 1000 рождений
для детей, между родителями которых родственная связь не установлена,
и 62 случая на 1000 родителей для детей, родители которых находятся в род-
родственных отношениях, Допустим, что объем выборки для каждой группы ра-л

282 Глава 8. Непрерывная вероятность
вен 10 000. Подтверждают ли приведенные данные гипотезу, что преждевре-
преждевременные роды более вероятны, когда родители находя 1ся в родственной связи?
13. Опрос мнений может давать неверные результаты, когда берется малая вы-
выборка. Предположим, что 60% населения в 1 000 000 человек настроено про-
против некоторой акции, а 40% одобряет ее. Какого объема выборку нужно
сделать из этой популяции, чтобы с 95%-ной гарантией она показала, что
против акции выступает от 55 до 65% населения? Оцените необходимый раз-
размер выборки с помощью: а) неравенства Чебышева; б) нормального при-
приближения. Почему так различаются две эти оценки?
14. Среди 12 100 случаев смерти от лейкемии, зарегистрированных в течение од-
одного года, 2200 случаев приходится на детей младше 15 лет. Оцените долю
смертей от лейкемии детей младше 15 лет. Что представляют собой 95- и
99%-ные доверительные интервалы для этой оценки, вычисленные на основе
приведенных данных?
15. Согласно теории психокинеза, сознательная мысль способна влиять на дви-
движение объектов. Спланируйте эксперимент, чтобы проверить, имеется ли у
Вас способность к психокинезу. (Используйте подбрасывание монеты или
извлечение карт из тщательно перетасованных колод.) Какого типа резуль-
результаты понадобились бы Вам, чтобы заключить, что Вы обладаете способностью
к психокинезу?
16. Докажите неравенство Чебышева для дискретной случайной величины X,
разбивая пространство значений X на два множества и следуя схеме дока*
зательства для непрерывного случая. ч

9
Математические
модели в биологии
9.1. Построение моделей
В предшествующих главах были рассмотрены различные простые
модели биологических процессов. Типичным примером моделей слу-
служат модели роста из гл. 7. Сделав некоторые допущения относительно
скоростей роста изучаемых популяций, мы получаем возможность оп-
определить численность популяций во все последующие моменты вре-
времени. В сущности, модель биологического процесса представляет со-
собой набор допущений относительно данного процесса в совокупности
с анализом логических следствий из этих допущений. Математическая
модель получается тогда, когда допущения можно выразить в матема-
математической форме. Разумеется, модели строятся для описания реальных
процессов, и всякое предсказание, основанное на анализе модели, не-
необходимо сравнивать с экспериментальными наблюдениями, чтобы
проверить справедливость сделанных допущений.
Первая проблема, возникающая при построении модели, состоит
в выборе ключевых переменных, с помощью которых можно было бы
понять основные свойства рассматриваемого процесса. В зависимости
от конкретной задачи ключевыми переменными могут быть: потребле-
потребление энергии, скорость дыхания, доступное пространство, частота за-
заболевания и т. д. Другими переменными, такими, как, например, ско-
скорость мутаций, влажность и время года, можно пренебречь, если счи-
считать, что в описании данного конкретного процесса их роль сравни-
сравнительно мала.
Как только выбраны ключевые переменные, возникает необходи-
необходимость в системе понятий и языке, способных описать существенные
черты процесса. Эта система призвана объяснить экспериментальные
наблюдения и всегда предполагает возможность модификации с целью
учета дальнейших экспериментов или получения новых интерпрета-
интерпретаций прежних результатов.
Если допущения модели выражены в математической форме, то для
вывода логических следствий из этих допущений в распоряжении ис-
исследователя имеется весь арсенал математических средств. Очень час-
часто эти математические следствия приводят к таким предсказаниям,
связанным с биологическим процессом, которые вряд ли можно было

2#4 Глава 9. Математические модели в биологии
бы понять и предвидеть, занимаясь лишь экспериментом и наблюде-i
ниями.
Модель подсчета клеток под микроскопом (см. пример 2.9.3) при-
приводит к тому удивительному результату, что общее число клеток мож-
можно определить, считая попросту количество тех квадратов решетки,
в которых клеток не содержится. Модель логистического роста попу-
популяции порождает вывод, что популяция приближается со временем
к предельному (равновесному) размеру.
В математической форме выражения допущений биологической мо-
модели имеются и определенные недостатки. Часто бывает необходимо
существенно упростить задачу. Если такое упрощение заходит слиш-
слишком далеко, то модель перестает отражать какие-то важные черты ре-
реальности, которые мы стремимся понять. Например, при построении
математической модели экосистемы может возникнуть необходимость
пренебречь некоторыми потенциально важными взаимодействиями,
чтобы получить достаточно простую для исследования модель. Одна-
Однако нужно сознавать, что, даже когда модели не могут быть реалистич-
реалистичными, уже сама попытка их построения может привести к лучшему вы-
выбору ключевых переменных и пониманию взаимосвязей между ними/
После того как проанализированы результаты простой модели, ее
можно сделать более реалистичной, изменив некоторые допущения мо-
модели. Следует также подчеркнуть, что в настоящее время с развитием
быстродействующих ЭВМ некоторые типы сложных моделей переста-
перестали быть сложными для анализа.
В данной главе построение моделей биологических процессов про-
продемонстрировано на ряде примеров. Выбранные примеры относятся к
сходным типам проблем — происхождению, выживанию и эволюции
индивидуумов, популяций и видов. Читатель должен будет заметить,
как эти модели концентрируются на различных вопросах и как они
связаны между собой. Следует весьма критически проанализировав
сделанные допущения и решить, являются ли эти допущения разум-
разумным приближением к реальности. Чтобы улучшить рассматриваемое
описание действительности, нужно было бы продолжить процесс из-
изменения допущений и построить последовательность моделей, дающих
все более точное описание реальной биологической системы. Во многих
случаях бывает возможным определить добавочные члены, учитываю-
учитывающие те факторы, которыми сначала пренебрегали.
Приведенная ниже цитата взята из обзора текущего состояния
(в 1970 г.) биологических наук: «Биология превратилась в зрелую нау-
науку, поскольку она стала точной и количественной. Биолог зависит от
своей аппаратуры не меньше, чем физик. Однако биолог не пользуется
особыми биологическими инструментами. Он является оппортунистом,
использующим магнитно-резонансный ядерный спектрометр, телемет-
телеметрический комплекс или самолет, оборудованный для фотографирова-
фотографирования в инфракрасных лучах, в зависимости от той биологической про*
блемы, которую он штурмует. И в каждом случае биолог всегда благо*

§ 9;2. Выживание и вымирание видов 285
дарен физикам, химикам и инженерам, создавшим те инструменты/
которые он адаптирует для своего дела»*.
Можно было бы добавить, что математические модели стали обяза-
обязательным инструментом исследований почти в каждой области биоло-
биологии.
Задачи к § 9.1
1. Почему нужны модели биологических процессов? В качестве примеров рас-
рассмотрите: а) борьбу с вредителями; б) наследование признаков. В чем была
бы ограниченность чисто словесных или описательных моделей для этих
процессов?
2. Какие переменные являются ключевыми для следующих биологических про-
процессов: а) сосуществование видов в некоторой среде; б) рост урожая; в)
распространение инфекционного заболевания?
3. Прокомментируйте следующее высказывание: «Модели предназначены для
того, чтобы служить не точными копиями реального мира, а лишь упроще-
упрощениями, которые обнаруживают ключевые процессы, необходимые для пред-
предсказания»**.
9.2. Выживание и вымирание видов
Если в одном и том же географическом регионе обитают популяции
двух видов, имеющих одинаковые экологические потребности в пище,
пространстве и других ресурсах, то согласно теории конкуренции мы
должны ожидать, что более приспособленный из двух видов полностью
вытеснит менее приспособленный. В этом состоит суть принципа
конкурентного исключения. Сформулированный в
более краткой форме, этот принцип утверждает, что не могут сосущест-
сосуществовать виды, конкурирующие за один ресурс, или 4fo два вида не мо-
могут занимать одну и ту же экологическую нишу***. Указанный прин-
принцип послужил предметом определенной полемики в научной литера-
литературе и стимулировал важные экологические исследования.
Для проверки принципа конкурентного исключения Мак-Артур****
изучал сосуществование пяти видов славок в одном из лесов штата
Коннектикут. Эти виды славок принадлежат одному роду и обнаружи-
обнаруживаются вместе во время брачного сезона. Славки разных видов имеют
сходную форму и близкие размеры. Похожи и их рационы, состоящие
в основном из насекомых. Сосуществование этих видов славок нахо-
* Handler P. (ed.). Biology and the Future of Man. Oxford University
Press. N. Y. 1970, p. 6.
** О d u m E. P. Fundamentals of Ecology, 3rded. W. B. Saunders Company.
Philadelphia, 1971. Имеется русский перевод: Одум КХ Основы экологии.
Пер. с англ. М., Мир, 1975. — Прим. пер.
*** G a u s e G. and W i 11 A. Behavior of mixed populations and the prob-
problem of natural selection. — American Naturalist, 1935, № 69, p. 596—609; H a r-
d i n G. The competitive exclusion principle. — Science, 1960, № 131, p. 1291 —
— 1297.
¦ #*¦* Mac Arthur Ri H. Population ecology of some warblers of Nort-'
heastern coniferous forests. — Ecology, 1958, №39, p. 599—619.

286 Глава 9. Математические модели в биологии
далось в явном противоречии с принципом конкурентного исключе-
исключения. Однако в ходе тщательных наблюдений Мак-Артур установилt
что способ поведения этих видов ставит их на самом деле в различные
условия. Эти важные различия касались следующего: виды питаются
в различных местах дерева; в процессе поиска пищи они используют
разные стратегии парения и нападения и наибольшие потребности в
пище виды испытывают в разные моменты времени, соответствующие
различным срокам гнездования. Благодаря этим различиям прямая
конкуренция между видами ослабляется и становится возможным их
сосуществование.
Если, например, мы могли бы различать три места питания, три
стратегии нападения и три срока гнездования, то принцип конкурент-
конкурентного исключения допускал бы сосуществование не более 3x3x3 =
=== 27 видов славок. Ясно, что благодаря широкому спектру поведения
видов наблюдаемое в природе разнообразие сосуществующих видов не
противоречит этому принципу.
В словах «стратегия парения и нападения» использовался термин
«стратегия». Если оба конкурирующих вида ведут поиск насекомых
на одних и тех же частях дерева, то доход каждого из видов будет
уменьшаться. С другой стороны, оба вида могли бы рассчитывать на
увеличение дохода, если бы они специализировались на различных час-
частях дерева. Это можно смоделировать с помощью матричной игры, про-
происходящей между каждым из видов и насекомыми. Матрицей такой»
игры может служить следующая матрица размера 2x2:
1/2
Если оба вида питаются в одном и том же месте, то они получают по
половине насекомого каждый. Если же виды питаются в разных местах,
то каждый из них получает по одному насекомому. С помощью этой
игры (а также более сложных игр) попытаемся объяснить поведение
различных видов в терминах стратегий.
Принцип конкурентного исключения утверждает, что если два вида
имеют одинаковые экологические потребности, то более приспособ-
приспособленный вид будет вытеснять менее приспособленный. Чтобы получить
модель этого процесса, рассмотрим случай двух конкурирующих ви-
видов с одинаковыми экологическими потребностями, сосуществующих
в некоторый момент времени в среде, которая способна обеспечить ре-
ресурсами ровно N особей обоих видов. Допустим, что первоначально
в среде имелось k особей вида \ к N — k особей вида II. Предположим,
что конкуренцию между двумя видами можно представить как после-
последовательность столкновений между ними, причем вероятность того,
что вид I увеличится после столкновения на одну особь, равна /?, а ве-
вероятность увеличения на одну особь вида II есть q=l — р. Например,
оба вида приспособлены одинаково, если р = q = 1/2, и первый вид

§ 9.2. Выживание и вымирание видов 287
обладает селективным преимуществом, если р> q. Допустим, что р
не зависит от числеиностей k и N — к обоих видов.
Конкуренция по этим правилам продолжается до тех пор, пока один
из видов не вытеснит полностью другой. Именно этот процесс хотелось
бы понять. Для этого определим pk как вероятность того, что вид I
вытесняет вид II, если начальная численность вида I была равна k.
Если начальная численность популяции есть 0, то р0 = 0, так как
вид I уже вытеснен. Если начальная численность популяции равна N
особей, то pN = 1, поскольку вид I уже вытеснил вид IL После пер-
первого столкновения популяция вида I будет насчитывать k + 1 или
k — 1 особей с вероятностями р и q соответственно. Таким образом,
вероятность ph представляет собой сумму двух членов:
Здесь ррь+г означает вероятность того, что после одного хода вид I
имеет численность k + 1 и вытесняет затем вид II. Аналогично,
QPh-i означает вероятность того, что вид I имеет после одного хода
численность k— In вытесняет затем вид II.
Соотношение (9.1) — это линейное разностное уравнение второго
порядка с постоянными коэффициентами. Будем искать его решения в
виде рк — №. Вспомогательное уравнение имеет вид
-1, или pi2—l + q = 0. (9.2)
Корни этого квадратного уравнения находятся по формуле
} ^ 1 ± У\-4рд _ 1 ± Vl—-4/7A—р) _^ 1 db (I—2p)
откуда
%л = 1, Я2 = A —p)lp =qlp.
Эти корни равны, когда р = q = 1/2. Таким образом, общее решение
уравнения (9.1) имеет следующий вид:
ph = с± + с2 (q/p)k при
Ph = сг + c2k при р = q,
где Ci нс2 — постоянные, подлежащие нахождению. Согласно oni>e-
делению pk, было установлено, что р0 == 0 и pN = 1. Значит, если
р Ф 1/2, то
сх + с2 = 0, сх + с2 {qlp)N = U
Отсюда следует, что

288 Глава 9. Математические модели в биологии
р = 1/2, то сл = 0 и c2N = 1, или ?2 = 1/N. Окончательно при*
ходим к гом), что искомое решение уравнения (9.1) есть
(9.3)
ph = й/ЛА при р = 1/2.
В данной простой модели мы смогли в явном виде вычислить веро-
вероятность вытеснения одного вида другим. Рассмотрим различные воз-
возможности для популяций с общей численностью N — 1000. Если наг
чальные популяции обоих видов насчитывали по 500 особей и если
р = q = 1/2, то вероятность вытеснения видом I вида II равна рш =»
= 500/1000 = 1/2. Это указывает на то, что в данном случае ни один
из видов не имеет конкурентного преимущества. Но если р = 2/3 и
q*^ 1/3, то
1 „A/2)боо 1
Число A/2M00 крайне мало (более 100 нулей после десятичной запя-
запятой). Поэтому в данном случае практически с единичной вероятностью
вид II будет вымирать. Даже малые конкурентные преимущества (ког-
(когда р чуть больше 1/2) при данных начальных численностях приводят
к такому же результату. Заметим, что если р = 2/3 и q = 1/3, но на-
начальные численности видов I и II равны соответственно 1 и 999, тф
вероятность вытеснения первым видом второго есть
1—A/2)х 1
Г)л = Ж i
1—A/2I000 2
В частности, отсюда следует, что если даже один индивидуум более
приспособленного вида вторгается на территорию другого вида, то с
вероятностью 1/2 внедряющийся вид полностью вытеснит коренной
вид. Если же р = q = 1/2, то рх = 1/1000. Иными словами, если оба
вида одинаково хорошо приспособлены, то маловероятно, что появле-
появление единичного индивидуума одного вида приведет к вытеснению дру-
другого вида.
Эту простую модель выживания и вымирания видов можно было бы
развивать далее с помощью теории марковских цепей. Эксперименталь-
Экспериментальная система может находиться в N+1 состояниях, соответствующих
Af + 1 возможным численностям 0, 1, 2, ..., N вида I. Переходная
матрица представляет собой матрицу размера (N + 1) X (N + 1)>
большинство элементов которой равны нулю. Если N = 1000, то это
матрица размера 1001 х 1001, показывающая, что данный метод от-
отнюдь не самый практичный метод исследования такой модели. Одна-
Однако если N = 5, то переходная матрица представляет собой стохасти*
ческую матрицу размера 6 х 6. В этом случае модель легко поддает-

§9.2. Выживание и вымирание видов 289
бя исследованию методами, изложенными в гл. 5. На самом щле опи-
описанная в примере 5.3.3 игра эквивалентна модели выживания и выми-
вымирания, которая рассматривалась в данном параграфе.
Задачи к § 9.2
t. Допустим, что в модели выживания и вымирания видов вид I имеет сел^ж*
тивное преимущество (р > q). Докажите, что вид 1 будете зытеснгн с вероят-
вероятностью
1—Рл = -
где k — начальная численность вида I, a N — общая численность обоих ви-
видов. Покажите, что если N мало, то вероятность вымирания более приспо-
приспособленного вида не является пренебрежимо малой величиной. Разумно ли
такое свойство этой модели? (Этот процесс, в ходе которого может оказать-
оказаться вытесненным более приспособленный вид, назван ошибкой выборки или
случайным закреплением.)
2» Одно из допущений модели состоит в том, что вероятность р успеха при каж-
каждом столкновении не зависит от численности k вида I. Справедливо ли такое
допущение для некоторых типов конкуренции? Как можно было бы модифи-
модифицировать это допущение?
3. Благодаря своей простоте модель, рассмотренная в данном параграфе, да-
дает точное предсказание исхода конкуренции. Какие трудности могут воз-
возникнуть при попытках сравнить эти предсказания с конкуренцией между ви-
видами в лабораторных или полевых условиях?
4. Предположим, что на острове небольшой площади имеется пространство,
достаточное для 1000 особей определенного вида. В некотором году в этой
.популяции возникает более приспособленный мутант. В каждом последую-
последующем поколении численность мутанта либо увеличивается, либо уменьшается
на единицу с вероятностями 0,7 и 0,3 соответственно. В частности, вероят-
вероятность исчезновения мутанта в первом поколений' равна 0,3. С какой вероят-
вероятностью популяция мутанта вытеснит исходную популяцию?
б„ Рассмотрим два острова — большой и малой площади, — расположенные на
одинаковом расстоянии от гораздо более крупного массива суши (например,
материка). Предположим, что оба острова имеют примерно одинаковую
географию и колонизируются видами с материка. Используя идеи настоя-
настоящего параграфа, объясните, почему естественно ожидать, что на большом
острове окажется больше видов, чем на малом*.
6. Со ссылками на понятия и на модель настоящего параграфа прокомменти-
прокомментируйте следующее высказывание: «Критическим в творлеском анализе систем
оказывается момент решения о том, что стоит знать о системе. Существует
предубеждение, что для того, чтобы познать что-либо, необходимо эго точно
определить и точно измерить. В развитии популяционной биологии ситу-
ситуация на самом деле была иной. Теория пиши начиналась как нечеткая эврис-
эвристическая концепция, исходящая из того, что организмы ассоциируются о оп-
определенными типами среды. Последующее развитие этой концепции включа-
включало уточнение некоторых вещей, изменение определений, применение кон-
концепции к определенным тестовым ситуациям»**.
* По данной проблеме развитую теорию см. в кн.* MacArthurR. H.f
Wilson Е. О. Theory of Island Biogeography. Princeton University Press,
Pnnceton. N. Y., 1967.
** Levins, ft. Complex systems. — In: Waddington G. H. (ed). Towards
a Theoretical Biology. Chicago, Aldine — Atherton Inc., 1970, vol. 3.
10 Зак 1370

290 Глава 9. Математические модели в биологии
7, Открытие канала между двумя не связанными прежде водоемами ведет, во*
обще говоря, к переносу видов между этими водоемами. Опишите общие чер-
черты этого процесса, принимая во внимание возможность существования не-
незанятых ниш.
9.3. Генетика и закон Харди — Вайнберга
Начало современной теории наследования признаков относится к экс-
экспериментам Грегора Менделя с огородным горохом, результаты кото-
которых были опубликованы в 1865 г. Объясняя эти результаты,, Мендель
пришел к выводу о существовании общих законов, управляющих
передачей признаков от родителей к потомству. Он, в частности, пред-
предположил, что наследственность является результатом передачи от ро-
родителей к детям неких частиц (называемых теперь генами). Действи-
Действительная природа этих генов и механизмы, с помощью которых гены оп-
определяют признаки, и по сей день представляют собой одни из важней-
важнейших проблем биологической науки.
Каждый конкретный ген может встречаться в нескольких формах,
или аллелях. Для простоты мы будем рассматривать ген лишь с двумя
аллелями: А и а. Сгруппированные вместе в хромосомах, гены входят
в каждую клетку организма. За исключением репродуктивных клеток,
гены присутствуют в клетках парами, находясь в парных хромосомах*.
Три возможные пары такого гена — А А, Аа и аа — определяют три
возможных генотипа организма по отношению к данному гену. Гено-
Генотипы АА и аа называются гомозиготными (или чистыми), а генотип
Аа называется гетерозиготным (или гибридным).
Репродуктивные клетки (спермин и яйцеклетки) имеют непарный
набор хромосом и потому лишь один экземпляр каждого гена. Гено-
Генотип потомка является результатом соединения генов двух репродук-
репродуктивных клеток — по одному от каждого родителя. Когда оба родите-
родителя гомозиготны, генотип потомства детерминирован. Если, например,
один родитель имеет генотип АА, а другой — генотип аа, то потомство
должно иметь генотип Аа. Если же один или оба родителя гетерози-
гетерозиготны, то генотип потомства детерминированным не является. Напри-
Например, если гетерозиготны оба родителя, то потомство может иметь гено-
генотипы АА, Аа и аа с вероятностями 1/4, 1/2 и 1/4 соответственно (при
допущении одинаковой жизнеспособности генотипов потомства).
Многие признаки, как, например, альбинизм у человека, опреде-
определяются единственным геном. Другие же, как масса или умственные спо-
способности, определяются совместным влиянием очень большого числа
генов и часто очень сильно зависят от факторов внешней среды.
Из двух аллелей некоторого гена аллель А называют доминантным,
если генотипы АА и Аа фенотипически неотличимы один от другого.
Тогда аллель а называется рецессивным, если генотип аа внешне отли-
отличается от генотипов АА и Аа. Серповидно-клеточная анемия у чело-
человека дает пример гена с доминантным и рецессивным аллелями. Инди-
Речь идет о диплоидных организмах.— Прим. ред.

§ 9.3. Генетика и закон Харди—Вайнберга 291
видуум аа неизменно страдает от тяжелой анемии, ведущей к гибели в
детском возрасте.
Если бы все особи популяции данного вида можно было классифи-
классифицировать согласно генотипам АА, Аа и аа, то мы смогли бы опреде-
определить соотношение двух этих аллелей в популяции. Этого нельзя сде-
сделать, если генотилы АА и Аа были неразличимы. Используем для обо-
обозначения частот трех генотипов в популяции буквы a, v и w и допус-
допустим, что эти три частоты поддаются определению. Тогда частоты р и
q двух аллелей Л и а в популяции удовлетворяют уравнениям
p = u + ±v9 q = ±v + w. (9.4)
Здесь мы воспользовались тем фактом, что множество аллеля А вклю-
включает в себя 100% аллелей генотипа АА (имеющего в популяции часто-
частоту и) и 50% аллелей генотипа Аа (аналогично и для аллеля а). Заме-
Заметим, что второе уравнение (9.4) вытекает также из первого уравнения,
поскольку р + q = lnu + v + w= 1. Если допустить, что среди са-
самок и самцов генотипы встречаются в одинаковой пропорции, то р и q
будут (в большой популяции) соответствовать вероятностям того, что
ген представлен в форме соответственно аллеля А или аллеля а. Слу-
Случай сцепленных с полом генов рассматривается в конце настоящего
параграфа.
Пример 9.3.1. В некоторой популяции имеет место следующее распре-
распределение частот генотипов: А А — 50%, Аа — 30% и аа — 20%. Како-
Каковы частоты аллелей А и а в этой популяции?
Л Здесь и = 0,5, v = 0,3 и w = 0,2. Поэтому р = 0,5 -+•
+ A/2) • 0,3 = 0,65 и q = 0,15 + 0,2 = 0,35. Это означает, что ген-
генная «популяция» на 65% состоит из гена А и на 35% — из гена q,. A
Часто бывает необходимо решать обратную задачу — отыскание
частот генотипов, когда известны частоты аллелей в популяции. Ре-
Решение этой задачи в общем случае не единственно. Система уравнений
(9.4)' сводится к одному уравнению о двумя неизвестными: р = и + у v.
Чтобы получить второе независимое уравнение, мы сделаем допуще-
допущение о случайном скрещивании. Это означает, что вероятность, с кото-
которой данный индивидуум скрещивается g другим индивидуумом, не
зависит от генотипа последнего. Во многих случаях это оказывается
хорошим приближением, но не всегда. Известно, например, что люди
высокого роста стремятся вступить в брак g высокими людьми, так
что рост человека таким путем анализировать нельзя. С другой сторо-
стороны, установлено, что допущение о случайном скрещивании применимо
к такому признаку человека, как группа крови. Большинство людей
выбирают супруга, не заботясь о группе крови.
Предположим, как и выше, что р и q обозначают частоты аллелей
А и а как среди самцов, так и среди самок. Тогда, если считать, что
популяция достаточно велика, вероятность получения потомком алле-
Ю*

29? Глава 9. Математические модели в биологии
ля А от обоих родителей равна /А Аналогично, частоты генотипов Аа
и аа в потомстве соответственно равны 2pq и q2. Выражение 2pq отра-
отражает тот факт, что генотипы Аа и аА идентичны. Так как вероятность
появления генотипа Аа в потомстве есть pq, а генотипа аА есть qpt
то вероятность появления Аа равна 2pq. Этот результат приводит к
следующему закону, установленному независимо Харди и Вайнбер-
гом в 1908 г.
Теорема (закон Хард и—В айнберга). Пусть в большой роди-
родительской популяции аллели А и а некоторого гена представлены с часто-
частотами р и q — 1 — р. Если эти частоты одинаковы для самок и самцоб
и если скрещивание случайное, то первое и все последующие поколения
будут состоять из трех генотипов АА, Аа и аа с частотами р2, 2pq
и q2.
П Как мы уже видели, индивидуум первого поколения имеет гещ>
тип А А, если оба его родителя привносят аллель А. Так как вероятность
получения аллеля А от каждого из родителей есть р, то вероятность ге-
генотипа АА в потомстве равна р2. Аналогично, вероятности генотипбв,
Аа и аа равны 2pq и q2. Отсюда следует, что частоты рх и qx аллелей А
и а в первом поколении даются соотношениями
Р< = р2 + Y ' 2РЧ = Р (Р + Ф ^ Р>
Т
+ 42 = q (Р + Q) = Q.
Таким образом, частоты этих двух аллелей не изменяются по сравне*
нию с m ходным поколением. Это продолжается от одного поколений
к другому, и мы приходим к тому, что начиная с первого поколения
частоты трех генотипов АА, Аа и аа сохраняют постоянные значений,
равные р2, 2pq и q2. Ш
Пример 9.3.2. У душистого горошка окраска цветков определяется
одной парой генов. Три генотипа характеризуются соответственно крас-
красными, розовыми и белыми цветками. Если на поле, засеянном случай-
случайным образом, имеется 60% красных и 40% белых цветков, то каки-
какими будут частоты трех генотипов в четвертом поколении?
А Имеем р = 0,6 и q = 0,4. Согласно закону Харди—Вайнбергз»
частоты красных, розовых и белых цветков в первом и всех последую-
последующих поколениях будут равны р2, 2pq и q2, или 0,36, 0,48 и 0,16. Заме-
Заметим,что здесь допущение о случайном засеивании эквивалентно допу-
допущению о случайном опылении. JL
Подчеркнем, что закон Харди—Вайнбергз справедлив лишь тогда,
когда скрещивание случайно и когда все три генотипа одинаково жиз-
жизнеспособны. В следующем параграфе будут рассматриваться модели,
в которых один аллель обладает селективным преимуществом. В от-
отдельных случаях бывает довольно трудно установить, что скрещивй-
ние является случайным. Однако если частоты генотипов остаются по-
постоянными в течение нескольких поколений и если эти частоты удов-

f 9-3. Генетика и закон Харди—Ваинберга 293
летворяют закону Харди—Вайнберга, то это можно рассматривать
ка$ серьезное свидетельство в пользу гипотезы случайного скрещива-
скрещиваний. На практике факт случайности скрещивания для групп крбви
человека (так же как и для многих других признаков растений и жи-
животных) устанавливается путем сравнения наблюдаемых частот гено-
тцпов с законом Харди—Вайнберга. Следует заметить, что йесов-
падение измеренных частот с теоретическими еще не означает, что скре-
скрещивание в данном случае не является случайным. Это несовпадение
может быть отнесено за счет других факторов, таких, как, например,
дифференцированная смертность генотипов.
Можно попытаться обобщить теорему на случай гена с п аллеля-
аллелями Аъ Л2, ..., Ап. Если соответствующие частоты, с которыми в ро-
родительской популяции представлены различные аллели, обозначить
через р19 /?2, ..., рпу то частоты( 2 ) генотипов (см. задачу 13 к § 1.5)
в первом и всех последующих поколениях будут задаваться слагаемы-
слагаемыми полиномиального выражения (р± + р2 + ... + рп)* (см. задачи 7
и/8, к §9.3).
Важной группой признаков, которые не подчиняются закону Хар-
Харди—Вайнберга, являются признаки, сцепленные g полом. Как мы ус-
установили, гены встречаются парами, группируясь в парных хромосо-
хромосомах. У многих видов пол определяется одной парой хромосом: XX для
самок и XY для самцов. Если конкретный ген встречается только в X-
хромосоме (как, например, гены* определяющие гемофилию или даль-
дальтонизм у человека), то генотипы по данному гену у самцов и самок бу-
буду^ .р^личны,. Самок по-прежнему можно классифицировать как AAt
Аа и, аир. .так как у них имеются две Х-хромосрмы. Самцы, напротив,
имеют лишь по одной Х-хромосоме и потому могут.принадлежать од-
одному из двух генотипов: А или а. Этим объясняется, в частности, по-
почему гемофилия не может передаваться сыну через отца, так как сын
всегда наследует от отца Г-хромосому. Разумеется, это заболевание
может быть передано от отца к дочери и от дочери к внуку.
Чтобы исследовать частоты генотипов для признаков, сцепленных
с полом, определим и, v и w как начальные частоты генотипов АА,
Аа и аа в популяции самок. Тогда начальные частоты аллелей в попу-
популяции самок составят р* = и + -^ v и <7? =jti + a;. Аналогично, оп-
определим рт и qm как начальные частоты аллелей (и генотипов) А и а
в популяции самцов. Заметим, что ц + о + до = pr + qf = ptn + Qm =
Обозначим соответствующие частоты в первом поколении через
иъ vn wn p[, <7i> РТ и ??• Задача состоит в том, чтобы выразить эти
частоты в первом поколении через частоты родительского поколения.
Генотип потомка мужского пола целиком определяется генотипом ere
матери. Поэтому
Р? = р\ QT = Я*. (9.5)

294 Глава 9. Математические модели в биологии
Самка имеет генотип А А, когда она получает аллель Ли от отца, и От
матери; аналогичная ситуация имеет место с генотипами Аа и аа. Та-
Таким образом, получаем, что
ui = PfPm> Щ = PfQm + QfPmy wi = 4^m- (9.6)
Эти уравнения приводят к следующим выражениям для р[ и q[\
P[ + v PfPm +
Эти выражения можно упростить с учетом того, что р^ + qf = рт
1
В результате получаем
р1 = у (/>'" + Pf), 9! = у to'" + <?f). (9.7)
Это означает, что частоты аллелей среди самок первого поколения пред-
представляют собой средние значения соответствующих частот в родитель-
родительских популяциях самцов и самок. Объединяя равенства (9.5) и (9,7),
получаем
P7pt ipfpm) 91? ^ ^ Г>
Таким образом, разница между частотами каждого аллеля в популя-
популяциях самцов и самок за одно 'поколение уменьшается вдвое. В следую-
следующем поколении эти разности вновь уменьшатся вдвое, и мы приходим
к выводу, что после нескольких поколений частоты генов будут при-
приближаться к равновесным значениям с равным соотношением частот
аллелей по каждому полу. Процесс приближения к равновесию более
подробно описывается в следующих задачах.
Задачи к § 9.3
В задачах 1—4 рассматривается сцепленный'с полом признак, который опреде-
определяется геном с двумя аллелями Ana. Частоты аллеля Л в популяциях сам-
самцов и самок я-го поколения обозначаются соответственно через р™ и pjj. Ана-
Аналогичные частоты для аллеля а обозначаются через q™ и q^n,
3 1 3 1
1. Докажите, что р[=— р* +— рт и </?=— qf + — qm-
4 4 4 4

$ 9.3. Генетика и здкон Харди— Вайнберга
2. Используя математическую индукцию, покажите, что
3. С помощью результата задачи 2 докажите, что
Это равновесные частоты генов в популяции самок. Чему равны аналогич-
аналогичные равновесные частоты генов в популяции самцов? (Объяснение терми-
терминологии см. в задаче 9 к § 5.1 или в Приложении Б.)
4. В соответствии с результатами задач 2 и 3 мы видим, что доли р*п и q^n при-
2 . | 2 1
мерно равны g pf + ^ Рт и g Я* + g ^W* ^ля этих приближений слагаемые
pf— рт qf—qtn
(—\)п ? t 2^ и (—1)п з » 2п являются остаточными членами. Убедитесь,
что при п > 9 оба остаточных члена меньше 0,001, Покажите, что после 10
поколений колебания частот двух аллелей при переходе от одного поколе-
поколения к следующему не превышают 0,001.
5. Способность различать вкус некоторых веществ является генетически обус-
обусловленной. Для 70% Людей одной большой популяции фенилтиомочевина
(ФТМ) имеет горький вкус, а для остальных 30% она безвкусна. Считая,
что способность или неспособность различать на вкус ФТМ контролируется
единственным геном, оцените в этой популяции частоты доминантного гена,
обусловливающего чувствительность к вкусу ФТМ, и рецессивного гена,
определяющего нечувствительность. Какова в этой популяции доля индиви-
индивидуумов, гетерозиготных по данному гену?
6. На-репродуктивную способность организма влияют многие гены. В отдель-
отдельных случаях все же можно применять закон Харди—Вайнберга для пред-
предсказания частот генотипов на тех стадиях следующего поколения, где еще
не вступает в действие естественный отбор. Например, мутация vestigial у
плодовой мушки является рецессивной. Для этой мутации характерны уко-
укороченные крылья, что ухудшает способность рецессивного генотипа к выжи-
выживанию и размножению. Предположим, что мутация vestigial имеется у од-
одной из 6400 взрослых особей большой популяции. Оцените частоты геноти-
генотипов в следующем поколении на предшествующих отбору стадиях.
7. Рассмотрим ген с четырьмя аллелями: Aif AZt A3 и Л4. Выпишите 10 гено-
генотипов, соответствующих этому гену. Допустим, что в большой популяции в
начальный момент эти четыре аллеля присутствуют в равных соотношениях.
Считая, что эти соотношения одинаковы среди самцов и среди оамок, и пред-
предполагая скрещивание случайным, определите частоты различных генотипов
в первом и всех последующих поколениях*
8. Рассмотрим ген с п аллелями Л^, Л2, ..,, Ап, частоты которых в популяции
равны pft pv ..., рп. Вычислите для этой популяции отношение ромозйгот-
ных генотипов к гетерозиготным. Докажите, что если частохы генотипов рав-
равны, то отношение составляет 1/ (п — 1),

296 Глава 0. Математические модели в биологи»
9.4. Модели отбора и приспособленности
В модели из § 9.2, описывающей выживание и вымирание в системе из
двух конкурирующих видов, не находит должного отражения динами-
динамика этого процесса. Другим недостатком этой модели является отсутст-
отсутствие связи между р и q — вероятностями успеха и неудачи при каждом
столкновении —с генетическими переменными или переменными среда»
В одних ситуациях естественно полагать, что р зависит в основном от
услЬвий среды. Например, критическими факторами, определяющими
исход конкуренции между двумя видами жуков, служат температура-и
влажность среды*. В других ситуациях исход конкуренции между дву-
двумя популяциями определяется в основном генетическими факторами.
В § 9.3 рассматривались модели, в которых частоты различных гено-
генотипов в популяции приближались к постоянным значениям. В настоя-
настоящем параграфе будут изучаться модели изолированной популяции, в
которой один аллель некоторого гена может замещаться другим алле-
лем**.
Рассмотрим среду, в которой могут обитать ровно п размножаю-
размножающихся особей в каждом из последовательных поколений популяции.
Некоторый ген с двумя аллелями А и а представлен в каждом поколе-
поколении в количестве 2п. Предположим, что в га-м поколении аллель А
встречается i раз, а аллель а встречается 2п — i раз. Желательно бы-
было бы разработать модель, позволяющую определить вероятность того,
что в следующем поколении аллель А встретится j раз, а аллель а встре-
встретится 2/г — / раз (при / = 0, 1, 2, ..., 2п). На языке марковских цепей
это означает, что система имеет 2п + 1 состояний ?0, Еъ ..., Eit ... ?2ц*
соответствующих наличию в популяции 0, 1, 2, ..., 2п аллелей А. По-
Последовательные состояния марковской цепи соответствуют последова-
последовательным поколениям популяции. Чтобы описать эту марковскую
цепь, требуется определить вероятности перехода ptJ из t-ro состояния
цепи в /*-е. Заметим, что состояния Ео и Е2п являются поглощающими
и соответствуют популяциям, все особи которых имеют соответствен-
соответственно генотип аа или генотип А А. Важно отметить, что размер популяции
мы учитываем в явном виде. При выводе же закона Харди—Вайнберга
в § 9.3 предполагалось лишь, что популяция достаточно велика.
В отсутствие иной информации мы вновь считаем, что скрещивание
является случайным и. что ни один из трех генотипов А А, Аа и аа не
обладает селективным преимуществом, которое увеличивало бы веро-
вероятность его успешного размножения. При этих допущениях популя-
популяция (т + 1)-го поколения определяется в результате 2п повторных
испытаний в биномиальном эксперименте с вероятностью получения
* Р а г к Т. Beetls, competition and populations. — Science, 1962, № 138,
p. 1369—1375.
** F e 1 1 e г W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications.
3 rd ed., John Wiley & Sons, Inc., N. Y., 1968, vol. I. Имеется русский перевод:
Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, Пер, с англ,
М„ Мир, 1967. — Прим, пер,

I 9:4. Модели отбора в приспособленности 207
аллеля а при одном испытании, равной 1,— i/Bn). Вероятность / «ус-
«успехов» (т. е. / аллелей А в следующем поколении) задается биномиаль-
биномиальной, вероятностью
....... .... . .„.._, ^
Эти переходные вероятности и определяют марковскую цепь. Матема-
Математическое ожидание численности аллеля А в (т + 1)-м поколении рав-
равно 2 JPij «= /(почему?). Вероятность того, что в следующем поколении
из популяции исчезнет аллель А или что исчезнет аллель а, задается ве-
- (910)
Если i мало по сравнению с 2п (т. е. если аллель А встречается в. пг«
пуляцйи гораздо реже аллеля а), то вероятность pit Zn исчезающе мала,
a ptQ приближенно равна е-' (см. Приложение Г). Если в т-м поколе-
поколении аллель А представлен, например, лишь в единичном числе, то ве-
вероятность его исчезновения в следующем поколении примерно равна
е-1{«0,37.
В данной модели предполагалось, что ни один из аллелей не дзет
селективного преимущества, которое увеличивало бы вероятность при-
присутствия этого аллеля в следующем поколении. Несмотря на это до-
допущение, мы видим, что соотношение генов изменяется при п^реходеот
одного поколения к следующему с конечной вероятностью. Этот эффект
называют ошибкой выборки (или генным дрейфом). Особенно в малых по-
популяциях эти случайные вариации генных частот могут привести к ис-
исчезновению из генофонда одного из алделей.
Чтобы учесть в модели селективное преимущество одного из алле-
аллелей, необходимо изменить формулу для биномиальной вероятности то-
того, что аллель А будет представлен в одном из 2п испытаний. Предпо-
Предположим, как и ранее, что (т + 1)-е поколение популяции определяется
в результате 2/2 повторных испытаний в биномиальном эксперименте.
Предположим далее, что вероятности появления аллеля Л и аллеля
а в отдельном испытании равны соответственно [ilBri)\a и 1 — [i/Bri)]a,
где а—положительная постоянная. Тогда вероятность того, что в сле-
следующем поколении появится ровно j экземпляров аллеля Л, задается
выражением
НШПШТ"-
если в текущем поколении имеется i аллелей А. При a == 1 данная мо-
модель совпадает g предыдущей. В рассматриваемой более общей модели

298 Глава 9. Математические модели в биологии
вероятность исчезновения аллеля А и вероятность исчезновения алле-
ля а в следующем поколении составляют
Если а > 1, то селективным преимуществом обладает аллель а, а если
а < 1, то аллель А. Если а = 1, то ни один из аллелей не имеет селек-
селективного преимущества. Заметим, в частности, что если а = О, то
Pi,%n =1,з рг0 = 0. Это крайний случай подавляющего селективно-
селективного преимущества аллеля Л: аллель а полностью исключается за одно
поколение.
Параметр а в принципе можно было бы измерить, выполнив экспе-
эксперимент много раз и оценив переходные вероятности при смене поколе-
поколений. Введение параметра а — это один из возможных примеров опре-
определения коэффициента приспособленности. Значение а служит мерой
приспособленности* аллеля А по сравнению с приспособленностью
аллеля а. В некоторых случаях а не является постоянной, а зависит от
факторов среды, например от температуры. Читатель может попытйть-
ся включить подобные факторы в данную модель.
Коэффициент приспособленности можно определить и по-другому,
например как относительную вероятность того, что данный генотип
достигнет репродуктивного возраста. Напомним, что основное допу-
допущение закона Харди—Вайнберга состояло в том, что все три генотипа
одинаково жизнеспособны. Однако часто бывает т#к, что, например,
рецессивное потомство (генотип аа) имеет меньшую вероятность вы-
выживания, чем особи с доминантным теном. Серповидно-клеточная ане-
анемия и альбинизм у человека дают примеры подобных ситуаций. Эта
меньшая вероятность выживания, разумеется, должна найти отраже-
отражение в частотах генотипов следующего поколения. Естественно поэто-
поэтому ожидать, что процент взрослых людей с серповидно-клеточной ане-
анемией окажется гораздо меньше того значения, которое предсказыва-
предсказывается законом Харди—Вайнберга.
Чтобы проанализировать этот случай, предположим, как и ранее,
что аллель А является доминантным, а — рецессивным и что скрещи-
скрещивание случайное. Допустим, кроме того, что вероятности выживания
с момента оплодотворения до репродуктивного возраста не одинаковы
для трех генотипов. Определим Р как вероятность выживания особи
генотипа АА либо Аа и Рр — как вероятность выживания особи ге-
генотипа аа. Параметр Р можно рассматривать как коэффициент при-
приспособленности, который измеряет приспособленность генотипа аа.
Если Р = 0, то ни одна рецессивная особь не доживает до репродук-
репродуктивного возраста. Если р = 1, то все три генотипа одинаково жизне-
жизнеспособны. Если р > 1, то рецессивный генотип обладает селективным
преимуществом. Будем считать, что выполняется условие 0 ^ р <С 1,
означающее, что выживание рецессивного генотипа менее вероятно.
Чем меньше а, тем выше приспособленность аллеля Л. Прим

§ 9.4. Модели отбора и приспособленности 299
Определим рп и qn как частоты аллелей А и а среди взрослых осо-
особей /2-го поколения. Согласно закону Харди—Вайнберга, частоты ге-
генотипов в следующем поколении равны рп, 2pnqn и q\ соответственно
для генотипов АА, Аа и аа. Но если АА и Аа имеют селективное пре-
преимущество, то частоты генотипов для взрослых особей уже не будут
удовлетворять закону Харди—Вайнберга. Чтобы вычислить эти новые
частоты, домножим частоты Харди—Вайнберга на вероятности выжи-
зания. Тогда новые частоты составят Р%р, 2Ppnqn и P$q%. Так как
сумма частот должна давать 1, то разделим каждое из полученных зна-
,чений на их сумму. В результате частоты генотипов АА, Аа и аа среди
взрослых особей (п + 1)-го поколения соответственно составят
Используя уравнения (9.4), теперь можно вычислить чаатоты генов в
(п + 1)-м поколении:
, J 2рп Яп Рп
2
(9.14)
Чп+1 2 p*+2pq + fa*
Как свидетельство верности этих вычислений, заметим, что при JJ = 1
они сводятся к закону Харди—Вайнберга. Отношение частот аллелей
А и а в (п + 1)-м поколении задается величиной
Яп+1 Рп + $Яп Яп
(9.15)
Поскольку 0^р<1 и рп + qn = I, выполняется условие рп +
+ $qn< 1 (за исключением случая рп == 1 и qn = 0). Таким образом,
Pn+i/Qn+i > Рп/Яп- Это означает, что доля аллеля А в популяции воз-
возрастает от поколения к поколению. Это ecrecfBeHHO, так как было при-
принято допущение о том, что выживание рецессивных особей менее веро-
вероятно. Чтобы более подробно исследовать поведение этих отношений в
последовательных поколениях, положим rn = pnlqn- Тогда в силу
уравнения (9.15)
Г =.- Гп = г
П+1 Ра + $ П
и мы получаем, что
(9.16)
Это нелинейное разностное уравнение первого порядка, которое можно
было бы решить методами, схожими с методами, изложенными в гл. 6.

300 Глава 9. Математические модели в биология
Поскольку 0 <; р < 1, имеем rn4>1> rn, т. е. доля доминайтного алЛё-
ля на каждом поколении вбзрастает. Можно доказать, что lim rn =
П->оо
= оо. Это означает, что рецессивный аллель будет в конце концов
элиминирован из популяции. Следующий пример иллюстрирует это
положение.
Пример 9.4.1. Предположим, что в описанной выше модели коэффи-
коэффициент приспособленности р равен 0,5. Пусть начальные частоты алле-
аллелей составляют р = 0,6 и q = 0,4. Требуется найти величины г0, ги
г2 и г3 — отношения аллелей в начальной популяции и в последую-
последующих, вплоть до третьего, поколениях.
Л Из условия следует, что г0 = 0,6/0,4 = 1,5. Согласно уравне-
уравнению (9.16),
и при р = 0,5 получаем
2'5 1 07*. г 1 ft7S 2»875
2,0 ' 2 2,375
= 2,270; г3 = 2,270.-|^- = 2,752.
В четвертом поколении аллель А будет уже более чем в три раза мно-
многочисленнее аллеля a, A
: Перепишем уравнение (9.16) в виде
Если Р = 1, то мы вновь убеждаемся в том, что гп+1 = гп. Слагаемое
гп A — р)/ (/-ft -f p) называется остаточным членом. Этот член вносит
поправку в закон Харди—Вайнберга для случая, когда мы не пред-
предполагаем, что все три генотипа одинаково жизнеспособны. Роль этого
остаточного члена видна из следующих примеров.
Пример 9.4.2. Пусть в описанной выше модели коэффициент приспо-
приспособленности рецессивного генотипа р = 0,99; аллели А и а первона-
первоначально представлены в равных количествах. Требуется найти отноше-
отношения г0, г,, г2, г3 и г4 частот аллелей Л и а в начальной популяции и в
последующих, вплоть до четвертого, поколениях.
А Так как р = 0,99, то рецессивный генотип лишь в малой степе- *
ни менее жизнеспособен, чем два других генотипа. Поэтому естествен-
естественно ожидать, что поправки к 'закону Харди—Вайнберга будут малы.
Согласно уравнению (9.17),

$ 9.4. Модели отбора и приспособленности
Даио, что г0 = 1 и р = 0,99. Значит,
= 1,005 + l.OOb.-^L- « 1,010;
Ь? = 1,010 + 1,010.-ML = 1,015;
2ии
После четырех поколений отношение частот аллелей А и а увеличи-
увеличилось лишь на 2%. Видно, что остаточный член довольно мал в каждом
поколении. Только по прошествии многих поколений отношение ал-
аллелей Ana будет существенно больше 1. Если развитие популяции
изучается на протяжении лишь нескольких поколений, то ошибка,
возникающая в результате допущения одинаковой жизнеспособности
всех трех генотипов, не превышает нескольких процентов. (Остается
ли это справедливым, когда показатель приспособленности рецессив-
рецессивного генотипа р = 0,9?). А
Пример 9.4.3. Предположим, что ни один из индивидуумов g рецессив-
рецессивным генотипом не доживает до репродуктивного возраста. Найти для
гп — отношения частот доминантного и рецессивного аллелей в л-м
поколении — выражение через г0.
1 Л Коэффициент приспособленности рецессивного генотира ecfь
Р = 0. В этом случае гп+1 = гп + 1, как следует из уравнения (ФЛ6)
или (9.17). Это разностное уравнение первого порядка имеет общее ре-
решение гп == г0 + п. После п поколений отношение частот доминант-
доминантного и рецессивного аллелей увеличивается на п ед. ^
Задачи к § 9.4
Ь а) Рассмотрим рецессивный генотип с заданным коэффициентом приспособ-
приспособленности |5 @ ^ E < 1). Докажите, что
Пбкажите, что если Р = 0,99, то остаточный член ни в каком поколении не
превышает 0,01.
6) Так как lim rn = с», го справедливо соотношение
lim rn ——=,1—р.
Я-*оо Гп~ГР
Чго можно сказать о возрастании гп за одно поколение, когда п достаточно
велико, 1, е. по прошествии многих поколений?
2. Полагают, что кистозный фиброз вызывается одним рецессивным геном. Час-
Частота возникновения кистозного фиброза оценивается как один случай из
2500, и, значит, частота рецессивного аллеля в популяции составляет 1 к 50.
Считая, что жертвы кистозного фиброза не доживают до репродуктивного
возраста, и пренебрегая возможными мутациями доминантного гена в ре-

Глава 9. Математические модели * биологии
цессивный, определите, через сколько поколений частота возникновения
кистозного фиброза составит 1 к 10 000.
3. В биномиальной стохастической модели отбора при а = 1 частоты генов от
поколения к поколению могут меняться. Этот процесс называют генным
дрейфом. Является ли/Этот результат биномиальной модели более правдо-
правдоподобным, нежели предсказание модели Харди — Вайнберга о том, что ген-
генные частоты остаются постоянными от поколения к поколению?
4. Докажите, что в биномиальной модели генного отбора (при а, не обязатель-
обязательно равном 1) математическое ожидание числа аллелей А в первом поколении
равно ia BnI~a, если в родительском поколении было / аллелей А. По-
Покажите, что если 0 ^ а <; 1, то это среднее число больше /;• если а = 1,
оно равно t; если а >» 1, то среднее число аллелей А меньше i.
5. Какая из двух моделей приспособленности, изложенных в настоящем па-
параграфе, представляется вам более реалистичной? (Действует ли отбор на
аллели или на генотипы?) Как бы вы спланировали эксперименты для про-
проверки обеих этих моделей?
6. а) Если коэффициент приспособленности р = 1, то три генотипа А А, Аа и
аа одинаково жизнеспособны. Вычислите по закону Харди--Вайнберга от-
отношение гетерозиготных генотипов к гомозиготным. Докажите, что это от-
отношение лежит между 0 и 1.
б) Вычислите отношение частот гетерозиготных генотипов к гомозиготным
в п-ы поколении, если 0 ^ р <С 1. Докажите, что это отношение равно
2rn-it(rn-\ + Р).
7. Рассмотрим вновь биномиальную модель отбора при а = 1. Допустим, что
в популяции, состоящей из 200 особей A00 самцов и 100 самок), частота од-
одного аллеля изменилась за одно поколение от 40 до 49%. Можно ли считать
такое колебание результатом генного дрейфа? (Воспользуйтесь доверитель-
доверительными интервалами.)
8. Для некоторых генов гетерозиготный генотип имеет более высокую приспо-
приспособленность, чем любой из гомозиготных генотипов. Например, ген серпо-
серповидно-клеточной анемии дает гетерозиготному индивидууму некоторую ре-
зистентность к малярии. Постройте модель отбора, которая учитывала бы
эту особенность.
9. Показатель приспособленности рецессивного генотипа Р может проявлять
зависимость от условий окружающей среды. Например, плодовые мушки с
мутацией vestigial получают селективное преимущество в ветренном ареале
и теряют его в безветренном. Разработайте более общую модель генного от-
отбора, которая учитывала бы вариабельность среды.
10. а) Если ни один из рецессивных генотипов не доживает до репродуктивного
возраста, то, как было уже доказано, ы = го + я» где гп есть отношение
частот доминантного и рецессивного аллелей в п-м поколении. Докажите,
что qn = qo/(\ + nqQ), где qn означает частоту рецессивного аллеля в я-м
поколении.
б) Решая относительно п уравнение п = \/qn — 1/#о, определите число по-
поколений, необходимое для того, чтобы снизить частоту рецессивного аллеля
с да == 0,01 до qn = 0,001.
9.5. Уравнения Лотки — Вольтерра
Рассмотренное в § 7.3 логистическое уравнение
j~ = x($-8x) (9.18)
представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение перво-
первого порядка, описывающее рост популяции от начального размера х @)
в момент времени t = 0 до размера х (t) в момент t. Решение

§ 9.5. Уравнения Лотки^-Вольтерра
хт^ (9.19)
логистического уравнения задает численность популяции х (/) в лю-
любой последующий момент времени L Кривая роста популяции для не-
некоторых характерных значений х @), |3 и б изображена на рис. 7.4.
Логистическое уравнение отражает рост популяции в ограничен-
ограниченной по ресурсу среде. Благодаря тому что запасы одного или несколь-
нескольких жизненно важных ресурсов ограниченны, численность популя-
популяции не может увеличиваться до бесконечности, а приближается к рав-
равновесному значению lim x (t) = fV8. Это устойчивый размер популя-
t-*oo
ции, который может обеспечиваться имеющимися ресурсами. Если
численность равна ji/б, то скорость роста популяции равна нулю и чис-
численность популяции остается неизменной на этом уровне. (Численность
р/б соответствует числу особей п в первой модели § 9.4. В этой модели
рассматривалась среда, способная обеспечить ровно п размножающих-
размножающихся особей в каждом поколении.)
Если за имеющиеся ресурсы идет конкуренция среди двух видов или
более, то соответствующее обобщение логистического уравнения мо-
может, по-видимому, дать модель роста этих популяций. Рассмотрим слу-
случай двух конкурирующих видов, которые обозначим через I и II, с
численностями хг (t) и х2 (t) в момент времени /. Обобщая рассуждения,
которые ведут к уравнению логистического роста, будем считать, что
скорости роста видов I и II ограничиваются размерами этих популя-
популяций. Это приводит к следующим уравнениям для скоростей роста:
#22 хг) >
,
Ах
2 /1. \
- = Х2 (#2 #21 Xi #22 XJ
Эти уравнения, известные под названием уравнений Лотк и—
Вольтерра, широко изучались в литературе по математической
экологии*. Предположим на время, что все постоянные #n, a12, #2i»
а22, Ь1 и Ь2 положительны. (Далее в этом параграфе будут рассмотрены
и другие возможности.) Скорость роста первой популяции положитель-
положительна, если а1Ххг + а12х2 < bl9 равна нулю, если cjLnxx + а12х2 =* Ь1у и
отрицательна, если an% + al2x2 > bv Аналогичные условия имеют
место и для скорости ppQTa второй популяции. Любые популяции хх
и х2, для которых обе скорости роста -5 и -~ равны нулю, представ-
представляют в этой модели равновесную пару популяций. Уравнения, с по-
* Р i е 1 о u E. G. An Introduction to Mathematical Ecology. I#terscience
Publishers, a division of John Wiley & Sons, Inc. N. Y., 1969.

Глава 9. Математические модели в
[Рабнрбесная точке
мощью которых можно определить
эти равновесные популяции, име*
ют вид
х} убываетf
*l возрастает
хг
— апхг — а
12х2)
IF
Xj убывает,
хг убывает
Равновесная тачка
*2 (^2
х2) = О,
#22*2^ = О*
(9.21)
х} возрастает^-
хг возрастает *
Существует два очевидных реше-
решения: хх = О, х2—Ь21а22 и Хч — Ь^ацр
7? х, возрастает, Равновесная Х2 = О. Эти решения COOTBeTCTBy-
\ х2 убывает / точна
\* >о/ 7 Ют тому, что один из видов выми-
Цд о^4^ рает, а другой в его отсутствие
aHKi*unh*bt достигает своей равновесной для
данной среды численности. Третья
равновесная точка более интерес-;
на, так как соответствует устойчи-
двух видов. Она получается в резуль-1
уравнений
'- ^22*2 = Ь2.
*+ Оу
Рис. 9.1
вому сосуществованию этих
тате решения системы двух
Такие системы уравнений изучались в гл. 3. Предполагая, что аи% —
— а21%2 ?=¦ 0 (det А ф 0), получаем единственное решение
v __ «22 bt—а1г Ь% , «11 ^2 — «21 ^1 /A <>qv
«11 «22 —«21 «12 «11 «22—«21 «12
Если эти числа положительны, то они соответствуют популяциям двух?
конкурирующих видов, способным сосуществовать и сохранять по-
постоянный размер.
В плоскости ххх2 уравнения аХ1хх + а12х2 = Ьх и #2i*i + ^22*2 == ^2
задают прямые, разбивающие плоскость на четыре различные обла-
области. Это показано на рис. 9.1.
Существует и иной способ рассмотрения уравнений Лотки—Воль-
терра. Согласно цепному правилу дифференцирования,
d^! dl dxt Xi(b1 — a11xl-r-aux2)'
Два уравнения (9.20) мы заменили одним нелинейным дифференциаль-
дифференциальным уравнением первого порядка. В этом уравнении переменная х2
рассматривается как функция от хг. Это означает, что размер второй
популяции считается зависящим от размера первой популяции. Если
бы это уравнение удалось решить и записать х2 как функцию от хъ то
это дало бы точное описание картины взаимодействия видов. Напри-
Например, было бы сразу известно; какое изменение в численности х2 порож-
д'аетсй некоторым изменением в хг. К сожалению, переменные в урав-
уравнении, (9.24) не разделяются и, вробще говоря, это уравнение элемен-
элементарными методами не решается. Существуют, однако, численны^

§ 9,5«. Уравнения Л отки—Вольтерра
Равновесная точна
Ж
', возрастает,
¦ убывает аи Х1+ ап *г ~J*t
Равновесная
Рис. 9:2
методы, которые дают решение с лю-
любой желаемой степенью точности.
Покажем, что уравнения Лотки—
Вольтерра действительно являются
обобщением уравнения логистическо-
логистического роста. Если, например, вторая по-
популяция х2 не оказывает никакого
влияния на рост первой популяции
хъ то а12 = 0 и уравнение для х1 как
функции t сводится к уравнению
•— = хх (Ьх — апхг). Это не что иное
как уравнение логистического роста
одной популяции, рассмотренное в гл.
7. Аналогично, если первая популяция
не оказывает никакого влияния на
dx
рост второй, то -j? = х2 (Ь2 — ааа х2).
Естественно пола'гать, что если а12 == a2i = 0, то обе популадии ни-
никак не воздействуют на рост друг друга. В этом случае каждая из
них достигает своего равновесного размера хг = Ьг/а1Х и х2 = Ь21а2%.
Интерпретируемые должным образом уравнения Лотки—Вольтер-
Лотки—Вольтерра Дают также модель для взаимодействий типа хищник—жертва. Ес-
Если первый вид является хищником, а второй вид — его жертвой, то
скорость прироста первой популяции должна увеличиваться с увели-
увеличением размера второй популяции. В рамках уравнений Лотки—Воль-
Лотки—Вольтеру это моделируется с помощью предположения, что аХ2 отрица-
отрицательно (тогда —а12 положительно). Естестаенно также полагать, что
во второй популяции смертность в результате хищничества выше,
чем смертность от перенаселенности, когда численности обоих видов
примерно равны. Это моделируется с помощью допущения о том, что
значение а21 велико по сравнению с а22. Считая, как и прежде, вели-
чинь1 ап, а2Х и а22 положительными, получаем, что положителен и оп-
определитель апа22 — #2iai2-
Как видно из равенств (9.23), равновесные популяции существуют,
если anb2 — a2lb1> 0 (заметим, что a22b1 — a12b2 положительно). Но
поскольку агх относительно велико по сравнению с другими коэффи-
коэффициентами, может случиться так, что axlb2 — п21Ьг будет отрицательно.
Это означает, что нет такой равновесной точки, в которой положитель-
положительны численности обеих популяций хх и х2. Иными словами, хищник пол-
полностью потребляет жертву*. Различные случаи поведения системы в
такой ситуации показаны на рис. 9.2.
* В классической модели Лотки — Вольтерра считается, что в отсутствие
я^ертвы численность хищника может только убывать. Это эквивалентно отрица*
тельности коэффициента Ьъ что обеспечивает в описанной авторами модели суще-
существование устойчивого равновесия с положительными численностями обоих ви-
до&; когда а22 достаточно мало, — Прим. ред.

306 Глава 9. Математический Модели в биология
Читатель может самостоятельно заняться моделированием и дру-
других типов конкуренции с помощью уравнений Лотки—Вольтерра. Ес-
Если каждый из видов, выступает, например, хищником по отношению к
другому виду, то можно ли это описать с помощью допущения, что а12
и а21 отрицательны? Полезно также попытаться построить обобщения
уравнений Лотки—Вольтерра, принимающие во внимание и другие
типы взаимодействия. Различные модели, которые можно построить
таким образом, дают нам еще один подход к описанию выживания,
размножения и вымирания популяций.
Задачи к § 9.5
1. Установите, какие допущения привели бы к следующей системе дифферен-
дифференциальных уравнений для описания роста двух конкурирующих популяций;
2. Опишите четыре области, аналогичные изображенным на рис. 9.1, в случае,
когда 0 < bjan < Ь2/а21 и 0 < Ь21а22 < Ьг/а12, указав, возрастают или убы*
вают хг и и в каждой из этих областей.
3. Обобщите уравнения Лотки — Вольтерра на случай п конкурирующих ви-
видов. Найди re все равновесные популяции.
4. Постройте модель роста и размножения одной популяции на основе уравне-
уравнений Лотки — Вольтерра и с учетом возрастной структуры популяции. (Раз-
(Разбейте популяцию па две или несколько возрастных групп и сделайте допу-
допущения относительно типов конкуренции или кооперации между этими воз-
возрастными группами.)
5. Каким путем вы оценивали бы коэффициенты в уравнениях Лотки— Воль-
4 терра? Если численности конкурирующих видов в некоторый момент вре-
времени известны, то модель Лотки—Вольтерра задает численности этих видов
во все последующие моменты времени. Является ли это разумным прибли-
приближением действительности? Каким образом можно было бы включить влияние
оезонных факторов? Можете ли вы указать другие, не включенные в модель
факторы, которые могли бы оказать существенное влияние на исход конку-
конкуренции?
6. Общая численность двух конкурирующих видов есть х1 -\- х2; скорость ее
d (xl + х9).
роста равна -п—— . Используя модель Лотки — Вольтерра, найдите та-
такие популяции *! и дг2, для которых скорость прироста общей численности
максимальна.
7. Предположим, что два вида конкурируют за ресурсы в соответствии с мо-
моделью Лотки—Вольтерра [уравнения (9.20)]. Предположим также, что осо-
особи первого и второго видов в среднем имеют массы по 1 и 2 фунта соответст-
соответственно. Найдите такие популяции Xi и хъ> для которых прирост суммарной
биомассы максимален. (Если собирается урожай двух таких видов, го их
численности должны поддерживаться на этих уровнях, чтобы обеспечить
максимальный урожай.)
8. Если популяции конкурирующих видов становятся слишком малочисленны-
малочисленными, может произойти вымирание одного или обоих видов. Предположим, что
в заданной среде вид I и вид II вымирают, если их численности становятся
меньше соответственно тх и т2. Как можно было бы изменить модель Лотки —
Вольтерра, чтобы учесть такую возможность (см. задачу 7 к § 7.3)?
9. Пусть хл (t) и х2 (/) — две популяции, конкурирующие в соответствии с мо-
моделью Лотки—Вольтерра. Если особи обеих популяций изымаются в виде
урожая со скоростями, пропорциональными их численностям, то это опи-

J 9,6. Игра «жизнь*
сывается системой уравнений
1 у (U п у п у Ч У у,
— Л1 v^l wll Л1 U12 Л2/ ''1 Л1>
Каковы равновесные популяции в этой модели?
9.6. Игра «жизнь»
Основная проблема биологии — это проблема происхождения живых
организмов из неживой материи. Двумя фундаментальными призна-
признаками живых организмов служат самовоспроизводство и эволюция. Эти
оба аспекта жизни крайне сложны, и соответственно трудны для пони-
понимания процессов, в ходе которых неживая материя приобретает эти
признаки. Проблема исследовалась с помощью экспериментов, заду-
задуманных с целью имитации условий, которые предположительно су-
существовали на- первозданной земле. В результате было получено не-
несколько аминокислот и даже пептидов и нуклеотидов. Значит, перво-
первобытные океаны могли содержать когда-то сильно разбавленный «буль-
«бульон» из органических соединений. Но даже если и существовал такой
«бульон», то возникновение в нем первой самовоспроизводящейся и,
следовательно, живой системы продолжает оставаться нерешенной
проблемой*.
Существует целый ряд прототипов, предлагавшихся в качестве воз-
возможных изначальных форм вещества, способных к матричной реду-
редупликации. Мы не станем на них останавливаться, а попытаемся взгля-
взглянуть на проблему редупликации и мутаций с более общих позиций.
Для этого рассмотрим игру «жизнь», изобретенную математиком Джо-
Джоном Конвэем**. Эта игра простым и оригинальным способом иллюст-
иллюстрирует многие характерные черты процессов самовоспроизводства и
эволюции.
Правила игры очень несложны. Игра происходит на плоскости,
разбитой на квадраты (представьте себе бесконечную шахматную дос-
доску). У каждого квадрата, или клетки доски, имеется восемь соседних
клеток. Они изображены на рис. 9.3. Каждая клетка либо занята
фишкой, либо пуста. Игра начинается с некоторой конфигурации
фишек, размещенных на доске так, что в каждой клетке фишек не бо-
более одной.
Начальная конфигурация, или «популяция», фишек изменяется
затем согласно правилам игры. В последующих «поколениях» фишки
* Dobzhansky T. Genetics of the Evolutionary Process, Columbia
University Press. N. Y., 1970, p. 8.
** Gardner M. Mathematical games.— Scientific American, Oct. 1970,
№223, p. 120—123; Feb. 1971, № 224, p. H2—117.

308
Глава 9. Математические модели в биология
Рис. 9.3
могут «умирать» от перенаселенности
либо изоляций. В благоприятных усло-
условиях популяция фишек может возра-
возрастать в процессе воспроизводства. Вы-
Выживание и воспроизводство фишек от
поколения к поколению подчиняются
двум правилам.
1. Фишка выживает к следующему
ходу (т. е. к следующему поколению),
если у нее есть две или три соседние
фишки. В противном случае она уми-
умирает и с доски снимается.
2. Пустая клетка, с которой соседствуют ровно три фишки, ожи-
оживает (и занимается фишкой) в следующем поколении. Начальная кон-
конфигурация фишек определяет по этим правилам конфигурации на всех
последующих ходах. Примеры, изображенные на рисунке форзаца
книги, показывают эволюцию некоторых простых начальных кон-
конфигураций на протяжении нескольких поколений.
Конфигурации лишь с одной или двумя фишками сразу же уми-
умирают: примеры а) и б). Пример в) дает колебания от поколения к поко-
поколению. Поскольку такая структура часто возникает в эволюции и дру-
других конфигураций, ей было дано свое наименование — «мигалка». Ряд
из четырех фишек эволюционирует в устойчивую уже в третьем поко-
поколении конфигурацию, названную «улей». Ряд из пяти фишек достигает
в шестом поколении устойчивой конфигурации, состоящей из четырех
«мигалок». Читатель может самостоятельно убедиться в том, что ряд из
шести фишек полностью исчезает. Догадаться, какой будет конечная
структура, имея лишь начальную конфигурацию, кажется, невозмож-
невозможно. Несмотря на простоту законов эволюции и на то, что начальная кон-
конфигурация определяет все последующие, конечный исход может быть
весьма неожиданным.
Начальная конфигурация примера е) из пяти шашек называется
«глиссером» из-за своего интересного свойства двигаться вдоль плос-
плоскости. После пяти ходов первоначальная форма «глиссера» восстанав-
восстанавливается, но он оказывается передвинутым на один квадрат. Сущест-
Существование «глиссера» дает возможность установить некий тип связи меж-
между отдельными конфигурациями различных частей плоскости.
Игра «жизнь» становится действительно интересной, когда мы на-
начинаем с более сложной начальной конфигурации или когда сталки-
сталкиваются две (или более) конфигурации. В некоторых случаях конфигу-
конфигурация способна восстановиться после столкновения с другими конфи-
конфигурациями. В других случаях столкновение даст начало новой конфи-
конфигурации, которая эволюционирует дальше. Известны конфигурации,
которые периодически порождают «глиссеры» или иные конфигурации.
Можно построить самовоспроизводящиеся конфигурации. Вообще го-
говоря, можно ожидать, что сложная начальная конфигурация из мно-
многих тысяч или миллионов шашек, если она действительно будет про-

4 9.6. Игра «жизнь» 309
должать эволюцию, эволюционирует к структурам все возрастающей
стабильности. В этом эволюционном процессе неустойчивые (струк-
(структуры будут исключаться в результате столкновения со структурами
0олее стабильными.
Аналогии между процессами роста и воспроизводства в этой игре
и в реальной жизни заставляют задуматься. «Зачаточный бульон», о
котором пишет Добжанский, концептуально весьма похож на началь-
начальную конфигурацию в игре Конвэя. Разумеется, правила, по которым
эволюционировал «зачаточный бульон», — это гораздо более сложные
правила химии. Однако в принципе эти два типа эволюции очень схо-
схожи.
Игра «жизнь» представляет собой пример игры клеточных автома-
автоматов. Изучение этих игр создает представления, помогающие понимать
такие специальные биологические проблемы, как рост и дифференци-
ровка клеток, репликация молекул ДНК, синтез молекул в клетках
и происхождение жизни. Исследуя игру «жизнь» и другие, похожие
на нее игры, мы неизбежно приходим к самым основным вопросам р
переходе от изначального хаоса атомов и молекул к высокоорганизо-
высокоорганизованным формам самовоспроизводящейся материи, которые являются
объектом (и субъектом) биологических наук,

Приложение А. Тригонометрия
Одним из старейших направлений математики является тригономет-
тригонометрия, возникшая как наука о свойствах углов и треугольников. Мы
определим тригонометрию как изучение тригонометрических функций.
Применение этих функций выходит далеко за рамки их первоначаль-
первоначальных приложений в геодезии и астрономии. Чтобы определить триго-
тригонометрические функции, рассмотрим единичный круг в плоскости ху
(рис. А1). Это множество точек (х, г/), координаты которых удовлетво-
удовлетворяют условию х2 + у2 = 1.
Пусть начало координат находится в точке О, а Я — любая точка
(л% у), лежащая на единичном круге; определим 0 как угол между осью
х и отрезком прямой ОР. Угол 0 однозначно определяет соответствую-
соответствующую точку Р на единичном круге. По определению, координаты хм у
точки Р записываются в виде
х = cosinus Э и у = sinus G. (A1)
Эти две основные тригонометрические функции обычно обозначаются
через cos 0 и sin 0. Поскольку х2 + у2 =¦= 1, функции cos 0 и sin 0
удовлетворяют уравнению cos2 0 + sin2 0 = 1. С изменением угла 0
значения функций cos 0 и sin 0 колеблются от 1 до —1.
Если 0 выражается в градусах, то 0 == 90° соответствует прямому
углу, а 0 = 360° — полному обороту. Часто бывает удобнее выражать
углы в радианах, определяя длину дуги единичного круга от точки
@, 1) до точки ( cos 0, sin 0). Так как длина окружности единичного
круга составляет 2л, то положим по определению, что 2я радиан рав-
равно 360°. Тогда 1 радиан составит 360/Bл) = 57°,3 .... Аналогично,
30° = я/6 радиан, 45° =* я/4 радиан, 270° = Зя/2 радиан и т. д.
При измерении углов условимся, что положительные углы соответ-
соответствуют вращению вокруг начала координат против часовой стрелки,
а отрицательные углы — вращению по часовой стрелке. Один полный
оборот соответствует углу в 2я радиан. Поскольку точка Р на единич-
единичном круге, отвечающая углу 0, соответствует гакже и углу 0 + 2л,
мы приходим к выводу, что
cos 0 = cos @ + 2я), sin 0 = sin @ + 2я). (А2)

Приложение Л. Тригонометрия
311
В(Радионы>
7
f
0
1
ж
t
\
--sin в у
в (радианы)
Рис. А1
Рис. А2
Говорят, что такие функции периодичны с периодом 2я. Их графики
изображены на рис. А2.
Подчеркнем, что тригонометрические функции sin x и cos л: опре-
определены для всех действительных чисел (положительных либо отрица-
отрицательных). Если х отрицательно, то из определения этих функций оче-
очевидно, что sin (—х) = — sin х и cos (—х) = cos x.
Четырьмя другими тригонометрическими функциями являются тан-
тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Проще всего их можно определить
через синус и косинус:
sin 0 л^А cos 0 _лЛ 1 Л 1 ,щ
sec 9 = ¦
cosec 0=s-
cos 0 & sin I) ' cos 9 sin В
В табл. V приведены значения трех тригонометрических функций
(sin, cos, tg) для углов 9 в диапазоне от 0 до 90° (от 0 до я/2 радиан).
По ним можно вычислить и все остальные значения. Существует к то-
тому же несколько значений 9, для которых тригонометрические функ-
функции вычисляются совершенно просто. Из рис. А1 очевидно, что sin 0 =
= sin я = cos (я/2) = 0, cos 0 = sin (я/2) = 1 и cos я = sin (Зя/2) =
= —1. Ясно также, что по теореме Пифагора sin 45° = sin (я/4) =
= cos (я/4) = 1/2/2, a tg (я/4) == 1. С помощью элементарной геомет-
геометрии - можно показать, что sin 30° = sin (я/6) = cos (я/3) = 1/2 и
sin (я/3) =cos (я/6) = V3/2. Следует запомнить значения sin 9 и cos 9
для 9 = 0, я/6, я/4 и я/2. Для многих других значений 9 тригонометри-
тригонометрические функции можно, вычислить g помощью результатов задачи 11
и того факта, что sin (—0) = — sin 9 и cos (—9) == cos 9 (см. зада-
задачу 12).
Тригонометрические функции удовлетворяют целому ряду разного
рода тождеств, которые могут оказаться весьма полезными при реше-
решении задач. Как мы уже знаем, cos 0 и sin 0 удовлетворяют тождеству
cos 2 0 + sin2 9 = 1 для любого угла 0. Можно>доказап>, что для вся-

Рис. A3
ких углов Виф справедливы следующие формулы сложения
аргумента:
sin @ + ф) = sin 9 cos ф + cos 6 sin ф,
cos @ + ф) = cos,0 cos ф—sin 0 sin <p,
(A4)
^Чтобы продемонстрировать применение тригонометрических функ-
функций к исследованию треугольников, рассмотрим треугольник ABC со
сторонами, имеющими длины а, Ь и с (рис. A3). Пусть 0 — угол, лежа-
шда между сторонами А В и АС, э также Р служит основанием пер-
пейдикуляра, опущенного из вершины С на сторону АВ. Согласно оп-
определению тригонометрических функций, если (х, у) — точка единич-
единичного круга, то х = cos 0, а у = sin 0. Если вместо радиуса 1 круг име-
имеет радиус г и (хъ уг) — точка на этом круге, соответствующая углу 0,
то из подобия треугольников следует, что xl\ = x-Jr — cos 0 и yll =
=*'t/j/r — sin 0. В общем случае обозначим через 0 один из углов'(не
прямой) любого прямоугольного треугольника. Тогда Получаем, что
Q прилежащая сторона . п противолежащая сторона,
cos и = —" " ¦ *— и sin и = ' ¦ " .
гипотенуза гипотенуза
Это определение эквивалентно данному ранее. Возвращаясь вновь к
рис. A3, заметим, что длина PC равна b sin 0, а длина АР равна
b cos 0. Отсюда длина РВ есть с — b cos 0. Треугольник СРВ прямо-
прямоугольный; по теореме Пифагора,
|СБ|2 = \СР\2 + \PB\\ или а2 = (b sin 0J + (с — b cos 0J.
Таким образом,
а2 = b2 (sin2 0 + cos2 0) + с2 — 2bc cos 0 = b2 + с2 — 2bc cos 0.
Этот результат известен как теорема косинусов.
Другое простое геометрическое рассуждение показывает, что
sin 0 < 0 < sin 0/ cos 0, когда 0 выражено в радианах и 0<6<
< я/2. Как видно из рис. А4, 0 равно длине дуги ВР единичного

Приложение А. ТрпгънометрШ
круга, если 0 выражено в радианах. Длина перпендикуляра АР равна
sin 6, а длина BQ, как следует из подобия треугольников, равна
sin 6/ cos 6. Сравнивая между собой эти три длины,! Получаем
sin0<e<-i^i, или J< -?— <——, если 0<6<л/2. (A5)
cos G sin 0 cos,G
Этот результат будет использован в Приложении Б. Йоёкольку
cos 0 = 1, из неравенств (А5) следует, что 6/sin 0 приближается к 1,
когда 6 стремится к 0. г
Определим, наконец, обратные тригонометрические функции. Ес-
Если х = cos 0, то 0 — это такой угол, косинус которого равен х. Это
записывается как 0 = arccos х. Например, если х = 1/V2, то 0 =
=*= arccos х = arccos A/V2) = я/4 (если выражать 0 ё радиайах). К
сожалению, 0 определяется по х не единственным образом, поскольку
cos 0 = cos @ + 2я) = cos @ + 4я) — ... . Однако если ограничить
значения 0 промежутком от 0 до 2я, то функция, обратная косинусу,
будет определена уже лучше. Но даже в этом случае cos (я/4) =
= cos Gя/4) = 1/1/2. Чтобы обратная косинусу «функция» стала
функцией в обычном понимании этого термина, мы должны единствен-
единственным, рбразом определить arccos x для каждого х. Для этого пбтребу-
ем попросту, чтобы 0 == arccos x принимало значения в промежутке от
0 до я. Таким способом arccos x действительно превращается в функ-
функцию; Аналогично определяются и остальные обратные тригонометри-
тригонометрические функции.
Задачи к Приложению А
1. Докажите следующие тождества, содержащие тригонометрические функции:
, а) 1 + tg2 6 = sec2 G; б) 1 + ctg2 6 = cosec2 0;
в) sin (—6) == — sin 9; г) cos (—G) = cos G.
2. С помощью формул сложения аргументов докажите следующие тождества:
а) sin (G — ф) = sin G cos ф — cos G sin q>;
б) cos (G — ф) = cos G cos f + sin G sin ф; в) sin 2G = 2 sin G cos Gj
r) cos 2G = cos2 G — sin2 G *= 2 cos2 G — 1=1 — 2 sin2 G.
3. Докажите справедливость следующих формул половинного аргумента*
G - /"
— =[/
. . - ш/ 1-cosG лч G ,/ 1 + csB
a) sin —= I/ | 6) cos— =
0 sin0 1 —cosQ
B' g 2 ~" 1 + cosG ^ sin0
G-f-ф 0—ф 0 + ф
4. Представив углы 0 и ф в виде 0 = —г ] — и ф=—-—
докажите, что»

314 Приложение Б. Дифференциальное ис«шслени^
/ 0 + Ф \
a) sin©—sin<p = 2cos—-—Jsin
/ е+ф \
(. б) cos 0—cos<p =—2sin ——— I sin
о—
5. Выразите в радианах: а) 15°; б) 72°; в) —90°; г) 720°; д) —135°; е) 2°;
ж) 210°; з) 315°.
6. Покажите, что sin 9 < 9 при 0 < 0 < я/2. [Указание: воспользуй-
воспользуйтесь рис. А1.1
7. Выразите длину хорды ОР на рис. А1 через sin 9 и cos 8. Используйте этот
результат в доказательстве того, что 1 — О2 < cos 6 при 0 < 9 < я/2.
(Указание: воспользуйтесь результатом задачи 6.]
8. Какой путь проделает за 25 с конец секундной стрелки часов, если длина
стрелки составляет 6 дюймов?
9. Колесо радиусом в 10 дюймов вращается со скоростью 90 оборотов в минуту.
Определите скорость точек окружности колеса в футах за секунду*.
10. Три стороны треугольника имеют длину 5, 7 и 8 ед. Найдите с помощью тео-
теоремы косинусов все три угла треугольника.
11. Воспользовавшись рис. А1 или формулами сложения аргумента, докажи-
докажите, что:
а) Sin /~ _ ej = cos 9 = sin (^ + q\ б) cos (- — в) = sin 9j
в) sin @ + п) = —sin 9; г) cos F + я) == —cos 9;
д) cos/9 + |W -sin 9.
12. Вычислите значения sin 9, cos в и tg 8 для следующих углов 9: а) 8 =
= 5я/4; б) 9 = —2я/3; в) 9 = —я/6; г) 9 = 6я; д) 9 = 9я; е) 8 =
= 5я/3; ж) 9 = Зя/2; з) 9 = —5я/6.
13. Вычислите arcsin х и arccos х при: а) х — 0; б) х — 1; в) х = 1/2; г) х =
= 1/3/2; д) х = —1; е) х = -Уз/2.
14. Выразите: a) cosec 9 через cos 9; б) tg 9 через sin 9; в) cos 9 через ctg 9.
15. Пусть tg 9 = 4/3. Найдите возможные значения для sin 9, cos 9, ctg 9,
sec 9 и соьес 0.
16. Воспользуйтесь формулами половинного угла (задача 3) и найдите!
a) sin 15*; б) cos 22,5°; в) tg 67,5°.
17. Воспользуйтесь формулами сложения аргумента и найдите: a) sin 75°j
б) cos 15°; в) cos 105°,
Приложение Б. Дифференциальное исчисление
51. Скорости изменения и производные
Основная задача дифференциального исчисления заключается в опи-
описании того, как одна переменная изменяется в ответ на изменения дру-
других переменных. Рассмотрим, например, уравнение у = E/9) (х — 32),
связывающее температуру у по шкале Цельсия с температурой х по
Фаренгейту. Если х увеличивается на 9°, то у увеличивается на 5°.
Если х увеличивается на 1°, тоу увеличивается на 5/9 градуса. Мы гово-
В одном футе — 12 дюймов. — Прим. пер.

§ БI. Скорости изменения и производные 315
рим, что скорость изменения у по отношению к х есть 5/9. Это.озцача-
ет, что изменение у составляет 5/9 от изменения х.
В общем случае уравнение
у = тх + Ъ (Б1)
представляет робой уравнение прямой в плоскости ху (рио. Б1). Если
(xi> У\) и (*2> У2) — координаты любых двух точек на этой прямой, то
ух == тхх + Ь и у2 = тх2 + Ъ. При изменении х от хг до х2 значение
у меняется от уг до у2. Скорость изменения у по отношению к х (когда
я меняется от хх до х2) есть
t/2—У1 ._
Эта постоянная скорость изменения т называется также наклоном
прямой.
Пример Б1. Длина железного стержня при нагревании увеличивается.
Стержень, имеющий при 0° С длину 50 см, удлиняется при температу-
температуре Т° С до 50 + 0,0006 Т см. Чему равна скорость изменения длины же-
железного стержня по отношению к температуре?
А Длина стержня L при температуре Т есть L = 50 + 0,0006 Г.
Если температура меняется от Тг до Г2, то длина изменяется от Lx до
L2 и скорость изменения составляет
,00067\) п п^п
— и,ииио.
1 2 — i I 1 2 * 1
Длина железного стержня возрастает на 0,0006 см при каждом увели-
увеличений температуры на 1° С. А
Желательно определить скорость изменения, когда у представляет
собой более сложную функцию от х> скажем у = f (x). В таком случае*
если х меняется от хх до л:2, у изменяется от / (л^) до / (х2). Средняя ско-
скорость изменения у по отношению к х (когда х меняется от хг до х2) сос-
составляет
x2—xi xt^x2
Если / (х) не является линейной функцией от х [как в уравнении (Б1I,
то скорость изменения не постоянна. Нас особенно интересует анализ
изменения f (x) в том случае, когда х изменяется на малую величину.
Пусть Ах обозначает малое изменение х (от х до х + Ах). На рис. Б2
изображены точки (х, / (х)) и (х + Аде, / (х 4- А#)), лежащие на кривой
у = / (#). Проведена также хорда (отрезок прямой), соединяющая две
эти точки. Средняя скорость изменения у по отношению к х между эти^
ми двумя точками составляет
Ах

Приложение Б. Дифференциальное исчисление
тельнаяЛ
f(X+&X)
fix)
(О, W
Рис. Б1
х xt Ал
Рис. Б2
Это отношение представляет собой наклон хорды, соединяющей две дан-
данные точки. Если Дл; взято очень малым, то точка (л: + Ал;; / (х+Дх))*
^приближается к точке (х, / (х)), а хорда приближается к касательной
для данной кривой в точке (х, f (х)). Это позволяет дать определение
скорости изменения у по отношению к х в точке (х, f (х)) как наклона
касательной в этой точке. Это предел отношения ^ д ¦
когда Дх стремится к нулю. В этом и состоит идея, приводящая к оп-
определению производной / (х). Прежде чем давать определение производ-
производной,, на ряде примеров выясним, что означает lim , т. е. предел при
д*о
Дл:, стремящемся к нулю.
Пример Б1.2. Вычислить следующие пределы:
I) lim(l+*2); 2) Hm2A*; 3) lim — ; 4)
) lim
Л 1) При стремлении t к 1 предел 1 + t2 есть 1 + 1=2.
2) Нт2А* = 2°:-1.
3) lim
*0 З + Да:
4) lim
5
—
10
x)—t(x\
10 +Дх
Пример Б1.3. Вычислить lim
AX-+0 ^Х
ций:
1) f(x) = Зх; 2)f(x) = ^2; 3) / (х) = 1
слеДуЮщИХ
Д Если в отношении
f /д
д
положить Дх = 0, то мы
получим 0/0, что не определено. Тем не менее предел при стремлении
Дл: к нулю определить можно.
/*)/() 3( + АK
1) =
нулю. Поэтому искомый предел есть 3.
= з для

§ Ы. Скорости изменения и производные 3l?
2) li
=: lim B*4-Ах) = 2.x.
Длг-^О
3) ,im '<« + **>-'<*> k, Hm _l_,/_l n
д*-*о Ах &х-»0 Ах \х-{- Ах х ]
Hi
Убедившись в том, что эти пределы легко вычисляются для некото-
некоторых простых функций, перейдем теперь к определению понятия про-
производной.
Определение БЫ. Производная. Производной функции f (Х\
по трелшнной х называется функция /' (х) = -~|~, определяемая щк
t (Б4)
/WHm
&х &.Х-+0 Ах
Если этот предел определен при х = х09 то функция / (х) называется
дифференцируемой ,в точке х = х0. В примере Б1.3 мы установили, *rio
функции Зх, х2 и 1/х имеют производные 3, 2х и —\1х%. Чтобы поупраж-
поупражняться в вычислении производных, рассмотрим ' ещё один пример.
Пример Б1.4. Вычислить производные следующих функций:
2)
-' '¦- '= — !).
4) /'(jc) = 1Im —
Ал:'
В последних двух случаях / (x)== 1/х2 нёдифференцируема в точке х *=*
== 0 и / (л:) = 1/ (х + 1) нёдифференцируема в точке х = — 1. ^
Производная -Д функции у = f (х) представляет собой «мгновен-
«мгновенную» скорость изменения этой функций по переменной .#. Обозначение

318 Приложение Б. Дифференциалыюе исчисление
аи
-р указывает на то, что производная является пределом отношения
малого изменения у к малому изменению х.
Если р (t) обозначает размер популяции бактерий в момент време-
времени ty то зт — р (t) представляет собой скорость роста популяции в
момент t. Если, например, популяция в момент t насчитывает р (t) =
= 3000 + 100^2 особей (при этом t измеряется в часах), то скорость
роста есть
Jp_ ,(/, ]im p(t + M)-p(t) ^ljm 3000+ 100 (f + A/)»—3000- юр/г __
dt ы~ть &t
Скорость роста этой популяции увеличивается со временем. Если t ==»
= 5 ч, то скорость роста составляет 1000 особей в час. Если / = 10 ч,
то скорость роста составляет 2000 особей в час.
Вычисление производной любой функции непосредственно по опре-
определению может быть весьма громоздким. Приведем поэтому ряд ре-
результатов, которые могут значительно упростить вычисление многих
производных.
I. Производная постоянной функции f (х) = с есть f (х) = 0.
II. Пусть f (х) — дифференцируемая функция и а — любая посто-
постоянная; определим функцию g (x) = af {x). Тогда производная функции
g (х) есть g' {х) = af (а). Это можно записать в виде
a.
dx
III. Если f (x) и g (x) — дифференцируемые функции, то
^(f() + g()) f()+
dx dx dx
IV. Функция f (x) = xny где n — любое действительное число, имеет
производную f (x) = пхп~х.
Эти результаты могут быть доказаны с помощью определения iipo-
изводной. Если, например, / (х) = с, то
Vm vimiim0
Длг->0 Ал: Ал:->0 Ал: Ла:->0
Применение этих результатов демонстрируется в следующем приме-
примере, а также в задачах к данному параграфу.
Пример Б1.5. Найти производные следующих функций:
1) f (х) = хъ; 2) х* + х* + 1; 3) я4'3 + х1^; 4) 4 + 4 •
Д 1) На основании правила IV при п = 5 имеем /' (х) — 5х4.
2) jL (jf + & + 1) = 5х4 + 4х3 по правилам I, III и IV.

§ Б1. Скорости изменения я производные
3) JL(X + x)^ +
dx» 3 , 3
) = fDrl) = :T' так как -
х j ¦ dx x2 dx
При вычислении производной мы имеем дело с пределом отношеадя
f(x-\- &x) — f(x) тг а
'-j—i_i—L^_i # Когда Дя мало, указанное отношение должно быть
приближенно равно /' (х). Это записывается в виде
.
~Пх) ~ /'(*), или /(х + Ах)-/(х)«/' (*) Ах. (Б5)
Такое приближение может оказаться весьма полезным. Оно описыва-
описывает изменение, происходящее с f (#), котла х изменяется на малую вели-
величину. Например, объем шара радиуса г есть V (г) = D/3)яг*. Если ра-
радиус возрастает на малую величину от г до г -f- А/*, то объем возрастает
на величину V (г + Аг) — V (г) « V (г)Аг == 4яг2Аг. Пусть радиус
составляет г = 1 м, а приращение Дг = 0,01 м; тогда объем увеличи-
увеличивается на AV = V (г + Дг) — У (г) « 4я • I2 . 0,01 « 0,126 м3.
Пример Б1.6. Вычислить приближенное значение 3,012.
Л Перемножая, находим, что 3,012 = 9,0601. Приближенный ответ
можно получить, если рассмотреть функцию / (х) = х2. Тогда / C) =
= 9 и, полагая Ах = 0,01, находим / C,01) « / C) + /' C) • 0,01.
Но f (х) = 2х, откуда 3,012 « 9 + 6 • 0,01 = 9,06. Это довольно
хорошее приближение точного значения. А
Пример Б1.7. Вычислить приближенное значение 26,5*/3.
А Положим / (х) = х1/3. Поскольку 26,5 близко к 27 и 271/3 =3,
выберем х = 27 и Ал: = —0,5. Тогда / B6,5) « / B7) + (—0,5)/' B7).
Но /' (х) = A/3>-2/3 и, значит, /' B7) = A/3J7-2'3 = 1/27. Таким
образом, /B6,5)^3 — 0,5/27^2,9815. Точное значение равно
2,981366...; значит, полученное приближение опять-таки довольно хо-
хорошее. ^
В заключение настоящего параграфа рассмотрим вычисление про-
производной тригонометрической функции у = sin x, где х выражается
в радианах. В Приложении А было доказано, что 1 < 6/sin 0 <
< 1/ cos 9 при 0 < 6 < я/2. Отсюда следовало, что lim 6/ sin 0 =
0-0
= 1, так как lim I/ cos 9 = 1/1 = 1. Это результат, который пона-
добится при вычислении производной у = sin x.
Требуется найти значение предела
dy __ у sin (x + Ax) — sin x
— игл ,
dx Дл:->0 ^Х
Воспользуемся тождеством

320 Приложение В*
(см. задачу 4а) к Приложению А). Тогда
sin ^. =
2
Umcoslx + ) sin cos%lim
я
X)
_ d (sin x)
Тем самым доказано, что —~—- = cos х: производная sin x равна
тиг ^ (COS X)
cos х. Можно самостоятельно доказать, что -~ — — sin x.
QX I 1
[Указание: воспользоваться задачей 46) к Приложению А1.
Задачи к § Б1
1. Найдите производные следующих функций:
а) / (х) = З*2; б) / (х) = 1 + х + х2; в) / (*) =
г) / (*) = A + *J; Д) / (х) = 5* + 5*3; е) / (х) = 10 + 5х2 - 1/д:.
2. Исходя из определения производной, найдите производные следующих функ-
функций:
3. Свободно падающее тело за время ? проходит расстояние s (/) =а tit + i
где и и а — постоянные. Найдите скорость —п— в момент t.
4. Размер популяции насекомых в момент t (время выражено в днях),задается
величиной р (i) «= 10 000 — 9000 A + t)"~l. Вычислите начальную популя»
цию р @) и скорость роста р' (t) в момент t.
5. С помощью производных найдите приближенные значения следующих чи-
чисел: а) 5,033; б) 15,81/?; в) 1,99~2; г) 631/6.
6. Исходя из определения производной, докажите, что: а) производная функ-
функции af (х) есть af (х), если а — постоянная; б) производная суммы двух
функций равна сумме производных этих функций.
7. С помощью общей биномиальной теоремы разложите выражение (х + Длс)п=»
&х\п
1 + —). Докажите, что производная функции / {х) = хп есть
% }
f (х) — пхп"~11 где п — любое действительное число.
8. Дрожжи в растворе сахара растут таким образом, что их масса увеличива-
увеличивается за каждый час на 3%. Если начальная масса составляет 1 г, то после
t часов роста масса равна w (t) =¦ 1,03*. Найдите приближенные значения
массы после: а) 10 мин; б) 20 мин роста.
9. Рассмотрим шарообразною клетку радиуса г, которая, не изменяя формы,
непрерывно увеличивается в объеме. Объем равен (i/tynr8. Оцените изменение
объемна клетки, если ее радиус увеличился от 2,5 • 10~3до2,6 • 10~3 см.
10. Размер популяции бактерий в момент t (время выражено в часах) задается
формулой р (t) — 106 + 104* — 108/2. Найдите скорость роста популяций,-
когда: а) / = 1 ч; б) t = 5 ч; в) / = 10 ч.
11. Теплым летним вечером температуру можно оценить, подсчитав, сколько
раз в течение 15 с застрекочет цикада, и прибавив к полученному числу 40,
Этот «термометр» оказывается довольно точным в диапазоне от 55 до IO0°F,
Вычислите скорость изменения числа стрекотаний (за 15 с) на градус Фа-
Фаренгейта. * . .

§ 62. Правила дифференцировали 321
Ц. ГГра**ш» дифференцирования
Теперь необходимо познакомиться о методами, позволяющими эффек-
эффективно вычислять производные функций, которые встречаются во мно-
многих приложениях дифференциального исчисления. Чему равна, на-
например, производная функции у = (х + хг) (I + дс3)? Для вычисле-
вычисления этой производной мы сначала перемножаем сомножители х + х%
и 1 + х3, чтобы получить у в виде у = х + х2 + х* + х?. Поскольку
производная суммы равна сумме производных, искомая производная
есть jj| = 1 + 2х + 4х? + 5ж*.
Рассмотрим общую задачу дифференцирования произведения двух
дифференцируемых функций. Пусть функций у имеет вид у = /' (х) =*
= и {х)о (х), где и {х) и v (x) — дифференцируемые функции. По опре-
определению производной имеем
dy у f(x-\-IS.x)—f (x) у и (х+Ах) v(x-i~/\x)—u(x)v(x)
dx &x->Q Ах Ла:-»-о Ах
йа основании тождества
и (х + Ax)v (х + Ах) — и {x)v (x) =
= и (х + Ах) lv (x +Ax) — v (х)] + v (л) [и (х + Ах) — и (х%
искомый предел можно записать в виде суммы двух слагаемых,:
dx Дл»$ [ A* J &x-+Q L Ддр J
dx их
В эщ| aac'tronT правило дифференцирования npQ-
изведения:
?-. (Б6)
В приведенном примере у =* (лг + а:2) A + х3) и и (дс) = х + #2,»
= I + i3. Таким образом,
Это совпадает с результатом, полученным выше путем предваритель-
предварительного перемножения двух сомножителей и последующего дифферен-
дифференцирования.
Пример Б2.1. Вычислить производные следующих функций;
*+ 4*); 2) ^(х3+*5)A + *а); 3)
II Зак. 1370

322 Приложение Б., Дифференциальное исчисление
Л 1) Здесь м (х) = х, a v (х) = х2 + 4х. Значит, согласно пра-
вилу дифференцирования произведения,
дх дх дх
9^ — /х3 -4- х5) И -4- х
dx dx r\x
= (x3 + x5) • 2x + A + x2) Cx2 + 5x4) = 3*2 +1 Ox4 + 7x*.
x dx ' ' ' x ' dx \ x
j^
X2 '
Аналогичный метод используется и при вычислении производной
отношения двух дифференцируемых функций от х. Пусть у —
= // (x)lv {%) есть отношение двух дифференцируемых функций и \х)
и v (х), причем и (х) Ф 0. Тогда по определению производная функции
у есть
J
дх &Х-+0 Ах L^(^ + A,v) v(x) J
Ax I v (x-{-Ax) и (х) J
v(x)
Дл-->о о (x + Ax) v (x) [ Дх d Ax \
1 Г / \ d/f / ч ди "|
=^ , v (x) U (X) ,
(d(x))« L d* dx J
Это правило дифференцирования частного:,
dx \v(x)) (v(x)f I K } dx W dx J ^
Пример Б2.2. Вычислить производные следующих функций:
I -[- х2
Л I) Согласно правилу дифференцирования частного,
дх (х + 2J [ dx dx
Упрощая, получим
пх (x-L2J

§ Б2. Правила дифференцирования
323
2)
' dx A+*-J
3) i^—!—
dx
dx
(l+*a)*
Как следует дифференцировать функцию у = (х -\- #аI/2? Разуме-
Разумеется, всегда можно использовать определение производной как пре-
предела, однако существует гораздо более простой метод. Если определить
новую функцию и = х + х2, то мы видим^ что у = и1/2 и производная
у по и равна gf — — гг~1/2. Производная & по переменной х есть ^ ==*
= 1 + 2х. Наконец, производная у по переменной,х равна
dx
du dx
Обобщая этот пример, положим у = f (и) и и = g (x)> где f (и) и
g (л:) — дифференцируемые функции. Тогда у == / (g (x)) и производ-
производная у nb переменной л: есть '
Это цепное правило дифференцировани я*. Оно
выражает очень простую мысль. Например, если у растет втрое быст-
быстрее, чем иу а и — втрое быстрее, чем х, то у должно расти в девять раз
быстрее, чем х.
Пример Б2.3. С помощью цепного правила вычислить производные
следующих функций:
1) у = A + х2N; 2) у = (х + X3);
3)у = (*-7
Л 1) Если положить и = 1 + л;2, то у = и9 и производная у по да
равна
dx du dx
2) Положим и = а: + ^3. Тогда у = а и, следовательно,
dy = dy du ^~i (l 3r2, -(l +3**)
3) Если и = а: — 1/лс, то {/ = м4и, значит,
dx
du dx
x*
* В отечественной литературе это правило чаще называют правилом
дифференцирования сложной фувкци и,— Прим. пер.

324 Приложение Б. Дифференциальное исчисление
4) Положим у = и1/3 при и = 1 + 2х. Тогда
dx |%3 d* 3 v ^ '
Правила дифференцирования произведения и частного, а также цеп-
цепное правило значительно расширяют круг функций, производные
которых можно вычислить без особого труда. Во всех рассмотренных
выше примерах у была задана как явная функция от х, т. е. у = / (х).
Однако в действительности мы часто сталкиваемся g задачами, в кото-
которых у представляет собой неявную функцию от х и где нельзя бывает
определить у как явную функцию. Например, уравнение 1/ A + х) +
+ VI + у2 = 5 (yfx)l/? определяет у как неявную функцию от х и
из него нельзя получить аналитическое выражение у как явной функ-
функции от х. Задача вычисления производной -р уже труднее, но она мо-
может быть решена методом неявного дифференци-
дифференцирования.
Для иллюстрации этого метода предположим, что у определено как
функция х с помощью уравнения х2 + У2 = 1. Чтобы найти -~ , про-
продифференцируем это уравнение по х. Согласно цепному правилу,
d* Уи' ду у* } dx u dx
Используя это равенство, получаем
Таким образом,
-^- =— —, если
дх у
Метод неявного дифференцирования рассматривается также в сле-
следующем примере и используется в задачах к данному параграфу.
Пример Б2.4. С помощью метода неявного дифференцирования вычис*
dy
лить -р для следующих уравнении:
1) ху = 1; 2) хУ + у = 1 + х; 3) xVT+J+ у3 - 2 + х\
А 1) Используя для левой части уравнения правило дифференци-
дифференцирования произведения, получаем
Отсюда
ал

§ Б2. Правила дифференцирования 325
' dx
Значит,
Итак> получаем
3) ^
d#
x dy
Дифференцирование обеих частей приводит к уравнению
х di
разрешая которое относительно ~, получаем
^
2 УТ+у "*" *"*
В заключение этого параграфа определим производные более вы-
высоких порядков для функции от х. Производная ^ == /' (х) функции
у — f (х) сама по себе является функцией от х, производная которой
определена, как только определен предел Jim '-^—¦—-—L-±J-.
Производная от /' (х) называется второй производной функции / (х).
Два стандартных обозначения для второй производной от у = / (х) —
это jj и fn (х). Третья производная функции у = / (х) определяется
как производная от f (х). Третья производная обозначается через ^
или f" (а:). Производная п-го порядка, обозначаемая q помощью j^
либо /(п)(#)> получается в результате дифференцирования п раз функ-
функции у - f{x).
Пример Б2.5. Вычислить вторую и третью производные следующих
функций;
1) у = х*; 2) у = х*\ 3)*/ = -L-; 4) у = ^
х{1
д 1) -EiL = 4x3, i^ = ^-Dxs)
djc djca dx

Приложение Б. Дифференциальное исчисление
djc dJt2 d*3
dy ___ — I dfy _ 2 d3*/ __ —6
"d7~ (x+\J ' dx* (л:+1K ' dx* (* + lL
4^ J^^JLr-i/2 &? = -x~3/2 ^V^ — x-^2 A
' dx 2 ' * dx2 4 ' d^ 8
Задачи к § Б2
1. С помощью правила дифференцирования произведения вычислите произ-
производные следующих функций:
а) (х2 + 3) (х + 5); б) (х2 + 2х + 1) (х + 1); в) A + **) A + х4);
г) (х1/2 + *~1/2) (х3/2 + *~3/2); д) х sin х\ е) (х2 + 1) sin x.
2. С помощью правила дифференцирования частного вычислите производные
следующих функций:
в)
1—5а:
л: sin л: sin.r+cosA; sin x
l+sin,t ' l^rx* ' cos*
3. С помощью цепного правила дифференцирования вычислите производные
следующих функций:
а) Bх + ЗO; б) (х2 + х* + х*K/2; в) sin УГ;
г) sin A + х2); д) cos A + х + х2); е) (I + *1/2 I/2.
4. Воспользовавшись тем, что —^ = cos *, продифференцируйте неявно
, . d (cos x)
равенство sirr л: + cos2 дг == 1 и докажите, что т~ = —sin x*
5. Производные тригонометрических функций. Опя*
d (sin ж) d (cos x)
раясь на то, что —jjj ~ cos х и —д^ = —sin x, докажите справед*
ливость следующих формул:
a) -7~(lgx)= — = sec2^; б) —- (ctgf^r) = —-~— = —cosec2jc;
ox cos2 x dx sin2 x
d sjn *
в) —-(secj:)== — = tgj:secx;
djc cos2 x
ч H ч —cos x
r) ~;— (cosec x) = —— = —ct ? x cosec x.
d^ sin2 x
6. Производные обратных тригонометрически»
функций. Чтобы продифференцировать обратную по отношению к си-
синусу функцию у — arcsin х, запишите равенство х = sin у и методом неяв-
неявного дифференцирования покажите, что
cos# и
dx их cosy

БЗ. Максимумы, минимумы и построение графиков 327
Докажите справедливость следующих формул!
а) --— (arcsin х) = — \ б) —— (arccos х) *
dx ^ ' Т/ПГ7Г
d
в) —— (arctg*):
7. Вычислите производные следующих функций!
a) sin3 х\ б) ( sin х + cos *)а; в) sin х A + tg jc)j
г) 2 sin 3* + 4 cos 3*; д) х sin х; е) *2 cos 2x.
8. Вычислите производные следующих функций*
a) arcsin 2лг; б) arcsin х2; в) ( arccos xJ;
г) cos ( arcsin я); д)- sin (arccos x); e) arctg 4*. t
Б2. Максимумы, минимумы и построение графиков
Один из эффективных методов исследования свойств функции состоит
в построении графика этой функции. На рис. БЗ изображен график
функции у — f (х). Рассмотрим три точки, лежащие на этой кривой:
(*о, / (*&)), (хг, f fa)) и (х2, f (х2)). В точке (х0> f (x0)) наклон касатель-
касательной к кривой у = f(x) положителен. Если х увеличивается от значения
дса на малую величину, то у = / (х) тоже увеличивается. Можно сде-
сделать вывод, что / (х) является возрастающей функцией на всяком интер-
интервале, где ее производная положительна. В точке (х2\ f (x2)) наклон ка-
касательной отрицателен. Если х возрастает от значения х2 на малую
величину, то у = f (x) убывает. Таким образом, / (х) является убываю-
щей функцией на всяком интервале, где ее производная отрицательна,
С возрастанием х от х0 до х2 производная /' (х) принимает сначала
положительные, затем отрицательные значения. Если функция /' (х)
непрерывна, то в промежутке между х0 и х2 должно существовать такое
значение х, что f (х) = 0. На рис. БЗ этим значением является точка
хъ в которой / (хг) = 0. Такая точка называется критической (или ста-
стационарной) точкой кривой.
Пример Б3.1. Найти интервалы возрастания и убывания для задан-
заданных функций:
1) / (х) = Зх; 2) / (х) = х*; 3) / (х) = г».
Л 1) Если / (х) = Зх, то р (х) = 3 > 0 и f (x) является возрастаю-
возрастающей функцией при всех х (рис. Б4, а). Критических точек нет.
2) Производная f (х) = 2х отрицательна при х<0и положитель-
положительна при х > 0. Значит, / (х) возрастает при х > 0 и убывает при х < 0.
Точка @; 0) является единственной стационарной точкой. Свойства
/ (х) ясны из рис. Б4, б.
3) Здесь /' (х) = Зл:2. Наклон положителен при всех х, за исключе-
исключением х = 0. Точка @; 0) является единственной стационарной точкой.
Функция у = х3 возрастает на любом интервале (рис. Б4, в). ^

328
Приложение. Б» Дифференциальное исчисление
Рис. БЗ
Как мы убедились, с
помощью производной ~
достигается большой объем
информации о кривой
у = / (л:). Вторая произ-
производная -~ тоже весьма
полезна при исследовании
кривой у = / (х). Кривая,
изображенная на рис. БЗ,
имеет в точке (xl9 f (хг))
локальный максимум. Это
означает, что наибольшим из значений / (л:) для всех х вблизи х = х1
является / (xj. Если х близко к х19 то /(*)</ (x±). Причина, по кото-
которой этот максимум называется локальным, состоит в том, что при xj
не близких к хъ функция f(x) вполне может принимать и большие зна-
значения.
Как видно^ из рис. БЗ, при возрастании х от л;0 до х2 задаваемый
производной /' (л;) наклон кривой убывает от положительных значений
до отрицательных. Это условие, необходимое для того, чтобы в проме-
промежутке между х0 и х2 имел место локальный максимум. Если же опре-
определяемый /' (х) наклон кривой возрастает от отрицательных значений
до положительных при возрастании х от х0 до х2, то в этом проме-
промежутке достигается локальный минимум. Таким образом, вблизи точ-
точки хг ^производная /' (л;) — возрастающая функция. Это происходит,
если f (х) — производная от /' (л;) — в точке хх положительна. Зна-
Значит, точка {хъ f (хг)) является локальным минимумом, если f {xx) - О
и Г (*i) > 0 (поскольку последнее условие задает возрастание /' (л;)
вблизи х = хг). Точка (хъ f (xx)) является локальным максимумом,
если / (хг) = 0 и /" (xj < О (поскольку последнее условие задает убы-
убывание /' (л;) вблизи х = Xj).
Пример Б3.2. Найти локальные максимумы и минимумы кривой и =
= / (х) = л^ — 8г3 + 22х2 — 24* + 17.
А Дифференцируя, находим /' (х) = 4л;3 — 24л:2 + 44л; — 24 =•
= 4 (х — 1) (х — 2) (х — 3) и /" (х) = 12х2 - 48х + 44 =.
= 4 (Зл;2— 12л; + 11). Критические точки получаются, когда х = 1,
х = 2 и х = 3. При х = 1 значение второй производной /" A) = 8 >
> 0, поэтому точка A;8) является локальным максимумом кривой
у = / (л;). При х = 2 вторая производная равна /" B) = — 4 < 0, так
что в точке B; 9) имеется локальный минимум. При х = 3 получаем
/" C) = 8 > 0 и, значит, у = / (х) имеет в точке C; 8) локальный ми-
минимум. Эта информация помогает упростить построение графика функ-
функции у = / (х) (рис. Б5). ^
Пример БЗ.З. Реакция организма на введенное лекарство может вы-
выражаться в повышении кровяного давления, уменьшении температуры
тела, изменении пульса или других физиологических показателей.

Максимумы, минимумы и построение графиков
Л У У
329
Степень реакции зависит от назначенной дозы лекарства. Предполо-
Предположим, что х обозначает дозу назначенного лекарства, а степень реакции
у описывается функцией у = / (х) = х2 (а — х), где а — некоторая
положительная постоянная. При каком значении х реакция максималь-
максимальна?
А Чтобы найти максимум, вычислим производные: /' (х) = 2а* —
~3г^ н /" (х) = 2а — 6х. Критическими являются точки х == 0 и
д^а» 2а/3. При х = 2а/3 вторая производная равна Г Bа/3) = 2а —
— 6 Bа/3) = —2а < 0. Значит, х = 2а/3 — это тот уровень дозы, ко-
который дает максимальную реакцию. А
Пример Б3.4. В питательную среду вносят популяцию из 1000 бактерий.
Численность популяции возрастает согласно уравнению р (t) =
s= 1000 + 1000^/A00 + /2), где / выражается в часах. Найти макси-
максимальный размер этой популяции.
А Чтобы найти максимум, вычислим производную:
, .v __ A00 + /2) 1000—1000/21 _ 1000 A00 — z'2)
Р ( A00+/2J ~~ A00+/2J '
Критическая точке получается при t2 = 100, т. е. t = ±10. Точка
/ = 10 является максимумом. В этом можно убедиться, проверив, что
р" A0) < 0. Максимальный размер популяции составляет р A0) =
= 10(Ю + A0 000/200) = 1050 и достигается по прошествии 10 ч рос-
роста. ^
Критические точки функции у = / (х) мы определяли как точки,
в которых ~ = /' (х) = 0. Точки перегиба графика функции у = f(x)
определяются как точки, где -~ = f (х) == 0, причем вторая произ-
производная меняет знак. Отыскание точек перегиба существенно помогает
в построении графика функции. В точках перегиба наклон кривой до-а
стигает локального максимума (или минимума).
Пример Б3.5. Найти точки перегиба кривой у = 1/ A + л:2).
А Дифференцируя, имеем
dw —2* 62у 6#2т-2

330
ч
\{0, П)
15 to
5
0
_ П,81
\ i
/ 2
9)
C,
.
3
#ft
/
в)
1
Рис.
, 17)
*(*) = х*-8*3+П>
t .
5
Б5
Приложение Б. Дифференциальное исчисление
@,1) Критическая
точка
4,0.
-0,5 -0,10 0,) ОЛ 0,5
Рис. Б6
1.Q
Единственная критическая точка получается при х = 0, у — I. Точки
перегиба определяются из уравнения -^ = * х^ = 0. Двумя точ-
точками перегиба являются A/Уз, 3/4) и (—1/У373/4). График кривой
1/ A + х2) изображен на оис. Б6.
Задачи к § БЗ
1. Для приведенных ниже функций у ~ f (x) найдите /' (х) и f" (x). Укажете
интервалы, на которых f (х) является возрастающей функцией. Найдите
критические точки и точки перегиба. Постройте графики этих функций:
а) у = f (х) = Зл;4; б) у - 4х2 + 4л' + 1; в) у = jc (х + 1) (* + 2);
г) у =
д) г/=
у = -
2. Найдите локальные максимумы и минимумы для следующих функций:
а) у = 1 + 2*а — З*4; б) ^г = (х — 1) (д: + 1) (х — 2>;
1 sin х
Д) У =
1
е) У =
2-sin*
sin л:.
3. Скорость роста у популяции х задана формулой у = 0,001 х A00 — х), когда
время выражается в днях. При каком размере популяции эта скорость мак-
максимальна? Какова равновесная популяция, т. е. популяция, для которой
скорость роста равна нулю?
Б4. Показательные функции и логарифмы
Исключительно важную роль в приложениях анализа играют следую-
следующие две функции: показательная / (х) = ах и логарифмическая
g (я) == loga я, определенные для любых положительных действитель-
действительных чисел а. Если т — целое положительное число, то / (т) =^= ат =»
= а • а ...а (т раз). Если х = 1//г, где п — целое положительное, то
определим / {XIп) == axltl как корень n-й степени из а. Если же х'=*

§ БЗ. Максимумы, минимумы и построение графиков
331
ffx)
6
5
4
3
2
-2 -1 0
- У^
( i i
/ 2 Ъ
2
7
0
-;
-2
/gi-
/ t f t
//234
/
Рис. Б7
Рйс. Б8
= ш/я, где тип — целые положительные, то определим / (пг/п) =
__ ат/л __ (al/n)m как /n-ю степень корня л-й степени из а. Если, на-
наконец, х = —т/п, где т и п — целые положительные, то / (—т/п) =
Этим показательная функция / (х) = ах определяется для любых
рациональных чисел х. А как определить аУ2 или ап? Естественный
путь — это вспомнить, что V2*= 1,4142 ... и я = 3,14159 ... . Тогда
V2 можно приближенно заменить рациональным числом 14 142/10 000
и затем вычислить а в этой степени. Тогда значение аУ* определяется
как предел последовательности чисел а1, а14/10, а141'100, днм/юоо^ ### #
Это можно сделать и для любого иррационального числа. Подыто-
Подытоживая свойства показательной функции ах для любой пары действи-
действительных чисел х и у, имеем:
1°. ах > 0.
2°. сгх = \1а*.
3°. ах+у = ахау.
4°. ах-у = ахсгу.
5°. а0 = д*~ж = ах1ах == 1,
6°. (а*)^ = а"У.
7°. Если а> 1, то ах — возрастающая функция при всех х.
8°. Если 0 < а < 1, то а* — убывающая функция при всех х.
На рис. Б7 изображен график функции / (х) = 2х.
Пример Б4.1. Вычислить: 1) 93'2, 2) 4~5'2, 3) 82'3,
А 1) 93/2 =(91/2K = 33 -27;
2) 4-6/2 в Di/2)-5 = 2-е =, 1/32;
3) 82/3 = (81/3J = 22 = 4. А
Если у = аху то можно поставить вопрос: какое значение х соответ-
соответствует данному значению у? Решение этой задачи записывается как
х = loga у, т. е. х есть логарифм у по основанию а. По определению,
у =э а1о8(*у. Функция g (у) ~ loga у определена только для у > 0.
На рис.. Б8 изображен график функции g (х) = log2x.

332
Приложение Б* Дифференциальное исчисление
Свойства логарифма вытекают из соответствующих* свойств пока-
показательной функции. Подытоживая эти свойства, будем считать, что
а>0(а=?1), ахну — любые положительные числа:
1*. loga (ху) = loga х + loga у.
2°. loga (xly) = loga x — loga у.
3°. loga 1 =0, loge a= 1.
4°. loga ху = у loga x.
5°. Если я > 1, то loga x является возрастающей функцией от х
при всех х > 0.
6°. Если 0<а< 1, то loga x является убывающей функцией от
а: при всех х > 0.
Чтобы доказать, например, тождество 1°, заметим, что
Это означает, что loga (ху) = loga x + loga у. Чтобы доказать свой-
свойство 4°, запишем а°*« х" = х* = (alog« У - ау log<* *. -
Число а, фигурирующее в определении loga x, называется основа-
основанием логарифмов. Для обычных расчетов наиболее удобным основа-
основанием является а = 10. Логарифмы по основанию 10 называются деся-
десятичными. Большое преимущество десятичных логарифмов состоит в
том, что если log10A: известен для х в диапазоне от 1 до Ю, то очень
легко найти log10 x для любого х>0. Например, tog10137 =^
= log 10 A,37 • 100) » 2 + log10 1,37, так как log10 100 = 2. Ана-
Аналогично, log 100,137 = —1 + log10 1,37.
По причинам, которые вскоре станут понятными, наиболее удоб-
удобным основанием логарифмов в анализе является некоторое иррацио-
иррациональное число е » 2,71828183 ..., определяемое как
Чтобы исследовать этот предел, вычислим
возрастающих значений п:
/1 + — |
= lim м -|~ —)
для нескольких
п
1
2
2
2,25
3
2,3703
...
10
2,5937
...
1000
2,7169
...
10 000
2,7181
При возрастании п величина A -|—)п приближается к предельному
значению, определяемому как число е.
Чтобы понять, почему число е играет столь важную роль, вычис-
вычислим производную функции у = logax. Для этой функции
dx
•Aim
Ах
,. 1 . /х+Ах\
= hm —-loge( .
Дх-*0 Ах \ х /

§ Б4. Показательные функции н логарифмы 333
Умножив и разделив на х выражение под знаком предела, получим
Положим и = х/ (Ах). Тогда при стремлении Ах к нулю и стремится
к бесконечности. Итак, мы доказали, что
ах х и-*» \ и
Но выше этот предел был определен как lim A + \lu)u = e и, значит,
мы получили, что
4) = -Llogne. (Б9)
Особенно простой вид эта формула принимает, когда а « е. В этом слу-
случае
— (loge х) = — f (Б10)
так как loge е = 1. Логарифмы по основанию е называются натураль-
натуральными, В приложениях анализа они используются всюду, где только
ни возникают логарифмы.
Чтобы найти производную показательной функции у = а*, запи-
запишем х в ]oge у и продифференцируем это неявное уравнение для у как
функции от х. Тогда
—^- , или 1 = — loga е —?• и —^- =г —— %
dx у ах их loga о
Итак,
d #_, в* (БП)
В частном случае для натуральных логарифмов (а = е) имеем
J-(e*)=«e*. (Б12)
Тем самым мы доказали, что функция е* равна своей собственной про-
производной .
В заключение настоящего параграфа вычислим производные функ-
функций у = loge f (х) и у = е^ <*>, где / (х) и g (x) — дифференцируемые
функции, причем / (х) > 0. Если положить и = / (х) и v =* g (x), то
по правилу дифференцирования сложной функции получим искомые
производные соответственно в виде
dy ___ ду 6и 6у __ Лу uv
d^ . da . djc dx do djc

334 Приложение Б} Дифференциальное «счисление
Таким образом,
^-^—/'(^Ь (Б13)
e«Wg'(x). (Б14)
Применение этих формул дифференцирования иллюстрируется сле-
следующим примером.
Пример Б4.2. Вычислить производные следующих функций!
1) е-5*; 2) е—г; 3) loge(l +jc2); 4) loge A +е*).
Л 1) — (е~5*)^е^5* —(—5х)==—5е~*5*.
dx " ' dx
2) JL(e-*')=e-*e — ( — х*) = — 2хе~х\ .
Ах dx
3) — loge(l +^2) =l^
dx °6V ^ '
4) ^
dx
)) ^A+e) A
1-f-e* dx 1+e*
Пример Б4.3. Найти максимальное и минимальное значения функции
/ (х) =. хе~х*у определенной на всей числововй прямой —оо <; х < <*о.
Л Согласно правилам дифференцирования,
fr(x)^ — (xe-x2)^e-*2 + x — e-*2^e-xt + x(
dx dx
Значит, ? (х) = A — 2л;2)е-Л Критические точки получаются при
х = 1/1/2 и ^= —1/V2. Функция / (х) имеет максимальное значение,
равное_[1/У2)е~1/2, при х = 1/1/27 и минимальное значение, равное
(-1/1/2) е-!/2, при х = -1/V27 ^
Задачи к § Б4
1. Вычислите производные следующих функций:
а) у--=хех\ б) х2е~~*; в) e^sinjt; г) е3х cos Зх;
д) e~3xsin2x; e) ^е-^2.
2. Найдите критические точки и точки перегиба следующих функций: а) / (х) =
= e"~x ' ; б) / (х) = хе""-*2 — и постройте соответствующие кривые.
3. При добавлении в бактериальную среду антибактериальный агент вызывает
уменьшение популяции бактерий. Найдите скорость изменения численности
популяции в момент ty если известно, что спустя t минут после добавления
агента популяция насчитывает р (t) == p @J~~*/3 бактерий. Если начальная
численность составляет р @) = 10\ то какое время потребуется для того,
чтобы популяция уменьшилась до 1С3 особей?
4. Вычислите производные следующих функций: а) у = 2х\ б) у == ljO5r3
в) у = ее .

§ Б4. Показательные фуикци» и логарифмы 335
5. Дрожжи растут в сахарном растворе, причем их масса увеличивается на 3%
за каждый час. Если начальная масса составляет 1 г, то масса спустя t ча-
часов будет равна w (t) = 1,03*. Найдите скорость изменения w (/) при:
а)^=И;бI=2ч;в)/ = 5ч.
в. При вливании глюкозы ее содержание в крови больного(выраженное в соот-
соответствующих единицах) спустя t /часов составляет Q (t) = 10 — 8е~'. По-
Постройте график С (i) как функции времени при t^ 0. Найдите lim С (t) —
t-+oo
равновесное содержание глюкозы в крови.
7. Вычислите производные следующих функций: а) у = ъх+1/*; б) y=*esinx\
в)</ = ее*.
8. Популяция бактерий растет от начального размера в 1000 особей до размера
р (t) в момент / (время выражается в днях) согласно уравнению р (t) =
1000 е'
= i-j-0 1 (ef 1)' ^аидите скорость роста р* (t). Когда эта скорость мак-
максимальна? Найдите lim p (t) — равновесную популяцию.
9. Реакции организма на два лекарства как функции t (время выражается в
часах) составляют rx (t) = fe-* и г2 (/) = (Ч~*. У какого из лекарств выше
максимальная реакция? Какое из лекарств медленнее в своем воздействии?
10. Закон Ньютона для охлаждающихся тел утверждает, что разность темпера-
температур тела и окружающей его среды экспоненциально убывает со временем.
Если Т (i) — температура тела в момент времени t, a Tm — температура ок-
окружающей его среды, то Т (t) — Tm = k^raty где k и a — некоторые посто-
постоянные.
а) Выразите k через Т @) — начальную температуру тела.
б) Постройте график функции Т (t) при Т @) == 10, Тт = 5 и a = 1.
11. Для борьбы е вирусами табачных растений применяется рентгеновское из-
излучение. С ростом дозы радиации число выживающих вирусов убывает
экспоненциально. Если р (R) — доля вирусов, выживающих после дозы
радиации R (выраженной в рентгенах), тор (R) = е~~а/?, где a — постоян-
постоянная, характерная для данного вируса.
а) Выразите через а величину дозы излучения, которая снижает число ви-
вирусов на 50%.
б) Какая доза радиации убивает 90% всех вирусов?
12. Йвепарат с радиоактивным индикатором теряет половину своей радиоактив-
радиоактивности в течение 2 дней. Если распад радиоактивности считать экспонен-
ш^льным, то какая ее часть теряется за 1 день? 4 дня? 8 дней?
13. Больному делается инъекция лекарства в момент времени t= 0. Концентра-
Концентрация этого лекарства в крови в момент t описывается зависимостью к (t) =
= с (е~-я/ — е""*0» гДе a> b и с — положительные постоянные, причем а < Ь.
а) Докажите, что х @) = 0 и что х (t) > 0 при t > 0.
б) Каково максимальное значение % (t) и„ когда оно достигается?
в) Нарисуйте график концентрации х (t) как функции времени при а = 1,
Ь = 2 и с = 1.
М. У годовалых лососей потребление кислорода с повышением скорости плава-
плавания возрастает экспоненциально. Определим С (v) как потребление кисло-
кислорода в час годовалым лососем, плывущим со средней скоростью v футов в се-
секу нду* Пусть С @) = 100 и С C) = 800 (соответствующих единиц). Найдите
С A) и С B).
15. При прохождении света через жидкость его интенсивность экспоненциально
убывает с длиной пройденного пути. Эта означает, что если / (х) — сила све-
света на расстоянии х футов от поверхности жидкости, то I (х) = I @)е~лд\
где а — положительная постоянная, характерная для данной жидкости.
Допустим, что в некотором водоеме а = 0,5 и что для водных растений оп-
, ределенного вида необходим свет интенсивности не менее 0,1 силы света на
поверхности, составляющей I @). На какой максимальной глубине могут
жить эти растения?

336 Приложение Б. Дифференциальное исчисление
55. Частные производные
В предыдущем параграфе изучались производные функций у =* f (х)
от одной переменной х. Однако во многих приложениях мы имеем дело
с функциями от нескольких переменных, скажем у « / (х, t) или у **
= f*(x, tt и, v). Например, объем куба есть произведение его длины,
ширины и высоты. Скорость размножения бактерий в заданной попу-
популяции есть функция температуры и концентрации пищи. Увеличение
частоты пульса после инъекции лекарственного препарата является
функцией от количества введенного лекарства, массы тела больного,
времени, прошедшего с момента инъекции, и других факторов.
Для простоты займемся изучением функции у = / (х$ t) от двух пе-
переменных х и t. Для такой функции можно определить первые две про-
производные. Нас может интересовать изменение у, вызванное изменением
ху если / остается постоянным. Точно так же можно рассматривать из-
изменение у, вызванное изменением t, когда постоянным остается х. Это
приводит к следующему определению.
Определение Б5.1. Частная производная. Если у ==»
= / (л% /), то частной производной у по х~ называется предел
дх Дл:-»-0 Л*
Частной производной у по t называется предел
и)
Вычисление частных производных не сложнее, чем обычных. Если
у =z (х + <)е~', то при вычислении ~ мы просто считаем t постоянным,
а при вычислении •— постоянным считается х. Поэтому g~ = e~'f a
Пример Б5.1. Вычислить частные производные ~ и ~ для следующих
функций:
1) у « & + /*; 2) у = е-*; 3) у » х2*3 + (•; 4) у « sia ^ -г 4
д 1) 3C = 2#, ay r=2f*
^) _.==;_ е , _=—хе ,
о\ ду _^ Ojc^3 ^ _
дх ^ ' dt

§ 65- Частные производные 337
4) -^jL ecos(jc—О, -|L:=—cos(*—<). ^
Пример Б5.2. Реакция на инъекцию х ед. лекарственного препарата
описывается функцией у = х2 (а — *)&*', где t выражается в часах
в момента инъекции. Требуется найти ~ и ~ . Когда при заданной дозе
лекарства реакция достигает максимума?
Д Имеем
Аналогично,
При заданной дозе лекарства х реакция у максимальна, когда ~ = (К
Этот максимум наступает при t =* 1, т. е. спустя 1 ч после инъекции. А
Определение частных производных более высокого порядка очевид-
очевидно. Если у = / (ху 0» то вторую частную производную ~{ функции у
по переменной х определим как частную производную по х от ~ . Это
л(дУ\ *(дУ\
д\ — I д\ -г }
значит, что •— = дх . Аналогично, ~ = dt ¦¦. Смешанная част-
ная производная ^4: определяется как ^-~ = ^ 7 . Если, например,
у Л ififtl TO
дх \ дх J дх
дР dt \dt j dt
дх dt dx\dt ) дх
Задачи к § Б5
да ду
1. Вычислите частные производные -^ и -^ для следующих функций t
а) у = /jc2 + */*;< б) fir = (х + t) sin (* + 0; в) у = 1 + 2Ла$
г) 0 = sin х cos ft д) у = #ev'i е) у = е*+/ sia <**)•
2. Объем фиксированного количества газа прямо пропорционально зависит от
температуры и обратно пропорционально от давления. Таким образом,

338 Приложение В. Интегральное исчисление
V = k (Т/Р), где k — постоянная, а V, Т и Р обозначают объем, температуру
и давление. Вычислите ^jr и gp"- Покажите, что k-^p +V-^ = О.
3- Прн лечений некоторого заболевания одновремевно назначаются два пре-
препарата. Реакция R (выраженная в соответствующих единицах) на х ед. пер-
первого препарата и у ед. второго выражается зависимостью R (х, у) =
= х2у2 (а — дг) (^ — у\. Какое количество у второго препарата вызывает
максимальную реакцию при фиксированном количестве х первого препара-
препарата?
&у д2у д2у
4. Вычислите частные производные ^2, ^^ и ~dfi для следующих функции*
а) у - Л2; б) у = sin (*0; в) у = е<*+'>;
г) у = jete*'; д) */ = (л: + l)e^/+1); е) у = х2 + /2 arcsin л:.
5. Реакция /? (лс, ^) на х ед лекарства спустя / часов после его приема описы-
описывается зависимостью ? (х, () = х2 (а — х)(Ч~~*. При каком количестве л
реакция окажется максимальной? Когда наступит эта максимальная реак-
реакция?
6. Докажите, что функция у = f (х, /) = A /"|/0 е~х^г удовлетворяет диффе-
дифференциальному уравнению в частных производных 4dy/dt = д2у/дх2.
Приложение В. Интегральное исчисление
В1. Первообразная
В Приложении Б была рассмотрена задача отыскания производной
/' (х) заданной функции / (х). В этом параграфе мы займемся обратной
задачей. Если задана функция / (х), то можно ли найти такую функцию
F (х), что ее производная F' (х) равна / (х)? Любая функция F (^), об-
обладающая этим свойством, называется первообразной (или неопреде-
неопределенным интегралом) данной функции / (х)
Пример В1.1. Найти первообразные следующих функций:
1) / (х) = х2; 2) / (х) = 1 + х\ 3) / (*) = cos к.
А 1) Мы должны найти функцию F (х), для которой F' (х) =/ (х) -а
= х2. Легко видеть, что такой функцией является F (х) = A/3)*3.
Другой подобной функцией могла бы быть F (х) = A/3)г* + 1.
2) Если F (х) = х + A/2)х2, то F' (х) - 1 + х - / (х).
3) Если F (х) = sin ху то F' (х) = cos х = / (х). А
Найти первообразную данной функции / (х) — значит найти такую
функцию у == F (х), которая удовлетворяет условию ~ = / (х). Сим-
Символически это соотношение между у и х записывается в виде йу =
= / (x)dx. Общепринятое обозначение для решения задачц отыска-
отыскания первообразной таково:
(BI)
символ J называется знаком интеграла. Если ~ = / (х), то это запи-
записывается как йу == / (x)dx. Фигурирующая под знаком интеграла
функция / (х) называется подынтегральной функцией. *, ^

§ В*. Первообразная 339
Пример В1.2. Найти первообразную (неопределенный интеграл) функ-
функции / (х) =* Л
Л Решение задачи записывается в виде у = F (х) = J/ (x)dx =s
= J Ли. Вспомним, что производная.*4 равна 4г*, поэтому A/4)л;4 име-
имеет производную л:3. Это значит, что одной из первообразных служит
F (х) = A/4)*4. Кроме того, при любой постоянной с функция F (х) =*
=s A/4)л? + с также является первообразной, поскольку dc/dx — 0.
Итак, приходим к выводу, что f xsdx = A/4)х4 + с, где ? ~—произ-
~—произвольная постоянная. А
Как и в случае с производными, необходимо научиться как можно
эффективнее вычислять первообразные функции, которые часто встре-
встречаются в приложениях анализа. К сожалению, в общем случае эта за-
задача трудна. Некоторые несложно вычисляемое интегралы приведены
ниже.
1. fete = х + с.
2. J xn dx == xtl+4 (п + 1) + с для любого числа п Ф I.
3. J(l/^)d^ = loge \x\+c.
4. J sin х dx = — cos x + с.
5. J cos jc dx = sin a: + с
6. Jefl* dx = (\/a)eax + с
7. J a/(x)djc - a]f(x)dx. -
8. I (/ W + ff W)d^ = ]7 Wdx + J> (x)dx.
. 9. (F
Для доказательства любой из этих формул нужно показать, что
производная правой части равна подынтегральной функции в левой
части. Например, для формулы 6 имеем
—
dx
Последняя формула вытекает из правила дифференцирования слож-
сложной функции. Для доказательства ее заметим, что производная функ-
функции F (/ (х)) + с равна
dx da d
если принять обозначение и = f (x). Значит,
что и требовалось доказать.
Теперь осталось применять эти формулы, развивая навык узнава»
ния тех функций, которые могут быть проинтегрированы.

34.0 Приложение В. Интегральное исчисление
Пример В 1.3, Найти неопределенные интегралы следующих функций!
1) / (Х) = г> + 4х6; 2) A + х2)ь2х; 3) х3 A + *)'/2
4) sin 5x; 5) хет*'; 6) sin x cos x.
А 1) \f(x)dx= J (л? + 4х6) dx = J л:3 dx -Ь 4 J д;в dx ==
где с — произвольная постоянная.
2) Чтобы найти J A + х2M 2х dx, положим н = 1 -f х*.
Тогда ^ = 2х и
Этот интеграл есть частный случай формулы .9.
3} Чтобы вычислить fx3 A + л^I/2Aл:, положим ц = 1 + х4. Тог-
да *? = 4х3 и
Этот результат можно проверить дифференцированием.
4) Положим и = 5л;. Тогда
Г • c.j^ Г sin и j —cos и . cos 5х ,
I sin ox dx = \ dw =5 1- с = [- с.
J J 5 5 5
5) Положим и = —х2. Тогда
r*e-*2dx= readw= l-eu + c= —^-е~
J 2 J 2 2
6) Положим и = sin х. Тогда Аи = cos x dx и
I sin x cos x dx = Г и Аи = ——Ь с = sxnx
J J 2^2.
Этот интеграл можно найти также и с помощью подстановки v = cos x.
В этом случае dv = —sin x dx и
п
\ sin х cos x dx = —
где fe — произвольная постоянная. Эти два ответа, в сущности, одина-
одинаковы", так как sin2 х + cos2 х = 1. А
Пример В1.4. Предположим, что кривая проходит в плоскости ху через
точку @; 2), а наклон ее касательной выражается величиной х3 — Зх2 +
+ 2. Найти эту кривую.

$ Ш. Первообразная 341
А Наклон кривой в точке (х; у) есть ~ = х* — Зх2 + 2. Интегри-
Интегрируя, находим у = A/4)*4 — х3 + 2х + cf где с — произвольная по-
постоянная. Так как кривая проходит через точку @; 2), то с = 2 (у =
=* 2, когда % = 0). Уравнение искомой кривой есть у = A/4)*4 — г* +
+ 2х + 2. А
В заключение этого параграфа опишем весьма полезный метод на-
нахождения интегралов некоторого типа. Этот метод основан на правиле
дифференцирования произведения. Если и (х) и v (х)—дифференци-
(х)—дифференцируемые функции от xf то
(u(x)v(x))u(x)
dx dx
Интегрируя обе части этого равенства, получаем *
Нд подынтегральное выражение в левой части представляет собой про-
производную от и (x)v (x). Поэтому
Этот результат обычно записывают в виде
J и dv я uv — J v dtt. (B2)
В этом состоит метод интегрирования по частям.
Его можно применять для нахождения интегралов вида facto, когда
интеграл \v du известен. Широкий диапазон применения этого метода
иллюстрируется в следующем примере.
Пример В1.5. Методом интегрирования по частям найти интегралы от
следующих функций:
1) / (х) = х cos х; 2) loge х\ 3) хех; 4) е* sin x.
А 1) Чтобы найти jj x cos x dx, положим и == х и dv = cos х 6х.
Тогда du = dx и v = sin x. Применяя интегрирование по частям, по-
получаем
J х cos х dx = J и dv = uv — J v du == x sin x — J sin x dx.
Последний интеграл уже был найден выше. Решением является
J х cos х dx = х sin x + cos x + с, где с — произвольная постоянная.
Это решение может быть проверено путем дифференцирования.
2) Чтобы отыскать J loge x dx методом интегрирования по частям,
положим и = J loge х и dv = dx. Тогда du == A/л;)Aа; и v = я. Отсюда
j loge я dx = J и (k> == uv — J у du =
« a: loge * — I * 0/*)d* =

342 Приложение Д. Интегральное исчисление
3) Положим н = х и (to = е* Ах. Тогда Аи = Ах и о « е*. Интег*
рируя по частям, получаем
J *е* dx = лге* — Je* ск == хех — ех + с.
4) Для отыскания J e* sin л: (to положим и = tx и du = sin x dx.
Тогда Аи = е* Ах и у = —cos x. Отсюда
J e* sin х Ах = —е* cos х + J е* cos дс Ах.
Чтобы найти J e* cos x Ах, мы вновь воспользуемся интегрированием
по частям, полагая иг = е* и dyx = cosx dx. Тогда dt/x = e*cU, ^ =
e= Sin X И
J e^ cos x Ax == e^ sin дс — j ex sin x dx.
На первый взгляд может показаться, что мы не продвинулись ни на
шаг в отыскании первоначального интеграла. Однако это не так. Мы
установили, что
J ex sin х Ах — —е* cos х + J ex cos х Ах =
s= — е* cos х + ех sin х — J e* sin x Ах.
Таким образом,
2 J e* sin х dx = e* (sin x — cos л:).
Отсюда искомый интеграл равен
J e* sin х Ах = (ev/2) (sin x — cos x) + с,
где с — произвольная постоянная. ^
Этот довольно простой метод интегрирования по частям применим,
как только удается подходящим образом выбрать а и о. Умение узна-
узнавать те интегралы, которые можно проинтегрировать по частям, приоб-
приобретается лишь с практикой решения многих примеров.
Задачи к § В1
К Найдите первообразные следующих функций:
a) /(*)=**i°; б) f(X) = ^
2. Найдите первообразные следующих функций:
a) cos Зх; б) х sin (*2); в) х* A + *6K;
г) х?еГх% д) sin2 х cos х; е) sin х ( cos ж + cos2 xf
3. Методом интегрирования по частям найдите интегралы от следующих функ»
ций:
а) х sin х; б) л: log© дг; в) хе~х; г) е* cos х; д) *2 sin *; е) х siu 5др.

§ В2. Определенный интеграл 313
4. Найдите первообразные следующих функций:
а) "ттт;: б) тт^: в) y=s
; д)е3* cos 2jc;
5. Найдите кривую д = / (я), проходящую через точку A$ 1) и имеющую щ точ-
точке (дс; / (*)) наклон, равный г2 + 1.
6. Найдите кривую у = / (дс), проходящую через точку @} 5) и имеющую в точ-
точке (х; f (*)) наклон, равный cos x.
7. Популяция насекомых вырастает от начального размера в 10 000 особей до
численности р (/) спустя время / (которое выражается в днях). Если скорость
роста в момент t равна р' (f) — t -f- t , то какова^буделчисленность популя-
популяции спустя: а) 1 день; б) 5 дней; в) id дней?
В2. Определенный интеграл
В этом параграфе мы установим замечательную связь, которая сущест-
существует между задачей интегрирования, функции / (я) и задачей вычисле-
вычисления площади под кривой у = / (х). На рис. В1 изображена площадь
под кривой у — f (х) между значениями х == а и х = Ъ. Будем считать,
что в этом промежутке / (х) > 0.
Если у = / (х) представляет собой постоянную функцию у = с, то
площадь под этой кривой между а й Ь равна с (Ь — а). Это площадь
прямоугольника с высотой с и основанием Ь — а. Площадь под кри-
кривой общего вида у — f (x) мы будем вычислять, приближенно заменяя
эту площадь суммой площадей прямоугольников.
Начнем с разбиения интервала а < x<Z b на п частей, длиной
(Ь — аIл каждая. Положим
„ , Z(b-a)
п
Это разбиение интервала a<.x<Zb показано на рио. В2.
Площадь под кривой между значениями х = а и х = Ь мы прибли-
приближенно представим как сумму площадей п прямоугольников. Эту пло-
площадь будем обозначать через Ап% указывая тем еамым на то, что она
зависит в действительности от числа прямоугольников. Площадь Ал
выражается очевидной формулой

344
Приложение В, Интегральное исчисление
Рис. В1
Рис. В2
Рассмотрим з качестве примера функцию у = f (х) = х на интервале
1 < х < 2. Площадь под этой кривой, вычисленная с помощью элемеи*
тарных методов, равна 3/2 (рис. ВЗ). Положим
—
Тогда
л-1
¦тI
Найдем значение полученной суммы:
п—\
2п
2 2
(Мы воспользовались соотношением
л—I
2. /2 (/1—1)
.2
которое доказывается в Приложении Е.) Таким образом,
п М- 3 !
Т7-"Т~7'
з 1
Площадь п прямоугольников составялет -^—о". При больших
ниях п это очень хорошее приближение для площади кривой у
между х = 1 и х s= 2.

§ В2. Определенный интеграл
345
Рассмотрим теперь общую задачу вычисле-
вычисления площади под кривой у = / (х) на интер-
интервале от х = а до х = Ь. В качестве определе-
определения этой площади примем А = lim Л„, где
Л—>-оо
у4п представляет собой приближение искомой
площади, составленное из площадей п прямо-
прямоугольников. Это значит, что для улучшения
приближения к точному значению площади
мы используем все большее число прямо-
прямоугольников, основание которых делается все Рис. ВЗ
меньше и меньше.
Предположим теперь, что F (х) = f / (x)dx — любая первообраз-
первообразная функции / (х). Тогда F' (х) = / (х), и есйй &г обозначает малое
изменение х, то справедливо приближенное равенство
F(x + Ax) — F(x)
2
J
А
/И
/
г
Ах
или
так как
При вычислении Ап мы суммируем п слагаемых вида
X l(b — аIп]. Если кх = (Ь — а)/п9 то
Ь—а
и это приближение становится довольно хорошим при больших п. Ес-
Если теперь учесть, что хт = Х| + (Ь — аIп, то мы приходим к соот-
соотношению
Тогда формула для Ап принимает вид
я— 1
Ъ-—а
п—«
или
Ап * IF (хг) - F (х0)] + IF (х2) - F (хг)] + [F (х3) - F (х2)] + ..,
... + IF (xn — F (xn-,)L
После взаимного уничтожения соответствующих слагаемых с учетом
того, что х0 = а и хп = Ь9 получаем
Ап » F (b) - F (а).

346
Приложение В. Интегральное исчисление
Поскольку приближение улучшает-,
ся с ростом /?, заключаем, что
А = \\тАп = F(b) — F(a).
П-+00
Проведя это рассуждение, мы
показали, что площадь под кривой
х у = f (х) между х=а и х~Ь есть
просто разность F (b) — F (а), где
F (х) — любая первообразная для
функции / (х). На основании этого
результата для площади под кри-
кривой между х = а и х = b приме-
применяется запись J / (x)dx = F (b) —
a
— F (а). Это определенный интеграл от /(х) от х = а до х = Ь.
Для удобства используется также запись
Это читается так: «определенный интеграл / (х) от а до & есть F (х) в
точке b минус F (х) в точке а ».
Пример В2.1. Вычислить следующие определенные интегралы:
1 2 2п
1) \хЧх; 2) [xddx\ 3) f sinxdJt.
о i i
Л 1) Первообразной для / (х) = х2 служит F (х) = х3/3. Поэтому
Заметим, что результат не зависит от выбора конкретной первооб-
первообразной. Если F (х) = (х?/3) + с при некотором значении постоянной
с, то F A) — F @) = A/3 + с) — @ + с) = 1/3. Произвольная по-
постоянная с уничтожается при вычитании.
2)
3) fsinxdx= —cosx
о
15
4
—1 + 1=0.
Чтобы понять, почему получился такой ответ, рассмотрим график
функции у = sin х в интервале от л: == 0 до х » 2я (риге. В4), Опреде-
Определенный интеграл от 0 до 2я представляет сойой сумму двуд

§• В2, Определенный интеграл 347
одного йт 0 до я и второго от я до 2я. Если sin х положителен
(О <с х < я), то положителен и соответствующий вклад в общий ин-
интеграл. Если же sin x отрицателен, то соответствующий вклад в ин-
интеграл отрицателен. Эти два слагаемых взаимно уничтожаются, и мы
2л
получаем, что J sin xdx = 0. А
Определенные интегралы обладают следующими свойствами.
а
b
20.
а а с
Ь
Эти свойства следуют непосредственно из тождества J/ (x)dx = F ф) —
- F (а).
Наконец, рассмотрим несобственные интегралы, которые определя-
ь
ются как интегралы J7(jt)d*, где либо f(x) бесконечна при некотором
а
значении х из интервала а ^ х ^ Ь, либо границы х == а и х = 6 это-
этого интервала (одна или обе) бесконечны. Такие интегралы, как
1
1
J e~* dx, j loge x dx, J ex dx и J <k/(l +jc2), являются несобственными.
0 0 —оо —оо
Иногда оказывается возможным найти несобственные интегралы в виде
конечных выражений. Например, интеграл Je~* d* мы .будем понимать
о
J
о
ь
как предел lim Je~* dx. Но на любом конечном интервале от 0 до 6
немеем
ь ^
\ =1— е~ь
o
00
и, следовательно, lim A —е*6) = 1. Таким образом, J е""* их = К
Про такой несобственный интеграл говорят, что он сходится. В проти-
противоположность тому
Ъ
^= Urn(еь-— 1) = оо.
3toT йесобственный интеграл расходится.

348 Приложение В. Интегральное исчисление
Пример В2.2. Найти значения следующих несобственных интегралов
/если они сходятся):
1) f-^rdr, 2) [-^-dx; 3>
A 1) Данный интеграл несобственный, так как Vvx обращается
в бесконечность при х = 0. Положим по определению
1 1
\/х
где а > 0. Тогда
1
f-i=rdx = 2x1/2 l = 2 — 2)/a и limB—2)Лг) = 2.
l _
Значит, j (\lVx)Ax = 2 и этот несобственный интеграл сходится.
о
1 1
2) I Ах = lim — dx = lim =lim 1 j = oof
J x? a^O J Д^2 а-^О\ Jf / \a a-+Q\ <* j
0 a
Это расходящийся несобственный интеграл.
b t
e
3) Г хе-х* dx = lim Гхе-*ш dx = \im
о о
«lim -L(i_e-»*) = -L.
&-<* 2 7 2
Этот несобственный интеграл сходится. ^
Задачи к § В2
1. Вычислите следующие определенные интегралы!
5 2 t
а) \3x2dx\ б) f(l + A:2)d>:;. в) f A+лг + х2) dx.
t о о
2. Вычислите следующие определенные интегралы!
7 5 t
а) f(l+e*)d*j б) JCe-3* + 4e^4*)dA:; в) Г
4 3 0
3. Вычислите следующие определенные интегралы!
я/4 я я/3
а) | sintod*; б) ( sin x cos * djc; в) j* xsinxdx.
о я/2 *-я/з

§ ВЗ. Численное интегрирование 349
4. Методом интегрирования по частям найдите значения следующих опреде-
определенных интегралов:
« б я/4
а) §хъ3хдх; б) J дс3е"**** 6х; в) J x2%inxdx*
5. Найдите следующие несобственные интеграль»
«О 1 00
а) I чЬ^: б> J у=<*
— оо — 1 V О
[У к а з а н и е: по поводу интегралов а) и б) см. задачу 6 к § Б2.]
6. Реакция на определенную дозу лекарства спустя t часов его приема задаетёя
величиной г (t) = /e""/2 (выраженной в соответствующих единицах). Почему
суммарную реакцию можно определить как величину площади под кривой
У — т @ между значениями t = О и / = оо? Найдите величину суммарной
реакции на заданную дозу лекарства.
7. В условиях задачи 6 предположим, что реакция в момент t выражается ве-
величиной г (t) = 1/ A + t2). Найдите величину суммарной реакции на дан-
N lH^ib'дозу'лекарства'.
8. В условиях задач 6 и 7 определим суммарную реакцию к моменту времени
Т как площадь под кривой у = г (t) от t = 0 до t == Г. Найдите для обеих
задач величину суммарной реакции к моменту Т.
9. Скорость изменения концентрации С (t) препарата с изотопным индикато-
индикатором в момент времени t есть С (t) = 2~S где t выражается в часах. Найдите
концентрацию в момент tt если начальная концентрация составляет 1 мкг на
литр. [У к а з а н и е: 2~* = е~'loge \]
ВЗ. Численное интегрирование
Часто случается так, что нужно вычислить определенный интеграл
ь
If (x)dxf а значение первообразной для функции / (х) неизвестно. Мы
й
не можем, например, вычислить J ex* их, так как не знаем такую функ-
функцию F (jc), производная которой была бы равна /" (х) = е*\ Однако
оценить значение этого интеграла можно, если вспомнить, что оно рав-
равно площади под кривой у = е*2 от х = 0 до х = 1. Эту площадь мож-
можно было бы оценить довольно просто, нарисовав как можно точнее кри-
кривую на миллиметровой бумаге и сложив площайи всех квадратов под
кривой.
В предыдущем параграфе площадь под кривой у = f (x) в проме-
промежутке от х = а до х = Ь аппроксимировалась суммой п прямоуголь-
прямоугольников (см. рис. В2). Эти прямоугольники были получены путем раз-
разбиения интервала а<х<& на п частей длиной (Ь — а)/п каждая.
Мы полагали
хо = а, х1 = а + "^-, *2 = а+ 2F~g), ..., а:п= Ь

?50
Приложение В. Интегральное исчисление
и получали оценку
Рис. В5
Чтобы улучшить эту
оценку, введем иную
аппроксимацию иско-
искомой площади — как
сумму трапеций, (Тра-
(Трапецией называется
четырехугольник с двумя параллельными сторонами.) Этот метод
приближения носит название формулы трапеций. На рис. В5
в виде суммы трапеций оценивается площадь под кривой у = / {х\
от х = а до х = Ь. Площадь от хь до х1+1 мы оцениваем изображен-
изображенной трапецией. Ее площадь составляется из площадей прямоуголь-
прямоугольника и треугольника и равна
2/2
2л
На рис. В5 показан случай, когда f {xt) > f (xi+1). Нетрудно убедить-
убедиться, что в случае / (xt) ^ / (xi+1) мы получаем в точности такое же вы-
выражение.
Искомая площадь под кривой аппроксимируется суммой площадей
отдельных трапеций. Обозначая аппроксимацию п трапециями через
Вгп получим
Ь — а
Это дает следующую оценку:
Теперь в нашем распоряжении имеются две оценки для определенного
интеграла. Точность этих оценок иллюстрируется в нижеследующих
примерах.

§. Ш. Численное интегрирование 351
1
Пример В3.1. Оценить J dx/(l + *2) путем разбиения интервала
о
О < х < 1 на четыре части.
Л Здесь я = 4, я = 0 и ft = 1. Точки разбиения задаются значе-
значениями а = х0 = 0, *! = 1/4, х2 = 1/2, х3 = 3/4 и х4 = Ь « 1. В этих
точках / (х) = 1/ A + я2) принимает значения / (хе) =* / @) = 1,
/ (хх) = 16/17, / (х2) = 4/5, / (х3) - 16/25 и / (х,) - / A) = 1/2. Для
первого приближения определенного интеграла имеем
?/(xi)=T(l+ — + T + —
1437 0,8453. '
1700
Второе приближение дает
\+ + + +)tt 0,7828.
8 V ^ 17 ^ 5 25 2 /
f
Проверить оба этих приближения можно, сравнив их с точным значе-
значением интеграла. Известно, что
1
р^- = arctg х I' = -f ~ °>7854-
о
Мы видим, что второе приближение оказалось довольно точным, не-
несмотря на то что интервал разбивался лишь на четыре части. С исполь-
использованием большего числа частей точность обеих оценок можно было
бы значительно улучшить. ^
г» дх
Пример Б3.2. Оценить J — путем разбиения интервала 1 <С x<Z 2 на
четыре части.
Л Здесь п = 4, а = 1 и Ъ = 2. Граничными точками служат а =
= х0 = 1, хг = 5/4, х2 = 6/4 = 3/2, хъ = 7/4 и х% = Ъ = 2. В этих
точках / (х0) = 1, / (хг) - 4/5, / (х2) - 2/3, / (х3) « 4/7 и / Ы - 1/2.
Две оценки определенного интеграла таковы:
: 0,7595,
420

352 Приложение Г. Экспоненциальная функция
Вновь мы можем сравнить эти оценки q точным значащем щтегралз,
а именно ^ — = loge х\ = loge 2 ^ 0,6931. Аппроксимация, получен-
1
ная по формуле трапеций, когда данный интервал разбит на четыре
части, в пределах 1%-ной точности совпадает с истинным значением
интеграла. Такая степень точности во многих приложениях оказы-
оказывается достаточной. А
Существуют и другие методы, которые дают еще большую точность
при том же (или меньшем) числе частей. Они применяются, когда не-
необходима высокая степень,точности. Эти методы, так же как и описан-
описанные выше, легко программируются для ЭВМ.
Задачи к § ВЗ
с dx
1. Оцените J ^ . х2 путем разбиения интервала 0 < к < 1 на восемь частей.
Сравните оценки с точным значением.
3 dx " f,
2. По формуле трапеций при п = 4 оцените j —. Сравните получённуй оЦёк-
i *
ку с точным значением.
ь
3. Покажите, что формула трапеций дает точное значение интеграла J f (x)dxf
а
если / (х) = сх + d, где end — постоянные.
4. Оцените J x2dx по формуле трапеций при п =8. Чему равно точное значение
этого интеграла?
я
5. По формуле трапеций при п = 4 оцените J sin x dx. Каково точное значение
этого интеграла?
t
6. Получите оценки для J e** dx по формулам трапеций при п =5 и д = 10,
о
Приложение Г. Экспоненциальная функция
Экспоненциальная функция обычно вводится в курсе анализа и уже
рассматривалась нами в приложении Б. Однако существует много при-
примеров применения этой функции и помимо анализа — таких, как, на-
например, распределение Пуассона в теории вероятностей (см. § 2.9).
По этой причине в данном Приложении рассмотрены свойства экспо-
экспоненциальной функции, использующиеся в подобных случаях.
Определение ГК Экспоненциальная функция. Экс-
Экспоненциальная функция ехр (х) для каждого действительного числа х оп-
определяется как следующая бесконечная сумма:

Приложение Г. Экспоненциальная функция 353
В частности,
ехр @) = 1 + 0 + 0 + ... = 1
и
ехрA) = 1 +± + 1 + 1;+... = 1 + 1 +0,5 +
+ 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 + 0,0014 + 0,0002 + ... ^ 2,7183.
Число ехр A) обозначается символом е. Более точной оценкой для
него является е « 2,71828183. Можно доказать, что ехр (х) = е*.
Иными словами, экспонента представляет собой частный случай по-
показательной функции. Мы не будем доказывать этот результат в его
общей фор^е, а лишь проверим тождество ехр (х + у) = ехр (х) ехр(у)
Действительно,
ехр(х)ехр(*/) = У — У -^-
k\ JU i\ /л A k\l\
1= 0 fe=0 /= 0
В этой двойной бесконечной сумме мы сгруппируем слагаемые, у ко-
которых k + I = г, и затем просуммируем по г. Получаем
ехр (х)ехр(у) =
Но согласно биномиальной теореме,
и, значит,
ехр (х) ехр (у) = ^ ~т~ (*+УУ = ехР (* + »)• (Г2>
Это доказывает, в частности, что ехр B) = ехр A) ехр A) = е*. В об-
общем случае ехр (х) = ех.
Мы определили ехр (х) как бесконечную вумму определенного ви-
вида. Если разложить по биномиальной теореме выражение /1 + ~J t
то получится конечная оумма, содержащая п + 1 слагаемых. С увели-
увеличением п эта конечная сумма будет приближаться к бесконечной сумме
ехр (х). Это записывается в виде
ехр (х) = е* == lim A + —)я. (ГЗ)
Действительно, по биномиальной теореме,
D-7-1
12 Зак. 1370

354 Приложение Г. Экспоненциальная функция
Коэффициент при хк равен
//Л 1 _ п п — \ п — 2 n — k + \ 1 __
\k) nk п п п п k\
Если k фиксировано, а п возрастает, то этот коэффициент приближа-
приближается к 1/AI. Это справедливо для всех /г, поэтому
lim / Н—— )= 1 +х + ——1-~—Н...+ ——j-... = exp(x).
п-^ос V л / 2! 3! kl
Это и доказывает сформулированное выше утверждение (ГЗ).
Напомним в заключение о замечательной связи, которая сущест-
существует между экспоненциальной функцией и тригонометрическими функ-
функциями sin х и cos х. Если / = V—1. (см. Приложение Д), а х выра-
выражается в радианах, то справедлива формула Эйлера:
е'« = cos х + i sin x. (Г4)
В частности, е'° = cos 0 + i sin 0, или 1 = 1, и e/Jt = cos л + i sin л=
= —1. Как некоторое подтверждение этой формулы заметим, что
eixe—tx __ ео __ ] и ^cos х -\- i sin x) (cos л: — / sin x) = cos2 л: +
•+¦ sin2 % == 1. Строгое доказательство тождества (Г4) требует значи-
значительно более серьезного знакомства с основами анализа и здесь не при-
приводится. Примеры применения формулы Эйлера содержатся в гл. 6
и 7 и Приложении Д.
Задачи к Приложению Г
1. На основе определения ехр (х) как бесконечного ряда вычислите:
а) ехр @,05); б) ехр @,5); в) ехр (—0,1); г) ехр (—1)
2. С помощью формулы ехр (х + у) = ехр (л-) ехр (у) докажите, что:
а) ехр C) = е3; б) ехр E) = е5; в) ехр (—1) = е-1;
Г) ехр (—4) = е-*; д) ехр A/2) = е1/2; е) ехр C/2) = е3/2.
3. Формулу Эйлера eix = cos x + i sin x можно использовать для доказатель-
доказательства тригонометрических тождеств. На основании того, что е2*-* = eix eix,
докажите, что cos 2х — cos2 х — sin2 x и sin 2x = 2 sin x cos x. С помо-
помощью аналогичных рассуждений докажите, что cos "Злг = cos3 x —
— 3 cos х sin2 х и sin Зле = 3 cos2 x sin x — sin3 x.
4. С помощью формулы Эйлера и тождества eixeiy = е*(х+У) докажите, что
cos (х + у) — cos х cos у — sin x sin у и sin (x + у) = sin x cos у +
+ cos х sin у.
Другие задачи, связанные с экспоненциальной функцией, можно найти в
§ Б4. Приведенные там задачи Щ 11 12, 14 и 15 можно решить и без диффе*
ренциального исчисления.

Приложение Д. Комплексные числа 355
Приложение Д. Комплексные числа
Задача нахождения корней квадратного уравнения (т. е. отыскание
таких чисел х, что ах2 + Ьх + с = 0, где а Ф О, Ь и о ь- действитель-
действительные числа) имеет следующее решение:
2а
Эти корни являются действительными числами лишь при выполнении
условия Ь2 — 4ос ^ 0. Однако во многих математических задачах ока-
оказывается удобным применение этой формулы для корней и в тех слу-
случаях, когда Ь2 — 4ас < 0. Для подобных ситуаций введем «мнимое»
число i = V—1. Тогда если Ь2 — 4ас < 0, то
b2) =
Полагая а = — ЫBа) и р = Л/^ас — b2/Ba)t получим, что корни
данного квадратного уравнения записываются в виде х = а ± ф$
где а и р — действительные числа. Комплексным числом z называет-
называется любая комбинация вида z = а + Ф, где а и Р — действительные
числа. Если а = 0, |3 ^= 0, то г называется <ш?то мнимым числом. Чис-
Число а называют действительной частью, а число р — мнимой частью
комплексного числа z и обозначают а = Re B) и ^ == Im (г). Для ком-
комплексных чисел справедливы обычные правила сложения и умноже-
умножения.
Комплексные числа можно представлять как точки на комплексной
плоскости, причем по оси х откладывается Re (г), а по оси у — Im (г).
Примеры показаны на рис. Д1.
С каждым комплексным числом г = а + ф (рис. Д2) связываются
расстояние г от точки z до начала координат 0 и угол G между положи-
положительным направлением оси х и отрезком прямой, соединяющим нача-
начало координат с точкой г. Как видно из рисунка, г = Уа2 + р2 (по
теореме Пифагора) и tg 6 = |3/<х, т. е. 0 = arctg (р/а) (где 9 выражено
в радианах). Определим г как абсолютную величину комплексного
числа z (обозначается через |г|), а 8 — как аргумент комплексного
числа z (обозначается через arg z). Из рис. Д2 видно, что sin 8 = р/г
и cos 9 = а/г, или а = г cos 8 и р = г sin 8. Отсюда z = а + *Р=
= г ( cos 8 + t sin 8). Тогда по формуле Эйлера (см. Приложение Г)
получаем, что е/е = cos 8 + i sin 8, т. е. z = еш. Это тригонометри-
тригонометрическая форма комплексного числа 2.
Пример Д1. Представить в тригонометрической форме следующие
комплексные числа: 1) 1\ 2) 1 + i\ 3) 1 —i\ 4) —1.
Л Согласно рис. Д1, arg i = я;/2, arg (I + Q = я/4, arg A — i) =
= _я/4 и arg (—1)^= я. Кроме того, |/| = VO2 + I2 = 1, |1 + i\ =
=^ Т/2, A — /| = V2 и |—1| = 1. Искомые представления таковы:
12*

356
Приложение Д. Комплексные
-4 -3 ~2 -/ 0
-7
• -2
' -5
;2w
J—i—1—I—L-x=Re(z\
/ 2
I
0 r cos в ot
Рис. Д1
Рис. Д2
2) 1 + I = V2e*; 3) 1 — i =
4) — 1 >*
1) 1 =
= е/л. ^
Тригонометрическая форма весьма удобна в задачах, где встреча*
ются степени комплексных чисел. Если г = ге/в, то гп = (ге^)п ***
= г"е/п6 = rn (cos /г0 + i sin пв). Отсюда при г = 1 получаем
формулу Муавра:
(cos G + i sin 6)" =s cos пв + i sin n8.
Пример Д2. Вычислить A + О8 по формуле Муавра.
Д Тригонометрическая форма для г = 1 + / есть У2е/Я/4, т. е*
г « V2 и 6 = я/4. Значит,
2» = A + О8 == (К2"K е3/я/4 = 2 К2" /cos -^ +1 sin %-
V 2 2 /
Ответ можно проверить по биномиальной теореме: A -f- i)9 ==»
= 1 + 31 + Ы2 + /3 = 1 + Si — 3 — * = — 2 + 2/. На первый
взгляд, каже^я, что второй способ вычисления легче, чем первый;
тогда предлагаем еамостоятельно вычислить по биномиальной теореме
A + О20. По формуле Муавра,
A + /Jо = (V2J0 ^от/4 -= 210 (cos 5я + / sin 5л) = —1024.
Задачи к Приложению Д
, iv Представьте в тригонометрической форме следующие комплексные числа;
a) 3i| б) 4 + 4г, в) 4 + Зг, г) 4 — 2i$ д) 1 + УЪ(.
2. Запишите в виде а + ф следующие числа, представленные в тригонометри-
тригонометрической форме:
; а) Зе/Я; б) E/2)е/я'3; в) е5'31; г) 2е^^2; д) 5е3/я/4.
3. Найдите по формуле Муавра: а) D + 403; б) (I + ]/3 /L; в) (Уз +

Приложение Е. Математическая индукция 357
4. Выведите выражение для cos 49 и sin 48, сравнив формулу Муавра с би-
биномиальным разложением для (cos 6 -f- i sin ЭL.
б. Используя формулу Муавра, получите выражения для cos л9 и sin «9 в
виде суммы степеней cos 9 и sin 9.
6. Пусть ^ и 12 — корни квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = 0 с дейст-
действительными коэффициентами. Докажите, что Ац + А,2 = —У а и А^А,2 = с/а.
Приложение Е. Математическая индукция
Метод математической индукции — это лишь длинное название для
простого логического принципа, g помощью которого можно доказы-
доказывать математические утверждения определенного типа. Предположим,
что имеется ряд утверждений, которые можно поставить в соответст-
соответствие g положительными целыми числами. Например, утверждение о
том, что сумма первых п селых чисел равна п (п + 1)/2, — это,, в сущ-
сущности, ряд утверждений — по одному на каждое целое положитель-
положительное.
/ При, доказательстве методом математической индукции утвержде-
ний подобного типа мы рассуждаем следующим образом. Предполо-
Предположим, что мы убедились в справедливости данного утверждения при
первом из значений п (обычно при п = 1). Предположим далее, что
если допустить справедливость этого утверждения при п = k, то мы в
состоянии доказать его справедливость и при п = k + 1. Тогда мы
зйаем, что утверждение должно быть верным при п = 2, а значит, и
при п = 3 и т. д. Таким образом, приходим к выводу, Что утверждение
верно при всех п.
Применение этого принципа математической индукции иллюстри-
иллюстрируется в следующих примерах.
Пример Е1. Доказать, что сумма первых п целых чисел равна
п(п + 1)/2.
Л Положим по определению Sn = 1 + 2 + 3 + ... + п9 где п —
целое положительное. Требуется доказать, что Sn = п (п + 1)/2. За-
Заметим, во-первых, что при п = 1 утверждение справедливо. Допустим,
что оно верно при п == k% т. е. что S* = k (k + 1)/2. Тогда для Sft+1
имеем
Таким образом, 5ft+1 удовлетворяет требуемой формуле. Тем самым
рассуждение по индукции завершается и утверждение справедливо
для всех п. ^
Пример Е2. Доказать, что сумма квадратов первых п целых чисел рав-
равна п (п + 1) Bд + 1)/б.
Л Положим Тп = I2 + 22 + З3 + ... + я2, где п — целое поло-
положительное. Докажем, что Тп = п (п + 1) Bп + 1)/6. Легко убедить-

358 Приложение Е. Математическая индукця*
ся, что утверждение справедливо при п = 1. Допустим теперь, что оно
верно при п = ?, т, е. что Th = k (k + 1) Bk + l)/6. Тогда
Значит, Tk+i удовлетворяет той же самой формуле, что и Tht где k за-
менено на k + 1. Этим завершается доказательство по индукции. А
Пример ЕЗ. Доказать, что
Л Положим
где /г — целое положительное. Докажем по индукции, что Rn = 1 —
— A/2)". Во-первых, заметим, что /?г =1/2=1 — A/2I. Это дока-
доказывает тождество при п = 1. Если допустить, что тождество справед-
справедливо при п = k, т. е. что /?А == 1 — A/2)*, то
М*+|
Таким образом, /?ft+1 имеет нужный вид и утверждение доказано. А
Задачи к Приложению Е
1. Методом математической индукции докажите, что:
a)
б)
2. Докажите с помощью математической индукции, что (если х ф 1):
а) 1+х+х*+...+хп=-^- ;
1-х
б)

Приложение Е. Математическая индукция 359
3. Докажите, что число всех подмножеств множества S, состоящего из п эле-
элементов, равно 2", если пустое множество тоже считается1 подмножеством.
Воспользуйтесь методом математической индукции,
4. Последовательность чисел <7о, Яь Я2> •••> Яп »¦•• удовлетворяет рекуррентному
соотношению qn = Яп-\1 О + Яп—гЪ Докажите по индукции, что qn =
«= я^ О + пЯо)- (Биологическую интерпретацию см. в § 9.4 и задаче 10 я
указанному параграфу.)
5. У диплоидных организмов, таких, как человек, гены представлены парами,
в парных хромосомах (см. § 9.3). Ген с одним аллелем А порождает единст-
единственный генотип А А. Ген с двумя аллелями А1 и Л2 порождает три генотипа:
AiAx, AtA2 и А2А2. Генотипы АгА2 и A%At одинаковы.
а) Какие генотипы существуют у гена с тремя аллелями: Аъ Л2 и Л3? у
гена с четырьмя аллелями: Аъ Л2, А3 и Л4?
б) Докажите, что ген с п аллелями Аъ Л2, ..., Ап порождает (п2 + п)/2 ге-
генотипов.
6. Пусть Alf Л2, ..., Ап обозначают события в конечном пространстве ве-
вероятностей S. Докажите с помощью математической индукции, что
Р {At U A2 U ... U Ап) < Р (Аг) + Р (Л2) + ... + Р (Ая).

Таблица I. Экспоненциальные функции
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0*40
0,45
0,50
0*55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
,0000
,0513 0
,1052
,1618
,2214
,2840
,3499
,4191
,4918
,5683
,6487
,7333
,8221
,9155
2,0138
2,1170
2,2255
1,0000
,9512
0,9048
0,8607
0,8187
0,7788
0,7408
0,7047
0,6703
0,6376
0,6065
0,5769
0,5488
0,5220
0,4966
0,4724
0,4493
0,85
0,90
0,95
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,3396
2,4596
2,5857
2,7183
3,0042
3,3201
3,6693 0
4,0552 0
4,4817
4,9530
5,4739
6,0496
6,6859 0
7,3891
8,1662
9,0250
9,9742 0
0,4274
0,4066
0,3867
0,3679
0,3329
0,3012
,2725
,2466
0,2231
0,2019
0г1827
0,1653
,1496
0,1353
0,1225
0,1108
,1003
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
023 0
И,
12,
13,
14,
16,
18,
20,
22,
24,
27,
29,
33,
36,
40,
44,701
49,
182 0
464 0
880 0
445 0
174 0
086 0
198 0
,533 0
ИЗО
964 0
1150
598 0
447 0
402 0
,0907
,0821
,0743
,0672
,0608
,0550
,0498
,0450
,0408
,0369
,0334
,0302
,0273
,0247
0,0224
,0202
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
54,598
60,340
66,686
73,700
81,451
90,017
99,484
109,95
121,51
134,2$
148,41
403,43
1096,6
2981,0
8103,1
22026
0,0183
0,0166
0,0150
0,0136
0,0123
0,0111
0,0101
0,0091
0,0082
О 0074
0,0067
0,0025
0,0009
0,0003
0,0001
0,0000
Таблица II
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.0
0,0000
0,6931
1,0986
1,3863
1,6094
Ь7918
1,9459
2,0794
2,1972
Натуральные j
0.1
0,0953
0,7419
1,1314
1,4110
1,6292
1,8083
1,9601
2,0919
2,2083
0.2
0,1823
0,7885
1,1632
1,4351
1,6487
1,8245
1,9741
2,1041
2,2192
югарифмы
0,3
а, 2624
0,8329
1,1939
1,4586
1,6677
1,8405
1,9879
2,1163
2,2300
0.4
0,3365
9,8755
1,2238
1,4816
1,6864
1,8563
2,0015
2,1282
2,2407
0,5
0,4055
0,9163
1,2528
1,5041
1,7047
1,8718
2,0149
2,1401
2,2513
0,6
0,4700
0,9555
1,2809
1,5261
1,7228
1,8871
2,0281
2,1518
2,2618
0f7
0,5306
0,9933
I,3083
1,5476
1,7405
1,9021
2,0412
2,1633
2,2721
0,8
0,5878
1,0296
1,3350
1,5686
1,7579
1,9169
2,0541
2,1748
2,2824
0,9
0,6419
1,0647
1,3610
1,5892
1,7750
1,9315
2,0669
2,1861
2,2925

Таблицы
Таблиц» III. Десятичные логарифмы
361
; п
1.0
1.1
Ь2
ьз
Ii4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
JM
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2*7
2,3
2,9
3,0
зл
3,2%
3,3.
3,4
3,5
3,6
3|7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
5,0
5,1
5,2
5,3
5,4
0
0,0000
0414
0792
1139
1461
1761
2041
2304
2553
2788
ЗОЮ
3222
3424
3667
3802
9979
4150
4324
4472
4624
4771
I 4914
¦ СШ1
5185
5315
5441
5563
5682
5798_
5911
6021
6128
6232
6335
6435
6532
6628
6721
6812
6902
6990
7076
7160
7243
7324
!
0,0043
0453
0828
1173
1492
1790
2068
2330
2577
2810
2032
3243
3444
3636
3920
3997
4166
4330
4487
4639
4786
4928
5065
5198
5328
5453
5575
5694
5809
5922
6031
6138
6243
6345
6444
6542
6637
6730
6821
6911
6998
7084
7168
7251
7332
2
0,0086
0492
0864
1206
1523
1818
2095
2355
2601
2833
3054
3263
3464
3655
3838
4014
4183
4346
4502
4654
4800
4942
5079
5211
5340
5465
5587
5705
5821
5933
6042
6149
6253
6355
6454
6551
6646
6739
6830
6920
7007
7093
7177
7259
7340
3
0,0128
0531
0899
1239
1553
1847
2122
2380
2625
2856
3075
3284
3483
3674
3856
4031
4200
4362
4518
4669
4814
4955
5092
5224
5353
5478
5599
5717
5832
5944
6053
6160
6263
6365
6464
6561
6656
6749
6839
6928
7016
7101
7185
7267
7348
4
0,0170
0569
0934
1271
1584
1875
2148
2405
2648
2878
3096
3304
3502
3692
3874
4048
4216
4378
4533
4683
4829
4969
5105
5237
5366
5490
5611
5729
5843
5955
6064
6170
6274
6375
6474
6571
6665
6758
6848
6937
7024
7110
7193
7275
7356
6
0,0212
0607
0969
1303
1614
1903
2175
2430
2672
2900
3118
3324
3522
3711
3892
4065
4232
4393
4548
4698
4843
4983
5119
5250
5378
5502
5623
5740
5855
5966
6075
6180
6284
6385
6484
6380
6675
6767
6857
6946
7033
7118
7202
7284
7364
0,0253
0645
1004
1335
1644
1931
2201
2455
2695
2923
3139
3345
3541
3729
3909
4082
4249
4409
4564
4713
4857
4997
5132
5263
5391
5514
5635
5752
5866
5977
6085
6191
6294
6395
6493
6590
6684
6776
6866
6955
7042
7126
7210
7292
7372
7
0,0294
0682
1038
1367
1673
1959
2227
2480
2718
2945
3160
3365
3560
3747
3927
4099
4265
4425
4579
4728
4871
5011
5145
5276
5403
5527
5647
5763
5877
5988
6096
6201
6304
6405
6503
6599
6693
6785
6875
6964
7050
7135
7218
7300
7380
8
0,033
071
1072
1399
1703
1987
2253
2504
2742
2967
3181
3385
3579
3766
3945
4116
4281
4440
4594
4742
4886
5024
5159
5289
5416
5539
5658
5775
.5888
5999
6107
6212
6314
6415
6513
6609
6702
6794
6884
6972
7059
7143
7226
7308
7388
9
0,0374
0755
1106
1430
1732
2014
2279
2529
2765
2989
3201
3404
3598
3784
3962
4133
4298
4456
4609
4757
4900
5038
5172
5302
5428
5551
5670
5786
5899
6010
6117
6222
6325
6425
6522
6618
6712
6803
6993
6981
7067
7152
7236
731в
739Й

Таблицы
ПродйЛжение табл. 4(t
n
5,5
5,6
i 5,7
; 5,8
i 5,9
6,0
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
6,7
6,8
6,9
7,0
7,1
7,2
7,3
7,4
7,5
7,6
7,7
7,8
7,9
8,0
8,1
8,2
8,3
8,4
8,5
8,6
8,7
8,8
8,9
9,0
9,1
9,2
9,3
9,4
9,5
9>6
9,7
9,8
9,9
0
7404
7482
7559
1 7634
7709
7782
7853
7924
7993
8062
8129
8195
8261
8325
8388
8451
8513
8573
, 8633
8692
8751
8808
8865
8921
8976
9031
9085
9138
9191
9243
9294
9345
9395
9445
9494
9542
9590
9638
9685
9731
9777
9823
9868
9912
9956
l
7412
7490
7566
7G42
7716
7789
7860
7931
8000
8069
8136
8202
8267
8331
8395
8457
8519
8579
8639
8698
8756
8814
8871
8927
8982
9036
9090
9143
9196
9248
9299
9350
9400
9450
9499
9547
9595
9643
9689
9736
9782
9827
9872
9917
9961
2
7419
7497
7574
7649
7723
7796
7868
7938
8007
8075
8142
8209
8274
8338
8401
8463
8525
8585
8645
8704
8762
8820
8876
8932
8987
9042
9096
9249
9201
9253
9304
9355
9405
9455
9504
9552
9600
9647
9694
9741
9786
9832
9877
9921
9965
3
7427
7505
7582
7657
7731
7803
7875
7945
8014
8082
8149
8215
8280
8344
8407
8470
8531
8591
8651
8710
8768
8825
8882
8938
8993
9047
9101
9154
9206
9258
9309
9360
9410
9460
9509
9557
9605
9652
9699
9745
9791
9836
9881
9926
9969
4
7435
7513
7589
7664
7738
7810
7882
7952
8021
8089
8156
8222
8287
8351
8414
8476
8537
8597
8657
8716
8774
8831
8887
8943
8998
9053
9106
9159
9212
9263
9315
9365
9415
9465
9513
9562
9609
9657
9703
9750
9795
9841
9886
9930
9974
5
7443
7520
7597
7672
7745
7818
7889
7959
8028
8096
8162
8228
8293
8357
8420
8482
8543
8603
8663
8722
8779
8837
8893
8949
9004
9058
9112
9165
9217
9269
9320
9370
9420
9469
9518
9566
9614
9661
9708
9754
9800
9845
9890
9934
9978
в
7451
7528
7604
7679
7752
7825
7896
7966
8035
8102
8169
8235
8299
8363
8426
8488
8549
8609
8669
8727
8785
8842
8899
8954
9009
9063
9117
9170
9222
9274
9325
9375
9425
9474
9523
9571
9619
9666
9713
9759
9805
9850
9894
9939
9983
7
7459
7536
7612
7686
7760
7832
7903
7973
8041
8109
8176
8241
8306
8370
8432
8494
8555
8615
8675
8733
8791
8848
8904
9860
9015
9069
9122
9175
9227
9279
9330
9380
9430
9479
9528
9576
9624
9671
9717
9763
9809
9854
9899
9943
9987
8
7466
7543
7619
7694
7767
7839
7910
7980
8048
8116
8182
8248
8312
8376
8439
8500
8561
8621
8781
8739
8797
8854
8910
8965
9020
9074
9128
9180
9232
9284
9335
9385
9435
9484
9533
9581
9628
9675
9722
9768
9814
9859
9903
9948
9991
9
7474
7551
7627
7701
7774
7846
7917
, 7987
: 8055
i 8122
8189
8254
8319
8382
8445
8506
8567
\ 8627
8686
8745
8802
8859
8915
8971
9025
9079
9133
9186
9238
9289
9340
9390
9440
9489
9538
9586
9633
9680
9727
9773
9818
9863
9908
9952
99%

Таблицы
Таблица IV. Единичное нормальное распределение
363
X
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
,8
,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
00
0,5000
5398
5793
6179
6554
6915
7257
7580
7881
8159
8413
8643
8849
9032
9192
9332
9452
9554
9641
9713
9772
9821
9861
9893
9918
9938
9953
9965
9974
9981
9987
9990
9993
9995
9997
01
0,5040
5438
5832
6217
6591
6950
7291
7611
7910
8186
8438
8665
?869
9049
9207
9345
9463
9564
9649
9719
9778
9826
9864
98%
9920
9940
9955
9966
9975
9982
9987
9991
9993
9995
9997
02
0,5080 (
5478
5871
6255
6628
6985
7324
7642
7939
8212
8461
8686
8888
9066
9222
9357
9474
9573
9656
9726
9783
9830
9868
9898
9922
9941
9956
9967
9976
9982
9987'
9991
9994
9995
9997
03
),5120
5517
5910
6293
6664
7019
7357
7673
7967
8238
8485
8708
8907
9082
9236
9370
9484
9582
9664
9732
9788
9834
9871
9901
9925
9943
9957
9968
9977
9983
9988
9991
9994
9996
9997
04
0,5160
5557
5948
6331
6700
7054
7389
7704
7995
8264
8508
8729
, 8925
9099
9251
9382
9495
9591
9671
9738
9793
9838
9875
9904
9927
9945
9959
9969
9977
9984
9988
9992
9994
9996
9997
05
0,5199
5596
5987
6368
6736
7088
7422
7734
8023
8389
8531
8749
8944
9115
9265
9394
9505
9599
9678
9744
9798
9842
9878
9906
9929
9946
9960
9970
9978
9984
9989
9992
9994
9996
9997
06
0,523S
5636
6026
6406
6772
7123
7454
7764
8051
8315
8554
8770
8963
9131
9279
9406
9515
9608
9686
9750
9803
9846
9881
9909
9931
9948
9961
9971
9979
9985
9989
9992
9994
9996
9997
07
0,527с
567S
6164
6443
6808
7157
7486
7794
8078
8340
8577
8790
mm
9147
9292
9418
9525
9616
9693
9756
9808
9850
9884
9911
9932
9949
9962
9972
9979
9985
9989
9992
9995
9996
9997
08
0,531
571
610
6480
6844
7190
8517
7823
8106
8365
8599
8810
8997
9162
9306
9429
9535
9625
9699
9761
9812
9854
9887
9913
9934
9951
9963
9973
9980
9986
9990
9993
9995
9996
9997
09
0,5359
5753
6141
6517
6879
7224
7549
7852
8133
8389
8621
8830
9015
9177
9319
9441
9545
9633
9706
9767
9817
9857
9890
9916
9936
9952
9964
9974
9981
9986
9990
9993
9995
9997
9998

Таблица V. Тригонометрические функции
Град усы
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
. 38
39
40
41
42
43
44
45
Радианы
0
0,0175
0,0349
0,0524
0,0698
0,0873
0,1047
0,1222
0,1396
0,1571
0,1745
0,1920
0,2094
0,2269
0,2443
0,2618
0,2793
0,2967
0,3142
0,3316
0,3491
0,3665
0,3840
0,4014
0,4189
0,4363
0,4538
0,4712
0,4887
0,5061
0,5236
0,5411
0,5585
0,5760
0,5934
0,6109
0,6283
0,6458
0,6632
0,6807
0,6981
0,7156
0,7330
0,7505
0,7679
0,7854
sin
0
0,0175
0,0349
0,0523
0,0698
0,0872
0,1045
0,0219
0,1392
0,1564
0,1736
0,1908
0,2079
0,2250
0,2419
0,2588
0,2756
0,2924
0,3090
0,3256
0,3420
0,3584
0,3746
0,3907
0,4067
0,4226
0,4384
0,4540
0,4695
0,4848
0,5000
0,5150
0,5299
0,5446
0,5592
0,5736
0,5878
0,6018
0,6157
0,6293
0,6428
0,6561
0,6691
0,6820
0,6947
0,7071
cos
tg
0
0,0175
0,0349
0,0524
0,0699
0,0875
0,1051
0,1228.
0,1405
0,1584
0,1763
0,1944
0,2126
0,2309
0,2493
0,2679
0,2867
0,3057
0,3249
0,3443
0,3640
0,3839
0,4040
0,4245
0,4452
0,4663
0,4877
0,5095
0,5317
0,5543
0,5774
0,6009
0,6249
0,6494
0,6745
0,7002
0,7265
0,7536
0,7813
0,8098
0,8391
0,8693
0,9004
0,9325
0,9657
1,0000
ctg
57,290
28,636
19,081
14,301
11,430
9,5144
8,1443
7,1154
6,3138
5,6713
5,1446
4,7046
4,3315
4,0108
3,7321
3,4874
3,2709
3,0777
2,9042
2,7475
2,6051
2,4751
2,3559
2,2460
2,1445
2 0503
1,9626
1,8807
I,8040
1,7321
I,6643
I,6004
I,5399
1,4826
I,4281
t,3764
I,3270
1,2799
1,2349
1,1918
1,1504
1,1106
I,0724
I,0355
1,0000
tg
cos
1,000
0,9998
0,9994
0,9986
0,9976
0,9962
0,9945
0,9925
0,9903
0,9877
0,9848
0,9816
0,9781
0,9744
0,9703
0,9659
0,9613
0,9563
0,9511
0,9455
0,9397
0,9336
0,9272
0,9205
0,9135
0,9063
0,8988
0,8910
0,8829
0,8746
0,8660
0,8572
0,8480
0,8387
0,8290
1,8192
0,8090
0,7986
0,7880
0,7771
0,7660
0,7547
0,7431
0,7314
0,7193
0,7071
sin
1,5708
1,5533
1,5359
1,5184
1,5010
1,4835
,4661
,4486
,4312
,4137
,3963
,3788
,3614
1,3439
,3265
,3090
,2915
,2741
,2566
,2392
,2217,
,2043
1,1868
1,1694
,1519
,1345
,1170
,0996
1,0821
I,0647
,0472
I,0297
1,0123
0,9948
0,9774
0,9599
0,9425
0,9250
0,9076
0,8901
0,8727
0,8552
0,8378
0,8203
0,8029
0,7854
Радианы
90
89
88
87
86
85
84
83
82
81
80,
79
78
77
76
75
74.
73
72
*71
70'
69
68
67
66
65
64
63
62
61
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
Градусы

Таблицы 305
Таблица VI. Интегралы
1. ГI/ (х) + ё WJd* » Г / (x)dx + Г g (x)dx.
2. Г af (x)dx = a f / (*)d*.
3. Гл:Л dx = —т-гхя + 1+?? (пф -1).
4 $
. $-~ux = \
5. I sin лс dx = —cos x + с
6. I cos x dx = sin л; + с.
7. Геал:(Ь; = — еал+с.
Г 1
9. I ;
, J уа2_
х
arcsin
а
\i. Геажsin Ьх dx*=* . ^ о (а sin Ъх—Ьcos bx) eax+c<
J a*+№
12. \ еах cos блг dx =» (а cos ^jc + 6 sin bx)$ax+c.
13. f/ (g W)g' Mdjv = f / («)<!«.
И. f / Wg' (x)dx =* i ($Q?x) - J U № (x)dx.

Ответы к избранным задачам
Глава I
§ !Л. 2. S2 = S6, St a 58, St а 5б, S4 с S3. 4. 0, Sl, s2, s3, Sls2, Sls*
V^Ws'^ DxD^DxPvDiDb D2D3, D.2Dif D3D4, D^D 3, DXD^DA9 DXD 3D4,
D2D3Dit DiD2D3D4.
§1.2. 1. Л (J В = {взрослые}, ?|JC = {женщины и мальчики},
(Л \fB) {JC = A{J(B\JC) = {люди}. 4. а) Л f) Я = {целые положитель-
положительные, делящиеся на 6} = {6, 12, 18, ...}; б) D = 0. 6. б) 20; в) 350; г) 500.
7. в) 1000.
§ 1.3. 3. Да; нет. 5. a) D (/) = R\{1, -1}, R (/) = R\{^ : 0 < у < 1 }j
б) D fe) = R, R (g) = R+\ {0}; в) D (h) = R, 7? (/i) = {f/ : 0 < у < 2}. 8,
Да; да. 9. /?4 является функцией.
§ 1.4. 1. 120; 60; 60. 2. 125; 100; 5. 3. а) 8; б) 10; в) 1. 4. а) 30; б) 21.
/ 12 \
5. а) 1260; б) 10 080; в) 90 720. 6. 5! = 120. 7. . 8. Нет; 4. 9. 3,48 • 1020.
¦- \4, 4, 4/
10. 64. 11. а) 16; б) 101. 12. 256. 13. 5400. 14. Нет.
ш.,„з, ,*.,(Х)(Н„,25%)- \О
4. а) 210; б) 120. 7. Ни одна. 8. 6.9. QQ- 10- a) ()l б)
Q/4\2 /4\з /4\*
»• -• »¦ •> »¦ •» •• ¦•¦ ¦> ® «(ЖИЖУ
§ 1.6. 1. а) 35; б) 35; в) 3; г) 4. 2. а) 21; б) 0; в) 3; г) 2.
3. а) *« + 8х3у + 24х203 + 32х03+1б^# 4. а) ( 9 V, б)—f 9 \
\2, 3,4/ \2, 3, 4/
[п + т— \
(
а) 1,00985... ; б) 3,02985... . 13. -а) 5/4; б) 4/3; в) 4; г) 20. 15. а) 2—
"~(т)9; б) 121; В) tC~~iM; Г) 1|1111П- 16' а> l,ll/6=^lt016... .
17.

©меты к избранным задачам 367
Глава 2
§2.2. 1. а) 1/52; б) 1/10; в) !«(*); г) 1/10'. 4. а) 33/100; б) 6/100.
5. а) 1/201; 6H.6. б) Р (БББ) =Q , Q; Р(ББС} -
20 \ /20
б) по-видимому, нет; в) {51, 52 250}; г) В = {0, 1,2,..., 39}, A[jB=St
§2.3. 2. а) 29/30; в) 1/30. 3. а) Р(Аг)^0949 Р (Аг П Вг) =0,4,
^Hi П «а)=0; б) Р(В1)=0,б;Р(В2)=0,4, Р^и^^О.в; в) 1.
4. а) />(№) = 1/8, Р(Е)=з3/40; б) Р (\F П Я) = 1/40; в) Р (Я f) W) = 1/20,
Р(?П^) = 1/Ю. 5. а)Н; б) Р (Л,) =Р (Л2)=Р (Л3) =4/9;
г) 1/6,1/21,37/42. 6. а) 4/17; б) 16/17.
§2.4. 1. а) 3/8; б) 3/7; в) 1/2. 2. 17/32. 3. а) 4; б) 3. 4. а) 5/16;
б) 1/32. 5. 1/2, 1/70. 6. а) Р (А) =Р (?)=>P (С) = 1/2, Р (D) = 1/4, Р (Я) = 7/8;
б) нет; г) нет. 7. Да. 8. а) 0,986; б) 0,02<*; в)Г]0,985.0,02. 9. 1/4, 1/4.
10.1/9,7/18.11. а) 1—E/6)*; 6J/5; в) ^^р-. 12. a)i—L-
1—E/6O 4
Т ШТ Г^7ГеТ- » ¦>
б) 6/31.
. § 2.5. 1. 15/19. 2. 3/143. 3. 133/201 » 0,66; 49/82 « 0,6. 4. 0,095. 5. 3/8.
6. 0,085. 7. 5/44, 12/44, 27/44. 8. 85/86^0,988. 9. 0,4; 0,3. 10. 22/57. И. 1/4,
3/16, 9/16. 12. а) 5/17^0,294; б) 63/85^0,741. 13. 5/11. 14. 48/79^0,61.
15. 9/14 « 0,64. 16. 15/16 = 0,9375. 17. а) 0,7; б) 0,226. 18. 0,01%. 19.
20/719 «0,028.
§2.6. 1. а) 0,055; б) 0,95^; в) 5.0,95*.0,05. 2. 0,5?; ( 7 )о,5«.О.25з.
\4, ^, 1/

Ответы к избранным задачам
5. 0,95ю«0,599. 6. 0,92*. 7. ( 5 )о,653-О,252. 8. 0,001536. 9. а) 0,б»|
\о, 0, 1}
б) ( 9 1o.55-O.48-O,l! в) ( I )о,58.0,4з.0,18. 10. а) 0,75«j
\5, 3, 1/ \3, о, о/
б) 0,25«; в) Qo,75«.O,252; г) Qo,75*.O,25» + Qo,755.O,25+Qo,75«.
/ я \/ Мл « ' ' 1/М/М" .о ' • 1 /14\
и- ^ЫЫ1 б)т:т-тЫ(т]-12--т-цгG)-
13. а) 4; б) 4. «4. а) 0,5«; б) РМо.бв.О.Зв; в) ^ ^? 4jo,5«.O,3«-O,2*.
J5. а) 21; б) 0,85. 16. f JO,2*.O,8*, 1—0,8», 1—0,2»—6.0,2^.0,8.
17. ш) rttttl Wti б) ^)(^(,--^-)''-\ ,8. 1/32. 19.
в остальных точках, ¦> *<*>
2. a) S = {1, 2, ...# 10>} б)
§2.7.1. a) X(S) = { —1,0,1}; б) ^( —1) =/@)=/A) = 1/3, / (х> =0
0 при х<—1,
1/3 при — 1 <дг<0,
'2/3 прн 0<i<l,
1 при 1 ^ х.
J^O, 1, 2}; в) /@)=4/10,
О при х <0,
4/10, /B) = 2/10, F(x)*
4/10 при 0<* < 1 ,
3. a) X(S)
8/10 при 1 <лг<2,
1 при 2 <! х.
= {0, 1, 2, 3, 4» б) /@) = A/2L, /A)=4.A/2)«, .... 4. a) X(S) =
= {0, 1, 2, 3, 4, 5}; б) /(*)~Р(Х= « =( JM Ы при Л = 0, 1, 2, ...
5,. a) X(S)«{0, 1, 2, 3, ..., 1000}. 6. X(S)={0, 1, 2, 3, 4, 5} ,
3 \5~^
) при k^Of u2i "•>5# 7> ХE)?=
при /Ь=0, 1, 2, ... 8.
{0, 1, 2, .... 8},
8. a) X(S) ={0, 1, 2, ..., 20}. 9. a)A'(S)={0, 1,2,3, 4}, /(ft) =
= P(X = ft)=:l/5 при 6 = 0, 1, 2, 3, 4; б) Р (X >3)=2/5, Р(Х>0)=з4/5 .
10. a) X(S) ={1, 2, 3, ...}, V(S) = <Of I, 2, 3, ...>; б) Р(Х=32) = A~.р)^>
Р(К==1) = A—р) р, Р (Y>2)=1— /?— A— р) р—A—рKр; г) безобидна лишь при/?=0.
11. ХE) = {1, 2, 3, ..., 25}, Р(Х = 10) = B/3)9A/3) . 12 а) 0,64; б) X (S) —
¦* D, 5, б, ...}, Р(Х = ft)
(*"" Мо^О^*-4 при ^^=4, 5, б, ... .

Ответы к. избранным задачам
13. а) 1 /625; б) Р (X < 26) = 26/50, Р B2 < X < 28) =» 119/625, Р (X > 45) =.
«2/125; в) 42. 14. A—-рJ р; A— р)* р .
§ 2.8. 1. а) X (S) = {0,1,5}, / @) = 1/2, / A) = 3/20, / E) = 7/20 и / (*)~
= 0 в остальных случаях; б) Е (X) = 1,9; vav (X) == 5,29; о = 2,3. 2. а)
?(Х) = 2,5; var (X) = 1,25; а « 1,12; б) К E) = {-5, -3, -1, 3, 5}j
?(У)=0; var (Г) =5; о « 2,24. 3. ? (X) = 2/% var (X) = 5/9; а « 0,745. 4.
а) Р @%) = B/3M- аг 0,13; б) ? (X) « 33,3%; о « 21%. 5. Е (X) *= 75?
var (X) = 900/16; а = 7,5. 7. Е (X) « 3; а w 0,866. A. ? (X) = 250; в <**
в* 158. 12. ? (X) = 7,5; f (k) = ( ) (-I5 при А: = 0, 1, 2, .,., 15. 13. a) 0,3j
6) 0,76; в) 2,33. 14. а) 0,1; б) 0,037. 15. / (k) = Р (X = Щ = 1/10 при к
==Ч,2, .,., 10; ?(Х) = 5,5.
/20 000\
§ 2.9. 1. Е (X) = 4, Р (k) = f J 0,0002* . 0,99982оооо~л
Р @) ж 0,0183. 3. ? (X) = 5, Р (X > 2) = 1 — е-5 — 5е-з _ B5/2)е-5 ^
« 0,П75. 4. 0,271. 5. ?(Х) « 1; Р (Л) = e-i/ifel; 0,735. 6. е-^2500 = 275/2500?
N « 5518. 7. а) 301; б) 337. 8. а) 147; б) 147; в) 32. 9. а) е-ю; б) 1 — e-i«.
10. а) 135000; б) 270000; в) 145000. И. а) 0,05; б) 0,1. 12. Распределение Пуас-
Пуассона' при'fi = 1 и jut == 10. 13. а) 0,05; б) 0,353. 14. ? (X) == 10; распреде-
распределение Пуассона при ja = 10. 15. 0,368; 0,08. 17. а) 8; б) 8; в) 0,4; р) ё-°.4»
222 i2*i2
2е i,2e
«0,67. 18. e-se-L-s^o^l, — щ :«0»059- 1& а) °»168» °»066; б)
в) некоторые курсы лечения требуют большого количества облучения. 21. 2218,
Глава 3
§3.1. 1. A,1, 2) = A,1, 1) -МО, 0,1)? нет. _2l ct = 2, с2 = I. 4. aj
(8, _it _i); б) @, -11, 29); в) 1/62; г) УШ; д) Т/38; е) -25. 5. а) 3 B, 1)-
/3, 2) -Ь 3 A, —1) == @, 0). 8.-а). И / EЯ/5)} б) 2/У5; в) 12/13; г) -б/уЖ
13. Пары а), в), г). 14. (хъ хг, xz) = хх A, 0, 0) + х.г @, 1, 0) + *3 @, 0, !)•
15. а) -2; б) 1; в) -5/2.
§3.2- 1. ЛБ

370 Ответы к избранным задачам
С5 3\
I,
(Ю —2 3\
—2 4 0 I . 201 а) Особи каждого вида потребляют в среднем
3 0 1/
по 1/2 ед. каждого из остальных двух видов в день. 21, /-й компонент век-
вектора Аг представляет собой дневное потребление энергии средним хищни-
хищником i-ro вида.
§3.3. 1. а) F2, 40, —94); б) A, 3, 5). 2. E000, 2000, 3000). 3. При k = 0.
4. При всех значениях I. 5. а) A, 3, 1). 6. xt = 10 000 + x3f x2 = 10 000 —
— 2х3, 0 < х3 < 5000. 7. а) —5; б) 0; в) 1; г) 4; д) 4. 8. Системы б) и г). 9.
а) A, 1, 1). 10. а) х + kw при любой постоянной k. 11. а) хх = 20/3 +х3,
ж, = -2/3. 12. B,4,6). 13. /1== G2-2/^/7, /2 = (96 - 5*^/7, 0 </,«
< 96/5 ч. 15. a) tt = U = U = 8 ч; б) ^ = 1200/A00 + Q) ч. 17. A/4, 1/8,
1/8, 1/8, 3/8).
§ 3.4.1.a) iQ
2. а) E/2, 3, 7/2); б) D, -1. 3). 4. a)
/ 7 —2\ /1 —1\
б) обратной матрицы не существует; в) ). 6. а) );
\—3 1/ \0 1/
A—1 0\ /1 0 ° \
0 1 —1 I. 8. б) I 0 1/5 —3/5 I. 13. Матрицы а), б), в).
0 0 1/ \0 0 1/2/
§3.5. 1. а) —14; б) 0; в) 0; г) 2. 2. а) A, 3); б) A,-1, 1). 3. C, 6, —3).
4. Линейно независимы а), б), г). 5. а) Нетривиального решения не сущест-
существует. 16. а) 30; б) 0; в) 28; г) 12. 17. E, —1, —5/2).
§3.6. 4. z = y + ?x при любой постоянной k. 5. а) А, = 1; 4; I /» ( )
в) А, = 1; 6; ([), Q. 6. а) X = ± /= ± У=Т;
П. а) Х = 9; 4; 1; — 3j

Ответы к избранным задачам 371
13. а) пA) =>( 110 I, пB)
в) спустя 10 периодов времени.
Глава 4
§ 4.1. 1. 4*! + 2*2 = 1200. 2. xt = 520, х2 = 240. 3. 200; 400. 5. 260j
120. 6. 520; 240. 7. 200; 400. 8. 20; 40; 40. 9. Максимума не существует.
§ 4.2. 2. а), б) Непустые выпуклые; в) пустое множество; г), д) непус-
непустые невыпуклые. 3. а) аххх + а2х2 + а3х3 = аг\ б) аххх + ахх2 + а3х3 = аг;
в) Xi + х2 — х3— 1. 4. а) аххх + а2*2 + а3х3 + ахх± = ах + а2 + я3; б)
«i^i + а2д:2 + а3х3 + ^^ = 0; в) х2 — jc3 = 0. 6. a) 15; 8/3; б) 6; 1; в) 6?
4/3. 7. Прибавить удвоенное первое неравенство ко второму. 8. а) 1 < / (х) <*
< 3; 6) f (х) = 3; в) 1 </(*)< 6. 9. 17; 1. 10. 25; 0. 12. 370 долларов;*
( \ (\ ( \ f\
220 долларов. 13. а) А = — 1 0 , Ь = 0 ; б) Л = 1 1 , b = 2 .
_V 0 —1 У W _\1 3/^ W
15. C,1), A, 3), (/5, 1/5). 16. (81/275", 41/2/5), D1/275, 81/2/5), D, 4).
§4.3. 1. а) 2; 0; б) 8,5; 0; в) 51; —9. 2. а) A, 2), (—3, 4), E, —4). 3. а)
@, 9/2, 1/2), A, 4, 0), @, 0, 0), @, 0, 2), C, 0, 0), @, 5, 0). 4. а) 11/2; —3. 5.
xi > i, — 3*! + 2*о < 5, *t + 2л:2 < 17, bxt — 4*2 < 1. 6. а) 17; 3; б) —4а
_24; в) —4; —22; г) 72; 12. 7. а) A60, 0, 0); б) A60, 0, 0). 81 а) (80, 40, 0);
б) любая точка отрезка прямой, соединяющего точки (80, 40, 0) и C20/3, 0, 40/3).
9. (9, 9, 6). 10. B/3, 7/3); 89 центов. 11. B/3, 7/3, 0); 89 центов. 12. (8000, 18 000,
4000).
§ 4.4. 1. B50, 0, 500). 3. а) Минимизировать g = Ъуг + 6у2 + fy3 при ог-
ограничениях уг + у2 + 2#g > 1, yt — 2^2 — у3 > 1, yt + 2у2 + у3 > —3,
г/1 ^0, у2 ^ 0, #3 ^ 0; б) минимизировать g = iji при ограничениях #х > 1,
(/х > — 1, ^i > 1, у\ > —1 и ^! ^ 0 (очевидным минимумом является g = 1);
в) максимизировать f = *x + jc2 при ограничениях xL + 2*2 < 1, х1 — а:2 < 1/2,
2% — *2 ^ 1, хг ;> 0, *2 ^ 0. 4. Двойственная задача состоит в минимизации
8 (у^Ь • у при условиях Лту>с и у > 0; а) ^т = ( f Л б) ^т=:з@ _j
в) Лт = ( J. 7. а) Слишком много угловых точек; б) когда двойственная
у——I 2 3/
задача содержит меньше переменных; в) решение двойственной задачи опреде-
определяет максимальное значение / и минимальное значение g. Это дает уравнение,
которому должны удовлетворять все компоненты оптимального решения. 9. Ми-
Минимизировать g = 10 000^1 + 12 000^2 + 8000^3 Ери ограничениях (V2)yt +
+ A/2)у2 > 0,3, (l/3)ft + A/%2 + A/3)ув > 0,4, A/2)у, + (\/2)у3 > 0,5,
г/i ^ 0, у2 > 0, Уз ^ 0. Минимальным является значение g = 11 600, достигае*
мое в точке @,2; 0,4; 0,6). 10. Если две задачи решались независимо, то макси-
максимум / должен оказаться равным минимуму g. Если это не так, значит допущена
ошибка.
§ 4.5. I. Максимизировать f == *t + 2r2 + 0 • st + 0 • s2 при ограниче-
ограничениях xx + x2 + sl = 3, 2xt -f л:2 + s2 » 3, ^ > 0, д:2 > 0, st > 0, % > 0. До-
Дополнительными переменными служат st и s2. Начальной угловой точкой являет-

Ответы к набранным задачам
хх — x2 = 0, S} = s2 = 3. Решение задачи / = 6 достигается в точке хг = 0,
= 3. 2. Минимизировать g = Зух + Зу2 при ограничениях yt -f- 2y2 > 1,
ся х\ — х2
х2 3 2 р g yt + у2 р р у± f #2 > ,
^i + i/2^ 2» #* ^ °» #2 ^ °- Решением является g = 6 в точке i/i = 0, #2 = 2
либо #! = 2, у2 = 0. 4. max f = 4 на отрезке прямой, соединяющем точки
D, 0, 0) и C, 0, 1). 5. min g=4B точке A, 0).
6. а)
7. а)
*1
1
1
—!
1
х2
1
—1
1
2
*з
—1
1
1
3
«1
1
0
0
0
«2
0
1
0
0
*3
0
0
1
0
1
2
3
/
Х1
1
—1
1
0
х2
2
I
1
2
*н
4
1
—4
3
1
0
0
0
«2
0
1
0
0
«3
0
0
1
0
1
1
1
/
8. а) ——
«3
1 2|
—2
1
—1
0
1
1 21
3
1
1
0
0
0
1
0
]
2
/
б)
1
2
2
]
1
i
1
—1
2
— 1
Ч
2
1
3
5
1
Ч
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
2
0
0
1
0
0
«3
0
0
0
1
0
5
7
я
9
/
б)
«3
б) —
2
1
1
5
1
1
—1
4
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
2
1
1
«2
«3
1 1 1 М] MJ
— 1 0 I
2 1 3
1 0
0 1
0 0
1
2
f
в)
• ;
1
2
jTj
'1 -
2
3
1
-1
3
1
BJ
3
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
5
3
1
I
9. а) Решение неограниченно, конечной таблицы нет; б) f =3 в точке @, 0, 1);
g = 3 в точке C, 0); в) f = 3/2 в точке @, 0, 1/2); g = 3/2 в точке @, 0, 3/2).
J0. / = 10 в точке E, 0, 0). 11. g= 10 в точке B, 0). 12. / = 16 в точке (8, 0,
0). 13. g = 16 в точке @, 0, 2). 14. g = 13/2 в точке B, 3/2).
§ 4.6. 1. / ==11 в точке A9/5, 12/5). 2. / = 36 в точке (8, 4). 3. f = 5 в точ-
точке A, 4, 0). 4. g = 11 в точке B, 1). 5. g = 36 в точке @, 4, 1). 6. / = 9 в
точке (\, 0, 2).
Глава 5
§ 5.1. 1. Матрицы б) и в). 2.
/ 3/8 5/16 5/16
2=1 5/16 3/8 5/16
5/16 5/16 3/8

Ответы к избранным задачам
373
. 5. E/13, 4/13, 4/13);
О 0 0 1/2 1/2
0 0 1/2 0 1/2
5/16. 3. Р =* [ 0 1/2 0 0 1/2
1/2 0 0 0 1/2
il/4 1/4 1/4 1/4 0 /
любой кратный вектор, например E, 4, 4), является неподвижным.
/1 0 \ /1/2
6-а)(з/4 1/4> Ч
1/2
1/2 l/2\
'0> 1);
0 1
9. Urn Р" = (о 1 0 V 10. Ит РпЦо 0 1 ). Ц. Р=/0>98 М\
«-<*> \ ] п-+<» \ 1 \0,30 0,70/
\0 0 1 / \0 0 1/
12. а) 0,3; 0,7.0,3 = 0,21; 0,147; б) 7/3. 13, а) 0,98; б) 0,7. 14. Р=,
^ °j2j. 15. а) 0,328; б) 4.
/1/2 1/4 1/4
§ 5.2. 2. 50%. 3. Р= J 1/4 1/2 1/4 }, t=*(l/3, 1/3, 1/3). 5. Рп*
\1/4 1/4 1/2,
1 1
J
1
2
2-7"
1
2-7"
2
1
2
¦ +
2-7"
1
2.7"
. 6. а) Нет; б) A/2, 0, 1/2) или (О, 1, 0);
СО 1\ /10
1 о |(/я — нечетное), Рт=1 О 1 0 )(т—четное). 7. а) Да;
0 0/ \0 0 1,
б) A/3, 1/3, 1/3). 8. а) р<*><=A/4, 1/2, 1/4). 10. а) 0,15; б) 0,216 .
/2/3 1/3 О
§ 5.3. 2. Ни одна не является поглощающей. 3. Р=» j 0 2/3 1/3
\0 0 1
1/5 4/5 0 О О
0 1/5 4/5 0 О
4/27. 4. 6. 5.
О 0 1/5 4/5 0
. 6. 5. 8. 93/49» 1,9. 10. а)
0 0 0 1/5 4/5
0 0 0 0 1/
Правила в пользу команды В.
§ 5.4. 5. Е (X) =8 —5 центов; является.
§ 5.5. 3. Выбирать 1-ю строку и 2-й столбец. 4. 2-я строка, 1-й столбец.
5. а) 1-я строка, 2-й столбец; б) 1-я строка, 1-й столбец; в) 1-я строка, 2-й стоя-

374 Ответы к избранным задачам
бец. 6. а) ро = C/4, 1/4), qe = A/2, 1/2); б) р0 = A/2, 1/2), q0 = A/2, 1/2).
8. а) ро = A —-/, /), я<У «== (! — *> 0; б) 1-я строка; 2-й столбец, если /< 1/2,, и
1-й столбец, если t > 1/2. 11. Безобидны а), б), в). 13. 1000 акров под культуру
1, 500 акров под культуру IL И. 1500 акров под культуру II.
§ 5.6. 1. а) р0 = E/7, 2/7), q0 = F/7, 1/7); б) р0 = B/3, 1/3), т »
= A/3, 2/3). 2. а) р0 = C/4, 1/4, 0), q<, = A/2, 1/2, 0), v = 1/2; б) рЛ =.
==A,0, 0), q0 = @, 0, 1). 5. р0 = A, 0, 0, 0), q0 = @, 0, 0, 1).
Глава 6
§6.1. 1. a) Нт хп — 100; б) Jim жп«= 100. 2. а) Третий; б) второй. 6. x^^—
П~*-оо /1-Х»
= 1,25 хп; б) второй; в) х2 = 2000, л:4 = 2500. 7. а) хп+1 = 1,04л:п; б) первый?
в) хг = 5,20, х% = 5,41, л:3 = 5,62, д:4 = 5,85.
г) хп=0, л>1; д) хп=*( — \)пх0. 2. а) *п=2~л; б) хп = 1-
в) хп = п +1; г) дгп=2?Зп—1. 3. а) ся~~1/2; б) л:п=с[
+
Т/2 Т/3
1 \
2 1 / I \я
д б \ z J
У п
ll/14f ш1б«124 фунта. 6. дг„=9 + 2/1. 8. rn=0,99rn.t, г4 =»
=0,994/-Ож0,96г0. 9- блет. 10. ро«=О,3, pw=0,3.0,7". 11. рп=р0/п\ 15. 0,132; 6.
/ 1 + 1/5" \" / 1 1/5^ \п
§6.3. 1. a) ^ = ^if / ) +^2 I f—\ ; б) ;:„ =
в) ^ = ^i(~2)" + /?2n(~2)"-1; г) xn = kt + kJ---Y?. 2.
б) ,пв{.з)«A-.^-); в) ,n==2«/^cos^ + sin^-);
=0. 6. Jfn+2—Зд:л+1 + (9/4)л:п=0. 7. дсп
10. Корни вспомогательного уравнения по абсолютной величине должны быть
меньше единицы. П. а) жп = 2—(— 1)*; б) хп=3—2п. 12. а) *п=( — 3)" +
—3>п —*; б) jcn—2(—1)я—6я(—I)*14-1. 13. a) ^
Уз

Ответы к избранным задачам 375
A \п -в 1 пп
—-г I ain —-. 15. *п =,1000.1 ,6я+10(ХМ ,4*.
Уз/ 6
§6.4. 1. a) xn=n + k0 + l0(—l)ni б) *n=> [п
14 V 14
4 Я"
7 2
ч _ _ f j ,_п.,^ 64 / I У* , 4"
3.
в) ^..з»—i..^. 10. xn =iE00 + 200 Уб) f 1+о"^ V+ F00-200
1*0 \ ? 1
х
§ 6.5. I. а) хп = k± + k2 * 3", #д = k2 • Зя — fcf; в> «•„ = fee + ^—П"/о 4-
+ § # 2п* Уп=* —К + (—1)л/о +- з ' 2п- 2- ^ хп = ^50 + 15° * 3"» tin —
= 150 . 3« + 50. 6. хп = 500 . 2i + 500.
Глава 7
§7.1^1. а) Ига я @ = 100$ б) \\т x(t) =100. 2. а) Первый; б) второй;
в) второй; г) третий. 3. а)(~^) ==4^ б> "^Т"^3*' в) "^7" ^'f 1+~Г
9/ ^^ ^ dmy w
6. б) *@=е . 7. =а—. 8. =—*
d^ 5 dt 2
§ 7.2. U a) x (^)=ce » 6) x@=sin ^+е; в)
г) jc@=ce*-— 1— ^. 2, a) Jt (Q =«e^; 6) jt(O=*l
3
e"~ 3
в) *(*) = --—--+-~J r> *@=-2e —i- 3. 124 фувта. 5. a) Jc(O==O;
6) x[t)= (<tl) - .,,/, п ; в) дс(О= A+°~-¦!¦; г)
(f + l) 4 4
в. а) 4~1°ёе2--^^; 6) 1^1 # 7# а) ГA)«95Д9, Г(Ю)
k k k
б) 13,9 и 27,7 ч. 9. а) лг(О-~+ у-; б) х (t) -I +<?el/'.
12. а) лрДО-Д-М-*^')-1* б)'ИО--^~. 14. р(/)=

376 Ответы к избранным задача*
-#; б) — log, -у » ^у- . 1§. а) — =r-CS;
б) S(t)^ Т]
§7.3. 1. a) x=he?lnt; б)——=/ + —+с; в) arcfg*-—-+e.
х о а
2. a) *=esln'-eos'+1; б)- —=/+—-1; в) arctg* =. — + —.
х о 3 4
120—0,024
где p log
S. *@ =17* где p = loge
1—0,001 +0,001е^ 100—0,024
9. б) lim*(/) = l/ — . 10. a) -^Zl==_Le(&-a)rt; б)
я + 1
когда х ¦=> —-— •
§7.4. 1. а) х (/) = fe,e~' + *2е-*; б) х (t) = *,e* + *,е-в«; в) * «) -
—**» nt-j С US lli&f |^ «vn olll ytf&J) If Л \l J —— /C-jC j^ /Cn(C • a» ai Jt It! S!3! I ^/© It?'* •i|*
+ (I /5)e-*'; 6) e-^2 [cos (/ Уз/2) + Уз sin (/ Уз/2)]; в) x (t) = со» Ы +
+ A/3 ) sin 3/; r) x (t) = e~'/2 + C/2)te"i/2. 3. a) x (t) = sin t; 6) x (t) =-
= 1 — e~f; в) x (t) = t e-<; r) a: @ = e-t sin ^. 4. *" @ — 8л:' (t) — 9* (/) =-
^ 0. 5. дГ @ — 4*' @ + 4л: (t) = 0. 6. л:/у (/) + 6a:' (/) + 10* @ = 0. 9. a)
x (t) = (i/2)e^ + (l/2)e^. 10. a) x (t) = 4t&' — e«, 11. a) x (t) »
= e-5i/2 [2 cos (/ УЗ/2) + A0/УЗ) sin (t УЗ/2)]. 14. *' (/) - 0,18** (*) +
+ 0,008л: @ = 0. <
§7.5. 1# a) x (t)~—/ + fetei + ^2e""f; 6) x@=(
в) a: (/) = —A/2) tfcosf + fejcos ^ + /г2 sin t; r) x(
2. a) *(/) = 3/4 — C/4) cos 2^+ A/2) sin 2^j 6) x (t)**(lf3) e* — A/3) ee^2 X
8. а) л (/)=-l/9+(l/25) e2r + *1e"l + fe2te"-W5 6) x (/)== — A/6) e1—
— (l/6)e2'+&t е4<+/г2е^<. 9. a) x (t) =>x @)+at* @) /— gt2/2; 6) ~]/2gh;
скорость направлена вертикально вниз. 10. х (t) = 1000 + 500 с s 2nt.
y(t)=>— ktet + kbe-t + te-*. 2. a) x @ = 150—50e2', у (t) =150 + 50е2'5
у @ = fe2*. 7. a) a: (/)»

избранным задачам 37?
Глава 8
§8.1. 1. Все функции представляют собой функции распределения. 2. аH;
б) 0,5 — 0,5е-2 « о,432; в) 1; г) 0,5. 3. a) k = 1; б) Р (X < 2) = F B) =
= 1 — e-i да 0,632. 4. а) А = 0,5; б) Я (X > —1) « 1 — F ( —1) ~ 1 —
— 0,5e-i да 0,816. 5. 10/11 да 0,909; 60/61 да 0,984. б. 1/64. 7. 9/16, 6/16, 1/16.
8. а) 0 ^ х < 250; в) 0,28 и 0,49.
§ 8.2. I. Все функции представляют собой функции плотности вероятности.
2. б) 0; 1/2; 0,229; 1/4; 0,316; 1/2; в) Е (X) = —1; 0; я/2; 0; 0; 0; а2 = 1; 1/12;
яа/4 — 2; не определена; 2; 1/5. 3. a) k = 3; б) Р (X < 1) = 1 — е-* ^ 0,950,
Р (X > 2) = е-в, Р A < X < 2) = е-з — е-в. 4. а) 1 — e-i да 0,632; б) 1 -
— е-2« 0,865. 6. б) 0,594; 0,092; 0,314; в) Е (X) = 1, а да 0,71. 8. а) \/у
дней; б) 0,632; в) 0,9933. 9. а) 133,3 дня; б) 0,0225; в) 0,23. 10. a) k = 1/36.
11. а) "]/я/2яет;б) е-* да 0,0183. 13. 0,223; 0,393; 0,632; 0,777. 14. 0,135.
§ 8.3. 1. а) У = (X — 5)/2; б) Р C < X) = Р (Y > — 1) = Р (Y < 1) =
= 0,8413; Р (X < 6) = 0,6915; Р B < X < 8) = 0,8664; в) а = 8,29; Ь =
= 965 2 б) 2108 < X < 2892; 1984< Х< 3016 3 0440; 0119 4 0308;
0,83; (X < 6) 0,6915; Р B < X < 8) 0,8664; в) а 8,9; Ь
= 9,65. 2. б) 21,08 < X < 28,92; 19,84< Х< 30,16. 3. 0,440; 0,119. 4. 0,308;
26,08<Х<33,92. 24,84 < X < 35,16. 5. а) 0,106; 6H,468; в) 0,106. &
а) 0,274; б) 0,345; в) 0,341; 0,615. 7. 0,015.8. 0,977 и 0,999. 9. 0,955. 10. 0,955.
11. 0,159; 0,023. 12. 0,317. 13. 0,82. 14. 0,16.
§8.4. 1. б) 0,9545 и 0,9973. 2. а) Р D5 < X < 105) > 1 — A/4J; б) 1500.
4. а) 5; б) 25,5. 5. а) 18 000; б) 3460. 7. От 0,26 до 0,36 и от 0,245 до 0,375; от
0,43 до 0,53 и от 0,415 до 0,545. 9. а) 0,9772; 0,9772. 11. а) 80 и 80. 13. а) 1920;
б) 369. 14. От 0,173 до 0,191; от 0,170 до 0,194.
Глава 9
§ 0.2. 4. 4/7.
§9.3. 5. 0,495. 6. 6241/6400, 158/6400, 1/6400. 7. Рэзллжите
(— _j^*-*--] _] 1 т Например, частота генотипа А* А* есть 1/16.
4 *'Л 4 4 /
8'
§ 9.4. 2. Через 50 поколений. 5. Отбор действует на генотипы. 7. Нет.
Для частоты аллеля 95%-ный доверительный интервал составляет от 0,35 до 0,45,
а 99%-ный—от 0,33 до 0,47. 10. 900 поколений.
§9.5.1. х,»—— , ж,—-j—. 6. *f
„ (&t—fet) ам — F2— fe2) gl2
(h — k2) au — ih — ki) a2i
Приложение А
5. а) я/12; б) 2я/5; в) —я/2; р) 4я;- д) —Зя/4? е) f/90; ж) 7я/6; э) 7я/4,
8. 5л дюймов. 9. 2,5я фут./с. 10. asccos (il/14), arccos A/2), aFeeos A/7). 12,
a)sin9= — Т/2/2, cos 9 == — V2/2, б) sfn 9 = — Уз/2, cos 9= —1/2^ в)
sin 9 = —1/2, cos 9 ==^ Т/3/2; г) sin 9=0, cos 9 = 1} д) sin 9 = 0, cos 6 =
= — 1; e) sin 9 = — "|/3/2, cos 9 = 1/2; ж) sin 9 = —1, cos 9 = 0; s) sin 6 =
= —1/2, cos 9 = — Т/3/2* 13* a) arcsin x = 0; 6) arcsin x = я/2; в) arcsin x—

378 Ответы к избранным задачам
= я/6; г) arcsin к = л/3; д) arcsin х = —я/2; е) arcs in x = ~я/3. (Это з на-
чения arcsin х в диапазоне —я/2 < Э < я/2). 14. a) cosec 9 = \*~\/\ — cos2 9j
б) tg 9 = sin e/"|/l — sin2 9; в) cos 9 = ctg 9/Vctga 9+1. 15. sin 9 = 4/5.
cosJ = 3/5. 16. a) f 2-J/3/2; б}_ Г 2 + yf/2; в) У2 + I. 17. a)
Т/2)/4; б) (Уб + 1/2)/4; в) (У2 - Уб)/4.
Приложение Б
§ Б1. 1. а) блг; б) 1 + 2х; в) A/2)лГ1/2 — (\/2)х~ЪГ2. 2. а) 1/ A — xfi б)
2/A *— жK; в) —Ю*/ A + *2J.3. и + atA. р @) = 1000, р' (t) = 9000/A + 0*
5. а) 127,25; б) 3,975; в) 0,2525; г) 383/192. 8. а) 1,005; б) 1,01. 9. 7,85 х
X 10-9 см3. 10. а) 8000; б) 0; в) —10 000.
§ Б2. 1. а) З*2 + 10* + 3; в) 6г> + 4*3 + 2х; д) х cos х + sin *. 2. а)
4*/(! - *2J; в) 7/A — 5*J- &) I (х — IJ cos х — (х + IJ sin *]/ A + *2J3
е) sec2 х. 3. 14 Bх + ЗN; в) cos Ух/фУх); д) —(i + 2x) sin A + х + я2).
7. а) 3 sin2 х cos #; в) cos x + sin x + sec * tg х; е) 2х ( cos 2х — х sin 2л;}.
8. а) 2/У1 — 4л:*; в) 2 arccos */У 1 — ж2; д) — */У 1 — л:2/
§ БЗ. 1. а) Возрастает при х > 0; критическая точка (О, О); точек перегиба
нет; б) возрастает при х > —1/2; критическая точка (—l/2t 0); точек перегиба
нет; в) возрастает_при х <•—1 —Уз/3 и при_* >—1_+Уз/3; критические
точки (—1 + 1/Уз, —2/CУЗ)), (—1 —1/УЗ, 2/(ЗУЗ)); точка перегиба
(—1, 0); г) возрастает при *<0; критическая точка @, 1); точек перегиба нет$
д) возрастает при х > 0; критическая точка @, 1_); точек перегиба нет. 2. а)
Локальные максимумы у— 4/3 в точках *= ±1/Уз, локальный минимум у~1
при х = 0\ б) локальный минимум при х = 2/3+УТ/З; локальный максимум при
х = 2/3 — УТ/3; в) максимум при * = 0; г) максимум при х = п/2, минимум
х = Зя/2; д) максимумы при * = 0 и х == я, минимумы при а: = я/2 и *=.'
е) максимум в точке, где х + 1 = —tg я. 3. 50; 0,1.
§ Б4. 1. а) ех + хех; в) е* (sin jc + cos х)\ е) 2*е~л2 A — х2). 2. а) Кри-
Критическая точка при х = 0; точки перегиба при л: = ±1; б} критические точки
при х = ±1/У2"; точки перегиба при я = 0 и л; = ±Уз/2. 3. 29,9 мин. 4. а)
2К loge2 ж 0,693 • 2Г; в) 3* {xl log еЗ + 2л:). 5. а) 0,0304; б) 0,0314; в) 0,0342.
6. 10. 7. a)e^l/*(l —-Д б) esin*cos*; в) ee'V+JC. 9. У второго лекарства
максимальная реакция выше, и оно действует медленнее. 10. a) k = Т @) —
— Гт. 11. а) 0,693/а; б) 2,303/а. 14. С A) = 100еа; С B) = 100е2а, где а =
ди ду ди
§55. 1. а) ——=2л:^ + ^2, —— = 2л:/ + л:2; б) —— =sin (x+t)-\-(x-\-t) X
дх at ox
ду ду ду ду xi
dt ' дх dt дх
• =x*ext B-{-tx). 5. л: = 2а/3, спустя 2 ч после приема.

Ответы к избранным задачам 379
Приложение В
§ В*. 1. а) A/1 \)хп + с} в) -1/ B*3) + С) д) ж + х* + A/3)*3 + о е)
A/2)*2 + loge х + с. 2. а) A/3) sin 3* + с\ б) —A/2) cos *2 + с; в)
A/20) A + ж5L + с; г) — A/3)е-*8 + с; е) —A/2) cos2 * — A/3) cos3 x + с.
3. a) sin х — х cos x + с; б) A/2) *2 loge х — A/4)*2 + г; в) — *е~* — е-* + с;
F) A/2)е^ (sin *+cos х)+с; д) B — х2) cos jt + 2jc sin а:+с; в) —A/6) х cos 5*+
+ A/25) sin 5х + с. 4. a) loge A + х) + я; б) arctg х + с\ в) aFCsin jc •+• щ
г) —1/A + х) + с; д) A/13) B&х sin 2а: + Зездс cos 2а:) + с; е) —Vl — *Н- «.
5. ^ = A/3JJC3 + а: — 1/3. 6. г/ = sin x + 5. 7. а) 10 001; б) 10 054; в) 10 383.
§ В2. 1. а) 124; б) 14/3; в) 11/6. 2. а) 3 + е* — е4; б) е-» + е-*а — е-« —
— е-20; в) 1 — 2/е, 3. а) 1/2; 62 —1/2; в) Уз._4. а) A/9) A + 2е3); б)
A/2) A — 26е~25); в) A/32) C2*1/2 + 8~\/2я — я2"|/2 — 64). 5. а) щ б) я; в)
расходится. 6. 1/2. 7. я/2. 9. С @ = 1 + A — 2~ь)/\щ% 2.
§ВЗ. U Оценки 0,813; 0,782; точное значение пЦ « 0,785. 2. Оценка 1,117;
точное значение !oge 3 ж 1,099. 6. G точностью до четырех значащих цифр ин-
интеграл равен 1,463,
Приложение Г
1. а) 1,0513; б) 1,6487; в) 0,9048; г) 0,3679.
Приложение Д
1. а) Зе/Я/2; бL/2"е/я/4; в) 5еш, где 6 = arcfg C/4); г) 2 У^е^^
д) 2е/л/3. 2. а) -3; б) 5/4+ E Т/З/4) Ц в) —1; г) — 2Ц
д) _5/1/2+E/1/2") !• 3. а) —128 + 128/; б) — 8—8 T/J/| в) —161/1+16/,
4. cos 46 = cos4 6—6cosaesin2e+sin4 6; sin 46 =4 sin 6 cos^ 0—4 cos 0 sin5 0.

Предметный указатель
Абсолютная величина комплексного
числа 35,5
Аллель 290
Амплитуда 249
Аргумент комплексного числа 355
Базис 91
Базисные переменные 150
Безобидная игра 193
Бесконечный ряд 35
Биномиальная вероятность 62
— теорема 32, 33
Биномиальное распределение 62» 69,
75, 77, 78
Биномиальный коэффициент 27
Вектор-столбец 87
Вектор-строка 87
Вероятность 42, 45
Вероятный интервал 276, 280
Верхняя треугольная матрица 97
Вершина многогранного выпуклого
множества 134
Взаимно исключающие события 43
— непересекающиеся множества 13
Взаимное расположение двух прямых
100
Взаимодействие хищник—жертва 258
Внутреннее произведение 90
Внутривенное питание глюкозой 237,
238
Возрастание функции 327
Вспомогательное уравнение 215
Выборочное пространство экспери-
эксперимента 40
Выпуклое множество 130, 131
Выпуклый многогранник 139
— многоугольник 139
Гармонический осциллятор 249, 250
Ген 290
Генотип 290
Генный дрейф 297
Геометрический ряд 36
Геометрическое распределение 70, 74,
75, 78, 79
Гетерозиготный генотип 290
Гибридный генотип 290
Гиперплоскость 133
Гомозиготный генотип 290
Граничная гиперплоскость 134
Двойственные задачи линейного про-
программирования 145
Двухшаговая вероятность перехода
171
— матрица перехода 172
Действительная часть комплексного
числа 355
Декартова плоскость 17
Декартово произведение 17
Десятичные логарифмы 332, 361, 362
Диагональная матрица 93
Диагональный элемент 93
Диаграмма Венна 12
Диапазон непрерывной случайной ве*
личины 262
Дисперсия 76, 267
Дифференциальное уравнение ШЪ
второго порядка линейное 246—
255
—, _ с постоянными коэффи-
коэффициентами неоднородное 251—255
— _ — однородное
246—250
первого порядка линейное 230—
238
неоднородное 233, 235—
238
однородное 233, 234
с постоянными коэффи*
циеитами 233
нелинейное 240—243
Дифференцируемая функция 317
Длина вектора 90
Доверительный интервал 279
Доминантный аллель 290
Дополнение множества 14
Дополнительное событие 43
Дополнительные переменные 150
Допустимое решение 139
Достоверное событие 41
Единичное нормальное распределение
266, 272, 363
Единичный круг 310
Задача линейного программирования
138, 139

Предметный указатель
381
Закон Харди—Вайнберга 292, 293
Замкнутая полуплоскость 133
Замкнутое полупространство 133, 134
Игра двух лиц с нулевой суммой 189
— «жизнь» 307—309
Индикатор 153
Интегрирующий множитель 235
Испытание 40
Истинное подмножество 10
Квадратная матрица 93
Комплексное число 355
Компонент вектора 87
Конечная симплекс-таблица 154
Конечное выборочное пространство
40
Контакты в эпидемиологии 95, 96
Косеканс 311
КоСинус 310
Кососимметричная матрица 98
Котангенс 311
Коэффициент приспособленности 298
Критическая точка 327
Линейная зависимость 89
— комбинация 89
•— независимость 89
— функция 132
Линейное дифференциальное уравне-
уравнение 232 '
— разносшое уравнение 211
Логарифм 331, 332
Логарифмическая функция 331—334
Логистический рост 242, 243
Логистическое уравнение 242, 243
Локальный максимум 328
— минимум 328
Марковская цепь 170
Математическая индукция 357
Математическое ожидание 73, 90, 267
Матрица 92
— игры 188
— потребления 99
См. также соотв. названия
Матричная игра 188
Метод вариации постоянных 220—»
224, 251—255
— Гаусса 104
— интегрирования по частям 341,
342
— исключения 104
— неявного дифференцирования 324,
325
— перебора вершин 140, 141
— приведения строк 104
— разделения переменных 241
— расширенной матрицы ПО—112
Мннмая часть комплексного числа
355
Многогранное выпуклое множество
134
Множество 9
— значений функции 18
— решений системы линейных нера-
неравенств 134
Модель кооперации видов 258, 259
— межвидовой конкуренции 225, 226,
257
— сезонного роста 235
— роста с влиянием предшествую-
предшествующих поколений 218
m-шаговая вероятность перехода 172
m-шаговое распределение вероятно-
вероятностей 176
Наклон прямой 315
Натуральные логарифмы 333, 360
Начальная симплекс-таблица 153
Начальное распределение вероятно-
вероятностей 175
Небазисные переменные 150
Невозможное событие 41
Независимые события 53, 54
Нелинейное дифференциальное урав-
уравнение 232, 243
— разностное уравнение 211
Неограниченная задача 146
Неоднородная система разностных
уравнений 225
уравнений 102
Неоднородное дифференциальное
уравнение 233, 251
— разностное уравнение 211, 214
Неопределенный интеграл 338, 339,
365
Непересекающиеся множества 13
Неподвижный вектор 170
— стохастический вектор 170
Неравенство треугольника 91
— Чебышева 277
— Шварца 91
Неразрешимая задача 146
Несобственный интеграл 347
Несовместная система уравнений 104
n-компонентный вектор 87
«-мерный вектор 87
Норма вектора 90
Нормальное распределение 271, 272
Нулевой вектор 87
Область определения функции 18
Обратимая матрица 96
Обратная матрица .96, 109—112
Обратные тригонометрические функ-
функции 313, 326

382
Предметный указатель
Объединение множеств И, 12
Общая линейная еистема уравнений
102—104
Однородная система разностных
уравнений 225
уравнений 102, 106
Однородное дифференциальное урав-
уравнение 233, 246
— разностное уравнение 211, 214
Одношаговая вероятность перехода
171
Ожидаемое значение 73
Ожидаемый доход 191
Определенный интеграл 346, 347
Определитель 101, 115, 116
Оптимальная стратегия 193
Оптимальное решение 139
Ортогональная матрица 115
Ортогональные векторы 91
Основание логарифма 332
Основная теорема линейного про-
программирования 146
Основной принцип перечисления 21
Остаточный член 295, 300
Открытая полуплоскость 133
Открытое полупространство 133, 134
Отношение 17
Отображение 19
Отражающий барьер 179
Отрезок прямой в Rn 131
Оценка риска при лечебных процеду-
процедурах 198, 199
Ошибка выборки 289, 297
Первообразная 338
Пересечение множеств 12
Перестановки 21—23
Переходная матрица марковской це-
цепи 170, 171
Переходное состояние 181
Периодическая функция 310, 311
Платежная матрица 188
Площадь 343—346
Повторные испытания 62
Поглощающая марковская цепь 181
Поглощающее состояние 181
Подмножество 10
Подсчет клеток под микроскопом
83, 84
Подынтегральная функция 338
Полиномиальная теорема 33, 34
Полиномиальное распределение 63
Полиномиальный коэффициент 24
Показательная функция 330, 331
Популяционный вектор 91
Порядок дифференциального уравне-
уравнения 229
— разностного уравнения 208
Построение графиков 327—330
Правило дифференцирования произ-
произведения 321
сложной функции 321
частного 322
— Крамера 118
Принцип конкурентного исключения
285, 286
Произведение матриц 93, 94, 96
Производная 317
— г?-го порядка 325
Пространство вероятностей 45
— значений случайной величины 67
— равных вероятностей 41
Пустое множество 10
Равенство множеств 9
— упорядоченных пар 17
Равномерное распределение 262, 266
Радиоактивный распад 82, 83
Разбиение множества 15
Размещения 23
Разностное уравнение 208
второго порядка линейное 214—
224
с постоянными коэффи*
циентами неоднородное 220—224
— — — — однородное
214—219
первого порядка линейное 210—
213
неоднородное 212
однородное 211
нелинейное 211
Разрешимая задача 146
Рандомизация 190
Распределение жизненных циклов ра-
растений 268
— Пуассона 82, 84
Расходящийся несобственный интег-
интеграл 347
Расширенная матрица 111
Регулярная марковская цепь 177
— стохастическая матрица 177
Решение дифференциального уравне-
уравнения 229
— разностного уравнения 209
Рецессивная строка 195
Рецессивный аллель 290
— столбец 195
Седловая точка 194
Секанс 311
Сигма-обозначение 31, 32
Симметричная матрица 98
Симплекс-метод 149—160, 162—166
Синус 310
Система дифференциальных уравне-
уравнений 256—259

Предметный указатель
383
— линейных неравенств 134—136
уравнений 99—107
— разностных уравнений 225—227
Скалярное произведение 90
Скорость изменения 314—318
Сложение векторов 88
— матриц 93
Случайная величина 66, 67
Случайное блуждание с отражающи-
отражающими барьерами 179
поглощающими барьерами
182, 185
— закрепление 289
— скрещивание 291
Смешанная стратегия 190
— частная производная 337
Собственное значение 122
— подмножество 10
Собственный вектор 122
Событие 40
Состояние 170
Сосуществование бактерий 106, 107
Сочетания 27
Среднее 73
Стандартное отклонение 91, 267
Стационарная точка 327
Стационарное распределение 178
Стратегия 190
Строго определенная игра 194
Стохастическая матрица 167
Стохастический вектор 167
Схематическое дерево 57
Сходящийся несобственный интеграл
347
Тангенс 311
Теорема Байеса 58
— косинусов 312
— умножения условных вероятностей
51—53
Теоремы линейного программирова-
программирования 139, 140, 146
— о вероятностях 46, 47, 50—53, 56,
58, 77, 172, 272, 273, 277, 278
выпуклых множествах 131—135
марковских цепях 176—178
матрицах 96, 97, 168—170, 172
перестановках и сочетаниях
21—24, 27, 29
системах линейных уравнений
101, 102, 106, 117, 118
собственных значениях 122
стратегиях ь матричных играх
193, 194, 196
— об операциях над множествами
13, 15
Тождественная матрица 93
Точечное произведение 90
Точка перегиба 329
Транспонированная матрица 98, 145
Тригонометрическая форма комплекс-
комплексного числа 355
Тригонометрические функции 310,
326, 364
Убывание функции 327
Умножение вектора на число 88
— матрицы на число 93
Универсальное множество 10
Упорядоченная пара 17
Уравнение Бернулли 239
— собственного значения 122
Уравнения Лотки—Вольтерра 303—
305
Условная вероятность 50
Условное множество 139
Фаза 162
Факториал 22
Формула Муавра 356
— трапеций 350
— Эйлера 354
— экспоненциального роста 232
Формулы сложения аргумента 312
Функция 18
— вероятности 45, 67
— плотности вероятности 265
— распределения 68, 261, 262
Характеристический многочлен 122
Характеристическое уравнение 122,
215, 246
— число 122
Хромосома 290
Целевая функция 139
Цена игры 193
Центральный элемент 153, 163
Цепное правило 323
Цепь 170
Частная производная 336
Частота мутаций 240
Численное интегрирование 349—352
Число е 332
Чистая стратегия 190
Чясто мнимое чнело 355
Чистый генотип 290
Член множества 9
Эквивалентные матричные игры 199
Эксперимент 40
— по обучению 79^ 197, 198
Экспоненциальная функция 352—354,
360
Экспоненциальное распределение 266,
268
Элемент матрицы 92
— множества 9
Элементарное событие 40

Стэнли Гроссман,
Джеймс Тернер
МАТЕМАТИКА
ДЛЯ БИОЛОГОВ
Зав. редакцией по физике
и математике Е. С. Гридасоеа
Редактор А. М, Суходекий
Мл. редакторы: С. А. Доровских, Н. П. Майкова
Художник В. Н. Хомяков
Художественный редактор В. И. Пономаренко
Технический редактор Э. М. Чижевский
Корректор Г. И. Кострикова
ИБ № 3069
Изд. № ФМ-683 Сдано в набор 04.01.83. Подп. в печать 08.08 83.
Формат 60X90Vie. Бум. тип. № 2. Гарнитура литературная. Печать
высокая. Объем 24 усл. печ. л. Усл. кр.-отт. 24,25, 25,74 уч.-изд. л.
Тираж 10.000 экз. Зак. JVfe 1370. Цена 2 р. 20 к.
Издательство «Высшая школа, Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14
Московская типография № 4 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете СССР .
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
129041, Москва, Б. Переяславская ул., 46